ИЗДАТЕЛЬСТВО
PHYSICS of the NUCLEUS
by
M. A. PRESTON, F. R. S. C.
DEPARTAMENT OF PHYSICS MCMASTER UNIVERSITY
Addison —Wesley Publishing Company, Inc. Reading, Massachusetts
Palo Alto—London
М. ПРЕСТОН
И 3 и к
ЯДРА
Перевод с английского
Б. Н. ЗАХАРЬЕВА И Н. П. ЮДИНА
Под редакцией
В. В. БАЛАШОВА
МОСКВА
19 6 4
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»
Редакция литературы по физике

ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Научный прогресс неразрывно связан с тем, насколько быстро новые успехи теории и эксперимента получают отражение в научно-педагогической литературе. С этой точки зрения книга канадского физика М. Престона, написанная с учетом крупных достижений последних лет, представляется крайне своевременной.
Среди довольно многочисленной зарубежной литературы по физике ядра книга Престона выделяется стройностью и широтой охвата рассматриваемых вопросов. Основой книги послужили лекции, читанные автором в течение ряда лет в университетах Англии и Канады. Престон не ставит своей целью изложение всех вопросов, относящихся к ядерной физике; его предмет — свойства ядер и их проявление в различных ядерных превращениях. По своей тематике «Физика ядра» Престона ближе всего к хорошо известной книге А. С. Давыдова «Теория атомного ядра» (Фнзматгиз, 1958) и монографии Дж. Блатта и В. Вайскопфа «Теоретическая ядерная физика» (ИЛ, 1954).
Однако книга Престона — не курс теории ядра для теоретиков. Престон стремится прежде всего к раскрытию физической природы различных ядерных явлений и их связи между собой, делая основной упор на внутреннее единство существующих представлений о ядре. Большое педагогическое мастерство автора позволяет удачно избежать при этом перегрузки курса как громоздкой математикой, так и деталями эксперимента.
В книге Престона систематически рассматриваются как проблемы структуры ядер, так и механизмы ядерных реакций. Ряд моментов, связанных с результатами экспериментальных и теоретических исследований последних лет, впервые получают отражение в учебной литературе. Назовем некоторые из них. Это — свойства ядерных сил на малых расстояниях, установление «керна», изучение структуры ядер в опытах по рассеянию электронов и др. Большое место в книге занимает изложение современных ядерных моделей — основного средства теоретического описания ядер. Что особенно ценно, автор старается широко йривлекать эти модели к рассмотрению различных конкретных вопросов: электромагнитных переходов, а- и p-распада, прямых ядерных реакций,— раскрывая сильные и слабые стороны всех этих моделей. Вместе с тем он знакомит читателя с очень важной и актуальной проблемой теории—с обоснованном существующих моделей на основе микроскопической картины движения и взаимодействия нуклонов в ядре. Престон вводит читателя в круг таких современных понятий теории ядра, как «ядерная материя», «квазичастицы», «сверхтекучесть» ядерного вещества. И хотя, на наш взгляд, автору не всегда удается органически включить те или иные новые понятия в общую ткань повествования, свежесть используемых материалов сама по себе представляет несомненное достоинство книги.
6 Предисловие редактора перевода
Отдельные главы книги снабжены задачами и упражнениями. Потребность в создании своего рода задачника по физике ядра давно назрела. С этой точки зрения то, что предлагает Престон, интересно как первый опыт. Помещенные им в книгу задачи еще очень неоднородны и по стилю, и по трудности; средн них много таких (например, задачи на законы сохранения в ядерных реакциях и превращениях), которые более подошли бы какому-нибудь элементарному курсу ядерной физики (тому, что у нас обычно называется «Введением в ядерную физику»). В данном издании все задачи печатаются без изменений; мы ограничились лишь тем, что опустили ряд задач, решение которых требует специального изучения отдельных журнальных статей.
Несколько замечаний относительно терминологии. Все сколько-нибудь существенные отклонения от прямого перевода оговорены в примечаниях. Особой оговорки заслуживает выбор названий для различных вариантов оболочечной модели. Собственно термин «оболочечная модель» охватывает все виды описаний ядер, связанные с использованием представлений об одночастичных состояниях нуклонов в ядре. К разновидностям оболочечной модели относятся: «одночастичная модель» (называемая также «упрощен-. ной одночастншюй моделью»), рассматривающая только один нуклон в поле I инертного «остова» ядра (см. стр. 136); «усовершенствованная одночастич-'ная модель» учитывает в первом порядке теории возмущений парные взаимодействия между нуклонами, снимающие вырождение состояний нескольких нуклонов, находящихся в одной /-оболочке (см. стр. 146); | и, наконец, более совершенный вариант — «многочастичная модель оболочек», часто называемая также «моделью независимых частиц» (см. стр. 157). Последнее название крайне неудачно. Оно не только не раскрывает смысла приближения, состоящего в последовательном учете взаимодействия нуклонов в пределах заданной полосы одночастичных состояний, но и просто противоречит ему, приводя очень часто к досадным недоразумениям. К сожалению, это название прочно закрепилось в литературе. Более того, не только термин «independent particle model», но даже более правильное по смыслу выражение «individual particle model» принято переводить на русский язык как «модель независимых частиц». В специальной литературе известен целый ряд четко определенных терминов, связанных с различными приближениями и вариантами оболочечной модели: /—/-связь, L —S-связь, промежуточная связь, модель оболочек со смешиванием конфигураций и др., которые в принципе после некоторой обработки можно было бы предлагать и для общего пользования. Однако проведение такой работы в рамках данного издания потребовало бы слишком серьезного вторжения в авторский текст.
Книга Престона может служить учебным пособием для широкого круга физиков-экспериментаторов и теоретиков, изучающих ядерную физику. Особенно полезной она окажется для студентов университетов и других вузов, где готовят специалистов по ядерной физике и ее приложениям, а также для преподавателей, ведущих занятия по ядерным дисциплинам.
Перевод гл. 1—11 и предисловия выполнен И. П. Юдиным, гл. 12— 19 и приложений — Б. Н. Захарьевым.
В. Балашов
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
*
Мне приятно, что моя книга выходит на русском языке. И пишу эти слова почти сразу по возвращении с происходившей в Тбилиси четырнадцатой ежегодной Советской конференции по ядерной спектроскопии. Конференция позволила мне гораздо ближе познакомиться с успехами ядерной физики в Советском Союзе, и я буду очень рад, если перевод этой книги будет в какой-то мере способствовать совершенствованию молодых физиков.
М. Престон Копенгаген,
1 марта 1964 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Приступая 5 лет назад к работе над этой*книгой, я исходил*из убеждения, что наши знания в ядерной физике достигли такого уровня, когда целесообразно написать учебник, построенный на полудедуктнвной основе. В большинстве существующих книг сначала излагаются экспериментально установленные факты ядерной физики, а затем описывается модель, основанная на этих фактах. Весьма часто для объяснения различных фактов привлекаются различные модели, и читатель не может уловить внутреннего единства наших представлений о ядерной структуре — единства, которое становилось все более отчетливым в течение тех лет, когда писалась эта книга. Поэтому я решил сначала представить сравнительно подробную картину наших теоретических представлений о структуре ядра, а уже отсюда — вывести основные заключения о том, как ведет себя ядро в различных экспериментальных ситуациях, и сопоставить эти выводы с наблюдаемыми фактами.
Осуществляя эту основную схему на страницах книги, я отдавал себе отчет в педагогических достоинствах исторического подхода: описание ядерной модели должно быть мотивировано определенными экспериментальными фактами. По этой причине на протяжении всей части книги, посвя
8
Предисловие
щенной объяснению ядерных моделей, предсказания каждой из них относительно уровней энергий постоянно сопоставляются с экспериментальными данными. Все дальнейшие сопоставления такого рода собраны в последующих главах.
Первая часть книги посвящена обсуждению двухнуклонных сил и тех основных свойств ядер, которые можно объяснить с помощью простейших представлений о ядерной структуре. В части 11 рассматриваются оболочечная модель (в частности, модель независимых частиц) и различные коллективные движения. В этой части дается также первый набросок обоснования этих моделей ядра в форме выводов из более фундаментальной теории: таким путем удастся показать, что существует единая картина структуры ядра, соответствующими аппроксимациями которой и являются различные модели. Один аспект этого изложения — сопоставление и согласование оптической модели со статистической моделью высоковозбужденных состояний— вынесен в часть, посвященную ядерным реакциям. Части III, IV и V посвящены электромагнитным свойствам, радиоактивности и ядерным реакциям соответственно. Каждой главе предпосылается необходимое теоретическое введение: в части III рассмотрены мультипольные разложения и интенсивности радиационных переходов, в части IV — p-распадное взаимодействие и в части V — общий формализм описания реакций. Таким образом, основной упор переносится на вопрос: «Как эксперимент подтверждает или ставит под сомнение наши представления о структуре ядра?»
В связи с этой тенденцией я опустил ряд вопросов, входящих во многие учебники ядерной физики: ионизацию, тормозное излучение, торможение заряженных частиц, комптон-эффект, фотоэффект и др. При всей важности той роли, которую они играют в экспериментальной ядерной физике, эти явления все же принадлежат к области атомной физики. Разумеется, механизмы ядерного распада, в том числе внутренней конверсии, включены в изложение. Аналогичным образом, анализ угловых корреляций по сути дела представляет собой раздел общей квантовой механики. Мы даем лишь самый сжатый очерк его. Среди приведенных ссылок на литературу имеется ряд превосходных обзоров по этим вопросам.
Эта книга не преследует цели быть «экспериментальной», иди «теоретической»: она посвящена физике ядра, а не прежде всего лабораторной технике, или прежде всего математическому аппарату. Возможно, в ней проявился некоторый перевес в математическую сторону, но я стремился ограничиться лишь тем объемом математики, который необходим для физического понимания, опуская все вопросы теоретической техники. Описания экспериментов также ограничены необходимыми сведениями об основных методах; описания приборов не приводятся.
Работая над книгой, я представлял себе читателя как студента старших курсов, уже прослушавшего общий курс квантовой механики и имеющего представление о ядерной физике на уровне младших курсов. Предполагаемые знания квантовой механики широко используются в тексте. С другой стороны, фактически нигде не предполагается предварительного знания фактов ядерной физики: читатель, располагающий предварительными сведениями об ядерных экспериментах, попросту найдет некоторые разделы книги более содержательными. Эта книга — не учебник для приступающих к изучению общей физики, хотя многие разделы ее несомненно могут служить полезным дополнительным пособием. С другой стороны, я надеюсь, что некоторые исследователи найдут ее полезной в качестве удобного справочника.
Предисловие	9
Мой опыт убеждает меня в том, что в пределах лекционного курса среднего объема невозможно охватить все содержание даже этой книги; тем не менее мне представляется ценным указывать в учебниках дополнительные источники. Кроме того, преподаватель также может выбрать некоторые темы для более подробного обсуждения. Полезно, может быть, указать несколько разделов, которые могут быть опущены без серьезного ущерба для понимания последующих глав: это подробное изложение в последней части гл. 5, большая часть гл. 9, некоторые, носящие наиболее формальный характер, части гл. 16 н, наконец, § 3 гл. 18 и § 3 гл. 19, посвященные общей теории ядерных реакций.
Задачи и упражнения должны составлять органический элемент преподавания ядерной физики. Большинство преподавателей найдут предпочтительным давать свои собственные задачи, однако ряд довольно поучительных задач я включил в текст. Не все из них оригинального происхождения, ио я не в состоянии указать источник каждой из них; я верю, что друзья, которые узнают свои задачи, простят мне этот невинный плагиат.
Важная составная часть любого специального курса — подготовка студента к самостоятельной работе над периодической литературой. По этой причине приводятся многочисленные ссылки на оригинальные работы. Я не стремился к исторической полноте: когда по ходу изложения представлялась естественной ссылка на какую-то статью, это делалось. В результате получается довольно широкий список примерных работ по ядерной физике.
В эту книгу внесли вклад помощью и ободренном многие люди. Я особенно обязан доктору Л. Дж. Эллиоту, сыгравшему весьма активную роль в первоначальном планировании книги и предполагавшему быть ее соавтором. И хотя непрерывно возрастающая занятость вынудила его устраниться на ранней стадии, чтение им части рукописи и его постоянный интерес к этой работе были крайне благотворными. Несколько более косвенным, но тем не менее весьма ощутимым образом профессор Р. Е. Пайерлс внес вклад во все, что есть ценного в этой книге, ибо именно он стимулировал ту вдохновляющую атмосферу ранних лет «Бирмингамской группы», в течение которых сложился мой интерес к ядерной физике. Я также благодарен ему за предоставленную мне возможность осуществления полугодового отпуска в 1957 г., в течение которого был закончен первый набросок большей части книги.
Я с большим удовольствием пользуюсь возможностью высказать мою высокую оценку трудной работы издателей. И наконец, в известном смысле наиболее прямо, я выражаю благодарность мисс Джон Финк, которая отпечатала рукопись с изумляющей аккуратностью, моей жене, которая прочла все корректуры книги вслух с изумляющим упорством, и моим коллегам, моим студентам и членам моей семьи, которые перенесли все время, затраченное мной на эту книгу, с изумляющей стойкостью.
Я хочу посвятить эту книгу моему отцу.
М. Престон
Гамильтон, Онтарио, Январь, 1962 г.
ЧАСТЬ I
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЯДЕР
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЯДЕР
§ 1. Нуклоны и ядра
Главная цель всякой фундаментальной области науки заключается в том, чтобы понять наблюдаемые явления, исходя из общих основных концепций и законов. Научный прогресс идет двумя путями. Один путь — это постепенное уменьшение числа основных гипотез, необходимых для объяснения данных всех наблюдений и экспериментов. В физике это достигается посредством построения теорий и последующей проверки экспериментом, позволяющей подтвердить или опровергнуть эти теории. Другой путь предоставляют открытия неожиданных явлений, часто нестимулированные теорией. Для того чтобы включить в общую схему науки такие новые факты, существующие теории должны быть пересмотрены. Взаимодействие этих двух сторон процесса развития явственно прослеживается в истории ядерной и атомной физики.
Мы начнем наше изложение с одного из важнейших объединяющих этапов в развитии наших знаний о материи — осознания того, что все материальные вещества построены из «атомов» химических «элементов», число которых ограничено. Сейчас мы знаем около ста элементов. В тот ранний период развития отдельные атомы считались неделимыми и атомы каждого данного элемента — неразличимыми; в результате существовало около ста «элементарных частиц». Установление того факта, что атомные веса различных элементов представляют собой приблизительно целочисленные кратные атомного веса водорода, дало основание Пруту в 1815 г. предположить, что все более тяжелые ядра в действительности построены из атомов водорода. Если бы эта гипотеза оказалась правильной (а мы сейчас знаем, что это был шаг в правильном направлении), то она привела бы к большому упрощению основных представлений. Действительно, в этом случае существовал бы только один тип первичных частиц, из которых построено все вещество. Однако доверие к гипотезе Прута было в сильной степени подорвано более точными измерениями атомных весов, показавшими, что отношения атомных весов элементов к атомному весу водорода отличаются от целых чисел хотя и на малые, но определенно не равные нулю доли. Тем не менее явно выраженные регулярности в свойствах элементов, выражением которых служит периодическая таблица Менделеева, постоянно возрождали предположение о том, что атомы в действительности являются образованиями, построенными из более простых частиц.
Следующий объединяющий этап, связанный в основном с работами Дж. Томсона, был ознаменован открытием способности всех атомов испускать одинаковые электроны. Так как электроны — частицы значительно
14
Глава 1
более легкие, чем атомы,— заряжены отрицательно, а атомы электрически нейтральны, то естественно предположить, что основную часть массы атома составляют частицы с положительным зарядом. Можно представить себе шар размеров атома из положительно заряженного вещества, внутри которого вкраплены электроны. Альтернативное предположение заключается в том, что положительно заряженное вещество сосредоточено в небольшой области в центре атома, вокруг которого двигаются электроны; наиболее удаленная от центра траектория электрона определяет радиус атомов (—10 е см). Выбор между этими двумя моделями атома решили знаменитые опыты Резерфорда в 1911 г. [1], показавшие, что положительный заряд сосредоточен в области с размерами порядка 10’11 см или менее. Эти опыты дали первое доказательство существования ядра.
Итак, атом состоит из небольшого по объему ядра, несущего в себе почти всю массу атома и имеющего положительный заряд Ze, окруженного облаком электронов, движущихся в значительно большем атомном объеме. Число Z называют зарядовым числом или атомным номером. В дальнейшем выяснилось, что все атомные и химические свойства элементов в существенной мере определяются находящимися вне ядра электронами. Поэтому все атомы с одним и тем же атомным номером имеют одни и те же химические свойства. Существуют, однако, ядра с одинаковым Z, но с различными массами (массу ядра можно подсчитать, вычитая из массы атома массу Z электронов). В существовании атомов одного и того же элемента, различающихся по массе, можно убедиться на том факте, что свинец и другие элементы появляются в естественной цепи радиоактивных превращений с различными атомными весами. Изучая отклонение лучей, состоящих из ионизованных атомов, Дж. Томсон [21 в 1913 г. непосредственно продемонстрировал существование химически идентичных атомов с различными атомными весами. Эти атомы были названы изотопами, что по-гречески означает «занимающие одно и то же место» (отражение того факта, что все изотопы элемента расположены в одной и той же клетке периодической таблицы Менделеева). Вскоре было обнаружено, что массы всех ядер почти (хотя и не точно) равны целому кратному массы, очень близкой к массе протона — ядра атома водорода. Это целое число для данного ядра называется его массовым числом и обозначается через А. Нетрудно понять, почему закон Прута оказывался неправильным, когда его истолковывали, исходя из химических измерений атомных весов: в хлоре, например, 75% атомов имеют А—35 и 25% А =37; стандартная химическая процедура дает эффективное значение А =35,5. В свете того, что массы ядер имеют почти целочисленные значения, казалось весьма привлекательным предположить, что все ядра построены из протонов. Убедительные непосредственные указания на то, что протоны в ядрах существуют, были получены в 1919 г., когда Резерфорд [3] обнаружил, что азот прп бомбардировке достаточно энергичными а-частицами испускает ядра водорода. Ясно, однако, что ядро не может состоять только из протонов, так как это означало бы, что Z=A. На самом деле Z меньше А и для большинства стабильных ядер не очень отличается от А /2. Например, для основного, наиболее распространенного изотопа кислорода Z=8, А = 16; для двух стабильных изотопов хлора Z—17, Л=35 и 37; стабильные изотопы свинца имеют Z—82, А =204 , 206, 207, 208. Естественно предположить, особенно имея в виду испускание электронов при p-распаде, что в ядре присутствуют также электроны, причем в таком числе (а именно А— Z), которое необходимо да я существования наблюдаемого заряда. Например, ядро С1” должно состоять из 37 протонов и 20 электронов. Эта гипотеза встретилась со значительными трудностями.
Основные свойства ядер
15
В 1931 г. было показано, что она противоречит наблюдаемому спектру молекул азота, из которого определяют статистику ядра N14 [4—6]1). Альтернативная гипотеза, выдвигавшаяся время от времени, строилась на предположении, что ядро состоит из Z протонов и А — Z нейтральных частиц с массой, приблизительно равной массе протона. До 1932 г., когда такая •частица — нейтрон — была открыта Чэдвнком [7] в Англии и Кюри и Жо-лио 181 во Франции, это предположение было лишено оснований. Чэдвнк, Кюри и Жолио обнаружили, что при облучении а-частицами от радия бериллий испускает электронейтральные лучи, которые при взаимодействии с ядрами сообщают последним заметную кинетическую энергию. Было показано, что эту отдачу нельзя объяснить, исходя из предположения, что лучи имеют электромагнитную природу; напротив, характер отдачи согласуется с гипотезой о том, что излучение состоит из нейтральных частиц с массой, равной массе протона.
Таким образом, ядро характеризуется двумя числами: общим числом нуклонов А и числом протонов Z (или числом нейтронов N=A — Z).
Тс же самые соображения, из которых следует, что в ядре не может быть электронов, показывают, что нейтрон нельзя рассматривать как составную частицу, например как сильно связанную систему протон — электрон. Наоборот, нейтроны следует считать такой же элементарной частицей, как протон. Конечно, удобно рассматривать нейтрон и протон просто как два различных состояния одной частицы — нуклона. Когда нуклон переходит из одного состояния в другое, то его электрический заряд, разумеется, изменяется. Заряд мог бы сохраняться, если бы изменение состояния нуклона всегда сопровождалось рождением положительного или отрицательного электрона соответственно тому, в какое состояние совершается переход. Это объясняет p-распад без необходимости присутствия электронов в ядре.
Свойства отдельных нуклонов были детально исследованы. Массы протона и нейтрона определялись по измерениям энергий некоторых ядерных реакций [91, а также с помощью таких фундаментальных постоянных, как масса электрона и число Авогадро, полученных из точных измерений характеристик электромагнитных процессов [10, 111. Эти массы имеют следующие значения:
тр= (1,67239± 0,00004) 10“2‘ г=
= 938,214 ±0,009 Мэв=
= 1,007276± 0,000002 а. с. м. (атомные единицы масс)2>=
= 1836,12 ± 0,02m,
тп = (1,67470± 0,00004) • 10"2* г=
= 939,508± 0,009 Мэв =
= 1,008665 ± 0,000002 а. е. м.
= 1838,65± 0,02m,
где т — масса электрона. Заметим, что тп — тр=2,53 т. Таким образом, нейтрон имеет достаточную энергию для того, чтобы при превращении в про
!) У нечетного числа частиц со спином И (14 протонов + 7 электронов) полный момент количества движения полуцелый. Поэтому такая система подчиняется статистике Ферми Дирака. Система из четного числа частиц (7 протонов и 7 нейтронов) характеризуется целым моментом и подчиняется статистике Бозе Эйнштейна.
2) Единицы массы обсуждаются в гл. 6; 1 а. е. м. равняется одной двенадцатой массы атома Cls.
16	Г лава 1
тон испустить электрон и высвободить в виде кинетической энергии 1,53 тс1 или 0,782 Мэв. Это обстоятельство делает осуществимым предложенный выше механизм р-распада.
Нейтрон и протон относятся к фермионам, т. е. имеют полуцелый внутренний момент количества движения (равный 1 /2)<) и подчиняются статистике Ферми —Дирака и принципу Паули. Однако нуклоны кардинально отличаются от электронов: если для электронов единственными силами, которые оказывают на них заметное воздействие, являются электромагнитные силы, то нуклоны подвержены действию значительно более мощных сил совершенно иной природы. Эти принципиально ядерные силы связаны с полем частиц, называемых л-мезонамшТ} настоящее время теория взаимодействия мезонов с нуклонами еще очень далека от завершения. Поэтому мы редко будем обращаться к ней, кроме как в самых общих чертах. Такое упрощение возможно благодаря тому, что очень многие свойства ядра можно понять, исходя из нескольких твердо обоснованных представлений, совершенно не зависящих от детален мезонной теории. Часто, однако, полезно принимать во внимание, что нуклоны постоянно взаимодействуют с мезонным полем подобно тому, как электроны взаимодействуют с электромагнитными полями. Например, мезонное поле изменяет электромагнитные свойства нуклонов. Так как существуют положительные и отрицательные л-мезоны, то нс удивительно, что нейтрон, не обладающий зарядом, имеет магнитный момент, а величина магнитного момента протона сильно отличается от того значения, которое получается, если в дираковскую формулу для магнитного момента электрона подставить заряд и массу протона. Обычно ядерньГй магнитный момент выражается «в ядерных магнетонах». Последний имеет величину he/2mpc\ такая величина магнитного момента следует из упомянутой выше дираковской теории; численно he/2mpc= = (0,505038±0,000036) • 10 23 эрг /гаусс. Мы будем обозначать ядерный магнетон через Цо- Магнитные моменты нуклонов равняются [10, 121:
= (2,79274 ± 0,00020)ро, р.п=—(1,91314± 0,00040)цо.
Для математического отражения идеи о том, что протон и нейтрон представляют собой два различных состояния одной и той же частицы — нуклона, к пространственным и спиновым координатам нуклона можно добавить новую координату, определяющую его заряд. Эта переменная может, конечно, принимать только два значения и в этом отношении очень близка к внутреннему моменту количества движения (спину) электрона. Обычно ее (довольно неудачно) называют «изотопическим спином»1) или сокращенно —«изоспином». Аналогия между изотопическим спином и обычным спином (особенно тот факт, что и тот и другой принимают только два значения) позволяет использовать для их описания одинаковый математический аппарат. В частности, мы говорим, что изотопический спин нуклона равен Yz. Точно так же, как значения зг, равные 14 и —14, указывают направление действительного спина нуклона, значения 14 и —Уг переменной /3 определяют зарядовое состояние нуклона. Когда /3=14, нуклон находится в протонном состоянии; при /3=—14— в нейтронном2). Суще
1) Может быть, более удачным было бы название «изобарический спин», применявшееся в ряде работ. Однако оно не получило широкого распространения. Прим. ред.
2) В первых работах по ядерной физике знак /3 для протона и нейтрона выбирался противоположным. Принятые в этой книге знаки более удобны в мезонной физике.
Основные свойства ядер
I’
ствуют волновые функции у и б, аналогичные спиновым функциям аир (используются обозначения приложения А). Волновая функция у описывает протонное состояние; аналогично б описывает нейтронное состояние. Вводя оператор изотопического спина т3=2/3 (соответствующий ol=2sJ), получаем следующие соотношения для функций у и б:
T,Y=Y.	V=—fl-
Так же как и ставление:
в случае спиновых функций,
возможно матричное пред-
б=
0\
1/
(1.2)
Заманчиво
логичными ot и а2. Это выглядело бы бесцельным, пока этим операторам нс приписан определенный физический смысл. Но их можно связать с операторами, которые преобразуют нейтронное состояние в протонное и наоборот. Такне преобразования имеют место при p-распаде. Чтобы убедиться в этом, вспомним (см. приложение А), что o1±io2 представляет собой оператор, увеличивающий (уменьшающий) z-компоненту спина на единицу. Аналогично этому, определив операторы
ввестн две другие компоненты
т, и т2 со свойствами, ана-
0 И о or
(1.3)
т_=Т|—1Тг=2
о 0\
1 ОГ
1
О — 1 ’
Y= 0 ’
р f ('> о
* (
будем иметь
т+у=0, т_у=2б,
т_д=о.
ОС
(1.4)
Таким образом, оператор т+ уничтожает протонные состояния и превращает нейтрон в протон; оператор т_ действует противоположным образом.
Идея о том, что такую частицу, как нуклон, имеющую два зарядовых состояния, можно в полной аналогии со спиновыми дублетами рассматривать как зарядовый дублет с тремя «векторными» компонентами, получает дальнейшую поддержку при анализе свойств других элементарных частиц. Например, л-мезон характеризуется тремя зарядовыми состояниями (+е, — е и 0). Ему приписывается изотопический спин, равный единице, т. е. /=1, и трем зарядовым состояниям соответствует /3=+1. —1. 0. Серьезные доказательства того, что изоспины складываются по тем же законам, что и обычные спины, и что концепция изоспнна приводит к реальным физическим следствиям, вытекают из свойств сечений взаимодействия л-мезо-нов с нуклонами. Исходя из того, что протон и нейтрон оба являются фермионами и что посредством 0-распада они могут превращаться друг в друга, можно показать [13J, что нуклон должен подчиняться статистике Ферми — Дирака. Это означает, что полная волновая функция системы двух нуклонов должна быть антисимметрична относительно перестановки всех координат частиц. Поэтому, если пространственная и спиновая части волновой функции симметричны, то изоспиновая часть должна быть антисимметрич-
2 з*км Kt 37
18
Глава 1
ной н наоборот. Таким образом, для системы двух нуклонов возможны следующие изоспиновыс волновые функции:
Симметричные, триплетные по изотопическому спину функции:
,(т)1=у(1)у(2)—протои-протонное состояние,
3(T)_t = fi(l)d(2)— нейтрон-нейтронное состояние,
*(т)о=^-Т[У(1)4(2)4-у(2)б(1)1 — иейтрон-протон|1ое состояние.
Антисимметричная, синглетная по изоспину функция:
'(т)о= — [у(1)б(2)—у(2)6(1)1—нейтрон-протонное состояние.
12
Следует подчеркнуть, что применение этого формализма не приводит к каким-либо физическим результатам, отличным от получаемых при рассмотрении протона и нейтрона как различных частиц. Иногда более удобен один подход, иногда другой.
ЛИТЕРАТУРА
I.	Rutherford Е., Phil. Mag., 21, 669 (1911).
2.	Thomson J. J., Rays of Positive Electricity, London, 1913.
3.	Rutherford E, Phil. Mag., 37, 537 (1919).
4.	Ehrenfest P., О p pc n h e i me r J. R., Phys. Rev., 37, 333 (1931).
5.	H e i t I e r H., Herzberg G., Naturwiss., 17, 673 (1929).
6.	R a s e t t i F., Zs. fur Phys., 61, 598 (1930).
7.	Chadwick J.. Nature, 129, 312 (1932); Proc. Roy. Soc., A136, 692 (1932).
8.	C u r i e M , J о I 1 о t F„ Coinpt. Rend., 194, 273, 708, 876, 2208 (1932).
9.	L 1 C. W., W h a I i n g W„Fo w I er W. A., L a u r i t s e п С. C., Phys. Rev.,
83, 512 (1951).
10.	D u M о n d J. W. M., Cohen C. R., Rev. Mod. Phys., 25, 691 (1953).
11.	W a p s t r a A. H., Physica, 21, 367 (1955).
12.	Cohen V. W.,Cor ngo I d N.R.,Ramsey N. F., Phys. Rev., 104, 283 (1956).
13.	Sachs R., Nuclear Theory, Reading, Mass., 1953, p. 159.
ГЛАВА 2
СИЛЫ МЕЖДУ НУКЛОНАМИ. I
*
§ 1. Введение
При изучении сил, действующих между нуклонами, целесообразно рассмотреть сначала простейшие системы, а именно систему, состоящие только из двух взаимодействующих нуклонов. На самом деле лишь основные особенности этой системы составляют необходимую основу для рассмотрения более тяжелых ядер. Действительно, в случае системы многих нуклонов тонкие особенности двухнуклонных сил в известной мере несущественны, так как нет никаких оснований предполагать, что эти силы не изменяются в присутствии других нуклонов. Иными словами, сила, действующая на нуклон, не обязательно совпадает с векторной суммой элементарных двухнуклонных сил, обусловленных соседними нуклонами, но может содержать члены, возникающие только в присутствии третьей или четвертой и т. д. частиц и характерные для систем из трех, четырех и более нуклонов. Такие силы называются «многочастичными». Большинство мезонных теории предсказывает такие силы. Однако вследствие математических трудностей многочастичныс силы детально еще нс изучены, и основной прогресс в понимании ядерных свойств достигнут при учете только двухчастичных сил. Эти силы дают очень хорошее приближение, потому что, как мы увидим позднее, нуклоны редко сближаются на такие малые расстояния, что группы из трех частиц начинают играть существенную роль. Тем не менее нельзя, конечно, ожидать, что силы между двумя изолированными протонами будут точно такими же, как между двумя протонами, разделенными тем же пространственным интервалом, но находящимися во внутренней области ядра (см. гл. 9).
Двухнуклонные системы могут, конечно, состоять из двух протонов, двух нёйтронов и из нейтрона и протона. Последний вариант, система нейтрон — протон, может находиться в связанном состоянии (дейтрон). Дейтрон представляет собой очень простое ядро, у которого нет возбужден-ньоГсвязанных состояний, т. е. оно существует только в основном состоянии. Кроме дейтрона, мы можем изучать нейтрон-протонную систему также в состояниях с положительной энергией^ в которых частицы остаются свободными. Эксперименты со свободными частицами осуществляют обычно, направляя пучок нейтронов из реактора или ускорителя на вещество, содержащее большое число по существу свободных протонов. Простейшим веществом такого типа является газ — водород. Однако во многих экспериментах удобнее использовать другие вещества, содержащие большое число ядер водорода, такие, как нейлон и парафин. При этом следует вно
2*
20
Г л а в а 2
сить поправки на рассеяние нейтронов другими ядрами вещества; поэтому необходимо знать сечения рассеяния нейтронов этими ядрами. При столкновении с протонами небольшая часть нейтронов поглощается. При этом образуется дейтрон, а избыток энергии испускается в виде у-квантов. Однако подавляющее большинство нейтронов будет испытывать упругое рассеяние, т. е. рассеяние без изменения суммарной кинетической энергии протона и нейтрона. Конечно, нейтрон и протон «чувствуют» присутствие друг друга посредством ядерных сил, которые изменяют величины и направления скоростей их движения. Поэтому угол, на который рассеивается нейтрон, определяется ядернымн силами; наоборот, экспериментальное изучение углового распределения рассеянных нейтронов и протонов позволяет получить сведения о ядерных силах. Наряду с изучением различных свойств связанного состояния дейтрона и особенностей рассеяния нуклонов имеется еще один источник информации о нейтрон-протонной системе. Речь идет о фоторасщеплении дейтрона. Так как свойства электромагнитного поля хорошо изучены, то экспериментальные данные по фоторасщеплению позволяют делать определенные заключения о ядерных силах.
Обращаясь к системе двух протонов, мы сразу замечаем ее отличие от системы нейтрон — протон: у этой системы нет связанного состояния — Не2 не существует. Эго означает, что ядерные силы, действующие между протонами, недостаточно велики для того, чтобы в присутствии кулоновского отталкивания е2/г2 связать протоны. Как мы увидим ниже, анализ про-тон-протонного рассеяния показывает, что система двух протонов не имела бы связанного состояния даже в том случае, когда отсутствовали бы электростатические силы отталкивания. Так или иначе, экспериментальные данные о двухпротонной системе получены целиком из опытов по рассеянию.
Прямых экспериментальных данных о нейтрон-нейтронной системе не существует. Поскольку нейтрон за несколько минут превращается в протон, а сделать удобный «ящик» для нейтронов было бы во всяком случае весьма трудно, непосредственно нейтрон-нейтронное рассеяние можно, по-видимому, наблюдать только в опытах со встречными пучками. Интенсивность рассеянных частиц будет при этом невелика. До настоящего времени такого типа эксперименты не проводились. В последующих главах мы опишем косвенные данные о нейтрон-нейтронном взаимодействии. Общий вывод, вытекающий из этих данных, сводится к тому, что во всех отношениях, кроме электростатического отталкивания, силы между двумя нейтронами очень сходны с силами, действующими между двумя протонами. Время от времени поднимается вопрос о возможном связанном состоянии системы двух нейтронов —«бннейтроне». Были поставлены опыты, в которых мог проявиться бинейтрон. Однако эти эксперименты дали отрицательный результат. Если бы /ш-силы в точности совпадали с ядерными рр-силами, то бинейтрона не существовало бы. Экспериментальные данные не противоречат тому, что бинейтрон не существует, но, как и во всех случаях, когда мы исходим из отрицательных результатов, трудно быть совершенно уверенным 111.
§ 2. Возможные типы сил между нуклонами
Прежде чем перейти к подробному анализу возможных форм ядерных взаимодействий, по-видимому, целесообразно напомнить свойства инвариантности и законы сохранения. Физические свойства системы нс должны зависеть от произвольного выбора координатной системы. Если энергия
Силы между нуклонами. 1
21
не зависит от выбора начала отсчета или, иными словами, если поведение системы не зависит от ее локализации в пространстве, то полный импульс системы является интегралом движения. Аналогично, если в пространстве нет физически выделенных направлений, т. е. если энергия не зависит от ориентации координатных осей, то полный момент количества движения сохраняется. Очевидно, что «центра Вселенной» или выделенного направления не существует: как иногда говорят, пространство однородно и изотропно. Можно, следовательно, ожидать, что полный импульс и полный момент количества движения любой изолированной системы сохра няются.
Третий закон сохранения — закон сохранения четности — связан с физической инвариантностью при переходе от «правой» к «левой» системе координат, или, что то же, с физической инвариантностью относительно отражения осей. В этом случае волновая функция четна или нечетна по отношению к замене координат х, уи z на -х, -у, -z. Однако если бы в природе существовал фундаментальный процесс не инвариантный относительно отражения, то для систем, в которых возможны такие процессы, закон сохранения четности не обязательно выполнялся бы.
Мы будем предполагать, что все ядра находятся в состояниях с определенной четностью и что во всех реакциях, обусловленных ядернымн или электромагнитными взаимодействиями, полная четность системы сохраняется. Это предположение базируется на том экспериментальном факте, что во всех подобных реакциях, включая угловые корреляции каскадных у-квантов и процессы с поляризованными нуклонами, не было обнаружено заметной лево-правой асимметрии. Хотя точность соответствующих результатов не так уж велика (из-за ошибок эксперимента), однако относительная амплитуда компоненты с противоположной четностью в волновой функции ядерного состояния определенно меньше 10'® [2—5]. Строго говоря, ядерные состояния не имеют определенной четности, так как между нуклонами действуют силы, обусловленные ^-распадными взаимодействиями, которым свойственна лево-правая асимметрия. Однако эти силы составляют по интенсивности примерно 10*20 часть ядерных сил, относительная амплитуда компоненты противоположной четности в волновой функции, обусловленная этими силами, как показывают оценки, имеет порядок 10"’. Поэтому во всех ядерных процессах (исключая сам 0-распад 16]) этим обстоятельством можно пренебречь.
Мы начнем с системы нейтрон — протон, в которой нет электростатических сил. Правда, в ней действует сила, обусловленная взаимодействием магнитных моментов нуклонов, однако эта сила достаточно мала и ее мож-, но рассматривать как малую поправку к ядерному взаимодействию. Как показали опыты Резерфорда по рассеянию а-частиц (1911 г.), радиус действия ядерных сил должен быть очень малым — во всяком случае меньше 10'12 см. Соответственно этому мы рассмотрим задачу со следующим взаимодействием: силы практически отсутствуют, пока нуклоны достаточно далеки друг от друга, но когда расстояние между ними становится меньше некоторого граничного значения, между нуклонами начинают действовать большие силы. Ситуацию такого рода можно представить, например, взяв потенциальную энергию взаимодействия протона с нейтроном в виде
V=—Voe Г/Гп,	(2.1)
где г — расстояние между нуклонами, гп— некоторая фиксированная (малая) длина и Уо— фиксированная положительная энергия. Такой потен
22
Глава 2
циал создает, конечно, силу
/ _	Уо-Г/Г
--------------В п. дг гп
Знак «минус» указывает, что сила соответствует притяжению; это связано с тем обстоятельством, что потенциал отрицателен. Этот потенциал удовлетворяет нашему требованию, чтобы сила практически обращалась в нуль при достаточно больших г (в данном случае при значениях г, в несколько раз превышающих гп). Разумеется, априорно допустимы многие другие потенциалы. Обычно используются следующие:
у=_уое-^?.
-г/гп
V=-V0-----
г/гп
V=-Vo, rcrn
= 0,	г>гл
(потенциал Гаусса),	(2.2)
(потенциал Юкавы).	(2.3)
(прямоугольная яма).	(2.4)
Применение этих потенциалов объясняется их математической простотой, а также тем обстоятельством, что области действия сил, обусловленных этими потенциалами, различны. В частности, соответствующие силы по-разному ведут себя на больших расстояниях. В случае потенциала в виде прямоугольной ямы мы имеем очень большие силы в точке г=г„ и нуль в любой другой точке. Гауссовы силы довольно быстро спадают на малых расстояниях; однако и на больших расстояниях они не обращаются в нуль (говорят, что такие силы имеют «хвост»). Экспоненциальный потенциал характеризуется еще большим хвостом (фиг. 2.1). Потенциал Юкавы имеет некоторое теоретическое обоснование: он был предсказан еще одной из самых ранних мезонных теорий. Он может служить примером потенциала, дающего сильное притяжение на самых малых расстояниях.
В дальнейшем мы будем использовать выражение «форма» потенциала в следующем смысле. Если при изменении постоянных, характеризующих потенциал, например Го и гп, функциональная форма потенциала не меняется, то мы будем говорить, что форма потенциала остается неизменной. В дальнейшем будет показано, что потенциал должен характеризоваться по крайней мере двумя постоянными, одна из которых определяет величину потенциала, другая гп—радиус его действия. Однако потенциал может характеризоваться и большим числом параметров. Примером может служить так называемый «потенциал с отталкивающим керном», который нам предстоит рассмотреть несколько ниже. Он изображен на фиг. 2.1, е и определяется следующим образом:
где f(r/rn) — любая функция, отличная от нуля в области небольших г; ее роль может играть, например, каждая из рассмотренных выше форм потенциала. Потенциалу с отталкивающим керном соответствует очень сильное (точнее говоря, бесконечное) отталкивание в точке г = гс и притяжение на больших расстояниях. Так как в этом случае два нуклона нс могут
Силы между нуклонами. 1
23
сблизиться на расстояние, меньшее ге, то такой потенциал эффективно эквивалентен представлению нуклона в виде непроницаемого шара диаметром гс. Отталкивающий керн можно рассматривать как упрощенное представление области сильного отталкивания между нуклонами.
Привлекая для описания ядерных сил такие простые потенциалы, мы вносим серьезные допущения. Во-первых, концепция потенциала, вообще говоря, представляет собой приближение, справедливое только для нерелятивистских частиц. Поэтому можно ожидать, что она будет справедливой только для связанных в ядре нуклонов или для нуклонов с относительно
Фиг. 2.1. Различные типы потенциалов.
а — экспоненциальный потенциал. 6 — потенциал типа Юкавы, с — потенциал типа Гаусса, d — потенциал и виде прямоугольной ямы, » — потенциал с отталкивающим керном.
небольшой кинетической энергией, но уже при энергии нуклонов 300 Мэв вполне можно было бы усомниться в применимости этого понятия. При таких энергиях бесспорно необходимы какие-то релятивистские поправки. Во-вторых, рассмотренные нами потенциалы являются центральными, т. е. зависят только от г и, следовательно, сила взаимодействия направлена по линии, соединяющей две частицы. Правда, в случае точечных частиц трудно представить себе, как может возникнуть зависимость потенциала от угловых переменных, коль скоро в пространстве нет иного физически выделенного направления, кроме линии, соединяющей частицы. (Это утверждение неверно, если допустить зависимость сил от скорости, так как вектор относительной скорости определяет еще одно выделенное направление.) Однако нуклоны имеют собственный момент количества движения (спин), и поэтому, видимо, нет оснований отрицать зависимость сил от угла между направлениями спинов, а также от углов между направлениями спинов и линией, соединяющей нуклоны. Действительно, как мы увидим позднее, такая зависимость имеет место.
Рассмотрим зависимость от угла между направлениями спинов. Поскольку предполагается, что энергия инвариантна относительно трансляций, вращений и отражений, то все члены, входящие в энергию, должны
24
Глава 2
быть скалярами. Следовательно, векторы о, и <т2 могут входить в потенциал только в виде скалярного произведения fffffj. Оно очевидно и характеризует природу спин-спинового взаимодействия. Итак, Oi-a2 представляет собой оператор и имеет определенные собственные значения для синглетных 1(о)о и триплетных 3(о)„, состояний двух нуклонов. Действительно, ai-a2,(o)o=— З'(о)о, ога23(р)т = 3(а)т-
Отсюда следует, что когда мы пишем
У= —Уо/(—, в,.а2),	(2.6)
\гп	/
мы определяем два потенциала, одни для синглетного, другой для триплетного состояний:
-з) ,	(2.7а)
Vп /
V,	= — vof[ —, 1).	(2.76)
В качестве примера рассмотрим потенциал
у=_ у0(Д + ба1.О2)/|'±У	(2.8>
\' п/
В этом случае синглетный и триплетный потенциалы имеют одну и ту же форму, но различную величину:
V,	= —VA —ЗВ)	,	(2.9а >
V п/
V,	= — (А + В) Vof I—У	(2.96)
V л/
В более общем случае А и В являются функциями от г. Поэтому в синглетных и триплетных состояниях могут действовать совершенно различные силы. Однако в любом состоянии силы являются центральными, поэтому о потенциале типа (2.6) говорят как о центральном потенциале. Особый интерес представляет потенциал (2.8) при А=В=1/1:
у=-у°(т+4<гг<Г2)^) •	(2Ю>
V»=Voflp\,	(2П1а>
\' п /
(2.11б)
В этом случае синглетный и триплетный потенциалы равны по величине и противоположны по знаку, причем синглетным состояниям соответствуют отталкивающие силы. Оператор Рв=1/г(1 +<^1-^2) переставляет в волновой функции спиновые переменные двух частиц (см. приложение А). Поэтому его называют оператором обмена спиновых координат. Соответственно
Силы между нуклонами.^
25
потенциал (2.10) описывает «спиново-обменные» силы. По историческим причинам такие силы часто называют силами Бартлета [71.
Мы рассмотрели зависимость потенциала от углов; однако имеется еще одна переменная, от которой может зависеть потенциал. Речь идет о четности состояния. Лучше всего мы поймем, как вводится эта зависимость, если рассмотрим другой обменный оператор Рх. Определим его как оператор обмена пространственных координат двух частиц:
Pxtfri. П)= tfr», г„.	(2.12)
Для системы двух частиц эта операция эквивалентна изменению знака относительных координат. Если состояние четно, то перестановка пространственных координат не меняет волновой функции; если состояние нечетно, то волновая функция меняет знак. Для системы двух частиц в состоянии с определенным орбитальным моментом количества движения четность будет положительной или отрицательной в зависимости от того, четным или нечетным является орбитальное квантовое число /, т. е.
Рх = 1, когда I четное,	(2.13а)
Рх= — 1, когда / нечетное.	(2.136)
Потенциал
называется «пространственно-обменным» потенциалом или потенциалом Майораны [8]. Мы можем ввести также обменные силы Гейзенберга 191, определяемые оператором
Р„ = РаР*,	(2-15)
и записать
V=-Vof(-]pH.	(2.16)
\Gi /
Как нетрудно видеть, оператор Гейзенберга, переставляющий спиновые и пространственные координаты частиц, эквивалентен перестановке их зарядов. Действительно, Рц = —Рх, где Рх — оператор обмена заряда; он аналогичен оператору Ра, но действует в. изотопическом пространстве.
Завершая список различных сил, которые носят имена физиков, и воздавая честь одному из первых исследователей в области ядерной физики, назовем обычные иеобменные силы вида V——Vof(r/rn) —силами Вигнера [10]. Раньше так называли все короткодействующие силы, но теперь это название применяют исключительно к не зависящим от обмена силам.
Подводя итоги, мы видим, что центральные потенциалы, зависящие в то же время от спина и четности, можно представить в следующем виде:
,	V=-V0lW(r) + B(r)Pa+M(r)Px+H(r)P„], (2.17)
где функции от г произвольны. Так как выражение (2.17) дает различные потенциалы для: а) триплетных и синглетных состояний и б) состояний с положительной и отрицательной четностью, то мы можем эквивалентным образом говорить о четырех различных потенциалах: потенциале для триплетных четных состояний (состояний типа 3S,, 3Di и т. д.); для триплетных нечетных состоянии (3Р0, 3Р(, 3Р2, ...); для синглетных четных (*50. ’О2, ...) и для синглетных нечетных состояний pPt', 1F3, ...). Этот метод
26
Глава 2
описания более близок к такой постановке эксперимента (во всяком случае при малых энергиях), когда можно надеяться, исследуя отдельные состояния, определить силы, действующие в'этих состояниях. Конечно, если бы мы знали потенциалы в четырех типах состояний, то легко могли бы найти функции в выражении (2.17) (см. задачу 2.5).
§ 3. Эксперименты по рассеянию
Рассмотрим пучок нейтронов, падающий на мишень (фиг. 2.2). Многие нейтроны не подойдут к какому-либо ядру достаточно близко, чтобы взаимодействовать с ним, и, следовательно, проникнут сквозь мишень, не отклонившись. Однако некоторые нейтроны сблизятся с ядрами на расстояния, на которых уже действуют ядерные силы, и рассеются. Скажем это точнее. Дсбройлевская длина волны нейтрона определяется через его импульс
Фиг. 2.2. Рассеяние . пучка нейтронов (нейтроны падают слева).
Фиг. 2.3. Параметры, играющие роль в опыте по рассеянию.
как k = h /р. Положение нейтрона нельзя фиксировать с точностью, большей чем к. Следовательно, если расстояние между ядрами мишени порядка величины к, то нейтрон не может избежать «столкновения». Хотя у нейтрона и в этом случае остается некоторая вероятность пройти мишень без отклонения, но если число нейтронов, не испытавших рассеяния, велико (как на фиг. 2.2), то мы приходим к выводу, что X мало по сравнению с расстояниями между ядрами. Поэтому можно считать, что в подобном случае нейтрон взаимодействовал не более чем с одним ядром, именно с тем, к которому он подходит ближе, чем ко всем другим. Тогда нейтроны хорошо локализованы (постольку, поскольку речь идет о ядрах мишени). С другой стороны, так как расстояния между ядрами даже в молекулах никогда не бывают значительно меньше 1 А, то X может быть значительно меньше междуядерных расстояний, оставаясь в то же время много большим размеров области действия ядерных сил. Такая ситуация характерна для нейтронов с энергией до 10 Мэв.
Пусть такой нейтрон с энергией Е—1/гтпуг приближается к протону. Поскольку нейтрон хорошо локализован, то можно использовать и квантовую и классическую механику. Обозначим параметр соударения через b (фиг. 2.3). Тогда момент количества движения нейтрона относительно протона равен L — rnvb = h | (&/Х). Из квантовой механики известно, что £’=/ (1+1 )ЛЯ, где I — целое число. Отсюда следует, что для нейтрона с квантовым числом / параметр соударения имеет величину
1)1*4.	(2.18)
Силы между нуклонами. I
27
Нейтрон не будет рассеиваться, если на него не действует ядерное поле протона, т. е. если не выполняется неравенство Ь^гп, где гп— радиус действия ядерных сил. Поэтому при данной энергии нейтрона (и, следовательно, к) только те нейтроны будут рассеиваться, для которых выполняется неравенство
(2.19)
Таким образом, пока к/г,, больше 1/^2, ны с нулевым орбитальным моментом. (<10 /Изе) необходимо, следовательно, учитывать только S-состояния; с увеличением энергии роль состояний Р, D и т. д. быстро возрастает. (Приведенные соображения носят, разумеется, полу-классический характер и результат не является точным.)
Рассмотрим нашу задачу в системе координат, в которой центр масс покоится. Нафиг. 2.3 изображено рассеяние в лабораторной системе координат, в которой в начальный момент покоится частица 2 (протон). Центр масс G движется; 0лаб — лабораторный угол рассеяния. Частица 1 в лабораторной системе имеет вначале скорость V. На фиг. 2.4 изобра-
рассенваться будут только нейтро-При достаточно малых энергиях
жен тот же процесс рассеяния в системе,
в которой покоится G. Частицы 1 и 2 имеют начальные (и конечные) скорости и и2; 9 — угол рассеяния. Имеют место следующие соотношения1):
♦«я	sin0
Ш“лаб=-----т—-------
cost) + (mt/m2)
(2.20а)
, - — V,	(2.206)
ffli 4“ Шг
= ——— v,	(2.20в
тг\-п11
С =	+ ^-^2^2----у-------v — ------£ла6>	(2.20г)
z z	т^ тг £ nii
где )
М= 2т'ГПг .	(2-20д)
mi+mg
Величина Е представляет собой энергию в системе центра масс, или кинетическую энергию относительного движения; ЕЛаб — энергия в лабораторной системе и М — удвоенная приведенная масса. Если мы пренебрежем раз-
*) См., например, у Голдстейна [11).
Глава 2
ностыо масс нейтрона и протона, то Л4 будет «массой нуклона» и
0лаб = 4е’	(2.21а>
О1=»2=-^а.	(2.216}
£=уЯла0.	(2.21в).
Импульс относительного движения равен	и для волнового числа
можно записать
л= 1 Л^=/А^у/г	(2.22>
Ясно, конечно, что однородный пучок нейтронов, падающий на систему протонов, содержит большой набор моментов количества движения. Если бы поперечное сечение пучка было бесконечно большим, то в нем содержались бы все моменты. Это означало бы, что волновую функцию, описывающую пучок частиц с импульсом ftk, летящих в направлении осн г, т. е. плоскую волну е'кг, можно разложить в ряд по собственным функциям всех моментов. Математически это можно отразить следующим образом:
е’*г= S(2/+l)i'//(jfer)Pl(cos0).	(2.23).
/=0
где Pi — папином Лежандра (волновая функция момента количества движения) и it (kr) —сферическая функция Бесселя (ее свойства описаны в приложении Б). Геометрическая диаграмма рассеяния показана на фиг. 2.4. Грубо говоря, мы можем интерпретировать член | (2/+ 1)/7«(М I ’ как вероятность нахождения нейтрона с орбитальным моментом / на расстоянии г от протона. При k>rn движение частиц с />0 остается нсвозмущенным, т. е. такие частицы не рассеиваются. Поэтому в разложении (2.23) функции е1кг, описывающей свободное движение, члены с />0 по-прежнему будут собственными функциями полного гамильтониана, включающего потенциал нейтрон-протонного взаимодействия. Для того чтобы изучить рассеяние, мы должны исследовать уравнение при 1 = 0.
Поскольку волновая функция S-состояния не зависит от углов, мы будем искать ее в виде и(г)!г. В системе центра масс уравнение Шредингера имеет вид
-^ + (*2-V(r)lu = 0,	(2.24).
dr
где У(г) — нейтрон-нейтроннын потенциал в S-состоянии, который может быть как триплетным, так и синглетным в зависимости от взаимной ориентации спинов падающего нуклона и нуклона мишени. На больших расстояниях, ядерный потенциал обращается в нуль и уравнение (2.24) принимает вид
^- + *г« = 0, r»rn.
(2.25)
Силы между нуклонами. 1
29
Независимыми решениями этого уравнения являются eihr и e'ikr. Следовательно, на больших расстояниях волновая функция имеет вид1)
л ~16
и-A sin	е"'*г).	(2.26)
Первый член в скобках соответствует частицам, движущимся от рассеивающего центра, второй — движущимся к нему. Однако в экспериментах по рассеянию в качестве частиц, движущихся к центру, можно рассматривать только частицы в падающем пучке. Поэтому величину А следует подобрать таким образом, чтобы частицы, движущиеся к рассеивающему центру, описывались в точности S-волновой частью плоской волны (2.23), т. е. величиной jo(kr):
/0(*г) = !^=А(еМг_е-,Л’).	(2.27)
kr 2ikr
Следовательно, если выбрать Л в виде А = е*й//г, то и(г)/г будет содержать только те частицы, которые имеются в падающем пучке. Записав
,, _	1 /.216 -ihr ।	1 /Лиг
u~Kk(e “1)c + 2^<e -e >•
мы видим, что рассеянные частицы описываются функцией
1	р>ь
u^_L(/'6 — l)^ = Lsin6e'Ar.	(2.28)
Рассмотрим сферу S большого радиуса R. Рассеянные частицы, бывшие в некоторый момент времени на поверхности S, через 1 сек окажутся на сфере радиуса R-\-v. Следовательно, в течение этой секунды все частицы, находящиеся между сферами R и R-i-v, прошли через поверхность S. Из выражения (2.28) мы видим, что в единице объема число рассеянных частиц составляет sin®6/A®r2. Поэтому число рассеянных частиц, прошедших за 1 сек через поверхность S, равно
^4лЛ= —sin’S. № е
Это и есть число частиц, рассеиваемых в 1 сек. Аналогичным образом можно показать, что волновая функция eihz описывает пучок, в котором число частиц, проходящих через единицу поверхности в 1 сек, равно v. Эффективное сечение любого процесса определяется как отношение числа интересующих нас событий в I сек к числу частиц, падающих в 1 сек на единицу поверхности. Поэтому сечение рассеяния в S-состояннн имеет вид
as(£) = ^sin26=4nX2sin2fl.	(2.29)
•k
*) Символ — означает «равенство при больших г». Постоянная 6 действительна. Если бы это было не так, то амплитуды сходящихся и расходящихся волн были бы различными. Это, в свою очередь, означало бы, что имеет место неупругое р.ассеяине, эффективно уменьшающее число частиц с волновым числом k. Единственным неупругим процессом в лр-системе является радиационный захват, сечение которого очень мало.
30
Глава
2
Отметим, что поскольку и не зависит от углов, S-рассеяние изотропно. В состояниях с большим орбитальным моментом рассеяние уже не будет изотропным. В результате, наблюдая экспериментально угловые распределения, мы можем определить, при какой энергии становится существенным влияние больших моментов.
Рассмотрим случай очень малых скоростей, точнее, предельный случай малых энергий. Так как
sin (Агг-Ь6) и~е-------------
k
должна оставаться ограниченной при больших, но конечных г, то при £->0 величина 6 должна стремиться к нулю, по крайней 1йере так же, как и k. Следовательно, отношение sin б/Л должно оставаться конечным. Это можно видеть и из формулы (2.28) для амплитуды рассеяния. Определим длину рассеяния соотношением
lim(-^) = a.	(2.30)
л-о\ я /
Тогда
as(0) = 4na2	(2.31)
и
в'6
u~_2_(sin£rcos6-|-cosfersin б)->г—а.	(2.32)-
Из уравнений (2.29) и (2.31) видно, что фазовые сдвиги б (а при очень малых энергиях — длина рассеяния а) являются теми величинами, которые можно определить с помощью измерений эффективного сечения рассеяния. В свою очередь, величины б и а связаны с потенциалом, на котором происходит рассеяние. Эту связь можно установить следующим образом.
Нас интересуют решения уравнения Шредингера (2.24) и (г), удовлетворяющие граничному условию
и(0) = 0.	(2.33)
[В ином случае функция м(г)/гне была бы ограниченной.] Это условие определяет и(г) с точностью до произвольного постоянного множителя Л, величину которого можно установив, рассмотрев в решении и сходящиеся волны. Таким образом, если мы найдем решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее граничному условию и(0)=0, то мы сможем определить асимптотический вид и и, следовательно, фазу б. Далее, при Е—0 решение уравнения
d“Uo 1Г1 \ Л
— V(/)uo=0, dr
(2.34)
«в(0)=0	(2.35).
ведет себя асимптотически, как г—а. Следовательно, зная V, можно найти а.
Отсюда ясно, что если для описания ядерного потенциала выбрана некоторая определенная функция У(г), то согласие с экспериментом можно проверить (во всяком случае для рассеяния при малых энергиях), решив уравнение (2.24) с граничным условием (2.33) и тем самым определив б-для различных значений энергий. Обратная задача — определение У(г). по известным значениям б для различных энергий — не решается непосред-
Силы между нуклонами. I
ЗГ
ствснно. Действительно, можно показать, что значения 6 однозначно определяют потенциал только при определенных ограничивающих предположениях. В частности, как мы сейчас увидим, рассеяние при малых энергиях слабо зависит от формы потенциала. Обозначим через ф(г) асимптотический вид и. Функция ф определяется уравнением (2.24). Поэтому при фиксированном потенциале V ф зависит только от г и Л2 (мы отвлекаемся от нормирующего множителя). Следовательно, отношение (с/ф/</г)/ф зависит только от г и /г2. Поскольку ф~A sin (kr + 6), то, полагая г=0, находим
<2»
Так как нас интересует область малых энергий, то мы можем разложить функцию f(k*) по степеням k2. Отсюда следует в общем случае, что
Mgfi=a + ₽62+....	(2.37)
Величину а можно определить с помощью соотношения (2.30):
lim (Л-ctg 6) = —1 /а. к-0
Величина р должна иметь, очевидно, размерность длины. Положив Р=1/2Г0, получим
fcctg6 = —(2.38)
что справедливо при достаточно малых k, когда можно пренебречь более высокими степенями k2. Это соотношение дает хорошее приближение вплоть, до энергий 10 Мэв. В приложении Б показано, что длина г0 определяется формулой
где м0— волновая функция для нулевой энергии и ф0— ее асимптотический вид. С помощью (2.32) находим
Так как для значений г, значительно превышающих радиус действия ядер-ных сил, фо(г)=«о(''). то г0 представляет собой радиус, по порядку величины равный радиусу действия ядерных сил. Поэтому г0 называют эффективным радиусом. Опыты по рассеянию позволяют определить только фазы. Поэтому до тех пор, пока справедливо соотношение (2.38), рассеяние позволяет определить только две величины, а и г0. Таким образом, эти два параметра следует считать экспериментально определяемыми величинами.
Подытоживая наше обсуждение, мы можем сказать, что рассеяние при малых энергиях (С 10 /Мэе) в системе протон — нейтрон определяется двумя величинами: длиной рассеяния а и эффективным радиусом г0. Следовательно, с помощью экспериментов при таких энергиях нельзя различить потенциалы, которые приводят к одинаковым а и г0. Любой потенциал VV(r/rn) содержит по крайней мере две постоянные, которые независимо от вида f(r/rn) можно «подогнать» под экспериментальные величины а и г0. Поэтому
32
Глава 2
эксперименты по рассеянию при малых энергиях нс позволяют определить вида потенциала. Иными словами, свойства системы нейтрон — протон при малых энергиях не зависят от формы потенциала.
§ 4. Связанное состояние
Можно показать, что не только рассеяние, но и свойства связанного состояния можно охарактеризовать параметрами а и г0. Для связанного состояния энергия отрицательна. Обозначим ее, например, через —е. Тогда
k=iy=i
h2
(2.41)
Уравнения (2.24) и’(2.25) справедливы и в этом случае. Поэтому асимптотически и имеет вид (см. (2.26)1
—(eiee-’r—e“MeVr).
21
(2.42)
Для связанного состояния вероятность больших расстояний между частицами должна быть мала, т. е. и должно вести себя, как е~Уг. Счедовательно, e~fi=0, т. е. /б представляет собой большую положительную величину. Нормировочная постоянная Л должна быть выбрана таким образом, чтобы произведение Ле16 оставалось конечным. Эти условия заменяют ограничения на расходящиеся волны, с помощью которых в задаче о рассеянии определяется величина А. Далее, остаются в силе соображения, которые привели нас к соотношению fecig б——(1/а)4- %rok*. Теперь, однако,etg б заменяется на i cigib, причем fctgfd-*-/ при <б->со,т. е. ketg б ~ik=—у. В результате имеем
Y=4+4^-	(2.43)
U &
•
Отсюда следует, что, зная длину рассеяния и эффективный радиус сил, действующих между нуклонами, можно определить энергию связи дейтрона. Заметим, что соотношение (2.43) справедливо только при достаточно малых у. В противном случае в правой стороне равенства (2.43) появятся высшие степени у. К счастью, энергия связи дейтрона достаточно мала (2,226 Мэе), и приближение оказывается хорошим.
§ 5. Экспериментальные данные
Наше обсуждение рассеяния проведено без учета спиновой зависимости ядерных сил. Если считать, что падающий нейтрон взаимодействует только с одним протоном, то столкновение может произойти или в синглетном, или в триплетном состоянии. Если при этом поляризация отсутствует (т. е. нет выделенного направления спина), то полное поперечное сечение имеет вид о(Е) = 4лХ2 (-V sin2 б, + 4-sin26, .	(2.44)
Множители ’/4 и */4. отражают то обстоятельство, что имеются три триплетных состояния и одно синглетное, т. е. что вероятность столкновения нукло
Силы между нуклонами. 1
33
нов в триплетном состоянии в 3 раза больше вероятности столкновения в синглетном. При очень малых энергиях
а(0) = л(ав2+За?).	(2.45)
Индексы относятся к синглетным и триплетным состояниям. Однако достаточно медленный нейтрон будет эффективно взаимодействовать более чем с одним протоном. Поэтому возникает интерференция волн от двух рассеивателей и, как всегда при рассмотрении такого рода явлений, амплитуды волн необходимо суммировать. Этот эффект играет существенную роль в случае так называемых тепловых нейтронов, которые имеют энергию порядка нескольких сотых аз. Опыты с такими нейтронами дают сведения об амплитуде когерентного рассеяния, которая определяется формулой
f = l(a,+3a<).	(2.46)
Дальнейшее обсуждение таких экспериментов содержится в приложении Б. Из наиболее точных определений полного когерентного сечения для медленных нейтронов и амплитуды когерентного рассеяния получены следующие значения этих величин:
<т(0)=20,36±0,10 барн 112)*),
<т(0)= 20,41 ±0,14 барн 1131,
f----3,78±0,02 фм	П4]2),
f=— 3,80±0,05 фм	(131.
Подставляя среднее из этих значений в (2.45) и (2.46), получаем
аа = — 23,71 ±0,07 фм,
at = 5,38 ± 0,03 фм.
Знаки а, н at и сами по себе поучительны. Отрицательный знак длины рассеяния указывает на то, что рассматриваемый потенциал не имеет связанного состояния (во всяком случае с небольшой энергией связи). Это можно видеть непосредственно из равенства (2.43). Если предположить наличие связанного состояния и рассчитать его энергию связи по (2.43), то существенно положительная величина у окажется отрицательной. То же можно видеть и из графика волновой функции, соответствующей нулевой энергии. Записав
d2a ,/ г\ 2тЕ
= _у0/	---и,	(2.47)
аг \гп/ h
мы видим, что при нулевой энергии производная (Fuldr* отрицательна, когда потенциал отличен от нуля, и равна нулю, когда потенциал обращается в нуль. Если длина рассеяния отрицательна, то и будет иметь вид, показанный на фиг. 2.5, а. Рассматривая теперь влияние последнего члена в урав- * 3
*) Единица 1 барк (1 барн= 1О'М сд<г) оказывается очень удобной в ядерной физике.
а) Международный конгресс чистой и прикладной физики ввел символ ф для обозначения 10‘15 см. Длину 10~13 см записывают как 1 фм и называют ^фемто-метром».
3 Заказ № 37
34	Г лава 2
нении (2.47) при небольших отрицательных Е, мы видим, что dtuldr1 оказывается увеличенной, причем с ростом г она возрастает быстрее, чем и0, и продолжает возрастать даже в области, где потенциал обращается в нуль. Это значит, что волновая функция неограниченно растет с ростом г. Случаи а> 0 показан на фиг. 2.5, б. В этом случае изменение второй производной носит, вообще говоря, прежний характер, т. е. соответствует волновой функции несвязанного состояния. Однако при определенных энергиях волновая функция может экспоненциально падать (см. кривую ив), т. е. оказывается возможным связанное состояние.
Итак, мы приходим к выводу, что синглетное S-состояние является несвязанным. Большая величина а, свидетельствует, однако, о том, что это состояние находится на границе «связанности» [т. е. прямая 1—(г /а) растет не очень быстро]. Этот результат является серьезным указанием на то, что дейтрон представляет собой триплетное S-состояние — предположение,
Фиг. 2.5. Волновые функции и при £=0 (т. е. и0) и £, отличном от нуля (т. е. и).
В случае а — длина рассеяния отрицательна, в случае 6 — положительна. — волновая функция связанного состояния.
в пользу которого говорят также результаты измерения полного момента количества движения J (он оказался равным единице). Последнее обстоятельство не исключает возможности существования Р- и О-состояний. Однако, как мы увидим в гл. 5, электромагнитные свойства дейтрона приводят к выводу, что он более чем на 90% описывается S-функцней. Во многих случаях (включая рассматриваемые в настоящем параграфе) дейтрон можно считать с достаточной точностью чистым 3S|-состоянием.
Поскольку е и а известны достаточно точно, равенство (2.43) позволяет нам вычислить с хорошей точностью триплетный эффективный радиус rot:
Го1= 1,71 ±0,03 фм.
Чтобы определить rOs, используем формулу (2.44) для рассеяния при малых энергиях, записав ее в виде
a(E) = n((fc2cosec26s) *4-3(k1 cosec2fl,, *] =
(2.48)
Член с гОг составляет лишь небольшую часть сечения рассеяния. Поэтому, чтобы с хорошей точностью определить г0„ необходимо измерить
Силы между нуклонами. I
35
с очень большой точностью о(£) (см. задачу 2.6). Известные экспериментальные данные дают
го»=2,4±0,3 фм.
Как уже указывалось, длина рассеяния и эффективный радиус позволяют фиксировать постоянные любого потенциала с двумя параметрами. В табл. 2.1 приведены параметры прямоугольной ямы и экспоненциального
Таблица 2.1
ПАРАМЕТРЫ ПОТЕНЦИАЛОВ В ТРИПЛЕТНЫХ СОСТОЯНИЯХ
	Прямоугольная яма	Потенциал • Гаусса	Экспоненциал ьны Л	Потенциал Юканы
Vo (Мэе)	36,2	72,5	189,1	41,5
гл (фм)	2,02	1,47	0,67	1,58
потенциала, а также потенциалов типа Гаусса и Юкавы, соответствующие приведенным выше значениям at и rot для триплетного состояния. Эти потенциалы представлены на фиг. 2.6, а. Они полностью эквивалентны друг
Фиг. 2.6. Потенциалы, согласующиеся с данными по рассеянию при малых энергиях.
а — триплетные потенциалы по тайл, 2.1; б — синглетные потенциалы по табл.'2.2.
другу при описании свойств протон-нейтронной системы в области малых энергий. Синглетные силы характеризуются другими параметрами, в частности, они значительно слабее. Некоторые параметры синглетного потенциала, отвечающие а,=—23,7 фм и различным значениям' гог, приведены в табл. 2.2. Хотя в случае потенциала Юкавы значения Уо для синглетного и триплетного состояний приблизительно одинаковы, синглетный потенциал не дает связанного состояния (и, следовательно, значительно слабее триплетного) в силу того, что его радиус значительно меньше триплетного. В случае потенциала с отталкивающим керном [см. определения (2.5)]
3*
36
Глава 2
•	Та б л и ца 2.2
ПАРАМЕТРЫ ПОТЕНЦИАЛОВ В СИНГЛЕТНЫХ СОСТОЯНИЯХ
	г as = 2, » фм		/#« = 2,7 фм		<04=2,64 Фм
	Прямоугольная яма	Потенциал Юкавы	Прямоугольная яма	Потенциал Юханы	Потенциал Юканы с керном
Ио (/Ида) гв (фм) ге (фм)	17,8 2,51 0	59,7 1,05 0	14,0 2,59 0	47,6 1,17 0	2110 207 128 92,7 0,50 0,80 0,90 1,00 0,56 0,26 0,17 0,096
величин а и г0 уже недостаточно для определения трех параметров Vo гп, ге. Действительно, при каждом значении гп (взятом в разумных пределах) можно подобрать удовлетворительный потенциал для любой из четырех форм притягивающей части. Например, мы можем удовлетворить значениям а, и г0»—2,64 фм, взяв потенциал Юкавы с отталкивающим керном, имеющим параметры, приведенные в последних трех столбцах табл. 2.2. На фиг. 2.6, б показаны некоторые допустимые синглетные потенциалы.
Разумеется, выражения «радиус ядерных сил» и «амплитуда ядерного потенциала» не имеют точного смысла, пока не фиксирована форма потенциала. Тем не менее они часто используются. При этом обычно подразумевается радиус сил в интервале 1,5—2 фм и средняя глубина 20—35 Мда (в зависимости от спинового состояния).
§ 6.	Протон-протонные силы
До сих пор мы анализировали только систему нейтрон — протон. Система протон — протон отличается от нее двумя существенными особенностями. Во-первых, у нее нет ’^-состояния, так как, согласно принципу Паули, волновая функция двух тождественных частиц должна быть антисимметричной. Во-вторых, между протонами, кроме ядерных сил, действует электростатический кулоновский потенциал е2/г. Последнее обстоятельство весьма существенно меняет картину рассеяния, так как кулоновское поле приводит само по себе к весьма высокой анизотропии рассеяния. Сдвиги фаз, обусловленные ядерными силами, находят в этом случае не из измерений полного сечения рассеяния, а из углового распределения протонов. В самом деле, полное сечение кулоновского рассеяния бесконечно. Классическое выражение для дифференциального сечения1) кулоновского рассеяния двух различимых частиц с зарядом е имеет вид
Оно, очевидно, расходится при 6 = 0, хотя всякого рода конечность размеров частиц или любое уменьшение кулоновских сил на больших расстояниях приведут к конечному сечению. Имеются и другие факторы, вносящие изменение в приведенную выше формулу для сечения рассеяния протона на протоне. В силу тождественности частиц мы регистрируем как падающие прото-
*) Определение дифференциального сечения дано в начале гл. 3.
Силы между нуклонами. I
37
ны, так и протоны мишени; поскольку протоны подчиняются принципу Паули, волновая функция должна быть антнсимметризована; вследствие действия цр, рных сил появляется дополнительный вклад в сечение. Элсктро-статнческ? силы являются дальнодействующими, поэтому большие орбитальные моменты дают вклад в рассеяние даже при малых энергиях. Однако для учета ядерных сил при самых малых энергиях достаточно фазы S-волны б. В результате выражение для сечения рассеяния имеет вид
1	20	/*1 I 0
-+-sec ycos о+ч ‘n cosy
(2.49)
где i]=l/(2£/?) й R — характерная кулоновская длина для протона, равная
R =	= 2,88(15). 10-12 см.	(2.50)
МРе
В первых квадратных скобках выражения (2.49) первое и второе слагаемые представляют собой классические вклады в сечение от рассеянных протонов и протонов отдачи, а третье слагаемое носит квантовомеханический характер и обусловлено принципом Паули. Второй основной член в (2.49) описывает интерференцию ядерного и кулоновского рассеяний; третий, самый простой член, описывает чисто ядернос рассеяние. Если бы протоны были незаряженными, то сечение определялось бы только последним членом, и рассеяние оказалось бы изотропным. Так как интерференционный член кулоновского и ядерного рассеяний линеен по sinfi, то мы можем определить б, исследуя угловое распределение даже при очень малых энергиях. Типичные угловые распределения в области малых энергий показаны на фиг. 2.7. Существенной особенностью этих кривых является наличие минимума, обусловленного интерференционным членом. С увеличением энергии минимум сдвигается в сторону меньших углов. Кулоновское рассеяние становится очень малым при 0~9ОС. Поэтому плоский участок в а (0) в этой области почти полностью обусловлен ядерными силами.
Вывод формулы (2.49) и связь фазы с формой потенциала рассмотрены в приложении Б. Для наших целей достаточно указать, что при малых энергиях остается справедливым разложение типа (2.38) по k2, зависящее от длины рассеяния а и эффективного радиуса гОр. Однако фаза становится более сложной функцией k. Именно,
С*А etg 64-lft(n)---.	(2.51)
i\	Up £»
Величина С2, которую часто называют кулоновской проницаемостью, выражается формулой
C*=^L-.	(М2)
38
Глава 2
Функция в (2.51) медленно меняется в зависимости от энергии; явный вид ее приведен в приложении Б (формула (Б.8б)(. Заметим, чуо при мы должны прийти к формуле для рассеяния нейтронов 1_ха 1ротонах. Действительно, при е-И) /?->оо, С2-И и левая часть (2.51) позлащается в fectgfi.
Так же как и в случае системы протон — нейтрон, длина ар и эффективный радиус гОр определяются волновой функцией при нулевой энергии и, следовательно, могут быть рассчитаны для любого заданного потенциала. Экспериментальные данные о 6 позволяют найти зависимость от А2 функции.
бц м, град
Фиг. 2.7. Сечение <т(й) для рр-рассеяния при энергиях (2,42; 3,04; 3,27 и 3,58 Л1эв в лабораторной системе.
Нижним кривым соответствует ордината слева, я верхним кривым — ордината справа (по работе [26]).
изображается прямой, точка пересечения которой с осью ординат определяет величину —1 /ар. Поскольку мы умеем получать пучки нейтронов очень малой энергии, то при рассеянии нейтронов длину рассеяния можно определить с довольно высокой точностью. Напротив, протоны при малых энергиях не могут эффективно преодолевать отталкивающий кулоновский барьер, н при энергиях, меньших приблизительно 200 кэв, ядерное рассеяние протонов практически отсутствует. Поэтому величину ар приходится находить с помощью экстраполяции. К сожалению, экспериментальные ошибки таковы, что при экстраполяции заметную роль может играть «параболический» член Pr^k1. При данной форме потенциала множитель Р можно рассчитать. Если, однако, форма потенциала нс фиксируется, то следует рассмотреть все значения Р, которые согласуются с экспериментом. Из фиг. 2.8 видно, что эксперимент свидетельствует в пользу малых положительных значений Р. «Подгоняя» методом наименьших квадратов функ
Силы между нуклонами. I
39
цию в левой части (2.51) под экспериментальные данные, находим [16]
Р=0,041 ±0,007,	ар = —7,75±0,02 фм,	....
гор = 2,78±0,03 фм.	(	’
Пренебрегая членом с Р, т. е. аппроксимируя экспериментальные данные* прямой, получаем [16, 171
ар =—7,69±0,01 фм,	гор = 2,65±0,01 фм.
(2.54)
По-видимому, с большей уверенностью
можно записать эти величины как
ар =—7,72±0,04 фм, гор = 2,72±0,10 фм.
(2.55)
имея в виду, что при конкретном выборе некоторого значения Р величины ар и гОр можно определить более точно, но всегда внутри указанного интервала.
Мы видим, что значение эффективного радиуса для системы протон — протон в ^-состоянии очень близко к соответствующему значению для системы нейтрон — протон. Этот факт наводит на мысль, что ядерные силы
Ф и г. 2.8. Определение эффективного радиуса из опытов по рррассеянию.
Изображено поведение функции, стоящей в левой части (2.51), в зависимости от энергии (по работе [17]).
в этих двух состояниях могут быть очень сходными. Действительно, это сходство было впервые отмечено Брейтом с сотрудниками [18] еще в первые годы изучения рассеяния нуклонов. Гипотеза, согласно которой эти два взаимодействия одинаковы, называется гипотезой «зарядовой независимости».
40	Г л а в a 2
Однако вследствие кулоновских эффектов длины а, н ар сильно различаются. Можно оценить длину рассеяния а к для двух протонов в отсутствие кулоновских сил. Такая оценка дает следующий результат [19]:
/Г1 In (-§]+0,330 \ А /
(2.56)
Подставляя ар и г0 из (2.55), получаем
—17 фм.
Это значение гораздо ближе к а, (т. е. к — 23,7 фм), однако единственный способ осуществить действительную проверку зарядовой независимости исходного потенциала состоит в том, чтобы выполнить точные расчеты. Такне расчеты [20, 21] показывают, что потенциалы, приведенные в табл. 2.3, дают для S-состояния двух протонов ар=—7,68 и гОр=2,67. Сравнение с табл. 2.3 для ’S(n, р)-потенциалов показывает, что эти потенциалы дей-
Таблица 2.3
ПАРАМЕТРЫ возможных ПРОТОН-ПРО ТОННЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ в СОСТОЯНИИ 180
•	Прямоугольная яма	Потенциал Юкавы	Потенциал Юк паи с керном
Уо (Мэв)	12,9	50,4	2387 238 143 91,8
Гп (фм)	2,65	1,13	0,50 0,80 0,90 1,00
Г С (ФМ)	0	0	0,60 0,28 0,19 0,10
ствительно очень близки. Для потенциала Юкавы с отталкивающей сердцевиной радиуса 0,10 фм они почти тождественны.
Сопоставляя пр- и рр-потенциалы, следует иметь в виду, что, кроме кулоновских сил, присутствуют слабые электромагнитные силы и экспериментальные фазы зависят от эффектов, обусловленных этими силами. Поэтому, чтобы получить истинные ядерные силы, следует несколько изменить рассмотренные выше потенциалы. Наиболее очевидная поправка обусловлена взаимодействием магнитных моментов. Швингер показал [22], что если учесть эту поправку, то (в предположении, что ядерные магнитные моменты не имеют пространственной протяженности, т. с. считаются точечными диполями) ядерные потенциалы становятся значительно более сходными. Однако токи, обусловливающие магнитный момент, распределены по области порядка 1 фм, что, как заметил Солпетер [23], значительно уменьшает эффект, рассчитанный Швингером. Кроме взаимодействия магнитных диполей, в рассеянии играют роль эффекты высшего порядка, связанные с возможным отклонением электростатических сил на малых расстояниях от закона Кулона. Эти эффекты полностью не исследованы. (Один из возможных случаев рассмотрен в работах [24, 25].)
Важный вывод нашей дискуссии заключается в следующем: зарядовая независимость справедлива, по крайней мере приближенно, в триплетных по изоспину состояниях. Далее, *S(p, р)-рассеяние происходит в 3(т)г состоянии, a *S(n, р)-расссяние — в 3(т)0-состоянни. Зарядовая независимость означает, что взаимодействие одинаково в различных триплетных
Силы между нуклонами. I
41
по изоспину состояниях1); при этом, разумеется, не делается никакого утверждения о взаимодействии нуклонов в двух различных по полному изоспину состояниях.
ЗАДАЧ 11
2.1.	Найти значения о/с и X для нейтронов следующих энергий: тепловой, 500 кзв, 5, 20, 100, 400 /Мэе. Каковы при этих энергиях особенности иуклон-нуклон-ного рассеяния и взаимодействия нейтронов с ядрами? Какова роль этих величии в изучении стабильных ядер?
2.2.	Пусть лр-рассеянне изучается с помощью нейтронов, падающих на нейлоновую мишень. Объясните, как внести поправки на присутствие углерода и кислорода в материале мишени.
2.3.	Пусть взаимодействие двух различных частиц с одинаковой массой М описывается потенциалом в виде прямоугольной ямы радиусом гп и глубиной V. Пусть одна частица покоится, а падающая частица имеет энергию 2£. Показать, что S-фаза рассеяния 6 выражается формулой
. .. . /**+**+* tg krn tg /*»+/(» rn
е г— -	/----К®-	'	(I)
tg /*«+№ гп_ у i+^tg*,n
Показать также, что длина рассеяния и эффективный радиус определяются соотношениями
а= —к tgKr„+rn,>
r-r
О п За» №а’
Здесь fea=M£//is; /<» = А1У/й»; Е— энергия в системе центра масс. Сравнить фазу рассеяния (1) при энергии падающих частиц 6 Мзв и К = 36,2 Мзв, гп = 2,02 фм с результатами теории эффективного радиуса; определить разность сечений между двумя результатами. Как экспериментально определить, насколько существенно рассеяние в состояниях с I > 0?
2.4.	Пусть лр-потенциал для триплетного S-состояния имеет вид
( —Vo при r<R, I 0 при /•>£.
а)	При R=i,7 фм найти значение Ио, при котором энергия связи дейтрона согласуется с экспериментальными данными.
б)	Выражение для эффективного радиуса г0 и длины рассеяния а при любых R и Ко Даны в задаче 2.3. Подставить в них данное R и полученное в п. «а» значение Ко- Обсудить полученные результаты.
2.5.	Пусть центральный потенциал для синглетного S-состояния нуклонов известен. Обозначим его через *У8 (г). Допустим также, что известны следующие потенциалы: Wp, 3Ka, 3VP. Выразить через них потенциалы Вигнера, Бартлета, Майораны и Гейзенберга.
2.6.	Рассчитать сечение лр-рассеяния для различных энергий и различных гОв, предполагая, что а4=—23,71; aj = 5,38; г0<=1,71 фм.
1) Строго говоря, зарядовая независимость означает, что в мезонную теорию ядер-пых сил входит только одна константа взаимодействия. Возможны поэтому небольшие различия в статических нуклон-нуклонных силах, обусловленные небольшими эффектами типа различия в массах между нейтральным л-мезоном (которым в первом приближении обмениваются протоны) и заряженными л-мезонамн (которыми обмениваются нуклоны в системе л — р).
42
Глава 2
ЛИТЕРАТУРА
1.	J а г m i е N., A I I е n R. С., Phys. Rev., Ill, 1121 (1958).
2.	J о n е s D. P., M u r p h у P. G., O'N e i 1 I P. L., Proc. Phys. Soc., 72, 429 (1958).
3.	L e e T. D„ Yang C. N., Phys. Rev., 104, 254 (1956).
4.	W i I к i n s о n D. H., Phys. Rev., 109, 1603, 1610, 1614 (1958).
5.	A 1 b u г g e г D, E„ P i x ley R. E., Wil к inson D. H-, Donovan P., Phil. Mag., 6, 171 (1961).
6.	В 1 i n-S t о у I e R. J., Phys. Rev., 118, 1605 (1960).
7.	В a r t I e 11 J. H. Jr., Phys. Rev., 49, 102 (1936).
8.	M a j о r a n a E., Zs. f. Phys., 82, 137 (1933).
9.	Heisenberg W., Zs. f. Phys., 77, 1 (1932).
10.	Wigner E. P., Phys. Rev., 43, 252 (1933); Zs. f. Phys., 83, 253 (1933).
II.	Goldstein, Classical Mechanics, Reading, Mass., 1950, p. 86.
12.	M e 1 к о n i a n E., Phys. Rev., 76, 1744 (1949).
13.	S q u i r e s G. L„ S t e w а г t A. T., Proc. Roy. Soc., A230, 19 (1955).
14.	В u г g у M. T„ R ingo G. R., H u g h e s D. T., Phys. Rev., 84, 1160 (1951).
15.	S t о r r s C. L„ F r i s c h D. H., Phys. Rev., 95, 1252 (1954).
16.	M a t h e г К. B., Swan P., Nuclear Scattering, London, 1958.
17.	II u I t h 6 n L., Sugawara M., Handbuch der Physik, Bd. 39, ed. S. Fliigge, Berlin, 1957.
18.	В r c i t G., H о i s i n g t о n I. E., S h a г e S. S,', T h a x t о n, H. M., Phys. Rev., 55, 1103 (1939).
19.	J	а с	к	s о n	J.	D.,	В 1	a t t' J. M., Rev. Mod. Phys.,	22, 77	(1950).
20.	S	h a	p	i г о	J.,	P г	e s	t о n M. A., Canad. Journ. Phys., 34,	451	(1956).
21.	S	h a	p	i г о	J.,	Ph.	D.	Thesis, University of Toronto,	1955.
22.	S	c h	w	i n g	e r	J. S., Phys. Rev., 78, 135 (1950).
23.	S a	I p e t e r E. E., Phys.	Rev., 82, 60 (1951).
24.	Fo	1 d у L. L., E r i	к s e	n E., Phys. Rev., 95,	1048	(1594);	98,	775	(1955);	103,
781 (1956).
25.	d e	Wit M., D u r	a n d L„ Phys. Rev., Ill,	1597	(1958).
26.	В 1	a i r J. M„ F r e	i e r	G., L a m p i E. E.,Slea tor	W.,	Williams
J. H., Phys. Rev., 74, 553 (1948).

ГЛАВА 3
РАЗМЕРЫ ЯДЕР
§ 1. Введение
При рассмотрении ядер более сложных, чем дейтрон, сразу же возникают следующие два вопроса: какова форма и размеры ядер и как распределены нуклоны в объеме ядра?
Как мы уже упоминали ранее, Резерфорд в 1911 г. показал, что размеры ядра меньше 10'12 см 11]. Подсчеты Резерфорда базировались на экспериментах Гейгера и Марсдена 12—4], в которых тонкая золотая фольга облучалась пучком а-частнц. С помощью сцинтилляционного детектора определялось число а-частиц, рассеянных на каждый из нескольких исследованных углов. Пусть направление движения рассеянной частицы характеризуется полярными углами 0, <р и пусть — бесконечно малый телесный угол в направлении луча 0, <р. Тогда дифференциальное сечение рассеяния определяется как отношение числа частиц, рассеянных в телесный угол в 1 сек, к падающему потоку; оно обозначается через а (6, <р) (фиг. 3.1). Для заряженных частиц, рассеянных на точечном заряде с потенциалом Ztflr, это сечение легко рассчитать классическими методами. В данном случае формула классической механики остается справедливой и при переходе к нерелятивнстской квантовой механике (см., например, 15, 6]). В результате имеем следующее выражение (которое оказывается не зависящим от <р):
a(0)=f?l^L\ cosec41е.	(3.1)
\ 2Ц02 )	2
Здесь 0 — у ran рассеяния в системе центра масс, р — приведенная масса, v — начальная относительная скорость и Zte, Z2e — заряды двух частиц. О рассеянии, описываемом формулой (3.1), говорят иногда как о «кулоновском рассеянии» или «резсрфордовском рассеянии».
Классическое расстояние наибольшего сближения при данной энергии определяется формулой
22,2^ г г =	.
В тех случаях, когда гс было меньше радиуса ядра золота, a-частица в опытах Гейгера могла проникнуть внутрь ядра. Внутри ядра потенциал уже отличается от потенциала точечного заряда. Например, если заряд Z?e распределен равномерно по шару радиуса R, то потенциал внутри сферы
44
Г л а в а 3
Фиг. 3.1. Углы рассеяния и телесный угол.
будет иметь вид
Z2eF 3 1/rVl „.г,	,о9Х
при r<R-	(32}
Поэтому, если а-частицы попадают внутрь ядра, то угловое распределение рассеянных частиц должно сильно отличаться от даваемого формулой (3.1). В опытах, которые анализировал Резерфорд, гс составляло примерно 10*12 см. Тем не менее отклонений от кулоновского рассеяния не наблюдалось. Отсюда был сделан вывод, что размеры ядра меньше 10"12 ель
Поскольку обсуждаемое нами рассеяние обусловлено электрическими силами, то казалось бы единственное, что можно доказать с помощью таких опытов — это то, что протоны сосредоточены в области г «с! о нейтронах же ничего узнать нельзя. Однако а-частицы «чувствуют» также и ядерные силы, поэтому если бы последние за счет распределения нейтронов были отличны от нуля при г> гс, то это, безусловно, вызвало бы аномальное рассеяние.
Совершенно очевидно, что если целью опыта является получение сведений о распределении вещества в ядре, то необходимо облучать ядро такими частицами, которые могут проникнуть внутрь ядра. Тогда, изучая угловое распределение рассеянных частиц, можно исследовать те ядерные силы, которые вызвали рассеяние. Если в качестве таких частиц использовать, например, очень быстрые электроны, которые взаимодействуют с ядерным веществом только
через электромагнитное поле, то мы получим данные в основном о распределении заряда в ядре. Это значит, что электроны почти нс дадут каких-либо непосредственных сведений о распределении нейтронов. С другой стороны, такие ядерные частицы, как сами нейтроны, взаимодействуют с веществом посредством ядерных сил. В принципе их рассеяние может дать информацию о распределении всех нуклонов в объеме ядра. Поскольку, однако, ядерные силы известны лишь приближенно, ситуация в этом случае не столь ясна, как при рассеянии электронов. Поэтому мы обсудим «ядерные методы» изучения распределений плотности в последующих главах, а здесь ограничимся рассмотрением только электромагнитных методов.
Так как между нуклоном и электроном действуют только электромагнитные силы, электронный пучок является идеальным орудием исследования. Если электроны имеют достаточно большую кинетическую энергию, то они, не рассеиваясь на электронах мишени, проникают в ядро и, таким образом, служат очень хорошим средством изучения распределения заряда внутри ядра.
Заметим, что движение всякого электрона, который проникает в ядро, например движение s-электрона в атоме, зависит от распределения плотности заряда в ядре. Поэтому энергия электронных уровней зависит от распределения плотности, и, следовательно, мы можем надеяться получить информацию о структуре ядра, изучая тонкую структуру рентгеновских лучей. Трудность заключается в том, что эти эффекты весьма малы, так как связанный электрон лишь очень небольшую часть времени проводит в области ядра. Имеется, однако, еще одна частица, которая так же, как и электрон,
Размеры ядер
45
взаимодействует с нуклонами главным образом только через электромагнитное поле. Эта частица — ц-мезон. В самом деле, согласно современным представлениям, р-мезон отличается от электрона только большей массой (которая равна 207 гпе) и нестабильностью. Время жизни покоящегося ц-мезоиа составляет 2,2- 10 е сек. Этого времени, однако, вполне достаточно для того, чтобы отрицательный мезон (получаемый, например, в ускорителе) замедлился в веществе и был захвачен на орбиту вокруг ядра. Эта орбита будет аналогична электронной (С учетом различия масс). Так как радиус боровской орбиты обратно пропорционален массе частицы, то р-мезон будет проводить в области ядра значительно большую часть времени, чем электрон. В тяжелых элементах радиус боровской орбиты р'-мезона по порядку величины равен~10 12 см. Следовательно, спектр р'-мезоатома более чувствителен к размерам и структуре ядра, чем спектр обычного атома.
Мы рассмотрим последовательно каждый из указанных выше методов, начиная с самого поучительного — рассеяния электронов (7)1).
§ 2. Рассеяние электронов
При изучении структуры ядра подробность деталей, достижимая в опытах по рассеянию электронов, ограничивается, конечно, дебройлевской длиной волны электрона. Например, чтобы различить детали с размерами порядка 1 фм, нужно иметь электроны с энергией более 100 Мэв. Для описания таких электронов необходима релятивистская квантовая механика. Кроме того, рассеяние в этом случае содержит вклад от электронов с довольно высокими орбитальными моментами. Например, для описания некулоновского рассеяния электронов с энергией 180 Мэе на тяжелых ядрах требуется учет не менее 10 фаз. В таком случае невозможно получить в замкнутом виде выражение даже для рассеяния на точечном заряде. В аналитическом виде сечение о (0) удалось получить для рассеяния электронов высокой энергии на точечном заряде Ze в случае Ze^/hc = Z/137 < 1 (8—10]. Первый член ряда по степеням Z/137 имеет вид
о(0) =
2£' si„‘±e
stay 0^1—stay 0 cos2^-0
(3.3)
Здесь множитель перед квадратными скобками определяет моттовское рассеяние (его можно обозначить через о,у); Е представляет собой энергию в системе центра масс. При больших Z эта формула становится неверной, однако имеются численные расчеты о (0) (11]. Формула (3.3) записана, разумеется, в системе центра масс. В лабораторной системе это не зависящее, очевидно, от энергии распределение окажется модифицированным и энергия рассеянного электрона будет функцией угла.
Отклонения закона рассеяния от формулы для точечного заряда непосредственно отображают свойства ядерной структуры. В случае тяжелых ядер эти структурные эффекты также приходится вычислять численными методами. В случае же легких ядер с Z < 10, когда вторым членом в скобках в (3.2) можно пренебречь, удается получить обоснованное замкнутое
*) Эта статья представляет собой достаточно широкий обзор исследований структуры ядра с помощью рассеяния электронов.
46
Глава 3
выражение. Сечение рассеяния выражается в виде произведения сечения моттовского рассеяния на формфактор:
ff(0)=aJtf(0)[F(9)]2,
где	~	(3.4)
f(<7) = ^ J Q(r)sin(qr)rdr.	(3.5)
о
Здесь q — вектор передаваемого импульса. Его величина равна
2Е 1 „ 2 . 1 „
(3.6)
где к — приведенная дебройлевская длина волны электрона (см. задачу 3.2). Вывод этих формул справедлив только для сферически симметричных распределений заряда; Q (г) — плотность распределения заряда, нормированная на единицу, так что \ q (г) 4nr2dr = 1 [заряд в сферическом слое радиуса г и толщиной dr равен Zeq (г) 4nr2drl. На эксперименте формфактор находят непосредственно для некоторой области значений q, определяемой интервалами энергий и углов, в которых регистрируются рассеянные частицы. Затем желательно связать плотность распределения Q (г) с функцией F. Предположим, что длина волны к велика по сравнению с размерами ядра. Поскольку вне ядра Q (г) обращается в нуль, то в формуле (3.4) в этом случае qr < 1, и мы можем записать
_ . . 4л \	% I 1 з з ।	\ ,
P(d) = — }Q(r)^qr—^q г +...jrdr =
= Q(r)4nr2dr—r2Q(r)4nr2dr+...=
*» 1 2
= l-|(<7a)*+... -
(3.7)
Мы положили a2 = r2q (r) 4nr2dr\ очевидно, а2 представляет собой среднеквадратичный радиус распределения заряда. Ясно, что до тех пор, пока к нс станет меньше размеров ядра (или по крайней мере равной им), мы не сможем получить каких-либо сведений о структуре ядра, кроме среднеквадратичного радиуса. Это хорошо иллюстрирует высказанное выше общее положение о том, что чем более детальную картину структуры мы хотим получить, тем более энергичными электронами следует облучать ядро.
С помощью преобразования Фурье из (3.5) имеем следующее выражение для q (г):
6 W = A" f F sin qdq-	(3-8)
2л г .'
о
Применимость этой формулы ограничена, пока не выполнены эксперименты, которые позволили бы измерить формфактор с хорошей точностью и в достаточно широкой области значений q. Альтернативный метод [единственный, которым мы располагаем в тех случаях, когда формула (3.3) неприменима! состоит в том, чтобы испробовать большое число возможных форм функции
Размеры ядер
47
q (г) и с помощью подстановки в (3.4) выяснить, какие из них дают согласие с экспериментом.
Одним из основных результатов опытов по рассеянию электронов является установление того факта, что ядра не имеют резких границ; существует область далеко не пренебрежимых размеров, в которой плотность нуклонов постепенно уменьшается до нуля. Весьма широко исследовалась следующая форма распределения плотности:
=------------------.	(3.9)
1 -rexpl (г— с)/о01
Это распределение известно в литературе как фермиевское распределение. Характерное свойство этой функции заключается в том, что Q ~ р0 при
Фиг. 3.2. Фермиевское распределение плотности для двух ядер различного радиуса.
с а0 до тех пор, пока с — г не становится лишь в несколько раз больше а0; затем функция постепенно спадает до нуля в интервале, определяемом а0 и не зависящем от с. Таким образом, мы получаем при одном и том же «0 различные распределения плотности типа изображенных на фиг. 3.2; они характеризуются однородной плотностью в центральных областях различного радиуса и одной и тон же толщиной поверхностного слоя. Для любого распределения плотности, обладающего симметрией вращения, мы определим с как такое расстояние от центра, на котором плотность уменьшается до половины своего максимального значения; буквой t будем обозначать такое расстояние в поверхностном слое, на котором плотность уменьшается от 90 до 10% своего максимального значения1)- Для фермиевского распределения t = 4,40 а0. Ясно, что при а0 0 распределение переходит в однородное с радиусом с.
Формфакторы были рассчитаны для большого числа различных видов Q (г). Общая тенденция состоит в том, что чем резче спадает плотность, тем больше амплитуда осцилляций дифференциального поперечного сечения. Этого следовало ожидать, поскольку дифференциальное сечение отражает дифракционную картину рассеяния электронной волны. Этот результат
1) Точнее говоря, в литературе обычно принимают следующее определение СО
параметра с: cq(O) = Q(r)dr. [Легко видеть, что для распределения (3.9) это соотко-о
Шенне переходит в тождество при с^>а0,— Прим, ред.]
48
Глава 3
подтверждается численными расчетами и в тех случаях, когда несправедливо приближение формфактора. В качестве примера на фиг. 3.3 приведены результаты расчетов, выполненных Енин, Равеихоллом и Вильсоном [12]. Дифференциальное сечение рассеяния электронов на золоте приведено для трех различных форм распределения заряда при энергии падающих электронов 125 Мэв. Как видно из фиг. 3.3, при самом гладком (экспоненциальном) распределении заряда получается самое плавное угловое распределение; кривая с наиболее выраженными осцилляциями соответствует однородному распределению с резким краем. С экспериментом лучше всего
Фиг. 3.3. Зависимость гладкости углового распределения от гладкости распределения плотности заряда.
Плотвости заряда на фиг. а соответствуют ссчсиням на фиг. б (по работе (12]).
согласуется фермиевское распределение, промежуточное между двумя этими предельными распределениями.
Для численных расчетов необходимо прежде всего найти потенциал внутри ядра соответственно выбранному распределению заряда:
(4я)-‘ У(г) = у J ° ^V2dr' + ГQ (И г' dr'. (3.10)
*9	г
Волновую функцию, описывающую рассеяние электронов, находят из уравнения Дирака для всех участвующих в рассеянии парциальных волн с использованием потенциала (3.10). Решая это уравнение численными методами, находят фазы. Затем по известным формулам рассчитывается сечение. Описанный метод напоминает метод расчета рассеяния протонов на нейтронах, рассмотренный в гл. 2. Дополнительное усложнение состоит в том, что электростатические силы не являются короткодействующими. Детали расчета мы обсуждать здесь не будем; их можно найти в оригинальной работе [12]. Весьма сходные приемы рассмотрены в гл. 18 в связи с рассеянием заряженных ядерных частиц.
Размеры ядер
49
Из тяжелых элементов наиболее полно исследовано золото (Хан, Ра-венхолл и Хофштадтер ИЗ], электроны с энергией 153 и 183 Also). Предшествующие результаты типа рассмотренных нами выше результатов Енни, Равенхолла и Вильсона 112] (энергия электронов 125 Мэв) показали, что распределение плотности внутри ядра довольно близко к «плато», а «хвост» распределения по форме ближе всего к случаю фермиевского распределения. В действительности определить плотность при малых г очень трудно, так как заряд, заключенный в сфере небольшого радиуса (например, 3 фм), очень невелик. [Этот геометрический фактор легко учесть, откладывая на графике 4лг2р (г), т. е. функцию, определяющую заряд сферического
Ф и г. 3.4. Возможные распределения плотности заряда в ядре золота (по Хофштадтеру).
слоя. Она более наглядно, чем q (г), отражает на графике расстояния, наиболее существенные для рассеяния. ] Наряду с фермиевским распределением Хан и его сотрудники изучали распределения типа
е(г)=|1+“^1ск(г),	(3.11)
L с .
для которых характерно уменьшение или увеличение плотности в центральных областях. Наилучшее согласие с экспериментом получается при некотором уменьшении плотности в центре (ю = 0,64). Однако любая кривая, лежащая в заштрихованной области (фиг. 3.4, а), дает сечение в пределах .экспериментальных ошибок. Тщательное исследование рассеяния на РЬ209 показало, что «наилучшее совпадение» получается без постулирования уменьшения плотности в центре. Нафиг. 3. 4,6 наглядно показано влияние сферической геометрии на уменьшение вклада в рассеяние от центральной области. Напротив, расстояния, превышающие примерно 5 фм, т. с. поверхность ядра, исследованы довольно точно. Сравнение с экспериментом показано на фиг. 3.5. Хан с corp, рассчитал также рассеяние для трапецеидального распределения плотности и для распределения вида
(?('')= Со
(3.12)
Для всех этих распределений удалось получить одинаково хорошее согласие с экспериментом. Как видно, однако, из фиг. 3.6, эти распределения на самом деле очень близки друг к другу, особенно в поверхностном слое. И действительно, все эти виды распределения согласуются с экспериментом при одних и тех же с и t. До тех пор пока не будут выполнены опыты с мень-4 Заказ № 37
50
Глава Я
шими длинами волн, мы можем определить только эти два параметра плотности ядра.
Изучение более легких ядер показало, что величина с уменьшается, однако толщина поверхностного слоя t остается почти неизменной. Большинство данных для ядер с А > 20 анализировалось или на основе фермиевского распределения, или на основе других форм распределения, очень близких ферм невскому. Учитывая результаты для золота, а также нечувствительность постоянных с и t к распределению плотности в центре ядра, такой подход можно считать удовлетворительным. Результаты представлены
8. град
Фиг. 3.5. Оптимальное фермн-распрсделенпе плотности заряда в случае золота приводит к отличному согласию с экспериментом (по Хофштадтеру).
1,00
0.75
0,50
0,25
Фермиевское Модифицированное яоуссооо Граней ои дальнее
К1,50\-|> 1.25 оЛ
0 123456789 10
Радиальное расстояние, фм
Фиг. 3.6. Распределения заряда в ядре золота, которые приводят к согласию с экспериментами по рассеянию электронов (по Хофштадтеру).

Е
g
в табл. 3.1 и на фиг. 3.7. В случае С12 и более легких ядер уже нельзя говорить о постоянной плотности вблизи центра. Поэтому разумнее искать q в виде
e=eo(n-^V"r/“.	13.13)
как это было сделано для Be”, Li® и Li7, пли в виде
e=Qoe“r‘/a’,	(3.14)
который был использован в случае Не*. Возможно, однако, что на самом деле в ядре С12 существует небольшая центральная область с постоянной плотностью. Это ядро изучалось [15] с помощью распределения
Q=eo(l+^)e-r,/“’. .	(3.15)
Наилучшее согласие с экспериментом получено при небольшом понижении плотности в центре (w = 4/3), хотя ход изменения плотности в центре определен нс очень точно. Для легчайших ядер типа Не4 распределение заряда будет в значительной степени зависеть от распределения заряда в нуклоне.
Размеры ядер
51
Таблица 3.1
ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДА В СФЕРИЧЕСКИХ ЯДРАХ ’)
Ядра	Толщина поверхностного слоя (/)	Радиус (с) пол ус па Дания плотности	4 “ Л1/»	Среднейвад-) ратичпыП радиус (а)	Радиус (Я) •»к вига л ситного однородного распределения	К '•“ТА
Не*							1,61	2,08	1.31
Li"	—	—	—	2,78	3,59	1,98
Li’	—	—	—	2,71	3,50	1,83
Be’	—	—	—	3,04	3,92	1,89
С«	-2,0	-2,3	1,00	2,37	3,04	1,33
Mg24	2,6	2,85	0,99	2,98	3,84	1,33
SjM	2,8	2,95	0,97	3,04	3,92	1,29
S»s	2,6	3,28	1,03	3,19	4,12	1,30
Ca40	2,5	3,64	1,06	3,52	4,54	1,32
V»1	2,2	3,98	1,07	3,59	4,63	1,25
Co”	2,5	4,09	1,05	3,83	4,94	1,27
In'1»	2,3	5,24	1,08	4,50	5,80	1,19
SblM	2,5	5,32	1,07	4,63	5,97	1,20
Au1”	2,32	6,38	1,096	5,32	6,87	1,180
pb208	-2,3	-6,5	-1,09	5,42	7,00	1,18
Bi20’		6,47	1,09	5,52	7,13	1,20
') Расстояния даны в фемтометрах; с и а определены с точностью ±2%. t—c точностью ±10%. Данные взяты из работ Хофштадтера [7]. Там же приведены ссылки на источники. Для легких элементов радиальная зависимость распределения плотности предполагалась вида (3.13) — (3.15), для тяжелых — вида (3.9).
Поэтому нельзя непосредственно связывать распределение заряда с распределением протонов. Однако для всех других ядер можно установить некоторые важные закономерности в распределениях заряда. Среднеквадратичный радиус для каждого изученного ядра можно рассчитать по формуле
а2 = j г2 q (г) 4л г2 dr-	(3.16)
Эквивалентное однородное распределение определяется как такое однородное распределение, которое характеризуется тем же значением среднеквадратичного радиуса а. Радиус этого распределения равен = (5/3)'/« а. Обе эти величины приведены в табл. 3.1.
Размеры и плотность ядра определяются в основном ядернымн силами, по отношению к которым электростатические силы образуют лишь относи-	е
тельно малую поправку. Так как ядерные силы зарядовонезависимы, то можно предполагать, что пространственные распределения нейтронов и протонов окажутся почти одинаковыми. Кулоновские силы отталкивания между протонами приведут к некоторому увеличению плотности нейтронов в центре по сравнению с плотностью протонов. Может оказаться также, что вследствие действия принципа Паули распределение нейтронов будет характеризоваться несколько большим радиусом, чем распределение протонов.
С очень хорошей точностью можно, однако, считать, что размеры ядра определяются распределением плотности заряда. Поэтому, если бы ядра пред-
52
Глава 3
ставляли собой сферы с однородным распределением плотности, то величина была бы пропорциональна корню кубическому из объема, приходящегося на нуклон. Постоянство этой величины указывало бы на постоянство плотности во всех ядрах. Из табл. 3.1 видно, что при А > 10 RA~l/*
Фиг. 3.7. Распределения плотности заряда в различных ядрах. Плотность в центре умснынвется с увеличением Z. Некоторые кривые для С нормированы на тот же полный заряд, что и кривые для золота.
медленно уменьшается с ростом А (от 1,33 до 1,18 фм, т. е. на ~ 12%). Следовательно, эквивалентная однородная плотность медленно увеличивается с ростом А.
С другой стороны, величины г( = с4_1/з меняются с изменением А не так сильно. Утверждение, что
с= г,А*/9,
1 п? л.	(3-17)
rt = 1,07 фм,	'
справедливо для всех А > 40 с точностью до 2%. Более того, если использовать несколько меньшее значение г,, то это соотношение с немного худшей точностью выполняется и при А < 40. Мы можем, следовательно, заключить, что в ядрах, в которых можно выделить центральную область, последняя имеет приблизительно постоянную плотность. Постоянство cA~lf* можно считать подтверждением того, что плотность определяется в основном ядернымн силами и что распределения плотности протонов и нейтронов почти одинаковы. Толщина поверхностного слоя определяется, вообще говоря, с относительно небольшой точностью, не выше чем до второго знака.
Размеры ядер
53
ление,
н, вогвторых, с тем, увеличению толщи-
Фиг.
3.8. Распределение заряда в нуклоне.
Положительный керн в распре дел сник заряда не показан, так как его радиус невелик и определен неточно (по Хофштадтеру).
точно; имеются указания на не-
Из табл. 3.1 видно, что для всех ядер толщину поверхностного слоя разумно считать равной 2,4 фм.
До сих пор мы предполагали, что ядра имеют сферическую форму. Поскольку квадрупольные моменты рассмотренных ядер невелики, можно считать, что для них это справедливо. Несферические ядра должны характеризоваться более плавными угловыми распределениями рассеянных частиц. Это обстоятельство связано, во-первых, с тем, что хаотическая ориентация значительно сглаживает угловое ра что вытянутость вдоль некоторой осн 5 ны поверхностного слоя, приводящему к «сглаживанию» дифракционных минимумов. Анализ рассеяния на несферн-ческих ядрах требует более сложных расчетов.
Мы предполагали также, что на очень малых расстояниях справедливы обычные законы электродинамики. Имеются веские основания считать, что эти законы соблюдаются во всяком случае на расстояниях, больших 1 фм. Таким образом, для сферических ядер с А > 15 вырисовывается следующая картина: ядро состоит из «сердцевины» или «керна» постоянной плотности и поверхностного слоя толщиной ~2,4<Ди. Радиус, соответствующий уменьшению плотности вдвое по сравнению с максимальным значением, равен 1,07А1/® фм; для ядер с 4<А<15 керн выражен нечетко: плотность непрерывно уменьшается с увеличением г. Плотность в центре определяется во всех случаях не очеш
большое уменьшение плотности в центре. В грубом приближении ядро можно заменить шаром с эквивалентной однородной плотностью, которая хотя и несколько увеличивается с ростом А, тем не менее с точностью до 12% может считаться постоянной для всех ядер. С хорошей точностью R можно положить равным R = (1,2—1,3)-А*/з фм.
Как мы уже указывали, в случае самых легких ядер (А < 4) при нахождении распределения плотности частиц из распределения заряда существенную роль будет играть внутренняя структура нуклона. Опыты по рассеянию электронов на водороде и насыщенных водородом фольгах доказали наличие у протона определенной структуры (16—19]. Рассеяние нейтронов на атомных электронах (20—23] и неупругое рассеяние электронов на дейтроне (19, 24, 25] дали сведения об электрон-нейтроином взаимодействии. Результаты получены в виде формфа кторов, фурье-преобразован не которых определяет пространственное распределение заряда и магнитного момента нуклона [26]. Распределение заряда, представленное на фиг. 3.8, указывает на наличие трех компонент в структуре нуклона: керна с положительным зарядом (структуру керна не удается прощупать электронами указанной энергии) и двух заряженных облаков различной протяженности. Распределение заряда в этих облаках можно описать функцией Юкавы (1/г)ехр (—г/а). Одно облако несет заряд приблизительно 0,3 е (положительный как для протона, так и для нейтрона); пространственные размеры
54
Глава 3
его характеризуются значением а = 0,47 фм. Другое облако содержит приблизительно 0,6 е (заряд положителен для протона и отрицателен для нейтрона) и имеет несколько мсныиие размеры (« = 0,32 фм). Положительный керн у нейтрона имеет заряд 0,3 е , а у протона — только 0,1 е. После осуществления опытов с более энергичными частицами приведенные численные значения зарядов, возможно, будут изменены. Однако общая картина вырисовывается уже достаточно ясно. Заметим, что нейтрон характеризуется равным -нулю среднеквадратичным радиусом распределения заряда и положительным зарядом в периферических областях. Соответствующий среднеквадратичный радиус протона равен 0,8 фм. Напротив, среднеквадратичные радиусы распределения магнитного момента у протона и нейтрона одинаковы и равны приблизительно 0,8 фм; возможно, однако, что магнитный радиус нейтрона несколько меньше протонного.
В настоящее время все эти факты нс полностью поняты с точки зрения мезонной теории. Не следует забывать, кроме того, что полная интерпретация этих фактов может быть связана с неприменимостью квантовой электродинамики на очень малых расстояниях (нарушение закона 1/г для потенциала на малых расстояниях) [27]. Заметим, что эффекты, обусловленные структурой нуклона, и следствия неприменимости закона Кулона нельзя различить, исходя только из рассеяния электронов на нуклонах1).
§ 3.	ц-мезоатомы
Мы уже говорили, что отрицательные мезоны, переходя подобно электронам в связанное относительно ядра состояние, могут образовывать мезонные атомы. Известно, что неэлектромагнитное взаимодействие р-мезона с|нуклонами очень мало. Поэтому волновые функции и энергетические уровни р-мезоатомов' будут отличаться от аналогичных характеристик обычных атомов только в мере, определяемой большей массой мезона. Простой подсчет показывает, что для свинца радиус орбиты с п = 1 (1s-состояиие) равен 3,1 фм, а радиус орбиты с п = 2 равен 12 фм. С другой стороны, радиус, на котором плотность уменьшается вдвое, равен для ядра свинца 6,5 фм. Ясно поэтому, что для нескольких низших состояний вероятность нахождения мезона внутри ядра будет достаточно велика. Поскольку при этом мезон будет находиться в потенциале, отличном от кулоновского, то его энергетические уровни будут существенно отличаться от уровней водородоподобного атома.
Замедленные в веществе мишени р‘-мезоны захватываются атомом часто в состояниях с большими орбитальными моментами и большой энергией, а затем уже переходят в результате каскадных процессов в основное состояние. Переходы между высоковозбужденнымн состояниями являются в основном'безрадиацнонными (испускаются электроны Оже); переходы же, в которых участвуют состояния с небольшими квантовыми числами, сопровождаются испусканием электромагнитного излучения. Хотя испускаемые фотоны несут энергии порядка нескольких Мэв, их называют обычно рентгеновскими лучами (благодаря аналогии с механизмом испускания обычных рентгеновских лучей). Измерение энергии этих лучей позволяет определить энергетические расстояния между уровнями мезоатома и, следовательно, напучить информацию о распределении заряда в ядре.
*) Для более детального ознакомления с проблемами структуры нуклона см. книгу С. Д. Дрелла и Ф. Захарназена [34].— Прим. ред.
Размеры ядер
55
Впервые энергию рентгеновских лучей измерили Фитч и Рейнуотер [28]. Они определили энергию перехода 2р 1s для девяти элементов с Z, лежащим в пределах от 13 до 83. Ясно, однако, что измерение одной энергии позволяет определить только один параметр распределения заряда в ядре и, следовательно, не дает никаких сведений о виде радиальной зависимости. При выборе определенной функции q (г) данные по мезоатомам позволяют фиксировать радиальный параметр.
Анализ экспериментальных данных проводился следующим образом. Постулировалось определенное распределение заряда и с помощью соотношения (3.10) рассчитывался соответствующий этому распределению потенциал. С этим потенциалом затем решалось уравнение Дирака. В общем случае такая процедура требует обширных численных расчетов (методы теории возмущений удовлетворительно работают только при малых Z). Кроме электростатического потенциала, имеет место несколько других эффектов, которые изменяют энергии переходов приблизительно на 1% [29, 30].
Для легких ядер энергия ц-мезонных рентгеновских лучей уже слабо зависит от размеров ядра, так как радиус воровской орбиты обратно пропорционален Z, а размеры ядра растут пропорционально А1/». Поэтому внутри ядра мезон будет находиться только небольшую часть своего времени. Например, для алюминия сдвиг энергии, обусловленный конечными размерами ядра, составляет всего около 2%. У таких легких элементов эффекты размеров ядра сказываются только на энергии s-состояния. Энергетический сдвиг, определяемый в первом приближении теории возмущений, имеет вид
—2а
рс2, (3.18)
ЛЕ= /фо
л(2о+1)!	\|-
Рс.
где
(г20) = 4л J Q(r)^°+2dr,
а= [1—(aZ)2]7’
a — постоянная тонкой’структуры, ф0 — волновая функция мезона около точечного ядра и ц — приведенная масса системы мезон — ядро. В случае легких элементов значение а близко к единице, и энергетический сдвиг определяется, следовательно, среднеквадратичным радиусом <гя> = о1. Поэтому можно считать, что в опытах Фитча и Рейнуотера по существу измерялась величина а. Мы можем сравнить полученные таким путем значения а с приведенными в табл. 3.1. Значения а, полученные из ц-мезонных данных, для ядер Ti и Си на 5—10% меньше полученных из опытов по рассеянию электронов. Однако именно в этой области р-мезонныс результаты наименее надежны.
С увеличением А величина а заметно отличается от единицы и приближение теории возмущений перестает быть справедливым. Хилл и Форд [30] нашли, что для РЬ сдвиг энергии зависит от (г015) и, кроме того, слабо зависит от вида q (г). Эти авторы провели детальное исследование собственных значений и собственных функций р-мезона для большего числа форм распределения плотности. Они рассчитали энергию 3d 2р и 2р -> 2s переходов, а также энергию расщепления 2рз/г — 2pi/t и показали, что достаточно точное измерение указанных величин наложит определенные ограничения на возможные виды распределения плотности. Для свинца распределение заряда, найденное из опытов по рассеянию электронов, с точностью до 1% согласуется с данными изучения мезоатомов.
56
Глава 3
Подводя итог, мы можем сказать, что в случае тяжелых ядер изучение р-мезонных рентгеновских лучей позволяет получить данные об иных параметрах распределения заряда дополнительно к параметрам, которые можно изучать в опытах по рассеянию электронов, и, следовательно, уточняет наши знания о р (г); в случае же легких ядер оно дает новый независимый способ определения (г®).
§ 4.	Кулоновская энергия
Электростатическим силам отталкивания между протонами соответствует потенциальная энергия Ес, из-за которой полная энергия связи, обусловленная ядернымн силами, оказывается уменьшенной. Точный расчет этой энергии требует, очевидно, достаточно полных сведений о волновых функциях протонов. Однако основные особенности результата можно усмотреть из относительно простых рассуждений.
В качестве предварительного шага выпишем формулы, справедливые для сферически симметричного распределения заряда Zey (г). Электростатическое поле определяется формулой
Ze с %{r) = ^\<>(r)r"-dr,	(3.19)
о
а его потенциал имеет вид
V (г) = Ze С	С Q (х) х® dx.	(3.20)
j г j г о
Полную кулоновскую энергию распределения мы записываем как
= J Q(f)V(r)4nr2dr= (Ze)2J,	(3 2}а)
о
где
J = -L J Q(r,)e(r2)dV\ dV2.	(3.21 б)
2 In—r2|
Для шара радиусом R с полным зарядом Ze, равномерно распределенным по всему объему (постоянная плотность заряда), эти формулы дают
= ’ (322)
° /R
Следовательно, в той мере, в какой ядро представляет собой однородно заряженный шар, его кулоновская энергия дается формулой (3.22). Если бы эту энергию удалось найти из эксперимента, то мы получили бы способ определения радиуса ядра. Эта простая формула дает разумное количественное представление о кулоновской энергии. Однако при детальном исследовании необходимо рассмотреть влияние различных неучтенных эффектов: а) неоднородности средней плотности q (г); б) требования дискретности заряда; в) квантовых эффектов неполной локализации протонов; г) несфсрич-ности ядра; д) того обстоятельства, что, хотя усредненное по времени рас
Размеры ядер	57
пределение заряда может быть сферически симметричным, протоны могут быть пространственно скоррелированы.
Нетрудно внести поправку на изменение q (г). Для однородного сферически симметричного распределения с «хвостом» имеем
£c = (Ze)2J,
где
Q Г	/ / \2
J = ^- 1—0,40 — +0,22
5с	\ с /
(3.23)
Для А > 15 эта формула справедлива с точностью до 2—3%, а с уменьшением t/c ее точность возрастает. Если подставить численные значения t и с, найденные из опытов по рассеянию электронов, то легко убедиться, что эквивалентная однородная модель [формула (3.22)] приводит к значениям £с, приблизительно на 4% большим, чем дает формула (3.23) при А С 50, и на 1—2%— при А 100. Итак, мы видим, что, исключая самые легкие ядра, рассчитанная величина кулоновской энергии не очень чувствительна к виду Q (г).
Чтобы учесть другие эффекты, вызывающие отклонения от простой формулы для Ес, следует рассмотреть систему квантовомеханически. В этом случае соответствующим образом антиенмметризованные волновые функции приводят к появлению в выражении для Ес важного обменного члена [29, 31, 32]. Этот член представляет электростатическую собственную энергию и физически обусловлен тем обстоятельством, что в силу неопределенности в положении протона его заряд эффективно распределен в малой, но конечной области пространства. Полная кулоновская энергия имеет вид [32]
Ec = eVZ2[l-(2Z2)"’/sG)K],	(3.24)
где J — интеграл, введенный выше для прямого члена в кулоновской энергии. Плотность Q (г) выражается через волновые функции протонов в различных состояниях следующим образом:
Z
Q(r)= S ф,;(г)ф,,(г).	(3.25)
<Z=<
Обменный член имеет вид
K = J~l^^dV.	(3.26)
Постоянная Со по порядку величины равна единице; ее точное значение определяется геометрической формой «заряженного облака» каждого протона. Параметр К зависит от вида у (г):
К =
1,5 (распределение Гаусса).
1,0 (однородное), 0,9 (экспоненциальное).
Таким образом, коэффициент перед Z4'» в (3.24) по порядку величины равен единице; отсюда ясно, что обменный член представляет существенную часть Ес, однако его вклад уменьшается с ростом Z1).
*) Заметим, что во многих прежних работах множитель Z* в (3.22) и (3.24) заменялся на Z(Z — 1) (чтобы учесть дискретность заряда). Обычный аргумент состоял в том, что протон не взаимодействует сам с собой. Однако, как показал Писли [32), такая замена квантовомеханнческн некорректна: прямой член должен быть пропорциональным Z*.
58
Глава 3
В случае несферических ядер все еще можно использовать интегралы (3.216) и (3.24), но вычислять их становится сложнее. Этот вопрос мы обсудим позднее вместе с другими свойствами несфсрических ядер. Всякое отклонение от сферической формы приводит к увеличению кулоновской энергии. Заметим здесь без дальнейшего обсуждения, что если положения протонов скоррелированы, так что существует тенденция к ассоциированию, то кулоновская энергия увеличится. В модели ядра, дающей соотношение (3.24), каждому нуклону приписано определенное квантовое состояние: следовательно, корреляция положений протонов не учитывается.
Сопоставить изложенную выше теорию кулоновской энергии с экспериментом не просто, так как кулоновская энергия представляет собой лишь одну нз нескольких компонент полной энергии ядра. Однако в случае легких ядер иногда можно найти разность энергий двух состояний, отличающихся заменой одного протона на нейтрон. Если предположить, что ядерные силы зарядовонезависимы, то эта разность будет равняться разности кулоновских энергий. Как мы увидим ниже, эта привлекательная гипотеза довольно убедительно подтверждается экспериментом. Разумеется, все остальные квантовые числа сравниваемых состояний должны быть одинаковы. Ясно, что в случае зеркальных ядер, у которых N = Z ± 1, специфически ядерные свойства основных состояний одинаковы. С другой стороны, четно-четные и нечетно-нечетные ядра (Д — четное) имеют разное число пар тождественных частиц. Поэтому определенные состояния, возможные в одном ядре, невозможны в другом. В частности, ядра с Z = N имеют состояния с изоспином 7 = 0, которых другие ядра с тем же А не имеют. Часто оказывается возможным идентифицировать низшие состояния с 7 = 1 в ядрах с N — Z; благодаря этому можно найти разность кулоновских энергий между соответствующими состояниями. Если предположить, что вид распределения плотности Q (г) не меняется при замене Z -> Z' = Z — 1, то разность энергий имеет вид
ДЕе = 2(Л/Д'/з
2 2a/s
Д’/з 3
с0/<
(3.27)
Поскольку величина J обратно пропорциональна радиусу ядра, то произведение JД’/з приближенно можно считать не зависящим от А. Далее, Z' с точностью до единицы равно 3/2Д, поэтому величина (Z'4- 3/а) /Д почти постоянна. Следовательно, зависимость Ес от (Z'Д-*/2)M,/s представляется прямой линией, по наклону которой можно определить радиус ядра. Анализ данных методом наименьших квадратов приводит к следующим цифрам в случае ядер с Д < 40 [32]:
(Z4,/3)"‘= 1.96 фм,
С0К= 1,81.
Из-за неопределенности вСо последнему числу не следует придавать особого значения. Видно, однако, что эти цифры по порядку величины согласуются с предсказываемыми теорией. В предположении однородного распределения заряда указанное значение JA1'1 приводит к радиусу R = 1,18 Д1/3 фм. Этот радиус приблизительно на 10% меньше получаемого на основе эквивалентной однородной модели из опытов по рассеянию электронов. Анало-
Размеры ядер
59
гично, если мы будем находить из более реального распределения и используем в формуле (3.23) ( и с, найденные из опытов по рассеянию электронов, то получим для ДЕС значение, несколько меньшее даваемого экспери-
ментом.
Это обстоятельство вовсе не означает, что два источника информации о плотности заряда дают противоречивые сведения. Разность кулоновских энергий двух ядер, участвующих в p-распаде, обусловлена превращением в одном из ядер протона в нейтрон. Однако распределение этого протона в объеме ядра не является однородным. Другими словами, ядрам с одним и тем же А присущи несколько различающиеся виды у (г). Это обстоятельство особенно существенно для p-распада, при котором протон во многих случаях находится в состоянии с наибольшим орбитальным моментом
и его волновая функция менее всего соответствует однородному распределению. Для расчета этого эффекта необходимо использовать ту или иную модель ядра, но можно ожидать, что результаты не будут очень чувствительными к модели. Карлсон и Тальми [331 рассмотрели случай А нуклонов в потенциале гармонического осциллятора. Изменение энергии, обусловленное заменой в каждом данном состоянии протона на нейтрон, определяется частотой осциллятора. Для каждого А авто
ры определили частоту, дающую согласие с наблюдаемой величиной Д£с. Эта частота в свою очередь определяет среднеквадратичный радиус распределения нуклонов, из которого можно рассчитать радиус эквивалентной прямоугольной ямы. Как видно из табл. 3.2, эти результаты значительно лучше согласуются с данными по рассеянию электронов.
Данные табл. 3.2 говорят
Та блица 3.2
ВЕЛИЧИНА г0=/?Л-1/а, ОПРЕДЕЛЕННАЯ ИЗ ДАННЫХ О ЗЕРКАЛЬНЫХ ЯДРАХ
(ПО КАРЛСОНУ И ТАЛЬМИ [33])
Стабильное, НДЦ дочернее ядро	го	Стабильное, или дочернее ядро	Г»
Li’	1,489	Na»	1,217
Be®	1,543	Mg»»	1,23
В“	1,283	Al»’	1,197
с«»	1,340	Si»»	1,265
N1*	1,305	s»	1,33
О1’	1,262	СР»	1.34
F>»	1,259	K3®	1,29
Ne«	1,25	Ca«	1,27
также, что могут иметь место
локальные вариации в радиусах, что подчеркивает опасность обобщении, основанных на малом числе данных. Важно, кроме того, еще раз отметить, что различные методы определения радиусов на самом деле дают разные но смыслу параметры. Например, Форд и Хилл нашли, что в области тяжелых ядер кулоновская энергия определяется по существу величиной (г0 8). Распределение заряда, найденное из рассеяния электронов, по-видимому, хорошо согласуется с кулоновскими и р-мезонными данными *).
ЗАДАЧИ
3.1.	Формула Мотта для сечения рассеяния электрона на ядре без магнитного момента имеет вид
...4»).
*) Кулоновская энергия тяжелых ядер обсуждается в гл. 5.
60
Глава 3
где р = о/с. Показать, что для энергий, при которых рассеяние электронои на ядрах осуществляется в экспериментах, это сечение сводится к величине, обозначенной в формуле (3.3) через аи.
3.2	Рассчитать величину передаваемого импульса q (см. (3.6)] для электронов с энергией 60, 183 и 550 Мзв. В какой области углов 0 выражение (3.7) дает сечение рассеяния электронов с энергией 60 Мм на N14 с точностью до 10%?
3.3.	Показать, что для распределения плотности Q (г) = qoc’-rZa среднеквадратичный радиус а —а 12, а формфактор имеет вид (l-j-a2?2)-2. Найти также а и F для однородного распределения плотности с радиусом R. Сравнить сечения рассеяния электронов с энергией 183 Мзв на Nu, получающиеся при этих двух распределениях плотности, взяв в обоих случаях одно и то же а.
3.4.	а) Показать, что если в лабораторной системе координат энергия электрона, падающего на ядро, Е тс2, то в результате рассеяния ядро приобретает энергию
..	£* I — cos 0
' " - Л1с» 14- (Е/Мс2) (1 - cos 0) ’
Оценить эту энергию для Са«о при энергиях электронов 550 Мм.
б)	Описать другие процессы (отличные от упругого рассеяния), которые могут происходить с электронами высоких энергий.
3.5.	Предполагая трапецеидальное распределение плотности
I .
Со. г<с—у/,
0, r>c+±t.
показать, что при с~А1/з плотность во внутренней области ядра (т. е. при г<с— —х/20 с хорошей точностью не зависит от А, но при с—Ч21 ~ Л1/* уже зависит от Л.
3.6.	С помощью электрои-электронного рассеяния можно было бы проверить, обусловлена ли структура протона, хотя бы частично, неприменимостью закона Кулона на малых расстояниях.
Какие необходимы для этого энергии в системе центра масс? Какие энергии необходимы в лабораторной системе?
3.7.	Получить формулу (3.18), имея в виду, что
1ФВ)» dQr2dr = (^^ya+> [(2a)!]-i г20-2 х
X ехр	г2 dr, V»/=X (Х4-1) гк-1
и \ (UV2V- VV2U) dr=0, если V достаточно быстро убывает к нулю с ростом г. Экспериментальные значения энергии ^--рентгеновских квантов, испускаемых при переходе 2р—> 1s в мезоатомах Ti и Си, равняются соответственно 0,995 и 1,548 Мм [28]. Показать, что для точечного ядра эти энергии равнялись бы 1,045 и 1,826 Мэе. С помощью приведенного выше равенства получить в обоих случаях R — радиус эквивалентного однородного распределения заряда.
3.8.	Пусть распределение плотности дается соотношением
1—при х<л,
='--------1 j
1—2е П	ПРИ * >
Размеры ядер
61
Показать, что при изменении п от 0 до со вид зависимости меняется от экспоненциальной через гауссову и фермиевскую до однородной. Показать также, что п = =21п5(с/0, где с—радиус, на котором плотность уменьшается вдвое, а /—параметр толщины.
3.9.	Рассмотреть 0-распад Mg23, S3i и О11. С помощью каждой из формул (3.22)— (3.24) найти радиусы R.
ЛИТЕРАТУРА
I.	Rutherford Е.. Phill. Mag., 21, 669 (1911).
2.	G е 1 g е г Н., М а г s d е n Е., Proc. Roy. Soc., А82, 495 (1909).
3.	Geiger H., Proc. Roy. Soc., A83, 482 (1910).
I. G e i g e r H., M a r s d e n E., Phil. Mag., 25, 604 (1913).
5.	S у m о n, Mechanics, Mass. p. 120.
6.	Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1960.
7.	Н о f s t a d t е г R., Rev. Mod. Phys., 28, 214 (1956).
8.	Moll N. F., Proc. Roy. Soc., A124, 426 (1929); A 135, 429 (1932).
9.	M с К i n 1 e у W. A„ F e s h b a c h H„ Phys. Rev., 74, 1759 (1918).
10.	D a I i t г R. H., Proc. Roy. Soc., A206, 509 (1951).
11.	Feshbach Н.» Phys. Rev., 88, 295 (1952).
12.	Y e n n i e D, R., Ravenhall D. G., Wilson R. N., Phys. Rev., 95, 500 (1954).
13.	H a h n B., R a v e n h a 1 1 D. G., H о f s t a d t e г R., Phys. Rev., 101, 1131 (1956).
14.	Fo r d K. W., Hill D. L., Ann. Rev. Nucl. Sci., 5, 25 (1955).
15.	Fregea u J. H., Phys. Rev., 104, 225 (1956).
16.	M c A I 1 i s t e r R. N„ Ho fsla d ter R., Phys. Rev., 102, 851 (1956).
17.	C h a m b e г s	E. E., H о I s I a d te r	R.,	Phys. Rev., 103, 454 (1956),
18.	В u m i I 1 e r	F., Croissiaux M.,	H о	f s t a d	t e r R., Phys. Rev. Letters,
5, 261 (1960).
19.	О 1 s о n D. N., S c h о p p e г H. F., W	i 1 s	о n R.	R., Phys. Rev., 6, 286	(1961).
20.	С г о u c h M.	F., Krohn V. E., R i n g о	G. R.,	Phys. Rev., 102, 1321	(1956).
21.	H a mmer mesh M., Ringo G. R., W a t t e n b c r g A., Phys. Rev., 85, 483 (1952).
22.	Hughes D. J., H a r v e у J. A., G о 1 d b e r g M. D., Stafne M. J., Phys. Rev., 90, 497 (1953).
23.	M e I k о n i a n E., R ti s t a d В. M., Havens W. W., Jr., Bull. Am. Phys. Soc., Ser. II, 1. 62 (1956).
24.	H о f s t a d t e г R., В u m i I I e r F., Y e a г i a n M. R., Rev. Mod. Phys., 30, 482 (1958).
25.	H о f s t a d t e r R.. de V r i e s С., H e r in a n R., Phys. Rev. Letters, 6, 290, (1961).
26.	H о f s t a d t e r R., Herman R.. Phys. Rev. Letters, 6, 293 (1961).
27.	Y e n n i e D. R., Levy M. M., R a v e n h a I I D. G., Rev. Mod. Phys., 29, 110 (1957).
28.	F i t c h V. L., R a i n w a t e r J., Phys. Rev., 92, 789 (1953).
29.	С о о p e r L. N., Henley E. M., Phys. Rev., 92, 801 (1953).
30.	H i 1 I D. L., Fo r d K. W., Phys. Rev., 94, 1617 (1954).
31.	В e t h e H. А., В a c h e r R., Rev. Mod. Phys., 8. 82 (1936).
32.	P e a s I e e D. C., Phys. Rev., 95, 717 (1954).
33.	С a r I s о n В. С., T a 1 m i L, Phys. Rev., 96, 436 (1954).
34*. Д p e л л С. Д., Захар и азен Ф., Электромагнитная структура нуклонов ИЛ, 1962.
ГЛАВА 4
МОМЕНТЫ И ФОРМА ЯДРА
§ 1. Электромагнитные мультиполи
В предыдущей главе были рассмотрены различные электромагнитные методы исследования распределения вещества в ядре. Все эти методы основываются на эффектах, связанных с процессами, при которых пробная частица в большей пли меньшей степени проникает внутрь ядра. Займемся теперь изучением эффектов, возникающих при электромагнитном взаимодействии ядра с системой, удаленной от него на большие по сравнению с ядернымн масштабами расстояния. В таких случаях удобнее говорить о взаимодействии полей, а не частиц.
Как следует из теории электромагнетизма, реакциюлюбой системы зарядов или токов (например, ядра) на внешнее электромагнитное воздействие можно описать с помощью ряда «мультнпольных моментов». Во многих случаях достаточно ограничиться несколькими низшими моментами; именно благодаря этому свойству использование рядов оказывается столь удобным. Упрощения возможны при двух условиях: а) скорости частиц в ядре малы по сравнению со скоростью света; б) изменения внешнего поля на ядерных расстояниях малы. Чтобы получить сведения о невозмущенном ядре, эти два условия необходимо, очевидно, дополнить третьим — внешнее поле не должно значительно изменять распределения зарядов и токов. Например, следует помнить о возможной поляризации заряда ядра в сильном электрическом папе.
Энергию взаимодействия системы зарядов и токов с внешним электромагнитным полем можно представить в виде
Ям = Wo-PEo-MHo-4-S QJ	(4.1)
Gi.J \дх‘>0
где Е и Н — напряженности электрического и магнитного папей, <р — электростатический потенциал; индекс «О» означает, что рассматриваемые величины вычисляются в начале координат, которое выбирается в какой-либо удобной точке внутри системы (например, в нашем случае в центре ядра); q — полный заряд системы, Р — вектор электрического дипольного момента, М — вектор магнитного дипольного момента и Q,/,— тензор квадру-полыюго момента. При заданной плотности заряда q и плотности тока J имеем
9= J qdV.
(4.2а)
Моменты и форма ядра
63
р= erdv,
M = IrJldK
Qifc= \ q(3xjxa—6fAr!)dV'.
(4.26)
(4.2в)
(4.2г)
В квантовой механике энергия Нзп и мульти вольные моменты становятся операторами. Выражение (4.1) представляет собой на самом деле бесконечный ряд членов возрастающего порядка мультнпольностн. Как увидим в дальнейшем, величины, определяемые соотношениями (4.2), зависят только от радиального и углового распределении зарядов и токов в ядре. Наоборот, знание этих мультиполей дает возможность судить о размерах и форме ядра, а также о плотности н движении ядерной материн. Как видно из разложения (4.1), экспериментально мультиполи можно найти, либо определяя сдвиги энергии, обусловленные взаимодействием ядра с атомными или молекулярными полями, либо используя определенное внешнее поле. Последний метод, вообще говоря, более точен, так как внешние поля известны лучше. Особенно трудно нз атомных и молекулярных опытов получить, в частности, точное значение электрического квадрупольного момента, так как для этого необходимо знать в области ядра величину градиента электрического поля, создаваемого атомными или молекулярными электронами. Последнюю, однако, трудно рассчитать, поскольку она очень чувствительна к деталям электронной конфигурации. Экспериментальные методы определения ядерных моментов рассматриваются во многих книгах (например, в книге Рамзея [ 1 ]).
Кроме фундаментального определения магнитного момента М через плотность тока J (формула (4.2в)1, имеется еще одно важное альтернативное выражение для магнитного момента. Пусть J обусловлен электрическим зарядом плотности Q, движущимся со скоростью v. Тогда J = qv/c1). Если система состоит из частиц с зарядами е и массами М, то плотность орбитального момента количества движения равна L = (Мц/е) (rvJ, и мы имеем
1 е
M—r^-CUK	<43а'
z Me J
Для Z протонов, движущихся в ядре, квантовый аналог этого выражения имеет вид .	z
Море=45-	dV,	(4.36,
* Me j *7
где 1А — оператор орбитального момента количества движения й-го протона (деленный на Л); ф — ядерная волновая функция; индекс «орб» при М указывает на тот факт, что магнитный момент обусловлен орбитальным движением. Из соотношений (4.3) видно, что если для всех частиц отношение заряда к массе одно и то же, то магнитный дипольный момент параллелен полному механическому моменту. Оператор орбитального магнит-
]) Множитель 1/с появляется при использовании гауссовой системы единиц.
64
Глава 4
кого дипольного момента имеет вид
Морб = Мо	(4-4а)
протоны
где Цо = eft 12трс — ядерный магнетон. Кроме орбитального магнитного момента, у каждого нуклона имеется спиновый магнитный момент
Мспип = Цо SgfcSA,	(4.46)
где g = 5,5856 для протона и g = —3,8263 для нейтрона (см. гл. 1). Поскольку между магнитным и механическим моментами существует тесная связь, мы должны теперь рассмотреть момент количества движения ядра.
§ 2. Момент количества движения
Полный момент количества движения ядра является векторной суммой моментов количества движения составляющих его нуклонов. В свою очередь момент количества движения нуклона складывается из орбитального момента относительно центра ядра и внутреннего момента, равного */sft. Мы будем использовать заглавные буквы для обозначения полного момента количества движения ядра и строчные—для моментов отдельных нуклонов. Все моменты будем измерять в единицах ft. Если через 1А обозначить орбитальный момент i-го нуклона, а через sA — его спиновый момент, то
Ь = 1а + 8А = 1л + -2’®а,
L = 21*. S = SsA,	(4.5)
к	k
J= Zh-L + S.
Подчеркнем, что интегралом движения является только один из упомянутых векторов, именно, J — полный момент количества движения ядра. Собственные значения J2 равны J (J + 1) (аналогичное соотношение выполняется для других векторов). Собственные значения Jz обозначаются через М\ для проекций других моментов используются обозначения: tnh, m.ih, m,k (=±*/2), rnOk (=±1), ти, тд- Квантовое число J часто довольно произвольно называют «спином» ядра.
Экспериментально установлено, что основным состояниям всех ядер соответствуют сравнительно небольшие спины. Хотя каждый нуклон имеет спин не меньше !4ft, максимальный спин ядра в основном состоянии равен 6 (ядро V40). Это означает, что движение нуклонов и ориентация их спинов таковы, что большая часть векторов момента количества движения компенсирует друг друга. У всех без исключения ядер с четным Z и четным W в основном состоянии спин равен нулю. Это обстоятельство указывает на еще более сильное правило сложения моментов: моменты пары тождественных нуклонов компенсируют друг друга. Поэтому мы можем ожидать, что полный момент ядра с нечетным А в точности равен моменту последнего неспаренного нуклона, а в нечетно-нечетном ядре вклад в J дают только последний протон и последний нейтрон. Эта точка зрения позволяет естественным образом объяснить малость значений J.
Вообще говоря, из экспериментальных данных не вытекает обязательность представления о полном спаривании нуклонов. Однако поскольку
Моменты и форма ядра
65
представляется маловероятным, чтобы существовала какая-либо значительная разность энергий для нуклонов с различной ориентацией j, т.е. с различными гп (все остальные квантовые числа одинаковы), то ясно, что компенсация должна иметь место в любой разумной модели ядра. Поэтому при любом наборе квантовых чисел (включая определенное /) следует ожидать, что в основном состоянии ядро содержит по одному нуклону с каждым из 2/ + 1 значений проекции т. Разумеется, вследствие принципа Паули в состоянии с определенным т может находиться только один протон и один нейтрон. Поэтому 2/ + 1 частиц с моментом / обладают полным моментом, равным нулю. Вклад в J будут давать лишь несколько оставшихся частиц, число которых (меньшее 2/	1) недостаточно для того, чтобы имела место
полная компенсация моментов частиц с данным j. Из изложенных соображений не обязательно следует, что все четно-четные ядра имеют спин нуль. Действительно, для двух протонов с одним и тем же /, например, минимум энергии не обязательно должен соответствовать тому случаю, когда гп противоположны. Таким образом, небольшие значения J свидетельствуют не только о том, что существует некоторая компенсация моментов нуклонов; они говорят также о том, что / — момент количества движения отдельных нуклонов — может быть интегралом движения. Это предположение неявно содержится и в приведенных выше рассуждениях.
Представление о том, что отдельные нуклоны имеют определенные моменты количества движения, подразумевает, что каждый нуклон движется по фиксированной орбите и не изменяет своего движения при столкновениях с другими нуклонами. По-видимому, делать это предположение — значит игнорировать взаимодействие нуклонов друг с другом. В то же время интенсивность и радиус действия нуклон-нуклонных сил указывают скорее на то, что это давало бы плохое приближение, поскольку столкновения нуклонов должны быть довольно часты и, следовательно, невероятно, чтобы / сохраняло постоянное значение. Тем не менее большое число фундаментальных свойств ядра можно понять, отправляясь от очень простой модели, в которой действие ядерных сил сводится к локализации нуклонов в объеме ядра, а все эффекты прямого нуклон-нуклонного взаимодействия полностью игнорируются. Непротиворечивость этой модели с сильным характером ядерных сил обсуждается в части П. Здесь же мы будем использовать эту модель просто на эвристических основаниях.
§ 3. Электрические моменты
Член в разложении Нал (4.1), который описывает присутствие электрического мультиполя порядка Л, может быть выражен через так называемый оператор электрического 2*~польного момента, определяемый как
7
Qx = 2rM(0ft),	(4.6)
*=i
где гд, Од, фд— координаты k-ro протона и — сферическая гармоника порядка X. Можно показать [1 ], что при X = 2 квантовый оператор электрического квадрупольного тензора имеет вид
Qij —
J(2J-1)
□
у(л^+4л)-м2
(4.7а)
5 Зпкая № 37
66
Глава i
где	2, 3)— компоненты J и
/16л\'/г	/16л\‘/2я .
<?=(—) (Qi>m=j“ га \^JtJQ2WJtJdV. (4.76) \ о /	\ 5 / J
Таким образом, энергия взаимодействия Нал может быть выражена через Q; это утверждение справедливо также и для более высоких мультиполей. Ниже будет показано, что
и что Q представляет собой среднее значение оператора Q33 в состоянии, в котором проекция момента J на ось г имеет максимальное значение J. Величину Q называют также электрическим квадрупольным моментом, хотя она и отличается численным множителем от (Q2). Каких-либо логических оснований для введения Q вместо (Q2) нет. Однако это делается в силу того, что в экспериментальных результатах приводят обычно величину Q1). Выражают ее в см2.	'
Заметим, что любая система в состоянии с определенной четностью не может обладать статическим электрическим моментом нечетного порядка. Действительно, полиномы Лежандра нечетного порядка являются нечетными функциями г, в то время как |фг|— четная функция (х, у, г) всегда, когда ф имеет определенную четность. Поэтому интеграл для мультиполь-ного момента |ф|2 Q>.dV как интеграл от нечетной функции равен нулю. В частности, ядро не может обладать электрическим дипольным моментом, и если нс считать члена <7Фо. взаимодействие системы с внешним полем в наннизшем порядке описывается квадрупольным членом2).
Если ядро обладает мультипольным моментом, то определенные ограничения накладываются и на полный момент количества движения. Действительно, полином Лежандра Р>.(0к) является собственной функцией оператора момента с собственным значением X. Поскольку функции, соответствующие различным моментам, ортогональны, то произведение ф*ф в интеграле J ф*л./ф,;>7(2х</1/должносодержатьчлен,соответствующий моменту X. Функция описывает состояние с моментом J. Произведение ф*ф будет соответствовать состояниям, в которых складываются два вектора J. Результирующий момент может иметь любое значение в интервале от 0 до 2/. Следовательно, если существует 2х-польный момент, то J>X/2X. В частности, ядра со спинами 0 или 1/г не могут обладать статическими электрическими квадрупольными моментами. (Термин статический используется для того, чтобы подчеркнуть, что мы не рассматриваем случаи радиационных переходов в ядрах. Тогда эти ограничения несправедливы.)
Наличие у ядра квадрупольного момента означает, что распределение заряда в нем нс является сферически симметричным. Это видно из формулы (4.76), согласно которой квадрупольный момент равен нулю, если плот-
*) Следует предупредить читателя о том, что в литературе встречаются исключения и из этого правила.
2) Считается, что на опыте отсутствие электрического момента у ядра и нуклонов указывает, что состояния с определенной четностью дают очень хорошее приближение. Можно показать, однако, что обращение в нуль нечетных моментов вытекает из инвариантности только по отношению к обращению времени (без каких-либо предположений о четности).
Моменты и форма ядра
67
ность не содержит члена, пропорционального Р2(0). Менее формально
эту ситуацию можно истолковать, рассмотрев случай равномерного распределения заряда в эллипсоиде (и отвлекаясь от того обстоятельства, что заряд сосредоточен в отдельных протонах). Пусть ось г' совпадает с осью эллипсоида. Положим длину этой оси равной 2а, а длины двух других полуосей равными Ь. Тогда плотность заряда имеет вид
Ze 3Ze
V 4nab2
По аналогии с (4.8) и (4.2г) квадрупольный момент по отношению к оси г' определим соотношением
= —1 Z(a2-62) = — оа2,	(4.9)
/20л	4л -	' '
где величина 1 , /Тла2—Ъг
»	°= Зр 5-J-	<410)
введена как мера вытянутости эллипсоида. (Позднее выяснится удобство введенного численного множителя.) Если а мало и, следовательно, а и b близки друг к другу, то полезно ввести средний радиус
R^ab2.	(4.11)
Сфера радиуса Ro имеет тот же объем, что и эллипсоид. Тогда
Q' = 1/1®?(Q;) = -3Z Wl-31/Аа^ ,l.	(4.12)
у 5 У 5л ' V 4л j
t
Если ось z составляет с осью г' угол 0 (фиг. 4.1), то нетрудно видеть, что квадрупольный момент относительно этой оси равен
«?2>е = 1/A Г Q(3z2-r2)dV=l(3cos20-l)(Q'2).	(4.13)
V 16л J	2
Отсюда видно, что наибольшие значения (Q2)e достигаются при наименьших возможных 0. В классической механике максимальное значение достигается, очевидно, при 0 = 0; в квантовой механике максимальное значение cos 0 определяется свойствами момента количества движения.
Если Q' представляет собой внутренний момент относительно направления спина, то ось?' совпадает с направлением J и максимум cos О, достигаемый при М = J, равен
cos0 =
J
68
Глава 4
Из (4.13) следует, что
Q=1/15	= 'g' Q-.
V 5	2(74-1)
Теперь ясно, почему величина Q определяется как момент в состоянии М = J: это максимальное наблюдаемое значение квадрупольного момента. Величину Q' можно рассматривать как внутренний квадрупольный момент системы по отношению к направлению ее спина. Однако поскольку принцип неопределенности не допускает точной локализации направления момента количества движения, то при наложении внешнего поля только часть Q' будет давать вклад в энергию. Например, в случае J = Vs вероятность направления
(4.14)
Фиг, 4.1. Квадруполь-ный момент сфероида.
J вдоль оси z так мала, что Q — 0. Это обстоятельство «физически» поясняет общую теорему о том, что Q = 0 при J < 1. Это не означает, что ядра со спинами 0 и Vs являются сферическими. Асимметрия этих ядер просто не проявляется в статическом электрическом квадрупольном взаимодействии.
Если представлять себе ядро как вращающийся в пространстве эллипсоид фиксированной формы, то момент J будет иметь определенную проекцию (назовем ее К) на ось симметрии. Этот результат вытекает из общих классических соображений о движении твердого тела. Квадрупольный момент Q' относительно осн симметрии можно связать с моментом Q относительно осн в пространстве, вдоль которой компонента J равняется Л'1 = J. В последнем случае направление J не может совпадать ни с одной из осей, и максимальное значение К равно J. С помощью (4.13) можно рассчитать среднее значение cos2 0, где© — угол между осью симметрии и осью в пространстве. Но для этого необходимо знать волновую функцию вращающегося эллипсоида, с которой мы не встретимся до гл. 10. Поэтому мы приведем только результат:
I 4 (J + l)(2J + 3)’
(4-15)
или при K.=J
Q = Q' Л2-'—1)—	(4.16)
(J + l)(2J + 3)
Экспериментальные значения квадрупольных моментов представлены на фиг. 4.2, где по оси ординат отложена величина
/5^ Q (J+l)(2J + 3)
3 ZR2o 7(27—1)
В тех случаях, когда ядро можно считать эллипсоидальным, эта величина, согласно соотношению (4.12), непосредственно связана с параметром асимметрии о. По горизонтальной осн отложены Z для четно-четных ядер и ядер с нечетным Z; для ядер с нечетным W по горизонтальной осн отложены N'. Для четно-четных и некоторых других ядер значения Q' найдены из сече-

—1— £ е О о ‘ |! И	—1—	1 •		f1 в
•3 i J? s 6				•
-			к	♦ ►
—			♦ s	
- 1 .		1		♦ d ф 1		1		ф 	J	
—1— /‘ / / /	~п—	1 3 J	—1—	—
				
				
				
	о	4 Э		-
	ос			
	С	i 3 г		-
ф >•		U 1 	с			
				
	:	о	Г" 		-
'****^#				
				
	1					1		4-	1—
0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100 110	120 130 140 ISO
Z или N
Фиг. 4.2. Экспериментальные квадрупольные моменты характеризуют несферичность ядер.
о сл co t- «о io	csjeo4-totot-'to о
r-' to to to to to to to to o' to to" to to' to to' o' to O'
i l I I l I < I I

70
Глава 4
ний кулоновского возбуждения (см. гл. 11). Кривая приведена только для того, чтобы показать общий ход зависимости. Числа на графике соответствуют сферическим ядрам.
Предположение об эллипсоидальном распределении заряда противоречит простой картине, описанной выше при обсуждении спинов. Согласно этой картине, частицы в ядре спарены таким образом, что все нуклоны с данным / формируют сферически симметричное распределение заряда, а спин ядра определяется моментом последней частицы. Можно показать (см. задачу 4.2), что квадрупольный момент одного протона равен
Qo„----2J~~ \ <?),	(4.17а)
2(7+1)
где (гг) — среднеквадратичное расстояние протона от центра ядра. У ядер с нечетным числом нейтронов квадрупольный момент обусловлен отдачей остова ядра, образующего заряд Z, смещенный на расстояние гп /А от центра масс. Следовательно,
7
QoH=-=rQon-	(4.176)
/1
Величина (г2) в этих формулах немного меньше среднеквадратичного радиуса ядра. Поэтому, если бы предложенная модель была верна, то величина фдля ядер с нечетным Z должна была бы увеличиваться с ростом Л, как Л2/», и составлять по порядку величины от ~10'28 сл12 до ~5-10'25 см*. Для ядер с нечетным числом нейтронов величина Q должна была бы меняться примерно как Л-1/» и лежать в интервале 10 28 еле2— 10'20 сл«2. Из этих результатов следовало бы, что для ядер с нечетным числом протонов величина, отложенная по вертикальной осн на фиг. 4.2, равна
/27—3\ /<г2)\ //5я\ / 1 \	1
\ 2JДЯоД 3 )\z)~z‘
а для ядер с нечетным числом нейтронов ~1 /Л2. Кроме того, знак ее был бы отрицательным.
Как видно из фиг. 4.2, эти предсказания решительно противоречат эксперименту. Сам факт, что предсказанные значения оказываются слишком малыми, показывает, что в квадрупольный момент дает вклад большое число протонов. Более того, если Q достаточно велико, то по порядку величины моменты ядер с нечетным числом нейтронов и нечетным числом протонов совпадают. Это также подтверждает, что в обоих случаях большое число протонов характеризуется несферическим распределением плотности. Имеется, наконец, очевидное преобладание положительных квадру-польных моментов. Этот трудно объяснимый факт наводит на мысль, что моменты по крайней мере нескольких нуклонов образуют сложную конфигурацию, ориентируясь таким образом, что, когда результирующее М = J, величина Q положительна.
Все указанные обстоятельства приводят к выводу, что простая одночастичная модель слишком наивна и что в совместное движение несфериче-ского характера вовлечено большое число частиц. Его можно оценить, рассмотрев модель равномерно заряженного сфероида. При Q > О заряд, остающийся вне сферы, роль диаметра которой играет меньшая ось, в первом приближении по а равен 3|/5/4л oZe = 1,89 a Ze. Как и в случае сферических ядер, плотность должна уменьшаться вблизи границы ядра.
Моменты и форма ядра
71
Это означает, что действительная степень искажения формы распределения в ядре будет несколько большей, чем те значения а, которые приведены на фиг. 4.2. Однако уже и приведенные значения о достаточно велики. Это наводит на мысль, что во многих ядрах несфернчсское распределение плотности обусловлено совокупным действием большого числа протонов.
Другая интересная особенность кривой Q состоит в том, что при определенных числах нуклонов квадрупольный момент имеет нулевые значения. Величина Q сначала уменьшается от больших положительных значений до нуля и далее до небольших отрицательных значений, которые, однако, не согласуются с результатами одночастичной модели. Затем Q вновь довольно быстро возрастает до больших положительных значений. Нулевые значения квадруполыюго момента имеют место у ядер с Z (или N), равными 8, 16, 20, 28, 38, 50, 82, 126. Ядра с такими значениями Z (или N) относятся к сферическим. Если к сферическому остову добавляется один или два нуклона, то он, очевидно, не очень сильно деформируется. Если же число добавленных нуклонов увеличивается, то ядро может стать несферическим. Мы увидем в дальнейшем, что в некоторых из указанных точек скачкообразно изменяются и определенные другие свойства ядер. Более полно рассмотреть и объяснить поведение Q мы сможем после того, как ознакомимся с некоторыми менее наивными моделями. Здесь же отметим, что правильная модель должна описывать как одночастнчные свойства, проявляющиеся в значениях моментов количества движения, так и свойства коллективного движения (обусловленные большими отклонениями ядер от сферичности).
§ 4. Магнитные моменты
Оператор магнитного момента ядра, обусловленного орбитальным и спиновым магнитным моментами нуклонов, представляется в виде
А
М = Mo S »*’»* +(4.18)
где гиромагнитное отношение для спина gi, то же, что и в соотношении (4.4), а гиромагнитное отношение орбитального движения ga> равняется единице для протона и нулю для нейтрона.
Магнитный момент р определяется как среднее значение Mz в состоянии с Jz= J и выражается в ядерных магнетонах:
Н = =	(4.19)
г'0 J
Этим же соотношением определяется ядерный ^-фактор. Для ядра со спином нуль нет выделенного направления, и ц = 0. Это справедливо, в частности, для основных состояний четно-четных ядер. Магнитный 2’-польный оператор мы определим следующим образом:
А-|- 1
Магнитный момент получается как частный случай при X = 1, именно, р — (1/po)(Af|),w=j. В немногих случаях удалось измерить |2| октуполь-ный момент (Л'1з)м=7. Однако точность экспериментальных результатов
M>. = PoY (v'aA^a)!-
72
Глава 4
пока еще недостаточна для того, чтобы обнаружить более высокие электрические или магнитные мультиполи.
В предельном случае одночастичной модели моменты количества движения, а следовательно, и магнитные моменты отдельных нуклонов попарно компенсируются. При этом магнитный момент ядра равняется просто магнитному моменту последнего нуклона. Его величина будет зависеть от того, равен ли J — j = / + */2 или / = /—l/s. Нетрудно показать (см. задачу 4.3), что окончательный результат имеет вид
/=/+у:	|х=(/—у)б<П + Цп1Р,	(4.21а)
/.= /-1: и =	3 Vw J (421б)
2	/+1LX 2/
где цП1р — собственный магнитный момент последнего (свободного) нуклона (Рл,р= Vjgn.p). Эти значения магнитного момента при данном / называют шмидтовскнми предельными значениями (31.
На фиг. 4.3 и 4.4 представлена зависимость измеренных значений магнитных моментов от J для ядер с нечетным А. Сплошными линиями изображены шмидтовские предельные значения, соответствующие формулам (4.21). При анализе этих диаграмм обнаруживаются определенные общие закономерности. Моменты большинства ядер не лежат на линиях Шмидта. Однако на каждой диаграмме ядра разбиваются на две группы; ядра одной группы расположены вблизи линий Шмидта, а ядра другой — приблизительно на одни магнетон удалены от них. Видно также, что магнитные моменты всех ядер, за исключением немногих легких ядер и Np237, лежат между линиями Шмидта.
Эти факты также свидетельствуют о том, что одночастичная модель не описывает деталей структуры ядра (хотя и указывает общие тенденции, присущие некоторым свойствам ядра). Большие отклонения от значений, даваемых одночастичной моделью, объясняются двумя причинами.
1. Для более корректного описания ядра необходимо учитывать эффекты коллективного движения. Пусть некоторая выбранная в разумных пределах часть момента количества движения ядра обусловлена коллективным орбитальным движением нуклонов. С этим движением будет связан относительно небольшой дополнительный g-фактор порядка Z/А (заряжены только протоны). Таким образом, следует ожидать, что учет коллективного орбитального движения приведет к смещению величин магнитного момента от линий Шмидта. Нет необходимости считать, что все нуклоны ядра участвуют в этом движении: в нем, вероятно, участвуют только нуклоны с одним и тем же значением j, хотя в этом случае, по-видимому, не так легко объяснить, почему сдвиг происходит всегда в одном направлении.
2. Сдвиг можно объяснить также, допустив уменьшение внутреннего магнитного момента нуклонов. Для этого вспомним, что аномальный магнитный момент обусловлен токами в заряженном мезонном облаке, окружающем «голый» нуклон с дираковским магнитным моментом (рп — О, Рр= 1). Можно думать, что, когда нуклоны находятся поблизости друг от друга, ядерные силы, обусловленные мезонными полями, изменяют виртуальные мезонные токи, а следовательно, изменяют и магнитный момент. Если в результате этого уменьшается величина р (как должно бы быть в случае увеличения пространственных размеров мезонного облака), то следовало бы ожидать, что наблюдаемые моменты будут укладываться между
Моменты и форма ядра
73
Фаг. 4.3. Магнитные моменты ядер с нечетным Z.
Сплошные липни — линии Шмидта. Пунктирными линиями изображены одной истинные магнитные моменты ядер в том случае, когда мезонные поправки к магнитному моменту нуклона отсутствуют.,
линиями Шмидта и аналогичными линиями, построенными по магнитным моментам голых нуклонов. Эти линии изображены на фиг. 4.3 и 4.4 пунктиром. Для протонов они лежат близко друг от друга, а для нейтронов — совпадают, так что отсюда едва ли возможно извлечь достаточно убедительные доказательства гипотезы о том, что большинство магнитных моментов должно лежать вне этих линий. Поэтому важно оценить величину эффекта «подавления» магнитного момента, что, однако, трудно осуществить в связи
74
Глава 4
с неудовлетворительным состоянием современной мезонной теории. Из некоторых феноменологических теорий можно получить согласующиеся с экспериментальными данными значения среднего подавления [4, 51 путем
подгонки входящих в расчет изменяемых параметров. Для зеркальных ядер Не3 и Н3, волновые функции которых относительно хорошо известны 16], можно установить некоторые ограничения области изменения параметров, выделив достаточно надежно вклад обменных мезонных токов. Для каждого из ядер ц изменяется на 0,27 ядерного магнетона (в направлении за пределы, ограниченные линиями Шмидта). Если наложить требова
Моменты и форма ядра
75
ние, чтобы теория, используемая для других ядер, давала разумные результаты и для Не3 и Н3, то эффект подавления, по-видимому, не будет превышать 0,25 ядсрного магнетона [7, 8], причем сдвиг происходит в неправильном направлении. Ситуация недостаточно ясна, тем не менее разумно предположить, что эффект подавления — не единственная причина отклонения от линий Шмидта; существенную долю этого отклонения следует отнести за счет некорректности одночастнчной модели.
Фиг. 4.5. Отклонение магнитных моментов от шмидтовскнх предельных значений в зависимости от нечетного числа нуклонов (по Блин-Стойлу).
на одно важное обстоятельство, именно на то, что существенную роль в ядерных свойствах играет нечетное число частиц. Во всей периодической системе насчитывается около 12 элементов с нечетными Z, имеющих по два или более изотопов с одним и тем же спином, но количеством нейтронов, отличающимся на четное число. Во всех этих случаях магнитные моменты оказываются почти одинаковыми. Очень сильно отличаются только магнитные моменты у ядер Ей151 и Ей153 и значительно меньше у ядер Rb81-87 и Gaee>71. Кроме того, имеют место также три случая двух изотонов с нечетным W, магнитные моменты которых измерены: ядра с N = 65, 85 и 117. Во всех случаях значения моментов очень близки. Эти данные показывают, что в ядре с нечетным числом нейтронов (протонов) и четным числом протонов (нейтронов) таковые дают очень небольшой вклад в магнитный момент р. Это можно видеть и по кривым изменения процентного отклонения от линий Шмидта в зависимости от нечетного числа протонов или нейтронов (фиг. 4.5). Как показывает график, эти кривые очень близки друг к другу, хотя сравниваемые ядра могут сильно различаться по массе. Например,
76
Глава 4
Z — 29 отвечает ядру Си63, a N — 29 — ядру Сг*3. Заметим также, что отклонения магнитного момента от одночастнчных значений не зависят в какой-либо степени от того, какое число нечетно—протонов или нейтронов, но в то же время довольно резко зависят от величины этого нечетного числа.
ЗАДАЧИ
4.1. а) Показать, что квадрупольный момент Q' равномерно заряженного сфероида относительно оси симметрии равняется 4/sZ(b4—а4), где а и Ь —длины полуосей (через b обозначена ось симметрии),
б) Показать, что его квадрупольный момент относительно оси, составляющей угол 0 с осью симметрии, равен (s/2 cos4 0 — * 1/г) Q'
в) Исходя из величин а, приведенных на фиг. 4.2, найти отношение b/а для нескольких типично деформированных ядер.
4.2. В простой модели, использованной в этой главе, нуклон характеризуется квантовыми числами /, / и /и. Следовательно, его волновая функция имеет вид
ф(/, /, in) = u(r) 1m- 11	<р) +
+(z4m+4"4|/m)pr'n+(,/,) (0> ф)} • Обозначения и некоторые необходимые формулы приведены в приложении А. Рассчитать квадрупольный момент одного протона [см. формулу (4.17а)].
4.3. С помощью волновой функции задачи 4.2 получить шмидтовские значения магнитных моментов [см. формулу (4.21)].
ЛИТЕРАТУРА
1. R a m s е у N. F., Nuclear Moments, New York, 1953.
2. Schwartz C., Phys. Rev., 97, 380 (1955).
3. Sch m i d t T., 2s. f. Phys., 10G, 358 (1937).
4. M i у о z a w a A., Progr. Theor. Phys., 6, 801 (1951).
5. R u s s e k A., S p r u c h L., Phys. Rev., 87, 1111 (1952).
6. S a c h s R. G., Nuclear Theory, Reading, Mass., 1953.
7. Ross M., Phys. Rev,, 88, 935 (1952).
8. D г e I I S. D., W a 1 e c k a J. D., Phys. Rev., 120, 1069 (1960).
9. В I i n-S t о у I e R. J., Theories of Nuclear Moments, Oxford, 1957.
ГЛАВА 5
СИЛЫ МЕЖДУ НУКЛОНАМИ. II
§ 1. Электромагнитные моменты дейтрона и тензорные силы /
Как было найдено, электрический квадрупольный момент дейтрона составляет Q = 2,82-10'2’ см2 [1—3J, а магнитный момент ра— 0,857348± ±0,000003 14]. Полный момент количества движения дейтрона J = 1.
В гл. 2 мы видели, что величины энергии связи и полного момента количества движения согласуются с предположением, что основное состояние дейтрона —3S|-состояние. Однако в S-состоянни волновая функция не зависит от углов и, следовательно, распределение плотности изотропно. Поэтому система в S-состоянии не может иметь квадрупольного момента. Две частицы со спином Уг и полным моментом количества движения 1 могут находиться в следующих состояниях: *Plt ’51( 3РЬ 3Dt. В случае центральных сил орбитальный момент является интегралом движения, однако в присутствии нецентральных сил каждое состояние с определенным J может быть комбинацией состояний с различными L. Если считать, что четность — хорошее квантовое число, то можно комбинировать состояния только с одинаковой четностью. Поэтому, кроме состояний, имеющих определенное L2, следует рассмотреть в качестве возможных следующие волновые функции дейтрона:
ф (SD) — cos шф (А) *(т)04- sin юф (8О)|(т)п,	(5.1а)
ф (РР) = cos (оф СР)'(т)0 + sin шф (“Р)3(т)о.	(5.16)
Степень смешивания состояний определяется параметром (о, вводимым через тригонометрические функции, так что ф(5О) и ф(РР) автоматически оказываются нормированными на единицу. Обе волновые функции описывают состояние, в котором измерение момента количества движения даст 7 = 1. Однако если измерить L в состоянии (5.1а), то иногда встретится значение L = 0, а иногда L = 2. Вероятности этих событий равны соответственно cos2 ш и sin2 и. Аналогично, измерение спина S в состоянии (5.16) дает значения 0, 1 с вероятностями cos2 ш и sin2 ш соответственно. Таким образом, кроме чистого 35-состояния имеются еще пять возможностей для описания основного состояния дейтрона PPj.’Pj, 3Db а также комбинации (5.1а) и (5.16)]. Выбор между ними можно сделать, рассмотрев магнитный момент дейтрона.
Для нахождения магнитного момента используем формулу (А.75а) приложения А:
Иа = 1(Л!2)м-7 = -1-1и-М).	(5.2)
Ро	J + 1 Ио
78
Глава S
Так как в орбитальный магнитный момент дает вклад только протон,, а момент L является суммой орбитальных моментов обоих нуклонов, то.
1=1
где Pi = Ир или pi = рп в зависимости от природы нуклона i. Используя оператор изоспина т3, равенство (5.3) можно переписать следующим образом:
—- М = (рр 4- pn) (Si + Sj) + (рр—рп) У s(T3i + — L —
Ро	"2
= у Gl₽ + Hn 4-y)(S-|- L)4- (рР4-рп —yl (S —L) 1 +
+ <Рр—l‘n) X SiT3j,
или
— J-M = — (S + L)-M =
Po Po
=4 (н₽+и»+4) j 2+( hp+pn -y)(s2-1?)) ]+
+ (Pp—Pn)J-£siT3(.	(5.4>
Член У5(т1г будет иметь одни знак, если частица 1 является протоном, а частица 2 — нейтроном; при обратной нумерации знак будет противоположным. Однако при изменении нумерации нс может измениться волновая функция какого-либо физического состояния дейтрона, если оно является! собственным состоянием нзоспина. Поэтому при усреднении этот член обращается в нуль для S 4-D-состояний. Полагая J- = 1, получаем следующее выражение для оператора магнитного момента:
(5.5)-
Если оператор действует на состояние с определенными S и L, то операторы S2 и L* можно заменить на числа S(S 4-1), и L (L4-1). Для различных возможных состояний получаем
‘Л:	Pd-y,
3Si:	Pd = Pp + pn = 0,879,
3Рь	Ри = 4н₽ + Ип 4-41 = 0,689,
3Di:	Pd = у (-Нр-Нп 4-у) = 0,310,
3S + 3D: pd = 0,879 — 0,569sin2to,
1Р+3Р: ра = 0,500 4-0,189sin2to 4-3,327 sin 2<o^ lf3fdr.
Только два последних состояния могут дать магнитный момент, близкий к значению 0,857, а P-состояния исключаются в дальнейшем рассмотрении.
Силы .чежду нуклонами. II
79
Во всяком случае это утверждение справедливо, если не существует очень интенсивных сил, зависящих от скорости или весьма значительных магнитных моментов, обусловленных обменными мезонными токами.
Как уже указывалось ранее,'последние не могут быть очень велики. Однако разность экспериментального значения ца и значения Рр+рп (магнитный момент в состоянии 3Sj) составляет всего лишь 3%. Поэтому поправки порядка нескольких процентов могут оказаться очень существенными при вычислении примеси D-состояння. Если пренебречь всеми поправками, то sin® <о = 0,04, т. е. относительная вероятность D-состояния равна 4%. Но если учесть релятивистские и обменные эффекты (вклад которых в ра может достигать 5%), то примесь D-состояния может возрасти до 11%. Малость этой величины оправдывает предположение (см. гл. 2) о том, что основное состояние дейтрона является чистым S-состоя пнем.
Расчет квадрупольного момента дейтрона проводится непосредственно. Волновую функцию (5.1а) можно переписать в виде
Ф (SD) = ^- [cos a>f8 (г)ю+sin wfD (г) У}, 121,	(5.6)
где — собственная функция оператора момента количества движения, fs(r) и /о(г) — радиальные части волновых функций с нормировкой
оо
\f(r)dr — 1. С учетом того, что г представляет собой расстояние между о
протоном и нейтроном, формула (4.7а) принимает вид
(1 Атг\ 1/f2	/ _ \ 2
\k(SD)|2 4 y?dV.	(5.7)
о /	•>	\ z /
Отсюда получаем
Q=]/2cosasin® $ fs(r)fD(r)r*dr—ysin2<o Ji /o(r)r2dr
(5-8)
Заметим, что чистое D-состояние характеризуется отрицательным Q. Если, однако, относительная фаза S- и D-состояний положительна, то Q может принимать положительные значения. Действительно, при sin® о ~ 0,04 в (5.8) наиболее существен первый член, и наблюдаемые значения Q приводят к значению Jj/sA/'dr ~ 10-Ю-®’ еле®. Так как мдлые г дают небольшой вклад в этот интеграл, то отсюда следует, что волновая функция должна быть «размазана» по области с размерами 4 или 5 фм. Это согласуется с размерами дейтрона, предложенными в гл. 2. Мы нашли в гл. 2, что вне области с размерами приблизительно 1,7 фм волновая функция дейтрона ведет себя как е~^г с l/v = 4,31 фм. Последнюю величину часто называют «радиусом дейтрона». Заметим, что дейтрон представляет собой весьма слабо связанное ядро с большим радиусом (сравнимым с радиусами ядер, содержащих до до 20 нуклонов).
Поскольку вычисление Q не сопряжено с учетом неточных малых поправок (как в случае магнитного момента), то величина Q, казалось бы, позволяет более точно определить долю D-состояния в волновой функции. Из формулы (5.8) видно, однако, что для расчета Q необходимо знать радиальную волновую функцию, которую в свою очередь можно найти только в том случае, когда достаточно хорошо известны силы между нуклонами. Если постулировать определенные силы, то можно рассчитать величины Q и ы.
во
Глава 5
Экспериментальное значение Q (с которым должны совпадать результаты такого расчета) определено достаточно точно. Напротив, величину со лишь весьма приближенно можно оценить по магнитному моменту.
Все рассмотренные до настоящего момента типы ядерных сил' — существенно центральные и не могут дать смешивания состояний с различными орбитальными моментами количества движения. Можно обобщить их свойства, вводя зависимость сил от скорости или, как мы уже отмечали в § 2 гл. 2, вводя силы, зависящие от угла между вектором спина и линией, соединяющей нуклоны. Один из возможных нецентральных потенциалов, которые можно построить из трех векторов сть а2 и г = г г, имеет вид
yr= VT(г)(За, го2 г—а(-а2)= Vr(r)S|2.	(5.9)
Индекс Т мы поставили потому, что этот потенциал называют тензорным потенциалом: он представляет собой скалярное произведение двух тензоров второго ранга. Можно показать, что этот и рассмотренный в гл. 2 обменный потенциал являются единственными независящими от скорости потенциалами для двухнуклонной системы, при которых сохраняются энергия, импульс, полный момент количества движения, четность и заряд1). Поскольку L* не коммутирует с S12, добавление к гамильтониану потенциала такого вида означает, что L2 нс является больше интегралом движения и что, следовательно, состояние системы есть смесь состояний с различными L, например S- и D-состояний. Поэтому тензорные силы могут объяснить наличие квадрупольного момента. С другой стороны, S2 = (О|-|-о2)2 коммутирует с Vt и, кроме того, оператор Sl2, действуя на синглетное состояние, дает нуль, откуда ясно, что тензорные силы нс дают ни смеси синглетных и триплетных состояний, нн смеси различных синглетных состояний. Заметим также, что они не нарушают закона сохранения четности и перемешивают состояния только с четными или только с нечетными L.
Качественно эффект действия этих сил на квадрупольный момент дейтрона можно выяснить, рассматривая спины с классической точки зрения. В триплетном состоянии спины параллельны; если каждый из них составляет с направлением г угол 0, то
ут= y.r(r)(3cos20—1).	(5.10)
Компонента силы — grad У, обусловленная этим потенциалом, в направлении увеличения 0 равна (6/r)Vr(r)cos 0 sin 0. Если Ут(г) отрицателен, то сила будет стремиться направить г вдоль оси z, т.е. сконцентрировать движение в направлениях 0 = 0 и 0 = л. Поэтому если остальные силы сами по себе приводят к S-состоянию, то добавление небольших тензорных сил нарушит изотропность распределения плотности, вызывая его вытягивание в направлении оси симметрии (Q > 0). Если, однако, система при центральных силах находится в чистом D-состоянии, то распределение плотности (пропорциональное sin4 0) окажется сильно сплющенным (Q < 0). Добавление тензорных сил с Уг<0 в этом случае будет вызывать уменьшение отрицательного квадрупольного момента. Как можно видеть, такого рода эффекты будут согласовываться со значениями Q, даваемыми формулой (5.8), в случае смешанных S- и D-состояннй, если только cos ш sin <о > 0. Иными словами, тензорные силы с VT< 0 приводят к состоянию, в котором
*) Простейшие зависящие от скорости силы, именно L-S-силы, не дают смеси состояний с различными L. Независимо от того, есть такие силы или их нет в ядерном взаимодействии, свойства дейтрона указывают на то, что существует также другой тип нецентрального взаимодействия.
Силы между нуклонами. II___________________ 81
комбинируются волновые функции 5- и D- состояний, причем с коэффициентами одинакового знака. Поэтому ясно, что с помощью соответствующего подбора параметров в VT(r) (их имеется по крайней мере два) всегда можно получить значения Q и <и, согласующиеся с экспериментальными данными.
।	Для численного расчета необходимо найти решение волнового уравнения
(VT4 (г) + Ит(г)5,г)ф-у2ф,	(5.11)
где (||*ЛИ) Ртч —центральный потенциал в триплетных четных состояниях, (Л2/Л1)УГ— тензорный потенциал и (1г/Л'1)у2—энергия связи дейтрона. Уравнение (5.11) можно упростить, записав ф в виде (5.6) и умножив слева на нЗ^},12- Используя затем ортогональность этих функций и значения матричных элементов (их вычисление требуется в задаче 5.2),
(3< Ю |$п|»ю) = о, (3/,21 S.21 9}, 12) = —2,	(S'}, i21S12 j 910) -
получаем
dfi-(Y2+ VT4)/, = /8 VT tg vfD,	(5.12a)
dr
5^- Y2+ Ут, +4 -2VT fD = /8 Vr ctg «/«,	(5.126)
	dr \	г /
Эти уравнения для радиальных частей волновой функции называются «связанными»; они показывают, что если существуют тензорные силы, то система нс может обладать определенным значением А, так как при отличных от нуля значениях cos <d/s должны быть отличны от нуля sin со /D и наоборот. На расстояниях, превышающих радиус действия ядерных сил, уравнения (5.12) становятся независимыми, и волновые функции для связанного состояния можно представить в явном виде:
. . fs = iV5e-Tr,	(5.13а)
/ "X 7 \
=	+	(5.136)
для всех г, таких, что VT и Ртч < у2. Коэффициенты Ns и Nn здесь представляют собой нормировочные постоянные. Кроме того, чТо функции /’« и /D должны удовлетворять уравнениям (5.12) при больших г, они должны обращаться в нуль при г = 0 или при г, равном радиусу керна, если последний существует. При заданных Ртч и VT этих условий достаточно для определения энергии (у) и примеси D-состоянпя (sin2 со). Когда эти величины найдены и fs и f d известны, можно с помощью (5.8) рассчитать квадруполь-ный момент. Значения у2 и Q, а в меньшей степени — и значение sin2 ы, являются теми величинами, сравнение которых с экспериментальными данными позволяет принять или отвергнуть тот или иной предположенный потенциал. Дальнейшую проверку возможно осуществить, исходя из величин сечения триплетного рассеяния. В задаче о рассеянии волновая функция удовлетворяет уравнению, аналогичному (5.12) с заменой — у2 на Л2; соответствующим образом изменяется также ассимптотический вид fs и /п.
Проведение таких расчетов для заданного набора потенциалов представляет собой весьма трудоемкую задачу. Поэтому расчеты были выполнены только в некоторых специальных случаях. Рарита и Швингер (51 в качестве VT и Утч брали потенциалы в форме прямоугольной ямы с одним 6 Заказ № 37
82 Г лава 5 
и тем же радиусом, но различными глубинами. Фешбах и Швингер 161 исходили из потенциала Юкавы; при этом независимо варьировались как радиусы, так и амплитуды обоих потенциалов. Более широкий круг потенциалов исследовали Биденхарн, Блатт и Калос [7]. Данные экспериментов при небольших энергиях -не дают достаточной основы для однозначного задания всех четырех параметров. Поэтому в указанной статье приведены таблицы затабулированных допустимых значений параметров для довольно широкой области их изменения. Основной вывод заключается в следующем: по сравнению с центральными силами тензорные силы характеризуются несколько большим радиусом действия и значительно большей интенсивностью. Допустимый радиус центральных сил г„ оказывается значительно меньше приведенного в табл. 1 радиуса чисто центральных сил типа Юкавы, величина которого равна 1,58 фм. Действительно, если принять для тензорных сил радиус 1,6 фм или более, то радиус триплетного центрального потенциала будет совпадать с меньшим синглетным радиусом (1,17 фм). Однако представление об отталкивающем керне даст возможность рассматривать очень глубокие короткодействующие потенциалы и в этом случае вышеизложенные соображения становятся несправедливыми. Кроме того, интенсивность центральных сил оказывается значительно меньше, чем в случае, когда триплетное состояние описывается только центральными силами; это и понятно, поскольку наличие тензорных сил притяжения приводит к тому, что для той же энергии связи необходимы меньшие цен-тральныесилы, чем в отсутствие тензорных сил. Несмотря на то, что примесь D-состояния составляет всего лишь несколько процентов, тензорные силы дают существенный вклад в энергию связи.
Действительно, в потенциале мезонной теории основная доля притяжения как в <$-, так и в D-состоянни падает на тензорные силы. Одномезонная теория, изложенная в следующем параграфе, предсказывает следующий потенциал для триплетных четных состояний:
где х = г/1,41 фм и |/0= 11 Мэв. На расстояниях г 2 фм двухмезонные эффекты изменяют этот потенциал, однако свойства такой системы, как дейтрон, при малых энергиях определяются, главным образом, областью больших г. Нетрудно видеть, что при х = 1 тензорные силы в 10 раз больше центральных, и даже при х = 3, когда ядерные силы становятся очень слабыми, тензорные силы с учетом величины S12 все еще в 2 раза больше центральных. Мы покажем также, что мезонный потенциал, а следовательно, и столь большие величины тензорных сил согласуются с данными по рассеянию нуклонов при высоких энергиях. Подгоняя рассчитанные Q и е пол экспериментальные значения, Ивадара и др. (81 указали величину дающую согласие со значениями Q и е. Примесь D-состояния оказывается равной 6—7%. Такую же величину примеси получил Гартенхауз (91 из аналогичных расчетов; она согласуется также с величиной магнитного момента, если ввести 2% поправку на обменные эффекты.
Дейтронные волновые функции fg и fo изображены на фиг. 5.1. Они отвечают потенциалу Гартенхауза, полученному из мезонной теории и удовлетворяющему экспериментальным значениям триплетных параметров у, а, и Q. Примесь D-состояния составляет 7%. Для других потенциалов получаются аналогичные результаты. Подчеркнем, что данные при малых энергиях не определяют потенциал однозначно.
Силы между нуклонами. 11
83
Вообще говоря, в более тяжелых ядрах рать состояний с высокими / при малых энергиях все еще невелика. Поэтому при рассмотрении многих эффектов можно удовлетвориться заменой истинных центральных и тензорных сил некоторым эффективным центральным потенциалом, который, возможно, различен для состояний с разными моментами.
§ 2. Основные особенности рассеяния при высоких энергиях
Мы подчеркивали ранее, что для обнаружения тонких особенностей распределения заряда или поля сил необходимо использовать частицы, длина волны которых сравнима с размерами исследуемых деталей. Мы указывали
г в единицах радиуса дейтрона (4,315<рм)
Фиг. Л.1. ДеПтронные волновые функции cos<i>/s н sino>/n для потенциала Гартенхауза (по Гартенхаузу).
также, что рассеяние парциальных волн определяется прицельным параметром и что парциальные волны с большими орбитальными моментами при малых энергиях вообще не испытывают рассеяния. Эти два обстоятельства показывают, что определение деталей формы потенциала, а также исследование сил между нуклонами в состояниях с / > 0 требует анализа рассеяния при высоких энергиях.
Этим вопросам можно дать количественную формулировку, поставив задачу определить пространственные области, дающие вклад в рассеяние нук
лонов с данным моментом количества движения. В классической механике прицельный параметр bt = у/ (/-f-1) (Л/р) равен расстоянию наибольшего сближения. В действительности, однако, волновая функция с орбитальным моментом / отлична от нуля и на расстояниях, меньших bt. Поэтому поведение потенциала на малых расстояниях (г < bt) также будет сказываться на рассеянии соответствующей парциальной волны. Однако его поведение на расстояниях, меньших г < ЧгЬ{, как показали численные расчеты Мацумото и Ватари ПО] для простых потенциалов, по существу уже не сказывается на рассеянии /-й волны. Это означает, например, что если S-волна всегда «чувствует» весь потенциал, то P-волна при энергиях ниже 100 Мэв нечувствительна к деталям потенциала, сосредоточенным на расстояниях г < 0,7 фм. Вид потенциала на расстояниях г < 0,2 фм начинает сказываться на рассеянии P-волны при ~20 Мэв в системе центра инерции, О-волны — при ~60 Мэв и F-волны — при 120 Мэв.
Эти соображения имеют определенный теоретический смысл при расчете нуклон-нуклонных сил в мезонной теории. В настоящей книге мы не будем рассматрнватьтеоретико-полевые расчеты. Однако вэтой главе полезно дать о них хотя бы качественное представление. Энергию взаимодействия двух нуклонов удобно представить в виде ряда, последовательные члены которого соответствуют «обмену» одним, двумя и т. д. мезонами. Это разложение вытекает, разумеется, из математического аппарата теории, однако, каждый член его имеет вид, естественно интерпретируемый через образное представление об «обмене» мезонами. Говорят, что один нуклон «испускает»;, а другой «поглощает» мезон; при этом имеет место отдача нуклонов. Наоборот, отдачу можно связать с ядерными силами; тем самым природа ядерных
6*
84
Глава 5
сил сопоставляется свойствам мезонного поля. Наиболее очевидная причина того, что «обмен» мезонами считают лишь образным представлением, заключается в том, что испускаемые мезоны не есть «реальные» мезоны: в системе недостаточно энергии для порождения реального мезона. Поэтому весь процесс называют виртуальным. Обмен одним виртуальным мезоном соответствует члену низшего порядка в ядерных силах. При «одновременном» обмене двумя мезонами появляется член более высокого порядка1). Одно-мезоннын обмен приводит к потенциалу Юкавы е~>*г/цг, где ц — обратная комптоновская длина волны л-мезона. Этот результат впервые привел Юкава 1111 в 1935 г. в своей знаменитой статье, в которой было предсказано существование мезонов. Результат остался неизменным при различных модификациях мезонной теории, имевших место в последующие годы.
Однако о членах более высокого порядка невозможно сделать никакого столь же точного утверждения. Потенциалы, обусловленные членами высших порядков, страдают некоторой неопределенностью, обусловленной как техническими трудностями математического аппарата, так и более физическими причинами, такими, как зависимость результатов расчета от учета эффектов отдачи нуклонов. Важно тем не менее отметить, что члены более высокого порядка дают вклады только в потенциал на малых расстояниях, так как соответствующие виртуальные состояния обладают большой энергией. Действительно, в случае п виртуальных мезонов разброс в энергии системы составляет величину порядка п масс покоя мезона. В силу соотношения неопределенностей (Д£-Д/~ Ь) это означает, что время жизни виртуального состояния или, иными словами, время пролета мезонов равно
Поскольку скорость мезонов не может превышать скорости света, п-мезон-ные силы начинают действовать, только когда нуклоны сблизятся на расстояние, меньшее
сДГ= ——	(5.14)
п тпс лц
Более точный анализ показывает, что обрезание потенциала обусловлено появлением множителей вида ехр (—лрг) в выражении для потенциала.
Для заряженных мезонов р'1 = 1,41 фм, для нейтральных ц'1 = = 1,46 фм. Так как испускание и поглощение заряженных л-мезонов связано с превращением нейтрона в протон или наоборот, то низший («одномезонный») член рр-потенциала может быть обусловлен только нейтральными мезонами. С другой стороны, в пр-енлы дают вклад все мезоны, причем обмен заряженными л-мезонамн определяет обменные силы типа Гейзенберга или Майораны (в зависимости от того, меняются или нет спины нуклонов в процессе обмена 2 * * *)). Если взять среднее значение ц, то экспонента двухмезонного потенциала равна ехр (—r!Q,l фм). Поэтому на расстоянии, например, г = 2,1 фм вклад одномезонных процессов в ядерные силы пропорционален а вклад двухмезонных — е'8. Уже из этих только сооб
*) Первый член часто называют членом второго порядка, так как он зависит от квадрата константы связи (или «мезонного заряда нуклона»). Член, обусловленный двухмезонным обменом, оказывается, таким образом, членом четвертого порядка и т. д.
2) Заметим, что если даже ядерные силы зарядово-независимы (в том смысле,
что константы связи нейтральных и заряженных мезонов с нуклонами одинаковы),
то из-за разницы в мезонных массах будет иметь место некоторое различие между
взаимодействиями в разных триплетных по изоспину состояниях.
Силы между нуклонами. II
85
ражений видно, что величина двухмезонных сил на расстоянии г = 2,1 фм составляет одну пятую часть одномезонных, а другие факторы еще более уменьшают вклад двухмезонных сил.
Мы видим, таким образом, что на расстояниях более 2,1 фм двухнуклонный потенциал с достаточной уверенностью можно брать из мезонной теории (поскольку одномезонный член надежно известен). Сопоставляя этот факт с нашими предыдущими соображениями о расстояниях, на которые реагируют частицы с различными орбитальными моментами, мы видим, что в то время как S-рассеяние существенно зависит от теоретически слабо определенного потенциала в области г < 2 фм, рассеяние P-волны при энергиях около 20 Мэе в основном определяется потенциалом Юкавы. Аналогично, F-, G- и т. д. рассеяние до энергий 120 Мэв можно изучать на основе чистого потенциала Юкавы.
Мы пришли, таким образом, к важному заключению о том, что с увеличением энергии изучение рассеяния в состояниях с большими орбитальными моментами позволяет исследовать потенциал на все меньших относительных расстояниях. Следовательно, опыты при высоких энергиях имеют важное значение. Надо отметить одно ограничение, имеющее место при высоких энергиях: когда скорости нуклонов сравнимы со скоростью света и энергии достаточны для рождения реальных мезонов, необходимо применять релятивистскую механику, и ранее плодотворная идея статического потенциала становится плохим приближением. Может оказаться, что потенциала, который отвечал бы всей совокупности данных при энергиях до 400 /Мзв, не существует, хотя при энергиях до 200 Мзв такой потенциал можно найти. На самом деле следует ожидать, что имеется даже не один такой потенциал, так как всякое произвольное обрезание по энергии исключает возможность однозначного определения потенциала на малых расстояниях. К счастью, при изучении атомных ядер нет необходимости учитывать релятивистские эффекты, поскольку распределение импульсов в системе связанных нуклонов не выходит в заметной мере за область импульсов, соответствующих энергиям 150—200 Мэв.
§ 3. Поляризация
В дополнение к опытам по изучению дифференциального и полного поперечных сечений важную информацию дают опыты по поляризации. Говорят, что пучок частиц поляризован, если направления спинов не распределены хаотически в пространстве, а группируются вокруг некоторого выделенного направления. Если число частиц со спинами, параллельными этому выделенному направлению, равно N+, а число частиц с антипарал-лельными спинами равно N _, то в случае частиц со спином ’/» степень поляризации определяетсях) как
Р = ^-----
N+ + N-
N+ — N-
(5.15)
*) Заметим, что определение (5.15) эквивалентно определению Р=<а^>, где <о^> — среднее значение компоненты оператора а в выделенном направлении d. Если это направление заранее неизвестно, то Р можно определить относительно произвольной оси, а затем найти выделенное направление. Имеем
Рг=<аж)«+(в|Г>«-|-<ах>«;
выделенное направление определяется вектором поляризации
tf=<ax>	j-|-<a2)k.
86	Г л а а а 5
Пучок частиц можно поляризовать, если некоторая сила действует преимущественно на частицы с тем или иным направлением спина. Такой силой может служить неоднородное магнитное поле, отклоняющее в противоположные стороны частицы с противоположно направленными магнитными моментами. Однако в ядерной физике эта сила нс самый важный источник поляризованных частиц. Поляризацию вызывают тензорные силы. Действительно, тензорные силы имеют разные знаки в зависимости от того, параллельны или антнпараллельны спины падающего нуклона и нуклона мишени, и соответственно в этих двух случаях получаются разные угловые распределения. Следовательно, если на пучок действуют как центральные, так и тензорные силы, то частицы, отклонившиеся на некоторый угол, будут частично поляризованы. Другие возможные нецентральные силы, зависящие от направления спинов, также будут при разных углах рассеяния давать
Фиг. 5.2. Схема эксперимента по двойному рассеянию.
Нсполяриэокзнный пучок В рассеивается на нсполярнзованиой мишени Г]. Частично полирнаовлиный пучок В' рассеивается на второй нелоляркэовин-ной мишени Та. После «того с помощью детектора О намеряется дифференциальное сечение рассеяния.
различным образом поляризованные пучки. Даже в случае, когда неполя-ризованиый пучок частиц падает на мишень с хаотически направленными спинами, результирующий пучок может оказаться частично поляризованным вследствие интерференции волн, соответствующих частицам с изменившимися и неизменившимися направлениями спина. Этот эффект имеет существенно квантовомеханический характер, и папу классический анализ не может дать правильного результата. Итак, во всяком процессе рассеяния, в котором принимают участие силы, связывающие пространственные и спиновые координаты, имеет место папяризация. Ее величина и знак определяются углом рассеяния.
Наоборот, поляризацию пучка можно анализировать, исходя из того факта, что при зависящих от направления спина силах дифференциальное сечение рассеяния зависит от папяризации. Если спины направлены преимущественно, скажем, вверх, то рассеяние будет происходить преимущественно в какую-нибудь одну сторону относительно направления падающего пучка (в отличие от случая неполярнзованного пучка, когда рассеяние всегда аксиально симметрично относительно направления падения).
В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим опыты по двойному рассеянию, в которых нспапяризованный пучок сначала рассеивается на неполяризованной мишени, а затем часть рассеянного пучка испытывает вторичное рассеяние (при этом измеряется дифференциальное сечение вторичного рассеяния, см. фиг. 5.2). В результате первичного рассеяния пучок частиц, идущий по второй мишени, оказывается частично поляризованным,
t
Силы между нуклонами.II
87
так что измеряемое рассеяние этого пучка на второй мишени обнаруживает право-левую асимметрию относительно направления промежуточного пучка. Функция асимметрии довольно просто выражается через поляризации в двух актах рассеяния. Относительно поляризации сделан целый ряд общих выводов, базирующихся на требовании инвариантности ядерных сил относительно пространственных вращений, отражений и обращения времени. Мы просто приведем эти результаты1)-
а.	Для данного угла рассеяния 0 и данной поляризации падающего пучка РоН зависимость дифференциального сечения однократного рассея-
Фиг. 5.3. Лево-правая асимметрия в опытах с поляризованными частицами.
ння на неполяризованной мишени от азимутального угла <р определяется множителем
1 + РРоп • Ц = 1 4- PPoCOS ф.
(5.16)
где Р — поляризация, соответствующая процессу рассеяния, а п — единичный вектор в направлении, перпендикулярном плоскости рассеяния (направления п для правого и левого рассеяния противоположны). Точнее,
JP/P/1
IIP/P/1T
(5.17;
где р, и р/ — импульсы начального и конечного состояний в системе центра масс. Указанные параметры изображены на фиг. 5.3, где импульсы р; и р/ определяют плоскость рассеяния; р< соответствует левому рассеянию, р, — правому (в этой же плоскости). Показаны также соответствующие перпендикуляры п и п'. Единичный вектор р. проведен в направлении поляризации падающего пучка; его компонента, перпендикулярная к пучку, обозначена через iijj ф — угол между и п. Соответствующий угол ф' для правого рассеяния в силу тождества п = —п' равен л — ф. Заметим, что однократное рассеяние поляризованного пучка не позволяет обнаружить компоненту р.ц.
б.	В результате рассеяния на неполяризованной мишени первоначально неполяризованный пучок приобретает поляризацию Рп; степень поляризации Р входит в выражение (5.16). Она зависит от параметров рассматриваемого процесса рассеяния, именно от типа частиц, их энергии и угла рассеяния 0.
Множитель (5.16) дает связь между поляризацией и дифференциальным сечением. Как видно, этот множитель приводит к право-левой асимметрии в плоскости рассеяния. Относительная разность интенсивностей двух пуч
*) Для более детального ознакомления с теорией читатель отсылается к статье Вольфенштенна (12). (Общие законы поляризации частиц в ядерных реакциях подробно изложены в работе Л. Гольдфарба |51*].— Прим, ред.)
88
Г лава 5
ков р/ и pj (см. фиг. 5.3) равна
_о(0, <р)—а (0, <р ) I • III)	•
а (0, ср)-г ст (О, <р )
С учетом (5.16) имеем
«л. пр = PPoCOStp.
(5.18)
(5.19)
Теперь можно понять, почему для обнаружения поляризации при акте рассеяния необходимо применять вторичное рассеяние. Пусть два процесса рассеяния происходят в одной и той же плоскости, так что векторы nt и п2 либо параллельны, либо антипараллельны, в зависимости от того, происходит ли при левом первичном рассеянии второе рассеяние налево или направо (см. фиг. 5.3). Пусть, далее, в обоих случаях частицы рассеиваются на одинаковый угол, и их энергии в системе центра масс одинаковы. (Вследствие этого последнего условия наши рассуждения применимы только к процессам при высоких энергиях или с участием тяжелых ядер-мишеней; и в этом случае, однако, вносится некоторая ошибка.) В таких условиях оба процесса столкновения протекают совершенно одинаково и будут характеризоваться одним и тем же значением Р. После первого столкновения пучок имеет поляризацию Pnt (см. п. «б»); следовательно, рать Рец в (5.16) при вторичном рассеянии будет играть величина Pnt. Соответственно этому cos <р равен единице и
ел.пр = ^3 •	(5.20)
Измерение ел. П|, позволяет определить татько абсолютную величину, но не знак папяризации.
Число независимых параметров, характеризующих изменение направлений спинов в процессе столкновения, зависит от собственных спинов сталкивающихся частиц. Рассеяние нуклона на бессппповой частице описывается тремя независимыми действительными величинами для каждого угла рассеяния; рассеяние нуклона на нуклоне описывается девятью параметрами1)-Четыре из этих девяти параметров, однако, можно исключить в силу условия унитарности (сохранение вероятности), которое сводит число независимых действительных величин до пяти [15]. Поэтому в принципе для каждого угла необходимо проделать пять соответствующим образом выбранных измерений. Кроме поляризации Р, эти параметры позволяют определить различные изменения папяризации падающего (поляризованного) пучка. Вообще говоря, в процессе стапкновения происходит поворот направления поляризации. Соответственно этому вектор папяризации может обладать как продольной (относительно направления конечного импульса), так и перпендикулярной составляющей в плоскости рассеяния. Для изучения такого рода эффектов необходимо трехкратное рассеяние: пучок дапжен быть сначала поляризован, затем рассеян и после этого проанализирован на поляризацию. С помощью рассеяния можно обнаружить только компоненту папяризации, перпендикулярную плоскости рассеяния. Поэтому последний акт рассеяния необходимо исследовать в ряде различных пло
1) Более точно, условия инвариантности требуют учета девяти параметров для описания системы протон — протон. Если нуклоны не тождественны, то в амплитуду рассеяния может входить еще одни член (<г(— at) п, где <т,- спин падающей частицы и at — спин частицы мишени. Благодаря этому члену рассеяние поляризованных нейтронов на водороде отличалось бы от рассеяния поляризованных протонов на нейтронах. Были проделаны оба типа экспериментов [13, 14). Результаты получились близкими. Этот член можно исключить также на основе предположения о зарядной симметрии. Последняя требует, чтобы при замене всех нейтронов на протоны состояние системы не менялось.
Силы между нуклонами. II
89
скостей. Одной из величин, определяемых посредством трехкратного рассеяния (при этом все три акта рассеяния совершаются в параллельных плоскостях), является деполяризация D. В таком опыте поляризация после второго рассеяния рассчитывается по формуле (5.19). Величина D определяется таким образом, чтобы поляризация в направлении вектора п после второго рассеяния имела вид (Рг + DPi)/(\ + PtP2). Мы видим, что если в результате первого рассеяния пучок частиц оказывается полностью поляризованным (₽!= 1), то D = 1 будет означать, что при втором рассеянии нет никакой деполяризации. Деполяризация — один из наиболее просто измеряемых параметров. Чтобы найти оставшиеся три параметра, необходимы: опыты по трехкратному рассеянию в различных плоскостях рассеяния, одновременное измерение папяризации рассеянной частицы и ядра отдачи, опыты с поворотом направления вращения поляризации с помощью магнитного поля в промежутке между двумя столкновениями 116]. Экспериментальное определение всех девяти параметров даже для одного значения угла представляет собой весьма трудную задачу, не разрешенную и по сен день (1961 г.).
Поскольку асимптотическое поведение рассеянной волны полностью определяется фазовыми сдвигами, ясно, что поляризационные параметры можно выразить через фазы. Нет необходимости приводить все формулы, связывающие наблюдаемые величины с фазовыми сдвигами. Следует, однако, коротко рассмотреть, к каким изменениям в формализме теории рассеяния, обрисованной в гл. 2, приведет учет нецентральных сил. В присутствии нецентральных сил рассеяние зависит нс тапько от L, но также и от J-, например, 3Рп- и ’/^-состояния будут характеризоваться различными фазами. Кроме того, если имеются силы, смешивающие различные L, то необходимо ввести для них дополнительные параметры связи. Существует ряд способов математического отражения последнего обстоятельства, но удобнее всего определить два частных решения 117]. В общем случае смешанных состояний вазновая функция имеет вид
Ф«г = — luj (г)У*	+	t>j+|].
(5.21)
Асимптотически и и w Представляют собой комбинации сходящихся и расходящихся ваш. В сходящейся ваше комбинацию состояний с L = J — 1 и L = J + 1 можно выбрать таким образом, что в расходящейся ваше будет иметь место точно такая же комбинация состояний. Действительно, наша задача имеет два решения, обозначаемых индексами а и 0, вид которых различен в предельном случае малых энергий. В этом пределе связь уравнений разрывается: a-состояние становится’чнстым (L = J — 1)-состояннем, а р—чистым (L = J + 1)-состоянием. Эти решения имеют следующую асимптотику:
Uja. —COSsin kr-g (J — 1)л + б./а
wJa —sin Ej sin kr—i(J+I)n + dja £
иур sinejsin kr—(J — 1)« + 6JP
ttijp — cosejsin kr—y(^+ 1)л + Л/р
(5.22a)
(5.226)
90	Г лая a 5
И
liinej = 0.	(5.23)
Е-*0
Мы видим, что имеется два фазовых сдвига 6Ja и 6jp и параметр смешивания 8j. Все формулы для рассеяния и поляризации можно выразить через эти величины. Заметим, что параметры 6Ja и 6jp нельзя понимать как фазовые сдвиги для состояний L = J — 1 и L - /4-1, ибо ни одно из этих состояний не является собственным состоянием гамильтониана1). Поэтому для описания возможной рассеянной волны необходимо использовать все три параметра2).
§ 4. Экспериментальные результаты и предварительное обсуждение
В этом параграфе представлены графически данные по нуклон-нуклон-ному рассеянию, взятые в основном из обзора Гесса [191. На фиг. 5.4 изображено дифференциальное сечение пр-рассеяния в интервале энергии 14— 580 Мэв. Эксперимеиталь-
Ф и г. 5.4. Экспериментальные дифференциальные сечения рассеяния нейтронов на протонах при различных энергиях (данные Гесса).
ные точки не показаны, но кривые проведены через них. Типичная ошибка составляет примерно 10%, поэтому тонкие особенности кривых не безусловно надежны. Например, кривые при различных энергиях могут и не пересекаться, хотя на фиг. 5.4 такие случаи имеют место. Порог рождения л-мезонов равен 290 Мэв: при меньших энергиях возможно только упругое рассеяние, тогда как при больших энергиях полное сечение и сечение упругого рассеяния уже не равны друг другу.
Данные о полном сечении собраны на фиг. 5.5 [19]. Точки с индексом anp получены из опытов по облучению нейтронами водородосодержащих мишеней,
а индексом арп отмечены
сечения, найденные из исследований по облучению дейтерия протонами (при этом сечение о,,п находили вычитанием сечения протон-протонного взаимодействия из полного сечения). Ясно, что поскольку интерференционный член при этом не учитывался, полученная-этим способом велн-
’) Несмотря на этот факт, иногда можно встретить неточное обозначение. Например, в статье [18] параметрам и д2р приписаны соответственно символы 3Р2 и 3^г-
2) Вопросы параметризации в задаче рассеяния подробно рассмотрены в книге
Балдина, Гольданского и Розенталя [52*).— Прим. ред.
Силы между нуклонами. 11
91
чина лишь приближенно соответствует опр. С увеличением энергии ошибка в определении арп уменьшается. При рассматриваемых энергиях она со-
ставляет около 6 мбарн. Прямой линией изображена функция I/Е.
Дифференциальное сечение рр-рассеяния вплоть до энергий 500 Мэв изображено на фиг. 5.6. Постольку поскольку мы интересуемся только структурой ядра, более высокие энергии и не требуются. В гл. 2 уже отмечалось, что с ростом энергии область, где существенно кулоновское рассеяние, будет сдвигаться в сторону все меньших и меньших углов. Эго ясно видно на фиг. 5.6, где боль
Ф и г. 5.5. Экспериментальные полное и упругое сечения рассеяния нейтронов на протонах (данные Гесса).
шое сечение при малых углах обусловлено электростатическими силами, а сечение в области 20—40° —
ядерными силами. Наличие четкого плато в ядерном сечении позволяет рассчитать «полное» сечение ядерного рр-рассеяния в предположении, что
Ф]иг. 5.6. Экспериментальные дифференциальные сечения рр-рассеяния при различных энергиях (данные Гесса).
при каждом данном значении энергии а(0) постоянно. Результаты таких оценок полного сечения приведены на фиг. 5.7.
Если справедлива гипотеза зарядовой независимости, то в области углов, где несущественны кулоновские эффекты, рр-сеченне рассеяния должно совпадать с лл-сече-ннем. Последнее можно определить, сравнивая сечения рассеяния нейтронов на дейтерии и водороде. Благодаря интерференции волн, рассеянных на нейтроне и протоне, сечение рассеяния нейтронов на дейтроне он,{ не равно простой сумме оп„ + апр:
оП(((0) = апл(0) + апр(0) + /(0).
Интерференционный член / (0) играет наиболее существен-ную' роль при малых энергиях и малых углах рассеяния. Оценки показывают, что при энергии 300 Мэв величина 1 (0) быстро падает от 0,6 мбарн/стерад при 40° до 0,06 мбарн/стерад при 90°. На фиг. 5.8
92
Глава 5
приведена разность ond — апр для углов, больших 30°. Вероятная ошибка, очевидно, превышает значения величины / (0). Нетрудно убедиться, что при энергии 300 Мда-полное сечение определяется с точностью до 6—7 мбарн.
Некоторыеточки und (полное) — опр (полное) приведены на фиг. 5.7. Сравнение данных по рассеянию нейтронов на нейтронах и протонов, на протонах, приведенных на фиг. 5.7 и 5.8, еще раз подтверждает гипотезу зарядовой независимости, выдвинутую при анализе данных в области малых энергий.
Обсудим теперь некоторые характерные особенности, приведенных результатов. Весьма интересно то, что при столкновении с протоном нейтрон с довольно высокой вероятностью вылетает назад (в системе центра масс). Если энергия падающих протонов велика по сравнению с их средней потенциальной; энергией взаимодействия, то-в случаях обычных сил такое явление невозможно.
Действительно, первоначально покоящийся в лабораторной системе протон может получить энергию только в результате ядерного взаимодействия. Поэтому кинетическая энергия протона по порядку величины должна
400
100
И
еоо
'°0
200	400
Мз8
Фиг. 5.7. Экспериментальные значения «полного» и «упругого» ядерных (т. е. кулоновское сечение вычтено);сечений рр-рассеяния.
Эффективное сечение лп-расссяния приближенно найдено как разность	(данные Гесса).
о„ полное
°о( упругое
а„„ полное* а^-а,,.
Фиг. 5.8. Экспериментальные значения апп (0) дифференциального сечения лл-рас-сеяния при энергиях 300 и 590 Мзв |<тпп (()) полагалось равным and—<тПр].
Кривые соответствуют сгрр (0) при энергиях 300 (из фиг. 5.0) и 500 Мм. При энергии 300 Мзв имеются данные для углов, меньших 30°. Но они не приведены, так как при этих углах в anrf существенную роль играет / (0), а в а,1(> — кулоновское рассеянно.
равняться средней потенциальной энергии, обусловленной ядерным потенциалом. Но, как показал анализ данных о рассеянии при малых энергиях, средний потенциал не может быть больше 50 Мэв. Следовательно, при упругом рассеянии нейтрон с энергией выше 100 Мэе будет обладать большей
Силы между нуклонами. II
93
энергией, чем протон отдачи. Из законов сохранения в процессе столкновения следует, что нейтрон должен вылететь вперед, отклонившись на угол меньше 45е в лабораторной системе или 90° в системе центра тяжести.
Из фиг. 5.4 видно, однако, что нейтроны рассеиваются на 180е стать же интенсивно, как и на 0°. При энергиях выше 100 Мэв рассеяние нейтронов назад оказывается даже более вероятным. Минимум сечения слабо зависит от энергии и не смещается от 90° более чем на 10“ вплоть до энергий 400 Мэв. Это обстоятельство очевидным образом указывает на наличие обменных сил, так как если в процессе столкновений нейтрон превратится в протон и протон — в нейтрон, то рассеяние будет происходить преимущественно назад. Таким образом, экспериментальные данные соответствуют случаю, когда вклады обычных и обменных сил приблизительно одинаковы. Можно было бы даже ожидать, что, поскольку о (л) > о (0), вклад обменных сил несколько больше вклада обычных, хотя анализ тонких особенностей рассеяния требует точных расчетов. Во всяком случае ясно, что между нуклонами должны действовать значительные обменные силы. Еще до того, как были осуществлены опыты при энергиях свыше 100 Мэе, Сервер предложил комбинацию, в которую обычные силы и силы Майораны дают одинаковые вклады:
V(r)(l+P,).	(5.24)
В состояниях с отрицательной четностью Рх = —1. Поэтому из гипотезы Сербера вытекает, что в состояниях с нечетным L взаимодействие отсутствует и, следовательно, рассеяние симметрично относительно 90°. Мы увидим ниже, что на самом деле в состояниях Р и F нуклоны взаимодействуют; это взаимодействие просто слабее взаимодействия в состояниях S, D и G. Однако ввиду своей простоты силы Сербера часто испапьзуют в расчетах.
Полные пр- и рр-сечения заметно различаются. Сечение 71р-рассеяния уменьшается по закону 1 /£ (о ~ к2) вплоть до энергий, при которых становятся существенными неупругие процессы. Небапьшие отклонения от закона 1 /Е можно отнести за счет изменения фаз различных волн, когда их вклад становится существенным.
Напротив, сечение упругого рр-рассеяння в области энергий ISO-GOO Мэв обнаруживает удивительное постоянство, оставаясь равным примерно 23 мбарн. Выше этих энергий оно уменьшается. Кроме того, за исключением области малых углов, где оно определяется кулоновскими силами, рр-сеченне чрезвычайно слабо зависит от углов.
Постоянство дифференциального сечения свидетельствует о том, что мы имеем здесь дело не с обычными силами притяжения. Конечно, S-волна рассеивается изотропно, и можно было бы подумать, что в более высоких по орбитальному моменту состояниях нуклоны не взаимодействуют (т. е. соответствующие силы отсутствуют) вплоть до энергий порядка 400 Мэв. Эта гипотеза, однако, оказывается несостоятельной, так как в случае татько S-рассеяния максимальное поперечное сечение составляло бы 2лХ2 или приблизительно 11 мбарн, что в 2 раза меньше наблюдаемого значения. Дифференциальное сечение рр-рассеяния имеет вид (см. приложение Б)
оР₽(0)= 1/(0)|2+И(л-О)Г-/?е[Г(О)/(л-О)],	(5.25)
где
/(О) = /е(О)+/л(0),	(5.26)
fc (0) — амплитуда кулоновского рассеяния, (0) — амплитуда ядср-ного рассеяния.
94
Глава 5
Из формулы
Av (0) = - —	(2/ + j j eih,( [е2М( _ j। р/ (cQS0)i
(5.27)
где »)( и 6/ — соответственно кулоновская и ядерная фазы, ясно, что почти изотропное угловое распределение при высоких энергиях может иметь место только при удивительной компенсации коэффициентов при полиномах Лежандра. В области энергий, где существенны только S-, Р- и D-волны, сечение содержит пропорциональный sin2 д0 изотропный член, обусловленный S-волной, и, кроме того, член, пропорциональный sin2 б2 IT’s (cos 0)]2.
Кривая а соответствует /'j (cos 0), кривая Ь соответствует (Pi)s, кривые с и d — комбинации функций л и Ь, которые могут давать 0(0). Кривой с соответствует комбинации 0,3 + Pj (Р2-0,5), кривой <1 — комбинация О.б+Яо (Рз_ I).
который обусловлен 1О-волнон, а также интерференционный член (интерференция S- и D-волн), пропорциональный sin оо sin б2 и Р2 (cos 0), и члены,, обусловленные 3Р-волной. В случае центральных сил вклад P-волны пропорционален cos2 0. Если же присутствуют и тензорные силы, то состояния 3Ро, 3Р| и Лр2 имеют различные фазы, благодаря чему появляется член, пропорциональный | V! |2 или sin2 0. Состояние с J — 2 представляет собой комбинацию 3Р2- и ^-состояний. Поэтому в сечении а (0) появляется член,.
пропорциональный произведению сферических гармоник первого и третьего порядка. Даже при тех энергиях, когда сама по себе F-фаза играла бы очень малую роль, вклад 3Г2-состояния благодаря тензорным силам оказывается заметным, в связи с чем появляется квадрат сферической гармоники третьего
порядка.
Теперь мы в состоянии объяснить, каким образом может получиться постоянное дифференциальное сечение. Так как силы в состояниях с нечетными L относительно слабы, основной вклад в сечение дают *S- и Ч)-волны. Полином Р2 (cos 0) равен нулю при 0 = 55° и отрицателен при 0 = 90е. Вклад D-волны показан на фиг. 5.9. Чтобы получить а (0), нужно скомбинировать кривые (а) и (Ь) с постоянным вкладом S-волны. Коэффициенты комбинации определяются фазами 60 и 62. Очевидно, если функция (а)> войдет в нее с положительным коэффициентом, то будет доминировать рас-
Силы между нуклонами. II
95
сеяние вперед. Напротив, если функция (а) войдет с отрицательным коэффициентом, то сечение при 90° будет отлично от нуля и о (0) приобретет вид кривой (с) или (d). Мы не получили еще изотропного углового распределения, поскольку сечение имеет минимум при 0 — 45°, обусловленный нулем Р2. Однако тензорные силы, действующие в Р-сосгояниях, сгладят этот минимум. Центральные силы дают член cos2 6 и преимущественное рассеяние вперед. Тензорные силы приводят к члену sin2 0 (обусловленному интерференцией различных P-волн) и сглаживают угловое распределение. Кроме того, интерференция Р- и F-состояний дает угловое распределение типа sin2 О cos2 9, имеющее максимум в районе 45L.
Из наших рассуждений видно, что изотропию рассеяния протонов на протонах можно объяснить с помощью двух важных предположений:
а)	силы таковы, что знак интерференционного члена, обусловленного S- и D-волнамн, отрицателен;
б)	в триплетных состояниях существуют тензорные силы, приводящие к достаточному рассеянию в центральный интервал углов.
Нетрудно представить себе, что при какой-то определенной энергии амплитуды различных сил сложатся таким образом, что результирующее рассеяние окажется изотропным, однако добиться этого при всех энергиях отнюдь не так просто. С увеличением энергии роль D-рассеяния непрерывно возрастает, вызывая монотонное увеличение б2; в связи с этим увеличивается вклад кривой (Ь) фиг. 5.9 в полное сечение. Для его компенсации соответствующим образом должен измениться коэффициент при функции (а). Последний пропорционален произведению sin б0 sin йг, которое, таким образом, должно становиться отрицательным при достаточно больших энергиях и с ростом энергии уменьшаться.
Ястров 120] заметил, что б0 вело бы себя должным образом, если бы нуклоны имели отталкивающий керн достаточно малого радиуса,окруженный притягивающим потенциалом. В качестве примера рассмотрим Р-рассеянне на таком потенциале. При энергии 200 Мэе P-волна испытывает действие потенциала только на расстояниях, превышающих ~0,5 фм. Поэтому если радиус отталкивающей сферы меньше этой величины, то Р-рассеяние будет определяться только притягивающим потенциалом, а соответствующая фаза будет положительной. С увеличением энергии отталкивающая сфера начинает влиять на характер рассеяния, а фаза — уменьшаться; при достаточно большой энергии рассеяние на керне начнет доминировать, а фаза станет отрицательной.
Для того чтобы изменился знак фазы Р-вблны или волн с более высоким /, необходимы очень высокие энергии. Напротив, S-волна при любых энергиях испытывает воздействие потенциала на всех расстояниях. При малых энергиях волновая функция S-состояння (обращающаяся в нуль при г = 0) заметно отличается от нуля только во внешней притягивающей области ядер-ного потенциала; S-фаза при этом положительна. С увеличением энергии амплитуда волновой функции на малых расстояниях увеличивается и область, в которой преобладает отталкивание, начинает играть все более существенную роль. Фаза, которая раньше увеличивалась с ростом энергии, теперь начнет уменьшаться и, в конце концов, станет отрицательной. Энергия, при которой фаза начинает спадать, и энергия, при которой она становится отрицательной, существенно зависят от детального вида потенциала. Для потенциалов, согласующихся с экспериментальными данными, ^-фаза достигает максимума в интервале 10—20 Мэв и становится отрицательной в области 200 Мэв. Таким образом, постоянство поперечного сечения во всем интервале 150—450 /Изе можно объяснить, учитывая непрерыв-
•-
/ . •
96	Г лава 5
ныс изменения фаз, соответствующие представлению о потенциале с отталкивающим керном.
Максимумы в угловом распределении в районах 45 и 90° могут дать и какие-либо другие силы. Силы типа V(r)L-S в отличие от тензорных не смешивают состоянии с различными L, но зато вызывают неодинаковое рассеяние в состояниях с разными J при одном и том же L. Зависимость фаз от L и J приведет к тому, что в о (9) появятся члены типа У1У1* и У1У1*. Разумеется, при малых энергиях роль F-волны не возрастает, как это имеет место в случае тензорных сил, и поэтому разумно учесть Р-рассеяние, пренебрегая в то же время интерференцией Р- и F-волн. Среднее значение оператора L-S в синглетных состояниях равно нулю, в триплетных равно 1/i [J (J + 1) — L (L + 1) — 21. Следовательно, величины L-S = сил в трех Р-состоянпях будут связаны следующим образом:
F(aP2) :F(’P,) :F(aP0) = 112.
Когда другие силы в Р-состоянин отсутствуют, L-S-силы дают угловое распределение вида a-f-sin2 6, где постоянная о мала по сравнению с единицей и в борцовском приближении исчезает1) [21]. Ясно, что такое распределение доводит до необходимой величины дифференциальное сечение в окрестности 90°. Однако с помощью одних L-S-сил без отталкивающего керна не оказалось возможным получить в широком интервале энергии изотропного углового распределения.
На существование L-S-сил явственно указывают результаты опытов по поляризации, если их анализ проводится на основе предположения, что потенциал не зависит от энергии и определен даже на очень малых расстояниях между нуклонами. Однако возникает весьма серьезный вопрос о том, насколько широко применимо представление о таком потенциале. Мы обсудим его позднее, после того как изложим основные результаты.
Итак, мы пришли к трем важным выводам: 1) Существуют значительные обменные силы. 2) По крайней мере силы, действующие в синглетных состояниях, подтверждают представление об отталкивающем керне. 3) В случае рр-рассеяния три P-состояния характеризуются различными фазами, тем самым устраняя минимум углового распределения в окрестности 45°. Мы приписали расщепление P-состояний тензорным силам, в частности, потому, что обусловленное тензорными силами смешивание состояний :,Р2 и 3F2 существенно облегчает получение изотропного углового распределения. Наши выводы нс связаны с необходимостью детального анализа экспериментальных данных. Однако дальнейшие шаги и, разумеется, дальнейшие подтверждения уже сделанных заключений требуют построения точной количественной картины. В частности, нужно исследовать, действительно ли установлено наличие тензорных сил в Р-состоянин или, может быть, его расщепление, связанное с L-S-силами, приводит к нужной величине сечения при 0 = 45°? Для ответа на такие вопросы необходимы численные расчеты.
*) В борцовском приближении фаза следующим образом связана с потенциалом У(г), действующим в состоянии с орбитальным моментом /:
Mk С 3
6=-----r«V(r)/‘(*r)dr.	(5.28)
Хотя эта формула применима лишь в ограниченных энергетических интервалах, определяемых значениями / и видом У(г), тем не менее при качественных обсуждениях борновское приближение может служить полезным ориентиром. Для рассеяния нейтронов на протонах ft является сферической функцией Бесселя //, для рассеяния протонов на протонах — соответствующей кулоновской функцией.
Силы между нуклонами. II
97
§ 5. Более точный анализ экспериментальных данных в области энергий ниже 40 Мэв
Наиболее наглядный способ представить результаты экспериментов по рассеянию состоит в том, чтобы указать фазы всех возможных состоянии при каждой данной энергии. Если все фазы удастся полностью определить, то в принципе можно будет извлечь всю возможную информацию о ядерных силах. Может оказаться, что существует потенциал, определяющий все наблюдаемые фазы, а может быть, исама концепция потенциала неправомерна во всей области энергий от Он до 300 Мэв. Однако в любом случае задача теоретика состоит в том, чтобы построить фундаментальную теорию ядерных сил, из которой вытекали бы все наблюдаемые фазы. Но и не говоря об этой основной проблеме, анализ экспериментальных данных представляет собой совсем нетривиальную задачу: в настоящее время (1961 г.) экспериментальные данные недостаточно полны, чтобы на чисто экспериментальной основе однозначным образом определить все фазы. С помощью ряда теоретических соображений можно уменьшить число допустимых решений. Легко видеть, что одно угловое распределение не позволяет определить фазы. Действительно, если LMaKc представляет собой максимальный орбитальный момент парциальной волны, участвующей в ядер-ном рассеянии, то можно показать, что о (0) представляется в виде ряда по полиномам Лежандра 2 AtPi (cos 0) с 0</<2Дмакс (221. Следова-
।
тельно, максимальную информацию, которую можно получить из углового распределения, составляют численные значения коэффициентов At. Таким образом, для рассеяния нейтронов на протонах мы получим 2LMai<c + 1 чисел, для рассеяния протонов на протонах, когда допустимы только четные L,— всего £макс + 1 чисел. С другой стороны, вообще говоря, для каждого набора чисел L,. S и J имеется своя фаза. Кроме того, при каждом L > 1 есть еще один параметр ej, описывающий тензорную связь состояния L с состоянием L — 2. Следовательно, в общей сложности лр-рассея-ние требует задания 5LMai)C-r 1 независимых действительных параметров, а рр-рассеяние— либо 5Лмакс/2, либо (5£макс-|-3)/2 параметров, в зависимости от четности или нечетности LMaiic- Дополнительную информацию, необходимую для однозначного описания взаимодействия, можно получить только нз поляризационных экспериментов. В наиболее общем случае требуются четыре дополнительные функции. Двухкратное рассеяние дает Р (0), а трехкратное рассеяние позволяет измерить три другие функции, такие, как деполяризация или вращение вектора поляризации.
Следует отметить, что извлечение фаз из экспериментальных данных представляет собой длительную процедуру, требующую широкого применения счетных машин, чтобы не потерять ни одно из возможных решений (особенно в том случае, когда данных недостаточно для однозначного выбора). В рр-рассеянии вклад F-волны становится существенным при энергии 40 Мэв. Значения фаз S-, Р- и D-волн при меньших энергиях сравнительно надежно рассчитаны из арр (0) и Р (0). При энергии 310 Мэв были измерены пять необходимых функций а (0), Р (0), D (0), R (0) и А (0) [23], хотя число точек и точность каждой из них недостаточны для однозначного определения фаз. Все детали этих исследований можно найти в статьях [18, 24, 25]. Мы обсудим только некоторые основные пункты.
7 Заказ № 37
98
Глава 5
Метод состоит в отыскании такого набора фаз, который минимизирует квадратичную сумму:
Л1==_!_4 /У'(а)~^(эксп)\2 «21 е< I ’ 1—1'	'
где iji составляют п наблюдаемых величин, ijt (б) — рассчитанные значении рассматриваемых величин при определенном наборе фаз 6, у, (эксп) — их экспериментальные значения и et — вероятная ошибка ijt (эксп). При энергии 1,8 Мэв вклад в рассеяние дает только S-волна. Соответствующую фазу для S-волны однозначно определил Мак-Грегор [24]: 6iSo = 44,15° ± ± 0,01°. При энергии 4,2 Мэв неплохое согласие получается при учете только S-волны с б (*S0) — 53,9° и несколько лучшее, если учесть вклад Р- и D-волн. В этом последнем случае допустимы четыре решения. Если рассматривать квадратичную сумму М как функцию б (XSO), б (*D2), б (3Р0), б (3Pt) и б (3Р2), то оказывается, что каждой паре значений б (lS0) и б (*£)2), дающих одно и то же М, соответствуют четыре набора P-фаз. Иными словами, в пятимерном пространстве фаз имеются четыре точки, в которых М имеет локальные минимумы. В рассматриваемом частном случае все минимумы имеют одну и ту же величину. При более высоких энергиях, когда число фаз увеличивается, функция М, как оказалось, также имеет ряд локальных минимумов, но величины их, вообще говоря, различаются. Определив из статистических соображений наиболее вероятное значение минимума М, можно ограничиться анализом только вероятных решений. Таким путем при энергии 310 число независимых возможных решений уменьшается до восьми.
Прн меньших энергиях сохраняется некоторая неопределенность относительно каждого из четырех возможных решений. Фазу б fSo) можно варьировать в пределах 1—2°, а фазу б (*D2) — в пределах 0,2° в обе стороны с соответствующим изменением фаз ’Р-волны. Зависимость б (‘50) и б (*D2) от энергии изображена на фиг. 5.10. Точки, обведенные овалами, взяты из работы Мак-Грегора [24]; они соответствуют его решению I для значений б (*D2), предсказываемых теорией и согласующихся с экспериментом. Внутри овалов отмечены пределы других решений. Показаны также фазы прн энергиях менее 10 Мэв, взятые из работы [26]. Они рассчитывались в пренебрежении D-волной, а P-волна учитывалась приближенно. Точки при энергии 315 Мэв изображают четыре решения, приведенные в статье [18]. Кривая проходит через фазы решений I и III (эти решения в известном смысле представляют собой экстраполяцию мак-грегоровского решения I). Точки, отмеченные треугольником, получены с учетом S-, Р- и D-волн, но в пренебрежении связи между Р- и F-состояниями.
Эти кривые, очевидно, подтверждают гипотезу об отталкивающем керне. Во всех четырех решениях, дающих наблюдаемое значение а (0), фазы S-н D-волн близки; однако P-фазы и, следовательно, возникающие прн рассеянии поляризационные эффекты оказываются совершенно различными. Два решения предсказывают положительную поляризацию при угле рассеяния, равном 45°, два других — отрицательную. Экспериментальные данные о Р (0) собраны на фиг. 5.11. Видно, что при понижении энергии Р (45°) стремится к нулю со стороны положительных значений. На этом основании два решения можно отбросить. Из двух оставшихся одно (решение I) соответствует положительной фазе б (3Р0) и отрицательной б (®Pj) (по абсолютной величине они примерно одинаковы), другое (решение III) — отрицательной фазе б (3Р0) и малой положительной б (3Р,). Оба решения дают для
Елаб., Мзв
Фиг. 5.10. Зависимость фаз синглетных четных состояний от энергии. Данные при 140 взяты на работы (40J; при 150 Л1за-нэ (4 1];при 95 Л1м—из [421; при анергиях, ыеныинх 10 Мэв— из [43] 1).
1) Клемевтел и др. учитывают только 3- и Р-состояиня.
Фиг. 5.11. Поляризация Р (0) в рр-рассеянии для различных энергий.
Кривые проведены через экспериментальные точки, взятые из обзоров Гесса (181 н Пальмнери к др. [44]. Числами указаны энергии в Мэв, соответствующие крииым. Кривая при энергии 130 Мэв определена с меньшей точностью, чем другие. Поэтому она может н нс пересекать последних.
100
Глава 5
б (3Р2) небольшие положительные значения1). Выбор между этими двумя решениями можно осуществить, исходя из эксперимента по тройному рассеянию, измеряя, например, деполяризацию или очень точно измеряя поляризацию.
Выбор между ними можно сделать также, исходя из теоретических соображений. Мы видели уже, что при энергиях, меньших 20 Л1эв, Р-волна рассеивается в основном на одномезонном «хвосте» двухнуклонного потенциала, т. е. на расстояниях более 2 фм. Зарядово-независимая псевдоскалярная мезонная теория дает для потенциала на этих расстояниях следующее выражение:
•т2|<г1-02-1-512 Н+ —-f-—2 j —-t	(5.29)
*	'	\	X /. X
где g — безразмерная константа связи, определяющая силу взаимодействия, х = цг, тя — средняя масса л-мезона, тио — операторы изотопического и обычного спинов, а S12 — тензорный оператор. Значение константы g можно установить из опытов с мезонами; для наших целей, однако, более последовательно было бы выразить ее через ядерное взаимодействие. Конечно, даже при малых энергиях нельзя считать У‘” потенциалом для 5-состояния, так как 5-волна «чувствует» потенциал на всех расстояниях. Однако при обсуждении дейтрона можно описать 5-волну соответствующим подбором параметров, а D-волну определить в соответствии с У11). Тогда можно найти g2, исходя из величины квадрупольного момента. В результате получаем g2/4л = 0,08. Величину g можно было бы также определить, добиваясь согласия рассчитанной фазы 6 (lD2) с экспериментальным значением. Мы, однако, уже указывали, что фаза б (lD2) определяется неточно.
Мак-Грегор [24] рассчитал в борцовском приближении фазы 3Р-и 1О-ватн для потенциала Уп> и нашел, что б (lD2) на 98% обусловлена расстоянием более 2 фм-, аналогичные цифры для P-волн следующие:. 70, 70 и 50%. Хотя этот результат сам по себе дает веское свидетельство того, что рассчитанные таким способом фазы должны иметь по крайней мере правильный знак, Мак-Грегор все же рассчитал также и фазы для потенциала У'1’ с отталкивающим керном, приписывая керну ряд значений (<0,70 фм) и беря при каждом из них ряд значений L — логарифмической производной волновой функции на границе керна (L = со для абсолютно твердой сферы, т. е. в случае бесконечного отталкивания; L < 0 соответствует «мягкой» сфере, т. е. конечному отталкиванию). Оказалось, что б (lDs) при этом не изменяется, а P-фазы хотя и меняются, но всегда выполняются неравенства б (3Р0) > 0, б (3Р,) < 0, б (3Р2) > 0 и б (3Р2) « |б (3Р,)| < б (3Р0). Следовательно, если мы хотя бы в какой-то мере доверяем дальнодействую-щему потенциалу, даваемому мезонной теорией, то выбор должен пасть на мак-грегоровское решение I с положительными б (3Р0), а йена решение III. Этим, однако, фазы еще не определяются однозначно. Например, на фиг. 5.12 приведен непрерывный ряд решении, удовлетворяющих экспериментальным данным и относящихся к типу I. Как видно, в интервале 48—53° можно выбрать любое значение б (‘So), если, конечно, прнэтом использовать Р-фазы, указываемые кривыми. Можно было бы думать, что расчет P-фаз с потенциалом Уп> позволит фиксировать S-фазу. Однако, несмотря на хорошее
Строго говоря, эту величину следует обозначить через dja, однако различие между ними невелико, поскольку при энергиях менее 20 Л1эв ег и d2fl полагаются равными нулю.
Силы между нуклонами. II
101
качественное согласие, в У” следует добавить члены более высокого порядка; последние же изменяют P-фазы достаточно сильно, и точное количественное согласие с экспериментом вновь оказывается недостижимым. Для иллюстрации этого обстоятельства на фигуре приведены значения P-фаз, рассчитанные для потенциала V*” с твердой сферой при трех радиусах: 0,48; 0,58
10
-------3Р0, Ге = о,58
3Ро
--------+ —
>Р0, гс = °-48
----3Ра, гс = 0,70
Зр0, Борновское приближение
| Зрг, Борновское приближение
—- 3Р2, Ге = 0,48 -----~53рг, ге = 0,58
3ft., гс • 0,70
-5
-6
-7
Зрр ге = 0,48 и 0,58 -'Зр,, гс = 0.70 —Зрп Борновское приближение
Гоммель-Талер
Ф Си гнел- Маршак
J______I______I_____I__
48° 49°	50° 51°	52° 53°
‘Здфаза


Фиг. 5.12. Зависимость аР-фаз для рр-рассеяния при энергии 18,2 ЛЫ от величины 5-фазы.
Некоторые теоретически предсказываемые значения P-фаз представлены прямыми линиями или точками. Разъяснения приводятся в тексте.
и 0,70 фм, а также результаты расчетов в борновском приближении для одного потенциала У'1’ без отталкивающего керна. Как видно из фигуры, фазы, в особенности б (?PQ) и б (3Р2), существенно зависят от поведения потенциала на малых расстояниях. Более того, при всякой фиксированной 5-фазс ни одна из используемых моделей не обеспечивает совпадения всех трех P-фаз с экспериментом. [Точнее, ни одна из моделей нс даст значения б (3Р2), ложащегося на экспериментальную кривую.) При оценке данных, приведенных на фиг. 5.12, следует иметь в виду, что экспериментальные 8Р-фазы известны с точностью приблизительно до 1°, а фаза б (3Р0) Даже несколько хуже*).
*) Заметим, что изменение константы связи g в первом приближении эквивалентно просто умножению всех фаз на одно и то же число. Следовательно, ни одно из сделанных выше заключений не изменится.
102	Глава 5

Разумеется, 3Р-фазы (поскольку они находятся в качественном согласии с предполагаемым видом потенциала, т. е. с V1) могут служить свидетельством того, что ядерные силы представляют собой смесь относительно слабых центральных сил и доминирующих тензорных сил. Можно сделать несколько более общее утверждение. Если предположить, что потенциал имеет вид Vo+ VrSl2, то в борцовском приближении для фаз получаются простые выражения. Обозначим через бс и 6Г фазы, соответствующие потенциалам и Уг, когда каждый из них действует независимо от другого. В силу того, что средние значения оператора S12 в трех 3Р-состояниях равны —4,2 и —*/5, имеем
б (3Ро) = бс—4бг, б (3Р,) = бс + 2бт,	(5.30)
о
б (*?,)-fic-^-йт.
Если бг < 0, то ясно, что
б(Ч)>б(’Р2)>б(3Р1).	(5.31)
Если исходить из решения I, то неравенства (5.31) будут соответствовать экспериментальной ситуации при энергиях ниже 40 Мэв. Они приводят к заключению, что VT > 0, т. е. что в состоянии 3Р0 тензорные силы имеют характер притяжения [см. формулу (5.28)1. Такой же знак VT предсказывается потенциалом V'”, поскольку в триплетном по изоспину ®Р-состоянии (т^г) = 1. Центральная часть V*” в состоянии 3Р дает отталкивание, в результате чего бс < 0. При достаточно малых 6С отрицательный знак бс не приводит к противоречию с экспериментом [6 (3Р2) > 0]. Действительно, часть центрального потенциала, соответствующая четвертому порядку мезонной теории, в триплетных нечетных состояниях соответствует притяжению. Таким образом, потенциал оказывается отталкивающим на расстояниях, превышающих приблизительно 1,5 фм, и притягивающим на меньших расстояниях (по-видимому, вплоть до расстояний порядка 0,5 фм, где действует отталкивающий керн). В результате P-фаза, обусловленная центральными силами, оказывается небольшой, что согласуется с почти симметричным рассеянием нейтронов на протонах.
Вывод: рассеяние протонов на протонах можно описать с помощью потенциала, который в синглетных четных состояниях является потенциалом притяжения на больших расстояниях и имеет отталкивающий керн в центре; в триплетных нечетных состояниях потенциал включает тензорные силы, которые в 3Р0-состояннн приводят к притяжению и имеют достаточно большой радиус, чтобы сказываться на рассеянии прн энергии 10 Л4эв.
§ 6. Опыты при высоких энергиях и спин-орбитальные силы
При более высоких энергиях неравенства (5.31), указывающие на существование тензорных сил, становятся несправедливыми. Детальный фазовый анализ данных статьи [23] о рр-рассеянии при энергии 315 Мэв приведен в работе [181. Авторы нашли восемь удовлетворяющих эксперименту решений. Каждое решение состоит из (раз следующих состояний: ^о, Юс, 3Ро, 3Pt, 3Рз, 3Нс, 8Р2+ 3Р2 (б^, 62Р, е2), 3Ft+ 3//4 (6to, б4Р, е4) и фазы состояния 3Нв (связь между состояниями ЯНО и 3Je не учитывалась). Три
Силы между нуклонами. II
103
решения дают неправильный результат при расчете рождения л-мезонов в реакции р 4- р -> л 4- d. Из оставшихся пяти решений только два дали фазы, согласующиеся с фазами некоторых простых потенциалов, подобранных подданные при малых энергиях1). Хотя концепция потенциала нс может дать строго точных результатов, однако вплоть до энергий 300 /Изе понятие потенциала играет полезную роль при анализе экспериментальных данных. Из двух оставшихся решений одно неправильно определяет знак константы связи 82 для притягивающих тензорных сил в состоянии 3Ро- Поэтому основное внимание следует уделить последнему решению — его называют решением I. Согласно этому решению ®Р-фазы имеют следующие значения: б (ар„) = —18,7 ± 2°; б (3Р() = —26,0 ± 1°; б^ = 16,8 ± 1°. Такого рода распределение, очевидно, сильно отличается от получающегося при энергиях ниже 40 Мэв; кроме того, оно явно не удовлетворяет неравенствам (5.31). Эти неравенства получены в борцовском приближении и на них нельзя положиться в тех случаях, когда действуют очень большие тензорные силы; однако данные прн малых энергиях никак не свидетельствуют о существовании стать батьших тензорных сил. Наиболее вероятно поэтому, что наряду с допущенными центральными и тензорными силами действуют еще некоторые другие силы.
Рать таких сил могут играть L • S-силы. Мы уже отмечали, что L • S-силы приводят к соотношению фаз в трех Р-состояниях 2:1: —1, или в обозначениях, аналогичных (5.30),
бСРо) = бс-4бт-2б^,
б(1Р|) = бе4-2б7—6/Sj,	(5.32)
2
^2а ~ —-=• бт -f- бЛ5 ,
Данные по малым энергиям требуют, чтобы тензорные силы в 3Ро-состоянин были притягивающими, т. е. чтобы фаза бт была меньше нуля. Из (5.32) видно, что если фаза 6ls положительна и достаточно велика, то фазы б (3Р|) и б (3Р0) могут становиться отрицательными (причем б (эР0 будет больше по абсолютной величине, чем 6 (3Р0)], а б2а — положительной.
Такой выбор 6ls соответствует ситуации, когда спин-орбитальныесилы оказываются отталкивающими в состоянии 3Р0, притягивающими в состоянии 3Рг н играют важную роль прн энергии около 300 Мэе. С другой стороны, при энергиях меньше 40 Мэв нет или почти нет указаний на существование каких-либо L-S-сил. Отсюда следует, что L-S-силы должны обладать малым по сравнению с центральными и тензорными силами радиусом действия, так чтобы их роль становилась существенной только при больших энергиях. Расчет рр- и пр-рассеяннй при энергиях до 300 Мэв показывает, что L-S-силы действуют на расстояниях менее 0,7 фм.
Напрашиваются два пути дальнейшего изучения структуры ядра. С одной стороны, можно попытаться чисто феноменологическим образом подобрать потенциал, объясняющий всю совокупность данных; с другой стороны, принять некоторую часть потенциала из мезонной теории и добиваться согласия с экспериментом, добавляя к этому потенциалу разумным образом выбранные феноменологические члены. Были исследованы обе эти воз-
*) Г. Брейт с сотрудниками провел полный анализ данных о рассеянии вплоть до энергий 350 Л1эв и получил фазы, плавно зависящие от энергии во всем энергетическом интервале. Можно считать, что эти фазы определяются всей совокупностью экспериментальных данных [25, 26].
104
Глава 5
можности. Гаммель и Талер [29] взяли смесь центральных, тензорных и спин-орбнтальных сил: Vc (г), Vr (r)S12, VLS (л) L-S. При этом во всех случаях радиальная зависимость V (г) бралась в виде абсолютно твердой сферы радиуса г = ге с «хвостом» типа Юкавы при г > ге:
(5.33) V(r) = co, r<zrc.
Параметры re, V и р подбирались для каждого состояния независимо, т. е. индивидуальные значения приписывались триплетным четным состояниям (отдельно для центральных, тензорных и L-S-сил), синглетным четным состояниям и аналогичным образом соответствующим состояниям с нечетным I: всего 24 параметра1). Таким способом для дифференциального сечения и поляризации было получено достаточно хорошее согласие с экспериментом. Можно напучить даже несколько лучшее согласие с экспериментом, приняв, что в триплетных четных состояниях амплитуда центральных и тензорных сил слегка уменьшается с ростом энергии. Этот факт можно интерпретировать как свидетельство того, что истинная радиальная функция потенциала несколько отличается от функции Юкавы и небольшое изменение вида радиальной зависимости привело бы к потенциалу, не зависящему от энергии. Потенциалы, полученные Гаммелем и Талером, приведены на фиг. 5.13. Спин-орбитальный потенциал, обладающий очень малым радиусом действия, не показан. Его параметры таковы: гс = 0,41 фм, V^s = 0 (L четное), VLS = 7318 Мэв (L нечетное) l/|iLs = 0.27 фм (при любом L).
По второму пути, на котором руководящей нитью является мезонная теория, пошли Сигнелл и Маршак [30]. Возникающие в мезонной теории расходимости можно исключить, вводя в расчеты теории возмущений про-извачьное обрезание по энергиям промежуточных состояний. Результаты, пачученные таким методом, должны быть достаточно надежными до тех пор, пока рассматриваемые энергии малы по сравнению с энергией обрезания. С помощью этого метода было удовлетворительно объяснено фоторождение мезонов и рассеяние л-мезонов на нуклонах. Гартенхауз [9] рассчитал взаимодействие двух нуклонов, взяв для энергии обрезания величину 6шлс2 (~800 Мэв), ограничившись двухмезонным приближением и пренебрегая отдачей нуклонов (статическое приближение). На расстояниях, где вкладом трехмезонных членов уже нельзя пренебрегать, т.е. при г = 0,6
0,8 фм, полученный Гартенхаузом потенциал уже нс может претендовать на физическую значимость. Кроме того, поскачьку в рамках статического приближения невозможно получить никаких указаний^относительно членов, зависящих от скорости (например, учесть L-S-снлы), то мы с пачным правом можем пытаться достичь согласия с экспериментом, либо произвольно изменяя потенциал Гартенхауза на малых расстояниях, либо свободно набирая дополнительные силы, зависящие от скорости. Это последнее и проделали Сигнелл и Маршак. Поскольку данные экспериментов при высоких энергиях можно истолковать с помощью спин-орбитальных сил, то естественно предпачагать наличие последних во взаимодействии между нуклонами. Сигнелл, Цинн и Маршак [31] использовали вариант L-S-сил, на больших расстояниях весьма близкий к варианту Гаммеля и Талера,носуще-
х) Практически для центральных, тензорных и L-S-снл использовалось одно и то же значение гс. Тем самым число переменных параметров уменьшалось до 20.
1500
ЮОО
500
8 0
Но со
Потенциал в синглетным четных состояниях
-500
1000
160
80b
О
-80
-160
-240
0,4 0,8 1,2
О
Потенциал для тензорных сил в четных состояниях
1500
0,6 0,8
.	1. I .1-1 
О 0.2 0,4
Фиг. 3.13. Феноменологический потенциал Гаммеля —Талера (пунктир) и мезонный потенциал Гартенхауза (сплошная линия).
Приведенные здесь тензорные силы немного отличаются от описанных)в тексте н дают несколько лучшее согласие с аксперпмеитом при высоких энергиях ([26], стр. 296) (по Сигнеллу и Маршаку).
106
Глава 5
ственно отличающийся от него на расстояниях -£0,2 /р. Кроме того, L-S-силы, введенные Сигнеллом, Цинном и Маршаком, действуют только в триплетных по изоспину состояниях и отсутствуют, следовательно, в основном состоянии дейтрона или в любом другом триплетном четном состоянии. Радиальная зависимость этих сил бралась в следующем виде:
1 d е~^
v <21 г>г- .
v,£	(5.34)
Vls (Гс)	при r<re,
s
где x = pr, a rc — комптоновская длина ванны нуклона, равная 0,21 фм. Другая важная модификация потенциала Гартенхауза состоит в том, что центральные силы в триплетных нечетных состояниях дополняются отталкивающим керном радиусом 0,37/р. Керн действует на расстояниях, на которых теория неприменима. Благодаря керну исключается нефнзическое связанное состояние 3Р2, которое должно было появляться в противном случае. Эта модификация потенциала Гартенхауза изображена на фиг. 5.13. Численное значение постоянной связи g и энергия обрезания определяются из опытов по л-мезон-нуклонному рассеянию, поэтому в потенциале нс остается свободных параметров.
Хотя теория неправомерна на малых расстояниях, интересно тем не менее отметить, что в четных состояниях она предсказывает отталкивающий керн. Такой керн был предсказан еще на основе ранних расчетов по мезонной теории [32]. Заметим, что на расстояниях больше 0,6/ц даваемый этой теорией потенциал и феноменологический потенциал Гаммеля — Талера очень близки друг к другу. На существование больших тензорных сил, вытекающее из мезонной теории, непосредственно указывает эксперимент. Теория предсказывает также наличие небольшого отталкивания в синглетных нечетных состояниях. Гаммсль и Талер нашли, что такого типа силы необходимы для объяснения характера рассеяния назад при облучении протонов нейтронами с энергией 90 Мэв. Весьма существенную рать в обоих потенциалах играют спин-орбитальные силы. Именно при учете этих сил в том и в другом случае хорошее согласие расчетных а (6) и Р (0) с экспериментальными данными наблюдается вплоть до энергий 200 /Изе как для рр-, так и для пр-рассеяний. Разумны также и результаты, получаемые при энергии 300 Мэв. Однако здесь согласие уже нс столь хорошее, в особенности для F- и Я-фаз. Более того, потенциалы Гаммеля — Талера и Сигнелла — Маршака не дают совпадающих результатов для некоторых других измеряемых параметров папяризации. В частности, совершенно различные значения получаются для деполяризации D (0); при энергии 150 Мэв, без сомнения, предпочтительнее потенциал Сигнелла — Маршака. Соотношение между двумя потенциалами иллюстрируется на фиг. 5.14.
Важно отметить, что эти потенциалы достаточно хорошо передают лишь основные особенности взаимодействия нуклонов с энергиями до 300 Мэв. К полному согласию с экспериментом они не приводят. В качестве иллюстрации к возникающей в связи с этим произвольности в значениях параметров можно упомянуть потенциал, предложенный Брейтом с сотрудниками [33). Этот потенциал несколько отличается от потенциала Сигнелла — Маршака. В синглетных четных состояниях он характеризуется несколько большим радиусом действия, а спин-орбитальные силы действуют только в Р-состоя-ниях. Потенциал приводит к приблизительно столь же хорошему согласию с экспериментом, в одних случаях к лучшему, в других — к худшему. Ко-
108	Г л а'в а 5
нечно, изменяя потенциал соответствующим образом на малых расстояниях (может быть, даже вводя зависимость от скорости), всегда можно добиться точного согласия с экспериментом; однако такого рода процедуры едва ли можно считать оправданными, пока отсутствуют какие-либо теоретические обоснования подобных изменений.
Другой метод описания основывается на использовании граничных условий. Вместо того чтобы пытаться найти потенциал в области, ограниченной некоторой поверхностью («области пренебрежения»), можно определить граничные условия на этой поверхности (обычно логарифмическую производную радиальной части волновой функции для каждого состояния), что позволит численно рассчитать волновую функцию и, следовательно, фазы. Можно, например, на расстояниях, скажем, больших 0,7 фм, выбрать потенциал, предсказываемый мезонной теорией, а влияние малых расстояний учесть с помощью граничных условий при г = 0,7 фм 134]. Можно также (как это и было сделано в первых расчетах Фсшбаха и Ломона (35], продемонстрировавших потенциальные достоинства нового метода) заменить все ядерные взаимодействия граничными условиями. Оказывается, что последние довольно просто зависят от энергии, что позволяет удовлетворительно описать ядерные взаимодействия. Во всяком случае применение граничных условий может оказаться столь же удобным, сколь и применение потенциала, который хотя и имел вначале простую теоретическую основу, но вследствие ряда произвольных модификаций так усложнился, что потерял свое основное преимущество, свойственное элементарным потенциалам,— наглядность интерпретации.
Изложенные соображения позволяют по-новому подойти к проблеме спин-орбитальных сил. Как указали Гаммсль и Талер [29], вводимые спнн-орбитальные силы имеют очень малый радиус: они действуют непосредственно вблизи отталкивающего керна. Если искать решение дифференциального уравнения для волновой функции исходя из начала координат, то основная роль L-S-сил будет заключаться в том, чтобы различным образом изменять волновые функции трех P-состояний в каждой точке, в которой действуют эти силы, так что в результате на границе действия сил эти три состояния характеризуются различными логарифмическими производными и' /и. Гаммсль и Талер показали, что если наложить граничные условия на расстоянии гь = 0,7 фм в виде гь (и' /и) = со для состояний 3Ра и sPj и в виде гь (и' /и) = 0,6 для состояния 3Р2, то при всех энергиях получаются практически те же самые фазы, что и с помощью потенциала для L-S-сил. Отсюда вытекает утверждение, что единственный реальный вывод из эксперимента сводится к тому, что при г < 0,7 фм потенциал нуклона создает в 3Р2-состоянпи значительно меньшие отталкивающие силы, чем в двух других 3Р-состояннях. Свойства спин-орбитальных сил согласуются с этим утверждением, так как оператору LS свойственно положительное собственное значение в 3Р2-состоянии и отрицательные — в других состояниях. Однако это еще нельзя считать действительным доказательством существования L-S-снл. Это мнение акцентировали японские физики [36—38], показав, что о (6) и Р (0) вплоть до энергий порядка 150 Мэв можно объяснить без L -S-сил на основе феноменологически вводимой зависимости потенциала от энергии на расстояниях, соответствующих области керна. Японская школа последовательно отстаивает применение мезонного потенциала во внешней области и произвольный подбор потенциалов на малых расстояниях [8]. В частности, применяется потенциал следующего вида: одномезонный и двухмезонный потенциалы на расстояниях г > 1,0 фм, прямоугольная яма соответствующей глубины (в зависимости от энергии)
Силы между нуклонами. II
109
для каждой из четырех комбинаций спина и четности в области 0,5 фм < < г < 1,0 фм и отталкивающий керн для всех состояний при г 0,5 фм. Наряду с произвольностью выбора S-фазы и центральных сил в 3Р- и 1Р-состояниях в области г < 1,0 фм свободными параметрами оказываются также параметры тензорной связи б| и е2. Согласие с экспериментом особенно существенно зависит от значения параметра е2, определяющего примесь гармоник третьего порядка. В случае 3Р2-состоянпя соответствующий подбор этого параметра позволяет получить эффекты, аналогичные действию L- S-сил. Тем не менее решающих доказательств того, что L-S-силы вводить не обязательно, пока не существует. Для доказательства нужно во всяком случае объяснить без помощи L-S-сил явление деполяризации.
При нахождении мезонного потенциала японские физики нс используют процедуру обрезания. Расчеты ведутся или с помощью теории возмущений в рамках обычной теории (соответственно получаются сингулярности в начале координат [39]), или во втором приближении теории возмущений, в котором, однако, с помощью дисперсионных состояний совместно с данными опытов по я-мезон-нуклониому рассеянию проводится учет некоторых радиационных поправок более высокого порядка [40]. В том и другом случае считается, что на малых расстояниях потенциалу нельзя доверять, н в этой области используются прямоугольные ямы. Тамагаки критикует Сигнелла и Маршака за применение потенциала Гартенхауза в области г < 0,6/|.i. Он считает, что L-S-силы появляются только вследствие того, что в области керна потенциал Гартенхауза не скомпенсирован. Конечно, потенциал Гартенхауза не может быть правильным в этой области, однако на малых расстояниях его можно рассматривать как пробный феноменологический потенциал, вместе со спин-орбитальными силами приводящий к согласию с экспериментом. Поскольку на больших расстояниях обсуждаемые потенциалы очень близки, то нам кажется, что решения японских физиков и Сигнелла и Маршака представляют собой два альтернативных решения, согласующихся с экспериментом. По мере появления новых данных решения, вероятно, будут уточняться и в конечном счете могут совпасть.
Ввиду того что вопрос об экспериментальном подтверждении существования спин-орбитальных сил остается открытым, важно выяснить, какие силы допустимы с теоретической точки зрения. Как можно показать, в наиболее общем случае потенциал для нерелятивистских нуклонов записывается в виде
V = Vc + VlsL -S-]- V0Oi •<Хг4' KrSu-Г Vopffi -рсгг’РЧ-	• LtrpL. (5.35а)
Каждый из коэффициентов Vi имеет в свою очередь вид
Vi=V°i(r,p,L) + VTl(r,p,L)Tl-x2,	(5.356)
где V? и — действительные скалярные функции, зависящие от трех векторов г, р1) и L.
Заметим, что выражения (5.35) содержат все рассмотренные нами силы: обычные, тензорные, спин-орбитальные, причем каждый тип сил допускает возможность спинового и зарядового обмена. Кроме того, появились новые зависящие от импульса силы: (ffrp) (о2‘Р) и (ой• L) (<т2-L). Мы до сих пор
*) Зависимость от р) обнаружится только при расчете матричных элементов между состояниями с различной энергией, т. е. «вне энергетической оболочки». На энергетической оболочке член Уор можно выразить через другие члены в V.
по
Глава 5
не учитывали возможной зависимости Vt от р и L1). К сожалению, мезонная теория не достигла еще стадии, когда результаты можно считать бесспорными. Тем не менее мы можем высказать некоторые соображения о виде взаимодействия, которое предсказывает эта теория. Окубо и Маршак [41] показали, что к членам первого порядка имеется поправка вида (/ПлЛИ)2 3 (щ-L) (ff2-L), а не (0,4-02)^. Кроме того, L-S-член, появляющийся во втором приближении, пропорционален (/nn/Af)g4 и содержит обрезающий фактор ехр (—2рг) [41—43]. Предсказываемая величина этого члена оказывается значительно меньше предложенных феноменологических спин-орбнтальных сил (в области г > 1,5 фм — в 10 или более раз). На расстоянии 2,8 фм L-S-потенциал Сигнелла — Маршака, оставаясь все еще больше рассчитанного, равен всего лишь 0,25 А1эв. В связи с этим именно величина L-S-сил оказывается наиболее сомнительным пунктом расчетов такого типа.
Чтобы избежать некоторых трудностей расчета, Брейт [45] исследовал неквантованное псевдоскалярное мезонное поле. Его работа дает качественное представление о том, каковы должны быть предсказания правильной теории. Он нашел, что для большинства состояний должен существовать отталкивающий керн; кроме того, должны существовать как силы, пропорциональные (<т,  р) (ст2-р), так и L-S-силы.
Брейт подтвердил вывод квантовой мезонной теории о том, что в синглетных нечетных состояниях действуют отталкивающие силы. Оказалось, что на больших расстояниях радиальная зависимость L S-сил имеет вид (1 /х) (d/dx) (е’“/х2); на малых расстояниях она более сложна (в частности, радиальная функция меняет знак). Для двух изотопических состояний L-S-силы оказываются различными: притяжение на больших расстояниях сменяется отталкиванием на расстоянии ~1 фм при Т = 0 и на ~0,4 фм при Т = 1. Следовательно, нечетным состояниям (Т — 1) присущи значительно более интенсивные L-S-силы, чем четным. Более того, даже предельный случай, когда L-S-силы отсутствуют в четных состояниях, не представляется вероятным2). В целом работа Брейта показывает, что введение L-S-потенциала может оказаться оправданным. Наиболее целесообразно, по-видимому, считать этот вопрос открытым2).
§ 7. Выводы
Эта глава не содержит полного обзора наших знаний о нуклон-нуклон-ных силах и заканчивается нерешенным вопросом. Эти недостатки, однако, несущественны в свете основной цели этой книги — изучения атомного ядра.
В ядрах относительные импульсы нуклонов редко превышают эквивалентную кинетическую энергию 200 Мэв в лабораторной системе, а ниже этой энергии неопределенности во взаимодействии относительно маловажны. Кроме того, изучение структуры ядра связано с проблемой многих тел. Поэтому прогресс в понимании ядра может быть достигнут при учете
*) Исключая потенциал Брента, прн котором L-S-силы действуют только в Р-со-стояниях.
2) Это предположение было выдвинуто Маршаком, чтобы избежать трудностей при рассмотрении дейтрона, в частности трудностей с магнитным моментом дейтрона, которые возникают, когда L-S-силы в D-состоянин столь же интенсивны, как и в Р-состоянии.
3) Большая работа по фазовому анализу нуклон-нуклонного рассеяния была
выполнена за последние годы в Дубне (см., например, [53*— 56*]).— Прим. ред.
Силы между нуклонами. II
111
только наиболее важных особенностей нуклон-нуклонного взаимодействия. Эти же основные особенности можно описать с помощью всех не слишком сложных потенциалов: потенциала Гаммсля — Талера, Снгнслла — Маршака, японских физиков (теоретический потенциал на больших расстояниях и феноменологический керн на малых), а также методом граничных условии. Более того, если не требуется большая точность, то во многих случаях можно использовать еще более простые силы, например силы Сербера (для исключения влияния P-состояния). Мы напомним сейчас некоторые из основных особенностей нуклон-нуклонного взаимодействия.
В нуклон-нуклонном взаимодействии принимает участие отталкивающий керн радиусом 0,4—0,5 фм. Он действует во всех состояниях в случае потенциала японских физиков или Гаммеля — Талера; в случае потенциала Сигнелла — Маршака в некоторых состояниях керн отсутствует.
На больших расстояниях существенный, если не основной, вклад во взаимодействие дают тензорные силы. Это, однако, не означает, что имеет место сильное смешивание по L, особенно при малых энергиях. Во многих случаях можно использовать эквивалентные центральные силы. Тензорные силы оказываются притягивающими в 35,- и 3Р0-состояниях.
Потенциал для четных состояний вне области керна оказывается притягивающим. В нечетных состояниях силы, особенно центральные, значительно более слабы, нежели в четных. На расстояниях более 1 фм (а вероятно, и на любом расстоянии) потенциал в синглетном нечетном состоянии оказывается отталкивающим. Центральный потенциал триплетных нечетных состояний оказывается слабым и отталкивательным на расстояниях больше 1,5 фм, притягивающим в интервале 0,5—1,5 фм и сильно отталкивающим на меньших расстояниях. Как суммарный результат в некоторых случаях взаимодействие в P-состоянии отсутствует, хотя в других (например, в вопросе об изотропии рассеяния) взаимодействие в P-состоянии играет существенную роль.
Наконец, при высоких энергиях фазы таковы, что их можно интерпретировать, предполагая наличие интенсивных короткодействующих спин-орбитальных сил. Прн расчете структурных эффектов в ядре не особенно важно, используется ли эта или какая-либо другая интерпретация фаз при высоких энергиях.
В других отношениях указанные потенциалы также нельзя считать окончательными. Многие, если не все, эффекты отталкивающего керна можно получить и исходя из конечного во всех точках потенциала, зависящего подходящим образом от относительного импульса двух нуклонов1). Как мы увидим в гл. 9, учет отталкивающего керна приводит при расчете свойств ядра к весьма значительным математическим трудностям. Хотя с точки зрения основной теории предположение о зависимости потенциалов от импульсов при скоростях, малых по сравнению со скоростью света, не желательно, тем не менее это предположение можно оправдать на том основании, что оно упрощает расчеты и что два потенциала, приводящие к одинаковым результатам по рассеянию нуклонов, дадут, вероятно, очень близкие результаты и при расчете свойств ядер.
Действительно, вообще говоря, можно не прибегать к помощи потенциала и обратиться непосредственно к матричным элементам, которые определяют переходы между всеми возможными состояниями. Поскольку, однако, эксперимент дает не все матричные элементы, целесообразно использовать метод граничных условий или метод потенциала (нз самых общих сообра-
*) Предварительные результаты Пайерлса и Грина весьма интересны.
112
Глава 5
жсний следует ожидать, что по крайней мере при малых энергиях потенциал существует). Причина того, что два потенциала, согласующиеся с экспериментом, могут привести к различным результатам при расчете свойств ядер, заключается в том, что набор матричных элементов рассеяния определяется не полностью. В связи с этим из двух потенциалов, согласующихся с известными экспериментальными данными, по крайней мере один может оказаться в противоречии с еще не измеренными в настоящий момент элементами матрицы рассеяния.
Выше мы уже говорили о теоретико-полевых расчетах, выполненных с целью определения межнуклонного потенциала. Более фундаментальная задача состоит в том, чтобы по амплитудам мезон-нуклонных процессов (при всех энергиях) восстановить элементы матрицы двухнуклонного рассеяния. Решение этой задачи связано с многообещающей, но математически сложной техникой дисперсионных соотношений [441.. Хотя ни один из рассмотренных в этой главе потенциалов не является вполне удовлетворительным и, более того, концепция потенциала вообще может оказаться несостоятельной в области энергий до 300 Л!эд, тем не менее наши знания о нуклон-нуклонном взаимодействии достаточны для того, чтобы ни один из этих потенциалов не ввел нас в заблуждение при изучении ядериых явлений.
ЗАДАЧИ
5.1. Получить формулу (5.8) из (5.7).
5.2. Доказать следующие свойства оператора Sj2:
а) Действуя на синглетное состояние, этот оператор дает нуль.
б) При действии оператора S|2 на триплетное состояние с L — J^\ получается линейная комбинация триплетных функций с L=J-|-1 и L = J — 1, а при действии его на триплетное состояние с L = J с точностью до постоянного множителя получается та же функция, т. е.
lL = aL. J+&J. lJ+l+flL, J-lS^t J-l’
если L=J±I, и
если L=J.
в) Оператор Sl2 коммутирует c Jz- Следовательно, коэффициенты ol, j+t, ajjtj_l и aj, j не зависят от M.
г) ej+i,	J+ь
д) Рассматривая частный случай, когда г направлен вдоль осн г и М=1, и используя соотношение уу,(0 = 0) = )^(2/-|-1)/4я б/<(1 показать, что
<’J.J = (^ijlS12l^tj) = 2-
е) Рассмотреть частный случай r=k, Л4 = 0 и Л4=1. С помощью первого равенства п. «б» получить два соотношения между aj-i, j+i и «j-ь j-i- Используя полученные результаты, показать, что
(З^Л 1J-1 Is б) * * * * *» ।	2J-J-1 •
м-1>=Ц7ТГ12-
/Ч/М	1«/м V ^2U+2)
{jj, lJ+i I *12 I 1J+1)— 2J-j-l •
 Силы между нуклонами. II 113
5.3. Показать, что вклад P-волны а орр(0) дается выражением
ГГ17	9	1
лХ2	4-sin5 S24—sin1 d|4—2“sin2 60+
, 9	1
т—2“ cos(dj—d() sin 62 si” 61 +2 cos (63—60) sin d2sin d0 —
Г 21	9	,27
— sin20 I "s'sin1 62 + -g-sin1 d|cos(Ло — dj) sindj sind( +
+ 3cos (&,—d0) sin sin Ao | j >
где 60, 61 и dj—фазы 3P0-, 3Pr и 3Р2*состояний соответственно. Показать, что в случае, когда фазы невелики и применимо борновское приближение, вклад L-S-сил равняется 9.tX26Jsin10, где (ц—часть 3Рг-фазы, обусловленная LS-силамн.
5.4. Найти фазы рассеяния на непроницаемой сфере радиуса гс. Что говорит эггОт результат о величине фазы для отталкивающего керна, окруженного притягивающим потенциалом?
ЛИТЕР АТУ РА
1.	Kellogg J. В., R a b i I. 1., R a msey N. F„ Z a c h a r I a s J. R., PhyJ.
Rev., 57, 677 (1940).
2.	К о i s k у H. G., P h i p p s T. E., R a m s e у N. F., S i I s b e e H. B., Phys.
Rev., 87, 395 (1952).
3.	Л u f f г a у J. P., Phys. Rev. Letters, 6. 120 (1961).
4.	Ramsey N. F., Nuclear Moments, New York, 1953.
5.	R а г i t a W., Schwinger J., Phys. Rev., 59, 436, 556 (1941).
6.	Fes h b a th H., Schwinger J., Phys. Rev., 84, 194 (1951).
7.	В i e <1 e n h а г n L. С., В 1 a t t J. M., К a 1 о s M. H., Nucl. Phys., 6, 359 (1958).
8.	I w a da re J., О t s u k i S., T a m a g a k i R., W a t a r i W., Progr. Theor.
Phys., Suppl. No. 3, 32 (1956).
9.	Ga г te nh a us S., Phys. Rev., 100, 900 (1955).
10.	M a t s u in a t о M., W a t а г i W., Progr. Theor. Phys. 11, 63 (1954).
11.	Y u k a w a H., Proc. Phys.— Math. Soc. Japan, 17, 48 (1935).
12.	W о I f e n s t e i n L., Annual Review of Nuclear Science, 6, 43 (1956).
13.	C h a m b e r I a i n O., Donaldson R., S e g г ё R., T г i p p R., Wiegand C., Y p s i 1 a n t i s T., Phys. Rev., 95, 850 (1954).
14.	S i e g e 1 R. T„ H ar tiler A. J., L о v e W. A., Phys. Rev., 101, 838 (1956).
15.	П у 3 и к о в Л., Рындин Р., С м о р о д и и с к и и Я., ЖЭТФ, 5, 489 (1957).
16.	Kanellopoulos Т. V., Brown О. Е., Proc. Phys. Soc., А70, 690, 703(1957).
17.	В I a t t J. М.. В i е d е п h а г n L. С., Phys. Rev., 86, 399 (1952).
18.	S t а р р Н. Р., Y р s i I a n t i s Т. J., М с t г о р о I i s N., Phys. Rev., 105, 302 (1957).
19.	Hess W. N., Rev. Mod. Phys., 30, 368 (1958).
20.	J a s t г о w R., Phys. Rev., 81, 165 (1951).
21.	C a s e К. M.. P a i s A., Phys. Rev., 80, 203 (1950).
22.	Yang C. N., Phys. Rev., 74, 764 (1948).
23.	C h a in b e г I a i n O., S e g г ё E., T r i p p R. D., W i e g a n d C., Ypsilantis T., Phys. Rev., 105, 288 (1957).
24.	M a c G г e g о r M. H., Phys. Rev., 113, 1559 (1959).
25.	Cziffra P,,MacGregor M. H., H. J.Moravcsik H. J.,S ta p p H. P.
Phys. Rev., 114, 880 (1959).
26.	В re i t G., et al., Phys. Rev., 120, 2227 (1960).
27.	В r e i t G., et al., Phys. Rev., 122, 1606 (1961).
28.	H u I t h e n L., S u g a w а г a M., Handbuch der Physik, Hsg., S. FlOgge, Bd. 39, Berlin, 1957.
8 Заказ M 37
114	Г лав a 5
29.	Ga mmel J. L., Thaler R. M., Phys. Rev., 107, 291 1337 (1957); Progress in Elementary Particle and Cosmic Ray Physics, Vol. V, Amsterdam, 1960.
30.	S i g n e I 1 P. S., M a r s h a к R. E., Phys.	Rev., 109, 1229 (1958).
31.	S i g n e 1 1 P.S.,Zinn R., M a r s h a к R.	E., Phys. Rev. Letters, 1,	416	(1958).
32.	L ё v у M. M„ Phys. Rev., 88. 725 (1952).
33.	H u I I M. H., Jr. P у a t I K. D. Jr., Fischer C. R., В r e i t G.,	Phys.	Rev.
Letters, 2, 264 (1959).
34.	Feshbach H., Lonion E., T u b i s A., Phys. Rev. Letters, 6, 635 (1961).
35.	F e s h b a c h H., L о m о n E., Phys. Rev., 102, 891 (1956).
36.	О t s u к i S., Progr. Theor. Phys., 20, 171 (1958).
37.	W a t a r i	W., Progr. Theor. Phys., 20, 181	(1958).
38.	T a m a g a	к i R., Progr. Theor. Phys., 20,	505 (1958).
39.	T a к e t a n	i M., Machida S., О h n u m	a S., Progr.	Theor. Phys.,	7,	45 (1952).
40.	Ko nu ma	M., M i у a z a w a H., О t s u к	i S., Progr. Theor.	Phys.,	19,	17 (1958).
41.	О к u b о S., M a r s h a к R. E., Ann. of. Phys., 4, 166 (1958).
42.	Mach Ida S., T о у о d a T., Progr. Theor. Phys. Suppl., No. 3, 105 (1956).
43.	Suga wara M.,Oku bo S., Phys. Rev., 117, 605, 611 (I960).
44.	G о 1 d b e r g e r M. L., G r i s a r u M.T.,Mac Do we I I S. W., W о n g D. Y., Phys. Rev., 120, 2250 (1960).
45.	Breit G., Phys. Rev., Ill, 652 (1958).
46.	T а у 1 о r A. E., Rep. Progr. Phys., 20, 86 (1957).
47.	О h n u m a S., F e I d m a n D., Phys, Rev., 102, 1641 (1956).
48.	P h i 1 I i p s R. J. N.,.Proc. Phys. Soc., A70, 721 (1957).
49.	С 1 e m e n t e 1 E., V 1 I I 1 C., J e s s L., Nuovo Cimento. 5, 907 (1957).
50.	P a 1 m 1 e г 1 J. N., С о r in а с к A. M., Ramsey N.F., Wilson R., Ann. of Phys., 6, 299 (1958).
51*. Goldfarb L. J. B., Angular Correlations and Polarisation, in «Nuclear Reactions», Vol. I, Amsterdam, 1959. (Имеется перевод: Л. Гольдфарб, Угловые корреляции и поляризация, в сборнике «Ядерные реакции», М., 1962.)
52*. Балдин А. М., ГольданскнЛ В. И., Розенталь И. Л., «Кинематика ядерных реакций», М., 1959.
53*. А ж г и р е й Л. С., К л е п н к о в Н. П., К у м с к и и Ю. П., М е щ е р fl-ков М. Г., Н у р у ш е в С. Б., Столетов Г. Д., Препринт ОИЯИ, Р-1266, Дубна, 1963: ЖЭТФ, 40, 1074 (1964).
54*. Казаринов Ю. М., Сплин И. Н., ЖЭТФ. 43. 692; 43. 1385 (1962).
55*. Казаринов Ю. М., Киселев В. С., Сатаров В. И., ЖЭТФ, 46, 920 (1964).
56*. Б ы с т р и ц к и й И., Зулькарнеев Р. Я., Препринт ОИЯИ, D-1236, Дубна, 1963.
ГЛАВА 6
ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ ЯДРА
§ 1. Введение
Наиболее существенной характеристикой ядра является, безусловно, его полная энергия или масса в основном состоянии. Мы уже отмечали, что масса приблизительно равна ZA4p-f-MAf„. В настоящей главе нас будут интересовать лишь отклонения массы от этой величины. Легче всего измерить массу нейтрального атома, которую мы будем обозначать М (Л, Z). Определим энергию связи ядра соотношением
B(A,Z)^ZMn + NMK —M(A,Z),	(6.1)
где Мн — масса атома водорода Н1. Таким образом, энергия связи состоит из энергии связи ядра и разности электронных энергий связи атома (Л, Z) и Z водородных атомов. Электронным вкладом можно пренебречь1).
Экспериментально массы ядер измеряются несколькими способами. Наиболее прямыми являются масс-спектрометрическис измерения отношения зарядов к массе в электрических и магнитных полях. Атомы исследуемого вещества ионизируются, вводятся в масс-спектрометр и затем производится сравнение с веществом известной массы, у которого почти такое же отношение заряда к массе (метод «массовых дублетов»), В качестве эталонного вещества наиболее часто используются различные углеводороды, поскольку они дают многократно заряженные ионы. С помощью тщательно отобранных эталонов были измерены массы большого числа ядер. Обзор подобных измерений дам в работах Дукворса и др. [1, 2]* *).
Иногда можно пользоваться другим прямым методом измерения масс, который состоит в наблюдении изменения момента инерции молекулы, когда один изотоп заменяется другим; прн этом масса одного из изотопов должна быть известна. Метод достаточно точен, если частоты молекулярного спектра находятся в микроволновой области; значения частот связаны с вращательным спектром, а следовательно, и с моментами инерции молекулы. Таким способом было измерено сравнительно небольшое число масс 13).
*) Имеются и другие величины, содержащие ту же самую информацию о ядре. Одна из них дефект массы М — А, где М выражено в массовых единицах. Одна массовая единица (I а. е. м. = 931,44 Мэв) равна 1/12 массы нейтрального атома С 1а. Другая часто используемая величина — упаковочный коэффициент (Л М/А). Автор согласен с Вапстра, который считает, что последнюю величину употреблять не следует.
*) Во всех работах до 1960 г. используется другая массовая единица, равная массы атома О’®.
z	8*
116
Глава 6
Разности масс некоторых ядер могут быть определены нз результатов измерения энергетического порога ядерных реакций и радиоактивных распадов. Например, из верхней границы 0-спектра (исправленной на две электронные массы в случае позитронного распада) можно получить разность масс материнского и дочернего атомов (подробнее см. гл. 15). Конечно, если дочернее ядро остается в возбужденном состоянии, необходимо учесть энергию последующего у-распада. В энергетический баланс а-активного (Л, Z) и дочернего (Я — 4, Z — 2) ядер входит кинетическая энергия а-час-тнц, энергия отдачи и энергия связи а-частиц. Здесь мы также должны быть
Фиг. 6.1. Энергия связи, приходящаяся на 1 нуклон для наиболее ста-Сильных изобаров.
Каждая точка представляет собой результат усреднения В/А по соседним ядрам; черные точки относятся к четно-четным ядрам, крестики — к ядрам с нечетным А. На вставке представлена зависимость В/A для легких ядер; косые крестики относятся к нечетно-нс-П|Й илрам (дойные Вапстра).
уверены в том, что переход происходит в основное состояние, или, в против-ном случае, учесть энергию возбуждения. Для определения разности масс можно использовать ядерные реакции типа (р, п), (d, р), (п, у), (d, а) и др. При этом энергии падающей и конечной частиц должны быть известны. Результаты многочисленных подобных исследований можно найти в обзорах [4—9].
Различными указанными методами было измерено довольно большое число атомных масс. Полученные данные не всегда согласовались между собой, и понадобилось много труда и времени для выяснения причин экспе-?иментальных расхождений. Эту работу проделали Вапстра и Хьюзенг 10, 11]. Ими была составлена обширная таблица энергий связи около 750 ядер [121. При измерении легких ядер (Л < 35) трудно было сравнить эталоны разных групп исследователей [131. По устранении этой трудности были получены несколько более точные данные, чем в таблицах Вапстра. В новых (более полных) таблицах [14] дефект масс дан в двух массовых шкалах С“ и О1*. Эти данные представлены на фиг. 6.1, где показана зави
Энергия связи ядра 117
симость В/А от А для наиболее стабильных при данном значении А ядер*). Несомненно, значения атомных масс будут уточняться.
§ 2. Полуэмпирическая формула
Наиболее заметной особенностью экспериментальной зависимости, изображенной нафиг. 6.1, является то, что удельная энергия связи приблизительно постоянна. Во всем диапазоне изменения А, за исключением области очень легких ядер (Л < 10), ВIA лежит в пределах от 7,4 до 8,8 Л1эв. Это было отмечено еще в 30-х годах, когда Астон провел свои измерения масс атомов [15, 161, и побудило Гейзенберга выдвинуть гипотезу об обменном характере ядерных сил [17]. В самом деле, если между нуклонами действуют силы притяжения, то следовало бы ожидать, что полная потенциальная энергия будет пропорциональна числу пар, т. е. приблизительно пропорциональна А3. Можно было бы также думать, что по мере увеличения числа нуклонов притяжение становится сильнее, ядро — компактнее и, следовательно, энергия связи возрастает быстрее, чем А3. Таким образом, величина В!А должна быть по крайней мере пропорциональной А. Однако мы видели, что удельная энергия связи (так же, как и ядерная плотность) почти постоянна. Это означает, что ядерные силы насыщаются, или, другими словами, каждый нуклон взаимодействует лишг с небольшим числом близких к нему нуклонов. Насыщение величины В /А достигается в ядрах с числом частиц, большим 10.
В гл' 9 мы увидим, что для полного понимания эффекта насыщения необходимо точное знание природы межнуклонных сил, особенно отталкивающей сердцевины и обменных членов, так же как и принципа Паули. Однако, чтобы иметь качественные представления, можно ограничиться следующим. Заметим, во-первых, что если радиус ядра R больше радиуса действия ядерных сил гп и плотность ядра постоянна, то каждый нуклон, очевидно, взаимодействует лишь с (rnIR)3 А нуклонами. Полная потенциальная энергия остается пропорциональной А3, и, если силы считать в основном силами притяжения, ядро будет иметь минимальную энергию при наименьшем значении R, т. е. в случае слипания ядра. Но имеется и другая, противоположная тенденция, а именно: в системе с фиксированным числом нуклонов кинетическая энергия возрастает с уменьшением радиуса, но только как 1IR*. Во-вторых, допустим существование сил, знак которых в определенных состояниях системы меняется. Тогда оказывается возможным весьма существенно изменять потенциал. Например, допустим, что пространственно обменные силы являются силами притяжения в четных и силами отталкивания в нечетных состояниях. Это, конечно, приведет к уменьшению потенциальной энергии. Действительно, все четыре нуклона в Не4 находятся в s-состоянии относительно друг друга и относительно центра масс, тогда как пятый нуклон в Не8 должен (из-за принципа Паули) находиться уже в относительных p-состояниях. В случае чисто обменных сил на пятый нуклон должны были бы действовать только силы отталкивания.
Более того, оказывается, что по мере уменьшения плотности ядерного вещества относительная вероятность существования антисимметричной пары по сравнению с симметричной в пределах действия ядерных сил также
*) Обычно для данного А имеется только одно р-стабильное ядро н лишь в 58 случаях существуют два таких ядра. Об этом говорится ниже, а также в гл. 15.

Глава 6
118
уменьшается. Это происходит из-за того, что в системе с фиксированным числом частиц при увеличении размеров этой системы кинетическая энергия ядра уменьшается, а следовательно, относительный импульс пары нуклонов также уменьшается, и соответствующая длина волны де-Бройля возрастает. Однако две частицы, волновая функция которых антисимметрична, не могут находиться в одном и том же месте пространства, так как в этом случае волновая функция равна нулю. Поэтому вероятность нахождения такой пары в пределах волны де-Бройля будет стремиться к нулю. В результате обменного взаимодействия с каждым из (rnIR)3 А нуклонов в пределах радиуса действия ядерных сил потенциальная энергия нуклона будет равна
где V— «средний» потенциал симметричной пары, ар (/?) — доля взаимодействующих нуклонов, образующих с данным нуклоном антисимметричное состояние. Выражение (1—2р) — убывающая функция плотности q ~ A IR3. Потенциальная энергия, приходящаяся на один нуклон, пропорциональна Q [1—2р (q)J и независимо от А будет иметь минимум при некотором значении Q = ро- Обменные силы достигают насыщения, так как при данной постоянной плотности радиус ядра R пропорционален Л1/», и полная обменная энергия будет равна
г*Ро 11 — 2p(p0)J VA.
Учет не очень больших нсобменных сил не изменит результата, так как в этом случае будет лишь другая равновесная плотность р0, а потенциальная энергия ядра останется также пропорциональной А, будучи равной
Лг3пр01Йи, + (1-2p(po))VwJ,	(6.2)
где и Vm — усредненные амплитуды потенциалов Вигнера и Майораны.
Легко видеть, что введение в ядерные силы отталкивающей сердцевины будет также препятствовать слипанию ядра и способствовать насыщению.
В этих качественных рассуждениях было сделано одно существенное, но необоснованное допущение. Именно, ядерный объем, заключенный в пределах гп от некоторой точки, считался пропорциональным (rn/R)3, т. е. мы пренебрегли точками ядерной поверхности, находящимися в пределах гп. Для сферического ядра с постоянной плотностью непосредственный и утомительный расчет, учитывающий влияние ядерной поверхности, приводит к следующему результату:
/пЛ1 । J-fM* V?/ |_	16/? ~^'32\RJ
(6.3)
Последним членом в этой . формуле можно пренебречь, однако второй, линейный член оказывается существенным. Учитывая (6.2) и (6.3), а также равенство R — Го41/8, мы находим для потенциальной энергии следующее выражение:
Ev = - kv(A- —Л*'»),	(6.4)
\	16г0	/
где для связанной системы ky — некоторая положительная константа. Член с А3'* обычно называют поверхностной энергией, или энергией поверхностного натяжения, поскольку он пропорционален площади ядерной поверхности
Энергия связи ядра
119
.. \
и его физический смысл такой же, как и поверхностного натяжения жидкой капли.
' Оценим кинетическую энергию нуклонов. Для этого будем считать ядро газом Ферми, состоящим из частиц со спином Уг, плотность которого настолько мала, что частицы можно рассматривать свободными, а столкновения — случайными. Это представление может показаться далеким от действительности, однако оно имеет ту же природу, что и гипотезы, используемые прн обсуждениях ядерных моментов в модели независимых частиц. Обоснование подобных представлений дается в гл. 9. Модель газа Ферми наиболее применима к центральной части тяжелых ядер, где плотность ядерного вещества постоянна. Движение свободной частицы в сферическом ядре описывается волновым числом k и квантовыми числами орбитального момента / и его проекции т. Волновая функция частицы имеет вид
Л(Аг)П"(0.<р)
и должна обращаться в нуль на поверхности ядра, т. е. прн г — R. Отсюда, решая уравнение ji (kR) — 0, можно получить значения А. Для каждого корня А/)П имеется (2/4-1) различных состояний. Таким образом можно подсчитать число состояний, расположенных ниже некоторого состояния с данным волновым числом А1). Число таких состояний равно (2/9 л) (kR)9. Если на каждый уровень приходится по одной частице, то N частиц размещаются на уровнях, имеющих А < Ак, где
/3=(6"2Q.)‘/s.	(6.5)
Здесь Q, — плотность частиц. Если на каждом уровне находится две частицы с противоположными спинами, то плотность будет в 2 раза больше, чем в предыдущем случае. Тогда
Ap,P=(3n2Gp),/«,	(6.5а)
где(?р — плотность протонов. Если в ядре одинаковое число протонов и нейтронов и на каждом уровне находится четыре частицы, то
,	/3 2 V7»
kr U”6/ ’	(6.56)
где q — полная ядерная плотность. Величина ПАК называется импульсом Ферми, a Er = fc2AJ,-/2/W —энергией Ферми. Теперь совсем нетрудно подсчитать полную кинетическую энергию нуклонов. Количество состояний с волновым числом в пределах от А до А 4- dk определяется как
d
Тогда полная энергия N частиц равна
**• « гь2 9
С ** ±k2R3dk,
О
ИЛИ
2* (1) /32*t (4Л0ь/\
160,\п/ MR2
(6.6)
Ч Этот результат обычно получают, постулируя, что в объеме Л* импульсно-координатного пространства имеется только одна частица.
120 Г л а в а 6
Для ядер с равным числом нейтронов и протонов
кинетическая энергия равна
Ег =
40 \ я) MR2
4N = А, и полная
(67)
Мы получили уже использованный ранее результат, а именно, когда размер системы изменяется при постоянном числе частиц, кинетическая энергия обратно пропорциональна R2. Но в случае реальных ядер, когда плотность постоянна, кинетическая энергия равна
„	9л/ 3 V6 I2 . . л
£t“40W M^A~klA-	(6 8>
Отметим, что средняя кинетическая энергия равна ЕТ!А = *!ьЕР.
Еще одно слагаемое полной энергии ядра связано с электростатическим полем. Поскольку кулоновские силы — дальнодействующне, оно пропорционально Za. В гл. 3 мы уже довольно подробно говорили о кулоновской энергии и теперь могли бы воспользоваться одним из полученных ранее точных выражений. Но сейчас мы не интересуемся подробностями и можем просто записать
k Z2
= (69>
А ,3
где ke — константа. Итак, суммируя полученные выражения, находим
В (Л) Ег + Еу-^ЕС ---- —------------------=
А	А
= kv-kT-^kYA-,,3-k(Z\A-y\	(6.10)
10Го
где ZA — атомный номер наиболее стабильного изобара с массовым числом А. Полагая грубо, что ZA — УгА, можно написать
Za = ±(A-/a),
где / a(=N — Z) — избыток нейтронов в наиболее стабильном изобаре. Различные численные коэффициенты в (6.10) не имеют особого значения, так как вывод был основан на весьма грубых предположениях. В дальнейшем мы заменим их некоторыми константами, которые должны быть подобраны так, чтобы формула (6.10) давала экспериментальные значения масс (почему 4юрмула и называется полуэмпнрической). Основной член в выражении для энергии связи пропорционален Л, поэтому его называют объемным. Ранее мы уже определили поверхностную поправку, так что формулу (6.10) можно записать в виде
В^= av - а. А~ *'» - ас (Л - 1А)2 А " *'».	(6.11)
Л
Теперь оказывается возможным объяснить ход кривой зависимости BIA, изображенной на фиг. 6.1. Если пренебречь величиной 1 л, то максимум В /А будет находиться при А = аа/2ас. Используя приведенные выше выражения для а, и Ос, получаем максимум при Л — 50 и 60 в зависимости
Энергия связи ядра
121
от выбранных значений V и гп, что хорошо согласуется с экспериментальной кривой. Эмпирические значения а, и ас оказываются равными: а,— = 19, 681 а. е. м.\ ас = 0,1917 а. е. м. При этих значениях а, и ас. величина В/А достигает максимума при Л = 51. На кривой максимум лежит вблизи А = 60, и поскольку в этой области /А^4, согласнее экспериментом можно считать вполне достаточным.
Мы рассмотрели общий ход кривой В /А, а теперь рассмотрим ее подробнее. Исследуем зависимость от Z при фиксированном Л, т. е. будем рассматривать изобары. Оказывается, что график зависимости дефекта масс от Z имеет вид параболы. При нечетных Л одна парабола, а при четных А четно-четные и нечетно-нечетные изобары лежат на разных параболах.
Фиг. 6.2. а —дефект масс при Д = 124; 6 — дефект масс при /1 = 125.
Это показано на фиг. 6.2 для случаев Л = 124 и Л = 125, когда довольно большое число известных ^-активных изобаров дает для каждой парабаты несколько точек. Удельная энергия связи для наиболее стабильного четно-четного ядра (Те124) гораздо больше, чем в случае ядра с нечетным Л (Те12®), тогда как энергия последнего, в свою очередь, больше энергии нечетнонечетного ядра (Sb124). Это соотношение выполняется по всей периодической системе (известны только четыре Р-стабильных нечетно-нечетных ядра). График, изображенный на фиг. 6.1, показывает, что ядра с нечетным А почти всегда являются системами, менее плотно связанными по сравнению с соседними четно-четными ядрами. Попытаемся понять это, а также объяснить пароболнческую зависимость от Z. Такую параболическую функциональную зависимость имеет кулоновская энергия, но, очевидно, соотношение (6.10) не является полным, так как, если бы мы заменили ZA произвольным Z, энергия связи В была бы максимальной в случае Z = 0, т. е. для ядер, состоящих только из нейтронов. Так было бы на самом деле, если бы энергия связи определялась только кулоновской энергией. Но принцип Паули позволяет находиться на данном энергетическом уровне только двум протонам и двум нейтронам. Если бы в случаеТе124 мы заменили 52 протона на 52 нейтрона, то последние не смогли бы попасть на 26 нижних уровней, ранее занятых протонами. Происходило бы заполнение уровнен с 37 по 62, так как на первых 36 нет вакантных мест для нейтронов. Поэтому если бы
122
Глава 6
мы смогли осуществить такую замену, то получили бы ядро со значительно большей энергией. Рассмотрим другой крайний случай, когда кулоновская поправка отсутствует. Тогда из-за принципа Паули наибольшей стабильностью обладали бы ядра с равным числом протонов и нейтронов. При удалении от линии Z = N кулоновская энергия стремится уменьшить Z, а принцип Паули приводит к увеличению энергии (последнюю обычно называют энергией симметрии). Поэтому наиболее стабильное ядро с данным А будет определяться балансом кулоновской энергии и энергии симметрии.
Энергия симметрии может быть связана с изменениями как кинетической, так и потенциальной энергий. Пусть мы имеем ядро, обогащенное нейтронами. Предположим, что каждое из Z/2 ннзколежащих состояний содержит два протона и два нейтрона с антипараллельными спинами, а остальные нейтроны спарены в следующих (77/2— 2/2)-состояниях. Рассмотрим пространственно-обменный потенциал VP*'. Если две частицы находятся водном и том же пространственном состоянии, то оператор = 1, и в энергии связи появляется вклад сил притяжения. Волновая функция антисимметрична при обмене двух одинаковых частиц, например протонов с направленными вверх спинами, находящихся в различных пространственных состояниях. Следовательно, эти пары приведут к отрицательной энергетической поправке, а все другие и вовсе ничего не добавят к энергии связи. Это следует из того, что средняя потенциальная энергия равна
Сф^Р^фЛ,
где интегрирование ведется по всем нуклонным координатам. Пусть i и / обозначают протон и нейтрон со спинами, направленными вверх. Если эти нуклоны обмениваются местами, то уровень, на котором раньше находился протон t, будет теперь иметь два нейтрона с параллельными спинами и спиновая волновая функция Pi' ф будет ортогональна ф. Поэтому интеграл ф*УР*ф^6 равен нулю (состояние Р?/ф невозможно из-за принципа
Паули). На каждом уровне, содержащем четыре частицы (число таких уровней Z/2), находится 6 симметричных пар, тогда как на уровнях, содержащих два нуклона [всего их Уг (N — Z)],— только одна. Кроме того, для каждого из двух типов протонов имеется Уг (Z/2) (Z/2 — 1) антисимметричных пар, тогда как для каждого нейтрона имеется Уг (N /2) (Л/ /2—1) таких пар. Следовательно, энергетическая поправка, соответствующая этим парам, будет пропорциональна выражению
f rn'\ /у g । 1 /А/ 7\  v Z/Z . \ . N_ (N . \ 1
62 + 2^	2 \ 2	J + 2\2	/JI"
Здесь (—VA) и 'Vr — некоторые средние значения потенциалов обменного взаимодействия симметричной и антисимметричной пар соответственно. Введем вместо Z и N величины А и 1 и отбросим члены с А, уже включенные в обменную энергию (6.10); тогда получим, что поправка на энергию симметрии будет пропорциональна
/г 1/1
4уя + 8УаЦ1.	(6.12)
А
Кинетическая энергия N одинаковых частиц подсчитывается с помощью формулы (6.6). Применим ее к ядрам, в которых Z 4= N. Тогда найдем, что
Энергия связи ядра
123
кинетическая энергия пропорциональна
В чистом виде первый член дастся непосредственно формулой (6.8) и представляет собой объемную энергетическую поправку, пропорциональную А. Второй член — поправка на энергию симметрии, пропорциональную /2/А.
Обычно для того, чтобы получить полуэмпирнческую формулу, в (6.12) пренебрегают членом с |/ | и объединяют кинетическую и потенциальную энергии с энергией симметрии. Используя также (6.11), получаем следующую полуэмпирнческую формулу:
М (4, Z) = Мп А -(Мп - М„) (±-A-l\- avA + .
+ a,4’/j+ac(4 — /)г4-7»-|-щЛГ*—6.	(6.14)
Первоначально этот результат получен Вайцзекером и Бете [18, 19], а необходимость поправки, связанной с энергией симметрии, впервые обоснована Вигнером (20).
Последний член 6 в (6.14) представляет собой поправку, учитывающую разницу энергии связи нечетно-нечетных, четно-четных ядер, а также ядер с нечетным 4. Эту поправку мы пока не обсуждали. Однако уже отмечалось, что каждому нечетному А соответствует, по-видимому, только одна массовая парабола (впрочем, иногда возможны и две близко расположенные кривые). Будем считать, что эта поправка равна нулю для ядер с нечетным А. Все другие константы av, а„ ае и at выберем так, чтобы получить наилуч-шее согласие с экспериментальными значениями масс. Тогда оказывается, что с хорошей степенью точности кривые для нечетно-нечетных и четночетных ядер располагаются примерно на одинаковых расстояниях от кривой для нечетного А. Поправка б изменяется регулярно. Для случая А > 10 в работе [211 дана простая формула для 6:
б(четное) = —б(нечетиое) в 12 А 1^-а.С.М.	(6.15)
В других работах встречаются несколько отличные определения 6, но смысл этой поправки везде один и тот же. Некоторые авторы принимают 6 = 0 для нечетно-нечетных ядер [221; можно привести теоретические оправдания этому выбору.
Наша оценка поправки, связанной с энергией симметрии, проводилась для четно-четных ядер. В случае ядер с нечетным А, а также для нечетнонечетных ядер число симметричных и антисимметричных пар будет несколько отличаться от вышерассмотренного. При этом знак поправки 6 оказывается правильным, но зависимость от А другая: поправка пропорциональна неЛ_1/2, а Л'*. При обсуждении поправки, связанной с энергией симметрии, использовалась весьма упрощенная модель ядер и ядерных сил; хотя она позволяет правильно описать основной механизм, приводящий к члену, пропорциональному 14 А, вряд ли такая модель может объяснить появление столь малой поправки, как 6. Почти не вызывает сомнения, что нечетно-четный эффект возникает из-за особой стабильности пары, т. е. в результате спаривания нуклонов. Поскольку в нечетно-нечетном ядре нечетный протон и нечетный нейтрон не обнаруживают этой добавочной
124
Глава 6
энергии спаривания, можно заключить, что последняя связана только с парами нуклонов одного типа. Допустим, что для удаления протона из ядра с нечетным Z необходимо затратить энергию Е. Тогда для удаления второго протона потребуется значительно ббльшая энергия, так как необходимо не только «вытащить» второй нуклон из потенциальной ямы, но и разорвать «связь» данного протона со своим партнером. По той же причине в случае четно-четного ядра первый протон будет труднее вывести из ядра, чем второй, т. е. возникает довольно специфическая картина. Ясно лишь одно, а именно, что в четно-четном ядре протоны и нейтроны связываются в стабильные пары. Отчасти этот эффект можно объяснить, используя модель оболочек, рассматриваемую в гл. 7, но если говорить о более основательном объяснении, то оно, по-видимому, связано с «сверхтекучим» движением пар нуклонов (см. гл. 9 и 10).
При обсуждении общих свойств ядер достаточно представления о спаривании нуклонов. В нечетно-нечетных ядрах эффект спаривания отсутствует и, следовательно, такие ядра должны были бы описываться полу-эмпирической формулой с & — 0. В нечетно-нечетном ядре всего Уг (N — 1)4-4- Уг (Z — 1) пар, а на одну частицу приходится Уг — (Д1А) пар. В ядре с нечетным А на одну частицу приходится Уг — (1 /2Л) пар, а в четно-четном ядре — ровно Уг пары. Таким образом, если массы рассматриваются лежащими на поверхности в плоскости (Д, /), поверхность для масс с нечетным А должна находиться посредине между поверхностями для четно-четных и нечетно-нечетных ядер. В случае нечетных А таких поверхностей может оказаться две, если энергии спаривания нейтронов и протонов различны. Пусть энергии спаривания протонов и нейтронов равны 2л и 2v соответственно. Тогда расстояние между «четно-четной» и «нечетно-нечетной» поверхностями будет 2л 4- 2v. Две поверхности в случае нечетного А будут находиться на расстоянии
2е = 2(л—v)	(6.16)
друг от друга, а поверхность, расположенная между ними, будет отстоять на расстоянии
д = л+*	(6.17)
от «четно-четной» поверхности. Некоторые сведения об е и 6 могут быть получены при изучении 0-распада. Установлено, что значения 6 слегка колеблются около величины 12Д_1/»а.е. де., а значения е очень малы и поэтому сильно зависят от погрешности измерения верхних границ 0-спектров. В области А — 150—210 данные относительно е чрезвычайно скудны; можно только заключить, что в среднем е— небольшая положительная величина порядка 60 кэв, хотя в некоторых случаях (Z несколько больше 28 или 50) она может оказаться отрицательной. Для N, несколько больших 28, 50 и, может быть, 82, величина е превышает указанное среднее значение {23—25).
§ 3. Магические числа
•
Мы уже отмечали некоторые нерегулярности величины е при числах нуклонов 28, 50 и 82. Оказывается, что и другие ядерные свойства обнаруживают подобные нерегулярности при этих значениях N и Z, а также при значениях 8, 20 и 126. Это не находило себе последовательного объяснения до появления модели оболочек в 1949 г., а потому указанные числа были названы «магическими» и такое название сохранилось за ними до сих пор.
Энергия связи ядра
125
Наличие магических чисел весьма наглядно можно продемонстрировать на примере параметра Ьл изобарной параболы. Перепишем формулу (6.14) в виде
Л1(Л /) = М(Л, /А)-1 &А(/-/л)2-б.	(6.18)
Еслиас и ai считать постоянными, то коэффициент Ьл плавно зависит от А. («Константы» ас и а/ могут, однако, обнаруживать некоторые эмпирические флуктуации.) Пусть в результате измерений известны две верхние границы
Фиг. 6.3. Зависимость b от массового числа А.
Из (6.14) следует, что — линейная функция от Л*/3, поэтому шкала абсциссм сделана изменяющейся по закону А Черные точки относятся к ядрам с четным Л, крестики— к ядрам с нечетным А (данные Вапстра).
^-спектра, позволяющие определить разности масс М (Л, /,)— М (Л, /2) и М (Л, /2) — М (Л, /3). Тогда из соотношения (6.18) можно определить значение Ьл и IА. Если наименьшая из этих трех масс не подчиняется основной закономерности, а соответствует необычно сильно связанной системе, то се значение не будет уже лежать на параболе, отвечающей рассматриваемому А. Через три точки мы можем, однако, провести новую параболу. Если совместить ее минимум с аномально малой массой, то получится парабола, характеризующаяся большей, чем обычно, крутизной и, следовательно, большим значением параметра Ьл.
Таким образом, резкие изменения масс ядер проявляются либо в том, что через четыре массы невозможно провести параболу, либо в том, что параболы, проведенные через три массы, аномально узки [251. Используя такой способ нахождения Ьл, Вапстра получил кривую, которая изображена на фиг. 6.3. На ней отчетливо видны магические числа. Заметим также, что
126
Глава 6
параметр Ьл резко изменяется в промежутках между магическими числами. Средние значения Ьл для ядер с N, Z < 20 и N > 126, Z >82 лежат на кривой, изображенной на фиг. 6.3, а для ядер с 50 <^ <82 они лежат ниже кривой.
Мы только что видели, что ядра с магическим числом нуклонов одного типа обладают аномально большой энергией связи. Это не очень заметно на фиг. 6.1, но вполне четко видно на фиг. 6.4, где изображена разность наблюдаемых и рассчитанных по полуэмппрической формуле масс. На избы-
Ф и г. 6-4. Расхождение экспериментальных и теоретических значений масс для наиболее стабильных изобаров.
/ —данные для нечетных А; 2 —данные для четных Л; 3 — данные для четных А с поправками. Теоретические значения подсчитаны с помощью грубой полуампнрнчсской формулы А,полуэмп(Л’ /л)=-7,3341Д+19,45Л*/э+0,19066Л’/а(1+0,0075л’/а)-1-в Мм.
(Данные несколько устарели и графикой нельзя пользоваться для точных вычислений.)
магическим, возрастание энергии отделения нуклонов по мере приближения к магическим числам, необходимость в дополнительной энергии для возбуждения ядра и т. п.
Назовем энергию, необходимую для удаления нейтрона из ядра энергией отделения2) и определим ее следующим образом:
Sn(A, Z) = M(A — \, Z) + Mn—M(A — Z).	(6.19)
На фиг. 6.5 проведено сравнение экспериментальных значений Sn с теоретическими, полученными из полуэмпнрической формулы. Четко видны резкие изменения Sn при магических числах (особенно для чисел 28, 50 и 82).
Магические числа сказываются и на другой характеристике ядра — квадрупольном моменте. Все магические ядра являются сферическими;
1)	Подробное изучение влияния оболочечных эффектов на массы ядер было проведено в работе (26].
-) К сожалению, в таком же смысле часто используют термин энергия связи.
Энергия связи ядра
127
ядра, расположенные в непосредственной близости от магических, имеют небольшой отрицательный квадрупольный момент, а ядра с Z или N, заметно отличающимися от магических, сильно деформированы.
Другие свойства ядра, характеризующиеся такой же периодичностью, обсуждаются в других разделах настоящей книги.
§ 4.	Другие формулы для масс
Из фиг. 6.4 и 6.5 видно, что хотя в среднем полуэмпирическая формула дает хорошее согласие с экспериментальными значениями, тем не менее имеются существенные систематические отклонения от этой формулы, обусловленные, очевидно, теми упрощениями, которые были сделаны при ее выводе.
В нашем выводе недостаточно корректно проводилось рассмотрение поверхностной энергии ядра. Мы полагали, что ядро ограничено резкой поверхностью, тогда как на самом деле ядерная плотность, как известно, спадает до нуля в поверхностном слое толщиной порядка 2,4 фм. Формула для ядра с размытым краем была получена Гюнтером и Хсббсом 127). Авторы рассчитали объемную энергию всего ядра, включая поверхностную область, и нашли, что она пропорциональна выражению
(6.20)
где с — радиус полуспада, а 2 е — толщина поверхностного слоя, в котором плотность спадает линейно с г (трапецоидальное распределение). Была также подсчитана кулоновская энергия при таком же распределении заряда (трапецеидальном) и была учтена обменная кулоновская энергия, даваемая формулой (3.24). Параметры Г1(=М~,/а) и е были определены нз условия наилучшего согласия с таблицами масс Вапстра (12) и оказались равными
П= 1,081 фм, 2е=2,404 фл1.
Эти параметры удобно сравнить с параметрами действительного распределения плотности, хотя следует иметь в виду, что 2 е не есть толщина I (если аппроксимировать распределение заряда, найденное Хофштадтером, трапецеидальной формой распределения, то наилучшее согласие получится при 2е=3,0±0,4 фм). Окончательная формула для энергии, которая не приводится здесь из-за ее сложности, содержит, кроме rt и е, еще четыре эмпирические константы, эквивалентные ау, ас, а/ и б в (6.14), и столь же хорошо объясняет основной ход кривой масс, как и любая другая полуэмпирическая формула.
Расчеты Гюнтера и Хсббса основываются на предположении о том, что объемная энергия ядра может быть записана в виде
Ev~jQ2dr.	(6.21,
Это слишком упрощающее предположение так называемой статистической модели. Примем без доказательства, что при заданной плотности распределения частиц в ядерном веществе q(f) потенциал в точке г равняется
• 1/(г) = V е(г')И(г—r/dr,	(6.
Энергия связи ядра
129
Ие(г)е(г')У(г-г)«/г*	(6.23)
где V —двухнуклонный потенциал. В случае центрального парного взаимодействия потенциальную энергию ядра, можно записать в виде
Q(r)l/(r)dr=
(квантовыми эффектами мы пренебрегаем). Если предположить далее, что парное взаимодействие V является короткодействующим, то интеграл в (6.23) будет равен V^Q*(r) dr, что согласуется с предположением (6.21). В выражение для Ev входит, однако, еще и кинетическая энергия, которая пропорциональна ^р6/з</г. Тем не менее предположение (6.21) остается справедливым, так как зависимости (Л/г и ^QfiMr от rt и е нс могут очень сильно отличаться друг от друга.
На основе статистической модели было проделано довольно большое число расчетов. Чтобы расчеты имели реальный смысл, необходимо учитывать различие в плотностях протонов и нейтронов, а также квантовые эффекты и обменный характер ядерных сил. Окончательный результат хотя и значительно сложнее формулы (6.23), но выражается через простые объемные интегралы от V и от различных степеней р’р* и р1/,*. Допустим, что плотности нуклонов выражаются следующим образом:
-(г/а)1	—(г/а)’
. pn = QnOe .
Варьируя введенные параметры, найдем минимум энергии при условии постоянства потенциала (включая электростатический). В результате весьма трудоемких расчетов мы получим распределение плотности и энергии. Такие расчеты были проделаны, но полученные результаты не оправдали возлагаемых на них надежд, что объясняется, вероятно, слишком уж грубыми упрощениями в отношении ядерных сил 128]. Более сложные вариационные расчеты, проведенные с менее упрощающими предположениями, успешно объяснили поведение вещества в центральных областях ядра. Эти расчеты, выполненные Бракнером с сотр., описаны в гл. 9. Распространение этих результатов на конечные ядра представляет собой трудную задачу, но ее решение привело бы нас к фундаментальной теории ядерных масс.
По многим причинам необходимо весьма точно знать массы некоторых ядер. Очень часто их значения определяют из различных масс-спектрометрических измерений, а также из измерений порогов ядерных реакций и энергий радиоактивных распадов. Действительно, как указывалось раньше, подобными методами измерено не менее 750 ядерных масс. Однако массы некоторых представляющих интерес ядер до сих пор неизвестны (в основном из-за встречающихся экспериментальных трудностей: чрезвычайно малое время жизни и т. д.). Так, например, ядра первичных фрагментов деления, данные о массе которых чрезвычайно важны для понимания процесса деления, распадаются настолько быстро, что крайне трудно измерить разности энергий непосредственно. Необходимо, следовательно, получить достаточно точную экстраполяционную формулу.
Такая формула должна описывать отклонения масс от плавной кривой фиг. 6.4, которые тесно связаны с магическими числами, а также правильно учитывать величины энергии спаривания и их нерегулярные изменения с А. Конечно, когда мы введем достаточное число параметров, чтобы формула описывала все нерегулярные изменения массовой поверхности, она не будет уже лишь лолуэмпирической формулой.
9 Заказ К» 37
130	Глава 6
Один из методов известных экстраполяции состоит в следующем: в качестве исходной точки выбирают известную массу некоторого ядра (с тем же Л), которое обычно имеет избыток нейтронов и величину /, близкую к искомой; затем производят последовательную экстраполяцию. Кумар и Престон предложили 1251 экстраполировать с помощью изобарической параболы. Для большинства массовых чисел имеется достаточно данных, позволяющих определить Ьа и /а- В тех случаях, когда таких данных нет, ЬЛ и /д могут быть найдены интерполяцией по кривой, типа изображенной на фиг. 6.3. Если при экстраполяции пересекается некоторое магическое число, то приходится перескакивать к следующему ядру. Очень близкий метод экстраполяции применялся в работе Хея и Ньютона 1291. Экстраполяция по известным массам проводилась, однако, с использованием зависимости величин Q 0-распада. Полагая
(?(Л, Z) = M(A, Z)—M(A, Z+l),	(6.24)
мы видим, что величина Q(/l, Z)— (?(Л—2, Z) практически не зависит от Z и аппроксимируется эмпирической формулой
<?(Л, Z) — Q(A — 2, Z) = 117,5Л+ 0,01 (Л — 100)2Л-1 Мэв. (6.25)
Таким образом, если значение Q известно для ядра (Л, 2), то его можно определить для любого ядра (Л + 2zj, Z). Следовательно, соотношение (6.24) позволяет рассчитать массу любого ядра. Было также установлено, что разность двух величин Q для ядер с одинаковым числом нейтронов, а именно Q(A,Z)—Q (Л—2, Z—2), зависит только от Л. Имеется, следовательно, еще одна последовательность значений для экстраполяции. Если при экстраполяции пересекается область магического числа, то также следует добавлять определенную энергию магического скачка.
Несколько иной подход состоит в применении эмпирических формул с большим числом параметров. Леви [30] предложил математически простую формулу, в которой, однако, используется 81 параметр. Из чисто эмпирических соображений он пишет
М = Л -["Ио -ЬсцЛ 4-ttzZ -l-aaAZЧ-ouZ"4*a>p42 4" d.	(6.26)
Константа спаривания 6 считается равной нулю для четно-четных ядер и принимающей различные значения для четно-нечетных, нечетно-четных и нечетно-нечетных ядер. Следовательно, в формуле (6.26) используются 9 параметров. Но для каждой области, определяемой магическими ядрами, берется свой набор таких констант. Формула (6.26) применима к массам больше никеля; области ядер (их девять) следующие:
Z	294-40	294-40	294-40	414-50	514-64	654-82	>82	>82
N	294-40	414-50	51-4-82	514-82	514-82	834-126	1274-140	>140
Числа 40 и 64 не являются магическими. Но, как мы увидим в следующей главе, они отмечают заполнение определенных подоболочек, т. е. являются полумагическими. Заметим, что значения 6, приведенные Леви [30], действительно определяют разность энергий спаривания протонов и нейтронов в некоторых из 9 областей. В первой области ядер с Z > 29, Л/<40 эта раз
Энергия связи ядра
131
ность велика и отрицательна (е = —750 кэв), во второй равна нулю, в третьей 8=500 кэв, тогда как в других не превосходит 200 кэв. Точность определения масс по формуле (6.26) — порядка двух атомных единиц, а в ряде случаев (в частности, при Л >208) гораздо выше.
В работе Камерона [22) приводится формула с 250 параметрами (для ядер с А <250), которая имеет вид
М—Л = 8,367Л— 0.783Z +	4-Ез + £с-!-£,+ X(Z)+2(A0 Мэв. (6.27)
Слагаемые с различными индексами соответствуют указанным ранее членам полуэмпирической формулы. В кулоновскую и поверхностную энергию включены обменные члены. Кроме того, учитывается диффузный край ядра и вместо радиуса /? вводится радиус полуспада с. В (|юрмуле (6.26) имеется только четыре новых параметра, остальные определяются из других, ранее установленных, полуэмпирнческих формул. В работе Камерона обсуждаются также расхождения между полуэмпирическимн и экспериментальными значениями масс. Автор нашел, что их можно избежать, выбирая для каждого ZhN свои 2(Z) и Х(Л'). Эти значения 2(Л') и X(Z) и являются 250 константами формулы; значение констант может быть найдено из энергий спаривания и магических скачков. Изменения 2 при переходе от одного значения Z или N к следующему редко превышает 1 Мэв. Графический ход этих изменений представляется кривыми с изломами при магических числах.’ При вычислениях можно пользоваться любым из четырех описанных выше методов экстраполяции. Отметим только, что некоторые цифры в цитируемых работах должны быть исправлены в соответствии с новейшими данными.
ЗАДАЧИ
6.1.	При распаде радона а-частицы имеют энергию 5,486 Мэв. На сколько различаются массы радона и радия At
6.2.	Ядро М (A, Z) нестабильно по отношению к а-раснаду, если М (Л, 2) >’ >Л4(Л—4, Z—2)4-64 (4, 2). Используя полуэмпирнческую формулу масс (6.14) с константами, приведенными на фнг. 6.5, и условие Z=ZA, подсчитать кинетическую энергию а-частицы. Сравнить результат с известными экспериментальными значениями. Какие два самых легких a-активных ядра вам известны? Доказать отсутствие a-активных ядер в области Л<200.
6.3.	Подсчитать энергию симметричного деления стабильного ядра (Л, 2) на два фрагмента (Л/2, 2/2), используя полуэмпирнческую формулу задачи 6.2 с 2 = 2д 6=0. Каково минимальное значение Л, при котором деление энергетически возможно? Чему равна энергия, выделяющаяся при делении ядра урана? Почему в среднетяжелых ядрах спонтанного деления не наблюдается?
6.4.	Используя полуэмпирнческую формулу для масс, обсудить энергетические параболы для основных состояний ядер с массовым числом НО. На основании экспериментальных данных определить расстояние между параболами.
6.5.	Показать, что число состояний фермн-газа, энергия которых меньше, чем h2/4/2m, равно (2/9л) (А/?)3.
6.6.	Подсчитать энергию симметрии для четно четных, нечетно-нечетных и не-четных-Л ядер и объяснить появление печетно-четной поправки.
6.7.	а) Объяснить, почему в случае большого 6 имеется несколько стабильных четно-четных изобаров, а при е=0 существует только один изобар с нечетным Л. Показать также, что при положительном е стабильных ядер с четным 2 и нечетным А' будет больше, чем ядер с нечетных) 2 и четным N.
б)	Известно, что е довольно велико для ядер с N вблизи 50. Используя это обстоятельство, объяснить, почему отсутствуют стабильные ядра с 2 = 43 (см.
6.8.	Используя соотношение (6.21), вывести формулу (6.20).
9*
132
Глава С
ЛИТЕРАТУРА
1.	D и с к w о г t h Н. Е., Н о g g В. J., Р е и n i n g t о n E. M., Rev. Mod. Phys., 26, 463 (1954).
2.	Duckworth H. E.. Rev. Mod. Phys., 29, 767 (1957).
3.	Geschwind S., Handbuch der Physik, Hsg. S. Fltigge, Bd. 38/1, Berlin, 1958, p. 38.
4.	К	i	n	g R. W., Rev. Mod.	Phys., 26, 327 (1954).
5.	L	i	d	о f s к у L. J., Rev.	Mod. Phys., 29, 773 (1957).
6.	A	s	a	г о F„ Perl ma n	I., Rev. Mod. Phys., 26, 456	(1954).
7.	A	s	a	г о F., Per 1 ma n	I., Rev. Mod. Phys., 29, 831	(1957).
8.	van Patter D. M., Whaling W., Rev. Mod. Phys., 26, 402 (1954).
9.	v a n Patter D. M„ W h a I i ng W., Rev. Mod. Phys., 29, 757 (1957).
10.	W a p s t r a A. H., Physica 21, 367, 385 (1955).
11.	H u i z e n g a J. R., Physica, 21, 410 (1955).
12.	W a p s t r a A. H., Handbuch der Physik, Hsg. Flugge, Bd. 38/1, Berlin, 1958, p. 1.
13.	M a t t a u c h J., Waldmann L., В ier i R., E v e r 1 i n g F., Ann. Rev. Nucl. Sci., 6, 179 (1956).
14.	E v e r 1 i n g F., К 6 n i g L. A., M a t t a u c h J. H. E., W a p s t г a A. H. Nucl. Phys., 18, 529 (1960).
15.	A s t о n F. W., Proc. Roy. Soc., Al 15, 487 (1957).
16.	A s to n F. W., Mass Spectra and Isotopes, London, 1933. (Имеется перевод: Ф. A"c-тон, Масс-спектры и изотопы, ИЛ, 1948.)
17.	Heisenberg W., Zs. f. Phys., 77, 1 (1932).
18.	von W e i z s а с к e r C. F., Zs. f. Phys., 96, 431 (1935).
19.	В e t h e H. A., Rev. Mod. Phys., 8, 82 (1936).
20.	W i g n e r E. P.. Phys. Rev., 51, 106, 947 (1937).
21.	G r e e n A. E. S., E d w a г d s D. F., Phys. Rev., 91, 46 (1953).
22.	Ca meron A. G. W„ Canad. Journ. Phys., 35, 1021 (1957).
23.	S u e s s H. E., J e n s e n J. H. D., Phys. Rev., 81, 1071 (1951).
24.	S u e s s H. E., Jensen J. H. D., Ark. Fys., 3, 577 (1951).
25.	Kumar K., Preston M. A., Canad. Journ. Phys., 33, 298 (1955).
26.	Z e 1 d e s N., Nucl. Phys., 7, 27 (1958).
27.	Gunter W. D„ H u b b s R. A., Phys. Rev., 113, 252, 1697 (1959).
28.	F i n d 1 e r N. V., Nucl. Phys,, 8, 338 (1958).
29.	H а у I. W., Newton T. D., Canad. Journ. Phys., 35, 195 (1957).
30.	L e v у H. B., Phys. Rev., 106, 1265 (1957).
ЧАСТЬ II
МОДЕЛИ ЯДРА
ГЛАВА 7
ОДНОЧАСТИЧНАЯ МОДЕЛЬ
§ 1. Введение
Одна из главных задач ядернон физики — изучение структуры ядра. Понятие структуры ядра включает в себя все характеристики внутриядерного движения нуклонов: пространственные траектории, импульсы, корреляции между ними, энергии связи нуклонов относительно друг друга. С математической точки зрения полностью описывать ядерную структуру должна точная волновая функция ядра. Совершенно ясно, что экспериментальное и теоретическое описание такой сложной динамической системы, как, например, среднетяжелое ядро, сопряжено с огромными трудностями. Но даже если бы эти трудности удалось преодолеть, все равно пришлось бы сокращать число необходимых параметров, уже исходя из соображений удобства. С другой стороны, параметры должны позволять по возможности полностью описывать важнейшие свойства каждого ядра. В данном случае мы имеем пример тех исканий систематического описания природы, которые двигают науку вперед. Общая потребность систематизации и наши несовершенные современные знания заставляют нас создавать умозрительные и математические модели. От ядернон модели следует требовать, чтобы она последовательно и без трудоемких расчетов позволяла предсказывать различные наблюдаемые свойства ядра. Правильность любой модели проверяется сравнением ее предсказаний с экспериментом. В части I книги нам уже приходилось пользоваться некоторыми простыми моделями. Хотя согласие с экспериментом и нс было полным, одночастичная модель, позволившая говорить о таких свойствах ядер, как спины и магнитные моменты, оказалась весьма полезной. В одночастичной модели нуклоны движутся по стационарным орбитам и спарены таким образом, что ядерные параметры определяются последним неспаренным нуклоном. В модели отсутствует коррелированное и коллективное движения нуклонов и не учитывается явным образом парное взаимодействие. Вследствие этих упрощений (особенно последнего) применимость данной модели чрезвычайно ограничена. Так, например, совершенно неправильны ее предсказания тоносительно квадрупольных моментов. Для модельного описания квадру-польного момента следует обратиться к другой крайности — к представлению о ядре, как возмущенной жидкой капле, в которой большие части жидкости движутся вместе так, что капля становится несферической. Свойства такой модели (жидкой капли) слабо зависят от числа нуклонов и поэтому она едва ли может описать нерегулярности, связанные с магическими числами. Ясно, что модель, способная описывать хотя бы главные черты ядерной

136	Глава 7
структуры, должна быть значительно сложнее любой из этих двух предельных моделей.
Более корректные модели можно построить на основе одночастичной, расширяя и усложняя ее. Хотя в этой модели и пренебрегается парным взаимодействием нуклонов, тем не менее вполне может оказаться, что одночастичные орбиты довольно хорошо описывают действительное движение нуклонов в среднем. Одни ядерные характеристики зависят только от усредненного движения нуклонов, а на другие могут сильно влиять детали ядсрной структуры и особенно корреляции частиц. Поэтому для получения более сложных моделей исходной может служить одночастичная модель. В настоящей главе мы подробно опишем самую простую, так называемую «одночастичную» оболочечную модель, а в последующих главах части II мы рассмотрим те дополнения, которые делают эту модель более реальной. В гл. 9 мы обсудим основной вопрос: почему вообще применима оболочечная модель, хотя бы даже в качестве первого приближения? Там же мы попытаемся построить описание ядерной структуры, не прибегая к помощи моделей, а используя фундаментальные факты относительно ядерных взаимодействий без введения каких-либо необоснованных, хотя на вид и вполне правдоподобных допущений.
§ 2. Одночастичные орбиты
Если нуклон движется по некоторой постоянной орбите с определенным моментом, то можно попытаться свести ядерные силы, действующие на каждую частицу, к центральному потенциалу У(г). По аналогии с атомом, где У(г)=—Ze2/г, можно ожидать, что ядро будет также обладать оболочечной структурой. Эта гипотеза была выдвинута в 30-е годы 111, но она Не получила широкого применения из-за теоретических трудностей, связанных с обоснованием усреднения сильных ядерных взаимодействий, а также потому, что в те годы было еще мало экспериментальных фактов, которые могли бы подтвердить гипотезу оболочечной структуры. Но к 1949 г. был собран значительный экспериментальный материал (измерение ядерных спинов и магнитных моментов), выявивший нерегулярности, связанные с магическими числами. В том же году было опубликовано описание одночастичной модели, систематически объяснившей эти факты. Как часто случается с важными открытиями в физике, к оболочечной ядерной модели пришли одновременно и независимо друг от друга Мария Гепперт-Майер 12, 31, руководствовавшаяся идеей Ферми, и Хаксел, Йенсен и Сьюй-ес [4, 5]. В указанных работах исследовался одночастичный потенциал и было показано, что имеет место поразительное согласие предсказаний модели с экспериментом. Теоретическому обоснованию модели небылоуделено достаточного внимания. Поэтому и в данной книге обсуждение теоретических обоснований моделей будет проведено позднее.
Ограничимся вначале случаем сферических ядер и заметим, что в этом случае на нуклон в центре будет действовать сила, в среднем равная нулю. Таким образом, если ядерные силы можно описать с помощью потенциала У(г), то этот потенциал будет плоским при г=0. Так как в ядерном веществе плотность почти постоянна по всему ядерному объему, можно ожидать, что потенциал V будет приблизительно постоянным внутри ядра и постепенно уменьшаться в поверхностном слое, где плотность спадает до нуля. В самом деле, почему бы не допустить, что У(г) зависит от г почти так же, как и е(г)? При этом область, в которой V'(r) отличен от нуля, будет несколь
Одночастичная модель
137
ко больше соответствующей области е(г), так как потенциал простирается за пределы нуклонов, создающих его.
При использовании данной модели трудно определить центр потенциала. Одночастичный потенциал возникает в результате усреднения нуклонных движений. Поэтому говорить о точном положении центра потенциала не имеет смысла, однако в среднем он совпадает с центром масс. В модели с центром потенциала, фиксированным в начале координат, происходят колебания центра масс около этого начала. Но энергия, связанная с таким колебательным движением, фиктивна, ибо в действительности центр масс остается неподвижным. Эта проблема будет более детально рассмотрена позднее.
В центральном потенциалеорбитальный момент каждого нуклона является интегралом движения. Для каждого квантового числа I имеется серия энергетических уровней, которую мы будем различать квантовым номером п, связанным с числом узлов радиальной волновой функции. Например, состояние с наименьшей энергией н/=1 называется lp-состоянием, пятое состояние с 1 = 3 называется 5/-состоянием и т. д. *)
Расстояние между энергетическими уровнями зависит от формы потенциала, йодля потенциала V(r), рассмотренного выше, схема уровней почти фиксирована. Обычно рассматриваются два крайних случая, в которых возможен аналитический подсчет. Это гармонический осциллятор
У=-Уо + уЛ4(Л’	(7.1}
и бесконечная прямоугольная яма
V= г<'^’	/7 9\
[<х>, r>R.	v '
Численные расчеты для конечной прямоугольной ямы (V = 0, r>R) и для потенциала V(r), имеющего распределение Ферми типа (3.9) (см. (61), дают схему уровней, промежуточную по сравнению с указанными крайними случаями. На фиг. 7.1 слева показаны уровни гармонического осциллятора. Онн расположены равномерно и сильно вырождены: все состояния с одинаковым значением 2п -f- I имеют одну и ту же энергию. На фиг. 7.1 справа представлены уровни для бесконечной прямоугольной ямы. Можно заметить, что вырождение снимается: состояния с более высокими моментами передвигаются в область более низких энергий. В случае более реального промежуточного потенциала должна быть какая-то промежуточная система уровней, типа показанной в средней части фигуры. Следует заметить, что при других расстояниях между уровнями порядок заполнения уровней тот же, что и ранее, за исключением состояний 1Л, 3s и 1/, Зр. Можно ожидать, что в промежуточном случае эти состояния будут располагаться ближе друг к другу. Состояние ядра в рамках одночастнчной модели определяется распределением нуклонов по орбитам. Поскольку возможны различные ориентации орбитального момента, то каждый уровень (2/-(-1)-кратно вырожден. В соответствии с принципом Паули в каждом состоянии может находиться самое большее два нуклона. Следовательно, на d-уровне, например, может находиться 10 протонов и 10 нейтронов. На фиг. 7.1 для каждого уровня промежуточного случая указано возможное число
*) Спектроскопический алфавит начинается в следующем порядке : «s, р, d, f, g, A, i, j,...». Строго говоря, n равно числу узлов радиальной волновой функции (включая узел при г= 0) минус /.
Глава 7
138
протонов (или нейтронов), а также полное число нуклонов на данном и всех нижележащих уровнях. Если в действительности эти уровни заполняются именно так, то тогда в случае ядра на уровне 1s должны располагаться два протона и два нейтрона, а четыре протона и пять нейтронов должны находиться на уровне 1р. В другом примере (ядро 37RbJ’) все уровни, расположенные ниже 2р-состояния, полностью заполнены. Уровень 2р целиком заполняется шестью нейтронами, и, кроме того, на нем располагается три протона, а десять нейтронов — на следующем lg-уровне.
В одночастичной модели большим промежуткам между уровнями должны соответствовать резкие изменения в таких ядерных свойствах,
Уровни гармонического изотропного осциллятора
(56КП‘,2д,за,4з) 6Лш—Н251.
Зр(112)
142)(1Ь,2Г,Зр)
3s!?0l
2d[G8l
" iglsai
Уровни в бесконечной прямоугольной ямс
11381	Зр(6)
>'_32L_
(1061 Tfde)
(ЗОИ 1д, 2d, 3s)
4^-1221
1921 —	----------20 Е
2Л10)
(2О)(1Г,2р)
U2)(Jd, 2s)
(6)(lp)
1Нш
)р18)
2р[40) ГГ1341
— 1д(1в)
15Е
»р(6>
зЛш-±£>

(2H1S)	ОЬш——-----------------------------------121— ls(2J
Фиг, 7.1. Схема уровней гармонического для осциллятора, прямоугольной ямы и потенциала промежуточной формы.
Единицы энергии Е и Л« зависят от радиуса потенциала.
как энергия связи, сечение захвата, спин ядра, и этим должно объясняться наличие магических чисел. Тогда, если верить схеме, изображенной на фиг. 7.1, числа 2, 8, 20, 40, 70 и т. д. должны быть магическими. Но, кроме первых трех, при обсуждении экспериментальных данных в гл. 6 таких чисел не встречалось. Экспериментальные магические числа получили естественное объяснение в рамках более совершенной оболочечной модели, учитывающей спин-орбнтальное взаимодействие. Допустим, что наряду со статическим потенциалом на каждый нуклон действует потенциал вида
Vis= — V (г)1 • s = — V (г) (г X Р) -s.
(7.3)
Одночастичная модель	139
Здесь векторы I, s, г, р относятся соответственно к орбитальному моменту, спину, положению и импульсу нуклона. Первоначально в 1949 г. этот потенциал был введен лишь для объяснения магических чисел, но затем,
--------------------tt,„ ----------------- 04)------ (126)--------- <28
--------------------Эр,я------------------ (21 ------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------------------- 161 -
----------------------------3Рдр---------- (41 -----
	Ihm	 (10) - (ЮО) - ~--------------------------------------------------------------------------------— -(в) --
-------------------------------- I9W----------------------------НО) - L30J -- so ----------------------------------------------------------------------------- 2р,„------------------------------------------------------------------------ <21 - (401 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  ИЛ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  (Зв) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------   14>	-
-----------------------  lf„,	  (в)	  1281	  ев
-------------------------------------------------Idt„---------------------------------------------  <41	  (201	  to ------------------------------------------------------------------------------  (»	  06)
------------------------Idvt--------------------- <6)	------
------------------------Ip,„--------------------- (2l	  l«J	  6 ----------------------------------------------------------------------------- 'Pin- <41	-
------------------------ I*n	  121	  (21	 2
Фиг. 7.2. Схема нейтронных уровней JV<126 в упрощенной оболочечной модели.
как мы увидим в дальнейшем, появились многочисленные экспериментальные доказательства его реального существования. Однако вполне удовлетворительного теоретического обоснования такого потенциала до сих пор нет. Величина потенциала показывает, что он имеет ядерное, а не электромагнитное или какое-либо другое (например, связанное с релятивистскими эффектами) происхождение. Тензорные силы, по-видимому, не могут быть целиком ответственными за появление этого потенциала. Скорее всего происхождение потенциала (7.3) связано с силами типа LS (см. § 9.4).
Так как Р коммутирует cis, спин-орбитальные силы в отличие от тензорных не перемешивают состояний с различными /. Однако проекция
140
Глава 7
орбитального момента I не является уже интегралом движения н только j имеет фиксированную г-компоненту. Для данного I имеются два возможных значения /, а именно /—1±г/г. Множитель I-s в потенциале указывает, что энергия нуклона зависит от относительной ориентации орбитального и спинового моментов. Если в (7.3) V(r) считать положительным, то для параллельных I и s потенциал будет притягивающим. Каждый уровень в последовательности, указанной на фиг. 7.1, расщепляется на два в соответствии с двумя значениями/, причем низлежащнй уровень имеет + Легко видеть, что величина расщепления увеличивается с I и пропорциональна (2/-1-1) (при условии плавной радиальной зависимости потенциала l-s). В действительности может оказаться, что V(r) заметно отлично от нуля только в поверхностном слое ядра. В этом случае зависимость расщепления от I будет несколько иной *). Имея в виду сказанное, обратимся к фиг. 7.2. Состояние с 1=0, конечно, не расщеплено, а величина расщепления для p-состояний мала. Таким образом, большой разрыв в расположении уровней, соответствующий числам заполнения 2 и 8, сохраняется. Состояние ldi/a оказывается ниже, а ld»/s— выше первоначального ld-состояния. Попадает ли в область между ними уровень 2s или нет — это зависит от амплитуды спин-орбнтальных сил I s. Как показывают экспериментальные данные, амплитуда этих сил достаточна, чтобы обеспечить последовательность уровней, представленную на фиг. 7.2. Несмотря на то что в результате спин-орбнтального расщепления уровень 1/?/2 понижается, а состояние Ida/, сдвигается в сторону больших энергий, все же существует достаточный энергетический разрыв, соответствующий магическому числу 20. С другой стороны, увеличение энергии состояния 1 Д/, приводит к появлению энергетического разрыва при числе нуклонов, равном 28. Появление магического числа 50 вместо прежнего 40 обусловлено расщеплением уровня 1g. Для него I настолько велико, что, с одной стороны, между уровнем lg*/s (50 нуклонов) и нерасщепленным уровнем 1g возникает большой энергетический разрыв, а с другой — он сильно опускается вниз, так что разрыв между ним и уровнем 2gi/t, соответствующий 40 нуклонам, исчезает. По той же причине из-за расщепления уровня \h вместо прежних чисел заполнения 70 и 92 появляется правильное магическое число 82. Магическое число 126 связано с расщеплением уровня /.
Схема уровней в пределах каждой оболочки будет зависеть от особенностей потенциала. На фиг. 7.2 изображена схема уровней для нейтронов, согласующаяся с экспериментом. Для протонов (Z >50) порядок заполнения будет иным, так как в этом случае наблюдается тенденция к заполнению сначала уровней с большими моментами, а именно порядок заполнения уровней будет следующим: lg?/2, 2d»/s, 2ds/1, 3si/, и l/in/g.
§ 3. Упрощенная одночастичная модель и спин ядра
Сравнение свойств различных ядерных моделей с экспериментальными данными будет подробно проводиться в последующих главах. Однако в данной части книги удобно рассмотреть теоретические предсказания относительно спина ядра, одной из простых характеристик ядра, которая служила главным ориентиром при создании моделей. Упрощенная одночастнчная модель или, как мы будем ее иногда называть, просто одночастичная модель
‘) По этому вопросу см. недавно выполненную работу Немировского н Чепурнова |18*1.— Прим. ред.
Одночастичная модель
141
предполагает, что нуклоны в основном состоянии динамически спарены и что различные ядерные свойства обусловлены лишь последним, не спаренным нуклоном. Предполагается также независимость протонных и нейтронных состояний, т. е. считается, что состояние данного протона не зависит от числа присутствующих в ядре нейтронов и наоборот. В такой системе всякое четно-четное ядро будет иметь спин, равный нулю, а спин ядра с нечетным А будет равен полному моменту неспаренной частицы. Момент же нечетно-нечетного ядра предсказать невозможно, так как неизвестен результирующий вектор j двух неспаренных нуклонов, соответствующий низшему энергетическому состоянию. В этой очень простой модели всеми нуклонными корреляциями пренебрегают. В более корректном приближении следовало бы учесть, что инертный остов образуется только нуклонами заполненных оболочек и что между нуклонами в незаполненных оболочках имеет место взаимодействие. В следующей главе мы увидим, что такая более реальная модель приводит к тем же самым результатам относительно спина ядра, а именно: спин основного состояния ядра с четным числом нейтронов или протонов, находящихся в одной и той же /-оболочке, равен нулю; для ядер с нечетным числом протонов или нейтронов спин основного состояния /=/. Следовательно, можно надеяться, что экспериментальные значения J для ядер с нечетным А позволят установить схему уровней в оболочечной модели.
В табл. 7.1 представлены экспериментальные значения спинов и ожидаемые теоретические конфигурации нуклонов. Оказывается, порядок заполнения уровней не нарушается вплоть до значений N или Z, равных 33, хотя имеется одно исключение, а именно: девятый протон в ядре F” находится на уровне Ids/,, а в случае ядра F1* — на уровне 2s»/,. Эти два уровня очень близки друг к другу, и отмеченная особенность указывает на наличие небольших различий в центральном потенциале соседних ядер. Наблюдается также влияние числа нейтронов на порядок заполнения протонных оболочек; это свидетельствует о том, что лежащая в основе данной модели независимость движений нейтронов и протонов является лишь некоторым приближением. Следует также обратить внимание на ядра с числом нуклонов 11 (Ne21, Na23). Моменты трех ds/2-Hyклонов в этих ядрах связываются в полный момент В ядрах с числом нуклонов 25 (Ti47, Мп&&) нуклоны Л/^-оболочкп приводят к суммарному моменту J=b/t. Эти аномальные случаи обсуждаются ниже.
Интересная особенность в порядке заполнения уровней появляется при числе нуклонов 33. Действительно, 32-й протон или нейтрон уже заполнил оболочку 2рз/а и, следовательно, 33-й должен, казалось бы, находиться в состоянии 1Д/2. Однако ядра с числом нейтронов или протонов 33 имеют спин я/а (так же, как и многие из ядер с числом протонов или нейтронов 35 и 37). Столь же странным кажется и значение спина ®/2 для ядер с числом нейтронов 57, 59 и 61, так как состояние 2ds/3 заполнилось еще при N=56. Мы видим, следовательно, что состояния с более высокими моментами заполняются попарно. Например, нейтроны от 51-го до 58-го находятся в конфигурации (2d»/2)e(1^7/s)a, но когда добавляется 59-й нейтрон, то вместо простого заполнения оболочки gift разрушается уже заполненная оболочка ds/3 и образуется новая конфигурация типа (2ds/J)*(lg?/J)4.
Эту особенность в порядке заполнения уровней можно объяснить, учитывая энергию спаривания. Рассмотрим ядро с четным числом нейтронов N и с энергией связи B(N). Известно, что при добавлении двух нейтронов разность B(N + 2)—B(N) всегда больше, чем 2{B(N 4-1)—B(N)}. Другими словами, существует дополнительная по сравнению с «индивидуальной»
Таблица 7.1
ОБОЛОЧЕЧНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ ДЛЯ ЯДЕР С НЕЧЕТНЫМ А
		Ц. ядер-		
Ядро	N Z J	иыx магнетонов	Q, барн	Конфигурация нейтронов
				Isi/, Ip»/* Ipi/,
п	1	0 1/,	— 1,913		1
Не3	2 */2	-2,127	*	1
Вс»	5 4 »/,	— 1,177	0,02	2	1
С13	7 6 1/,	0,702		2	4	1
	8			
				Ids/, 2si/2	Ida/,
О”	9 8 »/a	— 1,894	-0,005	1
Nc3'	11 10 3/2	-0,662		(3)	1 .. .
Mg3»	13 12 »/2	-0,855	0,15	- j	1 Несфсричв-
Si3»	15 14 1/2	-0,555		(6) (1) 1 LK,lt
S33	17 16 3/a	•	0,63	—0,06	6	2	1
s»»	19 16 3/2	1,03	0,06	6	2	3
	20			
				l/’/a
Ar3»	21 18 3/2			1
Ca«	23 20 3/2	-1,32		3
Ti«	25 22 »/,	-0,787		5 Деформированные ядра (?)
T(i®	27 22 3/2	— 1,104		7
	28			
				2рз/, 1/5/, 2pi/, 1g»/,
Cr»3	29 24 3/2	-0,475		1
Fe»’	31 26 i/2	l<0,05|		3?
Ni«i	33 28 »/2	1 <0,251		3	2
Zn®»	35 30 »/2			4	3
Zn®3	37 30 »/2	0,874		4	5
Zn®9	39 30 i/2			4	6	1
Ge’s	41 32 »/2	-0,877	-0,2	4	6	2	1
Se33	43 34 */2	4-0,533	<0,002	4	6	14
Se39	45 34 3/2	—1,02	0,9	4	6	7(?)
Kr«3	47 36 •/,	-0,967	0,22	4	6	2	7
Sr»3	49 38 »/2	—1,09		4	6	2	9
Продолжение табл. 7.1
Ядро	N	Z	J	Ц. ядерного магнетона	Q» барн	Конфигурация нейтронов
	50					
						2d»/s lg?/3 3si/8 2da/, Iftn/j
Zr8’	51	40	*/2	-1,3		1
Мо"»	53	42	s/2	—0,910		3
Мо8’	55	42	»/2	—0,929		5
Ru88		44	4i	-0,6		5
Ru’01	57	44	‘/2			5	2
						2d»/2 1g?/, 3s 24з/3 l/ni/2
Pd’»»	59	46	4i	-0,57		5	4
Cd’»8	61	48	4i			5	6
Cd’”	63	48	4i	-0,592		6	6	1
Cd’”	65	48	4i	-0,619		6	8	1
Sn”»		50	4i	-0,913		6	8	1
Sn’”	67	50	4i	-0,995		6	8	10	2
Sn”8	69	50	4г	—1,041		6	8	1	0	4
Те’»	71	52	4i	-0,732		6	8	1	0	6
Те’2»	73	52	4i	—0,887		6	8	10	8
Xe”8	75	54	4i	-0,77		681	0	10
Xe”’	77	54	4i	0,687	-0,12	6	8	2	I 10
Ba”»	79	56	4г	0,832		6	8	2	1	12
Ba’»’	81	56	4г	0,931		6	8	2	3	12
	82					
						2/’/i 1Ло/а Зрз/, 2/б/а 3pi/3 Inn/.
Nd”»	83	60	4i	— 1,03	I<1|	1
Nd”»	85	60	4i	-0,62	|~l|	3
Sm”7		62	4i	-0,76	1 <0,721	3
Sm”8	87	62	4i	-0,7	I <0,721	5
	91-	-116				Область несферическнх ядер
Pt’»»	117	78	4i	0,600		8	10	4	6	1	6
Hg’87		80	4i	0,52		8	10	4	6	1	6
Hg’88	119	80	4i	0,532		8	10	4	6	1	8
Hg201	121	80	4i	—0,607	0,50	8	10	3	6	0	12
Pbsoe	123	82	6/2?			8	10	3	5	0	14
pb’O’	125	82	4i	0,584		8	10	4	6	1	14
	126					
						2g»/i	” пр.
PbsoB	127	82	®/2?			1
Po8”		84	®/2?			1
Pb”!	129	82	»/2?			3
	>130					Область несферических ядер
				
				
				
				
			t	Продолжение табл. 7.1
	и			
		И. ядер-		
Ядро	N Z J	ного магнетона	Q. барн	Конфигурация протоков
				lsi/2 \pa/t lpi/t
н*	1	0 1/2	2,793	•	1
Н’	2 i/2	2,979		1
Li’	3 4 3/2	3,256		0,02	2	1
В11	5	6 S/2	2,689	0,05	2	3
N'»	7	8 1/2	—0,283		2	4	1
	8	1		1	
				Id*/, 2si/j Id’/s
F»’	9 8 »/2			1
р»	10 1/2	2,6273		1
Na23	11 12 з/2	2,2166	0.101	(3)	1
Al2’	13 14 »/2	3,641	0,149	(5)	} Несфериче-
pai	15 16 1/2	1,1307		(6)	(1) J ские ядра
СР»	17 18 ’/г	0,8211	-0,079	6	2	1
СР’	20 3/2	0,6840	-0,062	6	2	1
Кз»	19 20 ’/2	0,391	0,11	6	2	3
К«	22 ’/г ’	0,215	0,09	6	2	3
				—
	20			
				
				I/’/»
Sc4*	21 24 ’/2	4,75	-0,22	1
V»»	23 28 ’/2	5,147	0,3	3
Мп“	25 28 ’/2	5,050		5 1 Деформированы (?)
Мп»»	30 »/z	3,46	0,55	5 J
Со»’	27 30 ’/2	4,65		7
Со»»	32 ’/2	4,64	0,5	,	7
				
1						
	|	28				 —
1				2p»/2 l/*/2 2pi/2 lg»/2
Си”	29 34 »/,	2,22	-0,16	1
Си*»	36 з/2	2,38	-0,15	1
Ga«*	31 38 3/2	2,01	0,19	3
Ga’i	40 з/г	2,56	0,12	3
As’»	33 42 з/г	1,44	0,3	3	2
Вг’»	35 44 »/2	2,10	0,33	3	4
BrB1	46 з/2	2,26	0,28	3	4
Rb81	37 44 з/2	2,05		.3	6
Rb8’	46 »/2	1,42		4	5
Rb8»	48 »/3	1,35	0,29	4	5
Rb8’	50 »/2	2,74	0,14	3	6
y««	39 50 1/2	-0,137		4	6	1
Nb»»	41 52 8/2	6,145	-0,25	4	6	2	1
				
				
				
				
		в		
1				
	z ,			
				
Продолжение табл. 7.1
				p, ядер-				
Ядро	z	V	J	но го магнетона	<?. барн	Конфигурация протонов		
						2p»/j	И»/*	2рЧх 1g»/,
Тс»»	43	56	’/2	5,5	0,3	4	6	2	3
Rh103	45	58	*/2	-0,0879		4	6	1	6
Agl07	47	60	*/»	-0,113		4	6	1	8
Agio»		62	V2	—0,13		4	6	1	8
Agin		64	va	-0,145		4	6	1	8
1П1О»	49	60	’/3	5,53	1,20	4	6	2	9
Inns		64	’/»	5,50	1,14	4	6	2	9
In»®		66	•/2	5,51	0,83	4	6	2	9
	50							
						>«’/»	2d»/,	1Лп/, 2d»/, 3si/t
Sbi«	51	70	S/2	3,343	-0,53		1	
Sbia		72	7/x	2,53	-0,7	1		
J12?	53	74	‘/2	2,79	-0,65	2	1	
J12»		76	’/«	2,60	-0,43	3		
J1J1		78	’/2	2,6	-0,3	3		
Csi’i	55	76	6/2	3,48		4	1	
Cs‘»3		78	7/2	2,56	—0,003	5		
Cs*»		80	7/2	2,71		5		
Cs‘»7		82	7/г	2,82		5		
Lais’	57	82	’/«	2,761	0,3	7		
PrUi	59	82	•/1	3,92	-0,054	8	1	
Pm‘«	61	86	S/2?			8	3	
Eui’i Eu«3	63	88 90	S/2 ‘/2	~3,6 1,5	-1,2 2,5	8 8	5 1 5 J	> Деформированы
	64-	-78				Область несферическнх ядер		
Auiw	79	118	’/2	0,14	0,56	8	6	12	3
T|2O3	81	122	‘/2	1,596		8	6	12	4	1
Tj203	1 81	124	V2	1,612		8	6	12	4	1
	|	82							
						1А»Л	2fyt	Зрз/, 2/*/, 3pi/2 Ilia/,
Bi2»»	83	126	*/2	4,040	-0,4	1		
At211	85	126	"/2			3		
	>86					Область несферическнх ядер		
10 Заказ Лг 37
146
Глава 7
энергией связи энергия спаривания двух оболочечных нейтронов. То же самое будет в случае протонов.
Одночастичная модель не объясняет происхождения этой дополнительной энергии. В модели же, учитывающей нуклонное взаимодействие, будет показано, что энергия спаривания возрастает по мерс увеличения / (см. задачу 7.5). Поэтому, несмотря на то, что уровень \gi/t расположен выше уровня 2(1ь12, разрушение ^-оболочки и добавление пары в ^-состояние может оказаться энергетически более выгодным. Если мы допустим такую же особенность при заполнении l/»Zl-протонных и нейтронных, lg»,,s-npo-тонных, l/iii/j- и 111э/а-нейтронных оболочек, а также будем иметь в виду чрезвычайно близкое расположение некоторых уровней (например, протонные состояния 1 gyt и 2dult), оказывается возможным объяснить почти все известные значения J для ядер с нечетным Л. Все особые случаи, кроме двух-трех ядер типа Se7B, HgMI, лежат в области 155<Д< 180 и А'> 140. В этих областях ядра значительно деформированы, и поэтому нельзя ожидать согласия с результатами, полученными для сферического потенциала. Деформированные ядра встречаются также н в других областях периодической системы, и для них нельзя использовать рассмотренную схему уровней. Правильная схема уровней для таких ядер будет обсуждаться в гл. 10.
Довольно естественное объяснение столь большого числа экспериментальных значений спинов исторически было наиболее важным свидетельством того, что одночастнчная модель может казаться применимой в значительной области. Позднее будут указаны и другие подтверждения применимости такой модели. Здесь мы напомним также, что согласно этой модели магнитные моменты ядер ложатся на линии Шмидта. Но несмотря на согласие с экспериментом, очевидна необходимость в усовершенствовании такой простой модели. Условимся называть уже описанную одночастнчную модель упрощенной. Более сложную модель, в которой учитывается взаимодействие нуклонов в незаполненных оболочках, а уже заполненные оболочки рассматриваются в виде инертного остова, будем называть усовершенствованной одночастичной моделью.
§ 4. Усовершенствованная одночастичная модель
В данной модели считается, что все свойства ядер при малых энергиях возбуждения определяются внешними нуклонами, т. е. расположенными вне заполненных оболочек. При этом принимается, что одночастичные орбиты, описываемые квантовыми числами (л, /, /), не изменяются существенным образом в результате взаимодействия этих свободных нуклонов друг с другом. Это означает, что мы пренебрегаем всеми корреляциями между нуклонами, например образованием нуклонных «ассоциаций» в ядре. Поэтому при анализе таких ядериых свойств, как энергия связи, когда учет корреляций приобретает важное значение, вряд ли следует считать данную модель более совершенной по сравнению с предыдущей.
В случае упрощенной одночастичной модели все состояния, возможные для k частиц с одинаковыми п, I, j, вырождены. Учет взаимодействия между частицами снимает подобное вырождение. При расчетах, основанных на усовершенствованной одночастичной модели, это взаимодействие должно быть достаточно сильным, чтобы обеспечить снятие вырождения, но не слишком значительным по сравнению со спин-орбитальным. То есть состоя-
Одночастичная модель
147
ние каждого нуклона должно с достаточной точностью описываться квантовым числом /, что является одним из основных допущений одночастичной модели. Иногда, правда, оказывается возможным отказаться от этого приближения и в то же время сохранить терминологию одночастичной модели.
Это достигается тем, что одночастичные, состояния представляются в виде суперпозиции волновых функций двух или трех (м, /, /) состояний, энергии
которых близки; такой способ называется смешиванием конфигураций.
Потенциал взаимодействия между нуклонами в ядре vtj не обяза-
тельно совпадает с потенциалом в двухчастичной системе. Одночастичный оболочечный потенциал, являющийся результатом усреднения воздействия на данный нуклон всех других нуклонов, учитывает значительную часть взаимодействия нуклонов. Оставшуюся часть нуклон-нуклонного взаи
модействия, приводящую к снятию вырождения оболочечных состояний, часто называют остаточным эффективным взаимодействием. Точно рассчитать это взаимодействие довольно трудно. Но в большинстве случаев вполне достаточно выбрать в качестве потенциала простую аналитическую функцию
с переменными параметрами.
В случае легких ядер (Д С 50) важную роль играет еще одна ядерная характеристика — изотопический спин ядра. Обозначим полный изоспин ядра как
T=Stb	(7.4)
i=i
где t| — изоспин i-ro нуклона. Для любого ядерного состояния компонента 7’3=1/,(Z — W) и, следовательно, является хорошим квантовым числом. Если считать, что ядерные силы зарядово-независимы, то Г4 также будет интегралом движения. Мы уже видели, что ядерные силы действительно с довольно хорошей степенью точности являются зарядово-независимыми (что, конечно, не относится к кулоновским силам). Поэтому в случае легких ядер, когда кулоновская энергия составляет лишь малую часть полной энергии, 'Гг=Т(Т А-1) можно считать квантовым числом системы. Но при возрастании величины ZAIA положение меняется1)- Граница, разделяющая область, где Т можно считать хорошим квантовым числом, и область, где это допущение становится неверным, характеризуется также увеличением числа нейтронов в ядре по сравнению с числом протонов и тем, что протоны и нейтроны начинают заполнять разные оболочки.
В соответствии с принципом Паули волновая функция должна быть антисимметричной по отношению к перестановке координат любой пары нуклонов. В случае оболочки, содержащей, скажем, только протоны,это означает, что волновая функция, зависящая от моментов /-протонов, должна быть антисимметричной по всем парам. В случае же, когда оболочка содержит как протоны, так и нейтроны, а Т является хорошим квантовым числом, функция, зависящая от моментов /-нуклонов, должна быть симметричной или антисимметричной при перестановке пары в зависимости от симметрии изоспиновой волновой функции.
Из сказанного следует, что возможны лишь некоторые определенные состояния. Например, для системы двух частиц с одинаковым значением. j невозможно сконструировать антисимметричное состояние с нечетным J, так как соответствующая волновая функция для двух частиц с квантовыми.
*) Формально кулоновский член в гамильтониане представляется в виде-+ /з,<) (Уг + t3,j). Этот оператор не коммутируете Тг н поэтому Т нельзя считать квантовым числом.
10»
Таблица 7.2
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОЛНОГО СПИНА J ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ (/) **)
i =3/1	/ = »/г	/ = ’/»
к = 1 */г = 2 0, 2	к = 1 »/2 = 2 0, 2, 4 - 3 »/2, »/2, »/2	Л = 1 ’/2 = 2 0, 2, 4, 6 = 3 э/,. в/г,	»/t> п/2> 15/г = 4 0,2 (дважды), 4 (дважды) 5, 6,8
Л = I »/2
= 2 0, 2, 4. 6, 8
= 3 »/2, »/2, т/г. ®/г (дважды), «/2, «/2, »/2, «/»
= 4 0 (дважды), 2 (дважды), 3, 4(3 раза), 5, 6 (3 раза), 7, 8, 9, 10, 12
= 5 Т/г. ’/г. ®/г- (дважды), т/2 (дважды), »/2 (3 раза), ч/2 (дважды), 13/2 (дважды), “/г (дважды), 1’/2 (дважды), l»/2, »т/2, а&/2
/=“/»
k = I ч/2
= 2 0, 2, 4, 6, 8, 10
= 3 »/2, »/г. ’/г. ®/г (дважды), >‘/2 (дважды), «/2, т»/2 (дважды), 17/2, “/г. м/г. а/г. ”/г
= 4 0 (дважды), 2 (3 раза), 3, 4 (4 раза), 5 (дважды), 6 (4 раза), 8 (4 раза), 9 (дважды), 10 (3 раза), 11, 12 (дважды), 13, 14, 16 = 5 т/2, з/г (дважды). 6/2 (3 раза). т/2 (4 раза), »/2 (4 раза), »/2(5 раз), 13/г ('• раза), ,s/2 (5 раз), Т?/2 (4 раза) 1»/2 (4 раза), *Т/2 (3 раза), и/2 (3 раза), »/2 (дважды), ”/2 (дважды), м/2, ’Т/2, »5/г
= 6 0 (3 раза), 2 (4 раза), 3 (3 раза), 4 (6 раз), 5 (3 раза) 6 (7 раз), 7 (4 раза), 8 (6 раз), 9 (4 раза), 10 (5 раз), II (дважды), 12(4 раза), 13 (дважды), 14 (дважды), 15, 16, 18
) Приводится no Meftep 11 Йенсену [10].
Одночастичная модель
149
числами (л, I, j) и моментом (J, М) имеет вид1)
ип(Г1)ип (r2) SG/mAI-m |/ЛПхГ(1)хГм(2).	(7.5)
т
При перестановке частиц 1 и 2 выражение (7.5) принимает вид
ип (п)ип (r2) Х(ЦтМ-т | JM)x7‘ (2)£~т (1). т
Вводя новый индекс суммирования т' = М — т, получаем
ип(г,)«п (Г2) 2(///И-/л m W)xr(l)xTm'(2) = m'
«и» (r,)Un (Гг) 2(-1) 2i-J(jjm 'M-m '| JM)xr'(l)Xj,-m'(2). (7.6) m'
Здесь мы использовали следующее свойство коэффициентов Клебша — Гор-дана: (jiizmimz |	\)h+h-J (]2]\т2гп11JM). Поскольку j — полуцелое
число, выражения (7.6) и (7.5) отличаются друг от друга только множителем (—1)J+1. Следовательно, антисимметричные функции существуют только для четных J.
Подобные ограничения будут, конечно, накладываться и на состояния системы с числом частиц, большим двух. Например, можно показать, что в случае системы трех частиц с конфигурацией (л, /, /)’ антисимметричное состояниедля J= Уг невозможно. Подробноеобсуждениетаких болеесложных систем можно найти в гл. 12 работы [8] и в статье [9]. В табл. (7.2), взятой из работы [10], приведены возможные антисимметричные состояния системы k частиц для значений /<“/«. Возможные состояния в случае (2/4-1—k) частиц, т. е. для k дырок в оболочке, такие же, как в случае системы k частиц.
Для описания системы k нуклонов недостаточно квантовых чисел J в Т. В качестве дополнительных могут быть использованы два других квантовых числа — сеньорнти (seniority — «старшинство») s и приведенный изоспин t. Для их определения рассмотрим свойства симметрии системы. Каждая частица может обладать только двумя значениями изотопического спина, и поэтому в лучшем случае только две частицы с одинаковыми (л, /, /, т) могут занимать данное пространственное состояние. Следовательно, имеются пространственно-симметричные пары, которые автоматически будут антисимметричны по изотопическому спину. Кроме частиц, спаренных таким образом, могут быть частицы, пространственные состояния которых отличаются от состояний остальных частиц и которые образуют антисимметричные пары по отношению к пространственным перестановкам. Такие пары симметричны по изоспину, т. е. имеют 7* *=1. Некоторые из этих про-странственно-антисимметризованных пар могут иметь момент J = 0.
Квантовое число сеньоритн s определяется как число частиц, остающихся в оболочке после удаления всех антисимметричных пар, для которых Т= 1, J— 0. Приведенный изотопический спин определяется как изоспин этих оставшихся нуклонов2).
В том случае, когда потенциал взаимодействия Уц достаточно мал по сравнению с одночастичным, его вклад в энергию есть просто среднее (. 2 вычисленное по рассматриваемому состоянию. Если Уц — потен
*) Коэффициенты Клебша — Гордана определены в приложении А.
*) Дальнейшее обсуждение этих квантовых чисел можно найти в работах (111 (см. § 20) и [9].
циал Вигнера (т. е. центральное, необменное взаимодействие), энергетический вклад его можно представить с помощью значений J, Т, s, t и некоторых радиальных интегралов 19, 11]. Неядерный потенциал учитывает также н спин-орбптальное взаимодействие. В этом случае явное выражение Для можно получить только при следующих допущениях:
а)	радиус действия ядерных сил намного меньше радиуса ядра;
б)	в оболочке находятся только частицы с одинаковым зарядом.
При этих условиях существенными будут только синглетные (антисимметричные) состояния, и результат для потенциала (2.17) имеет следующий вид:
<2цм) = (U7+ М- И—В) V0(2j+ l)/n, k-
(7.7)
где1) и
V'o—4я^ Vo(г)г2dr
fnl = ^lrUnl(r)]^ 4	4лг
Здесь (W'-I-Al—Н—В) V0(r) — потенциал притяжения системы (л, р) в ’^-СОСТОЯНИИ. Отсюда видно, что самым нижним будет состояние с наименьшим значением з, так как f„t положительно, a s, конечно, меньше2/. Из определения числа $ следует, что в случае ядра с четным числом нуклонов k наименьшее возможное значение s равно нулю, а для ядра с нечетным k наименьшее s= 1. Но з = О означает, что все нуклоны связаны в пары с J = 0, а при s= 1 так связаны все нуклоны, кроме одного. Следовательно, ядрос нечетным числом нуклонов, у которых одни и те же квантовые числа (л, I, j), имеет в основном состоянии спин J = /.
Прежде чем мы сможем использовать предыдущие результаты для предсказания спинов ядер, необходимо сделать еще одно допущение. Будем считать, что эффективное взаимодействие нуклонов различных орбит / и Г незначительно по сравнению с взаимодействием двух частиц одной орбиты. Блнзкодействие ядерных сил и малое перекрытие волновых функций разных орбит оправдывают подобное предположение. Следовательно, можно считать, что на сложение моментов нуклонов внутри одной оболочки не влияет взаимодействие с нуклонами других оболочек, независимо оттого, заполнена данная оболочка пли нет. Отсюда в ядре с четным Z и нечетным N протоны оказываются связанными в пары с результирующим J = 0, спаривание нейтронов приводит к J =jn (где /„— момент нейтрона в незаполненной оболочке). Результирующий спин ядра J = /„. Аналогично спин ядра с нечетным Z и четным N будет J = jp, а дл я четно-четного ядра остается равным нулю. Эти результаты показывают, почему простая оболочечная модель, в которой совершенно пренебрегается взаимодействием нуклонов в незаполненных оболочках, предсказывает правильные значения спинов ядер.
Так же как и в случае упрощенной одночастичной модели, спин нечетнонечетного ядра трудно предсказать однозначно. Мы имеем по-прежнему нейтронную оболочку («n/n/n)fc» с моментом /„ и протонную (nplpjp)hpc момен
1) Допущение (а) при вычислениях сводится к применению потенциала И0(г) = Vod(r).
Одночастичная модель
151
том jp. Однако результирующее значение спина J может быть любым в пределах от \jn — j,, | до | jn +jp I • Для устранения вырождения no J необходимо найти энергию взаимодействия между нейтронами и протонами двух незаполненных оболочек (считается, что взаимодействие не изменяет прежних оболочечных состояний). Другими словами, нужно рассчитать следующий матричный элемент:
, 	л *
п р Ь Ь	k k
S 2((/n);"Gp)Z. ММЩ, J),	(7.8)
где I Gn)>n	волновая функция системы kn нейтронов и kp прото-
нов; jn и jp — результирующие моменты нейтронов и протонов соответственно; J — j„ + jp — момент всей системы в целом. Чтобы получить аналитическое выражение для этого матричного элемента, допустим, как и ранее, что ядерные силы — весьма близкодействующие, т. е. представим потенциал Vu в виде V0(ry)=У0^(гу). В этом предельном случае операция пространственного обмена (Рх) не имеет смысла. Поэтому силы Гейзенберга и Бартлета сводятся к спиново-обменным силам, а силы Майораны и Вигнера не имеют обменного характера. Следовательно, мы можем написать
Vij = — (1 —а	• <Ъ) Vo6 (Гу),	(7.9)
где
а = 1(Я + В) = 1(1-1Г-Л1).
В работах [12, 13J для энергии (7.8) было получено следующее выражение:
Д Gn)*" <Jp)jp ,J) = Eo (kn. kp)+Ea = n p
= ХлХрЕо(1, \)-r(knkp-knKp)(\-a)F0(ln, lP) + Eo, (7.10) где
. 2jn + l-2fcn
F0(ln,lP) = ^\(ru, )г(ги, )2-dr, n p 2
До(1, 1)= ’ (1-а)Е0(/л, /р)(2/л + 1)(2/р-Ь1)( мЛ—i-uo}- (2J + 1)-' X ct	\	Ct	Ct	]
nr. I Ц I < v!n+Jp+J( • • 1	'
x	+	Up-^уЛ +1
.	J (J -t-i)
1	/11	\2
E„ = ±aF0(ln, lp)(2jn + V)(2jp-r 1) /„/ *-±|J0 (2J+ 1)"‘ X Ct	\	L	C	j
J(J+V
152
Глава 7
Энергия Еа обусловлена силами, в которые входят также и обменные, и не зависит от числа нуклонов в оболочке.
Ясно, что даже в наиболее простом случае (один протон и один нейтрон в каждой оболочке) энергия представляется сложной функцией от J:
E((inY(iP)l,J)=E0(\, 1) + Е0.
Можно попытаться сделать некоторые оценки. С этой целью заметим, что, согласно (7.9), амплитуда триплетного взаимодействия равна Уо, а синглетного (1—4а)У0. Если спин-обменные силы являются силами притяжения, то а — положительная величина, и, следовательно, триплетное взаимодействие будет сильнее синглетного (конечно, все это относится только к случаю двух свободных нуклонов). Мы можем, следовательно, ожидать, что ориентация двух нуклонов будет соответствовать триплетному состоянию, т. е. <тп и 0Р должны быть параллельными. Если величины jp—1Р и jn—1п, каждая из которых равна ±Уг, имеют разные знаки, то ап и ар будут . параллельны для противоположных ориентаций jn и jp. Таким образом, в этом случае J = |/n—jp |. Если же величины jp—lp и jn—ln одного знака, наименьшей энергией будет обладать состояние с J = jn +iP- Однако даже если спин состояния равен J = |/в—/р |, оно не является чисто триплетным и содержит синглетную компоненту (см. задачу 7.3). Следовательно, для того, чтобы результат, приведенный выше, действительно имел место, необходимо достаточно сильное преобладание триплетного состояния. Поэтому величина а не должна быть слишком малой. Де-Шали [12] и Бринк [14] показали, что даже в случае сил с конечным радиусом действия при а>г/10 состояниес J = |/Л—jp | лежит значительно ниже любого другого возможного состояния, если величины /р—1Р и jn—1п имеют противоположные знаки. В случае одинаковых знаков энергия состояния с / = /„+/₽ понижается и, если а достаточно велико, может случиться, что это состояние поменяется местами с состоянием |/„—jp \. Однако они довольно близко расположены, так что небольшие изменения в наших идеальных представлениях могут существенно изменить порядок следования уровней.
Эти результаты известны в настоящее время под названием правил Нордгейма [15, 16]. Определим число Нордгейма как N — jp—lP + in—ln-Тогда спин J нечетно-нечетного ядра определяется следующим образом:
сильное правило: N~0, J=\jn—jp\’,
слабое правило: W = ±l, J=\jn — jp\ или (jn + jp)-
Такие же правила существуют в случае Лп>1 и Ар>1, только при этом jn и jp заменяются на Jn и Jp, т. е. на полные моменты конфигураций /*," и /р₽ соседних ядер с нечетным А. Только в особых случаях Jn и Jp могут быть не равны /„ и jp. Де-Шали и Валецка [17] теоретически обосновали этн правила, учитывая спиновую зависимость остаточных взаимодействий. Им также удалось выяснить природу тех эффектов, которые могли бы изменить порядок близко расположенных уровней (в случае слабого правила).
Сопоставление с экспериментальными данными показывает, что правила Нордгейма выполняются довольно хорошо, причем большинство исключений находится в области легких ядер. Некоторые примеры приведены в задаче 7.4. В дальнейшем, анализируя экспериментальные-значения спинов и четности, мы увидим, что нечетный нуклон в нечетнонечетном ядре и соответствующем ему ядре с нечетным А может иногда: находиться на разных орбитах, если эти орбиты расположены близко.
Одночастичная модель
153 .
§ 5. Смешивание конфигураций
Мы уже отмечали, что считать частицы движущимися по определенным орбитам (л, /, /') можно лишь при отсутствии остаточного взаимодействия между нуклонами. Но тогда все состояния k частиц одинаковой конфигурации будут вырожденными. Это вырождение снимается введением межнуклонного взаимодействия; величину расщепления можно оценить с помощью теории возмущений первого порядка. Хотя в такой теории влияние взаимодействия на энергию и учитывается, в то же время принимается, что силы не настолько велики, чтобы существенно изменить волновую функцию состояния. Такое приближение может оказаться хорошим, но во всяком случае необходимо особо исследовать, в какой мере оно законно.
Рассмотрим волновую функцию ф0 (JM), которую нам дает упрощенная одночастнчная модель для системы с конфигурацией
X (^п2, 1г, /2+2")	/1,/2—•	(7.11)
Обычно бывают незаполненными только одна или две оболочки, и, следовательно, большая часть равна 2/j-|-2h, как правило, /(/ = 2//. Векторы jj незаполненной оболочки, связываясь по-разному, приводят к различным значениям J. В отсутствии нуклон-нуклонного взаимодействия все эти состояния вырождены и имеют энергию Ео- Состояние ф0 (JM), которое мы будем исследовать, является одним из таких состояний. Введем парный потенциал Vij\ рассматриваемое состояние ф0 (JM) изменит свою энергию в первом приближении на величину (ф0| S уц | фо)- Таким образом, вырождение сни-i<i
мается. Но волновая функция также изменится, и в первом приближении теории возмущений она может быть представлена следующим образом:
ф7И = Фо (JM) + 2 а рфр (JM) 4- 2 а<,ф, (JM) р	ч
где
(фо| 2 Пу|фр) ар =---.
Е0—Ер
а ач дается выражением, аналогичным (7.13). Состояния р и q—одночастичные, с невозмущенными энергиями Ер и Eq соответственно. Суммирование происходит по всем состояниям с одинаковыми J и М, для которых ар и aq отличны от нуля. Из (7.13) видно, что перемешиваемые р- и ^-состояния могут отличаться от невозмущенного состояния ф0 по крайней мере состояниями двух нуклонов. Состояния р отличаются от состояний q тем, что в состояниях р квантовые числа п и I всех нуклонов те же самые, что и в состоянии фо. Следовательно, конфигурация для состояния фр имеет вид
I П|, /|, + yr ) I nI( It, It — -5-)	X
(j \	02 /	j
Ч2, I2, 1г + ‘2')	‘1^2,4. 2—
где at =—2, —1, О, 1, 2*> 2|ad=l или 2. i
(7.12)
(7.13)
А'г+а2
(7.14)
154
Г л а в а 7
Для «/-состояний конфигурация имеет вид
/	,	1 \*1+ь1 /	1 \Ki+pi /	1 \*1+ь»
I Л|, 6,/|-Ь-д-1 I Л|,	—— 1	I Лг. /з. /г+ту I	X
\	/	\	Л f	\	л, }
/	1 \К2+₽2	л
X I Лг, 1г, I2—(7.15)
где bt и р,- могут принимать значения 2,—1,0, 1,2; Е(| bi\\ + |₽. )=2нли4, причем bi -гР;=£ 0 по крайней мере для одного из i. Следовательно, в состоянии q имеется хотя бы один нуклон, изменивший свои значения п и I (оба или одно из них) по сравнению с состоянием ф0.
Следует заметить, что если бы примешивались только состояния типа р, то каждому нуклону еще можно было бы приписать свое /, хотя / уже не было бы хорошим квантовым числом. Для состояний же типа q не только /, но и I не является уже интегралом движения. Отметим также, что при примешивании обоих типов состояний мы встречаемся с переходом нуклонов из заполненных и незаполненных оболочек в свободные состояния.
Коэффициенты ар и ав характеризуют степень примешивания. Чтобы можно было пользоваться теорией возмущений первого порядка и не учитывать смешивания конфигураций, для всех а должно выполняться неравенство |а|8 < 1. Обычно со значительным а к волновой функции примешивается только небольшое количество состояний. Соотношение (7.13) показывает, что это будут либо тс состояния, для которых невозмущенные энергии Ер или Eq близки к Ео, либо те, для которых матричный элемент (фо I vu | фр) аномально велик. Вообще говоря, одночастнчные состояния, очень близкие по энергиям, имеют различные / (см. фиг. 7.2). Этот факт позволяет предположить, что при смешивании конфигурации определенные состояния типа q могут оказаться существенными. С другой стороны, два нуклона с одинаковыми п и / обладают весьма близкими волновыми функциями. Поэтому матричный элемент может оказаться большим, даже если эти состояния значительно разделены по энергиям. Следовательно, существенны также состояния типа р.
Не слишком большая примесь конфигурации не должна изменить заключений относительно энергетического расположения уровней, сделанных нами раньше, так как в наших расчетах энергетическая поправка первого порядка уже учитывалась. Таким образом, ни одно из заключений относительно спинов основных состояний также не должно измениться, хотя теперь, очевидно, есть возможность яснее понять, каким образом эффекты более высокого порядка приводят к изменениям в последовательности соседних состояний, например к тем фактам инверсии, которые превращают слабое правило Нордгейма из точного в некоторую приблизительную закономерность.
Однако учет примеси конфигурации может существенно изменить другие свойства ядра, например магнитный момент, из-за примешивания состояний с отличными одночастичными моментами. Подобные эффекты будут рассмотрены позднее.
ЗАДАЧИ
7.1.	Показать, что (£(_>/ —£|^.1д) — (2/-|-1), если V (г) в потенциале —коп станта. Как изменится эта формула, если V (г) имеет максимум вблизи поверхности ядра?
Одночастичная Модель
155
7.2.	Предполагается, что различие в расположении уровней для нейтронов и протонов для N или Z>50 обусловлено кулоновским потенциалом. Подсчитать разность электростатических энергий для ig3/t- и 245/1-состояний протонов при условии, что потенциал имеет распределение однородно заряженной сферы (при этом использовать волновые функции гармонического осциллятора). Численные расчеты провести для наиболее подходящих ядер.
7.3.	Показать, что волновая функция ((d^)1 (Pi/j)1* 2|с Л1 = 2 может быть записана как
уру (/2 И (1) У? (2)-5У1 (1) У[‘ (2))-»(а)_,У? (1) У} (2)+
+ 8 (<*)«( - /2 У1 (1) У }(2)+ЗУ? (1) У? (2)) +' (<т)о (- У 2 У' (1) У } (2)+2 У Я (I) У? (2))}.
Показать также, что эта волновая функция имеет */и синглетного состояния и п/)3 триплетного, а волновая функция <(ds/„)1 (р1/о)', 31 состоит из '/з синглетного и 2/3 триплетного состояний. Проверить, подтверждают ли это правила Нордгенма?
7.4.	Для следующего ряда ядер в круглых скобках приведены наиболее вероятные экспериментальные значения спинов и четности основных состояний:
Не» ( _у' + J . Be* ("j— j • N’4 ( +). N*s	2— ) • F’7 С *2—F ') ’
Ne« (~2-+) , Al« f-|-+ ), P;'"(l-h), S8» (*у+)’ С|34<°+).
К»» (3-Н. К™(4—), К« (2-), Са» (4"“) ’ V5°(6+)’ Мп“ ( 4— )' Сг*з(-|--МпМ(2+). Си* ( 4’-), Cl,,w (l + ).Ga»« (!-{-)- Ga«("-|- —)•
Мо”(-|“+)' Тс*( 4+ ) • Rh“*(4—)- Pd,0S(’T+j ’
+	Sb*22(2—), Sb'» ( 4- + у Tei»(-g-+)> Cst30(l+),
Cs'31	> 01:13 (4-+ ) • Xe':“ (“F+ )' CeU4(4+). La'M (5+),
‘ + Y Tl®u«(O—). Bi2°»(-|—Y Bi2'“(l—).
Определить наиболее вероятные одночастпчные конфигурации и обсудить все возникающие аномалии.
7.5.	а) Подсчитать с помощью формулы (7.7) энергию спаривания v={B (jV-|--2) — — В (Лг)}—2{B(jV-(-1) — В (Л')), где N — число части в данной оболочке (л, /, /) (N четно), В—энергия связи основного состояния. Показать, что v увеличивается с возрастанием j при условии, что не уменьшается при увеличении I.
б)	Пусть нуклон с квантовыми числами (я, /, /) находится в эффективном одно-'частичном потенциале Ус-{- Уь и его энергия равна Е. Сравнить энергии связи самых низших состояний системы с 2/ (и, I, j) нуклонами и N (я',	/') нуклонами с энер-
гией связи низшего состояния системы (2/-(-!) (л, /, j) нуклонов и (Лг—!)(«', I’, j’) нуклонов. Объяснить заполнение парами состояний с высокими моментами.
в)	Указать количественные аргументы, объясняющие возрастание величины fni по мере увеличения /.
7.6.	Показать, что если бы правила Нордгейма выполнялись строго, нечетнонечетных ядер, имеющих спин основного состояния 0-|- или 1 —, не было бы. Найти 'Исключения из этого результата.
7.7.	Показать, что среднеквадратичный радиус частицы в осцилляториом состоянии •с квантовыми числами п, I, т есть а-2 (2 (я—l)-^/-f-»/2l, где а = (ты/й)1/а. Найти среднеквадратичный радиус ядер Са1°, К41 и Ni®tf.
156
Глава 7
ЛИТЕРАТУРА
1.	Е 1 s a s s е г W., Journ. de phys. et rad., 5, 625 (1934).
2.	Mayer M. G., Phys. Rev., 75. 1969 (1949).
3.	M а у e r M. G., Phys. Rev., 78. 16 (1950).
4.	H a x e 1 O., J e n s e n J. H. D., S u e s s H. E., Phys. Rev., 75, 1766 (1949).
5.	H a x e I O., Jensen J. H. D., S u e s s H. E., Zs.f. Phys., 128, 295 (1950).
6.	R о s s A., L a w s о n R. D., M а г к H., Phys. Rev., 102, 1613 (1956).
7.	R о s s A., L a w so n R. D., M a г к И., Phys. Rev., 104, 401 (1956).
8.	R о se M. E., Elementary Theory of Angular Momentum, New York, 1957.
9.	E d m о n d s A. R., Flowers В. H., Proc. Roy. Soc., A214, 515 (1952).
10.	M а у e г M. G., Jensen J. H. D., Elementary Theory of Nuclear Shell Structure, New York, 1955.
11.	E 1 1 i о t t J. P., L a n e A. M., «The Nuclear Shell Model», Handbuch der Physik, Bd. 39, Berlin, 1957.
12.	D e Shalit A., Phys. Rev., 91, 1479 (1953).
13.	S c h w a r t z C., Phys. Rev., 94, 95 (1954).
14.	Brink D. M., Proc. Phys. Soc., A67, 757 (1954).
15.	N о r d h e i m L., Phys. Rev., 78, 294 (1950).
16.	В r e n п a n M. H., В e r s t e i n A. M., Phys. Rev., 120, 927 (1960).
17.	D e Shalit A„ Walecka J. D., Nucl. Phys., 22, 184 (1961).
18*. Немировский П. Э., 4 e n у p и о в В. A., Phys. Letters, 4, 103 (1963).
ГЛАВА 8
МНОГОЧАСТИЧНАЯ МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК
Термин многочастичная модель оболочек, используется для описания метода получения волновой функции ядра, который в принципе может быть весьма точным. На практике его точность зависит от точности, с которой применимы оболочечные представления.
Для конструирования волновой функции и отыскания собственных значений любой квантовомеханической системы необходимо иметь полный набор ортогональных волновых функций1). Будем обозначать функции этого набора Ф(, где под i подразумевается набор индексов. Эти функции не должны непременно быть близкими к реальным функциям системы. Задача нахождения собственных значений энергий решается путем диагонализации энергетической матрицы, матричные элементы которой имеют вид 1 Н |Ф>), где И — гамильтониан системы. Затем определяются собственные векторы а<ц и, следовательно, волновая функция системы	Если не поза-
ботиться специально о выборе функции Ф,, то этот расчет будет чрезвычайно громоздким, так как придется использовать весь полный набор функций Ф,-. Число же функций в полном наборе, как правило, бесконечно. Но если нам удастся выбрать такой набор Фь в котором по крайней мере некоторые . из функций близки к истинным, то лишь часть энергетической матрицы потребует диагонализации и в разложении функции ¥к будет присутствовать сравнительно небольшое количество otjfc, отличных от нуля. Для выбора таких Ф/ нужна определенная физическая интуиция.
§ 1. Базисные антисимметричные состояния
В качестве базисных функций Ф( в многочастнчной модели оболочек выбираются полностью антисимметризованные произведения одночастичных волновых функций отдельных нуклонов, полученных для некоторого разумного центрального потенциала. Ради простоты наиболее часто используются оснилляторные функции. Метод конструирования антисимметричных волновых функций для А-нуклонов будет описан здесь только в общих чер-
*) Идеи, используемые в этом параграфе, обсуждаются во всех учебниках по квантовой механике.
158	Глава 8
тах. Более полное обсуждение можно найти в работе Эллиотта и Лейна [ 11,. а также в оригинальных работах Рака 12], Яна (31 и Флауэрса [41.
Обычно используются два набора базисных волновых функций Фр набор в схеме LS-связи и набор в схеме //-связи. Одночастнчная волновая функция в схеме LS-связи имеет1 вид
ф= unt(г)у!”1 (в, ф)о(т,)т(пи).	(8.1).
Она описывает частицу с фиксированными орбитальным I и спиновым (*/») моментами и нх проекциями mt и mi соответственно, находящуюся в зарядовом состоянии т,. В выражении (8.1) o(mt)=a или Р и т(/н()=у нлп б (обозначения см. в приложении Айв гл. 1). С помощью функций ф конструируется полная функция Ф(1к) системы k частице квантовыми числами I, описывающая состояние с определенными L, М L, S, Мд, Т, Мт. Конечно, полная волновая функция должна быть антисимметричной. В действительности состояние системы не определяется полностью указанными квантовыми числами [1 ]. Необходимо ввести дополнительное квантовое число [А.], связанное с симметрией функции Ф(/л).
В схеме //-связи базисная одночастичная волновая функция имеет вид
V / I	। \
= ип/(г)т(щ()Zj[ /уmtm—nit\1т)У1 (°- ф)о(m—m,). (8.2)-
Функция ф описывает состояние частицы с полным моментом /, его проекцией m и орбитальным моментом /, находящейся в зарядовом состоянии mt. С помощью таких функций можно сконструировать полную волновую-функцию Ф(/к) с фиксированными значениями J, М, Т, Мт, сеньоритн s и приведенным изотопическим спином /. Ясно, что Ф и в этом случае должна быть антисимметричной.
В табл. 8.1 и 8.2 приведены возможные состояния ядер р-оболочкн в LS-связи и возможные состояния в схеме //-связи для оболочек рз/г и pi/2.
В обоих случаях наборы волновых функций являются полными, и любое ядерное состояние может быть представлено как с помощью функций Ф^кМ^МцТМт [X1), так и функций Ф(/'*УЛ1я/7'/Иг). Как уже указывалось, удобнее всего набор функций, по возможности более близких к реальным функциям ядра. В случае чисто центрального взаимодействия хорошим квантовым числом является L, тогда как для чистого спнн-орбнтального-взаимодействия, пропорционального l-s, только полная векторная сумма всех моментов нуклонов J будет интегралом движения (хотя отдельные квантовые числа I и / являются хорошими). В действительности осуществляется промежуточная связь, т. е. случай, когда имеется как спин-орбнтальное, так и центральное взаимодействия. Поэтому базис выбирают лишь с точки зрения удобства вычислений. В расчетах используются оба базисных набора.
§ 2. Матричные элементы
Можно облегчить вычисление многочастичных матричных элементов: типа (Ф/|Н|Фу), если свести последние к двухчастичным. Для этого удобно-ввести так называемые генеалогические коэффициенты. Рассмотрим волновую функцию k частиц <b(jhJ MstTM Г) в виде некоторой комбинации-
Таблица 8.1
ВОЗМОЖНЫЕ СОСТОЯНИЯ р-ОБОЛОЧКИ в СХЕМЕ ES-СВЯЗИ’)
к	1.	(2Т+1,2Я4-1)	W	
		1. •		.’0		
0	0	(11)		0|
1	1	(22)		Ч
2	0. 2	(13)	(31)		2|
	1	(Н)	(33)		П|
3	1,3	(22)		31 f
	1. 2	(22)	(24)	(42)		2Ц
	0	(22)	(44)		НЦ
4	0, 2, 4	(П)		4|
	I, 2, 3	(13)	(31)	(33)		31]
	0, 2	(П)	(15)	(51)	(33)		22|
	1	(13)	(31)	(33)	(35)	(53)		211]
5	1. 2, 3, 4	(22)		411 .
	1, 2, 3	(22)	(24)	(42)		32]
	0, 2	(22)	(24)	(42)	(41)		311]
	1	(22)	(21)	(42)	(26)	(62) (44)		221]
6	0, 22, 3, 4	(13)	(31)		42|
	1, з	(II)	(33)		41Ц
	1. з	(П)	(33)		33|
	1. 2	(13) (31)	(33)*	(15)	(51) (35) (53)		321J
	0	(13)	(31)	(35)	(53) (17) (71)	(222|	
*) Несмотря на то что р-оболочка полностью заполняется 12 нуклонами, имеет смысл рассматривать состояния только с к<6, так как состояния дырок и частиц эквивалентны. В пределах одной строки любые значения I. могут быть связаны с любыми значениями S, Т; например, н системе даух нуклонов возможны следующие состояния: >3S[2], *1S[2], 1SD[2J, 31D[2), UPfllj, ззр(11]. Квантовые числа I., S, Т, (Л] полностью описывают эти состояния; лишь для следующих наборов квантовых чисел: I3D(4 2], 31D[42], з»р(32|], 33D[32I) имеется по два состояния. В этих случаях требуются дополнительные квантовые числа.
Таблица 8.2
ВОЗМОЖНЫЕ СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК Рв/а И Р1/2 в СХЕМЕ Я-СВЯЗИ •)
Оболочка рЛ/г
(«, О
О 1
2
3
4
2
’/2
l/2. S/2- ’/2
’/2
О
2
2, 4
I. 3
2
О
Оболочка
О I
2
I 2
I 3 3 2 2 4 1
1 I 3 3 5
•) Здесь набор квантовых чисел J, Т, », точным для описания отдельных состояний.
(0, 0) (1. */2) (2, 0) (0. 0) (2. I) (1. Vz) (3, 1/2)
(О, 0) (2, I) (4, 0) (2, 0) (2, 1) (О, 0)
(0. 0)
(I. */2| , 0)
(0, 0)
является вполне доста-
160
Глава 8
состояний системы (k — 2) частиц и двухчастичной системы, а именно
Ф	= 2 2 (Ф (|Ф (k—2), Ф (2)) X
ф(Л-2)ф(2)
X {Ф(/*-’7У/'Т')Ф(/а7'У7"Т") ),
(8.3)
где {Ф (jk~2J'T') Ф (р.ГТ")} — антисимметризованная волновая функция состояния двух групп частиц с квантовыми числами J', Т' и J", Т" соответственно. Моменты обеих групп связаны в полный момент J с проекцией М (Т нМт — полный изоспин и его проекция) (суммирование в (8.3) происходит по всем возможным состояниям Ф (k — 2) и Ф (2)1. Численные коэффициенты (Ф {|Ф (k — 2),Ф (2)) называются генеалогическими. В работах [1,51 даны методы вычисления этих коэффициентов и значения последних для некоторых /-оболочек. Коэффициенты даны в обозначениях //-связи. Подобное рассмотрение можно провести и в случае LS-связи. Кроме двухчастичных генеалогических коэффициентов (k {| (k — 2), 2), имеются другие коэффициенты, с помощью которых волновую функцию можно представить через одночастичные состояния и состояния системы (k — 1) частиц, т. е.
Ф(/*)= 2 2(Ф{ |Ф(А—1), <р){Ф(Л—1)<р}.	(8.4)
Ф(Л- о ф
Здесь <р — вол нова я функция Л-й частицы; используются как одночастичные, так и двухчастичные генеалогические коэффициенты.
Будем рассматривать только двухчастичное взаимодействие. Тогда гамильтониан системы можно записать в следующем виде:
Л/=2Т<+2оу,	(8.5)
i i<J
где — потенциал взаимодействия (не обязательно центрального) между частицами i и /. Так как функции Ф антисимметричны по всем частицам, матричный элемент (Фг|»и|Фа) имеет одинаковую величину для любой пары i и j частиц. Следовательно, для k частиц имеем
Фг
= 1л(Л-1)(Фг|иА_11Л|Ф,).
&
(8.6)
Используя (8.3) для Фг и Ф, и вспоминая, что Ф (k — 2) ортогональны, а'о*-1. h зависит только от (k — 1)-й и й-й частиц, получаем
(Фгк*-м1Ф.)« 2 2 2 (Фг{|Ф(Л-2),Ф(2))*х ф(Л—2)ф(2)ф-(3>
X (Ф. {|ф (А— 2), Ф' (2))(Ф (2)	|Ф' (2)).	(8.7)
Таким образом, если матричные элементы v12 Для всех возможных двухчастичных состояний известны, то можно найти матричные элементы взаимодействия /г частиц. Для этого необходимо только дополнительно знать двухчастичные генеалогические коэффициенты. Подобным же образом с помощью одночастичных генеалогических коэффициентов (Л{|А—1, 1) можно выразить матричные элементы суммы одночастичных операторов (таких, как кинетическая энергия или магнитный момент) через одночастнчные матричные элементы.
Итак, мы теперь знаем в принципе, как рассчитать матрицу (Фг | Н I Ф4), диагонализация которой позволит определить собственные значения энергий Ек и волновые функции S а»<Ф|. Далее, для любого оператора
Многочастичная модель оболочек.
161
Q (например, оператора электромагнитного момента) матричный элемент, относящийся к двум действительным состояниям Чг/(, можно найти следующим образом:
(Ч'* IQI Ym) = SaXm (Фи IQ l©v)-	(8.8)
И. V
Если ввести матричные обозначения
Q*m=CF*|Q|¥m), Qiv = (®il|QI®v).
и считать anQ — некоторыми матрицами, то (8.8) можно переписать в виде
Q=a’Q'a.	(8.9)
Матричный элемент Q' вычислить значительно легче, так как состояния Ф имеют более простую структуру, чем состояния системы V.
§ 3. Движение центра масс
При выборе базисных волновых функций ср, являющихся собственными функциями одночастичного потенциала, центр потенциала считался фиксированным. Но в действительности фиксированным должен быть центр масс. Вообще говоря, эти точки не совпадают. С другой стороны, выбранная нами модель приводит к независимому осциллятор-ному движению всех ЗЛ степеней свободы А нуклонов, тогда как в действительности только ЗД — 3 независимых координат описывают внутреннее движение, а три координаты центра масс фиксированы. Счедовательно, в этой модели функции Ф, как функции внутренних координат, не все линейно независимы. Некоторые пары Ф могут описывать состояния, отличающиеся друг от друга только движением центра масс и не отличающиеся по внутренним координатам. Включение обоих таких состояний в полный базисный набор может привести к серьезным ошибкам.
Допустим, что возможно отделить движение центра масс, записав волновую функцию Ф в виде произведения функции координаты центра масс R и функции внутренних координат. Тогда можно отобрать все функ-цииФ, имеющие одинаковую зависимость от R. ТакиеФ линейно независимы и образуют полный набор функций, зависящих от внутренних степеней свободы. Оставшиеся функции лишние и должны быть отброшены. Поскольку такая процедура возможна лишь для функций гармонического осциллятора, последние часто используются в качестве базисных. Эта задача была рассмотрена Эллиотом и Скирмом (6, 7]. Они указали способ определения волновых функций Ф, содержащих координаты центра масс в ls-состоянии. Строго говоря, чтобы получить волновые функции внутреннего движения, необходимо разделить все функции Ф на волновую функцию ls-состояния по центру тяжести. Но практически это почти никогда нс делается, так как большинство представляющих интерес матричных элементов соответствует операторам, не зависящим от центра масс.
В случае другого одночастичного потенциала (даже для гармонического осциллятора с учетом спин-орбитальных сил) невозможно однозначно отделить движение центра масс 181. Так что хотя часто и удается провести приближенное исключение эффектов движения центра масс, в целом ряде случаев возможности использования оболочечных волновых функций ограничены.
11 Заказ 37
162
Глава 8
§ 4. Типы взаимодействий
При расчете ядерных свойств в многочастичной модели оболочек необходимо, помимо базисных функций <р, правильно выбрать ядерный гамильтониан и особенно взаимодействие между нуклонами. Нуклоны в ядре движутся достаточно медленно, и поэтому для описания их взаимодействия можно пользоваться понятием потенциала. Потенциал, обычно применяемый в расчетах, не совпадает с потенциалом, полученным из рассеяния двух нуклонов. Вероятно, этот выбор объясняется тем, что он проще в математическом отношении. Не следует ожидать, однако, что потенциал, полученный из рассеяния двух свободных нуклонов, будет наиболее подходящим для одночастичных расчетов, поскольку присутствие других нуклонов может существенно изменить взаимодействие. Впрочем, о подобных многочастичных силах имеется слишком мало данных.
Болес важным является то обстоятельство, что в многочастичной модели оболочек диагонализация энергетической матрицы облегчается, если предположить, что базисные функции не слишком отличаются от реальных. Это означает,, что приближение одночастичных оболочечных состояний рассматривается как вполне удовлетворительное. В ряде случаев, как мы видели, его действительно можно считать таким. Мы всегда говорим о различных характеристиках, связанных с одночастнчнымн орбитами, как о характеристиках нуклонов. Так мы говорим об энергии нуклона, моменте и т. д., имея в виду величины, присущие отдельным одночастнчным состояниям. Математически это обстоятельство находит отражение в том, что аргументами волновых функций обычно служат координаты нуклонов. Но успех модели не является достаточным основанием для этого. Ведь обычные представления об энергии и моментах нуклонов не изменились бы, если бы имелись другие степени свободы ядер, удовлетворяющие таким же уравнениям, как уравнения движения реальных частиц. Эту мысль можно пояснить следующим простым примером. Движение системы двух частиц в классической механике может быть разделено на два квазичастичных движения. Координаты центра масс изменяются при этом так же, как если бы мы рассматривали движение частицы во внешнем поле сил с полной массой системы, а координаты относительного расстояния так же, как и при движении частицы с приведенной массой в паю внутренних сил. Координаты этих фиктивных частиц связаны определенным образом с координатами действительных частиц. Не исключено, что из нуклонных координат можно аналогичным, но более сложным образом образовать новые координаты, удовлетворяющие уравнениям, совпадающим по форме с уравнениями для частиц. Может быть, они окажутся теми квазнчастнцами, которые образуют основу оболочечной структуры. Не следует думать, что такие квазичастицы обладают теми же самыми характеристиками, что и нуклоны. Например, они могут обладать массой, отличной от нуклонной. Маловероятно также, чтобы магнитный момент ядра можно было рассчитать, приписывая квазичастице магнитный момент нуклона. Эти вопросы будут освещены более полно при рассмотрении теоретических основ оболочечной модели. Здесь мы только отметим, что силы взаимодействия между квазнчастнцами, входящие в уравнения движения, будут отличаться от истинных нуклонных сил.
Итак, мы видим, что использование в обаточечной модели модифицированных форм двухнуклонного потенциала может оказаться вполне целесообразным. Существенной частью гамильтониана оболочечной модели является спнн-орбитальный потенциал, пропорциональный 1-s, где 1ns —
Многочастичная модель оболочек
163
собственные моменты нуклона (обычно рассматривается I, отнесенное к фиксированному началу координат). Даже если сил такого типа и нет в нуклон-нуклонном взаимодействии, они могут возникнуть в результате взаимодействий внешнего нуклона с нуклонами заполненной оболочки. Была выдвинута гипотеза о том, что силы типа I - s появляются в результате тензорного взаимодействия нуклонов, но тогда эти силы были бы слишком незначительными. Более эффективные I-s-силы могут появиться в результате двухнуклонного L-S-взанмодействня. Действительно, было найдено, что во многих случаях матричные элементы выражения YsJi подобны матричным эле-i
ментам выражения У (s, + sj) • |гу х (pi — Ру)1- Другая важная модифи-i.l
кацня гамильтониана касается центральных сил. Они выбираются в такой форме, чтобы их обменный характер был иным, нежели у двухнуклонного потенциала. Например, Розенфельдом использован потенциал, для которого в обозначениях (2.17) взято
№ = —0,13, М = +0,93,
Н =—0,26, В = + 0,46.	(8‘,0)
В работе, о которой будет сказано позднее, Курат использовал предельно простой вариант такого потенциала, а именно пренебрег малыми компонентами W и Н, приняв
1Р=// = 0, М = 0.8, В = 0,2.	(8.11)
Эти потенциалы отличаются от варианта Сервера
Н = В = 0, № = М = 0,5,	(8.12)
который вытекает из данных по рассеянию двух нуклонов. Силы Сербера не дают правильного энергетического расстояния между уровнями с Т = 0 и Т = 1 в таких нечетно-нечетных ядрах, как Li* и F*8. Отметим также, что в проделанных до сих пор расчетах предполагалась монотонная радиальная зависимость ядерных сил притяжения. Было доказано, что результаты не очень сильно меняются при изменении формы потенциала, даже, например, при замене распределения Юкавы на гауссово распределение. С другой стороны, отталкивающий керн должен был бы заметно влиять на результаты. Но, как уже отмечалось, взаимодействие квазичастиц должно отличаться от двухнуклонного. Если же в качестве потенциала парного взаимодействия выбирается действительный нуклон-нуклонный потенциал, то в качестве частиц следует снова рассматривать реальные нуклоны. В связи с этим применимость тех модельных допущений, согласно которым мы могли учитывать при диагонализации только малую часть энергетической матрицы, становится значительно более сомнительной х). Наконец, в большинстве вычислений по оболочечной модели пренебрегают тензорными силами. Однако согласие с экспериментом, достигнутое без учета этих сил, конечно, не означает их отсутствия и может объясняться просто тем, что рассматривались такие свойства ядер, которые не зависят от тензорных сил. Обсуждение 0-распада ядер С14 и О14 в гл. 15 покажет, что тензорные силы следует учитывать.
*) Это справедливо, если сохранить простые осцилляторные функции. Но мы могли бы использовать энергетическую матрицу достаточно малого порядка, если бы взяли волновые функции, достаточно близкие к реальным. Эти функции должны были бы содержать корреляции нуклонов и поэтому были бы довольно сложными.
11*
164
Глава 8
§ 5. Типичные результаты
Для иллюстрации результатов многочастичной модели оболочек рассмотрим схемы энергетических уровнен, полученные для ядер с А = 7, 10, 18, 19 [10—121. Расчеты упрощались тем, что учитывались только низшие конфигурации для функций <р и, следовательно, диагонализировалась матрица небольшого порядка. Например, при рассмотрении ядер с Л = 7 учитывалась только конфигурация, состоящая из нуклонов замкнутой оболочки (1s)'1 и трех частиц в оболочке 1р, содержащей 12 независимых одночастичных состояний; d-состояння и дырки в s-оболочке не рассматривались. В случае ядра с Л = 18 обсуждались состояния типа (Is)4 * * (1р)12х х (Id, 2s)2. В обоих случаях надежность результатов, конечно, зависит от того, насколько законно представление низколежащнх состояний с помощью указанных конфигураций. Именно здесь мы снова видим, что для уменьшения объема вычислений волновые функннн Ф должны быть возможно более близкими к истинным и что применимость многочастичной модели оболочек зависит от того, в какой мере справедлива одночастичная оболочечная модель. В случае ядер с 16 < А <40 мы должны рассматривать состояния Id и 2s вместе, так как они очень близки по энергиям и, следовательно, реальная волновая функция будет линейной комбинацией этих состояний.
В рассматриваемом приближении, когда учитываются только низшие конфигурации, мы можем получить только состояния нормальной четности, т. е. совпадающей с четностью основного состояния. Состояния противоположной четности соответствуют определенным одночастичным возбуждениям. Например, одно из таких состояний при А = 18 может возникнуть в результате перехода нуклона из 1р- в (Id, 2$)-оболочку [конфигурация типа (ls)4(lp)u(ld, 2s)3]. Ясно, что четность такого состояния будет отрицательной. Расстояние между одночастичными состояниями определяется оболочечным потенциалом, с помощью которого вычисляют также и базисные функции <р. Вообще говоря, состояния одночастичного возбуждения отстоят гораздо дальше друг от друга, чем состояния, принадлежащие одной оболочке. Следовательно, в большинстве случаев имеется группа уровней нормальной четности, лежащая гораздо ниже первого состояния противоположной четности.
В работе [10] для ядер с Л = 7 и 10 рассматривались состояния 1р-оболочкн. В случае потенциала (8.11) результаты зависят только от трех параметров: L, К. и | (L и К — определенные матричные элементы центрального потенциала, £ — константа спнн-орбитальных сил х). Оказывается, что для разумных значений потенциала и размеров ядер отношение L/K. приблизительно равно 6. Проводится диагонализация соответствующей матрицы, и результаты представляются через эти параметры. Величина К фиксирует энергетическую шкалу, а отношения L/К и £//( определяют положения энергетических уровней в относительных единицах. На фиг. 8.1
*) L и К могут быть выражены через два интеграла:
со	’	оо
f l/(r)e-r«/b»(15b«r24-4r»)dr и \ V (г) е-гЬЫГ4 dr,
4	О
где V(r) — центральный ядерный потенциал; b параметр оецнлляторных функций,
используемых в <р.
Многочастичная модель оболочек.
165
показаны результаты Курата для Li’ и^Ве’, а на фнг. 8.2— схема уровней для В10 и Be10. Мы видим, что положение этих уровней сравнительно мало зависит от величины L IK, хотя расстояние между ними в некоторой степени зависит от 1,1 К-
Расчет
5Г2~	---------(5/2-1
•(!«+,--------------<1/2 ♦ ,3/2+>
(М)
----//2-
222.
Эксперимент
Be
Фиг, 8.1. Схема уровней для А =7.
г>—зависимость спектра от i/K и L/К. Кривые вычислены при Ь/К=6,8 и показывают зависимость от
б—кривые вычислены при (./К=6,8, £/К=1,0. К=—1,2 Мм.
I \\\	I .	•	.
В случае Л = 7 расчет дает уровень 5/г', который, по-видимому, соответствует уровню 8/а при 5,7 Мэв. Выше него расположены состояния противоположной четности V/ и ’//. Они могут быть описаны с помощью конфигурации (Is)1 (Ip)2 (Id, 2s)1. Следующим состоянием нормальной четности должно быть #/ц“. Действительно, такой уровень экспериментально обнаружен, но при энергии 7,5 Мэв, тогда как теоретически он должен быть при 12,5 Мэв. Учет примеси других конфигураций почти всегда приводит
20
12 -
Фиг. 8.2. Схема уровней для А = 10.
а — зависимость уровней от $/К. при L/K=6,8; б — зависимость уровней от L/К при Е/К=4.0; а —схема уровней при £/К=4,75. L/K—6,S, /<=-0,90 Мэо; а — то же самое для £/К=з4,0, L/K=5,8, К——1,13 Л1эе; дне— экспериментально полученные спектры.
Многочастичная модель оболочек
167
к понижению уровней по сравнению со случаем чистой конфигурации1). Следовательно, вполне возможно, что состояние 7,5 Мэе представляет собой смесь основной конфигурации •/»'при 12,5 Мэв и других, более высоких конфигураций. Этот пример показывает, что в области легких ядер
чистые состояния целесообразно рассматривать только до возбуждения порядка 5 Мэв, при больших же энергиях может оказаться существенной примесь других конфигураций.
На фиг. 8.2 показаны результаты Курата для А = 10 — наиболее сложного ядра р-обо-лочкн. Мы также видим чрезвычайно слабую зависимость положения уровней от отношения LIK, определяемого центральным потенциалом. Зависимость от константы спнн-орбитальных сил I/К. значительно более сильная. Ядро Be10 имеет Tz = 1 и, следовательно, только состояния с Т = 1. Отметим, что состояния с Т = 0 лежат примерно на 2 Мэв ниже, чем состояния с Т — 1. Приблизительно такой же энергетический разрыв между уровнями с Г = 0 и с 7* = 1 наблюдается для ядер А — 6 и 14. В ядрах с А — 8 и 12 это расстояние гораздо больше (15 Л4эв). Эти особенности связаны с симметрией состояний и обусловлены значительной долей спиново-обменных сил в варианте Розенфельда. Потенциал Сервера не обладает достаточным спиново-обменным взаимодействием, чтобы привести к расщеплению такого порядка [121. Мы видим, что согласие с экспериментом удивительно хорошее. Самыми низкими состояниями одночастичного возбуждения являются состояния I* и 2‘ с энергией около 5 Мэв. Состояние положительной четности Г может рассматриваться как двухчастичное возбуждение типа (Is)4 (1р)4 (Id, 2s)* 2, состояние отрицательной четности 2‘— как низшее состояние с конфигурацией (Is)4 (1р)5 (Id, 2s)1. Тот факт, что состояние двухчастичного возбуждения расположено несколько ниже одно-частнчного, вероятно, связан с более тонкими деталями обменной природы ядерных сил и симметрии, т. е. с эффектами такого же типа, как приводящие к спариванию.
Курат провел расчеты для всех ядер р-обо-лочки2). Рассмотренные нами примеры показы-
вают степень согласия расчетов с экспериментом. В данном методе расчета
хорошо то, что для всех ядер используется одна и та же величина параметров центральных сил L и /(, тогда как константа спин-орбнтального взаимо-
4) Это общий квантовомеханический результат. При этом следует считать, что рассматриваемая конфигурация не смешивается с ядернымн состояниями более низких энергий.
2) Волновые функции, рассчитанные Куратом, не были опубликованы. Аналогичный, но несколько более детальный расчет, охватывающий все ядра р-оболочки, был проделан Бояркиной [17*].— Прим. ред.
168
Глава 8
действия увеличивается по мере заполнения оболочки. Это представляется вполне естественным, так как спин-орбитальные силы являются лишь грубой аппроксимацией сложных, зависящих от спинов взаимодействий нуклона с другими нуклонами ядра.
Расчет (J.T)
I F'8 Н у О'8 J
Эксперимент
Фиг. 8.4. Результаты расчетов, основанных на модели незавн симых частиц, для 4 = 18 (по Эллиоту и Лейну).
Величина V„ на С
верхней кривой — амплитуда центрального потенциала.
В ядрах более тяжелых, чем О1 * *’ [конфигурация (Is)4 (1р)12], происходит заполнение (Id, 2$)-оболочки. Одночастичные состояния lda/2 и 2s расположены близко друг к другу, а уровень ld3/2— несколько выше. Это следует из рассмотрения спектра уровнен ядра О17, показанного на фиг. 8-3-Заметим, что уровни отрицательной четности лежат очень низко — в районе 3 Мэв. Они обусловлены либо возбуждением остова О1*, либо переходом последнего нейтрона на следующую более высокую оболочку. Заметим, что рассмотренные особые уровни не могут изменить результатов расчета уровней нормальной четности для А = 18, 19 и т. д., так как состояния • противоположной четности не смешиваются друг с другом. Однако иногда возможны низколежащие состояния двухчастичных возбуждений, обладающих нормальной четностью, которые в ряде случаев необходимо учитывать1)-
’) Положения уровней нормальной четности, рассчитанные без учета связи
с двухчастичными возбуждениями, не обязательно будут завышенными,— если только
все отброшенные состояния не лежат выше невозмушенного уровня основной конфи-
гурации.	!
J
Фиг. 8.5. Результаты расчетов в модели независимых частиц для Л = 19 (по Эллиоту и Лейну).
Фаг. 8.6. Результаты расчетов в модели независимых частиц для состояний аномальной четности для 4=16 (по Эллиоту и Лейну).
170
Глава В
При расчетах оболочки Id, 2s вводится довольно большое число свободных параметров, поэтому результаты расчетов становятся ненадежными. Такими параметрами являются 8 радиальных интегралов, константа еппн-орбиталь-ных сил | и расстояние между одночастичными d- и s-уровнями. Конечно, если выбрана форма взаимодействия, то не все эти 10 параметров независимы. С другой стороны, для ядер
с А = 17, 18, 19 имеется большое число экспериментально известных уровней, с которыми следует провести сравнение. Хорошее согласие будет указывать на законность применения модели. Результаты расчетов, выполненных Эллиотом и Флауэрсом 1111 для А = 18, 19, показаны на фиг. 8.4 и 8.5. Верхний график представляет собой зависимость энергии от одного важного параметра— амплитуды центрального потенциала Vc (другие параметры фиксированы). Мы видим, что относительное расположение уровней с Т = 0 и Т = 1 зависит от обменного характера сил. Сравнение с экспериментом оказывается весьма полезным.
Особенностью схемы уровней для А = 19 является наличие у ядра F** чрезвычайно низко (112 кэв) расположенного состояния противоположной четности. Важно понять природу этого состояния, так как если возможны двойные возбуждения подобного типа, то они могут быть сильно примешаны к рассмотренным конфигурациям. Чис-
Фиг. 8.7. Результаты расчетов (по Хельберту и Френчу) уровней аномальной четности для ^ = 15 (модель независимых частиц).
ленно оценить это довольно трудно, и поэтому на фиг. 8.6 и 8.7 представлены результаты только для А = 15и 16 (13,1 J. Возможно, что при других параметрах взаимодействия для N15 получится
несколько лучшее согласие. Однако авторы считают, что проводить такие
трудоемкие вычисления не имеет смысла, поскольку и в эксперименте, и в теории имеется слишком много других неточностей.
Табл и ца 8.3
ДОЛЯ (В %) РАЗЛИЧНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ В ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЯХ
СОСТОЯНИЙ ЯДЕР С А=19 •)
т	J			Wj/P* »1/«		d*/s (*Vp*	da/t (,‘/P’	(•1/P3
Vi	Чг	7	5	38	21					29
41	»/2	16	47	7	5	19	6	—
ч2	*/2	39	26	10	3	20	2	—
3/2	ч2		—	92	8	—	—	—
3/2	э/2	62	3	33	2	—	—	—
3/2	Чг	82	7	—	—	11	0	—
•) По работе Эллиота и Лейна [I].
Многочастичная модель оболочек
171
Были также проделаны вычисления для ядер вблизи магического ядра с Л == 40 (14—16] в конце оболочки Id, 2s и в начале 2р, \f.
Примеры, рассмотренные в настоящей главе, типичны для результатов, полученных с помощью модели, столь слабо обоснованной теоретически.
В заключение приведем табл. 8.3, показывающую, каким образом волновые функции некоторых простых состояний ядер с А = 19 представляются через базисные конфигурации чистой //-связи. Некоторые из этих состояний (в том числе и основное) представляют собой весьма сложную смесь //-конфигураций, заметно отличающуюся от простой одночастичной модели.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Е I I i о t t J. Р., L а и с А. М., Handbuch der Physik, Hsg. S. Fliigge, Bd. 39, Berlin, 1957, S. 241.
2.	R аса h G., Phys. Rev., 76, 1352 (1949).
3.	J a h n H. A., Proc. Roy. Soc., Л201, 516 (1950).
4.	F 1 о w e r s В. H., Proc. Roy. Soc., A210, 497; 212, 248 (1952).
5.	Rose M. E., Elementary Theory of Angular Momentum, New York, 1957.
6	E	I I i о t t	J. P., S	k у r m e T. H. R., Proc. Roy. Soc., A232,	561	(1955).
7.	E	1 I i о t t	J. P., S	k у r m e T. H., Nuovo Cimento,	10, 4, 164	(1956).
8.	L i p k i n H. J.> Phys. Rev., 110, 1395 (1958).
9.	R	о s e n f e 1 d L.,	Nuclear Forces, Amsterdam, 1948,	p. 233.
10.	К	u r a t h	D., Phys. Rev., 101, 216 (1956).
11.	E 1 1 i о t t J. P., E I о w e r s В. H., Proc. Roy. Soc., A229, 536 (1955).
12.	R	e	d I	i c h	M. G., Phys. Rev., 99, 1427 (1955).
13.	H	a	I b	e г t	E. C„ Fre nc h J. B., Phys. Rev.,	105,	1563	(1957).
14.	G	о	I d	s t e	i n S„ Tai m i I., Phys. Rev., 102,	589	(1956).
15.	P	a	n d	у a	S. P., Phys. Rev., 103, 956 (1956).
16.	L e v i n s о n C., F о r d K. W., Phys. Rev., 99. 792; 100, 13 (1955).
17*. Бояркина A. H., Известия АН СССР, сер. фнзнч., 28, № 2, 337 (1964).
ГЛАВА 9
КОРРЕЛЯЦИИ В ЯДЕРНОЙ МАТЕРИИ
§ 1. Введение
Эту главу можно было бы назвать по-другому: «почему вообще применима оболочечная модель». Основная трудность в понимании оболочечной модели заключается в том, что нелегко примириться с мыслью о возможности почти свободного движения частиц в ядре при наличии очень, сильного взаимодействия между нуклонами. Правда, в оболочечной модели частицы считаются не вполне свободными, так как на каждый нуклон воздействует общий одночастичный потенциал, который удерживает их в объеме ядра. Но если взять очень большое ядро, в центральной части которого граничные эффекты пренебрежимо малы, то средний потенциал, действующий на нуклон, вероятно, не будет зависеть от положения частицы. В такой однородной ядерной материи приближение свободного движения частицы с некоторым постоянным импульсом, очевидно, соответствует оболочечным представлениям реального ядра. Поэтому, чтобы понять физику модели оболочек, начнем с выяснения вопроса, в каком смысле нуклоны в однородной ядерной материи можно рассматривать как свободные, т. е. считать их невзаимодействующими.
Обсудим этот вопрос на примере столкновения двух нуклонов. При приближении частиц друг к другу их движение изменяется под влиянием действующих между ними ядерных сил, т. е. нуклоны рассеиваются. Анализ рассеяния двух нуклонов в ядерном веществе приводит к весьма удивительному результату: они движутся почти так же, как свободные части- • цы, пока не сблизятся на расстояние 1,0 фм. Эта величина меньше среднего расстояния между соседними нуклонами, которое составляет 1,66 фм. Следовательно, эффект двухнуклонных корреляций невелик. Конечно, влиянием взаимодействия нельзя полностью пренебречь, но, как мы увидим в дальнейшем, оно может быть в достаточной мере учтено, если ввести эффективную массу. Расстояние (~ 1,0 фм), за пределами которого волновые функции практически совпадают с функциями свободных частиц, было названо Вайскопфом длиной залечивания.
Малая величина отношения длины залечивания к среднему межнуклонному расстоянию также указывает на то, что если два нуклона находятся на расстоянии, меньшем длины залечивания, появление третьего нуклона на расстоянии длины залечивания от одного из них должно быть чрезвычайно редким событием. Следовательно, вероятность одновременного изменения волновых функций трех частиц мала. Другими словами, группировки, содержащие более двух нуклонов, по-видимому, не играют значительной роли в формировании свойств ядер.
Корреляции в ядерной материи
173
Почему же длина залечивания так мала? Ведь при столкновении двух нуклонов в вакууме волновая функция никогда не «залечивается», поскольку рассеянная волна сдвинута по фазе по сравнению с функцией свободного движения и действительная волновая функция даже на бесконечности отличается от волновой функции свободной частицы. На фиг. 9.1, б иллюстрируется различие в поведении двух нуклонов, сталкивающихся вне и внутри ядерного вещества, т. е. сравниваются столкновения изолированной пары нуклонов и пары, «погруженной» в ядерную материю. Это различие возникает в результате действия принципа Паули. При столкновении изолированных нуклонов, обладающих произвольными начальными импульсами, импульсы в конечном состоянии могут распределяться по-разному; вероятность появления определенного импульса зависит исключительно от межнуклонного потенциала. В ядерной материи число возможных конечных состояний ограничено, так как многие состояния, разрешенные для изолированных нуклонов, уже заняты другими частицами. Действительно, в однородной ядерной материн с плотностью частиц у и равным числом нейтронов и протонов все состояния с импульсами, меньшими импульса Ферми
/ 3 , \,/з
hkP=h	,	(9.1)
\ Ct J
заняты. Для реальных ядер kp= 1,48 флГ1. Следовательно, рассеяние нуклонов, погруженных в ядерную материю, существенно отличается от случая рассеяния в вакууме. Характер этого различия невозможно проанализировать в общем виде для произвольной системы фермионов. Нуклон-нуклонные силы должны обладать некоторыми специфическими свойствами, чтобы была обеспечена малая длина залечивания и, следовательно, применимость модели независимых частиц. В дальнейшем мы увидим, что такими необходимыми условиями являются: а) наличие отталкивающего керна, который бы предотвращал слипание ядра; б) определенный радиус керна, который, с одной стороны, должен быть достаточно малым, чтобы обеспечить сравнительно небольшую длину залечивания, а с другой,— достаточно велик для обеспечения малой ядерной плотности; в) определенная амплитуда сил притяжения, которая должна обеспечивать связь частиц в ядре, но не должна быть очень большой, так как в противном случае это приведет к слишком высокой плотности ядерного вещества, а следовательно, к заниженному среднему расстоянию между нуклонами; г) форма потенциала сил притяжения, достаточно слабых и дальнодействую-щих, должна быть такова, чтобы наиболее важные фурьс-компоненты этих сил соответствовали импульсам, малым по сравнению с импульсом Ферми.
Последнее условие можно пояснить следующим образом. Если две частицы с импульсами pi = hkt и р2 = Лк2 взаимодействуют друг с другом посредством достаточно слабого потенциала V, то вероятность того, что рассеянные частицы будут обладать в конечном состоянии импульсами р' и р^, определяется матричным элементом (р1 р2| V | pi pi):
(pi, Р21V|pj, pi) =
= exp [— i(kt • r1 + k2• г2)1 V(n — r2)exp (i(ki • n 4- k'2• r2] dr, dr2.
Если представить V в виде ряда Фурье
V= £akexp[tk-(rt—г2)],
174
Глава 9
то матричный элемент будет равен
2Х б (к, -к, - к) d (ki- к2 4- к),
к
Таким образом, при данном к максимальное изменение импульса любой частицы будет равно hk. Если коэффициенты велики только при k < kF, то тогда для большинства столкновений изменения импульсов будут малы по сравнению с pF. Следовательно, в ядерной материи только небольшая часть частиц, имеющих импульсы вблизи верхней границы распределения, могла бы приобрести в результате рассеяния, обусловленного притягивающим нуклон-нуклонным потенциалом, импульсы, превышающие границу Ферми. Только такие акты рассеяния разрешены принципом Паули, поскольку все состояния ниже границы Ферми заполнены. Поэтому большинство эффектов рассеяния, обусловленных силами притяжения, не проявляется. Другими словами, притягивающая часть ядерных сил не оказывает существенного влияния на волновую функцию частиц.
§ 2. Метод Бракнера, или модель независимых пар
В большой серии теоретических работ [1—28] проведено исследование влияния других нуклонов на рассеяние пары частиц в ядерной материи, а также разработаны методы решения задачи многих тел с использованием параметров двухнуклонного рассеяния. Большинство ранних работ принадлежит Бракнеру и его сотрудникам. В данной книге мы ограничимся лишь общим обзором этих довольно сложных и детальных вычислений. Краткие комментарии, приведенные в списке цитированных работ, могут облегчить пользование опубликованной литературой.
Важно понять некоторые следствия, к которым приводит введение «потенциала», зависящего от скорости. Под таким потенциалом понимается разность полной и кинетической рг12М энергий частицы. В случае бесконечной и однородной ядерной материи свойства во всех точках пространства одинаковы и, следовательно, энергия частицы не должна зависеть от ее положения, но может зависеть от скорости. При наличии такой зависимости указанный потенциал, как мы увидим ниже, можно рассматривать как некоторый нелокальный потенциал в обычном координатном пространстве. Это означает, что энергия частицы в точке г будет зависеть не только от г, но также и от волновой функции в других точках г', близких в г. Точнее, оператор энергии в координатном пространстве будет недиагональным. Уравнение Шредингера имеет следующий вид:
,2
——V?t(r)4-fdr'V(r, г )ф(г') = £ф(г).	(9.2)
2/И	J
Потенциал такого вида можно рассматривать как отражение корреляций, существующих в ядерной материи, вследствие которых наличие частицы в точке г влияет на вероятность нахождения другого нуклона в точке г', соседней с г. Это обстоятельство, в свою очередь, оказывает влияние на энергию частицы в точке г и приводит к потенциальной энергии в виде интеграла (9.2).
Окончательная картина локальной структуры не противоречит гипотезе об однородности ядерной материи, так как в действительности частицы не локализованы и плотность постоянна. Несмотря на то что вблизи центра некоторой частицы возможны значительные флуктуации плотности дру
Корреляции в ядерной материи
175
гих частиц, распределение подобных центров в ядерной материи может рассматриваться непрерывным и равномерным, что приводит, в свою очередь, к равномерному распределению ядерной плотности.
Если волновая функция частицы представляет собой плоскую волну с определенным импульсом, т. е. ф = ехр (tp-r/h), то из (9.2) следует, что
£= £-4- С dr'У(г, г')ехр	.	(9.3)
Если V, как и должно быть, зависит только от относительной координаты г' — г, то интеграл в (9.3) не является функцией г и будет зависеть только от р. Таким образом,
E=^ + V(p)	(9.4)
(обычно употребляют одинаковые обозначения как для потенциала, так и для его фурье-образа V (г'—г)). Если бы функция ф действительно имела вид схрО’р г/Л), то все частицы обладали бы постоянным импульсом, и каждое значение р, меньшее pF, принадлежало бы только определенному нуклону. В этом случае полная энергия ядра была бы равна
2 2^+12 m
р<рр	р<рр
Коэффициент Уг в последнем члене правилен, если вся потенциальная энергия обусловлена взаимодействием между парами нуклонов; если его не ввести, то вклад каждой пары был бы учтен дважды.
Рассмотрим ядерную материю с одинаковым числом нуклонов в каждом нз четырех спиновых и изоспиновых состояний. Вспоминая значение величины 2р2, полученное в (6.7), находим среднюю энергию на нуклон, равную
£—-5^+й21'0”'	,9'5’
если имеется А нуклонов и суммирование производится по каждому из них. Оказывается, что в случае импульсов pF, лежащих ниже и несколько выше границы Ферми, можно считать хорошим для V (р) квадратичное приближение
У(р)=У0+Ьр2.	(9.6)
Тогда
E=^- + Vo+bp1,
2М
или
£ = 24 + V.,	(9.7)
где
i = T<+2*	<98)
М м
176
Глава 9
Таким образом, зависимость энергии от импульса имеет такой же вид, как и в случае свободной частицы массы /И*. Уравнение (9.7) обычно связывают с так называемым приближением эффективной массы.
Остается обосновать законность использования плоских волн для описания столкновений сильно взаимодействующих частиц. Эта волновая функция, .безусловно, является плохой на расстоянии длины залечивания около каждого нуклона, где существенны корреляции частиц. Допустим, что во время столкновения двух нуклонов другие частицы продолжают двигаться с неизменными импульсами. Это приближение фактически означает, что мы пренебрегаем группировками из трех или более нуклонов, т. е. оно представляет собой приближение, справедливость которого может быть обоснована апостериори, если результат вычисления приведет к малой длине залечивания. Модель, которая ограничивается рассмотрением только двухнуклонных ассоциации, называется моделью независимых пар [1]. В работах Бракнера рассматривается влияние более сложных ассоциаций, но и простая модель независимых пар оказывается полезной для уяснения физической сущности ядерной материи, и поэтому в дальнейшем мы будем обсуждать только эту модель1).
Обозначим через ф„ (г) волновую функцию свободной частицы, обладающей импульсом ра. В результате нормировки в объеме Q будем иметь
Фа (г) = О- ,/2ехр .	(д 9)
Обозначим координаты А частиц в объеме Q через гь г2, ... , гА (спиновые и изоспнновые координаты пока не рассматриваем). Предположим, что сталкиваются только два нуклона, обладающие импульсами ра рр; остальные нуклоны с импульсами ру, . . ., рш продолжают двигаться по прямым линиям. Волновая функция в результате столкновений а- и 0-частиц изменится; обозначим ее через фар. Полная функция всей системы должна быть антисимметричной по координатам всех нуклонов, а именно
Т = # [фар (п, г2) фу (г,)... фш (гд)],	(9.10)
где Л- — оператор антиенмметризацнн. Тот факт, что мы рассматриваем только взаимодействие частиц а и 0, можно формально учесть, записав потенциальную энергию в виде
V«p= Е«(г|,г*)^(0^(Л),	(9.11)
Х.Л
где v (г, г') — действительный потенциал взаимодействия двух изолированных нуклонов, находящихся в точках г и г'. Оператор (х) равен нулю, если он действует на любую функцию фу (г(), импульс которой ру < pF, за исключением случая ру = ра- При таком потенциале нуклоны в состояниях у......«о не испытывают никаких взаимодействий. В то же время
сталкивающиеся нуклоны взаимодействуют посредством истинного потенциала и. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим разложение фар по плоским
1 Де-Шали и Вайскопф показали [291, что поправка к энергии связи при учете более сложных ассоциаций равна
гдег/— длина залечивания, гс радиус отталкивающего керна, г0— параметр (ЗМлд)1/». При г/= 0,7 г0 величина ЬЕ!А — —0,1 Мэв. Это значение является нижним пределом. Верхним можно считать, например, в 10 раз большее значение ЬЕ/А.
Корреляции в ядерной материи
177
волнам, а именно
ФаР (П, Г2) =	(Г|) фц (г2).
>.ц
Из антисимметрии V следует, что с>.м равны нулю, если X или ц принимают одно из значений у,. . ., ш. Это означает, что фар не содержит никаких других импульсов заполненных состояний, кроме рв и рр. Итак,
М’«р(Г1. г2)=сарфа(г1)фр(г2)+ Z Схцфх(п)фц(г2). (9.12)
Отсюда
<7а (О'ФаР (П, г2) = фар (Г), Г2)
и, следовательно, взаимодействие а- и р-частиц описывается истинным потенциалом v.
Решение вспомогательной задачи с потенциалом Уар дает для пары и, р энергию взаимодействия U (a, Р). Тогда нуклон, на достаточном удалении имеющий импульс ро, будет испытывать воздействие нуклонов других состояний, т. е. его полная энергия будет равна
2
Ь'(Ра) = ^,+ 2
2УИ йа
или, учитывая (9.4), получаем
V(pa)= 2 U(а, у).	(9.13)
Итак, уравнение Шредингера, описывающее рассеяние частиц ро и рр, погруженных в ядерную материю, имеет вид
^ + V(pi)l + Vep-EaPW=0,	(9.14)
2Л1 J	)
где Еар —полная энергия А частиц, а р( — оператор импульса. Естественно, что при этом возникает проблема самосогласованна. Она заключается в том, что потенциал V (р), полученный из (9.13) путем решения уравнения (9.14), должен совпасть с потенциалом V (р), который первоначально использовался в (9.14). При решении ее на практике приходится прибегать к итерациям.
Для того чтобы решить (9.14), образуем скалярное произведение ФУ (г3) . .  фш (гл) и используем условие ортогональности и полноты системы функций. Тогда уравнение примет следующий вид:
^^2+V(p.)+V(p2)-eaP Wl,2) =
2Л4
----fla (1)<?Р (2)о(1, 2)фар(1, 2),	(9.15)
где eaP = Eap—2Е(ру), pv <Pf, Р- Отсюда т =
2 I 2	.
2А1 + V(Pi) + V (Р2) + V ° ’ 2) I •
(9.16)
12 Заказ № 37
178
Глава 9
В случае бесконечной ядерной материи правую часть (9.15) можно переписать в виде
— фа(Г1)фр(Г2) Фа (г) Фо (г) и (г, Г )фар(Г, г')**' _
— \ G(r,—г) С(г2—г')у(г, г’)фаР(г, r)drdr,	(9.17)
где
О(гг-г) =
фх (Г) фх (n)dPx.
(9.18)
Следовательно, (9.15) можно записать следующим образом:
£*±£?+ V(PI)+ v(p2)-?Ltd 2/И	2М
У(ра) Крр) Фае (1,2) =
G(n — r)G(r2—r)w(r, г)ф~"^г, r')drdr.
(9.19)
Это интегродифференцнальнос уравнение получено нз (9.17) путем отбрасывания малого члена, который обращается в нуль в случае бесконечной ядерной материи и имеет порядок малости 1 /А для большого, но конечного числа частиц. Впервые уравнение (9.19) было получено Бете и Голдстоуном в работе [16].
В результате энергетическая поправка U (а, 0) имеет следующий вид:
U(a, 0) = еаВ-Е(ра)-Е(рр) =
= Аа₽(1,2)
4^r + V(p.) + V(P2)4-O(l,2)
2М
-V(pe)-V(p₽)-^±£₽
(9.20)
В приближении эффективной массы имеем
U(а, 0)=/фаР(1,2)
-4.(р?+рг2-ра-рр) + «(1, 2)
Фа₽(1,2)\
(9.21)
До тех пор пока не будет взято правильное выражение для V (р), потенциал V (ра) = 2 U (а, 0) не будет равен V. В приближении эффективной р
массы использование неправильного значения массы в потенциале V (р) приводит обычно к потенциалу V', который не имеет даже квадратичной зависимости от р. И все же для следующей итерации можно отыскать более подходящее значение массы, допуская квадратичную зависимость V от импульса в окрестности некоторых значений р. Одним из таких удобных значений является импульс Ферми, так как основной вклад во взаимодействие обусловлен состояниями с импульсами, близкими к рг- В случае, когда квадратичное приближение законно, процесс итерации сходится довольно быстро.
Величина G (г — г'), определяемая соотношением (9.18), имеет в точке г = г' острый максимум. Если бы интегрирование по рх проводилось вплоть
Корреляции в ядер ной
материи
179
до рх = 0, величина G была бы равна (2л)’ б (г — г'). Однако, поскольку нижний предел интегрирования равен pF, функция G представляет собой сумму б-функцнн и некоторого выражения, имеющего заметную величину при | г — г' | СХр, но быстро спадающего к нулю при больших расстояниях.
Мы неоднократно подчеркивали, что при достаточном удалении друг от друга частицы / и 2 можно рассматривать как невзаимодействующие на любом расстоянии. Теперь мы сможем обосновать это утверждение. Рассмотрим в (9.17) большие значения. |rt — гг|. Вид функций G таков, что подынтегральное выражение в (9.17), содержащее G, стремится к нулю, если только г не будет близко к гь а г' — к г2, т. е. когда г и г' далеки друг от друга. Но в этом случае обращается в нуль v (г, г')- Следовательно, на бесконечности интеграл, содержащий G-функцию, будет равен нулю. Отсюда, используя (9.15) и (9.17), можно установить асимптотический вид фар
Фар ~ фа фр,	(9.22)
что также согласуется с (9.19).
Результат (9.22) чрезвычайно важен. Он показывает, что асимптотический вид волновой функции совпадает с функциями невзаимодействующих частиц. Асимптотическая волновая функция двух изолированных нуклонов (т. е. нуклонов вне ядерной материи) отличается от фафр сдвигом фазы, происшедшим в результате рассеяния. Физическую сущность этого различия можно понять следующим образом. Уже отмечалось, что в ядерной материи возможны только те столкновения, для которых значения^конечных импульсов обеих частиц окажутся больше импульса Ферми. Но при рассеянии частиц, находящихся на уровнях а и 0, которые расположены ниже уровня Ферми, такой результат невозможен в силу закона сохранения энергии. Следовательно, реального рассеяния не происходит, и асимптотическая волновая функция в этом случае не будет содержать какого-либо сдвига фаз. Наличие уровней виртуального рассеяния, расположенных выше поверхности Ферми, вызовет искажение волновой функции только в небольшой области порядка длины волны Ферми.
Тот же результат можно получить более строго из (9.17). Столкновения, происходящие вне ядерной материи, будут описываться тем же волновым уравнением, если pF приравнять нулю. Тогда второй интеграл в (9.17) запишется следующим образом:
СО	оо
\ dr dr' dpx фх (гО Фх (г) dPll <рц (г2) Фи (г) v (г, Г|)фвр(г, г'), 'о	о
В этот интеграл входит отдельный член с <ра (г,) фр (г2) выражения (9.17), и, так как в данном случае G есть б-функция, все выражение (9.17) есть просто v (г1( г2) ф (гь г2). Таким образом, уравнение (9.15) имеет вид обычного уравнения Шредингера, описывающего рассеяние двух нуклонов в вакууме, и, следовательно, асимптотическая волновая функция будет содержать некоторый фазовый сдвиг. В случае рассеяния в ядерной материи в (9.17) остается только первый член, а именно член, содержащий Фа <Г1)ф в (г2), что приводит к асимптотическому виду фар, пропорциональному неискаженной волновой функции. В другом крайнем случае, когда расстояние между г( и г2 порядка kF, интеграл в (9.17) конечен, так что фар отлично от простого вида фафр.
Хотя асимптотические волновые функции представляются плоскими волнами, они являются решениями уравнений, содержащих V (р), и, следо
12*
180
Глава 9
вательно, соотношение между энергией и импульсом для частиц, которые они описывают, будет не таким, как для невзаимодействующих частиц. В наиболее простом случае это выражается с помощью эффективной массы /И*. Это обстоятельство обусловлено, конечно, взаимодействием частиц и математически описывается вторым членом в (9.17). Если увеличивать ядерную плотность и тем самым увеличивать pF и уменьшать то волновая функция будет неискаженной во все большей области пространства, но одновременно с этим изменяется эффективная масса. Получается парадокс: увеличение плотности ядерного вещества приводит к уменьшению области искажения. Однако это сопровождается изменением энергии.
§ 3. Бесконечная ядерная материя
Численно решить уравнения (9.15) и (9.19) довольно сложно, особенно для потенциала о, обладающего отталкивающим керном. В случае беско-
Ф и г. 9.1. я—-зависимость радиальной волновой функции 'S-состояння от среднего межнуклонного расстояния г; относительный импульс столкновения двух нуклонов равен 0,128 ф.и-1.
sin krlkr — взаимодействие отсутствует: U (г) — столкновение двух нуклонов » ядерной материи при реальном потенциале взаимодействия: S <г) рассматривается только отталкивающий керн потенциала: столкновение происходит в ядерной материи: -$с1Юо (г) — учитывается только отталкивающий керн потенциала столкновения — в вакууме (расчеты Бракнера н Гаммсля).
б—сравнение радиальных волновых функций рассеяния изолированной пары нуклонов и пары, погруженной в ядерную материю.
Расчет проводился и двух случаях: I) в отсутствие взаимодействия. 2) при использовании потенциала с отталкивающей сердцевиной. Кривая А даст разность xinkr—krS (г), кривая В—разность sin kr-hrSctM0 (г).
печного отталкивания фаР вымирает внутри сердцевины, однако предел оф остается конечным. В работе [16] Бете и Голдстоуна описан метод реше
Корреляции в ядерной материи
181
ния подобных уравнений. Бракнср и Гаммель (24, 27] применили этот метод для случая потенциала типа Гаммеля — Талера. Волновая функция фае определяется относительным импульсом р = ра — рр. Поэтому се можно представить в виде набора состояний, характеризуемых относительным орбитальным моментом и спином двух нуклонов.
Для иллюстрации поведения фар на фиг. 9.1 приведены радиальные волновые функции системы двух нуклонов, находящихся в состоянии *S и обладающих относительными импульсами, меньшими чем 0,lpF, т. е. близкими к центру сферы Ферми. Потенциал V, использованный в работе (24], содержал отталкивающий керн с радиусом порядка 0,5 фм и притягивающий потенциал типа Юкавы, согласующийся со всеми данными ио двухнуклонному рассеянию при малых энергиях и с некоторыми данными по рассеянию при высоких энергиях. Величина ядерной плотности выбиралась в соответствии со средним межнуклонным расстоянием, которое в данном расчете несколько превышало обычное экспериментальное значение. Заметим, что U (г) «залечивается» уже на расстояниях порядка межнуклонных расстояний, так что в этих пределах волновая функция имеет вид функции невзаимодействующих частиц. Совершенно по-другому ведет себя Scw6, представляющее рассеяние частиц вне ядерной материн. Можно видеть также, что потенциалы U (г) и S (г) мало отличаются друг от друга. Это означает, что присутствие потенциала притяжения не меняет существенно волновую функцию, т. е. она остается почти такой же, как и в случае рассеяния на твердой сфере.
Однако это не означает, что силы притяжения вообще несущественны. Энергия связи ядра представляет собой сравнительно небольшую разность двух больших величин: кинетической энергии (возрастающей благодаря наличию отталкивающего керна) н потенциальной энергии, обусловленной силами притяжения. Отсюда следует необходимость довольно точного знания волновых функций для того, чтобы обеспечить разумную точность подсчета энергии связи. Если самосогласованный потенциал V (р) найден, то с помощью (9.5) можно подсчитать среднюю энергию, приходящуюся на одну частицу, а именно
р
p2dp p2/2M4-yV(p)]
Е — 0
*-СрСД -----
(9.23)
р
О ”
В приближении эффективной массы (9.6) имеем
Е  = 3А сред Ю2Л4
(9.24)
Конечно, М* и Ко являются функциями pF и, следовательно, значение pF, при котором Есрсд становится минимальной, должно совпадать с тем, которое наблюдается в действительности в ядерном веществе. Для того чтобы иметь возможность сравнивать результаты с данными эксперимента, необходимо найти более или менее реальный пример «бесконечной ядерной материи». С достаточной точностью можно рассматривать как ядерную материю центральный однородный керн тяжелых ядер. Главное его отличие от гипотетической ядерной материи состоит в том, что в случае реальных ядер
182
Глава 9
Ф и г. 9.2. Зависимость средней энергии, приходящейся на один нуклон, от параметра ядернон плотности Г|.
На верхней кривой представлены данные, полученные при учете зарядов протонов. Нижняя кривая представляет результаты столкновения в незаряженной ядерной материн.
рядка 1 или 2 Мэв. Эти данные
число протонов н нейтронов неодинаковой протоны обладают электрическим зарядом, чем мы пренебрегли при рассмотрении гипотетической ядерной материи. Вообще говоря, можно найти поправки, связанные с энергией симметрии, электростатической, а также и с поверхностной энергией. Поэтому целесообразно сравнить среднюю энергию, приходящуюся на один нуклон в случае ядерной материи, с объемной энергией полуэмпири-ческой формулы. Результат сравнения таков: Есред= — 15,5 Мэв. Вычисленный в теории импульс Ферми необходимо также сравнить с величиной, соответствующей значению плотности в центре ядра. Вместо pF мы можем использовать некоторую эквивалентную величину гь представляющую радиус центральной части ядра [см. (3.17)1. Величина п = 1,07 фм, найденная изданных по электронному рассеянию, соответствует, конечно,заряженной материи.
На фиг. 9.2 нижняя кривая дает зависимость £С(«д от величины п в случае незаряженной ядерной материи. Минимум кривой расположен при £Сред = 14,6 Мэе; rt = 1,00 фм. Верхняя кривая получена путем добавления кулоновской энергии, приходящейся на один нуклон, равной
1 3 (Ze)2
г,А‘/л
где"; Z = А /2 = 82. Видно, что равновесная точка сдвигается и становится очень близкой к экспериментальному значению rt = 1,07 фм. Учет других эффектов, как, например, энергии симметрии, поверхностной энергии, энергии перестройки [27] и т. п., может также приводить к сдвигу значения г, на такие же величины, но с разными знаками, поскольку энергия симметрии пропорциональна г-?, а поверхностная энергия пропорциональна г*. Поправка к значениям £срсд оказывается по-представляются вполне приемлемыми и мо
гут служить подтверждением пригодности использованных методов, ибо в расчетах применялся вполне реальный нуклон-нуклонный потенциал.
Тем не менее следует подчеркнуть, что равновесные значения плотности и энергии связи очень сильно зависят от вида применяемого потенциала. Влияние характера взаимодействия иллюстрируется табл. 9.1. В столбце А приведены результаты, полученные с потенциалом, который использовали Бракнср и Гаммель при расчете кривых, изображенных на фиг. 9.2; столбец В получен с помощью того же самого потенциала, но взаимодействие в состоянии lD2 взято значительно более слабым; данные столбца С представляют собой результаты расчетов для гаммель - тале-ровского потенциала (см. гл. 5), который правильно предсказывает результаты нуклон-нуклониого рассеяния в довольно широкой области от О до 150 Мэв. Тот факт, что этот потенциал дает хорошее согласие расчетных и экспериментальных значений £срсд и г1( является весьма обнадеживающим. Дополнительной иллюстрацией, показывающей важность точного
Корреляции в ядерной материи
183
Таблица 9.1
СВОЙСТВА ЯДЕРНОЙ МАТЕРИИ. РАССЧИТАННЫЕ БРАКНЕРОМ И ГАММЕЛЕМ, ДЛЯ ТРЕХ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ НУКЛОННУКЛОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
	А	Б	С
Энергия связи |Еср|, ЛЫ		14,6	18,5	15,2
Равновесное значение Г|, фм		1,00	0,95	1,02
Сжимаемость ядернон материи1», ЛЫ . . .	187	167	172
Эффективная масса М* (pf)		0,66 Л1	•0,72 М	0,73 М
1> Сжимаемость рассчитывалась я виде г? (<fiECp/dr\) для положения равновесия.
знания параметров взаимодействия, является пример расчета, в котором использовался сравнительно небольшой радиус отталкивающего керна (всего 0,2 фм) и потенциалы притяжения, правильно объясняющие рассеяние только в области малых энергий. При таких потенциалах зависимость £<ред от rt в области значений rt ниже 0,9 фм не обнаруживает никаких признаков минимума. Предсказываемое значение £Сред при нормальных значениях плотности составляет около —25 Мэв. Расчеты показывают, что форма потенциала V (р) заметно отклоняется от параболы и, следовательно, приближение эффективной массы будет не очень точным. Значения эффективных масс, приведенные в табл. 9.1, найдены из наклона кривой при р = Ре по формуле
М* M+\pdp)p‘
Когда р становится в несколько раз больше pf, эффективная масса /И* возрастает и приближается к массе М.
Эффективное взаимодействие U (а, Р) двух нуклонов в ядерной материи может быть также записано в координатном представлении в виде некоторого нелокального взаимодействия.
В общем случае нелокальное взаимодействие между частицами с координатами rt и гг описывается функцией типа К (г,, г2, п, г2) 125], вследствие чего мы определим гамильтониан системы двух нуклонов И2 следующим образом:
WF (Г1, Г2) = -L (р? + pl) У (г,, г2) + 2/И
+ К(П, г2 г'1( ri)Y(n, ri)drjdri. (9.25)
Если взаимодействие таково, что импульс сохраняется, и если рассеяние зависит лишь от относительного импульса нуклонов, то энергия К. будет определяться только относительными координатами г = г4 — г2 и г' = = г[ — г2, т. е. функция К будет отлична от нуля, если координаты центра масс R и R' одинаковы. В этом случае взаимодействие и (а, Р) зависит только от разности ра — рр; функция К есть в сущности фурье-представле-нис энергии взаимодействия в импульсном пространстве, а именно
/<(г, г')=(2л)-’ J dp<p;(r )о(/-)ф„(г).	(9.26)
184
Глава 9
В этом выражении координаты движения центра масс опущены, так как использованы следующие функции:
Фр (г) = «-,/»ехр (ip  г) = Й,/2ехр (— ip. R) <ра (г,) <рр (г2), фр (г) = Q '/2ехр (— iP • R) фаР (г,, г2).
Поскольку потенциал о, описывающий взаимодействие свободных нуклонов, зависит от квантовых чисел количества движения, функции К являются
Фиг. 9.3. Зависимость функции К от параметров нелокального взаимодействия г и г'.
а — синглетное состояние; й — триплетное состояние (расчеты Браннера и яр.). Контуры относятся к членам K(r, г')=К(г', г) с /=0; указанные цифры—значения 2я>К в Мэв-фм3.
различными для разных спиновых состояний частиц. Математически волновую функцию фа₽ можно представить в виде суммы состояний с различными относительными орбитальными моментами. Поэтому строгое определение функции /( (г, г') также должно включать суммирование по /. Значения члена с I = 0 в функции К (г, г') для синглетного и триплетного состояний, полученные с помощью потенциала Гаммеля—Талера (см. гл. 5 (28J), показаны на фиг. 9.3. Отметим, что при перемещении вдоль прямой локальности г — г' потенциал, на больших расстояниях являющийся притягивающим, на расстояниях порядка 0,50 фм переходит в потенциал отталкивания, стремящийся к бесконечности при г = гс. Нарастание потенциала отталкивания должно также наблюдаться при перемещениях вдоль прямых г = гс, г' — гс\ однако в результате приближений, допущенных при расчете, область максимального отталкивания несколько смещается. Действительно, «холмы», обозначаемые контурами 1000 и 1200, должны в действительности быть «хребтами», тянущимися вдоль г' = 0,40 фм. В случае синглетного состояния для г > 1,2 фм функция /< может рассматриваться как локальный потенциал свободных частиц V. При расчете триплетных состояний К также можно считать в основном локальным потенциалом в области г > 1,2 фм. Однако он не совпадает точно с потенциалом и вплоть до г ~ 2 фм. Отметим также существование максимума типа 6-функции в точке с координатами г = г' = 0,4 фм, равными радиусу отталкивающего керна. Другой способ, с помощью которого можно продемонстрировать
Корреляции в ядерной материи
185
степень модификации потенциала свободного взаимодействия нуклонов в ядерной материи, состоит в сравнении функций К (г, г') dr' и v (г). На фиг. 9.4 изображены эти функции для случаев I = 0 и I = 2 (нормированные к одной и той же величине при больших г).
Оказывается возможным отдельно оценить влияние на функцию К притягивающей и отталкивающей частей потенциала и. Влияние отталкивающего керна ограничивается областью г, близкой к гс, а потенциал
Ф и г. 9.4. Сравнение функций \ К (г, г') dr’ и о (г).
а — синглетное состояние; б — триплетное состояние (расчеты Бракнера и др.)
притяжения почти совпадает с локальным потенциалом v (конечно, за исключением области, близкой к отталкивающему керну). Если рассмотреть влияние изменения плотности ядра на значение К, то оказывается, что часть притяжения почти совсем не зависит от плотности: изменение ядерной плотности более чем на 200% едва приводит к изменению величины К на 5%. Однако, как и следовало ожидать, вклад в рассеяние, обусловленный отталкивающим керном, оказывается чрезвычайно чувствительным к изменениям плотности. В работе (251 было показано, что хорошим приближением является следующее:
.	(9.27)
4лг;
где значения Л для синглетного и триплетного состояний различны, а именно л	0,544 \ ..	.	..	0,572 \
Л. —215—-----------Мэв-фм, Л( = 257 ----------
\1 —0,488/го/	\1 —0,459/го/ Мэв-фм
при
_/зул
* \4лр/
186
Глава 9
§ 4. Конечные ядра
Итак, волновая функция для бесконечной ядерной среды представляется весьма близкой к функции, описывающей движение свободных частиц; влияние корреляции оказывается существенным только в пределах весьма ограниченной области «залечивания». Если мы обратимся к конечным ядрам, соответствующий результат будет представляться уже главным образом в виде волновой функции частиц, находящихся в связанных одночастичных состояниях, причем область влияния корреляций также должна быть сравнительно небольшой. В бесконечной среде эффективный одночастичный потенциал представлялся квадратичной зависимостью от р или, что эквивалентно, считался постоянным во всем конфигурационном пространстве, за исключением нелокальной части малого радиуса, т. е.
V(r, г') = V06(r-r') + ^(r, г'),
где Vo — постоянный потенциал, а У — нелокальный потенциал. В случае конечного ядра следует ожидать, что потенциал уже не будет обладать постоянной локальной частью, а она будет иметь зависимость от координат, подобную потенциалу модели оболочек. Что касается нелокальной части, то возможно, что она не сильно отличается от нелокального потенциала в бесконечной материи. При определении эффективного нуклонного взаимодействия в случае однородной бесконечной материи важную рать играл принцип Паули. Математическое описание этого эффекта непосредственно приводит к импульсу Ферми рт, который однозначно связан со значением однородной плотности. В случае конечного ядра принцип Паули датжен действовать аналогичным образом, но теперь мы уже не сможем воспользоваться понятием импульса Ферми, так как плотность не остается постоянной, а спадает до нуля вблизи границы ядра (другими словами, не существует какого-то максимального значения импульса нуклонов, поскатьку функции связанных состояний содержат компоненты с любыми значениями импульсов). Эффективное нуклонное взаимодействие в ядерной материи определяется величиной ядерной плотности. Если бы оказалось возможным пренебречь изменениями ядерной плотности в пределах длины залечивания, то каждый из двух взаимодействующих нуклонов находился бы в ядерной материи с одинаковой локальной плотностью и было бы разумно считать, что их взаимодействие такое же, как и в некоторой однородной среде с данной плотностью. Но, к сожалению, хотя плотность во внутренней области ядра и постоянна, она довачьно быстро спадает на границе ядра. Спедовательно, подобное приближение может дать не точные результаты. Однако оно облегчает качественное понимание целого ряда результатов, которые получаются при более точном рассмотрении.
Для понимания физической сущности оболочечных представлений важны три основных вопроса: 1) почему движение частиц в ядре можно рассматривать как свободное, несмотря на сильное взаимодействие нуклонов в вакууме; 2) какова точная форма эффективного потенциала; 3) в частности, что является причиной спин-орбнтального расщепления и какова его точная форма.
Ответ на первый вопрос был уже дан для случая бесконечной материи. Небапьшие изменения в случае конечного ядра не являются принципиальными. При переходе от центра ядра к краю эффективный двухну
Корреляции в ядерной материи	187
клонный потенциал будет непрерывно изменяться от потенциала'для ядерной материи до потенциала в свободном пространстве. Однако внутри ядерного объема волновая функция сталкивающихся частиц быстро «залечивается», т. е. становится очень близкой к волновой функции невзаимодействующих частиц. Потому-то и уместна ставить второй и третий вопросы, которые сводятся к вопросу: Каков одночастичный потенциал, действующий на нуклон в ядре? До сих пор мы рассматривали нуклоны, находящиеся главным образом в основных или ннзколежащих энергетических состояниях, хотя те же самые вопросы надо решать и для нуклонов, попадающих внутрь ядра и претерпевающих рассеяние или вызывающих какую-либо ядерную реакцию. В ограниченной области энергий падающих частиц вполне законно взять некоторый эффективный одночастнчный потенциал. Такой потенциал используется в так называемой оптической модели ядерных реакций, которую мы будем рассматривать детально, когда перейдем к изучению ядерных реакций.
Для построения оболочечной модели можно воспользоваться вариационным принципом, который гласит, что правильной волновой функции должно соответствовать минимальное значение средней энергии. Возьмем волновую функцию ядра оболочечного типа, а именно
V (г....Га) = & 1ф| (И)... Фа (Гд)],	(9.28)
где оператор & антисимметризует произведение одночастичных волновых функций. В качестве энергии взаимодействия между двумя частицами воспользуемся значением К (г1г, rjt), рассчитанным для плотности Qi2 в той точке, в которой находится их центр масс Ri2 = Уг (г2 4- г2). Такое К есть не что иное, как двухчастичная энергия, которая должна быть использована в расчетах по модели независимых частиц в качестве энергии парного взаимодействия нуклонов в частично заполненных оболочках. Поскольку К— энергия, обусловленная парным взаимодействием, в суммировании по нуклонам появляется множитель Уг и средняя величина энергии может быть записана следующим образом:
P2t
ЧЧп.
+ у 0, (Г|.....Гд) 2 К (ГМ, Гу. Qij Чг(г|....п, rj.....гл),
= У \ Ф*(г)о^,Ф/(г)^г + ^- у ( Ф^гОф^ГгЖХПг, r<j; 012) X J 2Л1	2 — J
«=»	М
X 1ф/ (п) ФДгг)—ф| (ri) ф> (Г|)| drt dr2dri dr2.
(9.29)
Далее, следуя обычному методу Хартри — Фока, мы должны оценить изменения в №, обусловленные небольшими изменениями в ф* (г) вблизи особой точки г. Это позволит отыскать минимальное значение полной энергии №. Необходимым условием при решении подобной задачи является сохранение нормировки одночастичных функций ф^ это обеспечивается введением множителя Лагранжа, который представляет собой одночастичную энергию.
188
Глава 9
При проведении этих вычислений мы должны помнить, что /< также изменяется при вариациях ф/, поскольку они приводят к изменениям ядерной плотности. Плотность ядерного вещества связана с ф( обычным образом:
е(г)= 2ф?(г)ф( (г).
i
Если ф* варьируется около точки /?12, в которой была вычислена плотность у 12, то изменения функции К могут быть представлены в виде
, CK_W(r.„r»;C)t r)8w
c)Q
Условием минимума для IT является следующее уравнение Шредингера для функций фр 2
£<Ф<(г) = ^-,Ф/(г) + \ V’(r. r')ip/(r')dr' + Уя(г)фДг), (9.30) 2М J
которое представляет собой одночастичное уравнение для волновых функций модели оболочек. При его решении мы сталкиваемся с проблемой самосогласован ня, а именно, решение данного уравнения должно воспроизвести средние потенциалы V (г, г') и Vn (г). Первый из них, включающий в себя и некоторый нелокальный потенциал, представляет собой среднее эффективное взаимодействие К одного нуклона со всеми остальными, или точнее
У(П, П)= 2 ? Ф; (гг) X
i
х 1К(гц, г«; Qi2) —Л'(г2|, И»; qI2)PaPJ фу (г2) dr2dr2, (9.31)
где Ра и Рх — операторы обмена, появляющиеся из-за антисимметрии функции Ч'. Конечно, функция К обладает и зарядово-спиновой зависимостью, которая в данном случае не рассматривается. Другой локальный потенциал Ун (г) возникает из-за того, что функция К зависит от ядерной плотности. Его можно представить следующим образом:
Ул(г) = -^- V J Ф*(г0фл(г2) л* J
~ К (г«, r'|2; Q)
X
Р = Р12
х 1ф; (п) фл (г2)—фу (Г2) фй (г'|)| б (Rt2—г) dr,, dr, dr', dr2.
(9.32)
Ранее уже отмечалось, что изменение функции К с плотностью Q обусловлено в основном влиянием отталкивающего керна и описывается соотношением (9.27). Вследствие того что у сил Кксрн очень малый радиус действия, при их рассмотрении существенными являются только состояния с нулевым орбитальным моментом относительного движения. Как было показано в работе 130), после подобных упрощений потенциал Уд с довольно хорошим приближением может быть заменен следующим:
Уп = 240q2 Мэв,	(9.33)
где Q выражено в единицах фм'3. Потенциал Уд оказывается величиной порядка 9 Мэв, если Q — плотность центральной части ядра.
. Потенциал Уд обычно называется потенциалом «перестройки». Он возникает в результате того, что изменение движения нуклонов вызывает
Корреляции в ядерной материи 189
изменения взаимодействия К. С точки зрения оболочечной модели К выполняет рать фундаментального нуклон-нуклонного потенциала. Здесь мы встречаемся с характерной особенностью; нуклон-нуклонные силы зависят от состояния движения нуклонов. Конечно, при удалении нуклона из ядра энергия системы изменится, даже если функция К и останется прежней. Но если функция К все же изменится, то появится энергия «перестройки». Собственные значения Ej для нанбатее слабо связанных состояний, полученные при решении (9.30) с потенциалом Кд, представляют собой те величины энергии, которые необходимо затратить на отделение частицы из ядра при условии, что ядро остается в основном состоянии.
В дальнейшем будет ясно, что уравнения (9.30) недостаточно для решения основных проблем, возникающих при обосновании оболочечных представлений. Необходимо еще показать возможность самосогласования. Формально уравнение (9.30) можно получить для любого двухчастичного взаимодействия, но если бы вместо /< было использовано некоторое другое взаимодействие, мы не смогли бы получить самосогласованного решения. Примером такого «неправильного» потенциала взаимодействия может служить потенциал v для свободных частиц. Результаты, полученные при описании свойств ядерной материи, дают нам определенную уверенность в том, что функции К правильно учитывают принцип Паули и результирующие корреляции ближнего порядка. Однако положение можно будет считать вполне удовлетворительным только после того, как уравнение (9.30) будет успешно применено к конкретным конечным ядрам. Если принять уравнение (9.30), то, используя выражение для V (г, г'), можно сделать некоторые предсказания относительно свойств обаючечного потенциала.
Рассмотрим вопрос о происхождении спин-орбнтального потенциала. Расщепление состояний с j — I ± Уг может быть связано либо с тензорными силами, либо со спин-орбитальными в первичном потенциале и. Приведем ряд простых аргументов в пользу того, что подобное расщепление может быть представлено, по крайней мере в первом приближении, с помощью спнн-орбитальных 1-s-сил. Как тензорные силы, так и силы L S дадут следующий член в выражении для К:
(<Т1 + <Г2)"(Г|2 X Pu)K (Г|2, Гн).
Чтобы получить потенциал V, необходимо вычислить величину
У \ ф*(г2)(<Т| + а2)-(Г|2Х p12)K\)>j(r2)dr2dr2.	(9.34)
i
Для компоненты, содержащей <т2, результат суммирования по j будет равен нулю, так как для каждого состояния ф, имеются равные по значению, но противопатожные по знаку слагаемые. Такая компенсация возможна тачько в случае попарно заполненных оболочек. Вспомним далее, что аргументом функции К' являются относительные координаты (п — г2); следовательно, P1K' = — р2К'. Таким образом, можно заменить Г|2 X pi2 на П X р( — Га X pi. Пренебрегая нелокальной частью функции К' и полагая г' = г2-т Г1 — г' (так как К не зависит от координат центра масс), получаем выражение для первой компоненты
<Гг 2 § 'l’)(r«)lriXpiK'(r,2, rt2)]^(r2)dr2 = j
= а, -I। 2 W К (г«ь (r«) dr2- (9.35) i
190
Глава 9
Рассмотрим теперь интеграл, связанный с членом г2 X р>, а именно Г i|V(r2)r2K'(rI2, n2)^(r2)dr2dri.
Это выражение является функцией только гi и г' и представляет собой векторную величину. Если функция К'—локальная, то вышеприведенное выражение упрощается таким же образом, как и (9.35). При этом координата г' должна стать равной гь т. е. интеграл будет пропорциональным г(. Таким образом, любая компонента г2, перпендикулярная п, не дает никакого вклада в 2 и, следовательно, вектор г2 можно заменить вектором (Г1Г2) rj/rJ, т. е. его составляющей вдоль п. Итак, выражение (9.34) можно записать следующим образом:
ст, 1,2 $ 1^(г2)12К'(П2, г,2)(1 j
= ol-\l ? q(f2)K' (г12, г12) ( 1 —-^—)dr2. J \ Г1 /
Если введем
(?(га) — Q (П)—х • (grad е)Г1 +...,
то уравнение (9.34) примет вид
(и)—x-(gradp) + ...]r,-x/(' (x)dx’=
_4лст,-1|/ dQ
3 r, \ dr
(9.36)
Таким образом, нами не только получено некоторое выражение, зависящее от произведения ст-1 одиночного нуклона, но также установлено, что его радиальная зависимость связана с градиентом ядерной плотности. Этот результат является теоретическим обоснованием того, что спин-орби-тальное взаимодействие осуществляется не в центральной части, а только на поверхности ядра. Отметим мимоходом, что, как было показано в работе (31], тензорное нуклон-нуклонное взаимодействие определенно оказывается недостаточным для того, чтобы воспроизвести расщепления, наблюдаемые в ядерных спектрах, тогда как силы типа L S могут привести к значительно ббльшим значениям расщепления. Так, например, потенциал типа Сигнелла — Цинна — Маршака, так же как потенциал Гаммеля — Талера, дает правильные величины дублетных расщеплений как по порядку величины, так и по их знаку (32—34].
Заметим также, что оставшийся не рассмотренным член оболочечного потенциала, обусловленный главным образом центральной частью нук-лон-нуклонного потенциала, очевидно, является нелокальным. В большинстве же оболочечных расчетов обычно используются эмпирические локальные потенциалы. Это нс очень существенно, поскольку многие нелокальные эффекты возможно представить с помощью эффективной массы. В качестве примера рассмотрим очень важный случай нелокального взаимодействия, которое можно описать локальным потенциалом, умножен-
Корреляции в ядерной материи
191
ным па некоторую «размазывающую» функцию, а именно У(г, г') = у(Г-±^-)ба(г-г').
(9.37)
Нелокальный характер взаимодействия V учитывается функцией б„; она представляет собой некоторую нормированную функцию распределения с малым радиусом размытия а. Единственным допущением, связанным с (9.37), является независимость распределения потенциала от положения центра Уз (г + г') вдали от линии локальности г' = г. Это не всегда справедливо, поскольку на самом деле нелокальная часть функции К зависит от плотности (причем не только от ее абсолютного значения). Тем не менее (9.37) может оказаться вполне приемлемым приближением, что при его простоте весьма удобно. Фран и Лсммср показали (34 J, что (9.37) приводит к следующему одночастичному волновому уравнению:
— ^-Р2 + Р^Р + Р2^- ф+У(г)ф=Еф, L2m т 2т \
где
1 _ 1 /, МУ (г) а*
щ А4\	2П2	/
(9.38)
(9.39)
Здесь М — реальная масса нуклона. Заметим, что для центральной части ядра, где потенциал V (г) можно считать постоянным, следует просто считать т эффективной массой. Дело обстоит гораздо сложнее, когда рассматривается ядерная поверхность, где потенциал V существенно изменяется. Вероятно, поэтому и приводит к разумным одночастичным функциям использование простых эмпирических потенциалов.
Отметим также, что если бы в уравнении (9.31) мы использовали только локальный потенциал, то первая компонента этого уравнения имела бы следующий вид:
V (г) = S Q (n) KL (г»— г) dr2.
Если Kl не является какой-нибудь особенной нерегулярной функцией (а она нс является таковой), то приведенное выше выражение подтверждает использованное ранее допущение о том, что распределение оболочечного потенциала имеет примерно такой же вид, как и распределение ядерной плотности.
Решение проблемы самосогласованна в случае конечных ядер требует огромной вычислительной работы, даже при использовании больших вычислительных машин. Тем не менее в работе [351 Бракнер, Локетт и Ротенберг провели подобные расчеты для ядер О18, Са40 и Zr*°. Как уже отмечалось, одним из основных приближений расчета является представление матрицы рассеяния с помощью K-матрицы, соответствующей локальной плотности. Область нелокальное™ выбиралась меньше 1 фм, ядерная плотность изменялась на 90% на протяжении примерно 2,4 фм. Следовательно, хотя к полученным численным результатам надо отнестись с некоторой осторожностью, это приближение должно привести к качественно правильным выводам. Стремление сократить объем вычислительной работы до разумных пределов вынудило этих авторов прибегнуть и к другим приближениям, касающимся, например, угловой зависимости нелокального потенциала. Полученные абсолютные значения энергии связи ока-
залнсь слишком малыми, около 3 Мэв на 1 нуклон. Однако разности энергий связи для различных состояний и типов частиц согласуются с экспериментом в пределах 1 Мэв. Был найден следующий порядок заполнения одночастичных состояний:
2s»/2, 1 rfs/j, ^/'1/2*	^w/2t
причем состояния Id 11 2s расположены весьма близко по энергии. При 8 и 20 нуклонах в спектре уровней наблюдается довольно заметный энерге-
тический разрыв, который несколько уменьшается при 28 нуклонах, что полностью подтверждает правил ьность оболочечных представлений в данной области ядер.
Полученные результаты интересны тем, что позволяют выяснить при-Еоду самосогласованного потенциала. 1елокальный потенциал V (г, г') (9.30) для ядра Са40 показан на фиг. 9.5. По оси ординат откладывается величина 4пгг V (г, г'). Каждая кривая дает нелокальный потенциал для некоторой частицы, находящейся на различных расстояниях г от центра ядра: а) 1,0 фм\ б) 2,0 фм, в) 3,0 фм, г) 4,0 фм. Экспериментальное значение среднеквадратичного радиуса для Са40 равно 3,5 фм.
Нелокальный эффективный потенциал возможно представить также с помощью членов, зависящих от импульса. В случае ядерной материи это осуществлялось с помощью введения эффективной массы. Для конечного ядра можно сравнить средние значения потенциальной и кинетической
Ф и г. 9.6. Эффективный нелокальный потенциал V (г, г') в Са10 без учета зависимости от угла г-г' (расчеты Бракнера и др.).
энергии в каждом одночастичном состоянии. В случае ядра ZrB0 полученный результат М* =0,39 /И значительно меньше, чем для бесконечной ядерной материн. Но гораздо лучше непосредственно определять эффективный потенциал для каждого состояния с определенным моментом; если потенциал V (г, г') нелокальный, то
каждое состояние будет иметь различный эффективный потенциал. В работе [251 показано, что радиальная часть Rt волновой функции фг одночастичного состояния (л(, /(, /() удо-
влетворяет следующему уравнению:
/	I,2 d2
\ 2Mdr2
2М г / dt
(9.40)
Ф и г. 9.6. Эффективные потенциалы Ft (г) и G, (г) для ядра ZrB0.
а — функции для протонов с j m I—l/j; б — для протонов с / = Л-1/j; в — для нейтронов с j = 1 — 1/г; г - для нейтронов с /=<+!/*; д — функции G- для протонов с / = ( — !/«! г — для протопоп с j — Z-f-l/s; яе — для нейтронов с /•»<—1/4; 3 ~ для нейтронов с / • (расчеты Браннера и др.). 13
13 Заказ № 37
194
Г л а в а 9
где
с/\ л Г -j v(r>r)	?dR(r)dR(r)
Ft(r) = 4nr \ r dr '•-! R(r)R(r) + a J D(r)	dr dr
G( (r) = 4na2r f. r dr YYLLI R (r) ^1—R (г) ^L) J D (r) L dr	dr
D(r)=[/?(r)]2 + a2
dtfl2 dr .
Здесь a—длина порядка радиуса нелокальности. Таким образом, Ft(r) и Gi (г) — эффективные одночастнчные потенциалы. Если потенциал локальный, то подынтегральное выражение в G обращается в нуль, а функция
Фиг. 9.7. Плотность протонов и нейтронов, а также полная плотность, подсчитанная для ядер: а—О1», б—Са10, в—Zr90 (расчеты Бракнера {и др.)
F становится обычным локальным потенциалом 4№V (г, г). Нелокальное™ потенциала заключается не только в появлении особого члена в выражении для G, но также и в том, что F становится функцией рассматриваемого состояния. На фиг. 9.6 воспроизводятся результаты расчетов потенциалов Ff (г) и Gj (г) для ядра Zr00.
Заметим вначале, что при больших радиусах все потенциалы Ft довольно близки друг к другу, а значения функций G относительно малы; это свидетельствует о том, что оболочечный потенциал одинаков для всех состояний. Тем не менее разница в потенциалах достаточна, чтобы утверждать, что параметры оболочечного потенциала должны
Корреляции в ядерной материи	195
несколько изменяться при изменении числа нуклонов. В обычной оболочечной модели разность между потенциалами (а) и (б) для протонов и потенциалами (в) и (г) для нейтронов возникает из-за спин-орбитального взаимодействия. Из данных, представленных на фиг. 9.6, можно заключить, что спин-орбитальные силы действуют не только в граничной области ядра, где происходит изменение ядерной плотности. Это расхождение с предсказаниями уравнения (9.36) представляет собой результат действия нелокальных сил. Как уже отмечалось, величина спин-орбитального расщепления, рассчитанная авторами работы 1351, довольно хорошо согласуется с результатами оболочечных расчетов.
На фиг. 9.7 представлены, наконец, результаты расчетов ядерной плотности. Кривые качественно правильно отражают радиальный ход ядерной плотности, но значения среднеквадратичных радиусов получаются заниженными примерно на 15%. Отметим, что, как и должно быть, расчетные значения плотности протонов и нейтронов почти одинаковы.
Все эти расчеты убедительно доказывают правильность нашего общего понимания природы двухнуклонных сил и характера их проявления в ядре, хотя мы еще очень далеки от возможности точных количественных предсказаний свойств ядер. Чтобы подчеркнуть последнее замечание, отметим указание авторов работы [36], которые после довольно тщательных расчетов пришли к выводу, что экспериментальные значения энергий связи ядер Ня и Не8 невозможно согласовать с расчетными, если использовать двухчастичные силы и точный потенциал такого типа, который был использован Гаммелем и Бракнером в расчетах свойств ядерной материи. Имеется также ряд обнадеживающих вычислений, основанных на учете зависимости потенциала от импульса, вводимой взамен отталкивающего керна. Тем не менее ряд важных вопросов все еще остается открытым.
§ 5. Модельные операторы
Другим методом, часто используемым для описания ядер, является метод модельных операторов. Он состоит в том, что каждому реальному состоянию Чг приписывается простая волновая функция Ф и оператор F, удовлетворяющие соотношению
Т=/-Ф.
Это уравнение оказывается чрезвычайно удобным, если удается выбрать достаточно простую функциюФ без особого усложнения оператора F. Обычно желательно выбрать Ф в виде оболочечной функции. Тогда определение F и, в частности, решение вопроса о том, не окажется ли оператор F слишком сложным, зависит от тех самых обстоятельств, которые мы только что обсуждали. Допустим, что выбранный оператор F сравнительно прост. Тогда будем называть функцию Ф модельной волновой функцией и введем различные модельные операторы. Строго говоря, мы производим некоторое каноническое преобразование (при условии, конечно, что матрица F унитарна), и тогда любой оператор 0 реальной системы перейдет в модельный оператор F 'OF.
Модельный гамильтониан вида = F'HF должен, очевидно, представлять собой оболочечный гамильтониан. Вид же преобразования F, переводящего гамильтониан Н в оболочечный, сам по себе не представляет особой ценности, если только все другие операторы нс останутся простыми.
13*
196	Глава 9
Модельный оператор момента количества движения Jm имеет видЛм = = F~1JF, причем J есть просто 5j|. Если оператор Лд/ не окажется также простым, то его использование нс имеет особого смысла. В действительности операторы F и J должны коммутировать друг с другом, так как использование оператора J = приводит к правильным результатам в модели оболочек. Поэтому же совершенно не удивительно, что оператор магнитного момента и оператор F не коммутируют друг с другом. В случае магнитных моментов необходимо найти оператор F~’p.F, а затем подействовать им на некоторую оболочечную функцию. Такой метод может оказаться более удобным, чем использование оператора ц и истинной волновой функции 1371.
Пока известно сравнительно небольшое число работ, где используется подобный формализм. Но в принципе он весьма полезен и удобен как при обсуждении фундаментальных проблем, так н при проведении конкретных расчетов.
§ 6. Корреляции дальнего порядка и основное состояние
В предыдущей части этой главы рассматривалась модель квазигаза, т. е. допускалось свободное н полностью некоррелированное движение частиц во всем ядерном пространстве, за исключением длины залечивания при соударениях. Было показано, что справедливость подобных представлений обусловлена действием принципа Паули и особой природой ядерных сил. Однако важным моментом всех изложенных выше представлений является предположение об очень малом радиусе взаимодействия фермионов, равным образом существенное как для гипотетической ядерной материн, так и в случае реальных ядер.
Возникает вопрос, подобно ли основное состояние ядра таким квази-газовым состояниям? Вряд ли вызывает сомнение то, что состояние, которое мы описали, является одним из возможных состояний ядерной материи. Более того, если только метод Хартри — Фока, применимый к конечным ядрам, является самосогласованным, то вариационный принцип гарантирует, что наинизшее состояние будет соответствовать волновой функции одночастичного типа, т. е. волновой функции квазигаза. Кроме того, это состояние, которое мы в дальнейшем будем называть нормальным, должно быть весьма близким к основному, так как соответствующие ему значения энергии связи, приходящейся на частицу, почти совпадают с требуемыми значениями. Однако в тяжелых ядрах состояния, расположенные в интервале 1—2 Мэв, имеют одинаковые в пределах точности вычислений значения удельной энергии связи. Поэтому остается неясным, существуют ли другие, более низкие энергетические состояния. В таких состояниях могли бы быть существенны корреляции дальнего порядка, и в этом ядерное вещество напоминало бы скорее жидкость или твердое тело, а не газ. Поскольку их волновые функции должны отличаться от рассмотренных, они не могут быть получены в результате вариационных вычислений на основе функций квазигаза. Одним из возможных источников корреляции могут явиться весьма значительные флуктуации плотности в ядре (в газовой модели ядер-ная плотность считалась постоянной). В случае такой флуктуации волновая функция должна меняться быстрее, т. е. обладать большей крутизной,
Корреляции в ядерной материи
197
и, следовательно, кинетическая энергия такого состояния увеличится по сравнению со случаем однородной плотности. Но, с другой стороны, если рассматривается только потенциал притяжения, запас полной потенциальной энергии может уменьшиться за счет локального возрастания плотности (даже несмотря на появление областей малой плотности). Следовательно, при наличии у ядерных сил определенных свойств могут появиться состояния, лежащие ниже нормального.
Подобная ситуация была впервые обнаружена при рассмотрении свойств электронного газа в теории проводимости металлов. В 1957 г. Бардин, Купер и Шрнффер показали 139], что определенный вид корреляций может привести к состоянию электронного газа, расположенному ниже нормального. В связи с этим при низких температурах, когда все состояния заполнены, возникает явление сверхпроводимости. Между состоянием сверхпроводимости и нормальным состоянием имеется некоторый конечный энергетический разрыв. Подобные и несколько более общие модели были применены и при описании ядер. В ранних работах [40 — 43] проводилась аналогия между ядерной энергией спаривания и энергетическим разрывом, отделяющим состояние сверхпроводимости, которое содержит коррелированные пары1). Как будет показано в следующей главе, невозможно понять малые значения ядерных моментов инерции без введения особого рода коррелированного движения нуклонов в ядре. По-видимому, следует считать, что в основном состоянии ядра такие корреляции действительно существуют. Однако природа этих корреляций не получила пока полного объяснения.
При построении модели по аналогии с моделью сверхпроводимости металлов мы исходим из того, что найденный ранее самосогласованный оболочечный потенциал не отражает полностью ядерное взаимодействие, поскольку должно существовать дополнительное взаимодействие, связанное с двухнуклонными силами. Предполагается, что среди этих преимущественнослабых взаимодействий существует особосильное взаимодействие двух нуклонов, отличающихся друг от друга только знаком проекции спина на заданную ось. Такая пара может находиться в квазисвязанном состоянии, что, конечно, приведет к понижению полной энергии. Эта пара образует некоторую ассоциацию определенных пространственных размеров, т. е. две частицы продолжают двигаться в объеме ядра, но уже коррелированным образом. Более того, хотя силы, приводящие к корреляциям, возможно, и невелики, они могут вызывать значительные изменения в волновой функции в силу принципа Паули. Обычные методы теории возмущений неприменимы, так как коррелированное состояние совершенно отлично от состояний квазигаза. Например, было бы неправильным представлять, что в результате корреляций состояние двух частиц, находящихся в gift-состоянии (т = ± 6/2), лишь слегка изменяется. Наоборот, в данном случае состояние пары будет представлять собой смесь различных одночастичных состояний, присутствующих в сравнимых количествах. Другая пара нуклонов может находиться в состоянии, содержащем тот же набор волновых функций, но уже в другом количестве. Эти сложные состояния образуют базис квазичастиц, переход к которым осуществляется с помощью некоторого специального канонического преобразования. Допустим, что состояние пары описывается посредством слегка коррелированных ^-состояний. Тогда возбужденное состояние может описываться уже посредством дру
*) Применение методов теории сверхпроводимости в теории ядра (в рамках «сверхтекучей модели») было детально разработано Соловьевым [49*].— Прим. ред.
198
Глава 9
гих коррелированных состояний, например состояний ds/s. Энергия этого возбуждения должна примерно в 2 раза превышать величину энергетической разности d»/,— gi/t- Однако, если состояние сильно коррелировало и содержит много одночастичных компонент, возбуждение пары представляет собой по существу перераспределение этих компонент не только в пределах данного состояния, но и в состояниях других пар. (Поскольку волновая функция системы фермионов должна быть антисимметричной, в каждом одночастичном состоянии может находиться в среднем не более одного фермиона.) Поэтому энергия возбуждения такого парного состояния превышает одночастичную энергию не в два, а в несколько раз. При этом действительно должна произойти перестройка движения некоторого числа спаренных нуклонов. При разрушении пары также необходимо затратить значительное количество энергии. Следовательно, можно ожидать, что в четночетных ядрах низшие возбужденные состояния будут располагаться значительно выше, чем в других ядрах. Чтобы получить из экспериментальных данных величину энергетической щели, необходимо исключить из рассмотрения состояния коллективного возбуждения, в которых внутренняя структура ядра не остается такой же, как и в основном состоянии. Поэтому мы отложим обсуждение согласия экспериментальных и теоретических результатов до следующей главы, в которой рассматривается подобное коллективное движение (см. фиг. 10.23).
При знакомстве с работами, посвященными сверхтекучей модели ядра, может возникнуть впечатление, будто она является несколько искусственной «моделью»: с самого начала в ней постулируется существование энергии спаривания, а необходимые параметры подбираются эмпирически. Однако имеется целый ряд фактов, указывающих на то, что нуклон-нуклон-ные силы действительно способны создать сверхтекучие состояния. Критерий сверхтекучести был установлен в работах [43, 44] в виде некоторого вариационного принципа, примененного к энергиям взаимодействия и корреляционным функциям. Если выбранная функция корреляции приводит к отрицательному значению определенного выражения, то низшее состояние будет сверхтекучим. Оказывается, что в случае потенциала типа Гам-меля — Талера и несколько измененной импульсной зависимости одиоча-стичного потенциала в отсутствие корреляции ядерное вещество обладает сверхтекучестью при фактических (но не более высоких) значениях ядерной плотности (43, 44]. Если частицы расположены слишком близко друг к другу, то присутствие отталкивающего керна будет увеличивать запас полной энергии. Величина энергетической щели, подсчитанная в работе (281, составила всего лишь около 0,2 Мэв. Следует отметить, что эти расчеты проводились для гипотетической ядерной материн и что эффективное взаимодействие в случае конечного ядра будет другим.
Если не считать предсказанного на основании сверхтекучей модели существования энергетической щели, то первым важным результатом ее применения явилось определение влияния парных корреляций на параметры коллективного движения. Эти эффекты будут рассматриваться в гл. 10. Модель с успехом применялась также при расчетах волновых функций низ-колежащих состояний ядер с одной заполненной оболочкой 145]. Расчет проводился подобно расчетам, основанным на оболочечной модели; при этом взаимодействие квазичастиц описывалось с помощью значительных сил спаривания и квадрупольного потенциала. Все другие взаимодействия были включены в основной самосогласованный потенциал, который и определял квазичастичное состояние. Такая сверхтекучая модель позволяет получить как одночастнчные, так и коллективные вибрационные состояния
Корреляции в ядерной материи
199
1461. Хорошее согласие с экспериментом показывает, что парные корреляции действительно играют большую роль. Поэтому не исключено, что целый ряд выводов, полученных с помощью оболочечной модели, придется заново интерпретировать уже с точки зрения «квазичастнц», а нс просто частиц.
Возможен также и другой тип корреляций дальнего порядка, приводящий к так называемому коллективному движению нуклонов, подобному колебательным или вращательным движениям сферической капли. Движение частиц, расположенных в некоторой части ядра, несомненно, связано каким-то образом с движением нуклонов в его противоположной части. Этот тип корреляций будет рассматриваться в следующей главе.
Приведем некоторые количественные выражения, подтверждающие сделанные выше замечания.
Рассмотрим частицы с координатами гь . . ., гд относительно центра ядра. Разложим двухчастичный потенциал в ряд по полиномам Лежандра
«(П—г2)= Si)/(rlt r2)P/(cos012).	(9.41)
।
Можно считать, что самым существенным в самосогласованном потенциале сферического ядра будет первый член, включающий изотропную часть потенциала и0- Члены с более высокими / представляют остаточное взаимодействие. Однако могут также оказаться важными слагаемые с 1 = 2, или так называемые «квадрупольные силы». Например, в случае деформированного ядра член с I = 2, по-видимому, содержится в самосогласованном потенциале, а остаточные взаимодействия описываются слагаемыми с I = 4, 6 и т. д. Поскольку у несферических ядер не наблюдается статической деформации поверхности более высокого порядка, чем квадрупольиая, можно думать, что члены (9.41) с большими значениями / мало существенны при определении самосогласованного потенциала. Однако они играют основную роль при рассмотрении остаточных взаимодействий.
Можно также считать, что существенны только те взаимодействия, которые происходят между частицами, находящимися в одинаковых состояниях. Пусть | v) обозначает набор квантовых чисел некоторого одночастичного состояния, в который не входит лишь знак проекции полного момента нуклона /и. Пусть |vv> обозначает пару нуклонов, находящихся в одном и том. же состоянии: один с положительным, другой с отрицательным т. Будем называть такую пару нуклонов сопряженной. Известно, что низшие состояния четно-четных ядер имеют спин J = 0. Следовательно, взаимодействие сопряженной пары нуклонов значительно сильнее любого другого парного взаимодействия. В теории сверхпроводимости эта особенность учитывается тем, что матричные элементы остаточного взаимодействия берутся отличными от нуля только для сопряженной пары электронов. Точно такая же форма остаточного взаимодействия принимается и в сверхтекучей модели ядра. Это значит, что в данном случае также приходится конструировать модель, и причем весьма упрощенную. В самом деле, единственным известным фактом является лишь приведенное выше утверждение, что для сопряженной пары матричные элементы взаимодействия больше других. Другими словами, члены с большими / дают такой двухчастичный «потенциал» G, для которого отличны от нуля только матричные элементы вида <v'v'|G|vv).
Итак, мы пришли к модели, в которой допускаются самосогласованный потенциал и обусловленные этим потенциалом ядерные состояния |v), ква-
200
Глава 9
друпольные силы типа v2 (rlt rj) Р2 (cos 0iy), действующие между всеми частицами, и двухчастичное взаимодействие G, связывающее сопряженные пары нуклонов. Амплитуды последних двух взаимодействий могут быть сравнительно небольшими; тем не менее обусловленные ими корреляции играют существенную роль. В самом деле, при обсуждении явлений, не чувствительных к корреляциям, данная модель приводит к тем же самым результатам, что и модель оболочек (незначительные расхождения могут возникнуть только из-за различных значений выбранных параметров).
Основная идея дальнейших рассуждений состоит в следующем. Попытаемся с помощью некоторого преобразования координат сконструировать невзаимодействующие квазнчастицы. Подобную задачу удобно решать методами вторичного квантования. Однако читатели могут быть нс знакомы с подобной техникой вычислений, и поэтому мы попытаемся избежать ее использования и приведем только схему расчета.
Мы не будем рассматривать квадрупольныесилы, которые очень хорошо рассчитываются методом возмущения, и обсудим состояния системы частиц, обусловленные ядерным потенциалом и взаимодействием спаривания. Если бы парные силы отсутствовали, волновая функция основного состояния четного числа одинаковых нуклонов АГ (протоны и нейтроны рассматриваются отдельно), для которого спин и сеньорити равны нулю, имела бы следующий вид:
n'|vv>= П'|v+)|v‘>,	’	(9.42)
V	V
где индекс v в произведении П' пробегает все 1/iN низших состояний. Некоторые из них могут быть вырожденными. Для сферического ядра выражение (9.42) можно переписать следующим образом:
П’ И \nljtn)\nlj—т). nlj m>0
В дальнейшем мы будем использовать сокращение, употребляя вместо п I j просто индекс /. Нуклоны занимают все одночастичные состояния ниже вполне определенной границы Ферми.
Если учесть силы спаривания, волновую функцию основного состояния можно (41, 461 записать в виде
4%= П П (l/j|0/> +Vj|/m)|/—т»,	(9.43).
J т>0
где Uj и Vj— некоторые положительные константы, определенные ниже; в произведении П индекс j пробегает все возможные значения /, а | 0j ) — представляет состояние, в котором нет ни одного нуклона с квантовым числом /. Полный вакуум будет представляться тогда следующим образом:
П|0/>. J
Итак, функция 'Ко описывает состояние, в котором вероятность отсутствия сопряженной пары равна Uj, а вероятность существования такой пары равна Vj. Это означает, что
U?+V’=l	(9.44,
и что число частиц данного типа / равно 2Q/VJ. Здесь Qj— число вырожденных пар типа /, равное &,= j + Уг. Амплитуды Uj и Yj определяются
Корреляции и ядерной материи
20»
некоторыми параметрами X и Д следующим образом:
^=4- [ 1 + . е'~х 1. 2[ у
Vj= ’ Г) е'~Х
2	р%-Х)*+Д«
(9.45)
(9.46)
где Rj—энергия одночастичного состояния, полученная в пренебрежении спариванием. Параметры X и Д определяются выражениями
N=	(9.47)
и
G^QjUjVj = A.	(9.48)
J
Из (9.47) ясно, что в рассматриваемом состоянии полное число нуклонов равно N. Функция G в выражении (9.48) есть матричный элемент (v'v'|G|vv) парного взаимодействия, который для простоты считается не зависящим от состояний v и v'.
Рассмотрим приведенные выражения при условии, что спаривание отсутствует. Так как в этом случае матричные элементы G будут стремиться к нулю, из (9.48) следует, что и Д также исчезнет. Отсюда
Uj=Q, Vj= 1, если е><Х, Uj=l, Vj = O, если ву>Х.
Другими словами, все состояния, для которых параметр Rj принимает значения вплоть до ву= X, полностью заняты, а состояния с Rj, большими X, свободны. Следовательно, параметр X — энергия Ферми, а функция Vo— просто волновая функция типа (9.42). Наличие парного взаимодействия приводит, однако, к «размазыванию» границы Ферми: нуклонное состояние типа /, для которого | Rj— Х|» Д, все еще остается полностью занятым или полностью свободным, но состояния, для которых |еу—Х|~ Д, заняты только частично. Отсюда следует, что параметр X есть некоторая средняя граница Ферми.
Что же такое квазичастицы? Квазичастицы (/, гп) представляют собой некоторую смесь нуклона в состоянии (/, т) и дырки в состоянии (/, —т). Волновая функция основного состояния Vo совершенно не содержит квазичастиц. Конечно, квазичастица — это не просто какая-то произвольная смесь частицы и дырки; амплитуда вероятности частичных состояний равна UJt а дырочных — + Vj (верхний знак берется для проекции т >0). В формализме вторичного квантования операторы рождения квазичастиц имеют следующий вид:
аА = Ujbjin V)bj-m, ^m=Ujbjlm+Vjbjm.	1	'
где atn—оператор рождения (/, гп)-частицы, a Pjm—оператор рождения (/,— т)-квазичастицы; b'jm и bjm — операторы (рождения и уничтожения (/, /п)-нуклона. Таким образом, переход от частицы к квазичастицам связан лишь с несколько более сложной заменой координат;
*2(12	Глава 9_________________________________ __
тем не менее это — каноническое преобразование. Цель этого преобразования — получить некоторый новый набор переменных, которые не были бы связаны в гамильтониане; нуклонное состояние (/, "0 представляется набором состояний невзаимодействующих частиц в самосогласованном поле, но при этом взаимодействие осуществляется с помощью сил спаривания. Потребовав, чтобы квазнчастнцы не взаимодействовали между собой ни через самосогласованное поле, ни посредством спаривания, можно прийти к уравнениям, определяющим Uj и V, [41]. Ими оказываются уже известные нам выражения (9.45) и (9.48).
Энергия некоторой квазичастицы выражается как среднее значение гамильтониана состояния, в котором где находится одна квазнчастица, а именно
Е,= {(8,-А.)ЧДТ/2.	(9.50)
Поскольку квазнчастнцы не взаимодействуют друг с другом (если не считать квадрупольного взаимодействия, рассматриваемого как возмущение), энергетический спектр системы квазичастиц представляется в виде последовательности уровней с одной, двумя, тремя и т. д. квазичастицами и с энергиями Е}, Efr, Ejt+ Е^+ Ejt, ... соответственно.
Допустим, что Чго— волновая функция основного состояния четночетного ядра. Основное состояние соседних ядер с нечетным Л представляет собой состояние квазичастпчного возбуждения Ч'о. Волновая функция в этом •случае имеет вид
4% = |/т> П П I(/y|0/) +Vy|/'/n')|/’—(9.51) J' п»’>0	t
Возбужденные состояния ядер с нечетным А имеют ту же самую структуру, но с другими значениями j квазичастичных возбуждений.
Конечно, число нуклонов не связано непосредственно с числом квазичастиц. Как уже указывалось, основное состояние четно-четных ядер вовсе не содержит квазичастнц. Ведь описываемые здесь состояния возбуждения системы квазичастиц не являются собственными состояниями системы определенного числа нуклонов. В действительности (9.47) устанавливает лишь среднее (а неточное) число нуклонов N. Это в свою очередь приводит к тому, что среднее число нуклонов для состояния (9.51) оказывается равным N + 1. Именно поэтому можно считать, что оно относится к ядрам с нечетным А. •С другой стороны, состояние, в котором среднее число нуклонов равно
Ej
является состоянием двухквазичастичного возбуждения. Если частицы находятся вблизи средней границы Ферми, то (в;— X) < Л, и среднее число нуклонов близко кЛг. Следовательно, низколежащиесостояния четно-четных ядер являются состояниями двухквазичастичного возбуждения. Высокоэнергетические состояния ядер с нечетным А описываются уже как состояния трехквазичастпчного возбуждения.
Точнее говоря, основное состояние То и квазнчастичные состояния некоторого ядра в действительности представляют собой средние значения волновых функций нескольких соседних ядер. Усреднение должно, конечно, охватывать небольшой интервал массового числа, и основной вклад в среднее дает волновая функция рассматриваемого ядра. Мы не должны также
Корреляции в ядерной материи
203
забывать, что данная теория применима лишь к достаточно тяжелым ядрам, для которых лишь и возможна эта несколько необычная процедура усреднения. Те же самые данные получаются и с помощью метода, в котором для рассматриваемых состояний число JV считается постоянным (47J. Но и в этом случае рассматривается ансамбль достаточно большого числа нуклонов.
Энергия первого возбужденного состояния четно-четного ядра равна примерно 2Ej, т. е. равна ~ 2Д, так как (e,j— X) < Д. Наоборот, для ядра с нечетным А, в основном состоянии которого находится квазичастица с моментом /ь относительная энергия Е^— возбужденного состояния, содержащего квазичастнцу с моментом /2, в первом приближении равна
/е.__е.	2Х
Л 2Д
Следовательно, энергия возбужденного состояния для ядра с нечетным А может быть весьма малой, но в случае четно-четных ядер она не меньше 2Д. Величина Д представляет собой ту самую энергетическую щель, о которой говорилось выше.
Для оценки величины энергетической щели Д можно воспользоваться известными значениями энергии отделения. В ядрах с нечетным А энергия нечетного нуклона значительно больше той, которая была бы в случае спаривания этого нуклона. Поэтому для удаления нуклона из четно-четного ядра требуется энергия, превышающая энергию отделения нуклона из ядра с нечетным А на величину 2Д. Таким образом, нейтронная энергетическая щель равна
2An = [M(Z, N— 1)—M(Z, N)] — [M(Z, N—2) — M(Z, N— 1)], (9.52)
где Z и N — четные. Эта формула не учитывает изменений в M(Z, N), связанных с энергией симметрии и другими подобными поправками, приводящими к нерегулярностям в М. Если эти поправки изменяются плавно, то величина Дп уменьшается от 1 Л1эв в области А = 150 до 0,5 Л4эв при Л = 180. При А = 230 величина Дп оказывается порядка 0,6 Мэв. Энергетическую щель для протонов оценить труднее, но в той же самой области А она оказывается несколько больше нейтронной. Таким образом, величина Д больше среднего расстояния между одночастичными состояниями, но все же это величины одного порядка.
Одним из наиболее важных эффектов, обусловленных спариванием, является неполное заполнение состояний вблизи границы Ферми. Во многих отношениях это эквивалентно смешиванию конфигураций. Поэтому спаривание должно сказаться на положении уровней нечетных ядер, а также на величине их электромагнитных моментов, вероятностях переходов и ядерных реакциях. Об этих эффектах говорится в последней главе настоящей книги. Здесь мы попытаемся описать эксперимент, который позволил бы непосредственно определить значения U} и V]. Реакции типа (d, р) и (d, /) представляют собой соответственно реакции срыва и захвата, в которых дейтрон, соударяющийся с ядром, теряет или захватывает нейтрон. Теория подобных реакций дана в гл. 19, где показано, что угловое распределение в таких реакциях определяется только значением орбитального момента состояния, на которое садится или с которого удаляется нейтрон. Поэтому и представляется возможным экспериментально определять значения спинов состояний ядра мишени. Сечение реакции также зависит от вероятности
204
Глава 9
обнаружить нейтрон в этом состоянии, т. е. зависит от величин и У2. В работе [48] Коэн и Прайс изучали реакции (d, р) и (d, t) для целого ряда изотопов олова. В этом случае число протонов (Z = 50) магическое и поэтому можно предположить, что протоны образуют инертный остов*ядра. Уровень Ферми для нейтронов «размазан» по состояниям с N = 50—82, а именно по состояниям 2d»/., lg7/,, 3si/„ 2da/s, В каждой реакции одно из участвующих ядер (либо ядро мишени, либо ядро-продукт) имеет нечетное число нейтронов, описываемых волновой функцией (9.51), тогда как другое ядро с четным числом нейтронов описывается волновой функцией ¥0. Например, вероятность захвата нейтрона в реакции (d, 0 на ядре Sn11*,. в результате которой образуется ядро Sn117 с дыркой в состоянии d3/8, прямо пропорциональна Уз/,, т. е. вероятности существования Д/,-ней-трона в ядре Sn118. Так как при сравнении двух переходов из состояния d действие всех других факторов, влияющих на сечение реакции, компенсируется, отношение сечении захвата нейтрона из состояний (1з/г и d6/s просто равно (Уад/У»/,)2. Изучая угловые распределения, можно выделить рассматриваемые переходы и определить для них отношение сечений. Точно так же исследование реакции срыва позволяет определить величину ((/з/j/L/*/,)2. А поскольку U nV связаны соотношением U2+ V’= 1, то можно определить значения (/’ (или У*) для каждого из состояний d»/. и d»/2. В табл. 9.2 представлены полученные экспериментальные значения
Таблица 9.2 ЗНАЧЕНИЯ V! ДЛЯ ИЗОТОПОВ ОЛОВА
\	Массовое X число Состояние	Пб		1 18		120		122		124	
	эксп.	тсор.	эксл.	теор.	эксп.	тсор.	эксп.	теор	эксп.	теор.
2Л/,	0,79	0,93	0,80	0,94	0,87	0,95	0,86	0,96	0,93	0,97
lg’/2	0,78	0,91	0,86	0,93	0,89	0,94	(0,92)	0,95	(0,95)	0,96
3si/j	0,42	0,37	0,50	0,53	0,61	0,65	0,69	0,75	0,74	0,88
2Л/.	0,25	0,25	0,33	0,39	0,55	0,53	0,59	0,65	0,68	0,75
1Лп/2	0,27	о.п	0,33	0,19	0,35	0,27	0,47	0,38	0,55	0,59
У*, которые, сравниваются с теоретическими значениями, подсчитанными Кнслингером и Соренсеном в работе [45]. В расчетах использовались формулы (9.45) — (9.48). Согласно простой модели оболочек, в ядре Snllft нейтронные состояния ds/2, gVz и Л/, заполнены, а в ядрах от Sn118 до Sn124 происходит, по-видимому, заполнение оболочки Лп/8 парами нуклонов, хотя не исключено, что пары могут заполнить и оболочку d3/2. Данные табл. 9.2 показывают, что размазывание границы Ферми, или смешивание конфигураций, весьма заметно.
' ЗАДАЧИ
9.1. Вывести формулу (9.30), исходя из соотношения (9.29) и рассматривая малые изменения ф, вида
64)._(const при e<r<e+6Q-t 0 в остальных случаях.
9.2. Какое фундаментальное свойство нуклонов приводит к тому, что оболочечная .модель оказывается хорошим приближением?
Корреляции в ядерной материи	205
•	ЛИТЕРАТУРА
В статье [1] приведены результаты расчета ядерной материи, изложенные в «наглядной» форме. Содержание гл. 9 в своей значительной части основано на материале этой статьи. Статьи [4, 5], по сути дела, перекрываются с 16—8]. В них описан в основных чертах метод Бракнера на базе формализма, предложенного для многократного рассеяния Уатсоном в [2, 3]. В статье [9] вводятся все модельные операторы. Работа [10] посвящена анализу смешивания конфигурации и исследованию модельных волновых функций. Работа [12] представляет собой глубокое и обширное исследование основных аспектов метода Бракнера. В статье [16] впервые рассматривается потенциал с отталкивающим керном в проблеме многих тел. В работе [17] дано, пожалуй, самое строгое изложение фундаментальной теории Бракнера. Работа [19] — анализ метода Бракнера на основе обычной теории возмущений. Работа [24] содержит подробные вычисления основных характеристик ядерной материн. В статье [25] предлагаются методы приближенной оценки энергии и волновых функций конечных ядер. В работе [26] рассматривается энергия перестройки1).
I.	G о m е s L. С., W а 1 е с k a J. D., Weisskopf V. F., Ann. ol Phys., 3, 241 (1958).
2.	Watson К. M., Phys. Rev., 89. 575 (1953).
3.	F г a n c i s N. C„ W a t $ о n К. M., Phys. Rev., 92, 291 (1953).
4.	В г u e с к n e г К. A., L e v i n s о п С. A., M a h in о u d H. M., Phys. Rev., 95, 217 (1954).
5.	В г u e с к n e г К. A., Phys. Rev., 96, 908 (1954).
6.	Brueckner K. A., Levinson C. A., Phys. Rev., 97, 1344 (1955).
7.	В г и e с	к n с	r	K. A., Phys. Rev., 97, 1353 (1955).
8.	В r u e с	к n e	r	K. A., Phys. Rev., 100, 36 (1955).
9.	Eden	R. J., F r a n c i s N. C., Phys. Rev., 97,	1366	(1955).
10.	В г и e с	к n e	г	К. A., Eden R. J., F r a n c i s N.	C.,	Phys. Rev., 99, 76 (1955).
11.	E d e n R. J., Proc. Roy. Soc., A235, 408 (1956).
12.	В e t h e H. A., Phys. Rev., 103, 1353 (1956).
13.	W a t s о n К. M., Phys. Rev., 103, 489 (1956).
14.	R iesenfeld W., Watson К. M., Phys. Rev., 104, 492 (1956).
15.	В г u e с к n e r K. A., W a d a W., Phys. Rev., 103, 1008 (1956).
16.	В e t h e H. A., Goldstone J., Proc. Roy. Soc., A238, 551 (1957).
17.	G о 1 d s t о n e J., Proc. Roy. Soc., A239, 267 (1957).
18.	T h о u 1 e s s D. J., Proc. Roy. Soc., A239, 108 (1957).
19.	T о b о c in a n W., Phys. Rev., 107, 203 (1957).
20.	В r e n 1 g J., Nucl. Phys., 4, 363 (1957).
21.	К 0 m m e 1 H., Nuovo Cimento, 23, 1 (1957).
22.	M а г 11 n P. C., d e Dominlcis C., Phys. Rev., 105, 1417 (1957).
23.	R о d b e r g L. S., Ann. of Phys., 2, 199 (1957).
24.	В r u e с	к n e	r	K. A., G a in in e 1 J. L., Phys. Rev., 109, 1023 (1958).
25.	В г u e с	к n e	г	К. A., G a m me 1 J. L., We i tzner	H., Phys.	Rev.,	110,
431 (1958).
26.	В r u с с	к n e	r	K. A., Phys. Rev., 110, 597 (1958).
27.	В г u e с	к n e	г	К. A., G a m me I J. L., К u b i s J. T.,	Phys. Rev.,	118,	1438
(1960).
28	Brueckner K. A., Soda T., Anderson P. W., Morel P., Phys. Rev., 118. 1442 (1960).
*) Новый подход к описанию ядерных явлений в рамках теории фермн-систем дан в статье Мнгдала [50*].—Прим. рео.
206
Глава 9
29.	d e-S h a I i t A., Weisskopf V. F., Ann. of Phys., 5, 282 (1958).
30.	В г	u e с к n e г	К. A., G о I d tn a n D. T., Phys. Rev., 116,	424 (1959).
31.	N i	g a m В. P.,	S u n d a r e s a n M. K., Phys. Rev,, 111,	284	(1958).
32.	C 1	a г к J. W.,	Ann. of Phys., II, 483 (1960).
33.	T a	u b e r G. E., W u T. Y., Nttcl. Phys., 22, 339 (1961).
34.	F г a h n W. E., Lemmer R. H., Nuovo Cimento, 6, 1564; 6, 664 (1957).
35.	Brueckner K. A., Lockett A. M., Rotenberg M., Phys. Rev., 121.
255 (1961).
36.	D e г r i с к G„ Mustard D., В 1 a t t J. M., Phys. Rev. Letters, 6, 69 (1961).
37.	В e 1 1 J. S., E d e n R. J.,Skyr me T. H. R., Nucl. Phys. 2, 586 (1957).
38.	Beil J. S.. Nucl. Phys., 4, 295 (1957).
39.	Bardeen J., Cooper L. N.,Schrieffer R., Phys. Rev., 108, 1175 (1957).
40.	В о h г A., M о t t 1 e s о n B. R., Pines D., Phys. Rev., 110, 936 (1958).
41.	Беляев С. T., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Mat.-fys. Medd., 31, No. 11 (1959).
42.	Мигдал А. Б., ЖЭТФ, 37, 249 (1959); Nucl. Phys., 13, 655 (1959).
43.	С о о p e r L. N., M i I 1 s R. L., S e s s 1 e r A. M., Phys. Rev., 114, 1377 (1959).
44.	Mills R. L., S e s s 1 e г A. M., Mosakowski S. A., S h a n к I a n d D. G., Phys. Rev. Letters, 3, 381 (1959).
45.	Kissi i nger L. S., S о r e n s e n R. A., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Mat.-fys. Medd., 32, No. 9 (1960).
46.	В a г a n g e r M., Phys. Rev., 120, 957 (1960).
47.	К e r m a n A. K., Ann. Phys., 12, 300 (1961).
48.	С о h e n B. L., Pr ice R. E., Phys. Rev., 121, 1441 (1961).
49*. Соловьев В. Г., Влияние парных корреляций сверхпроводящего типа на свойства атомных ядер, М., 1963.
50*. Миг дал А. Б., Ларкин А. И., ЖЭТФ, 45, 1036 (1963); Nucl. Phys., 51, 561 (1964).
ГЛАВА 10
КОЛЛЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЯДРА
§ 1. Введение
Мы уже указывали, что оболочечная модель описывает многие свойства ядер, но оказывается не в состоянии объяснить большие ядерные ква-друпольные моменты и сфероидальную форму, которую имеет целый ряд ядер. Очевидно, что такие эффекты нельзя получить ни в какой модели, где принимается предположение о попарном заполнении нуклонами независимых орбит в сферическом потенциале. Такне большие эффекты могут возникнуть только при координированном движении многих нуклонов. Представим себе, что нуклоны движутся по одночастичным орбитам, которые следовало бы ожидать в конечном ядре, исходя из свойств ядерной материи; в каждый момент времени нуклоны образуют некоторую пространственную фигуру. Предположим, что в какой-то момент эта фигура имеет вид, скажем, эллипсоида. Движение является коллективным, или кооперативным, если эта фигура изменяется очень медленно или, в предельном случае, вообще неизменна. Частицы совершают много оборотов по своим орбитам, но достаточно коррелированным образом, так что в течение всего времени общая пространственная фигура остается почти одной и той же или медленно изменяется. Этот тип корреляций резко отличается от корреляций ближнего порядка в ядерной материи; это — корреляции дальнего порядка и их можно рассматривать как поверхностный эффект. Кроме того, конкретные значения характеризующих их параметров зависят явно от числа нуклонов в ядре.
Мы можем охарактеризовать такое движение словами, что движение частиц и движение поверхности взаимосвязаны. Поскольку поверхность в некоторый момент деформируется, то потенциал, который «чувствует» частица, не является сферически-симметричным. Если эта деформация сохраняется достаточное время (несколько нуклонных периодов), то частицы будут двигаться по орбитам, соответствующим нссферпческому оболочечному потенциалу. Это движение частиц, в свою очередь, способствует сохранению формы ядра. В почти сферических ядрах имеется лишь очень слабая связь такого тина, частицы не коррелированы по направлениям, и результирующая средняя форма ядра является сферической.
Чтобы выразить связь частицы с поверхностью математически, необходимо ввести так называемые коллективные переменные для описания коллективных видов движения. Целесообразно также выделить части энергии, момента количества движения и других динамических переменных и приписать их коллективному движению. Например, коррелированное движение
208	___________
Г л а в а' 10
частиц может быть таким, что пространственная фигура, образованная нуклонами, медленно меняется, сохраняя общую форму неизменной, но изменяя свою ориентацию в пространстве. Со стороны это выглядит как вращение ядра постоянной формы. Естественно приписать этой вращающейся массе кинетическую энергию и момент количества движения, полагая, что остаток кинетической энергии и момента обусловлены внутренним движением ядра. Кроме того, можно выделить из потенциальной энергии системы член, который бы давал работу, затраченную на искажение ее сферической формы. Такой член будет зависеть только от коллективных переменных, если они выбраны подходящим образом, и мы можем (хотя и не совсем законно) назвать его членом поверхностного натяжения. Он будет включать в себя также изменение кулоновской энергии непрерывно распределенного заряда. Если потенциальная энергия имеет минимум в случае наименьшей поверхности при заданном объеме, то первый член в разложении Тейлора будет квадратичным по параметрам, описывающим отклонение от сферичности. Ввиду малой сжимаемости ядерного вещества обычно рассматривают только деформации при фиксированном объеме и полагают коллективную потенциальную энергию квадратичной.
Коллективные переменные имеют ценность только тогда, когда с их помощью энергия может быть разделена на часть, зависящую от коллективных переменных, и часть, не зависящую от них. Эти остальные переменные можно назвать внутренними. Если связь коллективных степеней свободы с внутренними слабая, то систему можно рассматривать по теории возмущений:
Н=Н„ (коллективные переменные)-t-H»,,(внутренние переменные) |- Нсьяа11.
Вопрос о выборе внутренних переменных очень важен. В общем случае это сложная проблема. Простым примером коллективной переменной служит центр масс; для системы двух тел соответствующая внутренняя переменная — расстояние между частицами п— г2, а взаимосвязь между коллективными и внутренними переменными отсутствует. Но, как мы отмечали в связи с моделью оболочек, в системе N тел не существует таких простых внутренних переменных. Если мы будём по-прежнему пользоваться в качестве внутренних переменных координатами частиц относительно некоторого фиксированного начала координат, то у нас будет слишком много переменных, так как у нас есть еще коллективные переменные. С другой стороны, если мы возьмем столько переменных, сколько их должно быть, то внутренние переменные будут очень сложными. Как заметил однажды Липкин (11, важным взаимодействием в проблеме многих тел является взаимодействие между частицами и физиками, пытающимися решить эту проблему. Важной «характеристикой» физиков является то, что они не умеют решать задачу трех тел, а задачу двух тел могут решить только потому, что она легко сводится к двум одночастичным задачам—единственному типу задач, который они действительно умеют решать. Более подробно о разделении коллективных и внутренних движений и о их связи друг с другом мы будем говорить после того, как перейдем на язык математики.
Можно считать, что несферическая равновесная форма возникает как результат двух противоположных тенденций: «внешние» нуклоны стремятся поляризовать остов ядра, а остов сопротивляется этой поляризации и стремится сохранить сферическую форму; на это впервые указал Рейнуотер 12) в 1950 г. Подробно такая модель была разработана Ore Бором, и в течение десятилетия 1950—1960 гг. всесторонне развивалась и обобщалась в основном О. Бором нМоттельсоном с различными сотрудниками в обширной серии
Коллективное движение ядра
209
работ. По-видимому, наиболее полно результаты этих исследований изложены в работах [3—6].
В указанных работах рассматриваются две различные модели. В более ранней и во многих отношениях более простой модели ядро разделяется на остов и внешние нуклоны. Остов рассматривается макроскопически как деформируемая капля ядерной «жидкости», находящаяся во взаимодействии с несколькими внешними нуклонами в незаполненной оболочке. Вторая модель представляет собой обобщение модели оболочек; оболочечный потенциал предполагается несфсрнческим, вычисляются энергии отдельных нуклонов в этом несферическом потенциале, и деформация, которая соответствует минимуму энергии, рассматривается как действительная деформация ядра. Здесь, как и в любом случае оболочечной модели ядра, мы встречаемся с проблемой обоснования модели с точки зрения более фундаментальных взаимодействий. Вместо того чтобы учитывать корреляции дальнего порядка, принимается предположение о потенциале с постоянной деформацией.
Более простая модель иногда называется коллективной моделью, а оболочечная модель с деформированным потенциалом — обобщенной моделью. Обе они описывают коллективные эффекты, хотя и различным способом, но мы не будем последовательно придерживаться этой терминологии.
§ 2. Коллективные формы движения
Рассмотрим сначала теорию коллективных форм движения жидкой капли. Случай несжимаемой жидкости, который является хорошим приближением для ядра, был впервые исследован Рэлеем [7]. В применении к ядру необходимо дать квантовую интерпретацию его результатов и, кроме того, включить в рассмотрение движения более общего типа, чем безвихревое1) течение жидкости, исследованное им. Форма поверхности может быть в общем виде описана функцией
/? = Яо 1+ 2 2 аХцУХ(0, <р),
X—0ц= —>.
(ЮЛ)
где 0 и ф — полярные углы относительно произвольных осей координат. Конечно, ядро не имеет резкой границы, но мы можем учесть «хвост» распределения плотности, рассматривая (10.1) при различных /?0 как уравнение для поверхностей постоянной плотности. Любое коллективное движение можно описать, взяв изменяющиеся во времени аХ(1. При учете квадратичных членов кинетическая энергия имеет вид
7=12 Вх|аХ(1|2.
(Ю.2)
1) Термин безвихревое используется здесь в таком же смысле, как и в обычной гидродинамике; он не означает, что элементарные объемы жидкости не могут двигаться по круговым траекториям, а указывает, что каждый элементарный объем не вращается вокруг осн, движущейся поступательно вместе.с его собственнцм центром масс. Другими словами, в последовательных положениях данного элемента объема ориентация его сторон в пространстве остается неизменной. Движение твердого тела в общем случае не является безвихревым, но жидкости могут совершать движение такого типа.
14 Заказ № 37
210
Глава 10
Расчет Рэлея показывает, что в частном случае безвихревого тока жидкости с постоянной плотностью коэффициент В), есть
= —,	(Ю.З)
X
где р — плотность. Потенциальная энергия может быть записана следующим образом:
(10.4)
X, и
Для случая классической жидкости, обладающей только поверхностным натяжением, Рэлей получил
C^ = SR20(k— 1)(1+2),	(10.5)
где S — коэффициент поверхностного натяжения. Если капля заряжена, то_при деформации кулоновская энергия уменьшается
Сх=с£0-с<Л где
3 Z2e2 1-1 К 2л я0 21+ 1 ’
к тому же и мы имеем
(10.6)
Такне классические оценки могут оказаться пригодными и для ядра, если мы возьмем для Ro и S значения, основанные на полуэмпирической формуле масс. Эти значения С\ будут иметь регулярную зависимость от Л и Z и можно ожидать значительных в отдельных случаях отклонений от этой зависимости, обусловленных оболочечной структурой ядер. С другой стороны, выражение (10.3) для В}, может дать лишь оценку порядка величины, поскольку точное значение сильно зависит от характера течения жидкости, а у нас нет оснований считать течение ядерной жидкости безвихревым.
Легко видеть, что при указанных выше Т и V лагранжиан L = Т — V представляет собой сумму отдельных членов, соответствующих различным обобщенным координатам а>и, причем каждый из этих членов является лагранжианом простого гармонического осциллятора. Частота, соответствующая координате аХ(1, равна
/ с. \ */»
-	(10.7)
\ Вк )
Следует заметить, что <о = 0 прн 1 = 0 и 1 = 1. Эти случаи не относятся к рассматриваемым видам движений. Поскольку в первом порядке по a объем ядра определяется формулой
\ У4я/ ’
то член с коэффициентом а0 описывает колебания плотности в сферическом ядре. Такне колебания могут иметь место, но при энергиях значительно более высоких, чем колебания без изменения объема. Члены с 1 = 1 описывают просто колебания центра масс ядра н не относятся к внутренним степеням свободы. Все эти рассуждения — чисто классические, но в случае гармонического осциллятора легко получить и результаты в квантовомеханической форме, что необходимо прн рассмотрении капель атомных размеров.
Коллективное движение ядра
211
Мы пришли к тому, что коллективные состояния ядерной капли имеют энергии возбуждения Sn?.A(o>.. Целое число п^, указывает число фононов типа X в данном возбужденном состоянии. Эти числа могут быть отнесены к любой координате аХ(1, что говорит о вырождении этих состояний. Например, если одно состояние содержит фонон, соответствующий координате а22, характеризующей колебание вида У22, а другое состояние содержит фонон по координате а21, соответствующей колебанию вида У21, то оба состояния имеют одинаковую энергию.
Состояние с «1= 1 является (2X-f- 1)-кратно вырожденным и поэтому можно предположить, что оно обладает моментом количества движения X. Можно показать, что в случае безвихревого движения фонон типа Хр. обладает квантовым числом'момента количества движения Хс z-компоиентой, равной р, и четностью (—1)4
Энергия довольно быстро возрастаете увеличением X. Если воспользоваться классическими гидродинамическими выражениями (10.3) и (10.5), то легко получить, что io3«s 2<о2 и 3<о2. Следовательно, для того, чтобы исследовать низшие состояния ядер, достаточно рассмотреть только малые значения X. Если взять ядра, поверхность которых совершает коллективные колебания относительно сферы, то их первое возбужденное состояние будет содержать один фонон с X = 2 и будет вследствие этого состоянием 2*. Фонон с X = 3 имеет почти такую же энергию, как и два фонона с X = 2, так что второе вибрационное состояние будет либо состоянием 3', либо одним из состояний, образованных в результате сложения двух моментов величиной в 2h, а именно 0‘, 2’ или 4‘. Вырождение последних трех состояний будет снято возмущениями, которые не были нами учтены, но по крайней мере центр тяжести этих трех уровней должен находиться при энергии порядка удвоенной энергии первого уровня 2’. Для грубых оценок энергий возбуждения, которые следует ожидать, можно использовать полученные в приближении безвихревого движения жидкости формулы (10.3), (10.5) и (10.6); величина Л оэ2 при А порядка 100 немного превышает 2 Мэв и уменьшается с ростом А приблизительно до 1 Л4эвпри А порядка 200. Таким образом, эти энергии несколько меньше, чем одночастичные возбуждения для четно-четных ядер особенно вблизи заполненных оболочек, и поэтому есть основания ожидать, что низшие состояния четно-четных сферических ядер представляют собой коллективные колебания.
Одним из способов проверки правильности этой гипотезы является определение отношения E'JE2 энергий первого и второго состояний 2’, которое должно приблизительно равняться 2. На фиг. 10.1 изображено отношение энергий первого и второго возбужденных состояний четно-четных ядер; легко видеть, что имеются участки, где это отношение несколько превышает 2, с резкими выбросами, когда оно достигает 3,3 и когда вторым возбужденным состоянием является нс 2*, а 4". У ядер с E'JEz, близким к 2, энергии Е2 занижены по сравнению с гидродинамическими оценками в 2 раза, но это не противоречит предположению о том, что они относятся к вибрационным уровням. Это означает только, что гидродинамическая модель для С,, и В,, недостаточно хороша. На фиг. 10.2 приведен график зависимости энергий Ег от N, и видно, что Е2 в общем уменьшается, как и предсказывалось теорией. Другим способом проверки справедливости утверждения о том, что данные состояния являются однофононными и двухфононными квадрупольными (X — 2) колебаниями, является проверка по вероятностям электромагнитных переходов и сечениям ядерных реакций. Об этом будет сказано позднее.
14*
557 ;
3.5					ж	1ж.м1км			
3.0 2.5 У h 2.0 1,5 1,0			X			X X	X		
	X					ж Ж	ж X		
		ж X				Ж	К «		
	X	S* ж X	ж X	г ж	t « X		X		
		К к	ж X		к ж		ж ж X		
			•						-
С Фиг.	20	40	60	80	100	120	140	160 М 10.!. Отношение энергий; двух первых возбужденных состояний четночетных ядер как функция Л'.								
2.0									
									
1,5 1.0 *г 0.5			X м						
		X ж	ж	ж	ж				
		• н	f* * «	ж .,жх*	ж к		ж ж		
			«		X д ж	ж	г ж		
и									
0	20	40	60	80	100	120	140	160 Ф и г. 10.2. Энергии (Е2 Мзв) первых возбужденных состояний четно-четных ядер, у которых эти возбуждения'предположительно являются вибрационными, как функция N.									

Коллективное движение ядра
213
Различные экспериментальные данные как по ядерным реакциям, так и по спектрам у-излучення указывают на наличие уровнен 3" с энергией порядка 2—3 Мэв, уменьшающейся с ростом А. Это — еще одно свидетельство в пользу коллективной модели. Если энергия возбуждения коллективного типа близка к энергии некоторого одночастичного возбуждения, то они могут смешиваться за счет взаимосвязи одночастичных и коллективных степеней свободы. В этом случае волновые функции реальных ядерных состояний лишь частично являются коллективными и коллективное состояние распределяется по нескольким реальным состояниям ядра. Специфические коллективные свойства становятся менее ярко выраженными. В некоторых случаях это смешивание оказывается существенным уже для состояний 3", а более высокие вибрационные состояния, по-видимому, будут так сильно размешаны средн ядерных состояний, что коллективное описание почти полностью теряет свою применимость.
В сферических четно-четных ядрах состояния отрицательной четности могут быть получены также путем комбинации одного квадрупольного и одного октупольного фононов. При этом возникает пять состояний Г, 2‘, 5",которые, хотя в первом приближении и вырождены, на самом деле расщепляются так же, как триада 0‘, 2’, 4”. Такие состояния лежат выше уровней 3’ и почти наверняка сильно возмущены и смешаны с одночастичными возбуждениями.
Волновые функции вибрационных состояний представляют собой просто функции гармонического осциллятора с переменными aX(i. Волновая функция основного состояния имеет вид
фо~ехр
2ft
(10.8)
а состояние, в котором присутствует один фонон типа Ар, характеризуется функцией
Ф = О Фъ-	(10.9)
Координатой, сопряженной с а?.ц и играющей роль импульса, является
Jkn = B>.a>*g.	(10.10)
Можно установить, что ядра, у которых отношение E'JEz отклоняется от значения, характерного для колебательных состояний, являются в большинстве своем ядрами с большими квадрупольнымн моментами. Общее уравнение для формы поверхности ядра (10.1), содержащее аХ(1, удобно для анализа колебаний почти сферических ядер, но для ядер со сфероидальной равновесной формой более удобна другая система координат. Величины аХ|1 описывают изменение формы ядра относительно фиксированной в пространстве системы координат. Если ядро имеет постоянную несферическую форму и вращается, то aX|l будут изменяться во времени, хотя форма ядра будет неизменной. Поэтому ориентацию ядра целесообразно характеризовать заданием углов Эйлера (0, Ф, Ф), описывающих положение главных осей ядра относительно неподвижной системы координат1), и ввести новые параметры, определяющие форму ядра относительно его собственных главных осей.
1) Определение углов Эйлера дано в приложении А.2.
Мы сосредоточим наше внимание на квадрупольных формах поверхности X = 2. Уравнение поверхности ядра относительно его главных осей имеет вид (все обозначения очевидны)
R = RO[1 + 2ХП(0', <р')1	(10.11)
и и
2а2цИ(0, ф) = Sa2vy2v(0', <р').	(10.12)
При повороте (6, Ф, 49 от одной системы координат к другой сферические гармоники преобразуются соответственно закону
W. ф) = s W, ф)	(©, ф, т),	(ю. 13)
р
где <35цр —функции, известные из теории момента количества движения1). Поэтому
а2у =	(0, Ф, ¥)	(10.14)
в
и
Огц = ^jO2v(<^i>v) •	(10.15)
Так как оси, связанные с ядром, являются его главными осями, то произведения инерции равны нулю, вследствие чего а21 = a2,-i = 0 и а22= о2,_2. Таким образом, вместо пяти величин а2ц систему будут полностью описывать а20 и а22 в совокупности с углами Эйлера. Но более наглядны физически переменные 0, у, определяемые равенствами
(10.16)
аг2- -7= В sin у.
V2
При таком определении
R — Ro = I/ JLRoPiCosy(3cos20' —|) +У35шу8пг0’со82ф']. (10.17) >	16л
Величина 0 является мерой полной деформации ядра, и
2|а2ц|2= 2а2ц=₽2.	(10.18)
и	и
Следовательно, потенциальная энергия	зависит только от 0,
а именно
У=^-С02.
Смысл величины у выясняется при рассмотрении приращения длин трех осей ядра. Обозначим ядерные оси цифрами (1,2, 3), сохранив для неподвижных осей обозначение (х, у, г). Из (10.17) находим
6R3=R(0, ф )—Ro= l/Jl RoPcosy,
» 4л
9 Функции Z описаны в обычной литературе по теории момента количества движения; их определение приведено в приложении А. Обозначения не стандартизованы.
Коллективное движение ядра
215
6/?а=/?(т’ т)~Ло= V ^₽/?oCOS(Y~y) •
Эти выражения можно свести в одно следующим образом:
6/?к=]/ £tfnpCos(Y—хук	(10.19)
Значению у = 0 соответствует вытянутый эллипсоид вращения, у которого осью симметрии является ось 3, в то время как значениям у = 2л/3 и у = = 4л/3 соответствуют вытянутые эллипсоиды вращения с осями симметрии 1 и 2. Аналогично значениям у = л, у = л/3 и у = 5л/3 соответствуют сплюснутые эллипсоиды вращения. Обычно мы направляем ось симметрии по оси 3, и ядра с положительным квадрупольным моментом будут тогда лметь у = 0. Когда у не кратно л/3, ядро имеет форму эллипсоида с тремя различными осями. Если мы предположим, что 0 изменяется во. времени, вто время как у остается неизменным, т. е. имеют место p-колебания, то видно, что при этом сохраняется аксиальная симметрия ядра и положение оси симметрии, а изменяется только эксцентриситет эллипса, лежащего <в поперечном сечении эллипсоида. С другой стороны, при ^-колебаниях ядро теряет свою аксиальную симметрию.
Нам нужно теперь исследовать преобразование кинетической энергии Т — l/t ХВ|а(| I* при переходе к новым координатам. Это выражение можно получить, дифференцируя (10.15) и используя унитарность матрицы Результатом будет
1	t з
.	7’=^fl(₽2+pV) + y^	(10.20)
X —1
В этом соотношении <о — угловая скорость главных осей относительно неподвижных осей1). Второе слагаемое в Т имеет вид вращательной кинетической энергии с эффективным моментом инерции
Jx = 4B02sin2(y-х^.	(10.21)
\ о /
.Если имеется ось симметрии, то момент инерции относительно этой оси обращается в нуль, т. е. если у = Онли л, то Д3 = 0. Моменты относительно двух других осей одинаковы, и, действительно, находим
J. = J2 = J = 3B02.	(10.22)
Для получения момента инерции мы должны сначала найти параметр кинетической энергии В на основе более фундаментальной модели. Если мы используем значение В для безвихревой жидкости, то J можно легко выразить через момент инерции твердой сферы такого же радиуса и плотности. Результат имеет вид
/ ле. \
(10.23)
*) Выражение для ш приведено, например, в формуле (4.103) работы {8|.
Так как 0 мало, во вращении эффективно участвует лишь очень малая часть ядерного вещества. Величины 0 и у выбраны так, как если бы ядро данной формы вращалось целиком. Но более реально представлять себе это вращение как движение волны по поверхности ядра, увлекающей сравнительно малое количество вещества. Ведь нуклоны в действительности совершают коллективные колебания, а не движутся по круговым траекториям, как при вращении твердого тела. Эти выводы и, в частности, то, что J3= О, основаны на гидродинамической модели. Хотя эта модель и несовершенна, экспериментальные данные показывают, что вращения всего ядра, как твердого тела, вокруг оси симметрии не происходит. Об этом говорит отсутствие вращательных состояний у сферических ядер по крайней мере в области низких возбуждений. Поэтому мы можем сделать заключение, что если J3 не равно нулю, то во всяком случае мало, и если имеются состояния, в которых L3 отлично от нуля, то они будут находиться в области значительных энергий возбуждения.
Легко сообразить, что представление о 0- и у-колебаниях, связанных с вращением, имеет смысл только в том случае, когда равновесная форма соответствует некоторому ненулевому значению 0 = 0О и когда амплитуда 0-колебаний мала по сравнению с 0О, так что «форма» ядра обладает некоторым постоянством. Эта деформация будет возникать в результате взаимодействия частиц, но прежде чем приступить к анализу этого вопроса, рассмотрим подробнее вращение таких ядер.
Мы должны дать квантовую интерпретацию нашего классического описания жидкой капли. С этой целью в выражении для кинетической энергии следует заменить скорости соответствующими импульсами, а вместо этих импульсов в шредннгеровском представлении нужно ввести дифференциальные операторы. Гамильтониан имеет вид
Я = Я, + ЯТ +	(10.24)
где Hf> и в сумме дают общую кинетическую энергию колебаний, третий член — вращательная энергия, a £х—компонента момента количества движения вдоль оси х. Если имеется ось симметрии, то проекция момента на эту ось равна нулю.
Величины Lx отнесены к подвижным осям, и их коммутационные свойства отличаются от правил коммутаций для проекций момента количества движения на неподвижные оси. Разница состоит только в другом знаке коммутатора1): |£ь £2]= —iL3 вместо [Lx, = i£z; следовательно, при работе с этими операторами изменения невелики. В частности, хотя L~ и Ьг, безусловно, являются интегралами движения, в общем случае ни о какой компоненте £х этого сказать нельзя. Но если ось 3 является осью симметрии, то L3 и Н коммутируют, так что L3 будет интегралом движения. Этот факт представляет собой обобщение классической теоремы о том, что свободное твердое тело, обладающее осью симметрии, имеет постоянную проекцию момента количества движения на эту ось. В этом случае имеются три интеграла вращательного движения: квантовые числа J, М и К, определяемые равенствами
£’=£(£+1),
Lt=M,
_______	Ь,= К.
’) См., например, § 101 книги Ландау и Лифшица [9].
Коллективное движение ядра
217
Соответствующие им волновые функции «>к, описывающие это состояние, представляют собой те же самые функции углов Эйлера, которые мы уже ввели как матрицу преобразования сферических гармоник при вращениях.
В общем случае трех не равных JK число К не является хорошим квантовым числом, но волновую функцию можно выразить в виде линейной комбинации (2J + 1) функций Гамильтониан (10.24) обладает таким свойством, что волновая функция может быть разложена на отдельные множители и представлена в виде
V = /}.T.v(₽) s ^•с(¥)М,к(0,Ф,'И).	(10.25)
K—J
Чтобы полностью описать состояние, помимо J и /И, вводятся три других квантовых числа; индекс т заменяет пару чисел, связанных с у-колсбаннями и вращением, третье число v относится к 0-колебаниям. Общин характер 0-колебаний такой же, как и радиальных колебаний трехмерного гармонического осциллятора, разница между ними количественная [3].
Имеются определенные свойства симметрии, которые накладывают ограничения на вид функций g (у). Волновая функция является однозначной функцией величин ац, относящихся к фиксированным в пространстве осям. Но ведь можно выбирать различные оси, связанные с ядром, и в каждом случае они будут давать одинаковые Оц, но разные 0, Ф, Т и у. Значения 0 не зависят от выбора осей 1см. формулу (10.18)]. Волновая функция должна быть инвариантной относительно любого изменения осей, связанных с ядром, при котором величины а(1 остаются неизменными. Можно показать, что все такие изменения могут быть составлены из поворота на 180° вокруг оси /, поворота на 90° вокруг оси <3 и циклической перестановки осей. Анализ воздействия этих трех операций на функции 3>м,к (см. приложение А) дает соответственно три равенства
^(¥) = е‘яО+к)в-К(7),	(Ю-26а)
^(у) = е,ЯА7»^(-у),	(10.266)
gK(Y)= 2 3)JKK. (у, 0, ±}gK. (у-у) ,	(10.26b)
которые справедливы для целых J. Применяя (10.266) дважды, мы видим, что gK = 0, если К нечетно, и что существуют только четные значения К-Это условие может измениться, если рассматривать внутреннюю волновую функцию Хк, умноженную на 3>мк', в этом случае необходимо знать трансформационные свойства внутреннего состояния 1см. формулу (10.53)1. Игнорируя это усложнение, мы получаем из (10.26а), что коллективную волновую функцию можно записать в виде
V = fj.t.v(₽) 2' gk^MUMK),	(Ю.27а)
к=о
где \JMK)— нормированная волновая функция, задаваемая равенством
\JMK) =
’ 2J+1 16л2 (1 + М
72
(^AJK + (— I)72>М,- к)-
(10.276)
Штрих у знака суммы указывает, что суммирование ограничено только’ четными значениями К.
"218
Глава 10
В случае аксиальной симметрии, когда J3 является интегралом движения, имеем
Xv) = Ar.K,x>v(P)^x(Y)I^K),	(10.28)
где А, и v — два вибрационных квантовых числа.
Движение в этом случае разделяется на колебательную часть / (0) g (у) и вращательную. В соответствии с этим энергия имеет вид £\v+ ЯВ|>. Вращательная энергия дается выражением
/jmk \ у	=
\ P2JX /	\ 2J, 2J3Z
= Аз{Л^±1±^1+^_	(Ю.29)
<ская модель, так и
£, КЗв
8+-----------514
Мы уже отмечали, что в случае аксиальной симметрии как гидродинамнче-экспернментальные факты показывают, что мало, если вообще не равно нулю, и поэтому по крайней мере для низколежащих состояний компонента коллективного момента количества движения вдоль оси 3 отсутствует: К = 0. Мы получаем, что
^ = ^/(J+l).	(|0.30)
6+-------------303,7
4 +------------ 146,0
2+----------- 44.11
0+-------------О
Ф и г. 10.3. Вращательная полоса в ри238, построенная на •базе основного состояния.
Кроме того, возможны только состояния с четными J, так как при нечетных J функция (10.276) обращается в нуль, если К = 0. При ненулевом К квантовое число J принимает все значения К, К+ 1, К + 2 и т. д.
В настоящем параграфе мы рассматривали только коллективные формы движения, не интересуясь их связью с внутренними степенями свободы. Если мы хотим сравнить наши результаты с экспериментом, то мы должны выбрать такие ядра, для которых это приближение может оказаться законным. По
скольку внутренний момент количества движения обязательно должен равняться нулю, следует рассмотреть четно-четные ядра. У таких ядер имеются возбужденные состояния, обусловленные возбуждением -отдельных частиц, и для того, чтобы можно было говорить о чисто коллективных состояниях, необходимо, чтобы коллективные состояния имели энергию возбуждения значительно меньшую, чем одночастичные возбуждения, так чтобы не было заметного смешивания конфигураций. Чтобы энергии Ej были малыми, необходимы большие значения j. Поэтому мы должны обнаружить вращательные состояния такого простого типа у сильно деформированных четно-четных ядер. Последовательность уровней, предсказываемая теорией, для нескольких первых возбужденных состояний имеет вид: J = 0, 2, 4, 6, . .. ; все эти состояния четны, и их энергии пропорциональны J (J + 1). Отсюда следует, что EJE2 = 10/3 и Е6/Е2=7. Фиг. 10.1 показывает, что имеются большие области массовых чисел, в которых справедливы эти соотношения. Одна из них расположена между А = 150 и 190, другая находится при Л, больших 220; обе они совпадают с областями больших квадрупольных моментов. Ядра, близкие к магическим, являются
Коллективное движение ядра
219
более сферическими и обладают не вращательными, а колебательными коллективными состояниями. Один из наиболее полных примеров ядерных вращательных полос найден в Ри338; он представлен на фиг. 10.3. Отношения энергий более высоких уровней к энергии первого возбужденного состояния составляют соответственно 3,31; 6,88 и 11,65, что несколько ниже значений 3,33, 7 и 12, даваемых формулой J (J 4- 1). Это уменьшение примерно на 2—3% можно объяснить слабой связью вращательного движения с другими видами движений: колебательным или внутренним движением нуклонов. В общем, такие связи зависят от J2 и дают вклад в энергию только во втором порядке теории возмущений. Следовательно, они приводят к поправочному члену — В [J (J -f- I)]8. Четыре возбужденных состояния Ри238 весьма точно описываются формулой
,2
(10.31) 2,7
где ft1/2.7 = 7,371 кэв и В = 3,22 эв. Эффективный момент инерции J= — 4,71-Ю'47 гам2 составляет 0,54 от момента инерции твердой сферы ^/-.MR*. Деформацию [1 можно определить из наблюдаемого значения квад-рупольного момента *) на основе соотношения (4.12). Момент инерции в гидродинамическом приближении выражается через 0 с помощью равенства (10.23). Для Ри’38 это дает 0,070 jTB, что слишком плохо согласуется с экспериментом. Такая ситуация типична для всех вращательных полос, и это показывает, что приближение, рассматривающее ядерное вещество как безвихревую жидкость, является весьма некорректным. С другой стороны, та замечательная точность, с которой наблюдаемые энергии уровней многих деформированных ядер подчиняются вращательному правилу интервалов, не оставляет ни малейшего сомнения относительно коллективной природы этих возбуждений.
Характер коллективного изменения формы ядра в основном определяется поведением ₽ и у. Поведение каждой из этих двух переменных характеризуется соответствующими квантовыми числами, которые мы обозначали X и V. Вращательные уровни, о которых шла речь выше, базируются на таких состояниях, у которых достаточно велико 0О — среднее значение р — и сравнительно мала дисперсия <(Р — Ро)’). а равновесное значение у равно нулю. Эти условия соответствуют постоянной аксиально-симметричной деформации ядра. На основе каждого возможного состояния Р- и у-ко-лебаний строится вращательная полоса в соответствии с формулой (10.29). Момент инерции будет функцией X и v. У некоторых четно-четных ядер имеются состояния 3* и 5*, которые не укладываются в схему вращательных полос для аксиально-симметричного ядра. Они могут представлять •собой такие состояния, в которых ядро, имевшее аксиально-симметричную форму в своем основном состоянии, приобрело несимметричную форму вследствие возбуждения у-колебаний. С другой стороны, ядро может быть несимметричным и в основном состоянии; тогда вращательные полосы могли бы содержать и такие состояния.
Вращательные уровни ядер, обладающих постоянной неаксиальной деформацией, были рассчитаны Давыдовым и Филипповым [10], с использованием общего гамильтониана (10.24) с тремя различными моментами инерции и волновых функций
2’gJu(y)MAfK),	(10.27а)
________	к
’) Для вытянутых ядер о — 0(1 4-	} 5\л0)(1 4- уг,/*я₽)'*.
220	Глава 10
в которых 0 и у считались фиксированными. При данном J число К пробегает все целые четные значения, меньшие или равные J, за исключением того, что К не может равняться 0 при нечетном J. Следовательно, состояния с J = 1 отсутствуют, а уровни с J = 3 имеют фиксированное значение К, а именно 2. Индекс i указывает, что имеется более чем одно состояние с данным J; действительно, на каждое значение К приходится по одному состоянию, т. е. имеется одно состояние 0, два состояния 2‘, одно — 3*, три — 4’, два — 5* и т. д. Для того чтобы определить энергии этих уровней, для каждого значения К. составляется уравнение
/JMK у —----Е
\ 2JX X —1

(10.27б>
Если подставить значения матричных элементов L\, то эти уравнения приобретают вид
4+2(^а-^)^зК^-к)(/-к-1)х(/+к+1)(Л-к+2)11/«+я;х
2 (J1 + Л a) J3 (J* + •/-№) + 4 J, J,№ - 8
/Е\
J J.JaJs
+₽i-2
(Ja-
- Ji) Ji[(^+ Ю (J+K-l) (J-K+V) X (J-К+2)]*Л=0.	(10.32>
Чтобы система уравнений имела решение, детерминант, составленный из коэффициентов при неизвестных g, должен равняться 0. Отсюда получается уравнение для Е, степень которого совпадает с числом уравнений. Например, для J = 2 система уравнений имеет вид
V 6 ga (Ja - Ji) J j + go 6 (Jt + J2) J3 - 4
ga 2(Ji + Ja) Ja + ejiJa-4
jj'jjtJoJa +/6go(Ja-Ji)J8 = O,
и мы получаем два состояния, энергии которых являются корнями уравнения
(Е \г	/Е \
р) (J;t+J;,+J.”)+
3
+ д' (J;’+J,”+6 j;1 J;1 + 8 (+j;‘) j8-] = o. (1 о.зз)
Если мы рассмотрим аксиально-симметричный случай Ji = J2, Jj-^0, то заметим, что имеются два корня ЗЛа/J1 и 2M/JS. Первый из них совпадает со значением (li2/2J) J (J 4- 1) для случая аксиальной симметрии, а второй оказывается очень большим. Когда асимметрия увеличивается, оба эти значения становятся почти сравнимыми. Энергии низших уровней, рассчитанные с использованием гидродинамического выражения (10.21) для JK, изображены на фиг. 10.4 как функции асимметрии, выраженной через параметр у. Уровни, которые существуют при у = 0, сдвигаются при увеличении у очень незначительно, но уровни, которые в этом предельном случае находятся на бесконечности, смещаются вниз до энергий, сравнимых с энергиями состояний первого типа.
В модели неаксиального ядра предсказывается небольшое отклонение энергий нормальных состояний 2*, 4* и т. д. от закона J (J+ 1). но его
Коллективное движение ядра
221
у, град
Фиг. 10.4. Вращательные уровни неакснальных деформированных ядер (на работы [42]).
трудно было бы отличить от эффекта, обусловленного связью вращения с колебаниями. Имеется более надежный способ проверки. Соотношения (10.33) и (10.32) показывают, что энергии E2i двух состояний 2’ связаны с энергией состояний 3* следующим образом:
E2i+Е22 = 2h2 (3 Г* + Зг1 +	*) =
(10.34)
Около десяти случаев подтверждают это предсказание с точностью до 2%, и, кроме того, положение более высоких вращательных уровней также достаточно хорошо согласуется с моделью. Отсюда можно получить значения у, которые соответствуют экспериментальным энергиям.
Грубый график зависимости у от Л показан на фиг. 10.5. Хотя К и нс является хорошим квантовым числом, примеси невелики не только при малых значениях у, но даже при больших; низший по энергии уровень при каждом J является преимущественно состоянием с К = 0. Чтобы показать степень смешивания различных значений К в состояниях ядер, не обладающих аксиальной симметрией, мы привели в табл. 10.1 значения некоторых коэффициентов gJKi.
Кроме вращательных полос, построенных на базе возбуждений отдельных частиц, сфероидальные ядра имеют также полосы, построенные на коллективных вибрационных возбуждениях 112]. Вместо того чтобы прнпн-
Массами число А
Фиг. 10.5. Зависимость параметра неакснальности у от Л. Пунктирная часть кривой построена на основе значений, вычисленных и работе [26] с помощью величин £« и Ец.
•сывать нх модели асимметричного ротатора, второе возбужденное состояние 2”, а также уровни 3‘ и 5* можно рассматривать как состояния этих полос. Простейшими колебаниями являются Р-колсбання, сохраняющие
КОЭФФИЦИЕНТЫ gJK[			Таблица 10.1 (по Давыдову и Др.*)		
У	0	10»	20*	25*	30»
git	1	1,000	0,996	0,974	0,866
gh	0	7,8-10"»	0,0872	0,227	0,500
git	0	—7,510-»	—0,0867	—0,226	-0,500
gh	1	1,000	0,996	0,975	0,866
g»l	1	0,999	0,955	0,852	0,739
gh	0	0,030	0,296	0,522	0,661
gh	0	10-»	0,010	0,043	0,125
gil	0	—0,030	—0,296	-0,523	-0,559
g»T	1	0,999	0,954	0,842	0,500
g>5	0	0,004	0,043	0,128	0,661
* См. работы [10, 11].					
аксиальную симметрию, прн которых деформация осциллирует около значения р0> тогда как у остается нулевым. Такие колебания не создают момента количества движения, направленного вдоль оси симметрии; следовательно, они порождают состояния с К = 0, спинами и четностями О’, 2’, 4’ и т. д. В тех случаях, когда такие полосы обнаруживаются, они оказываются в области энергий возбуждения около 1 Мэв. Обычно прн довольно низких энергиях появляются у-вибрацнонные состояния, в которых у осциллирует около нуля, а р остается постоянным. Прн этом имеют место малые отклонения от аксиальной симметрии, но К все еще остается почти точным интегралом движения. Колебания у можно описывать также как осцилляции коэффициентов а±2 при сферических гармониках Y±2 около нулевых значений, поэтому такие колебания создают две единицы момента количества движения в направлении оси 3. Третья компонента вращательного момента остается равной нулю, поскольку У3 = 0. Таким образом, К = 2, и в полосу входят состояния 2’, 3’, 4‘ и т. д.
В области энергий более низких, чем энергии р- и у-колебаний, обычно наблюдается вращательная полоса отрицательной четности с низшим уровнем Г. Очень похоже на то, что эта полоса связана с октупольнымн колебаниями поверхности ядра. Такне колебания могут создавать от 0 до 3 единиц момента количества движения вдоль оси 3. Вибрационный момент количества движения с третьей компонентой v в сумме с нулевой третьей компонентой вращательного движения дают результирующее К — v. В общем случае эти состояния имеют J = К, 1 и т. д., но мы уже видели, что если К — 0, то в силу требований симметрии оказываются возможными только состояния с четными J и положительной четностью. Из тех же соображений состояниями отрицательной четности с К = 0 могут быть 1’, 3", 5' и т. д. Состояния Г и 3* были обнаружены во многих ядрах. Следовательно, можно сделать вывод, что низшие по энергии колебания имеют v = 0, т. е. это — аксиально-симметричные колебания. Учитывая вид полинома Лежандра Р3 (cos 0), эти колебания можно описать как образование грушевидного ядра, когда основная масса сосредоточивается то у одного конца ядра, то у другого.
Коллективное движение ядра
223-
Эти колебания иллюстрируются фиг. 10.6. Некоторые примеры состояний, которые можно интерпретировать таким образом, приведены на фиг. 10.7. В случае Dy,M имеется несколько других возможных значений К\ они могут возникать вследствие нуклонных возбуждений или октупольных колебаний cv>0.
Переход от колебательного спектра к вращательному довольно резкий,
как можно судить на основе отношений энергий, изображенных на фиг. 10.1.
Но более наглядное представление об этом изменении дает фиг. 10.8, где представлены схемы уровней ряда весьма типичных изотопов и на их примере продемонстрировано систематическое поведение коллективных уровней: постепенный переход от колебательных спектров в каждом конце диаграммы к вращательным спектрам деформированных ядер в центре. Дважды магическое ядро РЬ20’ не имеет возбужденных состояний ниже уровня 3‘ при 2,6 Мэв. Этот и более высокие уровни хорошо описываются
(i,s0>-oK/nj/no/>6H6(e колебания
как нуклонные возбуждения. Так, например, состояние 3' может быть протонным возбуждением с конфигурацией A/JA»/,1). В РЬ206 некоторые уровни могут быть описаны как
коллективные, но в то же время все уровни можно объяснить с помощью нуклонных конфигураций. Вопросы, возникающие в связи с возможностью объяснения уровней РЬ20®
Ф и г. 10.6. Простейшие формы колебаний деформированного ядра.
Диаграммы слева представляют разрез ядра гв плоскости. перпеиднкулярноП оси 3, прямые линии 'указывают направление оси 1. На диаграммах справа прямые линии дают направление осн 3, а разрез производен по плоскости (2 — J); стрелками показано направление вращения в возможном вращательном состоянии.
на основе двух различных моделей, будут кратко рассмотрены ниже.
Какая из моделей, аксиально-симметричная или асимметричная дает более близкое согласие с экспериментом — это проблема, требующая детального исследования. Мы будем возвращаться к ней в последующих главах. В некоторых отношениях эти две модели можно рассматривать как лишь незначительно различающиеся описания одной и той же физической ситуа-
*) Такая трактовка уровня 3" ядра РЬ20* слишком упрощена. Согласно современным представлениям о природе коллективных октупольных возбуждений сферических ядер, они представляют собой «связанные» состояния «частицы» и «дырки», включающие большое число одночастичных возбуждений (см., например, |36, 37|). — Прим. ред.
&n’“
Dy’6»
Фиг. 10.7. Примеры возможной интерпретации возбужденных полос в четно-четных ядрах.
Фиг. 10.8. Схемы уровней некоторых типичных ядер (энергии даны в Мэв),
Коллективное движение ядра	225
ции * *)• Если форма ядра осциллирует около аксиально-симметричной формы со среднеквадратичным значением у0 параметра у, то его вращательные уровни должны быть очень близкими к уровням ротатора с фиксированной неаксиальностью у0. Например, соотношение (10.34) оказывается справедливым в обеих моделях. Из общих динамических соображений следует предполагать существование 0- и у-колебаний. Вероятно, ближе всего к реальности комбинация этих двух моделей, допускающая колебания около ненулевого равновесного значения у. Но нам кажется, что эта более удовлетворительная модель не будет предсказывать каких-либо экспериментальных следствий, кардинально отличающихся от выводов каждой из этих двух более простых моделей.
§ 3. Связь частицы с коллективными формами движения
До сих пор коллективные формы движения рассматривались без учета осцилляций отдельных нуклонов. Однако эти два вида движений тесно связаны. Если ядро деформируется, становясь несфсрическнм, то частицы находятся уже в другом усредненном потенциале, и движение нуклонов будет изменяться. В то же время «форма ядра», конечно, представляет собой не что иное, как распределение плотности частиц. Ясно, что между коллективными и одночастичными степенями свободы имеется взаимосвязь.
Стабильность больших деформаций ядер может быть понята только на основе рассмотрения движения частиц. Коллективная энергия сама по себе минимальна при 0 = 0; однако может случиться так, что для некоторых значений Ди/ энергия нуклонных орбит имеет минимум при каких-то ненулевых значениях 0 и у. Тогда равновесная форма будет несферической. Движение частиц и коллективные параметры оказывают сильное влияние друг на друга, и мы говорим о предельном случае сильной связи. Другой предел, слабая связь, осуществляется в сферических ядрах; в данном случае взаимовлияние можно рассматривать с помощью теории возмущении. Наблюдаемые уровни любого ядра ясно указывают, какое нз этих приближений является наиболее подходящим для него. Для расшифровки экспериментальных данных такого рода в каждом случае требуется проведение тщательных вычислений. Если обнаруживается, что у некоторого ядра равновесная форма сферическая, то это обстоятельство дает право опустить точное рассмотрение и использовать приближенные методы.
Совместный анализ коллективных форм движения и движения частиц начинается с гамильтониана
Н = Нн + Нч,	.	(10.35)
где Нк — коллективный гамильтониан и Нч — гамильтониан частиц. Нк может быть выражено либо через величины 0, у и углы Эйлера, либо через параметры ац.
Простейшая модель для Нч — это оболочечная модель:
Д, = 2 (Tt 4- V (0, у; гь I,, S/)).	(Ю.36)
	i=i •
*) Динамическая трактовка параметров деформации 0 и у дана в работах Давы дова с сотр. [45].— Прим. ред.
15 Заказ № 37
226
Г лава 10
Усредненный одночастичный потенциал V является функцией формы ядра. Если сделать обычное предположение о том, что потенциал в некоторой точке внутри ядра непосредственно связан с плотностью, то эквипотенциальные поверхности будут представлять собой также поверхности постоянной плотности:
r=rof$, у; 9, ф) и
V= Vo
------------- I, s), /(₽, г. 9, ф) )
(10.37)
где f (0, 0; 9, ф) = 1 и Vo (г; 1, s) — потенциал модели оболочек для сферического ядра. Vo (г) может, например, иметь гауссову форму, а
/=1+ 2а(Л‘. в
(10.38)
Число частиц k, определяющее число слагаемых в гамильтониане /7Ч, зависит от того, что мы собираемся получить: модель или теорию. Если стать на точку зрения упрощенной одночастнчной модели, то можно рассматривать только одну частицу в нечетном ядре, а все остальные сконцентрировать в ядсрный остов, или же для большей точности мы можем заставить i пробегать по всем частицам в наружной незаполненной оболочке. В этом случае мы можем, если.захотим, добавить в гамильтониан и другие члены, чтобы учесть взаимодействие между этими k нуклонами. Еще более привлекательной была бы схема, использующая такую модель движения частиц, в которой базисные функции являются собственными функциями гамильтониана (10.36), а потенциальная часть последнего представляет собой межнуклонный потенциал. Но в таком случае нам пришлось бы решать проблему лишних переменных, так как коллективные координаты оказались бы лишними. При оболочечном подходе эта проблема маскируется введением остова. До настоящего времени обстоятельно изучалась только данная простейшая модель, но сомнительно, чтобы при этом были вскрыты все физически важные стороны проблемы коллективно-одночастичной связи. Для решения некоторых количественных вопросов, таких, как вопрос о численных значениях моментов инерции, необходим более фундаментальный подход.
Очевидно, что гамильтониан (10.35) содержит связь двух типов движения, так как гамильтониан частиц параметрически зависит от 0 и у, которые являются переменными коллективного гамильтониана. Записывая гамильтониан в форме (10.37), мы делаем фундаментальное предположение о том, что частоты движения частиц значительно больше частот коллективного движения, так как только при этом условии мы имеем право считать, что нуклоны находятся в усредненном потенциале определенной формы. Изменение формы ядра в течение того времени, когда частица совершает несколько полных оборотов по своей «орбите», должно быть малым, так чтобы частица могла «чувствовать» форму ядра и чтобы орбита могла адна батическн приспособляться к медленным изменениям формы. Колебательная частота квантового состояния, очевидно, непосредственно связана с расстояниями между возбужденными состояниями — вспомним, например, уровни «Лео гармонического осциллятора. Следовательно, в тех случаях, когда наша модель применима, состояния возбуждения частиц должны находиться значительно выше возбужденных состояний 0- и у-коле-баний.
Коллективное движение ядра
227
§ 4. Слабая связь
Теперь рассмотрим подробно решение гамильтониана (10.35). Сначала обратимся к случаю слабой связи, когда р достаточно мало, чтобы можно было пользоваться теорией возмущений. В этом случае мы имеем дело с почти сферическим ядром, и коллективным видом движения являются колебания поверхности ядра около сферы. Тогда более удобно использовать параметры деформации а(„ как в формуле (10.38). Опуская временно значки зависимости от I и s, мы находим, что члены первого порядка имеют имеют вид
(ЛУ \
*М0
При этом гамильтониан приобретает форму
Я=Як-г^ + Нм,	(10.39)
где Я? —сферический одночастичный гамильтониан
н°ч= гт.+мгкма,	(шло
I
а член взаимодействия можно записать следующим образом:
нвз =— 2Л(г() ЕалцИфь ф,).	(10.41)
I Ми
В последнем соотношении мы произвели вполне очевидное обобщение на случай деформации порядка более высокого, чем второй. Кроме того, мы заменили г (dVoldr) на k (г), чтобы учесть те случаи, когда коллективная частота может быть сравнима с частотой движения частицы. В этих случаях уже нельзя считать, что для V справедливо выражение (10.37). но тем не менее в первом порядке по силе связи имеет смысл принять для Ява общую форму (10.41).
Вид функции r(dVofdr) показывает, что слабая связь представляет собой поверхностное взаимодействие, так как эта функция заметно отлична от нуля только в области хвоста, где ядерная плотность перестает быть постоянной. В предельном случае оболочечного потенциала в виде прямоугольной ямы мы имеем
A(/-) = /?0Vo0)6(r—Яо),	(10.42)
где Яо — радиус ядра, У(пв>— глубина потенциальной ямы. При потенциале, обрывающемся менее резко, k (г) отлично от нуля только в малой области по обе стороны от нечетко выраженной «поверхности».
Решения уравнения (10.39) находятся непосредственным путем. Константами движения состояний гамильтониана Нк являются — число фотонов типа А,, квантовые числа результирующего момента количества
15*
I
228	Глава ! О
движения R и Rt и, возможно, некоторые другие числа. Движение частиц характеризуется несколькими квантовыми числами, в том числе j и т. Мы будем рассматривать связь одной частицы с поверхностью. Случай нескольких частиц в обобщенной модели осложняется необходимостью использования алгебры угловых моментов, но в принципе не отличается сколько-нибудь существенно от случая одной частицы. Состояния невзаимодействующих систем Нк + //?, можно образовать путем векторного сложения коллективного момента количества движения с мометном частицы. Мы будем обозначать их символом |/; NR\ JM), где J и М относятся к полному моменту количества движения. Основное состояние — это состояние, в котором отсутствуют фононы: |/; 00; J = j, М = т). Если учесть взаимодействие, то к основному будут примешиваться все те состояния, для которых матричный элемент
(/; NR-, JM | Явэ | /; 00; J=j,M = т)
отличен от нуля. Такими состояниями являются только однофононные состояния, поскольку величина аХц в Ям имеет ненулевые матричные элементы лишь для состояний, отличающихся точно на один фонон с квантовыми числами момента X и р *). Например, квадрупольные члены а2ц связывают основное состояние только с состоянием, в котором присутствует одни фонон 2*.
Мы находим,.что
(/; 00; J = /, М | k(г)	(0, <р) | /’; 12; JM) =
и
’(Is)	(10.43)
где <о2 и С2 определены соотношениями (10.4) и (10.7), а </|| Уг||/') представляет собой приведенный матричный элемент для гармоники второго порядка по состояниям с моментами j и Они отличны от нуля лишь при j' = /, / ± 1 или j ± 2 и их значения неоднократно приводились в литературе 2) (например, [4] стр. 138). Последним множителем является матричный элемент от k (г) по радиальным волновым функциям состояний частицы.
Пользуясь простым выражением (10.42), можно получить приближенное значение
(nl | k (г) | «'/')= Uni (г) k (г) un-i- (г) г2 dr я» Vo>RoUni (Ro) un-v (Ra).
Этот матричный элемент в грубом приближении не зависит от п и I и по порядку величины равен 40 Мэе. Во многих расчетах он брался в виде константы.
’) Этот тривиальный в рамках вторичного квантования результат может быть получен из свойств волновых функций гармонического осциллятора, которые, как мы видели, описывают состояние фононов. В большинстве учебников квантовой механики показано, что
(N\a\N') = J	при |/y_W»|=1>
0 в остальных случаях,
где л — большее из двух чисел N и А'. См., например, формулу (13.18) в книге [13].
2) См. приложение А.
Коллективное движение ядра
229
Обычная теория возмущений показывает, что волновая функция основного состояния теперь равна
'F(J = j,M)=|/;0,0; М)-у V|/; 1, X; JM)X г >.
х (n/|fe|n7>(j||nII/) /НоЛ 72
(их+Ej.—Ej \2С\/ ‘	(1044)
Так как <и3 составляет приблизительно 2co2, то наибольшие коэффициенты смешивания соответствуют, по-видимому, состояниям с 1 = 2. Видно, что / не является точным интегралом движения и что частица проводит часть времени в состояниях с теми значениями j', которые связаны с / посредством YK. Если главную роль играют состояния с 1 = 2, то разрешено смешивание состояний с |/—j’ | < 2 и одинаковой четностью^ Кроме того, поскольку в знаменателе находится разность энергий, то заметно примешиваются только ближайшнесостояния. Если N или Z несколько выше 50, то следует ожидать примешивания состояний d»/s и g7/2, тогда как при N или Z несколько меньших 50 вероятность примешивания состояний руг и ft/2 не так велика ввиду большей разности энергий. То же самое можно сказать в случае магического числа 82, но в промежутке между магическими числами 20 и 28, где согласно модели оболочек имеются состояния /?/2, сферические ядра предположительно имеют вполне чистые основные состояния / = 7/2. Заметим также, что даже в том случае, когда существен только член с /' = j, примешивание состояний с более чем одним фононом означает, что /2 и не являются интегралами движения.
Как правило, очень большие примеси других состояний к основному состоянию не встречаются. Параметром, определяющим эту связь состоянии, является отношение матричного элемента от k (г) к вибрационной характеристике (Л(о2С2)',г. В действительности эти отношения умножаются еще на </|| К2 И/'), но поскольку этот матричный элемент слабо зависит от / и /', мы можем приближенно заменить его просто на (5/16n)IZ*. Поэтому мы обычно говорим, что критерием применимости теории возмущений является условие
/ 5 \‘/2 k .
I — 1---------г/ 1.	(10.4о)
\16л/ (»<й>2С2)/г
Но имеется один случай, когда этот критерий может оказаться непригодным. Если рассматривать возмущение однофононного возбужденного состояния, скажем |/’; 1, 3; JM) с энергией Е = Ej-\- />ы3, то может оказаться, что имеется одночастнчное возбужденное состояние \j’ = J; 0, 0; JM), обладающее энергией Е' = Еу. Если энергия возбуждения частицы Еу — Ej близка к #«<о3, то знаменатель Е'— Е в формулах теории возмущений очень мал. При таких обстоятельствах оба невозмущенных возбужденных состояния будут сильно изменены, и трактовать одно из состояний как коллективное возбуждение, а другое — как одночастнчное будет неправильным, точнее можно сказать, что оба состояния являются одновременно и коллективными и одночастичными возбуждениями.
Это как раз тот случай, уже упоминавшийся нами, когда мы говорим, что коллективное состояние распределено по нескольким ядерным состояниям. В области более высоких возбуждений, где плотность состояния больше, вблизи друг от друга обычно находится несколько состояний, способных смешиваться; следовательно, нельзя надеяться, что при этих
230
Глава 10
энергиях можно дать простое описание состояний с помощью моделей, применяемых для низколежащнх состояний.
Очевидно, что в нечетных ядрах над основным состоянием могут быть построены колебательные уровни с такими значениями моментов, которые получаются при векторном сложении момента основного состояния j с моментами одного или двух фононов. Низшие из этих состояний обусловлены одним фононом с X = 2; они обладают моментами J = j ± 2, j ± 1 и j и в простейшей модели являются вырожденными. На самом деле вырождение снимается из-за наличия других состояний внешней частицы или примеси других фононных состояний. Экспериментальных данных в пользу существования таких состояний имеется значительно меньше, чем данных относительно вибрационных состояний с J = 2 в четных ядрах. Это связано в основном с наличием у нечетных ядер одночастичных состояний при значительно более низких энергиях и с соответствующей перестройкой спектра.
§ 5. Сильная связь
Обратимся теперь к противоположному предельному случаю большой постоянной деформации ядра и малых колебаний формы.
Мы не будем больше разлагать выражение для потенциала (10.37) по степеням 0, а вместо этого решим одночастичное уравнение Шредингера
= 17'4- V (0, у; г, 1, s)l фа = Еа (0, у) фа,
(10.46)
рассматривая 0 и у как параметры *), Индекс а обозначает различные квантовые числа, появляющиеся в решении. Расчет дает совокупность одночастичных орбит, которые представляют собой обобщение обычной модели оболочек. При заданном числе частиц определяются значения 0 и у, которые сводят к минимуму полную энергию частиц. При этом возникает проблема самосогласованное™ метода: действительно ли полученные орбиты дают окончательную плотность с теми же самыми значениями 0 и у? Или — и на этот вопрос еще труднее ответить — приводит ли предсказанное движение частиц к эффективному потенциалу такого же вида, из которого исходили в расчете? Рассмотрение этих вопросов в принципе не отличается от анализа аналогичных проблем в сферической модели оболочек.
Поверхностная энергия, пропорциональная 02, теперь включается в гамильтониан для частицы таким образом, что решения уравнения (10.46) для различных значений 0 имеют разные энергии. В результате поверхностная энергия оказывается, как и должно быть, отраженной в более фундаментальных изменениях внутренней энергии частиц. Но вращательная энергия, связанная исключительно с ориентацией деформированной системы, остается в виде коллективного гамильтониана, так как уравнение (10.46) содержит потенциал, зависящий только от двух параметров 0 и у, характеризующих форму ядра. Поэтому волновые функции фа являются функциями частицы, отнесенными к системе координат, связанной с ядром. Может показаться, что более последовательным было бы выбрать потенциал, в котором все пять величин <хц рассматривались бы как параметры, и связать все свойства главным образом с изменением структуры частиц вследствие изменения величин ан. Но такой способ описания неудобен, так как ориентация ядра изменяется значительно быстрее формы; если ₽ и у
*) Мы будем обсуждать только деформации с X = 2.
Коллективное движение ядра
231
можно все время считать близкими к их средним значениям, то об углах Эйлера этого, очевидно, сказать нельзя.
Таким образом, мы разделяем коллективную вращательную энергию и одночастичные энергии, соответствующие определенным нуклонам, находящимся вне остова. Как уже отмечалось, число этих нуклонов зависит от того, насколько сложную модель мы хотим использовать. Обычно берется либо один нуклон, либо все нуклоны вне главных заполненных оболочек. . Тогда полное волновое уравнение для ядра имеет вид
где
1ТИР+ 2ЯЧ1¥ = Е¥, р
(10.47)
(10.48)
3
v(^-/x)2
2/У„ ’
где J, R и j — полный момент количества движения, момент остова и момент нуклона соответственно. Последний момент j не обязательно момент только одной частицы, это — момент всех частиц, не включенных в остов.
Прежде чем перейти к исследованию внутренних одиочастичных волновых функций Ха, мы рассмотрим структуру полной волновой функции V и обратимся сначала к аксиально-симметричному случаю, для которого
12
Т.р=£-l(J	)!l +	(А-/.)!.	(10.49)
Jr	ZJr 3
Для удобства мы из каждого оператора момента количества движения вынесли множитель Л. Так как V предполагается аксиально-симметричным, азимутальные углы частиц не входят в гамильтониан, и поэтому величина j3 является интегралом движения. Обозначим ее через Й. Интегралом движения является, безусловно, и J’, а также и J3. Получаем
.2	,2
Т„Р = ~~ V (J + 1) + J2- 2J • j - (К- Q)1] +	(К- £})*=
2J	2,7 з
= *!|J (J+1)—№- й2] 4-*!. (К- й)*_
2J	2J/
О0-50)
Первые члены соотношения (10.50) теперь являются константами, последние члены все еще остаются операторами. Величины 7± и /± являются операторами ± iJ2, ji ± t/г- Члены, содержащие эти операторы, связывают вращательные моменты с моментами частиц, и мы будем сокращенно обозначать их ВЧС. Поскольку в классической механике «потенциальная» энергия сил Кориолиса, действующих на частицу, может быть записана в виде Io»-L1, мы видим, что член ВЧС действительно имеет то же самое происхождение, что и силы Кориолиса. Последний член li’j1/2J содержит только координаты частицы и может быть включен в гамильтониан движе
232
Глава 10
ния частиц. В итоге мы имеем
2	2	л
— [J(J-f-l)—№— Q’l+2L[/<_й]2 + Яо + ВЧС Т = ЕЧ', (10.51а)
L2J	2J3	J h2 (	\2 Wo=Y Hp + £_ V jp) .	(10.516) "	2.7 \" / p	p
Мы уже отмечали, что для низколежащих состояний в случае аксиальной симметрии J3 очень мало, и, следовательно, мы должны принять К = й. Точно так же, как и для четно-четных ядер, в этом случае отсутствует компонента коллективного момента количества движения вдоль осн симметрии. В этом важном частном случае можно рассматривать кориолисов член как возмущение. Операторы имеют матричные элементы только по состояниям, у которых К отличается на единицу; следовательно, наше предположение о том, что К — хорошее квантовое число, несправедливо, ибо если мы возьмем волновую функцию с определенным /< в качестве нулевого приближения для Чг, то член ВЧС примешивает к ней состояния с другими К. Но в теории возмущений коэффициенты смешивания содержат в числителе матричный элемент ВЧС и в знаменателе разность энергии двух состояний. Так как при аксиальной симметрии К = О, то состояния с разными К — это фактически разные состояния внешних частиц. С другой стороны, матричные элементы ВЧС того же порядка, что и интервалы между вращательными уровнями, пропорциональные Р/2,7. Следовательно, для ядер с четко выраженной деформацией такой, что вращательный интервал мал по сравнению с энергиями возбуждения наружных частиц, кориолисовым членом можно пренебречь, кроме тех особенных случаев, когда уровни, относящиеся к различным состояниям частиц, очень близки друг к другу. Как мы увидим ниже при рассмотрении симметрии полной волновой функции, этот результат несправедлив, когда К = */«.
Пусть нормированная внутренняя функция Хи определена из уравнения
ЯоХо = 80Хо,	(10.52)
где для простоты указано только квантовое число й, хотя для полной характеристики состояния, безусловно, нужны и другие числа.
Тогда решение уравнения (10.51а) без учета ВЧС имеет вид Хя^мк-Однако это решение не обладает симметрией относительно поворота осей, связанных с ядром на 180°. Напомним [см. формулу (А.58)], что оператор поворота Ri преобразует Ям к в (— 1)J_к3>м. -к- Тогда соответствующим образом симметрнзованное и нормированное решение приобретает форму
Т(/МК£2) =	+ (-
\ Ion /
Ввиду того что потенциал V не является сферически симметричным, усредненная сила, действующая на частицы,— нецентральна и j2 не является константой движения. Поскольку во многих задачах проще иметь дело с состояниями, соответствующими определенному моменту /, мы введем разложение
Хя= Sc>qX;q.	(10.53)
1
Коллективное движение ядра	233
Определить значение /?|Хш не составляет труда. Первый шаг состоит в использовании весьма общего свойства матриц которое позволяет преобразовывать любые собственные функции углового момента или любые сферические тензоры из системы координат, связанной с ядром, в систему координат, фиксированную в пространстве. В нашем частном случае имеем
Х>о= * и где х'— волновая функция, записанная в неподвижной системе координат, ц — проекция j на ось г. Оператор конечно, не действует на х\ и поэтому получаем
Я.Х;и== 2(-1)"У"О,^-оХ;ц=(-1ГУ"Я>Хл-С.	(10.54)
н
Симметризованная функция приобретает форму
(9./4- 1\'/г
—х 16л /
х ^maX0 + (-1)J+K+0Sm,_k2(-,)>Q0Xj.-0].	(10 55)
J
Это соотношение применимо в самом общем случае, даже при наличии трех неодинаковых моментов инерции, когда волновая функция представляет собой линейную комбинацию 2 Лко'К
к, а
Имеется несколько важных случаев, когда (10.55) упрощается. При аксиальной симметрии К — и коэффициент при втором члене равен (— 1)J+I, так как 2К — нечетное число. Другим важным случаем является упрощенная одночастичная модель: одна внешняя частица над остовом. В этом случае xq можно представлять по-другому с помощью одночастичных волновых функций, у которых константами движения являются орбитальный момент I, его компонента X вдоль оси 3 и S компонента спина вдоль оси 3. Очевидно, что S = Q — Л. Мы имеем в этом случае
Хо= 2а<леХмо-	(10.56)
лл	>
Так как четность является хорошим квантовым числом, то значения I либо все четные, либо все нечетные. Коэффициенты eja выражаются через aJAB просто с помощью коэффициентов векторного сложения угловых моментов, а именно
с>0=2(/-^Л2|/п)а,Лц.	(Ю.7)
1,Л\	*	]
В отношении инверсии оси 3 можно показать, что Я(до должно быть равно я/.-л,-я- Используя этот результат, а также тот факт, что
(/i/2miW21 jtn) = (— l)/l+,2-/ (/,/,—ml —	m),
находим
9О»(-1Л<,/4,ПхсЛ-а,
где 1IX = (— I)1 — четность функции X- В этом случае выражение под знаком суммы в (10.55) равно (— 1)Я-*А Пхх-я = (— 1),/2ПхХ-я и, если
234	Г лав а 10
к тому же имеется аксиальная симметрия, то получаем
4(JMK) =	) /2 {^кХк + (-l)J-,/2IIxx-K^ir-K}.	(10.58)
\ 16л /
Вернемся теперь к рассмотрению кориолисова члена, который связывает только состояния со значениями К, отличающимися на единицу. Поскольку функция ядерного состояния Ч' (JMK) содержит коллективные волновые функции с обоими значениями +К и —К, то кориолисов член действительно непосредственно дает вклад в энергию состояния с К = 1/а, но только в этом случае. Из (10.55) легко видеть, что при К = £2 = */2
(ВЧС) = ~ а (- ’)J+'/2 (7 + у) •
(10.59)
где величина а, называемая параметром развязывания, определяется формулой
a=-S (-1Г‘/2(/+|) IW’.	(Ю.60)
Соотношения (10.51), (10.52) и (10.60) дают для энергетических состояний аксиально-симметричного ядра следующее выражение:
Ei, к — Ек +
/ Ь2\
J (J± \)—2К2 + вк, ./2а(- l)J+7i
(10.61)
Таким образом, на базе каждого состояния внешних частиц строится вращательная полоса. Коллективный момент количества движения не имеет компоненты вдоль оси 3, К целиком обусловлено моментом частиц и остается неизменным на протяжении всей полосы. Все более высокие значения J, удовлетворяющие условию J>K, разрешены; при К ¥= V2 низшее состояние соответствует J = К, а для последующих состояний J = К+1, К + 2, .... Энергия возбуждения над основным состоянием данной полосы равна
/1,2 \
ДЕ>= — U(J+1)—K(K+1)L	(10.62)
Если К = Vj, то порядок уровней определяется значением а, характер зависимости показан на фиг. 10.9. Например, при а, заключенном между —2 и —3, уровни расположены в следующем порядке: 3/2, Vj. 2/г, 6/2. и/2, и т. Д.
Как и в случае четных ядер, колебательно-вращательное взаимодействие усложняет эти результаты. Если учесть эти малые поправки, то энергия приобретает вид
•	/ < 2\	/12\ Г	/	1\
2
(10.63)
Мы уже отмечали, что в особых случаях за счет члена ВЧС могут возникать отклонения от соотношения (10.61). Такая ситуация имеет место
Коллективное движение ядра
235
в ядре W'183, где основное состояние с К = Чг и возбужденное состояние с К = 8 /г Довольно близки по энергии, оба являются низшими состояниями вращательных полос, некоторые уровни этих полос имеют почти одинаковые энергии, и структура полос не соответствует формуле (10.61). Керман [14] показал, что учет возмущения, обусловленного кориолисовым членом, позволяет объяснить это расхождение.
Связь движения частиц с коллективным движением в ядрах, не обладающих аксиальной симметрией, не была детально исследована. Ни К,
Ф и]г. 10.9. Зависимость энергии вращательных уровней от параметра развязывания а в полосе с К = 1/2.
По оеи ординат отложена величина Ej—е, определяемая формулой (10.61).
Фиг. 10.10. Вращательные уровни неаксиального ядра, из которых образуется вращательная полоса, построенная на базе одночастичного состояния /=’/2 (по Давыдову).
ни Q не являются константами движения, и кориолисовы силы существенны для всех состояний. Из-за наличия трех неравных моментов инерции кориолисова энергия не имеет простой формы ВЧС. Общий характер возбужденных состояний подобен характеру возбуждений вращающихся сфероидальных ядер в том, что во вращательной полосе имеется несколько состояний с одинаковыми J.
Те состояния, которые существуют у аксиально-симметричных ядер, очень слабо изменяются в зависимости от параметра асимметрии у, тогда как другие состояния, которые находятся в области бесконечных энергий возбуждения при у = 0, очень быстро снижаются по энергии и пересекаются с остальными состояниями при значениях у между 20 и 30°. У нечетного ядра значительно больше вращательных уровней, чем у четного. Был выполнен типичный расчет’) для одной частицы, связанной с остовом, при довольно специальном предположении, что момент частицы j имеет постоянное значение ’/» [11]. Предсказанная схема уровней показана на фиг. 10.10. Давыдов высказал предположение, что уровни №’83 следует сопоставлять именно с такой полосой, а не с двумя симметричными вращательными полосами, предположенными Керманом; хотя при этом согласие и не такое хорошее, как полученное Керманом, это обстоятельство нельзя рассматривать как доказательство того, что ядро UZ183 аксиально-симметрично, поскольку у Давыдова движение частиц рассматривалось упрощенно.
1) См. также [43*, 44*).— Прим. ред.
236
Глава 10
§ 6. Состояния частиц в деформированных ядрах
Для дальнейшего продвижения в изучении нечетных ядер мы должны составить себе представление о состояниях движения частиц вне остова. Фундаментальная работа по этому вопросу была написана Нильссоном в 1955 г. [51, рассмотревшим случай аксиально-симметричного ядра; его расчет был развит на случай общей формы ядра Ньютоном [161.
Внутренняя волновая функция определяется уравнением (10.52)
/.2\( \т
+ ех'
р	р
Если бы сюда не входил оператор (jp • j4), то между частицами вообще не было бы никакой связи.
Чтобы сохранить нашу модель простой, необходимо было бы исключить связь между частицами. Поскольку мы описываем сильные ядерные взаимодействия с помощью усредненного оболочечного потенциала, можно пренебречь членами О'р• j<?). так как имеет порядок величины 15 кэв и вдобавок сумма У (j₽-j4) сама посебс мала, ибо в ядре имеется много пар р. а
нуклонов с противоположно ориентированными моментами.
Поэтому мы будем интересоваться одночастичным уравнением вида
-(та)гд~; '• ’)!*•=£ ?>*•	<|0Л6>
\2/И/	\f(p, у; 0, <р) /J
<
Мы можем уточнить модель, если вспомним, что эффективный одночастичный потенциал Уо зависит от импульса. Представив эту зависимость с помощью эффективной массы Л!*, мы должны будем включить в Уо член
-'’’(я-лг)-	(|0'64)
Тогда полная энергия ядра будет содержать член р2/2М*, так как полная
энергия равна
е
Усредненный одночастнчный потенциал имеет вид
Vo(0= 2 У и и поэтому
Мы видим, что коэффициент при р* в (10.65) равен J/2A1*, т. е. М* — это эффективная масса, определенная обычным образом. Исключая из потенциала член (10.64), мы можем переписать (10.46) в виде
Фа = £»Фа
(10.66)
Коллективное движение ядра
237
где
1= —L
ц* М* М‘
(10.67)
Этот анализ применим и к оболочечной модели сферических ядер. Заметим, что эффективная масса ц* в одночастичном уравнении движения значительно меньше действительной эффективной массы; если Л4*	0,7 М,
то р* % 0,5 М.
Величина Vo (г; I, s) должна представлять собой потенциал, который даст наблюдаемую структуру сферических ядер. Поэтому он должен содержать член (1-s) и давать, как мы уже говорили, радиальную зависимость, промежуточную между оецнлляторным потенциалом и прямоугольной ямой с размытым краем. Но вычисления с таким потенциалом очень сложны, и на практике в расчетах были использованы более простые потенциалы. Особенно удобным оказался потенциал гармонического осциллятора. Он, конечно, дает неправильный порядок уровнен, но к нему добавляются поправочные члены, содержащие момент, с константами, подобранными эмпирическим путем так, чтобы получить хорошее описание фактического порядка уровней.'
В качестве деформированного потенциала мы возьмем функцию k (г//)2, где
f = 1 + ₽cosY^+	Р sin у(И+ Угг).
V *
В первом порядке по р это выражение эквивалентно
/ 2 1 2 \ ч4т+т2+4 .	(Ю.68)
\ Аг /
где (хь х2, х3) теперь относятся к внутренним, связанным с ядром осям, а
(10.69)
Таким образом, эквипотенциальные поверхности представляют собой эллипсоиды с таким же отношением осей, как и для поверхностей постоянной плотности, по крайней мере, в первом порядке по р. Постоянство объема ядра обеспечивается тем обстоятельством, что в первом порядке Л1ДгД3=1.
Если мы запишем wj = 2/г/р.*Л^, то анизотропный осцилляторный потенциал (10.68) приобретает форму
_ _	1	★ z 2 2	2 2	22
У*в у)1 (“|Х1-Ь(1>2Х2-Г CO3XS)	(10 70)
и одночастичное волновое уравнение	(10.66)	имеет	вид
/ h\2	\
(10.71) \ 2Н	/
Функцию фв удобно представить в	виде	линейной комбинации полного
набора решений осцилляторного гамильтониана (—>i2V2/2p*) + Vh. Чтобы найти правильную линейную комбинацию, требуется определенная вычислительная работа для получения точного решения, так как член Vi. s
не слишком мал и теорию возмущений применять нельзя. В случае гармонического осциллятора не только известны волновые функции, но можно также воспользоваться и тем свойством линейного осциллятора, что средние значения кинетической и потенциальной энергий его одинаковы в каждом оецнлляторном состоянии.
Уравнение (10.71) лучше всего рассматривать, вводя новые координаты
(10.72) \ h )
которые соответствуют применению разных масштабов длины по трем осям. Преобразованный гамильтониан (без учета члена VItl) дается выражением
Hh-----Vn = У	f-X+ Й ) -	(Ю.73)
2р.	—2	\ dlx /
Оно представляет собой просто сумму гамильтонианов трех линейных осцилляторов; соответствующие квантовые состояния имеют энергии S (пх + -J-VtJhWx. где nlf пг и «з — числа, характеризующие степень возбуждения каждого линейного осциллятора. Решение уравнения Шредингера (10.71), включающего потенциал Vlr„ можно выразить в виде линейной комбинации ЭТИХ ВОЛНОВЫХ функций |П1г п2, п3).
Но проще работать в псевдосфернчсскнх координатах, вводя к vi=s£
и записывая гамильтониан в виде
Hh = H0+Ht,	(10.74)
где
Wo = yto>o(-Vj + e2).
(Йо = —J- II (0х = Шо(1 4" fix)-и
Собственные функции изотропного трехмерного осциллятора можно записать двумя способами, используя либо декартовы, либо сферические координаты. В первом случае константами движения являются числа колебательных квантов по каждой из трех осей пх, п„, nt. В сферических координатах соответствующими константами являются полное число квантов У = пх4- пагр пг, величина орбитального момента и его компонента по оси г. В этом случае собственные функции являются линейными комбинациями всех состояний \пх, пи, пг), для которых N постоянно. Если частица имеет спин, то его проекция является третьим квантовым числом. Собственные состояния гамильтониана Но, входящего в (10.74), характеризуются числом У = л1 + п2 + п3 и псевдомоментом
Х= —	(Ю.75)
Коллективное движение ядра
239
Конечно, X отличается от истинного орбитального момента — jftr х Vr членами первого порядка по бх. Тем не менее система координат | является более предпочтительной, потому что оставшийся член Не диагоналей по П|, п2 и Лз и, следовательно, по N. Таким образом, состояния |W, /, Л, X) являются собственными состояниями 11 ь, где I2 = I (Z -J-1), Х3 = Л, а проекция спина s3 = X = ± */2.
Мы получили набор состояний, по которому удобно разлагать действительные состояния, даваемые уравнением (10.71). Он составлен из собственных функций первых двух членов. Обратимся теперь к члену У|,в. Он феноменологически выбирается так, чтобы согласовать энергетические уровни сферических ядер с моделью оболочек. Ясно, что мы должны включить в него спин-орбнтальное взаимодействие, но нужно ввести еще одни поправочный член, который будет уменьшать по сравнению с осциллятор-ными значениями энергии состояний с более высокими орбитальными моментами. Нильссон совершенно произвольно ввел с этой целью член DX2, и то же самое сделал Ньютон. Можно думать, что следовало бы употребить I®, а не А,2, т. е. истинный (а не псевдомомент количества движения). Но этот член не имеет строгого теоретического обоснования, так что можно брать его в той форме, которая более удобна; Нильссон также показал (работа [5], приложение А), что разница энергии в этих двух случаях невелика. Следовательно, мы будем использовать добавку £>к2, которая диагональна по состояниям | N, I, Л, X). Из тех же соображений мы можем записать спин-орбитальный член в виде С (X-s).
Некоторое оправдание введению члена DA.2 получено в расчете, основанном на нелокальном потенциале [131. Нелокальный потенциал очень малого радиуса действия типа, предложенного в теории бесконечной ядерной материи, приводит к модифицированному волновому уравнению
И^-р2+2рЛ р+р2Л+Уо (4VCI s
4 2т 2т 2т \f
ф = £\|>,
(10.76)
где а — радиус нелокальных эффектов, Vo — локальный усредненный потенциал и т = М [1—(а2М /2№) Vo j'1. Лсммер нашел собственные состояния и собственные значения энергии отдельной частицы, на которую действует этот потенциал. Его результаты очень похожи на результаты, полученные Нильссоном, и он показал, что добавочные члены, содержащие р, в (10.76) почти в точности эквивалентны по своим свойствам члену к2, особенно при больших отклонениях от сферичности.
Нильссон и Ньютон численно решили одночастичное волновое уравнение
(Яо+//е+СХ-5 + тг)фа = Евфв.	(10.77)
Расчет Нильссона выполнен для аксиально-симметричных деформаций с использованием параметра б, определяемого следующим образом:
1	2
й1 = б2= й3 = -4б.
3’3
В первом порядке *) 6 = (15/8л)‘'=0. Результаты зависят, конечно, от констант С, D, <о0 и б. Частота ю0 связана с константой осциллятора,
*) В литературе нет общепринятого обозначения этой величины. Наш параметр б не совпадает с б, использованным Нильссоном |5], а совпадает с его параметром в. Наше б одинаково с б работы |6]. Используются и другие обозначения.
240
Глава 10
которая в свою очередь связана с размером ядра (см. задачу 7.7). Таким образом, а>о ~ Д'1/». Для столь больших деформаций, что величина б2 становится существенной, <о0 является также функцией б, потому что объем ядра пропорционален Д|ДгД3, или (14-б/3)"2(1—26/3)-1. Поэтому удобно ввести параметр
26/, <1>о (б)
"-------с~
(10.78)
Величины С и D выбираются в соответствии с оболочечной моделью для сферических ядер; D изменяется от оболочки к оболочке. В литературе
Фиг. 10.11. Одночасгичные уровни для 8<Z<20, 8</V<2.1 (по Мотгельсону и Нильссону).
Соответствую iptc волновые функции приведены в работе [5], табл. 1 н 1а.
используются обозначения х = С/2л<оо (0) и ц = 2D /С. Наиболее подходящими значениями оказываются Лсоо (0) — 41 Д'1/» Мэв и х = 0,05 при N > 50, х = 0,08 при N < 20. Значения ц изменяются от нуля до 0,70 в зависимости от оболочки.
Результаты Нильссона представлены в работах [5, 6] в виде многочисленных таблиц и графиков. Мы воспроизводим эти графики на фиг. 10.11—10.15 для тех областей периодической системы, где имеются большие деформации. Оригинальные расчеты охватывают все числа частиц. Этн графики показывают энергию каждого состояния как функцию деформации б. Для Z и N > 20 показаны только положительные деформации.
Линия, представляющая каждое состояние, отмечена значением Q, четностью и тройкой чисел hVn3AL Хотя в сферическом представлении величина л3 нс является интегралом движения, она почти становится инте-
Таблица 10.2
ПРИМЕР HILIbCCOHOBCKHX ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ*
N = 5 £2=7/2
Базисные векторы: | 553-}-), | 533-}->, |554—)
и- -6	-4	—а	0	2	4	б	4-00
—16,090	—15,493	—14,007	— 11,400	—8,393	-5,255	-2,055	|503|
-0,615	—0,485	-0,214	0,000	0,094	0,144	0,177	
—0,583	-0,723	-0,954	1,000	—0,994	—0,987	-0,982	
0,531	0,493	0,210	0,000	—0,055	-0,057	—0,068	
—20,498	— 18,153	— 16,194	-15,000	— 13,691	—12,885	—11,757	|514|
0,082	0,254	0,432	—0,426	-0,372	-0,321	—0,279	
—0,717	—0,655	—0,285	0,000	-0,086	-0,111	-0,117	
-0,692	—0,712	—0.856	0,905	0,924	0,941	0,953	
—27,812	-26,755	—26,199	—26,000	—26,046	-26.260	—26,588 .	1523}
0,784	-0,837	-0,876	0,905	—0,924	-0,936	—0,944	
—0,382	0,220	0,092	0,000	—0,066	-0,114	-0,149	
0,489	—0,501	—0,473	0,426	—0,378	-0,333	-0,295	
• В работе Нильссона [5] коэффициенты при базисных состояниях в волновых функциях ие нормированы.
(В русском переводе статьи Нильссона приведены нормированные значения этих коэффициентов. — Прим, ред.)
Соответствующие волновые функции приведены в работе [5], табл. I и 1а.
16 Заказ X'i 37
242
Глава 10
гралом движения при очень больших деформациях. Это и естественно, поскольку разность энергий Лев, — 1>ш3 увеличивается. Пример нильссо-новскнх таблиц для волновых функций показан в табл. 10.2. В первой строке для каждого состояния дана энергия в единицах 1ко0. Остальные строки показывают структуру волновой функции, давая значение величин
Фиг. 10.13. Одночастнчные нейтронные уровни для 82 < У <126 (по Моттельсону и Нильссону).
Соответствующие волновые функции приведены в работе [6], табл. 1 и |а.
а1А, с помощью которых реальная одночастичная волновая функция, являющаяся решением уравнения (10.77), записывается в виде
Фао= 2а/л|^/ЛХ>.	(10.79)
Конечно, Л + S = S2. Например, состоянию, приведенному в верхнем отделе табл. 10.2, при т) — 0 соответствует волновая функция 1533-J- > и энергия — 11,400; форма ядра сферическая. Это просто волновая функция /’/» (/и ~ ’4)- Когда деформация увеличивается, волновая функция становится более сложной; так, прн т| = 2 она имеет вид
0,0941553 + )- 0,994 j 533 + ) - 0,055|554 -).
В этой ситуации хорошими квантовыми числами является только N и Q. Волновую функцию можно также представить в виде комбинации состояний с фиксированными значениями пь п2 и п3. Вместо этого мы взяли состояния с фиксированными I и Л, а эти состояния сами по себе являются линей
Коллективное движение ядра
243
ными комбинациями состояний (ль п2, п3). Когда т] -> оо, вклад состояния с Л — 4, который и в остальных случаях не очень велик, стремится к нулю, и у нас остается такая линейная комбинация , 553 + ) и 1533 +), которая
Фиг. 10.14. Одночастичные протонные уровни для Z>82 (по Мот-тельсону и Нильссону).
Волновые функции для состояний с W=6 приведены в работе [5], табл. I и 1а, а функции для случая ^=5 содержатся в работе [6], приложение 1.
описывает состояние с п3 = 0. Поэтому в последнем столбце таблицьГдля чисел |(Vn3A] указаны значения 1503].
Второе состояние в табл. 10.2 в сферическом случае имеет вид
- 0,4261553 +) + 0,905 j 554 — >.
Коэффициенты этой линейной комбинации представляют собой просто определенные значения коэффициентов Клебша — Гордана, и данное состо-
16*
244
Глава 10
яние — это фактически состояние /i»/t (in = 7/2). Третье состояние в таблице прн нулевой деформации совпадает с Ли/, (т = 7/2). Два верхних состояния показаны на фиг. 10.14; а третье состояние — на фиг. 10.12. Аналогичные состояния для нейтронов можно найти на фиг. 10.13; волновые функции нейтронных состояний существенно отличаются от протонных,
7,25 -
700-
_Ц75-
J
UJ
«150 -
625
1/2 (ИЯ
»/2 +
<ап
Ш + |«111
ТЛ-|М>|
1П ♦ |4И|
tn* |«п
sn - ри)
г/г - ITW)
1П * |61Я ЧП -|«5|
>П * (««2| tn - p«l) 1/2 • |««)
»n + |«w) 1/г*[«и) ня* («и)
tin - |707)
пп
02 I
m * mu 0.3
Фиг. 10.IS. Одночастнчные нейтронные уровни для Л7 > 126 (но Мот-тельсону и Нильссону).
Волновые функции иля состояний с Л’=6 приведены в работе [5]. табл. I и 1а, а функции для случая М=7 содержатся п работе [б], приложение I. В этой и двух предыдущих схемах уровней были сделаны некоторые исправления энергий для получения более хорошего согласия с экспериментом. Подробности см. в работе [6].

т - Р«>( in + («Ml 9П - PJ«I —-11/1+ IffMI sn * is/al
потому что эксперимент даст для них другие значения эмпирических констант, фигурирующих в теории.
Правило для определения асимптотических квантовых чисел п3 и Л формулируется непосредственно. Для положительных деформаций ы3 меньше ш3, и поэтому при фиксированном N в состоянии с наибольшей энергией значение л3 минимально: п3 = 0. В следующем состоянии л3 = 1 и т. д. В нашем примере трем состояниям с N = 5, Q = 7/2 соответствуют последовательно асимптотические числа п3 = 0, 1, 2. Осцнлляторное движение таково, что число Л является четным или нечетным в зависимости от того, четно или нечетно число W — л3; это условие определяет Л. В на-
Коллективное движение ядра
245
шем примере в высшем состоянии N — п3 = 5 и поэтому Л = 3; в следующем состоянии п3 = 1 и Л = 4, и в низшем состоянии снова Л = 3.
Для некоторых процессов имеются правила отбора (рассматриваемые в главах о 0- и у-излучении), связанные с изменением п3 и Л. Хотя эти асимптотические квантовые числа при обычных ядерных деформациях не являются строгими, обнаружено, что указанные правила отбора выполняются. Это говорите том, что действительная волновая функция содержит лишь малую примесь значении п3 и Л, отличных от асимптотических. Чтобы исследовать этот вопрос, удобнее выразить волновые функции как комбинацию |Af/i3AS), а не базисных векторов Нильссона \NIA2). Такое преобразование можно найти в статье Рессея [191. Его таблица II показывает, что при г| = 4 волновые функции трех уровней, рассмотренных нами в качестве примера, состоят на 95% из |503), 85% из 1514) и 86% из 1523) соответственно. Те же величины прн ц = 6 составляют 97, 89 и 89%.
Ньютон рассчитал таблицы, аналогичные составленным Нильссоном, содержащие волновые функции и энергии уровней для Л/<4 и для различных значений р и у. Результаты занимают 89 страниц отчета [16]. Несмотря на громоздкость, эти результаты имеют значительную ценность, ибо необходимо решить вопрос: действительно ли рассматриваемая модель предсказывает аксиальную симметрию.
§ 7.	Расчет равновесной формы
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно получить из одночастичных энергий полную энергию ядра. Предполагая, что средний одночастнчный потенциал, действующий на частицу i, имеет вид
V(0-	V„ + V(l, s)-p!(±-±V
мы можем записать полную энергию как
£- <2 7, + £ v„\~ Zg^>+4	-
-<3^>(-5-+5з)+г< 2	о>-
\2р	]/ \ *	4Л4/
+ f 7- ) (Vh ® ~ V & s-	=
\4ш/\\2р	)/
=	S <^ Si+DXb. (10.80)
z\ 2М)	\4Л4 /
Член <pl/2р*— Рл (/)) мы исключили на основании следующего: 1) для одномерного осциллятора среднее значение кинетической энергии равно среднему от потенциальной энергии и 2) каждое состояние в ядерной задаче имеет фиксированное значение + п2-Ь п3.
246
Глава 10
Формула (10.80) весьма проста, так как в нее входят только одночастич-ные энергии Et и легко вычисляемые поправки, обусловленные членами, содержащими моменты. Этот результат получен при некоторых упрощающих предположениях. Во-первых, используется потенциал гармонического осциллятора; но это предположение, вероятно, не вносит большого ограничения. Во-вторых, на протяжении всей главы мы предполагали, что ядериое вещество несжимаемо; любая поправка на сжимаемость была бы сравнительно плавной функцией деформации 0. Следует помнить, что в рассмотрение не включены кулоновские силы, но они в какой-то мере учитываются тем, что в потенциалах для протонов и нейтронов взяты разные константы. Наконец, мы пренебрегали двухнуклонными остаточными взаимодействиями1)- Мы знаем, что они играют существенную роль в сферических ядрах, влияя, с одной стороны, на относительное положение уровней, а с другой, обусловливая, сильное взаимодействие, которое приводит к корреляции
Фиг. 10.16. Энергия ядра igAlM в зависимости от аксиально симметричной деформации.
Вее нижние уровни для случая вытянутой формы ядра, изображенные на фиг. 10.11, вк.'но-чин [211], заняты каждый двумя нейтронами и дпумя протонами, а тринадцатый протон находится на одном на уровней, представленных данными кривыми. При расчете кривых ц’в формулах (10.71) н (10.80) было взято равным .V (но Мот-тельсону н Нильссону).
пар одинаковых нуклонов. Ниже мы увидим, что учет парных взаимодействии также важен для определения эффективного момента инерции. Но для расчета равновесной формы он менее существен, ибо их влияние можно описать путем смешивания конфигураций, а одночастичные уровни, близкие по энергии, имеют в большинстве случаев почти одинаковую зависимость от деформации. В этом можно убедиться, просмотрев фиг. 10.11—10.15.
Теперь можно найти равновесную деформацию любого данного ядра в рамках рассматриваемой модели. Для этого просто находят Е для различных значений 0 и у и определяют те значения, при которых энергия минимальна. При этом на каждый уровень диаграммы помещают две частицы с /з = ± Q. Типичный результат представлен на фиг. 10.16, где дана энергия ядра АР5 в случае аксналыю-снммстричного ядра. Предсказанное значение 6 несколько превышает 0,4. Заметим также, что предсказанное значение Q — */»- Чтобы показать зависимость от у, мы воспроизводим на фиг. 10.17, а ньютоновский график для Mg24. Мы видим, что равновесная деформация снова находится между 0,4 и 0,5, но выгодно значение у между л/12 и л/8. В случае Tiw, представленном на фиг. 10.17,6, получается аксиально-симметричная вытянутая форма с 6 ~ 0,3. Неаксиальность у, предсказанная для Mg2‘, мала, а нулевое значение для нее можно получить малым изменением коэффициента С при (Vs). Но минимум не очень резко
*) Здесь очень важно конкретно определить остаточные взаимодействия. В частности, если под остаточными взаимодействиями понимать парные силы, которые вводятся в дополнение к среднему сферическому одночастичному потенциалу, то, как показали Мошковский (46*1, Эллиот [38), а затем Курат и Пичман [47*],переход от сферического к несфернческому одночастичному потенциалу означает учет существенной части таких взаимодействий между нуклонами во внешней оболочке. Прим. ред.
Коллективное движение ядра
247
выражен, и, по-видимому, легко будут возбуждаться у-колебания. Это обстоятельство и является, вероятно, причиной того, что модель неаксиальных ядер и модель у-колебаний часто одинаково хорошо применимы. Согласно расчетам Ньютона, лишь у меньшинства ядер ненулевое равновесное значение у.
Подобные расчеты не претендуют на абсолютную точность, потому что в них произвольным образом выбираются константы. Например, истинное основное состояние А1* имеет Й = в/2, а не */2, как следует из фиг. 10.16. Но небольшое изменение констант может изменить порядок этих уровней. Несмотря на это, такие расчеты убедительно показывают механизм появления деформации; а именно они ясно показывают,
что усредненный одночастич-нын потенциал имеет такую радиальную и угловую зависимость, что его самосогласованное оболочечное решение теряет сферическую симметрию. Вычисления равновесной деформации для многих Нильссоном. Их результаты и
Фиг. 10.17. Энергия ядер i2Mg24 и ц зависимости от р и у.
Кривые. занумерованные целыми числами п. соответствуют значениям у — пЛ/24- При п = 0 форма ядра вытянутая. а при п = 8 сплюснутая. Расчет кривых выполнен в работе 116] при р' = 0.6 М.
ядер были выполнены Моттельсоном [и некоторые экспериментальные точки пока-
заны на фиг. 10.18. Такое же удовлетворительное согласие получено и в области А ~ 25.
§ 8.	Уровни нечетных деформированных ядер
Анализ уровней, изображенных на фиг. 10.11 — 10.15, показывает, что при не слишком больших деформациях имеет место довольно однородное распределение уровней с интервалами от 100 до 200 кэв. Поэтому можно ожидать, что низколежащис нуклонные возбуждения будут расположены значительно ниже любых колебательных уровней. Такие состояния не обнаружены в четно-четных ядрах из-за энергии, требуемой для разрушения коррелированных нуклонных пар. Почти все нижние уровни деформированных ядер с нечетным А могут быть интерпретированы как одночастнч-ные состояния и построенные на их базе вращательные полосы. Обстоятельное исследование этого вопроса проведено в работе [61.
Легче всего проверить теорию по предсказываемым ею спинам основных состояний. Зная из квадрупольного момента величину деформации, можно

Глава tO
248
перебрать последовательно все заполненные орбиты на схеме уровней и определить орбиту последнего нуклона. Это дает значение S2; для наиниз-шего состояния J = К,— Q (кроме случая Q = 1/1) и можно сравнить предсказанное и экспериментальное значения J. Часто значение J предсказы-
Ф и г. 10. 18. Деформация ядер д.
Сплошная линия дает расчетные значения. Кружками и крестиками обозначены экспериментальные точки для четно-четных и нечетных ядер соответственно. Экспериментальные значения получены из измеренных квадрупольных моментов (по Моттель» сону и Нильссону).
вастся неоднозначно ввиду высокой плотности уровней к изменения их порядка при малых изменениях б. Но во всех случаях экспериментальное значение совпадает с одним из предсказываемых.
4.60------5/2
4.22---------3/2
,/2 К = 3/2 +
7/2	[2И1
4.04----------9/Z
3.88
3.44 — -------9/2
3,85
5/24	-
3.7/
	г ю	3.09	— 3/2 12~5о	3/п	(3301 1	8 = 1/2 + 181	5/2	120°'
м.»в	1.61	 7/2 095	 3/2
0 4*;-------t/г
к = ?/2 4 О--------5/2	(211)
№ 5/2 + 1202)
Фиг. 10.19. Уровни А1ав, разделенные на несколько^вращательных полос.
Вместо того чтобы давать обзор всей совокупности данных, рассмотрим подробно три примера из различных частей периодической системы. Лисер-лендом и др. [20] были обстоятельно исследованы ядра АР8 и Mg25. Квадрупольные моменты в этой области приводят к 6 «а 0,3. При этой деформации уровни ®/2* (2021 и */»+ 1211] очень близки друг к другу (см. фиг. 10.11).
 КоллективноеТдвижение ядра	249'
Согласно данным эксперимента, основным состоянием является 6/г\ а при 450 кэв имеется возбужденное состояние Другие состояния показаны на фиг. 10.19; видно, что их можно приписать различным состояниям внешней частицы в совокупности с вращательными состояниями ядра как целого. Самая высокая изображенная полоса соответствует появлению дырки на орбите’// [211J и пары нуклонов, по всей вероятности, в следующем состоянии 6/8’ 12021. Мы не можем считать, что эти уровни интерпретированы нами правильно, пока не проверим различные следствия этой теории относительно электромагнитных свойств ядра, 0-распада и т. п., о которых пойдет речь в последующих главах.
Первое простое следствие, выполнение которого необходимо проверить, — это расстояния между уровнями в различных предсказанных вращательных полосах.
Уровни полосы, построенной на основном состоянии, довольно хорошо удовлетворяют закону E~J(J+\), особенно если включить малые вращательно-колебательные поправки. Полосы же с К = */г требуют более тщательного рассмотрения в связи с кориолисовым членом. Соотношение (10.61) дает для относительных энергий уровней в данной полосе следую, щую формулу:
£J=^[/(J+1) + 6x.,/Ia(-1)/+72^ + ^j.	(Ю.81)
В особом случае одночастнчных функций х, рассчитанных Нильссоном,
=	2Фл1Л//ЛХ>,	(10.79>
1Л
соотношения (10.60) и (10.57) приводят к параметру развязывания а= (-1)' £[а£ + 2(1(1+ 1)),/2а(0ап1.	(10.82)
i
Значения а зависят от деформации. Чтобы получить точное соответствие уровням AI25 для трех полос с К = 1/г, были использованы несколько различающиеся значения 6, но это обстоятельство не является сколько-нибудь неожиданным или физически неприемлемым. Действительно, фиг. 10.16 иллюстрирует тот факт, что при различных конфигурациях имеют место разные равновесные деформации.
Дальнейшее детальное рассмотрение других свойств показывает, что уровни ядер с А = 25 очень хорошо объясняются как вращательные состояния, внутренняя структура которых описывается моделью оболочек с деформированным потенциалом. Имеются указания, что другие ядра с А = = 19—31 также проявляют коллективные свойства, хотя в этой области имеются ядра, к которым коллективная модель, по-видимому, неприменима 119]. Кроме Mg28 и Л128, эта модель имела явный успех в случае ядер F*’ I22J, Mg21 1231, Al28 124], Si2* [25] и Р31 126].
В области редкоземельных элементов, которая охватывает значения А приблизительно от 150 до 190, мы рассмотрим как типичный пример изобары с А = 183. Схема уровней W'83 и Re183 показана на фиг. 10.20.
Спины и четности уровней W хорошо установлены, уровни Re идентифицированы менее определенно; наша фиг. 10.20 следует интерпретации,, предложенной Моттельсоном и Нильссоном. Если на фиг. 10.13 мы будем отсчитывать уровни вверх от орбит, занятых 90 нейтронами, то получим, что при б > 0,2 109-й нейтрон должен находиться в состоянии Уг~ [510]. Этот результат согласуется с характеристиками основного состояния,.
250
Глава 10
и уровни, помеченные значком а, можно рассматривать как вращательную полосу. Обращаясь снова к фиг. 10.13, мы можем ожидать, что при энергии около 200 кэв будет состояние, обусловленное возбуждением уровня 3/2” [512] (Люо 7 Мэв). Поэтому естественно приписать этому состоянию уровень 209 кэв. Обнаружены два других состояния полосы, построенной на базе этого уровня; их энергии возбуждения над уровнем 209 кэв находятся в отношении 2,44, тогда как из закона J (J 4- 1) вытекает цифра
Фиг. 10.20. Уровни изобаров с /1=183.
Энергии даны п км. греческими буквами обозначены различные вращательные полосы.
состоянием должно быть ®/2+ (6241, и это, по-видимому, подтверждается. Тогда уровень */2~ при 171 кэв должен представлять собой состояние */2” [510]; тот факт, что оно находится только на 171 кэв выше основного состояния, наводит на мысль, что ядро Os183 меньше деформировано, чем W183 с д ~ 0,15. Теоретические предсказания для ядер Та и Re, содержащих в отличие от W183 нечетное число протонов, даны на фиг. 10.12. Отсчитывая уровни вверх от магического числа 50, мы находим, что при 6 ~ 0,3 73-й протон должен быть в состоянии либо 9/2“ [514], либо */2+ [4021. Но у всех изотопов Та основным состоянием является 7/,так же как и у изотопов 71Lu.
По-видимому, здесь мы имеем пример избыточной энергии спаривания в состоянии ’/j" (/ =5) по сравнению с состоянием ’// [404] (/ — 4). Если 6 ~ 0,3, то эти два уровня очень близки, и три протона, с 71-го по 73-й, находятся, вероятно, в конфигурации (7/2+) (®/2-)*.
Коллективное движение ядра
251
Тогда следовало бы ожидать, что первым одночастичным возбуждением Та является (’/2+)2 (9/2‘)2, а несколько выше находится конфигурация (4/2+ 14021) (°/2“)2. Эти выводы подтверждаются спектром Та181. Кроме того, в Та181 имеется состояние */2+ с энергией в 612 кэв-, оно, вероятно, обусловлено наличием дырки на орбите */2+ [4111, в результате чего пять последних протонов находятся в состоянии (1/а+) (7/2+)2 (9/г~)г- Обращаясь к Ке75*и по-прежнему предполагая высокую энергию спаривания в состоя-нин*’/2“, мы ожидаем, что последние пять протонов образуют конфигурацию’(’/г+)* (4/2+) С/г-)2- Основным состоянием изотопов Re действительно является 5/2+. В Re183 мы находим также ожидаемые протонные возбуждения (7/2+)2 (6/2+)2 (»/3) и <*/«+ 14111) (’/2+)2 (4/г+)2 (*72’)2- Должно было бы иметь место возбуждение ’/2+ 14041; если оно существует, то не ясно,
483-------ц/2 2	3,2
К = 5/2+
434-------9/2
388 ------ 9/2392----7/2
33 ’------7/2 К = 7/2-
286-------5/2
№5/2+
193
164
О'	'1/2
К = //2+
Фиг. 10.2!. Уровни Ри23’, распределенные по вращательным полосам.
Эверсии даны и кеа.
почему оно не наблюдалось при распаде Os. Отношение расстояний между уровнями [£ (’/2) — Е (4/2)1/[Е (’/2) — Е (6/2)1 в полосе, обозначенной значком б, равно 2,28, тогда как теоретически оно должно равняться 1в/т = 2,29. Можно также отметить, что моменты инерции возбужденных паюс отличаются от момента инерции для полосы основного состояния.
Элементы с А > 224 имеют вращательные спектры. На фиг. 10.21 показаны уровни Ри239. Предоставляем читателю самому произвести дсталь-ноесравненне их с последовательностями уровней, выведенными из фиг. 10.15. Отметим только, что параметр развязывания а = — 0,58 согласуется с интерпретацией основного состояния как */2+ 16311 и что разумными характеристиками уровней с энергиями 286 , 392 и 512 кэв являются соответственно 4/2+ [622], 7/2" [743] и ®/2+ [6331. Моменты инерции, очевидно, больше, чем в области редкоземельных элементов, и соответственно расстояния между уровнями меньше.
Интересная особенность области тяжелых элементов состоит в возникновении магического числа для нейтронов 152. Такое число не может появиться у сферических ядер, но мы видим, что при деформациях 0,2 < б < 0,3 имеется заметная щель в последовательности уровней на фиг. 10.15. В этом случае ядра с N = 152 могут оказаться магическими, несмотря на то, что они не обладают теми особо простыми свойствами, которые присущи сферическим ядрам с другими магическими числами. Экспериментальное указание на существование этой энергетической щели дают нам необычно боль
252
Глава 10
шие энергии а-распада ядер с N = 154 и явная нестабильность по отношению к делению в области ядер выше этой энергетической щели. Между N — 151 и N = 153 обнаружена щель величиной около 300 кэв.
§ 9.	Значения инерциальных параметров
Одной из центральных проблем коллективной модели является объяснение резкого перехода от сферических ядер к почти эллипсоидальным. Можно было бы ожидать, что форма будет меняться достаточно постепенно, причем лишь основные состояния ядер с заполненными оболочками будут истинно сферическими. Вместо этого переходная область от колебательных спектров к вращательным охватывает только две-три единицы по Л, и имеется очень мало случаев равновесной формы с малым эксцентриситетом (за исключением почти сферических ядер с нечетными А, квадрупольный момент которых обусловлен единственной частицей). Конечно, гидродинамическая модель ничего не говорит по этому вопросу; она может предсказать параметры н J 1см. (10.3) и (10.21)1, но для этого необходимо задать деформацию 0.
Обобщенная модель, использующая нильссоновские орбиты, показывает, что деформация энергетически выгодна, и даст равновесную форму в хорошем согласии с экспериментом в области ядер с вращательными спектрами. Но из этой модели следует вывод, что все ядра, кроме ядер с заполненными оболочками, несферичны. Поэтому трудность не в том, чтобы объяснить, почему ядра несферичны, а в том, чтобы объяснить, почему так много сферических ядер. Можно, конечно, сказать, что заполненные оболочки обладают большой жесткостью по отношению к деформациям, но этот довод не более чем констатация факта, и он едва ли может служить объяснением.
Следующая важная проблема, которую, вероятно, нельзя решить без понимания причины скачкообразного изменения формы,— это вычисление инерциальных параметров. Мы уже отмечали, что тот тип корреляций, который учитывается в модели безвихревого тока несжимаемой жидкости, дает совершенно неудовлетворительные результаты для вибрационных параметров и для моментов инерции; но, несмотря на некорректность, гидродинамическая модель представляет некоторый интерес как предельный случай. На фиг. 10.22 сравниваются наблюдаемые моменты инерции для ядер редкоземельной области с их значениями для жидкой и твердой моделей. Наблюдаемые моменты составляют от 0,2 до 0,5 значений для твердой модели. Значения J для нечетных ядер больше, чем для соседних четных; величина отклонения изменяется весьма нерегулярно и часто достигает 20%.
Для теоретического изучения моментов инерции Инглис [261 предложил так называемую модель принудительного вращения (cranking model). Если вращательное движение медленное по сравнению с внутренним движением, мы можем говорить об энергии, необходимой для вращения системы при неизменном внутреннем движении.
Формально мы преобразуем внутренний гамильтониан к вращающейся системе координат, в результате чего появляется новый член 1Jхш, если угловая скорость вращения системы вокруг осн х равна w, a kJ — полный момент количества движения *). Изменение энергии, обусловленное этим
*) Это общий результат как для квантовой, так и для классической механики, связанный с тем фактом, что момент количества движения является генератором точечного вращательного преобразования.
Коллективное движение ядра
253
членом, представляет собой вращательную энергию, и J определяется как удвоенный коэффициент при ш2. Если воспользоваться теорией возмущений, то для момента инерции в состоянии 0 получаем
J = 2л* V । <1Ч7*10> I2,	(10.83)
где индекс i пробегает по всем другим внутренним состояниям системы, Wt — полная энергия состояния i. Эта формула модели Инглиса должна
Фиг. 10.22. Зависимость моментов инерции от деформации для четно-четных редкоземельных ядер.
Кружками указаны экспериментальные значения, крестиками — значения. полученные с помощью теории сверхтекучест (33]. а пунктирная линия дает значения, предсказанные на основе модели безинхрегого движения жидкости. Экспериментальные значения 3вычислены с помощью расстоянии между уровнями во вращательных полосах; значения 0 определены нз электрических квадрупольиых моментов. Значения
3 приведены в единицах •7ТВ = -у АМЯ* (I + 0.310
быть справедлива в той мере, в какой выполняется предположение об адиабатичности вращения.
В качестве внутренних состояний можно попытаться подставить простые оболочечные функции независимых частиц, движущихся по орбитам, соответствующим деформированной яме. Если так сделать, то получится момент инерции ядра как твердого тела. Действительно, имеется общая теорема, доказанная Рокмором 1281, о том, что для любой системы фер-
254
Глава 10
мнонов, взаимодействующих или не взаимодействующих в приближении случайных фаз модель принудительного вращения будет давать строго момент инерции квазитвердого ядра. В приближении случайных фаз предполагается, что не существует постоянных фазовых соотношений между волнами, соответствующими разным частицам, или в общем случае разным степеням свободы системы. В оболочечной модели мы имеем крайний случай такой ситуации, так как не существует каких-либо специальных фазовых соотношении между орбитами отдельных частиц. В частности, искажение волновой функции, связанное с расстоянием залечивания в случае квази газообразного состояния ядерной материн, сохраняет случайный характер фаз. Но прн корреляциях дальнего порядка сверхтекучей модели имеют место более жесткие корреляции пар частиц, внутри которых существует определенное соотношение фаз. В этих случаях нельзя ожидать, что
о Четно- четные лЗро ж Мрос нечетным А
°° °
* * «г к **
Г.” 1-
/50 170 190 210 230 250
Ф и г. 10.23. Энергпи’першх возбужденных состояний о двух областях ядер, обладающих вращательными | спектрами (по Бору и др, (39)).
А
получится момент квазитвердого ядра.
Тот факт, что каждая система фермионов со случайными фазами должна иметь твердотельный момент инерции, может показаться удивительным, в особенности если учесть, что движение поверхности может быть эквивалентным вращению. Но нужно помнить, что фермионы — тождественные частицы, так что каждую из них можно считать находящейся в любом одно-частнчном состоянии системы. Возможно, что более убедительно было бы рассмотреть переносы, а не вращения. Систему можно сдвинуть на малое расстояние параллельно заданному направлению путем
перемещения только частиц в поверхностных слоях; мы можем даже представить колебания как движение поверхностных слоев взад и вперед. Но если мы наложили запрет на изменение внутренней структуры (например, однородный газ или твердое тело), то мы должны в этом случае двигать все частицы. Другими словами,
если мы сохраняем внутреннее состояние, то эффективным параметром
инерции для переноса является непосредственно полная масса системы. Эта аналогия, хотя и несовершенная, может оказаться полезной.
Таким образом, дробные значения J /JTB убедительно свидетельствуют о важном значении корреляций в ядерном веществе, и мы рассмотрим их теперь более подробно. В гл. 9 мы отмечали, что важность парных-корреляций вытекает из существования в спектрах четно-четных ядер энергетической щели между основным состоянием и первым внутренним возбуждением. Эта щель более отчетливо видна у деформированных ядер с вращательными спектрами; в сферических ядрах трудно отличить внутренние возбуждения от колебаний. График для этих возбуждений мы воспроизводим на фиг. 10.23. В оболочечной модели четно-четные ядра могут возбуждаться без разрушения пар путем перехода обеих частиц пары в одно и то же новое состояние. В этом случае энергия возбуждения должна была бы приблизительно в 2 раза превышать соответствующую энергию в нечетных ядрах. На самом деле это отношение находится между пятью и десятью. В гл. 9 мы уже отмечали, что это говорит о наличии коллективных эффектов (аналогичных сверхтекучим корреляциям), которые формируют большую щель за счет относительно малых двухчастичных взаимодействий, являющихся добавкой к самосогласованному потенциалу.
Коллективное движение ядра
255
Резкий переход к деформированным ядрам, который наблюдается при добавлении частиц к магическому остову, может быть объяснен как результат спаривания внешних нуклонов, их квадрупольного взаимодействия и их способности поляризовать остов. В силу соотношения (9.41), квадру-
польное взаимодействие частицы i имеет вид У Y2m (Si<) У v (rt, r})Y2l„(Qj) m	j
и фактически представляет собой, при простых предположениях относительно v, взаимодействие квадрупольного момента i-ft частицы с полным квадрупольным моментом ядра. Это квадрупольно-квадрупольное взаимо-
действие приводит к уменьшению энергии при деформации. С другой стороны, энергия спаривания делает выгодной сферическую форму с нулевым полным моментом ядра.
Можно привести выражение для энергии как функции деформации. Оно содержит член, в который квад-рупольные силы и силы спаривания дают вклады противоположных знаков. Пока этот член отрицателен, равновесная деформация равна нулю, но как только он изменяет знак, равновесная деформация очень быстро достигает асимптотических значении 130-32].
Это показано на фиг. 10.24, которая даст энергию ядра как функцию квадрупольного момента Q при различных значениях числа частиц N
Фиг. 10.24. Энергия ядра как функция квадрупольного момента при разлнч-
в незаполненной оболочке. Величина дается выражением
ew=4
, (10.84)
симметричным относительно середины оболочки W = ^аЛ'макс. No пред-
ком числе частиц.
Масштабом энергии ивлнстся полна* энергия спаривания в сферическом ядре, Q дано в произвольных единицах. Для каждой кривой указано соответствующее значение отношения Qn/QNq (по Беляеву).
ставляет собой критическое число частиц, при котором сферическая равновесная форма становится нестабильной. Приемлемые значения 0Л-О лежат в пределах от 1Д до */« По мере увеличения 0д- от нуля кривая становится почти ровной и, когда она пересекает ось абсцисс, ее минимум находится при сравнительно высоком значении Q. Противоположные тенденции сил спарйвания и квадрупольных сил и дают объяснение поразительно большому числу сферических ядер. Энергия же деформации остова хотя и важна для получения конкретных численных значений, но она не объясняет основных
процессов, приводящих к стабильной форме.
Чтобы учесть влияние сил спаривания на моменты инерции, мы можем взять формулу (10.83), полученную в адиабатическом приближении, и подставить в нее действительные функции и энергии ядерных состояний, включая и корреляции. Поскольку мы интересуемся только деформированными ядрами (понятие момента инерции и имеет смысл только для них), мы берем в качестве нулевого приближения несферическое самосогласованное поле. С этой целью можно воспользоваться нильссоновскими волновыми функ-
256
Глава 10
цнямн и энергиями. Затем мы рассчитаем изменения, обусловленные взаимодействием спаривания и подставим новые значения в (10.83).
Беляев [301 получил формулу
j = I* *2 у	1А1М Г1 _	Х)(£Р-Х) + д21	(10.85)
2 — Еа-т-Ец	ЕаЕр J
а,Р
Суммирование ведется по всем значениям а и р; | а) и ев — волновая функция и энергия одночастнчного состояния в самосогласованном потенциале; Д—энергетическая щель, вызванная взаимодействием спаривания, а Еа и X даются соотношениями
ЕЛ = [(8в-Х)Ч Д2]'Ч
(9.50)
Fa — Ro + X
= N,
(9.47)
2
где W — число частиц. Нетрудно видеть, что при А = 0 выражения (10.85) и (10.83) согласуются между собой, и поскольку последнее соответствует оболочечному пределу, то результатом будет JTB. Однако парные корреляции существенно изменяют результат, вызывая замену еа на Еа и появление члена с А2.
Была проведена проверка согласия соотношения (10.85) с экспериментом. Одночастичные состояния |а) должны быть функциями Нильссона для деформированного ядра. Тогда во всех формулах от (9.43) до (9.51) символ / следует заменить на й (собственное значение /8), а число вырожденных пар Й, заменить просто на 1, так как каждую ннльссоновскую орбиту может занимать только одна пара. Некоторые ннльссоновскис значения ев были несколько модифицированы (33, 34] для получения лучшего согласия с наблюдаемой структурой уровней. Значения А были получены с помощью метода, изложенного в гл. 9 [формула (9.52)1. Результаты для J, представленные на фиг. 10.22, дают, как нам кажется, веское подтверждение модели1).
Модель объясняет также увеличение j для возбужденных состояний четных ядер и для нечетных ядер по сравнению с основными состояниями четно-четных ядер; в обоих случаях энергетическая щель уменьшается. В спектре возбуждений нечетной частицы щели, конечно, нет, но все еще имеется энергетическая щель для возбуждений спаренного остова. Расчет этого уменьшения [35] предсказывает изменение J для нечетно-нейтронного ядра на 25% по сравнению с соседними четно-четными ядрами и соответствующее изменение порядка 6% для нечетно-протонного ядра. Эти данные качественно согласуются с экспериментом.
В адиабатическом приближении могут быть вычислены и другие коллективные параметры. Соотношение (10.83) для момента инерции представляет собой лишь частный случай более общей теоремы. Если какая-либо коллективная переменная а, которая изменяется медленно по сравнению с внутренним движением, входит в кинетическую энергию в виде члена
I
*) Мигдал [35] получил формулу для .7 в той же самой модели, но с помощью более совершенного .математического аппарата. Его более точный результат содержит дополнительный член, который зависит от <а | d Jt/dt | Р). Этот член не вносит существенных изменений в (10.85).
Коллективное движение ядра
257
*/« За3, то коэффициент В дается формулой
В = 2>,»у |0[д/^-|0>|-.	(10.86)
21 «7,— Го»	'	’
1^.0
Аналогия с (10.83) становится очевидной, если вспомнить, что компонента момента количества движения является канонически сопряженной переменной по отношению к углу поворота и что кваитовомеханический оператор, сопряженный некоторой переменной а, имеет вид — Hi (д/да). В случае сферических ядер эта формула вряд ли применима для вычисления вибрационных параметров В к, поскольку энергия колебательных уровней примерно такая же, как и энергия внутренних возбуждений, а поэтому адиабатическое приближение незаконно. Однако представляет некоторый интерес оценить квадрупольный параметр В2 для низших колебаний. Основной вклад в этот параметр дают лишь взаимодействия спаривания, и поэтому не удивительно, что в результате значение В2 оказывается существенно большим, чем в модели безвихревого тока жидкости [30]. Более того, получено, что В2 пропорционально 0,у При вычислении энергии ядра как функции деформации приходится определять коэффициент потенциальной энергии С2. Он оказывается пропорциональным O,v (1 — — вл /0л-о), где No - то число частиц, при котором сферическая форма становится нестабильной. Следовательно, энергия первого колебательного уровня ядра равна
где Г = UG в обозначениях соотношения (9.47). Частота уменьшается по мере заполнения оболочки, но так как величина Г того же порядка, что и энергии внутреннего возбуждения, то условие адиабатичности не выполняется до тех пор, пока N не становится близким к No- Если N > No, то модель также неприменима, поскольку выражение для hw становится мнимым. В самом деле, как показывает фиг. 10.8, колебательный уровень «становится» вращательным. Там же, где она применима (в переходной области между сферическими и деформированными ядрами), модель точно предсказывает низколежащие колебательные уровни. Подробный анализ колебаний сферических ядер проведен в работе [361.
§ 10.	Сравнение ядерных моделей
Итак мы видим, что оболочечную модель можно скомбинировать с моделями коллективных движений и создать обобщенную модель, способную объяснить очень многие свойства ядер. Пока что наше внимание было в основном обращено на энергии связи, спины и четности. В последующих главах мы рассмотрим, в какой мере эти модели позволяют понять более сложные вопросы: электромагнитные свойства, радиоактивность и ядерные реакции. Мы увидим, что две главные модели продолжают дополнять друг друга в обобщенном описании поведения ядер. Правда, остается еще много неясных мест, необходимы различные тщательно продуманные эксперименты для проверки деталей, а в некоторых случаях, и основных предположений.
В некоторых случаях оболочечная и коллективная модели нс дополняют одна другую, а применимы одновременно. Примером могут служить 17 Заказ № 37
258	Глава 10
ядра с А = 18. В связи с этим большой интерес представляет полученный Эллиоттом [38] результат, что можно построить определенные оболочечные состояния, которые имеют такой порядок следования моментов, как и во вращательной полосе, но, с ограниченным верхним пределом, а именно
L=K, К+1, К + 2.........K+/V.
Весьма вероятно, что в действительности многие волновые функции в значительной степени перекрываются как с оболочечными, так и с коллективными функциями. (Конечно, результат Эллиотта представляет собой более точное утверждение, чем данное.) В самом деле в этой области энергий возбуждения, где могут встречаться оба типа состояний с одинаковыми спином и четностью, следует ожидать, что реальные ядерныс состояния будут представлять собой линейные комбинации этих двух типов1). Ведь физический гамильтониан наверняка содержит коллективно-частичную связь. Примером является РЬ20® (см. фиг. 10.8).
В связи с этим мы упомянем еще одну модель, модем- ассоциаций (cluster model), которая не имеет подобного теоретического обоснования, но вытекает из некоторых экспериментальных данных и может оказаться применимой к определенным низколежащим состояниям. Модель ассоциаций описывает ядро как комплекс более легких ядер. Например, ядро С1* может быть описано как совокупность трех взаимодействующих а-частиц или же как Be® плюс а-частица; Li’ описывается как нейтрон, движущийся в поле ассоциации Li*; Sc43 — как Са40 плюс тритон и т. д. [40]. Можно сделать два замечания относительно существования таких ассоциаций в ядрах. Во-первых, в области малой плотности на поверхности ядра принцип Паули действует не так эффективно, как внутри ядра; следовательно, залечивание волновой функции происходит не столь полно, и вполне возможна некоторая тенденция к образованию подобия тритонов и а-частиц из трех и четырех нуклонов в отсутствие других нуклонов. В тяжелых ядрах вполне возможно существование в течение длительного времени одной или большего числа таких группировок. Во-вторых, в бопее легких ядрах модель ассоциации и оболочечная модели могут давать для некоторых состояний почти одинаковые волновые функции2). Ассоциации ведь не являются «реальными» а-частнцамп, тритонами или ядрами Li®, а представляют собой модификации этих структур, поляризованные и искаженные вследствие близости других ассоциаций. Модель ассоциаций не является универсальной моделью, позволяющей единым образом объяснить большую часть состояний, как это может быть сделано в модели оболочек. В модели ассоциаций можно пользоваться различными наборами ассоциаций не только для разных ядер, но и для разных состояний одного и того же ядра. Модель же оболочек включает в себя остаточное взаимодействие, которое может приводить к интенсивному смешиванию конфигураций. Некоторые состояния, которые сложным образом описываются в оболочечной модели, могут иметь доста
1) В названных выше работах Мошковского [46*]. .Эллиотта [381 и др. показано, что при некоторых предположениях о виде гамильтониана волновые функции состояний ротационной полосы 0*. 2*, 4\ четно-четных ядер в коллективной модели тождественно совпадают с оболочечными. Из расчетов Курата и Пнчмана [47*|, проведенных для ядер 1р-оболочки, следует, что волновые функции обобщенной модели фактически более чем на 90% перекрываются с волновыми функциями оболочечной модели (в схеме промежуточной связи). Эти результаты заставляют очень осторожно отнестись к идее представления реальных ядерных состоянии в виде линейных комбинаций состояний оболочечного и коллективного типа.— Прим. ред.
2) Вопросы соответствия между оболочечной моделью и моделью нуклонных ассоциаций подробно освещены в обзорах |48*, 49*).— Прим. ред.
Коллективное движение ядра	259
точно простую волновую функцию в модели ассоциаций и наоборот. Таким образом, совершенно различные, на первый взгляд, модели могут в определенных случаях оказаться очень сходными. Но физики не могут считать, что проблема ядра решена, до тех пор, пока модели не будут выведены из некоторой фундаментальной теории. Л1ы видим, что многое в этом смысле было сделано для понимания модели оболочек и что учет парных корреляций дает базис для вывода коллективной модели.
Заканчивая вторую часть книги, можно кратко сказать, что в настоящее время имеется довольно хорошо разработанная обобщенная модель ядра, включающая в себя одночастичные движения, крупномасштабные коллективные колебания и вращения, а также важные парные корреляции.
ЗАДАЧИ
10.1.	Показать, что обращение в нуль произведений инерции ядра, поверхности равной плотности которого описываются формулой
означает, что «22 — 03,-2 и °21 = а2. —1=0-
10.2.	Вывести формулу (10.20).
10.3.	Доказать соотношение (10.59), используя равенства
(JMK | J± | JMK ± 1) = /(7 ± X) (J ± КЧ-1).
(/Q | j т | /Й ± 1) = И/ТО) У ±Q + 1).
Разница в знаках в этих двух равенствах возникает потому, что представляет проекции полного момента J на подвижные осн, тогда как / есть момент в движущейся системе координат.
10.4.	Уровни Mg25 и Al2t> были тщательно изучены Лисерлендом с сотрудниками [15|. В табл. 10.3 и 10.4 показаны вращательные полосы, построенные на базе различных ннльссоновских орбит, которые были идентифицированы. Низшие состояния каждой полосы представлены орбитами Нильссона с номерами соответственно 5,9, II, 14. Волновые функции, определяемые равенством
Хо= 2 Лн N, 1 Й-4 • +4/ i AM, Q ±4 . -у/ • имеют при различных деформациях г) следующий вид: Орбита 5: Х = 2. й = в/2,	А2+=1 для всех Т),	, Орбита 9: Х = 2. й = 1/2; п	2	4	6 А.,(	1,000	1,00	1,000 Ао+	—15,696	15,991	6,635 А2_	11.489	—25,472	-16,609 Таблица 10.3					
К = »/*: л = +			К - i/t:	я = +		
J	ЕМв.А(э.	Ед|. ММ	J		£А|. ЛЬ.
S/2 С/г)	0 1,61	0 1,61 3,44	Чг *12 *72 ’/2	0,58 0,98 1,96 2.74	0,45 0,95 1.81 2.73
17*					
260
Глава 10
Таблица 10.4
К = 1/,; я = +			К = »/»;		
J	сМе	£А1	J	£мя	ВА1
*/2	2,56	2,50	3/2	3,40	3,09
3/2	2,80	2,70	’/2	3,97	3,72
6/2	3.90	3,88	1/г	4.26	3,85
Орбита 11: М = 2, Й = 1/2;		2 1,000 -0,717 — 1,066	4 1,000 — 1,143 —0,675	6 1,000 -1,287 —0,454
	Ло+ Л2_			
Орбита 14:	W = 3, n = i/2;	П	2	4	6
		Л3+	1,000	1,000	1,000
		Л1+	0,359	0,637	0,809
		Л3_	0,777	0,632	0,500
		Л!_	0,164	0,198	0,183
Выпишем также волновую функцию для орбиты 7:
W=2, Й=.»/2, т)=2, Л2+= 1,000. Л2_=0.351.
а)	Все четыре вышеперечисленные полосы описываются формулой
Е=А [ J(/ + l)+n
+S [ J (J4-1)+a (- l)'z+‘/« ('+y ) ] ’
причем соответствующие полосы характеризуются следующими значениями параметров:
А (к.м) = 272	176	160	117
о=0	—0,03	—0,58	—3,16
В= —1,69	— 0,70	—0,55	—0,21
Объяснить эту формулу и вычислить эффективные моменты инерции.
б)	(1) Найти коэффициенты с^я, необходимые для того, чтобы представить функцию орбиты 9 (при t] = 4) в виде
XS1= 2 ciQ%jQ' >
(2)	Вычислить .параметр развязывания для орбиты 9 при 1|=4. Сравнить с экспериментом.
(3)	Определить порядок уровней для полосы, построенной на базе орбиты 14, прн о=2 и г] = 4.
10,5.	Согласно Нильссону, уровень */2—1510] имеет следующие волновые функции
0 = 4, ф= 1,000 |550-{-) —2,370 |530-|-> -{-2,440 |510-{->
--0.606 | 551 —> -{-0,780 |531 —> 4-1,431 |511 —);
0 = 6, ф=1,000 |550-{-> —2,359 1 530Ц-> -{-1,981 |510-}->
-0,469 |551 — > 4-0,420 { 531 — ) 4-0,993 | 511 — >.
Найти параметр развязывания при о = 4 и т] = 6 и сравнить результат с экспериментальным значением для \\,,вз (см. фиг. 10.20).
10.6.	Даны следующие схемы уровнен.
Что можно сказать о характере каждого состояния? При какой энергии следует ожидать появления уровня 104— и U23* н уровня 11/г+ D Np237?
Коллективное движение ядра
261
	Мэв 1 S4	n i -	M зв	
4 1				—
? 			 1,415			
2+ 			 1,318	84-'		—	— 0,499
9 1		. о 656	64- 			— 0,296
o+				 0	44- 		—			— 0,143
CdllO				
		24- 		—	— 0,0435
		04- 		—	— 0
У 2		 0,159		U«m	
7 2		 0,103			
|+ 			 0,076	1		
5				 0,060	2 q	—	- 0,747
2		 0,033	2+	Nb*7	— 0
Np«’
10.7.	Показать, что в случае оболочечной модели (Д=0) соотношение (10.86) согласуется с (10.83).
10.8.	В соотношении (9.89) величина Дп (N) определена как энергия отделения от ядра (Z, N) при четном N, а не как энергия отделения от ядра (Z, N—1). Показать. что, рассматривая энергию отделения от (Z, M-j-l), мы можем получить
4 Д = ЗЛ1 (N — I) - 3/И (N) - М (N+2) М (N +1).
Показать, что в (9.89) предпочтительнее использовать эту формулу, так как при этом устраняются флуктуации в изменении N. С этой целью убедиться, что это выражение имеет нулевые члены, содержащие первую и вторую производные в разложении по степеням (N' — N).
10.9.	Нечетно-нечетное ядро с Q=0 и К=0 имеет две возможные внутренние функции:
X (±) = Ф*> («) Ф-«» (Р) ± Ф-а (") '!'□> (Р)-где Фм и грш — ннльссоновскне функции с jj=w.
Используя (10.53), (10.54) и соотношение, следующее за (10.57), показать, что есла ф и <р имеют разную четность, то базой вращательной полосы с нечетными J является Х(й-). в то время как состояние X (—) представляет собой базу для полосы с четными J. Показать также, что если функции ф и <р одинаковой четности, то роли состояний Х(+) и Х(—) меняются.
Аналогичным образом показать, что в четно-четных ядрах, где все частицы попарно занимают орбиты Нильссона, в полосе с К=0 присузствуют только состояния с четным спином.
ЛИТЕРАТУРА
1.	L i р k i n Н. J., Lectures notes, Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics, 1959.
2.	Rainwater J., Phys. Rev., 79, 432 (1950).
3.	В о h г A., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. mat.-fys. Medd., 26, No. 14 (1952).
4	Bohr A., Mottelson B. R., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. mat.-fys. Medd., 27, No. 16 (1953).
262
Г лава 10
5.	N i I s s о n S. G., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. mat.-fys. Medd., 29, No. 16 (1955).
6.	Mo t te I so n B. R., N i I s s о n S. G.. Kgl. Danske Vidensk. Selsk. mat.-fys. кг., 1. No 8 (1959).
7.	R а у I c i g h, The Theory of Sound, Vol. 11, London, 1877, § 364.
8.	Goldstein, Classical Mechanics, Reading, Mass,, 1950. (Имеется перевод: Гол дсте li н, Классическая механика, ИЛ, 1957.)
9.	Л а н д а у Л. Д. Л и ф ш и ц Е. М. Квантовая механика. М., 1948.
10.	Д а	в ы д о в	А. С.,	Ф и л и п и о в Г.	Ф., NucL Phys., 8,	237 (1958),
11.	Д а	н ы д о в	А. С.,	Р о с т о в с к и й	В. С., Nucl. Phys.,	12, 58 (1959).
12.	W 1	I е t s L., J e a	n M„ Phys. Rev.,	102, 788 (1956).
13.	S c	h i f f L.	I., Quantum Mechanics, 2nd ed., New York,	1955. (Имеется перевод:
Л. Шифф, Квантовая механика, ИЛ, 1960.)
14.	Kerman А. К., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. mat.-fys. Medd., 30, No. 15 (1956).
15.	Д а в ы д о в А. С., ЖЭТФ, 36. 1535 (1959).
16.	Newton Т. D., Canad. Journ. Phys., 38, 700 (I960); Atomic Energy of Canada Limited Report, No. CRT-886 (1960).
17.	N e w t о n T. D., Canad. Journ. Phys., 37, 944 (1959).
18.	L e m m e г R. H., Phys. Rev., 117, 1551 (1960).
19.	R a s s e у A. J. Phys. Rev., 109, 949 (1958).
20.	L 1 t h e r 1 a n d A. E., M с M a n u s II., Paul E. В.. В г о m 1 e у D. A.. Gove H. E., Canad. Journ. Phys., 36, 378 (1958).
21.	R a k a v у G., Nucl. Phys., 4, 375 (1957)
22.	Pa	u 1	E. B., Phil.	Mag.. 2, 311	(1957).
23.	В a	t c h e 1 о r R.,	Ferguso	n A. J., Gove	H. E., L i	t	he	r	I	a	n d A.	E.,
Nucl. Phys., 16. 38 (1960).
24.	S h	e 1 1	n e R. K.,	Nucl. Phys.,	2. 382 (1956/57).
25.	В г	о m	I e у D. A.,	G о v e H.	E., L i t h e r 1 a	n	d	A.	E., Canad.	Journ. Phys,
35.	1057 (1957).
26.	L I t h e r 1 a n d A. E., P a u 1 E. В., В a r t h о I о m e w G. A., Gove И. E., Canad. Journ. Phys., 37, 53 (1959).
27.	1 n g 1 i s D., Phys. Rev., 96. 1059 (1954); 103, 1786 (1956).
28.	R о c k m о r e R. M., Phys. Rev., 116, 469 (1959).
29.	A m a d о R. D., В r u с c k n e r, Phys. Rev., 115, 778 (1959).
30.	В e I у a e v S. T., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. mat.-fys. Medd., 31, No. 11 (1959).
31.	Baranger M., Phys. Rev., 120, 957 (1960).
32.	К e г m a n A. K., Ann. of Phys., 12, 300 (1961).
33.	G r i f f i n J. J., R i c h M., Phys. Rev., 118, 850 (1960).
34.	N i I s s о n S. G., Prior O., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. mat.-fys. Medd., 32, No. 16 (1961).
35.	M и г д а л А. Б., Nucl. Phys., 13, 655 (1959).
36.	В г о w п G. Е., С a s 111 I е j о L., E v a n s J. A., Nucl. Phys., 22, 1 (1960).
37.	В г о w п G. E., E v a n s J. A., T h о u 1 e s s D. J., Nucl. Phys., 24, 1 (1961).
38.	E 1 I i о t t J. P., Proc. Roy. Soc., A245, 128, 562 (1958).
39.	В о h г A., M о t t e 1 s о n B. R., P i n e s D., Phys. Rev., 110, 936 (1958).
40.	Wil derma th К., К a n e 1 I о p о u 1 о s Th., Nucl. Phys., 7, 150 (1958); 9 499 (1958/59).
41.	S h e 1 1 n e R. K., Wildermuth K., Nucl. Phys., 21, 196 (1960).
42.	De M i 1 le et al., Canad. Journ. Phys., 37, 1036 (1959).
43*. Давыдов А. С., Вестник МГУ, сер. 3, № 1, 56 (1961); Nucl. Phys., 24, 682 (1961).
44*. Давыдов А. С., Ростовский В. С., Чабан А. А., Вестник МГУ, сер. 3, № 3,66 (1961); Nucl. Phys., 27, 134 (1961),
45*. Давыдов А. С., Сардарян Р., Вестник МГУ, 4, 72 (1962); Nucl. Phys., 37. 106 (1962).
46*. Moszkowsky S. A., Phys. Rev., 110, 1786 (1938).
47*. К u r a t h D„ Pitman L., Nucl. Phys., 10, 313 (1959).
48*. Балашов В. В., H e у д а ч и н В. Г., Смирнов Ю. Ф., Известия АН СССР, 25, 170 (1962).
49*. Балашов В. В., Доклад на II Всесоюзной конференции по ядерным реакциям, сборник «Ядерные реакции при малых и средних энергиях», М., 1962 стр. 581.
ЧАСТЬ III
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ЯДРА
ГЛАВА 11 * •
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ С ВЕЩЕСТВОМ
В третьей части мы будем рассматривать только те свойства ядер и ядер-ные процессы, которые обусловлены наличием у нуклонов электрического заряда и магнитного момейта. Сюда относятся электромагнитное высвечивание, такое, как „спускание у-квантов ядрами и внутренняя конверсия, электромагнитное возбуждение ядер у-квантамн и заряженными частицами, статические электромагнитные моменты. Те процессы фотопоглощения, при которых энергия достаточно велика, чтобы было возможно испускание ядериых частиц, мы отнесем в пятую часть.
Здесь будут изложены основы теории взаимодействия электромагнитного поля и его фотонов с ядрами, а в двух последующих главах будут подробно рассмотрены приложения ядериых моделей к конкретным эффектам.
§ 1. Общая теория излучения фотонов
В гл. 4 мы уже установили, что энергия взаимодействия системы заряженных частиц с электромагнитным полем может быть разложена в ряд по мультипольным моментам. Разложение (4.1) представляет ценность лишь при условии, что папе мало изменяется в объеме ядра и нуклоны движутся с нерелятивистскими скоростями. Первое условие равносильно требованию, чтобы длина вапны излучения была велика по сравнению с размерами ядра, т. е. <dR <g с, где со — частота излучения, a R — радиус ядра.
Это условие можно выразить через энергию соответствующего фотона
Лы < (тс2)е-^	(тс2) (1.5А”,/з)(137)® 100A“‘/l Мэв.
R е
Даже для самых тяжелых ядер этот предел составляет 20 Мэв. При более высоких энергиях ряд сходится значительно медленнее, и более предпочтительными могут оказаться другие приближения.
Различные мультнпольные моменты являются тензорами. При изучении ядер целесообразнее использовать сферические тензоры, а не тензоры в декартовых координатах, поскольку сферические тензоры обладают особыми свойствами по отношению к вращениям системы координат. Сферический тензор ранга X представляет собой совокупность (2Х-Ь 1) величин, которые преобразуются при поворотах системы координат так же, как сфе-

266 Глав a IJ 
ричсские гармоники. Основные свойства этих тензоров кратко изложены в приложении А.
Одним из наиболее важных соотношений, которому удовлетворяет сферический тензор Т{, является теорема Вигнера — Эккарта, которая состоит в том, что матричный элемент тензора по состояниям с квантовыми числами JM и J м' (JJ' — угловые моменты, ММ' — их проекции) имеет вид
(/М'|ТХ|УЛ4) = (/ХМри'М')(/|ГЛ1М),	(И-1)
где величина (J'|| Г*.|| J) называется приведенным матричным элементом оператора 7\ и не зависит от проекций М,М' и р. В соотношении (11.1) содержатся также правила отбора для матричного элемента: он отличен от нуля только в том случае, когда можно образовать треугольник со сторонами J, к, J', т. е. когда ./-Ь J'>X>|J— J' |, а также при условии р = М' — М.
Вначале напишем выражения для электромагнитного поля в свободном пространстве через сферические тензоры. В случае чистого электромагнитного изучения мы можем положить электростатический потенциал <р = О и выразить электрическое и магнитное поля g и через векторный потенциал j#:
g=_l^*	(Ц.2а)
с dt •
<^ = rotj#.	(11.26)
Уравнения Максвелла удовлетворяются, если
О'-За) \ со//
divj# = 0.	(11.36)
Общее поле j# можно выразить через любой полный ортогональный набор решений уравнений (1 Г.З). Если мы положим
Л = дке-1ы‘\к (г),	,	(114)
где k= ш/с, то уравнения (11.3) становятся эквивалентными соотношению
rotrotAft—A2Aft —0.	(П-5)
Последнему уравнению удовлетворяют следующие два выражения при целых X и р:
А&=(^гоЧгХбгаа(Д(МШ0.	(1L6a)
A&=lrXgrad(№)Ht).	(11.66)
где Д — сферическая функция Бесселя. Совокупность этих решений для всех возможных значений X, ц и k образует полный ортогональный базис, и, следовательно, Л можно, разложить в ряд по этому базису:
г).	О1-7)
Х.ц, с
Взаимодействие электромагнитного поля с веществом	267
Частные решения представляют значительный интерес и сами по себе. Введем определения
В>.ц =	(11.8а)
Н°Х(1=го1А^.	(11.86)
Тогда, используя (11.5), получаем, что
НЛ'=ЕК, Н®=ч—Е"
Следовательно,
г-Ем=гНд = 0.	(11.9)
Это означает, что электрическое поле поперечно в случае излучения типа Л4, а магнитное поле поперечно для излучения типа Е. Такими свойствами обладают поля осциллирующих магнитного и электрического мультиполей. Поэтому поля с индексами М и Е называются полями магнитного и электрического излучений. Энергия поля для любого из этих решений равна
(11.10)
Плотность потока энергии дается вектором Пойнтинга, а поделив ее на с1, можно получить плотность импульса (1 /4лс) IE х Н]. Следовательно, момент количества движения, связанный с полем, равен
— ( 1гХКе(Е1цХ HX|1)dK	(11.11)
4лс J
В случае классического поля, пользуясь векторными соотношениями и интегральными теоремами, можно показать, что z-компонента момента количества движения равна произведению (ц/<о) на энергию. Если перейти к квантовому случаю, просто полагая энергию поля равной произведению энергии фотона Аш на число фотонов, то мы видим, что каждый фотон, соответствующий полю типа Ахц, имеет z-компоненту момента количества движения, равную р.Л. Более последовательный способ квантования поля состоит в том, что величины q^G в (11.4) рассматриваются как квантовомеханические операторы, которые описывают рождение и уничтожение фотонов типа X, и, k. Тогда формулы (11.10) и (11.11) являются операторными соотношениями, и собственные значения энергии и момента количества движения легко определяются, поскольку q*q представляет собой оператор, собственные значения которого показывают число фотонов данного сорта. При таком способе получается тот же самый результат, и также оказывается, что квадрат момента количества движения, соответствующего одному фотону, равен X (Хф 1)А».
Имеются, конечно, и другие наборы решений уравнения (11.5), простейшим из которых является набор плоских волн с различной поляризацией. Они приводят к квантовому описанию поля с фотонами, обладающими определенным одномерным импульсом и с фиксированными направлениями Е и Н. Для анализа ряда проблем такое представление удобно, но для большинства ядерных задач более подходящим является рассмотрение фотонов с определенным моментом количества движения. Какую из этих двух возможностей следует использовать, это во многом вопрос удобства, так как любое состояние может быть выражено в виде линейной комбинации состояний любого полного набора.
268
Глава li
Энергия взаимодействия между заряженной системой и электромагнитным полем равна
? тЯг)*.*(г) + М(г) ЯНг) Л, V С
(1112)
где j (г) — плотность тока, а М (г) — магнитный дипольный момент единицы объема, обусловленный распределением спинов. Если встать на более фундаментальную точку зрения и считать, что j и М распределены по А частицам, то это выражение приобретает вид
Нва = — V — р< Я (г,) 4-	(П)

miC
где — внутренний магнитный момент t-ой частицы, р0 — ядерный магнетон, а остальные обозначения не требуют пояснений.
Вероятность перехода в 1 сек для процесса, обусловленного этим взаимодействием, при котором заряженная система и поле переходят из состояния / в состояние F, равна
п
(1114)
где Qe — число конечных состояний на единичный интервал энергии.
Коэффициенты и <?£м<т*, рассматриваемые как операторы уничтожения и рождения для квантованного поля, имеют ненулевые матричные элементы между состояниями, которые отличаются только одним фотоном типа k, X, р., о. Например, излучение можно рассматривать как такой процесс, когда в начальном состоянии фотоны отсутствуют, а в конечном состоянии имеется один фотон; случай поглощения можно получить, взяв эти состояния в обратном порядке. В обоих случаях ясно, что, помимо матричного элемента q, существенную роль играет матричный элемент (f\H'\i), где f и i относятся только к состоянию заряженной системы и
Н' = -	—Pi • А?и (Л, г) + pjS( • НТц(Л, г)
(11.15)
7
Очевидно, что \Et — Е/\ = ft со = hek, так как Ei — Ер. В частном случае kR < 1 для функций Бесселя справедливо приближение
где (2X4- 1)!! = 1-3-5 ...(2X4- 1). Пользуясь этим приближенным выражением путем непосредственного вычисления, можно получить, что
пропорционально (/|Л1хц|0 или (flQxiJO
для о = М и Е соответственно, где МХц и <2хц. — операторы электрических и магнитных мультиполей
Qm» = Sleirt ИГ (Q()-tg.iPofe (X -I-1)"1	X rr grad (/ И“)/1. (11 • 16)
Mxu —Po
У (g»iSi 4--2-# 1Д -grad (rM’)i.
\	Л “T- I * /
(11.17)
Взаимодействие электромагнитного поля с веществом
269
Но — ядерный магнетон, а величины g — соответствующие гиромагнитные отношения.
Эти операторы тесно связаны с мультиполями, введенными в гл. 4; /Ихо с точностью до нормировочного множителя совпадает с магнитным 2х-польным моментом (4.20), а первый член QKil совпадает с выражением (4.6) • для Q\. (Матричный элемент второго члена в имеет тот же порядок величины, что и Afx+i и им обычно пренебрегают.) Таким образом, статические электромагнитные моменты являются диагональными матричными элементами тех же самых операторов, которые ответственны за переходы.
Если все выражения соответствующим образом нормировать (наши выражения для Л не нормированы), то вероятность перехода ядра из состояния i в состояние f с испусканием фотона электрического или магнитного типа с энергией fcw и квантовыми числами X, р. будет равна
где 0хц заменяется на Qxn или A4X(J. Обычно мы не интересуемся ориентацией ни начального, ни конечного ядер, поэтому мы суммируем по М/ и усредняем по Afj. Определим приведенную вероятность перехода следующим образом:
В(ох,Л->Л) = (2Л + 1)-‘2 НЛ^101?	(11.19а)
Т (аХ) =	(<т X).	(11.196)
Х[(2Х+1)||)1 >•	• v '
Очевидно, что в каждый член дает вклад только то значение ц, которое удовлетворяет равенству ц = М/— Mi.
Можно очень грубо оценить матричные элементы </|©хц|О> заменив сферические гармоники и угловые части ядерных функций единицей и положив, что волновые функции начального и конечного состояний обращаются в нуль за пределами радиуса ядра R. В результате получим
(11.20а)
(11.206) \2Мс/
Заметим, что отношение электрического и магнитного моментов одного и того же порядка мультипольности приблизительно равно величине IMcR, которая изменяется в пределах от 0,2 до 0,03. Поскольку в формулу (11.18) входит квадрат этой величины, отношение вероятности перехода изменяется от 0,04 до 0,001, но ввиду грубости приближений последние цифры могут содержать ошибку приблизительно на порядок. При тех же самых приближениях второй член в QZ|t дает вклад в матричный элемент порядка kA (eh/2Mc) RK. Отношение его к величине (11.20а) равно приблизительно hulMc2, и в обычных случаях этим членом можно пренебречь.
Подстановка оценок (11.20) в (11.18) показывает, что отношение вероятностей переходов для последовательных мультиполей X и Х+ 1 по порядку величины равно (Л/?)’/(2Х->- 3)г. Поскольку мы имеем дело со случаем kR < 1, для которого была развита наша теория, мы можем рассматривать только низший мультиполь, дающий вклад в данный переход.
270
Глава 11
Большое значение имеют правила отбора. Четность такова же, как и четность У^, т. е. (—1)\ а оператор Л4лц имеет четность —(—1)\ так как кроме Ул он содержит векторный оператор градиента и псевдовекторы & и 1. Кроме того, поскольку и Л4лц — сферические тензоры ранга X, то имеют место правила отбора Ji+ JK>\Jt — Jf\. Наинизшие мультиполи, проявляющиеся в конкретных у-переходах, с учетом этих
Таблица 11.1
ДУ	П,П(	Мультипольность
0-0		(Е0) (особый случай)
Чъ — Чг	+ 1	(Е0) ЛИ
Чг - Ч2	—1	£1
0	+ 1	(ЕО) Ml £2
0	—1	£1 М2
1	+ 1	Ml [Е2|
1	—1	Е1 |М2|
2	+ 1	Е2 [М3|
2	-1	М2 (ЕЗ)
3	+ 1	М3 [Е4]
3	—1	£3 [М4|
правил отбора указаны в табл. 11.1. (Квадратные скобки означают, что эти мультиполи не проявляются в тех случаях, когда Ji или J, равно нулю.) Если наши оценки матричных элементов достоверны, то при некоторых из этих переходов будет испускаться чистое мультипольное излучение. Например, переходы с Д J — 0 с изменением четности могут осуществляться путем испускания £1- или М2-излучения. Отношение их интенсивности равно (МсЧЬы)1 и составляет по меньшей мере 104 или 10е, получается почти чистое El-излучсние. Но в тех случаях, когда низшим по мультипольности разрешенным излучением является магнитное излучение, дело обстоит не так просто. При переходах с Д J = 0 или ДУ = 1 без изменения четности, Ml- и Е2-излучення могут смешиваться с отношением интенсивностей (Л/Мс/?)* (Mc’/lico)3. В большинстве случаев это отношение все еще значительно больше единицы, хотя первый множитель может быть не более 10"4. Поскольку в деформированных ядрах квадрупольные моменты существенно увеличены, в их спектрах можно ожидать заметного смешивания Mill Е2-переходов.
В табл. 11.1 мультиполь £0 заключен в скобки. Из соотношения (11.6) видно, что поля излучения с X = 0 не существует.
Отсутствие этого поля является математическим выражением того, что каждый фотон уносит по крайней мере одну единицу момента количества движения. Поэтому, хотя матричный элемент QOo может быть не равен нулю, в разложении поля излучения отсутствует член с X — 0 и Е0-муль-тнполи не дают вклада в у-переходы. В частности, у-переход 0-> 0 полностью запрещен.
Как же в таком случае распадаются возбужденные состояния с нулевым спином, если между ними и основным состоянием с нулевым спином нет других состояний? Может происходить p-распад с образованием нового ядра, но это очень медленный процесс, и хотя ядро в возбужденном состоянии не может испустить один фотон, возбуждение может быть более быстро
взаимодействие электромагнитного поля с веществом	271
А снято за счет электромагнитного взаимодействия между ядром и его атомными электронами. Избыток энергии ядра передается одному из электронов, который в результате этого вылетает из атома. Такая форма передачи энергии называется внутренней конверсией, а испущенный атомом электрон — конверсионным электроном. Переход 0 —О также может осуществляться через электромагнитные процессы более высоких порядков — такие, как испускание двух фотонов или одного фотона и конверсионного электрона. Но для большинства ядериых состояний вероятность этих процессов будет по крайней мере на два порядка меньше вероятности внутренней конверсии. Если состояние имеет энергию возбуждения больше двух электронных масс, оно может распадаться также путем электромагнитного рождения пары электрон — позитрон. При высоких энергиях этот процесс, получивший название внутренней конверсии с образованием пар (парной конверсии), имеет более важное значение, чем внутренняя конверсия.
Помимо того, что внутренняя конверсия и парная конверсия обеспечивают протекание переходов 0->0, эти процессы часто играют не менее значительную роль, чем у-нзлучение в переходах более высокой мульти-польностн. Поэтому мы рассмотрим указанные процессы подробнее.
§ 2. Внутренняя конверсия
Если электромагнитное поле ядра остается постоянным во времени, то электроны атома будут двигаться по стационарным орбитам. Если ядро обладает статическими моментами более высокого порядка, чем зарядовый монополь ЕО, электронные орбиты отличаются от орбит водородоподобного атома и даже от орбит экранированного водородоподобного атома. Атомная конфигурация в этом случае является по меньшей мере стационарным основным состоянием для некоторого нецентрального ядерного поля. Если теперь электромагнитное поле ядра внезапно изменяется, то электроны приобретают ускорение, и, в частности, один из них может получить энергию, достаточную для того, чтобы покинуть атом. Это не что иное, как полу-классическое описание процесса передачи энергии ядра атомным электронам через электромагнитное поле. Переходы между ядерными состояниями означают изменение некоторого мультипольного поля.
Переход 0-+0 с классической точки зрения соответствует изменению радиуса заряженной сферы. Это — единственный вид изменения, возможный для монополя при заданном постоянном Z. Но такое изменение не меняет поля вне заряженной сферы и не привело бы к внутренней конверсии, если бы некоторые электроны не проникали внутрь самого объема ядра. Волновой функцией, заметная часть которой расположена внутри ядра, обладают только s-электроны, и поэтому при переходах 0->- 0 испускаются только эти электроны. Из различных электронов с I = 0 наиболее интенсивно испускаются те, которые находятся на самом низком атомном уровне, т. е. в /(-оболочке. Очевидно, что когда в ядерном переходе участвуют более высокие мультиполи, то испускаются электроны, которые целиком движутся вне ядра и которые имеют ненулевой угловой момент.
Из сказанного выше должно быть ясно, что внутренняя конверсия представляет собой процесс превращения энергии возбуждения ядра в кинетическую энергию электрона в результате непосредственного электромагнитного взаимодействия между заряженными частицами: электронами и нуклонами. При этом не происходит, как одно время ошибочно предполагалось, испускания промежуточного у-нзлучения с последующим его
272
Г л а в а 11
поглощением. На интенсивности у-излучения почти не сказывается присутствие атомных электронов1). Таким образом, если вероятность испускания в 1 сек у-к ванта равна Т7, а вероятность внутренней конверсии в 1 сек — Те, то полная вероятность распада в 1 сек равна (7\ + Т„). Коэффициент внутренней конверсии а определяется как отношение числа испущенных электронов к числу испущенных фотонов: а = ТеП\. Этот коэффициент имеет большое значение, поскольку он очень мало зависит от структуры ядра. Он зависит и основном от энергии перехода и заряда Z (последний определяет вид электронной волновой функции); а можно табулировать как функцию этих двух переменных и мультиполыюсти перехода.
Значения а для различных мультиполей отличаются достаточно сильно, а зависимость от структуры ядра достаточно слаба. Поэтому, измеряя коэффициент внутренней конверсии, можно экспериментально определять изменения спина и четности при переходе. Например, при Z = 50 и энергии перехода тс* (511 кэв) для указанных ниже мультнпольностей коэффициент конверсии электронов из К-оболочки имеет следующие значения: Е\ : 1,98-10'’, ЛИ : 6,55-10’, Е2 : 5,96- 10'а, М2 : 2,09-10 «; ЕЗ : 1,60-10 2, М3 : 5,85-10 s, Е4 : 4,19- 10~а. Если, например, в ядре некоторого изотопа Sn произошел переход с энергией 511 кэв и измеренное отношение выхода электронов к у-излучению было 2,0-10 ’, то можно заключить, что данный переход был переходом Е1, и можно сделать некоторые выводы относительно спинов двух ядерных состояний. Если же измеренное значение оказалось бы 6,1-10'3, то заключение было бы менее определенным. В зависимости от величины эксперимента.!ьных ошибок это может быть либо ЛП-, либо Е2-переход. Кроме того, поскольку правила отбора для этих двух мультиполей перекрываются (AJ = 0 или 1, без изменения четности), переход может представлять собой смесь All- и Е2-излучений. Точное измерение а позволило бы определить степень смешивания Ml — Е2.
Излагаемый ниже расчет вероятности внутренней конверсии сделает ясными как природу процесса, так и причину того, что коэффициент конверсии не зависит от структуры ядра. Для того чтобы вычислить волновые функции атомных электронов, мы обычно заменяем истинное электромагнитное взаимодействие электрона с ядром простым выражением
^а=“2е2$	(,L2,a)
с
где о (г) — среднее статическое распределение плотности заряда ядра. Для сферического ядра и для электронов, находящихся вне ядра, т. е. прн | г„| >R,Hva равно просто Ze*lre. Выражение, записанное нами, позволяет также учесть статический квадрупольный момент ядра и электрические моменты более высокого порядка. Гамильтониан уравнения Шредингера, которое предполагается решить для нахождения состояний атома, имеет вид
Нй = Н (ядра)Ч-Т (электронов) + ^(электрон — электрон) 4- Hie-
Заметим, что Низ не содержит явно координат нуклонов и не влияет на решение волнового уравнения с чисто ядерным гамильтонианом. Собственные функции Но имеют вид произведения ф (ядра)-ф (электронов).
Для процесса внутренней конверсии начальное состояние представляет собой где Чг/,— волновая функция возбужденного состояния ядра,
*) Поправка на действительное поглощение электронами у-нзлучення, испущенного ядром, составляет менее одного процента.
Взаимодействие электромагнитного поля с веществом
273
а ф( — функция электронной конфигурации основного состояния. В функции конечного состояния Ч'уф/ функция 'Г/относится к конечному состоянию ядра с энергией более низкой, чем в состоянии Ф\-, а ф/ описывает состояние (Z—1) электронов, образующих ту же конфигурацию, что и в начальном состоянии, и одного электрона, вылетающего из атома. Этот переход происходит потому, что Яо не является полным гамильтонианом. Опущенный член представляет собой разность между истинным взаимодействием электрона с ядром и его средним значением Н'иа. Форма полного взаимодействия соответствует выражению (11.13), в котором Я \\ вычисляются как поля, создаваемые атомными электронами. Мы не будем рассматривать это полное выражение, ио для иллюстрации учтем только кулоновский потенциал, отбросив члены с запаздыванием. Другими словами, мы возьмем
е2
Явз =
(11.216)
». р
где гр —координата протона. Разность
н=нвз-н'из
(11.22)
есть возмущение, которое вызывает конверсионные переходы.
В отличие от Н',3 разность И’ содержит координаты нуклонов и поэтому дает вероятность внутренней конверсии в 1 сек:
Те=—Ь- 2 5^|(’Р/ф/|/Г|'Р,ф<)|,вв.	(11.23)
2J( 4- 1 -V ,м л
Это обычный результат теории возмущений; — плотность конечных состояний. Усреднение по начальным ориентациям и суммирование по конечным ориентациям ядра указаны в этом выражении явно. Аналогичное суммирование и усреднение для электрона заменены символом 5в. Поскольку ненулевой матричный элемент дает только первое слагаемое в Н', а именно Нвя, то наиболее важной частью выражения (11.23) является
Ял = е’(¥/ф/|2|гр-г<Г,¥1ф<>.
е, р
Если электроны находятся вне ядра, то ге >гр и справедливо мультиполь-ное разложение
еа-^-ДуГ(0е.Фе)УГ(°р. Ф₽) =
I 1 г с
2	Ve)-	(11.24)
Малый второй член в формуле (11.16) для Qlm здесь снова опущен.
Из этого результата ясно, что Тв содержит |Q<m|0 и поэтому пропорционально приведенной вероятности перехода В (£1), определяемой соотношением (11.19), где 1 — наинизшее значение /, согласующееся с правилами отбора для ядерных состояний. Кроме того, другие множители в Тв содержат только величины, относящиеся к электронным состояниям: плотность состояний qe пропорциональна импульсу испущенного электрона, 18 Заказ № 37	*
274
Глава 11
который, в свою очередь, определяется энергией ядерного перехода; матричный элемент
(Ч>/1<а+1)ГГ(0г, фе)|Ф<>
зависит от электронных волновых функций. Эти функции зависят от сорта атома, т. е. orZ. Электроны обычно приходится рассматривать релятивистски, и мы не будем останавливаться на деталях этих вычислений. Заметим только, что результат будет весьма сильно зависеть от значения X.
Все эффекты структуры ядра в выражении для вероятности внутренней конверсии заключены в тон же самой приведенной вероятности перехода, которая появляется в формуле (11.19) для испускания фотона. Следовательно, коэффициент внутренней конверсии Те!Ту дает информацию только о грубых чертах структуры ядра, а именно о значении X для перехода.
Рассуждения, следующие за формулой (11.24), не совсем корректны, так как, хотя использованное разложение | гр — гв|-1 справедливо только для гв >гр, мы, вводя матричные элементы Q(rn и электронный множитель, фактически производили интегрирование по всем значениям гв и гр. Большая часть распределения плотности даже самых тяжелых атомов расположена вне ядра, но тем не менее поправками нельзя полностью пренебрегать. Иначе оказывается, например, что ЕО-переход вовсе не осуществляется. Мы должны также рассмотреть область гв <гр, где роли гв и гр в разложении просто меняются, в результате чего для I = 0 имеем
с У ^ядра ^'зл X
. в'Р
\	' р	.)	'«	/
О	гр
= -ег2 J Лпдра 5	(11.25)
е, Р	-)	\ ГР •» /
О
Штрих при dxbi указывает, что интегрирование производится по всем электронам, кроме одного с координатой гв. Последняя строка получена с учетом того, что У/ и ортогональны. Эта формула весьма наглядно показывает, что вклад члена с I = 0 обусловлен проникновением электрона в ядро. Она также показывает, что вероятность ЕО-перехода не содержит монопольного момента общего вида Q/m; действительно, Qoo = Ze имеет нулевые матричные элементы. Выражение (11.25) не разделяется явно на электронный и ядерный множители. Однако внутри ядра имеет смысл разложить электронные волновые функции в степенные ряды с точностью до членов второго порядка по гв. В этом приближении разделение можно произвести, и в результате (11 получим
/7я=Л7?2^г„драт;2 р
где R — радиус ядра; с и а — константы, определяемые электронными волновыми функциями. Коэффициент а меньше 0,1 для всех атомов, а при малых Z он спадает до 0,01. Следовательно, ядерным параметром, фигурирующим в ЕО-переходах, является фактически матричный элемент ^Гр. р
Взаимодействие электромагнитного поля с веществом	275
Было также отмечено 12], что член, обусловленный проникновением электронов в ядро, может оказывать заметное влияние и в случае более высоких мультиполей. Так, он содержит отличный по сравнению с обычным ядерный матричный элемент и, следовательно, дает добавку к коэффициенту конверсии, которая зависит от структуры ядра. Этот эффект весьма мал, но важно то, что он может иметь ненулевое значение в тех случаях, когда какие-либо правила отбора обращают в нуль главный член. Например, вероятность М1-перехода содержит матричные элементы от (g/l 4- gas), и в простейшей одночастичной модели они обращаются в нуль для любых переходов с изменением I. Но поправочные члены включают в себя дополнительную зависимость от пространственных координат типа У2» вследствие чего становится разрешенным изменение /. Поэтому следует ожидать, что, например, /Ml-переходы типа Sys->- Л/, будут иметь весьма малую, но не абсолютно нулевую интенсивность. Это — не единственное объяснение того факта, что наблюдаются слабые, но заметные переходы, которые строго запрещены в простейшей оболочечной модели. Они могут происходить также в том случае, если состояния ядра не являются чистыми состояниями модели оболочек, а содержат ощутимые примеси других конфигурации. Однако имеется одно различие. Проникновение электронов внутрь ядра приводит только к эмиссии конверсионных электронов; смешивание же конфигураций разрешает также слабое у-излучение. Эффекты проникновения ярко проявляются в некоторых конверсионных переходах в Т1ао1, Три и Hg1®8 |3].
Хотя коэффициенты внутренней конверсии сравнительно мало зависят от структуры ядра, абсолютные вероятности внутренней конверсии, которые содержат ядерные матричные элементы, представляют собой экспериментальные данные, с помощью которых можно проверять ядерные модели. Если не считать особых случаев, о которых мы только что говорили, вероятности внутренней конверсии дают значения тех же самых ядериых матричных элементов, которые получаются из измерений интенсивности у-излуче-ния. Иногда удобнее иметь дело с конверсионными электронами, чем с у-лучами. Типичный пример —эксперименты по распаду уровней вращательных полос некоторых сильно деформированных ядер редкоземельной области [4]. В этих экспериментах измерены значения В (Е2) для нескольких переходов и произведено сравнение результатов с предсказаниями коллективной модели, причем получено хорошее согласие. Поскольку сведения о структуре ядра, получаемые из таких измерений, обсуждаются ниже в связи с у-нзлучеиием, мы не будем здесь больше останавливаться на этом вопросе.
Для анализа экспериментального материала по электромагнитным переходам необходимы надежные теоретические таблицы коэффициентов внутренней конверсии. Самые первые достаточно точные расчеты были выполнены Хулмом 15], Тэйлором и Моттом [6] в 1932 г. Впоследствии была полностью разработана формальная теория, охватывающая магнитные взаимодействия и все релятивистские эффекты (см. работу [7]). Чтобы получить значения а из теоретических выражений, необходимо выполнить громоздкие численные расчеты. При этом важно учесть размеры ядра, которые влияют на результат двояким образом.
Как мы уже видели, они приводят к необходимости рассмотрения области re <Zrp. Кроме того, электронные волновые функции в случае ядра конечных размеров отличаются от функций для атома с точечным ядром. Обширные таблицы значений а для случая точечного ядра были опубликованы Роузом и др. 18]. Но поскольку поправки на конечные размеры ядра 18*
276
Глава 11
весьма ощутительны, в особенности для магнитных переходов, Слив и Банд 191 и Роуз 1101 вычислили таблицы1), учитывающие эти эффекты с точностью до трех десятичных знаков. Из-за различия в модели распределения токов в конечном ядре значение а может измениться на несколько процентов; метод учета поправок для различных моделей изложен в работе (12). В таблицах Слива вклад области re <гр учтен с помощью следующей ядерной
Ф и г. 11.1. Коэффициент а внутреиней]конверсии на /(-оболочке как функция энергии перехода для нескольких электрических мультиполей в случае трех различных элементов.
модели: он предположил, что все ядерные токи текут по поверхности ядра. В таблицах Роуза этот вклад не учитывается, но используются волновые функции с поправками на конечные размеры ядра. Расхождение между этими двумя таблицами обычно не превышает 10%, а истинное значение — промежуточное. Конечно, таблицы не дают коэффициентов для сильно запаздывающих распадов, таких, как I — запрещенные переходы. Некоторые типичные коэффициенты конверсии показаны на фиг. 11.1 и 11.2.
*) Таблицы значений а для К-оболочки даны также в книге [11].
Взаимодействие электромагнитного поля с веществом
277
Если коэффициенты конверсии велики, то их трудно измерить и по ним нельзя уже надежно определять мультипольность. В таких случаях можно измерять отношение числа актов конверсии на К-оболочке к числу конверсионных 1-электронов. Напомним, что L-оболочка расщепляется на три
Фаг. 11.2. Коэффициент внутренней конверсии на К-оболочке для различных магнитных мультиполей.
подоболочки Ij, 1ц и 1ш, заполняемые соответственно электронами si/t, pi., и рз/,. Каждая из них обладает своим средним радиусом и энергией и своей вероятностью внутренней конверсии. Отношение К/L определяется следующим образом:
£ =----------.	(11.26)
L TedO + TeduJ+Teflm)
Оно почти исключительно зависит от электронных волновых функций. Ядерный матричный элемент сокращается по крайней мере с такой точностью, с которой можно пренебречь областью гв <гр.
В некоторых случаях отношения К71 для двух различных мультиполей, например для £1 и Ml или £2 и М3, могут оказаться очень близкими друг к другу. Тогда для определения типа перехода можно пользоваться аналогичными отношениями внутри 1-оболочки, например 1ц/1ь
278
Глава //
§ 3. Внутренняя конверсия с образованием нар
Если энергия достаточно велика, то наряду с у-нзлучением или внутренней конверсией имеет место электромагнитное рождение электрона и позитрона с полной кинетической энергией йсо— 2шс2. Математическая сторона теории этого процесса почти такая же, как и теории внутренней конверсии 113]. На языке дираковской теории дырок (см. гл. 12) единственная разница между ними в том, что при внутренней конверсии электрон переходит в свободное состояние с атомной орбиты, тогда как при рождении пары происходит возбуждение электрона, находящегося на одном из обычно заполненных уровней фона с отрицательными энергиями. (Незаполненное состояние в этом фоне физически трактуется как позитрон.)
Фиг. 11.3. Полный коэффициент конверсии Г с рождением пар как функция энергии перехода для различных мультиполей. Цифры около каждой кривой показывают значение X для электрических (и) и магнитных (б) мультиполей. Коэффициенты не зависят от Z (по Роузу).
Следовательно, появляется тот же самый ядерный матричный элемент, что и при внутренней конверсии, и снова отношение числа актов с рождением пар к числу испускаемых у-квантов не зависит от структуры ядра. Поэтому мы можем определить это отношение как коэффициент парной конверсии.
Строгие расчеты очень громоздки и, если не считать нескольких специальных случаев, они были выполнены только в таком приближении, когда пренебрегается влиянием заряда ядра на движение испущенной пары. Точнее говоря, результаты расчетов справедливы при Z < 137. Далее необходимо для простоты рассмотреть только два предельных случая: когда скорости электронов очень близки к скорости света (у/с ~ 1) или очень малы (о с). Первый случай известен под названием борновского приближения [14—17], второй, нерелятнвистскнй случай,— шредингеровского приближения (14). Эти расчеты дают угловое и энергетическое распределение испущенных электронов и позитронов, а также полный коэффициент внутренней конверсии с рождением пар. Мы приводим только некоторые графики для этого коэффициента (фиг. 11.3). Поскольку этот коэффициент достаточно велик лишь при весьма больших энергиях и поскольку высоковозбужден
Взаимодействие электромагнитного поля с веществом 279
ные состояния ядра обычно могут переходить в основное состояние путем испускания каскадного излучения с энергией, как правило, ниже 1 Мэв, то коэффициент парной конверсии был измерен только в нескольких случаях. Результаты оказались в хорошем согласии с теорией.
В переходах О-*0 рассматривается не отношение вероятностей рождения пар и у-излучения, а отношение вероятностей внутренней конверсии и рождения пар. Оно сильно зависит от Z и от энергии, изменяясь при малых Z и высоких энергиях примерно как (Z/to)8. Таким образом, переход 0* -> О* с энергией 6,06 Мэе в О1* осуществляется в подавляющем большинстве случаев через рождение пары, тогда как при переходе 0-*-0 в RaC' (Ро314) с энергией 1,414 Мэе наблюдались только конверсионные электроны.
Предсказываемые теорией для данных двух переходов отношения 2-Ю'5 и 170 согласуются с этими результатами. Энергетический спектр и угловое распределение позитронов (относительно направления вылета электронов) в О1* также согласуются с теорией [18, 19J.
§ 4. Кулоновское возбуждение
При внутренней конверсии энергия возбуждения ядра превращается посредством электромагнитного поля в кинетическую энергию заряженных частиц (электронов атома). Кулоновское возбуждение представляет собой обратный процесс в том смысле, что пучок заряженных частиц обстреливает ядро и некоторая часть их кинетической энергии за счет действия электрического поля превращается в энергию возбуждения ядра. Однако имеется несколько существенных отличий.
Наиболее эффективны в отношении кулоновского возбуждения не электроны, а протоны или тяжелые ионы. Ионы должны двигаться сравнительно медленно, с энергиями, малыми по сравнению с высотой электростатического барьера (ZiZ2e*/R), так как иначе они будут проникать в ядро и вызывать различные ядерные реакции, что затруднит или сделает вообще невозможным экспериментальное выделение актов кулоновского возбуждения.
Кроме того, хотя существует магнитное взаимодействие между током ионов и токами в ядре, его роль в возбуждении ядра значительно меньше, чем в процессе внутренней конверсии, потому что скорость заряженных частиц (которая, конечно, значительно меньше скорости света) входит в эффективное сечение в виде множителя (v/с)3. Именно этим преобладанием электрических сил и объясняется название кулоновское возбуждение.
Движение медленных ионов с хорошей точностью можно рассматривать без применения квантовой механики. Классическая траектория частицы в поле отталкивающей силы (ZjZoe3//"2), обратно пропорциональной квадрату расстояния, представляет собой гиперболу. Если эта частица рассеивается неупруго и потеря энергии мала по сравнению с ее кинетической энергией, то ее тракторня будет близка к прежней гиперболе. Для этого нужно, чтобы энергия возбуждения была достаточно мала по сравнению с высотой кулоновского барьера. Это условие хорошо выполняется при возбуждении вращательных уровней ядер в области редких земель ионами с зарядом два и выше. Если энергия возбуждения не мала, то движения падающей частицы необходимо описывать квантовомеханически.
Возмущение, вызывающее передачу энергии,— это то же самое Н', определенное соотношением (11.22), но с заменой координаты электрона г.
280 Глава 11
на координату падающего иона г»:
я'= у	_ z1<?2 г _eW_
^kp-rd J|r-rd
«-Z(e,/Zrr‘-2lrp-riF,\.	(11.27)
\	p	/
При чисто квантовом рассмотрении мы используем волновые функции начального и конечного состояний Ч'(ф (к,), Ч'/ф (к>), гдеф (к) — волновая функция, которая описывает ион с импульсом Лк на бесконечности, движущийся в кулоновском поле ядра. В полуклассической теории используются функции начального и конечного состояний Ч'( и относящиеся только к ядру, а г, представляет собой функцию времени г< (Дописывающую движение частицы по гиперболе1). В обеих теориях получаются выражения, подобные (11.23) и (11.24), и появляются те же самые ядерные матричные элементы В (ЕХ). Дифференциальное сечение возбуждения можно записать следующим образом:
( 7^гГа“П+2в(а)М Е; т||).	(П-28)
\ /I /vf у
где т — приведенная масса, 9 —угол, на который рассеивается нон, а rnZtZe2 ZjZ2 а~ —=---------------------~-------,
h kikt hk
. _ mZtZe* / 1	1 \ ~tnZtZe?&E
6	h2k 2Ё’
mZtZe2
П< = —st-.
h Kt
Эти приближенные выражения для а и £ справедливы для полу-классического случая, в них k представляет собой среднее между мало отличающимися величинами kt и k/, а Е и АЕ —энергия иона и энергия возбуждения ядра. В чисто квантовом описании
(1L29)
Для ионов с малыми скоростями соотношение (11.29) сводится в квазнклассическом приближении к следующему выражению, которое также является результатом полуклассического расчета:
_ 4* у (2Х+1)*7
%
Htfy.o'j '1/^(0, Е)|2sin'4|dQ,
(11.30)
*) Часто такое приближение, названное автором «полукласснческим», называют просто «классическим* (см., например, [20)). Мы сохранили терминологию автора, как более точную. Заметим, что существует также «квазнклассическое приближение» (см. ниже), основанное на квантовомеханическом описании движения иона посредством квазикласснческих волновых функций (приближение Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна).—Прим. ред.
Взаимодействие электромагнитного поля с веществом
281
где
z F <E(t»hs+*)fcb х+8-Н(еа— l),/ash хГ3 
lechx+ 11,+“
а е = 1 /sin (0/2). Этот полу классический результат получается в пределе Т| —► со.
Полное сечение кулоновского возбуждения есть интеграл от do по телесному углу, т. е.
<г>х= (-2^}2a-n+iB(Ek)fE^, П»),
(11.31)
j \ du /
Чтобы получить данные, представляющие практическую ценность, нужно найти численные значения этих выражений. Все подробности расчетов описаны в обзорной статье 1201. Угловое распределение dfK2ldil
для различных значений £ показано в по-луклассическом пределе на фиг. 11.4, а некоторые функции /дци/мх. входящие в выражение для полного сечения, представлены на фиг. 11.5. Фиг. 11.6 иллюстрирует точность полукласснче-ских результатов, показывая отношение полных функции f в квантовом и квазн-классическом случаях при различных | и т]. По порядку величины сечения составляют несколько миллибарн.
Фиг. 11.5. Полные функции возбуждения /(£, со) для различных мультиполей (полукласснческие результаты) (по Альдеру и др.).
Фиг. 11.4. Угловое распределение ионов, неупруго рассеянных в результате кулоновского возбуждения типа £2.
Все кривые нормированы на единицу при 180* (по Альдеру и др.).
Кулоновское возбуждение особенно интересно тем, что оно позволяет преимущественно возбуждать некоторые сравнительно низколежащие состояния, чего нельзя получить в чистом виде при других способах возбуждения, таких, как ядерные реакции или радиоактивный распад. Свойства образованных ядерных состояний можно изучать различными методами:
282   Глав а 11
непосредственно наблюдая неупругое рассеяние частиц, измеряя интенсивность и угловое распределение у-излучения высвечивания, а также исследуя конверсионные электроны.
Сечение нсупругого рассеяния позволяет измерить приведенный электромагнитный матричный элемент В (£Х), если известно X. Измеренное угловое распределение может дать значение X, в особенности если
<Л и г. 11.6, Отношение R функций / (£, т|), рассчитанных квантономеха-ническн, к тем же функциям, полученным лолуклассическим методом, в случае кулоновского возбуждения ^тнпов £1 и £2 (по Альдеру и др).
измерения выполнены для нескольких значений Е и для нескольких сортов падающих частиц.
Таким образом, эксперимент позволяет наряду с матричным элементом В найти энергию, спин и четность состояния ядра. Эти величины содержат все данные о структуре ядра, которые можно непосредственно получить из кулоновского возбуждения.
Величину В можно также определить, исследуя полный выход у-лучей и конверсионных электронов в результате высвечивания. Дальнейшие сведения получаются путем измерения угловых корреляций между у-лучами высвечивания и падающим пучком. Если у-переход идет на уровень, промежуточный между основным состоянием и со
стоянием, возбужденным при рассеянии иона, то можно получить данные
о структуре этого промежуточного состояния.
С точки зрения понимания структуры ядра кулоновское возбуждение важно как средство измерения приведенных вероятностей переходов. Подробности теории и описание экспериментальных трудностей и результатов читатель может найти в обзорной работе (201.
§ 5. Угловые корреляции
Данные о спинах ядерных состояний часто оказывается возможным получить путем наблюдения углового распределения последовательных излучений. Например, на фиг. 11.7 показано состояние, распадающееся с переходом в состояние которое в свою очередь переходит в состояние J/. Неподвижный счетчик настраивается на регистрацию излучения с энергией Eit а другой счетчик, регистрирующий излучение Е/, может перемещаться вокруг источника на различные углы 0. Если промежуточное состояние J достаточно короткоживущее, то число совпадений в отсчетах двух счетчиков дает угловую корреляцию между двумя излучениями.
Чтобы понять, почему вообще должна иметь место какая-то корреляция и, в частности, почему промежуточное состояние должно быть короткоживущим, нужпосначала исследовать угловое распределение излучения, испускаемого осциллирующим мультиполем порядка X. Ориентация мультиполя задается его вторым индексом р, который представляет собой z-компоненту механического момента излучения и характеризует угол между осью мультиполя и произвольной осью z. Если отсутствуют какие-либо специальные условия, вызывающие ориентирование атомов, то различные значения р в данном источнике будут равновероятны; можно сказать, что заселенность
Взаимодействие электромагнитного поля с веществом
283
состояний с разными р одинакова. Но прн фиксированном р излучение характеризуется вектором Пойнтннга
( —j RelElji X H,.J •
\4лс/
и расчете использованием (11.8) показывает, что результат пропорционален Sxu= {2Х(Х+ !))"* {[Х(Л+ 1)-р(р + 1)1 |П+1|г +
+ IX(A,+1)-р(р-1)1 |УГ*I2 +2р2|ИГ).	(11.32)
Этот результат одинаков для электрических к магнитных мультиполей. Аргументами сферических гармоник являются полярные углы излучения относительно произвольной оси z. Если
заселенность состояний по р однородна, то полная интенсивность излучения ансамбля атомов равна величине 25^, м
которая, как и должно быть, оказывается изотропной. Но после переходов ориентация атомов уже не совсем хаоти-
ческая и различные значения ц для вто- фмг< //.7. Каскадные излучения рого перехода J —► Jf не являются	и угловая корреляция,
равновероятными. Чтобы убедиться в
этом, рассмотрим самый простой случай, когда Jt = Jf = 0. Все возможные значения р = J, J — 1, .... —(J — 1), —J для первого перехода равновероятны, но прн данном р, скажем рь промежуточное состояние должно иметь М = —pi в силу закона сохранения момента количества движения. Так как М/ также равно нулю, то отсюда следует, что р для второго перехода должно быть равно значению /VI для промежуточного состояния. При условии, что в промежуточном состоянии не происходит
переориентации ядра, мы имеем
P/=M = —рь
Теперь предположим, что мы наблюдаем только те переходы Е|, при которых у-квант испускается вдоль оси z. (Другими словами, ось неподвижного счетчика выбрана в качестве оси г.) Тогда мы будем наблюдать излучение не от всех мультиполей, а только от тех, которые имеют р = ±1, так как только эти мультиполи излучают в направлении 0 = 0. Математически это следует из (11.32), поскольку при 0 = 0 единственной ненулевой функцией из У,; будет УК; физически этот результат отражает тот факт, что фотоны могут иметь только два значения круговой поляризации.
Следовательно, конечное излучение, которое дает совпадения с начальным излучением вдоль осн z, имеет только два значения р = ±1, и они равновероятны. В итоге угловое распределение излучения, дающего совпадения, имеет вид
Wr(0) = Si,1+S*.-1-
= | Y°). |2 4- —-— | У112 + (Х±2)(ХТ-9 | у2 I2. (И .33) X(X+1)	X(X+1)
Например, при Ji = 0, J = 1, Jt = 0, т. e. для дипольных переходов, имеем
F(0) = | У? |2+ | У} |2 ~ 1 +cos20.	(11,34а)
284	Глава 11
А если J = 2, получаем
u7(O) = |y2o|2+4-l^l2+-i-lr2l2~4cos40-3cosS0+1- О1-346) О	<J
Этот пример поясняет происхождение корреляции направлений последовательных излучений, а также показывает, что эти корреляции различны для разных ядерных спинов и разных электромагнитных мультиполей. В нашем случае, когда известно, что Jt и J/ равны нулю, измерение угловой корреляции однозначно определяет J — спин промежуточного состояния.
Аналогичный анализ может быть выполнен и в общем случае Jt-*- J -* -* Jflc мультиполями порядка Х( и ХЛ Получается следующий результат:
N
1У(0)= 2 A2nP2n(cos0),	(11.35)
п “О
где Р — полином Лежандра (равный единице при 0 = 0), N — миннмаль- • ное из чисел (J, Хь к{), и
А 2„ = F2n frhJtJ) F2n (X/X^/J).	(11.36)
Наконец, F2n представляют собой определенные комбинации коэффициентов Клебша — Гордана и Рака, соответствующие формуле (А.44). Они были затабулированы Биденхарном и Роузом 121), а также содержатся в других таблицах [11], стр. 380 и [22].
Поскольку каждый каскад Jj (Xf) J (Xz) J/ имеет свою собственную функцию угловой корреляции № (0), то в принципе по ней можно определить не только один неизвестный спин, как в нашем простом примере, но часто два или даже три. На практике это иногда затруднительно, потому что разница двух функций W (0) для двух разных комбинаций спинов может оказаться в пределах экспериментальных ошибок.
Иногда важен другой фактор: смешивание мультиполей. Имеются переходы, в которые заметный вклад дают как Л11-, так и Е2-колебания. Если степень нх смешивания неизвестна, то очень трудно определять спины. Если же, с другой стороны, спины были определены другими методами, то угловые корреляции дают отношение приведенных матричных элементов А41 и Е2 и, таким образом, обеспечивают дополнительные данные о структуре ядра.
В ряде случаев больше данных можно получить, если измерять одновременно и угловую корреляцию, и поляризацию у-излучений. Другой метод, который также иногда оказывается полезным,— это измерение углового распределения излучения ориентированных ядер, т. е. из источника с преимущественной заселенностью состояний с некоторым определенным направлением спина (она обычно достигается с помощью наложения на источник магнитного поля при низких температурах).
В нашем анализе было поставлено условие, что ядро не будет испытывать переориентировки в своем промежуточном состоянии. Но его ориентация может быть нарушена в результате столкновений с другими атомами или под влиянием внешнего электрического или магнитного поля рассеяния, а также внутреннего электромагнитного поля, когда излучающий образец твердый. В любой данной среде будет свое определенное время релаксации, характеризующее скорость протекания процесса потери ориентации. Если период полураспада мал по сравнению с временем релаксации, то проведенный выше анализ справедлив. Если же период полураспада нс очень
Взаимодействие электромагнитного поля с веществом
285
мал, угловое распределение приближается к изотропному. В некоторых экспериментах оказывается необходимым учитывать эту поправку.
Установлено, что аналогичные условия корреляции возникают и в тех случаях, когда одно излучение (или оба) является не у-излучением, а излучением, скажем, а- или 0-частиц. Тогда угловое распределение для данной компоненты углового момента р описывается уже не выражением (11.32), а зависит от данного типа излучения. Таким образом, хотя выражение (11.36) и несправедливо в этих случаях, для них были получены другие совершенно аналогичные формулы 122].
Ниже мы рассмотрим некоторые корреляции при 0-распаде.
Настоящий параграф представляет собой лишь краткий очерк наших весьма обширных знаний об угловых распределениях и корреляциях. Надеемся, что ои даст представление о том, почему проводятся корреляционные эксперименты и какого рода информацию они могут дать. Для более подробного излучения пришлось бы шире использовать аппарат квантовой механики, что нс способствовало бы достижению нашей главной цели — добиться понимания ядерных проблем. Поэтому мы отсылаем интересующегося читателя к имеющимся в литературе обзорным статьям (например, 120, 23)).
9
ЛИТЕРАТУРА
1.	Ch urc h Е. L, Weneier J., Phys. Rev., 103, 1035 (1956).
2.	С h u г с h Е. L., W е n е s е г J., Phys. Rev., 104, 1382 (1956).
3.	G е г h о 1 tn Т. R., Petterson В.—G., van Nooijen B., Grabowski Z., T h u n J. E., Nuclear Phys., 24. 177, 196, 251 (1961).
4.	Bernstein E. M., Graetzer R., Phys. Rev., 119, 1321 (1960).
5.	H ul me H. R., Proc. Roy. Soc., A138, 643 (1932).
6.	T а у 1 о r H. M., M о t t N. F., Proc. Roy. Soc., A138, 665 (1932).
7.	Tralli N., Goertiel G., Phys. Rev., 83, 399 (1951).
8.	R о s e M, E., Goer tzel G. H.t S p i n r a <1 В. I., H a r r J., S t г о n g P., Phys. Rev., 83, 79 (1951).
9.	С л и в Л. А., Б а н д И. M„ Коэффициенты внутренней конверсии для гамма-излучения, М,—Л., 1956; М.—Л., 1958.
10.	Rose М. Е., Internal Conversion Coefficients, Amsterdam, 1958.
II.	Experimental Nuclear Physics, ed. E. Segrt, Vol. Ill, New York, 1959, p. 350.
12.	G г e e n T. A., R о s e M. E., Phys. Rev., 110, 105 (1958).
□.Oppenheimer J. R., N e d e I s k i L., Phys. Rev., 44, 948 (1933).
14.	Rose M. E., Uhlenbeck G. E., Phys. Rev., 48, 211 (1935).
15.	R о s e M. E., Phys. Rev., 76, 678 (1919).
16.	H о r t о n G. K., Proc. Phys. Soc., 60, 457 (1948).
17.	D a I i t z R., Proc. Roy. Soc., A200, 521 (1951).
18.	D e v о n s S., L i n d s e у G. R. G., Nature,	164, 539	(1949).
19.	R a s m u s s e n V. К., Hornyak W. F.,	L a u	r i	t s	e	n С. C., L a u г i t-
se n T., Phys. Rev., 77, 617 (1950).
20.	A 1 d e г K., Bohr A., H u u s T., Mottelson B., \V i n t h e r A., Rev. Mod. Phys., 28, 432 (1956).
21.	В i e d e n h a г n L. C., R о s e M. E., Rev. Mod. Phys., 25, 729 (1953).
22.	W a p s t г a A. H., N i j g h G. J., v a n L i e s h о u t R., Nuclear Spectroscopy Tables, Amsterdam, 1959.
23.	S i e g b a h n K., Beta- and Gamma-Ray Spectroscopy, Chap. XIX, Amsterdam, 1955.
ГЛАВА 12
СТАТИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ
В этой главе мы продолжим обсуждение ядерных моментов, начатое в гл. 4. Мы рассмотрим здесь предсказания различных ядерных моделей с тем, чтобы, сопоставляя их с результатами эксперимента, оценить возможности каждой модели. Главным нашим объектом будут магнитные дипольные моменты основных ядерных состояний; кроме того, мы кратко остановимся на электрических квадрупольных моментах.
Магнитные моменты, вычисленные в гл. 4 по одночастичной модели для ядер с нечетным Л, образуют линии Шмидта. Как отмечалось, все экспериментальные значения расположены между линиями Шмидта; при этом измеренные моменты разделяются на две группы, близкие к соответствующим предельным значениям для I — / ± Vs- Случаи, когда измеренный момент близок к какой-либо из предельных линий, неизменно сопутствуют ядрам, у которых значения I оболочечной модели действительно соответствуют данному пределу. В случаях, когда нет никаких других данных для расшифровки оболочечной структуры ядра, близость к линии Шмидта определяет по крайней мере четность состояния.
Лишь у немногих ядер моменты отличаются менее чем на 0,2 от предсказании одночастичной оболочечной модели; большинство из таких ядер содержат нечетный нуклон в состоянии р>/2. Это расхождение теории с экспериментом можно, по-видимому, приписать уменьшению g-фактора в мезонном поле ядра, но чтобы полностью объяснить отклонение магнитных моментов от предельных значений Шмидта, необходимо, кроме этого, не получившего до сих пор точной количественной оценки эффекта, найти и исследовать еще ряд других явлений.
Существует один не рассмотренный выше эффект, обязанный своим возникновением зависимости нуклон-нуклонного потенциала от скорости. Чтобы найти взаимодействие электромагнитного поля с системой частиц, нужно заменить импульс каждой заряженной частицы в гамильтониане:
p,^p,_«<l!> С
(12.1)
где А — вектор-потенциал электромагнитного поля, который для однородного магнитного поля Н есть
A =yH х г.
(12.2)
Статические электромагнитные моменты
287
Гамильониан ядра имеет вид
_2
2т‘ fit
подставляя (12.1) и (12.2) в кинетическую энергию р*/2/щ, получаем обычное выражение для орбитального магнитного момента. Если utJ зависят от импульсов, то это приведет к изменению магнитных моментов. Заметим, что зДесь имеется в виду явная зависимость от импульсов самого потенциала Vij. Как известно, даже в случае чисто статических vtj эффективное взаимодействие отдельной частицы в ядерной материн зависит от импульсов, и поэтому в уравнение Шредингера для отдельной частицы вводится эффективная масса. Тем не менее в выражение для магнитного момента нужно подставлять значение истинной массы. Если нуклон-нуклонное взаимодействие содержит член, подобный L-S-потенциал у Сигнелла —Маршака, то оператор магнитного момента изменится 111. В гамильтониан войдет член
2 VLs(rii‘, tt, ту)гах (р<—py)-(fff-bOy),
который дает следующий вклад в оператор магнитного момента:
2 И х 1(<Г| + <Ъ) х rj	Щ).	(12.4)
i	.J	2
Среднее от (12.4) вычислить довольно трудно. Расчеты упрощаются, если предположить, что эффект, обусловленный членом в (12.4), можно получить, используя средний одночастичный потенциал оболочечной модели,
f(r)ffl.	(12.5)
Это ведет к дополнительному оператору магнитного момента
2	—П^гП)].	(12.6)
t \^с/
Введение члена (12.5) в гамильтониан оболочечной модели имеет то же основание, что и введение эффективной массы,— он вводится для учета усредненного влияния многих частиц. Следовательно, использование (12.6) по меньшей мере вызывает сомнения. Однако некоторые расчеты были проведены в таком предположении. Выло установлено (21, что поправки наспнн-орбитальное взаимодействие для магнитного момента ядра Bi20’ могут соста-вить+0,6 ядерного магнетона. Это — существенная доля величины 1,4 ядерного магнетона, составляющей полное отклонение магнитного момента ядра Bi20*, содержащего один нуклон сверх заполненной оболочки, от линии Шмидта. Нужны, конечно, более точные оценки спин-орбнтальных поправок, но, тем нс менее, можно заключить, что они, по-видимому, более существенны, чем мезонные поправки.
§ 1. Оболочечная модель с учетом взаимодействий
Простейшая разумная модель — это модель оболочек с учетом взаимодействий между частицами, находящимися вне замкнутых оболочек. Можно получить [31 простое выражение для магнитного момента оболочки, содер
288
Глава 12
жащей нечетное число нуклонов одного сорта и четное число другого. Если полный изотопический спин равен Т, то
ц=ац11сч + 0щет,
где
« + 0=1.
Nt+N0-2T Р =----------- при
2(2/ + 2)(2Г+2)
(12.7)
N0>Ne,
4/ +2—2T—Ne—N0
—-------—----- при
2 (2/+ 2) (27-+ 2)
Нв>Н0
а Цнсч и Цчет — одночастичные моменты соответствующих частиц в той же конфигурации. Такие вычисления можно применять к ядрам, в которых как нейтроны, так н протоны находятся в одной оболочке, т. е. до Sc. Для них основные состояния имеют Т = */2 |У0 — We| и сеньоритн s = 1, что несколько упрощает 0. Отметим, что для / = */2 коэффициент 0 равен нулю, н мы приходим к одночастнчному значению для момента. Физически это нетрудно истолковать как доказательство того, что моменты четных частиц складываются в момент нуль, а их магнитные моменты взаимно компенсируются. Эксперимент подтверждает это правило в случае состояний pi/,, но не состояний с si/t. В случае других конфигураций (12.7) дает удовлетворительное согласие с опытом для ядер Li’, Be® (рз/2) и Sc4S (Л/2). Для изотопов Cl (А/а) хорошего согласия получить не удается. Значение магнитного момента В11 лучше согласуется с данными опыта, если принять следующую конфигурацию ядра: протоны (p3/s)3, нейтроны (рз/.)1 (pi/2)2. Для Mg!5 при Цнсч = —1.91 уравнение (12.7) дает р. = —0,64. Наблюдаемое значение равно — 0,96. Для А1” можно получить даже лучшее согласие, но только если приписать двум нейтронам состояние $/,. Ниже мы увидим, что лучшее описание свойств обоих ядер Mg и А1 дает коллективная модель.
Нейтроны и протоны ядер с А > 50 находятся в различных оболочках. Согласно оболочечной модели разные оболочки должны рассматриваться независимо. Чтобы найти магнитный момент конфигурации (j)ft одного типа нуклонов, мы полагаем в уравнении (12.7) Ne = 0 и Т = /г/2 и получаем М> = Рнеч- Это означает, что отклонения от линий Шмидта не получается. Отсюда можно заключить, что учет взаимодействий только внутри одной подоболочкп недостаточен для предсказания магнитных моментов.
Модель станет более реальной, если допустить некоторое смешивание различных конфигураций. Магнитные моменты оказываются очень чувствительными даже к малым примесям высших состояний. Хорошее согласие, которое при этом получается, можно рассматривать как указание на то, что большинство состояний содержит по крайней мере несколько процентов примеси других состояний. Записывая волновую функция (7.12) в виде
YjM = Yo+ 2аРЪ+
р	я
и вспоминая, что магнитный момент есть среднее значение (щ) одночастнч-ного оператора, который действует только на функцию углового момента, мы видим, что вклад в ц дают только состояния Ч'р. Эти состояния отличаются от чистого состояния Ч'о, даваемого оболочечной моделью, только изменением /, но п и I остаются неизменными для каждой частицы. Более
Статические электромагнитные моменты
289
того, вклад в р дают лишь те состояния Ч'р, которые имеют только одну частицу (и не более) в состоянии, отличном от Vo1)- Эти ограничения означают, что в состояниях Ч'р и Ч'о только одна частица может иметь / = / + в одном из них и j = / — J/2 — в другом; состояния же всех других частиц остаются неизменными. Поправка к р линейна по а:
р = (% | рх | ¥0> + 2 £ар (% | рх 1Фр>.	(12.8)
р
•
Блпн-Стойл и Перкс [4] получили явный вид этого выражения в замкнутой форме, выбирая потенциал между частицами в виде 6-функции и находя ар по теории возмущений. Результат можно записать как
' (12.9)
где а и Fo — величины, определенные в (7.9) и (7.10), ДЕ> — величина спнн-орбитального расщепления между состояниями j — I ± 1/i, a A (I, J)— сложное выражение, включающее коэффициенты Клебша — Гордана и ^-функции Рака. Выражение для момента в виде (12.9) применимо к состояниям '1%, когда: а) нечетное число частиц находится в состоянии / = I + */а н нн одной частицы нет в состоянии j = I — 1/2; б) заполнена оболочка j = / 4- */2, а в состоянии j = I — 1/2 находится нечетное число частиц; при этом в обоих случаях все другие состояния заполнены. Если 4% описывает четное число частиц в / = /’ -j- */s, ни одной частицы в состоянии / = Г — 1/2 и нечетное число частиц в состоянии lj, то поправка имеет аналогичный вид
(g.-gW. Л J)(l-4a)Fo(Z, 0
SEt.
Коэффициент В при J — I + */2 примерно вдвое больше, чем при J = I — 1/t. Отклонения от линии Шмидта с / + */2 оказываются больше, чем от линии с / — 112- Для ядер с конфигурацией ру. величины В = 0, а для ядер с конфигурацией si/2 основное состояние (с1»/1)л si/2 сильно смешивается с состоянием (d&/j)*_,di/jSi/2, что дает большую поправку.
В случае ядер, к которым применимо выражение (12.9), можно эмпирически определить величину (F0/&Ei) при каждом / и получить пять констант для состояний от pt/2 до hti„. Для соответствующих значений р, как показано на фиг. 12.1, может быть получено очень хорошее согласие. Между прочим, из (12.9) и (12J0) видно, что зависимость отклонения Др от заряда нечетного нуклона содержится только в множителе (g„ — g/); отношение этих величин для протонов и нейтронов равно
(gs gl)npoTOn 	|2
(g> gz)ttCiiTPOB
Следовательно, в области ядер, число нуклонов у которых меньше 50, где нейтроны и протоны заполняют оболочки одновременно, Др для данного нечетного числа протонов будет в 1,2 раза больше, чем для такого же числа нейтронов. В гл. 4 была отмечена зависимость Др от числа нуклонов (независимо от типа нуклонов); теперь этот факт получил объяснение.
*) Здесь автор имеет в виду поправки к р, линейные по а. В общем случае вклад в р дадут любые состояния, и г|>ч, за счет диагональных матричных элементов типа <4>р | рх | 4’р>.— Прим. ред.
19 Заказ № 37
290
Г л а о a 12
Что касается нечетно-нечетных ядер, то здесь модель оболочек дает простое сложение магнитных моментов протонных и нейтронных конфигураций, без учета какого-либо взаимодействия между незаполненными нейтронными и протонными оболочками. Исключение составляют, может быть, только легкие ядра, в которых нейтроны и протоны заполняют одинаковые оболочки и изоспин является хорошим квантовым числом. Можно полагать,, что в этом последнем случае нейтронам и протонам свойственны в точности одинаковые пространственное движение и ориентация, но g-факторы их имеют противоположные знаки и поэтому поправки к значениям g для свободных протонов и нейтронов приблизительно равны и противоположны [51. Следовательно, несмотря на смешивание конфигураций и мезонные поправки, можно использовать g-факторы свободных нуклонов, а р считать.
Фиг. 12.1. Магнитные моменты ядер с нечетным /I и четным (а) и нечетным (б) Z.
Точки соответствуют эксперимеитяльпым данным, сплошные линии — пределы Шмидта, пунктирные линки представляют результаты расчетов с учетом смешивания конфигураций и с использованием пяти эмпирических констант (по Блиц-Стойлу и Перксу [4]).
равным сумме моментов нейтрона и протона, как в предельной одночастичной модели. Для ядер, в которых нейтроны и протоны заполняют различные оболочки, по-видимому, можно брать значения gp и gn из соседних нечетных ядер, допуская тем самым смешивание конфигураций. Этот способУдает неплохие результаты, и когда значение рэ,1П, полученное с помощью эмпирических g, отличается от рассчитанного nog-факторам свободных нуклонов, наблюдаемая величина всегда много ближе к цэмп. Некоторые случаи представлены в табл. 12.1, где ранп и вычислены по формуле
£
Мо-о 2
I (gp+gn) + (gp-gn)/pOp-+1) /в(/’"+1) [	J 1
(12.11)
но с использованием других значений g.
Заключение, которое можно сделать из нашей дискуссии, сводится к тому, что для почти сферических ядер, которые мы главным образом и рассматривали, значения магнитных моментов согласуются с предсказаниями оболочечной модели, йодля этого необходимо учитывать смешивание конфигураций в основном состоянии. Поэтому не удивительно, что более совершенный вариант оболочечной модели — модель промежуточной связи с се более реальными функциями, также дает хорошие результаты. В работе,' посвященной вычислению уровней для ядер с р-оболочкой, Курат 161 показал, что правильные магнитные моменты получаются при практически тех же значениях %/К и L/К, которые необходимы для объяснения энергий.
Статические электромагнитные моменты
291
Таблица 12.1
МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ НЕКОТОРЫХ НЕЧЕТНО-НЕЧЕТНЫХ ЯДЕР
Я др»	Спин	СостояНИС протона	Состояние нейтрона			
				одиочастнч-ная модель	эмпирическая	наблюдаемая
н»	1	51/2	SI/,	0,9	1.8	0,9
Li®	1	P»/s	P»/t	0.6	0,4	0,8
Bio	3	р»/а	P’/S	1.9	1.8	1,8
NU	1	Р»/в	P'/a	0,4	0,4	0,4
Na21	3	ds/s	' d»/s	1.7	1.8	1,7
Na2'	4	(ds/s)J/2	(ds/s)s/t	2,3	1.5	1,7
С1»	2	ds/s	ds/3	3.3	1,3	1,3
К40	4	d»/.	/’/»	6.2	-1.5	—1 ,з
к«	2	d»,2	/’.a	6.2	-1.0	—1,1
У»<>	6	I'lt	/7а	0,8	3.6	3,4
Мп»4	2	h.'i	P»/a	-1.7	4.8	5,1
Со»"	2	/7а	P’/a	-1.7	3,9	4,0
Со®”	5	bit	P»/a	3,9	4,1	3,8
Си»4	1	p*t	bit	0.9	-0,5	±0,4
Rb*»	2	f»/a	g*'t	—2.1	—1,7	—1.7
In114	5	g»/s	SI/,	4.9	4.5	4,7
|П11»	5	e*/l	si/2	4.9	4,4	4,2
Cs'si	4	g’ a	ds/.	2.2	2.8	3.0
LaU»	•	5	g’.t	ds/,	2,2	3.7	3,7
В рамках этой модели можно получить также моменты ядер с А -= 19. В этом случае хорошие результаты дает и коллективная модель — факт, который мы уже отмечали при исследовании схем уровней.
Тот факт, что оболочечная модель успешно работает, мог бы показаться непонятным: ведь ее результаты должны были бы измениться из-за короткодействующих корреляций, связанных с нелокальным потенциалом Брак-нера. Однако конкретные расчеты показали, что влияние этих корреляций на ц чрезвычайно мало 17]. Это объясняется главным образом тем, что корреляции слабо зависят от орбитального момента частицы, так как радиус корреляций мал по сравнению с параметрами нуклонной орбиты.
§ 2. Коллективная модель
В коллективной модели остов ядра участвует во вращении и поэтому дает вклад в магнитный момент. В случае сферических ядер применимо описание в пределе слабой связи частиц с остовом; таким образом, имеется альтернативный формализм в дополнение к оболочечной модели со смешиванием конфигураций. Оба механизма позволяют объяснить значения экспериментальных магнитных моментов. Это не удивительно, так как в обоих случаях ядерные волновые функции представляют собой смесь близколежащих состояний оболочечной модели.
Рассматривая магнитные моменты ядер с нечетным А в коллективной модели, мы введем g-фактор, связанный с коллективным моментом R= J — /. Все нуклонные спины, кроме спина последней частицы, взаимно компен-
19* ’
292
Глава 12
снруются, так что R складывается из орбитальных моментов, а соответствующий магнитный момент обусловлен движением протонов. Если относительная плотность нейтронов и протонов постоянна внутри ядра, то gR = Z/А. Остановимся кратко на возможностях определения этого параметра.
Для одной частицы, связанной с поверхностью, магнитный момент дается выражением
Н = <g>Sz + gtl* + gnRz)M -J,	e(12. 12)
ГДС g,> gi> sz и lz относятся к нечетному нуклону. Удобно определить gj с помощью выражения (4.21) для магнитного момента в оболочечной модели, которое после некоторого изменения обозначений можно записать в виде
•*=й/=/[»±^т
(12.13)
В пределе слабой связи функция основного состояния с М = J уравнением (10.44)
V(/ = /•)= I/; 00; //)+ 23 I/'; 1Ь;
Г
дается
Орк —
Л<*>х
(12.14)
Здесь у — параметр теории возмущений, определяемый в (10.45), Прямое вычисление показывает, что
</i> = I/+ 2 21 Г Sm(/'2m/—т|//)2И1— 2 S|azJ2J,
т
если же взять только член с Х = 2, то получим
2^\	/(/4-1)	/(/4-1)7
Более того, если / все еще остается приближенно интегралом ния (см. § 4 гл. 10), то
(12.15)
движс-
' »' 1(1+»'
(12.16а)
(12.166)
Можно ввести одночастичный момент, преобразуя уравнение (12.12)
И = (& («х + 4 + Rz) — (g/—gR) Rz—gjjz + g.Sz + gllz> =
=gii—(gj—gn) <Rz>—gj <iz> 4- <g,Sz 4- gtiz>.	(12.17)
Если j — интеграл движения, то последние два члена в уравнении (12.17) сокращаются:
. ..	. гГЗ(2/—1)(2/+3)1
И = gll—1 (gjГ~ g и) У —-~ —
(12.18)
8/2(/+1)2
Статические электромагнитные моменты
293
Первый член представляет собой р<р из оболочечной модели, второй — поправочный член. Если в ¥ важны также другие значения /' =# /, то
Н =	---•***  -)	•— ЫР,/'}. (12.19)
-J Vi(o+£j—Е})
где аир — коэффициенты (аналогичные выражению в квадратных скобках в (12.18)1, введенные Бором и Моттельсоном 18). В том случае, когда имеется заметная примесь состояния с другим /, но с тем же /, к уравнению (12.19) следует добавить еще один член. Хотя тщательного сравнения с экспериментом значений р, полученных в пределе слабой связи, не проводилось, однако ввиду сходства формулы (12.19) с формулой, вытекающей из смешивания конфигураций, представляется правдоподобным, что напучатся разумные значения у. Конечно, этот частный механизм смешивает только /, отличающиеся на 2 или меньше.
Вычисление моментов деформированных ядер представляет непосредственный интерес для оценки обобщенной модели. Исключим R из уравнения (12.12), записывая
H =	J).
= £U + to—£яМ + (£«—gi)$,	(12.20а)
= g«J + (g«—£я)) + (£/—g.)l.	(12.206)
= gnJ + G.	(12.20в)
Вектор G содержит только векторы j, I н s, которые наиболее удобно изучать в системе координат, связанных с ядром. Ватновая функция ядра с одной частицей сверх остова нс К = й дается уравнением (10.58):
= /2fMKXK + (-DJ-,/2nxM-KX-K).	(12.21)
Ion J
Мы используем волновую функцию \JMK) для нахождения р, так как расчет очень сходен со случаем более общей волновой функции (10.55) для нескольких частиц сверх остова. Потребуем, чтобы
’р = (JJK | gHJt + Gt | J J К) = gnJ + (J J КI Gt | JJK)-	(12.22)
Мы не полагали J — К, поэтому наши результаты дают р как для основного состояния полосы К = 1lt, так и для возбужденных состояний любой другой полосы. Матричный элемент Gt вычисляется преобразованием к координатам, связанным с ядром. Запишем сначала G как сферический тензор
^=Gt", ^±1= Т2"‘/1(ОЖ±/О1,)	(12.23)
и используем тот факт, что сферические тензоры преобразуются с помощью ^-функции. Пометим штрихом величины, определяемые в системе, связанной с ядром; тогда
(12.24)
294
Глава 12
Для дальнейшего вычислим более общий матричный элемент
= [(2У+1)1б^+1)1‘2 S 1	| ^,к) (К’ I I К] +
V
+ (-	Пх (&Ц.К. I 13&_к) (К’ | | - ю +
+(-1 гг",/’ пх. (М--к« I	I ^мк) (- к' । srv । к) -
- (- 1)J+J' пхпх. (Sj.-K' I	I 3>j»-k) (- К’ | У? | - К). (12.25)
Матричные элементы (&' |	12>) обращаются в нуль при ц М' —М
и v =#/(' — К. Их явный вид
= (JkMp\JM)(JkKv\J К’).	(12.26)
I 1
Важно также, что ввиду векторного характера .V
(К I	I К) = - (- К‘ I У'-к.+к | - К).	(12.27)
Отмстим далее
(jfmm |JM) = (— \Y+r+J-™(jj'_m-rn\J—M).
Используя эти результаты, мы находим, что (12.25) сводится к
1 /2 7-4-1 \l/s
= Y\EF+i) ('1Мц|ГЛГ)(1 + ПхГ1х.)Х
х |(J1 КК' - КIJK) (/<' IУк-к I К) +
^fiK.^72(-i)J_,/2nx(ji-liirl)(l|y;i-lM. (12.28) \	•	"/\“	“ 7 I
Для вычисления магнитного момента нам нужен матричный элемент (JJK\&o\JJK), который сводится к
— | К (К I у; | К) +бк, */А'. V, (-1) J+,/12-J/2nz (2J +1) (11 | -1)1 •
(12.29)
Матричные элементы (K\3't\K) являются одночастичными:
(Хк I (gi~gn)h + (&—gi)s3 \XK)=K(gi—gR)4-{g.—gi)(%K |sj Ixk). (12.30)
Удобно вычислить последний член, записав в общем случае
Х№ 5 Я/лкХ/дк,	(10.56)
1.Л
Статические электромагнитные моменты
295
или с состояниями Нильссона
Х№= S а,Л |Л7ЛК—Л).
I.A
(10.79)
Получаем
Комбинируя это выражение с соотношениями (12.30) и (12.22), находим длялК Ф */г
К
Р = g rJ + -у—
(&i gw)^"b 2 (S* Si) । (я,, л —’/г	Л'+*/г)
I
Это выражение для основного состояния J ~ К. сводится к

(12.31)
(12.32)
Р =

При К = */2 появляется вклад от (Val^il — Vs) и результат для
•со спином J имеет вид

уровня

-2^1+
+ (g/-gB)|
2
Ы(/+1)], (12.33)
где параметр а определяется соотношением (10.60).
Моттельсон и Нильссон [91 сравнили результаты (12.32) и (12.33) •с данными эксперимента, используя для определения коэффициентов Щд волновые функции Нильссона, описанные в гл. 10. Нужно было также задать значение gR', в вычислениях использовалось приближенное значение Z/A (см. § 4 гл. 4). В области деформированных ядер ZIA * 0,4. Гиромагнитное отношение gR можно найти эмпирически из первых состояний с J = 2 у четно-четных ядер, магнитные моменты которых, обязанные целиком коллективным вращениям, равны р = 2gR. Для 00Ndlso, esS152 и Sm1M, как следует из работы [10], gR = 0,2. Другие методы определения gR из вероятностей у-распадов дают в среднем gR де 0,3. Экспериментальные данные для этой области еще очень неточны, но возможные ошибки в gR не изменяют р более чем на 0,1 или 0,2 ядерного магнетона. Сравнение вычисленных значений р с экспериментом дано в табл. 12.2 и 12.3. Средние абсолютные ошибки равны 0,5 ядерного магнетона для ядер с нечетным Z и 0,3 ядерного магнетона с нечетным N. Ввиду неопределенности мезонной поправки н величины gn это согласие можно рассматривать как подтверждение модели. Мы должны также помнить об исключительной чувствительности р ксмешиванию конфигураций; поскольку некоторыесостояния частиц в деформированных ядрах содержат примеси соседних состояний, вряд ли можно •было получить лучшее согласие.
Определенный интерес с точки зрения коллективной модели представляют моменты нечетно-нечетных ядер. Взаимодействуют ли между собой
296
Г j а в a 12
Таблица 12.2
МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЯДЕР С НЕЧЕТНЫМИ» Z
Ядро	J	[Nn-AK]	Принятое 6	Вычисленное Ц	Экспериментальное ц
pF1»	’/2	220	1/,	-0,4	2,7	2,63
BFle (a)	»/2	220	!/2	-0,4	3,7	3,5
nNaS3	3/2	2И 3/2	-0,5	2,4	2,22
isAl27	8/2	202 8/2	-0,3	3,7	3,64
«EuUl	‘/2	232 »/2	0,16	3,1 1	\	3.4
e3Eu18»	»/2	413 8/2	0,30	0,9 I	1.5
es™8»	. ®/2	411	»/2	0,31	2,2	±1,5
ejHo1”8	7/2	523 7/,	0,30	4,5	±3,3
69Trn16»	.	4H V2	0,29	—0,2	—0,21
7| Lu178	’/2	404 7/2	0,28	1.4	2,0
„Ta181	’/2	404 7/2	0,23	1.5	2,1
7 Ja1*1 (6)	‘/2	402 s/2	0,23	3,7	3,3
„Re1»8	8/2	402 »/2	0,19	3,7	3,14
vsRe1»7	®/2	402	»/2	0,19	3.7	3,18
„1г1»1	’/2	402 3/2	0,14	0,0	0,2
„1г1»»	3/2	402 »/2	0,12	0,0	0,2
юАс777	’/Г	530 l/2	-0,2	2,9	1.1
wNp*37	®/2	642	8/,	0,25	3,0	±(6±2,5)
MNp»7 (в)	®/2	523 8/2	0,25	'1,0	-1,4
«Am»41	»/2	523 8/2	0,27	1,0	1.4
MAin«4»	&/2	523 »/2	0,27	1.0	1,4
• Принятые значения б объясняют наблюдаемые квадрупольные моменты и схемы энергетических уровней.
Некоторые иэ приведенных Ц даны для изомерных состояний:
а) состояние с энергией 197 км Feie;
6) уровень 482 КЭВ Та>81;
в) уровень 60 км ядра NpW.
нечетные протон и нейтрон? Единственные нечетно-нечетные ядра, для которых измерены магнитные моменты в области больших деформаций — это ядра Ей*®2, Ей154 и Lu176. К сожалению, все это особые случаи. Европий находится на краю области деформаций: б — 0,16 для Ей181 и 0,30 для Ей183. Для Ей183 н Lu178 разность между вычисленной величиной ц и экспериментальным значением необыкновенно велика. Тем не менее было показано [ 11], что для этих нечетно-нечетных ядер можно добиться хорошего согласия с экспериментом, если принять разумное и совместимое с коллективной моделью предположение о том, что два нечетных нуклона не взаимодействуют друг с другом.
Отметим альтернативный способ записи магнитного момента для ядер с нечетным А. Определим гиромагнитное отношение gh как
(К|^|/0 = А'(£к-«н).	’	(12.34)
Тогда
n(j, K) = gR ----------4-gK-r—,.	(12,35a).
J +1	J r 1 x
Статические электромагнитные моменты
297
Таблица 12.3
МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЯДЕР С НЕЧЕТНЫМ N
Ядро	J	[NniAK]	Принятое 6	Вычисленное д	Экспериментальное д
iiNe«	3/2	211 »/2	—0,5	-0,8	—0,66
	»/2	202 »/2	-0,4	—1 > 1	-0,86
eiGdiM	’/2	521	з/2	0,31	—0,5	-0,30
s»Gdl«	3/2	521 ’/2	0,31	—0,5	—0,37
05£)ylUl	‘/2	642	*/,	0,31	—0,6	—0,37
»7[)у1вЗ	8/2	523 »/2	0,30	1,1	0,51
»9ЕГЫ7	’/2	633 ’/2	0,29	—0.8	±0,5
loiybui	v2	521	i/2	0,28	0,7	0,46
юзуь1’3	S/2	512	0,28	—0,8	-0,65
10&}]fl77	’/2	514 ’/2	0,27	1,4	0,6
107J-j[l?9	»/2	624 »/2	0,26	—1,0	—0,47
109\ут	V2	510 l/2	0,21	0,8	0,12
lUOsi"’	*/2	510 »/2	0,18	0,8	0,12
113О$18»	S/2	512 »/2	0,15	0,9	0,65
unjMn	»/2	633 »/,	0,23	0,7	0,51
143(J2.15	’/2	743 V2	0,24	—0,6	-0,34
145 pu 230	*/2	631	i/2	0,26	—0,1	±0,02
U7pu241	*/2	622 »/2	0,27	-0,5	±0,1
и для основного состояния имеем
Н = 7^(Яя + ^кл	(12.356)
Конечно, gK можно выразить с помощью а1л, но, с другой стороны, соотношения (12.35) можно рассматривать как содержащие две эмпирические константы gn и gK и отдельно сравнивать их величины с теорией; кроме того, gK удобно использовать для сокращенной записи.
§ 3. Электрические квадрупольные моменты
В гл. 4 мы отметили, что предельная одночастичная модель предсказывает значения Q, довольно близкие к экспериментальным вблизи магических чисел, но в остальных случаях слишком малые. Мы также вычисляли Q для различных моделей распределения плотности заряда. Эти вычисления относятся к остову в коллективной модели. Дополнительные усложнения из-за взаимодействий в оболочечной модели и из-за связи частица—остов в коллективной модели почти не изменяют результаты. Для «сферических» ядер с нечетным А смешивание конфигураций улучшает одночастичное значение, но все это не помогает в случае больших Q. Связь частица—остов можно ввести в коллективную модель для объяснения различия между квадру-польными моментами ядер с четным и нечетным А, однако большую деформацию остова можно объяснить лишь с помощью более фундаментальных предположений.
298	Г л аза 12
В гл. 10 мы описали, как «сверхтекучие» парные корреляции ведут к резкому увеличению Q при некоторых значениях А. Ясно, что оболочечная и коллективная модели требуют добавления сил спаривания для учета больших квадрупольных моментов, но, задав эти моменты, мы можем с успехом использовать в соответствующих областях значений А сферическую одночастичную, деформированную одночастичную и коллективную модели.
ЛИТЕРАТУРА
I.	A u s t е г л N., Sachs R. G., Phys. Rev., 81, 710 (1951).
2.	3 а р е ц к и й Д. Ф., ЖЭТФ. 9, 612 (1959).
3.	М izush i ma М., Umezawa М., Phys, Rev., 85, 37 (1952).
4.	В I i n - S t о у I е R. J., P e г	k s M. A., Proc.	Phys.	Soc.,	A67 ,	885	(1954).
5.	Talmi I.,	Phys. Rev., 83,	1248 (1951).
6.	К u r a t h D., Phys. Rev., 101, 216 (1956).
7.	Adamo R.	D., Phys. Rev.,	Ill, 548 (1958).
8.	В о h г A.. A)	о t t e 1 s о n B.	R., Kg. Danske	Vidensk.	Selskab.	mat-fys.	Medd.,
27. No. 16 (1953).
9.	Mo 1 te I so n B. R„ N i I sso n S. G., Kg. Danske Vidensk. Selskab. mat-fys. Skr, I. No. 8 (1959).
10.	G о 1 d г i n g G., Scharenberg R. P., Phys. Rev., 110. 701 (1958).
II.	Hooke W. M., Phys. Rev., 115, 453 (1959).
ГЛАВА 13
ГАММА-ПЕРЕХОДЫ И ЯДЕРНЫЕ МОДЕЛИ
Исследование улучен, испускаемых ядрами, может в принципе дать сведения об энергиях, спинах и четностях ядерных состояний, а также о матричных элементах </| Oj.nl 0- Значения энергии, спина и четности не полностью описывают свойства уровней, и, хотя их определение часто требует тщательного измерения различных корреляций излучений, коэффициентов внутренней конверсии и т. д., они тем не менее говорят ЛИшь о самых основных чертах структуры ядра. В части II мы уже обсуждали взаимосвязи между структурой уровней и различными ядерными моделями. В этой главе мы переходим к вопросу о матричных элементах у-переходов, значения которых позволяют осуществлять значительно более точную проверку моделей.
Если в переходе участвует лишь один мультиполь, мы можем по времени жизни определить абсолютную величину соответствующего матричного элемента. Если же переход носит смешанный характер, необходимо знать еще относительные статистические веса компонент; для этого требуется по крайней мерс одно дополнительное измерение. Некоторые величины, такие, как коэффициенты внутренней конверсии, вместе с значением времени жизни дают только абсолютные величины двух матричных элементов; чтобы установить их относительный знак, необходимо измерить угловую корреляцию, в которой проявляются интерференционные члены. Имеются, правда, случаи, когда отношения интенсивностей у-лучей — даже без абсолютных значений — дают ценнную информацию.
§ 1.	Вероятности одночастичных переходов
Поскольку статические моменты очень чувствительны к смешиванию конфигураций и к коллективным эффектам, не удивительно, что для вероятностей у-переходов предельная одночастичиая модель также не дает хорошего согласия с экспериментом. Однако даваемые этой моделью формулы для времени жизни довольно просты и часто используются для сравнения с экспериментальными данными.
Мы могли бы просто подставлять в формулы (11.16) — (11.18) матричные элементы, полученные в оболочечной модели, но при этом главный член в не будет давать вклад в переход отдельного нейтрона. Тем не менее прн таком переходе возникает отличный от нуля момент благодаря
300
Глава 13
отдаче остальных заряженных частиц в ядре. Это еще один случай, когда в оболочечной модели необходимо исключить движение центра масс. Проиллюстрируем сказанное на примере El-переходов. Рассмотрим случай ц — 0; заменяя координаты rt координатами относительно действительно фиксированного центра масс, получаем
Qio —
J
Если единственной частицей, меняющей состояние при переходе ядра с одного уровня на другой, является частица а, то
(flQiolO =
(13.1)
Последнее означает, что можно воспользоваться простым матричным элементом оболочечной модели, но вводя эффективный заряд, который для перехода протона равен е 11 —(ZM)1, а для перехода нейтрона —Ze/A. Для высших мультиполей изменение координат осуществляется более
сложным образом и результат зависит от вида используемых одночастичных функций. При использовании функций осциллятора, как было показано, эффект отдачи отсутствует при X > 1, т. е. эффективный заряд равен е для'протона и нулю для нейтрона. При использовании других моделей отличия оказываются малыми,
поэтому мы будем брать эффективный заряд
в виде еа, где
для Е1-переходов протона,
для El-переходов нейтрона,
для других переходов протона, для других переходов нейтрона.
Если ограничиться лишь наиболее важными мультиполями при данном AJ, то нужно брать А — & J. В одночастичной модели I = J ± Уг и, следовательно, А/ = А, А + 1. Для ЕА-переходов изменение четности равно (—1)*-. Так как четность определяется значением /, то отсюда следует, что Ц —If должно быть четным, когда А четно, и нечетным, когда А нечетно. Таким образом, если AJ = А, то А/ также равно А. В случае /ИА-переходов в матричный элемент входит grad (г’-Т'х), образующийся из комбинации сферических гармоник порядка А— 1; это приводит к правилу отбора А/ < <А—1 в одночастичной модели. Поэтому А/= А—1, если AJ = А. При этом удовлетворяется также правило отбора для четности. Можно отметить, что /Wl-переходы могут происходить только между состояниями, соответствующими одному и тому же значению I. Вероятности таких одночас-тнчных переходов, согласно формуле (11.18), имеют вид
Т(ЕА, Д/=Д/ = А) =
2(А+1)	,
А1(2А+1)!112^
®$(Л, A,
(13.2а)
Гамма-переходы и ядерные модели
301
Т(Мк, t\J = k, Д/=Х—1) =
2(Х4-1) е~х Х((2Х+1)!1]2*Д с )	\ R ! *
X I |^«Х —gt-	j S(J,, X,
\	Л T 1 /
(13.26)
где a, g, и gi зависят от заряда нуклона, совершающего переход,
| со / j. \	|2
utrsdrl ,	(13.3)
о
«( и «/ — радиальные волновые функции unZ, a <S —комбинация коэффициентов векторного сложения, которая в приведенных формулах сводится к выражению
(2J> + 1) ( J> -1) I (2Х + 1) I! (2J<)1!
S (Jh X, Jf) =------1-------Z—--------------,	(13.4)
(2Jf+l)(2J>)!!Xl(j<-l)l
где J> и — соответственно большее и меньшее значения из и Jj.
Поскольку мы не ожидаем точного согласия выражении (13.2) с экспериментом, заменим радиальные интегралы их приближенными значениями. Полагая и постоянными внутри ядра, получаем
Теперь в выражениях (13.2) только статистический множитель S и эффективный заряд а зависят от выбора конкретных ядер. Перейдем к более удобным единицам измерения времен жизни; опустим для этого S и а и получим
TW(EX) =
2(Х+1) / 3 \2е2/и/?\2Х
—— ------—J------| —( — I и sec
X (2Х+1)1! ЧХ + З; И cj
(13.5а)
2(Х+1) / 3 \2е2/л/Мс\2 Х[(2Х-Ь 1)!!]г\Х+2/ R ) х
(13.56)
Индексы W и М — первые буквы фамилий Вайскопфа и Мошковского, предложивших эти единицы. Существует также и единица Вайскопфа для вероятностей магнитных переходов:
Tv(Mk)—	gpX- -М \м(МХ).
уЛ"Г^/ \ Л“Г 1/
(13.5в)
302
Г л а в а 13
Мы не разделяем нейтронные и протонные переходы, поскольку намереваемся использовать приведенные формулы для сравнения всех экспериментальных переходов независимо от моделей и состояний ядер. Для £1-переходов, возможно, удобнее во всех случаях вводить множитель соответствующий эффективному заряду, однако это не делается, и большинст-
Таблица 13.1 коэффициенты в rvU
).	£».	МК
1	6,810-»	2,1•10-»
2	4,9-10'*	1.5-10-в
3	2,3-10-4	6,8-10-'»
4	6,8-10-»'	2,1-10-»'
5	1,6-10-»’	, 4.9-10-»»
во результатов выражается в настоящее время в единицах Вайскопфа. Численное значение радиуса ядра произвольно выбрано равным 1,2 41/» фм. Интересно представить численные результаты в виде ширин для у-переходов; они определяются формулой
Г, = ЛТ.	(13.6)
Обозначим через £v энергию у-кванта; тогда Гу»- (£>.) пропорциональна Л2’-'3 £п+‘» a	Л2^-‘>/з£2*+‘.
В табл. 13.1 приведены численные зна-
чения коэффициентов для I\w в электронвольтах, а £уданы в Мэв. Конечно,
при сравнении с экспериментом нужно использовать парциальные ширины с учетом поправок, возникающих из-за конкурирующих процессов.
таких, как внутренняя конверсия.
§ 2.	Электрические дипольные переходы
Экспериментальные данные лучше рассмотреть отдельно для каждого Целесообразно также отдельно рассмотреть область А <20,
мультиполя.
где хорошие результаты дает оболочечная модель, и область более тяжелых ядер, в которой существенны коллективные эффекты.
На фиг. 13.1 представлена для легких ядер частота появления различных значении относительных вероятностей £1-переходов в единицах Вайскопфа. Хорошо было бы сравнить для каждого ядра наблюдаемые значения Гу/Tyw с теоретической оценкой, но поскольку в каждом конкрет-
г,/г}.№
ном случае неопределенность ннтер-	фиг 13 , Гистограмма значений
претации увеличивается, то для общей	ширин	Гу/Гу1г для £1-переходов
оценки применимости модели лучше в случае А < 20 (по Уилкинсону [1]). рассмотреть статистические усреднен-
ные данные. Отметим сразу, что все переходы оказываются более медленными, чем это следует из оценки Вайскопфа; соответствующее среднее отношение равно 0,055. Можно непосредственно ввести множитель 4 для учета эффек-
тивного заряда, однако основная часть переходов при этом все равно остается более медленной, чем в одночастичном случае: среднее отношение равно 0,2.
Таким образом, среднее отношение экспериментальных и теоретических матричных элементов, представляющее собой квадратный корень из отношения вероятностен распада, приблизительно равно 0,5, хотя в значительном
Гамма-переходы и ядерные модели
303
числе случаев матричные элементы на порядок меньше одночастичных значений.
Эти результаты отнюдь не неожиданны, так как, во-первых, истинные волновые функции редко совпадают с функциями оболочечной модели, и, во-вторых, примешивающиеся конфигурации допускают переходы только в высших порядках теории возмущений, поскольку обычно такие конфигурации отличаются от основного состояниями более чем одной частицы. Положение можно улучшить, если для Л <20 использовать волновые функции, полученные Куратом по модели промежуточной связи. Матричные элементы в этой модели нетрудно вычислить; соответствующее распределение вероятностей распада представлено сплошной кривой на фиг. 13.1 |2—4]. Использованные в теории параметры выбраны так, чтобы наилучшим образом описывались уровни энергии и магнитные моменты ядер р-оболочки и начала (2s, 1</)-оболочки. Итак, мы видим, что эта модель довольно хорошо описывает распределение вероятностей распада.
В любой модели, в которой изотопический спин Т является хорошим квантовым числом, что имеет, например, место для легких ядер, нетрудно получить еще одно правило отбора. Это сразу можно видеть, переписав уравнение (11.13) в виде
Нвз = — V	+
“ | Мс	\ 2	/
откуда ясно, что//Н1| представляет собой комбинацию скаляра и третьей компоненты вектора в изопространстве. Отсюда прямо следует, что все у-пере-ходы должны удовлетворять правилу
ДТ = 0 или 1; векторная часть не допускает (0->0)-переходы.
Действие этого правила отбора проявляется только в тех случаях, когда одно состояние имеет Т > 2. Такие состояния редко встречаются в легких ядрах, для которых Т — хорошее квантовое число. Однако для El-nepe-ходов имеется более строгое правило, так как
Qin = 2 еQ- + t3i)	(С,)	2 оК’ (Qy)

(13.7)
В выражении (13.7) мы исключили координаты центра масс, что мы раньше делали явно только для г-компоненты. Из полученного выражения видно, что оператор £1-перехода является третьей компонентой вектора в изопространстве. Поэтому он не может изменить зарядовое состояние, и правила отбора зависят от величины Т3:
\Т—0 пли 1 при Т’з^О, Д7’= 1 при 7\ = 0.
(13.8)
Следовательно, в ядрах с N = Z переходы между уровнями с Т = О и с Т — 1 запрещены. Такие переходы могут тем не менее осуществляться, так как истинные ядерные состояния не являются чистыми по изоспину
304
Г лав а 13	_
состояниями (и в меньшей степени — по другим причинам, таким, как неточность предположения, что Мр = Мп, которое мы использовали в своей частной операции исключения центра масс). Небольшая примесь состояния с Т = 1 к состоянию с Т = 0 и наоборот зависит в основном от матричного элемента кулоновского взаимодействия между рассматриваемыми двумя состояниями. Все ннзколежащие уровни (*£13 Мэя) ядра О10 суть состояния с Т = 0; Е1-переходы, между ними оказываются замедленными примерно; на три порядка (5]. В ядре N11 имеется уровень 8,06 Мэв, соответствующий, по-виднмому, Г, Т = 1 и переходящий как в основное состояние 1+, Т = 0, так и в возбужденный уровень 0\ Т = 1 при 2,31 Мэв. Переход в основное состояние (АТ = 1) является «нормальным», т. е. несколько менее вероятным, чем одночастичный, тогда ,	как переход ДТ = 0 оказывается при-
Фиг. 13.2. Гистограмма значений Гу/ГуП, для /^-переходов в тяжелах ядрах (Л 3s 40) (по Уилкинсону [!))
мерно в 50 раз слабее, если исключить энергетические множители [61. Запрещенные по изоспину переходы нафиг. 13.1 заштрихованы.
В тяжелых ядрах El-переходы замедлены значительно сильнее, чем в легких ядрах. Соответствующие данные приведены на фиг. 13.2. Причины этого замедления нам полностью не ясны, но можно отметить, что в более тяжелых ядрах состояния с противоположной четностью, отличающиеся на единицу по моменту, по-виднмому, имеют существенно разную структуру. Как в модели Нильссона, так и в оболочечной модели
редко встречаются уровни, которые отличались бы состоянием только одной частицы. В коллективной модели состояния отрицательной четности возникают из-за октупольных колебаний, или «статических» грушеобразных деформаций. В обоих случаях переход в состояние с положительной четностью будет слабым. В вибрационных (3' ->• 2+)-переходах должен поглощаться октупольный фонон и порождаться квадрупольный, из-за чего излучение становится процессом второго порядка. Подробнее этот вопрос рассмотрен в § 4 этой главы.
§ 3.	Магнитные дипольные переходы
В случае легких ядер вероятности М 1-переходов довольно хорошо описывает модель независимых частиц. Результаты сравнения теории с экспериментом приведены на фиг. 13.3.
Для Ml-переходов также имеется приближенное правило отбора по изоспину. Как и в случае Е1 -переходов, оператор М)(1 можно представить в виде суммы из члена, содержащего для отдельных частиц, и члена, не зависящего от изоспнна. В случае Т3 = 0 первый из этих членов исчезает при АТ = 0, как и в случае El-переходов. Член, не содержащий изотопических операторов, пропорционален.величине
Га.чмапереходы и ядерные модели
30.5
Это выражение можно записать в виде
2 Mo(f|Sh + sj-Hgp + gn —1)5ф) =
так как матричный элемент полного момента J = S (Ы- sf) равен нулю. Далее, У2 (gp + gn — 1) = 0,38. Если члены с t3i не исчезают, то соответствующий множитель оказывается равным Уг (gp —gn) = 4,7. Таким образом, эти М1 -переходы уменьшаются в ~102 раз и более. Это правило было
Фиг. 13.3. Гистограмма значений Гу/^угу для ЛЛ-переходов в случае Л<20.
Кривая представляет теоретически рассчитанное распределение согласно одночастнчноП( модели (по Уилкинсону [I]).
установлено Морпурго 17); он же получил доказательства его верности в ряде у-переходов в ядрах В10, N14 и О’® с Т3 = 0.
В деформированных ядрах можно ожидать новых эффектов. Мы уже вычислили матричный элемент магнитного дипольного оператора между двумя состояниями для деформированных ядер. Он дается выражением (12.28). Проводя необходимые суммирования по магнитным квантовым числам, получаем приведенный матричный элемент (11.19)
В (Ml,	=	I JfK,)2 x
+ ,4^K ,42^—1	x
(j'i-|i|74).
(2 I ^‘1 2)
2
T(Ml)=a!^B(Ml).
(13.9)
Для уровней внутри одной ротационной полосы это выражение несколько упрощается; так, используя величину gK, определенную в (12.34) и (12.30), и коллективное гиромагнитное отношение gn, получаем
(К|.^|К)=К(^-Ял).
20 Заказ Хс 37
306	Глава 13	 
Внутри ротационных полос /И 1-переходы происходят только между соседними уровнями J и J — 1. Для К ф Уг имеем
16л&3 2,	—K)(J-¥K)	/nim
Т(АП)= -тр.(вк-г») Л	JpJ+1) 	ОЗ Ю)
В принципе, если вероятность ?И 1-перехода и магнитный момент р. основного состояния измерены, то (13.10) и (12.35) позволяют отдельно вычислить ёк и git- Таким путем были получены значения gK Hgn-В области надежно установленных вращательных уровней значения gn равны приблизительно 0,2—0,3 и возрастают до 0,5 к краям области вращательных уровней.
Для переходов между полосами матричные элементы (Kf\G'\ Kt) нужно вычислять с волновыми функциями Нильссона. При этом вводится правило отбора по К' матричный элемент обращается в нуль, если не выполнено правило АК = 0 или 1. Алага 18) показал также, что для асимптотических волновых функций правила отбора таковы: либо АЛ = Длг = AW = = 0, либо АЛ = Д/гг = 1 и АЛ = 0; правда, в последнем случае очень слабый М 1-переход может происходить также при АЛ = 2. Конечно, значения истинных волновых функций не совпадают со значениями их асимптотики, но полученные правила отбора могут служить для ориентировки. Большинство М 1-переходов в деформированных ядрах, при которых нарушались эти правила, действительно оказались значительно замедленными.
Существуют, конечно, аналогичные правила отбора и для других мультипольных переходов. Наиболее сильное из них — правило отбора по К- Ярким примером К-запрета может служить переход в ядре Hf,so с уровня 9" с энергией 1143 кэв на уровень 8* с энергией 1085 кэв. Это ЕЪпереход, и нормально он должен бы был происходить за столь короткое время, что его нельзя было бы измерить. В действительности же уровень 9 оказывается изомером с временем жизни 5,5 ч. Такое большое время жизни становится объяснимым, если вспомнить, что состояние 8* есть пятый уровень основной К = 0 полосы, а уровень 9' есть наннизшее состояние полосы К = 9. Хотя изменение К на 9 единиц не полностью запрещает распад, оно замедляет его примерно в 10’“ раз.
§ 4.	Электрические квадрупольные переходы
В противоположность другим мультнпольным переходам вероятности £2-переходов обычно оказываются много больше соответствующих одночастичных значений как в легких, так и в тяжелых ядрах. Соответствующие гистограммы представлены на фиг. 13.4.
Причину этого эффекта в тяжелых ядрах легко объяснить, поскольку мы уже знакомы с большими коллективными квадрупольными моментами. Оператор квадрупольного момента можно представить в виде суммы двух членов — коллективного члена и члена, учитывающего внешние частицы:
Q^= ^epr2p^(Qp) + ZeR2^p,	(13.11)
р
где а2ц — коллективные переменные, определяющие деформацию поверхности, a Ro —средний радиус ядра. Коэффициент ZeR* получен по модели невращающейся жидкой капли и может поэтому оказаться неточным. Гораздо лучше исходить в нашем анализе из наблюдаемых значений квадру-польных моментов.
Гамма-переходы и ядерные модели	307
Квадрупольный момент является тензором второго ранга, поэтому Q2|1 в лабораторной системе выражается через компоненты в системе, связанной с ядром, с помощью преобразования
(13.12)
V
Математические операции, совершенно аналогичные процедуре (12.24)— (12.28) и (13.9), но с тензором второго ранга Q вместо тензора первого ранга 3, дают для переходов внутри одной полосы
В (Е2,	= e2Q2o(Jt2KOIJ/K)2,	(13.13)
Фиг. 13.4. Гистограмма значений Гу/Г^и, для £2-персходов в легких ядрах (а) и в тяжелых ядрах (б) (по Уилкинсону |1|).
где Qo— внутренний квадрупольный момент, определенный в гл. 4:
QnJ(2J-l) (J+l)(2J + 3)'
Для переходов между полосами величина В (Е2; J > Ki -> J/К,) представляет собой частный результат формулы, пригодной в случае любого мультиполя
В(аХ)= \(JikKtKj—К\&b,Kf-Kt 1Хк{> +
+ (-l/‘-,/,nl(xJf/|©kiK/+Kj	(13.14)
Важно, что во многих случаях зависимость от и Jf можно включить в один множитель, который носит чисто геометрический характер н не зависит от свойств ядра. Это всегда возможно прн A. </Q + Ki, так как в этом случае
В = (J ikKiKf-Ki\J/K/)i<K/|OU,-K(|K()|2	(13.15а)
и вся зависимость от J входит в коэффициент Клебша — Гордана. Такое выделение возможно также, когда Ki или К/ равны нулю. В случае Ki = 0 это очевидно, а при К/ = 0 мы используем формулу, следующую за соотношением (12.27); для Ki = 0 имеем
B=(MOK/iWl<K/l©i.K,IO)i2(i + (-i) •/‘-,/»п,.)2,	(1
20*
Глава 13
308
а для Х/ = 0.
В = (7ДХ{ - Ki | Jfi)21 <01 Ok, _A- 1X0 +
+ (-1Л'+/г,/,ПНО|0к.к1-ЮГ.	(13.15b)
В этих трех случаях приведенный матричный элемент пропорционален величине
(JiXK.Kf-KilJfKf)2.
Возвращаясь к £2-переходам, мы видим из (13.13), что их вероятности превосходят одночастичные значения в той же степени, как коллективные квадрупольные моменты превосходят одночастичные. Поскольку кулоновское возбуждение непосредственно зависит от приведенного матричного элемента, можно определить Qo по сечениям возбуждения в первые возбужденные состояния. Кулоновское возбуждение оказалось наиболее продуктивным источником информации о значениях квадрупольных моментов.
Для дальнейшей проверки модели вращательных полос можно использовать различные правила интенсивностей. Вероятность перехода равна
T(E2) = ~k5B(E2).'	(13.16)
/о h
Ввиду усиления £2-переходов можно ожидать, что в этих ядрах £2-пе-реходы будут сравнимы с ЛИ-персходамн. Внутри одной полосы отношение интенсивностей этих переходов 6 имеет вид

Т(£2, J-+J— 1) 
T0W1, J-+J — 1)
3 pcoV/QomVV 1	1
\ i.2 )	}
При К = Уг в знаменателе появляется дополнительный член в соответствии с (13.9). Использование формулы (13.17), которая хорошо описывает экспериментальные данные, вместе с экспериментальным значением магнитного момента позволяет независимым образом определить величины gn и gK-
Можно вычислить также отношение
7’(ЛП+£2, J->J-1)_	2XZ(2J—1) х
Т(£2, J-+J-2)	(J+ 1)(J-1 + X)(J-1-X)
(Ц-б-2).	(13.18)
\£j—Ej-i/
В обратном случае кулоновского возбуждения действуют только £2-муль-типоли, и мы получаем
В(Е2, Jq->Jq+2)_ /(У»2Х0|Л + 2К)\2_ 2(J0+1)
В (£2, Jq—>7о + 1) \(Jq2X0| Jq+IX)/	Jo(2Jo + 3)
Для основной массы деформированных ядер это соотношение выполняется с точностью около 10%; по мере перехода к менее деформированным ядрам согласие с экспериментом ухудшается.
Гамма-переходы и ядерные модели
309
При изучении переходов между полосами с различными К уравнения (13.15) играют важную роль как средство определения относительных вероятностей различных каналов распада. Рассмотрим в качестве иллюстрации состояние Г в полосе Kt, из которого возможны El-переходы как на 0*-, так и на 2‘-уровни полосы К = 0. Отношение их интенсивностей будет равно
Т(Е\, Г->2+)_/ДЕ1+\’(11К<-KJ20)2
Т(Е1, Г->0+) \ДЕв+/ (ll^-KJOO)2'
«Геометрический» множитель
(11/G-/GI20)2 (UKi—Kt |00)2
равен Уг при Kt — 0 и 2 при Kt = 1. Такие состояния имеются в ядрах между Ra2M и PuJM; величина соответствующих приведенных ширин оказалась близкой к Уг с точностью ~20%. Отклонения, по-видимому, возникают из-за примеси в верхнем состоянии других К\ как мы отмечали в гл. 10, этот эффект может быть вызван силами Кориолиса.
Смешивание состояний по К может происходить также из-за связи вращений с колебаниями уровней основной полосы с К = 0 и у-вибрационной полосы с К = 2, либо из-за отклонения ядер от аксиальной симметрии (у ¥= 0). Всем этим возможностям соответствуют почти одинаковые отклонения различных отношений интенсивностей от значений, предсказываемых согласно формулам (13.15).
Эксперименты по у-переходам подтверждают также гипотезу о вибрационной природе состояний 2* и 0‘, 2*, 4* сферических четно-четных ядер. Последний член в (13.11) ZeRJaJ^ представляет собой весь £2-оператор для переходов между вибрационными состояниями. Оператор удобно рассматривать как оператор рождения квадрупольных фононов; его матричный элемент между состояниями с одним фононом и без фононов равен
<1|«4IO)“	'	(13.20)
у2Сг/
где С2 — параметр потенциальной энергии. Следовательно, вероятность распада первого 2* вибрационного состояния будет равна
Т(2+-»-0+) = gl (Ze)2/?:	.	(13.21)
Эти переходы благодаря множителю Z2 оказываются усиленными. Описание возбуждения второго уровня 2’, соответствующего рождению двух фоно-нов, требует вычисления оператора £2-перехода во втором порядке относительно а2м. Интенсивность таких возбуждений оказывается уменьшенной из-за дополнительного множителя h<o/2C2, который значительно меньше единицы. При распаде второго возбужденного 2‘-состояння с переходом ядра на первый 2*-уровень поглощается один квадрупольный фонон; поэтому хотя ЛП-переход и разрешен обычными правилами отбора, он в действительности не происходит, так как оператор уничтожения фонона aZjl содержится только в квадрупольном операторе. В более физической интерпретации это означает, что ядра в таких состояниях испытывают квадру-польные колебания и потому распадаются с помощью квадрупольных же

310 Глава 13
квантов. Эту модель подтверждает и наблюдаемая тенденция к увеличению приведенных матричных элементов для распадов 2* -> 2* по сравнению с переходами 2' —> 0‘, о чем говорит появление в последнем случае дополнительного множителя Лш/2С2 из-за поглощения двух фононов вместо одного.
Иначе объясняется увеличение £2-моментов в легких ядрах. Предполагается, что это также коллективный эффект, но несколько иного характера. Было высказано соображение 19), что в ядре О* 1 *® имеется сильно скоррелированное состояние с большим Q. Это состояние примешивается в незначительной степени к почти чисто одночастичным низким уровням соседних ядер, имеющих в качестве сердцевины ядро О'®, а вследствие большой величины квадрупольного момента последнего увеличиваются Е2-матрнч-ные элементы. ВО" имеется такое состояние при 18 Мэв. Независимо от того, справедлив этот механизм или нет, представляется ясным, что при переходах должны существовать коллективные движения, хотя легкие ядра и не испытывают больших постоянных деформаций.
ЗАДАЧИ
13.1. Наблюдаемые ядерные моменты ЮВ12ВД равны: 1=*1$ р=4-4,Г. Q— —— 0,4 барн. Какие значения получатся по модели независимых частиц? Объясните все значительные отклонения. Сечение захвата нейтронов с энергией 1 Мзв ядрами Bi20® равно ~ 0,003 барн, в то время как в среднем для тяжелых ядер это сечение порядка 1 барн. Почему?
13.2. Вывести соотношения (12.15) и (12.19) и найти коэффициенты а-., р^-».
13.3. Вывести соотношение (12.28).
13.4. Вывести соотношение (12.33).
13.5. Пусть и pt—магнитные моменты основного и первого возбужденного состояний ротационной полосы (К =?= 1/2). Показать, что
1 / ЗК4-2	К + 2 X
^^K^ir-^—K+i111)'
13.6. а) Используя волновые функции для Mg25, найденные в задаче 10.4, вычислить g-фактор ga и, используя экспериментальное значение ц = —0,8517 ядерного магнетона, оценить gp. Разумно ли полученное значение gn?
б) Проделать то же для А127 с р = 3,6385 ядерного магнетона и для Na28, у которого т]=2; нечетный протон находится на орбите 7 и ц =2.2161 ядерного магнетона.
13.7. Перечислить возможные способы определения мультипольности у-перехода и дать характеристику ограничений точности теоретических расчетов каждого эффекта.
13.8. Доказать соотношение (13.8) в случае оператора а(/3, |4-«2^з,2 Для синглетного и триплетного нзоспнновых состояний двух частиц.
ЛИТЕРАТУРА
(.Wilkinson D. Н., Nucl. Spectroscopy, New York, 1960.
2. I n g 1 1 s D. R., Rev. Mod. Phys., 25. 390 (1953).
3. К	u r a t h D.,	Phys.	Rev., 101,	216	(1956); 106, 957 (1957).
4. К	u r a t h D.,	Proc.	Rehovoth	Conf., Amsterdam, 46 (1958).
5. W	i 1 к i n s о n	D. H., Jones	G.	A., Phil. Mag., 44, 542 (1953).
6. G	1 e g g A. B„	Wi I	к inson D.	H., Phil. Mag.. 44, 1269	(1953).
7. M о r p u г g о G., Phys. Rev., 110, 721 (1958).
8. A 1 a g a G., Nucl. Phys., 4, 625 (1957).
9. F a I 1 i e г о s S., Ferrel R. A., Phys. Rev., 116, 660 (1959).
I
ЧАСТЬ IV
РАДИОАКТИВНОСТЬ
ГЛАВА 14
АЛ ЬФ А-P АДИО АКТИ ВНОСТЬ
§ 1.	Введение
Тот факт, что некоторые естественно радиоактивные элементы испускают а-частицы, относится к самым первым открытиям раннего этапа современной физики. В 1908 г. Резерфорд 11,2] убедительно доказал, что а-частицы представляют собой ядра Не4. Существует 30 а-радиоактивных элементов в трех цепочках естественно радиоактивных элементов, известных под названием уранового, активного и ториевого рядов. Эти цепочки начинаются ядрами UMB, (J235 (AcU) и Th232 и после ряда радиоактивных распадов кончаются соответственно ядрами РЬ20®, РЬ207, РЬ208. (Как мы уже отмечали, 82 протона в ядрах свинца делают структуру ядер РЬ очень стабильной.) Кроме того, подавляющее большинство искусственно получаемых изотопов, следующих за свинцом элементов, а также некоторые более легкие ядра, в особенности ряд изотопов Sm, Cm, Hf, Nd, Eu, Gd, Tb, Dy, Au и Hg (3, 4] оказались а-радиоактивными. В общей сложности известно около 140 а-радиоактивных ядер, которые в настоящее время в какой-то степени изучены. В этом параграфе мы опишем основные черты явления а-радиоак-тивности, установленные на основе экспериментальных данных.
Первоначально предполагалось, что каждое ядро испускает а-частицы определенной энергии. В 1930 г. Розенблюм (5J1), анализируя заряженные а-частнцы в сильном магнитном поле, обнаружил, что многие ядра испускают несколько групп а-частиц разных энергий. Например, sgRa224 испускает две основные группы а-частиц: 95?6 испускаемых частиц имеют энергию 5,681 Мэе, а 5% —энергию 5,445 Мэв. Отсюда ясно, что распад не обязательно происходит в основное состояние конечного ядра. В нашем примере, когда испускаются а-частицы с энергией 5,681 Мэв, дочернее ядро 8вЕт220 остается в основном состоянии, а при излучении а-частиц с энергией 5,445 Мэв ядро мЕтИ0 оказывается в состоянии с энергией возбуждения 226 кэв. Ядро Ra224 представляет типичный пример четно-четного ядра. Отметим сразу, что переходы в основное состояние в таких ядрах более вероятны, чем переходы с испусканием частиц меньшей энергии. Ядра с нечетным А и нечетно-нечетные ядра по своим свойствам отличаются от четно-четных; их типичными представителями явля!отся Ra223 и Ат241. Спектры этих ядер представлены в табл. 14.1; там же даны и спектры некоторых других ядер. Как видно из таблицы, в нечетно-четных ядрах излучение а-частиц с наибольшей энергией не всегда наиболее вероятно, а иногда
*) См. также ряд более поздних работ.

314
Глава 14
бывает даже гораздо менее интенсивным, чем излучение групп а-частнц более низкой энергии. Отличие этих ядер от четно-четных ядер проявляется и в абсолютных значениях периодов полураспада.
Таблица 14.1
Ядро	Еа, Мэв 1	Относительная распространенность, %	Период полураспада	Парциальный период полу* распада	Фактор запрета
ejAmMl	5,535	0,34	470 лет	1,38-105	560
	5,503	0,21		2,24-105	560
	5,476	84,4		5,60-10*	1
	5,433	13,6		3,46-103	4
	5,379	1,4		3,36-10*	16
	5,314	0,015		3-10®	
эдИаКз	5,860	Малая	11,2 дня	5=2	~ 105
	5,735	9		0,340	65
	5,704	53		0,0580	8 ,
	5,592	24		0,128	5
	5,525	9		0,340	6
	5,487	2		1.5	17
	5,419	3		1,0	5
	5,681	95,1	3,64 дня	1,053-10-*	
	5,445	4,9		0,218	
	5,15	0,009		1,0-10*	
мРо*п	7,434	99	0,52 сек	1,6-10-Р	530
	6,88	0,50		3.3-10-»	1700
	6,56	0,53		3.1-10-»	100
Одно из самых замечательных свойств а-радиоактивности заключается в том, что значения периодов полураспада меняются в громадных пределах. Если X — вероятность одного акта распада в 1 сек, то период полураспада задается какТ1/, = (1п2)/Х. Мы будем часто называть величины X константами распада. Если возможно несколько вариантов распада, как в приведенных выше примерах, то каждому из них будет соответствовать своя константа Х(; полная константа распада Х|10ЛН = 2ХЬ Относительная интенсивность каждого пути распада а,- = Х,/Хполп, а парциальный период полураспада
Xi/ t т,/г>поли
Xj at
О пределах изменения вероятностей а-распада можно судить по тому, что для Ро*13, испускающего а-частнцы с энергией 8,336 Мэв, период полураспада Tt/S =4,2-10"® сек или 1,33-10**’ лет, а для Th232, испускающего а-частицы с энергией 3,98 Мэе, Ti/»= 1,39-10’° лет. Из таблицы энергий и периодов полураспада видно, что большим вероятностям распада соответствуют большие энергии. Еще в 1911 г. Гейгер и Наттэл 16] показали, что зависимость логарифма периода полураспада от логарифма длины пробега а-частиц в воздухе с хорошей точностью аппроксимируется прямой линией.
I
Альфа-радиоактивность	315
Длина пробега зависит от энергии. В настоящее время, располагая более обширными данными, измеренными с большей точностью, мы предпочитаем проводить кривые только через точки, принадлежащие одному элементу.
Фиг. 14.1. Период полураспада в зависимости от энергии четно-четных а-излучателей.
Точки, значительно удаленные от эмпирических линий, соответствуют либо переходам на вторые возбужденные состояния, либо относятся к изотопам Em и Ро, распады которых связаны с магическими числами.
На фиг. 14.1 нанесены экспериментальные точки для четно-четных ядер; соединяя точки, соответствующие одному Z, получаем регулярное семейство линий. Более того, за исключением двух изотопов Em и трех Ро, точки для всех’компонент а-спектров, ведущих к основным состояниям, оказываются лежащими очень близко к эмпирическим линиям.
Если нанести на этот график соответствующие данные для ядер с четным Z и нечетным М, то сразу же обнаруживаются большие отклонения
316
Глава 14
полученных линий от линий для четно-четных ядер. На фиг. 14.2 проведены те же, что и на фиг. 14.1, линии для четно-четных ядер, а точками нанесены данные для четно-нечетных ядер. Во многих случаях периоды полураспада оказываются в 100—1000 раз больше, чем у четно-четных ядер с тем же Z
Фиг. 14.2. Период полураспада в зависимости от энергии для четно-нечетных а-излучателей.
и той же энергией распада. Ни в одном случае период полураспада не оказался короче, чем у соответствующего четно-четного ядра. Отношение истинного периода полураспада к значению, определяемому эмпирической линией, проведенной по данным для четно-четных ядер, называется фактором запрета. Как видно, явных корреляций между факторами запрета и энергией распада не наблюдается; одна из наших задач как раз и будет состоять в том, чтобы «объяснить» факторы запрета и выяснить, какую информацию о ядерной структуре это может нам дать. Распады нечетно-четных и нечетно
Альфа -радиоакт ивност ь
317
нечетных ядер оказываются подобными. Чтобы иметь основу для сравнений, мы построим линии для нечетных значений Z посредством интерполяции между линиями фиг. 14.1 дня четно-четных ядер. Эти интерполированные
Ф и г. 14.3. Период полураспада в зависимости от энергии для нечетно-четных а-излучателей.
Фиг. 14.4. Период полураспада в зависимости от энергии для нечетно-нечетных а-нзлучателей.
Линии на этом графике те же самые, иго и на фнг. 14.3.
линии представлены на фиг. 14.3 и 14.4; здесь же нанесены и экспериментальные точки для нечетно-четных и нечетно-нечетных ядер. Средний фактор запрета для нечетно-нечетных ядер, по-видимому, больше, чем дня нечетно-четных ядер.
§ 2.	Общая теория
Одним из первых успешных применений квантовой механики к ядерной физике явилась теория а-распада, предложенная в 1928 г. Гамовым 17] и независимо Кондоном и Гюрнеем (8, 9]*). Эта теория объяснила сильную
*) Вслед за работами [7—9] был опубликован за период с 1930 по 1937 г. целый ряд исследований по теории а-радноактивности. Наиболее широко известны работы [10, 11]. Ссылки на другие публикации можно найти в библиографии к статье [12].
318 Гл а в а 14
зависимость периодов полураспада от энергии и предсказала соотношение между ними, сходное с изображенным на фиг. 14.1—14.4 в виде гладких кривых. Как мы увидим, в этой теории основную роль играет движение а-частиц вне ядра; следовательно, в действительности не общая зависимость X от Еа, а лишь факторы запрета могут пролить свет на более интересные детали строения ядер. С 1928 г. большое число авторов работало над этой проблемой, либо улучшая математические приближения, либо учитывая различные физические эффекты, которые поначалу не были приняты во внимание. В нашем изложении мы охватим, как частные случаи, большинство последующих теорий.
Времена жизни а-радиоактивных ядер (от 10‘® до 10” сек) очень велики
по сравнению с характерными временами ядерных движений (КГ*1 сек). Таким образом, среднее время жизни оказывается равным по крайней мере
Ф и г. 14.5. Нейтрон н прямоугольной потенциальной яме.
10ls периодам ядерного движения и может достигать 1028 ядерных периодов; за это время ядерное движение вполне успевает установиться, поэтому подобные состояния ядра практически стационарны. Следует ожидать, что волновые функции таких квазистацнонарных распадающихся состояний очень мало отличаются от функции истинных связанных состояний, по крайней мере в течение интервалов времени, достаточно малых по сравнению с периодом полураспада. Ясно, что за большой интервал времени часть волновой функции, описывающая вероятность нахождения а-частицы в ядре, должна уменьшаться, а вероятность найти а-частицу на бесконечном расстоянии от ядра (т. е. вероятность излучения) соответственно возрастать. Представление о медленно распадающемся почти стационарном состоянии может быть использо-
вано также и в других задачах. Мы проиллюстрируем его сначала на простом примере с незаряженной частицей.
Пусть нейтрон находится в потенциальном поле, изображенном на фиг. 14.5 и определяемом соотношениями
V0 = -Vo, r<R, V'(r) = 0, r>R.
Когда нейтрон находится внутри сферы г <ZR, на него, разумеется, не действуют силы, но при г = R он испытывает действие очень большой силы, стремящейся удержать его внутри сферы. В классической физике, если нейтрон несет положител ьную энергию IF, он сразу покинет эту сферу, но в квантовой механике имеется вероятность того, что он отразится от границы; эта вероятность особенно велика при определенных значениях его энергии. Количественно для s-состояния волновая функция при г <R равна ф| = = Ut/г, где Ui удовлетворяет уравнению
^4'+ №«1 = 0,
(14.1)
А льфа-радиоактивност ь
319
а Л? = (2m/h*)(W-}-V0). Так как ф везде конечна, то Ut должна обращаться в нуль при г = 0. Следовательно,
Ui = C|SinKr	(14.2)
где С( — константа. С другой стороны, соответствующая функция «о при г > R удовлетворяет уравнению
^+*4=0,	(14.3)
dr2
где k* = 2mW/h*. Зададимся теперь целью представить распадающееся состояние, в котором нейтрон находится сначала внутри сферы г <R, но имеет некоторую постоянную вероятность (в 1 сек) покинуть эту область. Тогда волновая функция при г >R должна быть волной, распространяющейся от г = 0; следовательно, решение (14.3) должно иметь вид
uo=coelhr.	(14.4)
Волновая функция и ее первые производные должны быть везде непрерывными. В частности,
иными словами,
KctgKR = ik.	(14.6)
Из (14.6) видно, что k и К, а следовательно, н энергия IV должны быть комплексными числами. Отметим, что это вытекает из выбора внешнего решения уравнении (14.3) в виде расходящейся волны. При этом мы предполагаем, что вероятность распада мала и что нейтрон находился в сфере достаточно долго, так что способ образования первоначального состояния (предыстория) не влияет на распад. Короче говоря, приближенное представление зависящего от времени, хотя и медленно меняющегося, состояния в виде стационарного состояния имеет следствием тот факт, что значение энергии оказывается комплексным. Как можно видеть, это изменение физически вполне разумно, так как волновая функция содержит множитель ехр [—iEt/h], Если IV комплексно,
IV=£-yftX,	(14.7)
то полная волновая функция приобретает вид
Чг = ф(г, 6, <p)e-w,/h= e~u/2e~,E,/h.	(14.8)
Это выражение означает, что имеет место стационарное состояние с энергией Е, но вероятность нахождения частицы в этом состоянии экспоненциально уменьшается со временем’) (постоянная времени равна X; | ‘V | 1-~е_?-'). Чтобы приближение квазистационарпого состояния было хорошим, распад
Нарушение сохранения вероятности из-за экспоненциального уменьшения со временем является только кажущимся. В действительности пространственная часть волновой функции нс нормирована и из-за мнимой части в k функция и0 экспоненциально возрастает на больших расстояниях. Это вполне разумно, так как частицы, ушедшие на более далекие расстояния, покинули сферу раньше, когда в ней было больше частиц. На расстояниях, больших vt, волновая функция ф=0.
320
Глава 14
должен происходить медленно, т. е. должно выполняться условие ЯХ < Е. Тогда ik в (14.6) будет иметь малую действительную часть, и поэтому при К‘ = (2т /Л1) (Е+ Vo) будет иметь место
KoctgKo^^O.	(14.9)
Из этого уравнения для Е видно, что такие состояния могут осуществляться только при определенных энергиях. Действительно, исходное уравнение (15.6) само по себе является уравнением для собственных значений, из которого могут быть определены Е и X по данным Vo и R. Таким образом, определение энергий и констант распада испускаемых частиц свелось к простой задаче на собственные значения и мы получили метод приближенного описания а-распада. Испускаемая ядром а-частица движется в более сложном потенциале, чем тот, который мы использовали в нашем примере. Как только а-частица покидает область, в которой между нею и остаточным ядром действовали ядерные силы, она попадает в область действия только электромагнитных сил. Если бы ядро представляло собой статическое сферически симметричное распределение заряда, то потенциальная энергия была бы в этой области точно равна кулоновскому потенциалу Vc = 2Zea/r, где Z — заряд дочернего ядра, г — расстояние между центром а-частицы и центром заряда ядра. В действительности распределение зарядов в ядрах носит не статический характер и в общем случае сферически не симметрично, поэтому необходимо учитывать высшие электрические моменты. Наиболее важен квадрупольный момент, вклад которого в потенциальную энергию равен
ус = ?9зе P2(coS(d),	(14.10)
где Q — ядерный квадрупольный момент, aw — угол между г и осью ядра. Поскольку Q по порядку величины определяется квадратом радиуса ядра, а соотношения (14.9) и (14.10) используются только для г, больших ядерного радиуса, то Vq < Ve; поэтому целесообразно сначала решить задачу о движении в кулоновском потенциале и полученные решения использовать как основу для решения более сложной задачи.
Теперь мы должны выяснить характер движения а-частицы внутри ядра. По-видимому, а-частицы не являются постоянными составными частями ядер. Но любое ядерное состояние в общем состоит из различных конфигураций, каждая из которых соответствует определенному виду движения нуклонов. Во всяком ядре эти конфигурации непрерывно формируются, затем распадаются, переходя в другие, новые и т. д. В системе большого числа атомов в каждый момент времени имеется определенное число ядер каждой конфигурации. Некоторые конфигурации осуществляются чаще других, каждой соответствует некоторая вероятность появления. Если 'Fj— вол новая функция конфигурации I, то волновая функция состояния ядра имеет вид 2а( 4*7, причем pt = | а11 ’ дает вероятность появления конфигурации I. В каких-то конфигурациях два нейтрона и два протона будут находиться близко друг от друга, образовывая некое подобие а-частицы («а-ассо-циацию»). С некоторой вероятностью эта ассоциация может быть испущена в виде а-частицы, но, вообще говоря, со значительно большей вероятностью она будет распадаться при изменении общей конфигурации в ядре. Если предположить, что каждой линии а-спектра соответствует единственная исходная конфигурация, то можно выразить константы парциальных распадов через вероятности появления конфигураций. Если Чг2 содержит
Альфа-радиоактивность
321
a-частичную группу и если А" — вероятность того, что уже сформированная а-частица с энергией Et будет испущена, то наблюдаемая константа распада определится как
X| = M?=|ad%°.	(14.11)
Итак мы видим, что задача имеет два аспекта: определение р{, представляющее собой сложную задачу ядерной динамики, и вычисление А,-, которое можно произвести методом виртуальных стационарных состояний. Следующий параграф мы посвятим вопросу о А®, а затем выясним, что можно сказать о pt в свете различных ядериых моделей. Мы будем называть р( вероятностью формирования U311).
§ 3.	Одночастичная модель а-распада
14.6. «Традиционный» для модели а-распада потенциал п форме сферической потенциальной ямы и кулоновской внешней части.
точно; это максимальное
Так называемая одночастичная модель а-распада представляет собой метод вычисления константы распада для ядра, в котором уже образовалась а-частица. Будем считать потенциал вне ядра точно равным кулоновскому потенциалу Уг. Необходимо определить также и потенциал, действующий на частицу внутри ядра. Этот потенциал известен, конечно, крайне недостаточно, но, как мы увидим, основные характеристики распада не очень чувствительны к его конкретному выбору. Стало «традиционным» предполагать, что он имеет форму сферической потенциальной ямы, типа изображенной на фиг. 14.6; однако мы будем вести вычисления в такой форме, чтобы нс составляло труда видоизменить их для учета других предположений относительно вида потенциала. Величина R определяется не очень
стояние, на котором ядерные силы еще играют существенную роль. Мы будем, хотя это до некоторой степени и произвольно, называть R радиусом ядра.
Общий метод — тот же, что и использованный в предыдущем параграфе: мы находим волновые функции в каждой из областей г < R и г > R, а затем приравниваем их вместе с первыми производными при г — R, получая, таким образом, уравнение,аналогичное (14.6), для комплексной энергии IF. В нашем случае реальная часть Е представляет собой полную энергию а-частицы и остаточного ядра2) Et, а А в мнимой части совпадает с А", определенной в (14.11). Наличие кулоновского барьера вносит, однако, существенные изменения. В классической механике частица с энергией Et должна была бы постоянно находиться в области R < г и имела бы отрицательную кинетическую энергию при R < г < гЕ. В квантовой же механике частица может проникнуть через барьер. Уравнение (14.3) для волновой функции вне ядра заменяется на
d2U0 _
21] /(/+!)'
Q е2
ио = О,
(14.12)
*) В этой работе введено понятие вероятности формирования.
2) Точнее, полную энергию следует уменьшить примерно на 65,3 X (Z + 2)’/J эв для учета электронного экранирования (14].
21 Заказ № 37

322
Глава 14
где у = kr. Здесь второй член в квадратных скобках обусловлен кулонов-
ской энергией, а
(2Ze2\ / m\7» \ '* Д.2£/ ’
где /// — приведенная масса:
та + тх'
(14.13)
(14.14)
Член / (/+ 1)е’г представляет собой центробежную энергию для а-частипы, имеющей момент I относительно остаточного ядра. Так же, как в примере с нейтроном, мы должны выбрать решение (14.12), соответствующее расходящейся волне при больших г. Решениями (14.12) будут кулоновские функции, определенные в приложении Б. Регулярная кулоновская функция хорошо ведет себя в начале координат н часто обозначается через Ft\ сингулярную функцию обозначают через Gt. При больших г эти функции имеют следующий асимптотический вид:
F,«sin^e—у—T]ln2Q4-oz^ ,	(14.15а)
G/«cos( q—i)ln2e + <J/V	(14.156)
\	л»	}
где аг = аг§Г(/-|-I 4-Й1). Таким образом, решение, представляющее расходящиеся волны, записывается как
«о =*(0,+ (£,).	(14.16)
Поскольку волновая функция и ее производная должны быть непрерывными прн r—R, уравнение для \17, соответствующее (14.6), должно иметь вид
" (“idrl (Gt+iF,),, ' н
где знак «штрих» означает производную d/dy. Поэтому необходимо знать выражения для F/ и Gt при г вблизи R. Как было показано |15], очень хорошее приближение дают функции
(14.18а)
Fz = lT-%-“	(14.186)
где
е е	(14.18b)
и
ги
<о = k I ф /2dr.
(14.18г)
Альфа-радиоактивность
323
Выражение для ф почти совпадает со стоящим в скобках в (14.12), но с обратным знаком. Замена 1(1 + 1) на (1 + 1/г)г дает ббльшую точность в приближениях для F, и Gz.
Мы видим, что вещественная часть и0, равная Gt, экспоненциально убывает при возрастании г от значения /?; в то же время мнимая часть Ft (которая при г, близких к R, мала) возрастает. При больших г, как видно из (14.15), обе части имеют одинаковые амплитуды. Таким образом, плотность вероятности ведет себя в зависимости от г так, как изображено на фиг. 14.7. Легко объяснить экспоненциальное спадание плотности вероятности по направлению внутрь потенциального барьера. Уравнение (14.12) можно с хорошим приближением записать в виде
d Uo л — — фЫо=0, «Q
Фиг. 14.7.4 Плотность вероятности нахождения а-часткиы в точке г при а-распаде
(14.19)
а так как величина <р положительна в области барьера, решения оказываются вещественными экспонентами. При г > г£, т. е. в области, где ср отрицательна, решения становятся осциллирующими функциями, описывающими распространяющиеся волны. Ясно, что амплитуда на бесконечности будет резко затухать при увеличении высоты и ширины барьера, так как в первом случае увеличивается коэф
фициент <р при экспоненте, что вызывает более быстрое спадание и0 с ростом г, а во втором случае увеличивается область, в которой происходит экспоненциальное затухание.
В приближении (14.18) правая часть (14.17) примет вид
— kR
, (1+Y)—K-iO— Y)exp(— 2ш)
ф72	z
l + y texp(—2(0)
(14.20)
R
где
v-
4 Л> В
(14.21)
В уравнении непрерывности (14.17) нужно отделить часть от мнимой, помня, что W = E—l/tibk. Чтобы с решением во внутренней области, для которого у нас выражения, запишем
действительную проделать это еще нет явного
.2
i I *
(14.22a)
где
2
(14.226)
w=E
21*
324 Г л а в а 14
(знак минус введен для того, чтобы получить положительную величину). Аналогично, разделяя в (14.20) мнимую и действительную части, получаем ft = — kR^(\+y),	(14.23а)
Х°= е~2и (.	(14.236)
mR \ kyR )
В этих двух выражениях все величины (т. е. k, ф, тельны и вычислены при W = E, а все функции от r — R. Выражения (14.23) можно переписать, полагая
У» и, fi) действи-г вычислены при Ф = 1§2а:
а = arcos
-V2
(14.24)
Тогда легко видеть, что
® = 1] (2а—sin 2а).	(14.25)
Если и —конечная относительная скорость а-частицы и ядра, то 1г = ^mv/h. Таким образом, (14.23) можно переписать в виде
A = -JW?tga(l+Y),	(14.26а)
Х°= -^tgaexpf—ц(2а—sin 2a)) Д' + ———1	(14.266)
R	rjsin 2a J
Уравнения (14.26) являются основными уравнениями одночастнчной теории. Первое, (14.26а), можно рассматривать как уравнение для собственных значений, из которого определяются энергии распада Е для данной внутренней волновой функции и данного радиуса ядра R (т. е. для фиксированных значений /{). Уравнение (14.266) дает константы распада для каждой энергии.
Отдельным членам уравнения для можно придать физическое истолкование. Частота столкновений a-частицы с границей ядра равна по порядку величины скорости частицы в ядре, деленной на радиус ядра. Скорость в ядре не совпадает со скоростью v на бесконечности, но они одного порядка величины. Последняя скобка в (14.266) зависит в основном от ft, а тем самым от внутренней волновой функции. Поэтому разумно считать произведение величины (2v/R) на эту скобку частотой, с которой частица ударяется о стенку ядра. Два других члена зависят только от поведения частицы вне ядра и их можно рассматривать как вероятность того, что частица, ударяющаяся о стенку, проникнет через барьер. Для обычных значений энергии а-частиц 1] составляет величину порядка 20—25. Поэтому изменения в обусловлены в основном экспоненциальным множителем. Кроме того, из-за большой величины 1] абсолютная величина Х° очень чувствительна и к значению R, использованному при определении а.
На практике Е и 1 бывают известны экспериментально, а уравнения используются для определения радиуса ядра и параметра в ft. Это один из первых методов нахождения радиуса тяжелых ядер. Например, для «традиционной» модели потенциала в виде прямоугольной ямы, типа показанной на фиг. 14.6, в частном случае / = 0 внутреннее решение имеет следующий явный вид:
ut = с,-sin Кг.
Альфа-радиоактивность
325
Следовательно, ft = KR ctg KR и f'i = cosec2 KR — ctg KR/KR. Уравнения (14.26) примут вид
К cig KR = — Mg a,	(14.27a)
^° = 2Dtgae-2«	(14.276)
R h
В этих уравнениях некоторые члены, зависящие от у и 1 /г), были опущены, что дает ошибку порядка 2%. В ряде работ (12, 16] из уравнения (14.27а) при заданном R определяли К, а затем по этому К вычисляли Х°. Если при этом не получалось совпадения с экспериментальными данными для X, брали другое значение R. Эта процедура повторялась, пока не достигалось согласие с экспериментом. Поскольку Х° — постоянная распада для сформированной а-частицы и, следовательно, совпадает с XJ, определенной в (14.11), использованная процедура эквивалентна предположению, что вероятностьформнрования pt равна 1. Это, конечно, завышение р,-и соответственно X/ меньше X?. Если использовать более правильные увеличенные значения X?, то для R получатся большие значения, так как увеличение радиуса делает барьер тоньше и увеличивает вероятность проникновения. Необходимо, однако, вносить поправку в R из-за конечного радиуса а-частнцы. Точную связь R с радиусом ядра установить невозможно.
Однако для переходов в основное состояние в четно-четных ядрах значения R, вычисленные по (14.27) в предположении р( = 1, находятся в прекрасном согласии сформулрй R = Го-4|/з, где г0 = 1,57 ± 0,015 фм. Значения Уо. какое оказалось, удовлетворяют условию Е 4- Уо = 0,52 ± 0,01 Мэв. Хотя физический смысл Уо не совсем ясен, этот результат для Е+ Уо имеет простой смысл: он означает, что KR всегда несколько меньше л, так что внутренняя волновая функция очень мала на границе, как изображено на фиг. 14.7. (Действительно, KR = 2,986 ± 0,005.)
Приведенное нами здесь значение г0 больше найденного из опытов по рассеянию электронов на нейтронах, описанных в гл. 3 и 16, интерпретация которых значительно менее произвольна. Из этих экспериментов следует, что г0 <1,2 фм. Предположим в качестве простой модели, что R складывается из истинного радиуса ядра Ro и радиуса а-частицы: R = = Ro 4- Ra- Если взять Ro = 1,2 Л_,/а фм и потребовать, чтобы Х° из (14.27) совпадали с измеренными константами распада, то мы должны получить, что Ra — 2,2 фм. Другими словами, при г0 = 1,2 фм и Ra = 2,2 фм мы находим, что pt равен единице. Среднеквадратичный радиус Не4, измеренный по рассеян ию электронов, равен 1,6фл1, что дает для радиуса эквивалентной прямоугольной ямы значение 2,1 фм. Чтобы уменьшить pt, нужно увеличить Ra до невероятной величины. Исключительная регулярность эмпирических значений R и (Е 4- Уо) свидетельствует о том, что какой бы ни была величина pit она должна быть приблизительно постоянной для большинства четно-четных ядер. В этом и заключается смысл близкого согласия экспериментальных данных с линиями на фиг. 14.1. Действительно, мы видим из (14.11) и (14.266)
InX/ = 1пpi 4-In ( 2у tg Olesin2a)1 — \ RfiJ
! 7р"\
-(2т),/г — (2a-sin2a)£ */2.	(14.28)
326
Глава 14
Здесь мы упоостили выражение в скобках, воспользовавшись тем фактом, что 1/т| ~ 4%, а у ~ 2%. Для наблюдаемых энергий распада значения а оказываются порядка л/3 и функция (2а — sin 2а) незначительно меняется в области наблюдаемых энергий. Так как второй логарифмический член в (14.28) также почти нечувствителен к изменению энергии, мы видим, что независимо от флуктуаций pi есть приблизительно линейная функция от £_l/i.
Другую модель внутреннего потенциала рассмотрел Уинслоу (151. Исходя д из того соображения, что вероятность существования а-частицы виутри’ядра по сути дела должна быть мала, Уинслоу предложил потенциал, который полностью исключает а-частицы во внутренней области. Если а-час-тица образовалась и только начинает покидать ядро, то на нее будут действовать мощные силы притяжения, пока вся а-частица не выйдет из ядра. Поэтому, вспоминая, что г — расстояние до центра а-частицы, и используя обозначение последнего параграфа, мы предположим, что
V=oo, г <R01	(14.29а)
V = -Vo, Ro<r<R = Ro + Ra,	(14.296)
2 Ze2
V= —, r>R.	(14.29b)
r
Отталкивающий керн с V = oo вводится довольно формально, чтобы частица не могла проникнуть в область г < Ro. Мы, таким образом, предполагаем, что а-частица прекращает существовать как таковая, когда больше половины ее находится в ядре. Разумеется, и в этой модели Ra не следует интерпретировать буквально как радиус ядра Не*. Потенциал Уинслоу можно назвать потенциалом с ямой на поверхности1). В этой модели pt следует рассматривать как вероятность обнаружить центр а-частицы в области Ro < г < /?о+ Ra- Чтобы использовать (14.26), отметим, что внутренняя волновая функция при I = 0 равна
щ — sin К (г—Ro).
Вместо (14.27а) получаем
Z>ctgKRa = — Atga.	(14.30)
Сравнение с (14.27а) показывает, что для той же энергии и того же значения R величина Каа в модели потенциала с ямой на поверхности и Ко0 в обычной модели связаны соотношением
р
KnnflaCtg(K„n Ra) (Ко6 RctgKo0R).	(14.31)
А
Как мы видели, KoaR близко к л и, конечно, K0<jR etg КОб R имеет столь высокое численное значение (~—18), что KnnRa также оказывается довольно близким к л; численная оценка показывает, что при 0,1 < Ra/R < < 0,25:
'	R
^ = (0,75 -0,90)^-^.
Ra
*) Такой потенциал с ямой на поверхности очень похож на оптический потенциал с большим поверхностным поглощением (см. гл. 18).
А лъфа-радиоакт ивкост ь
327
Таким образом, глубина ямы Vo в модели с ямой на поверхности значительно больше, чем в обычной модели. Для Ra = 2,0 фм разница в значениях составляет окало 8 Мэв. Батее существенно то, что f\ становится очень чувствительной к величине KRa и уменьшается по сравнению с обычной моделью на множитель от 0,001 до 0,015 при изменении Ra/R от 0,1 до 0,25. Поскапьку обычная модель дает согласие с экспериментом для четно-четных ядер при Pi 1, уменьшение Д означает, что в модели с ямой на поверхности
должно лежать в пределах от 1,5- 10'* до 1 • 10‘8. Подобные значения вероятности формирования представляются слишком малыми1).
Можно ожидать, что экспериментальные значения Х( будут отклоняться от гладких кривых (14.28) не тать ко в силу вариаций Pi, но также в тех случаях, когда орбитальный момент отличен от нуля. Влияние момента на внешнее решение сказывается в уменьшении к, поскальку величину 1(1 + 1)/q3 можно рассматривать как добавление к барьеру, делающее его выше и шире. Сначала учитывали лишь этот эффект, однако последовательность требует, чтобы было рассмотрено и влияние ненулевых / на решение во внутренней области, а это может привести к увеличению значений к [12, 17]. В традиционной модели решением Если подставить эту функцию в (14
Фиг. 14.8. Сравнение ln	Для
постоянных энергий и радиусов.
Крнвля а построена по традиционной модели: Кривая 6 — по иодели с ямой на поверхности (по Уинслоу [15]).
внутри ядра является ui = CiKrh(Kr). 26а), то К начнет возрастать с I. Этот
рост отражает увеличение кинетической энергии частицы внутри ядра, а следовательно, и увеличение частоты столкновений с поверхностью. Математически это проявляется в уменьшении величины ft, что в свою очередь ведет к увеличению к [см. (14.266)]. С другой стороны, увеличение барьера уменьшает и, следовательно, ведет к уменьшению к. Для /	4 в резуль-
тате получается увеличение X; для I > 4 решающим становится экспоненциально убывающий множитель. В модели с ямой на поверхности решением во внутренней области является определенная комбинация функций Бесселя; здесь К также растете I, что ведет к увеличению частоты столкновений с барьером. Однако в этой модели увеличение частоты столкновений выражено слабее и экспоненциальный множитель играет доминирующую роль при всех /; действительно, 1п к линейно убывает с I. Величина этих поправок иллюстрируется фиг. 14.8.
Изучение переходов на первые возбужденные состояния в четно-четных ядрах с J = 2 позволяет непосредственно убедиться в существовании зависимости от I. При этом оказывается, что, хотя а-частица и должна иметь I = 2, значения к лежат на линиях, соответствующих I = 0, как это видно из фиг. 14.1. Это означает, что при использовании традиционной модели вероятность формирования уменьшается по сравнению с переходами в основные состояния и р2 ’/2р0- С другой стороны, модель с ямой на поверх-
) См. соображения на этот счет на стр. 473 и 521.
328
Глава 14
ностн дает р2 2р0- Как мы увидим в следующем параграфе, эти результаты несколько изменяются, если принять во внимание несферичность формы ядра. Поэтому трудно сделать какие-либо заключения о том, какая модель лучше.
Традиционная модель прямоугольной ямы и модель с ямой на поверхности представляют собой в некотором смысле предельные случаи, и, по-видимому, истинный потенциал, действующий на а-частицу, должен быть чем-то средним между потенциалами указанных моделей. По аналогии с тем, как рассеяние нуклонов позволяет судить о потенциале взаимодействия между ними, а рассеяние электронов дает информацию о распределении заряда в ядрах, разумно предположить, что, изучая рассеяние а-частиц на ядрах, удается определить силы, действующие на а-частицу в ядре. Кроме упругого рассеяния, можно рассмотреть также неупругое рассеяние или ядерные реакции, в которых упавшие на ядро а-частицы не испускаются обратно. Сечения всех этих процессов можно получить с помощью так называемого оптического потенциала для а-частицы. Оптические потенциалы подробно рассмотрены в части V. Здесь мы лишь отметим, что потенциал этот комплексный: его действительная часть вызывает упругое рассеяние, в то время
как мнимая часть учитывает поглощение а-частнц, вызвавших ядерные реакции. Таким образом, мнимая часть дает информацию о том, насколько глубоко а-частица может проникать в ядерную материю, не разрушаясь пли по крайней мере оставаясь отчетливой a-группой. Действительная часть представляет потенциальный барьер, через который должна проникнуть а-частица. Лучшие данные для таких потенциалов приводит Иго 1181.
Может возникнуть вопрос, зачем понадобилось нам описывать упрощенные модели, если истинный потенциал известен из экспериментов. Дело в том, что оптический потенциал достаточно точно известен лишь во внешней области ядра. Анализ Иго показывает, что а-частицы, упруго рассеянные на ядрах урана, почти не подходят к центру ядра ближе, чем на 9,9 фм. Следовательно, потенциал хорошо известен лишь в этом поверхностном слое — в диффузном ядерном «хвосте»: в уране плотность на расстоянии 8,5 фм падает до */|0 значения в центре1). Стать быстрое поглощение падающих а-частнц можно было бы принять за свидетельство того, что время жизни a-частичных ассоциаций, образующихся в ядрах, очень мало. Однако следует помнить, что мы ожидаем в значительной мере зернистую структуру ядра в области, где плотность меньше половины ее значения в центре, и при этом с преимущественным образованием a-ассоциаций. Следовательно,
трудно связать поведение а-частнц, падающих на ядро извне, и а-частиц, сталкивающихся с барьером внутри распадающихся ядер.
С другой стороны, хотя оптический потенциал не дает информации о движении а-частнц внутри ядра, он дает барьер, через который должны проникать а-частицы. Ядерный потенциал, к которому нужно прибавить кулоновскую энергию, равен [18]
'г— 1.17Д,/з 0,574
V(r) = -1
Мэв,
(14.32)
где г выражено в фемтометрах. Это выражение верно в области V(r)| < 10 /Изе и дает потенциальный барьер с очень крутой внутренней стенкой, хотя, конечно, не вертикальной, как в традиционной модели. Например,
’) Так как радиус а-частицы равен 1,6 фм, часть а-частицы, находящейся на расстоянии 9,9 фм от центра, проникает внутрь области с плотностью выше 1/w значения в центре ядра.
А льфа-радиоактивность
329
в изотопах урана а-частицы с энергиями от 4,2 до 6,7 Мэв сталкиваются с барьером на расстояниях от 9,38 до 9,42 фм.
Указанные значения внутреннего радиуса барьера (которые, оказывается, близки к соответствующим значениям в традиционной модели) заходят достаточно далеко в область диффузной ядерной поверхности, и мы вполне можем считать, что а-частицы не формируются за этим радиусом, т. е. внутри самого барьера. Поэтому имеет смысл вычислять вероятность проникновения Р через барьер п рассматривать Л/Р буквально как поток а-частиц, падающий на барьер. При такой интерпретации нужно учитывать в Р влияние моментов. Расмуссен [19] проделал соответствующие вычисления, используя численное интегрирование. Он привел в своей работе вероятности проникновения для большинства хорошо известных переходов и выразил поток через приведенную ширину б2 (Л1эв), определяемую как
б2 = уй,	(14.33)
где Л — постоянная Планка (неперечеркнутая!). Величина б2/А представляет собой гипотетическую вероятность распада в отсутствие барьера. Она, конечно, связана с фактором образования р. С точки зрения ядерной динамики особо интересным аспектом а-распада является определение б2. Значения б2, полученные Расмуссеном, были вычислены с истинным барьером, их можно рассматривать как удовлетворительные эмпирические величины’)-Конечно, все одночастичные модели, включая оптическую, не могут дать особенно обширных сведений о б2, кроме грубой оценки порядка величины v/R, и, возможно, направления зависимости от орбитального момента.
Альфа-распад рассматривался также как частный случай общей теории ядерных реакций [21, 22]. Этот метод заключается в том, что граничные условия на поверхности ядра формулируются на основе расположения энергетических уровней и ширин уровней, но без специальной модели для внутренней волновой функции. Техника этого метода изложена в части V. С этой точки зрения недостаточность наших знаний о ядерной динамике проявляется в неспособности предсказать свойства соответствующих уровней.
Поскольку ширины уровней и их расположение, по-видимому, не более фундаментальные величины, чем вероятности формирования а-частнц, упомянутый общий подход не имеет существенных преимуществ.
§ 4. Высшие электрические моменты
В квадрупольный потенциал входит угол между радиус-вектором а-частицы и осью ядра; это частный случай нецентральных взаимодействий, для которых относительный орбитальный момент не сохраняется. Частица может выходить из ядра с моментом lt, а затем под действием такого нецентрального потенциала ее момент может измениться и стать, например, /2; тогда ядро перейдет в такое состояние, что полный момент и четность системы останутся
) Эти значения, правда, в некоторой мере можно изменять, разумным образом видоизменяя потенциал. Например, в статье (20) было показано, что введение в потенциал Иго нелокальности, типа.использованной Франом и Леммером в нуклонном потенциале, приводит к изменениям б* на величину порядка 60%. Однако неясно, будет ли такой нелокальный потенциал удовлетворять данным по рассеянию а-частнц. Действительно, поскольку потенциал Иго хороню описывает рассеяние а-частии с энергиями до 10 Мэв, можно думать, что зависимость от момента, связанная с нело-кальностыо, будет слишком сильной.
330
Глава 14
Шо
Фиг. 14.9. Компоненты функции распределения, имеющей максимум при фиксированном угле ю0.
прежними. При этом, конечно, происходит и обмен энергией. Например, четно-четное ядро может при a-переходе в основное состояние дочернего ядра испускать а-частнцу с I = 0. Но прежде чем частица удалится на большое расстояние, квадрупольное взаимодействие может возбудить ядро в состояние с J — 2, уменьшив одновременно кинетическую энергию частицы п изменив ее / до значения / = 2. Поскольку при этом проникновение через барьер происходит частично при одной энергии, а частично при другой, ?. для двух групп частиц не будут иметь значения, получаемые в теории, рассмотренной в предыдущем параграфе. Более того, мы видим также, что наблюдаемое отношение интенсивностей для групп с lt и /г на бесконечности будет отличаться от значения на границе ядра, так как число частиц, переходящих от It к /j, не совпадает с числом частиц, испытывающих обратный переход. Иными словами, величины = Л|/Х" и u>2 = X2/XJ, которые по предыдущей теории представляли собой вероятности формирования pt и р2, будут теперь отличаться от них из-за влияния нецентральных сил. Помимо изменения амплитуд различных моментов при выходе а-частицы из ядра, нарушение сферической формы ядра может вызвать изменение углового распределения а-частиц вблизи ядра.
Рассмотрим сфероидальное четно-четное ядро, испускающее а-частицы при переходах как в основное, так и в различные вращательные состояния дочерних ядер. Угловое распределение а-частиц тесно связано с относительными амплитудами состояний с различными моментами. Полностью изо
тропное распределение представляет собой чистую (/=0)-волну. Когда распределение отклоняется от изотропного, возрастает роль более высоких компонент, а относительная интенсивность компонент с различными / зависит от угла, при котором распределение имеет максимум. Для примера на фиг. 14.9 показаны относительные амплитуды компоненте / = 0,2 и 4 при различных углах и для двух различных распределений; | Сп |2 представляет относительный вес состояния с I = п. Сплошные линии соответствуют очень неравномерному распределению (здесь |/ (со) |* — угловое распределение а-частиц):
f (со) = у б (со — wo) -1- у б (w—л — <о0),
а пунктирные линии— гладкому распределению
2	Я
f(w)==cos (со—Ыо), W<y,
Для ядер с положительным квадрупольным моментом характерна вытянутая форма вдоль осн симметрии. Следовательно, частицы, движущиеся в различных направлениях, чтобы удалиться на одинаковые расстояния от центра ядра, должны пройти различные расстояния в области действия кулоновского барьера. Поэтому, предполагая, что столкновения образующихся в ядре а-частиц с ядерной поверхностью равномерно распределяются по по-

Альфа-радиоактивность
331
верхностн, мы можем ожидать, что вблизи поверхности ядер распределение а-частиц будет иметь максимумы при углах 0 и л в отсчете от оси симметрии ядер. С другой стороны, квадрупольный потенциал Vq имеет наибольшее значение в направлениях 0 и л, и хотя частицы движутся главным образом в этих направлениях, но и барьер они преодолевают более высокий; таким образом, при прохождении через барьер интенсивность потока в этих направлениях будет уменьшаться, т. е. влияние квадрупольного момента будет проявляться в сдвиге максимума интенсивности Izq в направлении 90°. Те же рассуждения применимы и к случаю отрицательных Q, но здесь максимум будет перемещаться наоборот от л/2 к углам 0 и л. Из фиг. 14.9 видно, что при движении максимума к л/2 относительный вес компонент с / = 4 и I = 2 падает по сравнению с волной I = 0. Следовательно, для положительных Q интенсивность волн с / — 2 и I — 4 при выходе частиц нз ядра будет ослабевать по отношению к интенсивности волны с / = 0.
Итак, отношение наблюдаемых вероятностен формирования ы>2/ч>0 окажется меньше, чем Рг/рц- Если предположить, что все четно-четные ядра имеют примерно одинаковые отношения истинных вероятностей формирования р21ро, то следует ожидать, что w2lwa будет убывать с ростом Q. Так как ядра, которым свойственна естественная а-радиоактивность, расположены в той части периодической таблицы, где увеличение Z соответствует заполнению протонной и нейтронной оболочек с увеличением Q, то отношение <а2/ш0 должно убывать с ростом Z. Как следует из фиг. 14.9, при учете состояний с I — 4 отношение wJwq должно убывать еще быстрее. Оба эти эффекта уже обнаружены экспериментально.
Изложенные выше соображения получили количественную формулировку [23]. Электростатическое взаимодействие а-частицы с ядром разлагается по сферическим гармоникам
Иг)- У.	г,))г-<1+".	<14.34)
Л,'Г-Г-	,4
где «лр — заряд нуклона с учетом отдачи, как это изложено в гл. 11. Сходство между формулой (14.34) и выражениями, получаемыми при рассмотрении внутренней конверсии и кулоновского возбуждения, наводит на мысль, что в тот и другой расчеты входят одни и те же матричные элементы В (EJ. Волновую функцию конечного состояния можно записать в виде суперпозиции волн, соответствующих всем возможным распределениям момента начального ядра между а-частнцей и остаточным ядром:
*= 2 r-‘Uv(r)x"(9, <рЛ),
Uf.t
Х?(0, <₽, 5)= 2(/7/тМ-т|ЛЛ4)УГ(е. ф)Ф^т (У.	(14.35)
где v означает совокупность квантовых чисел (/, J f, г); т — другие квантовые числа остаточного ядра; | — все координаты остаточного ядра, а г — координата а-частицы. (Поскольку предполагается, что а-частица находится в одном и том же внутреннем состоянии и в начальный момент времени и в конечный, то ее внутренняя волновая функция не входит в расчеты.) Формулы' (14.35) подставляются в уравнение Шредингера для всей
системы
.2
Ht——V2+V(r)—E Т = 0.
2т
332
Глава Г1
л	.V
Построив скалярное произведение этого выражения с Xv и использовав тот факт, что
//64>V(B)=E^,,4(&)
после некоторого упрощения коэффициентов, получаем |14|
___d цу t / G ~Ь 1) >i , ядерн	р I 2Ze \	_ 2Л4 dr2 \ 2тгг v__________________________г ) v
= V — У «V (г) [В^у (£1)]‘/Jc(/, Jh J,- к).	(14.36}
X = »r v’
Здесь
с (I, I', Jf, Jf‘,k) =
= ±(-l)V‘(4n(2/+ 1)(2/+ 1)(2J/+ 1)1 '2 (//00|X0)ихуд)_ 2X. "I” I
где IV' — коэффициент Рака. Неопределенность знака возникает при извлечении квадратного корня из В (Е?.) в процессе вычисления: это обстоятельство соответствует двум возможным фазам у-переходов. Иногда можно экспериментально установить знак по угловому распределению у-лучей; в других случаях вопрос о знаке решается при конкретизации теоретической модели.
Левая часть уравнения (14.36) совпадает с левой частью подробно рассмотренного выше уравнения для радиальной функции uv в отсутствие нецентрального взаимодействия. Решения для состояний с разными моментами связаны между собой посредством правой части (14.36). Эта связь математически выражает тот физический факт, что а-частица сначала находится в ядре с определенным моментом и энергией (функция uv< (R) конечна, причем «у (У?) = 0 при v =/= v'J, а пройдя некоторое расстояние г, она с определенной вероятностью, соответствующей уже отличной теперь от нуля амплитуде uv(r), обменяется с ядром энергией и моментом. Измеряемые экспериментально интенсивности различных групп Ev при распаде ядра пропорциональны | uv (со)|2. Динамика движений внутри ядра определяет Uv (/?), а система дифференциальных уравнений (14.36) связывает относительные интенсивности на границе ядра и на бесконечности.
Ясно, что мера возрастания интенсивности группы (v) за счет другой группы (у1) при движении частиц из ядра зависит от величины приведенного матричного элемента Этот эффект зависит также от разности |Ev — Evi и оказывается тем более сильным, чем меньше разница в энергиях.
Было показано, что электрические дипольные колебания несущественны. При распаде Ат241 испускаются две группы а-частпц с образованием уровней двух Np2 37, отличающихся по энергиям набОкэви связанных Е1-переходом. При использовании одночастичных матричных элементов эффект связи оказывается порядка 10 ® относительно интенсивности сильного перехода, но при использовании истинного значения В (Е1)эта величина уменьшается до 10 7 114].
Влияние нецентральных эффектов заметно лишь при переходах на различные уровни одной вращательной полосы деформированных ядер. В этих ядрах велик матричный элемент В(Е2), а разности энергии довольно малы. Поскольку большинство естественных а-излучателей относится к дсформи-
Альфа-радиоактивность	333
рованным ядрам, эффекты квадрупольной связи интенсивно изучались 114, 24—28]. Волновые функции uv, соответствующие уравнению (14.36), известны на больших расстояниях, так как при г-*- со связывающие члены становятся пренебрежимо малыми и uv переходит просто в кулоновскую волновую функцию частицы с энергией Е — Е“Я0{"‘ и зарядом 2е, движущейся от заряда Ze. Пусть Fv и Gv — соответственно регулярная и сингулярная кулоновские функции, рассмотренные в приложении Б; тогда
Uy ~Ауе *4 (Gy 4- iFy).	(14.37)
Величины Ay определяются по экспериментально измеряемым интенсивностям различных групп, так как интенсивность /v = где — скорость частиц в группе v. Однако фазы by таким способом найти нельзя. Чтобы определить их из эксперимента, нужно измерить некоторую величину, зависящую от интерференции между различными членами в Т. Такого рода опыты, например измерение углового распределения а-частиц, испускаемых •поляризованными ядрами, трудно осуществимы. К счастью, фазы должны также удовлетворять некоторому условию, вытекающему из теории. Поскольку а-частицы испускаются ядрами в квазнстационарных состояниях, поток а-частиц на поверхности ядра полностью обусловлен мнимой частью энергии. Другими словами, если использовать в вычислениях только действительную часть энергии, то поток а-частнц на поверхности ядра должен быть равен нулю; из этого условия следует, что мнимая часть uv должна обращаться в нуль на поверхности.
Можно получить решение системы (14.36), выбирая решения при некотором большом г в виде (14.37), где коэффициенты Лу известны. Интегрируя численно уравнения в направлении уменьшения г при различных значениях by, нужно отобрать те бу, при которых мнимые части бу исчезают на поверхности ядра. Оказывается, что это условие допускает два решения при каждом бу: одно — вблизи нуля, другое — вблизи л. (Конечно, одно из значений 6V, например б0, всегда можно положить равным нулю ввиду произвольности фазы полной волновой функции.)
Рассмотрим распад четно-четного ядра. Квадрупольный момент связывает переходы на основное и на первое возбужденное состояния 7 = 2 вращательной полосы, т. е. м0 и и2 связаны между собой. Кроме того, м2 связана с — радиальной функцией для распада во вращательное состояние с J = 4. В свою очередь связана с и с и2 и т. д. Однако число а-частнц, попадающих на все более высокие уровни, быстро убывает, так что влиянием мя на значение уже можно пренебречь. Поэтому имеет смысл ограничиться решением лишь четырех первых уравнений (14.36), определяющих «о, и2, м4 и ий. Неоднозначность в б2, б< и б0 означает, что имеются восемь возможных наборов фаз и восемь различных решений. Вообще если взяты п волновых функций, то получаются 2"-1 решений; выбор между ними можно сделать только с помощью интерференционного эксперимента.
Многочисленные результаты подобных расчетов хорошо иллюстрирует типичный пример ядра Cm212, которому мы приписываем квадрупольный момент Qo = 11 барн. В табл. 14.2 приведены относительные значения функций aOi «г» и «в на сфере радиуса 9 фм, совпадающей с поверхностью ядра. Квадраты этих отношений дают относительные вероятности образования четырех различных групп а-частиц. Как видно из таблицы, среди восьми решений некоторые совершенно различны, в частности относительно амплитуды частиц с I = 4. Эти результаты доказывают, что нецентральные эффекты могут оказаться вполне существенными, но однозначно вычислить
334	Глава 14
Таблица 14.2*
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ ВОЛН а-ЧАСТИЦ С РАЗЛИЧНЫМИ ОРБИТАЛЬНЫМИ МОМЕНТАМИ НА ПОВЕРХНОСТИ ЯДРА СщШ
Случай	А	в	С	D	Е	F	о	и
"О	1,208	1,175	—1,013	— 1,080	1,204	.1,171	—1,005	—1,071
«0	0,423	0,221	—0,276	-0,626	0,348	0,145	-0,148	-0,496
«• «0	0,336	0,261	—0,431	-0,562	—0,188	-0,264	0,461	0,33-1
♦ По Чезмену и Расмуссену.
амплитуды на поверхности, нс зная фазы и интенсивности на бесконечности, невозможно.
Можно представить результаты расчетов и в иной форме: в виде распределения а-частиц на поверхности ядра. На фиг. 14.10 приведены изменения |Ч'|2 на сфероидальной поверхности Ст242 для четырех из восьми

X
Ё
*
Б Q s с:
О 20 40 60 80	О 20 40 60 80
orccos т}, град	orccos i[, град
Фиг. 14.10. Распределение а-частиц на сфероидальной поверхности Ст242 в предположении, что Qo= 11,36.
По осн абсцисс отложен arc cost), где ц — отношение разности между рас-стояниями точки на поверхности до двух фокусов сфероида к расстоянию между фокусами: Ч = (ri — Полярный угол 0 приближенно равен arc cos >]. Кривые носят приближенный характер: они основаны на расчетах
[26]. выполненных в пренебрежении волной 1 = 6.
типичных случаев. В случаях, обозначенных III и IV, частицы образуются в основном в полосе шириной приблизительно 30° по обе стороны ядерного экватора. С точки зрения наших представлений о структуре ядер такие распределения невероятны, поэтому мы ограничиваем выбор оставшимися, решениями. Однако окончательное заключение приходится отложить до тех пор, пока не будет разработана теория процесса образования а-частиц в деформированных ядрах.
Альфа-радиоактивность	335
§ 5. Вероятности формирования
Кроме отличных от нуля значений I и нецентральных взаимодействий, имеется еще третий фактор, вызывающий отклонение экспериментальных времен жизни от гладких кривых (см. фиг. 14.1) для четно-четных ядер, именно вариации вероятности формирования а-частиц. Из указанных трех факторов лишь этот последний способен вызвать изменения значений периода полураспада в 10 и более раз, и, кроме того, он содержит наиболее обширную информацию о структуре ядра, поскольку лишь он чувствителен к свойствам внутриядерной области. Представляется несомненным, что вероятности формирования играют главную рать в увеличении времени жизни, которое, как отмечалось в § 1 этой главы, свойственно ядрам с нечетным числом протонов или нейтронов. Факторы запрета в табл. 14.1 не связаны непосредственно с вероятностями формирования, поскольку на них сказывается также эффект высших моментов и нецентральных взаимодействий. Более того, поскольку вероятность формирования для четно-четного ядра отлична от единицы, фактор запрета представляет собой просто число, по порядку величины равное отношению вероятности формирования для четно-четного ядра к таковой для данного ядра. Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как связаны вероятности формирования с особенностями структуры ядра.
Прежде всего примем во внимание, что ядра с нечетным Л содержат неспаренный нуклон, связанный с ядром слабее, чем другие. Разумно предполагать, что в образовании а-частицы вряд ли участвует нечетный нуклон: скорее а-частица формируется из уже спаренных в ядре протонов и нейтронов. Можно ожидать, что для переходов, в которых квантовое состояние нечетного нуклона не меняется, вероятность формирования примерно такова же, как и для четно-четных ядер, так как в этих двух случаях нуклоны, образующие а-частицу, будут иметь весьма сходные волновые функции. Следовательно, мы должны ожидать, что если основные состояния исходного и дочернего ядер отличаются друг от друга, а волновая функция некоторого возбужденного состояния дочернего ядра в то же время близка к функции основного состояния исходного ядра, то переход в основное состояние будет значительно отличаться от такого перехода в случае четно-чстного ядра, а время жизни возбужденного состояния окажется весьма близким к случаю четно-четного ядра. Такая картина вполне объяснила бы описанные в § 1 характерные свойства ядер с нечетным А.
В качестве довольно большой группы данных такого рода рассмотрим распад Ст243, проиллюстрированный на фиг. 14.11. Здесь приведены квантовые числа одночастичных уровней в сфероидальном потенциале. Мы видим, что только 14% переходов идут на полосу А основного состояния Ри23’, а 84% переходов происходят на два уровня полосы В. Нетрудно усмотреть причину этого: при переходах на полосу Л ДА = 2 и ДА = 1, при переходах же на полосу В квантовые числа не меняются.
Другой типичный пример — Ат211, 84% распадов которого происходят на возбужденный (60 кэв) уровень 6// вместо основного состояния •/,*. Квантовые числа основного состояния Am (J = */t; л =— 1; N = 5; пг = 2; А = 3; А = %) совпадают с таковыми для состояния Np, на которое преимущественно и происходит распад, в то время как основное состояние ядра Np237 характеризуется квантовыми числами •/,* (6; 4; 2; 5/г). Конечно, причина того, что возбужденное состояние дочернего ядра похоже на основное состояние исходного, состоит просто в том, что при добавлении двух нейтронов (или протонов) нечетная частица в основном состоянии сдвигается
336
Глава 14
на следующую нпльссоновскую орбиту. Атомный номер Np равен 93; как показано на фиг. 10.14 (стр. 243), при т] ~ 5 состояние 6/t‘ (6; 4) и состояние 6/г~ (5; 2) являются соответственно основным и первым возбужденным состояниями 93-го протона, а второе из них совпадает с основным состоянием 95-го протона.
В пределах взятой вращательной полосы все состояния имеют аналогичную внутреннюю структуру, но при одних переходах а-частица может покидать ядро, унося нулевой момент, а при других — большой момент.
Ф и г.” 14.11. Распад Ст4”.
Квантовые числа, приведенные в скобках и начале ротационных полое, есть N,nt A,K.
Следует ожидать, что распады, при которых а-частица уходит с большим I, будут менее вероятны уже только потому, что радиус, на котором частица должна образовываться, увеличивается. Эту закономерность иллюстрируют случаи, пр и веденные в последнем параграфе (отметим, что все у ровни, на которые идет заметный распад, соответствуют AJ = 0 или 1); дополнительный запрет в области высших / наблюдается также при распадах четно-четных ядер. Распады на первые возбужденные 2‘ состояния не затруднены; действительно, во многих случаях приведенная ширина б2 оказывается фактически больше для переходов с I = 2. Все переходы с I = 4 на вращательные состояния 4’ оказываются, однако, медленными. Количественное выражение этого обстоятельства нетрудно получить с помощью приведенного фак,-'тора запрета, который равен отношению б„ к б’, где б* — приведенная
Л льфа-радиоактивност ь
337
ширина hv/Pi — вычислена по проницаемости барьера, включающего центробежный, а д’ — приведенная ширина основного состояния. Приведенные факторы запрета для I = 2 меняются в пределах от 0,8 до 1,2; для I = 4 они увеличиваются с ядерной деформацией в пределах от 2 при Z = 90 до максимума, равного 150 в Ст244, после чего убывают [ 19J.
Однако эти числа не обязательно характеризуют трудность формирования а-частицы с I = 4, так как они определяются по интенсивности а-час-тнц на бесконечности, но йена поверхности ядра, а мы знаем, что квадру-польное взаимодействие может сильно изменить относительные интенсивности. Конкретные расчеты (251 показывают, что для некоторых выборов фаз отношение интенсивностей ванн с I = 0 и / = 4 на поверхности ядра может фактически оказаться меньше единицы, хотя при других выборах фаз получались бы отношения, близкие к приведенным факторам запрета (от 2 до 100). По-виднмому, можно лишь утверждать, что волна с I = 4 подавляется, но трудно сказать точно, в какой степени, так как правильный выбор относительной фазы не известен. С другой стороны, большинство переходов с I = 2 оказывается несколько предпочтительнее переходов в основное состояние.
Итак, ясно, что а-распад деформированных ядер находится в полном согласии с коллективной моделью как по общим свойствам, так и в отношении квантовых чисел соответствующих состояний.
Сферические ядра вблизи РЬ208 также дают некоторые интересные подтверждения оболочечной модели. Один из наиболее просто объяснимых фактов заключается в том, что распад всех изотопов Bi (Z = 83) строго запрещен. Неспаренный протон в Bi находится в состоянии а 81-й протон в дочернем ядре является 81/2-протоном; а-частица должна уносить момент, равный по меньшей мере 4, н, по-виднмому, включает протон Л»/4. Эти факторы затрудняют формирование а-частнцы.
Оболочечную модель проверял Манг [29, 301 посредством численных расчетов вероятностей формирования для изотопов Ро и At. Наиболее поразительна особенность экспериментальных данных — это резкий спад (примерно в 5 раз) приведенной ширины для а-актпвных ядер с числом нейтронов 126 млн менее. Манг смог объяснить это явление с помощью простой сферической модели оболочек*). В этих расчетах существенную роль играла идея о том, что вероятность образования а-частнцы пропорциональна перекрыванию волновой функции конечного и начального состояний. Пусть начальное состояние есть 4r0(ri, г2, . . гА). Предположим, что нуклоны 1, 2, 3 и 4 образуют а-частицу с моментом I. Если обозначить координату центра масс а-частнцы через R, а через х1( х2, х3 — ее внутренние относительные координаты (они являются функциями п, . . ., г*), то волновая функция конечного состояния будет иметь вид
#“;(#) Xw/(xi, х», х3. г5.гА),
где
х= 2(/J,tnM-tn\J/Л1)У(т(е,Ф)ф;,-т(г5.....гл)фв(Х1, х,,хз);
т
в этой сумме фа — внутренняя волновая функция а-частицы, а ф, — состояние дочернего ядра. Для ядра в состоянии 4% амплитуда вероятности обнаружить центр а-частицы на расстоянии /? от центра ядра равна
А = dxidx2dx3dri... drAsinQdQd<pWoi.
——	'•
х) Выдвигавшееся ранее объяснение этого факта как результата резкого скачка в изменении радиусов ядра при Л'= 126, по-видимому, неверно.
22 Заказ ЛЬ 37
338
Глава 14
В это выражение следует ввести также множители, учитывающие другие возможные выборы четырех нуклонов, образующих частицу, но А представляет собой основную величину в вероятности формирования. Манг получил общее выражение приведенной ширины б через А и затем вычислил б для изотопов Ро и At. Очевидно, для проведения такого расчета необходимо
выбрать определенные волновые функции рассматриваемых ядер. Для а-частицы Манг брал волновую функцию, которая использовалась при объяснении энергии связи и распределения заряда а-частицы:
Фа = ‘«о (1, 2) Ч (3, 4) ехр х
Ф и г. 14.12. Приведенные ширины для изотопов Ро и At. а — чстио-четиые изотопы Ро; б — четно-нечетные Ро; • — нечетно-четные At (по Мангу). Темные точки соответствуют значениям, которые вычислил Манг, светлые точки - эмпирическим значениям, Расчетные данные нормированы по Po2to.
X -4P(xJ + x2 + xJ) , 4-
где (1,2) —протоны, а (3, 4) —нейтроны, и
Xi = 2 '/2(rt—Гг), Xi=2_‘/2(rj—г4), х3 = 2-(г1 + г2—г3—г*).
Для тяжелых ядер использовались простые функции оболочечной модели, например
Ро201: протоны /4/„ нейтроны
РЬ200: замкнутая протонная оболочка, нейтроны р{\ fi/t рз/2-
Радиальные волновые функции одночастичных состояний брались в виде функций гармонического осциллятора с одним переменным параметром; последний определялся из условия, чтобы получались правильные среднеквадратичные радиусы всех ядер. Значения вероятности формирования вычислялись для R = 9 фм — радиуса, внутри которого происходит образование большинства а-частиц. Вероятности проникновения сквозь барьер, необходимые при расчете эмпирических величин б2, были вычислены в предположении кулоновского барьера, начинающегося также при К=9фм. Сравнение вычисленных величин с эмпирическими значениями приведенных ширин показано на фиг. 14.12. Абсолютные величины вычисленных б2 можно изменять,
варьируя R и параметры, входящие в вол
новые функции, но относительные величины оказываются нечувствительными к таким изменениям. Вычисленные данные были отнормнрованы так, чтобы в случае Ро210 теоретическое значение приведенной ширины совпа
дало с экспериментальным.
Мы видим, что даже простая оболочечная модель дает очень удовлетворительное согласие с наблюдаемой зависимостью б2 от А. Хотя смешнва-
Альфа-радиоактивность
339
ние конфигураций не учитывалось и радиальные волновые функции являются приближенными, полученное согласие можно считать дополнительным подтверждением применимости оболочечной модели к тяжелым сферическим ядрам. Абсолютные величины 6* 2 слишком малы, но Манг предполагает, что если учесть некоторое группирование нуклонов в диффузной ядернон границе, величины б2 увеличатся, причем их отношения изменятся незна-чительно*).
Убывание б2 при N = 126 обусловлено тем, что появляющиеся при N > 126 нейтроны на оболочке g»/t образуют а-частнцы легче, чем нейтроны на более низких оболочках pi/t и fb/t. Последнее вызвано отчасти тем, что радиальные волновые функции более высокой оболочки оказываются больше вблизи границы ядра, а отчасти тем, что более высокие моменты играют преимущественную роль при формировании а-частнц на таких расстояниях2).
Эту главу можно заключить выводом, что явление а-распада, происходящее вслед за образованием а-частнцы, удается довольно убедительно объяснить и что представление о процессе формирования согласуется с оболочечной моделью сферических или сфероидальных (деформированных) ядер (при этом, может быть, приходится учитывать некоторое дополнительное образование a-групп на ядерной поверхности).
ЛИТЕРАТУРА
I.	Rutherford Е., Geiger Н., Proc. Roy. Soc., А81, 141, 162 (1908).
2.	Rutherford Е., R о у d s Т„ Phil. Mag., 17, 281 (1909),
3.	R a s in usse n J. О., T h о m p s о n S. G., G h iorso A., Phys. Rev., 89. 33 (1953).
4.	M a c f a r I a n e R. D., К о h in a n T. P., Phys. Rev., 121, 1758 (1961).
5.	Rosenblum S., Journ. phys. et rad., 1, 438 (1930) и многочисленные более поздние работы.
6.	Geiger Н., N u t t a 1 1 J. M., Phil. Mag., 22, 613 (1911).
7.	G a m о w G., Zs. Phys., 51, 204 (1928).
8.	Condon E. U., Gurney R. W., Nature, 122, 439 (1928).
9.	С о n d о n E. U., Gurney R. W., Phys. Rev., 33, 127 (1929).
10.	В e t h e H., Rev. Mod. Phys., 9, 161 (1937).
11.	R a	se t t i	F.,	Elements of Nuclear Physics, New	York, 1936.
12.	P r	e	s t о n	M.	A., Phys. Rev., 71, 865 (1947).	•
13.	P e	r	1 ni a n	1.,	C h i о r s о A., S e a b о г g G.	T., Phys. Rev.,	77,	26	(1950).
14.	P e	r	1 m a n	1.,	R a s m u s s e n J. O., Handbuch	der Physik, Bd.	42,	Berlin,	1957,
S.	109.
15.	Winslow G. H., Phys. Rev., 96, 1032 (1954).
16.	К a p I a n I., Phys. Rev., 81, 962 (1951).
17.	P г e s t о n M. A., Phys. Rev., 83, 475 (1951).
18.	1 go, Phys. Rev., 115, 1665 (1959).
19.	Rasmussen J. O., Phys. Rev., 113, 1593; 115, 1675 (1959).
20.	C h a u d h u г у M. L., Phys. Rev. Letters, 5, 205 (1960).
*) Иден Манга получили дальнейшее развитие в теории распада легких ядер с испусканием а-частиц, ядер трития. Не3 и т. п. (31*	33*]. Заметим, что оболочеч-
ная модель, в согласии с экспериментом, дает большие (порядка внгиеровского предела) приведенные ширины уровней легких ядер для сложных частиц. Прим. рсд.
2) Хотя каждый из нуклонов, образующих Не*, имеет нулевой момент относительно их общего центра масс, его скорость значительна, поэтому он может иметь
большой момент относительно центра ядра, в котором формируется а-частица, даже если общий момент а-частнцы относительно этого центра невелик.
22
340
Глава 14
21.	Devaney J. J., Phys. Rev., 91, 587 (1954).
22.	Т ho m a s R. S., Prog. Theor. Phys., 12, 253 (1954).
23.	P r e s t о n M. A., Phys. Rev., 75, 90 (1949); 82, 515 (1951).
24.	Fro in a n P. O.. Kg. Danske Videnskab. Selskab mat.-fys., 1, No. 3 (1957).
25.	C h a s m a n R. R., R asm usse n J. O., Phys. Rev., 112, 512 (1958).
26.	P c n n i n g t о п E. M., Preston M. A., Canad. Journ. Phys., 36, 944 (1958).
27.	Rasmussen J. O., Hansen E. R., Phys. Rev., 109, 1656 (1958).
28.	C h a s m a n R. R., Rasmussen J. O., Phys. Rev., 115, 1257 (1959).
29.	Mang H. J., Phys. Rev., 119, 1069 (1960).
30.	M a n g H. J., Zs. f. Phys., 148, 572 (1957).
31*. Балашов В. В., II с у д а ч и н В. Т., Смирнов 10. Ф., Ю д и н Н. П., ЖЭТФ. 37. 1387 (1959).
32*. Смирнов Ю. Ф., Хлебовска Д., Nucl. Phys., 26, 306 (1961) (см. сборник «Ядерные реакции при малых и средних энергиях», М., 1962, стр. 637).
33*. Балашов В. В., Ф е т н с о в В. Н., Nucl. Phys., 27, 336 (1961) (см. сборник «Ядерные реакции при малых и средних энергиях», М., 1962, стр. 441),
ГЛАВА 15
БЕТА-РАДИОАКТИВНОСТЬ
§ 1. Введение
Бета-радиоактивность была одним из первых обнаруженных ядерных явлений. Еще в последние годы XIX столетия было установлено, что некоторые тяжелые естественно радиоактивные элементы испускают отрицательно заряженные частицы. Однако основные эксперименты по выяснению природы этого явления были проведены лишь после 1945 г., что связано с большими экспериментальными трудностями проблемы. Основным P-процессом является распад нейтрона, а достаточно мощные пучки нейтронов стали доступными лишь после появления больших ядерных реакторов. Другой фундаментальный эксперимент состоит в прямой регистрации нейтрино, что также стало возможным лишь с появлением жидких сцинтилляторов больших размеров. Целый ряд важных экспериментов требовал развития криогенной техники для достижения достаточно низких температур, позволяющих добиться параллельного выстраивания ядерных спинов. Были также задержки и со стороны теории. Развитие квантовой теории поля существенно предопределило построение теории Р-распада. Ряд важных идей, например знаменитая гипотеза Паули о существовании нейтрино, был выдвинут раньше, но полная теория p-распада, которая в основных чертах считается верной до сих пор, была сформулирована лишь в 1934 г. Э. Ферми. Затем после еще одного двадцатидвухлетнего перерыва идея Ли и Янга 11 1 о несохранении четности дала толчок дальнейшему развитию теории Ферми и открытию новых важных экспериментальных фактов. История Р-распада изобилует примерами как полного изменения взглядов, так и постепенного устранения неопределенностей по мере того, как становились возможными все более и более тщательные эксперименты.
Этот сравнительно медленный прогресс в понимании р-радиоактнвности не удивителен, так как он требует и знания структуры ядра, и сил, вызывающих p-распад. Изучая электромагнитные свойства ядра, мы в качестве орудия исследования внутриядерных сил располагаем точной теорией электромагнитного поля. В таких процессах, как а-распад и ядерные реакции, важны лишь ядерные силы. В противоположность этому силы, действующие в процессе Р-распада, оказались чем-то новым в физике, и необходимость одновременно изучать и эти силы и строение ядра в известной мере определила тот извилистый путь, по которому шло развитие наших представлений о p-распаде. Однако мы оставим историческую сторону дела, а обратимся к установленным фактам и принятой в настоящее время теории, которая объясняет эти факты.	
22*
342
Глава 15
В этой главе мы отойдем от обычной терминологии и будем называть электронами частицы обоих зарядов; при необходимости их различать мы будем использовать термины позитрон и негатрон1’. Аналогично словом «мезон» будем называть и ц". Позитрон и негатрон являются зарядовосопряженными частицами, так же как и р/ и ц". Протон и нейтрон также имеют зарядово-сопряженные частицы: антипротон и антинейтрон. Всем античастицам свойственны те же массы, спины и взаимодействия, что и соответствующим частицам, но их заряды и магнитные моменты имеют противоположные знаки. Если для ряда этих частиц возможна некоторая реакция, то из действительности энергии, т. е. из эрмнтовости гамильтониана, следует, что также возможна и соответствующая реакция с античастицами. Это приводит к вопросу об антинейтрино. Существует ли для нейтрино, как и для других фермионов, отличающаяся от него античастица или оно совпадает со своей античастицей? Паули постулировал существование нейтрино в неофициальных заметках около 1931 г, 121 при попытке объяснить сохранение энергии, импульса и момента при 0-распаде2). Эксперименты настоящего времени согласуются с предположением, что нейтрино имеет нулевую массу, спин ’Лй не имеет электромагнитных свойств и не участвует ни в каких взаимодействиях, кроме слабых 3).
В свете таких свойств нейтрино естественно задуматься над вопросом, чем же оно может отличаться от антинейтрино? Возможно различие в корреляции направлений спина и импульса частицы. У релятивистских фермионов компонента спина в произвольном направлении не может быть определена одновременно с импульсом, но проекция спина вдоль направления импульса является интегралом движения. Ее значения равны	при
этом мы говорим соответственно о параллельной и антнпараллельной ориентациях спина. Можно также говорить о свободном состоянии частицы в отсутствие сил; в нем стр имеет определенное значение. В общем случае такое описание не инвариантно: если спин ст параллелен р в одной лорен-новой системе, он может иметь некоторую антипараллельную проекцию в другой системе. Однако для частиц с нулевой массой это описание инвариантно. Можно различать нейтрино и антинейтрино по знаку ст р. В этом случае вектор спина частицы, которую мы называем антинейтрино, параллелен вектору импульса, а спин нейтрино — антипараллелен импульсу. Доказательство этого факта будет дано ниже; здесь же мы рассмотрим несколько подробнее его значение.
Спин представляет собой вектор момента количества движения, связанного с вращением, и направление таких векторов меняется на обратное при переходе от левой системы отсчета к правой. Наше утверждение, что антинейтрино имеет спин, параллельный импульсу, верно в правой системе координат, в левой же системе спин и импульс были бы анти-параллельны. Если бы в структуре атомов и ядер не оказалось никаких особенностей, связанных с отличием между правой системой отсчета и левой, то выбор системы был бы безразличен, ни один физический результат
*) Включение буквы «р» в слово «позитрон» не имеет этимологического основания. Греческое окончание существительных среднего рода «он», а не «рон». Но, поскольку прилагательное «positive» произошло ие от греческого корня, это слово во всяком случае является гибридом и поэтому разумно использовать форму, принятую большинством физиков. Кстати, слово «нейтрино» — итальянское и означает «маленький нейтральный».
г) См. статью В. Паули «К старой и новой истории нейтрино» в сборнике «Теоретическая физика XX века», посвященном памяти В. Паули, ИЛ, 1962.— Прим. ред.
з) Взаимодействия, ответственные за 0- и р-распады, принято называть слабыми взаимодействиям и.
Бета-радиоактивность
343
не зависел бы от него. Как мы отметили в гл. 2, благодаря этой инвариантности квантовым состояниям свойственна определенная четность. В отсутствие такой инвариантности волновые функции не должны обладать определенной четностью и прн отражении осей меняются совершенно произвольно. Если при этом система в некоторый момент времени находилась в состоянии с определенной четностью, то она не обязана сохранять ее в следующие моменты. Четность не должна была бы сохраняться.
Если выбор осей безразличен, то знак проекции вектора спина не может иметь фундаментального значения. Следовательно, нейтрино, испущенные в данном p-распаде, должны были бы с одинаковой вероятностью иметь спин, антипараллельный и параллельный импульсу. Утверждение, что «спин антинейтрино параллелен импульсу в правой системе координат», означает, что антинейтрино способно различать направления вращения. Образно говоря, нейтрино умеет отличать винт с правой резьбой от винта с левой резьбой. Интуитивно трудно было бы ожидать подобного свойства у стать явно элементарной и поэтому предположительно простой частицы, но это экспериментальный факт. Следовательно, во внутриатомной области существует что-то, что способно отличать правую систему от левой и физически важно, какая система отсчета принята при описании систем, взаимодействующих с различными нейтрино’). Более того, четность таких систем не сохраняется.
Вместо того чтобы говорить о правом или левом нейтрино, принято говорить об их спиральности, определяемой как ст р/р. Выше мы использовали спиральность как свойство, отличающее нейтрино от антинейтрино (значение— 1 мы приписали нейтрино). Наша картина вполне возможна, но решительных доказательств ее мы не имеем. Так или иначе сделанное выше утверждение о том, что спиральность лоренц-инварнанта, означает, что мы можем с полным основанием говорить о правом и левом нейтрино. Если два нейтрино с противоположными спиральностями не являются частицей и античастицей, то в принципе было бы возможно перевести правое нейтрино в левое, либо изменяя направление его импульса, либо поворачивая его спин. Поскольку мы не знаем, как осуществить ни первый способ, ни второй, мы вправе считать спиральность нейтрино фиксированной. Будем пользоваться символами vr и уг, для обозначения правого и левого нейтрино, a v и v — нейтрино и антинейтрино. Возможно, что = v, vR = -v или что и vr и vb представляют собой нейтрино и что нет разницы между v и v; возможно также, что между v и v имеется различие, но оба они могут иметь и ту и другую спиральность. Первая и вторая возможности наиболее просты и различие между ними на эксперименте уложить трудно.
Силы, определяющие p-распад, называют слабым взаимодействием,чтобы отличить их от значительно более сильных взаимодействий л-мезонного патя и электромагнитного поля. В свою очередь слабые взаимодействия гораздо сильнее гравитационных. Соответствующие безразмерные константы взаимодействия для этих четырех полей приближенно равны: для л-мезонного поля 10; для электромагнитного поля ’/137; для слабых взаимодействий 10 2:,;для гравитационного поля 10’4S. Все силы в природе, по-видимому, можно описать с помощью этих четырех фундаментальных взаимодействий, но в настоящее время это следует рассматривать как умозрительное заключение. Однако, по-видимому, можно считать достоверным, что точно такое же слабое взаимодействие, которое вызывает p-распад нуклонов
’) В тех случаях, когда это не будет вызывать недоразумений, мы будем часто применять термин «нейтрино» н к нейтрино, и к антинейтрино.
344
Г лава 15
с образованием электронов и нейтрино, ответственно и за [J-процессы с участием р-мезонов. Конечно, масса нейтрона недостаточна для того, чтобы был возможен его распад на протон и мезон, но обратная реакция, при которой отрицательный мезон захватывается протоном с образованием нейтрона и нейтрино, существует. Кроме того, сам мезон распадается, испуская электрон и два нейтрино. Для обоих процессов времена жизни, спектры и другие свойства вполне согласуются с предсказаниями, полученными на основе 0-распадного взаимодействия. То же самое слабое взаимодействие возможно вызывает некоторые распады странных частиц, однако в этой области нужно еще провести много исследований.
Слабое взаимодействие — это взаимодействие между двумя парами фермионов. Хорошо установленными парами являются нейтрон — протон,, электрон — нейтрино и мезон — нейтрино. Известны различные реакции, в которых участвуют по две пары таких частиц, но не все реакции возможны. Было обнаружено, что если предположить, что v ф v, и если как-то определить, какой из двух электронов, двух нейтрино и двух р-мезонов называть частицей, а какой — античастицей, то выполняется закон сохранения числа лептонов. Лептон1) — это обобщенное название для нейтрино, электронов и р-мезонов. Закон сохранения лептонов утверждает, что во всех реакциях число лептонов минус число антнлептонов не меняется. Для электронов мы произвольно определим «негатрон» е~ как частицу, а позитрон е' — как античастицу. Тогда, если справедлив закон сохранения числа лептонов, то нейтрино, испускаемое прн распаде нейтрона, должно быть антинейтрино:
п->р4-е-4~7.
Как было установлено, существуют два различных типа нейтрино: те нейтрино, которые возникают одновременно с р-мезонамн при л-рас-паде не порождают электронов при взаимодействии с нуклонами, но порождают р-мезоны2). Нейтрино этого типа мы обозначаем v'; они— правые частицы. Чтобы удовлетворить требованию сохранения числа лептонов, можно рассматривать р~ как антилептон и писать
л~ —> р_ 4- v', р -*-e“4-v+v'.
Этот способ приписывания лептонного числа следует рассматривать как попыточный.
Закон сохранения числа лептонов можно выразить, приписывая лептонный заряд 4-1 лептонным частицам, заряд—1 лептонным античастицам и заряд 0 — остальным частицам. Тогда лептонный заряд сохраняется во всех реакциях. Существует аналогичный закон сохранения числа нуклонов.
Эти законы были обнаружены опытным путем. С их помощью мы можем выписать возможные реакции, вызываемые слабым взаимодействием между двумя парами частиц. Из этих законов следует, что в то время, как распад п -* р4- е‘4- v возможен, распад п -> р4- е'+ v не должен происходить. В принципе возможно проверить эти предсказания на измерениях с нейтрино, но на практике приходится ограничиваться наблюдениями и над
*) Лептон — греческое слово, означающее «легкий».
2) Этот результат был получен в Брукхейвенской Национальной лаборатории (США) в ряде чрезвычайно трудных экспериментов, описанных Дэнби с сотр. |82], после того, как эта книга вышла в свет.— Прим, автора к русск. изданию.
Пета-радиоактивность
34S
электронами. Разница между указанными реакциями проявляется в поляризации электронного спина.
Как мы покажем ниже, при разрешенных 0-распадах орбитальный момент лептонов равен нулю; при некоторых распадах лептоны уносят одну единицу полного момента, а в некоторых — нуль. При этом ае должен быть соответственно параллелен и антнпараллелсн <rv. Если испускаемые нейтрино всегда одного типа, например vR со спиральностью + 1, то в указанных двух случаях <гв будет соответственно параллельным и антнпараллельным pv (см. фиг. 15.1). Распадам, при которых уносится единица полного момента, свойственны преимущественно противоположные направления испускания электрона и нейтрино; в случае же, когда момент не уносится»
Ф и г. 15.1. Векторы, рассматриваемые в обсуждении 0 -распада с излучением правого нейтрино.
Импульс нейтрино ру обозначен как ч. а р^—импульс отдачи ядра.
эти направления преимущественно параллельны. [Интенсивности пропорциональны 1	(о«/с) cos (е, v). 1 Следовательно, в обоих случаях а,.— спин
электрона ориентируется преимущественно противоположно его импульсу. Другими словами, наблюдения средней спиральности е' и корреляций импульсов приводят к заключению, что при 0“-распаде испускается только один тип нейтрино, имеющий положительную спиральность*). Было также установлено, что прн 0‘-распаде испускается v L. Следовательно, этот эксперимент показывает, что нейтрон распадается по схеме п -► -► р + е" + vB, а если считать, что v и v различны, то этот эксперимент является доказательством существования распада п -> р -J- е~ + v.
Рассуждая аналогично, можно показать, что между тремя парами: нуклонами, электрон — нейтрино, р-мезон — нейтрино возможны следующие реакции:
n-*-p+e“4-v,	(15.1a)
p->n+e++v,	(15.16)
p+e“^±n4-v,	(15.1b)
p+v^n+e +,	(15.1г)
p+v	(15.1Д)
	(15.1e)
+v' -j-v.	(15.1ж)
p.+-»-e+4-v'-f-v,	(15.1з
p-+v'^e~4-V,	(15.1и)
*) Исторически первым экспериментом, указавшим на несохранение четности, было измерение асимметрии числа 0-частиц, испущенных в переднюю и заднюю полусферы по отношению к направлению поляризации 0-актнвных ядер [3).
346
Глава 15
p~+v	(15.1к)
|i+ H-v'^e+4-v,	(15.1л)
|i+4-v’^Z?e'14-v(15.1м)
Первые две реакции представляют собой обычные 0"- и Р‘-распады. Конечно, свободный протон не может распадаться, так как его масса меньше массы свободного нейтрона, но, если оба нуклона находятся в связанном состоянии в ядре, их энергии могут так измениться, что реакция станет возможной. Аналогично реакция (15.1а) может быть запрещена для нейтронов в ядре. В реакциях (15.1в) и (15.1г) /?-t-e"-*-n+vnp-b v->n+ е* полная масса покоя начальных свободных частиц меньше полной массы продуктов реакции. Эти реакции возможны либо, если нуклоны связаны в соответствующих ядрах, либо, если начальный лептон имеет достаточную кинетическую энергию для преодоления неблагоприятного энергетического баланса. Сечения таких реакций для пучка е~ или антинейтрино, падающих на протоны, очень малы. Однако обе реакции наблюдались.
Реакция (15.1г) была обнаружена Рейнесом и Кованом с помощью изящного и точного эксперимента, в котором нейтрино из ядерного реактора рассеивались на атомах водорода в растворе органического сцинтиллятора. Поглощение нейтрино характеризуется двумя вспышками в сцинтилляторе, одна из которых вызывается излучением при аннигиляции позитрона, а другая — реакцией (п, у), происходящей при захвате нейтрона. Позитронная вспышка происходит за 5 мксек до нейтронной, и поглощение нейтрино определяется с помощью схемы совпадений с линией задержки. Из-за малого сечения процесса потребовались несколько сот литров сцинтиллятора и около сотни фотоумножителей. Для сечения реакции p4-v->n+e+ было получено значение (11 ± 4)-10’44 смг [4, 51. Такой же прямой эксперимент послужил доказательством того, что нейтрино в реакциях (15.1в) и (15.1г) различны: действительно 0-распады в реакторе происходят в основном с испусканием е~ и поэтому в результате образуются vK (согласно нашей теории антинейтрино). Дейвис [6, 71)] поместил окаю четырех тысяч литров четыреххлорнстого углерода у реактора и наблюдал рождение Аг37 в реакции
??С137 + нейтрино -► «Аг37 + е~,
в которой нейтрон переходит в протон. Ядро Аг37 является Реактивным, и его присутствие обнаруживается по продуктам его распада. Дейвис обнаружил только (0,3 ± 3,4) отсчетов с Аг37 в день. Если рассматривать этот результат как отличный от нуля, то его можно приписать реакции типа (15.1д), вызываемой мезонами космических лучей:
C374-p+->Ar37-t-v'?
Если даже не использовать указанное объяснение, то полученный результат дает сечение в 103 раз меньшее, чем найденное Рейнесом и Кованом для захвата v протонами. Этот результат дает важное доказательство того, что существует два типа нейтрино или по крайней мере, что нейтрино, рожденные в реакторе, не могут вызвать нейтронный распад, хотя они и вызывают распад протона. Этот эксперимент согласуется с тем, что v = vl.
*) Некоторые сведения Р. Дейвис сообщил автору также в частной переписке в 1957 г.
Бета-радиоактивность
347
v == vR, но требует, чтобы протоны захватывали только vr, а нейтроны только V/.. Было бы желательно завершить это доказательство, облучая С137 потоком нейтрино, образующихся при Р'-распаде. К сожалению, почти единственным источником таких нейтрино является Солнце, вследствие чего этот эксперимент связан с большими затруднениями.
Попытку наблюдать реакцию (15.1в) р + е~	с помощью элек-
тронов энергии 1 Мэв предпринял Саксон 181. Ему удалось лишь определить верхнюю границу сечения. Однако эта реакция происходит во многих ядрах естественным путем при захвате орбитальных электронов. Атомный электрон постоянно находится в атоме, и если реакция энергетически возможна, то как бы ни было мало сечение захвата при столкновении электрона с протоном, она в конце концов происходит при условии, что волновая функция электрона отлична от нуля вблизи ядра, чтобы имело место слабое взаимодействие между электроном и протонами. Полная энергия начального состояния равна просто массе атома М (A, Z); энергия конечного состояния равна энергии испущенного нейтрино и конечного атома (A, Z — 1). Хотя конечный атом нейтрален, так как один электрон поглотился, все же крайне маловероятно, что электронное облако этого атома перейдет в новое основное состояние одновременно с захватом электрона. Предположим, что захватывается электрон с внутренней оболочки, например с /(-оболочки. Тогда наиболее вероятно, что конечный атом будет сначала иметь дырку в /(-оболочке и лишний электрон в последней заполненной оболочке. Все электронные оболочки должны теперь перестроиться в соответствии с несколько изменившимся зарядом ядра, и, что более существенно, дырка в /(-оболочке должна быть заполнена электроном с более высокого уровня, что поведет к испусканию рентгеновских лучей или электронов Оже. Именно по эмиссии рентгеновских лучей дочерним элементом легче всего установить факт захвата электрона. Мы видим, таким образом, что энергия конечного состояния равна
EV4-A1(A, Z— 1)?+Вк— Вх,
где Вк — энергия связи /(-электрона дочернего атома, а Вх — та же величина для последней замкнутой оболочки. Обычно энергия Вх пренебрежимо мала по сравнению с Вх и мы получаем
EV=[M(A, Z)—М(А, Z-l)]c2-Вк.	(15.2)
В предположении, что нейтрино имеет нулевую массу, для /(-захвата должно удовлетворяться соотношение
[M(A, Z) —Л1(А, Z— 1)]сг=Д^Вк.	(15.3)
Если А меньше Br, но больше В L, то /(-электроны не могут быть захвачены, а L-электроны могут. Если А положительна, но меньше Вх, то возможен захват электрона сразу с переходом в основное состояние конечного атома, но такой процесс будет иметь чрезвычайно большой период полураспада; более того, вообще маловероятно, что такие ядра существуют в природе.
Наблюдения показывают, что с заметной вероятностью захватываются только электроны с I = 0. Такие электроны имеют отличное от нуля значение волновой функции в области ядра. Далее отношение вероятностей L- и /(-захвата непосредственно связано с относительной плотностью вероятности нахождения в ядре К- и L-электронов. Это означает, что для существования слабого взаимодействия между электроном и протоном они должны очень близко подойти друг к другу: радиус слабого взаимодействия очень
348
Глава 15
мал — во всяком случае, он не превышает ядерных размеров. Действительно, все теоретические расчеты выполняются в предположении «контактного» взаимодействия, т. е. нулевого радиуса, и это согласуется с экспериментом.
Энергетические соотношения для Р’-распада аналогичны приведенным выше. Хотя захват испущенного электрона на орбиту дочернего атома принципиально возможен, вероятность такого процесса очень мала. Для обычных p'-распадов изменение энергии связи электронов пренебрежимо мало, и кинетическая энергия, приходящаяся на электрон и нейтрино, равна
[М(Л, Z)—М(А, Z+ 1)]с2=Д.
Обычно обозначение используется для полной энергии электрона и нейтрино с учетом массы покоя электрона:
№7 —тс2=Д.	(15.4)
В случае позитронного распада конечный атом имеет на один электрон меньше начального, так что в результате реакции мы получаем дочерний атом, электрон, позитрон и нейтрино. Пренебрегая снова изменением энергии связи электронов, найдем кинетическую энергию, приходящуюся на позитрон и нейтрино:
[/И (A, Z) —/И (A, Z—1)1 с2— 2т? = Д — 2тс\	(15.5)
W'o — тс2 = Д—2тсг.
Выражения (15.3) и (15.4) показывают, что для обеспечения стабильности относительно 0-распада масса ядра должна быть меньше масс двух соседних к ядру изобаров. Если масса превышает таковую для ядра с Z — 1 менее чем на В ь, то период полураспада окажется чрезвычайно большим. Если ядро нестабильно относительно 0*-распада, то оно будет также распадаться посредством /(-захвата. Для достаточно тяжелых ядер возможны все три процесса: 0-, 0*- и K-захват; примерами таких ядер могут служить Cl30, As’®.
Выше мы обсудили стабильность относительно единичного 0-процесса. Процесс второго порядка, известный под названием двойного 0-распада, всегда энергетически возможен для одного из ядер любой пары изобар, отличающихся по заряду на две единицы. Если при этом более тяжелым оказывается ядро с меньшим Z, то оно может распадаться посредством двойного 0'-распада; если же более тяжелым оказывается ядро с большим Z, то оно может распадаться посредством двойного электронного захвата, или (если разность масс достаточна) — посредством одного электронного захвата и одного 0*-распада, или двойного 0*-распада. Мы, конечно, не говорим о двухступенчатых процессах: так, например, Те130 распадается непосредственно в Хе130 посредством двойного 0-распада, а не через переход Те130	J130	Хе130, так как J130 тяжелее, чем Те130 и Xе - Конечно,
когда возможен единичный 0-распад, было бы чрезвычайно трудно обнаружить двойной 0-распад. Поэтому двойной 0-распад представляет интерес лишь в тех случаях, когда оба рассматриваемых изобара стабильны относительно единичного 0-распада, а так как период полураспада для двойного 0-распада составляет по меныпей мере 101® лет, можно сказать, что он представляет интерес лишь для пар стабильных изобаров. Существует 58 таких пар, причем все они относятся к четно-четным ядрам. Известен только один достоверный случай двойного 0-распада: в рудах, содержащих теллур, с помощью масс-спектрометра обнаружен Хе*30 19]. Оценка периода полураспада Те130 дает ~1021 лет. В многочисленных других случаях опре
Бета-радиоактивность
349
делены нижние пределы для периодов полураспада. Вот некоторые из наиболее тщательно изученных случаев:
x(Sn1M) > 3-1017 лет, т(Са18) > 6- 10,в лет и
x(Nd1M) > 2- 1018 лет, т(1Р38) > 6-1018 лет.
Остальные нижние пределы лежат между 101в и 1017 лет.
Результаты по двойному p-распаду подтверждают, что имеется два различных типа нейтрино, испускаемых или поглощаемых нейтронами. Можно представить себе два возможных процесса:
zXA^z+2XA + 2e’-r2v)	(15.6а)
и
zXA->z+2XA + 2e~?	(15.66)
В теории 0-распада двойной распад рассчитывается как возмущение второго порядка. При переходе в виртуальное промежуточное состояние испускаются один электрон и одно нейтрино, а при переходе в конечное состояние должен быть излучен еще один электрон; при этом либо испускается еще одно нейтрино, либо поглощается нейтрино, испущенное при переходе в виртуальное состояние. Символически это можно представить следующим образом:
Л|+Пг-►Pi + Cj + Vt + Пг-*-Pi + Рг +	-{-ег 4-V14-V1,
или
nl + n2-»-pi + «r +v14-n2->-pi + er + рг+в2.
При втором процессе нарушается закон сохранения лептонного заряда, поэтому он возможен только при условии, что нейтрино, испущенные в процессе п -*• р 4- е-\- v, смогут участвовать во второй стадии перехода, переходя вместе с нейтроном в протон и е~. В рамках теории р-распада, которую мы изложим ниже, сравнительно нетрудно показать, что если второй процесс возможен, то он значительно более вероятен, чем первый. Расчет показывает [10, 11], что при энергии 3 /Изе испускание двух нейтрино имеет период полураспада 102* лет или более, тогда как период полураспада для двойного p-распада без испускания нейтрино должен быть равен всего 1017—1018 лет.	\
Экспериментальные данные говорят в пользу более медленного процесса; это означает либо, что нейтрино и антинейтрино не идентичны1), либо, что только vn испускаются и только v L поглощаются. Различить два процесса можно, измеряя не только разницу во временах жизни, но и энергию электронов. В том и в другом случаях энергия отдачи нуклонов мала, так что во втором случае на два электрона приходится почти вся энергия распада, тогда как в первом случае электроны делят свою энергию с нейтрино. Энергия распределяется между частицами неоднозначно; нейтрино могут иметь любую энергию от нуля до некоторого значения, равного полной энергии минус масса покоя электронов; благодаря этому непрерывный спектр полной энергии электронов оказывается непрерывным. Таким образом, изучение двойного p-распада имело бы значительно более надежную основу, если бы удалось наблюдать электроны и измерять их энергии, тем самым непосредственно обнаруживая процесс и одновременно подтверждая его механизм.
*) Гипотеза v = v связана с именем Майораны [12|.
I
350	Глава 15
В этом параграфе, мы представили 0-распад как процесс, прн котором испускаются электрон и нейтрино, н описали в общих чертах некоторые эксперименты, позволившие обнаружить нейтрино и определить его свойства. Конечно, попытки объяснить спектры электронов привели к предположению о существовании нейтрино задолго до того, как были получены прямые доказательства его существования. Давно установлено, что даже если распад происходит с единственного ядерного уровня (обычно основного состояния) на единственный уровень дочернего ядра, электроны тем не менее имеют сплошной энергетический спектр, т. е. энергия, с которой они испускаются, изменяется от случая к случаю и с определенной вероятностью принимает все значения от тс1 до фиксированного максимума. Эта максимальная энергия равна разности энергий ядерных состояний, так что, казалось бы, закон сохранения энергии выполняется только в небольшом числе случаев — для электронов с максимальной энергией. Калориметрические измерения показали, что никакая другая радиация, способная поглощаться в «значительном» количестве вещества, не уносит излишнюю энергию; что бы ее ни уносило — оно имеет весьма малое сечение поглощения. Кроме того, поскольку при 0-процессах число нуклонов не изменяется, спин ядра должен оставаться либо целым, если А четное, либо полуцелым, если А нечетное. С другой стороны, полный мрмент электрона равен полуцелому числу. Поэтому с точки зрения сохранения момента при таких процессах должны испускаться некоторыедругиечастпцысосппном Уг. На основании этих соображений и было постулировано существование нейтрино. В некоторых случаях, когда оказалось возможным измерять отдачу ядер, было установлено также, что гипотеза о нейтрино необходима для выполнения закона сохранения полного импульса. Эти факты сами по себе убедительно свидетельствовали в пользу существования нейтрино, а прямой эксперимент Рейнеса и Кована по обнаружению нейтрино дал окончательное тому доказательство.
Прежде чем перейти к обсуждению формальной теории, следует отметить, что многие факты подтверждают, что 0-частицы являются электронами. Один из наиболее прямых опытов состоит в детектировании рентгеновских лучей при поглощении отрицательных 0-частнц в твердом теле. Если бы эти частицы небыли электронами, то они захватывались бы ядрами на внешние атомные орбиты и спускались бы в основное состояние с излучением рентгеновски^ квантов (как это происходит с отрицательными мезонами). Если же они являются электронами, то принцип Паули не позволяет им занимать состояния, уже занятые атомными электронами, и никаких рентгеновских лучей наблюдаться не будет. Эксперимент, приведший к такому отрицательному результату, был впервые произведен Гольдхабе-ром и Шарф-Гольдхабер [131. Другие опыты подтвердили, что в/(-захвате участвуют обычные электроны и что положительные 0-частицы аннигилируют с атомными электронами как позитроны.
§ 2. Теория 0-распада
Как и другие явления, сопряженные с рождением и поглощением частиц, 0-распад можно исчерпывающим образом описать лишь с помощью квантовой теории поля. Не все читатели, для которых предназначена эта книга, знакомы с теорией поля, но, к счастью, достаточно убедительное изложение теории 0-распада можно построить и на более простой основе подобно тому, как при объяснении процессов с участием фотонов можно
Бета-радиоактивность	351
довольно широко опираться лишь на эвристические аргументы, без подробных ссылок на квантовую электродинамику. Конечно, такого рода простое изложение ни в коей мере нельзя считать полным, и у проницательного читателя возникнет ряд вопросов, удовлетворительный ответ на которые может дать лишь квантовая теория поля. Этот параграф посвящен упрощенной теории.
Лептоны, испускаемые при 0-распаде, движутся очень быстро: нейтрино нс имеет массы н распространяется со скоростью света, а электроны в большинстве несут энергию, в несколько раз превышающую их массу покоя, так что их скорость тоже близка к скорости света. Следовательно, теория 0-распада нуждается еще в одном аппарате — именно в формализме, позволяющем описать релятивистские фермионы. Эту теорию впервые сформулировал Дирак для электронов. Невозможно описать 0-распад без ссылок на теорию Дирака, но мы попытались построить этот параграф так, чтобы студенты, не знакомые с уравнением Дирака, могли проследить общую логику изложения*).
Можно обойтись без некоторых теоретико-полевых приемов, используя дырочную теорию Дирака. Уравнение Дирака имеет решения с отрицательной энергией. Чтобы обойти эту трудность, Дирак предложил рассматривать вакуум как состояние, в котором каждое состояние с отрицательной энергией имеет один электрон, причем это «морс» электронов не наблюдаемо. Однако отсутствие частиц в этом море можно наблюдать: если имеется дырка — незанятое состояние с энергией —Е и импульсом —р, то оно регистрируется как частица с положительным зарядом, энергией Е и импульсом р. Другими словами, позитрон описывается не как отдельная частица, а как дырка в море электронов отрицательной энергии. В качестве примера использования этого представления возьмем рождение пары: оно происходит, когда фотон передает энергию электрону с отрицательной энергией, переводя его в состояние с положительной энергией. В конечном состоянии мы наблюдаем обычный электрон с положительной энергией и позитрон, соответствующий образовавшейся дырке. Как было показано, дырочная теория позволяет для многих задач получить те же результаты, что и более строгая теория поля. Она применима к любому фермиону, удовлетворяющему уравнению Дирака или аналогичному уравнению. В частности, нейтрино описывается уравнением Дирака с е = 0 и т = 0, а антинейтрино можно рассматривать как дырки в море нейтрино отрицательных энергий.
Относительно простейшего 0-распада, п -* р 4- е~ 4* v, можно говорить, что в начальном состоянии имеется нейтрон и полностью заполненное море нейтрино отрицательных энергий. Конечное состояние образуют протон, электрон с положительной энергией и дырка в море нейтрино. Море электронов заполнено в обоих состояниях полностью и не изменяется прн переходе из начального в конечное. Другими словами, при этом процессе порождается электрон с положительной энергией и поглощается нейтрино с отрицательной энергией. Аналогично, прн процессе р -> п + е* 4- v поглощается электрон с отрицательной энергией и порождается нейтрино с положительной энергией. Прн электронном захвате поглощается электрон с положительной энергией и порождается нейтрино с положительной энергией. Таким образом, все 0-процессы представляются как поглощение одной частицы и рождение другой. Если не предполагать сохранения лептонного заряда, то эту картину следует несколько видоизменить.
*) Теория Дирака излагается в приложении АЗ.
352
Глава 15
Взаимодействие при p-распадс вызывает переход из начальных состояний в конечные, а поскольку оно очень слабо, подходящим методом вычисления вероятности перехода может служить теория возмущений. Этот метод требует вычисления матричного элемента энергии слабого взаимодействия между начальным и конечным состояниями. Уже исходя из самых общих положений, можно довольно много узнать о форме взаимодействия. Будет удобнее рассмотреть конкретный случай — распад нейтрона. В начальном состоянии мы имеем нейтрон и нейтрино с отрицательной энергией. Обозначим их функции соответственно 4rj и Соответственно пусть функции конечного состояния будут Фу для нуклона (протонное состояние) и ф/ для электрона (состояние электрона с положительной энергией). Получаем матричные элементы вида
(Ф/Ф/1 слабое взаимодействие |
Слабое взаимодействие должно, очевидно, иметь часть, зависящую от нуклонных переменных, и часть, зависящую от лептонных переменных. Кроме всего прочего, в него должен входить оператор, преобразующий нейтрон в протон, именно действующий в изотопическом пространстве оператор т+ = Tj+ iT2 [см. (1.4)]. Для лептонов нет соответствующего нзопростран-ства, но формально можно ввести оператор и приписать ему способность преобразовывать нейтрино в электрон. Операторы, эрмитово сопряженные приведенным, т. е. т_ и т^, переводят протон в нейтрон и электрон в нейтрино. Другим свойством, которое должно быть отражено в теории, является зависимость силы взаимодействия от расстояния между нуклоном и лептоном. Мы приводили аргументы в пользу того, что радиус действия этих сил очень мал; современная теория фактически исходит из представления, что это взаимодействие носит контактный характер1), что мы выразим введением множителя б (г — гь), где г и гь — радиус-векторы нуклона и лептона. Кроме этих очевидных факторов, взаимодействие может содержать другие операторы, действующие на нуклонные и лептонные волновые функции. Обозначая эти операторы О и ОL, мы находим, что член в гамильтониане, описывающий слабое взаимодействие и входящий в матричные элементы переходов, имеет вид
Н> = (00^+4 + 0‘Oir-r^ 6 (г—rL).	(15.7)
торой член эрмитово сопряжен первому; его учет необходим, поскольку гамильтониан должен быть действительным. Мы видели, что первый член определяет Р'-распад, а второй — p’-распад и электронный захват, поскольку т_ переводит протон в нейтрон, а т^ переводит электрон в нейтрино, и, следовательно, т_Т" имеет матричные элементы вида (Ф*ф* | //р | Фр|>|) между начальным состоянием, содержащим протон (ФО и электрон (фО, и конечным состоянием с нейтроном (Ф/) и нейтрино (<p,). Если начальное состояние ф( представляет связанный в атоме электрон, который переходит в нейтрино, то матричный элемент описывает /(-захват, а если ф< представляет электрон с отрицательной энергией, то в конечном состоянии мы получаем дырку в море электронов, которая соответствует испусканию позитрона.
1)’ Выдвигалась идея о том, что взаимодействие нуклонов и лептонов происходит не непосредственно, а слабое взаимодействие осуществляется через посредство взаимодействия этих частиц с промежуточным бозоном. В этом случае слабое взаимодействие должно иметь конечный радиус, примерно 10"и с.н соответственно массе бозона. Прямых доказательств или опровержений этого предположения пока по сути дела не существует.
Бета-радиоактивность
353
Какую форму имеют операторы О и О L? Экспериментальное выяснение этого вопроса составляло главную проблему теории 0-распада в течение двадцати пяти лет, последовавших за тем, как Ферми впервые сформулировал теорию в 1934 г. 1141. Весьма четкие ограничения можно усмотреть из законов сохранения. Если придерживаться того, что в этой области правомерна специальная теория относительности, в частности сохранение импульса и момента, то теория должна быть инвариантна относительно преобразований Лоренца, включающих трансляции и повороты осей. Если далее для простоты исключить зависимость взаимодействия от скоростей1), то, как можно показать, возможны лишь пять существенно различных форм для комбинаций О и О L [15]. Это объясняется тем, что энергия взаимодействия Лр нс должна зависеть от выбора конкретной координатной системы, отвлекаясь, правда, от того факта, что //р может различаться по форме в правой и левой системах, поскольку нейтрино обладает спиральностью. Скаляр есть величина, инвариантная при любом изменении координатных осей, псевдоскаляр — величина, меняющая знак при переходе от правой системы к левой и наоборот, а при всяких других преобразованиях инвариантная. Ясно, что Нр должен быть линейной комбинацией скаляра и псевдоскаляра. Скаляры и псевдоскаляры можно построить с помощью лептонных и нуклонных волновых функций только пятью способами. Эти волновые функции представляют собой чстырехкомпонентные’спиноры:
(Ф1 \ ф2 | Фз Г
Ф4 /
Компоненты спинора соответствуют, грубо говоря, двум спиновым состояниям и двум энергетическим состояниям, возможным для фермиона. Две такие волновые функции можно перемножить с любой 4 х 4-матрицей Л4; в результате получается число (<р*Л4ф). Все 4 х 4-матрицы можно представить в виде произведений или сумм пяти независимых матриц. Обычно пользуются двумя различными наборами матриц: один из них обозначают «(=0!, а2, а3), 0, 1, а другой—уь у», Уз, У4, 1. Эти дираковские матрицы рассматриваются в любом курсе релятивистской квантовой механики; их явный вид приведен в приложении А. Важную рать играет матрица, представляющая собой произведение у6 = У1у2у3у4 = - —ta|a2a3; она связана с определением четности. Кроме того, отметим еще три произведения а = ау&, которые служат 4 х 4-обобщением операторов спина, имеющих вид 2 х 2-матриц Паули.
Можно показать, что при любом выборе двух четырехкомпонентных 'волновых функций <р и ф величина <р*у4ф ведет себя при преобразованиях Лоренца как скаляр, а величина <р*У4\5ф — как псевдоскаляр. Следовательно, операторы О и 0L в гамильтониане Нр могли бы иметь вид О = у4 и 0L = Cy44-C'ytys, так как в этом случае (Х1Г*ОЧГ<) (ф*Оьф/) представляло бы собой сумму скаляра и псевдоскаляра. Мы записали ф, и ф> для на
*) В 1935—1936 гг. думали, что эксперимент невозможно объяснить без учета членов, зависящих от скоростей. Была развита теория, содержащая такие члены. Так как эта теория стала противоречить последующим более тщательным экспериментам, мы вправе исключить зависимость от скорости на более веском основании, чем соображения <простоты». Конечно, окончательный результат зависит от импульсов частиц, поскольку от них зависят волновые функции; мы полагаем только, что от импульса не зависит сила взаимодействия.
23 Заказ № 37
354
Глава 15
чального и конечного состояний лептона, имея в виду, что каждое из этих состояний может относиться к электрону или нейтрино. Аналогично, Чг, и Чг/ являются нуклонными волновыми функциями. Другая возможная форма для Др получится, если положить О = y*Ys и 0L = Cyc's4- С'у4, где значения констант С и С могут быть, вообще говоря, различными. Первую форму называют скалярным взаимодействием, так как нуклонный матричный элемент оказывается скаляром, а вторую — псевдоскалярным взаимодействием. Постоянные С и С представляют собой константы связи, определяющие силу взаимодействия. Обозначения выбраны так, что члены в матричных элементах, содержащих С, представляют собой скаляры, а члены с С' — псевдоскаляры.
Существуют, однако, и другие способы построения /7Р. Четыре величины (ф^УиФ) (где <р+ означает ф*у4) образуют 4-вектор. Скалярное произведение двух таких векторов является, конечно, инвариантом, и, следовательно, комбинация операторов О и 0ь дает 2	(ФЬ’нФ;)-
в
В результате получается скалярный матричный элемент. Чтобы получить псевдоскаляр, нужно умножить вектор на псевдовектор. Псевдовектор представляет собой набор четырех величин, которые преобразуются как компоненты вектора при всех преобразованиях, кроме отражения пространственных осей относительно начала координат. Если изменить направления этих осей на обратные, то компоненты обычного вектора меняют знак, компоненты же псевдовсктора знака не меняют. Следовательно, «скалярное» произведение вектора на псевдовектор дает псевдоскаляр. Пседовектор, который можно образовать из двух дираковских волновых функций, имеет вид (ф^УцУ-,ф). Следовательно, матрицу взаимодействия можно записать в виде
в
Это взаимодействие называют векторным взаимодействием.
Другое возможное взаимодействие — это псевдовекторное взаимодействие; для него матричный элемент имеет вид
(^YhY^J^ICv^+C'yJ^).
Псевдовекторное взаимодействие чаще называют аксиально-векторным взаимодействием. Термин «аксиальный вектор» старше и раньше использовался для обозначения векторных произведений Л X В обычных трехмерных векторов (такие произведения не меняют знак при отражении осей). Очень важный класс аксиальных векторов образуют моменты.
Пятая и последняя возможность образовать скаляр для слабого взаимодействия вытекает из того факта, что 16 величин (фЛ’цТу’Г) образуют тензор ранга два. Следовательно, 2 (^IybYv^O (’I’/YbYv’W есть скаляр; можно H.V
также показать, что 2 (’PJYnYv'Pi) (WYbYvYs’I’/) — псевдоскаляр. Таким образом, тензорное взаимодействие имеет вид
2 СР/YgYv'P.) (Ф7 I CymYv + C'YgYvYs I ФО-В. v
Этим исчерпываются все возможные взаимодействия. Не существует «псевдотензорного» взаимодействия^ так как 16 величин YbYvYs представляют собой те же 16 величин, что и YhYv. только расположенные в другом порядке, например yiYaYs = YtYs-
Бета-радиоактивность	355
Нет оснований считать, что эти пять взаимодействий не могут комбинироваться; отсюда мы заключаем, что наиболее общая форма матричного элемента взаимодействия может быть формально записана как
(Wider- rL) 2ЮЯ/+ {Ок (Ск + С;у5)}/Л+ . к
+ Эрмитово сопряженная часть! I Чг,ф,).	(15.8)
Индекс L означает, что операторы действуют на лептонные функции. Индекс К принимает пять значений S, V, Т, А, Р, соответствующих скалярному, векторному, тензорному, аксиально-векторному и псевдоскалярному членам. Константы связи различны для каждого типа взаимодействий. Отметим, что t± = %т±. Произведение Ок {0Л}ъ носит символический характер: его следует понимать в зависимости от вида взаимодействия либо как обычное произведение, либо как скалярное произведение. Величины Ок можно выразить и с помощью матриц у и с помощью других матриц а, р и ст. Матрицы у более удобны при анализе общих проблем и в применении к релятивистским частицам, но поскольку нуклоны в ядрах движутся с нерелятивистскими скоростями и, кроме того, мы так или иначе не располагаем релятивистской теорией нуклонов, более желательно выражать Ок с помощью a, {J и о. В нерелятивистском пределе ст переходит в оператор спина, Р стремится к —1, а са имеет смысл оператора скорости. В табл. 15.1 даны выражения для Од{Ок}(, с обычно принятыми знаками.
Таблица 15.1
ПЯТЬ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ В-ВЗАНМОДЕИСТВИИ 0K{Oh-}f
к
S
V
Т
Я
у-обозначсння
(а, р, (^-обозначения
Yi 1yJl 2 W {Y-iYiil^
— У 2 Y4Yi.Yvh4Yi.Yvl,, U v
— S YiVnYslYh’iiVilt
P<PL l(lk.-a(alt
рст ф<т},.+ Р« (ра)
CTlCTli—Vs(Vs)
Р
YiYs(YsYslj,
PYdPYs}
Существует другой, более поучительный способ записи выражения (15.8). Оператор у4 обладает именно тем свойством, что он различает состояния с различной спиральностью. Если фч и ф. — две волновые функции, описывающие два состояния, в которых частица с нулевой массой и положительной энергией имеет противоположные спиральности ±1, то
у5ф±=Тф±,	(15.9)
Следовательно, мы можем определить операторы Л± = 2 ''= (I уа), имеющие следующие важные, свойства1):
Л+ф+ = ]/2ф+, Л+ф- = 0,
(15.10)
Л-Ф+ = 0,	Л-ф- = |z 2 Ф-.
1) Введение здесь и далее множителей рг2 продиктовано установившейся традицией обозначения констант связи.
23*
356
Глава 15
Выражение Сд- + С'ку6, появляющееся в (15.8), можно переписать иначе:
СК1{Х+ + СКЬЛ-,	(15.11)
где
V2 CKR~ Ск — Ск и 1/2 CKL = Ск + Ск.
Теперь мы видим, что (15.8) содержит возможность испускания или поглощения нейтрино любой спиральности. Предположим, что мы рассматриваем (V-распад, в котором ф, описывает нейтрино с отрицательной, т. е. левой спиральностью. Тогда член Сд-дЛ,. не будет давать вклада в матричный элемент, а член СкгЛ_ сможет иметь конечную величину. При испускании правого нейтрино имеет место обратная ситуация.
Обращаясь к вопросу об испускании антинейтрино, мы должны отметить другое свойство функций ф4. Предположим, что ф_ (Е, q) описывает нейтрино с положительной энергией Е, импульсом q и спиральностью —1. Тогда, как нетрудно непосредственно убедиться1), спиральность таких нейтрино в состояниях с отрицательной энергией противоположна, т. е. оператор спиральности ар = —diagrad имеет различные значения в этих двух состояниях:
срф_(Е, q) = — qty_(E, q),	(15.12а)
ар<|)_(— Е,—ч) = <?ф-(—Е,—q).	(15.126)
Антинейтрино с энергией Е, импульсом q и средним значением спина s следует толковать как отсутствие частицы с энергией —Е, импульсом —q и средним значением спина —s в море нейтрино отрицательных энергий. Как показывает (15.126), спины нейтрино с отрицательной энергией параллельны их импульсам, т. е. —s параллелен —q. Следовательно, спиральность антинейтрино противоположна спиральности нейтрино.
Если допустить, что в р-взаимодействпн могут принимать участие оба оператора Л4 и Л_, то получится теория, допускающая испускание как правых, так и левых нейтрино, а также правых и левых антинейтрино.
Однако если полагать, что справедлив закон сохранения лептонного заряда, то из описанных выше в этой главе экспериментов должно следовать, что испускаются только левые нейтрино и правые антинейтрино. Следовательно, константа СКц должна быть равна нулю, а во взаимодействии должен остаться лишь член с СддЛ-. В этом случае Ск = С‘к и взаимодействие, меняющее четность, совпадает со взаимодействием, сохраняющим четность — ситуация, которую иногда называют максимальным несохраненпем четности2). Матричный элемент (15.8) тогда запишется в виде
(Y/|>J|6(r—Q.) 2Ел. 0л-/+ (ОкЛ_}//+ + сопряж. |'К(%).	(15.13)
к
Мы использовали константу связи gK, определив ее как
ёч-Ск1=СкУ2.	(15.14)
хотя более общее определение имеет вид
gl = |СК |2-г|С;Г = у1|Скь + СКВ|2+|СК£-СКЯ|21.	(15.15)
1) Мы замечаем, что гамильтониан для нейтрино //, = а р = ару5.
2) Эту идею впервые выдвинули Ли и Янг 116|.
Бета-радиоактивность
357
До сих пор мы считали 'К,- и Т/ волновыми функциями нуклона, т. е. подразумевали, что имеется только один нуклон. Переходя к описанию распада целого ядра, мы просто будем считать V волновой функцией ядра и заменим б (г — Г/,) OKt + на
S б(п— rL)0/f(/+, i=l
т. е. учтем возможность распада любого нуклона.
Мы уже значительно упростили общее взаимодействие, используя тот экспериментальный факт, что нейтрино в p-распаде имеют левую спиральность. К дальнейшему упрощению приводит учет того, что испущенные электроны имеют преимущественно левую, а позитроны — правую спиральность. Рассмотрим лептонную часть матричного элемента (15.13), а именно (ф?|ОкЛ_/£| ф()- Опираясь на тождество yj = 1 и на тот факт, что у5 антикоммутирует с другими у, заметим, что
Л1 = У2Л-	(15.16)
и что для операторов Ок, которые содержат нечетное число других матриц у, справедливо соотношение
ОКЛ- = Л+ОК,	K = S, Т, Р,	(15.17а)
а для операторов с четным числом других у — соотношение ОКЬ- = Л-ОК, K=V, А.	(15.176)
Теперь мы можем переписать Од-Л- в виде 2_,/гОлЛ!; в результате убедимся, что
2 0g т. рЛ.- — т, рЛ—,
(15.18а)
Д/2 Оу' дЛ— — ]\_Оуг дЛ—.
(15.186)
Последнее из этих уравнений показывает, что Л_ действует как на начальную, так и на конечную лептонные волновые функции. Мы уже отмечали, что Л_, действуя на состояния с правым нейтрино, дает нуль, так что в процессе Р-распада участвуют только левые нейтрино. В случае частиц с ненулевой массой Л_, действуя на правое состояние ф+, не дает точно нуль, но результат оказывается много меньше по величине, чем при действии на левое состояние: отношение амплитуд Л_ф+ и Л-ф_ равно
Е+тс2—рс
Е+т<?+ рс*
Это означает, что если Л- действует в матричном элементе на электронную волновую функцию, то частицы (электроны), возникающие при Р’-распаде, будут преимущественно левыми, а античастицы (позитроны) — преимущественно правыми. Когда говорят об электронах, спиральность ор/р обычно называют продольной поляризацией, а отношение амплитуд Л_ф± пока
358
Глава 15
зывает, что поляризация электронов равна
— (Е tn с24-рс)2 4- (Е + тс2—рс)2
(Е - тс2 + рс)2 4- (Е 4- mt?—рс)2
что сводится к —р!Е = —vic. В пределе, когда скорость электронов приближается к скорости света, они оказываются поляризованными на 100%. С другой стороны, если на электронную волновую функцию действует Л+, то электроны будут иметь правую поляризацию, равную vic. Следовательно, тот факт, что электроны, изучаемые на опыте, всегда испускаются в левополяризованном состоянии, означает, что на электронную волновую функцию действует А_, а не Л + . Обращаясь к (15.18), мы видим, что это в свою очередь должно приводить к устранению из гамильтониана для 0-распада скалярных, тензорных и псевдоскалярных взаимодействии, так что в гамильтониане остаются только векторное и псевдовектор ное взаимодействия. Таким образом, фундаментальные эксперименты по угловой корреляции электронов и нейтрино и по поляризации электронов, испускаемых при 0-распаде, ведут к заключению, что матричный элемент перехода (15.13) включает только V- и А-взаимодействия. Переписывая это выражение в явном виде, мы замечаем, что лептонные операторы ОуЛ_ и ОдЛ- равны, так как в Ог и Ол входят соответственно уй’н и Y«Yi»Y». и YsA_ — Л_, так как yj = 1.
Поэтому фундаментальный матричный элемент приобретает вид
2~,/2СР^|б(г—rt) 2(gvYi* + (—£a)YhY») X и
X |Л_уцЛ-}ьМ+-|-сопряж.|Ч',ф().	(15.19)
При описаниях распада ядер чаще используют операторы а и 0, табл. 15.1 показывает, что полный матричный элемент в этом случае имеет вид
СПф)|2д(г,—г,.)х
X G?vI(A-}l—a,«|aA_|j4-gA lar|<rA-)t—Ум |A-)d) X
X t‘+t+ 4- сопряж. |Ч^ф,)-	(15.20)
Принятое в настоящее время мнение о том, что (15.19) правильно описывает истинное взаимодействие, сложилось в результате расчетов следствий из более общей формы взаимодействия (15.8) и последующего сравнения их с данными эксперимента. Мы не будем приводить здесь эти расчеты, но проиллюстрируем их суть, вычислив вероятность 0‘-рдспада по формуле (15.20). Начнем с первого члена
2д(г<-гь)4|Л-}/Д|¥1ф().	(15.21)
i
Мы хотим описать испускание антинейтрино с импульсом q, поэтому согласно (15.126) выбираем ф| так, чтобы она описывала нейтрино с энергией —q импульсом —q и спиральностью 4-1. Волновая функция конечного состояния ф/ может описывать электрон с любым моментом р и любым направлением спина. Рассмотрим два случая, соответствующие двум проекциям спина ±Уг на вектор импульса р. Любое другое направление спина можно описать в виде суперпозиций двух волновых функций, соответствующих этим состояниям.
Пета-радиоактивность
359
Выполняя конкретные выкладки для Р-распада, удобно использовать систему единиц, в которой m = с = К = 1, т. е. единица массы равна массе электрона, единица длины равна комптоновской длине волны hlmc, единица времени равна hlmc1, единица энергии равна тс2, и единица импульса равна тс. Можно заметить, что в этих единицах заряд электрона е равен а‘Л = (137)_,/«, а радиус ядра равен 3,1 -10'3 А1/», что приближенно равно 3/5аД,/з.
В представлении, используемом в приложении А, явный вид волновых функций свободных лептонов дан в задаче 4.1. Используя (15.20), всегда можно считать, что Л_ действует на волновую функцию электрона, и, следовательно, мы оставим только Л_ф. Кроме того, для нейтрино с положительной энергией используем только ф_, а для нейтрино с отрицательной энергией — толькоф + . Волновые функции взадаче4.1 можно выразить через полярные углы вектора импульса относительно к произвольной оси г. Полагая, что 0V, ф* есть полярные углы q, а 0в, фе — углы р, находим, что начальная и конечная лептонные функции для Р"-распада дают
/ 1 v/2 А-ф/.| = — —-j	pexp(iprL)X \32л / X ———	cos— 0„ = \р(Е+1)1,/2	2 = exp(«p-r,.)u,;	( 1 \ . 1 a tg—Oeexpicp,. — 1 —tgy0eexpi<p^	(15.22a)
Л-ф/, -1 = ( -J-J /грехр (ф • г,.) X Е + р+1	1 = [p(E+l)l‘/l	2 ' = exp(/p-rju_1;	< —1 \ ctgy0eexpi(pe 1 ctg-^0eexpi<p^	(15.226)
Ф/ “ ( i) ,/2<7 ехр (— /q • rL) sin 10V = \16л /	2 = exp(—jq rjy.	f	— 1	> . 1 Q ctg~2 Ovexpiq>v 1	(15.22b)
	—ctg—Ovexpi<pv \ L /	
распада
Второй индекс в ф/ определяет спиральность р-частнцы. Для с испусканием электрона со спиральностью -j-1 лептонная часть (15.21) дает, таким образом, матричный элемент вида
|/2
(E—p+l)pq
16л» SexPl '(p + q) nJj [р(Е+1)р/*
X со5уве51п-^-0у—sin-|-0ecosy0vexpi(<pv —<р«) = У Rtm+, L	f
где
R, =ехр[— i(p+q)rj.

360
Глава 15
Здесь мы воспользовались тем, что j drL6(rt — rL)f(rL) = f (п). Аналогично, лептонный матричный элемент для испускания левого электрона равен
/2 16л3
expl—i(p + q)rj
(Е+р+\)рд 1р(£+ 1)1’/2
X
X Siny0esiny0v + cos-^eecos-^evexpi(<pv —фе) = '^1Rlni..
I
Полные матричные элементы (15.21) для этих двух случаев имеют вид gvCF)|
Оставшаяся невычисленной часть матричного элемента содержит только ядерные координаты и ядерные волновые функции, но зависит от р и q. Если вспомнить, что модуль | p + q | составляет величину порядка единицы (в единицах т, с, Ъ), а радиус ядра — порядка 10~а или менее, то ясно, что exp [—i (р + q) • г(] очень мало отличается от единицы во всей области ядра. С учетом этого обстоятельства матричный элемент переходит просто в (Чг}|	| VO и не зависит от р и q. Следующий член в разложении
экспоненты играет заметную роль только в тех случаях, когда первый член обращается в нуль; мы будем здесь предполагать, что первый член имеет конечную величину и обозначим его через Таким образом, вся зависимость от р и q содержится в /п±.
Вспомним, что вероятность перехода в единицу времени на единицу энергии дается выражением 2л | М | *, где М — матричный элемент перехода; при этом не требуется учитывать никаких множителей, характеризующих плотность состояний, если волновые функции нормированы так, что 2 I Ф (г, у, Е) 12dr dE равна вероятности нахождения в объеме dr частицы у
с энергией в интервале от Е до Е + dE. Здесь у означает все другие квантовые числа. Функции, используемые в этой главе, нормированы именно таким образом. Вероятность испускания электрона положительной спиральности с энергией в интервале от Е до Е + dE в телесный угол в направлении вектора р, причем сопровождающегося испусканием антинейтрино в телесный угол dQv вдоль вектора q (ядро переходит из состояния i в состояние f), равна
117 (Z-»f. р. q. +)dEdQedQv, где
«z (i-> f. P. q? +) = 2л I gv I21 ЭЛ и 121	|’=
= I gv I21 ЭЛ и I2	(E~P) 0 -cos6ev). (15.23a)
2 л
При вычислении этой вероятности мы использовали некоторые тригонометрические соотношения и тот факт, что
(Е+1-р)2=2(Е+1)(Е-р)
/к та радиоактивность	361
Аналогичная вероятность испускания электрона отрицательной спиральности равна
IV'(«-*/, р. Ч. -) = \gy I212^ (Е + р) (1 +COS0,V).	(15.236)
Если нас интересует спиральность электронов с импульсом р, испускаемых вместе с антинейтрино с импульсом q, мы получаем для поляризации электрона
(Е—р)(1—cosSey)—(Е + р)(1 4-cosOcv) p + £cos6ev
(Е—р)(1— cosSey) + (Е + р) (1 +cosOev)	E4-pcos9ev
Когда рассматриваются все электроны с импульсом р независимо от направления нейтрино, выражение (15.23) нужно проинтегрировать по углам q, и мы получим
IF (»-н/, р. q. +) = |gv |а|ЭДЪ/(15.25а) (2л)
I? («-*/. Р. р, -) = Igv Г| ЮН/ l2^^ 	(15.256-
(2л)
Следовательно, наблюдая поляризацию электронов с данным импульсом независимо от угловой корреляции нейтрино, мы получим просто —р/£. Если рассматривать угловую корреляцию электрона и нейтрино независимо от спиральности электрона, то соответствующая вероятность процесса получается просто сложением двух вероятностей (15.23):
Р. q)=l£vrW1/|2^('l + 4cosOevV (15.26) (2л)’ \ Е )
Пусть нас интересует только направление испускания электрона безотносительно к направлению нейтрино; нужно проинтегрировать (15.26) поуглам q и мы получаем изотропное излучение, не зависящее от направления р:
Р. 9)= Ы21Ш1~т£ .	(15.27)
2 л
Просто вероятность испускания электрона с определенной энергией мы находим, интегрируя (15.27) по углам:
IF(/-►/, р, q)~|gv	. -	(15.28)
Наконец, вероятность Р-распада в 1 сек независимо от энергии, направления и поляризации испускаемых частиц равна
«’о
lF(i^/)= lgvl2l3«i/|2(2n3)-‘ pE(lF0—E)2dE-
362
Глава 15
где Wzo — конечная точка p-спектра; /0 (IV'o) —довольно сложная функция IVZO, но для IV'o, достаточно больших по сравнению с единицей, /0 пропорционально IV'’. Этот степенной закон часто используется для грубой оценки периода полураспада данного ядра.
Все предыдущие выражения были записаны для переходов, включающих два определенных ядерных состояния: i и f. Эти расчеты не соответствуют реальной ситуации, так как лишь в отдельных экспериментах с поляризованными ядрами известна спиновая ориентация начального или конечного состояний. Во всяком случае, если не измерять ориентацию дочернего ядра, нужно суммировать по всем возможным конечным спиновым состояниям; часто бывает также нужно усреднить результаты по всем начальным ориентациям. Член (15.21) прн этом не меняется, так как оператор т*. в ЭДН, не действует на моменты и, следовательно, таким путем можно получить только дочернее состояние с J/ = Ji и Mf = Mt. Ясно также, что 3)Ь/ не зависит от Afj. Поэтому суммирование по М/ и усреднение по Mt не меняют результата, хотя Mt к М/ в этом случае не наблюдаются.
Однако положение существенно меняется, когда мы обращаемся к другим членам (15.20), например к члену, содержащему а. Действие оператора а на волновую функцию может изменить момент и, следовательно, матричные элементы между состояниями с различными J будут отличны от нуля; более того, для данных Ji и J/ матричный элемент будет зависеть от Mt и М/. Для большей конкретности запишем, что
а‘ 'a = ~2^axl ^",o»i)(ax—foy) +
+ j (oxi — iovi) (a*  I- iOy) + ог,ог =
= — <j(i tQ-,—a_ i, fat + a0io0,	(1 s-29)
где
Следовательно, матричный элемент имеет вид
S (-1)*(Ч,;|2а*,Д|’Р<)т±(-Л).	(15.30)
А —1	1
где т± (А) = (u±i|a*| и) в обозначениях (15.22). Мы здесь снова заменили ехр li (р+ q) •/"< ] на единицу. Этот метод записи матричного элемента замечателен тем, что три величины а* образуют сферический тензор первого ранга и, следовательно, три ядерных матричных элемента в (16.30) относятся друг к другу как определенные коэффициенты Клебша — Гордана (см. приложение А). Именно
Ю1о(Л)=СГ;| 2<W+I4'i) =	JfMf), (15.31)
где 3Jla называют приведенным матричным элементом. Отметим, что лишь один из ЭЛо, а Дает вкладе переход при данных Mt nMf, так как коэффициент Клебша — Гордана отличен от нуля только при Mf = TVff -|- k. Запишем также правило отбора по J:
M = \Jf—Jt\=l или 0.	(15.32)
Однако переход Jt — Jf = 0 запрещен.
Б ета-радиоак тивность
363
В (15.20) имеется еще два члена, одни включающий а, а другой у5, действующие на нуклонные волновые функции. Оба оператора дают матричные элементы, которые в случае нерелятнвистскнх нуклонов (в ядрах) малы по сравнению с матричными элементами от о и 1. Оператор а представляет собой оператор скорости и, следовательно, дает матричные элементы порядка v/c относительно ЭЛ или ЭЛо- Формально этот результат обязан тому, что в матрице а присутствуют лишь недиагональныс матричные элементы, содержащие малые компоненты релятивистских волновых функций (порядка v/c) начальных состояний и большие компоненты волновых функций конечных состояний; тогда как о и 1 связывают большие компоненты и начальных и конечных волновых функций. В этом отношении свойства матрицы ys— те же, что и свойства а. Более того, правила отбора для а и у5 отличаются от правил отбора для <т и 1. Псевдовектор а и единичный оператор нс меняются прн отражении осей координат, и, следовательно, точно так же, как и в аналогичном случае электромагнитного излучения, начальное и конечное состояния должны иметь одинаковую четность. С другой стороны, а и у5 являются нечетными относительно инверсии осей и имеют отличные от нуля матричные элементы только между состояниями противоположной четности. Следовательно, при возведении в квадрат (15.20) не возникает интерференционных членов типа ЭЛпЭЛа или ЭЛоЭЛу* 11 наименьший вклад от а и уа дают квадраты их матричных элементов. Они имеют порядок (v/c)2 и ими можно пренебречь, когда ЭЛ и ЭЛа отличны от нуля (т. е. когда А/ = 1 пли 0), а начальное и конечное состояния имеют одинаковую четность. Поскольку (v/c)2 составляет величину порядка 1%, такие переходы примерно в 100 раз более вероятны, чем другие. Их называют разрешенными ^-распадами.
Подытожим правила отбора для разрешенных р-переходов:
Векторное взаимодействие: AJ = 0	Дя Нет,
Псевдовекторное взаимодействие: &J— 0 или 1 Ая Нет.
кроме 0—>0.
-Скалярное взаимодействие подчиняется тем же правилам отбора, что и векторное, а тензорное — тем же, что и аксиально-векторное. До того, как была установлена (V, Л)-смесь, взаимодействия часто рассматривались парами. Поскольку Ферми в первой статье на эту тему использовал векторное взаимодействие, скалярное и векторное взаимодействия называют взаимодействиями Ферми, а два других — взаимодействиями Гамова — Теллера, по имени физиков, впервые предложивших их.
Мы можем теперь записать вероятность перехода для разрешенного перехода, просто возводя в квадрат выражения матричного элемента (15.20). Для AJ = 0 имеем
p,q,±) =
= 2л {|gv 12| ЭЛ ol ’I m* 12+| Ла1 2| ЭЛ а, и (0) |21 /и* (0) |2 +
+ (ЛуЛаЭЛ</ЗЛа,1/(0)"1±",±(0) + Компл. сопр.)) бм.,М/ +
+ 2л I	12| ЭДал/ (-1) I ‘I	О) IV - «•"/ +
+ 2я I Ла 12| ЭЛ а, i/(l) 121 /п± (— 1) I г6м.+1,М/.
(15.33)
364	Г л а в a 15	______________
Для перехода 0—>0 отличен от нуля только первый член, а для AJ = I все члены, включающие gv, опускаются. Из этого выражения уже можно прямо вычислить различные вероятности переходов, определенные выше для простого случая одного векторного взаимодействия. Приведем результаты; здесь везде проведено суммирование по Mf, а каждая вероятность перехода дана через экспериментально наблюдаемые величины. Основные вероятности для электронов со спиральностью ± 1 равны
\ °	/Ji \^J i 1)
Т у* к-(ар Т 04 +DpX q) I .	(15.34}
Для испускания позитрона все ± знаки в правой части следует обернуть. В этом выражении р и q суть единичные векторы, a Mt — проекция спина начального ядра в направлении единичного вектора к, В случае частично поляризованного радиоактивного источника /И? и в (15.34) нужно заменить соответствующими средними значениями для ансамбля <Л4?) и (Mj). Величина	определяет поляризацию ядериых спинов, а к — на-
правление поляризации; ЭЛ F — фермиевский ядерный матричный элемент, который раньше обозначался просто ЗЛ = (*F* | 2G 1'1'0» а ЭЛа опреде-i
ляется в (15.31). Остальные обозначения имеют следующий смысл:
Я = 1лУ|213Лг|2+1Ял12|ЯЛа|г,
Ла= |gy |2|ЗЛг|2—-x-|gA |21эЛо|2,	(15.35}
О
Лс= — 1ял121эЛо12Л^(
AD = — Ц Ini (gvgA),
Ла = — pi Re (gvg^ + е | gA 12| ЭЛ A fj f,
40 = — р Re(gygl)—e|gA I2 ISlol2^»
— 1 для 0 -распада, + 1 для 0 1 -распада,
И - 2SVj |ЭЛк113Ло1 (-* \</ i । А /
Бета-радиоактивность
365
	г	Jf = Jt—1,		1.	J f — Ji 1,
	(27,-1)	Jf=Ji, J/ = 7|+ 1;		1	J f = Jt, Jf = J <+ 1-
	7,+ 1 • Ji (27,-1)			Л+Г Ji	
	1(7, + 1)(27, + 3).			Ji+\'	
Если направление вылета нейтрино не фиксируется, то
т... 1Ч рЕ?2/, . Р\А Г. . Mt , ' UZ(Л1£; р, q, ±) = Г-Л. 1±е-£ к- l + e—ak-p оП \ п ] * L	J i
(15.36)
тем самым характеризуется корреляция между направлением эмиссии электрона и направлением спина ядра.
Отметим, что в случае ориентированных ядер спиральность е*-частиц равна
р + EPa cos 0
E+pPacos0’
(15.37)
где cos 9 = k-p, а Р — поляризация ядер. В случае неориентированных ядер
^(р, q, = l±Eyj~(l±Edp.q),	(15.38)
а спиральность е±-частпц, вылетающих под углом 0ev к направлению вылета нейтрино, равна
еР 4-Ea COS 0ev Е+pacosQey
(15.39)
Результат (15.24) представляет собой частный случай формулы (15.39) при 3Jla — 0, т. е. случай взаимодействия Гамова — Теллера. Если ядра не поляризованы и учитываются все е^частнцы с импульсом р, то из (15.36) или (15.38) имеем
IF(p,<7,±)=^./l±e£h,	(15.40)
(2л) \	)
откуда видно, что средняя спиральность равна е.р/Е = ev/c.
Суммируя по спиральностям, получаем
»№ м1-^х
(2л)
Х [1 “*'а^Р Я + fyP 9 “Р kq k
Л(А+1)-ЗоиЬ
7, (27,-1)
!-Pk-(a-gp + p4 + D^-i)Xq) ,
lF(Pk; р, q) = ~А (1 -ba-^PcosO 8л 1 с
(15.41)
(15.42)
Лее
Глава 15
Для неполяризованных ядер
«7(р, q)=^£
4	(2л)5
1 + a ^cos6rv С.
(15.43)
(15.44)
Мы привели лишь результаты для испускания е*-частиц с проекциями спина + Уг на р; можно также вычислить вероятность испускания ^-частицы с проекцией спина Уг на произвольное направление п. Получаем
х 1 -J- a-=
A ,	| A . E-Ь. A
р+а-p-q + a —PP'q c n
(15.45)
W; p. q, п)=^Л X
Е___1	*а\1
к-рр| , (15.46)
X 14- p(aPk-|-en) p-rEaPn-f4rk4 с	у £ Е
-’'IP. ?.n)=^T-’('+« J» ₽j-
Теперь можно более конкретно рассмотреть эксперименты, показывающие, что слабое взаимодействие представляет собой комбинацию V- и Л-взаимодействий1), а все испускаемые нейтрино имеют левую спиральность, т. е. С'к — Сц. Если вычислить рассмотренные выше вероятности переходов, исходя из наиболее общего вида взаимодействия (15.8) со всеми пятью формами инвариантов, то получатся аналогичные формулы, но с иными значениями коэффициентов. Например, общая формула для угловой корреляции ^-частица — нейтрино, частным случаем которой является (15.43), имеет вид
Р£92 '	(2я)‘
i+4+«f
(15.47)
(15.48)
а поляризация е±-частиц равна
(15.49)-
где
(15.50а)
Ла-= (— | C$L |z— I CSr[2+ | Суь1г+|^л1‘)1ЭЛк1г+ + 7j~(i Ctl |2 +1CTr |2— ICAL |2— | Сд n Г)1 ЗЛа |2.
Ab — —2eRc\(CslCvlA~CsrCv r) IГ A-(Cti.Cai. 4* С-гцСдц) |gj}„ |2], (15.506)
’) Хороший обэор таких экспериментов дал Конопинский |17).
367
____Б ета-радиоактивность
А<’ = elixir! (|Cst| —|Свл| —I Су/, Г+ I Су я |г) +
+ I ЗЛа I2(l CTL |2-| СТП |2-1CAL |’+1САД |2J,	(15.50b)
Л = (I Csi. I* +I Cs я |"+1 CyL |2-г | Су я Р) |8Лг1,+
+ (IСТ1. |2+ | Ст я |2+1CAL |2+1 СА я |2) | эл012.	(15.50г)
Теперь нам предстоит описать эксперименты, которые привели к однозначному выводу о том, что слабое взаимодействие есть (V, 4)-взаимодействие; при этом мы не будем строго придерживаться исторической последовательности.
Заметим для начала, что 6 = 0 — это легче всего установить, изучая энергетический спектр всех испущенных электронов. Вероятность испускания электрона с энергией в интервале от Е до Е -|- dE равна
n(E)dE = dE I 1^(р, q)dQedS2v =	Н-.	(15.51)
J	2л \ с /
Поскольку q = IVх о — Е, где IVх 0 — конечная точка спектра, удобно пользоваться графическим представлением зависимости (п (Е)1рЕ)Чг от Е. Эта кривая получила название графика Кюри. Если b = 0, то он имеет вид прямой, оканчивающейся при IV'o, а когда 6 отлично от нуля, график искривляется. Им тщательно изучено большое количество переходов, для которых график Кюри линеен с высокой степенью точности; при условии учета кулоновской поправки, о которой мы будем говорить позднее, не существует случаев искривленных графиков Кюри для обычных разрешенных переходов. Некоторые примеры графиков Кюри для разрешенных переходов приведены на фиг. 15.2. Из этих экспериментов следует, что верхняя граница для величины 6 лежит между 5 и 10%; уменьшить это значение трудно, так как благодаря множителю 1 IE нелинейный член мал во всех случаях, за исключением случая ннзкоэнергетичных электронов, в котором экспериментальное измерение затруднено различными факторами такого рода, как, например, переменная чувствительность счетчиков, толщина радиоактивного источника, толщина окошек в счетчике. Заключение о том, что 6 = 0 для всех переходов, само по себе не приносит большой ясности, поскольку комбинации констант связи, входящих в Ь, могут исчезать по разным причинам1).
Более конкретную информацию дают эксперименты по измерению поляризации электронов. Точное измерение зависимости поляризации электронов от энергии само позволяет сразу определить величину Ь. Подтверждение закона GplE означало бы, что 6 = 0. Мы будем полагать, что дело обстоит именно таким образом. Первое убедительное измерение поляризации было проведено на Со*0, который распадается с испусканием электронов и переходом из состояния 5‘ в состояние 4*, и, таким образом, здесь мы имеем разрешенный переход, реализующийся только через взаимодействия Гамова — Теллера (AJ = 1, нет изменения четности). Следовательно,
q _ I £ть|2— I Ст r |2— | СА{_ j‘+| СА н Г I Cti. |2+ | Стп |2+ IСА1_ |2+1 Сд R Г
’) По историческим причинам член b/Е часто назынают фирцовским интерференционным членом.
368
Глава 15
Измерения показали (сначала только с точностью до 10%, см. 1211), что G = —1. Отсюда можно сразу заключить, что Сть — Сап = 0. Этот результат можно еще раз подтвердить, а формулу (15.50) далее проверить
Фиг. 15.2. Некоторые графики Кюри для разрешенных переходов.
•Фактически по оси абсцисс .отложены величины Е—тс*. Кривые для SM отражают эффект потерь анергии из-за толщины источника и тем самым характеризуют важность использования тонких источников. Фактически приведенные кривые представляют собой графики Ферми Кюри: они включают множитель F, учитывающий кулоновскую силу, действующую на электрон. Различные обозначения точек для Си»< иллюстрируют влияние на F релятивистских эффектов и экранирования атомными электронами (кривые даны по работам (18—20]).
исследованием чистого гамов-теллеровского позитронного источника. Примером такого ядра является Na22, для которого и было достоверно установлено, что G = 1 122]. Значит, взаимодействие должно быть либо тензорным с правым нейтрино, либо аксиально-векторным с левым нейтрино. В обоих .случаях имеет место максимальное несохраненне четности |С'|=^|С|.
Бета-радиоактивность
369
Чтобы получить аналогичные результаты в случае взаимодействия Ферми, требуются переходы 0 -> О, для которых 3)}о = 0. Имеется несколько источников, которые испускают позитроны при переходе 0 -► 0, например ядра Ga°® и СР*. Опыты Дейча с сотрудниками [231 и Бойма с сотрудниками [24] дали для этих ядер 6=1, откуда следует, что С«и, = Суп — 0. Полученные результаты свидетельствуют о том, что G = е независимо от ЗЛа и 2ft г и, следовательно, во всех переходах негатроны имеют отрицательную, а позитроны положительную поляризацию. Это заключение подтвердили эксперименты со многими ядрами. Общий вывод из результатов всех опытов по поляризации электронов можно сформулировать в виде следующих равенств: Csl = Суп = Ctl = Car = 0. Ясно, что из них следует равенство b = 0,
Наиболее очевидный способ определить, какая из оставшихся возможностей реализуется,— это установить, какие же нейтрино получаются на самом деле: левые, правые или те и другие. То, что нейтрино левые, непосредственно показали опыты по гамов-теллеровскому распаду с электронным захватом на ядрах Ей182. В этом эксперименте остроумно использовалось резонансное поглощение в Sm182 у-лучей, испускаемых вслед за /(-захватом с переходом в возбужденное состояние ядрами Sin182. Благодаря отдаче ядер только у-лучи, испущенные в прямом направлении, могут поглощаться, а измерение их круговой поляризации позволяет найти связь между ориентацией импульса и момента. Детально с этим опытом можно ознакомиться по работе Гольдхабера, Гродзинса и Саньяра [251.
Мы уже отмечали, что альтернативный способ определения спиральности нейтрино дает изучение угловой корреляции электрон — нейтрино. Эту корреляцию очень трудно измерять, но данные о ней можно получить нз анализа энергетического спектра ядер отдачи 0-радноактивных инертных газов. Дело в том, что выражение (15.48), дающее вероятность распада как функцию р и 0ev, можно переписать в виде вероятности распада с испусканием электрона с энергией Е и ядра отдачи с энергией R. В результате получаем
W(E, R) ~E(\V0-E) + ^a[2MR-E2+\ — (W0—E)2l,
где М — масса иона отдачи на — константа корреляции, определенная в (15.50). Для определения а необходимо только измерить спектр ядер отдачи независимо от энергии электронов, так как число ионов с энергией в интервале от R до R 4- dR равно
И9> n(R)dR = dR\ \V(E, R)dE—It +alziR), 'i
где /1 и /2 — известные интегралы. Следовательно, а можно определить просто из п (R). Энергия отдачи сильно зависит от всяких межатомных связей, поэтому можно использовать лишь одноатомные газы. Спектры ядер отдачи измеряли Аллен с сотрудниками [251 на ядрах Не*, Ne19, Ne23 и Аг38. Ядра Не® и Ne23 являются чистыми гамов-теллеровскимн электронными излучателями (прн этом спины и четности меняются соответственно: 0’ -* Г и */Г -* ’//). В этих случаях
а_ 1 |cTRr-|CAL|2
3 I Стл|2-[-1 Cal I"
24 Заказ № 37
370
Глава 15
откуда ясно, что значения а лежат между */з и — 1/3. Эксперимент показал, что а (Нев)=—1/3 (1,17 + 0,15) и a (Ne33) = — */3 (1,11 ±0,12), а это согласуется лишь со случаем Стд = 0. Таким образом, взаимодействие Гамова — Теллера оказывается чистым аксиально-векторным взаимодействием с нейтрино отрицательной спиральности.
Два других газа Ne1B и Аг35 Р’-активны, но, к сожалению, в распаде этих ядер играют роль одновременно и взаимодействие Ферми и взаимодействие Гамова — Теллера, так как ядра Ne,B и F1B в основном состоянии имеют Уг*, а ядра Аг35 и СР6 соответственно ’//. Величина а для Агзь почти достаточна для определения взаимодействия Ферми, поскольку в этом случае а = 0,97 ± 0,14. Если принять это значение за единицу, то из определения величины а, т. е. из (15.50), получим
2|Csn |2|3J^|2+^|CAZJ2|3Jlo|2=0. О
Так как оба члена — квадраты, то оба они равны нулю. Поскольку CAL определенно не нуль (эта константа ответственна за все гамов-теллеровские переходы), то Э)1а Должен быть равен нулю в соответствии с индивидуальными свойствами ядер, для которых характерен такой распад. Но поскольку распад все же происходит, другой матричный элемент 3JI F отличен от нуля и, следовательно, Csh — 0, a Cvl конечна. Отсюда мы заключаем, что взаимодействие Ферми является векторным. Этот результат можно уточнить. Как мы подробнее покажем ниже, для |Сд/.|4 и для |Csh|2 + ICvl i4 — = |CF|2 были получены численные значения. Период полураспада Nelw или Аг35 дает величину А:
А =|СГ|2 |3JM2 +| Cal|2|W0|2.
Далее, для обоих ядер с хорошей точностью |3J1F|* = 1 (см. (15.92)1. Отсюда можно в самом деле вычислить |дао |а и, следовательно, в выражении для я остается неизвестной только разность | Csr |2 — | Суь |2. Таким путем NeIB, для которого а = 0,00 ± 0,08, также дает С^н = 0. Отсюда можно определенно заключить, что взаимодействие есть (V, Л).
Перейдем теперь к вопросу об относительной величине и#А. Во всех соотношениях для 0-распада ядер константы связи умножены на ядерные матричные элементы (такие, как 3JJ F или ЭДО) и поэтому вычисление матричных элементов и констант связи требует знания ядериых волновых функций. Эта трудность отсутствует в случае распада свободного нейтрона, для которого матричные элементы равны просто | ЗЛ у | = 1, | ЗЛ0 | = р^З. Тщательное изучение нейтронного распада позволило многое выяснить относительно констант связи. Опыты проводятся с поляризованными нейтронами, и наблюдаются протон-электронные совпадения как функции одновременно от угла между импульсами протона и электрона и от поляризации нейтрона. Для того чтобы получить достаточное число распадов в области, в которой электроны и протоны могут быть зарегистрированы, требуются очень интенсивные пучки медленных нейтронов. Тщательные эксперименты были проведены в США в Аргоннской национальной лаборатории [271, в Канаде в Лабораториях атомной энергии в Чолк Ривер 128— 301 и в Академии наук СССР [31, 32). Вероятность распада нейтрона представляет собой частный случай (15.41):
W(Pk; р, q) =
’ FpEq2'
(2л)5
А [1-Ь av q + Pk -(av + 0q + DvX q)l. (15.52)
Бета-радиоактивность	371
Использованные здесь обозначения мы уже ввели ранее, за исключением v — вектора скорости электрона и F — поправки, которую мы рассмотрим позднее (она вводится для учета того факта, что электрон не свободен, а движется в электрическом поле протона). Различные корреляционные коэффициенты равны
л = 1яг12+з(гЛ)2,
4fl^|gv|2-|gA|2,
Аа = —21gA |2-2Re (gvg\) = -21 gA |2-21gv 11 gA |cos <р, (15.53) A$ = 2\gA\2—2Re(gvg‘A) — 2\gA |2—2l^v 11йд Icos<p, AD = — 2 Im (gvg*A) = — 21 gv 11gA |sin <p,
где — разность фаз между gv и gA.
Величины а, а, 0, D измерялись различными способами. Для измерения а использовались неполяризованные нейтроны, а поляризация и расположение экспериментальных приборов подбирались тремя различными способами, так чтобы подсчитывать распады, в которых направление поляризации параллельно соответственно вектору v, вектору q и произведению v X q. Эти измерения дали только отношение gAlgv', для получения абсолютных значений констант нужно еще измерить период полураспада. Для нейтрона он равен 11,7 ± 0,3 мин.
Первый вопрос, который мы рассмотрим,— это действительны ли константы связи. Поскольку полная фаза волновой функции произвольна, одну из констант можно считать действительной; другими словами, физический смысл имеет только относительная фаза ср. Из (15.53) и аргоннских. экспериментов следует, что tg <р = D /(а + 0) = —0,05 + 0,09, т. е. <р с точностью до 8° совпадает с л. Чрезвычайно привлекательно было бы предположить, что относительная фаза точно равна я, т. е. что gv и gA обе действительны, но имеют противоположные знаки, поскольку если относительная фаза не кратна л, то теория будет нс инвариантной относительно обращения времени. Поскольку все другие микроскопические теории в физике инвариантны отноентельнообращення времени, эта гипотеза весьма привлекательна. Легко видеть, что отличное от нуля значеннезт <р вносит зависимость от направления времени. Посмотрим, что произойдет, если / заменить на —/ в члене DPk-(v X q). Все скорости и моменты изменят знак. Так как есть среднее направление спина нейтрона, три вектора k, v и q изменят знак. Следовательно, вероятность распада будет иметь разные значения для двух различных направлений времени всегда, когда D не равно нулю.
Инвариантность относительно обращения времени имеет еще и другое значение. Как показали Паули и Людерс, определенный общий класс теоретико-полевых представлений, включая теорию 0-распада, физически инвариантен относительно одновременного отражения координат, времени и зарядового сопряжения, т. е. замены частиц на античастицы. Отсюда следует, что если теория инвариантна относительно обращения времени, то она также инвариантна и относительно обобщенной инверсии, при которой пространственные координаты и заряды одновременно меняют знаки1). Эту теорему можно сформулировать, кроме того, в форме утверждения, что
’) Обычно эту операцию называют «комбинированной инверсией». Сохранение «комбинированной четности» было предсказано Ландау [80*|.— Прим. ред.
24*
372
J л а в а 1э
«истинным» отражением материи в зеркале является «антиматерия». Известную проверку этой идеи можно осуществить, например, убедившись, что формулы для различных вероятностей p-процессов не изменятся, если отразить пространственные координаты и перейти от Р‘- к р‘-распадам. Легко видеть, что результаты не изменяются, если константы связи действительны.
С действительными константами связи найдем теперь gA Igy. Наиболее точное значение а равно
а =—0,11 ±0,02,	(15.54)
откуда
= — (1.24 ±0,03) gy.
Этот результат можно использовать для уточнения плохо известных величин а и р; получаем а = — 0,096 ± 0,015 и Р = 0,99 ± 0,02, что согласуется с экспериментальными данными. Аргоннская группа получила р = = 0,88 ± 0,15. Результаты для а, полученные двумя группами 128—321, согласуются между собой: 0,07 ±0,12 и —0,06 ± 0,13; в среднем получаем а — 0,00 ± 0,12. Приведенные значения периода полураспада дают gv = (2,87 + 0,1 !)• 10"*2 естественных единиц = (1,35 ± 0,05) НО’49 эрг-см3.
Эти данные завершают определение ядерного Р-распадного взаимодействия, за тем, правда, исключением, что еще неизвестно, постоянны ли gv и 8л для всех ядер или нет. Сравнение с распадом р-мезона показывает, что они могут и изменяться. Распад р-мезона также однозначно описывается комбинацией V- и А-взаимодействнй, но этот случай требует выполнения равенства gv = —gA с очень высокой степенью точности, тогда как gv (для р-распада) = gv (для Р-распада) с точностью до 1%. Очевидное отличие ядерного p-распада от р-распада заключается в том, что нуклоны сильно взаимодействуют с полем л-мезонов, и было выдвинуто предположение, что присутствие виртуальных л-мезонов должно вызывать «перенормировку» константы связи слабого взаимодействия. Замечательно, что перенормировка, по-видимому, не затрагивает векторного взаимодействия; это обстоятельство привело Фейнмана и Гелл-Манна к гипотезе о том, что использованное нами векторное взаимодействие представляет собой лишь часть сохраняющегося векторного тока1). Отсюда следовало бы естественное объяснение постоянства gv, но gA при этом все еще могло бы меняться в зависимости от мезонного поля. Однако, поскольку значение g,\ Для поля одного нуклона отклоняется лишь на 20“6 от значения для р-распада, в котором поле л-мезонов отсутствует, мы можем ожидать, что gA не будет особенно резко меняться от ядра к ядру. Этот вопрос следует считать открытым; решение его неразрывно связано с проблемой точного определения ядерных матричных элементов.
§ 3.	Кулоновские эффекты и запрещенные переходы
В предыдущем изложении были приняты три важных приближения: 1) электрон считался свободным, хотя он движется в электромагнитном поле ядра; 2) мы пренебрегали операторами а и у5в (V, Л)-взаимодействии; 3) мы заменяли ехр [1 (р± ч)г(]на единицу в ядерных матричных элементах. Последнее приближение оправдывается тем соображением, что длины
*) Впервые идея о сохраняющемся векторном токе была высказана Герштейном и Зельдовичем |81*].— Прим. ред.
Бета-радиоактивность
373
волн электрона и нейтрона раз в сто больше ядерных размеров и, следовательно, вносимая приближением ошибка в матричном элементе будет не больше 1—2%. Однако, как мы выяснили, приближенный матричный элемент обращается в нуль, если не выполняются правила AJ = 1 или 0 и изменение четности отсутствует. Если эти условия не выполняются, то 0-распад будет все же происходить, но с меньшей интенсивностью, а вычисление матричного элемента потребует более точной аппроксимации для ехр [i (p-f-+ q)r], Очевидно, что при разрешенных переходах лептоны уносят не более одной единицы момента, так как изменение момента лептонов и момента ядра должно в сумме (векторной) давать нуль. Этот эффект приобретает формальную ясность, если записать экспоненциальную волновую функцию в виде обычного разложения по моментам
ехр Щр + q) • г! = 4л S //, (| р + q | г)	(Q) УГ’ (Si' ),	(15.55)
т,1
где Q означает полярные углы г, ай' — полярные углы р+ q. Приближение, которое мы использовали в предыдущем параграфе, состояло в замене функции Бесселя /® единицей в члене с I = 0 и в пренебрежении всеми высшими членами; таким образом, оно было эквивалентно предположению, что электрон и нейтрино не уносят орбитального момента; и тот факт, что при гамов-теллеровскнх переходах уносился единичный момент, приписывался спинам г и v.
Если член с I = 0 дает нулевой ядерный матричный элемент, необходимо рассмотреть члены более высокого порядка. Так как при малых х , функция Бесселя ji (х) по порядку величины совпадает с х', отношение соседних членов разложения имеет порядок | р 4- q | г ~ 10 ®. Рассмотрим член с I = 1. Он дает матричный элемент
i
для векторного взаимодействия 1 {1}ь и
(Г/|2г1УГ(0<)<г*,Д|¥<>
t
для аксиально-векторного взаимодействия а -{о}/,. Оба оператора в этих матричных элементах содержат сферические гармоники первого порядка и имеют отрицательную четность. Для отличных от нуля матричных элементов начальное и конечное ядерные состояния должны иметь противоположную четность. Оператор V-взаимодействия, кроме того, представляет собой сферический тензор ранга один, что приводит к условию AJ = 1 или 0, тогда как оператор Л-взанмодействия, образуемый векторами г и ст, представляет собой комбинацию трех сферических тензоров ранга два, один и нуль1). Мы обозначим их Т2 (1, ст), Tt (1, ст) и То (1, о) — два последних являются приведенными матричными элементами от ст х г и ст-г. Правила отбора по спину для этих трех элементов имеют соответственно вид
AJ = 2, 1 или 0 с условием Jt + Jf^-2-,
AJ = 1 или 0, кроме	0—>-0;
АУ = 0.
1) Подробнее об этом см. приложение А.26 и соотношение (А.74). Отметим, что Тп (гп, А) есть тензор ранга п, содержащий гт и А в первой степени.
374	Глава 15
Следовательно, в случае 0-распада с изменением четности и AJ < 2 достаточно рассматривать только эти тензоры — члены с высшими I дадут поправки порядка нс более 1 %.
Однако имеются другие члены, дающие вклады того же порядка, что и рассмотренные выше,— именно члены, зависящие от скорости, которые возникают при учете операторов а и у5 во взаимодействии, и член I = О в разложении волновой функции. Мы уже отмечали выше, что при переходах с изменением четности эти члены дают вклад порядка 1’6 относительно интенсивности разрешенных переходов. Более того, у6 - посевдоскаляр, а а — вектор, так что правила отбора для них — 0 и A J = 1 или 0 соответственно.
Таблица 15.2
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ЗАПРЕЩЕННЫХ ПЕРЕХОДОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ЗАПРЕТА			
		Матричные алеиенты	
АП	л./	векторное взаимодействие	псевдовекторное взвимодеАствне
Да	0 —* 0		То (1, а), ~ <ст-г>, <Yft>.
Да	1 1 2*2	.	<г>, (а>	7»'(i, <г), <Ys>. 7*1 (1, ®) —<стхг)
Да	0, кроме 0 —* 0,	—» -—	<г>, <а>	Го (1. ст), (Ys>, Л(1. ст). Т2(1, ст)
Да	0 -- 1	<г>, «О	Л(1. ст)
Да	1, кроме 0	♦ 1	<г>, (а)	Ti(l, ст), Т2(1, ст)
Да	2		Та(1, ст)
Итак, интенсивности приведенных в табл. 15.2 переходов определяются матричными элементами, образованными из указанных операторов и дают вклады порядка несколько процентов от разрешенных переходов. Вклад в эти переходы от высших членов разложения волновой функции пренебрежимо мал. Однако если указанные правила отбора не удовлетворяются при данном переходе, например если AJ = 2, изменение четности «нет», то благодаря членам более высоких порядков 0-распад будет все же происходить, но с еще меньшей интенсивностью. Следовательно, 0-распады можно классифицировать по убывающим вероятностям переходов; они называются соответственно разрешенными переходами, переходами первого порядка запрета, переходами второго порядка запрета1) и т. д. Период полураспада ядра существенно зависит от энергии верхней границы спектра, но для одной и той же концевой энергии периоды полураспада в возрастающих порядках запрета отличаются примерно в 10а раз. Переходы л-го порядка запрета имеют матричные элементы, образуемые (п+ 1)-м членом разложения волновой функции с операторами 1 для V-взаимодействия и а для Я-взаимодействия и л-членом разложения с операторами у$ и а, зависящими от скорости. Полный перечень переходов л-го порядка запрета приведен в табл. 15.3. Операторы (г) и TL (л, ст) имеют порядок г", так как матричные элементы по ст — порядка единицы. Величина 2^п (г) представляет собой сферический тензор ранга л, построенный только из век-
Бета-радиоактивносгпь
375
Таблица 15.3
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ПЕРЕХОДОВ л-ro ПОРЯДКА ЗАПРЕТА (Л>2)
п1л1	AJ	Матричные элементы	
		векторное взаимодействие	псевдовекторное взаимодействие
(-1)"	л —» 0	(Г). Т’п (я—1. а)	тп (Л, а)
(-1)”	л, кроме л «—► 0	З'л(г). Тп (л-1, а)	Тп(п, <г), Тп+1(л, а)
(-1)"	л-М		7'п+| (л.
тора г; его можно обозначать как Тп (п — 1, г)1). Оператор Тп (п — 1, а) дает вклад порядка произведения г"-* на скорость нуклона, что по величине близко к гп. Заметим, что Tn-i (п, о) в таблице не приведен, так как для него правила отбора имеют вид П(П/ = (—1)п, ДУ = п — 1, а этот переход уже происходит благодаря матричному элементу Tn_t (п — 2, а), определяющему лишь (л — 2)-й порядок запрета; интерферирующий вклад от Tn-i (л, а) в обычных условиях пренебрежимо мал. Аналогичные соображения применимы также к Tn-t (л—1, а) и Тп-2 (л—1, а). Кроме того, мы не привели операторы, содержащие у». Они имеют вид S/n (г) Ys и по порядку достигают произведения гп на скорость нуклона, т. е. г”*1. Однако 3<п Ys — псевдотензор ранга л и, следовательно, ему соответствуют правила отбора ПЩ/ = — (—1)", ДУ < л, поэтому интерферирует Тп (л—1, а), который имеет порядок г'1-1, а также с другими матричными элементами еще меньшего порядка запрета. Например, 5Уг (г) ys имеет правило отбора ДУ < 2, «да». Поэтому он дает вклад только в переход первого запрета ДУ = 2, «да»; по величине этот вклад, однако, близок к вкладу матричного элемента перехода третьего запрета. Следовательно, член с у» играет роль лишь в переходах первого порядка запрета, как и показано в табл. 15.2. Болес слабые псевдоскалярные эффекты могут возникать и в разрешенных переходах.
Читатель легко заметит, что различные приведенные нами ядерные матричные элементы входят в вероятность перехода в виде произведений на функции от р и q, ст, и av> возникающие из-за лептонных волновых функций. Эти элементы можно вывести точно так же, как и в случае разрешенных переходов, но в таком виде они не представляют большого интереса, так как для них важны кулоновские поправки. Вернемся к основному выражению для вероятности перехода и выясним, как наши предыдущие результаты изменятся, если учесть электромагнитные силы, действующие между электроном и ядром.
Основные матричные элементы, получающиеся из (15.19) и (15.20), имеют вид
(Tfojl	(15.56)
i-i
’) Оператор У п определяется рекуррентной формулой, основанной на (Л.74), именно
»?= 2 <«-1
ц, X
где хх — компоненты г.
376
Глава 15
где 0 и 0' — операторы, действующие на указанные координаты, а У и ф — ядерная и лептонная волновые функции соответственно. Интегрирование по координатам лептонов дает
СР} | 2 [ф] (г,) О'ф. (г,-)] 0,-1 ¥(),	(15.57)
t—1
откуда ясно, что инвариант, построенный из лептонных волновых функций, должен быть проинтегрирован по ядру. Вместо выполнения интегрирования в явном виде мы воспользуемся тем фактом, что длины лептонных волн велики, и заменим ф/ и фг на первые члены их разложений в начале координат. Если лептоны описываются плоскими волнами, то Л(|р+ч|г() следуетзамепитьна | р+ qг! и мы приходим к матричным элементам, выписанным выше.
Следующий по простоте шаг, позволяющий, однако, напучить достаточную для многих целей точность, состоит в учете действующего на электрон центрального электростатического потенциала дочернего ядра п пренебрежении электрическим квадрупольным н всеми магнитными моментами. Волновую функцию можно и в этом случае разложить по состояниям с различными моментами, однако это более сложно. Поскачьку ст р — хорошее квантовое число только в случае свободных частиц, мы не можем пользоваться электронными состояниями с определенной спиральностью, но должны оперировать состояниями с определенными j и х, где х — оператор Дирака, определенный в приложении А,— имеет собственные значения ± (/ + Уг) и соответствует орбитальному моменту в нерелятивистском пределе. Место функций Бесселя теперь занимают радиальные волновые функции, соответствующие электростатическому потенциалу. Последние отличаются от функций для плоских волн двумя особенностями. Они имеют другую нормировку вблизи начала координат, так как электростатическое ускорение изменяет дачю времени, проводимую электроном вблизи ядра. (С несколько иной точки зрения изменение нормировки есть эффект проникновения через барьер.) Релятивистские электронные волновые функции имеют также иную радиальную зависимость. В случае потенциала вида Ze*lr они ведут себя при малых г как /*<*)“*, а не как г>*-И , где
s(x) = |xI-(aZ)2|,/2,
а а — постоянная тонкой структуры, равная приближенно Vis?. Следовательно, для разрешенных переходов первое приближение к волновой функции нс равно внутри ядра единице, а пропорционально /—,+’<1>«r-<“z>2/2, т. е. сингулярно в начале координат. Однако эго математическая, а не физическая трудность, так как потенциал равен Ze1/г только вне ядра и приближенно пропорционален rs в центральной области постоянной плотности, а волновые функции такого потенциала конечны в начале координат.
В матричный элемент (15.57) следует подставить эти новые волновые функции вместо ф< и фр Ранее мы уже аппроксимировали волновые функции внутри ядра с помощью г'; даже для новых функций произведение г"'ф—медленно меняющаяся функция. Конечно, если принять, что V = = —Ze2/г,-то отношение этих двух волновых функций будет пропорционально rs<x)—I*I r~(°z)®/2ixi t т_ е будет слабо зависеть от радиуса. Поэтому при интегрировании по нуклонным координатам этот множитель обычно выносят за знак интеграла с некоторым средним ядерным расстоянием /?. Обозначая разницу в нормировке через N, находим, что матричный
Бета-радиоактивность
377
элемент равен умноженному на NRs<-*)~] *1 матричному элементу, даваемому приближением плоских волн. В более общей форме вместо использования Ze4r в качестве потенциальной энергии в случае такого потенциала следовало бы учесть конечные размеры ядра и взять среднее значение волновой функции, соответствующей конечному ядру. В случае разрешенных переходов разница между этими двумя приближениями невелика, но в случае запрещенных поправка на учет конечных размеров ядра может достигать ~ 20% в некоторых членах вероятности перехода для тяжелых ядер.
Для разрешенных переходов вероятность излучения электрона с энергией Е равна
п (Е) = Д pEfFo (Z, Е)Ц.	(15.58)
Этот результат совпадает со случаем для свободных электронов (15.51) или (15.44) с точностью до множителя F = F0L0, называемого функцией Ферми и равного
1Г(з+"0|2 (2p/?)2<s-°, уГ(1 + 2э)|*
F0(Z, Е) = елц
(15.59)
где Z — заряд дочернего ядра, s = s (1) = [1 — (aZ)4]*/s, a i] = ± aZEIp (знак «плюс» здесь соответствует негатрону, а «минус» — позитрону). Для чисто кулоновского поля Lo = Уг (1 + s), но для поля ядра конечных размеров он имеет несколько иное значение. Отметим, что для Z < 137 функция Ферми F (Z, Е) стремится к единице, как и следовало ожидать. Величину R обычно берут как радиус ядра, хотя лучше подходила бы величина несколько меньшая — однако зависимость F от R слаба. Функция Fo и Lo или близкие к ним функции тщательно протабулнрованы в работах 133—36].
Другой эффект, на который следует ввести поправку, заключается в изменении электронной волновой функции вследствие экранировки ядерного заряда атомными электронами. Для [Г-распада максимальная поправка на этот эффект равна уменьшению F примерно на 5%; она несильно зависит от энергии, за исключением области совсем малых энергий (< 25лэв). Эта поправка играет значительно более важную роль при испускании позитронов низкой энергии; в этом случае она может вызывать возрастание волновой функции до десятикратных значений при больших Z. Важность поправки на экранировку иллюстрирует пример спектра Cuw, приведенный на фиг. 15.2. Поправки, полученные с помощью рассчитанных численными методами экранированных волновых функций, протабулнрованы в [34,37]. Эту поправку можно также вычислить с помощью приближенного метода, в котором F (Z, Е) заменяется на

Е2-1
(15.60)
где Уо — обусловленное экранированием изменение потенциальной энергии на поверхности ядра. Для атомной модели Томаса — Ферми Уо = = l,13a2Z4/s. Верхние знаки в (15.60) соответствуют распаду отрицательного электрона, а нижние — распаду позитрона.
378
Глава 15
В (15.59) и (15.60) Е и р —энергия и импульс электрона. В электрическом поле импульс не постоянен; в формулу следует подставлять асимптотическую величину, соответствующую такому расстоянию от ядра, на котором электрическим полем можно пренебречь. Разумеется, в любом прямом лабораторном опыте импульсы измеряются на таком расстоянии. Аналогично, хотя компонента спина а р не является, вообще говоря, константой для релятивистского электрона, она постоянна в свободной от сил области, где проводятся измерения. Вследствие этих соображений мы будем продолжать говорить об импульсе и спиральности электрона. Влияние кулоновского поля на различные угловые и спиновые корреляции в разрешенных переходах невелико, если взаимодействие инвариантно относительно обращения времени или если он представляет собой комбинацию либо (V, А)-, либо (5, Т)-взаимодействий 138, 39]. В частности, для (У, Л)-комбннации в случае, когда константы связи могут принимать комплексные значения, выражения (15.36)—(15.44) и (15.47) не изменяются, лишь умножаются на F (Z, Е). Небольшое изменение имеет место прн рассматривании корреляции между направлением вылета нейтрино и поперечной проекцией спина электрона. В этом случае скобки после п в (15.45) и (15.46) заменяются соответственно на конструкции
р * , s * . Е—s** * ctZ« -vP ьа—q +fl—тг-pp q—a-zrp xq
E E E	E
(15.61)
и
k -b ^pk p + — k x p	(15.62)
E E	E
В выражении для W (Mp, p, q, ±) в скобках также появляется дополнительный член
aZ
-
Е Т р
/((Л+1)-ЗЛ4
Л(2Л-1)
2 <	А А	А
-к рк р Xq.
(15.63)
В результате те выводы, к которым мы пришли, анализируя различные корреляционные и поляризационные эксперименты, совершенно не изменяются при учете электрического поля.
Вероятности запрещенных переходов значительно более сложным образом зависятот поляризаций и направлений излучения. В этой книге мы ограничимся вероятностями распада в функции только энергии электрона, т. е. вероятностями вида W (р, р). Более общие выражения даны в работе [401. Вероятность того, что ядро распадается и испустит электрон с энергией в интервале dE около значения Е, равна \V (р, q) dE, где
«7(р, р)= -Lp£p2F0(Z, E)S„.
(15.64)
Величина Sn, называемая фактором формы для перехода л-запрета, определяет форму зависимости W от Е. Выше мы выписали ряд матричных элементов, дающих переходы «-запрета; каждый из них соответствует какой-то части S„. Вообще
‘ sn = Sif)+ S(nn+‘)4-6n,iSt(0).	(15.65)
I
Бета-радиоактивность
379
Часть SV? обусловлена тензором ранга п, a 3» 1 — тензором ранга «4-1. Тензоры ранга меньше п могут давать заметные вклады лишь в переходы первого порядка запрета. При (V, Невзаимодействии мы имеем дело со сферическими тензорами 3<п (г), Тп (п— 1, а), Тп (п, а) и Тп+1 (п, о). Теорема Вигнера — Эккарта утверждает, что отношение матричных элементов для двух сферических тензоров Тп и S„ одинакового ранга п, т. е. величина
(Jf,	Mt)
не зависит от Mf, Mi и ц. Действительно,
(Jf, MfVK\Ji, Mi)= (JinM^JfM^W Tn IIi),
где (/ | Tn | i) называют приведенным матричным элементом. Мы можем ввести параметры £ и т|, определяемые следующим образом:
(/11У » (Г) IЮ = - Ип (f 11 тп (fl, О) 110,	,, с
(15.66)
(/II Тп (п— 1, а) || 0 = Пл ~ (!IIЛ (п, о) || 0-
Как было показано 1411, в предположении, что ядерные силы инвариантны относительно обращения времени, параметры £ и т| действительны. Эти параметры — порядка единицы, что для | очевидно, так как оба матричных элемента — порядка 7?’!; в случае т) это доказывается несколько сложнее, но можно заменить а на скорость, т. е. на производную от г, а последняя в свою очередь представляется в виде коммутатора г с гамильтонианом. Матричный элемент (/|а| i) составляет величину порядка i (f\ Ur — vH |t) = i (Et — — Et) (J | г 10- Другими словами, отношение матричного элемента от а к матричному элементу от г равно разности энергий между начальным и конечным состояниями. Приведенному доказательству можно придать большую строгость, если учесть присутствие других степеней г в Тп («—1, а), но для выяснения порядка величин достаточно и приведенных соображений. Разность энергий составляет величину того же порядка, что и изменение кулоновской энергии; в самом деле, если использовать полуэмпнрическую формулу, то единственным другим членом будет изменение энергии симметрии. Изменение кулоновской энергии — величина порядка aZ/R в естественных единицах и, следовательно, т| — порядка единицы. Более полный анализ этого вопроса [42, 431 дает для т] значения примерно от 1 до 3.
Матричные элементы входят в формулу вероятности распада в комбинациях вида
2 |(А,Л1/1П1Л,/И/)12
и
S (Jf, Mf\T*\JhMi)'(Jf, Mf\S£\Ji, М(),
следовательно, можно выразить через е и т|. Точнее, если обозначить [(27/ -|-1)/(27| + I)]1/» (f || Тп || 0 как Тп и действительное отношение gv/gs как х, то
380
I
Глава 15
о(Л)=(4л)г («-!)!, 3(2n—l)!!gA
+ 2A'v(1±^)Li|^
Т„(п,<г)2£{лиу/П
V=0 1
--------(1 T4)+
2n —2V+1
Mv(l±xg)2+
, Г / a.Z \г	uZ
+LV хц---------- + 2qxt| —- -
Д	27? )	2R 2i
1 Тх| ~ 27? 2л—2v+ I
_|_Д Jt<i»-v) Lv
2V-H
/1	J-\2 . П — 2v ,	25.21)
v(l zp xg) +——- + xT
«+1 J J
Верхний знак соответствует р~-распаду. Точно так же
S<n+i)  (4л)~п!
3(2п+1)1!
2 Л
(п.о) 2 5„v72('”v’/-v
V—о
(15.68)

и
5<о) __ (4л)~ *	3
2
To(l.ff) х
X Л4П—2А/0
J/3aZ 4л 27?
\ 3 4л 27?
(15.69)
5
3
2 i
где
С=-=----------------•
। \т0(1, <T)(aZ/27?) выражениях (2п +1)1! = 1- 3-5-. (2л 4-1) .	(л—v)2"-2v(2v+1)!	„	2"~2v
Д/iv------------------
В этих
(2n—2v)|(v|)2	' Bnv (2n—2v+l)|(v!)2 ’
a Lv, /Wv, 7Vv — определенные комбинации электронных волновых функций, вычисленных для некоторого среднего положения частицы в ядре. Обычно для всех этих функций, в том числе и для F (Z, Е), используется один и тот же радиус /?, хотя в принципе различные дня каждой функции средние значения радиуса были бы более точными. Приведем явные выражения для Lv, Afv, Nv-
л
0 PP t7 ~ R"Ivlg-(v+n+fUt 2pEF0 (Z, E)
Lv =
л
Mv =
2pEF0(Z, E)
R-Mv + i)
(15.70)
7Vv =
2pEF0(Z,E)
R	11/-(v + i>g-(v+1)—/v + lgv + Я-
л
Бета-радиоактивность
381
Функции /±v и g±v являются компонентами электронной волновой функции; ее более точное определение дано в приложении А. Главные члены вблизи
начала координат имеют вид
е±"
Если aZ < 1, то s (v) — v as — (aZ)s/(2v) и s (v) 4- v « 2v. Следовательно,
(15.71)
где e — знак заряда электрона. В том же приближении Lv = [pv/(2v -J-4- 1)!11а. Хотя aZ может быть малым, отношение aZIR « 2.5ZA-V» велико даже для довольно малых Z и, следовательно, A1v и Ny играют важную роль.
Функции Lv, Му и были численно рассчитаны как для ядра с точечным зарядом, так и для конечного ядра; табулированные значения их собраны, например, в работах [34—36, 441. Замечательно, что приближении
Ny = e(LyMy)''2,	(15.72)
сделанное в (15.71), выполняется с точностью более чем до 1% во всех случаях, кроме легких ядер, испускающих высокоэнергетичные позитроны — практический предел его применимости равен примерно 5 Мэв [451. Это позволяет несколько упростить выражение для Sn.
§ 4.	Форма спектра и времена жизни
Разрешенные переходы. Форму экспериментально измеренного [)-спектра обычно изучают с помощью графика Ферми — Кюри, т. е. кривой функции (п(Е) lpEF0)lh в зависимости от Е. Как видно из (15.64), эта функция совпадает просто с q (Sn/2«s)1/* = (Fo — Е) (Sn /2л3)1/1. Для разрешенных переходов Sn = Ео, которое постоянно, если не считать слабой зависимости от энергии, Вносимой поправками на конечные размеры ядра. Эти поправки легко учесть; действительно, из таблиц имеем F — F0Lo. Следовательно, для разрешенных переходов график Ферми — Кюри представляет собой прямую линию. Часто говорят, что такой спектр имеет статистическую форму, так как множители pEq2 в выражении для п (Е) определяются статистической плотностью состояний. В нашем изложении теории плотность состояний учитывается посредством нормировки волновой функции одной частицы на единичный интервал энергии.
Область, в которой эти графики линейны, была показана нафиг. 15.2. Заметим по ходу дела, что такая линейная форма кривых дает еще одно свидетельство того, что масса нейтрино равна нулю. Если бы она отличалась от нуля, то q2 следовало бы заменить на qEv, и функция Ферми — Кюри имела бы вид (IVZO— Е)1/2 [(1Г0 — Е)2— /Пу]1/1». Пересечение графика с осью Е происходило бы в точке =	— ту, а форма спектра на
конце была бы нарушена. Отсутствие нарушений и ограничивает верхний предел для массы нейтрино (ту < 5-10'4 те).
382
Глава 15
Спектры разрешенных переходов деформируются также в области низких энергий ввиду экспериментальных трудностей измерения низких энергий, а также вследствие теоретической трудности получения поправок на экранирование. Одно из экспериментальных усложнений, которое заслу-
живает специального упоминания,— это толщина источника: потери энергии в процессе прохождения через вещество либо источника, либо вспомогательного оборудования, очевидно, более важны для частиц малой энергии, однако они могут повлиять и на весь спектр. Эти потери энергии
и составляют одну из основных
Фиг. 15.3. График Ферми—Кюри для Sc4’ (по работе (46]).
фиг. 15.3, этот график оказывается
трудностей точного измерения формы спектра долгоживущих 0-актив-ных ядер.
Измеряемый спектр часто представляет собой комбинацию двух и более спектров. Это хорошо видно на примере Sc47. На фиг. 15.3 изображен график Ферми — Кюри для этого ядра. У верхней границы график линеен что указывает на присутствие разрешенного перехода с верхней границей 600 кэв. Около энергии 450 кэв график искривляется. Однако если учесть, что Sc47 может при распаде переходить не в единственное состояние ТВ7, а в несколько его состояний, то ясно, что спектр имеет вид п (Е) = Hi (Е) + п2 (Е). Продолжив прямую, соответствующую/и (Е), в область низких энергий и вычтя П\ (Е) из п (Е), мы сможем построить новый график п2 (Е). Какувидно нз линейным н имеет верхнюю границу
около 440 кэв. Таким образом, переход 600 кэв можно истолковать как переход в основное состояние, а переход 440 кэв — как переход в возбужденное состояние с энергией 160 кэв (= 600—440). Изучение у-лучей с энергией 160 кэв подтверждает это предположение; дальнейшим доказательством его может служить линейность графика Ферми — Кюри для электронов, регистрируемых в схеме совпадений с у-квантами.
За исключением этих эффектов, связанных с возможностью сложных распадов и с экспериментальными искажениями, графики Ферми — Кюри для всех переходов, удовлетворяющих разрешенным правилам отбора.
должны быть линейны.
Переходы первого порядка запрета. Для запрещенных переходов нельзя ожидать линейных графиков, так как в этом случае S„ зависит от импульсов электрона и нейтрино. Тем не менее для многих переходов первого порядка запрета с ДУ = 0 или 1 и изменением четности графики оказываются линейными, тогда как переходы с ДУ — 2 нс имеют линейных графиков. Это обстоятельство можно понять, сравнивая величины Lv, Mv и Nv с учетом того, что Mv больше, чем Lv и Ny. Из соотношения (15.71) следует, что MylLy составляет величину порядка (aZ/2/?)’, т. е. довольно велико. Вспоминая (15.72) и предполагая, что различные ядерные матричные элементы — одного порядка величины, мы видим, что главные члены
I
Бета-радиоакт ивност ь
383
в St определяются соотношением (15.67) с учетом (15.69) и имеют вид
.	/7— aZ
ex£) + e-|/Loxi] —
Z/\
Т,(1,а)ЦУЯГв(1
(15.73)
Слабая зависимость от импульса, как и в случае разрешенных переходов, имеет место только в функции Lo.
Это рассуждение не верно, если оказывается очень близким к 1; в этом случае главные члены в S" становятся малыми, а члены, зависящие от q, начинают играть существенную роль. Следовательно, если исключить зо -
20 г
0.34 0,07%
2 +
1071.5
КЭЛ
О
934,3 кэо
100	500	1000
E, кзв
Фиг. 15.4. График Ферми —Кюри
маловероятное сокращение ядериых матричных элементов, то фактор формы спектра первого порядка запрета будет слабо зависеть от энергии1), если Д7 = О или 1. В качестве примера запрещенного спектра с разрешенной
формой на фиг. 15.4 показан спектр [7Г Re18*. Исключения составляют ядра \р«’ Sb,2‘ и Bi410 (RaE): их спектры не имеют статистической формы.
Однако если Д7 = 2 и при переходе меняется четность, то переход оказывается запрещенным в первом порядке запрета и форма спектра определяется выражением
t-
о?1
£ | J 7,(1. <г)|2(1<7%>+£|) .
(15.74)
В пренебрежении кулоновскими эффектами последний множитель здесь равен 1/tt(<72-h рг). Легко показать, что
для перехода первого порядка запрета = 1, «да» в случае Re189 (по’ра-боте |47|).
а — спектр в соипа дсник с у-квавтамп Ь — спектр, квАдениый вычитанием спектра и на полного (с).
в зависимости от верхней границы спект-
ра график Ферми — Кюри изображается одной из трех кривых, показанных на фиг. 15.5. Так как форма спектра здесь совершенно не зависит от значений ядерных матричных элементов, эти переходы, хорошим приме-
’) Вапстра показал |45|, что в приближении следующего порядка по Mo/Lo величина St становится пропорциональной (1 + kq)1, где k — постоянная. Следовательно, если построить график Ферми — Кюри, поделив ординату на 1Г0— £, то мы получим прямую с наклоном, равным — А/(1 + Wo). Этот график обеспечивает более точный анализспектра первого запрета. Например, для AulMпостоянная k = = 0,058, а для Re188 (переход на первое возбужденное состояние Osiee) k = —0,06.
I
384
Глава 15
ром которых является Y®*, часто называют уникальными. На фиг. 15.6 изображен полученный экспериментально график функции (л (£)/p£F0)l/8‘. его
Фиг. 15.5. Графики Ферми — Кюри для уникальных переходов первого порядка запрета.
Граничные внергпн раины U'a=3/5 и Wh~\ + \! Уз=я1,577 (кулоновские по-правки опущены). Следовательно, любой переход с верхней границей более примерно 0.8 Мм имеет спектр третьей формы.
вид сходен с кривой, предсказываемой для этой функции теоретически (см. фиг. 15.5). В качестве точной проверки берется график функции [л /{pEF0 (р* + <72)) 1*л; он
должен быть строго линейным. Это обстоятельство проиллюстрировано на примере Y01. Таких переходов было изучено свыше 20.
Высшие порядки запрета. Для переходов высших порядков запрета верны аналогичные соображения. Переходам л-го порядка запрета с A J = n-|- 1 и соответствующим изме-
нением четности также
Фиг. 15.6. Графики Ферми — Кюри для уникального перехода первого порядка запрета в случае Y®1.
Кривая линия представляет собой стандартный линейный график функции (»/рЕГ)1/е. поправленный на множитель формы (ps+r/s) (по работе (•I8J).
свойственна уникальная форма спектров. Это было установлено как для перехода второго порядка запрета с AJ = 3, «нет», так и для перехода третьего порядка запрета с A J = 4, «да». Примером первого случая могут служить ядра Be10 и Na , оба обладают достаточно малыми Z, что позволяет пренебречь кулоновскими поправками к величине S(,3>, для которой получаем
S?~ql-A2p2+p. (15.75)
О
Па фиг. 15.7 приведены спектры Be10 с учетом и без учета этих поправок.
Бета-радиоактивность
385
Переход третьего порядка запрета с Д.7 = 4, «да», реализуется при распаде естественно радиоактивного изотопа К<0. Пренебрегая кулоновскими поправками для S<34>, получаем
+ 7p2q* + 7p*q2+р*-	(15.76)
совпадение с экспериментом иллюстрируется на фиг. 15.8.
Переходы второго и третьего порядка запрета, которым не свойственны уникальные спектры, вообще говоря, не имеют разрешенной формы. Если
Фиг. 15.7. График Ферми для Ве*«. Кривая о—стандартный график для разрешенного спектра; кривая b изображена с учетом функции, заданной соотношением (15.75) (по работе [49]).
Ф и г. 15.8. Обычный (а) и поправленный (б) графики Ферми для К4® (по работе [50]).
сохранить только члены высшего порядка по aZ//?, то можно ограничиться функцией приближенное выражение для которой имеет вид
S<n>
Г4-1
V=0
(1 —ех£) МУ2-Ь exn — L,/2
(15.77)
Для переходов второго порядка запрета, включающих только v — 0 и 1. выражения (15.71) достаточно точны, и в отсутствие случайного сокращения матричных элементов можно записать
5^~р2 + М2.	(15.78)
где
?_ 4(1 — ех^+ехт])2 (1—ел'£ 4-2erq)s
Если X — порядка 1, то S<2> имеет ту же общую форму, что и р2 + q2 — поправка к уникальному переходу первого порядка запрета. Это подтверждается на примере О37, обычный график Ферми для которого изображен на фиг. 15.9. Этот график оказывается линейным при X = 0,6. С другой стороны, график перехода Cs137 в основное состояние Ва137 с Д/ = 2, «нет», имеет противоположную кривизну (см. фиг. 15.10). Требуемая величина X (~ 10) много больше, чем в случае С1зв. Однако оба значения X не противоречат допустимым значениям ядерных матричных элементов, т. е. £ и т] остаются близкими к ± 1.
Подробно изучен спектр неуннкального перехода третьего порядка запрета в случае Rb87. Спектр, изображенный на фиг. 15.11, был объяснен с помощью фактора формы S(/> с точными значениями Lv, Mv и jVv и с разумными значениями 5 н Л 153].
25 Заказ № 37
386
Глава 15
Хотя формы спектров не однозначно определяют особенности 0-рас-падного взаимодействия, ясно, что они согласуются с представлениями теории (V, Невзаимодействия. Здесь мы, однако, еще не рассмотрели один
Фиг. 15.9. Обычный график для 0-спектра (по работе [Ь1]).
Ф и г. 15.10. График Ферми для пысокоэнер-гетичной части 0-спектра Cs13’(по работе [52]).
аспект теории, а именно возможность присутствия псевдоскалярного взаимодействия. Так как оно дает вклад в матричные элементы с оператором Ру&» действующим на ядерные состояния, то нерелятивистское приближение усложняется; оказывается необходимым вычислять производные от лептонных волновых функций еще до выделения их из матричного элемента
(V/ih I PYs{PYs}l I 'M’O- В результате спектры приобретают форму, с которой мы еще не имели дела. Однако можно показать, что правила отбора и величины псевдоскалярных матричных элементов таковы, что это взаимодействие играет заметную роль только в переходах с A J = 0, «да», интерферируя с аксиально-векторным взаимодействием 143]. Отдельные случаи. Рг14‘, Но1’* и Т1207, изучены и удовлетворительно объяснены без обращения к псевдоскалярному взаимодействию [54 —581.
Бета-радиоактивность
387
Времена жизни. Скорость p-распада дается выражением tvo	.
Х= W(p, q)dE = -\ ( pE(W0—E)2F0(Z, E)Sn (Z, E)dE. (15.79) J	2л J
Его величина зависит не только от заряда Z и ядерных матричных элементов в Sn, но также очень чувствительна к №<>• В самом грубом приближении X пропорциональна №*. Для большой точности выделим зависимость от энергии, введя так называемую величину ft. Период полураспада I равен
z ln2 Л ’
а величина f имеет виД
и.
f(Z,WZ0)= J F0(Z, E)pE(Wn—E)2dE.	(15.80)
1
Для разрешенных переходов
// = 2л’(1п2)[(£о) (gv	+ 19Ла |2)Г’,	(15.81)
где (Lo) — среднее значение Lo, соответствующее конкретному переходу. Отсюда следует, что, поскольку (Lo) практически равно единице, величина ft является мерой присущей ядру «склонности» к Р-распаду: чем меньше величина матричных элементов, тем больше величина ft. Для величины f имеются обширные таблицы 133—36].
Для запрещенных переходов величина fl не может служить прямой мерой ядерных матричных элементов, поскольку в результирующее выражение входят различные величины, такие, как (Lv) и Однако (£v) и (Mv) появляются чаще всего в комбинациях, которые по порядку величины равны единице. Поэтому относительная величина ft для запрещенных переходов в основном определяется величиной | Тп (л, о) |2 (aZ/2R)2, если преобладает S<">, и величиной' Тп+1 (п, о) |2, если преобладает Следовательно, по величине ft можно определить порядок запрета спектра. Так как величины ft меняются в широких пределах, обычно приводят^// и измеряют период полураспада в секундах, тем самым относя величины ft к единицам tJmc*. Например, величина ft для нейтрона равна 1170 ± 35 или lg ft = 3,07.
Какие значения ft можно ожидать для других ядер? Перекрытие волновых функций в случае распада нейтрона максимально, поэтому следует ожидать уменьшения (может быть даже весьма значительного) матричных элементов других разрешенных переходов. Следует отметить, что матричные элементы соседних порядков запрета отличаются друг от друга на множитель порядка R, т. е. примерно на К)"2, поэтому изменение на 4 или 5 единиц в lg ft нс будет казаться неожиданным. Заметим также, что фактор формы S^n+,) для уникального перехода меньше, чем на множитель (2RlaZy. Следовательно, lg ft для уникальных спектров может быть примерно на 2 единицы больше, чем lg ft для других переходов того же порядка.
Эти предположения порождаются экспериментом. Сравнивая все распады, удовлетворяющие правилам отбора для разрешенных переходов, можно заметить, что они распадаются на две группы. Для одних lg ft лежит в области 3,0—3,7, а для других — в области 4—6. Мы полагаем, что пер-
.25*
388 Глава 15
вую группу образуют распады, в которых материнское и дочернее ядра имеют весьма сходную структуру, такие переходы называются облегченными, или сверх разрешенными. Для переходов первого порядка запрета с = О или 1 величина lg ft близка к 7. Для таких же переходов с Д£ = 2 lg ft близок к 9, хотя для некоторых из них lg ft не больше 7, а для других— не меньше 10. Этот разброс можно уменьшить, если ввести поправочный множитель (р2 + q2) в *f»t, тогда значения lg ft группируются в интервале между 7,4 и 9,0.
Для переходов второго порядка запрета lg ft лежит между 12 и 14. Значения lg ft для переходов третьего порядка запрета группируются вблизи 18, а один случай перехода четвертого порядка запрета, именно In116, дал lg ft = 23,02.
§ 5.	Захват электронов
Развитую выше теорию легко применить к электронному захвату. В уравнении (15.20) ф( — волновая функция, описывающая электрон в материнском атоме, а ф/ — волновая функция вылетающего нейтрино. Отличие процесса от позитронного распада состоит в том, что в последнем случае ф| представляет электрон с отрицательной энергией, находящийся в области непрерывных энергий, причем ф( нормирована на одну частицу произвольной энергии, тогда как атомные состояния характеризуются дискретными значениями энергии. Следовательно, вероятность захвата не содержит статистического фактора pjE, и для разрешенных переходов вероятность захвата с произвольной атомной оболочки X имеет вид
= —2	+	1| 4-£л|	(15.82)
В этом выражении £хх и /Хх —радиальные функции, входящие в релятивистское выражение для волновых функций электрона на оболочке X, вычисленные на некотором среднем расстоянии от ядра. В случае водородоподобной атомной волновой функции К-оболочка — на и низ шее состояние; ей соответствуют квантовые числа п = 1 и х = — 1, и в нерелятивистском приближении она представляет «1/а-состоянне. Оболочкой L называют оболочку сп~ 2; для подоболочки £j квантовое число х = — 1, и она представляет нерелятивистское 251/а-состояние; подоболочка Lu имеет х = 1 и соответствует р|/г-состоянню, а подоболочка Lui с х = —2 соответствует р»/2-состоянию. В нерелятивнстском приближении заметный вклад в захват электронов будут давать только К- и Li-оболочки, так как только волновые функции частиц с I = 0 конечны в нуле. Однако малая компонента релятивистской волновой функции с х = 1, т. е. ftx, ведет себя как функция с I — 0, хотя основная компонента ведет себя как р-функцня. Следовательно, оболочка Lu также дает конечный вклад; величина его определяется отношением
/1П 3
— = ^(aZ)2,	(15.83)
g‘i
которое меняется от 8-10'2 для Z — 94 до 1 • 10"3 для Z = 14.
Вклад £ш электронов не исчезает только благодаря конечности размеров ядра и составляет лишь величину порядка /?2 по отношению к вкладу
Бета-радиоактивность
389
Lii-оболочки. Для s-электронов, т. е. для оболочек К, Mi, Li, существенной оказывается только главная компонента g_t, х и для Л получаем
S^-t.xQx^-	(15.84)
Импульс нейтрино qx зависит от оболочки; как следует из уравнения (15.2),
<7х = ДМ —Вх.	(15.85)
Эта зависимость существенна только в тех случаях, когда энергия связи для К-оболочки Уг (aZ)2] сравнима с ДМ; в таких ситуациях при оценке вероятности захвата с разных оболочек необходимо использовать точное значение энергии связи электрона.
Простейшее приближение для g~t в (15.84) дает нерелятнвистская водородоподобная волновая функция, вычисленная в нуле:
„г I
Я-.,х- у
/ 2aZY\3
\ пх )
(15.86)
где пх — главное квантовое число (пк = 1,«l = 2 и т. д.), а Zx — эффективный заряд для Х-оболочки. Использование эффективного заряда носит приближенный характер, но этот прием позволяет учесть экранирование поля ядра другими электронами атома. Слэтер дает для Z следующие значения:
ZK = Z—0,35, ZL = Z—4,15.
(15.87)
Взяв релятивистскую, но все еще водородоподобную волновую функцию, мы получим
g-- = 2T^(2aZK)’(2a^r*
(2-В, )(2«+1)(25+2)-‘
—----------Г,-----(2aZL])3 (2aZ, /?)	(15.88)
4Г(2«+1)Ц2«+2)/2-Н]	1
s=(l-a2Z^‘/«
1 —

Для /(-оболочки приведенные формулы достаточно хороши, однако для L-оболочки поправка на экранирование уже недостаточно точна. В случае малых Z, когда релятивистские эффекты несущественны, можно использовать самосогласованную волновую функцию Хартри. Для высших Z Рейтц 137] вычислил релятивистские волновые функции, исходя из статистической модели атома Томаса — Ферми с учетом обмена.
Эти вычисления позволяют получить точные значения относительной плотности вероятности для L\- и K-электронов в ядре. Это отношение приведено на фиг. 15.12. Разность между результатом точного расчета и значениями, полученными с помощью (15.88), для оболочки Lj заключена
390
Глава 15
Фиг. 15.12. Отношение	как
функция Z.
Использованы наиболее точные волновые функции электрона (по работе [59]).
в интервале между 20 и 50?Ь. Для отношения LnlLi формула (15.83) достаточно надежна.
Мы видим, что L-захват никогда не составляет существенной части /(-захвата, если только энергия перехода не настолько мала, что оказывается существенным изменением в энергии нейтрино. Были также проведены оценки вероятности захвата из М-оболочкн; они показали, что только в редких случаях она превышает 2—3% вероятности /(-захвата.
Всегда, когда возможен позитронный распад, возможен и /(-захват. В этих случаях может представить интерес отношение вероятностей /(-захвата к ^‘-распаду, так как, аналогично отношению вероятностей /(-захвата к 1-захвату, оно не зависит от ядерных матричных элементов в ядре Л, но только от электронных волновых функций. Из соотношений (15.80) и (15.84) получаем к-	• (15.89)
2 f
Чтобы выяснить смысл этой формулы, можно прибегнуть к некоторым довольно грубым упрощениям. Запишем интеграл (15.80) для f в виде Flo (№о), где /о (Wo) определен соот
ношением (15.28а), a F — среднее значение F. Используя (15.86) и вспоминая, что Вк 1, получаем
Хк _ 2л (aZ)3 (Ц7о+1)г
*Р+	FI0(W0)
Интеграл 1O(WO) быстро растет с ростом №0. При больших /0 да l/30 При малых Z и больших №0 F ~ 1 и,следовательно, Хк/Хр* = 60л(а£/№о)э. Таким образом, в случае легких элементов с достаточно высокой верхней границей спектра /(-захват менее вероятен, чем позитронный распад. Когда IV'o приближается к порогу позитронного распада или возрастет Z, К-захват становится более вероятным. Более точные значения отношения вероятностей приведены на фиг. 15.13.
Может происходить также запрещенный электронный захват. Вероятность такого процесса имеет вид
Хх = -Ц^5л'(Х),	(15.90)
4л"
где S'n(X) определено в (15.65), qx — энергия нейтрино, a Lv, Mv и Nv даются выражениями
FV = R 2V lg2-(v+l),X
/Vfv = R 2<v+1)lgv+i,x + f-(v+t),xl.
Ny = R 2' ' ff-(v+i),.¥g-(v + l),X—/v+l,X gv+i.jd-	(15.91)
Для данной подоболочкн отличен от нуля только один из членов, стоящих в скобках. Например, для подоболочки (х= —2)
Бета-радиоактивность
391
M1=/?~7a_2L ,
' ’LIH
/¥, = /?"’/-! t g-iL ,
I М-щв
а все другие функции равны нулю. Заметим, что для /(-захвата NI строго равно произведению LVMV. На этом мы закончим обсуждение запрещенного К-захвата.
Экспериментальная проверка теории электронного захвата основывается в принципе на измерении отношения Это отношение можно
Ф и I. 15.13. Отношение нероятностиа/<-захната к вероятности Р+-распада (по работе’ |60|).
найти, л ибо^ исследуя у-кванты и электроны Оже, излучаемые дочерним атомом, либо сравнивая число позитронов с полным числом актов распада, которое может быть можно определить по некоторым особенностям активности дочернего ядра. Такие измерения были выполнены для многих источников позитронов и, хотя получаемые результаты не очень точны, они согласуются с теорией [61]. Отношение вероятности L-захвата к вероятности K-захвата измерить гораздо труднее; в случае, например, Аг37 экспериментальное значение, равное 0,087, хорошо согласуется с теоретическим значением 0,082 [62]; для других ядер результаты имеют неопределенный характер.
Интересно отметить, что вероятность электронного захвата должна зависеть от малых изменений химической среды, в которой находятся ядра, так как действие среды на атом приводит к искажению электронной волновой функции. Этот эффект будет сильнее для легких элементов. Различие примерно в 0,08%, имеющее подобное происхождение, было обнаружено между вероятностями захвата для Be’ в BeF2 и в металлическом Be [63].
392
Глава 15
§ 6. Ядерные матричные элементы
Кроме основных свойств ядра, таких, как спин, четность и спектр уровней, влияние ядерной структуры на 0-распад заключено в матричных элементах. Эти матричные элементы, или их отношения, могут быть найдены из ft величин, угловых корреляций и форм спектров. Однако экспериментальные результаты зачастую дают лишь определенные соотношения между матричными элементами, и только в отдельных случаях мы Сможем привести надежные экспериментальные значения самих матричных элементов. Даже в этих случаях непосредственно определяемой величиной является матричный элемент, умноженный на константу связи. Но поскольку нуклон находится в л-мезонном поле ядра, можно предполагать, что эти константы несколько отличаются от констант, характеризующих распад свободного нейтрона. Мы еще весьма далеки от точной формулировки теории этого эффекта, однако следует ожидать, что в силу короткодействующего характера нуклонных корреляций этот эффект будет слабо зависеть от атомного номера. Другими словами, различие, если таковое существует, между константами связи для нейтрона и для ядер нс будет расти с увеличением А для А, превышающих 10 или 15. Поэтому, не забывая о существовании некоторой неопределенности в этом вопросе, мы все же будем считать, что gv и gA не зависят от А.
Имеются экспериментальные доказательства того, что значения констант для ядер не сильно отличаются от соответствующих значений для нейтрона. В случае некоторых переходов удается получить надежные значения матричных элементов. Наиболее точны значения матричных элементов для разрешенных переходов типа Ферми
|ял^ I1 = । с?; 12 41 vf) г=। (v; । т± । vo г,
t
где Т± = Tt ± iT2—операторы, переворачивающие полный изоспин ядер. Если изоспин Т — хорошее квантовое число, то ЭДр отличен от нуля только в тех случаях, когда начальное и конечное состояния имеют одинаковые значения нзоспина Т. В этом случае для | ЭЗ? к |я получаем
|эдЯ2=7’(Т-Ы)-7’м7'3/.	(15.92)
Здесь предполагается, что остальные характеристики состояний идентичны, так что пространственная и спйновая функции полностью перекрываются. Как мы видели в гл. 8, эти условия выполняются, если ядерные силы удовлетворяют принципу зарядовой независимости, кулоновские эффекты в волновой функции пренебрежимо малы и нуклоны исходного и конеч-ного ядер остаются на одной и той же оболочке. Довольно точное значение gv найдено из распада ядра О14, которое в основном состоянии имеет Т = 1, /=0н переходит в первое возбужденное состояние N14 также с Т = 1, J = 0 (см. § 5 гл. 8). Все предположения, лежащие в основе соотношения (15.92), в этом случае выполняются, и для | ЭД |2 мы получаем | ЭД |а = 2 с оцениваемой точностью выше 1%. Значение ft для О14 было точно измерено [64—67], откуда для константы связи получаем^ = (1,418 ± 0,004)-КГ49 эрг-см3. Это число несколько превышает значение gv, определенное из распада нейтрона, однако возможные ошибки перекрываются. Столь же простого способа проверки величины gA не существует, так как не существует не зависящих от модели значений эдст.
Значение^ для О14 с точностью до 1,0% совпадает с константой gv для ц-распада, причем указанное различие можно отнести за счет электро
Б ета-радиоакт ивност ь
393
магнитных поправок [64— 67J. Это обстоятельство может служить аргументом в пользу теории сохраняющегося векторного тока.
Результат (15.92) должен давать особенно удачное согласие в случае зеркальных ядер с нечетным А и четных ядер типа А — 4«4- 2. Различие между 4л и 4/14- 2 ядрами состоит в том, что основное состояние четночетных стабильных ядер это состояние с Т — 0, а их состояния с Т = 1 несут довольно большую энергию возбуждения. В то же время основные состояния нечетно-нечетных ядер обычно имеют J Ф 0, так что yjtar Даст вклад в переход. С другой стороны, для А = 4/14- 2 и малых Z стабильные ядра нечетно-нечетны, а основные состояния четно-четных ядер с Т — 1, J = 0 могут распадаться на низколежащие состояния дочернего ядра с Т = О, J = 0. Даже когда дочернее ядро четно-четно, материнское нечетно-нечетное ядро в основном состоянии может иметь Т = 1, J = 0, как, например, в случае nd34.
Для ядра с нечетным А нетрудно вычислить значение	о
по чистой одночастичной модели. Результат имеет вид
(1593)
где
•Fe = J ^RtRtdr,}	(15 94)
a Rt и Rf — радиальные волновые функции начального и конечного ядер с соответствующими значениями квантовых чисел п и I. Постоянная С определяется следующим образом:
	/ /4-1	для	Д/ = 0	и	'-'-г-
С=	/4-1 /	ДЛЯ	д/=о	и	
	2(2/74-1) 2/4-1	ДЛЯ	Д/=1	и	Я 4-/7 = 2/.
Следует отметить, что переход запрещен, если /,=/= If, кроме того, если предположить, что одночастичный ядерный потенциал в начальном и конечном ядрах одинаков, то jT0 совпадает просто с условием ортогональности и j о|2 сводится к C6fjf/6n(n/. Следует ожидать, что эти простые соотношения будут выполняться только для ядер, атомный номер которых А отличается не более чем на 1 от магического числа, т. е. для ядер Н3, О15, F17, Са39 и Sc 'u. Соотношения (15.92) и (15.93) с константами gv и gA> определенными из распада нейтрона, дают блестящее согласие величин ft с экспериментальными значениями для всех перечисленных выше ядер, за исключением О15, для которого расхождение достигает 25%. Это согласие свидетельствует о том, что аксиально-векторная константа связи не существенно перенормируется в разных ядрах. Поведение О15 типично для зеркальных ядер, средн которых большинству свойственны несколько завышенные значения величины ft, по сравнению с предсказаниями оболочечной модели; это обстоятельство также характеризует пределы применимости оболочечной модели.
394	__ Г л я в а 15	_
Можно ожидать, что ядра с особенно большими значениями ft будут иметь и наибольшие отклонения от линий Шмидта для статических магнитных моментов, так как оба эффекта обусловлены тем, что полный момент количества движения ядра не сводится к моменту одного нуклона. Действительно, нетрудно видеть, что для зеркальных ядер
J	(15.95)
где (а,) —среднее значение спина для нсспаренного нуклона в материнском или дочернем ядре. С другой стороны, как в оболочечной модели со смешиванием конфигураций, так и в коллективной модели <сгх> выражается через магнитный момент ядра ц. В коллективной модели имеем
гдеИ — коллективный момент количества движения. Используя соотношения такого типа, можно приближенно получить матричный элемент <т из эмпирических значений магнитного момента р. Эта процедура позволяет несколько улучшить соответствие между вычисленными и наблюдаемыми экспериментально временами жизни. Корреляция между величинами ft и статическими свойствами ядер была обнаружена для ядер р- и d-оболочек в рамках одночастичной модели (схема промежуточной связи) (68, 691.
Однако зеркальные ядра имеют значительно меньшие величины ft, чем другие разрешенные переходы. Действительно, все облегченные переходы (с lg ft <4) представляют собой либо распады зеркальных ядер, либо ядер с А — 4п -f- 2. Этот факт просто отражает зарядовую независимость, так как в любой ядерной модели состояния легких ядер с одинаковыми J и Т должны быть более близкими друг к другу, чем аналогичные состояния тяжелых ядер. В самом деле, результаты для тяжелых ядер свидетельствуют о том, что смешивание конфигураций или другие модификации простой оболочечной модели играют существенную роль. Значения lg ft для разрешенных необлегченных переходов лежат между 4,6 и 5,6. Это означает, что такие переходы замедлены примерно в 10—100 раз по сравнению с предсказанными оболочечной моделью. Таблицы Бора и Моттельсона (701 дают для множителя замедления числа в интервале 0,16—0,005. Более того, оболочечная модель запрещает переходы с А/ — 2, такие, как рз/, -* fn/t, которые в других случаях, вообще говоря, могут быть разрешены. У ядер с нечетным числом нейтронов и атомным весом Л в интервале между 60 и 70 состояния р»/г и f6/s очень близки; один ядра имеют 3/2" в основном состоянии и ‘/г’ в возбужденном; в других ядрах порядок уровней обратный. Соответствующие ядра с нечетным числом протонов имеют в основном состоянии спин 8/а~. Например, наблюдаемое рэ/а-состояние Си87 распадается предположительно с переходом в основное состояние Д/2 Zn87, имея 1g// = 6,3, и в возбужденное состояние 3/2", имея lg ft = 5,7. Предполагаемый переход сД/ = 2 лишь слегка подавлен по сравнению с переходом с Д/ = 0. Имеются и другие аналогичные случаи. В среднем оказывается, что /-запрещенность лишь слегка уменьшает матричные элементы, тогда как согласно чистой оболочечной модели такие переходы должны быть переходами второго порядка запрета.
Эти результаты легко объяснить, допустив смешивание конфигураций в определенной пропорции. В качестве иллюстрации рассмотрим характерный необлегченный разрешенный распад Вг” (3/2") -► Se77 С/г") с lg ft =
Бета-радиоактивность	395
— 5,8. Наиболее приемлемыми конфигурациями для последних нейтронов и протонов в В г77 будут следующие: для протонов (р»/а)3 (/s/а)4» нитронов (gt/J*- В Se” наиболее правдоподобна для нейтронов, по-видимому, конфигурация (g0/2)4 pi/3- Если бы конфигурация протонов в Se была чистой (р«/2)2 (Л/г)4. то переход' был бы просто рз/2 -> pi/2, а матричные элементы имели бы облегченные значения. Однако волновая функция предположительно является линейной комбинацией различных протонных конфигураций, таких, как (рз/J* (fs/J*, и эти конфигурации не дают вклада в матричный элемент, так как одночастичные операторы допускают изменения только для одной частицы при переходе из начального в конечное состояние. В результате оболочечный матричный элемент умножается на коэффициент, представляющий в этой линейной комбинации конфигурацию (рэ/,)2 (Д/2)4; если этот коэффициент равен 0,7, то вероятность распада будет умножаться на (0,7)2. Конечно, эта картина слишком упрощена; начальное и конечное состояния могут иметь более сложную природу, чем это предполагалось выше. Однако уже отсюда ясно, почему лишь немногие из переходов оказываются облегченными. Этот же эффект позволяет объяснить отсутствие сильного подавления распадов с Д/ — 2. В характерном случае Си®’, рассмотренном выше, основное состояние Zn8’ может содержать с наибольшим весом конфигурацию, дающую нулевой вклад в матричный элемент, при этом заметным окажется вклад от других конфигураций, содержащих нейтроны в состоянии рз/2.
Следует отметить, что эти результаты может объяснить любой механизм, обеспечивающий смешивание конфигураций. И парные силы между частицами, и связь с коллективными колебаниями дают удовлетворительную картину.
С другой стороны, в ряде случаев, относительно которых известно, что к ним применимы правила отбора для разрешенных переходов, оказывается, что lg ft >7. Основательно исследованы распад С14, переходы О14 в основное состояние N14 и переход Na22 в одно из возбужденных состояний Ne22, а также распад Р32. В этих переходах благодаря некоторым индивидуальным особенностям структуры ядер матричные элементы оказываются аномально малыми. Ввиду высокого порядка запрета вероятности таких переходов весьма чувствительны к самым малым изменениям волновой функции, поэтому такие случаи требуют специального обсуждения.
Тщательное изучение ядер с А = 14 оказалось очень плодотворным. Основное состояние О’ ядер С14 и О14 распадается в состояние 1‘ N14co значениями ft, равными 1,12-10’ и 2,0-10’ соответственно; эти значения на несколько порядков превышают предсказанные одночастичной моделью. Однако эти переходы предположительно должны быть разрешенными, так как в отсутствие изменения четности наинизший по порядку запрета переход, который может дать вклад — это переход второго порядка запрета, а его вклад уменьшен еще примерно в 103 раз. Более того, спектры имеют разрешенную форму. По одночастнчной модели волновую функцию системы из 14 частиц можно записать в виде волновой функции двух дырок, которые могут образовывать триплетные и синглетные спиновые и изоспнновые состояния и различные состояния по орбитальному моменту. Волновые функции О14 и С14 имеют вид
У, = {Ost (*S0) + аР ф(3Ро)Г (Т)±Ь	(15.96а)
а волновая функция основного состояния N14 дается выражением
т;={ а8ф (35Г) + аР ф (*РГ) + aD ф (3 D Г)) * (т)0.	(15.966)
396
Глава 15
Обозначения для двухдырочных волновых функций самоочевидны, и нетрудно убедиться, что приведенный матричный элемент имеет вид
2
(V/1| V <г4 ||^) = 2,/2(asas-3-%Pap)-f —1
Следовательно, суммируя по конечным состояниям, получаем
! J о|2 = 6| as a's— 3-1/2аРа'р |8.	. (15.97)
Так как векторное взаимодействие вклада не дает, то величины ft зависят только от относительных величин и фаз S- и P-компонент волновых функций. Они же, в свою очередь, зависят от вида нуклон-нуклонных сил, выбранного для расчета в оболочечной модели. В гл. 8 было показано, что уровни энергии можно успешно предсказать на основе упрощенного центрального потенциала Розенфельда и достаточно сильного спнн-орбитального потенциала. Можно показать, что никакая комбинация центральных и (l-s)-cwi не может привести к сокращению asa's с ара'р такому, чтобы правая часть выражения (15.97) оказалась малой. Поэтому Висшер и Феррел [711 ввели тензорные силы. С помощью тензорных сил, полученных в низшем приближении мезонной теории, довольно слабых спин-орбитальных сил и центральных сил с приблизительно серберовским обменом им удалось подобрать константы так, что оказалось возможным добиться согласия со спин-орби-тальным расщеплением в системе с А = 5, энергией связи для Не4, с уровнями энергии в ядрах с А = 14, с магнитными и квадрупольными моментами N14, вероятностями у-распада N14, а также величинами// и сечениями пр- ирп-реакций па С14 и N14, несовпадения для сечения реакции N14 (dp) N15 получено не было. Это впечатляющее согласие свидетельствует о том, что при вычислении многих величин по оболочечной модели необходимо учитывать тензорные силы, хотя некоторые статические свойства ядер и не чувствительны к их присутствию.
В случае сильно деформированных ядер появляются дополнительные правила отбора по квантовым числам коллективной волновой функции. Простейшее и наиболее важное из этих правил относится к компоненте полного момента К вдоль оси симметрии ядра. Сферический тензор ранга п имеет отличные от нуля матричные элементы между двумя состояниями, с квантовыми числами J, М и К, если	Jf и АК < п —
результат, который мы уже обсуждали в связи с электромагнитными переходами. Операторы разрешенных переходов 1 и а являются тензорами ранга О и 1, следовательно, переходы с ДК>2 запрещены. Переходы в основное состояние, запрещенные по К, обычно запрещены и по J, так как в низшем состоянии полосы J = К всегда, кроме случая К = Уг. Однако в случае переходов в возбужденные состояния /(-запреты могут играть важную роль. Схемы распадов деформированных ядер с А = 175 и 176 изображены на фиг. 15.14 и 15.15.
Распад Lu1” представляет экстремальный пример К-запрета. Основное состояние представляет собой уровень J — К. вращательной полосы К = 7. Примерно на 0,2 Мэв выше его лежит уровень К = 1- Дочерние ядра, получающиеся из Lu в результате p'-распада и /(-захвата, находятся только в состояниях с К — 0 вплоть до энергий, близких к энергии основного состояния Lu. Распад основного состояния, очевидно, требует присутствия в матричном элементе тензора ранга 7 н, поскольку четность меняется, переход должен быть седьмого порядка запрета. Однако распад 7’ в 6’ наблюдается с 1g ft ~ 18, который характерен для перехода третьего порядка запрета.
Мзе
398
Глава 15
Это означает, что правила отбора по К не имеют такого абсолютного характера, как правила отбора по J, поскольку в волновой функции имеется примесь состояний с другими К. Большое изменение по К сильно замедляет переход: переход первого порядка запрета замедляется в 10” раз. Состояние 6* для Yb, вероятно, лежит выше основного состояния Lu, поэтому /(-захват не наблюдается. С другой стороны, состояние К = 1 в Lu не может распадаться через электромагнитное взаимодействие, но может распадаться с переходами в два первых состояния Ш. Парциальные времена жизни не были измерены, определен только нижний предел для величин ft, из которого можно заключить, что эти распады являются переходами первого порядка запрета с Д/ = 1, Д/( = 1 и изменением четности; можно ожидать излучения позитрона и /(-захвата.
В случае А = 175 неизвестно примеров переходов с большими значениями ДК; распад этого ядра иллюстрирует правила отбора по асимптотическим квантовым числам N, пг и Л, используемым в модели Нильссона^
Таблица 15.4
ПРАВИЛА ОТБОРА ПО КВАНТОВОМУ ЧИСЛУ К И АСИМПТОТИЧЕСКИМ КВАНТОВЫМ ЧИСЛАМ A, N. пг ДЛЯ РАЗРЕШЕННЫХ ПЕРЕХОДОВ И ПЕРЕХОДОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ЗАПРЕТА В ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЯДРАХ*)
Матричный элемент	SJ	п!п/	лк	дм	Дп1	ДА
<1>	0	1	0	0	0	0
<<п	О', 1	1	0, 1	0	0	0
(Г>	О', 1	—1	0 ' 1	±1 1	±1 0	0 1
(а>	О', 1	—1	0 1	±1 1	±1 0	0 1
<Ys>	0	—1	0 0	±1 1	±1 0	0 1
То(1, а)	0	—I	0 0	±1 1	±1 0	0 1
То(1, а)	О', 1	—1 •	0, 1 1	1 ±1	0 ±1	1 0
Т2(1, а)	О', 1', 2 -	—1	0, 1, 2 0, 1	1	0 ±1	1 0
•) Во всех случаях, когда AW и Anz имеют значения ±1. оба изменения должны иметь один и тот же знак; в протнаном случае при любом приведенном в таблице А возможен любой знак. Здесь О' означает 0, кроме 0 -» 0; 0' означает О, кроме 0-»0 и l/s -» 1/< I' означает 1, кроме 0 <—» I.
Бета-радиоактивность
399
Правила отбора для некоторых операторов ^-распада приведены в табл. 15.4 1721. Ясно, что [ДЛ, Дпх, ДЛ] равно [0, 0, 0] для разрешенных*переходов и равно либо [1, 0, 1], либо (± 1, ± 1, 01 для переходов первого порядка запрета. Так как не существует реальных ядер с асимптотическим значением деформации, эти правила отбора не являются строгими, однако там, где они нарушаются, распад замедляется. Для характерных ядер с А = 175 величины [Л, пг, Л| имеют следующие значения для различных вращательных полос:
Yb'75: /<=у 15141,
Lu‘”: К=у 14041, К = ~ [4021, К = у [5141,
Hf'75:	15121.
At
Следовательно, распады Yb на два первых возбужденных состояния являются переходами первого порядка запрета с ДУ = 0 и 1, «да», ДК = 0, [ДЛ^; Дпх, ДЛ] вклад в вероятность дают все матричные элементы первого порядка запрета. Они будут иметь .линейные графики Ферми — Кюри. Переход на третье возбужденное состояние имеет ДУ = 2, «да», ДК — 0, 11,1,01м является переходом первого запрета с уникальной (]юрмой спектра и соответственно ослабленной интенсивностью. Однако его еще не удалось наблюдать, вероятно вследствие маскировки более интенсивным переходом на состояние ’/2~. Величина // для этого последнего перехода согласуется с разрешенным переходом, как и предсказывают соответствующие ему правила отбора, а именно: 1, «нет», ДК = 0, 10, 0, 01. С другой стороны, переходы на два состояния в полосе К — л/2 для Lu будут также запрещенными в первом порядке запрета, если действуют только правила отбора по J, К и четности. Однако они имеют [ДЛ, Длх, ДЛ1 = (1, 1, 2] и поэтому настолько подавлены, что наблюдать их не удается. Эти же состояния, однако, являются главным продуктом распада Hf, так как подобные переходы удовлетворяют правилам отбора для первого порядка-запрета 0 и 1, «да», ДК = 0, [1, 1, 0], вто время как для двух других полос ДЛ = 2. То, что распад Hf в состояние ’/2" является переходом второго порядка запрета, ясно уже из правила для ДУ; отсутствие же распадов в основное состояние и в первое возбужденное можно объяснить лишь обращаясь к правилу отбора по Л.
Результаты для А = 175 весьма характерны. Если назвать переходы затрудненными, когда они удовлетворяют правилам отбора по У, К и четности, но не правилам по асимптотическим квантовым числам [Л, лх, Л1, то окажется, что все разрешенные незатрудненные переходы в деформированных ядрах имеют lg ft < 5, а все разрешенные затрудненные переходы — lg ft от 6 до 8. Все незатрудненные переходы первого порядка запрета в той же области периодической системы имеют lg ft от 5,5 до 7,5. Как и в нашем примере, затрудненные переходы первого порядка запрета обычно для таких ядер не наблюдаются, поскольку одновременно имеют место более интенсивные переходы; однако несколько таких переходов удалось обнаружить с lg ft между 7 и 8. Вполне возможны и другие переходы с большим значением ft: например, распад основного состояния Hf17S.
Другое свойство коллективной модели — это простота вычисления относительных интенсивностей переходов на уровни одной и той же вращательной полосы. Как было отмечено в связи с электромагнитными пере
-10О
Глава 15
ходами, отношение вероятностей переходов на два состояния с одинаковой внутренней структурой является чисто геометрической величиной, если переходы обусловлены одинаковыми операторами ранга п. Отношение величин ft для переходов из состояния Jна два состояния JtK/ и J2Kf имеют вид
(fth = f (ft),
(15.98)
еслн'матрнчные элементы для переходов в оба состояния одинаковы. Соотношение (15.98) имеет место при п < К,+ Kf, если это условие не выполнено, то формула для отношения величин ft усложняется [73]. Количество случаев, когда приведенное простое выражение четко и полностью подтверждено экспериментом, весьма невелико, однако распад Тш1’0, изображенные на фиг. 15.16, является примером именно такого рода. Основное состояние Тт170 — это состояние с Г и, следовательно, с К = 1, в то время как четно-четные дочерние состояния — такие, как мы видим на фиг. 15.16. Оба распада включают одинаковые матричные элементы первого порядка запрета (все с тензорами ранга п), и отношение интенсивностей должно удовлетворять соотношению
(//)»+_ (111—1 |00)а_2 (ft)0+ (111-1120)2
Экспериментально получено значение около 2,2; отклонение, по-видимому,
обусловлено примесью состояний с другими значениями К.. Известны еще две или три более заметные аномалии, которые могут иметь аналогичное объяснение. С другой стороны, рассмотрим схему распада Yb175 (см. фиг. 15.15). Распад в два первых состояния Lu1’6 является переходом первого порядка запрета с матричными элементами (г), (a), Tt (1, а) и меньшим матричным элементом Т2 (1, о). Опуская Т2, видим, что все тензоры — ранга 1 и отношение сумм их приведенных матричных элементов равно / -	А *7 \ z
2 *
(-i-о 1г \ 2 2	2 2
Однако распад основного состояния обусловлен операторами То (1, а) и (у5), т. е. тензорами ранга 0. Используя обычные обозначения сумм приведенных матричных элементов, получаем для отношения приведенных интенсивностей следующее выражение:
(т14°|4т)<||Т,||>+<||Го||>|2
Бета-радиоактивность
401
Данные по Yb178 дают |(|| То ||>/(|| ГЛ) [’л» 2, что лежит в разумных пределах. Мы видим, что в этих более сложных случаях можно получить некоторую информацию о ядериых матричных элементах, а тем самым — косвенно — ио структуре ядра.
Роль запрещенных переходов в изучении структуры ядра выяснена не так хорошо, как роль разрешенных. Одно очень простое предсказание оболочечной модели состоит в том, что все p-распады из основного состояния нечетных ядер с А > 141 являются переходами по крайней мере первого порядка запрета вследствие изменения четности. В ядрах с А от 143 до 208 протоны находятся на уровнях между 50 и 82 с положительной четностью, а нейтроны — в оболочке между 82 и 126 с отрицательной четностью. Уровни противоположной четности hn/t для протонов и из/, для нейтронов в качестве основных состояний не появляются. Около А =208 протоны и нейтроны одновременно начинают заполнять более высокие оболочки, имеющие опять-таки противоположные четности. Постоянная деформация, свойственная некоторым ядрам в обеих областях, не меняет четности одночастнчных орбит. Это предсказание хорошо согласуется с экспериментальными значениями fl.
Запрещенные матричные элементы были вычислены по оболочечной модели Роузом и Осборном [431. Благодаря тому, что скорости нуклонов не достигают релятивистских величин, в расчетах допустима следующая замена:
где р — оператор импульса нуклона1). Хотя абсолютные значения этих результатов имеют смысл лишь вблизи замкнутых оболочек, некоторые соотношения, зависящие только от геометрических факторов, вероятно, разумны в более широкой области. Ограничиваясь (V, Л)-взаимодействием, найдем, что в матричные элементы л-го порядка запрета входят следующие тензоры: Тп (п, ст), 3^n, Тп (п — 1, а) и ТпЛ (л, ст). Последний из этих тензоров играет существенную роль только в переходах уникальной формы, в которых знание времени жнзнн и верхней границы спектра позволяет вычислить величину £л|7\.1 (л, ст) |. В запрещенных переходах неуннкальной формы отношение |	| / |Тп (л, ст) | не зависит от радиальных волновых функ-
ций оболочечной модели, однако отношение | Тп (л, ст) | /\Тп (л— 1, а) | чувствительно к форме одночастичного потенциала. Поэтому можно ожидать, что изучение формы спектра таких запрещенных переходов дает полезную информацию. К сожалению, как было показано выше, в большинстве случаев переходы первого порядка запрета имеют место при достаточно низких Z, и происходят с высокими IV'o. так что соответствующие этим переходам графики Ферми — Кюри линейны, а большинство спектров второго порядка запрета можно аппроксимировать поправочным фактором формы S!? — — pz 4- V<72, где
? = 2(1— хт] + х|) 1—2x11-1- xl ’
здесь для отношений матричных элементов использованы те же обозначения, что и в выражении (15.78). Так как эксперимент дает только один
*) Роуз и Осборн [43] использовали противоположный знак у4. К сожалению, они взяли формулу из другой работы и получили ошибку в знаке в своем выражении (64) для Sf.
26 Заказ Хе 37
402
Глава 15
параметр X, сравнить отдельно две величины £ и т| с их теоретическими значениями оказывается невозможным.
Несколько большую информацию даст спектр перехода третьего порядка запрета в Rbg’. В этом случае только один нуклон удалей из замкнутой оболочки или главной подоболочкн; анализ показывает 1531, что эти данные находятся в соответствии со значением gvtgs, найденным из распада нейтрона, и согласуется с отношениями матричных элементов, весьма близкими к предсказанным оболочечной моделью. Абсолютные значения матричных элементов меньше, чем предсказывает оболочечная модель, примерно в 4 раза; это гораздо точнее, чем в случае типичных разрешенных необлегченных переходов, для которых этот множитель лежит между 10 и 50. Поскольку Rb” — ядро с замкнутой оболочкой, это можно было предвидеть.
Можно получить отдельные ядерные матричные элементы также для неуникальных переходов первого порядка запрета, спектры которых имеют искаженные графики Ферми — Кюри, и переходов второго порядка запрета, не имеющих простой формы p* 2 + №q\ так как, по некоторым соображениям, первый член по aZtR не является основным1). Такне случаи могут возникать вледствие двух механизмов.
1. Рассмотрим сначала спектры первого порядка запрета, для которых первый член выписан в (15.73). Очевидно, что при некоторых значениях отношений матричных элементов Е,, т] и £ коэффициенты при |Т( (1, о)|г и|То(1,<г)|2 могут взаимно сократиться. Тогда член S|” в (15.68) начнет играть важную роль и форма спектра уже не будет разрешенной из-за S’2’ и из-за значительной зависимости от импульсов членов /Ио и Lo в SJ".
2. Искривленный график ФерМи может получиться также в случаях, когда нет взаимного сокращения, но матричные элементы, содержащие тензоры ранга 0 и 1, аномально малые. Тогда влияние 5'/’ искажает спектр, хотя член S'®’4- S‘n дает линейный график.
В обоих случаях величины ft будут большими. Малые значения матричных элементов могут быть обусловлены какими-либо правилами отбора, подобными правилу отбора по К. Конечно, на основе одного только анализа спектра невозможно определить, какой именно механизм сыграл решающую роль. Однако индивидуальные матричные элементы можно найти, измеряя другие величины, в которых эти матричные элементы появляются в различных комбинациях 1741. Одной из таких величин является поляризация электронов. Можно также измерять угловую корреляцию электронов и ядер отдачи, однако этот очень трудный эксперимент можно заменить другими, позволяющими получить эквивалентную информацию. Обычно измеряют коэффициенты корреляции между углом вылета электрона относительно возбужденного ядра и углом вылета последующего у-кванта и корреляцию между круговой поляризацией у-кванта и углом, образуемым направлениями вылета электрона и у-кванта. Почти всегда необходимо измерять коэффициент р — у-корреляции в зависимости от энергии. Метод извлечения информации из таких измерений мы уже продемонстрировали при обсуждении эксперимента Гольдхабера с Ей152. Мы не будем приводить теоретических выражений для общего случая: их можно найти в статье Морнта (75 ] 2).
*) Когда первые члены играют решающую роль, а остальные опускаются, мы говорим о «^-приближении», поскольку обычно aZ/R обозначается через
2) О предшествующей работе в этой области см. также у Морита.
Бета-радиоактивность
403
Такого рода измерения позволили в случае Sb121 определить все матричные элементы. Они оказались аномально малыми [761. Величины r/R и	которые для полностью перекрывающихся волновых
функций по порядку равны единице, оказались иа самом деле равными 8-Ю'4 и 9-Ю"4 соответственно, а величина \ а, для которой ожидалось значение и/с~0,1, равна 1,6-10"4. Величина Т2 (1, o)/R также оказалась уменьшенной по сравнению с ожидаемым значением, но нс так сильно: примерно на 1- 10Л
Ситуация выглядит так, как будто бы Sb124 может служить примером некоторого занижения в силу правил отбора матричных элементов ранга 0 и 1. Хотя ядро Sb124 не относится к области с хорошо развитой вращательной структурой, квантовое число К, тем не менее, может иметь некоторый смысл. Ядро Sb124 находится в состоянии 3“ и ему можно было бы приписать значение К = 3. Дочернее ядро остается в первом возбужденном состоянии 2+, К = 0 и затем распадается через у-пере-ход в основное состояние 0+. Точнее говоря, правило отбора А К = 3 запрещает все матричные элементы ранга меньше 3. Однако если К. не является хорошим квантовым числом, а этого как раз и можно ожидать для ядра подобного Sb124, то волновая функция будет иметь достаточно большую примесь членов с К ± 1, т. е. с К = 2 и К = 4. Член с К = 2 будет давать вклад в матричный элемент Т2 (1, о), но не в матричные элементы низших рангов.
Примером того, как «случайное» сокращение приводит к уменьшению первых членов, является Bi210 (Ra £). Этот спектр был одним из первых лишенных разрешенной формы спектров, который был обнаружен; сделано много попыток объяснить этот факт. В этом переходе Д7 = 1, «да». Сокращением первых членов Ямада [771 объяснил форму спектра. Эксперименты показывают, что поляризация электронов достигаеттолько 50—80% величины —vic, что согласуется с сокращением матричных элементов [781.
Измерение угловой корреляции и проведение поляризационных экспериментов в других запрещенных распадах даст новую полезную информацию о матричных элементах и природе ядерной волновой функции.
§ 7. Возможная зависимость слабого, взаимодействия от импульсов
Как отмечалось, замечательное численное совпадение константы связи для векторного взаимодействия в случае Р-распада и ц-распада привело Фейнмана и Гелл-Манна [791 к гипотезе о том, что векторный слабый и электромагнитный токи являются разными компонентами одного и того же тока в изотопическом пространстве. Если эта гипотеза верна, то влияние л-мезон-ного и других полей в случае низкоэнергичных переходов будет представлено некоторыми феноменологическими константами, характеризующими электромагнитные свойства нуклонов, а именно аномальными магнитными моментами нуклонов. Отсюда следует, что в пределе низкоэнергичных переходов, имеющем место для ядерного p-распада, возникает добавочный член к обычному векторному взаимодействию и гамиль-
26*
404
Глава 15
тоннам принимает вид
2Сг(ч^уА^+^	+ YaHv},
и I	х	dX(.j
где Д„ — разность аномальных магнитных моментов протона и нейтрона, равная (1,79+ 1,91)/2/Ир в естественных единицах, а матрицы имеют вид: Стцх = — Yfi (y»*Ya — YxYh)- Зависимость от импульса обусловлена производной д/дху.. Коэффициент при импульсе равен 1,01 • 10-3, поэтому влияние второго члена нелегко обнаружить. Второй член удовлетворяет тем же правилам отбора, что и главный. В разных случаях он дает эффект порядка 1 или 2% в форме спектра и Р — укоРРеляЦ|,п- 9™ эффекты были рассчитаны, однако те экспериментальные результаты, которыми мы располагаем, не позволяют сделать однозначного вывода о том, существует этот член или нет.
ЛИТЕРАТУРА
1.	L е е Т. D., Y a n g С. N., Phys. Rev., 104, 251 (1956).
2.	Pauli W., Rapports du Septifcme Conseil de Physique Solvay (Brussels 1933), Paris, 1934.
3.	Wu C. S., Ambler E., H a у w a r d R. W., Hoppes D. D., Hudson R. P., Phys. Rev., 105, 1413 (1957).
4.	Re i n e s F., Co waji C. L., Jr., Harrison F. B., McG u ire A. D., Kruse H. W., Phys. Rev., 117, 159 (1960).
5.	R e i n e s F„ С о w a n C. L., Jr., Phys. Rev., 92 . 830 (1953), 113, 273 (1959).
6.	D a v i s R., Phys. Rev., 97, 766 (1955).
7.	Bull. Am. Phys. Soc., Ser. Il, 1, 219 (1956).
8.	S a x о n D., Phys. Rev., 70, 9Й6 (1949).
9.	1 n g r a h'a'm M. G., R e у п о 1 d s J. H., Phys. Rev., 78, 822 (1950).
10.	Prime ko'll H., Phys. Rev., 85, 888 (1952).
II.	Primakoff H., Rosen S. P., Rep. Progr. Phys., 22, 121 (1959).
12.	Majorana E., Nuovo Cimento, 14, 171 (1937).
13.	Goldhaber M., Scharf f-G о 1 d h a b e r G., Phys. Rev., 73, 1472 (1948).
14.	Fermi E.. Zs. f. Phys., 88, 161 (1934).
15.	P a u 1 i W., Handbuch der Physik, ed. S. Eliigge, Bd. V/1, Berlin, 1958. (Эта статья впервые появилась n 1933 г. в более раннем издании Handbuch der Physik.)
16.	L е е Т. D„ Ya ng С. N.t Phys. Rev. 105, 1671 (1957).
17.	К о	n о p i n s k i E. J.,	Ann. Rev., Hucl. Sci., 9, 99 (1959).
18.	R о	b s о n J. M., Phys.	Rev., 83, 349 (1951).
19.	W u	C. S:, A I b e r t R.	D., Phys. Rev., 74, 847 (1948); 75, 315	(1949).
20.	C u	r r a n S„ Angus	J., С о v e г о f t A., Phil. Mag., 40,	53	(1949).
21.	Fj auenfelder H., В о bo ne R.,Goe ler E. von, Levine N., Levis H. R., P e а с о c k R. N., Rossi A., Pasquali G. de, Phys. Rev., 106, 386 (1957).
22.	P a g e L. A., H e i n b e г g M., Phys. Rev., 106, 1220 (1957).
• 23. D e u t s c h M., G i I tie ma n B., Bauer R.,Grodzins L., Sunyar A. W., Phys. Rev., 107, 1733 (1957).
24.	В о e h m F., N о v о у T. В., В arnes C. A., Slech B., Phys. Rev., 108, 1497 (1957).
25.	Goldhaber M., Grodzins L., Sunyar A. W., Phys. Rev., 109, 1015 (1958).
26.	A I 1 e n J. S., В u r m a n R. L., H e г r m a n n s f e 1 d t W. B., S t a h I e i n P.. В г a i d T. H., Phys. Rev., 116, 134 (1959).
Бета-радиоактивность
405
27.	В и г g у М. Т., К г о 11 n V. Е., N о v е у Т. В., R i n g о G. R., Т е I е g d i V. L., Phys. Rev., 110, 1214 (1958); Phys. Rev. Letters, I, 324 (1958).
28.	R о b s о n J. M., Phys. Rev., 100, 943 (1955).
29.	G 1 a г к M. A., R о b s о n J. M., Nathans R., Phys. Rev. Letters. 1, 100 (1958).	t
30.	R о b s о n J. M., Canad. Jorn. Phys., 36, 1450 (1958).
31.	С о с н о в с к и fi А. Н., С п и в а к П. Е., П р о к о ф ь е в Ю. А., К у тп-ков Н. Е„ Добрынин ГО. П., ЖЭТФ. 36, 1012 (1959).
32.	Т р е б у ш и и с к и й 1О. В., Владимирский В. 'В., Григор ь-е в В. К., Е р ч а к о в В. А., ЖЭТФ, 36, 1314 (1959); JETF, 36, 931 (1959).
33.	D i s m u k е N., R о s е М. Е., Р е г г у С. L., В е I I R. Р., U. S. Atomic Energy Comm. Report ORNL-1222 (1952); Tables for the Analysis of Beta Spectra, U. S. Nat. Bur. Standards, Applied Math. Ser. No. 13, Washington (1952).
34.	W a p s t r a A. H., N i j g h G. J., L i e s li о u t R. v a n, Nuclear Spectroscopy Tables, Amsterdam, 1959.
35.	Д ж e л e п о в Б. С., 3 ы р я и о в а Л. Н., Влияние электрического поля атома на бета-распад, М., 1956.
36.	S i е g b a h п К., Beta- and Gamma-Ray Spectroscopy. Amsterdam, 1955.
37.	R e	i	t z J. R., Phys. Rev., 77, 10 (1950).
38.	J a	c	k s о	n J. D., T r e	i m a n S. B., W у 1	d	H. W., Jr., Nucl. Phys., 4, 206
(1957).
39.	E b	e	I M.	E., F e 1 d m a	n G„ Nucl. Phys., 4,	213 (1957).
40.	L e	e	-W h	i t i n g G. E.,	Canad. Journ. Phys., 36,	1199 (1958).
41.	L	о	n g	m i	r e	C. L., M e s s i	a h	A. M. L., Phys. Rev., 83, 464 (1951).
42.	A	h	г e	n s	T.,	F e e n b e	г g	E.,	Phys. Rev., 86, 64 (1952).
43.	R	о	s e	M.	E.,	Osborn	R.	K.,	Phys. Rev., 93, 1315, 1326 (1954).
44.	R	о	s e	M.	E.,	H о I in e s	D.	K.,	Phys. Rev., 83, 190 (1951); U. S. Atomic Energy
Commission, Report ORNL-1022 (1952).
45.	W a p s t г a A. H„ Nucl. Phys., 9, 519 (1958 - 59).
46.	G r a v e s	W. E.,	S u r 1 S. K., Phys. Rev., 101, 1368	(1956).
47.	P о r t e r	F. T.,	F r e e d m a n M. S., Novey T.	B., Wagner F., Jr.
Phys. Rev., 103, 921 (1956).
48.	L a n g e r	L. M.,	P г i c e N. C., Jr., Phys. Rev., 75,	1109 (1949).
49.	Fe I d m a	n L., W u C. S., Phys. Rev., 87’, 1091 (1952).
50.	W u C. S., Rev. Mod. Phys., 22, 386 (1950).
51.	W u C. S., F e 1 d m a n L., Phys. Rev., 76, 693 (1949),
52.	L a n g e r L. M., M о f f a t R. D., Phys. Rev., 82, 635 (1951).
53.	P г e s t о n M. А., К e e c h H., Pearson J. M., Phys. Rev., 119, 305 (1960).
54.	G г a h a m R. L., G e i g e r J. S., E as t woo d T. A., Canad. Journ. Phys., 36, 1084 (1958).
55.	P	о r t e r F. T„	Day P. P., Phys. Rev., 114, 1286 (1959).
56.	P	e a г s о n	J. M., Canad. Journ. Phys., 38, 148 (1960).
57.	C u p e г	m a n S.,	Phys. Rev.,	117, 185 (1960).
58.	F r a u n	f	e I d e r	et al., Phys.	Rev., 107, 643 (1957).
59.	R о s e M.	E., J a c	k s о n V. L., Phys. Rev., 76, 1540	(1949),
60.	F e e n b	e	r g E.,	Trigg G.,	Rev. Mod. Phys., 22,	399	(1950).
61.	R	о b I nso	n B.	L., F i n k R. W., Rev. Mod. Phys., 32, 117	(1960).
62.	P	о n t e с о	r v о	В., К i r k w о о d D. H. W., Hanna G.	C.,	Phys. Rev., 75,
982 (1949).
63.	S e g г ё E., W 1 e g a n d С. E., L e n i n g e r R. F., Phys. Rev., 81, 280, 284 (1951).
64.	H e n d r i e D. L., G e г h a г t J. B., Phys. Rev., 121, 846 (1961).
406
Глава 15
65.	В а г d i n R. К., В а г nes С, A., Fo w I е г W. A., S с е g е г Р. A., Phys. Rev. Letters, 6, 323 (1960).
66.	В u t I e r J. W., В о n d e I 1 d R. O., Phys. Rev., 121, 1770 (1961).
67.	D u r a n d L„ La ndo vitz L. F., M а г г R. В., Phys. Rev. Letters, 4, 620 (1960).	»
68.	L a n e A. M., Proc. Phys. Soc., AG6, 977 (1953); A68, 189, 197 (1955).
69.	L a n e Л. M., R a d i c a t 1 L. A., Proc. Phys. Soc., A67, 167 (1954).
70.	В о h г A., M о t t e 1 s о n B. R., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. mat.-fys. Medd., 27, No 16 (1953).
71.	V i s s c h e г W. M„ F e r r e I I R. A., Phys. Rev., 107, 781 (1957).
72.	A I a g a G., Nucl. Phys., 4, 625 (1957).
73.	A 1 a g a G., A I d e г К., В о h г A., M о t t e 1 s о n B. R., Kgl. Danske Vidensk, Selsk. mat.-fys. Medd., 29, No 9 (1955).
74.	К о t a n i T., Phys. Rev., 114. 795 (1959).
75.	M о r i t a M., Morita R. S., Phys. Rev., 109, 2048 (1958); см. также более ранние статьи этого автора, указанные в данной работе.
76.	S t е f f е п R. М., Phys. Rev., 124, 145, 150 (1961).
77.	Yamada М., Progr. Theor. Phys., 10, 252 (1953).
78.	В i n g e r A., C h u г c h E„ Weneser J., Phys. Rev. Letters, I. 95 (1958).
79.	F e у n m a n R. P., G e 1 1-M a n n M., Phys. Rev., 109, 193 (1958).
80*. Ландау Л. Д.. ЖЭТФ, 32, 405 (1957).
81*. Гер штей н С. С., 3 e л ь д о в и ч Я. Б., ЖЭТФ, 29, 698 (1955).
82. D a n b у et. al., Phys. Rev. Letters, 9, 36 (1962).
83. A 1 1 e n H. S„ Phys. Rev., 61, 692(1942).
ЗАДАЧИ
IV. 1. Показать, что волновая функция, описывающая свободный фермион с массой т в состоянии со спиральностью е и с положительной энергией, имеет вид
аЕ
Ь
— eag (E+rn)
Р
Р
eP4~Pz Рх+‘Р|/ _ (p+epz) (E-|-m)
1	/ Е—т
2 V р \-ерг
(2л)-э/1е‘рг=
Р e(Px+*Pir) (Е4"0
Р
где й=с=1 и использована нормировка на б-функцню, т. е.
(Р') Фе (Р) dr dQpdE=i.
Отсюда показать, что
А.фе=
Р
о-М.д E+m-tp b ае b
Доказать, что для нейтрино состояния с отрицательной энергией получаются заменой ехр (Гр-г) на ехр (—<р-г) и что эта замена меняет также и спиральность, так что состояние с е=1 является состоянием с отрицательной спиральностью, если энергия отрицательна. Следует заметить, что таким образом доказываются соотношения (15.10).
Заметим также, что отношение вкладов в сечение p-процессов от электронов и нейтрино с положительной и отрицательной спиральностью равно (E-j-rn— — p)2/(E-j-m-j-p)2. Показать отсюда, что поляризация (<т-р) = —р/Е =—v/c.
IV.2. а) Пусть ядро со спином J поляризовано магнитным полем. Показать, что относительное заполнение состояний с различной ориентацией имеет вид е~Мх, где
Бета-радиоактивность
407
x=[iH\kTJ, и что величины (Л1) и <ЛР>. входящие в (15.34), имеют вид
У MshAlx
<Л1>=—-----------г.
У ch Мх + -2
У Л12 ch Л1х
<ЛР) =-----------г.
2ch
где суммирование проводится по всем значениям М > 0, а добавка 1/2 опускается, если J—полуцелое. В случае поляризации 60% найти <Af> и (Л12) для j = l и J=*/2.
б)	Для двух численных значений, приведенных в п. «а», оценить отношение (в единицах гаус/град) необходимого магнитного поля к температуре образца.
IV.3. Вывести формулу (15.34).
IV.4. Рассмотреть ядро ЮО230. Получить спектр а-распада и время жизни по отношению к а-распаду. Какой а-спектр можно ожидать у ядра 100219?
IV.5. Можно ли предсказать спин ядра 100243? По-видимому, он является источником р+-частиц. Что можно сказать о его свойствах как р-излучателя?
IV.6. В большинстве p-спектрометров непосредственно измеряемой величиной является импульс электрона. Зная разрешение прибора (от 1 до 2% по импульсу), можно вычислить N (р)— число частиц на единичный интервал импульса \N (р) dp есть число электронов, испускаемых с импульсом в интервале от р—*/2dp Д° р-|-4/2 dpi 
Результаты измерений для реакции Y*1—* Zr91-f-p— -j-v представлены следующей таблицей (F—кулоновская функция Ферми):
p, единицы me	VN/tflF, произвольные единицы	p,единицы тс	произвольные единицы
0,481	5,25	2,55	1,68
0,68	4,00	2,82	1,40
0,94	3,59	3,21	1,00
1,33	3,03	3,40	0,71
1,69	2,60	3,60	0,49
2,07	2,11	3,70	0,37
2,37	1,83	3,79	0,20
Исследовались р—у-совпадения; оказалось, что их нет.
а)	Получить: изменение спина, изменение четности, степень запрета, верхнюю границу спектра. (Для ориентировки полезно использовать соображения, вытекающие из оболочечной модели.)
б)	Какую информацию содержит этот эксперимент о природе взаимодействия между электрон-нейтринным полем и нуклонами?
Примечание. При ответе на этот вопрос теория p-распада предполагается известной и желательно получить информацию только о специфике ядер Y91 и Zr91.
IV.7. Пусть форму спектра можно записать несимметричном виде
п (£е) dEe = KFpeEeE,.pv dEe.
где индекс v относится к энергии и импульсу нейтрино,^а индекс е—к соответствующим величинам для электрона.	г*
а)	Имея в виду, что £e4-£v=№o—энергия, выделяющаяся при р-распаде, показать, что
п (£,)d£e=l KFPeEe(\V0-Ee) ]f(W0--EtP-m*c* dEe
II
n (pe) dp,= cKFp'- (1Г0-£е) У (W'o-f.p-m’c4 dpe.
408
Г л а в а 15
б)	Показать, что кривая зависимости п (р) от Е пересекает ось абсцисс в точке £ = 1170, имея вертикальный наклон, если mv Ф 0, и горизонтальный—если mv=0.
в)	Рассмотреть 0-спектр с верхней границей 0,511 Л1лв (т. е. U70 = 2«ics) и сравнить форму разрешенного спектра для случаев mv=0 и mv=0,lme,
IV.8. Первый успешный эксперимент по изучению нейтрино был проведен Алленом (83), наблюдавшим ядра отдачи в /(-захвате Be7.
а)	Показать, что кинетическая энергия ядер отдачи Li7 (при отсутствии у-кван-тов) с хорошей точностью дается приближенным выражением
(mve«+K) К Мас*
где niy—масса нейтрино, К — энергия распада и Ма — масса ядра L17.
б)	Вычислить ожидаемую энергию отдачи в эксперименте Аллена для значений массы нейтрино 0; 0,1 те и 0,5/ив.
IV.9. Делается следующее утверждение: конфигурация приписывается J131, Si^-уровню Хе131 с энергией 0,080 Мэв и — его уровню с энергией 0,163 Мэв, что согласуется с оболочечной моделью, коллективной моделью и наблюденными у- и 0-ннтенсивностями. Подберите данные, из которых вытекают приведенные утверждения.
IV. 10. Часто говорят, что теория 0-распада является обобщениехг теории электромагнитного излучения. Дать короткое описание (не более чем и три страницы) этих двух теорий, иллюстрируя их аналогию. В частности, показать, как возникают правила отбора.
IV.11. Прокомментировать влияние правила отбора по квантовому числу К в схемах распада ядер с А=183, уровни которого показаны на фиг. 10.20.
IV.12. Показать, что простая модель ядра дает следующие значения ядериых матричных элементов:
для И3, О1*, F17, Са39 и Sc41 соответственно, причем
для всех перечисленных выше ядер. Получить отношения величин ft для каждого нз этих ядер к ft нейтрона. Сравнить полученные значения с экспериментом.
ЧАСТЬ V
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
ГЛАВА 16
ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЕАКЦИЙ
§ 1.	Определения
Термин ядерная реакция применяется к различным процессам, происходящим при столкновениях ядер. В такой реакции ядро / с числами Zi, А/ падает на ядро-мишень Т; при этом ядра / и Т взаимодействуют посредством ядерных сил, и в результате взаимодействия возникают новые ядра О и Р. Эту реакцию можно записать в виде
Т+Г-+О+Р или
Т(7, О)Р.
Падающая и выходящая частицы 1 и О — это обычно нуклон или легкое ядро, такое, как дейтрон или а-частнца, а ядро-мишень Т и ядро-продукт Р— тяжелые ядра, например F1® (р, а) О18, С12 (d, р) С13, Ag107 (р, п) Cd107. Но возможны реакции и с тяжелыми ионами, например С12 4-С12-> р +Na23. Упругое и неупругое рассеяния также можно рассматривать как ядерные реакции. Выражение «реакция (рр')» часто используется для описания процесса нсупругого рассеяния типа О1в+р->О1в*4-р, где «звездочка» означает возбужденное состояние.
Ядерные реакции могут приводить не только к двум частицам в конечном состоянии, а и к одной или нескольким. Например, одна частица в конце имеется в реакциях радиационного захвата, таких, как Ag1O74-n-»- Ag108*. В этих реакциях конечные ядра распадаются, испуская у-кванты или у-кванты и 0-лучи. Более двух частиц испускаются в процессе деления, т. е. когда ядра мишени захватывают нейтрон и разваливаются на два примерно равных осколка и несколько нейтронов. В случае деления ядер и реакций типа (л, 2л) и (р, лр) не всегда ясно, одна ли это реакция с несколькими продуктами или последовательность реакций с двумя продуктами. Эго зависит от масштаба времени, в котором мы рассматриваем данный процесс, и от теоретических представлений, используемых при его описании.
В понятие ядерных реакций входят также различные изменения, порождаемые электромагнитным полем. Наиболее общим примером является ядерный фотоэффект — процесс, в котором у-кванты расщепляют ядро, например Ag107 4- у -> Pdloe 4- р, и кулоновское возбуждение ядер. Последнее состоит в том, что ионы слишком медленные, чтобы проникнуть внутрь ядра, тем не менее изменяют его энергию через нецентральное электромаг
412 Г л а в а 16 
нитное поле. Такое возбуждение представляет собой неупругое рассеяние посредством электромагнитных, а не ядерных сил. Этот эффект исследуют, регистрируя у-кваиты, испущенные в последующем распаде возбужденного ядра-мишени. Падающие частицы не должны иметь низколежащих уровней, поэтому чаще всего используются протоны и а-частнцы.
Очевидно, что при падении на мишень частиц определенного сорта возможны не одна, а несколько реакций. Например, пучок протонов может дать одновременно упругое рассеяние, реакции (р, у), (р, р'), (р, а), (р. п), (р, рп) и даже р-деленне и много других реакций. Относительный выход Реакций зависит от свойств ядра-мишени и энергии падающих протонов, фнечные состояния всех реакций представляют собой все возможные состояния системы Ас (= Л| + Аг) нуклонов. Хотя во многих реакциях все Ас нуклонов либо не могут одновременно оказаться в области порядка ядерных размеров, либо не остаются в этой области достаточно долго, чтобы образовалось составное ядро, тем не менее принято называть все возможные виды реакций каналами распада составной системы Ас, Zc (= Zj + Zr).
Более точно определим канал как возможную пару, состоящую из ядра-продукта и вылетающей частицы, находящихся в определенном квантовом состоянии1). Кроме прочего, каналы характеризуются ориентацией спина и орбитального момента. Канал, содержащий начальное состояние Т и /, называется входным каналом. Для обозначения всех квантовых чисел мы часто будем пользоваться одной буквой.
Кинетическая энергия в каждом канале определяется энергией во входном канале. Она может быть найдена с помощью равенства
—Вт—В[ + £г4- Ej = Tf—Bp—Во + ЕР -)-£о,	(16.1)
где Т( — кинетическая энергия относительного движения ядер Т и 1 при достаточно большом расстоянии между ними, Вт и В/ — энергия связи основных состояний ядер Т и /, £‘ и Е* — энергия возбуждения, которую ядра Т и 1 имели вначале. Обозначения с правой стороны равенства имеют такой же смысл. Обычно Е? и Е* равны нулю, и очень часто Ео также равно нулю. Конечно, если / и О — просто нуклоны, то энергия возбуждения Е] и Ео и энергия связи Bt и Во равны нулю. Для удобства обозначим начальный и конечный каналы индексами а и 0 и введем в рассмотрение величины 5/ и So, представляющие собой энергию выделения частиц / и О из основного состояния составного ядра:
S/ = Вс —В] —Вт,
Sq = Вс Bq—Вр.
Определим величину QeP, характеризующую передачу энергии из канала а в канал 0, как
= S/-So -(£/+ Ео) + (£т‘+£/•),	(16.2)
и энергии каналов еа и е р как кинетические энергии Tt и Tt в системе центра масс. Равенство (16.1) можно переписать в виде
Kfl = ea + Qap.	(16.3
*) Это определение и все, что говорится далее, может быть обобщено на случай каналов с более чем двумя ядрами.
Основы теории реакций 413
Определим также величину Q реакции Т (I, О) Р как величину Qap при отсутствии энергии возбуждения во входном и выходном каналах, т. е.
Qio = $i—So-	(16.4)
Обозначим соответствующую кинетическую энергию через
e/o = T’< + Q/o.	(16.5)
Если Qto положительно, то реакция будет идти даже при нулевой начальной кинетической энергии (когда частицы Т и I окажутся вблизи друг от друга). Такие реакции являются экзоэнергетическими. Наоборот, эндо-энергетические реакции с отрицательным значением Q/o не идут до тех пор, пока не превысит пороговой энергии — QI0.
Легко видеть, что при таком определении понятия канала единственная динамическая переменная, которую остается точно установить, это направление движения конечных продуктов О и Р 1). Оно зависит от специфики механизма взаимодействия, т. е. от особенностей сил, действующих между нуклонами. Знание этих сил необходимо и для определения доли столкновений, которые приводят к определенному выходному каналу. Другими словами, угловое распределение и полное сечение зависят от динамики взаимодействия, обусловленной, в свою очередь, ядерными силами. Тем не менее мы увидим, что многие общие свойства ядерных реакций можно понять исходя лишь из того, что взаимодействие ограничено короткими расстояниями. Примером может служить уже рассмотренная теория эффективного радиуса в нуклон-нуклонном рассеянии.
В последующих главах следует различать эффекты, которые возникают как следствие геометрии, кинематики и общих принципов квантовой механики, с одной стороны, и эффекты, которые являются следствием особенностей ядерной структуры и ядерных сил,— с другой. Оба класса эффектов важны в равной степени, поскольку изучение ядерных реакций интересно само по себе, независимо от того, что мы узнаем в результате этого изучения о структуре ядра или даже, может быть, о природе ядерных сил.
§ 2.	Матрица столкновений
Существует хорошо развитая теория матрицы рассеяния и матрицы столкновений, которую мы рассмотрим лишь в общих чертах. Более подробно с нею можно ознакомиться в работах (1, 2].
Начнем с того, что несколько обобщим проведенный в гл. 2 расчет рассеяния нейтронной s-волны на центральном потенциале. Вывод формулы (2.29) из формулы (2.23) может быть проведен с помощью двух функций J и О, пропорциональных сходящейся и расходящейся сферическим волнам:
г ’	(16.6а)
(Аг 0=—,	(16.66)
1) В системе центра масс направления движений О и Р коллинеарны; в лабораторной системе эти направления неколлинеарны и различным углам излучения соответствует различное распределение кинетической энергии между двумя частицами.
414
Глава 16
где а произвольно, a k — волновое число. Падающий пучок частиц представляется плоской волной; функция eihtlv4* — волна, соответствующая прохождению одной частицы со скоростью о через поперечное сечение в 1 см2 за 1 сек. Парциальную волну с I = 0 можно представить как
J-0
2ikav'2
(16.7)
Если потенциальной энергией прн больших г можно пренебречь, то общее решение волнового уравнения для s-нейтронов имеет асимптотический вид
u~C(J —(ЛЭ),	(16.8)
где С и U — произвольные константы. Это выражение соответствует выражению (2.26) с константой U вместо множителя е2'6. Используя (16.7),. перепишем (16.8) в виде
и	С{2ikav'f* (единичная падающая волна) 4-(1 — U) 0). (16.9)
Следовательно, полагая 1 /С = 2ikavl\ мы получаем волновую функцию и,. которая описывает парциальную волну с / = 0 для единичного падающего пучка и рассеянную волну, т. с.
|Лг
«расе ~(\-U)(2ikav'*)-lO = (\-U)(2ikv,T)~'e—.	(16.10)
Из сказанного о соотношении (2.28), небольшим видоизменением которого является данное выражение, следует, что дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол имеет вид
<T(0)dQ = (4£2)-*|l-(/|2dQ.	(16.11)
Конечно, в этом простом примере рассеяние изотропно и полное сечение рассеяния легко найти:
<т="|1-{/|’.	(16.12)
к
Полученная формула в точности совпадает с (2.29).
Это выражение необходимо теперь обобщить на случай высших моментов, а также на случай кулоновского взаимодействия между рассеивающимися частицами. Обобщение на случай высших моментов производится непосредственно. Определим сходящуюся н расходящуюся волны
.	/У"7
06.13а)
(rv ,г)
=	06.136)
(rV/2)
Здесь / и О —решения радиального уравнения для свободной частицы
Основы теории реакций
-115
которые на бесконечности дают сходящиеся и расходящиеся волны (см. приложение Б). Именно,
где Н — функции Ханкеля первого и второго рода. Падающая плоская волна, нормированная на единичный поток, может быть записана, как и в формуле (2.23), в виде
tkt
-<Гг =	2<2/ + О^ю-Ои).	(16.14)
Общее решение в области, где потенциал взаимодействия становится исчезающе малым, может быть представлено в виде
Ч^— 2
I, m
(16.15a)
Если эта функция описывает падающую и рассеянную волны, то функция J/m должна входить в выражение (16.15а) в той же комбинации, что и в (16.14). Таким образом, выбираем
Сю=/л,/%",(2/+1),/1,
С/т=0, Z71=#=0
и переписываем V в виде
Ч*— SC/o(.7zo—©zo) + 2Go(l— Uio)Oio.	(16.156)
z	z
Первая сумма представляет падающий пучок, вторая— рассеянную волну. Подставляя сюда (16.13), видим, что
Ч^о-7» e'*x + yeu7(6) ,
где
I(9) = у ik~{ 2 <2/ + о (1 - Цо)Pl (cosO) z
(16.16)
(16.17)
— амплитуда рассеяния. Дифференциальное сечение упругого рассеяния имеет вид
n«z(0) = |/(0)|2 =
i2	2
j 2(2/+l)(l-(/ro)Pz(cos0) .
i
(16.18)
Полное сечение упругого рассеяния дается выражением
2(2/+1)|1 —У»Г,	(16.19)
которое, очевидно, является обобщением выражения (16.12).
416
Глава 16
Учет кулоновских сил значительно усложняет эти формулы, но не меняет их вывода. Вместо функций Бесселя радиальные функции О; и /| становятся теперь кулоновскими функциями, а падающий пучок деформирован кулоновским взаимодействием и уже не является плоской волной, так как траектория в поле кулоновских сил представляет собой гиперболу. Следует также отделить от амплитуды ядерного рассеяния амплитуду резерфордовского рассеяния. Все эти соображения возникли при обсуждении (рр)-рассеяния, и, хотя подробностей мы здесь не даем, результаты учета кулоновских сил будут приведены, когда это потребуется.
Заметим, что рассеяние полностью определяется заданием ряда чисел Z//0- Вывод приведенных выше формул носит совершенно общий характер и справедлив не только в случае упругого рассеяния, поскольку о природе сил, приводящих к рассеянию, сделаны только самые общие предположения. Выражение (16.15) дает наиболее общий вид волновой функции, описывающей падающие частицы с энергией Л*А*/2Л4 и рассеянные частицы с той же энергией, но в нем нет никаких указаний на то, что число частиц, обладающих этой энергией, постоянно. Действительно, можно вычислить полный поток частиц, входящих с некоторой энергией в сферу большого радиуса R. Если происходит только упругое рассеяние, то все частицы, входящие с некоторой энергией, вылетают с той же самой энергией. (Напомним, что вычисления проводятся в системе центра масс.) Если полный поток через сферу отличен от нуля, то это объясняется тем, что некоторые частицы участвуют в реакциях, и поток определяется сечением реакции.
Вспоминая выражение для потока частиц
(Ф* grad ф— лрgrad ф’),
2/И
мы получаем, что поток в сферу имеет вид
2MJ V dr or)
Используя равенства (16.15а), (16.13) и ортонормированность сферических функций, легко вычисляем сечение реакции
ог =лХ2 2(2/ +1)(1-1 ию\*).	(16.20а)
t
Полное сечение имеет вид
Оцолн = Ои + Ог = пк2 22(2/ + 1)(1 -Re Ul0).	(16.206)
i
Если все числа U по модулю равны единице, происходит только упругое рассеяние; в этом случае U можно выразить через фазы в виде U = е2‘6. Сечение упругого рассеяния достигает максимума при Ul0 = — 1, а вклад /-волны дается выражением
oeM = 4nk2(2/+l).
Сечение же реакции достигает максимума при L/(q=O; при этом, однако, сечение упругого рассеяния также велико. Действительно, в этом случае имеем
^j=CTr,i = «X2(2/+l).
Основы теории реакций
417
Это легко понять, если учесть, что сходящаяся н расходящаяся волны когерентны (т. е. имеют одно н то же волновое число и интерферируют) и существенна их относительная фаза. В то время как в ог входит лишь модуль U, сечение оупр определяется непосредственно величиной 0. Упруго рассеянные волны могут в результате интерференции усиливаться или ослабляться, и максимальное значение 4лк2 (2/4* 1) получается при полном усилении. При этом фаза 6 равна л/2, и реакция не идет. Но когда идет какая-нибудь реакция, всегда происходит упругое рассеяние, поскольку реакция приводит к поглощению частицы из пучка, в результате чего уменьшается амплитуда расходящейся упругой ваты. Это уменьшение эквивалентно добавлению к падающей плоской ваше расходящейся волны протнвопачожной фазы, так что датжно наблюдаться упругое рассеяние. Даже если все частицы при столкновении с ядром поглощаются в реакции, а частицы, не сталкивающиеся с ним, не «чувствуют» ядерных сил, упругое рассеяние все равно происходит. Поскольку все частицы, сталкивающиеся с ядром, поглощаются, сечение реакции равно просто геометрическому сечению ядра. Таким образом,
od = ог=л/?2, и полное сечение рассеяния равно удвоенному геометрическому. Этот результат является следствием волновых свойств частиц. Действительно, из-за дифракции падающего пучка «тень» позади ядра, обусловленная выбыванием из потока частиц, участвующих в реакции, размывается. В корпускулярном представлении это означает, что некоторые частицы, на которые непосредственно не действуют ядерные силы, меняют свое направление движения, т. е. оказываются упруго рассеянными. Это — чисто кваитовомеханический эффект.
Обобщим теперь принятые выше обозначения, для того чтобы нагляднее представить процессы, дающие вклад в полное сечение реакции. Для некоторого фиксированного разбиения системы из Ас частиц на 2 части, обозначаемого индексом а, можно так же, как это было сделано выше, определить сходящуюся и расходящуюся волны. Обозначим два ядра буквами Ха н Ya (различные возбужденные состояния образуют различные разбиения) и определим следующие параметры канала'.
MxaMVa -------------приведенная масса, МАа 4- Л1Ув
го = Гхв—гГа —относительная координата,
Ео = еа — энергия относительного движения ядер X и Y, /2М Еа\'/г
!<о. = I —5—^1	—волновое число,
\ * /
0а, <ptt —полярные углы вектора га,
)|Ла
va= —----относительная скорость при бесконечно боль-
“ шом расстоянии между ядрами.
Тогда выражение (16.13а) можно переписать в более общем виде следующим образом:
За1т = ^Г{\Ча)1а1.	(16.21)
27 Заказ № 37
418
Глава 16
Аналогично изменятся и другие формулы [(16.13). Задания разбиения а и орбитального момента (/, т) недостаточно для полного описания капала, необходимо еще ввести и проекции тх и ту спинов Jxa » Jra ядер Ха и Ya. Можно ввести и другие квантовые числа, а именно спин канала
S = J.\- +Jy а а
и его z-компоненту р. Канал полностью определяется следующим набором квантовых чисел:
с = (а//изц).	(16.22)
Запишем
Зс = ^а1тфа>ц>	(16.23)
(Эс = 0а1тфа»ц,	(16.24)
где фа411 = фс— волновая функция ядер Ха и Ya, связанных в момент s, ц. Если ф (Xe; tnx) — волновая функция, описывающая ядро в состоянии Ха с проекцией спина на ось г, равной тх, то в явном виде
Фа»ц = 2 (JxaJxamxrnY | зц) ф (Ха; тх) ф (Уа; ту).
Линейная комбинация функций и &е является наиболее общей волновой функцией в канале с в той области пространства, в которой ядра Ха и Ya больше нс взаимодействуют, т. е. в такой области координатного пространства всех нуклонов Ас, в которой ядра во всех каналах достаточно разделены, так что взаимодействие между ними отсутствует. В этой области общая волновая функция представляет собой линейную комбинацию функций Jc и Ос для всех с. В частности, если падающая волна имеется только в одном каналес, то расходящаяся волна будет обнаружена во всех каналах с амплитудами, определяемыми природой происходящих реакций, т. е. возможное решение имеет вид
. ^^c-^UecOe.	(16.25)
с'	*
Соотношение (16.25) описывает единичный поток частиц Ха, падающий на ядра Ya и характеризуемый квантовыми числами /msp, и различные продукты реакции Ха- и Ya-, характеризуемые квантовыми числами Гт'яц' и амплитудами рассеяния Uc-e. Наиболее общий вид решения дается выражением
V = 2 Се (Jc- 2 UeeOe ),	(16.26)
С	с*
которое представляет собой естественное обобщение выражения (16.15а;.
Величины иС’с образуют матрицу столкновений. Сечения всех реакций и рассеяния непосредственно получаются, если известна матрица U. В этой матрице собрана, так сказать, вся «физика» ядерных реакций. Прежде чем рассматривать конкретные задачи ядерной физики, обсудим некоторые общие свойства столкновений.
Основы теории реакций
419
§ 3.	Симметрия матрицы столкновений.
Обращение времени
Все процессы столкновения описываются матрицей столкновений, которая обладает двумя очень важными свойствами: унитарностью и симметрией. Эти свойства следуют соответственно из условия сохранения вероятности и из возможности обращения времени. Сохранение вероятности означает просто, что нормировка | V | *dr любого состояния не меняется со временем. Предположим, что падающие частицы посылаются в виде сферической волны на мишень по одному каналу р, причем частицы выпускаются очень быстро, так что ни одна из них не достигает мишени прежде, чем будут испущены все частицы. В течение времени, когда испускаются все частицы, волновая функция есть просто Jp. Если процесс испускания длится время Т, то частицы заполняют сферический слой толщиной vpT, а так как асимптотическая нормировка для единицы объема имеет вид 1 /4лvp, то имеем
J |JP|sdr=T.
Это выражение справедливо и для заряженных частиц, так как асимптотика кулоновских функций отличается от асимптотики функций свободных частиц только фазой. По окончании всех реакций возникают расходящиеся волны, а именно парциальные расходящиеся волны 4%, описываемые членом — S ^ср©с- Так как фе ортогональны, а частицы в каждом канале запол-С
ня ют слой толщиной vcT, то нормировкой1) будет 2 I ^ср;\ 1Т. Следова-, с
тельно,
2t/c*pl/ep=l,	(16.27)
С
Поскольку Utp = UpC, где U+ — матрица, эрмитово сопряженная матрице U, соотношение (16.27) означает, что все диагональные элементы U+U равны единице. Для исследования недиагональных элементов рассмотрим два различных решения, одно из которых описывает частицы, испущенные за небольшой интервал в канале р, а другое — в канале q. Так как Jp и содержат различные ядерные состояния, эти решения в начальный момент ортогональны, а так как они являются волновыми функциями, описывающими одну и ту же систему Ас частиц, они и будут оставаться ортогональными. Реакции в канале р могут начаться раньше, чем в канале q, но мы предположим, что имеется время Т', в течение которого реакции происходят в обоих каналах. После того как реакции пройдут, решениями будут —У UcpOc и —2 Каждый канал с содержит
С	с
*) Может показаться, что мы не учли возможность образования связанного состояния всех Ас частиц. Но ее вклад в полную нормировку пренебрежимо мал. если размеры связанной системы много меньше veT, а поскольку величину Т мы можем изменять, то можно подобрать ее так, чтобы это требование выполнялось. Кроме того, размер испускаемой группы частиц vcT должен намного превышать >.е, так чтобы можно было пренебречь обрезанными хвостами функций ис ис. Интервал Т можно брать сколь угодно большим при условии, что его начальный 11 конечный моменты достаточно далеки от момента столкновения.
27
I
420	Глава 16
частицы в некотором сферическом слое обоих решений. Слои перекрываются на толщине vcT'. Следовательно, условие ортогональности имеет вид
2 U*PUcqT' = 0, p=^q.	(16.28)
С
Комбинируя это условнее (16.27), получаем, что
1/Ч/ = 1,	(16.29)
т. е. матрица U унитарна.
Рассмотрим теперь понятие обращения времени. Инвариантность теории относительно обращения времени зависит от свойств гамильтониана относительно зарядового сопряжения. На первый взгляд представляется разумным предположить, что гамильтониан является действительным, т. е. И* — 11. Но на самом деле достаточно, чтобы были действительными собственные значения гамильтониана, дающие энергию системы, а для этого достаточно, чтобы гамильтониан И был эрмитовым. Не хотелось бы рассматривать вопрос об обращении времени подробно; подчеркнем лишь, что если гамильтониан содержит спины частиц, то, вообще говоря, он не будет действительным. Напомним, что матрица Паули ии — чисто мнимая. Можно показать 13], что Н* равен И с обращенными спинами:
Н'= V~'HV,
где V — оператор, обращающий спины. Производя комплексное сопряжение уравнения
получаем
а(-о
или
(16.30а)
Отсюда видно, что V4f* является решением уравнения Шредингера с тем же гамильтонианом, но со временем, текущим в обратном направлении. Другими словами, волновая функция состояния, обращенного по времени, получается комплексным сопряжением обычной волновой функции и обращением направлений всех спинов. Так как направление движения частиц (плоская волна или сферическая) задается множителем eiht или eifcr, обращение времени подразумевает обращение всех направлений движения. В частности, расходящиеся пучки обращаются в сходящиеся и наоборот. Кроме того, так как при обращении времени меняется знак скорости, меняется знак и у вектора момента количества движения. Для орбитального момента это достигается комплексным сопряжением, так как YT* есть в сущности Yim, но для обращения спина должен быть применен оператор V. Можно показать, что если ЧГ/м описывает состояние системы с определенным моментом и система инвариантна по отношению к обращению времени, то состояние, обращенное по времени, имеет вид
VV;M = (-	_м.	(16.306)
Основы теории реакций
421
Пусть канал с имеет квантовые числа {almsy}. Будем считать каналом—с канал, обладающий квантовыми числами {al — tns — ц). Тогда обращенное по времени состояние есть 0_с. Состояние с падающим пучком только в канале р описывается асимптотической волновой функцией
р = U р — %UCрОе,
С
которая для состояния, обращенного по времени, принимает вид
Ч^(обр) = 0_р—	(16.31а)
С
Поскольку состояния в выражении (16.25) образуют полный набор решений гамильтониана Н, состояние, обращенное по времени, можно разложить по этим функциям:
Vp(o6p)= 26^0= 2Cpc(Jpc- El/ecGc ).	(16.316)
с	с	с*
Сравнивая коэффициенты при в (16.31а) и (16.316), мы видим, что
Срь ~ — U*-bp-
Если теперь использовать эти значения Сре и приравнять друг другу коэффициенты при <ЭЧ в выражениях (16.31а) и (16.316), то получим, что
2^_ср^с=д,,_р.
С
Вводя временно матрицу U', определяемую равенством
<4b = U-ab, можно переписать последний результат в виде ^UL4eU'c'p = bqi-p или U'U'*=\.
Соотношение (16.28) по-прежнему выполняется, если заменить U на U'. Поэтому
U'U‘+ = \.	(16.32)
Отсюда заключаем, что U'* = U'¥, т. е. матрица U' совпадает с транспонированной матрицей: U'pq = U',lP. Возвращаясь к U, получаем
U-Pq= U-qP
или	(16.33)
U pq= U-q,-p.
Это соотношение выражает фундаментальное свойство матрицы столкновений. Оно означает, что амплитуда реакции p-^q равна амплитуде обратной реакции q->p для противоположно направленных спинов. Во многих экспериментах используются пучки неполяризованных частиц; в таких случаях имеет место точная обратимость между амплитудами падающего и расходящегося пучков в каждой паре каналов реакции. Если р соответствует разбиению Ха, Уа, a q— Хр, Ур, то отсюда не следует, что сечения реакций а -> р и р -> а равны, однако они отличаются лишь на простой статистический множитель, который мы обсудим ниже.
422
Глава 16
§ 4. Эффективные сечения реакций и матрица столкновений
Сначала рассмотрим реакции, вызываемые нейтронами; этот пример хорошо иллюстрирует общую схему и свободен от усложнении, возникающих из-за кулоновского взаимодействия. Падающий пучок в виде единичного потока нейтральных частиц, соответствующих разбиению а и спину канала s, р, описывается волновой функцией
=	2(2/4- I)7* (Je(o-0alo) W (16.34)
i
Будем поступать так же, как и при выводе соотношения (16.19). Наиболее общее состояние системы Ас частиц асимптотически описывается функцией
V= 2Cc(Je- XUC.COC.). С	с*
Положим все С, за исключением Са, равными нул;о; коэффициенты Са, соответствующие разбиению а, выберем таким образом, чтобы все слагаемые в 'Р, описывающие сходящиеся волны, совпали с аналогичными слагаемыми в Та’>‘:
Ca«>=in,/%„t(2Z+l),/2.
Тогда
(2/4- 1^2{0аМфа.ц-2^(а^О0е-). (16.35) I	с*
Эта волновая функция описывает состояние с единичным падающим потоком в разбиении asp и различными расходящимися волнами. Расходящаяся волна в другом разбиении, например в a's'p', имеет вид
=—/л,/2^‘ 2(2/4-1)‘/2 X i
X Zua	ш', a«uZO0(X'Z' nr ФаЧ'ц' •	(16.35а)
Гт’
Поскольку при рассеянии полный момент сохраняется, в действительности суммирования т не требуется и т’= р — р'. Поток в разбиении a's'p' через элемент поверхности сферы большого радиуса Ra, равен
где интеграл берется по всем внутренним переменным в ф. Так как функции Фа«ц нормированы, а Ч'иад описывает единичный поток в разбиении asp, поток в разбиении a's'p' совпадает просто с дифференциальным сечением реакции asp ->- a's'p'. Итак, для сечения легко получаем выражение
0а«ц,а'1’ц' («V, 4>a')d£la- —
= «Xal 2 (2/4- 1)‘/2^гц'1'т',«м1оГГ(0а., ф„) J 2<Ша«.	(16.36)
Z, I'
Основы теории реакций
423
В этих выкладках использовался тот факт, что число i'Oi равно по модулю единице независимо от /; это остается справедливым и в случае, когда О/ — кулоновская функция. Следовательно, полученные формулы описывают также излучение заряженных частиц, хотя в падающем пучке присутствуют только незаряженные частицы — нейтроны.
Смысл этих формул можно проиллюстрировать, рассматривая частный случай, когда начальное и конечное состояния имеют канал с нулевым спином, т. е. s = «'= 0. Тогда полный момент во входном канале равен / и в выходном также /: /'= /, т = 0. Таким образом, дифференциальное сечение имеет вид
doa00,a.00 = ^i |£ (2/4- 1)‘/21/вч»ю.в««оУ?(евч <ра>)|2.	(16.37)
i
Если предположить далее, что энергия падающего пучка столь мала, что во взаимодействии участвует только S-волна, то рассеяние будет изотропным, а полное сечение приобретет вид
ОаО.а'О (при МЭЛОЙ ЭИерГИИ) = ЛХа I l/а'ОООО, аОООО Р, СС .	(16.38)
Эти два результата наглядно иллюстрируют непосредственную взаимосвязь между //-матрицей и сечениями, а также условиями обратимости. Если 0 и <р — углы рассеяния частиц-продуктов реакции, то симметрия U [см. (16.33)] дает
П*а00,а*00 (0, ф) _	та' __ еа'  /na' / । Qaa' \	^|g ggj
°а'М,аОо(9> ф)	/И° еа	">а \	еа /
Сечения прямой и обратной реакций совпадают с точностью до энергетического множителя. В теории возмущений (которой мы здесь не пользуемся) такие множители представляют собой не что иное, как плотности состояний; из этих соображений их часто называют статистическими множителями.
Чтобы найти полное сечение и сечение для нсполяризованного пучка, необходимо просуммировать (16.36) по р и s. Это трудно сделать, не опираясь на сохранение полного момента, однако задание I и s не означает знания J = I -J- s. Для преодоления этой трудности введем матрицу рассеяния UJ с элементами Ua-t-i'.ati, описывающую переход из) состояния с квантовыми числами a, s, I, J, М в состояние с квантовыми числами a', s', Г, J, М. (Так как /VI — проекция J на произвольное направление, то U не может зависеть от /VI.) Связь между UJ и U носит чисто «геометрический» характер: она зависит только от коэффициентов векторного сложения, связывающих состояния <i, s, /, J, М и а, s, /, р, т. Не входя в детали, приведем результаты:
2 (sl[im\JM)(s't[i ni \JM)Ua-t.ll.fm.taltiim, (16.40a) цтц'ш’
//а-:;?-/-т-.а.ц/т= £(«/рГС |ЛИ) (s l'р.'т | JM)	all. (16.406)
Довольно легко непосредственно проинтегрировать оа,ц, а-,>ц' по углам и, используя (16.406), провести суммирование по конечным состояниям р' и усреднение по начальным р, в результате чего получим полное сечение реакции в случае, когда пучок падающих частиц не поляризован, но спин канала задан:
а-г = V + 1) I I1.	(16.41)
2s+1t;-
424
Глава 16
Эта формула верна при а'#= а или s'=/= s. В действительности на опыте никогда не наблюдают s и s', поэтому экспериментально наблюдаемое полное сечение перехода а -> а' получается суммированием по s' и усреднением по s. Полное число состоянии разбиения а равно (2Лха+ 1) (2</уа+ 1); из них (2s + 1) имеют спин канала s.
Следовательно,
аа,а'~п'Ка S I	1 »	(16.42)
где
j_______2/ -г 1
й“(2Л-в+1)(2УГо’+1)’
Выражение (16.42) верно только при а'=#а. Можно просуммировать аа, а' по а'=#« и получить сечение реакции в разбиении а.
В случае упругого рассеяния мы должны заменить U в рассеянной волне (16.35а) на матрицу Т, определяемую равенством
7а'»')1Тт',а«рЛ) =	ач<ГО— 6и.б,;<два<бт.о.	(16.43)
Подстановка выполняется во всех формулах от (16.36) до (16.42); в частности, матрица Т1 имеет вид
7V—1 — UJ и
aaa = «XaMS{l-2Ret&z.a>/+S	(16.44)
J I.»	V»'
Так как UJ — унитарна, то S м/|2 = 1. если суммирование охва-. а'1'f
тывает все а', Г, s'; таким образом, (16.43) и (16.44) показывают, что полное сечение, включающее упругое и неупругое рассеяния частиц разбиения а, равно
«а (ПОЛИ.) = лЦS2gl 2 (1 -ReUJa.lia,t),	(16.45)
j i,*
что, очевидно, является обобщением выражения (16.206). '
Когда падающие частицы заряжены, возникает резерфордовское рассеяние и появляется член, учитывающий интерференцию между резер-фордовским рассеянием и когерентным ядерным рассеянием. Результаты приведены в приложении Б. Полное сечение становится бесконечным из-за членов, содержащих cosec2 0/2. Однако если падающий пучок имеет достаточно большую энергию, то кулоновские эффекты сосредоточены в области малых углов рассеяния, как и в случае рассеяния протона на протоне. Можно экспериментально обнаружить различие между ядерными и электростатическими эффектами, а исследуя рассеяние на боль не углы, определить долю полного сечения, обязанную ядерным процессам. В этих случаях выражения (16.43) — (16.45) остаются применимыми.
§ 5. /^-матрица и дисперсионная теория
Теория, развитая в предыдущем параграфе, дает общие выражения для сечений реакции, однако эта теория носит весьма общин характер и содержит мало конкретных данных о специфике физических процессов.
Основы теории реакций	425-
Это обстоятельство связано с тем, что (/-матрица дается только асимптотикой волновой функции системы. Для фактического определения (/-матрицы необходимы сведения о поведении волновой функции в области, где взаимодействуют две (или более) «частицы» в каждом разбиении. Тогда, используя непрерывность волновой функции, можно найти матрицу (/.
При обсуждении нуклон-нуклонного рассеяния мы указывали, что если значения волновой функции и ее производная известны на границе области, где действуют ядерные силы, то их можно определить во всей внешней области; этот факт служит основой метода граничных условий в проблеме ядерных сил (см. гл. 5, стр. 108). Аналогичная, но значительно более общая формулировка метода граничных условий сыграла весьма существенную роль при изучении ядерных реакций. Не углубляясь в детали, скажем, что матрица U выражается через матрицу R, определяющуюся по существу значениями ряда величин на границе (или вне) области, в которой все Ас частиц могут взаимодействовать, а вне ее обмен нуклонами между продуктами реакции отсутствует.
Таким образом, ядро заменяется «черным ящиком». Взаимодействие ядра с окружающей средой описывается /(-матрицей, при этом процессы,, происходящие внутри ящика, не конкретизируются. Этот прием аналогичен замене сложного электрического контура одним комплексным импедансом.
Таким образом, /(-матрица является такой же формальной конструкцией, как и (/-матрица, однако она определена посредством некоторого, гипотетического ряда состояний системы внутри области взаимодействия. Поэтому, коль скоро имеется некоторая физическая информация о ядерных процессах и структуре ядра, ее проще связать с формализмом /(-матрицы, чем с (/-матрицей.
Основные положения строгой теории ядерных реакций, базирующейся на методе граничных условий, были изложены в работе Капура и Пайерл-са в 1938 г. [41. Наиболее широкое развитие формализма было осуществлено. Вигнером и его сотрудниками [5, 6J. Представление Вигнера отличается от представления Пайсрлса только математической формой. Оба представления имеют свои преимущества, однако большинство авторов в течение многих лет использовали формализм Вигнера. В некоторых важных работах Брауна и Блоха используется формализм Пайерлса. В этой книге не целесообразно углубляться в вопросы математической техники, и поскольку в литературе в основном принят формализм Вигнера, мы будем пользоваться именно им.
Начнем с простого случая потенциального рассеяния бесспнновых частиц, в котором возможность реакций исключена. Волновая функция частицы удовлетворяет уравнению
(Е-V	= о.	(16.46)
dr2 I,2	2Мг2 )
Выберем некоторый радиус г = а, на котором короткодействующий потенциал V исчезает. Как мы увидим, наиболее ценны результаты, получающиеся при выборе в качестве а ядерного радиуса, хотя такой выбор нс является необходимым условием формального построения теории. Определим величину Ri следующим образом:
ut(a) = Rta
du,\ dr /
•426
Глава 16
Так как реакций нет, матрица U содержит только матричные элементы упругого рассеяния; кроме того, ввиду сохранения момента / постоянно. Таким образом, внешняя волновая функция имеет вид
ф= Sin,/2(2/+l)'/2(Ji—%)	(16.48а)
i
В области действия потенциала или, более точно, внутри области г = а
ф= 2и/(г)УГ(Р, ф).	(16.486)
Так как ф и dty/dr должны быть непрерывны прн г = а, приравнивая коэффициенты при У'”, деля на нормировочные константы, получаем
\г«1 /	[r(/j — UiOi)
а
(16.49)
где знаки «штрих» означают производные по радиусу. Удобно ввести логарифмические производные
‘	(16.50а)
«	V	'г =а
II в волновой функции нейтрона и в кулоновской волновой функции радиальные части сходящихся волн /; комплексно сопряжены радиаль-.ным частям расходящихся волн О;. Следовательно,
£/ = / rJL\ .	(16.506)
\	/ г=а
Кроме того, поскольку /( н Oi являются независимыми решениями одного и того же уравнения, их вронскиан есть константа, а нормированы они так, что
0'1—1'0 = 21.
(16.51
Выражение (16.49) дает возможность заменить Ut на Rh ибо эта величина содержит всю информацию, необходимую для предсказания сечения. Действительно,
(h\
\ О; / а 1 —LiRi
(16.52)
Так как uz — решение уравнения (16.46), обращающееся в нуль вначале координат, Ri — действительная величина. Таким образом, в выражении (16.52) числитель оказывается величиной, комплексно сопряженной знаменателю, и, следовательно, модуль (/; равен единице. Это обстоятельство просто отражает тот факт, что в данной задаче была исключена возможность реакций.
Дальнейшие детали ситуации можно выяснить, рассматривая рассеяние на непроницаемой сфере радиуса а. В этом случаем; = 0 внутри сферы;
Основы теории реакций
427
следовательно, Rt = 0, поэтому (вводя, скажем, обозначение Ф/1)) получаем
(16.53)
На этом основании действительную величину <pf называют фазой рассеяния на твердом шаре.
В более общем случае
U = ехр (2/dz), где
б, = arclg(16.54)
a S; и Pi — действительная и мнимая части Lt:
Lt^St+iPi.	(16.55)
Сечение рассеяния имеет вид
<7«г=4лХ2 2(2/4- l)sin2fl/.
Вплоть до настоящего момента мы просто формально заменяли функцию U на функцию R. Теперь мы переходим к изложению самого существа метода: R можно выразить с помощью некоторых состояний, заданных внутри области г <а. Все допустимые решения уравнения (16.46) обращаются в нуль при г = 0. Рассмотрим те из них, которые, кроме того, имеют нулевую производную на поверхности г = а; это условие выполняется только прн определенных значениях энергии. Назовем эти значения энергии собственными значениями Е\, а соответствующие функции — собственными функциями «х, X. = 1,2, ... 2) Так как эти функции есть собственные функции действительного гамильтониана, они ортогональны и нормируемы. Итак, мы берем набор решений «х (г), таких, что
(duA =п	(16.56а)
\dr)r.a U’
u}.ut.dr=6),K..	।	(16.566)
о
Состояния «х представляют собой реальные состояния частицы, если потенциал конкретизирован; в некоторых приложениях, которые мы рассмотрим ниже, эти состояния могут быть квазисвязаннымн в том смысле, что основная часть плотности вероятности приходится на внутреннюю область, т. е. можно говорить, что частицы в таких состояниях находятся внутри «ядра» достаточно продолжительное время. Но каковы бы ни были физические свойства этих состояний, во всяком случае эти состояния позволяют охарактеризовать R. Это можно показать следующим образом. Пусть ue — волновая функция, описывающая рассеяние с некоторой энергией Е. Так как
’) Конкретно <pz = arg Н)+1/8(Ло)4-л/2.
:) Величины е’х и их зависят также от I, что, начиная с этого момента, в явном виде не будет отмечаться.
428
Глава 16
(16.57)
(16.58)
функции ик образуют полную систему функций, можно разложить1) по U), по крайней мере в области г<а:
ив = ZAfUitr). х
Поскольку функции их ортогональны,
Лх= u>,uEdr.
о
Этот интеграл мы вычислим, умножая (16.46) на «х. а соответствующее уравнение для их — на иЕ, затем вычитая результаты друг из друга и интегрируя по интервалу от 0 до а\ после этого находим
? / d2uE d2uK
U«x^-uB-2-
2Л4	Я
=^(E-Ex)f «tuxdr=0. (16.59)-7i	J
о
Интегрируя по частям, видим, что первый член имеет вид / zfri- \	/	\ ”1	/ rill \
о
Ux
а
U \	J О.
так как и\ = иЕ = 0 при г = О, a du>,ldr = О при г — а. Следовательно.
А х = — (Ек-Е)~' «х (а) ( ~
2М	\ dr J
duK dr
И
их(г)их(а)л/Л<Е dr
а
(16.61)
uE (r) — —— У, -	' a
2Ma^ EK-E
Величина R была определена через связь иЕ с ее производной в г = и; осуществляя эту замену в (16.60), находим, что
о _ ____у' цх(о) _ у _Yx
2Ма^Ек-Е ^Ек-
где Y1 = О» г/2Л4а)1/1 их (а).
Это — фундаментальная форма /?; ее свойства величина R сохраняет и при переходе к матричному представлению R. Форма R показывает, что сечение рассеяния как функция энергии может иметь максимумы (резонансы в рассеянии). Предположим, что мы проводим опыт при энергиях Е,'достаточно близких к одному из значений Ех, так что существенным оказывается только один член в R. Предположим также, что фазы, соответствующие рассеянию на твердом шаре, малы. (Позже мы обсудим вопрос о возможности удовлетворить этим условиям одновременно.) В таком приближении выражение (16.54) принимает вид
й = arctg---
SEx-E-yIS
*) Так как du)Jdr = 0 при г = а, то может показаться, что только функции иЕ с нулевой производной при г = а могут быть разложены в ряд (16.57). В действительности, хотя ряд (16.57) сходится для любого иЕ, он не будет почленно дифференцируем в г = а, так как в этой точке не имеет места равномерная сходимость.
(16.60>
Основы теории реакций
429
1< оупр = лк (21). +1)--------------------’	(16-62)
(£-£/)»+[у Гх]
где
Г». = 2у>Р,	(16.63)
£х'=£х-у’5.	(16.64)
Сечение имеет четкий резонанс при Ех с шириной Г,.. В соответствующих обстоятельствах сечение может иметь несколько резонансов при различных Ех, если рассеяние на твердой сфере будет оставаться пренебрежимо малым.
Заметим, что резонансные энергии не совпадают с собственными значениями Ех, но оказываются сдвинутыми на некоторую величину (обычно обозначаемую через S), зависящую от действительной части логарифмической производной внешней волновой функции. Величина сечения и ширина резонанса зависят от величины Г?., которая пропорциональна мнимой части L. Эту часть обозначают через Р и называют обычно барьерным множителем (или фактором проницаемости), что соответствует действительности, так как она прямо пропорциональна той доле частиц, падающих на сферу г — а, которая проникает внутрь сферы.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим падающую волну /. В любой области изменения потенциала имеет место отражение некоторой доли частиц. Это — стандартная задача на прохождение через потенциальный барьер. Следовательно, существует отраженная расходящаяся волна О. Введем теперь искусственное предположение, что все частицы, проникающие внутрь сферы г — а, поглощаются. Тогда волновая функция внутри сферы есть чистая падающая волна /<; индекс напоминает нам, что во внутренней области потенциал уже иной, следовательно, и вид функции в этой области также другой. По аналогии с (16.50), определим
L( = a( + ) =S< + iPJ.	(16.65)
Vi /а
Условия непрерывности при г = а в очевидных обозначениях для амплитуд различных волн имеют вид
а/ + 0О = у//( al' + 00 =у/'ь
а доля падающих частиц, прошедших внутрь области, равна 1—10 /а |2. Прямой расчет с помощью (16.54) дает:
4Рр.
Коэффициент прохождения = —--------j---------5.	(16.66)
(S—Sf) + (Р + Р<)
Аналогичный подсчет дает коэффициент прохождения для доли частиц, выходящих из сферы г = а. Коэффициенты прохождения подробно рассмотрены в гл. 17.
Изложенное оправдывает название, данное величине Р. Отсюда же ясно, почему сечение упругого рассеяния пропорционально квадрату Р: в самом деле, частица, претерпевшая акт рассеяния, должна пройти два этапа— проникнуть в область взаимодействия и покинуть ее.
430
Глава 16
Теперь, вспоминая простой случай потенциального рассеяния, мы можем выписать параллельные выражения, но уже включая возможность реакций. Взяв самый общий вид волновой функции
У = ЕСеСЗ'с- Zt/c-eOc-),	(16.26)-
С	с*
мы можем записать радиальную волновую функцию в канале с как
Фе (Ге) = (Сс/е- 2Сс.UWОс)Ъ А	(16.67)
с'
Функция фе соответствует функции ui, использованной в нескольких последних параграфах. Для каждого канала введем радиус ас, вне которого продукты реакции взаимодействуют (если вообще взаимодействуют) только через кулоновское поле. Введем также величину, аналогичную' (ru'i)ac, а именно
Де = 1»с"‘Ч(Се/;- ^CeU^O'c)^,	(16.68).
с*
где /ё = dlcldrc. Считая, что R — матрица, обобщаем определение (16.47) следующим образом:
(Мсас)’*Ч(ас)=	(1б69)
Конечно, множители Мсас не играют никакой существенной роли в определении /7-матрицы, но обычно их все же записывают. Обобщение выражения (16.49), связывающего R и U, мы получаем, подставляя ф и Д в (16.69):
ECe.t/ce.Oe) =
= ZRcr И^'2 d!?(Cc^ — 2 С^и^О'Л е-	с"
где /, О, /' и О' вычислены в точке rc = ас, a kc — волновое число в канале с. Если понимать под Се вектор и ввести диагональные матрицы А1/», а1'»,. /, О, Г, О' с помощью определений вида
/ее' — 7с6сс',
то предыдущее соотношение можно записать как
k~ ,'2а~2'' (/ — OU) С = Rk~''2a''2 (Г — О' U) С.
Поскольку коэффициенты Се произвольны, это соотношение определяет-фундаментальную связь между /(-матрицей и (/-матрицей:
k~',2a~l,2(I—OU)^Rk~i/2a'/2(r— O'U),
U = (k~',2a',2O—RO'k~',2d,2)~l {lk~',2a-'/2—Rl d'2k~1'2).	(16.70)-
Введем теперь диагональную матрицу
=	(16.71a)s
и эрмитово сопряженную ей:
Lc*e=ae-r6«-	(16.716)»
• с
Основы теории реакций
431
В матричных обозначениях L = aO'O'1. Так как диагональные матрицы коммутируют, имеем соотношение
U= (kafW^l-RLy-^l-RL*)/(ka) _‘/j .	(16.72)
которое можно сопоставить соотношению (16.52); оно позволяет выразить сечение через /^-матрицу.
Чтобы представить элементы ^-матрицы в резонансной форме, введем во внутренней области набор собственных функций, удовлетворяющих уравнению Шредингера и граничным условиям. Уравнение, которое теперь используется вместо (16.46), имеет вид
ЯХх=£хХх.	(16.73)
где Н — гамильтониан системы Ас частиц, а X означает все квантовые числа, включая и. полный момент системы. Граничные условия, которые теперь должны быть обобщением условия (du>./dr)a = 0, требуют задания логарифмической производной в каждом канале. Для этого необходимо задать радиальную волновую функцию в каждом канале для состояния Х^. Так как волновая функция есть функция вида
• ЛТ(Ов. фа)фв.ц,
Га
то радиальная функция для канала с (разбиение а) в состоянии при г = ас имеет вид
Флс(ас)= <fcXt.dS,	(16.74)
где
=	(16.75)
гс в интеграле полагаются равными ас, а все остальные переменные системы при интегрировании пробегают все значения в области их определения1). Этот член часто называют интегралом по поверхности гс — ас в пространстве, размерность которого соответствует числу степеней свободы системы Ас частиц. Аналогично
Дле= (Ге^Х-С>| = (	(гсА\)</5=ф;.с(ос)+аД фе dS. (16.76)
\	dr с /ас	J ОГс	J	ОГс
Каждому состоянию Х>. соответствуют определенные значения J и /И; все каналы с, содержащиеся в имеют те же J и М. Доля канала с в состоянии Xi, очевидно, не может зависеть от пространственной ориентации системы в целом; следовательно, и А>,с не зависят от М. Кроме того, функция ф>.с (ас) действительна, если взаимодействия инвариантны относительно обращения времени. Поскольку оператор обращения спина V, вве
*) Читатель, который примет уравнения (16.83) и (16.99) без доказательства, может пропустить дальнейшие рассуждения вплоть до выражения (16.99) без особого ущерба для понимания следующих глав, за исключением, может быть, наиболее глубоких теоретических моментов.
432
Глава 16
денный в (16.30), унитарен, мы можем записать
i|)>e(ae)= $ <pXdS = J XK,fV«p*dS = j (УХ*)* (Vq>*)dS.
Отсюда, предполагая инвариантность относительно обращения времени, найдсм, что соотношение (16.306) дает
Фхс(ас)= (—О J	1	-A/dS—
Но поскольку флс не зависит от М, последнее выражение равно фхс (ас), тем самым действительность флс доказана. Следовательно, Длс также действительно.
Непосредственным обобщением граничного условия (du.ildr)a = 0 является условие Длс = 0. Однако набор собственных функций- можно столь же успешно определить условием
Длс = Всфлс(ас).	(16.77)
Эти собственные функции также ортогональны во внутренней области, т. е. на расстояниях, не превышающих радиусов всех каналов. Вводя гамильтониан
с действительными собственными значениями Ел ЯХх=ЕхХь //XV = EVXV, можно получить равенство
\	V?Xv-Xv2L V?X;] = (Ex.-E>.) \x;xvdr,
J \ 2m	2m /	J
где интегрирование проводится по некоторому объему в ЗЛс-мерном пространстве координат системы. Можно применить к этому равенству теорему Грина, и если выбрать в качестве объема интегрирования часть конфигурационного пространства, которая находится внутри поверхности ге = ае, то в результате получаем
(Ev-Ex)( x;xvdr -у V lLfxl-А Xv-Xr^-X; )dS.	(16.78)
1	‘7.<2MA dre drc )
Но на поверхности
Xx= Ефлефе.	(16.79)
с
Так что
,	, 2	,
(Ех—Ex) \ X*xXv dr= У (ф’лефл'с—фл'сфГс)а<. =
J	с 2Ме
,2
= У —----(ФхсДл-с—Фх-сДхс) = 0,
е 2Мсас
где мы воспользовались тем, что функции флс действительны, а Ве в (16.77) не зависит от 1. Функции Хл можно нормировать следующим
Основы теории реакций
433
образом:
,	\x\XK.dx = 6).v.	(16.80)
t
Выразим теперь R через собственные функции Х>,; это можно осуществить способом, в точности аналогичным тому, который привел нас от (16.57) к (16.61). В этом выводе мы полагаем Вс = 0, т. е. все Длс = 0. Пусть Т —некоторое решение уравнения
HW=EW.
Разложим Т во внутренней области, где все ге < ас: .
’•	(16.81)
л>.= Jxl'FdT.
т
Применяя (16.78), получаем
(Et-E) \ х;тат = У-^-(фХс(Ое)Дс-фе(ас)ДХе).
J	',2Мсас
Следовательно,
А= 2	(^-£)’4u< (ОсОДеч
7 2Мс.ас.
подставляя это выражение в (16.81), находим
V - 2 Л- ~ 2	•	<16!й>
7 2Меас. " £\—Е
Так как фс = j tp’TdS и флс= q>'X),dS, то разложение (16.82) дает
»(г.) - 2 А-	2 w .
7 2Мс.ас. Е>.—Е
Сравнение этой формулы с определением /? (см. (16.69)) дает
S	(1683а>
X £>.-£ 7 где
) 'М0')-	• <1684)
\2Мсае)
Иногда удобно ввести матрицу у,., имеющую матричный элемент (Yx)a' — Y>CV>C'’ 11 переписать (16.83а) в виде г
<16-836)
28 Заказ № 37
434
Глава 16
Если в соотношении (16.77) Вс Ф 0, то следует внести следующие изменения: R определяется как
(Мсае)~'/2фс(ас) =	(Мс.ае.)“‘/2(Дс- —Вс-фс- М; (16.85)
С'
связь между U и R принимает вид
t/=(^a),/2O-,ll-/?(L—В)Г'П—/?(L‘-B)l/(^)~,/2,	(16.86)
а выражение (16.83) не претерпевает изменений.
Полезно определить величину
L°=L—В.	(16.87)
Так как В действительно, то	•
L° = S° + iP и S°=S—В,
где X и Р — диагональные матрицы, образующие действительную и мнимую части L.
Заметим также, что
(1 —RL°)~l (I —Я£°*) = (1 —RL°)~1 (1 —RL° + 2iRP) =
= 1+2/(1-/?£о)-* RP,
откуда следует альтернативная форма для U:
U = (ka)'/iO~l[\ + 2/(1 — /?Л°)"7?Р]/(Ь)_,/2.	(16.88)
Другие полезные формы выражения U можно получить, вводя матрицы /О"1 и ka(IO)+ Не трудно видеть, что последняя матрица просто совпадает с Р, если вронскиан функций / и О удовлетворяет нормировке (16.51)1). Вводя величину
Q = /,/»0“,/2,	(16.89)
соотношение (16.86) можно переписать в виде
U = QP'^i-RL0);1 (1 -RL°')P-1'41,	(16.90)
а выражение (16.88) как
U= ЙР‘/211 + 2/(1 — RL°)~'RP]P~l/2Q=	(16.91)
= Q2+2iQP*/j(l —RL0)~lRP''m.	(16.92)
В последней форме весьма отчетливо отделена та часть U, которая зависит только от состояний падающей и расходящейся волн (т. е. Р и Q), от части, которая в основном зависит от того, что происходит во внутренней области, где все частицы системы сближаются вплотную друг к другу. Эта часть имеет вид (1 — RLoy'R.
Так как флс действительны, то из (16.83) следует, что матрица R действительна и симметрична.
Для того чтобы связать /^-матрицу с сечениями реакций, существенно зависящими от |	|2, необходимо обратить матрицу 1 — RL°. Практи-
чески применимых общих выражений для обратной матрицы дать в явном виде невозможно. Именно на этом этапе возникает необходимость в привле
*) Это упрощение невозможно для канала, который состоит только из связанного состояния системы Ас частиц. В этом случае О — волновая функция конечного состояния является не расходящейся волной, а радиальной функцией экспоненциально распадающегося связанного состояния. ,
Основы теории реакций
435
чении определенной физической картины процесса, которая позволила бы выработать необходимые и приемлемые приближения. В связи с этим подчеркнем еще раз, что вплоть до настоящего момента наш анализ был строгим (мы пренебрегли лишь каналами, дающими более чем два фрагмента), но формальным. Мы построили лишь аппарат, позволяющий удобно представить значительную часть физики ядерных реакций.
В то же время следует отметить, что существуют другие математические методы, более удобные, чем формализм ^-матрицы, для описания некоторых реакций. Но так или иначе, любая строгая теория должна быть принципиально эквивалентна теории P-матрицы. Прежде чем вернуться к рассмотрению физических явлений, полезно вывести формулы, полученные в «приближении одного уровня».
§ 6. Формула для одного уровня
Если Е близко к одному из резонансных значений Е'х в 7?-матрице, наиболее важным членом в (16.83) будет, конечно, субматрица RK. Однако может случиться, что игнорировать сумму оставшихся членов нельзя, поэтому, отщепляя RK, запишем
Я = Я°4-Я\	(16.93)
Под /?° мы будем подразумевать «фон» в сечении рассеяния, на который накладывается резонанс при Е = Е),.
При вычислении сечения обращение матрицы (1 — RL°) можно заменить обращением матрицы (1 — R°L°). В общем случае это не упрощает дела, но иногда можно привлечь разумные физические приближения, облегчаю-
щие задачу. Результат имеет вид U= (/’ + 2iQP'/»----------------------------Р*/гЙ, (16.94а)
Ех + Дх-£—
где U° — фоновая матрица, определяемая как
t/°=Q’+2i£2P,/1(l — R°L0)~lR°P''m,	( 6.946)
а а>. аналогично ух есть квадратная матрица с элементами ахса>.С', причем а;.с= 2(1-7?°£°)-!ухс-.	(16.95a)
Энергетический сдвиг равен Дх = 2ДХс =• 2 Sale^PV-S0)^^.,	(16.956)
с	с с
а ширина резонанса дается выражением Гх= 2Ги= 22РС |ахс I2.	(16.95в)
С	с
Мы выведем эти результаты только для частного случая, когда Р%0 —диагональная матрица. Чтобы убедиться, что это приближение нередко оказывается удовлетворительным, заметим, что L° — диагональная матрица, а
R°cc-= 2 YveYvc<(£v-£)-*.
xvx
28*
436
где
где
Глава 16
Диагональные элементы у).-с дают при суммировании только положительные члены, тогда как коэффициенты вида ух-сУх-е', содержащиеся в недиагональных элементах, будут положительны для некоторых X.' и отрицательны для других. Следовательно, можно думать, что диагональные элементы значительно больше неднагональных.
Из выражений (16.92) и (16.94) видно, что
U— U*> = 2iQP'/iXP,'4i,
X = (1 —RL°)~'R — (1 -R°Lq)~'R°.
Для того чтобы найти X, умножим последнее равенство на 1 — RL”: (1 —R°L°—R KL°) X = R* (1 +L° (1 -RV'T'R0).
Так как диагональные матрицы коммутируют, это соотношение принимает вид
(1 —ЯЪ°—= (1 —RaL°)~l.
Подставляя сюда явное значение для /?* из (16.83), получаем
(Ех-Е) (1 -R№c) Хее- -Ухе SУхсХ.Хс--е = УхсУхс- (1 • .	с**
Если разделить это уравнение на ухс» то станет ясно, что выражение
(1-/?° Ес)%се-
Yxc 1
не зависит от с, т. е.
Хее — «хере

1)8

„ -	V>.<:
Ке (\-RM Подставляя Хс«с- = ахС'Р0-. легко найдем значение рс< и получаем Хее =а^е- [Ех-£- 2aL. (Е°-Е°/?Г),.е.,]-,1 C'f откуда и следует выражение (16.94а) при
Дк= 2|«хс 1*1- S°+/?CC (P2+S2)l, Гхс = 2Ре |ахс |’, Гх = 2Гхе. С Матрица фона U° днагональна и имеет вид
(/»е=О’к^^=ехр(-2(0с).
1 KtcL-C
(16.96а
(16.966)
(16.96b)
(16.97)
Фаза рассеяния <рс
Qc = exp (—/<рс), а 0С
на твердом шаре входит сюда через функцию дается выражением
0£= <pe + arg(l- ReeL°c).



Основы теории реакций^
437
Можно получить теперь формулу для сечения реакции в приближении одного уровня. Запишем сначала выражение для С/сс>:
Ucc. = ехр(—2«0е)6ес. +	U (~0e—МКГхсГхсО Д .	(16 98)
Ек + ^-Е—1<Т\
Напомним, что £х — собственные значения энергии, соответствующие только состояниям с фиксированным J и определенной четностью. Следовательно, если в самом деле возможно выделить отдельный резонанс, то можно рассматривать только каналы реакции с этим J. Если это ограничение правомерно, то соотношение (16.42) дает
(ЕГи)(2'Гхв.)
-------•	(16.99)
(£х + Дх-£)24~Г1
Индекс канала с означает набор a, J, I, s, а суммирование проводится по всем значениям, удовлетворяющим правилам I + s — Г -Ь s' = J. Выражение (16.99) есть широко применяемая резонансная формула Брента — Вигнера для одного уровня, впервые полученная в 1936 г. из менее общих предположений [71.
Заметим также, что выражение (16.44) приводит к сечению упругого рассеяния
Оаа = «Ха f ?> 4g£ Sin*0с —
Mpi
j-c-r 2(Ех + Д>,—E)sin20c4-rx(l— cos20c)
—ga	Ги------------------------------+
“	(Ях + Ах-^’+^Г!
2 Гхс 2 1 Ac'
+gi —±r
(Ex + Ax-^f+jr,2
(16.100)
Первый член определяет потенциальное рассеяние, третий — резонансное, а средняя часть представляет собой интерференционный член.
Следует проявлять осторожность, сопоставляя резонансную формулу для оаа. с экспериментальными данными. Формула представляет сечение, имеющее пик при Е = Ех+ Ах с шириной Гх на половине высоты пика. Ясно, что Гх должна быть много меньше расстояния между отдельными резонансами Ех‘, в противном случае формула для одного уровня неприменима. Для применимости формулы также требуется, чтобы энергия была близка к Ех+ Ак. В то же время энергия Е должна быть близка к Ех, чтобы был основным членом в R. Эти условия означают, что сдвиг Ах должен быть, безусловно, меньше, чем расстояния между уровнями, и чем меньше, тем лучше.
Важно помнить, что, хотя состояния ЕЛ являются возможными состояниями реальной системы частиц, их значения можно менять, так как мы можем выбирать различные граничные условия Вс. Выбирая Ва = Sc, мы имеем S? = 0 и, обратившись к соотношению (16.96а), сразу видим, что
438
Глава 16
Ахс сводится к выражению |аХс| Pl, которое мало по сравнению с Г\с. Конечно, S есть функция энергии падающих частиц Е, однако она меняется медленно, так что если выбрать Вс = Sc (Et), то Л>. будет оставаться малой для всех значений энергии, меньших резонансного.
При сравнении резонансной кривой с экспериментом и сопоставлении резонансных значений энергии со значениями необходимо помнить, что — это энергии состояний, определенных этими конкретными граничными усЬовиями, и что эти состояния не обязательно являются квазисвязанными состояниями системы или какими-нибудь другими состояниями с достаточно простыми свойствами.
Соотношение (16.99) еще раз отчетливо выявляет важную роль величины Ре и ее интерпретацию как фактора проницаемости. Действительно, Гхс просто равна 2PcaJ,c, поэтому Рс можно интерпретировать как величину, характеризующую вероятность того, что частицы во входном канале достигнут области взаимодействия. Кроме того, Ре< можно связать с вероятностью того, что частицы в выходном канале выйдут из области взаимодействия, а величина aKcaic- и резонансный знаменатель связаны с деталями перехода из канала с в канал с' внутри области взаимодействия.
Фактор проницаемости является важной характеристикой, поэтому его значения затабулнрованы н имеются его графики.
§ 7. Механизмы реакций
Даже в случае одинаковых пучков и ядер мишени возможно несколько типов реакций, каждый из которых проявляется в различных экспериментах и каждому соответствует своя теоретическая модель. Различные типы реакций в разной мере интересны в зависимости от энергий падающих частиц, масс ядер, участвующих в реакции, и т. д. В этом параграфе мы намереваемся в общих чертах рассказать обо всех механизмах, прежде чем приступать к конкретному их изучению. В иллюстрациях мы ограничимся главным образом случаем падающих пучков, состоящих из свободных нуклонов.
Попадая в ядро, нейтрон начинает испытывать действие поля ядерных сил других А нуклонов. В последующих столкновениях распределение энергии между двумя сталкивающимися нуклонами определяется свободным нуклон-нуклонным взаимодействием и ядерной плотностью. Последняя изменяет рассеяние, так как никакой нуклон не может иметь конечную энергию ниже поверхности Ферми; общий результат таков, что, как мы видели в гл. 9, можно пользоваться эффективным однонуклонным потенциалом для описания сил, действующих на каждую частицу. Мы показали, что этот потенциал различен для нуклонов, находящихся в разных состояниях оболочечной модели. Поэтому мы должны были ожидать, что нуклоны с энергией, значительно превышающей энергию Ферми, будут в конечном счете испытывать влияние одночастичного потенциала. Однако величина и другие характеристики этого потенциала будут отличаться от потенциала оболочечной модели, соответствующего низколежащим уровням ядра. Более того, параметры потенциала будут функциями энергии падающих частиц.
Падающий нуклон может просто войти в ядро, отклониться в ядерном потенциале и вылететь под другим углом, но с той же энергией (в системе центра масс). Это — прямое упругое рассеяние. С другой стороны, падающий нуклон может столкнуться непосредственно с нуклоном мишени и возбудить его на уровень, лежащий выше поверхности Ферми. Когда это про
Основы теории реакций
439
исходит, падающий нуклон выбывает из входного канала и мы говорим, что образуется сложное состояние. Налетающий нуклон также остается выше поверхности Ферми, так как единственное свободное место в ядре — это освобожденное возбудившимся нуклоном. (Случай, в котором два нуклона обмениваются состояниями, рассматривается просто как вклад в упругое рассеяние.) Будем различать две возможности: либо один (или оба) из нуклонов имеет энергию, превышающую энергию отделения, либо ни один из них не имеет такой энергии. В первом случае нуклон (нуклоны), энергия которого больше энергии отделения, может покинуть ядро без взаимодействия с другими нуклонами, за исключением отклонения в среднем ядерном потенциале; будем называть такой процесс прямой реакцией.
Во втором случае каждый нуклон будет испытывать столкновения, при которых его энергия возбуждения будет постепенно распределяться среди всех нуклонов ядра. Сначала ядерные состояния будут становиться все более и более сложными, однако после некоторого времени релаксации наступит статистическое равновесие и различные ядерные конфигурации начнут, как обычно, возникать и распадаться в другие. Другими словами, волновая функция становится сложной смесью большого числа одночастичных и коллективных конфигураций. Некоторая часть состояний состоит из конфигураций, в которых энергия, концентрирующаяся на одном нуклоне, достаточна для его выброса из ядра. Аналогично, кинетическая энергия может сконцентрироваться на некоторых группах частиц, существующих в ядре более пли менее мимолетно, благодаря чему могут испускаться «-частицы, тритоны, дейтроны и т. д. Все реакции, следующие за первым столкновением, мы будем называть сложными реакциями.
Сложные реакции могут происходить и до того, как установилось статистическое равновесие; например, если дырка в поверхности Ферми, появившаяся после первого столкновения, находится достаточно глубоко, то один из двух возбужденных нуклонов может столкнуться с третьим у границы поверхности Ферми, в результате чего произойдет излучение одной частицы, пока остальные нуклоны заполняют дырку в поверхности Ферми. В этом случае угол излучения может еще оставаться сильно скоррелированным с направлением падающей частицы.
С другой стороны, после достижения статистического равновесия вероятности различных ядерных конфигураций определяются статистикой; состояния не «запоминают» своей предыстории и единственными возможными корреляциями будут те, которые следуют из общих законов сохранения (момента, импульса и четности) всей системы. Ядра, которые получаются при распределении энергии по всем возможным ветвям возбуждений, называются составными ядрами. Их не следует смешивать со сложными состояниями, определенными выше. Идея составного ядра была выдвинута Нильсом Бором в 1936 г. [8, 91 и многие годы рассматривалась как основной механизм ядерных реакций. С повышением энергии ускорителей и другими усовершенствованиями экспериментальной техники стало возможным (примерно после 1950 г.) изучать прямые реакции и аспекты сложных состояний, отличные от составных ядер.
Одним из возможных способов распада сложного состояния является распад обратно во входной канал, который может происходить либо после большого промежутка времени через составное ядро, либо через время, много меньшее чем длительности других процессов. Даже сразу после первого прямого столкновения существует вероятность того, что два возбужденных нуклона рассеются обратно в начальное состояние. В каждом случае испущенные частицы описываются как часть сложного упругого рассеяния.
440
Глава 16
Прямое упругое рассеяние часто называют также потенциальным рассеянием.
При этом, конечно, фундаментально важен тот факт, что частицы, участвующие в процессах, имеют волновые свойства. До тех пор пока взаимодействие можно описывать с помощью среднего одиочастнчного потенциала V, рассеяние эквивалентно преломлению света в среде с показателем преломления (1 — VIE)lh (это выражение равно отношению волновых чисел внутри и вне среды1). Потенциал Vможет меняться от точки к точке внутри ядра; эта ситуация аналогична в оптике случаю прозрачного шара с переменным показателем преломления. Однако упруго рассеянный пучок имеет меньшую интенсивность, чем падающий пучок, так как некоторые частицы участвуют в реакциях и выбывают из входного канала; этот эффект аналогичен поглощению света полупрозрачным шаром. В оптике такой эффект описывают феноменологически, вводя мнимую часть коэффициента преломления. Тогда волновая функция exp It (fax— и>1) ] имеет вид
exp [t (k0 + ix) х— w/1 = e-,aexp li fax— ©/))•
Это выражение описывает проникающую в среду волну, амплитуда которой равномерно убывает со скоростью, пропорциональной интенсивности волны, т. е. поглощение на единице длины постоянно.
Этот же метод можно использовать при изучении упругого рассеяния. Введем потенциал V + iW, где V — средний одночастнчный действительный потенциал, искривляющий прямолинейные траектории частиц, а II/ потенциал поглощения, описывающий частицы, поглощенные сложным состоянием. Вычисление V и II/ из основного двухнуклонного потенциала — столь же сложная задача, как и вычисление оболочечного потенциала. Концепция потенциалов V и II/ оказывается весьма полезной для понимания и систематизации результатов экспериментов, из которых они могут быть определены.
По очевидным соображениям функция V-f- i\V называется оптическим потенциалом. Понятие оптического потенциала впервые было введено' в 1954 г. Фешбахом, Портером и Вайскопфом 110] в работе, посвященной модели полупрозрачного шара.
Величина II/ непосредственно связана с вероятностью того, что падающий нуклон образует сложное состояние. Если II/ не зависит от радиуса, то волновая функция будет содержать множитель ехр [—i (Е — til/) //t], и среднее время жизни будет равно т = й/II/. Ширина состояния, как обычно, определяется соотношением Г = й/ll/, которое имеет вид, сходный с соотношением неопределенностей для энергии и времени; неопределенность по энергии, очевидно, возникает здесь вследствие конечности времени жизни состояния. В действительности поглощение сосредоточено около поверхности ядра, поэтому II/ как функция г имеет пик при г, равных радиусу ядра. Следовательно, ширина в падающем канале равна не точно И7, а некоторому среднему значению II/.
Следует упомянуть также о средней длине свободного пробега падающего нуклона. Если скорость v падающего нуклона постоянна, то длина свободного пробега имеет вид от = hu/Г; однако поскольку V меняется, необходимо снова пользоваться некими средними величинами.
*) Необходимо напомнить, что в выражении k = mvfh, о — скорость частицы, равная групповой скорости волны; при этом фазовая скорость ы/'k равна с*/о. Следовательно, коэффициент преломления, как и должно быть, есть отношение фазовой скорости в вакууме к фазовой скорости в среде.
Основы теории реакций
441
Проводимое нами различие между прямыми реакциями и сложными кроме всего прочего должно включать еще их различную длительность. Прямые реакции должны проходить быстро, а сложные реакции, в частности те из них, которые протекают через составное ядро, должны проходить много медленнее. Назовем «ядерным периодом» время, необходимое некоторому «среднему», связанному в ядре нуклону, для того, чтобы пройти сквозь ядро. Если в качестве характерной кинетической энергии взять 25 /Изе, то для этого времени получается значение VsA1/»- 10 22 сек. Соответствующая ширина (которая не имеет наглядного физического истолкования) примерно равна 13 Л-1/> /Изе. Мнимая часть потенциала была определена экспериментально и оказалась порядка нескольких/Изе (от3 до 10). Следовательно, время жизни во входном канале того же порядка, что и ядерный период или меньше его. Это согласуется с построенной выше картиной; если бы время жизни во входном канале было больше ядерного периода, то было бы невозможно никакое рассеяние, кроме упругого, так как большое время жизни эквивалентно малой вероятности реакции. С другой стороны, наблюдается много резонансных сечений с ширинами, меняющимися от 0,1 до 1 кэв. Очевидно, они соответствуют таким состояниям составного ядра, которые живут от нескольких тысяч до нескольких миллионов ядерных периодов и образуются (относительно быстро) из входного канала и сложного состояния.
Вопрос, какая произойдет реакция — прямая или сложная,— зависит от многих факторов. Предположим, что образовалось сложное состояние. Для прямой реакции необходимо, чтобы по крайней мере один из нуклонов находился выше поверхности Ферми. Вероятность такого события возрастает с ростом энергии падающих частиц. Шоу 111) показал, что если энергия падающего нейтрона Еп меньше энергии отделения В, то вероятность того, что в результате столкновения падающий нуклон покинет входной канал, а один из нуклонов будет иметь энергию > В, равна
и, очевидно, не может превышать значения 0,5. Аналогичные результаты справедливы для последовательных столкновений, причем вероятность того, что один из нуклонов будет иметь энергию > В, уменьшается с каждым соударением. Следовательно, при таких низких энергиях система с большой вероятностью переходит в составное ядро. Существует, однако, процесс, который может поколебать этот вывод: даже если оба нуклона после первого столкновения имеют энергию меньше энергии отделения, они могут нс перейти к составному ядру, возбуждая третий нуклон, а перерассеяться и вызвать, таким образом, сложное упругое рассеяние. Роль этого эффекта зависит от конкретного ядра и от 1Г. В работе Шоу 1111 дана оценка отношения вероятности возвращения во входной канал к вероятности дальнейшего возбуждения; это соотношение имеет вид
/ 75\2_9^
\ Л J 4Г2’
где Г — ширина во входном канале (яь Wz) в Мэв.
Если сложное упругое рассеяние, непосредственно следующее за первым столкновением, оказывается существенным, то составные ядра будут-
442	Глава 16
образовываться редко. С другой стороны, сложное упругое рассеяние может оказаться существенной ветвью распада самого составного ядра, если энергия налетающих частпи мала и энергетически возможно лишь несколько выходных каналов. Сложное упругое рассеяние из составного ядра не будет когерентным с прямым упругим рассеянием, так как оно происходит значительно позже. Иначе говоря, разброс энергий для частиц, вылетающих из составного ядра, составляет лишь незначительную часть разброса энергий в падающем пучке (~'№), поэтому интерференция между волновыми пакетами пренебрежимо мала. Это не верно для сложного упругого рассеяния, которое происходит до образования составного ядра, так как время, протекающее до акта излучения, в этом случае мало. Эти соображения показывают, что фазовые соотношения для сложных реакций, отличающихся от реакций, проходящих через составное ядро, оказываются столь же запутанными.
В следующих главах наибольшее внимание будет уделено двум предельным случаям: составному ядру и прямым реакциям. Однако прежде чем закончить этот общий обзор, упомянем некоторые другие процессы, иногда играющие заметную роль.
Концепцию прямых реакций можно расширить, включив в нее случаи, когда падающий нуклон возбуждает только одну степень свободы ядра. В предыдущем примере одна степень свободы была у мишени, состоящей из отдельных нуклонов, или точнее квазичастиц, так как использовалась терминология, принятая при описании фермн-газа невзаимодействующих частиц. Однако нет причин нс включать в концепцию прямого взаимодействия также взаимодействие падающего нуклона с коллективными степенями свободы. Говоря более физическим языком, мы будем рассматривать как прямые реакции, при которых падающий на сфероидальное ядро нуклон отскакивает от него, заставляя его вращаться. В этом случае нуклон действительно взаимодействовал с ядром как с целым. Аналогично, нуклон может прямым образом возбуждать коллективные колебания.
Можно расширить понятие ядерных реакций, рассматривая также изменения энергии, обусловленные не ядерными силами, а электромагнитным полем. Сюда не включается кулоновское рассеяние, так как оно не меняет внутреннего состояния сталкивающихся ядер. Процесс, о котором идет речь, есть кулоновское возбуждение. Оно возникает вследствие того, что на внутреннее состояние анизотропно заряженной системы может действовать и изменять его подошедшая близко заряженная частица. Примером такого рода ситуации может служить случай, когда протон, а-частица или какой-либо тяжелый ион приближается к несферическому ядру. Если энергия падающей частицы недостаточна для проникновения се через кулоновский барьер, то ядерные силы не могут играть роли, однако сфероидальное ядро начинает вращаться. При последующем распаде оно испускаету-кванты. Этот механизм дал начало одному из основных методов получения информации о структуре вращательных полос такого рода ядер. Общие черты соответствующей теории изложены в гл. 11.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Breit G., Handbuch der Physik, Hsg. S. Flugge, Bd. 41/1, Berlin, 1959.
2.	L a n e A. M., Thomas R. G., Rev. Mod. Phys., 30, 257 (1958).
3.	Wigner E. P., Group Theory and Quantum Mechanics, New York, 1959, Ch. 26. (Имеется перевод: E. Вигнер, Теория групп и ее приложения в квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.)
Основы теории реакций
443
4.	Кар ur Р. L., Р е i е г I s R. Е., Proc. Roy. Soc., А166, 277 (1938).
5.	W 1 g п е г Е. Р., Phys. Rev., 70, 15. 606 (1946).
6.	W I g n е г E. P., E i se n b и d L., Phys. Rev., 72, 29 (1947). (См. перевод n сб. ПСФ, вып. 1, ИЛ, 1954.)
7.	В г e i t G., Wigner E. P., Phys. Rev., 49. 519, 642 (1936).
8.	В о h r N„ Nature, 137, 344 (1936).
9.	Bohr N., К a 1 с к a г F., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. mat.-fys. Medd., 14, 10 (1937)	•
10.	Feshbach H., Porter C.,Weisskopf V. F., Phys. Rev., 96, 448 (1954). ll.Shaw G. L., Ann. of Phys., 8, 509 (1959).
ГЛАВА 17
СОСТАВНОЕ ЯДРО
И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
§ 1.	Экспериментальные результаты
Имеются убедительные экспериментальные доказательства образования составного ядра. Некоторые простейшие примеры дают реакции, происходящие под действием нейтронов низкой энергии. Так как прн взаимодействии нейтронов с ядрами кулоновский барьер отсутствует, нейтроны могут возбуждать с заметной интенсивностью уровни составного ядра при энергии выше порога отделения нейтронов.
Энергии медленных нейтронов можно точно измерять методом времени пролета. В случае пульсирующего источника нейтронов и удаленной на некоторое расстояние от него мишени все нейтроны, достигшие мишени в данный момент, имеют одинаковую скорость. Подсчет по большому числу интервалов времени пролета позволяет найти зависимость сечения от энергии. Аналогичный прием можно применить и к нейтронам, рассеянным на мишени. Пульсации нейтронов получают либо на пульсирующих ускорителях, либо с помощью специальных прерывателей. В первом случае частицы от ускорителя падают на мишень и выбивают из нее нейтроны всех энергий, которые затем сепарируются по времени пролета. Во втором случае пучок нейтронов от ядерного реактора механически прерывается вращающимся затвором; продолжительность импульса достигает в этом случае 1 мксек.
Моноэнергетическне пучки очень медленных нейтронов (£ < 10 эв) можно получить с помощью когерентного брэгговского рассеяния на плоскостях кристалла. Монохроматические нейтроны несколько больших энергий можно получать в ядерных реакциях под действием монохроматических протонов от ускорителя. Этот метод требует, чтобы был открыт только один нейтронный канал. Подобная техника представляется особенно ценной, так как она дает монохроматические нейтроны, энергию которых можно-менять плавно. Реакция Li’ (р, л) Be’ обычно используется для получения нейтронов с энергией до 1 /Мэе, а реакция Н3 (d, п) Не1 — нейтронов с энергией 15 Мае.
При энергиях нейтронов до 1 Л'1эв в сечении упругого рассеяния и в полном сечении наблюдаются различимые резонансы. Тщательно изучен случай поглощения нейтронов на U2 38, изображенный на фиг. 17.1; на фиг. 17.2 показана форма изолированного резонанса1) в 1г при очень низкой энергии. На этих кривых представлена обширная информация по сечениям медленных нейтронов. Форма резонанса в 1г имеет брайт-вигнеровский характер, а именно |(Е — £j.)s+ VJIH. Предположение, что эти кривые могут содержать информацию о сечениях процессов, проходящих с возбуждением
*) Ширина этого резонанса больше, .чем естественная ширина Г, связанная с временем жизни, из-за допплеровского уширения н аппаратурных эффектов. Поправки на эти эффекты обычно делаются до опубликовпния перед тем величин Г.
Составное ядро и статистические теории
445
отдельных уровней, подтверждается детальным исследованием формы четких резонансов на уране. Даже на небольшой шкале фиг. 17.1 видно, что график имеет провал точно перед резонансом и горб сразу после него.
Энергия, эв
Фиг. 17.1. Полное сечение взаимодействия нейтронов с ядром как функция энергии нейтронов в области 400—2000 эв (по работе (!]).
Такое поведение согласуется с формулой (16.100) для сечения упругого рассеяния и обусловлено членом (Е— Е{)/[(Е — £i,)2+ 4АГ* 1, возникающим из-за интерференции между резонансным и потенциальным рассеянием.
Ширины этих резонансов меняются от 0,03 эв или менее до 1—2 эв. Соответствующие времена жизни Г/Л лежат в интервале от 2 или 3-10 14 сек до нескольких единиц на 10'1в сек. Это наводит на мысль, что мы имеем дело с квазистационарными состояниями ядра, которые хотя и расположены выше порога вылета нейтронов, но живут достаточно долго и, очевидно, представляютсобой состояния составного ядра. Представляется вполне разумным, что медленные нейтроны должны образовывать составные ядра. Сле
446
Глава 17
дует полагать, что при первом столкновении они теряют около половины своей энергии, которая в области ядерного потенциала на 6—8 Мэв превышает энергию частицы на поверхности Ферми. Следовательно, вероятность прямой реакции экстремально мала, частицы в основном участвуют в после
дующих столкновениях, переводя сложное состояние в составное ядро.
Если составное ядро образовалось с возбуждением, незначительно превышающим порог излучения нейтронов, то оно будет жить долго в этом состоянии, так как вероятность концентрации пороговой энергии на одной
Фиг. 17.2. Резонанс в полном сечении взаимодействия нейтронов с 1г. Ширина этого резонанса больше естсстиен-ной ширины Г. снизанной с временем жизни. вследствие допплеровского уширения н аппаратурных эффектов. Поправки на эти эффекты обычно учитываются до того, как приводятся данные (по работе (2]).
частице будет низкой. Действительно, так как характерные времена жизни относительно электромагнитных переходов есть величины порядка 10"м —10~15 сек, излучение у-квантов может конкурировать с излучением частиц. Поэтому в таких случаях разумно рассматривать только два вклада в полное сечение: упругое рассеяние (простое и сложное) и захват; последний сопровождается у-пе-реходом либо непосредственно в основное состояние (Д+ 1.Z), либо через каскадный переход. Составные ядра трансурановых элементов могут выделять энер гию также посредством третьего механизма, а именно деления.
Характеристики этих резонансов выявляют существенные свойства состояний составных ядер как состояний, свойства которых в некотором смысле противоположны свойствам состоянии сложных систем, включенных в поня
тие прямых реакций. Последние являются существенно одночастнчны-
ми состояниями, так как они разделены характерным интервалом в несколько Мэв, а также потому, что они живут примерно 10~мсе«, т. е. имеют ширину в несколько Мэв. С другой стороны, сложные состояния, если их рассматривать с точки зрения одночастичных волновых функций, представляют собой крайне сложную смесь конфигураций, разделенных по энергии только несколькими электрон-вольтами. Для U23’, например, в указанной области среднее расстояние между уровнями — около 10 эв. Вероятность возбуждения некоторых сложных состояний очень резко меняется в зависимости от энергии налетающих частиц, в то время как матричные элементы переходов в состояния, возникающие в результате прямого взаимодействия, меняются плавно. Последнее утверждение мы детально обсудим в следующей главе, здесь же лишь заметим, что случайный характер распределения величин у>.с является существенным свойством составных ядер.
§ 2.	Статистические предположения
Количественное описание случайного распределения величин у*с было предложено Портером и Томасом [3]. В соответствии с приведенными выше замечаниями эти авторы предположили, что состояния выбранные для характеристики системы, можно поставить в соответствие с обычными ква-зистацнонарными состояниями; это возможно посредством соответствую-
Составное ядро и статистические теории
447
3.0
Фиг. 17.3. Статистическое распределение Рп (х) для различных значений п.
щего выбора параметров Вс в граничных условиях. Далее, если состояния Лх представляют экстремально сложные суперпозиции конфигураций, то величины и знаки функций фхс (я) будут носить случайный характер, определяемый случайными значениями других, приближенно независимых переменных (например, различных генеалогических коэффициентов в состоянии A?.). Случайные экспериментальные ошибки тоже относятся к переменным такого сорта: они представляют собой совокупность многих независимых случайных величин. Общая теория утверждает, что такие переменные имеют нормальное распределение с максимумом около нуля. Следовательно, так как ухе с точностью до постоянного множителя совпадает с фхе (ас) 1см. (16.84)1, можно ожидать, что число уровней составного ядра в канале с в интервале от у до у 4- d\ будет иметь вид
1	1	{ -У1 \ я
——----=- ехр --J— I ау,
У2л(у’)с	\2 <у2>с/
где (у’)с — среднее значение yL по рассматриваемой области изменения энергии. Линейная комбинация нормально распределенных величин также имеет нормальное распределение;
это утверждение применимо и к величинам ахс. определяемым соотношением (16.95а). Ширина уровня Гхс, входящая в окончательные формулы сечений, пропорциональна aj_c [см. (16.95в)], поэтому число уровнен, соответствующих каналу с, в интервале Г, Г 4- dr дается выражением
PM(x)dx=^-4^x~l/3e-,,iX х,	• (17.1)
У2л
где х = Г/<Г>С, а (Гс) = 2Ре (у’)с. Барьерный множитель Рс зависит от энергии налетающей частицы, однако в пределах нескольких кэв он меняется слабо. Для определения числа уровней X в зависимости от полной ширины Гх в данной области находят статистическое распределение 2Гхс,
С
т. е. сумму квадратов чисел, имеющих нормальные распределения. Хорошо известный статистический результат состоит в том, что подобные суммы имеют так называемое х2-распределенне: если имеется п каналов, то распределение 1\ имеет вид
п /1 \ */2 w — 1
Pn(x)dx= п	ё~*'*пЧх,	(17.2)
2Г
ух /
где х = Г/(Г), а Г (*/,л) = [(л/2) — 1] Г [(л/2) — 1], Г (»/,) = Ул. Как и должно быть, Рс (х) равно Рп (х) для л = 1. В статистике п называют числом степеней свободы. При малых п наиболее вероятны величины Гх, малые по сравнению со средним значением Г, при больших п наиболее вероятными становятся значения Г, близкие к среднему значению. Такое поведение представлено на фиг. 17.3. Среднеквадратичное отклонение х равно 2/л.

448
Г лава 17
Данные по U2S® позволяют сравнить эти предположения с экспериментом. При энергиях, отложенных на фиг. 17.1, единственным каналом, открытым для вылета нейтрона, является входной канал. Следовательно, ширина
Фиг. 17.4. Распределение нейтронных ширин излучения в U138 (по работе |1]). Распределение Портера—Томаса Р(х) d.c = (l/2) я) (x/2)-’/i exp (—х/2) dx, подогнанное под экспериментальные данные.
.для излучения нейтрона задается распределением Рс (х) в одном канале. С другой стороны, составное ядро путем у-распада может переходить в любое из большого числа различных конечных состояний. Поэтому следует ожидать, •что полная ширина Гу имеет распределение, сходное с распределением
Фиг. 17.5. Распределение расстояний между смежными уровнями и ядре U438. Л—случайное распределение (l/(D>) exp (—В—распределение Вигнера [лО/2<Ь)4] exp 1—nD2/4<D)*|, где (D>—среднее расстояние (яь18 зв).
Рп (х) для больших л; другими словами, Г? должна оставаться примерно постоянной при переходе от одного резонанса к другому. Это предсказание подтверждается с удовлетворительной точностью. На фиг. 17.4 приведено распределение нейтронных ширин.
Анализ Гу показывает, что п превышает 50; в качестве примера постоянства Г укажем, что среднее значение Г? для всех резонансов в области 300—600 эв равно 23,5 эв, и это значение лежит внутри коридора ошибок в величинах Гу для каждого отдельного резонанса. В этЬй же области Г„ меняется от 0,2 до 66 эв. Другим подтверждением этих идей служит тот
Составное ядро и статистические теории
449
факт, что для ядер, близких к замкнутым оболочкам, где число уровней для у-распада мало, радиационные ширины меняются от резонанса к резонансу примерно вдвое-втрое.
Большое число переменных в волновых функциях Х>, приводит также к тому, что резонансные энергии Е}, составного ядра сами имеют случайное распределение. Здесь задача сводится к нахождению собственных значений матрицы, элементы которой являются независимыми случайными переменными. Эту задачу решил Мета, который также рассчитал распределение расстояний между уровнями [4). Точный результат имеет громоздкий вид, но, как оказалось, хорошее приближение к нему дает распределение Вигнера1)
лО /—лО2\
----2ехр------,|,	(17.3)
2(D)2	\4(D)2)
где (D) —среднее расстояние между уровнями. Сравнение с данными по и2ад дано на фиг. 17.5.
§ 3. Средние значения сечений
Другой важный вывод, получивший экспериментальное подтверждение, заключается в том, что резонансы при достаточно высокой энергии должны сближаться, а их ширины — возрастать. Описанные нами сейчас распределения содержат средние значения (Г) и (D), которые, как мы уже указывали, являются медленными функциями энергии. Вывод сводится к тому, что с ростом энергии уровни начинают сильно перекрываться; при этом в интервале размытия любого экспериментально реализуемого пучка укладывается несколько уровней. Наблюдаемые сечения становятся величинами, усредненными по многим резонансам.
Нетрудно показать (см., например, статью [5]), что множитель [(1—RL0)'1 R], который возникает в общем выражении для матрицы столкновений (16.91), можно разложить по степеням у\с-
1(1 -RL°)-lRlcc- = 3-----------+
» V рс.. У Чь'Уьу у Yik'Yik-
е* X £,-£-1^ Ц £ц_£_^./Г(1
(17.4)
Вклад во вторую сумму от членов, для которых с" не равны с и с', в среднем равен нулю. Член, в котором d — с, равен первой сумме, умноженной на выражение 1РСЦ ylcRE}.— Е — VjiTj,). Сумму по 1 можно приближенно заменить интегралом
С	YxeQfo)
» Е—
dEK,
*) Вигнер установил это распределение до публикации более точных вычислений Мета.
29 Заказ № 37
- 7* и
450
Гл а в а 17
где р (£>.) — число резонансов на единицу энергии. Далее, если а < у < Ьг то имеет место соотношение
lini Г ( —- ——1 dx=nif(y).	(17.5)
г-*р.) \х—у—/Г / а я
Так как Г>. < Е, то видно, что член, в котором с“ — с, по порядку совпадает с первым членом выражения (17.4), умноженным на
лРс
<У>.е)_я<Глс) .(D)	(D)
Средние значения (Г) и (D) берутся при энергии Е. Аналогичный результат имеет место и для с" = с'. Поэтому члены в разложении (17.4) убывают по степеням л ((Гг.с> /(D)). Если эта величина мала при данной энергии Е для всех каналов, то в выражении (17.4) можно опустить все члены, кроме первого. В этом приближении, используя выражения (16.42) и (16.92), получаем для сечения реакции
Qee. =4лХ’ У	_____
,7* 1£,-£-(//2)Г>.||£ц-£+ (//2)ГН1
Наблюдаемое сечение является средним от оаа> по интервалу А энергии налетающих частиц £. Используя соотношение (17.5), легко видеть, что для среднего значения имеет место выражение
,	\ _ J-Y 2	п'1	~ РСРc'YxeYjwYXc'Yltf (Гх + Гц)
\"аа') — 4Лда_j ga _ д ------------
(£x-V+y(rx+rH)2
где знак «штрих» означает, что в сумму входят только члены с £м и £;., заключенными в интервале А. При фиксированном к наибольший вклад, очевидно, дают члены, для которых разность | ЕК — £(11 достаточно мала, т. е. порядка Г,.. Поэтому, кроме уровня ц = к, число ц-уровней, дающих вклад при фиксированном X, имеет порядок (Г)/(D).
Малость величины (Г)/(D) в совокупности со случайным характером знака величин ух, приводит к тому, что оказывается возможным рассматривать только член с ц = к. Так как число таких членов в сумме равно A/(D), окончательный результат принимает вид
., gi( sri-M Sri.,,)
(о.,) -ariZi	"--------	(17.6)
•/	2j 1 с
где
<P«Yxe>_o, <l!e>
(D) (DJ)
(17.7a)
(17.76)
Полезно определить величину
Tl= 27^
Составное, ядро и статистические теории	451
Если из матрицы R вычесть матрицу фона R°, то получится аналогичный результат с а,.,. вместо ухе км. (16.95)]. Здесь явно вводится индекс J, который мы подразумевали в вышеприведенных рассуждениях. Сумма в знаменателе (17.6) возникает вследствие того, что 1\ = 2 Суммиро-с
ванне проводится по всем открытым каналам и включает интегрирование по возможным значениям кинетической энергии каждой возможной пары разлетающихся частиц.	•
Если это выражение просуммировать по конечным разбиениям а', получится полное сечение образования составного ядра. В излагаемой модели у представляют собой случайные величины, поэтому здесь суммирование по <х' дает полное сечение для частиц, выбывающих из падающего потока.
Итак, получаем
(<ra(C.N.)) = «Ха	(17.8)
J4
Три последних соотношения определяют основные свойства модели составного ядра. Из соотношения (17.8) видно, что величины TJc являются коэффициентами прохождения, дающими вероятность того, что две частицы во входном каналес относительной длиной волны проникнут друг в друга с образованием нового состояния. Эти величины играют важную роль в ядерных реакциях; тесно связана с ними величина sc — «силовая функция», определяемая соотношением
„=<yU
(О) '
(17.9а
Для точного решения, из которого матрица фона не вычитается, имеем
Те
5С =-----.
4лРс
(17.96)
Если реакция a -* а' проходит через канал с одним значением J и фиксированной четностью1’, то сечение принимает вид
(Oaa'>=(Oa(C.N.))-2^,	(17.10)
где индекс J опущен. Этот результат выполняется также, если в некоторой области энергий коэффициенты прохождения Т не зависят от J. Вспоминая, что коэффициент прохождения при поглощении и испускании один и тот же, видим, что выражение (17.10) допускает следующую интерпретацию реакций.
1. Частицы в разбиении а сталкиваются и образуют составное ядро в одном из многочисленных состояний, лежащих в интервале энергий А и обладающих спином J, с вероятностью на единичный поток в секунду, задаваемой выражением (оа (C.N.)).
*) Из определения {/-матрицы (16.40) следует, что она связывает непосредственно только состояния с одинаковыми J и четностями. Предполагается, что суммирование по J означает также суммирование по четности.
29*
452
Г лава 17
2. Состояния составного ядра распадаются по всем каналам, причем вероятность того, что будет «выбрано» данное разбиение а', дается отношением коэффициента прохождения для разбиения а' к полному коэффициенту прохождения для всех возможных каналов.
Другими словами, образование н распад составного ядра происходят независимо. Это основное предположение классической модели составного ядра, введенное Бором [6, 7] и Бете [8] в 30-х годах. Эта идея эквивалентна утверждению, что составное ядро живет так долго, что «не помнит», как оно образовалось. Конечно, даже в предельном случае это утверждение содержит упрощение, так как интегралы движения всей системы в целом Е, J, М, II не могут быть «забыты» ни в каких процессах. В частности, из соотношения (17.6) следует, что для реакций, сечения которых включают суммирование по спину и четности, стадия независимого образования составного ядра не отделяется от стадии его распада.
Необходимо подчеркнуть, что результат (17.6) зависит от двух предположений:
1) Предположение об образовании составного ядра, состоящее в том, что реакции протекают через долгоживущие состояния.
2) Статистическое предположение, заключающееся в том, что этих состояний очень много в малом интервале энергий и что их ширины и энергии распределены случайно. Усреднение по интервалу энергий может быть проведено либо за счет разброса частиц по энергии в падающем пучке (в силу необходимости или преднамеренно), либо путем арифметического усреднения результатов экспериментов, проведенных на пучках с высокой степенью моноэнергетичности. Далее, независимость образования и распада составного ядра является следствием предположения о том, что либо осуществляется одно значение J, либо величины TJc не зависят от J.
Сечения, введенные выше, являются средними по энергии налетающих частиц, однако они относятся к заданной энергии Еа- в выходных каналах. Практически невозможно определить конечную энергию много точнее, чем начальную, поэтому размытие dEa- также содержит много состояний. Экспериментально измеряемой величиной является сумма сечений по всем состояниям в интервале размытия: при малом </Еа< эта величина точно равна (°аа')> умноженному на число состояний и в интервале размытия.
При получении выражения для этой величины было установлено, что удобно сделать некоторые изменения обозначений. Когда мы говорим о разбиении а, мы задаем определенные состояния ядер Ха и Ya и кинетическую энергию Еа. Будем пользоваться заглавными буквами, например А, для обозначения расщепления на два заданных ядра X и Y (оба в основном состоянии) с кинетической энергией ЕЛ. Тогда суммирование по а будет означать суммирование по А и суммирование (или интегрирование) по энергии возбуждения. В обозначениях, принятых в (16.2) и (16.3), имеем
Ед- ~ ®А* ®а + QaA't
где а — начальное разбиение, а Я' — конечное. Запишем также
Еа- = ЕЛ—Еа*.
где Е*а- — энергия возбуждения в разбиении а'. Энергия Е& может быть разделена между двумя частицами X и Y; определим функцию ш1х (ЕЛ) как плотность состояний со спином / в ядре X при энергии Ех выше основного состояния.
Составное ядро и статистические теории
453
Знаменатель а формуле (17.6) можно теперь переписать в виде С
StY = 2 $ dEa..TA..e.v. (Еа..)'Л С	АТ-1" о
VI Е«*
x2j J dEx..a&. (Ех--) <4*. (£«*— Ех..),	(17.11)
Ml о
где
7'а”*"Г’ = Т(Еа--),
a /t и /2 пробегают'все значения, совместимые с равенствами
ll + I2 = s’,	e'+l'-J.
Экспериментально измеряемое сечение, просуммированное по Еа-, дается выражением
dEoaa.
gi
№ С
К,
х
ш'я (Ei-Ex.) dEa-.
(7.12)
'-hii о
В практически важном случае, когда один из продуктов, например У", не имеет возбужденных состояний (например, когда испускается нуклон), выражение в скобках принимает простую форм)'
^x.(EA.-Ea.)dEa.t
(17.13)
где / пробегает все значения от | /у- — s' до /у- Ч-s'.
Выражение (17.12) представляет собой очень важный результат, состоящий в том, что наблюдаемое сечение, отнесенное к единичному интервалу энергии, равно сумме членов, каждый из которых пропорционален силовой функции, барьерному множителю выходного канала и плотности состояний в конечном ядре. Одна из трудностей интерпретации экспериментов состоит в том, чтобы отделить влияние силовой функции от эффекта ^плотности состояний.	ч
Если эффективным оказывается только одно значение J н четности, то выражение для dE иаа- разбивается на два множителя: первый соответствует независимому образованию, второй — излучению. Этот же результат можно получить другим путем, предположив, что:
1)	Ti,i=Tai не зависит от J и s,	(17.14а)
2)	ci>x = (2/+1)cd,v, где ыд не зависит от/.	(17.146)
Сечение можно в этом случае выразить через сечения образования составного ядра из состояний а и а':
_ (2/г-Н)£»х- (Zra.)aa(C.N.)oa.(C.N.)dEa. ......
“ о««---------------------------------------------,	(17.14в)
454
Глава 17
где
aa(C.N.) = nX„ 2(2/+1)Та,.	(17.15)
i
Два сечения образования составного ядра в формуле (17.14в) берутся при различных энергиях. Если все открытые выходные каналы имеют одну частицу в невозбужденном состоянии (что иногда имеет место), то знаменатель л У Tt можно при тех же предположениях записать в виде
С
А"
2(2/у. 4-1) С ал.(Еа.- С.Н.)&<оЛ. (£-)<*£«'•
А"	о
Условия, при которых (17.14) имеет место, выполняются лишь приближенно. Можно ожидать, что первое предположение выполняется достаточно хорошо, так как прохождение через потенциальный барьер в основном зависит от центробежного члена, содержащего /. Однако в присутствии спин-орбитальных или тензорных сил появится зависимость от s и J. Второе условие, конечно, не точно; действительно, из общих положений статистической механики следует, что зависимость плотности уровней от момента имеет вид
,27+„ир [ -в-^"ргия] •
(17.16) Ядерная температура—это довольно не определенная величина, которую мы рассмотрим ниже; однако непосредственные измерения спинов резонансов показывают, что величина (2ог)‘/* находится между 4 и 5. Следовательно, условие (2) будет приближенно выполняться, если все участвующие в реакции состояния остаточного ядра будут иметь моменты меньше 3. Поэтому не удивительно, что существует большое число реакций, в которых ядро «лишается памяти», как это видно из соотношений (17.10) и (17.14).
§ 4. Угловые распределения
Дифференциальное сечение, определяемое формулой (16.36) через (/-матрицу, принимает более удобный вид, если UJ введена в соответствии с выражением (16.40). Приведем без вывода окончательное выражение сечения для различных а и а', причем излучение .рассчитывается на единицу телесного угла dQa:
doaa. = X21(2Jxa + 1) (2Jra + 1)Г* 2В/. (a’s',as)Ph (cosOe.)dQa., (17.17)
I.**' где
В/.Kas, as) = 1 (-1)*"'' 2 zsL) X
X Z(i;jtlzJ2,
Z^JMt, sL) = (2/,+ l)‘/2(2/2+ l)*/a(2J, -I- l)*/j X
X (2J,+ I)’'2 (/,0/20 |L0)	sL),
a коэффициент Рака. Если ввести предположение о случайном распределении величин у в матричных элементах (/-матрицы, входящих
Составное ядро и статистические теории
455
в выражение для BL, и просуммировать по интервалу энергий dEa-, то сечение в единицу телесного угла dQa- в интервале энергии dEa-примет вид
d2aaa- = dVa. dEa. dEa. Xa l(2JXa +1) (2JYa + 1)Г* X
X V Bh(a sI ,as/)P/.(cosOa.) wo.s.|. (Ea ),	(17.18)
где
BL (a’s'I', as/) = -|- (- I )’"*' 2 2 (UU ,sL)Z (I' J I'J, s'L) | UJa-,.r, a,i |\ j
aw — плотность резонансных уровнен в канале a's'l' при энергии Еа-. Так как Z (UU, sL) содержит множитель (/0/01L0), который отличен от нуля при 2/+ L, равном четному целому числу, статистическое предположение приводит к тому, что в выражении для сечения могут появляться только четные L. Это обстоятельство в свою очередь приводит к тому, что daaa. будет в системе центра масс симметричной функцией относительно 90°. Поэтому симметрия рассеяния вперед — назад является следствием статистического предположения. Симметрия имеет место также для любых реакций, проходящих через уровни с одинаковой четностью, и в частности для реакций, проходящих через один уровень. Действительно, реакции, проходящие через один уровень, часто имеют довольно простое угловое распределение, так как в этом случае возможны лишь немногие значения /, /', s, s', а следовательно и L, либо же имеют достаточно большие U. Однако, если имеет место заметная интерференция либо между волнами от двух или трех резонансов, либо между волной от одного резонанса и фоновым рассеянием, угловое распределение не будет обязательно симметричным относительно 90°.
В связи с этим можно ожидать, что распределение в реакциях, проходящих через стадию составного ядра, будет изотропным для падающих пучков с хорошо определенной энергией в области низких энергий, где доминируют резонансы/=/'=0; при достаточно высоких энергиях, для которых выполняется статистическое предположение, симметрия будет иметь продольный характер. В области промежуточных энергий симметрия не ожидается.
Во всех распадах, в которых составное ядро «забывает» свою предысторию, продукты распада испускаются изотропно. Это физически понятно, так как все величины, связанные с начальным направлением движения, исчезают при усреднении. Это утверждение можно проверить математически 151 либо для случая определенного а' с фиксированным значением J (соотношения (17.10) и (17.17)1, либо для интервала dEa- при тех же условиях, при которых выполняется соотношение (17.14).
§ 5. Коэффициенты прохождения
Определение коэффициента прохождения (17.7а) позволяет обратиться к модельной интерпретации. Используя выражение (16.84), можно записать
т<= 4яРс (уЛ) = 4лРс(/.2/2МеОс)(ф?с(ае))
(DJ) ‘ <DJ) ,
2л/, (ОЪ
Рс(Ф>.с (ае)>
Мсас
.(17.19)
456
Глава 17
Выражение в первой скобке определяет по существу период времени, через который система частиц возвращается к состоянию составного ядра. Действительно, явная зависимость волновой функции составного ядра от времени дастся выражением
h
х
и, следовательно, через промежуток времени 2nft/(D) имеем
( 2я»Л v v (	( 2мЕк\
¥ V+<Б>) -	-щу) •
Если уровни Е). расположены на равных расстояниях друг от друга через промежутки энергии (£>), то величина E>.I{D) будет принимать целочисленные значения и волновая функция Чг будет в точности воспроизводиться через каждые 2nh/(D) сек.. Хотя в действительности распределение Ед, случайно, среди большого числа состояний X найдется только относительно небольшая доля таких состояний, вклад которых в 'F будет слишком сильно искажать фазу1). Таким образом (по меньшей мере приблизительно) ядро возвращается к каждой из его многих конфигураций (D)/2nh раз в 1 сек. В частности, величина (D) /2лЛ определяет вероятность диссоциации ядра на два ядра Хе и Yc в канале с с центрами, находящимися на расстоянии ас. Часто (по-видимому, в большинстве случаев) эти конфигурации распадаются на другие конфигурации, однако иногда ядра Хе и Yc полностью отделяются друг от друга, в результате чего в канале с наблюдается реакция. Итак, канал с появляется каждые 2nh/{D) сек. Выражаясь более образно, можно сказать, что число (£>) /2nh равно частоте попыток выхода в канал с.
Вторая скобка в соотношении (17.19) равна числу частиц в канале с в расчете на 1 сек, которые покидают сферу радиусом ас и уходят на бесконечность. Это утверждение можно проиллюстрировать на примере нейтронной s-волны, когда за радиусом гс — ас на нейтрон не действуют никакие силы. В этом случае расходящаяся волна имеет вид О = ехр (ikcTe)r а Рс = ImLe = ackc, kr = Mevc/h, поэтому выражение в квадратных скобках точно равно (ф* (ac))ve, т. е. радиальной плотности частиц на поверхности сферы, умноженной?на скорость вне сферы, что, в свою очередь, равно числу частиц, вылетающих из сферы в единицу времени. Если вне сферы имеется центробежный или кулоновский барьер, то частицы могут отражаться от него.
Таким образом, видно, что для правой части соотношения (17.19) можно, написать выражение
Число частиц в 1 сек, испущенных в канале с
Частота появления канала с
Коэффициент прохождения через потенциальный барьер для распада одночастичного состояния просто равен числу вылетающих в 1 сек частиц при условии, что одна частица находится внутри барьера все время. Поэтому, если бы удалось построить разумную модель не зависящего от времени потенциала для частиц Хс и Yc в канале с, то можно было бы приравнять к одночастичному коэффициенту прохождения через этот потенциал. Такой
*) Область суммирования имеет размеры порядка Г, в результате чего <£>) можно считать постоянной.
Составное ядро и статистические" теории
457
подход был использован в большинстве имеющихся интерпретаций экспериментальных данных. Проблема сравнения таких вычислений со свойствами реальных ядер является по существу проблемой разумного выбора внутренней волновой функции.
Рассмотрим предельный случай полного поглощения из начального канала с образованием составного ядра (мы отвлекаемся здесь от всех прямых процессов). В этом случае внутренняя волновая функция должна содержать только падающую волну, так как обратное излучение отсутствует; для коэффициента прохождения получаем
4PPi
T^(S-Sl)2+(P + Pi)i'
(16.66,
Если внутренний потенциал равен постоянной, то волновая функция имеет вид ехр (—iXr), Si = 0, Pt = Ха; коэффициент прохождения равен
Т= 4КаР--------	(17.20)
S*+(P + KaY
где К — волновое число для внутренней области. Дня нейтронной s-волны внешние функции / и О имеют вид ехр (±t’Xr), а Р = ka. Вводя нижний индекс для обозначения момента количества движения, прн I = 0 имеем
'Г _ 4kK
1 о-------«
(k+Kf-
(17.21>
Вообще для нейтронов
О, = kr(—nt (kr) + ijt (/гг)) = ikrh{n (kr),	(17.22).
где ji и nt — сферические функции Бесселя, а Л?’ — функция Ханкеля1), асимптотически пропорциональна exp(iAr)- Величины S, Р и Р*
Таблица 17.1
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ E=S-HP ДЛЯ НЕЙТРОНОВ С РАЗЛИЧНЫМИ ОРБИТАЛЬНЫМИ моментами
1	Р1		*р1
0	X	0	1
1	X»	-1	^+С'-7Г)’
	1-+-Х*	14-х’	
2	X»	— 3(х®-}-6)	
	х*4-Зх«-|-9	х>4 3x24-9	
3	X7	— (675 4 90х’4 6x4	(-£+£)*+
	225-(-45x2-f-бх^+х»	225 4-45x24- 6х» 4-х*	
			, / 45	6 V
			
»х	х«’+1	—1	/2 ((2/—1)1112
	((21-1)111»		Х«‘+2
в знаменателе формулы (17.20) вычисляются непосредственно. Результаты; приведены в табл. 17.1, где через х обозначена величина keac.
*) См. приложение Б.
458
Глава 17
В случае заряженных частиц результаты значительно усложняются. Кулоновские функции F, и G,, соответствующие функциям Бесселя и rt|, определены в соотношениях (14.15). Имеем
откуда следует, что
О, = ехр(— ioi) (Ft + iGi),
Р, = *,|0?(х) + /7(х)Г*.
(17.23)
(17.24а)
(17.246)
Эти же выражения получаются и при рассмотрении проникновения через барьер в случае а-распада, поэтому при соответствующих условиях применимы формулы, полученные в гл. 14. Однако в случае частиц больших энергий и более легких ядер приближение Вентцеля — Крамсрса — Бриллюэна несправедливо, и коэффициенты прохождения табулируются численно. Существует ряд полезных руководств поэтому вопросу 110—12]. Наиболее полно кулоновские функции рассмотрены в работе Холла и Брента Г13]1).
Величина коэффициента прохождения может значительно изменяться в зависимости от выбора модели, определяющей внутреннюю волновую функцию. Одним из способов отражения того, что не все частицы переходят в состояние составного ядра, является представление внутренней волновой функции на поверхности ядра в виде линейной комбинации входящей волны и уходящей волны с уменьшенной интенсивностью и, возможно, фазовым сдвигом, т. е.
ф| — Л + 6О(, Ь = ехр(— q+i£).
(17.25)
Полный входящий ток на поверхности представляет то число частиц, которые переходят в состояние составного ядра или участвуют в прямой реакции в течение 1 сек. Условия непрерывности имеют вид
а/4-рО = уфь а/ 4-рО =уфь
(17.26)
Легко видеть, что коэффициент прохождения для частиц, падающих на ядро и покидающих входной канал, дается просто выражением (16.66), но с заменой в нем величин S,- и Pt соответственно на величины о, и nf; последние определены соотношением
kt — Ct 4- in{ = а |	| .	(17.27)
\W«
Отсюда находим, что
а _ (ch <? 4- cos (g + d)l -P, sin (£ + d) ch ? +cos (£4-6)
„ Fisht?
ch g-bcos(t + d)
*) Обширные таблицы кулоновских функций составлены также Лукьяновым. Тепловым и Акимовой (31*].— Прим. ред.
Составное ядро и статистические теории	459
где (Of///)o = exp /б. Очевидно, в пределе при q-^О составное ядро не образуется и упругое рассеяние описывается фазовым сдвигом «отраженной» волны рд. Действительно,
«7.28) а/ (о<—о) — я( — Р
Также очевидно, что в пределе при q—>оо имеем о,—и nt—*Plt так что наш результат вновь переходит в (16.66). Однако при более строгом подходе к делу возникают трудности с оценкой величин q и £. Более удовлетворительным оказался метод, в котором поглощение из входного канала описывается с помощью комплексного потенциала. Как будет показано в следующей главе, мнимую часть потенциала можно оценить теоретически и получить из экспериментальных данных.
Если частица движется в комплексном потенциале, то вероятность ее. пребывания в определенном квантовом состоянии не сохраняется во времени. Скорость изменения вероятности нахождения частицы в объеме V с поверхностью 5 дается формулой
m2dK=-^lm(T*grad4r)-n<lS—-И F|V|2dV.	(17.29)
Ot у	/VI 5;	Ну
Потенциал при этом выбирался равным U (г) — HV (г). Вышеприведенная формула выводится таким же образом, как во многих учебниках квантовой механики доказывается, что величину (h IM) Im (Ч7* grad 49 можно трактовать как плотность тока. Последний член, очевидно, соответствует поглощению частиц в единице объема со скоростью (IV/ii) | Ч' |2 в 1 сек. Внутренняя волновая функция ф| [см. (17.26)] подчиняется уравнению
Л' u I / И	I 1*~	I. С 1
—^7-2^+	+ —-Н—7 ф, = Ефь
2М dr	\	2Л1 г )
с граничным условием ф, (0)	0. Поглощаемые частицы образуют состав-
ное ядро. Следовательно, коэффициент прохождения, который равен отношению числа частиц, переходящих в 1 сек в состояние составного ядра, к числу частиц, падающих в 1 сек, дается выражением
а
1уГ $ FltfM
Т =---2	2 ,-----т—	(17.30)
|<х|2|/(а)Г(л//И)(Р/а)
Исключая р из (17.26) и используя (17.27), получаем
_ 4Р______________Ma 2	ф;(г)
(o(-S)2+(PT-n()2 h2 )	ф((а)
2
dr.
(17.31)
Часто предполагается, что радиальная зависимость потенциала IV имеет тот же вид, что и зависимость потенциала оболочечной модели, форма которого, в свою очередь, сходна с видом распределения плотности. Как мы увидим ниже, возможно, более правильно предполагать, что функция IV
460
Глава 17
сконцентрирована вблизи ядерной поверхности. В любом случае нахождение величины (17.31) для реальных ядер требует численных расчетов.
Некоторые сведения о поведении коэффициента Т можно получить из упрощенного расчета с прямоугольным потенциалом —(U + «Ю- Во-71' новые функции ф( получаются просто из волновых функции ф" для чисто вещественного потенциала U путем замены в них Е на Е + Например,, для / = 0 имеем
ip1 = sin(K + iK)r, где
K+iK'=^{(E + i\V)+U\''*	(17.32)»
a (Ksin 2Ка—К sh 2К а) И	---------------------- >
ch 2К a— cos2Ka
_ а (К sin2Ka + Ksh2K а) ch2K'a—cos2Ka
Теперь легко записать выражение для Т. Из выражений для о4 н nf видно, что величина Т как функция энергии осциллирует. «Период» осцилляций определяется соотношением Ка пл, и, следовательно, коэффициент прохождения достигает максимума вблизи одночастичных уровней энергии, величины которых порядка нескольких Мэв.
Таким образом, можно ожидать, что на равномерное и постепенное изменение средних сечений образования составного ядра с измененном энергии будут накладываться очень быстрые флуктуационные изменения, связанные с резонансами в реальном ядерном веществе. Так как средний одно-частичиый потенциал U не сильно меняется от ядра к ядру, то будут иметь место периодические изменения сечений с изменением ядерного радиуса, т. е. с изменением массового числа А. Оба предсказания вполне подтверждаются экспериментами, которые будут рассмотрены в следующей главе.
Интересно более подробно рассмотреть поведение величины Т вблизи се максимума. Наиболее просто это сделать в приближении k КК'а, которое справедливо при достаточно малой энергии налетающих частиц Е. Действительно, можно записать: Е < IV2 /(2J<2 /Ма2), где правая часть, грубо говоря, равна IP, деленному на среднюю кинетическую энергию. В этом пределе величина Р пренебрежимо мала по сравнению с л(. Одночастичные резонансы энергии Er в случае вещественного потенциала (117 = 0) можно найти из соотношения X? (Ен) = o’ (Е/{) = S (Er). Для комплексного потенциала имеем
Х,(Е; U7) = X?(E + iU7).
Если энергия Е близка к Er, а величина 117 достаточно мала, то можно записать
Х<=3(ЕЯ)+(Е-ЕЙ-Н1И® 	(17.33)
\дЕ/ R
Для 1 = 0, например, имеем
A? = a/<ctgaK, ctgaKn = 0 и =--\дЕ /	1,
4	7 п
Составное ядро и статистические теории
461
Используя выражение (17.33) и условие Р < ль из (17.31) получаем
1 Р‘ ‘{Ma^E-EnY'+W2
(17.34)
где Ci—численный фактор, зависящий от интеграла в формуле (17.31). Отсюда видно, что ширина максимума Т прямо связана с величиной мнимой части потенциала.
Ф и г. 17.6. Нейтронные коэффициенты прохождения.
Сплошными линиями нанесены результаты численных расчетов Фсшбяха, Портера м Вайскопфа для комплексного одночастич-ного потенциала
V=-VoX(l+<C) [I +схр (г-Л)/в]-1
при Л=4.4 фм. Соответствующий радиус однородной сферы равен 5.3 фм. Пунктирными кривыми показаны результаты для абсолютно поглощающего ядра, ф(=ехр (—iKr) для радиуса 5 фм (по работам [9; 15]).	Приведенные кривые со-
ответствуют ядрам вблизи А=40. По оси абсцисс отложена величина (*/?)*. пропорциональная энергии налетающих частиц.
ИЯ)г
Графики коэффициентов прохождения даны на фиг. 17.6, 17.7, 17.8. Из кривых видно, что случай реалистичной ямы совершенно отличается от случая абсолютно поглощающего ядра (т. е. случая чисто падающей волны). Это отличие и немонотонное пове-
цненты прохождения для того же потенциала, что и на фиг. 17.6, но при R — 7.1 фм, что соответствует Л =197 (по работе (15)).
дение величины Т как функции момента /, вероятно, обязаны одночастичным резонансам, имеющим место в присутствии несколько необычных потенциалов, возникающих при сложении центробежного барьера и притягивающего потенциала типа Ферми. Ясно также, что для энергий меньше или много больше высоты потенциального барьера протонное прохождение гораздо менее вероятно, чем нейтронное. Для нейтронов высота барьера равна
Е„ = 20,66J, °
А
Мэв (где /? измерен в фм),
а для заряженных частиц —
Ев=20,66^^^+1,44— Мэв, М R	R
где Л!р — масса протона, а М — приведенная масса во входном канале. Нейтронные и протонные коэффициенты прохождения не сравнимы по величине, пока энергии частиц не превышают намного соответствующие барьеры. Коэффициенты прохождения заряженных частиц экспоненциально падают .с увеличением заряда, как было уже показано при рассмотрении а-распада.
Поэтому для осуществления ядерных реакций в случае, когда в качестве обстреливающих частиц используются ядра тяжелее водородных, необходимы большие энергии.
462	Глава /7
Фиг. 17.8. Протонные коэффициенты прохождения для абсолютно черного ядра (по работе 114]).
§ 6. Плотность уровней
Обратимся теперь к рассмотрению относительных вероятностей различных типов распада составного ядра, принимая, что справедливы статистические предположения в форме (17.14) и (17.15). В таком рассмотрении существенно, что сечение (а, а') принимается равным произведению сечения образования составного ядра аа (СЯ) при поглощении налетающей частицы на вероятность того, что распад проходит в разбиении а' в заданном интервале энергии. Несколько упрощая обозначения, рассмотрим вероятность распада С -► b + X составного ядра С на невозбужденную частицу b со спином s и кинетической энергией Т (в интервале dT) и ядро-остаток X с энергией возбуждения Е. Приведенную массу обозначим через М. Согласно формуле (17.14), эта вероятность равна
Fcb(T)dT = y(2s+ 1) MT<i>(E)<jbcdT.	(17.35)
Составное ядро и статистические теории
463
Здесь величина у ие зависит от Ь, а <tW: — сечение реакции b + X -* С, в которой энергия падающей частицы равна Т, а ядро X находится в возбужденном состоянии с энергией Е.
Для оценки величины сечения ак свяжем его с коэффициентом прохождения. Однако для этого потребуется рассмотреть еще одни вопрос. Коэффициент прохождения был ранее выражен через мнимую часть 1Г оптического потенциала, которую можно найти из измерения полных сечений. Такне эксперименты, естественно, проводятся на мишени с ядрами в основных состояниях. Имеются основания считать, что величина IIZ может оказаться иной для высоковозбужденных состояний, которые, возможно, дают вклад в сечение аьс- Теперь остается только одна входящая в формулу величина, которую мы еще не рассмотрели,— плотность уровней со.
Плотность уровней можно определить только в рамках определенной модели ядра. В рассматриваемой нами области возбуждений уровни расположены достаточно плотно, так что можно применить принципы статистической механики, следуя Бете [8], впервые применившему такие соображения в ядерной физике. Вероятность заселенности состояний с энергией возбуждения в пропорциональна ехр (—е/0), где 0 — температура, выраженная в энергетических единицах. Когда мы говорим, что «ядро имеет энергию возбуждения Е», то фактически имеется в виду, что в ядре заняты уровни энергии вблизи Е и величина Е есть средняя энергия этой очень узкой занятой полосы. Таким образом,
С еш(е)е E t,de £== J.
С со (в) e~tre de
(17.36)
Это выражение определяет фундаментальную связь между энергией Е и температурой 0. Полезно также ввести величину, называемую энтропией S и определяемую соотношением
dS _ 1
dE 0 •
(17.37)
Плотность состояний тесно связана с энтропией: основной член в выражении для энтропии есть натуральный логарифм величины со. Поэтому можно записать, что
со (Е) = es(B)/>(£>,	(17.38)
где X —медленно меняющаяся функция энергии Е. Записывая выражение / = ^ со (в) e-e/o de, мы без труда получаем
А(е£Л*/) =	(ввЛ*/),
d0 d0
откуда следует, что
] — gS-tE/9)
(17.39)
Интеграл I по сути дела определяет термодинамическую величину F — свободную энергию, поскольку I — ехр (—F/Q). Но так как выражение со (е) ехр (—е/0) имеет очень острый максимум вблизи точки Е, то в хоро-
464
Г лава 17
шем приближении можно пользоваться выражением (17.38) и с его помощью, записать
или, используя (17.39),
X (Е) = J exp р (е)—S (Е)	Q
е—ЕП
de.
Вспоминая, что подынтегральное выражение имеет очень острый максимум, разлагая S (в) — S (Е) в ряд Тейлора и используя (17.37), находим, что
Х(Е) = (2л
= “Р S(e)“ л(Е) J
откуда

о>(Е)=0
Эти соотношения взяты из статистической механики и приведены только для того, чтобы восстановить в памяти основу аргументации. Полученный нами результат имеет ограниченную применимость, поскольку при выводе учитывались только всевозможные состояния с энергией Е без учета других возможных интегралов движения. Для учета других интегралов движения величину 1 следует заменить на некоторую функцию распределения, отражающую наличие новых связей. Каждая новая связь приведет к появлению1) множителя 01/» в выражении для X (Е), так что если появится т новых связей, то

(17.40)
Для дальнейшего продвижения необходимо принять некоторую модель, допускающую явное выражение энергии Е как функции температуры 0. Одной из таких простых моделей является модель двух ферми-газов, нейтронного и протонного. Выражение для энергии ферми-газа из N частиц при относительно низких температурах имеет вид
E= — Q\ 4Е?
Поскольку появились два дополнительных интеграла движения, именно две энергии Ферми, мы получаем
(17.41)
г/dE со — const 0 |
(17.42)
*) Каждая новая связь приведет также к появлению фактора, зависящего от производной интеграла движения по соответствующему множителю, входящему в измененное выражение для энтропии. Этот фактор может, в частности, зависеть от температуры.
Составное ядро и статистические теор и и
465
Здесь
a Ef — средняя энергия Ферми. Однако выражение (17.42) не годится для применения в случае составного ядра, так как в формуле (17.14) требуется, чтобы ид была плотностью состояний с нулевым моментом количества движения — либо, если X нечетное ядро,— была половиной плотности состояний с / = */г- Оказывается [8], что плотность состояний с определенными энергиями Ферми и определенной z-компонснтой момента М дается выражением
и(£, Ef<p,Efn, М) = const 0~‘Ч —'j ^expf—— I	(17.43)
\dQ)	\ 2с0/
Здесь с по существу определяет момент инерции. Число состояний с / = О равно и (Л4 = 0) — и (М = 1). Аналогично и (/ = 1/г) = и (/VI = 1/г) — — и (/И =*/»)• В пределе с0 1 оба выражения ведут к одинаковому результату
= const 0-‘е®= const/?' Jexp 2 (аЕ)'/г.	(17.44)
Подобным же образом легко получить следующее выражение для плотности состояний с данным моментом количества движения:
шх = (2/+1)ехр
/(/+!)' 2с0
шх-
(17.45)
Условие cQ > 1 всегда выполняется для возбуждений, сильно превышающих первый вращательный уровень, который всегда лежит относительно низко.
Формула (17.44) для плотности уровней широко используется в расчетах. Входящие в нее константы в случае ферми-газа могут быть вычислены точно. Практически, поскольку ядро не является ферми-газом, константы подбираются эмпирически. В действительности, выражение (17.44) не является совершенно точным даже для ферми-газа. Можно показать [161, что более точное, чем (17.41), выражение для энергии имеет вид
Е=ае3— 0,
что ведет к более точной формуле для плотности
шх = Щйаа'ЧГ*'* (Е + 0)~2ехр 2 (аЕ)'/г.	(17.46)
Константа а вносит поправку, учитывающую отличие истинного момента инерции от момента инерции твердой сферы, и должна подбираться эмпирически; в расчетах принимается а = 6,0.
Вышеприведенные результаты содержат, по-видимому, много других неточностей, обусловленных тем, что мы пренебрегали коллективными степенями свободы, корреляционными явлениями и оболочечной структурой. Например, если учесть поверхностные колебания, выражение (17.46) принимает вид
их = const А~г(Е+ 0)-2ехр [2 (аЕ)‘/2+ рЕ’/з],	(17.47)
где р — не зависящая от энергии константа. Конечно, экспериментально трудно отличить экспоненту в этой формуле от экспоненты в (17.46).
30 Заказ Л 37
466	Глава 17
Эффекты, обусловленные оболочечной структурой, подробно рассмотрел Ньютон [17]. Главные эффекты, которые необходимо учесть,—это энергия спаривания, сильная связь нуклонов в замкнутых оболочках и нарушение нестатистического распределения значений моментов возбужденных состояний J. Мы приведем лишь окончательные выражения
(Ох=Л-‘/«(271. + 1)-,/1(27р+1)-‘/1(2Е+30)-,ехрГ^-8,75 ,	(i7.48a)
Е=0,76 (/»+/,+ l)4’/je2.	(17.486)
Численные константы выбраны на основе экспериментальных данных по распаду составных ядер *), ш выражена в обратных электронвольтах, 0 и Е — в Мэв-, jn и /р — соответствующие средине значения одночастичных моментов количества движения — меняются в зависимости от атомного номера; они затабулированы в работе Ньютона. Энергия Е отсчитывается не от основного состояния; она представляет собой фактическую энергию возбуждения с учетом поправок на энергию спаривания. Эти поправки также приведены в работе [17]. Константы были подобраны таким образом, чтобы описать плотность уровней, энергия возбуждения которых ненамного превышает энергию отделения нейтронов. При этом условии формула (17.48) согласуется с данными эксперимента с точностью до множителя порядка 3.
Экспонента в выражении для плотности делает ее очень быстро меняющейся функцией; вследствие этого обстоятельства и ограничений модели формулу Ньютона вряд ли можно существенно, улучшить, избежав чрезмерного усложнения. Действительно, как мы уже отмечали, во многих случаях достаточно использовать зависимость вида <о ~ Е 3 ехр 2 (яЕ)1'*. Для величины а необходимо выбирать несколько необычную зависимость от атомного номера А, такую, например, как в формуле (17.48), поскольку существование эффектов оболочечной структуры хорошо подтверждается экспериментом.
То обстоятельство, что в формуле Ньютона введена поправка в энергию возбуждения на энергию спаривания, весьма разумно: оно связано с другой существенной неточностью в расчете плотности уровней. Этот расчет основывается на модели ферми-газа или в лучшем случае на оболочечной модели для невзаимодействующих частиц. Плотность уровней рассматривается как функция расстояния возбужденного уровня от основного состояния системы. Но в действительности нуклоны в ядре имеют некоторую энергию корреляции, снижающую основное состояние по сравнению с основным состоянием «газа» в отсутствие корреляций. Поэтому, очевидно, неправильно отсчитывать энергию возбуждения в формулах для плотности <о от такого «искусственно» пониженного реального основного состояния. Ее скорее следует отсчитывать от принятого в расчете основного состояния газа без корреляций, называемого характеристическим уровнем и не соответствующего, вообще говоря, какому-либо реальному ядерному уровню. Проблема установления характеристического уровня так же сложна, как и вся проблема расчета корреляционных энергий, о которой упоминалось в гл. 9. Наиболее очевидным корреляционным эффектом является эффект энергии спаривания, поэтому в первом приближении можно предложить в качестве характеристического уровня использовать массовую поверхность нечетно-нечет-
*) Коэффициент 0,76 в выражении для Е принимался Ньютоном равным 0,60, однако последующие эксперименты соответствуют более высокому значению [18].

Составное ядро и статистические теории
467
ных ядер. Четные и нечетные ядра приводятся к этой поверхности интерполированием.
Многие экспериментальные данные анализировались с помощью простого выражения для плотности
со (Е) = Сехр 2 (аЕ)*'2,	(17.49а)
Таблица 17.2
ЗНАЧЕНИЯ’КОНСТАНТ В (17.49) ДЛЯ ЯДЕР С НЕЧЕТНЫМ А
А	и. Л1м-1	С. Мзв 1
27	0,45	0,5
63	2	0,3
115	8	0,02
181	10	0,01
231	12	0,005
• По Блатту и ВаЛскопфу [15].
хотя оно и лишено теоретического обоснования. Значения величин а и С, обеспечивающие приблизительное согласие формулы с экспериментальными данными, были вычислены Блаттом и Вайскопфом [151; они приведены в табл. 17.2. Гсйдман и Бете 1191 дали для величины а при 15 < Л < 70
а = 0,035(Л -12) Л4эв-*.
Эти значения были получены, когда экспериментальных данных было еще очень мало, кроме случая ядер с нечетным А. Более поздние данные в известной мере подтвердили правильность этих значений. Было также найдено, что величина С должна заметно отличаться в завнснмо-ти от характера А [20, 211. Приближенно
0,5 С (нечетно-нечетное) = С (нечетное Л) = 5С (четно-четное), (17.496)
Показанные на табл. 17.2 изменения Спав зависимости от Л можно рассматривать как приближенное представление зависимости, описываемой более точно выражениями типа (17.48). В частности, можно считать, что (17.496) дает грубое приближение при использовании характеристической массовой поверхности как нуля Е. Более поздние данные показывают, что значения величины а несколько больше, и мы повторяем, что для повышения точности необходимо учесть оболочечные эффекты.
§ 7. Статистическая теория распада составного ядра
Составное ядро распадается путем последовательного испускания одной или более частиц, что до некоторой степени подобно испарению капли жидкости. Нуклон или определенная группа нуклонов периодически появляется «на поверхности» с большой энергией и с большей вероятностью проникновения через потенциальный барьер. Будем рассматривать только случай, когда выполняются статистические условия (17.14). Такая точка зрения ведет начало от работ Вайскопфа, выполненных в 1937 г. [221.
В соотношение (17.35) входит относительная вероятность Гсь (Т) распада по каналам, которые характеризуются продуктами распада (b, X), кинетической энергией Т и произвольным орбитальным моментом. Часто удобно использовать вероятность определенного распада составного ядра С в единицу времени. Мы получим эту величину, вспоминая, что полная
30*
468
Глава 17
вероятность распада ядра С в единицу времени равна
1использУя (17 7а) и (17.14)1,
= 2 — (ОГ1 (используя (17.15) и (17.35)], b Y
= (уя2лэ<о (С)Г‘,	(17.50а)
так как полная вероятность распада по всем каналам S Feb равна единице. Вероятность соответствующего распада за 1 сек определяется выражением (Ь и Т фиксированы)
Рь (T)dT= FCb (Г)LdT -•	(17.506)
В этом выражении ш (С) есть, грубо говоря, плотность уровнен составного ядра, включающая все возбужденные состояния или, точнее, 1<о (С)]'1 = = 2 (оИ (С)]"1.
j
Рассмотрим сначала испарение нейтрона и запишем вероятность распада
2 МТ
pn(T)dT= ~г—~апС (T)dTwx (е10-—Т)	(17.51)
я д (о (Q
в обозначениях (16.5), считая, что частицы во входном канале не возбуждены. Из-за быстрого спадания экспоненциального множителя с ростом Т, рп принимает наибольшее значение при малом Т (скажем, Тт), и только те значения Т дают заметный вклад, которые достаточно близки к Тт. Поэтому в качестве температуры ядра X можно использовать среднюю величину, соответствующую средней энергии Е, немного меньшей е/о. Кроме того, если важна лишь небольшая область значений Т, то и вьс и коэффициент Е*8 в й>х можно заменить их средними значениями; тогда
Рп (D = ^М~ °ьс Ьо-Ё^х (Ё) Те -т/в.	(17.52)
л h со (С)
Последний множитель возникает из es в результате записи
S(e/o-7^ = S(ero)-T^| + ...= S(e,0)-J. aL	v
Энергетический спектр Т^ехр (—Т/0) называется максвелловским распределением н получается в результате применения кинетической теории к испарению молекул жидкости.
Полная вероятность испускания нейтрона в единицу времени равна
Рп= \ Рл(П<П’=62[1-(1 + х)е-1]-?^^-, J	я Л о(С)
где х = ъю/в. Величина е/0 может принимать любые значения в области •от нескольких кэв до нескольких Мэв. Коэффициент а в выражении Е = а& обычно порядка 3—5 Мэв 1 (см. (17.486)1, и, следовательно, температура юстаточного ядра составляет обычно величину порядка 0,5—1,5 Мэв. Поэтому
Составное ядро и статистические теории
469
во многих случаях 6 < е;0 и
2М
л2/,3<о(С)
оах Q2
где последние три множителя вычислены при Е = Е, близкой к е/о- В этом случае
_ i'T'\_ Рп
Рп (’) —хз Ее
0
Здесь Тт = 0, среднее значение Т = 20, а стандартное отклонение равно 0]/^2. Малая область изменения Т, определяемая приведенной выше величиной отклонения, подтверждает правильность расчета стьс при энергии Т, а величин и 0 — прн энергии возбуждения е;о — Т ~ е/0-
Отметим, что сечение реакции (а, л) равно
Рп
ст(а, л) = оа (СЯ) •	(17.53)
После того как из ядра испарился нейтрон, остаточное ядро X может либо иметь энергию возбуждения, достаточную для испарения какой-нибудь второй частицы с, либо нет. Ясно, что
т
ст(а, лс) = а(а, л)
о
Рп (Е)^хс (е;о — Т) АТ ------------------ у
(17.54)
где,угхс(£) — вероятность того, что ядро X, играющее сейчас роль составного ядра, будет распадаться с испусканием частицы с, а е;о — т — энергия отделения с от X. Как мы уже видели, прн возбуждениях выше, чем порядка нескольких сотен электронвольт над порогом испускания частиц,
составное ядро почти непременно распадается путем испускания частицы, а не путем излучения у-кванта. К тому же для достаточно медленных частиц испускание нейтронов намного вероятнее, чем испускание заряженных частиц. Так как статистические множители благоприятствуют относительно малым скоростям испарения, .Рхп практически равна единице всякий раз, когда энергетически разрешено испускание нейтрона. Тогда получается простой результат
о(а, 2л) = а(а, л)
(17.55)
где 0 — температура промежуточного ядра X.
Ясно, что для высоковозбужденного ядра можно предусмотреть полную цепь испарений и рассчитать такие характеристики, как среднее число испущенных нейтронов и полный энергетический спектр. Эти цепи изучали Джексон 1231 и ле Кутер 124]. Последний показал, что нейтронный спектр можно аппроксимировать функцией
T5/nexpf—2Д,
где 0* = и/12 0х, а ©х — температура, которая определяет спектр первоначально испущенных нейтронов. Первичная группа испарившихся нейтронов имеет среднюю кинетическую энергию 2©х‘. естественно, что в полном спектре сильнее представлены энергии ниже 20д , поскольку
470
Глава 17
после испускания нейтрона ядро охлаждается. Для такой формы спектра Т — 4/з При поиске экспериментальных данных для подтверждения полученного результата необходимо учесть, что частицы, падающие с большой энергией, будут выбивать нейтроны также и в результате прямого взаимодействия. Эти нейтроны можно опознать по их преимущественному
Ф и г. 17.9. Зависимость функции Т-0/** (d2a/dE dQ) . от энергии ней-трона при бомбардировке ядер Au, Ag, Ni, Al и С протонами с энергией 190 Мэв (по работе [25|).
рассеянию вперед и по высокой энергии. Нейтроны малой энергии, рассеянные назад, могут надежно рассматриваться как фрагменты составного ядра. Нафиг. 17.9 показана логарифмическая зависимость cPa/dTdii от Т для рассеянных назад нейтронов, полученных в результате бомбардировки различных ядер протонами с энергией 190 Мэе. Почти прямые линии на графике подтверждают правильность общей картины испарения нейтронов. Необходимо заметить, что можно сослаться на большое число аналогичных экспериментальных данных; литература по ядерным реакциям весьма обширна.
Излучение у-квантов, следующее за захватом нейтрона, является сейчас предметом основательного исследования. Радиационные ширины при захвате очень медленных тепловых нейтронов сравнимы с нейтронными ширинами, поэтому излучение у-квантов происходит с заметной интенсивностью. Высвечивание наблюдается как путем излучения одного или двух
у-квантов, так и путем излучения каскада. Процесс высвечивания ценен тем, что, помимо интересного собственного механизма, позволяет наблюдать уровни ядра, которые трудно получить другими методами. Однако мы не будем останавливаться на этом вопросе1).
§ 8. Испускание заряженных частиц
Испускание заряженных частиц также подчиняется соотношению (17.50), но в этом случае нельзя рассматривать сечение составного ядра въе как медленно меняющуюся функцию энергии. Хотя и можно дать приближенные аналитические формулы, но они обычно редко используются, и всякий раз необходимо обращаться к численному решению уравнения (17.15), используя коэффициенты прохождения для заряженных частиц. Поэтому любое общее описание становится громоздким, и мы не будем приводить его, обсудив вместо этого два типичных случая.
’) Читатель отсылается, например, к обзору Кинели [26]. (Результаты исследований радиационного захвата медленных нейтронов ядрами см. в работах Грошева с сотрудниками [32*, 33*].— Прим, ред.)

Составное ядро и статистические теории
471
Во-первых, рассмотрим реакцию (л, а) с 14,5 Мэв нейтронами на средних ядрах (Л < 50). Если на диффузной ядерной поверхности имеются а-ассоциацни, то можно ожидать некоторого вклада от прямой реакции. В угловом распределении прямой компоненты появится максимум, направленный вперед; в действительности наблюдается очень малое отклонение
Е. Мэв
Фиг. 17.10. Энергетический спектр а-частиц в реакции S*8(n, a) Si2*; энергия нейтронов 14,8 Мэе (по работе [27]).
Фиг. 17.11. График зависимости функции 1ра (Т)/Таа (Т)|! от энергии а-частицы Т и энергии возбуждения Е для ядра Si29 (по работе [27]).
от симметрии относительно 90° I2711). Однако распределение существенно анизотропно о (л)/а (л/2) « 2,5, откуда следует, что а-частнцы, вероятно, испускаются из составного ядра, но статистическую теорию нельзя применять. Наиболее вероятной причиной этого является несостоятельность предположения о пропорциональности со величине 2/-}- 1. Тем нс менее энергетическое распределение напоминает испарительный спектр, что показано нафиг. 17.10для мишени, состоящей из ядер S31. Изучение логарифмической зависимости [ра (Т)/Тоа (Т) 1 от энергии возбуждения остаточного ядра Si1® является хорошим методом сравнения экспериментального спектра с теорией. Результат приведен на фиг. 17.11. Пунктирную часть кривой мы не будем рассматривать, так как она включает частицы реакции (л, ла). Сплошная линия есть прямая, а это означает, что со пропорционально exp (EIQ), где О постоянна и приблизительно равна 1,5 Мэв. Этот результат расходится с предположением модели ферми-газа, согласно которой 0 ~ Е1/г. Имеется довольно большое число других реакций, для которых аналогичный анализ выявляет тенденцию к более медленной температурной зависимости при малых возбуждениях. Однако этот вывод следует принимать с оговоркой по крайней мере до тех пор, пока отсутствует более полный анализ, включающий детальное рассмотрение углового распределения.
*) Новые данные по поводу механизма аналогичной реакции (р, а) см. в работе Ключарева, Кравец и Руткевич [34*].— Прим. ред.
М2 Глава 17
Вторым примером является испарение намного более высоковозбужденного ядра, а именно ядра никеля, бомбардируемого ионами кислорода с энергией 160 Мэв [28]. Здесь также образуются а-частицы и протоны, а продукты прямых реакций по существу исключаются тем, что рассматриваются только частицы, испущенные в заднюю полусферу. Угловое распределение не изотропно, но может быть разложено по четным полиномам Лежандра, что свидетельствует о наличии симметрии относительно 90°. В этом случае авторы сравнили угловое распределение с теоретическим расчетом.
Фиг. 17.12. Энергетическое распределение а-частнц и протонов при бомбардировке никеля ионами кислорода с энергией
160 Мэв.
Сплошные лвннп получены экспериментально, а пунктирные теоретически рассчитаны (нормированы по экспериментальному значению пнка) (по работе [28]).
В данном случае мы имеем дело с испарительным каскадом, так как начальное возбуждение— порядка 125 Мэв, а центр тяжести спектра а-частиц — порядка 12 Мэв, тогда как центр тяжести протонного спектра всего лишь порядка 4 Мэв (фиг. 17.12). Теоретический расчет весьма труден, но все же были получены и энергетический спектр при угле 90°, и угловое распределение. Так как максимальное значение момента в этих соударениях порядка 50li, то можно ожидать вполне определенного эффекта, если исходить из предположения, что
</ = w°(2/+l)expI-a/(/+l)].	(17.56)
Оказывается [291, что предсказываемое угловое распределение имеет внд
иф)= 1 +4p2^(cos0) + lp4P4 (cosO)-b-A- P4(cos6)+ ..(17.57) о	оа	4186
где
p2=a2(J2)(/2),
a (J2) и (Р) — среднеквадратичные значения момента составного ядра и испущенной a-частнцы соответственно. Усреднение проведено по всему каскаду. Распределения протонов и a-частнц хорошо согласуются с экспериментальными результатами при р2 = 2,5 и 0,68 соответственно; согласие для a-частиц показано на фиг. 17.13. Параметр а в (17.56) определяется
Составное ядро и статистические теории
473
формулой
2J0’
где J — момент инерции ядра. Эксперименты, точность которых достаточна для определения J, пока отсутствуют, но существуют свидетельства того, что для 3 подходят твердотельные значения момента инерции. Если отклонения от этих значений при малых возбужде
ниях приписать парным корреляциям, то естественно полагать, что твердотельные значения 3 должны становиться разумными, когда энергия возбуждения превышает энергию спаривания на несколько Мэв.
Расчет энергетического спектра, приведенного на фиг. 17.12, основывается на предположении, что плотность уровней имеет простой вид (17.49а) с а=А /20/ИяГ1. Согласие формы расчетной и экспериментальной кривых весьма заметно. Однако сдвиг в максимуме загадочен. Имеются другие эксперименты, давшие сходные результаты; все они согласуются с предположением, что в высоковозбужденном ядре барьер относительно испускания заряженных частиц до некоторой степени уменьшен; это может быть обусловлено несферично-стью ядра, вызывающей эффективное увеличение радиуса соответствующей части
Фиг. 17.13. Угловое распределение а-частнц, испущенных назад в системе центра масс (по работе (281).
ядра и тем самым сужение барьера. Однако могут существовать и другие
эффекты; достоверное объяснение пока отсутствует.
Одно из наиболее важных наблюдений, относящееся к сечению заря-
женных частиц, заключается в следующем: имеется близкое соответствие между числом испущенных протонов и а-частиц. Пример, рассмотренный нами, сложен, но такая же картина сохраняется и для более простого случая при более низких возбуждениях. Испускание а-частицы есть несколько менее вероятный процесс, чем испускание протона при той же энергии, так как в первом случае кулоновский барьер едва раза больше. Можно ожидать дальнейшего уменьшения, вызываемого фактором формирования; оно является отражением того обстоятельства, что в ядре всегда имеются протоны, тогда
как a-частичные ассоциации могут появляться только с определенной вероятностью. Однако эксперименты показывают, что во всех таких случаях значения фактора формирования отличаются от единицы самое большее вдвое1). Такой результат не удивителен ввиду большого смешивания конфигураций и особой стабильности а-частицы. С другой стороны, как указал Коэн [29], подобное поведение очень отличается от поведения классической
водяной капли, из которой всегда испаряются молекулы воды, но никогда — кристаллики льда. Основное различие между каплей и ядром заключается в том, что плотности состояний ядер, отличающихся на несколько нуклонов, сравнительно близки друг к другу, тогда как число состояний в капле
*) Факторы формирования такого рода соответствуют возбужденным состояниям ядер и не обязательно совпадают по величине с факторами формирования для основных состоянии тяжелых a-активных ядер.
474	Глава 17
воды очень резко зависит от числа молекул. Эти свойства в свою очередь обусловлены различной плотностью материн и различием между статистиками Максвелла — Больцмана и Ферми—Дирака. Хотя следует учитывать опасность слишком буквального восприятия классических аналогий без учета квантовых эффектов, все же вполне возможно, что представления о «зернистой» структуре ядерной поверхности имеют какой-то физический смысл.
ЛИТЕРАТУРА
I.	F 1 г k F. W. К.. Lynn J. Е., М о х о n М. С., in «Proceedings of International Conference on Nuclear Structure» (Kingston, Canada), Toronto, 1960.
2.	L	a n	d	о n H. H., Phys. Rev., 100, 1414 (1955).
3.	P	о r	t	e r C. F., T h о m a s R. G., Phys. Rev., 104,	483 (1956).
4.	M	e h	t	a M. L., G a u d 1 п M., Nucl. Phys., 18, 420	(1960).
5.	L	a n	e	A. M., T h о m a s R. G., Rev. Mod. Phys., 30, 257 (1958).
6.	Bohr N., Nature, 137, 344 (1936).
7.	Bohr N., К a 1 с к a r F., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. mat.-fys., Medd., 14, 10 (1937).
8.	В e t h e H. A., Rev. Mod. Phys., 9, 69 (1937).
9.	Feshbach H., in «Nuclear Spectroscopy», ed. F. Ajzenberg-Selove, New York, Ch. 5A.
10.	Abramo w i t z M., Tables of Coulomb Wave Functions, Vol. 1, Washington, 1952.
11.	S h a r p W, T.,Gove U. E., P a u 1 E. B., AECL Report No. 268.
12.	S c h i f f e г J. P., Argonne National Laboratory Report ANL-5739.
13.	H u 1 1, В r e i t, Handbuch der Physik, Bd., 41/1.
14.	S h a r p W. T., G о v e H. E., P a u 1 E. B., AECL Report TP1-70.
15.	В 1 a t t J. M., W e i s s к о p f V. F., Theoretical Nuclear Physics, New York, 1952. (Имеется перевод: Дж. Блатт, В. Вайскопф, Теоретическая ядер-ная физика, ИЛ, 1954.)
16.	L a n g J. М. В., L е С о u t е и г К. J., Proc. Phys. Soc., А67, 586 (1954).
17.	N е w t о n T. D., Canad. Journ. Phys., 34, 804 (1956).
18.	E r i c s о n T., in «Proceedings of the International Conference on Nuclear Structure» (Kingston, Canada), Toronto, I960, p. 705.
19.	H	e i	d m a n n	J., В e t h e	H. A., Phys. Rev.,	84, 274 (1951).
20.	В	г о	w n G., M и i r h e a d	H., Phil. Mag., 2,	473 (1957).
21.	В	и I	I о c k R.	E., M о о r e	R. G., Phys. Rev.,	119, 721 (1960).
22.	W	e i	s s k о p f	V. F., Phys. Rev., 52, 295 (1937).
23.	Jackson J. D., Canad. Journ. Phys., 34, 767 (1956).
24.	L e С о и t e и r K. J., Proc. Phys. Soc., A65, 718 (1952).
25.	G г о ss E. E., USAEC Reports UCRL 3330, 3337 (1956).
26.	Kinsley, Handbuch der Physik, Bd. 40, Berlin, 19XX, p. 308 -318.
27.	К и ma be Journ. Phys. Soc. Japan, 13, 325 (1958).
28.	Knox J., Q и i n t о n A. R., Anderson С. E., Phys. Rev., 120, 2120 (1960).
29.	E r i c s о n T., S t г и t i n s k i V., Nucl. Phys., 8, 284 (1958).
30.	С о h e n B. L., Phys. Rev., 120, 925 (1960).
31*	. Лукьянов А. В., Т е п л о в И. Б., А к и м о в а М. К., Таблицы волновых кулоновских функций, Вычислительный центр АН СССР, М., 1961.
32*	. Грошев Л. В., Д е м н д о в А. М., Л у ц е н к о В. Н., П е л е х о в В. И., Атлас спектров гамма-лучей радиационного захвата тепловых нейтронов, М., 1958.
33»	. Грошев Л. В., сборник «Ядерные реакции при малых и средних энергиях»' М., 1962, стр. 515.
34*	. Ключарев А. П., К р а в е ц Г. Е., Р v т к е в и ч II. Я., ЖЭТФ, 44, 1753 (1963).
ГЛАВА 18
ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
§ 1. Введение
В гл. 9 мы рассказали, каким образом из ядерных сил формируется эффективный одночастичный потенциал, действующий на частицу в бесконечной ядерной среде. Далее было показано, что разумно представить конечное ядро как ядерную материю переменной плотности и что такое приближение ведет к потенциалу оболочечной модели. В этих обсуждениях было очень мало специфичного для основного состояния ядра; для частицы, находящейся чуть выше поверхности Ферми, основным отличием является лишь то, что в этом случае принцип Паули уменьшает взаимодействие свободных нуклонов несколько в меньшей степени. Поэтому следует ожидать, что возбужденная частица испытывает такое действие потенциала, которое очень напоминает рассчитанное в гл. 9.
Прн увеличении энергии становится важным следующий новый эффект. Нуклон, попадающий в ядро, может вызвать реакцию; в таком случае простое состояние, представляемое как частица в потенциальной яме, не позволяет полностью описать систему; для учета поглощения следует перейти к комплексному потенциалу.
Сходство ядерного рассеяния и рассеяния света было описано в общих чертах в гл. 16. Свет действительно взаимодействует с каждым атомом или молекулой прозрачного вещества, поглощается и, в конце концов, снова испускается со сдвигом фазы. Весь процесс можно описать макроскопическим коэффициентом преломления. Наличие потенциала изменяет длину волны нуклона, и потенциал ядерной материи определяет макроскопический коэффициент преломления. Далее, если вспомнить, что некоторая часть энергии света может быть вновь испущена с изменением частоты, то ясно, что происходит поглощение падающего света и что аналогия между ядерным и оптическим случаями очень близка. Ядро представляется шаром, состоящим из ядерной материи, пропускающим, отражающим, преломляющим и поглощающим падающие нуклонные волны; другими словами, ядро есть «полупрозрачный шар».
Величина потенциала связана с плотностью ядра соотношением, которое обсуждалось в гл. 9. Потенциал Должен иметь приблизительно такую же форму пространственного распределения, как и плотность, но можно ожидать, что он простирается несколько дальше. Точная связь определяется задачей самосогласованного поля, но если ввести еще один нуклон с энергией возбуждения, то он не слишком сильно изменит самосогласованное распределение большого числа уже имеющихся нуклонов. Оптический потенциал, конечно, нелокален и содержит спнн-орбитальный член. Его
476
Глава 18
параметры меняются с изменением энергии падающих частиц под влия нием эффектов, связанных с принципом Паули.
Фиг. 18.1. Наблюдаемые полные сечения нейтронов по Баршаллу |3], которые приведены в работе (4].
Шкала х2 по существу совпадает со шкалой энергий; приближенно можно считать *2=-Лг/зх Х(ДМ+!)•(£/10). где Е пиражено в Мэв. Величина R выбрана на соображений удобства и не играет фазической роли в представлении экспериментальных результатов.
Фиг. 18.2. Дифференциальное сечение упругого рассеяния нейтронов с энергией I Мэв (по работе [3]).
Можно ожидать, что мнимая часть потенциала около границы ядра будет больше, чем внутри, главным образом потому, что на границе плотность нуклонов меньше и нуклон-нуклонное рассеяние будет меньше подавлено, а следовательно, будет более вероятен переход нуклона в другой канал. Этот эффект становится менее существенным при возрастании энергии падающей частицы. Поэтому естественно ожидать, что поверхностное
Оптическая модель
477
поглощение будет преобладать при малых энергиях, постепенно переходя в объемное с увеличением энергии. Оказывается, что феноменологическая граница лежит в районе 50 Мэв. Расчет поглощения, основанный на свойствах ядерной материи, показывает, что мнимая часть потенциала на поверхности втрое больше, чем внутри, для нейтронов с энергией 1 Мэв и вдвое больше для нейтронов 10 Мэв (1, 21.
Существуют два аспекта оптической модели. Один из них—феноменологический: выбор параметров, определение модели и ее применение к объяснению экспериментальных данных. Второй аспект— вывод и согласование ее с более фундаментальной теорией взаимодействия свободных нуклонов и теорией /^-матрицых).
Сначала мы рассмотрим феноменологическую часть, но прежде чем перейти к обсуждению, целесообразно отметить, что в области энергий, где имеются близко расположенные резонансы, типичные для составного ядра, оптическая модель дает сечения, усредненные по этим резонансам. Для того чтобы описать все процессы поглощения непрерывным мнимым потенциалом, необходимо усреднить по всем резонансам или арифметически, или физически — путем включения многих резонансов в область энергий, близких к энергии падающих частиц. При более высоких
Фиг. 18.3. Рассеяние нейтронов с энергией 14,5 Мэв (по работе [6]).
энергиях резонансы составного ядра не видны. Можно говорить, что они перекрываются и этот эффект представляет форму усреднения; однако в любом случае ясно, что в этой области можно непосредственно наблюдать оптическое рассеяние. Позднее мы возвратимся к дальнейшему теоретическому выяснению природы усреднения в этих двух случаях.
Для частицы в оптическом потенциале сечения связаны с коэффициентами прохождения Т, описанными в гл. 17. Мы видели, что Т имеет максимумы и минимумы с интервалами, типичными для одночастичных энср-
х) Детальный обзор приложений оптической модели см. в статье Шапиро [29* |.— Прим. ред.
478	Глава 18
гий в потенциальной яме, и что резонансные энергии являются регулярными функциями от А. Мы также видели [см. (17.34)1, что ширины максимумов непосредственно связаны с мнимой частью потенциала. Именно на
Ф и г. 18.4. Дифференциальное сечение рассеяния нейтронов. Пунктирная кривая относится к локальному потенциалу [5], а с плотная-к нелокальному [7].
установление регулярностей такого типа в полном нейтронном сечении опирается идея применимости оптической модели1) к анализу ядерных реакций при малых энергиях [41. На фиг. 18.1 и 18.2 показаны результаты, собранные Баршаллом. Именно такие результаты должны объяснять оптическую модель. Что для этого существуют веские основания — можно видеть, вспомнив, что коэффициенты прохождения для различных значении
1) Модель использовалась при энергиях .^=100 Мэв и была введена, но потом твергнута в тридцатых годах.
Оптическая модель
479
момента / имеют максимумы при разных значениях 1га. Следовательно, чем слабее выражены пики, тем больший вклад в сечение между максимумами будут давать другие моменты. Относительно зависимости от А заметим, что изменение радиуса ядра а сдвигает энергии, при которых достигается максимум сечения.
Угловое распределение ваш, рассеянных «полупрозрачным шаром», в сущности представляет дифракционную картину. Минимумы рассеяния на непрозрачном диске радиусом /? наблюдаются при условии
I-г- sin -9-)= пуль функции Бесселя Jt.
Для нейтронов, падающих с энергией в нескачькоЛ'Ьв, к мала по сравнению с R и можно наблюдать от трех до пяти минимумов при изменении 6 от 0 до л (нули Jt находятся приблизительно на расстоянии л друг от друга). Как размытость потенциала, так и поглощение приводят к тому, что минимумы становятся менее отчетливыми и сдвигаются. Типичные дифференциальные сечения показаны на фиг. 18.3 и 18.4. Общая картина угловых распределений и энергетической зависимости указывает на то, что рассеяние происходит на потенциале, имеющем размеры ядра. Более поздние данные подтверждают такое объяснение во всех отношениях, и мы сейчас перейдем к обсуждению деталей.
§ 2. Оптические параметры
По крайней мере при не очень больших энергиях оптический потенциал должен быть очень похож на эффективный одночастичный потенциал для связанных нуклонов. Он должен содержать центральную и нецентральную части, должен быть нелокален и непосредственно связан с плотностью ядра. Отчасти вследствие последнего требования ожидается, что «центральный» потенциал зависит от I почти так же, как и найденный Бракнером в случае конечного ядра (см. гл. 9) эффективный потенциал для связанного состояния. Если все параметры, входящие в этот сложный потенциал, рассматривать как свободные, то, конечно, большинство экспериментальных данных согласовывалось бы с теорией, но это согласие было бы физически бессмысленным. Поэтому обычно выполняют анализ с несколько ограниченными формами потенциала.
Одни из способов упрощения потенциала состоит в том, чтобы превратить его в локальный, но оставить его непрерывно меняющимся в зависимости от энергии падающей частицы. Простым способом учета энергетической зависимости потенциала является использование эффективной массы. Уравнения (9.38) и (9.32) являются фундаментальными уравнениями этого метода; только их необходимо изменить: сделать V комплексным для учета поглощения. Этим методом, слегка измененным для учета энергетической зависимости поглощения и включающим спин-орбитальный член, можно показать, что почти такой же нелокальный потенциал будет давать наблюдаемую одночастпчную картину повсюду в области энергии ± 25 Мэв, т. е. от основного состояния до 25 Мэв над уровнем свободной частицы [7]. Это очень важный результат, который придает большую уверенность в том, что оптическая модель по существу правильна. Однако это соответствие не точное, и используемый всегда потенциал дат жен рассматриваться как один из возможных потенциалов, но ни в коем случае не единственный.
480
Глава IS
Действительный центральный потенциал часто берется в виде Vf (г), где f (г) имеет форму
/(0 =
14-ехр
(18.1)
\ d У] ’
где/?довольно велико по сравнению с радиусом распределения заряда *)• Нелокальность имеет радиус порядка 0,8 фм [а в уравнении (9.37)). Глубина потенциальной ямы различна для нейтронов и протонов и зависит от избытка нейтронов
(М___7\
(18.2) Я )
где знак плюс относится к протонам, а минус — к нейтронам. Последний член связан с так называемой энергией симметрии; отношение Vt/Vo — порядка 0,3. Поглощение происходит на поверхности; точнее, мнимая часть потенциала имеет радиальную зависимость — dfldr. Член l-s также учитывается в виде поверхностного потенциала томасовского типа и оказывается равным приблизительно 0,67V (df/rdr) l-s.
Вышеупомянутый метод, в котором используется эффективная масса, в действительности ограничивается квадратичной зависимостью потенциала от импульса. Другой, в принципе более часто применяемый вариант состоит в том, чтобы оставить истинную массу нуклона в выражении для кинетической энергии, но эффективный потенциал V+ i'll/ считать явной функцией от импульса. В большинстве анализов экспериментальных данных используется истинная нуклонная масса. Было найдено, что потенциалы, дающие согласие с экспериментом, зависят от энергии падающих частиц. С теоретической точки зрения можно надеяться получить фундаментальный нелокальный потенциал и отсюда вывести зависящий от энергии локальный потенциал; было показано [8], что возможно воспроизвести экспериментальные данные достаточно хорошо с нелокальным потенциалом, если только учесть отталкивающий керн.
Базируясь на этих соображениях, обратимся к следующему локальному потенциалу:
V(r) = -Vcf(r)-iWcg(r)+ (-А_У+	(18.3)
\ pc /	\ r rJ
Линейный коэффициент, введенный в спнн-орбнтальный член, есть л-мезонная комптоновская длина волны, равная 1,4 фм; а — матрица Паули, а I берется в единицах Л. Величины V нН/ постоянны. Для описания радиальной зависимости выбираются различные функции / (г). Ранние работы основывались на прямоугольной яме, но оказалось, что хорошее согласие получается только при потенциалах с размытой границей, таких, как распределение Ферми в (18.1). Мы будем ссылаться почти исключительно на эту форму. Для очень легких ядер необходимо использовать соответствующее распределение плотностей, кроме центральной области с постоянной плотностью, а для сфероидальных ядер необходимо использовать сфероидальные распределения. Радиус R зависит от А предположительно по закону Д'/», а параметр толщины d не зависит от А.
’) В работах по оптической модели Vf(r) часто называется потенциалом Вудса — Саксона, по имени авторов, впервые применивших его для ядерных реакций.
481
Оптическая модель
Делается два предположения относительно члена, описывающего полощен не:
Объемное поглощение:
Поверхностное поглощение:
g(r) = f(r),
£(г) = ехрГ—1 .
D
(18.4а)
(18.46)
Форма поверхностного потенциала — чисто феноменологическая, а b — варьируемый параметр. Предположение, что g —— dfldr, использованное в нелокальном потенциале, не имеет теоретической основы, но его основное свойство (возможно, достоинство) заключается в том, что в таком случае не вводится новый параметр. С учетом предположения (18.4а) V (г) имеет шесть параметров, а с учетом (18.46) — семь.
Для того чтобы можно было сравнивать результаты, получаемые при использовании определенного набора параметров с экспериментом, необходимо найти сдвиги фаз в задаче рассеяния. Эта задача включает в себя решение уравнения Шредингера
V2+V(r) ф = £ф
для нецентрального потенциала (18.3) — проблема, которая может быть разрешена только с помощью вычислительных машин. Сдвиг фазы сейчас является комплексным числом 6t = + и]ь и формулы для сечений довольно сложны. Когда имеются спин-орбнтальные силы, состояния / = = 1± Чъ имеют различные сдвиги фаз. Для того чтобы проиллюстрировать общий характер результатов, приведем выражения для сечений:
®упр 4лХ
2 [(/+!) е	sin2^+4-l(i-e"<)2
1 '
+ 1 е 2”' sin’fc +-^-(1 — е-2,,/ )2|| ,	(18.5а)
*реакц«и = лк* Х.{(/+1)(1-е’4Лг+) + /(1-е“Ч ),	(18.56)
=|Д |2+|В|2,
(18.5в)
где
(/¥ \«й +	2«Л,"
-^£{(/+1)(е -D + /(e ' -1)}A(cosO),
\ „	«в,+	216~
у ' -е ')P/(cos0)

P* = sin0
dx
X=COS0
Можно привести также формулы и для сечения в случае поляризованных частиц (см., например, [281).
31 Заказ Ж 37
482
Глава 18
Обычный метод анализа состоит в том, чтобы задать определенный набор параметров, рассчитать численно сдвиги фаз и сечения и сравнить с экспериментальными данными. Затем один или несколько параметров меняют и расчеты повторяют. Исследование заключается в том, чтобы систематическим изменением параметров добиться наилучших результатов. Необходимость в счетных машинах для этой цели очевидна.
Результат обширного исследования Боркланда и Фсрнбаха I5J показывает, что хотя выбор параметров и не однозначен, но при использовании
Фиг. 18.5. Константы и центрального потенциала в зависимости от энергии, по Боркланду и Фернбаху |5|.
Ф и г. 18.6. Спни-орбитальные константы l'so " по Боркланду и Фернбаху |5|.
уравнения (18.3) получается очень хорошее согласие с экспериментом, причем f (г) определяется так же, как и в уравнении (18.1); поглощение при энергиях ниже 50 Мэв считается поверхностным [см. (18.46)1, а выше — объемным. Значения констант таковы:
/? = 1.25Л,/з фм, d = фм, I _ |0-98 Фм	для нейтР°нов>
|1,2 фм	для, протонов,
Ve плавно уменьшается с увеличением энергии, как это показано на фиг. 18.5.
увеличивается приблизительно от 3 до 20 /Изе (фиг. 18.5).
VJO уменьшается приблизительно от 10 до 1 Мэв (фиг. 18.6).
IV,о по существу равно нулю (фиг. 18.6).
Качество согласия с экспериментом иллюстрируется фиг. 18.3, на которой показано дифференциальное сечение упругого рассеяния нейтронов с энергией в области между 14 и 15 Мэе соответственно. Ясно, что согласие чрезвычайно хорошее, за исключением случая углерода. Однако для такого легкого ядра, как углерод, ферми-распределение для плотности неприемлемо1). На фиг. 18.4 показано поведение сечений при малых энергиях, причем приведены результаты расчета также и с нелокальным потенциалом, описанным выше [71. Так как параметры нелокального потенциала не зависят от энергии, то полученный результат весьма убедителен.
*) Действительно, рассеяние протонов с энергией 300 Мзв на углероде хорошо представляется гауссовской функцией Дг) [8].
Оптическая модель
483
Для несфернческого ядра такое же хорошее согласие можно получить только при учете вращательных состояний и нецентрального характера f (г). Движение нейтрона сильно связано с вращением и может непосредственно возбуждать вращательные состояния. Этот эффект наиболее важный, но так как ядро вращается медленно, упруго рассеянные нейтроны «видят» по существу статическое, но несферичнос ядро. В результате этого минимумы дифференциального сечения проявляются значительно слабее. Этот эффект более важен при низких энергиях. Ядро алюминия деформировано; из фиг. 18.4 видно, что согласие с экспериментом при энергии 7 Мэе для А1 не такое хорошее, как для других ядер. Глубокий минимум сечения при 120° можно несколько сгладить с помощью несферического потенциала. Точные расчеты были проведены для другого деформированного ядра — ядра тантала; было получено лучшее согласие с экспериментом при учете в потенциале зависящего от угла члена [Р2 (cos <о)1 1111.
Необходимо понимать, что, несмотря на большой успех, оптическая модель все-таки остается моделью, поэтому иногда может встречаться менее полное согласие с экспериментом. Например, хотя в области высоких энергий поляризация и предсказывается точно, в области низких энергий она не согласуется с экспериментом при указанных выше значениях параметров. Возможно, необходимо ввести добавочно потенциал, зависящий от ориентации спина нуклона относительно спина ядра, т. е. от Jo.
Радиус оптического потенциала определенно больше радиуса распределения зарядов. Как мы уже видели, распределения нейтронов и протонов по существу одинаковы, так что различие радиусов должно быть связано с конечностью радиуса действия сил. Разность между значениями радиусов, отвечающих половинной плотности, равна (1,25—1,07) А'>* фм — 0,18АV» фм. Вряд ли разность действительно имеет такую зависимость от А. Быть может, более разумно считать, что она менее сильно зависит от А.
Однако точность, с которой известен оптический радиус, не достаточна для обнаружения столь тонкой детали. Заметим также, что размытость края потенциала, определенная в гл. 3, равна 4,4д, что составляет 2,9 фм, тогда как в случае распределения зарядов мы имели 2,4 фм.
Величины Vc и экстраполированные в область отрицательных энергий, хорошо согласуются с видом потенциала с размытой границей, который предложили Росс, Лаусон и Марк (12] (мы рассмотрели его в гл. 7).
Важное отличие между локальным и нелокальным потенциалами, о которых мы подробно рассказали, состоит в том, что в локальном потенциале не учитывается «потенциал симметрии». Он представляет собой малую поправку к центральному потенциалу и может оказаться явно заметным только при сравнении рассеяния на семействе изобаров или рассеяния нейтронов и протонов на одном и том же ядре. В обоих случаях необходимо, чтобы А было достаточно велико: даже для ядра РЬ поправка составляет лишь около 7%. Такое изменение V можно компенсировать, изменяя 7?; в первом порядке рассеяние зависит от VR2. Поскольку N —Z увеличивается регулярно с ростом А, при общем исследовании (на предмет определения наилучших значений оптических параметров) можно не заметить члена, связанного с энергией симметрии. Простое рассуждение приводит к идее о существовании симметричного потенциала. Самые мощные ядерные силы действуют между двумя нуклонами в ’^-состоянии, которое может быть
*) Предварительный анализ рассеяния протонов с энергией 183 Мэв на А! показывает, что при этих энергиях радиус мнимой части (1,40 А1/а фм) приблизительно на 30% больше радиуса действительной части (1,10 Л,/э фм) 110).
31*
484
Глава 18
образовано только нетождественными частицами. Следовательно, в ядре с избытком нейтронов протоны должны быть сильнее связаны, чем нейтроны.
Оптическая модель успешно применяется при исследованиях рассеяния не только нуклонов, но и других частиц: а-частнц, ядер трития, дейтронов и некоторых более тяжелых ионов (см., например, работы (13, 14]). Используются потенциалы типа Саксона с радиусом, близким к радиусу потенциала нуклона. Конечно, амплитуды этих потенциалов различны. Мы ожидаем, что такие частицы должны испытывать большое поверхностное поглощение, ибо весьма вероятно, что рассеиваться они будут из когерентного пучка. Имеются некоторые указания на то, что потенциал поглощения для них ненамного больше, чем для нуклонов, но об этом пока трудно судить, поскольку нет теории, предсказывающей такие потенциалы на более фундаментальной основе.
§ 3. Оптическая модель и R -матрица
Оптическая модель введена на основе физически разумных соображений. С другой стороны, теория ядерных реакций, основанная на представлении об /^-матрице,— строгая теория. Поэтому важно выяснить взаимосвязь этих теорий. Этой проблеме посвящен ряд теоретических работ (15—20]. Мы дадим, не вдаваясь в математические детали, краткий обзор этих исследований.
Если бы оболочечная модель и оптическая модель полностью описывали ядро, то не существовало бы никаких корреляций между нуклонами, и все состояния ядра были бы просто одночастнчными. Но, как выяснилось, существует остаточное взаимодействие, и истинные состояния не являются простыми одночастнчными состояниями.
Тем не менее истинные состояния можно разложить по одночастичным, так как они образуют полный набор. Пределы применимости такого приближения зависят от того, насколько та или иная конфигурация преобладает в разложении. Как известно, оболочечная модель эффективно применима в области малых энергий возбуждения, так как в этих низко-лежащих связанных состояниях часто преобладает одна конфигурация.
По мере того как энергия возбуждения возрастает, роль отдельных одночастичных уровней падает, так как каждое данное состояние ядра начинает содержать довольно большое число конфигураций с приблизительно равной вероятностью. И наоборот, мы можем говорить, что данное одночастнчное состояние ир распределено по многим истинным состояниям ядра. Если существует некоторый одночастичный процесс, связанный с ир, то в истинном состоянии ядра он происходит с той же вероятностью, с какой ир содержится в этом состоянии. «Сила», с которой происходит процесс при данной энергии Е, зависит от примеси ир в состояниях ядра с энергией Е. Это и есть основная идея понятия силовой функции1, вскоре мы выясним ее точную связь с величиной <yD/(O). которая была определена в (19.7).
На каком энергетическом интервале распределено одночастичное состояние между истинными состояниями ядра? Если бы не существовало остаточного взаимодействия, то никакого распределения не было бы вовсе; если бы взаимодействие было очень сильным, одиочастичная картина не имела бы физического смысла, так как одночастичное состояние оказалось бы полностью «размазанным» по очень большому числу состояний ядра; в промежуточном случае одноЧастнчные состояния присутствуют только в истинных состояниях с энергией, достаточно близкой к невозмущенному соб
Оптическая модель
485
ственному значению. О такой ситуации мы говорим, что силовая функция имеет максимум около одиочастичной энергии — утверждение, формально выражающее тот факт, что одночастичная модель имеет приближенное физическое значение. На это обстоятельство сделали упор Лейн, Томас и Вигнер [15] в статье, которая будет основой наших дальнейших рассуждений. Итак, мы видим, что ширина энергетического распределения силовой функции зависит от величины остаточного взаимодействия. В комплексном потенциале мнимая часть характеризует величину распределения одночастичного состояния по каналам реакции и по составному ядру; следовательно, можно ожидать, что между шириной силовой функции и величиной II? существует тесная связь.
Ядро в совокупности с налетающим нуклоном описывается состояниями X), уравнения (16.79). Радиальная функция ф;.с (г) зависит от радиус-вектора рассеиваемого нейтрона; мы разлагаем ее по собственным функциям потенциала оптической модели. Обозначим эти собственные функции через ир (г), а соответствующие собственные значения энергии — через Ер. Рассмотрим случаи, когда ядро мишени находится в состоянии с с энергией Ее, а дополнительный нуклон — в состоянии р. Волновая функция этой системы
Ър=Ч>сиР(г),	(18.6)
где <рс определена так же, как и в (16.75). Поскольку Х<Р образуют полный набор, можно записать
С^срХер. с, р
Из (16.74) и (16.84) следует, что
(18.7)
Р(ае). .	(18.8)
Элемент /^-матрицы, соответствующий упругому рассеянию, есть 7?^. Ограничимся единственным каналом с (ядро мишени плюс нуклон), опустим индекс канала с и будем отсчитывать энергии от Ес. Если ядро мишени находится в основном состоянии, то Ес просто совпадает с энергией связи, взятой с обратным знаком. Из (16.83) следует, что _Д_ =.-^-^Ыр(а)Ыр,(а)2 С^Е.-Е)1^., (18.9)
Т Е>-~Е 2Мс1рр-	х
где Е —энергия нуклона. Последняя сумма в этом выражении равна у <XxIXf><XpIXO (Хх|%;)(Хр|(Я-Е)-‘|хх)в Т Е*~Е К
= /хр|(Я-£)"‘2|Х>(Хх|хр.) =
= <Хр|(Я-£)“‘1Хр'),	(18.10)
где Я —полный гамильтониан; мы использовали при суммировании условие полноты набора собственных функций Х\.
Предположим теперь, что компонента Хр имеет заметный вес только в тех состояниях Хх, энергия которых Е^ достаточно близка к энергии состояния Хр, т. е. только при близких к Ер. Это означает, что при
186
Глава 18
данной энергии Е основной вклад в сумму по р в выражениях (18.8) и (18.9) дает только один p-член, для которого Ер ближе всех находится к Е. Тогда
(18.11)
2Ма р
.2
1хД (18.12)
2Л1а "
При любой данной энергии Е только член С^р по существу отличен от нуля, и сумма состоит фактически лишь из одного члена. Величина 0i2/2/Vl«) «р (а) и есть приведенная ширина у₽ частицы водночастичном потенциале. Так как X). образует полный набор, то ^С].р — 1, и мы приходим
Т
к важной теореме: X'Yx = Y*» 0|,а утверждает, что полная ширина «фиктивного» одночастичного состояния полностью распределяется по ширинам истинных состояний ядра.
Чтобы сопоставить (18.12) с оптической моделью, заметим, что R-функция, определенная соотношением (16.61), в случае одночастнчного цнала имеет вид
п __ 1* XI ир (а)
. 2Ма Ер—Е
Эту величину нужно сравнить с использованным в (18.12) средним ннем R по всему интервалу энергий Е, который при своей малости менее содержит много резонансов. Тогда, если мы сможем выбрать
циал V -j- iW так, чтобы эти два выражения для R совпадали, мы и придем к оптической модели. Именно этот подход послужил одним из способов определения оптического потенциала1).
Предположив, что такой потенциал существует, мы обнаруживаем, что выражение (18.11) представляет собой связь между усредненным поведением системы и микроскопической структурой ее состояний, отраженной в коэффициентах Сср. Прн малых энергиях существует прямая связь между силовой функцией и оптическими параметрами, так как в этой области прямые реакции отсутствуют и усредненное сечение реакции выражается, согласно микроскопической картине, равенством (17.8):
потей-
(18.13)
значе-тсм не потен-
(^реакции) —	, g 7,,—
JM
= 4л\2 У
<D>
= 4л2Х22^Л--	(1814)
JM
Коэффициент прохождения Pt зависит только от I (и энергии). Теперь ясно, что силовая функция s характеризует величину вклада одночастичного состояния с квантовыми числами Jsl, примешивающегося к рассматри
1) В приведенных выше рассуждениях налетающий нуклон рассматривался отдельно от нуклонов ядра-мишени. В действительности же волновая функция должна быть антисимметричной по всем нуклонным парам. Было показано, что антненммет-рнзацня не влияет на получаемые результаты [19).
Оптическая модель
487
ваемому истинному состоянию. Наши допущения относительно природы этого смешивания предполагают, что s должно иметь форму, приведенную на фиг. 18.7. Одно из достижений оптической модели состоит именно в том, что эта гипотеза может быть проверена
при энергиях налетающих частиц сразу выше нуля.
При малых энергиях важно рассеяние только s-волны и соотношение (18.56) приобретает вид
Орвакшш“«Х(1-е-440),	(18.15)
а соотношение (18.14) —вид
(^реакции) = 4л X &о(2/4~ 1) X
X llSi-i/^I-l/^o+U + 1)^1+1/2,1+1/2,01, (18.16а)
где / — спин ядра-мишени, а две силовые функции относятся к уровням составного ядра, соответствующим / — 1/г и 1 + l!t- Обе волновые функции
Ф и г. 18.7. Кривая силовой функции S = <y2>/<D).
Вертикальные линии схематически представляют у;., приблизительно указывая вклад одночастпчных состояний р или р' в истинные состояния ядра. Расстояние между состояниями уменьшается с увеличением энергии.
соответствуют s-состоянию, т. е. они определяют распределение (/ = 0)-состояния одиочастнчного потенциала по истинным состояниям ядра. Поэтому их максимумы должны лежатьоколо энергий (I — 0)-состояний. Обычно полагают, что эти силовые функции для / ± 1/2 равны, и записывают
(^реакции) —4л X kaSq,
(18.166)
В гл. 2 и приложении Б доказывается, что сдвиг фазы s-волны прн малых энергиях пропорционален А; тогда его мнимая часть г)0 стремится к нулю так же, как и А; следовательно, основной член в (18.15) равен
^реакции ~ 4лХ Т]о-
Сравнивая этот результат с сечением (18.166), мы находим, что
Пт(Хт]о) = лазо.
Е~*0
(18.17)
Формула (18.17) связывает силовую функцию — понятие, присущее истинной многочастичной картине ядра, — с величиной, которую можно вычислить на основе оптического потенциала, а именно с lim (Xq0).
Прежде чем рассмотреть соответствие между этими двумя величинами, небезынтересно найти полное среднее сечение рассеяния нейтронов. Используя (18.5), запишем
2
°полн = ®упр ^реакции = 4лХ С
"^sin’ge-l-la-e-240)’ +
+лХ2 (1 - ё4”0 )-> 4л ЦХ £о)2 + (Хт]о)2 + X (Хт|о)1 
Обобщая рассуждения, проведенные в гл. 2, можно определить длину R' рассеяния
R'=—ИтХбо, в-о откуда
<опоЛН> = 4л(/? 2Ч-я2а25о1 + —(при малых энергиях). (18.18) ГЬ
488
Глава 18
Это очень важная формула. Основную роль в ней играет последний член, обычно называемый (1 /о)-членом; его появления следует ожидать во всех
Фиг. 18.8. Силовая функция для « волны нейтрона.
Вес проникающие в черное ядро частицы поглощаются, т. е коэффн цисат прохождения точно в 4л раз больше коэффициента проникновения, а >е=| [см. (17.96)] (по работе [22]).
реакциях рассеяния нейтронов при малых энергиях. Как мы указывали ранее, в случае заряженных частиц этот результат совершенно видоизменяется вследствие проникновения частиц сквозь барьер. На это усредненное сечение накладываются резонансы.
В той области, где резонансы разделяются, следует пользоваться соотношениями (16.99) и (16.100). Таким образом, мы фактически измеряем ширины уровней Г и расстояния между ними, после чего можем найти среднюю ширину на среднем расстоянии, т. е. (Г)/(D), что равно 2P0s0 [см.
Оптическая модель
489
(18.9)]. При более высоких энергиях можно непосредственно измерить (стполн)> определить по нему коэффициент при 1 Ik и таким образом косвенно определить я0. Обычно результаты представляют в виде зависимости
<Г°> _ /£о\1/г (Г)
<D)	\е)	(D) ’
(18.19)
где Ео равно 1 зв, а Е — энергия, при которой рассчитывается (Г)/(D). По существу это — график силовой функции, так как
<Г°>
— 2&oOS(),
(D)
где k0 —волновое число при энергии 1 эв. Преимущество функции (Г°)/(Р) перед s0 заключается в том, что первую можно прямо сопоставить с оптической моделью, не привлекая произвольного радиуса канала а:
^°Н(^)Нт(кт,о)'	(18,20)
На фиг. 18.8 экспериментальные данные по (Г°) /(D) для различных ядер сравниваются с теоретическим пределом величины для трех оптических потенциалов. Кривая 1 построена на основе сферического потенциала с объемным поглощением, имеющего следующие параметры: R = (1,15Л,?»-|-4- 0,4) фм, Vc = 52 Мзв, d = 0,52 фм, Wc = 3,1 Мэв. Поскольку I = 0, спнн-орбнтальный потенциал отсутствует. Кривая 2 получена для сферического потенциала с поверхностным поглощением. Видно, что в области сферических ядер второй потенциал дает лучшее согласие с опытом. Кривая 3 рассчитана Чейзом, Уилстом и Эдмондсом 1211 для сфероидального потенциала, эксцентриситет которого, конечно, меняется от ядра к ядру. Видно, что поправка на деформацию существенна.
В качестве грубой проверки этих результатов укажем, что силовая функция должна достигать максимума, когда энергия нейтрона (по существу нуль) находится в области уровня I = 0 оптического потенциала. Оптический потенциал представляет собой яму глубиной 50 Мэв, и если это прямоугольная яма радиусом 1,25л1/» фм, то для максимума я0 мы получим условие 2Л1/» = пп. Максимум действительно получается при А = 55 и А = 155. (В этом расчете нужно пренебречь деформацией.) Эти значения дают 2Л1/з = 2,5л и 3,5л. Этот простой результат несколько отклоняется по абсолютному значению, но удивительно точно указывает расположение двух максимумов. Обращаясь к оболочечной структуре ядер в районе А — = 55, мы замечаем, что 2я-состояние по нейтронам заполнено, но Зя-состояние отстоит от последнего заполненного состояния более чем на одну оболочку. Поэтому мы можем предварительно сопоставить максимум силовой функции при Л = 55 Зя-уровню при нулевой энергии. При увеличении радиуса Зя-уровень становится связанным, но мы снова получим максимум s-волновой силовой функции, как только 4я-уровень достигнет нулевой энергии. Два максимума в области деформированных ядер, обусловленные расщеплением состояния при изменении эксцентриситета, качественно можно истолковать как два s-волновых резонанса: один с радиусом, равным меньшей, а другой — большей из полуосей, так что KR почти кратно л.
Нижний экспериментальный минимум я в районе Л = 100, возможно, обусловлен тем, что в этой области имеются магические оболочки: они раз
490
Глава 18
рушаются с большим трудом, что приводит к уменьшению поглощения, а в силу этого и к уменьшению мнимой части потенциала.
Силовая функция также была найдена (хотя это и сопряжено с гораздо большими экспериментальными трудностями) для протонов и для р-волно-
Ф и г. 18.9. Расчет полного сечения нейтронов по оптической модели.
Использопаи потенциал, описанный при обсуждении фиг. 18.8; он нс имеет спин-орбитальиой части Ко—волновое число для нейтронов с анергией 52 Alan (1,6 фл-1) (по работе [23]).
вых нейтронов. Данные согласуются с результатом Лейна, Томаса и Вигнера. Например, для р-нейтронов s имеет максимум в районе А = 91 и А — = 109; по-видимому, это — Зрз/з и 3pt/t нейтронные резонансы. Учет спин-орбитальных сил играет, несомненно, существенную роль при получении такого двойного горба.
При больших энергиях налетающих частиц в полном сечении можно видеть резонансы, обусловленные более высокими моментами. Все эти различные виды гигантского резонанса (это название обусловлено его большой шириной по сравнению с резонансами составного ядра) хорошо иллюстрируются фиг. 18.9, где показано рассчитанное по оптической модели аПоли* На чертеже обозначены различные резонансы; можно определить s- и р-резонансы, рассмотренные выше. Весь график полезно сравнить с экспериментальными данными, приведенными на фиг. 18.1. Если принять во внимание, что использованный потенциал соответствовал объемному поглощению н не учитывал спнн-орбнтальных сил, то общее согласие представляется удивительно близким; однако при детальном сопоставлении отклонений можно обнаружить такие свойства, как уменьшение s-волновой силовой функции для деформированных ядер и расщепление резонансов для волн с I > 0.
Длину рассеяния /?' для нейтронов с I = 0 также можно определить из рассеяния при низких энергиях и сравнить с результатом оптической
Оптическая модель
491
модели. Величина R' щ\я черного ядра совпадает с радиусом ядра. На фиг. 18.10 сравниваются некоторые экспериментальные данные 1241 с теоре-кривая соответствует деформированному
тическнм расчетом. Пунктирная ядру 121], а соответствующая сферическому ядру сплошная кривая представляет объемное поглощение. Отклонение от линии 1,35 Л’/» фм указывает на важность учета полупрозрачности ядра. Общее согласие с оптической моделью весьма удовлетворительно; его можно улучшить, принимая во внимание поверхностное поглощение.
§ 4. Теоретическая часть
Фиг. 18.10. Длина рассеяния R' для s-нейтронов в зависимости от Л.
Для кривой, соответствующей сферическому ядру. Vf=42 ЛЬв, Гс=3,4 Мм, R-1,35Л1/з фм. </=0,6 фм. Эти параметры не дают иаилучшего согласия с результатами опытов при высоких энергиях, но более поздние потенциалы мало меняют форму кривой (по работе [24]).
Вывод оптического потенциала нз потенциала нуклон-нуклонного рассеяния отличается от процесса вычисления оболочечного потенциала только тем, что в данном случае принцип Паули играет гораздо мень-
шую роль. Мы возвратимся к двум выражениям для R, даваемым соотношениями (18.9) и (18.13), и используем их в качестве отправного момента для некоторых замечаний по этому вопросу.
А
Определим истинный потенциал V (г0) = У Р0(к действующий на
I— 1
падающий нуклон в точке г0 ядра А, я также оптический потенциал V (г0).
Истинный гамильтониан есть
Н=//А + То+У,
а гамильтониан оптической модели —
где На —гамильтониан ядра-мишени. Разность между двумя значениями R равна
.	АУ? = ^2ир(а)“'”(а)х {<Хр1(//-Е)-'|Хр'>-(Хр1(Я-£)-'|Хр.)),
рр'
так как (Я—Е)*1Хр = (Ер—Е)'1хР. В силу нашего определения нуля энергии НдХр = 0. Перепишем теперь оператор (И — Е)-1 — (//— Е)'1 -так, чтобы Н действовал непосредственно на Хр- Заметив, что
а~'—Ь~1 = а~1(Ь—а)Ь~1=
=Ь~1\(Ь—а)а-,+ 1] (Ь—а) Ь~1 =
= Ь~1(Ь—а)а~1(Ь—а)Ь~* + Ь~1(Ь—а)Ь~\
492
Глава IS
мы видим, что
( г
= оТТ” У Up^и»'<а> (Ер—Е)~1 Х
2Л4я
рр'
х {(X, I (V- V) (Н-Е)-' (Р-V) 1х₽> +
+ (XpIV-VIXp'»(£p—Е)-'.
Напомним, что ХР=Фс «р (/")» а согласно (16.60)
V ир (а)иР(г) (Е р — Е)~* = (~иЕ(г),
V* UE
Р	а
где«я(г)— радиальная волновая функция рассеянной волны прн энергии Е. В таком случае А/? пропорциональна
(фс«£ (0 IV — VI фс«£ (г)'/ +
+ <фс«£ (Г) I (V' - V) (Н-ЕГ1 (V - V) | фсЫв (г)).
Поскольку среднее значение этого выражения" должно исчезать, мы приравняем
I(01V- V10J.+ <01 (0- V) (Н-Е)-‘ (0- V) |0>]сред = 0,	(18.21)
где | 0) — волновая функция ядра-мишени в канале с (обычно это основное состояние ядра). С точностью до волновой функции момента налетающего нуклона фс совпадает с | 0).
Среднее значение истинного потенциала, действующего на налетающий нуклон, по основному состоянию просто равно
V(ro)=(O|V|O).	(18.22)
Если в (18.21) берется только первый член, то решение имеет вид = V (что, возможно, совпадает с интуитивным ответом). Однако второй член отражает изменения, обусловленные возможностью существования начальных состояний, отличных от основного; другими словами, он описывает поглощение падающего нуклона.
Среднее от ^-матрицы по интервалу энергии I дают некоторые, довольно кропотливые математические выкладки, основанные на идее о том, что матричные элементы являются аналитическими функциями энергии с полюсами при резонансных энергиях. Читатель, желающий проследить эти выкладки, отсылается к статьям Лейна и Томаса 1191 и Брауна (201, посвящен-. ным анализу /^-матрицы в представлениях Вигнера — Айзенбуда и Капура — Пайерлса соответственно. Окончательный вывод сводится к тому, что матрица, получаемая после усреднения, совпадает с исходной, но в ней энергия Е заменяется на £ + И. Следовательно, если положить, что
У = У + 7Г,
е=Н-Е—И,	(18.23)
е = е- V+V = НА + V—Е— U,
6= V—V = е—ё,
то уравнение для 7А" имеет вид
(01 (д + 7Г) 11 — е~1 (б + 7Г)110) = 0.	(18.24)
Оптическая модель 493
Ввиду того что
<0|д|0> =0,
уравнение (18.24) можно переписать так:
(01 6е~' д| 0) + (01 be' * 10)7Г — 7Г + 7Г (01 е~1 (б + 9Г) 10) = 0.	(18.25)
Мы воспользовались тем фактом, что 7Г зависит только от координат налетающего нуклона, тогда как волновая функция | 0) не зависит от них. Это справедливо и для То и V, а поскольку ЯЛ|0) = 0, то е можно вынести за матричный элемент. Следовательно, последний член в (18.25) можно записать в виде
(0|е~‘(й + 7Г)|0) = 1-Н0|е"‘(- е+б + 7ПЮ> =
= 1-(0|е"‘|0)(ё—7Г)-
Снова, используя тождество для а"1 —б'1, имеем
<0|е“‘|0) —(ё—7Г)"' =
= (01 (ё—7П"‘ («+7Г)в“‘0 + 7Г) (е—7/Т' 10> —
— (01 (ё — 7Г)“‘ (6 + 7/‘) Се—№ 10) =
= (ё—7Г)"‘ <01 (б + 5Г) е"‘ (6 + 7Г)— (б + 7Г) 10) (ё—7/’)"* =
= 0,
где использовано (18.24).
Эти два результата показывают,что (0|е*,(д4-7//,)|0) = 0, и, следовательно, из (18.25) следует равенство
7Г = [1 —<О|бе_*|О)]~‘<О|йе_,б|О) =
= I 1 — (01 (V - V) (То + V—Е— il)~'10)Г1 х
X (O|(V-V)(//A + To+ V-E-i/)"‘(V-V)|0).	(18.26)
Выражения (18.23) и (18.26) для оптического потенциала показывают, что: а) он содержит мнимую часть и б) он нелокален. Последнее вытекает из присутствия члена То = р*/2М в потенциальной энергии.
На этом мы закончим формальное изложение. Применимость выражения V-f- 55Г зависит от гладкости его функциональной зависимости как от г0. так и от Е; последняя в свою очередь определяется силами между нуклонами. В совокупности с хорошим согласием между феноменологическими потенциалами и экспериментальными данными полученные нами теоретические результаты придают значительную уверенность в том, что представления оптической модели правильны; однако расчет оптического потенциала из фундаментального взаимодействия, по крайней мере при малых энергиях, сопряжен со всеми трудностями, свойственными расчетам для ядерной материи.
При более высоких энергиях возникают существенные упрощения. Длина волны налетающей частицы в этом случае мала, и корреляции движения в ядре мишени становятся менее важными. Совершенно отличный подход к оптической модели в этой области был развит Ватсоном 125] и др. Он не связан с /^-матрицей: амплитуда нуклон-нуклонного
494
Глава 18
рассеяния непосредственно связывается с амплитудой рассеяния нуклона на ядре. Амплитуду рассеяния нуклон-ядро получают просто, записывая амплитуду для волны, рассеянной на каждом нуклоне ядра-мишени, и суммируя по спину, координатам, изоспину и импульсу этих нуклонов.
В наиболее общем двухнуклонном потенциале (18.3) имеются члены, включающие скалярные произведения <г2 а спина нуклона мишени (2) на произвольные векторы а. Суммируя их по состояниям ядра, содержащим пары частиц с противоположными проекциями спина, мы получим в конечном счете нуль. Член нуклон-нуклонного рассеяния, не исчезающий прн таком суммировании, есть 1го(—спин-орбнталыюс взаимодействие налетающего нуклона, составляющее часть L-S-члена двухнуклонного рассеяния. Крайний вывод состоит в том, что рассеяние нуклона на ядре имеет такой же характер, как и рассеяние на потенциале, имеющем форму (18.3) при f (г), равной плотности ядра и с объемным поглощением. Коэффициенты V и II/ выражаются через экспериментально измеренные параметры нуклон-нуклонного рассеяния — фазы или граничные условия Фешбаха Ломона. Таким способом в (26, 27) были проделаны численные расчеты оптического потенциала при высоких энергиях. Результаты хорошо согласуются с экспериментом; примеры приведены на фиг. 18.3 и( 18.4. Возможно, наиболее поразительная особенность состоит в том, что прн энергии 300 Мэв мнимый центральный потенциал намного превосходит остальные четыре члена. Есть еще одна важная особенность, а именно: поляризация при рассеянии нуклон-ядро относительно больше, чем в случае нуклон-нуклонного рассеяния; это обусловлено тем, что хотя сложная зависимость между спин-орбнтальнымн и тензорными силами вызывает небольшую поляризацию в случае двух нуклонов, но в сумме по ядру мишени остается только 1-о-член.
Оптическая модель напоминает теорию эффективного радиуса нуклон-
ного рассеяния в том отношении, что она сопоставляет большое число экспериментальных данных нескольким параметрам. В известном смысле это
хорошо, но, с другой стороны, мы видим, что поведение этих параметров можно понять без точного знания состояний ядра. Следовательно, такие
эксперименты дают очень мало сведений о деталях структуры ядра. Эта ситуация вновь иллюстрирует чрезвычайные трудности, встречающиеся при любой попытке проникнуть дальше общих свойств атомного ядра.
ЛИТЕРАТУРА
I.	Gomes L. С.. Phys. Rev., 116, 1226 (1959).
2.	S li a w G. L., Ann. of Phys., 8, 509 (1959).
3.	В a r s c h a I 1 H. H.,Phys. Rev., 86,431 (1952); W a I t M., В a r s c h a I I H. H„ Phys. Rev., 93. 1062 (1954).
4.	F e s h b a c h H., P о г t e г C., W e i s s k о p f V. F., Phys. Rev., 96, 448 (1954).
5.	В j о r k 1 u n d F., F e г n b a c h S., Phys. Rev., 109,	1295	(1958);
В j о г k I u n d F., in «Proceedings of the International Conference on the Nuclear Optical Model# (Tallahassee), The Florida State University Studies, No. 32, Tallahassee, 1959.	,
6.	С о о n J. H., D a v i s R. W., Fel t ha user H. E., N i с о d e m u s D. B., Phys. Rev., Ill, 250 (1958).
7.	W у a t t P, J., W 1 1 I s J. G., G r e e n A. E. S., Phys. Rev., 119, 1031 (1959).
8.	В a t t у C. J., Proc. Phys. Soc., 73, 185 (1959).
9.	T a n g Y.C., Lemmer R. 11., Wyatt P. J., G r e e n A. E. S., Phys. Rev., 116, 102 (1959).
Оптич'ская модель
495
10.	Н о d g s о n Р. Е., Phys. Rev. Letters. 6. 358 (1961).
11.	Sc he у H., Phys. Rev. Letters, 2. 187 (1959).
12.	R о s s A., L a w s о n R. D., Mark H., Phys. Rev., 102, 1613; 104, 401 (1956).
13.	I g о G., T h a I e r R. M., Phys. Rev., 1Q6, 126 (1957).
14.	C h e s t о n W. B., G I a $ s g о I d Л. E., Phys. Rev., 106, 1215 (1957).
15.	Lane A. M., T h о m a s R.G., Wigner E. P., Phys. Rev., 98, 693 (1955).
16.	В г о w n G. E., de Do m i n ic i s С. T., Proc. Phys. Soc., A70, 668, 681 (1957).
17.	Bloch C., Nucl. Phys., 3. 137; 4, 503 (1957).
18.	Feshbach H., Ann. of Phys., 5, 357 (1958).
19.	Lane Л. M., Thomas R. G., Rev. Mod. Phys., 30, 257 (1958).
20.	Bro w n G. E., Rev. Mod. Phys., 31, 893 (1959).
21.	C h a s e D. M., W i I e t s L., E d ni о n d s A. R., Phys. Rev., 110, 1080 (1958).
22.	Harvey J. A., in «Proceedings of the International Conference on Nuclear Structure» (Kingston), Toronto, 1960, p. 670.
23.	F e s h b a c h H., in «Nuclear Spectroscopy», ed. F. Ajzenberg-Selove, New-York, 1960.
24.	S e t h К. К , H u g h c s D. J., Z i in merman R. L., G a r t h R. C., Phys. Rev., 110, 692 (1958).
25.	R i e s e n f e I d \V. B., W a 1 s о n К. M., Phys. Rev., 102, 1157 (1956).
26.	Be the H. A., Ann. of Phys., 3, 190 (1958).
27.	Kerman A. K., McManus H., Thaler R. M., Ann. of Phys., 8, 551 (1959).
28.	Nuclear Spectroscopy, ed. F. Ajzenberg-Selove, New-York, 1960, Ch. VI L).
29’. Ш а п и p о И. С., УФН, 75. 61 (1961).
ГЛАВА 19
ПРЯМЫЕ РЕАКЦИИ
§ 1.	Теоретическое введение
Мы определили прямые реакции как процессы, протекающие без образования составного ядра в течение очень короткого промежутка времени. Два простейших примера таких реакций — неупругое рассеяние нуклона и реакция срыва в дейтроне. Представим себе, что первая реакция осуществляется в тех случаях, когда налетающий нуклон проникает в ядро, испытывает действие оптического потенциала и, двигаясь в этом потенциале, сталкивается с нуклоном мишени; при столкновении он теряет часть своей энергии, но все-таки вырывается из ядра. Подобный процесс был бы одним из возможных механизмов (р, р')-реакцин. Если нуклон столкнулся в ядре с протоном, то последний может вылететь из ядра-мишени; такая реакция представляет обменный неупругнй процесс. Реакция срыва представляет основной механизм (d, р)- или (d, я)-реакцнн. При приближении дейтрона (который представляет собой слабо связанную систему) к ядру-мишени нейтрон захватывается ядром, а протон рассеивается, взаимодействуя с нейтроном, захваченным ядром.
Существуют более сложные процессы, прототипами которых служат указанные две реакции. Так, например, (/, d)-peaKmno можно рассматривать как реакцию срыва, (t, а)-реакцню — как обратный процесс — подхват, а реакцию (а, а') — либо как отражение налетающей а-частнцы в результате соударения с нуклоном ядра-мишени, либо как обменное не-упругос рассеяние, если предположить, что на поверхности ядра имеются а-частнцы. Мы начнем эту главу с изложения математического аппарата простой общей теории, охватывающей все реакции такого типа. R- и U-матрицы несвязаны явное потенциалом, вызывающим рассеяние. Существует другой формализм, более удобный для описания прямых реакций1).
Рассмотрим ядерную частицу /, налетающую на мишень Т, и припишем соответствующему распределению нуклонов по частицам / и Т индекс i. Пусть к( — волновой вектор в системе центра масс, а Ч' (к,) — волновая функция состояния системы, состоящей из частиц / и Т. На бесконечности ¥ представляет собой плоскую волну в каналах начального распределения i и расходящуюся волну во всех других каналах и удовлетворяет уравнению
HW = E4.	(19.1)
*). «Дисперсионный метод* в теории прямых процессов, основанный на рассмотрении аналитических свойств амплитуды рассеяния, был предложен в работах Амадо [126] и Шапиро [27*].— Прим. ред.
Прямые реакции
497
Полный гамильтониан Н можно разложить разными способами в зависимости от рассматриваемых распределений частиц. Таким образом, для начального распределения
Я=Я/ + Ят + 7’|+У?+У< = Я?+У<,	(19.2а).
где Hi и Нт — гамильтонианы внутреннего движения нуклонов в частицах I и Т соответственно; Tt — кинетическая энергия относительного движения ’частиц / и Т при распределении i, а V? — оптический потенциал (в котором движется частица /), создаваемый частицей Т и включающий такжеэлектро-статпческне силы ZiZr^lr\. Таким образом, 7\ + V? полностью описывает упругое рассеяние. Оставшийся член Vi содержит остальную часть взаимодействия между нуклонами в / и Т. Точнее
Vt= 2 2 VkJ-V°i.	(19.3)
кв I j вТ
Аналогичным способом можно разложить гамильтониан Н в соответствии с распределением частиц в конечном состоянии /' (в обозначениях § 1 гл. 16):
// = Wo4-//p+T/+v;+V/ = /^ + V/.	(19.26)
Введем функцию Ф/(к/), удовлетворяющую уравнению
(//„Ч-Яр + Л+^Ф/^ЕФ/.!	(19.4)
Нам понадобится также функция Ф( (к,), удовлетворяющая аналогичному уравнению для начального состояния. Эти функции описывают состояния с одной и той же полной энергией, но соответствующие разным распределениям f и i, причем в обоих случаях две частицы уже (или еще) достаточно удалены друг от друга, чтобы взаимодействие посредством V/ или не сказывалось. Уравнения Шредингера недостаточно для определения функции Ф; асимптотика Ф, содержит плоскую волну exp (tkz-Г/) в распределении f и, кроме того, любые сферические волны, которые могут потребоваться в других каналах для того, чтобы Ф/ было решением уравнения (19.4). Но единственная прямая реакция, которую описывает Ф>,— это упругое рассеяние О и Р; кроме него, Ф/ не содержит никакого взаимодействия между О и Р. Следовательно, еслнФ/ и содержит другие каналы, отличные от f, то они обусловлены процессами типа составного ядра в О и J3. При расчете сечения i -* f эти каналы важны лишь в той мере, в какой они видоизменяют состояния / и Т или О и Р, а этот эффект адекватно учитывается мнимой частью оптического потенциала. Следовательно,
Ф/(к/) = о0црф/ (kz),
Ф<(к|) = Ц/Цтф/(к/),	(19,5)
где v — внутренние волновые функции соответствующих ядер, а ф — волновые функции относительного движения в соответствующем оптическом потенциале.
Рассмотрим, например, реакцию подхвата (л, d). Внутренняя волновая функция Vi есть просто функция спинового состояния нейтрона (т = = + ’г), Нт — внутренний гамильтониан, a vr — волновая функция основного состояния ядра-мншени (A, Z). Потенциал V? — оптический потенциал нейтрона в ядре Т, а содержит остальную часть взаимодействуя нейтрона с этим ядром. Функция ф< (kJ равна ехр (ikrrj на бесконечности, но видоизменяется в потенциале V? на малых расстояниях. Функция конечного состояния ф/ представляет собой возмущенную кулоновскую волновую функцию, которая в асимптотике сходна с exp (iky rj. Далее, и0 есть 32 Заказ ЛЬ 37
498
Глава 19
внутренняя волновая функция дейтрона, a Vp — функция определенного состояния ядра (А — \, Z — 1); V’ —оптический потенциал для дейтрона в ядре Р, а V/ характеризует остальное взаимодействие. Мы могли бы более подробно охарактеризовать V, и V/, полагая, что Т состоит из подхватываемого протона р и остова С. Вводя п для обозначения налетающего нейтрона, имеем
V, = Unp + V„c,
= У₽с + УпС-
(19.6)
Потенциалы V„c и Урс описывают взаимодействие нуклона (л или р) со всеми нуклонами остова минус взаимодействие, описываемое оптическим потенциалом; фактически нз наших рассуждений еще не ясно, будет ли это оптический потенциал ядер Т, Р или С.
Видоизменение этого примера, необходимое для описания неупругого рассеяния нуклона, очевидно; vp и vr описывают различные состояния одного и того же ядра, Я? и II'] совпадают, если не считать, что оптический потенциал для основного состояния может слегка отличаться от потенциала для возбужденного состояния. Нуклонные волновые функции v„ и Vj есть спиновые функции.
Общая теория рассеяния *) дает для амплитуды перехода i-*f выражение
• S/l=(O/(k/)|V/|’F(kt)>,	(19.7)
а для дифференциального сечения—выражение
do — ММ.(2л/,2)"2f—y'|S/( fdty,	(19.8)
где dQ/ — элемент телесного угла в направлении к/. Для нсполяризован-ного пучка суммирование X' имеет смысл суммы пог-компонентам момента в конечном состоянии и усреднения по z-компонентам его — в начальном состоянии. Если какое-либо нз состояний поляризовано, сумма соответственно видоизменяется. Этот результат эквивалентен уравнению (16.36) и обеспечивает связь между (/-матрицей и S-матрнцей, введенной выше.
Имеется ряд приближений, используемых для нахождения Т (к,) и отсюда S/(. Простейшее из них—борцовское приближение, в котором Y (к() заменяется на Ф/ (к(). Эту замену можно оправдать, если все сечения малы, так как Ч' (к,) определяет истинное состояние тогда, когда налетающая частица находится в состоянии i, а если сечение мало, то примесь других каналов в волновую функцию также мала, благодаря чему Ч' приблизительно равна Фн в таких случаях мы говорим, что канал i слабо связан с другими каналами. При этом
S/i = (и01»рф/ (k/) | V, | V/Urti (kj)).	(19.9)
Борновское приближение применимо также в том случае, когда входной канал сильно связан с большим числом других каналов через составное ядро. В этом случае при сближении / и Т почти всегда образуется составное я^ро, так что весь вклад в прямую реакцию поступает лишь из той области,
,) Заметим, что наше определение Ф/ не однозначно, так как сферические волны в функции Ф/ могут быть либо сходящимися, либо расходящимися. Правильная форма уравнения (19.7) строится нз сходящихся волн. Однако наше приближение основано только на главном члене: плоской волне, искаженной оптическим потенциалом. Поэтому мы не будем тревожиться об определении сферической части.
Прямые реакции
499
где перекрываются только хвосты распределений плотности / и Т и где — все еще хорошая волновая функция. Следовательно, если оборвать интеграл в (19.9) на «поверхности» Т, считая, что нет никакого вклада нз области, в которой образуется составное ядро, то уравнение (19.9) даст хорошее выражение для амплитуды прямого рассеяния из i в f. Более формально: для волновой функции оптической модели характерен быстрый экспоненциальный спад, и мы аппроксимируем интеграл по объему его значением на поверхности. Кроме того, поскольку открыто много каналов составного ядра, то прямая реакция с образованием состояния f намного вероятнее, чем образование этого состояния через составное ядро, а если это так; то выражение (19.9) представляет наблюдаемую амплитуду.
В некоторых случаях входной канал может оказаться заметно связанным с несколькими другими каналами. Тогда можно попытаться получить приближенное решение уравнения Шредингера (19.1), разложив Ф (kj) по этим немногим каналам. Этот метод, требующий решения нескольких связанных между собой дифференциальных уравнений, был применен к реакциям с участием сфероидальных ядер-мишеней, в которых входной канал сильно связан с каналами неупругого рассеяния, ассоциируемыми с другими уровнями основной вращательной полосы [1].
§ 2. Важные частные случаи
Расчеты, более сложные, чем борновскос приближение, обычно чрезвычайно громоздки. Даже в борцовском приближении определение искаженной плоской волны ф, (к/) требует сложных численных расчетов. К счастью, наиболее характерные черты прямых взаимодействий можно выявить в бор-новском приближении с плоской волной фа (ка) — ехр (<ка-гв). Рассмотрим в этом приближении прямую реакцию (л, р). Начальное и конечное ядра можно рассматривать как одни и тот же в обоих случаях остов плюс протон или нейтрон соответственно. Взаимодействие V/ есть та часть потенциала, действующего между вылетающим протоном и ядром, которая соответствует прямому взаимодействию, т. е. потенциал Vnfl между нейтроном и протоном1). Если взаимодействие V/ зависит от координат только этих двух частиц, то отличны от нуля только те матричные элементы Sfl, в которых остов остается неизменным. Если и, (J„ М,) — состояние остова, то волновые функции ит или vp имеют вид
v(J, м)= 2 2	/W(o, Ф)хв (4/пИ X
3 MJJ	2\	/
глц
X |/m+f*)G71/n + RM,|JM)= 2 u,(M,)^(r)c^M‘. (ig 1Q) Функция f,— радиальная волновая функция нуклона, участвующего в соударении; это означает, что для vT координатами (г, 0, ср) являются координаты протона, который впоследствии будет испущен, а для vp — координаты захватываемого нейтрона. Мы связали орбитальный и спиновый моменты этой частицы в полный момент j, а затем сложили j+ J„ получив спин ядра J. Возможны-и другие способы связи моментов.
*) В более точном расчете следовало бы антисимметрнзовать волновые функции по всем нейтронам, так чтобы потенциал содержал все протон-нентрониыс взаимодействия.
32*
500
Глава 19
Используя эти допущения, перепишем (19.8) в виде
sfl =s (Гя)с (Оekf Tpх^2(р)| УпР0-р) X
Двухнуклонный потенциал Vnp содержит члены, зависящие от спина, которые могут «переворачивать» спин; другими словами, эти члены разрешают переходы между состояниями, для которых р( Ф р„ и рр ¥= И/. Мы временно пренебрежем этими усложнениями. Сделаем также дополнительное предположение, что У„р — весьма короткодействующий потенциал, именно
УПр = У.в(гп-гр).
Тогда
stl = Vo У \ dr (г) т (г)	"? г =
' v	J • elnJn ' ' ' tlpjp ' ' ilpjp *ln)n
= Vo 2 \ drr'f* (f; /") f> 'p> ip) h (<ir)x
X J dQ Y^Y^Y? X
X 4л/' [lPy mPiif | jpmp + pf) (jpJ.tnp + iifM, | JTMT) x
X (/nymnp(|/nrHt, + p^(/nJ,/Hn-|-pi/W1| JPMp)Y’i (Qq).
Суммирование ведется по переменным s, /п» 1Р> Л tn, тп, тр, М„ jpjn. Вектор переданного импульса есть
q=k,— к/.
Квантовые числа рь р/, МТ, МР находятся, как только определяются начальное и конечное состояния. Из общего закона сохранения следует, что
р« + Мт = Р/ + Мр.
Выбрав ось z, которую мы еще не конкретизировали, вдоль q и использовав формулу для интегрирования трех сферических гармоник, получим
S/i= Vo3 $ drr2fl(r-. ln, lP, 1МЧГ)К (19.11)
где
X(s, Мт, Mp, р<( 1п, lp, jn, iP, /) = ?(2/n + l)‘/2(2/p+ 1)‘/2 X
X6(mn, mp)2 (—l/+w (/„/p00|/0)(/„/p—mm|/0)(/pymp/lfp/n + pJ x m
X (jpj,m + P/MT—tn—Р/1JTMT) (/n 2~rnp< I/nrn + p J x
X (jnJ.m + \LiMP — tn—pdJPMp).
Прямые реакции
501
Все правила отбора содержатся в X. Если s{ и S/ —спины налетающей и вылетающей частиц, то мы имеем в качестве правил отбора:
ln, Ip. । образуют треугольник,
jn = In 4“8/,
jp = lp + S/,
+ Jp + s/ и I образуют треугольник,
In + lp + I = Четное число.
Последнее правило означает, что только нечетные (четные) значения I разрешены, когда четность изменяется (не изменяется).
В оболочечной модели без учета смешивания конфигураций данное начальное состояние имеет определенное значение каждого из квантовых чисел s, 1Р и /р, а конечное состояние—определенное значение s (то же самое, что и для начального), 1П и В этом случае
Sp= Vo \ drr2[’,(ln, in)f.{lP. Ip) S k(MTMP, Ць Dj.tqr), i
и из уравнения (19.8) получаем сечение без учета поляризации:
d°__ kf 1	1 V V i,!y
dQ ^k,2 2/т+1£££ °
X | 2 j drr2f',nf,pji((ir)k(Mr, Mp, p(, /) | •
(19.12)
Полное угловое распределение описывается множителем ji(qr), так как q = (k] + kj—2M/Cos0)1/2,	(19.13)
где 9 — угол между выходящим пучком и падающим, т. е. угол рассеяния. Вообще говоря, трудно указать какие-нибудь особо простые общие свойства углового распределения. Несколько легче интерпретировать случаи поверхностных реакций. Как уже упоминалось, в случае сильного поглощения, приводящего к образованию составного ядра, нижний предел радиального интеграла можно взять на «поверхности» ядра г = R. Так как волновые функции fa связанных нуклонов не простираются особенно далеко за пределы поверхности ядра, то относительно медленно меняющиеся функции Бесселя по существу и есть h(qR) во всей эффективной области интегрирования; таким образом, сечение имеет вид
da=\^lAtj,(qR)\2dQ>	(19.14)
Такого рода формула впервые была получена Остсрном, Батлером и МакМанусом в 1953 г. для объяснения опытов Паула и Кларка, результаты которых не согласовывались со старой моделью составного ядра [2]. Суммирование ограничивается либо четными, либо нечетными значениями I между | 1П— 1Р | и | 1П+ 1Р | и между | JT— JP\ — ] и (Jr+ J1). В некоторых случаях, например при /„ или 1Р= 0, или при JT= 0*, JP= 2*, сумма содержит только одно значение /; тогда da ~ fi(qR)- Аргумент qR изменяется от минимального значения, равного | kt — kf при
502
Глава 19
9 = 0, до максимального, равного (&{+ kf)R при 180°. Если эта область qR кратна я, то // имеет несколько нулей, и в сечении появляется несколько осцилляций. На практике нули не обнаруживаются, так как приближение плоской волны аппроксимирует оптические волновые функции ф(к) весьма неточно.
Единственное значение I получается также, если s, и S/ точно равны, a Jr, Jp и I образуют треугольник. Как следует из наших расчетов, это не происходит в реакциях (л, р) из-за сильной спин-орбитальной связи в связанных состояниях нуклона. Весьма сходен с нашим расчет в случае неупругого рассеяния; в этом случае v0 и vj если и различаются, то только спиновыми компонентами, a vT и vp представляют собой просто основное и возбужденное состояния одного и того же ядра. Потенциал V, определяет взаимодействие между рассеянной частицей и каждым из нуклонов ядра-мишени; если для описания ядра-мишени пользоваться чисто оболочечными функциями, то благодаря ортогональности состояний при интегрировании в S/t по координатам нуклона отличен от нуля будет вклад только того члена V/, который относится к взаимодействию с нуклоном, имеющим различные состояния в vT и Vp.
Это физически разумно с точки зрения той картины прямых взаимодействий, согласно которой частица сталкивается с нуклоном, возбуждает его на более высокую орбиту оболочечной модели, а затем покидает ядро. Во время своего пребывания в ядре частица испытывает действие остальных нуклонов только через потенциал упругого рассеяния. Если налетает а-частица со спином нуль, то, очевидно, выполняются правила отбора:
I Jr—Jp |	J? + J р.	(19.15)
Для таких частиц, как Н3, Не3, и даже для нуклонов с энергией в несколько Мэв вклад в эффективное взаимодействие члена, допускающего переворачивание спина связанного нуклона, по-видимому, мал. Таким образом, правила (19.15) справедливы для многих нсупругих процессов рассеяния. При этом всегда, когда JT равен нулю, т. е. в случае четно-четных ядер-мишени, I принимает единственное значение. На самом деле даже с учетом члена с «переворачиванием» спина при неупругом рассеянии на четно-четном ядре I имеет единственное значение / = Jp во всех случаях, когда Jp имеет ту же четность, что и конечное состояние Р, т. е. Г, 2‘ и т. д.
Сечение реакции срыва имеет в известном смысле аналогичную форму. Рассмотрим (d, р)-реакцию, которая протекает путем захвата нейтрона на орбиту ядра-мишени, причем остовом конечного ядра-продукта служит само начальное ядро. Так как налетающая частица —дейтрон, то
ui = ud (| г„ — гр |)%Г(п, р) (4л) ~1/г,
где X™ — триплетное спиновое состояние, a ud — радиальная функция дейтрона. Остальные волновые функции имеют вид
=xv2(p).
Vf ~ Vt (J A4’р),
Vp = У Vt (Jt» Mp — ftln)U(Гп, tlt I nt jnt mn) X
X (JrjnMp — mnmn \JpMp)t
Прямые реакции
503
где м(г„; п, 1П, jn, тп) — оболочечная волновая функция захваченного нейтрона — имеет вид
u„(rn) 2 Уб"'<-'‘(йп)х?/2(п)( 1п1-тя — ццЦптп и	\ z
Расходящаяся волна фДк;) должна быть искаженной волновой функцией протона. Ее мы аппроксимируем плоской волной exp(»к/-гр); мы, кроме того, полагаем
ФЛк,) = ехр[ tkr^J^ •
Поскольку интегралы, входящие в S/,-, обрезаются на поверхности ядра, основную долю неучтенных взаимодействий в этом приближении составляет кулоновское взаимодействие, и результат удивительно хорошо согласуется с экспериментом.
Взаимодействие V, состоит из двух частей: Vpn и VpT. Последней частью можно пренебречь: упругое рассеяние, обусловленное этим потенциалом, включено в оптический потенциал V®, а прямые неупругне процессы на остове малы1). Действительно, если бы такой процесс осуществлялся, то реакция была бы не просто реакцией срыва, а процессом, состоящим из срыва п последующего вторичного рассеяния протона,— вариант весьма маловероятный.
Мы находим S}l путем подстановки вышеприведенных выражений в (19.9). Чтобы получить рабочий результат, необходимо снова предположить, что Vnp—очень короткодействующий потенциал. Соответственно следует увеличить глубину потенциала, чтобы энергия связи дейтрона не изменилась. Как показывает простой расчет, это требование выполняется для потенциала прямоугольной формы с глубиной V и радиусом а, если выполняется соотношение
lim Уа2= ,
о-»о 4Л1
где Л1 — масса нуклона. Радиальная волновая функция при г <а равна
А
— sin
г
2/ИУ^ Л2 /
Она должна быть непрерывной вместе с Ne~^rir при г >а, где у — величина, обратная радиусу дейтрона, введенная в гл. 2. В пределе А = N. Нетрудно видеть, что объемный интеграл от Vnp«d имеет ту же величину, что и интеграл от 4лМ(Л /М)б(г). Сделав такую замену, можно прямо провести необходимые суммирования и усреднения по Мр, Л1Т, Ц/, пц в (19.9); получаем
= 4№ 2Jp+1 Т ц„ (г)/,„ (qr) г2dr \	(19.16)
dii k<,2JT+\ J
R где
Ч= I kj kp I,
*) Однако в приближении плоской волны мы пренебрегаем V/.
504
Глава 19
причем мы ввели обозначения кр и к({ для к/ и к( соответственно. Прн необходимости учесть смешивание конфигураций путем записи vp в виде (19.10), следовало бы только заменить ип(г) на /т(г; /п, /,,) и просуммировать квадраты интегралов по всем учитываемым орбитам 1п и /п. Нормировочный множитель N по сути дела равен (2у)‘/«, если радиус действия потенциала стремится к нулю. Однако более уместно использовать выражение для конечного радиуса, которое можно найти из теории эффективной длины:
3 = 2,77-10* on~‘z>,	(19.17)
\1— Wot)
где r9t — триплетный эффективный радиус. Поверхность была определена при задании радиуса обрезания R в интеграле. Если R выходит за пределы действия потенциала оболочечной модели, то функция ип имеет асимптотическую форму, спадая экспоненциально. Это приближение остается достаточно хорошим, даже когда R оказывается внутри ядра (на небольших расстояниях от границы). Для орбитального момента /„ затухающая волновая функция есть функция Ханкеля:
(2Mlh2R)'/2ynli^(ixr)
/тп (г) htf(ixR)
(19.18)
Энергия отделения нейтрона равна I.2 х2/2М, что определяет величину х. Нормировка выбрана так, что значение волновой функции на поверхности равно (2A'!//i27?),/>Yn. Этот выбор приобретает большее значение, когда уп заменяют на у (Г, /,,, /„); в этом случае у (Т, ln, jn) по существу есть амплитуда, с которой конечное ядро появляется на поверхности в виде остова Т и нейтрона в состоянии /п. Как видно из уравнений (16.84) и (16.74), у (Т, ln, in) есть как раз та величина, которая обозначалась через Ухе- [Из (16.74) видно, что ф>,с (ае)/ас есть поверхностная амплитуда соответствующего канала с.] Мы возвратимся вкратце к смыслу этих приведенных ширин у.
Интеграл в (19.16) соответствует неопределенному интегралу *) (х2 + q2)~'	[jin (qr), h^ixr)],
а вронскиан его равен
Следовательно,
<’ *• *’	О919)
In
где
У?л = 2№(Л in) in
И
(^,+хг)-|У|*£’(М. fe(y)i.-n
 7^ С»
Это можно легко проверить, дифференцируя конечный результат и помня, что ft и j удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению второго порядка.
Пря.чые реакции
Э05
Чтобы определить форму углового распределения, необходимо учесть, что
(/ + **) Qin = 4hn-i (qR)~Wn (qR) Г	'	(19 20a)
L Ч’0*Я) J
= ‘x//n (<?«)I SWXD?1-^n-b.W- (19.206)
Угловая зависимость по существу содержится в q. Так как нули jin более или менее совпадают с максимумами jin_v мы видим, что при достаточно больших значениях qR дифференциальное сечение (19.19) имеет менее острые максимумы, чем при неупругом рассеянии. Однако во мйогих практических случаях значения qR довольно малы при углах рассеяния вплоть до 40°, причем х больше q. Тогда первый член в (19.206) более важен и угловое распределение имеет приблизительно вид 1//п(?/?)Р. Сечение (19.19) называют распределением Батлера (41.
Итак, в различных случаях прямых реакций получается угловое распределение, выражающееся через функции Бесселя. Однако следует отдавать себе отчет, что эти функции получаются только в приближении плоской волны. Тем не менее быстрые осцилляции дифференциальных сечений представляются довольно общей особенностью прямых реакций. Это можно понять следующим образом. Пусть /0— kjR. Если бы ядро имело резкую границу R, то с точки зрения классической механики /0 был бы наибольшим моментом частиц, испытывающих рассеяние. Типичные значения могут быть порядка от 5 до 15. Волны с малым моментом (от I = 0 до значений I, меньших /0 на 2 или 3 единицы) сильно поглощаются в результате процессов, связанных с образованием составного ядра, так как их радиальная волновая функция вида ф/(к() концентрируется в области ядра. Волны с I на несколько единиц большими 10 вообще почти не рассеиваются. Следовательно, вклад в прямые реакции дает лишь небольшая часть парциальных волн с / в районе 10. Этот результат эквивалентен утверждению классической механики, что рассеиваются только частицы с параметром столкновения порядка R, тогда как частицы с параметром, много меньшим R, поглощаются. Таким образом, картина здесь очень сходна с оптической задачей дифракционного рассеяния на крае черного диска. Поэтому следует ожидать появления дифракционных минимумов с интервалами, определяемыми величиной qR, так как
q= 2£sin-|~.
если kt почти равно kj. Это соотношение завершает аналогию с оптикой.
Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в работах Дроздова [28* | и Блейра [5], которые применяли формулу Фраунгофера для дифракции на несферической границе для получения как упругого, так и неупругого сечений рассеяния на деформированном ядре и возбуждения колебательных состояний1). Их результат справедлив только для малых углов, где он совпадает с результатом, даваемым борцовским приближением с искаженными (не плоскими) волнами для ф( (к() и ф, (к,). Преимущество дифракционных результатов заключается в их относительно простой замкнутой форме.
х) Теория дифракционного рассеяния с возбуждением коллективных состояний ядер была также независимо предложена И. В. Инопиным [21*].— Прим. ред.
506
Глава 19
§ 3. Фундаментальная теория
Расчеты прямых реакций, проведенные в § 2, имели ту общую черту, что строились на простой модели ядра: либо остов плюс один или два нуклона, либо коллективные состояния. Поэтому важно найти их связь со строгими теориями, в частности с теорией /^-матрицы.
Поскольку основные физические идеи, на которых базируется оптическая модель и теория прямых реакций, весьма близки, то не удивительно, что характер их связи с теорией /^-матрицы также сходен. Мы уже отмечали появление приведенных ширин у>.е в сечениях реакций подхвата. Они появляются также и в (л, р)-сечении (19.12), поскольку радиальные функции пропорциональны им точно так же, как и fTn в (19.18). Полное подтверждение этому в случае частиц, захватываемых или испускаемых из одночастичных состояний, дает промежуточная модель, развитая Лейном, Томасом и Вигнером, Они показали, что зависимость у>.с от энергии носит резонансный характер; силовая функция, которая является мерой того, насколько одночастичное состояние растворено в многочисленных состояниях составной системы1), имеет острые максимумы при одночастичных энергиях. Обычно падающий пучок имеет какой-то разброс по энергиям, перекрывающий несколько близко расположенных состояний составной системы. Наблюдаемая реакция в действительности оказывается средним по «микроскопической» структуре и почти совпадает просто с реакцией, соответствующей тому одночастичному состоянию, которое наиболее «распространено» в реальном состоянии. Вклады многочастичных возбуждений и других одночастнчных состояний, хотя и могут быть важны в каком-либо состоянии, но они имеют хаотически разбросанные фазы и при усреднении сокращаются.
Более формально 16, 71 можно рассчитать матричный элемент Rcc-методом, использованным ранее для нахождения Rce [см. переход от (18.9) и (18.10) к (18.21)1. Расчет, однако, весьма громоздок, исключая случай неупругого рассеяния. В этом случае можно, естественно, использовать один и тот же оптический потенциал как для налетающих, так и для вылетающих частиц. В обозначениях предыдущей главы результат имеет следующий вид:
Rcc = (	lug (а) иЕ- (а)Г' { (Ч>с«е (г) IР — VI фс-ак- (г)> +
\ а /
+ (Фс«к (г) I (У - V)	(V - V) | фс-Ы£. (г))}.	(19.21)
В наших последних обозначениях
. фс = 1>тУ/, Фс-=Мо. «в (И = (к|). «r(r) = t/(k/).	C=V/=V«.
Сравнение с формулами (19.3) и (19.9) показывает, что первый член в Rcc-соотвстствует борцовскому приближению, которое мы использовали выше. Если мы сможем показать, что последний член дает вклад главным образом в резонансные реакции составного ядра, то тем самым мы дадим подтверждение предложенной картине прямых реакций по крайней мере в отношении неупругого рассеяния.
Следующие соображения подтверждают правдоподобность этой идеи. Различие между оптическим рассеянием и истинным, как было показано
х) Но не составного ядра.
Прямые реакции
507
в гл. 18, обусловлено разностью (Н — Е)'1— (Й— Е)1. Но оператор (Н — Е)~1 можно представить в виде суммы по собственным состояниям Н, а именно
(Е-Я)“*= 2 ’ФЦг^- 2 2 2 C*,eplXep>Cl,c.p. (Хс.р. КЕ-Е,.)-'. Z Е~Е>-
Если силовая функция действительно имеет острый максимум при Е = Ес 4- Ер, то можно в хорошем приближении записать, что
С^срСу^с' р'= б (Е>.—Ес—Ер) бср,с- р.	(19.22)
н
(Е-Н)-‘ = 2 |ХеР> (Хер I (Е—Ее —Ер)-' = (Е—/?)-*. 1К.
Итак, различие между двумя трактовками обсуждаемой задачи рассеяния обусловлено теми значениями X, для которых несправедливо приближение, принятое в (19.22). Это приближение действительно неверно при Ех, близких к £, а также внутри фактической конечной области разброса С вокруг Ес4 Ер. Следовательно, эти значения Е>. дают резонансный вклад. Аналогично различие между фактическим положением и результатом оптической модели заключено главным образом в последнем члене уравнения (18.21) и уравнения (19.21). (Вспомним, что Й близко к V.)
Мы приходим к выводу, что последний член в (19.21) обусловлен главным образом такими уровнями составной системы, энергия которых Е>. близка к Е и при достаточном разрешении может привести к появлению узкого резонанса. Этот член описывает составное ядро.
Полное обоснование ценности расчетов прямых реакций требует распространения этих приемов на более сложные реакции. Даже относительно неупругого рассеяния формулировка, которую мы дали, страдает рядом неопределенностей. Один из самых важных вопросов следующий: Должны ли мы использовать в качестве потенциала прямого взаимодействия нуклонов эффективное двухнуклонное взаимодействие в ядерной материи или взаимодействие в свободном пространстве? Другой вопрос — дач-жен ли вклад рассеивающего нуклона включаться в оптический потенциал, который действует на рассеянную частицу?Этот вопрос обсуждал Родберг[81; он показал, что подход, аналогичный теории Бракнсра для ядерной материи, приводит к выводу, что рассеивающий нуклон не дает вклада в оптический потенциал. Если не учитывать этого вклада, то потенциал упругого рассеяния претерпевает удивительно большие изменения, особенно в случае поверхностных реакций. Кроме того, прямое взаимодействие между падающим и рассеивающим нуклонами есть взаимодействие частиц, находящихся в ядерной материи. В наших обозначениях для реакции (п, р), например, Увр не будет потенциалом в свободном пространстве, но дачжен быть заменен на К-матрицу. Эта поправка слабо влияет на угловое распределение, но может существенно изменять абсапютнос значение сечения.
§ 4. Неупругое рассеяние
Мы уже набросали общие черты расчета (п, р)-реакции, рассмотрев тачько взаимодействие нейтрона с протоном, находящимся над остовом. Для того чтобы распространить это представление на неупругое рассеяние, очевидно, необходимо принять во внимание взаимодействие нале
508
Глава 19
тающего протона со всеми нуклонами, так как в этом случае нельзя пренебречь возбуждением остова. Чтобы такой расчет был реалистичным, необходимо описывать состояния ядра волновой функцией, которая бы сравнительно просто выражалась через конфигурации оболочечной модели. Вполне возможно, что взаимодействием с нуклонами остова вообще нельзя пренебречь. Поэтому наши возможности фактически ограничены несколькими простыми ядрами преимущественно с А <20. В этих случаях можно ожидать хороших результатов от последовательного расчета на базе искаженных волн, потенциала прямого взаимодействия с конечным радиусом и прямого учета рассеяния на всех нуклонах.
Такой расчет был выполнен для реакции С12 (р, р'), в результате которой ядро остается в возбужденном состоянии с энергией 4,43 Мэв 19, 10]. Единственное ограничение состояло в пренебрежении рассеянием на нуклонах в s-состоянии. Двухнуклонное прямое взаимодействие представлялось потенциалом Юкавы с обменом типа Сервера. Для задания параметров взаимодействия и оптического потенциала были использованы экспериментальные данные по рассеянию частиц с энергией 19 Мэв. Параметры ватновых функций оболочечной модели были подобраны по экспериментальным данным о размерах ядра С12 и энергии вырывания нейтрона. При других значениях энергии различные параметры размеров оставались фиксированными, а амплитуда оптического потенциала менялась таким образом, чтобы получить согласие с экспериментом в случае упругого рассеяния, но действительную часть потенциала брали с множителем 2/3. Амплитуда прямого взаимодействия типа Юкавы была единственным параметром, который варьировался в зависимости от энергии; хотя она и несколько уменьшается с энергией протона, однако, как было найдено, ее в удовлетворительном приближении можно считать постоянной, но вдвое превышающей величину потенциала Юкавы тех же размеров для случая взаимодействия свободных нуклонов. Эти изменения амплитуды потенциалов удается объяснить [8J. Первое (в оптическом потенциале) связано с тем, что рассеивающий нуклон нс участвует в создании оптического потенциала; второе, по-видимому, связано главным образом с увеличением эффективного взаимодействия, обусловленным тенденцией нуклонов мишени притягиваться к той части поверхности, к которой приближается налетающий нуклон. При более высоких энергиях это увеличение должно быть меньше вследствие уменьшения времени, имеющегося для «пачяризацни» мишени указанным способом.
Бачьшой численный расчет, который был только что описан, весьма важен, так как он показывает, что можно получить количественное согласие с экспериментальными результатами при не слишком жестких ограничениях. Качество согласия, иллюстрируемое фиг. 19.1, подтверждает нашу картину прямых реакций, а также картину реакции на С12 в частности и на ядрах р-оболочкн в общем.
Обращаясь к ядрам более сложным, чем углерод, мы видим, что расчеты такого типа практически невозможны, и мы вынуждены прибегать к менее детальным моделям. Тот факт, что и в таких случаях расчеты успешно согласуются с экспериментом, даже когда эксперимент позволяет варьировать не более одного-двух параметров, показывает, что здесь мы вновь (как и нередко ранее) имеем дело с опытами, зависящими в основном от общих черт ядерной структуры. Одной из таких менее детальных моделей является поверхностное приближение, вводимое обычно при переходе от уравнения (19.12) к (19.14) и дающее угловую зависимость вида [/< (<//?) I2 в приближении плоских волн. Если испачьзовать искаженные
Прямые реакции
509
волны, то функции Бесселя заменяются несколько иными функциями близкой формы. Ряд конкретных формул дал Гленденнинг (111. На фиг. 19.2 приведено в качестве примера угловое распределение а-частиц с энергией 31,5 Мэв, рассеянных на С12 с возбуждением ядра
на тот
Фиг. I9.J. Экспериментальное дифференциальное сечение для С11 (р, р') С12* (4,43 Al.w) в сравнении с теоретическим расчетом Левинсона и Банерджи. По абсциссам отложен псрсданныП импульс, а нс угол. Результат проведен при двух энергиях (по работе (10]).
же уровень 2* с энергией 4,43 /Изе. Единственное значение передаваемого момента равно 2. Сплошная кривая на фигуре рассчитана в борновском приближении с искаженной волной в прямоугольном оптическом потенциале — (20-г 14i) Мэв в области 3,1 фм. Читатель найдет поучительным для себя рассчитать 1/2 (<?Я)12 и сопоставить с этими результатами. Очень типично, что «теоретическая» кривая хорошо согласуется с начальными одним или двумя максимумами, а затем согласие резко ухудшается.
Несколько лучшее согласие в области больших углов получено в случае неупругого рассеяния нейтронов с энергией 14 Мэв с возбуждением того же уровня ядра С12, для расчета которого также использовалось борновское приближение плоской волны с учетом поверхностного взаимодействия. Результаты приведены на фиг. 19.3 для случая прямоугольного оптического потенциала и для потенциала Саксона с гауссовским поверхностным не чувствительны к выбору между этими двумя потенциалами. Также типично, что угловое распределение почти совпадает с полученным из более сложного расчета Левинсона и Банерджи для.(р, р')-реакцин. Однако абсолютное сечение подгонялось произвольно для согласования с экспериментом.
Существуют и другие процессы, играющие, возможно, важную роль в механизме неупругого рассеяния. Рассеянная частица может и не отклониться при соударении с единственным нуклоном, но вместо этого — возбудить некоторые коллективные степени свободы. Это особенно ясно в случае вращательных и колебательных состояний, но могут оказаться важными и другие взаимодействия со всем остовом или довольно большой частью его. Тот факт, что (р, р'-)реакцин во многих отношениях более
поглощением. Замечено, что эти эксперименты
510
Глава 19
близки к (d, (Г)-реакцням, чем к (п, р)-реакциям, привел Коэна к предположению, что коллективное возбуждение, которое не может иметь места в случае (п, р)-реакции, представляет собой довольно общее явление [13].
Основное свойство коллективных движений, на которое опирается наш анализ, заключается в том, что эти движения оказываются медленными по сравнению со временем пролета нуклона. Поэтому вполне разумно рассматривать отдельно движение нуклонов прп фиксированном значении
Фиг. 19.2. Угловое распределение а-частиц с энергией 31,5 Мэв. неупруго рассеянных на ядре С12 с возбуждением уровня 4,43 Мэв (по работе (11)).
Фиг. 19.3. Неупругое рассеяние нейтронов с энергией 14 Мэв на ядрах с возбуждением уровней: С12 с энергией 4,43 Л4м; Не» с энергией 2,4 Мэв\ Li’ с энергией 4,63 Мэв.
Реакции интерпретируются как lpj,,2	переходы.
Сплошная линия соответствует расчету е прямоугольным оптическим потенциалом, пуиктириая-^с потенциалом Саксона и поверхностным поглощением (по работе Перся (12]).'
коллективного параметра и отдельно изменение самого параметра. Гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов частиц плюс гамильтониан ядра-мишени и гамильтониан взаимодействия. Обозначив коллективный параметр через и, а координаты налетающего нуклона — через г, имеем
Я = Яо + Ял(1,а)+К(г,а).
Следующий пример пояснит смысл этого выражения. Если а — параметр формы, а ИА (£, а) — гамильтониан коллективной модели, где £ — все остальные координаты, то Но можно понимать как кинетическую энергию То частиц; тогда V будет, продолжением ннльссоновского одночастнчного потенциала в область высоких энергий. Другой вариант: Но может включать часть оптического потенциала, не зависящую от а; тогда V будет степенным рядом по а (начиная с первой степени) н будет содержать все члены, зависящие от матричных элементов между состояниями с разным числом а-квантов, т. е. будет определять коллективные возбуждения.
Прямые реакции
511
Возьмем функцию ф, (к() в виде решения уравнения
(Но + У(г, а)] ф( (к,)=Еф( (к,).	(19.23)
асимптотика которого есть ехр (<kf-r). Будем предполагать, что
На (5. а) ф> (L а) = Ejtfj (£, а).
В адиабатическом приближении, которое оправдывается малостью скорости изменения а, полная функция имеет вид произведения
= Ф;(а)ф(г).
Результат для амплитуды неупругого рассеяния в борцовском приближении есть
Sfi= ^^</аб/гф/(а)ф}(ку; г) У(г, а) ф((а)ф, (к(; г).	(19.24)
Эта формула носит общий характер; ниже мы конкретно отождествим а с параметром 0 квадрупольной (сфероидальной) деформации поверхности ядра.
В проделанных этим методом расчетах не применялся столь известный потенциал, как потенциал Нильссона; в частности, не учитывался l-s член. Обычно на практике брался оптический потенциал У о для сферического ядра а, радиус которого R заменялся на R (0') =	+ 0У» (0 )1,
где 9'— полярный угол г в системе координат, связанной с ядром. Например, V считается постоянным внутри деформированной поверхности или берется в виде потенциала Саксона [1 4- ехр {(г — R)/d}]~1 с заменой R на R (О'). В общем случае Vo (r—R) переходит в К0[г — R (9')1. Этот потенциал раскладывается по сферическим гармоникам
Vok-/?(9')1= Svx0Px(cos9).	(19.25)
x
Первый член ti0 (г) есть сферический оптический потенциал. Его следует включить в остается
И(г,а)= f vx(r)Px(cos0').
Х = 2
Первый член этой суммы имеет вид
^(/•) = — (—)	эд.	(19.26)
\4л/ dr
Минимальная степень, с которой 0 входит в щ, есть 0К/». Каждый член можно записать через углы г в лабораторной системе координат и энле-ровскне углы осей ядра. Например, член с Х = 2 дает
«л = -л 2 (- if $ dw ф) (с, 0)	(в, ф, 'п х
и
X 0’ф, (5. 0)	(19.27)
J dr
Более высокие степени могут оказаться существенными, когда 0 достаточно велико. Приведенную формулу можно использовать при изучении как колебательных, так и вращательных возбуждений. В первом случае состояния ядра ф, и ф/ определяются числом фононов. Если ядро четно-
512
Глава 19
четное, то <р< представляет основное состояние без фононов. Параметр р осциллирует около нуля; мы заменим оператор на а2 р, т. е. на оператор рождения фонона (см. (10.15), где вследствие аксиальной симметрии у = 01- В таком случае однофононное состояние 2* возникает только благодаря члену с к = 2, который был приведен выше. Для того чтобы создать более высокие состояния, такие, например, как двухфононная триада О’, 2’, 4’, необходим оператор Р1, который появляется в члене с к = 4. Сечение рассеяния с образованием самого нижнего состояния 2’ следует из (19.26):
d«(0)-
м
2 dQ.
- Щ 2мг/ М
(19.28)
элемент (13.20);
Множитель Е2/2С2 представляет собой коллективный матричный (один фонон |а2и| нет фононов), определенный формулой Ё2—энергия состояния 2‘. Эту формулу легко распространить на однофононное состояние3—.если считать, что а представляет параметр окту-польной деформации: нужно просто заменить Е2/2С2 на Е312С3 и У’1 на Kjf.
С другой стороны, в случае ядра с постоянной деформаций р рассматривается как константа, а и <р/— как волновые функции различных уровней вращательной полосы. Если ядро четно-четное, то основное состояние связано с вращательным уровнем 2' только посредством (к = 2)-члена, состояние J = 4 возбуждается лишь через к = 4 и т. д. Вследствие повышения степени р высшие возбуждения последовательно становятся все менее вероятными, но величина Р не настолько мала, чтобы возбуждением с J = 4 уже можно было полностью пренебречь. Интегрирование по £ в (19.26) включает теперь интегрирование по углам Эйлера; прямое вычисление дает
аг
<Ш<М24
(19.29)
За исключением абсолютной величины, борцовское приближение приводит к одинаковым результатам для колебательных и вращательных возбуждений первого возбужденного состояния.
Ясно, что формулы для более высоких возбужденных состояний и для ядер с нечетным А отличаются от выписанных выше выражений в основном тем, что содержат более сложные численные множители и более сложные функции в интеграле по г.
Когда Уо— константа (комплексная) внутри области г = R, окончательный интеграл принимает особенно простую форму, ибо
Д), аг

так что реакция оказывается поверхностной. Интеграл имеет вид
VoR2 J dQ ф) (R, Q) Y°3(Q) ф< (/?, Q).	(19.30)
Если пойти дальше — подставить плоские волны для ф< и ф/,—то
da^2+ = ^V^e(/2(^)l2xdQ, Л К;
гдех равен либо 4Р2/5, либо Е2/2С2. Из формулы (19.31) видно, что угловая зависимость вновь выражается через сферическую функцию Бесселя.
(19.31)
Я
Прямые реакции
513
«Поверхностное» приближение не вполне удовлетворительно, особенно при вычислении абсолютных величин. Гораздо более точные вычисления, проведенные Чейзом, Уилетсом и Эдмондсом 111, дали величину в 6 раз большую, чем борцовское приближение в варианте с поверхностным взаимодействием даже в случае с искаженными волнами ф( и -ф/.
В самом деле, можно предвидеть, что борцовское приближение само по себе окажется непригодным для описания вращательных возбуждений. Им свойственны большие сечения (порядка барнов) и сечение возбуждения (J = 4)-состояния сравнимо с сечением возбуждения (J = 2)-состоя-ния. Точная волновая функция ¥ (к/) в амплитуде (19.7) имеет вид
Чг(к|) = а1ф|ф((к1)+ Sa/ф/фДк/).
Большое сечение предполагает относительно большое at, тогда как бор-новское приближение применимо только при
а/<а, = 1.
Если, учет члена J = 2 действительно изменяет сечение, то и членом с J = 4 вряд ли можно пренебречь. Как указывалось выше, учет этих членов приводит к системе связанных уравнений для ф. Именно такую систему исследовали Чейз, Уилетс и Эдмондс. Хотя они доказали недостаточность борновского приближения с поверхностным взаимодействием и искаженными волнами, но в целом ряде случаев борновское приближение, как выяснилось, дает превосходное согласие с экспериментом даже по величине, если в интеграле по г не прибегать к аппроксимациям формулой (19.30) [141.
В качестве ф/ и ф/ можно взять волновые функции для оптического потенциала в форме Саксона, который согласуется с упругим рассеянием на данном ядре. Дифференцируя этот потенциал, чтобы найти dV0/dr, и взяв численно интеграл (19.28), можно получить сечение неупругого рассеяния, которое пропорционально Р2 или Е2!2С2. Результаты такого расчета для Mg24 (a, а') показаны на фиг. 19.4; величина р лежит в разумных пределах. Показаны также результаты расчета для Аг40 (а, а'); в этом случае не ясно, допустимо ли описывать уровень 2* как коллективный. Несомненно величина С2, необходимая для согласия с экспериментальным сечением по абсолютной величине, не реалистична.
Подчеркнем еще раз чрезвычайную ценность того вывода, что отличное согласие с экспериментом удается получить по существу без подгоночных параметров, если только не вводились неоправданные приближения. Хотя такие чистые расчеты можно достаточно быстро выполнить от начала до конца только в случаях сравнительно простых ядерных структур, мы вправе уверенно считать, что наша основная физическая картина реакций верна. Что касается более сложных ядер, то тут нужны лишь хорошие волновые функции и хорошие вычислительные машины.
§ 5. Реакция срыва
Выше уже было дано упрощенное описание реакции срыва, которое мы и намереваемся теперь обобщить, устранив предположение о взаимодействии типа 6-функции, и распространить его на такие реакции, как (/, d), в которых участвуют частицы, более тяжелые, чем дейтрон.
33 Заказ Kt 37
514	Г л а в a 10 
Прежде всего рассмотрим более тщательно дейтронный срыв. Используя обозначения, принятые при выводе формулы (19.16), и придерживаясь борновского приближения с плоскими волнами, непосредственно имеем
S/t = (4л)_,,«	| j.Mp — Мт} X
X	— |AZ 11 mt} (JtIhMtMp—MtI JpMp} X
X drnun(rn)Y%' (£2„)e'’rB J dr V(r)ud (г)е",чг, (19.32) где
mn = MP—Мт— wij + Н/, r=rn—rp и
q' = -k/+-Jrk|.	(19.33)
Раньше мы брали V (г) в последнем интеграле в виде б-фуикции. Теперь же *йы воспользуемся тем, что V представляет нейтрон-протонный потенциал,
Q, м • гР°а	. град
Ф и г. 19.4. Согласие между борцовским приближением с искаженными'волнами и данными по неупругому рассеянию а-частиц с возбуждением состояний 2+ в Mg24 и Аг*°.
Величины р указаны на диаграммах: для Аг«о 0 следует интерпретировать. вероятно, скорее как параметр вибрационного возбуждения, а не ротационного (ио работе (HJ).
определяющий дейтронную волновую функцию ud как решение уравнения Шредингера
(T+V)ud =—eud.
Это позволяет записать последний интеграл в (19.32) в виде
— ^dr(T4-B)«de"i4'-r.
Поскольку оператор кинетической энергии есть лапласиан, удобно прибегнуть к интегрированию по частям. При этом дифференцирование переносится на экспоненту и интегралы в Sti приобретают вид . г	*
Ь (?'2 + y2) \ drud (г)ё-'ч'’Г \ drn ип (гп)УГ"е'ч гп (19.34) /И	J	J	л

Прямые реакции
515
Этот результат имеет простую и важную интерпретацию. Каждый интеграл есть фурье-образ волновой функции. Первый интеграл дает амплитуду вероятности того, что внутренний импульс дейтрона равен q', т. е. что
1 . .
-2 (Pn —pp) = tq •
Но полный импульс равен tk(, значит — это амплитуда также и вероятности того, что рп= J.q и рр= i.k/. Процесс срыва представляется как удаление нейтрона от протона как раз в тот момент, когда их импульсы имеют эти значения; протон продолжает движение с импульсом 1<к/, а нейтрон поглощается ядром, имея импульс 1.q. Но возможность этого события зависит от импульсного распределения нейтрона в конечном состоянии; таким образом, второй интеграл в (19.32) есть просто амплитуда вероятности того, что нейтрон имеет импульс 1 q в состоянии (л, 1п, тп). Конечный результат состоит в том, что в формулах (19.16) и (19.19), определяющих сечение, величина Л/2 заменяется на
(</2 + y2)2 ^ud(r)j0(qr)r2dr *. b
(19.35)
Хотя этот множитель и зависит от угла рассеяния через величину q', ио далеко не так сильно как Q2, следующий из интеграла по конечному состоянию. В типичных случаях № монотонно уменьшается примерно в 5 раз при изменении угла от 0 до 180°. Это может довольно резко изменить величину сечения, но обычно не оказывает заметного влияния на поло
жение первого максимума.
Аналогичным образом можно получить формулу для реакции
(А+В)+С—Л + (В + С)
в рамках очень простой модели, представляющей ядро (А-|-В) как состоящее из ядра А и ядра В с волновой функцией уДгдв) для учета их относительного движения. Аналогичная картина используется и для (В-\-С). Результат имеет следующий вид:
£ - P^T-'aj	+ (’’+^	О’ Зв)
h М вс (2Jt + 1) (2J в т 1) ki
где Mt, М/ и Мвс — приведенные массы ядер^Л +'В) и С, А и (В + С), В и С соответственно, R — радиус, соответствующий (В-|-С); далее,
Ri (?) = \ Vi (гА в) (q г) г2 dr,
Rj (?) =	(qr) r2dr,	(j g 37)
vi (глВ) = vi (rA0)i(l‘A , JA, JB\ Jtm),
Vp (гвс)= vp (f bc)k. (I, Jb> Jr't Jp> Alp);
/ — орбитальный момент в конечном состоянии (B-j-C), /' — то же для (А 4-В), а х —волновые функции момента. Величина у есть энергия разделения ядра (А 4- В) на А и В; кроме того,
. ма .	।	. Мс ,
q ° м k<~k/« q=k<—k/>
Мл + Мв	Мл+Мс
33*

516
Г л а в а 19
м,, град
Фиг. 19.5. Угловое распределение протонов реакции B10(d, р) В11, оставляющей Вп в основном состоянии.
Экспериментальные точки указаны для дейтронов с анергией 7,7 Мэо (по работе [15]).
Rt „ Rj — соответственно амплитуды вероятности того, что в состояниях V/ и vP частица В имеет импульс q, когда на ядра А и С приходятся соответственно импульсы к/ и нуль. Величина Сг есть амплитуда вероятности обнаружить ядро (Л 4- В) в виде двух ядер Л и В в основных состояниях и с относительным угловым моментом Г (другими ело- * вами, Ср — парциальный генеалогический коэффициент). За исключением постоянных множителей, приведенная ширина у/ совпадает с шириной для состояния (В 4- С). Относительная важность множителей Ri и Rf во многом зависит от относительной величины q и q' и природы радиальных волновых функций V/ и vp. Например, число осцилляций в сечении определяется главным образом радиусами ядер. Как и в случае ден-тронного срыва, можно было бы заменить R/ (?) на R2Qt и получить физическое приближение поверхностной реакции. Например, (/, </)-срыв обычно рассматривается именно таким образом.
Сечения реакций подхвата, таких, как (n, d)
или (d, 1), связаны с соответствующими сечениями срыва через теорему взаимности. Простое соотношение (16.39) следует модифицировать для учета усреднения по различным спинам в начальных состояниях. Тогда о (л, d) = (kd\ 23(2Jr4-l) °(<i. п) \ kn / 2(2</р4-1)	(19.38)
a(d, 0_/ kt o(t,d) \ kd) 3(2JP4-1)’
где Т и Р относятся к начальному и конечному ядру в реакции срыва. Эти уравнения верны также в случае, когда роль п переходит к р, а роль I — к Не3.
Как отмечалось выше, существуют основания предполагать, что для рассеяния вперед батлеровские кривые типа Q; могут часто оказываться приемлемыми, хотя они и строятся на основе борцовского приближения с плоскими волнами. Такого рода ситуации нллюстрнруютс яфиг. 19.5—19.7. Фиг. 19.5 иллюстрирует способ их получения. Кривые /, 2, 3 дают (Д (?/?))*
Прямые реакции
517
для I — 1, 2, 3 соответственно. Радиус 7? подобран так, чтобы пик совпадал с экспериментальным максимумом. В этом случае требуемая величина R составляет соответственно 1,9, 3,2 и 4,4 известного радиуса В11. Отсюда следует, что передается момент I = 1 и мы строим более точную угловую зависимость (пунктирная кривая). Как видно из графика, согласие довольно удовлетворительно для первого максимума, но не более. Можно сразу же сделать вывод, что четность В11 отрицательна. Определить однозначно его спин на этой грубой базе невозможно, но поскольку Jp + S/
Фиг. 19.6. Угловое распределение в реакции Na23 (d, р) Na2* (основное состояние) (по работе [16]).
Фиг. 19.7. Угловое распределение в реакции Na23(d, t) Na22 (основное состояние) (по работе [16)).
и Jy-p S( образуют с 1 треугольник, то J р ± 1/4 должны образовывать треугольник c I = 1, Jt~ 3 и S<= 1 Это ограничение не исключает все значения JP от Уг до н/2; измеренный спин равен 3/4.
Если спин рассеянного протона не «переворачивается», то / заключено между минимальной и максимальной суммами векторов Jr, Jp и s„ = Уг. Это ограничение справедливо для большинства реакций срыва, но первое возбужденное состояние В11—это Ve‘; правило должно было бы ограничить I значениями 2, 3 и 4, а изменение четности должно было бы означать, что I = 3. Однако фактически используя I = 3 нельзя получить согласия с экспериментальной кривой, и мы вынуждены сделать вывод, что может встречаться срыв с «переворачиванием» спина, например, как результат действия зависящих от спина членов в Упр, которые допустили бы изменение проекции спина протона при захвате нейтрона ядром. Альтернативно, протон в конечном состоянии может появляться вообще не из дейтрона, а выбиваться из ядра дейтроном, который при этом захватывается. Такой процесс — это уже не срыв: он предполагает гораздо более тесное сближение протона с ядром, чем допускает механизм срыва. Тем не менее эти «выбивающие» столкновения представляют собой, вероятно, поверхностные реакции, поэтому не следовало бы удивляться, если бы они обнаружили угловую зависимость .типа функций Бесселя. Вероятно, встречаются как срыв с «переворачиванием» спина, так и реакции с выбиванием;
518
Глава 19
вопрос о том, какой из процессов доминирует в каждом данном случае, не решен.
Известны также многие (d, р)-реакции, в которых механизм срыва с «переворачиванием» спина не появляется; причины этого явления не выяснены. Можно предположить, что этот механизм более вероятен, если протон «чувствует» ядро мишени более сильно, чем обычно. Для сильного взаимодействия становится бессмысленным различие между протоном из дейтрона и протоном из мишени, поскольку они являются тождественными частицами. Следовательно, срыв с «переворачиванием» спина и выбивание могут оказаться не совершенно различными процессами.
Фиг. 19.6—19.7 относятся к реакциям Na23 (d, р) Na24 и Na23 (d, f) Na23 соответственно, причем оба конечных ядра образуются в основном состоянии. Обе кривые построены для I = 2, а радиусы равны 6 фм и 7 фм соответственно. Значения радиусов лежат в разумных пределах, а значении
Фиг. 19.8. Два расчета с различными оптическими потенциалами для реакции В10 (d, р) В11 (основное состояние) в борновском приближении с искаженными волнами (по работе (17]).
3
I = 2 согласуются со спинами: Na223+, Na28-g--|-H Na244’. В (d, р)-реакцин 1 = 2 — на и низшее возможное значение I, как для случая с «переворачиванием» спина, так и случая без «переворачивания». В (d, /)-реакции, возможно, I = 0; отсутствие момента I = 0 означает, что спнн дейтронной частицы не «переворачивается». В этом случае также после первого максимума кривая не совпадает с экспериментом.
Неточности, наблюдаемые при больших углах рассеяния, объясняются рядом причин. Отчасти они могут быть следствием использования плоских волн для начального и конечного состояний. Следует заметить, что весьма важно провести вычисления, которые позволили бы устранить некоторые из наиболее жестких аппроксимаций, приводящих к формуле Батлера. Пучки падающих дейтронов и уходящих нуклонов следует описывать волнами в соответствующих оптических потенциалах, а интегралы не следует обрывать на радиусе /?; не следует также пренебрегать кулоновскими эффектами и рассматривать взаимодействие Vnp как точечное [т. е. нужно учесть Rd (р')1- В нескольких случаях, в которых из упругого рассеяния удалось определить оптические потенциалы и для дейтронов и для протонов, Тобокман 1171 выполнил численные расчеты, с учетом всех перечисленных поправок, кроме последней. На фиг. 19.8 приведены его результаты для реакции В10 (d, р)Вп при энергии падающих дейтронов 8,1 Л4эв; на двух графиках показаны сечения, предсказываемые двумя различными оптическими моделями, каждая из которых дает разумное согласие с данными по упругому рассеянию. Эксперименты, необходимые для
Прямые реакции
519
точного определения параметров оптической модели, отсутствуют; дей-тронный потенциал был подобран по рассеянию дейтронов с энергией 7,7 Мэв на Be®, а протонный — по рассеянию протонов с энергией 17 Мэв на В10 (вместо протонов с энергией 17,4 /Изе на В11). Эта неопределенность в задании потенциала и значительное расхождение между двумя предсказанными сечениями при больших углах наводит на мысль, что возможна удовлетворительная подгонка. Этот результат .следует сравнить с приведенной на фиг. 19.5 кривой, вычисленной в приближении плоских волн.
Фиг. 19.9. Различные теоретические кривые для TH8 (d, р) TH»* при энергии дейтронов 2,6 Мзв.
а-плоскополповое борцовское приближение; б—«поверхностное» борцовское приближение с кулоновскими волнами; а—борцовское приближение с искаженными волнами без обрезания (по работе [ 17]).
Весьма заметное улучшение, достигнутое Тобокманом, почти полностью обязано учету внутренней области ядра; теория с обрезанием на поверхности оказывается безуспешной даже при использовании волновых функций, искаженных одновременно и оптическим и кулоновским потенциалами. Это не так уж неожиданно, поскольку энергии здесь значительно выше кулоновского барьера.
Другой поучительный пример представляет случай срыва на Ti48 при энергии дейтронов 2,6 Мэв (что значительно ниже кулоновского барьера). Плосковолновое приближение плохо согласуется с наблюдаемым сечением (фиг. 19.9, а); введение кулоновских волновых функций вместо плоских волн дает более правильную общую картину (фиг. 19.9, б); наконец, расчет с помощью искаженных волн дает весьма хорошее согласие (фиг. 19.9, в).
В других случаях, где формула Батлера дает хорошее согласие в области первого максимума, но кулоновские эффекты могут играть
520
Глава 19
заметную роль, ситуация выглядит так, как если бы кулоновский сдвиг первого пика компенсировался противоположным сдвигом, обусловленным оптическим потенциалом. Однако вне этого пика взаимодействие двух
Фиг. 19.10. Полное сечение реакции срыва на Li7, предсказываемое борцовским приближением с искаженными волнами, при использонанин оптического потенциала Саксона с объемным поглощением и указанными параметрами (по работе [18]).
------теория; ---эксперимент.
сдвигов становится более сложным и оптический потенциал может определять основную долю сечения.
Другой пункт, на котором проверяется теория,— это предсказание полного сечения. Полное сечение прямо прокорцнонально квадрату амплитуды Упр-взанмодействня, которое можно в известных пределах подбирать так, чтобы компенсировались другие недостатки расчета. Но как только этот выбор для одного значения энергии сделан, полные сечения при других энергиях оказываются фиксированными. Как видно из фиг. 19.10, для реакции Li’ (d, р) Li8 получено замечательное согласие с экспериментом. Отмстим, что для дейтронов мнимая часть оптического потенциала (поглощение) гораздо больше, чем для протонов. На экспериментальной кривой видны два или три резонанса составного ядра.
Существует, однако, еще один механизм, называемый «обменным срывом» или «срывом тяжелой частицы», который вносит вклад в заднюю полусферу рассеяния. Этот процесс можно описать следующим образом: дейтрон и ядро-мишень, за исключением одного протона мишени, соединяются; остающийся протон продолжает двигаться с тем же импульсом, который он имел в момент соединения. Процесс представляет собой реакцию срыва, в которой дейтрон играет роль мишени С, более тяжелое ядро минус один протон действует как частица В, а испускаемый протон есть частица А. Эта реакция по праву называется срывом, поскольку предполагается, что взаимодействие А с дейтроном С пренебрежимо мало. Поскольку в системе центра масс тяжелое ядро первоначально медленно двигалось в направлении, противоположном направлению движения дейтрона, угловое распределение этих протонов будет иметь максимум в направлении назад, хотя и не очень резкий. Они, следовательно, отличаются от протонов выбивания, механизм которого, как и получающееся при этом угловое распределение, уже обсуждались выше.
Уравнение (19.36) дает дифференциальное сечение обменного срыва. Величина эффекта определяется двумя генеалогическими коэффициентами, которые заданы в значительной мере неопределенно. Мы можем предполагать, что вероятность наблюдать конечное ядро в виде дейтрона и невозбужденного остова невелика. Тем не менее в некоторых случаях
Прямые реакции
521
этот процесс может оказаться важным, в частности, когда начальное ядро содержит неспаренный и чрезвычайно слабо связанный нуклон. Очень хорошее согласие с экспериментом получено посредством комбинирования сечений прямого и обменного срывов, но поскольку в этих расчетах использовались неискаженные волны, то почти не приходится сомневаться, что результат дает сильно завышенную величину обменного сечения по сравнению с действительным значением.
§ 6. Некоторые реакции при высоких энергиях
Мы не стремимся дать в этой книге исчерпывающее описание всех ядерных реакций. Главные черты основных физических моделей реакций уже обсуждены. С этой базой читатель должен уметь подойти к детальному обсуждению других реакций. Есть, однако, несколько интересных экспериментов, которые следует кратко упомянуть.
При бомбардировке ядер нуклонами с энергией 100 или более Мэв происходит довольно обильное рождение а-частиц. В случае легких ядер сечение почти не зависит от энергии и равно примерно 12 мбарн, а в случае тяжелых ядер растет от 20 мбарн при 100 Мэв до 80 мбарн при 600 Мэв. В направлении вперед а-частицы испускаются со значительной энергией, представляя собой несомненно продукты прямой реакции. Поскольку внутри ядра а-частнцы сильно поглощаются, неизбежно заключение, что они находятся па ядерной поверхности, откуда и выбиваются бомбардирующими нуклонами.
Это отнюдь не противоречит нашим представлениям о ядерной материи. Мы считаем, что движение нуклонов, скоррелированное так, чтобы образовать а-частицу, конечно, невозможно внутри ядра, где плотность постоянна. Но на границе, имеющей малую плотность, принцип Паули играет меньшую роль, и здесь возможно почти (вакуумно) чистое нуклон-нуклонное взаимодействие, которое может вызывать образование точно таких же сгустков (кластеров) (Не3, И3, He1 и т. д.), которые оно действительно образует в отсутствие других нуклонов (в вакууме). Оценки на основе наблюдаемых (п, а)-сечений и оптического потенциала, ограничивающего локализацию а-частнц поверхностью ядра, показывают, что эффективная плотность а-частиц такова, что каждый нуклон в поверхностной области должен проводить от одной трети до половины своего времени как составная часть а-частицы [191.
Присутствие кластеров (преимущественно а-частиц в силу их огромной энергии связи) на поверхности ядра вряд ли способно вызывать резкие отклонения от оболочечной модели со смешиванием конфигураций. Возможно, существует очень сильное перекрывание между простым смешиванием конфигураций и волновой функцией, описывающей нуклоны как составные части движущихся а-частиц. Возможно, что картина с кластерами на поверхности1) и с состояниями оболочечной модели внутри ядра представляет собой попросту другой способ описания той же самой физической идеи, которая заложена в смешивании конфигураций. Какое описание более удобно, зависит от эксперимента, подлежащего объяснению. Конечно, физики-теоретики должны выяснить связь между двумя картинами *).
х) В случае легких ядер кластеры могут встречаться во всех областях ядра.
2) Теория «фрагментации!, в частности, выбивания а-частнц, в процессах квази-упругого рассеяния быстрых частиц на легких ядрах изложена в работах [22*, 23*). — Прим. ред.
522
Глава 19
Другой интересный класс экспериментов представляют опыты, в которых бомбардирующие частицы имеют достаточную энергию и достаточно хорошо локализованы, чтобы столкновения с нуклонами мишени носили характер взаимодействия со свободными частицами. Если известно сечение для свободных частиц как функция энергии, то наблюдения углового распределения позволяют установить распределение импульсов нуклонов в ядре-мишени. Поскольку распределение импульсов по существу и есть волновая функция, этот метод предоставляет очень прямой путь изучения ядра. В качестве пробных частиц использовались мезоны, но мы упомянем для примера особую реакцию Li7 (р, 2р) Не®, вызываемую протонами с энергией 180 Мэв (201. Получены ясные доказательства существования двух пиков в распределении энергии вылетающих частиц: одного при полной энергии испущенных частиц 170 Мэв, другого при 154 Мэв. Они соответствуют рз/4-протону с энергией отделения 10 Мэв и 51/,-протону, требующему 26 Мэв. Угловое распределение этих пар также согласуется с предполагаемыми значениями орбитального момента протона. Полная картина представляет достаточно недвусмысленное подтверждение оболочечной структуры.
§ 7. Реакции, вызванные электромагнитными взаимодействиями
Ядерный фотоэффект и кулоновское возбуждение составляют два специальных раздела ядерных реакций, которые нет необходимости здесь обсуждать, но несколько слов все-таки сказать целесообразно.
Когда у-лучи, получаемые обычно на ускорителе, падают на ядро, они создают высокочастотное электромагнитное поле. С другой стороны, нон, движущийся слишком медленно для того, чтобы преодолеть кулоновский барьер, приближаясь к ядру, создает относительно медленно меняющееся электрическое поле. В обоих случаях ядро будет поглощать электромагнитную энергию, причем преимущественно с таким изменением момента, которое соответствует наиболее сильному мультипольному моменту перехода. При прочих равных условиях это будет момент низшего порядка. Но ннзколежащие ядерные состояния, как мы видели, имеют очень мало El-персходов, и то весьма слабых. Поэтому кулоновское возбуждение — с необходимостью низкоэнергетнчный процесс — происходит почти исключительно посредством усиленных Е2-переходов. Используя ионы с достаточно большим зарядом, можно возбудить не только состояние 2*, но (путем многократного кулоновского возбуждения) достичь и более высоких вращательных и колебательных уровней. Это одно из основных средств возбуждения коллективных состояний ядер при изучении последующего распада таких уровней.
С другой стороны, у-лучи высокой энергии обнаруживают во всех ядрах широкий резонанс поглощения с максимумом в районе 20 Мэв. Полная ширина резонанса составляет от 4 до 10 Мэв, причем меньшие величины относятся к магическим ядрам. Это — так называемый гигантский дипольный резонанс. Ясно, что в районе 20 Мэв расположена группа состояний, соответствующая наиболее интенсивным электрическим дипольным переходам. Это явление объяснимо и на базе оболочечной, и на базе коллективной моделей. В последнем случае мы имеем дело с особым видом коллективного движения. Нейтроны совместно движутся относительно
Прямые реакции
523
протонов, вызывая разделение между центром масс и центром заряда, что в свою очередь порождает большой дипольный момент. В оболочечной модели предполагаются переходы типа 1/ ->- 1g (т. е. Д/ = 1, «да»), соответствующие £1-поглощ,ению. «Случайно» необходимые состояния появляются по всей периодической таблице с примерно одинаковым возбуждением, так что резонанс почти не сдвигается по энергии; чтобы поместить резонанс точно по энергии, необходимо модифицировать состояния простой оболочечной модели, включив парные корреляции.
Эти две картины, конечно, непротиворечивы. Если в качестве основы модели использовать коллективные координаты, то они будут связаны с другими степенями свободы; таким образом, коллективные состояния разделяются на очень много действительных состояний ядра. Точно то же самое можно сказать и об одночастичных состояниях. Как известно, резонанс в силовой функции дает количественное значение размазывания состояний модели по многим истинным состояниям. Несомненно, на этом же пути следует искать и правильное объяснение резонанса фоторасщепления. Углубленное истолкование его ширины все еще остается нерешенной до конца теоретической проблемой.
Около 90% продуктов фоторасщепления составляют фрагменты, относящиеся к статистическому испарению. Другими словами, фотон обычно формирует составное ядро. Остальные продукты состоят главным образом из жестких нуклонов, которые, очевидно, получаются в результате прямого взаимодействия с фотоном1). Между движением жестких нейтронов и протонов существует корреляция, наводящая на мысль, что фотон иногда взаимодействует с парой, имеющей характер некоторой ассоциации. Получающуюся частицу называют «квази-дейтроном», но она вполне может оказаться прямым отражением наличия короткодействующих корреляций в ядерной материи.
ЛИТЕРАТУРА
1.	С h a s е D. М., W i 1 е t s L., Е d mo n ds A. R., Phys. Rev., 110, 1080 (1958).
2.	A u s t e г n N„ В u 11 e r S. T., M с M a n u s H., Phys. Rev., 92, 350 (1953).
3.	Paul E. В., С I a г k e R. L., Canad. Journ. Phys., 31. 267 (1953).
4.	В u tier S. T., Proc. Roy. Soc.. A208, 559 (1951).
5.	Blair J. S., Phys. Rev., 115 , 928 (1959).
6.	В г о w n G. E., d e D о m 1 n 1 c i s С. T., Proc. Phys. Soc., A70, 686 (1957).
7.	Brown G. E., d e D о in 1 n 1 c 1 s С. T., L a nger J. S., Ann. of Phys., 6, 209 (1959).
8.	R о d b e г g L. S., Ann. of Phys., 9, 373 (1960).
9.	L e v i n s о n С. А., В a n e r j e e M. K., Ann. of Phys., 2, 471, 499 (1957).
10.	L e v i n s о n C. A., Banerjee M. K., Ann. of Phys., 3, 67 (1958).
11.	G I e n d e n n i n g N. K., Phys. Rev., 114, 1297 (1959).
12.	P e r e у F. G., in «Proceedings of the International Conference on Nuclear Structure» (Kingston, Canada), Toronto, 1960, p. 387.
13.	Co he n B. L., Phys. Rev., 116, 426 (1959).
14.	R о s t E., A u s t e r n N., Phys. Rev., J20, 1375 (1960).
x) Жесткая часть энергетического спектра фотопротонов и фотонейтронов, соответствующих гигантскому резонансу, обусловлена в основном не «прямым» механизмом фоторасщепления, а распадом состояний дипольного возбуждения на низко-лежащие уровни остаточного ядра, имеющие «дырочную» природу [24*]. Этот эффект определяется смешиванием оболочечных конфигураций и полностью исчезает в одно-частичной (в частности, оптической) модели.— Прим. ред.
524
Глава 19
15.	В oner j ее М. К., «Nuclear Spectroscopy», ed. F. Ajzenberg-Selove, New York, 1960.
16.	V о g e I s a n g W. F., M c G r u e r J. N., Phys., Rev., 109, 1663 (1958).
17.	Tobocman W., Phys. Rev., 115, 98 (1959).
18.	Wilkinson D., in «Proceedings of the Internationsl Conference on Nuclear Structure» (Kingston, Canada), Toronto, 1960, p. 42. (Имеется перевод: «Структура ядра», М., 1962.)
19.	О с т р о у м о в В. И., Ф и л о в Р. А., ЖЭТФ, 37, 643 (1959).
20.	11 I 1 I m a n Р., Т у г с n Н., and Th, Л. J. М а г i s, Phys. Rev. Letters, 5, 107 (1960).
21*. И и о п и и Е. В., ЖЭТФ, 31. №5 (1956).
22*. Балашов В. В..Боярки на А. Н., Nucl. Phys., 38, 628 (1962); Известия
АН СССР, 28, № 2, 359 (1964).
23*	. Балашов В. В., Б о я р к и u а А. Н., Р о т т е р И., Препринт ОИЯИ, Р-1357, Дубна, 1963; Nucl. Phys., 55 (1964).
24*	. Балашов В. В., Ш е в ч е н к о В. Г., 10 д н н Н. П., Nucl. Phys., 27, 323 (1961); (см. в сборнике «Ядерные реакции при малых и средних энергиях», М., 1962, стр. 435).
25*. Amado R. D., Phys. Rev. Letters, 2 , 399 (1959).
26*. Шапиро И. С., Теория прямых ядерных реакций, М., 1963.
27*. Дроздов С. И., ЖЭТФ, 28 , 734 (1955).
ОБЗОРНЫЕ РАБОТЫ ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ РЕАКЦИЯМ
Фоторасщепление: L е v i n g e r I. S., Nuclear photodisintegration, London, 1960. (Имеется перевод: Дж. Лев инджер, Фотоядерные реакции, ИЛ, 1962.)
Кулоновское возбуждение: Alder К., Bohr А., Н и и s Т., М о t t е I s о п В., W i n t h е г A., Rev. Mod. Phys., 28, 432 (1956). (См. перевод в сб. «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958.)
Реакции с тяжелыми ионами: Zucker A., Ann. Rev. NucL Sci., 10, 27 (1960).
Деление: Halpern 1., Ann. Rev. Nucl. Sci., 9, 245 (1959). (Имеется перевод:
И. Халперн, Деление ядер, М., 1962.)
ЗАДА Ч И
V.I. 18 октября 1954 г. студент-практикант поместил НО .«г медной фольги в брукхэйвенский реактор в поток 3-1012 нейтрон/см^-сек. Через 96 час образец был удален из реактора и спустя еще 8 часов вновь был у студента. Какова была к этому времени активность Си64 (в милликюри) образца? Какова активность Си66? Какая часть атомов образца изменилась вследствие облучения?
Данные: медь состоит из двух изотопов: Сии(69%) и Си45 (31%); нейтронное сечение для Си43 равно 4,2 барн, причем образуется Си64 с периодом полураспада 12,9 час, а для Си6® сечение равно 2,1 барн и образуется Си66 с периодом полураспада 4,3 мин.	*
V.2. Альфа-лучи из тория С' (10,536 Мм) бомбардируют ядра азота, и в направлении «вперед» наблюдаются протоны. Какова их энергия?
2Не24-7К14 -> aP^+iH1.
Массы 2Не4, 7N14, gO17 и jH1 составляют 4,00260, 14,00307, 16,99913, 1,00782 а. е. соответственно.
V.3. Литий L17 бомбардируется протонами с энергией 1 Мзи. Образуются пары а-частиц с одинаковой энергией. Какова эта энергия и под каким углом разлетаются а-частнцы? Если а-частнца наблюдается под прямым углом к протонному пучку, то какова ее энергия, а также энергия и угол второй а-частицы? Масса Li7 равна 7,01601 а. е.; другие массы даны в задаче V.2.
Прямые реакции
525
V.4. Полное нейтронное сечение Rh103 в области энергии от 0,2 до 5,0 эв представлено ниже в виде таблицы. Предполагая, что сечение обусловлено исключительно резонансным захватом S-нейтронов на единственный уровень составного ядра, определить а) резонансную энергию, б) радиационную ширину, в) нейтронную ширину (умноженную на статистический фактор gJ), г) расстояние между уровнями, следующее нз нейтронной ширины.
Начертить теоретическое брейт-вигиеровское сечение для изолированного уровня и нанести экспериментальные точки в логарифмическом масштабе. Почему наблюдаемые точки в верхнем конце энергетической области расположены выше теоретической кривой?
Еп. м	a, io-*1 сл*		а, 10-»1 сл<з
0,2	72	1,20	3220
0,3	73	1,25	4920
0,4 •	79	1,30	3780
0,5	90	1,35	2000
0,6	НО	1,40	1110
0,7	140	1,45	710
0,8	190	1,50	430
0,9	270	2,0	50
1,0	530	3,0	Н
1,05	680	4,0	7,5
1,10	1030	5,0	6,3
1,15	1750		
V.5. В приведенной ниже таблице показана энергетическая зависимость сечения реакции Li7 (р, а) а в интервале энергий протонов от 0,5 до 3,5 Мэв. Если реакция интерпретируется в предположении изолированного уровня составного ядра, то
JT Г а (р, а) = (2/+1) лЛ« (£—£г)84-(Г/2)» '
а)	Предполагая, что Га в основном не зависит от энергии протона (Q= 17,34 ЛЫ), показать, что выход при низкой энергии (ниже 2 ЛЬв) не согласуется с 1=0 для падающих протонов, но требует /=) или выше.
Показать, что нз соображений четности /= 1 наиболее вероятное значение. Коэффициент прохождения для протонов можно взять из опубликованных таблиц.
б)	Разделив наблюдаемый выход на (Х2Гр), показать, что сечение имеет резонансную форму, и оценить полную ширину Г.
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ РЕАКЦИИ LIT (р, а)а
Ер. Мзв	а	Ер, Мзв	0
0,5	20	2,5	360
1,0	65	2,75	450
1,5	100	3,00	560
2,0	180	3,25 3,50	450 260
V.6. Упругое рассеяние протонов на С13 дает информацию о спинах и четностях возбужденных состояний N13. Обсудить экспериментальные данные на основе дисперсионной теории ядерных реакций, показывая, каким образом можно определить параметры уровней.
526
Глава 19
V.7. Даны следующие атомные массы:
РЬ*О’ = 206,97590,
РЬ«>в = 205,97832,
РЬ2<* = 204,97452.
Предположим, что ядра представляют собой однородные сферы радиуса 1,241/эфя.
а)	Пусть РЬ207 бомбардируется нейтронами с энергией 1 Мэв. Вычислить парциальные сечения захвата для нейтронов с моментом 1 = 0, 1, 2, 3, 4.
б)	Теперь рассмотрим падающие нейтроны с энергией 18 Мэв. 1) Каково теперь ас? 2) Оценить относительные вероятности испускания протона и нейтрона, каждого с энергией 17 Мэв. 3) Считая, что ядерная температура всюду равна I Мэв независимо от энергии возбуждения, оценить сечение реакции (л, Зп) при 18 Мэв.
V.8. Ниже представлены в виде таблицы экспериментальные значения полных нейтронных сечений на кремнии в области энергий от 70 до 420 кэв.
Согласовать данные с резонансной формулой для одного уровня н определить все возможные параметры, характеризующие резонансное состояние.
Е, кэв	<1/ , барн	Е, кэв	а/ , барк	£, кэв	Of • барн
74	1,80	163	1,65	275	5,2
87 ,	1,40	175	4,25	285	4,6
98	1,10	190	н.з	295	4,4
107	0,94	194	12,1	305	4,35
114	0,85	208	10,1	315	4,15
118	0,75	220	8,3	332	3,60
125	0,60	230	7,3	350	3,75
140	0,45	241	6,6	370	3,50
150	0,55	252	5,5	390	3,85
156	0,80	264	5.7	410	3,40
ПРИЛОЖЕНИЕ А
УГЛОВОЙ МОМЕНТ, СФЕРИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ, МАТРИЦЫ ДИРАКА
Квантовая теория углового момента и релятивистская квантовая теория электрона заметно страдают расхождениями в обозначениях и в произвольном выборе разными авторами различных фазовых множителей. Поэтому представляется желательным собрать в этом приложении определенное количество важных формул в качестве иллюстрации обозначений, использованных в данной книге, и обеспечить читателя удобной единой сводкой. Это приложение не преследует цели изложить соответствующие части квантовой механики, хотя оно и содержит большинство основных уравнений.
Повсюду в этом приложении угловые моменты измеряются в единицах ft, или, иными словами, ft полагается равным единице.
§ 1.	Угловой момент
а.	Основные матричные элементы. Пусть произвольный угловой момент J имеет компоненты J х, Ju, Jt вдоль фиксированных в пространстве осей. Пусть
J± = JX±IJU.	(А.1)
Основные соотношения, которые определяют J как угловой момент,— это коммутатор
Ux./,] = iA,	(А.2)
его циклические перестановки и,
1Л,^*] = ±/±»	(А.З)
M’.JJ-O.	(А .4)
Используя основное соотношение [х,	= I, можно доказать эти
соотношения для орбитального углового момента I = г х р одной частицы и для любой суммы орбитальных угловых моментов. Для спинового углового момента s, не имеющего классического аналога, соотношения (А.2) постулируются. Тогда можно доказать, что они остаются справедливыми

528	Приложение А
для любого углового момента
J= S(h+s,). i
Из перестановочных соотношений следует, что J2 и Jz одновременно наблюдаемы, т. е. что можно определить состояния, в которых они оба имеют определенные значения. Эти величины есть J (J + 1) и М соответственно, где J — целое или полуцелое и неотрицательное число, а — J<M<J. Символически мы обозначим волновую функцию такого состояния через | JM)-, тогда
=	(А.5)
JZ\JM) = M\JM).	А. 6)
Разумеется, состояния ортогональны и нормированы, т. е.
=	(А.7)
t Для компонент Jx и Jv нельзя получить определенные значения одновременно с Jz, но комбинации	J±	обладают важным свойством: при
действии на состояние |7/И) они переводят его в состояние с величиной /И, на единицу большей или меньшей:
J±\JM)-=[J(J+\)—M(M±\)]'/2iJM±\) =	(А.8)
=	+	(А.9)
Следовательно,
(JM IJ± I J'M'> = bjj. 1(7 :p A4) (J±M + 1)ГЧ/,м-±1. (AJO)
б.	Орбитальный угловой момент. В шредингеровском представлении квантовой механики, основанном на формализме дифференциальных операторов, одночастичная волновая функция зависит от координаты частицы г, а оператор импульса есть р = —/V. Для оператора углового момента естественно использовать сферические полярные координаты, и из L = г х р найдем
'•‘"е±''(±я+,с,«|)Д)’
(А.116)
Оф
• 2	1 д 1 д / . Q д \	/ * 11 \
£ =-----5----.-------I sinO— 1.	(АЛв)
sin20d<p' sin0dO\ 00/
Выражение для L1 представляет собой по существу угловую часть лапласиана. Собственные величины операторов L2 и Lz есть I (/+ 1) и т соответственно, где I принимает только неотрицательные целые значения, а т = —I, —/-f- 1, . .	/ — 1, I. Собственные функции 11т) в этом
представлении даются сферическими гармониками
|/rn) = yim(0, <р).	(А. 12)
Наиболее широко используется в ядерной физике определение сферических гармоник, предложенное Кондоном и Шортли [11 (именно оно и исполь-
Угловой момент, сферические тензоры, матрицы Дирака	529
зуется в этой книге):
У,т = 6/т(0)(2л)_,/2?п,,₽,
2/4-1 (/—ffl)!]7’ 2 (Z + r»)IJ
i	dm
sinm0—-—-Pz(cosO), (dcosO)
(A. 13a)
m>0. (A. 136)
0Г‘(О) =(—!)"'
0-f(0) = (_ 1 )"'0™ (0), wl>0,
(A. 13b)
Л(cosO) =(-J -^sin2,9.	(A. 13r)
27! (dcosO)I
Другой способ определения 0'J1, допускающий оба знака tn, следую щий:	>
0Ш=,_____2/-}-1 (/—/п) 1
2 (Z—т)!
*/2 11 (t~m . 21п
------S--------г-=sin 6 27! sin 0(dcos0),_
(А. 14)
Приведем явный вид некоторых 0"1:
0Й=р/ Л,
©;= COS 0, . 0±}= zpj/"A sin 0;
в02 = '|/Г-|(3Со5ге-1),
021 = Т 1/ cos 0 sin О,
©^=1/Й«1.г0; ' 1о
0°= 1/ -^-(5cos’0—3cos0),	0з 1 = 1/ |^(5cos20 —l)sinO,
г О	I oZ
0?г= 1/ —cos0sin20, ©з8= □: l/|^sin30.
8 У 16	У 32
в. Спин. Поскольку спин фермиона является чисто квантовомеханическим понятием, не существует дифференциального оператора, позволяющего его описать. Однако явный вид операторов спина можно представить посредством любых математических величин, которые удовлетворяют соотношениям (А.2) — (А.9). Обычно используются спиновые матрицы Паули <т, определенные следующим образом:
31 Заказ № 37
(А.15)
(А. 16)
530 П р и л о ж е н и е А'
Перестановочные соотношения (А.2) — (Л.4) удовлетворяются, поскольку
far, сти] = 2«т„	[ст,, ст±1 = ±2ст±.	(А.17)
Кроме того, операторы антикоммутируют, т. е.
СТ|СТУ + ajff, = 2ду;	(А. 18)
в частности,
^ = aj = o?=l.
Эти результаты приводят к циклическим соотношениям типа
CTxCTtf=iCTz.	(А. 19)
Мы видим, что s* = V*®2 = */4, откуда ясно, что эти операторы подходят для описания углового момента / = */». «Волновые функции», представляющие собственные состояния операторов s2 и sz, есть двухкомпонентные векторы
/1\	/о\
p =  (А,20)
Поскольку
ст^=а, ст2р = —р,	(А.21)
то мы видим, что а описывает состояние со спином «вверх», ар — состояние со спином «вниз», т. е. т — и —’Л. соответственно. Кроме того,
ст_а —2р,	ст+р = 2а.	(А .22)
Волновая функция (“) описывает состояние, в котором вероятность того, что спин направлен вверх, равна |а|2, а что он направлен вниз— | Ь|2. Состояние нормировано, если |a|,-|-|ft|1= 1,
Вектор, эрмитово-сопряженный вектору |ф) = (J), есть (ф| = (а*6*), и произведение <ф1|фг)> очевидно, равно
(fli^i)( ,2j т= OiOsH-btbt-	(А.23)
Собственные состояния а и р, конечно, ортогональны:
(а|Р) = 0.
г. Изотопический спин. Ценной чертой трех матриц Паули и связанных с ними собственных векторов является их применимость к описанию состояний, отличающихся одно от другого значением величины, которая (подобно s2) имеет два возможных значения. Поэтому можно использовать то же самое представление для изоспина нуклонов.
. 1	.4.' ’-И- <Ь '••<35
Угловой момент, сферические тен:юры, матрицы Дирака
531
имеем
Y = Y.
(А .25)
/+6= (Л + #2)б = Т, =	(А.26)
Равенства (А.25) показывают, что у и 6 представляют два зарядовых состояния, причем у соответствует протону, а 6 — нейтрону; роль оператора заряда играет (*/2 + 1з)е. Равенства (А.26) показывают, что t+ и t_ есть операторы, которые соответственно превращают нейтронное состояние в протонное, и наоборот. Поэтому они играют весьма полезную роль при описании Р-распада.
д. Сложение двух угловых моментов. Два угловых момента J| и К можно сложить, образуя в результате
J = Ji + J2.
Квантовое число J может принимать значения, образующие векторный треугольник, т. е.
J— Ji~\~Jz, —1,	—J г | +1, |Ji—J2|.	(A.27)
Состояние, в котором J2 и имеют определенные значения J (J 4- 1) и /И, не является, вообще говоря, состоянием, в котором определены Jlr и J2l, но представляет собой комбинацию всех состояний, для которых
Л1(+М, = М.	(А .28)
Конкретнее, если обозначить состояние с квантовыми числами J2, J и М через | JiJ2JM), то
1ШЮ- S (J|J2A41M2|JMj|J1M1)|J2M1).	(А.29)
В (А.29) | JtMi) | J2M2) представляет состояние, в котором оба угловых момента Jt и J2 и их z-компоненты имеют фиксированные значения, a (J| J2MtM21 JM) — коэффициент векторного сложения Клебша — Гордана.
Для этих важных коэффициентов введено много различных обозначений. Существовали также некоторые различия в выборе фазы, но большинство авторов теперь используют систему, принятую Кондоном и Шортли, а именно: все коэффициенты действительны, коэффициенты с М = J положительны, а все состояния углового момента удовлетворяют уравнению (А. 10). Коэффициенты Клебша — Гордана тесно связаны с ^j-символами Вигнера, которые относятся к сложению трех угловых моментов в нулевую равнодействующую. Соотношение имеет вид
/АД. = —1--------гг- (JJ2MlMl\J—М).
^М|Л12Л'1у	(2J+ 1)1/2
Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условиям симметрии
G/tAMtMal JM) = (— l/»+J*-J (ЛЛ/ИгЛЬ I JM), = (—	/2(jj5
(А .30)
(А.31а)
(А.316).
=	h '\jJ-M.M IJ2M2), •
\ZJ211/
= (—	m2\j-m).
(A .31 в)
(A.31r>
34*

532	Приложение А
Кроме того,
S	) =	(А.32а)
М1М2
2 (ЛЛЛЬЛЬ1ЛИХЛЛЛШ | JM) =	(А .326)
JM	1	 2
Состоянию с фиксированными ЛЬ и ЛЬ невозможно, вообще говоря, сопоставить определенное значение J; оно представляет собой линейную комбинацию состояний со всеми J от |/| —У2| до Ji + J2, т. е.
1ЛЛ4,) \J2M2) =	1 JMt + ЛЬ) I J,J2JMt + ЛЬ). (А.ЗЗ)
Для коэффициентов Клебша — Горда на существует найденное Рака явное выражение
(J tJ2MtM2 | JM) — б.и.д^+д/г X
x[(2J+ \)(Jl+Ji-Jy.(J + Jl—J2Y.(J + J2-Jiy. X
X (J, + м |)! (Ji—Л!,) I (J,+M2)! (J2—M2)! (/ + Л1) I X
X (J—/W)!],/2((J + Jt + J24- 1)U7’ X
x S(—1)*к!(Л+Л—J—s)lx к
X(J‘2 + M2—s)!(J-J2 + /W, + «)!(/—/1-М2-Н)!Г‘, (A.34)
Суммирование no s проводится по всем значениям, для которых ни один из факториалов не имеет отрицательных аргументов (0!	1). Эта формула
громоздка в обращении, поэтому были составлены таблицы коэффициентов Клебша — Гордана [1—5]. Все коэффициенты есть квадратные корни из рациональных дробей; в некоторых из таблиц приведены отдельные множители этих дробей, в других даны просто численные значения. Некоторые из коэффициентов для низших значений ,/2 даны в табл. А.1. Стоит также отметить, что

(А .35)
(70/И0|ЛИ) = 1. 1	(А.36)
.Величины Ф (J2, М2, J) в табл. А.1 определены следующим образом: (J(J2Af,AI2| JM) = (- i;W2-Js(2J +1),/2 X
- (jt+J-J2y.(J + My -р
_(Ji + A+J+l)!(A + A4i)i_
Ф(Л. М2, J).
(А.37)
X
Это уравнение справедливо только для J>J| и ЛЬ>0. При J <Jt и/или ЛЬ < 0 сначала следует использовать равенства (А.31), чтобы получить коэффициент, к которому можно применить уравнение (А.37).
Как частный случай можно рассмотреть сложение орбитального и спинового угловых момейтов одного нуклона:
j=H-s.
Состояние / = /-+1/«, т имеет вид
(А.38а)
Угловой момент, сферические тензоры, матрицы Дирака
533
Таблица А.1
ЗНАЧЕНИЯ Ф (Jt, Afs, J1 ИЗ (А.37)
Л = 0: J2= 4	Ф(0, 0, 0)=1	)='	
/1=1	/=/1	/=/l+'l	
Л12 = 0	— 2Af,	-Г2(Л-Л<|+1)	
М2=1	-KSUj-AJ,)	1	
			
/2=4	/=/|+‘2"	/=/i+4	
М2=|	J,-3)W|	- /3(/1-Л11+1)	
.. 3 Л,«=Т		1	
/3=2	J = Jt	/=/• + 1	/=/1 + 2
Л12=0	213Л1«—J, (J.4-DJ		
		2Mj) 6 (Ji-Mi |-1)	Г б^.-ЛЬ ( 2) (Л-Л1.+ 1)
Af,= l	(2Af(+l) У 6 (/,-«,)	2(Л-2.М,)	—2 KJ, —/4,4-1
M2=2	ГбСУ,—Л1.) (J, —Af. —1)	-2У7,-Л11	1
а состояние j=l — 1/z, tn есть
(2/+ I)"72
I—m + y)	+(/+« +у) /2Ит+(,/2)р
(А .386)
Другой важный случай — сложение спинов двух частиц. Синглетное (/ = 0) и триплетное (/= 1) состояния записываются следующим образом:
'(о)о =
U—Н|оо)|,(,>в<2,“ = (1//2)(а(1)р(2)-Р(1)а(2)),
531
Приложение А

1111
2 2 2 2
11 а(1)а(2)=а(1)а(2)1
3(<Т)-' =	1 —1) Р(D₽(2) = Р(1) Р (2).
а(°)«=(4тГ-4 ю)а(1)₽(2) + (11-11| ю)а(2)₽ (1) =
= (l/V5)(a(l)P(2)+a(2)P(l)).
Далее, двухчастичные состояния с квантовыми числами SLJM определяются следующим образом:
Ялх = S (SLMsMl\JM)2S+1(v)m ms.	ь
Например,
=Tro,(o)l y’ “	to 3(0)0 Y*+043(o)-*Yl-
e. Сложение трех угловых моментов. Пусть J = J| -f- J2 -J- J3. В этом случае можно образовать два типа состояний, для каждого из которых величина и ориентация J определены. Во-первых, возможны состояния, в которых фиксирована величина J12 = J( 4- J2; это следующие состояния:
Л; JM) = ^(J^J3Mi2Mi\JM)\Jl2Mi2)\J3Mi). (А.39а)
Ms
Альтернативно можно взять состояния, в которых определенной величиной является Ji3=J|+J3; тогда
1Л(ЛЛ)Л.; JM) =	(А.396)
Разумеется, состояния | JizA412) и	сами являются сложными,
например
|J.sM|2)= 2(ЛЛМ1Л<аМиЛ<и)|ЛМ,>и1М1>.
Mi
Один класс состояний, скажем с фиксировании Jt2, можно выразить через другой, с определенным J(3.
Коэффициенты перехода называются ^-функциями Рака:
I (JJM Jt\ JM) = 2 W(JtJ2JJ,-, JM x
j2s
X l(2Ju+ 1)(2JM + 1)],/г|Л (J2J,)J„; JM).	(A-40)
В сущности ^-функции есть то же самое, что и ^-символы Вигнера, определенные следующим образом:
(J ,2}=	l/,+J2+J,+JlV’ (JlJ2JJ3-, JM. (А.41)
Не является неожиданным, что WZ-функции появляются при обсуждении одночастичной модели, в угловых корреляциях и в дифференциальных сечениях реакций, включающих три угловых момента. Однако, поскольку в тексте математические детали таких вычислений не показаны, мы не будем приводить различные соотношения ортогональности для коэффициентов
Угловой момент, сферические тензоры, матрицы Дирака	535
Рака или все их связи с коэффициентами Клебша — Гордана. Мы просто приведем одно выражение для № и дадим определения функций Z и F которые используются в некоторых разделах теории угловых корреляций:
W(JtJ2JJ3-,Jl2Ju) = S (-1)®+тх
все М
I	| / Ji Ji Ju | I JlJz>J ]| JtiJ'jJ ]
M12/ Mu) \MiMu-M) \М1гМ»-М) =
= 2 x|(2ZI2+1)(2J„4-1)]"'/2(2J+ 1)_,(./1J1M1M2|./12AMX
X (JtJ»MtM3 |/»A4«)(A2J,M12A4,1 JM)(JJoMtMn| JM).	(A.42)
где S равно 2Jt, a T равно Лг —А412-(-J2S —/М23. Для случая целых L и L' определим
Z(LJLJ'; /X) = i,/-Lrb,[(2L+ 1)(2L'+ 1) (2J + 1)(2J'+ I)]7» X
X (LL'OO |X0)IF (LL 'JJ'- X/),	(A.43)
Ft(LL JtJ 2) = (- l/1"1'2** [(2L + 1) X
X (2L + 1)(2Ja + l)l,/2(LL'l — 1 \M))\V(LL JtJ2\ XJ,).	(A.44)
§ 2. Сферические тензоры
а. Матрица вращений. Весьма важно иметь возможность связать волновые функции, относящиеся к одной системе координат, с волновыми функциями в другой системе координат. Вращение, переводящее одну систему координат в другую, удобно характеризовать углами Эйлера (0, Ф, Ч'): поворотом Ф вокруг первоначальной оси г, за которым следует поворот 0-вокруг новой оси у, а затем поворот Чг вокруг третьей оси z1). Повороты отсчитываются против часовой стрелки, т. е. они правовинтовые. Наиболее часто встречающийся в этой книге пример — преобразование от фиксированных в пространстве осей к осям, связанным с телом (ядром).
Состояние с заданными угловым моментом и его z-компонентой имеет волновые функции, преобразующиеся определенным образом при вращении осей. Пусть (0, Ф, У) — эйлеровские углы, которые переводят оси (х, у, г) в оси (/, 2, 3). Пусть i|VM — состояние с J2 = J (J + 1) и Jt = М, а ф/к — состояние с той же самой величиной J, но с J3= К- Тогда матрица вращений O)J определяется как
Ф/м =	(®> Ф, 'Ю	(А.45)
к
(ср. с формулой (10.13)1. Функции Sb1 составляют унитарную матрицу, так что можно записать обратное соотношение
= Ъз&к (0, Ф, Y) ф/м.	(А.46)
лг
*) Эти углы Эйлера отличаются от определенных, например, Голдстейном в «Классической мехаинке> |6] тем, что поворот производится вокруг новой оси у, а не новой осн х.
536
При j о же н и е Л
Соотношения унитарности имеют вид
(А.47а) м
2.S&кЯмк = **ш •	(А.476)
к
В литературе существует большая путаница в точном определении ^-функций, возникшая вследствие ряда причин: различные углы Эйлера, вращение почасовой стрелке или против, обмен ратями между zt> и ^*, произвольный выбор фаз — все это дбъясияст ряд разночтений. Применяемое нами определение ^-функций совпадает с обычно используемым в коллективной модели. Оно не совпадает ни с одним из используемых в стандартных работах по угловому моменту (в частности, в работах Эдмондса 16], Роуза (7], Вигнера 181). Дадим для удобства связь между нашими г/-функциями и ^-функциями указанных авторов1)
= iK~u3 JMK	(Эдмон дс),
= iK~M3)JUK	(Вигнер),
(Роуз),	(А.48)
=	-к (Роуз).	♦
Мы записываем
= iK~ме'Мфе1кч'(0),	(А .49)
где
djK (Я) _ у (_ O.IU+М)! (7-Л01 (/+ю, U—ЮН х
,	(j—М—S)I(J + K—$)1з!(Л4 —к + s)!
(Q\2J+K-M-2t (	0\2»+М-К
cos-^-l	Isin-y) .	(A.50)
Наши dJMK совпадают с использованием Эдмондсом и Вигнербм и отличаются от используемых Роузом на множитель (—1) ',-к. Легко доказать следующие соотношения симметрии для d-функций:
<Йгк(0) = (-1)""К <v.-k(0),	(А.51)
Лк (в) = (- 1)М-К dJKM (0),	(А.52)
4гк(0) = 4-м(-0),	(А.53)
dJyIK (л- ©) = (- l/-"^, _к (0) = (- 1)J+K dJ_MK (0).	(А.54)
Кроме того,
dflK (0) = дмк. di,K (л) = (- 1/-мбм>_к.	(А.55)
Используя формулы (А.51)—(А.53), легко видеть, что
S&- (0, Ф, V) = (- 1)К-Лг^<м,-к (0, Ф, П	(А .56)
З'мк (~ 0, -Ф. -'П = ЯЪ'к (©. Ф, V). ,	(А.57)
*) Следует предупредить читателя, что каждый из этих авторов использовал различные определения, по крайней мере в одной из своих собственных ранних книг или докладов; эти ранние работы также указаны в литературе.
Угловой момент, сферические тензоры, матрицы Дирака	537
Доказательство того, что 3^к есть волновая функция углового момента с собственными значениями J2, Jz, J3, дано в работах |7| и |8р).
Теперь можно вывести формулы (10.26), которые описывают результат определенных изменений осей тела. Пусть Rt означает вращение на 180J вокруг оси /. Оно может быть достигнуто вращением сначала на л вокруг оси 2 и затем на л вокруг новой оси 3. Тогда новые оси, скажем 2', 3’, связаны с осями (/, 2, 3) углами Эйлера 0 — л, Ф = 0, Чг = 0. Если Фук — волновая функция с J3 =	— волновая функция с J3- = К',.
то нз (Л.45) следует, что
Фук- =	(л. 0. л) ф7К.
к
Но если (0, Ф, Чг) и (О', Ф', ’F') — углы Эйлера осей (/, 2, 3) и (/', 2', 3') соответственно по отношению к осям (х, у, г), то
Фук - Мк (0, Ф, V) и ф}к. = 3)JMK. (0 ' Ф ', ¥').
Таким образом,
Ямк- (О'. Ф'. 4' )= Мк- (л, 0, я)з£к(0, Ф, V). к
Но из (А.49) и (А.55) следует, что
Хк'(л, 0,л)=(-1/+Л 6к,-к-. откуда
Мк<(0',ф'. Ф')=(-1/'г^,-к.(е,ф, П
Другими словами, результат действия Ri на ^мк (это действие переводит З-мк в штрихованную систему) состоит в следующем:
R^mk = (— 1/-к М-к •	(А-5»)
Этот результат можно также получить, заметив, что ф'==Ф4-л, 0' = л — 0 и 4х' — 2л — Y. Тогда можно использовать (А.54) и показать, что Ri^>3iK — &мк (л — 0, Ф + л, 2л — Чг) удовлетворяет соотношению (А.58). Итак, действие Rt состоит в переворачивании осей 2 и 3, которое, как ясно из (10.19), нс изменяет величины ядерного параметра у. Поэтому в (10.25)
*^ = /(0) £’ gK(Y)(-l)J’K^M.-x. к --J
Волновая функция, симметричная относительно Rlt есть, очевидно, 'F+/?(lF; ясно, что для этого решения (10.26а), очевидно, удовлетворяется.
Вращение на 90° вокруг оси 3, определенное как R2, просто заменяет Чг на Т 4- л/2, и
RiS>mk = е,Кя/23&1к.	(А .59)
Вращение Ro меняет местами осн 1 и 2, а из формулы (10.19) ясно, что это эквивалентно замене у на —у. Таким образом, получаем уравнение (10.266) прн условии, что /?2VF = 'F.
Подобным же образом, определяя R3 как циклическую перестановку осей, найдем, что R3 эквивалентно вращению Ф = 0, 0 — л/2, Чг = л/2, 4
4 В первой работе произошла досадная опечатка: перепутаны М и К..
538
Приложение А
и поэтому
Rs3)mk =2Х’к (у. О, у)	(А.60)
что приводит к (10.26в).
Важным частным случаем является ^-функция с нулевым индексом; это—сферическая гармоника вида
2>мо(е,Ф, ЧП-Iм
——'j 2г"(б, Ф), 2J + 1/
(А .61 а)
&J0li (0, Ф, 40 - iK
4л
2J + 1
*/г и
Yj (6, V).
(Л.616)
Из этих результатов следует теорема сложения сферических гармоник. Если определенный вектор v имеет полярные углы (0, ф) относительно осей (х, у, г) и (О', <р') относительно осей (/, 2, 3), то соотношение (А.45) означает, при нашем выборе фаз, что
Г'УГ (О', ф’) = 2 im'^m(О, Ф, 40У?(0, ф).	(А.62)
т'
Для т = 0 это эквивалентно
A(cos0') = [	^УГ’(0,Ф)УТ' (0, ф).	(А.63)
* 1 / т'
Так как (0, Ф) — полярные углы осн 3 относительно осей (х, у, z), а 0'— угол между осью 3 и V, то формула (А.63) есть теорема сложения для полиномов Лежандра от угла между двумя векторами, а именно между только что названными v и осью 3.
Следующие соотношения, которые можно вывести из формул (А.45) и (Л.46), остаются справедливыми для ^-функций в любом из пред- « ставлений (А.48). В этих соотношениях все ^-функции имеют одни и те же аргументы (0, Ф, Чг):
^\К1^2к2^ 2 3>ilK(JlJ2MlM2\JM)(JlJ2KiK2\JK), (А.64) J, м, к
2 S	(А.65)
Mjkt лггк2
AfplfgM з
(А.66)
Нормировочный множитель для равен [(2J -ф 1)/8л2],/г
8л2
l(2J1 + l)(2J24-2)]*/2j
О
2л sin QdQ t/Ф X • о
2л
X </ЧГЯ*ЛГ1|Т1^М2К2=вм1М2^К1К2вт1/2> о
(А.67)
Угловой момент, сферические тензоры, матрицы Дирака	539
Формулы (А.67) и (А.64) дают
J ^м1К1^м\кг^мзКз^п 6d6dO)d4f =
= 6ГТ"1	(А.68)
•	3 ' 1
С помощью А.61 отсюда можно получить
J У/7‘(0. ф)^?(0, v)y£J(0,<p)sined6dq) =
= (2/i	(А.69)
б. Сферические тензоры. Сферический тензор ранга п определяется как совокупность (2/i-f-1) величин 7^(р=—л, ...,«), которые преобразуются при вращении осей таким же образом, как матрицы углового момента. Символически
Tt (с') =- 2 7* (с) Д,(Q),	(А.70)
и
где с и с' указывают две различные координатные системы, в которых определены величины, а аргумент Q в &п представляет углы Эйлера, переводящие с в с’.
Любой векторный оператор Лх, Аи, Аг можно записать как сферический тензор первого ранга с помощью определения
Ttl=+2-',4Ax±iAu), 77 = 4,.	(А.71)
Скалярный инвариант есть тензор нулевого ранга.
Все тензорные операторы, относящиеся к данной системе, удовлетворяют одним и тем же перестановочным соотношениям с полным угловым моментом системы:
М±, 7*] = [n(n-r 1)—р(р +1)Г/г7’й±1,	(А.72а)
7*| = рП.	(А.726)
Фундаментальное свойство сферических тензоров выражено теоремой Вигнера — Эккарта, которая дает простое соотношение для матричных элементов между состояниями с различными ориентациями момента:
<т J 'М‘| T*\xJM) = (т 7 '| | 11tJ) (JnMp i J'M ).	(A.73)
Левая сторона этого уравнения есть матричный элемент от Т{* между любыми двумя состояниями; т представляет все квантовые числа, кроме J и /VI. Как указывают обозначения, величина (т'7' || Тп || тJ) не зависит от /VI, Л'Г или р; она называется приведенным матричным элементом и определяется формулой (А.73)1).
Непосредственным следствием (А.73) является следующее важное правило отбора, составляющее основу правил отбора по угловому моменту для электромагнитных переходов и p-распада: тензор ранга п имеет ненулевые матричные элементы между двумя состояниями, только если &J^n и J + J'>n.
’) Определения, принятые некоторыми авторами, отличаются от нашего на множитель (—!)«» (27'4- 1)1/«.
540
Приложение Л
Часто возникает нужда в приведенном матричном элементе самого векторного оператора J:
Сферические тензоры различных рангов могут быть построены из двух тензоров. Пусть Т„, (У* есть два тензора; их тензорное произведение ранга А' есть
V£ = S (nkwNQinUt.	(А.74)
Н.х
Такие произведения тензоров можно встретить, например, в теории запрещенного 0-распада. Если Тп и Uk оба действуют на один и те же динамические переменные, например если оба есть операторы, действующие подобно г и р на одну и ту же частицу, то
(т7'|| V£||TJ)=(-1)J+J'+" 2	|(т'Г||Т»1|т"/')х
X (/'/' || Uh ||tJ)l(2/V + l)(2j" + I)]7».	(A.75)
Однако, если Тп и Uh действуют в различных пространствах, формула более сложна и содержит 9/-символы; такие случаи возникают, когда Тп действует на пространственные, а (У*— на спиновые координаты, или когда Тп и Uk есть операторы, действующие иа различные частицы.
Проиллюстрируем применение формулы (А.75), используя се для вывода соотношения, примененного в (5.2) для получения ядерного магнитного момента. Если А — произвольный векторный оператор, действующий в том же пространстве, что и угловой момент J, то
{JM |Л JJM) = -(A- (JM IJ. А IJM).
(А.75а>
Начнем доказательство этого результата с замечания, что скалярное произведение
J A=—/3 V?,
где У° — тензорное произведение нулевого ранга
Vj= 2(11ц—|1|00)У^ГИ в
Теперь
(JM | Vo I JM) = (У0Л10 | JM) (J 11 VS 11 J) = (J11 V'o 11 J) =
= (-1)27 2 { jVz) (j 11 Ji nJ)(J 11 л*11 J)(2/ +1)1/2=
= (-i)w	(J (j + D)*'2 (j IM, || J) (2 J 4-1),/2.
Можно упростить 6/-символ с нулем
 1>/п1	(-I/"1"1	.
поэтому
(J/M|JA|JA1) = VJ(J+1)(J|M1||J).
Угловой момент, сферические тензоры, матрицы Дирака
541
Но
(JM М21 JM) = (JM |Л° |ЛИ) = (ЛЛ101 JM) (J ||Л, IU) = м  ’
- , (ЛИ. ИЛ
VJ(J+1)
откуда прямо следует (А.75а).
Тензорный характер различных электромагнитных операторов играет важную роль в процессе вывода вероятностей переходов по коллективной модели. Вычисление для тензора первого ранга приведено в гл. 12 (см. (12.24)—(12.28)1; обобщение на тензоры более высоких рангов очевидно. Заметим также, что внутренний матричный элемент [обозначенный через (Х'|Оу|/() в гл. 12] можно записать следующим образом:
(x'JX'IG;\7JK)=(J\Kv\J'K')tiJ' ||G' HxJ) (A.76) (определяя тем самым внутренний приведенный матричный элемент).
§ 3. Матрицы Дирака
В этом параграфе мы дадим сводку различных уравнений для релятивистских фермионов без какого-либо детального обсуждения физических основ. Как предложил впервые Дирак, релятивистскую частицу со спином 1/а можно описать волровой функцией, удовлетворяющей волновому уравнению, линейному относительно импульса. В наших обозначениях гамильтониан свободной частицы выбран следующим образом1):
// = —ар—лф,	(А.77)
а волновое уравнение имеет вид
//ф = £ф.	(А.78)
Величины а н р — матрицы Дирака; р —оператор импульса. Мы Полагаем Л = с — 1, но массу т сохраняем определенной. Энергия Е релятивистски связана с величиной (постоянного) импульса соотношением
£®«т*+р2.	(А.79)
Чтобы уравнение (А.78) соответствовало соотношению
(р24-т2)ф=£2ф,
требуется, чтобы квадраты Р и каждой из трех компонент а были равны 1 и, кроме того, все четыре величины должны антикоммутировать, т. е.
{al,aj} = 2t>ij,	(А .80а) .
( ь Р}=0,	,	(А.806)
Р*= 1,	(А.80в)
где {А,/?} = ВА. Для того чтобы четыре матрицы удовлетворяли соотношениям (А.80), они должны быть по крайней мере четвертого
*) Используется также противоположный знак; тогда значение отдельных компонент . ф изменяется.
542
Приложение А
порядка. Возможны различные явные представления, но мы выберем
"“(° о)-	(А'81)
где о представляет три спиновые матрицы Паули (2x2), а 1—двумерная единичная матрица. В явном виде
(О 0 0 1\	/100 0 \
О 0 1 О I | О 1 О О I
О 1 О О Г	р I о о —i о г
1 0 0 0/	\0 О О — 1/
Введем также четырехрядную спиновую матрицу, по-прежнему обозначаемую через о:
например,
(О	—i	0	0	\
(	0	0	0	1
О	0	0	—(	I
0	0	(	0	/
Эти матрицы интерпретируются как операторы спина в релятивистских вычислениях. Тот факт, что матрицы являются четырехрядными, предполагает, что волновая функция ф должна иметь четыре компоненты. Как две компоненты волновых функций спина а = (J) и 0 = (?) связаны с двумя состояниями спина, так и четыре компоненты ф имеют физический смысл. Этот факт легко проиллюстрировать, рассматривая четыре волновые функции:
Выбирая в качестве Е положительный квадратный корень уравнения (А.79), легко видеть, что
Яф^Еф1,	Нфп = Ефп,
ЯфП1 = —Еф111,	Яф|у = -Еф,у,
= <	М11 — МШ=“ФШ, <тгф1у = —ф1у.
Очевидно также, что все ф-функции описывают состояния с импульсом р вдоль оси г. Мы видим, что в состояниях I и 111 спин частицы направлен вверх, а в состояниях 11 и IV спин направлен вниз. Все состояния есть состояния с определенной энергией; состояния I и 11 имеют положитель-
Угловой момент, сферические тензоры, матрицы Дирака	543
ную энергию, а состояния III и IV — отрицательную. Имеются более удовлетворительные способы связать состояния, имеющие отрицательную энергию, с античастицами, но в гл. 15 мы описали дырочную теорию, интерпретирующую отсутствие электрона в состоянии 111 как позитрон с энергией Е, импульсом —р и спином, направленным вниз, а отсутствие электрона в состоянии IV — как позитрон со спином, направленным вверх. В нерелятивистском пределе импульс р стремится к rnv, а Е переходит в т. Тогда спинорная часть ip1 стремится к
в то время как фн дает
В обоих случаях первые две компоненты ф малы по сравнению со следую* щимн двумя, и если пренебречь и по сравнению с с, то в нерелятнвисгском пределе векторы ф просто пропорциональны спинорам Паули а и 0. В том же пределе для решений с отрицательной энергией первые дйе компоненты велики и стремятся к спинорам Паули. Тогда каждую компоненту спинора 4>i\
Ф» I Фз I
W
можно наделить физическим смыслом, по крайней мере в церелятивистском пределе: ф( есть амплитуда частиц со спином «вверх» и отрицательной энергией, ф2— амплитуда частиц со спином «вниз» и отрицательной энергией, ф3— амплитуда частиц со спином «вверх» и положительной энергией, ф* — амплитуда частиц со спином «вниз» и положительной энергией. Когда состояния с отрицательной энергией интерпретируются как античастицы, значения спина меняются на противоположные. Волновые функции, данные здесь, являются собственными функциями ог. В 0-распаде более важны состояния с фиксированной спиральностью, данные в задаче 1 после гл. 15. Для многих целей удобно писать уравнение Дирака в более симметричной форме. Если использовать координаты х)( х2, х3 и х* = ict, то зависящее от времени уравнение Дирака /7ф = idty/dt можно переписать в виде
У -------ш)ф=0,
где ул = — 1сц0,	k =1,2,3,
Y«=₽-
Матрицы у антикоммутируют
(Yu. Yv}=26Hv
(А .84)
(А.85)
(А.86) ‘

544	[Приложен и е Л
Введем также важную матрицу
Y6 = YiY2Y3Y4 = —	(А.87)
которая удовлетворяет соотношениям
Y»=J. (Ys, Ym}=P, [у#,а*] = 0.	(A.88)
В нашем представлении
о*)-	(А-89)
Кроме того,
a = <Ц'з. ® = <*Y»	(А .90)
и
[о, yJ = 0.
Стедует отметить, что для у используется несколько различных представлений. Некоторые из нйх, естественно, возникают, если сохранять координату действительной и различать контравариантные и ковариантные векторы; тогда уравнение (А.84) выглядит несколько иначе. Во всех представлениях перестановочные соотношения одинаковы. В используемом нами представлении у-матрнцы эрмитовы, так же как а, а и р.
Если релятивистский фермион можно рассматривать как движущийся в потенциале V (г), то уравнение Дирака для него имеет вид
(—ар—тр+К)Ф = £’|>-	(А.91)
Если V — центральный потенциал, то, как легко проверить, следующие операторы все коммутируют друг с другом: энергия /7, полный угловой момент j2 = (1 + s)2, его z-компонснта и оператор
H = p(ffl + 1),	(А.92)
который имеет два собственных значения
х=±(/+у).	(А .93)
Удобно определить величину
f(x)=|x| + y(Sx-l).	(А.94)
где Sx = x/|x|. При релятивистских скоростях орбитальный угловой момент не является интегралом движения, но / (х) можно рассматривать как его значение в нерел яти висте ком пределе.
Теперь можно разделить радиальную и угловую части ф, что весьма удобно в рассуждениях, существенно опирающихся на поведение углового момента. Собственные функции операторов //, j2, /г и х имеют вид
(Е’Г)- W. Drffl) )•	(А ’

Угмзой момент, сферические тензоры, матрицы Дирака	545
где Х±х (/) — Двухкомпонентные спиноры, описывающие состояния с собственным значением /:
/ j \	/4 +Л
Х? = 2	‘	.	(А.96)
•*-±0/1)'	'	\2-,7
Радиальные функции /х и gx действительны и являются решениями системы двух уравнений первого порядка:
(£_V+m)f-^-(x+l)-^=0,
(А.97)
(Е - V - т) g + -JF - (х - 1 j L = 0.
Эта система имеет два линейно независимых решения: одно — регулярное в начале координат, другое — сингулярное. Если V — кулоновский потен-, ннал —Ze-1г для электрона в поле точечного ядра, то вычисление проводится непосредственно. Роуз [91 дает для этих релятивистских кулоновских функций регулярные решения, нормированные следующим образом:
$ г^Н/х(Е')/и(Е) + ях(Я')Ях(Е)} = й(£'-Е).	(А.98)
так что	•
J dr ф? (Е) фс (Е) = йхЧд (Е—Е),	(А .99)
где верхний индекс Н означает эрмитовское сопряжение, а т включает все квантовые числа, кроме энергии. Эта нормировка соответствует одной частице на единичный интервал энергии во всем пространстве. Асимптотика имеет следующий вид:
. l/E-mV'* ...
/х ~--- ----- Sin (рг + бс),
' \ пр /
,	х*/2	(А.100)
1 /Е+т\ ,г .
gx—-------- cos(pr-f-6e),
r \ пр )
где р — асимптотический импульс (Е®— m2)1/», a Sc’— кулоновский фазовый сдвиг
. aZE. „	„/ , .aZE\ . л
6<- =--1п2рг—argr у-Н— |+п—s-Y.	(А.101)
Р	\ Р /	2
у = х2—aZ2,	(А. 102)
и
ехр(2й]) = —Х~<0С^(АЛОЗ) у 4- ia.ZEip
Сингулярное решение получается введением произвольной постоянной фазы в аргументы тригонометрических функций в соотношении (А. 100). Внутри ядра ненулевого радиуса решения не будут кулоновскими функциями, но вне ядра они будут линейными комбинациями регулярной и сингулярной функций, хотя нормировка изменится.
35 Заказ № 37
546
Приложение А
Решение для Z = 0 дает собственные функции углового момента свободной частицы. Это решение записывается следующим образом:
.	_ /£—т\'/а .	. .
1н = -Ьх --- PlK-ri (РО,
\ ЯР I
(Е+т\ /г . , .
£х= ----- РПм(рг),
\ пР /
(А.104)
где / — сферические функции Бесселя. В p-распаде функции (А. 104) используются в качестве приближенных электронных функций для малых Z, а при Е = р, т — 0 они являются функциями нейтрино. Полезно выразить малые компоненты функций положительной энергии через большие компоненты. Если положить
Ф=	(А.105)
\Фг /
где ф, и фг — двухкомпонентные спиноры, то можно переписать уравнение (А.91) в виде
(<г-р)фг—(£+«—У)ф«==О,	(А.106а)
(ст-р)фа—(£—/л—У)Фг —0,	(А.1066)
где ст —двумерный оператор спина. Это точные уравнения; для них ф, = (£ + т — V)" ‘ст  рф,.
В случае низких энергий введем нерелятнвистскую энергию W — Е — гп, и поскольку № и V <g т, в пределе получается
ф1 = ——ст-рф/.	(А.107)
2т
Используя равенства (А. 107) и (стр)3 = р*, видим, что уравнение (А. 1066) переходит в обычное уравнение Шредингера для большой компоненты:
\2m	/
Рассмотрим матричный элемент оператора а между двумя состояниями:
фнаф= ф?'стф, + ф<нстф,->(2/п)-’ф7/ {ст• р, ст) ф{ = ф?1	ф,. (А. 108)
Следовательно, если мы работаем с нерелятнвнстскимн волновыми функциями, напрпмер с используемыми в матричных элементах при описании ядерного Р-распада, то мы должны заменить а на р/т. Этот факт широко используется в гл. 15. Аналогично, нерелятивистскнй предел р есть —1.
ЛИТЕРАТУРА
1.	С о п d о n Е. U., S h о г t 1 е у G. Н., The Theory of Atomic Spectra, London, 1935. (Имеется перевод: E. Кондон, Г. Шортл и, Теория атомных спектров. ИЛ, 1949.)
Формулы коэффициентов Клебша — Гордана для J3=i/2, 1, з/2> 2.
Угловой момент, сферические тензоры, матрицы Дирака	547
2.	F а 1 к о f f D. L., Н о 1 1 a d а у G. S., S е 1 I s R. Е., Canad. Journ. Phys., 30, 253 (1952). .Формулы коэффициентов Клебша — Гордана для Уз=3.
3.	М е I v i n М. A., S w а ш у N. V. J., Phys. Rev., 107, 186 (1957).
Формулы коэффициентов Клебша — Гордана для /з=®/2.
4.	S i m о n A., Numerical Table of the Clebsh — Gordan Coefficient, USAEC, Report ORNL-1718, 1954.
Коэффициенты Клебша — Гордана даны в виде десятичных дробей для любых J <°/2. (См. перевод в сб. «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1959.)
5.	Rotenberg М., Bivins R., Metropolis N., Wooten J. К., The 3 - / and 6 - j Symbols, Cambridge, Massachusetts Institute of Technology, 1959. Все коэффициенты Клебша — Гордана co всеми тремя J < 8 даны в виде рациональных дробей.
6.	Edmonds A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, 1957. (См. перевод в сб. «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958.)
7.	R о s е At. Е., Elementary Theory of Angular Momentum, New York, 1957.
8.	W i g n e r E. P., Group Theory and its Applications to Quantum Mechanics of Atomic Spectra, New York, 1958. (Имеется перевод: E. Вигнер, Теория групп. ИЛ, 1961.)
9.	R о se М. Е., Phys. Rev., 51, 484 (1937).
10*. Ю ц и с А. П., Левинсон И. Б., В а н а г а с В. В., Математический аппарат теории момента количества движения, Вильнюс, 1960.
11*. Г е л ь ф а н д И. М., М и н л о с Р. А., Ш а п и р о 3. Я., Представления группы вращений и группы Лоренца, М., 1958.
12*. Любарский Г. Я., Теория групп и ее применение в физике, М., 1957.
13*. В а у m а п В. F., Some Lectures on Groups and Their Applications to Spectroscopy, Copenhagen, 1957. (Имеется перевод: Б. Ф. Б е й м а и, Лекции по применению теории групп в ядерной спектроскопии, М., 1961.)
35»
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
§ Г. Радиальные волновые функции
В случае рассеяния двух частиц волновое уравнение для радиальной функции вне области ядерного взаимодействия имеет вид
——!£±1Ли = 0,	(Б.1)
dp \ р е /
где
.	, mu	Z^Z^e2	_
o — kr, k = —, П=—-----,	(Б.2)
. ft	hv
• I ' •	•	.	I	,	V
а такие величины, как приведенная масса, относительные скорости и т. д., определяются в системе центра масс. Легко проверить непосредственным дифференцированием, что для о стать больших, что можно пренебречь р'! по сравнению с единицей, уравнение (Б.1) удовлетворяется функцией и в виде синуса или косинуса от аргумента вида (р — ц In р 4- const). Константа выбирается так, чтобы sin (р — ц In р 4* const) была асимптотикой регулярного при р = 0 решения уравнения (Б.1). Это уравнение есть вырожденное гнпсргеомстрическое уравнение хорошо изученного типа; мы только приведем результаты. Если хотя бы одна частица нейтральна, то т] = 0, и мы приходим к уравнению Бесселя.
Обозначим регулярное решение уравнения (Б.1) через Ft; оно определено требованиями, что F, (0) = 0 и что его асимптотические осцилляции имеют единичную амплитуду. Тогда можно показать, что
Fi ~sin[ р—т]1п2р—„/я 4-0/1,	(Б.З)
где
о/= arg Г (/4-1 +й|) = <*о+2] arctg^-.	(Б-4)
В качестве другого независимого решения выбираем такое, асимптотика которого сдвинута по фазе на л/2:
G/^cos^p—i]ln2p—у/л4-0/^ .	(Б.5)
Тогда вронскиан имеет вид
dFi	dG,
Gi----?/— = !.	(Б.6)
dp	dp
Некоторые результаты, используемые а теории рассеяния
549
Можно дать полные ряды разложения вблизи р = 0, но мы просто отметим, что Ft — ряд по возрастающим степеням ц, начинающийся с члена р'+>, a G( состоит из двух рядов, один из которых начинается с члена P~z, а другой — с pz+l и множится на In 2р. Для 1 = 0
Fo(Q)-Coe(l+nQ+.. ),	(Б.7а) •
Go(e)=i-U+2iiQ(ln2ne + 2Y-l+/i(n)) + . • .1,	(Б.76)
Со
где
С3 = 2лт][ехр(2пг|)—1]“‘,	(Б.8а)
у = константа Эйлера = 0,57722 ...,
Мп) = +У . Л , —Inn—Y-п(л +п) п=!
Для />0 поведение при малых Q определяется формулами:
Gl =------Q
(2/+1)С/
где
1 Z /	\ *^2	/	1	\
С|=Со---------П П+Л	=2'ехр[ — —лц]
(2/+1)1!Д±,\	s2/	\ 2 )
|Г(/+1-Нп)1 (2/+1)1
и
(2/+1)1! = 1-3-5 ... (2Z+ 1).
В системе обозначений, использованной в гл. 16, сходящиеся холящиеся кулоновские волны берутся в виде
Ii = е Z(GZ—if,) ~ехр — iI Q — nln2p—
0/= е
1 (G, + iFi) ~ехр i [ р —nIn 2q—4- /л + о0
(Б .86)
(Б.9а)
(Б .96)
и рас-
СБ. 10а)
(Б. 106)
Для незаряженных частиц функции Ft и Gt заменяются на сферические функции Бесселя /((р) и /п(р):
G/-*-—сМе)-	(Б. 11)
В свою очередь, эти функции Бесселя ведут себя следующим образом:
MQ)~e“‘sin((?—^-/л «Ле)----q“‘cos(q—^1л
„ dh : dn> _ 1 1>-J------------j-
ap ap p
(Б.12а)
(Б.126)
(Б.13)
550
Прил о ж е н и е Б
При малых г
/,=
1______
(2/+1)1![	2 (2/ |-3)
(2/—1)!! е'+*
1 +---?----+ . . .
2(2/—1)
(Б. 14а)
(Б.146)

‘Сферические функции Бесселя связаны с функциями Бесселя соотношениями
(Б. 15а)
Ме)=(-1)‘
Сходящаяся волна имеет вид
Л = — jq/iP’ (g) = — i q (jt — ini) ~ехр — i I q—
(Б. 156)
(Б.16а)
а расходящаяся —
Oi = iq/iP (q) = iq (jt + ini) ~exp
1 .
Q-y/«
(Б.166)
где мы ввели сферические функции Ханкеля Л)1’ и Приведем явный вид
. . . sing	COSQ
/□(q)=-q5. Ме) =-------q-;
... sin о cosq , . coso sing /i(q) = —г----•	«i(Q) = —	------
q e	ее
Функции Ft и Q]'t начинают возрастать при малых q как qi+1, затем увеличиваются быстрее и после точки q = т) + (П4 4-/(/+1)11/г они осциллируют, причем период и амплитуда осцилляций постепенно стремятся к асимптотическому виду.
§ 2. Формула эффективного радиуса!)
Рассмотрим s-рассеяние протона на протоне. Радиальная функция в системе центра масс определяется уравнением
(Б. 18)
dr \Rr )
где R= = Ъ*/Ме9, как и в уравнении (2.50), а V(г) есть ядерный потенциал, умноженный на (М/Ъ2). Запишем такое же уравнение при
*) Ниже автор излагает так называемое «приближение, не зависящее от формы потенциала». Основные результаты этого раздела (соотношения (Б.26), (Б.27)] были впервые получены Ландау и Смородннским 1ЖЭТФ, 14, 269 (1944)].— Прим. ред.
Некоторые результаты, используемые я теории рассеяния
551
другой энергии:
+ V(r)'\u2=-kI2u2.
(Б. 19)
Если умножить (Б.18) на и,, (Б. 19) на ut, вычесть их друг из друга и проинтегрировать от г до г’, то получим
dut	du2\
и2------ut —
dr	dr r
= (^2—Л?) \ utu2dr.
(Б.20)
Обозначим асимптотику и через ф; тогда ф удовлетворяет уравнению (Б. 18) без V (г), что совпадает с кулоновским уравнением. Аналогичная процедура дает
(Ф^'-Ф,^ ' = $-#) ? V1V2dr.	(Б.21)
\ dr dr / r	J
Вычитая (Б.20) из (Б.21), получаем
ф2ф| — ф|ф2— U2U[ + UtU2
= (*2— $)	(ф1ф2—и ah) dr.
(Б.22)
Теперь выберем предел г' настолько большим, что и (г') достигала своего асимптотического значения. Тогда верхний предел левой части (Б.22) равен нулю, а так как подынтегральное выражение справа исчезает при г >г', то можно записать
00
(фгф| — ф(ф2— Ы2<О + «1«2)г= (^2— &|) \ (ф|ф2 — UtU2)dr.	(Б.23)
Поскольку «| и и2 — физические решения, они исчезают при г = 0. Так как Ф является одновременно решением кулоновского уравнения и асимптотикой для и, мы имеем
Ф ~sin(Q— K]In2e + <Jo + fi).
где б — ядерный фазовый сдвиг. Коэффициент пропорциональности определяет нормировку волновой функции, но, очевидно, в уравнении (Б.23) он сокращается. Поэтому выберем
ф| = Cot IGO(V) + ctg6Fo(Ml-
Определения (Б.7) показывают, что при стремлении г к нулю ф стремится к единице. Поэтому при приближении г к нулю в (Б.23) проблемы сходимости интеграла не возникает. Кроме того, нам требуется производная ф в области малых г. Снова используя (Б.7), найдем, что
ф'< =
d(fi dr
In—+ 2у R
+ 4-/,(’li)+CoUiCtg6b
<\
1
R
Поэтому при стремлении г к нулю (Б.23) переходит в следующее соотношение:
4- 1ЛС12)-Л(’||)1 + C&»ctg62- C^ctgdi = R
= (kl— rf) \ (ф!ф2—ЦЩг)^.	(Б.24)
о
552
Приложение Б

Устремим ki к нулю и введем
•	—а7‘=limC^ctg6 + -^/i(i]).	(Б.25)
А-*0	К
что является обобщением соотношения (2.30). Теперь можно переписать
(Б.24) следующим образом:
C02ictg6 + ^-)=——- + £ f (ффо—uue)dr.	(Б.26)
ap 3
Это уравнение является точным; приближение эффективного радиуса, т. е. формулу (2.51), мы получим, определяя
го=2^(<ро—t£)dr,	(Б.27)
О и замечая, что для низких энергий <р(*: г) = фо (г) 4- 0 (k2).
Вывод формулы эффективного радиуса в более простом случае нейтрон-протонного взаимодействия представляется читателю.
§ 3. Вывод сечения рассеяния протона на протоне
Для частиц, падающих вдоль оси z, полная волновая функция имеет вид
ф = ^с^и, (г) Р, (cos 0),	(Б.28)
где ui удовлетворяет уравнению
£-4». +кИ-ВДк-о. dr [кг	г |
Вне ядерного потенциала Ui есть линейная комбинация кулоновских функций Ft и Gi, так что
uz(r) ~sin(fcr—1]ln2fcr—^-/л + oz + fy) ,	(Б.29)
где 6(— изменение фазового сдвига, обусловленное потенциалом V (г). Отметим, что б( не равно фазовому сдвигу, который V (г) вызывал бы в отсутствие кулоновского потенциала.
Коэффициенты Ci в (Б.28) должны быть выбраны так, чтобы в падающем пучке имели место только входящие волны. Наличие кулоновского взаимодействия несколько усложняет задачу, так как плоская волна ехр (ikz) не является решением уравнения
( V34-fc2—-Цф = 0
\ Кг/
Некоторые результаты, используемые в теории рассеяния	553
даже при больших г. Однако дифференцированием можно проверить, что ехр I [kz + т] In k (г—z)l с точностью до членов порядка 1/г2 является решением при больших г. Это выражение определяет кулоновскую искаженную плоскую волну, можно показать, что
ехрх[/ez4-T)lnЛг(г— г)] ~у (2/+	х
t=o . < »
Xsin^r—1]1п2Лг—^-/л^ Pz(cosO).
Следовательно, если в (Б.28) положить q = (2/ + 1) Л"1 Рехр i (6J- oj, то
ф=ехрх[&?+т]1пЛ(г—?)] — /(0)у ехр j(£r— rjln26r),	(Б.30)
где ,
/(0) =---Ly (2/+l)k2'(e'+<’,)— l]P((cos0).	(Б.31)
2ik^
i-o
В случае чисто кулоновского рассеяния (fij = 0), исходя нз свойств кулоновских функций1), можно показать, что амплитуду /(0) можно просуммировать по I, что дает
g /е(0) = _	cosec 2vexp
4k К z
0
—2xT|lnsin-2-4-х'л-j-2x‘cr0 .
(Б.32)
Следовательно, / = fe + fN, где, как и в (5.27),
1	2ia. 2М;
fn = ~^(2l+\)e (е — l)P,(cosO).
2ik "
Чтобы определить протон-протонное сечение, нужно учесть тождественность двух частиц. Перестановка пространственных координат эквивалентна замене 0 на л — 0. Поэтому для синглетных спиновых состояний пространственную волновую функцию следует взять в виде
ф(г, О)-Ьф(г, л—0), а для триплетных состояний —в виде
ф(г, 0)—ф(г, л—0).
Так как четность Pz (cosG) равна (—1)', нз уравнения (Б.31) видно, что эти комбинации автоматически уничтожают нечетные синглетные и четные триплетные состояния. Волновая функция (Б.30) описывает единичный падающий поток протонов и выходящий поток такой, что за 1 сек поверхность сферы большого радиуса в единице телесного угла пересекают 1/(0) Is частиц. Другими словами, о (0) = |/(0)|2. Поэтому сечение рассеяния в синглетном состоянии равно
|/(0) + /(л-О)|2,
а в триплетном —
1/(0)—/(л—0)|2.
х) См., например, Л. Ш и ф ф, Квантовая механика, ИЛ, 1960.
554
П р и л о жение Б
В экспериментах с неполярнзованиыми пучками отношение весов триплетного и синглетного состояний равно 3 : 1 и, кроме того, их вклады некогерентны. Таким образом, окончательно получаем
2
о(0)=-| /(Э)—/(я—0)
5 1 2
+т Л(0)+/(л—0) =
= 1/(0) 1*+ 1/(я-0) I -Relf (0)/(л-О)1,	(Б.ЗЗ)
что совпадает с формулой (5.25). Можно считать, что первый член описывает прямое рассеяние, второй — обменное, а третий — интерференцию между прямой и обменной волнами. Подставляя выражение / (0) из (Б.32) в результат (Б.ЗЗ), получаем непосредственным вычислением сечение моттовского рассеяния, обусловленное только кулоновским взаимодействием:
стмотт
е2 \ 4Ё/
« 0 .	«0	20	2 0
cosec-jr-j-sec —cosec -x-sec -д-cos
nlntgy
(Б.34)
где все величины определены в системе центра масс.
Легко видеть, что если присутствуют ядерные силы, то (Б.ЗЗ) можно записать в виде
о (0) — пМотт (0) + (0) + °nc (0).	(Б.35)
где Од? (9) (содержащее только ядерные фазовые сдвиги б,) и aNC (0) (содержащее интерференционные члены) определены следующим образом:
<*(0) = \fN (0) Г+ |/х(л-0) I-Rel/; (0) fN (л-0)],	(Б.36)
Ъс (0) = Relfc (0)\2fN (0)-M (л-0)} + fc (л-0) {2/„ (л-0)-/„ (0))]. (Б.37) В качестве упражнения читателю предлагается получить формулу (2.49).
§ 4. Кулоновские эффекты в формулах реакций
Мы даем здесь без вывода обобщения формул (16.35), (16.36), (16.41) и (16.44) с учетом кулоновских эффектов. Полная волновая функция, описывающая падающий пучок и рассеянные волны, имеет вид
‘•г=С.‘д + ^'/2Л-‘ 2(2/ + 1),/2|ехр[21(аа(-оа0)|©а;офан4- 2//<=-, а.^'). i	е
(Б.38) где
ч« 71+. ,** ,) х
Мбх —2а)./
X exp / {kaza + Па In Ла (га — ?а)—аао| —fc (0а) га ‘ехр / X
X (ЛаГа Ца1п2ЛаГа Цао)1>
а ОС' определено с помощью выходящей кулоновской волны, заданной формулой (Б. 106).
Некоторые результаты, используемые в теории рассеяния	555
Дифференциальное сечение рассеяния равно стач»,а’»'|1' dQa- = |4 | dQa-,	(Б.39)
где
А = -e-2'°«ofc(0a)6a.,.ll.,a,(l +	(2/4- l)'/s X
I'm'l
Х и,,<О“{"<’а0’йа.г/-|*‘т-,а./ц0—	КГ (Qa<)-
Опуская бесконечный вклад из моттовского сечения, можно записать полное сечение для процессов as—ta's' в виде
<W'«' = ^7-2 (2J + ОI	(Б.40)
1 ЛГ где
Полное сечение, усредненное по начальным и просуммированное по конечным поляризациям, равно
°ва' = яЛа S ga I 7'а'*Ч',а«И •	(Б.41)
JU'W
§ 5. Длина когерентного рассеяния
Когда очень медленные нейтроны рассеиваются на мишени, асимптотика волновой функции, как показывают формулы (2.28) и (2.30), хорошо аппроксимируется выражением
_1Лг
(Б.42)
г
где а — длина рассеяния. В случае единственного рассеивающего центра это выражение непосредственно приводит к формуле о = 4ла2. Однако если длина волны нейтрона достаточно велика, чтобы захватить сразу несколько рассеивающих центров, то волны от каждого рассеивателя следует сложить, чтобы получить полную рассеянную волну
n	f>ikT
ф.с(г)-------V a(—
£ Г»
(Б.43)
где п — расстояние от i-ro рассеивающего центра до точки г. Длине рассеяния at приписывается индекс i, так как различные центры могут иметь разные рассеивающие свойства. Например, нейтроны могут рассеиваться на мишени из углерода и водорода; даже если мншень содержит только один элемент, рассеяние может зависеть от направления спина ядер мишени.
Рассмотрим этот последний случай более детально. Если ядро мишени имеет спин J, то полный угловой момент J, для s-волнового нейтрона и ядра мишени может принимать два значения Jt = J ± Уг. Поскольку
2sn.J = (sn + J)2-s2„-J2,
556
Приложение Б
то ап J принимает два значения
on-J=J при Л = ^+у.
onJ=—(</+D при Ji = J—у.
Оператор (2J+—ffn J) равен нулю для состояния J -р/г и единице для состояния J — Чг, а оператор (2J + 1) 1 (J Ц-1 +<rn J) — наоборот, единице и нулю. Два состояния Jt могут иметь различные длины рассеяния; обозначим их а* и а_. Тогда, если %—спиновая волновая функция нейтрона и всего ансамбля ядер мишени и если рассматривать интерференцию в такой точке, для которой разница длин пути г,- несущественна, мы можем записать
1*Г	। N
ф,г---------—У l(J-ffn J<)a_ + (J4-l+<y„ Ji)a+]x =
г 27 + 1^1,
X-
Если ввести две длины
Ja- + (J + \)a+
2 J + 1
а+—а_
s 2J+T’
(Б.44а)
(Б.446)
е'Лг
то
----1 л? + £	|Х-г \ Т /
Чтобы получить просуммированный по поляризации поток при рассеянии на большой мишени, нужно взять среднее по спиновым состояниям от квадрата коэффициента при fjeiktlr. Среднее значение SsnJ( для непо-лярнзованной мишени, очевидно, равно нулю, а из перестановочных соотношений для углового момента легко получить, что
Все перекрестные члены для неполяризованной мишени дают в сумме нулевое среднее значение, поэтому
\|Л7+£«П • S J‘|z = ^NJ (J + D- (Б.46)
Так как число атомов N в пределах длины волны нейтрона предполагается достаточно большим, чтобы усреднение было законно, то первый член в (Б.46) доминирует, и рассеяние можно использовать для определения длины когерентного рассеяния /. Этот метод применим к рассеянию нейтронов в кристаллах и отражению нейтронов от изготовленных соответствующим образом зеркал. Как в атомных масштабах коэффициент преломления света
. Некоторые результаты, используемые в теории рассеяния	557
непосредственно связан с длиной рассеяния света на индивидуальных атомах, так и для нейтронов можно определить коэффициент преломления и можно наблюдать отражение и преломление. Показатель преломления п определяется следующим образом:
п2—1= —4ллЛаХ2,	(Б.47)
где п0 — число рассеивающих центров в единице объема, а рассеянная волна определяется выражением (Б.42). Если различным атомам соответствуют разные длины рассеяния, как в формуле (Б.43), то правая часть соотношения (Б.47) превращается в сумму. Можно приготовить различные жидкие углеводные соединения, которые имеют показатель преломления, вызывающий полное отражение нейтронов. Посредством измерения критического угла определяется коэффициент преломления и, следовательно, длина когерентного рассеяния1). Формула (Б.45) одинаково хорошо описывает также рассеяние нейтронов на единичной молекуле; в этом случае N будет маль1м числом и усреднение недопустимо. Исторически важным применением этой формулы было рассеяние медленных нейтронов на молекулах водорода; в этом случае когерентно рассеивают два протона (N = 2), причем рассеяние зависит от того, параллельны или антипараллельны спины этих двух протонов. В последнем случае У, Jj имеет нулевое соб-
i
ственное значение и рассеяние на молекуле определяет /. Этот случай послужил основой самого раннего определения длины когерентного рассеяния для нейтрон-протонной системы. Болес точные значения получены из экспериментов с углеводными зеркалами. Отметим, что для протонных мишеней (Б.44а) дает
.	1	.3
f^-4a~ + ~4а+-
Здесь, однако, нс учитываются эффекты отдачи при рассеянии. Отдача молекулы водорода отличается от отдачи свободного протона, а более тщательный анализ показывает, что длина рассеяния связанного протона отличается от длины рассеяния свободного протона вдвое, так что
a_ = 2at, a+ = 2at,
откуда, в свою очередь, и следует результат (2.46).
*) Описание теоретических основ дали М. L. G о 1 d bе г ge г, F. S е i t г, Phys. Rev., 71, 294 (1947), а обсуждение экспериментов с нейтронными зеркалами имеется в книге D. J. Hughes. Pile Neutron Research, Reading, Mass., 1953.
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Акимова М. К 458
Алага (Alaga G.) 306
Аллеи (Allen J. S.) 369, 408
Альдер (Alder К.) 281, 282
Астон (Aston F. W.) 117
Балдин А. М. 90
Банд (Band I. М.) 276
Банерджи (Banerjee М. К.) 509
Бардин (Bardeen J.) 197
Бартлет (Bartlett J. Н ) 25
Баршалл (Barschall Н. Н.) 476, 478
Батлер (Butler S. Т.) 501
Беляев С. Т. 256
Бете (Bethe Н. А.) 123, 176, 452, 463, 467
Бнденхарн (Biedenharn L. С.) 82, 284
Блатт (Blatt J. М.) 82, 467
Блейр (Blair J. М.) 505
Блин-Стойл (Blin-Stoyle R. J.) 289, 290
Блох (Bloch С.) 425
Бойм (Boehm F.) 369
Бор Н. (Bohr N.) 439, 452
Бор О. (Bohr А.) 203, 209, 217, 254, 293
Бояркина А. Н. 167
Бракнер (Brueckner К.) 129, 174, 176, 181, 183, 191, 479
Браун (Brown G. Е.) 425, 492
Брейт (Breit G.) 39, 106, НО. 458
Бринк (Brink D. М.) 151
Вайскопф (Weisskopf V Е.) 172, 301, 302, 440, 461, 467
Вайизекер (von Weizsacker С. F.) 123
Валецка (Valecka J. D.) 152
Вапстра (Wapstra А. Н.) 115, 125, 127, 381
Ватари (Watary W.) 83
Ватсон (Watson К. М.) 493
Вигнер (Wigner Е. Р.) 123, 425, 449, 485, 490, 506, 536
Вильсон (Wilson R. N.) 48, 49
Висшер (Visschcr W. М.) 396
Вольфенштейн (Wolfenstein L.) 87
Гаммель (Gammel G. L.) 104, 106, 108, 181, 183
Гамов (Gamow G.) 317
Гартенхауз (Gartenhaus S.) 82, 83, 104
Гейгер (Geiger Н.) 43, 314
Гейдеман (Heidemann J.) 467
Гейзенберг (Heisenberg W.) 25, 83, 117
Гелл-Манн (Gell-Mann М.) 372, 403
Гепперт-Майер (Mayer М. G.) 136, 148
Герштейн С. С. 372
Гесс (Hess W. N.) 90
Гленденинг (Glendening N. К.) 509
Гольданский В. И. 90
Гольдбергер (Goldberger М. L.) 557
Гольдстейн (Goldstein S.) 27, 215, 535
Гольдстоун (Goldstone J.) 176
Гольдфарб (Goldfarb L. J. В.) 87
Гольдхабер (Goldhaber М.) 350, 369, 402
Грин (Green А. М.) 111
Гродзинс (Grodzins L.) 369
Грошев Л. В. 470
Гюнтер (Gunter W. D.) 127
Гюрней (Gurney R. W.) 317
Давыдов А. С. 219, 222, 223, 228,. 235
Дейвис (Davis R.) 346
Дейч (Deutsch М.) 369
Джексон (Jackson J. D.) 469
Дирак (Dirac Р. А. М.) 351, 541
Дрелл (Dreil S. D.) 54
Дроздов С. И. 505
Дукворс (Duckworth Н. Е.) 115
Енни (Yennie D. R.) 48
Жолио (Joliot F.) 115, 116
Захариазен (Zachariasen F.) 54
Зейц (Seitz F.) 557
Зельдович Я- Б. 372
Ивадара (Iwadare J.) 82
Иго (Igo G.) 328
Йенсен (Jensen J. Н. D.) 136, 148-
Инглис (Inglis D.) 252
Инопни Е. В. 505
Указатель имен
559
Калос (Kalos М. Н.) 82
Камерон (Cameron A. G.) 131
Карлсон (Carlson В. С.) 59
Керман (Kerman А. К.) 235
Кинсли (Kinsley) 470
Кнсслингер (Kisslinger L. S.) 204
Кларк (Clarke R. L.1 501
Ключарев А. П. 471
Кован (Cowan С. L.) 346, 350
Кондон (Condon Е. U.) 317, 528, 531
Конопинскнй (Konopinski Е. J.) 366
Коэн (Cohen В. L.) 473, 203, 510
Кравец Г. Е. 471
Кумар (Kumar К ) 129
Купер (Cooper L. N.) 197
Курат (Kurath D.) 163, 167, 246, 258, 290, 303
Кюри (Curie М.) 15
Ландау Л. Д. 216, 372, 550
Леви (Levy II. В.) 130
Левинсон (Levinson С. А.) 509
Лейн (Lane А. М.) 157, 168—170, 485,
490, 492, 506
Ле Кутер (Le Couteur К. J.) 469
Лем мер (Lem iner R, Н.) 191, 239, 329
Ли (Li С. W.) 341, 356
Лизерленд (Litherland А. Е.) 248, 259
Линкин (Lipkin Н. Т.) 208
Лифшиц Е. М 2)6
Локетт (Lockett А. М.) 191
Ломон (Lomon Е.) 108
Лоусон (Lawson R. D.) 483
Лукьянов А. В. 458
Людерс (Luders L.) 371
Окубо (Okubo S.) ПО
Осборн (Osborn R. К ) 401
Остерн (Austern N.) 501
Пайерлс (Peierls R. Е.) 111, 425
Паул (Paul Е. В.) 501
Паули (Pauli W.) 342, 371
Перей (Perey F. G.) 510
Перкс (Perks М. А.) 289, 290
Писли (Peaslee D. С.) 57
Пичман (PiCman L.) 246, 258
Портер (Porter F. Т.) 440, 446, 461
Прайс (Price R. Е.) 203
Престон (Preston М. А.) 130
Прут (Prout) 13
Равенхолл (Ravenhall D. G.) 48, 49
Рака (Racah D. G.) 157, 532
Рарита (Rarita W.) 82
Расмуссен (Rasmussen V К ) 329Л334
Резерфорд (Rutherford Е.) 14, 21, 43,313
Рейнес (Reines F.) 346, 350
Рейнуотер (Rainwater J.) 55, 208
Рейтц (Reitz J. R.) 389
Рессей (Rassey A. J.) 245
Родберг (Rodberg L. S.) 507
Розенблюм (Rosenblum S.) 313
Розенталь И. Л. 90
Розенфельд (Rosenfeld L.) 163, 167
Рокмор (Rockmore R. M.) 253
Росс (Ross М.) 483
Ротенберг (Rotenberg М.) 191
Роуз (Rose М. Е.) 275, 276, 278, 284, 401, 536, 545
Руткевнч Н, Я. 471
Рэлей (Rayleigh) 209, 210
Майорана (Majorana Е.) 25, 83, 349
Мак-Грегор (Mac Gregor М. Н.) 98, 100
Мак-Манус (McManus Н.) 501
Манг (Mang Н. J.) 337—339
Марк (Mark Н.) 483
Марсден (Marsden Е.) 43
Маршак (Marshak R. Е.) 104, 106, ПО
Мацумато (Matsumato М.) 83
Менделеев Д. И. 14
Мета (Mehta М. F ) 449
Мигдал А. Б. 256
Морита (Morita R. S.) 402, 403
Морпурго (Morpurgo G.) 305
Мотт (Mott N. F ) 275
Моттельсон (Mottelson В R.) 208, 209, 240—244, 246-249, 293, 295
Мошковскнй (Moszkowsky S. А.) 246, 258, 301
Наттэл (Nuttai J. М.) 314
Немировский П. Э, 140
Нильссон (Nilsson S. G.) 209, 236, 239—
249, 295
Нордгенм (Nordheim L.) 152
Ньютон (Newton Т. D.) 130, 236, 239,
245, 247, 466
Саксон (Saxon D.) 347
Саняр (Sunyar A. W.) 369
Сервер (Serber R.) 93, 163
Сигнелл (Signell Р. S.) 104, 106
Скирм (Skyrme Т, Н.) 159
Слив Л. А, 276
Смородпнскнй А. Я. 550
Соловьев В. Г. 197
Солпетер (Salpeter Е. Е.) 40
Соренсен (Sorensen R. А.) 204
Сыойес (Suess Н. Е.) 136
Тамагакн (Tamagaki R.) 109
Талер (Tl aler R М.) 104, 106, 108
Тальми (Taimi I.) 59
Теплов И. Б. 458
Тобокман (Tobocman W.) 518, 519
Томас (Thomas R. G.)446, 485, 490, 4S2,
506
Томсон (Thomson J. J ) 13, 14
Тэйлор (Taylor H. M.) 275
Уилетс (Wilets L.) 489, 513
Уилкинсон (Wilkinson D. H ) 302, 301,
305, 307
560
Указатель имен
Уинслоу (Winslow G. Н.) 326
Ульм (Hulm Н. R.)275
Фейнман (Feinmann R. Р.) 372, 403
Ферми (Fermi Е.) 136, 341, 353
Фернбах (Fernbach S.) 482
Феррел (Ferrel R. Л.) 396
Фешбах (Feshbach Н.) 82, 108, 440, 661
Филиппов Г. Ф. 219
Фитч (Fitsch V. L.) 55
Флауэрс. (Flowers В. Н.) 157, 170
Форд (Ford К. W.) 55, 59
Фран (Frahn W. Е.) 191. 329
Френч (French J. В.) 170
Чезмен (Chasman R. R.) 334
Чейз (Chase D M ) 489, 513 *
Чепурнов В А 140
Чэдвнк (Chadwick .1 ) 15
Шали Де (De Shalit A.) 151. 152. 176
Шапиро И. С. 482
Шарф-Гольдхабер (Scharff-Goldhaler G ) 350
Швингер (Schwinger J . S) 40, 82
Шифф (Schiff L.) 553
Шортли (Short ley G. И ) 528. 531
Шоу (Shaw G. I..) 441
Шриффер (Schrieffer R.) 197
Хаббс (Hubbs R. А.) 127
Хаксел (Haxel О.) 136
Хан (Hahn В.) 49
Хей (Нау 1. W.) 130
Хельберт (Halbert Е. С.) 170
Хилл (Hull D L ) 55, 59
Хофштадтер (Hofstadter R ) 49, 53, 127
Хьюзенга (Huizenga J. R.) 116
Хыогс (Hughes D. J.) 557
Цинн (Zinn R.) 104, 106 \"Г . 1 •
Эдмондс (Edmonds A. R.) 489 , 513 , 526
Эллиотт (Elliott J. P.) 157 1 59, 168—
170, 246, 258
Юкава (Yukawa H.) 83, 163
Ямада (Yamada M.) 403
Ян (Jahn H. A.) 157
Янг (Yang C. N ) 341, 356
Ястребов (Jastrebow R.) 95
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альфа-распад 251, 313—340, 473; см.
также Модель
период полураспада 315
— радиус ядра 324, 328
— фазы на бесконечности 333
— ширина прнпеденная 329
— экспериментальные данные 313, 329
а-частицы 14, 314, 320
Амплитуда рассеяния f (0) 415, 553
----для тождественных частиц 93
— — когерентного 33
Анализ фазовый np-рассеяння при высоких энергиях 97, 98
-----------низких энергиях 28
— — рр-рассеяния 94 , 97, 102
Антинейтрино 342
— в 0-распаде 344, 356
---- — двойном 348
— левые и правые 343, 346
—	поглощение ядром (захват) 346
—	спиральность 343
Античастицы 342
Ассоциации а-частичные 320, 339; см. также Кластеры
—	нуклонные 146, 176
Бартлета силы 25
Батлера распределение 505, 516
Бесселя функции сферические 549
Бинейтрон 20
Брейта — Вигнера формула резонансная 437
Бета-распад 17, 341—408; см. также Модель
Бета-распад двойной 349
— — период полураспада 349
— зарядовая независимость 394
— инверсия 345, 346
— константы связи 353, 356, 369, 372, 393, 476
— корреляции кулоновские 371
— момент количества движения 362, 373, 375
— — магнитный дипольный 394
— ^-приближение 402
— обращение времени 371, 379
— разрешенный 363
— смешивание конфигураций 394 , 395 — форма спектра 365, 373, 378, 382, 385
Вайскопфа единицы 301
Вероятность радиационного перехода 268,
— — — в коллективной модели 305, 307
-------- одночастнчного 300
— — — экспериментальные данные 302, 304 -307
Взаимодействие 24, 352
— Гамова — Теллера 363
—	квадрупольно-квадрупольное 255
—	кулоновское 552
—	магнитных моментов нуклонов 40
—	слабое 342, 343, 347, 350, 354, 366, 372, 403
—	спин-орбитальное 138
—	спнн-спиновое 24
—	Ферми 363
—	электрон-нейтронное 53
Взаимодействий виды 354—356
Вигнера силы 25, 118
— 3/-снмволы 531
— 6/-СИМВОЛЫ 534
— формализм 425
Вигнера — Эккарта теорема 266, 379, 539
Возбуждение вибрационное 211, 217, 221—223, 228, 309, 511
— кулоновское 279, 411, 442, 522
— одночастичное 164, 167, 170, 198, 223, 247
Волна плоская искаженная 499, 508, 518
— — — кулоновская 553
— сходящаяся и расходящаяся 414,418
Вращение ядра, волновая функция 216—
219. 222, 232
ВЧС-член 231, 235
Гамова — Теллера взаимодействие 363, 365, 370
Гармоники сферические 528
— — интеграл для трех с. г. 539
— теорема сложения 538
Гейгера — Нуттелла правило 314, 325
Гейзенберга оператор 25
силы 25, 84
Гипотеза зарядовой независимости; см. Независимость зарядовая
Давыдова модель 219, 225, 246
Движение безвихревое 209, 211
36 Заказ № 37
562
Предметный указатель
Движение ядра вращательное 213, 219, 230
Дейтрон 18, 77
— волновая функция с центральными силами 32
----------тензорными силами 79, 81
— D-состояния 79, 82, 83
—	момент магнитный 82, 83
—	дипольный 77
—	— электрический ' квадрупольный 77, 79
—	радиус 72, 79
—	синглетное состояние 31
Деление 411
Деполяризация 89, 100
Дефект масс 115, 121
Деформация ядра 0 219, 330
— — равновесная 246
Дирака матрицы 353, 541, 543
— — нерелятнвнстскин предел 546
— теория для электронов 351
— — дырочная в Р-распаде 351, 356
— — — для внутренней конверсии
с образованием пар 278
— уравнение для нейтрино 351
— — — нуклонов в Р-распаде 546
— — — электронов и нейтрино 351, 541, 543
Длина залечивания 172, 176, 181
— рассеяния 30, 40, 487, 490, 551
—	— и существование связанных со-
стояний 30, 33, 34
—	— экспериментальные значения 33
—	свободного пробега падающего нуклона 440
D-функции 214, 535
Закон сохранения четности 21, 80
— — числа лептонов 344, 346, 349
— — — нуклонов 344
— степенной, в Р-распаде 362
Законы сохранения 21
Заряд лептонный 344
—	распределение плотности в ядрах 43
—	эффективный для захвата электронов 389
—	— — радиационных переходов 300
Захват радиационный 411, 470
медленных нейтронов ядрами во-
дорода 18
—	ядерный нейтрино 346
Иго потенциал 328, 329
Излучение мультипольное 266; см. также
Переходы радиационные
— амплитуда 269
—	— момент количества движения 267
—	— распределение угловое 282 - 285
—	— смешивание по мультипольностн
284, 308
—	— четность 270
—	электрическое монопольное 270
Изоспин 16, 530
—	приведенный 149
—	ядра полный 147
Изотопическое пространство; см. Пространство изотопическое
Импульс Ферми; см. Ферми импульс
Инверсия в Р-распаде; см. Бета-распад
— комбинированная 372
— обобщенная 371
Инглиса модель 253
Испускание заряженных частиц 470
Источник поляризованный 364
Канал 412, 418
—	координата относительная 417
—	радиус 430
—	связь с другими каналами 499
Квазичастицы 162, 198, 201
Керн отталкивающий 22, 35, 45, 81, 95, 102-106, 118, 163, 173, 181, 198, 326 /(-захват; см. Переходы с захватом электрона
/(-конверсия; см. Конверсия внутренняя
Кластеры 176, 473, 521; см. также Ассоциации
Клебша — Гордана коэффициенты векторного сложения 531 533
/(•матрица; см. Л4атрица К
Колебания аксиально-симметричные 222 квадрупольные 211
— октупольные 222, 304
Конверсия внутренняя 271, 278, 299, 392 — — коэффициент 272, 275- 278 — — — для Е0- и 0 -* 0-переходов 274
— — — — электрона на /(-оболочке 272
—	— отношение K/L 277
—	— парная 271, 278
—	— с образованием пар; см. Корреляции парные
—	— сопровождающая рентгеновский спектр 347, 390
Константы распада 314, 321
связи 353 356, 369, 372, 393, 394
Координаты внутренние 208
Кориолиса силы 231, 235, 249
Корреляции дальноденствующне 196, 199, 207
—	парные 197, 201
—	угловые 282, 299
—	— у — у-коэффициенты 284
Корреляция нуклонов в ядерном веществе 172, 186
Коэффициент конверсии внутренней; см.
Конверсия
преломления в ядерной материи 440, 475
прохождения 429, 455- 460; см. также Проницаемость, фактор - — в рассеянии медленных нейтронов 557
случае образования сложных ядер 451, 459
—	— — — поглощения полного 457
—	— — — — частичного 458
—	значения 461, 462
—	и оптический потенциал 459, 477
П редметный указатель
563
Коэффициент прохождения и силовая функция 451, 487
— — положение максимумов 460
— упаковочный 115
Коэффициенты векторного сложения; см. Клебша — Гордая а коэффициенты
— генеалогические 159, 516
— Рака; см. Рака коэффициенты
Лежандра полиномы 529
Лептон 344
— сохранение числа 344, 349, 356
Лоренца преобразование 353
Лучи рентгеновские, тонкая структура 44, 347, 391; см. также р-мезоатомы, К-захват
Магнетон ядерный 16, 64, 268
Майораны гипотеза 349
— силы 25. 84, 118
Материя ядериая 172, 181
Матрица вращений 535
—	Дирака; см. Дирака матрицы
—	Паули; см. Паули матрицы
—	лл-рассеяния 111, 112
— столкновений 413, 418, 421
— и сечения реакций 422
— — симметрия 420, 421
— — унитарность 419, 420
------UJ 423, 555
— фоновая 435, 436
-	К 191
R 424, 430, 432, 504, 506
—	— и модель оптическая 484, 490
—	— прямые реакции 506
—	— связь с 1/-матрицей 430, 434
—	— форма резонансная 431
—	— — фундаментальная 428
Масса атомная 116
—	нейтрона 15
ядра 322
— полуэмпирическая формула 117, 120
—	протона 15
—	электрона 16
—	эффективная 172, 176, 183, 192, 236
Мезон 342
—	виртуальный 84
р-мезоатомы 54
связь с рентгеновскими лучами 45, 54
р-мезон 45, 342
—	время жизни 45
захват ядерный 344
— масса покоя 45
— распад 344, 345, 372
я-мезон и ядерные силы 16, 81, 83
—	порог рождения 90
Метод‘граничных условий 108, 425
—	«массовых дублетов» 115
Множитель барьерный 37, 429, 438, 487
—	— для заряженных частиц 458
— — нейтронов 457
— — и ширина уровня 429, 437
Модель ассоциаций 258
—	атомная Томаса — Ферми 377, 389
—	жидкой капли 209
—	— — квантовая интерпретация 216
—	Инглиса; см. Инглиса модель
—	коллективная 172, 207, 209, 252
—	— движение безвихревое 209, 211
—	— значения у 221, 247
—	— и магнитные моменты 291
модель оптическая 483
—	— — моменты нечетно-нечетных ядер 295
—	— — моменты электрические квад-рупольные 297
—	— — а-распад 420
—	— — Р-распад 393, 396, 399
—	возможные значения К 217, '220, 222, 537
—	колебания октупольные 213, 222, 304
-	— смешивание состояний по К 222, 232, 309
—	— р-колебания 217, 221
—	— у-колебания 217, 219, 222, 247, 309
нечетно-нечетных ядер 261
• — определение параметра р 214
— последовательность уровней 211, 218, 220, 234
— — связь с вращательным и другими движениями 219, 234, 309
— — — движением частицы 225, 236
— — смешивание состояний 213, 229, 230
— форма неакснальная 219, 225, 246
—	независимых пар 176
-	обобщенная 209, 257
—	оболочек многочастнчная 157, 164, 172, 225, 337
—	— — и магнитные моменты 290
—	—------переходы электрические ди-
польные 303
—	—------р-распад 394
—	— — — смешивание конфигураций 170
—	типы связи 158
— — возможные состояния и свой-
ства симметрии 147, 157
— одночастичная 136, 140, 192, 247, 297, 475, 483
—	— для несферическнх ядер 225 гамильтониан 231, 236
—	— — — — волновые функции 233, 261
-	— — — •<- вращательные полосы 258	•
-	— — — — кориолисов эффект 231, 235, 249
—	— — момент магнитный ди-
польный 288
—	— — — — нильссоновские состояния 236, 247
—	- упрощенная 146, 479
—	— усовершенствованная 146
—	оптическая 475, 477
36*
564
Предметный указатель
Модель оптическая для а-частиц 326, 328, 484
— — — ядра несферического 483, 489, 511
— — и Л-матрица 484, 490
--нелокальный потенциал 476, 479,
480, 482
— — при высоких энергиях 493
— полупрозрачного шара 440
— принудительного иращения 252, 254
— статистическая 127, 129
— а-частичная 258, 339, 521
— ядра сверхтекучая 197, 199
Момент инерции 215, 219, 251—253, 255, 473
— количества движения 527, 530
—	— — у-излучення 269
—	— — электромагнитного поля 267
—	— — коллективный 394
—	— — нуклонов в ядре 136, 186, 231, 233
—	— — оператор 528
—	— — полный ядерный 64, 531
—	— — — — в модели коллективной
216, 222, 230, 234
—	— — — — — — оболочек много-частичной 16*4
—	— — — — — — одночастичной 140, 147, 150
—	— — — — — ядерных реакциях 507, 508
---— — ядер нечетно-нечетных 150
--------------с нечетным и четным
AJ64
—	магнитный дипольный 62, 71, 154, 196, 268, 540
—	— возбужденных уровней 293, 295
—	— в радиационных переходах 301, 304. 305
—	— — случае слабой связи 292
—	— дейтрона 77
—	— деформированных ядер 293 — 296
—	— значения шмндтовские предельные 72
—	— — экспериментальные 73, 74
—	— и корреляции в ядерной материн 291
— — — модель коллективная 72, 290, 291
— — — — оболочечная 71, 287, 290
—	— — смешивание конфигураций 288 -290
—	— нуклона 64
—	— обменные эффекты 82, 83
—	—	таблицы 73,	142, 296
—	—	g-фактор 64,	71
---gK 296, 305
---gR 292, 295,	305,	308
—	— частиц в незаполненных оболочках 288
—	— эффект L-S-сил 286
—	— ядер	нечетно-нечетных	290,
295
— — нейтрино 342
Момент магнитный нейтрона 16
—	— — влияние оболочечной структуры 288
—	— октупольный 71
— — орбитальный 528
— мультипольный 62, 65, 71, 265, 268, 307
— полный 422, 423
— статический электромагнитный 269
— угловой для релятивистского фермиона 544
— электрический дипольный 66, 302
— — — в оболочечной модели 299
-------- и модель коллективная 304
— — — — — промежуточной связи 303
--------смешивание конфигураций 303
— — — экспериментальные значения 302
---квадрупольный 66, 68, 297, 306
-------- дейтрона 79
--------и модель коллективная 309,310
— — — оболочечные эффекты 70, 126
— — — смешивание конфигураций 297
— — и магнитный, порядок мульти-польностн 269
Мошковского единицы 301
Насыщение сил; см. Силы
Негатрон 342
Независимость зарядовая 39, 84, 91, 147,
394
Нейтрино 342 , 346, 349 , 350
—	волновые Функции 356
—	гипотеза Майораны 349
—	магнитный момент 342
— масса покоя 342, 346, 381
—	уравнение Дирака 351
—	энергия отдачи в 0-распаде 349
—	ядерный захват 346
Нейтрон 14
—	масса 15
—	магнитный момент 16
—	структура и радиус 54
Номер атомный 14
Нбрдгейма правило 152, 154
Обратимость 421, 423
Обращение времени и теория 0-распэда 371, 379
—	— фазовые соотношения между матричными элементами 420
Оболочки; см. Модель оболочек
Оже электроны 347, 391
Оператор изоспина 17
—	импульса 528
—	модельный и волновые функции 195
—	момента магнитного ядра 71
—	- электрического 65
—	обращения спина 420
—	проектирования Л 355
Операторы т± 352
Отношение гиромагнитное 64, 71, 269, 292, 295, 305, 308
Предметный указатель
565
Пайерлса формализм 425
Параметр формы Р 38
—	прицельный 83
—	развязывания 234, 249, 251
—	соударения 26
—	— и парциальные волны 26
Параметры вибрационные 210, 257
—	инерциальные 252, 256 — канала 417
Паули матрицы спиновые 420, 529, 530 принцип 16, 37, 119, 122, 173, 186, 258, 339, 473. 521, 522
—	— в многочастичной модели оболочек 164
—	— — модели ассоциаций 258
—	— — одночастичной модели 137
—	— и число симметричных пар 121
Переменные внутренние 208 — коллективные 207, 208
Перехода вероятность 268, 313 315, 324 — в 0-д>аспаде 358, 363, 377, 378
Переходы £-1 в а-распаде 332
—	более высокого порядка в 0-распаде 378, 385
—	£0 и 0 -» 0, коэффициент внутренней конверсии 274
—	запрещенные в Р-распаде 362, 372
—	/-запрещенные 393, 394
—	затрудненные 339; см. также Бета-распад
—	магнитные дипольные 304
---квадрупольные 269
—	нейтрона 300
—	облегченные (бверхразрешенные) 388, 394
—	первого порядка запрета 382 — разрешенные в Р-распаде 365, 373, — радиационные, эффективный заряд 300
—	с захватом электрона 345 , 347 , 389 — 392
—	— — — запрещенные 391
—	— — — отношение /(-захвата к Р+-распаду 390
—	— — — — LJ-, М~- и т. д. -захвата к /(-захвату 347, 388
—	— — — учет экранирования 389
—	уникальные 384
— электрические монопольные 270
---дипольные 303
Период полураспада 314, 349, 362, 385 — — парциальный 314
— - комплексные значения энергии319
—	— ядра 362, 395
—	ядерный 441
Плотность уровней 461
--- и анализ нейтронных реакций 453
— частиц 119
— ядерная 44, 47, 181
---граничный слой 50
---импульс Ферми 182
---для легких ядер 50, 53
— — полная 119
— ядерной материи 117, 182
Поглощение 411
Поглощение, потенциал; см. Потенциал
Позитрон 342
— в дырочной теории 351
Пойтинга вектор 267, 283
Поле мезонное 16, 53, 72, 82, 100, 104, 108, НО
—	л-мезонное и нуклонные силы 16, 19, 82, 84, 100, 104, 108, 110
Полосы вращательные 218- 224, 234, 248 - 250, 258, 309 , 399, 511
Поляризация 85, 106
—	в 0-распаде 402
—	— ядерных реакциях 483
—	дифференциальное сечение 87
—	излучения 267, 284
—	остова ядра 208
—	тензорные силы 86
—	экспериментальные значения 98
Потенциал 22; см. также Силы
—	г Вудса — Саксона 480
—	в форме сферической ямы 321
—	Гаммеля—Талера 104, 181, 183, 185, 190, 194, 198
—	Гартенхауза 82
—	двухчастичный эффективный 163
—	для нецентральных сил 80, 82, 103
—	— центральных сил 22, 35, 36, 40, 103
— зависящий от импульса 174, 192
— Иго 328, 329
— Майораны (пространственно-обменный) 25, 84, 118
— нелокальный 174, 190, 192 , 239 , 479
—	одночастнчный в конечном ядре 137, 191, 237, 480
—	оптический .44, 459, 477, 483, 486
—	— в а-распаде 328
—	«перестройки» 188
—	поглощения 440, 477, 480
—	Розенфельда 163
—	Сигнелла — Маршака 101, 106, 190
—	симметрии 483
—	с отталкивающим керном 22
—	спин-орбитальный 189
—	с ямой на поверхности; см. Потенциал Уинслоу
—	тензорный 80
—	«традиционной формы» 324, 329
—	Уинслоу 326
—	Юкавы 22, 84
—	— с отталкивающим керном 40 ядерный в а-распаде 328
Правила отбора 251, 337
— в несферическнх ядрах 396, 399, 403
—	— — а-распаде 335
—	— — 0-распаде 362
—	— — по изоспину 392
—	— Гамова — Теллера 363
—	— для переходов магнитных дипольных, по нзоспниу 304, 306
— — — первого • порядка запрета 373
— — — п-порядка запрета 375 — — - — радиационных 270, 303—
306
566
Предметный указатель
Правила отбора для переходов разрешенных 363
—-------прямых реакций 501, 502, 516
— — Ферми 363
Правило Нордгейма; см. Нордгейма правило
Приближение борновское 96
— — в прямых реакциях 498, 506
---для рассеяния нуклонов 100
— — с плоской волной 499
— Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна
280, 458
одного уровня 435
поверхностное в прямых реакциях
— случайных фаз 253, 254
— эффективной массы 176, 181
Проницаемость кулоновская 37; см. также
Множитель барьерный
— фактор 429, 438
Пространство изотопическое 25, 303, 305, 352
Протон 14
—	структура и радиус 53
Прута гипотеза 13
Псевдовектор 354
Псевдоскаляр 353
Псевдотензор 354
Радиус а-частицы 325
—	дейтрона 32, 79
—	канала 430
—	нейтрона 54
—	нуклона 54
—	полураспада 131
— среднеквадратичный, эквивалентного однородного распределения 51, 550
— эффективный сечения 550
— ядра 44, 53. 58, 182, 227, 480, 483
— — закон Л1/1 52, 480
— — из а-распада 324, 328
— — керн 53
— толщина поверхностного слоя 52,
Разбиение 418, 422
Рака коэффициенты 332, 534
функция 534
Распад, см. Альфа-распад, Бета-распад
Распределение а-частиц по ядерной поверхности 334
—	Батлера; см. Батлера распределение
—	Гамова — Теллера; см. Гамова — Теллера распределение
—	заряда в нуклоне 53
—	— — ядре и ц-мезоатомы 54
—	максвелловское 468
—	плотности в протоне и нейтроне 52
---фермиевское; см. Ферми распределение
угловое 30, 44, 472
- в прямых реакциях 501, 504, 509, 511
— — неупругого рассеяния частиц 413, 416, 454
продуктов распада 439, 444, 471
Распределение угловое, формула эффективного радиуса 550
—	Ферми; см. Ферми распределение — эквивалентное однородное 51—53 Рассеяние, анализ фазовый; см. Анализ
—	вторичное 86
---и поляризация 87, 88
в ядерной материи, принцип Паули 173, 258, 339, 473, 521
—	дифракционное 417, 505
—	когерентное 33, 555
—	кулоновское 36, 43, 414, 424, 553
—	медленных нейтронов 557
моттовское идентичных частиц 36, 45, 554
—	— сечение 544
на твердом шаре 427
— нейтронов на ядрах 414, 488, 555
— нейтрон-нейтронное 91, 92
— нейтрон-протонное 86, 89
--- параметр соударения 26
— — при высоких энергиях 90, 91,93
— — сечение дифференциальное 90
------- полное 91
— — эффективный радиус 35
— неупругое 412, 496, 498
--- ядерное 496
нуклон-нуклонное 18, 83, 90
— потенциальное 437, 440
— протон-протонное 36, 94, 102
—	— при высоких энергиях 90, 93
—	— — низких энергиях 34, 35
--- принцип Паули 37
— теория эффективного радиуса 37,
— резерфордовское; см. Кулоновское
— резонансное 428, 437, 444
—	симметрия вперед — назад 455
—	связанные состояния 89
—	трехкратное 88
—	угловое распределение в системе ц. м. н в лаб. системе 27, 28, 413, 414
—	упругое 424
—	— прямое 438, 440
—	— сложное 439, 441
—	фоновое 435
—	электронов 45
Расстояние между одночастичными энергетическими уровнями 137
Реакция 411
—	баланс энергетический 116
—	вторичная 467, 469
—	вызванная а-частицамн 15
—	— у-лучамн 411, 522
—	— нейтронами 444
—	дифракционные эффекты 417, 505
—	значение Q 413, 452
—	каналы 412
логарифмические производные L 426, 429, 430, 434
—	обратная 421 -423
— предположения статистические 444, 452, 467
— прямая 439, 441, 442, 496
— — коллективная модель 498, 511
— — правила отбора 501, 502, 516
.Предметный указатель
567
Реакция прямая, /?-матрнца 504 , 506
— — с выбиванием 517
— — — «переворачиванием» спина 502, 517, 518
— радиационного захвата 411
— резонансная 435
— — формула для одного уровня 435, 445
— сечение; см. Сечение реакции
— сложная 439
срыва 516, 520
— — и подхвата 203, 496, 497, 502,513
— — — — искаженные волны 519
— — — — обменный срыв 520
— — — — полное сечение 520
— с уровнями одинаковой четности, симметрия 455
— теория испарения 467
— фоторасщепления ядра 411,523
— ядерная, а-распад 329
Резонанс гигантский 490
— — дипольный 522
7?-матрица; см. Матрица R
Связь Ц и L S 159
— промежуточная 159
Сдвиг фазовый 29, 30 , 98, 102, 487
— энергетический 435, 437
Сеньорнтн 149
Сервера силы; см. Силы
Сечение кулоновского возбуждения дифференциальное 280
— в оптической модели 479, 481
— выражения через граничные условия
на поверхности 428
— — — матрицу рассеяния 424, 428
— образования составного ядра, полное 451, 453
— полное 416, 424, 487
— рассеяния 43
— — кулоновского, дифференциальное 36, 43
— — моттовского 46, 60, 544
— — нейтрон-протонного при нулевой энергии 33
— — — экспериментальные данные для энергий низких 34
— — — — — — — высоких 90, 91
— — — эффект обменных сил 33, 93
— — протон-протонного 91, 92, 553
— — — полное 552
— упругого 29, 415, 424, 481
— — — максимум 416
— — — полное 415
— реакции 416, 481, 422. 486, 555
— реакций вторичных 469
— — идущих через составное ядро 450
- прямых 498, 501, 504, 512
— силовые функции 487
Сжимаемость ядерной материи 183, 246
Силы Вигнера иеобменные 25, 118
- L S 80, 103 - ПО
— Майораны 25, 84, 118
— между нуклонами 18, 35, 86, 91, 102, 106, 163
Силы между нуклонами, глубина потенциальной ямы 34, 35, 40, 104, 173
— — - зависящие от скорости 23, 80, 96, 103, ПО, 194
— — — и сверхтекучее состояние 198
— — — взаимодействие магнитных моментов 40
— — — метод граничных условий 108 — — — потенциал 22, 23, 84, 100, 103-110, 173
— — — радиус действия 34—36, 40, ЮЗ
— — — спиновая зависимость 23
— — — — — в рассеянии медленных нейтронов когерентном 33
обменные 96
— Сервера 23, 103
— спин-орбитальные 80, 96, 103, 106, 108, 138, 167, 189, 195, 286, 480
— — происхождение 139
— тензорные 80, 86, 89, 94, 96, 102, 106, 112, 163, 265, 373, 396, 539
— — и L-S-расщеплен не 190
— ядерные квадрупольные 199, 255
— — между частицами в различных оболочках 150
— — насыщение 117
— — спиново-обменные 148
Симметрия рассеяния вперед — назад 455
Системы отсчета, левая и правая 343
Скаляр 353
Сложение угловых моментов 531
Смешивание конфигураций 146, 152, 170, 197, 203, 228, 258, 288 - 290
— — 0-распад 394
— — магнитный дипольный момент 288
— — электрические дипольные переходы 303
Сопряжение зарядовое 371
Состояние нормальной четности 164
— обращенное во времени 420
— распадающееся 318
сложное 412, 439, 441, 446
Состояния возможные р-оболочек 158
— — — энергетические уровни 164
— квазистационарные 318
— — комплексное значение энергии 319
Сохранение; см. Закон сохранения
— векторного тока, гипотеза 372, 393, 403
Спаривание нуклонов 124
Спектр рентгеновский; см. Конверсия внутренняя, переходы с захватом электрона
Спин 345, 365, 529
— дейтрона 77
— изотопический; см. Изоспин
— канала 412, 418
— нейтрино и антинейтрино 343
Спинор 353, 542
Спиральность 343, 355
- 0-частиц 345, 357, 361, 365 , 366
— нейтрино 343, 353, 369
Срыв обменный (тяжелой частицы) 520
Статистика уровней ядра 147
— частиц 14
568
Предметный указатель
Статистика уровней Ферми — Дирака 15 — — Эйнштейна — Бозе 15
Степень поляризации 85
Температура ядра 463, 469
Тензор сферический 265, 373, 539
Теорема Вигнера — Эккарта; см. Вигнера — Эккарта теорема
—	сложения сферических гармоник 538
Теория дисперсионная 112
—	— и ^-матрица 424
— статистическая плотности уровней
449, 454, 463
— эффективного радиуса 31, 39, 550
Тождественность частиц в рр-рассеянин
Функция волновая вибрационных состояний 213, 228
— — коллективная 217, 233, 261
— — кулоновская 322, 548
— — нейтрино 356
— — Нильссона 236, .247
----- радиальная 545
— — — для рассеяния 548
—-------нерелятивистский предел 546
— — релятивистская 406, 542
— Рака ((Р-функция); см. Рака функция
— силовая 451, 453, 484—490, 523
спиновая для синглетного состояния 533
— — триплетного состояния 533
Фурье-компоненты потенциала 173
Уровень характеристический 466
Уровнен плотность 462
— — для газа Ферми 464
— — зависимость от момента 454, 465
---- и силовые функции 489
— — — числа магические 465
— — — ширина приведенная 449
—	— полуэмпирическая формула 466, 467
—	— составного ядра 468
---- энергия спаривания 466
Уровни вращательные 211, 217, 219, 222,
228 , 234 , 217
Фаза рассеяния на твердом шаре 427, 436
Фактор запрета 316
—	— приведенный 336
—	проницаемости; см. Множитель барьерный
—	формирования 473
в а-распаде 321, 325, 326, 335, 473
Фемтометр 33
Ферми газ 109, 465
— взаимодействие 363, 370
Ферми — Дирака статистика 15
---- — и принцип Паули 16
— импульс 119, 173, 182, 186, 200
Ферми - Кюри график 381
—	правило отбора 363
—	распределение плотности 47, 370
— функция F 371, 377, 385
—	энергия 119
Фермион 16, 254, 344
Фонон 211, 222, 228
—	квадрупольный 213, 309
—	октупольный 213
Формализм изоспнновый 16 18, 167
Формирования вероятность 321, 325, 335
Формфактор 47, 53
—	в электронном рассеянии 46
Фотон, излучаемый электрическим и магнитным мультиполями 267
Фоторасщепление дейтрона 20
Фотоэффект ядерный 411, 522
Функция волновая модельная 195
Центр масс в движении коллективном 210 — — — модели оболочечной 137, 159, 300
— — при £1-переходах 300
— — система координат 27, 412
Частицы странные 3-14
«элементарные» 13
Четность 21, 25, 164, 170
в мультипольном излучении 270
—	и мультипольные моменты 66
—	максимальное несохраиение 356
—	несохраиение в Р распадс 343
Числа квантовые 216, 228, 232, 238, 24Г
—	— асимптотические 244
—	магические 71, 124, 135, 138, 142, 251, 466
—	полу магические 130
Число зарядовое; см. Номер атомный
—	массовое 14, 221
Ширина резонансного рассеяния 429, 437
—	статистического распределения 447
излучения Г 447
—	приведенная 329, 336, 486 , 504 , 516
—	резонанса 435, 444
—	уровней и силовая функция 489
Шмидта линии 72
Шмндтовские предельные значения 72
Эйлера углы 213, 535
Эйнштейна — Бозе статистика 15
Электрон 14, 350
— конверсионный 271, 275, 279
— Оже; см. Оже электрон
Элемент матричный 112, 358, 363, 392
--- во внутренних координатах 294
—для радиационных переходов 269,
—------разрешенных переходов 360,362
— — моментов мультипольных 269
— — приведенный 228, 266, 269, 282, 305, 307, 331, 362, 379, 540
Предметный указатель
56»
Элемент матричный тензора сферического 266
— — фазовые соотношения и обращение времени 420
—	— ядерный 362, 392
-------для переходов более высокого
порядка 313, 3/8, 385, 401
—	— — — — разрешенных 363, 393
------------- типа Ферми 392
—	— — фермиевский 364
Энергетическая щель 197, 203, 251, 254, 256
Энергия вращательная ядра 215, 218
—	канала 412
— кинетическая, зависимость от радиу-
са ядра 117
—	— и модель газа Ферми 119
--- полная 120
—	— ядра, принцип Паули 119
—	кулоновская 56
—	— в модели оболочечной 59
— — — ядрах зеркальных 58
------- — несферических 58, 127
— — для однородного распределения заряда 56
—------реалистического распределения
заряда 56
—	— и энергия связи в тяжелых ядрах, 118, 181
—	эффекты квантовые 57
—	— — — оболочечные 59
—	— обменный член 57
—	объемная в ядре 120
—	отделения 126, 412
—	перестройки 182, 189
—	поверхностного натяжения 118, 127, 182, 230
—	пороговая 413
—	резонансная 429, 431, 438
—	связи 115, 129, 181
Энергия — атомных электронов 115
—	— влияние оболочечных эффектов 126, 130, 136
—	— в статистической модели 127, 129'
---в ядерной материн 182
—	— дейтрона 32
—	— для конечных ядер 191 — 194
—	— и обменные силы 117
принцип Паули 117, 121
—	— — форма ядер 244
изобарические параболы 121, 123,
130 , 203
---объемный член 120
—	— полуэмпирическая формула 117, 120, 123, 126, 181
—	— приходящаяся на один нуклон 116
—	— экстраполяционные формулы 130
—	— ядра 115, 181
—	симметрии 182, 480, 483
—	принцип Паули 122
—	спаривания 124, 197, 200, 250
в оболочечной модели 141
—	Ферми; см, Ферми энергия
—	ядра полная 245
Энтропия 463
Эффекты кулоновские 372, 416, 552, 554
—	оболочечной структуры в Р-распаде 393, 401
---в несферическнх ядрах 252
— и плотность уровней 466
— — — — ядерные реакции 522
Юкавы потенциал 22, 84
—	— с отталкивающим керном 40
Ядра деформированные 69, 146, 207, 255
зеркальные и радиусы ядер 58
—	составные 439, 444
—	— вероятность образования 451, 440
--- и а-распад 330
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода..................................... 5
Предисловие........................................................ 7
ЧАСТЬ I х ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЯДЕР
Глава 1. Основные свойства ядер................................... 13
§ 1.	Нуклоны и ядра.................................... 13
Лите	ратура......................................... 17
Глава 2. Силы между нуклонами. I.................................. 19
§ 1.	Введение.......................................... 19
§ 2.	Возможные типы сил между нуклонами................ 20
§ 3.	Эксперименты по рассеянию.......................   26
§ 4.	Связанное состояние............................... 32
§ 5.	Экспериментальные данные.......................... 32
§ 6.	Протон-протонные силы . .......................... 36
Зада	чи ............................................ 41
Литер	атура......................................... 42
Глава 3. Размеры ядер............................................ 43
§ 1.	Введение ......................................... 43
§ 2.	Рассеяние электронов.............................. 45
§ 3.	р-мезоатомы ...................................... 54
§ 4.	Кулоновская энергия...........................  .	56
Задачи ................................................ 59
Литература............................................  61
Глава 4. Моменты и форма ядра..................................... 62
§ 1.	Электромагнитные мультиполи . ...................  62
§ 2.	Момент количества движения....................  .	64
§ 3.	Электрические моменты............................. 65
§ 4.	Магнитные моменты................................. 71
Задачи ................................................ 76
Литература ............................................ 76
Глава 5. Силы между нуклонами. II................................  77
§ 1.	Электромагнитные моменты дейтрона и тензорные силы 77
§ 2.	Основные особенности рассеяния при высоких энергиях 83
I
Оглавление	571
§ 3.	Поляризация . .	............................ 85
§ 4.	Экспериментальные результаты и предварительное обсуждение ................................................ 90
§ 5.	Более точный анализ экспериментальных данных в области энергий ниже 40 Мэе................................. 97
§ 6.	Опыты при высоких энергиях и спин-орбитальные силы 102
§ 7.	Выводы................................................... 110
Задачи ....................................................... 112
Литература.................................................... 113
Глава 6. Энергия связи ядра ....'.	................	115
§ 1.	Введение................................................. 115
§ 2.	Полуэмпирнческая формула ................................ 117
§ 3.	Магические числа......................................... 124
§ 4.	Другие формулы для масс.................  .	. .	127
Задачи ......................................................  131
Литература.................................................... 132
часть п
МОДЕЛИ ЯДРА
Глава 7. Одночастичная модель............................................ 135
§ 1.	Введение...............................’	. . . .	135
§ 2.	Одночастичные орбиты .................................... 136
§ 3.	Упрощенная одночастичпая модель и спин ядра...	140
§4.	Усовершенствованная одночастичпая модель................. 146
§ 5.	Смешивание конфигураций	.......................... 153
Задачи . «.................................................... 154
Литература.................................................... 156
Глава	8.	Многочастичная модель оболочек.............................. 157
§ 1.	Базисные антисимметричные	состояния ..................... 157
§ 2.	Матричные элементы....................................... 158
§ 3.	Движение центра масс ......,............................  161
§ 4.	Типы взаимодействии...................................... 162
§ 5.	Типичные результаты...................................... 164
Литература.................................................... 171
Глава	9.	Корреляции в ядерной материн................................ 172
§ 1.	Введение................................................. 172
§ 2.	Метод Бракнера, или	модель	независимых	пар...... 174
§ 3.	Бесконечная ядерная	материя.............................. 180
§ 4.	Конечные ядра................................ 186
§ 5.	Модельные операторы...................................... 195
§ 6.	Корреляции дальнего	порядка	и	основное	состояние . . .	196
Задачи ....................................................... 204
Литература.................................................... 205
Глава .10. Коллективное движение	ядра ................................... 207
§ 1.	Введение................................................. 207
§ 2.	Коллективные	формы	движения.............................. 209
572
Оглавление
§ 3.	Связь частицы с коллективными	формами	движения. . . .	225
§ 4.	Слабая связь.................................... •	227
§ 5.	Сильная связь........................................ 230
§ 6.	Состояния частиц в деформированных	ядрах...... 236
§ 7.	Расчет равновесной формы ...........................  245
§ 8.	Уровни нечетных деформированных ядер................. 247
§ 9.	Значения инерциальных параметров..................... 252
§ 10.	Сравнение ядерных моделей .......................... 257
Задачи.................................................... 259
Литература....,........................................... 261
ЧАСТЬ 111
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ЯДРА !
Глава 11. Взаимодействие электромагнитного поля с веществом.......... 265
§ 1.	Общая теория излучения фотонов....................... 265
§ 2.	Внутренняя конверсия................................. 271
§ 3.	Внутренняя конверсия с образованием.пар.............. 278
§ 4.	Кулоновское возбуждение.............................. 279
§ 5.	Угловые корреляции.................................. 282'
Литература................................................ 285
Глава 12. Статические электромагнитные моменты....................... 286
§ 1.	Оболочечная модель с	учетом взаимодействий........... 287
§ 2.	Коллективная модель.................................. 291
§ 3.	Электрические квадрупольные моменты.................. 297
Литература...............................................  298
Глава 13. Гамма-переходы и ядерные модели ........................... 299
§ 1.	Вероятности одночастичных переходов ................. 299
§ 2.	Электрические дипольные переходы..................... 302
§ 3.	Магнитные дипольные переходы......................... 304
§ 4.	Электрические квадрупольные переходы................. 306
Задач	и .............................  	......	310
Литература...............................................  319
ЧАСТЬ IV
РАДИОАКТИВНОСТЬ
Глава 14. Альфа-радиоактивность ..................................... 313
§ 1.	Введение............................................. 313
§ 2.	Общая теория	................................  317
§ 3.	Одпочастичная	модель	а-распада....................... 321
§ 4.	Высшие электрические	моменты......................... 329
§ 5.	Вероятности формирования........’.	. ............... 335
Литература..............................................   339
Глава 15. Бета-радиоактивность....................................... 341
§ 1.	Введение............................................. 341
§ 2.	Теория ^-распада..................................... 350
§ 3.	Кулоновские эффекты и запрещенные переходы . . л . . .	372
Оглавление
573
§ 4.	Формы спектра и времена жизни.................. 381
§ 5.	Захват электронов.............................. 388
§6.	Ядерные матричные элементы..................... 392
§ 7.	Возможная зависимость слабого взаимодействия от импульсов ......................................,........ 403
Литература.......................................... 404
Задачи ............................................. 406
Ч А СТ Ь V
ЯДЕРНЫЕ РГ АКЦИИ
Глава 16. Основы теории реакций.................................... 411
§ 1.	Определения........................  411
§ 2.	Матрица столкновений .............................. 413
§ 3.	Симметрия матрицы столкновений. 	Обращение	времени	419
§ 4.	Эффективные сечения реакций и матрица	столкновений	422
§ 5.	77-матрица и дисперсионная теория............ 424
§ 6.	Формула для одного уровня.................... 435
§ 7.	Механизмы реакций.................................. 438
Литература.............................................. 442
I
Глава 17.	Составное ядро и статистические теории................. 444
§ 1.	Экспериментальные результаты ...................... 444
§ 2.	Статистические предположения ...................... 446
§ 3.	Средние значения сечений .......................... 449
§ 4.	Угловые распределения .• . . ...................... 454
§ 5.	Коэффициенты прохождения........................... 455
§ 6.	Плотность уровней.................................. 462
§ 7.	Статистическая теория распада составного ядра...... 467
§ 8.	Испускание заряженных частиц....................... 470
Литература.............................................. 474
Глава 18. Оптическая модель........................................ 475
§ 1.	Введение........................................... 475
§ 2.	.Оптические параметры.............................. 479
§ 3.	Оптическая модель и 7?-матрнца..................... 484
§ 4.	Теоретическая часть ; . . . ....................... 491
Литература.............................................. 494
Глава 19. Прямые реакции .......................................... 496
§ 1.	Теоретическое введение...........................   496
§ 2.	Важные частные случаи ............................ 499.
.	§ 3. Фундаментальная теория............................ 506
§ 4.	Неупругое рассеяние................................ 507
§ 5.	Реакция срыва...................................... 513
§ 6.	Некоторые реакции при высоких энергиях............. 521
§ 7.	Реакции, вызванные электромагнитными взаимодействиями 522
Литература............................................   523
Задачи ................................................. 524
'• '
574 Оглавление
Приложение А. Угловой момент, сферические тензоры, матрицы Дирака 527
§ 1.	Угловой момент................................... 527
§ 2.	Сферические тензоры.............................  535
§ 3.	Матрицы Дирака................................... 541
Литература............................................ 546
Приложение Б. Некоторые результаты, используемые в теории рассеяния 548
§ 1.	Радиальные волновые,}функции..................... 548
§ 2.	Формула эффективного	радиуса..................... 550
§ 3.	Вывод сечения рассеяния протона на протоне....... 552
§4.	Кулоновские эффекты в формулах реакций........... 554
§ 5.	Длина когерентного	рассеяния..................... 555
Указатель имен.................................................   558
Предметный указатель...........................................   561
J 
М. Престон
ОПЕЧАТКИ
Стр.	Строка	Напечатано	C.iedpem читать
80	10 СИ.	г-гг	r-=ri
292	Формула (12.15)	1«м	1 “j- I2
423	Формула (16.39)	Ь| ° Ci) 1 w * II js | ja	Р»|я^ И "’Ь? «1 « Я Iе. II
480	Формула (18.3)		
Зак. 37.