Текст
1 | 2 I 3 4 5 S
Письменный семестровый экзамен по физике
III курс, 24 мая 2014г.
Вариант А
1А. Дана двухатомная цепочка равноотстоящих атомов с отношением масс 2:3. В
ней возбуждено такое колебание, что на оптической ветви отношение модулей смещений
легкого и тяжелого атомов равно 2. Чему равна (в единицах постоянной решетки) длина
волны такого колебания? Учитывать взаимодействие только с ближайшими соседями.
2А. Оценить, на сколько процентов и в какую сторону изменится при нулевой тем-
пературе удельное сопротивление алюминия, загрязненного примесями, под давлением
Р = 90кбар. Модуль всестороннего сжатия алюминия В = 0,75Мбар. Считать, что
сечение рассеяния электронов на примесях Е пропорционально квадрату межатомного
расстояния а, а число свободных электронов не зависит от давления.
ЗА. В полупроводнике дрейфовая скорость электронов вначале линейно зависит от
приложенного поля, а с ростом поля она стремится к постоянной величине. Это обусло-
влено резким ростом интенсивности испускания электронами оптических фононов с
энергией Acuopt = 63 мэВ. Оценить напряженность попя, при которой наступает ограни-
чение скорости, и саму установившуюся скорость. Подвижность электронов в слабых
полях определяется рассеянием на акустических фононах и равна р = 1000см2/(В-с).
Считать эффективную массу электрона т* =0,5те.
4А. В ионных кристаллах при конечных температурах возникают дефекты Шоттки
— пустые места в узлах кристаллической решетки (вакансии). При этом ионы из уз-
лов решетки уходят из объема кристалла. В сипу эпектронейтрапьности в чистом без
примесей кристалле вакансии положительных и отрицательных ионов возникают парами
(аналогично электронам и дыркам в собственном полупроводнике). Минимальная энер-
гия возникновения пары, т.е. работа по удалению ионов, составляет Ef = 2эВ. Найти
равновесные концентрации вакансий при 1 = 300°С в природном NaCI, содержащем при-
месь CaCh с концентрацией ионов кальция псв++ = Ю14см-3. Ионы кальция замещают в
узлах решетки часть ионов натрия. Концентрация узлов подрешеток ионов обоих знаков
в NaCI составляет по = 2, 2 • 1022 см-3.
5А. На рисунке приведен закон дисперсии элементарных возбуждений в жидком сверх-
текучем Не-4. Малые энергии возбуждений соответствуют фононам, а возбуждения
вблизи минимума — ротонам, которые можно
рассматривать как идеальный газ квазичастиц с
эффективной массой ц = 0,14тпне и законом дис-
персии
е(р) = Д + (р - ро)2/2д.
Оценить отношение числа ротонов при темпера-
туре Т\ = 1 К к таковому при Тг = 2 К.
Указание-, для вычисления требуемых интегралов воспользоваться теоремой о сред-
нем, и показать, что оставшийся интеграл сводится к интегралу Пуассона.
1 2 3 I 4 I 5
Письменный семестровый экзамен по физике
III курс, 24 мая 2014г.
Вариант Б
1Б. Дана двухатомная цепочка равноотстоящих атомов с отношением масс 1:2. В
ней возбуждено такое колебание, что на акустической ветви отношение смещений тяже-
лого и легкого атомов равно 3. Какую часть граничного (бриппюэновского) волнового
числа составляет волновое число такого колебания? Учитывать взаимодействие только
с ближайшими соседями.
2Б. Считая длины свободного пробега электронов и фононов при рассеянии на фоно-
нах одинаковыми, найти отношение коэффициентов электронной и фононной теплопро-
водности алюминия при температуре Т = 600 К. Валентность алюминия z = 3, дебаев-
ская температура 0 = 400 К.
ЗБ. В структурах метапп-диэпектрик-попупроводник при приложении напряжения
между металлом и полупроводником на границе раздела диэпектрик-попупроводник обра-
зуется двумерный газ электронов с эффективной массой тп* = 0,067тпе. При абсолют-
ном нуле температуры энергия Ферми этого газа Ер ~ 35мэВ. Найти напряженность
поля в диэлектрическом слое, если его проницаемость £ = 4. Влиянием поля объемного
заряда в полупроводнике пренебречь.
4Б. В ионных кристаллах галогенидов серебра при конечных температурах возмож-
но возникновение дефектов Френкеля — пар вакансия-собственный междоузепьный ион.
Вакансия это пустое место в узле кристаллической решетки, а ушедший при этом из уз-
ла ион переходит в междоузлие. В сипу эпектронейтрапьности в чистом без примесей
кристалле вакансии и междоузепьные атомы возникают парами (аналогично электронам
и дыркам в полупроводниках). Энергия образования пары в кристалле AgCI Е{ = 1,4эВ.
Найти равновесные при температуре t = 273°С концентрации вакансий и междоузепьных
ионов серебра в кристалле AgCI при легировании его хлоридом кадмия CdCh с концен-
трацией ионов кадмия ^Cd++ = 1014см~3. Ионы кадмия замещают ионы серебра в узлах
кристаллической решетки, а их переходом в междоузлия можно пренебречь. Концентра-
ция узлов в подрешетках ионов обоих знаков в AgCI составляет по = 2,35 • 1022см—3. В
кристаллической решетке AgCI числа узлов и междоузлий равны.
5Б. На рисунке приведен закон дисперсии элементарных возбуждений в жидком сверх-
текучем Не-4. Малые энергии возбуждений соответствуют фононам, а возбуждения
вблизи минимума — ротонам, которые можно
рассматривать как идеальный газ квазичастиц с
эффективной массой д = 0,14тпне и законом дис-
персии
£(р) = А + (р - ро)2/2м-
Оценить плотность энергии ротонного газа при
температуре Т = 1 К.
Указание-, при вычислении концентрации ротонов воспользоваться теоремой о сред-
нем, и показать, что оставшийся интеграл сводится к интегралу Пуассона.
1 2 3 4 5 И
Письменный семестровый экзамен по физике
III курс, 24 мая 2014г.
Вариант Б
1Б. Дана двухатомная цепочка равноотстоящих атомов с отношением масс 1:2. В
ней возбуждено такое колебание, что на акустической ветви отношение смещений тяже-
лого и легкого атомов равно 3. Какую часть граничного (бриппюэновского) волнового
числа составляет волновое число такого колебания? Учитывать взаимодействие только
с ближайшими соседями.
2Б. Считая длины свободного пробега электронов и фононов при рассеянии на фоно-
нах одинаковыми, найти отношение коэффициентов электронной и фононной теплопро-
водности алюминия при температуре Т = 600 К. Валентность алюминия z - 3, дебаев-
ская температура 0 = 400 К.
ЗБ. В структурах метапп-диэпектрик-попупроводник при приложении напряжения
между металлом и полупроводником на границе раздела диэлектрик-полупроводник обра-
зуется двумерный газ электронов с эффективной массой тп* = 0,067тпв. При абсолют-
ном нуле температуры энергия Ферми этого газа Ер ~ 35мэВ. Найти напряженность
поля в диэлектрическом слое, если его проницаемость в = 4. Влиянием попя объемного
заряда в полупроводнике пренебречь.
4Б. В ионных кристаллах галогенидов серебра при конечных температурах возмож-
но возникновение дефектов Френкеля — пар вакансия-собственный междоузепьный ион.
Вакансия это пустое место в узле кристаллической решетки, а ушедший при этом из уз-
ла ион переходит в междоузлие. В сипу эпектронейтрапьности в чистом без примесей
кристалле вакансии и междоузепьные атомы возникают парами (аналогично электронам
и дыркам в полупроводниках). Энергия образования пары в кристалле AgCI Е{ = 1,4эВ.
Найти равновесные при температуре t = 273°С концентрации вакансий и междоузепьных
ионов серебра в кристалле AgCI при легировании его хлоридом кадмия CdCh с концен-
трацией ионов кадмия ncd++ = 1014см-3. Ионы кадмия замещают ионы серебра в узлах
кристаллической решетки, а их переходом в междоузлия можно пренебречь. Концентра-
ция узлов в подрешетках ионов обоих знаков в AgCI составляет по = 2,35- 1022см—3. В
кристаллической решетке AgCI числа узлов и междоузлий равны.
5Б. На рисунке приведен закон дисперсии элементарных возбуждений в жидком сверх-
текучем Не-4. Малые энергии возбуждений соответствуют фононам, а возбуждения
вблизи минимума — ротонам, которые можно
рассматривать как идеальный газ квазичастиц с
эффективной массой р = 0,14тпне и законом дис-
Персии
f е(р) = Д + (р - ро)2/2р.
/ ;Д=8 6 К Оценить плотность энергии ротонного газа при
* 1 '» температуре Т = 1 К.
РО=1,92 Р/Й.А*1
Указание-, при вычислении концентрации ротонов воспользоваться теоремой о сред-
нем, и показать, что оставшийся интеграл сводится к интегралу Пуассона.
Письменный семестровый экзамен по физике
III курс, 24 мая 2014г.
Решения
Вариант А
1А. (Морозов) Из уравнений движения дпя тяжелого (1) и легкого (2) атомов
М|<Л4| = 2/3|А, - Агcos(*<f/2)];
Af2«% = 20[А2 - At cos(Jtf/2)].
Здесь Л/1,2 и Л1(2 — массы и амплитуды колебаний тяжелого и легкого атомов, d — по-
стоянная (период) решетки (расстояние между одинаковыми атомами). Взяв отношение,
получаем
М\А\ _ Ai — A2Cos(fcd/2)
М2А2 А2 — Ai cos(kd/2)
Так как на оптической ветви атомы колеблются в противофазе, то А2/А1 = —2 и мы
получаем
3 _ 1 + 2cos(kd/2)
2 “ 1 + (1/2)соз(Ы/2)‘
Отсюда cos(kd/2) = cos(2ttJ/2A) = 0,4 или А = 7rd/[arccos(0,4)] ~ 2,7d.
2А. (Петров) При рассеянии на примесях в металле длина свободного пробега А ~
1/(п,Е) ос 1/(п^а2) (ni — концентрации примесей). Проводимость
zne2. 2пА п 1
о ----А = zc — ~------—.
Pf PF Pf a Ъ
При изменении давления п/п{ — const, поэтому
* v/3n2/3«nl/3-
рра1 п(О1Г1пу/Л
Соответственно удельное сопротивление р = а-1 ос п-1/3. Относительное изменение
концентрации при давлении составляет Дп/п = P/В. Поэтому относительное измене-
ние удельного сопротивления
Т--ЗТ--35-^4'«>
р О П О D
ЗА. (Свинцов) В модели Друде до испускания фонона скорость электрона в попе
растет со временем линейно, а после испускания падает до нуля, и процесс повторяется
снова. Максимальная скорость электрона определяется из соотношения
m*v2
—(1)
1
Средняя скорость дрейфа при равноускоренном движении равна половине максимальной.
Это и дает нам ответ: _____
__ Vmax _ /Ашор1
*'•“ ~ V 2m-
(2)
Численно v,at « 107 см/с. В слабых же полях v pF. Экстраполируя линейную за-
висимость до пересечения с vietl мы можем оценить напряженность поля, при которой
начинается насыщение скорости: Fevlst/// “ Ю4 В/см.
4А. (Раевский) В отсутствии примеси вакансии Na+ и С1~ возникают в равных
количествах. Наличие примеси, в которой ион металла имеет другой заряд, изменяет
соотношение вакансий. Депо в том, что ион Са++, замещая в узле ион Na+ увеличивает
заряд подсистемы положительных ионов на +1, поэтому в силу электронейтральности
должна возникнуть дополнительная вакансия Na+. Следовательно, ион Са++ аналогичен
донору вакансий Na+ и условие электронейтральности примет следующий вид
Псв++ + Па- “ nNa+,
nNa+ ' nCl~ = ni‘
Здесь использована аналогия с "законом рычага" в полупроводниках: п, = noexp(—Ey/2kT) ~
~ 1014см-3, Ef — ширина запрещенной зоны, по — эффективная плотность состояний
(статфактор зон). Решая эту систему, получаем
nNa+ = । [\/4пг2 + ПСа++ + ПСЛ++] = w 1, 2 • 10И СМ 3
ПС1~ = 5 [\^4П1? + ПСа++ “ пС*+ + ] = -~П{ = 0’2' Ю14СМ~3,
Видно, что, как и положено, легирование подавляет число "неосновных” носителей.
5А. (Ципенюк) Поскольку число ротонов, как и фононов, определяется температу-
рой, то их число не сохраняется, а значит химпотенциал ротонного газа равен нулю.
Кроме того, в жидкости возможны только продольные волны, то с учетом этого число
ротонов:
v - V [ 4irp2dp
г (2тгА)3 J exp(e/kT) - 1 '
Так как е » кТ, то
Сделав замену переменных (р — ро) / у/2ркТ = q, получаем
дг _ ^^Poa/2/*^ -A/fcT [
(2тгА)3 е J
-ро/у/Ъ&Т
е q2 dq.
2
Так как при указанных температурах ро/\/2ркТ ~ 7 1, и поскольку под знаком
интеграла стоит экспонента, то нижний предел можно заменить бесконечностью, и мы
получаем интеграл Пуассона, равный убг. Для отношения числа ротонов получаем
ЛГехрС-Д/АТ,)
y/Tiexpi-^/kTt)'
Подставляя числа, получаем
v2
Вариант Б
1Б. (Морозов) Поскольку в акустической ветви атомы колеблются в фазе, то в
соотношение
Mi А] _ Ai — Аг cos
МгАг Аг — Ai cos(fcd/2)
надо подставлять А1/Аг=3. Тогда получаем
3 - cos(Jfed/2)
1 -3cos(fcd/2)’
откуда cos(fc(//2) =3/17. Граничное (бриппюэновское) волновое число определяется, как
&Бр = %/</. Тогда cos[7r(fe/fcBp)/2] =3/17 ипи
3 „
iarccos— + 2тгп
17
Решение в первой зоне Бриллюэна соответствует п = 0 ипи ~ ±0,89. Разные
*Бр
знаки соответствуют волнам, бегущим в противоположные стороны.
2Б. (Петров) Пусть п — концентрация атомов, тогда при длине свободного пробега
как электронов, так и фононов, равной А, коэффициент электронной теплопроводности
_ I*2 ,кТ 1 2 ЬТ
ке = -GevrA = znk—vpA = —тг znk—А.
3 3 2 €р 3 рр
Коэффициент фононной теплопроводности в дебаевском приближении при скорости
звука s с учетом того, что в ГЦК-решетке алюминия есть только три акустических
ветви (нет оптических ветвей колебаний)
i^ph —ЗпкзХ.
Тогда
= *1 *£ = Л2 кт = ~ 13
Kph 3 зрр 3 spp(z/2)1/3 3 0 ’
_к_=2 /
к^_ тг \
3
Так как при указанных температурах ро/~ 7 1, и поскольку под знаком
интеграла стоит экспонента, то нижний предел можно заменить бесконечностью, и мы
получаем интеграл Пуассона, равный у/ir. Для отношения числа ротонов получаем
yTTexpt-A/fcT,)
yTzexpf-A/fcTj)'
Подставляя числа, получаем
а-4=е~41-9,5 - НТ3.
л/2
Вариант Б
1Б. (Морозов) Поскольку в акустической ветви атомы колеблются в фазе, то в
соотношение
MiAi _ А] — A2Cos(fcd/2)
Л/2А2 А2 - Ai cos(kd/2) ‘
надо подставлять Л1/Л2=3. Тогда получаем
3 — cos(fcd/2)
1 — 3cos(fcd/2) ’
откуда cos(kd/2) = 3/17. Граничное (бриппюэновское) волновое число определяется, как
/гБр =irld. Тогда соз[тг(Аг/А:Бр)/2] =3/17 или
к 2 / 3 \
-— = — iarccos— + 2тгп .
лБв 7Г \ 17 /
bp
Решение в первой зоне Бриллюэна соответствует п = 0 или ~ ±0,89. Разные
Бр
знаки соответствуют волнам, бегущим в противоположные стороны.
2Б. (Петров) Пусть п — концентрация атомов, тогда при длине свободного пробега
как электронов, так и фононов, равной А, коэффициент электронной теплопроводности
х-1*2 икТ х-1 2
ке = = г-=-znk—vj?A = -тг znk—А.
3 3 2 Ер 3 pf
Коэффициент фононной теплопроводности в дебаевском приближении при скорости
звука s с учетом того, что в ГЦК-решетке алюминия есть только три акустических
ветви (нет оптических ветвей колебаний)
Kph ^ЗпкзХ.
Тогда
= z — — = z^2 кТ = ^(2z2V/3- ~ 13
«ph з spF 3 spD(z/2)1/3 3 ' 0
3
где учтено, что ро я Л(6тг2п)1/3, рр я Л(3тг2^п)’/3 — соответственно дебаевский и
фермиевский квазиимпупьсы.
ЗБ. (Свинцов) Поверхностная плотность электронов связана с энергией Ферми со-
отношением:
2 /*,_ f 4*m*EF
Па “ / 2*pdp “ ТГТТ2"’
(2тгА) J (2тгА)
откуда п, ~ 1012см-2. Попе в диэлектрике Е можно найти как попе плоского конденса-
тора
(3)
„ 4тгбт 4тгепЛ . _
Е ---------------= 4,5 х 105 В/см.
£ €
4Б. (Раевский ) Переходящий в междоузлие ион серебра Ag+ имеет положительный
заряд и "аналогичен” электрону в полупроводниках, а вакансию V[AgJ можно, аналогич-
но дырке в полупроводниках, интерпретировать как "отрицательный” заряд на фоне
идеальной решетки без пустых мест. В отсутствии примесей числа вакансий и междо-
узепьных ионов равны. Положительно заряженные ионы двухвалентного металла Cd++
занимают места ионов серебра в узлах решетки и одновременно приводят в силу эпек-
тронейтральности к увеличению числа вакансий. Следовательно, ион Cd++ аналогичен
акцепторной примеси в полупроводниках и условие эпектронейтральности принимает вид
/ ПАв+ + nca++ ~ nv[Agj >
I П*,+ '%*.! = n-2'
Здесь использована аналогия с "законом рычага” в полупроводниках, a nt = по ехр(—Ef/2kT),
величина Ej играет роль ширины запрещенной зоны. В последней формуле статфак-
торы зоны проводимости (междоузепьные места) и валентной зоны (узлы решетки)
считаются одинаковыми. Решая эту систему, получаем
1 ____________ I 1
%*! = 2 [У4п>?+пса+ф + ”са++]--------2---= ’’ 2'10"* СМ"’’
= i [У4п? + nL++ “ ncd++] “ Ю'-'СМ-3.
В полной аналогии с полупроводниками, легирование акцепторами уменьшает число элек-
тронов.
5Б. (Ципенюк} Поскольку число ротонов, как и фононов, определяется температу-
рой, то их число не сохраняется, а значит химпотенциап ротонного газа равен нулю.
Среднее число ротонов описывается формулой Планка. В нашем случае, так как Д кТ,
то ппанковское распределение переходит в бопьцмановское. Это значит, что средняя ки-
нетическая энергия ротона равна (3/2)кТ. Поэтому для вычисления плотности энергии
ротонов надо плотность ротонов, найденную в задаче 5А, умножить на (3/2)кТ:
W, = 3-kTnr =
2 2 (2тгл)3
Подставляя числа, получаем Wr ~ 2- 103эрг/см3.
4