/
Автор: Арзамасцев Д.А. Липес А.В.
Теги: электротехника электроэнергетика электрические сети электроэнергия экономия
ISBN: 5-06-000453-8
Год: 1989
Текст
„Высшая школа*
i
I
Энерго-
‘ сберегающая
технология
электроснабжения
народного
хозяйства
Д. А. Арзамасцев
А. В. Липес
СНИЖЕНИЕ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
РАСХОДА ЭНЕРГИИ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СЕТЯХ
Энерго-
сберегающая технология
электроснабжения народного
хозяйства
Серия
в пяти книгах
1
Книга
Под редакцией В. А. Веникова
Д. А. Арзамасцев
А. В. Липес
СНИЖЕНИЕ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
РАСХОДА ЭНЕРГИИ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СЕТЯХ
Москва
Высшая школа 1989
ББК 31.28
Э61
УДК 621.311.16
Рекомендовано Государственным комитетом СССР по народному
образованию для использования в учебном процессе
Рецензенты: кафедра автоматизированных электрических сис-
тем Рижского политехнического института им. А. Я. Пельше (зав. ка-
федрой Л. А. Орехов); проф. И. В. Жежеленко (Мариупольский метал-
лургический институт)
Энергосберегающая технология электроснабжения на-
Э61 родного хозяйства: В 5 кн.: Практ. пособие/Под ред.
В. А. Веникова. Кн. 1. Снижение технологического расхода
энергии в электрических сетях/Д. А. Арзамасцев, А. В. Ли-
пес.— М.: Высш, шк., 1989.— 127 с.: ил.
ISBN 5-06-000453-8
в пособии рассмотрены вопросы информационного обеспечения задач расчета
и минимизации технологического расхода энергии в электрических сетях и опи-
саны основные математические методы их решения. Особое внимание уделено
наиболее перспективным статистическим методам технологического расхода энер-
гии, использующим регрессионный и факторный анализ, а также оптимизацион-
ный метод приведенного градиента.
2202090000—478
1 ”~89
ББК 31.28
6П2.П
ISBN 5-06-000453-8
© Д. А. Арзамасцев, А. В. Липес,
1989
ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕРИИ
Предлагаемая вниманию читателя серия «Энерго-,
сберегающая технология электроснабжения народного
хозяйства» состоит из пяти книг:
1. Снижение технологического расхода энергии в
электрических сетях.
2. Энергосбережение в электроприводе.
3. Надежность и эффективность сетей электриче-
ских систем.
4. Потребление электрической энергии — надеж-
ность и режимы.
5. Экономия электроэнергии на промышленных
предприятиях.
Инициатива издания серии принадлежит безвре-
менно ушедшему из жизни Валентину Андреевичу
Веникову — ученому и организатору вузовской науки
в области электроэнергетики, создателю и руководи-
телю общесоюзной вузовской целевой научно-иссле-
довательской программы «Разработка методов и
средств экономии электроэнергии и повышения ее ка-
чества в электроэнергетических системах», в которой
участвуют несколько десятков вузов СССР. Придавая
особое значение исключительной роли В. А. Веникова
в подготовке этой серии книг, авторы считают своим
долгом посвятить упомянутую серию светлой памяти
В. А. Веникова.
При подготовке книг серии авторы стремились к
такому изложению, чтобы оно соответствовало глав-
ной цели — помогало самостоятельной работе студен-
тов над книгой. Поэтому наряду с оригинальными ис-
следованиями излагаются в необходимом объеме об-
щие задачи интенсификации энергосбережения, обра-
зующие инфраструктуру серии.
Одним из важнейших условий перестройки и ус-
коренного развития народного хозяйства является
экономически обоснованная экономия топливно-энер-
гетических ресурсов во всех отраслях промышленно-
сти, в том числе и электроэнергетике. Интенсифика-
ция энергосбережения — один из узловых вопросов
развития народного хозяйства.
3
Намечена и осуществляется новая концепция развития энер-
гетики страны — всемерная замена лучших энергетических ре-
сурсов, используемых в качестве топлива, худшими, вытесне-
ние нефти из баланса потребления за счет использования на
первом этапе газа и угля, а в дальнейшем — замены газа уг-
лем . Эта концепция включает в себя также всемерное раз-
витие ядерной энергетики при особо высокой надежности АЭС,
а также использование возобновляемых ресурсов (последние на
прогнозируемом этапе развития будут играть лишь вспомога-
тельную роль).
На основе общих социально-экономических положений перед
энергетикой ставится ряд целевых требований:
— обеспечить к 2000 г. рост энерговооруженности народного
хозяйства, необходимый для повышения производительности
труда в 2—2,3 раза;
— снизить, а затем и приостановить рост темпа годовых ка-
питаловложений в энергетику, которые в настоящее время за-
нимают значительную долю всех инвестиций в народное хозяй-
ство;
— устранить неблагоприятное влияние энергетики на окру-
жающую среду, обеспечив экологически допустимую эксплуата-
цию энергетических объектов. Сократить выбросы вредных ве-
ществ электростанциями на Уз к 2000 г. и в 2 раза — к 2010 г.
(в частности, этой цели служит объявленный ГКНТ Всесоюз-
ный конкурс на создание экологически чистых тепловых элект-
ростанций);
— снизить энергоемкость национального дохода не менее
чем в 1,4 раза к 2000 г. и в 2 раза к 2010 г.
Последнее требование относится не только к энергетике.
Оно, во-первых, предполагает интенсификацию энергосбереже-
ния во всех без исключения отраслях и объектах народного хо-
зяйства и, во-вторых, ориентирует на ускоренное развитие ме-
нее энергоемких отраслей народного хозяйства (разумеется,
при оптимальной сбалансированности производства различных
видов продукции).
Интенсификация энергосбережения включает в себя большое
число направлений, в том числе строжайшую экономию энерго-
ресурсов за счет устранения непроизводительных потерь топли-
ва, тепловой энергии, электроэнергии; переход на новые энерго-
сберегающие технологии; замену устаревшего оборудования но-
вым более экономичным и т. д. Анализ показывает, что затра-
ты, необходимые для обеспечения экономии топлива в народ-
ном хозяйстве, существенно меньше (особенно на первом эта-
пе) затрат на увеличение добычи того же количества топлива.
Интенсификация энергосбережения — одна из сторон направ-
ления развития народного хозяйства. Суть его заключается в
использовании всего комплекса эффективных мероприятий, на-
правленных на существенное снижение удельных энергозатрат
производство продукции, повышение производительности
|руда, т. е. в использовании организационно-хозяйственных ме-
роприятий (переход предприятий и отраслей на самоокупае-
мость и самофинансирование, внедрение хозрасчета, реализа-
ция закона о социалистическом предприятии, реорганизация си-
стемы управления).
К числу мероприятий по экономии энергоресурсов отно-
сятся:
— переход на энергосберегающие технологии производства,
повышение уровня организации производства, сокращение ма-
териалоемкости выпускаемой продукции;
— совершенствование структуры энергетического оборудова-
ния, демонтаж и реконструкция устаревшего оборудования;
— разработка и внедрение более эффективных энергопотре-
бителей (электроприводов и другого энергопотребляющего обо-
рудования), совершенствование управления их режимами;
— сокращение потерь и повышение использования вторичных
топливно-энергетических ресурсов;
У — применение комбинированных энерготехнологических про-
цессов.
Перечисленные мероприятия немыслимы без соответствую-
щих (причем в ряде случаев весьма значительных) капитало-
вложений. Учитывая напряженный баланс инвестиций в народ-
ное хозяйство, необходимо прежде всего использовать меры, не
связанные с большими капиталовложениями, т. е. в первую
очередь меры по снижению непроизводительных потерь элект-
роэнергии. Относительно малые затраты на снижение разных
потерь характерны и для всех отраслей народного хозяйства.
к Решение задачи снижения потерь электроэнергии предус-
матривает укрепление порядка, организованности и ответствен-
ности, совершенствование выполнения планов и экономическо-
го стимулирования, внедрение научно-технических достижений,
рационализацию и изобретательство. Научно-технический прог-
ресс связан с массовым использованием современной вычисли-
тельной техники для оперативных решений по регулированию
напряжения, целесообразным изменениям конфигураций схем
электрических сетей, рациональному использованию источников
реактивной мощности, управлению перетоками активной и ре-
активной мощностей, автоматическому учету расхода электро-
энергии. Все перечисленные мероприятия, а также и некоторые
другие требуют относительно малых затрат.
Уменьшение потерь электроэнергии — важная задача, о мас-
штабах которой можно судить по следующим показателям.
В 1990 г. планируется довести производство электроэнергии
по стране до 1840—1880 млрд. кВт-ч, в том числе в Единой
энергетической системе (ЕЭС) СССР будет произведено около
90% этого количества. Установленная мощность ЕЭС СССР
на начало 1988 г. составила 335 млн. кВт, а протяженность
5
электрических сетей всех напряжений равна 5 млн. км, в том
числе 182 тыс. км сетей напряжением 220—1150 кВ. При этом
в электрических сетях ЕЭС теряется примерно 9—9,5% от про-
изводимой электроэнергии, т. е. при сохранении этого уровня в
1990 г. потери только в ЕЭС составят примерно 150 млрд.
кВт-ч. Если к этому добавить потери в сетях энергосистем, не
входящих в ЕЭС, а также в сетях потребителей (последние со-
ставляют примерно 4—5% от всей производимой электроэнер-
гии), то общие потери превысят 200 млрд. кВт-ч. Размер этих
потерь можно оценить, если представить, что все атомные эле-
ктростанции работают в основном на покрытие потерь электро-
энергии в электрических сетях, что в пересчете на условное
топливо составляет около 70 млн. т в год.
В последние годы наряду с термином потери электроэнер-
гии используется и другой термин — технологический расход
электроэнергии на ее передачу по электрическим сетям (ТРС).
Если под потерями понимать только непроизводительные по-
тери, вызванные неправильным ведением режима передачи эле-
ктроэнергии и неиспользованием других средств и мероприятий
по сокращению потерь, то такие потери составляют некоторую
часть ТРС и, следовательно, последний термин является более
общим, поскольку он включает оптимально необходимый тех-
нологический расход и непроизводительные потери.
Если же под потерями понимать не только непроизводитель-
ные, но и оптимально необходимые для передачи электроэнер-
гии, то термины потери и технологический расход являются си-
нонимами, означают одно и то же явление. В дальнейшем в
серии используются оба эти термина без особых пояснений в
тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям.
При решении конкретных задач по снижению потерь элект-
роэнергии в электрических сетях и энергоустановках необходи-
мы, разумеется, соответствующие научные технико-экономиче-
ские обоснования целесообразности тех или иных мероприятий.
Сюда относятся, естественно, расчеты экономической эффектив-
ности и технологической целесообразности каждого мероприя-
тия. К числу наиболее существенных можно отнести следую-
щие:
— создание экономически оптимальных режимов работы эле-
ктроэнергетической системы, включая загрузки электростанций,
потоки мощности по межсистемным, системообразующим и рас-
пределительным сетям энергосистем, а также сетям потребите-
лей;
— целесообразное сетевое строительство;
оптимальная загрузка различных устройств энергоуста-
новок, в частности массовых асинхронных электроприводов и
других потребителей электроэнергии;
использование существующих и выбор целесообразных
устройств компенсации реактивной мощности.
6
В настоящее время известно большое число научных работ
и практических рекомендаций, посвященных методам расчета
й прогнозирования технологических расходов электроэнергии,
определения мероприятий по их сокращению. Однако анализ
показывает, что многие рекомендации нуждаются в улучшении.
Среди актуальных задач можно назвать:
— исследование современного состояния и определение целе-
сообразных мероприятий по развитию системы сбора информа-
ции о режимах работы электрических сетей;
— разработка методов расчета и способов учета ТРС в
электрических сетях с оценкой погрешностей при различной сте-
пени исходной информации;
— совершенствование методов расчета установившихся ре-
жимов электрических сетей и систем;
. </—разработка методов прогнозирования ТРС и выбора ме-
роприятий по сокращению потерь электроэнергии;
— разработка и совершенствование методик оценки эконо-
мического эффекта от внедрения мероприятий по уменьшению
ТРС.
Среди мероприятий по снижению ТРС важное место зани-
мает установка в электрической сети компенсирующих уст-
ройств, предназначенных для создания оптимальных потоков
реактивной мощности при надлежащих уровнях напряжения.
Поиск наиболее целесообразных путей доведения оснащенности
электрических сетей компенсационными устройствами до опти-
мального уровня предполагает рассмотрение многих факторов
различной природы, оказывающих взаимное влияние друг на
друга (технические, организационные, финансовые, конъюнк-
турные и т. д.).
Задачу доведения компенсации реактивной мощности в се-
тях до экономически обоснованных значений можно разделить
на ряд подзадач, решаемых на различных иерархических уров-
нях:
на отраслевом и народнохозяйственном
уровнях — определение общей потребности в средствах ком-
пенсации на перспективу для организации их производства в
необходимых объемах; рациональное распределение произво-
димых средств между районами страны и предприятиями; соз-
дание комплекса директивных и методических документов, обе-
спечивающих реализацию наиболее целесообразных решений в
условиях различной ведомственной подчиненности организаций,
проектирующих и эксплуатирующих сети;
на уровне энергосистемы — определение и осущест-
вление оптимальной последовательности ввода компенсирующих
устройств в системе электроснабжения, объединяющей сети
различной ведомственной принадлежности с разной степенью
полноты и достоверности информации об их нагрузках и пер-
спективах развития; выдача потребителям условий по компен-
сации реактивной мощности, на базе которых формируются те-
кущие потребности в компенсационных установках;
на уровне потребителей электроэнергии —
выбор мощности и мест установки компенсирующих устройств,
обеспечивающих заданные электроснабжающими организация-
ми условия потребления реактивной мощности и нормальные
режимы работы электропотребления.
Для эффективности электроэнергетики-в целом, а также от-
дельных ее частей и элементов наряду с экономией энергоре-
сурсов большое значение имеет надежность работы электро-
энергетических систем и систем электроснабжения. Проблема
надежности относится к числу важнейших наряду с экономич-
ностью, охраной окружающей среды, качеством электроэнер-
гии. Эта проблема включает ряд критериев, которые в совокуп-
ности и характеризуют надежность в целом. Сюда входят без-
отказность, устойчивоспособность, режимная управляемость,
живучесть, долговечность, ремонтопригодность.
На различных иерархических уровнях электроэнергетики и
в различных ситуациях ведущими являются те или иные крите-
рии. Однако во всех случаях повышение надежности как обя-
зательное условие повышения эффективности производства свя-
зано с увеличением затрат, вкладываемых при создании и экс-
плуатации систем, их частей и элементов. Поэтому всегда сто-
ит задача поиска оптимального решения между надежностью и
затратами. Вследствие этого при поиске оптимальной надежно-
сти приходится решать как социальные, так и экономические
задачи, среди которых важными являются следующие:
— определение допустимых капиталовложений в резервиро-
вание энергетики, поскольку оно неизбежно связано с перерас-
пределением капиталовложений и материальных ресурсов;
— обоснование уровня надежности системы по тем или иным
критериям. Теоретически этот уровень должен отвечать требо-
ванию наибольшей эффективности в смысле соответствия опти-
мальному национальному доходу, как главному критерию оп-
тимальности народного хозяйства. Однако в настоящее время
нет метода определения этого соответствия и практически эта
задача решается путем поиска минимума приведенных затрат
с учетом ущербов от потерь надежности и коррективов по со-
циальным факторам;
— обоснование оценок удельных и полных значений ущер-
бов от нарушений электроснабжения различных потребителей;
— определение социальных условий и показателей в зави-
симости от уровней надежности электроснабжения, особенно
для потребителей системы коммунально-бытового назначения.
Сети электрических систем относятся к сложным человеко-
машинным техническим объектам с высоконадежными элемен-
тами, поэтому большое внимание следует уделять вопросам
обоснования так называемых «схем отказов» с ограниченным
8
JEfonoM элементов и декомпозиции сложных систем, в частно-
|ти в оценках поузловой надежности.
ffe О целью упрощения изложения в многостороннем свойстве
Надежности условно выделяются две составляющие: структур-
ная и функциональная. Оценки первой базируются на струк-
турном анализе сложных схем, второй—на определении интег-
ральных характеристик режимов в послеаварийных состояниях
и выявлении путей развития отказов элементов.
Изложены основные формальные приемы формирования от-
казовых состояний с учетом логики функционирования элект-
рических сетей и экономическая сущность создания высокона-
дежных электрических сетей.
Практические алгоритмы расчетов надежности ориентиро-
ваны на применение современных ЭВМ.
настоящее время большая часть электроэнергии, выраба-
тываемой электростанциями, потребляется на промышленных
предприятиях. Научно-технический прогресс требует дальней-
шей электрификации производства, так как производительность
труда непосредственно связана с энерговооруженностью. Это, в
$ррю очередь, выдвигает проблему рационального потребления
электроэнергии на промышленных предприятиях на первый
план.
В СССР в промышленности на единицу выпускаемой про-
дукции потребляется в 2—2,5 раза больше электроэнергии, чем
в развитых капиталистических странах. Объясняется это как
использованием устаревших малоэффективных технологий, так
и применением нерациональных решений при проектировании
и эксплуатации систем электроснабжения.
;; Перерасход электроэнергии отдельными технологическими
установками может быть выявлен только при наличии четкого
учета электропотребления как промышленным предприятием,
так и каждой технологической операцией.
Экономия электроэнергии непосредственно в системе элект-
роснабжения не должна осуществляться за счет снижения ее
надежности и ухудшения качества. Ухудшение качества элект-
роэнергии у электроприемников, так же как и надежности, вли-
яет на производительность труда и приводит к браку продук-
ции. Основная задача проектирования и рациональной эксплуа-
тации системы промышленного электроснабжения — обеспече-
ние минимального электропотребления для получения эффек-
тивных технологических процессов на высоком уровне.
Приведенное выше краткое, а в ряде случаев и упрощенное
рассмотрение некоторых аспектов проблемы энергосберегающей
технологии электроснабжения народного хозяйства не претен-
дует на полноту раскрытия всех особенностей этой проблемы
и предназначено для первоначального представления, введения
читателя в комплекс вопросов и задач этой проблемы, которые
более подробно рассматриваются в книгах серии.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам се-
рии— проф. И. В. Жежеленко (Мариупольский металлургиче-
ский институт), а также коллективам соответствующих кафедр
Рижского политехнического института им. А. Я. Пельше:
кн. 1 и 4 — коллективу кафедры автоматизированных электрических
систем;
кн. 2 и 5 — коллективу кафедры автоматизированного электропривода;
кн. 3 — коллективу кафедры электроснабжения,
замечания которых способствовали улучшению материала посо-
бий.
Издание настоящей серии не имеет прецедентов и это не
могло не сказаться на тех или иных просчетах и ошибках, до-
пущенных при рассмотрении различных задач и вопросов. По-
этому авторы с благодарностью примут все замечания как по
отдельным вопросам, так и по общей направленности и содер-
жанию. Отзывы, замечания и предложения можно направлять
по адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, из-
дательство «Высшая школа».
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Технологический расход электроэнергии в элект-
рических сетях (ТРС), связанный с ее передачей и
распределением, складывается из двух основных со-
ставляющих — потерь электроэнергии в линиях пе-
редачи, генераторах, трансформаторах и других эле-
ментах электрической системы и так называемых
«коммерческих потерь», вызванных несовершенством
учета и контроля электроэнергии. Поэтому для
уменьшения ТРС используются не только методы оп-
тимизации электрических режимов и выбора средств
уменьшения потерь электрической энергии в элект-
рических сетях, но и методы правильного учета и
прогнозирования величины ТРС, позволяющие улуч-
шить контроль электроснабжения потребителей и тем
самым снизить коммерческую составляющую ТРС.
Общая постановка задач оптимизации и учета потерь
электроэнергии составляет основное содержание дан-
ной книги.
За последние 25 лет потери электроэнергии в
электрических сетях СССР увеличились с 7 до 9% от
общего количества электроэнергии, отпускаемой в
электрическую сеть [1]. Основными причинами роста
ТРС были увеличение средних расстояний между ис-
точниками и потребителями электроэнергии в связи
с укрупнением электростанций, а также отставание
объемов сетевого строительства по сравнению со
строительством электростанций и недостаток в уста-
новке средств компенсации реактивной мощности в
местах ее потребления (фактически 0,18 квар/кВт
вместо целесообразных 0,4—0,9 квар/кВт).
Во многих случаях потоки мощности в распредели-
тельных сетях и системообразующей сети передава-
лись при плотностях тока, значительно превышающих
экономическую.
В данном пособии рассмотрены не все возможные
мероприятия по уменьшению ТРС, а только те из них,
которые связаны с правильным проектированием и экс-
плуатацией электрических систем.
ГЛАВА
ВИДЫ РАСЧЕТОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
РАСХОДА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
И ИХ ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Расчет ТРС — составная часть большого комплекса
разнообразных задач анализа режимов работы электрических систем. Особен-
ности постановки этих задач определяют разнообразный спектр методов и
приемов конкретных расчетов ТРС, общим требованием к которым является
достаточно полный учет всех видов информации для решения поставленной
задачи или уточнения полученного решения.
Информационную базу анализа рассматриваемого класса задач состав-
ляют три вида контроля системных параметров, существенно различающихся
по периодичности и точности выполняемых замеров, а также по объему кон-
тролируемых параметров.
Первый вид контроля параметров относится к системообразую-
щим элементам (межсистемные линии, основные электрические станции, сум-
марные мощности энергосистем и их наиболее крупных узлов). Для этой цели
используются устройства телемеханики с высокой частотой сбора данных.
Второй вид контроля выполняется с меньшей частотой по при-
борам регистрации потребления электроприемников и выдачи мощности элек-
трических станций. В настоящее время принимаются меры по уменьшению
периода и увеличению надежности таких замеров, что существенно увеличит
достоверность ряда расчетов ТРС.
Третий вид контроля представляет собой сезонный замер, он
выполняется один-два раза в год и, как правило, вручную. Несмотря на весьма
приближенный характер и нерегулярность сезонного замера, его результаты
используются в задачах анализа ТРС, так как этот замер параметров элек-
трического режима осуществляется практически одновременно для всех эле-
ментов электрической сети.
1.1. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
РАСХОДА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
Среди разнообразных задач расчета и оп-
тимизации ТРС можно выделить три наиболее важные группы,
предъявляющие различные требования к методам получения и
последующей обработки исходной информации.
1. Задачи долгосрочного планирования энергосистем. Значи-
тельный интервал упреждения, составляющий отрезок в 5—7
или даже в 10—20 лет, делает ненужной какую-либо детализа-
цию в постановке и решении таких задач. Стандартные методы
прогнозирования, использующие наиболее стабильные связи
прошлого развития, не улавливают качественных изменений
структуры производства и распределения энергии. Поэтому при
решении задач данной группы целесообразно сочетать простей-
шие методы прогнозирования развития суммарной мощности
12
ДШи объединений с разнообразными эвристическими оцен-
к?8|Гшироко использующими в последнее время теорию «не-
множеств» *.
Задачи среднесрочного и краткосрочного прогнозирова-
НЖ^ТРС. На этапе средне- и краткосрочного проектирования
решается задачи размещения источников реактивной мощности
^Энергосистеме, прогноза ТРС как для всей сети, так и для
линий связи между системами, годового прогноза ТРС. Кроме
того, разрабатываются наиболее эффективные мероприятия по
его снижению. При этом требуется довольно детальный анализ
потерь энергии в электрической сети, учитывающий все много-
образие режимов систем, в том числе суточный, недельный и
годовой циклы колебаний мощностей в линиях.
.^Анализ ТРС ориентируется на некоторую базовую схему ра-
бо$ы|сети энергосистемы и учитывает сравнительно небольшие
изменения конфигурации сети, например, связанные с проведе-
н^Кмероприятий по уменьшению ТРС.
Задачи оперативных расчетов ТРС. Такие расчеты опре-
деляют эффективность деятельности энергообъединений по эко-
номии ТРС, позволяют определить районы, имеющие неучтен-
ных потребителей электроэнергии, и т. д. Оперативные расчеты
TRC должны учитывать не только графики изменения мощно-
сти нагрузок, но и все переключения в схеме учитываемой эле-
ктрической сети.
/ Эффективность решения перечисленных групп задач анали-
за ТРС существенно зависит от способов регистрации исход-
ных данных, анализ которых рассмотрен далее.
1.2. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ЗАДАЧИ АНАЛИЗА РЕЖИМОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ **
. Наиболее точным и оперативным источни-
ком данных о параметрах электрической системы является те-
леинформация. Телеинформация предусматривает выполнение
оперативно-диспетчерского контроля режимов работы ЕЭС
.СССР, объединенных или районных (ОЭС или РЭС) энергоси-
стем, сетевых предприятий энергосистем (ПЭС).
Системы телемеханики, используемые для анализа ТРС,
включают в себя два вида каналов — телесигнализации и те-
леизмерений.
^Каналы телесигнализации охватывают практиче-
ски .все элементы схемы электроснабжения электрической си-
* Заде Л. А, Размытые множества и их применение в распознавании об-
разов и кластер-анализе//Классификация и кластер. М., Мир, 1980.
*♦ Руководящие указания по выбору объемов информации, проектирова-
?®ию систем сбора и передачи информации в энергосистемах. М., СПО Союз-
^энерго, 1981.
? i »••
•J
13
стемы для напряжений выше 35 кВ и позволяют
любые изменения диспетчерской схемы.
Каналы непрерывных телеизмсрс..
контролировать напряжения и мощности линий,
ролируются только наиболее важные элементы схем! кяк ппавичо
снабжения. Системы телеизмерения устанавливаются на шинагп’а&ица между этими частями ,про, Д Р
генераторного напряжения всех станций опптоиы ---------- -~-л
и приемных концах линий выше 220 кВ и
редачи 220 кВ. Линии ПО кВ оснащаются
^Из рисунка видно, что линии и узлы, снабженные кана-
-йазываемый наблюдаемой частью электрической системы;
, по ши-
системы,
и основных линий щ
и системой телеизмепараметрах ненаблюдаемой части являются сезонные замеры
- птлгтл гшсгш.плл п ГЛ Л 711 ил 7Ш МП U 51 ТТТ А И R V V П Я Q П ГЛ П
I
В^птгсезонных замеров, как правило, снимается не более 4—
О-йаутетвие телеизмерений в основной части распределитель-
1 1 Л ОС г-ч ТТ лл T-.Z-K ЛТТЛЛ1Л» г Лч rJTT ЛЛГГП ЛГТТТГЧ Г> Л'ГГЧЧ Г П ТТ Л ЛТ1 ПЛЛ,
рс, поскольку до 70% технологического расхода энер-
ее транспорт падает именно на эту часть электрической
эмы [1].
наведенное краткое описание средств информационного
- —— — м ___ * ж .А. .ж* *—4. — — X М Ж ММ. I. М М Ч» М —- М V
контролировав анализа ТРС удобно ориентироваться именно на такую
рисунка видно, что линии и узлы, снабженные кана-
е р е н и й позволявД^^телеизмерений, образуют электрически связанный район
\ однако KOfy ет0р называемый наблюдаемой частью электрической системы;
схемы электр^^кд^ные линии и узлы образуют ее ненаблюдаемую часть,
на шинарпЦица между этими частями проходит, как правило, по ши-
питающин0^Трансформаторных подстанций ПО и 35 кВ.
Единственным источником информации об электрических
-— -ж жж л л. w я w ж жж Ж"* жж *"Ж ж-х ТТ ТZ*V гу\ П Z4! /"N r*> Z"\ ТТ Т Т Т Т <4. Ж Ж ♦Ж Т Т
I
мощностей, выполняемые вручную не чаще двух раз в год.
В дни-сезонных замеров, как правило, снимается не более 4—
6 точек суточного графика.
Отсутствие телеизмерений в основной части распределитель-
ноЙ1ети ИО—35 кВ энергосистем существенно затрудняет рас-
ГТЛГП14т"Г'^"'^"'' ттт TZTT Т1/-Х 7А0/ тлхгтт/л ПППТТТТ АГ>ГЛГ\ГГ\ ri'invrinc >3ипп_
Ч-ЗД ы
- .Ж*
ГИЖ р,- -
системы [1].
. ... :.
обеспечения (контроля режимных параметров) электрических
систем, показывает, что исходную информацию для задачи рас-
чета-,..1рРС любого уровня можно получать только статистиче-
скими методами.
НОкВ
ifr, fe| TzOkB
. НО кВ
IIOxB
систем .показывает, что исходную информацию для задачи рас-
Рис. 1.1. Схема размещения устройств телеизмерений
рений в ограниченном объеме. Обязательна установка таких
систем только на линиях, соединяющих энергосистемы.
Для местных линий ПО кВ ::
устанавливаются только на питающем конце, как правило, :
соединенном к шинам среднего напряжения автотрансформ
ров. Тупиковые линии НО кВ (г----------
ми) не оснащаются системами
‘ _ - - j HV I.
Типичная схема размещения
мы показана на рис.
14
и ниже системы телеизмерений
------------------------------------- k как Правило> ПрИ,
” ж !ато-
в том числе и линии с отпайка-
____________________________ телеизмерений при условии, что
мощность головного участка не превышает 30 мВт.
Тмггт1 ттт - j каналов телеизмерений систе-
1.1. При описании различных методов
1.3. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ
МЕТОДОВ ДЛЯ ПЕРВИЧНОЙ обработки
ИСХОДНЫХ ДАННЫХ [2]
Вероятностные свойства информации о па-
раметрах режимов электрических систем (ЭС) определяют при-
менение статистических методов моделирования. Исходным
этапом статистического моделирования является выборка.
Выборкой называется совокупность N наблюдений Xi неко-
торого случайного показателя X, Если на исходном вероят-
ностном пространстве определено п случайных показателей Xk
и;в'точках наблюдения со* измеряются значения каждого пока-
зателя xik, то говорят о многомерной выборке ранга п и раз-
мерности N, Приписывая элементам выборки (ог- одинаковые ве-
роятности Pi=p=l/N, можно построить выборочное простран-
ство
авновероятных значений случайной величины ...
•
^Статистические свойства Хдг должны приближенно совпа-
дать со свойствами исходной случайной величины X, Чтобы
обеспечить такое совпадение, случайные величины соответ-
ствующие выбранным значениям х^, должны быть взаимно не-
зависимыми. Для независимых случайных величин условная
вероятность выбора точек из любого интервала возможных зна-
чений исходной случайной величины X (генеральной совокуп-
ности) равна абсолютной вероятности данного интервала. При
15
•ж;
этом исключается возможность попадания всех точек Xi в не
которую узкую зону значений генеральной совокупности.
Любые расчеты ТРС выполняются для некоторого проме
жутка времени Т. При оперативных расчетах этот промежуток
составляет от нескольких часов до недели, при ретроспектив,
ных расчетах рассматривается более длительный период прощ.
лого, а в прогнозных расчетах — период будущей работы энер.
госистемы.
Статистические выборки перетоков мощности системообра-
зующих сетей и параметров линий в оперативных расчетах ТРС
находятся непосредственно из телезамеров.
Режимные параметры наблюдаемой части электрической си-
стемы для интересующего нас периода Т определяются на ос-
нове сезонного системного замера, а затем корректируются на
основе рассчитанной суммарной нагрузки системы периода Т
или других наблюдаемых параметров. Так как указанные па-
раметры рассчитываются, а не измеряются непосредственно, то
их значения Xi, х2,...fxN будем называть «псевдозамерами».
Замеренные непосредственно или рассчитанные выборки ре-
жимных параметров электрической системы xi, х2,... ,Хдг ис-
пользуются для оценки математических ожиданий и дисперсий
генеральной совокупности. Соответствующие оценки называются
средним по выборке и выборочной дисперсией соответственно:
Жг'
в
N
то
точках оценивается
совокупность
,1 Если
XХи, .
образует матрицу S(X), на
ки случайных величин X,:
, S(X)=
Л’
1-J
/»
п случайных
корреляционных i__
диагонали 1
s2X2
°"”" величин Хц
: моментов s(XiXf)
которой находятся оцен-
п
п -
_ г... в статистических вы-
не только исходные случайные вели-
- -------
$ П’
.^ОВак и в детерминированных расчетах,
чЙЛСНИЯХ используются не ТОЛЬКО ИСХОДИВ -----------
чины Хц оцениваемые по выборке, но и их линейные комбина-
ЦИИ>
Ofe'-
п
Для определения математических ожиданий МУ и диспер-
^едй а2У линейной комбинации У, полученной по формуле (1.6),
пользуются соотношения
п
Л1Г = 2 aiMXi'
п п
б2Г = V S
Наряду с простейшими формулами (1.1), (1.2), характери-
зующими свойства отдельной случайной величины X, статисти-
ческие расчеты ТРС требуют учета взаимного влияния случай-
ных величин X и У. Простейшей характеристикой такого влия-
ния является корреляционный момент cov(X, У), который для
случайных величин, обладающих двумерной плотностью рас-
пределения f(X, У) [2], вычисляется по формуле
\ (х — МХ)(у — MY)f(x, y)<dxdy,
где MX, МУ — математические ожидания случайных величин
X и У.
Если случайные величины X, У оцениваются по выборке {хь
.; Xjv, yN}, то оценка корреляционного момента, в дан-
ь
У г, х2, у2;
ном случае обозначаемая s(X, У), находится по формуле
16
1
корреляционный момент случайных величин
Xi, X).
Из коэффициентов cov(X,-, X/) можно образовать матрицу
cov (X), а коэффициенты объединить в вектор А= (аь а21 —
...» On). Тогда выражение (1.8) запишется в матричной форме
й a2r = ATcov(X)A, (1.9)
где знак <т» определяет операцию транспонирования вектора —
столбца А в вектор-строку Ат.
Если случайные величины X,- в (1.6) независимы, то корре-
ляционные моменты cov(X, X/), где i=/= j, равны нулю. При
этом (1.8) упрощается:
п
(1.10)
мФ
17
i
•и
п
В частности, если У= Xt- и все независимы и облада-
Z-1
ют одинаковой дисперсией о2, то
JY=nJ.
(1.И)
Случайные векторы, как и детерминированные, могут быть
связаны между собой матричными уравнениями. Например, на
основе случайного вектора X(Xi,... ,ХЛ) и матрицы А, содержа-
щей п столбцов и т строк, можно определить случайный век-
тор Yem компонентами ¥={УЬ..., Ym}:
Y;=AX.
(1.12)
Вектор математических ожиданий и матрица корреляцион-
ных моментов нового вектора Y определяется по формулам
MY=A MX; (1.13)
cov(Y)=A cov(X)A\
(1.14)
где cov(X)—матрица корреляционных моментов исходного
вектора X.
▼ Пример 1.1. Математические ожидания и корреляционные моменты слу-
чайных величин, определенных по выборке.
Рис. 1.2. Схема замещения электрической сети для
расчета статистических характеристик мощностей узлов
и ТРС
Единицы величин: U [кВ], Р, АР [МВт], S [MB .A], Q [Мвар], Z [Ом]
Электрическая сеть, показанная на рис. 1.2, связывает район энергосисте-
мы с ее остальной частью. Для определения ТРС за некоторые сутки полу-
чены выборки мощностей узлов, состоящие из 24 часовых замеров. Графики,
соответствующие этим замерам, показаны на рис. 1.3.
Приведем для представленной сети расчет статистических характеристик.
Определим статистические оценки математических ожиданий и дисперсий
нагрузок. Подставляя значения выборки Рн, соответствующие графику мощ-
ности первого узла сети Рь в формулы (1.1) и (1.2), найдем
7>1 (8-50 + 16-80)/24 =70 МВт;
Р2== (16-20 + 8-100)/24 = 46,6 МВт;
Р3 = — (12-100 4- 12-200)/24 = —150 МВт.
18
Яйай «—> в последней формуле показывает, что в узле 3 генерация пре-
Жвыша^г потребление.
Оценки дисперсий узловых мощностей определяются в соответствии с
S2 (Рг) = [8 (50 — 70)2 4- 16 (80 — 70)2]/24 = 200 МВт2/ч;
S2 (Рг) = [16 (20 — 46,6)2 4- 8 (100 — 46,6)2]/24 == 1422 МВт2/ч;
S2 (Р3) = [12 (150 — 100)2 4- 12 (150 — 200)2]/24 = 2500 МВт2/ч.
^Приведем расчет статистической оценки корреляционного коэффициента
узлов 1 и 2 по формуле (1.4):
да1 COV (Р1, Р2) = [8 (50 — 70) (20 - 46,6) 4- 8 (80 — 70) (20 — 46,6) 4
Рис. 1.3. Графики нагрузок электрической сети для расчета потерь энер-
[XI гии и статистических характеристик мощностей
f Расчет остальных корреляционных коэффициентов выполняется анало-
гично. Оценки дисперсий и корреляционных моментов мощностей образуют
| корреляционную матрицу:
'^L
S(P) =
"200
266
500
266
1422
1333
500"
1333
2500
1.4. ФОРМУЛЫ РАСЧЕТА
ПОТЕРЬ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
Простейшая формула расчета ТРС хорошо
известна читателю, она использует только информацию о па-
раметрах максимального режима работы электрической систе-
мы и так называемое время максимальных потерь т. Исследо-
вания, на основе которых разработан простейший расчет ТРС,
были выполнены в 20-х годах нашего столетия и в настоящее
время обычно применяются формально, а следовательно, и без
анализа возможной ошибки, связанной с их применением. Рас-
смотрим эту простейшую формулу, обратив внимание на ста-
тистические основы ее получения и возможные ошибки, связан-
? ные с ее применением.
19
Расчет ТРС на основе параметров режима максимума на-
грузки и числа часов максимальных потерь. Основная часть
"ТРС связана с «нагрузочной составляющей» потерь мощности
в линиях передачи и трансформаторах. Пусть линия соединяет
узлы i и j и имеет сопротивление 2ц=гц+]Хц. Потери мощности
в активном сопротивлении определяются по формуле
(1.15)
Если модуль напряжения в начале линии передачи под-
держивается в достаточно узких пределах и коэффициент мощ-
ности нагрузки со&<р остается постоянным, то
р2
ЬРц=Гц-------11 > =СиРи, (1.16)
БаЛТйВм образом, ТРС по линии ij выражается через „матема-
нии
ИШюасход энергии определяется для годового интер-
|^рремя измеряется в часах, то 7=8760 ч.
ожидание и дисперсию мощности, проходящей по ли-
Ж1®остейшая формула расчета ТРС выглядит иначе. Для ее
п^Дтрния рассчитывают потери мощности единственного ре-
(максимальной загрузки линии), которые умножают на
время
дующим
максимальных потерь т — параметр, определяемый еле
образом для случая постоянства со&<р линии ij:
.Ti/z г^2 /ТОО
8760
где сц — некоторая константа.
Мощность линии Pij определяется случайными колебаниями
нагрузок электрической системы и поэтому представляет собой
случайную величину, определенную на точках анализируемого
отрезка Т. Вероятность р(Д) любого случайного интервала Д,
принадлежащего данному отрезку, очевидно, равна Д/Т. Раз-
бивая отрезок Т на п малых интервалов Д^, на которых значе-
ния мощности примерно постоянны и равны Р(ДА), находим
расход энергии на ее транспорт:
ДГ,;^с,7 2 Р2(Дй)Д4=с,77' Р2(ДЙ)^(Д*), (1.17)
Л-1 Л-1
где p(^k)—Ak/T — вероятность интервала Д^.
Уменьшая отрезки Д* и переходя к пределу, можно найти
сколь угодно хорошее приближение для величины ДТГ/у.
Представим далее Рц суммой математического ожидания и
отклонения соответственно:
max*
0
т вычислен по (1.23), то расчеты по форму-
ЖЕсли параметр
да^(1.21), (1.22) приведут к одному и тому же результату,
правило, график мощности P(t) неизвестен и т
с помощью другого параметра — числа часов ис-
максимума нагрузки Тм, рассчитываемого по
Однако, как
определяется
пользования
формуле
8760
м
0
Тм для всех линий энергосистемы обычно прини-
МРн ~ у У Р (М (дй); (1 • 18)
ДР* = Р(Дй)-МР/7. (1.19)
Для дисперсий случайной величины Рц можно получить
следующую формулу [2]:
°2р<7 ~ ~ У Дрй (ДД (1.20)
Л=1
Подставляя найденные соотношения в (1.19), после преоб-
разования [2] получим
ДН7 7 = Ci fT (M*PU + (1.21)
„^^араметр
мается одинаковым и равным числу часов использования мак-
сиЖума суммарной нагрузки PHs, которое определяется по ре-
гулярно регистрируемым графикам РНх(0- Для связи Тм и т
исдользуется эмпирическая зависимость [4]
т=(0,124+Гм/10 ООО)2 8760. (1.25)
:Ж?1исло часов использования максимума ТМ/ рассчитываемое
же*). определяется коэффициентом заполнения графика
мощности и может быть найдено через отношение средней МРц
К максимальной Рц max мощности линии:
Ч'
5 т мри т
м р, *
* ij max
(1.26)
Подставляя (1.26) в (1.21), находим
(Р?7тах^/Г + а2Р/7Г). (1.27)
Формула (1.27) показывает, что при фиксированном значе-
нии Тм величина Д1Г// может изменяться в достаточно широких
пределах за счет изменения в2Рц. Совместное использование
20
21
формул (1.22) и (1.25) однозначно определяет потери энерг^
следовательно, применение этих формул дает некоторую
грешность.
Для оценки ошибки рассмотрим графики с одинаковым мах
симумом 7тах=1 и математическим ожиданием 7ИР=0,5 (рцс
1.4), а следовательно, и с одинаковым числом часов использо
= 1 и математическим ожиданием Л1Р=0,5 (рцс
вания максимума (7Mi = 7M2 = 7M). Если допустить, что прив$
3780
10 000
часов использования максимума Тм и различными
числами часов максимальных потерь т
денные суточные графики остаются постоянными для всех дней
года, то
7м=0,57=0,5-8760=3780 ч.
В соответствии с эмпирической формулой (1.25) параметр
т для обоих графиков определяется одинаково и составляет
2 8760=2207.
Используя формулу (1.22) И учитывая, ЧТО Pi max = .Ра max =
= 1, получаем одинаковую оценку потерь энергии
Д1Г1 = ДЦ72=2207с,.. (1.28;
Ошибочность оценки (1.28) совершенно очевидна, поскольку
потери мощности на интервале 0<7<12 для случая, показан-
ного на рис. 1.4, а, в 4 раза превышают потери мощности для
случая, приведенного на рис. 1.4, б, а продолжительность ин-
тервала, на котором Р!#=0, всего в 2 раза меньше интервала
положительности Р2#=0.
Применение формул (1.21) и (1.28) подтверждает этот
вод:
ВЫ*
о2Л = [(1 — 0,5)2 4380+(0 - 0,5) 43801/8760=0,25;
что неоднозначность связи между параметрами Тм
единственная и, пожалуй, не главная причина погреш-
и иет^ределения ТРС на основании описываемой здесь мето-
Основной причиной погрешности является отказ от учета
А|Кввидуального максимума и индивидуального значения т для
иЯК|у.о элемента электрической системы и замена этих вели-
^мЕбшесистемным максимумом и усредненным значением т.
Ж&ешность такого усреднения невелика, если ТРС рассчиты-
uffrftX в нагрузочном районе, не имеющем генераторов. Если
Зрнекоторый район имеет электрическую станцию, агрегаты
УШЙЬЙ работают в базовом режиме и не снижают мощность в
«Зйые часы, то часы максимальной загрузки линий связи дан-
щЙЙ&айона с остальной частью системы могут не совпадать с
часами максимума нагрузки.
мГпример 1.2. Расчет ТРС сети по простейшей формуле.
Чййбы проиллюстрировать возможную погрешность определения ТРС, вы-
соответствующий расчет для сети, показанной на рис. 1.2, с постоян-
ЗшиЙу очными графиками узловых нагрузок, представленными на рис. 1.3.
Для Кого рассчитаем потери мощности всех режимов работы электрической
сети и умножим полученные значения на продолжительность каждого режи-
Д|Ппи этом получим и найдем точное значение ТРС. Результаты описанных
вычислений сведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Временной интервал, ч
МВ . А. МВт, t, ч 0-8 8—12 12—16 16-24
$3! s2 172,50 7,0 27,49 125,20 172,50 7,0 27,50 95,80 81,81 1,90 18,30 1,0 44,13 47,44 56,20 85,40
дТи ДР 12 Я» ДР32 др» др, Ж s 3,72 0,03 0,47 3,97 8,19 3,72 0,03 0,47 2,22 6,52 0,84 0,0 0,21 0,0 1,05 0,24 1,41 1,97 1,82 5,45
8 4 4 8
°2Р2=[(0,5 - 0,5)28760+(1-0,5) 0]/8760=0;
Д^ = с(1 -^-+°>25-876°U 3780щ
ДМ72 = с ( 1 4- 0-8760) = 1890 с.
\ 8760 1 J
Ъу В табл. 1.1 приведены потери мощности APij линии, соединяющей узлы
17;Для режима k графика мощности продолжительностью th.
W Чтобы определить потери энергии каждой линии ij, достаточно опреде-
лить вероятности pk — th/24 и воспользоваться формулой
22
Подставляя соответствующие значения, находим:
/3,72 3,72 0,84 , 0,24^
\ 3 6 + 6
/0,03 0,03 о
\ з + в
0,47 0,47 0,21
Д^31 =
Д1Г12 =
А №32 =
1,97
= 2,087;
= 0,9267;
/3^97 2,22 0
к 3 б 6
Суммируя ТРС разных линий, получим ТРС всей сети:
Д1Г2 =5,8077.
Сравним результаты точного расчета с результатами, полученными по
простейшим формулам (1.22), (1.25).
При этом в соответствии с рекомен-
дациями [4] выполним два расчета
т — один для режима максимальных
нагрузок, а другой — для максималь-
ной загрузки линии 1—4, связываю-
щей рассчитываемый район с систе-
мой. Как видно из графиков, приве-
денных на рис. 1.5, режиму макси-
мальных нагрузок соответствует про-
межуток от 16 до 24 часов, а режи-
му максимальной загрузки линии 1—
4 соответствует ночной режим от О
до 8 часов. Для определения вели-
чины ДР2 каждого из режимов на
рис. 1.5 приведены графики суммар-
ной нагрузки РН1 рассчитываемого
района и график перетока Ри по ли-
нии связи, используя
дим:
^2тах ~ 5800 Ч.
Рис,
(а)
1.5. График суммарной нагрузки
и перетока по линии связи (б)
для расчета потерь электроэнергии с
использованием
мальных потерь
числа часов макси-
= 2,37.
которые нахо-
^Imax—5677 ч;
графика т=/(^тах) определяем числа часов
На основании i
потерь т1 = 3500, Т2=3700. ТРС в каждом случае находим по
ности максимального режима и приведенным значениям Т] и т2:
максимальных
потерям мот-
^07-_2,.76Л
Погрешности определения потерь, %, Для приведенных расчетов состав-
ляют:
= 5,45
100=40,42.
_ 5,807 — 2,176
------ 100 = 62,53;
о ,ош
лапу 5,807-3,46
5,807
Очевидно, в рассматриваемом случае простейший способ расчета ТРС не-
применим.
24
НЖ основании опыта расчета ТРС можно сделать выводы,
Жрактеризующие целесообразную область применения [1] ме-
вЖиспользующего параметр т.
Простейший метод расчета обычно достаточно точно опре-
деляет суммарный расход энергии на ее транспорт, поэтому в
Явочных и проектных расчетах, исходные данные которых из-
вестны с малой точностью, его применение оправдано.
«Г2. При наличии детальной информации о режиме электри-
ческой сети и решении оптимизационных задач, основной целью
1о1орых является уменьшение ТРС, целесообразно применение
[методов, учитывающих все многообразие режимов сети. Уточ-
ненные методы необходимо использовать в оперативных расче-
выполняющихся ежесуточно и учитывающих колебания
мощностей системообразующей сети и изменение диспетчерской
схемы сети.
^Статистическая формула расчета ТРС. Для записи выраже-
ния ТРС линии электрической системы используем следующую
1формулу потерь активной мощности:
гл Г/гг' гг'\2
" Г г"\2
(1.29)
продольная и поперечная составляющие напря-
г>. US, Щ'-
жения узла I.
И|Если в (1.29) перейти от прямоугольной формы записи на-
пряжений к полярной, то получим
, п Г / I Г г2
(1.30)
(1.31)
где Ui, — модуль и фаза напряжения узла i.
^Выразим напряжения в формулах (1.29), (1.30) через их
математические ожидания М1Ц, MU", MUit Мдс
14 U]=MU'c + Д£Л'; U]=MU] + MJ]-
U i=MUi + A U = М^ + Д8„
]где величины MJt, MJ", MJi, Дб;— отклонения соответствую-
1щих величин от своих математических ожиданий.
Используя разложение в ряд Тейлора и учитывая его пер-
вые три члена, получаем
If ДР/у=[{MU'i - ми})2- MU})2] gii +
^2 [(MU}-ми}) №}-MJ})+(MU}-MU}) (LU’i-Ш})} gi]+
+[(д</; - д</;)2+(MJ]+д/?;-)2] gl).
: Расход энергии на ее транспорт по линии ij находится ин-
егрированием случайной величины ДР»; по области ее опреде-
ления:
д
25
Так как средние значения величин АСУ/, АС//' равны нулю И
&U'idt3 j MJidt также равны нулю. Выра
6
т
f MJ?dt
интегралы вида I
о
f tijfdt и
О о
ветствующих величин:
жения
^Еупавнения баланса мощности записать приближенно,
разложение в ряд Тейлора в окрестности математи-
вс^М^жиданий мощностей, то можно получить следующие
’Чакения:
МР[ — fo) +
п
определяются дисперсиями coo?.
%
выше,
линии
[ ДU?dt = Ta^Ur, J LU?dt = Ta2U’i.
О о
Используя указанные соотношения, находим выражения для
ТРС линии:
A = Tgi} [М2 (U\ - Uj)+М2 (17; - U}) +
+^(47;-47;)+o2(t7;-t/;)].
Выполняя интегрирование выражения (1.30), как и
можно получить следующее приближенное выражение:
дЦ7/у = Tgij [M2(UUz)+MU.MUj M2(В, -8y)+
+ a2 (Ut - Uj)+MU tMU ,a2 ()] •
Суммирование выражений (1.33) или (1.32) для всех
сети позволяет найти суммарное значение ТРС системы.
Приведенные формулы показывают, что для определения
ТРС достаточно знать только две характеристики напряжений
узлов — их математические ожидания и матрицу корреляцион-
ных моментов.
Как и в детерминированных методах анализа установивше-
гося режима, в рассматриваемом методе, учитывающем стати-
стический характер исходных данных, напряжения узлов си-
стемы определяются по заданным статистическим характери-
стикам мощностей узлов на основе уравнений баланса мощ-
ности (УБМ). Как правило, эти уравнения записываются в
полярной системе координат:
п
+ 2 UlLJi(sin (8‘— 8>> Ь" ~ Cos (8j' — М
Q/M.dJ, 0=^,
п
—sin (&z—
ж
MQt-AQz+’MUo. М+
п
дЪ]
вВгравнениях (1.35) приняты обозначения: ДР, AQ —откло-
матических ожиданий; Uo, 6о — векторы модулей и фазовых уг-
лов|®&ловых напряжений, соответствующие режиму математи-
ческих ожиданий мощностей; AC//, Adj — отклонения модулей и
фазовых углов от начальных значений СЛо, Szo-
^Ьистему (1.35) можно заменить двумя эквивалентными:
+ М=0;
-MQz+Wo> а0)=°;
кения" активных и реактивных мощностей узлов от своих мате-
Ж^.’дР
Д6
ди
dP
d8
OP
dU
dQ
ДР
AQ ’
(1.36)
(1.37)
dQ
d8
dQ
—- — клеточные
dU
^Квитов вида дфх7дб/; дця/ди^ d^i/d6}9 dtyi/dUj.
^Соотношение (1.37) показывает, что математические ожи-
даяая Д61, Д U, — линейные комбинации нулевых математиче-
ских- ожиданий отклонений активных ДР/ и реактивных AQz
мощностей. Следовательно, ограничиваясь приближенным уче-
Togt связей мощностей и напряжений (1.35), можно считать, что
величины бго, С/о являются математическими ожиданиями со-
ответствующих напряжений и углов:
ми~и^ (1.38]
математические ожидания зависимых параметров режима
прй0лиженно определяются из режима, соответствующего мате-
штическим ожиданиям мощностей.
dP . dQ .
OU ’ d8 ’
dU J
матрицы, состоящие из
26
27
&
В этом случае формулу (1.33) можно выразить
тери мощности режима математических ожиданий
[ДР//(МР, MQ)]:
Д^; = ГДР|7(Л1Р, A1Q) + P [з2(47^£7у)+
Второе слагаемое выражения (1.39) в дальнейшем буде\
называть дисперсионной составляющей ТРС,
Формула (1.39) является приближенной, так как получена
из упрощенной записи уравнений баланса мощностей. Более
точные соотношения для математических ожиданий напряже.
ний будут получены в гл. 2 после учета квадратичных членов
уравнений баланса мощностей.
Выражение (1.37) позволяет определить матрицу корреля*
ционных моментов напряжений, элементы которой входят в
формулу (1.34). В соответствии с общим правилом образова-
ния корреляционной матрицы зависимых случайных
(1.14) находим
через по,
нагрузок
величин
dP “1-1
dP
do
dQ
ds
где cov [6, U]—корреляционная матрица напряжений, XYV/ 1 М С4Л
состоит из матриц-клеток cov 6 и cov U, содержащих корреля-
ционные моменты углов и модулей напряжений,
cov(6, U) с коэффициентами вида cov(6i,
cov 6 cov (6, U) 1
cov(d, U) cov U
cov[P, Q]—матрица, состоящая из клеток cov Р,
cov(P, Q), аналогичных описанным выше матрицам:
covР cov(P, Q)
cov(P, Q) covQ
cov [6, U] =
du
<?Q
du
cov[P, Q].
дР
d8
dQ
дЗ
dP 1-1
dU
dU
(1-40:
которая
матрицы
covjd, UJ =
cov [P, Q] =
cov Q
_ л
Соотношения (1.36), (1.40) позволяют определить все вели-
чины, входящие в формулу (1.39), и, следовательно, дают реше-
ние поставленной задачи.
Анализ структуры статистических формул расчета ТРС, уп-
рощение уравнений связи между напряжениями и мощностями»
Как видно из соотношений (1.37) и (1.40),' корреляционные
моменты напряжений узлов электрической сети определяются
с помощью матриц линеаризованных уравнений баланса мощ-
ностей (УБМ). Общий вид таких уравнений хорошо известен,
однако в большинстве случаев при расчетах и оптимизации
ТРС эти уравнения могут быть существенно упрощены. Ниже
28
ние поставленной задачи.
, уп-
___К
и (1.40), корреляционные
Жпиведен метод такого упрощения, использующий идеи алго-
ШтМа «разделенного решения уравнений установившегося ре-
жима» [3]. Хотя описываемые преобразования и не являются
Принципиально необходимыми для расчета ТРС, их применение
Жщественно упрощает соответствующие алгоритмы и позволя-
|т?получить компактные и легко обозримые расчетные соотно-
шения.
Ж^-Для системообразующих сетей энергосистем напряжением
500 кВ и выше активные составляющие проводимостей gu в
^уравнениях баланса мощности (1.34) примерно на порядок
ЗмЖьше реактивных составляющих, поэтому при решении мож-
но^ приближенно принимать g//—0. При расчете распредели-
Зтельных сетей простой отказ от учета gif недопустим, однако
|и|в этом случае систему (1.42) можно привести к «эквива-
лентной индуктивной сети», если учесть, что сопротивления ли-
ний, подключенных к каждому узлу схемы, близки к однород-
1ным, так как отношения кц—гц/хц определяются в основном
| напряжениями линий. Поэтому для узла, к которому подклю-
__________________ - Г--------- —Г^ТТТАТТПО — близко
усредненному коэффициенту ki-ga/ba.
Если учесть сделанное допущение, то от стандартной
^УБМ можно перейти к упрощенной:
п
выше активные составляющие проводимостей gu в
баланса мощности (1.34) примерно на порядок
чены
к
A
определяются в основном
линии одного напряжения, отношение кц=гц/хц близко
запи-
L
n
j где ba c — полусумма емкостных проводимостей линий,
Ядящих к узлу г, Ьц — сумма продольных проводимостей
Следует учесть, что
F-; Q/' =
2
к. «
подхо-
узла I.
(1.45)
|При дальнейшем преобразовании уравнений будем считать,
то переменные системы (1.43), (1.44) выражены в относитель-
|ных единицах, приведенных к единой базисной мощности и но-
минальным напряжениям каждой ступени трансформации сети.
При этом начальные приближения модулей напряжений, в ок-
рестности которых ведется линеаризация УБМ, можно принять
равными единице и получить следующую систему уравнений:
\ п
btj cos (8г
п
— 8у) (Д8; — Д8У) + 2 ЬИ sin (8г — 8у) (Д/7, — At/j) +
+2ЛД.1.СД<71.=ДР;;
(1.46)
29
п «
V v ^costf,— Ву)(Д£Л + Д£7/) +
ЛЛ M
+2 (ЛД£ 4- bilc) LUt = AQZ'. (1.47)
Углы &i—bj обычно не превышают 5—10°, поэтому «синус-
ные составляющие» линеаризованных уравнений Ьц sin (d;—б?)
существенно меньше «косинусных составляющих» bijcos(bi—6/).
Отказавшись от учета синусных составляющих УБМ и заменив
приближенно выражения соз(бг-—6/) единицей, получим
ВАМ=ДР'; (1.48)
BXAU*=AQ'. (1.49)
Матрицы В и Bi систем (1.48), (1.49) совпадают с матри-
цей индуктивных проводимостей электрической сети, рассчитан-
ных без учета (для матрицы В) и с учетом (для матрицы Bi)
емкостных проводимостей.
В уравнениях (1.48), (1.49) зависимые переменные Дб, Д<7
определяются независимо друг от друга (разделены), поэтому
матрицы корреляционных моментов таких уравнений находятся
как
cov 6 В-1 cov Р'В-1;
(1.50)
cov U ~ В-1 cov Q'B1.
(1.51)
Приведенные преобразования уменьшают трудоемкость рас-
четов примерно в 4 раза, однако и упрощенные соотношения
(1.50), (1.51) неудобны для применения. Эти уравнения состоят
целиком из ненулевых элементов в отличие от матриц В или
дР дР
и , используемых при расчете установившегося режима.
В настоящее время разработано несколько путей устранения
упомянутого недостатка статистической методики расчета, один
из которых рассмотрен в гл. 3.
▼ Пример 1.3. Расчет ТРС статистическим методом.
Выполнить расчет ТРС для сети, показанной на рис. 1.2, и убедиться в
том, что описанная методика в отличие от простейшей, основанной на приме-
нении т, дает достаточно точное решение.
1. Выбор системы относительных единиц. В соответствии с описанной ме-
тодикой упрощения уравнений баланса мощностей в качестве основных базис-
ных единиц, определяющих соответствующие значения остальных электриче-
ских параметров, выберем напряжение и мощность.
Базисную единицу напряжения приравняем фиксированным по условию
задачи напряжениям узлов сети: U& =СД = 200 кВ. При этом относительные
значения всех модулей напряжения становятся равными единице (£Л*=1),
что позволяет использовать упрощенные уравнения баланса активной мощно-
сти (1.48).
30
В качестве единицы мощности примем 1 мВ-А (£б=1 мВ-А). При этом
базисные сопротивления сети и проводимости рассчитываются по формулам:
= iffJSf, = 2002/1 =40000 Ом; Г6 = 1/Z6 = 0,25-10—> 1/Ом.
При этом
= (0.125 +/1,25). 10-3; Z12*=Z2U = (0,625 +/6,25)-10—3;
ЗЖ Z61* = (0,250 + /2,5)-10-3.
Расчет потерь мощности режима математических ожиданий напряже-
ний узлов. Величины AfP, рассчитаны при решении примера 1.1: 51^ = 70 мВт,
ШиД==46,6 мВт, МР3=—150 мВт.
результаты расчета режима математических ожиданий приведены на
1рисЙ1.2, на котором показаны также потери мощностей для всех линий.
^1о этим потерям находится соответствующая составляющая ТРС:
|р = Tt^Pi] (МР).
Подставив приведенные на рис. 1.2 значения APij (МР), найдем Д1Рб1 =
|=0|Й47’; Д^112=О,О9Т; Д^13= 1.65Т; Д^23=0,78Т. '
«Суммируя для отдельных линий, найдем зависящую от математиче-
ских ожиданий составляющую ТРС всей системы
' ДИ7, = 3.54Г.
Определение матрицы корреляционных моментов узловых напряжений,
я в режимах рассматриваемой сети модули узловых напряжений постоянны,
поэтому дисперсии и корреляционные моменты модулей напряжений равны
нулю: o2Ui=0; cov(fA, {7j)=0.
Для определения cov (6) используется выражение (1.50).
«Рассматриваемая сеть содержит только линии с малым активным сопро-
этивлением, поэтому величины gij можно вовсе не учитывать, пользуясь при-
ближенными соотношениями:
Матрица узловых реактивных проводимостей, рассчитанная в системе от-
1 носительных единиц с учетом соотношения (1.52), и обратная матрица имеют
вид R-
ж
400
—0,4 0,8 —0,4
—2 —0,4 2,4
В-1 =-----
400
2,364
1,227
1,227
1,455,
У Ь =-----
4002
Матрица корреляционных моментов активных мощностей cov(P) получена
в примере 1.1. Подставим ее коэффициенты и элементы матрицы В-1:
1,227
1,455 _
“0,0520
0,0838
0,0686
Г 200
2,364
1,227
266
266
1422
5001
500
0,0838
0,1383
0,1104
1333
0,0686
0,1104
0,093105
1333
2500
• 10-1.
2,364
1,227
1,227
31
4. Определение дисперсионной составляющей ТРС. Модули узловых на.
пряжений в данном примере постоянны, поэтому дисперсии <у2 (Ui—Uj) для
любой линии ij равны нулю, а дисперсионная составляющая ТРС соответст.
вующей линии &W2ij определяется формулой
ДТГ,у = MUtMUjTgt^ (bl — bj) = MUiMUjTgij^bi + o26y — 2cov(M;)).
Приведем подробный расчет дисперсионной составляющей ТРС для ли.
нии 1—3 (рис. 1.2). Дисперсии о261} о262 и корреляционный момент cov (6ь 62)
для расчета выбираются из рассчитанной матрицы cov S и составляют о-2б1^=
==0,00520; о263 = 0,0093105; cov (бь б3) = 0,00686.
Проводимость gi3* рассчитывается по формуле
Из»________Из» 0,125
2 । „2 ~ „2 1
13* • х13* «*13* 1
Параметр Т формулы (1.39) представляет собой продолжительность ана-
лизируемого отрезка времени (года), выраженную в часах, т. е. 7 = 8760.
Подставляя приведенные значения, находим Д1^213 — Т «80 (0,05204-0,093105—
—2-0,0686) • 10^=0,63247.
Остальные составляющие ТРС определяются аналогично:
ДИ^ =2,087; ДП^12 = 0,3637; Д1Г|3 = 0,1697.
Суммируя дисперсионные составляющие АП^2г-j всех линий, находим сум-
марную величину:
£13* —
• 103 = 80.
Д1р2 = 3,2447’.
5. Оценка точности статистического расчета ТРС. Сложим рассчитанные
составляющие ТРС, определяемые математическими ожиданиями нагрузок
АП71;;, с дисперсионными составляющими и рассчитаем таким образом полные
значения ТРС для отдельных линий и системы в целом:
ДП7____Л ТР7^ I ATV/2 Zf . л ------
Сравнение результатов расчетов ТРС точным методом и по статистиче-
ским формулам приведено в табл. 1.2.
Линия 1—б 1—2 1—3 2-3 Сумма
Точный расчет 2,ЗОТ 0,4807 2,087 0,9307 5,817
Расчет по статистическим формулам 2,327 0,3707 2,287 0,95 7 5,827
Погрешность расчета, % 0,8 23 9,6 2,15 0,5
И л ^Загруженных линий 1—5, 1—3, 2—3 погрешность расчета не пре-
паетЖо%> большая погрешность имеет место для слабо загруженной ли-
j__2, по которой в течение 16 ч передаваемая мощность близка к нулю,
йй!тому сравнительно небольшая абсолютная погрешность ОДЛ составляю-
V *Ж°о от полной величины ТРС, приводит к значительной относительной по-
Яшности. Суммарная величина ТРС в рассмотренном примере вычисляется
практически точно.
Краткие выводы
t
Анализ ТРС энергосистем входит как со-
ая часть в задачи проектирования и планирования энер-
^Листем, хозяйственно-диспетчерского и оперативного управ-
ления энергосистемами.
При решении задач долгосрочного планирования развития
энергосистем на 10—20 лет неопределенный характер исходных
данных делает бесполезными применение уточненных методов
^расчета ТРС, Здесь наиболее приемлемы простейшие, хорошо
.известные методы, ориентированные на прогнозирование мак-
симальных мощностей узлов системы и время максимальных
уютер^х.
S Задачи хозяйственно-диспетчерского управления, ретроспек-
тивного анализа развития системы за некоторый период време-
ни представляют собой область преимущественного применения
^статистических методов расчета ТРС. Статистические методы
{позволяют правильно учесть все многообразие режимов работы
^системы и достаточно точно оценить ТРС не только для всей
^системы в целом, но и для каждого ее элемента. Их примене-
^ние ^является необходимым условием для выбора закона
^управления регулируемыми источниками реактивной мощ-
1ностш
^^Шаиболее сложные расчеты связаны с оперативной оценкой
в ходе выполнения которых необходимо учитывать все
^изменения диспетчерской схемы электрической сети.
Для правильного решения задач оперативно-диспетчерского
управления необходимо согласовать между собой исходные дан-
; ные двух уровней достоверности. К высокому уровню достовер-
' ности относятся параметры системообразующей сети, находя-
i Щиеся под постоянным контролем системы телеизмерений. Низ-
1 кому уровню достоверности соответствуют измерения режим-
параметров распределительной сети, графики нагрузок ко-
торых снимаются только в дни сезонных замеров.
^^Существующие методы учета параметров режима работы
Энергосистем соответствуют статистическим методам анализа
поэтому в последующих главах основное внимание уделя-
именно таким методам.
2—1152
33
Р/Ртах >0 е
1,0
0,15
0,2
О 8 16 24
Рис. 1.7. График месячных максимумов
мощностей
4
Рис. 1.6. Суточный
график нагрузки
Рис. 1.8. Схема сети
для расчета потерь
мощности по статисти-
ческим характеристи-
кам тока нагрузки
Описанный в данной главе статистиче-
ский метод расчета и анализа ТРС обеспе-
чивает необходимую точность решения за-
дачи в отличие от простейшего метода, ис-
пользующего параметры режима макси-
мальных нагрузок и число часов макси-
мальных потерь. Для задач, обеспеченных
надежной статистической информацией, его
применение всегда целесообразно.
Контрольные вопросы
1. Определите математическое ожидание и дисперсию годового графика
нагрузки, считая приближенно, что его конфигурация в течение года остается
постоянной и соответствует графику, показанному на рис. 1.6. График месяч-
ных максимумов нагрузки приведен на рис. 1.7 (в течение месяца этот макси-
мум принимается постоянным).
2. Разложите в ряд Тейлора выражение (1.31) для потерь мощности ли-
нии ij в полярной системе координат и получите приближенную формулу
(1.34). При выводе этой формулы не учитывать производные —:------- =
• / dUidZj
— 2Uj sin (б/ — бу) gij, так как они существенно меньше косинусных
членов разложения.
3. Запишите выражение ТРС линии передачи, показанной на рис. 1.8, че-
рез ток линий /ij, разложив выражение тока в ряд Тейлора в окрестности ре-
жима математических ожиданий мощности.
Темы рефератов
1. Статистическая оценка оптимального соотношения между параметрами
Гит для представительной выборки реальных графиков электрических систем.
Существующее соотношение между Гит определено на основании статисти-
ческой обработки графиков нагрузок 30—50-летней давности. Интересно по-
вторить данную работу на множестве современных графиков нагрузок, при-
менив для этого метод наименьших квадратов, описанный в гл. 2 пособия.
2. Вывод основных формул статистического расчета потерь электроэнер-
гии. В данной главе большинство формул приведено без доказательств. Ре-
ферат, включающий опущенные выводы, полезен для освоения основных по-
ложений данной главы.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА
ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО РАСХОДА
ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
Любые виды расчета ТРС связаны с обработкой ста-
тистДеСКОЙ информации. Если соответствующие расчеты выполняются для
Жач^ панирования или проектирования развития энергосистем и для оценки
ТРС Яйкльзуют время максимальных потерь, то основное внимание должно
быпЖдеЛено статистическим методам прогнозирования максимумов или ма-
тЗлатиЙских ожиданий мощностей узлов электрической системы.
Ж Для задач оперативного расчета потерь необходимы статистические ме-
тоды согласования информации относительно высокого уровня достоверности
о параметрах системообразующей сети с информацией о ненаблюдаемых па-
раметрах, оцениваемых по результатам системного замера.
Основными методами статистического оценивания параметров являются
регрессионный и факторный анализ. Описанию этих методов посвящено боль-
шое число специальных работ, здесь же дана краткая характеристика методов,
ориентированная на применение в расчетах ТРС [2].
Я".1’;
2.1. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
^ат^ческих ожиданий нагрузок, оценивание параметров режима
•________________________________________________________— _ _ —.
дачи.
1
|аНии выборки ух, 'у2
Регрессионный анализ представляет собой
деиболее распространенный и универсальный метод моделиро-
вания статистических зависимостей. На его основе решаются
многие задачи расчета ТРС, например прогнозирование мате-
матических ожиданий нагрузок, оценивание параметров режима
электрической системы по данным телезамеров и другие за-
дачи^
Любая задача регрессионного анализа связана с оценкой
некоторых параметров ai, а2,... ,ап случайных величин на осно-
вании выборки t/i, У2,..., yN объема N из генеральной совокуп-
ности У. Существует два универсальных метода оценки статис-
тических параметров — максимального правдоподобия и наи-
меньших квадратов. Для наиболее интересного в приложениях
уСл|чая выборки из многомерного нормального распределения
метода приводят к одной и той же численной схеме, по-
тому рассмотрим подробно первый метод оценки параметров
Ш|покажем, как из него вытекают уравнения, соответствующие
второму методу.
определение и свойства оценки параметров по методу мак-
Жмального правдоподобия [5]. Рассмотрим представительную
Зрзависимую выборку у\, у2,...,ум наблюденных случайных ве-
Ятин, совместная плотность вероятности которой
35
зависит от значении параметров а2,... ,ал, указанных в вы.
ражении (2.1). Плотность вероятности выборки в математиче.
ской статистике называется функцией правдоподобия. Значения
параметров аь а2,... ,ал неизвестны и должны быть наилучшим
образом оценены на основании значений у\, уъ,...,уы. Для
оценки параметров составляется п соответствующим образом
выбранных функций от Наблюдений £i(f/i, у2,... ,#лг);...\gn{yXy
*/2, —,##), которые называются статистиками. Способ получе*
ния статистик и нахождение на их основе параметров и опрь
деляет тот или иной метод оценки. Метод максимального прав-
доподобия в качестве gi(yif У2,..^ук) использует производные
от функции правдоподобия L:
9 • • * Ум 9 ,..., cifi)
Si (У19 Уъ**• • 9 Vn) ---------------------------=0. (2.2)
dai
Если функция L имеет единственный экстремум, то точка,
определяемая условиями (2.2), соответствует максимуму функ-
ции правдоподобия, что и объясняет название метода. Вместо
условий максимума функции L(y, а) можно искать соответст-
вующие условия максимума монотонно возрастающей функции
<Р(£). В методе максимального правдоподобия в качестве такой
монотонно возрастающей функции используется функция I—
ь=1пА, позволяющая для независимых выборок перейти от про-
изведений к суммам. В самом деле, рассмотрим логарифм от
функции правдоподобия:
1(У, Л)=1п(Г, Л)=2 ln/z(yz, а1» а2
Для функции нормального распределения, имеющего
нейшее значение в приложениях, имеем
е 2"yi 1=
важ-
l(Y, Л)=1п
(«// — AfjZ/)2
(2.4)
Метод максимального правдоподобия позволяет эффектив-
но оценивать параметры статистических распределений fli,
о2,...,ап при выполнении следующих условий:
1. Существуют и непрерывны первая и вторая производные
функции In L по оцениваемому параметру а, для всех возмож*
36
'<3
^ачений ylt У2,...,Уы- Модули указанных производных ог-
йЫ ичДО! абсолютно интегрируемыми на множестве R выбороч-
! Ра1дядрний У1, У2,...,Ун функциями Ф1 (У), ф2(У).
о^ДКСуществует третья производная от функции In L, ее мо-
рассматриваемом множестве R меньше некоторой аб-
дИотно интегрируемой функции ф3(У)-
02 1п£
да*
^Математическое ожидание 7(а)=М
ацией об оцениваемом параметре, существует и не рав-
н
, называемое
Ирй выполнении указанных условии оценки, полученные на
Щаовании метода максимального правдоподобия, удовлетворя-
ет некоторым оптимальным свойствам [5].
ДиМатематическая постановка задач оценки параметров и ре-
!грессионн°г° анализа. Наиболее часто в технических приложе-
задача оценки параметров ставится в такой форме: вы-
<юлнен ряд независимых измерений одной или нескольких наб-
(лЖаемых или прогнозируемых величин r/i, 1/2,...,^. Наблюдае-
Ыы^величины содержат погрешности, а прогнозируемые под-
1вержены колебаниям, связанным с непредсказуемыми случай-
ными факторами, т. е. между наблюдениями и определяемыми
|ивдгвеличинами Му^ имеется связь
У1
— независимые случайные величины с нулевым матема-
тическим ожиданием и одинаковой дисперсией а2, численное
значение которой может быть неизвестным, т. е.
Af8z=O; cov(ez, е;)=0; a2(e/)=e2, f = l, N. (2.6)
Сделанные допущения означают, что выполняемые наблю-
дения проводятся независимо друг от друга, не имеют систе-
ртатической ошибки и обладают примерно одинаковой точно-
Ш^Задачи статистической оценки параметров вида (2.5) делят-
Гна два больших класса — задачи прямых и косвенных изме-
нений. В задаче прямых измерений оцениваются изме-
няемые величины Му^ для оценки каждого параметра Myi вы-
полняется серия избыточных наблюдений. Решение задачи оцен-
W параметра в этом случае приводит к очевидным выражени-
? ^Чрутипа выборочного среднего. Задача этого класса не пред-
ЖаЬляет интереса для приложений и в дальнейшем рассматри-
ваться не будет. Значительно больший интерес представляет
Жк называемая задача с косвенными измерениями,
иначе, задача регрессионного анализа. В такой задаче
уцениваемые параметры а}- не наблюдаются непосредственно, а
37
определяются косвенно на основе следующей переопределенной
системы уравнений: Жатем
п
где N — число наблюдений случайной величины У;
параметров.
Коэффициенты хц
в
Рис.
ской
системы уравнений оценива-
ния параметров методом
регрессионного анализа
2.1. Схема электриче-
сети для формирования
параметров
П — ЧИСЛО
уравнениях (2.7) представляют собой
известные постоянные величины, физи-
ческая природа которых может быть
различной в зависимости от решаемой
задачи.
Наиболее простой и типичный при-
мер регрессионного анализа — моде-
лирование некоторой временной зави-
симости y(t) с помощью заранее за-
данных функций-регрессоров Xj(t),
Для выполнения моделирования выби-
раются N моментов времени Л, /=
— 1,N. Очевидно, в данном случае ко-
эффициент Xij представляет собой зна-
чение функции-регрессора х/ в точке tc.
V Пример 2.1. Оценка параметров уста-
новившегося режима на основе телеизмерений.
Для сети, схема которой приведена на рис. 2.1, требуется согласовать токи
нагрузок и линий, замеры которых выполнены системами телемеханики. На
основе выполненных расчетов необходимо найти наилучшие оценки отклонений
напряжений узлов сети от напряжения балансирующего узла. При выполнении
расчета точность измерения токов линий и узлов считать одинаковой, а систе-
матическую погрешность измерений — равной нулю. Выписывая уравнения
узловых напряжений и закона Ома для узлов и ветвей сети, а также учиты-
вая погрешность измерений, приходим к следующей системе уравнений;
• * -
где /?, — замеренные значения токов нагрузок и линий; Ci
Ij опачснпм гикиь нагрузок и линии; Ui — оцениваемые
значения напряжений; — заданное значение напряжений балансирующего
узла; 8i — погрешности определения токов.
Оценки Ci выполняются методом максимального правдоподобия; получе-
ние таких оценок (наименее противоречащих измерениям) позволяет откоррек-
тировать и исходные наблюдения.
V Пример 2.2. Прогнозирование параметров режима во времени. Рассмотрим
задачу прогнозирования электропотребления или мощности системы на задан-
ный промежуток времени. Для решения этой задачи целесообразно изучить
динамику поведения прогнозируемой системы на предшествующем периоде,
38
перенести замеченную тенденцию развития системы на будущее. Ана-
1 изменение интересующего нас параметра в прошлом, необходимо учи-
случайный характер и постараться не слепо копировать поведение
TbIB3MeTpat Л выявить тенденцию на фоне случайных колебаний. Эта тенден-
ппогкозируется на основе некоторой гладкой функции, например много-
йЯ первой или второй степени, тригонометрического многочлена и т. д.
4JieHB качестве конкретного примера рассмотрим задачу прогнозирования ме-
максимумов нагрузки на предстоящий год на основании аналогичных
СЯЧ(Ьиков предыдущих лет. Анализ графиков позволяет выделить два харак-
устойчивых фактора: составляющие с периодом в один год и мак-
Т шумом, приходящимся на начало и конец года; линейный тренд, ведущий
^еЖярнию среднего значения мощности. Эти факторы определяют следую-
шую^бЯДель изменения месячных максимумов:
- - /О СП
где t
измене
НИИ о( _
следующую систему уравнений:
£>. _ j , » .
2л//
— момент времени, относящийся к прошлому или будущему; Т — период
нения периодической слагающей графика, равный одному году.
ййассматриваемой модели слагаемые Ао, А, А2 оцениваются на основа-
бучающей выборки замеров. Для оценки параметров Ао, Д2 получаем
(2.10)
Я Получение точечных оценок параметров. Метод наименьших
квадратов. Точечные оценки параметров аХу а2,...,ап выполним
методом максимального правдоподобия, при этом ограничимся
простейшим случаем, когда случайные величины е, подчинены
нормальному закону распределения и логарифмическая функ-
--------— л тт тт TY YT ТТ ♦
ция II
авдоподобия принимает следующий вид:
1п(2ла) ——
2
В/.
ft/=ln/(£1, е2„
2
= min Ф.
При фиксированной дисперсии о2 условие максимума
совпадает с условием минимума величины:
n -
min V ef== min
z-i
сражение (2.12) называется условием наименьших квад-
оно может использоваться для оценки параметров и са-
юс'&ятельно, составляя основное выражение метода наимень-
шихШ^адратов. Для случая нормального распределения оценки,
получаемые по методу наименьших квадратов и по методу мак-
симального правдоподобия, совпадают. Условия минимума вы-
ражения (2.12) совпадают с условиями равенства нулю всех
производных
Явятся из следующей системы уравнений:
(2.12)
, т. е. оптимальные оценки параметров at на-
da/
21
N
= 0.
39
Для удобства дальнейших выкладок используем матричную
форму записи уравнений (2.5), (2.7), (2.12), введя следующие
обозначения: Y — вектор исходных наблюдений yit содержит
N компонент; А — вектор оптимальных оценок параметров аь
а2,...,ап', е — вектор погрешностей измерений; X — матрица с
N строками и п столбцами, содержащая коэффициенты хц.
С учетом приведенных обозначений можно записать:
величину у в матричном виде можно представить как
t-i
скалярное произведение вектора е на себя:
£те.
(2.14)
Дифференцируя функцию Ф векторного аргумента А, нахо-
дим и приравниваем нулю градиент функции Ф:
?Ф=2ХТ(У — ХА)=0.
Раскрывая скобки в выражении (2.15), получаем
XTXA=XTY.
(2.15)
(2.16)
Вводя дополнительное обозначение С=ХТХ, находим рас-
четное соотношение, называемое системой нормальных уравне-
ний-.
VA = XTY. (2.17)
Решение системы нормальных уравнений позволяет найти
вектор параметров А с компонентами а,-, наиболее соответст-
вующими регрессионной модели (2.7) и наблюдениям yi.
Определение интервальных оценок параметров. Полученные
точечные оценки а,- представляют собой случайные величины,
математические ожидания которых равны точным значениям
оцениваемых параметров. Если погрешности наблюдений е, рас-
пределены по нормальному закону, то каждую точечную оцен-
ку можно дополнить интервальной, т. е. диапазоном возможных
изменений параметров. Получение интервальных оценок требу-
ет следующих вычислений:
1. Определяется случайная величина s2, называемая «кажу-
щейся ошибкой моделирования»:
(2.18)
где
I
(2.19)
Величина - является оценкой дисперсии о2 случайных
^^НОн 8< и используется как для вычисления интервалов из-
менения случайных величин 8{, так и для проверки справедли-
Жост^ исходной гипотезы, лежащей в основе регрессионной мо-
By. Определяются диапазоны изменения а, и у;. Напомним
[2] что доверительным интервалом Ц колебаний случайной ве-
в окрестности математического ожидания MY называ-
ется интервал /₽=(А1У—A; AfF+X), вероятность попадания в
жотсфый равна величине ₽, близкой к единице. При этом р на-
зывается уровнем достоверности, соответствующим данному
доверительному интервалу. Для определения доверительных
интевралов параметров /(а,) в окрестности точечных оценок at
помимо значения кажущейся ошибки s2 необходимо еще вычис-
i литьвдиагональные элементы аг' обратной матрицы С-1, полу-
.ченной из матрицы наблюдений С=ХТХ. После указанных оп-
ределений можно воспользоваться формулой доверительного ин-
тервала:
(2.20)
интервал уровня р стандартного рас-
;где —доверительный интервал уровня р стандартного рас-
определения Стьюдента с п степенями свободы. Таблицы распре-
деления Стьюдента имеются, например, в [6]; А— число наб-
людений, на основе которых оцениваются параметры; п — число
| оцениваемых параметров.
Д Доверительные интервалы самих наблюдаемых величин у\,
Уг,..Л$уы определяются аналогично оценкам параметров, однако
• для этого необходимо вычислить элементы
4/п=Х?С-1Хо
В-1 — столбец i-й матрицы наблюдений X.
нтервал для у, определяется по формуле
г /------:-- г---
(2.21)
У1-
е2.
IIs
duS2
п J
(2.22)
Щ Влияние структуры план-матриц на точность и достовер-
ность моделирования временных рядов, переход к ортогональ-
Я^м планам. Как следует из формул (2.20) и (2.22), точность
• моделирования параметров методами максимального правдопо-
добия существенно зависит от структуры план-матриц X и С=
|===ХТХ. Если X содержит линейно зависимые столбцы, напри-
^^ЖХз=а1Х1+а2Х2, то определитель матрицы С окажется рав-
»Ь1м нулю и применение основной формулы регрессионного ана-
41
40
лиза (2.20) невозможно. В самом деле, определим три первь^
строки матрицы С для рассмотренного случая в соответствие
с представленной ниже схемой.
Очевидно, векторы-строки можно представить как
С1 = Х1Х; C2 = XlX;
С3 = XIX = («J XT+а2Х1) X = + а2С
(2.23)
2»
т. е. третья строка матрицы С является линейной комбинацией
первых двух, из чего и следует равенство нулю определителя
D(C).
Если же столбцы план-матрицы X, хотя и не являются ли-
нейно зависимыми, но близки к таковым, то выполнение точеч-
ных оценок возможно, но все или некоторые интервальные оцен-
-ки параметров оказываются настолько размытыми, что приме-
нение регрессионной модели теряет смысл. В таких случаях
вместо первоначальной системы функций-регрессоров X/, значе-
ния которых в точках i и определяют столбцы план-матрицы,
целесообразно перейти к линейным комбинациям упомянутых
функций, обеспечивающих вычислительную устойчивость оце-
нок (2.20) и (2.22).
Описание такого перехода к системе «ортонормированных»
функций-регрессоров, обладающих единичной матрицей С,
можно найти в [6].
Критерий проверки гипотез регрессионной модели. Статисти-
ческое моделирование случайных величин проводится на основе
предварительного анализа связей между ними. Проверка пра-
вильности исходных статистических гипотез, лежащих в основе
построенных регрессионных зависимостей, в математической
статистике осуществляется методом «от противного». При этом
вводится так называемая «нулевая гипотеза», суть которой за-
ключается в том, что выполненное моделирование слу-
чайных величин не улавливает основных тенденций из-
менения наблюдений у\, у2,... ,Ун, следовательно диапазоны
колебаний исходных (t/b у2,..., yN) и остаточных (ei, Е2, ..,£#) ве-
личин являются одинаковыми и обладают одной и той же дис-
персией о. Если нулевая гипотеза верна, то отношение
(2-24)
i-1 I 1-1
уК^ыборочнор среднее величин, подчиняется так называе-
те у|РфаспРеделению- Подробное описание такого распреде-
Iм ,У<1иего таблицы имеются в [5], а пример применения дан
"леииТт
И,1^ь проверки заключается в следующем. Зададимся доста-
близким к единице уровнем достоверности F-распределе-
'^^<2.24) и найдем соответствующий ему диапазон 0^F^Fs
^^Иожных колебаний случайной величины F, для которого вы-
полняется равенство
1ЦИ-' Р (0 < F < F₽)=р.
-я '
найденная граница F₽ окажется больше наблюденного
Значения FH, рассчитанного по формуле (2.24), т. е. попадает
£ интервал, для которого вполне вероятно осуществление нуле-
1вой1гипотезы, то она может оказаться справедливой. При этом
ЖстрЬённая регрессионная зависимость лишена объективного
Жмысла. Если же значение FH не попадает в интервал 0—Fе, то
/1
принятие нулевой гипотезы неразумно, так как оно равносиль-
I но осуществлению события с весьма малой вероятностью 1—р.
| В та|их случаях принимается исходная статистическая гипоте-
за (Жаличии регрессионной зависимости (2.5), (2.7).
Рис. 2.4. График на-
блюдений случайной
величины Г3
Рис. 2.2. График наблю-
дений случайной величи-
Рис. 2.3. График наблю-
дений случайной вели-
чины У2
^^ЛВГаким образом, если от формального языка математических
^терминов перейти к более простым «житейским» определениям,
| можно заключить, что проверка статистической непротиворечи-
1 во^ти осуществляется в соответствии с принципом: «Если сту-
I чат в вашу дверь, нет основания предполагать, что на пороге
। английская королева».
'ОК Помимо рассмотренной нулевой гипотезы, подвергающей
1 сомнению все предположения, лежащие в основе построения
3 регрессионной модели, применяются и более тонкие методы,
Я подвергающие сомнению существенность отдельных параметров
построенной модели.
42
43
Пример 2.3. Решение задач регрессионного анализа. Представленный низке
пример дает читателю некоторое представление о возможных результатах при.
менения регрессионного анализа, показывает смысл формальных условий ста.
тистической непротиворечивости соответствующего метода.
Рассмотрим три простых задачи моделирования временных зависимостей
по одной и той же схеме: _____
Г/ = Ьа0 4-^/ Z = 1, 20.
Моделируемые случайные величины обозначим соответственно Уь У2» У3,
а элементы выборки объема N каждой из этих величин Yk будем обозначать
ум. Соответствующие наблюдения каждой случайной величины нанесены на
рис. 2.2, 2.3, 2.4.
Так как все три случайные величины наблюдаются в одних и тех же точ-
ках Gi = l; /я=2; /з=3; /5=6), число повторных наблюдений, соответ-
ствующих каждой точке, совпадает и, кроме того, моделирование выполняется
одним составом функций-регрессоров F0(/) = l; Fx(/)=/, матрица наблюдений
для всех задач совпадает. Ее первый столбец состоит из единиц, так как
— константа, второй столбец определяется значением для каждого наблю-
дения, поэтому его первые четыре компоненты, соответствующие точке /=1,
равны единице, следующие четыре компоненты — двум и т. д. Ниже представ-
лена транспонированная матрица наблюдений X, полученная по приведенным
правилам:
п 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Х= 1 1 1 12222333
В рассматриваемом случае матрица С
11111
4 5 5 5 5
60*
220.
Подставляя наблюденные значения моделируемых случайных величин
находим
‘ 50,8'
J71,2.
’ 53,881
.168,68 ;
‘ 55,9
170
^3 = A 13 =
Подставляем численные значения коэффициентов матрицы С
Zb z2, z3 в систему нормальных уравнений
векторов
CA* = Z*, 1, 2, 3
и определяем векторы оптимальных оценок параметров:
‘2,4061
.0,0961’
» Г1»13*
1 0,47
Таким образом, моделирующие функции для
ставятся как
‘2,78 ’
.0,058
?! = 1,13 4- 0,47/: У2 = 2,406 4- 0,096/; Р3 = 2,78 4- 0,0585/.
Подставляя найденные зависимости в формулу
Ykl = ^ki + *kl
Для каждой группы наблюдений, находим среднеквадратичные
остаточных и не учтенных моделью колебаний:
отклонения
N
/-1
где индекс k относится к группе наблюдений
Покажем, как находят е14- для наблюдений первой группы, соответствую-
х параметру t=2. Из рис. 2.2 следует, что
1,3(2)) = 1.8 — 2,07 = —0,27
0.1195? Выполняя вычисления для s22a
.2
вен и
2) = 1,13 + 0,47-2 = 2,07.
2,07 = 0,03; • (Ki,2(2)) = 2,2-2,07 = 0,13;
«(Г1,4(2)) = 1,9-2,07 =-0,17.
Вранном случае квадрат остаточных среднеквадратичных отклонений ра-
---------------------------------’ (k—1, 3), находим
«^2= 19,22; «23= 16,83.
»*^нные остаточные суммы сравниваются с суммой квадратов откло-
аенийМоделируемых зависимостей Ym от выборочных средних Yk—(s2ia):
*
«12 = 0,455; «13 = 0,0272.
ля приведенных на рис. 2.2—2.4 наблюдений находим:
«|1 = 19,22;
Сравнение выборочных s2u с остаточными s22a даже без применения ка-
либо формальных критериев наглядно показывает, что формулы для У2
и У3 не угадывают тенденции основных изменений
Ятистически противоречивыми. Тот же результат
1 можно получить, применяя критерий Фишера [2].
Можно показать, что при выполнении основных
допущений регрессионного анализа случайная ве-
Яличина 522л(Аг—п—1) подчиняется так называе-
мому распределению х2 с N—п—1 степенями сво-
боды [2]. Случайная величина s2ia/(/V—1) также
подчиняется распределению х2, но с числом степе-
— - WT -- - — — — т п ТТТТТ т V
И U22==S22kl(^—n—l)
I
и поэтому являются ста-
0
Рис. 2.5. График функции
плотности вероятности
для распределения Фи-
шера
ней свободы N—1. Частное от деления случайных
Я величин tti2=s2ifc/(W—1) и U22=s22kl(N—n—1)
подчиняется распределению Фишера с парамет-
рами N—1, W—п—1. Функция плотности вероят-
ности этого распределения показана на рис. 2.5.
Там же приведена граница 90%-ного доверитель-
ного интервала соответствующего распределения,
найденная на основе решения уравнения
рассматриваемых задач пред-
= 8,28. Если найденное в экс-
то при выполнении условий, на основе которых получена
бытие малой вероятности
Й
1
- •J
> я
' 1
- - - иК/
feB данном случае предельное значение ЕПр
Янерйменте ^н^^пр, то '
формула регрессионного анализа, следует считать, что зарегистрировано со-
1 бытие малой вероятности р^(1—0,90). Поскольку наблюдение такого собы-
тия вряд ли возможно, разумно предположить, что при выполнении условия
^н>Гпр верны исходные допущения, заключающиеся в том, что У=а0-{-<71^
Угадывает основную тенденцию изменения переменной, а формула статисти-
чески непротиворечива. Интересно проанализировать причины статистической
противоречивости формул для второго и третьего случаев, для которых /?н<
^Z7пр. «Легко убедиться в том, что для У2 неверно задана модель. Если попы-
таться моделировать приведенную зависимость квадратичным многочленом,
то модель соответствовала бы наблюдениям. Для У3 неверно предположение
° влиянии параметра t на значения случайной величины, что наглядно видно
Мрисунка.
45
2.2. ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Метод факторного анализа применяется
для статистического исследования системы случайных величин,
связанных некоторыми устойчивыми факторами. В регрессион-
ном анализе рассматривались задачи подобного рода (задача
многомерной регрессии), однако построение модели, объясняю-
щей поведение каждой случайной величины, в факторном и рег-
рессионном анализе выполняется по-разному. При решении за-
дачи методами регрессионного анализа факторы и структура
модели вводятся априори; при решении методами факторного
анализа предположения о факторах, определяющих поведение
системы случайных величин, являются менее конкретными,
предполагается только их существование, а количество факто-
ров и структура модели находятся в ходе решения задачи.
В математической статистике под факторным анализом обычно
понимают два метода — главных компонент и главных факто-
ров. Эти методы близки по назначению, поэтому рассмотрим
только первый метод, который базируется на простых и нагляд-
ных понятиях, вытекающих из анализа матрицы корреляцион-
ных моментов. Подробное описание методов факторного анали-
за содержится в литературе *, краткая его характеристика, на
которой основано данное описание, приведена в [2].
Рассмотрим многомерную случайную величину X=(Xi,
Х2,...,ХЛ), заданную выборками объема N. Для анализа слу-
чайных величин, зависящих от X, необходимо определить ма-
тематические ожидания, которые можно оценить, например, вы-
борочными средними Xi, Х2,... ,ХЛ, и колебания исходных слу-
чайных величин в окрестности своих средних.
Характеристикой колебания случайной величины в окрестно-
сти среднего является дисперсия. Как будет показано далее,
«глобальные факторы», определяющие поведение исследуемой
системы, представляют собой некоторые линейные комбинации
исходных случайных величин X/, известных по выборкам:
так к^к, умножая случайную величину G на соответствующий
^Кожитель, можно получить сколь угодно большую дисперсию.
^^Шостановка и решение задачи выделения линейной комбина-
\ о « z
----- «rw «ж / ПлГЧпПП
ции
1ког
итель, можно получить сколь угодно большую дисперсию.
----------------------------------- ----
Г случайных величин с максимальной дисперсией ( первая
щонента). Рассмотрим линейные комбинации случайных ве-
п
Ж \
«учетом ограничения, выполняющего роль условия нормиро-
вания:
К,- п
Х71 -2
(2.27)
^И;Как показано в гл. 1, дисперсия линейной комбинации (1.9)
определяется по формуле
И&. Г „ ~|т
п п
д2Г =
6Z2
а2
S(X)
ап
п —I
1где S(X)—матрица выборочных корреляционных моментов не-
сходных случайных величин Xi, Х2,... ,ХП, рассчитанных по вы-
I боркам Xi1, х2\... ... ;xin, х2п,... ,*Nn. Таким образом, зада-
ча выделения случайного фактора, обладающего максимальной
। дисперсией, сводится к нахождению максимума функции (2.28)
|при условии выполнения ограничения (2.27). Оптимизационная
задача решается методом Лагранжа, для чего вводится вспомо-
гательная целевая функция
г п \
-2 < I /О ООч
п
В частности, первый главный фактор Gi определяется линей-
комбинацией случайных величин, обладающих максималь-
дисперсией. Естественно, следует сравнивать «нормирован-
линейные комбинации, удовлетворяющие условию
п
2
_______
^°УЛи Максвелл А. Факторный анализ как статистический метод.
гЙТ* МиР, 1967-
Ц 4W
где X — неопределенный множитель Лагранжа.
| Абсолютный минимум функции (2.29) соответствует услов-
ному минимуму (2.28) при выполнении ограничения (2.27).
^Дифференцируя по всем входящим в функцию переменным,
1можно получить условия минимума:
К -
/ п \
-дф1=2 | \ Sirth — |=0, Z = l, п- (2.30)
dai \ /
\ м /
i п
-^L = V 4-1 = 0. (2.31)
д\ ЛЛ
Z-1
47
Чтобы уяснить структуру уравнений (2.30), представим их
в матричном виде, для чего из коэффициентов stj уравнения i ||
системы образуем строку i матрицы выборочных корреляцией- р
ных коэффициентов S. Из компонент а, образуем вектор А, тогда
SA=/.A.
(2.32)
Решениями системы (2.32) являются все собственные векто-
ры Н» матрицы S с компонентами йц, на которые в соответст-
вии с ограничением (2.31) наложены условия нормировки:
2^7=1 |Н,| = 1.
(2.33)
Каждому собственному вектору соответствует собственное
число 1» [8]. i
Легко убедиться в том, что дисперсия случайной величины I
«•=2
определяемой компонентами собственного вектора Н£, равна
соответствующему собственному числу. Для этого достаточно
воспользоваться формулой для дисперсии линейной комбинации I
случайных величин (1.9) и учесть уравнения (2.32), (2.33). 1
Следовательно, в качестве коэффициентов а/ линейной комби- I
нации (2.28) исходных случайных величин, обладающих макси- I
мальной изменчивостью, достаточно выбрать компоненты fti/ I
нормированного собственного вектора Нь соответствующего
максимальному собственному числу матрицы
Собственные числа и векторы матрицы корреляционных ко-
эффициентов обладают важными свойствами [8], которые по-
лезно напомнить читателю, прежде чем перейти к выводу и
анализу основных результатов факторного анализа. Для прос-
тоты изложения воспользуемся простейшим примером.
Пример факторного моделирования случайных величин. Мо-
делирование случайных величин на основе собственных чисел
и векторов матрицы S выборочных корреляционных моментов.
Пусть случайные величины Xi, Х2 заданы выборками:
*г = {12,0; 9,0; 14,5; 10,2; 8,5; 8,1; 10,5; 13,9; 13,4; 9,5;
11,5; 14,8; 9,2; 12,0 10,6; 12,8; 12,3; 16,0; 11,1;
13,8};
(2.34)
*2=111; 16,0; 11,1; 15,0; 16,9; 14,0; 8,8; 7,8; 13,8; 12,5;
6,3; 12,0; 8,0; 12,3; 10,2; 6,7; 5,0; 9,0; 6,4}.
Чтобы графически описать приведенную выборку случайных
величин (рис. 2.6), представим ее совокупностью точек г,=
^(хц, ха), соответствующих каждому наблюдению 1=1,... ,20.
48
Например, первой точке соответствует пара Zi=(12; 11), со-
стоящая из наблюдений Хц и X2i случайных величин Xi и Х2.
Каждая точка г, на рисунке соответствует значениям случай-
ных величин Xi и Х2, определенным на некотором элементарном
случайном событии исходного вероятностного пространства.
1ИКточки zt- близки к прямой ZiZ2, показанной на рисунке, и
I это наводит на мысль, что отклонения случайных величин Х\ и
| х/от средних MXi и МХ2 в основном определяются поведением
некоторой третьей случайной величины Gi, определенной на том
же мнджестве элементарных событий т. е.
^•ояшая из наблюдений Хц и X2i случайных величин Xi и Х2.
величин Xi и Х2, определенным на некотором элементарном
(А^2 — лис 2) —
где о и е2 — остаточные случайные величины.
самом деле, если сделанная статистическая гипотеза вер-
1 на^’то разность
(Xj — MXj) (X2 — 2) / *1 *2 \ /9 461
«1 ч2
I определяется остаточными случайными величинами с малой
дисперсией, что и объясняет экспериментально наблюдаемую
J близость точек г,- и прямой ZiZ2, вероятно, соответствующей
уравнению
а2
(Xi — MXi) (X2 - MX2)
=0.
^_: Для определения
выборок {X!}, {Х2},
1 выборочные средние
к
#1 а>2
новой случайной величины на основании
приведенных в условии примера, найдем
20
2
20
и матрицу выборочных корреляционных моментов
$11 $12
элементы которой определяются по формулам (1.4).
Подставляя цифры в упомянутые выражения, находим
-7,065 '
13,01
s= Г 4,8976
1 _ —7,065
Для получения формулы (2.35) используем собственные чис-
ла и векторы матрицы S.
49
Напомним порядок определения собственных чисел и векто-
ров матриц. Собственный вектор матрицы S удовлетворяет мат-
ричному уравнению:
*$ц ^12 О Ы
Эти уравнения можно представить иначе:
(2.37)
Система (2.37) имеет тривиальное (нулевое) решение. Од-
нако в поставленной задаче интерес представляют отличные
от нуля собственные векторы Н. Следовательно, необходимо оп-
ределить условия, при которых система (2.37) имеет больше
одного решения, а такая ситуация возможна только при тех
значениях Хг-, которые обращают в нуль определитель матрицы
(2.37), т. е. характеристический определитель D (X). В данном
простейшем случае имеем
D (X)— ($11 — ^)($22 —^) — ^12^21 —О’
(2.38)
Корни уравнения (2.38) и определяют собственные числа
характеристического определителя. Подставляя значения в
(2.38), находим
Z>(X)=(4,896 — Х)(13»010 —к) — 7,0652=Х2— 17,90бХ-|-13,782 = 0.
Решая квадратное уравнение, получаем собственные числа
X^l/,1; Х2=О,8О6.
Подставим максимальное собственное число Xi в систему
(2.37) и найдем первый собственный вектор
Hi — [йп
Определитель (2.38) при равен нулю, уравнения (2.37)
линейно зависят друг от друга, поэтому второе из них может
быть отброшено. Оставшееся уравнение имеет бесконечное мно-
жество решений, отличных от нуля, простейшее из которых
можно получить, приравнивая единице компоненту Л12:
н'1=[йп 1].
Выполняя соответствующие преобразования, находим
(4,896- 17,1) йп - 7,065-11=0; hn = -0,579,
откуда Нх=(—0,579; 1).
Нормированный собственный вектор Hi определяем делени-
ем компонент Л'и, h\2 на модуль вектора Н:
Н! = (-0,501; 0,865).
50
Аналогично находим собственный вектор Н2, соответствую-
щий меньшему собственному числу:
Г Н2= (0,865; 0,501).
Введем случайные величины Gi, G2, соответствующие векто-
pamHi, Н2: __ ____________
\ ^1 = ЛП(ЛГ1 — Xx)-\-hA2(X2 — Х2)', | (2 39)
IE: G2 — — Xx)-\-h22(X2— Х2). j
На фис. 2.6 представлены координатные оси этих перемен-
ных, т. е. геометрические места
то4ек, соответствующих усло-
виям:
Ъ —00<<и2<<00, С/Х=и.
Заметим, что отрезок ZiZ2,
вдоль которого группируются вы-
борочные значения случайных ве-
личин Zi= (%it, %2х), совпадает с
осью Gi.
Иг Соотношения (2.39) удобно
записать в матричной форме. Для
этого из столбцов Hi, Н2 образу-
ем матрицу Н:
Рис. 2.6. Точки выборки случай-
ных величин X), Х2 для факторного
анализа
. (2.40)
2 — 2 J
I ~1 * * * * * * В =НТ
К °2 J
№
£ Легко убедиться в том, что столбцы матрицы Нт ортогональ-
ны между собой, т. е. имеют нулевое скалярное произведение:
0,865 '
0,501 _
= 0.
| Норма векторов Hi и Н2 равна единице, т. е. HiHiT=
Н2н2т=1. С учетом этого можно получить соотношение
ННТ=Е,
К е. чтобы найти матрицу, обратную по отношению к матрице
собственных векторов, последнюю достаточно транспонировать:
В Н»=НТ; (HT)-J = H.
F- Определим матрицу корреляционных моментов S(G), вос-
пользовавшись для этого соотношением (1.14):
X, 0
(2.41)
S(G) = HSHT =
51
Из формулы (2.41) следует, что корреляционный момент
s(Gj, G2) равен нулю. Отмеченное свойство новых случайных
величин Gi, G2 называют ортогональностью.
Выразим исходные случайные величины Xi, Х2 через Gi и
G2, для чего систему (2.40) разрешим относительно (Xj—Х4
2
С учетом нормированности матрицы Н найдем Н-1 = НТ, от-
куда
(2.42)
Используя координатную запись, получим
(2.43)
Так как дисперсия случайной величины Gi, равная при-
мерно в 20 раз превышает дисперсию случайной величины G2
и величины эти ортогональны, то изменчивости исходных слу-
чайных величин Xi и Х2, определяющиеся дисперсиями
s2Xl=hu\ +^2iX2 ~ АпХр
s2X 2=h i2Xx -j- Й22Х2 ~ AliXj,
в основном зависят от случайной величины Gi. Следовательно,
вводя остаточные случайные величины ei = ft2iH2 и 82=^22^2,
получаем представления исходных случайных величин Хь Х2,
соответствующие сделанной статистической гипотезе:
=Хг -J- £i;
^2—Х2 4- ^21^1+®2в
Описанный метод выделения фактора Gi, определяющего
основную тенденцию колебаний случайных величин ДХ1=Х1—
—MXi и ДХ2=Х2—МХ2, обладает следующим свойством опти-
мальности.
При условии, что
#1о4'а2О= 1,
погрешность факторного моделирования ДХ1 и ДХ2 для любой
линейной комбинации
У—a1Q\Xj 4~ 4-е,
где в — погрешность моделирования, удовлетворяет неравенству
52
°2s < *2- (2-44)
Для любого метода приближенного представления величин
< I и Хг с помощью моделирующей случайной величины zt, не
совпадающей с Gi, и остаточной случайной величины z2, ортого-
,ной к Zi, найдется такая линейная комбинация
=—|“4Z2^X*2
2 , ,2 ,
л
ь
(2.45)
i
S
1
для которой
(2.46)
Основные свойства собственных чисел и векторов матриц,
рассмотренные в примере, оказываются справедливыми и для
корреляционной матрицы общего вида. Перечислим наибо-
лее важные из них.
Собственные числа матрицы S вещественны и неотрица-
тельны, а собственные векторы могут быть выбраны перпен-
дикулярными друг другу и нормированными. Собственные
векторы Н,- определяют направления линейного преобразова-
ния ;;Y=SX, которые подвергаются чистому растяжению или
сжатию, а величина
кого преобразования.
Между матрицей
чисел
К-"'
а2е
А; представляет собой коэффициент та-
S и диагональной матрицей собственных
Л
п J
(2.47)
имеется следующее соотношение:
A=HTSH, (2.48)
где Н — ортонормированная матрица, столбец i которой пред-
ставляет собой собственный вектор Н, с компонентами h,/,
удовлетворяющими условиям:
К 9
Г У^г=1;
I ,d
п
Описанные свойства собственных векторов и чисел матриц
^корреляционных моментов позволяют с их помощью выпол-
нить эффективный метод моделирования случайных величин
I 53
г
JCi,..., Xn, заданных своими выборками объема N Хх=(ххЬ<
...,XiJv)- Этот метод аналогичен рассмотренному в примере.
Общий случай факторного анализа. Для построения общего
метода статистического моделирования определим множество
«факторов» или «главных компонент» Giy являющихся линей-
ными комбинациями исходных центрированных случайных ве-
личин:
<5/ = ^ huX} (1=\, п), МХ}=0, (2.49)
или в матричном виде
G = HTX. (2.50)
Корреляционная матрица для новых случайных величин
определяется по общей формуле (1.14), которая с учетом соот-
ношения (2.48) приводит к простой зависимости:
S(G) = HTS(X)H = A. (2.51)
Таким образом, главные компоненты Gi имеют нулевые вза-
имные корреляционные моменты s(Gi, GJ = 0 и диспер-
сии, определяемые по формуле
s2(Gz)=\.
Новые случайные величины представляют собой удобную
систему координат для точного и приближенного моделирова-
ния исходных случайных величин Xi.
Чтобы выразить вектор исходных случайных величин X че-
рез вектор G, необходимо решить относительно X систему ли-
нейных уравнений (2.50) с ортогональной матрицей Нт. Для
ортогональных матриц операция обращения сводится к транс-
понированию (т. е. замене столбцов и строк):
(НТ)~1=Н; Н !=HT. (2.52)
С учетом (2.52) находим
X = HG (2.53)
или в координатной форме
п
(2.54)
Г-1
где hri — компонента i собственного вектора Нг.
Для получения приближенных формул моделирования Xi
выбираются случайные величины Gx, GR, соответствующие
максимальным собственным числам матрицы. Приближенные
формулы, выражающие исходные случайные величины Xi через
54
лементы пространства моделирования <?ь Gp, можно пред-
ставить аналогично (2.35):
Мр'' Лч=2 (2.55)
Г=1
или в матричном виде
X = H^Gt(-f, (2.56)
гдеЕНя— матрица, состоящая из первых R собственных векто-
ров о(Х); G — вектор с компонентами Gb G2, .... GR; е — век-
тор погрешностей моделирования ег-.
Погрешность моделирования 8 любой линейной комбинации
случайных величин Xi определяется из уравнения
R
г—1
где 2 ~ удовлетворяет неравенству
s2(£) (2.57)
где Ar-h — собственное число матрицы S.
Из соотношений (2.55), (2.56) можно получить удобные
приближенные формулы, выражающие основные показатели
изменчивости и статистической связи исходных случайных ве-
личин через дисперсии главных компонент пространства моде-
лирования:
Г = 1
R I
s (.XX j) =^^^rhrihrj\ |
r-l J
8(Х)=2хл;нг.
г-1
(2.58)
(2.59)
Формулы (2.58), (2.59) далее используются для определе-
ия ТРС электрической сети на основе факторного моделиро-
ания ее нагрузок.
Оценка необходимого количества главных компонент. Ста-
истическая устойчивость метода компонентного анализа,
компонентный анализ применяется для моделирования как
случайных, так и детерминированных зависимостей аналогично
регрессионному методу аппроксимации временных функций.
Статистический характер задачи заставляет учитывать, что в
расчетах используется не генеральная совокупность значений,
55
а выборка. Так как некоторые свойства моделируемой совокуп-
ности присущи только данной выборке, то не следует перено-
сить все свойства моделируемой выборки на генеральную сово-
купность, оцениваемую по ней. Поэтому в компонентном ана-
лизе желательно выделить только те факторы, которые
характеризуют генеральную совокупность. «Слишком хорошее
приближение следует в большинстве случаев считать более
серьезной ошибкой, чем недостаточное приближение. Первая
ситуация означает, что нажит капитал на случайных факто-
рах, не имеющих объективного смысла. В случае второй ситу-
ации оказывается неиспользованной вся содержащаяся в вы-
борке информация»*.
Наиболее эффективным методом проверки статистической
непротиворечивости предположений и определения необходимо-
го числа компонент моделирования является повторное приме-
нение компонентного анализа для различных выборок одной и
той же генеральной совокупности. Если исходная статистиче-
ская гипотеза о существовании общих доминирующих тенден-
ций изменения всех случайных величин Xt справедлива, то ста-
тистические характеристики хотя бы первой главной компонен-
ты, выделенной на основе различных выборок генеральной
совокупности, окажутся близкими между собой.
Статистические характеристики для главных компонент Оь
не характеризующие свойства генеральной совокупности, суще-
ственно отличаются от выборки к выборке. Такое многократное
повторение факторного моделирования для разных выборок —
наиболее универсальный метод выделения статистически устой-
чивых главных компонент, характеризующих свойства генераль-
ной совокупности. Описание эксперимента, оценивающего устой-
чивость статистического моделирования нагрузок электрической
сети, приведено в гл. 3.
Для ориентировочного определения разумного числа факто-
ров, объясняющих поведение совокупности случайных величин,,
используется оценка общего вклада в дисперсию последова-
тельности главных факторов Cb G2, GR.
Для выбора числа R главных факторов пространства моде-
лирования достаточно сравнить сумму дисперсий исходных слу-
п
чайных величин $1=2 s2(Xz) и расчетную величину s2R, опре-
Z-1
деленную как сумма оценок величин [см. (2.58)]:
п т? R
4=2 5 = 2 К- (2.60}
гЛ г-1
♦ Иореско К. Л., Клован Д. И., Реймент Р. А. Геологический факторный
анализ. Л., Недра, 1980.
56
Критерием точности моделирования является параметр р, %)
₽=100(4/з|). (2.61)
вдИИИКь
На основании большого опыта применения факторного ана-
число компонент пространства моделирования R рекомен-
дуется подбирать таким образом, чтобы параметр находился в
1 пределах
(1
рЖ: 75 <?%< 90. (2.62)
! S Факторное моделирование совокупности случайных величин
оказывается полезным инструментом статистического анализа,
|| если размерность пространства моделирования исходных слу-
чайных величин достаточно мала. Именно такая ситуация
характерна для моделирования узловых нагрузок. Как будет
показано в гл. 3, применение методов факторного анализа поз-
воляет в этом случае моделировать сотни графиков узловых
мощностей с помощью двух-трех обобщенных типовых гра-
фиков.
Н? Алгоритм моделирования совокупности случайных величин
на основе компонентного анализа. Рассмотрим алгоритм выде-
ления главных компонент (MGK), используемый при модели-
ровании графиков узловых мощностей (см. гл. 3). При этом
применяется простейший метод определения R максимальных
собственных чисел и векторов симметричной положительно
определенной матрицы корреляционных моментов S(X)—сте-
пенной метод.
В Для надежной работы метода необходимо, чтобы первые
собственные числа матрицы S(X) существенно отличались друг
от друга. Матрицы S(X), соответствующие графикам узловых
мощностей, обычно удовлетворяют этому условию и не требу-
ют применения более универсальных и сложных методов вычис-
ления собственных значений.
Степенной метод позволяет найти максимальное собствен-
ное число и соответствующий ему вектор положительно опре-
деленной матрицы S(X), используя для этого простейшую
итерационную процедуру:
x*=sx*-1.
При /г-»-оо отношение
X*
Xй-1
стремится к максимальному
(собственному числу, а отношение —*-------к нормированному
|х
(собственному вектору Нр Чтобы доказать это положение, вы-
шазим исходный вектор единичной длины Х° через собственные
‘векторы матрицы S(X):
Х°—atHi Л2Н2 “Ь • • • ~Ь а«Ня.
57
Для доказательства не обязательно знать коэффициенты Q.
достаточно просто предположить, что такое разложение суще*
ствует и при случайном выборе Х° вероятность получить нуле,
вое значение коэффициента ах практически равна нулю. Поэто.
му в дальнейшем будем считать, что Hi^O.
С учетом свойств собственных векторов результат умноже-
ния исходного вектора Х° на матрицу S можно представить
следующим образом:
X1 = SX° = + л2а2Н2 +... + ХйялНл.
Выражение вектора X^ = SX^~1 принимает вид
Х^—Xi^ZjHj -J-X2a2H2 -J- •• • “h Хлб£дНл. (2.63)
Представим выражение (2.63) в следующем виде:
Х»=Х?(а1Н1+ек),
где
2
Я/
(2.64)
Приведенная оценка показывает, что е* при увеличении k
стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии с
показателем a=%2/Xi. Следовательно, направление Xk действи-
тельно в пределе совпадает с Нь а отношение Х*/|Х*| Ль
Процесс выделения собственных чисел и векторов матри-
цы S можно продолжить, если после выделения “kk и Щ матри-
цу подвергнуть редукции:
S^=S^-XArHL (2.65)
В частности, Si = S—XiHiH!7.
Как следует из представления матрицы S(X) через собст-
венные числа и векторы, матрица Si содержит и—1 отличных
от нуля собственных чисел, совпадающих с собственными чис-
лами исходной матрицы. Максимальным собственным числом
для Si является Лг. Поэтому, используя формулу (2.65), после
выделения собственного числа Kk с помощью степенного мето-
да для Sfc можно выделить новое собственное число.
Применение описанного алгоритма показало, что начиная
с некоторых шагов k накапливается значительная погрешность
определения собственных чисел за счет ошибок округления при
выделении первых собственных чисел и векторов. При обычной
точности вычислений на машинах с числами длиной 4 байт
описанный алгоритм позволяет достаточно точно вычислить
собственные числа на 2—3 порядка меньше, чем Ль Такая точ-
ность достаточна для выполнения факторного анализа.
58
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
В данной главе рассмотрены наиболее важ-
е методы моделирования статистических зависимостей —
негре^ионный и факторный анализы.
Р Моделирование статистических зависимостей для обоих ме-
можно выразить одной и той же формулой
той
gb получение которых и составляет основную задачу регрес-
%
&
i
(2.66)
Принципиальная разница рассматриваемых методов заклю-
А в различии способов установления зависимости (2.66)
а входящих в нее векторов Y и Н.
^регрессионном анализе под каждой компонен-
^вектора Y понимается одно наблюдение случайной вели-
чиныхДУь Вектор G состоит из детерминированных параметров
gi, получение которых и составляет основную задачу регрес-
сионного анализа. Матрица Н, определяющая характер связей
между искомыми параметрами и наблюдениями, в регрессион-
ном&анализе известна заранее и не подлежит уточнению. Для
наиболее типичной задачи регрессионного анализа — моделиро-
вания временных зависимостей Y(ti), i=l, N на основе извест-
ны^ функций-предикторов Xj(t) — коэффициенты матрицы G
представляют собой значения Х}- в соответствующих точках:
В факторном анализе моделируются многомерные
[1 случайные величины. При этом каждая компонента Yi вектора
fl наблюдений Y представляет собой выборку размерности N.
1 Компоненты Gi вектора G в факторном анализе — это случай-
я ные величины, представляющие собой линейные комбинации
исходных случайных величин:
№ Важнейшим отличием факторного анализа от регрессион-
Я ного является характер матрицы моделирования Н. Если в рег-
1 рессионном анализе эта матрица задается априори, то в
факторном анализе она строится из столбцов собственных факто-
Л ров матрицы S выборочных корреляционных моментов исход-
ных случайных величин.
В Как в регрессионном, так и в факторном анализе качество
моделирования по формуле (2.66) определяется сравнением
остаточных дисперсий моделирования случайных величин 8 с
I исходной дисперсией выборки Yi в регрессионном анализе или
суммой дисперсий выборок случайных величин Yi в факторном
анализе. Следует заметить, что в регрессионном анализе при
заданной заранее структуре матрицы моделирования данный
59
критерий используется для проверки статистической непротивп
речивости гипотезы, положенной в основу модели (2.66).
В факторном анализе, где структура матрицы Н строится »
процессе моделирования, выборочные дисперсии остаточны*
погрешностей моделирования можно уменьшить за счет введе-
ния новых факторов до сколь угодно малой величины. Прн
этом, однако, моделируется не исходная генеральная совоку^
ность, а выборка, полученная на ее основе. Используются э/с&
модели факторного анализа, как и модели регрессионного ана-
лиза, не в точках выборок, на основе которых они построены,
а в новых точках генеральной совокупности. Поэтому излиш-
няя точность построения факторных моделей, получаемая за
счет использования факторов, характеризующих конкретную
выборку, увеличивает погрешности вычислений; разумная точ-
ность моделирования в факторном анализе обычно достигается
применением критерия (2.61).
Контрольные вопросы
1. Уравнения регрессионного анализа имеют вид
п
/-1
Какие параметры модели задаются заранее, из каких величин составляется
выборка наблюдений, какие величины находятся в результате решения «нор-
мальных уравнений»?
2. Выполнено 12 наблюдений месячных максимумов нагрузки, составляю-
щих выборку:
/>1 = 85; Р2 = 80; Р3 = 80; Р4 = 72; Р5 = 60;
Л; = 64; ^7 = 60; Р8 = 75; />э=75; />10 = 80; />и=85; Р12«90.
Запишите уравнения линейной регрессии для данной серии уравнений, ис-
пользуя для этого модель из примера 2.1. Выделите матрицу наблюдений.
Найдите матрицу С и вектор B=XTY. Получите точечные оценки параметров.
3. Приведите подробное доказательство свойства оптимальности фактор-
ного моделирования, общая схема которого приведена в примере 2.2.
4. Докажите формулы связи между исходной матрицей и матрицей соб-
ственных чисел:
S (X) = НЛНТ;
Л == HTS (X) Н;
п
S (X) = У х, ннт.
1-1
Темы рефератов
1. Оценивание параметров наблюдений методами регрессионного анализа.
Для работы над рефератом используйте [5] и пособие: Н. Дрейпер, Г. Смит.
Прикладной регрессионный анализ (М., Финансы и статистика, 1986. Кн. 1
и 2).
2. Методы факторного анализа в математической статистике. Для подго-
товки реферата полезно изучить литературу, указанную в подстрочных при-
мечаниях текста, посвященного факторному анализу.
ГЛАВА ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО
3 И ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА
** ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕЖИМНЫХ
ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
И РАСЧЕТА ПОТЕРЬ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
В данной главе описано применение регрессионного
и факторного анализа для обработки исходной информации статистических
методов расчета ТРС.
Ц^етод регрессионного анализа широко применяется для оценки и согла-
сования параметров электрической системы, полученных на основе обработки
телеизмерений. Применение данного метода к оперативному расчету потерь
электроэнергии в электрической системе имеет особенности, связанные с су-
ществованием ненаблюдаемой части сети электрической системы и необходи-
мостью согласования расчетов наблюдаемых и ненаблюдаемых районов.
{Если регрессионный анализ успешно применяется для оценивания пара-
метров единичных режимов и соответствующих им потерь активной мощности,,
то факторный анализ целесообразно использовать для моделирования сово-
купности всех возможных режимов для заданного временного интервала.
Применение этого метода анализа узловых мощностей значительно упрощает
статистическую методику расчета ТРС и одновременно увеличивает его точ-
ность за счет более правильного расчета математических ожиданий пара-
метров.
К 3.1. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ
К НАБЛЮДАЕМОЙ ЧАСТИ
К ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [9]
К Как известно, замеры мощностей систем
телемеханики наблюдаемой части системы допускают сущест-
венные ошибки измерений. Для уменьшения совокупной по-
грешности всех измерений выполняются наблюдения избыточ-
ного числа параметров наблюдаемой части системы, записы-
вается система уравнений, связывающих N наблюдений У/ с
другими параметрами электрической системы, которые одно-
значно определяют ее режим (/=1, п).
К Будем полагать, что число наблюдений N больше числа па-
р»аметров и что среди уравнений связи между наблюдениями У«
у параметрами имеется п линейно независимых переменных.
Полученная переопределенная (в которой число уравнений
больше числа неизвестных) система уравнений и может исполь-
зоваться для уменьшения совокупной погрешности измерений
методом регрессионного анализа. Решение описанной задачи
называется оцениванием параметров установившегося режима
на основе текущих измерений.
6i
▼ Пример 3.1. Оценка параметров, учет нелинейного характера задачи. На
рис. 3.1 показана наблюдаемая сеть, в узлах которой поддерживаются напря.
жения с постоянными модулями, равными примерно единице в принятой сис-
теме относительных единиц. Замеры активных мощностей линий и узлов, от-
носящиеся к определенному моменту времени, приведены на рисунке. Тре,
буется записать уравнения для рассматриваемого режима, выражающие связь
замеренных мощностей с другими режимными параметрами, и на основе по-
лученной системы оптимальным образом согласовать результаты измерений.
Для описания установившегося режима используем следующую систему урав-
нений:
= Р12 — 2^12 sin (6i — 62) + «1 == 0;
<р2 = Лз — 3^13 8^п (61 — &з) + 82 = 0;
?3 = ^23 — ^2^3^23 sin (62 — 63) 4-83=0;
3
?4 = rfu sin W + ч = °;
/-2
(3.1)
3
?5 = ^2 — 2 7^2/ sin 02 — by) 4- 85 = 0.
7»i
7¥=/
Система (3.1) имеет много общего с уравнениями простейшей задачи
регрессионного анализа. В ней можно выделить наблюдаемые величины (мощ-
ности) и искомые параметры (фазовые уз-
лы), правильный подбор которых позволя-
ем минимизировать целевую функцию Ф =
N
Схема сети для оцен-
Рис. 3.1.
ки параметров установившего-
ся режима
^<1
U2=1
Р2 = 0,5+i
В дальнейшем для упрощения
^раемыми параметрами. Конечно,
тельно наблюдений мощностей.
обозначений введем общее обозначение на-
блюдаемых величин уг и искомых парамет-
ров Xj.
Однако от стандартной постановки за-
дачи регрессионного анализа система (3.1)
отличается прежде всего нелинейным ха-
рактером связей между наблюдениями и
оцениваемыми параметрами. Кроме того,
приведенные уравнения дают неявную фор-
му связи между наблюдениями и оцени-
уравнения (3.1) легко разрешить относи-
Однако если представить себе, что среди
наблюдений могут оказаться не только мощности, но и модули напряжений,
как это и бывает в действительности, то становится ясно, что сделанное
замечание не является излишним усложнением.
Простейший способ приближенного перехода от системы (3.1) к уравне-
ниям стандартной задачи регрессионного анализа заключается в линеариза-
ции, которую можно выполнить следующим образом. Зададимся начальным
приближением параметров х,0 и в его окрестности разложим уравнение i си-
стемы (3.1) в ряд Тейлора:
?Z(Y, X)«?Z(Y,
(3.2)
где Y — вектор наблюдений; Хо — вектор начальных значений параметров с
компонентами xj0; Axj=xj—xj0.
Система (3.2) описывает линейную задачу регрессионного анализа, в ре-
гльтате ее решения по обычной формуле (2.17) находятся поправки Axj, но-
вые приближения параметров
на основе которых может быть сделана следующая итерация.
Проиллюстрируем процесс линеаризации уравнений нелинейного регрес-
сионного анализа на рассматриваемом простейшем примере.
Компонентами вектора Y являются наблюдения мощностей линий и уз-
лов,^ искомые параметры, составляющие вектор X, состоят из фазовых углов
61, 6s, напряжений узлов. Для узла 3, принятого за балансирующий, фазовый
угол не оценивается и принимается равным нулю. В качестве начального при-
ближения принимаем нулевые значения параметров 6] и 62. С учетом сказан-
ного Заходим
_ &2,0 -
0 '
. о .
I Выполняя линеаризацию в соответствии с (3.2), приходим к линейной
системе уравнений
Перепишем систему в матричном виде
Д&2
Г доставим нормальные уравнения в соответствии с (2.17) и запишем вы-
ражение
В Г 15 —6] Д&1
к .—6 7j L д&2
0,1 J
решение которого (Д61 = 0,6377 и A6s==0,5609) позволяет найти первую ите-
рацию искомых параметров:
= ^1,0 4“ Д&1 = 0,6377; 62,1 — &2,о 4- Д&2 = 0,5609.
Подставляя полученные выражения в (3.2) вместо Хо, находим новую
систему уравнений линейной регрессии для определения поправок Дбц, Дбг.ь’
I 0,123 = 0,997 (Абы - ДВ2,1) + ц;
|к 0,109 = 1,607Д81,1 4- «2;
0,068 = 0,846Д52,1 4- <3;
₽ 0,033 = 2,604ДВ1г1 — 0,997ДЬ2,1 4- Ч*>
L 0,048 = —0,997Д&Ь1 + 1,843Дб2д 4-«5-
63
Решение данной системы методом наименьших квадратов позволяет
лучить значения неизвестных
ДЬ1Л = 0,0497; дг2л =0,0418.
Подставляя новые поправки, находим далее
*1,2 = *ы + Д*ы =0,7174(41,11°);
*2,2 = *2,14- А *2,1 =0,6027 (34,53°).
Процесс уточнения можно продолжить, однако последующие шаги пол-
ностью повторяют второй шаг и, кроме того, они не дают существенного
уменьшения невязок, поэтому ограничимся двумя шагами решения.
Подставляя найденные значения параметров в первое уравнение системы
-(3.1), находим скорректированное значение мощности:
Р12 = U\Usin (&i,2 — *2,2) =0,115.
Оптимальная по совокупности наблюдений погрешность данного измеое*
«ия составляет F
Аналогично
«змерений:
определяем остальные расчетные мощности и погрешности
Р13= 1,3114; е2 = -0,011;
/>2з = 0,566; «з = —0,066;
А =0,451; в4 = 0,049;
?2 = 1,426; «5 = 0,126.
Приведенный пример оценивания р---- г _________ __
кощенного алгоритма программы обработки наблюдений, однако
—------- —
которые особенности решения задачи.
параметров может служить
основой уп-
. ж ------ ---VTAiiunv, прежде чем
привести такой алгоритм, дополнительно обратим внимание читателя на не-
г гл л лгь ---- — -—.— -
Проблема «наблюдаемости» системы. Прежде всего решим
задачу определения числа и состава оцениваемых параметров.
Чтобы понять особенность ее постановки для нелинейного рег-
рессионного анализа, представим себе, что рассматриваемая
модель используется для оценивания не только мощностей, но
и модулей напряжений Ui и В этом случае каждое изме-
рение системы (3.1) определяет уже не одну, а несколько
наблюдаемых переменных. Например, в первом уравнении (3.1)
участвует не только замер мощности Р12, но и замеры напря-
жений U\ и U2.
Очевидно, одному и тому же значению параметров 61—62 и
•«1 могут соответствовать произвольные значения Р\2> U\, lb
удовлетворяющие уравнению
1^2^12 sin — 32)-]-е1=0.
Так как число уравнений связи равно^ пяти, а
даемых величин — семи (пять мощностей и два
то и система
число наблю-
напряжения),
— в/=0, / = 1,...,5
лЯЕцюбых значений ег- допускает бесконечное число различ-
яЬ1х|решений, т. е. записанная система уравнений не позволяет
однозначно найти оценки наблюдаемых переменных.
Можно попытаться ввести добавочные измерения мощно-
стей} чтобы число измерений превысило число наблюдаемых
|параметров, например, за счет измерения одних и тех же мощ-
ностей линий Рц в начале и конце передачи. Однако и эта
Вера не позволит однозначно решить задачу, поскольку при
этом будут записаны восемь уравнений, три из которых явля-
ется линейными комбинациями остальных пяти (обратите вни-
мание, что уравнения (3.1) не учитывают потерь активной мощ-
ности].
Рассмотренная ситуация определяет ненаблюдаемую систе-
му.ЕНт°бы обеспечить наблюдаемость для модулей напряже-
1ний|&/ и углов бь необходимо к системе (3.1) добавить выра-
жения для реактивных мощностей, обеспечив дополнительные
измерения реактивных мощностей или модулей напряжений
|сети, показанной на рис. 3.1.
Я В общем случае задача оценки наблюдаемости района сети
представляет собой достаточно сложную инженерную задачу
[9]. Как правило, для системообразующей части электрической
Ясети удается обеспечить условия наблюдаемости, в остальной
Ячасти сети эти условия не удовлетворяются. В дальнейшем,
[ говоря о наблюдаемой или ненаблюдаемой части системы, бу-
| дем вкладывать в это понятие смысл, определенный приведен-
яными выше пояснениями.
!^ЙИчет наблюдений разной точности и выделение ошибочных
1 наблюдений. Важнейшее значение в задаче оценивания пара-
г метров имеет учет разной точности измерений и выделение так
ij называемых «плохих измерений», погрешность которых намно-
го больше средней.
У чет наблюдений разной точности. Необходи-
мость учета измерений различной точности объясняется тем,
что среди элементов системообразующей сети имеются объек-
тыг не обеспеченные каналами телеизмерений. Такая ситуация
может вызываться ремонтами систем или недостаточным чис-
лом каналов телемеханики. Остаточные погрешности наблюде-
ний <рг(Х X) узлов, не поддерживаемых системой телемехани-
ки, обладают существенно большей дисперсией о2<рь чем дис-
персии остальных наблюдений. Введем понятие веса наблюдений
Рй выразив его через отношение дисперсий:
Ж P/==jAj2/a?,
где о2 — некоторая константа; Ог2=о2(р/.
» Умножим линеаризованное уравнение i системы (3.2) на вес
наблюдения. Получим выражение
3—1152 65
п
Дисперсии остаточных величин постоянны, поэтому для взве-
шенных наблюдений справедливы предположения равноточно-
сти регрессионного анализа. Если из весов наблюдений соста-
вить диагональную матрицу
Га 1
то систему нормальных уравнений нелинейного регрессионного
анализа для «взвешенных» наблюдений можно представить как
^(Р2)^.дхт=_Р-^ф(У, ХД (3.4)
Ол ОЛ. ОЛ.
Выделение неверных наблюдений. Задача вы-
деления «плохих измерений» при оценивании параметров ус-
ложняется наличием функциональных связей между перемен-
ными. Поэтому одно плохое измерение приводит к получению
больших невязок для ряда уравнений ф/, оценивающих тесно
связанные между собой электрические параметры. Принципи-
ально проще всего для выявления плохих измерений выделить
все уравнения ф/, невязки которых превышают некоторый по-
рог. Для каждого из таких уравнений следует найти измере-
ния, сильнее всего влияющие на погрешность. Отбрасывая
последовательно каждое из таких наблюдений, следует повто-
рить заново решение задачи регрессионного анализа и считать
ошибочным то измерение, отказ от учета которого ведет к мак-
симальному уменьшению погрешности. Непосредственная реа-
лизация такой проверки весьма трудоемка, поэтому в настоя-
щее время ведется разработка более простых эвристических
способов поиска неверных наблюдений [9], использующих ме-
тоды анализа графа электрической сети.
Упрощенный алгоритм оценивания параметров наблюдаемой
части сети энергосистемы. В задаче оперативных расчетов ТРС
оценивание параметров наблюдаемой части системы выполня-
ется с учетом п интервалов постоянства Д/^н графиков нагруз-
ки сети и т переключений диспетчерской схемы, каждому из
которых соответствует интервал Д^п, начинающийся в момент
^/п. Поэтому расчеты наблюдаемой части системы определяют-
ся интервалами Ту, соответствующими пересечениями Д/,н и
Д//П-
Далее описывается последовательность оценивания режим-
ных параметров наблюдаемой сети для каждого интервала Л/.
66
Вралгоритме можно выделить следующие основные этапы.
1>Ввод оперативной информации о наблюдаемых режимных
параметрах системообразующей сети для интервала Л/, об
изменениях диспетчерской схемы соответствующей сети. На
данном этапе также вводятся начальные приближения напря-
жений и других зависимых параметров наблюдаемой части
сети| В качестве начального приближения зависимых парамет-
ров Используются результаты последней оценки или номиналь-
ные Значения соответствующих величин.
ЖЛинеаризация нелинейной системы наблюдений в окрест-
ности начальных приближений параметров и получение матри-
цы наблюдений и вектора наблюдений, соответствующих лине-
аризованным уравнением (3.2). Очевидно, получаемый при этом
вектор наблюдений 7? будет состоять из элементов
I rz=-<MY, Хо),
а строка i матрицы наблюдений G=<?<p/dX образуется элемен-
тами
ь
|ДИМО(
учета
3. Введение матрицы весов наблюдений. В случае необхо-
димости наблюдения «взвешиваются» по формуле (3.3). Для
|) весов автоматически (на основе информации о составе
устройств телемеханики) или вручную вводится матрица весов
измерений.
4. Выполнение точечных оценок наблюдений. Для этого ис-
пользуются нормальные уравнения (2.17) линеаризованной
Я системы (3.2), которая в данном случае запишется следующим
д , образом:
ИВ САХ*=G*R (£*_,); C=G’G, (3.5)
Я где k — номер итерации.
Определение режимных параметров итерации k. На этом
этапе корректируются зависимые X и наблюдаемые F пара-
метры:
К = Хл-1 AXft; Yft=ДХЛ. (3>6)
01 С/Л
др
В После определения Xk, Y* выполняется оценка погрешности
наблюдений 82, соответствующая выборке и итерации k оценки
параметров:
к*
п
Z-1
(3.7)
67
6. Проверка сходимости итерационного процесса. Для вы.
полнения данной операции
итераций
определяется отношение соседн^
Если ak не превышает заранее заданного малого числа е
то итерационный процесс получения оценок считается закон*
ченным и выполняется переход на ветвь алгоритма, содержа-
Ввод оперативной ан-
- формации для интер-
вала Т;;
Линеаризация уравнений
— и формирование мат-
рицы наблюдений О
Ввод или корректировка
„ весов17 наолюдений pL
CAX=GTR
_7_J—
*л=Р(Л)
Q Конец
к
Расчет „ точечных оценок
линеаризованной за-
дачи
r-tf-J---
-
Определение режимных
параметров ите -
рации к
Вычисление остаточ-
ной дисперсии наблю-
дений
Контроль условий
окончания расчета
cf = I ~ - 1 I
I £*-/ 1 I
Определение интервальных
оценок параметров
Запись результатов
расчета
Рис. 3.2. Схема алгоритма оценки пара-
метров установившегося режима наблю-
даемой части электрической сети
68
щукрблоки интервальных оценок и записи результатов рас-
чета.1
^ Определение интервальных оценок зависимых и независи-
мых^ параметров. Соответствующие оценки выполняются по
Яоб1№м формулам (2.20), (2.22).
№ Запись результатов расчета. Полученные параметры
Д блюлаемой части сети используются для определения состав-
Д пяюшей ТРС, соответствующей интервалу Tif, а также для
записи мощностей и напряжений узлов связи наблюдаемой и
ненаблюдаемой частей схемы, которые понадобятся на этапе
пягчета ТРС. относящемся к ненаблюдаемой части сети.
расчета ТРС, относящемся к ненаблюдаемой части
Ивьхема алгоритма расчета приведена на рис. 3.2.
Kh
&
%
>4?
наблюдае-
5—15% от
А
1
3.2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ
Др НЕНАБЛЮДАЕМОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ
Как известно (см. гл. 1), ТРС
мой части электрической системы составляет всего
суммарного значения потерь энергии. Поэтому алгоритм опера-
тивных расчетов ТРС обязательно должен содержать блок,
обрабатывающий информацию низкого уровня достоверности,
основанную на сезонных замерах нагрузок потребителей. Рас-
смотренный в § 3.1 аппарат весовых коэффициентов позволяет
объединить оценку параметров системообразующей и распре-
делительной сетей, однако такое объединение резко усложняет
решение, требует оценки параметров сети, содержащей до ты-
сячи узлов, и не приводит к существенному улучшению оцен-
ки ТРС наблюдаемой сети, так как имеющие малый вес заме-
ры ненаблюдаемой ее части оказывают малое влияние на кор-
ректировку наблюдаемых параметров. В связи с этим оценку
параметров режимов распределительной сети разумно отделить
ЯГ описанного выше расчета параметров системообразующей
сети*.
К Общая схема расчета ТРС ненаблюдаемой сети. Схема за-
мещения распределительной сети включает в себя узлы связи
наблюдаемой и ненаблюдаемой системы, режимные параметры
которых известны достаточно точно и на данной стадии рас-
чета считаются достоверными. Для остальной части распреде-
Я лительной сети предполагается известной только диспетчерская
Я схема сети для каждого установившегося режима работы, соот-
Я ветствующего периоду оперативного расчета ТРС. Единствен-
ным источником информации о мощностях такой сети являются
результаты сезонных замеров ее режима. Хотя в ходе замера
^определяются и узловые мощности, и мощности линий, полез-
Жную информацию для оперативных расчетов дают только оцен-
* Давыдов В. В. Автореферат кандидатской диссертации. Методы опера-
тивного расчета потерь электрической энергии и компенсации реактивной мощ-
ности в больших энергосистемах. Свердловск. Изд. УПИ, 1987, 17 с.
69
ки узловых мощностей. Объясняется это тем, что диспетчер-
ские схемы наблюдаемого и рассчитываемого периодов не сов-
падают, поэтому нет соответствия и между мощностями линий
для этих периодов, в то время как узловые мощности упомя-
нутых периодов примерно равны.
Основная идея оценки ТРС ненаблюдаемой части системы
состоит в следующем. Для каждого установившегося режима
периода оперативной оценки составляется схема замещения,
учитывающая все переключения ненаблюдаемой части сети.
Вначале выполняется предварительный расчет, в котором узлы
связи с системой считаются балансирующими и имеют напря-
жения, найденные при расчете наблюдаемой части сети, а мощ-
ности нагрузок ненаблюдаемой сети определяются из сезонно-
го замера. Естественно, что мощности балансирующих узлов
полученные в этом расчете, не равны реальным и замерен-
ным перетокам по линиям, связывающим наблюдаемую и не-
наблюдаемую части системы Set. Именно это обстоятельство
и используется для уточнения оценки параметров ненаблюда-
емой части системы, которые корректируются таким образом,
чтобы свести к нулю различия между S°6t и Set.
Математическая постановка задачи расчета ненаблюдаемой
части системы. Запишем систему уравнений баланса токов для
распределительной сети, разделив ее на две части: уравнения
балансирующих узлов, параметры которых Ub h считаются
достоверными, и уравнения распределительных узлов, токи
которых 120 определены ориентировочно и имеют некоторую
погрешность:
Yu^i -|-Yl2U2— h;
y21u1+y22u2=
(3.8)
(3.9)
Ьо Н”€-
Очевидно, предварительный расчет распределительной сети
соответствует решению уравнений (3.9), в которых отсутствует
вектор погрешностей токов распределительных узлов е.
Подставим в (3.9) заданные значения напряжений балан-
сирующих узлов и разрешим систему относительно вектора
напряжений:
(ЗЛО)
где 112о — начальное приближение вектора напряжений нена-
блюдаемых узлов, найденное при е = 0.
Значение U2o, выраженное через начальное приближение то-
ков нагрузок ненаблюдаемых узлов 120, в общем случае не
удовлетворяет системе ограничений (3.8), ибо наблюдаемые
напряжения и токи балансирующих узлов не соответствуют то-
кам I2q.
70
FW Чтобы удовлетворить (3.8), откорректируем вектор токов
1‘2=12о+Л’2 (3.11)
и найдем вектор напряжений
U2=Y^1[(i2o + AI2)-Y21U1]. (3.12)
Подставив (3.12) в (3.8) и выполнив простые преобразова-
:! ния, чтобы удовлетворить (3.8), получим
A(i20+AI2)=l‘1-Y119lj1 (3-13)
АД12=ДВ,
(3.14)
(3.15)
Я
ab=i1-yUsu1-ai20.
^Система (3.14) имеет решения только в тех случаях,
среди входящих в нее уравнений не содержится линейно
симых. Будем считать это условие выполненным. Тогда из пря-
моугольной матрицы А, содержащей т строк по числу балан-
сирующих узлов, связывающих наблюдаемую часть системы с
ненаблюдаемой, и п столбцов (по числу узлов ненаблюдаемой
части системы), можно выделить квадратную матрицу А с от-
личным от нуля определителем и переписать систему (3.14)
следующим образом:
(3.16)
когда
зави-
а
К А1Д121+А2Д122=ДВ, (3.17)
где Дj21 — компоненты вектора Д12, соответствующие столбцам
^матрицы Ai; А2 — матрица, содержащая остальные столбцы А;
Д122 — соответствующие остальным столбцам компоненты век-
тора Д12-
к: Решим систему уравнений
I АпД121=ДВ (3.18)
иг определим вектор поправок Д120=(Д12Ь Д122], удовлетворяю-
щий системе (3.14):
X Д121=АП1ЛВ; Д122=0. (3.19)
Полученному решению (3.14) соответствует решение I1
одного уравнения (3.13):
3
2 ИС-
(3.20)
71
Попытаемся найти новое решение 12 системы (3.14), кото-
рое бы как можно меньше отличалось от исходного тока 120.
Для этого из компонент вектора-поправки Д/2, образуем целе-
вую функцию
ф=2 д^’
Z-1
(3.21)
минимум которой и обеспечивает решение задачи.
Рис. 3.3. Операция проектирования вектора Z0 на подпрост-
ранство a1z14-G222+c:3^3 = 0
Определение минимума функции Ф при соблюдении ограни-
чений (3.13) называется проектированием вектора /20 па под-
пространство
А1 = ДВ>
(3.22)
а полученное решение 12=12о + Д12 — проекцией вектора /20 на
соответствующее пространство. Операция проектирования на
подпространство часто используется для решения разнообраз-
ных статистических и оптимизационных задач, в частности в
задаче оптимизации потерь мощности электрической сети (см.
гл. 4).
Операцию проектирования точки на подпространство рассмо-
трим на примере трехмерного пространства, которому соответ-
ствует рис. 3.3. Плоскость Р определяется уравнением
з
и
соответствуют начально-
вверти новую систему координат Zb Z2, Z3,
совпадает cl1.
й принадлежит трехмерному пространству /ь h: точка 1°,
которую необходимо спроектировать на плоскость, и некоторая
начальная точка данной плоскости
му решению I1 системы (3.22).
Для выполнения операции проектирования целесообразно
, начало которой
совпадает с I1. При этом Z-координаты вычисляются через
/-координаты по формулам
К ^ = /,-/1; Z2 = /2-/J; Z3 = /3-/l (3.23)
Уравнение плоскости Р в новой системе имеет более про-
стой вид, чем в исходной:
3
(3.24)
Точке /°, проектируемой на плоскость Р9 соответствуют
координаты:
О гО
О гО
Для любого отрезка Дг, направленного из Z0 к плоскости Р,
можно записать уравнение
з
так как вектор ZO + AZZ принадлежит Р.
^Проекции Z0 на плоскость Р соответствует вектор AZ мини-
мальной длины, перпендикулярный плоскости Р или параллель-
ный нормали к этой плоскости, имеющей координаты пД; а2К;
а3К9 где X — произвольный множитель. Сформируем из перечис-
ленных координат вектор AT=[ai, а2, а3]т и подберем пара-
метр К так, чтобы точка Z°+XAT принадлежала плоскости Р.
Очевидно, для этого требуется решить уравнение
п
откуда
п
в данном простейшем случае и опре-
Ь Полученная формула
деляет операцию проектирования вектора Zo на плоскость Р.
Е- Приведенный результат справедлив для любой системы
ограничений, поэтому вектор AZ, осуществляющий проектиро-
i 73
ванне на подпространство АР, перпендикулярен всем плоско-
стям, пересечение которых определяет это подпространство:
Каждое уравнение системы (3.26) соответствует некоторой
плоскости Pi, любой вектор Z, принадлежащий Рг, перпендику-
лярен вектору Aj= (ан, йгп)т, так как уравнение
+az2Z2-|-... +amZn=0
и представляет собой запись условий перпендикулярности век-
торов Z=(Zb Zn) и AiT.
Вектор AZ, перпендикулярный пересечению плоскостей Pif
параллелен каждому из векторов АЛ поэтому AZ можно пред-
ставить произвольной линейной комбинацией А/т в виде
т
Z-1
(3.27)
Этот результат можно записать в матричном виде:
AZ=ATA,
(3.28)
где Л — произвольный вектор коэффициентов Ki,
Подберем AZ таким образом, чтобы удовлетворить систему
ограничений (3.26). Для этого подставим уравнение перпенди-
куляра AZ в соответствующую систему и получим
A(Z°4-ATA)=0. (3.29)
Выполняя умножение, определяем систему линейных урав-
нений
ААТА = —AZ°. (3.30)
Подставляя вектор Л в (3.28), находим решение поставлен-
ной задачи. Выражение (3.30) широко применяется в различ-
ных задачах анализа установившегося режима электрических
систем, так как определяет операцию проектирования произ-
вольного вектора Z на подпространство А, образуемое систе-
мой ограничений.
Операцию проектирования можно представить в матричном
виде. Для этого разрешим (3.29) относительно вектора Л:
Л = — (A AT)-i ATZ°.
(3.31)
Подставим найденное значение А в (3.25) и (3.28):
А (Е—А (ААТ)-1 Ат) Z0—0.
(3.32)
74
Уравнение (3.32) показывает, что любой вектор Z, умно-
женный на матрицу проектирования
Еа=(Е - А (ААП”1 Ат), (3.33)
принадлежит подпространству А, образованному векторами А,.
Символом Е в (3.33) обозначена единичная матрица размерно-
сти mXm.
Описание алгоритма расчета ненаблюдаемой сети электри-
ческой системы в задаче оперативного расчета ТРС. Подведем
итог громоздкому выводу расчетных соотношений ТРС ненаб-
людаемой сети перечислением основных этапов расчета и свод-
кой соответствующих формул.
Подготовительные работы. При оперативных расчетах
ТРС оценки режима ненаблюдаемой сети, так же как и опи-
санные оценки параметров наблюдаемой части, выполняются
для каждого сочетания (ZHi, tnj) момента /Нг изменения графи-
ка нагрузки и момента tnj переключения диспетчерской схемы,
относящихся к периоду наблюдения Т. Поэтому перед выпол-
нением каждого расчета при необходимости должны быть про-
ведены измерения мощности нагрузок распределительной сети,
переключения диспетчерской схемы для момента tnj и введены
рассчитанные на этапе оценки параметров наблюдаемой сети
напряжения и мощности балансирующих узлов.
2. Расчет вектора АВ. Анализ формулы (3.16) показывает,
что вектор АВ равен разности реальных токов балансирующих
узлов Ii, рассчитанных на этапе определения параметров наб-
людаемой сети, и токов 1Ь найденных при эквивалентировании
ненаблюдаемой сети, в узлах которой приложены начальные
I приближения токов 12о к множеству токов балансирующих узлов,
ке*
К АЙ = 1Х —(3.34)
где h — токи балансирующих узлов, соответствующие расчету
ненаблюдаемой части сети с узловыми нагрузками 12о.
3. Получение начального сбалансированного режима ненаб-
людаемой части сети. Для выполнения расчета следует m раз
Iповторить решение линейных уравнений с постоянной матрицей
Г Y22Y^-=A\ (3.35)
|де Y*2i — столбец k матрицы Y2i; А* — строка k матрицы А.
( Коэффициенты матрицы А представляют собой коэффициен-
ты ац распределения токов нагрузок /t ненаблюдаемой сети в
балансирующие узлы j при выполнении операции эквиваленти-
рования до множества балансирующих узлов.
I После определения матрицы А находится m независимых
столбцов, из которых составляется матрица Ан, и в соответ-
ствии с (3.18) — (3.20) рассчитываются векторы AI21, AI22, А12о:
75
А12о— [A^2i» А122];
A11AI2j = ABj AI22=0.
(3.36)
4. Определение вспомогательного вектора Л и поправки А^
минимальной длины. Последний шаг алгоритма выполняется в
Ввод диспетчерской схемы сети
и мощностей балансирующих
узлов
Расчет исходного режима нена-
блюдаемой сети и вектора АВ
Расчет начального^ допустимого
решения ненаблюдаемой сети
Решение системы уравнений
АА^Л- - ААВ ~
Нахождение оптимальной оценки
параметров режима ненаблюдае-
мой сети
Расчет ТРС ненаблюдаемой
части сети '
Рис. 3.4. Схема алгоритма расчета ненаблю-
даемой сети
соответствии с представленной выше методикой по формулам
(3.28), (3.30):
СЛ=АД120; С = АА\ (3.37)
где
А12=АтА;
^2 —*20“h А12.
Схема алгоритма расчета параметров ненаблюдаемой части
сети приведена на рис. 3.4.
76
\ Пример 3.2. Расчет ненаблюдаемой части сети. Выполним расчет ненаблю-
даемой части сети постоянного тока, приведенной на рис. 3.5, и убедимся в
том, 470 Даже ПРИ значительном отличии исходного приближения токов нена-
бпюдаемых узлов сети от реального потери мощности описываемым методом
‘аСС1|итываются достаточно точно. В приведенной на рисунке сети узлы 1 и
5 приняты за балансирующие, остальные узлы электрической системы отно-
сятся к распределительной сети.
Сопротивления и проводимости электрической сети рассчитаны в относи-
тельных единицах и приведены на рис. 3.5, там же указаны мощности и на-
пряжения балансирующих узлов. Для узлов 2, 3, 4 приведены два значения
нагрузок: сплошными стрелками отмечены реальные мощности, соответствую-
щие рассчитываемому режиму, штриховыми — результаты сезонного замера.
Сравнение мощностей показывает, что суммарный ток начального приближе-
ния нагрузок составляет примерно 73% от реального значения тока. Погреш-
ности отдельных токов узлов доходят до 100% от нагрузки узла.
Расчет проводится в два этапа.
1. Расчет вектора В. Определим режим распределительной сети для на-
чального приближения токов нагрузочных узлов. Токи балансирующих узлов
составляют
Щ /5 = 0,2625; 71 = —0,1525.
Подставляя найденные значения в (3.34), находим
В5 = 0,0175; ДВ1== 0,0525.
|2. Расчет матрицы А и определение начального сбалансированного ре-
жима /г1- Чтобы найти А, составим матрицу проводимостей рассчитываемой
сети:
Узлы распредели-
тельной сети
Баланси-
рующие
2 3 4
0 —0,25 —0,5
—1 0 0
2—1 0
—1 1,75 —0,5
0 —Ю,5 >1
Ч*~ V I ——
У 22
Е Выделяем из Y блок Y22, относящийся к ненаблюдаемым узлам, и выпол-
няем обращение матрицы:
0,5
1,0
0,5
0,25“
0,50
1,25^
Выполняем умножение Y12Y22-1:
А = Y12Y£X =
-0,25 —0,5’
О 0
0,75 0,5
0,50 1,0
0,25 0,5
0,25“
0,50
1,25
’0,25 0,5
0,75 0,5
0,75’
0,50] ’
77
Первые два столбца А образуют невырожденную матрицу второго поч
рядка, составляем из них матрицу Ап и в соответствии с (3.36) находим: /
' 0,00175
_ 0,05250 .
уравнения, определяем
" 0,0650 “
== 0,0025
0
0,75 0,5 J
Решая заданные
_ -
Aho =
д/ з
_ А/4
- 0,0825 '
0,0625
_0,04 _
Рис. 3.5. Исходная схема к расчету ненаблю-
даемой сети
Единицы величин: Р [о. е.], U [о. е.], R [о. е.]
Вычисляем вектор поправок Х =
(3.37)
[0,75 0,5 0,25.
0,50
_0,75
сформировав для этого матрицу
0,75“
0,50
0,875
0,625
0,625*
0,875-
и решаем систему уравнений (3.37):
0,875 0,625 Г Х5 1 0,0175 '
0,625 0,875 [ Xi ]“[ 0,0575 .
откуда %5 = —0,0446; Zj = 0,0933;
а!2 =
’ д72 “
д73
0,25
0,50
0,75
0,75 “
0,50
0,50
’ -0,0446 ’
0,0933 .
0,0584 “
0,0233
—0,0116 _
Г 0,0584
h = Д12 4- 12о =
0,0233
—0,0116
“ 0,02 ’
0,05
_ 0,04 .
0,0784 “
0,0733
0,0284 _
78
n\ Сравним результаты расчета потерь мощности сети для трех режимов:
f \a) имевшего место в действительности (режим 1);
$) рассчитанного по известным напряжениям балансирующих узлов и
начальным токам ненаблюдаемой сети (режим 2);
3) полученного в результате корректировки исходных данных ненаблю-
даемых узлов.
Значения потерь мощности для соответствующих режимов составили
ДР1== 0,0284; ДР2 = 0,0187; ДР3 = 0,0282.
fjIorpeiiiHocTH расчетов второго и третьего режимов, отнесенные к истин-
нойреличине ДР, составили
ч = 34%; <2 = 7%.
Значения погрешностей свидетельствуют о преимуществах приведенного
метода оценки режима ненаблюдаемой части сети.
I
3.3. ПРИМЕНЕНИЕ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАГРУЗОК
И РАСЧЕТА ПОТЕРЬ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
К1.
Методы факторного, или компонентного,
статистического анализа используются при оперативных рас-
четах ТРС, а также при краткосрочном прогнозировании и оп-
тимизации.
При выполнении оперативных расчетов область применения
метода ограничивается моделированием суточных графиков на-
грузок ненаблюдаемой сети. Ранее упоминалось, что выборки
сезонных замеров нагрузок имеют малый объем (всего 4—6
значений мощности за сутки). В то же время оперативные рас-
четы ТРС, как правило, выполняются для каждого часа суток.
Поэтому необходимо использовать тот или иной метод интер-
поляции наблюдений нагрузок распределительной сети для оп-
ределения нагрузок в те часы, которые отсутствуют в замере.
Наиболее простым методом является линейная интерполя-
ция, однако при малом числе замеров она дает существенную
погрешность. В этом легко убедиться, если рассмотреть моде-
Влирование по четырем точкам (ночной провал, утренний мак-
симум, дневной спад, вечерний максимум) типичного суточного
И графика, показанного на рис, 3.6. Невысокая точность метода
линейного интерполирования объясняется тем, что на участках
И реального графика мощность изменяется неравномерно (имеют-
Н ся участки постоянства и резкого изменения мощности). Чтобы
получить достаточно точное моделирование этого метода, необ-
ходимо существенно увеличить число замеров.
Более эффективно моделирование суточных графиков. Для
его выполнения в каждой точке t наблюдения исходного гра-
фика Pi находится «коэффициент участия» графика в суммар-
ном графике системы Р2:
k^—P (3.38)
79
Усредняя тем или иным способом полученные коэффициенты
и подбирая на их основе значение &1Экв, можно рассчитать зна-
чение нагрузки в любой промежуточной точке to: [
I
P{(.io)=PM ^Тэкв* (3.39)
Как будет видно в дальнейшем, этот метод близок к упро-
щенному варианту факторного моделирования, учитывающему
единственный главный фактор и поэтому имеющему довольно
малую точность.
Рис. 3.6. График линейной интерполяции суточ-
ного графика мощностей
Для получения более точных моделей суточных графиков
применяется разложение графиков в ряд Фурье или близкие по
смыслу методики. К ним относится и компонентный анализ,
преимущество которого перед другими определяется тем, что
набор функций моделирования выбирается не случайно, как,
например, при обычном анализе Фурье, а на основе изучения
основных закономерностей изменения нагрузок. Указанные за-
кономерности находятся на этапе выделения основных факто-
ров, их число существенно меньше, чем при других методах
моделирования, что и определяет возможность применения та-
кого моделирования для малых выборок, содержащих 4—6 то-
чек суточного графика.
Если в оперативных расчетах ТРС сфера использования
факторного моделирования исчерпывается аппроксимацией гра-
фиков, то в задачах краткосрочного прогнозирования и опти-
мизации моделирование нагрузок составляет лишь первый шаг
использования данного метода.
В описанных задачах на основе факторного моделирования
удается создать эффективный метод расчета, анализа и опти-
мизации ТРС, который просто сочетается с современными ал-
горитмами расчета установившихся режимов.
80
Факторное моделирование графиков нагрузок для расчета
й анализа ТРС включает в себя следующие этапы:
— получение главных факторов на основе анализа «обучаю-
щей выборки» графиков электрической системы;
Е- регрессионный анализ всех узловых мощностей электри-
ческой системы с использованием главных факторов в качестве
функций-регрессоров;
-т- моделирование уравнений связи независимых (мощностей
узлов) и зависимых (узловых напряжений) переменных на ос-
нове факторных моделей узловых мощностей;
уточнение математических ожиданий напряжений узлов
с помощью факторной модели мощностей;
Ж ;— вывод выражения ТРС на основе факторной модели на-
грузок.
Рассмотрим подробно содержание каждого этапа.
^Неполучение главных факторов на основе анализа «обучающей
выборки» графиков электрической системы. Описываемый этап
факторного моделирования необходим для выделения общих
закономерностей колебаний мощностей исходной совокупности
нагрузочных и генераторных узлов, входящих в электрическую
систему. Так как исходными анализируемыми случайными ве-
личинами являются мощности Pi узлов, то и выделенные фак-
торы интерпретируются как некоторые «обобщенные типовые
графики» (ОТ).
Для того чтобы установить основные тенденции изменения
мощностей, необходимо проанализировать реальные графики
достаточно большой совокупности узлов или линий электриче-
ской системы, отражающие основные закономерности изменения
всех анализируемых объектов. Графики, на основе которых вы-
полняется анализ указанных закономерностей, составляют обу-
чающую выборку. При моделировании узловых мощностей в ка-
честве обучающей выборки необходимо использовать те эле-
менты системы, мощности которых контролируются постоянно,
Я т. ,е. электрические станции, суммарные нагрузки электрических
систем и перетоки по системообразующим линиям. Кроме того,
Я в|обучающую выборку включаются суммарные суточные гра-
Я фики нагрузок различных отраслей промышленности, регистри-
руемые Энергонадзором. Практика расчетов показывает, что
я Для достаточно точного моделирования общих закономерностей
1 колебаний нагрузок можно ограничиться выборками, содержа-
I Щими около ста различных объектов.
Главные компоненты или ОГ используются для решения
Я различных задач анализа ТРС на суточном, сезонном или го-
1 Довом интервале. В зависимости от временного промежутка мо-
3 Делирования обучающие выборки, используемые для любого
Я элемента, имеют различные длины (сутки, сезон или год) со-
ответственно.
Исходным шагом определения ОГ, как показано в гл. 2, яв-
81
ляется получение матрицы выборочных корреляционных коэф,
фициентов по (1.4) и (1.5). Последующие шаги выполняются
в полном соответствии с алгоритмом, приведенным в § 2.2. На
каждом шаге алгоритма находятся собственное число и соб-
ственный вектор Нг матрицы выборочных корреляционных мо-
ментов, определяющие обобщенный типовой график:
п
firlkPt; {LP^Pi-MPi).
Z-1
Многочисленные расчеты, выполненные для различных энер-
госистем СССР, показали, что для обеспечения достаточной
точности моделирования, соответствующей оценке (2.61), не-
Рис. 3.7. Зона неопределенности первого и второго обоб-
щенных графиков межсистемных перетоков ОЭС Сибири
обходимо выделить не более 2—3 обобщенных типовых гра-
фиков. Экспериментальные исследования факторного моделиро-
вания графиков узловых мощностей были выполнены для про-
верки статистической устойчивости предлагаемого метода мо-
делирования. Под статистической устойчивостью понимается
возможность использования ОГ, полученных на основе исход-
ной обучающей выборки, для моделирования мощностей вре-
менного интервала, не входящего в данную выборку. Подроб-
ное описание результатов выполненных исследований приведе-
но в [1]. Здесь же на примере покажем устойчивость модели-
рования межсистемных перетоков одной из объединенных энер-
госистем СССР. В качестве исходных данных для построения
модели были заложены только межсистемные перетоки, отли-
чающиеся как известно, максимальной дисперсией суточного
графика мощности среди всех элементов электрической систе-
мы. Модель строилась для всех зимних и осенних месяцев года.
На рис. 3.7 показана зона, в которую попадают первый и вто-
82
now обобщенные суточные графики, построенные на моделях
каждого месяца. Модели, построенные для других видов суточ-
ных графиков, а также включающие все возможные виды гра-
фиков одновременно, отличаются еще большей стабильностью.
Приведенный пример показывает, что ОГ, полученные хотя бы
один раз в сезон, позволяют достаточно точно моделировать со-
вокупности исходных графиков любой части сезона, а следо-
вательно, могут применяться для решения задач оперативного
расчета ТРС и краткосрочного прогнозирования.
^Регрессионный анализ узловых мощностей с применением
обобщенных типовых графиков в качестве функций-регрессоров.
После выделения обобщенных типовых графиков задача пред-
ставления активной или реактивной мощности каждого наблю-
даемого или ненаблюдаемого узла электрической системы или
линии, участвующей в системном замере, сводится к стандарт-
ной процедуре регрессионного анализа. Рассмотрим ее для про-
извольной активной мощности. Моделирование выполним на ос-
нове значений мощности, полученных во время сезонного заме-
ра: Рц, Pi2, Pin- Запишем выражение каждой точки сезонного
замера в обычной для регрессионного анализа форме:
(3.40)
Si,N,
где а\г — искомые коэффициенты разложения мощности Pi на
заданном классе функций; rr,s— значение обобщенного типово-
го графика Л, соответствующее моменту замера s; eis — оста-
точная погрешность моделирования, которая предполагается
случайной величиной, с параметрами Л4ег>—0; <j2i,s=const = <j2.
к Для получения точечных оценок коэффициентов сб.г необхо-
димо сформировать матрицу наблюдений
2,1 •
1,2 1 2,2 ••• 1 г,2
(3.41)
1,N 1 2,N * r,N-i
а затем решить систему нормальных уравнении вида
Е.<-
(3.42)
83
где А/— искомый вектор оптимальных оценок с параметрами
Р/» О/,г»
Применяя описанный метод для моделирования активных и
реактивных мощностей любого узла, участвующего в сезонном
замере, приходим к системе уравнений
Анализ уравнений (3.42) позволяет выяснить целесообраз-
ность применения в данном случае методов факторного модели-
рования, обеспечивающих максимальную точность при мини-
мальном числе регрессоров. В самом деле, число системных за-
меров N в уравнениях не превышает 4—6, а для выполнения
регрессионного анализа это число должно превышать число
оцениваемых параметров. Следовательно, на основе уравнений
(3.43) можно определить не более двух-трех коэффициентов
вектора А/. Как показывают многочисленные расчеты, для того
чтобы получить достаточно точную модель суточного графика
на основе заранее заданной системы функций, например триго-
нометрических многочленов, необходимо использовать не менее
десяти членов разложения в (3.40), поскольку малое число наб-
люденных значений суточного графика не позволяет оценить
коэффициенты ахг. В рассмотренном случае приведенный алго-
ритм является не только наиболее эффективным и экономич-
ным, но и единственно возможным для имеющейся выборки.
Моделирование уравнений связи зависимых и независимых
переменных на основе факторной модели мощностей. Основная
идея, используемая для вывода упомянутых уравнений, заклю-
чается в том, чтобы отклонения от математических ожиданий
напряжений Аб/, AZ7/ выразить как линейную комбинацию обоб-
щенных типовых графиков:
^ = ^у'1гГг-, (3.44)
Г-1 г-1
Точные выражения вида (3.44), очевидно, получить невоз-
можно, так как уравнения узловых напряжений нелинейны и
поэтому Аб/, At// представляют собой нелинейные комбинации
Pi, Qi, а уравнения (3.44) с учетом исходных выражений (3.43)
предполагают линейную зависимость между упомянутыми ве-
личинами.
Для получения приближенных соотношений (3.44) восполь-
зуемся линеаризованными в окрестности математических ожи-
84
даний напряжений Мб, MU уравнениями установившегося ре-
зким а.*
~ dP
дЪ
dQ
d8
дР ~
dU
dQ
dU J
’ Аб “
AU
АР
AQ
(3.45)
гдег
К Дб=б —Мб; ДС—U —MU, ДР = Р-Р0, AQ=Q-Q0,
PofcQo — векторы активных и реактивных мощностей, соответ-
ствующих режиму математических ожиданий напряжений уз-
лов. Обращаем внимание читателя, что в общем случае значе-
ния Ро, Qo не совпадают с математическими ожиданиями мощ-
ностей. Ниже мы остановимся на этом вопросе подробнее.
КЕсли для решения системы (3.45) использовать метод нало-
жения, представив векторы ДР, ДО, Дб, AU в виде сумм
R
(3.46)
r ,
где А/, А/' — векторы с компонентами gt/, air"
y/f—векторы с компонентами yLr\ yir", t=l, п, то легко полу-
чить линейные уравнения для определения у/, у/':
dP
d8
dQ
dS
dP ~
dU
<?Q
dU
Yr
r
Yr
(3.47)
Жак следует из (3.47), коэффициенты (3.44) находятся пос-
леМ? решений линейной системы уравнений с постоянной матри-
цей. Данная операция менее трудоемка, чем решение нелиней-
ной системы уравнений узловых напряжений режима матема-
тических ожиданий мощностей узлов.
[Упрощение формул статистического определения ТРС на
основе факторного моделирования узловых мощностей. Зави-
симость (3.44), выражающая Абг, через обобщенные типо-
вые графики Г[, удовлетворяющие условию
упрощает расчет дисперсионной составляющей ТРС по методи-
ке, приведенной в гл. 1.
Как известно (см. § 1.4), основным недостатком статистиче-
ского метода расчета ТРС является применение громоздкой
формулы (1.40), выражающей корреляционные коэффициенты
зависимых переменных через соответствующие коэффициенты
независимых переменных. Разложение (3.44) позволяет найти
величины о2 (6г-—6/) и o2(Ui—Uj), используемые в (1.40), более
простым способом.
Рассмотрим подробно определение а2(6г—6у)=о2(А6д—
—Д6;). Для этого с учетом (3.44) представим разность
Л6г—Лбу следующим образом:
- Д8У =2 (Y;r - Ул) (3-48>
Г = 1 г-1
где
Воспользуемся независимостью Гг и запишем
/? R
О2(8,._8у)=2 <Y,r-Y;r)2xr.
Г-1 г-1
(3.49)
где К — дисперсия обобщенного типового графика Гг, опреде-
ленная на этапе обработки обучающей выборки.
С учетом приведенных соотношений приближенное выраже-
ние ТРС линии ij запишется следующим образом:
дг/у-=д^7(ми, М6)+ У
MUi + MUj\2
(3.50)
Выражение (3.50) позволяет определить ТРС с помощью
одного расчета режима математических ожиданий напряжений
сети и 7?+1 решений линеаризованной системы уравнений с по-
стоянной матрицей. Дополнительным преимуществом данных
выражений является их связь с уравнениями установившегося
режима, наиболее хорошо алгоритмизированными уравнениями
анализа электрических систем.
Таким образом, расчет ТРС может быть использован в лю-
бом алгоритме решений УУР. Для этого достаточно добавить
к соответствующему алгоритму блоки определения коэффици-
ентов а/, а/', у/, у/', которые обычно увеличивают трудоем-
кость расчета не более чем на 20—40%.
Применение факторного моделирования узловых мощностей
для уточнения расчета математических ожиданий напряжений
узлов. Формула определения ТРС [см. (1.39)] использует ма-
86
рематические ожидания Ui, узлов электросети. Приближен-
ные значения этих величин получены в (1.38) на основе реше-
ния нелинейной системы уравнений баланса мощностей для ре-
жима математических ожиданий мощностей узлов. В некото-
рых случаях приведенный расчет приводит к ощутимой погреш-
ности вычисления Мб, MU. Поэтому ниже приводится алгоритм
определения Мб, MU с помощью квадратичной аппроксимации
уравнений установившегося режима:
I ?/(МР, и0)+У ди~0;
ои z о и j
г У"1
|. ф,(мо, и»>+У -Йг4У/+-5-ди’ •5^“4и=0’
OU Z О Uy
fc /-1
(3.51)
гдё Uo, AU — векторы напряжений и поправок напряжении, со-
стоящие из компонентов Дбг-, AUi при записи уравнений в по-
лярной системе координат и компонентов AUi, AU" при записи
уравнений в прямоугольной системе координат; Uo — решение
системы нелинейных уравнений баланса мощностей для мате-
матических ожиданий мощностей узлов. Именно этот вектор в
ориентировочных расчетах принимается равным математиче-
„ dyi
скому ожиданию напряжении; —------производные уравнения
dU j
d^i
; — матрица вторых производных
<рЖпо напряжениям £7
уравнений <рг по напряжениям U.
Иг Компоненты вектора AU можно выразить через математиче-
ские ожидания напряжений следующим образом:
Д и и t - и 1а=и t - MU t+MU I -U°i=DU I+ZUt, (3.52)
где MUi — математические ожидания напряжений; &UL— откло-
нения математического ожидания напряжений от напряжения
исходного режима.
Интегрируя (3.51) с учетом свойств математических ожида-
ний, получаем соотношение для вычисления поправок bU^
я п
Е -STwi + t У У J'
ди j 2. ди тди s
[Г—1 5-1
Е (3.53)
В Уравнения (3.53) решаются итерационным методом. Для по-
лучения первой итерации произведения 6Ur8Us в квадратных
скобках принимаются равными нулю. Тогда для вычисления по-
правок
б (Л
необходимо решить систему линейных уравнений:
87
п
(3.54)
где правые части системы определяются по формуле
(3.55)
После выполнения первой итерации можно выполнить
вторую и последующие итерации. Для этого используются до-
вольно громоздкие выражения, которые здесь не приводятся.
▼ Пример 3.2. Расчет ТРС с помощью факторного моделирования нагрузок.
Для расчета используется сеть, показанная на рис. 1.2. Матрица выборочных
корреляционных коэффициентов этой сети была рассчитана в примере 1.1:
Г 200 266 500 1
S(P) = 266 1422 1333
500 1333 2500
Главные факторы, объясняющие закономерности изменения совокупно-
сти исходных случайных величин Рь Р2, Рз, определяются собственными чис-
лами Хг и векторами Нг матрицы S(P). Собственные числа матрицы оказа-
лись равными: Xi = 3495,65; Х2=530,7; Хз=95,8. Соответствующие собствен-
ные векторы составляют
Н]= [0,168; 0,548; 0,819]; Щ = [-0,1313; 0,836; —0,533];
Нз = [0,976; —0,2129; 0,0177].
Так как первое собственное число намного больше остальных, при расчете
ТРС ограничимся только одним обобщенным типовым графиком Gi в виде
следующей комбинации исходных данных:
Гх = 4- + Л13ДР3,
где h\j — компоненты первого собственного вектора матрицы S(P); ДРг- —
отклонение мощностей узлов от выборочных средних Pi.
Подставляя соответствующие значения, находим
rt = 0,168дРх + 0,548ДР2 + 0,819ДР3.
Графики отклонений от выборочных средних и обобщенный типовой гра-
фик приведены на рис. 3.8,а, б, в, г.
Для определения ТРС используем формулу (3.50), в которую входят ко-
эффициенты разложения у'и отклонений по обобщенным типовым гра-
фикам Гг. Учитывая ограничения только одним графиком Гь искомые откло-
нения представим следующим образом:
Д&1 — упГj; Д&2 — Yi2^" 1» — Yi3^ 1»
где Yu, 712, Y13 — решения линеаризованных уравнений баланса активных мощ-
ностей, в правой части которых находится вектор А/.
Для упрощенной записи линеаризованных уравнений воспользуемся пе-
реходом к системе относительных единиц и допущениями, описанными в § 1.3.
„ дР
При этом матрица —— превращается в матрицу реактивных проводимостей,
о®
88
численные коэффициенты для которой получены в примере 1.3. Подставляя
их и вычисленные значения Л1ь /ii2, А13, приходим к системе уравнений
1360 —160 —800 1
—160
—800
320 —160
— 160 960
Yu
Решение данного уравнения:
Yu = 0,003838; Yi'2 = ° ,00508;
" 0,168 '
0,548
, 0,819 _
у13 = 0,00617.
Подставим значения в формулы (3.50) и найдем
02 (Si _ ъ2) = (0,00508 — 0,00383)2 3495 =0,0191.
Аналогично определим остальные дисперсионные составляющие ТРС, со-
ответствующие другим линиям:
К а2 (8 j — 83) =0,00382;
<j28t = о ,0512.
а2(&2 —М =0,000423;
1J
100
50
1
-50
[6______м
Т.ч
_ Y13 -
:5
0
к
Рис. 3.8. Графики отклонения от выборочных средних и
первый обобщенный типовой график
В
рассматриваемой сети модули напряжений остаются постоянными и
поэтому в (3.50) элементы, пропорциональные о2(£Л—Uj), равны нулю. Под-
ставим найденные значения дисперсий разностей фаз:
I Д1Г1б = (0,243 + 2,05) Т = 2,437Г; ДТГ13 = (1,663 4-0,430) Т = 2,093Г;
1 AJF12 = (0,096 + 0,306) Т = 0,4027; Д(72з = (0,78 + 0,068) 7 = 0,8487;
К Д1РВ = (2,782 + 2,8536) 7 = 5,6357.
Как видно из приведенных выражений, погрешность расчета, хотя и пре-
восходит погрешность расчета по статистическим формулам (1.39), остается
Вполне приемлемой. Трудоемкость же описанного здесь расчета гораздо мень-
ше, чем трудоемкость при использовании (1.39).
89
Алгоритм определения ТРС на основе факторного модели-
рования нагрузок. Этот алгоритм можно разделить на две
части.
Первая часть алгоритма относится к нахождению обоб-
щенных типовых графиков узловых мощностей. Такие расчеты
выполняются не чаще раза в месяц на основании анализа обу-
чающей выборки графиков мощностей энергосистемы в полном
соответствии с алгоритмом, описанным в § 2.2.
Вторая часть алгоритма относится непосредственно к мо-
делированию ТРС в задачах краткосрочного прогнозирования
и включает в себя следующие этапы:
1) регрессионный анализ узловых мощностей сети на этапе
прогнозирования. Этап выполняется в соответствии с формула-
ми (3.40), (3.41), приведенными выше;
2) отыскание значений векторов у/, у/', определяющих раз-
ложение зависимых параметров режима в виде линейных ком-
бинаций обобщенных типовых графиков. Для этого предусмот-
рен цикл с числом повторений, равным числу обобщенных ти-
повых графиков. На каждом проходе этого цикла решается си-
стема уравнений (3.47);
3) определение дисперсионной составляющей ТРС по фор-
мулам (3.50).
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Применение регрессионного и факторного
анализа позволяет решить основные проблемы, связанные с
конкретными задачами расчета ТРС.
Задача оперативного анализа ТРС естественно разделяется
на две подзадачи — оценки параметров наблюдаемой и ненаб-
людаемой частей сети. Первая подзадача решается методами
нелинейного регрессионного анализа, представляющего собой
в сущности комбинацию линеаризации системы по Ньютону, и
стандартного регрессионного анализа. Особенностью данного
метода являются учет наблюдаемости системы, выделение пло-
хих наблюдений. Задача, хотя и имеет теоретическое решение,
связанное с выделением наибольших остатков Si, до настоящего
времени практически до конца не решена.
Вторая подзадача наиболее целесообразно осуществляется
с использованием результатов предварительного расчета на ос-
новании данных о состоянии диспетчерской схемы сети и приб-
лиженных сведений о ее нагрузках, полученных по результа-
там контрольного замера. Найденное решение проектируется на
область ограничений, образованную системой уравнений ба-
лансирующих узлов.
При выполнении задач краткосрочного прогнозирования а
оптимизации целесообразно применение моделирования нагру-
зок на основании факторного статистического анализа. Это поз-
90
воляет аппроксимировать графики ненаблюдаемой части сети
и находить соответствующие мощности в любой точке. Основ-
ные достоинства метода факторного моделирования проявляют-
ся в задачах краткосрочного прогнозирования, где требуется
выполнять расчеты ТРС и имеются достаточно достоверные
прогнозы математических ожиданий и выборки узловых мощ-
ностей. Описанный метод расчета ТРС легко стыкуется с мето-
дами расчета установившихся режимов, использует практиче-
ски ту же информацию и требования к памяти ЦВМ. Блок
расчета ТРС может быть добавлен к любой промышленной
программе. Время, необходимое на выполнение расчета, состав-
ляет 120—140% от времени расчета одного установившегося
режима рассматриваемой сети для математических ожиданий.
Контрольные вопросы
1. Что понимается под терминами «наблюдаемая» и «ненаблюдаемая» ча-
сти сети электрической системы? Какие измерения и каким образом они вы-
полняются для наблюдаемой части сети? Как производится контроль пара-
метров ненаблюдаемой части сети электрической системы?
2. Учитываются ли отключения линий, нагрузок и генераторов при выпол-
нении оперативных расчетов ТРС? В чем заключается назначение таких рас-
четов?
3. Перечислите основные этапы определения ТРС на основе факторного
моделирования узловых нагрузок.
к4. Что означает понятие «статистическая устойчивость обобщенных ти-
повых графиков мощностей»? Все ли мощности узлов сети участвуют в обу-
чающей выборке, на основе которой находятся обобщенные типовые графики?
Как часто необходимо выполнять операцию получения этих графиков — перед
каждым расчетом ТРС или реже?
|5. Как выполняется регрессионный анализ суточных графиков ненаблю-
даемой части сети с разложением их в виде линейной комбинации обобщен-
ных типовых графиков? Почему для моделирования узловых мощностей же-
лательно иметь минимальное число функций-регрессоров?
Темы рефератов
К1. Применение методов оценки параметров режима электрических систем
в электпоэнеогетике Г91.
электроэнергетике [9].
2. Экспериментальные исследования промышленных программ оценки па-
раметров электрических систем. Для подготовки этого реферата необходимо
использовать какую-либо промышленную программу оценки параметров элек-
трических систем, например программу ИДОР, разработанную Институтом
электродинамики АН УССР (г. Киев).
ГЛАВА
ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
РАСХОДА ЭНЕРГИИ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЯХ
Арсенал средств и методов уменьшения ТРС широк и разнообразен. Зна-
чительное влияние на уменьшение ТРС оказывают следующие мероприятия:
— реконструкция электрической сети, связанная с вводом новых линий
и переходом на повышенное напряжение. Такая реконструкция важна при
решении задачи связи мощных районов потребления электроэнергии с круп-
ными электрическими станциями, находящимися вблизи от топливно-энерге-
тических бассейнов;
— использование последних достижений науки и техники в технологии
производства и передачи энергии. Например, производство новых сортов транс-
форматорной стали позволит существенно уменьшить «условно-постоянную»
составляющую расхода электроэнергии на ее транспорт, связанную с поте-
рями мощности холостого хода трансформаторов и других элементов элек-
трических систем. В настоящее время по оценкам специалистов [1] эта со-
ставляющая равна примерно 25% от общей величины ТРС;
— использование в электроэнергетике свойств сверхпроводимости, внедре-
ние «компактных» ЛЭП большой пропускной способности и т. д. Однако эти
мероприятия, связанные с большими капитальными вложениями, не следует
относить к числу мероприятий по уменьшению ТРС. Их основное назначе-
ние — увеличение пропускной способности электрической сети, повышение ее
надежности и живучести.
Наряду с описанной группой мероприятий, связанных с коренной рекон-
струкцией электрической сети и значительными капитальными затратами,
можно выделить важную совокупность «малозатратных» мероприятий по
уменьшению ТРС. Их применение весьма эффективно, так как быстро окупа-
ется за счет снижения ТРС примерно на 20%;
— уменьшение «коммерческих» потерь в электрических системах, т. е. со-
ставляющей, связанной с плохим учетом электропотребления на основе рас-
смотренной в гл. 3 методики оперативных расчетов ТРС. Регулярное проведе-
ние оперативных расчетов и их сравнение с официальными показателями, по-
лученными Энергонадзором, позволяет выделить районы электрической сети,
где имеются неучтенные потребители электроэнергии, и тем самым уменьшить
эту составляющую ТРС.
Задача оптимального распределения реактивных мощностей — часть более
общей задачи комплексной оптимизации режима электрической системы по ак-
тивной и реактивной мощностям. Многолетний опыт показал целесообразность
раздельного решения задач распределения активных и реактивных мощностей
с последующим (в случае необходимости) итерационным уточнением.
Задача оптимизации установки новых источников реактивной мощности —
решение ее в настоящее время особенно актуально, так как в течение многих
лет систематически имеет место заметный дефицит мощности компенсирую-
щих устройств. По некоторым оценкам [1] на каждый установленный кило-
ватт активной мощности экономически выгодна установка 0,4—1,0 квар реак-
тивной мощности. В то же время существующий уровень компенсации со-
ставляет примерно 0.18 квар/кВт.
92
4.1. МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
РЕАКТИВНЫХ МОЩНОСТЕЙ [10]
Для любой оптимизационной задачи необ-
ходимо сформировать некоторый критерий качества — целевую
функцию, минимум которой соответствует решению задачи, и
систему ограничений (в том числе уравнения связи), которые
накладываются на входящие в целевую функцию переменные.
Для оптимизации распределения существующих реактивных
мощностей электрической системы не требуется каких-либо ка-
питаловложений и поэтому в качестве целевой функции Ф учи-
тываются только потери электроэнергии на ее передачу (транс-
портный расход). Область изменения оптимизируемых пара-
метров задачи определяется уравнениями установившегося ре-
жима и технологическими ограничениями.
Оптимизация выработки реактивной мощности сущест-
вующими источниками выполняется для каждого отрезка по-
стоянства графика активной мощности системы. Это позволяет
целевую (оптимизационную) функцию записать в виде потерь
мощности в электрической сети Ф:
ф=2АР^;
(4.1)
АЛ/ ~ K^i - ^)2 + UtU} (В, - В,)2],
где \Pij — потери активной мощности в линии //; Uif бг- — мо-
дуль и фаза напряжения узла L
В- В качестве ограничений запишем прежде всего уравнения
связи — уравнения установившегося режима, которые удобно
представить в виде баланса мощностей:
Pr=guU2i+2 U‘U>Isin “Мbu—cos —Мёц\;
(4.2)
i -Qi—ЬцУ2— 2 U №i [cos(^z—(В,- — Sjlg’/y]-
fc Систему (4.2) можно назвать также ограничениями в форме
равенств.
в Помимо системы (4.2) в расчете необходимо учесть ограни-
чения на изменения режимных параметров. К таким ограниче-
ниям относится система неравенств, определяющих допустимые
значения напряжений узлов сети, реактивных мощностей гене-
раторов и коэффициентов трансформации трансформаторов
соединяющих узлы i и /:
93
^/mln ^Amax»
Q/mlil Qi Q/max>
^rZ/min ^т/у ^т/7тах>
(4.3)
где символы min и max соответствуют минимальным и макси-
мальным значениям параметров; п — общее число узлов, вклю-
чая балансирующий; т — число узлов, в которых имеются регу-
лируемые источники реактивной мощности; z, j — узлы, соеди-
няемые трансформаторами.
В общем случае при решении задачи распределения актив-
ных и реактивных мощностей необходимо также учитывать ог-
раничения на токи и мощности линий. Однако изменения реак-
тивных мощностей узлов обычно мало влияют на максимальные
значения токов и мощностей линий и в большинстве случаев
уменьшают, а не увеличивают их. Поэтому упомянутые огра-
ничения можно не рассматривать.
Применение метода приведенного градиента для решения
оптимизационной задачи [10, 11]. Наиболее перспективными в
решении оптимизационных задач энергетики являются метод
приведенного градиента (МПГ) и его обобщение — метод обоб-
щенного приведенного градиента (МОПГ) [11]. Они составля-
ют базу, на основе которой формируются многочисленные про-
мышленные алгоритмы оптимизации.
Основная идея методов заключается в применении теоремы
о неявных функциях* к системе ограничения типа равенств
(4.2). В соответствии с этой теоремой в окрестности некоторого
решения Zo системы п нелинейных уравнений с п + т неизвест-
ными Zi, z2,... ,zN (N=n + m)
<pz(zlt zN)=0 (4.4)
можно найти п зависимых переменных zp, Z21,... ,zn\ которые
однозначно выражаются через оставшиеся независимые пере-
менные Zi2, z22,... ,Zm2:
1 . / 2 2 2 \
Z/—Ф/\^1>
(4.5)
Если переменные z? объединить в вектор X размерности п,
а остальные — в вектор Y размерности т, то достаточные ус-
ловия существования и однозначности соотношений (4.4) сво-
дятся к следующим:
1) функции должны быть непрерывны и дифференцируе-
мы по всем переменным Xi и yt\
* Фихтенгольц Г, М. Курс дифференциального и интегрального исчисле-
ния. М., Физматгиз, 1962.
94
2) определитель матрицы частных производных
р . д?! -
^Хп
д^п
- дхг * ’ ’ дхп -
в [точке Zo должен быть отличен от нуля.
К Если условия существования неявной функции выполнены,
дф
то из приведенной матрицы-— и аналогичной матрицы —- ।
ЭХ di
содержащей п строк и т столбцов, т. е. матрицы
<>Р1 -л
дф __
dY “
dyi
дУт
- ду\ ' дут -
можно связать между собой векторы малых отклонений АХ с
с компо-
компонентами Axi—xt—xi0 и векторы отклонений AY
нентами kyi=yi—Уго-
дх=—^-2
дХ дУ
(4.6)
| Из выражен (4.6) можно получить матрицу£
производных зависимых переменных по независимым,
тайную
начальной точке:
частных
рассчи-
дХ
dY
dyi
дхп
L dyi
дут
дхп
дУт J
дф“-1 дф
дХ ^Y
(4.7)
будем считать условия существования неяв-
дальнейшем
I ной функции выполненными в любой промежуточной точке оп-
: тимизации. Компоненты вектора Y будем называть независимы-
I ми, а компоненты вектора X — зависимыми переменными.
Mr Зададимся произвольным вектором независимых переменных
'BY и найдем производные целевой функции, учитывая связи меж-
ду зависимыми и независимыми переменными:
с/Ф дФ
dyi dyi
(4.8)
в
95
и
Если соотношения (4.8) записать в матричной форме, то по-
лучим следующую основную формулу метода (формулу приве-
денного градиента):
0Y
дфт Г ду—1 ' т дФ
dY дХ ~дХ
(4.9)
▼ Пример 4.1. Получение приведенного градиента функции.
Рассмотрим функцию
Ф = + 2х| + 0,25х| + 4х4
(4.10)
(4.11)
на подпространстве, определенном системой ограничений:
*1 + Х2 +*з +*4 = И
хх + 2х2+Зх3 —х4 = 10.
Смысл выражения приведенного градиента (4.9) сводится к выбору не-
которой системы независимых переменных из числа неизвестных, входящих в
уравнения (4.11), представлению с их помощью остальных переменных дан-
ной системы уравнений и выражению целевой функции (4.10) через выбран-
ные независимые переменные с последующим дифференцированием получен-
ной функции и получением вектора-градиента.
Выбор системы независимых переменных, вообще говоря, произволен, од-
нако нужно следить за тем, чтобы зависимые переменные однозначно выра-
жались через независимые. В рассмотренной системе ограничений независи-
мой может быть выбрана любая пара неизвестных х», Xj. Особенности учета
ограничений в том случае, когда имеются пары переменных, не выражающиеся
через остальные, рассмотрены ниже.
Выберем в качестве независимых переменных величины х3, х4, а в каче-
стве зависимых — величины хь х2 и выразим зависимые переменные через
независимые. Для этого вычтем первое уравнение (4.11) из второго:
Xi + х2 + х3 + х4 = 1;
х2 + 2х3 — 2х4 — 9.
Вычтем далее второе уравнение из первого, перенесем члены, зависящие
от х3, х4 в правую часть и получим систему, эквивалентную (4.11), в которой
зависимые переменные выражены через независимые:
х^ = —8 + х3 — Зх4; Х2 = 9 — 2х3 + 2х4.
Подставляя полученные значения в целевую функцию, найдем градиент
функции и определим производные:
Ф = (—8 + х3 — Зх4)2 — 8(9—2х3 + 2х4)2 + 0.25х| + 4х«;
4Ф
“— = 2(— 8 + х3 — Зх4) — 8 (9 — 2х3 + 2х4) + 0,5х3 = 18,5х3—22х4—88;
ЛХ3
dФ
——- = -2-3 (—8+х3 — Зх4)+8 (9 — 2х3+2х4)+8х4 = —22х3 4- 42х4 + 120.
дх4
Зададимся произвольными значениями независимых переменных, напри-
мер х3=0, х4=1, которым из уравнений (4.11) соответствуют значения Xi =
=—11, х2=11, и вычислим производные:
аФ
— (О, ,) =
rfx3
18,5.0 — 22.1 —88 = —110;
аФ
---~(0, 1) = —22.0+42*1 +120=--162.
dx4
96
Выполним расчет производных d<&ldx3l dOZ/dx^ с помощью приведенного
градиента (4.9) и убедимся в том, что полученное выражение представляет
собой формализацию только что произведенной непосредственной подстанов-
ки. Для этого из коэффициентов при переменных х3, х4 образуем матрицу
Оф
/dY, а из коэффициентов при переменных хь х2 — матрицу
дХ
дф
~д\
дф
дХ
дФ
i* 0Y
дф
Обращая матрицу —:г
о л.
дф \~~г
дХ~/
, находим
дф
dY
В соответствии с (4.9) определим векторы
дФ
Г дФ
дФ
дХ^
выполним преобразования (4.9)
дФ
дх;
L 8х4 J’
ОФ
дХ
дФ
дХ2
дФ
6X4
' 0,5х3 '
8x4
1J L 4*2
F
0,5х3 ‘
8х4 .
2xj
и подставим приведенные значения переменных Хз = 0; х4=1; Xi ——11; Х2=Н:
К ф
К —— = 0,5-0+ 1-2(—11) —2-4(11) = —110;
dx3
d$
----=8-1 — 3-2 (—11) — (—2-4) (11) = 162.
К dx*
К; Полученный результат иллюстрирует операцию взятия приведенного гра-
диента. Читателям рекомендуется самостоятельно задаться произвольными
значениями независимых переменных, определить по ним зависимые и убе-
диться в том, что сделанный вывод имеет общий характер.
К Выражение (4.9) определяет направление градиента целе-
вЬй функции Ф, выраженной через независимые переменные
& В простейших оптимизационных методах, не учитывающих
ограничений типа неравенств (4.3), направление, обратное гра-
диенту (приведенный антиградиент), принимается в качестве
шага оптимизации. В рассматриваемой задаче данный вопрос
решается сложнее.
4—1152 97
Определение направления уменьшения целевой функции.
Поиск решения в МПГ осуществляется за счет переходов из
начальной точки Zo в точки,
Рис. 4.1. Иллюстрация опреде-
ления допустимых направлений
оптимизации в методе приве-
денного градиента
характеризующиеся меньшими зна-
чениями целевой функции.
Переход из предыдущей точки
Zi к новой выполняется в два эта-
па. На первом этапе осущест-
вляется изменение вектора неза-
висимых переменных AY; на
втором — выполняется шаг на
подмножестве зависимых пере-
менных, соответствующий прира-
• щению AY, для него используют-
ся линеаризованные уравнения
(4.2) и матрица производных за-
висимых переменных по незави-
симым:
AX = (dX/dY)AY.
(4.12)
Если начальная точка Zo лежит внутри области, определяе-
мой системой неравенств (4.3), то направление изменения не-
зависимых переменных совпадает с приведенным градиентом,
как показано на рис. 4.1, где построены линии уровня целевой
функции
Ф=1,2У?+0,8X1+7^. (4.13)
Оптимизация ведется с учетом ограничений типа равенств
Х=0,5Г1+Г2 (4.14)
и ограничений типа неравенств:
(4.15)
Система неравенств (4.15) ограничивает область поиска
экстремума функции ф до выпуклого многоугольника (рис.
4.1). Если начальная точка принадлежит границе допустимой
области, например ZJ или Zo", то движение в направлении ан-
тиградиента невозможно, так как при этом находятся точки,
не удовлетворяющие системе (4.3). В любой точке, соответст-
вующей границе области, одно или несколько ограничений (4.3)
становятся равенствами. В дальнейшем такие ограничения бу-
дем называть активными. Для рассматриваемого примера в
точке Zo' активно ограничение Yi=0, а в точке Zo" — ограни-
чение Х=\. Если в точке, принадлежащей границе, активны
только ограничения, соответствующие независимым перемен-
98
№
ным^ то от вектора приведенного антиградиента, нарушающего
систему ограничений, можно перейти к допустимому направле-
нию оптимизации S, определив его следующим образом:
И?..
О ; -
(4.16)
$/=О, у=у2, J
где yi, Y2 — подмножества компонент вектора-антиградиента.
^^Подмножество yi составлено из компонент, движение в на-
пвавлении которых не нарушает системы ограничений. Осталь-
ные компоненты вектора S, соответствующие подмножеству у2,
равны нулю, так как движение в их направлении нарушает си-
стему ограничений. На рис. 4.1 компонента——- антиградиен-
аФ
Taj принадлежит yi, оставшаяся компонента —, ведущая в
недопустимую область, принадлежит подмножеству у2. Для
данной точки компоненты вектора S равны:
К. «1----«2-0.
«Если для начальной точки, принадлежащей границе допусти-
мой области, активно хотя бы одно ограничение, соответствую-
щее зависимой переменной, как в точке Zo", то определение
допустимого направления по (4.16) невозможно. Однако рас-
сматриваемый случай легко свести к предыдущему за счет за-
мены системы независимых переменных. Предположим, что в
начальной точке Zo активны зависимые ограничения х2, ...
..|>ль. Выполним замену k независимых переменных z/д, yi2,^^yik
на переменные %i, х2, Для этого используем линеаризо-
ванную в точке Zo систему уравнений (4.2). В новой системе
координат активны только ограничения независимых перемен-
ных. Поэтому для выбора допустимого направления восполь-
зуемся уравнениями (4.16).
ft Рассмотрим переход к новой системе координат на данном
примере. Определим допустимое направление изменения целе-
вой функции для начальной точки Zo", в которой активно ог-
раничение зависимой переменной Х=1. Выпишем единствен-
ное ограничение типа равенства и с его помощью выразим пе-
ременную ¥2 через вновь вводимую независимую переменную X:
В Г2=Х-0,5Гг. (4.17)
|г Определим в новой системе независимых координат компо-
ненты приведенного вектора градиента, используя для этого
выражения (4.9):
ft... 4Ф ОФ । дФ дУ2 . ^Ф __________ дФ
дУ2 дУх ’ ~ОХ ~~~дХ
д¥2 дХ
4*
99
Используем соотношения (4.9), (4.17) для начальных значе-
ний независимых переменных У1,о=1,2; Хо = 1; Уг,о=0,4:
^-=2,4Kli0+K2,0-(l,6r2,04-K1)0).0,5=2,42;
= 0+(1,6К20+Г1>0) • 1 =0,56.
ал
Допустимая область, направление антиградиента в новой си-
стеме независимых переменных для рассматриваемого примера
показаны на рис. 4.2. Применим
формулу (4.16) и определим допу-
стимое направление оптимизации:
s,=—- = -2,42; s2=0.
Иллюстрация замены
независимых перемен-
Рис. 4.2.
системы
ных для выбора допустимого
направления оптимизации
Вектор S показан на рис. 4.2.
Основные приемы описанного
метода выбора направления опти-
мизации напоминает приемы линей-
ного программирования, в котором
также каждый этап оптимизации
связан с переходом к новой системе
координат и выражением целевой
функции через вектор независимых
переменных.
Описанный выбор направления оптимизации — не единствен-
ный из используемых в МПГ. Можно также использовать опи-
санный в гл. 3 метод проектирования вектора-антиградиента на
подпространство активных ограничений. Так как исходная точ-
ка Zo" принадлежит граничной области и, следовательно, удов-
летворяет системе активных ограничений, то
Для определения вектора S можно использовать формулу
(3.33), представив ее следующим образом:
S = —[Е —А1Э(А1эАь)-1 А1Э] (4.18)
а ¥
где А19=^А1-|-А2-^.
Операция проектирования вектора-антиградиента на подпро-
странство ограничений показана на рис. 4.1.
Еще один возможный путь выбора направления оптимиза-
ции использует «штрафные функции», в общем случае позво-
ляющие свести решение задачи условной оптимизации к поис-
ку безусловного экстремума. В сочетании с МПГ метод штраф-
ных функций используется только для учета зависимых пере-
менных типа неравенств.
100
Метод штрафных функций имеет две разновидности. Наибо-
лее простым является так называемый метод «внешней точ-
ки^*, в котором допускаются нарушения ограничений зависи-
мых переменных X/, однако за каждое такое нарушение к целе-
вой функции добавляется новый член, называемый «штрафом»
В определяемый по формуле
КШ(x/)=^max[0, (хт1п — xz)(x,— хтах)], (4.19)
Xmax, Xmin — максимальное и минимальное значения зависи-
мой переменной х.
|ЖИсходная оптимизационная задача (4.1) — (4.3) заменяется
новой, связанной с оптимизацией обобщенной целевой функ-
ции
п
Фэкв = Ф + 2 ШЦх^,
Z-1
(4.20)
где Ф соответствует (4.1), а функции Ш(хх) представляют со-
бой функции штрафов за нарушение ограничений по любой
зависимой переменной.
К Ограничения типа равенств новой оптимизационной задачи
полностью эквивалентны (4.2) и представляются следующим об-
разом:
В. ?/(Х, Y)=0, (4.21)
' Ограничения типа неравенств записываются только для не-
зависимых переменных ус
1Уi min Уi УI max’ (4.22)
Так как система (4.22) включает в себя ограничения только
независимых переменных, то при определении допустимого на-
правления оптимизации в соответствии с формулами (4.16) не
возникает необходимость изменения системы координат и со-
става независимых переменных. Однако следует учитывать, что
формулы расчета приведенного градиента (4.9) изменяются при
каждом новом нарушении допустимой области изменения зави-
симой переменной х,, поскольку при этом становится отличным
от нуля новый штраф /Z/(x,) и к выражению приведенного гра-
диента добавляются элементы вида
j 2Ш (х£) dUJ (xi)ldy. (4.23)
При достаточно больших коэффициентах штрафов k реше-
ние задачи (4.21) — (4.22) близко к решению исходной оптими-
зационной задачи, так как существенные нарушения ограниче-
ний x^Ximax или x^x/min неизбежно ведут к увеличению целе-
вой функции.
♦ Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы по-
следовательной оптимизации. М.» Мир, 1972.
I 101
Рассмотрим применение метода «внешней точки>>_для реше-
ния задачи (4.13), (4.14), (4.15) при условии&=р^10. В дан-
ном случае имеется единственная зависимая переменная X, по-
этому целевую функцию можно записать следующим образом:
Фэкв=Ф-|-10max2(0, (-l+O^H-K^ (2,5-0,5)^-Г2)). (4.24)
На рис. 4.3 показаны линии уровня данной функции, опти-
мальное решение и несколько первых шагов метода МПГ к
достижению этого решения.
Описанные способы вы-
бора направления оптимиза-
ции определяют изменение
вектора независимых пере-
менных AY=S. Вектор из-
менения зависимых пере-
менных ДХ0, соответствую-
щий S, находится по фор-
муле
AX0=(dX/dY)S.
Рис. 4.3. Линии уровня метода штраф- (4.25)
ных функций для выбора направления
оптимизации Определение длины шага
в методе МПГ. При опреде-
лении длины шага в направлении оптимизации целевой функ-
ции следует позаботиться о том, чтобы не нарушить ограниче-
ния типа неравенств, наложенные на зависимые и независимые
переменные, и выбрать максимально допустимую длину шага
^шах*
Порядок определения максимально допустимой длины шага
показан на рис. 4.4, а. Как следует из рисунка, при увеличении
К вектор [S, ДХо] пересекает верхнюю или нижнюю допусти-
мую границу той или иной независимой переменной Xi. Обоз-
начим расстояние от начальной точки Zo до соответствующей
границы yi или X/ как Dyi или Dxi.
При увеличении % в заданном направлении изменения неза-
висимых переменных S приращения Дг/Г- и Дх4- определяются по
формулам:
Дг/. =ksz; Дх; = Хдх/0.
Чтобы найти длину шага Xzmax, при которой переменная yt
или X] достигает одного из своих пределов, достаточно восполь-
зоваться соотношениями:
(4.26)
102
В Очевидно, меньшая из Х/max или Х/тах, найденная по (4.26),
определяет первую переменную, достигающую предела при уве-
личении X:
^щах== П11П (Х/max» \/max)* • )
Определим оптимальную длину шага в направлении оптими-
зации Хопт. Для нелинейной функции Ф увеличение длины шага
не всегда ведет к уменьшению функции. Поэтому следует най-
ти оптимальную длину шага в заданном направлении, что в
рассматриваемом случае оптимизации распределения реактив-
ных мощностей упрощается в связи с тем, что целевая функ-
ция (4.1) близка к квадратичной. В самом деле, при изменении
Рис. 4.4. Иллюстрация определения длины шага в заданном направ-
лении оптимизации:
а — шаг определяется расстоянием до ближайшего ограничения; б — шаг оп-
ределяется минимумом функции в заданном направлении
реактивных мощностей и напряжений входящие в (4.1) значе-
ния разностей фазовых углов (б/—б/) изменяются сравнительно
мало. Если их не учитывать, то выражение Ф(Х) становится
квадратичной функцией. Для квадратичных функций при фик-
сированном направлении оптимизации и изменении длины шага
зависимость Ф(Х) представляет собой параболу, параметры ко-
торой полностью определяются на основании трех расчетов це-
левой функции, соответствующих, например, длинам шага Х=
ь=0, Х=1, Х=2, т. е.
В ф0=ф(70); Ф1 = Ф(26-|-8); Ф2 = Ф(20+25). (4.28)
|L Оптимальная длина шага, соответствующая минимуму функ-
ии на основании найденных значений Фо, Фь Ф2, определится
по формуле*:
Еу
ЗФр — 2Ф1 + Фг
2 (Фр — 2Ф1 + Фг)
(4.29)
* Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., Мир,
103
Если оптимальная длина шага %Опт, найденная по (4.29),
окажется меньше предельно допустимой Хтах, т. е. Хопт<Хтах,
то в качестве длины шага необходимо выбрать %Опт. Если же
Хопт>%тах, то для максимально возможного уменьшения целе-
вой функции следует выполнить шаг максимальной длины, т. е.
для любого возможного случая справедлива формула
X=min(Xmax, Хопт). (4.30)
Различные
онного шага X
случаи оптимального выбора длины оптимизаци-
показаны на рис. 4.4, а, б.
Рис. 4.5. Иллюстрация уточнения решения, полу-
ченного на шаге МПГ
Уточнение координат (Y, X) приближенного решения опти-
мизационной задачи на шаге k. При выборе направления и дли-
ны шага k оптимизации XS*, %AXfe учитывается линеаризован’
ная система ограничений типа равенств:
— XSjj — —XAX^q.
dY й 0
(4.31)
Поэтому новая точка (Ул, X/), определяемая решением си-
стемы (4.31), не удовлетворяет исходным линейным уравнениям
типа равенств (4.2) и должна быть уточнена, прежде чем начнет-
ся новый шаг оптимизации. Как правило, при таком уточнении
значения независимых переменных Ул не изменяются. Подстав-
ляя их в нелинейную систему уравнений типа равенств
<Pz(Yft, Хй)=0, Z==l, п,
(4.32)
находим откорректированные значения Хл.
Проиллюстрируем процесс уточнения зависимых перемен-
ных на шаге рис. 4.5, где показаны нелинейная область ограни-
чений типа равенств
<P(Y, Х)=Г?-Г1+Л?=0 (4.33)
104
и ограничения типа неравенств
Ш Г2<1. (4.34)
Ml Точка, с которой начинается оптимизация, имеет координа-
ты У1 = 0,01; У2 = 0,01; Лд = 0. В этой точке выполнена линеа-
ризация нелинейного ограничения:
Ж <p(Y, Х)=0,02(ДК1 —ДК2)=0, (4.35)
и|в линеаризованной области сделан шаг оптимизации, оканчи-
вающийся точкой с координатами: Ki = l; Уг = 1; Xi=0,4. Как
следует из рисунка, точка Zi1 не принадлежит области ограни-
чений.
Для корректировки полученного решения координаты неза-
висимых переменных подставляются в нелинейное уравнение
(4.33), после чего находится новая точка Zi= (1,1,0), коорди-
наты которой удовлетворяют ограничениям.
Ж Алгоритм решения задачи оптимизации распределения реак-
тивных мощностей методом приведенного градиента. В преды-
дущих параграфах рассмотрены идеи решения оптимизационной
задачи без учета особенностей ее реализации для распределе-
ния напряжений и реактивных мощностей электрической си-
стемы.
Е Основной особенностью сетевой постановки задачи МПГ яв-
ляется большая размерность системы ограничений типа ра-
венств (4.2), достигающей нескольких сотен или даже тысяч
уравнений. Другой особенностью является малое число нену-
левых элементов матриц линеаризованных уравнений. Поэтому
для решения оптимизационной задачи желательно применить
технологию работы с разреженными матрицами, широко при-
меняемую при анализе установившегося режима.
Рассмотрим основную операцию метода — определение при-
веденного градиента
I (4.36)
v дХ dY \ дХ ) дХ
Е Наиболее трудоемкой ее частью является матричное умно-
жение:
Е дфт / dqp—i \т дФ
К dY \ дХ / дХ
Непосредственное применение этой формулы нерационально,
d®—1
поскольку матрица ------ не является разреженной и поэтому
Е дХ
требует для своего получения и хранения больших объемов
[оперативной памяти и затрат времени. Простая и очевидная
замена неизвестных позволяет свести операцию (4.36) к одно-
му решению системы линеаризованных уравнений с разрежен-
нои матрицей •---. Введем обозначение
дХ
I 105
д<р~ 1 \т дФ
дХ ) ~дХ
и получим матричное уравнение:
дфт дФ
дХ 1 дХ
(4.37)
(4.38)
эквивалентное приведенному выше выражению с матрицей
(йр/дхи.
Матрица уравнения (4.38) разреженная, поэтому ее исполь-
зование значительно эффективнее применения исходной систе-
мы (4.36).
Линеаризованная матрица используется на каждой ите-
рации решения системы установившихся режимов электриче-
ских систем. Поэтому основная операция МПГ легко стыкуется
с алгоритмами расчета установившегося режима, для которых
написаны эффективные промышленные программы, позволяю-
щие вести расчет сетей до нескольких тысяч узлов.
Матрица в описываемом алгоритме оптимизации исполь-
зуется еще раз для определения начального вектора ДХ0 изме-
нения зависимых переменных при заданном изменении вектора
независимых переменных
ДХ0= — (dX/dY)S. (4.39)
По аналогии с описанным выше введем вспомогательный
вектор 02 и представим записанную операцию определения на-
чального вектора как результат замены операций с обратной
матрицей решением системы линейных уравнений с разрежен-
дф дф
ными матрицами —-9 —— :
дХ д¥
ДХО=—(4.40)
дф
дХ
ДХО=—^S.
u dY
(4.41)
Операции (4.41) и (4.38) наиболее трудоемки при выполне-
нии одного шага рассматриваемого метода. Кроме того, боль-
шого времени требует уточнение решения (4.32). Решение
(4.32) обычно выполняется методом Ньютона, на итерациях ко-
торого используется матрица дср/дХ, применяемая в уравнени-
ях (4.39) и (4.41).
На основе описанного алгоритма разработана одна из наи-
более популярных промышленных программ оптимизации уста-
новившихся режимов электрических сетей СДО-4. Рассмотрим
последовательность выполнения основных этапов МПГ при ис-
106
пользовании операции замены системы независимых перемен-
ных на этапе при определении допустимого направления опти-
мизации.
Определение состава независимых переменных итерации
соответствии с описанным выше алгоритмом к независи-
мым причисляются все переменные, значения которых находят-
сяВна верхнем или нижнем пределах, а также мощности нере-
гулируемых узлов электрической системы.
^ИГ2. Формирование линеаризованных уравнений установивше-
гося режима и матриц дц/д\\ ду/дХ. Формирование dcp/dY;
(?<р/дХ выполняется по тем же формулам, по которым форми-
руются матрицы Якоби в расчетах установившегося режима
[В
К-3. Получение приведенного градиента по формуле (4.36).
____Н. Нахождение вектора допустимых направлений по формуле
(4|16) и проверка оптимальности найденного решения оптими-
зационной задачи. Для оптимального решения, не принадлежа-
щего границе допустимой области, все компоненты приведенно-
го вектора-градиента должны быть равными нулю. Если же
то^ка принадлежит границе области, то для удовлетворения ус-
ловий оптимальности вектор допустимых направлений оптими-
зации должен быть равен нулю. Очевидно, данный вектор ра-
вен нулю и в точке оптимума, находящейся внутри области ог-
раничений. Поэтому равенство нулю вектора S служит необхо-
димым и достаточным критерием оптимальности. С учетом ко-
нечной точности вычислений на ЦВМ. проверка оптимальности
решения выполняется на основе приближенной формулы
|S| < S, (4.42)
где 8 — достаточно малое число.
» 5. Определение направления изменения зависимых перемен-
ных Хю. Для этого находится начальный вектор изменения за-
висимых переменных ДХ0 с помощью (4.40), (4.41).
6. Определение допустимой и оптимальной длины шага
, ^опт) изменения решения в найденном направлении оп-
К^тах, ^опт) изменения решения в найденном направлении оп-
тимизации с помощью (4.27), (4.29), (4.30).
В 7. Уточнение решения оптимизационной задачи на шаге k
I с учетом нелинейных уравнений (4.2) на основе решения нели-
нейной системы (4.32). Для этого используются итерационный
метод Ньютона и матрица производных, полученная на этапе
выбора направления оптимизации.
Схема программы оптимизации методом проектирования
I ’(градиента приведена на рис. 4.6.
Сравнение различных реализаций МПГ для решения задачи
оптимального распределения реактивных мощностей. Варианты
метода проектирования градиента различаются в основном по-
грядком определения вектора направления оптимизации S. Для
[этого в существующих промышленных программах использу-
107
ются методы замены независимых переменных на каждом шаге
оптимизации и метод штрафных функций. Первый метод, со-
ставляющий ядро промышленной программы СДО-4, описан вы-
ше, аппарат штрафных функций для выбора направления опти-
мизации используется в программе Б2—77, разработанной Все-
союзным научно-исследовательским институтом электроэнерге-
тики (г. Москва).
Ввод исходных
данных
11
Определение состава
- зависимых и независи-
мых переменных X, Y
f-4
ЭХ
Нормирование матриц
ОФ
Расчет приведенного
градиента
г-8
*0
__ Контроль
сходимости
Расчет допустимого
— направления опти-
мизации S
Определение начально-
__го вектора приращений
зависимых переменных
хп = 8Х с
J: ° ъу °
Вывор длины шага
Г9
э\1____________Db,0UP
ттинмизации
г№—I
Печать
результа-
тов
7г+г
-1f I
х',.
Получение новой рочки
на основе линеаризован-
ных уравнении ограни-
чений
Уточнение решения с
учетом нелинейности
системы ограничений
Рис. 4.6. Схема алгоритма метода приве-
денного градиента
108
IS :Е
Применение штрафных функций существенно упрощает опе-
рацию определения приведенного градиента, так как не требу-
ет ^обязательной замены системы координат на каждом шаге
оптимизации. Матрицы при этом изменяются только
за счет нелинейности системы ограничений (4.2) и на некото-
рых шагах оптимизации, не ведущих к большим изменениям па-
многих
дф
и триангуляции последней из них, что существенно увели-
дХ
раметров, остаются постоянными. Следовательно, на
шагах оптимизации не требуется формирования матриц
Blv
ду
чивает скорость выполнения расчетов.
ИгОднако метод штрафных функций имеет существенный не-
достаток по сравнению с методом замены независимых пере-
менных. Чтобы получить решения, достаточно точно удовлетво-
ряющие ограничениям, необходимо в формуле (4.19) вводить
большие коэффициенты k для штрафов за нарушение ограниче-
ний, при этом искажаются линии уровня целевой функции Ф.
На границе допустимой области появляются разрывы произ-
водных Фэкв, в недопустимых областях соответствующие линии
уровня образуют вытянутые «овражные области».
К При этом искажение целевой функции, вносимое штрафа-
ми, замедляет сходимость процесса оптимизации. Меры ликви-
дации указанных основных недостатков описанных методов и
их более подробное описание содержится в [10, 11].
В заключение рассмотрим возможности применения опера-
ции проектирования приведенного градиента на область актив-
ных ограничений. Этот метод не имеет недостатков, присущих
методу штрафных функций, и не требует изменения на шаге
системы координат. Однако он имеет существенный недостаток,
мешающий его широкому распространению. Система активных
к ограничений, на которую должен быть спроектирован приведен-
ный градиент, содержит зависимые и независимые переменные
И может быть записана в матричной форме:
К A1S+A2AXo=O. (4.43)
К До выполнения операции проектирования на подпространст-
во активных ограничений необходимо из системы (4.43) исклю-
чить зависимые переменные с помощью линеаризованной систе-
мы (4.8). В результате уравнение (4.43) можно записать в
(виде
|- A13KBS=0, (4.44)
|ТДе
I А1вкв=А1+А2(-^-р. (4.45)
109
ТУ
Матрица Ai экв в отличие от исходных матриц д<р/дХ, дц>/ду
уже не является слабо заполненной. Поэтому метод, исполь-
зующий операцию проектирования на подпространство актив-
ных ограничений, лишен основного преимущества описанных ра-
нее методов выбора S — возможности работы со слабо заполнен-
ными матрицами. В связи с этим применение этого метода мо-
жет оказаться полезным только в тех случаях, когда заранее
известно, что число активных зависимых ограничений сущест-
венно меньше размерности системы уравнений (4.2).
4.2. ВЫБОР КОМПЕНСИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ
РЕАКТИВНЫХ МОЩНОСТЕЙ
Рассмотренные в предыдущем параграфе
методы позволяют определять оптимальные значения реактив-
ной мощности существующих источников для любого момента
времени t. Более общей задачей является совместный выбор
значений мощностей как существующих источников Qi, так и
новых компенсирующих устройств.
Целевая функция Ф при этом включает приведенные затра-
ты, связанные с установкой новых компенсирующих источников
Зг, и учитывает издержки годового расхода на транспорт эле-
ктроэнергии в электрической сети AIF2. Математическое выра-
жение для Ф можно представить следующим образом:
п
+ (4.46)
/-1
где р — коэффициент, учитывающий затраты на передачу элект-
роэнергии; п — число возможных пунктов установки новых и
реконструированных источников реактивной мощности.
Система ограничений типа равенств новой оптимизационной
задачи складывается из уравнений типа (4.2) для всей сово-
купности режимов t=l,N оптимизируемой электрической сети.
Для каждого режима учитываются также и ограничения типа
неравенств (4.3).
Рассматриваемая задача принадлежит классу задач с ин-
тегральными ограничениями, так как мощность компенсирую-
щего устройства следует отыскивать для всей совокупности ре-
жимов. Очевидно, трудоемкость ее решения намного больше
трудоемкости решения задачи «точечной оптимизации», по-
скольку учет многорежимности во много раз увеличивает чис-
ло переменных.
Весьма эффективный метод решения можно получить на ос-
нове факторного моделирования узловых мощностей (см. гл. 3).
Этот метод позволяет записать мощность любого узла в виде
ПО
линейной комбинации математического ожидания и небольшого
числа обобщенных типовых графиков Гг:
(4.47)
Задачу можно сформулировать как необходимость определе-
ния оптимальных параметров MQir.air" реактивной мощности
каждого узла, где имеется или может быть установлен такой
источник. Тогда система ограничений типа равенств в соответ-
ствии с (1.36) и (3.71) представится как
В —AfPz+<p,.(MU, М6)=0;
1 -AfQz-НДМи, Мд)=0;
(4.48)
~ дР
68
ОР ~
ои
(4.49)
<*Q
дЪ
L Yr J
dU
Мб — математические ожидания актив-
• где MPi и MQi, MU и
ных и реактивных мощностей узлов, модулей и фаз узловых на-
„ OP OP dQ 0Q
пряжении; —, — , матрицы производных актив-
I ных и реактивных мощностей по фазам и модулям напряжений;
?/, ?/', А/, А/'— векторы, состоящие из компонент, подробно
описанных в п. 3.3.
Рассмотрим, каким образом параметры MQi, <цг" позволяют
рассчитать целевую функцию оптимизационной задачи. Функ-
ция (4.46) включает в себя величину ДИ^, полностью определяе-
мую указанными переменными на основе формулы (3.78), вы-
ражающей ТРС каждого элемента ij электрической сети:
Е ДГ/у=МГ/у(ЛЯЛ Л46)4-
1 I ми* —2 '
2
Первое слагаемое целевой функции Ф включает в себя при-
I веденные затраты 3/ во все новые элементы компенсации реак-
тивной мощности. Приведенные затраты на установку средств
урегулирования реактивной мощности [12] представляют собой
| разрывную функцию установленной мощности компенсирующих
^устройств и состоят из первоначальных затрат на их установку
I и затрат, зависящих от применяемой в устройстве компенсации
аппаратуры для регулирования Q. На рис. 4.7 приведена зави-
симость приведенных затрат [10] одного из наиболее распро-
страненных источников реактивной мощности — батарей стати-
ческих конденсаторов среднего (БКСН) и низкого (БКНН) на-
пряжений от мощности установки и числа секций батарей кон-
денсаторов т.
Рис. 4.7. Зависимость приве-
денных затрат на установку
батарей статических конденса-
торов от числа секций батарей
Рис. 4.8. Точки максимума и
минимума обобщенного типово-
го графика
Точное решение оптимизационной задачи с разрывными це-
левыми функциями можно выполнить только методами дискрет-
ной оптимизации, например методом динамического програм-
мирования. Эти методы чрезвычайно громоздки. Решение за-
дачи при нескольких сотнях узлов на основе таких методов не-
доступно существующим вычислительным машинам. Однако на-
чальные затраты можно исключить из целевой функции по сле-
дующим соображениям. Установка компенсирующих устройств
обычно диктуется требованиями регулирования напряжения и
это предопределяет пункты их установки. Таким образом, на-
чальные затраты не зависят от уменьшения потерь электроэнер-
гии и их не следует включать в целевую функцию оптимизации
ТРС, а действительную разрывную функцию приведенных зат-
рат заменить линейной (рис. 4.7), что дает допустимую ошибку.
В дальнейшем будем полагать, что указанные условия соблю-
дены и поэтому для решения задачи допустимо применение гра-
диентных методов.
В рассматриваемом случае величина 3/ является линейной
функцией установленной мощности устройства компенсации ре-
активной мощности, принимаемой равной максимальной вели-
чине Qi max- Выразим величину Qf max через неизвестные, исполь-
зуемые в данной задаче, т. е. через MQi, си/'. Наиболее просто
112
такое выражение получить в случае, когда оптимизация ведется
с помощью одного обобщенного типового графика Л:
Q.=A1QZ+ а'1Г1. (4.50)
L Соответствующий расчет иллюстрирует рис. 4.8. Обозначая
момент времени, соответствующий максимуму графика Л, че-
рез ti, находим необходимое соотношение:
I Q/max=^Q/+“nG(^)- (4.51)
К Если оптимизация выполняется на основе двух обобщенных
типовых графиков Л и Г2, то для определения максимального
значения реактивной мощности можно использовать следую-
щее выражение:
I = + + (4.52)
В Параметр tm приведенного выражения определяется коэф-
фициентом т участия графика Г2 в линейной комбинации
I т= , . (4.53)
К |ал|4-|а/2|
I При малых значениях коэффициента т момент tm, опреде-
ляющий максимум суммарного графика, равен Л. Для т, близ-
ких ±1, значение tm равно времени наступления максимума /г
^второго обобщенного типового графика. Максимумы мощности
в описанных случаях определяются по формулам:
I + + (^1) ~0); | (4.54)
I QzmaX = yWQl + aH^(/2) + a^r(/2) (7П^±1). J
| В промежуточных точках значение tm отличается от 6 или
т, однако простым перебором всех точек рассматриваемых гра-
фиков моменты tm можно найти для любого значения т.
L В достаточно редких случаях оптимизацию приходится вести
|с учетом трех обобщенных типовых графиков. Определение мак-
|симума линейных комбинаций ап^Л+агУТг+а^Тз выполня-
ется с помощью изменения двух параметров т2 и т3— коэффи-
циентов участия в суммарном графике второго и третьего обоб-
щенных типовых графиков. Поиск моментов максимума Z(m2,
/Пз) выполняется аналогично рассмотренному выше. Поскольку
^соответствующий расчет довольно громоздок, целесообразно
применение приближенных методов, например метода регрес-
сионного анализа.
Ь Окончательное выражение расчета целевой функции запи-
113
шем для наиболее широко применяемого случая оптимизации,
когда моделирование графиков ведется на основе двух обоб-
щенных типовых графиков:
где 3/ — затраты для компенсирующего устройства i, опреде-
ленные на основе аппроксимации функций (рис. 4.7).
Аналогично выражению (4.55) можно получить значения
максимальных и минимальных реактивных мощностей всех уз-
лов, где регулируется Q, и выражения максимальных и мини-
мальных напряжений узлов t/min, Umax для записи ограничений
типа неравенств (4.3) через используемые переменные:
Qzmin —
r-1
Q/max=^Qz + 2 а’гГг^т>,
r-1
k
r-1
t/Zmax = Afzt7 + 2 YZr(/m),
r-1 )
(4.56)
где tm —определяемый аналогично tm момент наступления ми-
2
нимума линейной комбинации (ахГ 1-ра2)Г2) обобщенных ти-
r—1
повых графиков, зависящий от коэффициента участия тп2 обоб-
щенного графика Г2 в линейной комбинации.
Переход в новое пространство переменных М, а, у сущест-
венно уменьшает размерность точечной задачи оптимизации, до-
водя число зависимых переменных до величины 2(7?+1)п, где
п— число зависимых неизвестных. Проанализировав структуру
матрицы производных зависимых переменных по независимым,
можно установить, что для определения приведенного градиен-
та (наиболее трудоемкой операции) вместо решения системы из
2(/?-f-l)n уравнений достаточно /?+1 раз решить систему 2п
уравнений. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим систему урав-
нений типа равенств (4.48), (4.49), в которой приближенно
предполагается MUi—f(MP, MQ). Линеаризуем эту систему:
114
— AM§+-^- ДМ11=0;
дъ ди
21 дмб 4- ДМи - ДМЦ=0;
<зз 1 ди
дР А ' . дР А • л.
--- AVf |--АУ/--
аг ‘ аи
21 д7; _|_ 21 д¥; _ да;=о,
аг аи 1
(4.57)
(4.58)
Где АМ6, AMU — поправки математических ожиданий
Мб, MU; AMQ — поправка математических ожиданий мощно-
стей.
Каждая из этих систем определяется только через собствен-
ные переменные, что и доказывает высказанное выше сообра-
жение.
4.3. ПРИМЕР ОПТИМИЗАЦИИ
РЕАКТИВНЫХ МОЩНОСТЕЙ
Рассмотрим сеть, приведенную на рис. 4.9.
базисном узле сети фиксировано напряжение U—\. Оптими-
выполняется за счет изменения реактивных мощностей
зация
к:
UW-1,Q U20-0,863
0,58* j 0,3 0,51*] О, 17 1,99 *j 0,79
6,в = -5>so
Vw--o,98
0tS5^Vz^1t2
Рис. 4.9. Схема сети для оптимизации реактивных мощ-
ностей
Единицы величин: S[MB • A], U [о. е.], Z [о. е.]
й*.
Загрузочного узла 2 и генераторного узла 1. Пределы измене-
ния напряжений и реактивных мощностей этих узлов приведены
’ниже. Все параметры электрической сети выражены в относи-
тельных единицах, при записи мощностей положительный знак
^соответствует генерации:
0,95 < U г
0,85 < U2
Результаты расчета исходного режима приведены на рис.
4.9. Выражения (4.59) представляют собой ограничения типа
115
неравенств и определяются уравнениями баланса мощности,
записанными для узлов 1 и 2 сети:
Pi—U2ign + 2 и1и№и sifl <8/—М—ёи cos <81—8
/=i
з
(4.60)
Q.i—U2bu — U LUj(bljcos(bl — В;) 4“Sij sin (8/— 8/))*
j-i
Примем, что средства компенсации реактивной мощности уз-
ла 2 известны и задача заключается только в определении оп-
тимальных значений Q и iU генераторного узла 1. В этом слу-
чае целевая функция определяется потерями мощности в лини-
ях 12 и 23 электрической сети:
<р = ДР12 4” (4.61
Решение осуществляется в два этапа.
1. Преобразование выражений целевой функции и ограниче-
ний типа равенств. На данном этапе находится формула потерь
активной мощности, а затем линеаризуется.
Выражение потерь активной мощности ли-
нии ij
{U2 4~ U2j) — 2g cos (Bz — В;) UVj
можно преобразовать, если использовать приближенное соотно-
шение:
cos (В, — Ву) 1 — 0,5 (В, — В;)2.
(4.62)
С учетом (4.62) находим
ДР/у ~ g*zy (U t — U ^gijUjlJ j (Bz — By)2.
Суммируем выражения для потерь в линиях 12 и 23 и под-
ставим активные проводимости рассматриваемой сети в задан-
ный модуль напряжения узла 3 {73=1, находим
Ф=0,5 ((1 - U2?+ l£/28i)+2,0 ((t/j -1/2)2+
4~ 2 (&i—s2)2).
(4.63)
Запись и преобразование линеаризованных
уравнений типа равенств. Как известно, градиентный
метод оптимизации на каждом шаге рассматривает линеаризо-
ванные уравнения ограничений (4.60), которые можно предста-
вить в матричном виде:
дР f A8j 1 OP Г
08 Д82 0U Д^/2
0Q
08
A8j '
Д82
0Q
dU
(4.64)
116
ЭР dP dQ dQ
• —• —— • —^—матрицы производных активных <р,
и фазовым углам
fe dS ’ dU ’ d8 ’ dU
к К реактивных чр/ мощностей по
узлов (7/, 6/:
напряжениям
*
к;
Г
dP
d8
dQ
d8
d8i
dPj
dPi~
d62
dP2
dS2 _
дР
dU
dUi
dP2
_ dtfl
dPi ~
dU2
dPj
dU2 _
(4.65)
~ dQi
d^i
dQ2
dBi
подробно
„ «а
dB2
dQi ~
dB2
d<?2
дЪ2 J
Г ^<21
dQ
dU
dUi
dQi
dQi ~
dU2
dQ2
dU2 J
получение двух производных матриц
. Выполняя дифференцирование выражений
Запишем
(4.65)--^-
OU 1
(4.60) с учетом начальных значений режимных параметров,
приведенных на рис. 4.9, получим:
— &г) — £Г12 с°$ (&i ^2))—
s-
dt/j
=4.0,98-0,5 + 0,98(10 sin (8,84°)-2g12 cos 8,84°=3,541;
- -- = —UXU2 (b12 cos (8j — 82)+g\2 sin (81 — 82)) —
dB2
= -0,98-0,863(10 cos 8,84°+2 sin 8,84°)= -8,617.
Остальные коэффициенты матриц находятся аналогично,
результате получаем следующие линеаризованные уравне-
ния:
| 8,617 -8,617 '
[-8,097 10,078
I Г о 1 .
о ’
’ ДВ, '
’ А82 •.
’ 3,541 -0,4307 ] [Д£Д '
—3,032 —2,235
ДС72 J
Г—0,372
2,271
0,372 '
-3,927
0 1
О
Д8г
_Д82 .
‘ AQ1 '
. Др2
Г 10,808
-9985] [ дг/j ’
9,897
(4.66)
=0.
Уравнения (4.66) целесообразно преобразовать, чтобы полу-
пить более простое и наглядное решение задачи, результаты
117
которого можно проиллюстрировать графически. Для этого вос-
пользуемся первым уравнением системы (4.64) и выразим с его
помощью приращения углов через соответствующие прираще-
ния модулей напряжения:
j __ dP-i 0Q ди
дЪ dU
At
(4.67)
Подставим (4.67) во второе уравнение (4.64) и получим
линеаризованное уравнение, из которого исключены прираще-
ния углов:
-^3-AU-EAQ=0,
йиэкв
(4.68)
где
dQ ^Q dQ dP-i dP .
du3KB — ou da da du
(4.69)
Выполняя действия в соответствии с (4.69) для уравнений
(4.66) находим
(4-70)
Эту систему, содержащую два уравнения, будем использо-
вать в качестве ограничений типа равенств.
2. Процесс оптимизации. Зададимся независимыми перемен-
ными, для чего выберем напряжения узлов ДСЛ, Д1/2. В этом
случае вектор независимых переменных Y состоит из перемен-
ных A£7i, Д^2, а вектор зависимых переменных X — из прира-
щений реактивных мощностей AQi, AQ2. Матрица при та-
dY
ком выборе системы независимых переменных состоит из ко-
эффициентов при AQi, Д(?2, т. е. является единичной:
dy Г 10,644 —10,01 ‘
^Y ""[-9,431 9,738 J '
Матрица — производных зависимых переменных по неза-
dY
dqp
висимым равна-----, что легко видеть из общей формулы
dY
dX __ dy dy~i
"dY ~ ” dY dX ’
dy
с учетом того, что---единичная матрица.
dX
Расчет приведенного градиента. Выражение при-
веденного градиента запишется следующим образом:
118
Л
63
6Ф __ дФ dq?T дФ
dY dY~ ~дХ
Такое вычисление по формуле (4.71) достаточно громоздко,
так как выражение целевой функции (4.63) включает в себя
фазовые углы 6г-< Однако следует учитывать, что изменение
напряжений и реактивных мощностей сравнительно мало из-
меняет значения углов бг- в случаях, когда анализируемый ре-
жим не является близким к предельному. Поэтому можно не
учитывать связи и рассматривать бг- на шаге оптимизации на-
пряжений как постоянный параметр. С учетом этого допущения
И характеристик исходного режима, показанных на рис. 4.9,
лолучим следующее выражение для целевой функции:
Г Ф ==0,5 (1 - /72)2+2 (U, -1/2)2+0,032Z72+0,048^6/2.
* Выполняя дифференцирование по формуле (4.71), обнару-
живаем,
Qi и Q2 и поэтому вектор-градиент
dU
(4.71)
что целевая функция Ф не зависит от параметров
йФ
совпадает с вектором
dq?
астных производных по независимым переменным .
Выполняя арифметические вычисления, получаем
дФ _____________________ дФ __
du
_Г4(0,98-0,863)-0,048-0,863
[ -4 (0,98 - 0,863) - 0,048-0,98 - 0,032 - (1 - 0,863)
Г 0,422 '
[ —0,683 ] *
Так как начальная точка, из которой выполняется шаг опти-
мизации, не принадлежит границе области, то допустимый век-
тор S изменения независимых переменных совпадает с анти-
градиентом. Найдем вектор Хо изменения зависимых перемен-
ных, соответствующий S, используя для этого (4.70):
Г—0,422 '
0,683
’ AQ10 1 Г 10,644
_ AQ20 J [-9,431
-9,738
10,63
о —
Определение длины шага. Как показано выше, при
определении длины шага % оптимизации в первую очередь не-
обходимо найти максимально допустимую длину шага из
условия удовлетворения ограничений типа неравенств. Для это-
го следует определить расстояния до всех ограничений, которые
встречает вектор при увеличении длины шага (DQi, DUi).
Так как Направление вектора-антиградиента соответствует
уменьшению переменных AQi, A(7i, величины DQi, DUi опреде-
119
ляются расстоянием от начальной точки с параметрами С710 =
— 0,98; Qio= 1,02 до нижних границ соответствующих перемен-
ных t/imm=0,95; Qimin=0. При этом расстояния равны
DUX=0,98-0,95=0,03; DQX = 1,02 - 0 = 1,02.
Переменные U2 и Q2 при движении в направлении антигра-
диента увеличиваются, следовательно, для определения DU2i
DQ2 следует ориентироваться на максимальные значения этих
переменных, т. е. f/2max=l,2; Q2max=—0,1.
Исходные значения переменных t72o = O,863; Q2o=—0,9, сле-
довательно,
DU2 =1,2- 0,863=0,337; DQ2 = -0,1 + 0,9=0,8.
Чтобы вычислить длину шага до границы любого независи-
мого ограничения, воспользуемся формулой
\U~DUjSi.
Для зависимых переменных соответствующие длины равны
aQx- = DQJXjq.
Подставляем числовые значения и находим
\UX =0,03/0,422=0,07; XZ72=0,337/0,683=0,493;
XQ1 = 1,02/11,3 = 0,091; XQ2 = 0,8/10,63 = 0,0752.
Минимальное значение МА соответствует первому ограниче-
нию, которое нарушается при увеличении длины шага и опре-
деляет максимально допустимый шаг. Следовательно, %тах=
= 0,07.
Определение оптимальной длины шага ХОпт.
Так как целевая функция Ф нелинейна, то существует опреде-
ленная длина шага ХОпт, обеспечивающая максимально возмож-
ное уменьшение этой функции при движении в заданном на-
правлении. Для определения Х0Пт сделаем два пробных шага:
X], равный половине максимальной величины Хтах/2, и Хтах.
Значения целевой функции в исходной точке и в точках, соот-
ветствующих движению по антиградиенту с длинами шага и
Л2, обозначим соответственно Ф1 и Ф2. Определим значения пе-
ременных t/i, U2 в контрольных точках 7, 2;
и2г=0,863 + 0,683-0,035=0,886; Un = 0,98-0,422-0,035=
= 0,965;
Z722=0,863 + 0,683-0,07=0,910; t/12=0,98-0,422-0,07=0,95.
Подставим найденные координаты для точек 7, 2 и получим:
ф2=0,5 (1 — 0,886)2 + 2 (0,886 - 0,965)2+0,032-0,886 +
+ 0,048 -0,965-0,886 = 0,0873;
120
ф2=0.5(1-0,91)2+2 (0,91--0,95)2+0,032-0,91 +
+0,048-0,95-0,91 =0,0778.
Аналогичный расчет целевой функции для исходной точки
Фо с параметрами С72о = О,863, £Ло = О,98 дает значение целевой
функции Фо = О,1О49. Оптимальная длина шага ХДо, отнесен-
ная к начальной длине 1о = 0,035, определяется по формуле
(4.29):
^опт ЗФр — 4Ф| + Ф2 0 ,0433 __ 257
0,035— 2(Ф0 —2ФХ+Ф2) ~ 0,0162
откуда Хопт=0,0935.
Так как оптимальная длина шага оказывается больше мак-
симально допустимой, окончательно принимаем:
=== min (\пах’ \jrfr)== 0,07.
Второй и последующие шаги оптимизации аналогичны пер-
овому. Оптимальное значение Ф соответствует параметрам: Qi =
=0,1; Q2 = 0,15; t7i = 0,92; t72 = 0,99. Потери мощности состав-
ляют ДР=0,072.
Последующие шаги метода оптимизации распределения ре-
активной мощности выполняются аналогично первому. Для ус-
воения материала полезно выполнить эти шаги оптимизации са-
мостоятельно. Сравнивая потери мощности исходного режима и
потери ДР0=0,1049 режима, соответствующего первому ша-
гу оптимизации ДР> = 0,072, можно убедиться в том, что эффек-
тивность выполнения этого шага достаточно велика, так как
потери мощности на шаге уменьшились примерно на 30%.
4.4. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ
РЕЖИМА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОТЕРЬ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ В ЗАДАЧАХ
РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
Расчеты потерь электроэнергии на основании
анализа электрических режимов в задачах развития электриче-
ских сетей должны учитывать:
— многорежимность проектируемой сети (суточные максиму-
мы и минимумы, сезонная неравномерность, плотность годового
графика нагрузки и др.);
— необходимость вариантных расчетов с помощью алгоритма
коррекции режима для оценки целесообразности изменения лишь
нескольких элементов базовой сети;
— вероятностный и частично неопределенный характер ин-
формации о параметрах режимов проектируемой сети (главным
образом о нагрузках узлов).
Последнее обстоятельство ограничивает точность и полноту
расчетов. Следовательно, для проектных задач целесообразно
121
использовать упрощенные системы уравнений. Это особенно ха-
рактерно для задач долгосрочного проектирования, когда из-за
низкой точности информации допустимо определять потери элек-
троэнергии с помощью числа часов максимальных потерь.
Существующие программы расчета установившегося режима,
используемые в задачах текущей эксплуатации электрических
сетей, не удовлетворяют перечисленным требованиям, поэтому
необходимо создание специализированных алгоритмов расчета
установившегося режима. Для этого целесообразно упростить
следующую систему уравнений узловых напряжений (УУН) в
форме баланса мощностей:
п+1 А
Щёи + 2 и1иЛьи sin <8/ - 8Р~ Sii cos <8/ ~ М + Pi=0; I
7=1 I
п+1 I
2 s*n j
/-1 j
(4.72)
где Hi, бг — модуль и фаза напряжения узла i; gu, ba — взятые
с обратным знаком вещественная и мнимая составляющие ком-
плекса собственной проводимости матрицы Y, Уц=—(ga—jba)\
gip Ьц — соответствующие части комплекса взаимной проводимо-
сти матрицы Y; п+1—число узлов сети, последним из которых
является балансирующий.
Для сетей напряжением выше 220 кВ можно упростить сис-
тему УУН на основании следующего:
— для расщепленных проводов, применяемых в питающих се-
тях, реактивные слагающие сопротивлений намного больше ак-
тивных, поэтому в (4.72) с допустимой погрешностью можно при-
нять grZi=g^=O;
— схемы замещения питающих сетей включают в себя круп-
ные нагрузочные и генераторные узлы, содержащие устройства
регулирования напряжения, поэтому на этапе предварительного
выбора схемы развития питающей сети модули напряжений уз-
лов можно считать фиксированными и равными номинальным
значениям. Тогда в системе относительных единиц для всех на-
пряжений получим (7/=1.
Система УУН с фиксированными модулями напряжения мо-
жет быть разделена на две части, рассчитываемые раздельно:
уравнения баланса активных и реактивных мощностей. При ре-
шении проектных задач используется только первая часть УУН,
а реактивные мощности определяются по средневзвешенному
значению коэффициента мощности проектируемой системы.
Отмеченное позволяет записать вместо (4.72) уравнение
V sin (8Z — 6;)Ьи-j- PL =0. (4.73)
122
Разности фазовых углов напряжений смежных узлов обычно
не превышают 30°, поэтому sin (6г-—dj) в (4.73) можно заменить
Вразностью углов:
Е" л+1
2^(8'-8>)+Р‘=0- (4,74)
!*
I Уравнения (4.74) в матричной форме имеют вид
j В0 = Р, (4.75)
Егде В — матрица, образованная мнимыми частями соответствую-
Ещих элементов матрицы проводимостей Y; 0 —вектор фазовых
i углов напряжений.
Выражение (4.75) называют системой уравнений модели no-
к.стоянного тока. Ее можно применять для определения исходного
^базового режима сети с параметрами Ро, 0о и его корректировки,
к. Для отклонений от базового режима ДР=Р—Pq; Д0=0—0о
I можно записать:
I ВД0 = ДР.
I Это уравнение можно использовать для проверочных расчетов по
J условиям качества напряжений узлов, предельных потоков мощ-
| ности и т. д.
R х
к
| КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Задачи оптимального распределения реак-
| тивных мощностей можно формулировать двумя способами—-
г оптимизации имеющихся средств регулирования реактивных
| мощностей и напряжений; выбора новых компенсирующих уст-
i ройств.
При первом способе оптимизация выполняется для от-
г дельной точки графика мощностей (точечная оптимизация) и
| использует в качестве целевой функции сумму потерь мощно-
сти конкретного режима.
I При втором способе приходится учитывать некоторую
| совокупность установившихся режимов, определяемую годовым
или суточным графиком нагрузки. В качестве целевой функции
I используются приведенные затраты, включающие ТРС элект-
£ рической сети и капитальные вложения в новые источники реак-
тивной мощности.
Для решения поставленных задач наиболее часто использу-
ется метод приведенного градиента (МПГ), основной операцией
которого является вычисление названного вектора, определяю-
123
щего направление максимального уменьшения целевой функции
в подпространстве параметров, удовлетворяющих системе ог-
раничений типа равенств.
Эффективность применения МПГ связана с организацией
вычисления, позволяющей исключить операцию обращения мат-
рицы и использовать при решении те же приемы работы с раз-
реженными матрицами, которые используются при расчете ус-
тановившихся режимов.
Учет ограничений типа неравенств в МПГ можно выполнять
двумя способами.
1. Выбор множества Y независимых переменных на каждом
шаге решения таким образом, чтобы ему принадлежали все пе-
ременные, зафиксированные на верхнем или нижнем уровне.
В этом случае для учета допустимого вектора оптимизации об-
разуют те проекции приведенного вектора-антиградиента, дви-
жение вдоль которых не нарушает системы ограничений.
2. Использование аппарата штрафных функций, в котором
допускается нарушение ограничений, но при каждом таком на-
рушении вводятся «штрафы», не позволяющие существенно на-
рушить систему ограничений.
Преимуществом второго способа учета ограничений являет-
ся возможность использования на нескольких шагах одной и
V дф
той же матрицы , за счет чего существенно экономится вре-
мя определения приведенного градиента. Однако применение
«штрафов» ухудшает свойства сходимости метода приведенного
градиента.
Для решения задачи оптимального выбора новых компенси-
рующих устройств в электрической системе эффективно приме-
нение факторного моделирования нагрузок. Это резко сокраща-
ет размерность задачи за счет перехода от оптимизации в про-
странстве множества точек годового или суточного графика уз-
ловых мощностей к пространству математических ожиданий и ко-
эффициентов разложения узловых мощностей МР, а по обоб-
щенным типовым графикам. Для выбора направления оптими-
зации на шаге используется МПГ. Операция определения при-
веденного градиента выполняется на основе решений ли-
неаризованных систем уравнений.
Контрольные вопросы
1. Сравните организацию вычислительного процесса в МПГ с заменой
системы координат на каждом шаге оптимизации и алгоритм линейного про-
граммирования, укажите основные сходства и отличия методов.
2. Выведите формулу (4.29) оптимальной длины шага по значениям це-
левой функции Фо, Фь Ф2, вычисленных при длинах шага Х=0; Х=1; Х=2.
124
Для решения используйте следующую квадратичную аппроксимацию целевой
| функции в зависимости от длины шага:
Х(к-1)
Перед тем как решить задачу, убедитесь в том, что записанный многочлен
| в точках 1=0; Х=1; Х=2 совпадает с функцией цели Ф.
3. Сформулируйте задачу определения коэффициентов rr(tm) в формуле
(4.56) расчета максимальных и минимальных значений мощностей в зависимо-
Р сти от коэффициента участия т обобщенного типового графика Г2 в линей-
| ной комбинации как задачу регрессионного анализа.
Темы рефератов
1. Оптимизация реактивных мощностей методами приведенного градиента
и обобщенного приведенного градиента [10, 11].
2. Экспериментальные исследования программы оптимизации распределе-
ния реактивных мощностей Б2—77.
ДА
й-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Потери электроэнергии в электрических сетях энергосистем/Воротниц-
кий В. Э., Железко Ю. С., Казанцев В. Н. и др.; Под ред. В. Н. Казанцева.—
М.: Энергоиздат, 1983.— 368 с.
2. Липес А. В. Применение методов математической статистики для ре-
шения электроэнергетических задач.— Свердловск: УПИ, 1983.— 86 с.
3. Липес А. В., Окуловский С. К. Расчеты установившихся режимов элек-
трических систем на ЭВМ.— Свердловск: УПИ, 1986.— 86 с.
4. Справочник по проектированию электроэнергетических систем/Под ред.
С. С. Рокотяна и И. М. Шапиро.—М.: Энергоатомиздат, 1985. — 350 с.
5. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработ-
ки наблюдений.— М.: ГИФМЛ, 1958.— 333 с.
6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для ин-
женеров и учащихся вузов.— М.: Наука, 1980.— 976 с.
7. Арзамасцев Д. А., Липес А. В., Мызин Л. Л. Модели оптимизации раз-
вития энергосистем.— М.: Высшая школа, 1987.— 272 с.
8. Липес А. В. Математические задачи энергетики.— Свердловск: УПИ,
1980.—80 с.
9. Гамм А. 3. Статистические методы оценивания состояния электрических
систем.— М.: Наука, 1976.— 220 с.
10. Веников В. А., Лисеев В. И., Идельчик В. И. Регулирование напряже-
ний в электроэнергетических системах—М.: Энергоатомиздат, 1985.— 214 с.
11. Кру мм Л. А. Методы приведенного градиента при управлении элек-
троэнергетическими системами.— Новосибирск: Наука, 1977,— 368 с.
12. Железко Ю. С. Компенсация реактивной мощности в сложных элек-
трических системах.— М.: Энергоиздат, 1981.— 200 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к серии................................................... 3
Введение............................................................. 11
Глава 1. Виды расчетов технологического расхода электроэнергии и их
информационное обеспечение . ............................ 12
1.1. Различные задачи технологического расхода электроэнергии . . 12
1.2. Информационное обеспечение задачи анализа режимов элек-
трических систем......................................... , 13
1.3. Применение статистических методов для первичной обработки
исходных данных [2]............................................. 15
1.4. Формулы расчета потерь электроэнергии....................... 19
Краткие выводы................................................... 33
Контрольные вопросы.............................................. 34
Темы рефератов................................................... 34
Глава 2. Статистические методы, используемые для расчета технологи-
ческого расхода электроэнергии...................................... 35
2.1. Регрессионный анализ........................................ 35
2.2. Факторный анализ случайных величин.......................... 46
Краткие выводы................................................... 59
Контрольные вопросы.............................................. 60
Темы рефератов................................................... 60
Глава 3. Применение регрессионного и факторного анализа для моде-
лирования режимных параметров электрических систем и рас-
чета потерь электроэнергии ......................................... 61
3.1. Оценка параметров наблюдаемой части электрической* системы
[9]............................................................. 61
3.2. Оценка параметров ненаблюдаемой части системы.............. 69
3.3. Применение факторного анализа для моделирования нагрузок
и расчета потерь электроэнергии ................................ 79
Краткие выводы................................................. 90
Контрольные вопросы.............................................. 91
Темы рефератов................................................... 91
Глава 4. Оптимизация технологического расхода энергии в электриче-
ских сетях.......................................................... 92
4.1. Метод оптимизации распределения реактивных мощностей [10] 93
4.2. Выбор компенсирующих устройств в задаче оптимизации реак-
тивных мощностей................................................. ПО
4.3. Пример оптимизации реактивных мощностей.................... 115
4.4. Упрощение уравнений установившегося режима для определе-
ния потерь электроэнергии в задачах развития электрических
сетей.................................................. 121
Краткие выводы.................................................. 123
Контрольные вопросы............................................ 124
Темы рефератов.................................................. 125
Список литературы................................................... 126
ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ
ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
В пяти книгах .
АРЗАМАСЦЕВ Дмитрий Александрович
ЛИПЕС Аркадий Вениаминович
Кн. 1
СНИЖЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО РАСХОДА
ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЯХ
Заведующая редакцией Н. И. Хрусталева
Редактор С. М. Оводова
Мл. редактор Е. В. Судьенкова
Художник В. В. Гарбузов
Художественный редактор В. И. Мешалкин
Технический редактор В. М. Романова
Корректор В. В. Кожуткина
ИБ № 8631
Изд. Хе СТД—631. Сдано в набор 13.02.89. Подл, в печать 23.08.89. Т—16308.
Формат 60X88V15. Бум. офсетн. № 2. Гарнитура литературная. Печать вы-
сокая. Объем 7,84 усл. печ. л. 8,09 усл. кр.-отт. 7,74 уч.-изд. л. Тираж
10 000 экз. Зак. № 1152. Цена 45 коп.
I I • I . Ы ! ч
Издательство «Высшая школа».
101430 Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Московская типография № 8 Государственного комитета СССР по печати,
101898 Москва, Центр, Хохловский пер., 7.
Энерго-
сберегающая
технология
электроснабжения
народного
хозяйства
СНИЖЕНИЕ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
РАСХОДА ЭНЕРГИИ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СЕТЯХ
НАДЕЖНОСТЬ /
И ЭФФЕКТИВНОСТЬ
СЕТЕЙ /
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ПОТРЕБЛЕНИЕ /
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ЭНЕРГИИ- /
НАДЕЖНОСТЬ
И РЕЖИМЫ
яти книгах