Текст
                    U Л VI/ Л ВЕЛИЧАЙШИЕ
НАУКАтеории
ПУАНКАРЕ о
Топология
ПУАНКАРЕ топология
Математика теряет форму
43
D4AGOSTINI

ПУАНКАРЕ Топология
ПУАНКАРЕ Топология Математика теряет форму НАУКА. ВЕЛИЧАЙШИЕ ТЕОРИИ
Наука. Величайшие теории: выпуск 43: Математика теряет форму. Пуанкаре. Топология. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2015.- 176 с. Анри Пуанкаре общепризнанно считается одним из вели- чайших математиков. Он оставил заметный след практиче- ски во всех разделах данной науки, а его слава вышла за пре- делы родной Франции и достигла планетарных масштабов. Своими работами Пуанкаре внес фундаментальный вклад в развитие специальной теории относительности и, в осо- бенности, в развитие топологии — раздела математики, изу- чающего непрерывность и утверждающего, что два объекта неотличимы, если один из них мы можем непрерывно дефор- мировать, не разрезая и не протыкая, до превращения в дру- гой объект. Эпистемология и научное просвещение также не были оставлены без внимания Пуанкаре — одного из уни- версальных математиков. ISSN 2409-0069 © Alberto Tomas Perez Izquierdo, 2015 (текст) © RBA Collecionables S.A., 2015 © ООО «Де Агостини», 2014-2015 Иллюстрации предоставлены: A. Blomberg: 62; Age Fotostock: 115 (внизу), 163 (вверху слева; вверху справа); Agence de presse Meurisse/ Национальная библиотека Франции: 23; Album: 81 (ввер- ху слева), 115 (внизу), 131 (внизу); American Libraries: 94; Benjamin Couprie: 163 (внизу); Freeman J. Dyson/Harold Falk/American Mathematical Monthly: 86; H.S.M. Coxeter: 59 (справа); Harris & Ewing/ Библиотека Конгресса: 18; Joan Pejoan (инфографика); Miquel Alberti: 57 (внизу); Robert Krewaldt/ Библиотека Конгресса: 37 (слева); Андерс Цорн: 81(вверху справа); Архив RBA: 25 (вверху справа; внизу), 37 (справа), 131 (вверху слева); Армия США: 57 (вверху); Би- блиотека Смитсоновского института: 160; Виктор-Жан Николь: 81 (внизу); Издательство Пристонского универси- тета: 59 (слева); Карл Штеффек: 20; Луи Фигье: 48; Макс Либерман/ Математический институт Гёттингенского университета: 64; Мауриц Эшер: 60; Музей Бурхаве, Лейден: 131 (вверху справа); Роджер Фрай/ Национальная портретная галерея: 153; Сент-Эндрюсский университет, Шотландия: 115 (вверху слева); Французская академия: 121; Чарльз Рутлингер/ Библиотека Смитсоновского института: 139; Эжен Пиру: 25 (вверху слева), 46; Эмиль Золя/ L'Aurore: 127. Все права защищены. Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание ВВЕДЕНИЕ ............................................. 7 ГЛАВА 1. УПОРСТВО ИЛИ ИНТуИЦИЯ? ..................... 15 глава 2. Явление гения................................43 ГЛАВА 3. Пуанкаре выигрывает конкурс ................ 69 ГЛАВА 4. Насколько едина сфера?.......................97 ГЛАВА 5. Пуанкаре и теория относительности...........123 ГЛАВА 6. Философ И успешный автор .................. 149 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 169 УКАЗАТЕЛЬ .......................................... 171

Введение Во французском городе Нанси, на углу Гран-Рю и Рю-Гиз, есть маленькая аптека. Сегодня она, как и 150 лет назад, занимает нижний этаж трехэтажного здания Отеля Мартиньи. На фаса- де со стороны Гран-Рю, на высоте первого этажа, есть мемо- риальная табличка: «В этом доме 29 апреля 1854 года родился Анри Пуанкаре, член Французской академии наук, умерший в Париже 17 июля 1912 года». Неподалеку, на Рю Визитасьон, находится лицей Анри Пуанкаре, названный в честь знаменитого горожанина Нанси. Если пройти мимо главного фасада лицея в направлении Гран- Рю, мы попадем на улицу Анри Пуанкаре. Параллельно ей про- ходит другая, более широкая и протяженная улица Раймона Пуанкаре, двоюродного брата Анри, который был президен- том Французской Республики во время Первой мировой вой- ны. Так город воздает честь своим наиболее прославленным жителям. Кажется, во Франции политик ценится больше мате- матика, если судить по важности называемых в их честь улиц, но Анри Пуанкаре является одним из тех людей, чье наследие выходит за пределы и пространственных, и временных границ. Хотя в юности Пуанкаре видел вступление вражеских не- мецких войск в родной город, остальная часть его жизни при- шлась на мирный период между Франко-прусской войной 1870-1871 годов и Первой мировой войной, начало которой он 7
уже не застал. В политическом отношении Третья Республика, образованная после падения Наполеона III и разгрома Париж- ской Коммуны, смогла выстоять благодаря гибкой конституции, позволившей чередовать приход к власти политических партий разного толка. Пуанкаре никогда не занимался политикой, но всегда был связан с правительством — и не только в силу хо- роших отношений с двоюродным братом. Это была эпоха лихорадочного экономического и промыш- ленного роста. Так же как и в Германии, наука, ставшая фунда- ментальным элементом технологического развития, быстро развивалась, финансируемая государством и частными пред- приятиями. В последние годы XIX века прошла электрифика- ция большей части Европы, одновременно развивалось теле- графное сообщение. В начале XX века появился беспроводной телеграф. Все эти достижения порождали новые теоретические и практические вопросы, решение которых интересовало ученых и инженеров наиболее развитых стран. Во Франции, как и в Германии, в конце XIX века была раз- вита система государственного образования. Большие Школы (Grandes ecoles), возникшие во времена революции, преврати- лись в элитные центры высшего образования, в них учились блестящие представители своей эпохи: инженеры, математики, экономисты и политики. Пуанкаре получил образование в од- ном из таких центров. Париж, где Пуанкаре прожил большую часть жизни, в кон- це XIX века переживал радикальные перемены. В 1889 году по случаю Всемирной выставки было завершено строительство Эйфелевой башни. А к Всемирной выставке 1900 года была по- строена первая линия метро. Город модернизировался и разрас- тался, превращаясь в одну из величайших мировых столиц. Этот период, который казался переполненным оптимизмом, верой в социальное и экономическое развитие, в науку и прогресс, по- лучил название Прекрасной эпохи (La Belle Epoque). Кроме того, именно тогда происходило обновление в мире искусства: поя- вившиеся в то время эстетические течения до сих пор вызывают неподдельное восхищение. 8 ВВЕДЕНИЕ
Пуанкаре с детства проявлял незаурядные способности к математике. Осенью 1873 года он поступил в знаменитую По- литехническую школу (Ecole Polytechnique), одну из Больших Школ, а затем перешел в Горную школу в Париже. В 1878 году молодой человек получил диплом горного инженера, но так как его основные интересы лежали в области математики, он одно- временно закончил курс математики в Парижском университе- те. Несколько месяцев Пуанкаре проработал горным инженером в Везуле, где стал свидетелем трагических последствий несчаст- ного случая. В конце 1879 года он получил место преподавателя в университете Кана. С того момента ученый занимался исклю- чительно математикой и научными исследованиями. Первая из великих работ Пуанкаре была посвящена диф- ференциальным уравнениям. Он придумал класс функций, которые назвал «фуксовыми» (хотя сегодня они известны как «автоморфные функции»), — они необходимы для решения сложных дифференциальных уравнений. Эта работа получила признание французских математиков, в особенности Шарля Эрмита, преподавателя Пуанкаре в Политехнической школе, поддерживавшего ученого на протяжении всей его карьеры. Благодаря ему Пуанкаре достиг общемировой известности. Кроме того, на работы Пуанкаре обратил внимание шведский математик Теста Миттаг-Леффлер, и с тех пор между ними за- вязались прекрасные дружеские отношения, ставшие важны- ми в том числе и для их научной работы. Но все же основная часть мировой известности Пуанкаре связана с его победой в математическом конкурсе шведского короля Оскара II в январе 1889 года. Конкурсная работа Пуан- каре была посвящена задаче трех тел: требовалось рассчитать траекторию трех тел, находящихся во взаимном гравитационном притяжении. Хотя присуждение премии было сопряжено с не- которыми трудностями — Пуанкаре допустил ошибку в тексте и сам же ее исправил, — тем не менее данная работа представ- ляет наибольший вклад ученого в математику. Задача трех тел очень сложная, поэтому Пуанкаре не пытался найти ее общего решения: он искал качественное понимание общей системы ре- шений. В своей работе он представил понятийный аппарат и но- ВВЕДЕНИЕ 9
вые математические инструменты, которые сегодня использу- ются в теории динамических систем. Данная математическая теория применяется в разных сферах: физике, биологии, химии и экономике. С 1881 года Пуанкаре возглавлял несколько кафедр физики и математики в Париже. Премия шведского короля сделала его одним из самых известных ученых Франции, а его последующие работы только подкрепляли заслуженную им славу. Среди тру- дов Пуанкаре выделяются работы по топологии: ученый счита- ется одним из ее основателей. Топология — раздел математики, изучающий явление непрерывности и другие связанные с ним понятия, а также свойства предметов вне зависимости от их раз- меров и формы. В топологии два предмета неотличимы, если мы можем, постоянно деформируя без разрезов или проколов один из них, превратить его в другой. Для тополога треугольник и квадрат — одно и то же. Топология по сравнению с геометри- ей изучает более общие свойства предметов. Речь идет о выяс- нении характеристик предмета: из скольких частей он состоит, есть ли в нем отверстия, имеется ли точная граница, конечный он или бесконечный и так далее. Пуанкаре начал интересовать- ся топологией после своих работ по дифференциальным урав- нениям и задаче трех тел. Именно они привели его к необходи- мости обобщить математические понятия и инструменты для топологии и более чем трехмерных пространств. Имя Пуанкаре вновь появилось в СМИ в начале XXI века, когда была решена предложенная им 100 лет назад топологиче- ская задача, известная как «гипотеза Пуанкаре». Эта гипотеза, с момента своего решения ставшая теоремой, утверждает, что «любую бесконечную поверхность размерности и, не содержа- щую отверстий, можно при постоянной деформации превратить в n-мерную сферу». В четвертой главе мы представим более точную формулировку и введем все необходимые для этого ма- тематические понятия. Пуанкаре не предложил как таковую догадку — он сформулировал вопрос, ответ на который все по- следующие математики считали положительным. Задача ока- залась настолько сложной для решения, что в 2000 году Инсти- тут Клэя включил ее в список задач тысячелетия и пообещал ю ВВЕДЕНИЕ
миллион долларов тому, кто ее решит. Окончательное доказа- тельство принадлежит русскому математику Григорию Перель- ману (р. 1966), предложившему решение после нескольких лет одиночной работы. За него Перельман удостоился медали Филдса, одной из важнейших премий в области математики, и премии за решение задачи, но отказался от обеих наград. Анри Пуанкаре был одним из важнейших физиков-теоре- тиков своей эпохи. Ключевым считается его вклад в специаль- ную теорию относительности, основателем которой его призна- ют наравне с Лоренцем и Эйнштейном. Уже в 1900 году Пуанкаре заявлял, что принцип относительности является ба- зовым для физики. Одна из формулировок этого принципа зву- чит следующим образом: законы физики должны быть одина- ковы для всех наблюдателей вне зависимости от того, находятся они в движении или нет. Абсолютного пространства не существует, следовательно, невозможно обнаружить движе- ние предмета по отношению к этому абсолютному пространству. Можно обнаружить только движение относительно других предметов. Кроме того, Пуанкаре признавал, что скорость света является константой, но принимал данный факт в качестве не- избежной условности. Напомним, что эти два принципа — прин- цип относительности и постоянная скорость света — являются двумя основными постулатами, появившимися в первой статье Эйнштейна об относительности. Среди находок Пуанкаре было и то, что синхронизация с по- мощью световых сигналов показывала относительность одно- временности двух явлений в зависимости от наблюдателя. Дан- ный факт служил основательным подтверждением теории относительности. В 1905 году Пуанкаре подготовил статью «О динамике электрона», содержание которой сильно напоми- нает статью Альберта Эйнштейна «Обэлектродинамике движу- щихся тел», опубликованную в том же году и считающуюся основой теории относительности. Количественный прогноз обо- их ученых относительно движения электрона под действием электрического и магнитного полей совпадает как между собой, так и с выводами, сделанными ранее Лоренцем. Различие дан- ных статей лежит в области интерпретации. Интерпретируя ВВЕДЕНИЕ 11
следствия из преобразований расстояния и времени — преоб- разований Лоренца, — Эйнштейн предлагает более смелое ре- шение относительно Лоренца и Пуанкаре и окончательно по- рывает со старыми понятиями расстояния и времени. Кроме вышеперечисленного, Анри Пуанкаре получил признание и за свои философские размышления, особенно в области эпистемологии и научной философии. Он опубли- ковал множество статей по данным темам, завоевал успех как автор научно-популярной литературы, в которой сочетались философские рассуждения и научные объяснения. Пуанкаре был членом бесчисленных научных обществ и академий, ак- тивно участвовал в общественной жизни и пользовался при- знанием и славой среди коллег. Его престиж как ученого ско- ро перерос границы Франции, что позволяло ему участвовать в интеллектуальной и политической жизни избранных кругов. Умер Пуанкаре от неожиданного осложнения после операции. На его похороны пришли многие деятели культуры и полити- ки Франции, о нем скорбели многие коллеги внутри и за пре- делами страны. 12 ВВЕДЕНИЕ
1854 29 апреля в Нанси родился Жюль Ан- ри Пуанкаре. 1862 Поступает в лицей Нанси, сегодня но- сящий его имя. Начальное образова- ние получает с частным преподавате- лем. 1873 Поступает в Политехническую школу. Параллельно с изучением инженерно- го дела занимается математикой. 1874 Публикует свою первую работу по ма- тематике. 1876 Успешно сдает экзамен по математике в Парижском университете. 1878 Получает диплом горного инженера. 1879 В марте назначен инженером третьего класса в Везуле. В августе получает ученую степень по математике в Па- рижском университете. В сентябре произошел несчастный случай в шахте Маньи, по которому Пуанкаре пишет детальный отчет. В декабре получает место преподавателя по дифференци- альному и интегральному исчислению на факультете наук в Университете Кана. 1881 20 апреля женится на Луизе Пулен д’Анденси. В октябре получает место на факультете наук в Парижском уни- верситете. 1883 Становится преподавателем в Поли- технической школе. 1886 Возглавляет кафедру математической физики и теории вероятности. 1887 Избран членом Академии наук. 1889 Получает премию шведского короля за работу Ю проблеме трех тел и ди- намических уравнений*. 1895 Публикует в Journal de I’Ecole Polyte- chenique статью Analysis situs — первую из работ, посвященных топологии. 1899 Направляет письмо по делу Дрейфуса, которое зачитывают на втором судеб- ном заседании. 1904 Сформулировал известную гипотезу, носящую его имя. 1905 Представляет в Академии наук кра- ткое изложение статьи *0 динамике электрона*, которая была опублико- вана в 1906 году. 1908 Избран президентом Парижской ака- демии наук. 1911 Участвует вместе с Эйнштейном, Планком и Лоренцем, а также други- ми выдающимися учеными в первом Сольвеевском конгрессе, прошедшем в Брюсселе. 1912 17 июля умирает в Париже. ВВЕДЕНИЕ 13

ГЛАВА 1 Упорство или интуиция? В течение XIX века математика переживала период стремительного развития. Великие математики — Гаусс, Коши, Риман — разрешили множество накопившихся задач и, кроме того, открыли дорогу новым методам и идеям, например неевклидовой геометрии. Во Франции существовала сильная математическая школа, к которой относятся такие великие имена, как упомянутый Коши, Лаплас, Лагранж и Эрмит. И Пуанкаре почти сразу был пленен этой наукой, которая принесла ему мировую славу.

Жюль Анри Пуанкаре родился 29 апреля 1854 года в Нанси. Его отец, Эмиль Леон Пуанкаре, был врачом, а также профессо- ром анатомии и физиологии в Медицинской школе Нанси. Его мать, Эжени Лануа, происходила из обеспеченной семьи из Ар- ранси в области Лотарингия, куда семья Пуанкаре в течение многих лет приезжала провести каникулы и свободное время. Там вокруг бабушки Пуанкаре по материнской линии могли со- бираться до 60 человек. По некоторым данным, она имела выда- ющиеся способности к карточным играм и вычислениям в уме. До рождения Пуанкаре его дед открыл в Нанси аптеку, а со временем построил и дом, ставший одновременно лабо- раторией для приготовления лекарств, магазином и жильем. В этом большом доме жили Анри, его сестра Алин, их родите- ли, дед и бабушка. В нем всегда было много гостей, а некоторые родственники оставались на несколько дней. Таким образом, Анри Пуанкаре провел счастливое детство в кругу своих роди- телей, сестры, бабушек, дедушек, родственников и друзей. В возрасте пяти лет будущий ученый переболел дифтери- ей — тяжелой болезнью, которая в то время была еще более опасной. Мальчик выжил, но период выздоровления занял очень много времени: два месяца он не мог ходить, девять меся- цев ему потребовалось, чтобы полностью восстановить речь, так как в результате дифтерии у него возник паралич гортани. УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 17
РАЙМОН ПУАНКАРЕ У Анри Пуанкаре было два двоюродных брата со стороны отца — Раймон и Лю- сьен: оба они являлись сыновьями старшего брата отца Антони. Раймон Пуанкаре родился в Бар-ле-Дюк и изу- чал право в Парижском университете. В возрасте 33 лет он стал членом пра- вительства и с тех пор занимал разные посты, в том числе пять раз был пре- мьер-министром. В 1913 году его из- брали президентом Французской Ре- спублики, этот пост Раймон занимал до 1920 года. Он руководил страной во время Первой мировой войны и сы- грал важную роль в мирных перегово- рах с Германией, выражая твердую позицию в требовании репараций. Анри был в очень хороших отношениях с двоюродным братом Раймоном. Будучи студентами, кузены часто вели беседы на философские темы. Когда они оба стали знаменитыми, то в чис- ло обсуждаемых ими вопросов попали и те, что касались назначений, а также присуждения наград. Кроме того, братья периодически сталкива- лись на собраниях, ужинах и встречах, организуемых интеллектуальной элитой и представителями культуры парижского общества той эпохи. Они оба стали членами Французской академии. Младшая сестра, Алин, все время поддерживала его в этот пе- риод, они даже изобрели язык знаков, чтобы переговариваться между собой. Алин будет очень близка с братом на протяжении всей жизни. До восьми лет Анри не ходил в школу. Его образованием занимался частный учитель, друг семьи, также учивший его се- стру и своих детей. В ту эпоху это было достаточно распростра- ненным явлением в обеспеченных семьях. Занятия были раз- нообразны, но основное внимание уделялось чтению и письму. В 1862 году, когда Анри поступил в школу, он сразу превратил- ся в лучшего ученика класса, как и предсказывал его учитель. 18 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
У мальчика была необыкновенная память, он ничего не записы- вал, потому что запоминал все, что слышал. Анри мог прочесть книгу один раз, а затем указать, на какой странице находится та или иная фраза. Рассказывают, что Пуанкаре был способен и спустя несколько лет после поездки куда-либо вспомнить на- звания станций, на которых стоял поезд. В детстве Анри немало путешествовал. Летом 1866 года се- мья побывала во Франкфурте и в Кельне. Через год Пуанкаре прибыли на Всемирную выставку в Париж, через два года от- правились в Лондон. Все подобные путешествия заканчивались обязательным посещением материнского дома в Арранси. Когда Пуанкаре исполнилось 16 лет, в июле 1870 года раз- разилась Франко-прусская война. Немецкие войска захватили его родной город. Анри помогал отцу, отвечавшему за оказа- ние скорой помощи, в уходе за ранеными. Вся семья Пуанкаре оставалась в оккупированном городе, а в их доме был размещен немецкий офицер. Анри воспользовался этим обстоятельством для совершенствования своего немецкого языка, который он выучил в совершенстве. Со временем он также свободно начал говорить и на английском. Франко-прусская война имела значимые последствия для истории Франции и в особенности для региона, где родился и воспитывался Пуанкаре,— Лотарингии. Согласно подписан- ному в 1871 году мирному договору Эльзас и большая часть Ло- тарингии переходили Германии. Мец и Страсбург стали немец- кими, а Нанси остался французским. В результате немецкой оккупации Меца и Страсбурга многим французам пришлось искать убежища в Нанси. Так как большая часть беженцев бы- ли торговцами, ремесленниками и представителями интеллек- туальной элиты, жизнь в Нанси в послевоенную эпоху была очень оживленной. Университет из оккупированного Страс- бурга переехал в Нанси, факультет медицины Страсбургско- го университета слился с Медицинской школой Нанси. Отец Анри возглавил кафедру в новообразованном учреждении в 1878 году. Другим важным для судьбы Анри последствием войны стал приезд в Нанси в качестве беженца из Эльзаса бу- УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 19
ФРАНКО-ПРУССКАЯ ВОЙНА Наполеон III пришел к власти после президентских выборов Французской республики в 1848 году. Через некоторое время, в 1851 году, он органи- зовал переворот и объявил о создании Второй империи. Вслед за этим, в течение двух десятилетий, Франция находилась под контролем его авто- ритарного правления, во время которого был принят курс на модерниза- цию и развитие международной политики: Наполеон III участвовал в объ- единении Италии, Крымской войне и других конфликтах. В то же время произошли объединение Германии и приход к власти Вильгельма I с Отто фон Бисмарком. В конце 1860-х годов Германия и Франция соперничали за лидерство в европейской политике. Военный конфликт казался неми- нуемым, и последней каплей стала попытка Германии посадить на испан- ский престол своего кандидата. Франция объявила протест, и Германия была вынуждена отозвать свою креатуру, князя Гогенцоллерна. Однако требования министерства иностранных дел Франции, за которыми стояла императрица Евгения, чтобы Германия отказалась от прав на испанский престол, значительно ухудшили ситуацию. В итоге 19 июля 1870 года Фран- ция объявила Германии войну, которая закончилась не в пользу Франции: императора Наполеона взяли в плен, и он был вынужден отречься от пре- стола, страна уступила Германии приграничные территории Эльзаса и часть Лотарингии. С этого момента и до начала Первой мировой войны идеи реваншизма постоянно витали во французском обществе. Генерал Рейль вручает Вильгельму I акт о сдаче Наполеона III. Художник Карл Штеффен, 1884 год. 20 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
дущего математика Поля Аппеля, с которым Пуанкаре будет дружен до конца жизни. Во время войны Пуанкаре учился в лицее Нанси, стремясь получить диплом в области искусств. В августе 1871 года он хорошо, но без отличия сдал экзамены и получил степень бака- лавра словесности. Основные его успехи были по философии и латинскому языку. В ноябре того же года Пуанкаре сдал экза- мены на степень бакалавра по естественным наукам. Его резуль- таты были худшими. Он опоздал и в спешке неправильно понял условия задачи по математике, поэтому получил ноль за реше- ние. Несмотря на это, экзаменаторы решили выдать ему диплом, зная о способностях молодого Анри. После окончания лицея Пуанкаре принялся готовиться к вступительным экзаменам (concours) в Большие школы. Мо- лодой человек погрузился в чтение книг по математике, где вкратце излагались имевшиеся на тот момент знания. Из про- читанных авторов значительное влияние на Пуанкаре оказал Мишель Шаль (1793-1880) и его «Высшая геометрия». В ре- зультате влияния великих французских математиков времен Революции во французской геометрии основные позиции за- нимали алгебра и аналитическая геометрия. Во вступлении к работе «Аналитическая механика» ве- ликий французский физик и математик Жозеф-Луи Лагранж (1736-1813) писал: «Здесь мы не увидим ни одного изображения предмета. Исполь- зуемые автором методы не требуют ни построений, ни геометри- ческих или механических рассуждений, это только алгебраические операции, позволяющие достичь единообразной и точной формы рассмотрения. Те, кому нравится анализ, с удовольствием отметят, как механика становится еще одной его областью, и будут благо- дарны мне за разработку такого направления». Здесь лежит ключевая разница между работами основателя классической механики Исаака Ньютона (1643-1727) и труда- ми Лагранжа. У Ньютона целые страницы были заполнены гео- метрическими построениями, именно с их помощью он решал УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 21
все интересовавшие его задачи. В трудах Лагранжа, объединив- ших достижения европейских математиков XVIII века, среди которых нужно выделить Леонарда Эйлера (1707-1783), про- водилась систематизация применения законов Ньютона к лю- бой задаче. Теперь физик мог решать задачи вне зависимости от своих способностей к пространственному мышлению и ри- сованию. Даже сегодня студенты, изучающие физику и с трудом следующие за трудностями геометрических построений и фи- гур, с облегчением смотрят на механику Лагранжа, освобожда- ющую их от нелюбимых занятий. Роль логики и интуиции одинаково важна. Без них нельзя. Только логика может дать нам уверенность в каком-либо факте, она является инструментом доказательства. Интуиция — это инструмент изобретателя. Анри Пуанкаре на Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году Но, возможно, Лагранж зашел слишком далеко, в то время как Шаль утверждал, что оба типа исследования — аналитиче- ский и графический — должны взаимно дополнять друг дру- га. Сложно сказать, насколько сильным было влияние Шаля на молодого Анри, но нет сомнений в том, что характерной чер- той математика Пуанкаре стало комбинирование изучения ка- чественных характеристик и пространственного изображения с математическим анализом и алгебраическими преобразовани- ями. Если, упрощая научные факты, мы скажем, что левое по- лушарие нашего мозга специализируется на последовательных и аналитических рассуждениях, а правое — на глобальных про- образах и пространственном мышлении, Пуанкаре на все сто процентов пользовался слаженной работой обоих полушарий. В течение 1872-го и частично 1873 года Анри готовился к concours. В лицее он познакомился с Полем Аппелем. Впо- следствии Аппель написал биографию своего друга, которая служит основным источником сведений о его ранних годах. То- варищей по классу и преподавателей вначале немного раздра- 22 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
ПОЛЬ АППЕЛЬ (1855-1930) Аппель родился в Страсбурге, Эльзас. Когда регион был аннексирован Гер- манией. его семья переехала в Нанси, где он познакомился с Анри Пуанкаре. Аппель учился в Парижской высшей нормальной школе (Ёсо1е Normale Superieure), став первым в своем вы- пуске. В1881 году он женился на Эми- ли Бертран, племяннице математиков Жозефа Бертрана и Шарля Эрмита — последний оказал существенную под- держку Аппелю в его научной и акаде- мической карьере. В1885 году Аппель возглавил кафедру механики в Сорбон- не, а в 1892-м стал членом Академии наук. Он написал сотни статей по ана- лизу, геометрии и механике, решил ты- сячи задач по разным дисциплинам. Его имя навсегда осталось связанным с многочленами Аппеля для реше- ния дифференциальных уравнений и уравнениями Гиббса-Аппеля в меха- нике. Аппель стал наиболее авторитетным ученым во Франции и занимал важные академические должности, в том числе был деканом факультета наук в Сорбонне и ректором этого университета. Как лучший друг Пуанка- ре, он написал биографию о нем в 1925 году. жал Анри, приходивший на занятия с одним листом бумаги и делавший на нем едва лишь несколько записей. Ко всему про- чему нужно добавить, что лист всегда был один и тот же! Но вскоре стало понятно, что Пуанкаре делал это не от избытка самоуверенности, а просто потому, что для него это было более чем естественно. Кроме того, он никогда не отказывал в помощи товарищам. Аппель вспоминал, что Пуанкаре часто говорил с паузами и периодически между фразами погружался в раз- думье. Ему не очень удавались пространные объяснения, не- сколько раз он даже получал предупреждения от преподавате- лей, что на экзаменах его могут неправильно понять. Чрезмерно сжатый, синтетический стиль стал отличительной чертой его записей по математике. В те годы Аппель и Анри часто подолгу УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 23
разговаривали, пока возвращались из лицея, затрагивая как тему математики, так и политические и философские темы. Между ними завязалась крепкая дружба. В июле 1873 года Аппель и Пуанкаре приехали в Париж для сдачи вступительных экзаменов в Высшую нормальную школу Парижа (Ecole Normale Superieure). Поль Аппель занял третье место из всех сдававших экзамен, Пуанкаре — только пятое. Он ошибся в одном чертеже, также одно из решений задач не было классическим. В августе Анри предпринял попытку сдать экза- мены в Политехническую школу, и в этот раз все прошло пре- красно: он оставил о себе отличное впечатление у экзаменато- ров, особенно на устном экзамене. Пуанкаре удалось полностью раскрыть свой потенциал математика, и он занял первое место среди абитуриентов. МАТЕМАТИКА ДО ПУАНКАРЕ Анри Пуанкаре стал величайшим математиком своего поко- ления. Интеллектуальные способности и преданность науке толкали его к разработке самых разных научных областей, и се- годня он считается основателем некоторых из них. Научные интересы Пуанкаре были безграничны, поэтому он также много занимался и физикой. Чтобы лучше понять его труды, поста- раемся кратко представить достижения математики и физики во второй половине XIX века. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц (1646-1716) считаются соз- дателями исчисления бесконечно малых величин: дифференци- ального и интегрального исчислений. Однако Ньютон не пред- ставил законы механики в данном выражении, он использовал чертежи и геометрические доказательства для решения задач механики. Математическая систематизация законов механики 24 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
ВВЕРХУ СЛЕВА: Анри Пуанкаре, 1887 год. ВВЕРХУ СПРАВА: Мишель Шаль, автор книги •Высшая геометрия», значительно повлиявшей на молодого Анри Пуанкаре. ВНИЗУ: Вид площади Сен-Жан в родном городе Пуанкаре Нанси на открытке, датируемой началом XX века. УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 25
стала достижением последующих авторов, среди которых нель- зя не назвать Эйлера, а также, как мы уже говорили, Лагранжа. Эйлер, по всей видимости, был самым плодовитым матема- тиком в истории. Он работал во всех областях математики, и наиболее обширная часть используемых сегодня теоретиче- ских знаний связана с его именем. Большинство его последова- телей-математиков изучали дифференциальное и интегральное исчисления по его трактатам. Кроме того, можно сказать, что Эйлер и Лагранж свели ньютоновскую механику к решению дифференциальных уравнений. В дифференциальном уравнении в качестве неизвестной предстает скорость изменения определенной величины, техни- чески именуемой переменная. Пусть бак заполнен водой, выхо- дящей из него через слив на дне. Скорость, с которой вылива- ется вода, зависит от ее уровня: чем он выше, тем быстрее вода вытекает из бака. Если нам нужно рассчитать, как будет изме- няться со временем этот уровень, нужно составить дифферен- циальное уравнение. Решение уравнения покажет зависимость уровня воды от времени и позволит узнать, с какой скоростью вытекает вода в определенный момент времени и как скоро бак окажется пустым. Физики и математики XIX века смогли представить в виде дифференциальных уравнений целый ряд практических задач, в частности второй закон Ньютона, согласно которому сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сооб- щаемое этой силой ускорение. А ускорение тела представляет собой «скорость» изменения скорости, то есть переменную ско- рости по отношению ко времени. В свою очередь, скорость тела представляет собой темп изменения его положения, его пере- менную. Таким образом, второй закон Ньютона переводится в дифференциальное уравнение, решение которого позволяет определить положение тела в зависимости от момента времени, то есть траекторию тела. В XIX веке произошел значительный рывок в решении дифференциальных уравнений, так как эта область имела ис- ключительное значение для астрономии, общей физики и ин- 26 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
женерного дела. Можно представить себе важность, которую придавали тогда дифференциальным уравнениям, если вспом- нить премию Парижской академии наук 1879 года, учрежден- ную за лучшую работу, предполагающую «значительное про- движение в теории линейных дифференциальных уравнений с одной переменной». Премия представляла собой медаль стоимостью 3000 франков. Пуанкаре подавал заявку на дан- ную премию, и хотя он не выиграл ее, все же это было началом целого перечня его работ по дифференциальному исчислению, благодаря которым его стали причислять к элите европейской математики. НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА Пьер-Симон Лаплас (1749-1827) оставил глубокий след в раз- витии математики и физики, особенно во Франции. Его «Не- бесная механика» стала фундаментальным трудом, которым пользовались все астрономы Европы, в нем были представлены методы и расчеты, а также предсказания местоположения пла- нет Солнечной системы. Хотя Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения, давший объяснение законам Иоганна Кеплера (1571-1630), относительно движения планет остава- лось много вопросов без ответа. Ньютон смог решить так назы- ваемую задачу «двух тел», то есть двух светил, испытывающих взаимное притяжение. Но в случае, например, с движением Луны, орбита которой вокруг Земли испытывает серьезное воздействие со стороны Солнца, решение великого английско- го ученого не годилось. Случай Луны — один из примеров так называемой «задачи трех тел»: Солнца, Земли и Луны, испыты- вающих взаимное притяжение. Так как Солнце значительно больше других тел Солнечной системы, при изучении орбиты какой-либо планеты мы, по су- ти, могли бы не учитывать другие тела, принимая во внимание только притяжение Солнца. Законы Ньютона предсказывают, что движение планет будет происходить по эллиптической ор- бите, и наблюдения в общем случае подтверждают этот про- УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 27
гноз. Но более пристальное рассмотрение показывает, что име- ются достаточно существенные отклонения от предсказанной траектории. Математики-последователи Ньютона задавались вопросом, связаны ли эти отклонения с притяжением других тел, и если это так, не могло ли в результате данных отклонений произойти смещение планет со своих орбит. Для получения от- вета на эти вопросы нужно было решить задачу трех тел. Напри- мер, наблюдения Эдмунда Галлея (1656-1742) показывали, что Юпитер и Сатурн двигались по своим орбитам со скоростью, отличавшейся от предсказанной законами Кеплера: казалось, Юпитер ускоряется, а Сатурн затормаживается. Для изучения орбиты Сатурна нужно было учитывать воздействие не только Солнца, но и другой планеты-гиганта — Юпитера. Хотя и Эйлер, и Лагранж интересовались задачей трех тел, существенных успехов в ее решении они не достигли. Лагран- жу удалось найти частные решения, он вычислил специальные орбиты, которые на сегодняшний день используются для раз- мещения спутников в удобных положениях (так называемые «точки Лагранжа»). Лаплас смог найти приближенные методы вычисления орбиты планеты, испытывающей влияние дру- гого небесного тела. Он обнаружил, что в среднем движения планет постоянны. В случае с Юпитером и Сатурном Лаплас доказал, что ускорение первой и замедление второй являются следствием взаимного притяжения, а кроме того, такое движе- ние является периодичным: каждые 450 лет ситуация меняется на противоположную, Юпитер замедляется, а Сатурн ускоряет- ся. Через 900 лет обе планеты возвращаются к первоначальной ситуации. Из работ Лапласа выводились два заключения. Во-первых, все аномалии движения планет объясняются гравитационным притяжением других планет. Эта идея привела к открытию в 1846 году Нептуна, так как в орбите Урана наблюдались ано- малии, свидетельствовавшие о наличии другого неизвестного тела, более удаленного от Солнца. Во-вторых, можно было за- ключить, что Солнечная система стабильна. Лаплас считал, что доказал: орбиты планет испытывают периодические отклоне- ния от средней траектории, остающейся неизменной на про- 28 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
тяжении веков. Однако это было не совсем так. Первым, кто усомнился в данном заключении, был француз Урбен Леверье (1811-1877), известный своим предсказанием существования Нептуна. Леверье заметил, что в методе Лапласа не учтены ве- личины, иногда вполне значительные. Леверье вновь открыл дискуссию о стабильности Солнечной системы. В такой ситуации летом 1885 года был объявлен конкурс для европейских математиков по случаю 60-летия короля Шве- ции и Норвегии Оскара II, которое собирались праздновать в 1889 году. Одна из конкурсных тем предполагала открытие новых математических методов, способных привести к доказа- тельству стабильности Солнечной системы. Именно на эту тему Анри Пуанкаре представил свою работу и выиграл конкурс. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ В «Началах» Евклида (ок. 325-265 гг. до н.э.) сформулированы пять постулатов-аксиом, на основании которых можно доказать все остальные теоремы в геометрии. Эти аксиомы справедли- вые сами по себе и не требуют доказательства. 1. Через две точки в пространстве можно провести прямую, при этом только одну. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать в любом направлении. 3. Из всякого центра всяким размером может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой и взаимно наклады- ваются друг на друга. 5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно про- вести не более одной прямой, параллельной данной. УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 29
Сам Евклид задумывался над тем, что пятый постулат име- ет особый статус по сравнению с другими и что он выводится из первых четырех. В ходе истории многие математики безу- спешно пытались сделать это. Но в начале XIX века некоторые ученые поняли, что данный постулат особенный и без огра- Задача о многоугольни- ке с четырьмя сторонами (см. рисунок 1) и утверждение евклидовой геометрии (см. рисунок 2). ничения, содержащегося в нем, можно построить геометрию, не имеющую логических противоречий. Это были Карл Фри- дрих Гаусс (1777-1855), Николай Лобачевский (1793-1856) иЯнош Бойяи (1802-1860), независимо друг от друга заложив- шие основы неевклидовой геометрии. Пятый постулат можно заменить эквивалентными выраже- ниями. Представим себе многоугольник с четырьмя сторонами, как на рисунке 1, с вершинами ABCD: углы DAB и АВС пря- мые, а стороны AD и ВС имеют равную длину. На основании пятого постулата можно доказать, что если углы DAB и АВС прямые, то ADC и BCD тоже прямые. Таким образом, пятый постулат эквивалентен другому высказыванию: если много- угольник ABCD с равными сторонами АС и ВС имеет прямые углы DAB и АВС, тогда два других уг- ла также прямые. На основании этого высказывания можно изменить пред- шествующее доказательство и полу- чить высказывание о параллельных прямых. В трехмерном пространстве воз- можны три геометрии при условии, что данное пространство однородное. Одна из них — евклидова геометрия, в которой четыре угла четырехуголь- ника прямые. Другая геометрия — эллиптическая, в которой два угла четырехугольника прямые, а два дру- гих — тупые. В гиперболической гео- метрии, открытой Лобачевским, два других угла — острые. Эти три геометрии можно легко представить в двухмерном простран- зо УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
стве. Евклидова геометрия пред- полагает обычную плоскость. В ней выполняется пятый по- стулат Евклида: можно провести только одну параллельную пря- мую через конкретную точку. Также можно сказать, что все че- тыре угла четырехугольника пря- мые (см. рисунок 2), или, если мы взглянем на данную пробле- му с другой стороны, что сумма углов треугольника равна 180°. Так как плоскость не искривле- на, можно говорить, что в этой геометрии кривизна равна 0. Эллиптическая геометрия — это геометрия поверхности сфе- ры. Начертив «четырехугольник» на сфере, как на рисунке 3, ис- пользуя максимальную окруж- ность, мы увидим, что если два угла прямые, то два других угла тупые. Кроме того, если мы на- чертим треугольник, например через точку полюса и две точки экватора, сумма углов такого тре- угольника будет больше 180°. Эллиптическая геометрия РИС. 4 Угол меньше 90е Гиперболическая геометрия Очевидно, что пятый постулат не выполняется, потому что из точки, находящейся вне какой-либо прямой, нельзя провести параллельную прямую, так как все прямые, которые мы изо- бразим на сфере, пересекутся в какой-то точке. В связи с тем, что поверхность сферы является искривленной и выпуклой, говорится, что эта геометрия соответствует положительной кри- визне. Понятие о многоугольни- ке с четырьмя сторонами в эллиптической геометрии (см. рисунок 3) и гиперболичес- кой геометрии (см. рисунок 4). Наконец, гиперболическая геометрия предполагает нали- чие гиперболической поверхности, как на рисунке 4. В ней име- ется более одной параллельной прямой, проходящей через точ- УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 31
ку вне другой прямой, а сумма углов треугольника меньше 180°. Кривизна отрицательная. Если вместо того, чтобы ограничиваться представлением о поверхности, мы подумаем о возможностях разных геометрий в трехмерном пространстве при условии однородности среды, то есть одной кривизны во всех точках, у нас будут снова три вероятных варианта: нулевая кривизна (евклидова геометрия), положительная кривизна (эллиптическая геометрия) и отрица- тельная кривизна (гиперболическая геометрия). Сам Гаусс задавался вопросом, живем мы в евклидовом про- странстве или, напротив, в нем все же имеется хотя бы неболь- шая кривизна. Бернхард Риман (1826-1866) даже разработал теорию неевклидовых пространств и создал математический аппарат для описания пространств с неравномерной кривизной. На основе этого аппарата годы спустя Альберт Эйнштейн раз- работал общую теорию относительности. В определенный момент Пуанкаре глубоко и подробно изу- чал наследие Лобачевского. Использование гиперболической геометрии в изучении дифференциальных уравнений является одной из его важнейших находок. ТОПОЛОГИЯ Топология изучает форму предметов в более широком, чем гео- метрия, смысле. Представим себе топологический эквивалент с помощью куска теста для пиццы. Из такого теста, меняя его форму, мы можем сделать треугольник, квадрат, любой много- угольник или круглую пиццу. Если мы не станем разрезать те- сто или делать в нем отверстия, то все полученные предметы будут эквивалентными для тополога, будучи при этом различ- ными для геометра. Что характеризует такие предметы? Какая у них общая определяющая характеристика? В случае теста для пиццы, которому можно придать различные формы и в кото- ром мы не сделали отверстий, имеются два бросающихся в гла- за свойства. Во-первых, контур пиццы очерчивает внутреннюю часть теста и внешнюю — рабочий стол, где нет пиццы. Дру- 32 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
гое свойство заключается в том, что рис.5 все тесто связано между собой. Ис- пользуя любимый пример матема- тиков, можно сказать, что муравей, который захотел бы прогуляться по пицце, мог бы пройти ее всю, не совершая прыжков и не обходя ничего по кругу. Таким образом, топология занимается свойствами, более общими по сравнению с гео- метрическими свойствами предме- тов, но, с другой стороны, и более тонкими. Первый интересующий нас ре- зультат получил Леонард Эйлер. Швейцарский математик об- наружил, что количество сторон С, ребер А и вершин V любого многогранника связаны по формуле С-Л+У=2. Например, для тетраэдра, С = 4,Л = 6иУ=4, формула Эй- лера выполняется. Для куба, С = 6, А = 12 и V = 8. Для более сложного объекта, например додекаэдра, состоящего из 12 пя- тиугольников, представляющих собой нечто подобное футболь- ному шару неправильной формы: С = 12, Л = 30 и V= 20. Чита- тель может убедиться, что формула выполняется для любого многоугольника, правильной или неправильной формы, кото- рый только можно себе представить. Другой швейцарец, Симон Люилье (1750-1840), заинте- ресовался формулой Эйлера и установил, что имеются геоме- трические фигуры, в которых она не выполняется. Предста- вим, например, раму для картины, как на рисунке 5. У нее есть 16 сторон, 32 ребра, 16 вершин, значит С-Л + У=0. УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 33
Отличие куба и других многогранников от этой новой гео- метрической фигуры состоит в том, что у рамы есть отверстие. Люилье доработал формулу Эйлера для любого многогранни- ка, имеющего g отверстий: C-A + V=2-2g. Возьмемся вновь за наше тесто для пиццы и представим, что делаем из него шар. Мы можем деформировать такой шар, не разрезая его и не делая отверстий, и получить любой много- гранник, по желанию: куб, тетраэдр, икосаэдр и тому подобное. Для всех этих фигур выполняется уравнение Эйлера, и всем им соответствует одна величина g(g = 0). Все фигуры, которые мы получаем в ходе деформации одну из другой, ничего не разре- зая и не склеивая, топологически эквивалентны. Число g (род фигуры) — то, что математики называют «топологический ин- вариант»: все предметы, которые мы можем получить при де- формации шара из теста, имеют g = 0. Сделаем отверстие в нашем куске теста и придадим ему форму кольца. Математики называют данную форму «тором». способ сделать Мы можем постоянно деформировать тор и получить множе- ленту Мёбиуса ство многогранников, таких как рама для картины, у всех у них ленты, величина g = 1. То есть все эти предметы типологически эк- в, в, в. 34 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
Бивалентны тору. Если мы сдела- ем два отверстия, у нас будет g = 2, если три, g = 3, и так далее. Ученик Гаусса, Иоганн Ли- стинг (1808-1882), стал первым математиком, использовавшим термин «топология» (от греческого topos — «место») в трактате «Лекции по топологии». Листинг ввел поня- тие ленты Мёбиуса прежде самого Августа Мёбиуса (1790-1868), ко- торый также был учеником Гаусса и занимался характеристиками дан- ного объекта. Ленту Мёбиуса мож- но получить, если мы склеим концы ленты так, как показано на рисун- ке 6. Если у обычной ленты мы мо- жем определить две независимые стороны (например, положить ее го- ризонтально и установить, какая сторона верхняя, а какая — нижняя), в ленте Мёбиуса такого понятия не существует, потому что в процес- се движения по поверхности ленты верхняя часть превратится в ниж- нюю и наоборот. Мёбиус назвал этот тип поверхности «неориентируе- РИС.7 мым», потому что невозможно не- двусмысленно определить направление поверхности. На сфере, являющейся ориентируемой поверхностью, можно установить четкий критерий для определения направления во всех точках. Например, в каждой точке сферы можно определить направле- Лента, или петля, Мёбиуса (см. рисунок 7) и бутылка Клейна (см. рисунок 8). ние наружу как положительное и направление внутрь как от- рицательное. В любой точке поверхности положительное на- правление постоянно сохраняется. В ленте Мёбиуса, как на рисунке 7, невозможно дать точное определение направления, УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 35
поскольку при движении по ленте то, что было вначале поло- жительным направлением, становится отрицательным. Таким образом, в середине XIX века Листинг и его коллеги пришли к выводу, что имеется два рода поверхностей: ориенти- руемые и неориентируемые. Самая простая конечная ориенти- руемая поверхность — сфера eg = 0. Если мы приклеим к сфере g ручек, то получим все ориентируемые поверхности с числом отверстий, равным g. Подобным образом можно получить и не- ориентируемые поверхности, отталкиваясь от самой простой и добавляя ручки. Самый известный и особенный пример нео- риентируемой поверхности с g = 1 — это бутылка Клейна, пред- ставленная на рисунке 8. Пуанкаре работал почти во всех сферах математики и фи- зики той эпохи. Трудно решить, какая из его работ более важна, потому что многие из них были актуальны каждая в свой момент времени, кроме того, его имя связано со множеством теорем и математических понятий. Но развитие математики в тече- ние XX века и первых лет XXI века привело к тому, что имя Пуанкаре ассоциируется в первую очередь с так называемой «гипотезой Пуанкаре». Лучшие математики мира отдали годы работы подтверждению данной гипотезы, поэтому ее оконча- тельное доказательство стало как интеллектуальным событием, так и огромной сенсацией для прессы. Мы посвятим целую гла- ву находкам Пуанкаре в области топологии, а здесь представим простую формулировку гипотезы (точнее, уже теоремы), нося- щей его имя: «Любую ориентируемую поверхность размерно- сти п без границ и без отверстий можно постоянно деформиро- вать до получения п-сферы». МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Анри Пуанкаре был не только великим математиком, но и ве- ликим физиком-теоретиком. Кроме небесной механики, кото- рую во Франции считали разделом математики, другой сферой интересов Пуанкаре в физике был электромагнетизм. В середи- не XIX века теория электромагнетизма находилась на распутье. 36 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
ГЕРЦ, МАРКОНИ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Генрих Герц (1857-1894) осуществил между 1886 и 1888 годами серию экспериментов, бесспорно подтверждавших существование электромаг- нитных волн, предсказанных в теории Максвелла. Герц смог получить волны частотой 30 МГц (единица измерения частоты по международной системе — Герц — получила название в честь этого немецкого ученого). Эксперименты Герца были поставлены с чисто научным интересом. Но про- шло совсем немного времени, и другие ученые обнаружили практическое применение его волн. Среди них можно выделить Гульельмо Маркони (1874-1937), которому в декабре 1902 года удалось передать сообщение между Англией и Канадой. Маркони получил Нобелевскую премию по фи- зике в 1909 году. Множество теоретических и практических вопросов, порожденных электромагнитными волнами, интересовали всех ученых и инженеров той эпохи; естественно, изучал их и Пуанкаре. Генрих Рудольф Герц, 1894 год. Гульельмо Маркони, 1902 год. Благодаря трудам многих физиков той эпохи были накоплены результаты экспериментальных данных, доказавших неразрыв- ную связь электричества и магнетизма, так как последний был следствием движения электрических зарядов. УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 37
Французский физик Андре-Мари Ампер (1775-1836) высказал гениальную догадку о том, что магнитные силы обра- зовываются микроскопическими электротоками, циркулирую- щими внутри магнитов. Таким образом, источник как электри- ческих, так и магнитных сил сводится к электрическим зарядам. Статичные заряды возбуждают электрические силы, а движу- щиеся заряды — также и магнитные. В данной ситуации Майкл Фарадей (1791-1867) сделал одно из своих величайших откры- тий — электромагнитную индукцию. Он экспериментально доказал, что магнит может индуцировать электрический ток в проводнике. Для этого необходимо привести в движение или магнит, или проводник. Ток появляется при наличии движения магнита относительно проводника или наоборот. В тот момент эти феномены получили два разных объясне- ния: первое было связано с гипотезой действия на расстоянии, второе основывалось на гипотезе полей. Вильгельм Эдуард Ве- бер (1804-1891) в Германии предложил объяснение всех стати- ческих и динамических электрических и магнитных сил через действие на расстояние между электрическими зарядами. Его формула напоминала гравитационное взаимодействие двух тел, но включала больше величин, зависящих от скорости и ускоре- ния частиц. С помощью этой формулы Вебер мог рассчитать силы между электрическими зарядами, магнитные силы между двумя электрическими токами и электромагнитную индукцию, открытую Фарадеем. Хотя формула Вебера правильно объяс- няла все известные в ту эпоху электромагнитные явления, она не была лишена теоретических трудностей. Герман фон Гельм- РИС.9 N Линии поля между магнитами. 38 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
гольц (1821-1894) около 1870 года доказал, что формула Вебе- ра несовместима с законом сохранения энергии. Теория полей была создана Фарадеем. По его представле- ниям, пространство вокруг магнита было пронизано невидимы- ми веревками, «силовыми линиями», как он их называл, напря- жение которых отвечало за силу притяжения или отталкивания между полюсами. Также он верил в существование электриче- ских силовых линий, соединяющих отрицательные и положи- тельные заряды, вызывая их притяжение (см. рисунок 9). Хотя Фарадей был великим экспериментатором — возможно, самым великим в истории науки, — он не имел математического обра- зования, кроме знания основ алгебры и геометрии. Шотландец Джеймс Клерк Максвелл (1831-1879) изложил идеи Фарадея в математическом виде. Теория Максвелла была первоначально механической. Предполагалось, что электромагнитные явления происходят в заполняющей пространство среде — эфире. Эта среда пред- ставлялась как флюид, который может двигаться, а также рас- тягиваться и сжиматься. Таким образом, свойствами эфира считались инертность и эластичность. Уравнения Максвелла, по сути, представляли собой не более чем уравнения механиче- ского движения эфира. Электрические явления были следстви- ем растяжения или сжатия эфира. Магнитные явления связы- вались с движением эфира в виде завихрений. Для Максвелла, следовавшего в своих идеях за Фарадеем, сила взаимодействия двух электрически заряженных тел передавалась через эфир примерно так же, как эластичная резинка передает силу че- рез свои два конца. Сила между двумя магнитами была связа- на с взаимодействием завихрений эфира, формировавшихся по линии, соединяющей магниты, как будто бы между ними образовывалось что-то вроде невидимого для нас торнадо. Но в своей теории Максвелл пошел немного дальше Ве- бера. Он не только учел все известные релевантные явления, но и сделал предсказание: эфир может передавать волны так же, как твердое тело может передавать вибрации. Максвелл рас- считал скорость, которая должна быть у этих волн, и нашел величину, близкую к скорости света. Он говорил: «Мы едва ли УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 39
можем отказаться от вывода, что свет состоит из поперечных колебаний той же самой среды, которая является причиной электрических и магнитных явлений». Ученик Гельмгольца Генрих Герц сделал так, что чаша ве- сов окончательно перевесилась в сторону теории Максвелла. Герц смог генерировать электромагнитные волны с длиной волны, сильно отличавшейся от света, и доказал, что эти волны имеют те же характеристики, что и свет: они распространялись с такой же скоростью по прямой, отражались и могли поляри- зоваться. Открытие Герца поразило научное сообщество, его отголоски были заметны как в области теории (они подтол- кнули исследования электромагнетизма в рамках физики), так и в технологии (на свет появился беспроводной телеграф). Пу- анкаре в зрелые годы уделил внимание обоим аспектам. Но в теории Максвелла имелись и свои трудности. Так как она касалась исключительно полей, то не могла объяснить некоторые феномены, подтверждавшие существование за- ряженных частиц: электролиз и катодные лучи. Была и более существенная проблема: для теории Максвелла требовалась специальная среда — эфир, динамика которого лежала в осно- ве электромагнитных явлений. Тут возникал вопрос: существу- ет ли референтная среда, в которой эфир находится в состоя- нии покоя для электромагнитных законов? Сам Герц одним из первых сделал попытку разработать электродинамическую теорию движущихся тел. Мысль — не более чем вспышка молнии в течение долгой ночи. Но в этой вспышке молнии — все. Анри Пуанкаре Голландец Хендрик Лоренц (1853-1928) окончательно связал идеи Максвелла и Вебера. Как и Вебер, Лоренц при- знавал существование потоков заряженных частиц, при этом соглашаясь и с существованием поля как среды для взаимо- действия зарядов, вместо действия на расстоянии, о котором говорил Вебер. Такая идея подтверждала успешность теории 40 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
Максвелла и, кроме того, давала правдоподобное объяснение электролизу и электрическим разрядам в газах. Лоренц придал электромагнитной теории вид, который принят и сегодня: по- ля подчиняются уравнениям Масквелла, частицы — законам механики. Теория Лоренца, появившаяся только в конце XIX века, не только разрешала множество противоречий, существовав- ших ранее, но и ставила новые вопросы. Пуанкаре был одним из поклонников Лоренца и одновременно его самым зорким критиком. В 1902 году в своей книге «Наука и гипотеза», по- священной текущему положению дел в электродинамике, Пу- анкаре писал: «Самое удовлетворительное, что у нас есть,— это теория Лоренца. [...] Однако здесь есть еще серьезный недоста- ток, [...] она противоречит принципу действия и противодей- ствия; или же, на взгляд Лоренца, данный принцип не приме- ним только к материи». Эти слабые места теории Лоренца привели к переформули- рованию принципов не электромагнетизма, а законов механики, и так родилась специальная теория относительности. Пуанкаре стал одним из первостепенных действующих лиц этой первой революции, совершившейся в физике XX века. ЧЕРТЫ ГЕНИЯ Обратимся к повествованию двух биографов Пуанкаре, очень близко знавших ученого. Одного из них мы уже упоминали, это Поль Аппель. Другой — Жан Гастон Дарбу (1842-1917). Они оба утверждают, что Пуанкаре очень много читал и легко запо- минал все прочитанное. Он был близорук и плохо видел доску, поэтому смог развить прекрасную слуховую память и запоми- нал урок, не делая записей. Пуанкаре обладал удивительным пространственным мышлением, внутренним видением, которое позволило ему продвинуться в самые сложные области геоме- трии и топологии. Когда его интересовал какой-либо вопрос, он совершенно абстрагировался от мира и напоминал класси- УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ? 41
ческий образ ученого, настолько рассеянного, что он даже забы- вает поесть. Он прекрасно считал в уме, прохаживаясь по ком- нате, и делал запись только тогда, когда был уверен в том, что знает результат. Пуанкаре был очень нетерпелив и писал быстро. После того как он приходил к решению задачи или понимал ее суть, он бы- стро записывал решение, не проверяя и практически не пере- читывая свои записи. Такой стиль работы был характерен для него в течение всей жизни и не единожды приносил ему разо- чарования и трудности. Это происходило не только в период ученичества, когда из-за спешки он не мог получить высшие баллы, но и в годы научной жизни, когда в некоторых статьях он допускал значительные ошибки. Данное свойство характера отразилось и в его письмах, большая часть которых доступна в интернете благодаря университету Лотарингии (хотя нужно иметь в виду, что почерк Пуанкаре не так просто разобрать: ка- жется, что он всегда писал в крайней спешке). Пуанкаре никак не выделялся своими физическими воз- можностями, с трудом занимался гимнастикой, при этом, что удивительно, был неплохим танцором. С детства все отмеча- ли литературный дар Пуанкаре, он писал театральные пье- сы для семьи и друзей. С другой стороны, ученый не обладал ловкостью, не умел работать руками, не любил занятий в ла- боратории. Притом что Пуанкаре всегда интересовался экс- периментальной физикой, он никогда не поставил ни одного оригинального эксперимента. Но все же самым главным его достоинством был живой ум. Во время учебы в средней школе и при подготовке к вступи- тельным экзаменам Анри удивлял товарищей быстротой и лег- костью решения предлагаемых ему задач. С первого взгляда он — из-за погруженности в собственные мысли — производил впечатление отчужденного и высокомерного человека, но вско- ре окружающие начинали относиться к нему хорошо, потому что Пуанкаре с готовностью помогал всем и был прекрасным другом. Все эти качества характера нашего героя окончательно сформировались к моменту его поступления в Политехниче- скую школу в 1873 году. 42 УПОРСТВО ИЛИ ИНТУИЦИЯ?
ГЛАВА 2 Явление гения Уже в начале научной карьеры звезда Пуанкаре ярко разгорелась на небосклоне европейской математики того времени. Его первые публикации были посвящены дифференциальным уравнениям — теме, в которой неоспоримым лидером считалась сильная немецкая школа во главе с Клейном. Работы Пуанкаре скоро принесли ему славу как внутри страны, так и за ее пределами, хотя их публикация повлекла за собой спор о приоритете.

Осенью 1873 года Пуанкаре и Аппель отправились в Париж. Первый ехал учиться в Политехническую школу, второй — в Высшую нормальную школу. Политехническая школа, ос- нованная в 1794 году во время Французской революции, была военным учреждением и сохраняла такой статус до 1970 года. Студенты ходили в форме и вместе с образованием, характер- ным для высшего учебного заведения, занимались военным делом и следовали правилам военной дисциплины. Политех- ническая школа всегда была (и остается) элитарным учебным заведением, туда поступали самые перспективные молодые лю- ди страны, а занятия вели лучшие преподаватели. Мы можем представить себе это заведение, где были собраны самые вы- дающиеся умы Франции, если вспомним, что преподавателя- ми у Пуанкаре были Шарль Эрмит и Пьер Бонне (1819-1892). Однажды, во время болезни Эрмита, его заменял Эдмон Лагерр (1834-1886). Судя по тому, какие преподаватели работали в этом учреждении, напрашивается вывод, что математика счи- талась одним из столпов хорошего технического образования. Во время учебы в Политехнической школе Пуанкаре часто писал своей матери, поэтому в распоряжении биографов име- ются обширные сведения о данном периоде его жизни. Письма Анри отражают те абсолютно доверительные отношения, кото- рые установились между матерью и сыном. Пуанкаре не скры- ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 45
ШАРЛЬ ЭРМИТ (1822-1901) Шарль Эрмит — один из самых влия- тельных французских математи- ков XIX века. Его способности в данной области были исключительными, хотя при этом экзамены в юности он сдавал с большим трудом. Только благодаря заступничеству некоторых преподава- телей, разглядевших его таланты, Шар- лю удалось выдержать испытания в ли- цее, где в то время он уже читал Гаусса, зато плохо разбирался в эле- ментарной математике. Эрмит посту- пил в Политехническую школу несмо- тря на то, что на вступительном экзамене он был только 68-м. Он с дет- ства страдал хромотой, и его исключи- ли через год после поступления, так как Эрмит не мог справиться с заданиями по военной подготовке. Благо- даря помощи Штурма и Бертрана, на сестре которого — Луизе — он же- нился, Эрмит получил сертификат, необходимый для преподавания. В 1848 году его назначили экзаменатором именно в Политехнической школе. Там он познакомился с поступившим на учебу Пуанкаре. Эрмит был весьма самобытным математиком, среди его важнейших находок следует назвать общее решение уравнения пятой степени и доказательство транс- цендентности числа е (оно не является решением ни одного алгебраиче- ского уравнения с целыми коэффициентами). Шарль Эрмит стал весьма влиятельным лицом в академическом мире Франции XIX века и всегда поддерживал Поля Аппеля (женившегося на племяннице его жены), Эми- ля Пикара (своего зятя) и Анри Пуанкаре. вал от матери ни свои достижения, ни свои неудачи. Школу он описывал как интернат с военной дисциплиной, где провинив- шихся наказывали. За место первого студента выпуска шла на- пряженная борьба, Пуанкаре сообщал матери не только о своих оценках на экзаменах, но и об оценках его основных конкурен- тов. В конце года из-за небольшого затруднения на экзамене по геометрии Анри получил меньше баллов, чем его соперники: экзаменатор поставил ему только 10 из 20 возможных. Пуанка- ре пожаловался директору по обучению Пьеру Бонне, и тот по- 46 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
нял, что будущий математик получил оценку несправедливо, но исправлять коллегу не стал. У Анри были сложности с чер- чением, а экзаменатор проявлял исключительную суровость в этом аспекте. В конце концов Пуанкаре оказался на втором месте после некоего Бонфуа и перед другим студентом по фа- милии Птидидье. Все трое постоянно занимали первые места на протяжении совместной учебы. В 1874 году Анри Пуанкаре опубликовал свою первую са- мостоятельную работу по математике — Demonstration nouvelle des proprietes de Vindicatrice d’une surface («Новое доказатель- ство свойств индикатрисы поверхности») в журнале Nouvelles annales de mathematiques. Это работа не выделялась особенной важностью, но показывала, что с юных лет Пуанкаре был готов к самостоятельным достижениям в данной области. В течение второго и последнего года в Политехнической школе будущий ученый несколько раз приходил в отчаяние. Постоянные со- ревнования за первое место сделали его нервным. В некоторых письмах к матери он кажется неуверенным в себе и не способ- ным на работу с той же отдачей. Так или иначе, Пуанкаре закон- чил второй год аналогичным образом, что и первый,— на вто- ром месте после Бонфуа. После двух лет в Политехнической школе нужно было вы- брать специализацию. Пуанкаре и его главные соперники, Бон- фуа и Птидидье, решили продолжать учебу в парижской Горной школе. Горные инженеры в то время являлись государствен- ными служащими, специальность была почетной и обещала прочное профессиональное будущее. И хотя научный интерес Пуанкаре относился к математике, он знал также, что горное дело даст ему хороший заработок. В течение трех лет обу- чения в Горной школе Пуанкаре поддерживал связь с Бонне, преподавателем из Политехнической школы. По его совету он продолжил изучение математики самостоятельно и в августе 1876 года успешно сдал экзамен по математике в Сорбонне. В 1878 году Пуанкаре окончил Горную школу. Тогда он уже полностью потерял интерес к соревнованиям и оказался третьим в выпуске за Бонфуа и Птидидье. Корпус горных инженеров напрямую зависел от правительства, распределявшего вакант- ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 47
Гравюра, изображающая большую вольтову батарею, построенную в 1813 году в Политехнической школе по приказу Наполеона I. ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ ШКОЛА Политехническая школа относится к французским Большим школам — высшим учебным заведениям, которые функционируют автономно по отноше- нию к университетской системе и гото- вят большую часть интеллектуальной и научной элиты Франции. Вступитель- ные экзамены в Большие школы, concours, очень трудные; самые блестя- щие ученики, получившие среднее об- разование, долго готовятся к ним. По- литехническая школа была основана в 1794 году революционным прави- тельством Франции по ходатайству ма- тематика Гаспара Монжа (1746- 1818) — практически одновременно с Высшей нормальной школой, также относящейся к Большим школам. Це- лью основателей являлась подготовка инженеров, ученых и высококлассных преподавателей для службы нации. Со- гласно революционному духу, в такие школы вступительные экзамены могли сдавать все молодые французы вне зависимости от социального класса и материальной обеспеченности. После поступления студентов обе- спечивали жильем и всем необходимым, в том числе стипендией. В 1805 году Наполеон дал Политехнической школе военный статус, кото- рый учебное заведение сохраняет по сей день. Оно относится к Министер- ству обороны, хотя с 1970 года устав школы стал гражданским. С середи- ны XIX века отличительным знаком школы считается знак «X», происхождение которого неясно: некоторые студенты говорят, что это две перекрещенные пушки, другие — что это математическая неизвестная. Всем студентам присваивается «X» в зависимости от года поступления. Так, у Анри Пуанкаре был знакХ1873. Из стен Политехнической школы вышли многие знаменитые французы: Анри Беккерель (Х1872), Андре Ситроен (Х1898), нобелевский лауреат по экономике Морис Алле (Х1931), прези- дент Республики Валери Жискар д’Эстен (Х1944) и другие. ные места среди выпускников — как правило, согласно их ре- зультату. На момент их выпуска имелись вакансии в Клермон- Ферране, Везуле (рядом с Нанси), в Анжере и Боне на севере 48 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
Алжира. Хотя вначале Бонфуа выбрал Клермон-Ферран, позже он написал властям с просьбой предоставить ему место в Везу- ле. Ввиду возможности, что его сын будет отправлен в Алжир, отец Пуанкаре воспользовался знакомствами в Министерстве государственных работ, от которого зависело назначение, и со- общил министру о слабом здоровье сына и о том, что тот готовит диссертацию в Сорбонне. Также министру был направлен ме- дицинский отчет о состоянии здоровья Анри и о том, что пре- бывание в Алжире может плохо сказаться на нем. В итоге 28 марта 1879 года Пуанкаре был назначен инже- нером третьего класса в Везуль, Бонфуа — в Клермон-Ферран, Птидидье — в Анжер. Еще один инженер, Рош, был отправлен в Алжир. К несчастью, Бонфуа вскоре погиб из-за взрыва в шах- те. Птидидье, обладающий слабым здоровьем, умер от бронхи- та в 1884 году. Рош погиб при нападении туарегов в феврале 1881 года. Одновременно с окончанием учебы в Горной школе Пу- анкаре писал диссертацию по математике на тему «Свойства функций, определенных уравнениями с частными производны- ми». Работу, поданную для рассмотрения в 1878 году, приняли только в августе 1879 года. Три члена экзаменационной комис- сии — математики Жан Гасто Дарбу, Эдмон Лагерр и препо- даватель Пуанкаре в Политехнической школе Пьер Бонне — никак не могли оценить ее и требовали от автора множества исправлений. Стиль Пуанкаре был слишком прямым, и многие пункты не были объяснены детально. В любом случае, как и все, за что брался с тех пор Пуанкаре, данная работа открывала но- вые пути и содержала интересные и оригинальные мысли. Третьего апреля 1879 года Пуанкаре занял место инженера в шахтах Роншамп в 30 километрах от Везуля, довольно близко от родного Нанси. Но горным инженером он работал всего не- сколько месяцев, потому что в начале декабря принял предло- жение занять место в университете Кана. Самое важное и дра- матичное событие во время работы Пуанкаре инженером произошло 1 сентября 1879 года, когда 16 человек погибли при взрыве в шахте Маньи. Ее построили за год до несчастного слу- чая, это была самая глубокая на тот момент шахта во Франции — ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 49
694 метра. Пуанкаре должен был расследовать причины несчаст- ного случая и для этого спуститься вниз. ОТЧЕТ В результате расследования ученый подготовил детальный отчет, в котором предлагалось изменить систему вентиляции шахты. Пуанкаре так описал масштаб трагедии: «К несча- стью, было очевидно, что мы найдем только трупы. Состояние первых жертв, которых мы увидели, не оставляло сомнений в этом». Причиной несчастного случая стала лампа, повреж- денная по неосторожности кем-то из рабочих: «Мы подозреваем, что лампа 476, обнаруженная на месте проис- шествия, стала причиной возгорания газа и трагедии. Состояние лампы практически полностью подтверждает наши подозрения. Так, на дне металлического цилиндра можно ясно увидеть отвер- стие, которое по форме и размерам напоминает сечение кирки шахтеров. [...] Мы не обнаружили следов обвала, которые позво- лили бы предположить, что отверстие появилось в результате удара камня, отвалившегося с потолка». Тот факт, что неисправная лампа вызвала такую трагедию, навсегда запечатлелся в памяти молодого инженера. Это была лампа Дэви — специальный вид керосиновой лампы, изобре- тенный в 1815 году английским химиком сэром Гемфри Дэви (1778-1829). Она защищала пламя металлической сеткой, ко- торая позволяла избежать распространения пламени при кон- такте с рудничным газом, часто присутствующим в угольных шахтах. Много лет спустя, в 1910 году, Пуанкаре подготовил про- светительскую статью об угольных шахтах для журнала Au seuil de la vie (^Ha пороге жизни»). Журнал был для детей, а из ста- тей Пуанкаре издатель составил книгу под названием Се que disent les choses («Что говорят вещи»). Возможно, вспоминая 50 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
инцидент в шахте Маньи, ученый сделал акцент на пользе лам- пы Дэви и ее принципе работы, описав взрыв рудничного газа так: «Взрывчатая смесь рудничного газа и воздуха заполняет все про- странство шахты и даже легкие рабочих. Достаточно одной искры для возгорания смеси. Мне сложно описать весь ужас происходя- щего в шахте при возгорании: сотни несчастных погибают в один миг от взрыва, другим выпадает еще более ужасная участь — страшные ожоги, после которых они живут несколько часов или дней, другие же задыхаются от продуктов горения». ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В декабре 1879 года Пуанкаре получил место преподавате- ля по дифференциальному и интегральному исчислению в университете Кана. Назначенное ему жалование равнялось 5500 франкам в год. Предварительно, 19 ноября 1879 года, уче- ный направил запрос в Министерство государственных работ на предоставление командировки для того, чтобы оставить свое место работы в Везуле. Пуанкаре всю жизнь принадлежал к гор- ному ведомству, хотя к деятельности инженера никогда больше не вернулся. При этом он всегда оставался очень внимательным к работе шахт, а его сотрудничество с просветительским проек- том Au seuil de la vie показало обширные знания по данной теме. В Кане Пуанкаре познакомился с Луизой Пулен д’Андеси, которая стала его женой. Помолвка состоялась в феврале 1881 года, а свадьба — 20 апреля 1881 года. После торжества молодожены отправились в 15-дневный отпуск. В браке Анри и Луизы родились три девочки и мальчик. Случайность — это не более чем мера невежества человека. Анри Пуанкаре ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 51
Период, проведенный Пуанкаре в Кане, стал очень плодот- ворным с научной точки зрения. Именно здесь математик раз- работал несколько идей, посвященных теории обычных диф- ференциальных уравнений, и начал заниматься «фуксовыми функциями». Как уже упоминалось в предыдущей главе, Академия на- ук в Париже объявила в 1879 году конкурс на лучшую работу по линейным дифференциальным уравнениям. Дифференци- альное уравнение выражает отношение функции к ее произво- дным. Например, если у нас есть блок, удерживаемый пружи- ной, как на рисунке 1, второй закон Ньютона можно выразить, сказав, что сила, действующая на блок, равна произведению массы на ускорение: F = та. Сила пропорциональна перемещению пружины по отноше- нию к положению равновесия и может быть выражена F = -kx. Здесь k — коэффициент упругости пружины; чем больше k, тем сложнее растянуть или сжать пружину. Если мы потянем блок, пружина растянется и будет действовать на блок с определенной силой, пытаясь вернуть его в положение равновесия. Если мы станем давить на блок, возникнет сила, которая будет стремить- ся разжать пружину, чтобы вернуться к положению равновесия. Ускорение — это темп, с которым изменяется скорость, то есть производная скорости во времени. Скорость, в свою очередь,— это временная производная местоположения. Следовательно, уравнение можно записать так: РИС.1 Положение равновесия 52 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
d2x -kx = m—z-. dt2 Представим, например, что масса блока и коэффициент упругости имеют величину, равную единице в данной системе единиц. Тогда уравнение примет вид d2x — + х = 0. dt2 Это дифференциальное уравнение, с помощью которого математик должен обнаружить положение в каждый момент времени x(t), если, конечно, у уравнения существуют решения. Предыдущее уравнение является линейным, что означает сле- дующее: если имеются две функции — x^t) и x2(t), — то сумма Xj(0 + x2(t) также является решением. Любая из этих функций, умноженная на постоянное число, также является решением. В случае с пружиной решения уравнения — это синус и ко- синус, а также любая линейная комбинация из них, то есть любая функция вида x(t) = a cos t + b cos t. Константы а и b зависят от начальных условий. Например, мы можем потянуть за брусок, заставить его перемещаться, сдвинуть его из поло- жения равновесия. В результате блок будет колебаться около положения равновесия (см. рисунок 2 на следующей странице). Нужно учесть, что все это происходит при отсутствии трения. Функции синуса и косинуса имеют важное свойство — они периодичны. Это означает, что их значения снова повторяются через определенный промежуток времени, называемый перио- дом. Период функций синуса и косинуса равен 2л; так, cos(£) s = cos(£ + 2л). Данный факт мы можем представить графически, связав с тригонометрическими функциями синуса и косинуса несколько точек на прямой, как показано на рисунке 3. Форма функции внутри сегмента (0,2л) повторяется в каждом сегмен- те (2пл, (2п + 1)л) для любого значения п. Дифференциальное уравнение, соответствующее блоку, привязанному к пружине,— это дифференциальное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Его решение бы- ло прекрасно известно математикам в XIX веке, уже тогда по- явление ГЕНИЯ 53
РИС. 2 X -8л -6л -Ап -2п О 2п Ап 6п 8п следователи занимались решением более сложных уравнений. Если быть точными, они могли решать уравнения вида Р(О§+О(О^+Д(Ох = °, dt dt где Р(0, (2(0 и R(t) являются известными полиномными функ- циями от t. Находясь в Кане, Пуанкаре представил 22 марта 1880 года первую работу на соискание премии, учрежденной академией. К первому труду прибавились три приложения, которые ученый направил в период с июня по декабрь того же года. Пуанкаре, вдохновленный работами немецкого математика Лазаруса Фук- са (1833-1902), изучил сингулярности данного типа уравнений (сингулярности — точки, в которых функция имеет какую-либо нерегулярность поведения). 54 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
Много великих математиков той эпохи, особенно в Герма- нии, работали над этой проблемой и связанными с ней вопро- сами и достигли значительных результатов. Немецкий мате- матик Карл Густав Якоби (1804-1851) ввел функции, которые сегодня известны как «эллиптические функции Якоби». Они описывают в том числе движение маятника, колеблющегося с большой амплитудой. Движение маятника, колеблющего- ся с малой амплитудой, хорошо изучено и описано в примере с блоком, привязанным к пружине. Действительно, уравнение маятника для малых колебаний такое же, как мы видели ранее: движение маятника описывается синусоидальными функци- ями. Однако, когда амплитуда колебаний велика, движение отклоняется от синусоиды, а описывающее его дифференци- альное уравнение становится не линейным. Функции Якоби точно описывают это движение для любой амплитуды — как, например, на рисунке 4. Эти функции зависят от параметра т, который может изменяться от 0 до 1; для т = 0 имеется особый случай тригонометрических функций. Функции Якоби так- же нужны для описания волн, называемых «кноидальными». На верхней фотографии на странице 57 показано формирова- ние такого типа волн. Важным свойством эллиптических функций является их двойная периодичность. Последняя не проявляется при рассмо- трении только функций с реальной переменной, но имеет место, . м Эллиптическая когда мы учитываем функции комплексной переменной. То есть функция sn(x). функции вида F(z) с z = х + iy, где i означает воображаемую еди- ницу г « \Л4. Комплексные чис- ла z могут быть изображены на графике на плоскости, где ось абсцисс — реальная ось х, а ось ординат — воображаемая ось у. На рисунке 5 показана сеть периодичности эллиптических функций на комплексной пло- скости. По аналогии с тем, что происходит с синусом и косину- ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 55
сом на реальной прямой, эллиптические функции в любом пря- моугольнике сети являются отображением функции в первом прямоугольнике. Немецкий ученый Карл Вейерштрасс (1815— 1897) выделил так называемые эллиптические функции Вей- ерштрасса, которые тоже обладают двойной периодичностью. Пуанкаре понял, что общее решение дифференциальных линейных уравнений связано с обобщением понятий и учетом преобразований, выходящих за пределы простой периодич- ности. Ученый обнаружил, что инвариантные по отношению к преобразованиям функции, имеющие вид az + b cz+d позволяют решить большое количество уравнений. В честь Фук- са, работами которого он восхищался, Пуанкаре решил назвать эти функции фуксовыми. Но он обнаружил еще более важную связь: эти функции определяют серию многоугольников, по- зволяющих сделать неоднородное тессеральное разделение диска. Сетка в комплексной плоскости. Вообр. z Реальн. z 56 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
ВВЕРХУ: Американские бомбардировщики летят над океаном около Панамы в 1933 году. Гребни волн разделены большим расстоянием, море между ними почти плоское. Такие волны называются кноидальными и описываются эллиптическими функциями Якоби сл(х). ВНИЗУ: Изразцы в Альгамбре, в Гранаде, представляют собой пример тессеральной поверхности с треугольниками. ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 57
ЗАПОЛНЯЯ ДИСК Тессеральная поверхность — мозаика, заполняющая задан- ную поверхность. Каждый день, отправляясь в душ, мы видим обычную тессеральную плоскость в ванной комнате. Плитки располагаются на стене, образуя периодическую сеть. Может меняться рисунок, но в случае с ванными и кухнями он всег- да повторяется по горизонтали или вертикали. Базовая геоме- трическая фигура, на которую добавляют мотив,— квадрат или прямоугольник. Единственные регулярные многоугольники, полностью покрывающие плоскую поверхность,— квадраты, треугольники и шестиугольники. Квадраты мы обычно видим в наших домах, шестиугольники используют пчелы в строи- тельстве улья, а замечательный пример треугольной мозаики можно встретить в Альгамбре (см. фотографию на предыдущей странице). Но интересно также покрыть другие поверхности. Немец- кий математик Герман Шварц (1843-1921) изучал формы по- крытия сферы и обнаружил несколько способов сделать это на основе сферических треугольников. На рисунке 6 показаны два примера тессеральной поверхности сферы на основе едино- образных треугольников Шварца. Сферические треугольники, формирующие тессеральную поверхность, являются подобны- ми, то есть имеют одинаковую форму и размер. Тессеральная поверхность сферы Шварца. РИС. 6 58 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
Тессеральная поверхность диска Шварца (см. рисунок 7) и тессеральная поверхность диска Пуанкаре (см. рисунок 8). Но Шварц обнаружил также, что некоторые функции в комплексном поле ассоциируются с неединообразной тессе- ральной поверхностью диска, аналогично тому, как эллипти- ческие функции ассоциируются с тессеральной поверхностью плоскости. На рисунке 7 показана тессеральная поверхность диска. Пуанкаре, делая свое открытие, не знал о работах Шварца. Математик обнаружил, что функции, которые он назвал фуксо- выми, ассоциируются с неединообразной тессеральной поверх- ностью диска, представленной на рисунке 8. И так родилось одно из великих открытий Пуанкаре. В его книге «Наука и метод» — размышлении относительно того, как совершаются научные открытия, — можно прочесть рассказ о том, как он сам сделал открытие: «В течение двух недель я старался доказать, что невозможна ни- какая функция, которая была бы подобна тем, которым я впослед- ствии дал название фуксовых функций; в то время я был еще весьма далек от того, что мне было нужно. Каждый день я усажи- вался за свой рабочий стол, проводил за ним один-два часа, пере- бирал большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату. Но однажды вечером я выпил, вопреки своему обык- новению, чашку черного кофе; я не мог заснуть, идеи возникали ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 59
Предельная окружность I (1958), М. К. Эшер. во множестве, мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого соединения. Наутро я установил су- ществование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаются из гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты, что отняло у меня всего несколько часов. Я захотел затем представить эти функции в виде частного двух рядов; это была впол- не сознательная и обдуманная мысль; мною руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я задал себе вопрос — каковы должны быть свойства этих рядов, если они существуют? — и при- шел без труда к образованию рядов, названных мною тета-фуксо- выми функциями. В эту пору я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горной шко- лой. Среди дорожных перипетий я забыл о своих математических работах. По прибытии в Кугане мы взяли омнибус для прогулки, и в тот момент, когда я заносил ногу на ступеньку омнибуса, мне пришла в голову идея — хотя мои предыдущие мысли не имели с ней ничего общего, — что те преобразования, которыми я вос- пользовался для определения фуксовых функций, тождественны с преобразованиями неевклидовой геометрии. Я не проверил эту идею; для этого я не имел времени, так как, едва усевшись в ом- нибус, я возобновил начатый разговор. Тем не менее я сразу по- чувствовал полную уверенность в правильности идеи. Возвратясь в Кан, я в спокойной обстановке проверил результат». Пуанкаре открыл, что треугольники, образующие тессераль- ную поверхность диска, не являющиеся подобными в евклидо- вой геометрии (как можно увидеть на рисунке 8, их размер 60 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
уменьшается по мере того, как мы продвигаемся от центра), по- добны в неевклидовой гиперболической геометрии Лобачевско- го. Так впервые в истории математики понятия неевклидовой геометрии использовались в сфере, не относящейся к геометрии. Этот плодотворный путь автор не прошел до конца, но он обнаруживает творческий и глубокий характер работы. Комиссия может только просить его продолжать исследование, а также обращает внимание Академии на замечательный талант, чьим подтверждением является данная работа. Из ОТЧЕТА КОМИССИИ ПО ВРУЧЕНИЮ ПРЕМИИ АКАДЕМИИ 1880 ГОДА О РАБОТЕ ПУАНКАРЕ Тессеральная поверхность диска в неевклидовой геоме- трии стала вдохновением для нескольких работ голландского художника Маурица Корнелиса Эшера (1898-1972). На ри- сунке 9 представлена одна из его картин. Рыбки повторяются от центра диска к периферии, образуя мозаику тессеральной поверхности, которая в понятиях евклидовой плоскости не со- стоит из подобных фигур. Основа тессеральной поверхности — многоугольник с четырьмя искривленными сторонами. Сторо- ны образованы геодезическими линиями — самыми короткими линиями, соединяющими две точки, эквивалентными в неев- клидовой геометрии понятию прямых. В марте 1881 года комиссия, уполномоченная для вручения премии Академии, опубликовала свое решение. В конце концов премию вручили Жоржу Галфану (1844-1889) за объемную и законченную работу, на которую ее автора также вдохновил Фукс. Работа Пуанкаре была отмечена жюри. В последующие годы Пуанкаре продолжал работать и публиковать материалы по данной теме, углубляя свои иссле- дования. Как раз в то время, а именно в 1881 году, он начал пере- писку с Гёстой Миттаг-Леффлером, который скоро превратил- ся в одного из его вернейших поклонников и ценителей. ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 61
ГЁСТА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕР (1846-1927) Миттаг-Леффлер родился в Стокгольме и получил докторскую степень в уни- верситете Упсалы. После защиты дис- сертации он предпринял путешествие по Европе, побывав в Париже, Геттин- гене и Берлине, познакомившись с из- вестнейшими математиками той эпохи: Эрмитом и Вейерштрассом. Миттаг- Леффлер возглавлял кафедру матема- тики в университете Хельсинки, а за- тем в университете Стокгольма, ректором которого впоследствии был избран. В1882 году он женился на бо- гатой финке Зигне Линдфорс, что по- зволило ему завести ценное собрание книг по математике. Пара познакоми- лась с Пуанкаре и его супругой в Пари- же во время свадебного путешествия. Миттаг-Леффлер активно и умело ис- полнял роль посредника между европейскими математиками того време- ни. По его инициативе король Швеции Оскар II объявил о премии по слу- чаю своего 60-летия, которую выиграл Пуанкаре. Миттаг-Леффлер основал журнал Acta Mathematics и в течение нескольких лет руководил им. Шведский математик учился у Эрмита в Париже и у Вейерш- трасса в Берлине. Будучи представителем третьей страны, он смог стать своеобразным мостом между математическими сооб- ществами Германии и Франции — в эпоху идей реваншизма, царившего во Франции после поражения во Франко-прусской войне, эта роль была очень важной. Переписка между Пуанкаре и Миттаг-Леффлером продолжалась до самой смерти Пуанкаре, оба математика находились в отношениях почтительной взаим- ной дружбы, в течение жизни им удалось несколько раз встре- титься. В 1882 году Миттаг-Леффлер под патронажем короля Шве- ции основал журнал Acta Mathematica. Он хотел превратить 62 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
журнал в основной печатный орган европейских математиков, в котором публиковались бы как немцы, так и французы. По просьбе Миттаг-Леффлера Пуанкаре с 1882 по 1884 год на- правил в Acta Mathematica пять статей по фуксовым функциям и обобщение по ним, которое назвал «клейновы функции». В со- вокупности эти работы заняли 390 страниц журнала, в них Пу- анкаре завершал программу, предложенную Академией в оцен- ке к его работе, представленной на премию в 1880 году. В частности, ученый доказал, что любое дифференциальное уравнение с алгебраическими коэффициентами можно решить с помощью фуксовых, клейновых и связанных с ними функций. Сегодня данные функции называются «автоморфными», и их теория еще далека от того, чтобы быть полностью раскрытой. Известна история, объясняющая нам характер личности Пуанкаре и состояние концентрации, в котором он находился, когда занимался какой-нибудь важной проблемой. Такой рас- сказ — о праздновании нового года в Кане — записал его друг по политехнической школе Леон Лекорню: «В то время он был более рассеян, чем когда-либо. Я пригласил его на ужин в дом моих родителей 31 декабря 1879 года. Как тог- да, вижу его весь вечер бродящим туда-сюда по комнате, не слу- шающим ничего и односложно отвечающим на все вопросы. Он даже забыл, который час. После полуночи я решил любезно на- помнить ему, что уже наступил 1880 год. В этот момент показа- лось, что он спустился с небес на землю и попрощался с нами. Через несколько дней мы встретились в порту Кана, и между де- лом он сообщил мне: «Сейчас я знаю, как интегрировать все диф- ференциальные уравнения». Тогда родились фуксовы функции, и я понял, о чем он думал, когда 1880 год сменял 1879-й». СПОР С КЛЕЙНОМ Когда первые работы Пуанкаре о фуксовых функциях появи- лись в журнале Академии наук, немецкий математик Феликс ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 63
ФЕЛИКС КЛЕЙН (1849-1925) Клейн родился в Дюссельдорфе и пре- подавал в университетах Эрлангена, Мюнхена, Лейпцига и Геттингена (в по- следнем он оставался с 1886 года до своей смерти). Ученый занимался разными разделами математики: тео- рией групп, геометрией, дифференци- альными уравнениями и так далее. Но особенно важен его вклад в неев- клидову геометрию, так как он под- твердил, что возможно создание иных неевклидовых геометрий. Клейн при- думал так называемую бутылку Клей- на — закрытую, но в то же время одно- стороннюю поверхность, которой нельзя присвоить направление внутрь или наружу. Бутылку Клейна мы можем представить как пылесос, затягиваю- щий сам себя, но ее невозможно сде- лать в нашем трехмерном простран- стве. Феликс Клейн в возрасте примерно 70 лет. Портрет работы немецкого живописца и графика Макса Либермана. Клейн написал Пуанкаре первое из более чем двух десятков пи- сем. Любопытно в этом эпистолярном обмене то, что каждый из участников писал на своем родном языке: Пуанкаре на фран- цузском, а Клейн на немецком. Клейн довольно много времени посвятил эллиптическим функциям и обращал внимание Пуанкаре на свои работы, а так- же на другие труды ученых немецкой школы, которые, по всей видимости, Пуанкаре знал лишь частично. Последний немед- ленно ответил на первое письмо Клейна, поблагодарив за предо- ставленную информацию и признав, что Клейн уже получил некоторые из результатов, к которым пришел и сам Пуанкаре. Французский ученый пообещал ссылаться в своих последую- щих работах на достижения немецкой школы. Из этой первичной переписки стало ясно, что Пуанкаре не знает обширных немецких работ по данной теме, в частности 64 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
исследований Клейна и Шварца. Нужно принять во внимание, что в то время французский математик был преподавателем Кана, провинциального университета, поэтому у него не было доступа ко всем релевантным публикациям. Действительно, Пуанкаре в первом письме Клейну обещал отыскать необходи- мые номера немецкого журнала Mathematische Annalen, которых не было в библиотеке Кана. В те времена (и так продолжалось до прихода интернета в нашу жизнь) часто было затруднитель- но, в том числе и по финансовым причинам, получить доступ ко всем публикациям по заданной теме. Но во втором письме Клейн отмечает то, что его больше всего задело: «Я отвергаю наименование «фуксовы функции», хотя понимаю, что Вы пришли к своим идеям через работу Фукса. [...] Не отрицая заслуг господина Фукса в других сферах теории дифференциаль- ных уравнений, замечу, что конкретно в данной области его рабо- ты оставляют желать большего». Клейн предупреждал Пуанкаре в том же письме, что были и другие математики в школе Римана, которые сотрудничали с ним в работе над преобразованиями, сходными с теми, что ис- пользовал Пуанкаре, и которые называл «фуксовы». Как мы уже говорили, Пуанкаре не располагал необходи- мой информацией. Но в своем ответе Клейну он руководство- вался логикой: «Я не собираюсь менять название «фуксовы функции». Уважение к господину Фуксу запрещает мне это делать. Впрочем, Вы правы в том, что точка зрения математика из Гейдельберга совершенно отличается от Вашей и моей. Также справедливо, что его работы стали для меня отправной точкой и базой для всего того, что я сде- лал по данной теории». Когда Пуанкаре получил больше информации, он посте- пенно изменил свое мнение. В другом письме к Клейну можно прочесть: ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 65
«Со всем уважением к господину Фуксу и названию «фуксовы функции» ясно, что я должен был выбрать другое название, если бы был знаком с работой Шварца. Но о ней я узнал только из Ваших писем, после публикации собственных результатов, по- этому я уже не в силах изменить название, что могло бы быть со- чтено недостатком уважения по отношению к господину Фуксу». Обмен письмами был длительным, а их содержание — весь- ма глубоким для обеих сторон. Нет сомнения в том, что оба великих математика взаимно повлияли на исследования друг друга, достигнув значительных результатов благодаря этой пе- реписке. В частности, Пуанкаре использовал преобразования вида az+b z -------- cz + d Они требовали, чтобы определенная окружность комплекс- ной плоскости была инвариантна, то есть точка окружности должна преобразовываться в другую точку данной окружно- сти. Клейн изучал возможности, не требующие данного усло- вия, и обратил внимание Пуанкаре на это. В статье в журнале Академии наук 1881 года Пуанкаре анализировал данные пре- образования, признав, что идею ему подал Клейн, и предложив назвать полученные функции «клейновыми». Это было попыт- кой извинения перед немцем, и ответ Клейна не заставил себя ждать. В письме к Пуанкаре он замечал: «Я был достаточно удивлен названию, которое Вы дали этому классу функций. Лично я не буду использовать названия «фуксо- вы» или «клейновы», а буду продолжать называть их «функции, содержащие линейные преобразования». Как мы уже говорили, Пуанкаре в те месяцы завершал свое исследование о «фуксовых» и «клейновых» функциях и их от- ношении с неевклидовой геометрией и дифференциальными уравнениями. Клейн поздравил Пуанкаре с успехами и попро- сил его написать краткое резюме по своим исследованиям для 66 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
немецкого журнала Mathematische Annalen, которое он обещал напечатать со своими замечаниями. Статья из 12 страниц была опубликована в 1882 году, в ней Пуанкаре, согласно ожиданиям, называл функции «фуксовыми» и «клейновыми». Она была на- писана по-французски, а за ней следовал комментарий Клейна по-немецки. Клейн очень положительно отзывался о работе Пуанкаре, но был весьма принципиален в вопросе выбранных названий: «Исследования, которые мы опубликовали с господином Швар- цем задолго до этого, посвящены «фуксовым функциям», относи- тельно которых господин Фукс ничего не опубликовал». Ввиду такого противостояния по поводу выбранного назва- ния Пуанкаре просил Клейна позволить ему объяснить в жур- нале причины его выбора. Клейн согласился, но предупредил, что также добавит несколько своих строк в подтверждение соб- ственной позиции. После этого, в знак окончания дискуссии, Пуанкаре не без иронии процитировал Гете: Name ist Scali und Rauch («А имя — только дым и звук»). Оба решили, что вопрос закрыт. Пуанкаре продолжал называть свои функции «фуксо- вы» и «клейновы», а Клейн свои — нет. В результате вышло так, что восторжествовал принцип Клейна, и сегодня данные функции известны под общим названием «автоморфные». Хотя дискуссия относительно названий сделала отноше- ния между математиками более напряженными, она не вышла за рамки уважительного обмена мнениями. Вероятно, этот спор был в большей степени неприятен немецкой стороне. Клейн в то время был признанным и уважаемым математиком, воз- главлявшим кафедру в Лейпциге, в то время как Пуанкаре вступил в дискуссию, будучи преподавателем университета Кана (хотя на момент окончания переписки он уже переехал в Париж). Несомненно, немецкой стороне не слишком импо- нировал молодой француз-выскочка, решившийся обсуждать заслуги немецких математиков. Но вскоре Пуанкаре и Клейн возобновили обмен письмами, позже они сотрудничали в ор- ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ 67
ганизации собраний и конгрессов математиков, поддерживая в письмах друг к другу любезный и уважительный тон. 68 ЯВЛЕНИЕ ГЕНИЯ
ГЛАВА 3 Пуанкаре выигрывает конкурс Король Швеции Оскар II объявил математический конкурс, в котором Пуанкаре участвовал и был признан победителем. В конкурсной работе он дал приближенное решение так называемой задачи трех тел. Идеи и методы, использованные Пуанкаре, являются частью того, что сегодня известно как теория динамических систем. Премия принесла математику всемирную славу, хотя тогда на этот счет возникла определенная полемика.

Через несколько месяцев после своей свадьбы, 19 октября 1881 года, Пуанкаре получил место преподавателя на факульте- те наук в Парижском университете. Его должность называлась maitre de conferences, сегодня она соответствует старшему пре- подавателю. Термин conferences означал преподавание в груп- пах, на которые делились студенты для практических занятий. Преподаватель, maitre de conferences, отвечал за эти небольшие группы. Карьера Пуанкаре в Париже развивалась стремительно: 6 ноября 1883 года он стал куратором в Политехнической шко- ле, где начиналось его высшее образование, а 16 марта 1885 года — дополнительным профессором в Сорбонне. Чуть позже ученый выставил свою кандидатуру на соискание долж- ности главы кафедры математической физики и теории вероят- ности и получил этот пост летом 1886 года. Быстрый карьерный взлет Пуанкаре в Париже объясняется не только его несомнен- ной одаренностью, признанной научным сообществом Франции, но также его контактами с Министерством образования в лице Жюля Дюво, занимавшего пост министра с августа 1882 по фев- раль 1883 года (он приехал из Нанси и был пациентом отца Пуанкаре). Кроме того, поддержку математику оказывал его старый преподаватель Шарль Эрмит, который воспользовался всеми своими возможностями и влиянием для того, чтобы его ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 71
подопечные — зять Эмиль Пикар, муж его племянницы Поль Аппель и его аспирант Анри Пуанкаре — заняли достойные должности в академическом мире. Не стоит сомневаться, что все трое с избытком обладали необходимыми заслугами, однако очевидно: без этой поддержки никто из них не смог бы получить кафедру в Париже в возрасте немногим более 30 лет (в то время во Франции это был минимальный возраст для такой должно- сти). В начале 1880-х годов факультет наук Парижского универ- ситета переживал смену поколений. Ученые, рожденные око- ло 1820-х годов и относящиеся к поколению Эрмита, которое включало таких известных деятелей, как Лиувилль, завершали свою активную научную деятельность. Из-за смерти или ухода на пенсию преподавателей многие кафедры математики в эти годы освободились, и за них шла борьба. Среди прославивших- ся претендентов, так и не получивших кафедру в Париже, сто- ит вспомнить в силу заслуг в области математической физики Эмиля Матье (1835-1890), которого Пуанкаре оставил позади в конкурсном отборе на должность главы кафедры математиче- ской физики и теории вероятности. Пикар одновременно с Пуанкаре возглавил кафедру диф- ференциального и интегрального исчисления. Аппель ранее получил кафедру рациональной механики, в тот момент ему едва исполнилось 30 лет. Если получение кафедр Пикаром и Аппелем соответствовало их первоначальной карьере, то на- значение Пуанкаре на кафедру математической физики было более странным. До этого момента последний не занимался фи- зикой, если не считать ранних работ по небесной механике. Его назначение, вероятно, было связано с его личным интересом к началу исследований в данной области. В пользу этой версии свидетельствует тот факт, что с того момента Пуанкаре начал публиковать работы по разным вопросам физики. В любом слу- чае, для получения такой должности поддержка Эрмита долж- на была быть основополагающей. 72 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
ПРЕМИЯ ШВЕДСКОГО КОРОЛЯ ОСКАРА II Как мы увидели в предыдущей главе, изучение дифференциаль- ных уравнений и их решение стало одной из первых тем, заин- тересовавших Пуанкаре. Его работа по фуксовым функциям преследовала цель решения определенного типа дифференци- альных уравнений, но скоро ученый понял, что этого недоста- точно и есть более общие проблемы, требующие перемены так- тики. Мы имеем в виду, например, дифференциальные уравнения, описывающие движение планет Солнечной системы. На самом деле любая механическая система, будь то пружина, маятник, система маятников или волчок, описывается диффе- ренциальными уравнениями. В 1881 году, еще находясь в Кане, Пуанкаре написал статью, посвященную дифференциальным уравнениям, в которой он уже вступил на новый путь, со време- нем превратившийся в новый раздел математики (сейчас мы называем его теорией динамических систем). Количество дифференциальных уравнений, для которых можно найти решение, было и остается очень небольшим. Пу- анкаре думал, что требуется получить качественные инстру- менты для изучения общей структуры решения дифференци- ального уравнения, даже когда само решение невозможно. Он сам говорил о необходимости качественного понимания типа решений, которые можно было ожидать, для того чтобы дать количественную оценку некоторых отдельных случаев. Это ка- чественное понимание шло рука об руку с геометрией. Приведем пример. В предыдущей главе мы видели урав- нение которое описывает движение блока, привязанного к пружине. Если мы потянем за блок и отпустим его, он будет производить колебательные движения около положения равновесия. Мы можем геометрически изобразить это движение, если проведем две оси координат и на оси абсцисс отметим положение блоках, а на оси ординат — его скорость: ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 73
Геометрическое изображение решений дифференциального уравнения описывает движение блока, привязанного к пружине. dx V =---. dt На рисунке 1 представлено описанное нами движение бло- ка. Будем считать, что в момент его перемещения х больше ну- ля, а скорость сразу после того, как мы отпустили блок, равна нулю. Блок под действием пружины ускоряется и приближает- ся к положению равновесия. Когда блок проходит положение равновесия х = 0, его скорость максимальна. Затем пружина начинает сжиматься и тормозит блок, который в конце кон- цов останавливается, но с другой стороны точки равновесия. Пружина начинает разжиматься, ускоряя блок, стремящийся в другую сторону, он снова проходит точку равновесия с мак- симальной скоростью, но с другим знаком, и возвращается в на- чальное состояние. На графике (х, v) движение пружины туда и обратно представлено замкнутой линией (эллипс в данном случае). Повторим наш опыт, но с иным начальным растяже- нием пружины. Каждый последующий эксперимент будет изо- бражен в виде отдельного эллипса. Таким образом, можно пред- ставить на графике все решения уравнения, которые в данном случае будут соответствовать замкнутым кривым. Движение блока, привязанного к пружине, довольно не- сложное, и график (который на языке математической физики называют «фазовым пространством») не даст дополнительной 74 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
информации к решению, которое мы получили аналитически и которое может быть выражено, как мы видели в предыдущей главе, в виде комбинации функций синуса и косинуса. Но давайте представим немного более сложный случай. Например, маятник в виде шара, подвешенного на тонком твер- дом пруте. Это идеализированный пример качелей. Мы можем начертить график, на котором на одной оси отметим положение маятника, а на другой — его скорость (см. рисунок 2). В этом случае положение определяется углом между прутом и верти- калью. Для небольших колебаний вокруг точки равновесия ситуа- ция напоминает случай с пружиной, а чертеж, на котором на оси абсцисс мы отмечаем положение маятника, а на оси ординат — его скорость, будет иметь вид, похожий на предыдущий график. Но если мы станем отклонять маятник от вертикали каждый раз все больше и больше, то наступит момент, когда его шар ока- жется выше точки, на которой висит маятник. Если мы толкнем маятник с силой, он начнет крутиться вокруг оси, если это по- зволит его крепление. От колебательного движения мы перей- дем к вращению, которое произойдет, например, с качелями, когда мы их очень сильно подтолкнем. График «положение — скорость» будет иметь другой вид, как показано на рисунке 3. ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 75
Классификация точек равновесия. На графике мы видим две интересные точки: 0 = 0 и v = 0; О = ±л и v = 0 (точки 0 = ±л представляют одно положение ма- ятника). Именно они являются точками равновесия системы. Но эти две точки равновесия имеют различный характер. Точка 0 = 0 и v = 0, соответствующая самому нижнему положению шара, называется стабильным равновесием. Если мы немного сдвинем маятник из этого положения, то маятник постарается вернуться к нему. С другой стороны, 0 = ±л и v = 0 соответ- ствует самому верхнему положению шара, это нестабильное равновесие: любое малейшее возбуждение приведет к тому, что шар выйдет из этого положения и попросту упадет. Кроме того, на графике имеются два типа качественно различных кривых: кривые вокруг 0 = 0 и v = 0 замкнутые; кривые, изображающие вращательное движение, когда преодолевается верхняя точка равновесия, не являются замкнутыми (хотя в реальной дина- мике они тоже представляют собой периодическое движение). Общее движение маятника является гораздо более слож- ным, чем движение пружины, однако даже в этом случае име- ются аналитические варианты решения, хотя также более слож- ные. Из этого следует, что для некоей физической системы может сложиться ситуация, излишне перегруженная информа- цией: возможны несколько точек равновесия, каждая из которых будет иметь свои особенности; кроме того, в процессе могут быть задействованы несколько тел, движущихся в разных направле- ниях, поэтому количество переменных в задаче может быть очень большим. Качественный подход Пуанкаре рассматривал проблему с этой точки зрения: в общем случае всегда будут су- 76 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
шествовать уравнения или системы уравнений (то есть несколь- ко объединенных дифференциальных уравнений), которые мы не сможем решить для любого значения начальных условий. Но может быть очень полезна информация о количестве точек равновесия, о наличии решений, объединяющих эти точки рав- новесия; периодических решений; решений, стремящихся к бес- конечности, и так далее. То есть мы можем получить общее представление о геометрической структуре решений. Пуанкаре от темы функций перешел к разговору о кривых и поверхностях, образованных этими кривыми. Таким образом, область диффе- ренциальных уравнений продвигалась вглубь геометрии, а да- лее, еще более утонченным способом, вглубь топологии. Уже в статье 1881 года, о которой мы упоминали, Пуанка- ре ввел классификацию возможных точек равновесия системы дифференциальных уравнений. Он классифицировал их как седла, узлы, фокусы и центры (см. рисунок 4). Эта классифи- кация используется по сей день. На первый интересный результат, полученный Пуанкаре, ученого вдохновили работы Максвелла. Пуанкаре установил, что число узлов с фокусами и центрами равно числу седел плюс два. Если мы обозначим как N количество узлов, F — фокусов или центров, 5 — седел, то получится: N+ F= S + 2. Эта формула напоминает выражение Эйлера о сторонах, ребрах и вершинах многогранника, которое мы рассматривали в главе 1; на самом {£з точек01* деле оба выражения имеют глубинную связь. равновесия. Уравнение Пуанкаре N + F= = 5+2 всегда работает на сфере, но не на всякой другой поверх- ности. Так же как это происхо- дило с формулой Эйлера, необ- ходимо обобщение формулы для иных поверхностей, например тора. Обобщение в данном слу- чае подобно тому, которое мы рассматривали в первой главе. Для поверхности с количеством отверстий, равным g, форму- РИС.5 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 77
ПОЛЕТ СИГАРЕТНОЙ ПАЧКИ Если мы подбросим в воздух сигаретную пачку, она скорее всего начнет вращаться вокруг трех осей. Все возможные линии вращения можно изо- бразить с помощью линий на сфере, на которой мы отметим три оси вра- щения, как показано на рисунке. Например, замкнутые линии вокруг оси 1 представляют вращение по этой оси. В этих случаях у нас будут центры и седла. Но по формуле Пуанкаре не могут быть только центры и только седла. Если, как в нашем случае, имеется четыре центра (два, принадле- жащих оси 1, и два — оси 3), то обязательно должны быть два седла. Дан- ное рассуждение ведет нас к любопытному прогнозу, который читатель может проверить самостоятельно с помощью опыта: подбросив сигарет- ную пачку в воздух, мы увидим ее стабильное вращение вокруг двух осей, при этом ее вращение вокруг третьей оси всегда нестабильно. Приведен- ный выше пример показывает возможности качественного подхода Пуан- каре: мы можем прогнозировать поведение набора решений системы дифференциальных уравнений без использования решений кактаковых. Стабильные и нестабильные оси вращения пачки сигарет. 78 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
ла выглядит N + F = S + 2-2g; так, например, для тора g = 1, y+F=S. Данный результат привел Пуанкаре к уже известному вы- воду, который именно тогда был установлен на основе доказа- тельств: на торе можно получить набор решений системы диф- ференциальных уравнений, в которой не будет никакого равновесия, как показано на рисунке 5 (стр. 77). Это невозможно для сферы, потому что даже при отсут- ствии седел необходимо иметь как минимум узлы и фокусы в сумме 2. По этой причине на макушке у нас всегда завихре- ние: невозможно причесать человека, направляя все волосы в одном направлении, потому что всегда найдется точка, где будет завихрение (фокус, в терминологии Пуанкаре). Это пра- вило не применимо к людям с лысой макушкой, так как нужно учитывать, что у части людей в волосяном покрове существует отверстие, для формулы Пуанкаре в таком случае g = 1. МИТТАГ-ЛЕФФЛЕР УБЕЖДАЕТ КОРОЛЯ В период, когда Пуанкаре занимался вышеизложенными во- просами, Гёста Миттаг-Леффлер убедил короля Швеции Оска- ра II объявить научный конкурс. Монарх интересовался наукой и математикой, поэтому принял предложение шведского уче- ного. Конкурс был объявлен летом 1885 года, а вручение пре- мии победителю должно было состояться 21 января 1889 года, в день 60-летия короля. Победитель конкурса получал золотую медаль с профилем монарха и денежную сумму (2500 крон). Объявление о конкурсе появилось в научных журналах Евро- пы, в нем же был назначен срок сдачи работ: 1 июня 1888 года. Организация конкурса оказалась непростым делом. Мит- таг-Леффлер прилагал все дипломатические старания для того, чтобы это мероприятие не обернулось скандалом. В самом на- чале ему пришлось отказаться от многочисленного жюри, так как стало очевидным, что великим математикам из более чем трех стран будет сложно прийти к согласию относительно вы- ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 79
бора тем и финального решения. Например, вначале он думал включить в жюри российского математика Пафнутия Чебыше- ва (1821-1894) и британца Артура Кэли (1821-1895), но все- таки сократил состав до трех человек. В итоге в жюри входили сам Миттаг-Леффлер и уже упомянутые Карл Вейерштрасс и Шарль Эрмит. Участники должны были выбрать тему из утвержденного списка. Одна из них, казалось, задумывалась специально для Пуанкаре: получение более глубоких результатов в теории фук- совых функций. Как мы объясняли, данный термин уже тогда представлялся спорным, но в регламенте премии функции на- зывались именно так. Однако Пуанкаре — вероятно, к удив- лению Миттаг-Леффлера — выбрал для своей работы другую предложенную тему — первую, о стабильности Солнечной си- стемы. Как мы уже говорили в главе 1, хотя Лаплас считал, что смог доказать стабильность Солнечной системы, исследова- ния Леверье, сделанные в середине XIX века, поставили это заявление под вопрос. К концу века задача так и не получила удовлетворительного ответа. В регламенте премии шведского короля была ссылка на слух, будто великий немецкий мате- матик Лежён Дирихле (1805-1859) смог привести точные до- казательства стабильности Солнечной системы, использовав для этого метод собственного изобретения. Премию должен был получить тот, кто обнаружит данный метод и предоставит решение задачи. Также указывалось, что если никто не сможет найти ясного и окончательного решения проблемы стабильно- сти, премия будет вручена тому, кто поставит и разрешит дру- гой сходный вопрос механики. Здесь Миттаг-Леффлеру пришлось столкнуться с еще одним дипломатическим конфликтом. Леопольд Кронекер (1823-1891), ученик Дирихле и коллега Вейерштрасса в Бер- лине, выступил против этого пункта регламента. С одной сторо- ны, он утверждал, что одну из проблем конкурса он полностью решил сам годом ранее; с другой стороны, он тесно общался с Дирихле перед смертью последнего и считал, что несправед- ливо упоминать имя Дирихле в регламенте, в преамбуле к пер- во ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
ВВЕРХУ СЛЕВА: Анри Пуанкаре в 1890-е годы — период, когда он занимался исследованиями по топологии. ВВЕРХУ СПРАВА: Оскар II, король Швеции, объявивший научный конкурс, который выиграл Пуанкаре, несмотря на возникшую полемику. ВНИЗУ: Капелла Сорбонны — часть Парижского университета, где Пуанкаре преподавал с 1881 года. ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 81
вой теме. Так как преамбула была написана Вейерштрассом, с которым у Кронекера были плохие отношения, Эрмит умыл руки и сказал, что это дело немцев. Миттаг-Леффлер более-ме- нее успокоил Кронекера в его попытках сорвать конкурс и по- обещал решить все вопросы после вручения премии. На соискание премии были представлены 12 работ, и 5 из них были посвящены теме, которая нас занимает. Работа Пуанкаре называлась «О задаче трех тел и уравнениях динами- ки». Предполагалось, что материалы будут анонимными, пред- ставлять их следовало под псевдонимом. Тем не менее Эрмит и Миттаг-Леффлер были осведомлены, что Пуанкаре примет участие в конкурсе. Оба прекрасно знали его стиль и даже его почерк, потому что часто переписывались с ним. Все это не спо- собствовало беспристрастному судейству. Миттаг-Леффлер попросил шведского математика Ларса Эдварда Фрагмена (1863-1937) прочесть работы для первич- ного отбора. Из 12 Фрагмен выбрал 3, которые комиссия рас- сматривала более детально. После изучения этих трех работ жюри единогласно решило присудить премию работе, предло- женной Пуанкаре, а вторую премию получила статья, которую написал друг Пуанкаре Поль Аппель. Но на этом проблемы Миттаг-Леффлера не закончились. Объявление о победителе и сделанных им открытиях было та- ким пространным, что астроном Гуго Гюлден (1841-1896), член Шведской королевской академии наук и член редакторского совета журнала Acta Mathematical заявил протест, аргументи- руя его тем, что также решил предложенную задачу два года на- зад. Сам король потребовал объяснений, и Пуанкаре по просьбе Миттаг-Леффлера подробно рассказал о новых идеях в своей работе, а их было немало. В день своего рождения король Оскар II объявил о вруче- нии премии, и эта новость сразу попала во французские газеты. Триумф двух математиков-французов переполнил их соотече- ственников патриотическими чувствами, в особенности пото- му, что речь шла о европейском конкурсе, в котором участвова- ли немецкие математики. В знак благодарности Правительство наградило Аппеля и Пуанкаре орденами Почетного легиона. 82 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
Работа Пуанкаре имела такой размах и глубину, что даже трое членов жюри, в состав которого входили великие матема- тики той эпохи, не смогли в первое время понять ее значение. Кроме того, автор, верный своему стилю, считал многие вещи очевидными и не всегда полностью приводил аргументы. Предполагалось, что работа победителя будет опубликова- на в журнале Acta Mathematica, издателем которого был Мит- таг-Леффлер, кроме того, журнал издавался под патронажем короля Оскара. Но сам Миттаг-Леффлер был вынужден обра- титься к Пуанкаре за разъяснениями и уточнениями по тексту статьи, для того чтобы облегчить читателям его понимание. Миттаг-Леффлер предложил Фрагмену, который сделал пер- вичный конкурсный отбор материалов, просмотреть работу Пуанкаре перед отправкой в печать. Фрагмен принялся за эту задачу с небывалым старанием и попросил у Пуанкаре столько разъяснений, сколько счел нужным. Старательность Фрагмена, как мы увидим далее, принесла неожиданные плоды. Работа Пуанкаре обладает исключительной глубиной и творческим подходом; несомненно, он открывает новую эру с точки зрения анализа и его последствий для астрономии. Из письма Эрмита Миттаг-Леффлеру о работе, которую Пуанкаре ПРЕДСТАВИЛ НА КОНКУРС ШВЕДСКОГО КОРОЛЯ В конце концов в январе 1890 года работа победителя бы- ла опубликована в Acta Mathematica, она занимала 270 страниц журнала. В том же номере был опубликован труд Поля Аппеля. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ Большая часть работы Пуанкаре была посвящена анализу так называемой задачи трех тел. Рассматривать Солнечную систему в целом представлялось невозможным, даже при учете одних ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 83
лишь планет. Ньютон и его последователи досконально изучи- ли проблему двух взаимно притягивающихся под действием гравитации тел. Возможные траектории классифицировались как эллипсы, параболы и гиперболы. Следующей по сложности задачей была проблема трех взаимно притягивающихся тел. Уже в своей общей формулировке она была достаточно сложна. Поэтому Пуанкаре решил исследовать то, что называется «огра- ниченной задачей трех тел». В ней предполагается, что одно из тел имеет ничтожную массу по сравнению с двумя другими. Два больших тела движутся, как будто третьего не существует: их траектории известны. В ограниченной задаче необходимо найти траекторию третьего тела. Это может показаться неверо- ятным, но задача трех тел настолько сложна, что даже сегодня ее ограниченный вариант считается не до конца решенным. Пуанкаре сконцентрировал внимание на еще более упро- щенной задаче. В статье, опубликованной в Acta Mathematica, он описал ее так: «Представим себе два тела: первое — с большой массой, второе — с конечной очень малой массой. Предположим, что эти два тела описывают вокруг своего общего гравитационного центра едино- образную окружность. Примем во внимание присутствие еще од- ного тела с бесконечно малой массой, его движение будет под- вержено воздействию первых двух. Введем еще одно ограничение к нашему случаю о том, что третье тело движется в плоскости окружностей, описываемых первыми двумя телами. Это случай малой планеты, движущейся под влиянием Юпитера и Солнца, если мы пренебрежем эксцентриситетом Юпитера и наклоном орбит. Это также случай движения Луны под влиянием Солнца и Земли, если мы отбросим эксцентриситет Земли и наклон ор- биты Луны». Как мы можем добавить сегодня, это, кроме того, случай траектории космического корабля, совершающего путешествие между Землей и Луной. Задача трех тел, ограниченная данной формулировкой, сво- дится к системе из четырех дифференциальных уравнений 84 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
и оказывается гораздо более запутанной, чем можно было бы ожидать. Первый важный результат, к которому пришел Пуан- каре, заключался в том, что кроме энергии не существует другой инвариантной величины в движении тела с ничтожной массой. Это равнозначно утверждению, что невозможно найти искомое выражение, содержащее решение задачи в общем виде. Данный результат также применим, за исключением особых случаев, ко всем системам дифференциальных уравнений с тремя или более уравнениями. Он отвечал на вопрос, сформулированный в регламенте премии о стабильности Солнечной системы. Если мы не можем решить задачу трех тел, невозможно решить за- дачу всей Солнечной системы, так что конкурсная задача, ис- ходя из установленных условий, была нерешаема. Необходимо правильно интерпретировать данное открытие, потому что оно не означает, что Солнечная система нестабильна; вопрос ста- бильности очень сложен и имеет много нюансов. ВЕЧНОЕ ВОЗВРАЩЕНИЕ Один из наиболее известных результатов работы Пуанкаре, представленной на конкурс шведского короля Оскара II, — его теорема о возвращении. Французский математик установил, что если система дифференциальных уравнений описывает движение, ограниченное областью пространства, и если дви- жение таково, что объем области пространства остается по- стоянным при движении по кривым, являющимся решениями данной системы уравнений, тогда почти все точки рассматри- ваемой области вернутся в место, наиболее близкое от их от- правного местоположения. Эта теорема, доказательство кото- рой не слишком трудное, была впоследствии обобщена самим Пуанкаре для системы с любым числом переменных. Говоря более простым языком, теорема гласит, что любая система, вы- полняющая указанные требования, вернется через довольно длительное, но конечное время к состоянию, очень близкому к начальному. ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 85
ПРИМЕР ТЕОРЕМЫ О ВОЗВРАЩЕНИИ: ОТОБРАЖЕНИЕ КОТА АРНОЛЬДА Этот набор изображений иллюстрируеттеорему о возвращении. В данном случае для перехода от одного изображения к другому используется не дифференциальное уравнение, а то, что математики называют отобра- жением, то есть определенное правило для перемещения пикселей, об- разующих фото, из одного места в другое. Конкретнее, здесь используется отображение, известное как отображение кота, следующее такой фор- муле: \+1 = *п + Уптос1(1) yn+1 = \ + 2ynmod(l), где содержимое точки, находящейся в положении (хл, ул) при п-кратном взаимодействии переносится в точку с положением (хл + r уп + J при следу- ющем взаимодействии. Теорема о возвращении используется и в этих случаях. Мы видим, что портрет Пуанкаре расплывается после нескольких взаимодействий и уже в пятом малоразличим. Но, к удивлению, он вос- станавливается при взаимодействии 192. 86 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
Теорема о возвращении имеет удивительные и парадоксаль- ные следствия. Например, она позволяет утверждать, что чита- тель вновь прочитает эту книгу в будущем бесконечное количе- ство раз или, по крайней мере, прочитает что-то очень похожее. Или, что хуже, он уже читал данную книгу в прошлом бесконеч- ное количество раз! Это противоречит второму началу термо- динамики, согласно которому любая закрытая система необра- тимо эволюционирует до состояний большей энтропии. Например, тепло переходит от нагретых тел к холодным, раз- бившиеся вещи не восстанавливаются сами по себе, сахар рас- творяется в кофе и так далее. Если использовать теорему Пуан- каре для этих случаев, то окажется, что через достаточно большое время тепло вернется от холодного тела к теплому, что разбитые вещи сами восстановятся, а сахар неожиданно кри- сталлизуется в кофе. Такое противоречие между теоремой о воз- вращении и вторым началом термодинамики стало причиной споров и обсуждений между учеными и математиками с тех пор, как Пуанкаре открыл свою теорему. Первыми постарались разрешить упомянутое противоре- чие Эрнст Цермело (1871-1953) и великий австрийский физик Людвиг Больцман (1844-1906). Больцман был одним из осно- вателей статистической механики. Внутри рамок статистиче- ской механики все термодинамические процессы объясняются микроскопической динамикой молекул. Это означает, что теп- ло и все связанные с ним феномены — не более чем проявле- ние микроскопического движения молекул, из которых состо- ит тело. Так, например, температура идеального газа связана со средней кинетической энергией молекул, из которых он со- стоит. Больцман вывел выражение энтропии термодинамиче- ской системы в зависимости от ее микроскопических свойств. Другим его великим открытием стала «Н-теорема», в которой он определял функцию координат и скоростей всех частиц газа, необратимо эволюционирующего во времени. Для Больцмана эта теорема была эквивалентна механической формулировке второго начала термодинамики. Больцман постоянно вел ожесточенную дискуссию с раз- личными немецкими учеными, отрицавшими существование ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 87
молекул и защищавшими механическое объяснение второго на- чала термодинамики. Йозеф Лошмидт (1821-1895), друг Больц- мана, первым оценил противоречие между необратимостью термодинамики и обратимостью механики. Действительно, уравнения механики Ньютона обратимы во времени. Это озна- чает, что решения, которые мы получим, переведя время вперед, а затем назад, возможны на практике. Например, если мы бро- саем камень, он описывает параболу в воздухе. Та же парабола, направленная в обратную сторону, является возможной траек- торией. Но второе начало термодинамики не симметрично во времени: энтропия растет со временем, и не существует ре- альных естественных процессов, в которых энтропия уменьша- лась бы с течением времени. Лошмидт задавался вопросом: как возможно, что обратимые законы механики совмещаются с не- обратимым вторым началом? В своей первой статье по данной теме, написанной в 1886 году, Цермело использовал теорему Пуанкаре, чтобы до- казать, что «в системе точечных масс определенное расположе- ние масс после того, как оно было однажды задано, должно воз- никнуть снова». Если это верно, то любая функция положений и скорости определенных масс должна вернуться в начальное положение. В заключении Цермело добавлял: «Или принцип Карно — Клаузиуса (второе начало термодинамики), или меха- ническо-статистическое видение природы должны быть пере- формулированы». Больцман сразу ответил Цермело в статье, начало которой было весьма ироничным: «Эта статья показывает, что мои рабо- ты не до конца поняты. Однако я счастлив, потому что для меня это первое подтверждение того, что мою работу заметили в Гер- мании». Больцман предложил две основные линии аргумента- ции. С одной стороны, он признал, что функция Я будет иметь колебания — моменты, когда энтропия может уменьшаться, хотя вероятность этого уменьшается по отношению к количеству молекул и становится ничтожной при условии бесконечного их количества. С другой стороны, существует вопрос о времени, и этот второй аргумент чаще всего приводится для разрешения парадокса. Теорема Пуанкаре утверждает, что система должна 88 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
вернуться в состояние, близкое к начальному, но когда это про- изойдет, не указано. Интуитивно понятно, что чем большее ко- личество элементов создает систему, тем большим будет это время. Больцман привел некоторые расчеты в ответе Цермело и сделал вывод: для того чтобы газ, содержащийся в объеме 1 см3, вернулся в начальное состояние, необходимы миллио- ны лет. Этот спор, который считается выигранным Больцманом, не перестает быть рекуррентным, как и сама теорема. Периоди- чески в научной литературе появляются статьи на данную тему. ОШИБКА С ГЛОБАЛЬНЫМИ ПОСЛЕДСТВИЯМИ Как мы уже писали, Ларс Эдвард Фрагмен должен был прочи- тать работу Пуанкаре, выигравшую конкурс шведского короля для публикации в Acta Mathematica. Когда статья готовилась к печати, Пуанкаре все еще раздумывал об одном комментарии, который сделал Фрагмен, и в результате понял, что совершил ошибку в расчетах. В письме от 1 декабря 1889 года он ввел Миттаг-Леффлера в курс дела: «Мой дорогой друг, я сообщил Фрагмену об ошибке, которую я допустил, и, без сомнения, он рассказал Вам о моем письме. Но последствия этой ошибки значительно более серьезны, чем я думал вначале. [...] Не буду скрывать неприятного ощущения, которое оставила у меня эта находка. Не знаю, решите ли Вы, что имеющиеся результаты — например, существование периодиче- ских решений, асимптотические решения, теория характерных экспонент, отсутствие однозначных интегралов и расходимость рядов Линдштедта — заслуживают высокой награды, которой Вы удостоили меня». Пуанкаре приводит в письме технические названия своих находок (малую часть которых мы уже обсудили здесь), при- ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 89
носит извинения, но в то же время предъявляет требования. Миттаг-Леффлер ответил сразу же: «Не скрою, что я был крайне удивлен, когда узнал вчера новость, которую Вы сообщили господину Фрагмену. Не сомневаюсь, что Ваша работа в любом случае является гениальным произведением для большинства геометров и станет отправной точкой для ис- следователей небесной механики. Не думайте, что я раскаиваюсь во вручении премии, которая была присуждена Вам по праву. Но вот беда, Ваше сообщение пришло слишком поздно, и текст был распространен». Действительно, соответствующий номер Acta Mathematica был уже напечатан. Чтобы избежать большого скандала и за- щититься от тех, кто критиковал конкурс и победителя, Мит- таг-Леффлер предложил Пуанкаре написать новую статью с необходимыми изменениями, а напечатанные экземпляры изъять из оборота. Шведскому математику было нужно, чтобы Пуанкаре взял на себя дополнительные расходы, это условие последний принял немедленно. Любопытно, что стоимость вто- рого тиража равнялась 3500 крон, то есть на тысячу крон боль- ше, чем получал победитель в качестве премии! В конце концов окончательная статья была опубликована в Acta Mathematica в начале 1890 года. Во вступлении Пуанкаре признавал, что ис- правил ошибку, обнаруженную в оригинальном тексте благо- даря замечанию Фрагмена. Вновь доказывая свою честность, которая характеризовала его в течение всей жизни, Пуанкаре также признавал, что был далек от полного решения поставлен- ной задачи. Для критиков премии это было еще одним поводом для подозрений. Но вернемся к математике. Что же это была за ошибка и как Пуанкаре ее исправил? Ученый изучал то, что сам называл «го- моклинными траекториями». Это решения уравнений, исходя- щие и возвращающиеся к одной точке, как показано на рисун- ке 6. Пуанкаре использовал их для решения задачи трех тел в своей формулировке, а точнее, для изучения различий, проис- ходящих в системе в случаях, когда масса равна нулю и когда 90 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
она больше нуля. Пуанкаре определил для каждой точки равновесия кривые, которые стремятся к этой точке, когда время стремится к бесконечности вперед или назад. Эти асимптотические реше- ния иногда совпадают на так называемой гомоклинной траектории — кривой, ис- ходящей из точки равновесия и возвра- щающейся в нее. Остается ли такая тра- ектория, когда масса планеты больше нуля? Вначале Пуанкаре подумал, что доказал, будто две асимптотические кри- вые продолжают быть одной, что гомо- клинная траектория остается неизмен- ной. Но комментарий Фрагмена заставил его осознать свою ошибку. Он сам нашел верный ответ: две кривые не совпадают, а обрезают друг друга бесконечное коли- чество раз. В течение последующих лет Пуанкаре занимался созда- нием большого трактата о небесной механике, где вновь гово- рил о проблемах, затронутых в первоначальной статье, а также расширил данные проблемы и дал ответы на многие вопросы. Трактат назывался «Новые методы небесной механики» и со- стоял из трех томов, суммарный объем которых был более 1300 страниц. В третьем томе, написанном в 1899 году, Пуан- каре вновь взялся за вопрос о гомоклинной траектории и объ- яснил свою находку более детально: Схематическое изображение гомоклинного сплетения «Фигура состоит из двух кривых и их бесконечных точек пере- сечения, каждая из которых соответствует двойному асимптоти- ческому решению. Эти пересечения образуют нечто вроде решет- ки, ткани или бесконечно плотной сетки. Все эти кривые никогда не пересекают сами себя, но закручиваются вокруг себя очень сложным образом, чтобы отрезать бесконечное количество раз волокна от сетки». ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 91
Пуанкаре признал, что не сможет подготовить необходимый график, известный сегодня как «гомоклинное сплетение» (его детальная структура была раскрыта только во второй половине XX века благодаря появлению компьютеров). На рисунке 7 по- казан схематический пример двух асимптотических кривых и первые из бесконечных их пересечений. Это открытие опередило свое время. Во второй полови- не XX века использование компьютеров позволило открыть свойства дифференциальных уравнений, которые до сих пор не были до конца поняты. Одним из них было то, что назва- ли «детерминированный хаос»: речь идет о том, что некоторые решения некоторых дифференциальных уравнений могут быть блуждающими. Термин «хаос» применяется к решениям урав- нений, ведущим себя хаотично, хотя их подробное изучение обнаруживает скрытую структуру. Определение «детермини- рованный» означает, что законы, управляющие системой, опи- санной дифференциальными уравнениями, хорошо известны и однозначно определяют их развитие. Я поражен сложностью фигуры [гомоклинного сплетения], которую даже не пробую изобразить. Ничто не может быть более показательным для выражения сложности задачи трех тел. Анри Пуанкаре, *Новые методы небесной механики* Ошибка, допущенная Пуанкаре, и то, как он ее исправил, стало причиной споров, особенно в Германии. Несмотря на по- пытку Миттаг-Леффлера минимизировать важность ошибки — и отчасти даже скрыть ее, — факты о ней вышли наружу. Вско- ре после публикации статьи Пуанкаре Вейерштрасс, по всей видимости пожалевший о том, что участвовал в работе жюри, написал Миттаг-Леффлеру: «Возникла горячая обоснованная дискуссия о том, что в работе Пуанкаре обнаружили значимые ошибки, из-за которых необходимо пересмотреть большую часть написанного им». Без сомнения, было трудно понять, что в опу- бликованной работе с подписью «удостоено премии короля 92 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
ХАОС СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ Гомоклинное сплетение, открытое Пуанкаре, является одним из примеров детерминированного хаоса. Траектории, проходящие рядом с точкой рав- новесия, имеют хаотический характер. Это один из механизмов, который может привести к хаотическому движению планет Солнечной системы. Французский астроном Жак Ласкар (р. 1955) занимался кропотливыми числовыми расчетами эволюции Солнечной системы в долгосрочной пер- спективе и доказал, что ее поведение хаотично, поскольку возможен слу- чай, когда траектория Меркурия пересечет траекторию Венеры или даже Земли. Важной характеристикой детерминированного хаоса является восприимчивость к начальным условиям, и разница всего лишь в один метр в актуальном положении планеты может привести к совершенно не- ожиданным траекториям. Но не стоит беспокоиться об этом, так как для подобного может потребоваться сто миллионов лет. Швеции» имелась часть текста, не фигурировавшего в конкурс- ном оригинале. В любом случае Пуанкаре сам нашел свою ошиб- ку, сам признал этот факт перед Фрагменом и Миттаг-Леффле- ром и сам исправил ее, что привело к еще более значимому открытию, сделавшему его работу более ценной по сравнению с первоначальной версией. Получение премии короля Швеции принесло Пуанкаре мировую славу и поставило его в один ряд с самыми значимыми учеными страны. ПУАНКАРЕ ОПЛАКИВАЕТ СВОЮ МАТЬ Получение премии короля Швеции совпало с рождением вто- рой дочери Пуанкаре, Ивонн. Отец Пуанкаре умер в 1892 году, а мать — 15 июля 1897 года. Математик был очень привязан к своей матери, и ее смерть глубоко опечалила его. В письме Миттаг-Леффлеру от 31 июля он писал: «Мой дорогой друг, печальные события, которые происходят в моей жизни, заставляют меня вновь отложить подготовку статьи ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 93
LL5 Ч&Т1ИЮЕЗ ntlUULBS МЁСП1ЩЕ CELESTE М. FOtWCAK* т»мс m НОВЫЙ ОБРАЗ МЫСЛИ Следствием статьи Пуанкаре, написан- ной для конкурса короля Швеции, ста- ла работа, опубликованная в трех то- мах под заголовком •Новые методы небесной механики». При этом методы, представленные Пуанкаре в трактате, выходят за границы небесной механи- ки, потому что они применимы к любой задаче, которую можно сформулиро- вать в виде дифференциального урав- нения. На протяжении второй полови- ны XX века физики и математики разработали направление, именуемое теорией динамических систем. Данная теория предлагает набор математиче- ских инструментов (аналитических, то- пологических, геометрических и число- вых), позволяющих качественно и количественно анализировать систе- мы, описываемые дифференциальны- ми уравнениями. Некоторые из этих инструментов вытекают из работ Пуан- каре. Учитывая их обобщенный характер, сегодня их применяют не только в небесной механике и физике, но и в химии, биологии и даже в экономи- ке и социологии. Обложка третьего тома 'Новых методов небесной механики» Пуанкаре. о Вейерштрассе. [...] Я собирался сесть за работу, когда пришло известие о несчастье. Хотел взяться за нее несколько дней спустя, но до сих пор не чувствую на это сил». Дружба Миттаг-Леффлера и Пуанкаре отразилась в этих письмах, в которых под прикрытием формального и исключи- тельно вежливого тона, характерного для той эпохи, под изы- сканными эпистолярными французскими формулировками угадываются тесные человеческие отношения. Так, в ответном письме Миттаг-Леффлера мы можем прочесть: «Какое несча- стье пришло к нам. Не прошло и нескольких недель с тех пор, как я видел Вашу мать у Вас в доме, полную жизненных сил. 94 ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС
Добрый друг, прошу принять мои заверения в глубоком сочув- ствии Вашему горю». Миттаг-Леффлер также спрашивал Пуанкаре, сможет ли он увидеть его в Цюрихе на первом Международном математи- ческом конгрессе, который должен был состояться в августе того года. Организацией конгресса занимались Клейн и сам Миттаг- Леффлер, и предполагалось, что Пуанкаре произнесет вступи- тельную речь о взаимоотношениях чистого анализа и матема- тической физики. Но ученый, все еще переживавший из-за утраты, не смог приехать. Его доклад прочел швейцарский ма- тематик Жером Франель (1859-1939). Пуанкаре на тот момент уже был признан великим ученым международного уровня. ПУАНКАРЕ ВЫИГРЫВАЕТ КОНКУРС 95

ГЛАВА 4 Насколько едина сфера? Пуанкаре считается одним из основателей топологии. В серии статей, опубликованных между 1895 и 1904 годами, он ввел ряд понятий, на сегодняшний день составляющих фундаментальную часть этой дисциплины. В последней из данных статей он изложил свою знаменитую гипотезу, превратившуюся в одну из труднейших задач математики XX века. В начале XXI века она была решена великим математиком Григорием Перельманом.

Анри Пуанкаре можно считать одним из последних универса- листов, так как он принадлежал к избранной категории мате- матиков, прославившихся во всех областях. В его случае это объясняется острым умом, способным увидеть связи, имеющи- еся между различными проблемами. Как мы говорили в пре- дыдущих главах, он обнаружил, что теория дифференциаль- ных уравнений связана с неевклидовой геометрией. Другая его любимая тема исследования, посвященная задаче трех тел, привела математика к размышлению над общей структурой многомерных поверхностей, что, в свою очередь, направило его в область топологии, которой мы займемся в этой главе. В главе 1 объяснялось, что топология изучает объекты с бо- лее общей точки зрения по сравнению с геометрией. Топология задается вопросами, состоит ли объект из нескольких частей, есть ли у него отверстия, можно ли дойти из одной точки в дру- гую разными путями и так далее. Работы Пуанкаре по диффе- ренциальным уравнениям показали ему необходимость глубо- кого изучения данной области и обобщения дифференциальных уравнений с целью применения их к многомерным простран- ствам. В 1895 году ученый опубликовал статью в Journal de I’ecole Politechnique, номер был посвящен 100-летию Политехнической школы, в которой он учился. Эта статья занимала 121 страницу и стала отправной вехой в истории топологии. В ней содержа- НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 99
лось несколько новейших идеи, в частности касающихся техни- ки рассмотрения топологических задач. Кроме изложения новых теорем, Пуанкаре прокомменти- ровал уже известные результаты. Как у него бывало и раньше (возможно, это свойственно многим передовым научным рабо- там), в статье имелись неточности и несколько значимых оши- бок. Международное математическое сообщество, с большим интересом следившее за публикациями Пуанкаре, принялось внимательно изучать материалы данной работы сразу же по- сле ее появления. Комментарии, критика и просьбы разъяснить некоторые пункты заставляли Пуанкаре вновь и вновь возвра- щаться к этой теме, он написал целых пять дополнений к пер- вой статье. Последнее дополнение вышло в 1904 году в ита- льянском журнале Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo и занимало ни много ни мало 66 страниц. Именно в пятом до- полнении появилась окончательная формулировка, которая впоследствии получила название «гипотеза Пуанкаре». Так имя Пуанкаре оказалось связано с величайшим интеллекту- альным подвигом XX века. Статья в Journal de Pecole Politechnique в 1895 году вы- шла под заголовком Analysis situs («Геометрия положения»). Во вступлении к ней можно прочесть: «Analysis situs — это наука, которая описывает качественные свой- ства геометрических фигур не только в обычном пространстве, но и в пространствах, имеющих более трех измерений. Analysis situs трехмерного мира для нас — практически интуитивное зна- ние, analysis situs в более чем трех измерениях представляет зна- чительную сложность, для ее преодоления нужно быть уверенным в чрезвычайной важности этой науки». Analysis situs — так в те времена некоторые ученые называ- ли топологию. Это название постепенно теряло свои позиции и в конце концов было вытеснено «топологией». В своей статье Пуанкаре дал определение двух фундаментальных понятий со- временной топологии: гомология и гомотопия. Оба понятия возникли на основе существовавших ранее идей. 100 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
гомология Как мы видели в первой главе, швейцарский математик Симон Люилье обобщил уравнение Эйлера С-А + V=2, устанавливающее отношение количества граней С, ребер А и вершин V многогранника. Люилье выяснил, что для объекта с неким количеством отверстий g формула будет иметь вид С-А + V=2-2g. Величина g обозначает род поверхности. Немецкий матема- тик Бернхард Риман (1826-1866) и его итальянский друг Эн- рико Бетти (1823-1892) соотнесли geo связностью заданной поверхности. Риман дал определение связности р некоей по- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА Формулу Эйлера С - А + V = 2 можно доказать относительно просто, ис- пользуя принцип, который математики называют индукцией. Он был осо- бенно важен для Пуанкаре, соединявшего философские начала с основа- ми математики. Принцип индукции выполняется при соблюдении двух условий. а) Свойство действительно при частном значении п, например п = 0. Ь) Принимая во внимание, что свойство действительно для любого ко- личества п, можно доказать, что оно также действительно при п +1. Тогда данное свойство выполняется при всех значениях п. Мы уже ви- дели в главе 1, что формула Эйлера выполняется для многогранника, ко- личество граней С которого равно 4, — тетраэдра. Представим, что она выполняется для любого многогранника с С гранями, А ребрами и V вер- шинами. Выберем одну из граней и добавим одно ребро. Количество вер- шин увеличится на одну, число ребер увеличится на два, и, кроме того, на одну увеличится количество граней, поэтому формула также выполня- ется для данного многоугольника, имеющего С + 1 граней. НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 101
Любая петля, которую мы начертим на сфере, разделяет ее на две поверхности. Это не всегда происходит в случае тора. РИС. 1 верхности, как наименьшее количество петель, которые можно на ней нарисовать, чтобы в результате она делилась на две по- верхности. Для сферы эта величина равна 1, потому что любая петля, которую мы нарисуем на ней, делит ее на две части. Для тора — 3, потому что двух разрезов не всегда достаточно. В об- щем, считается, что р = 2g + 1. Энрико Бетти, со своей стороны, понял, что g можно выразить через максимальное количество петель, которые не разделяют поверхность. Это число 0 для сфе- ры и 2 для тора. Пуанкаре обобщил идеи Бетти для поверхностей любой размерности. Эти поверхности, в свою очередь, могут состо- ять из различных связных или несвязных поверхностей, тех- нически это называют разнородность. Именно этот термин использовал Пуанкаре в своих работах. Для многообразия из- мерений т Пуанкаре определил множество чиселpkck= 1,..., т — 1, которые он назвал «числа Бетти», таким образом, что рк связано с числом отверстий измерения k многообразия. Чтобы дать четкое определение числам Бетти, Пуанкаре использовал понятие гомологии. Для многообразия измерений т гомоло- гия учитывает, делит или нет кривая линия поверхность и как именно она ее делит. Легко понять, что такое двумерная поверхность. На- пример, на рисунке 1 мы видим, что замкну- тая линия на сфере образует контур, включа- ющий ее часть; однако для тора это не всегда так. Гомологии тора и сферы неодинаковы, также неодинаковы их числа Бетти, которые здесь сокращаются в основном до одного, свя- занного eg. На основе этих понятий Пуанкаре смог определить алгебру между многообра- зиями измерений меньше некоего заданного (кривые, поверхности и так далее) и постро- ить то, что называют «группой» его гомоло- гий. Очень удачный способ изучать поверхно- сти, легко приспосабливающийся для больших 102 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
РИС. 2 поверхностей, — представить их состоящими из гибких плоских деталей, например прямоугольников, стороны которых при- клеиваются одни к другим согласно установленным правилам. Простой случай тора представлен на рисунке 2. Стрелки пока- зывают, как мы должны склеить края прямоугольника. Таким образом можно создать ленту Мёбиуса или бутылку Клейна. На рисунке 3 символически представлено правило для кон- струирования ленты Мёбиуса: нужно согнуть ленту и склеить вершину Ac CnBcD так, чтобы стороны АВ и CD совпали. Бутылка Клейна немного более выпуклая. Первая операция по ее созданию такая же, как и для изготовления тора, но вторая подразумевает искривление наподобие ленты Мёбиуса. Стрел- ки с противоположными направлениями показывают, что нуж- но согнуть поверхность перед склейкой так, чтобы внутренняя часть превратилась в наружную. Получившуюся поверхность невозможно представить в обычном трехмерном пространстве, кроме того, такое склеивание невозможно в нашем мире. Любое изображение, которое мы сделаем в трехмерном пространстве, будет выглядеть как поверхность, пересекающаяся сама с со- бой, но правило конструирования из прямоугольника доказы- вает, что это не так. НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 103
Путь по двумерной поверхности. Выйдя из правой части, мы вновь появимся в левой; стрелки показывают, что мы это делаем, сохраняя ориентацию. Нарисованные на каждой сто- роне стрелки показывают нам, должны ли мы поворачивать эту сторону перед склейкой с соответ- ствующей стороной. Чтобы понять, как правила склейки представляют поверхность, вообразим, что мы идем по ней. Путь по поверхности представлен линией на прямо- угольнике, как показано на рисун- ке 4. Когда линия доходит до грани- цы прямоугольника, склейка означает, что мы окажемся с другой его стороны. Стрелка показывает, двигаемся мы после пересе- чения склейки в том же направлении или склейка сделана так, что мы меняем ориентацию движения. Любая поверхность, ориентируемая или нет, может быть построена из многоугольника с п сторонами при соответству- ющих правилах склейки. Если вместо многоугольника мы используем многогранник с несколькими гранями и задаем правила склейки, соединяя одни стороны с другими, следуя определенной модели, получившийся объект не будет больше являться двумерной поверхностью. Он будет представлять со- бой многообразие трехмерных поверхностей, которые могут су- ществовать только в четырехмерном пространстве, потому что процесс сгибания многогранника для склейки одной стороны с другой требует в общем случае еще одного дополнительного измерения. В статье 1895 года и в последующих публикациях Пуанка- ре широко использовал метод конструирования многообразий, и это позволило ему определить группы гомологий и рассчи- тать числа Бетти разных трехмерных многообразий, придуман- ных им. Датский математик Поул Хигаард (1871-1948) в книге, написанной в 1898 году, обратил внимание на некоторые ре- зультаты, полученные Пуанкаре при работе с числами Бетти, доказав, что они не являются абсолютно обобщенными. Это заставило Пуанкаре вновь взяться за данную тему в первом до- 104 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
пол нении к Analysis situs, оно вышло в 1899 году. В этой статье французский математик уточнил определение чисел Бетти, дал новое доказательство важной теоремы и ввел новые понятия, в частности искривление многообразия. Последнее является обобщением понятия ориентируемости пространств, имеющих более чем два измерения. Важнейшая теорема, которую смог доказать Пуанкаре с использованием этих техник, — обобщение формулы Эйлера до «многогранников», образованных из многообразий с любым количеством измерений. Для многогранника в пространстве с п измерениями формула Пуанкаре имеет следующий вид: ^-N1 + N2-y3 + ...N_1 = l-(-l)"1 где Nq — количество вершин, Nt — граней, N2 — двухмерных ре- бер, N3 — трехмерных ребер и так далее. Читатель может прове- рить, что для п = 3 получается формула Эйлера. Доказательство теоремы, найденное Пуанкаре в 1895 году, оказалось впослед- ствии неправильным, хотя сама теорема верна, и другие мате- матики смогли обнаружить ее строгое доказательство. ГОМОТОПИЯ В Analysis situs Пуанкаре создал внутреннюю форму опреде- ления топологии поверхности, отличную от гомологии. Эта форма называется «внутренней», так как позволяет изучить поверхность изнутри: аналогичным образом топографы опреде- лили однажды форму Земли, делая измерения на ее поверхно- сти. То, о чем говорил Пуанкаре, называется «гомотопическая группа», идея о ней была основана на работах Гаусса и Камиля Жордана. Рассмотрим вначале случай окружности и представим себе некое существо-точку, живущее на ней и желающее исследовать мир. У этого существа есть длинная нить, которую оно отпуска- ет по мере того, как продвигается. Существо может пойти в од- ном направлении и увидит, что по истечении определенного НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 105
времени оно сделало оборот и вернулось на то место, из которо- го вышло. Если оно сделает два оборота, то вернется в то же место, а нить также сделает два оборота. Если один оборот будет в одном направлении, а другой — в противоположном, то воз- никнет ситуация, при которой существо как будто бы и вовсе не двигалось, потому что оно находится в том же месте и собра- ло всю размотанную нить. Мы можем считать одно направление положительным, а другое отрицательным: например, по часовой стрелке и против часовой стрелки. Сделать четыре оборота в одном направлении — то же самое, что сделать пять оборотов в одном направлении и один в обратном. Таким образом, мы определяем серию действий, состоящую из оборотов в одном или другом направлении, и их комбинации. Наука — это факты; так же как дома делают из камней, наука делается из фактов; но груда камней — это не дом, а набор фактов — не обязательно наука. Анри Пуанкаре Эта серия образует то, что математики называют «одна группа». Если мы будем комбинировать два из этих действий (например, сделать три оборота в одном направлении и затем два — в другом), мы получим другую группу возможных дей- ствий — сделать пять оборотов. Кроме того, имеется нулевое действие (сделать ноль оборотов), которое можно произвести после любого другого, не изменяя его. Наконец, каждое дей- ствие имеет противоположность: сделать то же количество оборотов в противоположном направлении, после чего мы останемся на том же месте. Эта структура известна как «группа гомотопии»; в данном случае группа гомотопии ассоциирована с окружностью. Как читатель уже догадался, эта группа иден- тична целым числам:..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... с обыч- ной суммой, группа обозначается в математике символом Z. И вся эта структура сохраняется, даже если кривая, на которой живет выдуманное существо, будет не окружностью, а простой 106 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
петлей. Любую простую петлю можно с помощью деформации превратить в окружность, ее группа гомотопии будет состоять из целых чисел. Возьмем другой простой пример: с прямой линией. Наше выдуманное точечное существо способно двигаться по линии из одной стороны в другую, но сделать оборот не может. Как и в топологии, мы можем растягивать и деформировать объекты, любое перемещение нашего выдуманного существа может быть аннулировано растягиванием или сжатием. На самом деле, с точки зрения тополога, любое действие точечного существа равноценно тому, что оно останется на том же месте. Группа гомотопии будет иметь тогда только один элемент, который ма- тематически мы можем идентифицировать с нулем. В матема- тике такую группу называют «тривиальной». В случае с тором наше выдуманное существо имеет две возможности делать обороты: вокруг центрального отверстия и вокруг одного из сечений. Если мы вновь воспользуемся ни- тью, она будет закручиваться двумя возможными способами и раскручиваться тоже двумя способами. Так получается, что любое действие сводится к паре чисел (т, п), где т и п — целые числа, показывающие полное количество оборотов, которые бу- дут сделаны в том или другом направлении двумя возможными способами. Гомотопная группа тора представляет собой группу целых чисел, записываемую математиками как Z х Z. Случай с двумерной сферой в трехмерном пространстве особенно прост: любой замкнутый путь можно постоянно де- формировать до превращения в точку, поэтому любой путь, ко- торый пройдет выдуманное существо, является, говоря языком топологии, эквивалентом отсутствию движения. Гомотопная группа сферы имеет один элемент, поэтому вновь перед нами тривиальная группа. Пуанкаре обобщил понятие гомотопии до пространств с любым количеством измерений и назвал го- мотопную группу многообразия «фундаментальной группой». Французский математик особенно интересовался случаем трехмерной сферы. Сфера в трехмерном пространстве опреде- ляется множеством точек, равностоящих от заданной точки, центра сферы. В картезианских координатах сфера с радиусом, НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 107
равным единице, с центром в начале координат определяется уравнением X2 + у2 + Z2 = 1. Данная сфера представляет собой двумерную поверхность, так как для того, чтобы оказаться на ней, нам достаточно за- дать два числа, а указанное уравнение дает третью координату соответствующей точки. Приводя в пример географию, можно сказать, что достаточно знать широту и долготу для того, чтобы точно попасть в нужное место на земной поверхности. В четырехмерном пространстве (х, у, z, w) мы можем опре- делить «гиперповерхность» уравнением X2 + l/2+z2 + tt>2= 1. Эта гиперповерхность оказывается трехмерным объектом, так как для того, чтобы попасть на нее, нам нужно задать три числа. Пуанкаре полагал, что в статье 1895 года доказал: любое трехмерное многообразие, имеющее одну гомологическую группу со сферой, топологически эквивалентно сфере. То есть гомологическая группа многообразия была достаточной для его описания и определяла его гомотопическую группу. Но вскоре стало понятно, что все гораздо сложнее. Во втором дополнении к Analysis situs, опубликованном в 1900 году, Пуанкаре изло- жил первый вариант своей гипотезы: «Всякий ориентируемый многогранник с числами Бетти, равными 1, гомеоморфен ги- персфере» (слово «гомеоморфен» означает здесь, что его можно постоянно деформировать до получения гиперсферы). Но в пятом дополнении, опубликованном в 1904 году, дан- ное утверждение было отклонено из-за того, что оно не абсо- лютно обобщено. В этой статье Пуанкаре представил поверх- ность, сконструированную с помощью склейки двух твердых торов сложным методом, имеющую гомологическую группу сферы, но не эквивалентную сфере топологически. Во вступле- нии к статье говорилось: 108 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
ДОДЕКАЭДР ПУАНКАРЕ Многообразие, которое Пуанкаре сконстру- ировал в своем пятом дополнении к Analysis situs, было примером того, что гомологии недостаточно для определения топологической эквивалентности многооб- разия n-сфере. Конструкция Пуанкаре труд- на для понимания, но через 21 год после смерти великого французского математика Герберт Зейферт и Константин Вебер до- казали, что такое же многообразие можно сконструировать из додекаэдра, используя технику склейки. Додекаэдр — один из пяти возможных правильных многогранников — представляет собой тело с 12 сторонами-пятиугольниками (см. рисунок). Для создания многооб- разия Пуанкаре нужно соединить каждую из сторон с противоположной, но до склейки требуется повернуть сторону, чтобы она совпадала с проти- воположной. Это необходимо сделать со всеми сторонами, то есть произ- вести шесть склеек. Так как внутренняя часть додекаэдра — трехмерный объем, полученное многообразие будет трехмерное. Очевидно, что опе- рацию по склейке одних сторон с другими невозможно произвести в обыч- ном пространстве. Додекаэдр Пуанкаре существует только в четырехмер- ном пространстве. «Мы могли бы спросить себя тогда: достаточно ли учитывать эти коэффициенты? Если взять многообразие, в котором все числа Бетти и коэффициенты искривления равны 1, будет оно одно- связным или эквивалентным гомеоморфной сфере; или, напротив, перед тем как делать заявления о связности многообразия, необ- ходимо изучить его фундаментальную группу, которая была опре- делена в Journal de PEcole Polytechnique». Достаточно ли было гомологии для определения многооб- разия или следовало также изучать гомотопную группу? Сам Пуанкаре отвечал на этот вопрос, приводя контрпример: НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 109
«Теперь мы можем ответить на вопрос: я построил пример много- образия, где все коэффициенты искривления и все числа Бетти равны 1, однако оно не односвязное». Эта трехмерное многообразие известно сегодня как додека- эдр Пуанкаре. Через несколько лет после смерти ученого Зей- ферт и Вебер доказали, что данную фигуру можно построить из обычного додекаэдра, соединив противоположные стороны, предварительно развернув их на 36°. Также потребовалось несколько лет для того, чтобы работа, сделанная для конкурса короля Швеции, и исправление изна- чально допущенной в ней ошибки стали передовым открытием математики, предвосхитившим свое время. В пятом дополнении Пуанкаре детально описал конструкцию додекаэдра и доказал, что его гомотопическая группа нетривиальна (в действитель- ности в ней 120 элементов), поэтому он не может быть гомео- морфен сфере. На последней странице статьи есть следующая фраза: «Возможно ли, чтобы фундаментальная группа многообразия V сокращалась до замены тождества и при этом V не было бы одно- связным?» Это формулировка гипотезы Пуанкаре в том виде, в ка- ком ее предложил сам автор. Выраженная таким образом, это не совсем гипотеза, а вопрос, и у нас нет оснований для того, чтобы решить, к какому из ответов («да» или «нет») склонялся Пуанкаре. Но дело в том, что положительный ответ — «Всякое многообразие, фундаментальная группа которого тривиальна, является односвязным, то есть гомеоморфным сфере» — мате- матики стали расценивать как верный, и то, что должно было называться «проблема Пуанкаре», стало называться гипотезой. После нескольких строк технических подробностей в пя- том дополнении говорится: «Но этот вопрос завел бы нас слиш- ком далеко». Действительно, очень далеко! Потребовался це- лый век работы лучших математиков мира, чтобы разрешить его. но НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ Выражение «многообразие, фундаментальная группа которого тривиальна» означает, что всякая замкнутая линия, которую мы проведем по многообразию, способна постоянно деформиро- ваться, пока не превратится в точку. Гипотезу Пуанкаре можно сформулировать следующим образом: всякую и-мерную конеч- ную «поверхность», не имеющую границ и на которой всякая петля может превратиться в точку, можно, постоянно деформи- руя, превратить в и-сферу. Под «конечной» понимается то, что мы можем поместить эту поверхность в закрытую область. На- пример, окружность конечна, потому что мы можем заключить ее в квадрат, а плоскость или прямая не конечны. Факт того, что объект не имеет границ, означает, что нет линии или поверх- ности, после которых поверхность не существует. Например, тор или сфера не имеют границ: если мы пройдем по ним, то ни- когда не придем к краю. Но лента Мёбиуса, поверхность стола или диск имеют границы: на всех из них есть линия, при пере- ходе которой мы выходим с поверхности. Очевидно, что гипотеза Пуанкаре верна для двух изме- рений, хотя приемлемое доказательство этого утверждения для математика может иметь удивительный вид для человека, не привыкшего к доказательствам. В любом случае его можно доказать с помощью рисунка. И здесь научная мысль оставалась на месте больше половины XX века. Новых открытий не было до 1961 года, когда математик Стивен Смейл (р. 1930) дока- зал, что гипотеза верна для семимерных и более пространств. Доказательство Смейла использует чисто топологические тех- ники и отталкивается от идеи, что тор топологически эквива- лентен сфере, которой добавили ручку. Идеи Смейла не могли применяться для пространств менее чем семимерных, так как в них «не было места» для необходимых преобразований. Джон Столлингс (1935-2008) и Кристофер Зееман (р. 1925) доказали гипотезу для шести- и пятимерных пространств. Пойдя по со- вершенно новому пути, Майкл Фридман (р. 1951) в 1982 году смог доказать гипотезу для четырехмерных пространств. НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 111
И снова наступил застой. Все методы, использованные для высших измерений, не годились для трехмерного пространства. Речь идет о трехмерной «гиперповерхности», содержащейся в четырехмерном пространстве. Путь доказательства гипотезы для трех измерений был найден в другой области, отличной от предшествующих доказательств. Можно с уверенностью ска- зать, что этот путь очень понравился бы самому Анри Пуанкаре, так как был связан с неевклидовой геометрией. На протяжении этой книги мы уже видели связь неевклидовой геометрии с дру- гими областями математики, потому что Пуанкаре пользовался ею для дифференциальных уравнений. В главе 1 мы говорили о трех возможных геометриях в трехмерном пространстве: евклидовой, кривизна которой равна нулю, эллиптической, кривизна которой положительна, и гиперболической, кривизна которой отрицательна. Пример первой — плоскость, где кратчайшая линия, проведенная меж- ду двумя точками — прямая, а сумма углов треугольника равна 180°. Эллиптическая геометрия — это геометрия на сфере, где окружности являются кратчайшими линиями между двумя точками, а сумма углов треугольника больше 180°. Наконец, гиперболическая геометрия — это геометрия поверхности сед- ла, где сумма углов треугольника равна меньше 180°. Любая двумерная поверхность может быть деформирована хотя бы ча- стично, для того чтобы получить один из трех типов геометрий. Эта идея стала отправной точкой для работ американского ма- тематика Уильяма Тёрстона (1946-2012). Тёрстон обнаружил, что в случае трехмерных многообра- зий существуют восемь возможных геометрий: три, которые мы перечислили, их комбинации и некоторые экзотические варианты. Следующим шагом стала необходимость доказать, что всякое трехмерное многообразие может быть классифи- цировано в одной из восьми возможных геометрий, и тут си- туация осложнилась. Тёрстон не полностью решил задачу, но в 1982 году предложил то, что стало называться гипотезой геометризации: «Всякое трехмерное многообразие может быть разрезано на куски, каждый из которых будет соответствовать одной из восьми возможных геометрий». Самое важное для нас 112 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
Поток кривизны на петле (см. рисунок 5) и на грушевид- ной поверхности (см. рисунок 6). то, что Тёрстон доказал: гипотеза Пуанкаре является прямым следствием из его гипотезы. То есть если его идея верна, также верна и идея Пуанкаре. Нашим следующим действующим лицом является еще один американец — Ричард Гамильтон (р. 1943), который ввел в оби- ход «поток Риччи» — математический инструмент, в итоге при- ведший к окончательному доказательству гипотезы Пуанкаре. Имя Риччи отсылает нас к итальянскому математику Грегорио Риччи-Курбастро (1853-1925), который ввел тензор, носящий его имя, что стало его вкладом в неевклидову геометрию. Тензор Риччи — математический объект, характеризующий кривизну поверхности или неевклидова пространства. Это один из эле- ментов, который появляется в уравнении общей теории отно- сительности Эйнштейна, связывающего пространственно-вре- менную кривизну с ее содержанием масса-энергия. Поток кривизны является более простым понятием, он по- могает понять программу Гамильтона после создания потока Риччи. Представим, что у нас есть замкнутая кривая любой формы. Начнем ее деформацию, придавливая выпуклые зо- ны со скоростью, пропорциональной ее кривизне, и вытягивая вогнутые области (см. рисунок 5). Постепенно мы будем вы- НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 113
равнивать выступы и уменьшать выемки до получения окруж- ности. Мы можем делать это в двумерном пространстве, как на рисунке 6, и постепенно превращать поверхность в форме груши в сферу. Интуитивно кажется, что если мы применим этот вид потока к любой поверхности, то в конце концов полу- чим сферу, только если начальная поверхность была топологи- чески эквивалентна сфере. Поток Риччи — это в каком-то смысле обобщение данных идей для более чем двумерных пространств. Гамильтон опреде- лил, как нужно действовать, но скоро столкнулся с трудностями: в потоке могли возникать сингулярности, то есть точки, где по- верхность превращается в точку или поток расходится; не было понятно, всегда ли можно их контролировать. Именно тогда на сцене появился последний герой нашей истории — Григорий Перельман. ГЕНИЙ ИЗ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА Григорий Перельман родился в 1966 году в Ленинграде (сейчас Санкт-Петербург). В 15 лет он получал первые места на город- ских олимпиадах по математике, а затем и всего СССР. После окончания Ленинградского государственного университета он поступил в Математический институт им. В. А. Стеклова, от- деление которого было в его родном городе. Институт Стеклова в советскую эпоху считался одним из лучших математических институтов в мире. В этот период Перельман работал с велики- ми русскими математиками, среди них был и Александр Алек- сандров (1912-1999). В 1992 году Перельман получил стипендию Института ма- тематических наук Карента в Нью-Йорке. Там он познакомился с Ганг Тяном (р. 1956), с которым часто брал напрокат машину, чтобы ехать в Принстон или в Стоуни-Брук и слушать лекции величайших математиков мира. На одной из лекций Перельман встретился с Гамильтоном и смог обсудить с ним потоки Риччи и свои идеи по доказательству гипотезы Пуанкаре. 114 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
ВВЕРХУ СЛЕВА: Энрико Бетти. Пуанкаре отталкивался от работ этого итальянского математика в своих исследованиях топологии. ВВЕРХУ СПРАВА: Григорий Перельман, которому принадлежит окончательное доказательство гипотезы Пуанкаре. ВНИЗУ: Уильям Тёрстон, предложивший гипотезу геометриэации, также доказанную Перельманом. НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 115
После трех лет, проведенных в разных научных центрах США, несколько университетов предложили Перельману место преподавателя. Но однажды в его руки попала статья Гамиль- тона, и Перельман понял, что тот застрял в своей работе. Пе- рельман написал Гамильтону и предложил сотрудничество, но Гамильтон не ответил: так российский ученый понял, что может работать над доказательством самостоятельно. Он решил отказаться от всех предложений и вернуться в Санкт-Петербург, так как нуждался во времени и спокойствии для достижения поставленной цели. После его возвращения в родной город его отец уехал в Израиль, скоро за ним последовала и сестра, так что Григорий остался один с матерью. Они жили в двух разных квартирах в одном районе. Перельман официально оставался на должности в Институте Стеклова и своевременно сдавал все отчеты, в то же время он заперся в своей квартире и работал, общаясь только с некоторыми коллегами из института. В июле 2000 года Математический институт Клэя объявил премии за решения задач тысячелетия. Институт Клэя был основан в 1998 году американским мультимиллионером Лэн- доном Клэем с целью способствовать развитию математики. В 2000 году несколько математиков составили список из семи задач — задач тысячелетия, — за решение каждой из которых институт объявил награду в миллион долларов. В этом списке была и гипотеза Пуанкаре. К тому времени Перельман уже пять лет работал над ее доказательством. Он только изредка выходил на прогулку и иногда посещал музыкальные концерты. Ученый отправил 11 ноября 2002 года на сайт arXiv.org работу под заголовком «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические при- ложения» (The Entropy Formula for the Ricci Flow and its Geometric Applications). В этом проявились все особенности характера математика. Как правило, в научном сообществе было принято направлять работу такого масштаба в известный научный жур- нал. Конечно, иногда на arXiv.org выкладывают и первоначаль- ную версию какой-нибудь важной работы, но с дальнейшим на- мерением опубликовать ее в журнале. Но Перельман отправил на сайт окончательный вариант своей статьи, который не был 116 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
больше никуда направлен. Она так и остается общедоступной в полном виде, хотя в мире найдется немного людей, которые смогут понять ее. Статья содержит 40 страниц и подписана «Гриша Перель- ман». В конце страницы есть пометка с необычным уточнением: «Я финансировал свою работу частично из сбережений, скоплен- ных за время пребывания в Курантовском институте осенью 1992 года, в SUNY в Стоуни-Брук весной 1993 года и в Калифор- нийском университете в Беркли в 1993-1995 годах. Хотел бы по- благодарить всех, кто работал, чтобы предоставить мне такие воз- можности». Первоначальный текст был дополнен еще двумя статьями в марте и июле 2003 года, в них уточнялись и более подробно объяснялись некоторые понятия. В этих трех статьях Перель- ман представляет свою общую теорию для разрешения про- блемы сингулярностей потока Риччи и дополнения програм- мы Гамильтона, доказывая геометризацию Тёрстона и также гипотезу Пуанкаре. На самом деле изложенные им результаты идут дальше доказательства гипотезы Тёрстона. Статьи очень трудны, так как в них говорится о разных областях математики. Любопытно, что имя Пуанкаре в них не упомянуто ни разу. Ганг Тян, коллега Перельмана по Курантовскому инсти- туту, в течение семи лет ничего не слышал о нем, пока вдруг не получил по электронной почте сообщение от Перельмана, в котором тот рассказывал о своих достижениях и указывал, что опубликовал статью на arXiv.org. Тян пригласил Перель- мана в США, чтобы провести лекции и встречи по его рабо- те. Перельман, жаждавший обсудить результаты и обменяться мнениями с коллегами, сразу же согласился. Так, в 2003 году он вернулся в США с приглашением в лучшие университеты страны провести лекции и семинары. При этом от интервью, ка- мер и записей ученый отказывался. В интернете можно найти не так уж много его фотографий. На встречах он даже не упоми- нал о гипотезе, потому что она была лишь одним из следствий его теории. НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 117
Во время этой поездки несколько университетов вновь предложили Перельману место преподавателя, но он отказался от всех предложений и вернулся в Санкт-Петербург. Проверка правильности доказательства Перельманом гипотезы Пуанкаре заняла годы, никто не обладал такими глубокими знаниями в разных областях, чтобы понять ее отдельные части. Научное математическое сообщество уже привыкло, что кто-нибудь го- ворит о доказательстве знаменитой теоремы, а потом оказыва- ется, что доказательство неполное или неверное, даже если о нем объявляет признанный ученый, как это было в случае с Перель- маном. Так что эксперты относились к открытию со здоровым скептицизмом, в то же время разбирая шаг за шагом работу рос- сийского математика. Меня не интересует геометрия, меня интересует мораль. Александр Александров, российский математик, руководитель Перельмана По-видимому, Перельман устал ждать, и в декабре 2005 го- да он уволился из института, что можно было расценить как отказ продолжать заниматься математикой. В 2006 году, когда две группы, независимо друг от друга работавшие над провер- кой теории Перельмана, подтвердили, что его доказательство верное, имя ученого оказалось в заголовках газет по всему ми- ру. Кроме того, начался скандал. Два китайских математика за- явили, что Перельман сделал только часть работы — примерно 25 %, — а завершили доказательство именно они. Перельман от- ветил на их обвинения: на самом деле они не поняли его работу и не привнесли в нее ничего нового. В том же году Международный математический союз при- судил Перельману медаль Филдса, важнейшую мировую на- граду по математике. Эту премию вручают раз в четыре года четырем математикам моложе 40 лет. Но Перельман отказался от медали. Возможно, тогда он решил, что все испорчено и рос- сийские математики недостаточно защищали его. Годы ожи- дания и вопрос авторства, который поставили под сомнение китайцы, вероятно, были весьма ему неприятны. Для Перель- 118 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
мана математика являлась не только первейшей из дисциплин, но и моральной наукой. Награждение медалями Филдса в 2006 году проходило на Международном математическом конгрессе в Мадриде. Их вручал король Испании Хуан Карлос I. Трое других математи- ков торжественно приняли медали и прочли доклады о своих достижениях на пленарных заседаниях, но Перельман так и не появился. Когда президент Международного математиче- ского союза объявил его имя и сказал, что, к сожалению, вели- кий российский математик отказался от премии и от участия в заседании, возникла неловкая ситуация, когда присутствую- щие не знали, аплодировать или хранить молчание. С тех пор Перельман разорвал все свои связи. Он больше не отвечал на сообщения по электронной почте. Джон Морган (р. 1946) и его старый коллега Ганг Тян — два эксперта, изучав- ших его работу, — опубликовали книгу со своими выводами и отправили Перельману экземпляр для оценки. Тот вернул им книгу, не открыв ее. Институт Клэя до 2010 года не объявлял окончательного решения о том, что доказательство гипотезы Пуанкаре верное и его автор — Перельман, и никто другой. В комитет, занимав- шийся изучением доказательства, входили величайшие миро- вые эксперты по данной теме. Институт присудил Перельману миллион долларов за решение задачи тысячелетия. Но прошло уже восемь лет с тех пор, как Перельман за- грузил свою статью в интернет. Ученый ответил, что подумает, и несколько месяцев от него не было известий. Он окончатель- но отказался от премии 1 июля 2010 года, потому что считал это решение несправедливым. Возможно, Перельман полагал, что Гамильтон также заслуживает премии. В любом случае он выражал свое несогласие с математическим сообществом и не считал себя его частью. В течение своей карьеры Григорий Перельман всегда избе- гал камер и журналистов. Он не хотел ни известности, ни славы. Парадоксально, но такое поведение сделало его знаменитым. Ни один из трех награжденных медалью Филдса в Мадриде 2006 года не известен широкой публике. Конечно, это уважае- НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 119
мне люди в научном сообществе, но широкая общественность их не знает (как раз этого хотел бы для себя Перельман). Но от- каз ученого от медали и тем более отказ от премии тысячелетия превратили его в легенду. Кто-то видит в поступках этого че- ловека вызов обществу, кто-то полагает, что он выступает про- тив капитализма, другие думают, что Перельман романтично отстаивает свое видение работы математика, кто-то считает его сумасбродом. Ясно одно: в этой ситуации мир математики по- терял одного из своих величайших гениев. ПУАНКАРЕ — ПУБЛИЧНАЯ ФИГУРА С 1881 года до конца жизни Пуанкаре жил в Париже. Кроме научной и академической работы, он вел активную социаль- ную жизнь и был знаком с избранным парижским обществом. Например, он знал распространительницу идей психоанализа во Франции, Мари Наполеон, дочь Ролана Наполеона и внучку Франсуа Бланка, основателя казино в Монте-Карло. Ролан был ученым и даже возглавлял Географическое общество и Акаде- мию наук. Так, его дворец на Авеню-Иена, 10 стал резиденцией Географического общества, а сегодня в этом здании находится отель. Пуанкаре несколько раз ужинал в этом доме, где собира- лись интеллектуалы и представители мира искусств той эпохи. Письма Мари Наполеон Пуанкаре показывают ее восхищение французским математиком. В возрасте всего лишь 32 лет, в январе 1887 года, Пуанкаре стал членом Академии наук (секция геометрии). Как обычно бывает в таком типе учреждений, количество академиков в нем строго фиксированное, вакансия образуется только после смер- ти одного из них. Математик Эдмон Лагерр, бывший препода- ватель Пуанкаре в Политехнической школе, умер в августе 1886 года, оставив свое место в Академии. Для замены предло- жили Пуанкаре, Мангейма, Аппеля, Гусара, Юмбера и Пикара. Мангейм являлся преподавателем Пуанкаре в Политехнической школе и был гораздо старше его. Именно с ним у Пуанкаре воз- 120 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
ФРАНЦУЗСКАЯ АКАДЕМИЯ Французская академия была основа- на в 1635 году кардиналом Ришелье во времена правления Людовика XIII. Целью ее создания являлось установ- ление норм французского языка и работа над его развитием. Число членов Академии равняется 40, они занимают свою должность пожизнен- но. После смерти одного из академи- ков ему выбирают замену путем голо- сования. Членов Академии называют «бессмертными», это связано с деви- зом учреждения «К бессмертию» и по логике вещей обращено к фран- цузскому языку, а не к академикам. Членами Академии были многие великие французские поэты, фило- софы и писатели, а также многие уче- ные, как в случае с Пуанкаре. Фран- цузская Академия стала прообразом других аналогичных учреждений в европейских странах. Обложка шестого издания словаря Французской академии, опубликованного в 1835 году. никли проблемы из-за оценки по черчению во время учебы. На решающем голосовании остались кандидатуры Пуанкаре и Мангейма. Пуанкаре был выбран 31 голосом против 25 голо- сов за его соперника. Эрмит поддержал Пуанкаре на голосова- нии. Аппель и Пикар, два других протеже Эрмита, скоро также стали членами секции геометрии Академии наук. Пикар был выбран в 1889 году, Аппель — в 1892-м. То, что для большинства ученых являлось признанием заслуг всей карьеры, честью, ко- торую можно было ожидать уже в зрелые годы интеллектуаль- ной жизни, пришло к Пуанкаре, когда он не написал и половины работ, входящих сегодня в его огромное наследие. В 1896 году Пуанкаре перешел на кафедру астрономии и не- бесной механики. В 1906 году его выбрали президентом Акаде- мии наук, а в 1908-м — членом Французской академии, учреж- НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА? 121
дения, исполняющего сходные функции с Королевской академией испанского языка. В то время труды Пуанкаре переш- ли границы физики и математики и обратились в область фило- софии. Французская академия — более изысканное учреждение по сравнению с Академией наук, так как в ней состоит только 40 членов, а в ее задачи входит установление правил француз- ского языка. Однако выбор Пуанкаре не был исключительным фактом для Академии, потому что, как говорил он сам в своей вступительной речи, членами Академии становились передовые ученые своего времени, вносившие вклад в принятие новых слов в язык. После назначения математик оказался включен в список таких великих ученых-членов Академии, как Д’Аламбер, Бер- тран, Пастер. Удивительно, что Пуанкаре был избран на место поэта Сюлли-Прюдома, которому он посвятил свою вступитель- ную речь. 122 НАСКОЛЬКО ЕДИНА СФЕРА?
ГЛАВА 5 Пуанкаре и теория относительности Наряду с Хендриком Лоренцем и Альбертом Эйнштейном Анри Пуанкаре можно считать одним из создателей специальной теории относительности. Интерес ученого к проблемам, связанным с теорией электромагнетизма, в особенности с теорией Лоренца, привел его к необходимости переформулировать принципы механики. С другой стороны, размышления Пуанкаре о невозможности существования абсолютного пространства и его труды о природе времени глубоко поразили молодого Эйнштейна.

Анри Пуанкаре был человеком привычки. Он завтракал в во- семь, обедал в двенадцать и ужинал в семь. Кофе после ужина автор «Науки и метода» обычно не пил. Пуанкаре ложился в де- сять и вставал в семь утра. Ему нравились прогулки, но другими физическими упражнениями он не занимался. Ученый не курил и не любил, когда курят другие. Его рост был 1,65 м, и в 1909 году он весил 70 кг. Нам известны все эти детали, потому что доктор Этьен Тулуз, директор лаборатории экспериментальной психо- логии парижской Высшей школы, провел психологическое ис- следование личности Пуанкаре. Из его исследования мы можем также узнать, что Пуанкаре был религиозен в детстве и отроче- стве, но отошел от веры в возрасте 18 лет. Он симпатизировал политическим взглядам своего кузена Раймона Пуанкаре, то есть являлся умеренным консерватором, имея при этом про- грессивные взгляды на образование и участие женщин в поли- тической жизни. Ученый не доверял католической церкви из-за ее антинаучных взглядов и постоянного желания влиять на по- литическую и социальную жизнь страны. Возможно, вследствие франко-прусской войны Пуанкаре всю жизнь был патриотом. Это не мешало его открытым и дружелюбным отношениям с не- мецкими учеными, но по возможности он предпочитал цитиро- вать и отмечать заслуги французских коллег. Пуанкаре был од- ним из ярких представителей так называемой светской морали ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 125
Французской Республики. Для него честность, открытость, вер- ность, служение обществу и поиск всеобщего блага являлись высшими и универсальными ценностями. ДОЛГ ГОСУДАРСТВЕННОГО СЛУЖАЩЕГО: ДЕЛО ДРЕЙФУСА Как государственный служащий, Пуанкаре был связан с делом Дрейфуса, ставшего причиной глубокого раскола французско- го общества на рубеже веков. Альфред Дрейфус (1859-1935) — капитан французской армии, в 1893 году причисленный к Гене- ральному штабу. Данное назначение вызвало недовольство, так как антисемитизм был характерен для французской военной иерархии той эпохи, как, впрочем, и для всей Европы. Сначала кандидатуру Дрейфуса отвергли из-за еврейского происхожде- ния, но он выступил с протестом, и в конце концов ему предо- ставили место. Франко-прусская война оставила глубокий след на армии Франции: в конце века там появилось отделение по подготовке разведчиков и борьбе со шпионажем, его основной целью было получение информации о немецкой армии и передача врагам фальшивых данных. Однажды, в 1894 году, французские раз- ведчики обнаружили документ с информацией о французской армии в личных вещах немецкого офицера, приписанного к по- сольству Германии в Париже. Так как источник информации предположительно находился в Генеральном штабе, подозрения пали на его служащих. Настоящего расследования не было, но Дрейфуса, выходца из Эльзаса — региона, находившегося в центре конфликта с Германией, — обвинили в этом преступле- нии. Единственными «доказательствами» были его происхож- дение и скрытный характер. Дело окончательно приняло абсурд- ный оборот, когда провели сравнение почерка Дрейфуса с почерком в перехваченном документе. Несмотря на значитель- ную разницу, майор Дю Пати де Клем решил, что автор запи- ски — Дрейфус, и передал обстоятельства дела генералу Мерсье. 126 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Он, в свою очередь, попросил знаменитого криминалиста Аль- фонса Бертильона провести детальный каллиграфический ана- лиз. Последний, видя явные различия в почерках, придумал теорию, что Дрейфус специально поменял почерк, чтобы избе- жать обвинений. Дрейфус был осужден и приговорен за измену. Его разжа- ловали и отправили на пожизненное заключение в военную тюрьму во Французскую Гвиану. Сразу же брат капитана, Ма- тье, и его семья начали кампанию, отстаивающую его невинов- ность. В 1896 году подполковник Пикар обнаружил настоящего виновника, это был Фердинанд Вальсен-Эстерхази. Аристокра- тический образ жизни погрузил его в пучину долгов, поэтому он начал продавать информацию немцам, к тому же он был оби- жен на Францию и евреев. Вместо награды за расследование ЭМИЛЬ ЗОЛЯ: «Я ОБВИНЯЮ» Оправдание Эстерхази, настоящего виновника преступлений, которые приписывались Дрейфусу, заставило писателя Эмиля Золя (1840-1902) опубликовать в газете L’Aurore в янва- ре 1898 года открытое письмо к пре- зиденту Республики. В письме он за- являл о несоответствиях в деле и обвинял участников-военных в коз- нях и фальшивых уликах при обвине- нии Дрейфуса, о непричастности кото- рого было хорошо известно. Золя судили и изгнали в Лондон. Но его письмо сделало раскол французского общества еще более глубоким. Пра- вые католические силы и военные на- стаивали на вине Дрейфуса, в Париже против него даже прошли весьма многолюдные демонстрации. Оправда- ние Эстерхази с радостью встретили те, кто отличался антисемитскими взглядами. В другом лагере находились радикалы и общественность с ле- выми взглядами. ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 127
Пикара отправили в Тунис, чтобы отдалить его от дела. Однако деятельность семьи Дрейфуса и самого Пикара вызвала симпа- тии Сената и части французского общества. В январе 1898 года Эстерхази был арестован, его судил военный суд, но, ко всеоб- щему удивлению, вынес оправдательный приговор. Я обвиняю трех экспертов-графологов в том, что они составили лживое и мошенническое заключение, если только врачебным освидетельствованием не будет установлено, что они страдают изъяном зрения и умственной неполноценностью. Эмиль Золя в открытом письме президенту Республики, опубликованном В ГАЗЕТЕ L’AURORE Ввиду многочисленных свидетельств в пользу Дрейфуса дело вновь открыли, и в сентябре 1899 года в Ренне прошел второй суд. Математик Поль Пенлеве (1863-1933) был среди тех, кто не сомневался в невиновности Дрейфуса, и обещал сде- лать заявление в суде. Пенлеве, кроме того, являлся хорошим другом великого математика Жака Адамара (1865-1963) еврей- ского происхождения, тоже участвовавшего в деле. Адамар со- стоял в родстве с Дрейфусами: его отец и отец жены военного были кузенами. Одна из линий защиты Дрейфуса направлялась на доказа- тельство несостоятельности отчета Бертильона, который на ос- нове сравнения почерков заявлял, что Дрейфус — автор запи- ски. Хотя Бертильона можно назвать пионером по внедрению научных методов в полицейское расследование, он не был про- фессиональным ученым. В его отчете фигурировали очевидно ошибочные расчеты вероятностей. Пенлеве попросил Пуанка- ре, который, как мы уже говорили, занимал пост главы кафедры математической физики и теории вероятностей Парижского университета, подготовить отчет, развенчивающий аргументы Бертильона. Таким образом, Пенлеве, дружба которого с Ада- маром была известна суду, представлял не собственные сло- ва, а заключения пользовавшегося несомненным престижем 128 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Пуанкаре. На суде в Ренне Пенлеве зачитал письмо Пуанкаре, в котором тот объяснял детали расчета вероятностей. В нача- ле письма математик говорил о своем нейтральном отношении к делу, которое решалось в суде: «Мой дорогой друг, Вы просите моего мнения относительно си- стемы Бертильона. Касательно сути дела я, естественно, промол- чу. Я не осведомлен о нем и не могу ссылаться на тех, кто знает больше. Также я не являюсь графологом, и у меня не было време- ни изучить принятые меры. Теперь, если Вы только хотите знать, правильно ли применение расчета вероятностей в рассуждениях господина Бертильона, я могу высказать свое мнение». Далее Пуанкаре развенчивает расчеты Бертильона, объ- ясняя, что в его рассуждениях законы вероятности применены неправильно. Письмо заканчивается так: «Не знаю, будет ли обвиняемый приговорен, но если и будет, то на основании других свидетельств. Невозможно, чтобы такие аргументы [представленные обвинителями] могли произвести какое-либо впечатление на непредвзятых людей, получивших ос- новательное научное образование». Мы не знаем, получили ли члены суда основательное науч- ное образование, но очевидно, что вердикт был принят заранее, потому что Дрейфуса вновь объявили виновным. Капитан подал апелляцию президенту Республики Эмилю Франсуа Лубе, который помиловал его в том же году. Семья и сторонники Дрейфуса продолжали бороться за то, чтобы по- лучить окончательную реабилитацию, и в 1904 году дело снова было рассмотрено кассационным судом. В ходе судебных про- цедур Пуанкаре, Аппелю (ставшему деканом факультета наук) и Дарбу (постоянному секретарю Академии наук) был направ- лен запрос об экспертном мнении касательно графологических улик, использованных на предшествующих заседаниях. Есть несколько ответов на вопрос, почему был выбран имен- но Пуанкаре. Если в 1899 году он имел высокий статус во фран- ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 129
цузской науке, то в 1906 году его влияние было абсолютным. В течение десяти лет он возглавлял кафедру теории вероятно- стей и математической физики и стал автором трактата по тео- рии вероятностей, используемого по всей Франции. Кроме того, ученый был известен не только среди научного сообщества. От- чет, направленный тремя математиками в суд, был написан на ста страницах и предлагал детальный анализ предыдущих графологических отчетов. Все указывает на то, что по большей части отчет составил Пуанкаре, так как в нем приводятся основ- ные тезисы письма Пенлеве. Большая часть отчета похожа скорее на трактат о теории вероятностей, так как в ней детально описаны понятия этого раздела математики, необходимые для дела. Хотя в документе полностью разбирались технические детали расчетов, представ- ленных обвинением, также в нем нашлось место и моральным рассуждениям о человеческих ценностях, которые защищают авторы. Чтобы сделать расчет, нужно было знать вероятность априори до возникновения совпадения почерка (нужно пом- нить, что Бертильон обвинял Дрейфуса в попытке фальсифи- кации своего почерка), что совершенно невозможно. Соответ- ственно, авторы отчета писали: «Эта вероятность априори в таких вопросах, как тот, что занима- ет нас, может возникнуть на основе моральных элементов, абсо- лютно не относящихся к расчету. И если, как мы увидели, мы не можем ничего рассчитать, не зная вероятности, всякий расчет оказывается невозможным. По этому поводу Огюст Конт спра- ведливо говорил, что применение расчета вероятностей к мораль- ным наукам является скандальным для математики. Попытка заменить моральные элементы цифрами так же опасна, как и бес- смысленна». Это утверждение Пуанкаре не должно остаться незаме- ченным и сегодня. В отчете еще раз было показано, что авторы не верят в обоснованность применения расчета вероятностей в деле, они занимаются рассмотрением теории Бертильона 130 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ВВЕРХУ СЛЕВА: Джеймс Клерк Максвелл. Его теорию электромагнетизма Пуанкаре изучал с большим вниманием. ВВЕРХУ СПРАВА: Эйнштейн (слева) и Лоренц перед домом Лоренца в Лейдене, 1921 год. ВНИЗУ: Анри Пуанкаре в своем кабинете — во времена, когда он уже обладал огромным интеллектуальным престижем. ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 131
и других обвинителей не по убеждению, а в силу гражданской обязанности. Приговор Дрейфуса отменили 12 июля 1906 года, его вос- становили в должности. До какой степени на это повлиял отчет Пуанкаре, судить сложно. Очевидно, что в то время он был са- мым авторитетным математиком в стране, относился к фран- цузскому истеблишменту и никогда не высказывался ни за, ни против Дрейфуса, поэтому его мнение могло учитываться как действительно беспристрастное и уважительное по отноше- нию к государству и обществу. КАФЕДРА ФИЗИКИ Назначение Пуанкаре на кафедру математической физи- ки и теории вероятностей в 1886 году совпало с началом его внимательного изучения современных ему вопросов физики. В 1890 году он издал в виде учебника первый том конспектов по занятиям электричеством и оптикой, которые вел во втором семестре в течение 1888-1889 годов в рамках курса математи- ческой физики. Второй том, опубликованный в 1891 году, был посвящен исследованиям Гельмгольца и опытам Герца по элек- тромагнитным волнам. На своем курсе Пуанкаре рассказывал студентам о суще- ствовании нескольких теорий электромагнетизма, с особенным вниманием останавливаясь на теории Максвелла. Последняя была изложена в книге «Трактат по электричеству и магне- тизму» (1873). В ней законы электричества и магнетизма были сведены в единый набор уравнений, известных как «уравнения Максвелла», а также предсказывалось существование электро- магнитных волн, среди которых свет имел особое значение. Теория Максвелла были принята в Великобритании, где этого ученого считали последователем Уильяма Томсона, лорда Кельвина, и особенно Майкла Фарадея, но в Европе к ней от- носились более прохладно. В Германии ее принимали вместе с альтернативными теориями, такими как у Вебера, или в виде 132 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
более-менее сходных формулировок, как у Гельмгольца. Во Франции она не пользовалась большой популярностью, так как физики были строго разделены на экспериментаторов и тео- ретиков, последние из которых (к ним относился и Пуанкаре) или были математиками, или имели основное математическое образование. Стиль Максвелла, описывающего явления и одно- временно представляющего физические идеи и необходимые математические данные, не получил одобрения и рассматривал- ся как не строго научный. Ввиду этого обстоятельства Пуанка- ре начинал лекции словами: «Когда французский читатель впервые открывает книгу Максвел- ла, его наполняет чувство беспокойства, а иногда даже недоверия, к которому сразу же примешивается восхищение. Ощущение тре- воги пропадет только после длительного внимательного чтения и ценой многих усилий. А у многих выдающихся умов оно так и сохраняется до конца. Почему же идеи английского ученого так тяжело у нас приживаются? Несомненно, потому что образование, полученное большинством просвещенных французов, привило им вкус к точности и логике, которые ставятся превыше других качеств». Пуанкаре на своих занятиях по электричеству и оптике раскрывал идеи Максвелла для Франции, играя роль, анало- гичную Больцману, который также придерживался взглядов Максвелла и принес его идеи на германскую почву. Теория Максвелла была известна как «теория полей». Дан- ное выражение использовал Фарадей для определения зоны пространства, в которой проявляются электрические или маг- нитные силы. Но также теория давала механистическое объяс- нение электромагнетизму. Как мы уже говорили в главе 1, Мак- свелл считал электрические явления проявлением расширения и сжатия флюида, эфира, заполняющего все вокруг. Магнитные явления для него были следствием движения эфира, в котором формируются такие же завихрения, как мы наблюдаем в жид- кости. Так же как несбалансированные напряжения могут вы- звать движение, переменные электрические поля могут созда- ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 133
вать магнитное поле. Если движение способно создавать механическое напряжение, переменное магнитное поле может, в свою очередь, создавать электрическое. Теория объединяла электрические и магнитные явления в единую систему. Кроме того, в ней предсказывалось существование волн эфира. Эти волны в каком-то смысле аналогичны тем, которые распростра- няются по натянутой веревке, и Максвелл вывел их свойства и скорость из своих уравнений. Так как рассчитанная скорость была близка скорости света, Максвелл сделал вывод, что свет является одной из таких волн — электромагнитной волной. Между 1886 и 1888 годами Герц провел ряд опытов, кото- рые доказали существование электромагнитных волн, длина которых значительно больше, чем у света. Открытие Герца при- дало вес теории Максвелла, и это стало ключевым событием, после которого она в конце концов стала преобладающей над иными теориями. Но и в ней имелись трудности: на некоторые из них указывал и сам Максвелл в своем трактате. МАКСВЕЛЛ В ТРУДНОМ ПОЛОЖЕНИИ Основные трудности теории Максвелла были связаны с при- родой электрического заряда. Для Максвелла, а прежде для Фарадея, электрические заряды не существовали независимо, но порождались особенностями и напряженностями эфира. Это представление начинало все больше противоречить экс- периментальным данным: становилось все более очевидным, что катодные лучи — одна из самых модных тем исследований экспериментаторов в конце XIX века — состоят из мельчайших заряженных частиц (в современном понимании — электронов). Электролиз также доказывал существование заряженных ча- стиц, в этом случае — ионов. Несколько ученых в Англии и Германии внесли свой вклад в разработку теории Максвелла, подчищая его математические описания, упрощая понятия, сокращая общее количество урав- 134 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
нений и выделяя среди них фундаментальные уравнения. Но, кроме проблемы существования единичных зарядов, воз- никли другие трудности. Точнее, появилась необходимость в стройном описании электромагнитных явлений в случае дви- жущихся зарядов, и это было особенно важным в вопросе опти- ческих явлений. Фундаментальная проблема состояла в том, чтобы определить, от чего зависит скорость света — от движения испускающего тела, от приемника, от среды или от всего сразу. Из теории Максвелла следовало, что расчетная скорость света (почти 300000 км/с) относится к референтной системе, где эфир находится в состоянии покоя. Это вызывало следующие вопро- сы: движется ли Земля по отношению к эфиру? Если среда на- ЗВЕЗДНАЯ АБЕРРАЦИЯ Английский астроном Джеймс Брэдли (1693-1762) открыл, что перемещение Земли вокруг Солнца воздействует на видимое расположение звезд. Брэд- ли обнаружил, что звезды, расположен- ные рядом с северным полюсом, опи- сывают в течение года небольшой эллипс. Астроном объяснил это кажу- щееся перемещение тем, что на види- мое положение звезды воздействует направление скорости движения Зем- ли. Эффект возникает потому, что тра- ектория света изменяется и кажется, что источник света смещен. Это похоже на то, что происходит с каплями дождя, когда мы быстро идем или бежим: не- смотря на то что капли падают верти- кально, нам кажется, что они падают под наклоном, и мы наклоняем зонтик, чтобы не промокнуть. Звездная абер- рация (как называют данное явление), Положение казалось, подтверждала, что Земля движется относительно эфира. Теория относительности четко объясняет ее. В частности, релятивистское прави- ло сложения скоростей точно предсказывает наблюдаемый феномен. ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 135
ходится в движении (например, вода в канале), увлекает ли она эфир за собой? Явление, известное как звездная аберрация, казалось, ука- зывает на то, что Земля действительно движется относительно эфира. А измерения скорости света в движущейся воде Иппо- лита Физо (1819-1896) как будто указывали на то, что эфир частично увлекаем водой. С другой стороны, Альберт Абрахам Майкельсон (1852-1931) и Эдвард Морли (1838-1923) в своем знаменитом опыте доказали, что свет перемещался с одинаковой скоростью вне зависимости от того, двигается луч в том же на- правлении, что и Земля, или в перпендикулярном ей. В общем, создавалось впечатление, что эфир словно приклеен к Земле или же его просто не существует. По сути, каждое из явлений противоречило друг другу. ЛОРЕНЦ ПРИХОДИТ НА ПОМОЩЬ Голландец Хендрик Лоренц взялся за проблемы теории Мак- свелла и разрешил некоторые из них. Его теория была синте- зом идей Максвелла и некоторых других, в том числе Вебера. Лоренц признавал существование частиц, обладающих массой и электрическим зарядом, — электронов и ионов. Эти частицы создавали вокруг себя электрическое поле. Если они двигались, то создавали магнитное поле. Уравнения Максвелла описыва- ли эти поля, которые воздействовали на каждую заряженную частицу, находившуюся в них. Сила, с которой поле воздей- ствовало на любую заряженную частицу, имела следующее вы- ражение: F = q(E + vxR). Сегодня она известна как «сила Лоренца». В этой формуле q — заряд частицы, у — ее скорость, Е — электрическое поле, В — магнитное поле, а х обозначает векторное произведение. 136 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Эти понятия привычно звучат сегодня в физических тео- риях; проблема делится на две части, связанные с частицами и с полями — обычно не только для электромагнетизма, но и для других фундаментальных сил природы. Эйнштейн в 1953 году говорил о Лоренце следующее: «Ученые нашего времени не до конца осознают решающую роль Лоренца в развитии фундаментальных идей теоретической физи- ки. Причина этого странного факта в том, что основные идеи Ло- ренца стали привычными и трудно себе представить, насколько смелыми они были и насколько они упростили основы физики». Также Лоренц в 1892 году разработал преобразования коор- динат, которые оставляли неизменными уравнения Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Самым важным свойством этих преобразований была неиз- менность скорости света. То есть если для того чтобы перей- ти от одного наблюдателя к другому, находящемуся в движе- нии по отношению к первому, мы применим преобразования Лоренца, оба наблюдателя укажут одинаковую величину ско- рости света. Название «преобразования Лоренца» ввел в оби- ход Пуанкаре. Одной из самых интересных характеристик этих преобразований является то, что они устанавливают различное время для каждого наблюдателя: Лоренц называл это время «локальным», так как оно зависит от точки наблюдения. Пуанкаре вновь начал вести занятия по электричеству и оптике в 1899 году, конспекты по ним вышли в 1901 году под заглавием «Электричество и оптика, второе издание». Новое издание содержало основные положения старого, также в него были добавлены детальные описания теорий электродинамики Герца, Лармора и Лоренца. Все трое основывались в своих тео- риях на уравнениях Максвелла, хотя по-разному применяли их к движущимся телам, пытаясь объяснить известные экспери- ментальные факты. Из всех этих теорий Пуанкаре рассматривал теорию Лорен- ца как наиболее правдоподобную, потому что она объясняла опыты Физо и звездную аберрацию. В издании «Электричества ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 137
и оптики» 1901 года Пуанкаре при описании проблемы звездной аберрации использовал понятие локального времени, которое Лоренц ввел в 1892 году. Это время зависело от системы отсче- та и в разных системах могло быть различным. Но в теории, на взгляд Пуанкаре, были две серьезные проблемы: в ней не со- блюдался принцип действия и противодействия, и также она не согласовывалась с принципом относительности. Эти два мо- мента ученый детально анализировал в статье, написанной в 1900 году в честь 25-летия присуждения Лоренцу докторской степени. Принцип действия и противодействия — это третий закон Ньютона: если одно тело воздействует на другое с определен- ной силой, то второе тело воздействует на первое с той же силой, но противоположной по направлению. Несоблюдение данного принципа открывало двери парадоксальным ситуациям, таким как возможность создания вечного двигателя. В своей статье Пуанкаре доказывал, что выражение, использованное Лорен- цем для описания силы воздействия на частицу, не соблюдало в общем виде этот принцип. Он заключал: «В теории Лоренца принцип действия и противодействия не должен применяться только к материи». Пуанкаре считал, что нужно включить эфир для баланса сил. В конечном счете это являлось ключом к раз- решению проблемы. Вторым конфликтным моментом был принцип относи- тельности. Согласно ему законы механики должны быть одина- ковы для всех наблюдателей, вне зависимости от их движения относительно друг друга (так называемые «инерционные на- блюдатели»). Галилей, которому мы обязаны этим принципом, объяснял его так: если мы сидим в трюме корабля, находящего- ся в порту, мы не можем установить, пришвартован он или дви- жется по спокойным водам с постоянной скоростью. Пуанкаре (как мы увидим в следующей главе) отвергал само понятие аб- солютного пространства и поэтому был убежден, что действие данного принципа распространяется на все явления в физике. Сила Лоренца F = q(E + v х В), казалось, не учитывает этот принцип. Трудность состояла в том, что Лоренц, соединив в тео- рии понятия частицы и поля, смешивал две разные физики. 138 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ОПЫТ ФИЗО Физо разработал и поставил в 1851 го- ду опыт для измерения скорости света с помощью трубки, по которой с боль- шой скоростью проходила вода. Ученый обнаружил, что скорость света в дви- жущейся воде следующая: , с „ 1 ч c' = - + u(J~—), п п2 Ипполит Физо. где п — показатель преломления воды, а и — ее скорость. Этот результат по- стоянно волновал ученых в течение второй половины XIX века. С одной сто- роны, если движение воды никак не воздействует на эфир, стоило ждать результата с/п, скорость света в воде в состоянии покоя. С другой стороны, если вода увлекает за собой движущий- ся эфир, результат должен равняться сумме двух скоростей с/п + и. Формула Физо не отвечает ни одному, ни второму варианту, а дает некий средний результат. Физики начали за- думываться над тем, что вода «частично* увлекает эфир. Этот результат не был правильно объяснен до тех пор, пока Лоренц не использовал не- которые релятивистские понятия. Релятивистское правило сложения ско- ростей точно учитывает его. Одна часть уравнения следует законам ньютоновской механики. В ней выполняется принцип относительности и нет привилеги- рованной системы отсчета: сила одинакова для всех наблюдате- лей. Другая сторона содержит электрические и магнитные поля, являющиеся проявлением механических свойств эфира, поэто- му кажется, что описание полей должно меняться в зависимости от того, находится наблюдатель в состоянии покоя по отноше- нию к эфиру или движется относительно него. Лоренц и Пуанкаре вели переписку по этому вопросу, без сомнений, повлиявшую на то, как они оба начали подходить к решению трудностей. В частности, Лоренц отделался от по- нятия эфира: он не чувствует напряжений и не может начать ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 139
двигаться ни при какой реакции материи. В последнем вариан- те эфир у Лоренца получил те же свойства, что и вакуум. Пуан- каре постепенно пришел к мысли, что менять нужно не уравне- ние силы Лоренца, а механику Ньютона. На пороге XX века, когда Пуанкаре подготовил второе из- дание конспектов для курса теоретической физики, Лоренцу удалось дать унифицированное объяснение большой группе явлений. За это в 1902 году вместе с Питером Зееманом он по- лучил Нобелевскую премию по физике. Пуанкаре был частич- но связан с этим, так как именно он вместе с Миттаг-Леффле- ром продвигал кандидатуру великого голландского физика. РОЖДЕНИЕ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ До 1905 года, когда Эйнштейн жил в Берне, он и двое его коллег часто читали философские книги и обсуждали прочитанное. Одной из прочтенных ими книг была работа Пуанкаре «Наука и гипотеза». Эйнштейн писал о ее воздействии на него следу- ющее: «Эта книга глубоко впечатлила нас, и на несколько не- дель мы восхищенно затаили дыхание». В следующей главе мы вернемся к этой книге, в которой Пуанкаре обобщает данные о состоянии физики и математики на начало XX века. Сей- час скажем только, что ученый сомневался в существовании абсолютного пространства и времени: «Нет абсолютного про- странства: то, что мы воспринимаем,— это относительные дви- жения». А также: «Нет абсолютного времени; выражение «две длительности одинаковы» само по себе бессмысленно и может приниматься как условность». Есть еще кое-что важное, что, без сомнения, заставило глубоко задуматься молодого Эйнштейна: «Мы не только не можем напрямую понять равенство двух дли- тельностей, но также непонятной остается одновременность двух действий, если они происходят в разных местах». Период с 1904 по 1906 год можно считать основополагаю- щим для специальной теории относительности. В 1904 году Лоренц опубликовал в «Актах Академии наук Амстердама» 140 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
статью «Электромагнитные феномены в системе, которая дви- жется со скоростью меньше скорости света». А в 1905 году в не- мецком журнале Annalen derPhysik появилась статья Эйнштей- на «К электродинамике движущихся тел». Далее, в 1906 году, в журнале Circolo Matematico di Palermo свет увидела статья Пуанкаре «О динамике электрона». Эти три работы обозначали разрыв с ньютоновской механикой и начали крупнейшую по своей глубине концептуальную революцию в истории фи- зики. Сложно отделить проблему одновременности от измерения времени. Если мы пользуемся хронометром или учитываем скорость перемещения, такую как скорость света, мы не сможем измерить эту скорость, если не измерим время. Анри Пуанкаре, ^Ценность науки* В своей статье 1904 года Лоренц доказал, что его преоб- разования пространственно-временных координат не меняют форму уравнения Максвелла. То есть если мы используем эти преобразования, чтобы определить пространственно-времен- ные координаты в новой системе, движущейся с постоянной скоростью по отношению к начальной, уравнения электриче- ского и магнитного полей будут иметь точно такой же вид. Ло- ренц также рассчитал, как преобразуются поля, заряды и токи при переходе из одной системы координат в другую. Эти преоб- разования называют сегодня «релятивистские преобразования полей и их источников». Лоренц объяснил с помощью своей теории отрицательный результат нескольких опытов, в кото- рых пытались обнаружить эфир, в частности опыта Майкельсо- на — Морли. В конце он вывел уравнение движения электрона, которое отличается от уравнения, выведенного с помощью ме- ханики Ньютона. Лоренц сделал предсказание об отклонении электрона в присутствии электрического и магнитного полей. Один из самых заметных релятивистских эффектов, а именно сокращение линейных размеров объектов по направлению дви- жения, был введен Лоренцем как гипотеза. ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 141
ФОРМУЛА E=mc2 В статье, опубликованной в 1900 году по случаю юбилея присуждения докторской степени Лоренцу, Пуанкаре проанализировал, выполняются ли в теории голландского физика принцип действия и противодействия и принцип относительности. В первой части статьи Пуанкаре доказал, что принцип действия и противодействия должен применяться как к материи, так и к эфиру (то есть к испускаемому излучению). Для анализа принципа относительности Пуанкаре предложил идеализированную ситуацию: си- стема испускает свет в течение определенного интервала времени в за- данном направлении. Принцип действия и противодействия требует, что- бы испускающее устройство испытывало обратное воздействие. Анализируя обратное воздействие в изначальной системе отсчета и си- стеме, в которой частица, испустившая излучение, находится в состоянии покоя после испускания, Пуанкаре нашел несоответствие в количестве движения, равняющегося в современном виде Е P = ^V. где Е —- энергия, испускаемая в виде света, с — скорость света, и v — ско- рость обратного воздействия. Вспомним классическое выражение коли- чества движения частицы: р = mv. В заключении к статье Пуанкаре зада- вался вопросом, не настало ли время глубоко пересмотреть идеи электродинамики. Эйнштейн, со своей стороны, анализировал похожий процесс в короткой статье «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?», опубликованной в 1905 году. Эйнштейн взялся за следу- ющий случай: система испускает определенное количество света, но в двух направлениях, так что обратного воздействия нет. Анализируя этот про- цесс в одной системе, в которой частица находится в состоянии покоя, и в другой, где частица движется, Эйнштейн обнаружил расхождение на- чальной и конечной кинетической энергии движущейся частицы, заданной как Сравнивая с формулой классической физики для кинетической энергии 1 2 2 mv , Эйнштейн сделал вывод, что «масса тела — мера содержания в нем энергии*, и если энергия меняется на Е, масса меняется на Е/с2*. Оба фи- зика, используя похожие аргументы, пришли к одному выражению, но раз- ница в интерпретации привела Эйнштейна к догадке, экспериментальное подтверждение которой произошло через 30 лет. 142 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
С другой стороны, говоря о времени, определенном в новой системе отсчета, он снова имел в виду «локальное время». Статья Эйнштейна 1905 года — наиболее ясная и доступная из трех. Ученый ввел в ней два постулата специальной теории относительности: все физические явления одинаковы для двух наблюдателей, находящихся в инерциальных системах отсче- та; свет распространяется в вакууме с определенной скоростью, не зависящей от состояния движения испускающего тела. Введение светового эфира окажется излишним, так как идея, которая будет здесь представлена, не потребует пространства, находящегося в абсолютном покое и имеющего особые свойства. Альберт Эйнштейн, « Об электродинамике движущихся тел* (1905) Противоречие между этими двумя постулатами носит ви- димый характер. Эйнштейн вывел из них преобразования Ло- ренца, и это его самый необыкновенный вклад. В своей статье Эйнштейн говорил о разных следствиях двух постулатов и пре- образований Лоренца. 1. Одновременность двух событий относительна. События, про- исходящие одновременно для одного наблюдателя, не одновре- менны для другого, находящегося в движении относительно первого. 2. Сокращение линейных размеров в направлении движения. Предсказано Лоренцем и сегодня известно как сокращение Ло- ренца-Фицджеральда. 3. Замедление времени. Часы в движущейся системе отсчета будут идти медленнее, чем часы в неподвижной системе. Эйнштейн расходился с Лоренцем и Пуанкаре в интерпре- тации эффектов. Для Эйнштейна время, измеренное для дви- жущегося наблюдателя, — «время» без каких-либо определений, ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 143
его отмеряют правильно сделанные часы. Это отнюдь не кажу- щееся время, не локальное, не какое-либо другое. В своей статье Эйнштейн прямо говорил, что часы будут отставать от других при движении. В 1905 году было невозможно доказать это ут- верждение, потому что проявление данного эффекта незначи- тельно, но в течение XX века его проверили неоднократно. Эйнштейн также вывел в своей статье релятивистское пра- вило сложения скоростей. Другими его результатами стали: инвариантность уравнения Максвелла (доказательство иден- тично с Лоренцем), релятивистское преобразование полей (такой же результат был получен Лоренцем), релятивистское преобразование плотностей заряда и тока (здесь есть неболь- шое расхождение с Лоренцем, допустившим ошибку), формулы для звездной аберрации и эффекта Доплера, а также уравнения движения электрона (представленные немного в другом виде, но эквивалентные уравнениям Лоренца). Пуанкаре написал свою статью летом 1905 года и пред- ставил полученные результаты в краткой форме перед Париж- ской академией наук. Полный вариант статьи был опубликован в 1906 году. В ней французский математик разрешал противо- речия теории Лоренца. Пуанкаре не выводил преобразований Лоренца из двух постулатов, но доказал, что преобразования не противоречат принципу относительности и подразумевают постоянную скорость света для всех наблюдателей. Таким же образом, как это сделал Эйнштейн, Пуанкаре вывел правило сложения скоростей. Касательно электромагнитного поля ре- зультаты Пуанкаре идентичны результатам Эйнштейна: он получил релятивистские преобразования для полей и их ис- точников, исправив, таким образом, небольшую ошибку, до- пущенную Лоренцем. Кроме того, Пуанкаре вывел уравнения движения, при этом его способ отличался изяществом и осно- вывался на «принципе минимального действия». Эти уравне- ния были такие же, какие вывел Лоренц. В статье 1906 года Пуанкаре сделал первую попытку при- вести закон Ньютона о всемирном тяготении в соответствие с новой механикой. Он предложил формулу для гравитацион- ного потенциала, к которой можно было корректно применить 144 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ СУММА СКОРОСТЕЙ Второй постулат релятивизма гласит, что скорость света одинакова для всех наблюдателей. Данное утверждение кажется абсурдным с классиче- ской точки зрения. Представим мужчину, сидящего в едущем поезде, и женщину, смотрящую на поезд с платформы станции, мимо которой поезд следует, не останавливаясь (см. рисунок). Обозначим скорость поезда как v, а скорость света — с. Если мужчина зажжет фонарик, направив его по ходу движения поезда, женщина будет наблюдать свет, движущийся со скоростью с + v. По крайней мере, такого результата нужно ожидать, если мы исходим из классической физики. Но это будет противоречить второму постулату. Если новая механика должна приспособиться ко вто- рому постулату, необходимо менять правило сложения скоростей. Эйн- штейн и Пуанкаре получили независимо друг от друга релятивистское правило сложения скоростей. В предыдущем примере, согласно новому правилу, если мужчина видит, что объект движется со скоростью и, то жен- щина видит, что объект движется со скоростью Это правило сводится к правилу классической физики (и + v) только для малых скоростей по сравнению со скоростью света. Если в формуле мы заменим и на с, то получим й = с, согласно второму постулату относитель- ности. преобразования Лоренца. Как нам известно, гравитация в тео- рии относительности была сложным понятием, которое под- робно изучал Эйнштейн. ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 145
Начиная с 1901 года Вальтер Кауфман (1871-1947) провел серию экспериментов по отклонению электрических и магнит- ных полей. Немецкий физик использовал для опытов электро- ны, испускаемые при излучении радия, так как они обладают большей энергией по сравнению с электронами из катодной трубки. Их скорости близки к скорости света, и ожидалось, что это сделает релятивистские эффекты более заметными. В 1905 году Кауфман усовершенствовал свое оборудование и получил довольно точные измерения. Детальный анализ из- мерений не подтверждал прогнозов Эйнштейна, Лоренца и Пу- анкаре. Узнав результаты, Лоренц в марте 1906 года отправил письмо Пуанкаре, в котором не скрывал своего уныния, прак- тически отчаяния: «К сожалению, моя гипотеза противоречит результатам новых опытов господина Кауфмана, и, думаю, мне придется оставить эту теорию; я уже ничего не понимаю. Я был бы счастлив, если бы Вы смогли прояснить вновь возникшие трудности». Поведение Лоренца контрастировало с отношением Эйн- штейна, не испытывавшего ни малейших сомнений в новой тео- рии, учитывая ее стройность и соответствие известным фактам, и потому сомневавшегося в результатах Кауфмана. Время по- казало его правоту. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРЕМЯ ГЕНИЯМИ Пуанкаре и Лоренц были лично знакомы, их отношения были сердечными, и они всегда восхищались друг другом, как свиде- тельствуют их статьи и переписка. У Эйнштейна и Лоренца были очень хорошие отношения вплоть до смерти голландского физи- ка в 1928 году. Они много переписывались и не раз встречались. Нужно сказать, что плохо относиться к Лоренцу было практиче- ски невозможно. В нем соединились живой интеллект, мудрость и прекрасный характер: он мог спорить, не раздражаясь сам 146 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
и не раздражая оппонента. Лоренц прекрасно организовывал научные встречи и умело управлял дискуссией. Послужить при- мером этому может тот факт, что он владел несколькими языками и писал по-французски французу, по-английски — англичанину, по-немецки — немцу. Все на свете восхищались им и почита- ли его. Сложнее оценить отношения между Пуанкаре и Эйнштей- ном. Возможно, ранняя смерть Пуанкаре помешала их сближе- нию. В своих трудах после 1906 года они взаимно игнорировали друг друга. Эйнштейн никогда не цитировал Пуанкаре в своих статьях, Пуанкаре не цитировал Эйнштейна. При этом оба ча- сто ссылались на Лоренца. Биограф Эйнштейна Абрахам Пайс утверждает, что уче- ный не читал статей Пуанкаре до 1906 года и ознакомил- ся с ними через много лет после публикации, когда уже жил в США и практически ушел на пенсию. Но, как мы убедились, Эйнштейн все же читал Пуанкаре до 1905 года и знал его идеи об одновременности и отрицании абсолютного пространства. Эйнштейн и Пуанкаре встречались только один раз на первом Сольвеевском конгрессе, который прошел незадолго до смерти французского математика. Все, что нам известно о том, как Пуанкаре оценивал Эйн- штейна, можно прочесть в его письме французскому физику Пьеру Вейсу (1865-1940) в ноябре 1911 года относительно планировавшейся работы Эйнштейна в швейцарском институ- те (договор с ученым был заключен спустя несколько месяцев). Цитата, хоть и немного длинная, необходима из-за двух при- чин: с одной стороны, ясно, что Пуанкаре высоко ценил Эйн- штейна, по крайней мере его вклад в науку, с другой стороны, это поможет нам понять отношение Пуанкаре к науке. В письме говорится: «Господин Эйнштейн обладает самым оригинальным умом, какой мне приходилось когда-либо встречать. Несмотря на его моло- дость, он уже получил важные посты среди первых мудрецов сво- его времени. В наибольшей степени поражает в нем его способ- ность адаптироваться к новым понятиям и отыскивать все их ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 147
следствия. Он не привязан к классическим принципам: когда он сталкивается с какой-либо проблемой, то быстро оценивает все возможности. Все это позволяет ему легко предсказывать новые явления, которые однажды должны быть проверены опытным путем. Я не хочу сказать, что все его предсказания подтвердятся экспериментально в тот день, когда такие эксперименты станут возможны. Так как он работает в разных направлениях, стоит ожи- дать, что большая часть осваиваемых им направлений окажутся тупиковыми; но мы должны надеяться, что хотя бы одно из на- правлений подтвердится, этого достаточно. Так и должно быть. В задачи математической физики входит постановка вопросов, и не только опыт помогает ответить на них. Будущее покажет, какова ценность господина Эйнштейна. Университет, который сможет его пригласить, несомненно, будет осыпан наградами». Оглядываясь назад, мы не можем не удивляться проница- тельности Анри Пуанкаре. 148 ПУАНКАРЕ И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ГЛАВА 6 Философ и успешный автор Анри Пуанкаре всегда с интересом относился к философии науки. Он написал немало статей, в которых рассуждал о творчестве в математике, основах геометрии или о будущем физики. В ту эпоху, в конце XIX и начале XX века, в философии доминировали несколько эмпирических школ. Пуанкаре, хотя и был близок к идеям одного из наиболее прославленных эмпириков, Эрнста Маха, старался идти собственным путем.

Для Парижа 1900 год был особенным. По случаю начала нового века там было организовано много мероприятий и встреч. Анри Пуанкаре участвовал в трех больших научных собраниях, кото- рые прошли почти одновременно в августе, а именно в Между- народных конгрессах по философии, физике и математике. Он также являлся президентом последнего. Французский ученый выступал на этих мероприятиях, высказывая свои идеи о фило- софии науки и основах математического знания. С самого начала научной карьеры Пуанкаре интересовался философией науки и основами математических понятий. Также он занимался научным просвещением и достаточно регулярно публиковался в газетах и журналах, обращенных более к широ- кой публике, чем к академической среде. По инициативе Гюста- ва Лебона издатели Эрнест и Камиль Фламмарион договори- лись с ним издать на основе его статей серию книг. Так вышли четыре книги: «Наука и гипотеза» (1902), «Ценность науки» (1905), «Наука и метод» (1908), «Мудрецы и писатели» (1910); к ним еще можно добавить «Последние мысли», опубликованные посмертно в 1913 году. Анри Пуанкаре показал себя в этих кни- гах как прекрасный эссеист, владеющий прямым и элегантным стилем изложения. Книги пользовались большим успехом. На- пример, со дня их выхода по 1914 год были проданы 20900 эк- земпляров «Науки и гипотезы», 21000 — «Ценностей науки», ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР 151
12000 — «Науки и метода». Книги переводились на разные язы- ки и продолжают издаваться по сей день. Братья Фламмарион заработали на этой серии целое состояние, Пуанкаре тоже зна- чительно поправил свои дела за счет авторских поступлений. Оказывается, именно в доказательствах самых элементарных теорем классические авторы были наименее точны и строги. Анри Пуанкаре, *Наука и гипотеза* Философская позиция Пуанкаре известна как конвенцио- нализм. В конвенционализме Пуанкаре математика занимает особое место и отличается от других наук. В ней, считал уче- ный, аксиомы и гипотезы являются соглашениями, принятыми по нашему выбору. Пример, которым он пользовался для иллю- страции своей мысли, относится к области неевклидовой геоме- трии. Евклидова геометрия построена на пяти аксиомах. Пятая аксиома касается параллельных прямых: через одну точку, ле- жащую вне прямой, можно провести только одну параллель- ную ей прямую. Эта аксиома может быть заменена другой, так что мы получаем неевклидову геометрию, которая, как доказа- ли Лобачевский и Бойяи, абсолютна обоснована. Для Пуанкаре одна геометрия не имела больше прав для существования, чем другая, и принятие нами пятого постулата Евклида или какого- то другого зависело от нашего выбора. Главное, чтобы получив- шаяся в результате геометрия была свободна от противоречий. Что касается геометрии физического пространства, то здесь необходимо задаться вопросом: какая геометрия больше нам подходит? По сути, евклидова геометрия более проста и соот- ветствует нашему обыденному представлению о форме твердых тел. Но если астрономическое измерение показывает, что сумма углов треугольника меньше 180°, мы можем прийти к двум аль- тернативным заключениям: или геометрия пространства пере- стает быть евклидовой, или свет не движется по прямой между двумя точками. На момент написания этого Пуанкаре отмечал, что так как ученые без сомнения выберут второй вариант, ев- 152 ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР
Бертран Рассел в изображении английского художника Роджера Фрая, 1923 год. ВЗАИМНЫЙ ОБМЕН С РАССЕЛОМ Математик и философ Бертран Рассел (1872-1970) получил Нобелевскую пре- мию по литературе в 1950 году за свои труды с выраженным гуманистическим характером. Между 1910 и 1913 годами он опубликовал вместе с Альфредом Уайт- хедом (1861-1947) Principia Mathematica («Математические принципы»). Эта работа была своеобразной попыткой придать всему зданию математики той эпохи со- вершенную логичную структуру. Рассел вел с Пуанкаре философский спор отно- сительно природы математического мыш- ления и, в частности, о логических осно- вах геометрии. Дискуссия между ними характеризовалась в первую очередь безупречной интеллектуальной честно- стью, свойственной им обоим. Ни тот, ни другой не колебались в случае, когда было необходимо принять аргументы со- перника или исправить собственные ошибки. После того как Рассел признал, что Пуанкаре прав в некоторых критических замечаниях к его работе, последний опубликовал статью во французском «Журнале метафизики и морали», начинавшуюся так: «В от- вете господина Рассела я восхищаюсь одним из качеств, которое встреча- ется реже, чем можно подумать, — абсолютной преданностью науке*. клидова геометрия не должна бояться отрицания во время опы- та. Данная проблема, поставленная Пуанкаре, была решена в специальной теории относительности, в которой свет движет- ся по кратчайшим, геодезическим, линиям в искривленном про- странстве. Кривизна пространства является доступной величи- ной для экспериментатора. С другой стороны, в конце XIX — начале XX века матема- тика переживала тенденцию к логической систематизации все- го здания науки. Немецкий математик Давид Гильберт (1862- 1943) был одним из активных сторонников данной тенденции. Другим лидером этого течения по систематизации являлся ан- гличанин Бертран Рассел. Пуанкаре дискутировал с ними обои- ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР 153
ми относительно основ математики, всегда демонстрируя твер- дость во мнении, что интуиция — это один из столпов творческой мысли в математике. Когда же речь шла о физических науках, конвенционализм Пуанкаре выражался несколько иначе. В ^Ценности науки» он анализировал в качестве примера расчет скорости света на ос- новании наблюдений датского астронома Оле Рёмера (1644- 1710). Рёмер пользовался лунными затмениями, которые про- исходили регулярно и задерживались в течение года по мере того, как Земля отдалялась от Юпитера, а затем происходили раньше, когда она приближалась к Юпитеру. Рёмер связал за- держку света с тем, что ему каждый раз требуется пройти все большее расстояние, следовательно, ему нужно все больше вре- мени, чтобы достигнуть Земли. Из своих наблюдений он вывел, что свет тратит 22 минуты на прохождение по орбите Земли. Годы спустя голландец Христиан Гюйгенс (1629-1695) вос- пользовался этими данными и рассчитал скорость света. Пуанкаре обращал внимание на тот факт, что данный метод требует двух гипотез: свет распространяется с одной скоростью на протяжении всей траектории, и законы Ньютона определя- ют время обращения спутников Юпитера вокруг планеты. Вы- бор иной гипотезы мог также объяснить наблюдаемое явление, но постоянство скорости света было более убедительным пред- положением. Правила, говорил Пуанкаре, не налагают на нас обязательств, и мы можем ради развлечения изобретать другие. Однако у нас не получилось бы далеко продвинуться, так как законы физики, механики или астрономии усложнились бы. Слишком простое толкование идей Пуанкаре может привести к неверным выводам, и действительно, ошибочная интерпрета- ция его слов вызвала один знаменитый спор. ВРАЩАЕТСЯ ЛИ ЗЕМЛЯ ВОКРУГ СВОЕЙ ОСИ? Как мы уже отмечали, Пуанкаре был одним из докладчиков на Международном конгрессе по философии, который прошел 154 ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР
в Париже по случаю Всемирной выставки 1900 года. Во время лекции «О принципах механики» он защищал свою уже извест- ную позицию, что не существует абсолютного пространства и мы можем заметить только относительное движение. Для объ- яснения своих идей Пуанкаре привел пример движения Земли. Нет смысла говорить о том, что Земля вращается вокруг своей оси, потому что у нас нет абсолютной референтной картины, которая позволила бы проверить, что Земли и правда вращает- ся. И далее: «Два предложения «Земля вращается вокруг своей оси» и «удобнее считать, что Земля вращается вокруг своей оси» имеют одно значение». Это замечание вызвало длительный спор, в особенности с философом Эдуаром Леруа (1870-1954). Оба ученых встречались и дискутировали во Французском философском обществе. В какой-то момент Леруа сказал: «На- учный факт создается ученым»,— это рассуждение было очень характерно для его предшественника в Колледже Франции, философа Анри Бергсона (1859-1941). Пуанкаре спросил: «Уточните, пожалуйста, что Вы понимаете под фактом». Леруа ответил: «Факт — это, например, то, что Земля вращается». Пу- анкаре возразил: «Нет, факт — это по определению то, что может быть проверено прямым опытом. Поэтому вращение Земли не является фактом». Данная фраза, выдернутая из контекста, повторялась вновь и вновь в прессе и в обществе. В частности, ультракатолическая пресса восприняла ее как оправдание по- ведения Церкви в процессе против Галилея. В начале 1904 года во Франции разгорелась дискуссия между католиками и светским обществом. В книге «Еван- гелие и Церковь», написанной теологом Альфредом Луази (1857-1940), осуждалась Святая Инквизиция за оспаривание догматов Рима. В то время как католические газеты нападали на Луази, светская общественность защищала его. Некоторые светские писатели вспоминали о суде над Галилеем и заявле- нии Церкви относительно его тезиса о движении Земли. С обеих сторон печатались все новые материалы, и вот по- явилась статья журналиста Эдуара Дрюмона (1844-1917), в ко- торой он, ссылаясь на авторитет Пуанкаре, приписывал тому следующее высказывание о вращении Земли: «Это привлека- ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР 155
тельная и удобная гипотеза для объяснения формирования и эволюции миров, но все же она не может быть ни подтверж- дена, ни отвергнута ввиду отсутствия объективных данных». Дрюмон был известен своим антисемитизмом и относился к наиболее реакционному лагерю французской журналистики. Он не только неверно истолковывал Пуанкаре, но также невер- но цитировал его. Газета Le Figaro отозвалась на статью Дрюмо- на, интерпретируя по-своему слова Пуанкаре, который, соглас- но данной газете, «...не утверждал, что Земля не вращается, а утверждал, что для этого не существует доказательств». Так в печати разгорелся спор, который был подхвачен другими жур- налистами. Опыт — единственный источник истины, только он может чему-то научить нас и дать нам уверенность. Анри Пуанкаре, *Наука и гипотеза* Пуанкаре вынужден был объясниться и направил открытое письмо астроному Камилю Фламмариону (1842-1925), опу- бликованное в «Вестнике Астрономического общества» в мае 1904 года. В нем ученый напоминал об обстоятельствах беседы с Леруа и о том, что его фразу изъяли из контекста философ- ского спора, в котором используются очень точные языковые формулировки. Пуанкаре вернулся к теме в «Ценности науки». В этом эссе он повторил уже процитированную фразу: «Два предложения «Земля вращается вокруг своей оси» и «удобнее считать, что Земля вращается вокруг своей оси» имеют одно значение». После разъяснений относительно философского смысла данной фразы Пуанкаре добавлял: «Но более того, таким же образом можно было бы сказать: два утверждения «Внешний мир существует» или «Удобно считать, что внешний мир существует» имеют одно и то же значение. По- этому гипотеза о вращении Земли сохраняет ту же степень под- твержденности, что и существование внешних объектов». 156 ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР
Не оставляя места сомнениям относительно вращения Земли, Пуанкаре перечислял все явления, которые объясняет это вращение. Тот факт, что гипотеза удобна, не говорит о том, что она необоснованна. Опыты подтверждают, какая из гипотез более удобна, — та или иная. Гипотеза о вращении Земли объяс- няет ряд явлений, которые в противном случае нельзя было бы объединить и объяснить. Аргументы Пуанкаре находились в согласии с эмпириче- ской традицией. В той же работе он вспоминает о споре с Леруа и уточняет, что понимает под понятием «факта». Для Пуанкаре это чувственное восприятие вещей, все остальное — удобные интерпретации вещей. Например, если мы наблюдаем откло- нение гальванометра, с помощью движущегося зеркала проеци- рующего световое изображение на градуированную шкалу, мы имеем дело с фактом, что свет перемещается по шкале; научным фактом является прохождение тока по цепи. Ученый не выду- мывает факт — он интерпретирует его наиболее удобным спо- собом. ПУАНКАРЕ ВХОДИТ В ИСТОРИЮ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Незадолго до своей неожиданной смерти Пуанкаре сделал по- следнее открытие, вошедшее в историю физики XX века. Так как он участвовал в революции, которую произвела теория от- носительности, его гений не мог пройти мимо, не оставив следа и в квантовой революции физики XX века. Квантовая револю- ция началась в декабре 1900 года, когда Макс Планк обнаро- довал свою теорию теплового излучения. В ней он ввел то, что стали называть «квантовой гипотезой». За несколько месяцев до этого Планк полуэмпирическим путем открыл формулу, воспроизводившую экспериментальные данные Генриха Ру- бенса (1865-1922) и Фердинанда Курльбаума (1857-1927), по- лученные в результате опытов в Имперском институте физики и технологии в Берлине. ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР 157
ПУАНКАРЕ В БЮРО ДОЛГОТ С1893 года Пуанкаре был членом Бюро долгот, которое занималось рас- четами астрономических эфемерид — вопросом чрезвычайной важности для навигации в ту эпоху. Пуанкаре регулярно участвовал в мероприятиях Бюро и трижды становился его председателем. Он был горячим сторонни- ком французской миссии в Кито (Эквадор), которая с 1898 года занима- лась измерением земного меридиана, проходящего в той местности. У этой миссии постоянно возникали различные трудности и многочисленные за- держки в работе. Пуанкаре несколько раз читал доклад о ней, неизменно подчеркивая ее значение для правительства и страны. В июле 1907 года математик сообщил об окончательном успехе миссии. С другой стороны, Пуанкаре являлся председателем межминистерского комитета, который предложил Франции принять Гринвичский меридиан в качестве точки от- счета географических долгот и часовых поясов. Однажды он заметил по этому поводу: «Мы получили сообщение от директора Мексиканской обсерватории, которое я хочу зачитать здесь. Как говорит этот астроном, во Франции есть город Аржантан, через который также проходит тот самый Гринвичский меридиан. Примите во Франции время Аржантана, и фран- цузское самолюбие будет вне опасности», — закончил Пуанкаре, смеясь. Закон Планка описывает, как изменяется интенсивность излучения, испускаемого абсолютно черным телом, в зависи- мости от температуры и длины волны. В основе закона План- ка лежит понятие идеально черного тела, которое с одинако- вой эффективностью поглощает падающее на него излучение во всех диапазонах. Формулу Планка можно записать так: _ 8nh v3 “v- с3 efcv/*7_r где uv является плотностью излучаемой электромагнитной энергии, v — частотой, с — скоростью света, k — константой Больцмана, Т — температурой излучающего тела и h — кон- стантой, которую сегодня называют постоянной Планка. Для каждой температуры излучение максимально на соответству- ющей длине волны. Так, при 100 °C домашнего радиатора мак- симум интенсивности приходится на длину волны в 8 мкм, соответствующую инфракрасному спектру. Для железа при 158 ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР
1535 °C максимум находится в ближайшей зоне инфракрасного спектра, большая часть излучения оказывается видимым. Для 5505 °C — температуры поверхности Солнца — максимум при- ходится на желтую часть спектра. Макс Планк попытался вывести свою формулу из общих законов физики. Он представил, что источник излучения — группа колеблющихся зарядов, испускающих энергию согласно законам электромагнетизма Максвелла. Ученый использовал идеи Больцмана по вероятностной интерпретации теплоты и, в частности, понятие энтропии. Он выдвинул для данного случая гипотезу о том, что излучаемая энергия не способна при- нимать любое значение, а имеет минимальное значение, опре- деляемое формулой Е = hv. Планк ввел эту гипотезу, до конца не понимая, что она собой представляет, но математические инструменты привели его к закону, который, как он знал, под- тверждается экспериментально. В последующие за публикацией статьи Планка годы меж- ду физиками-теоретиками развернулась обширная дискуссия. Некоторые ученые быстро поняли, что его гипотеза далека от классической физики, так как нет никаких ограничений ве- личин энергии. Но квантовая гипотеза уже пришла в этот мир и не собиралась его покидать. В 1905 году Альберт Эйнштейн применил явления, связанные с испусканием и поглощением света, к проблеме фотоэлектрического эффекта. В итоге тео- рия фотоэффекта привела Эйнштейна к Нобелевской премии по физике за 1921 год. При этом положении вещей физик и химик Вальтер Нернст (1864-1941) организовал под патронажем бельгийского хими- ка и мультимиллионера Эрнеста Сольве (1838-1922) встречу лидеров европейской физики для обсуждения разных аспектов квантовой теории. Съезд, ставший первым из череды легендар- ных конгрессов, вошедших в историю физики XX века, про- шел с 30 октября по 3 ноября 1911 года в отеле «Метрополь» в Брюсселе. Согласно повестке, первый Сольвеевский конгресс (такое официальное название получила встреча) был посвящен изучению «теории излучения и квантов». На нем присутство- вали Альберт Эйнштейн, Макс Планк, Хендрик Лоренц, Валь- ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР 159
МАКС ПЛАНК (1858-1947) Макс Планк объявил в 1900 году о соз- дании квантовой теории, согласно ко- торой энергия микроскопического ос- циллятора не может равняться любому значению, а ограничена рядом дис- кретных величин. Эта гипотеза открыла дорогу развитию квантовой физики, физической теории атомного и суба- томного мира. Планк оказывал очень большое влияние на немецкую физику середины XX века. Он занимался раз- витием теоретической физики и помо- гал становлению великих немецких физиков эпохи, таких как Эйнштейн, Мейтнер, Шредингер. В период власти нацистов Планк вел трудную борьбу против антисемитских настроений в немецкой физике, пытаясь оградить немецкую науку от негативных по- следствий политики Гитлера. В настоящее время главное научное учреж- дение Германии носит имя Планка. тер Нернст, Мария Кюри, Эрнест Резерфорд, Арнольд Зом- мерфельд, Вильгельм Вин. Туда же приехал и Анри Пуанкаре. На конгрессе он познакомился с Эйнштейном, и это была их единственная личная встреча. Одна из тем дискуссии была посвящена необходимости квантовой гипотезы для выведения закона Планка об излучении черного тела. Лоренц, Эйнштейн и сам Планк вывели закон раз- ными путями, но во всех вариантах им приходилось использо- вать квантовую теорию для получения корректного результата. Другие физики, Джеймс Джинс (1877-1946) и Джон Стратт, а также лорд Рэлей (1842-1919), основываясь исключительно на классических представлениях, вывели альтернативные фор- мулы, однако они противоречили экспериментальным данным. Остро встал вопрос: необходима ли квантовая гипотеза для объ- яснения теплового излучения? На языке математики мы можем выразить проблему так: квантовая гипотеза — достаточное ус- 160 ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР
ловие для закона Планка об излучении, но является ли это ус- ловие необходимым? Пуанкаре, до тех пор не слишком интересовавшийся про- блемами вокруг квантовой гипотезы, сразу после конгресса об- ратился к данной теме. Особенно ему важно было понять зна- чение квантовой теории. И снова он проявил свои замечательные способности к теоретической физике. Вернувшись в Париж, ученый сразу начал работать над проблемами излучения черно- го тела. Всего лишь месяц спустя он представил свои выводы Парижской Академии наук, а в январе в журнале Journal de Physique Theorique et Appliquee появилась подробная статья на эту тему. Она состояла из 34 страниц и представляла собой демон- страцию совершенной математической техники. Некоторые из методов, которые использовал Пуанкаре в области стати- стической механики, были новыми, но впоследствии их нача- ПУАНКАРЕ И ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В своей книге «Наука и метод» Пуанкаре посвятил главу преподаванию математики. В ней, отдавая должное важности логических построений в математике, он подчеркивал необходимость интуиции и повседневных понятий для объяснения этой науки. Пуанкаре задавался вопросом: какое определение можно считать хорошим? Если мы говорим о преподавании, то ответ одинаков и для математика, и для философа. По этому вопросу ученый писал: «Хорошее определение — такое, которое понимают студен- ты». И добавлял: «Как может столько людей отказываться понимать мате- матику? [...] Эта наука использует только лишь фундаментальные принци- пы логики, [...] мы, думающие существа, не можем жить без них, и при этом столько людей находят их непонятными! И таких большинство!» Рассма- тривая развитие математики в последние годы XIX века, Пуанкаре при- знавал, что она много приобрела в плане логической строгости, однако строгость достигалась благодаря появлению новых понятий на основе существующих, и в их целостность не могли вникнуть начинающие мате- матики. Пуанкаре отстаивал свою позицию относительно того, что в пре- подавании математики нужно придерживаться пути исторической эволю- ции данной науки, начиная с основных, почти интуитивных понятий и постепенно воздвигая целостное «здание». ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР 161
ли использовать и другие физики-теоретики, в том числе сам Планк; они вошли в состав стандартных методов статистиче- ской механики. В своей статье Пуанкаре пришел к тем же выводам, что и другие физики, например Поль Эренфест (1880-1933), но форма, в которой он представил результаты, выглядела очень убедительно: классическая физика не дает объяснения излучения абсолютно черного тела, и квантовая гипотеза не- избежна. Статья Пуанкаре вызвала значительный резонанс. После ее публикации в Европе больше не могло оставаться скептиков, не верящих в необходимость квантовой теории. В частности, Джинс в Англии, осознав важность теории, повлиял на мнение британцев относительно кванта. Во Франции статья Пуанкаре поместила квантовую теорию в центр внимания физиков-тео- ретиков, после чего, год спустя, один из французских ученых сделал решающий шаг в ее развитии. Речь идет о Луи де Бройле (1892-1987). СМЕРТЬ ПУАНКАРЕ В ПАРИЖЕ Во время Международного математического конгресса, кото- рый проходил в 1908 году в Риме, гипертрофия простаты — бо- лезнь, поразившая Пуанкаре, — осложнилась, и итальянские хирурги срочно прооперировали его. Вначале ученый, казалось, быстро восстановился и вновь приступил к делам, но потом снова заболел. В марте 1909 года в письме немецкому физику Давиду Гильберту по поводу приглашения в Геттинген Пуан- каре отмечал: «Есть один момент, на который я хотел бы обратить внимание. Я все еще не оправился от последствий прошлогоднего инциден- та в Риме, и мне строго предписали проявлять осторожность. Мне нельзя пить вино, пиво, только воду. Я не могу участвовать ни в банкетах, ни в длительных застольях. Это обстоятельство 162 ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР
ВВЕРХУ: Памятные таблички в связи с кончиной Анри Пуанкаре. ВНИЗУ: Фотография, посвященная участникам Сольвеевского конгресса 1911 года. Пуанкаре — первый справа, он сидит рядом с Марией Кюри; сзади — Альберт Эйнштейн. ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР 163
заставило меня сомневаться относительно принятия Вашего при- глашения, но мне кажется, Вы сможете правильно расставить при- оритеты». Ситуация ухудшилась уже в декабре 1911 года, тогда Пуан- каре признавался Джованни Баттиста Гучче, издателю итальян- ского журнала Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, что в его возрасте, вероятно, пора заканчивать последние исследо- вания по задаче трех тел. В субботу, 6 июля 1912 года, после со- брания на факультете по теории групп, он сказал своему другу Полю Аппелю: «Завтра я ложусь в больницу на операцию». Его прооперировали 9 июля, и вначале казалось, что операция про- шла успешно. Пуанкаре выписали из больницы домой для окон- чательного восстановления. Но 17 июля он умер от эмболии. ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ПОХОРОНЫ Анри Пуанкаре хоронили 19 июля 1912 года, и в тот день вся страна замерла в оцепенении. Похоронный кортеж отправился от его дома к церкви Сен-Жак-дю-От-Па и оттуда — на кладби- ще Монпарнас. Гроб сопровождали официальные лица, среди которых был президент Французской академии и министр об- разования и искусств. Министр почтил память ученого такими словами: «Смерть Анри Пуанкаре объединяет интеллектуальную элиту всех стран в горести от утраты, для нас это общая скорбь. Объ- являя траур, правительство выражает переживания всего народа, его боль от невосполнимости потери. Несмотря на то что работы по математике доступны узкому кругу людей, все знают, что Анри Пуанкаре был чистым и бескорыстным гением Франции, лучшим ее представителем». Кортеж сопровождал и человек, являвшийся другом уче- ного на протяжении всей жизни, — Поль Аппель, уже тогда за- нимавший пост декана факультета наук. Годы спустя он писал: 164 ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР
«Жизнь Пуанкаре была постоянным и непрерывным процессом осмысления. Он был полностью погружен в научную работу и в отношения в своей семье. Его личность всегда будет вызывать восхищение и являться примером для молодежи Франции». Пятый Международный математический конгресс прошел в августе 1912 года в Кембридже, через несколько недель после смерти Пуанкаре. Коллеги со всей Европы почтили его память. Председатель конгресса, сэр Джордж Г. Дарвин (1845-1912), сын знаменитого натуралиста, произнес на открытии следующие слова: «Это было на конгрессе в Риме, четыре года назад: между нами возникла первая страшная тень болезни, окончившейся смертью. Все мы помним, какой чувствовали ужас, передавая друг другу слова: «Пуанкаре болен». Мы ждали, что снова сможем услышать из его уст новый, такой же блестящий доклад, как тот, с которым он выступал в Риме. Но этого не случилось. Потеря Франции за- трагивает весь мир». ЭПИЛОГ В 1912 году Европа, как будто не замечая, что происходит, не- умолимо приближалась к катастрофе. Ненависть, оставшаяся от предыдущих конфликтов, подъем национализма, растущий милитаризм, борьба за колонии, гонка вооружений и другие до- полнительные факторы привели европейские державы к новой войне. Раймон Пуанкаре выиграл выборы 18 февраля 1913 го- да и стал президентом Республики, оставаясь на этом посту в течение всей войны. Анри Пуанкаре не дожил до этого дня и не видел своего двоюродного брата на высшем государствен- ном посту, также он не застал и тягот войны. Но он видел бе- ды, угрожавшие его стране и Европе. По этому поводу 26 июня 1912 года, всего за несколько недель до смерти, он выступил с речью перед Лигой морального воспитания: ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР 165
«Действительно, ненависть — это сила, и очень мощная сила. Но мы не можем пользоваться ею, потому что она унижает, по- тому что она — как очки, через которые видно только общие чер- ты, потому что ненависть пагубна и никого не делает героями. Не знаю, есть ли по ту сторону границ люди, готовые подпитывать патриотизм ненавистью, но мне точно известно, что такой метод был бы абсолютно противоречащим нашему темпераменту, тра- дициям и чаяниям. Французская армия всегда сражалась за кого- то и за что-то, а не против кого-то; не думаю, что из-за этого мы сражались хуже. [...] Это все, на что способна ненависть, мы этого не хотим. Давайте приблизимся друг к другу, научимся узнавать друг друга, что поможет нам уважать друг друга и следовать об- щим идеалам. Поостережемся вводить единообразные меры для всех, это невозможно и, кроме того, нежелательно. В единообра- зии — смерть, она закрывает двери перед прогрессом. Кроме того, всякое принуждение бесплодно и отвратительно». Но правительства и военное руководство стран Европы уже сделали свои ставки. Слова Пуанкаре, как и немногих других интеллектуалов Европы, не желавших войны, пропали даром. Семья Пуанкаре объявила о его смерти в заметке, в кото- рой также можно было прочесть его должности и титулы: «Анри Пуанкаре, член Французской академии, Академии наук, член Бюро долгот, Главный инспектор шахт, профессор факуль- тета наук, почетный профессор Политехнической школы, член совета Парижской обсерватории и совета обсерваторий провин- ций, ассоциированный член Академии Станисласа в Нанси, ино- странный член Лондонского королевского общества, Академии Линчеи, Академий Стокгольма, Копенгагена, Будапешта, Геттин- гена, Упсалы, Бухареста и других, почетный иностранный член Академий Вены, Эдинбурга, Дублина, ассоциированный член Академии Брюсселя, Вашингтона и других, член-корреспондент Академий Берлина, Санкт-Петербурга, Амстердама, Мюнхена и других, кавалер ордена Почетного легиона, государственный служащий образования, кавалер первого класса ордена Полярной звезды Швеции». 166 ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР
Как мы видим, Пуанкаре достиг высших наград и призна- ния в мире. Он написал десятки книг и сотни статей. Его труды безграничны по своему охвату и глубине. Это был последний универсалист. По словам математика Эрика Темпла Белла (1883-1960), Пуанкаре проводил исследования во всех областях математики и теоретической физики своего времени. В этой книге мы постарались рассказать о его работах, посвященных автоморфным функциям, задаче трех тел, топологии и теории относительности. Также мы остановились на его философских взглядах. Кроме того, Пуанкаре внес значительный вклад в тео- рию чисел, теорию групп, теорию функций, изобретение бес- проводного телеграфа, расчет вероятностей и космологию. Все это ученый делал, непоколебимо соблюдая честность и верность своей стране и обществу, в котором жил. ФИЛОСОФ И УСПЕШНЫЙ АВТОР 167

Список рекомендуемой литературы Bell, Е.Т., Losgrandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2009. Boyer, C., Historia de la matematica, Madrid, Alianza Editorial, 2007. De Lorenzo, J., Poincare. Matematico visionario, politecnico escep- tico, Madrid, Nivola, 2009. Escohotado A., Caosyorden, Madrid, Espasa, 1999. Gray, J., Henri Poincare. A Scientific Biography, Nueva Jersey, Prin- ceton University Press, 2013. Perez, A., Nuestra vida en el campo electromagnetico, Cordoba, Al- muzara, 2010. Poincare, H., Ciencia e hipdtesis, Madrid, Espasa, 2002. Stewart, I., Losgrandesproblemas matemdticos, Barcelona, Critica, 2014. —: Historia de las matemdticos, Barcelona, Critica, 2008. Verhulst, F., Henri Poincare. Impatient Genius, Nueva York, Sprin- ger, 2012. 169

Указатель аберрация звездная 135-138, 144 Адамар, Жак 128 Академия наук 7,13,23,27,52,54, 61,63,66,120,121,129,144, 161,166 Французская 7, 13,18,121, 164,166 Аппель, Поль 19,21-24,41,45,46, 72,82,83,120,129,164 Беккерель, Анри 48 Бертильон, Альфонс 127-130 Бетти, Энрико 101,102,115 числа 102,104,105,108,109, 110 Бойяи, Янош 30,152 Больцман, Людвиг 87-89,133, 158,159 Бонне, Пьер 45-47,49 Бюро долгот 158,166 Везуль 9,13,48,49,51 Вейерштрасс, Карл 56,62,79,80, 82,92,94 Всемирная выставка 8,19,154 война франко-прусская 7,19,20, 62,125,126 волны кноидальные 55,57 электромагнитные 37,40,132, 134,137 Высшая нормальная школа 23, 45,48 Гамильтон, Ричард 113-114,116, 117,119 Гаусс, Карл Фридрих 15,30,32, 35,46,105 геометрия 10,21,23,29-33,39,41, 46,64,73,77,99,112,118,120, 149,152,153 гиперболическая 30-32 евклидова 30,61,112,152,153 неевклидова 15,29-30,60,61, 64,66,99,111,112,113,152 эллиптическая 27,30-32,112 Герц, Генрих 37,40,132,134,137 Гильберт, Давид 153,162 гиперповерхность 108,112 гиперсфера 108 гипотеза квантовая 157,159-162 171
гипотеза Пуанкаре 10,13,36,97, 100,108,110-119 гомология 100-105,108,109 гомотопия 100, 105-110 Горная школа 9,47,49,60 группа 106 гомологическая 100,105,108 гомотопическая или фунда- ментальная 105-108,110 Дарбу, Жан Гастон 41,49,129 дело 13,126-132 динамические системы 9,69,73, 94 Дирихле, Лежён 80 дифференциальное уравнение 23-27,51-53,55,63-66,73,74, 77,78,84-86,92,94 додекаэдр 33,109 Пуанкаре 109,110 Дрейфус, Альфред 126-130,132 Евклид, постулаты 29,30,152 Жордан, Камиль 105 задача трех тел 9,10,13, 27, 28,69, 82-85,90,92,99,164,167 замедление времени 143 Золя, Эмиль 127,128 катодные лучи 40,134,146 Кауфман, Вальтер 146 Клейн, Феликс 43,63-67,95 бутылка 35,64,103 конвенционализм 152,154 конгресс Сольвеевский 13,147, 159,163 Королевская шведская академия 82 кривизна 31,32,112, ИЗ, 153 Кронекер, Леопольд 80,82 Лагерр, Эдмон 45,49,120 Лагранж, Жозеф Луи 15,21,22, 24,26, 28 Лаплас, Пьер Симон 15, 27-29,80 Леруа, Эдуард 155-157 Лобачевский, Николай 30,32,61, 152 Лоренц, Хендрик 11-13,40,41, 123,131,136-147,159,160 Люилье, Симон 33,101 Максвелл, Джеймс Клерк 37-40, 77,131-137,141,144,159 Матьё, Эмиль 72,127 Мах, Эрнст 149 медаль Филдса 11,118,119 Международный математический союз 118 Меридиан земной 158 Мёбиус, Август 35 лента 34,35,103,111 Миттаг-Леффлер, Гёста 9,61-63, 79,80,82,83,89,90,92-95,140 многогранник 33-34, 77,101,104, 105,108,109 многообразие 102,104,105, 107-112 Наполеон I 48 Наполеон III 8, 20 неевклидова геометрия 15,29-32, 60,61,64,66,99,112-113,152 одновременность И, 140,141,143, 147 Оскар II9,29,62,69,73,79,81-83, 85 Париж 7-10,13,19, 22, 24,45,47, 52,62,67,71,72,120,125-127, 144,151,154,160,162 Пенлеве, Поль 128-130 172 УКАЗАТЕЛЬ
Перельман, Григорий 11,97, 114-119 Пикар, Эмиль 46,72,120 Планк, Макс 13,157-162 Политехническая школа 9,13,24, 42,45-49,71 поток 40,77 Риччи 113-114,116,117 Почетный легион 82,166 преобразования 56,65,66,137, 143-145 принцип вероятности 13, 71, 72, 88, 128-130,132,167 действия и противодействия 41,138,142 индукции 101 относительности И, 138,142, 144 термодинамики (второй) 87, 88 пространство абсолютное И, 123, 138,140,147,155 Прюдом, Сюлли 122 Пуанкаре гипотеза (см. гипотеза Пуан- каре) Раймон 7,18,125,165 Эмиль Леон 17 Пулен, д’Анденси Луиза 13, 51 Рассел, Бертран 153 Риман, Бернхард 15,32,65,101 Риччи-Курбасто, Грегорио ИЗ (см. также поток Риччи) седло 76 сжатие Лоренца-Фицджеральда 143 Смейл, Стивен 111 Солнечная система 27-29, 73, 80, 83,85,93 сфера 10,30,31,33-36,58,59, 77-79,97,102,107-110,114 теорема о возвращении 85-87 теория общая относительности 32, ИЗ, 135,153 полей 39,133 специальная относительности 11,41,123,140,142,143, 146 тессеральная поверхность 56-61 Тёрстон, Уильям 112, ИЗ, 117 топология 10,13,32-36,41,77,81, 97,99,100,105,107,115,167 тор 34,77,102,103,107,108,111 Тулуз, Этьен 125 узел 76,77,79 Университет Кана 9,13,51 Сорбонна 13, 23,47,71,81 уравнения Максвелла 39,132,136, 137,141,144 Фарадей, Майкл 38,39,132-134 Физо, Ипполит 135,137,139 философия науки 12,149,151 Фламмарион, Эрнест и Камиль 151,152,156 фокус 76,77,79 Фрагмен, Ларс Эдвард 82,83, 89-91,93 Фукс, Лазарус 56,60,61,65-67 функции автоморфные 9,51,63,67,167 клейновы 62,63,66,67 фуксовы 9,52,56,59,60,62, 63,65-67,73,80 Хигаард, Поул 104 УКАЗАТЕЛЬ 173
центр 29,61,76-78,84,107 Цермело, Эрнст 87-89 Шварц, Герман 58,59,65,66 Эйлер, Леонард 22,26,28,33,34, 77,101,105 Эйнштейн, Альберт 11-13,32, 113,123,131,137,140-148, 159,160,163 электролиз 40,134 Эрмит, Шарль 9,12, 23,45,46,62, 72,80,82,83,120 эфир 39,40,133-136,138,139- 143 Эшер, Мауриц Корнелис 60,61 Якоби, Карл Густав 55,57 Acta Mathematica 62,82-84,89,90 Analysis situs 13,100,105,108,109 arXiv.org 116,117 concours 21,22,48 174 УКАЗАТЕЛЬ

Наука. Величайшие теории Выпуск № 43,2015 Еженедельное издание РОССИЯ Издатель, учредитель, редакция: ООО «Де Агостини», Россия Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1 Письма читателей по данному адресу не принимаются. Генеральный директор: Николаос Скилакис Главный редактор: Анастасия Жаркова Старший редактор: Дарья Клинг Финансовый директор: Полина Быстрова Коммерческий директор: Александр Якутов Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук Младший менеджер по продукту: Елизавета Чижикова Для заказа пропущенных выпусков и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, обращайтесь по телефону «горячей линии» в Москве: ® 8-495-660-02-02 Телефон бесплатной «горячей линии» для читателей России: ® 8-800-200-02-01 Адрес для писем читателей: Россия, 150961, г. Ярославль, а/я 51, «Де Агостини», «Наука. Величайшие теории» Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон- тактные данные для обратной связи (теле- фон или e-mail). Распространение: ООО «Бурда Дистрибью- шен Сервисиз» Свидетельство о регистрации СМИ в Феде- ральной службе по надзору в сфере связи, ин- формационных технологий и массовых ком- муникаций (Роскомнадзор) ПИ № ФС77- 56146 от 15.11.2013 УКРАИНА Издатель и учредитель: ООО «Де Агостини Паблишинг», Украина Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119 Генеральный директор: Екатерина Клименко Для заказа пропущенных выпусков и по всем вопросам, касающимся информа- ции о коллекции, обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине: ® 0-800-500-8-40 Адрес для писем читателей: Украина, 01033, г. Киев, а/я «Де Агостини», «Наука. Величайшие теории» Украша, 01033, м. Кшв, а/с «Де Агоспш» Свидетельство о регистрации печатного СМИ Государственной регистрационной службой Украины КВ № 20525-10325Р от 13.02.2014 БЕЛАРУСЬ Импортер и дистрибьютор в РБ: ООО «Росчерк», 220037, г. Минск, ул. Авангардная, 48а, литер 8/к, тел./факс: + 375 (17) 331 94 41 Телефон «горячей линии» в РБ: ® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00) Адрес для писем читателей: Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Наука. Величайшие теории» КАЗАХСТАН Распространение: ТОО «Казахско-Германское предприятие БУРДА-АЛАТАУ ПРЕСС» Казахстан, г. Алматы, ул. Зенкова, 22 (уг. ул. Гоголя), 7 этаж. ®+7 727 311 12 86, +7 727 311 12 41 (вн. 109), факс: +7 727 311 12 65 Издатель оставляет за собой право изменять розничную цену выпусков. Издатель остав- ляет за собой право изменять последователь- ность выпусков и их содержание. Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного электронного оригинал-макета в ООО «Ярославский полиграфический комбинат» 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97 Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура Petersburg Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5,5. Усл. печ. л. 7,128. Тираж: 20 000 экз. Заказ № 1512780. © Alberto Tomas Perez Izquierdo, 2015 (текст) © RBA Collecionables S.A., 2015 © ООО “Де Агостини”, 2014-2015 ISSN 2409-0069 Q24 Данный знак информационной про- дукции размещен в соответствии с требова- ниями Федерального закона от 29 декабря 2010 г. № 436-ФЗ «О защите детей от ин- формации, причиняющей вред их здоровью и развитию». Коллекция для взрослых, не подлежит обя- зательному подтверждению соответствия единым требованиям установленным Тех- ническим регламентом Таможенного союза «О безопасности продукции, предназначен- ной для детей и подростков» ТР ТС 007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797 Дата выхода в России 31.10.2015
Анри Пуанкаре общепризнанно считается одним из величайших матема- тиков Он оставил заметный след практически во всех разделах данной науки, а его слава вышла за пределы родной Франции и достигла пла- нетарных масштабов. Своими работами Пуанкаре внес фундаментальный вклад в развитие специальной теории относительности и. в особенности, в развитие топологии — раздела математики, изучающего непрерывность и утверждающего, что два объекта неотличимы, если один из них мы можем непрерывно деформировать, не разрезая и не протыкая, до пре- вращения в другой объект. Эпистемология и научное просвещение также не были оставлены без внимания Пуанкаре - одного из универсальных математиков. Рекомендуемая розничная цена: 289 руб.