Н.И.Карпенко
ОБЩИЕ МОДЕЛИ
МЕХАНИКИ
ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
Моснва Стройиздат 1996

УДК 624.012.45.04
Карпепко Н.И. Общие модели механики железобетона. — М.: Строй-
издат, 1996. -416 с: ил. - ISBN 5-274-01682-0.
Обобщенй построения общих физических соотношений - связей
между напряжениями и деформациями или их приращениями. Представлены
критерии оценки прочности и трещиностойкости бетона при объемных и
частных напряженных состояниях. Учитываются физическая нелинейность,
влияние трещин, анизотропия и другие факторы. Общие модели бетона и
железобетона увязаны с современными вычислительными методами (МКЭ и
др.). Приведены примеры расчета различных железобетонных конструкций.
Для научных и инженерно-технических работников научно-исследо-
научно-исследовательских н проектных организаций.
Табл. 17, ил. 124, список лит.: 206 назв.
Редактор Л.И. Круглова
Formulation of general physical stress-strain relations pr their increment
is summarized in the book. Evaluation criteria of strength and. crack-resistance
of concrete and reinforced concrete under volume and particular stress states are
presented. Physical non-linearity, influence of cracks, anisotropy and other
factors are taken into account. General models of concrete and reinforced
concrete are co-ordinated With modern computing methods (MFE and others).
Examples of calculation of different reinforced concrete structures (bars, planar,
spatial, massive, structures, including of complex configuration) are presented.
Book is useful for engeneers, scientific and technical workers, scientific-
research and designing organizations.
Издание осуществлено ггри финансовой поддержке НИИЖБ ГгШ-
Строительства. ^
3302000000 - 507
К — Без объявл.
047@1) - 96
ISBN S-274-01682-0
© Карпенко Н.И., 1996
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время в связи с интенсивным развитием
вычислительной техники остро встает проблема перевода методов
расчета и проектирования строительных конструкций на
полностью автоматизированную компьютерную основу. Весьма
перспективным и назревшим представляется решение этой
проблемы для железобетонных конструкций, занимающих
доминирующее место в строительстве.
В основу автоматизированных методов как правило
закладываются современные вычислительные методы и, в первую
очередь, метод конечных элементов (МКЭ). Однако эти методы
слабо увязываются с эмпирическими и частными подходами
нормативных документов по проектированию железобетонных
конструкций, что стало тормозом на пути автоматизации
проектирования.
Возникает проблема построения автоматизированных
методов на базе таких механических моделей бетона и
железобетона, которые бы по общности приближались к
современным моделям и теориям прочности механики дефор-
деформируемого твердого тела и были с ними тесно увязаны. В то же
время они должны максимально учитывать особенности меха-
механических свойств бетона и железобетона: нелинейность, трещи-
новатость, неоднородность, приобретаемую в процессе дефор-
деформирования и трещинообразования анизотропию, ползучесть,
термоползучесть, усадку, особенности сцепления арматуры с
бетоном и др.
Обобщению работ по современным общим моделям бето-
бетона и железобетона и посвящена эта книга. Остановимся на
некоторых общих вопросах. Известно, что любой материал
«входит» в механику и ее современные вычислительные методы
с набором только ему присущих соотношений. К ним относятся
связи между напряжениями и деформациями (физические
соотношения), а также общие критерии оценки прочности и
трещиностойкости бетона и железобетона. В целом они образуют
систему определяющих соотношений материала.
Определяющие соотношения — основа современных
механических моделей материалов. Разработке определяющих
соотношений для бетона и железобетона в этой монографии
уделяется основное внимание. Эти.соотношения устанавливаются
в довольно общем виде, начиная с объемного напряженного
состояния элементов с трещинами и без трещин. Трещины в
основном относятся к макроструктуре материала, и их
характеристики: углы наклона к арматуре, схемы взаимного
пересечения, раскрытие и сдвиг берегов и другие существенно
сказываются на характере физических соотношений. Для их
учета используются некоторые новые подходы, которые при
рассмотрении других материалов не встречаются, например,

для компонент железобетона вводятся несимметричные тензоры
напряжений и деформаций.
Свойства бетона существенно зависят от неоднороднос-
неоднородности, внутренней трещиноватости и ее развития. Эти свойства
выходят за рамки привычных гипотез сплошного тела. В связи
с этим автор счел необходимым отдельно (гл. 1) остановиться
на особенностях применения методов механики сплошного
деформируемого тела к таким телам, как бетон и железобетон.
Модели бетона и железобетона приводятся в таком виде,
чтобы с их помощью можно было оценивать (моделировать)
изменение напряженно-деформированного состояния
конструкций в процессе нагружения на различных стадиях
деформирования — с трещинами и без трещин вплоть до
разрушения. Представленные формулы также позволяют
сочетать нелинейный расчет с подбором арматуры в элементах
с трещинами и без трещин при различных объемных и частных
напряженных состояниях и решать вопросы рационального
размещения арматуры.
Представление о железобетоне как о материале требует
пояснения. Нередко утверждают, что железобетон — не
двухкомпонентный материал, а некоторая система
(конструкция). С точки зрения механики оба утверждения
могут быть верными в зависимости от формирования и введения
в разрешающую систему уравнений физических соотношений.
Следует отметить, что материал в этой системе определяется
только этими соотношениями. Если удается составить общие
физические соотношения с включением в матрицу жесткости
обеих компонент — арматуры и бетона, пусть даже в некотором
обобщенном виде, то железобетон выступает как материал.
Если физические соотношения для компонент при решении
задач используются раздельно с записью дополнительных
условий на их контакте, то железобетон — система (сложная
конструкция). В книге основное внимание уделяется первому
направлению, хотя предлагается и некоторый новый подход к
развитию второго направления (гл. 7).
Деформирование железобетона в итоге оказывается
подобным деформированию анизотропных тел в общем случае
анизотропии при нелинейной матрице жесткости. Заметим, что
аналогичная матрица, связывающая напряжения с
относительными деформациями^ линейной механике называется
матрицей упругости (по терминологии МКЭ). Физические
соотношения для железобетона как нелинейного анизотропного
тела с приобретаемой в процессе деформирования анизотропией,
а также заимствованные из теории упругости дифференциальные
уравнения равновесия, геометрические уравнения и граничные
условия (они записываются по аналогии с граничными условиями
теории упругости анизотропного тела) составляют полную
систему определяющих уравнений механики железобетона,
которые затем преобразуются к разрешающим уравнениям.
Поскольку элементы матрицы жесткости физических
соотношений (условно жесткости) не являются константами, а
зависят от напряжений и деформаций и нередко представляются
неаналитическими зависимостями типа вычислительного
оператора, то решение задач выполняется в основном
численными методами.
Разрешающие уравнения конструируются с помощью
метода конечных элементов (МКЭ), метода конечных разностей
(МКР), вариационно-разностным методом (ВРМ). Накоплен
уже достаточный опыт решения задач на основе этих методов.
Решение уравнений осуществляется шагово-итерационными
методами, в основе которых лежат различные модификации
метода упругих решений применительно к бетону и железобетону.
Хотя многие результаты, например различные диаграммы
связи напряжений с деформациями, в том числе при переменных
и знакопеременных программах нагружения, критерии оценки
прочности и трещиностойкости, зависимости по подбору
арматуры и другие, могут использоваться непосредственно без
привлечения сложных вычислительных средств.
Основное внимание в книге уделено моделям, которые
разрабатывались и исследовались автором или при его участии,
однако в обзорах представлены и подходы различных
исследователей, оставляя окончательный выбор за читателем.
Необходимо отметить, что некоторые важные вопросы,
относящиеся к рассматриваемой проблеме, в монографии только
обозначены и их предстоит решить в дальнейшем. К ним
относится проблема построения общей нелинейной модели
ползучести и термоползучести при неодноосных напряжениях,
вопросы уточнения моделей применительно к сложным
программам нагружения, учет особенностей поведения
конструкций при динамических воздействиях и др. Тем не
менее представленные исследования прошли проверку и
апробацию в лабораторных условиях и доведены до
определенного логического завершения. Их использование в
программах расчета конструкций на ЭВМ позволит с большей
точностью подойти к расчету и конструированию.
Автор благодарен М.М. Холмянскому, который
просмотрел гл. 1 и сделал ценные замечания, директору
НИИЖБ А.И. Звездову за спонсорскую помощь в издании
книги, инженерам Л.Р. Бочаровой и Л.Г. Арсланбековой за
техническую работу по подготовке рукописи к изданию.

FOREWORD
At present, with intensive development of computer tech-
technology, a problem of a full transfer of analysis and design methods
of building structures to a computer base is very essential. Solution
of this problem is especially important for reinforced concrete
structures prevailing in building industry.
Modern methods of numerical analysis and finite elements
method (FEM) present such a base for computerized analysis.
However, these methods do correspond well to empirical ap-
proachs of building codes for designing of concrete structures.
Here arrises a problem to develop numerical methods on the
base of such mechanical models of reinforced concrete which
would corelate with modern approaches of deformed solid body
mechanics, and, at the time, would take into account, as much as
possible, peculiarities of mechanical propertes of concrete and
reinforced concrete (non-linearity, cracking, non-uniformity ob-
obtained during deformation and crack formation, anisotropy, creep,
thermo-creep, shrinkage, peculiarities of bond between steel and
concrete, etc.).
This book is dedicated to generalization of works on modern
concepts of concrete and reinforced concrete. Lets dwell on certain
general problems.
It is known that every material «enters» into mechanics and
its modern numerical methods with a set of specific relation.
Relationships between stresses and deformations (physical rela-
relations), and also general strength and crack-resistance criteria of
concrete and reinforced concrete are among them. They form a
system of constitutive relationships of material.
Constitutive relationships is the base of modern mechanical
models of materials. The principal attention in this monograph is
given to development of constitutive relations of concrete and
reinforced concrete. These relations are established in a rather
general form, considering three-dimensional stressed state of
cracked and uncracked memebrs. Cracks, generally relate with a
macro-structure of material and their characteristics: angles with
reinforcement, schemes of intersections, opening and displacement
of edges and others, — influence considerably the character of
physical relations. For taking them into account some new ap-
proachs used for their consideration are not applicable for exam-
examination of other materials, for example: asymmetrical tensors of
stresses and deformations are introduced for reinforced concrete.
A properties of concrete depend considerably on nonuni-
formity of internal cracking state and on its development. These
properties exceed the limits of traditional hypotheses of solid
body. So the author considered to dedicate a separate chapter
(chapter 1) to peculiarities of application'of methods of solid
deformed body mechanics to such bodies as concrete and reinforced
concrete.
Models of concrete and reinforc concrete are presented in
such form which makes possible to evaluation (simulation) of
changes in stressed-deformed state of a structure under loading at
diffirent stages of deformation — with and without cracks — up
to a failure. Presented formulas permit also the combination of
nonlinear analysis with selection of reinforcement in cracked and
uncracked memebrs under different three-dimensional and partic-
particular stressed states and with the solution of reinforcement disposal
problems.
It is necessary to explain what is the reinforced concrete as
a material. It is affirmed often that reinforced concrete is not bi-
component material but a certain system (structure). From the
point of view of mechanics these both statements may be correct
depending on formulation of equations of the physical relations
and their introduction into a final system of solving equations.
It is noteworthy that a material is represented in this system
only by these relations. If you succeed in development of general
physical relations including the both components — reinforce-
reinforcement and concrete, — into the stiffuess matrix, than the reinforced
concrete is a material. If physical relations of the components are
used separately with supplementary conditions on their con-
contacts, — than the reinforced concrete is a system (a complex
structure). The first direction is mainly described in this book,
although a certain new approach to development of the second
direction is also proposed (chapter 7).
Deformation of the reinforced concrete, as a result, is
similar to deformation of anisotropic bodies in general case of
anisotropy when we have non-linear stiffness matrix. It should be
noted, that similar matrix, connecting stresses with strains in
linear mechanics is called elasticity matrix (according to FEM
terminology). Phisical relations for reinforced concrete as non-
nonlinear anisotropic body with the anisotropy obtained during
deformation process, and also differential equations of equilibrium
adopted from the theory of elasticity, geometrical equations and
boundary conditions (they are written by analogy with boundary
conditions of the theory of elasticity of anisotropic body) form a
complete system of determining equations of reinforced concrete
mechanics, which later is transformed into solvins equations
system.
Since elements of stiffness matrix of phisical relation are
not constant, but depend on stresses and deformations, and often
are presented in the form of non-analytic relations such as
calculating operator model, a solution of these problems is mainly
obtained by numeric methods.
Solving equations are formulated using finite elements,
method differences (MED), variation-difference method (VDM).
A sufficient experience is gained already concerning solutions of
problems based on these methods. Solution of equations is realized
by step-interational methods based on different modifications of
methods of elastic solutions applicated to concrete and reinforced
concrete.

However, many results, — for example, various stress-
strain diagrams under complex and bilateral loading programs,
evaluation criteria of strength and crack-resistance, dependencies
for reinforcement design, etc. — may be used directly without
application of complex computing means.
The principal attention in this book is paid to models
developed and investigated by the author or with his participation,
however, approachs of different other investigators are presented
in the review; a final choice is to be made by reader.
It is necessary to note that certain important points related
with the considered problem are only mentioned and should be
developed in the future. Among these problems are: formulation
of general non-linear model of creep and thermal-creep under non-
nonlinear stresses, more accurate definition of models under complex
programs of loading, consideration of peculiarities in structural
behavior under dynamic actions, etc. Nevertheless, the presented
investigations are examined and validated in laboratory and
completed. The application of these results in computer programs
for structural analysis would permit a more accurate analysis and
design of structures.
The author thanks M.M. Kholmiansky who examined
Chapter 1 and made the valuble comments: A.I. Zvezdov, director
of NIIZHB, for sponsoring the book; engineers L.R. Bocharova
and L.G. Arslanbekova for technical preparation of the manu-
manuscript for publishing.
Глава 1. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОПИСАНИЯ
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
БЕТОНА МЕТОДАМИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. ОСОБЕННОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕТОНА МОДЕЛЬЮ
СПЛОШНОГО ТЕЛА
Некоторые, важные для механики, свойства структуры бетона.
Бетоны — искусственные каменные материалы (каменные композиты,
видимо, одни из первых композитов в истории их создания). Как
известно, их получают в результате затвердевания бетонной смеси,
составляемой из крупного и мелкого заполнителя, вяжущего, воды и
специальных добавок. Затвердевший бетон приобретает довольно
сложную структуру (внутреннее строение). В таком строении
укрупненно выделяют две основные компоненты (элементы
структуры) — матрицу в виде окаменевшего цементно-песчанного
раствора и частые включения в нее зерен крупного заполнителя A,2
на рис. 1.1, а). Матрицей называют компоненту непрерывную (здесь
точнее квазинепрерывную) по объему в отличие от прерывной
компоненты — крупного заполнителя.
Выделяют еще два важных фактора — свойства контактной
зоны (границы раздела) вокруг зерен крупного заполнителя,
обеспечивающей совместную работу заполнителя и матрицы; дефекты
в структуре бетона включая (см. рис. 1.1, а): 3 — структурные
трещины в матрице и на границе зерен заполнителя; 4 — крупные
поры и капилляры; 5 — пустоты под зернами крупного заполнителя;
6 — разрыхленную порами структуру цементного камня под
отдельными зернами крупного заполнителя и некоторые другие. С
трещинами и их развитием связываются в большей степени: физическая
нелинейность (в простейшем случае нелинейность диаграмм связи
напряжений с деформациями при сжатии и растяжении), анизотропия
свойств (например неодинаковость модулей деформации по разным
направлениям), характер разрушения и долговечность элементов
бетонных и железобетонных конструкций, а также тот факт, что бетон
хорошо сопротивляется сжатию и слабо растяжению. В детальных
моделях различают, хотя и довольно условно, дефекты двух типов:
собственно дефекты структуры бетона и дефекты компонент бетона,
полагая, что первые сказываются непосредственно на механических
свойствах ' бетона, а вторые — опосредованно — через свойства
компонент.
Чаще всего используются заполнители диаметром d3 =10... 40 мм
в виде гравия или щебня из плотных горных пород (для тяжелых
бетонов) или пористых каменных материалов естественного или
9

2' 1' в) 2"
Рис. 1.1. Структура бетона to и его компонент (б. в). Характерные элементы
структур
искусственного происхождения (для легких бетонов), хотя в крупных
сооружениях диаметр заполнителей может достичь 100 мм и более.
Диаметр заполнителя — это средний диаметр условного шара,
описанного вокруг зерна неправильной формы. Плотность заполнителя
влияет на характер разрушения структуры бетона. Различают две
схемы разрушения — по матрице в обход зерен плотного заполнителя
и с разрывом матрицы и зерен пористого заполнителя.
Наиболее распространенными и эффективными вяжущими
являются цементы — основные «строительные» материалы матрицы,
которые способны в результате сложных физико-механических
процессов затвердевать после затворения их водой. Геометрически
матрицы различаются по прослойкам ап — среднему расстоянию
между зернами крупного заполнителя. Частицы мелкого заполнителя
(песка) с размерами зерна 3 — 5 мм равномерно распределяются в теле
матрицы и относятся к ее внутреннему строению.
10
Указанная выше структура бетона называется макроструктурой
(макроскопической, видимой невооруженным глазом). Следующая за
ней менее крупная структура называется мезоструктурой. Она
свойственна матрице обычного бетона и так называемым микробетонам,
песчаным бетонам, где в качестве «крупного» заполнителя выступают
частицы 3 — 5 мм, а в качестве матрицы — затвердевший цементный
камень A-,2-, рис. 1.1,6). Схематически структура компонент бетона
в принципе, повторяет структуру бетона только на более мелком
масштабе C', Ф — дефекты).
Цементный камень имеет весьма сложную и довольно тонкую
структуру (микроструктуру). В качестве зерен заполнителя здесь
выступают непрогидратированные зерна цемента, в качестве
матрицы — сростки субмикрокристаллов (/", 2", рис. 1.1, в). Этой
структуре свойственны также трещины О") и причудливая капиллярно-
пористая D") структура твердой фазы с защемленными в ней
газообразной и остаточной (после твердения) жидкой, а также некоторой
полужидкой (аморфной) фазами. С этими фазами связаны важные
свойства бетона, такие как ползучесть, усадка, набухание и др.
Подробное рассмотрение физико-химических процессов, связанных
со структуроообразванием, указанными фазами, а также с усадкой и
ползучестью можно встретить во многих известных работах по
технологии бетона и компонент [6, 8, 96, 164], а также в отдельных
монографиях, посвященных усадке и ползучести [1, 163, 165]. Здесь
укажем лишь на некоторые общие представления, используемые в
механике бетона (теории ползучести и усадки строятся пока на
феноменологическом подходе, а физические представления позволяют
лишь правильно отобразить в эмпирических зависимостях влияние
различных факторов).
Согласно устоявшимся представлениям аморфная
составляющая — гель придает бетону свойства вязкости (свойство
текучести во времени — ползучести, например, при постоянных
напряжениях). В простейшем случае свойство вязкости иллюстрируется
с помощью модели, состоящей из поршня, двигающегося в цилиндре
с вязкой жидкостью при постоянном давлении, однако в
действительности процесс ползучести реальных тел (и особенно
бетона) является довольно сложным и не поддается наглядному
моделированию, хотя интересные попытки такого плана неоднократно
предпринимались [144]. Часть деформаций ползучести (нелинейная
ползучесть) связана с развитием внутренних микротрещин во времени,
т.е. с некоторой псевдовязкостью (по терминологии О.Я. Берга).
Во времени происходит трансформация структуры цементного
камня, характеризующаяся двумя процессами — созидательным,
который связан с затвердеванием цементного камня и «зарастанием»
отдельных трещин (этот процесс еще называют старением), и
разрушительным, связанным с указанным выше разрыхлением
структуры бетона микротрещинами, особенно при некоторых высоких
11

уровнях напряжений. Оба эти процесса (старения и разрыхления)
сказываются на изменении прочности, а также упругих и вязких
свойств бетона во времени. Их учет привел к существенным отличиям
современных теорий ползучести бетона (по «натеканию» деформаций
ползучести при нагрузках и обратимости при разгрузках) от теорий
ползучести металлов. Принимая во внимание эти признаки, модели
ползучести бетона отличаются одна от другой. Старение учитывается
в рамках линейных теорий, а учет развития внутренней трещиноватости
(разрыхления) бетона во времени приводит к нелинейным построениям.
В линейной наследственной теории старения Г.Н. Маслова —
Н.Х. Арутюняна старение приводит к частичной обратимости
деформаций ползучести во времени, а в классической теории старения
С. Уитни деформации ползучести являются полностью необратимыми.
Нелинейные деформации также в одних случаях считаются частично
обратимыми [5, 35], а в других — полностью необратимыми [30].
Здесь мы исходим из частичной обратимости обеих составляющих
деформации ползучести. Частичная обратимость деформаций
ползучести, связанных с внутренним трещинообразованием, следует
из представленного далее рассмотрения природы таких деформаций.
Старение и разрыхление могут усиливаться в определенных
температурно-влажностных условиях, что влияет на ползучесть и
термоползучесть.
Построение различных вариантов теории ползучести можно
встретить во многих капитальных монографиях, обзорах и статьях [ 1,
2, 4, 5, 26, 27, 29, 30, 32, 35, 97, 122, 140, 141, 144, 145, 149, 159, 165,
171 и др.], поэтому далее они будут затронуты в малой степени. В
основном развиваются подходы, позволяющие описать ползучесть и
термоползучесть бетона при некоторых сложных режимах нагружения
и отдельных неодноосных напряженных состояниях.
Ползучесть бетона начинает проявляться с начала приложения
напряжений. Однако для упрощения расчетов строят нелинейные
модели кратковременного и длительного нагружений. При этом в
«кратковременных» моделях деформации ползучести относят к
неупругим деформациям, и время действия напряжений в явном виде
не вводят, хотя наиболее привлекательными являются единые подходы.
В предлагаемом издании развиваются некоторые из таких подходов,
а также отдельно выделяются «кратковременные» модели.
Усадочные деформации связаны со сложным неоднородным
процессом высыхания во времени бетона на различных уровнях
структуры [1, 96, 163, 165] и зависят от влажности окружающей
среды и контакта с ней. В неизолированных образцах обычно быстрее
всего высыхают и деформируются от усадки наружные слои бетона,
что приводит к возникновению так называемых собственных (их еще
называют условно-внутренними) напряжений, от неравномерной усадки
и связанных с ними дополнительных трещин в структуре. С капиллярно-
пористой и трещиноватой структурой бетона также связаны его влаго-
12
и газонепроницаемость, набухание в водной среде [ 163], долговечность
в различных средах [7].
Описанные выше структуры относятся к плотным структурам.
Они свойственны основным конструкционным видам бетона —
тяжелому и плотному легкому. Эти бетоны будут основными в данном
рассмотрении. Среди других структур можно выделить ячеистую,
присущую ячеистым бетонам, и зернистую, свойственную
крупнопористым бетонам. В матрице ячеистой структуры равномерно
распределены (вместо зерен крупного заполнителя) пустоты (поры)
различных размеров. В зернистой структуре матрица фактически
отсутствует, а заполнителем являются склеенные в отдельных точках
зерна крупного заполнителя.
Таким образом бетоны могут существенно различаться между
собой. Несмотря на это, им свойственны некоторые общие,
основополагающие с точки зрения механики, свойства — локальная
неоднородность, трещиноватость, физическая нелинейность
(нелинейность связей между напряжениями и деформациями),
конструкционная и приобретаемая анизотропия. Эти свойства могут
трансформироваться во времени в зависимости от силовых воздействий
и окружающей среды.
Можно выделить два направления в построении общих расчетных
моделей бетона — как сплошного и как дискретного тела, однако
основным остается первое направление, связанное с нелинейной
механикой сплошного деформируемого тела. Это направление требует,
однако, некоторых пояснений в силу указанных свойств неоднородности
и трещиноватости бетона, которые не укладываются в рамки
представлений классической механики.
Гипотеза о сплошности строения твердого тела и реальная
структура бетона. Как известно, основополагающей гипотезой
механики деформируемого твердого тела и таких важных для нас ее
ветвей, как теория упругости и пластичности, является гипотеза о
сплошности строения тела. Согласно этой гипотезе, тело представляется
непрерывным (без дефектов нарушения сплошности, пор, полостей,
трещин) как до, так и после деформаций. Причем непрерывность
распространяется на любые сколь угодно малые объемы тела
(дискретная, атомистическая структура вещества не учитывается).
Гипотеза о сплошности по-существу является не столько физической,
сколько математической, поскольку позволяет представлять
деформации и перемещения непрерывными функциями координат. В
связи с непрерывностью деформаций непрерывными становятся и
напряжения.
Даже беглого сопоставления свойств сплошной среды с
рассмотреными выше свойствами бетона достаточно, чтобы заметить
видимые между ними различия. Основные из них: нарушение
геометрической непрерывности (трещиноватость); нарушение
физической непрерывности и однородности в малом, вероятностный
13

характер факторов, влияющих на механические свойства бетона
(сплошной среде прописывают детерминированные свойства). Под
нарушением физической непрерывности подразумевается то
обстоятельство, что бетон начинает выступать как собственно материал
не в бесконечно малых объемах, а в конечных объемах макроструктуры
(малых, или в зависиомсти от крупности заполнителя более
значительных).
Основные элементы преодоления различий между идеально
сплошной средой и бетоном. Несмотря на перечисленные различия
бетон представляется некоторой моделью сплошной среды, в которой
эти различия преодолеваются. Основные элементы такого преодоления
следующие: выявление характерных объемов структурной
неоднородности; замена реальных напряжений и деформаций в
пределах указанных объемов некоторыми сглаженными; установление
связей между сглаженными напряжениями и деформациями
(физических соотношений, определяющих соотношение материала);
учет влияния градиентов напряжений и деформаций на физические
соотношения как важного фактора уточнения «сглаженной» модели;
учет особого влияния факторов несплошности (трещиноватости) на
характер деформирования и разрушения; способы учета некоторых
факторов, имеющих недетерминированную (вероятностную) основу:
масштабный фактор, разброс механических свойств, введение
механических характеристик, обычно с определенной обеспеченностью,
в детерминированной постановке. Такую постановку еще называют
полувероятностной. Учет масштабного фактора расширяет возможность
такой постановки. Практическая реализация такой постановки стала
возможной благодаря современным вычислительным средствам и
методам и в первую очередь — методу конечных элементов.
Однако нельзя также не заметить, что в связи с МКЭ и другими
вычислительными методами, например методами сосредоточенных
деформаций, стержневой аналогии, которые начали стирать некогда
четкие грани между дискретными и сплошными моделями твердых
тел, заметно ослабло педантичное отношение к гипотезе о сплошности
и к анализу возможных погрешностей в связи с ее нарушениями в
реальных телах. В связи с этим остановимся более подробно на
указанных элементах преодоления различий.
Характерные элементы структуры бетона н его компонент.
Бетоны и его компоненты относятся к материалам с неоднородной
структурой. Геометрически материал с такой структурой
характеризуется некоторыми минимальными объемами, в которых он
начинает свое становление как собственно материал — носитель его
свойств. Фигуры такого объема удобно представлять в виде
параллелепипедов и кубиков, если привязываться к декартовой
системе координат. Назовем такие элементы характерными и обозначим
/0 наименьший размер характерного элемента (/„ — элемента). Знания
об 1д необходимы, в первую очередь, при назначении размеров
14
опытных образцов по определению физико-механических свойств
бетона экспериментальным путем (кубиковой прочности на сжатие,
призменной прочности на сжатие и растяжение, начального модуля
деформаций и прочности бетона при многоосном напряжении и др.).
Опытные образцы должны включать в себя минимум один /„-элемент.
База замера в опытах средних относительных деформаций также
должна составлять не менее lQ.
Теоретические пути определения lQ не разработаны, поэтому о
/0 пока судят на основании экспериментальных исследований. По
экспертным оценкам la&5(d + дм), а в случае плотной упаковки '0«5d3,
где</з — диаметр заполнителя, ам — одна средняя прослойка матрицы.
Для обычного тяжелого бетона при крупности заполнителя 10 — 40 мм
соответственно /О«5О...2ОО мм.
Далее встает вопрос о корректности перенесения механических
характеристик /0-элементов на элементы реальных конструкций.
Обычно полагают [24], такая корректность обеспечена, если l**-L, где
L — меньший размер конструкции1 (чаще ее высота). Однако во
многих реальных конструкциях (балках, плитах) размеры /0 и L
являются сопоставимыми. Здесь, а также при исследовании мест
концентрации напряжений в отдельных областях крупных конструкций
сталкиваемся с отмеченной проблемой перенесения характеристик /0-
элементов на малые элементы (условно — с проблемой малых элементов
при неоднородных напряженных состояниях). Эта проблема явно
обозначилась в последнее время в связи с применением современных
вычислительных методов и, в первую очередь, метода конечных
элементов к расчетам железобетонных конструкций. Размеры конечных
элементов (в простейшем виде кубиков, полосок, рис. 1.1, д, е), на
которые разделяется конструкция (например балка, как на рис. 1.1,
д, е), обычно принимают значительно меньшими, чем /0, чтобы
получить довольно точное (по меркам идеального тела) распределение
напряжений.
Можно указать на несколько способов исследования проблемы
малых элементов: на основе некоторой конечно-элементной модели
характерных элементов; на основе экспериментального изучения
характерных элементов в условиях градиентов напряжений; на основе
разработки некоторых статистических моделей. Эти способы
рассмотрены в последующих пунктах. Здесь остановимся только на
упрощенной статической интерполяции, которая может использоваться
для некоторых предварительных (экспертных) оценок.
Выделим в пределах характерного элемента самый малый
(начальный) элемент — носитель свойств бетона (/, рис. 1.1, г). В
начальный элемент будем включать одно зерно заполнителя d^ и одну
прослойку матрицы ам; его размер eo«d3 + ам (это также наименьшая
база замера деформаций). Начальному элементу присущ большой
1 Хотя, как ясно из дальнейшего рассмотрения, и для массивных тел такая
проблема все же возникает в связи с проявлением масштабного эффекта.
15

разброс свойств. Полагаем, что то или иное свойство начального
элемента представляет собой одно из возможных проявлений его в
совокупности элементов рассматриваемой однородной области —
генеральной совокупности. Характерный элемент Ш, рис. 1.1, г)
представляет собой большую выборку свойств начальных элементов.
Эта выборка свойств по своим статистическим показателям — среднему
значению и коэффициенту изменчивости — должны с большой
точностью приближаться к свойствам генеральной совокупности.
Такая схема может быть отнесена к некоторой простейшей
статистической схеме «объединения» элементов без учета некоторых
новых факторов, например масштабного эффекта, которые начинают
сказываться при объединении.
Выделим в характерном элементе некоторые более мелкие
элементы (подэлементы). Подэлементы (призма/77, слой IY, рис. 1.1,
г) представляют собой отдельные малые выборки свойств начальных
элементов, которые по своим статическим показателям с допустимой
погрешностью приближаются к показателям свойств характерного
элемента. В практике разделения конструкций на конечные элементы
могут встретиться и другие подэлементы, например 2 (III), состоящие
из двух элементов III или 4 (III), которые состоят из четырех
элементов III. Все указанные подэлементы будем относить к
подэлементам масштаба /0.
Пусть структура /0 — элемента такова, что она складывается из
125 одинаковых 50-элементов (в силу того, что /0« 5 50). Тогда
элементы III, 2A11), 4A II), IY, II (/0-элемент) будут включать
соответственно 5, 10, 20, 25 и 125 начальных элементов. Пусть они
представляют выборки независимых свойств 50-элементов, например,
прочности. Учтем дополнительный фактор — возможность изменения
этих выборок в процессе прогрессирующего разрушения. Пусть в
результате этого 30% слабых элементов во всех членах ряда к моменту
«формирования» окончательной прочности уже оказались ранее
разрушенными. Тогда новый ряд п с округлениями до целых чисел
составит: п = 3, 7, 13, 17, 83 (в действительности вероятность
попадания слабого элемента в малые подэлементы будет меньше, чем
в более крупные, что несколько увеличит малые значения п). Примем
для оставшихся элементов значительный коэффициент вариации
прочности с = 35%. Ошибка средней прочности с округлениями для
указанного ряда соответственно составит: р = 20, 13, 10, 9, 4% (р = с/
Уп), а результат оценки будет достоверным, начиная с р = 10%.
Разброс прочности 4% в кубах из однородного замеса примерно
соответствует действительности, поэтому можно продолжить
рассмотрение оценок (фактически с = 35% назначаем, чтобы выйти на
р =4%, а остальные ошибки соотносятся с этим реальным значением
только на основе статистических зависимостей; здесь просматривается
аналогия с односторонним интерполированием). Предположим, что
точность р = 10% допустима. Видим, что она соответствует разбивке
16
сечения характерного элемента на квадратики размером
25ох25ох/о к меньшей погрешности приводит разбивка на полоски
толщиной 50. Таким образом, наименьший объем конечного
элемента должен составлять примерно не менее 1/6 объема
характерного элемента. Это обстоятельство следует учитывать
в разбивке сечений реальных конструкций на отдельные
элементы. Прямоугольная разбивка на элементы 2A11)
допустима в случае, если длина элементов составит 2/0. Длина
элемента ///, исходя из указанных соображений, должна быть
увеличена в 4 раза и более, что уже мало реально (она,
фактически, возможна только в однородных протяженных зонах
чистого изгиба и внецентренного сжатия балочных элементов).
Эти оценки будут смягчаться при учете влияния градиентов
напряжений.
Схема анализа более мелких структур в принципе повторяет
схему анализа структуры бетона. Размер характерного элемента
цементно-песчанного камня (Y, рис. 1, 6, г) составляет /«1О...25мм,
а цементного камня (YI, рис. 1, в, г) /0*0,5...1,5 мм; соответственно
5^2.,.5'мм;, 50*»0,1...0,3mm Механические свойства материала в
масштабах /0' и /*также могут представлять самостоятельный интерес,
например, в задачах сцепления арматуры с бетоном, в расчетах
тонкостенных конструкций, в построениях дискретных конечно-
элементных моделей бетона и др.
С размерами типа /0 связаны такие основополагающие понятия,
как напряжения и относительные деформации в материалах с
неоднородной структурой — так называемые сглаженные напряжения
и относительные деформации. Понятия сглаживания неотделимы от
способа установления связей между напряжениями и деформациями
(физических соотношений, определяющих соотношений материала, в
простейшем виде — диаграмм связи напряжений с деформациями при
центральном сжатии и растяжении образцов). Рассмотрим эти вопросы
более подробно, предварительно охарактеризовав для сопоставления
свойства напряжений в идеализированном сплошном теле.
Напряжения в сплошном теле. Внешние силы (s, рис. 1.2, а)
и силы тяжести, действующие на конструкцию, вызывают внутри нее
силы взаимодействия между отдельными ее частями и частицами
(внутренние силы, q на рис. 1.2, б). Сам факт возникновения
внутренних сил не зависит от строения тела, меняются только
закономерности распределения сил по сечениям. Эти закономерности
в сплошных телах отображаются эпюрами напряжений; напряжения —
мера внутренних сил. Остановимся на понятиях средних напряжений
и напряжений в точке.
Средние напряжения на площадке. Пусть Л А — некоторая
площадка, на которую действуют внутренние силы q (рис. 1.2, 6).
Обозначим AF — равнодействующую этих сил, с0 —эксцентриситет
положения A F относительно центра тяжести площадки (точки к на
17

'2 TyxAA
Рис. 1.2. К определению напряжений в точках
рис. 1.2, в). Перенося F в точку к, получим еще и некоторый
дополнительный момент Д М =А FcQ. Действие силы Л F можно
выразить через вектор средних напряжений
ат= AF/AA, A.1)
где т — индекс осреднения; аналогично можно представить и вектор средних
распределенных моментов.
Средние напряжения не полностью характеризуют нрапряженное
состояние на площадке, если А М Ф 0. В этом их недостаток.
Напряжения в точке К на площадке D А сплошной среды.
Напряжения в точке являются основным понятием механики сплошной
среды. Их получают, стягивая площадку АЛ к точке К. В силу
непрерывности сплошной среды возможен предельный переход при
Л А -> 0. В пределе
а= ton . A.2)
Д4-Ю АА
При этом со-> 0 и А М->0, за исключением особых точек,
например в кончике трещин. Таким образом вектор о полностью
характеризует напряжение в точке К на заданной площадке А А.
Полное напряженное состояние в точке. На рис. 1.2, а, б
декартовы оси координат выбраны так, что ось у нормальна к
площадке А А, а две остальные оси проходят параллельно ей.
Проецируя она оси у, х, г, получим соответственно три компоненты:
а — нормальное напряжение, т г, х х — касательные напряжения.
Эти компоненты не полностью характеризуют напряженное состояние
в точке, так как вектор а представляет полное напряжение в точке
К лишь на площадке АЛ. Площадка А А проведена параллельно
одной координатной плоскости хг. Проведя через К еще две площадки
18
параллельно уг, ху, получим на них соответственно еще по три
компоненты: ох, хх , ххг и аг, xzx, хг . В теории упругости доказывается
парность касательных напряжении: хх = х х\ х г = хх ; хгх = ххг. Таким
образом остается шесть компонент напряжений, которые можно
представить в виде вектор-столбца, используя матричное представление
компонент (рис. 1.2, г).
{о } = {<*,. <V °„ V V т«>т> аз)
где т — знак транспортирования показывает, что строка в действительности
располагается вертикально.
Как будет показано ниже, зная эти компоненты, можно найти
напряжения на любой другой секущей площадке, проходящей через
точку (при повороте координат они преобразуются по законам
симметричного тензора второго ранга). Поэтому говорят, что шесть
напряжений полностью характеризуют напряженное состояние в
точке сплошной среды. Шесть компонент тензора напряжений
характеризуют объемное (трехосное) напряженное состояние.
При определенной ориентации трех ортогональных площадок у
заданной точки К касательные компоненты на них обращаются в нуль,
и остаются три нормальных напряжения ovay a2 — максимальное,
минимальное и среднее (рис. 1.2, д). Они образуют вектор-столбец
{ о } = {о,, <т2, о3, 0, 0, 0}. A.4)
Аналогично относительные деформации малого элемента
образуют тензор относительной деформации. Более подробно свойства
тензоров напряжений и деформаций рассмотрены в п. 1.3 (они
идентичны).
Однородное напряженное состояние. Если в отдельной области
конструкции или отдельном элементе компоненты тензора напряжений
остаются одинаковыми, то такое напряженное состояние называют
однородным. Элементы с однородным напряженным состоянием
играют важную роль — их используют для установления связей
между напряжениями и деформациями. В основном эти связи
устанавливают в осях главных напряжений; на рис. 1.2, д эти оси
обозначаются 1—3 или п, т, I.
Плоское и одноосное напряженное состояние. Если одно из
главных напряжений о,, ау о3 равно нулю, то такое напряженное
состояние называют плоским, а если два главных напряжения
обращаются в нуль — одноосным.
Свойства напряжений в сплошном теле. Можно выделить три
таких свойства: напряжения являются, за исключением особых точек,
например, у кончиков трещин, гладкими и непрерывными функциями
координат; несмотря на возможные сложные формы изменения эпюр
напряжений по объему конструкции в малых объемах, эти эпюры
стремятся к локально однородным; это свойство фактически не
является самостоятельным, а вытекает из первого свойства); в
19

Рис. 1.3. Действительные ( Я и сглаженные 12) эпюры
напряжений C- 4. 5-6 — сечения)
отдельных элементах (в зависимости от граничных условий)
напряжения могут быть однородными по всему объему, например в
призмах, подвергнутых центральному растяжению или сжатию.
Аналогичными свойствами обладают и относительные деформации.
Третье свойство используется для установления связей между
напряжениями и деформациями, а второе — обусловливает
применимость этих связей к расчету любых конструкций.
Виды напряжений в бетоне и способы их определения.
Выделяются два вида напряжений — действительные и сглаженные.
Действительные напряжения. С некоторой идеализацией структуру
бетона можно представить в виде сплошных частей матрицы и
20
сплошных частей зерен заполнителя, в которые вкраплены отдельные
полости в виде трещин, пор и других дефектов (рис. 1.3). Бетонную
среду будем считать кусочно-однородной, многосвязной средой. Пусть
площадка Д А размещается на сплошных частях такой среды. Тогда
возможно осуществить предельный переход A.2) и вычислить
напряжения в точках сплошных частей бетона. Такие напряжения
будем условно называть действительными, чтобы оттенить их отличие
от сглаженных. Эпюры действительных напряжений будут иметь
внутри однородных сплошных частей бетона весьма сложные очертания
из-за того, что эти области окаймляются трещинами, порами и
сплошными частями структуры бетона уже с иными свойствами.
Кроме того, эпюры будут иметь разрывы на границах перехода через
полости и на контактах перехода от одной сплошной части структуры
к другой (рис. 1.4).
Реальные напряжения в бетоне можно определять методом
конечных элементов. На рис. 1.4 для примера представлена конечно-
элемеНтная модель бетонной призмы. В отдельные довольно мелкие
конечные элементы из цементно-песчаного раствора (см. рис. 1.4, а)
вкладывается набор (меню) зерен крупного запонителя /(см. рис. 1.4,
б с учетом дефектов на границе: 2 — контактных трещин; 3 —
разрыхленной порами матрицы), меню больших пор D, рис. 1.4, в),
а также набор трещин E, рис. 1.4, г). Все эти разновидности
конечных элементов «перемешиваются» статистическими методами, а
затем прослеживается поведение такой призмы при одноосном, а в
более общем виде и объемном напряженном состоянии.
Можно выделить две особенности действительных напряже-
напряжений: они являются не гладкими и прерывными функциями коорди-
координат; для них трудно указать области однородных напряженных
состояний и таким образом установить экспериментально связи между
а)
'
L
i-
i
/
/
/
У
у
у
у
у
/
/
/
/
/
/
у
у
/
/
¦у
у
/
/
/
/
у
у
у
у
i
/
/
у
у
у
/
/
/
у
7|
/
/
/
/
/
/
у
у
/
г
у
/
/
/
/
/
J
/
/
/
/
7
7
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
(
О /
в)
г)
—
/
h
1
т
/
X
Рис. 1.4. К построению конечно-алементной модели бетона
21

напряжениями и деформациями. При этом если даже на границе,
например кубика, удается при помощи гидростатического давления
приблизиться к однородным напряжениям, то внутри него они
становятся неоднородными. Эт и свойства противоположны свойствам
напряжений сплошной среды.
Сглаженные напряжения, способы сглаживания. Указанные
особенности действительных напряжений бетона фактически исключают
возможность их использования при расчете конструкций. Хотя в
отдельных малых элементах можно расчетным путем, например на
основе МКЭ приблизиться к определению таких напряжений
(см. выше). В расчетах реальных конструкций действительные
напряжения (/ на рис. 1.3) заменяются сглаженными B на рис. 1.3),
т.е. гладкими и непрерывными функциями координат. Сглаженные
напряжения наделяются всеми указанными выше свойствами
напряжений сплошной среды. Процедура сглаживания напоминает
математическую процедуру интерполирования — приближение
сложной функции некоторым гладким полиномом). Инструментом
интерполирования в механике выступают фактически все ее уравнения.
Однако основа сглаживания закладывается при установлении связей
между напряжениями и деформациями на так называемых однородных
элементах. Точнее в основе сглаживания лежит принцип согласования
однородных напряженных состояний, который реализуется через
физические соотношения.
Образы однородных элементов заимствуются из теории
упругости. Это указанные выше кубики, призмы, цилиндры и другие
элементы из сплошного однородного материала, в объемах которых
при определенных условиях приложения сил на контуре, реализуется
однородное напряженное состояние. Принцип согласования выглядит
естественным образом. Однородные образцы из сплошного материала
принимаются в качестве таковых и в случаях, когда они изготовлены
из материала со сложной структурой (на это обращено внимание еще
в [31]). Напряжения сплошных однородных тел при этом вступают в
качестве сглаженных напряжений образцов из реального материала.
Например в центрально нагруженной призме а = N/A — это
сглаженные напряжения, где N — сила, А — площадь поперечного
сечения (см. рис. 1.3, в, г). Они заменяют реальные напряжения
(см. / на рис. 1.3, г).
Аналогично, нагружая кубики, призмы и другие элементы
напряжениями по двум или трем главным направлениям, изучают
поведение бетона при плоском и объемном напряжениях. Методики
создания таких сглаженных однородных главных напряжений требуют
большого инженерного искусства. Они изложены в работах А.В. Яшина
[175], Ю.Н. Малашкина [116] и других работах отечественных и
зарубежных исследователей [190, 192, 195]. Здесь только заметим,
что при этом заранее предполагается симметрия тензора сглаженных
напряжений.
22
В приведенных выше примерах процедура сглаживания сводится
к осреднению по площадкам. Такой способ сглаживания здесь
называется простым. В процедуре сглаживания имеется всега
определенный элемент огрубления. Он связан с тем, что трудно
одновременно создать сглаженное однородное напряженное и
деформированное состояния. Обычно, где это возможно, исследователи
стремятся к созданию условий однородной деформации. При этом
получаются меньшие разбросы опытных данных.
Влияние структуры сказывается на размерах однородных
элементов. Как уже указывалось, объем однородного элемента или его
исследуемой части, т.е. объем сглаживания, должен быть таким,
чтобы он мог вместить хотя бы один характерный элемент структуры
бетона масштаба /„. Напряжения в однородных элементах сглаживаются
на площадках порядка /0, а деформации на длине порядка /„.
Физические соотношения, связывающие сглаженные напряжения
с деформациями, используются совместно с другими уравнениями
механики для определения сглаженных неоднородных напряжений. В
результате решения возможны несколько ситуаций: h < /„; h « /„;
h > lB(h — масштаб, на котором неоднородные сглаженные напряжения
приближаются к однородным). В первом случае и частично во втором
применение характеристик простого сглаживания представляется
оправданным, однако в других случаях следует учитывать влияние
градиентов напряжений и деформаций на физические соотношения и
прочность. Процедура сглаживания с учетом влияния градиентов
относится к сложной (см. рис. 1.3, д, ё). Остановимся на учете
градиентов более подробно.
Способы учета влияния градиентов напряжений и деформаций
на механические свойства бетона. Замечено, что не только
неоднородные компоненты структуры бетона и ее дефекты оказывают
тормозящее влияние на развитие внутренних трещин, но также и
существенное неоднородное напряженное и деформированное
состояние — условно силовая неоднородность, если она проявляется
на масштабе длины /„. В некоторых пределах эта неоднородность
сказывается слабо и ее влияние не учитывается в расчетах.
Неоднородность напряжений и деформаций оценивается через
градиенты (производные) напряжений и деформаций по главным
координатам х{ (i = 1, 2, 3). Главные координаты совпадают с
траекториями главных напряжений и относительных деформаций <т(.
и г.. Ограничимся первыми производными. Градиенты удобно разде-
разделять на прямые Ъа/Ъх, Ъг/Ьх^ косвенные -- моментные Ъс/Ъх., Ъг/
Ъх.,гф].
Как показывают эксперементы, моментные градиенты
сказываются на моменте трещинообразования тонких пластин и на
деформациях и прочности бетона сжатой зоны балок над трещинами.
Некоторый обзор этих работ представлен в [78]. Влияние градиентов
исследовано пока еще недостаточно.
23

Возможно несколько путей учета градиентов в расчетных
моделях, например: градиенты непосредственно включаются в условия
прочности и физические соотношения; определяющие соотношения
материала остаются традиционными, но входящие в них характеристики
(переменные модули деформации и параметры прочности) зависят,
кроме прочего, еще и от градиентов.
В предлагаемой работе развивается второе направление.
Градиенты деформаций более предпочтительны в расчетных
построениях. Это объясняется их «консервативностью», достаточно
вспомнить гипотезу плоских сечений и то разнообразие эпюр
напряжений, которые ей соответствуют в случае учета физической
нелинейности. В расчетные зависимости вводятся не сами градиенты,
а безразмерные величины %к — отношения текущих градиентов к
некоторым эталонным. Эталонные градиенты [79] зависят от вида
напряжений — сжатия или растяжения. Считается, что до эталонных
величин влияние градиентов можно не учитывать (при %к < 1).
К проблеме градиентов примыкают еще одни, хотя и несколько
обособленные области приложения внешней нагрузки. Это области
смятия под малыми площадками приложения нагрузок, под выступами
арматуры периодического профиля (области контакта — сцепления
арматуры с бетоном) и другие области в масштабах, меньших масштаба
/„. Интерес к ним повысился в связи с методом конечных элементов,
который может указывать на преждевременное разрушение
конструкции в этих областях, если не учитывать эффекты существенного
упрочнения материала в них.
Получить действительную картину напряженно-
деформированного состояния в этих зонах, видимо, возможно
на основе специальных конечно-элементных моделей типа той,
что представлена на рис. 1.2, но с учетом объемного
напряженного состояния. Интересное развитие эта проблема
получила в [3, 161] на основе дискретно статической модели.
Однако формально учесть повышенную прочность в этих зонах
можно по признаку градиентов. Этот путь вписывается в
возможности механики сплошной среды.
Заметим еще, что принятая модель сплошной среды с
симметричными тензорами напряжений и деформаций типа A.3) не
является единиственно возможной. Отдельные результаты по учету
реальных и сглаженных градиентов можно получить на основе
развития моментной теории упругости. Напряжения в моментной
теории характеризуются девятью компонентами несимметричного
тензора напряжений и кроме того девятью компонентами тензора
моментов {т}. Моменты здесь в отличие от классической теории не
устремляются к нулю ( при А- 0 ). Физически такая теория моделирует
некоторые пилообразные эпюры напряжений (например с одним
регулярным «зубцом пилы» на длине 6 0).
Применительно к бетону эта теория нашла некоторое развитие
24
в [153]. Было показано, однако, что моментная теория приводит к
малым уточнениям.
В заключение отметим, что в сглаживании свойств тела в
масштабах /„ив учете влияния градиентов на деформативность и
прочность в этих же масштабах заключен способ модификации
известного в механике принципа локального сопротивления
(«автономной прочности»). Этот принцип для идеально сплошного
тела можно сформулировать так: прочность и деформации в точке
тела зависят от характеристик материала и напряжений в этой же
точке, а также (при появлении физической нелинейности) — от
трансформаций характеристик материала в зависимости от истории
напряжений и деформаций также в этой же точке и не зависят от
проявления указанных факторов в точках окружающей области.
В модифицированном виде этот принцип указывает на то, что
•прочность и относительные деформации материала в локальной
области масштаба 10A'0) зависят от характеристик материала в этой
же локальной области, а также от трансформаций характеристик
материала в зависимости от истории сглаженных напряжений и
деформаций, а также их градиентов в этой же области и не зависят от
таковых в областях такого же масштаба, прилегающих к данной
локальной области. Этот модифицированный принцип дает
возможность, хотя и с некоторыми особенностями, использовать
традиционную форму физических соотношений — в виде связей
между напряжениями и деформациями; он также позволяет по
уровню напряжений и деформаций оценивать локальную прочность.
Влияние масштабного фактора. С этим фактором мы
сталкиваемся с самого начала построения моделей бетона с сглаженными
характеристиками, выделяя элементы масштаба /„ — /*¦ Более мелкие
элементы рассматриваются с учетом влияния градиентов напряжений
и деформаций, например, как при разделении сечений изгибаемых
балок в расчетах на условные мелкие полоски или другие элементы
(см. рис. 1.1, д, е, размеры полосок и квадратиков /?«/„). В таких
задачах оба фактора выступают и учитываются совместно (выделить
их в отдельности весьма трудно). Таким образом внемасштабных
моделей бетона, как и других материалов с неоднородной структурой,
не существует: Однако понятие масштабного фактора более емко.
Новую информацию о нем дают статистические теории хрупкой
прочности ( в частности, указывающие на влияние масштабного фактора
не только при h'<lQ и h&l0, но и при h>l0 и ht>l0, где h — по-прежнему
масштаб областей с квазиоднородными сглаженными напряжениями).
Довольно полный обзор статистических теорий представлен в [3].
Можно отметить широко известные общие работы Вейбула,
В.В. Болотина [23] и многих других, применително к бетону —
М.М. Холмянского[161],В.Д. Харлаба [160], Л.Г. Седрякяна [150]
и др. Соглсно этим теориям масштабный фактор может заметно
проявляться в трещиноватых телах, которым свойствен большой
25

Рис. 1.5. Влияние объема tia
прочность по статистическим моделям
разброс по объему дефектов (очагов разрушения, обычно структур-
структурных трещин). Среди этих трещин выделяется опасная. Статистичес-
Статистическая теория в традиционном варианте основана на распределении
Вейбула и исходит из того, что вероятность появления опасной
трещины в малом объеме меньше, чем в большом, отсюда и повышен-
повышенная вероятность разрушения большого образца. Такая постановка дает
плавное снижение прочности по мере увеличения объема образца
(пунктирная линия на рис. 1.5). Для бетона зависимость Вейбула
конкретизирована в [8].
К иному результату приводит статическая теория разрушения
бетона, разработанная М.М. Холмянским и его учениками [3, 161].
Согласно этой теории характер влияния объема на прочность заметно
меняется (сплошная ломаная линия на рис. 1.5), если учесть эффект
торможения опасной трещины другими более мелкими трещинами. В
малых объемах влияние торможения невелико, поэтому прочность
сначала снижается. Этим малым объемам приписывается хрупкий
характер разрушения и линейная диаграмма <о — € вплость до
разрушения. Начиная с некоторого объема (точка А на рис. 1.5),
«концентрация» трещин в нем становится достаточной для торможения.
АБ — участок торможения; на этом участке прочность не зависит от
объема. Бетон в объемах этого участка деформируется по диаграмме
б — ? с нисходящим участком. Искривление диаграммы связывается
с развитием внутренних дефектов. Такое проявление нелинейности
(условной пластичности) называют по О.Я. Бергу [15]
псевдопластичностью или по М.М. Холмянскомуотрывностыо. Затем
(после точки Б) возможны уже большие объемы, в которых появляются
значительные дефекты, которые малыми дефектами уже не тормозятся.
В статистических моделях структура материала является, в
основном лишь средой возникновения дефектов, а сами свойства
структуры (размеры заполнителя d3 и прослоек матрицы ак, их
механические свойства, особенности контактной зоны на границе
заполнителя, тормозящее влияние на развитие трещин крупного
заполнителя и прослоек матрицы, находящихся в стесненно-объемном
напряженном состоянии между заполнителем и др.) учитывается в
26
интегральной форме, что предопределяет условность статистических
моделей.
Некоторые выводы не увязываются со структурой. Например,
прочность в малых объемах (порядкабд) существенно возрастает и не
зависит от прочности крупного заполнителя, который в основном
заполняет этот объем. Тем не менее такой главный фактор, как
влияние внутренних трещин на прочность, «схватывается» в
статистических моделях верно.
Выводы этих моделей, особенно в последних более совершенных
вариантах [160, 1], заслуживают серьезного внимания. Это, в первую
очередь, вывод о влиянии массивности конструкций на прочность, а
также на деформации (на диаграмму сг—?). Последний фактор
возможно заслуживает большего внимания, так как предопределяет
различную способность конструкции к перераспределению усилий.
Существенное влияние масштаба образцов на деформации получено,
например, в экспериментах [20].
Рассмотрим возможные пути учета масштабного фактора в
методах расчета. Поданным М.М. Холмянского, объемы, относящиеся
к участку торможения АБ, таковы, что приближенно соответствуют
изменению размеров сечения призм где-то в пределах десятка см,
начиная от 5 см при растяжении и около 10 см при сжатии. Характерные
размеры /0 вписываются в эти размеры, что делает их приемлемыми.
Однако все же для малых и больших объемов механические
характеристики, полученные на характерных элементах, согласно
статистическим моделям, необходимо корректировать. Корректировка
может выполняться по одному из трех инженерных критериев: по
массивности (объему) всей конструкции, по массивности (объему)
областей с однородным напряженным состоянием, по объему локальных
областей разрушения (для малых объемов). Видимо, второй и третий
критерии — более верные. Учитывая, что расчет, как правило,
выполняется численными методами (в основном МКЭ), то такую
корректировку выполнить не трудно.
Заметим, что здесь речь идет о дополнительном учете масштабного
фактора в детерминированных моделях сплошной среды с некоторыми
осредненными храктеристиками структурно-неоднородного материала.
Уточнения получают отдельно — на основе указанных дискретных
статистических моделей или экспериментальным путем.
Возможны, однако, и общие постановки, которые реализуются
в «сплошных» статистических моделях. В этих моделях оперируют
уравнениями сплошной среды, а структурную неоднородность
материала учитывают тем, что вводят дополнительно, кроме тензора
средних напряжений, статистические моменты тензора напряжений
высоких порядков. Наиболее полное развитие это направление нашло
вработахВ.А. Ломакина [109]. Выявлена нелокальность связи между
напряжениями и деформациями и проанализированы на простых
примерах некоторые эффекты, в частности, масштабный эффект.
27

Однако для решения задач требуется преодоление больших
математических трудностей, что сдерживает применение общего
подхода.
В этой связи указанная выше комбинированная постановка —
с дополнительным учетом масштабного фактора в связях между
напряжениями и деформациями отдельных конечных элементов
представляется более перспективной. Таким образом, можно учесть не
только масштабный эффект, а и то, что в силу, например той или иной
технологии или случайных факторов, исходные свойства материала в
различных частях конструкции будут различные.
1.2. ТРЕЩИНЫ В БЕТОНЕ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ СВОЙСТВА
Виды трещин, параметры нарушения сплошности. Определив
размеры структуры бетона и его компонент, можно перейти к
ориентировочной классификации трещин. Заметим, что во многих
случаях они допустимы и не сказываются на нормальной эксплуатации
конструкций. В принципе трещины можно классифицировать по
различным признакам, преследуя те или иные цели. Так, в нормативных
документах детализирована классификация по ширине раскрытия
трещин. Исходя из раскрытия трещин и сопоставления ее с допустимой
шириной раскрытия определяется эксплуатационная пригодность
конструкций того или иного предназначения. Этот вопрос рассмотрен
в главах, касающихся расчета железобетонных конструкций.
Представленное • ниже деление трещин преследует цель наметить
способы учета трещин в расчетных моделях. На уровне структуры
учитываются не только трещины, но и другие деффекты.
Обозначим Scr — площадь берега трещины или характерного
сечения плоскости, поры и другой несплошности. Если (i'0Jk'0<. Scr< kj1,
то такие дефекты можно отнести к дефектам структуры бетона —
дефектами макроструктуры; здесь k'Q, ko< I — некоторые коэффициенты
опасного развития трещины. При таком значении kB из-за возможной
подвижки трещины указанное неравенство в правой части может
перейти в неравенство типа Sc{^l*k0; если5сг<(ГJ^0, то такие дефекты
уже относятся к дефектам компонент бетона, в данном случае к
дефектам мезоструктуры. Коэффициенты типа k0 могут быть
установлены методами механики разрушения, или экспериментальным
способом.
Дефекты макроструктуры бетона еще называют собственными
или внутренними, хотя, естественно, они могут выходить и на
поверхность образца. Структурные трещины обычно не выделяются
для отдельного рассмотрения, а учитываются в интегральных
характеристиках (модулях) связей между напряжениями и
деформациями. При этом способы, точнее возможности их учета,
могут быть разными. В этой связи структурные дефекты иногда делят
28
на два типа: технологические — трещины и поры в матрице, трещины
и полости на границе крупного заполнителя и матрицы (см. рис. 1.1,
а), возникающие в процессе изготовления конструкции, и силовые —
в основном трещины, возникающие в процессе эксплуатации
конструкции под нагрузкой. Истинную грань между силовыми и
технологическими трещинами в структуре бетона провести трудно,
однако силовые трещины обычно располагаются направленно, приводя
в итоге к выраженному изменению физико-механических характеристик
по разным направлениям (к анизотропии свойств).
В рассмотренных далее моделях этот фактор широко
учитывается. Технологические трещины и другие дефекты структуры
считаются равномерно ориентированными, хотя в некоторых случаях
удается выявить влияние преимущественной ориентации отдельных
дефектов. Например, в результате седиментационного эффекта полости
могут располагаться преимущественно под зернами заполнителя, что
приводит к различным механическим свойствам бетона вдоль и
перпендикулярно к слоям бетонирования [37].
Кроме структурных трещин выделим трещины, которые могут
пересекать один или несколько структурных элементов, но еще не
представлять опасности для несущей способности конструкции в
целом (kol^<Scr^koL2, где L2 — характерное сечение конструкции).
Эти трещины будем называть трещинами разрушения структурных
элементов. Заметим, что в железобетонных элементах такие трещины
могут относиться к структурным (внутренним) трещинами
железобетона по аналогии с тем, как трещины разрушения, например
мезоструктурных элементов относятся к внутренним трещинам бетона.
Кроме того, вид трещин может зависеть и от вида напряженного
состояния. Например неструктурные трещины, при которых начинается
разрушение элемента от растяжения, могут быть структурными
трещинами, если тот же элемент подвергается сжатию, практически,
эта граница определяется пока по концу диаграмм связи между
напряжениями к деформациям. Трещины, которые не могут быть
отнесены к структурным, должны прослеживаться дискретно, например
методами конечных элементов, с постепенно выключающимися связями
в узлах или методами механики разрушения, которые нашли развитие
в работах [48, 134, 154, 161, 165 и др.].
Наконец, последний вид трещин — это магистральные трещины,
которые характеризуют разрушение всей конструкции в целом или
отдельных важных ее частей. Магистральные трещины относятся к
мегатрещинам — большим трещинам. Они также могут быть двух
типов. Например они фигурируют в критериях прочности железобетона,
выступая как структурные, но также используются в методе предельного
равновесия, где выступают уже как дискретные — в виде широко
известных линий излома [31].
•«Торможение»- трещин. Как уже указывалось, структуре бетона
свойственны различные дефекты: трещины, поры, полости. При
29

нагужении элемента и в процессе его изготовления у этих дефектов
концентрируются напряжения, зависящие от характерных размеров
дефекта: формы пор и их радиуса, длины трещины и радиуса
кривизны в вершине трещины. Так, коэффициент концентрации
напряжений (коэффициент превышения их средних значений) для
пор в упругом материале по данным [48] составляет 3 — 10. У острых
трещин, располженных внутри хрупких материалов, он может достигать
102—103. В этом случае уже при довольно низких значениях средних
растягивающих напряжений напряжения у кончиков трещин будут
достигать предельных значений, вызывая практически мгновенное
хрупкое разрушение, т.е. трещины будут быстро достигать своей
критической длины, при которой появляется тенденция к их
неограниченному росту. Этим во многом объяснеяется низкая прочность
бетона при растяжении, однако при сжатии и комбинациях сжатия с
растяжением бетон ведет себя как нелинейный материал. Да и при
растяжении остаточная прочность превышает ту, которая следует при
учете указанных высоких коэффициентов концентрации напряжений
у дефектов.
Причины состоят в механизмах торможения внутренних трещин.
В качестве факторов торможения выступают (рис. 1.6, а-г): зерна
заполнителя, трещины иного направления и ветвления трещин; поры;
разрыхленные мелкими порами участки цементного камня и другие
неоднородности структуры. Поры «снимают» концентрацию
напряжений с кончиков трещин, а зерна заполнителя, огибаясь
трещинами, затрудняют их развитие, встречные же трещины
направляют их по новым, менее опасным направлениям. При сжатии
в месте зигзага трещины будет происходить зажатие берегов (рис. 1.6,
д). С энергетической точки зрения торможение сводится к
интенсивной диссипации энергии движения трещин. Торможение
трещин приводит к пластическому характеру разрушения с развитием
псевдопластических деформаций, которые, например в случае сжатия,
могут быть весьма значительными. Моделирование методами механики
разрушения процесса развития трещин с учетом тормозящего влияния
пор и включений заполнителя подробно рассмотрено в [48]. Фактор
самоторможения трещин (см. рис. 1,6, б) нашел подтверждение в
статистической теории прочности бетонов [161].
а) 6) В)
Рис. 1.6. Механизмы торможения трещин
30
б)
*)
Рис. 1.7. Механизмы разрушения структуры бетона
Таким образом неоднородная структура материала, с одной
стороны, является причиной возникновения внутренних трещин, а с
другой — фактором, препятствующим их развитию. Важно только,
чтобы второй фактор в значительной степени преобладал над первым.
Существенное тормозящее влияние на развитие трещин оказывает
и неоднородное напряженное состояние. При этом может срабатывать
некоторый эффект зажатия кончиков трещин, схематически он показан
на рис. 1.6, е. Характер развития внутренних трещин может зависеть
от программы нагружения и других факторов.
Механизмы разрушения структуры бетона. Разрушение бетона
начинается с разрушения отдельных элементов его структуры, а затем
уже выливается в разрушение более крупных объемов. Можно
выделить два исходных механизма разрушения: отрывный (рис. 1.7,
а, б по / — трещинам отырва одной части элемента от другой; 3 —
зерна заполнителя); сдвиговый (см. рис. 1.7, в, г, по 2 — трещинам
сдвига одной части элемента относительно другой). Отрыв и сдвиг
могут происходить с разрывом зерен заполнителя (см. рис. 1.7, а,
в) — внутризерновые механизмы разрушения и в обход зерен крупного
заполнителя (см. рис. 1.7, б, г) — межзерновые механизмы
разрушения. Внутризерновые и межзерновые механизмы разрушения
являются основными в современной статистической теории прочности
бетона [3]. Однако под зернами в этой теории понимают не зерна
крупного заполнителя, а некоторые ячейки структуры бетона,
окруженные дефектами, которые могут и не содержать зерен крупного
31

30
заполнителя. В чистоте отырвный механизм разрушения реализуется
при растяжении, при этом отдельные трещины отрыва, объединяясь
в одну, образуют магистральную трещину разрушения.
Чисто сдвиговый механизм разрушения встречается редко, в
основном при высоких уровнях трехосного сжатия. В остальных
случаях преобладают различные смешанные отрывно-сдвиговые
механизмы разрушения: в виде зигзаг-трещины (см. рис. 1.7, д), в
виде ветвлений зигзаг-трещины с включениями клиновидных элементов
(см. рис. 1.7, е), в виде часто расположенных трещин отрыва,
пересекаемых трещиной сдвига (см. рис. 1.7, ж). Тонкие части бетона
между трещинами могут разрушаться от потери устойчивости
(см. рис. 1.7, з). Возможны и другие механизмы. Магистральная
трещина разрушения может включать на своем пути различные
локальные схемы разрушения. Обычно, чем сложнее и разнообразнее
механизмы разрушения, тем большими деформациями это разрушение
сопровождается. Такие механизмы свойственны сжатию. Процесс
разрушения бетона, таким образом, представляется как процесс
прогрессирующего разрушения сплошности. Начало развития такой
концепции разрушения в нашей стране было положено работами
А.А. Гвоздева [31] и О.Я. Берга [15], затем она развивалась (с теми
или иными особенностями) в работах [48, 154, 161 и др.].
Влияние внутренних трещин на диаграммы деформирования
бетона. Развитие трещин в структуре бетона приводит, подобно
развитию пластических деформаций в металле, к нарушению линейной
связи между напряжениями и деформациями — к криволинейной
диаграмме бв— ?в в случае одноосного растяжения или сжатия.
Природа этих деформаций иная, чем природа пластических деформаций
в металле, вследствие скольжения слоев кристаллической решетки,
поэтому они названы О.Я. Бергом [15] псевдопластическими. Ранее
термин «псевдопластический» был введен А.А. Гвоздевым [31], вне
связи с раскрытием структурных трещин. М.М. Холмянский [161]
считает более правильным термин — «отрывные деформации».
Заметим, что наряду с псевдопластическими деформациями в бетоне
могут проявляться и некоторые истинные пластические деформации,
которые учитываются в окончательных построениях, однако здесь от
них абстрагируемся.
Остановимся на природе псевдопластических деформаций, дав
им (или, по крайней мере, части из них, учитывая некоторые
условности рассмотрения) несколько иную трактовку, чем это принято,
и выделим отличительные особенности. Особенности
псевдопластического деформирования удобнее рассматривать на
примере растяжения. В случае сжатия природа псевдопластических
деформаций существенно усложняется, хотя, как показывают
эксперименты, некоторые общие особенности схожи.
Представим процесс деформирования некоторой
идеализированной призмы в виде последовательности состояний
32
г)
ш
Рис. 1.8. К анализу особенностей деформирования призмы при растя-
растяжении с идеализированной схемой нарушения сплошности вследствие трещи-
нообразованил
(рис. 1.8, .а, б, в). Пусть вначале (до нагрузки Р(, хотя это не
обязательно) трещин нет, затем при нагрузке Р, трещины образуются
в виде равномерно расположенных по периметру прорезей, которые
выключает часть сечения по периметру, уменьшая площадь F до
величины /;', затем призма площадью F,* деформируется до нагрузки
Р , при которой площадь сплошного сечения скачкообразно уменьшается
до F2' и так далее.
2 Зак. 1408 33

Что не «затемнять» сути рассматриваемых ниже факторов не
будем принимать во внимание концентрацию напряжений у прорезей
и нарушение однородности напряжений по сечению. По этой же
причине примем, что материал призмы является линейно-упругим с
модулем упругости Е. Обозначим б— сглаженные напряжения,
вычисленные без учета нарушения сплошности {б= P/F), а б' —
«реальные» напряжения в сплошных частях сечений (см. рис. 1.8, q,
б, в). Нагрузкам Р= Pv Py Р3 (обобщенно Р) соответствуют
одновременно сглаженные напряжения 5(, в2, 63 (б.) и реальные б*,
б\, б*3(б*); причем Р. = б F = 6*F*(i =1,2, 3). Из этого уравнения
следует простая связь между сглаженными и реальными напряжениями
(индекс i для общности опустим)
о*= о F/F'= o/v, A.5)
где v = F'/F — коэффициент нарушения сплошности сечений.
Зависимость A.5) указывает на то, что реальные напряжения
а* в трещиноватых телах всегда выше (здесь в v раз), чем сглажен-
сглаженные а, которые фигурируют в расчетах. Естественно, и реальные
характеристики прочности превышают сглаженные характеристики
типа Rbt.
Отметим, что параметр v изменяется в пределах О Z v < 1. Этим
он подобен параметру сплошности ц/ Л.М. Качанова, который, как
известно, нашел применение в построениях теорий разрушения тре-
трещиноватых тел [92]. Однако в отличие от ц/ параметр v не является
интегральным (по объему) параметром накопления повреждений, а
учитывает влияние направленного развития трещин; в случае объемного
напряженного состояния таких параметров может быть несколько.
Кроме этого v выступает в ином качестве — в качестве параметра
диаграммы а - е, имеющего четкий физический смысл (является
коэффициентом изменения секущего модуля, коэффициентом
упругости по терминологии В.И. Мурашева [127].) Действительно,
относительные деформации элемента составят
е= а'/Е = а/Е v, A.6)
где Е\ — секущие модули диаграммы г — а (эта диаграмма становится
нелинейной, хотя реальная диаграмма е — а" принята линейной; Е — модуль
упругости).
Уместно сделать еще одно замечание в связи с секущими
модулями. Известно, что для материалов с нелинейными диаграмма-
диаграммами деформирования теряет силу принцип независимости действия сил
(наложения воздействий). Однако при использованнии секущих
модулей деформации он фактически заменяется на подобный ему
принцип, который можно назвать принципом условно независимого
суммирования в конечной позиции или сокращенно — принципом
конечной позиции. Проиллюстрируем действие этого принципа на
примере диаграммы (см. рис. 1.8, д). Пусть напряжения ст2 в точке
34
2 относятся, как и сама диаграмма, к некоторому волокну конструкции
и состоят из напряжений а, от действия изгибающего момента М и
напряжений ст2— ст( — от действия нормальной силы N. Конечной
позицией будет точка 2 с напряжением ст2. Ей соответствует секущий
модуль Е2, который по модулю равен tga2. Относительные деформа-
деформации в точке 2 можно представить в виде
= Е2 a,
(at — a2),
в чем и выражается принцип суммирования в конечной позиции. Пока
эта запись выглядит формальной, но этот принцип позволяет прийти
к удобному традиционному виду физических соотношений в чем и
заключается его значимость. Например, в случае стержня [79]
где Ви, В12 — некоторые коэффициенты податливости сечения.
Диаграмма е, — а,, соответствующая последовательному пере-
переходу от состояния а к б, от б к в и так далее, если нагрузка Р и далее
возрастает, показана на рис. 1.8, д в виде ломаной линии О —1 — 1' —
2—2' — 3...9'— 10. (ЗдесьО— / — отрезок деформирования в состоянии
а,) 1 — 1' — отрезок перехода от сечения F,* в состоянии а к сечению
F2* в состоянии б, 2" —2 — отрезок деформирования в состоянии 6 и
так далее. Соединив точки 1,2,3, 10, получим некоторую непрерыв-
непрерывную диаграмму е - а (пунктирная линия L).
Обратим внимание на одну важную особенность нелинейности,
связанной с псевдапластическими деформациями. Разделим в диаг-
диаграмме а — е деформации на линейные и нелинейные. Если следовать
традиционной схеме разделения, то линейные деформации будут
составлять а/Е, общие б'/'Е, а нелинейные будут равны их разнос-
разности, т.е. составят (б'—б)/Е. Таким образом псевдопластические
деформации это приращения линейных деформаций, связанные с
увеличением разности (б*—б) между реальными и сглаженными
напряжениями. Например в точке 2 диаграммы (см. рис. 1.8, д)
псевдопластические деформации будут равны сумме длин двух отрез-
отрезков 1 — 1' и 2" —2 или 2"' —2. Эта особенность псевдопластических
деформаций позволяет объяснить полную или частичную обратимость
этих деформаций при разгрузке (известно, что истинные пластические
деформации являются необратимыми).
Рассмотрим процесс разгрузки более подробно. Возможны
несколько схем разгрузки элемента с псевдопластическими
деформациями. Схема / — по секущим линиям 1—0, 2— V — О,3— 2' —
О (см. рис. 1.8, д), сходящимся в начале координат. Такая схема
используется в дискретно статистической модели [161]. В результате
полной разгрузки остаточные деформации будут равны нулю. При
такой разгрузке трещины не смыкаются и сплошность не восстанав-
восстанавливается.
Схема 2 — разгрузка с постепенным восстановлением сплошнос-
2* 35

ти, вследствие постепенного зажатия трещин. Внутренние трещины
имеют различную ширину раскрытия, поэтому логично предпол-
предположить, что они закрываются постепенно в процессе разгрузки. В
результате такой разгрузки на берегах трещин, которые смыкаются,
возникают напряжения сжатия—зажатия (б", см. рис. 1.8, г). Уве-
Увеличению напряжений б" способствуют также различные шерохова-
шероховатости и выколы берегов трещин, препятствующие закрытию трещин.
Полная разгрузка является условной (б - 0 и Р = 0, однако О" ^'0 и
б" =? 0). В зависимости от тех или иных предполагаемых закономер-
закономерностей изменения напряжений б " в процессе разгрузки диаграмма ее
может представляться линиями вида 3 — 5 — 7, если зажатие трещин в
начале разгрузки происходит без возникновения напряжений б", или
линиями вида 3 — 6 — 7, когда существенные напряжения б" возника-
возникают с самого начала разгрузки, и в среднем некоторыми прямыми вида
3 — 7 C — 4 — 7 на рис. 1.8, д). Более вероятны для этой схемы
диаграммы 3 — 5 — 7 и 3—7 C—8 — линия разгрузки упругопласти-
ческого тела; нетрудно заметить, что линии 3 — 7 приводят к большей
обратимости деформаций, чем 3 — 8).
Схема 3 (наиболее общая). Разгрузка сопровождается двумя
процессами: нарушением сплошности сечений, особенно в начале
перехода с ветви нагрузки на ветвь разгрузки, и процессом зажатия
трещин, который наиболее интенсивно протекает в конце полной
разгрузки приб-*0. Графики такой разгрузки изображаются линиями
типа 3 — 6 — 7 (см. рис. 1.8, д). Такие линии обычно свойственны
однократным и немногократно повторным циклам разгрузки — на-
нагрузки. Заметим, что схема 3 реализуется и на ниспадающем участке
диаграммы A0—12—13, см. рис. 1.8, д), однако при этом процессе
нарушения сплошности сечений (в виде линий / / — 12) преобладает
над процессом зажатия (в виде линий 10—11).
Теперь установим зависимость между напряжениями бяб'.
Условие равновесия напряжений, приложенных к граням элемента на
рис. 1.8, г, при разгрузке записывается
a F - g'F' + a"(F - F') = 0, A.7)
где а" — некоторые усредненные по площади (F—F") напряжения зажатия;
они могут быть только сжимающими, поэтому приняты за положительные.
Учитывая, что F'/F = v, уравнение A.7) удобно преобразовать
к виду
а - а* v+ а"A - v) = 0. A.8)
Рассмотрим решение A.8) при некоторых дополнительных пред-
предположениях, приняв, что: сплошность сечений при разгрузках не
изменяется, т.е. v = v3, где v3 — значение V в точке начала разгрузки
3', напряжения а изменяются по линейному закону соответственно от
значений ст"= а*,* = 0 в точке начала разгрузки 3 до некоторых значений
а**, в точке 7, соответствующей концу отрезка разгрузки (см. рис. 1.8,
д). Значение б" находим из A.8), полагая б = 0; V = л>3, б' =бт* =?7Е,
где б 7 остаточные деформации, соответствующие точке 7.
36
г** =
A.9)
Линейная функция изменения напряжений и" с учетом приня-
принятых предпосылок записывается
б"= [?7Е(б3 -.-б ) 1> 3]/[б з О -V3)], A.10)
гдеб 3 — значение напряжений б в точке начала разгрузки 3.
Внося A.10) в A.8), придем к линейной связи между напряже-
напряжениями б и б'
о* = а ( ) + Ееп, A.11)
Рз а3
а отсюда к линейной зависимости между деформациями ? и напря-
напряжениями б, поскольку^' =ЕЕ. Диаграммы такой разгрузки представ-
представляются линиями вида 3 — 7.
Естественно, вводяв A.8) иные зависимости изменения V яб",
можно прийти к тем или иным видам криволинейных диаграмм C —
6 — 7 или 3—5 — 7). Обозначим
1 1 Ееп
—^- = (-— ' >• <112>
з а3 ¦
Поскольку величина т? * на отрезке разгрузки 3 — 7 являются
константой, то приращения напряжений Л б' будут связываться со-
согласно A.10) с приращениями Дб, например, Дб' = б' — бг' с Дб =
б — б 3, соотношением
A.13)
Эффекты в бетоне типа эффекта Баушингера. Как известно,
этот эффект наблюдается в металлах и состоит в том, что пластическая
деформация одного знака уменьшает напряжения, при которых такая
же деформация достигается в последующем после разгрузки и нагру-
жении напряжениями другого знака. Объясняют этот эффект тем, что
в зернах металла остаются напряжения, содействующие деформациям
противоположного знака. Рассмотренная на рис. 1.8, г схема остаточ-
остаточных напряжений в структуре бетона после разгрузки показывает, что
аналогичные эффекты могут наблюдаться и в бетоне, хотя и не всегда
следуют указанной простой схеме [86, 114, 143].
Дилатация (дилатансия). Рассмотрим еще одно понятие, свя-
связанное с внутренним трещинообразованием. С дилатацией связывают
возрастание объема образцов, вследствие деформации при некоторых
видах напряженных состояний, которые в изотропных материалах
такое увеличение не должны вызывать. Например, говорят об увели-
увеличении объемных деформаций при чистом свдиге некоторых грунтов,
объясняя это шероховатостью поверхностей скольжения в виде той,
что показана на рис. 1.7, в. В бетонных элементах дилатацию
связывают с возрастанием объема образцов, подвергаемых одноосно-
одноосному или многоосному сжатию, в стадиях, близких к разрушению. Об
изменении объема судят по объемным деформациям (Q = ?х + ? + ? г,
где ? . (i = х, у, г) — относительные деформации; значение б —
инвариантно относительно преобразования координат). В начале
37

нагружения, как и положено, при сжатии объем уменьшается (8 —
является отрицательной), затем уменьшение объема затормаживается
и приходит в состояние в = 0, а в стадии, близкой к разрушению,
начинается интенсивный рост объема, при этом в становится
положительной и возрастает.
Замедление роста объема сопровождается накоплением в
структуре бетона микротрещин и повреждений (со смешанными
механизмами, см. рис. 1.7, д — з), которые особенно интенсивно
начинают накапливаться после точки # = 0. Точка в по О.Я. Бергу
[15] называется верхней параметрической точкой. По напряжениям в
этой точке в некоторых случаях судят о некотором безопасном уровне
напряжений и долговечности.
Рост объемных деформаций при центральном сжатии связан со
значительным увеличением поперечных деформаций. Если в начале
коэффициент поперечной деформации^!*0 =0,15 — 0,2, то затем он
возрастает до 0,5 и может превысить эту величину. Этим характер
деформаций при сжатии существенно отличается от характера
деформаций при растяжении. Как уже указывалось, при растяжении
этот коэффициент остается без изменения и даже может несколько
снижаться.
На эффект дилатации в бетоне обращали внимание А.А. Гвоздев
[31], О.Я*. Берг [15], Г.А. Гениев [40], который, видимо, первым
начал его учитывать в предложенной им модели бетона. В настоящее
время этот эффект учитывается практически во всех моделях. Заметим,
что наиболее естественным образом этот эффект учитывается в
ортотропной модели бетона, вследствие изменения коэффициентов
матрицы податливости бетона [77].
Влияние внутренних трещин на деформации ползучести
бетона. Пусть вид нарушения сплошности сечений, представленный
на рис. 1.8, а —г, реализуется во времени. Выделим две схемы
нарушения сплошности сечений во времени, назвав первую из них
согласованной, а вторую несогласованной.
Согласованная схема. Изменение сглаженных а и действитель-
действительных а* напряжений во времени согласовывается между собой по
схемам, приведенным на рис. 1.9, а, в. Начнем рассмотрение с
простейшего случая — простой ползучести (рис. 1.9, а). Пусть обра-
образец-призма в возрасте т сут после изготовления сначала нагружается
в некоторое короткое время до напряжений a(t), например до
напряжений в точке 3 на Рис- 1-8, д, а затем выдерживается под
достигнутым постоянным напряжением а длительное время (t, сут).
Схематически такой режим нагружения изображается сплошными
линиями /', / (здесь, как и принято в теории ползучести,а обознача-
обозначается а(т), а начальный участок нагружения представляется схемати-
схематически вертикальным отрезком /')•
Выше указывалось, что a — сглаженные напряжения. В про-
процессе кратковременного нагружения происходит нарушение сплош-
38
6,6
2" 1
i
6*(z)
\6(T)
г .
z,t
t x,t
Рис. 1.9. Изменение напряжений а* при согласованной схеме изменения
сплошности сечений во времени
ности сечений и изменение реальных напряжений ст'по линии 2';
ст*(т) — реальные напряжения, которые соответствуют сглаженным
ст(т). При простой ползучести напряжения ст(т) во времени не
изменяются; в согласованной схеме не изменяются и напряжения
ст'(т) — пунктирная линия 2. Заметим (см. рис. 1.9, б), что реальные
линии кратковременного нагружения напряжениями аи (/" и 2")
отличаются от схематических (/'и 2'); т — фактически время, при
котором напряжения достигают значений ст(т)и ст*(т).
Время кратковременного нагружения составляет т. - т() где т0 —
время начала нагружения. На это указываем в связи с тем, что а*(т)
может зависеть не только от ст(т), но и времени т—т0, что позволяет
несколько расширить возможности согласованной схемы, хотя и
является некоторым от нее отступлением. Если говорить о возрасте
бетона в момент нагружения или догрузки, то различий между т0 и
т можно не делать, поскольку они ничтожны.
По аналогии с A.5) связь между о*(т) и ст(т) представляется в
виде
F
о*(г)=ст (г)-— =ff(r)/i>(r), A.14)
где v(t) = F'(z)/F, F'(x) — площадь сплошной части сечения в момент
времени т.
39

Практически в случае согласований схемы v(t) можно опреде-
определить как коэффициент изменения секущего модуля диаграммы типа
1.8, д, построенный для бетона в возрастет. Он зависит, естественно,
не только от возрастах, но и от напряженияа(т), достигнутого к концу
кратковременной нагрузки, поэтому подразумевается, что
A.15)
Здесь г|(т) — уровень напряжения(г|(т)=а(т)/Л(т),гдеЛ(т) —
некоторая кривая изменения прочности во времени).
Вводим еще одну предпосылку, полагая, что деформации
ползучести бетона под действием действительных напряжений а*(т)
следуют линейной наследственной теории старения Г.Н. Мае лова —
Н.Х. Арутюняна [4, 118], хотя в принципе можно использовать и
нелинейный вариант. Особенности этой теории в первую очередь
отражаются на конструировании меры ползучести бетона C(t,i) и
записи меры 8(t,z) полных деформаций,
Е(т)
+ С (t,T),
A.16)
где ?(т) — начальный модуль деформации бетона в возрасте т.
Конструкции мер ползучести C(t,i) представлены в работах [ 1,
4, 18, 120, 121, 140, 141, 165 и др.].
В силу принятых предпосылок общие деформации е(?) и
деформации ползучести er( i) образца, нагруженного напряжениями
а*(т) по схеме рис. 1.9, а (пунктирные линии 2', 2), в момент времени
t составят
е(О = а*(т)
=а*(т)
Внося значение а*(т) из A.14) в A.15), находим
о(т)
A.17)
A.18)
— &(t,T); /@ = C(t,T).
V(T) V(T)
Как известно, для определения деформаций ползучести бетона
при сложных режимах изменения напряжений во времени, современ-
современные линейные теории ползучести используют принцип наложения
воздействий. Этот принцип в редакции И.Е. Прокоповича [144]
сформулирован так: полная деформация при переменных напряжени-
напряжениях равна сумме полных деформаций, вызванных соответствующими
приращениями. Причем значение полной деформации от данного
приращения напряжений прямо пропорционально значению этого
приращения и зависит от длительного действия этого приращения, но
не зависит от значений и длительности действия других приращений
напряжений. Полагаем, что этот принцип действует относительно
приращений действительных напряжений ?'(?). Пусть, например
(см. рис. 1.9, в), в моменты времени Y,,1? 2,t 3 к образцу приклады-
40
ваются соответственно ступени напряжений 6\, (бг' — бл *), (б3* — бг"),
тогда общая деформация к моменту t > т3 составит
e(t) =
(a3*-
A.19)
[здесьб (Т^.б (*t2),... обозначается 6t, б2,...]
Относительно напряжений б это выражение на основании
A.14) и A.12) преобразовывается к виду
е(О =
в\
О2 01
(г,г,) + ( ) 5 (t,r2)
v(t2) v(r,)
8(t,T3).
Два первых слагаемых {1.20) относятся к ступеням возрастаю; тх
напряжений (нагрузке), они получаются из A.19) путем подстановки
A.14). Третье слагаемое относится к разгрузке, здесь вместо V (Т)
'согласно A.12), A.13) вводится параметр ¦))* =i)*^r3). Таким образом де-
деформации ползучести при нагрузке и разгрузке протекают по-разному.
Сопоставляя A.19) с A.20), можно еще заметить, что применительно к
сглаженным напряжениям б &Г), точнее к их приращениям, принцип
наложения воздействий претерпевает существенные изменения.
Интегральные уравнения наследственной теории старения от-
относительно напряжений б'(*Г) записываются без изменения, напри-
например в виде уравнений G3), G4) из книги [140]. Относительно
неубывающих во времени напряжений б'(Т) эти уравнения на осно-
основании подстановки {1.14) преобразовываются к виду
о (г,) 5
e@ =
V (Г,)
o t d a (г)
'+ J ( M
Tj d(T) V (Г)
A-21)
или ^р A.22)
а (О to (г) Э5 (t, г)
Г df
E(f)V(t) Г, V (Г) Эг
Эти уравнения являются нелинейными относительно б(?с), пос-
поскольку под if (t) подразумеваются выражения A.15). Видно, что в
случае согласованной схемы уравнения A.21), A.22) можно отнести к
частному типу уравнений современной нелинейной теории ползучести
бетона, поскольку в них фактически фигурируют одинаковые функции
нелинейности кратковременных (мгновенных — по терминологии тео-
теории ползучести) деформаций и деформаций ползучести, которые, одна-
однако, меняются со временем. Если изменение функций нелинейности не
связывать со временем, а полагать V (Т) = V, причем может быть вынесен
за знак интеграла, то можно прийти к предложению [145] (здесь такая
схема возможна только на ступенях разгрузки при линейной диаграмме
разгрузки по линиям типа 5 — 7, см. рис. 1.8, д).
Нелинейные диаграммы мгновенных деформаций введены в
уравнения ползучести в [26] вне связи с рассмотренной схемой
41

нарушения сплошности сечений. На фактор развития внутренних
трещин во времени и влияние этого фактора на нелинейные деформации
обратил внимание О.Я. Берг [14]. Экспериментальное подтверждение
нелинейности деформаций ползучести можно встретить в работах [2,32,
93 и др.]. Фактор нелинейности учитывается в различных построениях
моделей ползучести [5, 27, 28, 30, 35, 144, 149 и др.].
В этих построениях дискуссии ведутся вокруг ряда кардиналь-
кардинальных вопросов: применимости принципа наложения воздействий к
определению нелинейных деформаций ползучести, модификации
этого принципа, конструирования специальных мер нелинейной пол-
ползучести, обратимости нелинейных деформаций ползучести. Все это
указывает на сложность влияния фактора трещиноватости бетона на
ползучесть, который, конечно, выходит за рамки представленной на
рис. 1.9, а, б упрощенной схемы. Эта схема представляет скорее
методический интерес из-за своей наглядности, поскольку другие
схемы обычно такой наглядности лишены. Качественно новые свой-
свойства и возможности приобретают уравнения A.21), A.22) для несо-
несогласованной схемы нарушения сплошности сечений.
Несогласованная схема. Примеры такой схемы показаны на
рис. 1.10, а, б (здесь режимы изменения сглаженных напряжений
б (Я:), которые показаны сплошными линиями, и режимы изменения
действительных напряжений б*(Т) — пунктирные линии, не согласу-
согласуются между собой). Рассогласование связано с эффектом подрастания
внутренних трещин во времени.
Особенности такой схемы удобно рассмотреть на примере
одноступенчатого режима нагружения напряжениями 5 (Т,) = б =
const (рис. 1.10, а). Напряжения бЧТ) не следуют этому простому
режиму. Допустим, что график изменения 6'(t) известен
(см. пунктирную линию на рис. 1.10, а). Заменим этот график
некоторым ступенчатым, тогда деформации во времени будут опреде-
определяться по формуле типа A.19).
s (О = а*5 (tti,) + I (а*- а*,; SCtfr). A.23)
Чтобы перейти к записи уравнения A.23) относительно сгла-
сглаженных напряжений б (т), следует использовать подстановку A.14).
Здесь по-прежнему iK<t) = F'(t)/F, однако определение 1) (Т) как
секущего коэффициента диаграммы б (Т) — ? (Т) сохраняется лишь
для начальной ступени б," при V(T) = V (f,). В результате, учитывая
еще, что5(т) =0= const, уравнение A.23) записывается
б (г, то п 1 1
е(т)=а[- + ?( N(f,r,)]. A.24)
V (Tj) 1=2 V (Г,- ) V (Т/и)
Уравнение A.24) может быть положено в основу методики
определения дискретных значений V (Т^) из экспериментов, а затем
построения функций нарушения сплошности во времени для различ-
различных уровней б. Таким образом в несогласованных режимах парамет-
42
а)
6,6
с
*
,* <*
г--
; j
6-6t*
,; <¦
const
1
>5_
тп t r,t
В)
Рис. 1.10. Изменение напряжений
ст * при несогласованной схеме измене-
изменения сплошности сечений во времени
6,6
*
r, ¦
a,-
4
-3-
6*
ГЫ1.
- i
'6R
6' _,
Г, Т> Г, Г, Tg tB Г7
ры V (T) будут зависеть от уровней и длительности действующих к
моменту Т напряжений, условно
i> (r) =i> [(r-rj), a (r-rj)] или v (т) =v [(т-Тх), Щт-тО], A.25)
хотя конкретные выражения еще необходимо установить.
При такой трактовке V (т) интегральная форма записи уравне-
уравнения ползучести в виде A.21) или A.22) в принципе не изменяется.
Так, соотношение A.24) при я-» «можно представить интегралом вида
б (Л Ti) t d 1
e(t)=o[ + J ( )б (t,r)dT].
v (то Tj dT v (т)
Этот интеграл также следует из A.21), если принять б (т) =
(const) и представить i>("t) в Виде A.25).
Аналогично можно рассмотреть и более сложные режимы
изменения напряжений, показанные на рис. 1.10, б. Общая запись
A.23) здесь сохраняется, меняются лишь значения б (Т;) в связях
б*AГ() = 6(t\)/V (т\) для различных участков при переходе к записи
типа A.24).
В заключение этого рассмотрения укажем на возможность иного
подхода к конструированию уравнений для тела с двумя видами
напряжений — б и б*. Выше расчетными приняты напряжения 6, для
которых справедливы традиционные уравнения равновесия и гранич-
граничные условия. Меняются лишь физические соотношения при переходе
от б' к б. Однако можно поступить наоборот — менять уравнения
равновесия и граничные условия, записывая их относительно б' на
основании подстановок A.5) или A.14), а простые физические
соотношения относительно б' оставлять без изменения.
43

1.3. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЯХ
МЕХАНИКИ. ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Определяющая и разрешающая система уравнений. Напря-
Напряженно-деформированное состояние в каждой точке тела характеризу-
характеризуется в общем случае 15 компонентами, куда входят: шесть компонент
тензора напряжений (бх, б , 6г, X х , Хуг, tzx); шесть компонент тензора
относительных деформаций (? ^Е^.Е г, fxy, % уг, fzx) и три перемеще-
перемещения (и, v, w) соответстенно вдоль декартовых осей координат(л:, у, г).
Для их определения устанавливают: три дифференциальных уравне-
уравнения равновесия напряжений, которые характеризуют изменение на-
напряжений тела при переходе от одной точки к другой (в виде
уравнений C.04) из [13]); шесть геометрических уравнений, харак-
характеризующих связи между относительными деформациями и переме-
перемещениями (в виде уравнений C.08), например из [13], из которых
следуют шесть уравнений неразрывности деформаций C.09)); шесть
уравнений, связывающих относительные деформации и напряжения
(физические соотношения для бетона рассмотрены далее).
Таким образом приходим к 15 уравнениям для определения
указанных выше 15 неизвестных. Дифференциальные уравнения
равновесия и совместности, образующие систему из девяти уравнений,
не зависят от свойств материалов, т.е. являются общими для тел из
любого сплошного материала, в том числе бетона и железобетона.
Специфика того или иного материала отражается в физических
соотношениях, которые для бетона и железобетона имеют много
новых свойств.
Чтобы указанная выше система 15-ти уравнений имела не
тривиальное (не нулевое) решение, к ней еще необходимо добавить
граничные условия (в напряжениях или перемещениях; статические,
кинематические или смешанные). Таким образом приходят к так
называемой системе определяющих уравнений механики сплошной
среды.
Определяющая система уравнений механики представляется
громоздкой и неудобной для решения, поэтому ее предварительно
сводят к некоторой меньшей по размерности системе дифференциро-
дифференцированных уравнений более высоких порядков (с более высокими поряд-
порядками частных производных). Такая система называется разрешаю-
разрешающей. Она может быть записана относительно напряжений через
функцию напряжений, в перемещениях или в некотором смешанном
виде. Однако и решение разрешающей системы дифференцирован-
дифференцированных уравнений представляет собой довольно сложную задачу, поэто-
поэтому в последнее время используют различные численные методы
сведения дифференциальных уравнений к алгебраическим.
Среди таких численных методов следует отметить метод конеч-
конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), вариаци-
вариационно-разностный (BMP). Наибольшую популярность в последнее
U
Рис 1.11. Компоненты тенаора относительных деформаций
время приобрел МКЭ, как наиболее универсальный. Коэффициенты
матрицы жесткости физических соотношений бетона и железобетона
обычно представляются, в свою очередь, функциями напряжений или
относительных деформаций, а в более общем (для железобетона) —
некоторыми неаналитическими операторами. В связи с этим числен-
численные методы являются основными при расчете различных бетонных и
железобетонных конструкций.
Девять и шесть компонент тензора относительных деформа-
деформаций. Общую малую деформацию бесконечно малого параллелепипеда
(рис. 1.11, а) удобно представлять в виде ряда простейших деформа-
деформаций (рис. 1.11, б —ж): трех относительных удлинений его ребер ?х,
? у> Еги шести Усовых деформаций (сдвигов) ¦)(%'*yX'f*yz'X%>X\x'#i>
которые искажают прямые углы между ребрами параллелепипеда.
Обобщенно эти деформации составляют девятикомпонентный вектор-
столбец.
{е*}х= \ех, ву, ez, y*r у*х, y*v y?, y*x, y*z. } т. A.33)
Относительные деформации преобразуются при повороте осей
координат как компонеты несимметричного тензора второго ранга.
Несимметричность тензора относительно главной диагонали наглядно
проявляется, если его представить в виде
у* у
>Ху '
ey,
lyZ> ¦
\
Тензор несимметричен, потому что/"*.^ ЦТ* (г, / = х, у, г). По
причинам, которые будут указаны ниже, использование несимметрич-
несимметричного тензора связано с существенными усложнениями. Поэтому в
45

расчет вводят половинные значения общих (¦jr* +
сдвига
деформаций
1 1 _ 1
Г Уху ~ Уух ~~~~ (Ух
ху
1 _ 1 _ 1
~Т V=~T" V = —-
iyz
Уух
A.34)
1 _ 1 1
~~~Ухг~~~~Угх = ~Г~ (Ухг +У*х )
Компоненты деформаций с усредненными углами свдига обра-
образуют шестикомпонентный вектор-столбец
1 1
- \ех, еу, ez, —- уху, --- ¦
1
A.35)
Тензор такой деформации представляют так:
1
Ъх
1
' 1
€х' Ух
2
еу,
симметрично
Заметим, что в случае линейно-упругих изотропных материалов,
видимо,^* —$*, поэтому условия A.34) удовлетворяются автоматичес-
автоматически. В случае анизотропных материалов, атакжевслучаеупругопластических
изотропных материалов условия A.34 ) выступают уже как дополнительные
условия осреднения. Выполнение неравенства^"* #^.*можно наглядно
представить на примере сдвига колоды игральных карт.
Компоненты поворота. На рис. 1.12, а, б представлены схемы, на
основании которых устанавливают связи между малыми относительными
деформациями и перемещениями точек тела, точнее производными от
перемещений. Вывод этот можно встретить в любом курсе теории упругости,
например в 3.87 книги [13], поэтому мы остановимся только на одном
факторе, который связан с несимметричным тензором относительной
деформации. Пусть бесконечно малый параллелепипед, выделенный у
заданной точки М сплошного тела с ребрами, параллельными осям коорди-
координат х,у,гв процессе деформации тела сам продеформируется и переместится
в положением'(рис. 1.12, а —деформированное состояние тела и элемента
показано точечными линиями, и, s, w — перемещения точки М).
На рис. 1.12,6 показано положение проекции стороны MKNL этого
элемента на координатную плоскость гоудо (MKNL) и после (M'K'N'L" )
деформации тела.
Переход из недоформированного MKNL в деформированное
46
а)
г
i
'К N '¦•--,
V
У
S) 2
/V"
э
ь
К N М1
м
ли
1
V
(/} (а О
Рис. 1.12. К рассмотрению ком-
компонент жесткого поворота
У
состояние М'К" N*L" можно условно представить в виде следующих
этапов: перемещения v и w элемента MKNL в состояние с точкой М'
как жесткого целого и его жесткий поворот шх вокруг оси х, нормаль-
нормальной к плоскости уог, в результате чего тело займет положение
M'K'N'L'; собственные деформации параллелепипеда, включая сдвиги
#* Hf* и относительные удлинения сторон. Общие повороты граней
M'L" и М'К" в деформированном состоянии вокруг оси х соответ-
соответственно составят <рt и f>2, где
A.36)
у*
Угу
Согласно рис. 1.12, б
Э w
L"S= dy =M'L"sin ip
Ъу
dv
K"R = dz
dz
dz
откуда
= aj; <p 2 = - -gz-
(
Внося значения^ , щ в A.36), находим:
Э w Э v
Ууг = "г "х: Уг*у = ~— + "х-
dy dz
Аналогичным образом можно определить:
Эу* Э и
A.37)
у* =
Угх
Эй
У
A.38)
— повороты элемента вокруг осей гиг/.
Суммируя попарно зависимости A.37), A.38), находим
Э w Эй
= + . у*
Ъ 1 ' 'XT'
ay $z
Э w
7r# + y4e ^ л.
ZX 1X2
•у*
Iyz
<yz
izy
Уху + Уух
Уух =
fx
Ъи
d и
"d~z~
A.39)
dx
47

Таким образом, в общих углах сдвига A.39) поворотышх, си ,
to исключаются, что и обусловливает необходимость осреднения
A.34).
В зависимости от введения или невведения в расчет углови>.(г =
х, у, г) различают два варианта теории упругости: безмоментный (iM
не фигурируют) и моментный (с введением си.). Обычно моменты
связываются с производными от ш^ по координатам (в варианте
моментнои теории Миндлина). Аналогия такой связи прослеживается
следующим образом. Рассматривая случай одноосного напряженного
состояния, например из A.37), можно прийти к гипотезе плоских
сечений (при этом ^*г=^= 0) и к кривизне балки, если взять
производную doi/dz, где г — координата, направленная вдоль оси
балки. Кривизна же, как известно, непосредственно связана с моментом.
Моментная теория была предложена братьями Коссера. Одно
время она интенсивно развивалась в работах советских и зарубежных
исследователей, а затем интерес к ней упал. Причина состояла в том,
что полученные уточнения решений классической безмоментной тео-
теории оказались малыми, в основном значимые результаты получались
только для мест концентрации напряжений. В материалах с неодно-
неоднородной структурой моментный фактор может быть более значимым.
Здесь же к зависимостям A.38), A.39) возратимся в связи с тем, что
для железобетона с трещинами физические соотношения устанавлива-
устанавливаются относительно углов сдвига #*.
Свойства симметричного тензора напряжений в точке сплош-
сплошного тела [13, 31, 135 и др.]. Как уже указывалось в п. 1.2,
напряженное состояние элемента в ортогональных осях х, у, z
характеризуется девятью компонентами тензора напряжений бх, 6 ,
&2< ^ху' tyx' *>> %,> Х2х> Тхг< которые в случае парности касательных
напряжений преобразуются к шести компонентам бх, б , ^г<^х >^" г>
X2х (см. рис. 1.2, г).
При использовании тензорной символики координаты х, у, z
обозначают *,,.r2,;t:3, где индекс г принимает значения 1, 2, 3. При этом
нормальные напряжения обозначают бп,б^, б>33, а касательные б12,
б23, б31. Общий компонент записывают б.. \ij — 1, 2, 3). Отдельные
компоненты получаются из общего заменой бувкв i, j цифрами 1,2,
3 (или х, у, z — при переходе к нетензорной символике). Симметрия
выражается соотношениями бг = б.. (г =* /).
Основными в представленном ниже рассмотрении являются
соотношения симметричного (шестикомпонентного) тензора напря-
напряжений, которые приведем без вывода. Соотношения, относящиеся к
несимметричному тензору, будут специально оговариваться.
Можно выбрать такую ориентацию граней бесконечно малого
параллелепипеда у заданной точки, что на этих гранях касательные
напряжения будут обращаться в нуль (см. рис. 1.2, д, оси /, 2, 3 или
п, т, I). Нормальные напряжения б,, б2, б 3 на таких площадках
называют главными. Заметим, что в случае несимметричного тензора
48
главными являются площадки, на которых обращаются в нуль суммы
Существует три соотношения между компонентами тензора
напряжений, которые приводят к одним и тем же результатам
независимо от поворота системы координат. Их называют инвариан-
инвариантами тензора напряжений (независимыми от поворота координат) и
обозначают /,, /2, /3
/1-о, + (^ + %=а1+о!,+аз; A 40)
h =ахау + oyoz + azax-т2у - т2^ - т*гх = а1о2 + а2а3
ау + oy
h=oxoyoz
2TxyTyzrzx-
Тензор напряжений зачастую представляют в виде двух состав-
составляющих: шарового тензора и девиатора. По физическому смыслу
шаровой тензор должен обусловливать изменение объема тела при его
нагружении, а девиатор — изменение формы. Шаровой тензор харак-
характеризуется одним инвариантом б 0 (средним напряжением в точке), а
девиатор — вторым D2 и третим D3 инвариантами девиатора напря-
напряжений (первый инвариант девиатора равен нулю):
D2 = [(ах- ауJ + (оу - azJ + (az - ахJ +
6
(т
ху
6
- а2)
- а3J + (а3 -
2
D3 = (ах - ао) (оу - а0) (az - а0) - (ах - а0) туг -
A.41)
т2х - (аг - а0)
- ао) (аг- ао) (а3 - а0).
Далее будут рассмотрены и некоторые другие инварианты.
Встает вопрос, сколько всего существует независимых инвариантов?
Методами тензорной алгебры доказывают, что независимых алгебра-
алгебраических инвариантов — три в качестве которых могут быть выбраны
инварианты /,, /2, 13 или /,, D2, Dr Обычно в той или иной
модификации предпочитают последнюю тройку инвариантов.
Особый интерес представляют напряжения на так называемых
октаэдрических площадках, равнонаклоненных к направлениям трех
главных напряжений. Нормальное октаэдрическое напряжение б0 на
этой площадке равно среднему напряжению
ао = (^+02 + 03)= /х, A42)
а полное касательное напряжение — октаэдрическое касательное
напряжение составляет
A.43)
49

В теории пластичности широко используется понятие интенсив-
интенсивности касательных напряжений т. и интенсивности нормальных
напряженимй б., которые формально равны
A.44)
Пусть главные напряжения расположены в последовательности
б1 > б2 > 6 3, тогда на площадке, наклоненной под углом 45° к
площадкам приложения напряжений бх и б3 действуют максимальные
касательные напряжения
*«,= A/2) (а, - а3). A.45)
Наряду с инвариантами б0 и То при конструировании критериев
прочности бетона важную роль играет параметр Лоде —Надаи по
напряжениям
_ 2 02 - Ox - Оз
0\ — O3
где также б, > б. >б,.
A.46)
Инвариант Лоде —Надаи имеет важную особенность — он
изменяется от+1 до-1 A >J*S> — 1). Используя параметр ju. можно
установить ряд интересных зависимостей [135]:
"* "тттгт^т--'- «¦«>
A.48)
аг =а0 + -
а3=а0
Вывод зависимостей A.48) сводится к следующему. Второе
соотношение A.48) устанавливают, внося (б( -б3) из A.45) в A.46).
Затем, рассматривая это соотношение с зависимостями A.42) и A.46),
получают остальные соотношения A.48) для б, и б .
Полагая в A.47) JUff= 1 и JH= 0, можно получить граничные
значения отношения Т„/г ,
(К fc max'
0 941
50
'max
0,816.
Рис. 1.13. К рассмотрению геометрических интерпретаций некоторых инва-
инвариантов
Таким образом октаэдрические касательные напряжения мало
отличаются от значений максимальных касательных напряжений.
Значениям б0, То и JUff можно дать некоторую геометрическую
интенпритацию. Примем в качестве декартовых координат оси глав-
главных напряжений б,, б2, 63> тогда их можно связать с цилиндрической
системой координат, которую представляют величины Vb6Q, VbtQ и
уголС*^ = Aj^V). Это показано на рис. 1.13, а, б. Построения
рис. 1.13, а сводятся к следующему.
Пусть известны главные напряжения б\ >б*>бд в некоторой
точке s твердого тела. Представим эту точку в декартовой системе
координат б,, б2, б3; OS — вектор полного напряжения, а б*, б*,
б* — его проекции на координатные оси. Проведем через точки S
плоскость П, равнонаклоненную к этим осям (девиаторную плос-
плоскость). Кроме этого проведем через точку О ось, равнонаклоненную
к координатам б,, б2, б3. Эта ось пересечет П в точке 4. Нетрудно
показать, что эта ось совпадает с нормалью к девиаторной плоскости
П. Тогда вектор OS можно представить в виде двух новых составля-
составляющих 04 и 4S (см. рис. 1.13, а), причем длины этих векторов составят
@4) = -/Зб0, D5) = УЗТ0.
Таким образом, положение точки S задается иначе: уЗо0 —
осевая, a V$tu — радиальная ее координаты в цилиндрической
системе координат. Однако этих осей недостаточно, необходимо
зафиксировать еще угол вращения вектора OS вокруг точки 4. Для
этого проводим плоскости 1 0 4 A—4 — 6 — след этой плоскости на
плоскости П), 3 0 4 C — 4 — 5 след ее на П) и 2 4 0 (со следом 2 — 4 —
7 на П). Отдельно плоскость П со следами пересечения показана на
51

рис. 1.13, б. Положение вектора OS можно зафиксировать углом <р6
его наклона к следу 1—4 или углом iO6 — к следу 4 — 5. Эти следы
обладают интересными свойствами. На плоскости 104 соблаюется
условие б3 = б2, а на плоскости 045 б( = бг Если это учесть, то из
A.46) следует, что в первом случае^^ = -1, а во второмJUg = +1. Таким
образом, линия 1 —4 — это линияjW- = -1, а линия 4 — 5 — это линия
Р*б = +1. В промежутке между ними находятся все остальные линии
A <JUg< +1). Между углом iOg и JUg существует связь
jUtf= 3 ctg (uJff+9r/3), @<uN<JT/3). A.49)
Можно указать и на другую интересную зависимость
3 \/Td3
3 . A.50)
Сопоставляя A.49), A.50), видим, чтоД отражает в простой
форме влияние третьего (и, естественно, второго) инвариантов деви-
атора напряжений.
Границы измененияa>ff, указанные в A.49), следует пояснить.
Рассмотренными выше следами пересечения угол 29Г при вершине Н
(центре тяжести равностороннего теругольника 12 3) делится на
шесть равных углов, которые составляют 9Г/3.
Все точки с напряженными состояниями б)>б2>бз помещаются
в сектора типа 145. Можно представить другие комбинации напряже-
напряжений, например 62>63>6(, всего их будет шесть. Точки с такими
комбинациями будут помещаться на параллельных 12 3 плоскостях
в шести других секторах.
Можно указать еще на интересную связь OJ^ с интенсивностью
касательных напряжений <?_., которая используется в теории пластич-
пластичности [31]:
о1=о0
—=,т{ cos
—=,
V3
О2=о0+ --=*¦ T( cos
а3=а0- ~гт{ cos uff
Определение направляющих косинусов главных площадок.
Направление каждого главного напряжения б(.е = 1, 2, 3) фиксиру-
фиксируется тремя направляющими косинусами Ijii = х, у, z или г = 1, 2, 3,
приняв х - \, у = 2, z = 3)к декартовым координатам х, у, z, причем
должно соблюдаться геометрическое условие
'.*+? + ?=!• A-51)
Фактически к каждой главной площадке восстанавливается
52
нормаль, и ее положение фиксируется тремя косинусами углов (направ-
(направляющими косинусами) наклона к осям координат х, у, г. Значения
направляющих косинусов находят, рассматривая условие A.51) со-
совместно с двумя из трех известных (см., например, 2.04 — 2.06 из [13])
условий равновесий малого тетраэдра, выделяемого из точки:
Тух 1е , + {Оу - Ое) 1е2 + Тр 1еъ = 0;
A.52)
Уравнения A.52) являются однородными, кроме этого нап-
направляющие косинусы let, leV le3 не могут быть одновременно равными
нулю, поэтому определитель системы A.52) должен обращаться в
нуль .
(ох- ае) тху тх2
•ух
>yz
= 0.
A.53)
tzx rzy (о, - ае)
Рассмотрим практический сопосб определения направляющих
косинусов. Определим миноры (адъюнкты Aei) элементов первой
строки матрицы A.53), приняв е = 1:
V
(а -а,)
(здесь минус «-», если е + i — нечетное).
Определяем
-а.)
т (а - а )
ух v у
Направляющие косинусы 1п, /12, /13, фиксирующие положение
нормали к площадке приложения ,, будут равны:
Повторяя эту процедуру для второй строки A.53) и полагая е —
2, находят /21, /22, /23. Аналогичная процедура с третьей строкой A.53)
приводит к значениям /31, /32, /зг В общем случае
A.54)
Необходимо принимать во внимание некоторые особенности.
Если Ае = 0, то:
приб^б,, let = 1; le2 = 1е3 = 0;
53

Инварианты тензора относительной деформации [13, 31, 135
и др.]. Как уже указывалось, деформированное состояние объемного
(трехмерного) элемента в ортогональных осях х, у, z может характе-
характеризоваться шестью компонентами деформаций: Ех,? , ?2, \lfx , "трЯ" г,
Y^zx' которые образуют симметричный тензор относительных дефор-
деформаций. Несимметричный тензор характеризуется девятью компонен-
компонентами A.33) и здесь не рассматривается.
Деформированное состояние может характеризоваться тремя
главными деформациями Е(, ?2, ?3. Направляющие косинусы компо-
компонент главных деформаций определяются по вышеприведенным фор-
формулам, где следует лишь формально заменить б на ? и «С на/1 /$:
Инварианты тензора деформаций, которые обозначаем If, 12,
I3t и инварианты девиатора деформаций (D^, D3t можно также
формально определять по формулам для соответствующих инвариан-
инвариантов тензора и девиатора напряжений [см. формулы A.40), A.41),
заменив б на ? и Т наA/^].
Кроме того часто используются следующие инвариантные ха-
характеристики, их также можно получить применяя указанные замены:
?„ — нормальная октаэдрическая (средняя) деформация ;^0 — окта-
эдрическая деформация сдвига; 0*д — параметр Лоде — Надаи по
деформациям; ?, — интенсивность продольных деформаций; ft. —
интенсивность деформаций сдвига.
Значения ? 0, ^0, 6 ., ^ определяются зависимостями:
е0 =
7o =
v%>=~-
е3);
:- V + <V
A.55)
(^+ тД +Га) = 2У---В2е;
A.56)
Параметр Лоде — Надаи по деформациям
2 е2 - е, - е3
^i — е3
A.57)
Параметр Лоде —Надаи JU? связан с со — углом вида деформи-
деформированного состояния соотношением
я
+ ~3~} A.58)
(О < сое < я/3).
Главные линейные деформации определяются:
при использовании инвариантов
= е0 + —
2>/2C
7о;
7о;
A.59)
е3 =
3 + це
2V2
при использовании инвариантов ? о.^с
1 я
е2 =
7/
Преобразования при повороте осей координат. Пусть заданы
исходные оси координат х, у, z и некоторые новые оси х', у', z' (или
п, т, I, рис. 1.14), повернутые относительно исходных. Связь двух
систем координат определяется по таблице направляющих косинусов.
Требуется выразить компоненты тензора напряжений в одних осях
через компоненты в других. Такую процедуру называют преобразова-
преобразованием тензора напряжений при повороте осей координат
Таблица
х'
У'
z"
(и)
(т)
(/)
|
/««
/21
(т.
%
;)
.>
1
/.2
/22
'за
О-,)
у
1
/23 ("
/зз (/2
Z
lz)
г)
'/l
'/3
Примечание. Последняя строка относится к некоторому; -направлению.
55

Рис 1.14. Поворот осей координат
Примем для начала девятикомпонентный тензор напряжений,
обозначив его компоненты в осях х, у, z в виде б.. (би = б ; б22 = 6V ;
6зз =вг; б„ =*V е23 = г„; б31 = *„; *2t = *;Л2 =*„;**» =г„).
Компоненты тензора напряжений в повернутых осях обознача-
обозначаются б'{.. Тензор б {. преобразуется в тензор б'{. по стандартным
формулам преобразования
где первый индекс при / обозначает номер новой оси (х' = 1, у' = 2, г' = 3),
а второй — номер исходной оси координат (х = 1, у = 2, г = 3). В формуле A.60)
предполагается суммирование по повторяющимся индексам i, j = 1, 2, 3. Индексы е,
к = 1, 2, 3, стоящие в правой и левой частях формулы A.60), являются неповторяю-
неповторяющимися (свободными). Для примера, приняв е, к = 1, 1; е, k = 1, 2, из A.60) получим
Обратное преобразование от осей х', у', z' к осям х, у, z
осуществляется по формулам
°л- °'JJ* 0-62)
В этой формуле повторяющимися являются индексы k, е = 1, 2,
3 (по ним производят суммирование), а неповторяющимися — индек-
индексы г/. Полагая г/ = 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, получим все девять
компонент б „.
Тензорная форма записи преобразований компонент при пово-
повороте осей координат не является единственной. В настоящее время
широко используется матричная форма записи этих преобразований.
56
Остановимся на ней более подробно. Представим компоненты тензор-
ра напряжений в новой и исходной системе координат в виде вектор-
столбцов {б'}х, и {б*}^., где
[°*Jx'= ytiii^'Osi-oii-Oia-Osi-oii.Oaz-Oisy A.63)
Здесь т — знак транспортирования, показывающий, что вектор-столбец в действи-
действительности располагается вертикально; {б}х записывается аналогично, только его
компоненты не имеют верхних штрихов. Нижние индексы х и х' в обозначениях {б'}х,
{6)х. указывают на принадлежность столбца к соответствующей системе координат
(х — к системе х, у, г; х' — к системе х', у', г').
Эта форма обозначений сохраняется и в последующем.
Преобразования A.60), A.62) можно представить в матричной
форме
{о*},. = [а]{а\;
{а\ = [а'Г{о\. =
A.64)
где [ct*] — матрица направляющих косинусов размером 9x9; индекс1 указы-
указывает на обращение матрицы, а индекс «т» — на ее транспортирование; в данном случае
обе, в принципе разные процедуры над матрицами, приводят к одним результатам.
Матрица направляющих косинусов формируется на основании
зависимостей типа A.61); при этом только следует учитывать иную,
принятую в A.62), последовательность расположения компонент напря-
напряжений в вектор-столбцах. Матрицу [а*] удобно формировать по правилу
[«]=
'¦Л У,, У,-3 'Л У,-з У,-, У,-, У„ '«U
A.65)
где построчно i, j — 1,1; 2;2; 3,3; 1,2; 2,3; 3,1; 2,1; 3,2; 1,3 (для первой строки
i, j - 1,1, второй i, j - 2, 2 и так далее).
Учтем условие парности касательных напряжений. При этом
количество компонент напряжений в вектор-столбцах {б}^ и {6'}^..
можно уменьшить до шести:
; A.66)
A.67)
[ fe ]
компоненты {б^записываются без штрихов.
Шестикомпонентные вектор-столбцы напряжений в двух систе-
системах координат (х, у, z и х', у', г') связываются зависимостями:
[ф =[«]{*}*; [а],-[«Г{а},.
где [Л] — матрица преобразования размером 6x6.
Матрицу [<*.] удобно формировать по правилу
+ У,2
У,2+У,3.1
A.68)
принимая построчно i, j = 1,1; 2,2; 3,3; 1,2; 2,3; 3,1.
57

При формировании матрицы A.68) используются зависимости
A.61), в которых, учитывая парность касательных компонент, коли-
количество независимых компонент уменьшается до шести.
Ниже используются, как правило, не тензорные обозначения
компонент напряжений в вектор-стобцах {б'}х и {6*}^.,, кроме этого
формально вектор-столбец {6'}х, заменяется на {б*}п (используется
система координат п, т, I, см. табл. 1.1)
[а
= [ах> ау
v V V
х- V V
A.69)
{°*J « = [°"' *а-т> 0/' Т"т' Тт1' Г/"' Ттп' Г/т> Г/г/] '
В этом случае проще формировать матрицу [а*] по правилу
[о']-1 =ГпЛ
mmk
г*
п.т.
m.Vl.n
1 fe I k
m.n.
l.m.
A.70)
где построчно: i, k = х, у; у, у; z, г; х, у; у, г; г, х; г, у; х, z.
Например, чтобы сформировать первую строку матрицы A.
необходимо принять i = x, k = x, в результате эта строка пишется
A.71)
при формировании, например, последней строки: i = x; k = z.
Матрица [oL'] получается путем транспортирования матрицы
[а*] (в данном случае [ot*]1 = [ol']T. Формула связи в виде A.64)
остается без изменения.
Вектор-столбцы симметричного тензора обозначаются:
№
/i = [
х' °у °z; Txy
аЬ
z' Tz
A.72)
Матрицу направляющих косинусов [й] преобразования сим-
симметричного тензора получают из A.70), учитывая парность касатель-
касательных компонент. Фактически учитывается шесть первых строк матри-
матрицы A.70) и кроме того суммируются элементы при подобных компо-
компонентах (четвертый с седьмым, пятый с восьмым, шестой с девятым).
Например, первая строка шестикомпонентной матрицы [d]1 записы-
записывается
В данном случае [Л] = ([А]'1), однако [Ы]^ [ol]T (в преобра-
преобразованиях A.67) это правило не действует).
Остановимся еще на преобразованиях компонент тензора отно-
относительной деформации в матричной форме. Вектор-столбцы компо-
компонент такого тензора в исходной (х, у, z) и новой (я, m, l или х', у',
г') осях обозначаются:
58
, е,, е
% Ът- Int
A.73)
вектор-столбцы симметричного (шестикомпонентного) тензора со-
составляют
1 1 1
"Т Уху' 1" V~2-
L l A74)
Столбцы A.73) преобразовываются при повороте осей коорди-
координат по формулам A.64), а столбцы A.74) по формулам A.67).
Нередко столбцы A.74) записывают в виде:
A.75)
еу %> txy Ууг> Ъ
опуская множители 1 /2 при компонентах сдвига. При этом
A.76)
Остановимся на особенности перехода от преобразований^ 1.64)
девятикомпонентных столбцов A.73) к преобразованиям A.67) или
A.76) шестикомпонентных столбцов A.74) и A.75), поскольку как
указывалось выше, парность сдвигов не соблюдается (т.е.^* =^.*при
i = /; i, j = х, у, z или п, т, /).
Корректность такого перехода подтверждается тем, что он
фактически может осуществляться без предположения о парности
касательных компонент. Оставим первые четыре уравнения, напри-
например первой системы из A.64), без изменения и просуммируем
четвертое с седьмым, пятое с восьмым, шестое с девятым, а затем
приведем подобные члены. Таким образом получим систему шести
уравнений с девятью компонентами. В этой системе можно заметить,
что направляющие косинусы, стоящие при компонентах бг и б {
оказываются одинаковыми, следовательно можно ввести их суммы
(б.. + 6j.) при г Ф j. Составленные таким образом компоненты
преобразовываются по формуле A.76), здесь только (б.. + б {)
заменяется на (fr*+d~*J =frir Можно принять^* + #*г = ^\^'\)-
тогда приходим к преобразованиям A.67). В случае с симметричным
тензором напряжения получим б.. +б , = 26j>; поскольку б- = в.. при
i =t j. В этом случае также приходим к преобразованиям A.67).
59

Глава 2. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ БЕТОНА ПРИ
НЕОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ
В процессе возрастания нагрузок на конструкцию, естественно,
увеличиваются и компоненты тензора напряжений в отдельных точ-
точках. Однако их увеличение не может быть беспредельным. При
некоторых значениях этих напряжений наступает экстремальная
ситуация. В этой ситуации (в зависимости от материала) возможны:
переход материала в окрестности точки в состояние пластического
течения; хрупкое разрушение с разделением на отдельные части;
переход на ниспадающую ветвь деформирования и постепенного
разрушения после некоторого критического накопления повреждений
(псевдопластическое разрушение, его еще можно назвать псевдоплас-
псевдопластическим течением). Псевдопластическое разрушение предполагает
возможность перераспределения усилий с ослабленной области на ее
окружение.
Бетону присущи два последних характера разрушения (второй
может реализовываться при различных комбинациях неодноосного
растяжения, третий — в случае трехосного сжатия). Критерии (усло-
(условия), которые позволяют определять наступление указанных крити-
критических ситуаций при неодноосных напряженных состояниях, называ-
называют критериями или условиями прочности. Отмеченный первый слу-
случай свойственен металлам; условия, характеризующие его наступле-
наступление, называются условиями или критериями текучести. Заметим, что
нарушение условия прочности в окрестности какой либо точки может
еще не означать разрушение конструкции в целом, хотя такие
предположения часто делаются. Современные методы позволяют
прослеживать постепенное выключение материала в окрестностях
точек (обычно внутри отдельных конечных элементов) или переход
их на ниспадающую ветвь деформирования — и так до некоторого
максимального значения прилагаемой нагрузки, при которой этот
прогрессирующий процесс накопления разрушений приводит к полно-
полному обрушению конструкции. В таких расчетах критерии прочности
выступают в качестве составной части расчетного алгоритма, указы-
указывая на переход материала в отдельных элементах в состояние разру-
разрушения или пластического и псевдопластического течения.
Заметим, что понятие окрестности точки для бетона как матери-
материала с неоднородной структурой ассоциируется с характерным элемен-
элементом масштаба /0 (см. п. 1.1). Именно такие или большие элементы
используют для установления и проверки критериев прочности на
основании экспериментов.
Критерии удобно анализировать и конструировать в осях
главных напряжений б,, б 2, б у В этих осях критерии прочности
60
М
Рис. 2.1. Критерий
Мора (а. б; и его модифика-
модификации (в, г)
представляются в виде некоторой поверхности, которая заключает
внутри себя безопасные напряжения б], бу бу Наоборот, выход за эту
поверхность указывает на разрушение. В бетоне б v б2, 63 — это
сглаженные напряжений (см. п. 1.2). Примем растягивающие напря-
напряжения за положительные.
2.1. КРАТКИЙ АНАЛИЗ НАЧАЛЬНЫХ КРИТЕРИЕВ ПРОЧНОСТИ
БЕТОНА И ИСТОРИЯ ИХ СОЗДАНИЯ
Развитие критериев прочности имеет достаточно длительную и
богатую историю. Эта проблема привлекала исследователей с самого
начала становления бетона как конструкционного материала и про-
продолжает притягивать к себе внимание по сей день.
Классические теории прочности. Первые исследования были
направлены на то, чтобы проверить применимость к бетону классичес-
классических теорий прочности: наибольшего нормального напряжения; на-
наибольшей упругой деформации; наибольшего касательного напряже-
напряжения; энергетических теорий (полной удельной потенциальной энергии
деформации Бельтрами — Хейга и удельной потенциальной энергии
изменения формы Губера—Мизеса —Генки); теории прочности Мора
[193]. Подробное изложение классических теорий можно встретить в
монографиях [31, 135, 155]. Анализ классических теорий интересен
с точки зрения раскрытия механизмов разрушения бетона, которые
были выявлены в результате такого анализа. В последующем механиз-
механизмам разрушения уделялось мало внимания.
Наибольшие дискуссии по поводу своей применимости к бетону
вызвала теория Мора, поэтому остановимся на ней более подробно.
61

Согласно Мору разрушение происходит вследствие скольжения по
некоторым опасным площадкам, на которых напряжения сдвига
достигают предельного значения. Причем предельное значение t не
является константой, а зависит от величины нормального напряжения
б на этой площадке, т.е.
М = /¦<<*> B.1)
Мор дал этому условию наглядную графическую интерпрета-
интерпретацию (рис. 2.1, а). Расположим главные напряжения в последователь-
последовательности су, > ст2 > ст3. Тогда согласно Мору все возможные нормальные
и касательные напряжения на наклонных площадках должны лежать
в области, заключенной между тремя полуокружностями Мора (на
рис. 2.1 эта область заштрихована).
Пусть известна предельная кривая B.1). Она может быть
криволинейной или, в частном случае, линейной (линии /, 2 на
рис. 2.1). Естественно, пока заштрихованая область лежит ниже
предельной кривой, разрушение не происходит. Разрушение начина-
начинается, когда заштрихованная область касается предельной кривой (в
точках Р или S). Из геометрических соображений ясно, что точки
касания должны лежать на большом круге Мора. Представленный
большой круг Мора построен для одного из возможных соотношений
между главными напряжениями (условно для напряжений одной
точки).
В действительности каждому напряженному состоянию соот-
соответствует свой большой круг диаметром (б, — б3). Все центры кругов
располагаются на линии б, а предельная кривая является по отноше-
отношению к ним огибающей. В связи с этим о предельной кривой B.1)
говорят как об огибающей больших кругов Мора. Из рис. 2.1 следует
одно важное свойство условия прочности Мора. Оно состоит в том, что
разрушение зависит только от напряжений б, иб3, по которым
строится большой круг и не зависит от промежуточного напряжения
бг Причем этот вывод не связан с видом кривой B.1). Это важное
условие критерия Мора для бетонов не выполняется, что послужило
причиной его модификаций, рассмотренных далее.
Видимо наибольшее распространение получила простейшая
форма огибающей Мора — (прямая линия 2 на рис. 2.1). В этом
случае критерий B.1) приобразуется к виду
°з=-Чс+ m°i> B.2)
где R^ —
т =
прочность материала при одноосном сжатии;
1 - sin
B.3)
здесь"^г— угол внутреннего трения (Т[Гсм. на рис. 2.1, а).
Заметим, что условие B.2) нашло применение в определении
прочности бетонов при трехосном сжатии [31] при т = 4,1, чему
62
соответствует Т/Г «38°, однако условие B.2) не применимо к оценке
прочности бетона в случаях растяжении и смешанных напряжений
растяжение —сжатие. Вывод B.2) элементарен, его можно найти во
многих работах, например в фундаментальной работе [136], которая
посвящена критерию Мора. Условие B.2) совпадает с точностью до
констант с условием Кулона, который предложил его раньше, поэтому
его называют условием Кулона — Мора. Заметим еще раз, что прежде,
чем пользоваться условием B.2), необходимо выполнить перенумера-
перенумерацию напряжений, расположив их в последовательности б, > бг > б3
(именно так мы будем поступать в дальнейшем). Если указанная
перенумерация не производится, тогда необходимо выделить шесть
отдельных состояний:
> ог >
а2>а3>а1;
B.4)
заменяя в B.2) 6i и б3 на соответствующие крайние напряжения в
неравенствах B.4). Например, если бг> б, > блл то вместо б, в
B.2) принимают бг, а вместо б3 значение О, ¦ Составленные таким
образом шесть условий B.2) определяют в пространстве напряжений
шесть плоскостей, которые проходят через одну точку М и образуют
пирамиду с вершиной в этой точке (рис. 2.1, б). Такая пирамида и
представляет поверхность разрушения Кулона — Мора в пространстве
главных напряжений б, , б2 , б% .
Тот факт, что в области растяжения прочность материала
оказывается существенно завышенной, натолкнул исследователей на
мысль произвести усечение пирамиды согласно рис. 2.1, в. В таком
виде условие прочности Кулона—Мора применялось к анализу про-
прочности легких бетонов в [42].
Подробный анализ применимости различных классических
теорий прочности к бетону на основе анализа опытов различных
исследователей можно встретить в монографиях А.А. Гвоздева [31],
О.Я. Берга [14], затем Г.А. Гениева, В.Н. Киссюка и Г.А. Тюпина
[41]. Если относительно неприменимости к бетону первых четырех
теорий исследователи были практически единодушны, то относитель-
относительно применимости критерия Мора возникали разные мнения. Так,
Г.А. Гениев, например, считает, что теория Мора не применима к
бетону в своей классической форме (это убедительно показал
А.А. Гвоздев [31]), однако она может быть удачно модифицирована.
Не будем останавливаться на количественных расхождениях
показателей прочности указанных теорий с показателями эксперимен-
экспериментов (согласно [14] они могут различаться в несколько раз), а
рассмотрим некоторые качественные выводы указанного анализа
относительно теории Мора. А.А. Гвоздев [31] пришел к выводу, что
классические формы разрушения в виде скольжения по некоторым
опасным площадкам к бетону не применимы. Рассматривая процесс
63

с
Hi
Д<
Я]
б
Щ
НС
и:
в
ри
кр
ри
пр
ет<
ТО1
ка(
бо.
Me:
то1
вет
рас
НИ1
гов
<№
раз
стр
б2.
уел
при
фор
слу
про1
62
деформирования в тесной связи с процессом накопления внутренних
трещин, А. А. Гвоздев указывает на преобладающее влияние отрывно-
отрывного механизма разрушения не только при простом растяжении и
кручении, но и в случае одноосного и неодноосного сжатия. Им было
обращено внимание и на влияние среднего напряжения б 2 на про-
прочность, а также на влияние эффекта дилатации, который выразился
в видимом увеличении объема образцов в момент разрушения при
неравномерном трехосном сжатии.
Наличие эффекта дилатации фактически указывает на то, что
если и возможен сдвиговой механизм разрушения бетона, то он
сопровождается увеличением объема (т.е. проходит не по классичес-
классической схеме, согласно которой сдвиг не вызывает изменение объема).
Учитывая этот эффект, Г.А. Гениев предложил дилатационную тео-
теорию деформирования бетона, которая будет рассмотрена в гл. 3 [40].
Позже появились предположения, что не только касательные напря-
напряжения вызывает увеличение объема, но и средние напряжения могут
влиять на деформации сдвига (см. гл. 3). При этом нетрудно заме-
заметить, что теряется классическое представление о том, что шаровой
тензор напряжения ответствен за изменение объема образца, а инва-
инварианты девиатора напряжений приводят только к изменению формы
образца. Заметим, что такое классическое разделение положено в
основу энергетических теорий прочности, что и обусловило, наряду с
другими факторами, неприменимость их к бетону.
Анализируя результаты экспериментов, О.Я. Берг [15] пришел
к выводу, что механизм сдвига в бетоне подобен механизму, представ-
представленному на рис. 1.7, ж. Согласно этой схеме сначала образуются
трещины отрыва, а затем уже по ним проходит площадка сдвига.
Основным в этом факторе О.Я. Берг (как и А.А. Гвоздев) считал
наличие трещин отрыва. По их мнению, они являются определяющи-
определяющими факторами разрушения, а видимый сдвиг — это уже как послед-
последствие разрушения. Хотя, с другой стороны, в [15] указывается на
возможную ориентацию площадок такого последствия, в чем, на наш
взгляд, выразилась некоторая противоречивая точка зрения О .Я. Берга.
В действительности, как указано в п. 1.3, трещина сдвига на своем
пути может включать в себя несколько схем разрушения, представлен-
представленных на рис. 1.7.
Анализируя наклон поверхностей разрушения в опытных об-
образцах, О.Я. Берг пришел к выводу, что они располагаются близко к
площадкам приложения среднего касательного напряжения Тс , кото-
которое ввел В.В. Новожилов (f с = /3/15'Т0). По мнению автора [15],
именно в закономерностях связи наибольших нормальных напряже-
напряжений со средними касательными напряжениями необходимо искать
законы, управляющие процессом разрушения бетона при сжатии. Эта
предпосылка в реализации [15] приводит, как и теория Мора, к
выводу о том, что промежуточное напряжение 6 2 не влияет на
прочность. Это уменьшило интерес к критерию [15], хотя высказан-
64
ные при этом соображения о возможном механизме среза по площадке
*?"«, не утратили интерес. Кроме этого работа [15] представляет собой
образец раскрытия физических процессов, связанных с разрушением
бетона. Видимо Тср в момент разрушения является функцией нормаль-
нормального напряжения бср на площадке приложения ЧГс ; tc = fFc ).
Иную трансформацию получила в свое времяР идея Мора в
работе А. Надаи [128], который высказал гипотезу о том, что в
предельном состоянии октаэдрическое касательное напряжение (<Г0)
является функцией октаэдрического нормального напряжения б0
го = Дао). B.5)
Эта идея, как будет показано^олучила развитие применительно
к бетону.
Двухинвариантные критерии прочности. Рассмотрение рис. 2.1,
б, -в не может не наводить на мысль о возможной трансформации
поверхности разрушения Кулона — Мора в некоторую гладкую повер-
поверхность (рис. 2.1, г). Возможности такой трансформации подробно
рассмотрены в работе [41]. Показано, что поверхности (рис. 2.1, б, в)
хорошо аппроксимируются поверхностью вращения, в частности
параболоидом вращения, к которому сводится условие
П.П. Баландина —Г. А. Гениева. В этих аппроксимациях учитывается
влияние промежуточного напряжения б2 на прочность и тем устраня-
устраняется один из недостатков критерия Мора.
Попытки представления критериев прочности некоторыми по-
поверхностями вращения в построениях теорий прочности заняли при-
примерно 35 лет (если считать за начало работу Е. Schleiher [201]
(Шлейхера) 1926 г. и кончая обобщающей работой М.М. Филоненко-
Бородича [ 157] — 1961 г.), хотя полное обобщение этих теорий дано
позже в работе Г.А. Гениева, В.Н. Киссюка, Г.А. Тюпина [41] -
1974 г.
Начальные критерии прочности — эллипсоиды вращения
Е. Schleiher (Шлейхера), В. Bunzinski (Бужинского), параболоид
П.П. Баландина [12], круговой конус И.Н. Миролюбова [123] уста-
устанавливались исходя из некоторых энергетических подходов, которые
названы авторами новыми. К такому же направлению относится более
поздняя работа А.И. Ноткуса, А.П. Кудзиса [130]. В дальнейшем,
как справедливо указано в [41 ], физическая трактовка явлений стала
отступать на второй план.
Механические теории развивались в работах А.И. Боткина,
А.Н. Василькова, А. Фрейденталя, Л.К. Лукши и др. Более подроб-
подробный обзор указанных построений можно встретить в монографиях
[41, ПО]. Рассматривая представленные выше уравнения прочности,
М.М. Филоненко-Бородич [156] пришел к выводу, что все они могут
быть записаны в виде
3 Зак. 1408
65

о? + аг + °з - 2 У
- (Rbc - Rbt) (
а3)
B.6)
где R^, Rbt — пределы прочности при одноосном сжатии и растяжении.
Придавая^ то или иное значение, можно получить все указан-
указанные выше критерии (например^ =1/2 соответствует параболоиду
вращения П.П. Баландина,^ = 1 — двухполостному гиперболоиду
Л.К. Лукши [НО] и т.д. [41]).
Геометрической интерпретацией различных соотношений типа
B.6) являются поверхности второго порядка. Как известно [15], все
уравнения таких поверхностей могут быть сведены к функциональной
связи между первым инвариантом тензора напряжений (/,) и вторым
инвариантом девиатора напряжений (D2),
-CRU =
B.7)
где А, В, С — коэффициенты, определяемые опытным путем в условиях
сложного напряженного состояния.
По мере накопления экспериментальных исследований начали
выявляться недостатки двухинвариантных критериев в тех или иных
областях напряженных состояний [41, 110], что уменьшило к ним
интерес.
2.2. НЕКОТОРЫЕ СОВРЕМЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ
КРИТЕРИЕВ ПРОЧНОСТИ
Одни из начальных направлений были связаны с модификацией
критерия прочности в виде поверхности вращения (Г.А. Гениев и
В.Н. Киссюк [39]) и развитием других идей по совершенствованию
подходов Мора —Надаи (Г.С. Писаренко и А.А. Лебедев [135],
П.М. Бич [22] и др.). Вводя тертий инвариант девиатора напряжений
D3 в уравнение типа B.6), Г.А. Гениев и В.Н. Киссюк получили
3A> =
l - A - с) [1 - —•~(-~-)
B.8)
где А, В, С — постоянные коэффициенты, которые зависят от прочности
бетона при одноосном сжатии (R^), растяжении (Rbl) и чистом сдвиге (Тс).
Как известно, поверхность прочности должна быть выпуклой
(согласно постулату Д. Дракера и Р. Хилла для изотропных матери-
материалов). Это накладывает на параметры B.8) следующее ограничение:
66
Это ограничение, по данным [3], для бетона может не выпол-
выполняться, что сужает возможности критерия B.8).
Большинство предложенных в последнее время критериев
прочности сводится к построению технических функциональных
связей между октаэдрическим нормальным (б ) и касательным (То)
напряжениями и параметром Лоде — Надаи (AО
F{T0,a0,nd,R/)=Q. B.9)
Нередко^Кд. в B.9) заменяют углом вида напряженного состо-
состояния иЗс, который связан с JUg формулой A.49). Его также можно
выразить через инварианты по формуле A.50). Один из способов
построения уравнения B.9) был предложен М.М. Филоненко-Боро-
дичем [156]. Согласно этому способу сначала на основе обработки
экспериментальных данных устанавливают две главные (для JUg = +1
и JUg = -1) меридиональные кривые, а остальные кривые (для
промежуточных значений параметра Лоде — Надаи ILig ) находят по
интерполяционной зависимости между главными кривыми. В интер-
интерполяционной зависимости отражают характер изменения девиатор-
ных кривых (следов поверхности прочности на девиаторных сечени-
сечениях). Этот метод в определенной степени является развитием идеи
А.А. Гвоздева [31] о рациональной форме предельной поверхности
для бетона. Показанная в [31] форма криволинейной девиаторной
кривой явилась прообразом кривых, которые закладываются в совре-
современные критерии прочности типа B.9)
Способ М.М. Филоненко-Бородича использован при констру-
конструировании многих критериев прочности, которые были предложены на
протяжении последних двадцати лет отечественными и зарубежными
исследователями(Е.С. Лейтесом[104], Л.К. Лукшей[110],1.Н. Arguris
[176],А.В. Яшиным[173],М.Б. Лившицем[ 107],M.D. Kotsovos[19l],
В.М. Кругловым [102], Т.А. Баданом [9] и др.).
Приведем для примера критерии А.В. Яшина, В.М. Круглова,
которые были сконструированы на основе обобщения большого массива
экспериментальных данных по тяжелым (плотным) бетонам. Условие
прочности, разработанное А.В. Яшиным, можно записать так:
y/2Rbc
bc
т°= "TvT—
\-A
~~f—Р
B.10)
где FF0) — функция, отражающая изменение меридиональных кривых
поверхности прочности; k(j[jjg) — функция, характеризующая изменение девиатор-
девиаторных кривых; А — характеристика критерия прочности при одноосном растяжении:
F «70) = lg (В + _-*L- - а--°- + Q ___!___) •
Ъс
Ч
с
bckp
67

Входящие в указанные выше выражения константы принимают
значения: F ^- значение FF0) при б0 = -Rbc/3; F — значение FF0)
приб0 = Лме/3; В = 1,1; ОС = 1,41; й = 0,081; а = 0,55 - Rbt/Rb\ Ь =
0,15; k =\ - а + Ь.
Использованная при конструировании B.10) функция (k(cJg))
предложена Е.С. Лейтесом (torf — см. п. 1.6). Девиаторная кривая
представляется криволинейным треугольником.
Критерий В.М. Круг лова [102] имеет вид
ГО3С
B.11)
где
Тос = —— JU + \А2 - 48у/Г{О0 - с) ] V6!
A =>/Г-4-2с (Зао + 7); к =
- ф;
а = [2 B + с) %с] [4 (Si, - с) - гос]-х;
1,25 х; г0 = то/К6с; а0 = a0IRbc;
^;: X=Rbc/Rbt;
4m(x-D-
=
Функция Т К, характеризующая изменение меридиональных
кривых, построена на основе характерной функции прочности бетона,
предложенной Н.И. Карпенко [67] (она рассмотрена далее). Девиа-
торные сечения в B.11) представляются частями эллипса.
Конструирование критериев прочности по способу
М.М. Филоненко — Бородича представляет достаточно трудоемкую
процедуру. Непосредственных экспериментальных данных по выяв-
выявлению форм девиаторных кривых имеется весьма мало, поэтому их
конструирование сводится к некоторому долгому ряду последователь-
последовательных приближений. Сначала вид кривой прогнозируется. На основе
такого прогноза и предположения о форме главных меридиональных
кривых составляется критерий, который начинает проверяться на
основе разнообразных экспериментов. Выявив расхождение, исследо-
исследователь уточняет параметры девиаторной кривой или изменяет ее
форму до удовлетворительного совпадения данных расчета с резуль-
результатами экспериментальных исследований.
В работе Н.И. Карпенко [72] было замечено, что графики
прочности при двухосном сжатии и растяжении по сути представляют
следы девиаторной кривой на плоскости в интервалах -1 <J^g< 1-
Этот факт значительно упростил процедуру воспроизведения девиа-
68
торных кривых. Кроме того был замечен довольно простой путь
построения меридиональных кривых. Предложенный в [72] способ
построения критерия прочности для различных бетонов рассмотрен
ниже. Большие экспериментальные исследования в нашей стране по
выявлению главных меридиональных кривых выполнены
Ю.Н. Малашкиным [115, 116] и А.В. Яшиным [172-175].
Обобщая современные направления в развитии критериев про-
прочности бетона, можно заметить, что все они сводятся к нахождению
тех или иных функциональных зависимостей между тремя инвариан-
инвариантами: первым инвариантом тензора напряжений (IJ и вторым (D2) и
третий (D3) инвариантами девиатора напряжений,
F(IV D2, D3) = 0.
Такие критерии уже гораздо лучше согласуются с данными
эксперментов, чем указанные выше двухинвариантные критерии,
поэтому можно предположить, что тремя инвариантами (/,, D2, D3)
косвенно отражаются различные механизмы разрушения бетона — от
отрыва, от сдвига и смешанные отрывно-сдвиговые механизмы
(см. рис. 1.7). Возможности двухинвариантных критериев в этом
плане оказались более ограниченными.
В феноменологических теориях прочности вид разрушения, как
уже указывалось, прогнозируется опосредствованно — путем введе-
введения в критерии определенных инвариантов. Естественным поэтому
является стремление исследователей подойти к проблеме прочности с
некоторых физических (структурных) позиций. Интерес к физичес-
физическим построениям возникал периодически на всем пути развития
проблемы прочности (тем более столь распространенного как бетон
материала) и также периодически отодвигался на второй план,
учитывая сложность проблемы.
В настоящее время в связи с развитием вычислительной техники
и вычислительных методов физические подходы могут приобрести
реальную значимость. Выше уже говорилось о возможностях конечно-
элементной модели бетона (рис. 1.2). Можно выделить еще некото-
некоторые интересные направления: объемно-структурную модель
Ю.В. Зайцева [48], построенную с позиции трещин механики разру-
разрушения, и теорию прочности бетона как некоторого статистически
неоднородного материала зернистой структуры при неодноосных
напряженных состояниях М.М. ХолмянскогоиЕ.И. Шифрина[162]
и др. К интересным и неожиданным результатам может привести
разработка критериев прочности на основе теории накопления пов-
повреждений. В частности, могут трансформироваться представления о
значимости тех или иных критериев (в том числе и некоторых
классических), управляющих прочностью неповрежденных, (сплош-
(сплошных) частей бетона. На это указывают удовлетворительные результа-
результаты работы [ 162], где в качестве критерия разразрушения статистически
неоднородных компонент структуры был принят, например, критерий
типа B.5) Надаи.
69

2.3. ОБЩИЙ КРИТЕРИЙ ПРОЧНОСТИ БЕТОНОВ И СПОСОБ
ЕГО ПОСТРОЕНИЯ
Предложенные выше критерии относились в основном к тяже-
тяжелым (плотным) бетонам. Рассмотрим критерий, охватывающий раз-
различные виды бетонов как на плотных, так и пористых заполнителях.
Критерий прочности предложен в [67, 72].
Некоторые начальные сведения о поверхности прочности —
геометрическом образе критерия прочности. В координатах глав-
главных напряжений 6t, б2, б 3 критерий прочности бетона представляется
поверхностью общего вида F = (б1,б2,б3), которая является разо-
разомкнутой в области всестороннего равномерного сжатия для плотных
бетонов (рис. 2.2, а) и замкнутой для пористых (рис. 2.2, б). Для
наглядности поверхность прочности удобно изображать в цилиндри-
цилиндрических координатах нормального V360 и касательного /ЗТ0 октаэдри-
ческих напряжений и угла вида напряженного состояния UL. или
параметра Лоде —Надаи jilg (см. п. 1.6).
а)
в)
Рис. 2.2. Характеристика современных критериев прочности
70
Поверхность состоит из шести одинаковых частей (лепестков),
которые располагаются между сечениями (У* = +1 и J^<f= -1- В
качестве направляющей поверхности выступает девиаторная кривая,
которая является функцией То и Ц)д (см. рис. 2.2, в). Формы девиа-
торных кривых зависят от вида бетона и изменяются в различных
областях напряженных состояний (неодноосного растяжения, сжа-
сжатия—растяжения, трехосного сжатия). Образующими являются ме-
меридиональные кривые (их вид показан на рис. 2.2, г). Каждому
соответствует своя меридиональная линия. Линии, соответствующие
JUg = +1 и JUg = -1 обычно выделяют и называют главными.
На линии JUg = -1 находятся точки одноосного растяжения (?,)
и двухосного равномерного сжатия (Ь2), а на линии /W- = +1 — д
вухосного равномерного растяжения (t2) и одноосного сжатия F,).
Кроме этого на рис. 2.2, а, б, г представлены: t3 — точка, соответству-
соответствующая трехосному равномерному растяжению; Ь3 — трехосному рав-
равномерному сжатию (см. рис. 2.2, б), г — линия, соответствующая
двухосному растяжению (см. рис. 2.2, а); с — линия, соответствую-
соответствующая двухосному сжатию. Заметим, что линии г и с пересекают все
меридиональные кривые (от /U, = +1 до /W- = -1). Их вид зависит от
вида девиаторных кривых, что использовано в [67] при построении
критерия прочности.
Поверхность должна удовлетворять некоторым общим требова-
требованиям: она должна быть непрерывной; симметрично расположенной
относительно оси б0, равнонаклоненной к координатным осям глав-
главных напряжений б,, б 2, б 3, согласно постулату Д. Драккера и
Р. Хилла она должна быть выпуклой, т.е. произведение ее главных
кривизн должно быть не меньше нуля. Это условие выполняется, если
выпуклыми являются девиаторные и меридиональные кривые. В
некоторых работах еще ставится условие гладкости (без ребер и
переломов), однако оно не является обязательным и для многих
поверхностей не выполняется. Простейшее тому подтверждение —
пирамида Кулона —Мора (см. рис. 2.1, а, б).
Заметим еще, что строго говоря, указанное выше второе условие
справедливо только для изотропных материалов, в то время как бетон
представляется моделью ортотропного тела. Однако эта ортотропия
является упорядоченной (т.е. зависит от расположения главных
напряжений в последовательности б, > 6 2 > б3). В таком случае
второе условие не нарушается.
Критерии прочности бетонов исследовались: в условиях просто-
простого нагружения образцов — б ,, б2, б3 изменялись пропорционально
одному параметру; в условиях активного напряжения — ни одно из
главных напряжений б,, б2, б3 в процессе опытов по модулю не
уменьшалось; в условиях отдельных сложных режимов нагружения.
В первых двух случаях все представленные критерии могут приме-
применяться без изменения. В некоторых случаях сложного нагружения, не
сопровождающегося значительной разгрузкой, они также могут при-
71

меняться. В остальных случаях вопрос о применимости критериев еще
требует исследования.
В [72] показано, что проще строить критерий прочности в
координатах 6{, б3, JUe ,
F «71,СТз./у,Я/)=0, B.12)
а затем уже переходить при необходимости к виду B.9)
В основу построения B.12) положена характерная функция
прочности бетона и функции следов девиаторной кривой на плоских
графиках двухосного сжатия и растяжения.
Частный случай характерной функции прочности бетона.
Примем за положительные напряжения растяжения, при этом в
случае трехосного сжатия максимальными будут напряжения б ,,
которые равны минимальным по модулю напряжениям сжатия (эти
напряжения отрицательны), а минимальными — напряжения б 3,
хотя по модулю эти напряжения превышают напряжения б,. Здесь это
подчеркиваем в связи с тем, что обычно за положительные принимают
напряжения сжатия. Рассмотрим случай сжатия элемента напряжени-
напряжениями б , = б 2 > б 3. Напряжения б { = б 2 называют напряжениями
бокового сжатия. Для определения б3, соответствующего исчерпанию
прочности образца, часто используют простое условие вида
o3=-Rbc + Hna1, B.13)
которое по сути является условием B.2) Кулона — Мора. Оно исполь-
использовалось в работах Ф. Рихарда, А. Брандзаега и Р. Брауна при_?п =
4.1. Консидер (на это указывал А. А. Гвоздев [31]) предлагал прини-
принимать^ п = 5. В других работах предлагались иные значения fin,
отмечалось также, что этот коэффициент следует принимать перемен-
переменным, например, зависящим от напряжения б [110] или класса бетона
[115].
В работе [67] показано, что ни одно из указанных предложений
не отражает действительного характера изменения^ п. ВеличинаJ3n
зависит в основном от отношения б,/б3. Введем безразмерные
величины напряжений, разделив их на Rbc — прочность бетона при
одноосном сжатии и изменив знаки,
=0i; о2; о3,
Чс
Чс
R
B.14)
be
(здесь ужеб3 >б 2 = б() и преобразуем B.13) к виду
Э3=1+РД B.15)
Разделив правую и левую части B.15) на б3, можно получить
иную запись B.15):
l B.16)
а3 = —
72
B.17)
где
т =Oi/o3.
В расчетах прочности Rbc =Rb — призменной прочности бетона,
однако в экспериментальных исследованиях могут испытываться
кубы, тогда Rbc (при анализе экспериментов) приравнивается к
кубиковой прочности.
Пусть значение^ п фиксировано, напримерJ3n = 4,1. Тогда из
B.16) следует, что уже при сравнительно низких отношениях б х/б 3
(в данном случае б,/б 3-*-1/4,1) наступает неразрушимость матери-
материала (б3— <»). Это явное противоречие указывает на неприменимость
условия типа B.13), а отсюда и критерия Кулона—Мора к оценке
прочности материалов при высоких уровнях неравномерного сжатия.
Здесь этот критерий может на порядок и более завышать прочно ±ь.
Это обстоятельство не было замечено исследователями, видимо,
потому, что в опытах обычно принимались сравнительно невысокие
значения напряжений бокового сжатия.
Логично предположить, что указанная неразрушимость может
наступать лишь в одном частном случае (и то для плотных бетонов) —
в случае трехосного равномерного сжатия (при 6t/63-»-l). Для
описания этого предельного случая зависимостью B.16) необходимо,
чтобы параметр^п был переменным и устремлялся к единице при б,/
б3-*- 1. Заметим, что в случае пористых бетонов (они будут рассмот-
рассмотрены далее)J5 п становится меньше единицы при б (/б 3 -*• 1, и таким
образом наличие какой-либо области неразрушимости бетона исклю-
исключается.
Как показали исследования [67], указанному граничному зна-
значению J3 п -*• 1, а также данным экспериментов по плотным бетонам
отвечает некоторая дробная функция вида
1 + а - am
b+ (I -6) т
B.18)
где а, Ь — коэффициенты материала, устанавливаемые на основании опытов.
Согласно данным опытов, представленных на рис. 2.3, некото-
некоторой нижней границе прочности бетонов соответствует линия /, описы-
описываемая зависимостью B.18) при Ь= 0,118, а= 0,5 Ь; некоторым
средним значениям прочности соответствует линия 77 (Ь = 0,096; а =
0,5 Ь). Можно также использовать простое выражение B.18) при
а « 0, Ь <« 0,1. Линии /, // удовлетворительно согласовывались с
данными опытов различных исследователей (А.В. Яшина и
Р.Г. Касимова — /; Ю.Н. Малашкина и Б.В. Тябликова — 2;
Г. Ферара — 3\ Илинойского Университета — 4, Раймана — 5,
А. Ноли — б, С. Ито — 7) над бетонными кубиками из тяжелого
бетона прочностью при одноосном сжатии 3 МПа < Rbc < 70 МПа.
Подробные сведения об этих опытах приведены в работах [110, 115,
73

Рис. 2.3. Теоретические графики харак-
характерной функции прочности бетона при трехос-
трехосном сжатии ол = о2> а3 (l—IVi и результаты
опытов П~Т1)
173, 175]. Согласно опытам мелкозернистый бетон без крупного
заполнителя (8, 11 из опытов С. Ито и института ИГД [ПО])
сопротивлялся трехосному сжатию хуже, чем бетон на крупном
заполнителе. Этому бетону, а также раствору (9, 10 — из опытов
ИГД) соответствует линия /77 на рис. 2.3.
Предварительные исследования показывают, чтофункция B.18)
достаточно универсальна. Она пригодна и для других материалов,
например горных пород (анализировались опыты над мрамором),
поэтому названа характерной. Разрушению материалов по гипотезе
максимальных касательных напряжений соответствует^п = 1 (линия
/У на рис. 2.3). Согласно рис. 2.3 при высоких уровнях бокового
обжатия (тп — \). К линии IY приближаются все линии (/ — ///).
Таким образом, если при небольших уровнях обжатия характер
разрушения различных материалов неодинаков, то при высоких
уровнях все они имеют тенденцию разрушаться от сдвига. Изменение
J3n, по-видимому, отражает различные механизмы разрушения бетона
от отрыва (при самых высоких значениях J3п), затем от комбинаций
74
отрыва и сдвига и, наконец при_/Зп < 3 — от сдвига. Этот вопрос еще
требует исследования.
Выражения B.15), B.13) будут использованы ниже для кон-
конструирования общего критерия прочности, однако их можно исполь-
использовать и самостоятельно вместо приближенной формулы B.13). В
случаях, когда известна величина бокового обжатия бх — б2, можно
преобразовать B.15), B.18) к более удобному виду. Подставляя
B.18) в B.15) или B.16) и решая получаемое при этом квадратное
уравнение, приходим к следующей формуле по определению б 3 в
функции от су, = су2,
ст3 = [ст,(а + 6) + Ь]/2Ь *Аах(а + 6) + 6]2/462'+*
"+ [A - 6)8?, - во»]/6. B.19)
Сопоставление опытов с результатами расчета по условию
B.19) (а = 0,5 6; 6 = 0,096), представленное в [74], показывает их
хорошее согласование как для низких, так и сравнительно высоких
уровней сжатия.
Исследование кривой B.19) показывает, что она обращена
выпуклостью вверх (выпукла, в дальнейшем это обеспечивает выпук-
выпуклость такой кривой, перестроенной в меридиональную кривую повер-
поверхности прочности относительно гидростатической оси б 0). Условия
выпуклости и определения фунукции: F— а — 1) <0. Кривая имеет
две асимптоты, которые различны для двух случаев.
В первом случае (при а < Ь):
lim o3/&i = 1>
асимптота о3 = 5, + 1/F — а).
Во втором случае (при а > 6):
lim CTj/cy, = а/6;
асимптота а 3 = 3, а/ 6 + A + а — Ь)/(а — 6).
Показанные на рис. 2.3 кривые (/, 77, ///) относятся к первому
случаю, и таким образом он находит экспериментальное подтвержде-
подтверждение. Второй случай указвает на то, что знаменатель в B.16) может
обращаться в нуль при^отношениио,/^ < 1, точнее при бх/б3 = 6/
а. В данном случае при б х/63 >Ь/а разрушение невозможно. Имеется
ли в действительности указанная область неразрушимости бетона и каковы
ее границы пока утверждать трудно.
Описанный анализ показывает, что точность зависимости B.18)
для практических расчетов является вполне достаточной, однако для
целей исследования, особенно высоких уровней обжатия, а также
смешанных напряженных состояний, может представить интерес
зависимости типа
75
/э =
b + bm + bim2

которая приводит к кубическому уравнению относительно б ( или бъ.
Общая зависимость для характерной функции прочности
бетона. Представленные выше зависимости B.15), B.18) относились
к частному трехосному сжатию б, =б2 >бу Функцию B.15) можно
распротранить на все случаи трехосного сжатия, если ввести в нее
вместо единицы дополнительную функцию kc, тогда
ог=кс^пах. B.20)
Функцию kc определим как относительную безразмерную фун-
функцию изменения прочности бетона при двухосном сжатии (этот вопрос
рассмотрен ниже).
Однако зависимости B.20) в сочетании с B.18) обладают еще
тем недостатком, что они не распространяются на смешанные напря-
напряженные состояния растяжения — сжатия и на случаи чистого растяже-
растяжения. Этот недостаток, как показано в [72], можно устранить, приняв
функцию^ п и входящий в нее параметр т в виде:
1 +а - am /7 оч \
п Ъ + (f-b) m
где б' — определяется как относительная (безразмерная) функция изменения
прочности бетона при двухосном сжатии (ее рассмотрение также выделено отдельно).
Параметр f к перечисленным выше свойствам не имеет отноше-
отношения. От него зависит новое свойство критерия, а именно: будет ли
поверхность замкнутой (f > 1) или разомкнутой (f = 1) в области
всестороннего равномерного сжатия. Таким образом в довольно
компактной форме удается учесть все основные требования, предъяв-
предъявляемые к критериям прочности бетона. Функцию B.20) в сочетании
с B.21) назовем общей характерной функцией прочности бетона при
объемном напряженном состоянии.
Распространение функцииj3 п на область растяжения наклады-
накладывает на параметры а и Ь, входящие Bj3n, одно ограничение. Установим
это ограничение. Обработка экспериментальных исследований пока-
показала, что выражение B.21) хорошо описывает прочность бетона в
области растяжения, если в случае плоского растяжения условие
B.22) приводит к т = 0. Требование будет выполняться, если при б3 =
0, б, +б =0. Учитывая эти условия, соотношения B.20) и B.21)
можно преобразовать к виду:
0 = К - Р„ 8„; Р„ = A + «>/*¦
Внося рп в первое уравнение, находим
kb - A + а) Ър = 0. B.23)
Обозначая п = а/Ь, условие B.23) можно переписать:
76
ь а .
кс-пЬр
B.24)
Остановимся на результатах экспериментальных исследований
новой функции J3n при б, = б 2 > бу
б б б (jU +1)
фу
Если б, - б
2 >б 3
2 у
= +1), то
<2-25>
где Rbl2 — прочность бетона при двухосном равномерном растяжении.
Заметим, что если б] > б 2 = 63(JUg = -1), то
h = h =
Кс Кс2
где Rbc2 — прочность бетона при двухосном равномерном сжатии.
Таким образом в относителных функциях kc и S прочность
бетона относится к его прочности при одноосном сжатии.
Новые графики функции^ п, представленной в виде B.21),
B.22), показаны на рис. 2.4, где: / — теоретическая линия для
тяжелого бетона (Rbc = 10 МПа, п = 1, дь ( = 0,12; 2 — то же (R^ =
50 МПа; 6 , = 0,06; п = 1); 3 — для мелкозернистого бетона (Rbc =
35,4 МПа, d" , = 0,089; п = 3); 4 — для условного пористого бетона
(Rbc = 10 МПа, 6 1 = 0,12; f = 2); • — опытные данные для тяжелого
/77
опытов
12 4 6 В 10 J3n
Рис. 2.4. Графики функции Рл для трехосного сжатия а3> о2 = о, и данные
77

бетона (Rbc = 5 — 60 МПа); «+» — для мелкозернистого бетона; ^ —
для раствора (Rbc = 12,7; 27; 35,4 МПа).
Новые значения^ также удовлетворительно согласуются с
данными экспериментов (использованы эксперименты, представлен-
представленные ранее на рис. 2.3). Однако параметры функцииJ3n изменились.
Для тяжелых бетонов п «1 — (-1), а для мелкозернистых тиг (-1) —
(-3). Значения Ь являются зависимыми и определяются по формуле
B.24).
Более полные экспериментальные исследования параметров п и
/"новой функцииJ3n были выполнены в НИИЖБ [138, 148] (в [149]
испытывались образцы из тяжелого и мелкозернистого бетона, в [ 137,
138] — образцы из шлакопемзобетона). Эксперименты выполнялись
под руководством А.В. Яшина. Для анализа были также привлечены
и экспериментальные данные других исследователей. Результаты
этих исследований приведены в таблице.
Таблица
Вид бетона
Коэффициенты
 п =а/Ь
Тяжелый
Мелкозернистый
Шлакопемзобетон
Термолито бетон
На зольном гравии
Керамзитобетон
1
1,05
1,25
1,1
1,1
1,1
1
-3
0,8
0,9
1
1,2
Заметим еще, что графики на рис. 2.3 и 2.4 дают наглядное
представление о влиянии бокового обжатия на прочность элемента при
неодноосном сжатии типа б ( = 6 2 > б 3. Эффективность бокового
обжатияхаракгеризуегсяпарамегромД. Вначале.принизкихвеличинахобжатия,
чему соответствуют малые значения т, эффективность обжатия весьма высока
(fin = 8... 10), затем она постепенно снижается и при очень высоких
уровнях бокового обжатия становится равной единице (JJn-»-l). Можно
такжесделатьвывод, чтодлярастшровимелкозфнистькбетоновэффективность
бокового обжатия снижается (по мере его увеличения) более интен-
интенсивно, чем для обычных бетонов. Для пористых бетонов с самого
начала боковое обжатие оказывается менее эффективным, хотя опре-
определенное влияние его сохраняется.
Функции kcuS — прочности бетона при двухосном сжатии
и двухосном растяжении. Значения kc и О будем связывать с
коэффициентом Лоде — Надаи
2 о2 - Oi - о3
B.27)
78
В случае двухосного сжатия {б, = 0) и двухосного растяжения
(б3 = 0) из этой формулы следует:
а2
B.28)
___°1_ = __L+Jiq. B.29)
аг 2
Функции kc и 6 устанавливаются на основе обработки экспери-
экспериментальных данных о прочности бетона соответственно при двуосном
сжатии — напряжениями б3, 62 и двухосном растяжении —напряже-
—напряжениями б , б2. В построениях, как уже указывалось, используются
относительные значения напряжений б\,О2,бу определяемые выра-
выражениями B.14). Укажем сначала на общие схемы обработки экспери-
экспериментов и полученные выражения для kc и 6р, а затем уже представим
результаты экспериментальных исследований.
Функция kc выбрана так, что в условиях двухосного сжатия ее
значения совпадают с предельными значениями 6у В связи с этим при
ее определении можно поступать обычным образом: в безразмерных
координатахЗуЗ 2 наносить опытные точки, соответствующие исчер-
исчерпанию прочности опытных образцов в условиях двухосного сжатия,
а затем устанавливать для них аппроксимации вида Ъ3 - kc = f(C2/63)
(см. 5 на рис. 2.5, а). Они носят промежуточный характер. Вид
промежуточной аппроксимации здесь оговаривается специально, так
а)
0,5
6)
-Vfoe /
/
/
1
1
/
•
1
0,5
"Ч
О 0,5 1-62/Rbc
-1 -0,5 О 0,5 1JU6
т
0.5
/
Л
\
1
г)
1
as
О 0,5 1 62/Rbt -I -0,5 О 0,5
Рис. 2.5. К построению функций Ас и ур.
79

как функции такого вида могут быть легко преобразованы затем в
окончательные функции вида kc = f^JUg), учитывая формулу B.28).
Промежуточную стадию построения функций kc можно опустить, если
построения с самого начала выполнять в координатах 6vjLtg
(см. рис. 2.5, б).
Результаты известных экспериментов можно описать универ-
универсальной зависимостью
36
¦SiXiL.- « o,5;
0
.r«_>-Jl]M , B.30)
Mff-2e) J
где V% — приращение относительной прочности бетона при двухосном сжатии
по отношению к одноосному <!PRW — максимальное приращение); е, с — геометричес-
геометрические параметры; е — определяет положение максимума k в зависимости от отношения
бг/б3 @ < е < 1): /-^
!-« + <*-.& ' ^(е)
<CRA) — значение <PR в точке двухосного равномерного сжатия.
Для тяжелых бетонов:
у, S
Л («)
Rb@) * 20° «Л»-
Значения^ A) определяются зависимостью B.26). Обычно<РЛ(_
0 > 0, что соответствует увеличению прочности бетона при двухосном
равномерном сжатии, однако представленные зависимости позволяют
описать и случай*РЛ(_0 <0.
Перейдем к рассмотрению функции 6 . При двухосном растя-
растяжении о, + С - 0, поэтому d = — &i =б i/Rbc- Это соотношение
связано со способом задания т по формуле B.22), выше оно уже
рассматривалось в связи с формулой B.23). Здесь также (по аналогии
с двухосным сжатием) возможны два способа построения функций^
(см. рис. 2.5, в, г). В первом способе на основании эксперименталь-
экспериментальных данных ищутся сначала аппроксимации вида д* = d /d , = бх/
Rbt = f{62/6^), которые затем преобразовываются в окончательные
аппроксимации d = ft(UJ), учитывая зависимости B.29), а во
втором — окончательные зависимости устанавливаются непосред-
непосредственно (см. рис. 2.5, г). Отношение cf /d t =d* более удобно в
анализе, поскольку при одноосном растяжении оно равно единице и
затем незначительно от нее отклоняется. Кривую <$ можно описать
следующей интерполяционной формулой
80
где Р~1— параметр, отличающийся от параметра Лоде — Надаи
B.31)
константой А,
/¦ =
- 01 - а3 + Д
п! - 03 + Д
B.32)
здесь Д ЯсО,25 КЫ;М- получают, заменяя в B.32) б2 на бъ (необходимость
введения Д поясняется ниже); р — эмпирический коэффициент [р — (-1) —B)], в
среднему =0; d^.d^) - относительные величины прочности бетона при растяжении,
определяемые формулами B.25), B.26); в среднем
8p2*V d-Spi)- B.33)
Полагая в B.31) р = 2, d2 «0,81с/,, получим график д' ,
соответствующий некоторой нижней границе прочности бетона при
двухосном растяжении; значения р = -0,95; dp2«0,95cTpi приводят к
некоторой верхней границе. Введение (U.^ вместо fLg позволяет
замыкать поверхность прочности в области равномерного трехосного
растяжения. Параметр jU^. этом случае приводит к неопределенности.
Общее условие прочности. Внося B.22) в B.21), а затем
подставляя полученное выражение j5n в уравнение B.20), получим
окончательный вид условия прочности
Ь $ -
др] - %(kb - f др)
- а, о3(а + Ь + 1 - р - k/8p = 0;
B.34)
а3).
В этом условии: параметры kc и сГ вычисляются по формулам
B-30), B.31), параметр f назначается по табл. 2.1; параметр Ь
вычисляется по формуле B.24), используя значение п = а/Ъ из
табл. 2.1, параметр а находится по формуле а = пЪ. При определении
k и cf параметр Лоде — Надаи JU^ вычисляется по общей формуле
B.27). Частные выражения B.28) и B.29) служат лишь для установ-
установления этих параметров на основании экспериментов.
Остановимся на физическом смысле параметра f. Для трехос-
трехосного равномерного растяжения (S, = ?3 = *) из условия B.34)
следует
aKf - 1) - а [*/ - 8//" - D] - ke/5p = 0. B.34)
При /"= 1 уравнение B.34) имеет единственное решение б = -
б в области растягивающих напряжений (параметр JU^= 1, сГ по
формуле B.31) принимает одно значение). Однако всестороннее
равномерное сжатие не приводит к разрушению — критерий является
разомкнутым. Такими свойствами, как уже указывалось, обычно
наделяются условия, соответствующие тяжелым^плотным) бетонам.
При f Ф 1 уравнение B.34) имеет два решения: 6 = 3 и б— kc/(f —
1); первое относится к случаю равномерного растяжения, а второе —
к случаю равномерного сжатия. Наличие двух решений согласуется с
данными для бетонов на пористых заполнителях. Полагая в области
б R/R R предел
трехосного равномерного сжатия
б= Rbc3/R
b, где Rbc3 — предел
81

прочности пористого бетона при трехосном равномерном сжатии, из
второго решения (/VI) находим
-w- B35)
Таким образом, определив экспериментальным или другим
способом Rbl3, можно непосредственно по формуле B.35) вычислить
f. Однако данные таких экспериментов пока отсутствуют, поэтому
параметр/'устанавливался косвенным путем — на основании рис. 2.4,
исходя из наилучшего приближения функции J3n к данным экспери-
экспериментов.
Условие B.34) записано в относительных напряжениях, что
создает удобства при выполнении расчетов. Однако оно легко
преобразовывается к обычному виду
во? + Ь о* + o\Rbkc{f -Ъ)+ VRJ + о3(*сЬД,
- а, о3(в + Ь + 1 - f) ~ kj#RbtRbc = 0;
( СТ. > СТ2 > СТ3>-
учитывая соотношения B.12) и зависимость
Запись условия B.34) в цилиндрических координатах (бо,То,
JMp.). Условия прочности B.34) можно представить в ином виде — в
виде зависимости между октаэдрическим касательным напряжением
(т0), средним напряжением F„)^и параметром ^Лоде — Надаи JU^-.
Введем относительные величины Со = ~du/Rbc, f 0 =<?0/RbC> Т0ГДа
соотношения A.48) можно записать так:
~ =- " а -г т0 B.38)
f &*Rb)
B.36)
B.37)
(знак минус соответствует бх, плюс^3).
Внося B.38) в B.34), находим
то2
О -vj - 9 if-
B.39)
2тоао
MCT(/-D]
82
Зависимость Ц
соотношения A.47),
+Фто~
этом случае также преобразуется, используя
ало)
d3 и -1
1 ¦ Оно
А
-; Д= .
Rbc ,
Уравнение B.39) соответствует б{ ^ б2 3 (
определяет одну шестую часть общей поверхности прочности (на
рис. 2.2, а, в она заключена между линиями]М^= +1 и_|К,= -1).
Остальные пять частей являются повторением представленной части;
они строятся для оставшихся [из B.4)] пяти других возможных
комбинаций между главными напряжениями (например, б2 > d3'^ 6t
и так далее).
Полагая неизвестным То, а заданными б0 Hjutf , можно вычис-
вычислить <?¦„ из решения квадратного уравнения B.39). Это решение
удобно использовать для построения главных кривых поверхности
прочности. Фиксируя в этом решении^ и изменяя б0, строят кривые
(^ — б0) — меридиональные кривые (рис. 2.2, г); фиксируя б0 и
изменяя yig (-1 <J4ff^ О, находят кривые (То — Dfi-) девиаторные
кривые (следы поверхности прочности на сечении ее девиаторной
плоскостью, рис. 2.2, в). В связи с тем, что параметры pg и JUJ
различаются при указанных построениях, решения ищут последова-
последовательными приближениями, например, вначале заменяя L<? на|Ц-, а
затем уточняя U'gпо формуле B.40).
Девиаторные фигуры не являются афиноподобными, а изменя-
изменяются (по мере увеличения б0) от линейного или криволинейного
треугольника до шестиугольника или окружности (рис. 2.6, а —в, где
а — тяжелый бетон (Rbc =50 МПа); б — то же при .R6c =10 МПа;^? —
условный бетон: / ~Ъ\ =-0-,02;2 -60=0,25;J -gC0 = l,5;4 -§0 =
10; 5 — б0 = 104)- Фигуры девиаторных кривых также зависят от вида
бетона, например, для низкопрочных бетонов они могут трансформи-
трансформироваться в некоторые выпуклые лепестковые фигуры, отличающиеся,
однако, от известной двенадцатилепестковой фигуры Хилла. Таким
образом, общие условия прочности не должны строится на одном виде
девиаторных кривых и по принципу афиноподобия девиаторных
кривых, как это. фактически принимается некоторыми авторами.
Условие выпуклости меридиональных кривых накладывает
дополнительное ограничение на значение параметра а,
а < (
6(*с/-5р)
которое, однако, при рекомендуемых параметрах а <Ь удовлетворя-
удовлетворяется автоматически.
83

Рис. 2.6. Девиаторные кривые для различных бетонов в относительных
координатах т,/^,^ соответствующие различным уровням ао(т а_„ — значение то
при ц^ = -1)
Результаты экспериментальной проверки. Представленный
критерий прочности хорошо согласуется с данными экспериментов
при различных напряженных состояниях (рис. 2.7 —2.8). Нарис. 2.7,
а — е показаны: а — двухосное однородное растяжение (б1 = б2) со
сжатием по третьему направлению; б — трехосное растяжение при
6t = б 2; в — растяжение со сжатием при б = 0; г — двухосное
растяжение F3 = 0); д — двухосное сжатие (о, = 0); е — двухосное
однородное сжатие (б3 = б 2) с растяжением по третьему направлению
(б, >0); / — теоретические линии при Rbc = 10 МПа;сГ , =0,12;2 —
то же при Rbc = 50 МПа, дрХ = 0,06; 3 — нижняя граница линий
прочности при задании нижних значений kc и E ; 4, 5 — верхняя и
нижняя границы достоверных опытных значений по работе
А.И. НоткусаиА.П. Кудзиса[137];о — опытные данные (А. В. Яшина
и Д.Я. Хананта [175; 188].
Результаты анализа прочности бетона при трехосном ^сжатии
представлены на рис. 2.8, а, б, в, где;_й, б — при бъ> бх= б2 (или
<53 < б х = б2); в - при 3"з= о2 >~б ( (или б ъ = б 2< б\); 1 -
теоретические данные {Rbc = 10 МПа, п = 1); 2 — то же при Rbc =
50 МПа, п = 3; J — то же при i?6c = 50 МПа, п = 1; условные
значки — данные опытов [ПО, 115, 116, 172, 174, 175] с тяжелым
бетоном Rbc = 7 — 68 МПа различных исследователей. Исследовалось
84
б)
1 т '
у
/
A
/\г
i—
j
7
Д*
«2
0
/
/
/
1—1
туг
(b,/Rbc-1 -0,8 -0,6 -0,1 -0,2 0,2 0,1 Ofi 0,8 1 63/Rbt
в)
f.2 tt
0,8
v
"X
s
-ЦВ-
*
0
0,2
0,1
US
0,8
1
Рис. 2.7. Графили и опытные данные (по прочности) бетонов при различных
напряжениях
шесть разновидностей бетона, которые указаны в таблице. Использо-
Использованы данные обширных опытов зарубежных исследователей (одни из
них указаны при рассмотрении рис. 2.3, а другие заимствованы из
обобщающего аналаза D.J. Hannant [188] — Хананта), а также
известные опыты наших исследователей — Л.К. Лукши, А.В. Яшина,
Ю.Н. Малашкина и др. Получено хорошее согласование теории с
данными опытов над бетонами различных видов. Границы теоретичес-
теоретических линий при изменении параметров критерия могут существенно
85

л
й
i
!
&
?
4
¦
6t=t
7
/,
опыт
О ф ?
• та
0,5
1,5
Рис. 2.8. Прочность бетонов при трехосном сжатии <т3 > а 1 =
cs3 = cs2> а, (о) и данные опытов с тяжелым бетоном Rx = 7—68 МПа
(а. б) и
различаться и охватывать практически всю область опытных точек.
Следует отметить, что факторы, влияющие на эти параметры, иссле-
исследованы пока еще недостаточно полно.
2.4. ВОПРОСЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КРИТЕРИЕВ
ПРОЧНОСТИ
Коэффициенты запаса прочности и уровни напряжений.
Условие B.34) или B.36) в виде равенства нулю в правой части
удовлвтеворяется не для всех текущих напряжений б v б2, б3 или Gv
Ъ2, б3, а только для тех, которые располагаются на поверхности
прочности (для предельных напряжений)..Естественно, может встать
вопрос, в какой степени текущие напряжения отличаются от предель-
предельных.
Коэффициентом запаса прочности элемента конструкции назы-
называют величину О, на которую следует умножить текущие напряжения
6V 6V б3 или некоторые из них — в зависимости от режима
нагружения, чтобы таким образом увеличенные напряжения (пред-
86
ельные напряжения) удовлетворяли условию B.36) в виде равенства.
Предельные напряжения обозначим s ,, б2, @ или б v в 2, б у если
используется условие B.34).
Величина, обратная в , называется уровнем
л = 1/е.
Прочность элемента считается обеспеченной, если
0 > 1 илиО<г| < 1, B.42)
в других случаях элемент считается разрушенным.
Практические способы определения уровня напряжений и
предельных напряжений. Как уже указывалось, условие B.34)
выполняется в виде равенства лишь в случае его записи относительно
предельных напряжений, т.е. при
? г
- f) -
B.44)
Аналогично условие B.36) записывается
eSf+ 653- 3t lkRbc(f - b)^+ (RJ + ^kbRbc - fbpRb) -
a, o3(e + 6 + 1 - /)- k/5pRbtRb= 0 (a, > a2 > a3). B.45)
Заметим: параметры/^ и f-e должны соответствовать напря-
напряжениям б ,, 5V В у
Способ определения уровнях зависит от режима (программы)
нагружения. Пусть известны текущие напряжения (Г,, 6*2,6у В случае
простого нагружения
ol=alM; ст2=а2/1?; о3=о3/п- B.46)
Внося значение ?". (г = 1, 2, 3) из B.46) в B.45), придем к
определению ?- из решения квадратного уравнения. К таким же
значениям^- приводит подстановка в B.44) относительных значений
предельных напряжений:
02=02/17; Оз
Для примера рассмотрим уравнение B.45). В случае одн
остороннего догружения главными напряжениями E", (обычно напря-
напряжениями растяжения) будут:
Oi=a1/n; O2=o2; о3=о3. B.48)
Внося B.48) в B.45), приходим к новому квадратному уравне-
уравнению относительно t . Параметры J^s и М6 уточняются в процессе
последовательных решений этого уравнения до тех пор, пока они не
будут соответствовать бv<5v&y Процесс последовательных прибли-
приближений сходится довольно быстро.
В случае одностороннего догружения напряжениями, обычно
напряжениями сжатия,
87

аг -а3/т?.
B 49)
Подставляя B.49) в B.45), получим иное квадратное уравне-
уравнение для определения ^. Здесь также параметры J1^ и/^уточняются
в процессе последовательных приближений. °
Вычислив уровень ? , можно по соответствующим формулам
B.47, 2.48) или B.49) найти предельные напряжения ?Г,, Ь2> 63- В
случаях B.48) и B.49) предельные напряжения можно вычислять
непосредственно из уравнений B.45) или B.44), фиксируя 6~3 или б',
(&3 или^,). Принимают больший корень уравнения.
Выделим случай трехосного неравномерного сжатия F"( < 0) и
случай трехосного растяжения совместно со случаями смешанных
напряжений (СГ > 0). Если режим возможного догружения конструк-
конструкции неизвестен, то в случае о, > 0 уровень \, можно вычислять
дважды, исходя из условий B.46) и B.48) и из двух значений ?,
выбирать большее. В случае 6", < 0 условие B.49) всегда будет
приводить к более высокому уровню, поэтому оно предпочтительнее.
Один из возможных простых способов определения предель-
предельных напряжений может быть связан еще с решением квадратного
уравнения B.39) относительноТо при фиксированных значениях^
nij*tf. Определив предельные значения f0 и.бго, затем по формулам
B.38) можно вычислить соответствующие им предельные главные
напряжения.
Описанные способы определения предельных напряжений по
сути являются способами выхода на предельную поверхность из
заданной точки М(б^,, 6~2, &3)- Графически они показаны на рис. 2.9.
Условия B.46) описывают выход на предельную поверхность по лучу
MMt, который строится на продолжении луча ОМ. Условия B.47)
приводят к выходу на поверхность прочности по лучу ММу который
проводится параллельно оси б"( — при выполнении условий B.49)
луч ММЪ проводится параллельно оси &3. Способ, рассмотренный
выше последним, связан с проведением через точку М девиаторной
плоскости и построением на ней девиаторной кривой (D на рис. 2.9,
б) критерия прочности. Выход на поверхность прочности (девиатор-
ную кривую) осуществляется по лучу ММА, который строится на
продолжении луча О'М @' — центр девиаторной фигуры).
Способ выхода на предельную поверхность тесно связан с той
или иной деформационной моделью бетона.
Трещинообразование и разрушение. Нарушение условия B.45)
может означать или полное разрушение элемента или разделение его
трещинами на отдельные части, которые еще могут воспринимать
определенным образом ориентированные напряжения, направлен-
направленные вдоль трещин. В связи с этим можно выделить четыре схемы
исчерпания прочности бетонных элементов (рис. 2.10, где показаны
напряжения, вызывающие исчерпание прочности на той или иной
88
Рис. 2.9. Схемы выхода на поверхность прочности a — по лучам ММГ ММГ
MMS- 6 — по лучу ММ^ П — фрагменты поверхности прочности.- D — фрагмент
девиаторной кривой поверхности прочности на девиаторной плоскости /. проведен-
проведенной через точку М
схеме). Схема 0. (см. рис. 2.10, а) соответствует разрушению эле-
элемента по всему объему вследствие трехосного, двухосного и одноос-
одноосного сжатия. В некоторых работах к этому виду разрушения относят
и разрушения при смешанных напряжениях сжатия —растяжения,
когда напряжения сжатия являются высокими, а напряжения растя-
растяжения незначительными [примерно при б3 ^ @,8 — 0,9) Rc].
Схема 1 (см. рис. 2.10, б) соответствует образованию трещи-
трещины, площадка которой ортогональна к направлению главного растя-
растягивающего напряжения бх (остальные напряжения (?Г,, б3) могут быть
как сжимающими, так и растягивающими; в последнем случае,
однако, меньшими, чем напряжение б().
Схема 2 (см. рис. 2.10, в) соответствует образованию двух
взаимно ортогональных трещин, площадки которых ортогональны к
направлениям главных напряжений ?, и 62 (обычно при5,« б2,
напряжение б3 может быть как сжимающим, так и растягивающим, но
меньшим, чем б.).
Схема 3 (см. рис. 2.10, г) соответствует образованию трех
взаимно ортогональных трещин, обычно при б^я б2» б3; элемент с
такой схемой не может воспринимать растягивающие напряжения.
Для схемы 0 возможны две ситуации: происходит быстрое
разрушение бетона и элемент полностью выключается из работы;
начинается плавное разрушение образца, которое сопровождается
падением напряжений при одновременном росте деформаций (по типу
ниспадающей ветви на диаграмме # — ? ). Такое разрушение характе-
характеризуется образованием множества внутренних трещин до тех пор,"
пока среди них не выделится некоторая магистральная трещина,
приводящая к разрушению. Возможности учета второй ситуации в
практических расчетах остаются пока ограниченными; в основном
имеются попытки учесть эту ситуацию в некоторых исследовательс-
исследовательских программах расчета конструкций на ЭВМ.
89

Y
V
Рис. 2.1О. Разрушение и трещинообраэование
_ бетонных элементов
1/
Образование трещин по схемам 1—3 моделируется как скачко-
скачкообразный процесс, в результате которого напряжения, нормальные к
площадке трещин, становятся равными нулю (в сквозных трещинах)
иЛи уменьшаются до некоторых небольших значений в оставшихся
связях зацепления берегов трещин (в прерывистых трещинах), кото-
которые затем уменьшаются по типу нисходящей ветви. Факторы зацепле-
зацепления учитываются в модели деформирования железобетона с трещинами
(см. гл. 6). Таким образом теория прочности бетона приближается к
моделированию реальных процессов разрушения этого материала.
2.5. СОСТАВНЫЕ КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ
Выше рассматривалось построение единого критерия прочнос-
прочности, охватывающего все виды напряженных состояний. Однако в ряде
случаев могут представлять интерес поверхности прочности, состоя-
состоящие из отдельных состыкованных частей (составные поверхности).
Например, они, имея достаточное количество варьируемых парамет-
параметров, могут выступать в качестве инструмента для обобщения и своего
рода хранения (через значения параметров) данных эксперименталь-
экспериментальных исследований. Примером составной поверхности может служить
поверхность, представленная на рис. 2.1, в, однако она для указанных
целей еще не пригодна. К более общим можно отнести предложения
Л.К. Лукши [111, 112] по построению состыкованных меридиональ-
меридиональных кривых критерия прочности. Рассмотрим иные возможные спо-
способы.
90
Рис. 2.2, а показывает, что наиболее удобными для стыков
являются линия с — двухосного сжатия и линия г — двухосного
растяжения, между точкой t3 и линией г располагается область
трехосного растяжения, между линиями г vs. с область смешанных
напряжений; за линией с — область трехосного сжатия.
Ранее были рассмотрены различные схемы выхода на предель-
предельную поверхность (см. рис. 2.9). Примем в качестве исходных: вторую
схему, связанную с увеличением напряжений 6Ъ — в случае трехос-
трехосного сжатия, и третью схему, связанную с увеличением напряжений
б\ в случае, если хотя бы одно из главных напряжений является
растягивающим. На рис. 2.9 эти способы выхода на предельную
поверхность показаны лучами ММ2 и ММу Применительно к этим
двум схемам критерий прочности можно представить в виде^двух
частей. Первая часть относится к области трехосного сжатия E, > О
или 5, < 0). Примем, что условия B.20) —B.22) относятся только к
этой области. Тогда в B.22) следует принять формально д = 0. Внося
с учетом этого B.21) в^ B.20) и решая полученное квадратное
уравнение относительно б'3, находим
ст, = ст,[F + а + 1 - f) + kb\/2b +1%(Ь + а + 1 - f) +~*
+ kb]2/ib2 + [(/¦- b)kc а , - аа^/Ь.' B.50)
Зависимость B.50) можно также непосредственно получить из
B.34), приняв формально <? = 0. В принципе можно использовать и
уравнение B.36), приняв в нем формальноб*= 0.
В области смешанных напряжений и в области всестороннего
растяжения, следуя [68], условие прочности записывается
ст,<ЯЛАз/*оАг B.51)
где
1 - 2csj
PRbt~Rb<*c
B.52)
(i = 2, 3) B.53)
б3; kt — вычисляется но
здесь s, — некоторые уровни напряжений вГ, 3 t
формуле B.30); р, с — эмпирические коэффициенты @ < р < 2; с — зависит от вида
и прочности бетона и определяется по указаниям [61], см. стр. 12; -0,35 < с < 0,35);
kol (i = 2,3) — коэффициенты, вычисляемые по формулам B.52), B.53) при 5\ = 0.
Недостаток составных критериев прочности заключается в том,
что ими трудно пользоваться при моделировании сложных режимов
нагружения (при переходе из одной области напряжений в другую).
91

Глава 3. ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИИ БЕТОНА
ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ ДЕЙСТВИИ НАГРУЗКИ
Бетону свойственна ползучесть, которая, однако, в некоторые
небольшие промежутки времени после приложения напряжений про-
проявляется в малой степени. В связи с этим и главное для упрощения
расчетов строят модели кратковременного и длительного нагружения.
В кратковременных моделях деформации ползучести, так назы-
называемые быстронатекающие деформации ползучести, относят к неуп-
неупругим деформациям и время действия напряжений в явном виде не
вводят. Бетон в этом случае характеризуется нелинейными зависимос-
зависимостями между напряжениями и деформациями (нелинейными физичес-
физическими соотношениями). Основная задача заключается в установлении
этих соотношений применительно к общему случаю трехосного напря-
напряжения. Однако их нельзя установить без детального изучения исход-
исходных зависимостей между напряжениями и деформациями при одно-
одноосном напряжении. Поэтому вначале остановимся на этом частном
случае, а затем рассмотрим трехосное напряжение.
3.1. ДИАГРАММЫ СЖАТИЯ И РАСТЯЖЕНИЯ БЕТОНА.
ПОПЕРЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Диаграммы деформирования бетона, связывающие относитель-
относительные деформации с напряжениями (?ь — бь) при одноосном сжатии и
растяжении, привлекают к себе, особенно в последнее время, внима-
внимание исследователей. Они важны как с точки зрения непосредственного
применения в расчетах бетонных и железобетонных конструкций (в
основном стержневых), так и построения более общих моделей
деформирования бетона, относящихся к неодноосным напряженным
состояниям. В связи с этим остановимся на проблеме диаграмм более
подробно.
Некоторые физические и другие аспекты, связанные с кон-
конструированием диаграмм. Как указывалось, базой для построения
общих моделей служат результаты исследования диаграмм Еь—бь при
кратковременных испытаниях бетонных элементов (в пределах 20 —
60 мин: 20 мин при одноосном растяжении и 60 мин при сжатии).
Такие диаграммы являются некоторыми исходными. Однако даже в
пределах указанного времени на характер диаграмм влияет режим
изменения скорости роста напряжений и деформаций в процессе
испытания опытных образцов. Обычно выделяют два режима испы-
испытания — с постоянными скоростями роста деформаций и постоянны-
постоянными скоростями напряжений. За эталон принимается режим испытания
92
Рис. 3.1. Диаграммы деформирования бетона при растяжении ( а) и сжатии (&-.
в — к построению диаграммы
с постоянными скоростями роста деформаций, который приводит к
выявлению двухветвевых диаграмм деформирования бетона при
растяжении (рис. 3.1, я) и сжатии (рис. 3.1, б). Считается, что такие
диаграммы больше подходят к описанию реального деформирования
«волокон» бетона в конструкциях. Двухветвевые диаграммы состоят
из двух участков (ветвей): / — восходящих (до вершин h с напряже-
напряжениями бь = Ьь ~ при сжатии и бь = Ь^ы — при растяжении) и // -
ниспадающих. В расчетах значения Ьь и &ы принимают равными
нормативным Rhvr, RbtiSer, а иногда и расчетным Rb, Rbt характеристи-
характеристикам прочности бетона при сжатии и растяжении. Диаграммы сжатия
и растяжения бетона существенно различаются по своим параметрам
и кривизне ветвей. Обе эти диаграммы составляют полную диаграмму
деформирования бетона (см. рис. 3.1, а, 6).
В испытаниях образцов с постоянными скоростями роста напря-
напряжений реализуются только восходящие участки диаграмм. Для реали-
реализации нисходящих участков необходимо обеспечить определенную
скорость снижения напряжений за вершиной диаграммы. При нагру-
жении деформациями такое регулирование напряжений может осу-
осуществляться автоматически.
Характер искривления диаграмм определяется образованием
внутренних трещин (развитием псевдопластических деформаций).
Вкратце устоявшееся представление о механизме деформирования
бетона при сжатии сводится к следующему [31, 15]. Еще в ненагру-
93

женном состоянии бетону, как матриалу с неоднородной структурой,
свойственны внутренние напряжения, микротрещины и другие
дефекты. В начале сжатия может происходить частичное закрытие
трещин и некоторое уплотнение структуры бетона. Затем вступает в
силу процесс образования новых микротрещин, в основном трещин
отрыва вдоль действия напряжений, который сменяется процессом их
неустойчивого развития, ветвления и объединения в некоторые неус-
неустойчивые макротрещины (вблизи вершины диаграммы и особенно на
нисходящей ветви), приводящие в итоге к разрушению образца.
Указанные процессы трещинообразования тормозятся при сни-
снижении скорости приложения напряжений вблизи вершины диаграм-
диаграммы и при уменьшении напряжений (с определенной скоростью) в
пределах ниспадающей ветви. В опытах скорости уменьшения напря-
напряжений могут задаваться любыми, поэтому и ниспадающие ветви могут
быть различными, в том числе проявляться частично или вовсе
отсутствовать. Естественно, для сопоставления данных эксперимен-
экспериментов, особенно на нестандартном оборудовании, необходимо авторам
оговаривать режим изменения скоростей напряжений вблизи верши-
вершины и на ниспадающей ветви.
В принципе указанная неустойчивость ниспадающих ветвей
делает проблематичным их использование в расчетах. Однако это
использование оправдывает два обстоятельства: небольшие различия
результатов расчета при изменениях нисходящих ветвей в определен-
определенных пределах; улучшение сходимости расчетов с данными экспери-
экспериментов над конструкциями при введении в расчет нисходящих ветвей
(они увеличивают перераспределительную способность напряжений в
конструкциях).
Чтобы каким-то образом зафиксировать основные элементы
этого процесса развития внутренних трещин при описании диаграммы
сжатия бетона, на кривых ? ь — бь иногда выделяют (по предложению
О.Я. Берга [ 15]) две характерные параметрические точки — нижнюю
и верхнюю (/, 2 на рис. 3.1, б). Нижняя параметрическая точка
соответствует началу образования новых трещин, практически началу
отклонения диаграммы от начальной прямой линии, а верхняя,
расположенная вблизи вершины диаграммы на восходящей ветви, —
началу неустойчивого развития внутренних трещин. Практически к
этой точке относят точку на диаграмме, в которой объемные деформа-
деформации становятся равными нулю; как указывалось в гл. 1, объемные
деформации при сжатии по абсолютной величине сначала уменьшают-
уменьшаются, а затем, вследствии «разбухания» образца от трещинообразования
начинают снижаться и после верхней параметрической точки, наобо-
наоборот, увеличиваются.
В работах украинской школы (А.Б. Голышев, В. Д. Бачинский,
А.Н. Бамбура) выделяется еще одна дополнительная точка на нисхо-
нисходящем участке диаграммы C на рис. 3.1, 6), соответствующая, по
мнению авторов, образованию магистральной трещины разрушения
94
бетона. Считается, что после этой точки, примерно после уровней
напряжений, равных 0,5 — 0,7, нисходящая ветвь представляет уже не
ветвь деформирования цельного бетонного образца, а ветвь деформи-
деформирования отдельных частей раздробленного бетона. Ниже этой точки
ниспадающую ветвь использовать в расчетах не рекомендуется.
Заметим, что в некоторых нормативных документах примени-
применимость ниспадающей ветви ограничивается точкой 4 (на рис. 3.1, б) с
более высокими уровнями напряжений, равными 0,8, чем те, кото-
которые следуют из предпосылки об образовании магистральной трещины
разрушения. Однако этот вопрос еще требует исследования, посколь-
поскольку указанные ограничения не всегда приводят к уточнению расчетов,
а нередко и мало на них влияют, в то время как расчетные алгоритмы
усложняются. Да и в целом специальное выделение параметрических
точек в аналитических выражениях диаграмм вряд ли целесообразно;
они могут выделяться, если только приобретают статус четких расчет-
расчетных оценок, например оценок долговечности (как у О.Я. Берга).
В отличие от сжатия при растяжении начальные дефекты
структуры, особенно усадочные трещины в поверхностном слое, не
закрываются в начале приложения напряжений, а становятся опасны-
опасными очагами раскрытия, а затем и развития отдельных из них (основ-
(основных), вплоть до разделения элемента на отдельные части. Криволи-
Криволинейная диаграмма и нисходящая ветвь реализуется при растяжении в
том случае (предположительно), если замедление скорости роста
напряжений вблизи вершины диаграммы и скорость падения за
вершиной таковы, что обеспечивают устойчивое развитие трещин или
переводят развитие отдельных из них из квазинеустойчивого в устой-
устойчивое. Естественно, что при этом важны всякие преграды на пути
развития трещин, например крупный заполнитель, армирование.
Этот процесс прерывается в некоторой точке E на рис. 3.1, а)
на ниспадающей ветви диаграммы образованием магистральной тре-
трещины (примерно при ширине раскрытия 0,025 — 0,035 мм). Однако
ниспадающая ветвь после точки 5 может не заканчиваться, хотя уже
описывает иную картину деформирования. После точки трещинооб-
трещинообразования происходит практически скачкообразное падение напряже-
напряжений до низкого уровня (линия 5 — 7). Напряжения после точки
образования трещины выступают уже как некоторые условно распре-
распределенные по площади трещины напряжения в остаточных связях
зацепления берегов трещины в виде бетонных мостиков [61].
Точка образования трещины приобретает значение расчетной
точки, характеризующей с определенной долей условности переход
элемента из стадии деформирования бетона без трещин в качественно
новую (особенно для железобетонных элементов) стадию работы с
трещинами. За этой точкой, ее обычно называют точкой трещинооб-
трещинообразования, моментом трещинообразования, арматура железобетон-
железобетонных элементов переходит в иную стадию деформирования, что в итоге
приводит к изменению физических соотношений. В расчетах железо-
95

я
с
д
т
с
о
н
Ti
н
м
п
ж
б]
О'
Т(
01
Н]
д<
И<
р<
HI
М(
(с
КС
эт
ел
о
и
со
от
ра
на
ЭТ1
ци
Д&
ся
на
ро
А..
дя.
мн
94
бетонных элементов ниспадающая ветвь после точки трещинообразо-
вания учитывается иным путем — в виде задания некоторых функций
зацепления берегов трещин. В принципе связями зацепления можно
пренебрегать, за исключением слабоармированных элементов, где
роль зацепления становится заметной.
В экспериментальном плане диаграммы при растяжении иссле-
исследованы в меньшей степени, чем при сжатии. Двухветвевую диаграмму
Ebt — ffbt растяжения бетона исследователи получают, тщательно обес-
обеспечивая специальными приспособлениями определенные скорости
роста продольных деформаций, хотя такие попытки не всегда приво-
приводят к успеху из-за неустойчивости механизма трещинообразования.
Отсюда — противоречивость опытных данных.
Можно указать на большое количество предложений по описа-
описанию диаграмм. Среди них следует выделить некоторые теоретические
подходы: А.А. Гвоздева — с позиции накопления повреждений,
М.М. Холмянского — с позиции статистической теории прочности
неоднородных композиций, разрушающихся хрупко или по отрывно-
отрывному механизму, В.М. Бондаренко — с некоторых энергетических
позиций. Однако в работах большинства авторов предлагались или
совершенствовались ранее предложенные феноменологические зави-
зависимости в виде полиномов, степенных, дробных и других функций.
Их обзор дан в [78] и многих других работах, поэтому на этом вопросе
не будем останавливаться, заметим только, что не многие из предло-
предложенных функций отвечают ряду важных условий.
Такими условиями являются: возможность наиболее полного
отражения через форму деструктивных процессов, происходящих в
структуре бетона при приложении напряжений; сравнительная про-
простота аналитической зависимости и ее приведения к секущим и
касательным модулям (при dffb/d?b = 0 в вершине); увязка с
современными численными методами решения нелинейных задач.
При этом подразумевается, что секущие и касательные модули,
определяемые на основании диаграммы,должны сравнительно просто
выражаться как через уровни напряжений, так и уровни относитель-
относительных деформаций и, кроме того, удобным образом входить в коэффи-
коэффициенты общих матриц жесткости элементов; возможность простой
перестройки (трансформирования) аналитической зависимости при
переходе к описаниям неодноосных напряженных состояний, а также
при учете различных факторов, влияющих на диаграмму. Ниже
представлена одна из зависимостей, которая удовлетворяет указан-
указанным условиям. Зависимость была предложена в работе автора моног-
монографии [69], а затем всесторонне исследована в работах Н.И. Карпенко,
Т.А. Мухамедиева и А.Н. Петрова [74, 78] и др.
С точки зрения использования диаграмм в расчетных зависи-
зависимостях их удобно характеризовать секущими и касательными модуля-
модулями (см. рис. 3.1, а — равны по модулю соответственно тангенсам
углов G — секущих типа ОМ и<9* — касательных линий диаграммы
96
к оси деформаций 6 ь). В начале диаграммы эти модули совпадают и
равны Е° начальному модулю — модулю упругости. Ниже секущий
модуль представляется в виде E*j)b, а касательный Е?тРь, где 1> ь и 1)* —
некоторые безразмерные функции. При растяжении параметры*' ь, *>*
принимают значения i)bt, i)*u. Следуя В.И. Мурашеву [127], параметр
4 ь еще называют коэффициентом упругости, поскольку он равен
отношению линейной части деформаций, вычисленной при 4>6 = 1, к
общим деформациям.
Диаграмма сжатия. Сжимающие напряжения и деформации
укорочения являются отрицательными. При центральном сжатии
диаграмма деформирования бетона представляется в виде
в = a4/(??v4),
C.1)
где ? ь, &ь, Е% — соответственно относительные деформации, напряжения,
начальный модуль упругости бетона; 1?ь — коэффициент изменения секущего модуля
(Е%1)ь — секущий модуль);
- ш, Ц - Ш2 Л2,
C.2)
здесь 1 >l/b>O;vb — значение коэффициента изменения секущего модуля 1> ь
в вершине диаграммы, Т) — уровень напряжений @<tf < i);U>vO>2 — параметры
кривизны диаграммы:
кривизны диаграммы:
C.3)
C.4)
A
Л = ст./ ст.; со, = 1 — со,,
Оь — значение напряжений в вершине диаграммы;при проектировании $ь =
-Rbser; iH — значение коэффициента 1) в начале диаграммы;
для восходящей ветви{|
C.5)
C.6)
v0 = 1; со, = 2 - 2,5 v6;
для нисходящей ветви(|?61 > \?ь\)
V6; со, = 1,95
0,138;
е. — деформации в вершине диаграммы:
для тяжелого и мелкозернистого бетона (по предложению
Т.А. Мухамедиева)
C.7)
где константы: 18, 22, 53000 принимаются в МПа;
для легкого и ячеистого бетона (по предложению Р.Л. Серых)
4 Зак. 1408
97

A
6R
В
1 + 0,75 ХД/60 + 0,2 Л/Д
0Д2 + Д/60 + 0.2/Д
C.8)
где В — класс бетона по прочности на сжатие; — безразмерный коэффици-
коэффициент, зависящий от вида бетона, и принимаемый равным: для тяжелого и мелкозернис-
мелкозернистого бетонов \= 1; для легкого бетона плотностью D, кг/м3, Д= D/2400; для
ячеистого бетона Д = 0,25 + 0,035 В.
Остановимся на механизме конструирования зависимости C.2).
Схема изменения коэффициентов У6 в функции от уровня *? для
восходящей (линия /) и нисходящей (линия //) ветвей диаграммы
показана на рис. ЗА, в. Линии /' и //' могут быть сравнительно просто
представлены отрезками эллипсов или парабол, состыкованных в
общей вершине h'\ I , II — не используемые (фиктивные) продол-
продолжения линий I и II за точкой h (линии /' и / , //' и //. симметричны
относительно оси 5 — 5, т.е. в вершине h' для состыкованных линий
выполняется условие dy/ di ь = 0, которое приводит к выполнению
условия d6b/dEb — 0 в вершинах h диаграмм, представленных на
рис. 3.1, а, б). Таким образом, приходим к тому, что оба отрезка (/'
и //') описываются формально одним уравнением
vb2 - 2 vbvb + vb2 - (v0 - vbJ A -
= 0,
=1),
C.9)
в котором для каждого отрезка вводятся только свои значения
константы Vo. Зависимость C.2) является решением квадратного
уравнения C.9) относительно -j)b.
Константы 1>0 назначаются, исходя из некоторых граничных
условий. В начале восходящего участка диаграммы касательный и
секущий модули должны быть равны начальному модулю Е\ —
модулю упругости, откуда следует 1H = 1.
В конце нисходящего участка (после точек 6, 7, см. рис. 3.1, а,
б) происходит изменение кривизны диаграммы так, что кривая затем
начинает асимптотически приближаться к линии, параллельной оси ? ь
и отстоящей от нее на расстоянии ? = п". Проявляется так называемый
эффект «клюшки» — ниспадающая ветвь копирует конфигурацию
клюшки. Этот эффект моделируется при 1^0 > 2iN, кроме того он
накладывает ограничения на значения уровней ь (» >»").
Параметры у ь и бО( существенно влияют- на искривление диаг-
диаграммы, особенно вблизи ее вершины. Их значения устанавливаются
экспериментально. Обработку экспериментов при этом достаточно
выполнять по упрощенной методике, определяя v6 из условия совпа-
совпадения вершин опытных и расчетных диаграмм:, а и){ — из условия
совпадения опытных i^on и вычисленных по формуле C.2) значений
¦i)b при уровнях напряжений ? «* 0,85 отдельно для восходящего и
нисходящего участков диаграммы. Полагая в C.2) >? = 0,85 и решая
это уравнение относительно о),, получим их опытные значения
98
с* =0.2775-
V0 - Vb
0,1275
где Von= ^t^5ffb/Ef?btm; ?Ьоп — опытное значение деформаций.
л
Заметим еще, что при некоторых значениях ? ° или iH > 2-])ь
диаграмма начинает приближаться к диаграмме Прандтля, таким
образом представленные зависимости обладают большими возмож-
возможностями.
Нетрудно заметить, что формула C.2) определена на отрезке
Ч =0...1, если под квадратным корнем 1 >A — U?,» —иJ»2) >0. Это
условие выполняется, еслис*), > 2 (приОJ = 1 — О),). Выражение 1 —
U3,» —tO2p2 в принципе может быть заменено на более общее 1 —
Фхп — со 2^2 - Ц,?3 + ¦¦-, где (cOj +U32 +6lK + ...) = 1, однако для
бетона достаточно ограничиться тремя первыми членами.
Остановимся еще на одном важном вопросе. Выше параметры
\)ь, ^определялись через уровни напряжений П, однако в некоторых
случаях, особенно при переходе на ниспадающую ветвь, их удобнее
вычислять через уровни деформаций flrf = ?6/ё 6. Причем на уровни
?d не накладывается ограничение типа Т) >^°- Разделив правую и
левую части зависимости C.12) набь?ь, можно установить следую-
следующую простую связь между уровнями:
C10)
Внося это значение в C.18), приходим к новому квадратному
уравнению, решая которое, находим
C.11)
где:
р-
vb2
2[vb2
(И)
H +
Здесь также для каждой ветви принимается свое значение Vo.
Сопоставление опытных и расчетных диаграмм деформирова-
деформирования бетона при осевом сжатии показано на рис. 3.2 (линии /, 2, 3, где
/ — опыты И.Д. Узуна, 2 — расчет по формулам C.1), C.2) с
определением параметров V ,СО и ?Л — по формулам C.5), C.7),
3 — расчет по формулам C.1), C.2) с введением опытных параметров
V0,u), и ?Л). Более полное представление о характере теоретических
диаграмм сжатия бетона, построенных по формулам C.1), C.2) дают
графики рис. 3.3. Там же для сопоставления пунктирными линиями
99

2,1
3,2 ?„%,
Рис. 3.2. Сравнение опытных и расчетных диаграмм деформирования бетона
различных классов при осевом сжатии
6ь,МПа
Рис. 3.3. Диаграммы окатил
бетонов различных классов
a)
?
4
ь о'
J
0
?b
л
Рис. 3.4. К учету начальных деформаций зажатия
нанесены кривые, рекомендуемые ЕКБ (Европейским комитетом по
бетону). Таким образом, теоретические зависимости удовлетвори-
удовлетворительно согласуются с опытными данными, полученными как в нашей
стране, так и в других странах.
Уточнение начального участка диаграммы сжатия. Выше при
описании диаграммы не учитывался так называемый начальный «зуб»
•диаграммы - отрезок 05 (рис. 3.4, а), связанный с уплотнением
структуры бетона в начале сжатия. Фактически диаграмму начинают
с точки 0'. Отрезок зажатия можно сравнительно просто учесть,
представив общие деформации, обозначив их ? ь, в виде суммы: ? ь =
? м + ? , где ? м - основные деформации, в которых зажатие не
учитывается (рис. 3.4, б); они определяются по представленным
ранее формулам, где формально индекс «Ь» заменяется на «Ы », €.q —
деформации зажатия (рис. 3.4, в); S.q - максимальные деформации
зажатия в вершине h). Полагая ?. м = бь/Еь\>Ьх; tq= Ob/EbVq,
получим а 1 1
*ъ = Ъ- ( + } ' C.12)
ЕЬ vbl Vq
где V — коэффициент секущего модуля деформаций зажатия; он может
апроксимироваться некоторой линейной функцией относительно^ или устанавливать-
устанавливаться на основе конструирования диаграммы зажатия в виде линии /, возможно с
продолжением 2, см. рис. 3.4, в.
Диаграмма растяжения. Хотя выше говорилось о диаграмме
сжатия бетона, однако зависимости C.1) —C.6), C.9) —C.11), каки
выражения параметров 1> 0, u)v относятся и к диаграммам растяжения.
В них только следует индекс «Ь» заменить на индекс «Ь?», обознача-
обозначающий растяжение, и ввести новые значения параметров:
C.13)
$ы = @,6 + 0,15 Rbtn/25)A
btq,
где^ _ коэффициент, учитывающий влияние градиентов деформаций; вво-
вводится если диаграмма используется в расчетах изгибаемых элементов (значение его
101

указано ниже; естественно, при центральном растяжении yMq = 1); ЯЫп — нормативное
сопротивление бетона растяжению (принимается по СНиП 02.03.01 —84); п = 1 —2.
Учет влияния градиентов. О физической природе влияния
градиентов напряжений и деформаций на деформации и прочность
элементов уже говорилось в гл. 1. Здесь остановимся на некоторых
количественных характеристиках, начав с диаграммы растяжения.
Проводя довольно обширные эксперименты, некоторые иссле-
исследователи уже давно пришли к выводу, что диаграммы растяжения
бетона в условиях неоднородного растяжения — в растянутых зонах
изгибаемых, внецентренно сжатых и внецентренно растянутых эле-
элементов отличаются от диаграммы при центральном растяжении (мож-
(можно отметить исследования В.Е. Ящука, П.Г. Кургана, А.В. Караваева
и других, более полный обзор дан в [78]). Как правило, влияние
градиентов учитывалось косвенным путем^Корректировались пара-
параметры вершины диаграммы растяжения (ffbt, f bt) в зависимости от
высоты балки, что приводило к увеличению трещиностойкости.
Например, для изгибаемых балок согласно [79] ,
= 2,07 - VaTaT, C.14)
Ibtq
где hB = 30 см — некоторая эталонная высота сечения; h — высота сечения;
при этом в формулах C.13) я = 1 для тяжелого бетона; п = 2 — для мелкозернистого
бетона и керамзитобетона.
Представленная выше методика косвенного учета влияния
градиентов через высоту не дает ответа на вопрос об изменении уЬ( в
процессе нагружения и в зависимости от вида напряжений (внецен-
тренное сжатие или растяжение). Детальные исследования прямого
влияния градиентов на диаграммы растяжения и сжатия бетона были
выполнены Н.И. Карпенко, М.А. Сапожниковым-Рейтманом и
Т.А. Мухамедиевым [79] численным моделированием изгиба бетон-
бетонных балок из экспериментов различных исследователей. При этом
устанавливались коррективы диаграммы, которые приводили к совпа-
совпадению опытных и вычисленных деформаций от начала нагружения и
вплоть до разрушения образцов, а также к совпадению нагрузок
трещинообразования и разрушения.
Это моделирование изгиба балок позволило сделать следующие
выводы. Изменение диаграммы растяжения начинается только после
того, как кривизна балки k превысит некоторое характерное значение
kot; при k < kot диаграмма растяжения бетона пренебрежимо мало
отличается от исходной (fbtq& D- Заметим, что кривизна k представ-
представляет при гипотезе прямых нормалей градиент деформаций по всей
высоте балки. Было выявлено, что зависимость изменения %. от
о О otq
отношения текущей кривизны к характерному значению kot практичес-
практически совпадает для балок разной высоты из бетона разных классов и
может быть описана в виде:
4,
ybta = 0,73 + 0,27
'btq
C.15)
102
где
/? 1
к0( = A1 + 13 --) , Ro = 2 МПа, L = 105 м.
Ro L
При использовании зависимостей C.15) в формулах C.13)
следует принимать п = 1.
Полагаем, что зависимости C.15) можно использовать как в
расчетах изгибаемых, так и внецентренно сжатых или растянутых
элементов, хотя значение kot еще потребует уточнения. Анализ балок
из различных бетонов показывает, что значение kot как и аналогичные
величины в случае сжатия, зависит от вида и структуры бетона, а
также от скорости изменения градиента деформаций (кривизны) во
времени, однако пока отсутствуют достаточные экспериментальные
данные для учета указанных факторов.
Интерес представляют выявленные в _процессе этого анализа
данные по предельной растяжимости бетона ? bz на крайнем растяну-
растянутом волокне, соответствующие моменту начала разрушения бетонного
сечения (предположительно в точке 5 на рис. 3.1). В принципе точка,
соответствующая разрушению, располагается немного ниже точки 5,
поскольку момент разрушения может несколько превышать момент
образования трещины в крайних фибрах бетона. Выявлено единооб-
единообразие связи отношений ? bt/t и и k/kot (k - кривизна в момент
образования трещины разрушения), в виде
C.16)
C.17)
ebt
или при k > k
Вопросу о влиянии градиента деформаций по сечению на
диаграмму сжатия бетона посвящено гораздо больше исследований,
чем на диаграмму растяжения, однако мнения исследователей здесь
довольно противоречивы. В одних исследованиях это влияние выяв-
выявляется, в других отрицается. С целью исследования трансформации
диаграммы сжатия по сравнению с исходной указанная выше методи-
методика численного моделирования была распространена на изгиб и внецен-
тренное сжатие железобетонных элементов, а также внецентренное
сжатие бетонных образцов из опытов различных авторов. Выявлено,
что к хорошему согласованию опытных и расчетных данных приводит
такой способ трансформации диаграммы сжатия, при котором напря-
напряжения в вершине увеличиваются в fbq, а деформации вybq раз,
103

-R.
*>'-
C.18)
где Ybq ~~ коэффициент влияния градиента; ? я — абсолютная величина
деформации в вершине исходной диаграммы сжатия, определяемая по формулам C.7)
или C.8).
Принципы определения ?, схожи с указанными выше принци-
принципами вычисления^, .
Коэффициент влияния градиента может определяться по фор-
формуле [79]
= 0,6 + 0,4 VkTkl > 1, C.19)
уЬч
где Ац. — характерное значение градиента деформаций укорочения (при k <
k^ влиянием градиента деформций на диаграмму можно пренебречь).
Анализ результатов экспериментов, выполненный в [79] с
большой тщательностью, позволил высказать предположение, что
важным фактором, влияющим на характерное значение kOc, является
скорость изменения кривизны во времени (dk/dt) в процессе нагру-
жения. С увеличением этой скорости параметр k^ уменьшается, при
этом согласно зависимости C.19) одним и тем же значениям кривизны
элемента будут соответствовать значительные изменения 5^ (большая
трансформация диаграммы сжатия). Введение этого предположения
позволяет объяснить с единых позиций внешне противоречивые
результаты разных экспериментальных исследований.
Зависимость характерного значения кривизны k^ от скорости ее
изменения для тяжелого бетона разных классов можно вычислять по
эмпирической формуле М.А. Сапожникова
к
= __W6 +0,02(Rb/R0) / о,О4 + Х2
C.20)
rae% =
,; ?= dk/dt,
Хо = ЮЧмминI; Ro = 10 МПа; LQ = 103 м.
Формулу C.20) удобно использовать в шагово-итерационном
процессе, если, конечно, известна зависимость изменения внешней
нагрузки во времени, который сводится к следующему. Определив,
например, кривизну k и, обозначив ее /г, в момент времени t,
прикладываем новую нагрузку в момент (t + О и вычисляем новую
кривизну k2; тогда%- *(&2 — /е,)/Д t; эта величина будет тем ближе к
истинному значению %, чем меньше шаг во времени Д t. Такая
процедура выполняется для каждого сечения. В случае нагружения с
выдержкой на каждой ступени в формулу C.20) должно подставлять-
подставляться значение %, определенное по времени с учетом выдержки.
В случае, когда закон приложения нагрузки на конструкцию во
времени не известен, можно использовать упрощенный способ учета
влияния градиентов, заключающийся в выполаживании ниспадающей
104
ветви диаграммы сжатия (восходящая ветвь при этом не меняется).
Суть выполаживания сводится кд изменению параметра Ct>,, который
вычисляется по формуле<Х>^ = с^ь — 0,138, где
с, = 1,95 - 0,25V/e/fc0.
Здесь kg = 10'3 м1; для изгибающих элементов приближенно с,« 1,4.
Заметим, что при использовании формул C.14) — C.20) ниспа-
ниспадающая ветвь тоже автоматически выполаживается вследствие влия-
влияния ? ь, ?^( на параметры а>( и 1H.
При переходе к неодноосным напряженным состояниям, напри-
например при рассмотрении плит, работающих в двух направлениях,
параметры типа kQc, kQt должны сопоставляться с главными кривизна-
кривизнами. Однако этот вопрос еще требует исследования.
Поперечные деформации бетона. Деформированное сосюя-
ние элементов при центральном сжатии или растяжении определяется
не только продольными (вдоль действия напряжений), но и попереч-
поперечными деформациями (? t — при растяжении, рис. 3.5 и ? — при
сжатии).
Поперечные деформации имеют знак, обратный знаку продоль-
продольных деформаций, и выражаются в зависимости от них традиционным
it
Рис. 3.5. К определению попе-
поперечных деформаций 1 — продольная
деформация: 2 — поперечная дефор-
деформация

путем через коэффициенты поперечной деформации Шь
сжатии,jU.u — при растяжении),
при
б = - 6.
V ь
График связи, например поперечных ? ( и продольных ? ы
деформаций, представлен на рис. 3.5, 6. Отношение?/? ы = tg A —
угол наклона секущей типа ОМ к оси деформации ? ы, поэтому
коэффициент поперечной деформации, равный указанному соотноше-
соотношению, называют секущим.
Экспериментальные исследования показывают, что с увеличе-
увеличением уровня напряжений сжатия коэффициент поперечной деформа-
деформации*^ возрастает от некоторого начального значения??° х. 0,15 — 0,2
до значений, приближающихся, а иногда и превышающих,0,5 в
вершине диаграммы. Этот фактор удовлетворительно отражает зави-
зависимость, предоженная в [69]
if- и.) V 1 - л2', C.22)
^6 =
•"А
гдеиь — значение коэффициента!!^ в вершине диаграммы сжатия
А
V-ь
ль~ Ц°+1 - V ^ь. C.23)
Формула C.22) описывает восходящую ветвь поперечных
деформаций. При описании нисходящей ветвиМ" следует заменять на
., однако этот вопрос еще требует исследования (кроме этого
после Cib знак + заменяется на -).
Увеличение уровня напряжений растяжения приводит по дан-
данным, например [15], к уменьшению коэффициента поперечной дефор-
деформации. Этот эффект можно приближенно учесть, приняв
Ры * $> vbf C.24)
или, если использовать формулу C.22), положив в ней
- ¦"•* C.25)
Внося значения?.. из C.1) в C.21), можно записать
вй vbt
C.26)
Исходные физические соотношения. Указанные выше обозна-
обозначения продольных и поперечных деформаций и физических коэффи-
коэффициентов (модулей), характеризующих их, удобны для анализа одно-
одноосных напряжений. При переходе к трехосным напряженным состо-
состояниям, необходимо в индексы вводить традиционные обозначения
деформаций, связанные с направлениями той или иной оси декарто-
декартовых координат 1, 2, 3, вдоль которой действуют напряжения и
происходят деформации. В случае одноосного сжатия: & ь = ?3; бь =
5v еР = ?, =? v ^, = ^2 = ° ( ^ V ^ \ Ю
106
в случае одноосного растяжения:? ы =? ,; бы -6t;Spt -?2 -с $, &2 -
#3 = 0 (при этом+\, = Vbi;flbt =р.И1 =fLM1)-
Таким образом для одноосного сжатия и растяжения получают-
получаются различные деформационные зависимости:
'о
?2
?2
\aiVbO
C.27)
C.28)
где точками обозначены коэффициенты податливости, которые еще не опреде-
определены.
Зависимости C.27), C.28) являются исходными при переходе
к моделям трехосного напряженного состояния
3.2. ЗАПИСЬ ДИАГРАММ В ВИДЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ
ПРИРАЩЕНИЯМИ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ.
ОПИСАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ
ПРОГРАММ НАГРУЖЕНИЯ
Дифференциальная (инкрементальная) форма записи диаг-
диаграмм деформирования бетона. Касательные коэффициенты про-
продольной и поперечной деформации. Диаграммы деформирования
бетона (здесь индексы «Ь» и *ЬЫ обозначим «Ь») можно также
представить в виде связи между бесконечно малыми приращениями
деформаций и напряжений Ы1Ь - d&b). Из рис. 3.1, б видно, что
doh
г. о 7к
ЕЪ vb
C.29)
где -0* — коэффициент изменения касательного модуля деформации бетона
— касательный модуль).
Дифференцируя C.1) по бь
dOu
d
dab
¦С—--)
C.30)
и приравнивая первые части C.29) и C.30), находим
.1 d ab
da г.
vb
107

Л
или, учитывая, что d&b = О\di?, поскольку у ровень я =
1 d n
C32>
ь
Внося в C.22) значения -)>ь из C.2) и произведя дифференци-
дифференцирование, приходим к довольно простой зависимости между V* и /Vb
(касательным и секущим модулями),
1 _ 1 П О>о - vb) (oh + 2 согт?)
'"Г = * —т- , (з.зз)
vb vb 2^Vl-Wil?- GJjJ?2
где знак «+» соответствует восходящей ветви диаграммы; «-» нисходящей.
Перейдем к рассмотрению поперечных деформаций в прираще-
приращениях (на рис. 3.5, б dt t, d?bt — бесконечно малые приращения
поперечных и продольных деформаций при растяжении). Согласно
рис 3.5, б dSpt/d? = tgfik, где fi* — угол наклона касательной к
кривой ёр,—Ebt) tgjj* — представляет собой касательный коэффици-
коэффициент поперечной деформации (ft»"( — при растяжении, JU"? — при
сжатии), т.е.
de
nt
?
__=_„*;
М*
C.34)
Как и выше в представленных далее зависимостях оставим
только индексы «р» и «Ь»; переход к растяжению осуществляется
путем формальной замены этих индексов на индексы <tpt* и «Ь?».
Заменяя в C.34) dEb на йбъ/ /<»\Е?Ь согласно C.29), преобразуем
C.34) к виду
deP - rf-
dab vg Еь
В то же время из дифференцирования C.26)
ft 1(^
dab E°b da vb
или, учитывая C.31)
Eb vb dab b dab vb
ab d \ib
следует
C.зб)
dab
do
1
+ p, —j_ C.37)
Приравнивая правые части C.35) и C.37), получим
"ft rfO Уй
или, учитывая, что Cfb-
dOb
C.38>
C.39)
108
Формула C.39) после подстановки выражения C.22) для jjib и
дифференцирования дает следующий результат:
C.40)
— восходящая ветвь, «-» — нисходящая).
Из C.40) следует, что в вершине диаграммы касательный и
секущий модули совпадают (f^=f* b при ?= 1). В других случаях
необходимо учитывать их различие.
Если соблюдается условие C.24), то в случае растяжения из
C.36) следует 0
. _!%._ Ць. .
dabt К
Приравнивая правую часть этого выражения к правой части
C.35), находим
A=tfv*. C.4D
Исходное соотношение C.38) можно записать в функции от
деформаций. Внося в это соотношение значения Сь и йбь из C.1) и
C.29), находим
.* =
C.42)
Эту зависимость удобно использовать для определения jU* в
функции от деформаций или уровня деформаций.
Соотношения C.29) и C,35) являются основными физически-
физическими соотношениями одноосно напряженного бетона в приращениях.
Они могут быть [по аналогии с C.27), C.23)] представлены в
матричном виде:
.<*<*>.
C.43)
¦de,'
de2
.de3
A/^*)..
0
где точками обозначены коэффициенты податливости в приращениях, которые
еще не определены.
109

1
"о
{
л
л
Рис З.б. К описанию отрезка лО/7
диаграммы
Прием описания диаграммы от некоторой новой начальной
точки О (рис. 3.6). Пусть требуется описать часть восходящего
участка диаграммы Ю h в координатах напряжений ?>и и деформаций
?.дь, отсчитываемых от некоторой точки 4О, расположенной на
исходной диаграмме ( оАЬ, &4(> — значения напряжений и относитель-
относительных деформаций вершины диаграммы h в новых координатах; 1? d —
бьь/бйь — новый уровень напряжений; I9&d= ^д(,/?дб ~~ новый
уровень деформаций). Новая система координат связана с исходной
очевидными равенствами (см. рис. 3.5)
°АЬ = °Ь ~ °Ь@У ЕАЬ = ЕЬ ~ 8Ь@)>
где амо), ?мо) — координаты точки АО в исходной системе аь, ?ь.
Используя их, можно точно осуществить указанный переход,
однако он приводит к громоздким выражениям. Численные исследо-
исследования показали, что результат мало изменяется, если использовать
приближенный прием, заключающийся в следующем. Вычисляется
касательный модуль (?*^р в точке ЛО по представленным выше
формулам. Он приравнивается к начальному модулю Еьь = Е Ль новой
диаграммы. Аналогично начальный коэффициент поперечной дефор-
деформации jU° заменяется на касательный коэффициент iu?, соответству-
соответствующий состоянию ЛО. Кроме того изменяются параметры вершин
новой диаграммы:
АЛ Л А
Л
ст.. = о.
До О
6H)'
— р
После такой замены все формулы исходной диаграммы про-
продольных и поперечных деформаций можно применять и к описанию
новой диаграммы; следует лишь формально присвоить всем величи-
величинам индекс А (Еь заменяется на Е°йь, 1? на яд и т.д.). Заметим, что
описанный способ трансформации исходного состояния удобно пере-
переносится на описание сложных режимов нагружения неодноосным
напряжением. Его можно отнести к одной из разновидностей более
общего способа записи физических соотношений в конечных прираще-
приращениях, который рассмотрен ниже.
Описание нагрузки и разгрузки (режимные диаграммы).
Методика конечных приращений. Перейдем, следуя [70, 81], к
110
рассмотрению более сложных диаграмм деформирования бетонных
элементов в условиях, когда ветви возрастающих напряжений сменя-
сменяются различными разгрузками и наоборот. Такие условно «режим-
«режимные» диаграммы больше соответствуют реальному деформированию
бетона в конструкциях. Режимные диаграммы можно описать сравни-
сравнительно просто, если разделить их на ряд характерных отрезков и
записать на каждом отрезке связи между конечными приращениями
напряжений &&т и деформаций ? , отсчитываемых от начала
отрезка. Л
Обозначим &Ат, ?Лт — приращения напряжений и деформа-
деформаций для конца выделяемого отрезка, если отрезок характеризует ветвь
нагрузки, и САт, ?Дт — аналогичные приращения для отрезка,
характеризующего ветвь разгрузки. Приращения б^т, & Дт будем
обозначать 5m(/-_rt, ? А^у-О' г^е J ~ номеР точки. Для которой
находят приращения, i — номер точки, от которой приращения
отсчитывают (г, / = 1, 2, 3); & и Smj. — общие напряжения и
относительные деформации в точке /.
Решение задачи упрощается, если исходная диаграмма и ука-
указанные кусочные диаграммы (отрезки) режимной диаграммы можно
описать единообразно, модифицируя лишь отдельные параметры
исходной диаграммы. Диаграммы на отрезках нагружения записыва-
записываем в виде:
еАт=
"Am
ЕАт VAm
= V, + (
Am
) V 1-CO,TL -
m' 1 'Д
2 'Д'
C.44)
где т — индекс материала (m = b — при сжатии, т = bt — при растяжении);
знак «+» — для восходящей ветви отрезка, знак «-» — для нисходящей; *Л —
уровень приращения напряжений (<?4 = ^4,/о4„); ^Лт — модуль деформаций в
начале отрезка диаграммы; коэффициент изменения модуля Е%т, VЛт значение V4m
в конце отрезка диаграммы (¦$t/n= ^j./^i.?»,)^, и u>2 — коэффициенты,
характеризующие искривление отрезка диаграммы (<*>, =2 — 2,5 V4m — на восходя-
восходящей ветви;ц), = 1,95 v д„ — 0,138 — на нисходящей;иJ = 1 — u> t).
Диаграмма на отрезках разгрузки записывается в виде C.44),
где формально приращения напряжений б и деформаций ? .
обозначаются 0Ат, ? лт, а коэффициент VЛт заменяется на уА1В, при
этом
Лд = с^/ \т. C.45)
Кроме того во втором выражении C.44) используется только знак
«+», поскольку разгрузка имеет одну ветвь. Исключая в выражениях
C.44) нижний индекс д, придем к записи исходной диаграммы.
Конкретизируем параметры диаграммы-формулы C.44) в за-
зависимости от отрезка режимной диаграммы (рис. 3.7). Пусть напря-
напряжения и деформации увеличиваются по исходной диаграмме до точки
/, затем следует полная разгрузка по линии 1—2 — 3, а после полной
111

777
Рис. 3.7. К описанию режимных диаграмм
разгрузки в точке 3 следует или повторное нагружение напряжениями
того же знака по линии 3 — 4—5 или нагружение напряжениями
обратного знака по линии 3 — 6 — 7 (приложение напряжений обратно-
обратного знака после разгрузки относится к нагружению). Представленная
режимная диаграмма разделяется на следующие характерные отрез-
отрезки: О—/ — отрезок исходной диаграммы; 1—2 — 3 — отрезок раз-
разгрузки; 3 — 4 — 5 ж 3 — 6 —7 — отрезки нагружения.
Отрезок 1 —2—3. В точке / (до начала разгрузки) фиксируется
напряжение б~т = &т и вычисляется по исходной диаграмме коэффи-
коэффициент изменения секущего модуля У = i>mi. Обозначим: 6т2 —
циент изменения секущего модуля У = i>mi. Обозначи
напряжения в точке 2 после частичной разгрузки; ffAm = ^дтB_о =
б — б' , — приращения напряжений в точке 2 относительно точки
с — с
бтг
/, аналогично & йт = ? 4lF)B_0 =tm2 ~ ?„, ~ приращение относитель-
относительных деформаций. Связи между праращениями напряжений б\т и
деформаций 64т на ветви разгрузки, учитывая формулу C.45),
можно записать в виде C.44), принимая
"Am
V
V. к
Дт
0,7 + 0,3 v
"ml
р ° -
ЕАт "
т
C.46)
(фактически
,„ , Vm), при этом изменяются ^4о
В точке 3 (при полной разгрузке) получим 1? А = 1;
v = v
Дт уДт
112
Отрезки 3 — 4 — 5^3 — 6 — 7 диаграммы описываем зависимостя-
зависимостями C.57), полагая >
», = 2 - 2,5 0и + C6 vml - 28) V <^ - 0и; C.47)
СТДт ~ Уд1 СТт' ЕДт ~ Тд2 Ет> ^ Дт ~ УбЗ^Ь'
где j^j — корректирующие функции (i = 1, 2, 3)
Уд,= 1+ Р„ 9V+ Р2(Ф^+ РМФ>. <3.48)
здесь _
(Я = Z?I
v l-vm ' C.49)
j3r(/, г = 1, 2, 3) — коэффициенты, принимаемые по табл. 3.1;
они зависят от вида напряжения — растяжение или сжатие, которое,
следует за полной разгрузкой в точке 3 на рис. 3.7.
Таким образом зависимостями C.44), C.47), C.48) описыва-
описываются новые диаграммы растяжения или сжатия с началом в новой
точке 3; б" tm, ?Дт — напряжения и деформации, соответствующие
вершинам новых диаграмм, аналогично Е^т — начальные модули
новых диаграмм; все эти величины вычисляются с учетом влияния
предшествовавшего сжатия или растяжения на изменение их значений
согласно табл. 3.1. Формулы C.47) — C.48), как и данные табл. 3.1,
являются эмпирическими. Они установлены на основе обработки
экспериментов. Заметим, что представленные в табл. 3.1 данные
относятся к режимам нагружения примерно с постоянной скоростью
роста деформаций и по мере накопления экспериментальных данных
могут уточняться.
Таблица 3-1
Вид нагружения у^ | &и I 02/ I 03/
7^! 0,86 1,78 0,77
Повторное сжатие Тдг ~°>2 0 0
ТДз 0,43 -0,88 0,37
Растяжение после у^ -0,55 0,1 0
сжатия 7'Дг 0>2 ° °
?Дз -0,27 -0,02 0
Сжатие после r^j -0,17 0,02 0
растяжения ТДг 0>13 -0,12 0
Тл, -0,06 -0,02 0
113

Следует отметить, что, видимо, первое систематизированное
изучение значений Е* , &Лт и &4 при режимах нагружения было
начато в нашей стране авторами работ [50, 81, 114, 143, 147], которые
предложили выражения для функций типа f &. в зависимости от
уровня напряжений в момент разгрузки (уровня в точке /) и вида
последующего нагружения. Кроме того ими отмечалось также некото-
некоторое влияние на функцию jrti класса бетона, времени выдержки
напряжений в точке / и возраста бетона. Предлагаемое конструиро-
конструирование формулы C.48) в зависимости от if. ^9Лт позволяет учесть
определенное влияние различных факторов более простым и компак-
компактным способом.
Перейдем теперь к рассмотрению повторного нагружения после
неполной разгрузки, которое, например, начинается в некоторой
точке 2 (рис. 3.8). Через точку 2 проводится кусочная диаграмма 9 —
2— 10. Эта диаграмма описывается зависимостями C.44), C.47) так
же, как диаграмма 3 — 4 — 5 на рис. 3.7. Изменяется лишь формула по
вычислению параметра v^ , входящего в формулу C.48),
и, = JPJ—JHL—
C.50)
где'у„8 — коэффициент секущего модуля для точки 8 на исходной диаграмме.
Точка 8 находится по напряжениям на уровне точки 2, т.е. бт2 =
Диаграмма 9—2—10 имеет некоторый начальный фиктивный
отрезок 9—2; бгДтB_9) =^т2 и ?дтB-9) ~~ приращения напряжений и
деформаций на фиктивном отрезке. Эти приращения необходимо
вычислять из общих приращений, отсчитываемых от точки 9, чтобы
получить действительные значения приращений, которые отсчитыва-
ются от точки 2. Представленный путь вычисления не всегда удобен,
поэтому остановимся на более простом подходе.
Рис. 3.8. Схема диаг-
диаграммы после неполной раз-
разгрузки
Пусть, например, известно описание отрезка 9 —2 -10 сложной
диаграммы с началом отсчета напряжений и деформаций в точке 9;
^1m(9) ~ начальный модуль этой диаграммы, точнее отрезка 9 — 2 —
10, тогда приращения деформаций в точках 2, 10 относительно точки
9 можно представить в виде (рис. 3.9, а):
аДтB-9)
еДт B-9)
C.51)
еДтA0-9)
C.52)
Пусть теперь точка отсчета деформаций и напряжений перемес-
переместилась в точку 2, тогда приращения деформаций в точке 10 относи-
относительно точки 2 составят
°ДтA0-2)
еДтA0-2)
C.53)
где ?^mB) ~ начальный модуль для отрезка диаграммы 2—10 (здесь возмож-
возможны два варианта: 1 — если отрезок 9 — 2—10 описывается одной зависимостью с
началом в точке 9 как, например, па рис. 3.9, а, тогда удобно принимать E\mB) =
Я0 9I относя все различия к коэффициенту V4m(H 2,; 2 — если в точке 2 стыкуются
две разные диаграммы, как, например, на рис. 3.9, о, в, то величины ?*Л„B)и Jc Дт(9)
могут приниматься разными).
Стоящие в знаменателях выражений C.51) —C.53) величины
типа (? tji(9) ^Am(io-9)) и ДРУгие являются секущими модулями диаг-
диаграммы на приращениях; они равны тангенсам углов jb v Jb2, ft3
(см. рис. 3.9). Из рис. 3.9, а следует два очевидных равенства:
ЕДтA0-9) ~~ ЕЛиB -9
Е
ЛтA0 -2);
СТД
~ °ДтB-9)
СТДтA0-9) ~ °ДтB-9) °ДтA0 -2)"
Внося в первое равенство значения деформаций из C.51) —
C.53), а во второе — значения напряжений, выраженные на основа-
основании C.51) —C.53) через деформации, можно преобразовать эти
равенства к виду:
аДтB-9) °ДтA0-2)
9)
Дет(9)
C.54)
еДшA0-2)
Приведем два примера использования равенств C.54). При-
При9210
мер 1: пусть известно описание отрезка
р
диаграммы 9—2—10
US

0
10
j
. /&&т(Ю-2)
Ьлтм
I ?йт(ю-9)
т -
О S
¦т
Рис. 3.9. Связь между секу-
секущими модулями трех точек (напри-
(например 9. Z ТО) на режимной диаграмме
(см. рис. 3.9, а) с началом в точке 9 и необходимо перейти к ее
описанию — определению секущих модулей с началом в новой точке
2. Эта задача сводится к определению секущих коэффициентов
0ДиAО 2) из первой или второй зависимости C.54). Пример 2: пусть
известно описание двух состыкованных диаграмм (9—2) и (.2 — 10),
рис. 3.9, б, в которые начинаются с разных центров 9 и 2. Требуется
выполнить описание состыкованных диаграмм с началом в точке 9.
Тогда задача сводится к вычислению условного секущего модуля
^ляо^дясю-э)) из пеРвого или второго равенства C.54).
Диаграммы малоциклового нагружения. Следуя [81], рас-
рассмотрим более общую, чем выше, схему построения диаграмм. Выде-
Выделим сначала кратковременные циклы одноосного сжатия, состоящие
из ветви нагрузки, до постоянного или меняющегося от цикла к циклу
уровня напряжений — уровня цикла, и ветви полной разгрузки.
Диаграмму непрерывного малоциклового нагружения назовем вере-
веревочной (непрерывной). Будем учитывать следующие, наблюдаемые в
экспериментах свойства веревочной диаграммы: затухающий рост
116
необратимых деформаций в процессе малоциклового нагружения;
влияние уровня и количества предшествующих циклов на характер
диаграммы и накопление остаточных деформаций при последующих
циклах более высокого уровня (влияние предыстории нагружения);
влияние циклического нагружения на прочность бетона как в сторону
увеличения при некоторых циклах среднего уровня, так и снижения
при очень высоких уровнях; изменение кривизны диаграммы на
отрезках (ветвях) повторных нагружений (с выпуклости к оси
деформаций вблизи начала нагружения на выпуклость в сторону оси
напряжения); сохранение односторонней выпуклости на ветвях раз-
разгрузки в сторону оси деформаций.
Построение веревочной диаграммы поясним вначале на приме-
примере четырехцикловой диаграммы (рис. 3.10, а). Первый цикл: 0—1 —
16
?Ы-1?Ы ?}i ?Ы ?Ъ ?bl?bj-i4>j-i ?bj4>j ?tj bj
л
(i'4,5)
л
*Ы
(с-1,2,3)
(i-2)
I
i=2;s=I
1
|
-5"
; к
ti
I
f
'2 j
I
Ш
f
0 2 6 7
Рис. 3.1О.,
9 11
Рис. 3.1О. Диаграммы деформирования бетона при малоцикловом нагружении
(/ — номер цикла.- s — номер группы циклов,- К — номер цикла в группе 5)
117

ветвь нагрузки, 1—2 — ветвь разгрузки; второй цикл; 2 — 4 — ветвь
нагрузки; 4—5 — ветвь разгрузки; третий цикл; 5 — 8 — ветвь нагруз-
нагрузки; 8 — 9 — смешанная ветвь с нагрузкой по деформациям и разгруз-
разгрузкой по напряжениям, которая условно отнесена к общей ветви
нагрузки 5—8 — 9,9—10 — ветвь разгрузки; четвертый или/-й цикл;
10—11 — 12 — ветвь нагрузки; 12—13 — ветвь разгрузки. Циклы
описываются однотипным образом, поэтому достаточно рассмотреть
некоторый цикл (г = 2 на рис. 3.10, а) до вершины диаграммы и цикл
/ (/ = 4) — после прохождения вершины (на нисходящей ветви). •
Ветвь нагрузки любого цикла — это отрезок полной диаграм-
диаграммы, которая получается путем некоторой модификации параметров
исходной диаграммы 0— 1—6—15—..- (см. рис. 3.10, а). Такие диаг-
диаграммы назовем следящими. В данном случае ветвь нагрузки 2 — 4 г-го
цикла является частью следящей диаграммы 2 — 4—7—16.
Напряжения и относительные деформации отсчитываются от
начала координат 0 и обозначаются: *§ ы, ?w — на ветви нагрузки (-**)
и&ы,?.ы — ветви разгрузки (•*-); кроме этого: ?.м — остаточные
деформации от предшествовавшего (i-l)-ro цикла (в данном случае
деформации в точке 2);J)bi, в.ы — напряжения и деформации в
вершине цикла (точке 4)'?. ы — деформации в конце цикла (точка 5).
Для дальнейших построений понадобятся еще напряжения и дефор-
деформации (С"ы, Е.ы) в вершине следящей диаграммы, например в точке 7
при i = 1. Исходной диаграмме или диаграмме первого цикла соответ-
соответствует: Q M = ffb = Rbser> ?;,! = ?я- Последовательность совпадает с
последовательностью циклов, начиная с i = 1.
Связь между напряжениями и деформациями для г-го цикла
представляется так (см. рис. 3.10, а):
на ветви нагрузки (отрезок 2 — 4)
*
Ы ту о rf
: + е.. ;
Du "bi
на ветви разгрузки (отрезок 4 — 5)
%Геы-
°ы-°ы
C.55)
C.56)
где i?w, -?ы — коэффициенты изменения секущего модуля деформации бетона
на ветвях нагрузки (-•¦) и разгрузки _?*-) пассматриваемого цикла; деформации? ы
вычисляются по формуле C.55) при^^ = 3^, а величиныЕМ1 известны из расчета
предшествующего цикла (г — 1).
Функция У Ьх или vь исходной диаграммы представлена выше.
С учетом влияния немногократно повторяющейся нагрузки эту фунак-
цию можно записать в виде [по аналогии с формулой C.2)]
*ы + <vo,- -
v.) VT-T-
- ®*Т
C.57)
Представим значения параметров формулы C.57) сначала для циклов,
118
вершины которых расположены в пределах восходящих участков следящих диаграмм
(до точек 6, 7, 8): из двух знаков «+» принимается *+» (плюс); -уы — значение у"ы в
вершине диаграммы (при i = 2 в точке 7, см. рис. 3.10, а):
Vbi =
°Ы
C.58)
~П, = ^ы/^ы ~ уровень напряжений на ветви нагрузки (аы — напряжения в
вершине диаграммы в точке 7 при i = 2);
на восходящем участке диаграммы
ш,. = 2 - 2,5 vM; и2>. = 1 - ши,
C.59)
vo> ~ функция изменения кривизны диаграммы на начальном ее участке
(учитывает указанное выше четвертое свойство), в первом приближении на восходя-
восходящем участке диаграммы
C.60)
здесь ?., — уровень напряжений в вершине предшествовавшего (г — 1) цикла
(при i = 2 в точке /); 1.л — функция влияния предшествовавших циклов
40,5
C.61)
(при г = 14/. = 0 и "v^ = 1>;
константы 1,5 и 5 в формуле C.60) еще требуют уточнения на основании
экспериментов.
Функцияразгрузки Vw представляется в виде C.57), с той лишь
разницей, что 1>0. заменяется на^0. и^. на^. (уровень разгрузки),
причем
5A + 0,11.)
"Ы
здесь функция /_. определяется по формуле C.61) с заменой циклов (г — 1) на
Ч и (i — 2) на (i — 1), константы 5 и 0,1 заданы примерными.
_^_ ^Остановимся на физической картине, учитываемой функциями
Vm и i)w. Циклическое приложение напряжений разрыхляет структуру
бетона микротрещинами и создает дополнительное поле внутренних
напряжений. Эти явления в начале новых диаграмм снижают секущий
модель деформации, а затем, вследствие зажатия части дефектов
(уплотнения структуры сжатием), приводят к его увеличению. Фун-
Функция V oi при соответствующем подборе позволяет отобразить указан-
указанные явления. Увеличение модуля с некоторого уровня опять сменяется
снижением, особенно существенным вблизи вершины диаграммы и на
ее нисходящем участке; причина — развитие псевдопластических
деформаций, обусловленных устойчивым, а затем и неустойчивым
119

развитием внутренних микро- и макротрещин). Этот фактор отобра-
отображает член формулы C.57), стоящий под квадратным корнем.
На характер ветви разгрузки большое влияние оказывает
обратная ползучесть — упругое последействие, в результате которого
деформации в начале кратковременной разгрузки снижаются весьма
медленно (и могут даже возрастать) и только вблизи полной разгрузки
снижение деформаций становится заметным. Последний фактор ото-
отображается путем подбора функции Vo;> a общий характер ветви
разгрузки описывается функцией Vw-
Вершины следящих диаграмм (точки 7, 8 и другие) определя-
определяются координатами бы, ?м. Имеются данные о том, что многократно
повторно^ циклическое нагружение при некоторых средних уровнях
циклов (те. «0,4 — 0,7) приводит к увеличению прочности бы по
сравнению с призменной прочностью оь, а циклы с высоким уровнем
Ojr > 0,9), наоборот, снижают прочность. Эти тенденции можно
учесть, приняв
п
ст... » ст, A + 0,1 I а ), C.63)
где
а. «
sin [0,16& п(ц - 0,3)],
C.64)
здесь: kt = E - i)/4i, если 0,3 < 1\< 0,9;
Л.
к = 1/г, если Tf> 0,9.
При rf < 0,3 а. = 0, т.е. влияние циклов не учитывается.
Рассмотрим приближенно циклы в пределах нисходящего участка
диаграммы, поскольку имеются лишь отдельные экспериментальные
работы (они указаны в [81]), в которых приводятся те или иные
количественные характеристики таких циклов. Вначале обратимся к
переходному третьему (/ — 1) циклу [г = (/ — 1) = 3, см. рис. 3.10,
а], который начинается в пределах восходящего участка диаграммы,
а заканчивается на стороне нисходящего участка.
Восходящая ветвь 5 — 8 этого цикла записывается формулами
C.55), C.57) —C.61), а смешанный участок 8 — 9 — формулами
C.55), C.57), C.59) при Voi «2,05v w; кроме того в формуле C.57)
из двух знаков «+» принимается «-» (эти особенности следует
учитывать и для других отрезков нисходящей диаграммы, например
отрезка 11-12 цикла ; = 4). Запомним: 76;Ч(9), ?6;Ч(9). ? 6;Ч(9) -
коэффициенты изменения секущего модуля, напряжения и относи-
относительные деформации в точке 9- Дополнительно на продолжении
отрезка 8 — 9 (условно в точке 9, Л) ^ычисляются^деформации ? 6-.1(9А),
которые отвечают напряжениями Gbj_l(aA)~ ^>95 б ^у Разгрузка на
отрезке 9— 10 осуществляется подформулам C.55), C.57), C.62) при
Ъ ., = <У6-.)/5^-.1(9) (здесь точка 9, А в дальнейшем точка 12 принима-
принимаются за вершины разгрузки).
В конце (/ — 1) цикла полагаем:
120
аЫ ~abf-i(9A)' Vbj
C.65)
/-l (9,4)
/-l) Eb
С учетом формулы C.65) по формулам C.55), C.57), C.59) —
C.61) выполняется рассмотрение восходящей ветви 10—11 цикла/ =
4 и его смешанного отрезка 11 — 12, так же как и отрезка 8 — 9. Отрезок
разгрузки 12—13 описывается по аналогии с отрезком 9—10 при:
(З.бб)
°6;(i2)<_ %)(лг)пЬ
здесь 0г 6уA2) и Т6уA2) — напряжения и деформации, соответствующие точке 12
диаграммы.
В дальнейшем производятся вычисления типа C.65) для (/ + 1)
цикла и расчет продолжается.
Ранее рассматривалась диаграмма деформирования бетона при
отдельных или чередующихся циклах нагружения разного уровня —
при так называемом жестком режиме нагружения. Пусть теперь
нагружение осуществляется по схеме рис. 3.10, б, где в пределах
одного уровня напряжений может быть несколько (&= 1, 2, 3...)
циклов. Однотипные (одного уровня) циклы образуют группу. Одна
группа циклов может сменяться другой группой более высокого
уровня (на восходящей ветви) или более низкого уровня (на нисхо-
нисходящей ветви диаграммы).
Например, на рис. 3.10, б представлены две группы циклов s =
I, II); первая (s = I) включает циклы: 0— 1 —2(k =i = l);2 — 4—5(k =
г = 2); 5-6-7 {k = г = 3), а вторая (s = II): 7-8-9 (k = 1, г = 4);
9—10—11 (k = 2, i = 5), где г — как и раньше общий порядковый
номер цикла. Диаграмма деформирования бетона при циклическом
нагружении по схеме рис. 3.10, б описывается также зависимостями
C.55) —C.60), C.62) — C.63), в которых меняется лишь способ
вычисления значений /и и /.. Вместо C.61) рекомендуется формула
1 = v (с "Л*1 ^Хл чо,5 а — л о э \
1 А 1-1 1-1 1"^
где 5() = 1, если циклы (t— 1) и t принадлежат разным группам;.St = Л, J±,
— , если U — 1) и i принадлежат одной группе; причем k(i — 1) — номер k,
соответствующий (i — 1), например для цикла 9— 10—11 (i — 1) = 4; k(i — 1) = 1.
При вычислении /. заменяются (г — О на г, (г — 2) на (г — 1);
для цикла 9-10-11 i = 5; Ш) = 2).
Таким образом рассмотрены зависимости по описанию диаграм-
диаграммы деформирования бетона при различных часто встречающихся в
практике проектирования режимах нагружения. Предложенные зави-
зависимости позволят по-новому подойти к расчету железобетонных
конструкций с учетом рассмотренных режимов нагружения.
121

Запись циклических диаграмм в малых приращениях. Диффе-
Дифференцируя C.60), C.61) соответственно по "а"ы, аы, находим:
A ^S
ааЫ
где
7 =
i
0,1/р
•rjJtJ*!.
i-l 5 A +
S:= ти = 2(й2.\] s;= mu + 2m2.%.
3.3. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУР
НА ДИАГРАММЫ СЖАТИЯ И РАСТЯЖЕНИЯ БЕТОНА
К нормальной стандартной температуре относят t" = 20°С, а к
повышенной 20° < t° < 200°С; этими границами очерчивается приме-
применимость обычного бетона в условиях воздействия температур; при
более высоких температурах рекомендуется применять специальные
жаростойкие бетоны, которые здесь не рассматриваются, хотя пред-
представленные зависимости могут быть распространены и на эти бетоны.
В условиях повышенных температур физико-механические
характеристики бетона существенно изменяются. Изучением этих
вопросов занимались многие исследователи. Обзоры их работ можно
встретить в монографиях А.Ф. Милованова [122], А.П. Кричевского
[97] и др. Систематизация исследований по влиянию повышенных
температур на диаграммы ? ь —бь была выполнена А. П. Кричевским;
им также были предложены эмпирические зависимости по трансфор-
трансформации параметров диаграммы C.1) — C.2), которые приводятся ниже
(рис. 3.11).
Выделяется несколько программ осуществления кратковремен-
кратковременного нагружения в условиях повышенных температур: / — кратков-
кратковременное приложение нагрузки сопровождается нагревом (синхрони-
(синхронизированное «нагружение» нагрузкой и температурой); 1а — кратков-
кратковременное приложение нагрузки происходит после кратковременного
нагрева; 2 — кратковременное приложение нагрузки происходит
после длительного нагрева. В основном использовались программы /
и 2, с некоторым приближением программу (режим) 1а можно
отождествлять с программой /, хотя, как показывают указанные в [97]
исследования, здесь могут встретиться различия; этот вопрос еще
требует уточнения.
122
Рис. 3.11. Диаграммы дефор-
деформирования бетона при осевом сжа-
сжатии и повышенной температуре
З/UUU НЫЙНДгрЕВ|
Примем за начало отсчета деформаций состояние образца до
приложения нагрузки и температуры, тогда продольные ? ь и попереч-
поперечные В деформации бетона для указанных программ нагружения
можно вычислять по формулам:
c«'
EbVb
C.68)
c«'
гдей.° — коэффициенты температурной деформации бетона; Ecs — темпера-
температурная усадка; Ц — приращение температуры сверх некоторой исходной (?д = Р —
С, где t° — расчетная исходная температура, определяемая согласно СНиП по
климатологии и геофизике; Р — полная температура). Заметим, что ниже ^
обозначаем Р, однако подразумеваем ?д.
Рассмотрим в отдельности компоненты зависимостей C.68).
Первые слагаемые C.68) представляют диаграммы бетона C.1) и
C.29). Однако параметры этих диаграмм изменяются с учетом
влияния повышенных температур. Отдельно корректируются пара-
параметры сжатия и растяжения. л
Диаграмма сжатия. Температура влияет на величины Е°, С ь
(или Rbser), ? R, которые после учета этого влияния обозначаются °ЕЬ,
°Cib (или °Rb ser), °?д. В остальном зависимости C.02) —C.10) оста-
остаются без изменения. Следуя [97], можно записать:
°ЕЬ = Е° °р6;
где °eri, °er2 определяются по формуле
0 lAR.liCt0
eRi = «* + —o-~ ) C«< + C.ln Г O)_ °ec (/ = 1, 2)
где t = 1 ббозначает кратковременный нагрев (Л, = 0; Bt = 0,67; С( =0,11); * =
2 - длительный нагрев (Л2 = 0,11; В2 = 0,46; С, = 0,18)
°?с= [15,2? - 1,04(Г°J - 14] 105;
ybj, °fib — коэффициенты, принимаемые по табл. 3.2; Р — полная температу-
температура нагрева, °С(?° > 20°; Р = ?°/20°); ?R — деформация в вершине диаграммы сжатия
[вычисляется по формуле C.06)]; ? — приведенное время температурного воздействия.
123

В табл. 3.2 кратковременным нагревом считают первый разо-
разогрев конструкции, который происходит со скоростью 10°С/ч и более;
ему условно соответствует время f = 0. При длительном нагреве f =
*о°. Если необходимо вычислить параметры C.69) при ограниченном
времени tt. воздействия температуры, то следует заменить °tfbi на
( t- C-70)
При этом
** = ttCF(t°),
C.71)
„ гДе ,V»~ фактическое время действия повышенной температуры на бетон;
F(F) — функция приведения,
F(t") = 0,7 + 0,3? + 0,004(?J. C.73)
Если после достижения некоторой максимальной температуры
t° происходит остановка, то используются параметры, соответствую-
соответствующие V. В промежутках температур 20 —50°С, а также в промежутках
температур, указанных в табл. 3.2, значения коэффициентов вычис-
вычисляются по линейной интерполяции.
Коэффи-
Коэффициент
\l
Ь,2
°У
'bt,l
Ч
Вид нагрева
Кратковремен-
Кратковременный
Длительный
Кратковремен-
Кратковременный
Длительный
Кратковремен-
Кратковременный и длитель-
длительный
50
0,84
0,94
0,82
0,97
0,83
|,„
0,76
0,81
0,76
0,94
0,76
Температура бетоиа,
Г 100 |~150
0,72 0,7
0,89 0,9
0,7 0,7
0,9 0,85
0,68 0,61
Таблица 3-2
°С
1 200
0,76
1
0,79
0,85
0,58
Диаграмма растяжения. Величины Eb , &bt(Rbtser),? bt заменя-
заменяются на °Eb, °Bbt{°Rbtser), °tbt. В остальном зависимости C.1), C.2),
C.12) остаются без изменения. Следуя [97], можно записать:
ъ = *Л,>; C.73)
ЕЫ,\ + V Zbt,2
Ы1,
где значения с? Ы1, " ? ш определяются по формуле
))(Bt + СЫ°) - °zt,
124
( =1 — при длительном
где
°Rt = PRbtJ90? - 8,52(f°J - 10]10 3
\ = [1,8? - 0,1344(?J - 1,65]10-5;
здесь pt = 0 — при кратковременном нагреве (t =
нагреве (i = 2).
Коэффициент поперечной деформации. Начальное значение
коэффициента поперечной деформации зависит от температуры.
Согласно [97] этот коэффициент можно принимать
X = ц» - б (? - 1) Ю-3. C.74)
В формулах C.36), C.37) следует заменить^* на °ЦЬ; $ь на °^ь-
Температурные и усадочные деформации при повышенных.
температурах [97]. Воздействие температуры на ненагруженный
бетон приводит к возникновению в нем температурных деформаций и
дополнительному развитию усадки; эти два фактора учитываются
двумя последними слагаемыми в формулах C.68). Температурная
деформация при нагреве содержит необратимую (сохраняющуюся
после остывания) и обратимую (исчезающую после остывания) де-
деформации. Это выражается в том, что коэффициенты температурной
деформации состоят из двух коэффициентов
«f = «м + <> C.75)
где<А?, — коэффициент необратимых температурных деформаций, который
определяется по табл. 3.3;gLj2 — коэффициент обратимых температурных деформа-
деформаций,
~ ¦'*., C.76)
а
о =
'62
здесь а, Ь — коэффициенты, назначаемые по табл. 3.3; ?,»> — по-прежнему
время действия температуры (при остывании tt,- принимается соответственно началу
остывания).
Коэффициенты
в-106
6-Ю6
M0=S
lt м0 =10
Мо =20
» 1
6
7,46
4,3
55
0,63
0,86
0,98
70
3
7,7
3,9
55
0,59
0,85
0,98
1
Температура, °С
100
1,56
8,12
3,3
58,8
0,53
0,83
0,98
|150
0,4
9,09
2,3
75
0,39
0,78
0,98
1
Таблица 3.3
200
0,105
10,5
1,3
103,8
0,22
0,71
0,88
Мо - 30 и более
125

Изменение температурных деформаций при остывании и после-
последующем увеличении температуры до величин, соответствующих нача-
началу остывания, определяется лишь с учетом коэффициента &°2 .
Как известно [97], деформации усадки бетона при нормальной
температуре связаны с влагопотерями. При подъеме температуры
происходит быстрое удаление влаги из бетона, что концентрирует
процесс усадки в довольно сжатые временные сроки. Эта концентри-
концентрированная усадка учитывается совместно с температурными деформа-
деформациями. Ее определяют по формуле
% = oi«°. Ы ' > (¦ Д1 - e"V'O-1)rrO] {3 7?)
где
а =0,2@,3 --),
т 25+Afo2
Ма — модуль открытой поверхности, м1; •?„(?", tt, = f>), ?(, — назначается
по'табл. 3.3.
Общая деформация усадки при действии повышенных темпера-
температур суммируется из дополнительной температурной усадки °?а и
усадки, которая произошла к моменту начала разогрева (последняя
величина вычисляется по формулам, представленным в гл. 4). В
диапазоне изменения температур 20° < if < 50° дополнительную
температурную усадку допускается не учитывать.
3.4. ТРИ НАПРАВЛЕНИЯ В ПОСТРОЕНИИ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ
НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ДЛЯ БЕТОНА ПРИ
ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Вопросам обоснования и выбора основных физических соотно-
соотношений для бетона посвящены многочисленные экспериментальные и
теоретические работы как в нашей стране, так и за рубежом. Частич-
Частичный обзор их дан в [87, 102] и других, полный же объем научных
исследований по деформированию бетона весьма значителен и трудно
обозрим. Как свидетельствуют результаты экспериментов, проведен-
проведенных на установках различного типа при трехосном и плоском напря-
напряженном состояниях, для бетона характерны нелинейные зависимости
между компонентами напряжений и компонентами деформаций. На
зависимости значительно влияет вид напряженного состояния —
трехосное сжатие, сжатие с растяжением или всестороннее растяже-
растяжение и соотношения между главными напряжениями ffs, 6\, 6'у Притом
это влияние также существенно при рассмотрении связей между
инвариантами напряженно-деформированного состояния: октаэдри-
ческим нормальным напряжением б0 и средней деформацией ?0;
октаэдрическим карательным напряжением То и сдвигом на октаэдри-
ческих площадках *¦ 0. Современные концепции на математическое
126
описание основных физических соотношений для бетона можно с
определенной условностью разбить на три направления (здесь мы
следуем обзору [87]).
К первому направлению относятся исследования, которые
базируются на предположении, что бетон работает по направлениям
главных напряжений б\, б 2, б3 или по направлениям главных
деформаций Е ,, ? 2, ?3 как ортотропный материал. Оси ортотропии
совпадают с направлениями 3",, бу б3 или ?,, ?2, ?3-
Здесь речь идет об ортотропии, которая приобретается в процес-
процессе роста напряжений в силу неодинакового (неоднопородного) дефор-
деформирования при сжатии и растяжении и вследствие направленного, в
зависимости от ориентации площадок главных напряжений и главных
деформаций, развития внутренних микротрещин и трещин большей
протяженности (макротрещин). Последние, однако, еще могут быть
отнесены к структурным неоднородностям бетона и учтены при
составлении физических соотношений. Данный подход получил на-
наиболее полное развитие в работах Н.И. Карпенко [61, 77],
B.C. Здоренко [49], Т.А. Балана [10]) и других авторов. Среди
зарубежных исследователей этого направления отметим работы
X. Тенера, П. Фазио, С. Целинского [203], П. Робинса, Ф. Конга
[200], Л. Сидолина [179]; их обзор дан в [87].
В рамках математической модели ортотропного материала
основные физические соотношения для бетона, находящегося в тре-
трехосном напряженном состоянии, представляются в виде
-611
^621
-63,
0
0
0
C6,2
C622
C632
0
0
0
C613
C623
C633
0
0
0
0
0
0
C644
0
0
0
0
0
0
C655
0
0
0
0
0
0
(
C.78)
666
или в более компактном виде
{е}л = [сь]п {а)л, C.79)
где {?„}, {SJ — вектор-столбцы относительных деформаций и напряжений,
стоящих соответственно в левой и правой частях уравнений C.78); [сь]п — матрица
податливости бетона.
Оси 1,2,3 (или п, т, /) в данном случае являются осями
ортотропии материала. Если исходить из классической ортотропной
модели [106 и др.], то коэффициенты, входящие в матрицу податли-
податливости [сь]п, будут равны

C611 '/^61' C622
%I2_.
; ст =
C.80)
Л*»}
СЬ32
C6l hb2
044 ¦ 012! C655 = ^/G623; c666 = 1/G631,
где Яы — модули деформации бетона по трем главным направлениям (t = 1,
2, 3);JUW/ — коэффициенты поперечной деформации (Пуассона, характеризующие
поперечное расширение при сжатии или сокращение вследствие растяжения, причем
первый индекс показывает направление сокращения или расширения, а второй —
номер напряжения, вызывающего указанное сокращение или расширение); Gbkj —
модули сдвига в трех плоскостях kj = 12, 23, 31, характеризующие изменение прямых
углов между главными направлениями k, j.
Ввиду симметрии коэффициентов податливости C.80) выплня-
ются равенства типа c6j. = cbj. при i = /, т.е.
¦ о,, о,= Ц«/*и- ' и C.81)
Таким образом, в шесть уравнений C.78) входят девять
независимых коэффициентов податливости, а в первые три — шесть
коэффициентов.
Ортотропная модель позволяет имитировать развитие дилата-
ционного эффекта в бетоне, а также ниспадающую ветвь деформиро-
деформирования материала (дилатация здесь — увеличение объема образца,
начиная с некоторых уровней неравномерного трехосного сжатия).
Ортотропная модель также позволяет сравнительно просто учесть
особенность деформирования различных бетонов; тяжелых, легких,
мелкозернистых и др.
Ортотропные модели различаются по способам определения модулей
продольной и поперечной деформации, модулей сдвига. Определение
модулей представляет собой довольно сложную задачу. Заметим, что
уравнений C.78) недостаточно для определения коэффициентов податливос-
податливости в нелинейной стадии деформирования чисто экспериментальным спосо-
способом — по замерам напряжений и относительных деформаций.
Математические модели бетона, предложенные в работах [61,
77, 49, 10], реализованы в конечно-элементных и конечно-разностных
программах по расчету плоских железобетонных конструкций.
Другое направление исследований связано с развитием различ-
различных вариантов изотропной модели применительно к бетонам. В этих
вариантах указанная неоднородность деформирования бетона при
растяжении и сжатии и явление направленного развития внутренних
трещин сглаживаются равномерно по разным направлениям (учитыва-
(учитываются в среднем).
128
Это направление сформировалось из исследований, в которых сдела-
сделана попытка использовать или модифицировать гипотезы теории малых
угфугопластическихдеформаций,предложеннойиразвитойА.А. Ильюшиным
[51 ]. Как известно, эта теория для простого нагружения учитывает подобие
и коаксиальность деви аторов напряжений и деформаций, т.е.
<ty C.82)
%Т j<tyi, Mo
где ? ..; & . — соответственно компоненты тензора деформаций и тензора
напряжений (t,j -1, 2,3, причем?м =? ,, &и =ffl,...);Sij — символ Кронекера;Ж —
параметр пластичности; Go — начальный модуль сдвига.
Классическая формулировка [51] предполагает в уравнениях
C.82) линейную связь между С0 и ? 0 (средними напряжениями и
деформациями), а также единую кривую деформирования в соотноше-
соотношении to-^o (октаэдрическое напряжение— октаэдрический сдвиг).
Приведенные в [40, 95, 102 и др.] исследования показали, что в
представленном виде C.82) для бетона теория малых упругопластичес-
ких деформаций имеет весьма ограниченное применение и поэтому
должна использоваться с большой осторожностью.
Применительно к бетону теория малых упругопластических де-
деформаций для бетона была усовершенствована Г. А. Гениевым и его
учениками [40, 41]. При этом вместо линейной связи '^„-^о была
предложена нелинейная зависимость, учитывающая дилатационный эф-
эффект посредством введения в уравнения б0 — ?.о модуля дилатации q0 и
интенсивности касательных напряжений Т, связанной со вторым инва-
инвариантом девиатора напряжений Т = [/2(?>а)]|/2. В физических соотно-
соотношениях между девиаторными частями тензора напряжений и тензора
деформаций предполагалось, что в момент исчерпания прочности мате-
материала предельный секущий модуль сдвига Gs принимает значение,
равное 0,5 Go. В целом теория пластичности бетона [40] позволила
качественно описать основные характерные процессы деформирования
материала под воздействием различных напряженных состояний и
явилась значительным шагом в деле совершенствования упругопласти-
упругопластических расчетов железобетонных конструкций.
Теория пластичности бетона, разработанная Г. А. ^ениевым, полу-
получила дальнейшее уточнение в исследованиях Е.С. Лейтеса [105],
А.П. Кричевского [98], А.В. Яшина [172]. Е.С. Лейтес [105] предло-
предложил учитывать в основных физических соотношениях ниспадающую
ветвь деформирования бетона. А.П. Кричевский[98]иА.В. Яшин [175]
в своих разработках определяли предельные секущие модули сдвига в
зависимости от вида напряженного состояния, характеризуемого треть-
третьим инвариантом девиатора напряжений I3(Da) или коэффициентом
Лоде — Надаи по напряжениям JU. .
Данные уточнения позволяли приблизить основные физические
зависимости к результатам экспериментов. Однако при их реализации
в современных вычислительных комплексах, например с использова-
использованием метода конечных элементов и шаговых алгоритмов расчета,
возникают значительные трудности. Эти трудности обусловлены тем,
5 Зак. 1408
. _„

что при выборе определяющих соотношений в виде [40, 105] для
шаговых алгоритмов расчета не удается получить симметричную
касательную матрицу упругих коэффициентов в зависимостях
'Д^~Д?;. Кроме того, модуль дилатации носит в определенной
степени условный физический смысл.
Чтобы снять эти трудности А.И. Казачевским [95] предложены
основные физические соотношения в виде:
0=
(а0) а0 +
go
г = к21 (а0, Т) а0 +
go
1
Т,
К22 CD T,
C.83)
где в, Г — характеристики объемной и сдвиговой деформаций; Ко — началь-
начальный объемный модуль; Кг — параметры нелинейности, которые показывают степень
изменения модулей упругости K0G0 и д0; К{1 = К21.
Реализация предложения C.6) в конечно-элементных расчетах
плоских железобетонных конструкций при специальном выборе пара-
параметров нелинейности К., позволила получить симметричные матрицы
упругих коэффициентов и для шаговых алгоритмов [102].'
Весьма сложным вопросом, требующим дальнейшего разреше-
разрешения при использовании подхода [95], является выбор и нормирование
функций для аппроксимации коэффициентов нелинейности на случай
трехосного напряженного состояния.
Как показано В.М. Кругловым [102], получить симметричную
касательную матрицу упругих коэффициентов для шаговых алгоритмов
можно, используя подход, отличный от предложения [40]. Для этого
определяющие соотношения C.82) в [102] представляются в виде
C.84)
где ?>= fS^o'Hff^' IP~ f-S&v Я<Г^ ~~ параметры, учитывающие изменение
пластических свойств бетона в соотношениях &0—fc0 иТ, — у 0.
Зависимости между напряжениями и деформациями C.82)
могут быть записаны в форме закона Гука, например в матричном
виде:
{ст} = [D(e)] {e}, C.85)
где
-2if)
130
1 а в 0 0 0
в 1 а 0 0 0
в в 1 0 0 0
0 0 0 6 0 0
0 0 0 0 6 0
.000006.
C.86)
Здесь:
- в)/2.
В формуле C.86) параметры ?" и 1U* являются переменными,
соответствующими секущим модулям:
ц")
ц* = [1 - A - 2
A - 2 ц«ф];
A + ц°)]/[2 + A 2
«ф
где Е% — начальный модуль упругости; и°ь — начальный коэффициент
Пуассона.
При шаговом расчете матрица D(B , Д? ) в [99, 102] записыва-
записывается подобно формуле C.86) с заменой Е' и * на величины, которые
отвечают каждому шагу нагружения по кривым б~? 0 иТ0 -f 0-
Обоснование и выбор аппроксимирующих функций для пара-
параметров <р и ^подробно изложены в статье [102]. Следует подчеркнуть,
что определяющие соотношения [99, 102] используют в условиях
простого нагружения переменные предельные секущие модули бетона
Gs и Ks, что правильнее отражает сопротивление бетона в момент его
разрушения. Однако функции нелинейности f и Iff в соотношениях
C.84), C.86) зависят лишь от среднего напряжения^ и не зависят
от То, что обусловливает их недостаток. Из рассмотренных деформа-
деформационных теорий пластичности бетона предложения [102, 173] были
реализованы в разработках конечных элементов вычислительных
комплексов ППП АПЖБК и РК 85.
Среди зарубежных исследований, относящихся к данному
направлению, можно выделить работы М. Котсовоса [190],
Р. Паланисвами и П. Шаха [198], К. Гертсле [184, 185] и др.
Третье направление в развитии теории деформирования бетона
базируется на предпосылках теории течения. Привлечение теории
течения связано со стремлениями получить математическим способом
физические соотношения расчета железобетонных конструкций при
сложных режимах нагружения, в основном с учетом эффектов
разгрузки. Как уже указывалось, образование трещин в бетоне
приводит к изменению в отдельных зонах конструкций пропорций
между напряжениями и деформациями, установившихся при простом
нагружении конструкции до образования трещин. Таким образом
даже в условиях простого активного нагружения (с точки зрения
изменения внешних сил) возможно появление зон деформирования
материала по законам непропорционального нагружения. Основная
сложность такой теории состоит в подборе соответствующих функций
упрочнения на основе экспериментов — достаточно непростой проце-
процедуры.
В основе теории течения лежит так называемый принцип
градиентности [51], согласно которому, если пренебречь деформаци-
деформационной анизотропией, можно записать
1*51

df
. C.87)
где<?€г — компоненты приращений пластических деформаций ;г?Д — скаляр-
скалярный множитель Лагранжа; f= fF4h) — поверхность нагружения, зависящая от
тензора напряжений 6ti и параметра упрочнения А.
В качестве поверхности нагружения в [100] используется
критерий прочности B.11).
Используя C.87), в работе В.М. Круглова показано, что упру-
гопластическая матрица D..m, связывающая компоненты тензора
приращений напряжений с компонентами тензора приращений дефор-
деформаций, может быть представлена в форме
bf
da,
D
kl
kl mn
Qmn
а/ э/
da
Jrs tu
- C.88)
Ц/2
rs
а а.
WV
где Dimn — матрица упругости, соответствующая начальным упругим харак-
характеристикам материала.
Теоретические исследования в части применения к бетону
теории течения находятся в стадии становления. Накопленный опыт
говорит, что к бетону, видимо, применимы наиболее сложные вариан-
варианты течения, основанные на использовании трехинвариантных повер-
поверхностей нагружения в сочетании с изотропным (а в более точной
постановке анизотропным) и трансляционным упрочнениями.
Подводя итог анализу различных теорий деформирования
бетона, можно констатировать следующее. К настоящему времени
существенное развитие получили два типа моделей: модели, реализу-
реализующие идею работы бетона как ортотропного тела [10, 49, 61, 77] и
модели, базирующиеся на гипотезах теории малых упругопластичес-
ких деформаций [40, 97, 102, 105, 172]. Модели материала, исполь-
использующие гипотезы теории течения, находятся (применительно к бето-
бетонам) в стадии становления.
Как известно, деформирование и разрушение бетона сопровож-
сопровождается процессом нарушения сплошности материала из-за развития в
нем микротрещин и трещин большей протяженности. Причем трещи-
трещины ориентируются в зависимости от направления главных напряже-
напряжений или деформаций. В этой связи говорят об их направленном
развитии. Это приводит к тому, что физико-механические свойства
материала становятся неодинаковыми по разным направлениям —
проявляется приобретаемая анизотропия. Поэтому ортотропная мо-
модель [77], учитывающая эти свойства, представляется наиболее
совершенной. Кроме того, как показали экспериментальные исследо-
исследования, проведенные в НИИЖБ [137, 138, 148], при помощи этой
132
модели можно описать различные бетоны, в то время как в других
построениях рассматривался в основном тяжелый бетон. Ортотроп-
Ортотропная модель принята за основную в дальнейшем рассмотрении.
Можно выделить два направления в разработке ортотропных
моделей: феноменологическое, основанное на трансформировании
диаграмм сжатия и растяжения в диаграммы трехосного напряжения,
и физическое, связанное с непосредственным учетом внутренней
трещиноватости бетона. Рассмотрим сначала первое направление, как
более разработанное. Второе направление находится в начале своего
становления, хотя и является наиболее перспективным, ему уделим
внимание в конце данной главы.
3.5. О НЕКОТОРЫХ ДИАГРАММАХ ТРЕХОСНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Естественным является вопрос, нельзя ли хотя бы в существен-
существенно трансформированном виде найти аналогию между диаграммами
одноосного сжатия и растяжения бетона и диаграммами в случае
трехосного напряжения? Такую аналогию одноосных диаграмм мож-
можно усмотреть с диаграммами связи определенных частей главных
деформаций (они здесь названы диагональными) с главными напря-
напряжениями. Хотя выделить диагональные деформации при значитель-
значительной физической нелинейности и воспользоваться указанной аналогией
не так просто, особенно при обработке экспериментов.
Рассмотрение начнем с определения диагональных деформаций.
Обозначим в соотношениях C.78) — C.79) части общих дефор-
деформаций, которые получаются в результате перемножения главных
напряжений бетона бv б2, 6'ъ на коэффициенты податливости, стоя-
стоящие на главной диагонали матрицы [сь]п, в виде:
% •
6 62'
C.89)
= СТ3С633
где?1дA = 1, 2, 3) — диагональные деформации.
С учетом C.89), например, первое уравнение C.78) можно
представить так:
= е. +
1д
СТ2С612
СТ3С613'
а полностью три первых уравнения записываются
613
'613 623
0
C.90)
или более компактно, вводя сокращенное обозначение столбцов и
матрицы
Ы, = Ю + К\ {°ь1- C-91)
В дальнейшем поступаем так. Разрешаем первые три уравнения
C.78) относительно напряжений и подставляем значения напря-
133

жений в C.90). В результате получаем значения . в функции от
общих деформаций. Представим эту процедуру в матричном виде.
Учитывая, что согласно C.78) при а =0 ОФг)
if
сводим C.27) к виду
откуда следует
{вд} = ([/] ZUXb
где [/] — единичная матрица,
C.92)
1
0
0
0
1
0
0"
0
1
Формула C.92) показывает, каким образом можно вычислить
деформации главной диагонали {?д}, зная общие деформации элемента.
Зависимости C.92) можно преобразовать к иному виду, обоз-
обозначив
тогда
С62
Внося это представление [с°]п в C.92), находим
<еЛ = КЛКГХ),,- C.93)
Формулы C.91) или C.93) позволяют вычислять деформации
главной диагонали {?д}п (условно диагональные деформации) через
общие деформации {tb}n. Заметим, что представленный способ выде-
выделения диагональных деформаций не является единственно возмож-
возможным. Например, первое уравнение из системы C.90), учитывая
C.89), можно представить так:
г г
612 622
?ЗдСб13С633'
а всю систему C.90) записать
1
(с.
е
е
е
1д
2д
Зд.
или обозначая [М]я— матрицу отношений коэффициентов с
{«U = [М]„{ел},,
ыр
134
Таким образом, приходим к иной системе трех уравнений,
позволяющей выразить диагональные деформации tla через общие
деформации € . (г = 1, 2, 3),
{г\ =[М]>Л
C.94)
Естественно, если известны коэффициенты cbjj, то можно ис-
использовать любой из указанных способов — они эквивалентны. В
действительности коэффициенты cbj. представляются функциями на-
напряжений или деформаций ?1д. Задача решается методом итераций, в
процессе которых тот или иной способ выделения ? ы может оказаться
предпочтительным с точки зрения сходимости вычислительного про-
процесса.
Нетрудно заметить, что деформации главной диагонали пред-
представляют главные деформации элемента, вычисленные без учета
влияния коэффициентов поперечной деформации. В современных
построениях ортотропных моделей (они указаны выше) фактически
делаются попытки установить связь между диаграммами одноосного
сжатия или растяжения бетона (&6~ &ь) с диаграммами, связывающи-
связывающими диагональные деформации с главными напряжениями, т.е. с
диаграммами ? 1д- б,, ? 2д- 6V t Зд~ <5.
Стремление установить такую связь понятно — диаграммы
? t —б{, как и диаграммы одноосного напряжения, являются в опре-
определенном смысле подобными, так как имеют восходящие и нисходя-
нисходящие участки, хотя различаются по своим параметрам и нередко
достаточно существенно. Вначале делались попытки простого перене-
перенесения простых диаграмм одноосного напряженного состояния, кото-
которые оказались, однако, неприемлемыми. Далее мы следуем предложе-
предложениям работ [61, 77], в которых были установлены определенные
закономерности перехода от простых диаграмм к диаграммам Eia — 6'i.
При таком переходе диаграммы одноосного напряжения весьма
существенно корректируются. Фактически корректируются констан-
константы коэффициентов в зависимостях V ы. Эти коэффициенты, как и
коэффициенты j>6 в одноосном случае, могут вычисляться двояким
способом: через уровни^ { диагональных деформацийь 1д = ?1д/?.(д,
где?. ]д деформации в вершине^диаграммы ?,д —б^; через уровни •? .
напряжений» . = в1./§., где б{ — напряжения, соответствующие
выходу на поверхность прочности, т.е. напряжения в вершине диаг-
раммб е.
Уровни». Непосредственно находятся по данным экспериментов
(в случае их анализа) или на основании критериев прочности (в
расчетах), в то время как уровн覻? можно определить лишь после
выделения диагональных деформаций по представленным выше ме-
методикам.
Фактически, задача конструирования физических соотношений
на основании данных экспериментов сначала решается в уровнях ч^{,
а затем уже переходят к уровням -и>дГ Кроме того зависимости Vw— W;
135

более просты, поэтому первым отдается предпочтение как при кон-
конструировании диаграмм, так и в практических расчетах. Хотя в
практических расчетах это предпочтение сохраняется тогда, когда
расчеты выполняются в пределах восходящих ветвей диаграмм. В
противном случае возникает необходимость в использовании зависи-
зависимостей 0ы — *1а1, как и в случае одноосного напряжения, поскольку
одному значению уровня 1) д. соответствует одно значение V ы, в то
время как одному значению уровня ¦» . соответствуют два значения
1>ы — одно на восходящей ветви диаграммы, другое на нисходящей,
что затрудняет выбор правильного значения д ы. Построения диаг-
диаграмм б{ — ?. { тесно связаны с программами нагружения и имеют
ограничения.
3.6. СВЯЗИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
ПРИ ТРЕХОСНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ В СЛУЧАЕ
АКТИВНОЙ НАГРУЗКИ
Предварительные сведения. Исходные физические соотноше-
соотношения для бетонных элементов записвают в виде: связей между главны-
главными напряжениями и главными относительными деформациями (пер-
(первый вид записи, рассмотрен ниже); связей между приращениями
главных напряжен^"! и деформаций (второй вид записи, рассмотрен
ниже). В этих соотношениях учитывается физическая нелинейность,
когда коэффициенты жесткости или податливости зависят от напря-
напряжений или деформаций, и приобретаемая в процессе деформирования
ортотропия. Последняя обусловлена возникновением и направленным
развитием микротрещин, в основном вдоль площадок максимальных
растягивающих и минимальных по модулю сжимающих главных
напряжений, в процессе увеличения напряжений, а также различны-
различными диаграммами деформирования бетона при сжатии и растяжении.
При длительном приложении напряжений учитывается ползу-
ползучесть на основе использования диаграмм изохрон. Соотношения,
учитывающие ползучесть, приведены в гл. 4.
Вводимые в физические соотношения главные напряжения в
бетоне &., бv 6у как и при рассмотрении условий прочности,
полагаются расположенными в последовательности: ?>х > б 2 > бу
Если при этом направления главных наряжений бv б~у б ъъ процессе
нагружения не меняются, то такие напряжения называются главными
с фиксированными направлениями. Положительными являются на-
напряжения растяжения. Отдаленность или близость главных напряже-
напряжений к их предельным значениям, характеризующим начало разруше-
разрушения бетонного элемента, оценивается согласно указаниям гл. 2 по
уровню напряжений » — параметру нагружения. Модули деформа-
деформации физических соотношений будут зависеть от уровня и программы
(режима) нагружения.
136
Под простой нагрузкой (простой разгрузкой) подразумеваем
нагрузку (разгрузку), в результате которой все три главных напряже-
напряжения с фиксированными направлениями увеличиваются (уменьшают-
(уменьшаются) пропорционально одному параметру. В случае, если главные
напряжения остаются фиксированными, но при этом их значения
изменяются не пропорционально одному параметру, а так, что уро-
уровень возрастает, то такое нагружение здесь назовем активным; при
убывании уровня получим случай активной разгрузки. Остальные
случаи нагрузки и разгрузки относятся к сложным.
Заметим, что понятием простого или сложного нагружения
здесь характеризуется программа изменения напряжений в малом
элементе. Одновременно это понятие может характеризовать про-
программу изменения внешних сил. Видимо, правильнее было бь' ^ти
понятия терминологически разделить, поскольку, как известно, на-
например, простое приложение внешних сил не всегда вызывает простое
изменение внутренних напряжений. Программу простого или сложно-
сложного нагружения внутренними напряжениями целесообразно называть
простым или сложным напряжением, а понятие нагружения — отно-
относить к программе приложения внешних сил, хотя здесь мы используем
оба понятия в смысле напряжения.
Главные относительные деформации в физических соотношени-
соотношениях обозначим: ?.,,? 2, ?3>#'i2'<?' гз'^зр а главные напряжения: &v б'v
б T ~
'У fc12'
ы .-
Они образуют два вектор-столбца:
1 1 11
ei,e2,e3, Ъг, —~~Ъз' ~~Т~Уз1\
где т — знак транспонирования.
Касательные компоненты напряжен»"! и деформаций симмет-
симмет^T Г ^" =<Г''?'з1 =<г\з-
=<Г
ричны, т.е. ^ =*'21,?'2з =Тз2>^31 =^i3'Ti2 =Г21> ^гз =Гз2'з1 \з
Кроме того в осях главных напряжений и деформаций все касатель-
касательные компоненты равны нулю. Однако они оставляются в приведенных
ниже выражениях с целью использования стандартных матричных
преобразований при переводе физических соотношений из локальной
системы координат в глобальную (см. гл. 1).
Связи между полными напряжениями и деформациями пред-
представляются соотношениями C.78) —C.80). Запишем их с учетом
влияния температуры
{ej. = KW. + КК°- C.95)
где {сь]„ — матрица податливости бетона; lfX'b} — вектор-столбец коэффициен-
коэффициентов температурных деформаций; Р — приращение температур сверх некоторой
среднеклиматической tj.
Формирование матрицы податливости бетона в случае про-
простой и активной нагрузки. Представим сначала результат трансфор-
трансформации соотношений C.27), C.28) на объемное напряженное состоя-
137

ние, а затем дадим пояснения. Согласно [77] матрица податливости
бетона в случае простого и активного напряжений может быть
несколько упрощена и записана в виде
HWP О
A/»»й)
"G12
"G2 3
В матрице:
?*(* = 1,2,3)
деформации бетона,
"GI3J
коэффициенты изменения секущих модулей
- V
- и,.т,. - ш2еп*, C.97)
здесь и ниже из двух знаков выбирается знак плюс, а знак минус
вводится при учете деформирования элемента на нисходящей ветви,
т.е. после выхода напряжений на поверхность прочности;
ш„ = 2 - 2,05 у, т2е = 1 - ш„,
х]е — уровни главных напряжений (параметры нагружения)
це= ае/ае(е= 1,2,3),
ае — предельные значения напряжений (формулы по определению^
и# конкретизированы ниже, как правило » = g, т.е. вводится один
параметр нагружения); -р~ь — доля i>Ье, зависящая от уровня макси-
максимальных по модулю напряжений сжатия — определяется по формуле
C.97) с указанными особенностями в зависимости от области напря-
напряженного состояния; iLbek — коэффициенты поперечной деформации
И** = *ш= <L + (< - tbJ Vl - nf C-98)
(ek = 12, 23, 13),
vGek
— коэффициенты изменения секущих модулей сдвига,
1 _ 1
VGek vbe
(ek = 12, 23, 13).
vbk
C.99)
138
Остановимся на некоторых особенностях формирования эле-
элементов матрицы податливости C.96)
Частные случаи этой матрицы, соответствующие одноосному
растяжению и сжатию, представлены формулами C.27), C.28). В
качестве элементов частных матриц выступают коэффициенты секу-
секущих модулей продольных деформаций (У6 — при сжатии и У6( при
растяжении) и секущие коэффициенты поперечных деформаций у,ь,
(Ц6(. Они входят в диаграммы связи напряжений с деформациями и
определяются через уровни напряжений -w или деформаций » . по
формулам C.2), C.11), C.22). U °
Нетрудно заметить, что формулы C.97), C.98) представляют
собой развитие формул C.2), C.22) на трехосное напряжение. При
этом диаграммам одноосного напряжения бь—?.ь ставятся в соответ-
соответствие диаграммы связи главных напряжений с диагональными дефор-
деформациями бе~?да, где е = 1, 2, 3 — номера главных напряжений. Эти
диаграммы представляются секущими коэффициентами^Ье- Опреде-
Определение диагональных деформаций ? е дано в п. 3.6.
Идея трансформации диаграмм (>ь—(.ь в диаграммы 6'е—Ь
наиболее просто реализуется в случаях простого нагружения. При
этом уровни п становятся одинаковыми (яе = 1?), хотя параметры V6e
будут различными, поскольку они зависят от у и констант р , .
Значения п вычисляются по формулам B.44), B.46) или B.45),
B.47). Параметр» в механике называется параметром нагружения
(напряжения).
Диаграммы 6"е— ?. е простого нагружения допускают более
расширенное применение. Анализ экспериментальных исследований
различных авторов, выполненный в [77], показал, что известные пути
активного нагружения, реализованные в экспериментах, можно с
некоторым приближением представить веером простых линейчатых
нагружений (рис. 3.12, где реальный путь ОАВ заменяется веером
тонких линий, крестиками показаны точки входа этих линий на
поверхность прочности П). Каждой точке на прямой АВ соответствует
своя точка т на поверхности прочности — свое простое нагружение
по линии отт и свои значения ffe, соответствующие точке т'. В такой
замене условие «„ = V , как и указанные формулы по определению п ,
сохраняются.
Рис. 3.12. Замена нагруженил по
ОЛВ веером линейных нагружений типа
отпР

Представленные ниже коэффициенты матрицы [Сь]п следует
формировать с использованием схемы рис. 3.12 при» = 17, хотя
обозначения и е в них сохранены. Этим указывается на возможность
использования представленных ранее зависимостей и в некоторых
случаях, когда параметр я вычисляется не как параметр простого
нагружения. Например, в случае трехосного сжатия (б', = &2 < 6)
параметр» можно вычислять по формуле B.49), которая приводит
к я = *?3; этому случаю соответствует одна реальная диаграмма б3 —
?д3, остальные теряют смысл, поскольку »2 = ^, = 1.
Аналогично в случае трехосного растяжения ((У', > б 2 =&3)
параметр» можно вычислять по формуле B.48), которая приводит
к 1? = ^ и к одной диаграмме tf"f— ?л). В описаниях смешанных
напряжений могут использоваться оба уровня 1%, и ^3; они фактически
представляют собой две функции нагружения. Подходы » Ф*7 более
громоздки, хотя в некоторых случаях они могут лучше описать
результаты экспериментов, поэтому заслуживают изучения.
В случае одноосного напряжения поперечные деформации
зависят от отношения jlF/\) ь, где(Ць — коэффициент поперечной
деформации. Причем в случае сжатия это отношение довольно
значительно увеличивается, а при растяжении практически не изме-
изменяется. В трехосной модели эти два противоречивых фактора учиты-
учитываются вследствие конструирования параметра \> ь (он обозначен 1»)
и установленной закономерности изменения коэффициентов попереч-
поперечной деформации (U6 (ниже они обозначаются t*bek). Другие особенности
удобно пояснить в процессе рассмотрения конкретных формул. Пара-
Параметры C.97), C.98) различаются в двух областях напряженного
состояния — области бх < 0 и области О, > 0.
Область напряжений б х < 0 (случай трехосного сжатия).
Принимаем
v61= v62= v; = \3' (з.юо)
где коэффициентV63 вычисляется по формуле C.97), полагая» = Я3 или ¦
V = V0
*оз v0e
C.101)
tf ^ — начальные значения коэффициента Мы\ VSx = \ — на восходящей ветви;
= 2,05VM ~ на нисходящей ветви; на восходящей ветви
с = @,751V,, -
= Rt/(R2 - ab);
/?,, R2 — эмпирические величины (Rt = 60 МПа; R2 = 75 МПа); на нисходя-
нисходящей ветви с = 0 (точнее, здесь «с» не исследовано); v ь — значение V6 в вершине
диаграммы одноосного сжатия (вычисляется по формуле C.3)),
л Л Л Л Л 4| i« . п\
VM = V62= V63= V63 = V6<; C.102)
предполагается, что сжатие влияет примерно одинаково на изменение модулей
140
1;
1 >
л
C.103)
<fPR учитывает тот факт, что предельные деформации бетона в условиях
трехосного сжатия намного превышают деформации бетона в условиях одноосного
сжатия); %ь ^ здесь значение напряжений в вершине диаграммы одноосного сжатия
(в расчетах &ь = ~Rbse}-
Поясним еще назначение параметра с. При трехосном равно-
равномерном сжатии реальный уровень ? е =? =0 поскольку &~><ю, и
практически не влияет на изменение V6e> хотя опыт указывает на
изменение ИЬе. Учет этого фактора достигается корректировкой на-
начального параметра VOe, который начинает зависеть от отношения б^/
/&ь и таким образом влияет на изменение iJ Ье.
Коэффициент поперечной деформации
К п ¦ " ?/ТЧ - .. C.104)
где
- Л
~ ак
Л .
- Рз I A -
- а3
C.105)
= 0,15 - 0,2
s = 1 — для тяжелого бетона; s = 2 — для мелкозернистого; U.t
(начальный коэффициент поперечной деформации). -*
Поясним назначение параметраХе/, ¦ Этими параметрами учиты-
учитывается то обстоятельство, что в состоянии неравномерного трехосного
сжатия коэффициенты поперечных деформаций по трем главным
направлениям могут существенно различаться. Наибольшее развитие
поперечных деформаций происходит в направлении ffx — минималь-
минимального напряжения сжатия. С физической точки зрения существенная
неоднородность развития поперечных деформаций объясняется на-
направленным развитием микротрещин в структуре бетона при сжатии
(внутренние трещины ориентируются в основном нормально к на-
направлению &^).
Сопоставление теоретисеских графиков деформаций с данными
опытов Ю.Н. Малашкина[ 116] представлено на рис. 3.13ирис. 3.14
(здесь и ниже опыт — сплошные линии, расчет — штриховые;
характеристики образцов,даны на рис. 3.13: ffb ~ R™ = 41,8 МПа;
(Ум=2,6 МПа.?° =30400 МПа;? = 215 105;U« =0,19;нарис. 3.14:
ь=35,4;?° =29500 МПа, R=220105;p° =0,183). В первой серии
опытов (см. рис. 3.13) осуществлялось простое нагружение с варь-
варьированием отношений 0^; О 2; Cf3, а во второй (см. рис. 3.14) —
нагружение по ломаной линии с варьированием значений бо=б>1= &2
(в расчете это нагружение заменялось системой простых нагружении
по схеме 3.12). В обоих случаях получено удовлетворительное
согласование результатов расчета с данными экспериментов, хотя в
экспериментах наблюдалось определенное влияниме режима нагру-
нагружения на предельные деформации. Представленные зависимости
141

*>3
i?U
1ПП
80
¦60
-UO
-20
0
мпа
w3
¦\
0
J
\f
A
/
%
\
7
л
If
0 0 0
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
A
0
/
Рис. 3.13. Сопоставление опытных и теоретических деформаций бетона при
простом трехосном сжатии
-60
-10
Рис. 3.14. Сопоставление опытных деформаций бетона (при нагружениях по
ломаной линии ОАВ) с теоретическими
142
также прошли проверку на основании опытов А.В. Яшина [173],
М Д Кацовоса (Kotsovos M.D. [190]) и некоторых других авторов.
Область еГ. > (смешанных напряжений н всестороннего рас-
растяжения) Предварительно выполняется разделение (сортировка)
напряжений « (е = 1,2, 3) на положительные б* и отрицательные^ .
Алгоритмически это удобно выполнять, представляя каждое напряже-
напряжение в виде суммы двух компонент*. =б* +Zj,, где одна из компонент
равна нулю Например, если5, >0, то^ =^, а ^ = 0. Если сжатие
приводит к сравнительно одинаковому изменению модулей ЬьуЬе по
объему (по трем главным направлениям), то растяжение действует
избирательно, изменяя модуль в основном по направлению действия
главных напряжений в зависимости от их уровня Этот фактор можно
учесть если элементы определять по формуле C.97), приняв
C.106)
Л
V
где
v =1-
C.107)
1; $ы вычисляется по формуле C.13); ^ - напряжения в вершине
пактических расчетах О - Rb I
anecbt+vf* $ 1; $ы вычисляется фру ^ н
диаграммы одноосного растяжения, в практических расчетах О ы - Rbtser
если \a~/ah\< 1, то
л
tt
'Ъъ
= 1 - A -
л_
C.108)
если
тг/ at
если a-/ a, > 1, то vb~ вычисляется по формуле C.102).
Из рассмотрения соотношений C.22) и C.24) следует, что
основное влияние на увеличение поперечных деформаций оказывает
сжатие Это отражается на параметрах У ь и р. „, относящихся к
вершине диаграммы одноосного сжатияЛ Здесь этим параметрам в
соответствии поставлены параметры V;и Ji6rt. Предположительно, что
их значения зависят от максимальных по модулю напряжении сжатия
Ь~ В связи с этим элементы <ГЬ рекомендуется определять по формуле
(J 97) полагаяОь =^~. В окончательных формулах C.98) элементы
иш вычисляются^ формуле C.104), где Ум заменяется на if а, а
параметр %ек принимается
C.109)
¦-"-Г
АП ЛП
! -а3
пили(У»(е, к = 1, 2, 3)
) - приведенные главные напряжения, причем tfj = ttRffe,
если 07-с» /(напряжения положительны) и tf« = &., если & = 8j (напряжения
отрицательны);CLR -\ оь/аы\\
При смешанных напряженных состояниях растягивающие на-
напряжения, например СГХ, способствуют более интенсивному развитию
поперечных микротрещин раскалывания, направленных вдоль дейст-
действия главных напряжений сжатия, особенно вдоль действия О 3- ^то
143

¦0,2:0
Рис. 3.15. Сопоставление опытных (f) и теоретических B деформаций при
двухосном напряжении сжатие—растяжение
сказывается на развитии поперечных деформаций, особенно по на-
направлению fy. Множитель %ек в виде C.109) позволяет учесть этот
фактор.
Представленные зависимости, описывающие область напряже-
напряжений ч^ > 0, также прошли экспериментальную проверку, хотя и в
меньшей степени. Опытов с.такими напряжениями имеется ограничен-
ограниченное количество. Сопоставление теоретических графиков деформаций
с графиками известных опытов Купфера (Н. Kupfer [192]) при
двухосном напряжении сжатие — растяжение приведено на рис. 3.15.
Вектор-столбец коэффициентов температурных деформаций
бетона представляется в виде
а», а», 0,0,0}*,
C.110)
)
fl<tj =fl,J, +Л'2 ~ коэффициент температурной деформации;oLjrolJ2 — его
составляющие, они определяются по формулам C.75) и C.76).
Температура также влияет на значения Е°, 8 ь, ?. ы, JU"; они
заменяются на значения °ЕЬ, °ЕЬ, °^bt,'iUb, вычисляемые по формулам
C.69) —C.74), однако такой подход еще требует исследования.
Определение параметров матрицы податливости бетона че-
через уровни деформаций. В первую очередь определяются предель-
предельные деформации. Предельные деформации ?. е (е = 1, 2, 3) соответ-
соответствуют выходу напряжений на поверхность прочности, т.е. предель-
предельным напряжениям ffe. Заметим, что если реализуется ниспадающая
ветвь, то деформации элемента в момент разрушения будут прбвы-
144
шать?е. Соотношения C.95), C.96) при бе = бе (ge =1) преобразу-
преобразуются к виду (если не учитывать влияние температуры):
Ail
-)
vbi
<~4N->
<- -4--»
оз
1
(—л—)
Vbb
Г Л n
Л
^3
C.111)
(параметры уы, у ^ и другие вычисляются по представленным выше формулам
в зависимости от вида напряжений: ¦ff'bl > 0 или ffbl < 0).
А Предельные диагональные деформации составят ?• = о /
Е$Ье. Зная предельные диагональные деформации ?.де, можно вычис-
вычислить их уровни 1?де = ?•„„/?•„• Связь между уровнями напряжений
% ^*i^ и уровнями деформации ?де осуществляется до формуле C.10).
Может быть также использована формула C.11) по определению
коэффициентов if. в функции от уровней деформаций у , при этом
0ь заменяется на ¦рЬе. Этой формулой заменяется формула C.97).
Формула C.98) не заменяется, но в ней переходим от уровня W к
уровню » де по формуле C.10), таким образом все параметры матрицы
[ $ь]п можно формировать по уровням деформаций.
3.7. ЗАПИСЬ О&ЩИХ ФИЗИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ В ВИДЕ
СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ПРИРАЩЕНИЯМИ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРОВ
НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ. НАГРУЖЕНИЕ И РАЗГРУЗКА
Запись физических соотношений в малых приращениях.
Установим связь между бесконечно малыми приращениями напряже-
напряжений и деформаций в случае трехосного напряженного состояния.
Физические соотношения для этого случая, устанавливающие связи
между общими напряжениями и деформациями, записываются в виде
C.95), C.96). К соотношениям в приращениях можно перейти,
продифференцировав уравнения C.95)
Эе.
¦df
(е
= 1,
Э Ог
2,3)
— da2 +
Эа3
d a3
C.112)
Пусть трехосное напряжение является простым. В процессе
простого напряжения (простой нагрузки) все напряжения и темпера-
температура изменяются пропорционально одному параметру л \ бг = О п, где
6  145

г) уровень нагрузки (переменная величина), g. — предельные
напряжения (константы), соответствующие ¦»= 1, t° — температура,
соответствующая h — 1. Этот фактор облегчает переход от соотношений
C.95) к соотношениям в приращениях, поскольку все соотношения
C.95) можно представить как функции одной переменной . При этом
d&: .= odij, dt" = bdfi, а переход к приращениям можно осуществить
продифференцировав C.95) по», определив d&e/dn, а затем заменив
перед отдельными слагаемыми dv) на d6e/ffp. Однако такой путь
физически менее нагляден, точнее менее связан с выводом физических
соотношений C.43) в приращениях для одноосного сжатия и растяже-
растяжения.
Остановимся на втором пути, который лишен этого недостатка,
но, естественно, приводит к одинаковым зависимостям. Предположим
сначала, что: каждое напряжение и температура изменяются линейно в
функции от своего уровня » , так, что, например, &е -Ve^e, где б"е по-
прежнему константы; в матрице C.96) первый столбец коэффициентов
зависит от ?, = <9j/<?,, второй — от?2 = &2/&у третий — от-^3 = &3/&3,
а затем перейдем" к частному случаю Ъ е = V , причем единственно
возможному, если требовать соблюдение парности побочных коэффици-
коэффициентов в матрице податливости. Температурный уровень пА = to/t При
указанных двух условиях дифференцирование соотношений C.95) по
формулам C.112) приводит к
dax
Ъа3
do3
Э02
3
"э7°"~
dt°
3a3
de3 =
d a
^) da3
3
Эа2
Vb2
d a2
+ ( ) d а3 +
Зстз v- Эг°
d t°
b
Нетрудно заметить, что элементы системы C.113), стоящие перед
приращениями d6e, равны в случае одноосного напряжения коэффици-
коэффициентам изменения касательных модулей (i)* hju*). По этой аналогии им
можно присвоить соответствующие обозначения. Так, по аналогии с
C.31), C.32) можно записать
-*— <—*--> = ----- (--'—> =-4-,
За
C.114)
"Ъе
"Ъг
vbe
146
е>? — коэффициенты изменения касательных модулей (Е°-д* — касательные модули).
Побочным элементам системы C.113) соответствуют в частном
случае элементы C.38), C.39). По аналогии с ними можно обозначить:
9
C.115)
Ъо
b % b b
Касательные коэффициенты cL°k температурной деформации
составят
C.116)
С учетом принятых в C.114) и C.115) обозначений уравнения
системы C.113) без учета температурных членов преобразуются к виду
de.
de2
de*
"ft
"к
da.
da3
В полном виде систему C.95) в приращениях можно представить
C.118)
где
d
2-, de3, dyi2, dy23, dy31}\
[cj-]ti — симметричная матрица касательных модулей
( ^Ы2 \ ( ^Ш___\ О
(-
,*-
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
1
^?
о
о
О О
О О
О О
о
1
О
О
1
Таким образом приходим к записи физических соотношений в прира-
приращениях.
147

Внося в C.114) и C.115) значения 4ЬекЦЬек из C.97), C.98)
и выполнив дифференцирование, находим при 4? =?
2сР
) s'
е' е
"be
где
5. = 1 -
vbe
2v,
be
C.120)
Ч = ю„ Л - 2 ш2е л2;
р=1/3; 3 = o,k,/8b = o3/6b;
ke — коэффициенты пропорциональности простого нагружения (ke = б^/б".,
в процессе нагружения коэффициенты пропорциональности остаются константами).
Заметим, что при дифференцировании параметр с(б3/бъУ/3 в
выражении C.101) заменяется на c(ffek/ffby/3.
К выражению \/$^""приходим, заменив в формуле C.120) i)*e
Касательный коэффициент поперечной деформации определя-
определяется из выражения C.115). Внося в это выражение значения ^ы ий|м
из C.97) и C.98) и выполнив дифференцирование, находим
lv'b
13, 23),
C.121)
В выражениях C.120) и C.121) верхний знак *+» относится к восходящей
ветви, а « —» — к нисходящей.
Заметим, что элементы, учитывающие сдвиг, не выводятся из
системы C.95), а записываются по аналогии с C.99),
1 1 1 2дА
7*~ = "Ре- + --а- + ~|ei- C-122)
VGei Vbe vbi vb (e/= 12, 23, 13).
Описание некоторых программ нагружения в виде ломаной
линии. Рассмотрим иной способ определения деформаций для про-
программы нагружения ОАВ по рис. 3.12 (она еще показана на рис. 3.16,
а). Это нагружение можно разделить на два простых — одно на 0Л,
а другое на АВ, при этом на Л В нагружение представляется простым
относительно приращений напряжений,-Последовательность расчета
такова. Вначале определяются деформации на 0Л по формулам C.95)
или C.119), и фиксируются в точке Л следующие величины: касатель-
касательные коэффициенты (t^), V^vjU^)) касательной матрицы C.119), атакже
напряжения <3^a)h относительные деформации Ье(лУ
На Л В общие напряжения и деформации представляются в виде
а =
+ ст.
где »^, 0^ — напряжения и деформации, точнее их приращения, которые
отсчитываются от нового начала точки А.
148
в)
Рис. 3.16. К описанию сложных программ нагружения
Причем полагаем, что соблюдаются условия
о2>
а.
В виде параметра нагружения новых напряжений, отсчитыва-
отсчитываемых от точки А-, выступает уровень »4- уровень приращения
напряжений; Ьи = &де/&йе, где 0Ле — предельные приращения,
которые соответствуют точке пересечения линии АВ с поверхностью
прочности (на рис. 3.12 эта точка пересечения совпадает с точкой В,
хотя это не обязательно). Практически уровни «д определяются из
критерия прочности B.45), B.47), вводя в него
.. + л.1 ст. C.123)
А
а =
Для вычисления деформаций ? на АВ необходимы их связи
с напряжениями СДе. Эти связи можно записать в виде C.95) или
C.118), несколько изменив формулы по определению элементов
матриц C.96) или C.119). Изменения таковы: <У, dff', 0е,1?е(п), ?е,
d ? е заменяются соответственно на <5"Ле, d&^е,Ь ^е,пе\. Рл), ?.ле, d ?Де
и принимаются i) Je ~ ^!L(Ay V^bek =Уьек(лу ^Роме этого должны коррек-
коррек'% ^ §
тироваться величины' г$ы
Причем
де
- которые заменяются на УЛЬе,
- Я
149

здесь с.д„» ?д,оо ~" Диагональные деформации (предельные и в точкеЛ);
уровни напряжений и диагональных деформаций в точке А Ща^Л).ьы
Формулы по определению параметров vAbe, -рдь еи*е требуют
уточнения, поскольку они не учитывают влияние режимов нагруже-
ния на указанные параметры. В частном случае одноосного сжатия
или растяжения рассмотренный переход к новой точке отсчета пока-
показан на рис. 3.6, где новая точка обозначается 0 .
По линии Л В может осуществляться также простая разгрузка на
приращениях. Этот случай рассмотрен в следующем пункте. Другие
случаи перехода от линейной программы ОЛ к программе АВ можно
обозначить пока лишь схематически.
Пусть, например, номера (е = 1, 2, 3) приращений 6^_ на АВ
в последовательности
Л2
> &Лз, которые обозначим
^аг> ^Д2(> ^лз'> не совпадают с номерами е напряжений „еА „
последовательности 6^(А) > ff2(A) > &3(АГ В этом случае усложняется
определение уровня п д, поскольку эта последовательность заложена
в конструкцию критерия прочности. Пусть, например, вдоль 6'
действует приращение ff43<, вдоль напряжения &2(А) приращение 5Д)„
а вдоль б"ил) приращение &t2,(см. рис. 3.16, б).
Предельные напряжения составят
А
а =
Олз'^: ст* =
C.124)
= а.
304)
где^ажд^ый из индексов е, к, s должен принять одно из значений 1,2, или 3
так, чтбы ff, > в2 > О3; как уже указывалось, это условие заложено в конструкцию
критерия прочности. Решение задачи сводится к перебору шести вариантов: 1) е = 1,
к = 2, s = 3; 2) е = 1, к = 3, s = 2; 3) е = 2, к = 3, s = 1; 4) е = 2, к = 1 s = 3; 5) е =
3, к = 2, s= 1; 6)е = 3, к= 1, s = 2.
Допустим, что к решению приводит пятый вариант, тогда (В\ =
3(А) "*" Д2'^?4 ^ ^ ^2 = ^2(A) "*" ^-Al' ^ft^ ^ ^^3 =^|(Л) +^3^^й^" ЕСЛИ ЭТО
условие не выполняется, то пятый вариант не является решением. По
уровню у д начальным условиям в точке Л и конечным условиям в
точках с координатами ое можно установить [по аналогии с C.96) и
C.119)] матрицы, связывающие CfLj,c ?.Де',или d6be.c dttj, однако
эти зависимости еще не исследованы.
Можно рассмотреть схематически и более общий случай с
произвольным поворотом осей главных напряжений и их приращений
в точке Л (см. рис. 3.16, в). Заметим, что схема рис. 3.16, 6 также
связана с поворотом осей в точке Л и на АВ, однако такой поворот
является простым (осуществляется на углы 0 и 90" или кратные им).
На рис. 3.16, в это условие не соблюдается, хотя между описаниями
схем 3.13, биЗ.13, в имеется аналогия. Укажем на нее.
150
Вектор-столбец напряжений в точке Л &е(лУ преобразованный к
осям 1, 2, 3 будет иметь кроме нормальных бе,ш напряжений еще и
касательные Те.к(АУ Чтобы оси 1, 2, 3 в результате поворота стали
главными, необходимо поворот сопроводить приложением касатель-
касательных напряжений обратного знака (.—^•f-k-M) — условно касательной
разгрузкой. После этого останутся одни нормальные напряжения
бе,(Ау с которыми можно оперировать так ж е, как в предыдущем
примере (см. рис. 3.16, в).
Встает еще вопрос, как влияет разгрузка касательными напря-
напряжениями на деформации ?,,(A)? Составить об этом представление
можно, преобразовав физические соотношения типа C.95) или C.119),
если рассмотрение проводится в малых приращениях к осям Г, 2', 3'.
В результате таких преобразований матрица [cfc(A)]A переходит в
матрицу [сМА)]п, которая будет в отличие от [сЬ(л)]п полностью запол-
заполненной. Умножив нормальные напряжения б~е,1;,(л) и касательные
компоненты Те.к.ш на компоненты этой матрицы, получим нормаль-
нормальные удлинения te<A) и сдвиги ^e.k,iA), которые будут зависеть от всех
компонент напряжений (нормальных и касательных). Эти деформа-
деформации следует сложить с деформациями, которые получаются в резуль-
результате касательной разгрузки напряжениями — TeVur
Если допустить, что компоненты матрицы [сЬ(/1)]и.'на касатель-
касательной разгрузке не меняются, то тогда в сумме все влияние касательных
компонент на деформации сводится к нулю. Т.е. можно оперировать
только с частью матрицы [с^]^, оставляя в ней те же члены, что и в
матрице [сь(/1)]п. Если поворот мал, то элементы этих матриц можно в
первом приближении и приравнять. Таким образом приходим к
модифицированной схеме рис. 3.16, г.
Разгрузка. Запись физических соотношений в конечных
приращениях. Повторная нагрузка. В частном случае одноосного
напряжения методика конечных приращений представлена выше
формулами C.44) — C.54). Дадим развитие этой методики на случай
трехосного напряжения. Здесь, как и в одноосном случае, вершины и
начальные параметры диаграмм в процессе разгрузок и нагрузок
будут несколько изменяться. Пока эти изменения можно выполнять по
формулам, относящимся к одноосному напряжению, однако этот
вопрос еще требует исследования.
Пусть простая или активная нагрузка в некоторой точке Л при
напряжениях ?еЮ и относительных деформациях ? НА) сменяется
простой или активной разгрузкой; -ffe, ? е — текущие (на шагах)
напряжения и деформации на ветви разгрузки. Пусть одновременно
температура уменьшается от значений t'A) в точке начала разгрузки Л
до t°; tA = t° — t*A). Приращения напряжений и деформаций, отсчи-
отсчитываемые от точки, являются конечными (в принципе любыми, в
отличие от бесконечно малых); эти приращения, как уже указыва-
указывалось, составляют:
(е=1,.2, 3). C.125)
151
о. — с — с
e(A)'
8Л = 8 —
Ае е
е(А)

Физические соотношения на ветви разгрузки записываются в
приращениях
C.126)
где
1ЁД1' ЕД2>
= {СТД1> СТД2-
СТ
Д23'
[c46]n — матрица податливости бетона на приращениях напряжений и дефор-
деформаций при разгрузке
О
О
о
,> -и*
О/Ч
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
C.127)
{а°2} — вектор-столбец коэффициентов обратимой температурной деформации,
{а»2} = {а»2, а»2, а«2> 0, 0, 0}\ C.128)
здесьCtJ2 — коэффициенты обратимой температурной деформации, определяемые по
формулам, приведенным в п. 3.3.
Коэффициенты ^Ube (е = 1, 2, 3), входящиев матрицу C.128),
вычисляют двояким способом. При первом способе
\Ье= v-;[l -0,2^,-лJ1, C-129)
где vta — коэффициенты, вычисляемые по текущим (на шагах) напряжениям
6Ы, как при простой нагрузке ;?w) — уровень напряжений в точке А начала разгрузки;
•П — уровень текущих напряжений бы.
Во втором способе коэффициенты V ы находят по формуле
C.97), полагая в ней
vo,= v^,; Сы=1 -0,2 ц(л) C.130)
и заменяя г\ на г\ д = г\ А) — г\,
г^е^ыш ~ коэффициент ^ы, определяемый на ветви нагрузки в точке А; могут
использоваться также формулы типа C.46),
152
Коэффициент i^Acje вычисляют по формуле C.99), заменяя в
ней 1>„_,._ на V.Kn_u_,\>StAJна VдSV А J,U,., на^« и полагая i>''h = 1.
Gke На Л'ЛС*е' .. ... _.. _... , .... , .
Если в процессе разгрузки переходят из области напряженного
состояния tf, < 0 в область бх > 0 и наоборот, то начало перехода в
другую область относится к началу нагрузки в этой области, причем
осуществляется с коррективами типа C.47). Теперь пусть разгрузка
в одной области напряжений следует до точки В, а затем начинается
повторная нагрузка. В точке В фиксируются величины i* ft(j<,(B),
вычисляемые по формулам C.128) или C.129), в которых коэффи-
коэффициент 0,2 заменяется на 0,25. Физические соотношения записываются
в виде C.126), где приращения напряжений и деформаций определя-
определяются по формулам C.125) после замены в этих формулах индекса А
на индекс В.
Матрицу податливости [Сд6]п представляют в виде C.127),
заменяя v наУд(и, (в). Приращения температуры также отсчитывают
от точки В. Эти соотношения используют до тех пор, пока текущие уровни
^ не достигнут величины!^А) — уровня напряжений, соответствующего
началу разгрузки в точке А. После этого переходят к определению
деформаций по первоначальным соотношениям C.95), C.96). Вектор-
столбец коэффициентов температурной деформации определяют в виде
C.128), пока температура t° не достигнет температуры t(A). На
приращениях температуры^ =t° — t(A), где t° >t(A), компоненты темпера-
температурной деформации определяют по соотношениям C.95), C.110).
Единые зависимости для нагрузки и разгрузки. В практичес-
практических расчетах не всегда удобно одновременно использовать деформа-
деформационные типа C.95) и инкрементальные типа C.126) формулировки
физических соотношений,.а встает задача приведения соотношений к
единому виду. Это приведение следует осуществлять по следующим
правилам.
Пусть на линии нагружения, изображенной в координатах
главных напряжений б"е(е =1,2, 3), намечены три точки 0, /, 2 и
записаны соотношения с индексами (p—s) = A—0), B—1), B — 0),
в виде
где вторые ийдексы 5 = 0, 1, 0 в круглых скобках указывают на точку, от
которой отсчитываются приращения напряжений и деформаций, а также значения
секущих модулей, а первые р = 1,2, 2 — на точку, для которой устанавливаются связи
между таким образом нейденными приращениями напряжений и деформаций.
Если точка 0 помещена в начало координат, то, естественно,
приращения на участках (/ — 0) и B — 0) переходят в общие величины
напряжений и деформаций для точек /, 2, и лишь на участке B—1)
они выступают как приращения.
В соотношениях C.131) вектор-столбец приращений напряже-
напряжений и относительных деформаций на участке p — s,
153

CT
3(p-s)' T12(p-s)' T23(p-s)' T31(p-s)'
[cb]n( _t) — матрица податливости бетона на приращениях напряжений и
деформаций на участке (p — s).
cbn(p-s)
л
C 612 (p-s)
cbi3(p-s)
0
0
0
с
с
0
0
0
12 (p-s)
n
622 (p-s)
n
62 3 (p-s)
С
e
с
0
0
0
6l3 (p-s)
л
62 3 (p-S)
Л
633 (p-s)
0
0
0
C 644 (p-s)
0
0
0
0
0
0
л
c 65 5 (p-s)
0
0
0
0
0
0
cb66(p-s)
где с^е(р_!) — элементы матрицы, определяемые через элементы матриц C.96)
и C.127) на основе соотношений:
-0)]
СТд*B
(ke= 11, 1 2, 13, 22, 23, 33),
622(^—5) i
+ с«„,.. ., + 2c*
, + 2c*
JA*A-O)J
= Г*
622(p-s)
C.134)
C.135)
Формулы C.134) связывают коэффициенты податливости на
трех участках деформирования (/—0), B—1) и B — 0). Значения
податливостей на двух участках (/—0), B — 0) — на ветви нагрузки
и (/—0), B—1) — в случае, если в точке / нагрузка сменяется
разгрузкой, вычисляют по формулам C.95), C.126), а на третьем
участке их находят, используя соотношения C.134).
Например, на указанном выше пути нагружения 0—А—В с
разгрузкой, который является одним из вариантов пути нагружения
0—1—2, коэффициенты cfe(A_0) вычисляют по формулам C.96),
коэффициенты cke(B л) — по формулам C.127), а коэффициенты
ске(в-о) находят, используя соотношения C.134), C.135). Внося
коэффициенты cke(B0) в матрицу C.96), можно на ветви разгрузки,
если она является частичной, вместо соотношений C.131), записан-
записанных в конечных приращениях, использовать деформационные соот-
соотношения C.95). И, наоборот, путь нагружения до точки А можно
154
пройти, используя вместо C.95) соотношения C.131) на отрезке типа
2—1. При этом на отрезках (/— 0)иB — 0) жесткости cke вычисляются
по формулам C.96) —C.109), а на отрезке 2—1 они находятся из
соотношений C.134) или C.135).
Записывая физические соотношения относительно небольших
конечных приращений, можно с некоторым приближением использо-
использовать эти соотношения и для описания сложного нагружения при
изменении нумерации и ориентации осей главных напряжений.
Вектор-столбец коэффициентов температурной деформации
<«VS> = KP-sy <,_.,. «6V,,. 0, 0, 0Г, C.136)
где
a°(; s) связаны соотношением
"Мг-О^Ш-О) "-6A О)иЬA О) ' v*'(iB-l)''(iB-l)'
здесь коэффициенты <х?( _ . могут выступать как общие коэффициен-
тыос°, входящие в вектор-столбец C.110), или как коэффициенты Ь2,
входящие в вектор-столбец C.128) и характеризующие обратимую
часть температурной деформации.
В случае, если на линии 0—1—2 температура увеличивается,
тогда коэффициентыd^A0) и<х°B 0) определяются как общие коэффи-
циентысх', а коэффициентot°B1) находят из соотношения C.137). В
случае, если до точки / температура увеличивается, а затем при
переходе к точке2 происходит ее снижение, тогда: коэффициентd'(|_
0) определяют как общий коэффициент Л°, коэффициент оС'М2))
вычисляют какл'2, третий коэффициенте*.^ 0) находят из соотноше-
соотношения C.137).
3.8. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ
НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ В СЛУЧАЕ ТРЕХОСНОГО
РАСТЯЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ ТРЕЩИНОВАТОГО
БЕТОНА
Выше связи между напряжениями и деформациями устанавли-
устанавливались на основании анализа экспериментов, привлекая дополнитель-
дополнительно некоторые предположения. Здесь, следуя [86], рассмотрим теоре-
теоретический путь. Он позволяет выявить новые свойства коэффициентов
матрицы податливости бетона как ортотропного материала, которые
в механике анизотропных тел ранее не встречались, хотя этот путь и
не лишен определенных условностей.
Пусть задан прямоугольный бетонный элемент, подвергаемый
трехосному растяжению главными растягивающими напряжениями
ffv бу.бъ (см. рис. 3.17, а, б).у В процессе увеличения растягивающих
напряжений в структуре бетона могут накапливаться трещины отры-
отрыва. Эти трещины ориентируются преимущественно вдоль площадок
приложения главных растягивающих напряжений, выключая части
этих площадок из восприятия напряжений. Таким образом напряже-
155

6)
9
ъ* \
/
Рис. 3.17. К учету влияния трещиноватости на связи между напряжениями
и деформациями в случае трехосного растяжения
ния воспринимаются как бы уменьшенным сечением. Этот фактор
учтем схематически.
Представим элемент (см. рис. 3.17, а) в виде сплошной части
(рис. 3.17, в) и прилегающих к ней прямоугольных частей, изрезан-
изрезанных прорезями, проходящими по трем ортогональным направлениям
(см. рис. 3.17, а, б, г). Размеры начального элемента составляют Ь,
h, d, а размеры сторон сплошной части — Ь', Ii, d'; б\, &*, б*3 —
напряжения в сплошной части. Эти напряжения, как и напряжения <5^,
€>v бу являются сглаженными. В них некоторым осредненным
образом учитывается влияние местных концентраций напряжений у
трещин и влияние других неоднородностей структуры бетона, поэто-
поэтому концентрации отдельно не выделяются. Относительные деформа-
деформации общего элемента обозначаются t,, ? 2, t3, а аналогичные дефор-
деформации сплошной части — ?* ,?*2, ?*.
Изрезанные прорезями части элемента можно разделить на две
группы. Одна группа (/,—///, см. рис. 3.17, 6, г) в виде столбиков
может воспринимать только одноосные напряжения: 6" (части /), б*
156
(части //), б* (части ///), передавая их на сплошную часть. Вторая
группа (она на рис. 3.17, г не показана) изрезана трещинами так, что
напряжения воспринимать не может^Десрогжация элемента в частях
I — Ill соответственно обозначаются &*, ?.*, ?.* Полагаем, что бетон в
сплошных частях деформируется как некоторый упругий изотропный
материал
C.138)
гдсЕЦ — модуль упругости бетона;(иЦ — начальный коэффициент поперечной
деформации (Пуассона).
Деформации в частях с трещинами составят
1
Симмет-
эично
-4
1
-4'
1
е1* = --о-: f,*=--o~; е3* = —-0—. C.139)
Еъ Еъ Еъ
Общие напряжения определяются из очевидных равенств
(см. рис. 3.17, а, г):
afih = о\Ъ'К; a2hd = a'2h'd';
o3bd = a*3b'd';
которые, вводя обозначения:
b*h* h*d* b*d*
bh
можно записать:
hd
bd
= vu
'*= ot/vbl;
C.140)
C.141)
Как показано выше, ¦0и — это коэффициенты изменения моду-
модулей продольных деформаций. Обычно ими учитывается развитие
пластических деформаций. Здесь они характеризуют трещиноватость
бетона — степень нарушения сплошности.
Удлинение грани d составит ?. td. Это удлинение будет склады-
складываться из удлинений ?*d*сплошной части и удлинения ?* (d — d')
трещиноватых частей /. Таким образом можно составить три равенства:
= e*td'
e2b= е2*Ь'+ Щ(Ь-Ь');
C.142)
s3h = e*
При записи C.142) фактически используется правило усредне-
усреднения по объему, однако два размера в правой и левой частях равенств
157

оказываются одинаковыми, поэтому сокращаются. Внося C.141) в
C.138) и C.139), а затем полученные деформации в C.142), находим
с учетом обозначений C.140)
JL
Симмет-
рично vh.
C.143)
где
= h'/h; v.., = Ь'/Ь; v,,, = d'/d.
C.144)
Перемножая коэффициенты л)ы и Vw. в столбцах (или строках)
матрицы C.143), можно заметить, что
v v —
VM2 Vbl3
откуда находим
622'
V V = V
613 623 ЬЗЗ'
v = yv v /v ' ¦
V6l2 Ы Vb2' Vb3'
Vb23 ' Vb2 yb3/
C.145)
Коэффициенты 1>ы. характеризуют изменение поперечных де-
деформаций по мере развития структурных трещин. Установленная
связь коэффициентов ^ы. с коэффициентами изменения модулей
продольных деформаций \)ы в виде C.145) является новой; обычно
использовались выражения типа -0U. =VitbiVb'., которые могут приво-
приводить к существенно иным результатам, чем соотношения C.145).
Соотношения C.143) не изменятся, если предположить, что
напряжения б((г = 1, 2, 3) не являются главными, например г = х, у,
z (рис. 3.18, а), важно только чтобы площадки микротрещин были
параллельны плоскостям /02, 203, 301 или XOY, YOZ, Z0X. Однако
эти соотношения необходимо дополнить тремя новыми соотношения-
соотношениями, связывающими касательные напряжения Тг со сдвигами *-.. (if =
12, 23, 31 или XY, YZ, ZX) в трех указанных плоскостях.
Эти соотношения приближенно можно представить в виде
'Ы/
C.146)
"Ы
Эта формула устанавливается следующим образом. Каждый
угол сдвига можно представить в виде суммы двух углов Y{. =fr*
например, см. рис. 3.18, б, ^ =^*ъ + %?¦
158
а)
Рис. 3.18. К определению деформаций сдвига в трещиноватых элементах
В изотропных материалах две компоненты будут одинаковыми,
в результате
7- = 7* + Ч*~ =--$¦—-—-— + —7&- . C.147)
7ч 7ч 7/' е Е
Учитывая парность касательных напряжений Т.. = Т прихо-
приходим к ^r. = %./G, где G — модуль свдига, jU - коэффициент
Пуассона^ (G =V?/2A +f ). В трещиноватых элементах реальные
напряжения обозначаются Т* и Г*, тогда формула C.147) принимает
вид
A -
У и =
C.148)
Связь между сглаженными TtJ и реальными Г* напряжениями
по аналогии с C.141) записывается
т*= т /v C.149)
ij ij' Ы
159

Рис. 3.19. Трещиноватый элемент с раз-
различными нарушениями сплошности по трем
ортогональным сечениям ( Af-восьмая часть эле-
элемента)
Внося C.149) в C.148), приходим к формуле C.146). Заметим,
что парность реальных касательных напряжений Т?может нарушаться,
хотя полагаем, что парность сглаженных напряжений соблюдаетсяTtJ =
V... Нарушение парности связано с возникновением в полосах бетона
между внутренними трещинами дополнительных моментов т., mi
(см. рис. 3.18, б), которые и уравновешивают состояние Ttj *tj;. Особое
моментное состояние полосок бетона между внутренними трещинами и
его влияние на сдвиги здесь не учитываются, хотя изучение этого вопроса
заслуживает внимания, поскольку реальное напряженное состояние
трещиноватой среды не может быть безмоментным.
Образование структурных трещин по трем направлениям в представ-
представленной схеме оказалось зависимым — синхронизированным, имея в виду
общие размеры А', Ь', d' (см. рис. 3.17,6). В этом случае коэффициенты *>w
будут являться функциями трех напряжений & (г = 1, 2, 3). Такие свойства
установленной системы больше отвечают трехосному сжатию, чем растяже-
растяжению, хотя сжатие здесь и не рассматривается.
Перейдем к рассмотрению более общего случая, когда наруше-
нарушение сплошности по трем направлениям — вдоль плоскостей ff.ff3, б2б3
w.6'2&г будет происходить независимо (несинхронизированно). Такие
сечения с нарушенной сплошностью на рис. 3.19 условно вынесены на
поверхности прямоугольного параллелепипеда. Части, нарушенные
структурными трещинами соответствующей ориентации, заштрихова
ны; ненарушенными остаются площади: h*b*; h*d* и b*d*. Главные
напряжения на ненарушенных площадках обозначены 6"t,O^, б*. Ода
связываются с аналогичными напряжениями 6v6vGy отнесенными
к полным площадкам, соотношениями, которые следуют из рис. 3.19
C.150)
= a
Обозначим:
hi_bj_
hb
vbi =
7*k*d* = a2hd; <
"ta hd
= a3bd-
bf_df_
bd
тогда:
160
стз* =
C.151)
C.152)
Расположим главные напряжения в последовательности
а, > а2 » а3,
тогда логично предположить, что А*< h*; fe*< b*; cf*< d*.
Представленные на рис. 3.19 три сечения с различными нару-
нарушениями сплошности будут внутри элемента взаимно пересекаться и
делить общий элемент на отдельные части. Можно выделить четыре
типа таких частей (подэлементов): / — ненарушенная трещинами
часть; 2 — часть, нарушенная трещинами только одного направления;
3 — часть, нарушенная взаимно пересекающимися трещинами двух
направлений; 4 — часть, нарушенная взаимно пересекающимися
трещинами трех направлений. На рис. 3.20 показана одна восьмая
часть исследуемого элемента (см. М, рис. 3.19), «разобранная» на
указанные малые части (подэлементы) трех типов. Подэлементы
четвертого типа изымаются из рассмотрения, поскольку они не могут
воспринимать напряжений ни по одному из направлений, т.е. счита-
считаются полностью разрушенными; на схемах рис. 3.18 они не показаны.
Покажем процедуру вывода связей между напряжениями и
деформациями на примере направления б2, ?.г В этом выводе
участвуют подэлементы, которые могут воспринимать напряжения d2.
Эти подэлементы показаны на рис. 3.20, а, а', а", точнее показана
одна восьмая часть подэлементов; формально, чтобы учесть полные
объемы, мы не должны обращать внимание на коэффициенты 1/2,
проставленные перед размерами b\, h\, d'r, h2, b*, h.
Деформации ?* в сплошной части подэлемента (см. рис. 3.20,
определяются по зависимости C.138)
а)
C.153)
2 Е u| h*i U2 
Объем этих деформаций составляет
s\b*h\d*. C.154)
Относительные деформации?* в подэлементе (см. рис. 3.18,
а') определяются по формуле C.138) при б* = 0
а")
6зг
к. 1408
Рис. 3.2О. Напряженные со-
состояния в отдельных подэлементах
одной восьмой части общего эле-
элемента (М см. на рис. 3.19)
161

*-*
- А°Э-
C.155)
Объем этих деформаций составит
е*(Ь»/г«* - b\h*d$. C.156)
L о L L 1 1 t.
Еще напряжения #*приложены к части подэлемента, представ-
представленного на рис. 3.18, а", в этой части деформации определяются по
формуле
fr;= ay El. C.157)
Объем этих деформаций равен
ИХЬНЖ - b*h*d*). C.158)
L 2. I ALL
Объем C.154), C.156) и C.158) приравниваем к объему общих
деформаций е2, т.е.
e2d^h*b = 8*b*A*af* + "e2(b*3h*d* - b*h*d*) + 'e2XbA*<i2 — b*3h*d*). C.159)
Заметим, что при записи объема общих деформаций (^d'h'b)
учитываем только рабочий объем элемента, который формирует эти
деформации, и отбрасываем части, которые нарушены трещинами,
и деформации которых в связи с этим следуют по направлению 2
авторматически за деформациями рабочего объема. Внося в зависи-
зависимости C.159) значения ?*, |*и?^из C.153), C.155), C.157) и
учитывая значения C.151), C.152), находим
1 Wl h 1 /?l w
— Г " л- /т /т " 1 /о -| ел\
ЕЪ Й2* Vb2 d?
Аналогичным образом устанавливаются деформации ?-t и & 3.
Вклад в деформации ?, дают подэлементы, представленные на
рис. 3.20, а, б, в, объемы деформаций ?3 будут складываться из
объемов деформаций в подэлементах, представленных на рис. 3.20, а,
б, а', б', а", б". Составляем остальные два равенства типа C.159), а
затем по аналогии с C.160) устанавливаем окончательные зависимос-
зависимости по определению в, и &3.
В итоге приходим к системе физических соотношений C.143)
с тем лишь различием, что входящие в эти зависимости коэффициенты
Vы следует вычислять по формулам C.151), а коэффициенты V ы
необходимо принимать
v. = h /h\ v = b /b\ v. = о /а C.161)
(вводятся еще только некоторые упрощения при определении коэф-
коэффициента vt3).
Соотношения C.145) теряют силу, однако их формально можно
записать в ином виде. Обозначим:
= Щ/Щ; Ф„ = d*/d*, (Фа > 1; % > 1;
1),
тогда, перемножая коэффициенты vw и vbi., стоящие в столбцах (или
строках), получим:
162
V6t2VM3=
V612 V623 V62
V V -3 V
»13 623 63'
Эти соотношения можно преобразовать к виду:
' V V
Vb2
*d
C.162)
%гъ ~ v -—- ------ •
Эти соотношения удобны для анализа, однако не добавляют новой
информации, поскольку входящие в них коэффициенты ipA, <рь и<рd
являются неизвестными.
Частные случаи. Пусть трещины в структуре бетона ориенти-
ориентируются только по одному из направлений: h*= h; b* = b; d*= d* = d.
Из C.151), C.152) следует, что V62 = +>м = -\)ы. = 1. В результате этого
соотношения C.143) преобразуются к виду
УЫ
Симметрич-
Симметрично
03.
C.163)
Таким образом при однонаправленной ориентации внутренних
трещин они не сказываются на коэффициенте поперечной деформа-
деформации.
Пусть теперь развитие трещин по всем трем направлениям
происходит одинаково (случай изотропного развития внутренних
трещин). Тогда Уы = Уи = V63 =а)ь; *>М2 = \>т = V623 =У^, в результате
\-q— Симметрия- 1
^ь Vh но
C.164)
В точности этот случай соответствует трехосному равномерному
растяжению.
Укажем на возможность учета еще одного фактора. Выше
материал сплошной части принимался упругим. Однако в принципе
6* 163

сплошная часть, в свою очередь, может деформироваться нелинейно,
причем физическая природа этой нелинейности будет иной, т.е. не
будет связана с указанной системой внутренних трещин. Этот фактор
можно приближенно учесть, заменив упругие константы Е°ь hJU* на
переменные величины EbnUb(Eb = E\Vb, где у6 — некоторая функция
напряженного состояния.
Рассмотренные простые схемы позволяют более осмысленно
подходить к построению реальных физических соотношений для бетона.
В заключение укажем на некоторые вопросы в теории деформации
бетона, которые еще требуют развития и совершенствования на основе
теоретических и экспериментальных исследований. Ранее уже говори-
говорилось о необходимости развития нового направления, основанного на
непосредственном учете внутренней трещиноватости бетона. Можно
особо выделить вопросы определения деформаций бетонов при сложных
нагружениях с разгрузками. Здесь особо остро стоит проблема постанов-
постановки специальных экспериментов.
Как будет показано в гл. 4, остаются слабо исследованными
вопросы по определению деформаций ползучести бетонов при неодно-
неодноосных напряжениях и проверке общей расчетной модели с учетом этого
немаловажного фактора. Выполненные по этой проблеме эксперимен-
экспериментальные исследования ограничены, а отсюда и недостаточны для успеш-
успешных теоретических разработок.
Практически незатронутыми остаются факторы влияния масштабных
эффектов и градиентов напряжений на деформации и прочность бетонов при
неодноосных напряженных состояниях, которые могут заметно повлиять на
определение деформаций и прочности. Следует заметить, что в их учете
состоит определенный резерв повышения прочности. Встают вопросы
выявления более четких границ применимости различных моделей деформи-
деформирования бетонов на основе более детальной экспериментальной проверки их
основополагающих предпосылок.
Появление новых более экономичных вяжущих и бетонов на их
основе требует проведения определенных сопоставимых экспериментов
для решения вопросов определения их деформаций и прочности в
условиях неодноосных напряжений, кстати при этом проявляются
весьма выпукло характерные свойства бетонов (псевдопластичность,
вязкость, малая упругость), которые при обычных одноосных испыта-
испытаниях могут сглаживаться.
Весьма существенными остаются вопросы разработки новых
более точных и высокоавтоматизированных установок по проведению
экспериментальных исследований (в этом плане в нашей стране по
сравнению с зарубежьем наблюдается заметное отставание).
Можно указать и на некоторые другие вопросы. Тем не менее уже
в разработанном виде теория деформирования бетонов может найти
широкое применение в практике проектирования, особенно современно-
современного автоматизированного проектирования на ЭВМ, и способствовать
созданию более совершенных и экономичных конструктивных решений.
164
Глава 4. НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
В УСЛОВИЯХ ОДНООСНЫХ И НЕОДНООСНЫХ
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
Выполненные к настоящему времени экспериментальные иссле-
исследования показывают, что реальная ползучесть бетона в условиях
неодноосных напряженных состояний может значительно, а при
высоких уровнях трехосного неравномерного сжатия и на порядок,
отличаться от результатов расчета по линейным теориям. Общая
теория деформирования бетонов в условиях длительного приложения
неодноосных напряжений находится еще в стадии разработки [19,91,
174]. Здесь остановимся сначала на некоторых частных подходах,
которые, однако, позволяют описать все стадии деформирования
элементов при некоторых режимах нагружения вплоть до разруше-
разрушения, в том числе постепенного разрушения по типу нисходящей ветви
на диаграмме « ? — бъ, а затем рассмотрим вывод общих соотношений.
4.1. МЕТОДИКА ДИАГРАММ-ИЗОХРОН ПРИ ЭТАЛОННЫХ
ПРОГРАММАХ (РЕЖИМАХ) НАГРУЖЕНИЯ. ОПИСАНИЕ СЛОЖНЫХ
ПРОГРАММ НАГРУЖЕНИЯ
Рассмотрим сначала одноосное напряженное состояние, ограни-
ограничившись некоторыми выделенными (эталонными) режимами нагруже-
нагружения. В качестве типовых примем два типа диаграмм-изохрон [74, 78]:
диаграммы-изохроны, соответствующие ступенчатым режимам
нагружения (рис. 4.1, а), когда нагрузка прикладывается в течение
непродолжительного отрезка времени — в пределах 1 ч и в последу-
последующем выдерживается постоянной в течение времени t —10 (t0 —
возраст бетона к началу нагружения);
диаграммы-изохроны, соответствующие режиму нагружения
бетона в возрасте tg возрастающими напряжениями или деформаци-
деформациями, причем скорость роста напряжений или деформаций в течение
времени нагружения t — tQ остается в среднем близкой к постоянной
(см. рис. 4.1, б).
Как в первом случае (жесткий режим нагружения), так и во
втором (мягкий режим) ? — tQ является временем натекания деформа-
деформаций &b(t), которое принимается одинаковым для всех точек рассмат-
рассматриваемой диаграммы-изохроны. Вершины диаграмм-изохрон, пос-
построенных для различных отрезков времени t —10, выходят на общую
кривую — кривую длительного сопротивления бетона Rb(t, t0),
причем кривые длительного сопротивления бетона для жесткого и
мягкого режимов нагружения могут не совпадать (линии 7, 8 на
рис. 4.1).
165

(t-to),cym (t-t0)
1(t,tol
\(t-t0)
Рис. 4.1. Построение диаграмм-изохрон а -1 — для жестких режимов
нагружения; б - 2.3 — для мягких режимов нагружения: 4-6 — режим нагружения:
7. в — долговременная прочность: 9 — изменение прочности во времени
166
Построение диаграммы-изохроны можно проиллюстрировать
на примере. Представим однотипные бетонные образцы, которые
загружаются по жесткой схеме. На рис. 4.1, а выделены три таких
образца: один загружается по схеме ОВС, другой OMN, третий OSH
(все они еще обозначены 4). Замеряются деформации в точках С, N,
Н и откладываются справа, образуя точки С,, Nv Hr Кривая,
проведенная через эти точки, и будет представлять диаграмму-
изохрону, отвечающую фиксированному времени (t — t0). Изменив t,
придем к новой изохроне. В итоге получим веер кривых.
Диаграммы-изохроны можно строить двумя путями — на осно-
основе прямых экспериментов, испытывая образцы по схемам 4 или 5
(см. рис. 4.1, а, б), или используя унифицированные (нормирован-
(нормированные) меры ползучести [121, 139, 142] в сочетании с решениями в
квадратурах некоторых нелинейных уравнений теории ползучести.
Второй (теоретический) путь здесь является основным, а второй
(экспериментальный) выступает как проверочный.
Следует указать, что в механике идея построения диаграмм-
изохрон для жесткого режима известна уже давно (см., например,
монографию Ю.Н. Работнова [145]). Применительно к бетону они,
видимо, впервые были применены П.И. Васильевым [28], затем
также рассматривались В. М. Бондаренко [26]. Имеются другие пред-
предложения по построению диаграмм, учитывающих ползучесть, но без
трактовки их как диаграмм-изохрон (например, Ю.П. Гущи,
Л.Л. Лемыша и других, частично они указаны в обхорах [74, 78]). В
работах [74, 78] рассмотрено построение диаграмм-изохрон для
жесткого и мягкого режимо нагружения по результатам испытания
бетонных образцов с различными скоростями роста напряжений (из
опытов М.С. Боришанского и Раша [206]). Изохроны, построенные
по этим данным, приведены на рис. 4.2.
В работе [76], которой мы здесь следуем (авторы: Н.И. Карпенко,
И.Е. Прокопович, Т.А. Мухамедиев, А.Н. Петров и А.Ф. Яременко),
идея диаграмм-изохрон получила теоретическое обоснование и дове-
доведение до вида, пригодного для широких практических расчетов. По-
видимому, это единственный подход, который может приводить к
довольно точным согласованиям результатов расчетов с данными
опытов. В частности, расчет деформаций тесно увязывается с долгов-
долговременной прочностью и разрушением элемента на нисходящей ветви
диаграммы.
Указанные выше подходы относятся к простым режимам на-
нагрузки и не охватывают разгрузки и ее комбинации с разгрузкой.
Покажем также, что этот недостаток можно устранить, конструируя
два типа изохрон.
Вершины диаграмм-изохрон (кривые долговременной про-
прочности). Результаты многочисленных экспериментов, проведенных
различными авторами, показали, что длительное загружение бетона
сжимающими напряжениями высокого уровня приводит к снижению
167

Рис. 4.2. Диаграм-
мы-иэохроны деформиро-
деформирования бетона при осевом
сжатии (с регулированием
скоростей роста деформа-
деформаций по линиям 6 рис 4.1. 61
прочности [37, 117, 171]. Как правило, такие эксперименты прово-
проводились с режимами жесткого нагружения на образцах из зрелого
бетона. В этом случае кривая длительного сопротивления, после
короткого отрезка интенсивного снижения прочности стабилизирует-
стабилизируется на некотором уровне начальной прочности Rb(t0), который, по
данным разных авторов, изменяется от 0,75 до 0,9 и в среднем
составляет 0,85. Соответствующая кривая Rbi.t, t0) показана на
рис. 4.1, а (линия 7).
Мягкий режим загружения образцов оказывает значительное
влияние на кривую длительной прочности, на которой в этом случае
можно выделить два участка. Для режимов нагружения малой про-
продолжительности наблюдается, как показывают, например, опыты
[206] с постоянными скоростями роста деформаций, интенсивное
снижение прочности так же, как и в случае жестких режимов
нагружения. При загружении бетона в течение длительного времени
t —10, вид кривой зависит от возраста бетона в момент загружения и
условий твердения.
Если бетон загружен в молодом возрасте и условия внешней
среды способствуют набору прочности (при твердении в воде,
влажном грунте и при влажности окружающей среды выше 75%), то
после некоторого снижения наблюдается рост длительного сопротив-
сопротивления. Соответствующая кривая Rb(t, t0) показана на рис. АЛ, б
(линия 8). Если же бетон загружен в зрелом возрасте tQ > 1 года или
условия среды неблагоприятны для набора прочности, длительное
сопротивление сопровождается снижением предела прочности. Воз-
Возможные отступления от этих схем укажем в конце рассмотрения
изохрон.
Несмотря на многообразие факторов, влияющих на кривую
длительного сопротивления бетона, ее можно аппроксимировать еди-
единообразной зависимостью
168
Rb if. f0) = Rb ( fo) {[0,95 - 1,57 • 10 In ( f - f0)] 7f +
+ WLr3_l 1
D.1)
1 - A - УЬ2
где для мягкого режима нагружения:
1
7f =
1 + е
1,5 (f-fo)/fi - 4,5
D.2)
для жесткого режима нагружения ^ = 1. Кроме того, при t — tQ>
365 сут принимается t — tQ = 365 сут.
Коэффициент #Ь2 учитывает влияние на длительное сопротив-
сопротивление возраста бетона и условий твердения. Если условия эксплуата-
эксплуатации благоприятны для нарастания прочности, то принимается
УЬ2 = 0,85 + 2,39 e016f + 0,178 eool5t°.
При t0 = 28 сут 2"ьг =%¦ Ь2 = 1, где /и — коэффициент условий
работы бетона по СНиП 2.03.01-84, учитывающий длительность
действия нагрузки при аналогичных (благоприятных) условиях твер-
твердения. Если ta < 28 сут, то уь2 > 1. Коэффициенты формулы подо-
подобраны таким образом, чтобы она корреспондировалась с кривой роста
прочности незагруженного бетона при благоприятных условиях твер-
твердения типа [151]
Co) -
lg (fo)
D.3)
lgB8)
где t0 — возраст бетона, сут (время твердения).
Формула D.3) справедлива для tQ > 7 сут (для\R6B8) = Rb или
R. ; см. табл. 12 СНиП 2.03.01 —84). Может быть использована
также формула Е.Н. Щербакова
-) ] ,
D.4)
23 t9 - 28
1 + (
55 + В f0 + И
[где В — класс бетона в возрасте 28 сут].
Эта формула, как и формула D.4), справедлива при внешней
среде, благоприятной для нарастания прочности бетона, в противном
случае Rb(t0) = i?6Bg)). В остальных случаях принимается
у62 = 0,85 + 1,44 е-°'т".
При t0 = 28 сут^62 =2ГЬ2 - 0,9, тде^Ь2 — коэффициент условий
работы бетона по СНиП 2.03.01—84, учитывающий! длительность
действия нагрузки при условиях твердения, неблагоприятных для
набора прочности.
X05J

Диаграммы-изохроны. Аналитическая запись диаграмм-изо-
хрон подобна аналогичной записи диаграмм кратковременного дефор-
деформирования бетона, которые рассмотрены в гл. 3(см. п.3.1). В случае
сжатия диаграмма-изохрона «конструируется» таким образом, чтобы
при времени нагружения t —10 = 1 ч изохроны переходили в эталон-
эталонные диаграммы деформирования бетона, получаемые на стандартных
элементах, испытываемых с постоянной скоростью роста деформаций
2% в 1 ч или с постоянной скоростью роста напряжений с общим
временем нагружения до вершины 1 ч, когда исключается нисходя-
нисходящая ветвь диаграммы и деформации в вершине уменьшаются на 10%.
Диаграммы-изохроны для любого времени t E мин < t — ta <
<*=>) могут быть представлены по аналогии с зависимостью C.1) в виде
\ =
t0)
D.5)
где значения Vb(?, t0) могут вычисляться по формулам C.2) —C.5),
заменяя входящие в них величины v6,V0 и уровень 1) величинами Vb(t,
t0), V0(t, ta), которые исследованы ниже, и уровнем» (t, t0),
<*h ( t )
HU. fo) = -*-— ;
Rb (t, to)
кроме того, здесь-y>0(t, tQ) ? 1 (в гл. 3 Уо = 1).
Заметим, что входящий в формулу D.5) модуль деформации
Eb(t, t0) может вычисляться по-разному: Eb(t, t0) заменяется на
Eb(t0) — модуль деформации в начале нагружения; Eb(t, ?0) заменя-
заменяется на Eb(t) — модуль деформации, соответствующий времени t, для
которого строится изохрона; Eb(t, tQ) заменяется на усредненный
модуль деформации в интервале (t — t0) действия напряжений. При-
Принятие того или иного способа зависит от используемой меры и упрощений
в построениях. Используем первый (в построениях диаграмм-изохрон
жесткого нагружения) и второй способ задания модулей.
Жесткий режим нагружения. Установим вначале функции "9b(t,
t0) и V0(i, ?„) применительно к жесткому режиму нагружения. Пусть в
момент времени t0 к однотипным образцам прикладываются ступени
напряжений 6(t0), которые затем во времени выдерживаются без
изменения. Деформации таких образцов к моменту времени t будут
оъ (fо)
Ег.
f, fo)]
D.6)
где Еь = Еюв) — модуль упругости бетона, соответствующий t0 = 28 сут
(определяется по табл. 18 СНиП 2.03.01. -84); Еь еще обозначается E°b; 0(?(О = Еь/
Eb(t0);fc — функция нелинейности; C(t0, t) — мера линейной ползу чести ;<pu, tg) —
170
характеристика ползучести, у» (t, t0) = EbC(t, t0); feC(.t — t0) — общая мера линейных
и нелинейных деформаций ползучести;
C{t, т, а) = fC(t, т) = Eifc y(t, т). D.7)
(в общем выражении t0 заменяется нат, см. ниже).
Заметим, что представленная связь между линейной и общей
мерой ползучести нашла обоснование во многих работах, например в
[142], однако в других, например в [120], она подвергается критике.
Там же предложены иные конструкции общей меры.
Для описания характеристики ползучести <р (^ ?0) стареющего
бетона (t0 > 7 сут) использовалось традиционное выражение
t) D.8)
где f(.t—t0) — функция, учитывающая развитие деформаций ползучести во
времени, принималась по предложению И.Е. Прокоповича в виде
f(t-t0) = 1 - De" ъ«-ь> - Веъ«-и; D.9)
f = V (t = oo, to) _ предельная (п ри t = °o) характеристика линейной
ползучести, зависящая от возраста и класса бетона, влажности среды и условий
влагообмена со средой.
D.10)
Значения fN, § ,,§ 2> а также ^ H^"t назначаются по табл. 4.1 и
•4.2; В = 0,8; а = 0,6; D = 0,2; таблицы и коэффициенты заимствованы
из Пособия по расчету статически неопределимых железобетонных
конструкций [139] (далее называем Пособие); они подготовлены
Таблица 4.1
Ф =
Параметры
Факторы влияния
Класс бетона
В12.5 I В15 | В20 ТвЗО Тв40 ~| В50 ~| В60
Тяжелый
бетон
3,34
3,29 3,10 2,73 2,41 1,95 1,56
Мелкозер- 3,26
нистый бе-
бетон
3,00
2,82 2,44
2,14
1,70
1,38
2,24
1,87
1,41 0,97
0,74
0,74 0,74
Модуль открытой поверхности Mq, m~x элемента
A
сут
fo=7cyT
10 и менее
0,04
0,752
П.625
20
0,006
0,842
0.700
30
0,008
0,942
0,785
40 и более
0,010
1,052
0,875
171

Параметры
*int'%
s,
Mo
TZI
Jt_.
40 и
менее
1,27
Факторы влияния
Относительная влажность среды, %
50
1,13
60 70
1,00 0,87
Модуль открытой поверхности ЛГо. м
0
0.51
0.89
5
0,65
0,89
10 20
0,76 0,93
0,89 1,00
80
0,73
90
0,60
Г1 элемента
30
1,00
1,13
40
1,22
1,27
Таблица 4.2
100
0,47
60 и
более
1.27
1.27
И.Е. ПрокоповичемиМ.М. Заставой на основании обобщения иссле-
исследований [18, 121, 142 и др. ], в которых представлены результаты
обработки большого массива опытных данных. Функция D.9), одна-
однако, не позволяет описать диаграммы-изохроны в малых промежутках
времени (t—t0), особенно при (? — ?„) < 1 сут, поскольку приближен-
приближенно учитывает развитие быстронатекающих деформаций ползучести.
Далее, в связи с этим она уточняется.
Зависимость D.10) конструируется по определенной схеме.
Группа сомножителей (fpN; |,; § 2) представляет предельную функ-
функцию <р для бетонов, нагружаемых в возрасте t0 = 28 сут. fN ?, ?2 =
(p(t =сл; t0 =28 сут), причем р" — предельная функция для бетонов,
находящихся в эталонных условиях; |,, § 2 — коэффициенты, учиты-
учитывающие влияние влажности среды и условий влагообмена со средой.
Если бетон нагружается в другом возрасте, чем tQ = 28 сут, тр^ связи
со старением функция <р изменяется. Сомножитель @,5 + de'= f2(tQ)
учитывает влияния старения на предельную характеристику
Аналогично конструируется и линейная мера ползучести
C(t, x) = C(i= ~, т = 28) Q(to)fU- т), D.11)
где
C(t = ~, т = 28) = ф" 4, \2/Еь.
Заметим, что значениярN, приведенные в табл. 4.1, относятся
к подвижности бетонной смеси 4 — 6 см. Для бетонов, имеющих осадку
конуса 1—2 см и жесткость 10—15 с, табличные значения у?N умножа-
умножаются на 0,8 —0,9. Для бетонов, изготовленных на шлакопортландце-
менте, табличные значения надо умножить на 1,15, на пуццолановом
портландцементе — на 1,35; для бетонов, изготовленных на крупном
заполнителе из известняка, — на 0,85.
Для описания функции нелинейности использовалось выраже-
выражение [16, 26, 142]
172
которое было преобразовано к виду
i )k
где k = yf2;
, t0),
v — назначаются по табл. 4.1.
Учитывая, что основное количество экспериментальных дан-
данных обрабатывалось при^62¦» 0,9, приближенно принимали,^ «• k =
0,65; значения vc, которые указаны в работе [142], здесь уменьшены
в 2,72 раза, в связи с введением новых уровней напряжений*? (t, О.
Приравнивая деформации, полученные по формулам D.5) и D.7),
t, t0) = --
(f, f0)
D.13)
л В начале диаграммы i)b = 1; fc = 1; в вершине диаграммы *>ь =
^ ¦ f = \ + kv . Учитывая это, из формулы D.13) получим для
Ь> I с „ с
восходящей ветви
Vo (t, f0) =
aF (t о )
it, f0)
D 14)
А (,, ,о) « jptlZL . D.15)
b aE (to) + vb A + к vc) * (t, to)
Заметим, что зависимость D.13) можно использовать двояким
способом: непосредственно вычисляя Vb(t, О для изохрон D.5);
определяя только граничные значения V0(t, Q и 0b(t, t0). Тогда как сами
выражения для V6(?, t0) принимаются в виде C.2). Здесь мы отдаем
предпочтение второму подходу. Он позволяет описать все виды диаг-
диаграмм единообразно, кроме этого создается возможность несколько
уточнить сами параметры V6(?, t0), учитывая неточность функций /\
Анализ экспериментов, выполненный Н.И. Карпенко и
А.В. Мельником, показал, что лучшее согласование с данными экспери-
экспериментов достигается, если функцию нелинейности принимать в виде
fc =
т?4 (f, fo)
D.16)
несколько уточнив зависимть Е.Н. Щербакова [121]. Однако и в виде
D.16) функция fc еще требует уточнения. В диаграммах-изохронах
используется fc при r\(t, t0) = 1.
При t0 < 28 сут модуль упругости Eb(t0) вычислялся по извес-
известной формуле 173

t0) =
Ro + Rbn ( fo)
D.17)
вводятся средние значения призменной
здесь Rg = 14 МПа; если вместо Rb
прочности Rb(.t0), то Ra = 18 МПа.
Если t0 > 28 сут, то принимали Eb(t0) = ?^B8) = Еь; в этом
случае cLE(t0) » 1.
Ниспадающая ветвь в случае жесткого режима нагружения
возможна лишь в том случае, если вблизи вершины происходит
регулирование (искусственное или естественное) скорости приложе-
приложения напряжений с отклонением от жесткого режима. Ниспадающая
ветвь описывается формулами C.5), где в формуле длясц слагаемое
1,95-06, заменяется на слагаемое 1,95-0b(t, to)/i)o(t, t0). Эта рекомен-
рекомендация по описанию ниспадающей ветви является приближенной, она
исходит из условия подобия нисходящих ветвей диаграмм-изохрон.
На рис. 4.3 приведены диаграммы, построенные для тяжелого
бетона класса В40 со следующими характеристиками: Еь — Eb(t0) =
36000 МПа; dE(t0) = 1; Rb(t0) = 29 МПа; <р = 2,41; d = 0,785; 7t =
0,08 cyr1; vc = 0,45; tfb2 = °,9; t0 = 28 сут. Кривая / соответствует
эталонному времени загружения, кривая 2 построена для случая t —
0 Л
Мягкий режим нагружения. Для определения параметров ^b(t,
t0) и \>0(t, t0) диаграмм-изохрон мягких режимов нагружения исполь-
используем уравнение нелинейной теории ползучести [26] в виде
Рис. 4.3. Диаграммы-изохроны при сжатии 7 — эталонная диаграмма: 2 3
изохроны мягкого нагружения .- 4. 5 — изохроны жесткого нагружения
174
t0
D.18)
V4 (г)
dr],
jo
„(О Ът
где ?к — усредненный модуль упругости бетона на отрезке (t — ?„).
В квадратных скобках уравнения D.18) второй член [ниже он
обозначен как <?.,(?, t0)] учитывает влияние линейной составляющей
деформации ползучести, а третий [он ниже обозначен ?>n(t, ?„)] —
нелинейной. Коэффициеент л>ь принимается на основании эталонной
диаграммы, зависит только от уровня напряжений б"ь@ и не зависит
от режима нагружения. Функция f(t,T) записывается в виде D.9),
где t0 заменяется на t, ее производная
Ь ifi (f, r)
Ът
D.19)
(a -
Если напряжения в бетоне возрастают с постоянной скоростью
аь(т) = аъ (t), D.20)
как, например, в случае возведения'здания, то линейная составляю-
щаяр .(t^tg) определяется с помощью зависимости
1 f 9^(f,T)
= L1-- с [ ( + Д) - (Д + D) (f - f0) ] -
t-h 7,
1 D.21)
— С *¦ —— с
1 1
[(f - tQ + D(t-t0 (a-
2T 7
_Д (f _ ,„ + __i_,
175

Dd
"(«-If
Bd
Анализ опытов [206] и некоторых других показал, что зависи-
зависимость D.19) можно распространить на отрезки времени t — tQ < 1 сут,
если принять в формуле D.10) для f(t — t0) D= 0,2; а= 400.
Соответствующая кривая 2 изменения функции D.19) во времени
при t0 = 28 сут приведена на рис. 4.4. Пунктиром показана кривая 3,
принятая в пособии [139]. Она записывается более простой формулой
по сравнению с выражением D.21),
D.22)
.,(*, *0) = 0,5<р[1 + <г2ь*-»]х
х[1 - 0,8e-V'~V] Д (t, t0),
гдеТ = t (в данном случае); t0 =28 сут; если t — t >1 сут, тоД(?, t0) = 1; если
0^ t - to< 1 сут, тоД((, t0) = 1 + 0,315 ln(t-t0). D.23)
Множитель A (t, t0) учитывает влияние быстронатекающей
ползучести. Изохроны, построенные с использовнием формул D.20)
и D.22), показаны на рис. 4.3 линиями 4 и 5.
Наибольшее отклонение между кривыми 4 и 5 составляет 7%.
Нелинейную функцию Уп(?, t0) определим, полагая на отрезке t — tQ с
некоторым приближением
о (т) а (т) а (т)
т? (т) = « = о,95 =
R (Т) Л [0,5 tt + Го)] Л (Л f0)
D.24)
о (f) (г - f0) т - f0
= 0,95 — = 0,95 ц (f, to) ;
R (f, f0) (f - fo) f - f0
тогда
0,8 v n4 (f, f0) f
c J
J (г-r0)
Э i^ (f, т)
dr. D.25)
Заметим, что упрощенные зависимости D.24) можно не вво-
вводить, если разделить интервал интегрирования (t — t0) на отдельные
малые подынтервалы, принимая в пределах подынтервалов осреднен-
ные значения *) (f).
Подставим в формулу D.25) значение производной D.19) и
выполним интегрирование по частям — для каждого слагаемого
18
0,6
1
/
/
t
и» — —
20Ю 70100 150 200 300 (t-te),cym
Рис. 4.4. Изменение во вре-
времени характеристик ползучести бетона
класса В40 7 — жесткий режим.- 2
3 — мягкий режим
176
формулы D.19) в отдельности, используя при этом унифицирован-
унифицированную процедуру
i* (т - to
+ >" - D.26)
o - (t-to)n Ар' е" ^ -
- п(х - to)nl (А/р3) «•• *>"+ п(п - 1)(т -
х(А/р3) C^p* - п(п - 1)(и - 2)(т - ^0)"-3
+ п(п - 1)(п - 2)(п - 3)(т - toy
- r(r - l)(n - 2)(я - 3)(я - 4) t
где п = 5 (как в нашем случае), хотя формула D.26), может быть по аналогии
записана для любого п; A, s, p — константы.
Полученные аналитические выражения функций(f>,(t, ta) и fj,t,
t0) были использованы при проведении численных экспериментов с
целью поиска более простых аппроксимаций. Было установлено, что
приемлемые результаты можно получить, полагая
еь (О = —-4-L J + [1 + кУс п4 (t,@) ] yp a,f0) D.27)
Еъ { vb
здесь значенияу?^, i0) вычисляются по формуле D.22) приближенно
k = [0,74 + 0,26 (to/tyy.
Приравнивая деформации, получаемые по формулам D.5) и
D.27) при ^(i, t0) =0и^(?, t0) = 1, находим параметры Vb(t, t0), i>0(t,
t0), соответствующие мягкому режиму нагружения. Эти параметры
будут определяться по формулам D.14), D.15), где вместоу(?, t)
следует вводить значенияip,(t, t0), определяемые по формуле D.22).
Следует заметить, что формулы D.14), D.15) с функцией <p(t, t0) =
tp^t, t0) могут использоваться и для жесткого режима нагружения,
полагая в формуле D.22) v = t0 C, рис. 4.3) (это унифицированная
запись принята в Пособии).
Заметим, что внося в D.8)<p(t, t0) =p,(t, t0) из формулы D.22)
при т1" = t0 и fc из D.16), придем к уточненной конструкции общей
меры ползучести C(t, t0). Средний модуль Еь = ?6[0,5 (t + t0)], тогда
aE(t0) = aE(t) = ?4[0,5 (t + to)]/Eb.
Восходящие ветви диаграмм-изохрон 2 и 3, 4 и 5, приведенные
на рис. 4.3, достаточно близки между собой, наибольшее отклоне-
отклонение составляет 7%. Расхождение нисходящих ветвей этих диаг-
диаграмм, особенно диаграмм 2 и 3, больше. Отметим в этой связи, что
положение вершин диаграмм-изохрон и их восходящих ветвей имеет
достаточное экспериментальное обоснование, поскольку для их пос-
построения использованы рекомендации по определению характеристик
поязучести и функций нелинейности [*142], кроме этого они сопостав-
сопоставлялись с результатами прямых экспериментов И. И. Темнова(рис. 4.5).
Однако нисходящие участки диаграммы требуют уточнения.
177

0,8
0,6
0,4
0,2
A
/
V
//
/
<f
A-T
Рис. 4.5. Диаграммы-иэохроны
для бетона класса В4О 7 — эталонная
диаграмма 2 — изохрона (t-tj = 14O
сут. 3 - (?~у = 7ОО сут; to = 28 сут:
Т — опытные точки
4 ЕуЮ
-3
Приведенные формулы и диаграммы можно достаточно просто
использовать при расчете стержней и стержневых систем. При рас-
рассмотрении плосконапряженных элементов железобетонных конструк-
конструкций следует учитывать эффект уменьшения деформаций ползучести
бетона при двухосном сжатии, выявленный на основании анализа
экспериментальных данных. Это явление можно учесть, заменяя в
формулах D.15) и D.16) характеристики ползучести (t, tQ) на 2(t,
tQ) (по предложению А.Ф. Яременко)
- 0,23
----
<h (О
] * (f,fo>,
D.28)
^ ^ — значения главных напряжений, а значения коэффициента
^ з принимаются в зависимости от модуля открытой поверхности образца (см. табл. 4.2).
В случае трехосного неравномерного сжатия формулы методи-
методики диаграмм-изохрон претерпевают существенные изменения.
Остановимся еще на одном вопросе. Кривая длительной про-
прочности Rb(t, tQ) реально характеризует лишь прочность образцов,
которые нагружаются длительно действующими напряжениями высо-
высокого уровня (выше или равными Rb(t, tQ). Если к заданному моменту
времени t напряжения в элементе будут ниже Rb(t, t0), например они
будут соответствовать напряжениям в точке С на рис. 4.1, то реальная
прочность элемента в данный момент времени t может быть выше
длительной прочности. Этот фактор можно выявить, догружая эле-
элемент в данный момент времени t кратковременной нагрузкой до
разрушения.
Факт повышения прочности объясняется тем, что в элементе
проявляют себя два процесса, разрушительный, который связан с
развитием деструкции в бетоне (он преобладает при высоких уровнях
178
напряжений), и созидательный, связанный с набором (ростом) про-
прочности образцов по времени. Второй процесс характеризуют кривой
роста прочности бетона во времени R4bi.i) (см. пунктирные линии 9 на
рис. 4.1).
Для построения такой кривой изготовляют одновременно
п серий однотипных образцов, которые хранят в ненагружен-
ном состоянии в одинаковых температурно-влажностных усло-
условиях и периодически, через определенные интервалы времени,
испытывают до разрушения однотипными кратковременными
нагружениями. Кривая R*(t) может быть описана зависимостью,
представленной в рекомендациях [142], или зависимостью типа
D.4). Заметим, что если указанные п серий образцов предвари-
предварительно нагружать напряжениями, а затем хранить в нагружен-
нагруженном состоянии, то, по данным некоторых исследователей, про-
прочность образцов-при кратковременных периодических догруз-
догрузках до разрушения может быть больше прочности R*(t); этот
фактор можно учесть, корректируя R*(t).
Догружая элемент в точке С до разрушения, придем к разруше-
разрушению в точке К, которая расположена между точками Р и Н (см. рис. 4.1,
а). Обозначим
A R*b(t, t0) = R*b(t) - Rb(t, t0).
Реальные прочности образцов в момент времени t, которые
предварительно были нагружены в возрасте tg по жестким или мягким
режимам, можно вычислять, используя интерполяционную зависи-
зависимость вида
R*b(t, t0) = Rb(t, t0) + AR"b(t, to)[i - rfU, t0)] +
+ AR*b(t, ta) [1 - r](t, to)]a r\ (t, t0) D.29)
где 5 ю4;а<=0,5; r\(t, t0) — уровень напряжений по отношению к длительной
прочности, определяемый по формуле D.5').
Действительный уровень напряжений
т? * (f, f0) = -—f- •
R? it, t0)
Этот уровень может быть использован для уточнения
представленных выше зависимостей. Формулу D.29) можно
использовать для определения прочности образцов при догруз-
догрузках (при режимах длительного нагружения с последующей
кратковременной догрузкой).
Заметим еще, что в практических расчетах и нормах могут найти
применение граничные диаграммы-изохроны, соответствующие t =
=оо, они следуют из представленных выше зависимостей. В этом
случае в зависимостях C.1), C.2) следует заменить Vo на-ь>0(оо, t0)
179

"о
,t0) =
,t0) =
D.30)
где для жесткого режима: * = 0,65; 6 = 1; для мягкого: * = 0,74; в = 0,5. Кроме
того,» заменяется на *? (?, t0). '
Диаграммы-изохроны разгрузки. Пусть задано несколько од-
однотипных режимов нагружения, например три, как на рис. 4.6, а;Т =
t0 — время нагрузки до напряжений^, 6~B), б"C), выдержка й полная
разгрузка при t = t r В промежутке Т2 - Т, деформациим всех
элементов для любого фиксированного времени, например, t , описы-
описываются одной из представленных выше диаграмм-изохрон (условно
изохронной нагрузки). Однако после t > Т2, т.е. после разгрузки,
указанные диаграммы становятся неприменимыми. Этот недостаток
можно устранить, если ввести понятие диаграмм-изохрон разгрузки.
Заменим режимы нагружения на рис. 4.6, а суммами двух
режимов: режимом нагрузки напряжениями S+ и режимом разгрузки
напряжениями ff~y так что ff@ = ff*, + б"~у Будем полагать, что к
описанию деформаций ползучести применим принцип наложения
воздействий в модифицированном виде. Модификация заключается в
180
Рис. 4.6. Замена реальных режимов ( а) суммами двух режимов ( <Я
том, что на ветви разгрузки нелинейность деформаций ползучести не
учитывается (т.е. fc = 1). При этих условиях деформации элементов,
нагружаемых по схемам рис. 4.6, б, при t >Т2 составят
)+ e-b(t); D.31)
eb(t)=
где
D32)
Ч Ъо % % + *(t'Ti)]' D32)
Ь Ь -*
здесь z = l,2,3 — номера режимов нагружения (в принципе их можно опустить); V ь,
'Рь — обозначения величин Vъ в диаграммах кратковременной нагрузки и разгрузки;
верхние стрелки: *-*•* нагрузка, «•-» разгрузка, они введены, чтобы подчеркнуть
различие параметров V ь при нагрузке и разгрузке.
Зависимости D.32) и D.33) можно заменить соответственно
двумя видами изохрон; здесь также для общности записи индексы (О
опустим:
?(г>- *™ , D.34)
eb (О = -5. • D-35>
Еь (т2) \ (f, г2)
Приравнивая D.34) и D.32), D.35) и D.33), находим:
vb (,, W = 5-Ъ™ ; D.36)
аЕ(тО + vbfc<p (г, то
vb (г. та) = Ь-7Е- . D.37)
аЕ (т2) + vb v> (f, т2)
Зависимости D.34) представляют собой диаграммы-изохроны
нагрузки, они полностью совпадают с рассмотренными выше диаграм-
мами-изохронами D.6), D.13)_; здесь только величины Сb, i>b(t, t0),
¦Jb, t0 обозначены б* i>b(t, г^,л>ь,Тх. Зависимости D.35) назовем (по
аналогии) диаграммами-изохронами разгрузки. Значения Vь вычис-
вычисляются по формулам кратковременной разгрузки (они указаны в
гл. 3, п. 3.2). По аналогии с Vb(t, t0) [см. пояснения к формуле D.15)]
выражение Vb(t, t0) также можно использовать двояким способом. Во
втором способе применяются зависимости типа D.14) и D.15).
Внося D.34), D.35) в D.31), приходим к наложению изохрон.
Отсюда говорим об использовании принципа наложения изохрон при
181

Рис 4.7. Разделение сложного режима
определении суммарных деформаций элемента. Этот принцип можно
распространить и на сложные режимы нагружения (рис. 4.7), однако
при этом необходимо учесть некоторые особенности. Среди них
особенности стыковки (здесь наложения) диаграмм кратковременно-
кратковременного деформирования (см. в п. 3.2). Для учета этих особенностей
реальный режим нагружения (рис. 4.7, а) необходимо разделить на
четыре графика: нагружение положительными напряжениями tf++(t)
и разгрузку положительных напряжений 6*{t) (рис. 4.7, б); нагрузку
отрицательными напряжениями б и разгрузку отрицательныъ на-
напряжений б+(t) (рис. 4.7, в). В сумме6{t) =^6k(t)(k = ++; +-; -;
-+); второй знак в индексе указывает на знак напряжения бк(t),
например, k = +- означает, что компонента 6+'(t) отрицательна.
Фактически, <У*(t) — это приращения напряжений (см. гл. 3).
На каждом графике фиксируются максимальные уровни напря-
напряжений (горизонтальные пунктирные линии на рис. 4.7, б, в). Превы-
Превышая эти уровни по модулю, переходим к иному проявлению как
кратковременных деформаций, так и деформаций ползучести. На
этом факторе акцентируется внимание в работах П.И. Васильева
[28], А.А. Гвоздева [37, 38] и некоторых других исследователей.
Вопросы описания сложных режимов нагружения с учетом физичес-
физической нелинейности еще находятся в стадии разработки.
182
4.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДИКИ ИЗОХРОН К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ДЕ'РОРМЛЦИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА В УСЛОВИЯХ ТРЕХОСНОГО
СЖАТИЯ
Диаграммами-изохронами описываются ступенчатые режимы
трехосного неравномерного сжатия напряжениями <TV ff2, бъ, когда
они прикладываются в течение непродолжительного отрезка времени,
примерно в пределах 1 ч, и в последующем выдерживаются постоян-
постоянными в течение времени t~ t0, где t0 — возраст бетона к моменту
нагружения. Такой режим нагружения, как уже указывалось, назы-
называем жестким. Обозначим относительные деформации по главным
направлениям через ?t(t, tu),t2(t, to),C3(t, t0). К диаграммам-
изохронам преобразуем связи между главными напряжениями —
деформациями (физические отношения), рассмотренные в гл. 3
(см. п. 3.6), в результате
(f, fo)
е2 (f,
, fo)]
D.38)
<h
где ~4m{t, tg) — коэффициент изменения секущего модуля деформации бетона
в диаграмме-изохроие, построенной для времени (t—10) по направлению действия
главного нормального напряжения ff3; JM bji(t, ta) - коэффициенты поперечных
деформаций для времени (? — ?„) по трем главным напряжениям (они принимаются
различными).
Анализ представленных ниже экспериментальных результатов
показал, что в качестве базовых могут быть приняты зависимости
C.97) и C.98) по определению f*bJi(t, to)n^b3(t, t0). Однако входящие
в эти зависимости переменные, они приведены в промежутке между
формулами C.97) —C.105), следует корректировать с целью учета
натекания деформаций ползучести во времени.
фр у р
Значения Vb3(t, t0) вычисляются по формуле
(f, f0) + [1>оз (f, f0) - vb3 (f,f0)]
b3(
(f, f0) -
(f, f0),
D.39)
t0).
причемwC=w13a O,a>p=^23 0
В формуле D.39) V b3(t, tlt) - значение Vb3{t, t0) в вершине изохроны
трехосного сжатия при достижении напряжениями &,, 6V б'3 своих предельных
значений, т.е. при «выходе» па поверхность прочности.
Между значениями-i^U, ?Q) и аналогичными значениями Vb(t,
tQ) в вершинах диаграмм-изохрон одноосно сжимаемого образца
имеется связь
183

D.40)
где
/?ь(?, t0) — длительная прочность бетонных образцов, нагруженных одноосным
сжатием по жесткому режиму, вычисляется по формуле D.1).
Функция ^b(t, t0), определяется формулой D.15), принимая
Ле(*<) * 1 И<Р(Ъ ^ z!f№> t<)' где значения ^(f, ?0) вычисляются по
формуле D.22) при Т, = t0, в результате
f,'о) =
1 + vb fc
(Л
D.42)
В функцию^,^, t0) входит множитель Д (?, t0), который можно
более точно вычислить по формуле
A (t, t0) = V 1+0,314 In (t - t0)
D.43)
(уточнение множителя вводится для более точного учета быстронате-
кающих деформаций ползучести).
Для функции f можно принимать несколько модифицирован-
модифицированное выражение D.16)
, . , ^L^_^_ , «.„)
где
tf — предельное значение напряжения tf3; б3 определяют в предположении
простого нагружения образца напряжениями Sv &2, S3; причем Ct > б2 > б3, за
положительные принимаются растягивающие напряжения.
По аналогии с формулами C.3), C.4)
@,3 = 2 -2,5 $,(*,*„); ш23=1 - ш,3. <4.46)
Кроме того, в формулу D.31) входит начальный коэффициент
изменения секущего модуля iJ03(t, t0),
03'
где
1 + V (f, t0)
$>(to)=\63/Rb(to)\,
D.47)
л ^оз' c ~~ указан|IвформулеC.101), при их определении Ую заменяется на Vb3(t,
^ ь заменяется на У b(t^\-n3(t, t{) — уровень напряжений б3 в момент времени t,
Л з С 'о)
а3
RbU, t0)
Rb U,
D.48)
184
Выдвигается предположение, что установленная в гл. 3 связь
межд^у коэффициентами поперечных деформаций jM^ и коэффициен-
коэффициентом V ьз в случае кратковременного действия нагрузки может тран-
трансформироваться и на длительное действие, если соответствующие
параметры будут определяться с учетом их изменения во времени, в
результате
к°-
D.49)
х V 1 - тЦи toy,
(ji = 12; 13; 23)
гдеру1.(*, t0) — значение^!bjj(t, ta) в вершине диаграмм-изохрон, причем
К = ^ + A - ^KfrVHij (ji = 12; 13; 23) D.50)
где х, — определяется по формуле C3.105) при фй = фй(^0).
Остановимся на некоторых результатах экспериментальной
проверки представленных выше формул. Использовались опыты
Б. Сабирова [148] и Ю.Н. Малашкина, И.М. Безгодова [117]. Ха-
Характеристики опытных образцов-призм приведены в табл. 4.3 (М.Б. —
образцы Б. Сабирова из мелкозернистого бетона; К.Б. — образцы из
крупнозернистого бетона Ю.Н. Малашкина). Принятые для образ-
образцов характеристики функций ползучести приведены в табл. А.А,
причем значения р N и vc устанавливались по испытаниям призм на
одноосное длительное сжатие.
i
Таблица 4.3
Вид бетона Тд^, МПа I Еь, МПа | ц? | eR | Возраст,
1 L J 1 rz
М.Б. 26,6 17754 0,19 240xl0~s 334
К.Б. 20,0 31500 0,22 160x10*5 150
Таблица 4.4
Вид бетона^^ \ vc J" *> ] Ь J" ^l ] d
М.Б. 2,56 1,102 1,13 0,93 0,0074 0,7595
К.Б. 6,2 2,9 0,47 0,51 0,004 0,625
185

?}Ю3
-8
-6
— A
0
у
4
6
/"
;
'
г » да 24(t-tt),m
-—
— —
—
Рис. 4.8. Де<рормации мелко-
мелкозернистого бетона при длительном
одноосном (Л и трехосном (Я сжатиях
(—' - опыт.- расчет)
-ЕуЮ5
180
Г 20 t-to,cym
.а, и треком
186
Призмы испытывались в условиях трехосного сжатия типа 6^ =
б2 >б3; здесь, как и ранее, за положительные принимались напряже-
напряжения растяжения, поэтому напряжение сжатия б3 по модулю выше
напряжений СГ, и б2, т.е. | <5| >| бх\ =\&2\. На примере образцов
Б. Сабирова проверялся характер натекания быстронатекающих де-
деформаций ползучести. Эти образцы нагружались до уровней 0,7 — 0,8
от уровня кратковременной призменной прочности, выдерживались в
пределах 1 — 1,5 сут, после чего догружались до разрушения. В
опытах Ю.Н. Малашкина образцы выдерживались длительное время
при некоторых средних уровнях трехосных напряжений. В различ-
различных образцах принимались неодинаковые значения боковых напря-
,жений сжатия б\ = бг
Сопоставление результатов расчета с данными опытов пред-
представлено на рис. 4.8, 4.9 (рис. 4.8: / — графики одноосного сжатия,
2 — графики трехосного сжатия из опытов Б. Сабирова; рис. 4.9,
U — графики одноосного сжатия при уровняхл (?0) = 0,4; 0.6; 0.8 и
рис. 4.9,6 — графики трехосного сжатия при уровнях »3(^0) =0,204;
0,306; 0,403; 0,511 из опытов Ю.Н. Малашкина). Хотя совпадение
теоретических и опытных значений деформаций можно считать удов-
удовлетворительным, тем не менее при. высоких уровнях трехосного
сжатия интенсивное начальное натекание деформаций ползучести
происходит на большем отрезке времени, чем это дают подобранные
функции. Учет этого фактора требует дополнительных исследований.

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ БЕТОНА СПОСОБОМ Тт
(ТРАНСФОРМИРОВАННОГО ВРЕМЕНИ НАГРУЖЕНИЯ)
Рассмотрим более универсальный по сравнению с изохронным
способ определения деформаций ползучести бетона, ограничиваясь,
однако, одноосным напряжением. Способ Тт заслуживает внимания в
связи с тем, что позволяет сравнительно просто рассматривать слож-
сложные режимы напряжения с учетом особенностей проявления нелиней-
нелинейной ползучести на ступенях разгрузки и повторной нагрузки. Кроме
того, при этом отпадает необходимость в запоминании и хранении
больших массивов данных об истории напряженного состояния в
процессе расчетов. Это упрощает алгоритмы и программы расчет на
ЭВМ. Способ Тт разработан Н.И. Карпенко и А.Н. Петровым [66].
Полагаем, следуя [66], что деформации бетона состоят из двух
компонент: линейной составляющей, для которой справедлив при-
принцип наложения воздействий, и нелинейной составляющей, которая
полностью необратима при разгрузке. Удельные относительные де-
деформации бетона определяются функцией вида
8 (t т) = 8,(?, т) + 8п(а, t, x), D.51)
где
+ С (t, f) ;
D.52)
,. r); D.53)
входящие в формулы D.52) и D.53) значения рассмотрены в п. 4.1,
здесь только t0 заменяется на Т.
Режим нагружения общего вида (рис. 4.10, а) разделяется на две
ветви только возрастающих напряжений {6}+ и только убывающих {б}"
так, как показано на рис. 4.10, б, в. Фактический режим нагружения
равняется сумме его ветвей. Полные относительные деформации бетона
в момент времени Т{ < t < Tm определяются по формуле
> [с С ] [
It,
те
= °к
)] + О„
ттк
D.54)
ЕЪ«?
гт)
We<5nax =max{<5't,6'2,...,<?.} — максимкльное значение из ряда напряжений на
ступенях; i, к, е — номера ступеней соответственно на графиках рис. 4.10, а, 6, в; i =
k + е; 6rj = ffk + б; Т?, Т~, f T — трансформируемое время нагружения соответственно
напряжениями Оу,С~, ffr
Если Еь является константой относительно Т, формула D.54)
преобразуется к виду
188
а)
TS t t,T
Рис 4.XJ. Радепение слож-
сложного режима нагруженил ( а) на
два графика (б. в)
ВL * т,- 3 zj t
t,x
°k C
- vb (rT)
¦ °е С <'• Че> +
rf (тт) с (г. тт) I
о
max
Рассмотрим сначала определение трансформируемого времени
' *^т?' ^"и в линейной области. Пусть ^ — время приложения ступеней
возрастающих напряжений^, (см. рис. 4.10, а, здесьТ( =^ ^ = бр.
При 'Tj < t < t*3 линейные деформации бетона вычисляются в виде
суммы
б@= ст,8,а, т,) + (о2- а,) 8, а т2). D.56)
Строгое равенство D.56) заменяется приближенным
б@= ст28(а, тт2), D.57)
где^Г^ — определяется таким образом, чтобы невязка правой и левой
частей приближенного равенства
с2 8 t(t, тт?) = а, 8,а, Т,) + (о2 - а,) 8,0, т2) D.58)
была минимальной. Уравнение D.58) относительно f т2 решается один
раз для t = Т2 + 1 сут, при этом требование минимальной невязки
соблюдается для t >Т2 + 1 сут. Для последующих этапов нагружения
уравнение трансформирования записывается в виде
D.59)
а3 8,а тт3) = а2 ф, тт2) + (о3 - а2) 8,(t, т3)
и так далее. После трансформирования времени нагружения на этапе
i линейные деформации бетона для Т; < t < Ti+t сут определяют по
формуле
6,@= а.8,а, тт.). D.60)
189

ЛИНЕЙНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
БЕТОНА
Рис. 4.11. К определению
т в линейной области
t t,T
Последовательность трансформирования времени нагружения
показана на рис. 4.11. Если режим нагружения включает этапы
разгрузки, то он разделяется на две ветви только возрастающих
напряжений 6+и убывающих б~ Трансформирование времени нагру-
нагружения на каждой ветви ведется отдельно.
Решение уравнений трансформирования типа D.59) с целью упроще-
упрощения вычислений можно заменить определением по формуле
Ti t'-l т t'-l i i-\'* i\/***•' V
При этом возможно незначительное (до 10%) отклонение от
результатов, полученных на основе численного решения уравнений
трансформирования.
Трансформирование характеристик нелинейных деформаций
бетона рассматривается на примере нагружения, показанного на
рис. 4.12. При т2 < t < T3 двухступенчатый режим нагружения
условно разделяется на три одноступенчатых (рис. 4.13, б, в, г).
Нелинейные деформации вычисляются для каждой ступени, а резуль-
результаты суммируются
6.@ = а,5,(о„ t, т,) + а25„(а2, t, т2) - о,5.(о„ t, т2). D.62)
Строгое равенство D.62) заменяется приближенным
6.@ = с*А(а2, t, тт2), D.63)
где Тт2 определяется таким образом, чтобы невязка правой и левой
частей приближенного равенства
а2 5.(о2, t, xj = о,5,(о,, *,т,)
+ ст2бл(а2, t, x2) - ст,5я(о,, t, т2) D.64)
была минимальной. Уравнение D.64) относительноТт2 решается один
раз для t = Т2 + 1 сут, при этом требование минимальной невязки, как
и при трансформировании линейных характеристик бетона соблюда-
190
т, тТ2 т2 т3 т# zTS т5 t tp
6,
6s
6,
I
<Ьз
t t,T
Рис. 4.12. К определению тт в нелинейной области
a)
62
zi v2 t
6)
6
1
©
't i
8)
6
L
г
©
6
L
6,
fo"
r2 <
Рис. 4.13. Разделение двухступенчатой нагрузки ( а) на три графика (б - г)
ется.для t > Т2 + 1 сут. Для возрастающего ступенчатого режима
нагружения уравнение трансформирования записывается в виде
+ о. 5.(oJF t, т.) - о.., 5„(а,,, t, т.). D.65)
После трансформирования времени нагружения на этапе г
нелинейные деформации бетона для Т. + 1 < t < f1+1cyT определяют
по формуле
6,@ = о, 5,(о,, t, тт1). D.66)
Для Т3 < t < f4 (первая ступень разгрузки) нелинейные дефор-
деформации бетона равны
191

a)
б)
8)
г)
6
Рис. 4.14. Разделение двухступенчатой нагрузки с разгрузкой ( а) на три
графика (б - г)
где?п(Т3) вычисляют по формуле D.66) при t = t-
Схема построения зависимости D.67) показана на рис. 4.14, где
двухступенчатый режим разгрузки (рис. 4.14, а) условно разделяется
на три одноступенчатых режима (рис. 4.1, б, в, г). Три члена правой
части формулы D.67) выражают соответственно деформации для
этих трех составляющих. ДляТ4 < t < T5 схема вычисления нелиней-
нелинейных деформаций бетона (см. рис. 4.14) сохраняется. Формула имеет
вид
е„@ = в„(т4) + G45>4, t, тт2) - а4б„(а4, т4, тт2), D.68)
где? „(Г4) находится по формуле D.67) при t =Tt.
Трансформированное время, входящее в зависимости D.67) и
D.68), остается одинаковым. Оно определяется для этапа, предшес-
предшествовавшего первой ступени разгрузки — в нашем примере для этапа
у = 2; t"T. =$~т2). Таким образом на ступенях разгрузки необходимость
в трансформировании времени нагружения отпадает. При этом лишь
увеличивается слагаемое 'Sn(fi), которое выполняет роль накопителя
деформаций, и уменьшается уровень напряжений.
Когда за разгрузкой следует этап догружения (см. пятый
этап на рис. 4.12), уравнение трансформирования имеет вид
°«, 5>™х. т5, тт5) - в„(т5) = 0, D.69)
где б~та — максимальные напряжения, достигнутые на предшествующих
этапах нагружения; в нашем случае вт.а =&2-
После трансформирования времени нагружения по указанию
D.69) приходим к двухступенчатому режиму. Если б'тах < <5, то имеет
место схема, показанная на рис. 4.13; если ?"тах > б — то схема,
показанная на рис. 4.14. В таком алгоритме учитывается то обстоя-
обстоятельство, что накопление необратимых деформаций на повторных
нагрузках зависит от того, как соотносится уровень повторной нагруз-
нагрузки с максимальным уровнем предшествовавших нагрузок.
192
Рис. 4.15. Сопоставление опытных и теоретических деформаций ползучести
бетона при сложном режиме нагруженил
С целью упрощения вычислений решение уравнений трансфор-
трансформирования D.65) можно заменить вычислением по формуле
т, Кч\м Ц Д,]/°г D-70)
При этом, как и в случае трансформирования линейных харак-
характеристик, возможно незначительное (до 10%) отклонение от резуль-
результатов, полученных на основе численного решения уравнений тран-
трансформирования.
В некоторых случаях — при расчете быстронатекающих дефор-
деформаций бетона, а также при загружении бетона в возрасте до 28 сут
нербходимо решать уравнения трансформирования D.58) и D.66)
при t = Т. +&t, где t < 1 сут. В первом случае принимают At = Т —
Т. < 1 сут. Во втором случае значение t вычисляют по формуле
A t = е-°-075Ш - V - 0,122 < 1 сут. D.71)
Если оба фактора действуют одновременно, то Д? принимают
равным меньшему значению.
С целью проверки соответствия выдвинутых расчетных пол-
положений опытным данным по способу Тт были просчитаны деформации
ползучести для сложных режимов из опытов различных авторов, и
получено хорошее согласование расчета с опытом; в полном объеме
сопоставление приведено в работе [66]. Кроме того, наносились
теоретические кривые, полученные по двухкомпонентной теории
П.И. Васильева [30], А.А. Гвоздева, К.З. Галустова, А.В. Яшина
[32, 35]. Способ fT дает точность не ниже точности указанных теорий.
7 Лак. 1408 193

Для примера на рис. 4.15, а представлен график режима
нагружения из опытов СВ. Александровского и Н.А. Колесникова
(возраст бетона к началу загружения И", =85 сут, 7^=40,5...44,2 МПа).
На рис. 4.15, б показаны: точками / — экспериментальная кривая,
пунктирной линией 2 — теоретическая кривая по двухкомпонентной
теории [32]; сплошной линией3 — кривая, построенная по способу Тт.
Способ Тт дает такие же результаты, что и двухкомпонентная теория,
однако решение достигается более простым способом.
4.4. УЧЕТ ДЕФОРМАЦИЙ УСЛДКИ БЕТОНА
При нарушении влажностного равновесия внешней среды и
бетона в последнем проявляются деформации усадки, которые сопро-
сопровождают процесс высыхания бетона на различных структурных
уровнях в среде с более низкой влажностью, или набухания — в среде
с избыточной влажностью. Проблемой усадки (набухания) бетона
занимались многие исследователи; ей посвящена значительная часть
монографии СВ. Александровского [1], где также представлен обзор
различных работ; рассмотрение этого вопроса можно встретить в
монографиях [26, 27, 140, 163, 164 и др.] Большая работа по
нормированию деформаций усадки была выполнена О.Я. Бергом,
Е.Н. Щербаковым, И.Е. Прокоповичем, М.М. Заставой [18,120, 121,
139]; деформации набухания в последнее время обобщались Р.Л. Серых,
их причины рассмотрены в [96].
Ниже приведем лишь формулы по определению деформаций
усадки, представленные в пособии [139] (они подготовлены
И.Е. Прокоповичем и М.М. Заставой). Значения деформаций усадки
бетона к моменту времени t определяются по зависимости
%М' tw) = sjt = -, tw)[\ - е°«-9\, D.72)
)
где^ — возраст бетона в момент окончания влажностного хранения, сут; Ct—
коэффициент, принимаемый по табл. 4.5;?fc(? ~oi,tw) — предельное значение усадки
тяжелого бетона в форме О.Я. Берга [15].
(-. 7)
D-73)
где? * — предельные значения деформаций усадки в эталонных услових;^ ,,
§ 2' § з ~ характеристики, учитывающие влажность среды и условия влагообмена
бетона со средой.
Параметры ?.*, | (,^ 2, | 3 принимаются по табл. 4.5 с учетом
следующих корректив:
для бетонных смесей, имеющих осадку конуса 1 — 2 см или
жесткость 15 — 40 с, табличные значения ?.^.(^>, 7) умножаются на
коэффициент 0,85;
для конструкций, эксплуатируемых на открытом воздухе в
районах, относящихся к IY климатической зоне, указанные в табл. 4.5
194
Таблица 4.5
Характе-
Характеристики
ebs (*" '
ifx 106
Si
*3
В12.5Г B15
350 350
7 и менее
1
40 и менее
1,25
Класс обычного тяжелого бетона
[~В20
400
28
0,95
]вз_о
400
Х!4_0__1
400
Возраст бетона t . сут
60
0,93
90
0,92
В50
400
180
0,91
Относительная влажность среды W, 9
50
1,14
60
1
70
0,87
80
0,73
„1В_6_°.
400
360 и более
0,90
Ь
90
0,56
Модуль открытой поверхности образца Мо, м
0 5
0,22 0,65
10
0,83
20
0,95
40
1,09
60
1,13
80 и более
1,15
0,004 0,004 0,004 0,008
0,016
0,025
0,033
значения 0L относятся к началу усадки в осенний и весенний периоды
года (октябрь, апрель); значения параметров 0Lувеличивается на 30%,
если усадка начинается в летнее время года (июнь), и уменьшается на
50% при усадке в зимнее время года (январь), в промежуточных
случаях применяют линейную интерполяцию;
для мелкозернистого бетона табличные значения ?^s(со, 7)
умножают на коэффициент 1,6;
для бетонных смесей с пластифицирующими добавками таблич-
табличные значения S-^^, 7) умножают на коэффициент 1,15;
деформации усадки суммируются (с учетом знаков) с деформа-
деформациями от действия напряжений.
4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
В УСЛОВИЯХ ДЕЙСТВИЯ ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУР
Здесь абстрагируемся от составляющих деформаций, связан-
связанных с температурными удлинениями и усадкой (их значения приве-
приведены в п. 3.3) и рассмотрим отдельно способы определения деформа-
деформаций ползучести в условиях повышенных температур совместно с
деформациями кратковременного нелинейного деформирования в
момент приложения нагрузки (или только деформаций ползучести).
Укажем на несколько способов.
7* 195

Способ диаграмм-изохрон. Он представляет собой развитие
рассмотренного в п. 4.1 способа определения деформаций бетона в
условиях обычных температур на условия с повышенными темпера-
температурами. Прежде чем переходить к рассмотрению изохрон, поясним
некоторые характерные точки и интервалы на оси времени:
°t0, Ч — время начала нагрева (возраст бетона к началу нагрева)
и рассматриваемое время t в условиях действия температуры (Ч = i)\
ttO — фактическое время действия температуры,
t = (°t — °t )•
t' — приведенное время действия температуры определяется по
формуле C.71);
°т — время приложения напряжений в условиях действия
температуры (Чо < °т < Ч);
т@ — время действия температуры до приложения напряжений
т = (ог of )
х' — приведенное время действия температуры до приложения
напряжений
х = xtf(t°),
F(t") — функция приведения, вычисляемая по формуле C.72);
t° — температура (Г° = ?°/20°С);
х — время приложения напряжений, если они прикладываются
до приложения температуры (в случае жесткого режима нагружения
х обозначается t0; при этом т* = 0.
Деформации бетона в способе изохрон после приложения
температуры вычисляются по формуле типа D.5),
D 74)
где &b(°t) — напряжение в момент времени t = Ч; °Eb — модуль деформации,
определяемый по формуле C.69), где вместо Е[ вводится модуль бетона ЕЬ(ЧО),
соответствующий началу нагрева (еслио?0 >28 cyT);Vb(?",f') — коэффициент изменения
модуля в диаграмме-изохропе D.74).
Параметр i>b(t', Т*) вычисляется по формулам C.2) — C.5), где
bфр
o заменяется наг>0(t',T'), Ьь на V6(?\ T') и
г>
на
Rb(°O
где R(°t) = Rb(t',T') — прочность бетона в возрасте Ч в условиях действия
повышенных температур.
Параметры Vjx'', t'), v (т*, f) определяются формулами типа
D.14) и D.15),
"о ('*, т*) = —
196
1 + 0 v> (f* т*)
D.75)
V(f*. т*> ' D.75)
где параметр °Vb — указан в п. 3.3; определение остальных величин рассмот-
рассмотрим ниже (они были установлены А. П. Кричевским).
Следуя [97], можно записать
Ф if, x) = C(f, x')°Eb, D.76)
где C(t', т") — мера ползучести в условиях действия повышенной температуры.
Ш*, т') = С(в(Г, тФ) - AC(t', t0) - ZA Cv(t', x). D.77)
В формуле D.77) C(e(t',f') — линейная мера ползучести при
одноступенчатом режиме нагрева (повышение температуры до неко-
некоторой величины плюс длительная выдержка при постоянной темпера-
температуре — изотермический режим нагрева)
Ctb(t', х') = С(О (**= ~ ; т'= 0) Q^t") ft,(t'- x'), D.78)
где Ct,(t' = -; т' = 0) — предельное значение меры ползучести бетона при
изотермическом нагреве
CtXt'= ~, х'= 0) = [12,7+ ?>(?>-1) - 9,3 е-02^ <>]х105, D.79)
здесь D = 50/(MJ + 50) — для высыхающего бетона (Мд — модуль открытой
поверхности);!) =3 — для невысыхающего бетона; Si <e(T') — функция температур-
температурного старения, которая для высыхающего бетона определяется по формуле
Q(O(t*) = а + A - а) е-<о,о8+ 0.0127-)^
D.80)
здесь а =0,07 + 0,02 f°; для невысыхающего бетона при модуле открытой поверхности
Мо = 0 функция Й(„(Т') находится также, как и при нормальной температуре
[см. пояснение к формуле D.11)], fta(t' — f) — функция, учитывающая развитие
деформаций ползучести во времени,
ft,(t' - тФ) = [1 - р (t°) e°W- T*»][l - e2(f* T*>], D.81)
здесь R(t°) — коэффициент, характеризующий быстронатекающую деформацию
температурной ползучести
рО°) = 0,85[1 - 0,054(Г° - 1)].
Если напряжения прикладываются до нагрева (при t0 < Чо и
т* = 0,), следует учитывать влияние удельных деформаций ползучес-
ползучести, которые проявились до нагрева. Однако, как показывают иссле-
исследования, представленные в [97], влияние предшествовавших дефор-
деформаций ползучести после приложения температуры уменьшается.
Например, деформации ползучести образцов, загруженных непосред-
непосредственно перед нагревом (до 120"С) и образцов, имевших значительные
деформации при нормальной температуре до этого нагрева, оказались
практически одинаковыми. С учетом этого фактора влияние удельных
деформаций предшествовавшей ползучести в [97] рекомендуется
определять по формуле (при t > Чо),
197

AC(f, t0) = C(°t0, t0) [1 - ft0(f, t* = ОУ^-»1], D.82)
где C(°t0, t0) — удельные деформации линейной ползучести, натекающие к t =
•°t0 в условиях нормальной температуры, вычисляются по формуле D.7) при fc = 1.
Слагаемое Z А С (f, т') вводится в том случае, если режим
температурного нагрева не остается одноступенчатым, а сопровожда-
сопровождается дополнительными ступенями возрастающего температурного
нагрева. Приращение меры ползучести после каждой температурной
ступени определяется по формуле
А О/Л', т') = °Fv(t') 20 (F° - \)ftB(f, т'), D.83)
где f — общая температура к заданному времени t , вычисленная с учетом
дополнительного нагрева; "Fyif) — приращение меры ползучести, отнесенное к 1°С;
2,5 10~8 G°- 1)
°Ff (Т*) = ^ °П (г*),
здесь — средняя скорость увеличения температуры,
т
г= ?д*;/|: а *;,
где jfitt' — значения температурных ступеней; At* — приведенное время
действия ступеней, причем приведенное время действия ступеней Л t*. должно прини-
приниматься не больше величины t*mJ, где
,* . 360 __ F
max,/ ~j,
ОЧЛ — функция приведения); величина t*^ . характеризует предельное
значение времени затухания деформаций ползучести на/-й ступени.
В функции fait', T'), входящей в зависимость D.83), приведен-
приведенное время f вычисляется с учетом полной температуры к рассматри-
рассматриваемому времени.
(Збщая мера ползучести определяется с учетом физической
нелинейности
C(t', т\ а) = C(t\ т-)/"е(.,
где fa, — функция нелинейности,
D.84)
/¦*. = ?. Л4 (т-); D.85)
л
т| (т*) — уровень напряжений @ < т| (т") < \);fct, — максимальное значение
функции нелинейности. — оно вводится в формулу D.52),
*. т*У
D.86)
здесь
fc(.^0,26(f° - 1)ti i<5
Л ~ уровень напряжений, определяемый для нормальной температуры (t° =
20°С) по формуле C.4); Rb= Rb r; k = 0,65 — для жесткого режима нагружения
(см. п.4.1);
198
* = [0,74 + 0,18 ( J]4
t *
— для мягкого режима.
Параметр р в формулах D.75) также учитывает влияние режи-
режима нагружения; р = 1 — для жесткого режима,
Р = 0,5[1 + e-2V*+A(t°)]
— для мягкого режима нагружения при
A(t°) = 1,5 - 0,14(f° - 1) In [1/F(t°)],
Остановимся еще на определении уровня напряжений °1п. Этот
уровень зависит, как указано в начале рассмотрения, от прочности
бетона Rb(t', Т*). Эту прочность, следуя [97], можно определить по
формуле
Rb(t', т-) = Rb(°t0) yb(f - т') °уь, D.87)
где Rb(°Q — прочность бетона при нормальной температуре к началу нагрева;
i?b(°i0) заменяется на RXt , °?0), если нагружение образца происходит до начала
нагрева при ta < °t0; Rb(°t^) — определяется по формуле D.4), a Rb(t0, °?0) — по
формуле D.1); °?ь — определяется по формуле C.70):
y.(f - тФ) = [0,95 - 1,57-10-21п(*'-т*)]Жт*),
D.88)
где B(z) = 1 - 0,05D - т#) < 1.
Построение единой меры ползучести бетона при нагреве.
Сопоставляя меру ползучести, представленную выше, с мерой ползу-
ползучести бетона в условиях нормальной температуры (она рассмотрена в
п.4.1), можно заметить, что эти меры не стыкуются — мера ползучес-
ползучести нагретого бетона не'переходит в меру ползучести обычного бетона,
когда температура приближается к 20°С. В работе [91], которой мы
следуем далее, сделана попытка единообразного описания ползучести
обоих видов бетона. Сначала рассмотрим деформации простой ползу-
ползучести нагретого бетона.
В основу рассмотрения положен учет таких наиболее сущес-
существенных, по мнению авторов [29], [97], [122] и других, факторов,
влияющих на ползучесть нагретого бетона, как влагосодержание и
скорость удаления влаги. Влагообмен с окружающей средой характе-
характеризуем, как это и принято, при помощи так называемого модуля
открытой поверхности Мо м"\ представляющего собой отношение
площади открытой поверхности образца к его объему (модуль исполь-
использовался уже в построениях п. 4.1 и п. 4.5). Заметим, что по этому
параметру все бетоны делятся на гидроизолированные (Мо = 0) и
высыхающие (Мо > 0).Изучению термоползучести гидроизолирован-
гидроизолированного бетона посвящены исследования [29, 125, 186, 189 и др.],
высыхающего — [97, 122, 196 и др.]. Для обоих типов бетона
составлены единые интерполяционные зависимости.
199

Нагрев сопровождается образованием и развитием микротре-
микротрещин в бетоне, которые приводят к нелинейной ползучести и сущес-
существенно ограничивают область условно нелинейных деформаций пол-
ползучести. Как и ранее, этот фактор учитывается при помощи функции
нелинейности.
Переход к описаниям ползучести при режимных воздействиях
как силовых, так и термосиловых осуществляется по принципу
наложения воздействий при некоторой модификации его на ветвях
разгрузок (здесь влияние функции нелинейности не учитывается).
Допустимость использования этого принципа для приближенного
описания термоползучести бетона обосновывается в [97].
Перейдем к построению единой меры в условиях простой
ползучести и термоползучести. Удельные деформации ползучести
нагретого до температуры t°C бетона в условно линейной области
представим в тредиционной форме [97, 140, 142 и др.]:
Ct.(t, т) = Q?i>f,At - т), D.89)
где t, т — время наблюдения и приложения нагрузки; #@(г) — предельная
мера ползучести; fjjt — т) — функция продолжительности действия нагрузки.
Рассмотрим отдельно каждую из входящих в выражение D.89)
функций. Функция продолжительности действия нагрузки записыва-
записывается так [140, 142]:
fto(t - х) = 1 - Р(/г*«*-*> - A - рA) ?«**>. D.90)
Здесь последнее слагаемое характеризует быстронатекающую
часть деформаций ползучести. При Ь я 0,6, как это принято [142], оно
затухает достаточно быстро (у= у); где^", см. табл. 4.1). Изменение
скорости натекания деформаций ползучести в результате нагрева характеризу-
характеризуется приведенным временем f и т" соответственно равным
f = Ot.t; x' = Ф(„т, D.91)
где Ф,«— функция приведения.
Предельная мера ползучести представляется в виде
вДт) = С (-, 28)ф(.а(О(т), D.92)
где C(tn, 28) — предельная мера ползучести бетона, твердеющего при
нормальной температуре в возрасте 28 сут, определяемая либо по [142], либо по
опытным данным; <р1О — функция влияния температуры на предельную ползучесть;
Л,»(т) — функция старения.
Рекомендации по нормированию основных параметров уравне-
уравнений D.89) —D.92) даны в работах [96, 142], однако только для
высыхающих бетонов. Между тем анализ кривых, полученных в
экспериментально-теоретических исследованиях [29, 125, 189], сви-
свидетельствует о том, что, несмотря на существенные количественные
отличия, деформации термоползучести гидроизолированных бетонов,
так же как и высыхающих, могут быть определены по той же формуле
D.89). Естественно, что функции, входящие в эту формулу, будут
200
Ф,
?
Рис. 4.16. К построению
функции приведения
теория,- опыт:
Д - Мо = 2О М-1 [196];
• - Мо = 4О м [97]:
¦ - Мо = О [189]
В t°=t°/20
зависеть не только от температуры, но и от условий высыхания бетона
при нагреве, которые характеризуются Мо.
Скрость натекания деформаций ползучести, согласно экспери-
экспериментальным данным по гидроизолированным бетонам [189], с увеличе-
увеличением температуры меняется незначително, однако в высыхающих
бетонах при длительном изотермическом нагреве [97, 196] она увеличи-
увеличивается в 3,5 — 4 раза. На рис. 4.16 представлены экспериментальные
значения функции Ф@, полученные при различных значениях Мо,
которые можно удовлетворительно аппроксимировать выражением
__И'МЧ D.93)
где q(f) = 1 + а,(? - 1) + аД - 1); \ = гУ20°С.
При этом а, =0,308; а2 = 0,004; (J2=0,0376; p, =0,02; ш= A +
) 1
t) 1.
Влияние температуры на предельную ползучесть, которое ха-
характеризуется функцией cp(O, изучалось в [97, 122, 125, 189, 196].
Результаты исследований, приведенные в этих работах, показаны на
рис. 4.17. Видно, что с уменьшением Мо предельные деформации
возрастают. Данные, представленные на этом рисунке, аппроксими-
аппроксимируем выражением, рекомендованным в [2],
Ф(.= 1 +сс,[1 - е-"(Гв-«>]. D.94)'
При этом наилучшее совпадение с опытом достигается при
следующих значениях коэффициентов: оц = 6,A + Ь2е"*»м); d2 =0,2;
Ь, = 3,802; Ь2= 1,496.
Функция старения представляется в виде [122]
П(.(т) = dto+ (I - djerb* D.95)
Параметр d^, входящий в выражение D.95), будем принимать
201

Рис. 4.17. К построе-
построению функций влияния темпе-
температуры на предельную пол-
ползучесть
Творил ОПЫТ:
О - Мо = 5-4О M-'[196];
D - Мо = ЗО М^[
• - Мо = О [189];
А- Мо = О [196]
6 S Wt"=to/20
зависящим не только от температуры нагрева, но и от Мо. Предпол-
Предполагая, как и в [97], что нагрев гидроизолированного бетона мало влияет
на его старение, поскольку оно обусловлено в основном влагообменом
с окружающей средой, а также учитывая результаты исследований по
высыхающим бетонам [97, 122], представим параметр dt\p виде
1 -
1 -
где р(е) = 1 + С)(? _ 1) _ с ]n?
1 A 5)()
D.96)
При с, = 0,157; с2 = 0,858; ft = 2^; j3, = 0,02; J32 = 0,0376
зависимости D.95), D.96) удовлетворительно описывают опытные
данные (рис. 4.18).
Коэффициент JJ(C в формуле D.90) по данным [97] принимается
зависящим только от температуры нагрева и может быть таким же, как
и в формуле D.81).
Общепринятым при описании ползучести бетона с учетом
нелинейных составляющих является предположение об аффинности
кривых линейных и полных деформаций, т.е.
CtXt, х, о) = fjiu) Ctit, т). D.97)
Функция нелинейности по аналогии-с [142] может быть пред-
представлена в виде д
fct.(o) =l + W -—^
Л 1
Л. 1
о, ser
D.98)
Параметры Vcto и mcte зависят от температуры нагрева и опреде-
определяются на основе опытных данных [97] по формулам:
Vct.= vc + 0,26 (f° - 1); mct.= mc + 0,2 Ф - 1), D.99)
где Vc, mc — аналогичные параметрам при нормальной температуре (У.
см. табл. 4.1; тс = 4).
202
0,8
ом
0,2
\
ОПЫТ:
sa^a-5-jj^
ТЕОРИЯ
О -В
Д -7
D-0
• -9
Л. -10
A-5)
"V
/
150
200
250 300 Г, сут
- 2О°С; 5 - f = 2O°C ПО
«° = 2ОО°С - все при Мо
12О°С- Мо = 26.6 М [97];
Рис. 4.18. К построению функции старения
7 - С = 6О°С; 2 - С = 12О°С; 3- е = 2ОО°С- 4 - ?°
[142] - все при Мо = 4О м; б - f = 6О°С 7-е- 12О°С; в -
= 4О м из [97]; 9 - С = 6О°С: Мо = 26.6 м 422]: Ю - С =
11 - С = 2ОО°С; Мо = 26.6 м [122]
Известно [2], что использование принципа аффинности приво-
приводит к отклонениям от опытных данных в начальный период после
загружения, особенно для интенсивно стареющих бетонов. Сопоста-
Сопоставимость теоретических результатов с опытными можно улучшить с
помощью функции, регулирующей скорость натекания деформаций
ползучести. Эта функция Off вводится в выражение для приведенного
времени D.91), т.е.
е = Ф(ОФс t; т* = Ф(вФс т, D.100)
и может быть представлена в виде
Фс = 1 + Л(т) F/RbsJ>; Л(т) = &". D.101)
При этом рекомендуемые значения коэффициентов / = 0,775;
р = 0,0666.
Вычисленные удельные деформации ползучести сопоставлялись
с опытными данными [97, 189] для обычного тяжелого бетона в зрелом
возрасте с модулем открытой поверхности Мо = 0...40 м. На рис. 4.19,
а приведены расчетные и опытные [97] деформации при Мо = 13 м'1 и
М. = 26,6 м1. На рис. 4.19, б представлены теоретические и опытные
[ 189] кривые для гидроизолированного бетона. Видно удовлетворитель-
удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных данных.
Описание термоползучести интенсивно стареющего бетона можно
улучшить, используя рекомендации [122], где предлагается определять
линейные деформации ползучести по следующей зависимости [1]:
203

бетона^l-
теория; -опыт
204
t,cym
"ЭДроиюлированногобетона[189]..
г, г) =
'
Г*
¦D.102)
¦Д(вС?) — предельная мера быстронатекающих деформаций ползучести,
TfJX) ~ &,o( f ) — AjoC^); Л — опытный коэффициент. Остальные параметры
уравнения D.102) те же, что и в формуле D.89).
При этом Ajf) может быть определена так:
АДт) = A - р,) е(.(т). D.103)
Приведенное время вновь находится по формуле D.91). Отсут-
Отсутствие же аффинности кривых линейной и нелинейной ползучести
моделируется функцией нелинейности типа D.16)
fcto(.o) = 1 +
D.104)
/ „ -0,04 (t* - Г*)
VI - 0,8 e
(при расчете по второй группе предельных состояний R^ = Rb ser).
Ползучесть при переменных напряжениях. Воспользуемся
принципом наложения воздействий. Для этого разобьем весь интервал
нагрузки на малые участки, границы которых обозначим tv ty...,t —
Д?", t, t+ At+,... . Будем полагать, что начало каждого участка
совпадает с приложением очередной ступени напряжений, прираще-
приращения которых равны Д'б\ Д2^,..., Д( ~ *'б, Д* б", Д( + л б,... ¦
Полные напряжения в момент t + Д t+ равны ' +Л( б = *б"+ А'б.
Определим приращения деформаций ползучести за время Д t как
разность между ' +Д( tb и ' ?ь
А( гь = A1 a [Cfi(t + At, ?,)] - Cjt, tj] + A2 a [Ct.(t +
+ At, t2) - Ctit, Q] + ... + A'- 4('a [Cjt + At, t - At) -
- Cjt, t-AOl+Д'о Cjt + At, t). D.105)
В данное соотношение подставим зависимость D.97 ), предвари-
предварительно преобразованную к виду
CtXt, z) = fjo) i Fn@Я„(т), D.106)
где Ft(t) = 1; F2(t) =-е'**; F3(t) =чг" ;
Я,(т) =©,о(т); Я,(т) = ©,о(т)р,е у т* Я,(т) = ©,о(т)A - $Jebx\
В результате А( гь представляется суммой трех слагаемых
А' е*(я = 1, 2, 3), каждое из которых после некоторых преобразова-
преобразований может быть определенно по рекуррентной формуле
t n t t
ebn = Д' ofct/o) F
t-At
t- At
[Д* " в/ - Д
*Fn{t- At) Hn(t- At)].
Я (О + -5--
F i
-At^ n
a) x
~Fn(t-At)
D.107)
205

вой
шаго-
D.108)
-if*
((т); Я2(т) = e *- At; Я3(т) = Д(
(
3
Зависимость D.107) можно использовать
D.109)
не только для ступен
DЛ10)
еоГуоьТх" Д^ХСТУпенча™й-режим приложения напряжений
e2(f) = Да*С(Да„ f, т*,^) + (Да, + Да2) • CfA а1+Да2Д*г2*
4): + A^)-Aa1-C(AaI,f,xJ,A^) D ш) '
Аналогично для трехступенчатого режима
1,; ^)
Приращения деформаций при f> т, составляет
(
206
РезУльтаты Расчетов. Вычислим деформации
ползучести при
20,8
6,МПа
50 71 92 113 134
?b(tIOS
20 40 60 80 100 120 ПО t,cym
Рис. 4.2О. Деформации ползучести бетона при сложном режиме нагружения
• — опыт [171].- 7 — расчет по [66].- 2 — рачет по [МО]; J — расчет по предлагаемым
зависимостям [89]
С-10*МПа~'
100
150 t, cym
Рис. 4.21. Деформации ползучести высыхающего бетона при ступенчато-
возрастающем температурном режиме 7 — расчет; 2 — опыт [97]
207

некоторых режимах нагружения и нагрева и сопоставим их с опытны-
опытными данными. В первом примере рассмотрим случай ступенчатого
приложения нагрузки к зрелому бетону при t = 20°С (рис. 4.20).
Кроме расчетных значений, найденных по
формуле D.107), на том же рисунке показаны деформации ползучес-
ползучести, вычисленные по методикам [66, 140], а также опытные данные из
опытов А.В. Яшина и др. Видим, что предлагаемая методика лучше
отражает реальный процесс. Имеющиеся отклонения находятся в
пределах погрешностей принципа наложения. Во втором примере
(рис. 4.21) определялись удельные деформации ползучести высыха-
высыхающего бетона при ступенчато возрастающем температурном режиме,
вычисленные по формуле D.111). На рисунке приведены также
опытные данные [97]. Видим, что использование соотношений D.111)
приводит к достаточно надежным результатам.
4.6. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ ПОЛЗУ-
ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА ПРИ ТРЕХОСНОМ РАСТЯЖЕНИИ НА ОСНОВЕ
МОДЕЛИ ТРЕЩИНОВАТОГО БЕТОНА
В п. 3.8 уже рассматривался вывод физических соотношений
для модели трещиноватого бетона при трехосном растяжении. Однако
этот вывод относился к кратковременному действию напряжений.
Повторим этот вывод следуя [91] с учетом деформаций ползучести
бетона (случай одноосного растяжения уже рассматривался в п. 1.2).
Примем, что трещины образуются по схеме рис. 3.16, и представим
сначала, что бетонный элемент на указанном рисунке нагружается во
времени двумя ступенями возрастающих трехосных напряжений, где
e{(tr), &2(Т^), брГ} -перваяступень; fffa), <?2(Г2), 03(Т2) -
вторая ступень [сокращенно ff „('?'). где здесь и ниже е = 1, 2, 3 —
номера главных напряжений, Т. — время приложения ступеней, в
нашем случае i = 1,2]. Здесь бе(т.) — общие напряжения; прираще-
приращения напряжений на второй ступени составят
Аа(т2) = ст,(т2) - ст/т,).
Напряжения &е(Т) являются сглаженными. Им соответству-
соответствуют, как это подробно рассмотрено в п. 3.8, реальные напряжения
б*е(Т) в сплошных частях сечений (см. рис. 3.16). Предположим
сначала, что реализуется синхронизированное (с приложением напря-
напряжений) подрастание трещин, тогда ступени &(Х{) будут соответство-
соответствовать размеры b*[; h*, d*, а ступени Се(^2) аналогичные размеры Ь*. А*,
d* (сокращенно Ь*, /г*, d*). Этими размерами характеризуются сплош-
сплошные, еще не пронизанные трещинами, части общего объема элемента.
Связи между сглаженными и реальными напряжениями следу-
следуют из проекций сил, приложенных к граням элемента (см. рис. 3.16),
на оси главных напряжений 1,2,3. По аналогии с C.140) эти связи
можно записать в виде:
208
ffi (г, )
( Г- )
J
(сокращенно О* (Г.- ) ~
Aiii.
vbe^V
Т/Г
dh
bd
Приращения реальных напряжений на второй ступени составят
Аае*(т2) = а^(т2) - а*(т,)
или, внося значения D.114),
*
/ (т2) =
е
D.116)
Приращение напряжений на любой (/) ступени (е = 1, 2, 3)
составит
D
be(V be«t-f
Перейдем к определению деформаций. Предположим, что соот-
соотношения между реальными б*(Х) напряжениями и относительными
деформациями можно представить в виде соотношений наследствен-
наследственной теории старения Г.Н. Маслова — Н.Х. Арутюняна. Например,
деформации вдоль действия главных напряжений ^(т) в момент
времени t составят
е?(О = [а*(т.) - Aь(т,)@^т1)+ а3*(т,|] 5 (t, т,)+ l\ {da*(x)/
/dt - \ib Ш/dx [(а*(т) + а*(т)]} Ш, x)dt; D.118)
остальные деформации (?*(О, ?*3(О) получают круговой переста-
перестановкой индексов 1, 2, 3: при определении ?*(О индексы 1, 2, 3
заменяются на 2, 3, 1, а при вычислении &3(t) индексы 2, 3, 1 (или
1, 2, 3) заменяются на 3, 1, 2; ^¦ь('с) — коэффициент поперечной
деформации; Sit,*?) — мера полной относительной деформации; она
209

указана, например, в п. 4.3; Т — время приложения приращений
Л <У/т)).
В основу вывода уравнений D.118) положен принцип наложе-
наложения воздействий. Согласно этому принципу каждому приращению
составят
приращения деформаций вдоль действия Л ^
Де*(*,т,) = [Аа*(х.) - |аь(т;.)(Аа*(т;.)+Аа3*(т.))]5
(остальные приращения Д?*(?, т.), Д ^*^> ^ получают круговой
перестановкой индексов 1, 2, 3).
Соотношения D.119) относятся к частям элемента без трещин.
Изрезанные прорезями части элемента можно разделить на две
области. Одна область в виде столбиков (см. рис. 3.16, а, г) может
воспринимать только одноосные напряжения, тогда как по двум
боковым граням — берегам трещин каждого столбика напряжения
обращаются в нуль; происходит их мгновенная разгрузка в результате
трещинообразования.
Во второй области напряжения обращаются в нуль на всех
гранях из-за образования трещин по трем ортогональным направлени-
направлениям. Рассмотрим области в виде столбиков. Например, в столбике
направления / (условно в столбиках /) остаются напряжения ffj(tr)
и их приращения Д <5"](г/), а напряжения &2(tr), &3(T) обращаются
в нуль. Разгрузка напряжений &2(т), &3(т) через коэффициенты
поперечной деформации оказывает влияние на деформации вдоль
напряжения /. Сначала уменьшаются до нуля поперечные упругом-
гновенные деформации, а затем (во времени) уменьшаются попереч-
поперечные деформации ползучести, вследствие упругого последствия. Одна-
Однако такой сложной картиной уменьшения поперечных деформаций
пренебрегаем, полагая что в столбиках типа / приращения деформа-
деформаций вдоль оси / (эти приращения обозначаем Д ?.*(?, Т.) можно
определить по формуле
Де*(*. т.) = Да*(ту) 5 Q, т.); D.120)
заменяя индекс 1 на 2 или 3 получим
Ле*(?,т.) или Ае* (t, т.).
I J Л }
Величины Д?*(t, т .) и Л8*((, v.) представляют относительные
Деформации в отдельных частях элемента. Приращения деформаций
всего элемента на /-й ступени определяются по формулам типа
C.142),
Ае, it, t.)rf =
As2 {t, т.)Ь =
t, т.) (rf -
, т.)Ь;+ Агр, т.) (Ь -
D.121)
x)k=Ae*(t, x)h'+ Az\(t, x)(h -
210
Если внести в D.119) и D.120) значения Д^СГ) из D.116),
а затем полученные выражения для Д ?*(?, if ) и Д ? *(?, "F .)
подставив в D.121), можно получить:
(t, Ту.) =
(г)
(г,,)
ZI
vbi
[(-
°з (г,)
¦) + ( /—
"*1Э (Г;)
(т.)х
I
D.122)
остальные деформавции Д ?.2(t, Т ),Д<?3(?, Т.) получают круговой
перестановкой индексов: в первом случае индексы 1,2,3 заменяются
соответственно на 2, 3, 1, а во втором — на 3, 1, 2.
В D.122) введены обозначения:
= vi21(t.) =
= vB1(x.) =
D.123)
Vb23 <V = V*2<V = dj/d,
кроме того, при записи параметров i/ (г. ) при г * j полагали d*/
d*_{*byb*_^h;/h*~i. " '-
Суммируя деформации Д С e(t, Т.), придем к общим деформа-
деформациям ?е@- В интегральной форме эти деформации представляются
et (г) - [-4 (Т1> * (Г1)
(г)
(r)
(г)
dr
.(Г)
§ a> T) dT
(значения ?2(О и ? 3(O получают круговой перестановкой
индексов 1, 2, 3). В принципе, кроме М-Ь(Т) можно вводить меру
поперечных деформаций JU b(t,Y), однако более приемлемым является
упрощение типа|Ч Ь(Т)= Lt' «-const.
Как уже было показано в п. 3.8, соотношения D.122), D.124)
не изменяются, если предположить, что напряжения б"(Х) не явля-
являются главными. Важно только, чтобы они совпадали с направлениями
микротрещин. Однако при этом соотношения D.124) дополняются
тремя новыми зависимостями. По аналогии с C.146) можно устано-
установить, что
211

Ун W =
vbi
(Ti)
r VT)
[ J
"i) + /I
._ + .jSLflL
D.125)
] 5 (t, r) d r,
сдвиги.
где Г;у — касательные напряжения (ij = 12, 23, 31);;
— относительные
Таким образом приходим к ортотропной модели деформирова-
деформирования бетона в условиях ползучести. Если проанализировать более
общую схему трещинообразования, представленную на рис. 3.18, то
можно прийти к соотношениям типа D.124), D.125), но с несколько
иными параметрами.
Уравнения D.124), D.125) — нелинейные, поскольку парамет-
параметры нарушения сплошности предполагались зависимыми от уровня
напряжений (условно от б(г); т.е. $Ь(Х) = Vbe[0(v)]; г>Ьек(т) =
¦^Ьек[б(f)]. Такой случай развития внутренних трещин в п. 3.8
относился к синхронизированному. Применительнго к одноосному
растяжению этот случай рассмотрен в п. 1.5. Ему соответствует схема
изменения сплошности во времени, показанная на рис. 1.13, а.
Однако возможна и более сложная схема изменения сплошности во
времени, представленная в частном случае одноосного растяжения на
рис. 1.13, б. Такая схема уже не является синхронизированной.
Согласно этой схеме в момент Т нарушение сплошности зависит не
только от напряжений или их уровней, соответствующих времени Г,
но и от напряжений, предшествовавших Т, а также режима их
приложения (реализуется некоторая более общая схема накопления
нарушений сплошности).
Полагаем, что указанные факторы отражаются в зависимости
уь» = vJa(T - т,), (т- т,)];
vbek = vbe№* -т,), (т- т,)].
Конкретные значения этих параметров еще требуют исследова-
исследования. Что касается уравнений D.124), D.125), то они по форме не
изменяются. Рассмотренные схемы трещинообразования позволяют
более осмысленно подходить к построению реальных физических
соотношений для бетона с учетом деформаций ползучести.
212
Глава 5. ТРЕХМЕРНЫЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫЕ
ЭЛЕМЕНТЫ БЕЗ ТРЕЩИН
Рассмотрим вывод связей между напряжениями и деформаци-
деформациями для трехмерных железобетонных элементов до появления в них
трещин. Физические соотношения для железобетонных элементов без
трещин устанавливалась в работах Ф. Флюге [158], Г.А. Гениева,
В.Н. Киссюка, Г.А. Тюпина [41], Н.И. Карпенко [56, 64],
В.А. Носарева [129], В.М. Круглова [102] и в других работах.
Способы учета распределенного армирования на жесткость железобе-
железобетонных элементов до появления в них трещин по исходным предпо-
предпосылкам приближаются к некоторым способам определения эффектив-
эффективных механических характеристик композитных материалов; в первую
очередь способам, рассмотренным в работах В.В. Болотина [24, 25].
Во всех построениях моделей деформирования железобетон-
железобетонных элементов без трещин принимается условие совместности осевых
деформаций арматуры и соответствующих линейных деформаций
бетона. Особенности данного построения заключаются в способах
учета таких факторов, как: влияние арматуры на жесткость железо-
железобетона при сдвиге, влияние арматуры на жесткость элементов в
направлениях, поперечных к направлениям стержней, влияние ослаб-
ослаблений бетона каналами арматуры, влияние дополнительной косо
устанавливаемой арматуры.
В связи с введением в модели тех или иных факторов меняются
и способы вывода физических соотношений. При выводе соотношений
здесь в основном следуем статьям [56, 64].
5.1. АРМИРОВАНИЕ. ИСХОДНЫЕ ДИАГРАММЫ ДЕФОРМИРО-
ДЕФОРМИРОВАНИЯ АРМАТУРЫ
Характеристики армирования. Выделим две общие схемы
армирования в виде некоторых объемных каркасов (рис. 5.1, а) ив
виде «потока» стержней, наклонно расположенных к координатам х,
у, z (рис. 5.1, б). В объемных каркасах стержни располагаются с
определенными шагами ах, а , аг соответственно вдоль координат х,
у, z (это армирование еще называют ортотропным). Расстояния
между наклонными стержнями обозначаются av ат Каждое направ-
направление стержней (г = х, у, z , /) характеризуется коэффициентом
армирования JU-s., который равен площади стержней, приходящейся
на единицу площади площадки, проведенной нормально к направле-
направлению г. Согласно рис. 5.1, а
axaz
E.1)
согласно рис. 5.1, б
213

Q
Az
\
Рис 5.1. Схемы армирования а - ортотропное: б - наклонное (произвольно-
ориентированное)
^ ~ ~aTa2~~ ' E2)
где Ai — площади отдельных стержней соответствующего г-го направления.
Наклонные стержни характеризуются еще тремя углами их
наклона к выбранным осям i = х, у, z или их косинусами I.. —
направляющими косинусами (см. табл. 1.1). Указанные два вида
армирования могут применяться раздельно и совмещаться один с
другим. В принципе все виды армирования можно получать, построив
соотношения для потока наклонных стержней. Однако ортотропное
армирование наиболее распространенное, поэтому выделено отдельно.
К отдельным направлениям указанного выше некоторого регу-
регулярного армирования могут добавляться отдельные дискретно уста-
устанавливаемые стержни арматуры. Такая арматура может учитываться
двумя способами: введением специального конечного элемента, вклю-
включающего дискретный стержень, введением добавок дм. к соответ-
соответствующим коэффициентам армирования и
где Дц . = Л'.'У^'или Дц = V'V V f4 31
* si хf х *$% si я * V ¦-' - »J /
где Л. — площадь одиночного стержня г-го направления; s. — максимальное
сечение конечного элемента, нормальное к »; Fw - объем дискретных стержней в
конечном элементе; Vb — объем конечного элемента.
Исходные механические характеристики арматуры. Исходя
из некоторых особенностей представления механических характерис-
214
тик и последующего описания диаграмм связи между напряжениями
и деформациями арматурные стали могут быть разделены на два
вида: без физической площадки текучести (класс А-Шв, A-IY и выше
и проволочная арматура), с физической площадкой текучести (стер-
(стержневая классов A-I, А-П, А-Ш).
Арматура обоих видов характеризуется следующими исходны-
исходными механическими величинами: Е$ — модулем упругости (начальным
модулем деформации); Gsel — напряжением предела упругости;
€'02 — (Rs, Rsser) — напряжением условного предела текучести
(соответствует остаточным деформациям после линейной разгрузки,
равным 0,2% или 2 103); -6su(Rsuser,Rsl) — напряжением при разрыве,
бsu еще обозначим бs. В скобках приводятся величины, которые
используются в расчетах конструкций: Rs ser, Rsu ser — по второй группе
предельных состояний; Rs, R и — по первой группе. Значения Е , Rs,
Rsser- указаны в СНиП 2^03.01-84 (Rsser= Rsn2Tsi, где Rsn -
нормативное сопротивление арматуры, g^si — коэффициент условия
работы арматуры; как правило, для арматуры ;у\ = 1, поэтому Rsser =
Rm' Rs = Rsn/Vs> гДе &~s ~ коэффициент надежности по арматуре,
принимаемый согласно табл. 21 СНиП 2.03.01 —84; по аналогии Rsu =
Rsun/2^s> гДе Rsun ~ нормативное сопротивление при разрыве; Rsun -
R^ser. Нормативные величины Rsn определяются с обеспеченностью
2 о , где б — среднеквадратичные отклонения (их значения приве-
приведены в ГОСТах по арматуре). Отсюда связь средних значений б~д2 с
нормативными осуществляется по формуле
а02 = Я„ + 2 а. E.4)
Эта же формула используется при установлении связи между
величинами б s и Rsu n = Rs ser. Модуль Es во всех расчетах принимается
без изменения. Его значения приведены в табл. 29 СНиП 2.03.01—84.
Связь между пределом упругости и пределом пластичности
осуществляется через параметр*? (
°s,el ~
E.5)
В расчетах ( бsel = Я„ег?,е, или 6sel = R » е1, параметр» , при
этом не меняется). ^
Важной характеристикой арматуры является величина ? su n —
нормативное относительное удлинение при разрыве, расчетное зн'аче-
ние 8 sU = Е,ч,п - (Rs»,n ~ Я5„)/? ; среднее значение ? ш = ? sun +
( esu,n ~ Rsu.n>/Es ( ^ su eI«e обозначим ? ,).
Величины *lsel, Rsua, ? sun определяются по табл. 5.1 и 5.2
(таблицы составлены по данным С.А. Мадатяна, Т.И.. Мамедова и
Н.М. Мулина). Для арматуры с физической площадкой текучести
вводятся дополнительные характеристики, соответствующие концу
площадки текучести, и характеристики промежуточной точки на ветви
упрочнения, которые указаны ниже.
215

Таблица 5.1
Вид и класс арматуры
1
Дополнительная характеристика стержневой арматуры
Уровень предела
упругости
\я
2
Нормативное сопротив-
сопротивление разрыву Лш п и
расчетное сопротивле-
сопротивление разрыву Rm )ег
для предельных 'состоя-
'состояний второй группы, МПа
Относитель-
Относительное удлинение
при разрыве
3 4
Стержневая
горячекатаная:
круглая класса А-1
периодического
профиля классов:
А-П
А-Ш
А-1У
А-У
А-У1
Стержневая терми-
термически упрочненная
классов':
Ат-1У
Ат-У
АТ-У1:
диаметром, мм:
10-14
16-32
Стержневая упрочнен-
упрочненная вытяжкой класса.
А-Шв
—
_
0,4*
0,5
0,6
0,65**
0,65
0,6
0,6
0.75
373
490
590
883
1030
1230
785*
980
1230
1180
590
0,25
0,19
0,14
0,06
0,07
0,06
0,1
0,08
0,06
0,07
0,1
* для стали марки 80С (А-1У) rjsel = 0,74.
* для стали марки 25Г2с (А-1У.) п, е1 = 0,74; Лда „ =834 МПа.
Примечание: В месте сварных соединений диаграммы деформирования
арматуры разрешается использовать только до деформаций е < 10~2.
Таблица 5.2
Вид и класс арматуры
Дополнительная характеристика проволочной арматуры
Уровень предела
упругости
%et
1 2
Нормативное сопротив-
сопротивление разрыву Rm n и
расчетное сопротивле-
сопротивление разрыву Л
для предельных 'состоя-
'состояний второй группы, МПа
3
Относитель-
Относительное удлинение
при разрыве
еш,п
4
Обыкновенная арматур-
арматурная проволока Вр-1
диаметром, мм:
3 0,6
4 0,6
5 0,6
545
540
525
0,02
0,025
0,03
216
Продолжение табл. 5.2
'II
Высокопрочная ар-
арматурная проволока:
гладкая класса В-П
диаметром, мм:
3
4
5
6
7
8
периодического про-
профиля класса Вр-П
диаметром, мм:
3
4
5
6
7
8
арматурные канаты
К-7 диаметром, мм:
6
9
12
15
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,65
0,65
0,65
0,65
1860
1760
1665
1565
1470
1370
1815
1715
1570
1470
1370
1275
1810
1715
1660
1620
0,04
0,04
0,04
0,05
0,06
0,06
0,04
0,04
0,04
0,05
0,06
0,06
0,03
0,03
0,04
0,04
Диаграммы деформирования арматуры без физической пло-
площадки текучести. Диаграммы деформирования арматуры, как и
бетона, являются исходной базой для построения общих моделей и
методов расчета железобетонных конструкций. В настоящее время в
литературе приводится много предложений по построению диаграмм.
Обзор соответствующих предложений можно встретить в работах [74,
ИЗ, 124]. В данной работе используются зависимости, разработанные
в [74]. Согласно этому предложению связь между напряжениями 6s
и деформациями ? s арматурных стержней при одноосном растяжении
осуществляется по формулам:
es= us/Esvs E.6)
или
d es = d аг/Ег v*; E.7)
где \)s — коэффициент изменения секущего модуля; v*i — коэффициент
изменения касательного модуля,
2 ьъ V)
2 vs2
здесь v0 = Ut в начале диаграммы, \>= vs — в вершине диаграммы,
- оцV2
E.8)
E.9)
217

vo = *; ст,= °»; e< = e™>
E.10)
* — уровень напряжений; при as < astl ц = О, при as > aiel
Л = (а, - ае()/(^ - а„); E.11)
подробно рассмотрен в [80],
^2 - 1) + 2
,-Ч>2
E.12)
tt> , < 2, в случае Си, > 2 следует учитывать дополнительные рекомендации,
изложенные выше;)?02 и t^ уровни напряжений и коэффициенты секущего модуля,
соответствующие условным пределам текучести (точке а на линиях рис. 5.2):
E.13)
Уровни напряжений <? и <^02 отсчитывают от напряжений
предела упругости. Относительные деформации арматуры, соответ-
соответствующие пределу текучести,
\г E.14)
a02 -
s ~
06,2
IV
+ 0,002^
Коэффициент Vs с использованием уровня относительных де-
деформаций определяют из решения квадратного уравнения
Рис. 5.2. Диафаммы дефор-
деформирования арматуры 7 — с физичес-
физической площадкой текучести; 2 — 6es
физической площадки текучести
¦SU
??*?,
SU
[1
' %
- ff.
д
d
* *
E.15)
°ш-\а
Вывод уравнения E.15) приведен в [74];i?d= ?s/?s. При
решении уравнения E.15) перед квадратным корнем принимается
знак плюс.
Для арматуры с физической площадкой текучести полная
диаграмма растяжения разделяется на два участка, границей которых
является точка [ о', ? 'J, соответствующая концу площадки текучести
(точка р на линии 2 рис. 5.2). Координаты точки р
E.16)
a«l,01a02;
1,01
здесь X s — относительная длина физической площадки текучести ( Л. s = 0,015 — для
арматуры класса A-I; Ks = 0,012 — для арматуры класса А-И; Xs = 0,008 — для
арматуры класса A-III). До точки р диаграмма описывается с использованием формул
E.6) —E.12), в которых Bs = 8™, ts = ?™. Кроме того,
В данном случае r)je/«0,97.
Второй участок диаграммы (см. рис. 5.1, р — к — и продолжает-
продолжается от точки р? б^\ t^] лдо реальной вершины диаграммы и с
координатами ffs = вsu, ?s= &su, соответствующей разрыву армату-
арматуры (величины б т = Rsun, ё. s = ? sun назначаются по табл. 5.1). На
втором отрезке диаграммы вводится дополнительная точка k с коор-
координатами
E.17)
Второй участок диаграммы описывается также с использовани-
использованием зависимостей, указанных выше, где следует заменить
на
V0,2Ha
и принять v0 =
ЛМ)
E.18)
Заметим, что если для параметра сО,, вычисленного по формуле
E.12), нарушается условие о^ < 2, то зависимость E.8) становится
справедливой только до уровня напряжений « < й , где согласно [74]
Л = 0,92 (ш, - 1).
219

Выше уровня* вплоть до вершины можно вводить линейный
отрезок диаграммы. Практически условие ufl < 2 может нарушаться
для арматуры 80С из класса A-IY.
Объемное напряженное состояние арматуры. В общем случае
(в объемных железобетонных элементах) в арматурных стержнях
может возникать напряженное состояние, которое будет характеризо-
характеризоваться шестью компонентами напряжения. Например, для арматур-
арматурных стержней, расположенных вдоль оси г, компоненты объемного
напряжения в декартовых осях х, у, z составят: 6 х, 6х, 6 FZ),
Т1У = TfyX' К* = rsl' r** = *L <рис- 5-3- й>; веРхнии ивдекс"в
данном случае г, указывает на координатную ось, вдоль которой
расположен арматурный стержень; при основном — осевом напряже-
напряжении б г верхний индекс опускается.
Напряженное состояние арматуры также может характеризо-
характеризоваться в цилиндрической системе координат z, г, в (рис. 5.3, б). В
этом случае в представленных выше обозначениях индекс х заменя-
заменяется на индекс г, а у на 8 .
Упругая стадия деформирования арматуры характеризуется
традиционными связями между напряжениями и деформациями — в
виде закона Гука для изотропных материалов:
sze
"SJ(
Члг
Рис. 5.3. Напряженное состояние арматуры
220
esx
~ v
siti
4
+ а
--^ri'L-
'sxy
Л;
r '¦ - т '
'SZX
E.19)
Здесь i =x,y, z, j — направления установки арматуры; если верхний и нижний
индексы при ? или б совпадают, то, как указывалось выше, верхний индекс
опускается: Lld = ? я., 6У = 6'н; Е°, G°, •¦ V^,.,- — соответственно модуль упругости
(начальный модуль деформации), модуль сдвига и коэффициент поперечной деформации
арматурных стержней i-ro направления.
Соотношения, записанные в виде E.19), расространяются и на
упругопластическую стадию деформирования арматуры; в этом слу-
случае однако константы Easi, Vs°ffj. и G° заменяются на переменные
величины Esi, Vj5n, Gsi. Известно, что в деформационной теории
пластичности модуль Esi предствляет собой отношение интенсивности
напряжений бsi(i) к интенсивности деформаций ?sj@, т.е.
Esi= °siu/Ssi«V E-20)
интенсивность здесь обозначается вторым индексом i в скобках, а
первый индекс i указывает на направление стержней, причем (см.,
например [13], с. 120):
SZX'
sx
- <p
E.21)
T
sz
JJ
Зависимости E.21) удобны тем, что в случае одноосного
растяжения стержней интенсивность напряжения совпадает с осевым
напряжением ( 6'si = 6S), а интенсивность деформации с осевой
деформацией (?v= ?.J). При этом исходят из гипотезы единой
221

кривой [51]. Согласно этой гипотезе соотношения E.6) —E.18) по
определению модуля ?\ = ?\ »Л считаются справедливыми для всех
напряженных состояний, где лишь при определении Уя. текущие
напряжения бл и текущие деформации ? я. необходимо заменять
соответственно на интенсивности текущих напряжений и интенсив-
интенсивности текущих деформаций ?lj@-
Применительно к арматуре во многих случаях может быть
использован приближенный подход, упрощающий вычисление дефор-
деформаций. Согласно этому подходу модуль деформации ?\ и в случае
СNъемногонапряжеш1огосххггаянияг1родсшжаетогюеяелятьсячерезсвязь между
напряжениями бн и осевыми деформациями ?я. без учета влияния осталь-
остальных компонент напряжений и деформаций на вид этой диаграммы. Эта
предпосылка связана с преобладающим влиянием осевых компонент 6я.,
?я. над другими компонентами (обычно они на порядок и больше
превышают остальные компоненты). Коэффициент поперечной дефор-
деформации арматуры можно принять константой *>rsi « ^ «0,25 — 0,4.
Модуль сдвига Grf определяется по формуле
«_1«^__ «« (о,4 -0,35)*» К .. E.22)
A + О
В представленном приближенном подходе соотношения E.19)
считаются справедливыми, пока осевые напряжения 6si возрастают.
Разгрузка следует по линейному закону (при ?\ =?^)- Сложный режим
нагружения и разгрузки описывается по методике конечных прира-
приращений (см. 3.2).
В некоторых случаях, в основном при высоких уровнях
трехосного сжатия железобетонных образцов, побочные напряжения
могут становиться уже существенными. Тогда iK следует определять
по формулам E.6) —E.18), заменяя осевые напряжения идеформа-
ции на интенсивности напряжений и деформаций. Запись физичес-
физических соотношений в виде E.19) не является единственной. Так, в
упругопластической стадии деформирования соотношения E.19)
обычно представляют в виде [57]
«*-
2G.
E.23)
где k = х, у, г; kj = ху, yz, zx; i = х, у, z — направления стержней;
средние напряжения; б % — средние деформации.
eso =
n' = _ " ЗУ Si
"so :
E.24)
Часто коэффициенты поперечной деформации \>iri принимают-
принимаются равными 0,5, при этом ?'л = 0.
222
Соотношения E.23) справедливы на ветви нагрузки — в случае
возрастания интенсивности напряжений 6siU). Разгрузка осуществля-
осуществляется по линейному закону (при Gsi = G°). Сложный режим описыва-
описывается по методике конечных приращений, используя нелинейную
диаграмму 6 si(i) — 6si^ на ветви нагрузки и линейную диаграмму на
ветви разгрузки.
5.2. ВЫВОД ФИЗИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ЖЕЛЕЗО-
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ОРТОТРОПНОМ АРМИРОВАНИИ
Приведенные напряжения. Связь общих напряжений с на-
напряжениями в компонентах. Приведенные напряжения относятся к
единице площадки, нормальной к данному направлению стержней:
где ff™ — приведенные (осредненные) напряжения арматуры; б"™ — приве-
приведенные напряжения бетона — индекс т означает осреднение; 6я. — реальные осевые
напряжения в арматуре; 5Ы — реальные нормальные напряжения в бетоне.
Общие напряжения
{°}х = {ож, оу, и2, хху, хуг, tJ
связываются с напряжениями в компонентах исходя из следующих
предпосылок:
нормальные напряжения представляются в виде суммы соответ-
соответствующих приведенных напряжений арматуры и бетона
ст.та= а. ц.+ а,,A - ц_.); E.26)
а = х, у, z)
касательные напряжения в арматуре и бетоне принимаются одинако-
одинаковыми и равными общим касательным напряжениям (рис. 5.4, а):
%ц = xsn = хц (V = ХУ> У2' zx^> ^
при этом верхний индекс i = х, у, г, указывающий на направ-
направления стержней, не имеет значения; равенства принимаются для всех
касательных компонент, имеющих одинаковые нижние индексы;
поперечные (не осевые) напряжения в арматуре равны соответ-
соответствующим нормальным напряжениям в бетоне (рис. 5.4, б)
< = % = <#/(! - Ц„>- (Ч =x,y,z;i= ;). E.28)
Здесь также равенства осуществляются по нижним одинаковым
индексам, однако при i Ф j, т.е. для осевых напряжений.
Модифицированный бетон. Первый этап вывода матрицы
жесткости. Вывод матрицы жесткости железобетона осуществляется
в два этапа. На первом этапе устанавливается матрица жесткости
модифицированного бетона или начального железобетона, в которую
вводится влияние дополнительных (второстепенных) факторов
армирования. К дополнительным факторам относятся отверстия
(каналы) от арматуры, влияние арматуры на жесткость элемента в
223

Рис. 5.4. Касательные ( а) и нормальные F1 напряжения в арматуре и бетоне
до появления трещин 1. 2 — арматурные стержни, расположенные
соответственно вдоль осей у и z
направлениях, нормальных к направлениям стержней (влияние жес-
жесткости стержней в поперечном направлении), и влияние арматуры на
сдвиговую жесткость.
В качестве напряжений модифицированного бетона выступают
приведенные напряжения в бетоне
{<%, = {<>?• < «С V V ^У E.29)
и приведенные относительные деформации элемента
{б} = {8„ гу, гг,уху, yyz, yj, E.30)
между которыми и устанавливаются связи.
В силу E.27) приведенные касательные напряжения равны
общим напряжениям, поэтому индекс т у них опущен.
Относительные деформации E.30) модифицированного бетона
составляются из относительных деформаций бетона (? ы, у ы.) и
относительных деформаций арматуры ( ? ls., %К, i,j = х, у, z), исходя
из объемных содержаний материалов в единичном объеме. На данном
этапе из рассмотрения исключаются лишь осевые деформации арма-
арматуры и вместо нее вводятся пустые каналы, что уменьшается объем,
к которому относятся деформации { Е }.
Исходя из этого относительные удлинения вдоль, например,
оси х составят
г?,Ц„+ »?Ц.„ E.31)
остальные две зависимости получают круговой перестановкой индексов, т.е.
сначала х заменяется на у, у на г, г на х, затем, при записи третьей зависимости, у
заменяется на z, z на х, х на у.
Соотношение E.31) преобразовываем к виду
E.33)
Аналогично записываются и два других выражения для е ие:,
Зависимости для общих углов сдвига также устанавливаются-
исходя из объемного содержания арматуры и бетона в элементе
Yj-= YvO — ц)+ Y* И + Y*-Ц + Y2- М- • E.34)
Выразим деформации в соотношениях E.33) и E.34) через
напряжения.
Как уже указывалось (см. гл. 3), бетон деформируется как
ортотропный материал, оси ортотропии которого совпадают с направ-
направлениями главных напряжений в бетоне. Эти зависимости преобразо-
преобразовываются к осям х, у, z\ преобразования выполняются по формулам
A61) — A76). Применительно к последующим выкладкам преобразо-
преобразованные к осям х, у, z физические зависимости для бетона удобно
записывать в развернутом виде:
гЫ = СЬП CTte+ С6.2 %+ СЫЪ °Ь^ СЫ4 Т„+ С6<5 ТУ2+ СЫ6 Т~' E-35)
полагая поочередно для получения шести зависимостей, i = 1, 2, 3, 4,
5, 6, причем ?ы = ? ; tb2 = ?Ьу; ?63 = ?6г; ?б4 = ^tey; ?65 =fbyz;
фф й
?. ^ =^bzx\ cbj. — коэффициенты симметричной матрицы податливос-
податливости бетона [сь]х.
Относительные деформации арматуры в поперечном направле-
направлении вычисляем без учета коэффициентов поперечной деформации,
хотя это не обязательно,
(г, / = х, у, z; i #/); E.35)
Эти зависимости, учитывая E.28), преобразовываются
е< = —4__ = _Чи . E.37)
Е4 vi-/у
Сдвиги арматуры вычилсяются
?*¦;= Xi/Gsij
(ij = ху, yz, zx). E.38)
Внося значения 6 Ьх из E.35) и ?*, ?f из E.37) в E.33) и
выражая затем бы через б" по формуле E.25), находим
„ E.39)
^616 "«>
где
1 г
Esy
E.40)
A -
( 1 -
A -
A - /O
224
8 3ак. 1408
225

СЫ4
m _
от
cblS ~ -
A - Ю
A - /i.)
Аналогичным образом определяются и значения ? и ?г.
Соотношение E.34) при г/ = яг/, учитывая зависимости E.27/, можно
представить так:
Gsx Gsy Gsz
Подстанавливая в E.41) значение^Ьх из E.35) и заменяя &ы
на б™ по формуле E.25), получим
уХ!, = <#,*? + cZpZ + СЖ+ сь«\у + сь^у2 + с»4бт„. E -42>
где
СЙ41
V
сй34
A -
E.43)
Gsy
Полностью связи между напряжениями и деформациями, уста-
установленные на основе указанных предпосылок, образуют систему из
шести уравнений
{s}x = [сУо%, E.44)
где [су^ — матрица податливости модифицированного бетона размером 6x6 с
указанными выше коэффициентами с™, причем с™ = с^при i=j (т.е. матрица является
симметричной). 6 элементах с* индекс i указывает на номер строки в матрице, а/ —
на номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент (г, j = 1, 2,
3,4. 5, 6).
Частично элементы с? указаны выше, остальные элементы
имеют вид:
1 - AU И„
т _
A-^J
СЬ23
СЫЪ
A - /У
СЙ24
- v
226
cft25
т сй34
СЙ34 "
сЛ,Л A -
- V
ESy
т _
СЬ36
A -
Gsx Gsy
E.45)
Зависимости для cbi. можно упростить, приняв с некоторым
приближением
Второй этап вывода матрицы жесткости. Устанавливается
матрица жесткости железобетона, в которой учитывается влияние
нормальных (осевых) напряжений и деформаций арматуры — основ-
основного фактора со стороны армирования. Нормальные напряжения
арматуры бs
s ,
6sx трех направлений, умноженные на
б б
sx s sx р р, у
коэффициенты армирования, объединяются в один вектор-столбец
W* = {(<*„ nj. <% h,>. (°s* О' о, о, or.
Вводится условие совместности осевых деформаций арматуры
и модифицированного бетона. Связи между приведенными напряже-
напряжениями арматуры и деформациями элемента представляются
E.46)
где [d^\l — матрица осевой жесткости арматуры,
227

sx ^sx
0
0
0
0
0
0
Esy^sy
0
0
0
0
0
0
Esz»s2
0
0
0
0
0
. 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E.47)
Общие напряжения элемента {б}х = {бх, ff, Сг,тх , Tz, f }т
суммируются из приведенных напряжений условного бетона и
привденных напряжений арматуры
К = (Ф, + &Х- E.48)
Внося в зависимости E.48) значения напряжений {бт^х и {б"}
из E.44) и E.46) и учитывая принятое равенство относительных
деформаций, приходим к общим связям между напряжениями и
деформациями железобетона
{о)х = а$> юмх = [<ак}> E-59>
гДе [d]x = i[c^ix + [ds]x)— матрица жесткости железобетона.
Заметим, что вычисление коэффициентов с™, матрицы [с?]х
можно упростить, представляя их в виде сумм
где
причем
A -
E.51)
Среди коэффициентов с™, ненулевыми будут только
коэффициенты с™., где
т * ММ
СЛ1 ""V7" ~^~ + "~*в~~ ' E.52)
Cfm = Г ?± + fi I
s33 a-jg1 ^ Esy
^m _~m _~m ^sx_ ^B?__ + ^3!
CX44 CX5S CS66 G G G
usx sy sz
228
5.3. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Обозначим: t? — приращение температуры по отношению к
некоторой температуре, принятой за нормальную; oL* —коэффициент
температурной деформации арматуры; cL °6 — коэффициент
температурной деформации бетона.
На первом этапе вывода физических соотношений влияние
температуры сказывается на зависимостях E.33), которые с учетом
E.37) преобразовываются к виду
М--^^.^^^-^-**-»^- C.33)
¦-—-«¦*«-v*-*-v^<w *
* *„ '4-
где
S^ = ~7Г~пТ [0°Ь ° " ^ + e'°°V + М«)Ь (
( ^sx'
Аналогично в выражениях для е , ег появятся слагаемые 6Т.0,
а»,
«°у = -ТГ-7Т [а°ь а " ^ + в«0<^ +"«)]:
Х^ E.55)
S« = ~~а~ГГ~ [а°ь а " ^ + а°^ + Vb
Обобщенные коэффициенты температурной деформации
образуют вектор-столбец
{а°}ж = {а», 8Е;, as°, 0, 0, 0}. E.56)
В остальном вывод физических соотношений повторяет вывод,
представленный в п. 5.2.
Окончательно вместо соотношений E.43) получим
Соотношения E.57) преобразовываем к виду
E.58)
229

или
где
E-59)
{рг = даг. E.60)
{$°}х — вектор-столбец коэффициентов температурных
напряжений в осях х, у, г).
Учтем дополнительно приведенные осевые напряжения в
арматуре исходя из выполнения условия совместности осевых
деформаций. Зависимости типа E.36) с учетом влияния температуры
записываются
Е .
a°t°
к виду
•¦•д. E61)
(г = х, у, г)
Умножая правую и левую части на ju sj, преобразовываем E.61)
где
р° =
р° = а°Е . и ..
"si s st "si
E.62)
E.63)
Коэффициенты температурных напряжений р° образуют век-
вектор-столбец
{p!i = {pL- К' р:> °-°-°}т- E.64)
E-65)
E.66)
Учитывая E.64), вместо E.46) получим
Внося E.59) и E.65) в E.48), находим, что
{< = [<№, - (Э'$ + адю, - №А
Обозначим
VI = № + ад;
E.67)
где [d]x — матрица жесткости железобетона.
Окончательно связи E.66) между напряжениями и
деформациями железобетона до появления трещин с учетом обозначений
E.67) принимают вид
Ых = Ы]МХ - {р°} t\ . E.68)
230
5.4. УЧЕТ НАКЛОННО РАСПОЛОЖЕННОЙ АРМАТУРЫ
Ранее рассматривались арматурные стержни, расположенные
вдоль координатных осей х, у, г. Пусть к этим стрежням (к
ортотропному армированию) добавляются еще стержни четвертого /-
го направления (см. рис. 5.1,б).Введемдляарматуры;-гонаправления
следующие обозначения: бs, — осевые напряжения, б\. = 6s. jUjP —
приведенные напряжения; ? . — относительные деформации. Таким
образом из шести возможным компонент напряжений и относительных
деформаций будут ненулевыми только по одной компоненте ( &?-, & ) ¦
Приведенные напряжения преобразуются к осям х, у, z по тем же
формулам, что и компоненты напряжений (это будет показано в
следующей главе, сами формулы преобразования компонент
напряжений при повороте осей координат приведены в п. 1.3).
Преобразованное к осям х, у, z напряжение E4 даст уже шесть
составляющих
l^V l 5дг' xg' sz' sxy syx' syz szy' szx sxz>
Эти составляющие будут равны:
E.69)
°L=
E-70)
Напряжения as. можно выразить через относительные деформа-
деформации, используя формулу типа E.61)
Относительные деформации ? . выражаются через относитель-
относительные деформации в осях х, у, z по формуле преобразования относитель-
относительных деформаций при повороте осей координат
е.= е/* + zll+ zl%+ у /../,+ -у /.,/.,+ у /../.„ E.72)
; х ]\ у J z /3 Ixy ]l j2 о ijz ]2 _/3 'zx )\ )V
где 1Л — направляющие косинусы (см. рис. 5.1, 6 и табл. 1.1), которые
преобразуются по A.60) —A.76).
Внося значение ?. в E.71), а затем б\ в E.70), приходим к
зависимостям между напряжениями {&{} и общими относительными
деформациями {? }х. Эти зависимости в матричной форме записываются
E.73)
E.74)
где
231

/¦4 I2 I2
n 72 71
Симметрично
7з2
722
73
7?
#
7.
71
722
723
72 '/3
72
71
723
72
7.
7273
73
72 V-3
'/I
71
71
71
71
,2
73
73
72 73
'/2 73
l2
H ¦=
C 76)
m. -
E.77)
ВЛИЯНИе JN Умывается в
Глава 6. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ЖЕЛЕЗОБЕТОНА С ТРЕЩИНАМИ
Рассмотрен вывод связей между напряжениями и деформациями
(общих физических соотношений) для железобетонных элементов с
трещинами при объемном напряженном состоянии. Эти соотношения
были установлены в работах Н.И. Карпенко [63, 64].
Представленный здесь общий случай напряженно-
деформированного состояния железобетона с трещинами затрагивался
в работах исследователей в малой степени. Можно указать на одно из
предложений Г.А. Гениева и Г.А. Тюпина [41] по построению
трансверсально-изотропной модели железобетона. В этой модели
бетон после появления трещин считается трансверсально-
изотропным материалом с плоскостью изотропии, параллельной
плоскости трещин. Модуль деформации бетона в направлении нормали
к трещине вычисляется как функция армирования и коэффициента yrs
В.И. Мурашева. Модуль деформации вдоль трещин принимается
равным упругому. В работах ряда авторов (из обзор можно встретить
в [ 11,49]) получила развитие давняя идея непрерывного железобетона
с трещинами с повышенной податливостью бетона вдоль нормали к
трещинам (текучего бетона). Такие модели исходят из условия
совместности осевых деформаций арматуры и бетона как до, так и
после появления трещин, что не соответствует реальной картине
деформирования железобетона с трещинами. Большое количество
работ посвящено рассмотрению плоского и одноосного напряженных
состояний. Некоторые из этих работ укажем отдельно, рассматривая
частные случаи общей модели. Рассматриваемая здесь модель вначале
была предложена автором в некотором варианте для плоского
напряженного состояния в [53], затем развивалось в [33, 58, 60].
Большое влияние на построение моделей деформирования
железобетонных элементов с трещинами в нашей стране оказали
пионерные работы В.И. Мурашева [127], который впервые удачно
смоделировал одноосное напряженное состояние арматуры и бетона в
железобетонных балках и стержнях с трещинами.
6.1. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ОБЩЕЙ МОДЕЛИ
Пусть задана некоторая произвольная железобетонная массивная
конструкция, которая в силу приложенных к ней внешних нагрузок
и воздействий деформируется в условиях объёмного напряженного
состояния. Требуется установить связи между напряжениями и
деформациями для областей конструкции, в которых возникли
трещины. Физические соотношения, связывающие напряжения с
относительными деформациями, устанавливаются на основании
233

6)
Рис. 6.1. Общая схема армирования и схемы трещин а — наклонное
(произвольно-ориентированное) армирование: 6—г — три схемы трещин A—3t Л1 —
арматурные стержни. 6-1. Б-2. 6-3 — блоки бетона между трещинами
структурного анализа и моделирования напряженно-деформированного
состояния некоторых малых объемных элементов, выделяемых из
железобетонного массива. Такой подход позволяет учесть то
обстоятельство, что в силу физической нелинейности физические
соотношения для различных малых областей конструкции могут быть
различными.
Общая схема армирования. Характер деформирования
железобетонных элементов с трещинами в значительной степени
зависит от схемы армирования. Для рассматриваемых малых локальных
областей массива принимается общая схема армирования в виде одной
234
или нескольких групп (потоков) стержней, произвольно-ориентиро-
произвольно-ориентированных относительно выбранной декоратовой системы координат х, у,
z (рис. 6.1, а, где показана одна группа наклонных стержней, более
подробно такая группа характеризуется на рис. 5.1, б). К каждой
группе (потоку) стержней прикрепляется своя декартова система
координат i, k(i), e(i), где ось i направлена вдоль стержней, а оси k(i)
и e(i) могут поворачиваться вокруг оси i произвольно. Связь между
системами координат х, у, z и i, k(i), e(i) задается табл. 6.1
направляющих косинусов. Ниже вводятся и другие системы фиксации,
однако табл. 6.1 остается исходной. Из общей схемы армирования
получим в виде частного случая трехосно-ортогональное (ортотропное)
армирование. Можно получить и другие возможные схемы установки
арматуры.
Таблица 6.1
i
к (г)
1
X
'' X
e(i)x
1 >
'у
*(Лу
e(i)y
ГГ7Г.
k{i )z
е(Ог
Краткая физическая картина и основные физические
предпосылки. Основные предпосылки модели с некоторой условностью
можно разделить на две группы: физические Aф — 9ф) и теоретические
Aт—4т). Остановимся сначала на физических предпосылках.
1ф. Характер деформирования малых железобетонных
элементов зависит от схемы трещин — образования трещин по одной
или нескольким пересекающимся площадкам. Рассматриваются
трещины одного (рис. 6.1, б, схема /), двух (рис. 6.1, в, схема 2) и
трех (рис. 6.1, г, схема 3) взаимно ортогональных направлений; 1сгп,
hrm> Kri ~~ расстояния между трещинами по трем ортогональным
направлениям; acrn, ocrm, acrl — соответственно раскрытия трещин.
Предпосылки рассматриваем на примере трещин одного направления
(сучетом/сглиасгп).
2ф. В расчетную модель вводятся трещины общего вида,
характеризующиеся раздвижкой (раскрытием осгп) и взаимными
сдвигами Anm, Ап/ берегов (рис. 6.2, а, точки с, с', с" до раскрытия
трещин совмещались в одной точке, после раскрытия трещин точка
с остается посередине трещины, а с' и с "— оказываются на
235

Б-1
'Sie(i)
0,5a,
cr,n
Рис. 6.2. Перемещения арматурного стержня в наклонной трещине ( а—Л
и на участках между трещинами ( а)
противоположных берегах трещины). Площадку, проведенную
посередине трещины через точки типа с, условно назовем площадкой
трещины.
Зф. После образования трещин арматурные стержни в блоках
бетона между трещинами и в самой трещине претерпевают сложные
перемещения из положения А". — до деформации в положение А* —
после деформации (рис. 6.2, а, точки 0,, Oj, О" ,Ъ' и0* до деформации
совмещались в одной точке, после деформации точка 0t остается
посредине трещины, точки ТТ* и 0" фиксируют положение следа А".
недеформированной арматуры на берегах трещины; точки 0[ и 0," —
фиксируют положение реальной арматуры Л* на берегах трещины):
L — длина стержня на участке между трещинами (lsi = lcrnnr где я. —
косинус угла между осями / и п).
В результате раскрытия трещины и сдвига ее берегов арматурные
стержни выдвигаются из берегов трещины и испытывают
тангенциальные перемещения в плоскости трещины (рис. 6.2,6, us. —
осевые смещения стержней относительно берега трещины, v. (.)(
vse(i\ ~~ тангенциальные перемещения вдоль выбранных осей k(i) и
е(г)). Поверхность трещины смещается относительно берега трещины
236
кО.)
Рис. 6.3. Напряжения и перемещения арматурного стержня в трещине
la—г) и на участках между трещинами ( а) в. № — смежные трещины)
на величину с'с (рис. 6.2, в, с'с — общий вектор смещения; 0,5 асгп\
0,5Дпт; 0,5Ап/ — составляющие общего вектора). Общий вектор
смещения арматурных стержней относительно берега трещины
составляет О.'О. (рис. 6.2, г; и ., v ..,«, v .,.. — составляющие общего
вектора О4О4). Соблюдается равенство векторов: с'с = О'Т),, которое
назовем условием совместности перемещений стержней в трещине.
Согласно этому условию общие векторы смещений в трещине
арматурных стержней различных направлений оказываются
одинаковыми и равными смещению с'с.
4ф. Арматурные стержни смещаются относительно бетона на
участке 1Н по кососимметрйчной схеме (см. эпюру usi на рис. 6.3, а).
Согласно этой схеме смещения стержней относительно бетона
проявляются на всем протяжении участка стержня между трещинами,
за исключением точек совместности типа риг, расположенных
237

посередине блоков бетона между трещинами (см. рис. 6.2, а, 6.3, а).
Согласно этой схеме условие совместности относительных осевых
деформаций арматуры и бетона, которое принималось до раскрытия
трещин (см. гл. 5), здесь не выполняется и заменяется условием
совместности перемещений стержней и блоков бетона в точках
совместности типа риг.
5ф. В трещинах практически все усилия передаются через
арматуру, за исключением части усилий, которые передаются через
остаточные связи по бетону в трещинах — через связи зацепления.
Основными в арматуре являются осевые (нормальные) напряжения.
В трещинах они достигают максимальных значений 6s. и затем
постепенно затухают в блоках между трещинами по мере удаления от
краев трещин; схема изменения эпюры напряжений в арматуре
показана на рис. 6.3, а. Затухание происходит вследствие действия
сил сцепления f f* по контакту арматуры с бетоном (эпюра изменения
tf1 на участке / носит кососимметричное очертание, рис. 6.3, а).
В модели вводятся два вида осевых напряжений: бsj —
максимальные в трещинах, которые ответственны за прочность
арматуры) и б*™ — средние на участках между трещинами, от
которых зависят деформации. Связь между напряжениями
осуществляется при помощи коэффициентов yr sj, введенных
В.И. Мурашевым [127]; б^= 6siy^si. Этими коэффициентами
учитывается влияние сцепления. Напряжения 6~si, как будет показано
ниже, непосредственно связаны со смещениями usj (рис. 6.3, б). Эта
связь осуществляется на основе специальных диаграмм деформирования
арматуры, связывающих напряжения в трещинах со средними ее
деформациями на участках между трещинами (диаграммы
конкретизированы далее).
6ф. Кроме ffsi в арматуре в трещинах возникают касательные
напряжения friWfl, т^о (рис. 6.3, а). Касательные напряжения
непосредственно связаны с тангенциальными смещениями стержней
vsiHi) и vsieU) (рис- 6-3> в, г). Вид связей устанавливается
экспериментально или теоретически. В теоретическом подходе
арматурные стержни представляются в виде некоторых микробалок,
заделанных в бетонное основание. Принятые связи конкретизированы
ниже. Экспериментальные исследования показывают, что значимые
тангенциальные смещения арматуры и касательные напряжения в ней
возникают в трещине и в локальной части отрезка /я., прилегающей к
трещине. По этой причине они учитываются лишь при рассмотрении
приведенных напряжений в трещинах.
7ф. Между берегами трещин при малой ширине их раскрытия
могут сохраняться некоторые неразрушенные бетонные «мостики» —
связи зацепления берегов трещин. Связи зацепления, как показывают
некоторые эксперименты, могут в определенной степени сглаживать
скачкообразное изменение деформаций вследствие
трещинообразования. Более существенна их роль в виде препятствий
238
сдвигам берегов трещин. В модели вводятся сглаженные напряжения
зацепления б'^ f m, тп/, отнесенные к единице площади площадки
трещины.
Нормальные напряжения б п ставятся в зависимость от
раскрытия трещин асгп, а касательные напряжения г , ты —
дополнительно еще и в зависимость от сдвигов Д , Дп/ берегов
трещин. Связь осуществляется через секущие модули зацепления
берегов трещин (они также рассмотрены отдельно).
8ф. Бетон в блоках между трещинами деформируется как
особый ортотропный материал, который выключается из работы
вдоль отдельных осей ортотропии п, т, I по мере образования трещин
по той или иной схеме. Так, в случае схемы / такое выключение
происходит вдоль оси п, в случае схемы 2 — вдоль осей питав случае
схемы 3 — вдоль всех трех осей п, т, I. По тем направлениям, которые
еще не стали нормалями к трещинам (т, I — в случае схемы /; / —
в случае схемы 2), деформации элемента определяются деформациями
бетона. Лишь после образования трещин по схеме 3 бетон полностью
теряет свою самостоятельную роль и оказывает лишь влияние на
средние напряжения и деформации арматуры через сцепление с
блоками бетона между трещинами, которое учитывается в параметрах
9ф. Выше рассматривались деформации арматуры от действия
напряжений в арматуре в трещинах. Деформации бетона в блоках
между трещинами дополнительно влияют на эти деформации, а
следовательно, и на средние напряжения арматуры, которые с учетом
этого влияния составят б™, причем б*? определяется без учета
указанного фактора. Степень влияния нормальных (линейных)
деформаций бетона вдоль направлений армирования i на осевые
деформации арматуры i оценивается множителями A —Ijrj. Такое
моделирование допускает проскальзывание арматуры относительно
бетона и одновременно приводит (пока единственным образом) к
симметричной матрице физических соотношений. Совместность
линейных деформаций восстанавливается лишь при угА = 0.
Известно, что 0,15-^^V-^ 1. В начале образования трещин
y^si~ 0,15...0,3, поэтому множитель A — T^S1) приводит к малому
нарушению совместности. В стадиях, близких к разрушению, ^V-*-1 •
Это приводт к практически полному нарушению совместности линейных
деформаций вдоль г. Заметим также, что вследствие несовместности
деформаций арматуры и бетона одноименные напряжения и деформации
в них могут качественно и существенно различаться и даже иметь
неодинаковые знаки. Другие менее значимые предпосылки рассмотрены
по ходу вывода физических соотношений.
Теоретические предпосылки 1т. Физические соотношения
устанавливаются в локальной системе координат п, т, /.направленных
по нормалям к трем ортогональным площадкам образования трещин
(см. рис. 6.1, а —г), а затем переводятся в глобальную систему х, у,
239

z, используя формулы преобразования. Связь между координатами х,
у, z и п, т, I задается по таблице (см. п. 1.3) направляющих
косинусов; там же указан способ вычисления направляющих косинусов
исходя из развития трещин по площадкам главных напряжений в
бетоне.
2т. В теоретических построениях оси координат i, k(i) и e(i)
произвольно-ориентированного армирования фиксируются табл. 6.2
направляющих косинусов относительно осей п, т, I. Она не является
самостоятельной. Ее можно заполнить, зная компоненты табл. 6.1 и
1.1. Например, направляющие косинусы оси i к осям х, у, z согласно
табл. 6.1 составляют: i , i , iz. Направляющие косинусы оси я к осям
х, у, z согласно табл. 1.1 обозначаются п , п , п . Обозначим п. —
х у г . . *
направляющий косинус между осью г и п, тогда п{ = пхгх + п г + пг2.
Аналогичным образом вычисляются и другие направляющие косинусы
табл. 6.2.
Таблица 6.2
ni
"е@
т
т
'*»
Зт. Выделяется малый прямоугольный параллелепипед так,
чтобы отдельные его грани прошли по трещинам или параллельно им.
При этом оси п, т, I совмещаются с ребрами элемента и представляют
собой нормали к трещинам в такой последовательности: п — для
схемы 1', п, т — для схемы 2 и п, т, I — для схемы 3- Усилия,
приложенные к граням элемента, приводятся в соответствии с
коэффициентами армирования и их проекциями на наклонные
площадки к средним поверхностным нормальным и касательным
напряжениям арматуры ( ffsr, t~srk', r, k = п, тп, I) и бетона {бЬг,Тbrk).
Последние на площадках трещин заменяются напряжениями зацепления
& п' "*~ к/ Общие напряжения элемента б r, frk находятся путем
суммирования приведенных напряжений арматуры и бетона.
4т. Относительные деформации малого элемента S r, g-* ^*k
складываются из двух частей: сглаженных на масштабе 1СГЦ„ —
расстояние между трещинами) относительных деформаций ? „,у*кг,
2т\ от раскрытия трещин и сдвига их берегов и средних относительных
деформаций бетонов между трещинами ?. Ьг,У1кг, T*rk-
240
Одна из важных особенностей вывода физических соотношений
заключается в том, что составляющие приведенных напряжений и
относительных деформаций арматуры и бетона в элементах с трещинами
образуют несимметричные тензоры. Заметим еще, что построение
формул выполнено таким образом, что они описывают не только
деформации элементов с трещинами, но и могут переходить при
определенных условиях в соотношения, описывающие деформации
элементов без трещин (условно схему 0).
6.2. НАПРЯЖЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ С ТРЕЩИНАМИ И ИХ
СОСТАВЛЯЮЩИЕ
Напряжения определяются согласно предпосылке Зт.
Конкретизируем эту предпосылку.
Компоненты приведенных напряжений арматуры. Выделим
для рассмотрения одно направление армирования г. Если направлений
армирования будет несколько, то следует использовать формальную
процедуру суммирования членов, содержащих повторяющиеся индексы
г.
Расположим в потоке стержней г площадку Fv = 1, наклоненную
к г на угол ср ( ср — угол между г и нормалью V к площадке F^ ;
рис. 6.4, а). Площадь проекции этой площадки на плоскость,
нормальную к г, составит F. = Fv cos <p = 1 cos'P . Площадь арматуры,
которая пересекает площадку F., а следовательно, и площадку Fv =
а)
б) mi
Рис. 6.4. К определению площади арматуры, пересекающей наклонные
площадки
241

а)
Рис 6.5. Компоненты напряжений наклонной арматуры на площадках трещин
(при схемах трещин 7—3)
=1, составит Fjv = F.J-<si= \Us.cosip. Исходя из этой зависимости
площади арматуры, пересекающей грани куба единичной длины
(рис. 6.4, б), будут равны м .я,., р jn., ju Jt (я,., т{, I. - направляющие
косинусы согласно табл. 6.2). Умножая эти величины на нормальные
ff H и касательные tsik(i), f (.г) напряжения в арматуре в трещинах
или (на площадках, нормальных трещинам) на средние напряжения
в арматуре 6™v получим усилия в арматуре, пересекающей грани
элемента при трех схемах трещин.
Значения этих усилий показаны на рис. 6.5, а, б, в, причем
значения усилий, которые указаны на предыдущих схемах, на
последующих уже не проставляются. Проецируя эти усилия на оси п,
т, I — нормали и касательные к граням элементов, получим
компоненты тензора приведенных напряжений арматуры (арматурные
компоненты напряжений). Рассмотрим для примера элемент с
трещинами схемы / (рис. 6.5, а). Проекции усилий арматуры,
приложенных к заштрихованной грани элемента (к площадке трещины)
на оси п, т, I, соответственно составят:
F.1)
Нетрудно заметить, что эти проекции получают, умножая
усилия арматуры на направляющие косинусы, приведенные в табл .6.2,
между осью, вдоль которой направленно усилие на семе / рис. 6.5, а,
и осью, на которую оно проецируется.
Рассмотрим вторую грань элемента, нормальную к оси т.
Усилие на этой грани составляет С^и^Щ- Проекции этого усилия на
оси т, п, I будут равны:
242
а = оти тг; т" = ати т.п.:
F.2)
х . = 5 я u ml..
sml 51 1 1 1
Усилие на грани, нормальной к оси /, согласно рис. 6.5, а равно
6™uJv Проецируя это усилие на оси /, т, п, находим
а = aVu . I2:, т\ = а "'и 1т:,
si 51 1 1' slm 51 1 1 i'
т\ = а*? ц .In..
Sill 51 1 1 1
Компоненты напряжений арматуры F.1) —F.3) образуют
девятикомпонентный вектор-столбец:
Не все касательные компоненты арматурных напряжений
являются симметричными (Tsnm * г яп; Tsnl * Г м; ?ml * TslJ, поэтому
компоненты приведенных напряжений арматуры образуют
несимметричный тензор. Несимметричный тензор более информативен
тем, что одновременно позволяет учеть как реальные напряжения в
арматуре в трещинах, так и средние напряжения в блоках бетона
между трещинами. Другими путями их совместить не удается.
Аналогичным образом формируются компоненты приведенных
напряжений арматуры на гранях элементов со схемами трещин 2 и 3
(см. рис. 6.5, б, в).
Формально все компоненты напряжений вектор-столбца F.4)
для любой схемы трещин можно представить одной обобщенной
формулой
а = 5 (а . ц г к. + 1 т .. ц r.k.) + A - 5 ) о^ц rk.\ F.5)
Srk rV 51 "si 1 1 . 51; 1 1 ]' x V 51 "st г i» v **'
r,k = n, m, 1; j = k(i); e(i),
где <rjnn = <rjrl;
= Tjnm; asm
и так далее.
Искусственно введенный множитель о г (г = п, т, I) для
различных схем трещин принимает следующие значения:
схема / — Ъп = 1, Ьт = 8, = 0;
схема 2 - 5„ = 5и = 1, 5, = 0; F.6)
схема 3 — 5п = Ьт= 8, = 1.
При отсутствии трещин (схема 0) в формуле F.5) все множители
дг следует положить равными нулю и принять б™ = бsi- При этом
приходим к выражениям E.70); различая в обозначениях носят чисто
формальный характер.
Компоненты напряжений бетона. Общие напряжения.
Компоненты напряжений бетона на гранях элемента при различных
схемах трещин показаны на рис. 6.6, а, б, в. Как уже указывалось, на
площадках трещин основными являются приведенные напряжения в
243

\
6ql zqln
Рис. 6.6. Компоненты напряжений бетона на площадках, нормальных к
площадкам трещин (при схемах трещин 7—3)
арматуре, а напряжения в бетоне, за исключением некоторых напря-
напряжений в связях зацепления, равны нулю. На площадках, нормальных
к трещинам, уже более значимыми могут быть напряжения в бетоне
или, по крайней мере, напряжения в бетоне и арматуре становятся
равноценными. Чтобы учесть выключение бетона по тем или иным
площадкам (в зависимости от схемы трещин) и включение связей
зацепления компоненты напряжений бетона разделяются на две части:
собственно напряжения в бетоне и напряжения связей зацепления.
Вектор-столбец напряжений бетона можно представить так:
«}„ = «I - 8.) аЬп, A - 8„) аЬт, A - 6,) аы,
F.7)
" V
.- 6.)
Напряжения в связях зацепления группируются в другой
вектор-столбец:
= <8»
V
°V 8( V 8„т„ш-
..8 т
F.8)
5/V' 5пТпп,У
Множители Sr(r = п, т, I) в столбцах F.7) и F.8) принимают
значения F.6) в зависимости от схемы трещин.
Общие напряжения
= {ап, ат<
, т*. т*„, т*. т*}т
F.9)
суммируются из приведенных напряжений арматуры, напряже-
напряжений бетона и напряжений связей зацепления:
{ст'} = {о*} + {а*} + {а*} .
1 »п l sfn l Ь*п l q'n
F.10)
Процедура суммирования компонент напряжений для схемы
244
smn
nm
¦snm
Рис 6.7. К определению общих напряжений a — общие напряжения; б —
напряжения бетона и приведенные напряжения связей зацепления: в — приведенные
напряжения арматуры
трещин / показана графически на рис. 6.7, а, б, в (здесь компоненты
напряжений бетона и зацепления объединены на одном элементе —
рис. 6.7, б).
6.3. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ЭЛЕМЕНТА С ТРЕЩИНАМИ
Относительные деформации определяются в соответствии с
предпосылкой 4 т, причем их определение зависит от схемы трещин.
Схема / трещин (см. рис. 6.1, б). Выделим из массива в осях
п, тп, I прямоугольный элемент, включающий в себя одну трещину и
полный блок бетона между трещинами — точнее две его половинки,
прилегающие к трещине (рис. 6.8, а). Деформации такого элемента,
в полной мере характеризуют все виды деформаций железобетона с
трещинами при объемном напряженном состоянии в случае образова-
образования трещин по схеме /. Условно деформации можно разделить на две
части. Первая (основная) часть деформаций связана с раскрытием
трещины (а ) и сдвигами ее берегов (д , д , ).
Относительные деформации, соответствующие этой части, оп-
определяются по схемам рис. 6.8, б, г и составляют
сг,п
пт
*Sn , • •snm , ' 7snl , > F.11)
сг, п cr,n cr,n
остальные шесть компонент с индексом s равны нулю ( ? т = Ъ й =
ZL =?L = ?*ы =?*,т = °>- Фактически в формулах F.1 ^"сосредо-
^"сосредоточенные деформации а , Л , Д , сглаживаются на масштабе / —
расстоянии между трещинами.
Деформации, связанные с раскрытием трещин, можно сгруппи-
сгруппировать в один вектор-столбец
<«#. = К,, 0, 0, у*ю, 0, 0, 0, 0, у;/. F.12)
245

'/ ierj,A*?») /
Рис 6.8. К определению относительных деформаций элементов с трещинами
(первая схема) вдоль осей ami (а-г)
Влиянием деформаций бетона на деформации типа F.11) с
целью упрощения выкладок пренебрегаем, хотя это необязательно, в
результате
где Т*' Ттп' Ztii ~ общие деформации элемента.
Относительные деформации бетона на площадках, параллель-
параллельных площадкам трещин (рис. 6.8, г), приравниваются к относитель-
относительным деформациям элемента:
Ут1 ~ ">' ЬтР
1т 'Ыт' Imn "bmn< "in " Ы
F.14)
Из относительных деформаций блоков бетона между трещина-
трещинами образуем вектор-столбец
Составим вектор-столбец общих относительных деформаций
железобетона:
i*\ = к *т> *,• с у:, у,:. у:„. у:. у:,г- <6.i6>
246
В силу принятых предпосылок
{е*} ={е*} +{s;}. F.17)
Схема 2 трещин (см. рис. 6.1, в). В этой схеме вклад в общие
деформации вносят уже трещины двух ортогональных направлений,
в результате:
е <а е = __в?1Л • е =» е = ttjr,m .
лот/ ' т от» , '
сг,п 'сг,т
Д,т
с = с • у* за у* = J2HL •
е/ еЫ' 'пт 'mm t
cr-n F.18)
Г* SK *v * = Z? • 'V * = *Y *¦ * *Y* ^ •?* = — -
m/ 'sml , ' 'In 'bin1 ' mn 'smn , '
cr, m cr, m
' lm 'blm' 'nl 'ml >
'cr,n
Схема З трещин. При этой схеме деформации элемента зависят
от раскрытия трещин по трем ортогональным направлениям
(см. рис. 6.1, г), т.е.:
а а
- ^ р = сг, п . е са е = 21™ •
еп еот  fcm fcOT»
сг,л cr, m
/ s/ " ' 'ш 'отт ~ '
'cr,/ 'cr, п
F.19)
m/ 'sm/ , ' ' mn 'smn , '
cr,l cr, m
1 lm 'slm , ' 'nl ' snl .
cr, I cr, n
Общие деформации. Формально векторы относительных де-
деформаций, связанных с раскрытием трещин и деформированием
бетона между трещинами, можно представить в виде:
247

[e*J n = \Snen =
= €
sm>
8lel = esl'
F.20)
[eb] « =
% =еЪп>
- 8ып>
= <
W
= УЪ
7 *, =
F.21)
= Ты
где искусственно введенные множители $п, &т, 6, принимают такие же
значения, чтоивформулах(б.б) — нульилиединицавзависимостиотсхемытрещин.
Определение общих деформаций сводится к суммированию
столбцов по формуле F.17)
Деформации бетона вдоль направлений арматуры. Вектор-
столбец F.21) характеризует деформации бетона между трещинами
в осях п, т, I. Эти деформации, как нетрудно заметить, связаны с
напряжениями бетона на площадках, вдоль которых еще не образова-
образовались трещины. Для дальнейших выкладок потребуются еще значения
этих деформаций бетона вдоль направлений армирования г. Их можно
получить, используя преобразования компонент несимметричного
тензора деформаций при повороте осей координат; формулы преоб-
преобразования приведены в п. 1.6. В обобщенном виде (применительно к
различным схемам трещин) эти деформации можно представить в
F.22)
6.4. СВЯЗЬ РЕАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
С ОБЩИМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ ЭЛЕМЕНТА
В АРМАТУРЕ
Схема 1 (рис. 6.1, б). Как указывалось в предпосылке 5ф,
реальные напряжения в арматуре достигают некоторых максималь-
максимальных значений ffs. в трещинах, а в блоках бетона между трещинами
ввиду наличия сил сцепления арматуры с бетоном они уменьшаются.
В модели фигурируют три вида напряжений: &si, б%и 54 Реальные
напряжения в арматуре в трещинах 6si и средние значения напряже-
248
ний на участках между трещинами б™ приведены на рис. 6.3, а. Связь
между этими напряжениями, а также между напряжениями и дефор-
деформациями выражается формулами:
ffri = аи %i> esi = °™1 Esi = °dVEsi' F23>
где i.H — средние относительные деформации арматуры на участках между
трещинами; Ен — модули деформации (упругости) арматуры; "угА — коэффициенты
В.И. Мурашева, учитывающие влияние сцепления.
В упругопластической стадии деформирования арматурных
стержней их реальная диаграмма деформирования (см. п. 5.1) при-
приравнивается к средней диаграмме 6*? = ?*%Е!(, где ?\ — теперь уже
секущий модуль деформации, определяемый по средней диаграмме).
Формула F.23) дает возможность определить часть деформа-
деформаций арматуры, связанную непосредственно с напряжениями армату-
арматуры в трещинах. Согласно предпосылке 9ф деформации блоков бетона
между трещинами, вычисленные по формуле F.23), будут влиять на
полные средние деформации t H и напряжения бтп арматуры. Значе-
Значения этих уточненных средних деформаций и напряжений арматуры
определяем по формулам:
е . = €.+ ?,. A — ф ¦)', о ¦ = Е . е • (о.24)
Более подробно формулы F.24) рассмотрены в [61]. Сравни-
Сравнивая деформации бетона ?|. с одноименными деформациями армату-
арматуры, видим, что они не равны, т.е. условие совместности осевых
деформаций нарушается. В результате арматура будет выдвигаться на
берег трещины на величину (см. рис. 6.2, а, 6)
F.25)
где lcrn/2nj — половина длины стержня, заключенного между двумя трещи-
трещинами.
Внося значение ? s|. из F.23) в F.24), а затем ?" я. в F.25),
находим
lcr,nl
сг,п
F.26)
2"iEsi
2 я,
Перемещения usi, vsikuy vsjeQ) являются компонентами одного
вектора 0J0,, характеризующего половину перемещений одной повер-
поверхности трещины относительно другой (см. рис. 6.2, б, г).
В осях п, тп, I компоненты этого вектора, который на рис. 6.2
обозначен с'с (О'О =с'с), равны 0,5дсгп, 0,5 л пт, 0,5д я/. Проецируя эти
компоненты на ось i, находим
249

получим
u* = °>5acr,nni + °-5 \mmi + 0,5 А„/. F.27)
или, учитывая F.11), F.13)
usi = 0,5 zjcrnn{ + 0,5 у*пт1Сг,пЩ + 0,5 rjajt -
* 0.5 еАг,Л + 0,5 УЧс„т{ + 0,5 y*/cr,L F.28)
Подставляя значение us. из F.28) и Z ы из F.22) в F.26),
E . Г г е „*
,.„.
F.29)
^sil
где пока формально введенные параметры ^\m = 1frM = 1. Подстанов-
Подстановка F.28) в F.25) с учетом F.22) приводит к выражению
+ у^,+ у>Л= ег (б.зо)
К такому же выражению приходим, определяя общие деформа-
деформации ? . вдоль направлений арматуры на основе формулы преобразо-
преобразования, поэтому Zsi = ? f. Таким образом средние напряжения арма-
арматуры на отрезке стержня, заключенного между двумя соседними
трещинами, согласно F.24), F.30) будут
«"= %iEsi= еАг F-31)
Влияние трещин на формулу F.30), а следовательно, и F.31),
не сказывается.
Кроме осевых usj арматура в трещинах будет испытывать
тангенциальные перемещения vsMi), osW() (рис. 6.2, б). Эти перемеще-
перемещения находим по аналогии с перемещениями F.27), проецируя компо-
компоненты 0,5acr;i, 0,5 лпт, 0,5дп( на оси Ш) и е{г):
^@ = 0,5flA, + 0,5 АА, + 0,5 AJk(i), 1 F.32)
^@ = °.5«„,Л(о + О-5 \Ло + О-5 KU J
Учитывая F.12), F.13), эти выражения преобразовываем к
виду:
vmo = <еЛ«> + Y>«o + y:^,)^.; F.33)
VsieG) = (Wed) + 4Lme(i) + 4*lh^lcr,n
Если пренебречь в F.26) деформациями бетона 2(, можно
получить
250
я я
F.34)
где величина •^sl./crn/2ni?\ характеризует податливость контактной зоны
бетона с арматурой осевым смещениям арматуры относительно бетона.
По аналогии с F.34) запишем соотношение между касательны-
касательными напряжениями и смещениями:
"я* (т) тя*(т)
= т.
vsie(i) 7яе(т)
'cr,n
nTi
F.35)
приняв, что отношение податливости стержней осевым и тангенциаль-
тангенциальным смещениям в бетоне равно функции nri, которая, как указывалось
в предпосылке бф, зависит от податливости основания бетона под
арматурой смятию арматурой; значения п^ представлены ниже
(см. п. 6.11). Внося выражения F.35) в F.33), устанавливаем, что
4 я"
'Ti
nimk(i)
F.36)
Е .
7яе@
si Ti
n.me(f)
у*е
Укажем на одну особенность формул (б.36). Относительные
деформации вектор-столбца F.12) или в более обобщенном виде
вектор-столбца F.20), связанные с раскрытием трещин, преобразовы-
преобразовываются при повороте осей координат по простым законам преобразо-
преобразования компонент несимметричного тензора второго ранга вида A.61).
Преобразуем компоненты F.20) к осям армирования i, k(i),
e(i). Из полученных таким образом девяти компонент нас будут
интересовать три: € si — относительные.деформации арматуры вдоль
оси i; rtikd) ~ сДвиги арматуры в плоскости гШ); ^*e(i) — сдвиги
арматуры в плоскости ге{г). Эти компоненты составят:
mini
mini
F.37)
251

Sn < en ninl
nimj
%n minj + У ml M
F.38)
(/
@).
Для схемы / &п = 1, fm = <$l = 0. Сопоставляя с учетом этого
формулы (б.36) с формулами F.38), можно заметить, что
Ti
F.39)
я
Другие схемы трещин. В элементах со схемами трещин 2 и 3
существенным становится взаимное влияние пересечений арматуры
трещинами различных направлений, что не позволяет использовать
для них вывод формул, принятый при рассмотрении схемы /.
Используем иной подход, рассмотрев сначала схему 3, а затем схему
2 (см. рис. 6.1, в, г).
В схеме 3 бетон теряет свойства самостоятельной компоненты.
Так, в формулах F.24) деформация бетона принята равной нулю
(fw*0). Учитывая это и сопоставляя формулы F.23) и F.24),
находим:
X -
*dad
esiEsi
vsi
F.40)
Из сопоставления (б.30), F.37), принимая во внимание, что в
схеме 3 дп = 6т - 8 { =1, следует
esi
=ei>
в результате зависимости F.40) преобразовываются к виду
?iEsi-
F.41)
Общие зависимости. Формально, 0\ можно получить по
формуле F,29), приняв y^jim =У^М ~ Цгн- Сравнивая формулы О\,
полученные для схем / и 3 (рис. 6.1, а, г), можно заметить закономер-
закономерность перехода от одной схемы к другой. Эта закономерность сводится
к тому, что постепенно перед членами зависимости F.29), заключен-
заключенными в круглые скобки, коэффициенты ^Рлк (k = п, т, I) переходят
252
в коэффициенты yrsi- В элементах со схемой / такой переход осущес-
осуществляется перед первыми круглыми скобками, в элементах со схемой 3
такой переход осуществляется перед тремя круглыми скобками.
Следовательно, для второй схемы трещин ljrsiin - y^si, Y'sii = *¦
Обобщенно (применительно к различным схемам трещин)
формулы F.31)/ F.39) можно записать так:
emmi
nimi
F.42)
*1 "/'/) + 1 (етт,? + Утпт1пг +
У ml ™il0 + —J— (e/ h2 + У*п li"i + У lm
F.43)
значения
по формуле
где уг^ = 1; остальные коэффициенты уг^т, 1рш принимают указанные выше
в зависимости от схемы трещин; эти коэффициенты также можно вычислять
(г = п,т,1).
Логично предположить, что формулы F.39) справедливы для
всех схем трещин, меняются лишь значения углов сдвига ^Mw^tieur
Эти значения можно получить из F.38), полагая, как уже указыва-
указывалось, коэффициенты 5 г(г = п, т, I) равными нулю или единице в
зависимости от схемы трещин.
Таким образом обобщенно (применительно ко всем схемам
трещин) выражения типа F.39) можно представить в виде
t[5*+
mimj
Ут
тп min]
F.45)
У?
?т hmj>
253

6.5. ВЫВОД ОБЩИХ ФИЗИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ
Вектор-столбец напряжений железобетона с трещинами F.10)
состоит из трех столбцов-компонент. Вывод физических соотношений
состоит в установлении связей между компонентами столбцов и
общими деформациями. После этого устанавливаются общие соотно-
соотношения.
Связь приведенных напряжений арматуры с общими дефор-
деформациями. Определив реальные напряжения в арматуре, можно уста-
установить вклад этих напряжений в общие напряжения элемента. Этот
вклад характеризуется вектор-столбцом приведенных (отнесенных к
единичным площадкам элемента) напряжений F.4). Формирование
приведенных напряжений подробно рассмотрено в п. 6.2. Внося
значения напряжений F.42), F.43), F.45) в выражения F.5),
получим
srm
'sml
*sln
T
smn
Чи
*Аг
dA3
dsU
"А
ds%S dA
dsU
dSts
ds%s
dsts
'А
'А
dAl
dA*
<U7
dsh
'А
d,U
Симметрично
S59
d,*69
ds%
y*
1 rm
1*
y*
Tin
y*
'mn
A F.46)
или в более компактном виде
[",*).= !dX [e] „' F.47)
где [ds]n — матрица жесткости арматуры, характеризующая вклад арматуры
в общую жесткость железобетона с трещинами.
Элементы dske матрицы жесткости арматуры вычисляются по
формулам:
f lEsim mini
F.48)
f
254
= 2
/
i * =
= 2
i
// (я,-"/ + 5/ "«"
= 2
i
"A ' ?
F.48)
= 2
V/ + ei"
i"«1
= 2
= 2
(V,-
«. - f
.n/ + 8
1 2
= 2
n? 2 «/
= 2
2
= 2
»
255

¦ f
f
"« W
f
d* =d*
S69 US13
«„ «^n-.1 S
ri" 2
i+8j „;; Z nfmf)];
(n*
F.48)
= f
F-48)
= 2
= f Iеa "i'i <"imi + 8»8' nri f п1
2
n? + 6, 2 «/) ] ;
"rt1 f
Esin =
f
"A -
nri f ni
256
Заметим, что в соотношениях F.48) введено в прямом виде
суммирование по г-нескольким направлениям арматуры (в других
соотношениях оно подразумевается, однако, чтобы не усложнять
записи формул, не вводится).
Из представленных формул F.48) можно получить коэффици-
коэффициенты d*. для любой схемы трещин, а также элементов без трещин
(схемы 0), присваивая параметрам cfn, Sm, S(, уsim>Kr Su значения,
указанные в п. 6.4. Состояние элементов без трещин (схема 0)
получается при у s. = 1/Г йт = lfsil = ^, б п= д т = б ,= 0 (можно
принимать бп =6 т = д, = 1, тогда nxi » 2,5).
917
9 3ак. 1408

В практических расчетах коэффициенты матрицы [d^\n реко-
рекомендуется формировать при помощи компактного оператора, исполь-
используя вместо матричной записи операторную запись соотношений F.46):
сть = I б* [Е . ш-Чц k.p.(r.q. + 5. 5 п\ I га.)],
kr, pq = nn, mm, II, nm, ml, In, mn, Im, ni,
F.49)
где, если условно принять, что п > т > I, то р' = р при р < k, p' = k
при р > k. Кроме того,
*sin = %i '• °тп = Чп % = ^тт
епт ~
пт
Связь напряжений бетона с деформациями элемента. Напря-
Напряжения бетона составляют часть общих напряжений элемента. Эта
часть в выражении F.10) представляется вектором {б*^п- Компонен-
Компоненты столбца применительно ко всем схемам трещин формируются по
формуле F.7). Установим связь между напряжениями {<5^}п и
деформациями {?*}п> которые указаны в столбце F.21).
Как было показано в гл. 3, бетон до появления трещин
деформируется как особый ортотропный материал, оси рртотропии
которого совпадают с направлениями главных напряжений. Полага-
Полагаем, что этот характер деформирования сохранится и после появления
трещин. Оси ортотропии в элементах с трещинами ориентируются
вдоль нормалей к площадкам трещин (вдоль осей п, т, I), хотя
эти площадки после трещинообразования могут становиться не
главными.
Однако необходимо выделить три отличительные особенности
описания связей между напряжениями для элементов с трещинами:
1) вместо матрицы податливости C.96) размером 6x6 записывается
матрица 9x9 вследствие формального разделения углов сдвига бето-
бетона рь.. = 2-bj. {ij = п, т, I) на два угла сдвига ^*. и ?-*..; 2) вдоль
нормалей к трещинам бетон выключается из рассмотрения (исклю-
(исключается строка по определению относительных деформаций, содер-
содержащих в первом индексе обозначение соответствующих осей из п,
т, I, которые становятся нормалями к трещинам); 3) модули дефор-
деформации бетона вдоль других направлений определяются с учетом
влияния на деформативность элемента повреждаемости блоков бето-
бетона трещинами.
Соотношения между девятикомпонентными столбцами напря-
напряжений и деформациями представим в виде
258
сЬп
еы
у *
'brm
у *
'Ьтп
71 II ?712 1
Ъ\г
сЪгг\
Ь\ъ\ сыъ\ сЬъъ
о
-в-
bnl.
или в сокращенном виде
о о—Н-
0 0 0 1
0 0 О
-е—Ь-в
-в—И
оо I о I <
*J
о (
Ь677
О (
1° I ° I ° Nssh
-в—И—Ь&
599
"Ъп
"Ът
Ъпт
ТЬт1
'Ып
Ьтп
ТЫт
'bnl
F.50)
<6-51>
где коэффициенты с^. (i, /= 1, 2, 3) и c*Kj (у = 44,...,99)-симметричной
матрицы податливости [с$]к вычисляются по формулам C.96) — C.109) с дополнитель-
дополнительным учетом повреждаемости бетона трещинами.
Коэффициенты с^ (и = 44,...,99) можно также вычислять по
более точным зависимостям C.96). Тонкими линиями для примера в
F.50) вьгееркнуты строки и столбцы, которые исключаются в случае
схемы / трещин.
Решая уравнения F.50) или F.51) относительно напряжений,
получим
аьК 1«6 Jn\Efc Jn, (о.52)
где
Матрица жесткости [d*b\n имеет такое же наполнение коэффици-
коэффициентами, что и матрица [с*)п в соотношениях F.50), причем буквы с
заменяются на d (индексы остаются без изменения).
В случае схемы / трещин
dbu = dbn = dbn * <м « dm " 0,
db22 = Сш/Л : dbv = СЬ22/Ь db23 = -ct23/A ; F.53)
А = '„Азз " 4з; d*bii = <c* )¦' <й = 55, 66, 77, 88)
9* 259

В случае схемы 2 трещин
*622
— —! 666 666' 688 ' 688
Коэффициенты, которые не указаны в зависимостях F.53),
F.54), принимаются равными нулю. В случае схемы 3 все коэффи-
коэффициенты матрицы [d*]x принимаются равными нулю.
С учетом указанных особенностей формирования элементов
матрицы [d*)n соотношения F.52) можно представить
{ст*} = [dt] {еФ} . F.55)
В записи F.55) параметры A — rfr), г = п, т, I, связывающие
согласно F.21) деформации бетона {?*}„ с деформациями элемента
{ ? '}п, перенесены в матрицу [db]n. Повреждаемость бетона трещинами
учитывается приближенно корректировкой коэффициентов Vbi, i = п,
т, I, входящих в элементы сы. и db.. (коэффициенты у w рассмотрены
в гл. 3). При этом входящая в эти формулы призменная прочность Rb
заменяется ua^-Rb, а деформации ? R в вершине диаграммы одноос-
одноосного сжатия — на ? k<TL- Параметру определяется по представлен-
представленной ниже формуле F7112), а параметр §*:± принимается равным
меньшему иэ двух величин: 1, 2, и @,5 + 1,5°/.^). Эти коорректи-
рующие параметры были установлены в [87]. "
Напряжения зацепления связываются с общими деформациями
соотношениями:
= [d*]{e}n,
F.56)
где [d*] — матрица модулей зацепления; в этой матрице ненулевыми будут
только коэффициенты, стоящие на главной диагонали; они обозначаются: ? S..E д ;
Значения модулей зацепления даны ниже.
Общие физические соотношения. Внося значения напряже-
напряжений {б1^} , {б^}„ и {ff*},,, представленные формулами F.47), F.51),
F.55) в F.10), находим
i°\ =
+
ld*ln){s\ = [rf-yej,
F.57)
где [d']n — симметричная матрица жесткости железобетона размером 9x9 в
п, т, V, элементы dt/. этой матрицы обозначаются так же, как и элементы матрицы
я F.46), только без нижнего индекса s.
Соотношения F.57) представляют собой общие физические
соотношения железобетона с трещинами. Соотношения F.57) еще не
могут использоваться в расчетах, поскольку они связаны со сдвиговы-
сдвиговыми компонентами несимметричного тензора деформаций, в выраже-
выражения которых через производные от перемещений входят компоненты
жесткого поворота (см. п. 1.6).
260
В связи с этим можно поступать двояко: использовать уравне-
уравнения типа моментной теории упругости, дополнив соотношения F.57)
дополнительными связями между моментами, и, например, производ-
производными от углов поворота; использовать уравнения классической теории
упругости, сведя систему девяти соотношений F.57) к системе шести
уравнений. Будем использовать второе направление. При этом в силу
закона о парности касательных напряжений (тг = Т..) должна соблю-
соблюдаться парность общих касательных напряжений (бетон плюс арма-
арматура) , хотя для компонент напряжений бетона и арматуры, взятых в
отдельности, парность будет нарушаться.
Кроме условий парности
F.58)
Т = т ;
Тп1 = ТЫ '¦
7 ml Tlm
вводятся суммарные углы сдвига
Y
'mn
'm
ml
4m
F.59)
При этом вектор-столбцы напряжений и деформаций составят
и. -к
W at Tnm- Tmt
n ={en' em- et
}т
F.60)
Соотношения F.57) можно преобразовать к соотношениям
между {6}п и {€¦ }п двумя способами.
Первый способ преобразования. Этот способ состоит в следую-
следующем [85]. Соотношения F.57) разрешаются относительно деформа-
деформаций
К*}.
F.6D
а затем в этой системе четвертое уравнение суммируется с седьмым,
пятое с восьмым, шестое с девятым, чтобы можно было получить
суммарные углы сдвига F.59), и шесть компонент касательных
напряжений заменяются на три компоненты согласно условию парнос-
парности F.58). Таким образом приходим к системе вида
{.
которая разрешается относительно напряжений, в результате
F.62)
где [d]n — симметричная матрица жесткости (матрица упругости по термино-
терминологии М КЭ) железобетона размером 6x6.
Система F.62) представляет окончательную систему физичес-
физических соотношений железобетона с трещинами.
261

Рассмотренную выше процедуру получения соотношений F.62)
можно выполнить в матричном виде. Шестикомпонентный вектор
связан с девятикомпонентным вектором { ? '}„ соотношением
где [Я] — прямоугольная матрица размером 6x9, состоящая из единиц и нулей
[Я] =
Г1
—
0
0
0
0
0
1
t-
1
1
I
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
о
0
1—
0
1
0
0
о
0
4 -
0
0
0
0
1
J
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
+
1
1
1
1
1
1
1
I
1
0 '
1
1
0 1
1
0 1
1
0 1
0
1
1 1
0
0
0
1
0
0
t
—
0
0
0
0
1
0
1
-1-
1
1
I
1
I
1
1
1
1
0
—
0
—
0
0
о
1_
Для матрицы [rf]nc помощью очевидного равенства {? }т{б'} —
{? *}т{ 6'} можно получить соотношение
Преобразования по формуле F.63) требуют обращения квад-
квадратных матриц 9-го и 6-го порядков. Многократное выполнение этой
процедуры в итерационных процессах требует значительных затрат
машинного времени на ЭВМ. Эти затраты можно существенно умень-
уменьшить, используя для получения соотношений F.62) второй способ.
Второй способ преобразования соотношений F.57). Учитывая
F.59), вектор относительных деформаций { ? *}п записывается в виде
п ~ \еп' «№ * G*m-W> F64)
* * * * * 1 Т
Чт '' y'ln 'nl '' ' тп ' Чт ' 'nl f .
Рассмотрев последние шесть уравнений F.57) и приравняв
попарно эти уравнения согласно F.58), получим систему трех урав-
уравнений для определения^*^ э^,^*, в виде
ы„,
F.65)
где
т ' ^1т ' 7
— матрицы размерами 3x3 и 3x6, коэффициенты которых выражаются через
коэффициенты матрицы [</*]„¦
262
Записывая первые шесть уравнений F.57), предварительно
приняв вектор-столбец {? "}п в виде F.64) и внося в эти зависимости
значения углов {^'}, получим окончательную систему физических
соотношений F.62). Указанную выше процедуру преобразования
можно выполнить в матричном виде. Для этого предварительно
разделим компоненты векторов {<5"}п и {? *}„ на три части (блока):
k*L =
• Тпт' Tmt
F.66)
е
Соотношения F.57) также переписываются в блочном виде:
{
ВД
F.67)
где [dp — подматрицы размером 3x3 (у = 11, 12, 13, 22, 23, 33) общей
матрицы [</"]„; согласно F.67) матрица [d']n разделяется на девять частей (подмат-
(подматриц).
Шестикомпонентные векторы напряжений и деформаций пред-
представляются в блочном виде так:
7 а аЛ т U т , т Л т 1 =
п' п\* I ** * ^ nrn' nil * nl
1
'О j ;
Г 0 T Г
е.е as. /7 7. 7.
- п' тп' tj ' L 'nm' 'ml' 'In
F.68)
тогда связи F.64) между ними записываются:
где [d{j\ (у = 11, 12, 22) подматрицы 3x3 общей матрицы [d]n.
F.69)
263

Используя очевидные равенства:
можно выразить блоки искомой матрицы [d] через блоки матриц
[rf..] = [с/*] - ([</*] - [d*])[A]([d%] - [d?])', F.71)
где [А] = <[«**] + [d*] - [«**] - [<**]')¦'.
В этом случае обращается матрица 3x3 в отличие от обращения
матрицы гораздо большей размерности в F.63).
6.6. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
Этот вопрос рассматривался в работе Н.И. Карпенко и
С.Ф. Клованича [80]. Пусть элемент с трещинами подвергается не
только силовым, но и тепловым воздействиям; if — приращение
температуры сверх некоторой среднеклиматической температуры,
которая принимается за нормальную. Полагаем, что бетон с трещина-
трещинами ведет себя и на температурные воздействия как некоторый ортот-
ропный материал с осями ортотропии п, т, I, направленными перпен-
перпендикулярно (и параллельно) к площадкам трещинообразования. Вслед-
Вследствие этого коэффициенты температурной деформации бетона <Х'Ьп,
<Х° , <Х'Ы вдоль этих осей могут различаться, а сами дополнительные
деформации составят: &bnif,<XbJf,cLblt°. В результате соотношения
F.51) записываются
<<}.= [с;].{а*}, + {айЛ <6.72)
где {сзС*}п — вектор-столбец коэффициентов температурной деформа-
деформации,
С
.0,0,0,0,0,03 Т. F.73)
Температурная часть деформаций в F.72) составляет
Н°К - *ЧМ.»'. F.74)
а силовая, связанная с действием напряжений,
Обозначая
264
F75)
F.76)
можно преобразовать зависимости F.75) к окончательным зависимос-
зависимостям вида
Заметим, что деформации {? "Л могут включать в себя не только
температурные деформации, но и деформации усадки {б*}п и другие
вынужденные деформации, т.е.1
Обозначая
WK >
WK
вместо F.77) получим
F.78)
. F.79)
Перейдем теперь к определению температурных деформаций
арматуры.
Сначала рассмотрим влияние на деформации арматуры, темпе-
температурных деформаций бетона при частично нарушенном сцеплении
арматуры с бетоном. Это влияние проявляется двояко, из-за чего
деформации бетона предварительно разделяются на две части. Первая
часть (A'bnt° в случае схемы / трещин) связана с расширением бетона
по нормали к трещинам. Она влияет непосредственно на раскрытие
трещин (на асгп) и через этот фактор — на смещение арматуры usi
относительно берега трещины. Обобщенно первые части температур-
температурных деформаций бетона применительно ко всем трем схемам трещин
можно представить в виде трех составляющих: б OL? if; 6 a? if \ <5,Ы.?„
* *го п on т от I 01'
где формальные параметры оп,ат, б, принимают значения нуля или
единицы в зависимости от схемы трещин [по алгоритму F.6),
например, для схемы / трещин 6п = 1; бт = д, = 0].
Деформацию бетона вдоль направления / (направления уклад-
укладки арматуры), связанную с указанными температурными деформаци-
деформациями в осях п, т, I, обозначим ? °.. Она составит
° =
«11
Sn a°bn
1?
<V
г° г?
F.80)
(г =п, т,
'Здесь деформации усадки приняты как положительные, в действительности
же они должны вводиться со знаком минус.
265

Ко второй части температурных деформаций бетона относим
соответствующие деформации полос бетона между трещинами. Для
схемы / трещин они равны температурным деформациям oi°mt°,
oL°blt° бетона вдоль осей т и I. Обобщенно, применительно ко
всем схемам трещин, компоненты этих деформаций в осях п, т, I
составят: A ~<5n)dL\t°, A — d"m)Ot°mt°, (I - d)cL\,f. Деформации,
которые они вызовут вдоль оси г, обозначим ?'Г По аналогии (с 6.80)
т(." +
+ A - 5,) а
(г = п, т, /)
F.81)
= 2
г.\
Естественно, в сумме деформации ?°. и ? °. будут равны общим
температурным деформациям бетона вдоль г, т.е.
0 0 . 0 (G. Qr}\
ы ~ еи eti • къ.ъг)
Теперь, прежде чем записать общее выражение для удлинения
арматуры на участке между трещинами lsi, рассмотрим две ситуации.
Пусть коэффициенты температурной деформации бетона равны нулю,
а коэффициент температурной деформации арматуры о(Л не равен
нулю.
Подвергнем стержень длиной lsi (на участке между двумя
трещинами) нагреванию. Если бы стержень не находился в бетоне, то
его общие удлинения были бы равны <Xasit"lsi, а относительные дефор-
деформации составили ol°i0, где ots° — коэффициент температурной дефор-
деформации арматуры. Бетон через фактор сцепления будет препятствовать
относительным удлинениям, в результате согласно В.И. Мурашеву
средние относительные температурные удлинения составят oL'i"^^..
Теперь, пусть коэффициент температурной деформации арматуры
равен нулю, а аналогичные коэффициенты бетона не равны нулю.
Тогда бетон, удлиняясь вдоль оси i на величину ?. °., будет через
фактор сцепления влиять на деформации арматуры, в результате они
составят ?°;A — ^S1)-
Обозначим общие температурные деформации арматуры ?°
F.83)
Внося в это выражение значение ?, °. из F.80) и обозначая
mi я я я r r br ri ' F 84)
(г = п, гп, I)
можно преобразовать F.83) к виду
266
W° =<
F.85)
Коэффициент OL^ здесь выступает в роли некоторого среднего
коэффициента температурной деформации арматуры, заделанной в
бетон. При Т1^$г*~\ (при полном нарушении сцепления арматуры с
бетоном) Ы ?;-»¦ (Х°.
Деформации ?° из F.85) прибавляются к правой части зависи-
зависимости F.24) по определению %н. Если при этом обозначить через ? ы
суммарные величины деформаций, которые включают в себя анало-
аналогичные силовые деформации ?w, входящие в F.24), и деформации
S92i, то зависимость F.24) с учетом влияния температуры запишется
так:
esi =
F.86)
Ниже мы также оперируем с общими деформациями ? w,
которые включают в себя как силовые, так температурные деформа-
деформации. Это удобно в связи с тем, что для общих деформаций сохраня-
сохраняются справедливыми зависимости F.22), связывающие эти деформа-
деформации бетона с общими деформациями элемента. При такой трактовке
деформаций % ы общие — силовые и температурные деформации
бетона вдоль оси г составят
eU =
F.87)
Формула F.25) для определения осевого смещения арматуры
относительно берега трещины претерпевает некоторое изменение
или, если учесть F.86),
asi
-еп1 'cr.nl2 "Г
F.88)
Приравнивая правые части зависимостей F.88) и F.28) и
учитывая, что для бетона с трещинами схемы / ?° = oL°brt°nf, находим
1 О \1)-
*« * *snm ii 'ml ii „ yD.ozf)
Здесь
%n
*
7mm ~ trim' ^sn
F.90)
т.е. влиянием деформаций бетона, равных CL°bnt°, на общие
деформации элемента здесь не пренебрегаем. __
Учитывая эти зависимости и внося в F.89) значение ?6i из
F.28), приходим к более общей формуле, чем F.29), по определению
реальных напряжений в арматуре в трещинах 257

= Esi ["-Г
1
1
*я
y*
i.n.
*и
Параметры ~yrsim, у/)и, как и в формуле F.29), принимает
значение единица (в случае схемы /) или 1frH (при других схемах
трещин). Представленный вывод зависимости F.91) относится к
схеме / трещин, а записана она применительно ко всем схемам.
Остальные схемы рассматриваются по аналогии с их изложением при
выводе формул F.43).
Заметим, что в формуле F.91) могут быть учтены также и
деформации усадки ?,*, тогда вычитаемое cL°mit°/7trsi заменяется на
вычитаемое
"~^7~ (а»»' '° A " ?s<) f 8r «*'Д ' =n,m,l. F.92)
Формула F.31) с учетом влияния температуры записывается
так:
У = < Ъ - «я? '°> Esi =^-"? '°> V F.93)
где по-прежнему ?( вычисляется по формуле F.30).
С учетом F.30) формула F.93) преобразуется в формулу типа
F.42). В новой записи следует лишь вычесть из правой части
формулы F.42) величину et°i°E\.
Повторяя вывод физических соотношений, представленный в
п. 6.5 на базе более общих зависимостей F.91) и F.93), получим и
более общую запись первой (арматурной) части физических соотно-
соотношений F.47)
to*ln = [d*] {en3 - Ц*3„г°, F.94)
где {В*}„ ~ вектор-столбец коэффициентов температурных напряжений.
Я * Я*
Я
slm
F.95)
формуле
268
Компоненты вектора { В*}п можно формировать по обобщен:
НОИ
F.96)
Например, полагая г = к = п, находим
Для всех схем трещин <$п = 1, поэтому
F.97)
В общие физические соотношения типа F.57) должны входить
температурные векторы как арматуры, так и бетона. Эти соотношения
получим, суммируя соотношения F.94) и F.77)
[о*}„
F.98)
или, вводя общие обозначения для компонент в скобках,
lo*}n = [d*]nle*\- {&*\ t°. . F.99)
Используя преобразования F.66) —F.71), приводим систему
F.99) девяти уравнений к системе шести уравнений вида F.62). С
учетом температурных компонент
- 1в°\ t°. F.100)
где
с/з°3„ = 1Р„°,Рп, ру\ 0п°т, &°тР /з^З , F.Ю1)
причем компоненты вектора {fb°}n выражаются через компоненты
вектора { Р'}п- Эта связь устанавливается в процессе преобразований
F.66) —F.71). Приводим лишь дополнительные зависимости в ука-
указанных преобразованиях, связанные с действием температуры. К
перекомпанованным соотношениям F.66) добавляется блочная за-
запись столбца {В *}в:
} { }
Соответственно соотношения F.70) дополняются разделенным на
два блока шестикомпонентным столбцом { р°}п
[ T
269

От правых частей физических соотношений F.67) и F,69)
вычитаются соответственно столбцы
т.е. к виду F.67) и F.69) приводятся более общие соотношения F.99)
и F.100). Соотношения F.70) не меняются. В результате преобразо-
преобразований приходим к следующей связи между компонентами столбцов
¦ Щ\ -
\
У -
F.102)
(? =11, 12)
6.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ
ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ
Представленные выше физические соотношения записаны в
локальной системе координат п, т, I. В практических расчетах их
необходимо преобразовывать к единой системе координат х, у, г.
Обозначим { б'}х, { &'}х,,{ fi'}x — девятикомпонентные вектор-столб-
вектор-столбцы напряжений, относительных деформаций и температурных коэф-
коэффициентов в осях х, у, г:
{°*}х =
Iе*\х
V V V
= /fl * в* в* в* в
1РХ' Ну. vz> vxy vy
Тух'Тгу
У*
izx-
hex*
F.103)
У 7
izy> ixz
1 .
Компоненты шестикомпонентных вектор-стобцов напряжений,
деформаций и температурных коэффициентов в осях х, у, г обозначим
F104)
270
Физические соотношения F.99) и F.100) в осях х, у, z
представляются
Их = [d*h И, "СИ,*0 F.105)
или
где [d']x — матрица жесткости железобетона размером 9x9 в осях х, у, г;
[d]x — аналогичная матрица размером 6x6.
Окончательной целью преобразований является получение со-
соотношений F.106). При этом можно поступать двояко: преобразовы-
преобразовывать к осям х, у, г, т.е. к виду F.105) сначала девять уравнений
системы F.99), а затем, уже используя процедуру, описанную
формулами F.64) —F.71) с учетом F.102), сводить полученную
систему F.105) к системе F.106); преобразовывать к осям х, у, z
систему шести уравнений F.100), тогда необходимость в системе
F.105) отпадает.
Рассмотрим первый путь. В основе его лежат формулы преоб-
преобразования компонент девятикомпонентного тензора напряжений и
деформаций при повороте осей координат. Отдельно эти преобразо-
преобразования рассмотрены в п. 1.3. Согласно этим преобразованиям
= [а*} [а*] = [а*]Т{ст*] , F.107)
где [&'] — квадратная матрица направляющих косинусов размером 9x9; она
заполняется по правилу F.170); здесь [&']' = [ oL']T, т.е. обратная и транспонирован-
транспонированная матрицы совпадают.
Внося в F.107) значения { б'}п, определяемые соотношениями
F.108)
а затем, учитывая, что { В*}л = [ о<-*]{?. '}х, находим
[а*]х = [a*]' [d*]n [а] [е*}х- [a *f {&•} „t
Эти соотношения, если обозначить
[d*]x= [a*]' [d*]n [а]; Ь*]х = [а*]Т[C*}п,
приводятся к системе F.105), которая затем преобразовывается к
системе F.106).
Непосредственные преобразования системы уравнений F.100)
к системе F.106) — второй путь, осуществляются по формулам
, -И «.([«К; хя
где [Л] — матрица направляющих косинусов размером 6x6, которая запол-
заполняется по правилу A.168).
271

6.8. СЛУЧАЙ ОБЪЕМНОГО ОРТОТРОПНОГО АРМИРОВАНИЯ
Схема объемного ортотропного армирования показана на рис. 5.1,
а. Это армирование является наиболее распространенным, поэтому
требует отдельного рассмотрения. Армирование характеризуется в
осях х, у, z тремя коэффициентами: U a, jUsy и jUsz.
Переход от косоугольного к ортотропному армированию.
Представленные выше зависимости установлены применительно к
некоторой общей схеме армирования в виде одного (г-го) или несколь-
нескольких (г = 1, 2,...) направлений установки арматуры (см. рис. 5.1., б).
Ориентируя стержни вдоль оси х (г = х, рис. 6.9, а), вдоль оси у (г =
у, рис. 6.9, б) и вдоль оси z (г = г, рис. 6.9, в) й производя
суммирование по этим трем значениям г, можно из представленных
выше зависимостей получить все соотношения, относящиеся к ортот-
ортотропному армированию. Соотношения получают простой заменой
направляющих косинусов согласно табл. 6.3 (вторыми в ячейках
указаны направляющие косинусы, на которые заменяются направля-
направляющие косинусы общей схемы; они проставлены первыми).
Так, компоненты приведенных напряжений арматуры, опреде-
определяемые при косоугольном армирований формулами F.1), в случае
ортотропного армирования на площадке п составят:
'v — 2 .
О - CL. M tv "v + T«v ^ra "x "v Tvcz nx nz
sn $х ал л илу &л л у ал6 л &
Чу «v "У
V "У "г + Tsyx *V nynx
Tszx t "z "x + Tszy "z "у •
"xmx + T sxy ^sx nxmy + Tsxz *sx nxmz
sy
"ymy + V
Tsyx Tsy "ymx
zmz Tszx ^sz nz-x -szy
У
Рис. 6.9. Схема перенумерации осей для трех направлений арматуры 1Лх. Лу.
Az — арматурные стержни для трех направлений)
272
Таблица 6.3
Арматура Ах
i =x
ni
"х
т{
тх
h
lx
kif)=y
пк@
"у
тк @
ту
1кф
'у
e(i)=z
"е@
"z
me(S)
mz
'е@
lz
Арматура А
e(i)=x
"в©
пх
тх
1х
i =у
"i
."у
т.
-mL
li
1У
k{i)=z
ПкЦ)
nz
mk(j)
mz
h
Арматура Az
k(!)=x
nk(i)
"x
mk(i)
mx
'*«)
lx
e(i)=y
ne(i)
Ъ
me(f)
mL
W)
'v
1 =Z
"*
"z
m.
h
lz
Аналогичным образом определяется и третья компонента t* „, на
площадке трещины п. Эти приведенные напряжения удобно записы-
записывать в обобщенном виде:
asi
asi
"imr
F.110)
= f
(i =x,y,z; ij =xy, xz,yz, yx, zx, zy)
(здесь и далее суммирование типа ? ЗС обозначено в виде Т. ).
На площадках т и / приведенные напряжения арматуры F.2)
и F.3) составляют в случае схемы /:
а =
Tsml
mtn.
F.111)
Tsln
(I =Х, у, Z).
F.112)
273

Арматурные стержни трех направлений, расположенных вдоль
осей х, у, z, могут одновременно пересекаться трещинами, например
проходящими нормально к п. Напряжения в трещинах каждого из
трех направлений в месте пересечения их трещиной определяются по
формуле F.29) или в случае действия температуры по формуле
F.91), полагая в этих формулах поочередно i = x, i = у, i = z.
Например, напряжения в стержнях ^-направления равны
ппх + ?»m "xmx+ tl
Vsx
nxlx>
тхпх+
rsxm
ф
F.113)
у *
'тп
тхпх
- а
тх
(заменяя индекс х на у или z, приходим к бs и ^)-
Средние напряжения 5™(г =х, у, г) вычисляются по формулам
F.41), также формально заменяя в F.41) и F.30) индекс i поочеред-
поочередно на х, у, г. Аналогичная процедура проделывается и с формулой
F.45) по определению касательных напряжений т\. в арматуре в
трещинах; здесь формально i, j = х, у, z при г=?/ (т.е. if = ху, хг, уг,
ух, zx, гу). Например,
'«у
4с" "¦
т х
fnl
тх"у
mxly>
F.114)
7,*
Ln.
Правило i, j = x, y, z при гФ] (вместо i,j = k(i), k(l) действует
и при записи применительно к ортотропному армированию других
соотношений, например элементов d*M матрицы жесткости [d*]e,
определяемой формулами F.48).
Вывод зависимостей по определению напряжений в арматуре
в трещине непосредственно через компоненты напряжения в осях
х, у, Z. Формулы F.113) связывают напряжения в арматуре в
трещинах с относительными деформациями и не всегда удобны в
расчетах. Установим связи напряжений в арматуре непосредственно
с напряжениями
274
бх, О , б
Тх ,Т2, Т2х. Пусть трещины образуются
5ZX
Рис. 6.1О. К определению напряжений в арматуре в трещине при ортотроп-
ном армировании
по схеме /. Выделим для этого из железобетонного массива малый
тетраэдр так, чтобы три его грани были нормальны соответственно к
осям х, у, z, а наклонная его грань прошла по наклонной трещине
(рис. 6.10, а). Наклонная трещина (площадка наклонной трещины)
ортогональна к оси п. Площадь наклонной грани в выкладках
сокращается, поэтому примем ее с самого начала равной единице (Fn =
1). Тогда площади боковых граней тетраэдра, ортогональные к осям л:,
у, г, соответственно будут равны (рис. 6.10, б):
Fx=\nx;Fy=\ny;F2=\n2, F.115)
а площади арматурных стержней, которые пересекут эти грани,
составят
275

Напряжения, приложенные к боковым граням тетраэдра, пока-
показаны на рис. 6.10, а. Чтобы перейти к усилиям, в дальнейших
уравнениях равновесия необходимо каждое напряжение умножить на
соответствующую площадь из F.115).
На наклонных площадках напряжения передаются через арма-
арматуру, вызывая в ней нормальные (б"а, б , 6"S2) и касательные
напряжения (T"sx , Т$хг — в стержнях, параллельных оси x,Ts х, "Г г —
в стержнях, параллельных ослу, и fCax, Vsz — в стержнях, параллель-
параллельных оси z\ рис. 6.10, в). Чтобы перейти к усилиям, каждое напряже-
напряжение умножается на соответствующую площадь арматуры из F.116)
согласно рис. 6.10, а, 6. Кроме того, на наклонной площадке трещины
могут оставаться некоторые усилия в связях зацепления берегов
трещины. Плотность этих усилий, отнесенная к единице площади
наклонной площадки, составит нормальные С и касательные f ,
г qn qnm'
Т п1 напряжения зацепления (Fn = 1, поэтому по величине усилия
совпадают с напряжениями).
Естественно, напряжения, представленные на рис. 6.10, а, 6.10,
в и 6.10, г, в действительности совмещены на гранях одного тетраэдра
(они разделяются лишь для удобства выкладок). Проецируя все силы,
приложенные к граням тетраэдра (рис. 6.10, а, в, г) на оси х, у и z,
приходим к трем уравнениям равновесия:
ах"х+
Tqnm
+ V/
°y"y
Vя* =
F
Tszy »sznz + %nny + 7qnmmy + Tqnlly
ly'
°z nz
7xz nx
Tsxz
Tyz "y = °sz
%n"z
Tqnmmz
V
В качестве неизвестных в этих уравнениях выступают: три
нормальных напряжения в арматуре в трещинах ( ffsi, i = x, у, г),
шесть касательных напряжений (Т., j, i = х, у, z при j Фг) и три
напряжения зацепления ( &п, f nm, f „,) — таким образом всего 12
неизвестных. Недостающие девять уравнений установим, используя
соотношения между перемещениями стержней в трещинах и их связи
с напряжениями.
Остановимся сначала на перемещениях. Представим идеализи-
идеализированный случай, когда стержни трех ортогональных направлений
276
*)
¦ *
Рис. 6.11. Нормальные (u J и касательные (и^ I J = х у. 2) перемещения
стержней относительно берега трещины и их связь с половиной раскрытия (ОЛ а^
трещины и половинки сдвигов ЮЛ Л nm. ОЛ Д ПО ее берегов
пересекаются наклонной площадкой в некоторой точке с' (рис. 6.11,
а), которая затем становится берегом трещины. В процессе деформи-
деформирования каждый стержень, выдвигаясь за берег трещины на величину
us. (i = х, у, z) и испытывая тангенциальные смещения vH. (i, j = х, у,
z; i =/), пройдет через точку с, расположенную посередине трещины
(подробно характер смещения стержней относительно берега трещи-
трещины рассмотрен на рис. 6.2. ) Диаграмма смещений стержней трех ортого-
ортогональных направлений относительно берега трещины представлена на
рис. 6.11, б. Из нее вытекают
следующие равенства (условия совместности):
М« = V*x = Vsyx' Usy = Vszy = О»,! F- ! 18>
usz = vsyz = vsxz (обобщенно us. = vs..).
В то же время перемещения usi можно получить, проецируя на
i (i = х, у, z) перемещения 0,5 астп, 0,5 Апт, 0,5 Ani (рис. 6.11, в),
равные половинкам раскрытия трещины и сдвига ее берегов:
F.119)
277

или, если спроецировать и$х, us и мм на оси п, т, I, то вместо F.119)
получим:
°.5 \l = «Jx + %l, + «J,
F.120)
Соотношения F.120), учитывая значения usj из F.26), можно
записать так:
исг,п
пт
Чсг,п f
Esi
si
m.
F.121)
то
Соотношения F.121) устанавливают непосредственную связь
ширины раскрытия трещины и сдвига ее берегов с напряжениями
арматуры в трещинах^деформациями (или напряжениями) блоков
бетона между трещинами и расстоянием между трещинами.
Перейдем к выводу недостающих уравнений. Внося в. условие
совместности F.118) значение и$. из F.26) и значение и$.{ из F.35)
[ здесь oriWf.j =v,-{, посколькув F.118) индекс i =x, у, г стоит на втором
месте], приходим к шести дополнительным уравнениям:
F.122)
1 /
где г Ф), т.е., если i = х, jo j - z или у, если i = у, то/ = z или х; если i = z,
то j - у или х.
Установим три недостающие уравнения. Напряжения зацепле-
зацепления связываются через модули зацепления Е п, Е nm, E и/ с шириной
раскрытия трещины и сдвигами берегов трещин соотношениями
; опт
сг,п
JV!L
cr, n
F.123)
Tqnl
lcr,n
278
Д nm и дп( из F.122) в зависимость
Подставляя значения acrn nm п(
F.112), получим формулы по определению напряжений зацепления
и одновременно три недостающие уравнения:
V =ЕЧп
f
- «Ы
т =Е
qnm qnm
"si+si
- ч
F.124)
V
=
V
Решение системы девяти уравнений F.И7), F.122), F.124)
можно упростить, внося значения напряжений зацепления из F.124)
и значения касательных напряжений г\. из F.122) в уравнения
F.И7); приходим к системе трех уравнений относительно ff а, «5^ и
ба- Эта система распадается на три независимых уравнения (соответ-
(соответственно относительно 6"sz, ffs и б!г, если с некоторым приближением
принять
qn
а Е .
qnm qnl
где ? — средний модуль зацепления,
и учесть, что
Обозначим в указанной системе трех уравнений группы вели-
величин через V] /С и Я.
"sz
F.125)
Значения Я.у, Д2 получают круговой перестановкой индексов:
так, заменяя в выражении для Я~ индекс х на у, у на z и 2 на х,
приходим к Л", заменяя в выражении для Я индекс у на z, x на г/ и
г/ на г, приходим к Я^-
С учетом обозначений F.125) полученные три уравнения
можно записать в виде
279

"л:
———— +
F.126)
а
+ г„
+ %z « - V Бп ¦
Остается еще выразить в уравнениях F.126), а также F.122)
и F.124) деформации бетона ?ы (i = х, у, г) через общие напряжения
элемента. Деформации ? ы определяются формулой F.22). Учиты-
Учитывая, что для схемы / трещин 6п = 1, <5т = 6t= 0, из этой формулы
следует
.«.
F.127)
Связи между напряжениями и относительными деформациями
бетона определяются зависимостями F-50). Примем эти зависимости
с некоторыми упрощениями, принебрегая коэффициентами попереч-
поперечных деформаций (сш » сЬ23« 0), хотя это не обязательно. При этом
упрощении коэффициенты матрицы податливости F.50) составят
сЬгг
СЫ1
БЪ%п
1
F.128)
сЬээ
где ЕЬп, Еы — модули деформации бетона вдоль осей т, и I Ь>Ьт, V ы —
коэффициенты изменения секущих модулей; подробно эти коэффициенты рассмотрены в гл. 3);
Е* — начальный модуль деформации бетона, а соотношения F.50) преобразуются к
простому виду:
280
'bm
аЬт
"Ът
е1 = еЫ
аГ°*1
аы
аы
Тт1
Ът
F.129)
* smn .
ТЫп =
Tblm =
(здесь в окончательных зависимостях согласно предпосылке Зт напря-
напряжения бетона выражены через общие напряжения и приведенные
напряжения арматуры).
Внося значения F.129) в F.127), предварительно выразив в
F.129) компоненты Ssm, 6si и TJ. (ji = ml, mn, In, lm) через
напряжения в арматуре по формулам F.111), F.112), получим
- f
т}
abm
-т.* * ---
а,-Л
аЫ
inimj
¦ т,п.+
abm
abm
Tln ~ f
abl
l.n. +-
abl
(I, / = X, У, Z)
В формулах F.111), F.112) индекс i предварительно заменен на индекс;,
поскольку по t в этой формуле суммирование не производится.
Подставляя в F.130) значения бт, б{, Ттп и т.д., выраженные
предварительно через общие напряжения в осях х, у, z, по известным
формулам преобразования вида (вывод этих формул рассмотрен в
п. 1.3):
с =с ег+с е2+с ег+(i +т )е е
' хх i/i/ г г v xi/ ух' х у
+ (х + х ) е е + (х + х ) е е,
гу уг' I/ г ч zx xz' x z'
(е = n, m, 1);
F.131)
281

+ т
е k +
! х
( ек = пт, ml, In, тп, Im, nl),
а также учитывая, что согласно F.131), ?>™
находим
1 2
eW = — у— <°i mi + Tjimimi + \i mem
Ът
+ __Л_ (or./.» + r/./.// + Те; /е /.)-
ы
ЕЪт ЕЫ
где, поочередно, * = х, у, z, причем:
если i — х, то j = у, е = z,
если i = у, то j = х, е = z,
если i = z, то j = х, е = у.
Из формул F.23), F.24), F.31) следует
F.131)
(г = х, у, г),
F.132)
F.133)
(' = ж, Л г).
Учитывая F.134), зависимость F.132) преобразуется
и -
(ff-m/ + т(т.т, + х . т т.) +
F.135)
282
Внося значение ?ы из F.135) в F.126), приходим к оконча-
окончательным зависимостям по определению напряжений в арматуре в
трещинах. Однако эти уточненные зависимости, как показали иссле-
исследования на образцах при плоском напряженном состоянии, приводят
примерно к таким же результатам, что и приближенные зависимости.
Приближенные зависимости получают из F.126), пренебрегая члена-
членами ? ыA — -I.) (i = х, у, z), т.е.
r
F.136)
где индексы », Л1 е формируются по формулам F.133)
Однако при выводе физических соотношений этого делать
нельзя, поскольку это приведет к нарушению парности побочных
коэффициентов.
Вывод физических соотношений в виде ?. = [с]^}. Под-
Подставляя в F.134) значения 6si из F.126) и 8Ы из F.132), можно
получить: /
Ebm
Ebl
где
Ebm
Ebl
Ebm Ebl
[i = x, у, г индексы ;, е принимают значения согласно условиям F.133)].
Формулы F.137) позволяют установить связь между деформа-
деформациями ? х, ? (, ?, 2 и напряжениями в осях х, у, z. Установим
аналогичные связи между деформациями сдвига и напряжениями.
Однако предварительно сделаем некоторые пояснения. Согласно
F.11) — F.17) углы сдвига в осях п, т, I состоят из двух частей. Одна
часть, куда относятся углы сдвига^*птх&*„,' З'ш^д'ы' связана со
сдвигами берегов трещин, а вторая часть (с компонентами ^^т1а ^*г
?ы,<*дЪ'2Гш?дГ\*'дГыт~7$ зависит от Деформации блоков"бетона
между трещинами.
283

Первая часть образует вектор-столбец F.11), а вторая анало-
аналогичный столбец F.15). При повороте осей координат оба столбца
преобразовываются как компоненты несимметричного тензора. Пре-
Преобразованные к осям х, у, z столбцы F.11)иF.15)иих компоненты
соответственно обозначим:
т
Ге *] =fe е е у * у* у * у* у* у* \
tcs Jx L sx' sy' sz' ' sxy' 'syz' 'zx' 'syx' 'szy 'sxzJ '
у у у у у
sxy' 'syz' 'zx' 'syx' 'szy 'sxz
> eby ebz" Ibxy Ibyz
* у * у * У* \
bzx' 'byx' 'bzy' 'bxzJ
Компоненты деформаций преобразовываются так же, как и
компоненты напряжений (см. гл. 1):
ог=апп? + а„ т.2 + а, 1* + (Г||/ + г/я) «¦/¦ +
+ <т«т + W/mi + (rm/+ 'ft,)»/'/.
( i = х, у, z ) ;
', " *««/-, ¦ Ъ «I  ¦ V^/+ (бШ)
+ Tmnminj + Tmlmilj + Tlm'imr
(q =xy, xz, yx, yz, zx, zy),
где формально г заменяется на^-', а ^на ? с соответствующими индексами
sij или Ы) и др.
В^сумме столбцы F.138) приводят к общим деформациям:
[е*] х = Ux = efX + еЬх; е„ = ^ + е^ ; ez = esz * ebz
w = Ti» + TA* ; т * = 7.1. +
х ~ Ъгх + ^bx ' l ~
Txz ~ ^sxz
Ъу ~
F.140)
284
Если ввести суммарные углы сдвига типа
у*
'ух
*
= 1-Х + Tv*;
у = у = "v '
'yz 'zy >yz
Txz Ъх
у
'zy '
F.141)
Tzx Txz Ъх + yxz
то они согласно F.140) будут состоять из четырех компонент. С
учетом F.141) девятикомпонентный столбец F.140) преобразуется в
шестикомпонентный
ev, е у , у
ху' 'yz'
F.142)
Компоненты этого столбца выражаются через напряжения по
формулам F.137). Задача состоит в том, чтобы выразить аналогич-
аналогичным образом углы общие сдвига ¦%'х , ~уIZ и 2?гх-
Перейдем к определению общих углов сдвига согласно F.141),
причем каждый общий угол сдвига будет состоять из четырех частей.
Найдем сначала эти части в отдельности, начав с вычисления компо-
компонент с индексом Ь (углов поворота сечений бетона от действия усилий,
приложенных к бетону на площадках тп и I, вдоль которых не
проходят трещины). Углы сдвига определяются по второй формуле
F.139), формально заменяя Т^на^., <^тна ?тит.д. Дополнительно
в этих формулах исключаются члены, содержащие ? п, ^*,, ^*т] они
связаны с раскрытием трещин и учитываются отдельно — в компонен-
компонентах с индексом s. В дальнейшем поступим так же, как и при выводе
зависимостей F.130) —F.132), получим
п =
-Ът
(а{ т-т{ + т/7т?
FЛ43)
(ji = ху, ух, yz, zy, zx,xz).
Внося в F.143) значения ? (из F.137), находим окончательные
значения ^*г
Переидем теперь к определению компонент с индексом s.
Согласно формулам F.39)
-.ЛйЛЛ . F.144)
28S
•V * =

В дальнейшем поступим так: вносим в F.144) значение Т\; из
выражения F.122), а затем заменяем 6~s и ?6. их значениями из
F.132) и F.133), т.е.
-Ът
аЫ
F.145)
Tiimimt*
(ji = xy, ух, yz, zy, zx,xz).
Внося в F.143) и F.145) значение ? . из F.137), находим
окончательные значения компоненту*, и^*. Суммируя эти значения,
т.е. принимая
находим
„• ) т.
ЕЬт
+ ' JLLJJ__
Hi
i si
1- т 1 z..
"i
+ i. __!'__
Ebmhl
F.146)
286
Ebm
X,- ф-m.nom,.
Бы
F.146)
hmhl
(/i =ду,
z, z.y, zx, xz ; e = x, y, z при е. * i, e
Определив шесть компонент ^*, можно вычислить три компо-
компоненты^, ууг, QT2X по формуле F.141).
Связи относительных деформаций с напряжениями в виде
F.137), F.141) с учетом F.146) представляют физические соотноше-
соотношения железобетона с трещинами. Обозначив в этих соотношениях
стоящие при напряжениях коэффициенты через с., (с.. — элементы
матрицы податливости), можно представить эти соотношение в тради-
традиционном виде:
V
1
2
симметрично
3
4
24
W44
"IS
5
5
5
26
36
46
56
66.
°x
°y
°z
Txy
V
Tzx.
F.147)
287

6.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ РАСКРЫТИЯ ТРЕЩИН
Ширина раскрытия трещин зависит от двух основных факто-
факторов: расстояния между трещинами 1сгп и деформаций по нормали к
трещинам ?„• Рассмотрим сначала определение 1сгп. Трещины обра-
образуются неодновременно, если даже напряженное состояние является
однородным. Сначала образуется трещина по одной из площадок,
например /, на которой бетон по какой- либо причине является
ослабленным. Затем (возможно сразу) образуется смежная трещина
по площадке //. Положим эту схему в основу теоретических постро-
построений, следуя [56, 61].
Рассмотрим сначала площадку /, с нормалью п в момент перед
образованием трещин (рис. 6.12, а). На этой площадке напряжения
в бетоне достигают предельного значения 6"ьх ( б"Ь1 определяется по
критерию B.44), где оно обозначено ?",). Обозначим ff'. —напряже-
—напряжения в арматуре в момент перед образованием трещин, а б% — общие
приведенные напряжения на площадке /. Согласно рис. 6.12, а
SI
vbV
F.148)
После образования трещины напряженное состояние на пло-
площадке / резко меняется (рис. 6.12, б). Возрастают нормальные
напряжения в арматуре 6si ( 6si ^-sini — усилия в арматуре, прихо-
приходящиеся на площадку / площадью F{ = 1, см. рис. 6.4). Появляются
касательные напряжения в арматуре vsiki0 и T\e(i) (rriM0 ]и.5.я.,
В)
'sle(i)/''si ni
Ри с. 6.12. К определению расстояния
между трещинами (Icr.n)
^.«(оЯЛ ~~ касательные усилия, приходящиеся на площадку Ff =1).
Бетон в трещине выключается из работы, в результате чего и
возрастают напряжения в арматуре. В бетоне остаются лишь некото-
некоторые напряжения в связях зацепления 6п, t~ „m, T „,- Проецируя
усилия в арматуре и бетоне, приложенные к площади Ft= 1, на
нормаль п по аналогии с F.1) находим
. о _
ff_ =
>»
' а щ "я ¦'' *" F.149)
(i = 1, 2, 3,....; / = k(i) =кA), к B), * C),...;
е@ =еA), е B),е C),...);
на рис. 6.12 показано одно направление стержней i, в действительности их
может быть несколько i = 1, 2, 3,...; п., п. — направляющие косинусы (см. табл. 6.1,
6.2). '
Нормальные (осевые) напряжения б\ в арматурном стержне в
трещине / (рис. 6.12, в) по мере удаления от трещины будут затухать,
вследствие действия касательных напряжений х^ по контакту арма-
арматуры с бетоном, а напряжения в бетоне, наоборот, возрастать. На
некотором удалении от трещины (на расстоянии Г, рис. 6.12, в)
напряжения в арматуре уменьшатся до значения б°., а напряжения
в бетоне возрастут до значения 6ьх. Площадка //, на которой
напряжения составят б*г и 6bi, принимается за площадку образова-
образования смежной трещины. На площадке //, как и на площадке /, при
практически одновременном образовании трещин будет соблюдаться
с некоторым приближением условие F.148).
Перейдем к рассмотрению поведения стержней внутри бетона.
Рассматривая одиночный стержень длиной L с приложенными к нему
напряжениями, можно составить следующее уравнение равновесия
(по аналогии с тем, как это сделано В.И. Мурашевым [127] для
одноосно растянутых элементов)
-СЦ
СЦ
F.150)
где Ft — площадь стержня; s. — периметр; т™ — максимальное касательное
напряжение; а>^ц — коэффициент полноты эпюры напряжений сцепления (г™ о) f —
среднее напряжение сцепления).
Учитывая, что s./F. = 4/d., где d. — диаметр стержня, Г =
по согласно рис. 6.12, в можно переписать указанное уравнение
овесия стержня в виде
1„ло р ,
равновесия стержня в виде
При определении 1сгп — расстояния между трещинами /, //,
предполагаем, что они практически параллельны.
Согласно [127] можно принять
rt "/ =Rbtl^i' F152)
где *? . — коэффициенты, зависящие от профиля и вида арматуры (принима-
(принимаются по рекомендациям норм).
ЮЗак. 1408 289

С учетом этого фактора формула F.151) преобразуется к виду
°,i ~°*! =4Rbtlcr,nldi'ni'^ <6153>
Приравнивая выражения F.148) и F.149), находим
f
« V = °Ы -
F.154)
л
аы -
находим
сг,п ~
Л. У.
kf3 *
' V* V
*„Кп
Внося в это выражение значение разности напряжений в виде
F.151) и представляя:
Кп =
F.155)
i d. tj.
Рассмотрим частный случай ортотропного армирования (г = х,
у, z). В момент образования трещин, если принять, что трещина
образуется по площадке приложения главных растягивающих напря-
напряжений -6V формулы F.136) можно записать
л
или, если умножить правые и левые части на п. — направляющие
косинусы,
asi Vsi nt * hiXi "i '
где 6si}^sini — фактически равны проекциям напряжений, стоящих в правой
части выражения F.154), на оси х, у, г.
Правая часть F.154) будет равна
Отсюда делаем заключение, что
\тп= 2-Х, «Л F.156)
С учетом установленной зависимости F.156) формула F.155)
для ортотропного арамирования запишется
t ,-), „2., „ 2 . > „2,
к»о I <ч. "v f Л„ я,, ч" л п )
сг,п
F.157)
(
290
Исследования [61 ] показали, что формула F.157) реагирует на
изменение диаметров арматуры и коэффициентов армирования в
меньшей степени, чем это наблюдается в опытах. Видимо, сказыва-
сказывается неточность зависимости F.152). Фактически в формуле F.150)
может участвовать лишь часть периметра арматуры (величина pst, где
р{ — некоторый параметр уменьшения). В связи с этим вместо
отношения s./Fj будет фигурировать отношениеs^./Tv =Ap./d.. В то
же время параметр *? . может зависеть дополнительно от диаметра
арматуры и от насыщения сечения арматурой. Предварительные
исследования показали, что эти факторы можно учесть, заменив в
F.157) d. на 0,65-/d.d0,' где d0 = 1 см (г = х, у, z), и приняв, что
формула F.157) справедлива, пока выполняется условие
<0,02,
F.158)
f
Если условие F.158) нарушается, то необходимо найти отно-
отношение 0,2/JU м и на это отношение уменьшать реальные значения М ,,
а затем уже использовать формулу F.157). Однако для выяснения
влияния указанных факторов еще требуются дополнительные иссле-
исследования.
Наряду с теоретической зависимостью для la n может использо-
использоваться и полуэмпирическая зависимость, которая оказывается в ряде
задач более удобной. В ней сделана попытка учесть как выявленное
выше влияние наклона трещины к направлениям армирования —
через направляющие косинусы п{, так и влияние некоторых величин
(диаметра и процента армирования), входящих в эмпирическую
формулу норм (СНиП 2.03.01—84), предложенную Ю.П. Гущей
[46]. Представленная ниже формула также может использоваться для
косоугольного армирования.
Определим сначала промежуточные величины
d =
F.160)
V
а*= 1-1,5 (\-пх) A-пу) (l-nz),
где d — некоторый средний диаметр арматуры; » — средний коэффициент
влияния профиля.
Эмпирическая формула по определению расстояния между
трещинами имеет вид
ст,п
F.161)
где d0 = 10 см2; величина C,5— 100 UAm) принимается не меньше 1,5.
Ширина раскрытия трещин
10*
291

"cr.n ~ en 'cr.rf
F.162)
В практических расчетах нашел применение приближенный
вариант формулы F.162), который получают, пренебрегая членами
"сг,п
'ст.»,
Esi
(I = X, у, г).
F.163)
В нормах вводится еще дополнительный параметр ф (, учитыва-
учитывающий влияние длительности действия напряжений и некоторых
других факторов. При учете этих факторов правая часть формул
F.162) и F.163) умножается на этот параметр.
6.1О. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Плоское напряженное состояние — частный, но довольно рас-
распространенный случай, рассмотренного выше объемного напряженно-
напряженного состояния. Наиболее точно оно реализуется в различных тонких
плоскостных конструкциях: балках-стенках, высоких перемычках,
стеновых панелях, стенах жесткости и других, которые нагружаются
силами в плоскости при равномерном их распределении по толщине
конструкций h (рис. 6.13, а, б; напряженное состояние по толщине
плоской железобетонной конструкции будет несколько изменяться,
однако этим обычно пренебрегают). Плоское напряжение также может
реализовываться в отдельных складках и оболочках, работающих в
условиях безмоментного напряженного состояния, в пространствен-
пространственных тонкостенных стержнях открытого и замкнутого профиля, напри-
например в коробчатых ядрах жесткости и др.
^ Расчет плоских конструкций производится на основании урав-
уравнений плоской задачи теории упругости за исключением физических
уравнений, связывающих напряжения с относительными деформаци-
деформациями, которые следуют в виде частного случая из представленных выше
более общих физических уравнений. Учитывая большое распростра-
распространение плоскостных конструкций, выделим это состояние для отдель-
отдельного рассмотрения. Заметим, что плоское напряженное состояние
ранее подробно рассматривалось в монографии автора [61], поэтому
здесь сделан акцент на некоторые новые вопросы. Различные вариан-
варианты плоских моделей освещались в [33, 49, 61, 180, 181 и др.].
Краткая характеристика напряженно-деформированного со-
состояния. Напряженное состояние в точках плоской конструкции в
осях х, у характеризуются тремя компонентами напряжений & , б ,
г1у (см- Рис- 6-13, а—г), ввиду парности Гху = '*сух. Третья ось г —
нормальна к плоскости конструкции; компонента напряжений на
площадках zx и zy равны нулю (<Г ~ 0; t>г = tr * 0; Г = f * 0).
292
а)
У
а
0
х
.л/
ъ
V
В)
2A)
*У
С X
Рис. 6.13. Компоненты плоского напряженного состояния (к переходу от
объемного к плоскому напряженному состоянию)
Оси координат х, у могут ориентироваться так, как показано на
рис. 6.13, в, или так, как показано на рис. 6.13, г; эти две схемы
отсчета нашли применение в практических расчетах. В зависимости от
этого меняются положительные направления касательных напряже-
напряжений fxy и схемы отсчета углов ОС или ^? . Нормальные растягивающие
напряжения везде приняты за положительные.
Главные напряжения &v б~2 определяются по известным
формулам сопротивления материалов
F.164)
(знак «+» относится к вычислению Ф, = С ашж, а « — » — к вычислению б = Б ).
Угол Л (или ф =90° —Л ), характеризующий наклон главных
площадок к оси х, определяется на основании одного из выражений;
293

ctg 0 = tg
ffl -
°x
ffl -
F.165)
tg a = ctg ^ ¦
Txy Txy
Вывод F.165) рассмотрен, например, в [61]. Оси /, 2 ориенти-
ориентированы вдоль главных площадок (см. рис. 6.13, в, г). Кроме того,
вводятся оси п, I, которые, как и ранее, ориентируются вдоль и
нормально к площадкам образования трещин. На схемах рис. 6.13 оси
п, I совмещены с осями 1,2, однако это совмещение в действительности
относится лишь к моменту образования трещин. Трещины образуются
обычно на площадках главных растягивающих напряжений в элемен-
элементе, точнее в бетоне элемента, а затем эти площадки трещин могут из-
за перераспределения напряжений становиться и не главными. В
таких случаях угол ¦<& в представленных ниже соотношениях харак-
характеризует наклон трещин, а не наклон площадок главных напряжений,
и относится к ориентации осей п, I; &п, &,, Т; = Хы — компоненты
плоского напряженного состояния в осях п, I.
Деформированное состояние плоского элемента характеризует-
характеризуется в плоскости ху тремя компонентами относительных деформаций
%, х, ? , fr ( Ъх, ? ( — относительные удлинения вдоль оси хну,
&и ~ Уд* ~ °^щи^ угол сдвига). В осях п, I эти компоненты
обозначаются ?я, в (, ^ = ^ы. Главные деформации ?,, 62 и углы
их ориентации формально определяются по формулам F.164), F.165),
заменяя G на ?•, Т на 1/2^* (индексы остаются без изменения),
однако направления главных деформаций в железобетонных элемен-
элементах, особенно с трещинами, могут не совпадать с направлениями
главных напряжений. Углы сдвига ^( и j^._, как и у_„, элементов с
трещинами состоят из двух компонент
,
,
Уху =
= -V ¦
'ху
'ух'
F.166)
физический смысл которых раскрыт в п. 6.3.
Армирование. Выделяются две схемы армирования: в виде
прямоугольной сетки (ортотропное армирование, рис. 6.14, а), ввиде
косоустанавливаемых стержней одного или нескольких г-направле-
ний (косоугольное армирование, рис. 6.14, 6, в). Из второй схемы
следуют различные другие варианты армирования, в том числе и
указанные выше традиционно применяемое армирование в виде
прямоугольной сетки. Ортотропное армирование выделяется отдель-
отдельно лишь по причине его большого практического распространения.
Каждое направление установки арматурных стержней характе-
характеризуется коэффициентом армирования U. и углом ft. — наклона
стержней к оси х (рис. 6.14, а —в),
294
а)
В)
¦вг
«О
Рис. 6.14. Схемы армирования плоских конструкций а — ортотропное; б. в —
косоугольное
\as. = A./(s.h) (; = х, у, i),
F.167)
где Л. — площадь стержней j-ro направления; ^. — шаги стержней; h —
толщина пластины.
В случае ортотропного армирования р = О, В = 90°. В
косоугольном армировании ^.обозначается р. (см. рис. 6.14, 6, в);
вообще индексами могут быть любые буквы. Отдельно устанавлива-
устанавливаемые стержни учитываются в коэффициентах армирования так, как
указано в п. 5.1.
Схемы трещин. В плоскостных конструкциях реализуются две
схемы трещин: схема / — в виде наклонных трещин одного направ-
направления (рис. 6.15, б), которые называются еще непересекающимися, и
схема 2 — в виде наклонных трещин двух пересекающихся направле-
направлений (рис. 6.15, в) — схема пересекающихся трещин. Трещины явля-
являются сквозными, насквозь пересекают толщину пластины h. На
рис. 6.15, а представлена кривая прочности бетона при плоском
напряженном состоянии ( <&Ь1, &Ь2 — главные напряжения бетона).
Если располагать напряжения в последовательности См > 6'и
(заштрихованная область / на рис. 6.15, а), то достаточно использо-
использовать половину линии прочности — кривую 1—2—3 — 4. На этой
кривой прочности можно выделить три отрезка: (/ —2) — двухосного
растяжения ( бbi > 0, &Ь2 > 0), B — 3) — растяжения — сжатия
( бм > 0, бп < 0), C — 4) — двухосного сжатия. «Выход» напряже-
напряжений за линию B — 3) указывает на образование трещин по схеме /, а
за границу A—2) — образование трещин по схеме / или схеме 2
(схема 2 реализуется для напряжений, близких к напряжениям точки
/, т.е. практически при двухосном равномерном растяжении). Обра-
Образование трещин приводит к выключению бетона из работы по некото-
некоторым линиям (трещинам). Между трещинами блоки (в данном случае
полосы) бетона могут воспринимать напряжения.
29S

Рис 6.15. Критерии прочности (а) и соответствующие ему схемы трещино-
обрааования F. в) и разрушения в объеме (г)
Линия C — 4) характеризует границу прочности бетона при
двухосном сжатии. Выход за нее указывает на разрушение бетона по
всему объему элемента (рис. 6.15, г). В некоторых работах указыва-
указывается, что граница, характеризующая разрушение бетона по всему
объему от сжатия, начинается не в точке 3, а в точке У (при 5"н = -
0,8 Rb, где Rb — прочность бетона при одноосном сжатии). Этот
вопрос будет рассмотрен при анализе прочности полос бетона между
трещинами. Нижний индекс «Ь» указывает на то, что главные
напряжения относятся к одной из компонент железобетона — бетону.
При обычно принимаемых небольших коэффициентах армирования
вкладом арматуры до появления трещин можно пренебречь, тогда
<&н№ &t; &Ь1х, &г В других случаях компоненты напряжений бетона
выделяются по формулам, приведенным в гл. 5. Кривая прочности
плосконапряженного бетона следует в виде частного случая из общего
критерия прочности бетона, представленого в гл. 2.
При переходе от общего (объемного) критерия прочности к
плоскому необходимо принимать во внимание два обстоятельства.
Одно связано с тем, что здесь и ниже главным напряжениям бетона
присваивается нижний индекс «Ь», чтобы отличить их от общих
напряжений, куда входят и приведенные напряжения арматуры,
второе (неформальное) связано с изменением нумерации главных
напряжений.
Главные напряжения в гл. 2 обозначены &v бу бу причем
"б*( > б 2 > 6у Обозначим главные напряжения плоского напряже-
напряжения 6V бу определяемые формулой F.164), в виде 6", 6%, а
обозначения 6it б' 2, б3 объемных напряжений оставим без измене-
изменения. Тогда бЦ = в v бг= 6V 6 ? = 0 в области с границей 1—2; б" =
6V б2 = 0, §? = б3 — в области сжатия — растяжения (с границей
296
Таблица 6.4
n
m
I
i
mi
',=
= sin
= 0
-cos
(a+ ft)
kit)
nk(i)
mk(i)
lk{i) =
= cos (a + 0)
= 0
sin (a + p.)
e @
4e0)
me@
= 0
• = 1
= 0
2—3); 6" — 62, <5'^= 6y 6t = 0 — в области двухосного сжатия.
Можно также использовать условия образования трещин, представ-
представленные в [61].
Переход от объемного к плоскому напряженному состоянию
в "случае косоугольного армирования. Процедура перехода пред-
представляется сравнительно простой. Следует лишь в формулах пп. 6.1 —
6.6 принять направляющие косинусы по табл. 6.4 и учесть некоторые
особенности, связанные с деформациями. Схема отсчета направляю-
направляющих косинусов показана на рис. 6.16. Она увязана с представленными
на рис. 6.13—6.15 углами наклона трещин ol и углами наклона
арматуры J3. к оси х (эта ось выбрана в виде базовой). Так, согласно
рис. 6.16 угол между положительными направлениями осей и и г
составляет (90° — с*.. — jj».), следовательно п. = cos (90° — 0L —
J3;) = cos (oC+ jb{). Аналогичный угол между осью i и осью /
составляет 180 — cL — jb(, следовательно, /. = cos A80° — сС —
jb{) = -cos ( cL+ JJ.). Аналогичным образом определяются и другие
значения направляющих косинусов табл. 6.4.
Пусть трещины образуются по схеме /. Рассмотрим сначала
получение физических соотношлений для плоского случая из общих
соотношений F.57). Эти соотношения складываются из соотношений
F.46), F.50), F.56). Рассмотрим преобразования соотношений
F.46). В вектор-столбце {б*)п при плоском напряжении пять компо-
компонент обращается в нуль, т.е.
г -
Рис. 6.16. К определению на-
направляющих косинусов (табл. 6.4)
(90°-ci-J3i)
297

ъ,
ff«f-
%ml=
Tsml = °' *Л ' fsmn = °> f/m = °' Tsnl^ •
Внося значения направляющих косинусов из табл. 6.4 в выра-
выражения F.48), получим коэффициенты, относящиеся к плоскому
напряженному состоянию, причем часть коэффициентов обратится в
нуль. Внесем в F.46) лишь коэффициенты, которые не получились
равными нулю, в результате
Ът
0
0
0
Яш
0
0
гтК
чм
—1
0 1
1
о 1
__|
о 1
1
аА6\
1
1
0 '
1
1
° !¦
„ 1
0
—
0
0
0
0
0
0
0
0
-!-
1
1
1
J -
I
1
1
—1 —
1
~1~
1
1
1
d
—
0
ds
0
0
d,
0
0
d*l
¦
аз
-
*
33
*
36
1
U\
1 0
1
1
i '
1 ° 1
1 1
1
'o
1 1
dS44
0 |
1
о
1—
0
0 1
¦ 1
0 1
0
—
0
0
0
— •
0
0
- -1
0 1
1
- 7
0 1
1
0 1
1 <tf6
I - -
0
dS36
0
— — —
0
ds66
0
0
«*9
1 о
1—
1 °
1
1 0
1
I —
1 0
] —
1 °
1
1°
1-
1 °
1
I -
0
0
1
+
1
1
1
1
i
1
1
г
I
1
J
1
1
¦ l~
1
1 -
1
0
— -
0
0
0
0
0
0
1 — ~
1
0
l_ _
\<A,
Го"
1
0
"A9
0
- "I- -
1
0 1
0
- -
d*99.
4
e
cm
e/
Y*
' nm
Y*;
'ml
Ъп*
Y*
'mn
У*п,
Из этих соотношений можно корректно выделить компоненты,
относящиеся к плоскому напряженному состоянию.
Tsln
Tsru
«Аг
d *
S13
d *
S16
«36
или в более компактном виде
r
"Л9
d *
S39
d *
S99
en '
el
fnf
F.169)
F.170)
(индекс «п» указывает на плоское напряженное состояние), где (для
непересекающихся) трещин:
298
= f Ба &
+ n~> cos2 (a+ 0.)]
f Es
я- sin3 (a + p.) cos (a +
- f
P,); F.171)
f ^ ^ cos4 (a + P.);
~f sin2
o+ ^) cos3
P.) cos2 (o+ 0.);
Компоненты относительной деформации, которые не вошли в
F.169), как и компоненты напряжений, равны нулю
«у *
'm
ml
v *
'тп
'1т и"
F.172)
В принципе условие равенства нулю компонент Е.т,^г %,*
очевидно, поскольку все коэффициенты в соответствующих строках
F.168) равны нулю. Однако, если установить арматуру вдоль оси z,
то главные коэффициенты перестают быть нулевыми, тем не менее
равенства F.172) не нарушатся, что и указывает на их справедли-
справедливость.
Аналогичным образом устанавливаются коэффициенты d*.. и
для схемы пересекающихся трещин. При этом коэффициенты d*n, d*ig
и ds^ остаются такими же, как и в схеме непересекающихся трещин,
а остальные принимают следующие значения:
299

Esi
к cos2 (a+ ft);
x sin (a + fy) cos (a + /3,0 ;
(a
Esl
~
x cos2 (a + ft);
= -Z
n.
«fa
F.173)
cos3
/3,0;
d*9 = -Z ?-я. ^T1 ^ [ cos2 (a + ft) + и sin2 (a+ /Зр ] x
x sin (a + P{) cos (a + fy);
^ " 2 ?я- ^.J Ms/ [sin2 (o+ ft) + л'-1 cos2 (o+ 0,) ] x
x cos2 (a + fyX
Вектор-столбцы напряжений {5**}п — в бетоне и {б*}п — в
связях зацепления элементов с непересекающимися трещинами соста-
составят:
1°Ь*) п =1°> 0. аы. 0, 0, тьы 0, о, оЗ \
0> 0> °' 0> 0> °' °'
V
С учетом этого соотношения F.51), F.56) в сумме можно
преобразовать к виду
V
qn
ЭЫп °
или в более компактном виде
300
Gqnl
F.174)
п
л
F.175)
где ?ы — модуль деформации полос бетона между трещинами (он еще
обозначается^); GWn — модуль сдвига полос бетона между трещинами (GWn =Ep/{\ +
+ft ); t* — коэффициент поперечной деформации полос бетона между трещинами);;
Е п — модуль деформации связей зацепления; G^iE^,) — модуль сдвига связей
зацепления.
Учитывая, что
« , П л- -ч П
где ...
„,
1°*}п =
ln'
приходим к общим физическим соотношениям:
°1
7In
*
""it
"А
"Л
/А
<з
"А
"А
"А
*:*
"Л"
"А
"А
"А.
*
где
+ ?
„„; d
+ Ep,
F.176)
F.177)
остальные коэффициенты d* = d*..
Если реализуется схема пересекающихся трещин, то в соотно-
соотношениях F.174), F.176) следует заменить ? на? (и G. (на G ы, кроме
того, коэффициенты d*.. вычисляются по формулам F.173).
Используя процедуру, описываемую уравнениями F.64), F.65),
сводим систему четырех уравнений F.176) к системе трех уравнений.
Применительно к преобразованиям системы F.176) эта процедура
выглядит так. Приравниваются правые части третьего и четвертого
уравнений, используя условие т1в = f M. В этой системе одна из
компонент сдвига, например ^-*, выражается через общий сдвиг и
вторую компоненту, используя условие #--* = д^ — у*. Аналогичная
замена производится в первом, втором и третьем уравнениях системы.
Из уравнения Ты = f n( определяется величина у*п, которая затем
вводится в первые три уравнения. Таким образом приходим к системе
/и» J
где
*13
*12
2
3
13
23
33,
-
• /
еп
е1
М-
F.178)
301

dn =
= *i*3 -
= *1*9 -
= d*
39
= d* -
a99
(d* - d* 1
v 19 16 >
A
A
<d? - tf,t) (
(?/3*9 - tf3*6 > (
A
a22 Й3 3
3» 6-*
^9*9- <*6V
tf99 ~ tf6*9 )
— = d* --6
(d* - rf*l
v 39 a36J
F.179)
л =
Составляющие ?-* и #-(* общего сдвига 2ГЫ могут при необходи-
необходимости вычисляться по формулам:
F.180)
которые следуют из рассмотрения двух последних уравнений системы
F.176) с учетом парности касательных напряжений и равенства р =
Напряжения в арматуре: осевые в трещинах & и, средние на
участках между трещинами б т. и касательные Т. вычисляются по
формулам F.29), F.30) и F.31), F.36) с учетом'данных табл. 6.4:
asi = Esi
(о+ Р{) + ф^ cos2 (о+ Ц.) -
Tfa} sin (a+ fy Mi (a+ A) 1
F.181)
= Bd [ en sin2
cos2
-7И/ sin (o+ 0,.) cos(a+ 0.)] ;
302
Tsi = Esi nri fi1 [ ^, »ta (« + 0/) со» (a + 0;) +
+. 7*, sin2 (a+ p.) -5, e, sin (a + p.) cos (a+ 0,) — F.181)
-5,7*, cos2 (o+ $)] ,
где для непересекающихся трещин "J/v ,= 1;
^ = ^;<Г= 1
= 0; для пересекающихся
Представим еще зависимости, позволяющие установить значе-
значения компонент напряжений бетона в элементах с трещинами. Соглас-
Согласно предпосылке Зт (см. п. 6.1) общие напряжения Ся, бv tr п1
складываются из двух составляющих — приведенных напряжений
арматуры [они вычисляются по формулам F.1) —F.3), а в более
общем виде — F.5)] и приведенных напряжений бетона [они харак-
характеризуются вектор-столбцом F.9)]. Эти напряжения относятся к
грнаям элемента, которые проходят по площадкам трещин и площад-
площадкам, нормальным к трещинам.
Формулы F.1) — F.3) по определению приведенных напряже-
напряжений арматуры приводятся в случае плоского напряженного состояния
и образования трещин по схеме / (непересекающихся) к виду:
sin2(a+
sin ( a + 0,) х cos (a + p.) ] ;
l = - f
Tsik(i) x
cos(a+
F.182)
sin2
0,.)]
/
cos2(a+ 0,.);
osi ц^ cos (a+ 0;) sin (a+ 0f).
F.183)
Вычитая из общих напряжений напряжения, определяемые
формулами F.182), получим значения напряжений в связях зацепле-
зацепления
= °п ~
Tqru
~ Г
гй
~ T
snl-
F.184)
Вычитая из общих напряжений напряжения, определяемые
формулами F.183), получим значения напряжений в полосах бетона
между трещинами
F.185)

Напряжение 6~ы влияет на изменение модуля деформации
полос бетона между трещинами.
В случае образования пересекающихся трещин (по схеме 2)
бетон выключается из работы и на площадках-трещинах, нормальных
к оси /. В этом случае вместо &ы и Тш остаются лишь некоторые
напряжения в связях зацепления ( ff v т 1в)- Изменяются также
зависимости F.183). Новые зависимости следуют из формулы F.5),
полагая &п = 1; <Гп = 0; &{ = 1 и заменяя направляющие косинусы их
значениями по табл. 6.4.
Учет температурных деформаций. При этом преобразовыва-
преобразовываются с учетом данных табл. 6.4 зависимости, приведенные в п. 6.5.
Соотношения F.99) записываются в виде
{а-}; = [dTTjfiX - {рТ/°- F.186)
Здесь, как и ранее, формальный индекс «п» указывает на то, что
в столбцах и матрице остаются только компоненты плоского напря-
напряженного состояния. Все элементы F.186) за исключением столбца
{ й*}п рассмотрены выше;
F187)
где: в случае непересекающихся трещин (схема /):
= -f a
mi
F.188)
f
Esi
«in (« + fl^) «• (o + /3,.);
в случае пересекающихся трещин (схема 2),
Vs f «
»/
F.189)
здесь компоненты р* и E* вычисляются по формулам F.188), принимая значения
ctj^ по формулам F.189).
По аналогии с F.178) система четырех уравнений F.186)
преобразовывается к системе трех уравнений
304
где
,
1
А
1
А
F.191)
В0. = В*у (В*i - 01* )(d* - d* ) .
Заметим, что в зависимости F.191) можно ввести также вынуж-
вынужденные напряжения арматуры G% например от предварительного
напряжения, при этом
ГЛП = тПГЛП - 1в°\ " t° + la°\ . F.192)
где
°.п =
F.193)
?
Преобразования физических соотношений к осям х, у.
Представленные выше соотношения записаны в локальных осях п, I
Преобразуем их к осям х, у. Пусть
У
= tax, оу,
ey.
где
— столбцы напряжений и относительных деформаций в осях х, у.
Известно, что (см. п. 1.6)
I
- 2 sin acosa
2 an acos a
I
- sin acos a i (sin2 a - cos2 a)
sin2 a
cos2 a
sin acos a
H
cos2 a
sin2 a
J
305

Преобразования зависимостей F.192) выполняются традици-
традиционным способом
F.194)
Частный случай армирования прямоугольными сетками (плос-
(плоского ортотропного армирования). Переход от косоугольного к ортот-
ропному плоскому армированию представляется достаточно простым:
в представленных выше зависимостях следует принять, i = x, у,
полагая J3. = 0 при г = х и ft. = 90° при г = у. Коэффициенты
армирования составляют: fW а, JUS .
Остановимся на определении напряжений в арматуре в трещи-
трещинах непосредственно через компоненты напряжений в осях х, у. Эти
зависимости можно получить из зависимостей, приведенных в п. 6.7,
принимая направляющие косинусы согласно табл. 6.5 и рис. 6.17.
Однако при выводе этих формул принималось равенство Е = Е ,
/ о о qn qnl
(нормальный модуль связей зацепления принимался равным модулю
сдвига этих связей).
Таблица 6.5
X
У
Z
л
"х
пу
nz
= sina
= cosa
= 0
т
тх
ту
= 0
= 0
= 1
/
*х
'у
h
= - cos a
= sina
= 0
Представим вывод без введения указанного выше допущения.
Исходные уравнения равновесия F.117) применительно к плоскому
напряженному состоянию (принято, что все компоненты за исключе-
исключением компонент &х, б , fx равны нулю) приводятся к виду:
Рис. 6.17. К определению направ-
направляющих косинусов (табл. 6.5)
-rn/ctg.a =
= as
V
~
V
Ctga;
F.195)
= V ^У + Tay ^sx^a+ °q+ Tqnl * a'
Эти уравнения можно получить, проецируя силы, приложен-
приложенные к треугольной призме, наклонная грань которой проходит по
трещине (рис. 6.18) на оси х, у. Два уравнения F.195) содержат
шесть неизвестных: бsx, б'sy, Tsyx, Tsxy, &q, V r Для их определения
привлекаются четыре дополнителные уравнения. Это два условия
совместности перемещений стержней в трещине
и =v,u =v, F.196)
sx sy' sy sx'
в которые преобразуются более общие условия совместности F.118), где usi — осевые,
v . — тангенциальные перемещения стержней (г = х, у).
Значения usi, vs. определяются соотношениями F.26), F.35).
Пренебрегая в этих соотношениях влиянием деформаций бетона ?, ы,
находим
crji_ _sx_ _sx_
2 Esx sin a
2Esy cos a
F.197)
a)
cosoc
ШШг
ж
2&
ЖШ
ШШ
\
Sl
б)
SISSv
ч
Рис. 6.18. К определению напряжений в
арматуре в трещинах плоского элемента а —
плоский элемент с трещинами.- 6 — нормалбь-
ные ( C'sx. <5~sy) и касательные ( Tsx.
fsy) напряжения в арматуре.- в — влияние сил
зацепления.- Р — полоса бетона между трещи-
трещинами
\
'9"
307

2Esycoi<x
«-.98)
Перемещения usx, us согласно F.119) можно выразить через
раскрытие трещин асг п и сдвиг берегов трещин д п/,
и = 0.5(а sin а — A .cos а),
F.199)
и = 0,5(acrncos а + An(sina).
Внося значения перемещений F.198) в условия F.196), нахо-
находим
Е sin a
АЛ
Esy cosa
F.200)
Esy cosa
sin a
Формулы F.124) по определению напряжений зацепления
записываются (при ?^.«0),
F.201)
«
sy
Внося значения fsyx, Tsxy, бщ, Tqnl из F.200) —F.201) в
уравнения F.195), можно записать:
ах sin a + тух cos а =
\
a cos a + т sin a =
7 *У
F.202)
где введены следующие обозначения отдельных групп величин:
308
^— х
F.203)
Если принять Д.4 = ^ «• 0, то соотношения F.202) упрощаются:
asx + тух
___
F.204)
Формулы F.204) можно использовать для подбора арматуры.
При этом можно принять упрощенные зависимости F.203), полагая
J9 ! - ЕЧп * Ечы * 0. \* = пп « иг. в Результате
1 u ctg2a I /i tg2a
ЯЙ 1 + Ч' ; *! 1 + ^ , F.205)
где параметр п может изменяться в широких пределах (я » 15...25).
В эксплуатационной стадии деформирования элементов с тре-
трещинами п -& 5...10.
Физические соотношения F.137), F.146) с учетом рекоменда-
рекомендаций табл. 6.5 можно привести к виду:
309

ey
•ху
11
13
2
^22
13
23
33
°х
°У
ч
F.206)
где элементы матрицы податливости [с]х равны:
г и ±__?±_ 4. •* ЗХ
11 т ; (
"sx sx Хх Ер Хх
, = К К ctga A - X ^) sin 2 a
13 U X Е TF"y
^wc лх юс iClpX
JL 3> te a A - X ^ ) sin 2U.
F.207)
Элементы F.206) относятся к схеме непересекающихся тре-
трещин. Элементы матрицы податливости в соотношениях F.206) для
схем пересекающихся трещин приближенно следуют из элементов
податливости F.207) на основании следующих преобразований [139]:
слагаемые, содержащие множители \/Е , принимаются равными
нулю; параметры Ъ х, 1С принимаются равными единице; элементы
сп и сJ вычисляются дважды: при di и при замене Л на 90° +OL и из
двух значений принимаются большие; элементы с]3, с23, с33 определя-
определяются дважды: при <Х и при замене cL на 90° +ск. ив расчет вводится
алгебраическая сумма каждых двух величин.
Более точными для схемы 2 трещин являются соотношения
F.178); для схемы / трещин соотношения F.207) и F.178) являются
эквивалентными, хотя при вычислении элементов F.207) следует
учитывать некоторые особенности (ониуказаны ниже), в то время как
формулы F.178), F.179) в этом плане универсальны.
Особенности в вычислении элементов F.207) возникают, если
одна или несколько величин из ряда to, jUs , cos A sin ct. становятся
равными нулю. В этом случае прежде чем вычислять элементы
F.207), необходимсо раскрыть неопределенности, перемножив вхо-
входящие в элементы величины. Например, при jMsx = 0 сначала рассмат-
рассматривается группа величин (К sxEsx/1jr sx \х. Внося сюда значение А, х из
F.195), находим
К К +sx Xx ^sy "ту
1
Ер
+ Ея+ Vе* "•
Таким образом при jU sz = 0
\х фа) cos2a]
здесь
V Е*у
,) sin2 a]
К "ту
V
ctg
Рассмотрим еще один частный случай. Так, при сС = 0 имеем:
ctg oL= °°; Хх = 0. Перемножая величины X. xctgoL и затем полагая
0*.= 0, находим, что неопределенность /i^ctg cC= 0. оо раскрывается
как Ях^ -*¦ 0 при d. -*¦ 0. Аналогичным образом следует поступать
и в других случаях.
Xx = 1 +
6.11. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ. ВХОДЯЩИЕ
В ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
У
310
В элементы матриц податливости, представленные в пп. 4.30 —
4.33, входят параметры уга, T(fs , Е п, Е п1, Е , п t, которые были
установлены на основании экспериментов Н.И. Карпенко,
311

А.Ф. Яременко, И.Е. Прокоповича, Л.М. Григорьянц,
Н.А. Гусейнова, Е.У. Енькова, А.Я. Мельникова и др. [53, 43,47, 61,
73, 119, 167—169] на плоских образцах с фиксированными трещина-
трещинами и косым расположением арматуры к направлениям трещин:
(рис. 6.19). Параметры представляются функциями относительных
деформаций или напряжений, что позволяет строить два алгоритма
формирования матрицы жесткости или податливости — через напря-
напряжения или деформации.
Коэффициенты нагельного эффекта рекомендуется вычислять
по формуле
"г/
F.208)
где я — уровень напряжений
здесь flr — напряжение &п в момент образования трещины.
Модуль деформации бетонных связей зацепления вдоль норма-
нормали к трещинам Е п и модуль сдвига Е п1 (или G п1) рекомендуется
вычисляться по формулам:
E «>
0,5
0,5 Е.
vl +
Jqnl
F.209)
где 1п d — уровень относительных деформаций,
здесь Ь„ — относительные деформации элемента вдоль нормали к трещинам; ? сг —
аналогичные деформации элемента вдоль нормали к трещинам в момент образования
трещин в бетоне (допускается принимать Ь.^„ "¦ 10).
Коэффициенты yr.(i =x, у) в упругой стадии деформирования
арматуры вычисляются по одной из формул:
0,25 < ф
0,25
1 - 0,75 у? у?
Is ps
F.210)
[l + 0,75
Is
ps
]
-i
где <p u — коэффициент, определяемый по табл. 36 СНиП 2.03.01—84 в
зависимости от профиля арматуры и длительности действия нагрузки; Rbt — прочность
бетона на растяжение (средняя, нормативная или расчетная — в зависимости от вида'
расчетов); n{(i =х, у) — принимается по табл. 6.5; S.. — относительные деформации
вдоль осей i = х, у; б"н — напряжения в арматуре в трещинах, определяемые по
формулам F.202) или F.204); Я, = тах{Л.^, X ^ равна максимальной из двух
величин (Я , Я ), определяемых в моменттрещинообразования; допускается прини-
312
А1АЛ
LLLL
*Г~"Л к уК 1 VV /
*[
V"
1
1-
-
¦
f
-1
ч 1
4
ПОЛОСЫ БЕТОНА
МЕЖДУ ТРЕЩИНАМИ
НАПРАВЛЕНИЕ ТРЕЩИН;
АРМАТУРНЫЕ СТЕРЖНИ
Рис. 6.19. СЗпытные образцы и их армирование по изучению: напряжений и
деформаций в арматуре в трещинах, средних между трещинами. а также
деформаций и прочности полос бетона вдоль трещин
мать max { Хх, X } в текущий момент, если это упрощает расчетный алгоритм; (Р рт -
коэффициент, учитывающий влияние сжимающих напряжений в полосах бетона
между трещинами на сцепление арматуры с бетоном [168],
- 2,4л2,
здесь
0,8
¦п =
или 0,8 > 77 =
:/
200 • 10
313

( &г Ь, — напряжения и относительные деформации вдоль оси I, определяемые по
формулам F.178), Rb — призменная прочность бетона на сжатие (принимается по
аналогии с Ru).
Остановимся еще на определении модуля деформации полос
бетона между трещинами Е . Если полосы бетона являются сжатыми,
то
v
F.211)
где У р — коэффициент изменения секущего модуля деформации бетона вдоль
трещин. Этот коэффициент определяется на основании модифицированной диаграммы
деформирования бетона, представляемой формулами C.1) — C.13).
В этих формулах V ь заменяется на V и V6 на V , где \> —
значение V в вершине диаграммы. Кроме того, изменяются формулы
по определению уровней напряжений п и уровней деформаций -п л.
Рассмотрим эти зависимости.
Вначале определяется прочность полос бетона между трещина-
трещинами R . Величина R ввиду поврежденности структуры бетона макрот-
макротрещинами (вблизи берегов трещин) и внутренними микротрещинами
становится меньше начальной прочностиRb. Как показано в [73, 139],
проявление этого фактора зависит от ширины раскрытия трещин.
Косвенно влияние этого фактора можно выразить через относитель-
относительные деформации элемента ,?п по нормали к трещинам. Согласно [73]
220
0,9
= Ri
F.212)
гдеЛс* — коэффициент влияния толщины элемента на степень повреждения
полос бетона трещинами,
0,7 < ев. = 1,3 - h/h3,
здесь k — толщина элемента; ks = 10 см — эталонная толщина.
А
Относительные деформации ? , соответствующие вершине
диаграммы деформирования полос бетона между трещинами согласно
[73] равны
2,5 Ю-3 > в = @,05 + 1,5 V (Rp/Rb)*) 2 103. F.213)
Определив значения R и ?. , можно перейти к вычислению
уровней напряжений и деформации;
F.214)
где напряжения <УЫ вычисляются по формуле F.185), адеформации ?( —по
формулеF.178).
В случае ортотропного армирования формула F.185) может
быть преобразована к виду (если приближенно принять % х X « 1):
314
°Ы
°х
+ оуA-\у
-тху B+Х
sin2 a -
х ф^ ctg2 a+ \у ф1у tg2a) sin a cos a.
F.215)
Коэффициент Vp в вершине диаграммы составляет
А
VP =
ЕЬ°еР
F.216)
Представленными выше формулами описывается случай; когда
полосы бетона являются сжатыми ( ССЬ1 < 0; ? ( < 0). Если полосы
бетона подвергаются растяжению, которое еще не приводит к образо-
образованию трещин, тогда используется диаграмма, соответствующая одно-
одноосному растяжению. Эта диаграмма описывается формулами C.1),
C.2), C.13). При этом прочность бетона Ru умножается на коэффи-
коэффициент уменьшения 0,9, а уровень напряжений у) « &bl/0,9Rbt.
Формулы F.210), учитывающие влияние сцепления арматуры
с бетоном на деформации арматуры, находящейся в бетонном элемен-
элементе с трещинами, справедливы только в линейной стадии деформиро-
деформирования. Диаграммы деформирования реальной арматуры (см. гл. 5)
имеют как линейный, так и существенно нелинейный отрезки. Для
элементов с трещинами, следуя [70, 74], можно ввести среднюю
диаграмму, связывающую напряжения в арматуре в трещинах Sfsi сое
редними деформациями, которые обозначим ? ш..
При использовании средней диаграммы формально во всех
формулах, представленных выше, значения E\/1jrsi заменяются на
значения Esmi — средние модули деформации
?- = ?>-. F.217)
где Vsmi — коэффициенты изменения секущего модуля деформации арматуры
(по усредненной диаграмме); Е^ — модуль упругости арматуры.
Ниже индекс i опустим, рассмотрев диаграмму для некоторого
произвольного арматурного стержня. Средняя диаграмма представля-
представляется в виде
sm
F.218)
sm
Средняя диаграмма так же, как и реальная диаграмма свобод-
свободной (вне бетона) арматуры имеет два участка. На первом — линейном
участке
где коэффициент^ вычисляется по формулам F.210) или по представлен-
представленным новым формулам, которые были установлены в [74]. j^g

Эти формулы представляются, более удобными в использова-
использовании. Согласно этим формулам коэффициент yrs может вычисляться в
функции от напряжений в арматуре ffs
esm,cr s
rs,crc
F.219)
или средних деформаций tsm (они равны деформациям элемента по
соответствующему направлению арматуры)
-sm
F.220)
Ys,crc
sm,cr
Р'b — коэффициент, определяемый по табл. 36 СНиП 2.03.01—84; "У1СГ'Х-
*0,45 — значение коэффициента yrz в момент образования трещин; ? smcr — средние
деформации арматуры на участке между трещинами, вычисляемые при yps = 1^сг.
Концу первого участка соответствуют деформации
W/ = V/ Kel1 К' F-221)
где y/~stl — коэффициент T^s при бs = Oset (при напряжениях, соответствую-
соответствующих пределу упругости).
Формально первый участок средней диаграммы может быть
представлен зависимостями E.6) —E.8), если принять
Vo = l/4V
Второй участок (при &s > ':$sel или t sm> ? sme,- На этом
участке коэффициент-изменения секущего модуля средней диаграммы
Vjm определяется в зависимости от вида арматуры. Для арматуры без
физической площадки текучести и на первой нелинейной части
диаграммы арматуры с физической площадкой текучести параметры
Vsm вычисляются по формулам E.6) —E.10), заменяя в них
vo на
на
v на v ; v., на V.,:
Л* Л °'2 0,2т'
v на v ; л . на л .:
где дополнительный нижний индекс т указывает на характеристики
средней диаграммы, и полагая
1
'от
v
0,2 m
+ v.
гт
V02m
esm
316
Второй участок средней диаграммы арматуры с физической пло-
площадкой текучести, так же как и второй участок диаграммы свободной
арматуры, описывается формулами E.10) — E.18), в которых следует
дополнительно заменить
на
vom
A + 1,5 vs)
.. на vsum- полагая
2,5 V.n
s(k)m
' sm
sum
Единообразную запись диаграмм деформирования свободной
арматуры и арматуры в бетоне с трещинами используют для состав-
составления компактных алгоритмов расчета.
6.12. ОСОБЕННОСТИ ОПИСАНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОГРАММ
НАГРУЖЕНИЯ
Сложные режимы нагружения элементов с трещинами рассмат-
рассматриваются на основе представления физических соотношений в конеч-
конечных приращениях. Сами физические соотношения при этом не
изменяются, изменяются лишь параметры, входящие в коэффициен-
коэффициенты физических соотношений. В первую очередь, это относится к
диаграммам деформирования бетона по нормали к трещинам, которые
до зажатия берегов трещины выступают как диаграммы деформиро-
деформирования связей зацепления, и средних деформаций арматурных стерж-
стержней на участках между трещинами. При этом опустим индексы,
указывающие на направление деформаций, полагая, что в бетоне их
направление совпадает с направлением нормали к наклонным трещи-
трещинам, а в арматуре, естественно, с направлением тех или иных
арматурных стержней. В общем случае неодноосного напряжения
рассмотренные деформации относятся к диагональным деформациям
(см. пп. 3.5, 3.7).
Деформации бетона. Распространенный режим нагружения
бетонного волокна, особенно при знакопеременном нагружении кон-
конструкции, представляется в виде растяжения с образованием и рас-
раскрытием трещин, а затем разгрузки растяжения с последующим
сжатием. Рассмотрим аналитическое описание диаграммы деформи-
деформирования бетона в таком режиме, следуя [75]. В случае если в волокне
ранее не образовывались трещины, то участок растяжения на диаграм-
диаграмме (участок 0 — / на рис. 6.20) отличен от_нуля и продолжается вплоть
до предельной деформации растяжения 1 и, при которой образуются
317

Рис. 6.2О. Диаграмма сжатия бето-
бетона по нормали к трещинам после их
образования вследствие растяжения
макротрещины. Значение ? ы определяется с учетом влияния гради-
градиента деформаций по формуле
¦bt
= е
bo
+ е
Abt
F.222)
_ где S. M — деформация, при которой напряжения в волокне были равны нулю;
? йы — вычисляется по формуле C.16) или C.17), в которых ?R( заменяется на
? ш> определяемое с учетом предшествующего нагружения по формулам C.47); в
случае если ранее в волокне_уже образовывались трещины, диаграмма растяжения
отсутствует и принимается ?ды = 0.
При дальнейшем увеличении деформации волокна напряжение
растянутого бетона в сечении с трещиной &ы = 0, но трещины
раскрываются (участок 1—2 на рис. 6.20). На участке нагрузки
(участок 2—3) происходит закрытие трещин, однако напряжения в
сечении с трещиной остаются равны нулю вплоть до некоторого
значения усредненной деформации волокна ?d (точка 3), при кото-
котором берега трещины начинают соприкасаться. При ?.. < ?.ы в сечении
с трещиной возникают сжимающие напряжения в бетоне. Экспери-
Экспериментальные исследования работы железобетонных балок при одном
цикле знакопеременного нагружения показывают, что бетон а волокне
с трещиной начинает работать на сжатие при величине относительной
деформации, превышающей деформацию образования трещин, т.е.
Экспериментальные исследования работы железобетонных призм
при малоцикловом знакопеременном нагружении, проведенные
Н.И. Карпенкои A.M. Кокаревым [75], позволили определить значе-
значения Scl на разных циклах (на первом цикле они составили 3010"s, a
на втором и последующих — 15 105). М.А. Сапожников, анализируя
балочные элементы, пришел к выводу, что связь между ?d и ?ы для
любого_цикла практически одинакова и может быть выражена в виде
?d = ?6< + 10~4. Однако, видимо, правильнее принимать эту величину
переменной.
Деформации бетона на участке сжатия, слдующего за растяже-
растяжением (участок 3 — 4 на рис. 6.20), складывается из двух деформаций:
Д ?.ct — усредненных на участке между трещинами деформаций от
318
зажатия берегов трещины и Д?6 — деформаций блоков бетона
между трещинами. На основании этого по аналогии с C.12) можно
записать
= Ae
ct
АеЬ =
vct
). F.223)
где Ис1,1/6 — коэффициенты изменения секущего модуля деформаций бетона
соответственно вследствие зажатия берегов трещины и сжатия блоков между трещинами.
Анализ указанных выше экспериментов на призмах показал,
что
ct
+ Ь,
F.224)
где а, Ь — эмпирические коэффициенты (для первого цикла нагружения а Л
кО,966 10; для второго и последующих а « 0,257 10; Ь = 0,07 для всех циклов).
Заметим, что при использовании зависимости F.224) необходи-
необходимо несколько корректировать точки отсчета ?ы, принимая: на
первом цикле td = 31,5 10, на втором 12,5 10'5, на третьем 8,5 10,
на четвертом 5,5 10, на пятом и последующих циклах 2,5 105. Эта
корректировка приводит к лучшему согласованию теоретических и
опытных диаграмм.
Деформации зажатия A?ct в процессе расчетов могут вычис-
вычисляться для всех циклов по формуле
де = е_4А , F.225)
01 0,709 + 1513 Сд b
которая также хорошо согласовывается с данными опытов. Деформа-
Деформации бетона при этом составят
Связь между деформациями Д Ьь и напряжениями бь осущес-
осуществляется по формулам C.1) —C.11), заменяя Ьь на Д &ь. Коэффи-
Коэффициент Vь вычисляется по формуле C.2) или C.11) соответственно
через уровни деформаций или уровни напряжений. Заметим, что и
параметр Vc( можно определить через уровни напряжений -п
vct = c + er\, F.227)
где с, е — эмпирические коэффициенты (для первого цикла нагружения с =
0,04, е = 2,6, для второго и последующих циклов с = 0,1, е = 4,9).
Если до начала цикла растяжение — сжатие бетон предваритель-
предварительно подвергался сжатию до величины | б*\, то, по данным исследования
М.А. Сапожникова, в формуле F.224) коэффициенты а и Ь следует
принимать 3jg

a = a = A-2,5 ---*-!) ю > а А
Rb
F.228)
a = a = 0,25-10 ;

0,1
где в, — значение коэффициента а на первом цикле нагружения; а2 — на
втором и последующих циклах.
Для участка разгрузки сжатия (отрезка 4—5 на рис. 6.20) связь
между приращениями напряжений ffAm и деформаций ?Дт осущес-
осуществлялась по формулам C.44) —C.46). Возможно, здесь потребуется
еще уточнить значение параметра •$. .
Диаграммы деформирования арматуры на приращениях. По
аналогии с бетоном связь между приращениями напряжений армату-
арматуры у~6Лг и приращениями деформаций ?Дт записываются в виде
s ~ Е
Ат "Дш еАт
F.229)
где, если т - s, то рассматриваются деформации свободной (вне бетона)
арматуры или деформации ее в трещинах, а если т = sm, то рассматриваются средние
деформации арматуры на участках между трещинами.
Приращения деформаций и напряжений могут отсчитываться
от любой точки на диаграмме, однако в практических расчетах эти
точки выбираются исходя из некоторого физического смысла или
упрощений расчетных алгоритмов. Коэффициенты V4m изменения
секущих модулей на приращениях определяются по формулам E.8)
или E.15) в зависимости от уровня приращений напряжений или
относительных деформаций с заменой в этих формулах
на
на
Л
V
на v.
на
гДе *ii ~ коэффициент изменения секущего модуля в начале отрезка
диаграммы; -рд„ — коэффициент изменения секущего модуля в конце отрезка
диаграммы
Существенным вопросом при определении коэффициентов фи-
физических соотношений в приращениях является установление зависи-
зависимостей для описания связи между напряжениями арматуры в трещине
6S и усредненными на участке между трещинами деформациями ? sm
(усредненной диаграммы арматуры) на ветвях разгрузки и повторно-
повторного нагружения.
Отличие ветви разгрузки усредненной диаграммы деформиро-
деформирования арматуры от соответствующего отрезка диаграммы свободной
арматуры (разгрузка свободной арматуры происходит по линейному
закону) обусловлено неравномерностью деформирования арматуры
на участке с трещинами. В связи с этим ветвь разгрузки (отрезок / —
2—3 на рис. 3.9) можно описать зависимостью C.25), принимая
F.232)
где 1^да — коэффициент, учитывающий неравномерность деформирования
арматуры на участке с трещинами и работу растянутого бетона между трещинами в
терминах приращений
F.233)
где Д?5„, A &s — соответственно приращения деформаций арматуры, усред-
усредненных на участке между трещинами и непосредственно в сечении с трещиной.
Параметр Tfr As исследовался группой исследователей
(A.M. Кокаревым, Т.А. Мухамедиевым, М.А. Сапожниковым) под
руководством Н.И. Карпенко. Проводились специальные экспери-
экспериментальные исследования на призмах, а также численное моделиро-
моделирование опытов на балках.
В результате анализа результатов численного моделирования
удалось выявить общую закономерность изменения значения yPAs на
участке разгрузки растяжения усредненной диаграммы деформирова-
деформирования арматуры, описываемой для любого цикла нагружения в виде
Л
"Am
ЕАт*Ат
F.230)
~ уровни приращений напряжений и относительных деформаций
Am
-; F.231)
aAm eAm
л оДт — приращение напряжений для конца выделяемого отрезка диаграммы;
i-hm ~ приращение относительных деформаций для конца вьщеляемого отрезка
диаграммы.
320
У.
F.234)
1) с б
sm,crc
rs, сгс
где Е s CTC — приращение средних деформаций арматуры в момент образова-
образования трещин, принимается равным предельной растяжимости бетона, определяемой
так же, как в формуле F.222); в случае если Ъ:^ы~ ^> то в качестве & sncrc
принимается последнее, отличное от нуля значение <ьЛЬ1 в процессе нагружения
(начиная с значения ? ы> определяемого по формулам C.16), C.17); &.лт —
отсчитывается от точки начала разгрузки (точка / на рис. 6.21); ургеп — значение
коэффициента f/*s в момент образования трещин; fj^Icn может изменяться от 0,35 до
0,45 в зависимости от характеристик бетона и арматуры, процента продольного
II 321
I I Зак. 1408

Рис. 6.21. К описанию сред-
средней диаграммы деформирования
арматуры без физической (I) и с
физической 01) площадками теку-
текучести при режимном нагружении
армирования, условий работы конструкции и других факторов; в практических
расчетах допускается принимать W^sat = 0,4.
Учитывая F.233) и то, что разгрузка свободной арматуры
происходит по линейному закону (т.е. 0"Aj = ?° ?Д1), можно на
основании F.234) выразить значение ^д s через приращения напря-
напряжений в трещине:
• Л
1
"s,crc
- 1) с 6
sm,crc
x_
аД*
F.235)
В формулах F.234), F.235) коэффициент с по данным числен-
численного моделирования принимает значения от 0,9 до 1,5. В практических
расчетах железобетонных конструкций допускается полагать с = 1.
На участке повторного нагружения (участок 3 — 4, рис. 6.21)
усредненная диаграмма записывается зависимостью F.229), в кото-
которой
vAsm = 5\p/^As' F.236)
где /j4"uj — вычисляется по формуле F.234) или F.235), в которых В &sm и
^Д5 сосчитываются от деформаций и напряжений, соответствующих точке начала
повторного нагружения (точке 3 на рис. 6.21); $^ - поправочный коэффициент,
322
$V
устанавливаемый так, чтобы участок повторного нагружения (участок 3 — 4 на
рис. 6.21), заканчивался в точке 4, выбранной из условий:
= О,
smi sm3' \Ь.2.э7)
Учитывая условия F.237), коэффициент S^, может быть
определен по формуле '
F.238)
где 11Г.й, вычисляется по формуле F.234) при ?Л1т = 1,05(?т1 — ?sm3).
При деформациях, превышающих ? mi на участке повторного
нагружения (участок 4—5 на рис. 6.21), д сформирование происходит
по кривой, описываемой зависимостями для исходной усредненной
диаграммы с учетом условного сдвига ее ж сала координат вправо по
оси деформаций на величину (б smi— ЪшХ)-
Участок повторного нагружения в об части сжатия (участки 3—
6 и 6 — 7, рис. 6.21) описывается зависимостями для режимной
диаграммы свободной арматуры, т.е. до точки 6 ( ЙГ^ = - ^,) диаграм-
диаграмма линейна, а на участке 6—7 совпадает с исходной диаграммой
свободной араматуры с учетом сдвига ее начала координат по оси
деформаций. Вообще вследствие введенной предпосылки о совмес-
совместности работы бетона и арматуры при &"з < 0 участки усредненной
диаграммы в области сжатия совпадают с соответствующими участка-
участками диаграммы свободной арматуры, хотя зта предпосылка еще
требует уточнения. В случае если после нагружения в области сжатия
производится повторное нагружение в области бs > 0, соответствую-
соответствующий участок диаграммы описывается либо зависимостями для исход-
исходной усредненной диаграммы деформирования (если в процессе пред-
предыдущего нагружения трещины в волокне не образовывались), либо
аналогично участку 3—4.
Диаграмма деформирования арматуры в трещинах при нагруз-
нагрузках и разгрузках представлена на рис. 6.22 (она повторяет диаграмму
деформирования свободной арматуры). Разгрузка при этом осущес-
осуществляется по прямым линиям — по линейному закону с начальным
модулем упругости арматуры ?', по линиям 1—3. При повторной
нагрузке (линии 3 — 4), так и при нагружении напряжениями обрат-
обратного знака (линии 3—6), линейный закон действует до значений
напряжений, при которых начиналась разгрузка, затем движение
осуществляется по оставшемуся участку начальной криволинейной
диаграммы. Таким образом создается возможность выполнять расче-
расчеты железобетонных конструкций с трещинами при различных слож-
сложных режимых нагружения, хотя, естественно, этот вопрос еще требует
проведения дополнительных исследований.
323

7 4
A* "A/
Рис. 6.22. К описанию диаграммы
деформирования арматуры без физической
Я) и с физической 01) площадками текучести
при режимном нагружении
6.13. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
С УЧЕТОМ ТРЕЩИНООБРЛЗОВЛНИЯ
Методика расчета конструкций типа стен с учетом физичес-
физической нелинейности. Разрешающие уравнения железобетонных кон-
конструкций в форме МКЭ будут нелинейными:
[К(д)]{д} = {Р}, F.239)
где [К(д)] - матрица жесткости (МЖ) всей системы; {д) - вектор-столбец
узловых перемещений; [Р] - вектор-столбец узловых нагрузок.
Используются, как правило, треугольные и прямоугольные КЭ.
Построение МЖ выполняют специальные операторы, которые осво-
освобождают от необходимости хранения в памяти всей МЖ и сокращают
объем вычисления:
324
Матрица жесткости [К(д) Сформируется на основании физичес-
физических жесткостей d{. из F.178), вычисляемых для каждого КЭ. Жест-
Жесткости d.., как уже указывалось, зависят от уровня напряженного
состояния, количества трещин, их ориентации и других факторов; они
принимают различные значения для различных КЭ. Таким образом
задача расчета железобетонных конструкций сводится к решению
алгебраических уравнений с переменными (нелинейными) коэффицие-
коэффициентами.
Решение нелинейной системы ищется в виде некоторой сходя-
сходящейся последовательности решения линейных задач. Такая идея
впервые была применена А. А. Ильюшиным [51] для решения задач
теории пластичности и получила название метода упругих решений.
В программах реализуются несколько вариантов метода упругих
решений: метод переменных параметров упругости; метод начальных
напряжений; метод начальных деформаций. При расчете в прираще-
приращениях используется дискретный метод Ньютона в модификации Раф-
сона или Кантаровича [52]. Процесс последовательных приближений
считается законченным, если его результаты отвечают некоторому
критерию сходимости. Основными являются критерии сходимости по
напряжениям и перемещениям. В качестве нормы невязки неизвест-
неизвестных выступает октаэдрическая и Евклидова нормы, иногда использу-
используется Чебышевская норма (см. п. 7.3).
Указанная выше методика была реализована в виде вычисли-
вычислительного комплекса «Икарус-ЕС» (разработчики Т. Балан.З. Поляк,
Н. Карпенко, Л. Ярин) и «Радуга» (разработчики М. Розенберг,
Н. Карпенко).
Примеры расчета стен с учетом процесса образования тре-
трещин. Представим вначале примеры расчета конструкций, которые
были исследованы экспериментально. Рассматривались части стен
высоких зданий, возводимых в Москве. Отдельные здания по тран-
транспортным и другим соображениям поднимаются над уровнем земли на
специальных железобетонных колоннах. На эти колонны укладыва-
укладывается один ряд усиленных балок-стенок, а затем на этих балках-стенках
возводится здание из типовых панелей (пластин). На рис. 6.23
представлены результаты расчета такой балки-стенки.
Балка-стенка (БС-1) испытывалась в московском институте
НИИМосстрой[21] (рис. 6.23, а — расчетная схема половины балки-
стенки, s — армирование; рис. 6.23, б — напряженное состояние).
Расчет по предложенной нелинейной модели железобетона с учетом
образования трещин хорошо согласовывается с данными эксперимен-
экспериментов по различным параметрам: прогибам (рис. 6.23, в; в точке М);
схемам образования трещин (рис. 6.23, г); деформациям арматуры
по длине балки-стенки (рис. 6.23, Э); ширине "'раскрытия трещин
(рис. 6.23, е, 1 — нормальные; /' — наклонные трещины; 2, 7 —
расчетные значения ширине раскрытия трещин). Расчет выполнялся
по программе Икарус-ЕС и «Радуга». Заметим, что учет трещинооб-
325

д)
•
i
• .КГ-/-.
щ
2
900
•
им
у
с
П.
№
М
rt
¦f.
Л опыт
^- ТЕОРИЯ
7(9 прогибы ли
?/0
2-^jP
fa
Per
у
V
0,1 0,2 мм
Рис. 6.23. Результаты расчета балки-стенки
разования приводил к уменьшению напряжений в растянутой зоне и,
наоборот, к увеличению напряжений сжатия в верхней зоне стенок и
в приопорных зонах (рис. 6.23, 6,2 — теория; 3 — расчет в линейной
постановке). Касательные напряжения $г в зонах с трещинами также
снижались и перераспределялись на участки сжатой зоны без трещин.
Учет этих факторов позволил предложить более рациональное арми-
армирование.
Отдельные панели крупнопанельных зданий не имеют армиро-
армирования или имеют некоторое слабое армирование.
Встает проблема определения прочности пластин при действии
горизонтальных нагрузок. Экспериментальные исследования таких
пластин проводились в московском институте ЦНИИЭП жилища (по
схеме на рис. 6.24, а: А — пластина; / — схема разрушения опытная;
2 — то же, расчетная; 3 — опытные трещины; 4 — расчетные
трещины; 5 — нагрузочное устройство). Результаты численных ис-
исследований схем разрушения пластин (рис. 6.24, б) соответствовали
данным их испытаний (рис. 6.24, б). Установка небольшого армиро-
армирования в пластине А приводила к более пластичному характеру
разрушения. Разрушение происходило в результате среза сжатой
зоны за вершиной магистральной трещины. Наклонная магистраль-
магистральная трещина образовывалась в растянутой зоне и распространялась
постепенно вдоль всей диагонали панели. С увеличением силы N
поперечная сила Q, соответствующая разрушению, повышалась (до
326
??????DO
Рис. 6.24. Результаты моделирования схемы разрушения стен на сжатие
силой N и сдвиг силой Q
определенного предела). Расчет, выполненный по программе «Раду-
«Радуга» , в которой заложена представленная выше теория, подтвердил эти
особенности [139, 146].
Укладываемые на балки-стенки (см. рис. 6.23) пластины вер-
верхних этажей существенно влияют на их напряжения и деформации.
Этот фактор исследовался экспериментальным и теоретическим путя-
путями. Эксперименты выполнялись в московском институте НИИМосст-
рой на моделях многоярусных балок-стенок (рис. 6.25, а — образец
состоит из нижней балки-стенки /, фрагмента перекрытия 2 и верхней
пластинки 3\ рис. 6.25, б — образец состоит из нижней балки-стенки
/, двух фрагментов перекрытия 4 и двух панелей-пластин 3- Нагру-
жение образцов, как и в рассмотренных выше случаях, производилось
поэтапно. Каждый этап составлял 10% расчетной разрушающей
нагрузки. Физический эксперимент дублировался расчетом с приме-
применением программы «Икарус-ЕС». Получено хорошее согласование
теории и опыта по основным факторам: образованию трещин (рис. 6.25,
а, 6; 4 — опытные трещины; 5 — теоретические), деформациям
растянутой арматуры и сжатого бетона, ширине трещин.
Выявлено, что вышележащие панели существенно уменыцают
усилия в растянутой арматуре нижней балки-стенки и локализуют
зону образования трещин. Что касается перераспределения напряже-
напряжений вследствие образования трещин, то они в основном происходят в
нижней балке-стенке и слабо распространяются на пластины, в
которых трещины не образуются (рис. 6.25, в, г; 6 — теоретические
эпюры напряжений, вычисленные с учетом трещинообразования; 8 —
то же, в линейной постановке без учета трещин), Замечена концентра-
концентрация напряжений сжатия в приопорных зонах (8 — разрушение
327

Р*720кН (JOOkH)
f>
5~
V
/
/
1
f
1 f
p
t
г г
ТРЕЩИНЫ
¦ Р^ЗООкН
в)
Рис. 6.25. Результаты расчета высоких составных балок-стенок
328
1
ш
1
ш
в
¦"
1
1
" ~ КГ
- 11
- ¦ ft
" " и
" It-
11
'' it"
m_
:" it:
t -
H
Ш U Е9Ш *
r - gz '
il
1_
lit:
ii
~: a::
- t -
-1-
. ft _
t.
- t -
- t -
- Ш -
- Ш -
- - Ш -
m\
m\
fit
яя1
--&
! In
Ш
1 ^ 1
I mm
-W
г
X
г
x
I
x
Г
г
X
Г
х
г
х
1
х
х
1
_г
+
! Ш
Г
х
^^
zt
I X
"~q.
X
::i
"" 3.
_x
_ _ x
~i
X
-
-_X
. IL
. X
. x
-~ Ц-
. X
--+
•re II
. X
nun
m
-i
t
It
it
t
Й1
t
it
t
1:
ii
F
t
t
i
i ¦
i
1
Щ
; ;
i j
1 j
i =
uu
m
1
-•-
-•—
<*-
Рис. 6.26. Напряженное состояние монолитной железобетонной стены
здания при совместном действии вертикальной и горизонтальной нагрузок
приопорных зон). Эти зоны требуют специального усиления, чтобы
избежать преждевременного разрушения.
Были также просчитаны большеразмерные монолитные стены
для зданий в Кишиневе (рис. 6.26). Учет трещинообразования привел
к снижению напряжений растяжения и к уменьшению армирования на
10—15%. В то же время повысились напряжения сжатия в зонах без
трещин и в некоторых случаях потребовалось усиление этих зон,
чтобы избежать хрупкого разрушения.
Расчет перекрытий. Теория расчета железобетонных перекры-
перекрытий с учетом трещинообразования разработана в работах [45, 54, 58,
61, 62, 103, 152, 170]. В силу физической нелинейности железобетона
329

и влияния трещин напряжения по толщине плиты будут изменяться
по существенно криволинейным эпюрам. Чтобы это учесть, плита
разделяется по толщине на условные тонкие или обобщенные слои,
для которых считаются справедливыми соотношения F1, 78). Пол-
Полагая справедливой гипотезу прямых нормалей (применительно к
средним деформациям на участках между трещинами) и вводя
численное интегрирование напряжений по толщине по правилу пря-
прямоугольников или трапеций, приходим к следующим общим физичес-
физическим соотношениям:
{М} = [D]{k),
F.240)
где [D] — матрица жесткости железобетона размером 6x6; {М} — вектор-
столбец моментов и мембранных сил
{М} = {М ,М , М , N ,N , N У;
I I I х> у* ХуУ х} у1 Ху' у
{к) — вектор-столбец кривизны и относительных удлинений
{k} = {(- d2w/dx2; - d2w/dy2; -2 d2w/dx dy;
du/dx, dv/dy; (du/dy + dv/dx)}T.
Здесь т — знак транспонирования; w — прогибы; и, v — горизонтальные перемеще-
перемещения на уровне выбранной координатной поверхности ху.
В практике проектирования часто встречаются плиты, которые
не закреплены по контуру от горизонтальных перемещений (работают
без распора). Расчет таких плит можно выполнять по преобразован-
преобразованной системе F.240)
{k} = [DY{M],
F.241)
& N и Nx и 0.
полагая
При равенстве нулю мембранных сил система разделяется на
две самостоятельные системы размером 3x3. Построение матрицы
жесткости конечного элемента с использованием разделяющейся
системы и расчет плит рассмотрены в [65, 103]. В соответствии с
геометрическими характеристиками плит наибольшее применение
нашли приямоугольные конечные элементы с тремя и четырьмя
степенями свободы в узле. Если используется полная система F.225),
то количество степеней свободы в узле возрастает до пяти. Алгоритм
составления системы разрешающих уравнений для ансамбля предус-
предусматривает поузловое формирование. Нелинейная задача решается
методом переменных параметров упругости. Используемый алгоритм дает
вполне устойчивое в смысле сходимости решение. Указанная методи-
методика реализована в виде программы МИКРОН (разработчики М. Леви,
Н. Карпенко, В. Леньшин).
Остановимся на двух примерах. На рис. 6.27, а —г представле-
представлены результаты расчета схем развития трещин (рис. 6.27, б, в) и
прогибов (рис. 6.27, г) двухпролетной неразрезной плиты из опытов
немецких исследователей G. Bach и О. Craf [177] (плита нагружалась
330
а)
б) р-бОкПа
8)
0
1!
¦1-
г-
i
-
-
ч
-•
ч
,
1-
у
,¦
f
i
¦1-
ч
/
г
\
\
ч
ч
А
V
71
if
¦-.
¦ч
(I
1-
у
+
+
+
+
П
1
}
\
f
/ 2 3 « 5 6 7 В 3 ГО 11 12 W10s,M
Рис 6.27. Расчет двухпролетной неразреэной плиты перекрытия
а)
р,кН/м73 1
б)
s
\
\
/
\
*
/
\
/
/
\
\
•
ч,
\
\
i
*¦
.'
Н
и
'л
V
ч
/
\
'Л
\Ь
в
г*
JL
\
\
/
>'
/
/
0 0 202024 и),мм
Рис 6.28. Результаты расчета модели монолитного перекрытия, опертого на
колонны и ядро жесткости
32 грузами, рис. 6.27, а). В строительстве высотных зданий в Москве
нашли применение монолитные безбалочные перекрытия сплошной
конфигурации. Эти перекрытия располагаются вокруг ядер жесткос-
жесткости/и опираются, как правило, на нерегулярно расположенные
колонны //. На рис. 6.28 представлены некоторые результаты расчета
модели такого перекрытия (из опытов Т. А. Мухамедиева). Сопостав-
Сопоставлены теоретические и опытные значения прогибов w в различных
точках перекрытия (И-1 — И-4, рис. 6.28, а) и схемы развития трещин
(рис. 6.28, б, в). Эксперимент проводился Московским инженерно-
строительным институтом (МИСИ). Программа МИКРОН-ЕС на-
331

шла применение при расчете различных перекрытий жилых зданий в
Москве. Выявлено перераспределение моментов по полю плиты и
существенное увеличение прогибов после образования трещин.
Из изложенного видно, что физическая нелинейность, кон-
конструкционная и приобретаемая вледствие трещинообразования ани-
анизотропия, а также неоднородность связей между напряжениями и
деформациями являются основными факторами железобетона, кото-
которые необходимо учитывать в современных моделях и методах расчета
конструкций различных зданий. Учет указанных свойств железобето-
железобетона при расчете конструкций позволяет получать достоверную картину
распределения усилии и перемещений при силовых и деформацион-
деформационных воздействиях и выявлять рациональные решения конструкций
современных зданий.
6.14. О НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ КРИТЕРИЯХ ПРОЧНОСТИ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ТРЕЩИНАМИ
Развитие условий прочности. Начальная база для построения
общих условий прочности железобетонных элементов была заложена
еще в 30 —40 годы. В этой связи следует отметить: выдвинутый в эти
годы А.Ф. Лолейтом основополагающий принцип построения усло-
условия прочности балок из пластического железобетона по нормальной
трещине, результаты его развития и экспериментального исследова-
исследования многими авторами; теоретическое обоснование метода предельно-
предельного равновесия, данное А.А. Гвоздевым [31]; разработанные
К. Йогансеном и А.А. Гвоздевым [31, 34] первые условия прочности
работающих в двух направлениях плит по косой трещине.
Развитие «плитных» условий по-существу и по форме записи, их
экспериментальная проверка, попытки построения некоторых вари-
вариантов теории пластичности железобетона и другие вопросы рассмат-
рассматривали Р. Вуд, Ш. Массоне, М. Сав, К. Кемп, А.А. Гвоздев,
М. Корнелис, Н.И. Карпенко, С. Морли.М.И. Рейтман, И. Леншоу,
А. Созен, П. Ленкей и др. Подробный обзор этих работ и вывод
«плитных» условий приведены в монографии автора [61] и работах
[34, 55, 56, 57], поэтому здесь не приводятся.
Указанные условия за некоторой доработкой основаны на
следующих, ставших теперь классическими,- предпосылках: разруше-
разрушение происходит по некоторым трещинам, в общем случае косо
расположенным к стержням арматурной сетки; в трещинах разруше-
разрушения все стержни, ее пересекающие, достигают текучести, а бетон
сжатой зоны — прочности на сжатие (соблюдается принцип
А.Ф. Лолейта); в стержнях возникают лишь нормальные, направлен-
направленные вдоль оси стержня напряжения; в процессе деформирования
стержни не изменяют своей первоначальной ориентации; арматура
332
задается в виде коэффициентов армирования; применяется принцип
сглаживадия (распределения) арматуры по шагу стержней.
На базе этих предпосылок были получены достаточно простые
условия прочности для плоских элементов типа балок-стенок, плит
при совместном действии изгибающих и крутящих моментов, нор-
нормальных и касательных сил, а также объемных элементов с трещина-
трещинами практически при произвольном косоугольном армировании. Это
выполнено в работах автора [54, 57, 59, 61]. В них было показано, что
для элементов с трещинами, работающих при плоском и объемном
напряженном состояниях, одной проверки прочности по арматуре
недостаточно, необходимо дополнительно проверять прочность бло-
блоков или, при плоском напряженном состоянии, — полос бетона между
трещинами на сжатие. Были разбработаны определенные критерии,
однако окончательного решения этот вопрос еще не нашел.
Рассматриваемые условия можно использовать для определе-
определения прочности или подбора требуемой арматуры по величинам
напряжений в элементах, соответствующим стадии исчерпания про-
прочности. Указанные усилия (для подбора арматуры) можно опреде-
определять на основе статической теоремы метода предельного равновесия
или в процессе нелинейного деформационного расчета. Сам метод
предельного равновесия и работы, его развивающие, здесь не рассмат-
рассматриваются.
Если, модифицируя вторую предпосылку, предположить, что в
момент разрушения напряжения в бетоне без трещин достигают
поверхности прочности, а напряжения в стержнях — предела текучес-
текучести, то можно получить общие условия прочности (пластичности)
железобетона без трещин. ТакиеусловиябылиполученыГ.А. Гениевым
в первой половине 60-х годов.
Следует отметить, что указанные предпосылки «плитных»
условий в принципе не являются идеальными, они неоднократно
подвергались справедливой и несправедливой критике и попыткам
модификации. Одно время (примерно в начале 60-х годов) во многих
зарубежных работах стала подвергаться критике четвертая предпо-
предпосылка и делались попытки изменить ее. Так, в работе Р. Вуда была
выдвинута идея «полного перегиба», согласно которой арматура при
текучести в трещинах перегибается так, что становится нормальной к
трещинам. В других работах выдвигалась идея не полного перегиба,
однако экспериментальные исследования Б. Баус и С. Толачча не
выявили указанного эффекта для арматуры реальных диаметров.
Обзор этих работ также приведен в [61]. Здесь остановимся лишь на
выводе общих критериев прочности железобетона при объемном
напряженном состоянии, которые в литературе нашли малое освеще-
освещение.' Критерии были установлены в работах [57, 59].
Общие критерии прочности железобетона с трещинами.
Теоретические исследования, как и ранее, будем проводить на приме-
примере малого элемента, выделяемого из некоторой конструкции (или
333

Рис. 6.29. К выводу общих условий прочности а. б — случай объемного
напряженного состояния; в. г — случай плоского напряженного состояния; 1 —
арматурные стержни.- 2 — трещины
массива). Этот известный из механики сплошных сред прием позво-
позволяет проводить анализ в общем виде, не привязываясь к конкретному
объекту.
Примем декартову систему координат и поясним характер
задания армирования. Пусть армирование осуществляется нескольки-
несколькими (и) группами прямолинейных стержней. Каждая группа г (г = 1,
2,..., п) будет характеризоваться параллельными стержнями одного i-
334
го направления, направленными вдоль вектора г, и коэффициентом
армированияJU. s. (рис. 6.29, а). Проводим площадку с нормалью г.
Величина М rf будет представлять площадь арматуры i, отнесенную к
единице площади этой площадки. Пусть, например, F( — площадь
площадки, aFs. — площадь арматурных стержней, пересекающих ее,
тогда'jUsi. = Fsi/F(. Если стержни делят площадку F. на отдельные
прямоугольники со сторонами а, и а2 (стержни проходят через
вершины прямоугольников), тогда Ы. = Fsi/ata2, где FH — площадь
одного стержня.
Таким образом, здесь, как и выше, вводится принцип направ-
направленного распределения дискретного армирования, что значительно
облегчает задачу исследований. Однако при ярко выраженной дис-
дискретности в расположении стержней принцип распределения (сгла-
(сглаживания) может оказаться неприменимым. Этот вопрос требует еще
уточнения на основании экспериментов, хотя, как было показано в
[59], для некоторых таких конструкций получалось (при определен-
определенном способе определения величин U.) хорошее совпадение результа-
результатов теории и опыта.
Направляющие косинусы нормали i к осям х, у и z обозначим
соответственно через lxi, I ., 1Н (см. рис. 6.29, а). Для дальнейшего
анализа понадобятся также коэффициенты армирования JU it отне-
отнесенные к наклонной площадке. Пусть наклонная плошадка такова, что
пересекает лишь выделенный на рис. 6.29, а поток стержней i.
Обозначим V — единичную нормаль к наклонной площадке; пх, n
п2 — направляющие косинусы соответственно к осям х, у vlz; $
площадь площадки; ipt — угол между i и \>, тогда (см. рис.6.29, а):
t,
Fv = ,F\/cos
= F
cos
- (Xs
'yiny+
F.242)
Условие прочности полос (блоков) бетона между трещина-
трещинами. Предполагаем, что разрушение полосок бетона между трещинами
происходит в момент, когда максимальные по модулю главные
сжимающие напряжения в бетоне <5'b
, где R — характерис-
6,min r r
тика прочности бетона между трещинами на сжатие. Выделим из
массива малый тетраэдр так, чтобы наклонная грань его прошла по
площадке .действия бь mln. Обозначим: л> — нормаль к наклонной
площадке;
ь mln
— площадь этой площадки; бх, бу, С\, tху = tr
yx,
х у \ у
V2 = Vг, Тгх = Тхг — компоненты тензора напряжений. Примемv
1, тогда площади остальных граней тетраэдра будут равны значениям
направляющих косинусов пх, п , пг нормали -v* (см. рис. 6.29, б).
Рассмотрим условия равновесия тетраэдра для момента, когда
() . . = R . Исследования величины R указаны в п. 6.9. Кроме
о,mm p p •* L
усилий R на наклонной грани будут усилия в арматуре, которые
обозначим С{1>. В полосах бетона напряжения в арматуре из-за
335

сцепления с бетоном будут меньше, чем в трещинах. При определении
прочности полосок бетона в расчет будем вводить средние напряжения
в арматуре вС%. Согласно F.242), можно установить, что
^ = <*;>„ = «>* «л+ 'л+ w. F-243)
а проекции этих усилий на оси х, у и z соответственно составят: б i1f 1Х{,
Если наклонную площадку пересекают стержни п направлении
(г = 1,2,3,...,и), то суммарные проекции усилий на оси х,уиг будут
соответственно равны: ^6iylxi; X^.vlyi; ^SiVl2i-
Проектируя приложенные к'тетраэдру'все силы на оси х, у и z,
и, введя обозначения:
asx =
m n
" "A
Tsxy
F.244)
¦^ /71
rsxz
т ГИ.
получим, записав условия в виде неравенств, характеризующих
область прочных состояний:
°х - °sx > »х
Tsxy > ny
0;
- Tsxy > пх
-
V
0.
В этой системе однородных линейных уравнений их, иу и иг (в
предельной стадии неравенства обращаются в равенства) одновремен-
одновременно не могут быть равными нулю, так как п^+ п&+ пгг= 1, значит
определитель ее должен обращаться в нуль. Отсюда условие прочнос-
прочности-будет иметь вид
ах ~
yvm
- T
sxy
- T
sxy
°У -
Tsyz
-
V
> 0.
F.246)
336
При этом
- o.
sx
az
о,
0.
0.
F.247)
При обращении неравенства F.246) в равенство элемент пере-
переходит в предельнее состояние.
Значения G^., б^у, 8Г1*, f^J, f ™2, tr™2 представляют собой
компоненты тензора средних усилии в арматуре. При ортотропном
армировании (армировании тремя группами стержней, расположен-
расположенными соответственно вдоль осейх, у иг, т.е. при i = х, у, г, получим:
= a
sx
m
lsz '
о-т <~т
Tsxy ~ Tsyz
F.248)
Условие прочности арматуры. Теперь пусть наклонная трещи-
трещина проходит по площадке, на которой напряжения в бетоне равны
нулю, а напряжения в арматуре достигают предельной текучести.
Тогда, повторяя с учетом этих особенностей весь представленный
выше вывод, приходим к следующему условию текучести арматуры:
- ах>>
- у.
> 0, F.249)
где ffH и "fc^.j (у, k = x, у, z) — компоненты тензора предельных усилий в
арматуре, которые можно вычислять по формулам F^244) соответственно так же, как
значения в" и V^k, заменив лишь б'™ на В"н ( ff^ — напряжения текучести в
стержнях).
Обращение неравенства F.249) в равенство характеризует
наступление текучести во всех стержнях.
Уточнение прочности бетона. Из F.249) следует, что с увели-
увеличением коэффициентов армирования прочность элементов по армату-
арматуре будет возрастать, но, как следует из F.246), это увеличение при
наличии сжимающих напряжений не может быть беспредельным, так
как наступит разрушение по бетону. ^
Входящие в F.246) значения средних усилий в арматуре 6Т,
Т™~к будут зависеть от уровня напряженного состояния. В результате
значение нагрузки, при котором разрушится переармированный эле-
элемент при сложном напряженном состоянии, очевидно, наиболее точно
может быть определено лишь в процессе деформационного расчета.
Однако ответить на вопрос, является ли элемент переармированным
или нет, и, таким образом, оценить правильность решений, получен-
337

ных при использовании условий текучести арматуры F.249), на
основании F.246) можно сравнительно просто. Пусть арматура в
элементе достигла текучести. В этом случае средние напряжения в
арматуре 0™ можно выразить (с некоторым приближением) в функ-
функции от б\, приняв
°Я *Sl SI '
где в среднем при начале текучести арматуры коэффициент y^s «*•
«0,8,...,0,9. Естественно, условия F.248) можно принимать лишь для
растянутой арматуры, пересекающей трещины; средние напряжения
в арматуре, расположенные вдоль трещин, можно находить из усло-
ъия ее совместной работы с бетоном. При этом все необходимые
величины в условиях F.246) становятся известными (значения R
приведены выше). Если при этом условие F.246) будет нарушаться,
элемент разрушится по бетону до начала текучести арматуры.
Плоское напряженное состояние (й"г = т г = trxi = 0). Для
плоского напряженного состояния представленные выше условия
значительно упрощаются. Запишем их применительно к элементам
пластин (см. рис. 6.29, в, г), учтя специфику их армирования. Пусть
(в общем случае) пластина армирована по толщине п слоями армату-
арматуры, расположенными параллельно ее срединной поверхности. Слой i
будет представлять собой часто расположенные стержни одного г'-го
направления и характеризоваться углом наклона J3; стержней i к оси
х и коэффициентом армирования (Ujf = Fs,/sh, где Fsi — площадь
стержня; s. — шаг стержней в слое; h — толщина пластины. Если
однотипных слоев (с одинаковым р>{) по высоте расположено не-
несколько (k), то М. = Е Fsi/s.h. Чтобы не усложнять чертежи, на
рис. 6.29, в показано двухслойное косоугольное армирование. Для
ортотропного армирования (в виде ортогональной сетки, см. рис. 6.29,
г) (JWS. = Fsi/sh (i = х, у), т.е. будет два коэффициента армирова-
армирования - |U sx и (U . Учитывая, что &г =Г = Тхг = 0; / = cos й ; / =
cos (90° - р\) = sinj3z.; Г = 90° = 0, из F.245) получим ;
F.251)
~ m
(Л + t
И
(тх> -
где
л
л
= 2 л
'х - 0,
X S
~ т
Tsxy^
т
si asi
т
i°si s
т
v ). (Г
* К X
(Rp+ с
COS2 /3.;
in p{ cos/
— У
У Т
Гу-Ъ
т
%
V
т
)
юсу '
т
sy '
л
2'j
-1
J« °si
'- 0,
sin2/3.;'
F.252)
338
Раскрывая определитель, условие F.246) можно записать
°у -
Аналогично условие прочности по арматуре F.248) для плос-
плоского напряженного состояния можно преобразовать к виду
-T^> > °-
F.254)
где
dsx =
.;
Для ортотропного армирования условия F.253)иF.254) будут
соответственно иметь вид (обозначим fx =f):
ах ~ "sx asx
V } -Т > 0: F255)
F.256)
6.15. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ НА СИЛОВЫЕ И ТЕРМОСИЛОВЫЕ
ВОЗДЕЙСТВИЯ
Остановимся на некоторых уже реализованных способах расче-
расчета железобетонных конструкций с учетом объемного напряженного
состояния, построенных на основе представленной в гл. 6 теории
деформирования железобетона с трещинами (будем следовать обзору,
составленному автором этой книги совместно с С.Ф. Клованичем).
Расчет бетонных и железобетонных конструкций методом ко-
конечных элементов на различные воздействия приводит к необходимос-
необходимости решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Нелиней-
Нелинейность разрешающих уравнений МКЭ обусловлена прежде всего
нелинейностью определяющих соотношений материала, которые при-
приведены в гл. 3 — 6. Кроме того, она может быть вызвана большими
перемещениями, соизмеримыми с размерами конструкции, например
на стадиях, близких к предельным, когда возникает необходимость
учета изменения расчетной схемы сооружения в процессе нагружения.
Однако математическая формулировка задачи в обоих случаях оди-
одинакова и рассматривается с единых методических позиций. Нелиней-
Нелинейность, задачи приводит к нарушению принципа суперпозиции. Ее
339

решение существенным образом зависит от истории и пути нагруже-
ния и может быть получено лишь на основе шагово-итерационного
метода последовательных приближений.
Один из вариантов такого метода был уже рассмотрен выше
(см. п. 6.13). Процедура расчета конструкций сводилась к решению
системы уравнений F.222) на ряд постепенно увеличивающихся
значений внешней нагрузки от некоторой малой {P}t до нагрузки {Р}п,
приводящей к разрушению конструкции. В качестве неизвестных на
каждом шаге выступали компоненты вектора узловых перемещений
{q}. Итерационная процедура использовалась для уточнения матрицы
жесткости железобетона в конечных элементах (матрицы упругости
по терминологии МКЭ в линейных задачах), а затем и матрицы
жесткости всей конструкции [?({<7})].
Однако связь между векторами полных нагрузок {Р}{ и векто-
векторами полных узловых перемещений {q}i установить не всегда удается,
особенно при сложных режимах нагружения. В этом случае удобно
выполнять расчет в приращениях на основе шагового метода с
последовательным суммированием найденных в пределах каждого
шага решений. Этот вариант шагово-итерационного метода нашел
развитие в докторских работах Т.А. Балана и С.Ф. Клованича,
выполненных под руководством автора этой книги. Ниже укажем и на
некоторые, не менее интересные, подходы других авторов.
Фактически использовалась наиболее общая форма шагового
метода, сформулированная В.И. Феодосьевым, а применительно к
МКЭ детально разработанная К.Ю. Бате. Процесс деформирования
как при кратковременных, так и при длительных воздействиях
отождествляется с движением точек конструкции. В процессе движе-
движения она переходит из конфигурации тС в смежную ей конфигурацию
m+*mC, а уравнение равновесия МКЭ формулируется как зависимость
между приращениями узловых сил {АР} и перемещений {Д q),
обусловленными таким переходом, т.е. в инкрементальной форме
[K({mq}]{A q) - {A P({mq})] = 0. F.257)
Решение задачи отыскивается в виде
F.258)
Матрица жесткости системы [K({mq})] и вектор {AP({mq})}
являются функциями ее состояния и определяются с помощью стан-
стандартных процедур МКЭ по матрицам жесткости и векторам прираще-
приращений узловых внешних сил отдельных элементов. При решении
реальных задач приходится иметь дело с конечными временными
интервалами, что ведет к «дрейфу» приближенного решения от
точного. Для устранения этого «дрейфа» обычно применяются раз-
различные итерационные алгоритмы. Пусть известно приближенное
решение уравнения F.257) {Aq}', полученное, например, в результа-
результате упругого расчета, причем
340
[K({mq))]{A qY - {A P({mq})) = {5 F}< = 0. F.259)
Точное решение этого же уравнения
{ A q] = { A qY + { 5А q}*.
Невязка { 5А qY получается из F.257) и F.258) и имеет вид
{ 8AqY = -1ЩтЯ))Г{ A F}\ ' F.260)
В результате решения на шаге А Т можно вычислить путем
последовательных приближений по формуле
{ A qY+t = { A qY + { 5А qY- F.261)
Различные итерационные схемы, как известно, отличаются
выбором матрицы [&({т<7})] в F.260). Осуществлялся сопоставитель-
сопоставительный анализ метода Ньютона—Конторовича, когда матрица жесткости
пересчитывается с использованием секущих значений матриц, харак-
характеризующих свойства элемента, и метода Ньютона—Рафсона с ис-
использованием касательной линеаризации или линеаризации по хор-
хордам в виде методики конечных приращений. Установлено, что опти-
оптимальными являются последние два метода, причем метод Ньютона—
Рафсона рекомендуется использовать при расчете конструкций без
трещин, переменных параметров упругости —' на стадиях работы с
трещинами и близких к предельным.
Шагово-итерационная формулировка метода конечных элемен-
элементов использовалась для разработки программных комплексов расчета
бетонных и железобетонных конструкций на силовые (Т. А. Баланом
и другими) и термосиловые (в работах С.Ф. Клованича) воздействия.
Поскольку нелинейный анализ конструкций является определенной
последовательностью решения линейных задач, то любой програм-
программный комплекс, как известно, содержит программные модули, состав-
составляющие основу линейного расчета. К ним относятся процедуры ввода
и вывода информации, организации библиотеки элементов, формиро-
формирования и решения системы линейных алгебраических уравнений и т.д.
От удачно выбранных вычислительных алгоритмов, положенных в
основу этих модулей, зависит эффективность комплекса. Использо-
Использован имеющийся опыт разработки этих алгоритмов, содержащийся,?
исследованиях А.С. Городецкого, Л.Г. Дмитриева, B.C. Здорейко,
А.И. Козачевского, В.А. Постнова, А.С. Сахарова, И.Я. Хархурима,
Н.Н. Шапошникова, К.-Ю. Бате, О. Зенкевича, Е. Вильсона и дру-
других , направленный на уменьшение трудоемкости подготовки исход-
исходных данных, оптимальное распределение памяти ЭВМ, сокращение
времени счета и наглядность выводимой информации.
Комплексы содержат библиотеку криволинейных изопарамет-
рических неоднородных плоских, осесимметричных и объемных
конечных элементов, допускающих рассчитывать конструкции широ-
широкого класса и назначения. Основные характеристики элементов
получены численным интегрированием, причем используются коэффици-
341

a)
р,кН
160,8 -
105,6
7J5 5 7,5 10 US 15 17,5 Wa,MM
Рис 63О. Результаты расчета балок BS-1 и BS-2 1 — расчет: 2 — опыт
енты физических соотношений материала, вычисляемые в точках
интегрирования в зависимости от состояния элемента в этих точках.
Комплексы носят открытый характер, что позволяет по мере необхо-
необходимости дополнять их новыми элементами.
С помощью разработанных методов были проведены численные
исследования- напряженно-деформированного состояния бетонных и
железобетонных конструкций. При этом на первом этапе рассчитыва-
рассчитывались статически определимые железобетонные балки прямоугольного
сечения (рис. 6.30, где представлены отдельные результаты расчета
балок BS = 1 и BS = 2 из опытов М. Сьюдента и В. Шнобриха,
полученные Т.А. Баланом). Расчетная схема балок представлялась в
виде ансамбля объемных конечных элементов (рис. 6.30, б). Резуль-
Результаты расчета в виде прогибов точки, расположенной на середине
пролета балки, сравнивались с данными эксперимента (рис. 6.30, а)
342
и получено удовлетворительное согласование опыта и расчета. Одна-
Однако этот пример носит иллюстративный характер, показывающий
возможности объемных конечных элементов. Для практических рас-
расчетов стержневых конструкций больше подходят специальные одно-
одномерные конечные элементы, хотя и учитывающие все шесть компонент
напряжений объемного состояния. Они разработаны в [88]
Н.И. Карпенко, Т.А. Мухамедиевым и М.А. Сапожниковым.
Трехмерные неоднородные конечные элементы со специальны-
специальными внутренними областями расположения арматуры дают возмож-
возможность производить расчеты изгибаемых плит. Такой прием был
применен Т.А. Баланом при расчете свободно опертых по контуру
железобетонных плит из опытов Г. Баха и О. Графа [177], в частнос-
частности, плиты (рис. 6.31). На рис. 6.31, а приведено сопоставление
опытных и-теоретических значений прогибов в узлах плиты, а на
рис. 6.31, в схем образования трещин. Схема конечно-элементной
разбивки плиты Р-822 представлена на рис. 6.31, б.
Здесь также следует заметить, что, видимо, рациональными при
расчете плит могут оказаться слоистые модели конечных элементов
плиты, позволяющие свести трехмерные элементы к двумерным.
Теория такого приведения представлена в работах [68, 83], а конечно-
элементная реализация — в [90].
Целый ряд интересных решений получил С.Ф. Клованич на
основе термосиловой модели железобетона [80] — Н.И. Карпенко,
С.Ф. Клованича, рассматривая различные конструкции, подвергну-
подвергнутые силовым воздействиям совместно с неравномерным по высоте
сечения нагревом. Представим кратко зти решения.
Осуществлялись расчеты плосконапряженных железобетон-
железобетонных колец, неравномерно нагретых по толщине, из опытов
В.И. Милонова и В.Н.Торячева (рис. 6.32, а — г, где соответственно
на первом — конструкция и расчетная схема, на втором — распреде-
распределение температуры по толщине, на третьем — деформации кольцевой
арматуры, на четвертом — эпюры напряжений). Определены расчет-
расчетные значения: нормальных, касательных напряжений, деформаций
кольцевой арматуры (средних и в трещине), ширины раскрытия
трещин. Сопоставление этих значений с экспериментальными данны-
данными также свидетельствует о достоверности предлагаемой методики.
Отметим, что для расчета плосконапряженных конструкций исполь-
использовались восьмиузловые четырехугольные изопараметрические кри-
криволинейные неоднородные конечные элементы, имеющие по три точки
интегрирования в направлениях осей координат.
Покрытия защитных систем в энергетических и тепловых
агрегатах цилиндрической формы чаще всего выполняются в виде
толстостенных сферических пологих сводов-оболочек. Такие кон-
конструкции характерны для биологической защиты реакторов, резерву-
резервуаров , печей и т.д. По этой причине проблема расчета и проектирования
железобетонных сводов при тепловых воздействиях давно привлекает
343

=56 кПа
Рис 6.31. Результаты расчета плиты Р-622 1 — расчет: 2 — опыт
344
Ф 07ОА-Ж
шаг 125
\
/этап
ЖЭГА1\
—¦
*— -
10 20 30 V}CM
Ь
\ -10 0-2 0 -0,1 О
h 6
Рис 6.32. Результаты расчета кольцевого железобетонного образца 1 —
опытные деформации.- 2 — теоретические трещины- 3 — средние деформации: 4 —
максимальные деформации: 6 — опытные трещины
внимание. Здесь, в частности, следует отметить целый комплекс
исследований, проведенных в НИИЖБе, а также зарубежные иссле-
исследования, например 3. Веерта. Учитывая широкое распространение
этих конструкций, по разработанной методике были осуществлены
численные исследования железобетонных фрагментов в виде сводов-
оболочек из опытов 3. Веерта. Конструкция опытных образцов HNB
110-1 и HNB 200-2-Q (AT) представлена на рис. 6.33, а.
Фрагмент HNB 110-1 испытывался сначала при нормальной
температуре, затем аналогичный образец подвергался равномерному
нагреву до 110°С. Загружение осуществлялось сосредоточенной си-
силой, приложенной в центре. Характеристики материалов, из которых
изготовлен образец, равны Rb = 44,8 МПа, Rbt= 2,5 МПа, fs° =
3,2 104 МПа,|и»=0,2,< = 110-51/оСг? =2105МПа,Л =1583 МПа,
<*;= 1 ю-51/°с.
Расчетная схема образца в виде совокупности изопараметричес-
ких криволинейных объемных элементов представлена на рис. 6.33,
б. Учитывая наличие двух осей симметрии, агнализировалась работа
345

опыт HNB110-1 расчет
опыт HNB200-2-Q(AV расчет
низ
Рис. б.ЗЗ. Результаты расчетов сводов оболочек 1 — расчет; 2 - опыт
346
1/4 части свода. Расчетная нагрузка прикладывалась ступенями,
аналогичными опытным. При этом первая ступень нагружения рас-
рассматривалась чисто температурной. По результатам расчетов опреде-
определены перемещения узловых точек, напряжения и деформации в
точках интегрирования конечных элементов, установлены процесс
трещинообразования, а также значение разрушающей нагрузки.
На рис. 6.33, в приведены расчетные значения прогибов в
центре свода. Здесь же представлены опытные данные. Расчетные и
опытные данные разрушающих нагрузок, полученные на холодных
образцах, составили р^р/р™ = 120/130 кН, при этом прогиб был
равен W^/W"" = 4,12/4,43 мм. Аналогичные данные по нагретым
образцам: /*«?//*>« = 160/168 кН; W^/W" = 5,82/5.42 мм. На
рис. 6.33, д представлен процесс трещинообразования на верхней и
нижней поверхностях свода в момент разрушения. Видно, что в целом
по всем сопоставляемым параметрам совпадение удовлетворительное.
Отклонения не превышают 15%.
Фрагмент HN B200-2-Q( Д Т) характеризовался неравномер-
неравномерным нагревом по толщине. При этом температура на нижней грани
равнялась 120°С, на верхней — 20°С. Загружение фрагмента осущес-
осуществлялось вертикальной равномерно распределенной нагрузкой, при-
прикладываемой ступенями, равными 65 кН/м2, вплоть до разрушения.
Исходные данные для расчетов принимались на основе резуль-
результатов опытов следующими: Rb = 49,4 МПа, Ейь = 3104 МПа, Rbt =
2,5 МПа,^ = 0,2,*»= 1 1051/°С, Es = 2 105 МПа, Rs = 1583 МПа,
ок." = МО'5 МПа. На рис. 6.33, г представлены вертикальные переме-
перемещения точек образца, полученные в опытах и расчетным путем.
Разрушение фрагмента в расчетах произошло при нагрузке qTeop =
585 кН/м2, прогиб в этот момент составил W*™1" = 25 мм. Аналогич-
Аналогичные опытные величины равны q°" = 618 кН/м2, W" = 28,86 мм. На
рис. 6.33, е представлены теоретическая и опытная картины трещино-
трещинообразования и изломов верхней и нижней поверхностей в момент
разрушения. Совпадение расчетных и экспериментальных значений
по всем параметрам удовлетворительное и в качественном и количес-
количественном отношении.
Значительная часть массивных бетонных и железобетонных
сооружений, подвергаемых в процессе эксплуатации нагреву, работа-
работает в условиях осесимметричного напряженного состояния. К ним
относятся корпуса высокого давления, дымовые трубы, силосы и т.д.
Иллюстрацией эффективности предлагаемого метода расчета приме-
применительно к таким сооружениям могут служить два примера, по
которым имеются достаточно надежные экспериментальные данные.
В первом примере рассматривался расчет бетонного пустотело-
пустотелого цилиндра, загруженного вдоль образующей, при равномерном
нагреве из опытов И. Андерберга. Геометрические размеры цилиндра
и расчетная схема в виде совокупности восьмиузловых кольцевых
изопараметрических элементов представлена на рис. 6.34, а. Механи-
347

a)
75
у
1 - расчет; 2 - опыт
* ?jj-TO3 0 200 400 600 t,°C
6.34. Результаты расчетов бетонного цилиндра
ческие характеристики бетона при нормальной температуре принима-
принимались следующими: #ь =42,25 МПа.Б1" =2,58 104 МПа,^° =0,18,ol° =
1,1 1051/°С. Расчетные изменения этих характеристик в результате
нагрева определялись согласно опытным данным.
Расчет цилиндра осуществляется двумя этапами. На первом
этапе образец сначала нагревался, затем при постоянной температуре
прикладывалась внешняя нагрузка ступенями, равными примерно
0,1 Р. Расчетные и опытные значения деформаций при различных
температурах представлены на рис. 6.34, б, в. На втором этапе на
первой ступени прикладывалась внешняя вертикальная нагрузка,
которая в дальнейшем оставалась постоянной, затем осуществлялся
равномерный нагрев ступенями по 100°С. По результатам расчетов
строились графики изменения деформаций (рис. 6.34, в), начиная со
второй ступени, в зависимости от температуры нагрева, которые
сопоставлялись с опытными данными.
Видно, что теоретические кривые на рис. 6.34, б и 6.34, в
удовлетворительно согласуются с экспериментальными результата-
результатами. Отметим, что во втором случае удовлетворительного совпадения
с опытом удалось достигнуть, только учитывая эффект Пиккета,
который впервые установил, что в бетонных образцах, защемленных
с двух сторон, значения напряжений при нагреве значительно меньше
ожидаемых, равных °ЕЬ ck°bt°, где °ЕЬ — модуль деформации бетона
при t°C. С.Ф. Клованич предположил, что эффект Пиккета есть
следствие быстронатекающей части деформаций ползучести, которая
успевает проявиться за более короткий срок, чем при нормальной
температуре и должен быть учтен в расчетах на кратковременный
нагрев.
348
Во втором примере рассматривался расчет модели осесиммет-
ричного предварительно напряженного железобетонного корпуса ре-
реактора, работающего при нагреве. Конструкция модели представлена
на рис. 6.35, а. Усилия предварительного натяжения в вертикальных
стержнях 12,7 мм составляли 112 кН в каждом, в кольцевой арма-
арматуре 2,44 мм — по 21,12 кН. Изнутри действовало избыточное
давление, а также нагрев. Выбор такой конструкции объясняется тем,
что по ней имеются тщательно выполненные экспериментальные
исследования М. Созена и С. Паула.
Как правило, этот пример рассматривается в большинстве
тестовых расчетов при моделировании бетона при сложном напряжен-
напряженном состоянии, например в работах Т.А. Балана, А.С. Сахарова,
А.Л. Козака, К.-Ю. Бате, О. Зенкевича, А. Мачертаса, Д. Овена,
Д. Филлипса. К сожалению, М. Созеном и С. Паулом не исследова-
исследовалось влияние повышенных температур. Однако имеются результаты
расчетов этой конструкции при нагреве по различным методикам,
полученные О. Зенкевичем, Д. Овеном и Д. Филлипсом, которые
были приняты контрольными при расчете по предложенному способу.
t = 150 "С
-JO -10 010 -JO -10 010 -40 -20 О 10 -20 0 10
6и,МПа 61иМПа 622,мпа ¦ 6227мла
Рис 6.35. Результаты расчетов модели корпуса реактора 1 — t = TOOoG 2
— t = 150оС: 3 — t = 200оС; I — радиальные трещины.- II — окружные трещины
349

a)
¦м
4
08A-I
/ шаг юо
И012А-Ш б)
7300
в} t{C_
105\
20
г) м, кН/м
12
20
60 t, сут
-1
к.
d)?t103
20
-20
-SO
to
60 t, сут
''V
/'
Г'
1
Рис. 6.36. Результаты
расчетов балки на длитель-
длительный нагрев 1 — расчет: 2 —
опыт
20
40 60 t,Cym
Армирование конструкции, которое носит в данном случае дискрет-
дискретный характер, потребовало применения специальных изопараметри-
ческих бетонных элементов, содержащих в своем составе сосредото-
сосредоточенную арматуру. Описание таких элементов впервые дано
Д. Филлипсом и О. Зенкевичем. Разработанные процедуры по этим
элементам были включены в состав библиотеки.
Расчетная схема фрагмента представлена на рис. 6.35, а. Были
осуществлены два расчета. Первый выполнен без учета влияния
температуры только от усилий предварительного натяжения и избы-
избыточного давления. Полученные в результате расчетов перемещения
точек фрагмента, деформации в процессе трещинообразования сопос-
сопоставлялись с опытными данными. Наблюдалось достаточно хорошее их
совпадение. Отклонения не превышали 5 — 12%. Второй расчет,
результаты которого представлены на рис. 6.35, б, в, осуществлялся
на совместное действие усилий предварительного натяжения и пере-
перепада температур. Температура на внутренней грани tb изменялась
пятью ступенями по 50°С, на наружной грани оставлялась постоян-
постоянной, равной tu = 20°С. Расчетные данные в виде эпюр напряжений
(рис. 6.35, б, сплошные линии) в процессе трещинообразования
350
сопоставлялись с результатами расчетов Д. Филлипса и О. Зенкевича
(на рис. 6.35, б, пунктир). Имеющиеся отклонения объясняются тем,
что Д. Фил липе и О. Зенкевич не учитывали изменения механичес-
механических характеристик материалов в результате нагрева.
В Макеевском ИСИ под руководством А.П. Кричевского про-
проводились экспериментальные исследования железобетонных балок
прямоугольного сечения с неизгибаемой продольной осью на длитель-
длительный неравномерный нагрев: Рассматривался расчет одной из таких
балок. Ее конструкция представлена на рис. 6.36, а.
Балка изготовлялась из бетона класса ВЗО и армировалась
арматурой класса А-П. Нижняя грань нагревалась до 105°С, на
верхней поддерживалась постоянная температура 20°С. Распределе-
Распределение температуры по высоте сечения принималось параболическим. К
балке прикладывалась продольная сила 300 кН. Расчетная схема,
представленная на рис. 6.36, б, была принята с учетом симметрии
конструкции. Закрепление узлов осуществлялось из условия обеспе-
обеспечения неподвижности продольной оси. Режим нагрева показан на
рис. 6.36, в. Из расчетов получены напряжения, деформации в
элементах, перемещения узлов. По величинам горизонтальных опор-
опорных реакций вычислялись изгибающие моменты. На рис. 6.36, г
представлены значения этих моментов, на рис. 6.36,3 —температур-
—температурные деформации нейтральной оси. Здесь же дано сопоставление с
опытными данными. Имеется хорошее качественное и неплохое
количественное совпадение результатов.
Среди других решений следует выделить решения, полученные
А.С. Сахаровым и А.Л. Козаком [94] и другими на базе синтеза
представленной в гл. 6 теории деформирования железобетона с тре-
трещинами с деформационной теорией пластичности бетона Г. А. Гениева,
применяемой для областей конструкций без трещин (рис. 6.37, 6.38).
Рассматривался расчет различных массивных железобетонных фун-
фундаментов совместно с основанием. В расчетах использовались специ-
специальные моментные конечные элементы, разработанные
А.С. Сахаровым.
На рис. 6.37 представлены результаты расчета круглого фунда-
фундамента с учетом трещинообразования в плите и нелинейных деформа-
деформаций основания. Расчетная схема плиты и основания показана на
рис. 6.37, а, В процессе нагрузки фундамента силой Q происходило
развитие радиальных / и кольцевых // трещин (рис. 6.37, б) и
увеличение осадок основания. Учет трещинообразования приводил к
значительному перераспределению напряжений и повышению несу-
несущей способности фундаментов. К таким же результатам пришел
раньше В.И. Соломин и И.И. Шишов [152], используя для расчета
плщ более приближенную модель деформирования плиты с трещина-
трещинами, предложенную в работах [54, 61] автора монографии. Картина
образования трещин (/ — кольцевых, // — радиальных) и разруше-
разрушения бетона от раздробления (///) в более массивных фундаментах
3S1

Рис 6.57. Результаты расчетов круглого фундамента
представлена на рис. 6.38. Здесь в отличие от рассмотренного на
рис. 6.37 примера учет пластических деформаций в грунте приводил
к заметному повышению несущей способности. При этом вокруг
фундамента создавалось подобие некоторой грунтовой обоймы.
Представленная здесь теория деформирования железобетона с
трещинами нашла применение и в расчетах других конструкций. Так,
В.М. КругловиА.Н. Донец рассмотрели расчет различных мостовых
конструкций на базе изопараметрических конечных элементов;
B.C. Кукунаев и А. Джанкулаев рассмотрели расчет плит с учетом
действия поперечных сил, ряд сложных задач были решены под
руководством А.И. Козачевского. Можно было указать и на другие
решения.
Рис. 6.38. Результаты расчетов массивного фундамента
Указанные примеры иллюстрируют большие возможности раз-
разработанной модели деформирования железобетона в сочетании с МКЭ
и другими вычислительными методами. Фактически создается воз-
возможность полностью автоматизировать все этапы нелинейного расче-
расчета и реального проектирования железобетонных конструкций различ-
различной сложности.
3S2
12 Зак. 1408

Глава 7. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
С УЧЕТОМ ДИСКРЕТНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ АРМАТУРЫ
7.1. ОСОБЕННОСТИ РАЗВИВАЕМОГО ПОДХОДА
В представленных выше формулах, хотя и учитывалось реаль-
реальное расположение арматурных стержней (этот весьма важный фактор
должен учитываться в различных моделях), однако площадь стерж-
стержней сглаживалась — распределялась равномерно на определенную, в
некоторых случаях двольно малую как, например, при учете одиноч-
одиночных стержней, площадь того или иного сечения, нормального к
направлениям соответствующих стержней арматуры. Такую модель
условно можно отнести к модели железобетона с сглаженными
характеристиками арматуры. Сглаженная модель значительно упро-
упрощает решение задач и позволяет получить хорошее согласование с
данными экспериментов.
В то же время в зонах анкеровки арматуры, при расчете
арматуры в виде отдельных анкеров в бетоне, при расчете закладных
деталей и отдельных узлов и в ряде других случаев, указанное ранее
подходы сглаженной модели могут приводить или к погрешностям или
оказаться мало применимыми. Для более точного решения таких задач
железобетон уже необходимо рассматривать как систему, состоящую
из двух элементов — бетона и дискретно расположенных стержней
арматуры.
Такая система включает в себя: модель бетона, как правило, при
объемном напряженном состоянии; соответствующую модель арма-
арматурных стержней и модель механического взаимодействия (сцепле-
(сцепления) арматурного стержня с бетоном, учитывающую особенности
сложного напряженно-деформированного состояния контактной зоны.
Модели бетона и арматуры в отдельности рассмотрены в работах [61,
69, 74, 77 и др.]; они также приведены в гл. 3 — 6. Поэтому здесь
остановимся на третьей части модели, конкретно на моделировании
сцепления арматуры с бетоном.
Традиционные теории сцепления, изложенные в работах [36,
133, 161] и других, базируются на задании в той или иной форме
эмпирической характеристики контакта (закона сцепления), выража-
выражающей связь между взаимными смещениями (сдвигами) арматуры и
бетона и контактными касательными напряжениями.
Далее делается попытка отказаться от эмпирического описания
свойств контактного слоя и смоделировать действительное напряжен-
напряженно-деформированное состояние бетона контактной зоны. Это позволя-
позволяет с единых позиций рассмотреть вопросы определения осевых
смещений арматуры относительно бетона, раскалывания бетона арма-
арматурой, а также характер искривления (депланации) бетона вокруг
3S4
арматурного стержня, которые обычно изучались разрозненно. Осно-
Основы такого подхода разработаны в работе Н.И. Карпенко [60], а затем
развиты в [71, 71 а].
В модель сцепления входят: учет влияния местного смятия
бетона под выступами арматуры (в зависимости от профиля) на
смещение арматуры относительно бетона; формулировка условий,
определяющих образование и развитие различного рода контактных
трещин конических и радиальных; моделирование процесса деформи-
деформирования и разрушения бетона конических оболочек с учетом перехода
на ниспадающую ветвь; учет влияния деформаций бетона в зоне
контактных трещин на смещение арматуры относительно границы
указанной зоны. Отдельно стоит задача по определению взаимодействия
бетона контактной зоны с прилегающим к ней бетоном конструкции.
В связи с этим контактная зона условно разделена на две зоны:
зону /, включающую в себя бетонные консоли, непосредственно
находящиеся под выступами арматуры, и следующую за бетонными
выступами зону // развития конических /' и радиальных 2' трещин
(рис. 7.1, а, б). Эти зоны исследуются в общем виде применительно
к различным задачам сцепления арматуры с бетоном и с различным
профилем арматуры. За зоной конических трещин следует сплошная
бетонная оболочка или обойма ///, (рис. 7.1, а), описание которой
здесь дано для бетонных призм с центрально расположенными
6)
Рис. 7.1. Зона сцепления арматуры s с бетоном и ее элементы
А
/2*
3SS

стержнями при нагружении их по схеме выдергивания арматуры из
бетона или по схеме выдергивания арматуры из бетона по схеме
центрально-растянутых образцов. Эти образцы выбраны с единствен-
единственной целью — обеспечить подсчет большого экспериментального мате-
материала и проверить «работоспособность» модели контактной зоны. В
практических расчетах модель контактной зоны следует увязать с
моделью всего железобетонного элемента или конструкции, рассчиты-
рассчитываемых методом конечных элементов или другими общими методами
решения задач.
7.2. МЕСТНОЕ СМЯТИЕ БЕТОННЫХ КОНСОЛЕЙ. РАСПОЛОЖЕННЫХ
МЕЖДУ ВЫСТУПАМИ АРМАТУРЫ
Здесь, следя существовавшей ранее традиции, сжимающие
напряжения примем за положительные. Взаимодействие арматуры
периодического профиля с бетоном носит сложный характер. На
рис. 7.2, а, б (слева) показана схема контактных напряжений,
действующих на поверхность бетонной консоли, заключенной между
двумя арматурными выступами, при смещении стержня в бетоне
вдоль оси z D?с — касательные напряжения склеивания, а затем
трения бетона с гладкой частью поверхности арматуры; 6сг — напря-
напряжения сжатия (смятия) бетона под выступами арматуры; ^° —
напряжения отрыва с обратной стороны выступов арматуры; б —
радиальные напряжения). Предполагаем, что резко неоднородная
картина напряженного состояния бетона носит локальный характер и
а)
4 68 3
Рис. 7.2. К анализу смятия бетона под выступами арматуры в зоне I
3S6
должна учитываться только при расчете деформаций бетонных кон-
консолей и при учете влияния этих деформаций на смещение арматуры
относительно бетона. Наиболее значительными из указанных выше
напряжений являются напряжения смятия б?*. Значения fc и б*г
носят вспомогательный характер и их вклад в сцепление составляет
5 —15%. Ниже эти напряжения не будем выделять отдельно, предпол-
предполагая, что работа бетона под выступом профиля арматуры определяет-
определяется в основном напряжениями fiK
При рассмотрении напряженного состояния бетона за выступа-
выступами арматуры (см. рис. 7.2, а справа) полагаем, что воздействие
арматуры на бетон носит более однородный характер и определяется
условными контактными касательными f * и радиальными напряже-
напряжениями iS'J. Эти величины непосредственно фигурируют в модели,
поэтому через них выражаются все локальные напряжения, в том
числе и напряжения
G.1)
Расчет бетонной консоли осуществляется двумя способами. В
одном случае решалась осесимметричная объемная задача теории
упругости с включением части бетона, прилегающего к консоли, в
другом случае — консоль рассматривалась как плоская с граничными
условиями, показанными на рис. 7.2, б (по линии 1—3 — упругое
защемление, по линии 2—4 — катковые опоры).
Данные предварительных расчетов показали, что напряженно-
деформированное состояние в плоскости консоли 1—2 — 4—3, ограни-
ограниченной контуром 2—4—8 — 7 и охватывающей 2/3 площади рассмат-
рассматриваемой плоскости, мало зависит от условий закрепления вдоль
линии / — 3 и от того, решается плоская или объемная задача. Поэтому
при исследовании работы бетонных консолей принималась простая
плоская расчетная схема (см. рис. 7.2, б), а решение объемной
осесимметричной задачи теории упругости использовалось в последу-
последующем лишь для определения момента возникновения и характера
развития контактных трещин.
Расчет бетонной консоли как плоской конструкции проводили
методом конечных элементов с использованием конечных элементов
треугольной формы. При этом напряжения определяли как средние из
значений для двух смежных элементов, образующих один прямоу-
прямоугольный элемент. В результате проведенных вычислений были полу-
получены значения вертикальных и и горизонтальных v перемещений и
соответствующих касательных *С и нормальных бг, бг напряжений
для отдельных элементов консоли.
Расчетные эпюры напряжений для консолей аппроксимирова-
аппроксимировались некоторыми кусочно-линейными зависимостями и в таком виде
357

уже использовались в последующих вычислениях. Аппроксимации
приведены в работе [60] (форма эпюры б"г по высоте консоли
изменяется в зависимости от отношения ее высоты hs к вылету С).
Напряжения сжатия &z в бетонных консолях от давления на них
выступов арматуры использовались при определении перемещений
арматуры дк вследствие сжатия этих консолей.
Анализ данных расчета по методу конечных элементов показал,
что вертикальные перемещения точек консоли, расположенных на ее
нижней поверхности, более чем на порядок ниже, чем перемещения
точек, расположенных по верхней грани. На основании этого переме-
перемещение точки 6 на линии 5 — 6 можно было принять равным нулю и
вычислить перемещение точки 5, исходя из укорочения линии 5 — 6.
Результаты численного эксперимента представилось возможным ап-
аппроксимировать простой зависимостью в виде
G.2)
4 vb
где fi — параметр, зависящий от геометрических размеров профиля (от
отношения hs/Cs, при hs/Cs = 2:1 0 = 0,85; при 3:1 ?= 1,05; при 4:1 ?= 1,18; при
5:1 jb= 1,25; при 10:1 J5 = 1,38; при 20:1 J5= 1,75); у/ь — коэффициент изменения
.секущего модуля деформации бетона, определяемый по формуле C.2), заменяя уь на
- (О.Ц*
при уровнях напряжений
, принимаемых
vM = V Г;
G.3)
здесь Rk — призменная прочность бетона; средняя, нормативная или расчетная в
зависимости от вида проверок; ^с — коэффициент, учитывающий увеличение про-
прочности бетона в зоне / при стесненном объемном напряженном состоянии (в среднем
равен 2,5; коэффициент согласовывается с результатами, полученными по критериям
прочности [72, 102, 172]).
Напряжения, приводящие к большему увеличению коэффици-
коэффициента^--0, как показали численные расчеты, не могут реализовываться
в бетоне консоли из-за того, что раньше наступало разрушение
бетонной конической оболочки, заключенной между коническими
трещинами, в местах ее примыкания к консоли, где указанное
стеснение деформаций может происходить только по двум направле-
направлениям. Это говорит о том, что, если в опыте при изучении сцепления
нарушать образование регулярной системы конических оболочек, то
будут получены завышенные характеристики предельных напряже-
напряжений смятия и соответственно значения перемещений дк.
Определение деформаций бетона в зонах смятия можно будет
уточнить на основе физических соотношений, представленных в гл. 3
(они были установлены уже после проведения данного исследования),
хотя предварительно необходимо учесть влияние мастабного фактора
3S8
на деформации и прочность консолей. В этом плане параметрус может
представляться как параметр, учитывающий влияние и этого фактора.
Выражая напряжение бсг через средние касательные напряже-
напряжения на основании G.1), формулу G.2) можно представить в виде
дк = тЛВч; G.4)
в -
q
G.5)
где Bq — величина, характеризующая жесткость бетонных консолей смятию
бетона под выступами арматуры.
Кроме того, по результатам решения бетонных консолей по
методу конечных элементов были определены также средние значения
радиальных напряжений &*г по контакту с арматурой на стадии до
появления контактных трещин
к
°г =
2ект
2 С
A
G.6)
3 г.
где ек — коэффициент, зависящий от формы консоли (при hs/Cs = 2:1; ек =
0,146; при Л/Cs =3:l;et =0,177; при hs/Cs = 5:1; ек = 0,192).
Значения б* в дальнейшем используются при расчете горизон-
горизонтальных перемещений внешней бетонной обоймы до образования
конических трещин.
7.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ КОНТАКТНЫХ КОНИЧЕСКИХ
И РАДИАЛЬНЫХ ТРЕЩИН
Конические трещины. Как показывают результаты экспери-
экспериментальных исследований [162, 207], внутренние контактные трещи-
трещины образуются у вершин поперечных выступов арматуры периодичес-
периодического профиля. Представим способ определения углов наклона кони-
конических контактных трещин и радиусов их проникновения г.. Экспери-
Экспериментальное выявление характера концентрации напряжений в бетоне,
определяющего динамику распространения контактных трещин, свя-
связано со значительными трудностями, а в отдельных случаях практи-
практически неосуществимо. В то же время, используя современные методы
расчета и вычислительную технику, можно получить достаточно
достоверную и подробную картину напряженного состояния бетона в
зоне, примыкающей к арматуре периодического профиля.
С этой целью была численно решена осесимметричная объемная
задача теории упругости. Из бетонной среды у контакта с арматурой
выделялась некоторая расчетная область W (рис. 7.3, а) в виде
условного цилиндрического тела, упруго заделанного в окружающую
3S9

6)
ф-
Рис 7.3. Расчетные схемы
бетонную среду и находящегося под воздействием нагрузки. Взаимо-
Взаимодействие выделенной локальной области с окружающей бетонной
средой моделируется упругими связями, жесткость которых опреде-
определяется с помощью коэффициента постели для бетона.
На поверхности внутренней плоскости выделенного цилиндра,
копирующей рельеф арматуры (выступы и впадины), задаются
условия, отвечающие характеру совместной работы арматуры с бето-
бетоном. Расчет модельной области проводился разностным методом на
неоднородной прямоугольной сетке (рис. 7.3, а, б, где показан
фрагмент области Ш ).
В вариантах расчета из этих прямоугольных элементов компо-
компоновались микротрещины, имитирующие местные трещины, развива-
развивающиеся от вершин поперечных выступов арматуры в глубь бетона
(рис. 7.3,6). Этот прием позволял определить напряженно-деформи-
напряженно-деформируемое состояние бетона после образования в нем трещин и изменение
напряженного состояния в устье щели по мере ее развития. Щель
продолжалась по элементам, в которых главные растягивающие
напряжения становились наибольшими. Методика расчета подробно
изложена в работе [71] и др. Здесь приведем лишь окончательные
результаты расчетов.
В осесимметричном случае отличными от нуля могут быть
только четыре компоненты тензора напряжений бг, f>r, VTZ, 6~s и
деформаций ?г, ЬГ,^Г2, ?$, показанные на рис. 7^4, а; б[, б2 —
главные напряжения ( ffx — максимальные, б 2 — минимальные).
Напряженно-деформированное состояние осесимметричных тел
при осесимметричном нагружении полностью определяется двумя
компонентами перемещений: радиальными перемещениями v вдоль
оси Or и осевыми и вдоль оси симметрии Oz.
360
Угол с* между направлением наибольшего главного напряже-
напряжения С. и осью г:
tg a =
al -
или ctg a =
G.7)
rs
Положительное значение угла с*, показано на рис. 7.4, б.
При расчете полагали, что радиальные перемещения цилиндри-
цилиндрической поверхности бетона по контуру с арматурой отсутствуют.
Поэтому в этих местах вводятся жесткие двусторонние связи
(см. рис. 7.3, а). Действующие нагрузки р, q задавались на площад-
площадках под поперечными выступами арматуры и по боковой поверхности
контакта арматуры с бетоном.
Принимали, что доля нагрузки, передаваемая через поперечные
выступы арматуры, составляет 85% всей нагрузки, действующей в
пределах шага выступов. В расчетах рассматривался бетон класса
В22,5 с модулем упругости Ея= 31 000 Н/мм2, коэффициентом
Пуассона JU^= 0,2 и коэффициентом постели k = 350 Н/мм3. Изуча-#
лось напряженное состояние от условной нагрузки, передаваемой с
арматуры на бетон в пределах одного шага поперечных выступов
арматуры, равной 10 кН.
На рис. 7.5, а, б представлены некоторые результаты расчетов:
изолинии максимальных главных напряжений &f (рис. 7.5, а) и
U
6г(ег)
Рис. 7.4. Компоненты напряженно-деформированного состояния
361

a)
1 3 579 It 12 13m15IS 1718
6)
8
9
10
11
12
14
16
18
W
20
21
22
23
25
21
29
31
32
33
M
0,8*7=5.6
8.8
16,8
Ч
в)
1J5
й \\\
a :..
\\\ ^
8 ^
9 Sii
0 ^
11 ---
12 \
"ml
Of
25
27 ™-
^' j i s;
¦ \ \ \\
3d (^
7Л . r .
ж ¦¦!
j7 №::
OJ'S'2
7 9 11 12 13 14 15 )
X ^^
s \\N
* AS
\ S ^ ^
* ч \S
i I > X
v ч \ \
s S^\
SsS \\
\Л \\
! I
N,
\
N.
N.
\
N.
\
\
\
s
N
\
\
\
N.
\
x
\
\
\
4,
N^
\
4
\
\
\
\
1
s.
x,
s,
x
4.
\
\
4
\
\
\
\
\
\
617 18
X^v
^^
yx
xA
4^4^
\ \
N. \
\\
\\
\\
-Щ-
\ \
\ \
\
\ \
\ \
7f?. 0,8*7=5,6mm
^ 8.8mm
16,8
^.
sj
1 ^
^ p
»
r
t
9,5 10fi 11,8 r,MM
Рис. 7.5. К определению напряжений в устье трещины а — изолинии главных
напряжений; б - ориентация главных площадок; в. г - график и схема напряжений
в устье щели-трещины
362
соответствующим образом ориентированные площадки (рис. 7.5, б)
по которым они действуют. На поле изолиний напряжений 6"f хорошо
прослеживается резкая концентрация растягивающих напряжений у
вершин поперечных выступов арматуры. Аналогичная картина на-
наблюдается и для вариантов расчета модельной области с заданными
трещинами. Диаграммы изменения напряжений в устье трещины,
точнее прорези, по мере ее проникновения в глубь бетона (в функции
от г, рис. 7.5, г) показаны на рис. 7.5, в.
Анализ полученных напряжений в устье развивающейся кон-
контактной трещины показал, что их можно аппроксимировать некоторы-
некоторыми кусочно-линейными функциями, от величины 7 — относительной
радиальной координаты вершины (устья) трещины, отсчитываемой
от оси арматурного стержня (~= r/rs, где rs — радиус арматуры), и
величины^*. Так, при 1 <7< 1,08:
oz= xk [2,04 + 9,1 A,095 -г)];
хтг= т*[1,26 +6,45 A,095 -г)];
<тг= т*[0,71 +5 A,095 - г>]
при 1,08 <г< 1,22:
<тг= т* [2,11 + 2,5A,22 -г)];
тгг= г* [1,09 + 1,34 A,22 -»]; [ G.8)
<тг= т* [0,55 + 1,18 A,22 -г)];
при 7> 1,22:
аг = хк 0,34 (Я/г, - г);
тгг= т* [0,22 + 0,17 (Я/т, -?)];
<тг= г* [-0,19 + 0,15 (Я/г, - Г)],
где R — внешний радиус бетонного образца.
Представленные зависимости получены для диаметров армату-
арматуры, близких к 16 мм. Их применимость для других диаметров требует
дополнительного анализа.
По вычисленным компонентам напряжений <5"г, fn, &г опреде-
определялись главные напряжения б", и О. При этом величина <S~z,
вычисляемая по формулам G.8), суммировалась с величиной *5г,
определяемой ниже для сплошной бетонной обоймы, окружающей
цилиндричскую зону с контактными трещинами.
Считали, что контактные трещины образуются в плоскости rz,
если нарушается условие B.51), которое можно записать в виде
ст. <? RL. у. Y._, G.9)
^"Ь( — коэффициент, учитывающий влияние дргуих главных напряжений
> B Данном случае -ff3 = ff» ) на образование трещин
363

здесь параметры kti (t = 2, 3) вычисляются по формулам B.52), B.53):
A-2C)S,
1 - 2 CS
s =
PRbt~ Rbckc
G.H)
- 0,3
С =
0,3 B2 r Rh)
11
0,3;
здесь параметры 22 и 11 принимаются в МПа; ке вычисляется по формуле B.30); в
данных задачах в среднем можно принимать кс «* 1,25; 0 < р < 2; в данных задачах
р « 0; kK вычисляются по формулам для kti, полагая 5, = 0; "уЫд — коэффициент,
учитывающий влияние градиентов напряжений на момент трещинообразования (при
рассмотрении радиальных трещин*-^» 1,25).
Если расчет выполняется в линейной стадии деформирования,
то вместо параметрауы вводится произведение двух параметров (fn,
2ГЫ ), где frn учитывает влияние перераспределения напряжений на
момент трещинообразования; этот параметр рассмотрен ниже. Расче-
Расчеты показали, что угол наклона контактных трещин к оси арматуры
может изменяться в пределах 18 — 60°.
Радиальные трещины возникают вследствие раскалывания
арматурой бетонного окружения. Исследованиями [71а] установлено,
что в этом случае можно использовать решение Ляме для толстостен-
толстостенной трубы, нагруженной внутренним давлением (рис. 7.6). Последнее
корректируется с учетом следующих факторов: перераспределения
напряжений в результате развития нелинейных деформаций в бетоне
(оценивается параметром ^п = 2 — J3,), изменения максимальных
растягивающих напряжений при развитии радиальных трещин вслед-
вследствие условного увеличения радиуса внутреннего отверстия (оценива-
(оценивается параметром fit/ji ), а также влияния радиальных и осевых
напряжений ( б*г и бг) на площадках, ортогональных к площадке
развития трещины у ее устья, на снижение сопротивления бетона
растяжению по сравнению с прочностью Rbt при одноосном растяже-
растяжении'(учитывается параметром^). Параметры В, Й, определялись
по формулам:
Р, = (*в+ '*>/*.; Р = яв/ян, G.12)
/„ — длина радиальных трещин с началом отсчета от поверхности RB, здесь от
поверхности арматуры (RB =rt);Rll — наружный радиус (радиус окружности, описанной
вокруг стержня так, чтобы ее линия касалась наружной поверхности конструкции или
элемента; в простейшем случае /?n = rs + as, где as — толщина защитнолго слоя бетона;
364
Рис. 7.6. К расче-
расчету на раскалывание ар-
арматурой толстостенной
бетонной обоймы
параметр kbt вычисляли по формуле G.10); приближенно вводя
вместо бх и
б2 значения б. и б
В общем виде условие нераспространения раиальных макротре-
макротрещин записывается в виде
G.13)
R
Ы
где р = бгв устье трещины (до образования трещин 6\ = б^'см. формулу
G.6), затем используются формулы, приведенные в гл. 7.3).
Полагая в G.13) frы= УЫд= B - J5,) = 1, приходим к
известному решению Ляме для толстостенной трубы.
В начальной стадии проверяли выполнимость условия G.13)
при / = 0. Если условие трещиностойкости соблюдается, то трещины
считаются отсутствующими; если оно нарушается, то необходимо
найти последовательным приближением такое значение J3,, которое
365

приводит к соблюдению условия G.13) в виде равенства. Если такое
значение отсутствует на всех расчетных участках, то трещина прони-
пронизывает бетонную оболочку насквозь.
Результаты расчета для бетона R^ =12 Rbt представлены на
рис. 7.6. Кривая / отражает результаты расчета начала образования
трещины раскалывания на внутренней поверхности толстостенной
бетонной обоймы, работающей как упругоизотропное тело. Кривая 2
показывает аналогичные результаты, соответствующие обойме при
упругопластической работе бетона; вычисляется по формуле G.13)
при lR — 0. Кривая 3 — разрушающие нагрузки, т.е. те, при которых
трещины раскалывания расчленяют все тело толстостенной обоймы и
выходят на ее внешнюю поверхность сразу после их образования.
Кривые 4 относятся к нагрузкам, вызывающим дальнейшее продви-
продвижение трещины раскалывания для обойм с различной характеристи-
характеристикой массивности ft ,(т— точки начала образования трещин, т/г —
отрезки, при которых развитие трещин нуждается в увеличении
внутреннего давления, sh = lR — длины трещин в вершинах макси-
максимальной прочности; ts — отрезки повышения радиального давления
в зависимости от коэффициента массивности J$»; s — кривая указан-
указанных резервов повышения внутреннего давления).
Сопоставление этих данных свидетельствует о том, что учет
перераспределения усилий в бетоне позволяет выявить значительные
резервы прочности при J3 < 0,4, т.е. для массивных элементов. В то
же время для бетонных обойм, толщина стенок которых не превышает
половины их наружного радиуса ( J5 > 0,5), трещины, образовавши-
образовавшиеся на внутренней поверхности, распространяются на всю толщину
стенки без дальнейшего повышения давления р.
7.4. РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ ЗОНЫ КОНИЧЕСКИХ ТРЕЩИН.
ПЕРВЫЙ СЛУЧАЙ ОБРАЗОВАНИЯ КОНТАКТНЫХ ТРЕЩИН
Приведенные выше исследования позволили определить грани-
границы зоны // — проникновения конических контактных трещин. Внеш-
Внешняя граница этой зоны определяется переменным радиусом г. = f(z),
а внутренняя — радиусом арматуры rs. Обозначим Т= r/rs;'rf"c = г./
rs, где г — радиальная координата железобетонного образца.
В расчетной модели принято, что контактные конические тре-
трещины могут зарождаться у вершин каждого из поперечных выступов
периодического профиля арматуры, разделяя бетон у контакта на
отдельные бетонные конические оболочки. Регулярно расположенные
конические оболочки отличаются граничным радиусом гс и углом
наклона Л к оси арматуры z; эти величины могут изменяться вдоль оси
z в зависимости от характера напряженного состояния элемента. Одна
из таких оболочек выделена на рис. 7.7, а, б; Hs — толщина бетонной
оболочки (Но =:Hssm(i,rReHs — шаг выступов арматуры периодического
366
В)
пЪ
Рис. 7.7. К расчету конических бетонных
оболочек контактной аоны
"Г
1
<
ы ъ
г
профиля). Конические оболочки, кроме того, могут иметь или не
иметь радиальные трещины раскалывания, развивающиеся по плос-
плоскостям, проходящим через ось арматуры и разделяющие конические
бетонные оболочки на консольные балочные элементы.
При определении расчетной схемы конических бетонных оболо-
оболочек можно выделить два случая: случай /, когда бетон конической
оболочки дополнительно разделен на полоски радиальными трещина-
трещинами (рис. 7.7, в), и случай 2, когда радиальные трещины отсутствуют
или имеются на части оболочки (рис. 7.7, г). Рассмотрим случай /,
который принят в качестве основного.
В случае / расчетные конические оболочки пронизаны ради-
радиальными трещинами и таким образом разделены на некоторые началь-
начальные расчетные полоски или расчетные призмы переменной ширины
(одна из таких полосок заштрихована на рис. 7.7, д, е). Выделим одну
из таких полосок (рис. 7.8, а), направив оси / вдоль образующей
срединной поверхности оболочки, а ось п нормально к ней в плоскости
rz. Пусть г — радиальная координата, тогда переход к координате /
можно осуществить по формулам:
/ = r/sin a = r//sin а; ls = rs/sin а;
dl = dr/sin а = r dr'/sin а ; ls = l/ls-= r\
где (S- — угол наклона образующей оболочки к оси г.
367

Рис 7.8. К анализу изгиба и
сжатия полосок бетона между кони-
коническими и радиальными трещинами
Обозначим через us перемещения арматуры вдоль оси z, а через
vs поперечные перемещения точек поверхности арматуры вдоль оси г.
Перемещения полос бетона в зоне // вдоль осей гиг обозначим
соответственно в виде и и v (uk, vk и и", v° — перемещения полос бетона
соответственно на границах rs и г.). В расчете непосредственно
определяются перемещения полос бетона — значения ип и v{ соответ-
соответственно вдоль осей пи/ (ц\, v* и и*, v* — это перемещения ип и v{ на
границах rs и г.). Учитывая, что
G.14)
и = и sin a + o.cos а; v = -и cos а + vsin а
или
и = «sin а — ocos а; о, = mcos а + osin а, G.15)
перемещения полос бетона на границе rs — на контакте с
арматурой, можно связать с перемещениями арматуры следующими
очевидными равенствами:
д= ик = M*sin a
= vk = -m*cos а
а/cos а;
а,
G.16)
где~дк — взаимные смещения между арматурой и бетоном у контакта.
Перемещения W и tf выражаются через перемещения к'и г?на границе гс также по формулам
G.15).
368
Кроме того, предполагается, что полосы бетона на границе г.
упруго закреплены от поворотов (граничный поворот равен ро), а на
границе rs поворот сечения свободен (имеется шарнирное соедине-
соединение). Ввиду развития пластических деформаций и дополнительных
трещин в расчетных полосах бетона у контакта некоторым защемле-
защемлением полос на границе rs пренебрегаем. На контакте с арматурой
полосы бетона имеют перемещения и* и v* зависящие от деформиро-
деформированного состояния арматурного стержня. Чтобы вызвать м*, к расчет-
расчетному элементу полосы бетона (рис. 7.8, а) необходимо приложить
силу Р*= ^ *
где f
* —
средние касательные напряжения по
* * б
у ^^о, д р р
сечению Нд от поперечной силы Qk = Р*. Перемещения о* будут
й б ЛГ* 5^Я й
д р Qk
вызываться силой сжатия полос бетона ЛГ*=
, направленной вдоль
й
^0 р
оси / расчетной полосы ( <5р — напряжения сжатия полосы бетона).
В зоне //, следуя сложившейся в теории сцепления традиции,
сжимающие напряжения rffl приняты за положительные, при этом
также изменены на обратные и положительные направления касатель-
касательных напряжений. Естественно, переходя к обычному в теории упру-
упругости правилу знаков, необходимо формально изменить в представ-
представленных ниже зависимостях знаки перед напряжениями на обратные.
Ширина расчетного элемента определяется на уровне его срединной
поверхности и изменяется вдоль оси / по закону Ь = l/ls = гЧрис. 7.7,
е, у контакта Ъ = 1). Напряжения сжатия 6{, средние касательные
напряжения Ты и изгибающие моменты М{ в сечении / равны:
\, = Р*/ЬН„ = х*/7; а, = cf/f;
М, = PJs^r - D/sin а = ?Z,Hors(r - l)/sin а.
Образование отдельных контактных трещин оказывает сдержи-
сдерживающее влияние на характер развития соседних трещин, при этом
гасятся растягивающие напряжения в бетоне по поверхности первой
трещины. В связи с этим возможно, что не все трещины, образованные
у контакта, равномерно проникают в толщу бетона (см. рис. 7.8, а).
Это влияние подтверждается также экспериментально. Следователь-
Следовательно, расчет выделенной бетонной полоски в общем виде производится
с учетом ступенчатого изменения ее толщины ht (см. рис. 7.8, б). При
этом с целью упрощения расчетного аппарата было принято считать
изменение толщины оболочек /г, вдоль оси / плавным, изменяющимся
по линейному закону (см. рис. 7.8, в) в виде
h, = Ао[1 + пс(г - 1)]; пс = (H0/h0 - 1)/(г - 1), G.18)
где Ло — минимальная толщина полосок у контакта, входящих в выделенную
расчетную полосу (рис. 7.8, б): при г"= 1, Л, = Ло (приТ^Тр на границе г.) Л, = Нд; в
частаомслучаеполосокпостояннойтлциныЛ, =h0 =Н0;пс =0. Коэффициентясвданномслучае
представляется как коэффициент изменения плотности контактных трещин.
Момент В' некотором сечении ht такого стержня принимается
М, = т*Дг(г- l)/sino, G.19)
369

исходя из условия, чтобы момент, приходящийся на единицу толщины
элемента, по сравнению с моментом (Mt/H0) не менялся. Момент
сопротивления расчетного сечения высотой /г( будет
/, = ЬЩ/\2 = rh30(i + nr - яеK/12. G.20)
Модуль деформации Еы и модуль сдвига Gbl полос бетона
очевидно изменяются вдоль оси / с изменением напряженного состо-
состояния бетона. На контакте с арматурой ввиду развития дополнитель-
дополнительных микротрещин значение модулей будет меньше, чем на границе г .
Чтобы это учесть, было принято
Еы = КФ - *2)/7; °ы = °ЛЕЫ, G.21)
где Е\ — модуль деформации бетона на границе г.; е,, е2 — коэффициенты,
определяемые из граничных условий.
При 7= 1 Еы = Еьл>ь, при г=гс Еы = Еь, в результате:
в, = (К - vb)/(rc - 1); ег = A - vb)rc/irc - v6).
Перемещения иг расчетного элемента, следуя формулам сопро-
сопротивления материалов, представляются в виде
hi1!
1,2
,G
с2,
.22)
Ы
где постоянные интегрирования С, и С2 определяются из условий на границе
7 = 7С, где перемещение ип = и°, а угол поворота равен А 0
du
dl
= ¦ J
М,
Hih
G.23)
Второй интеграл в G.22) учитывает влияние поперечных сил на
прогибы.
Подставляя в G.22) значения ты, М„ Еы и /( соответственно из
G.17), G.19), G.21), G.20) и, учитывая G.23), после интегрирова-
интегрирования получим
к
° (~
sin a
?_
sin а
где
m = 12 rs2 / А02 sin2 а;
In
(г -
(г? - е2)A -ис
370
In
т - е.
In
] +
x In
nc rc
"c r
G.25)
A -nr + л^ е, J
лс е2)
Полагая в G.24) Фп = Ф* и Ф = Ф*, придем к значениям м*
Значения Ф* и Ф* получают из G.25), полагая 7=1.
Значение ф' характеризует текущую жесткость расчетной полос-
полоски на сжатие и сдвиг, а Фп — аналогичное значение жесткости на изгиб.
В частном случае полосок постоянной толщины (ht = Ho = hQ,
рис. 7.8, г) интегрирование G.22) приводит к результату
фп =
х In
G - гJ
- е2)
- e2) x
G.26)
гс~ ег
т - е.
Перемещения точек расчетного элемента вдоль оси / выражают-
выражаются формулой
к
t S
»е = -
_ dl
J
(Г»
г -
где С3 определяется из граничного условия (при 7- г|, о, -
Окончательно
А:
v =
Ф
c
sin a
Здесь также при?г=1Фл = Ф*, Фс = Ф* и о, = о*
G.27)
G.28)
371

Кроме уравнений G.24) и G.28) для контакта справедливы два
уравнения равновесия, связывающие Г* и б* с нормальными 6к и
касательными Т* напряжениями на контакте. Их можно получить на
основании рис. 7.7,6, проецируя силы приложения к граням элемента
Э( на оси z и г:
т* = т* = t*sin2 a + o,sin а cos а;
G.29)
а*= о* sin2 а — тя* sin а cos а,
где+*и ffr — касательные и радиальные напряжения по периметру арматуры.
Внося в G.29) значения *¦* и <Г* из G.24), G.28), а затем
выражая, перемещения м* и а* через (us — дк) и vs на основании
формул G.15), находим:
Эк - ?>* C°sin2 a;
G.30)
- "о
l P °sin а cos а,
где
Еъ sin2 а
sin2 а
cos2 а
sin2 а
sin2 а
с os2 а
с os а
-, -.— ] ; G.31)
D - ^е)ь
(m ФлЛ + 3 Фск)
Следуя [60], вторую зависимость G.30) можно преобразовать
к виду
к к т? к
°г = т \— tga - v° т?3 , G.32)
где обозначены
_ к к
к щф + Ф, (tg? а + 3)
m Фп + 3
372
т Ф + 2 Ф
тФпк + 3 Ф*
sin2 a
m Фл* cos2 а + Фск (sin2 а ¦* 3 cos2 а)
(коэффициенты Г) * представляют собой некоторые функции влияния изгиба полосок
бетона на сцепление).
Таким образом, касательные напряжения сцепления t"* на
контакте арматуры с бетоном и радиальные напряжения &J?,
ответственные за раскалывание бетона продольными трещинами,
непосредственно ставятся в зависимость от перемещений арматуры
(us, vs, gk), жесткости конических оболочек, жесткости окружающего
зону // сплошного бетона (от последнего фактора зависят перемеще-
перемещения на границе и0, v°, ft0; в случае жесткого контура и0 « 0, v° as 0,
J3°«O).
Напряжения Тк, 6$. можно выразить через производные от
перемещений арматуры и ее жесткости осевым и поперечным дефор-
деформациям и таким образом перейти к уравнениям стыковки двух
материалов на границе (эти уравнения рассмотрены в п. 7.6). Попе-
Поперечными перемещениями арматуры на контакте, кроме случая отпус-
отпуска преднапряжения, можно пренебречь, полагая vs = 0.
Рассмотрим два частных случая, которые могут представить
практический интерес. К первому отнесем случай, когда напряжения
бк{ = 0. Из G.28) следует, что условию 6f=Q отвечает равенство о* —
о(ь= 0. Используя второе условие G.15), можно записать:
о*= (и — <7,)cos a + v sin а;
G.33)
¦1° = .Л
trcos а +
o°sin а;
> —
тогда из равенства о* = v' следует
(v° — vs) = (us — дк — u°)cos a/sin a.
Внося значение (v° — vs) в уравнения G.30) и учитывая G.29),
G.31), находим:
= I". - «о -
Еь sin a
=i
G.34)
= — т
sin a cos a.
373

Первый случай может иметь место после выхода радиальных
трещин на контур конструкции, когда зона сцепления теряет воз-
мжность воспринимать моменты, в данном случае когда Т* = 0. Из
G.24) при 7 = \ следует, что
ик _ ис _ ро(-г _ i)r/sin а = о
Внося сюда значения г/ и и°п, выраженные через (us — gk), v и
и0, v° на основании G.15), находим
("* ~ Ук ~ "°bin а - C°(гс - )lr /sin а- (vs - о0) cos а = 0,
откуда, выражая углы fb ° в функции от остальных величин и
подстанавливая в G.30), приходим к зависимостям вида
- (и, - «о -9к)
sin2 a cos2 а
-v°)
sin fltcos a
к к
К = т tg a.
s
G.35)
Второй случай может реализоваться, если полоски конических
оболочек у защемления будут отламываться, вследствие образования
нормальных трещин.
Рассмотрим еще один вопрос. Проецируя напряжения, прило-
приложенные к граням элемента Э, (рис. 7.9) на оси п, I, находим
т*= т* -
q*= т* ctg a +
G.36)
Внося в зависимости G.14) значения ип и vf из G.24) и G.28)
и затем выражая Г„* и <Г*через г* и бр на основании G.36), находим:
и =
V =
где
Р°(гс - 7)rs;
P°(f. _ r)rsctg a,
G.37)
[ тФп +3 Фс + Фс ctg2 a] ;
ctga
т Фп-
ЗФ
G.38)
3 Фс)
Перемещения и характеризуют депланацию сечения бетона
вокруг арматуры. Таким образом, все величины, характеризующие
сцепление, а именно: r\ ff* и и, оказываются взаимоувязанными
374
Рис. 7.9. К расчету сцепления арматуры с бетоном при несимметричной
схеме контактных трещин
Остановимся еще на одном вопросе. Выше рассматривалась
некоторая идеальная симметричная схема образования конических
трещин. Однако представленные зависимости будут справедливы и в
случае, если схема трещин будет несимметричной (например, такой,
как показана на рис. 7.9, а). При этом указанные зависимости будут
относиться к отдельным полоскам несимметричной схемы, например
к полоске, заштрихованной на рис. 7.9, а).
В практических расчетах реальную несимметричную схему,
вимимо, необходимо будет загрублять, представляя в виде набора
отдельных сегментов-лепестков (рис. 7.9, б, где показана четырехсег-
ментная фигура, I —IY — сегменты). Эпюры касательных напряже-
напряжений, действующих по контакту с арматурой, также будут несиммет-
несимметричными. В случае четырехсегментной фигуры эти эпюры можно
представлять также четырехлепестковой фигурой, показанной на
рис. 7.9, в. Касательные напряжения^*(р = I — IY) этой схемы можно
с некоторым приближением связывать с перемещениями, относящи-
относящимися к серединам сегментов (точки таких середин на рис. 7.9, б
показаны крестиками). К рассмотрению несимметричных схем разви-
развития контактных трещин будет сводиться и расчет сцепления несколь-
нескольких арматурных стержней, расположенных рядом (рис. 7.9, г).
375

7.5. ВТОРОЙ СЛУЧАЙ РАЗВИТИЯ КОНТАКТНЫХ ТРЕЩИН
Анализ этого случая имеет больше теоретическое значение и
может использоваться для уточнения первого — основного случая. Во
втором случае предполагается, что радиальные трещины в зоне
контакта отсутствуют или имеются лишь на некотором локальном
участке. Расчет сводится к расчету толстостенной конической оболоч-
оболочки при указанных выше (см. случай /) граничных условиях. Встре-
Встречающиеся в литературе решения обычно относятся к расчетам тонкос-
тонкостенных оболочек. Кроме того, используя эти решения, трудно просле-
проследить характер развития радиальных трещин и влияние этого явления
на изменение напряженно-деформированного состояния бетона и
арматуры, а также учесть изменение плотности контактных трещин
вдоль оси z. Поэтому примем за основу решение [60], хотя и
приближенное, но лишенное в большей степени указанных выше
недостатков.
Как и в случае /, рассмотрим сначала изгиб и продольные
деформации призматической полоски (стержня), выделенной из
конической оболочки. Срединная поверхность этого стержня показа-
показана на рис. 7.10, а. В отличие от случая / (см. рис. 7.8, а) в случае 2
необходимо учесть влияние кольцевых сил Ng = <5^ Нд, где, как и
раньше, #0 — толщина оболочки. Действие кольцевых сил на стер-
стержень заменим действием некоторой дополнительной погонной нагруз-
нагрузки д. Сохраним принятое выше правило знаков для &, однако
растягивающие напряжения &в будем принимать за положитель-
положительные. Проектируя силы Л^ для элемента длиной ДI на плоскость nl
(рис. 7.10, а, б, найдем:
га Но А1 —-0-
9 Al или д = д
G.39)
Рис. 7.1О. К анализу работы элемента в юме контактных трещин в случае 2
376
Величина <ро назначается из условия, чтобы при г = rs ширина
расчетной полоски была равна 6 = 1. Отсюда, учитывая, что Ь = г ?>0,
получим ро = 1/г, и преобразовываем выражение для g к виду
9 =
Проекцию нагрузки g на ось п обозначим как дп, а на ось / как
дг где (рис. 7.10, б),
ffn = 9cos а =
а я. cos a
в °
а Н. sin a
в °
Зная дп и gv можно определить из уравнений равновесия
изменение <&t и тп1 вдоль оси стержня.
Так, в некотором сечении'?^ = г имеем:
к % к У.
а, =
О dr;
'nl
'nl
ctga
ri
a dr.
в
'"¦~iT--vr<•*¦*" -. '.
В дальнейшем задача решалась приближенным способом. Для
облегчения моделирования элемент конической оболочки (или расчет-
расчетный стержень) вдоль оси / разбивался по длине на пять (I — IY)
участков — три средних участка длиной A /sin = 0,25,( г. — г)/
sin cL и два крайних длиной 0,5 A /sin Л. В принципе, в зависимости
от требуемой прочности количество участков может быть изменено.
На каждом участке интенсивность нагрузки д принималась постоян-
постоянной, а общая криволинейная эпюра д заменялась некоторой ступенча-
ступенчатой (рис. 7.10, в). На крайних участках /и У кольцевые напряжения
б>а будут приниматься равными значениям, вычисленным соответ-
соответственно для граничных сечений при г = rs и г = г.. На промежуточных
участках они определяются из решения задачи для середины участков
и принимаются постоянными для всей их длины.
При определении перемещений от изгиба принималась более
упрощенная схема рис. 7.10, г, д, согласно которой распределенная в
пределах каждого участка распределенная нагрузка дп заменялась
сосредоточенными силами р.(; = I—IY), которые прикладывались по
серединам участков. Радиальные координаты точек (рис. 7.10, д),
расположенных по середине участков; = II, III, IY, обозначим в виде
гили г. = г*Уг . Отдельно полоска оболочки со всеми геометрическими
размерами выделена на рис. 7.11.
В итоге расчет отдельной бетонной конической оболочки, кото-
которая может быть полностью или частично рассечена радиальными
377

0
%(rs+3rc)
p!
Г2*П;G+?сI/8
EL
a 0
7
ffhr
Рис 7.11. Разбивка расчетного элемента на участки
трещинами раскалывания, выполнялся численным способом по [71].
Он сводился к составлению и решению системы уравнений 23-го
порядка (при принятой схеме деления расчетного элемента коничес-
конической оболочки вдоль оси / на пять участков). Неизвестными при
решении задачи являлись:
vir,...,vllY — перемещения для участков срединной поверхности
оболочки от сжатия вдоль оси / — образующей конуса;
?** — нормальные напряжения в бетоне расчетной полосы,
действующие у контакта с арматурой по площадкам, перпендикуляр-
перпендикулярным к оси /;
f *, — касательные напряжения у контакта с арматурой, дей-
действующие в плоскости rz\
uQl,..., uQJY — прогибы (перемещения вдоль оси п) от действия
касательных напряжений (поперечных сил);
unI,..., unIY — прогибы от действия изгибающих моментов;
<Г07,..., G~QY — кольцевые напряжения на участках конической
оболочки;
ик — перемещения вдоль оси z для бетона на контакте с
арматурой;
vk — то же, вдоль оси г;
и^— перемещения бетона вдоль оси п в сечении на границе
контактных трещин и внешней бетонной обоймы;
г>, — то же,1 вдоль оси /.
378
I
м
з"
'I
а
i
з
i
I
в1
i
sin
00
3
СП
ьз
-С I
ьз '
3
СП
ctg
В1
VO
•в
еП
VO
В1
VO
Q
В1*
f|
ьз
$
•а
379

Продолжение табл.
jn
isL
13
14 cos a
15 sin a
16
17
18
19
20
21
22
23
cosasina
лфп
Лфм
ЛФ1,3
лф14
sin2a
o,5Actga
Лфм
0,5Actga
ЛФ1,2
0,5Actga
ЛФ!,3
0,5Actga
ЛФ.,4
Б2Д)
Actga
Actga
+ 2ДБ3)
+ ДБ3)
Actga
Actga
¦+здб4)
у мг4(нф44+
+ 2ДБ4)
"С*
Actga
Пг, ФАЛ
4 444
Продолжение табл.
n.n.J'Q I J"Q 11
1
2
3
4
5 -Vi**/'f
6 -Eb
7
8
9 - cos a
10
11
12
1 ,.m 1 „л
j_"eni J eiv
?lSina/.s
-?",e,sina//-
0 s s
t"«l]"«II ]"«III j"«IY
Ebe^malrs
—cosa
—cosa
—cosa
.-cos a

382
I
"8
?i
„I
I
i i
i i
i i
! !
i
i i
i i
i -<
¦»
I I I-
1
4
!
о
03
о
В таблице приведены коэффициенты матрицы системы уравне-
уравнений для расчета конической оболочки, ограниченной двумя смежными
контактными трещинами. При выводе этой системы были приняты
относительные радиальные координаты границ участков (т.е. точек 1,
2,..., 5 и* /, II,..., IY, см. рис. 7.11), а также введены следуя [71]
дополнительные обозначения групп повторяющихся параметров и
некоторых выражений:
А = 0,25 (г, - 1); Ь = 0,9 + 0,1е2;
у =
(i =1,2,...,5); d =7c -e2;
f = 0, 9 + ОД 7С ; г, - г,; 72 - г„; г} - г,„; r4 - r]V;
г5 = ?,; г6 = у г7 = г3; г8 = г4; г, = г5;
Л =
Е, sin О
т; з -
12 г.
м = Д ctg a
н =
п =
Я2 sin2 О
е1 sin О
sin а
ai = е2 -
; и = 2'3>4):
ф.. = 10 з [ [в,- @,9 + ОД Ту ) + Ю @,9 + ОД У%) Ь ]
xln ^-0,1е,в.1п ( i-) +
0,9 + 0,1 Т. ' *
d
@,9 + 0,1г.) Сг]-~С)Ъ
f
(/ = 1,2,3,4; I = 1,2,3,4);
383

= 0,5 Д In ( ) + 0,5 Д + а{=5 to
"i=6
По этим величинам на основании рис. 7.10 определялись ради-
радиальные напряжения б*г, действующие на внешнюю бетонную обойму
sin О +
sin О cos О.
Ц = 0,5 Д + а.=0 In ( ) ;
ui=9
ai=9
Ч. = 9,5 Д1п ( );
Ш; = Д In ( ) + Д + a. In (—i-ti_ ) .
at+ 1
(i = 6, 7, 8)
Щ,„,= Д In (
(i = 6, 7, 8)
) + 0,5 Д + a. In (
ai-4
Для расчета конической оболочки необходимо знать радиаль-
радиальные перемещения в ее основании v°. При расчете образцов эти
перемещения оценивались приближенно, используя известное реше-
решение задачи для толстостенной трубы
ЕЬСн
где JU°6 — коэффициент Пуассона для бетона; Сн — коэффициент учета
неупругих деформаций бетонной обоймы, принимаемый Сн =0,85.
Действующие в основании конической оболочки сжимающие бх
и касательные тп1 напряжения вычислялись с учетом кольцевых
напряжений
а =
[ав1 G2-D
<74 -
А:
тп1
CtgO
384
Отсутствие радиальных трещин на /-м участке определяли на
fly-
основании условия G.9), заменяя 6~{ на б
Если для/-го участка это условие не нарушалось, то принимали
значение модуля дефоромаций бетона в кольцевом направлении
Е $ . = 0,85Е°ь, где Е'ь — начальный модуль деформаций бетона. Если
для /-го участка условие G.9) нарушалось, то величина Eq прирав-
приравнивалась условно малой величине^. = 0,001 Еь. Этот прием позволял
моделировать образование радиальной трещины.
На каждом этапе нагружения производилась проверка прочнос-
прочности конической оболочки на наиболее нагруженном участке, примыка-
примыкающем к арматурному стержню условия
<l.
G.43)
Учитывая некоторое влияние стесненности деформаций в
местах, примыкающих к арматуре, и возможное влияние градиента
напряжений на прочность, вводился коэффициент увеличения про-
прочности k2 = 1,2.
При нарушении условия G.43) считали, что коническая бетон-
бетонная оболочка в зоне примыкания к стержню начинает разрушаться, и
бетонная консоль под выступом арматуры как бы теряет опору. При
этом как в полосе конической оболочки, так и в бетонной консоли под
выступом арматуры предполагалось ограниченное скачкообразное
начальное падение жесткости.
Дальнейшее разрушение бетона зависит от интенсивности сме-
смещений арматуры в месте примыкания к конической оболочке. Падение
жесткости отпора разрушающейся полосы в [71] задавалось плавным
с переходом на затяжную нисходящую ветвь диаграммы «касательные
напряжения — смещения арматуры».
В исследовании [71] нисходящая ветвь моделировалась путем
задания некоторого двухступенчатого графика (рис. 7.12). Уточне-
Уточнение касательных напряжений, отвечающих данным текущим переме-
перемещениям, производилось следующим образом. Из прямоугольного
треугольника аЬс (см. рис. 7.12) имеем db = be tgo(., где оС — задан-
заданный угол наклона отрезка одной из прямых, образующих нисходящую
ветвь диаграммы. Тогда касательные напряжения т* соответствую-
соответствующие перемещениям usi на итерации г, будут
'к и .
rt = т [1 -tg а ( —9 1)],
и
где Т, п — критические значения касательных напряжений на контакте
арматуры и бетона и смещений, соответствующих началу разрушения конической
оболочки.
13 Зак. 1408
385

т*/т
r*/r
а
/ft! ?S^.
/
1
I у
\/\
Начало разрушения
контактного слоя
л БЕТОНА
^Sjt jot/
1
1
Usi/U
US/U
Рис. 7.12. К учету формы
нисходящей ветви диаграммы «ка-
«касательные напряжения — смеще-
смещения» арматуры
По найденным значениям г.* сразу определяем суммарную
жесткость системы для узла разностной сетки, не производя с данного
момента отдельно подсчет составляющих компонентов жесткости для
бетонных консолей под выступами арматуры и конических оболочек
в зоне контакта. Податливость
В=м/тг G.44)
Форма участка нисходящей ветви была принята по результатам
сравнения численных экспериментов с данными опытов. Точка пере-
перелома на диаграмме (точка d) соответствует трехкратному увеличению
смещений по сравнению с критическими смещениями и. При этом
значения углов с*- и ot, заданы соответственно 0,3 и 0,03 рад.
За предельную прочность анкеровки рассчитываемого образца
при разрушении от продергивания арматуры в бетоне принимается
нагрузка, при которой не удается уже достичь силового равновесия по
длине стержня в бетоне. При этом обычно у незагруженного конца
стержня уровень касательных напряжений превышает критический,
и последняя бетонная коническая оболочка оказывается разрушен-
разрушенной, после чего перемещения лавинообразно увеличиваются и расчет
заканчивается.
7.6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СЦЕПЛЕНИЯ ДЛЯ ЦЕНТРАЛЬНО-
АРМИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Такие элементы используются для экспериментальной провер-
проверки модели.
Уравнение сцепления арматурного стержня с бетоном. Для
арматурного стержня является справедливым следующее известное
уравнение равновесия
/ = ___\_ *_?,__
2Vrs dz
где tf"s — осевые напряжения арматуры в рассматриваемом сечении; As —
площадь арматурного стержня,
386
которое, учитывая, что
I
d О.
s _
d2u.
dz
dz
dz2
преобразуется к виду
AsEs
d2u
2irr.
dz
G.45)
Уравнение G.45) дополняет систему уравнений G.30) или
G.34), или G.35), или G.37), или систему, приведенную в таблице,
(та или иная система используется в зависимости от схемы трещин,
кроме того, при выборе системы уравненй учитывается метод решения
задачи сцепления). В представленных решениях использовались
уравнения, приведенные в таблице. Определив ик и tk, находили
некоторую обобщенную податливость бетона контактной зоны Вк =
ик/тк по формуле типа G.44), хотя такой прием не является
показательным. Общие перемещения арматурного стержня представ-
представлялись в виде
или, учитывая значение qk из G.4) и значение ик = кВк, находим
us - и°= xk(Bq + Bk).
Это соотношение с учетом зависимости G.45), преобразовыва-
преобразовывалось к виду
Vя*
А Е dl и
___*__* 1_ = о
2 7Гг„ dz2
, G.46)
и принималось ниже в качестве основного уравнения деформирования
арматурного стержня.
Представим еще вывод уравнения типа G.46) с использованием
зависимостей G.37). Запишем эти зависимости для контакта армату-
арматуры с бетоном (при г = 1; к¦ = v* = tfs; и = ик = us — qk и В.. = В*), приняв
с целью упрощения р ° = 0:
м - и0 = т* В* + о*Д* + дк= хк(Вк + Bq) + а*Д»;
^ v г 2 G 47)
Подставляя значение 5к из второго уравнения G.47) в первое
и заменяя т* его значением из G.45), приходим к иной записи
уравнения типа G.46)
13*
387

и. - и" - Б.
d2u.
22
(.7.48)
12
= 0.
22
Ниже значения м° и t>° обозначаются иь, г>ь как перемещения
бетонной'оболочки, окружающей арматурный стержень. Остановим-
Остановимся на их определении.
Вывод основного уравнения для бетонной оболочки. Обозна-
Обозначим бг — напряжения в бетоне, действующие по площадкам, нор-
нормальным к оси г; б" — напряжения смятия бетона на опоре (рис. 7.13).
Считаем, что до образования контактных трещин наружная граница
зоны проникновения контактных трещин формально совпадает с
величиной радиуса арматуры тс = г$.
Предполагаем, что вдоль г можно принять изменение бг по
линейному закону. Однако коэффициенты этого линейного закона
зависят от z и R, т.е. изменяются по длине образца. При этом по длине
образец разбивается на две зоны: 1-я зона длиной бг, 2-я — длиной
L — 6г. Обозначим величины &г при г = R в виде б*, а при г = г в
виде б\ (см. рис. 7.13).
В зоне д г (при L — cfz < z < L)
°z =
о. к,
I .
(L - z)
G.49)
Рис. 7.13. К определению осевых напря-
напряжений по внешней бетонной оболочке
В зоне L — <$г, т.е. при z < L —
G.50)
где
(значением t варьирувется характер эпюр).
Изменяя t, можно задавать различные закономерности измене-
изменения б?/ б% по длине образца. Значение t будет зависеть от радиуса
и длины образца. Значения t принимали равными t« -0,lL; &z = Л ,
где А — шаг разностной сетки при решении задачи численными
методами.
Зависимости G.49), G.50) являются приближенными. Их
можно уточнить, решая представленную задачу методами теории
упругости. Однако в данном случае это значительно усложняло бы
создание единой расчетной программы, поэтому был принят описан-
описанный выше упрощенный подход.
Установим связь между б\ и напряжениями в арматуре 6\
Условия на опорном торце (усилия в бетоне на торце равны усилиям
арматуры):
o'As + с° п (R2 - el) = 0.
Принято следующее правило знаков: растягивающие напряже-
напряжения — положительные, сжимающие — отрицательные. Аналогично
записывается уравнение равновесия для промежуточных сечений,
например для сечений а —а (см. рис. 7.13)
u(R-rc)[az
= о,
откуда для участка L ¦— 82
И (Л - г?) [R + 2rc + kf (rc + 2Л)]
G.51)
Для участка дг в формуле G.50) коэффициент ^заменяется на
k\ Запишем соотношение G.51) в перемещениях.
du.
dz
7Г(Л - г ) [R + 1 г + к* (г + 2Л)] dz
G.52)
Остановимся на задании граничных условий на концах рассмат-
рассматриваемого образца. В сечении на выходе арматуры из бетона со
стороны приложения нагрузки (при z = L) имеем:
G.53)
389
а = а0, иь = 0,

с противоположной стороны в свободном от нагрузки сечении
арматуры (при г = 0)
as = 0. G.54)
Уравнения G.46) и G.52) и граничные условия на концах
арматурного стержня и бетонного образца составляют полную систему
для решения задачи в перемещениях us и иь.
Для решения системы дифференциальных уравнений приме-
применялся метод конечных разностей. Расчетная схема представлена на
рис. 7.14. Согласно этой схеме арматурный стержень разбивался на
13 участков плюс два участка с законтурными точками «0» и «14».
На рис. 7.14 контактная зона вдоль стержня условно показана
двумя прямыми линиями (в действительности учитывается изменение
толщины контактной зоны по длине образца в процессе увеличения
нагрузки на стержень).
За неизвестные приняты значения перемещений арматуры и
осевых перемещений бетонной оболочки на границе трещин в узлах
сетки (г = 1, 2,..., 13).
Представим основные разрешающие уравнения G.46, 7.52) в
конечных разностях. Уравнение G.46) записывается для точек / — 13-
При этом в уравнениях 1 и 13 перемещения законтурных точек
выражаем через перемещения ид и mjB с помощью соответствующих
граничных условий. Уравнения имеют вид:
136
125
116
106
96
85
75
65
55
ЯШ
390
13
12
11
10
9
В
7
6
5
Рис. 7.14. Расчетная схема для случая вытяги-
вытягивания стержня из бетона
I — линия у контакта- II — арматурный стержень
__"_«.1_1« -J-1- .I'JkiuSJ-J'jiL'iMt 1)__ =0 G 55)
Bqi + Bki 2 ™ш Д2
где Д — шаг разностной сетки.
Обозначив s. = (В + Ви)АзЕ5/B-л-г5А2), запишем уравнения
G.55) в виде
-*A«-i> + <* + 25-> ин - *<««¦¦> - «« = °- <756>
В уравнения G.56) входят перемещения законтурных точек. С
помощью граничных условий исключаем их из уравнений. Первое из
граничных условий G.53) с использованием центральных разностей
запишется в виде
ил - us2 =B А /Е,)а«. G.57)
Исключив с помощью соотношения G.57) значение им из
уравнения G.56), при i = 1 получим
A + 2s>s) - Ърл - ии =E,2 А/?)а° G.58)
Используя условие G.54), аналогично предыдущему преобра-
преобразуем уравнение G.56) при i = 13
A + 2*,з>«.1з - 2st3uM - ubi =E,2 A/EX G.59)
Таким образом, в расчете используются уравнения G.56) при
г = 2, 3 12 и уравнения G.57) и G.58).
Рассмотрим уравнение G.52). Обозначим
вг =
¦(Rrc) [R+ 2rc+ *« (rc+ 2 Л)]
тогда разностные уравнения имеют вид
*A<«-i> - *А<,+1> +««,-.> " «w + .) = 0- G-60>
Для точки 13 (см. рис. 7.14), с учетом граничного условия
G.54), разрешающее уравнение принимает вид 6TJ" = 0 или при записи
в односторонних разностях
-з«из + Чн - ««, = °- <7-61>
Для точки / мм = 0.
Используя уравнения G.56), G.58) —G.62), можно составить
систему уравнений 26-го порядка, решив которую, находим перемеще-
перемещения арматуры usi и бетона иы.
С использованием найденных значений перемещений определя-
определяем напряжения в арматуре ffsi, в бетоне 5^, а также касательные
напряжения ffa.. Покажем эти вычисления на примере г-й точки
разностной сетки:
391

esiEs =Es
dug
dz
= *.
2 Д
2 Д
Tki =
Для крайних точек имеем:
°ci3 = °:
- <Ь°:
__s .
2 Д
ki
7ГГ„ Д2
Анализ выполненных расчетов. С использованием изложен-
изложенной методики были получены численные решения для цилиндричес-
цилиндрических бетонных образцов радиусом Л = 70 мм для случая вытягивания
центрально-забетонированного стержня периодического профиля
диаметром .16 мм. В вариантах расчета варьировались прочность
бетона Rm A5; 30; 50 МПа) и параметры периодического профиля, в
частности шаг поперечных выступов Hs D; 8 мм). Диаграммы опыт-
опытных и расчетных кривых напряжения — смещения приведены на
рис. 7.15 (расчет: 1—6, где / приЛь = 15 (МПа), Н = 4 мм; 2 — при
Rb = \5,H =8;J - приЛь=30,Я =А;4 - при#/=30, Я =8;5 -
при Rb = 50; Hs.= 4; 6 - при Rb = 50, Я$ = 8; 7 - опыт: при #ь = 30,
Я5 = 8 мм.
Основные результаты расчетов (прочность анкеровки, смеще-
смещения арматуры относительно бетона) показали удовлетворительную
сходимость теоретических и опытных (Г.Н. Судакова) значений.
На рис. 7.16 представлен пример расчетных кривых касатель-
касательных напряжений на контакте с арматурой. Из рисунка видно, что
предельные значения Tg1*" по мере возрастания нагрузки смещаются
вдоль стержня, что навблюдалось в экспериментах [133]. Уровень
критических касательных напряжений на контакте арматуры с
392
60,мпа
Т„,М/70
800
?
\
1
BOO 1200US],MKM
Рис 7.15. Диаграмма опытных
и расчетных кривых 'напряжения —
смещения"
/ 2 4 5 8 10 12 13
НОМЕРА УЗЛОВ РАЗНОСТНОЙ СЕТКИ
Рис 7.16. Кривые касательных
контактных напряжений хк, получен-
полученные теоретически
бетоном в вариантах расчета изменялся в диапазоне 13 — 20 МПа.
Соответствующие взаимные смещения арматуры и бетона составляют
90 — 200 мкм. Причем, чем дальше располагается участок от активного
конца арматуры, тем выше эти критические смещения.
Изложенный метод расчета задачи сцепления и аппарат его
численной реализации позволяют получать достаточно подробную
картину напряженно-деформированного состояния арматуры и бето-
бетона в зоне их взаимодействия. В сочетании с МКЭ представленный
аппарат может использоваться для расчета различных сложных
конструкций и отдельных элементов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александровский СВ. Расчет бетонных и железобетонных кон-
конструкций на изменение температуры и влажности с учетом ползучести. — М.:
Стройиздат, 1973. — 432 с.
2. Александровский СВ., Васильев П.И. Экспериментальные ис-
исследования ползучести бетона/ /Ползучесть и усадка бетона. — М.: Строй-
Стройиздат, 1976. С. 97-152.
3. Алиев Ш.А., Коган Е.А., Холмяиский М.М. Прочность бетона
как статически неоднородного несплошного тела. Изд. Азербайджанского
политехнич. института. — Баку. 1989. — 176 с.
4. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. — М. —
Л.: Гостехиздат, 1952. - 323 с.
5. Арутюнян Н.Х., Александровский СВ. Современное состояние
теории ползучести бетона//Ползучесть и усадка бетона. — М.: Стройиздат,
1967. С. 5-96.
6. Ахвердов И.Н. Теоретические основы бетоноведения. — Минск.
Высшая школа, 1991. - С. 188.
7. Алексеев С.Н., Иванов Ф.М., Модры С, Шиссель П. Долго-
Долговечность железобетона в агрессивных средах. — М.: Стройиздат, 1990. —
С. 217.
8. Баженов Ю.М. Технология бетона. — М., Высшая школа, 1987. —
416 с.
9. Балан Т.А. Вариант критерия прочности структурно-неоднород-
структурно-неоднородных материалов при сложнонапряженном состоянии//Проблемы прочнос-
прочности. - Киев. - 1986. - №2. - С. 21-26.
10. Балан Т.А. Модель деформирования бетона при кратковремен-
кратковременном нагружении// Строительная механика и расчет сооружений. — 1986. —
№4. - С. 32-36.
11. Балан Т.А. Инкрементальная модель деформирования бетона и
железобетона в условиях многоосного нагружения и ее реализация в числен-
численных методах расчета железобетонных конструкций на статические и динами-
динамические воздействия./Дис. на соиск. учен, степени д-ра техн. наук. — М.:
1987. - 291 с.
12. Баландин П.П. К вопросу о гипотезах прочности//Вестник
инженеров и техников. — 1937. — N°l,— С. 12 — 36.
13. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползу-
ползучести. — М.: Высшая школа, 1961. — 538 с.
14. Берг О.Я. Некоторые физические обоснования теории прочности
бетона//Теория расчета и конструирования железобетонных конструк-
конструкций. — М.: Транжелдориздат, 1960. — 112 с.
15. Берг О.Я. Физические основы теории прочности бетона и железо-
железобетона. — М.: Стройиздат, 1962. — 96 с.
16. Берг О.Я., Щербаков Е.Н., Писанко Г.Н. Высокопрочный бе-
бетон. - М.: Стройиздат, 1971. - 208 с.
17. Берг О.Я., Щербаков Е.Н. К учету нелинейной связи напряже-
394
ний и деформаций ползучести бетона в инженерных расчетах// — Изв.
вузов. Сер. стр-во и архит-ра. 1973, №12. — С. 14 — 21.
18. Берг О.Я., Щербаков Е.Н., Прокопович И.Е., Застава М.М. К
обоснованию единой методики нормирования деформаций ползучести и
усадки бетона//Изв. вузов. Сер.: Стр-во и архит-ра, 1977 №3. — С. 3—6.
19. Бергес Ж., Хабиб П. Ползучесть бетонов при трехосном воздей-
воздействии РИЛЕМ. - Канны, 1972.
20. Булгаков B.C. О влиянии масштаба на несущую способность и
деформации железобетонных внецентренно сжатых элементов прямоуголь-
прямоугольного сечения/ /Расчет железобетонных конструкций. — М.: Госстройиздат,
1961.
. 21. Бирулин Ю.Ф., Мощевитии Г.Т., Карпенко Н.И., Балан Т.А.,
Ярин Л.И. Исследование работы железобетонных балок-стенок//Совер-
балок-стенок//Совершенствование технологии производства и монтажа железобетонных кон-
конструкций. - М.: 1980. - С. 5-19.
22. Бич П.М. Вариант теории прочности бетона//Бетон и железобе-
железобетон. - 1980. - №6. - С. 28-29.
23. Болотин В.В. Некоторые вопросы теории хрупкого разрушения.
Расчеты на прочность. Вып. 8. - М.: 1962. С. 36-52.
24. Болотии В.В. Основные уравнения теории армированных сред/
/Механика полимеров. — 1965. — №2. — С. 27 — 37.
25. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных кон-
конструкций. — М.: 1986. — 375 с.
26. Бондаренко В.М. Некоторые вопросы нелинейной теории желе-
железобетона. — Харьков, 1968. — 324 с.
27. Бондаренко В.М., Бондаренко СВ. Инженерные методы нели-
нелинейной теории железобетона. — М.: Стройиздат, 1982. — 287 с.
28. Васильев П.И. Некоторые вопросы пластических деформаций
бетона//Изв. ВНИИГ, т. 49, 1953. - С. 83-113.
29. Васильев П.И., Гаврилии Б.А. Влияние температуры на ползу-
ползучесть стареющего бетона//Ползучесть и усадка бетона//Материалы сове-
совещания, подготовленные НИИЖБ. — М.: Стройиздат, 1969. — С. 9 — 20.
30. Васильев П.И. Нелинейные деформации ползучести бетона//
Изв. ВНИИГ, т. 95, 1971. - С. 59-69.
31. Гвоздев А.А. Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия. — М.: Госстройиздат, 1949. — 280 с.
32. Гвоздев А.А. Ползучесть бетона и пути ее исследования//
Исследования прочности, пластичности и ползучести строительных матери-
материалов. - М.: Госстройиздат, 1955. - С. 126-137.
33. Гвоздев А.А., Карпенко Н.И. Работа железобетона с трещинами
при плоском напряженном состоянии//Строительная механика и расчет
сооружений. - 1965. - №2. - С. 20-23.
34. Гвоздев А.А. К вопросу о предельных условиях, условиях теку-
текучести для ортотропных сред и для изгибаемых железобетонных плит.
Сборник, посвященный 80-летию И.М. Рабиновича. — М.: Стройиздат,
1965.
395

35. Гвоздев А.А., Галустов К.З., Яшин А.В. О некоторых отступле-
отступлениях от принципа наложения в теории ползучести бетона//Бетон и желе-
железобетон. - 1967. - №8. - С. 223-227.
36. Гвоздев А.А. Состояние и задачи исследования сцепления арма-
арматуры с бетоном//Бетон и железобетон. — М»12. — 1968. С. 1—4.
37. Гвоздев А.А., Яшин А.В., Петрова К.В., Белобров И.К.,
Гузеев Е.А. Прочность, структурные изменения и деформации бетона. —
М: Стройиздат, 1978, 299 с.
38. Гвоздев А.А. Задачи и перспективы развития теории железобето-
железобетона// Строительная механика и расчет сооружений. -1981 - №6. — С. 14 —
17.
39. Гениев Г.А., Киссюк В.Н. К вопросу обобщения теории прочнос-
прочности бетона//Бетон и железобетон. — 1965. —№2. — С. 15—17.
40. Гениев Г.А. Вариант деформационной теории пластичности бето-
бетона//Бетон и железобетон. — 1969. — №2.
41. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности
бетона и железобетона. — М.: Стройиздат. — 1974, 316 с.
42. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Левин Н.И., Никонова Г.А. Про-
Прочность легких и ячеистых бетонов при сложных напряженных состояниях. —
М: Стройиздат, 1978. - 166 с.
43. Григорьянц Л.М. Экспериментальное исследование напряженно-
деформированного состояния арматуры и бетона при наличии наклонных
трещин//Труды ЦНИИЭПсельстроя. — М.: 1977.
44. Гузеев Е.А., Шевченко В.И., Сейланов Л.А. Эксперименталь-
Экспериментальные полностью равновесные диаграммы деформирования бетона/ /Матери-
/Материалы конференций и совещаний по гидростатике. Предельные состояния
бетонных и железобетонных конструкций энергетических сооружений//
ВНИИГ, 1987. - Л.: Энергоатомиздат. - С. 180-185.
45. Гуревич А.Л., Карпенко Н.И., Ярии Л.И. О способах расчета
железобетонных плит на ЭВМ с учетом процесса трещинообразования//
Строительная механика и расчет сооружений. — 1972. — Mel, С. 24 — 29.
46. Гуща Ю.П. Исследование ширины раскрытия нормальных тре-
трещин/ /Прочность и жесткость железобетонных конструкций. — М.: 1971. —
С. 72-97.
47. Еньков Е."У. Физические зависимости плоского напряженного
состояния железобетона с трещинами в условиях ползучести и эксперимен-
экспериментальное обоснование соответствующих параметров //Строительные кон-
конструкции. — Киев, Буд1вельник, вып. 32. — С. 54 — 57.
48. Зайцев Ю.В. Моделирование деформаций и прочности бетона
методами механики разрушения. — М.: Стройиздат, 1982. — 196 с.
49. Здореико B.C. Развитие численных методов исследования про-
прочности и устойчивости стержневых и тонкостенных железобетонных кон-
конструкций во времени//Дис. д-ра техн. наук. — М. — Киев, 1977. — 302 с.
50. Ивашеико Ю.А., Лобанов А.Д. Исследование процесса разру-
разрушения бетона при различных скоростях деформирования/ /Бетон и железо-
железобетон. - 1984. - №11.
396
51. Ильюшин А.А. Пластичность//М. — Л.: Гостехиздат, 1948. —
372 с.
52. Кантарович Л.В. О методе Ньютона//Тр. математического ин-
института им. В.А. Стеклова АН СССР, 1949, 28. - С. 106-112.
53. Карпенко Н.И. Особенности работы железобетона с трещинами
при плоском напряженном состоянии и расчет железобетонных плит//Дис.
канд. техн. наук, НИИЖБ. - М.: 1964. - 113 с.
54. Карпенко Н.И. О работе железобетонных плит с трещинами. Тр.
IY конференции по бетону и железобетону. — М.: Стройиздат, 1966. .—
С. 10-17.
55. Карпенко Н.И., Рейтман М.И. Деформирование железобетона
при течении арматуры//Прикладная механика. — 1968, т. IY, вып. 10. —
С. 121-126.
56. Карпенко Н.И. Теоретическое исследование перемещений, усло-
условий трещинообразования, ширины раскрытия трещин и условий прочности
элементов с трещинами железобетонных плит и оболочек//Исследования
конструкций зданий и сооружений для селького строительства, вып. 2 — 1. —
М.: Стройиздат, 1968. - С. 32-91.
57. Карпенко Н.И. Условия текучести арматуры железобетонных
сред с трещинами//Строительная механика и расчет сооружений. — М.:
1968. - С. 24-26.
58. Карпенко Н.И. К расчету железобетонных пластин и оболочек с
учетом трещин//Строительная механика и расчет сооружений. — 1971. —
№1. - С. 7-12.
59. Карпенко Н.И. О двух общих условиях прочности для железобе-
железобетонных элементов «с трещинами//Расчет и конструирование железобетон-
железобетонных конструкций. — М.: 1972. — С. 146—159.
60. Карпенко Н.И. К построению модели сцепления арматуры с
бетоном, учитывающей контактные трещины//Бетон и железобетон. —
№1, 1973. - С. 19-22.
61. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещи-
трещинами. — М.: Стройиздат, 1976. — 208 с.
62. Карпенко Н.И., Ярии Л.И., Кукунаев B.C., Сегалов А.Е. Рас-
Расчет плоскостных конструкций с трещинами//Новое о прочности железобе-
железобетона. - М.: Стройиздат, 1977. - С. 141-198.
63. Карпенко Н.И. К выводу физических соотношений для элемен-
элементов с трещинами, работающих в условиях объемного напряженного состоя-
состояния/ /Прочность, жесткость и трещиностойкость железобетонных кон-
конструкций. - М.: 1979. С. 5-44.
64. Карпенко Н.И. К построению теории расчета массивных железо-
железобетонных конструкций с учетом трещинообразования / / Строительная меха-
механика и расчет сооружений. — М.: 1980. —№2. — С. 28 — 35.
65. Карпенко Н.И., Балан Т.А., Леви М.И. Методы расчета монолитных
стен и перекрытий//На стройках России. — М.: 1981, №7. — С. 49—51.
66. Карпенко Н.И., Петров А.Н. К определению нелинейных и
быстронатекающих деформаций ползучести бетона способом тт при сложных
397

режимах нагружения//Поведение бетонов и элементов железобетонных
конструкций при воздействии различной длительности. — М.: НИИЖБ,
1980. - С. 157-168.
67. Карпенко Н.И. Об одной характерной функции прочности бето-
бетонов при трехосном сжатии//Строительная механика и расчет сооруже-
сооружений. - 1982. - №2. - С. 33-36.
68. Карпенко Н.И. К выводу физических соотношений для расчета
многослойных плит//Эффективные железобетонные конструкции сельс-
сельских зданий, материалы и технология. — М.: 1983. — С. 39 — 40.
69. Карпенко Н.И. К построению обобщенной зависимости для диаг-
диаграммы деформирования бетона//Строительные конструкции. — Минск,
1983. - С. 164-173.
70. Карпенко Н.И. Методика конечных приращений для расчета
деформаций железобетонных элементов при знакопеременной нагрузке//
Совершенствование конструктивных форм, методов расчета и проектирова-
проектирования железобетонных конструкций. — М.: 1983. — С. 3—11.
71. Карпенко Н.И.. Судаков Г.Н., Лейтес Е.С. Моделирование
механического взаимодействия арматурного стержня с бетоном, учитываю-
учитывающее напряженно-деформированное состояние контактной зоны//Поведе-
зоны//Поведение бетонов и элементов железобетонных конструкций при воздействии
различной длительности. — М.: 1980. С. — 133—156.
71а. Карпенко Н.И., Судаков Г.Н. Сцепление арматуры с бетоном с
учетом развития контактных трещин//Бетон и железобетон. — №12. —
1984. - С. 42-44.
72. Карпенко Н.И. К построению условия прочности бетонов при
неодноосных напряженных состояниях//Бетон и железобетон. — 1985. —
№10. - С. 35-37.
73. Карпенко Н.И., Розенберг М.Я. Критерии прочности железобе-
железобетонных стеновых панелей с трещинами по бетбну/ /Железобетонные кон-
конструкции сельских зданий. — М.: 1985. — С. 10—16.
74. Карпенко Н.И.; Мухамедиев Т.А., Петров А.Н. Исходные и
трансформированные диаграммы деформирования бетона и арматуры//
Напряженно-деформированное состояние бетонных и железобетонных кон-
конструкций. - М.: НИИЖБ, 1986. - С. 7-25.
75. Карпенко Н.И., Кокарев A.M., Алдахов С.Д. Основные пара-
параметры методики расчета железобетонных элементов на знакопеременную
нагрузку//Сельскохозяйственные здания, конструкции, методы расчета,
теплофизика..— М.: 1986, с. 44 — 57.
76. Карпенко Н.И., Прокопович И.Е., Мухамедиев Т.А.,
Петров А.Н., Яременко А.Ф. Учет деформаций ползучести и длительного
сопротивления бетона в методике диаграмм-изохрон//Совершенствование
методов расчета статически неопределимых железобетонных конструкций. —
М.: НИИЖБ, 1987. - С. 66-81.
77. Карпенко Н.И. К построению общей ортотропной модели дефор-
деформирования бетона/ /Строительная механика и расчет сооружений. — 1987. —
№2. - С. 31-36.
398
78. Карпенко Н.И., Мухамедиев Т.А., Петров А.Н. Диаграммы
деформирования бетона, их трансформации в зависимости от различных
факторов и использование в расчетах конструкций. — Материалы конферен-
конференций и совещаний по гидротехнике. Предельные состояния бетонных и
железобетонных конструкций энергетических сооружений//ВНИИГ,
1987. - Л.: Энергоатомиздат. - С. 170-185.
79. Карпенко Н.И., Мухамедиев Т.А., Сапожников М.А. К постро-
построению методики расчета стержневых элементов на основе диаграмм деформи-
деформирования материалов//Совершенствоание методов расчета статически не»
определимых железобетонных конструкций. — М.: 1987. — С. 4 — 24.
80. Карпенко Н.И., Клованич С.Ф. К учету температурных воздей-
воздействий при расчете массивных железобетонных конструкций с трещинами//
Строительная механика и расчет сооружений. —№2. — 1988. — М. 6—11.
81. Карпенко Н.И., Мухамедиев Т.А. Диаграммы деформирования
бетона для развития методов расчета железобетонных конструкций с учетом
режимов нагружения//Эффективные маломатериалоемкие железобетон-
железобетонные конструкции. — М.: 1988. — С. 4—17.
82. Карпенко Н.И., Розенберг М.Я. Метод расчета деформаций и
прочности плосконапряженных железобетонных конструкций//Совершен-
конструкций//Совершенствование технологии изготовления изделий, объемно-планировочных и
конструктивных решений элеваторов и зерноперерабатывающих предпри-
предприятий. - М.: 1988. - С. 34-43.
83. Карпенко Н.И. К построению методики расчета деформаций
железобетонных плит как условно многослойных с учетом шести компонент
напряжения//Новые экспериментальные исследования и методы расчета
железобетонных конструкций. — М.: 1989, с. 73—94.
84. Карпенко Н.И. Методика расчета стержневых конструкций с
учетом деформаций сдвига//Бетон и железобетон. — 1989. — №3. —
С. 14-16.
85. Карпенко Н.И., Мухамедиев Т.А., Сапожников М.А. К постро-
построению общей методики расчета статически неопределимых стержневых желе-
железобетонных конструкций на основе метода конечных элементов//Строи-
элементов//Строительная мехайика и расчет сооружений. — 1990. — №2.
86. Карпенко Н.И. Связи между напряжениями и деформациями
бетона в случае трехосного растяжения//Бетон и железобетон. — 1991. —
№10.
87. Карпенко Н.И., Круглое В.М. Современное состояние исследо-
исследований по критериям прочности и связям между напряжениями и деформаци-
деформациями бетонных элементов при объемном напряженном состоянии//Матер,
конф. и совещ. по гидротехнике. Предельные состояния бетонных и железо-
железобетонных конструкций энергетических сооружений/ВНИИГ, 1991. — Л.:
Энергоатомиздат. — С. 170—185.
88. Карпенко Н.И., Мухамедиев Т.А., Сапожников М.А. Расчет
стержневых железобетонных конструкций МКЭ с учетом уточненной матри-
матрицы жесткости//Изв. вузов. Сер.: Стр. и арх-ра. — 1991. —№3. - С. 7 —
11.
399

89. Карпенко Н.И., Клованич С.Ф. Термоползучесть бетона при
некоторых режимах нагружения и нагрева//Строительная механика и
расчет сооружений. — 1991. — №5. — С. 58 — 66.
90. Карпенко Н.И., Джанкулаев А.Я. Методика учета объемного
напряженно-деформированного состояния в расчетах железобетонных плит.
Материалы XXIY Международной конференции по бетону и железобето-
железобетону. - М.: 1992. - С. 284-285.
91. Карпенко Н.И. К построению нелинейной теории ползучести
бетона при трехосном растяжении с учетом ослабления сечений внутренними
трещинами. Материалы XXIY Международной конференции по бетону и
железобетону. - М.: Стройиздат, 1992. - С. 281-283.
92. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. — М.: Наука,
1974. - 311 с.
93. Катин Н.И. Исследование ползучести бетона при высоких напря-
напряжениях//Исследование свойств бетона и железобетона в конструкциях. —
М.: Госстройиздат, 1959.
94. Козак А.Л. Исследование процесса трещинообразования в осе-
симметричных железобетонных конструкциях при термосиловых воздей-
ствиях//Дис. канд. техн. наук. — Киев, 1981. — 150 с.
95. Козачевский А.И. Модификация деформационной теории плас-
пластичности бетона и плоское напряженное состояние железобетона с трещина-
трещинами/ /Строительная механика и расчет сооружений. — 1983. — №4. —
С. 12-16.
96. Красильников К.Г., Никитина Л.В., Скоблннская Н.Н. Физи-
ко-химия собственных деформаций цементного камня. — М.: Стройиздат,
1980. - 255 с.
97. Кричевский А.П. Расчет железобетонных инженерных сооруже-
сооружений на температурные воздействия. — М.: Стройиздат, 1984. — 149с.
98. Кричевский А.П. Прочность и деформации тяжелого бетона в
условиях плоского напряженного состояния с учетом температурных воздей-
ствий//Изв. вузов. Сер.: Стр-во и арх-ра. — 1985, №1. — Новосибирск. —
С. 6-11.
99. Круглое В.М., Зенин А.В. Предельные секущие модули бетона/
/Изв. вузов. Сер.: Стр-во и арх-ра. - 1985 №11. — С. 1—5.
100. Круглое В.М., Донец А.Н., Тихомиров С.А. Построение физи-
физических соотношений бетона на основе теории пластического течения//
Вопросы проектирования строительства и эксплуатации искусственных со-
сооружений на железных дорогах. — Новосибирск, 1986. — С. 47 — 53.
101. Круглое В.М. Физические соотношения бетона при расчете
монолитных конструкций на знакопеременную нагрузку//Монолитное до-
домостроение. - М.: 1986. - С. 107-118.
102. Круглое В.М. Нелинейные соотношения и критерий прочности
бетона в трехосном напряженном состоянии//Строительная механика и
расчет сооружений. — 1987. — №1. — С. 40 — 48.
103. Леви М.И. К расчету железобетонных перекрытий и фундамен-
400
товМКЭ//Строительная механика и расчет сооружений. —1979. — №5. —
С. 62-66.
104. Лейтес Е.С. Об условии прочности бетона//Межотраслевые
вопросы строительства. — М.: Стройиздат, 1971. — С. 32 — 35.
105. Лейтес Е.С. Вариант теории пластического течения бетона//
Строительная механика и расчет сооружений. — 1978. — №3. — С. 34 — 37.
106. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. — М.:
Гостехиздат, 1950.
107. Лившиц М.Б. Учет вида напряженного состояния в критерии
прочности бетона//Строительные конструкции транспортного и общего
назначения. — Новосибирск, 1979. — С. 19 — 30.
108. Лившиц Я.Д. Расчет железобетонных конструкций с учетом
ползучести и усадки бетона. — Киев, Вища школа, 1971. — 232 с.
109. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых дефор-
деформируемых тел. — М.: Наука, 1970.
НО. Лукша Л.К. Прочность трубобетона. — Минск, Вища школа,
1977. - 96 с.
111. Лукша Л.К. Расчет прочности железобетонных конструкций с
учетом сложного напряженного состояния бетона/ /Автореф. дис. д-ра техн.
нук. - М.: 1980. - 31 с.
112. Лукша Л.К. Гиперболический критерий прочности. Доклады
АН БССР, 1983, т. XXYII, №6. - С. 528-531.
ИЗ. Мадатян С.А. Диаграмма растяжения высокопрочной арматур-
арматурной стали в состоянии поставки//Бетон и железобетон. — 1985. — №2. —
С. 12-13.
114. Маилян Л.Р., Беккнев М.Ю., Силь Г.Р. Работа бетона и арма-
арматуры при немногократно повторных нагружениях. — Нальчик: Кабардино-
Балкарский агромелиоративный институт, 1984.
115. Малашкин Ю.Н., Тябликов Б.В. О прочности бетона при тре-
трехосном сжатии//Свойства бетона, определяющие его трещиностойкость/
Труды XY координационного совещания по гидротехнике. — Л.: 1976,
вып. 112.
116. Малашкин Ю.Н. Деформирование и разрушение бетона в усло-
условиях сложных напряженных состояний/ /Автореф. дис. д-ра техн. наук. —
М.: 1984. - 38 с.
117. Малашкин Ю.Н., Безгодов И.М. Исследование длительной
прочности и деформативности бетона при одно-, двух- и трехосном сжатии/
/ Предельные состояния бетонных и железобетонных конструкций энергети-
энергетических сооружений. Материалы конференций и совещаний по гидротехни-
гидротехнике. - М.: 1987. - С. 216-219.
118. Маслов Г.Н. Термическое напряжение бетонных массивов при
учете ползучести//Тр. ВНИИГ, 1940, №28. - С. 175-188.
119. Мельник А.Я. Распределение напряжений в арматуре железобе-
железобетонных дисков с трещинами//Изв. вузов. Сер.: Стр-во и арх-ра. — 1980,
№10. - С. 16-19.
401

120. Методические рекомендации по исследованию ползучести и усад-
усадки бетона//НИИЖБ. - М.: 1975. - 118 с.
121. Методические рекомендации по расчету напряженного состоя-
состояния железобетонных конструкций транспортных сооружений с учетом пол-
ползучести и усадки бетона. — М.: 1987. — 62 с.
122. Миловаиов А.Ф., Передерни В.Д. Ползучесть бетона при по-
повышенных температурах //Поведение бетонов и элементов железобетонных
конструкций при нагреве. - М.: НИИЖБ, 1982. - С. 3-14.
123. Миролюбов В.Н. К вопросу об обобщении теории октаэдричес-
ких касательных напряжений на хрупкие материалы//Тр. Ленинградского
технологического ин-та. — Л.: 1953, №25. — С. 22 — 28.
124. Митасов В.М., Федоров Д.А. Аналитическое представление
диаграмм арматуры и бетона при одноосном растяжении // Изв. вузов. Сер.:
Стр-во и арх-ра. - 1987, №9. - С. 16-20.
125. Малькевнч А.Б. Термоползучесть старого влагоизолированного
бетона (экспериментально-теоретические исследования при различных ре-
режимах нагружения и нагрева). Дис. канд. техн. наук. — Л.: 1988.
126. Мулин Н.М., Гуща Ю.П. Деформации железобетонных элемен-
элементов при работе стержневой арматуры в упругопластической стадии/ /Бетон
и железобетон. - 1970. -№3. - С. 24-26.
127. Мурашев В.И. Трещиноустойчивость, жесткость и прочность
железобетона. — М.: Машстройиздат, 1950.
128. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел/Пер, с англ.
М: Ил., 1954. - С. 648.
129. Носарев А.В. Об упругих свойствах материалов, произвольно
армированных элементами, расположенными в параллельных плоскостях/
/Тр. СИИТ. — М.: 1968, вып. 279. Исследования и эксплуатация железо-
железобетонных пролетных строений мостов. — С. 65 — 70.
130. Ноткус А.И., Кудзис А.П. О применении теории малых упру-
гопластических деформаций в теоретическом обосновании условия прочнос-
ти//Тр. Вильн. инженерно-строит. ин-та. — Вильнюс, 197 №8. — С. 21 —
30.
131. Ноткус А.И., Кудзис А.П. О надежности результатов двухос-
двухосных испытаний бетона//Железобетонные конструкции. — Вильнюс, 1979.
132. Ноткус А.И. Вариант единой теории пластичности для бетона и
металла//Железобетонные конструкции. — 1980, №10. — С. 73 — 82.
133. Оатул А.А., Кутин Ю.Ф., Пасешник В.В. Сцепление армату-
арматуры с бетоном (обзор)//Изв. вузов. Сер.: Стр-во и арх-ра. — Новосибирск,
№5, 1977. - С. 3-16.
134. Пак А.А., Трапезников Л.П., Шерстобитова Т.П.,
Яковлева Э.Н. Зависимость критического значения коэффициента интен-
интенсивности напряжений бетона от длины трещины//Изв. ВНИИГ, 1980,
т. 136. - С. 11-114.
135. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность
материалов при сложном напряженном состоянии. — Киев, Hayкова думка,
1976. - 416 с.
402
136. Поль Б. Макроскопические критерии пластического течения и
хрупкого разрушения. Ч. 2. Хрупкое разрушение при неодноосных напря-
напряженных состояниях//Разрушение. Математические основы теории разру-
разрушения. Т. 2. - М.: Мир, 1975. - С. 408-437.
137. Поляков А.В., Деллос К.П., Яшин А.В., Султанов М.А. Со-
Сопротивление трехосному сжатию железобетона и тяжелого бетона при
простом и сложном нагружении//Совершенствование методов расчета
строительных коентрукций. — М.: МАДИ, 1987. — С. 67 — 72.
138. Поляков А.В. К оценке прочности бетонов на пористых заполни-
заполнителях при неодноосных напряженных состояниях//Совершенствование
методов расчета статически неопределимых железобетонных конструкций. —
М.: 1987. - С. 94-102.
139. Пособие по расчету статически неопределимых железобетонных
конструкций. — М.: Стройиздат, 1994.
140. Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползу-
ползучести. — М.: Стройиздат, 1971. — 240 с.
141. Прокопович И.Е. Основы прикладной линейной теории ползу-
ползучести. — Высш. школа, 1978. — 144 с.
142. Рекомендации по расчету ползучести и усадки бетона при
расчете бетонных и железобетонных конструкций. — м.: НИИЖБ. —120 с.
143. Рекомендации по расчету железобетонных конструкций с уче-
учетом однозначноого и знакопеременного напряженного состояния в бетоне
(под редакцией Л.П. Макаренко). — Ровно, 1987.
144. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформи-
деформирующихся во времени. — М.: Гостехиздат, 1949. — 252 с.
145. Роботнов ЮЛ,. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука,
1966. - 752 с.
146. Розенберг М.Я. К вопросу совершенствования расчета прочнос-
прочности бетонных и железобетонных стен при плоском напряженном состоянии с
учетом физически нелинейной работы материалов/ /Конструктивные систе-
системы полносборных жилых зданий. — М.: 1984. — С. 66 — 72.
147. Руководство по расчету на ЕС ЭВМ железобетонных колонн со
смешанным армированием. — Ростов-на-Дону, СевКавНИИагропром, 1987.
148. Сабиров Б. Прочность, деформации различных бетонов в усло-
условиях кратковременного и длительного трехосного сжатия: Автореф. дис.
канд. техн. наук. - М.: НИИЖБ, 1989. - 22 с.
149. Санжаровский Р.С. К теории расчета на нелинейную ползучесть
с учетом длительной прочности//Исследования по расчету строительных
конструкций. - Л.: 1977. - С. 35-42.
150. Седрекян Л.Г. Элементы статической теории деформирования и
разрушения хрупких материалов. — Ереван, 1968.
151. Скрамтаев Б.Г. Исследование прочности бетона и пластичности
бетоной смеси. - М.: ЦНИИПС и ВИА РККА, 1936. - 320 с.
152. Соломин В.И., Шишов И.И. О расчете круглых фундаментных
плит с учетом особенностей деформирования железобетона/ / Строительная
механика и расчет сооружений, 1972, №1. — С. 19 — 23.
403

153. Тюпии Г.А. К расчету железобетона с помощью моментной
теорииупругости//Строительнаямеханикаирасчетсооружений. — 1968. —
№3. - С. 30-32.
154. Трапезников Л.П. Температурная трещиностойкость массивных
бетонных сооружений. — М.: Энергоатомиздат, 1986. — 271 с.
155. Феодосьев В.И. Десять лекций-бесед по сопротивлению матери-
материалов. - М.: Наука, 1975. - 176 с.
156. Филоненко-Бородич М.М. Об условиях прочности материалов,
обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию/ / Инж. сб.,
1954, вып. 19. - С. 15-47.
157. Филоиенко-Бородич М.М. Механические теории прочности. —
М: - МГУ, 1961. - 90 с.
158. Флюге В. Статика и динамика оболочек (пер. с нем.). — М.:
Госстройиздат, 1961. — 206 с.
159. Харлаб В.Д. К общей линейной теории ползучести//Изв.
ВНИИГ, 1961, т. 68. - С. 217-240.
160. Харлаб В.Д. Обобщение вейбуновской статистической теории
хрупкого разрушения//Механика стержневых систем и сплошных сред,
1987, №11. - С. 150-152.
161. Холмянский М.М. Контакт арматуры с бетоном. — М.: Строй-
издат, 1978. - 184 с.
162. Холмянский М.М., Шифрин Е.И. К прочности трещиноватых
пород и бетона при трехосном равномерном напряжении//Физико-техни-
напряжении//Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 1981. — №3. —
С. 52-61.
163. Цилосани З.Н. Усадка и ползучесть бетона. — Тбилиси, Миц-
ниереба, 1978. - С. 230.
164. Шейкин А.Е., Чеховский Ю.В., Бруссер М.И. Структура и
свойства цементных бетонов. — М.: Стройиздат, 1979. — С. 343.
165. Щербаков Е.Н. Общие принципы и практический метод норми-
нормирования деформаций цементных бетонов в инженерных расчетах. Особен-
Особенности быстронатекающей ползучести бетона и способ прогнозирования
этих деформаций//ВНИИтранспортного строительства. — М.: 1990. —
С. 4-24,44-56.
166. Ягуст В.И. Сопротивление развитию трещин в бетонных кон-
конструкциях с учетом влияния макроструктуры материала//Автореф. дис.
канд. техн. наук. — М.: 1982. — 24 с.
167. Яременко А.Ф., Мельник А.Я. Длительное деформирование
железобетонных дисков с трещинами / / Строительные конструкции. — Киев,
Бущвельник, 1979, вып. 35. — С. 40—44.
168. Яременко А.Ф.,Гапшенко B.C. Кратковременная и длительная
прочность растянуто-сжатых дисков с трещинами//Бетон и железобе-
железобетон. - 1986. - №12. - С. 23-24.
169. Яременко А.Ф., Мельник А.Я., Гапшенко B.C. Определение
коэффициентов X и \\is для растянутых или растянуто-сжатых элементов с
трещинами. Деп. ВНИИС. - М.: №8026, вып. 3, 1988.
404
170. Ярин Л.И. Методы расчета железобетонных конструкций пере-
переменной жесткости вследствие трещинообразования//Автореф. дис. док-ра
техн. наук. - М.: 1989. - 45 с.
171. Яшин А.В. Деформации бетона под длительным воздействием
высоких напряжений и его длительное сопротивление сжатию.//Особен-
сжатию.//Особенности деформаций бетона и железобетона и использование ЭВМ для оценки
их влияния на поведение конструкций. — М.: Стройиздат. — 1969. —
С. 38-76.
172. Яшин А.В. Критерии прочности и деформирования бетона при
простом нагружении для различных видов напряженного состояния//
Расчет и конструирование железобетонных конструкций/Под ред.
А.А. Гвоздева. - М.: 1977. - С. 48-57.
173. Яшин А.В. Влияние неодноосных (сложных) напряженных со-
состояний на прочность и деформации бетона, включая область, близкую к
разрушению//Прочность, жесткость и трещиностойкость железобетонных
конструкций/Под ред. А.А. Гвоздева. - М.: 1979. - С. 187-202.
174. Яшин А.В. Микромеханика разрушения бетона при сложных
(многоосных) напряженных состояниях//Прочность и деформационные
характеристики элементов бетонных и железобетонных конструкций/Под
ред. А.А. Гвоздева. - М.: 1981. - С. 3-29.
175. Яшин А.В. Рекомендации по определению прочностных и де-
деформационных характеристик бетона при неодноосных напряженных состо-
состояниях. - М.: 1985. - 72 с.
176. Argyris I.H., Faust G. et al. Recent development in the finite
element analysis of prestressed concrete reactor vessels/ /Nucl. Eng. Des. 1974, —
28. P. 42-75.
177. Bach G. und Graf O. Versuche rait allseiting aufligenden guadra-
tishen und rechtekigen Einsenbetonplatten.//Berlin, 1915.
178. Buyukozturk O. Non-linear Analysis of Reinforced Concrete Struc-
Structures/ /Computers Structures, Vol. 7, №1, 1977, pp. 149-156.
179. Cedolin Т., Mulas M.G. Una leggecontitutiva secante ed esplicita
per il caicestruzzo in statipiani di tensione//Studi E Ricerche. 1981. Vol. 3,
pp. 75-105.
180. Chervenca V. Inelastic finite element analysis of reinforced con-
concrete panels under in plane loadsy'/Ph. D. dissertation, Dept. Civil Eng. Univ.
Colorado, Boulder, 1970, 202 p.
181 Chervenca V. Finite element model of reinforced concrete structures
with cracks//Stavednicky Casopis, 1976, №6, pp. 43-49.
182. Chen A.C.T., Chen W.F.Constitutiveequations and punch-inden-
punch-indentation of Concrete/Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE,
Vol. 101, NEMG, December, 1975, pp. 465-481.
183. Grotenboer H.I., Leiten S.F.C., Blaawendraad I. Numerical
Models for Reinforced Concrete Structures in Plane Stress//Heron, 1981,
Vol. 26, №10, 83 p.
184. Gerstle K.H. Simple formulation of triaxical concrete behavior//
Journal of ACI. 1981. Vol. 75, №5, pp. 382-387.
405

185. Gerstle K.H. et. al. Strength of concrete under raultiaxial stress
states^Intern.symp.onconcretestructures, Mexico. City, Oct., 1976 — Detroit,
ACI Publ., 1978, sp. 55, p. 103-131.
186. Arthanari S., Yu C.W. Creep of Concrete Under Uniaxial and
Biaxial Stresses at Elevated Temperatures//Mag. of Concr. Res. — 1967. —
v. 19. - №6. - P. 149-156.
187. England G.L., Ross A.D. Reinforced Concrete Under Thermal
Gradient//Mag. of Concrete. Res. Cera, and Concr. Ass. — 1962. — v. 14 —
№40. - P. 5-12.
188. Hannant O.J. Nomograms for the failure of plain concrete subjected
to short-terra raultiaxial stressesi/Struct. Eng. 1974, №2, №5, p. 151-165.
189. Hannant D.J. Strein Behavior of Concrete Up to 95°C Under
CompressiveStresses//ICE, London. - 1968. - P. 177-191.
190. Kotsovos M.D. A mathematical model of the deforraational behav-
behavior of concrete under generalzed stresses based on fundamental material
properties//Material of construction, 1980, 13, pp. 289-29.
191. Kotsovos M.D. A Mathematical Description of the Strength Prop-
Properties of Concrete under Generalized Stress//Magazine of Concrete research.
1979. Vol. 31, September, pp. 151-159.
192. Kupfer H.B. Das nicht-lineare Verhalten des Betons bei zweiachtz-
iger Beanspruchung//Betonund — Stahlbetonbau. 1973, №11, pp. 269 — 274.
193. Mohr O. Abrandlungen aus dera Gebiete der technischen raechanik^
Berlin; W. Ennst C.U. Sohn, 1914-1925.
194. Kotsovos M.D.,Newmann I.B. A mathematical Description of the
Deformational Behavior of Concrete under Complex Loading//Magazine of
Concrete Research, 1979, June, Vol. 31, №107, pp. 77-90.
195. Newmann J., Newmann K. The cracking and failure of concrete
under combined stresses and its implications for structural design //The
deformations and rupture of solids subjected to multiaxial streisses. International
Symposium, Cannes, 1972, Paris, 1973, pp. 149-169.
196. Nasser K.N., Newille A.M. Creep of Concrete at Elevated Tem-
Temperatures//ACI Journal, Proc. - 1967. - v. 62. - №12. - pp. 1567-
1580.
197. Ottosen N.S. A failure criterion for concrete/^. Eng. Mech. Div.,
ASEE, 1977, 103, №4, pp. 527-536.
198. Palaniswany R., Saah S.F. Fracture and stress-strain relationship
of concrete under triaxial compression//Journal of the structural division.
Proceeding of the ASCE. 1974. Vol. 100. No ST5. May, - pp. 901-916.
199. Richard F.E., Brantsaeg A., Brown R.L. A study of concrete
under combined compressive stress^Univ. of Illinois, Eng., Exp., st., Bull. 185,
1928.
200. Robins P.I.,Kong F.K. Modified finite element method applied to
RG deep beams//Civil engineering and public works revien. 1973. No 11, —
pp. 1061-1072.
201. Schleicher E. Oen spannungszustandan der flieszgres-ze//Seits
f.angew. Math, und Mech, - 1926, №3. S. 199-215.
406
202. Scordelis A.C. Computer Model for Nonlinear Analysis of Rein-
Reinforced and Prestressed Concrete Structures//J. Prestr. Concr. Inst. - 1984 -
V. 29. - №6. - P. 116-135.
203. Tanner H., Fasio R., Zielincku S. Strength and behavior of beam//
panel-test and analysis//Journal.
204. Morley C.T. On the yield criterion of an orthogonally reinforced
concrete slab element//J. mech. phys. solids, vol. 14, №1, 1966.
205. William K.J., Warnke E.P. Constitutive model for the trixial
dehavior of concrete^Mt. Assos. Brideg Struch. Eng. Рос, 1975, 19, pp. 1 -30.
206. Rasch Chr. Spannungs —Degnungs —Linien des Betons und Span-
nungs verteiling in der Biegedruckzone bei konstanter Dehngeschwindigkeit//
Deutschen Asschuss fur Stahlberon. - Berlin. - 1962. - Heft 154.
207. Coto, Y: Cracks formed in concrete around deformed tension bars//
Journal of the American Concrete Institute, Proceedings Vol 68. №4 April
1971. pp. 244-251.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОПИСАНИЯ НАПРЯ-
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ БЕТОНА МЕТО-
МЕТОДАМИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 9
1.1. Особенности представления бетона моделью сплошного тела
1.2. Трещины в бетоне и связанные с ними свойства 28
1.3. Краткие сведения об основных уравнениях механики деформи-
деформируемого твердого тела 44
Глава 2. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ БЕТОНА ПРИ НЕОДНООС-
НЕОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ 60
2.1. Краткий анализ начальных критериев прочности бетона и
история их создания 61
2.2. Некоторые современные направления развития критериев
прочности 66
2.3. Общий критерий прочности бетонов и способ его построения .. 70
2.4. Вопросы практического использования критериев прочности ... 86
2.5. Составные критерии прочности 90
Глава 3. ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИИ БЕТОНА ПРИ КРАТКОВ-
КРАТКОВРЕМЕННОМ ДЕЙСТВИИ НАГРУЗКИ 92
3.1. Диаграммы сжатия и растяжения бетона.
Поперечные деформации , 92
3.2. Запись диаграмм в виде связей между приращениями напряже-
напряжений и деформаций. Описание переменных и знакопеременных программ
нагружения 107
3.3. Учет влияния повышенных температур на диаграммы сжатия
и растяжения бетона 122
3.4. Три направления в построении связей между напряжениями
и деформациями для бетона при объемном напряженном состоянии 126
3.5. О некоторых диаграммах трехосного напряжения 133
3.6. Связи между напряжениями и деформациями при трехосном
напряженном состоянии в случае активной нагрузки 136
3.7. Запись общих физических соотношений в виде связей между
приращениями компонент тензоров напряжений и деформаций. Нагрузка
и разгрузка 145
3.8. Теоретический способ построения связей между напряжениями
и деформациями в случае трехосного растяжения на основе модели
трещиноватого бетона 155
408
Глава 4. НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
В УСЛОВИЯХ ОДНООСНЫХ И НЕОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕН-
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ 165
4.1. Методика диаграмм-изохрон при эталонных программах
(режимах) нагружения. Описание сложных программ нагружения 165
4.2. Применение методики изохрон к определению деформаций
ползучести бетона в условиях трехосного сжатия 183
4.3. Определение деформаций бетона способом Т^ (трансформируе-
(трансформируемого времени нагружения) 188
4.4. Учет деформаций усадки бетона 194
4.5. Определение деформаций ползучести бетона в условиях
действия повышенных температур 195
4.6. Теоретический способ построения модели ползучести бетона
при трехосном растяжении на основе модели трещиноватого бетона 208
Глава 5. ТРЕХМЕРНЫЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
БЕЗ ТРЕЩИН 213
5.1. Армирование. Исходные диаграммы деформирования армату-
арматуры 213
5.2. Вывод физических соотношений для железобетонных элемен-
элементов при ортотропном армировании 223
5.3. Учет влияния температуры 229
5.4. Учет наклонно расположенной арматуры 231
Глава 6. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЖЕЛЕЗО-
ЖЕЛЕЗОБЕТОНА С ТРЕЩИНАМИ 233
6.1. Исходные предпосылки общей модели 233
6.2. Напряжения в элементах с трещинами и их составляющие 241
6.3. Относительные деформации элемента с трещинами 245
6.4. Связь реальных напряжений в арматуре с общими деформаци-
деформациями элемента 248
6.5. Вывод общих физических соотношений 254
6.6. Учет влияния температурных деформаций 264
6.7. Преобразования физических соотношений при повороте осей
координат 270
6.8. Случай объемного ортотропного армирования 272
6.9. Определение ширины раскрытия трещин 288
6.10. Плоское напряженное состояние 292
6.11. Экспериментальные параметры, входящие в теоретические
зависимости 311
6.12. Особенности описания сложных программ нагружения 317
6.13. Расчет плоских железобетонных конструкций с учетом трещи-
нообразования 324
6.14. О некоторых общих критериях прочности железобетонных
элементов с трещинами 332
409

6.15. Примеры расчета железобетонных конструкций в трехмерной
постановке на силовые и термосиловые воздействия 339
Глава 7. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА С УЧЕ-
УЧЕТОМ ДИСКРЕТНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ АРМАТУРЫ 345
7.1. Особенности развиваемого подхода 354
7.2. Местное смятие бетонных консолей, расположенных между
выступами арматуры 356
7.3. Определение области контактных конических и радиальных
трещин 359
7.4. Расчетная модель зоны конических трещин. Первый случай
образования контактных трещин 366
7.5. Второй случай развития контактных трещин 376
7.6. Решение задачи сцепления для центрально-армированных
элементов 386
Список литературы 394
CONTENTS
PREFACE 6
Chapter 1. PECULIARITIES OF CONCRETE STRESSED-DE-
FORMED STATE DESCRIPTION USING METHODS OF DEFORMED
SOLID BODY MECHANICS 9
1.1. Peculiarities in representation of concrete as a model of solid
body 9
1.2. Cracks in concrete and related properties of the material 9
1.3. Brief information on principal equations of deformed solid body
mechanics 28
Chapter 2. STRENGTH THEORIES OF CONCRETE UNDER
NON-UNIAXIAL STRESSED STATES 60
2.1. Brief analysis of initial criteria of concrete strength and history of
their development 61
2.2. Some modern directions oT strength criteria development 66
2.3. A general concrete strength criterion and method for its formula-
formulation 70
2.4. Practical usage of concrete strength criteria 86
2.5. Composite strength criteria 90
Chapter 3. THEORY OF CONCRETE DEFORMATION UNDER
SHORT-TERM ACTION OF LOAD 92
3.1. Stress-strain diagrams of concrete in compression and tension.
Transverse deformations 92
3.2. Formulation of concrete diagrams in the form of relationships
between stress and strain increments. Description of complex unilateral and
bilateral loading programs 107
3.3. Consideration of high temperature influence on the compression
and tension diagrams of concrete 122
3.4. Three directions in formulation of stress-strain relationships for
concrete under volumetric stress state 126
3.5. On some diagrams of three-axial stresses 133
3.6. Relationships between stresses and deformations under three-
axial stressed state in the case of active loading 136
3.7. Formulation of general physical relationships in terms of incre-
meiitsof the stress and the deformation tensors components. Loading and
unloading 145
3.8. Theoretical approach to formulation of stess-deformation relation-
relationships in the three-dimensional case on the base of a cracked concrete model . 155
411

Chapter 4. SOME APPROACHES TO PREDICTION OF NON-
NONLINEAR CREEP DEFORMATION OF^CONCRETE IN THE CASE OF
UNIAXIAL AND NON-UNIAXIAL STRESSED STATE , 165
4.1. Technique of diagrams-isochrons under standard loading regimes.
Description of complex loading programs r 165
4.2. Application of the isochrons technique to the prediction of
concrete creep deformations under three-axial compression 183
4.3. Prediction of concrete deformations using a transformed loading
time technique 188
4.4. Consideration of shrinkage deformations 194
4.5. Concrete creep deformations predictions under action of high
temperature 195
4.6. Theoretical approach to a model formulation for concrete creep
under three-axial tension on the base of the cracked concrete model 208
Chapter 5. THREE-DIMENSIONAL REINFORCED CONCRETE
ELEMENTS WITHOUT CRACKS 213
5.1. Reinforcement. Initial stress-strain diagrams of reinforcement 213
5.2. Derivation of physical relationships for reinforced concrete
members with orthotropic reinforcement 222
5.3. Temperature influence consideration 229
5.4. Inclined reinforcement consideration 231
Chapter 6. GENERAL MODEL OF REINFORCED CONCRETE
WITH CRACKS 233
6.1. Initial preconditions of the general model 233
6.2. Stresses in elements with cracks and their components 241
6.3. Strains of elements with cracks 245
6.4. Relation between actual stress in reinforcement with overall
deformations of the element 248
6.5. Derivation of the general physical relationships 254
6.6. Consideration of temperature deformation influence 264
6.7. The coordinate axes rotation and corresponding transformations
of the physical relationships 270
6.8. A case of volumetric orthotropic reinforcement 272
6.9. Crack width calculation 288
6.10. Plane stress state 292
6.11. Experimental parameters in the theoretical relationships 311
6.12. Peculiarities in complex loading programs descriptions 317
6.13. Analyses of reinforced concrete structures considering the
cracking '..'. 324
6.14. On some general strength criteria of reinforced concrete elements
with cracks 332
6.15. Examples of reinforced concrete structure analysis in three-
dimensional formulation under force and thermal actions 339
Ait
Chapter 7. FORMULATION OF REINFORCED CONCRETE
MODEL CONSIDERING DISCRETE ARRANGEMENT OF THE REIN-
REINFORCEMENT 35,
7.1. Peculiarities of the approach 35*
7.2. Local crushing of concrete cantilevers between ribs, of a reinfor-
reinforcing bar 35,
7.3. Zones of conical and radial contact cracks :.... 35<
7.4. Analytical model of conical cracks zone. First case of conical
cracks formation 361
7.5. Second case of contact cracks development 37(
7.6. Solution of the bond problem for centrally reinforced elements 38<
Literature 39<

Научное издание
Карпенко Николай Иванович
ОБЩИЕ МОДЕЛИ
МЕХАНИКИ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
Редактор Л. И. Круглова
Технический редактор М. С. Ашиткова
Корректоры Е.Б. Тотмина, Н.А. Шатерникова
Оператор С.А. Савченко
Лицензия №020441 от 28.02.92
ИБ №5857
Оригинал-макет изготовлен: в Стройиздате с использованием
настольной издательской системы на основе ПЭВМ
Подписано в печать 25.04.96 Формат 6Ох?8 /16 Бумага офсетная
Печать офсетная • Усл.печ.л. 26,0
Уч.-изд.л. 26,87 Дог. А—УШ—3966 Тираж 2000 экз. Зак1Ш.
Стройиздат. 101442 Москва,
Долгоруковская, 23а
Отпечатано в АООТ "Политех-4"
129110, Москва, ул. Б. Переяславская, 46.
Издательство "СТРОЙИЗДАТ"
представляет книги:
АРЕНДА В ПРОМЫШЛЕННОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕ-
МАТЕРИАЛОВ: СУЩНОСТЬ, ПРОБЛЕМЫ, ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ
/ Л.Ю.Карновский, А.Н.Люсов, А.С.Хон.
На основе опыта работы инициаторов аренды в промышленности
стройматериалов рассмотрены главные проблемы, определены перс-
перспективы и основные направления развития арендных предприятий. Про-
Проведен анализ технико-экономических показателей, рассмотрена
практика решения возникающих вопросов на предприятиях Московской
области, производящих строительные материалы. Выявлены особенности
и условия благоприятной приватизации арендных предприятий.
Книга предназначена инженерно-техническим работникам и эко-
экономистам промышленных предприятий, научным работникам, студентам
и аспирантам.
Каландадзе В.Ш. РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩИЕ ЖЕЛЕЗОБЕ-
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫЕ КОНСТРУКЦИИ.- 2-е изд., перераб. и доп.
Описаны результаты теоретических и экспериментальных исследо-
исследований вибрнрованных и центрифугированных железобетонных конст-
конструкций для энергетических сооружений, изготовленных из обычного (тя-
(тяжелого) , пористого и золошлакового заполнителей. Их внедрение дает
значительное уменьшение затрат металла и бетона, решает проблему зо-
золоудаления, снижает транспортные и монтажные расходы. Первое
издание вышло в 1988 году. Второе издание дополнено и переработано с
учетом последних достижений в области технологии бетона.
Книга адресована научным и инженерно-техническим работникам
исследовательских, проектных и строительных организаций, занима-
занимающихся энергетическим и промышленным строительством.
Назин ВВ. НОВЕЙШИЕ СЕЙСМОСТОЙКИЕ КОНСТРУКЦИИ
И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫЕ МЕХАНИЗМЫ СЕЙСМОИЗОЛЯЦИИ
ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ.
На примере Севастополя, Ялты, Алушты и других городов изложена
история развития сейсмостойкого строительства. Приведена методика
увеличения прочности зданий. Предложена новая конструкция - ферма-
балка. Проанализированы наиболее эффективные сейсмостойкие конст-
конструкции и железобетонные механизмы сейсмоизоляции. Рассмотрены
гравитационнве, а также гравитационно-упругие системы сейсмоизо-
сейсмоизоляции.
Издание адресовано инженерно-техническим работникам проект-
проектных и строительных организаций.