Теория расчета строительных конструкций на надежность - Ржаницын А.Р.

Автор: Ржаницын А.Р.
Теги: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций строительство строительные конструкции теория надежности технологические расчеты
Год: 1978
Похожие
Избранные проблемы надежности и безопасности строительных конструкций
Современные проблемы строительной механики
Теория надежности в строительном проектировании
Прогнозирование ресурса машин и конструкций
Текст
                    Ж
•S • л
А. Р. Ржаницын
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА
СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
НА НАДЕЖНОСТЬ


МОСКВА СТРОИИЗДАТ 1978
A. P. Ржаницын
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА
СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
НА НАДЕЖНОСТЬ
Москва Стройнздат 1978
УДК 624-046.5
Печатается по решению секции литературы по строительной физике
и конструкциям редакционного совета Стройиздата
Ржаницын А. Р. Теория расчета строительных конструкций на
надежность. —М.: Стройнздат, 1978. — 239 с.
Дано систематическое изложение вопросов теории надежности
строительных конструкций. Приведена новая методология расчета,
основанная на вероятностном подходе. Особое внимание уделено
статистическим свойствам нагрузок и их сочетаниям, а также учету
случайных отклонений в прочностных характеристиках. Рассмотре-
ны проблемы вероятностной оптимизации конструкций.
Книга предназначена для научных и инженерно-технических ра-
ботников научно-исследовательских и проектных организаций.
Табл. 2, рис. 124, список лит. 163 назв.
30205—516
047(01)—78
БЗ—26—16—78
© Стройнздат. 1978
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория надежности конструкций и систем различного рода, получившая
развитие главным образом в последние два десятилетия, охватывает множе-
ство проблем. К этой теории близко примыкают вероятностные методы расче-
та, основанные на применении современной теории вероятности и, в частности,
теории случайных функций. В предлагаемой книге рассматриваются во-
просы теории надежности, относящиеся к расчетам строительных конструк-
ций. Теория надежности строительных конструкций, или как ее ранее называ-
ли, теория расчета строительных конструкций на безопасность развивалась
независимо от общей теории надежности и в ряде случаев опережала ее.
Например, первые расшифровки вероятностной природы необходимых коэф-
фициентов запаса прочности появились именно в строительной науке. Естест-
венно. что содержание и методика теории надежности строительных конст-
рукций и сооружений значительно отличаются от содержания и методики тео-
рии надежности, например электрических систем.
В настоящее время вероятностные методы расчета широко проникли во
все разделы строительной механики и теории расчета инженерных конструк-
ций, а основанная на этих методах методология расчета строительных конст-
рукций на прочность и безопасность не вызывает принципиальных возраже-
ний ни со стороны теоретиков расчета, ни со стороны инженеров-практиков.
Создаются предпосылки для постепенного перехода к расчету строитель-
ных конструкций, основанному на вероятностном подходе, взамен принятому
в настоящее время «полувероятностному» методу предельных состояний Вы-
зывают затруднения лишь ограниченные возможности существующего мате-
матического аппарата применительно к решению многих задач, встречающих-
ся в инженерной практике. В советской литературе пока еще мало обобщаю-
щих монографий по проблемам надежности и вероятностного расчета строи-
тельных конструкций, несмотря на большой интерес к ним инженерных и
научных кругов.
В предлагаемой книге собраны главным образом те материалы, над ко-
торыми автор работал с 1946 г., когда теория надежности еще не существо-
вала как самостоятельная дисциплина, а математические методы вероятност-
ных расчетов только появлялись в трудах крупных математиков: Хннчина,
Колмогорова, Винера и др. и инженерам не были известны. В книгу вошли
только те задачи и их решения, которые не утратили интереса в настоящее
время. Вместе с тем в ней содержатся и последние изыскания в области на-
дежности строительных конструкций, придающие этой дисциплине уже более
четкие очертания, необходимые для практических инженерных расчетов.
В книгу не вошли материалы, не относящиеся к исследованиям, прово-
дившимся автором. Это, прежде всего, динамические задачи надежности, ве-
роятностные расчеты оболочек и других пространственных конструкций; не
отражены в книге прикладные вопросы надежности, учитывающие конкрет-
ные конструктивные особенности железобетонных конструкций, морских со-
оружений, судостроения, антисейсмического строительства и т. д. Не рассмот-
рена также со статистических позиций прочность различных конструкционных
материалов. По всем этим вопросам имеются обширные комплексы исследо-
ваний, требующих специальных обобщений. Особое внимание уделено ста-
тистическим свойствам нагрузок и их сочетаниям. Это важная сторона теории
расчета строительных конструкций остается пока еще наименее исследован-
ной. Автор старался обходиться по возможности более простым математиче-
ским аппаратом, изложенным в первых двух главах и рассчитанным на широ-
кий круг читателей, и надеется, что имеющийся в книге систематизированный
материал представит интерес для лиц, работающих в области расчета строи-
тельных конструкций и сооружений, как знакомых с основными положениями
расчетов на надежность, так и приступающих впервые к их изучению.
Автор приносит благодарность проф. О. В. Лужину и доц. А. Б. Злочев-
скому за ценные замечания, сделанные ими при работе иад рукописью книги.
3
В ВЕДЕН И Е
Расчет конструкций на надежность еще не имеет единого,
общепринятого содержания. Нередко под этим понятием под-
разумевают обычный расчет конструкции на прочность и ус-
тойчивость, а в более общем смысле и любой ее расчет В Го-
сударственном стандарте СССР 13377—75 «Надежность в тех-
нике. Термины и определения» надежность определяется как
свойство объекта, заключающееся в его способности выпол-
нять определенные задачи в определенных условиях эксплуа-
тации, сохраняя во времени значения установленных эксплуа-
тационных показателей. Однако в более узком понимании на-
дежность представляет собой меру сохранности необходимых
свойств конструкции или объекта и способности противостоять
случайным факторам разного рода, нарушающим эти свойст-
ва. Таким образом, понятие надежности оказывается связан-
ным со случайной природой величин, характеризующих рабо-
тоспособность объекта, и выявляется количественно аппаратом
теории вероятности.
В качестве меры надежности будем использовать некоторую
количественную отвлеченную величину, равную вероятности со-
хранения кондиционных свойств конструкции в течение задан-
ного промежутка времени. Теоретически можно принять, что
абсолютной надежности, численно равной единице, не сущест-
вует и что всегда имеется хотя бы чрезвычайно малая вероят-
ность потери эксплуатационной способности конструкции. У то
положение часто вызывает возражения, поскольку во многих
случаях удается обеспечить полную надежность относительно
того или иного свойства, которое становится таким образом де-
терминированным. При этом и расчет становится детерминиро-
ванным, не нуждающимся в применении методов теории надеж-
ности. В других же случаях абсолютная надежность оказывает-
ся недостижимой из-за объективных природных закономерно-
стей статистического характера. Примером могут быть конст-
рукции, воспринимающие ветровую нагрузку, статистические
свойства которой не ограничивают ее сверху. В этих случаях
приходится мириться с каким-то достаточно малым риском вы-
хода конструкции из строя.
Часто бывает так, что полная надежность достигается в ре-
зультате больших затрат, в то время как во много раз мень-
шие затраты создают надежность, очень близкую к единице, с
практически неощутимым риском. При этом целесообразно вы-
бирать в качестве нормативной эту последнюю надежность или
же определять ее исходя из экономических соображений.
Таким образом, задача расчета на надежность состоит в оп-
ределении вероятности выхода конструкции из строя в задан-
ных условиях ее работы или же нахождении по заданной эко-
4
комически целесообразной надежности требуемых размеров
конструкции, допустимых нагрузок или оптимального срока
эксплуатации.
Теория надежности оперирует случайными величинами
наряду с обычными детерминированными. Это требует некото-
рой перестройки мышления, так как случайная величина пред-
ставляет собой не обычное число, а вектор в функциональном
пространстве в соответствии с заданной для нее функцией рас-
пределения.
В строительных конструкциях термин «надежность» по-
явился сравнительно недавно взамен применявшихся ранее
терминов «безопасность», «неразрушимость» или более общего,
но громоздкого термина «отсутствие перехода за предельное
состояние конструкции». Термин «переход за предельное со-
стояние» в последнее время вытесняется взятым из общей тео-
рии надежности термином «отказ» конструкций.
Теория надежности строительных конструкций развивалась
независимо от теории надежности в машиностроении и электри-
ческих системах. Лишь в последние годы наметилось сближе-
ние этих двух дисциплин и происходит интенсивный взаимный
обмен результатами. Специфика теории надежности строитель-
ных конструкций состоит в том, что необходимо учитывать слу-
чайные свойства нагрузок и воздействий на сооружения, а так-
же учитывать совместное действие случайных нагрузок на си-
стему со случайными прочностными характеристиками.
Впервые статистическая природа запаса прочности была
показана в 1926 г. М. Майером [147] и в 1929 г. Н. Ф. Хоциа-
ловым [122, 123]. Последний, работая на крупнейшей в то вре-
мя стройке «Свирь ГЭС», обратил внимание на неизбежный
разброс кубиковой прочности бетона, укладываемого в плотину
электростанции. Считая максимальную гидростатическую на-
грузку на плотину детерминированной, а прочность бетона под-
чиняющейся нормальному закону распределения, он вывел
формулу для необходимого запаса прочности, гарантировав-
шего неразрушаемость с заданной заранее обеспеченностью,
достаточно близкой к единице. Статьи Н. Ф. Хоциалова значи-
тельно опередили представления того времени о коэффициен-
те запаса, трактовавшегося тогда многими как «коэффициент
незнания», и поэтому прошли незамеченными широким кругом
специалистов. Существенным развитием идей Н. Ф. Хоциалова
и М. Майера явились работы Н. С. Стрелецкого [103—109], в
которых в качестве случайных величин использовались не толь-
ко прочностные характеристики материала, но и параметры на-
грузки. Н. С. Стрелецкому не удалось найти математически
правильного решения задачи о связи между коэффициентом за-
паса и кривыми распределения нагрузок и прочности. Тем не
менее его работы сыграли важную роль в постановке проблемы
надежности строительных конструкций и в отношении пропа-
5
ганды статистических методов расчета. Именно они послужили
началом развития нового раздела теории расчета сооруже-
ний— теории надежности строительных конструкций.
В 1945 г. в связи с разработкой новых норм расчета и про-
ектирования комиссией по унификации методов расчета, орга-
низованной Наркомтяжстроем, была принята условная схема
расчетных коэффициентов, предложенная И. И. Гольденблатом,
М. Г. Костюковским и А. Н. Поповым. Согласно этой схеме об-
щий коэффициент запаса расчленялся на три группы коэффи-
циентов: коэффициенты однородности, учитывающие возмож-
ные отклонения характеристик прочности, коэффициенты пере-
грузки, учитывающие случайные превышения нагрузок, и
коэффициенты условия работы конструкции. Эта концепция была
положена в основу схемы расчета, принятого СНиП; при этом
согласно вновь предложенной терминологии даны определения
предельным состояниям конструкции. Предельным было на-
звано такое состояние конструкции, при котором становится
невозможной или нерациональной ее дальнейшая эксплуата-
ция. Упомянутая выше комиссия в составе Н. С. Стрелецкого,
В. М. Келдыша, А. А. Гвоздева, В. А. Балдина, И. И. Гольден-
блата и других определила три вида предельных состояний по
прочности, деформациям и величинам раскрытия трещин (в же-
лезобетонных и каменных конструкциях). Несмотря на некото-
рые недоработки, принятая методика расчета была прогрессив-
ной, так как позволяла оценивать раздельно влияние случайно-
го характера прочностных свойств материала и нагрузки. Не-
достатком метода предельных состояний является то, что
коэффициенты однородности и перегрузки определяются для
каждого расчетного фактора независимо от изменчивости дру-
гих факторов. Это приводит к завышению надежности, т. е. к
недостаточно экономичному расчету при большом количестве
случайных факторов и к малой надежности в случаях, когда
случайным был только один фактор (например, в металличес-
ких резервуарах, где нагрузка определена и отклонения могут
быть лишь в величине прочности стали).
В настоящее время метод предельных состояний применя-
ется при расчете всех строительных конструкций и аналогичные
методы введены во многих странах, где они получили название
«полувероятностного» метода.
Более последовательно методы теории вероятности были
применены в работах [70—73]. Принципиальные положения и
результаты этих исследований следующие. Основная часть ис-
ходных расчетных данных представляется в виде случайных
величин с заданными кривыми распределения. Исходя из уста-
новленных детерминированных зависимостей между прочност-
ными факторами и параметрами нагрузки определяется раз-
ность S между приведенной прочностью R и приведенной на-
грузкой Q (выраженных в одних и тех же единицах), и для этой
6
разности строится кривая распределения. Вероятность того, что
S будет иметь положительное значение, представляет собой
величину обеспеченности или надежности, которая должна
быть достаточно близкой к единице. Из этого условия опреде-
ляется необходимый коэффициент запаса. Задача решается
особенно просто, если приведенные прочность и нагрузка име-
ют нормальные распределения. Были даны также рекоменда-
ции учета совместной работы элементов конструкции, в частно-
сти, при параллельном и последовательном их соединении,7 а
также учета повторяемости загружений. Для сложных нелиней-
ных детерминированных соотношений рекомендовался метод
вероятностной линеаризации. Аналогичные исследования в это
время проводились и были опубликованы за рубежом (Фрей-
денталь [139—141], Леви [145] и др.
Таким образом, уже в 1950 г. были разработаны основные
положения теории надежности и вероятностного метода расче-
та конструкций. В дальнейшем они нашли применение в расче-
тах конструкций и сооружений различных видов, в частности,
для металлических и железобетонных конструкций в работах
Б. И. Беляева [5—8].
Данная методика не использовала аппарат теории случай-
ных функций, который к тому времени еще не был доведен до
возможности широкого применения в инженерных расчетах.
Случайно переменную во времени нагрузку предлагалось за-
менять последовательностью случайных величин, изменяю-
щихся скачкообразно через известные промежутки времени, т.е.
случайный процесс нагружения заменялся повторным действи-
ем случайных нагрузок. Заметим, что этот упрощенный прием
сохранил свое значение и в настоящее время.
Появление монографий и учебников по теории случайных
процессов [65, 91] способствовало использованию этой теории
в задачах расчета надежности конструкций. К этому времени
относится публикация статей и монографий В. В. Болотина
[11-16], где теория случайных процессов была применена к
решению многих задач теории надежности, в частности дина-
мических. В книгах В. В. Болотина впервые были обобщены
вопросы теории надежности строительных конструкций; эти ра-
боты сыграли большую роль в развитии этой теории. М. П. Бар-
штейном [3, 4] случайные процессы были использованы внача-
ле в простейшем стационарном виде для описания ветровой
нагрузки, сейсмических сил и давления морских волн на соору-
жения. Случайные функции времени и пространственных коор-
динат применяют в расчетах надежности конструкций наряду
с упрощенными методами, ограничивающимися операциями
над случайными величинами.
В вероятностном подходе к расчетам конструкций уязвимым
местом является принцип назначения нормированной вероят-
ности сохранения конструкции, т.е. нормируемой ее обеспечен-
7
ности. В работе [75] был предложен подход к определению
требуемой обеспеченности исходя из минимума полных ожи-
даемых затрат, в том числе затрат на возвецение сооружения
и затрат на ликвидацию последствий повреждений или аварий
(с учетом вероятности возникновения этих повреждений в те-
чение срока службы сооружения). Такой подход не вызывает
никаких возражений для сооружений, аварии которых приво-
дят к чисто экономическим потерям, и требует лишь правиль-
ного проведения подсчетов ожидаемых затрат и потерь, выра-
женных в денежных единицах. В случае возможности разру-
шений с неэкономическими последствиями, т. е. с человечески-
ми жертвами, потерями художественных ценностей и т.п., от
волевых назначений пока полностью избавиться не удается.
Одним из таких волевых назначений может быть «цена чело-
веческой жизни», т. е. ее денежный эквивалент. Такой грубый
подход к оптимизации надежности сооружений с неэкономичес-
кой ответственностью вряд ли может быть принят. Но некото-
рый произвол в нормировании оптимальной надежности при
учете разнообразных факторов, не поддающихся математиче-
скому анализу, неизбежно останется.
В области оптимизации надежности сооружений с чисто эко-
номической ответственностью пока проведено не очень много
исследований, из которых следует отметить работы автора
[78, 85, 86], Б. И. Снарскиса [95—97], А. Я- Дривинга [34—
37], Ю. Д. Сухова [114, 115], С. А. Тимашева [117].
В статистическом расчете сооружений участвуют случайные
величины и функции двух групп: прочностные факторы и на-
грузки (или воздействия), хотя в расчетных формулах их всег-
да приходится учитывать совместно, в начале расчета обычно
удается расчленить эти две группы величин, анализируя их от-
дельно одни от других.
Первые соображения о различном подходе к прочности ста-
тически определимых и статически неопределимых систем были
высказаны в работах [71—73]. Для статически определимых
систем прочность выражается через прочность самого слабого
звена, и задача сводится к нахождению вероятности появле-
ния минимального значения некоторой величины, реализую-
щейся в нескольких статистических совокупностях. В статичес-
ки неопределимых системах дело обстоит сложнее и, за исклю-
чением простейших случаев, до сих пор еще не удается
рассчитать их на надежность.
Вероятностный расчет на устойчивость был произведен, по-
видимому, впервые в работах [73, 74], где предлагалась мето-
дика построения кривых для коэффициентов снижения допус-
каемых напряжений при сжатии в зависимости от возможности
случайных эксцентрицитетов приложения осевой силы и от
начальных искривлений стержня. В. В. Болотиным [11],
И. И. Воровичем [23], А. С. Вольмиром [22], Б. П. Макаровым
8
[54] и другими исследовались задачи статистической устойчи-
вости оболочек. Сюда следует отнести также работу Б. Я- Не-
мировского [61], где устойчивость пологой оболочки рассмат-
ривалась в зависимости от комбинаций двух случайных факто-
ров: внешней нагрузки и начального искривления. В связи с
вероятностными методами расчета на устойчивость было вве-
дено понятие о статистической устойчивости [80, 88], при ко-
торой однородная система уравнений для дисперсий перемеще-
ний может иметь отличные от нуля решения. Доказана теоре-
ма о том, что критические значения параметрических сил при
статистической потере устойчивости имеют ту же величину что
и для обычной потери устойчивости той же механической си-
стемы.
Одной из общих задач вероятностного расчета на прочность
и деформативность является задача теории упругости тела со
случайно переменными по его координатам коэффициентами
упругости. Основные работы в этой области принадлежат
В. А. Ломакину [50]. Имеются предложения по вероятностно-
му расчету пластических тел и систем [87, 126, 127], а также
применению его к теории ползучести [81]. Вероятностные ме-
тоды нашли обширное применение в динамике сооружений.
Своеобразной задачей, имеющей практическое значение для
расчета фундаментов зданий, является расчет балки на упру-
гом основании со случайно переменным по длине коэффициен-
том постели. Эта задача была решена Д. Н. Соболевым [98]
и почти одновременно В. В. Болотиным [14]; в дальнейшем ею
занимались А. К. Юсупов [130], А. П. Пшеничкин [66, 67]
И др.
В части нагрузок на здания и сооружения в теории надеж-
ности сделано значительно меньше, чем в отношении прочно-
сти, хотя случайный характер воздействий на сооружения про-
являет себя более резко, чем сравнительно небольшой разброс
параметров прочности. Здесь сказалась также недостаточная
еще изученность детерминированных закономерностей нагру-
зок. Наибольшее число исследований относится к атмосферным
нагрузкам, ветровой, снеговой и к температурным воздействи-
ям наружного воздуха, где имеется большой статистический
материал, накопленный метеорологическими станциями. В на-
стоящее время ветровую нагрузку рассматривают как случай-
ную функцию времени и пространственных координат, вызыва-
ющую сложное взаимодействие ветра с конструкцией. Снего-
вую нагрузку рассматривают как случайную последователь-
ность, нестационарную в течение одного года и стационарную,
если рассматривать годовые максимумы снеговой нагрузки за
много лет.
Полезные нагрузки в большинстве случаев также носят слу-
чайный характер, но их закономерности уловить иногда очень
трудно. Большой статистический материал имеется по крано-
9
вым нагрузкам в промышленных зданиях. Однако на случай-
ные факторы здесь наслаиваются детерминированные зависи-
мости, что требует большой осторожности в анализе статисти-
ческих данных.
Очень важен вопрос сочетания нагрузок постоянных во вре-
мени и случайно переменных. В существующей расчетной прак-
тике назначение коэффициентов сочетаний производится весь-
ма условно и недостаточно обоснованно. Строгий расчет с уче-
том сочетания нагрузок может быть выполнен суммированием
случайных процессов с применением затем теории выбросов.
Однако такой естественный путь решения на практике оказы-
вается слишком сложным. В предлагаемой книге намечаются
пути расчета на действие нескольких нагрузок или воздействий,
рассматриваемых как сравнительно редкие случайные собы-
тия. При этом малая вероятность совпадения во времени пико-
вых значений нагрузок позволяет при их совместном учете сни-
жать средний уровень суммарного воздействия.
В настоящее время большинство задач теории надежности
строительных конструкций еще только поставлено и не получи-
ло необходимого для практики решения. Разработка этих за-
дач представляет собой важную и актуальную проблему. Вме-
сте с тем можно сказать, что уже наметилось содержание ос-
новных разделов теории надежности строительных конструк-
ций, выделившейся в самостоятельную дисциплину.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.	ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть некоторая величина х в зависимости от случайных
факторов может принимать различные значения. На основании
статистических наблюдений или теоретическим методом обыч-
но можно установить (точно или приближенно) вероятность
того, что эта величина расположится в пределах
х<х<х + Дх.	(1)
Обозначим вероятность справедливости этого неравенства
через АР(х). Тогда предел отношения АР(х)/Ах при х, стре-
мящемся к нулю, определит плотность вероятности распределе-
ния случайной величины х. Этот предел мы обозначим через
рх(х). Волнистой чертой над буквой будем обозначать случай-
ные величины, а без этой черты — их возможные значения.
График зависимости Рх от х называется кривой распреде-
ления плотностей вероятности случайной величины или просто
кривой распределения величины х (рис. 1,а). Индекс х, указы-
вающий, что кривая распределения относится к случайной ве-
личине х, иногда будем опускать, если это не может вызвать
неясности. При этом аргумент, стоящий в скобках, должен быть
тот же, что и отброшенный индекс.
Интеграл плотности вероятности, взятый в определенных
пределах, представляет собой вероятность того, что случайная
величина будет заключаться в этих пределах. Вероятность то-
го, что х будет меньше х, обозначим через Рх(х). Очевидно,
что
х
11
Зависимость Рх(х) называется интегральной функцией рас-
пределения случайной величины х (см. рис. 1,6). Обратная
функция х=х(Рх) дает значения х, соответствующие заданной
вероятности непревышения Рх. Эти значения называются кван-
тилями вероятности Рх.
Интегральная кривая распределения монотонно возрастает
от нуля (при х=—оо) до единицы (при х=оо). Таким обра-
зом, интеграл от плотности вероятности, взятый в пределах от
минус до плюс бесконечности, равен единице:
J рх (х) dx = 1.	(3)
Другими словами, площадь кривой распределения равна
единице.
Интеграл вида
f xpx(x)dx = x	(4)
называется математическим ожиданием случайной величины х
или центром распределения х. Геометрически х представляет
собой абсциссу центра тяжести площади, ограниченной кривой
распределения и осью абсцисс. Математическое ожидание квад-
рата отклонения величины х от центра ее распределения х,
равное
х — J (х— х)2 рх(х) dx = J x2px(x)dx — х2,	(5)
называется дисперсией случайной величины х. Геометрически
дисперсия представляет собой центральный момент инерции
площади, ограниченной кривой распределения или, поскольку
последняя равна единице, квадрат радиуса инерции этой пло-
щади.
Если случайная величина х может принимать только поло-
жительные значения, то ее математическое ожидание можно
выразить следующим образом:
X = 1хрх (х) dx = х \РХ (х)— 1] J— f [Рх (х) — 1] dx = I [1 — Рх (х)] dx. (6)
б	об	о
Формула (6) имеет простое геометрическое толкование. Ве-
личина х равна площади, ограниченной осью х=0, горизон-
талью Рх(х) — 1 и интегральной кривой распределения Рх(х)
(рис. 2).
Квадратный корень из дисперсии называется стандартом
~	л
случайной величины х. Будем обозначать его через х\ тогда
Л
х2 = х.	(7)
12
Кроме того, применяют следующие общеупотребительные
обозначения математического ожидания и дисперсии:
х — /И (х); х = £>(х).	(8)
Коэффициентом изменчивости или коэффициентом вариа-
ции случайной величины х называется отношение ее стандарта
к математическому ожиданию
Ах = х/х.	(9)
Числовыми характеристиками кривой распределения явля-
ются также начальные моменты n-го порядка
Л1„(7)= f x"px(x)dx; (п= 1,2,3,...).	(10)
и центральные моменты n-го порядка
Рл(*)= f (x — x)npx(x)dx; (п = 1,2,3,...).	(11)
Очевидно, что начальный момент первого порядка представ-
ляет собой математическое ожидание; центральный момент
первого порядка равен нулю, а второго порядка — есть диспер-
сия случайной величины х:
7И1 (х)	(х) =х; Р1(х)=0; [12(х)=х.	(12)
Центральные моменты выше второй степени характеризуют
такие свойства кривой распределения, как ее асимметрию
Рз(*)= f (х —x)3px(x)dx.	(13)
Удобнее	пользоваться безразмерной характеристикой,	так
называемым коэффициентом асимметрии
5а = Рз/хз.	(14)
Уплощенность	(эксцесс) кривой распределения	определя-
ется как
£,=-£—3	(15)
X4
и т.д.
Имея в виду довольно грубые приближения, вполне оправ-
данные в инженерных расчетах при вычислении надежности и
коэффициентов запаса строительных конструкций, в дальней-
шем изложении моменты высоких степеней рассматриваться и
учитываться не будут.
13
2.	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ величин
Функция случайной величины будет также случайной вели-
чиной. Ее распределение соответствует распределению аргумен-
та, но с измененной шкалой абсцисс. Так, если и=и(х), где
и( )—монотонная функция своего аргумента, то распределе-
ние и определяется тем, что вероятность нахождения и в пре-
делах U1CWCW2 равна вероятности неравенства Хг<х<х2, где
Kj=u(xi) и п2=п(х2).
Полагая разности х2—Xi и и2—бесконечно малыми, полу-
чим, что ординаты кривой распределения и выражаются через
ординаты кривой распределения х следующим образом:
Ри («) = Рх (*) Нт ——— = рх (х)	.	(16)
t/g —	dti
Ординаты интегральной кривой распределения Ри(и) совпа-
дают с ординатами кривой Рх(х), поскольку
и	X
Ри (*0 = J Ри (и) du = J рх (х) dx = Рх (х).	(17)
Центр распределения и выражается формулой
«= $upu(u)du= [ и (х) рх (х) dx,	(18)
а дисперсия и
и = [ {и — и)2ри («) du = [ и2(х) рх(х) dx — и2.	(19)
Для линейной функции
и = ах-±-Ь,	(20)
в частности, имеем
Ри (и) = ~ Рх (*); w = а х+ Ь; и = а2х.	(21)
а
3.	СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ДВУХ ИЗМЕРЕНИЙ
Совокупность двух случайных величин х и у можно на-
звать случайным вектором двух измерений. Вероятность воз-
никновения определенных сочетаний этих двух величин харак-
теризуется плотностью вероятности образования этих сочетаний,
являющейся функцией координат х и у. Откладывая плот-
ность вероятности в виде аппликаты р(х, у), получим поверх-
ность, которую будем называть поверхностью распределения
14
двух случайных величин х и у. Плотность
вероятности р(х, у) можно определить как
предел отношения вероятности появления
пары значений х и у. расположенных внут-
ри малой площади в окрестности точки (х.
у), к величине этой площади при стремле-
нии последней к нулю.
Поверхность распределения можно изоб-
ражать горизонталями (кривыми равной
плотности), нанесенными на координатной
РИС. 6.
плоскости х, у (рис. 3). Объем, ограниченный поверхностью рас-
пределения, представляет собой сумму вероятностей появления
всех возможных пар значений х, у и, очевидно, равен единице:
J J Р (x,y)dxdy= 1.
(22)
От поверхности распределения вектора (х, у) можно перей-
ти к кривым распределения его составляющих х и у. Для этого
надо проинтегрировать р(х, у) по одной из независимых пере-
менных в пределах от плюс до минус бесконечности:
Р(х)= P(x,y)dy- р(у)= f p(x,y)dx.	(23)
Центр (х, у) распределения р(х, у) определяется его коор-
динатами
*= f f хр(х,у) dxdy, у= J J yp(x,y)dxdy. (24)
—с» — оо	——со — сю
Точка (х, у) совпадает с проекцией на плоскость х, у цент-
ра тяжести объема, ограниченного поверхностью распределе-
ния р(х, у). Видим, что координаты центра распределения
р(х, У) совпадают с центрами распределения для кривых р(х)
И р(у)-
Сечения поверхности распределения плоскостями х=const и
£/=const дают соответственно условные плотности распределе-
15
ния р(у\х) величины у при определенных значениях
х и условные плотности распределения р(х\у) величины
х при определенных значениях у. Если х и у — зависимые
случайные величины, то кривые распределения р{у\х)
изменяются при изменении х, а кривые р(х\у) изменя-
ются при изменении у. Центры распределения этих кри-
вых при таких изменениях образуют линии регрессии J и 2
(рис. 4). В случае независимых х ji у линии регрессии пред-
ставляют собой прямые х=х и у=у, параллельные осям коор-
динат (рис. 5). При наличии функциональной связи между хи
у обе линии регрессии сливаются в одну— У=у(х)\ при этом
поверхность распределения может быть заменена кривой рас-
пределения х или у вдоль линии у=у(х) (рис. 6).
Дисперсии поверхности распределения определяются фор-
мулами:
(х^/)хх = f J (х — я)2 р (х .у) dx dy\
\х>у}уу = [ f (y — y)2p(x,y)dxdyt
(25)
(х,у)ху = (х,у)ух = f J (х — х)(у — y)p(x,y)dxdy.
Дисперсии (х, у)хх и (х, у)уу равны дисперсиям кривых рас-
пределения р(х) и р(у) (23) случайных величин х и у. Поэто-
му вместо обозначений (25) можно применять более простые:
(х^)ла=хх = х; [х^у}уу = УУ = У\ {х^у\ху=ху-	(26)
Если х и у независимые случайные величины, то
Р(х,у)^р{х)р{у)	(27)
и Х(/=0. В этом случае говорят, что между величинами х и у
отсутствует корреляционная связь.
Для характеристики стохастической связи между величина-
ми х и у используется безразмерный параметр
(28)
который называется коэффициентом корреляции. Равенство
нулю коэффициента корреляции необходимое, но не достаточ-
ное условие независимости случайных величин.
16
Коэффициент корреляции равен единице при линейной
функциональной связи между х и у вида у=ах+Ь. Нелиней-
ная функциональная связь между х и у дает коэффициент кор-
реляции k меньше единицы. Таким образом, условие до-
статочное, но не необходимое для установления функциональ-
ной связи между х и у.
4.	ФУНКЦИИ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Перейдем от пары случайных величин х и у к другой паре
случайных величин и и v по формулам
и = и (х,!/); v = v (х.	(29)
Зная распределение р(х, у), нетрудно получить распределе-
ние p(u, v) следующим образом. Вероятность осуществления
неравенств
x<x<x-\-dxny<y<y-}-dy	(30)
равна р(х, y)dxdy. При переходе к координатам и, v по форму-
лам (29) элемент площади dudv координатной плоскости u, v
выразится через переменные х и у формулой
dudv = J dx dy,
где J — функциональный определитель уравнений (29), равный
du	du
dx	*	dy
dv	dv
dx	’	dy
dudv dudv	t
-----—-------.	(31)
dx dy dy dx
Так как вероятность ДР расположения конца вектора (х, у)
внутри площади dxdy равна вероятности расположения конца
вектора (u, v) внутри площади dudv, то из равенства
ДР = р (х,у) dxdy = p (u,v) du dv
получаем
dxdy	p(x,y)
P = p (x,y) ~	= —— .	(32)
dudv J
т. e. аппликаты поверхности распределения двумерной случай-
ной величины р(х, у) уменьшаются в J раз или
p(rz,v) = p(x
dxdy
dudv
dxdy \
dvdu )
(33)
2—508
17
Центр распределения вектора (u, v) будет иметь
наты:
коорди-
J J p (u,v) ududv = [ J up (x,y)dxdy.
v= [ J p (u,v)vdudv = [ f vp(x,y)dxdy.
В случае линейного преобразования
и = 6b х + I/+ q; v = a2x + b2y-j- c2
получим:
J = I ai' N = Cl b2 — a2 by
|a2; b21
И .	, P (*.!/)
=01t2_Q2fcl •
(34)
(35)
(36)
(37)
При этом
( (fiix+fe1t/ + c1)p(x,t/)d^=a1x++
(38)
и аналогично:
т. e.
v = a2x-J- bsy + c2.
(39)
v = v(xty).
(40)
u -
J
Формулы (40) справедливы лишь для линейной зависимости
вектора (и, и) от вектора (%, у) (35).
Дисперсии распределения величин u, v при линейной зави-
симости последних от х и у выразятся следующим образом:
и = cj х 4- 2а1 Ьг х,у 4- Ь* у;
v = х + 2а2 Ь2 х,у 4- bl у,
u,v = ага2 х -h (ai Ь2 4- а2 by) х,у 4- ЬгЬ2 у.
(41)
Квадратичные формы для и и v3 выражаемые первыми дву-
мя уравнениями (41), существенно положительны, поскольку
дисперсии и и v не могут быть отрицательными при любых зна-
чениях ai, bi и a2i b2 соответственно. Необходимым условием
положительности этих квадратичных форм является положи-
тельность их дискриминанта
ху = xty2 > 0.
(42)
18
Отсюда следует, что
1^1 <Vху = ху.
(43)
Распределение одной из случайных величин, например и
при и=и(х, у) можно получить интегрированием (32) от ми-
нус до плюс бесконечности
Р дх С ду
р(и)=\р (х.у) — dy — р (х,у) —dx.	(44)
J	ди J	ди
Интегрирование производится в предположении, что х по-
стоянно, поэтому
dx = dv\ dy = ~~ dv	(45)
dv	dv
и равенство (44) можно представить в виде
Р (*0 = f р (х,у) dy—\p (х,у) dx,	(46)
J ди J ди
причем в первом интеграле х должен быть выражен через и и
у, а во втором — у через и и х.
Если принять
v = y; и = и(х,у),	(47)
то
дх	дх {и,у) _ Г ди(х,у) 1—1 ду _
ди ди [ дх J дх
и формула (46) приобретает вид:
Р (*0 = Jp (х,у)	dy = Jp[x (и,у), у] - дХ~У) dy. (48)
В частном случае линейной функции
и = ах by 4- с
имеем
х = — (U — by — с);	~~ = —	(49)
а	ди а
И
I Р (и — by — с \
Р = ~а~ J Рху (-----а-----’ У) dy'	(5°)
Для независимых случайных величин х и у
Р (х,у) = р(х)р (у)
2*
19
и формула (50) получает вид
Ри (“) = “ J Рх	) Ру (у) dy.	(51)
В частности, когда и равно сумме х и у, т. е. при а=1; Ь =
= 1; с=0 выражение (51) будет
ри(и) = ри(х + у) = J Рх{и~У)Ру(У)Лу-	(52)
Если величины х и у могут принимать только положитель-
ные значения, то в формуле (52) нижний предел интегрирова-
ния надо взять равным нулю, а верхний — равным и (при у>
>и величина х была бы отрицательной):
и
Р («) = f Рх (ц — У) Ру dy-	(53)
о
Очевидно, что в формулах (52) и (53) х и у можно менять
местами. Точно так же для разности величин х и у, полагая
а=1, Ь =—1, с=0, получаем
р(ц) = ри(х — у) = [ рх <ц + у)ру(у)dy
и, если х и у положительные, то
Р («) = f Рх (и + У) Ру (У) dy.
о
(54)
(55)
5.	СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР п ИЗМЕРЕНИЙ
Совокупность п случайных величин х2, —, хп представ-
ляет собой случайный вектор п измерений. Плотность распре-
деления этого вектора р(хь х2, хп) можно трактовать как
гиперповерхность в пространстве п-|-1 измерений, при этом:
J J ... J p(xllx2,...,xri)dxi,dx2,. _.,dxn = 1.
(л раз)
(56)
Кривую распределения каждой составляющей вектора мож-
но определить по формуле
со ©О	со
₽(*<) = f j ... f P(xltx2,...,xn)dx1dx2...dxi-1dxl+1...dxn.	(57)
—co —co —co
(л—1 раз)
20
Центры распределения кривых p(xi) являются также коор-
динатами центра распределения всей совокупности
©о	оо ©о	СО
*i=f PMxidx{= J J ... J xip(x1,x2,...,xn)dx1dx2...dxn. (58>
—co	—co —co	—co
(л раз)
Дисперсии распределения (хь х2. хп) образуют симмет-
ричную матрицу
(59)
где
xi = J [ ... J (xi—xi)2p(x1,xi,..^xri)dx1dx2...dxn==
(л раз)
= J (xt — x^2p{xi)dxli
(60)
xt,xi = f J * ••• f (xi — xi)(xi — xi)p(xix2
(л раз)
^х^х2..^хп,
При переходе к новым переменным по формулам
4 = 4(4Ла. .--,*л);	(« = 1,2,...,п)	(61)
плотность распределения вектора («», и2, ..., ип) получает вид
I
р(4
где J — функциональный
J =
[,«1. .^,un) = ~p(xltx2l... ,хп),	(62)
определитель уравнений (61):
dtii diii	dUi
dxi ’ dx2 f	dxn
dua	du2	du2
dXi	dx2	dxn
dun dun	dun
dxi * dxa ’	dxn
Если требуется найти распределение только одной функции
«1 = 4 (xltx2. ...5л),	(64)
21
то другие п—1 функции в (61) могут быть взяты произвольно.
Проще всего их брать равными:
^2 = х2; tis — х3;	...; ип = хп.	(65)
В этом случае обратное преобразование будет
= Xi (ttlf Z.ил) = Xi (tti,ха, х3,..., хп),	(66)
а функциональный определитель примет простой вид:
j dKj 1	дХ}
dxf * J	дщ
Далее, согласно (62) и (57), получаем:
дх±
Р («1,Х2,х3,... ,хп) = — р (Xi.Xa, - • - ,*п);
©о ©о	©о
Р Ю = J J - - - J	Р (*1,*2.. -  ,*л) dxa dx3, ...,dxn.	(67)
——©о —©о	—©о
(л—1 раз)
Здесь под знаком интеграла Xi должно быть выражено че-
рез U1, х2, х3, хп.
Для линейной функции
и = 2 ai xi + а0	(68)
1=1
математическое ожидание и дисперсия определяются выраже-
нием
л _	л л ___________ ____
и = V ai Xi -|- а0; и = У, У, ai at Xi х?-, (xt- xt = xj .	(69)
i=i	i=i /=1
Из условия положительности квадратичной формы (69)
[аналогично случаю двух переменных (70)] следует, что
|хлх}| < l^XfXf.	(70)
6.	ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Метод линеаризации функций случайных величин. Для не-
линейных функций вычисление плотности распределения по фор-
муле (67) приводит к громоздким вычислениям, связанным с
многократным интегрированием. Для линейных же функций не-
посредственное получение центра и дисперсии по формулам
(69) не вызывает затруднений. Если плотность вероятности
вектора (хь х2, хп) быстро затухает при удалении его со-
22
ставляющих от центра распределения, то можно использовать
разложение нелинейной функции в ряд Тэйлора
« = «+ (£ — *1) fc —*2)	fc — хп)	+	(71)
дх2	дхп
при этом и приближенно принимается равным;
и^и{хих2....*и).	(72)
а значения частных производных ди/дХг берутся при Xj=Xj.
Таким образом, разложение в ряд Тэйлора производится в ок-
рестностях приближенного положения центра распределения
случайного вектора (хь х2, ..., хп). Через W в (71) обозначены
нелинейные члены, которыми можно пренебречь, поскольку при
малых отклонениях от центра распределения они пренебрежи-
мо малы, а при больших отклонениях малы плотности вероят-
ности р(и). Заметим, что в обычно встречающихся функциях
распределения значения плотности вероятности при больших
отклонениях от центра убывают быстрее любой степенной
функции.
После замены нелинейной зависимости линейной дисперсия
и достаточно просто может быть вычислена по формуле
ди
dxj
XiXj.
(73)
Частные производные duldxi здесь, как уже было сказано,
берутся при Xj=Xj (j=I, 2, ..., п). Для характеристики всей
кривой распределения р(и) обычно бывает достаточно значе-
ний математического ожидания и дисперсии при малой измен-
чивости функции и\ впрочем изложенным способом нетрудно
определить приближенные дополнительные характеристики
кривой распределения — центральные моменты высших степе-
ней.
Учет нелинейных членов разложения. При большой измен-
чивости случайных величин метод линейной аппроксимации
может оказаться недостаточно точным. В этом случае имеется
возможность учета нелинейных членов разложения функции в
степенной ряд. Будем считать, что независимые переменные
хь х2, ...» хп имеют начало отсчета в центре их распределения
p(xi, х2, ..., хп), т. е., что
xi=0; (i = 1,2,... ,п).	(74)
Это имеет целью некоторое упрощение формул и не нару-
шает общности решения. Напишем разложение функции и в
ряд Тэйлора
23
~ ~ ~ rz° !
Xj Xj Х/{ x-XjX^~}-...
(75)
где u® , up x f u°x x x , ... означают частные производные функ-
ции иу взятые по переменным, стоящим в индексах, при нуле-
вых значениях этих переменных.
Определим центр распределения и. Для упрощения записи
опустим в дальнейшем пределы суммирования по индексам i,
/, А, ... от 1 до п и интегрирования от минус до плюс бесконеч-
ности
« = И• - -f чр	. *п) dxtdx2 .. ,dxn = у22«^X/ f j-..	Xi X
Xp(x1,x2,...,xn)dx1 dxz.. ,dxn + у 222<^/ЖJf.. - J V A P ( V2 • • • xn) x
X dx±dx2... dxn +... = у 22^17, +
+мз (xi-xrx*) +•  •	(76)
Af3(Xi, Xj, xh) означает момент третьего порядка относительно
переменных, стоящих в скобках. Как видим, нелинейные члены
смещают центр распределения и от начала координат, и он не
совпадает с центром распределения р(хь х2, хп)
Определим момент второго порядка для и:
Мг («) = JJ... J «2 р (х1гх2,... ,хп) dx! dx2.. .dxn = J J.., JX
X	+ y22xf x. u^x.x- + £ 22S x. x. xfe uXjXjXj^~ 1.. j X
x p (xvxi..x„) d\ dx* • • 4 = Я- • • J [ал “S/+ т522 w*x
“U+T ^xi	+
+ Y XSSSx.	+...] p (хрх2..xn)	,dxn =
=	uXj x.,х^ 4- у 222uxjxk	(xvxi' xk) +	^^их^- их^ x
X^(Xi»xpXktXi)	UXjXkX[ (Xi’XJ1Xk'Xl) ~Ь -
и дисперсию и:
•24
и— М2 («) — и2.
Учитывая члены не выше четвертой степени, находим
и2 = — SSSSwJ Хги2 х х., х. х., х. J-,;.
4	X-Xj	i’ j k* I '
“ =	(VV**)+ Е2И х
х ("4” “V/U°t*l ^"(Г
^^их^1 UxJ^cl Xi ,xjXk,Xl~^~ —
Для функции одного переменного уточненные значения ма-
тематического ожидания и дисперсии можно вычислить по
формулам:
« = -у м +	Мд(х) + ...	(78)
и = ("о)2 х + у "о "о М3 W + "J” (w°)2 tM4(х) ~ хI + 4" "° "° М* <*>+• * ’
(79)
Уточнение, подобное изложенному и проведенное с учетом
моментов четвертого порядка, было ранее дано А. К. Юсу-
повым [130].
Методы численного интегрирования и Монте-Карло. Этот ме-
тод удобен и нагляден для вычисления кривой распределения
функции двух случайных аргументов х и у. При этом поверхность
распределения р(х, у) может быть изображена на плоскости х, у
с помощью числовых отметок или горизонталей. Для нахождения
кривой распределения u=u(x, у) берут частные значения и и
проводят на плоскости х, у семейство кривых г/(х, у)=пЛ=
= const, где п=1, 2, 3, ..., 0, —1, —2, —3, ..., А — достаточно ма-
лая величина, удовлетворяющая требуемой точности вычислений
(рис. 7). По числовым отметкам подсчитывают объем, ограничен-
ный поверхностью распределения р(х, у), плоскостью х, у и вер-
тикальными цилиндрическими поверхностями, проходящими че-
рез две соседних кривых семейства и=пД и и= (n-f-l)A. Если
обозначить полученный объем через УпД , то ордината искомой
кривой распределения р(и) для w=nA будет
V Л
Ри(„Д) = _^_.	(80)
А
Метод численного интегрирования особенно эффективен в тех
случаях, когда функция и(х, у) разрывна или имеет разные ана-
литические выражения в различных областях плоскости х, у.
Функция распределения двух или нескольких случайных ар-
25
РИС. 7.
гументов в большей степени за-
висит от часто встречающихся
значений аргументов, соответст-
вующих их максимальной плот-
ности распределения. К тому же
мало достоверные значения аргу-
ментов, соответствующие асимп-
тотически исчезающим плотнос-
тям распределения, могут вно-
сить неточности в результаты.
Поэтому численное интегрирова-
ние, равномерно распределенное
по всей области изменения слу-
чайных аргументов, целесообразно заменить таким ин-
тегрированием, в котором погрешность на больших ин-
тервалах отклонения от центра распределения аргументов
сказывалась бы тем меньше, чем меньше соответствую-
щая этим отклонениям плотность распределения. Это достигает-
ся методом рандомизации, получившим название метода
Монте-Карло. Суть метода в том, что аргументам даются слу-
чайные значения с помощью таблиц случайных чисел. Эти табли-
цы имеются для различных предполагаемых или заданных кри-
вых распределения случайных аргументов: равномерного распре-
деления, нормального, распределения Пирсона и т. д. (см. ниже).
Каждой случайной точке (хь хг,—, хп), где Xi х2,..., хп берутся
из соответствующих таблиц случайных чисел, отвечает опреде-
ленное значение функции и(хи х2, ..., хп). После реализации до-
статочно большого количества значений случайной величины и
их можно сгруппировать по интервалам пД<и< (n-j-l) Д и по-
строить ступенчатую аппроксимацию искомой кривой распределе-
ния р(и).
Ввиду большого числа необходимых реализаций и метод
Монте-Карло находит применение лишь при использовании быст-
родействующих вычислительных машин. Таблицы случайных
чисел для значений аргументов могут составляться самой маши-
ной по специальной программе.
7. ЧАСТО ПРИМЕНЯЕМЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Нормальное распределение. Для одной случайной величины
нормальный закон распределения показан на рис. 8 и описывает-
ся выражением
Р (*)=	exp	.	(81)
I 2лх	2х
К этому закону распределения стремится сумма независимых
случайных величин, из которых каждая может быть распределе-
26
на по любому закону при увеличении числа этих величин. Инте-
гральная кривая распределения для нормального закона запи-
шется в виде:
Р (*) = —— Сехр —I* — *)2 dXi	(82)
V 2пх J 2х
Введя новую переменную под знаком интеграла
и = х~х ,	(83)
X
преобразуем формулу (82) к виду
х—~х
г
X
1 с	—U2
Р (х) =--- | ехр —-— du.	(84)
у & J 2
При этом можно использовать широко распространенные
таблицы так называемого интеграла вероятности Гаусса, обозна-
чаемого обычно буквой Ф:
у
1 Г	— и2
Ф(У) = -- I ехр—-—du.	(85)
И 2л J	2
о
Интегральный закон (84) примет вид
поскольку
(86)
(87)
Кривая нормального распре-
деления (81) опишется выра-
жением
(88)
где
ф,^=4*ф(!/)=^ехр^'
(89)
27
Достоинством нормального закона распределения является
то обстоятельство, что линейные комбинации случайных величин,
подчиняющихся нормальным законам распределения, имеют
также нормальный закон распределения. Недостаток нормально-
го закона — асимптотическое продолжение его в область отрица-
тельных значений случайной величины, в то время как многие
случайные величины, например прочность материала, могут быть
только положительными.
Нормальный закон легко обобщается на случай нескольких
переменных, как независимых, так и корреляционно взаимосвя-
занных:
п
Р (*1	 • • »хл) = [(2ля I Xf.x/I ] 1/2 exp
(90)
где |xf , xj|—определитель матрицы дисперсий (59); а£у —
элементы матрицы, обратной матрице дисперсий.
Распределение Пирсона 3-го типа. Уравнение кривой Пирсо-
на 3-го типа (кривая показана на рис. 9) имеет вид:
(91)
где
А= Г (с + 1) *
Аргумент х изменяется в пределах от 0 до оо, поэтому пло-
щадь кривой распределения берут в тех же пределах:
(92)
f р (х) dx= 1.
о
Центр и дисперсия распределения (91) равны:
(93)
(94)
к =----; х ~ ——
b	Ь3
Коэффициент изменчивости кривой (91) вычисляют по
формуле
А
(95)
Характерно, что изменчивость этого распределения не зави-
сит от коэффициента Ь. На графике (рис. 10) представлена зави-
симость коэффициента изменчивости распределения Пирсона от
параметра а. Как следует из графика, малым значениям а соот-
ветствует очень большая изменчивость, а относительно неболь-
шим коэффициентам изменчивости (порядка 0,10), часто встре-
чающимся на практике, соответствуют очень большие значения
28
РИС. 9.	РИС. ю.
а (порядка 100), что вызывает неудоб-
ства при использовании данного рас-	'у
пределения.	___/
Распределение (91) носит также
название гамма-распределения.	/
Распределение модулей векторов.	—г~
Пусть независимые составляющие	\
двухмерного вектора подчинены одно-
му и тому же нормальному закону	I
распределения с центром в начале
координат:	₽ис-11>
1	— х2	1	— у2
Р (х) = ехр ——; р(у) = —ехр—- ,
Кйи 20	Учпа 2°
и поверхность распределения определяется выражением
I	___(х2-Л-и2\	1	—Г2
₽(x.y) = P«p(!/) = ^exp----------->	t96»
На рис. 11 показаны проекции горизонтальных сечений такой
поверхности распределения. Чтобы получить распределение моду-
ля вектора r= I x2-j-i/2, определим плотность его вероятности в
тонком кольцевом слое r<r<Zr-\-dr (см. рис. 11):
Р (0 = — ехр —-— ; (г > 0);	(97)
а 2а
при г < 0 р (г) = 0.
Это распределение называется распределением Рэлея.
Интегральная кривая распределения Рэлея имеет вид
Р(г)=1-ехр=£-.	(98)
Математическое ожидание и дисперсию вычисляют по фор-
мулам:
7 = Jrp(ndr = д/-у-.	(99)
о
29
г = ^2 —	а = 0,429а.
(100>
Коэффициент изменчивости равен:
г /~4
Аг =---= Л/ ---—1 =0,6227;
г У п
(101>
Таким образом, распределение Рэлея имеет вполне определен-
ную изменчивость и поэтому не может быть использовано в об-
щем случае для аппроксимации действительных кривых распре-
деления положительных величин.
Для трехмерного случайного вектора с нормальным законом
распределения составляющих
1	—X2	1—^2	1	_Z2
р(х)= —— ехр—— ; р(у) = ~— ехр—— ; р (г) = —~ ехр —-
Vtoa 2а , Уъш 2а	Гйи 2о
(102)
распределение модуля имеет вид
___г2	/2	___г2
р (г) = (2ла)3/2 ехр —— 4лг2 = V ------------ г2 ехр —— ,
2а	г nad	2а
(ЮЗ)
где
r2 = x2 + yS! + z2.
Математическое ожидание и дисперсию в этом случае вы-
числяют по формулам:
Выражение (103) называется распределением Максвелла.
Обобщая рассмотренные распределения на n-мерное прост-
ранство случайного вектора, получим:
р & = — ехР :	(105)
k 2а
Из условия нормирования
f р (г) dr = 1
о
можно найти постоянную k:
k — J гп Г1 exp -	dr = anl2 Г j.	(106)
30
pr
РИС. 12.
Для вычисления центра и диспер-
сии распределения имеем формулы
(Ю7)
а для определения коэффициента из-
менчивости —
(Ю8)
Закон распределения (105) и формулы (106) — (108) можно
распространить на дробные значения п. Такое распределение
называется распределением Пирсона 2-го рода. При л=1 оно
превращается в правую половину нормального распределения
с центром в начале координат (рис. 12). Зависимость коэффици-
ента изменчивости Аг от п, выраженная формулой (108), пока-
зана на рис. 13.
Распределение модуля эксцентрично приложенного вектора.
В некоторых технических задачах может встретиться обобщение
распределения Рэлея, представляющее собой распределение мо-
дуля случайного вектора, составляющие которого подчинены
произвольным функциям распределения. Рассмотрим такое рас-
пределение для случая, когда составляющие двухмерного векто-
ра подчиняются законам:
1	— (х — с)2	1	— у2
Р(х) = —=ехр---------;	Р(у)=—= ехр—~ ,	(109)
Уъш 20	рЪи 20
т. е. нормальному распределению, центр которого сдвинут вдоль
оси х на величину с (рис. 14).
31
Функция распределения вектора будет
1	— (х 4- с)2—у2
р(х,у) = р(х)р(у)=——ехр-------—-------
ZJTtZ	zti
1	— (rcoscp — с)2 — r2sin2<p
= —----exp---------т---------- ,
2ла	2а
(ПО)
где
x = rcos<p; £/ = rsin<p.	(П1)
Для получения функции, распределения г интегрируем (НО)
по окружностям г—const.
2л
— г2 4- 2cr cos Ф — с2 \ ,
----------£------------
2Л
= ехр J ехр (f Н = 77ехрх
О
COS ф
(П2)
о
Поскольку
J ехр (х cos ф) dtp = Jo (± ix),
о
где /0 — функция Бесселя нулевого порядка,
выражение (112) можно переписать так:
Для получения моментов распределения
формулой
(113)
р(г) =
(114)
воспользуемся
оо	г
| JQ (ах) ехр (— ₽2х2) х?—1 dx = —
J	I
2 ’
а2 \
»)• ,|,э
где Ф(х, у, z)—вырожденная гипергеометрическая функция, для которой
имеются графики *.
Полагая q=2, получим
О
1 Янке Е-, Эмде Ф.» Леш Ф. Специальные функции. М., «Наука», 1964,
с. 311.
32
и, приравнивая
1	_ с	I	а2 с2
----= В2* i — — ос ---= а: ----= — — .
2а Р ’ а ’	2₽2	4₽2 2а
после подстановки в (116) и (114) будем иметь:
(117)
(118)

о
что и следовало ожидать, поскольку
J j Р (х) р (у) dxdy = I.
Положим q—З. Тогда
С	V л [ 3 а2 \
J J0(ax)exp(-₽2x2)x2dx = -^- ф(т ’ 1;
о
и
7=УР(г)Ыг=д/^-ехр(-^)ф(-|-: 1;	(120)
О
Для определения дисперсии г найдем момент второго поряд-
ка для г, подставляя в формулу (115) q—4\
Jj0 (ах) exp (— Р2х2) x*dx =	<D^2,
о
2а!Ф^2; 1;---(121)
Л12(г) = Jp (r)r!dr = 2aexp (-)ф^2, »; 2‘ j 1	(122)
О
и, согласно (19)
;=2аехр(-=Л)[ф(2,I; ^)]2, (123)
Заметим, что центр распределения (120) и дисперсия (123)
зависят только от одного параметра с2(2а.
Нормальное распределение логарифма. Если некоторая слу-
чайная величина х распределена по нормальному закону (81),
то ее экспоненциальная функция
и = — ехр-^—; (x = alnca),	(124)
с а
3—508
33
(здесь а и с — некоторые постоянные величины) распределится
по закону
а 1	— (a In си — х)2
(125)
Изменению х по нормальному закону в пределах от —оо до
+сю соответствует изменение и по закону (125) в пределах от О
до оо. Таким образом, нормальному закону здесь подчиняется
распределение логарифма независимой переменной и.
Центр, дисперсия и коэффициент изменчивости распределе-
ния соответственно равны:
Отсюда можно выразить числовые характеристики распреде-
ления х
х = a2 In (1 + А2и); ~Х = a In си —	In (1 -f- А2) .	(127)
Подставив эти выражения в (125), окончательно получим
1	 -1п2(т'1'Г| + л^
Р («) =---г	= ехр_______Lff________L Н28)
и | 2itIn (1 + Л;;)	21п(1+л’)
Распределение (125), так же как и (128), имеет ту особен-
ность, что ему подчиняется и произведение двух или нескольких
случайных величин, которые, в свою очередь, распределены по
такому же закону. При этом центр распределения равен произ-
ведению центров сомножителей, а для определения коэффициен-
тов изменчивости существует соотношение
где
1 + Л; = П (1+^.),
1=1	1
~ п ~	П
v = П Ui‘ V = П «р
<=! 1=1
(129)
130)
34
При малой изменчивости Аи уравнение (128) упрощается и
принимает вид:
р-(и) =---_L----ехр V Ч—---------- ,	(131)
2л Аи и	2^о
Рассмотренный нормальный закон распределения логариф-
мов случайных величин является пределом последовательности
распределений произведения большого числа сомножителей, под-
чиненных произвольным законам распределения, при безгранич-
ном увеличении числа этих сомножителей.
Распределение Вейбулла. В теории хрупкого разрушения ма-
териалов и других отраслях техники нашло применение распре-
деление Вейбулла, которое соответствует интегральному закону
распределения
Р (х) — 1 — ехр (— сх”1); (0 < х < оо),	(132)
и имеющее вид
р (х) = стх"1”1 ехр (— схт).	{133)
Числовые характеристики этого распределения:
СО	ОО	11
- С _	.	, Су „ I т 1 ~т
х = cm I хт ехр (— ex7”) dx — cm I — е~у • у с dy —
о	о
= «-1/m j1 ух'т ё~« dy = с-'/*" г	+ ф	(134)
О
В частном случае, при т=\ получаем простое экспоненци-
альное распределение
р (х) = с ехр (— сх); (0 < х < оо\	(137)
3*	35
для которого
При т=2 распределение Вейбулла переходит в распределе-
ние Рэлея (97).
При возведении в степень выражения
1 — Р (х) = ехр (— схт)
получаем
[1 — Р (х)]п = ехр (— cnx"1) — ехр (— су™),	(138)
где
т,—
У = У пх ‘
Распределение Гумбеля (двойное экспоненциальное распре-
деление). Это распределение нашло применение в статистиче-
ском анализе снеговых нагрузок на сооружения. Интегральный
закон распределения Гумбеля
Рх = ехр | — ехр	* ЭД,	(139)
Заметим, что при х=0 получается конечная вероятность по-
явления отрицательных значений х (рис. 15) :
Рк (0) = ехр ехр .	(140)
При х=оо получаем, как и должно быть
рх(оо) = ехр[— ехр(— оо)] = ехрО = 1.	(141)
Значению х=а соответствует вероятность непревышения
а, равная
Р (а) = ехр (— ехр 0) = ехр (— 1) = — = 0,3678.	(142)
е
Распределение плотности вероятности двойного экспоненци-
ального закона выражается формулой
₽= — «₽[—₽ (^)] [у ехр(^)] =
=Texp[5:r~exp(£rL)]- (143)
Особенность распределения Гумбеля в том, что при возведе-
нии в п-ю степень функции его распределения (139) интеграль-
ная кривая не меняет своего вида, а только смещается вдоль оси
на величину pin п:
Р% = ехр j — п ехр	= ехР [“ ехР	—* + P!nn j (144)
36
8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМУМОВ
МНОГИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Возьмем п независимых случайных величин xit (i= 1,2,...,п)
и найдем вероятность того, что в реализации этих величин ни одна
не превысит х. Вероятность непревышения х величиной х2 будет
Pf (х), где Pt (х)=Р£ (хг) — интегральный закон распределения
Xt. Вероятность непревышения х ни одной из величин xf, ввиду
независимости последних, будет
ПР,(х) = Р(л)М.	(145)
1=1
Рп(х) можно рассматривать как интегральный закон распре-
деления максимумов совокупности случайных величин xf. Кри-
вая распределения плотности вероятности максимумов может
быть описана выражением
₽<n> W = П Pi« = П Р1 <*» 2^ 	(М6)
Z=1	£=1	*
В случае, когда закон распределения всех случайных величин
Xi одинаков, получим
₽(„)« = P"W; р(п) (х)=лР"~1(х)р(х).	(147)
Построение кривой распределения Р(п) (х) =Рп(х) не пред-
ставляет затруднений. Для этого необходимо только ординаты
кривой Р(х) возвести в п-ю степень (рис. 16). Кривая же р<п)(х)
получается как зависимость от х тангенсов угла наклона кривой
^(п) (х).
Лп)М п Р(п)(х) следует рассматривать как законы распре-
деления максимумов, получаемых при п реализациях одной и
той же случайной величины х. Центр кривой распределения
максимумов из п повторений будет
*(„) = I хР(п) <х) dx = п I х Р W Р (*) dx’	(148)
37
а дисперсия
гл '	_	п—1
X(n)=n f (Х — Х(л))2 Р (x)P(x)dx*
(149)
Если р(х) представляет собой нормальное распределение
(88), то
При п=2 после интегрирования получим
Л
-	- х -	Л
х(2) ~ х +—= х + 0,5642 х ;
V П
Х(2) — х^1 — —j — 0,6817 х; х(2) = 0,8257* .
dxt
(150)
(151)
При л=3 соответствующие значения числовых характери-
стик:
\ з 9 ।	л	л
х^=х I 1 4------— ——— 1 = 0,5578 х; х(3) = 0,7469 х»
(152)
При большом числе п непосредственное интегрирование выра-
жений (148) — (150) становится затруднительным. Вместо этого
можно применить приближенный метод [71], [73], в котором для
двух повторений случайной величины, подчиняющейся нормаль-
ному закону, истинная кривая распределения максимумов заме-
няется нормальной кривой с теми же значениями центра и дис-
персии. Тогда для четырех повторений центр, дисперсия и стан-
дарт максимума на основании (151) будут равны:
Л(4) = Х{2) -Ь0,5642х(2) = X -I- 0,5642 х + 0,8257-0,5642 2=х + 0,992 х;
х(4) = 0,6817х(2) = 0,68122х = 0,4647х;
л
*(4)
= 0,6817 х;
38
Продолжая этот процесс, получим для 2п повторений:
= х4-0,5642(1 +0,8257 4-	+ 0.8257'-1) х =
_ -	0,5642(1—0,8257')
1—0,8257	’
(153)
X(2f)=0,6817zx; Х(2') = 0,8257' х
Интерполируя на произвольное число повторений п, полагаем
в (153) f=log2n и получаем:
х(п) = х+ 3,237 (1 — 0,82571ов2П) х;
Л	logsHA
х(п) =0,8257 х.
Заметим, что
lg0,8257,og2n = log2nlg0.8257 =	lgп = — 0,276 1gn;
0,82571о?2П = n-0-276.
(154)
Поэтому вместо (154) можно записать:
х(я) = X + 3.237 (1 — п~°-276) х;
(155)
При последовательных удвоениях числа повторений в этом
методе, несомненно, накапливается ошибка. Некоторая оценка
точности формул (155) может быть получена последовательными
утроениями числа повторений с использованием формул (152).
При этом аналогично способу удвоений
х(я) = х + 3,344 (1 — п“0-2656);
(156)
Тот факт, что в формулах (155) и (156) получены близкие
значения числовых коэффициентов, говорит о достаточной точ-
ности этого метода, по крайней мере, при не слишком большом
числе повторений и. Для практических расчетов, не требующих
большой точности, можно рекомендовать округленные значения
числовых коэффициентов, приводящие к простым формулам:
;<л> — * + 3,5 I 1 —
Л
(157)
Результаты вычислений по приведенным формулам и точные
значения, полученные численным методом для максимумов из п
повторений случайной нормально распределенной величины, для
сравнения сведены в таблицу 1.
39
Таблица 1
п		2	3	10	100	1000
х(п)~х	I точно	0,564	0,845	1,539	2,508	3,241
	1 по формуле (157)	0,556	0,840	1,54	2,40	2,87
Л X	I по формуле (156)	0,563	0,847	1,532	2,362	2,812
Полученная степень приближения во многих случаях оказы-
вается совершенно достаточной, особенно при 100.
Для двойного экспоненциального распределения (139) фор-
мула (143) приводит к формуле (144), т. е. для максимумов п
случайных величин, подчиняющихся одному и тому же закону
распределения (139), кривая, изображающая этот закон, смеща-
ется вдоль оси х на величину pin п. Как показано в работе [142],
многие интегральные законы распределения при возведении в
степень асимптотически стремятся к распределению Гумбеля
(139); это создает большие удобства для вычисления максиму-
мов из большого числа случайных величин, подчиняющихся та-
ким распределениям.
9.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МИНИМУМОВ
НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Аналогично задаче о максимумах решается задача о миниму-
мах при п повторениях нескольких случайных величии х£. Веро-
ятность превышения значения х величиной х£, равна 1—Рк (х).
Вероятность превышения значения х всеми величинами х\
при независимости последних одни от других будет
П (1 -Р, (х)].
i=i
Приравняем ее величине 1—Р[п](х), где Р[П](х) — интеграль-
ный закон распределения максимумов из п величин xf.
Получим
Р|п1 U) = I-ri И-Л (х)].	(158)
£=1
Кривая распределения плотности вероятности максимумов:
п
РМ W = П П - A- W) 3		(,59)
При одинаковых законах распределения величин х,=х полу-
40
чим следующие выражения для функции и плотности распреде-
ления минимумов:
Р(П| (*) = 1 - [1 - Р (х)]л; ₽|п| W = П [1 - Р Wf-1 Р (X)	(160)
Кривые этих зависимостей приведены на рис. 17.
Центр кривой распределения максимумов и дисперсию вы-
числяют по формулам:
Х[П] = п [ х 11 — Р (х)]”-1 р (х) dx,	(161)
х|л| = я f (х - ;1Я|)2[ 1 - Р (х)]"-1 р W dx.	(1621
При нормальном распределении х получаем [73]:
Как видим, все эти выражения очень похожи на соответст-
вующие формулы, приведенные выше и описывающие законы
распределения максимумов нескольких случайных величин при
п-ом числе их повторений. Поэтому далее почти автоматически
можно получить:
а)	для минимумов при двух повторениях нормально распре-
деленной величины
(164)
б)	то же для минимумов из трех повторений
х.Ч1 = х— 1,5 —— = х — 0,8463 х;
131	л
( У% 9 \	о Л	Л
Л[3]= x I 1 + “~— I = 0,5578 х ; Xj3j = 0,7469 х;
(165)
в)	приближенные формулы, построенные на принципе по-
следовательных удвоений числа повторений и при условии, что
распределения всех случайных величин нормальные
41
д) формулы с округленными числовыми коэффициентами
(168)
Как видим, здесь имеет место симметрия в смещении распре-
делений максимумов и минимумов относительно центра распре-
деления х одной величины. Очевидно, для несимметричных зако-
нов распределения р(х) это положение не будет соблюдаться.
Вычисление распределения минимумов для ряда случайных
величин, подчиненных одному и тому же закону распределения,
очень простое, если этот закон — распределение Вейбулла (132).
Благодаря свойству (138) интегральная кривая распределения
изменит свой масштаб в направлении оси xfc-j/праз. В част-
ности, для простого экспоненциального распределения (132)
(т — 1) масштаб уменьшается в п раз, при распределении Рэ-
лея (т=2) в У~п раз.
10.	ВЕРОЯТНОСТЬ РЕДКИХ СОБЫТИИ
Пусть некоторое событие N появляется случайно через до-
статочно большие сроки. Термин «достаточно большой срок»
здесь означает, что корреляционная связь между вероятностями
соседних по времени событий практически отсутствует, т. е. что
на срок возникновения последующего события не влияют сроки
появления предыдущих. Будем рассматривать процесс возник-
новения редких событий как стационарный. Тогда наблюдения-
ми в течение очень большого промежутка времени (а в некото-
рых случаях теоретически) можно установить среднюю частоту
появления события Ny т. е. число событий, образующееся в
среднем за единицу времени. Эту частоту можно отождествить
с так называемой временной плотностью вероятности события
“ = 7- >	(«»)
где п — число событий, появившихся за большой промежуток времени Т.
42
В малый промежуток времени А/ вероятность возникновения
события N равна nAf, поскольку влияние на эту вероятность воз-
можности двукратного и многократного повторения события
N за время А/ пренебрежимо мало. Вероятность появления со-
бытия N хотя бы один раз за время t=kAt равна
.	/ ut \ь
Pt 1 — (]_uAt)k= 1— 11 — —) .	(170)
Переходя к пределу, при А/->0; £->оо; ktsi=i имеем
Pt=\ — e~ui.	{YJ\)
При заданной вероятности Рг соответствующее время t опре-
деляется по формуле
Если и переменно во времени, то для конечного числа про-
межутков А/	k Р/=1-П (1-^Д/). i=l	(173)
откуда	k In (1 — Pt) = У, In (1 — щМ). i=l	(174)
Переходя к пределу и учитывая, что при малом А/
In (I — щ Д/) = — ut Л/,
получим
t
In (1 — Р,) = — f u (<) Л.
О
Окончательно:
[t	ч
— \u(t)dt I	(175)
о	J
Если событие /V крайне нежелательно или недопустимо, то
выражение
[t	л
—	(176)
о	J
называют функцией надежности, представляющей собой вероят-
ность непоявления события N в течение времени t ни разу. При
постоянной временной плотности вероятности возникновения
нежелательного события /V (отказа) функция надежности полу-
чает вид

(177)
43
ГЛАВ Л II
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
11.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Случайной функцией непрерывно изменяющегося аргумента
t называется такая случайная величина, распределение которой
зависит не только от аргумента t=t\, но и от того, какие част-
ные значения принимала эта величина при других значениях
данного аргумента t=t2. Обычно аргументом t является время,
тогда случайную функцию называют случайным процессом. Од-
нако аргументами случайных функций могут служить также про-
странственные координаты и любые другие параметры.
Величины случайной функции при частных значениях ее ар-
гумента, как правило, корреляционно связаны между собой,
причем корреляционная связь между ними тем больше, чем бли-
же одни к другим эти частные значения аргумента. В пределе
при интервале между двумя значениями аргумента, стремящем-
ся к нулю, коэффициент корреляции равен единице.
Случайную функцию можно аппроксимировать случайным
вектором большого числа измерений, если рассматривать не все
значения аргумента, а лишь их конечное число. Матрица диспер-
сий такого вектора при переходе к бесконечному числу измере-
ний в пределе обращается в корреляционную функцию, опреде-
ляемую формулой
X (/1, /г) = f f lx (<i) — X (/х)] [х (?2) — ~Х (/2)1 Р ь (G), х </2)1 d* (G) dx (tj.
(178)
Здесь ti и tz — два любых частных значения аргумента /; х(6) и х(/2) —слу-
чайные величины при частных значениях аргумента функции G и tz.
Легко видеть, что корреляционная функция представляет со-
бой естественное обобщение матрицы дисперсий многомерного
случайного вектора (59) на функциональное пространство. Поэ-
тому в отличие от употребляемого обычно обозначения корре-
ляционной функции Кх(/Ь t2) мы вводим для нее более простое
обозначение x(tit t2).
При 1г—£1 корреляционная функция случайной функции пе-
реходит в дисперсию последней
^) = x(G).	(179)
Это становится ясным, если определить корреляционную
функцию как математическое ожидание величины
[*(«-*(«].
а дисперсию — как математическое ожидание величины
[х(*1) —xfa)]2.
44
Справедливо неравенство
х (G) + 02) > 2 х (<!, /2);	(179а)
Математическое ожидание случайной функции есть обычная,
неслучайная функция представляющая собой зависимость
центра распределения x(i) от аргумента t.
12.	КОРРЕЛЯЦИОННО СВЯЗАННЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Две случайные функции x(t) и y(t) не являются независи-
мыми, если тождественно не равна нулю их взаимная корреля-
ционная функция
(G.	= J J I* (G) — х (G)] U (*2) — У (/2Я X
X р lx (G), у (4)1 dx (G) dy (/2).	(180)
Это выражение не меняется при взаимной перестановке букв х
и у и одновременной перестановке индексов 1 и 2, поскольку
х^у (^,	= У^х (tZt tj)	(181)
Можно показать, применив неравенство Буняковского, что
x,y(ti, t2) < V x(tlt i2) £/(G» ^2) -	(182)
Для стационарных случайных функций x(t) и y(t):
х^(т) = /лх(—т); (т = /2 — tt)	(183)
И
х^(т)<х^.	(184)
~ dx (О
Производная стационарной случайной функции ^(0 = ——
взаимно независима с функцией x(t):
хд»(т)=0.	(185)
13.	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Особое значение имеют стационарные случайные функции,
которые не меняются при переносе начала отсчета координаты
t. Математическое ожидание стационарной случайной функции —
величина постоянная, а корреляционная функция зависит лишь
от разности значений аргумента t\ и /2. Таким образом, для ста-
ционарной случайной функции
х (/) = х = const,	(186)
x(ti, i2) = x(t2-t1) = x(Tyt (т = /2-/1).	(187)
45
Из условия равноправия значений аргумента t\ и t2 следует,
что

или
х(т) = х(— т),
т. е. корреляционная функция здесь является четной функцией
аргумента.
Далее заметим, что дисперсия стационарной случайной функ-
ции равна
х (6> О = х (ti — /j) = х (0) = х = const
и, согласно (179 а), положив 6 = 0, /2=т, получим
х(0)>х(т).
Обычно корреляционные функции стационарных случайных
функций аппроксимируют следующими выражениями:
х (т) = х ехр (— а |т|);	(188)
х (т) — х ехр (— ат2);	(189)
х (т) = х ехр (— а |т|) cos рт;	(190)
х (т) = х ехр (— ат2) cos рт.	(191)
Графики этих выражений приведены на рис- 18.
Заметим, что функции (188) и (190) при т=0 не имеют про-
изводных.
Большинство стационарных случайных функций обладают
свойством эргодичности, состоя-
щим в том, что совокупность зна-
чений одной и той же реализации
данной функции, соответствую-
щих различным значениям ее ар-
гумента, по своим статистическим
свойствам эквивалентна совокуп-
ности значений разных реализа-
ций той же функции, взятых при
одном и том же значении аргу-
мента. Это свойство позволяет
статистически обрабатывать
очень малое число реализаций
или даже только одну един-
ственную реализацию. Достаточ-
ным условием эргодичности ста-
ционарной случайной функции
46
является стремление ее корреляционной функции к нулю при
безграничном увеличении аргумента
lim х (т) = 0.
Т->©о
14.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
В теории случайных функций доказывается, что они имеют
производные лишь в том случае, если существует вторая сме-
шанная производная корреляционной функции
^2х(/х, /2)
—при '1='2-
Для стационарной случайной функции условием дифферен-
цируемости будет существование производной сРх(т)№2 при
т=0. Поэтому стационарные случайные функции с корреляцион-
ными функциями (188) и (190) (см. рис. 18, а, в) не дифферен-
цируемы.
Производная дифференцируемой случайной функции x(t) явля-
ется также случайной функцией
<**(0
ir=u(0-
Если t — время, то v(t) можно трактовать как скорость из-
менения х во времени.
Математическое ожидание v(t) равно производной от мате-
матического ожидания х(0*.
’ /л	dx (0
v(') = —
(192)
(193)
Корреляционную функцию для г(/) определяют по формуле
%	.. _ д2х (/j, г2)
fOl. <2>- бХ1ЙХ2
а для стационарной случайной функции
(194)
d2x(z)
v(t) = - ~dT2 »	(195)
При интегрировании случайной функции также получаем
случайную функцию
ио=/мол,
о
(196)
47
математическое ожидание которой
t
y(f) = [x(t)dt,	(197)
О
т. е. операции математического ожидания и интегрирования
переставимы.
Корреляционная функция для y(t) равна:
Г\	1 £е Г\
У (4. t2) = f f х (h, /2) Л,Л2 .	(198)
О о
При интегрировании стационарной случайной функции в
пределах от 0 до t результат уже не будет стационарной функ-
цией.
Определенный интеграл случайной функции представляет со-
бой случайную величину
ь
Y=\x(t)dt	(199)
с математическим ожиданием
ь
Y= $x(t)di	(200)
и дисперсией
Y = j fx (/v t^dt^.	(201)
a a
При действии линейного дифференциального или интеграль-
ного оператора L на случайную функцию x(t) в результате так-
же получается случайная функция
Lx(i) = y(t),	(202)
у которой математическое ожидание
y(t)=Lx(t)	(203)
и корреляционная функция
У (G • ^2) ==	(^1 • ^2) •	(204)
Индексы при операторе L означают, что в первый раз этот
оператор применяется по переменной а второй раз — по пе-
ременной 6. Приведенные выше формулы (193) и (194) являют-
ся, очевидно, частными случаями формул (203) и (204).
48
15.	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СУММЫ
И ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Для суммы двух случайных функций
7(0 =7(0 + Г(0	(205)
корреляционная функция равна:
z (4. t2) = х (0, t2) + у (4, /2) + хГу (0, tz) + у,х (0, f2),	(206)
а при отсутствии взаимной корреляционной связи между функ-
циями х(0 и y(t):
(fi -4) -* (0, 4) + У (4, 4) •	(207)
В случае п слагаемых функций
=	(208)
1=1
их корреляционная функция определяется выражением
г«1. У =2 iST*;(<1. t2),	(209)
1=1 7=1
в котором
57*/ (4. 4) = *i (0, 0).	(210)
При умножении случайной функции на детерминированную
получаем случайную функцию
7(0 = а (0 7(0,	(211)
корреляционная функция которой равна
z(0,0) = a(0)a(4)7(0,4)*	(212)
Наконец для линейной комбинации случайных функций
(213)
корреляционная функция примет вид
z (4. 4) = 2 2 °i (4) а/ (4)	(4. 4)»	(214)
i=i /=1
а при отсутствии взаимной корреляции между функциями, т. е.
при Xi, Xj(4, 4) =0» где i=/=j:
(4. 4) = 2 ч (4) а{ (4) 7(4> 4).	(215)
4—508
49
В частном случае при постоянных коэффициентах aL (t) =
= const
М'г9=2«?М'1-У-
i=l
(216)
16.	ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНОЙ функции
Найдем вероятность пересечения случайной функцией x(t)
некоторого уровня а в течение бесконечно малого промежутка
времени dt. Для этого, полагая скорость изменения случайной
функции v(t)=dx(t)ldt постоянной в течение времени dt, запи-
шем условие пересечения функцией x(t) уровня а (условие выб-
роса) в виде:
х (/) < а; х (/) 4- v (/) dt > а	(217)
или
а — v(t) dt < х (t) a; [v (/) > 0].	(218)
Вероятность этого события равна
Рь = Г .1 р dxdv’	(2! 9)
0 avdt
где р(х, к) —совместная плотность распределения функций x(f) и v(t)
(рис. 19).
Интегрирование производится в пределах узкого клина, вы-
деленного на рис. 19 штриховкой. Ввиду близости пределов
внутреннего интеграла в (219) выражение для определения ве-
роятности выброса в течение интервала времени dt можно пред-
ставить так:
Pb = dt [р (а, о) vdv.	(220)
о
В случае стационарного случай-
ного процесса x(t) и v(t) независи-
мые случайные функции и, следова-
тельно:
р (х, v) = рх {х)р^у\	(221)
При этом
Рь = Рх (О) di [ pv (v) vdv.
о
Разделив вероятность выброса
Рь на время dt, в течение которого
он ожидается, получим временную
плотность вероятности выброса:
50
(222)
u\fl)=-^=px	f Pv	Vdv'
о
Интеграл ^pv(y)-vdv представляет собой математическое
о
ожидание положительной скорости v(t).
В случае нормального закона распределения x(t)
(х —х)2 "
2х
Распределение скорости v(t) будет также нормальным и не-
зависимым от распределения x(t)
1	— t<2
Po(v) —------ехр
V 2nv 2г)
Рх(*) =
(223)
(224)
так как с/=0. Учитывая, что v~—^"(О), выражение (224)
можно записать так:
Pv (0 =	- 2__ехр ,	(225)
] — 2лх"(0)	2х" (0)
Подставляя (225) и (223) в формулу (222) для временной
плотности выброса, получим:
п(а) =
(226)
Очевидно, что в формуле (226) можно использовать лишь
такие корреляционные функции, для которых существует вто-
рая производная х"(0). Для корреляционной функции (226) и
ее частного значения (227) (при р=0) имеем
х" (т) = — ё~аг2 [4a2T2cos рт + (2а + Р2) cos Рт—
— 2ссрт sin рт + Р sin рт] х
И
Р'(0) = —(2а-Ьр2)х.
4*
51
В этом случае формулу (226) можно записать следующим
образом:
и (а) - — V 2а 4- Р2 ехр ——— .	(227)
2х
Временная плотность вероятности выброса и (а) численно
равна среднему числу выбросов в единицу времени. Чем боль-
ше уровень а, тем меньше и(а). При очень малом значении
и(а) выбросы можно рассматривать как редкие события, т. е.
как независимые случайные величины. При этом вероятность
превышения уровня а за время /, согласно (171), будет
Р(а, /) = 1 — ехр [— и (а) /].	(228)
Если ордината а не слишком удалена от центра распределе-
ния х функции x(t)* то выбросы могут повторяться часто, и их
повторения будут событиями, корреляционно связанными. При
этом формула (222) становится уже неприменимой. Точ-
ное решение задачи о вероятности появления хотя бы одного
выброса за заданное время t при наличии корреляционной свя-
зи между последовательными выбросами очень сложное. Одна-
ко для расчетов сооружений, надежность которых должна быть
достаточно высокой, практическое значение имеют лишь ред-
кие интенсивные выбросы (например, перегрузки). Поэтому при
расчете строительных конструкций формулу (222) можно ши-
роко использовать.
17.	ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
ЧЕРЕЗ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Ввиду сложности операций со случайными функциями во
многих случаях целесообразно аппроксимировать их детерми-
нированными функциями с несколькими случайными парамет-
рами. Обычно такое представление дается в виде детерминиро-
ванных функций со случайными коэффициентами:
?(о=2;^ху(о,	(229)
где х(/)—случайная функция переменной t\	—детерминированные
функции той же переменной; а, — случайные параметры, подчиняющиеся
некоторым законам распределения.
Не касаясь вопроса о сходимости ряда (229), заметим, что
обычно первый член этого ряда подбирают так, чтобы описать
основную закономерность функции x(t) и ее отклонений, а пос-
ледующие члены вносят уточнения, учитывающие второстепен-
ные факторы и отклонения. Например, в качестве функций Xj(t)
можно принимать тригонометрические функции вида
*/(/) = sin jx; (/=1,2,...,п),	(230)
52
а при малых значениях t — степенные функции
Х/(0 = //; (/= 1, 2,..., п).
(231)
Между случайными коэффициентами aj существует связь,
которую можно представить матрицей дисперсий
с1»	‘ ап
1|аь ал11=
(232)
^1» ^2» ' *' • ^2’
сл, ах; ал, а2', • • - ; ап
Другой вид аппроксимации случайной функции используют
тогда, когда она задана на ограниченном интервале t0. В этом
случае функцию заменяют последовательностью ее частных
значений х(/о)‘. х(6);	; х(/п), представляющих собой
случайные величины, между которыми существует корреляцион-
ная связь. Соответствующая корреляционная функция х(хь t2)
выражается матрицей дисперсий
18.	ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
При переходе от одного независимого аргумента t к другому
s=s(/) случайная функция x(t) не изменяется в том смысле,
что кривые распределения х при любых фиксированных значе-
ниях t остаются прежними, но их следует относить уже к соот-
ветствующим фиксированным значениям s. Поэтому в корреля-
ционной функции х(/ь t2) нужно лишь заменить аргументы ti и
t2 на si и s2 с помощью обратной функции t=t(s):
X(t±, t2) = Х(/(«1). /(s2)].
(233)
Для стационарной случайной функции получим соответст-
венно
х (^ — Л>) = х (т) = X (sj — t (s2)].
(234)
Следовательно, в общем случае при замене независимой
переменной стационарной случайной функции x(t) ее корреля-
ционная функция перестает быть функцией разности аргумен-
тов, а это означает, что случайная функция x(s) перестает быть
стационарной. Исключение представляет линейное преобразо-
вание
s = at-\-b\ t —— (s—ft),
(235)
при котором свойство стационарности случайной функции не
исчезает, так как
=	(236)
При замене зависимого случайного переменного л по форму-
ле и=и(х)у где и — некоторая детерминированная функция,
кривые распределения для фиксированных значений преобра-
зуются по формулам (16) — (18), а корреляционная функция
изменится в соответствии с формулами преобразования смешан-
ной дисперсии двух случайных величин х(6) и x(t2).
19.	СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ
СТАЦИОНАРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Косинус-преобразование корреляционной функции х(т) ста-
ционарной случайной функции x(t)y умноженное на 2/л, назы-
вается спектральной плотностью последней и обозначается
«Sx (ы) =  f х (т) cos (OTtfr.	(237)
л .!
о
Обратное косинус-преобразование дает формулу обращения
для спектральной плотности
х (т) = Sx (со) cos	(238)
b
Полагая здесь т=0, получим связь между спектральной
плотностью и дисперсией
?= fsx(cD)d<o.	(239)
о
Так как корреляционная функция производной x'(t) ~v(t)
стационарной случайной функции равна
v (т) = — d2 х (т) ldt2y	(240)
то, применяя выражение (237), получим формулу для определе-
ния спектральной плотности производной:
2
Sv (ю) = —  I х" (т) cos cdtJt.	(241)
Л
о
54
После двукратного интегрирования по частям эта форму-
ла будет:
(со) = — со2 f х (т) cos CDxdr — co2Sx (со).	(242)
я J
о
Таким образом, дифференцированию стационарной случай-
ной функции соответствует умножение ее спектральной плотно-
сти на со2.
Если стационарная случайная функция x(t) преобразуется
линейным дифференциальным оператором вида:
d d2	dn
= Ci —+ -I--------------— ’	(243)
то корреляционную функцию результирующей случайной функ-
ции
y(t) = Ltx(t)	(244)
определит выражение:
А'(т) =	z2) = Ltt Lts *(Zi — Z2) = LT £-т x <T>-	<245>
Представив оператор L в виде
£т =	(246)
где £ц содержит только четные производные, a Li — только не-
четные, и учтя, что при замене т на —т знак при нечетных про-
изводных меняется, получим
Lx L_x = (L„ + L,) (L„ - Lj) = Lfj - L*.	(247)
Легко видеть, что выражение £2,=£2 , а, следовательно, и
содержит только четные производные.
Введем оператор (245) в выражение для спектральной плот-
ности:
2 г	2 с
Sy (cd) = — I у (т) cos CDzdr =  I £т £_т х (т) cos CDTdt.	(248)
о	о
Заметим, что при интегрировании по частям производные
порядка 4п дадут множитель w4n, а производные порядка 4п-|-
+2 — множитель —со4п+2. Значит, результат будет таким, как
если бы интеграл
2 С
--- 1 х (т) cos CDrdr = Sx (cd)
b
умножили на полином	(7со), полученный из оператора
55
Lx L_x путем замены знака дифференцирования на множитель
I©.
Представляя полином аналогично (246)
Nz (М — (М Ч- Ni (М>	(249)
заметим, что Nn. (io) —действительное выражение, a —
мнимое. Отсюда следует, что
NT N_x (iui) = N2a (to) - N\ (to) = N2n (to) + (/Vj (to) |2 = |/VT (to) |2 (250)
и окончательно
^(C0) = |/V/(iCD)|2Sx(CD).	(251)
Здесь Nt (ко) — полином, полученный из оператора Lt (244) заменой знака
производной d/dt на множитель ко.
Зная Sp (со), по формуле обращения косинус-преобразования
(238) можно получить корреляционную функцию г/(т).
ГЛАВА III
РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ НА БЕЗОПАСНОСТЬ
20.	ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА
СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
НА БЕЗОПАСНОСТЬ
Безопасность строительных конструкций гарантируется рас-
четом на прочность и устойчивость, который определяет необхо-
димые соотношения между внешними воздействиями с одной
стороны и геометрическими размерами элементов конструкций,
а также механическими свойствами материала — с другой. Эти
соотношения представляют собой неравенства, ограничивающие
область безопасных состояний конструкций. Вместе с тем расчет
конструкций имеет и другую, экономическую цель — максималь-
но снизить их стоимость или наиболее выгодно использовать не-
сущую способность конструкций, обеспечив восприятие ими мак-
симальной нагрузки. В детерминистической постановке эта за-
дача не вызывает принципиальных затруднений и обычно
определение безопасных и наиболее выгодных соотношений меж-
ду несущей способностью и стоимостью конструкции представля-
ет собой одну и ту же двойственную
4P65J	задачу математического програм-
Амирования.
Вопрос осложняется, если учи-
тывать случайный характер вели-
ю 20	30	чин» входящих в расчет, однако в
большинстве случаев это совершен-
рис 20	но необходимо. Например, проч-
56
ность даже такого достаточно хорошо стандартизированного
материала, как сталь, имеет значительный разброс с коэффици-
ентом изменчивости порядка 0,10 (рис. 20). Особенно большой
разброс имеют внешние воздействия, в частности нагрузки, боль-
шинство которых представляет собой случайные функции вре-
мени. Размеры поперечных сечений (даже стандартных профи-
лей, особенно тонкостенных) имеют значительные допуски, а сле-
довательно, и статистический разброс. Учет случайного харак-
тера величин и функций, входящих в формулу расчета строи-
тельных конструкций и сооружений, представляет собой главную
задачу теории расчета их на безопасность и максимальную эко-
номичность. Теорию расчета строительных конструкций на бе-
зопасность называют также теорией надежности строительных
конструкций, но этот последний термин является более общим
и включает в себя задачи, не связанные с разрушением соору-
жений.
При построении теории безопасности строительных конструк-
ций целесообразно все расчетные величины разделить на две ос-
новные группы. Первую группу условно назовем параметрами
прочности. Она включает в себя все характеристики, относящие-
ся к свойствам самой конструкции. Другую группу — параметра-
ми нагрузки; сюда отнесем характеристики внешних воздействий
на конструкцию. Такое разделение расчетных величин на две
группы оправдано тем, что между ними обычно отсутствует кор-
реляционная связь. Случаи, когда такая корреляционная связь
существует, можно считать особыми и подлежащими отдельному
рассмотрению.
Разделение расчетных величин на две основные группы поз-
воляет сформулировать задачу расчета конструкций на безопас-
ность в виде требования о выполнении с некоторой достаточно
большой вероятностью неравенства
R — Q 0,	(252>
где R — обобщенная прочность конструкции; Q — обобщенная нагрузка.
R и Q могут зависеть от ряда случайных и детерминирован-
ных величин, причем определение статистических свойств вели-
чин и Q производится самостоятельно, независимо одна от
другой.
В общем случае нагрузка и прочность являются случайными
функциями времени, но при заданном сроке службы сооружения,
как будет показано ниже, время удается в большинстве случаев
исключить из расчета и считать R и Q не случайными функциями,
а случайными величинами с определенными законами распре-
деления. Вероятность неравенства (252) представляет собой ве-
роятность неразрушения конструкции Р=\—V, а величина V —
вероятность разрушения или, как говорят, вероятность отказа.
57
Необходимо иметь точное определение понятия разрушения,
или отказа. В данном случае оно представляет собой лишь не-
выполнение неравенства (252), не более. Однако в конкретных
случаях это невыполнение неравенства влечет за собой различ-
ные последствия, начиная от повреждения какого-нибудь элемен-
та (с требованием небольшого ремонта) и кончая катастрофиче-
ским обрушением всего сооружения. Очевидно, что допустимая
вероятность разрушения V должна определяться последствиями
нарушения неравенства (252) и, в частности, для катастрофиче-
ских разрушений практически равняться нулю.
21.	ОСНОВНАЯ РАСЧЕТНАЯ ФОРМУЛА
Для определения вероятности разрушения целесообразно вве-
сти случайную величину
8= К- Q,	(253)
которую можно назвать резервом прочности. При этом неравен-
ство (252) выразится так:
8 > 0.	(254)
Очевидно, что
о
V - J ps (S) dS= Ps (0),	(255)
где ps (S) — распределение плотности вероятности резерва прочности.
По заданным кривым распределения 7? и Q можно построить
кривую распределения S, используя формулу (55):
Ps (S) = I' PR (S + Q) pQ (Q) dQ.	(256)
—oo
Здесь pR (R) — плотность вероятности распределения прочности;
Pk(S+Q)—та же функция, но с аргументом S+Q; Pq(Q)—плотность
вероятности распределения нагрузки.
В приведенном выражении /? и Q считаются взаимно незави-
симыми случайными величинами, в противном случае надо исхо-
дить из функции их совместного распределения p(R, Q), заме-
нив в ней R на S+Q:
ps («) = f р («+q. о)	<257>
Вместо формул (256) и (257) можно употребить эквивалент-
ные им выражения:
Ps (S) = .[ Рр (*> р<г (« - dR.	(258)
58
и
ps (S) = f p (R,R — S) dR.	(259)
Подставляя (257) в (255), получим:
V = Ps (0)= f j' p (S + Q, Q) dQdS =
= f Q)dQdR = J f p(R, Q)dRdQ.	(260)
—CO —co	—©o —co
Аналогично, из формулы (259) следует
V=J’ $p(R,Q)dQdR.	(261)
—co R
В обоих случаях интегрирование ведут по площади, ограни-
ченной сверху линией R=Q, проходящей через начало коорди-
нат R, Q под углом 45° (рис. 21). (Эта площадь заштрихована).
При взаименезависимости величин R и Q формулы (260) и
(261) можно записать:
v = f pQ (Q) f pR dRdQ = f pQ (Q) PR (Q) dQ.	(262)
—oo	—co	—oo
или
v = J PR (R) f Pq (Q) dQdR = f pR (/?)(!- PQ (/?)] dR =
— oo	P	—oo
= l-f pKW)P(J(R)dR.	(263)
59
В этих формулах переменную интегрирования можно обозна-
чить любой буквой, например х\ тогда будем иметь
V = f Pq (*) Pr (х) dx = 1 — J pR (x)PQ (x) dx.	(264)
Функции, стоящие под знаком интеграла (264), можно пред-
ставить в виде произведения ординат двух кривых Pq(x) и Рц(х),
совмещенных на одной оси абсцисс х (рис. 22), или кривых
Pq(x) и 1—Pq(x), совмещенных на той же оси (рис. 23).
Н. С. Стрелецким вместо вероятности разрушения V была
представлена другая мера безопасности конструкций, названная
1м гарантией неразрушимости [104]. Она получается совмеще-
нием на одной оси х кривых распределения Pq(x) и Рп(х)
(рис. 24). Ордината пересечения этих кривых отсекает от обоих
распределений площади coi и (02. Гарантия неразрушимости вы-
ражается через эти площади формулой
Г = 1 —Юх со2.	(265)
Так как
= PR °>2 = 1 — Pq (у) ,	(266)
где у — абсцисса точки пересечения кривых рк и то
г = 1 - Pr (у) [ 1 - Pq (!/)] = 1 - PR (У) - Pq (у) + PR {у), Pq (у) - (267)
Легко показать, что гарантия неразрушимости не определяет
однозначно вероятность разрушения, т. е. одинаковым значени-
ям гарантии неразрушимости Г могут соответствовать в различ-
ных случаях различные вероятности разрушения V и наоборот.
В частности, при детерминированной нагрузке или прочности
0)2=0 или (01=0 соответственно и гарантия неразрушимости рав-
на единице, что должно соответствовать нулевой вероятности
разрушения. В действительности в этих случаях имеются конеч-
ные вероятности разрушения, а именно: V=g>1 при детермини-
рованной нагрузке и Г=со2 при детерминированной прочности
(рис. 25, а, б). Поскольку вычисление гарантии неразрушимости
требует, кроме того, известных трудностей, следует признать, что
это понятие в настоящее время имеет пока лишь историческое
60
значение и о нем можно было бы не упоминать, если бы оно не
встречалось еще довольно часто в современной литературе [15].
22.	КОЭФФИЦИЕНТ ЗАПАСА
Коэффициентом запаса будем называть детерминированную
величину, равную отношению математических ожиданий прочно-
сти и нагрузки
Б = R/Q.	(268)
Выясним зависимость между коэффициентом запаса и веро-
ятностью разрушения V. При любых законах распределения R
и Q имеем согласно (253) и (69):
S= Я —Q; + S =	(269)
л
где S — стандарт распределения резерва прочности, равный корню квад-
ратному из дисперсии S.
Корреляционную связь между R и Q считаем пока отсутст-
вующей. Вероятность разрушения V можно выразить в виде
V = Ps(O) = Ps(S-S) = Ps($-Ts),	(270)
где
T = S/S.	(271)
Значение у представляет собой число стандартов S, уклады-
вающихся в интервале от S=0 до S=S, т. е. это величина, об-
ратная изменчивости резерва прочности
?=1MS	(272)
Величину у назовем характеристикой безопасности, смысл
этого названия будет выяснен ниже.
При нормальном законе распределения S формула (270) да-
ет согласно (86)
1 fo—S\ *
у= +Ф __	_ф(?)>	(273)
\ S J
где Ф — интеграл вероятности Гаусса (149)
V
1 Г —хI 2
ф (у) = —-- I ехр —— dx.	(274)
I 2л J
о
По сравнению с вероятностью разрушения V характеристи-
ка безопасности у имеет то преимущество, что выражается не-
большим числом, обычно большим единицы, в то время как V
представляет собой очень малую дробь. Для примера нормаль-
61
ного закона распределения S приведем некоторые значения V в
функции от у:
Таблица 2
V	0,1	0,01	0,001	0,0001	3,2-10-6	З-10-e	2,9-10—7
У	1,28	2,32	3,15	3,77	4	4,5	5
Значения у>*5 можно считать очень большими и соответ-
ствующими крайне малой вероятности разрушения. Определение
V по формуле (273) при больших у затруднительно, и в этом
случае рекомендуется применять асимптотическую формулу
(275)
Зависимость V от у легко получить и при других законах рас-
пределения S.
Часто характеристику безопасности принимают равной 3, что
соответствует известному правилу трех стандартов для допусти-
мых отклонений случайной величины от центра распределения,
в данном случае от нуля S. Вероятность разрушения при этом
для нормального распределения равна 0,00137.
Расшифровывая формулу (271), получим с учетом (269):
V R+Q
Разделим числитель и знаменатель правой части (276) на Q, ис-
пользуя при этом для g выражение (268) [71] — [73]:
Т = —	-----.	(277)
Здесь Ar и Aq — изменчивость величин R и Q:
Ar = -~-. Д, = ~.	(278)
к R	Q <Э
Введение в формулу (277) значений и Aq имеет то преи-
мущество, что они могут быть сравнительно легко оценены с до-
статочной точностью даже при отсутствии полных статистических
даных относительно R и Q. Кроме того, при изменении значения
нагрузки, например в результате увеличения площади, с которой
она собирается, равно как при изменении прочности несущих
элементов, например вследствие увеличения размеров попереч-
62
ных сечений, значения изменчивости и Aq остаются постоян-
ными.
Из формулы (277) можно найти решив квадратные урав-
нения:
г4 + 57Ля = (|-1)!;	1
>	(279)
f (у2 ar~ 1)4-2| + т2л£~1=0, |
получим
=  + К1-(уг4-’)(т24-0 =
 -у2^
1+К У5Л^ + угЛ2-у4ЛдЛ2
1-у2л^
Легко убедиться, что не при всех значениях Ar и Aq можно
найти коэффициент запаса £, обеспечивающий заданную харак-
теристику безопасности у. Например, при
(у2 Л2 —1 ) (т2 лД—1 ) > I.	(281)
как видно из (280), | получает комплексные значения.
Решая неравенство (281), получим:
т2(т2л^лД— ЛД— A2q] >0.
Таким образом, должно удовлетворяться неравенство
Если неравенство (282) не удовлетворяется, то заданная ха-
рактеристика безопасности не может быть достигнута никаким
изменением коэффициента запаса.
Из формулы (277) видно, что при ^-^оо характеристика безо-
пасности у становится равной 1/Дк, а при £=1 обращается в
нуль. Продифференцировав формулу (277) найдем, что
ду
Я-(л2 + Е2л2)3'2> 
Следовательно, при увеличении £ от единицы до бесконечно-
сти у изменяется монотонно от нуля до 1 /Ar.
В частном случае нулевой изменчивости нагрузки Д<э=0
формула (280) дает
а при нулевой изменчивости прочности Дк=0
|=l+p4Q.	(284)
63
Если значения изменчивости AR и Aq невелики, то их квад-
ратами, умноженными на у2 можно пренебречь по сравнению с
единицей. Тогда получим приближенную формулу:
B~i+vjAijj + ле-	<285>
23.	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ СВЯЗЬ
ПРОЧНОСТИ С НАГРУЗКОЙ
В большинстве случаев, как уже отмечалось, корреляционная
связь между нагрузкой и прочностью отсутствует или настолько
мала, что ею можно пренебречь. Но и при наличии такой связи
она обычно бывает весьма неопределенной, и ее трудно выразить
численно.
Положительная корреляционная связь нагрузки с прочно-
стью (/?, Q>0) имеет место тогда, когда для более прочных
элементов с большей вероятностью можно ожидать относитель-
но больших нагрузок. Отчасти это относится к статически не-
определимым конструкциям, в которых большую прочность от-
дельных элементов можно считать связанной с их большей жест-
костью, а следовательно, и с большими воспринимаемыми
усилиями.
Отрицательная корреляционная связь между R и Q (/?, Q<0)
возникает тогда, когда менее прочными элементами воспри-
нимается большая нагрузка. Например, растянутые толстолисто-
вые элементы металлических конструкций, ослабленные отвер-
стиями, как показывают эксперименты, иногда оказываются бо-
лее жесткими, чем сплошные из-за объемного растяжения, воз-
никающего в окрестности концентраторов напряжений.
В случаях, когда удается в какой-то степени оценить величи-
ну корреляционной связи между R и Q с помощью смешанной
дисперсии /?, Q, последнюю не составит труда ввести в форму-
лы для определения коэффициента запаса. Действительно, дис-
персия резерва прочности S в общем случае (с учетом (69)) вы-
ражается формулой

(286)
которая является обобщением выражения (269) на зависимые R
и Q. Тогда для характеристики безопасности у вместо (276) по-
лучаем
R — Q
V Я —2£Tq + q
(287)
64
и вместо (277)
V = — —-S~‘	=---•	(288)
где
ляг=]/|]~.	<289>
При этом уравнение (279) принимает вид
(1-4т2)Ег-2(|-Т2>!вд)5+(1-?2|!^)^б.	(290)
а его решение (280) будет
_ -•>’г4о+К'»’г(4~24<?+ 4)-у4(4-4- л«г) .
>-т2Л	• (29,)
24.	НЕСИММЕТРИЧНЫЕ КРИВЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ И ПРОЧНОСТИ
Иногда вместо резерва прочности S целесообразно вводить
величину

(292)
которую можно трактовать как случайный коэффициент запаса.
Вероятность разрушения при этом определится формулой
V = P(t< 1) = Р£(1).
(293)
Очевидно, что
Р€(0 = Р5(0),
(294)
так как равенство единице случайного коэффициента запаса эк-
вивалентно равенству нулю резерва прочности.
Условие (293) оказывается удобным, когда нагрузка и проч-
ность подчиняется некоторым несимметричным законам распре-
деления, например нормальному распределению логарифмов
(логнормальному распределению) (125). Поскольку
log 1= log R~ log Q,	(295)
то распределение log | будет нормальным, если log R и log Q
подчиняются нормальному закону распределения.
Введя обозначения
Iog^ = p; logQ = co; log| = v	(296)
5- 508
65
и выражая распределения р, © и v в логарифмической шкале
Pv (“) =
рр (") =
Ро («> =
(297)
получим
1	/ р — со \
= ----- - Ф I -z ~ I
Так как v=logg, то Pv (0)=Р^ (1).
Далее, согласно (127)
р = a2 In (1 + Л^); р = aln(c7?) — -^-1п (1 + Л^);
со = а2 In (1 4- Aq ); co = aln(cQ) In (1 -f-ЛД ) .
(298)
(299)
где а=1/1па; с — масштабный коэффициент; а — основание логарифма в
формулах (296).
Подставляя (299) в формулу (298), придем к выражению
Pv(0) = V = 4—
a In (с/?) — cln(dj)— -у In (1 -Mr) +у In (1 -Mq)
|/~а21п (1 -Mr) + a2In (1 -Mq)
R 1,1+4
In — — — In -
Q 2	1 + 4
Уш [(1+я2)(1+4)]
(300)
Сопоставляя (300) с выражением (273)

66
получаем для данного распределения расчетную формулу
In — In 1
Q 1
Y=
(301)
|/in[(i+4)(i+4)]	1 in [(1+4 j (1+4)]
Характеристике безопасности у здесь следует давать те же
значения, что и при нормальных законах распределения R и Q,
чтобы получить одинаковые вероятности разрушения V.
Из формулы (301) легко получить коэффициент запаса
(302)
6= I	.  л2 ехР
>	1 + Aq
Р. А. Муллером [57] аналогичным методом было дано реше-
ние для случая, когда нагрузка и прочность подчиняются распре-
делению Пирсона 3-го типа (91)
<ха иа~1
Р«~Г(а)
рР цР~‘
₽С-Г(р)
— аи
ехр -	;
R
— Ра
ехр——— .
Q
(303)
Здесь а и р — постоянные, выражающиеся через изменчивость прочности и
нагрузки формулами:
ос = —— ; Р = —— ,
А2	А2
R и Q — центры распределения прочности и нагрузки; и — общая шкала рас-
пределений рк и pq.
Опуская выкладки, приведенные в [57], в этом случае напи-
шем формулу вероятности разрушения
%(«, Р)
(304)
(305)
где
m Г(сс)Г<Р)
( Г(а+Р)
функция Эйлера первого рода (бета-функция);
б
Ве (а, §)=[/“- (1- 0₽-‘ dt
о
функция Эйлера второго рода (неполная бета-функция), а
«Q + РЯ
(306)
(307)
(308)
4
4
5*
67
Для величины /6 (а, р), входящей в формулу (305), имеются го-
товые таблицы.
П. Л. Визир [21] распространил приведенное решение на бо-
лее общие законы распределения:
/ \	Э-1 —vQui
Pq(u}=^ii:\u е
(309)
из которых распределение Пирсона 3-го типа (гамма-распреде-
ление) получается как частный случай при s=l; vr=cc//?; vq=
=fi/Q. Для распределения (309) формула вероятности разру-
шения (305) получается такая:
V =
(310)
где
6= ---=--
Если положить в (309) ос=р=1, то получим распределение
Вейбулла (133) с одинаковыми значениями изменчивости Ar и
Aq, поскольку последние в этом распределении не зависят от
vR и vq (136):
(311)

(312)
pQ(u) = svQus 1 е vQuS •
При этом формула (310) вырождается в простую зависимость
VR
V 6 =----т—
v/? + vc
(313)
На основании (134)
7? = v^r(-L+1')
вместо (313) отсюда получим
1/s Г
(314)
V Qs+Rs 1 + F’
При s=2 распределение (312) переходит в распределение Рэ-
лея (97):
и —и	—и-
pR(u)-—^P^-.PQ(U) = —^P —
(315)
2а ’ 2b
68
а формула (314) получает вид
v = r^-2-	(3>6)
Наконец, при s=2; vB=p2; vc=p2 распределения (309) пе-
реходят в распределения Пирсона 2-го типа (105):
9|ia
г( т)
а формулы (310) и (311) в
Кроме формул (310), (313), (316) и (318) П. Л. Визиром по-
лучены также решения для случая, когда прочность и нагрузка
имеют разную изменчивость, но подчиняются законам распреде-
ления Вейбулла, а также для случая, когда прочность подчинена
распределению Рэлея (97), а нагрузка распределена по нор-
мальному закону (81). Для последнего случая получена фор-
мула
V	= 1 -	1	_ ехр — —-----------.	(319)
Изменчивость прочности А2 в распределении Рэлея равна
0,5227 (101).
Более реален случай, когда распределение прочности нор-
мальное, а распределение нагрузки соответствует закону Рэлея.
При этом несложным видоизменением выкладок вместо (319)
можно получить
V	= —у	1 ------ехр —-------.	(320)
В [21] приведены графики зависимости вероятности разру-
шения V от коэффициента запаса £==R/Q при Zq=0,1; Д$=0,2
(рис. 26) и при Дв=0,2; Д$=0,1 (рис. 27). По оси ординат от-
ложены десятичные логарифмы V, взятые с обратным знаком.
Буквами обозначены законы распределения прочности и нагруз-
ки: н — нормальный; л.н. — логнормальный; г— гамма-распреде-
69
ление; n — распределение Пирсона (317); в — распределение
Вейбулла.
Следует отметить, что характер распределения R и Q значи-
тельно влияет на величину вероятности разрушения.
25. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОДНОРОДНОСТИ И ПЕРЕГРУЗКИ
Существующие нормы расчета строительных конструкций от-
части учитывают статистический характер расчетных величин
введением в качестве множителей коэффициентов: одних к зна-
чениям нормативной прочности материалов, а других — к зна-
чениям нормативной нагрузки. В качестве нормативного значе-
ния целесообразно принимать ее математическое ожидание.
Однако в действующих нормах нормативные величины не
совпадают с математическим ожиданием, а сдвинуты в сторону
более опасных значений. Это вызвано разными соображениями,
в частности, трудностью определения математических ожиданий
по сравнению с некоторой стандартной методикой назначения
нормативных величин, например по браковочному минимуму.
Нормативные значения обычно имеют определенную обеспечен-
ность и могут быть выражены через математическое ожидание
следующим образом:
__ л _
QH = Q-J-o&^?==Q(l“F
(321)
где RB и Qu — нормативные прочность и нагрузка; а — коэффициент, прини-
мающий различные значения для различных нормативных величин.
70
Расчетные прочность Rp и нагрузку Qp можно получить умно-
жением их математического ожидания на соответствующие ко-
эффициенты:
Qp = AnQ.	(322)
Коэффициенты для прочности материалов носят название ко-
эффициентов однородности и в наших обозначениях равны:
(323)
Эти коэффициенты всегда меньше единицы
Коэффициенты для нагрузки называются коэффициентами
перегрузки. Они всегда больше единицы и равны:
*п=1+тЛс.	(324)
Характеристика безопасности у, представляющая собой чис-
ло стандартов, отсекаемых на кривой распределения от центра
распределения, обычно принимается равной 3. Однако эта циф-
ра должна зависеть от принятой в расчете допускаемой вероят-
ности разрушения и формы кривой распределения.
В действующих нормах введены несколько иные коэффици-
енты однородности и перегрузки. Эти коэффициенты равны от-
ношению расчетной величины к нормативной:
=	=	(325)
Видим, что
К =	=	(326)
АН	ЧН
После введения к соответствующим расчетным величинам ко-
эффициентов однородности и коэффициентов перегрузки приме-
няют обычные формулы расчета, в которых вместо полного ко-
эффициента запаса оставляют небольшую его часть, называемую
коэффициентом условий работы. Во многих случаях коэффици-
ент условий работы принимают равным 1.
Схема назначения коэффициентов однородности и перегруз-
ки, принятая в нормах, не вполне правильно отвечает статисти-
ческой природе расчетных величин. В частности, она приводит
к неэкономичным решениям при наличии в расчетной формуле
большого числа случайных величин. Действительно, вероятность
того, что одна из нагрузок будет больше ее ожидаемой величи-
ны, умноженной на коэффициент перегрузки, характеризуется
значением у. Вероятность же того, что полная нагрузка, пред-
ставляющая собой сумму нескольких нагрузок превысит ве-
личину YQikni» где Q{ и kni — ожидаемые значения и коэффи-
циенты перегрузки каждой нагрузки в отдельности, будет значи-
тельно меньше, чем для одной нагрузки. Для получения той же
71
вероятности превышения суммарной нагрузкой ее допускаемой
величины, последнюю надо принять равной:
Q(i + ?Аэ)’
где Aq — изменчивость полной нагрузки при отсутствии корреляционной
связи между отдельными нагрузками:
+	---(327)
Коэффициенты
ai = ---~; (i = 1,2, .. , n)	(328)
Qi + СгН--F On
представляют собой долю каждой нагрузки в общем нагружении.
Таким образом, вместо
<г = 2 о;*п, = Дёг(1+т^=<гл,	<32©)
как предписывается нормами, за расчетную полную нагрузку сле-
дует принимать
<г=^|+т|/ЛД	£ Qi = Чв-	(330)
которая всегда меньше QA (за исключением частного случая
Qb=Qa) 
Для доказательства представим значения QA и Qb в виде:
0л = 2	+ т 2 Qi AQt = 2 Qi+V 2 Qr	(33I>
Qb=2^+vI/2ёг4,=2Qi+vy S t332)
i=l	Г i=l ‘ i=l	r i=l
Очевидно, что
(Д > 2 <h,	(333)
Л
так как все стандарты нагрузок Qi — положительные величины.
Извлекая из неравенства (332) квадратный корень и под-
ставляя в выражения (331), найдем, что Qa>Qb. Это неравен-
ство сохраняется и при наличии корреляционных связей, если
только последние не будут полными, т. е. если не все коэф-
фициенты корреляции будут равны 1.
В последнее время указанное обстоятельство пытаются испра-
вить введением в Нормы дополнительных коэффициентов соче-
таний нагрузок. К сожалению, это пока делается без строгого
научного подхода (см. главу V).
72
Аналогично обстоит дело и в отношении прочности конструк-
ции, если эта прочность представляет собой сумму прочностей
отдельных ее элементов с той только разницей, что суммарная
расчетная прочность может быть взята больше, чем по сущест-
вующим нормам. Но и в тех случаях, когда в расчете исполь-
зованы правильно вычисленные расчетные значения суммарной
нагрузки и полной прочности, методика, принятая в нормах, при-
водит к излишнему утяжелению конструкции. Действительно,
например, при одной нагрузке и одной прочностной характерис-
тике расчет по нормам приводит к коэффициенту запаса
E = V--	(334)
«о
Если использовать формулу (280), подставив в нее
4? = ^-	(335)
то получим выражение
.	1 + 1 1-*о*п(2-А0)(2-*„)
1----------------------------• (336>
которое дает больший запас прочности (за исключением частно-
го случая ko=kn, когда величины запаса, определенные по фор-
мулам (334) и (336) оказываются одинаковыми).
На рис. 28 показаны кривые равных коэффициентов запаса в
координатах 1—ko=yAR и kn—1=уАЛ. Эти кривые представля-
ют собой квадранты эллипсов. Соединив концы полуосей эллип-
сов прямыми, получим линии равных коэффициентов запаса, со-
ответствующие формуле (334). Таким образом, в методике, пре-
дусмотренной нормами, остается недоиспользованной значитель-
ная часть области, для которой данный коэффициент запаса яв-
73
ляется достаточным. При нескольких нагрузках и прочностных
характеристиках это положение еще более усугубляется.
Несмотря на недостатки методологии расчета по Нормам,
введение в нее коэффициентов однородности и перегрузки следу-
ет признать удачным. Эти коэффициенты имеют простой физи-
ческий смысл — через них довольно просто выражается общий
коэффициент запаса (335), и мы полагаем, что и в дальнейшем
коэффициенты однородности и перегрузки должны сохраниться
в расчетах.
26.	ИЗМЕНЕНИЕ НАГРУЗКИ ВО ВРЕМЕНИ
В большинстве случаев нагрузки, действующие на строитель-
ные конструкции, не остаются постоянными в течение срока
службы сооружения, а непрерывно меняются по некоторым слу-
чайным законам. Исключение составляет собственный вес соору-
жения и некоторые другие случаи постоянства нагрузки. По-
скольку постоянная величина может считаться частным случаем
переменной, то во всех случаях можно считать нагрузку случай-
ной функцией времени (случайным процессом), или вернее, реа-
лизацией этого процесса.
Имея в виду практические цели, ограничимся привлечением
аппарата корреляционной теории случайных функций, учитываю-
щей моменты не выше второго порядка. При этом случайная
функция нагрузки q(t) полностью характеризуется ее матема-
тическим ожиданием q(t) и корреляционной функцией q(tit t2).
Однако распределение значений q в данный момент времени
Pq(^|O не обязательно предполагается нормальным и может
быть резко асимметричным.
В расчетах основной интерес представляют перегрузки, т. е.
превышения нагрузкой или комбинацией нескольких нагрузок
некоторого допустимого уровня, и вероятность появления этих
перегрузок в течение заданного срока. При этом может быть ис-
пользовано выражение (220) для временной плотности выбро-
сов за уровень допускаемой или расчетной нагрузки
~ = u(Q)= I vp (Q, v) dv,
dt	J
о
(337)
где

(338)
p(q, v) —совместное распределение q и v в данный момент времени.
Обычно нагрузка q(t) представляет собой стационарный слу-
чайный процесс или квазистационарный, т. е. такой, в котором
74
изменение характеристик случайной функции во времени проис-
ходит очень медленно. Перегрузки же возникают, наоборот,
в малые промежутки времени. В таких случаях q и v можно
считать независимыми случайными величинами, подчиняющи-
мися распределениям pq(q) и р»(у), и формулу (337) перепи-
сать так:
« (Q) = Pq (О Гvpv (v) dv	(339)
b
или
«(Q) = ^(Q)^+>	(340)
где — ожидаемое значение положительной величины v:
f_|_ = [ vpv (v) dv.	(341)
b
Используя принятый в теории надежности термин, времен-
ную плотность выбросов нагрузки u(Q) можно назвать интен-
сивностью отказов конструкции, считая отказом превышение на-
грузкой допускаемого для данной конструкции значения Q. Ве-
личина, обратная интенсивности отказов, представляет собой
среднюю продолжительность интервала между последователь-
ными выбросами и может быть названа периодом отказа 0(Q):
0(0)=^--	(342)
В большинстве случаев период отказа значительно превыша-
ет интервал времени h—tZl в течение которого значение корреля-
ционной функции q(t\, t2) становится близким нулю. При этом
отказы могут считаться независимыми случайными событиями,
и к ним можно применить формулу вероятности редких собы-
тий (175):
Vt = 1 — ехр J* и (Q)	.	(343)
При стационарной случайной функции нагрузки q(t) интен-
сивность отказов постоянна во времени и формула (343) прини-
мает вид:
Vt = 1— ехр[— iz(Q)q.	(344)
Значение V/ представляет собой вероятность того, что в тече-
ние времени t нагрузка q(t) хотя бы один раз превысит значе-
ние Q. Вероятность противоположного события обозначим Pi —
=1—Vt- Функция Pt представляет собой интегральную функцию
распределения максимума q(t) за время t.
75
Однако Pt не равно полной вероятности разрушения конст-
рукции за срок t из-за превышения нагрузкой предельного уров-
ня Q. Сюда следует прибавить еще вероятность того, что уро-
вень Q мог быть превышен в начальный момент /=0, и конст-
рукция могла быть разрушена еще до начала рассматриваемого
периода нагружения. Эта последняя вероятность равна:
U (?) Л7=1-Л,(®-	(345)
Q
Полная вероятность разрушения конструкции за время t оп-
ределится по формуле вероятности сложного события:
Р (Q) = 1 - Рд (Q) + Pg (Q) Pt (Q)= 1 - Рд (<2) (1 - Pt (<2)1 =
= 1 - P, (Q) exp	[«(©Л J .	(346)
Надежностью конструкции назовем здесь величину
N=l — P(Q) = P<,(Q)exp ^-fu(Q)dr] .	(347)
Надежность конструкции при заданном сроке службы соору-
жения Т не должна быть меньше заданной, обычно очень близ-
кой к единице вероятности неразрушения 1—V. Из этого условия
получаем уравнение для определения расчетной нагрузки Q:
1 — V = P<,(C)exp^— (u(Q)d/j	(348)
Установим связь между надежностью N и интенсивностью от-
казов u(Q). Дифференцируя выражение (347) по /, получим
и (Q) dt
и, поделив на (347), найдем
1 dN d
«(«) = -——= — (,пЛ).	(350)
/V dt dt
^ = P,«2)ex₽ - [
L о
(-u(Q)l	(349)
27.	ВЛИЯНИЕ ИЗНОСА И ИЗМЕНЕНИЯ
ПРОЧНОСТИ ВО ВРЕМЕНИ
Износ строительной конструкции выражается в постоянном
снижении ее прочности, что вызывает увеличение интенсивности
отказов. Причинами износа могут быть ржавление (в металли-
ческих конструкциях), гниение (в деревянных конструкциях),
старение (в конструкциях из пластмасс) и т. д. В железобетон-
ных конструкциях прочность нарастает в первые месяцы и годы
после изготовления бетона, что можно рассматривать как отри-
76
нательный износ. Считается, что износ не зависит от нагрузки и
вызываемых ею напряжений (хотя, очевидно, это не всегда спра-
ведливо)1.
В общем случае износ выражается изменением прочности
конструкции или ее элементов во времени. Поскольку сама проч-
ность является случайной величиной, то при наличии износа ее
следует считать случайной функцией времени r(t).
Выше мы определили отказ конструкции как превышение на-
грузкой q(t) предельно допустимого для нее значения Q. Это
справедливо при постоянной детерминированной прочности кон-
струкции. Если же прочность конструкции представляет собой
случайную функцию времени, то за отказ конструкции следует
принимать возникновение неравенства
9(0- 7(0.	(351)
Введем вспомогательную случайную функцию резерва проч-
ности
7(г) = 7(0~9(0.	(352)
Тогда отказом будет переход функции s(t) через нуль в отрица-
тельную область
7(0 < 0.	(353)
Зная характеристики случайных функций q(t) и r(t), не-
трудно найти их для функции s(t). При этом будем считать, что
взаимная корреляционная связь между q(t) и r(t) отсутствует.
Тогда получим
s (0=7 (0-9(0	(354)
для корреляционной функции
?(0> h) = г (0, t2) + q (tlt i2)	(355)
и для дисперсии
2(0=? (04-9(0-	(356)
Заметим, что центр резерва прочности s(t) должен распола-
гаться выше нулевого значения настолько, чтобы выбросы за
нуль представляли собой редкие события, как правило, корреля-
ционно не связанные одни с другими. Поскольку выбросы s(t)
1 Здесь не затрагиваются вопросы, связанные с накоплением повреждений
и теорией длительной прочности материалов, учитывающей связь между вре-
менем действия нагрузки и разрушением.
Z7
происходят в отрицательном направлении, то формула для их
временной плотности п(0) будет следующей:
о
и (0) = — J р (0, ну) wdw,	(357)
где p(st w) —совместное распределение значений s и их производной
S(O = ^o_=^o_^o
в данный момент времени.
В сущности износ создает нестационарность случайной
функции г(/), а следовательно, и функции резерва прочности
s(t). Однако изменение характеристик r(t) и s(t) происходит во
времени крайне медленно по сравнению со скоростью выбросов,
вызываемых обычно резким и кратковременным возрастанием
нагрузки. Поэтому приближенно можно считать, что s и w неза-
висимые случайные величины и вместо (357) принять
п (0) = —	(0)	(359)
где
_ о
ш— = | wpw (w) dw	(360)
ожидаемое значение отрицательных величин w для данного момента времени.
Если износ практически отсутствует, то прочность не зависит
от времени и представляет собой не случайную функцию, а слу-
чайную величину R. При этом
7(0 = R-q(t)	(361)
и соответственно
2(0, О) = Я 4-9(О.'2); s(0-5? 4-9(0	(362)
Далее получим
0	со
й/_ = [ vpv (v) dv = — f vpv (v) dv= ~v+
—oo	0
(ввиду четности функции pv(v)) и вместо (359)
и (0) = р£ (0)	= ps (0) f vpv (v) dv.	(363)
b
Определив интенсивность отказов u(0). можно перейти к
функции надежности N по формуле
[/	1
— [ и (0) dt \ ,	(364)
b	J
78
где Ps(O) — интегральная функция распределения резерва прочности 5 в на-
чальный момент времени f=0 [Ps(S) при 5=0].
Формула (350) остается в силе, но вместо u(Q) в нее надо
подставить и(0). Уравнение, связывающее интенсивность отка-
зов с вероятностью разрушения V за срок Г, имеет вид:
1 — V = [1 — ps (0)]-ехр	( и (0) dt j ,	(365)
отсюда
т
[ и (0) dt = In [1 — Ps (0)] — In (1 — V),	(366)
о
а при постоянной интенсивности отказов (стационарной нагруз-
ке и прочности)
u(0) = y-(ln[l-Ps(0)J-ln(l-V)|.	(367)
28.	РАСЧЕТ НА БЕЗОПАСНОСТЬ
С УЧЕТОМ ВРЕМЕНИ
Будем считать, что нагрузка q(t) и прочность r(t) представ-
ляют собой взаимно не коррелированные стационарные гауссо-
вы процессы. Тогда резерв прочности s(t) будет также стацио-
нарным гауссовым случайным процессом и значения s в задан-
ный момент времени будут распределены по нормальному за-
кону
Ps («) = -  ехр —,	(368)
V 2ns	2s
где
s = r — q; s — r q.	(369)
Величина ps(0), входящая в формулу (359), определится вы-
ражением
(370)
где
s г — q
(371)
Нормально распределенной с центром w=0 окажется и про-
изводная функция резерва прочности w(Z); ее корреляционная
функция будет
W (т) = -7" (?) = —7" (?)	(т); (т = h - Z2),	(372)
79
а дисперсия
W=W(O)=—S" (0) = — т" (0) — q" (0).
Распределение значений w примет вид
1	— W2
Pw М =	• ехр —— .
V 2ю
Найдем ожидаемое значение отрицательных w:
0 °
W-— J wpw (w) dw = ~7; J ауехр—~ dw = ——
—оо	г 2ли> — со	2и>
Отсюда, согласно (359) с учетом (370) и (375)
1 -м / w —у2
п(0)=^’1/ ~ех₽“Г’
1/	2
V S
или на основании (369), (371) и (373) в развернутом виде
«(0)= —
2Л
-г" (0) —д" (0)
r+q
-(7-й2
ехр-------
2(? + ?)
(373)
(374)
(375)
(376)
(377)
Сопоставляя это выражение с формулой (367), получим урав-
нение
1	1-^(0)
— In--------
Т	1 — V
(0)ехр -(7-qft
2(г + $)
Поскольку согласно (270) и (273)
(0) = 0,5 —Ф (у).
где
v
I I1 —V2
Ф(т) = ~rr 1 ехр —dy.
|/2л Ь’ 2
(378)
(379)
(380)
то уравнению (378) можно придать вид
о^±ам=ехр
1 -v	F
г+<7	2(г+^)
(381)
Введем обозначения:
80
-q" (О)
9a
1 = ^-.	(382)
q
Тогда, подставив в (381) значение у (371) и произведя неко-
торые преобразования, получим
0,5 + Ф (——1	\ - (1 — V) х
[l^A^ + A* J
х ех₽ V	•	(383)
Из этого уравнения можно определить искомый коэффициент
запаса £ при заданной вероятности разрушения V, сроке службы
сооружения Т и параметрах, характеризующих случайные функ-
ции прочности и нагрузки.
Если нагрузка и прочность не изменяются во времени, то
г(0 = 1; ?(0 = 1;(0) =9" (0) = 0; вг = bq = о
и правая часть уравнения (381) равна 1—V. Тогда мы получим
формулы (273) и (277)
У = 0,5 — Ф(Т): У= £ —1	(384)
выведенные нами ранее для случая, когда нагрузка и прочность
представляют собой распределенные по нормальному закону слу-
чайные величины, а не функции.
А. П. Булычев [17] вывел уравнение, аналогичное (381), для
случая, когда функции нагрузки и прочности подчиняются рас-
пределению Пирсона (317). Ввиду сложности этого уравнения
оно здесь не приводится. В работе А. П. Булычева приведены
также в виде графиков результаты числовых расчетов. Вычис-
ления проведены им для случаев, когда нагрузка и прочность
распределены по нормальному закону и закону Пирсона, причем
нагрузка считалась стационарной случайной функцией, а проч-
ность — случайной величиной. Корреляционная функция нагруз-
ки принималась в виде
9 (т) = 9 ехР (— хт2) -	И85)
При этом
? (0) = В2 =	= 2хЛ*; В = А ,	(386)
92	92
6—508
81
Следует отметить, что разница между результатами, получен-
ными для нормального закона распределения и распределения
Пирсона, получалась небольшой. Вместе с тем коэффициент за-
паса оказался значительным. Это можно объяснить тем, что ко-
эффициент отнесен не к средним из максимальных значений на-
грузки за известный срок времени, как обычно делается в расче-
тах, а к математическому ожиданию случайной функции q(t),
равному q и включающему в себя влияние периодов очень малой
нагрузки.
На рис. 29 изображены кривые зависимости необходимого ко-
эффициента запаса £ от срока службы сооружения Т при част-
ных значениях изменчивостей Лг=0,1; Л9=0,2, вероятности раз-
рушения У=0,0013 и коэффициента BQ=0,28 (что соответствует
т=1 сут-2). Как видим, коэффициент запаса здесь слабо зави-
сит от срока службы сооружения Т — различие в величине £ при
переходе от 7=50 лет к 7=100 годам составляет всего 3%. Ис-
ключение представляют сооружения с малым сроком службы —
1—2 года, для которых коэффициент запаса может быть значи-
тельно снижен.
На рис. 30 представлена зависимость коэффициента запаса £
от вероятности разрушения V при 7=30 лет, Лг=0,1, Лс=0,2,
Bq=0,28. Величина V также не слишком сильно влияет на коэф-
фициент запаса, если не становится условием очень малой веро-
ятности разрушения (порядка 10-4—10~5).
Зависимости коэффициента запаса от изменчивости прочно-
сти при постоянной изменчивости нагрузки и от изменчивости
нагрузки при постоянной изменчивости прочности показаны на
82
рис. 31 и 32. Эти кривые получены при Т=ЗО лет, BQ=0,28, V=
=0,0013 и соответственно при Лг=0,1 и ZQ=0,2. При возраста-
нии Ат свыше 0,1 происходит быстрое увеличение £, при этом
нормальный закон дает более высокие значения чем закон
Пирсона. Разница существенно возрастает с увеличением Лг.
При Лг<С0,085 нормальное распределение дает немного меньшие
значения %. Влияние изменчивости нагрузки на коэффициент за-
паса (см. рис. 32) проявляется в меньшей степени. Нормальный
закон дает большие значения и при Ад порядка 0,05 разница
составляет около 9%. С увеличением Ад эта разница практиче-
ски становится равной нулю.
ГЛАВА IV
НАГРУЗКИ
29.	СЛУЧАЙНЫЙ ХАРАКТЕР НАГРУЗОК,
ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СООРУЖЕНИЯ
В расчетах строительных конструкций нагрузки и другие
внешние воздействия представляют собой наиболее неопределен-
ные величины, подчиняющиеся большему статистическому раз-
бросу, чем, например, прочностные факторы. Поэтому в вопро-
сах надежности изучение изменчивости нагрузок играет главную
роль. Однако наши знания о нагрузках, даже в части детерми-
нированных зависимостей, находятся на значительно более низ-
ком уровне, чем знание основных законов прочности. Это обстоя-
тельство повышает требования к обеспечению достаточной на-
дежности по отношению к возможным превышениям нагрузками
опасных значений.
Обычно на сооружение действует несколько нагрузок и воз-
действий, причем каждая из них представляет свой особенный,
иногда очень своеобразный процесс. Чтобы свести все эти внеш-
ние воздействия к одной обобщенной нагрузке, надо уметь разо-
браться в конкретных особенностях каждого воздействия и уметь
их сочетать. В некоторых случаях это сделать легко, а в других
чрезвычайно сложно. Желательно всю совокупность нагрузок,
случайно изменяющихся во времени, приводить к одной случай-
ной величине Q, которую можно подставить в расчетные форму-
лы для определения коэффициента запаса, приведенные в
пп. 21—25. Если совокупность нагрузок приводится к одной слу-
чайной функции времени q(t), то можно воспользоваться форму-
лами, данными в пп. 26—28. Возможен и иной подход к учету
сочетаний нагрузок, который будет изложен в главе V.
Основные виды воздействий на сооружения можно разделить
на: 1) постоянные нагрузки — собственный вес конструкций;
6’
83
2)	атмосферные — ветровая, снеговая нагрузки, действие наруж-
ных температур и т. п.; 3) полезные и технологические нагрузки.
Многие нагрузки, особенно из последней группы нагрузок,
до сих пор еще полностью не описаны математически и еще не
ясен подход к их правильному учету при проектировании соору-
жений. Сюда относятся, в частности, нагрузки, связанные с воз-
можной модернизацией оборудования. От проектировщика тре-
буется предусмотреть возможные изменения нагрузок в течение
длительного срока существования сооружения, что связано с тех-
ническим прогрессом, развитие которого иногда трудно предуга-
дать. Таких неясностей в вопросе о расчетных нагрузках имеется
немало и не следует пытаться разрешить их методами матема-
тической статистики. Задача теории надежности состоит в раз-
работке и применении математико-вычислительных методов в тех
случаях, когда имеются уже установленные закономерности ха-
рактера воздействий, подчиняющиеся вероятностно-статистиче-
ским законам.
В части математического описания нагрузки могут быть
разделены на следующие группы: а) нагрузки, представляющие
собой случайные величины; б) нагрузки, представляющие собой
случайные функции времени; в) нагрузки, изменяющиеся не
только во времени, но и в пространстве по случайным или детер-
минированным законам. К последней группе относятся, в част-
ности, движущиеся нагрузки.
Ниже, не вдаваясь глубоко в природу нагрузок, рассмотрим
их некоторые математические особенности, которые надо учиты-
вать в расчетах на надежность.
30.	НАГРУЗКА В ВИДЕ СЛУЧАЙНОГО
ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА
С некоторым приближением многие нагрузки могут рассмат-
риваться как стационарный случайный процесс с нормальным
распределением. Вероятность превышения этой нагрузкой за-
данной величины q зависит от длительности действия нагрузки.
Для определения этой вероятности можно применить формулу
выбросов (227)
и (q) = А ехр —,	(387)
2
где
(388)
Если корреляционную функцию нагрузки принять в виде
q (т) =q ехр (— ат)2,
(389)
84
то получим
-?(0) = 2сч; А = — 1/-у .	(390)
п V &
При больших значениях q и соответственно малых u(q) веро-
ятность появления хотя бы одного выброса за время Т можно
определить по формуле (228)
^т(9) = 1-ехр[-«(д)Т],	(391)
где 1—Рт(<7) представляет собой интегральное распределение максимума
нагрузки q(t) за время Т.
Подставляя в (391) выражение для u(q) (387), получим
Г _(„_Z)2!
Рг(9) = J —ехр —ТА ехр 	.	(392)
L	2^	|
Приравняв Рт(<?) заданной вероятности V превышения нагруз-
кой величины q за срок Т и, логарифмируя, будем иметь:
In (1 — V) = — ЛТехр~^~^ ;
2<?	(393)
[=^]
или
q—q + vq.	(394)
Л 1/^
где q — V q—стандарт нагрузки q(t) в заданный момент времени, а
Поскольку вероятность V должна быть очень мала, то можно
положить —In (1—V) = V и тогда
(396)
Формула (396) позволяет определить значение характеристи-
ки безопасности у, обеспечивающее заданную вероятность V
_ л
превышения нагрузки qp=q~^-yq за срок службы сооружения Т.
Дифференцируя (391), найдем плотность вероятности максиму-
ма нагрузки за срок Т.
dPT(q)
Рт (9) = — —~ = — Ти' (q) ехр [— и (9) Т]	(397)
dq
85
или из (392) для нормального закона распределения
ЛТ (а — Ъ) — (о — о)2 Г	— (о — а)2
рт (q) =--V- w ехр	ехр — АТ ехр ~ ~
q	2? L	2?
xT(g-d	Г-(g-У _	-(g-d* 
vAU I	ii J vAU
Я	L 29	29
(398)
Формулы (391) и (392), как было сказано, справедливы лишь
при относительно больших значениях q—q, когда частота появ-
ления выбросов достаточно мала и корреляционную связь между
последними можно считать отсутствующей. Поэтому вторым чле-
ном в формуле (398) можно пренебречь по сравнению с первым
и получить таким образом приближенно:
ЛТ (о — о)	— (о — о)2
Рт (<?) = 77^- ехр \ Ч/ .	(399)
q	%q
При уменьшении q величина P-r(q) должна приближаться
к 1. Это не соблюдается в формуле (391), которая дает значение
P-r(q)i отличное от единицы, поскольку и(0)<оо. Поэтому сле-
дует считать, что формулы (397)—(399) описывают лишь край-
нюю правую часть кривой распределения максимума q и не спра-
ведливы при малых значениях этого максимума. Для уточнения
заметим, что формула (391) предполагает в начальный момент
времени нагрузку <7 (0) меньшей, чем q. Для больших значений q
вероятность этого предположения близка к единице и, следова-
тельно, можно пренебречь возможностью того, что q(ty>q. Для
малых q указанное обстоятельство приобретает решающее зна-
чение.
Очевидно, что вероятность неравенства q(ty<q равна P(q}*
где P(q) — интегральное распределение q в заданный (в данном
случае нулевой) момент времени. Выражение 1—P(q) представ-
ляет собой вероятность превышения начальным значением </(0)
величины q, что можно трактовать как мгновенный отказ. Опре-
деляя полную вероятность отказа за срок 7, включая мгновен-
ный отказ в начальный момент времени, получим формулу
Рт (Я) = Р (?) {1 -ехр [- а (?) Л) + 1 - Р (?)=1-Р (?) ехр [-и (?) 7], (400)
которая должна заменить формулу (391) при небольших q.
В случае нормального распределения имеем вместо (392):
p;(?)=i-
0,5 + ф/--------
I л 1
\ q /
ехр — АТ ехр ————
(401)
>2 1
2?
86
Р*Т (q) = ехр
будет
(402)
Кривая распределения плотности вероятности отказа
.	^г(9)
Рт (?) = — —--= (р (?) — р (Q) и' (?) Л ехр [— и (q) 7],
а при нормальном распределении
2?	2^
X.I—+ АТ	Го,5 + Ф I ^^11
|К2я?	$ L U Л)
Формулы (400) — (403) справедливы для всех значений q,
при отсутствии корреляционной связи между соседними выбро-
сами за это значение. При больших значениях q эти формулы
переходят в более простые формулы (400) — (399).
(403)
31.	ВЕТРОВАЯ НАГРУЗКА
(404)
(405)
Основной характеристикой ветровой нагрузки является вет-
ровой напор qB, определяемый по формуле
где v — скорость ветра; р — плотность воздуха.
Плотность воздуха зависит от давления и температуры:
_ р 273+ 15
273 +’
где р0=0,125— плотность воздуха при нормальном давлении рс = 760 мм рт.
ст. и температуре 15° С; р — давление, мм рт. ст., t° — температура, °C.
Как видно из формулы (405), для климатического диапазона
температур и сравнительно небольшой высоты сооружений из-
менением плотности воздуха можно пренебречь. Поэтому рабо-
чую формулу для определения ветрового напора принимают
в виде
V3
’в = т^-
где скорость измеряется в м/с, а напор в Н/м2.
Скорость v представляет собой случайную функцию времени
v(t)t являющуюся пространственным вектором с координатами
vx(t)~vy(t), vz(t). Распределение горизонтальных составляющих
скорости ветра vx и vv определяет так называемую розу ветров
данной местности.
Скорость ветра составляет предмет систематических наблю-
дений многочисленных метеорологических станций. В Советском
(406)
87
Союзе на этих станциях скорость и направление -ветра измеряют
4 раза в сутки. По данным каждой станции, имеется статисти-
ческий ряд наблюдений за 18—20 лет, а по некоторым станци-
ям — за 30 лет и более. Замеренные скорости ветра во многом
зависят от географического расположения станции, а также
степени защищенности ее от ветра. Имеющиеся данные о ско-
ростях ветра получены главным образом с помощью флюгера
Вильда. Этот прибор не вполне точен и может давать ошибку до
4—6 м/с. Значительная доля этой ошибки является системати-
ческой, поэтому действующие нормы расчета строительных
конструкций вводят поправку к скоростям ветра, полученным
в результате наблюдений коэффициентом:
5
а = 0,75 4-—.	(407)
Ветровое давление определяется умножением ветрового на-
пора, найденного по формуле (406), на коэффициент обтекания
Св, зависящий от формы и характера поверхности тела, воспри-
нимающего ветровой напор. Коэффициент обтекания в свою
очередь незначительно зависит от скорости v, однако в некото-
рых интервалах скоростей, соответствующих переходу от лами-
нарного обтекания к турбулентному, эта зависимость оказыва-
ется довольно большой. Таким образом, значение ветрового
давления с учетом этого обстоятельства, а также поправок (407)
и (405) несколько отклоняется от прямой пропорциональности
квадрату скорости. Надо добавить, что от квадрата скорости
зависит модуль ветрового давления, которое меняет знак при
изменении направления скорости ветра на обратное.
Таким образом, переход от статистического распределения
скоростей ветра к распределению величин ветрового давления
представляет собой не простую задачу. Тем не менее из-за от-
сутствия достаточного количества статистических данных, непо-
средственно относящихся к ветровому давлению, приходится
осуществлять этот переход довольно приближенно.
Кроме статического действия, ветровой напор вызывает
пульсацию, которая часто бывает опасной не при самых высоких
скоростях ветра, а при тех, которые вызывают резонансные ко-
лебания конструкций [10]. Эту сторону вопроса здесь рассматри-
вать не будем.
Метеорологи Советского Союза [1] рекомендуют использо-
вать для скоростей ветра распределение Вейбулла (132)
Р (и) — 1 — ехр (— сгЛ),	(408)
где P(v) —вероятность того, что в наперед заданный момент времени ско-
рость ветра не превысит значения v; с и b — коэффициенты, определяемые по
каждой метеостанции отдельно.
Для Москвы, например, принимают
с = 0,203; Ь = 1,125.
88
Назовем периодом_повторяемости скорости ветра средний
промежуток времени t(v) между превышениями скорости v,
вероятность чего равна
а — 1 — Р (г) = ехр (— cvb).	(409)
Произведение
т = at (v)	(41G)
назовем условной зоной корреляции скорости ветра. По-види-
мому, статистически легче определить зону корреляции, чем
период повторяемости из-за ограниченности срока наблюдений,
особенно при больших скоростях ветра. Для ориентировочных
расчетов в первом приближении величину т примем равной 1 сут.
Подставляя в (410) значение а (409), получим
t = t (и) -- т ехр (cvb).
(411)
Скорость, соответствующая данному периоду повторяемости,
равна:
(412)
Отсюда по формуле (417) можно перейти к ветровому напору
qB, соответствующему периоду повторяемости t:
(413)
Если нормативное давление ветра qB. к определено исходя из
периода повторяемости tH, а расчетное давление qB. р— из перио-
да повторяемости /Р, то коэффициент перегрузки фв.р/?в.н будет
(I *?\2/ь
log —— \
Т 1
1	I
log   I
т /
Эту формулу можно переписать так:
MogflH /
(414)
(415)
где ар и ая — вероятности превышения расчетной и нормативной нагрузки в
заданный момент времени. Логарифмы в формуле (415) могут быть взяты
при любом основании.
В строительных нормах нормативная ветровая нагрузка вы-
числена исходя из периода повторяемости 10 лет, а коэффициент
перегрузки для ветровой нагрузки принят 1,4. Следовательно,
полагая т=1 сут, получим из (415):
,,4=(ЙЙбГ; |'4'’/2|°е3650 = 1ов^
\IOg3o50/
/р = 36501’4б/2сут;
89
Для Москвы при 6 = 1,125 период повторяемости составит
/р=25700 сут=70 лет, т. е. расчетное значение ветровой на-
грузки имеет период повторяемости 70 лет.
Это не значит конечно, что ветровая нагрузка будет превы-
шать свое расчетное значение обязательно один раз в 70 лет.
Период повторяемости представляет собой лишь среднее значе-
ние промежутка между превышениями нагрузки, являющееся
случайной величиной.
При переходе от 10-летнего срока повторяемости к сроку t
лет интегральное распределение (408) надо возвести в степень
и=//10; тогда получим для больших значений v:
Pt (у) = [1 — ехр (— cufc)]n ~ 1 — ехр (— cvb) = 1 — ехр (— с In nvb), (416)
т. е. снова распределение Вейбулла, но с коэффициентом с,
увеличенным в In п раз.
32.	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ИЗМЕНЧИВОСТЬ
ВЕТРОВОЙ НАГРУЗКИ
Для сооружений, имеющих значительную протяженность по
вертикали или горизонтали, следует учитывать пространствен-
ную неравномерность ветровой нагрузки, т. е. считать послед-
нюю случайной функцией не только времени, но и пространст-
венных координат
<7в = (Л х, у).	(417)
Пространственная изменчивость ветра обусловлена главным
образом турбулентным характером движения воздуха в атмо-
сфере. В практике расчета высотных сооружений используется
так называемый вертикальный профиль ветра, т. е. зависимость
скорости ветра от высоты у. Обычно эту зависимость принима-
ют в виде
=	(418)
где ус — высота, на которой скорость ветра равна нормативной.
Нормы рекомендуют брать ^0=Ю м, а=0,16 для открытой
местности, 0,22 для местности, равномерно покрытой препятст-
виями высотой 10—15 м и 0,33 для центров больших городов.
Средние скорости (418) имеют значительную изменчивость, так
же, как и сама форма вертикального профиля ветра. Таким об-
разом, здесь мы имеем дело с нестационарной случайной функ-
цией
v=v(t, у)
с математическим ожиданием (418).
То же можно сказать о распределении скорости ветра по го-
ризонтали. Пока имеется весьма мало данных о характере кор-
50
реляционных функций для пространственных распределений
скорости ветра и о величине зон корреляции для различных
случаев.
Упомянем еще об одном аспекте вероятностного рассмотре-
ния ветровой нагрузки. Разрушающие значения силы ветра по-
являются, как правило, в результате больших перепадов давле-
ний, вызываемых вихревым движением воздуха. Пример такого
движения — смерч. В этом случае имеем местный максимум
скоростей ветра, перемещающийся во времени по некоторой по-
лосе. Ввиду ограниченной ширины этой полосы вероятность ее
прохождения через метеостанции мала и максимальная ско-
рость ветра может оказаться не зафиксированной. Для очень
протяженных сооружений, типа линий электропередач, вероят-
ность улавливания разрушающего ветра сильно увеличивается.
Если известна ширина полосы сильного ветра d и можно
считать, что скорости ветра на расстояниях, больших, чем d,
корреляционно не связаны, то можно определить вероятность
улавливания сильного ветра весьма протяженным объектом по
общим формулам, справедливым для малых объектов, но с
увеличенным приведенным сроком службы
7’пр=7-у,	(419)
где Т — расчетный срок службы сооружения; L — длина протяженного объ-
екта.
Пространственное распределение ветра здесь заменяется
временным.
33.	УПРОЩЕННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СКОРОСТИ ВЕТРА
Постоянная b в распределении Вейбулла (408) для скоро-
стей ветра имеет довольно большой разброс для разных мест-
ностей и разных условий окружающей земной поверхности.
Поэтому нет смысла уточнять кривую распределения скоростей
ветра, а лучше упростить ее, чтобы удобнее использовать для
большего числа практических расчетов. Например, можно ре-
комендовать принять значение b в формуле (408) равным еди-
нице и тогда распределение Вейбулла превратится в простое
экспоненциальное распределение (137)
р (и) = 1 — е-го; р (V) = ce~^t	(420)
Центр распределения (420) равен 1/с, дисперсия 1/с2, измен-
чивость постоянна и равна 1. Формулы (411) — (415) при этом
получают вид
/(и)-те™; г = — In — ; qB = -^-In2 — ; £п =.	(421)
с %	2с2 т \logaH/
91
Другое приближение состоит в том, чтобы считать постоян-
ную b равной 2; при этом распределение Вейбулла переходит
в распределение Рэлея (97)
V	V2
р(°) = —-е*р—,	<422)
а	2а
тд$ а — коэффициент, пропорциональный дисперсии скорости ветра
с = 2,33и.	(423)
Распределение (422) имеет некоторое теоретическое обосно-
вание, а именно, оно является, как было указано в п. 7, распре-
делением модуля двухмерного вектора, у которого проекции
на прямоугольные оси координат имеют одинаковое нормаль-
ное распределение с нулевым центром. Если представить себе
местность, в которой все направления скорости ветра равно-
вероятные, а составляющие скорости ветра подчиняются нор-
мальному закону распределения, то для такой местности рас-
пределение абсолютных значений скоростей ветра будет под-
чиняться закону (422).
Распределение ускорения w—dvjdt для этого случая можно
получить из следующих соображений. Пусть в момент времени
t вектор скорости равен v. Совместив без нарушения общности
доказательства координатную ось х с направлением v, получим,
что составляющие скорости ветра в этот момент равны vx=v
и vv=Q. В бесконечно близкий момент времени t-\-dt вектор v
получает случайное приращение 'wdt. Вектор w с составляющи-
ми wx и wy равен производной по времени от вектора v, т. е.
ускорению ветра, причем
Поскольку vx и vy подчиняются нормальному закону рас-
пределения, то и их производные wx и wv будут также подчи-
няться этому закону с центром распределения wx—wv=O.
Составляющая ых дает приращение вектора v по модулю,
в то время как составляющая wv изменяет направление вектора
v (рис. 33). Отсюда следует, что производная от модуля v име-
ет то же нормальное распределение, что
1,9	и wx, а именно:
1	— W2
р (ьу) =-ехР---------•	(425)
---У2nwx	%wx
° v t/dt x причем
рис. 33	S = Sx = -^(O).	(426)
92
Найдем теперь связь между корреляционными функциями
полной скорости ветра и ее составляющей вдоль оси х, подчи-
няющейся нормальному закону распределения (96):
1	— v2
Р W ехР	(427)
I 2яа 20
с дисперсией vx=a. Сравнив эту дисперсию с дисперсией рас-
пределения v= | v|, на основании (423) пли (100) получим
v — 0.43 г,
(428)
и, полагая вид корреляционной функции одинаковым для v и vx:
v (т) = 0,43 vx (т).
Временную плотность вероятности выброса v(t) за
v определим из формулы (222)
(429)
уровень
^(и) =
W	— W2
,----ехр--------dw =
2лгг>
v — и21/ — v" (0)
— и2
Л = Av ехр------.
2л	2а
Для корреляционной функции
(430)
v (т) = а ехр (— ат2)
(431)
имеем
-у"(0)
2л
Далее получим вероятность выброса за время Т для боль-
ших значений v по формуле (228):
/	V2 ’
I — ЛТиехр —
Приравняв Pt(v) малой допустимой вероятности V, най-
дем
(432)
Рт (г) -1 — ехр
(433)
Л = —
о
У =
(	—и2’
ехр I — ATv ехр ~—
откуда
— v2 — 1п(1 —V)
v ехр----------------
F 2	АТ
или, полагая приближенно —In (1—V)
— v2 V
v ехР	-
F 2а АТ
(434)
(435)
(436)
93
Отсюда нетрудно найти и, пользуясь имеющимися таблица-
ми функций.
Найдем теперь закон распределения максимумов v для за-
данного промежутка времени Т. Используя формулу (400), по-
лучим
Р*т (и) = 1 - Р (и) ехр [- и (v) Т]-	(437)
подставляя сюда
— и2
и (и) = /и ехр ,	(438)
будем иметь
рт(о) = ' - (< - ехр	j ехр ТА exp-^- j =
I	— v2\	f—v2	— v2\
= 1 — exp — 7710 exp —- 4- exp |-— TAv exp ——	(439)
\	2a /	\ 2a	2a J
И
*	/	— t»2	02 \
Pt (u) = — P7 (») = exp I — TAv exp-— — 1 X
x H1 -?)('-expi?)--r]-	(44O)
Распределение (440) может быть использовано для опреде-
ления давления ветра на круглые в плане сооружения или на
плоские кровли, где расчетное давление не зависит от направ-
ления ветра. Для несущих конструкций протяженных зданий
ветер, дующий в торец, является безопасным и здесь следует
учитывать лишь составляющую скорости ветра, нормальную к
боковой поверхности здания. Так же следует поступать и при
расчете конкретной колонны каркаса или конкретного простен-
ка круглого в плане здания. В этих случаях можно исходить
из нормального закона распределения опасной составляющей
скорости ветра и использовать формулы (401) — (403), в кото-
рых следует заменить q на vx. Лучшее приближение к эмпири-
ческим распределениям скорости ветра (408) может дать обоб-
щенное распределение модуля вектора, предложенное нами в
п. 7 (114)
=	(441)
Напомним, что это распределение соответствует нормаль-
ным распределениям составляющих вектора скорости их и vy
с дисперсией а и центром для составляющей vx, равным с, а
для составляющей vv, равным нулю. Оно отвечает наиболее
распространенному случаю преобладающего направления ветра
в данной местности. Для распределения (441) можно получить
формулу распределения максимальной скорости ветра за срок
7, аналогичную формуле (440).
94
От распределения скоростей ветра нетрудно перейти к рас-
пределению ветрового давления qB по формуле (404), заменяя
в выражениях для интегрального распределения значение и че-
рез I7 2qB/p н вводя в выражения для распределения плотно-
стей вероятности множитель, равный, согласно (16),
= PV =	.	(442)
Например, вместо (440) получим
₽;(?b) = 1Z2Wb	X
х[тл('-Й(,-ехр7г)-/&1 -	(443)
34.	СНЕГОВАЯ НАГРУЗКА
При проектировании строительных конструкций в качестве
расчетной снеговой нагрузки принимают максимальный вес
снега, накопившегося на сооружении во время зимы. В отдель-
ных частях кровли эта нагрузка умножается на коэффициенты,
учитывающие сдувание снега и повышенное накопление его в
так называемых «снеговых мешках». Эти коэффициенты, как и
основная снеговая нагрузка, являются случайными величинами.
Вес максимального снегового покрова, определенный для
данной местности за несколько лет, представляет собой стаци-
онарную случайную последовательность. Таким образом, соору-
жения подвергаются многократному загружению одной и той
же случайной нагрузкой в виде снега и расчетным значением
этой нагрузки должен быть максимум из п ее повторений, где
п — число лет службы сооружения, определенное с заданной
обеспеченностью.
Кривая распределения максимальной годовой снеговой на-
грузки определяется статистической обработкой последователь-
ности снеговых нагрузок за большое число лет. В ряде случаев
представляет интерес не максимальная за год снеговая нагруз-
ка, а значения ее в любой день зимнего периода. Для матема-
тического описания снеговой нагрузки можно ввести следующие
допущения, выполняющиеся с известной степенью точности:
1)	снеговая нагрузка представляет собой суммарный вес
осадков, выпадающих в твердом виде в данном районе в тече-
ние зимы за вычетом их испарения и таяния;
2)	количество твердых осадков, выпадающих за день с вы-
четом их испарения и таяния, представляет собой стационар-
ную случайную последовательность Q;
3)	во время оттепелей приращение снеговой нагрузки за
день является отрицательной величиной;
95
4)	возможность очистки снега с покрытий после снегопадов
не учитывается;
5)	корреляционную связь между последовательностями ct
для различных лет можно считать отсутствующей.
Время t в днях следует отсчитывать для всех лет от какой-
нибудь постоянной даты, различной для разных местностей
(например, от первого ноября).
Для упрощения дискретную последовательность ct можно
заменить непрерывной случайной функцией c(t). Исходя из этих
предположений найдем, что снеговая нагрузка в любое кален-
дарное число представляет собой нестационарную случайную
функцию
t
fc(O = [*«)<«,	(444)
О
а ее максимальное значение за год — случайную величину
<7ci ~ макс [ с (О	(445)
б
Задача об изменении снеговой нагрузки в течение зимы под-
робно рассмотрена Е. И. Федоровым, исходя из представления
об этой нагрузке как о случайном марковском процессе «раз-
множения и гибели».
Для расчета сооружений на длительные сроки требуется
значение максимальной снеговой нагрузки за много лет. По-
скольку корреляция между годовыми нагрузками практически
отсутствует, многолетнюю снеговую нагрузку можно получить
теоретически, зная функцию распределения максимальной го-
довой нагрузки. Это распределение обычно находят методом
статистической обработки многолетних метеорологических дан-
ных о максимальной толщине снегового покрова. При этом от-
падает необходимость в анализе функции выпадения осадков
c(t). От толщины снегового покрова к весу снеговой нагрузки
переходят с помощью эмпирических коэффициентов.
Кривая распределения плотности вероятности максимальной
снеговой нагрузки за один год p(qci) несимметрична, причем
qci не может быть меньше нуля. Изменчивость qcx довольно
высока, что исключает возможность аппроксимации кривой
p(qc\) нормальным законом распределения. Некоторые авторы
[35], [90] рекомендуют для qci двойной экспоненциальный за-
кон интегрального распределения (139) [распределение Гум-
беля]
Р (9ci) = ехр ехр	•	(44Г1>
96
хотя этот закон допускает вероятность отрицательных значений
<7сь Распределение плотности вероятности ^С1 здесь будет
Р (Ял) = ехр (— ехра 9с1 4- J?cl 1	(447)
Р \	Р	Р /
Коэффициенты а и р имеют различные значения для разных
местностей. Например, для Москвы получено: а=931 Щм2,
р—365 Н/м2. Однако не исключается возможность использова-
ния вместо распределения (446) и других несимметричных за-
конов распределения. Для определения максимально допусти-
мой снеговой нагрузки на сооружение, рассчитанное на п лет,
запишем вероятность непревышения ею значения qcn‘
P(4cn'> = fP(Qa).	(448)
Обозначив через I/ заданную вероятность превышения ве-
личины qcn за п лет, будем иметь:
V = 1 -	(9с1); п =	:	(449)
log Р (<7с1)
(450)
С помощью этой формулы величину ^сь соответствующую
заданному числу лет п и допустимой вероятности V, легко оп-
ределить графически по кривой интегрального закона распре-
деления P(^ci) (рис. 34).
Применяя формулу (448) к распределению (446), получим
Р (Qcn) — ехр п ехр “ ~cl- j = ехр | — ехр	+ In n j j =
= ехр	ехр--- р .	(451)
где
ап = а 4- ₽ In п.
(452)
Таким образом, переход от максимума за год к максимуму
за п лет (при данном законе распределения) приводит к посту-
пательному смещению кривой P(^ci) вдоль оси абсцисс вправо
на величину plnn. Очевидно, что кривая распределения плотно-
стей вероятности p(qci) также смещается вправо на ту же ве-
личину. Следовательно, для
центров распределений qCn и
<7ci можно написать
<7сл = ?с1+₽1пп;	(453)
дисперсии же при этом не
меняются
F?’ rs
Qcn~Qci-	(454)
7—508
97
35.	НАГРУЗКА ОТ СВЕЖЕВЫПАВШЕГО СНЕГА
Представление о снеговой нагрузке как о накопительном
процессе, происходящем в течение зимы, не единственно воз-
можное. В ряде случаев разрушение конструкций, воспринима-
ющих снеговую нагрузку, может произойти не в конце зимы, а
сразу после обильного снегопада. Здесь влияют следующие
обстоятельства. Во-первых, свежевыпавший снег обладает
большой рыхлостью, в то время как слежавшийся является
до некоторой степени самонесущей конструкцией типа плиты
или оболочки. Во-вторых, при обильном снегопаде более веро-
ятно образование «снеговых мешков» и заносов, так как весь
снег выпадает при одном и том же направлении ветра. Далее,
нагрузка от свежевыпавшего снега может оказаться основной
для покрытий горячих цехов, где снег долго не лежит из-за
положительной температуры поверхности кровли, а при силь-
ном снегопаде он может не успеть быстро растаять, и на по-
крытие в течение некоторого времени будет действовать значи-
тельная нагрузка. На обычных теплых кровлях после обиль-
ного снегопада снеговые заносы часто расчищают или же снег
слеживается и приобретает некоторые свойства твердого тела,
что, как уже было сказано, является благоприятным фактором
для конструкции. Поэтому основная опасность разрушения по-
крытия возникает в течение небольшого срока после выпаде-
ния сильного снега.
Таким образом, во многих случаях необходим расчет по-
крытия на действие свежевыпавшего снега, для чего требуются
данные о распределении вероятности суточных снеговых осадков.
К сожалению, какие-либо нормативы для расчета подобных
случаев снеговой нагрузки пока отсутствуют. Однако, зная ха-
рактеристики случайной последовательности, ct или функции
c(t), определение которых было дано в п. 34, можно устано-
вить максимальные расчетные значения ct для заданного срока
службы покрытия изложенными выше методами, и тогда тре-
буемый расчет не будет затруднительным. Если обильный снег
выпадает на уже имеющийся снеговой покров, то необходимо
учитывать сочетание действий двух случайных нагрузок — дли-
тельно лежавшего и свежевыпавшего снега.
Аналогичный характер имеет нагрузка от гололеда, имею-
щая особенно большое значение для проводов линий электро-
передач и тонкостенных элементов металлических конструкций.
Эта нагрузка включена в строительные нормы для обязатель-
ного расчета на гололед по нормативным данным.
Как видим, атмосферные нагрузки имеют много особенно-
стей, которые полностью еще не изучены ни в детерминистичес-
ком, ни в стохастическом отношениях. Рассмотрение всех этих
особенностей не входит в нашу задачу, однако конкретный ана-
98
лиз их необходим для разработки методов расчета строитель-
ных конструкций на надежность. То же самое в еще большей
степени относится к нагрузкам других видов — полезным и тех-
нологическим.
Настала необходимость создания теории нагрузок, включа-
ющей общие положения, классификацию свойств и конкретный
анализ загружений многочисленных видов. Лишь после того,
как наука о нагрузках достигнет того же уровня, что и наука
о прочности конструкций, расчет последних станет достаточно
совершенным. Пока еще в вопросах надежности следует отда-
вать предпочтение более простым методам, учитывающим лишь
основные факторы, и не требовать в расчетах большой точ-
ности.
36.	ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАГРУЗКИ
Выше было показано, что применение к нагрузкам теории
непрерывных случайных процессов приводит к довольно слож-
ным формулам. Использование теории выбросов, сложной са-
мой по себе, требует кроме того знания полной картины слу-
чайного процесса, его распределения и автокорреляционной
функции. К тому же случайные функции процесса загружения
часто оказываются недифференцируемыми, что делает примене-
ние теории выбросов невозможным. Все это заставляет искать
иные пути учета случайного характера нагрузки, по возможно-
сти более простые для практического применения.
Заметим, что большинство нагрузок в отдельные короткие
промежутки времени резко увеличивают свою интенсивность,
образуя так называемые пики, которые и определяют отказ
(пли разрушение) конструкций. Эти пики значительно превы-
шают обычный уровень нагрузки и действуют в течение корот-
ких отрезков времени. Именно пиковые значения нагрузок
следует вводить в расчет конструкций, в то время как обычно
действующие нагрузки (за исключением постоянных нагрузок),
как правило, совершенно не опасны и их значения могут не
интересовать расчетчика. В связи с этим расчетные пиковые
нагрузки целесообразно рассматривать не как непрерывные
случайные процессы, а как некоторые случайные последова-
тельности событий, способных вызвать отказы. Упрощенно рас-
четную нагрузку можно представить в виде случайных импуль-
сов, появляющихся через случайные промежутки времени t и
обладающих случайной длительностью А. Последняя зависит
от интенсивности q нагрузки, вызывающей отказ.
В нагрузках, представляющих собой непрерывный случай-
ный процесс, пиковой нагрузкой будем называть выбросы за
некоторый уровень q. От этого уровня зависят распределения
случайных промежутков между пиковыми нагрузками / и их
7*	99
длительностями А. Чем ниже этот уровень, тем меньше будут
промежутки t и больше длительности А. Пиковую нагрузку в
дальнейшем будем называть перегрузкой. В большинстве слу-
чаев случайная последовательность перегрузок является ста-
ционарной случайной последовательностью.
Вероятность возникновения перегрузки в любой наперед
заданный момент времени равна:
а —Д/7-	(455)
В реальных условиях работы конструкций промежутки вре-
мени t достаточно велики и значения перегрузок q, а также их
длительностей А в последовательных появлениях можно счи-
тать корреляционно не связанными между собой.
Если задан срок службы сооружения или конструкции 7, то
задача расчета состоит в обеспечении или определении доста-
точно малой вероятности возникновения разрушающих перегру-
зок и вызываемых ими отказов в течение этого срока. Разобьем
период Т на ряд промежутков 0, в течение которых появление
или непоявление перегрузки q можно считать полностью зави-
симыми событиями, а за пределами промежутка 0 событиями,
независимыми от того, была или не была в этом промежутке
перегрузка. Интервал величины Q можно назвать зоной не-
повторения перегрузки. Если 0 больше А, то в период времени
А<7<0 перегрузка считается невозможной и вероятность ее
возникновения равна нулю (независимо от того, была перегруз-
ка в период Ос/сА или нет). В большинстве случаев интер-
вал 0 можно приравнять средней длительности перегрузки А.
Полагая
п=Т/е,	(456)
получим вероятность появления перегрузки q хотя бы один раз
в течение срока 7, равную:
I Д V/e
у=1—(1_с)п^1_Н —-у-1	(457)
Так как вероятности а и V в строительных конструкциях
должны быть очень малы, то формулу (457) можно упростить
следующим образом:
Т I д \ д т
In(l-V)«-V; — 1пН_ ——;	(458)
тд
6/
При этом период повторяемости перегрузок t должен значи-
тельно превышать срок службы сооружения 7, иначе величина
100
V не будет малой и ее тогда следует определять по формуле
(457).
При равенстве 6=Д получаем вместо (458)
Обозначим
7,р = -^-.	(460)
где Гр — рабочее время, в течение которого могут возникать перегрузки.
Тогда формулы (458) и (459) примут простой вид
37.	ПОЛЕЗНЫЕ НАГРУЗКИ И ИХ ПЕРЕГРУЗКИ
Перегрузки и расчетные значения полезных нагрузок в жи-
лых и административных зданиях возникают в основном по
двум причинам: от скопления людей на малой площади (тол-
па) и от мебели. Поэтому целесообразно полезную нагрузку в
этих зданиях разделить на две нагрузки с отрицательной кор-
реляционной связью, поскольку при большом количестве мебе-
ли нельзя ожидать большого числа людей и наоборот.
Перегрузка от скопления людей в жилых зданиях возникает
более или менее регулярно во время праздников, когда собира-
ется большое число гостей, часто такие сборы сопровождаются
танцами, а в учреждениях — во время собраний, когда поме-
щение переполнено людьми. Периодичность таких скоплений
людей t может иметь порядок от одного месяца и более, про-
должительность перегрузки А — порядок одного часа (дольше
трудно выдержать в тесноте), а зона корреляции—1 сутки.
Кривая распределения нагрузки от людей ограничена сверху
величиной 5—6 чел. на 1 м2, т. е. около 4000 Н/м2, что и при-
нимается за расчетную нагрузку в действующих нормах.
Нагрузка от мебели имеет постоянный характер и обычно
невелика. Важным фактором является расположение мебели
относительно несущих конструкций перекрытий. Опасна сдвиж-
ка мебели в середину пролета балок, что происходит обычно
во время ремонта стен (оклейка обоев, побелка, окраска). Пе-
риодичность здесь можно принять один раз в 5—6 лет, продол-
жительность перегрузки — около недели, зона корреляции рав-
на продолжительности перегрузки. Распределение этой
нагрузки весьма неопределенно и должно быть уточнено спе-
циальными исследованиями. Для плит перекрытий опасной мо-
жет быть постоянная нагрузка от книжного шкафа или ножки
рояля. Такую нагрузку следует суммировать с собственным ве-
сом перекрытия. Для лестниц жилых зданий периодичность за-
101
полнения ее людьми следует связывать с прохождением плот-
ной группы. Обычно такая нагрузка действует на малой пло-
щади; загрузка же всего пролета лестницы или лестничной
площадки плотной толпой людей в жилых зданиях маловероят-
на. Пронос тяжелых вещей по лестнице вполне реален и может
быть взят в основу получения расчетных нагрузок для лест-
ницы.
Проходы и лестницы театральных помещений, кино и т. п.
регулярно подвергаются действию нагрузки от движущейся или
стоящей массы людей, причем разброс этой нагрузки весьма
невелик. Вполне определенными здесь являются также перио-
дичность, длительность действия и зона корреляции.
В последние годы было проведено несколько циклов обсле-
дований полезных нагрузок в жилых административных и про-
изводственных зданиях [32]. Однако в этих обследованиях
главное внимание уделялось анализу повседневных фактиче-
ских нагрузок, которые, как указывалось выше, представляют
небольшой интерес для расчета строительных конструкций. Ос-
новные же характеристики предлагаемой нами методики: зна-
чения перегрузок, их длительности и повторяемости, а также
зоны корреляции перегрузок остаются пока не выявленными и
в настоящее время могут приниматься лишь умозрительно и
грубо приближенно.
38.	УТОЧНЕНИЕ ПОНЯТИЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕГРУЗОК
Введем стационарную случайную функцию времени Г(/),
которая может принимать только два значения — 1 и 0. Первое
значение соответствует наличию перегрузки, а второе — отсут-
ствию. Вероятность а того, что Г(/) = 1, т. е. наличие перегруз-
ки в наперед заданный момент времени /, определяется кривой
распределения всех значений нагрузки, наблюдаемых в различ-
ные, но достаточно удаленные одни от других сроки.
а=1— Р(9),	(462)
где P(q) — интегральная кривая распределения нагрузки q, представляющая
вероятность того, что действительная нагрузка в заданный момент времени
будет меньше q.
Обозначим через b=b(x) вероятность перегрузки в момент
времени т при условии, что в момент времени 1=0 эта пере-
грузка имела место. Если же в момент t=0 перегрузки не бы-
ло, то вероятность перегрузки в момент времени t=x будем
считать равной с=с(х). По формуле Байеса найдем полную
вероятность перегрузки в момент времени /=т, равную для
стационарного процесса той же величине а, что и для момента
времени /=0;
ab + (1 — а) с = а.	(463)
102
а(1-ь) аъ
1-2а+аЪ
О
_____ а(ЬЪ) Г(0)
1
РИС 36
(464)
РИС. 40
Отсюда следует:
а(\-Ь)
с =-------------
1 — а
Вероятность Ь(х) равна единице
при т=0, а при достаточно большом
т становится равной постоянной
величине а. Вероятность с (т) при
т=0 равна нулю, а при большом т
также будет равна а (рис. 35).
Определим дисперсию и корреляционную функцию данного
случайного процесса. Здесь мы имеем две переменные—Г (о)
Г(т), которые могут принимать значения 0 и 1—отсутствие и
наличие перегрузки. Откладывая эти переменные по двум вза-
103
имно перпендикулярным осям, получим четыре точки (рис. 36).
Г (0) = 0; Г (т) — 0;
Г(0)=1;	Г(т)=0;
Г (0) = 0; Г(т) = 1;
Г (0) = 1;	Г (т) - 1.
Вероятности, соответствующие этим точкам, равны:
(1 —а)(1—с) = 1—2a+afr; а(1 — Ь);	(1 — а) с = а (I — by, ab.
Ожидаемые значения переменных Г(0) и Г(т) будут
Г (0) = [аЬ + а (1 — Ь)] 1 = а = Г(т),	(465)
дисперсия Г(0)
Г(0) = [а6-Ьа(1— 6)](1 — а)2+[(1 —а)с+(1 — а) (1 — с)] а2 = а(1 — а)
(466)
и взаимная дисперсия, т. е. корреляционная функция
Г(т) = ab (1 — а)2 — 2а (1 — b) а (1 — а) + (1 — 2а + ab) а2 = а (Ь — а). (467)
Если 6 = 1, то Г(т)=а(1—а)=Г(0), если Ь=а, то Г(т)=0.
Положим, что длительности нагрузок детерминированы и
имеют одинаковое значение А. Тогда, считая начало перегрузки
равновероятным в любой момент времени, получим функцию
Ь(х), изображенную на рис. 37, в. Действительно, если пере-
грузка происходила в момент времени /=0, то ее окончание
равновероятно в период 0<7<Д, т. е. распределение продол-
жительности перегрузки имеет прямоугольную форму (рис.
37,а). Вероятность окончания перегрузки ранее момента вре-
мени т выразится ординатой интегральной кривой распределе-
ния (см. рис. 37,6), а вероятность перегрузки в этот момент
времени будет иметь вид, показанный на рис. 37, в. Условная
вероятность b равномерно убывает в период 0<^<А от едини-
цы до а:
6=1-(1-а)4- 
А
Соответствующая корреляционная функция, вычисленная
для этого случая по формуле (467)
Г (т) = а(1 —-®) (1 —т/Д),
показана на рис. 38.
Если длительность перегрузки случайна А=А, то конец ее
определится по формуле
£ =	(468)
где70 и7н — случайные моменты времени начала и конца перегрузки.
Считая, что при /=0 перегрузка имеет место, получим, что
/0<0.
104
Плотность вероятности окончания перегрузки в момент /к
равна рд (/к—to), где рл (Л)—кривая распределения длитель-
ности перегрузки А (рис. 39). Обозначим через u(t0) времен-
ную плотность вероятности начала перегрузки в момент време-
ни to. Для стационарных нагрузок она постоянна:
и (to) = и = const.	(469)
Учитывая возможность начала перегрузки в любое время
до момента /=0, получим плотность вероятности конца пере-
грузки /к в виде
о
Як(/в)=“]РЛРк-МЛ.	(470)
--СО
или на основании (468)
К (‘к) = и.( ₽Д <Д) d& = “U - РЛ ('к )].	(471)
где Рд(/К) —значение интегральной функции распределения при Д=£к.
Вероятность того, что tK больше т, т. е. вероятность пере-
грузки в момент времени /=т (а также в момент времени t=
=0), определится выражением
ab (г) = f WK (tK ) dtK = и f [ 1 - Рд (Д)1 dA.	(472)
Графически эта вероятность изображается заштрихованной
на рис. 40 площадью, умноженной на и.
При т=0 вероятность 6(0) =1, следовательно:
и = al\ [1 - Рд (A)] d&,	(473)
О
но поскольку (6)
f[l - Рд(А)]йА = А
О
является ожидаемым значением А, то
u = a[b-	(474)
После подстановки этого выражения в (472) имеем
a6(T) = 4-J[l-P&(A)]dA.	(475)
т
Эта вероятность перегрузки в момент времени т получена
при условии, что перегрузка будет продолжаться непрерывно
в период от £=0 до /=т. Однако сюда надо добавить вероят-
на
ность перегрузки в момент t=x при условии, что период Д пе-
регрузки, имевшей место при £=0, закончился ранее момента
т. Эта вероятность равна а, а вероятность окончания первой
перегрузки ранее т будет
а [1 - b (т)] = f Ик (/к ) dtK = и f [ 1 - Рд (Л)] db =
о	о
= 4. J[l-Pa(A)]dA.	(476)
О
По формуле полной вероятности находим окончательное
значение вероятности перегрузки в момент времени /=т при
наличии последней также в момент /—0:
flb(T) = ^-J[l-P4(i)]dA+	J[l-P&(A)]dA.	(477)
т	О
При достаточно большом т
а2 Л
afe(T) = 0 + -z^ = a2. Ь(т) = а,	(478)
А
т. е. наличие перегрузки спустя достаточно удаленный срок
представляет собой независимое случайное событие по отно-
шению к перегрузке при /=0.
Из формулы (477) получаем окончательное выражение для
условной вероятности Ь(т):
ь <т) = Т {У[ 1 “ Рд (Л)1d& + ° jf 1 - Рд (Д) 1 ад }•	(479>
т	о
Корреляционную функцию вычисляем по формуле (467)
Г (т) = а (Ь - а) = а (4- J [ 1 - Рд (Д)] dД + 4- J [ 1 - Рд (Д)] М - a j =
т	О
= «{-=-У п -рА (ДИ 11	(Л>1— f (1 —	(Л)] ] -
т	От
_о} = £^Т^У[1_Рд(Д),йд-	(48О)
Найдем еще величину с(т) по формуле (464)
с <т> =	11 - b (т)) = (1 _°о)д [Д - f 11 - (A)ldzl - а f X
т	О
106
х11-Рд(Д)ИД} =
ц _“п)д {J 1> - РЛ (Л)] ЙД - [ [1 - Рд (Д)] М -
О	т
— a j"[l — Рд (Д)] ЙД =-=- J[1 — Рд (Д)] ЙД.
6	о
(481)
В частном случае детерминированной длительности А кри-
вая распределения Рд вырождается в вертикальный отрезок с
бесконечной ординатой (рис. 41, а). Интегральная кривая рас-
пределения Рд получает вид, показанный на рис. 41,6. Опре-
деляем для нее:
П1-Рд(Д)]ЙД =
о
J 1 -dx = т при т < Д
| 1 -dx = Д при т > О
'Ь
00	( Д — т при т С Д ]
,Г[1-Рд(Д)ИД=| о приход
По формуле (479) находим
1	т
— (Д — т 4- ат) = 1 — — (1 — а) при т < Д
Д	Д
— (О -f- аД) = а при т > О
и по формуле (464)
{а т z, ч ах	д ]
---------- (1 — а) = —— при т Д I
1 — а Д	Д	р
а	при х < Д '
(482)
(483)
(484)
(485)
Корреляционная функция, согласно (467), будет равна:
р. . |пГ1—^-(1 —а) —а]= с)
Г(т) = | [ Д	J	о
= а(1-а)(1-4-)прИг<о|	(486) J
а (а — а = 0) при т > 0 *	б) * р Л
Все это полностью согласуется со 1-------г
значениями Ь(т), с(т), Г(т), получен- I______________
ными ранее другим способом для де- z
терминированного А.	РИС. 41
107
39. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ПЕРЕГРУЗОК
Для нестационарных процессов загружения величины а, Д
и и становятся функциями времени:
с = а(О; Д = Д(/); и =
Обобщая выводы формул (470) — (472) для нестационарных
процессов, получим:
PtKM= f «(9^a(zk —Уло = Ги</к“А)Рд(д>ЙА’	(487>
—со	ifK
а (0) Ь (т) = F ptK (t) dtK = [ f и (fK - Д) pA (Д) dh dtK ,	(488)
т	т ifR
где Д является функцией t.
При т=0, 6(0) = 1
а(0)=[ f И(«к-Д)рд(Д)<гдЛк	(489)
® 'к
или, меняя порядок интегрирования,
а (0) = f f и (tK - Д) рд (Д) dtK d& = [ рд (Д) [ и (tK - Л) dtKd& =
b b	bo
= (₽д (ДИ(Д)ад,	(490)
о
где
д	о
ф(Д)= | и(/к —Д)АК = I’ u(x)dx.	(491)
0	—А
Формулы (490) и (491) связывают между собой вероятность
наличия перегрузки а и временную плотность появления пере-
грузки и. За нуль можно принимать любой момент времени,
отсчитывая от него текущее время.
В ряде случаев можно заранее задаться характером измене-
ния u(t) во времени, положив
(492)
где £(/) —известная функция времени; и0 — параметр.
При ЭТОМ	°
Ф(Д) = ЦО | E(x)dx = Ио^МД);	(493)
—А
а (0) = и0 [ рд (Д) фт (Д) dA = а0
о
(494)
(495)
(рд^Ф^д) db
ё
108
Далее, определим вероятность второй перегрузки в момент
времени т при условии, что первая перегрузка закончилась
раньше этого момента. По аналогии (476) получим
a[l —fc(t)] = [piK(tK)dtK = [ Г й(/к-Д)Рд(Д)4ДЛк. (496)
о	о /к
Полная вероятность перегрузки в момент времени т при на-
личии ее в момент времени нуль равна:
а (0)Ь(т)= f f п(,к-А)рд(Д)Лк + о(т) f f « (tK - А) рд (A) dMtK .
* 'к	0 'k
(497)
Отсюда определяем величину с(т) (489)
г <т)= rSW (1 -b(T)) = n-aS)a(O) (° (0)~ Л “ (/“- Л)₽й (Д)Х
x *к
хйдлк-с(т) | f и(tK-д)Рд(Д)алaiK |
°‘к
и, учитывая (489),
X ОО
с (т) = Ц-ХС(О> 1 * “ 0(T)1fI “ ('к “ Д) РЛ (Д) “	=
0 'к
X ОО
= тй- J f“ ('*_ Д) (Л) d д		(498)
° ‘к
40. ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕГРУЗКИ ЗА СРОК Т
ЭКСПЛУАТАЦИИ СООРУЖЕНИЯ
Разобьем срок Т на малые интервалы продолжительностью
X. Число таких интервалов обозначим через п:
п = Т/К.	(499)
Нетрудно определить вероятность того, что перегрузки не
будут ни в одном из моментов времени /=0, X, 2Х, ЗХ...,nh—T.
Эта вероятность равна:
1 -	= (1 — а) (1 - с (Л)Г - (1 - а) [1 - с (Z)lT/\	(500)
Действительно, вероятность отсутствия перегрузки в момент
времени /=0 равна 1—с, вероятность отсутствия перегрузки в
момент /=Х при условии, что она отсутствовала в момент t=
=0, равна 1—с(Х), вероятность отсутствия перегрузки в мо-
мент /=2А при условии, что она отсутствовала в момент /=Х,
равна тоже 1—с(Х) и т. д.
109
В пределе при бесконечном уменьшении промежутков по-
лучим
lim (1 — Vi) = 1 — V = (1 — a) lim [ 1 — с (Х)]г/Л.	(501)
К-0
Из формулы (500) следует
In (1 — VO = In (1 - а) +	In [1 — с (Х)]г	(502)
При малых а, с(Х) и 1Л будет:
у1==а4--^-с(Х);	V = а + Т lim —7-^- .	(503)
X	х->о X
Используя формулу (481), определим
с (Л)	а о	а	а
lim^-^-lim^----------------= ^[1-Р (0)] = ^ = «. (504)
X к-о Д	л	Д А Д
X
Таким образом, окончательно получим
У=о + -у- = о(1+-=-) = «(Д + Т).	(505)
При отсутствии корреляционных связей вероятность возник-
новения перегрузки, хотя бы один раз за срок 7\ равна:
V = uT = -^-.	(506)
Д
Следовательно, наличие корреляции несколько увеличива-
ет вероятность перегрузки и соответственно уменьшает обеспе-
ченность на величину цД.
Сравнивая формулы (506) и (458), заметим, что они дают
одинаковые результаты при 0=Д, т. е. тогда, когда зона кор-
реляции 0 и ожидаемая длительность перегрузки Д взаиморав-
ны. Более точный подход дает поправку, выражаемую форму-
лой (505). Для случая 0>Д уточнение будет дано ниже.
41. ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕГРУЗКИ
ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ
ПРОЦЕССЕ ЗАГРУЖЕНИЯ
Для нестационарных последовательностей перегрузок вме-
сто (500) получим
1 - Vi = 11 - а (0)1 [ 1 - с, (X) 1 [ 1 - с2 (X)] ...[ 1 - сп (X)],	(507)
где согласно (498)
К оо
с‘(Л) = С№-Х1)ТГ J У “ ('к _ Д) (Л) d 4	•	(508)
110
Логарифмируя (507), получим
п
In (1 — Vx) = In [1 — а (0)] 4- v In [1 — a (Ml-	(609)
/=1
Считая по-прежнему Уь а также a(t) и a(t) малыми ве-
личинами, получим приближенно
Vi = ooH-^Q(A)	(510)
i=i
Наконец, при А->0; Vj->V
т
V — а0 + Clim-^^-Л	(511)
.1 JL->0 Л
о
Далее определим
q(A)	да(К)	д Га(/ + Я) ff
lim —;— = hm —-— = hm —— ------------ 1 1 и (С — Д) рл (Д) ад dt =
J^o А	ЭК	a L а(0 JJ	к д J
0 *к
= f п (z — д) рд (д) ад.
о
Следовательно,
Too
V=a0+|’f х/(,-Д)рд(Д)адас	(512)
о о
Заменив под знаком интеграла t—А на ф, можно предста-
вить формулу (512) так:
т t
Г=с0 + | ]' «МОРд (<-’!>)*!’<«.	(513)
0 —оо
В качестве простых примеров рассмотрим некоторые кусоч-
но стационарные процессы.
1)	Пусть
и (/) = 0 при t < 0;
и (/) =. и = const при t > 0.
Тогда согласно (513)
т t	Tt	т
У=а0 f [ Рд(/— -ф)а1р dt = a0 + u f J Рд (Д)адаг = а04- и [PA(t)dt (514)
bb	оо	о
или
у = п[д + [рд(/)а/] = п Г[1-Рд(01^+ f[I — 1 + ^(0]^ | =
о	Го	b	J
Т+ f [1-Р
т
д(0И .	(515)
111
При 7\ значительно превышающем среднюю длительность
перегрузки Л:
У = иТ,	(516)
2)	Пусть
u{t) = О при / > S;
и (/) = и ~ const при t < S.
Тогда получим:
Т S	Т оо
V=a0+^| f Рд (* —	= а0 + и f [ рд(ДИДЛ = а04-и X
о	о f-s
т	T—S
*\\\-Pb(t-S)}dt = a„+u [ [1-Рд(Л)]аД = а0 + и7--
О	—S
Т—S	T—S
-U f Рд(Д)ад = с0 + ит-и (Рд(Д)ад.	(5П)
—S	о
При Т—
V = а0 + иТ — и (Т — S) + f [1 — Рд (А)] dA = о0 nS— пД = uS. (518)
о
3)	Если
и (0 = 0 при t < О,
и (I) = и = const при 0 ' t " S,
и (/) = 0 при t > S,
то будет
TS	т t	т
V=o0+4 | рд(/-ф)а<рЛ=а<,+ «' f f Рд(Д)<1ДЛ=а()+а([Рд(П-Рд(<-5>)Х
о о	ot—s	о
Т	T—S	т
Х^ = а0+«1 P^db—Li f Р(ДИД = а04-и [ Рд(Д)б!Д. (519)
о	s	т~s
Для случая T^>S получим
у=Со4-а$ = 4$4- д).	(520)
4)	Повторные загружения через длительные сроки. Если
функция и(Г) в течение длительных периодов обращается в
нуль, то по истечении каждого такого периода влиянием пред-
шествующей нагрузки на вероятность перегрузки можно прене-
бречь. Эта вероятность здесь может быть определена по фор-
муле
r = flo + 2«fSt-,	(521)
где S, — 1-тый стационарный период с постоянной плотностью вероятности
появления перегрузки ц,.
112
Формулу (521) нетрудно связать с выведенной ранее при-
ближенной формулой (458)
V= —
Ге
аТ
е ~ап
(522)
где n=Tjti.
Здесь мы имеем п периодов стационарного загруження дли-
тельностью S=A и п периодов отсутствия вероятности пере-
грузки длительностью 6—А. По формуле (521) для этого слу-
чая будем иметь
-	а —
V = а + пик = а-\-п ~==~ Л = (1 + п) а.	(523)
Д
При большом числе периодов п, т. е., когда срок службы
сооружения значительно превышает продолжительность зоны
корреляции 6, разница между формулами (522) и (523) неве-
лика.
ГЛАВА V
СОЧЕТАНИЯ НАГРУЗОК
42.	УЧЕТ СОЧЕТАНИЙ НАГРУЗОК
В РАСЧЕТАХ КОНСТРУКЦИЙ
В большинстве случаев конструкции подвергаются действию
не одной, а нескольких нагрузок. В обычных расчетах, учиты-
вающих один вид нагрузки, опасность появления высоких зна-
чений этой нагрузки имеет определенную вероятность, которая
соответствует заданной обеспеченности сооружения. Суммируя
несколько нагрузок, значения которых подобраны таким обра-
зом, как если бы они действовали поодиночке, получим намного
меньшую вероятность возникновения такого сочетания нагру-
зок. Однако принятый в действующих нормах полувероятност-
ный метод предельных состояний не учитывает этого и в ре-
зультате конструкции оказываются не равнонадежными по от-
ношению к числу воспринимаемых ими нагрузок.
Явное несоответствие принятой методики расчета принци-
пам надежности и интуиции расчетчиков заставило ввести в
Нормы так называемые коэффициенты сочетаний нагрузок, не
имеющие, однако, никакого теоретического обоснования и яв-
ляющиеся, на наш взгляд, слишком осторожньши. В практике
проектирования в нашей стране и за рубежом применяют сле-
дующие способы введения коэффициентов сочетаний.
В советских нормах нагрузки разделяют на группы — посто-
янные, длительные, кратковременные и особые, а сочетания
этих нагрузок — на основные и особые. При расчете конструк-
8-508
113
ций на основные сочетания, включающие в себя не менее двух
кратковременных нагрузок, значения этих последних нагрузок
умножают на коэффициент 0,9. При расчете конструкций на
особые сочетания кратковременные нагрузки умножают на 0,8.
В нормах дается обширный список нагрузок, которые следует
относить к той или иной группе. Точно так же устанавливают,
какие сочетания следует считать основными, а какие особыми.
Имеются и другие предложения для уменьшения суммарно-
го действия нагрузок при их сочетаниях. Например, в рекомен-
дациях Европейского комитета по бетону предлагается следу-
ющая формула для определения расчетных воздействий при
нескольких временных нагрузках:
Qpac4 = 1»5 [Qn + 9Qbi 4* о,8Qb2 4~ 9»7 (Фвз 4~ Qb« 4~ • • •)]» (524)
где Qn — расчетное воздействие от постоянной нагрузки; QBt, QB2, Qo3, — —
расчетные воздействия от временных нагрузок, причем считается, что
Qbi > Qb2 > Qb3 > —
Множитель 1,5 здесь играет роль общего коэффициента пе-
регрузки.
Формулы, подобные формуле (524), не имеют какого-либо
теоретического обоснования. Нетрудно видеть, что понижение
коэффициентов при временных нагрузках в зависимости от
значения вызываемого ими воздействия не отвечает существу
явлений, которые должны учитываться при сочетаниях нагру-
зок. Например, если нагрузка QB3 малоизменчива и близка по
своему характеру к постоянной нагрузке, а нагрузка QBb на-
оборот, появляется очень редко и на короткие сроки, то коэф-
фициент при QB3 должен быть намного больше коэффициента
Qbi-
43.	СОЧЕТАНИЯ ПОСТОЯННЫХ НАГРУЗОК
Задача о сочетании нагрузок сравнительно просто решается
в тех случаях, когда слагаемые нагрузки представляют собой
постоянные во времени случайные величины. К таким нагруз-
кам относится собственный вес конструкций, воспринимаемый
конструкцией вес различных частей здания; из полезных нагру-
зок— постоянное оборудование, т. е. так называемые постоян-
ные нагрузки. При сборе постоянных нагрузок приходится
иногда суммировать до десятка и более отдельных нагрузок,
каждая из которых имеет свой статистический разброс. Как
правило, постоянные нагрузки обладают небольшой изменчи-
востью, порядка 0,1, и могут с достаточной точностью считаться
подчиняющимися нормальным законам распределения.
Если все нагрузки распределены по одному и тому же за-
кону, то речь будет идти о простом сложении случайных ве-
личин. При этом, очевидно, будут складываться центры распре-
114
деления отдельных нагрузок, их дисперсии и моменты любого
порядка:
Q = 91 4-924-. • . + 9п; 9= 9х 4- 9я4-.. .4-9л-	(525)
Изменчивость суммарной нагрузки при этом снижается.
Действительно,
л 9	1 9i 4- 9э 4". • -4- 9л
Aq = —= —Z Z-----------Z =
9	914-9г 4-•• -4-9п
_У <<»+4л2+--+^Л
или	91 4-9г 4". •-4-9п
=	4>С^+-- + Л«яа">	(526)
где
Qi
Щ	-- ; (I = 1,2,... ,л)	(527)
914- 9г 4-... 4- 9п
— доля каждой нагрузки в общем загружении, формула (526)
справедлива для корреляционно не связанных нагрузок.
Нетрудно заметить, что изменчивость суммарной нагрузки
уменьшается по мере увеличения числа независимых слагаемых
нагрузок одного знака. Например, при равных нагрузках qi —
=q2=...=qn, Aq ,=Aq2 =...=Aqn получим
«1=02 =
1
(528)
В случае когда отдельные независимые нагрузки по-разно-
му приложены к конструкции и усилие в рассчитываемом эле-
менте выражается линейной функцией
п
5V=2₽.ft.	(529)
1=1
изменчивость усилия N выразится формулой
Л„= ]/Л1 + Лсг44---+(“О)
где
₽i9i
= -------
2
(531)
Если коэффициенты имеют разные знаки, то может ока-
заться, что знаменатель в (531) будет малым, а величины Ci
8*	115
большими. Тогда изменчивость усилия N может быть как угод-
но велика. В случае когда усилие N зависит от нагрузки нелиней-
но, его распределение можно найти общими методами, изло-
женными в главе I.
Используя формулу (526), можно определить приведенный
коэффициент перегрузки по формуле
= 1 + У Aft ,	(532)
где у — характеристика безопасности.
При этом расчетное усилие будет равным:
Л'расч = N + yN = N (1 + yAN).	(533)
Подставив в (532) выражение для AN (530), получим
*„=1+?!^/	(534)
и, полагая
*ы~|  <535>
где kni — коэффициенты перегрузки отдельных нагрузок, придем к формуле
*n = 1 + V Хс?(*м-1)2 	(536)
По предложению автора эта формула для приведенного ко-
эффициента перегрузки была включена в главу 11 СНиП «На-
грузки и воздействия», 1975 г. Впоследствии она была вынесена
в приложение к этой главе в виде
^сч = 2Л,. + 1^(*п.- 1)2,	(537)
который легко получается из формулы (533) подстановкой в
нее выражений (529), (531) и (535); Nt —нормативные усилия,
вызываемые каждой нагрузкой в отдельности.
Как показало экспериментальное проектирование, использо-
вание формулы (536) или формулы (537) дает заметную эконо-
мию материала; например, в колоннах промышленных цехов до
8—12%.
Сравнив расчетное усилие, полученное по формуле (537), с
обычно принимаемым значением
Nрасч =	(538)
получим понижающий коэффициент, который можно вводить
при сочетании постоянных во времени случайных независимых
нагрузок
c _SV, +У ДУ* (*„-!)*
2^ ЛП1-
(539)
116
Для примера возьмем нагрузку на фундамент от собственно-
го веса перекрытий многоэтажного здания. Считая изменчивос-
ти и ожидаемые значения веса перекрытий одинаковыми, будем
иметь
С ^+Гп^д.-.)2 =	J^|
где п — число перекрытий; Ni — нормативная нагрузка от одного перекрытия
Положив kUi= 1,1, получим, ЧТО
0,091
с = 0,91 4-	.	(541)
Vn
В Строительных нормах и правилах аналогичные формулы
предлагаются и для сбора полезных нагрузок, передающихся с
перекрытий на стены и фундамент, что не вполне правомерно.
44.	ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ СОЧЕТАНИЯ
ДВУХ ПОСТОЯННЫХ НАГРУЗОК
Если отдельные нагрузки подчиняются нормальным зако-
нам распределения, то их линейная комбинация будет также
подчиняться такому закону и кривая распределения легко мо-
жет быть построена по найденным значениям центра и диспер-
сии (см. пп. 5 и 7). Замкнутое аналитическое выражение для
кривой распределения линейной комбинации двух нагрузок по-
лучаем также в случае распределения составляющих нагрузок
по законам:
рх = аехр (— ах); ру = ₽ехр (— $у);	(0 < х < оо; 0 < у < оо), (542)
представляющим собой случай распределения Пирсона третьего
типа (91) при а=0 и распределения Вейбулла (113) при
т= 1.
Пусть в некотором элементе опасные напряжения линейно за-
висят от нагрузок х и у и равны
и = п х т у,	(543)
где п и т — константы, определяемые геометрическими и статическими соот-
ношениями.
Считая нагрузки х и у независимыми случайными величина-
ми, запишем функцию их совместного распределения:
Рху = Рх Ру = а₽ ехр (— ах — ₽£/).	(544)
Вероятность превышения случайной величиной и задан-
ного значения и равна интегралу
Ру = f Рху dF»	(545)
F
117
взятому по области, расположенной выше линии и=пх+ту в
положительном квадранте координат х, у (рис. 42).
Подставляя в (545) выражение (544), получим
и—ту	и—ту
и/т п	и/т	п
Ру = f [ pXgdxdy = f ₽ехр(—₽£/) [ аехр(— ах)dxdy =
do	b	b
u/m
f* n n Г	ос (ту — и)
= J ₽ехр(— М|~ехр--------------
о
и далее, опуская промежуточные выкладки, приходим к выра-
жению

то
ат —
При ат=$п формула (546) приводит к неопределенности.
Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, находим
Таким образом, если
(546)
(547)
(548)
(549)
= 1 —
По интегральным законам распределения (546) и (549) най-
дем распределения плотности вероятности
pu=/>“=^5₽7[exp(-^L)-exp(-v-)	(550)
и в случае а/п=рп—с (548)
У
РИС. 41
ссзра
р„ = —-иехр
с2
(551)
При сложении одинаковых нагрузок
с распределением
рх=ое^ах.
118
т. е. при п=т=\\ с=а; р=а формула (551) дает
= а2 п ехр (— aw),
т. е. распределение Пирсона третьего типа при a—1.
45.	СОЧЕТАНИЕ ДВУХ НАГРУЗОК,
ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ
Если нагрузки представляют собой случайные функции вре-
мени, то комбинация их также будет случайной функцией вре-
мени. Возьмем, например, линейную комбинацию двух нагру-
зок <71 (t) Hq2(t):
N (t) = aq^ (t)bq2 V) -	(552)
Ожидаемое значение Л7 (t) равно:
N (t) — aq (/) + ^(0.	(553)
а корреляционная функция (206)
(A, h) = о2 q (ti, t2) 4- b2 q(t!, f2) + ab [qiq2 (4, t2) q^i (G, f 2)] •	(554)
При отсутствии корреляционной связи между нагрузками
(216)
7V (0 = a2qx (G, /2) + b2 q2 (А, t2).	(555)
Используя эти формулы, можно применить обычную ме-
тодику определения вероятности выбросов функции N(t) за не-
который детерминированный или случайный уровень так, как
это было показано выше для одной нагрузки. Этот путь решения
задачи [13] довольно сложен, поскольку корреляционные функ-
ции нагрузок мало изучены, а определение вероятности выбро-
сов требует от практиков громоздких вычислений. Кроме того,
надо учесть, что переменные нагрузки обычно имеют несиммет-
ричные распределения и случайные функции изменения нагрузок
во времени часто оказываются недифференцируемыми. Это об-
стоятельство исключает использование формулы Райса для оп-
ределения временной плотности вероятности выбросов.
Для практики более удобен подход, изложенный в п. 36, со-
стоящий в том, что нагрузки рассматриваются как случайные
последовательности событий, которые выражаются в возникно-
вении опасных значений нагрузок q>q—перегрузок с длитель-
ностью А и случайными промежутками времени между пере-
грузками t.
Положим, что на сооружение действуют две нагрузки, для ко-
торых характерно кратковременное появление опасных значе-
ний (перегрузок) через достаточно большие промежутки време-
ни t\ причем в остальное время эти нагрузки настолько малы,
что не имеют значения для расчета сооружения. Будем считать
119
также, что для сооружения опасны
только случаи совпадения перегрузок	рис. 44
во времени.
Обозначим индексом 1 значения, относящиеся к первой на-
грузке, а индексом 2 — ко второй. Значения, относящиеся к
суммарному действию нагрузок, будем писать без индекса. Счи-
тая обе нагрузки корреляционно не связанными между собой,
определим вероятность совместного возникновения их перегру-
зок в наперед заданный момент времени в виде произведения
вероятностей появления каждой перегрузки в отдельности в
этот момент времени:
А1 А2
а = 01 а2=___.	(5Бо)
/112
Предположим вначале, что длительности перегрузок детер-
минированные; для определенности примем Д1>Д2. Фиксируем
начало первой перегрузки в нулевой момент времени. Тогда на-
чало второй перегрузки при условии совпадения ее во времени с
первой будет равновероятным в интервале времени — Д2<7<
<Д1 (рис. 43). В интервалах — Д2<:/<:0 и Д1—Д2</<Д1
длительность совместного действия перегрузок будет равномер-
но изменяться от нуля до Д2, а в интервале 0<^<Д1—Д2 оста-
ваться равной постоянной величине Д2. Соответственно этому
распределение вероятности длительности Д совместного дейст-
вия перегрузок получает вид, показанный на рис. 44. Математи-
ческое ожидание Д равно:
——	2До Д2 Д1 ^2	Д i Д2
Д =	~|---------До =-------- .
Aj + A2 2 Д!+Да 2	Д14-Д2
(557)
Этой формуле можно придать вид
_1______1_ 1
Д _ Д1 + д2 
(Б58)
Средний период повторяемости сочетания перегрузок будет
Д _ А1 tita = Ма
а Д1 + Да Дх Дд Д14“ Да
(559)
120
Формула (558) получилась симметричной относительно ин-
дексов 1 и 2, поэтому сделанное выше допущение, что Ai>A2,
можно отбросить. Если длительность одной из перегрузок, на-
пример Ль значительно превышает длительность другой, то ве-
личина А будет близка к величине А2. При Ai—Д2 получаем
А=0,5.
Вычислим вероятность совпадения двух перегрузок хотя бы
один раз за срок службы сооружения Т. При этом будем счи-
тать вероятности появления каждой перегрузки в отдельности
в заданный момент времени а\ и а2 малыми величинами. Для
определенности положим, что зона неповторения первой пере-
грузки 0] больше зоны неповторения второй 02. Кроме того, бу-
дем считать пока приближенно, что длительности перегрузок
детерминированы.
Вероятность непоявления совпадения двух перегрузок в за-
данный момент времени будет
1 — а=\ — сца,.	(569)
Вероятность непоявления совпадения двух перегрузок в тече-
ние периода 02 можно принять равной:
(1 — О)Д"/Д я I —;	(560)
А
То же, за время 0:
(56!)
\ А /	A0g
и за время Т:
(1	“1 ~ ~Ve~'	(568)
\ Aug /	Auj ug
Вероятность совпадения двух перегрузок хотя бы один раз
за период Т будет равна:
или с учетом (556) и (557)
v = a1O2(A +да)т,	(5б4)
01 0g
Отсюда можно определить допустимый срок эксплуатации
сооружения
т =_____ve»e=____= уе,ег71<,	<Б65>
C1O2 (Ai 4- Ag) Ai Ag (Аж -f- А2)
Он должен быть значительно меньше периода повторяемости со-
впадения двух перегрузок, определяемого по формуле (559); в
противном случае точность формул (563) — (565) будет очень
мала и следует исходить из формулы
AtA27	(At+A2)7
I — (! _с) 61М = 1 _ (1 _д)	6102	.	(566)
12!
Введем, как в формуле (459), рабочее время службу соору-
жения
, _ At Д2
Р~Т 6102
(567)
равное длительности того периода, в течение которого возможны
совпадения перегрузок. Тогда формула (565) примет вид
Тр = /У2. .	(568)
Д1 +Д2
46.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
СОВПАДЕНИЯ ПЕРЕГРУЗОК
При выводе формулы (558) для длительности совпадения
двух перегрузок было принято, что эти длительности по каждой
нагрузке в отдельности детерминированы. При этом функция
распределения длительности совпадения перегрузок имела вид,
показанный на рис. 44. Теперь решим задачу о распределении
длительности совпадения перегрузок более строго; для этого
будет считать продолжительность Д каждой перегрузки в от-
дельности случайной величиной с некоторой заданной функцией
распределения. Индексами 1 и 2 будем обозначать величины,
относящиеся к первой и второй нагрузке, а индексом 12 — вели-
чины, относящиеся к совместному действию двух нагрузок.
Положим, что перегрузка z/i начала действовать в момент
времени /=0, а перегрузка q2— в момент времени t=s. Чтобы
определить распределение длительности совместного действия
обеих перегрузок, рассмотрим следующие случаи.
1)	s<0, Д2+$<Д (рис. 45). Перегрузка q2 заканчивается
ранее перегрузки qi. Длительность совместного действия пере-
грузок равна:
Д12=Д2-р$.	(569)
Плотность вероятности Д12 выразится формулой
Р12(А12)=^! и2 | J* р2 (Д12 s) Рх (Ai) ds,	(570)
—оо д12
где «1 и и? — временные плотности вероятности начала перегрузок qi и дг-
Заменив переменные интегрирования по формулам
Д1 = х; Д12 — s~y,	(571)
получим
Р12(^12)=«1 “я f f Р2 (у) Pi (*) dxdy = u1u2[l — Р2 (Д12)1 [ 1 — Pt (Д£2) J, (572)
где Pi и Р2 — интегральные распределения длительностей первой и второй пе-
регрузок;
122
2)	s<0, A2+s>A
(рис. 46). Перегрузка
q2 заканчивается позд-
нее перегрузки
длительность совмест-
ного действия пере-
грузок равна:
Д1Я=Д1.	(573)
Плотность вероят-
ности Ai2 выразится
формулой
О 09
Р12 (Д12) = ui j J X
—оо д,2—S
ХР1(Д18)Ра(Дг) dA^ds. (574)
Здесь учитывается,
что длительность А2
должна в этом случае
быть больше Аь
РИС. 46
Преобразуем интеграл (572) следующим образом:
О ОО	^0
Р11(Д1я) = «1«аР1(Дй) f J p2(A2)dA2ds = u1uap1(A12) f X
—-ОО Д12—S	—оо
X [ 1 —	(Д1я — s)] ds	(575)
и, произведя замену переменной по формуле
Д1а — s = х,	(576)
получим
Р1а(Д12) = «1^аР1(Д1а) Т [1~	(*)]<**-	(577)
Д1£
3)	s>0, A2-f-s<Ai (рис. 47). Перегрузка q2 заканчивается
раньше перегрузки q\. Здесь
Д12 — Да
(578)
И
Р12 (А12) = U1 U2 f f Pl (Д1) Р12 (Д12) ^Д1 — U1 U2 Р2 (Д12) J [1 -?1 (Д12 +
О дЛ+s	о
+s)J ds = «I «2 Рг (Д12> ([•-₽! W] dx.	(579)
Д12
123
4)	s>0, s4-A2>Ai (рис. 48). Перегрузка qz заканчивается
позднее перегрузки qx. Здесь
д12 = — s.	(580)
Р12 (Д12) = f f Pl (Д12 4- s) Ръ (^2) ^Я ds •	(581)
о д12
Заменяя переменные по формулам
4“ == У\ Д2 ==^>	(582)
получим
Р12 (Л12) = «1 «2 f J Pi (У) Ръ (*) dx dy = Ч «2 [ 1 — pi (Д1я)1 11 — Р2 (Д12)] - (583)
Л12 Д12
Суммируя плотности вероятности для всех четырех случаев
(572), (577), (579) и (583), получим
Р12 (Д12) = ч М211 -	(Д12)1 [ 1 — Р2 (Д12)]} +
+ Pi (Ais) J [ 1 - Л (*)] dx + ₽2 (Д12) f [ 1 - Р, (х)] dx. (584)
Д12	д1=
Определим площадь кривой распределения р1г(А12), заменяя
А12 через у
f Р12 (у) dy = u1u2{2^ [1 — Pj (£/)][ 1 — (!/)] аУ 4- f Pi (У) f [I —
0	b	bi,
— P2 (*)] dx dy 4- Г P2 (У) Г11 — Pi (*)]dx dy} •	(585)
b у
Интегрируя по частям, имеем:
| [1 -Pl (</)l [1 -PtilWy = I [I-Pl (»)]dp[l - РгЫ J+ f Ц1 -
b	о	0 b b
— Pl (y) ] dy P (y) dy=\ I 11 — Pl G/)l dy P2 (y) dy.	(586)
b b
Левая часть равенства (586) не меняется от перестановки
индексов 1 и 2. Следовательно, и правая часть не должна ме-
няться. Отсюда
I I’ [1 — Р1 (г/)] dyp2 (у) dy = f I [1 — Ря (у)] dyP1 (у) dy. (587)
b b	b b
Учитывая (586) и (587), представим формулу (585) так:
f Р12 («/) dy = «1 «2 { f f [ 1 — Pl (!/)] dyp2 (y) dy 4- f I' [1 — p2 (SOI dyp! (y) dy +
b	b b	b b
4- f Pl (y) f (1 — p2 (!/)] dydy 4- f p2 (y) J [1 — Pi (I/)] dydy} =
by	by
= 4 Ut ( f рг (S) f [1 - Pl (!/)) dy dy + f Pl (4) f [ 1 - P£ (y)J) dy du (588)
b b	b b
124
и так как
Г П - Pi = Af.
О
f Pi (у) dy = 1;
b
f [1 - P2 G/)] dy= A2;
b
f P2 (y)dy=\,
b
TO
[ Pis (!/) dy = «1 u2 (Ax 4- A2).	(589)
0
Согласно (474)
поэтому можно написать
f / \ Я C1 °2	/ЕПП\
1 Ри (у) dy = z—z-------,	(590)
J	Л1 А2
о
Нормированная кривая распределения pf2 (Л12), для которой
ui и2 (Д1 + А2) = 1»
получает вид
Р12 (Л1г) = 7 1л I211 - ₽1 (Д12)] [ । - Рг (AiJl + Pi (Д12) X
Д1 -f- д2
X f [1 - Рг (х)] dx + рг (Л1г) f [1 - Р, (x)J dx}.	(591)
ди	д12
Переходим теперь к определению ожидаемого значения
А] 2 = fp?s Их dx.	(592)
о
Находим
ГН - Pl (*)] [1 - Рг (*)] X dx = (f11 - Р, (у).<М1 - Рг (х)] х) +
b	(b	J 01
+ [([«-₽! (01 Лу\Рг (х) X - 1 + Рг (х)] dx.	(593)
о о
Полагая, что
Ит[1—Р2(х)]х = 0,	(594)
Х--оо
получим
( 11 - Р, (X) ] [ 1 - Р, (X)] X dx = - [ [ [ 1 - Pj (у) ] dy [ 1 - Рг (х)) dx +
b	6 о
+ f*p2(*) П1 — pi(y)\dydx
о о
(595)
125
или, переставляя индексы 1 и 2,
f [1 - Pl «1 [1 - рг W1 xdx = - f [(1 - Р2 (</)] [1 - Pt (x)J dydx +
b	b b
+ f XP1 (x) [ [1 - Pt (j/)] dy dx.	(596)
b b
Далее, определим
f f [ 1 - Pi (!/) ] [ 1 - Рг (x) ] dy dx = f [ 1 -	(y) ] dy f [' - P2 (x)] dx | -
b b	boo
-fH-PiWl- f|i-/>1(x)]dxdx = a1Za-
b	b
-[(1-P1WJ-	(597)
b	b
Теперь формулу (596) можно записать так:
f [1 - Pi (х)][1 -Р1(х)]х4х = -Д1.Д2+ [°f[l -P2(j/)J4H1-P1(x)]dx +
0	0 0
+ f хр2 (х) f [ I — Pi (£/)] dy dx.	(598)
о о
Сложив (596) и (598), получим
2 f [ 1 - Рг (х) ] [ 1 - Р2 (х) ] xdx = - Кt Аа + f хР1 (х) f [ I — Р2 (у) ] dy dx +
b	о b
+ [*₽.(*) f [1-₽1(</)1 dydx.	(599)
b b
Подставим это выражение в (591) и (592):
^12 =	Ая + f xPi (*) f U — ря (£)1 dy dx +
Д1 + Ля	J	J
I	о	о
оо	X	оо	оо
4- J хр2 (х) j [ 1 — Р (у) 1 dy dx + J хР1 (х) J [ 1 — Р2 (£/)] dy +
0	0	Ox
+ f xP2 (x) J [1 — Pl (I/)] dydx = ~	-	— Ai Д2 4-
o о	1	2 L
OO	©O	OO	oo
4-	(x) [ П — Рг (y}\ dy dx+ | xp2 (x) J [1 — fc/)] dydx =
0	0	0	0
= T T (-Al Д2 +ДМ2 +	(600)
Д14-Д2	Д14-Д2
126
Итак, имеем
А12 — _
Ах
А! А:
а2
(601)
или
А12 А1 А2
(602)
РИС. 49
т. е. величина, обратная ожидаемой длительности совместного
действия двух перегрузок, равна сумме обратных величин ожи-
даемых длительностей каждой перегрузки в отдельности.
Формула (602) легко обобщается на случай нескольких пере-
грузок. Ожидаемая длительность совместного их действия А
определится из формулы
Действительно, прибавляя к двум перегрузкам третью, по-
лучим
—---- = _____ -|- — = — -J- —“ -(- ~
А23 Ад Ajo A3 А2 А]
Прибавляя последующие перегрузки, приходим к формуле
(603).
47.	ВЕРОЯТНОСТЬ СОВМЕСТНЫХ ПЕРЕГРУЗОК
ПРИ НЕСКОЛЬКИХ ЗАГРУЖЕНИЯХ
Будем считать, что уровень перегрузок, которые должны учи-
тываться в расчете сооружения, достаточно высок и нагрузки,
меньшие этого уровня, вызывают лишь безопасные усилия
в конструкциях. Не будем учитывать также значения нагрузок,
близко подходящие снизу к уровням перегрузок. Такие свойства
нагрузок соответствуют двухмодальным кривым их распределе-
ния, изображенным на рис. 49. Основная масса реализаций на-
грузки А в заданный момент времени относится к малым ее зна-
чениям; нагрузки, приближающиеся к уровню перегрузок, имеют
малую вероятность появления, а перегрузки имеют свою кривую
распределения В, показанную в правой части графика, площадь
этой последней кривой равна а. Такую кривую распределения
нагрузок можно обосновать тем, что перегрузки обычно имеют
иную природу, чем малые значения нагрузок. Например, обыч-
ные нагрузки в жилых зданиях зависят от характера и располо-
жения повседневной мебели, а перегрузки — от возможных
127
скоплений людей или материалов во время ремонта Разруши-
тельный ветер связан с возникновением ураганов и смерчей, сила
которых подчиняется своим законам распределения, не уклады-
вающимся в общие закономерности распределения обычных
скоростей ветра.
При таких предположениях о характере перегрузок вероят-
ность их совместного появления можно получить следующим
образом. Определим вероятность перегрузок по всем нагрузкам
в наперед заданный момент времени
а = ага2  ап	(604)
и совместную длительность одновременного действия перегрузок
по формуле (603):
Д =--------.	(605)
Si
4=1
При одинаковых длительностях отдельных перегрузок Д1=Д2 =
= ... = АП получим
Д =	.	(606)
Будем считать, что длительность А не зависит существенно
от расчетных уровней перегрузок. Вероятность совместного по-
явления всех перегрузок хотя бы один раз за срок Т определит-
ся теперь по формуле (505)
у=0(1 + т)"	<607)
Эта вероятность намного меньше вероятностей перегрузки по
каждой нагрузке в отдельности за тот же срок Т.
Для совместного действия стационарного загружения и ку-
сочно-стационарной нагрузки с длительными перерывами можно
использовать формулу (521), получающую вид:
V=ap4--y^,	(608)
где	— суммарная длительность периодов действия второй нагрузки.
Если сооружение рассчитывают на восприятие не перегрузок,
а обычных нагрузок, то распределение последних следует брать
обычным одномодальным. Вероятность пикового совместного
действия нагрузок при этом вычисляют иначе.
Пусть опасной для сооружения будет такая комбинация на-
грузок q\ и ^2» при которой внутреннее усилие в опасном сечении
превысит значение
R = Aq! 4- Bq2.	(609)
128
Зададимся величиной одной нагрузки qx. Тогда другая на-
грузка не должна превысить значение
Вероятность совместного возникновения первой нагрузки,
равной qu и второй нагрузки, превышающей величину q2t равна:
Р1 (<71)[ 1 — ?2	^1-
Интегрируя это выражение от минус до плюс бесконечности,
получим вероятность превышения предельных усилий R в за-
данный момент времени
«=Jpl (?) [• -^(-^1^-)] =
Jpl(fl) р,	<6||)
После интегрирования по частям этой формуле можно при-
дать также вид:
0 = 1 -Л^р,(•^£)	|Р1(ч)рг[Е-^-')ад =
=1--^-Jpi (<?)₽!	(612)
В частном случае простого суммирования нагрузок при опре-
делении опасных усилий имеем Л=В = 1,
о= 1 — f Pi(q) P2(R — q)dq= 1 — J Pi(g)p2(P—(613)
В правых частях формул (611) — (613) стоит разность близ-
ких по значению величин. Это отрицательно сказывается на
точности вычислений, поэтому лучше эти формулы представить
так:

(614)
а = "у J [1 — Pi (</)] Р2	= J Ра (9) — Pi )] d<71 (615)
a = f Pi (?) [1 - P2(R-q)]dq= 1 - f П-Pi (g)]P2(P-g)W (616)
Если нагрузки q\ и q2 могут принимать только положитель-
ные значения, то нижние пределы интегрирования можно брать
9-508
129
РИС. 51
равными нулю, а верхние преде-
лы R]A или R/В соответственно.
В формулах для а (613) под
знаками интегралов стоят про-
изведения ординат кривых, по-
казанных на рис. 50 и 51. Легко
видеть, что рис. 51 можно полу-
чить из рис. 50, поменяв места-
ми нагрузки <71 и q2, как равно-
правные слагаемые в выражении ^=<71+^2, а также начала
отсчета и направления оси абсцисс.
В случае двухмодальных кривых распределения, показанных
на рис. 49, график, приведенный на рис. 50, принимает вид, пред-
ставленный на рис. 52. После интегрирования по формуле (613)
получим значение вероятности, принятое ранее в формуле (604)
а = 1 — (1 — ai) 1 — ai (I — а2) = аха2.
В более общем случае при действии нескольких нагрузок
условие недопустимости сочетания нагрузок запишется так:
R— В (^1, <7г> ... »9п) < ^пр-	(617)
Зная функции распределения pQi (i=l, 2, ..., п), можно по-
строить интегральную кривую распределения PR величины R и
определить затем вероятность а по формуле
а^1-Р^(/?пр).	(618)
Эту вероятность можно использовать в формуле (607), в ко-
торую подставляется значение А (606).
В большинстве случаев время Т во много раз больше ожи-
даемой длительности совместного действия перегрузок А и тогда
формуле (607) можно придать более простой вид:
У = а7/Д.	(619)
Если распределения отдельных нагрузок близки к нормаль-
ным, а усилие в опасном сечении R представляет собой линей-
ную функцию нагрузок
К=34,5.
1=1
(620)
130
то можно определить ожидаемое значение R и дисперсию R
усилия в опасном сечении по формулам:
=	я=^А?д..
(=1	х= 1	1
(621)
Тогда вероятность а будет равна:
«=4- - ®	•	<б22>
\ 1 я /
где Ф — интеграл вероятности Гаусса (85).
Зная а и А и задаваясь оптимальной вероятностью разруше-
ния V, можно по формуле (619) найти гарантийный срок службы
сооружения Т.
Изложенный метод можно применять и для сочетания пере-
менных нагрузок с постоянными, а также с изменчивыми проч-
ностными факторами. При этом ожидаемую длительность пере-
грузки от постоянной нагрузки и ожидаемую длительность
уменьшенной прочности следует принимать равными бесконеч-
ности.
48.	СОЧЕТАНИЕ СНЕГОВОЙ
И ВЕТРОВОЙ НАГРУЗОК
Из-за отсутствия точных данных положим условно для снега
длительность возможной перегрузки Ai=0, 1 года=36,5 дня
(имеется в виду вторая половина зимы, когда снеговая нагрузка
стабилизируется на уровне, близком к максимальному) и для
ветра длительность перегрузки Аг= 1 сут. Тогда согласно (605)
ожидаемая длительность совместного действия этих перегрузок
будет равна:
А =----------= 0,973 сут.
——1_—
36,5	1
Функцию распределения снеговой нагрузки по годам примем,
согласно рекомендациям метеорологов, в виде закона Гумбе-
ля (446)
\ Р /
Pi (<7i) = pi (<7i) = ехР (— ехР ° р91 + а ) •	(623)
гфе а и Р — коэффициенты, имеющие значение для Москвы: о=931 Н/м2; р =
=365 Н/м2.
Для скоростей ветра v примем распределение Вейбулла
(408):
Pv (0 = 1 — ехр (— afi),	(624)
где с и b — коэффициенты, равные для Москвы: с=0,203; 6 = 1,125 при усло-
вии, что скорость ветра измеряется в м/с.
9*	131
Переход от скорости ветра к ветровому давлению производим
по формуле (406)
<?2 = —Шм2.
1 .ь
(625)
откуда
v — V 1,6д2 ,
(626)
Интегральная функция распределения ветрового давления
получается в виде того же закона Вейбулла, но с иными коэффи-
циентами:
?2 (&) = 1 — ехр [— с (К 1,6д2 )Ь] = 1 — ехр (— q $),	(627)
где 6^0,5, 6=0,5625; Cj = 1,6°.5625-0,203-0,2644.
Р2 (<72) = р2 Ы = cibi ^21~{ ехР (— С1 $ ) -	(628)
Вид кривых pi(qi) и £2(^2) (в одинаковом масштабе) пока-
зан на рис. 53. Кривая р2(<7г) при <72=0 асимптотически уходит
в бесконечность. Поскольку обе кривые pi(qi) и £2(92) одномо-
дальные, в расчете следует пользоваться формулами (611),
(612). Например, при R=q 1+92^4000 Н/м2 из формулы (616)
получим:
Л=1; B=l; R = 4000;
оо	R
С	С 1	/	931—g .
о = I Pita) [1—Ps (4000-0] dq= J —етр^— --------------ь
—оо	0
+ ехР 0,2644 (4000 “ 9)0,56251 =
132
Численным интегрированием находим а=0,000024.
Зададимся сроком службы сооружения Г=50лет, что состав-
ляет 50-36,5=1825 дней возможных сочетаний нагрузок. По
формуле (619) получим
„	0,000024-1825
Сюда следует еще добавить вероятность резрушения от одной
снеговой нагрузки, превышающей 4000 Н/м2:
и разрушения от одной ветровой нагрузки, большей 4000 Н/м2,
I/2 = 50-365-ехр (— O.2644-4OOO0’5625) = 9,3-10“9
(последную величину по ее малости можно не принимать во
внимание). Таким образом, имеем V=Vi2+Vi+V2=0,056.
Обратная задача, связанная с определением допускаемого
сочетания нагрузок, соответствующего заданной вероятности
разрушения, решается в данном случае более сложно и требует
составления специальных программ для ЭВМ.
49.	СОЧЕТАНИЕ ПОЭТАЖНЫХ ПЕРЕГРУЗОК
В ГРАЖДАНСКИХ ЗДАНИЯХ
Как указывалось выше, обычные нагрузки в гражданских
зданиях невелики и, как правило, не вызывают больших напря-
жений в несущих конструкциях. Опасны перегрузки, которые
появляются редко и длятся обычно недолго. По-видимому, глав-
ным видом перегрузок в гражданских зданиях следует считать
складирование различных материалов при ремонте и переустрой-
ствах. Ориентировочно можно предположить, что средняя про-
должительность таких перегрузок Ai равна 10 дням, а средняя
повторяемость— 1 раз в пять лет. Интенсивность их имеет свою
кривую распределения, не совпадающую с кривой распределения
повседневных нагрузок. Таким образом, здесь можно предста-
вить себе двухмодальную кривую распределения типа, показан-
ного на рис. 49, и применить методы расчета сочетаний перегру-
зок, изложенные в начале п. 47.
При расчете каркаса возникает необходимость сбора перегру-
зок с каждого этажа и с каждого пролета здания. Очевидно, что
применение принципа невыгоднейшего загружения приведет
здесь к излишним запасам и перерасходу строительных мате-
риалов. Вместо этого следует сначала оценить вероятность
совместных перегрузок разных перекрытий и исключить те слу-
чаи, вероятность которых весьма мала.
133
Вероятность перегрузки одного перекрытия в наперед задан-
ный момент времени положим равной:
10_____1_
а~ 5-365 ” 182,5 *
Между перегрузками разных перекрытий может существо’
вать положительная корреляционная связь (например, при
одновременном ремонте нескольких комнат) или отрицательная»
например, когда оборудование, находившееся в нескольких
комнатах, переносится в одну, соседнюю. Примем, что корре-
ляционная связь между перегрузками отсутствует; тогда веро-
ятность одновременного появления перегрузок на п перекрытиях
равна ап.
Длительность совместного действия п перегрузок определим
по формуле (605):
(629)
п/Дг п
а вероятность совместного появления п перегрузок хотя бы 1 раз
за время Т — по формуле (619)
v = ^-
А1 *
Положив 7’= 100 лет, а=1/182,5, Д1= 10 дней, получим
п-100-365	3650п
V ” 10-182,5” “ 182,5" "
При п=2 V=0,219, при п=3 У=0,00180, при п=4 V—
= 0,000013, .... [при п=1 значение У=20 появляется вследствие
приближенности формулы (630), справедливой лишь при малых
V; на самом деле значение V при /2=1 очень близко к 1].
Таким образом, уже при п=4 вероятность совпадения пере-
грузок ничтожно мала. Поэтому в расчетах не следует учитывать
одновременную перегрузку более чем с трех перекрытий. Что
касается величины самой перегрузки, то она может быть взята
равной той расчетной нагрузке, на которую следует рассчиты-
вать плиту перекрытия.
Кроме учета перегрузок остается расчет на повседневные на-
грузки, сохраняющие свое значение в течение всего срока служ-
бы здания с незначительными отклонениями от среднего значе-
ния q. Эти нагрузки можно рассматривать как постоянные и
учитывать с коэффициентами сочетаний, взятыми по формуле
(540).
По данным В. Ю. Довейко и Б. И. Снарскиса [32], для на-
грузки на перекрытия в жилых зданиях можно принять <?=
=300 Н/м2 п изменчивость Ле=0,25. Тогда коэффициент пере-
(630)
134
грузки должен быть равен £п= 1+0,3-0,25= 1,75 и из формулы
(540) следует
I 0-75
С ~ 1 75”^" лГ~ '
1,75г п
Для 16-этажного дома: и=16; С=0,68; драсч =300-1,75-
-0,68 = 356 Н/м2. Полная расчетная нагрузка, собираемая со
всех этажей, включая три перегрузки по 1500-1,4=2100 Н/м2,
равна:
Qpac4 = 356-13 + 2100-3 = 10 928 Н/м2,
в то время как по Нормам:
9расч= 1500-1,4 = 2100 Н/м2; С = 0,3 += 0,45;
V16
Qpac4 = 2100-16-0,45= 15120 Н/м2.
Следовательно, более строгий расчет дает значительную эко-
номию.
50.	ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ ВЕТРА
И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ВИДЫ ПЕРЕГРУЗОК
Анализ разрушений от действия ветра показывает, что они
происходят часто при сравнительно небольших скоростях ветра
и являются следствием резонансных колебаний от срывов и за-
вихрений ветрового потока. Методами строительной аэроупру-
гости и динамики сооружений можно определить опасный диа-
пазон скоростей ветра для данного сооружения, при которых
возможны резонансные колебания. Возникновение таких скорос-
тей можно рассматривать как перегрузку и на основании метео-
рологических наблюдений за скоростью ветра определить ее
длительность и повторяемость.
Очевидно, что наиболее опасными будут вызванные ветром
колебания сооружения, уже перегруженного другой нагрузкой.
Этот случай можно рассматривать как сочетание перегрузок.
Вероятность такого сочетания равна произведению вероятностей
каждой перегрузки в отдельности, так что к данному случаю
полностью применим метод, изложенный в п. 47.
Пока еще мы не можем дать какие-либо, хотя бы ориентиро-
вочные числовые рекомендации, из-за неизученности вопроса не
только в статистическом, но и в значительной мере в детерми-
нистическом отношении.
Аналогичная картина отмечается при некоторых иных дина-
мических воздействиях, например при пусковом резонансе. Здесь
также в течение некоторого времени появляется случайная пере-
грузка, которая может сочетаться с перегрузками других видов.
Перегрузками следует считать также обледенение, вызываемое
гололедом, свежевыпавший и подлежащий уборке снег, различ-
135
кого рода случайные технологические перегрузки и т. п. Для
построения правильных методов расчета конструкций большое
значение имеет изучение перегрузок и определение для них
случайных параметров Л и t — длительности и срока повторяе-
мости.
ГЛАВА VI
ПРОЧНОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ
И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
51.	СТАТИСТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ПРОЧНОСТИ
Прочность материалов, определяемая экспериментально по
стандартной методике, имеет значительный разброс и, следова-
тельно, является случайной величиной. Кривая распределения
прочности асимметрична и ограничена снизу нулевым значением.
Лишь в случае малой изменчивости прочности приближенно
можно принять для нее нормальный закон распределения.
При попытке строгого определения прочности оказывается,
что последняя представляет собой одно из качественных явлений
деформативности. Нарушение прочности возникает при переходе
системы из устойчивых деформированных состояний в неустой-
чивые. Например, если зависимость удлинений стержня от растя-
гивающей силы имеет вид, показанный на рис. 54, то верхняя
точка кривой, изображающей эту зависимость и представляющей
собой кривую состояний равновесия стержня, означает и крити-
ческое состояние стержня и предел его прочности.
Для отдельных микрообъемов тела зависимость деформаций
от усилий даже при однородном напряженном состоянии имеет
случайный характер. Другими словами, зависимость деформа-
ций от усилий представляет собой случайную функцию, в кото-
рую входят в виде аргументов также координаты х, у, z точек
тела. В таком представлении задача о прочности материала
приводится к очень сложной задаче о потере устойчивости де-
формирования неоднородного неупругого тела с механическими
характеристиками, случайно зависящими от координат х, у, z.
Не пытаясь решать эту задачу в такой общей постановке, начнем
с рассмотрения прочности как статистического фактора на
простых схемах.
52.	ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РАБОТА УПРУГИХ
ХРУПКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Пусть п одинаковых элементов соединены параллельно
(рис. 55). Элементы будем считать идеально хрупкими, т.е. та-
кими, которые деформируются линейно до некоторого предела
136
РИС. 57
РИС. 58
прочности, после чего сопротивление их падает до нуля (рис. 56).
Модуль упругости всех элементов считаем одинаковым, а предел
прочности г — различным с частотой распределения рг(г) и
интегральной кривой распределения
Pr (г) = | Рг (0 dr; (0 < г < оо).	(631)
о
Внешнее усилие М распределяется поровну между всеми эле-
ментами, предел прочности которых не превзойден. При напря-
жении о выходит из строя пРг(а) элементов и воспринимаемое
усилие равно:
/V = оДп [ 1 — Рг (о)],	(632)
где F— площадь поперечного сечения одного элемента.
Так как о=еЕ, где е — удлинение, Е — модуль упругости, то
зависимость между внешним усилием N и деформацией е будет
W = EF&i [ 1 — Рг (8Е)1.	(633)
Это уравнение описывает диаграмму работы системы п па-
раллельно соединенных хрупких элементов, т. е. кривую состоя-
ний равновесия этой системы.
137
Максимальное значение
усилия N определится из усло-
вия dNfd^=^t которое дает
1 — Рг (еЕ) = ЕеРг (еЕ) .	(634)
Это уравнение можно ре-
шать графически, как показа-
но на рис. 57. Для этого надо
найти такое значение еЕ, что-
бы площадь кривой распреде-
ления рг(г), находящаяся справа от вертикали и равная
1—Рг(еЕ), была равновелика площади прямоугольника ОАВС.
Максимальная прочность системы Я = максМ определится,
если положить в (633) Е=еПр, где еПр — корень уравнения (634).
Учитывая (634), получим из (633):
Я=Е2Лш2ррг(епрЕ).	(635)
Если равенство (634) выполняется тождественно в некотором
интервале величины е, то диаграмма работы системы в этом
интервале будет параллельна оси s (рис. 58). При этом распре-
деление прочности должно подчиняться дифференциальному
уравнению
1 — Рг (еЕ) = ЕеР' (еЕ) .	(636)
Решая это уравнение, находим:
J-P,(e£) = ^-;	(637)
₽Ив£) = ^->	(638)
где с — произвольная постоянная.
Таким образом, если на некотором интервале значений е
кривая распределения рг(еЕ) с достаточной точностью может
быть выражена формулами (637), то диаграмма системы на этом
интервале будет иметь горизонтальный участок. Если порядок
убывания кривой распределения р2 (еЕ) больше, чем е-2, то
диаграмма работы системы будет иметь нисходящий участок
(рис. 59), соответствующий неустойчивым состояниям равнове-
сия системы.
53.	ОЖИДАЕМАЯ ПРОЧНОСТЬ ХРУПКОГО СТЕРЖНЯ
Рассмотрим отдельный хрупкий стержень, диаграмма рабо-
ты которого изображена на рис. 56 и представляет собой отдель-
ную реализацию из совокупности случайных функций, выражаю-
щих зависимость напряжений в стержне от его деформаций;
совокупность эта показана на рис. 60. Модуль упругости Е здесь
считается детерминированным, а предел прочности г—имею-
щим разброс, подчиняющийся кривой распределения рг и
138
интегральному закону распределения Рг.
Пока мы не знаем истинного значения г
для данного элемента, может лишь ска-
зать, что при заданной деформации е
его сопротивление может быть равно
eEE с вероятностью 1—Рг(еЕ) и равно
нулю с вероятностью Р(еЕ). Ожидаемое
значение этого сопротивления выражает-
ся формулой
о (е) = е£ [ 1 — Рг (еЕ)] ,	(639)
РИС. 60
имеющей вид, аналогичный формуле (633). Максимальное зна-
чение а будет достигнуто при е=еПр, удовлетворяющем уравне-
нию (634), а напряжение оПр, соответствующее этому максиму-
му, равно:
% =	(640)
Величина оПр, найденная по формуле (640), в отличие от пре-
дела прочности элемента г, может быть названа пределом со-
противления. Предел сопротивления имеет вполне определенное
значение при заданной кривой распределения pr(/j, в то время
как предел прочности может принимать любые значения с из-
вестной степенью вероятности, согласно распределению рг(г).
Дисперсия случайной функции о(е) равна:
J(e) = [l — Pr(eE)] (еЕ — еЕ[1 — Pr (eF)]}2 -f-
4-Рг(ёЕ) {еЕ[1 —Рг(еЕ)]}2 = е2Е2Рг(ёЕ)[1 —Рг(еЕ)]. (641)
Корреляционную функцию для о(е) можно вычислить по
формуле
О (Е1 • Е2) = f (El) — G (El)] [О (E2) —
— a (E3)] P [cf (Ei), и (e2)] do (eJ do (e2) .	(642)
Совместную функцию распределения p[o(ei), o(e2)] получим
следующим образом. При деформации ei = ei (см. рис. 60) имеем
разрывное распределение:
a(ei)==eiE с вероятностью 1 — Рг(ехЕ); )
г	(643)
о (ех) = 0 с вероятностью Pr (ехЕ) .	J
При деформации е2 соответственно
о(е2) = е2Е с вероятностью 1—Рг (&.Е)\ )
I	(644)
о (е2) = 0 с вероятностью Рг (е^Е). J
139
Совместная функция распределения p[o(ei), о(б2)] будет
также разрывной. Пусть б2<Е1, тогда возможны следующие
комбинации:
ст (ej) = EjE; g (е2) = е2Е с вероятностью 1 — Pr (ejE);
cr (e2) = 0; g (е2) = 0 с вероятностью Р, (е2Е);
a (Ei) = S1E', о (е2) = 0 с вероятностью 0;	(645)
сг(Е1) = 0; о(е2) = Е2Е с вероятностью Рг(Е1Е) — Рг(е2Е)-
В соответствии с формулами (642), (639) и (645) получим:
ст (Bl, е2) = J j° {о (Ex) — Еех [ 1 — Pr (EjE)} {о (ё2) —
— Её2 [1 — Рг (е2Е)] } р [о (Ej), g (ё2)] do (ex) do (е2) =
= ExEPr (EiE) е2Р2 (е2Е) [I - Рг (ЕхЕ)] +
+ {- Еёх [1 - Рг (ехЕ)1 е2Е Рг (е2Е) [Рг (ЕхЕ) - Рг (е2Е)] } +
+ {- Еёх [ 1 - Рг (EiE)]} {- Ее2 [ 1 - Рг (е2Е)]} Рг =
= Wz&Pr (е2Е) 11 — Рг (е1Е)] .
Таким образом, имеем:
о (ех, е2) = Е1Е2Е2Рг (е2Е) [1 — Pr (EjE)] при е2 < ех; I
}	(646)
о (Е1> Бг) = ЕхЕ2Е2Рг (ЕхЕ) [ 1 — Рг (е2Е)1 при Е2 > Ех • I
При Б1=е2 = б из (646) получим формулу дисперсии о(е)
(641).
54.	ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ДВУХ
И ТРЕХ ХРУПКИХ СТЕРЖНЕЙ
Для точного решения задачи о параллельной работе двух
одинаковых хрупких стержней, т. е. стержней с одинаковыми
модулями упругости и площадями сечений (рис. 62), следует
исходить из совместной функции распределения их прочностей
р(гь /'г) (рис. 62). Для разрушения системы, показанной на
рис. 61, требуется, чтобы прочность одного элемента (любого из
двух) оказалась меньше, чем 7?/2, а другого — меньше /?, где R —
суммарное усилие в двух стержнях. Это усилие распределяется
между стержнями поровну, если ни один из них не разрушился,
и передается целиком на оставшийся стержень после разруше-
ния другого.
Вероятность разрушения системы определяется интегрирова-
нием р(г1, /'2) по площади, обозначенной на рис. 62 штриховкой.
Таким образом, получаем функцию P(R) вероятности разруше-
ния системы. Плотность вероятности разрушения определяется
функцией p(R)=P' (R), которую можно получить интегрирова-
но
нием функции p(r>, г2) по узкой ломаной полосе, показанной
на рис. 62. Это дает
R/2	R/2
P(ty= Pd^= [ P(rl*Wdrl+ [ Р(^1Г2)^ +
о	b
r	r
R/2	R/2
В случае независимости прочностей л и r2 обоих стержней
р(гг, г2) = Р (J1) р (г2)
и
Я/2	R
Р (Я) = 2Р (К) Р (r)dr+p р (г) dr	(648)
0	7?/2
ИЛИ
р (К) = 2р (R)P	+ р (Р (R) -р[^)р (v) •	(649)
141
При малой изменчивости прочностей л и л можно положить
в (649) P(R) = 1, p(R)=0. Тогда получим приближенную фор-
мулу
₽(«)=₽(-г)['-р(т)]‘	(650)
Этот случай соответствует предположению о том, что разру-
шение системы определяется разрушением только одного, наи-
более слабого стержня, а формула (650) представляет распре-
деление максимума из двух одинаковых случайных величин.
Для системы трех одинаковых параллельно соединенных
хрупких стержней (рис. 63) в точном решении надо иметь функ-
цию совместного распределения прочности всех стержней л, л
и л, которую можно представить себе в виде вложенных одна
в другую замкнутых поверхностей равных плотностей вероят-
ности в пространстве трех координат л, Л, Л- Неразрушение
системы здесь определяется следующими условиями:
1)	прочность каждого из трех стержней больше, чем R/3
(одна комбинация);
2)	прочность одного из стержней меньше, чем ₽/3, и он разру-
шился, но прочность каждого из оставшихся двух больше, чем
RJ2 (три комбинации);
3)	прочность двух стержней меньше ₽/3, а третьего больше
R (три комбинации);
4)	прочность одного стержня больше R/3, но меньше R/2,
прочность другого стержня меньше R/2, а третьего больше R
(шесть комбинаций).
В пространстве л, r2, г?, сформулированные условия представ-
ляют собой систему плоскостей, ограничивающих объем, изобра-
женный на рис. 64. Интегрирование функции р(л, Л, л) по
этому объему дает вероятность разрушения P(R). В общем слу-
чае это интегрирование получается очень громоздким. При ма-
лой изменчивости г удовлетворительные результаты может дать
интегрирование по области, ограниченной плоскостями л = л =
=r3—R/3, что равносильно нахождению минимума из трех
одинаковых случайных величин. Однако точность такого при-
ближенного метода будет меньше, чем в случае двух стержней.
Обобщение данного метода на большее количество стержней,
по-видимому, практически невозможно.
55.	АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
НАДЕЖНОСТИ ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ
ПО ПРОЧНОСТИ
Отвлекаясь от геометрического представления функции
совместного распределения прочности стержней, входящих
в систему, задачу, поставленную выше, можно решать иным пу-
142
тем. Рассмотрим систему из двух одинаковых параллельно ра-
ботающих стержней (см. рис. 61). Вероятность неразрушения
этой системы можно подсчитать по формуле Бейеса с использо-
ванием понятия условной вероятности
N' = 1 -PC(R) = [1 -'p(-f-)] [’ ~‘PGHj+ 2РНВ [1	(651)
Первый член в правой части (651) представляет собой ве-
роятность неразрушения первого стержня, умноженную на
вероятность неразрушения второго стержня, причем та и другая
вероятности вычислены в предположении, что оставшийся стер-
жень не разрушился. Второй член представляет собой вероят-
ность разрушения первого стержня при условии сохранности
второго, умноженную на вероятность неразрушения второго
стержня при условии, что первый стержень разрушился. Коэф-
фициент 2 введен вместо третьего члена, равного по величине
второму и получаемого из последнего перестановкой стержней.
В данном случае такое равенство третьего и второго членов
определяется симметрией системы. После раскрытия скобок и
приведения подобных членов формула (651) получает вид:
Ne (R) = 1 - 2Р (-у) Р (/?) + Р2	.	(652)
Формулу (651) можно записать в более общем виде, пригод-
ном для любой системы, составленной из двух параллельно ра-
ботающих элементов:
* (’?)] [«- р К)]+р (°?) [> - р До] +
+ Р (о») [1 - Р (а?)] = 1 + Р (о») Р (а») - Р (а?) Р (4) -
-/’(<£)/> (о*),	(653)
где о । и напряжения в стержнях до начала разрушения системы; С| и
uj — напряжения в первом стержне после разрушения второго и напряжение
во втором стержне после разрушения первого.
Чтобы написать аналогичную формулу для системы из трех
параллельно соединенных стержней, надо учесть следующие
возможности:
1.	Ни один стержень не разрушился. Вероятность этого со-
бытия определяем из условия неразрушения всех стержней под
действием напряжений, вызываемых внешней нагрузкой R в за-
данной статически неопределимой системе. Обозначим эти на-
пряжения оа°2 и о° и тогда получим вероятность неразрушения
всех стержней
^.2.3=(654>
2.	Разрушился первый стержень под действием напряжений
ау, а остальные стержни не разрушились. После разрушения
стержня в системе произошло перераспределение напряжений и
143
они стали равны: во втором стержне oj ив третьем стержне oj
(верхние индексы всюду указывают номер разрушившегося
стержня). Вероятность такого состояния системы равна:
*Ь=Р («?)[-₽ (а')] [1-Р(а*)].
(655)
Отсюда круговой перестановкой индексов 1, 2, 3 можно полу-
чить вероятности разрушения второго и третьего стержней при
условии сохранности остальных двух:
*м = р(<$ [1-Р (°з)] [>-₽(«?)]:
*Ь=РЙ) IP-'W
(656)
3.	Разрушились первый и второй стержни, а третий остался
целым, при этом напряжение в нем достигло o^2. Вероятность
этого события равна:
42=4°?)рИ) [1-рРз2)]-
(657)
Круговой перестановкой индексов получим также вероят-
ности одновременного разрушения второго и третьего или
третьего и первого стержней:
^3=Р(а»)Р(а») [1-Р(а?3)];
(658)
4.	Разрушился сначала первый стержень, затем второй,
а третий остался целым. Вероятность этого события равна:
*Г2=р (о?) [р (4) - р К)] [1 -р (42)] ••
аналогично получим:
[1-рть
Л'3-‘ = Р(^[Р tfj-P^)] [i-pK1)].
(659)
(660)
и, кроме того, при изменении порядка разрушения стержней:
4-’ = Р(а«)[Р(а?)-Р(о?)] [!-Р(<О;
^-2=Р(<^)[Р(4)-Р(^)] [1-Р(о? 3)];
М-3=Р(а°) [Р (o') - Р (о»)] [1-Р(а31)].
(661)
Суммируя выражения (654) — (661), получим выражение,
определяющее полную надежность системы,
Nc = *1.2.3 + *2.3 + *11 + *?.2 + *3’2 + *2,3 +
+ Л'3-1 + A1J-2 + WJ-3 + Н3,-' + Wj-1 + W?-2 + N'2-3.	(662)
144
Если все три стержня одинаковые (см. рис. 63) и имеют оди-
наковые поперечные сечения F= 1, то
О1=4 = Оз = -^-; 01 = 01=^ = 02 = °3 = <^=~f-;
и по формулам (654) — (662) имеем
Л,с=[|-/>(т)Г+ЗР(т)[,-р(т)Г+3/,5(т)[,-р^1+
+ 6Р (т)р(4‘)[1~Р(К)1-6рг(т)11-/>(/?)]- (663)
или после приведения подобных членов
^=‘-^(т)+3/>(т)р2(т)+
+ ЗР2(‘з')Р(/?)_6Р(’з’)Р('2‘)Р(/?)-	(664)
Формулы, аналогичные (663) и (651), приведены также
в [19].
Выражение (662) с предшествующими ему формулами при-
годно не только для системы трех параллельно соединенных
стержней, но и для любой системы, составленной из трех хруп-
ких элементов. При расчете надежности по формуле (662) надо
предварительно вычислить напряжения во всех элементах сис-
темы в предположении их неразрушения и в предположениях о
разрушении каждого одного элемента и каждого сочетания из
двух элементов. При этом в случае такого соединения элементов,
при котором разрушение одного из них или сразу двух элемен-
тов вызывает геометрическую изменяемость всей системы, напря-
жение в неразрушенных стержнях изменяемой системы следует
полагать равным бесконечности, что означает вероятность раз-
рушения, равную единице.
Рассмотрим несколько примеров применения формулы (662)
к системам, составленным различным образом из трех или двух
элементов.
1.	Для трех последовательно соединенных стержней (рис. 65)
следует положить
о0 = о0=о» = /?; 0? = 0з = ^ = 0> = а' = 0| = ^з = 0з.'=^=^.
тогда получим
дгс=[1_р(Я)]3.	(665)
2.	Для системы, изображенной на рис. 66, считая поперечные
сечения всех стержней одинаковыми и равными единице, имеем
J> = R. = =	= = = =
= G3 = а1’2 + °2Л = Стз’2 = 00
145
10-508
R
РИС. 66	РИС. 67	РИС. 68
РИС. 65
и, подставляя в (662):
Nc = [ 1 - Р (R)] [1 - Р (у)]" + 2₽ (у) [ 1 - Р (Р)]2 =
= [! — /> (R)] Г1 — 2Р (у) Р (Л) +Р* (у И .
(666)
В формуле (662) пришлось учесть лишь выражения (654) и
(656); остальные составляющие обращаются в нуль.
3.	Для системы, изображенной на рис. 67, при тех же пред-
положениях получим
°1 = «’? = ^=у; c? = Oi=<’i = <’J = ft
а| = а| = О; о,,3 = ^;	а3,1 = u^2 = оо
И
Ис = - Р (у)]3 + Р (у) [1 - Р (*)]2 + р (у) [ 1 - Р (0)] [ 1 - Р (Р)] +
+ р (у) [1-Р (Р)] (1-Р (0)]+ Р‘ (у) [1 - р (Р)]+
+2р(у) [R (0) - р (у)] [I - р (P)J.
что после упрощений дает
ЛГс = 1 + 2р!(А)_рз^)_р(А)р(й)[4_р(А)_
. (667)
P(R)
4.	Три параллельных стержня (с единичными поперечными
сечениями) соединены жестким траверсом, который может не
только поступательно перемещаться, но и поворачиваться в
плоскости чертежа (рис. 68). В данном случае:
— и2 = 0° = —; of = 0з= ~~ ; 0? =	= 0;
о’ = о3 =	и2-3 = о|’2 = оо; о’’3 = 2?,
146
*i^=[,-p(f)]3+2p(f)t,-p</?)*+p(f)[i-p(f)r+
+ P=(f) [.-P(R)] + 2p(4) [1 -P (f)] (I-P (R}} =
= * + 2P(f) + 2P2(f}-P3 (f )-4P(f
5.	Рассмотрим также систему двух параллельно соединенных
стержней (см. рис. 61) с предварительным напряжением -J-Л в
одном стержне и —А в другом. Сечения стержней равны едини-
це. В этом случае:
а? = -у + Д; о° = -~ — А; o? = uj=fl
и
Nc=[* -р Н-+л)] [* -р (г ~л)]+р ("^+л)(| ~р (/?)|+
+ Р (у - а) [1 - Р №1 = 1 + Р (у- + л) р	- л) -
-/’(/г)[р('Г+л) + Р(т'-л)] 	(669)
Так как
то правая часть формулы (669) мало отличается от правой части
формулы (652) и наличие предварительного напряжения суще-
ственно не сказывается на надежности системы.
Заметим, что формулы, приведенные в п. 55, легко распрост-
раняются на случаи, когда стержни выполнены из разных мате-
риалов и прочность каждого материала характеризуется своим
распределением. При этом следует только каждый раз приписы-
вать функциям распределения Р(г) индекс соответствующего
стержня.
Для систем, составленных из четырех и большего числа эле-
ментов, этот метод оказывается очень громоздким, так как тре-
бует перебора всех возможных сочетаний стержней по одному,
два, три и т. д. Впрочем, для частных случаев не исключается
возможность такого решения. Например, П. Л. Визиром было
получено решение в замкнутом виде для п одинаковых пар ал-
10*	147
лельно соединенных стержней (см. рис. 55) из хрупкого мате-
риала [19] и составлена программа вычисления на ЭВМ пол-
ной надежности такой системы.
56.	СЛУЧАЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙ
ОТ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ РАБОТЕ
НЕСКОЛЬКИХ ОДИНАКОВЫХ
ХРУПКИХ СТЕРЖНЕЙ
Иное решение задачи о параллельной работе хрупких стерж-
ней получается при использовании подхода, приведенного в п. 53.
В нем для случайной функции с(е) одного хрупкого стержня
даны формулы математического ожидания о(е) (639) и диспер-
сии о(е) (641). При переходе к и параллельно работающим
стержням сопротивление системы (при одинаковой для всех
стержней деформации) получим равным сумме сопротивлений
всех составляющих стержней. Таким образом, сопротивление си-
стемы из и параллельно работающих стержней равно:
tf(e)=F V£(e),	(670)
i=i
где F — площадь поперечного сечения каждого стержня.
Ожидаемое значение сопротивления R, согласно (631), равно:
R (е) = nFu (е)=пРеЕ [1—Рг (еЕ) ] .	(671)
что совпадает с формулой (633), а дисперсия, согласно (641):
Я (е) = nF%2E2Pr (еЕ) [ 1 — Рг (еЕ)] .	(672)
При этом предполагается, что выбор составляющих стержней
из некоторой большой совокупности производится случайно, т. е.
прочность отдельных стержней независимая случайная вели-
чина.
Чтобы найти максимальное значение функции /?(е) и функ-
цию распределения этих максимальных значений положим
приближенно, что максимум R имеется в каждой реализации при
одной и той же деформации епр, соответствующей максимуму
ожидаемых значений /?(е). Эти деформации находят из условия
(635)
1 - Рг (Еегг) = ЕепР Рг (Еёпр) .	(673)
Решим это уравнение для нормального распределения проч-
ности одного стержня г=Еепр (86):
Рг (Еепр) = 0,5 + Ф (и)>	(674)
где
,	(675)
Г
148
г — ожидаемая прочность одного
стержня; г — стандарт этой прочности
и
и
1	— и2
Ф = —--------I ехр —-— du. (676)
/2л J 2
О
Из формулы (675) имеем
Е^пр = и г 4~ г .	(677)
Тогда
ч du
= fW-7T.	(678)
где
f (а) = Ф' (“) = “7=7 ехр	.	(679}
V 2л 2
Подставив выражения (674) —(679) в уравнение
лучим
0,5 —Ф(н) = (“+^)/(“)
или
0,5 —Ф (к)	_____1_
/(«) U~ Аг'
где
Л _
Ar = г/г.
(673). по-
(680)
(681)
Решив уравнение (680) относительно и и подставив най-
денный корень в (677), а затем в выражения (671) и (672), най-
дем центр распределения и дисперсию максимального значения
R (е) (последнее для простоты обозначим через R):
R = nFr (иАг + 1) [(0,5 — Ф («)];	|
fl = nf 2? (иАг + О2 [0,5 4- Ф (и)] [0,5 — Ф (и)]. J
(682)
Изменчивость прочности системы будет равна:
Рг (£епР)
n [ 1 - Рг (£епр)]
= 1 Г о,54-Ф(ц)
У п[0,5 —Ф(«)] 
(683>
Уравнения (682) и (680) определяют зависимость между из-
менчивостью, средней прочности одного стержня Аг и изменчи-
востью прочности всей системы в параметрической форме.
14»
Эта зависимость для разных п изображена графически на
рис. 69. На том же рисунке нанесена кривая зависимости
— = (1 + иАг) [0,5 — Ф («)],	(684)
nFr
полученная при условии выполнения равенства (680). По этой
кривой видно, что ожидаемая прочность R довольно быстро па-
дает с увеличением изменчивости Аг и достигает минимального
значения, равного 0,5 nFr, при Лг=0,798, что соответствует из-
менчивости Аг= 1/ Vп.
Если изменчивость AR не слишком велика, то распределение
величины R можно считать нормальным и тогда функция ее
распределения примет вид
^(К) = 0,5 + ф/-2^-] = 0,5 + Ф(т),	(685)
\ R J
Л	—
где у — число стандартов R, отсчитываемых от среднего значения R=R.
Формула (685) дает искомую функцию интегрального рас-
пределения прочности R системы п параллельно соединенных
стержней, выполненных из хрупкого материала. Число стержней
— Л 1/"
п входит в эту формулу косвенно через величины R и R= г R,
определяемые выражениями (682).
При увеличении числа п изменчивость уменьшается, что
является положительным фактором надежной работы конструк-
ции. Поэтому целесообразно заменять один стержень несколь-
кими, эквивалентными ему по площади поперечного сечения,
сделанными из того же материала, но со случайной выборкой.
При л=1 зависимость AR от Аг, представленная верхней
кривой на рис. 69, дает не изменчивость прочности одного стер-
жня Аг, а изменчивость его предела сопротивления Дапр (640).
Предел сопротивления — верхняя точка ожидаемой диаграммы
работы стержня, а не конкретная реализация этой диаграммы
(см. п. 53).
Кривые для других значений п получаются из кривой п=\
изменением масштаба вдоль оси п раз.
57.	ОЖИДАЕМАЯ ПРОЧНОСТЬ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
Упругопластическим стержнем назовем элемент конструкции,
подчиняющийся прандтлевской диаграмме работы, т. е. дефор-
мирующийся по закону Гука до предела текучести, после чего
усилие в нем остается постоянным при неограниченном росте
деформаций (рис. 70). Стержень выбирается из достаточно
150
большой совокупности стержней, имеющих одинаковые площадь
сечения, модуль упругости (в начальной стадии работы) и слу-
чайный предел текучести от с заданной кривой распределения
Рит (рт)- Диаграмму Прандтля для каждого конкретного стер-
жня можно рассматривать как реализацию некоторой случай-
ной функции о (е).
При заданной деформации е предел текучести стержня с ве-
роятностью 1—Ро (еЕ) может оказаться большим, чем еЕ (здесь
Ро (°т)—интегральный закон распределения предела текуче-
сти); при этом напряжение в стержне будет о=еЕ. Если же
предел текучести окажется меньше заданного значения еЕ, то
напряжение в стержне будет равно ат. Поэтому ожидаемое зна-
чение напряжения о выразится формулой
еЕ
о(ё) = еЕ[1 — Рс (еЕ)] + |‘отра (oT)duT.	(686>
т о т
Очевидно, что о(е) монотонно возрастает с увеличением е-
Действительно,
=1 — ^о (еЕ) — еЕрс (еЕ) + еЕрс (еЕ) = 1 — Рс (еЕ) > 0.
а (еЕ)	т	т	т	т
Найдем дисперсию случайной функции о(е):
еЕ
о(е)= р— Еат(еЕ)] [еЕ — еЕ [1 — Рс?( еЕ)] _ j' <\Рат (стт) dCTr)2 +
ее	ее
+ .ГчЮ ["т-е£ [' -Ч(е£)]" J a7p<rA)<№doT-
Для простоты введем обозначения:
еЕ
рс №) = .[ Ра(°т)<4 = ре-
т	О т
еЕ
1с'т*Ч(от)Л’т =Л;
о т
еЕ
\<%РС (aT)daT=P2; е£ = е”
о т
Тогда выражение (687) получит вид
а (е) = (!-₽„) (е.Р0- Ptf+
4-/>2 + е=(1-Ро)2Ро +
+	-2е. ('-Po)Pi ~2Р?+
(688>
РИС. 70
151
или после упрощений
а (е) = Рг - Р? - 2ее Р1 (1 - Ро) + е* Ро (1 - Ро).	(689)
Формула (686) в обозначениях (688) имеет вид
<т(е) = е*(1—P0)-f-Pi.	(690)
При
«. - °° ’ Р0 = * Р1 = °Т- Р2 ~ р1 =°т ‘
Кроме того, для кривых распределения с конечной диспер-
сией
lim е (1—Р) = 0; lime2(l—Ро)=О.
*	w e*-»-co • 4	'
Поэтому на основании (690) и (689)
lim а(е) = стт; lim с(е) = от.	(691)
е-*оо	е-*оо
При параллельной работе п одинаковых упругопластических
стержней, случайно выбранных из некоторой генеральной со-
вокупности, на основании формул (690) и (689) получим [в
обозначениях (688)]:
Я(е) = пРп(е) = nF [е* (1 - Ро) +Pi];	1
1 (692)
P(e) = nF*a(e)=nF [Р.-Pf-2e# Рх(1 - PJ + е;Ро (1 -Р„)].	)
Изменчивость Vr(£)/R(s) при увеличении п уменьшается
так же, как и в случае хрупких стержней, и при /ь->оо становит-
ся равной нулю. При этом формула (686) или (690) будет вы-
ражать уже детерминированную диаграмму работы стержней
системы.
Распределение сопротивления 7? системы двух параллельно
работающих упругопластических стержней может быть получе-
но как распределение суммы двух случайных величин. Для на-
хождения распределения сопротивления системы нескольких
параллельно работающих упругопластических стержней можно
и целесообразно использовать также аналитические формулы
распределения суммы трех и более случайных величин.
$8. СЛУЧАЙНАЯ ДИАГРАММА РАБОТЫ
В ВИДЕ КУБИЧЕСКОЙ ПАРАБОЛЫ
Рассмотрим реализации диаграмм работы стержня в виде
кубических парабол
а = Ее —'а е3.	(693)
Случайным здесь будем считать лишь параметр а, поскольку
начальный модуль упругости Е у реальных материалов, как
правило, обладает малой изменчивостью. Введем безразмерные-
случайные величины
а.=Ъ/Е; Л = с/Е.	(694}
Тогда случайная диаграмма работы материала выразится
формулой
о* (е) — е — Ле3.	(695)
Вид реализаций этой диаграммы показан на рис. 71. Макси*
мальное значение о* в каждой реализации обозначим через г.
Оно будет равно:
<б9б)
и соответствует деформации
ег =
(697)
Если k подчиняется закону распределения Pk(k), то ввиду
линейности функций (695) относительно k без труда получим:
а* = е — Ле3; о* (е) = k е®;
°. (81- ег) = *е14-
(698>
В отличие от упругохрупкого стержня корреляционная фун-
кция здесь дифференцируема. Это позволяет найти случайный
касательный модуль
153
R (е) = nF Ест* (е) = nF Ее (1 — Ле2);
R (е) = nF2E2 а* (е) = nF2E2 Ле6;
Я (ei» ег) = ^Е2 k ®i е2»
(702)
где /?(е) —сопротивление системы при деформации е; F — площадь попереч-
ного сечения каждого стержня.
Из формулы (696) можно получить распределение прочности
г одного стержня
=	(703)
Так, если k подчиняется нормальному закону распределения
1 Г _(*_*)* "I
" ;—- ех₽ ------.
]/ 2лЛ [ 2Л
(704)
то, согласно (703):
(705)
Отсюда можно найти ожидаемое значение и дисперсию г.
Нас может интересовать такое предельное значение прочно-
сти грасч, ниже которого случайный предел прочности г появля-
ется лишь с некоторой, обычно достаточно малой вероятностью
V. Заметим, что при нормальном распределении k (704) распре-
деление R (е) будет также нормальным. Возьмем число стандар-
тов -у, соответствующее отсечению на кривой нормального рас-
Л
пределения площади V, и вычтем это число стандартов R (е) =
= V Я(е) из средней кривой R (е) . Получим некоторую предель-
но допустимую или расчетную кривую
Ярасч(е) = Я(е)-Т V ₽(е).
Подставляя сюда (702), находим
Красч (Е) = EF (е) [п — е2 (пЛ + у >
Минимум Ярасч(Е) будет пр и
(706)
(707)
(708)
154
и равен:
МИн 7?расч
(709)
Поделив (709) на nFE, получим величину, которую можно
принять в качестве расчетного значения г, отвечающего задан-
ной обеспеченности 1—V:
Для одного стержня (при п= 1) имеем
(710)
(7П)
При п->оо кривая /?Расч(е) стремится к кривой /?(е), а граСч —
к величине, определяемой по формуле (696) с заменой k на k.
59. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
При последовательном соединении элементов (рис. 72) раз-
рушение происходит по наиболее слабому из них. Задача проч-
ности здесь сводится к нахождению минимума из п случайных
величин. Последовательным соединением элементов может
быть названо также любое их соединение, образующее статиче-
ски определимую систему. При этом разрушение системы опре-
деляется тоже разрушением наиболее слабого элемента.
Если интегральный закон распределения прочности i-ro эле-
мента Л (г), то вероятность неразрушения этого момента под
действием усилия г равна 1—Рг(г). При последовательно сое-
диненных элементах вероятность неразрушения системы.
1-Рс0=П U-P.-Wl.	(712)
1=1
где Рс(г)—интегральное распределение прочности всей системы, состоящей
из п последовательно соединенных элементов.
В формуле (712) предполагается, что прочность каждого
элемента является независимой случайной величиной.
Если все элементы имеют одинаковые распределения своей
прочности, выраженной в единицах внешней нагрузки (что бу-
дет при подборе сечений всех элементов по одному и тому же
напряжению), то вместо (712)можно написать
Рс(г) = 1-[1-Р1(г)]л>	(713)
где Pi (г) — интегральное распределение прочности одного элемента.
155
2
3
Распределение плотности вероятности разрушения
системы последовательно соединенных элементов
равно:
PcW = n(l-A(O]n_,PiW.	(714)
Уравнение (713) можно написать так:
In [1 - Рс (г)] = п In [1 — Рг (г)]	(715)
и, полагая вероятность Рх (г) малой, получим
ln[l-Pc(r)]~-nPi(r).
откуда
рс (г) = 1 - ехр [- пРг (г)].	(716)
Если число элементов п не слишком велико, то
nPi(r) мало, и выражение (716) еще более упрощается
Рс(г)= пР^г).	(717)
рис. п
Итак, вероятность разрушения системы последова-
тельно соединенных одинаковых элементов 1/с=Рг(г)
можно выразить через вероятность разрушения одного
элемента V\—Pi(r) формулами:
Ус= 1 — (1 — УхГ;
Vc = 1 — ехр (—nVL);
Vc = «Vlf
(718)
расположенными здесь по убыванию своей точности, которая
тем больше, чем меньше значение
Для определения ожидаемого значения прочности такой си-
_	л
стемы гс и стандарта гс можно воспользоваться приближенны-
ми формулами (168), из которых следует:
_ л
где п и и — ожидаемая прочность н ее стандарт для одного элемента
Этими формулами можно пользоваться при малых п и не-
большой изменчивости г, когда распределение г приближается к
нормальному. Если прочность элементов подчиняется распреде-
лению Вейбулла (132)
pt (г) = 1 — ехр (— сгь),	(720)
то, согласно (138) и (713), можно написать:
Рс (г) = 1 — ехр (— спЛ) = I — ехр (— суь),	(721)
«156
где
ь,—
У=]'пг,	(722)
т. е. распределения Pi (г) и Рс(г) различаются лишь масштабом
вдоль осп г, который для гс в у п раз меньше, чем для гь Сле-
довательно, в этом отношении изменяются при переходе от од-
ного элемента к системе последовательно соединенных элемен-
тов ожидаемые значения прочности и стандарты прочности
В частном случае 6=4 вторая формула (723) совпадает со
второй формулой (719).
Если стержни системы, показанной на рис. 72, сделаны из
одного материала, но имеют различные поперечные сечения, то
формула (712) вероятности неразрушения системы принимает
вид:
п
i-pcV) = П U -('•.•)!; ('•>•=	<та4)
1=1
где г. — напряжение, вызываемое усилием г в t-ом стержне; Fi — сечение t-ro
стержня.
Так как величина P\(ri) очень быстро убывает с уменьшени-
ем напряжения rit то множители 1—Р1(гг) для недонапряжен-
ных стержней можно положить равными единице, и формулу
(724) написать следующим образом:
k
1-Рс(0=П [1-₽х(г/)1.	(725)
1=1
где k — число стержней, в которых напряжения близки к максимальному зна-
чению, и знак произведения распространяется только на эти стержни.
В случае когда прочность материала подчиняется распреде-
лению Вейбулла, из формул (724) и (720) получим
1 — Рс (г) = П ехр (— сг{) =ехр [ -c'grty =
1=1 \ 1=1
(726)
Сопоставив эту формулу с формулой (721), увидим, что
л ________________________________
вместо п здесь появилась величина Следовательно, форму-
1=
157
лы (723) приобретают вид
(727)
Формулы (727) легко распространяются на любые статиче-
ски определимые системы из материала, прочность которого
подчиняется распределению Вейбулла. Надо лишь положить
(728)
1 — Рс (г) = ехр I — сгь
* Pi ’
где N * — усилие в i-ом элементе от внешней нагрузки г=1.
При этом формулы (726) и (727) видоизменятся следующим
образом:
60. ПАРАЛЛЕЛЬНО-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ
И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ
СОЕДИНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
(729)
(730)
Параллельно-последовательным соединением будем назы-
вать параллельное соединение нескольких систем последова-
тельно соединенных элементов (рис. 73). Надежность такого
соединения можно определить, вычисляя сначала вероятность
неразрушения каждой цепи последовательно соединенных эле-
ментов (по формулам, приведенным в п. 59), а затем рассмот-
рев каждую цепь как самостоятельный элемент,— переходя к
вероятности неразрушения системы параллельно соединенных
элементов.
При одинаковых параметрах упругопластических элементов
во всех цепях, применяя формулы (719) и (671) — (672), по-
лучим
где п — число последовательно соединенных элементов в каждой цепи; т—
число параллельно соединенных цепей.
158
a)
При последовательно-параллельном соединении упругопла-
стических элементов (рис. 74) следует сначала определить ве-
роятность неразрушения каждого звена, состоящего из т па-
раллельно соединенных элементов, а затем получить вероят-
ность неразрушения всей системы по формулам последователь-
ного соединения. Тогда вместо формул (731) получим
(732)
Сравнивая формулы (731) и (732), замечаем, что при парал-
лельно-последовательном соединении ожидаемая прочность си-
159
стемы меньше, чем при последовательно-параллельном соедине-
нии, на величину
Это объясняется тем, что в последовательно-пар аллельном
соединении (см. рис. 74) имеются дополнительные связи, пере-
распределяющие усилия в каждом ряду параллельно соединен-
ных элементов и увеличивающие надежность системы.
При параллельно-последовательном соединении хрупких
стержней можно сначала приближенно найти ожидаемое зна-
чение и стандарт прочности наиболее слабого звена по форму-
лам (731):
л
Гц = 71 — 3,5 /1 —	^1’ гн = ч?—	<733>
\ V п /	уп
и изменчивость прочности этого звена
Л	Л	А
Агк=~\~ т’ЛГ71-3.5(^Т-1)г1 = {ЛГ-3,5(^Й
------ , (734)
-Од.
затем по найденному значению изменчивости Arii на графике
(см. рис. 69) найти Ая для заданного числа цепей т (пли для
т=1 и поделить потом на^^т), а также величину Klmr^F,
РИС. 76
после чего распределение проч-
ности системы считать подчиня-
ющимся формуле (685).
В случае последовательно-па-
раллельного соединения хрупких
стержней нужно сначала полу-
чить изменчивость прочности од-
ного звена, т. е. системы т па-
раллельно соединенных стерж-
ней [по графику (см. рис. 69)
и формуле (685)], а затем при-
менить формулу (732) распреде-
ления прочности слабого звена
цепи пли же использовать при-
ближенные формулы (731). Ес-
ли число параллельно соединен-
ных цепей или стержней не пре-
вышает трех, то можно восполь-
зоваться точными формулами,
приведенными в п. 55.
К системам параллельно-по-
средовательных соединений стер-
жней сводятся некоторые стати-
160
чески неопределимые фермы и другие конструкции. Например,
ферма, показанная на рис. 75, а, может быть представлена в
виде параллельного соединения двух цепей (рис. 75, б, в). То
обстоятельство, что число стержней в цепях здесь разное и на-
пряжения в стержнях тоже разные, не усложняет существенно
решение и расчет надежности. Другой пример изображен на
рис. 76, где первая цепь представляет собой статически опре-
делимую ферму (рис. 76,6), а вторая — одиночный стержень
(рис. 76,в).
61.	НАДЕЖНОСТЬ РАСТЯНУТОГО ДЛИННОГО СТЕРЖНЯ
Возьмем достаточно длинную цепь последовательно соеди-
ненных звеньев, прочность которой определяется прочностью на-
иболее слабого звена, а распределение прочности описывается
выражением (713):
Л>(0=1-П-Р1(г)]п.	(735)
Обозначим через X длину одного звена, а через I — длину
всей цепи; тогда формулу (735) можно переписать так:
рс w = 1 - [1 - Pi т,/к.	(736)
Эта формула позволяет перейти от цепи с конечным чис-
лом звеньев к непрерывному стержню, в котором растягивающее
усилие вызывает во всех сечениях одинаковые напряжения г.
Под X тогда будем понимать длину некоторого малого участка
стержня, на протяжении которого прочность г можно считать
полностью коррелированной, а за пределами этого участка —не-
зависимой случайной величиной.
Если имеется два стержня различной длины 1\ и /2, то для
получения равной их надежности соотношение расчетных проч-
ностей стержней тх и г2 должно быть найдено из условия
[1 —Pi(r1)]', = [l-PiW)'>.	(737)
При нормальном распределении прочности сечений
1-Р1(Г1) = 0,5-Ф^~^; 1 - РНг2) = 0,5-j (738)
получим
Например, если для «эталонного» стержня длиной Ц норми-
рована характеристика безопасности
= ——- = 3; Г1 = г — Зг,
11 л
11-508
161
то для стержня вдвое большей длины нужно взять характери-
стику безопасности у2 из уравнения
0,5 — Ф (у2) - [0,5 — Ф (З)]2 - - 0,00132 = 0,00000169,
откуда
Т2 = 4,6
и
Л	Л /	Л
r2 = Г — 4,6 г =/1-|-3г — 4,6г = Г!—1,6 г.
Заметим, что такое большое увеличение характеристики бе-
зопасности не приводит, как казалось бы, к сильному уменьше-
нию расчетной прочности, так как здесь берется не стандарт
прочности материала, а стандарт прочности сечений, взятых в
одном и том же стержне. В случае, когда распределение прочно-
сти сечения является распределением Вейбулла (132)
1 — ?! {г) - ехр (— сгш),	(740)
Уравнение (737) получает вид
с11Г^ = с1^,	(741)
откуда
(742)
Так как в обычных конструкциях величины Р\(г) и Pzfr)
должны быть малы, то вместо уравнения (737) можно взять его
линейное приближение
Zi^i (ах) = Z2Z\ (г2).	(743)
Отсюда
=	(744)
L *2 J
где Qi - квантиль распределения Pi аргумента, стоящего в квадратных скоб-
ках.
Из формулы (736) следует, что надежность стержня в зави-
симости от его длины выражается равенством
Nc (г) = ГЛ\ (г)1//х,	(745)
где
Nc (г) = 1 — Рс (г); N1=\—P1 (г).	(746)
Зависимость (745) можно представить также в виде
Nc (г) =	(Z>X),	(747)
где
162
т. е. надежность стержня экспоненциально убывает по мере уве-
личения длины стержня.
При малых отношениях /Д данный расчет будет несправед-
лив. Более точное решение можно получить рассмотрением
прочности как случайной функции длины стержня с использо-
ванием теории выбросов.
62.	НАДЕЖНОСТЬ ИЗОГНУТОЙ БАЛКИ
Работающую на изгиб балку можно аппроксимировать
цепью особого рода, звенья которой воспринимают изгибающие
моменты (рис. 77). В отличие от растянутой цепи усилия в
звеньях здесь будут не одинаковыми, а пропорциональными из-
гибающим моментам, возникающим в балке от внешней на-
грузки (сечения балки будем считать постоянными по ее длине).
Если момент в i-том звене равен mit то надежность этого
звена равна:
Ni= 1— Р(гп{),	(749)
где Р(тг)—вероятность того, что i-тое звено разрушится при
моменте	Считая прочность на изгиб звеньев не корре-
лированной между собой, для определения надежности всей
балки получим выражение
W6 = ri [1-/>(««)],	(750)
1=1
где п — число звеньев.
Далее, переходя к логарифмам и полагая вероятность разру-
шения звеньев P(mt) достаточно малой, получим
In N6 = 2 In (1 - Р (m£)l ® - 2 Р	(751)
1=1	1=1
откуда
N6 = ехр	Д Р («» j 	(752)
Переходя в пределе к сплошной балке, будем иметь
Nc = ехр	[ и [хи (х)] dx| ,	(753)
где
и[т(х)] =---------- (754)
РИС. 77
11
163
— погонная интенсивность отказов; 1 — длина балки, в пределах которой
прочность сечений можно считать полностью коррелированной (зависимой);
I — общая длина балки; т (х) — эпюра моментов при заданной нагрузке.
Считая, что вероятность разрушения балки должна быть
малой, приходим к приближенным формулам:
i
N6= I— f u[m(x)]dx;	(755)
о
I
?б = 1 —	= | «[т (x)] dx.
o
Для нормального распределения прочности
и [т (х)] =	Jo,5 — Ф
получим
(756)
сечения, т. е.
(757)
(758)
63.	ВЛИЯНИЕ МЕСТНЫХ ДЕФЕКТОВ
Часто прочность стержня зависит от местных дефектов, слу-
чайно расположенных по его длине. Типичный пример таких де-
фектов— раковины и трещины в металлических стержнях. Тех-
нология изготовления стержней должна быть такой, чтобы мест-
ные дефекты встречались исключительно редко. Однако добить-
ся полной гарантии отсутствия дефектов часто не удается. В
этих случаях можно говорить об определенной вероятности об-
разования дефекта в заданном сечении стержня и о плотности
вероятности его появления, отнесенной к длине стержня. Здесь
можно написать зависимость
ы = оД//,	(759)
где и — плотность вероятности появления дефекта по длине стержня; а — ве-
роятность образования дефекта в наперед заданном сечении; Д — длина или
зона ослабления стержня дефектом; t — расстояние по длине стержня между
дефектами.
Здесь мы сохранили обозначения, примененные выше для
анализа вероятности возникновения перегрузок за время служ-
бы сооружения. Тем самым подчеркнута аналогия между зада-
чей прочности и задачей определения опасных нагрузок и пе-
регрузок. В данном случае дефект вполне эквивалентен введен'
164
ному выше понятию перегрузки. Используя эту аналогию, при
рассмотрении задачи о влиянии местных дефектов на прочность
стержня можно воспользоваться готовыми результатами, полу-
ченными для перегрузок. В частности, по аналогии с формулой
(505) можно записать вероятность появления хотя бы одного
дефекта на длине L стержня:
’/ = e(*+z)’
(760)
В деревянных конструкциях дефектами являются сучки. При
склеивании досок вероятность совпадения сучков в одном се-
чении мала и может быть определена по формуле (760) с под-
становкой, согласно (604) и (605), вместо а величины где
п— число склеиваемых досок, а вместо Д величину Д/п

(761)
64.	НАДЕЖНОСТЬ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Для определения несущей способности статически неопреде-
лимых систем, выполненных из идеально упругопластического
материала, следует решать задачу на экстремум нагрузки с
ограничениями в виде неравенств [71]. Так называемый стати-
ческий метод предельного равновесия приводит к ограничениям
вида
+	2- --- "О»
(762)
где NfiiN'i —предельные минимальное и максимальное усилие в i-том эле-
менте; Na — усилие в i-том элементе от лишнего неизвестного Х3-=1; Л/,о—
усилие в Z-том элементе от единичной внешней нагрузки ^=1; п — степень ста-
тической неопределимости системы; m — число элементов в системе,
и к функции цели
q — макс.
(763)
Такую задачу решают методом линейного программирования,
а для простых случаев — рядом частных приемов. Поскольку
основные размеры и конфигурация системы обычно бывают за-
даны достаточно точно, то коэффициенты ограничений (762)
Nij и NiO можно считать детерминированными величинами.
Случайными будут величины	и /V+=Af+, пропорциональ-
ные пределам текучести материала, которые обычно имеют
большой разброс. При этом получаем задачу стохастического
линейного программирования, решение которой имеет некото-
рые свои осообенности [87]. Для их уяснения рассмотрим сна-
165
чала один раз статически неопределимую систему, для которой
ограничения (762) принимают вид
NT < N^ Х+ N.Qq <	;(i =1, 2, . , m).	(764)
В координатах X, q эти условия изображаются прямыми ли-
ниями, ограничивающими область допустимых состояний си-
стемы (рис. 78), а функция цели (763) указывает, что состояние
предельного равновесия достигается в самой верхней точке
этой области.
При случайных Nt и N-У границы области допустимых со-
стояний оказываются размытыми, но имеющими детерминирован-
ные направления (рис. 79). По вертикальным сечениям на этом
рисунке показаны распределения плотности вероятности ЛГ+.
В вершине области допустимых состояний значение парамет-
ра нагрузки q определяется реализациями ограничений i=a и
i=p (рис. 80). Очевидно, что одной и той же предельной нагруз-
ке могут соответствовать разные комбинации реализаций пре-
дельных усилий Na и N& как это показано на рис. 80 (индексы +
и - опускаем).
Найдем параметры распределения предельного значения
q=qapB зависимости от параметров распределения Na и
Из двух уравнений
Nal X+Nct£)
~	(765)
Wpi X + 7Vpo
получим
= А	=^аР’	<766>
166
А =в_
^аЛ ^рО “ NaO	Nal ^рО — ^р1 ^аО
Отсюда определяем дисперсию
(767)
9аР = ^а + ^р =
"аЛ + "рЛ
(ЛГа1/%-ЛГ₽1
(768)
и стандарт
' _ У_ +
^а! 'V — ^р1
(769)
Значение нагрузки ^пр, найденное с вероятностью Р перехо-
да через предельное равновесие, будет равно:
д
<7пр = ?сф — Т ?ар ~ макс»	(770)
где y — квантиль вероятности Р (характеристика безопасности).
В общем случае мы не знаем заранее, какие из ограничений
(764) определяют вершину области допустимых состояний рав-
новесия, и в этом основная трудность задачи. В формуле (771)
индексам а и р надо придавать все возможные значения от еди-
ницы до т, имея таким образом 0,5m (1+m) сочетаний [фор-
мально, с учетом нижних пределов текучести элементов даже
m(l+m) сочетаний].
Если система несколько раз статически неопределима, то ре-
шение становится еще более сложным. Здесь вершина области
допустимых состояний определится из системы уравнений ги-
перплоскостей п+1-мерного пространства
n+ 1);
(771)
которая дает
v Jvv/X/ + Wrt)? = A^(v=l, 2,
/=-1
= N+ или ,
где A v — некоторые детерминированные коэффициенты.
Функция цели по-прежнему будет иметь вид
(772)
q— yq = макс,
(773)
причем следует перебрать все сочетания по п+1 из т элемен-
тов. Ясно, что метод простого перебора в общем случае непри-
емлем даже при наличии быстродействующих ЭВМ.
Однако для большинства практических задач будет вполне
пригоден упрощенный метод решения, который состоит в том,
167
что вершина области допустимых состояний находится как оп-
тимальный план обычной задачи линейного программирования
с детерминированными ограничениями по средним значениям
Nv  После этого для найденной вершины применяют формулы
(771) и (772).
Вероятность других оптимальных планов для стохастической
задачи мала. Действительно, отклонения в параметрах от
среднего значения поступательно смещают часть границы об-
ласти допустимых состояний системы и сохраняют относитель-
ное расположение вершин, определяемых этим участком гра-
ницы (рис. 81). Лишь в том случае, если отклонения парамет-
ров таковы, что указанный участок границы исчезает (рис. 82),
вершина области допустимых состояний меняется.
Чтобы учесть такую возможность, можно рекомендовать
вторичное решение задачи линейного программирования с за-
_т ____	Ат
меной величин NI на Ny —yNy Если при этом будет получена
новая вершина области допустимых состояний, то для этой
вершины следует также провести вычисления по формулам
- А
(771) и (772). Из двух полученных значений q—yq нужно взять
меньшее.
65.	ПРОЧНОСТЬ ПРИ сложном
СОПРОТИВЛЕНИИ ЭЛЕМЕНТА
Внутренние усилия в элементе не всегда могут быть выра-
жены через один параметр. Например, в сечении стержня могут
действовать продольная сила, изгибающие моменты в двух на-
правлениях, крутящий момент и т. п. Прочность элемента мо-
жет зависеть довольно сложным образом от разных параметров.
В пространстве координат этих параметров область неразруши-
мых состояний элемента ограничена некоторой гиперповерх-
ностью. Вследствие разброса свойств материала эта гиперпо-
верхность получается размытой, т. е. функция, выражающая
предельное состояние элемента через параметры внутренних
усилий, будет случайной.
Для конкретности рассмотрим напряженное состояние стер-
жня, определяемое двумя параметрами — нормальной силой Л'
168
и изгибающим моментом М. В координатах N, М область до-
пустимых состояний сечения, за пределом которой наступает
разрушение, показана на рис. 83. Отклонения в очертаниях ди-
аграмм работы материала вызывают размытость границы об-
ласти допустимых состояний (рис. 84). Аналогичная картина
показана в п. 64.
Остановимся несколько подробнее на построении размытой
границы области допустимых состояний. Если функция, опреде-
ляющая эту границу, зависит от одного случайного параметра
(например, предела текучести материала от) и имеет вид
F(N, М, а) = 0,	(774)
где а=а — случайный параметр, то, зная интегральное распре-
деление а (рис. 85) и квантили этого распределения а(Рг), мож-
но подставить в уравнение (773) эти квантили и получить таким
образом семейство кривых
F[N, М, а(Рг)] = 0.	(775)
Каждая з этих кривых ограничивает область, внутри кото-
рой надежность сечения не меньше, чем 1—Рт-
169
Если в условие прочности входит несколько случайных па-
раметров: а, р, у,..., то условие прочности
М, а, 0, у, ... ) =0	(776)
будет изображать в пространстве координат N, М для каждой
реализации совокупности этих параметров свою кривую, огра-
ничивающую область допустимых состояний сечения. Таким об-
разом, граница этой области будет представлять собой случай-
ную кривую (рис. 86).
Возьмем большое количество реализаций границы области
допустимых состояний, построенное, например, методом Монте-
Карло, т. е. с учетом распределений вероятностей величин а, р,
у....Допустим, что имеется внутренняя область, в которой проч-
ность сечения заведомо сохраняется, т. е. что ни одна реализа-
ция граничной кривой не заходит в эту область. Все точки
внутренней области соответствуют надежности прочности сече-
ния, равной единице.
Для какой-либо иной точки, не принадлежащей внутренней
области, можно подсчитать число реализаций граничных кри-
вых, которые отделяют точку от этой области. Например, для
точки А на рис. 86 имеется только одна такая реализация, а для
точки В — три. Если интересущая нас точка отделена от внут-
ренней области v реализациями граничных кривых, а общее
число построенных реализаций ц, то с известным приближением
отношение v/p равно вероятности разрушения сечения при зна-
чениях N и М равных координатам этой точки.
Таким образом, для каждой пары значений N и М может
быть получена вероятность разрушения Рг. Соединив на плоско-
сти N, М точки с одинаковыми значениями Рг, получим границы
областей с вероятностью разрушения внутри них, равной Рг, т. е.
размытую границу возможных состояний сечения (рис. 84).
Конечно, такой способ построения размытой границы трудое-
мок и вряд ли целесообразен, поскольку само распределение
параметров а, р, у, ... требует еще определения, и возможно да-
же, что легче непосредственно опытным путем найти вероят-
ность разрушения для каждого состояния сечения. Однако из-
ложенный способ разъясняет сущность явлений и ясно показы-
вает возможность построения семейства непересекающихся
кривых равной надежности.
Возьмем теперь внешнюю нагрузку q, которая вызывает уси-
лия, выражающиеся через нее в общем случае нелинейными
функциями
N = N (q) ; M =	(777)
В координатах /V, М уравнения (777) определяют линию, ко-
торая может пересекать границу области возможных состояний
170
м
РИС. 66
РИС. В9
сечения (рис. 87); вдоль этой линии можно получить зависи-
мость вероятности разрушения Рг от нагрузки q (рис. 88). Если
нагрузка q представляет собой случайную величину с распреде-
лением pg(q)t то надежность сечения определится по формуле
(262), которой для данного случая можно придать вид
1 - V = f [ 1 - Рг (?)] Р, (?) dq = 1 - f Р, (q) р„ (я) dq.	(778)
о	о
Интегрирование здесь ведут по участку линии (777), на ко-
тором величины 1—Pr(q) и pq(q) не исчезающе малы. Если име-
ется несколько нагрузок, каждая из которых представляет
собой случайную величину, то следует исходить из формул
^ = ^1(91» ^2, ..., 9л); M —	92,	9л),	(779)
где N и М корреляционно взаимосвязаны даже при независи-
мости случайных нагрузок qi, q2t ...» qn- Принципиально не со-
ставляет труда получить совместное распределение Pnm
по заданному совместному распределению	• Наложив
распределение pNM (рис. 89) на кривые Pr=const (см. рис. 89),
придем к следующей формуле для определения надежности се-
чения:
1 _ V = 1 _ [ f pr(N,M) pNM (NtM)dNdM.	(780)
'q
Интегрирование здесь производят по области Q, где подин-
тегральное выражение не является исчезающе малым.
ГЛАВА VII. РАСЧЕТ БАЛОК НА НАГРУЗКУ,
СЛУЧАЙНО РАСПРЕДЕЛЕННУЮ ПО ДЛИНЕ
66.	ШАРНИРНО ОПЕРТАЯ БАЛКА
СО СЛУЧАЙНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ
Пусть балка, шарнирно опертая по концам, нагружена попе-
речной нагрузкой q(x), которая представляет собой случайную
функцию длины х (рис. 90). Такой нагрузкой может считаться,
171

-t/г
(Х2
г/г
РИС. 90
РИС. 91
'if?
например, ветровая нагрузка, действующая в заданный момент
времени на протяженную балку мостового пролета в горизон-
тальном направлении.
Дифференциальное уравнение для изгибающих моментов в
балке будет
Ожидаемые значения изгибающих моментов М(х), ввиду
линейности уравнения (781), находят обычными методами со-
противления материалов по ожидаемым значениям нагрузки
q(x) интегрированием уравнения
Чтобы правильно учесть отклонения изгибающих моментов
от их ожидаемых значений, следует найти корреляционную
функцию изгибающих моментов ЛГ(хь х2). На основании пра-
вил, изложенных в п. 13, имеем
(783)
где <7(xi, Хг) —корреляционная функция нагрузки.
Чтобы получить функцию М(Х1, х2) следует проинтегриро-
вать дифференциальное уравнение (783) с учетом граничных
условий. Помещая начало координат в середине пролета балки,
запишем граничные условия:
т. е. функция М (хь х2) обращается в нуль на сторонах квадра-
та %i=±//2 и х2=±^/2 (рис. 91); I — пролет балки.
172
и частное
Для пояснения заметим, что значения изгибающих момен-
тов в концевых сечениях балки равны нулю и, следовательно,
корреляционно не связаны со значениями изгибающих момен-
тов в любом другом сечении балки. Найдем общее
решения дифференциального уравнения (783).
Общее решение однородного уравнения
(хх, х2) =о
дх? дх^
как нетрудно проверить, имеет вид
М (Xlt х2) = fi (xj 4- /2 (х2) 4- x2fs (Ж1) 4-	(х2).
где fi, [з к ft — произвольные функции своих аргументов.
Частное решение уравнения (783) получаем непосредствен-
ным интегрированием:
м* (х,, х2) = Jjjf q (xlt х2) dx| .	(787)
(785)
(786)
Полное решение уравнения (783) представляет собой сумму
общего решения (786) и частного (787), причем произвольные
функции fi, /?, f3 и fi должны быть найдены из граничных усло-
вий (784).
Будем считать, что нагрузка представляет собой стационар-
ную случайную функцию х. Тогда корреляционная функция на-
грузки будет функцией разности
jq —х2 /,	(788)
g(*i. *2) = д(0-	(789)
Например, согласно (182), можно принять
q (/) = q e-^w ,	(790)
где q — постоянная по длине балки дисперсия нагрузки.
Для такой нагрузки частное решение найдем следующим
образом. Введем переменные
t = Xy~ х2; s = xx-l-x2.	(791)
Тогда уравнение (783) будет
<РМ (Х1. Щ	х2)) _ -
ds2	\dt2
( д2 д2 \ (
I, ds2 “ dt2 ) V
(792)
и частное его решение можно искать в виде
М* (*1Л2) = Й*(0.
(793)
173
При этом будем иметь
(0 „
dt* —я (О»
(794)
откуда
111 t
ЛГ(О=(УГ[?(ОЛ‘.	(795)
boob
Для корреляционной функции (790) при Z>0:
tttt	гл tit
^““Цуа’Р-уа2/2-]- at— 1).	(796)
Для отрицательных значений t следует изменить знак тех чле-
нов, в которые t входит в нечетной степени. В целом можно на-
писать:
7И* (/) =	J- -у а3 И|3 — -у а3/2 -Ь а |1| — 1
(797)
или
М* (х, -х2) =	|Х1 -Х2|3 -
— ~ (*1 — *г)2 + “1*1 — *11 — 1] •	(798)
Отметим, что функция М* (X]—х2) (798) имеет смешанные
производные второго и четвертого порядка, следовательно, слу-
чайная функция М (х) дважды дифференцируема.
Заметим далее, что частное решение (798) и граничные ус-
ловия (784) симметричны относительно переменных Xi и Х2, т. е.
не изменяются при перестановке индексов 1 и 2. Поэтому и об-
щее решение (786) следует взять симметричным, положив в нем
(х) = fi (к) = f3 (х).	(799)
При этом полное решение для корреляционной функции мо-
ментов будет
М (%!, х2) = Л (xt) + /1 (х2) -|- x2f3 (Хх) -|- хх/ 3 (х2) -|- М* (х, — х2).	(800)
174
Ввиду наличия симметрии достаточно удовлетворить гранич-
ным условиям на двух сторонах квадрата — Х\~±112. или х<>=
=±Ц2.
Получим два функциональных уравнения:
А ( y)+A W+4» (т) + Т а> W+«* (4" - Л) = 0;
/1(-т)+А«+ха(-Т)-ТА« + Л1’(-Т-х) = о.
Индекс при х здесь может быть любым—1 или 2, поэтому его
пока опускаем.
Возьмем сумму и разность уравнений (801):
а3 / 3/2х	\
— — I —-— + х31 + а21х — 2ах
(804)
(знаки взяты с учетом, что x^Z/2).
Поскольку функция а(х) четная, а Ь(х) нечетная, то левые
части уравнений (802) должны представлять собой соответст-
венно четную и нечетную функции х. Для этого необходимо, что-
бы fi(x) была четной функцией, а 1з(х) —нечетной. Тогда урав-
нения (802) примут вид:
2/,('2')+2flW = OW:
2*a(4-) + 'AW = <’W-
(805)
175
Решая первое уравнение (805), полагаем х—+1[2 и на-
ходим
далее получаем
а(“^ + 2А(*) = а(*); /1 W = -y-a(x) —.	(806)
Аналогично, для второго уравнения (805)
Т*Ш + //з(х) = м*);	=	(807)
Подставив в (806) и (807) значения функций а(х) и Ь(х)
(803) и (804):
f =	— 2е 2 shax4--^p^p-bx3] — а2/х+
а*ч L	«э \ 4	/
— —— + ах j ,	(809)
а найденные функции fi(x) и Л(х) подставим в решение (800) —
(798). Получим окончательное выражение для корреляцион-
ной функции изгибающих моментов:
al	al	__ al
е 2 ch — е 2 ch а%! — е 2 ch ах2 4-
+-?-W+4)+^r+f-(^-^-+
М(Х1, хя) = -^--
176
_ _ al
, , . . *|*д	2	_ at „	•> х, sh ах2 + х2 sh ах,
+ 1 + 4-^—е sh— -2е	- ----------------+
+ ^М + х2х?)-а2хл + ^ + 2^ + ^.-.+
Ч~ (*1 - *2)3 - "V (Xi - xs)2 + а |хв - x2J - I ] .	(810)
6	2	J
Положив здесь хх=х2=х, получим дисперсию изгибающих
моментов
М (х) = Л4 (Xi X) =2	— 2chaxj —ч-1 +
а/	al
а3/3	4х2	2 а/ 4х Т~	2а?х* ,
+ ^Г + ~^е sh~r~ — e 2sh-+—+
a3Zx2 ах2 ]
+ ~+2—]-	(811)
В середине пролета при х=0
I	al
Если пролет балки очень велик по сравнению с величиной
1/а, то формула (812) приобретает вид
a I	а3/3 \
М (0)	(3 ~ al + ”12~ / •	(813)
При очень малом пролете, разлагая выражение (812) в сте-
пенной ряд по а/ п ограничись одним членом ряда, получим
Q Z4
М(0)=-^— .	(814)
64
Расчетное значение момента при детерминированной проч-
ности материала следует брать равным:
о/2	1/
Mpac4 = -V + T У W).	(815)
О
где у — нормируемая характеристика безопасности.
67.	КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА
СО СЛУЧАЙНОЙ НАГРУЗКОЙ
Рассмотрим консольную балку, нагруженную поперечной
нагрузкой в виде случайной стационарной функции q(x)
(рис. 92). Такая расчетная схема встречается при расчетах вы-
12—508
177
сотных сооружений башенного типа на ветровую нагрузку. Гра-
ничные условия для корреляционной функции изгибающих мо-
ментов ставим при %1=0их2=0, т. е. на свободном конце балки.
Так как 7И(0) =0, то очевидно
М(0, х2) =М(х1г 0) = 0.	(816)
Кроме того, на свободном конце
Q(0) = M'(0)=0	(817)
и, следовательно,
Q(0, x2) = Q(Xi, 0) = 0.	(818)
Итак, мы имеем граничные условия:
д2М	д2М
М (0, х2) = М to, 0) =	(0, х2) = —- to, 0) = 0.	(819)
дхг дх2	dxi дх2
Эти условия в плоскости координат Xi, х2 симетричны отно-
сительно биссектрисы центрального координатного угла. Сим-
метрично относительно этой биссектрисы также частное реше-
ние (798), которое можно использовать в данной задаче. Поэто-
му общее решение (786) должно обладать такой же симметрией,
а полное выражение для корреляционной функции изгибающих
моментов — иметь вид (800):
/И to х2) = Л to) + fl to) + х2 f3 (Xl) + X! f3 to) +м* (Xi — x2).	(820)
Отсюда получим
d2M(xltx2) .	д2
~	=	+	+	(820
Удовлетворяя условиям (819), напишем два функциональных
уравнения:
А (0) + /i to) + xz f3 (0) + м* (- x2) = 0;
fs (0) + f3 (*,) +	(- X2) = 0.
(822)
Из выражения (798) получим:
'	а* '	1
а3 а2 х%
+—------+<«,-О;
(823)
= - "Г	+ а - х2| - 1);
dxidxz а2
ям*	Q
-(-х2) = -— (е~ах‘+ ах2 — 1).	(824)
дх!дх2	а2
178
Подставим (823) и (824) в уравнение (822):
q ( ct3x3 а2х2
fi (0) + fi (*2) + h (°) + ~~	+ — - — +ссх2 - 1
(825)
/з <0) + /з (м -	+ <«.-0.
Решим второе уравнение (825):
2/; (0) = 0; f3 (х) = ± (е~~ах + ах2 - 1);
fM = ^\-e-ax’ + —^--<u'2 + c).	(826)
Функцию fi (х) получим из первого уравнения (825)
о ( а’х®	а2 4	\
VifOy.ftM-------- U ’+-7-------7“ — 1 ~ ох2С I.	(827)
а* \	о 2	/
Подставив (826), (827) и (798) в формулу (824), получим
М (хх, х2) = ~~
а3 а3 х% а2 х2 а2 х|
~ 6 ~ 6 + 2 + 2 +
а3 х2 х. а3 х? х2
+ 2 — ахх е-0^2 — ах2 e~aXl + —~ 4--------—
- 2а2 хх х2 + е-а^-х‘] 4-у |хх - х2|3 - (xt - х2)*-Ьа |х, - х2| - 1
= +
+ > +	*з| —«*1*з + -?Ч*Г—«гР—
О
“	(*1 — 3*1 *2 — 3х1 *2 4-	•	(828)
Отсюда при xi=%2=x получим дисперсию изгибающих мо-
ментов
м (х) = 2е~ах +	а?х3 — а2 X2 — 2ахе"ах 4~ 2 j ;	(829)
При больших х по сравнению с 1/а
м (X) =	а3 х3 — а2 х2 4- 2).	(830)
12<
179
68.	ДРУГОЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ИЗГИБАЮЩИХ
МОМЕНТОВ В БАЛКЕ
В этом методе, который часто применяют в различных за-
дачах вероятностного расчета конструкций, исходят не из диф-
ференциальной, а из интегральной зависимости между нагрузкой
и изгибающими моментами. Для рассмотрения такого подхода
возьмем снова консольную балку, изображенную на рис. 92. Из-
гибающий момент в сечении х можно выразить формулой
х
M = ^q(t)[x-t)dt,	(831)
где t — вспомогательная переменная, по которой ведется интегрирование.
Связь между корреляционными функциями моментов и на-
грузки запишется так:
M(xltx2)=\ f q(tlt t2) (xr — h} (x2 — f2) dtx dt2.	(832)
о b
Интегрирование здесь производится по области в виде пря-
моугольника со сторонами Xi и Хг (рис. 93).
Будем считать, как и ранее, нагрузку стационарной случай-
ной функцией координаты ti—t2 с корреляционной функцией
=	(833)
Функция (833) имеет различные аналитические выражения
для областей, где Л>t2 и где граница между которыми
разделяет прямоугольник области интегрирования (см. рис. 93)
на прямоугольный треугольник и трапецию. При этом форму-
лу (832) можно записать следующим образом:
Г>	ГЛ Х 2 Х1
М (хг, х2) = q f	(Х1 х2 — х2 — хх t2 -|- tx t2) dtr dt2 +
b b
x2 it
+ q | |	*2> (x± x2 — x2t1 — xx t2	t2) dtx dt2.	(834)
b b
Первый интеграл относится к области, где t\>t2i а второй—
к области, где t\<t2.
Возьмем сначала внутренний
интеграл для первой области
*	/	f е-*(*i х2 — х^ — Xi t2 4- ti t2) dt^=
S	°
= — eat* [fa x2 — Xit2) -J-4-
0	tj	L	a
РИС. 93 •	\ a	a	/3*1
;so
----*2 - *1 М (е"™1 - e~atl) 4- (Z2 - х2) (q е-°^- t2 е-“'> +
+ve““1 -v е'а'*)]=iea(t‘~x,> (Z‘~Xs)+
+ -^(xlx2-*lt2-*2l2+ty-‘1^p •	(835}
Аналогично выведем интеграл по второй области:
I
[	(*! х2 — хв fi — *i tB + tx t2) dtr= — X
o	*
Xe~^tg( Xj XB J- *1 tB 4-	- )+~(*1 x2 *1 *2 — *2 *2 + 4)— 2 2 *• (836)
\	CI / ct	cc
Сумма выражений (835) и (836) равна.
_ _L	(<2 _	_ J_ е-а*а (Х1 Хг _ Х1 у + _L e-ai. (tt _	+
сс	сс	о
Ее надо проинтегрировать по /2 от нуля до х2. После вы-
кладок и преобразований получим
е-а{Х1-х2) _ ад,2 e-a.Xl _ е-ах2 _ е-ах2 _ -ах2	_
, о “Ml
— 0X2 — СТ Xj Х2 4- а3 Xj х2 —	;	(838)
Выражение (838) справедливо при условии, что xi>x2. Ес-
ли Х!<х2, то в нем следует переставить индексы 1 и 2:
J- ^-а(х«-х,> _	_ ад^-ах, _ е-^а _ е-ах, ] +	_
а3*3 ]
— otXj — а2 х2 Xj 4- а3 х2 х? — —.	(839)
Чтобы объединить формулы (838) и 839), введем абсолют-
ные значения некоторых функций и придем к выражению
А (хь х2)---у	_ а^е-ы _ ах*-™1 - е-™1 - е"™1 +
Об5 |_
а3
4- 1 4- а 1*1 — х2| — «2*1 *2 + "Г" 1*1 — *г13 —
о
— ’У (*1 + *2 — 3xf Х2 — ЗХ1 *1)] ’	(840>
181
через которое корреляционная функция изгибающих моментов
запишется в виде
Л1 fa, х2) = Я& (%!, х2),	(841)
полностью совпадающим с выражением (828), полученным ра-
нее другим способом.
Определение корреляционной функции из интегрального со-
отношения (831) для консольной балки представляется, пожа-
луй, несколько более простым и легким. Однако применительно
к балке, шарнирно опертой по концам, этот способ усложняет-
ся из-за разного аналитического выражения функции Грина на
различных участках Xi и х2. Действительно, для балки, шарнир-
но опертой по концам, имеем:
I	X	X
M=^q(t)(l-t)dt+^q{t)(x-t)dt = ^q(t)t(l-x)dx +
0	0	6
i	i
+	= q(t)F(x,t)dt,
х	О
где
при О'/ . х
при X < / X. /
(842)
(843
В сочетании со слабыми разрывами корреляционной функ-
ции (833) слабые разрывы функции Грина (843) создают боль-
шое число участков, по которым надо вести раздельное интегри-
рование, что для данного случая затрудняет расчет по второму
методу. Однако следует признать, что второй метод универса-
лен и может быть успешно применен к более сложным задачам,
например к расчету балок, лежащих на упругом основании,
сжато-изогнутых стержней и т. п.
69.	ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
Ввиду трудностей точного решения дифференциального
уравнения (783) или вычисления интеграла (832) для корреля-
ционной функции моментов во многих случаях можно эффектив-
но использовать приближенные и численные методы, например
метод Бубнова или метод конечных разностей. Так в задаче о
расчете однопролетной шарнирно опертой балки решение для
корреляционной функции изгибающих моментов можно искать
в виде двойного тригонометрического ряда
О z ч VI С (2l + О ПХ1 (27 + О я*2
/И (хх, х2) =	Mif cos--------------cos----------------,
1=0	1=0
(844)
182
каждый член которого удовлетворяет граничным условиям
(784). Разлагая корреляционную функцию нагрузки х2)
в ряд
(2i‘+ l)wq (2/+1)лх2
q (Xi, х2) =	j cos---j------cos ——------- -r (845)
i=0 /=0
подставляя (844) и (845) в уравнение (783) и приравнивая ко-
эффициенты при одинаковых функциях, получим уравнения:
О (2£+1)2(2/+	-
ми--------р-------=V*
(£./=1,2,3, ...),
(846)
откуда
n4(2i+ 1)2(2/+ 1)2 ‘
(847)
Для дисперсии изгибающих моментов, приравнивания х{ =
=х2=х, получим выражение
VI Х^ (2£ + О **	(2/ + 1) пх
М (х) =	М..cos 	*— cos t .	(848)
а для дисперсии изгибающего момента в середине пролета бал-
ки, полагая х=0,
я(0)=v v м =4У У ——-----------------------t849)
11 П	(й +1)3(2/+1)°
Для консольной балки можно ввести аппроксимирующие
функции
(£ = 2, 3, ... ; /=2, 3, . .),	(850)
удовлетворяющие граничным условиям (819), т. е. использовать
представление
i=2 j=2
где I — длина консоли.
Применяя метод Бубнова и ограничиваясь конечным числом
членов (ряда (851), получим систему алгебраических уравнений:
I I оо со	I I
0 О 4=2 /=2	0 О
X xj1^^! ^х2» (т> п = 1 ’ 2» 3, ...)	(852)
183
или
S	+ “ - •))<?+n- 0 Mti ~	"J j4(X1’ *2)X	(853)
•—2 j—2	О О
(m,n=l,2,3, ...).
Ограничиваясь конечным числом уравнений, отсюда можно
найти величины Му и приближенное выражение для M(xix2)
(851).
При решении задачи методом конечных разностей диффе-
ренциальное уравнение (783) заменяется системой девятичлен-
ных разностных уравнений
Я-i j-i - 2Я-1. / + Я-1./+1 - 2 Я./-1 + 4 Я./ - 2 Я./ +
+	= Л,4(i, / = 1, 2,	, n), (8Б4)
где i — номер горизонтального, a / — вертикального ряда точек в области ин-
тегрирования уравнения (783); X — расстояние между точками; п — число
горизонтальных и вертикальных рядов.
Согласно граничным условиям (784)
Я./ = Я.7 = ^ (7=1.2......«);	Я.о^Я.п^0’ а=1.2........“)> (855)
поэтому число уравнений системы (854) и число неизвестных
в ней равно (п—I)2.
70.	СОСРЕДОТОЧЕННЫЙ ГРУЗ
В СЛУЧАЙНОЙ ТОЧКЕ ДЛИНЫ БАЛКИ
Рассмотрим задачу о загружении балки сосредоточенным
грузом, положение которого в пролете балки является случай-
ным. Величину сосредоточенного груза Р будем считать детер-
минированной. Случайную координату точки приложения гру-
за обозначим через t (рис. 94). Тогда
^W = ^g(x,7).	(856)
Здесь R(x} может обозначать изгибающий момент, прогиб, поперечную силу
илн какую-либо иную расчетную величину, g(x, /)—функция влияния вели-
чины R(x) от действия единичного груза, приложенного в точке t (функция
Грина).
При случайном значении t ординаты линии влияния также
будут случайными. Ожидаемое значение их равно:
ь
g (х) = f Pt (/) g (X, t) dt,	(857)
a
где pt (t) — функция распределения плотности вероятности t. Интегрирование
в формуле (857) производится по длине I, в пределах которой может нахо-
диться груз Р.
184
Ожидаемое значение
можно записать так:
R (*) = Pg (х),
а дисперсию —
Я(х) = р£(х),
RM
(858)
(859)
РИС. 95
где
ь
g И = f Pt (t) [g (x, О - g (x)]2 dx.	(860)
a
Вместе с тем ожидаемое значение RM равно
ъ	ь
R (x) = J Ppt (0 g (x, 0 dt = J qn (Г) g (x, t) dt.	(861)
a	a
где
4n(t) = Ppt(t)
(862)
— приведенная распределенная нагрузка, которая дает то же
ожидаемое значение /?(х), что и сосредоточенный груз, прило-
женный в случайной точке. Как видно из формулы (862), приве-
денная нагрузка равна произведению величины груза Р на
функцию распределения точки его приложения t.
На основании (859), (860) и (862) можно записать, что
ь
R(x)=P f q„ (t) [g„ (0 - g (x)p dx.	(863)
a
Рассмотрим случаи равномерного распределения t по дли-
не I:
Pt=-y;	(864)
при этом
Яп (0 =— = const,
(865)
ь	ь
- Р С	~ Р2 С
R(x) = — j g(x,f)dt; R(x) = — j [g(x,	g(t)}2dx.	(866)
185
Выражение
ь
f g(x, t)di = to(x)
(867)
представляет собой площадь эпюры линии влияния в пределах
1=Ь—а, а величина
ь
Jfe(x, t)-g(t)]2dx = J(x)
(868)
— момент инерции эпюры линии влияния (ограниченной теми
же пределами) относительно горизонтальной оси, проходящей
через центр тяжести линии влияния. Тогда формулы (866) мож-
но записать в виде
/?(х) = -у-£0(х); R(x)=~y J (х).
Для примера определим ожидаемое значение и дисперсию
изгибающего момента в середине однопролетной шарнирно опер-
той балки при условии, что груз Р может с равной вероятностью
находиться в любой точке пролета L (рис. 95). При этом:
\ 2 )	8	8
(869)
Линия влияния M(L/2) имеет вид треугольника с максималь-
ной ординатой
(рис. 96). Среднее значение g( t) равно:
РИС. 97
8 ’
Момент инерции эпюры линии
влияния относительно ocug=L/8
равен:
1/4
о
1/4
p=4 ji
о
Следовательно,
— g
L \2 j Ls
8 / dt “ 192
/ L \	Р2!2
М ( 2 ) ~ 192 ’
186
Для консольной балки, изображенной на рис. 97, при равно-
вероятном положении груза вдоль длины / получим для момен-
та Л4В над опорой В:
л _р_. Т7 Р1
Qn I ’ в	8	8 ’
8 ; J
О
//2
о
2 I2 ы3
dt — I-------=------;
64	192
мв--м
Заметим, что в рассмотренных случаях кривые распределе-
ния ограничены со стороны максимальных значений R(x), по-
являющихся при положении сосредоточенного груза в вершине
линии влияния. Поэтому применение вероятностного метода
здесь малоэффективно в части уточнения детерминированного
расчета по наиболее невыгодному положению груза. Однако по-
лученные результаты могут быть использованы для расчета бал-
ки на сочетание нескольких случайных нагрузок.
71.	СЛУЧАЙНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ
СВЯЗАННОЙ СИСТЕМЫ ГРУЗОВ
Предположим, что на ограниченный участок балки действу-
ет распределенная нагрузка, положение которой по длине бал-
ки является случайным. Обозначим случайное расстояние от на-
чала балки до нагрузки через т, а саму нагрузку через q(£,)t
где £(0<£<п)—расстояние до точки т (рис. 98). Плотность
распределения т пусть будет рт (т).
Нагрузку qfe) можно расчленить на ряд сосредоточенных
грузов, жестко связанных между собой. В общем случае непре-
рывной нагрузки рассмотрим бесконечное число бесконечно ма-
лых грузов q(l)d& находящихся на случайном расстоянии от
начала отсчета длины балки
7=t + L	(870}
Ординаты кривой распределения i будут
Pt = Px{t~l).	(871)
На основании формулы (862) каждый элементарный груз
qd^ может быть заменен приведенной нагрузкой
(872}
187

РИС. 98
РИС. 99
Согласно принципу независи-
мости действия сил суммарная
приведенная нагрузка равна
9n(O = f9©Pt(<-S)^-	(873)
О
По этой приведенной нагрузке
можно определить ожидаемое
значение^ интересующей нас ве-
личины /?(х), используя форму-
лу (861)
i
R(x) = f9n(/)g(x,/)Л.	(874)
О
Подставляя сюда (873), получим
_ 1 а
R (© = f (9 (0 (< - © g («, О <&t.	(876)
о о
Этот интеграл можно преобразовать следующим образом:
_ a I	al
R (*) = И Ч (© ₽, (< - S g (*. О dt = [ q © f (t - E) g (*. 0 dt .
о о	о b
Во внутреннем интеграле произведем замену переменных по
формуле (873)
= f	|>t (x)g(x, r + Ddrdg.
о	b
(876)
При этом пределы внутреннего интеграла можно не менять,
распространив их на всю длину балки Z, так как обращение в
нуль функции рх(т) или g(x, ?+£) на некотором интервале не
скажется на выражении (876). Окончательно можно записать,
изменив порядок интегрирования:
__ 1а
R (х) = рх (т) f q (|) g (х, т + g) d£ dx.	(877)
6 О
188
Внутренний интеграл не зависит от распределения т и его
можно принять за обобщенную функцию влияния
т + ё)^ = £об(*. т).	(878)
Ь	_
При этом выражение для R (х) примет вид
R (*) = f Рх СО £об (*’ т) dx'	(879)
о
В случае единичного груза Р=1
£об(*. т) = Pg(x, т)
и получим формулу (861).
Пользуясь выражением (878), легко записать дисперсию
_
Я (х) = ( (г) £& (X. т) dx - Я2 (X).	(880)
о
которой можно также придать вид:
Я (х) = J Рх (т) [go6 (х, т) — go6 <Х>]2 dx,
о
где
_ 1 __
£об <х> = I Рх СО £об (*. О dr = Я (х)
О
или
1
Я (х) = (рх (т) [goe (х, т) - R (х)]2 dx.	(881)
О
В случае когда нагрузка представляет собой систему свя-
занных сосредоточенных грузов (рис. 99), формулы (873) и
(878) получают вид
<rn = SPf/7Tp-B.);	(882)
go6 (х, т) = 2Р£ g (х, т +	.	(883)
Рассмотрим для примера нагрузку на однопролетную балку
в виде системы двух одинаковых сосредоточенных грузов Р, на-
ходящихся на расстоянии а одни от других, причем ни один из
грузов не может находиться вне пролета балки (рис. 100). По-
ложения системы грузов внутри возможного интервала ее пе-
ремещений равновероятны. Здесь мы имеем:
£1 = 0; £2 =
Рх (О =
--- при 0 < t < L-— а;
. 0 при L — а < t < L;
0 при 0 < 14- а < а;
Рх (т + °)=
—--- при а < t -J- а < L
—а
189
РИС. 103
Отсюда следует, что
----- при 0 < t < а\
L—а
qn (О ~
----- при а ' t < L — а;
L—а
------‘ при L — а < t < L.
L—а
Вид приведенной нагрузки показан на рис. 101. Кроме того,
имеем
ёсб (х, x) = P[g (X, т) Ч- g (х, т + а)]-
В частности, для момента в середине пролета балки x=L/2
обобщенная функция влияния принимает вид, показанный на
рис. 102 и получаемый сложением двух взаимно сдвинутых тре-
угольных линий влияния, умноженных на величину Р.
Использование обобщенных функций влияния более целесо-
образно, чем применение приведенных нагрузок £п(0, так как
позволяет по формуле (879) и (881) определять не только ожи-
даемое значение, но и дисперсию искомой случайной величины
/?(х). Кроме того, функцию £Об(*, т) можно использовать при
разных законах распределения положения грузов рх •
Например, в случае распределения т, показанном на рис. 103
и соответствующем обычным случаям более вероятного распо-
ложения грузов вблизи опор, получим (с учетом равенства
2ас-|-Р (L — 2с) = 1):
с	L—а—с	L—а
R (х) = а [ go6 (х.т) th + ₽ f ёоб	а f go6 (*»*)
0	c	L—a—c
R (x) = a f [go6 (x,r) — Я (x)]2 dT + P f (go6 (x.x) — R (x)l2 dr +
°	L	C
+ a J Ute (x,x) — R (x)]2.
L—a—c
190
Однако приведенная нагрузка qn(t) имеет то преимущество,
что ее можно использовать для определения ожидаемого значе-
ния любой расчетной величины, для которой известна функция
влияния.
72.	ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЧИВОСТИ ВЕЛИЧИНЫ ГРУЗА
Если величина груза случайная, то расчет несколько услож-
няется и требует определения кривой распределения величины
R{x)=^Pg{x,t)
(884)
по заданным кривым распределения t и Р. При этом надо пом-
нить, что функция g(x, t) часто оказывается не монотонной.
Для примера возьмем снова однопролетную шарнирно опер-
тую по концам балку пролетом L с грузом Р в случайной точ-
ке t. Определим изгибающий момент в середине пролета балки,
линия влияния которого g(L/2, t) имеет вид, показанный на
рис. 104, а. Кривая распределения положения груза pt показа-
на на рис. 104,6: Учитывая немонотонный характер зависимо-
сти g(L/2, t) от /, запишем выражение интегральной кривой рас-
пределения g(LI2, /) в виде
t	L
Pg= \ptdt+ f Ptdt,	(885)
0	L-f
откуда
d	Г
pg=-^pg=ptw[
Так как в нашем случае
— Pt
k ^/2

g(L/2,t) = g =
2
2
то выражение (886) получает
вид:
Pg = Pt (0-2 — Pt[L~ t){— 2) =
= 2[Л(0+л(Ь-0].	(888)
При равномерном рас-
пределении точки приложе-
ния груза по пролету L
Pt (0 = Pt (L — 0 = ~~ - const;
(889)
(886)
2
L
2
(887)
191
P‘ = T: (о g<v)-
(890)
т. e. момент M(Lf2) от единичного усилия Р=1 имеет прямо-
угольное распределение.
Распределение произведения
^(тЬМ’Ь7)-	(891’
считая величины Р и t корреляционно не связанными одна с
другой, определим по формуле (48):
ргрр^йр
(892)
(обозначения аргументов при	и g(LI%, t) для простоты
опускаем). Учитывая, что g—M/P, получим:
(893)
В случае (890)	4	L		4М	
	— при g <	4 ’	Р	L '	
		L		4М	(894)
	0 при g у	4 ’	Р	L ’	
запишем выражение (892) в виде:
4 Г dP
‘ (895)
4M/L
Отсюда нетрудно определить ожидаемое значение и диспер-
сию момента
(896)
о	о
При заданной обеспеченности 1—V расчетный момент Л4расч
определится из уравнения
f PMdM=V	(897)
Мрасч
или, подставив в него (895):
Г Р dP IV
]	= — .	(898)
192
Изменяя порядок интегрирова-
ния, согласно рис. 105, получим
оо PL/4
f
4Л4расч ^расч
L
= j ^-(-7--Л«₽асч)<1Р.
4Мрасч
L
и уравнение для определения Мрасч примет более простои вид
J	-4Л^аСЧ ) dP = V	(899)
4Мрасч
L
ИЛИ
J	j ’Л.г, ОВД
4А*расч	4Мрасч
L	L
Первый член в (900) выражает влияние изменчивости си-
лы Р, а второй — влияние изменчивости положения груза в
пролете балки.
Изложенные в пп. 70—72 методы и большинство формул
могут быть применены и для расчета пластинок, если известны
функции влияния искомой расчетной величины от положения
единичного груза и функции распределения вероятности этого
положения.
ГЛАВА VIII
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
НА УСТОЙЧИВОСТЬ
73.	ЗАДАЧА О СТАТИСТИЧЕСКОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
Рассмотрим устойчивость сжатого стержня (рис. 106) в пред-
положении, что исходные данные — случайные величины. В де-
терминированной постановке эта задача приводится к решению
дифференциального уравнения
+	(901)
13—508
193
которое при отсутствии поперечной нагрузки q дает общее ре-
шение
где
М = A sin kx -J- В cos kx,
(902)
(903)
M— изгибающий момент в поперечном сеченни стержня; Р — продольная
сжимающая сила; EJ — жесткость поперечного сечения стержня.
Будем считать сжимающую силу Р и жесткость EJ детерми-
нированными величинами, а случайные факторы отнесем к гра-
ничным условиям при х=0 и х=/, где может иметь место слу-
чайный эксцентрицитет приложения силы Р. Итак, положим:
при х = 0 М = Мд;
при х = Z	М = Мв,
где Мл и Мв — случайные величины с центрами распределения
мА = мв = о.
Подставив граничные условия (904) в решение
лучим
Ма —В\ A sin AZ -|- В cos kl,
откуда
В = Ма = В;
— Ma cos kl + Mb ~
sin AZ
(904)
(905)
(902), по-
(906)
(907)
Постоянные общего решения являются случайными величи-
нами с центрами распределения
А = 0; В = 0	(908)
и с дисперсиями (41)
1	2	-—-	1
Л = - Ма —	. МА Мв + — - — Мв-, В — Ма‘,
tg2AZ tgAZ л ° sin2AZ
ЛВ=- —Ц— Ма + -Аг МА Мв
tgAZ sin AZ А а
(909)
Отличные от нуля ожидаемые значения произвольных по-
стоянных А н В можно получить, если в уравнениях
РИС. 106
_ Л.0+В.1=Мл = О; |	(9ю)
ZsinAZ -f- BcQskl = MB = 0 J
приравнять нулю определитель
I ° а, 1 ,,| = -sinAZ = O. (9П>
| sinAZ cos AZ I
194
Отсюда получим обычное детерминированное решение зада-
чи об устойчивости центрально-сжатого шарнирно опертого по
концам стержня
п2л2£/
k = nn; Р =----------;	(п= 1,2,3,...),	(912)
Для дисперсий А, В и АВ мы будем иметь уже не два, а три
уравнения (909), которые эквивалентны следующим трем урав-
нениям, получаемым из (906):
В — Ма;
A sin2 kl-]- В cos2 kl -|- 2АВ sin kl cos kl = Mb\
(913)
В cos kl J- AB = MaMb
Выясним, при каких условиях нулевым дисперсиям конце-
вых моментов могут сопутствовать отличные от нуля дисперсии
коэффициентов А и В общего решения (902), а следовательно,
и отличные от нуля дисперсии изгибающих моментов в средних
сечениях стержня (независимо от того, равны или не равны ну-
лю ожидаемые значения А и В). Приравняв нулю определитель
коэффициентов уравнений (913), получим это условие в виде
0 I О
sin2 kl cos2 kl 2 sin kl cos kl
0	cos kl	sin kl
— —sin3 kl = 0.
(914)
Как видим, здесь не появляются новые корни kl по сравне-
нию с тем, что дает детерминированное решение (912). Следова-
тельно, условия статистической устойчивости в данном случае
совпадают с условиями детерминированной устойчивости.
74.	ТЕОРЕМА О СТАТИСТИЧЕСКОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Обобщим полученный выше результат на любые линейные
системы. Пусть условия равновесия записываются в виде систе-
мы линейных уравнений:
=	(i = 1,2,..; ,п),	(915)
j=i
где К — параметр, входящий в выражения для коэффициентов ац.
Для ожидаемых значений случайных величин имеем урав-
нения:
~yt = 5 аа (W. (f = 1,2,... ,п).	(916)
/=i
13’
195
Если при этом
4/i = 0; (i = 1,2,..., л),
(917)
то отличные от нуля значения Xj получаются при равенстве ну-
лю определителя
Лц (1)	«12 (Я)	а1П
Л21 (^)	С22 (М	^2П (^)
аП1 (М	Л„2 (^) i	О’ПП (^-)
(918)
Для дисперсий получаем уже п (п+1) /2 уравнений
п п
У1Ук = ^^ ац (К) aki(^)XjXr, (i.k = 1,2,... ,п- k>i) (919)
/=11=1
с определителем п (п+1)/2-го порядка:
°11	С12	•••	2ailG12
°21	а22	• • •	2с21 С22
(920)
Ou a2i °12 ^22 • • •	(°п а21 + Qzi °2г)
Приведем матрицу коэффициентов уравнений (915)
путем преобразования подобия к диагональному виду:
Yi = at (X) Xf, (i = 1,2.л).	(921)
Поскольку при таком преобразовании величина определителя
матрицы коэффициентов не меняется, то можно написать:
п
D — ccj а2...ап = П ос».	(922)
i=l
Соответственно уравнения для дисперсий- (919) преобразу-
ются при этом к виду
YiYk = aiakX^Xk- (i,k = 1,2,..; ,л)	(923)
с диагональной матрицей коэффициентов. Определитель этой по-
следней матрицы остается равным Dlt а из уравнений (923)
легко видеть, что он равен:
Г>1= П (afCXjfe); (*>0-	(924)
i.k=l
Выпишем множители детерминанта De
	CZiOo	- •	
	СС2СС2	ССоССз •	. . СС2ССП
		а3а3 .	 - аза«
196

Каждая из величин аг- входит в число сомножителей п-|-1
раз, поэтому
Z>1 = (Ct!, сс2... с^1 = Z7I+1.	(925)
Таким образом, корни детерминантного уравнения
D = 0	(926)
и детерминантного уравнения
Dy = 0	(927)
одни и те же, только в уравнении (927) эти корни являются
п-}-1 -кратным и.
Другое доказательство этого положения основывается на
следующем. Если в системе (915) одно из уравнений представ-
ляет собой линейную комбинацию остальных, то в системе (919)
таковых будет п-|-1 уравнений и, следовательно, каждый корень
уравнения (918) является n-J-1-кратным корнем уравнения
(920). Таким образом, получим, что уравнение статистической
устойчивости по дисперсиям дает те же критические нагрузки,
что и детерминированное решение.
Доказанную теорему можно сформулировать следующим об-
разом: статистическая потеря устойчивости линейно упругой си-
стемы, заключающаяся в появлении качественно новых случай-
ных перемещений (возмущений) с неопределенной по величине
дисперсией при равенстве нулю ожидаемых значений этих пе-
ремещений возникает при тех же параметрах системы, при ко-
торых происходит обычная потеря устойчивости по средним
значениям перемещений.
Эта теорема справедлива и для нелинейных систем, если по-
теря устойчивости их происходит в виде разветвления состоя-
ний равновесия, поскольку в этом случае решающим будут бес-
конечно малые возмущения, по которым нелинейные уравнения
равновесия линеаризируются.
75.	РАСЧЕТ ВНЕЦЕНТРЕННО-СЖАТЫХ
И СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Применим вероятностный метод к расчету стержней, нагру-
женных сжимающей силой и случайными изгибающими момен-
тами. В основу положим представление о работе стержня как
упругого и разрушающегося при достижении краевыми напряже-
ниями предельного значения Одр. Кроме того, будем исходить из
упрощенного подхода к расчету сжато-изогнутых стержней, в
котором искривленная ось стержня принимается за синусоиду.
При этом сжато-изогнутый стержень сводится к системе с одной
степенью свободы, что не вносит большой погрешности в резуль-
таты расчета при обычных видах загружения и приемлемо для
практики.
197
Выведем сначала детерминистические формулы для расчета
таких стержней. При сделанных предположениях максималь-
ный изгибающий момент в стержне выражается известной фор-
мулой
м°
М~ 1 — Р/Р^ '
где М° — тот же момент, но определенный в предположении, что прогибы
стержня равны нулю; Р — осевая сжимающая сила; Ркр — эйлеровская кри-
тическая сжимающая сила
(928)
(929)
— р
I — свободная длина стержня; EJ — жесткость поперечного сечения стержня.
Краевое напряжение в расчетном сечении стержня равно:
Р М
°макс	р +
(930)
или с учетом формулы (928)
Р	М°
Омаке- р + W^_p/pKpy ’
(931)
где W7—момент сопротивления; F—площадь поперечного сечения стержня.
Введя условие
Омаке Опр,	(932)
получим расчетную формулу прочности сжато-изогнутого стерж-
ня, положенную в основу обычных практических расчетов:
Р	М°
р +	/	р/2 \ <Опр*	(933)
Этой формуле можно придать более простой вид, если ввести
следующие обозначения:
осевое сжимающее напряжение
а0 = Р/Г;	(934)
относительный эксцентрицитет приложения сжимающей си-
лы в расчетном сечении без учета прогиба стержня, отнесенный
к ядровому расстоянию сечения W/F:
М° F
т~~ PW ’
гибкость стержня
(935)
(936)
(937)
Введем также безразмерную величину
198
Подставляя эти обозначения в формулу (933), получим
ф (1 +-------------------- < 1 •	(938)
I
Обычно для практических расчетов строят график зависимо-
сти ф от X в виде семейства кривых с различными значения-
ми т.
При tn—Q зависимость (938) вырождается в прямую ф= 1.
а при
когда решающими будут уже не краевые, а осевые критические
напряжения — в гиперболу Эйлера:
Таким образом, для центрального сжатия получается идеаль-
ная зависимость, не учитывающая снижение несущей способ-
ности стержня вследствие переходного участка диаграммы ра-
боты материала между пределом упругости и пределом текуче-
сти. Это противоречит опытным данным, одна ко и в приведенной
схеме расчета всегда можно учитывать какие-то, хотя бы и
очень малые, начальные эксцентрицитеты действия осевой си-
лы, что дает качественно ту же картину, как и при учете пере-
ходного участка диаграммы работы материала.
76.	СЛУЧАЙНЫЙ ЭКСЦЕНТРИЦИТЕТ
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
К ТОРЦУ СТЕРЖНЯ
Неоднократно делались попытки приспособить формулу
(933) к расчету центрально-сжатых стержней введением в нее
некоторых нормированных значений относительного эксцентри-
цитета т. Однако при этом не учитывался случайный характер
величины т, так же как и некоторых других величин, входящих
в формулу (933). Очевидно, правильное решение можно полу-
чить только при вероятностном учете случайных эксцентрици-
тетов.
Распределение случайных эксцентрицитетов определяется ха-
рактером загружения стержня в конструкции, точностью центри-
рования и случайными искривлениями оси стержня. Кроме то-
го, могут быть случайные поперечные нагрузки, вызывающие
отклонение линии давления в стержне от его оси. При централь-
ном сжатии ожидаемое значение относительного эксцентриците-
та т равно нулю.
Рассмотрим сначала влияние случайной внецентренности при-
ложения продольной оси к торцу стержня. Эта внецентренность
199
зависит прежде всего от точности разметки и производства ра-
бот, а также от неоднородности работы торца по его площади
вследствие неодинакового сопротивления материала смятию в
различных точках, от неравномерной передачи усилия в узло-
вых соединениях.
Можно предположить, что чем больше сечение стержня, тем
больше абсолютное значение возможных эксцентрицитетов при-
ложения силы. Этому предположению отвечает наиболее про-
стой закон, согласно которому стандарт отклонения точки при-
ложения равнодействующей продольной силы в торце стержня
пропорционален размерам торцевого сечения. Поэтому примем,
что эксцентрицитет приложения продольной силы в торце равен:
ео = ар.	(940)
где р= W/F— ядровое расстояние сечения.
Так как основные размеры поперечного сечения обычно име-
ют весьма малые отклонения от средних значений, то р можно
считать детерминированной величиной.
В качестве закона распределения а естественно принять_нор-
мальный закон с центром в начале координат, т. е. при а=0.
Среднее значение абсолютной величины относительного эксцент-
рицитета а равно:
| а | = 2 [ ара (ос) da.	(941)
6
Принимая нормальный закон распределения для а, получим
о
Следует оговорить, что, кроме чисто случайных, могут быть
вполне закономерные эксцентрицитеты, обусловленные теми или
иными постоянно действующими факторами. Центр распреде-
ления таких эксцентрицитетов не равен нулю, и в этом случае
стержень следует рассматривать как внецентренно-сжатый с
возможными колебаниями эксцентрицитетов. В противополож-
ность центрально-сжатому стержню отклонения эксцентриците-
тов от их центра распределения здесь не вносят существенных
изменений в работу стержня и дают лишь сравнительно неболь-
шие количественные поправки.
77.	СЛУЧАЙНОЕ ИСКРИВЛЕНИЕ ОСИ СТЕРЖНЯ
Как показывают исследования, снижение несущей способно-
сти центрально-сжатого упругого стержня по сравнению с эйле-
ровой критической силой нельзя полностью объяснить только
200
наличием одних эксцентрицитетов приложения продольного уси-
лия. При большой гибкости стержня внецентренность приложе-
ния усилия к торцевому сечению мало влияет на его устойчи-
вость, но зато большое значение приобретают случайные незна-
чительные искривления оси, которые не существенны при малой
гибкости.
Величина случайного искривления обычно задается в виде
отношения максимального начального прогиба к длине стержня
_L = _L_	1
I 400	1000
Часто считают, что принятая величина f/l учитывает в доста-
точной степени и случайную внецентренность приложения сжи-
мающей силы. Это нельзя считать правильным. Идея совмест-
ного учета эксцентрицитета продольной силы и начальной кри-
визны впервые была выдвинута Ф. С. Ясинским, который пред-
ложил следующую формулу для расчетного эксцентрицитета в
середине длины стержня:
(943)
е — ео + f — 0» + 71.п •
/50
Правильнее устанавливать не начальный прогиб, а макси-
мальную начальную кривизну оси стержня х0, представляющую
собой разность остаточных удлинений краевых волокон А, делен-
ную на высоту h:
(944)
=	(945)
Далее можно задаться каким-либо законом изменения на-
чальной кривизны по длине стержня и устанавливать расчетный
прогиб в функции от этой длины и размеров сечения. Например,
можно взять синусоидальный закон
лх
х — х0 sin---;
(946)
тогда прогиб в середине длины стержня будет
х0/2 _ А/2
л2 л2А
Таким образом, вместо формулы (944) (Ф. С. Ясинского) по-
лучим
(947)
г	AZ2
е = е0+ f = ар-|- —- ,
nzh
откуда
е
т = — = а + РХ2,
Р
(948)
(949)
где
„ _ А/2________AJ	Az
л2Лр	л2ЛТГ	л2Л
(950)
201
(951)
z — расстояние от центра тяжести сечения до наиболее удаленного волокна;
i — радиус инерции сечения.
Величину р можно выразить через начальный прогиб f, со-
гласно (947) и (950), следующим образом:
-^=—=6—- 6=-^—.
I n2h г ' II'
Для симметричных сечений z—h!2 и
₽=-^=-L-L2L.	(952)
Н 2л2	2 I I	1 ’
Числовые значения коэффициента 0 можно оценить исходя
из обычно встречающихся начальных прогибов. Например, при
Л = 100; — = ——
I 1000
и, принимая
4—V?
i
(как для прямоугольного сечения), получим
В = —1---—	= 1,73- IO-?.
Н 1000 100
Это значение может быть принято как исходное для пред-
варительных расчетов и составления оценочных графиков. Во-
обще же коэффициент 0 должен определяться по статистическим
данным о начальных искривлениях стержней, полученных для
данного типа конструктивных элементов.
Прочие причины отклонения работы стержня от идеальных
условий центрального сжатия требуют в каждом случае своего
рассмотрения. В частности, влияние случайных поперечных на-
грузок (например, от действия ветра и пр.) может быть весьма
существенным. Однако в обычных условиях это влияние может
быть учтено соответствующей корректировкой коэффициента 0,
учитывающего начальное искривление стержня. Для этого до-
статочно к начальному случайному искривлению добавить ис-
кривление от случайной боковой нагрузки.
78.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
В основу расчета на внецентренное сжатие выше была по-
ложена формула (938), которую запишем так:
~ , ти0 ~
“Г	< Опр.
л2Е
(953)
202
Резервом прочности здесь будет величина
~ ~	—	~ п2Ес0
5 = опр — о0 — т----------—— ,	(954)
л2 £ — ОоХ2
S — функция нескольких переменных, один из которых имеют
ярко выраженный случайный характер, а другие могут считаться
детерминированными. К последним можно отнести геометриче-
ские размеры стержня и модуль упругости материала, так как
отклонения их от средних значений малы.
Для относительного эксцентрицитета т было принято выра-
жение (949)
т = а-р0Х2,
(955)
где X — детерминированная, а аи р — случайные величины, для которых мож-
но принять нормальное распределение с центром в начале координат.
Для предела прочности можно также принять нормальное
распределение с изменчивостью Лопр порядка 0,1. Осевое напря-
жение c=PJF зависит от внешней нагрузки и обычно обладает
большой изменчивостью. Таким образом, в формуле (954) име-
ются четыре случайных величины, причем одна из них, а имен-
но оо входит в формулу нелинейно. Поэтому применим здесь ме-
тод линеаризации функции случайных величин (см. п. 6).
Вычислим частные производные функции 5 по ее случай-
ным аргументам:
ЛЪр	оо0	(л2£-о0Х2)2
QS— л2 £ ст0	dS	л2£о0
да п2Е — о„1‘ '	&	п‘Е — о„Кг
(956}
Подставляя в эти выражения вместо случайных величин их
центры распределения оо, а=0 и 0=0, получим коэффициенты
линейной аппроксимации функции 5 (954), которая будет иметь
вид (71):
5 = S А (сГпр — оПр) В (сГд	С ос -J- D 0,	(957)
где
Д=1; В= — 1; С =	 D = — X2—^13^  . (958)
л2 Е —	л2 Е — о0 X2
Далее получим приближенные значения центра распреде-
ления
«S — оПр — а0
(959)
203
и дисперсии
л4Е2сг (г> гл
S = Л2 Qnp -J- В2 ст0 + С2 сс -р Р = ^пр 4^4- ,	_	va-j~^4p)-
(л2£-о0Х2)2
(960)
Отсюда определим изменчивость S
,  / гл гу	Л4Ео|	/г> глх
,	_т/ <’"₽+о»+ {п.£_5в^ (о+х‘₽) _
s *	' _____________Gup-o£_____________
= Т^]/^пр + <*2 Ь	‘96”
где
tfnp	°пр
Если распределение напряжения ст0, вызываемого внешней
нагрузкой, близко к нормальному, то и распределение S, най-
денное по формуле (957), можно считать нормальным. При этом
вероятность разрушения можно определить по характеристике
безопасности (272)
Обычно для обеспечения безопасности считается достаточным
у=3, что соответствует вероятности разрушения V=0,00135.
Подставив в формулу (961) Дв=1/у=1/3, получим уравнение,
из которого найдем требуемый коэффициент запаса
6=°5Р_	'	(964)
Со ♦
Формула прочности сжатого стержня (953) получена из ус-
ловия, что в предельном состоянии сечения предел прочности до-
стигается в крайних волокнах, находящихся по одну сторону от
центра тяжести сечения. При этом эксцентрицитеты другого зна-
ка не опасны. Однако следует иметь в виду и другое условие
прочности, при котором предел прочности достигается в проти-
воположных точках сечения.
Таким образом, имеются две возможности исчерпания несу-
щей способности стержня, причем в случае симметричного сече-
ния обе эти возможности равновероятны. Следовательно, веро-
ятность разрушения стержня симметричного сечения при уче-
те возможности появления напряжений, равных пределу
прочности, удваивается с обеих сторон сечения.
204
Чтобы достигнуть требуемой безопасности стержня симмет-
ричного сечения, нужно снизить вдвое допускаемую вероятность
разрушения его с одной стороны сечения или, что одно и то же,
уменьшить соответственно характеристику безопасности у (963).
Так, если вероятности разрушения У=0,00135 отвечает харак-
теристика безопасности у=3, то уменьшенной вдвое вероятно-
сти разрушения Р=0,00067 соответствует величина у=3,2. Сле-
довательно, чтобы добиться равной безопасности для сжатого
стержня симметричного сечения и для других элементов, рабо-
тающих с характеристикой безопасности у=3, в уравнении
(961) следует принимать величину As=l/y= 1/3,2.
Для стержней несимметричного сечения расчет получается в
общем случае более сложным. Однако при большой разнице в
расстояниях от крайних волокон до центра тяжести сечения
(что обычно бывает в практике) возможностью исчерпания пре-
дела прочности в волокнах, расположенных ближе к центру тя-
жести сечения, можно пренебречь. Это обосновывается тем, что
малые вероятности разрушения при нормальном распределении
несущей способности очень быстро убывают даже при незна-
чительном увеличении резерва прочности. В данном случае из-
менение ядрового расстояния при переходе к противоположной
стороне сечения намного уменьшает дисперсию относительных
эксцентрицитетов аир, уменьшая соответственно и величину
Zs (обратную у).
Таким образом, для большинства несимметричных сечений
можно принимать у=3, рассчитывая по меньшему ядровому
расстоянию, что обеспечивает равную безопасность сжатых
стержней симметричного и несимметричного сечений.
79.	ГРАФИКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ СНИЖЕНИЯ
ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЯ
ПРИ СЖАТИИ СТЕРЖНЯ
Решением уравнения (961) при заданных значениях аир
построены графики зависимости ф от X (рис. 107—112). Имея
в виду стальные стержни, предел прочности материала Опр в
них заменен на предел текучести от, как это делается обычно в
расчетах стальных конструкций на устойчивость.
Числовые параметры уравнения (961) для построения гра-
фиков приняты следующие.
Коэффициент
п2Е
с = -=— =8128,
ат
что соответствует модулю упругости Е=2,1-105 МПа и сред-
нему пределу текучести стали Ст.З от=255 МПа.
Изменчивость предела текучести Дат=0,1, что с некоторым
205
РИС. 107
РИС. 108
206
207
округлением соответствует результатам, полученным при ста-
тистической обработке результатов испытаний стали СтЗ (см.
рис. 20); изменчивость внешней нагрузки /ао=0.
Дисперсии относительных эксцентрицитетов а приложения
продольной силы к торцам стержня приняты равными 0; 0,01;
0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,3; 0,4 и 0,5. Направление эксцентрицитета
принято в сторону меньшего расстояния от центра тяжести се-
чения до крайних волокон.
Дисперсии начальных искривлений стержня р принимались
равными 0; 3-10~10 и 0,75-10-10, что соответствует случаю иде-
ально прямолинейного стержня и условиям, при которых стан-
дарт величины $=fz!l2 равен V3-10-5 или 0,5J^3-10“5.
Характеристика безопасности у принята равной 3 или 3,2.
При значении у=3,2 получены допускаемые напряженные со-
стояния для стержней симметричного сечения, для которых
имеется одинаковая опасность выпучивания в ту и другую сто-
рону. Значение у=3 дает допускаемые напряженные состоя-
ния для несимметричных сечений стержней, для которых опас-
но выпучивание только в одну сторону.
На рис. 107—112 для сравнения показана гипербола Эйле-
ра, определяющая критическую сжимающую силу для идеаль-
но центрированного и совершенно прямого стержня. Влияние
искривления оси сказывается главным образом в правой поло-
вине графиков, т. е. при большой гибкости стержней, а влияние
внецентренного приложения осевой силы — в левой части, где
значения X малы.
80.	ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО РАСЧЕТА
СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Если продольная сила и граничные условия детерминиро-
ванные, а поперечная нагрузка и сводящиеся к ней начальные
искривления случайные функции длины стержня, то уравнение
(901) для изгибающих моментов можно решать одним из сле-
дующих методов.
1.	Метод прямого интегрирования. Запишем уравнение
(902) в виде
LxM(x) = -q(x),	(965)
где
д2	Р
Lx = ~ + k2-. k*= — .	(966)
дх2	EJ
Тогда связь между корреляционными функциями для /И(х)
и q(x) выразится формулой
Lx, ч М (Хг *.) = -? (*г *2)	(967)
206
или в развернутом виде
[д4	/ д2	д2 \	1
~+*г ТТ + — +Л4 И(х1,х2) = -<?(х1,х2).	(968)
дх~дх?	\дх~	ду-j	]
Граничные условия для Л1(хь х2) при шарнирном опирании
концов стержня можно записать следующим образом:
М (0, х2) = М (xt, 0) = 0; М (Z, х2) = М (xn I) = 0;
гч	гч о	(969)
М (0, 0) = М (0); М (I, 1) = М (Z) = 0.
В этом случае корреляционная функция Л1 (хь х2) обраща-
ется в нуль на квадратном контуре, изображенном на рис. 113.
Дифференциальное уравнение (968) можно интегрировать раз-
ными способами, например методом конечных разностей.
2.	Применение интегральных операторов. Представим ре-
шение уравнения (901) так:
I	X
М (х) = С~sin— -4“ f q(0 sink (x — t) dt, (970)
k sin kl J	kJ
0	0
удовлетворяющем граничным условиям M (0) —М (Z) =0. Тог-
да уравнение для корреляционной функции получим двухкрат-
ным применением оператора, стоящего в правой части (970),
к корреляционной функции q(xit х2); первый раз по перемен-
ной хь а второй — по переменной х2. Будем иметь:
i i
sin kxi sin kxo C C
Л1 (x,, x2) =	. —'  I I q (tx, Z2) sin k (I — tx) sin k (I — Z2) dtx dt2 —
ft“Sin2«Z J J
о о
l xt
~~ ^n~XL‘ f f Я (Zi ’ sin k <! — Z2>sin k ~ Zi> dZidZs “
k~sinkl J J
о о
l Xi
— 7^kX\; f f Я (Л -	sin k (I — Zt) sin k (x2 — Z2) dtidtz +
ft-sinftZ J J
о 0
+ ~~ j J q (Zi, Z2) sin k (X! — /,) sin k (x2 — Z2) dtxdt2.	(971)
0 0
3.	Разложение по формам потери устойчивости. Пусть
(jpi(x); (t= 1, 2, ...) функции, выражающие формы потери устой-
чивости стержней, т. е. удовлетворяющие уравнению
(*) + с. (р. (х) = 0; (Z= 1,2,...),	(972)
14—508
209
где а — константы, подчиняющиеся заданным однородным гра-
ничным условиям для М(х). Тогда, представив q(x) и М(х) в
виде рядов:
q (х) = 2 ai (х) = 2 Ф» (*) *
(973)
где аг и b i — случайные коэффициенты, придем к решению ал-
гебраических уравнений
(—с£ + Л2)5-Ь^ = 0; (i=l,2,...),	(974)
откуда
(975)
Корреляционная функция Л1(хь х2) при этом будет равна:
М (Xi, х2) = 2 2 bt bj (*) Ф # (*> =
I 1
а. а.
---—------------Ф; (*) Ф< (*)
— Л2)(с7-Л2)----1	7
(976)
или, если коэффициенты яг- независимые случайные величины—
Л? (xj, х2) =	Ф? (*)♦
(977)
4.	Могут быть применены также метод Бубнова, метод
Треффца, метод коллокаций и другие известные методы реше-
ния дифференциальных уравнений.
Найдя тем или иным методом корреляционную функцию
для моментов и положив в ней xi=x2=x, получим дисперсию
моментов как функцию х. Принимая приближенно распреде-
ление моментов нормальным, можно с заданной обеспеченно-
стью определить максимальный момент в любом сечении стер-
жня по формуле	___
М.,акс (х) = М (х) + V Ум (х) ,	(978)
где Л4(х)—ожидаемое значение изгибающих моментов, полученное нз реше-
ния детерминистического уравнения; у — характеристика безопасности.
Рассмотрим теперь случай, когда сжимающая сила Р явля-
ется случайной величиной. При этом целесообразно свести за-
дачу расчета сжато-изогнутого стержня к системе с конечным
числом степеней свободы. Например, применяя метод Бубнова
с одной аппроксимирующей функцией
Л4 (х) = И* (х); q (х) = аф (х),	(979)
210
РИС. 117
после подстановки (979) в урав-
нение (901) и осреднения по Буб-
нову получим:
i
j IX (ф* + ^ф ) + аф ] ф<& = °; я =
о
РИС. 114
РИС. 116
РИС. 118
(980)
откуда
~ а
Ь = а--“
₽-My
(981)
14;
211
где
i	i	i
a = — [ cppdx; ₽ = [ q>"q>dx-, у = f q>2dx.	(982)
о	b	b
Далее можно применить метод линеаризации по А, полагая
приближенно
а	а
₽ + Лу	р + Ау+(А— Л) у
_ а Г _ (л — А) у 1 = а (р —ул)
Р + Лт L Р + Лт J (р + тЛ)2
и
b = а с\
— а(р — ул)
С~ (Р + тЛ)2 ’
(983)
(984)
Считая а и А (а следовательно, а и с) независимыми слу-
чайными величинами, находим
b = ac; b = а с + а с2 -f- с а~2.	(985)
Другим методом является метод малого параметра, приме-
нимый при малых изменчивостях А и q. Положим:
Л = Л+1; q = q +	М = М + р,	(986)
где £, £ и [л — малые случайные функции х (EJ здесь тоже можно считать
случайной функцией EJ(x) с малой изменчивостью). После подстановки
(986) в уравнение (901) получим
(л< + ?)"+(л+1)(лЦ-р)+?+£= 0.	(987)
Учитывая, что
М"-|-л7Й-й=0,	(988)
и пренебрегая величинами высшего порядка малости, придем
к уравнению
(?+л17=м1-Г	(989)
Так задача свод!!тся к решению уравнения с детерминиро-
ванным параметром А и заданной случайной правой частью.
81.	НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
И ПРЕОДОЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАРЬЕРА
В системе с одной степенью свободы переход из устойчиво-
го в неустойчивое состояние и обратно прослеживается по кри-
вой состояний равновесия, изображающей зависимость между
212
величиной внешнего усилия и параметром перемещения систе-
мы (рис. 114). Обычно восходящие участки этой кривой соот-
ветствуют устойчивым состояниям равновесия, а нисходящие —
неустойчивым. Точки с горизонтальными касательными отве-
чают критическим состояниям, разделяющим устойчивые и не-
устойчивые состояния равновесия.
Если внешняя сила Q случайная, то вероятность потери ус-
тойчивости системы V определяется вероятностью перехода си-
лы Q через критическое значение QKp:
(990)
Этот переход часто называют преодолением энергетическо-
го барьера системы, каковым является вершина кривой состоя-
ний равновесия. После преодоления энергетического барьера
система или разрушается (рис. 115) или происходит перескок
на следующую восходящую ветвь кривой состояний равновесия
(рис. 116). Случай, изображенный на рис. 115, соответствует
поведению внецентренно-сжатого стержня, работающего за
пределом упругости материала. Кривая на рис. 116 характерна
для поведения пологих арок и оболочек (рис. 117), где может
происходить «прощелкивание» в новое состояние равновесия.
В некоторых случаях высота энергетического барьера быва-
ет бесконечно большой. Возьмем, например, жесткий призма-
тический брус, свободно опирающийся торцом на жесткое го-
ризонтальное основание и нагруженный центрально приложен-
ной вертикальной силой Q на верхнем торце, а также собст-
венным весом G (рис. 118). Зависимость между углом наклона
бруса ф и силой Q для состояний равновесия имеет вид:
Q (h sin ф —	cos ф j + G	sin ф — -у- cos Ф j = 0	(991)
и представляет собой условие
равенства нулю суммы момен-
тов всех сил относительно точ-
ки А поворота бруса.
Из равенства (991) находим
b	h .
---COS Ф —---Sin Ф
Q 2	2
G = L . b
h sin ф — — cos ф
b— A tg ф
2ft tg ф — b
213
b
РИС. 120
ИЛИ
QT ₽ —у
(992)
где
p = b/ft; y = tgq>. (993)
Зависимость между Q/G и -у имеет вид гиперболы, показан-
ной на рис. 119. Если Q может принимать только положитель-
ные значения, то равновесие бруса (и притом неустойчивое)
возможно только в пределах изменения р/2с*у<ср (а также
устойчивое при у=0). Участок 0<у<С₽/2 соответствует энер-
гетическому барьеру, для преодоления которого сила Q долж-
на перейти через бесконечность. Очевидно, что в данной поста-
новке задача о потере устойчивости системы, находящейся в
начальном неотклоненном положении, не может быть решена.
Решающую роль здесь должны сыграть не отклонения в
значениях силы Q, а возмущения иного характера. Таким воз-
мущением может быть, например случайная горизонтальная
сила Я, приложенная в точке В (рис. 120).
Легко подсчитать, что значение силы Я, равное
W = (G+Q)-^-.	(994)
Z/г
уравновешивает момент от вертикальных сил относительно
точки А. При
происходит опрокидывание бруса, причем по мере увеличения
тангенса угла наклона v=tg<p уменьшается удерживающий
момент от вертикальных сил и увеличивается опрокидываю-
щий момент, вызываемый силой Я. Следовательно, равновес-
ное состояние, удовлетворяющее уравнению (994), неустойчи-
вое.
Граница, отделяющая неустойчивые состояния равновесия
в плоскости координат Я/G, Q/G, показана на рис. 121. Если
силы Я и Q случайные и имеют совместную функцию распре-
деления Phq(H, Q), то вероятность потери устойчивости будет
Г = f J Phq № ’ Q) ^HdQt	(996)
° <g+Q) -f-
214
Чем меньше отношение	тем больше область, по ко-
торой следует брать интеграл в правой части (996), и тем
больше вероятность потери устойчивости
Так решается задача о преодолении энергетического барье-
ра в данном случае. Ясно, что при детерминированном /У, мень-
шем, чем G(p/2), она не может быть решена.
ГЛАВА IX
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЕРОЯТНОСТНОГО
РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ
82.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ
ОБЕСПЕЧЕННОСТИ ИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СООБРАЖЕНИЙ
В предыдущих главах предполагалось, что найденная веро-
ятностными методами обеспеченность конструкции или элемен-
та конструкции может быть сопоставлена с некоторой допусти-
мой для данного класса конструкций обеспеченностью, уста-
навливаемой нормативным путем. Однако переход от волевого
назначения коэффициента запаса к вычислению этого коэффи-
циента по заданной обеспеченности не лишает субъективности
нормирования расчетных характеристик и имеет лишь то пре-
имущество, что вероятность разрушения или обеспеченность
легче поддается интуитивной оценке, чем коэффициент запаса.
Между тем цель расчета конструкций — не достижение неко-
торой интуитивно назначенной обеспеченности, а наиболее вы-
годное использование материалов и денежных средств, отпу-
щенных на строительство.
При разработке оптимизационного подхода к расчету соору-
жений вовсе не следует стремиться к равной обеспеченности
всех сооружений, конструкций и элементов конструкций. Оче-
видно, что разные сооружения и элементы имеют различную
ценность сами по себе, а разрушение или повреждение их при-
водит к разным последствиям, начиная от легко устранимых
и кончая катастрофическими. Поэтому малоответственные и де-
шевые конструкции требуют меньшей обеспеченности, чем кон-
струкции, имеющие большую ответственность.
Естественным подходом к установлению оптимальной обес-
печенности является экономический критерий минимума затрат
на первоначальные возведения конструкции плюс математичес-
кое ожидание ущерба от возможных повреждений и разруше-
ний в течение срока службы сооружения. Следует с самого на-
чала оговориться, что не всегда ожидаемый ущерб может быть
выражен в денежных единицах. Этот вопрос ниже будет рас-
смотрен особо.
215
В сооружениях с чисто экономической ответственностью,
т. е. таких, повреждения которых не вызывают других послед-
ствий, кроме денежных убытков, связанных с необходимостью
восстановления или ремонта, вызванных временным прекра-
щением эксплуатации сооружения и т.п. — оптимальная на-
дежность находится из условия:
с = Со + S Vi &i = мин,	(997)
где Со — первоначальная стоимость возведения сооружения; V, — вероятность
отдельных повреждений; — ущерб, вызванный каждым повреждением; С —
суммарные ожидаемые расходы на возведение сооружения и на возмещение
ущерба от возможных повреждений и разрушений.
Аналитически условие минимума С выразится системой
уравнений:	____
дС дСо ХЧ / dVi	дУi \
---=	1- У,	Уг + К--1=0.	(998)
dV. dV.----------------------------------------dV. dV. )	1
В частных случаях эта система уравнений упрощается. На-
пример, если вероятность каждого повреждения не зависит от
вероятности других повреждений, то (998) примет вид
(989)
Если, кроме того, размеры убытков (или ущербов) У< не за-
висят от вероятности повреждения, то получим
^- + 2У, = 0.	(1000)
Уравнение (1000) можно применять тогда, когда размер
убытков значительно превышает стоимость восстановления со-
оружения. Для нахождения минимума С можно также прирав-
нивать нулю производные от С не по вероятностям У3-, а по
любым иным параметрам, от которых зависит величина С; на-
пример, по размерам сечений элементов конструкций
83.	ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗРУШЕНИЯ
ОДНОГО ЭЛЕМЕНТА
Будем рассматривать возможность только одного вида раз-
рушения, например потери прочности стержня или балки.
Ущерб при этом разрушении выразим в виде
y = B4-pF,	(1001)
где В — убытки, не зависящие от размеров сечения элемента; 0F — убытки,
связанные с восстановлением элемента и пропорциональные площади F его
поперечного сечения; 0 — некоторый постоянный коэффициент.
Точно так же первоначальную стоимость возведения Со
представим в форме:
C0 = X+aF,	(1002)
где Лиа — постоянные величины.
216
Уравнение (999) примет здесь вид
dCn	дУ
1Г+У+Г1Г = О-	(,003)
Подставив в него значения У (1003) и Со (1002), получим
(« + BV)	+ В + pF = 0,	(1004)
ау
так как В и Л не связаны с вероятностью разрушения V, яв-
ляющейся функцией площади поперечного сечения F.
Рассмотрим сначала случай простого разрушения. Резерв
прочности S (252) будет
S = F7— N,	(1005)
где г — предел прочности материала; N — усилие, вызываемое внешней на-
грузкой.
Вероятность разрушения V (270) равна:
y = Ps(0),	(1006)
где Ps — интегральный закон распределения S. Величина V
может быть найдена также интегрированием совместной плот-
ности распределения вероятностей ргм по области, показанной
на рис. 122 штриховкой:
может быть изображена в
клином, показанным на
ОО ОО	ОО N/P
V = ^prNdNdr=\ f prNdrdN.	(1007)
0 rF	0 0
Производная dV/dF равна:
57 = - f 'PrN ('•• ’F) dr = —± J NprN {y-.NjdN.	(1008)
о
Область интегрирования для dV
плоскости координат г, V узким
рис. 122.
Подставив (1008) в (1009),
получим
а+ ₽|/= (В+ ₽F) \rprN(r, rF)dr (1009)
о
или	’
a + ₽V= -^-(B + pF) У NprN(y- , NjdN.
0
(1010)
При независимых распределениях
нагрузки и предела прочности
PrN =Pr(r)PNW-
217
будем иметь
а +	= (В + pF) f rpr (г) pN (rF) dr
b
(1011)
или
а + ₽V = у (В + ₽F) J Npr (y) pN (N) dN.	(1012)
0
Решив эти уравнения, получим оптимальные размеры сече-
ния F и затем по формуле (1007)—оптимальную надежность
1—V. В общем случае такой метод решения громоздок. Для
случая нормальных распределений г и N можно применить
иной метод. Согласно формуле (1005) можно написать
S = Fr — N-
S = F*r+ Nt
(1013)
При нормальном распределении г и N распределение
S также будет нормальным. Следовательно,
ps (S) = -у+ф (^7^) •
\ s /
где
I	—х2
Ф (х) =—- | ехр——- dx.	(1015)
/2л J 2
о
В соответствии с (1006)
г=у+ф^л^=у+Ф(-т) = -^—Ф(Т).	(1016)
где у — характеристика безопасности, равная согласно (276)
? =(1017)
S V F4-+N
Теперь можно найти производную
= dV_ dy = _ Nr+NrF
dF dy dF W ( r. M3/2
\F2r+A/J
(1018)
и после подстановки ее в (1004) уравнение для определения
оптимального F примет вид:
о ( ^-N A Nr + NrF (В .	(1019)
а-|-ру = ф' [ d—--------- /	хз/21	'
F2r + N J \F*r + N)
218
Здесь
Ф' (х) =	г ехр —— .
У2л 2
В уравнении (1004) площадь F можно выразить через ко-
эффициент запаса
. (1020)
Это уравнение не трудно решить относительно коэффици-
ента запаса £ численным методом. Возьмем, например: AN=
=0,3; Дг=0,1; а=р; В/р=200; г=20 кН/см2; Й=200 кН.
При этих числовых данных уравнение (1020) после сокраще-
ния на р будет таким:
1,5 — Ф f -	----=
0,01£Ч-0,09/
0.01Е2 4-0,091	/ В—1	\
-(200+100 (0.ш^ + 0109)з/2
Подбором с использованием таблиц функций Ф и Ф' получим
£=1,88 и
у =--- 1	= 2,48; V = 0,0066; 1 — V = 0,9934.
]/’»h2+4
Для изгибаемых элементов вместо (1005) надо взять:
S = w7— м = pF?— м,	(1021)
где IV — момент сопротивления сечения; р — ядровое расстояние WIF-, М —
изгибающий момент в расчетном сечении от внешней нагрузки.
Здесь можно различить несколько способов изменения сече-
ния в целях экономической оптимизации.
1.	Сечение изменяется только в ширину. При этом р будет
постоянным.
2.	Сечение изменяется только в высоту. При этом р про-
порционально F и
IV = vF2, где v = IV/F2 = const.	(1022)
219
3.	Сечение изменяется одинаково во всех направлениях.
При этом р пропорционально У7 и
W = pF3/2, где р = ITF"3/2 = const.	(1023)
4.	Тонкостенное сечение изменяется одинаково во всех на-
правлениях с сохранением толщины стенки. Здесь F пропор-
ционально р и, следовательно, справедлива формула (1022).
Все эти случаи можно описать одной формулой для момен-
та сопротивления сечения
=	(1024)
где х может принимать значения 1; 2; 3/2; /^ — постоянный коэффициент,
имеющий размерность длины в первой, минус первой и нулевой степени соот-
ветственно.
Для первого случая при изменении сечения только в шири-
ну (х=1) &=/zi = p. Особый случай может быть тогда, когда
сечение типа идеального двутавра (с нулевой толщиной стен-
ки) изменяется увеличением расстояния между поясами. При
этом площадь F остается постоянной и оптимизацию по ней
провести невозможно.
Далее из (1021) и (1017) найдем характеристику безопас-
ности
и производную
dV dV dy
dF ~ dy dW
dW
dF
= -Ф'(Т)
M7 + MrW
,3/2^xx F*
(1026)
Определяя коэффициент запаса для изгибаемых стержней

rW
м
(1027)
получим прежнее выражение у с заменой индекса 7V на ин-
декс Af
у 1-В
I
(1028)
и производную
dv
2Г = -ф'^
(^чЧ<)3/2
&xxFx
(1029)
220
Окончательно получаем уравнение, аналогичное уравнению
(1020):
применимому для случая нормальных распределений М и г.
84. УЧЕТ ВОЗМОЖНОСТИ ПОВТОРНЫХ ОТКАЗОВ
Расчет с использованием уравнений (1020) и (1030) может
дать оптимальные значения надежности 1 -V намного меньшие
единицы. При этом следует учесть возможность повторных от-
казов в течение заданного срока службы сооружения. Здесь
возможны различные условия возникновения отказов и восста-
новления сооружений.
Рассмотрим случай, когда отказ может произойти сразу
под действием приложенной нагрузки, которая при отсутствии
отказа в дальнейшем сохраняет свою величину. После отказа
и восстановления конструкции вторичный отказ происходит с
той же вероятностью, как только будет возобновлено действие
нагрузки. Обозначая вероятность отказа при первом загруже-
нии через V, получим, что вероятность двух отказов равна U2,
вероятность трех — У3 и т. д. Математическое ожидание потерь,
вызванных всеми возможными отказами, в данном случае
равно;
У(У+У2 + У’+-) = Уу^р-,	(1031)
где У — ущерб, вызываемый каждым отказом в отдельности.
Условие экономической оптимальности конструкции при
этом будет
_	V
с - со + У------— мин,	(1032)
где Со — первоначальные затраты на возведение конструкции.
В результате дифференцирования по V имеем
dC0 V dy __У
dV +1— V dV~~ (1 —V)2
(1033)
Подставив в это выражение зависимости Со и У от площади
сечения элемента (1001) и (1002). Получим:
dF ь V dF B + PF
dV ‘ 1— V ^(1 —V)2
\-V (l—V)2dF
(1034)
221
При подстановке в (1034) выражения для производной
dVjdF (1008), получим уравнение для определения оптималь-
ной обеспеченности, пригодное при любых распределениях
прочности и нагрузки.
Для нормальных законов распределения нагрузки и проч-
ности растянутого стержня можно использовать выражение
(1013). Подставляя его вместе с выражением (1016) для V в
уравнение (1031), получим:
_ ,,, i п (ВД
-у+Ф(у)	[—+ ф(у)]
или
а [4" + ф Ю У + ₽ [“Г “ °2 (Т)] “ Ф'(Т)(В +	7	= °- (1036)
Введем сюда коэффициент запаса по формуле
l=yFIN.	(1037)
Тогда имеем
[1 Т2 Г 1	1
— 4-Ф(у)]	— ф2(у)] —
-Ф' (у) (в+ ₽-т-Е ) (а2, + А2 е) N2~r = 0.	(1038)
Вместе с выражением
?— 1
У =--- (1039)
У A2N+A21?
уравнение (1038) составляет систему, решая которую можно
определить оптимальные значения £ и у.
Следует заметить, что в большинстве случаев вероятность
отказа мала и переход к уточненной системе уравнений (1038),
(1039) почти не дает повышения точности результатов по срав-
нению с более простым уравнением (1020).
85.	ОТКАЗЫ, ПРОИСХОДЯЩИЕ ВО ВРЕМЕНИ
Если нагрузка представляет собой случайною функцию вре-
мени, то отказ возникает при выбросе этой функции выше неко-
торого уровня и может произойти в любой момент времени.
Интенсивностью отказов или временной плотностью их вероятно-
сти и называется вероятность появления отказа в период вре-
мени от t до t-^dt, поделенная на dt. Для стационарных про-
цессов нагружения величина и не зависит от времени и может
быть определена по формуле (222).
222
Вероятность того, что отказ произойдет до момента време-
ни /, выражается формулой (343)
V(/)=l—ехр[—[u(/)d/j ,	(1040)
а при постоянном и
V (/) = 1 _ e-ut.	(1041)
Разброс прочностных свойств приводит к дополнительной
возможности разрушения или отказа сразу после введения в
строй элемента конструкции. Обозначим эту вероятность через
Vo- Тогда формула (1040) получит вид:
V (/) = 1 — (1 — Vo) ехр	f и (0 dt j ,	(1042)
а при постоянном и
V(0 = l-(l-Vc)e-‘'/.	(1043)
Переходя к экономической оценке потерь, вычислим ожи-
даемый ущерб от возможного отказа в период времени от t до
аУ = Уи(1),	(1044)
Сюда следует ввести еще коэффициент, учитывающий же-
лательность отдаления затрат на более дальнее время. Этот
коэффициент согласно установкам финансовых органов прини-
мается равным
”=(7Т5-Г’	<104S)
где п — число лет; Е — относительное накопление на основной капитал (нор-
ма 8% в год).
Интерполируя зависимость (1045), получим для коэффици-
ента отдаленности затрат следующее выражение:
Ч(0 = е-е',
(1046)
где е =—:—; е — коэффициент, имеющий размерность 1/год и вычисляемый
1+£
по формуле
е = 1п(1 + Е).	(1047)
С учетом коэффициента отдаленности затрат выражение
(1044) приобретает вид:
dy =«(/) е~е<У4	(1048)
Математическое ожидание ущерба за период Т лет опреде-
ляется выражением
[т	4
[‘u(0e-e<d/-}-Vo ,
b	J
(1049)
223
а при постоянной интенсивности отказов
y = yjvo + y(l-e-e,)j.	(1050)
Подставим это выражение в условие экономической опти-
мальности конструкции
Со + У = мин	(1051)
и будем варьировать размеры сечения элемента или функцио-
нально связанные с ним величины Vo и и. Получим
dF dF [ е	J [аг dF е J
86.	ОПТИМИЗАЦИЯ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВОЙ
КОНСТРУКЦИИ И БАЛКИ
МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА
Если ферма сконструирована «равнопрочно», т. е. напряже-
ния в каждом ее элементе под действием заданной нагрузки
имеют одну и ту же величину, то всю ферму можно рассмат-
ривать как один обобщенный элемент, у которого роль попе-
речного сечения F играет теоретический объем Z, определяемый
по формуле
(1053)
где Fi — необходимое поперечное сечение i-го стержня: — длина t-ro стерж-
ни; г — предельно допустимое напряжение, одинаковое для всех стержней;
п — число стержней в ферме.
Начальную стоимость Со и ущерб У, по аналогии с (1002)
и (1001), здесь можно считать линейно зависящими от Z:
Со —Л-f-aZ; y = B + ₽Z.	(1054)
При этом решение задачи оптимизации будет таким же,
как для одного растянутого стержня, но с заменой N на
X=2|Wt-| it.
(1055)
Если прочность стержней на сжатие отличается от их проч-
ности на растяжение, то к усилиям Ni для сжатых стержней
вводится дополнительный множитель, равный отношению ожи-
даемой прочности па сжатие к ожидаемой прочности на рас-
тяжение (предполагая одинаковую изменчивость прочностей при
сжатии и растяжении). В первом приближении таким образом
может быть учтено влияние продольного изгиба в сжатых стер-
жнях.
224
Для балки минимального веса, у которой момент сопротив-
ления W в каждом сечении пропорционален моменту от внеш-
ней нагрузки
Н7(х)=-^-^-,	(1056)
теоретический объем на основе (1024) определяем по формуле
(1057)
где / — длина балки.
Здесь роль F, как и в случае фермы, играет Z (1057), а
роль W — величина
(1058)
87.	СЛУЧАИ НЕЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ
Часто возможные разрушения или повреждения сооруже-
ний в целом и его элементов могут быть причиной человеческих
жертв или травм, а также неоценимых потерь художественных,
исторических ценностей и т.п. Необходимо также считаться с
психологическими последствиями возможных аварий. Все это
не поддается экономическим подсчетам и выражению убытков
в денежной форме, так что вышеприведенные оптимизацион-
ные расчеты здесь кажутся абсолютно неприменимыми. Име-
ется, однако, точка зрения, позволяющая в некоторых случаях
свести неэкономический ущерб к экономическому введением
стоимостного эквивалента. Например, ряд авторов за рубежом
вычисляли из разных соображений и предлагали определенные
цифры «стоимости человеческой жизни», которую можно было
бы ввести в оптимизационный расчет вероятности разрушения.
Очевидно, что такой подход слишком примитивен и вызывает
естественное чувство протеста. Тем не менее нельзя целиком
и безоговорочно отвергать идею экономического эквивалента
по следующим соображениям. Предположим, что будет найден
правильный и не вызывающий возражений способ оптимиза-
ции надежности сооружений при неэкономическом ущербе;
тогда к рассчитанным по этому методу сооружениям можно
применить обратным путем метод экономической оптимизации
и получить экономический эквивалент потерь, соответствующий
полученной величине надежности. Обратному подсчету можно
подвергнуть и существующие сооружения. Так можно опреде-
лить условный экономический эквивалент, который бессозна-
тельно и интуитивно вводился строителями в разные времена
15—508
225
для сооружений различной ответственности. Конечно, этот эк-
вивалент будет зависеть от различных факторов, многие из
которых ничего общего не имеют с инженерным делом.
Как бы то ни было в практических расчетах для сооруже-
ний с неэкономической ответственностью на ближайший пери-
од применения вероятностных расчетов придется какие-то ве-
личины нормировать волевым порядком. Это будет либо задан-
ная обеспеченность, т.е. вероятность неразрушения, либо не-
который условный экономический эквивалент ожидаемым поте-
рям.
88.	ПОСТЕПЕННЫЕ ОТКАЗЫ
Чаще всего нарушение нормального состояния конструкции
происходит не сразу после однократного превышения нагрузкой
определенного уровня, а постепенно, в результате непрерывного
ухудшения качества сооружения, накопления повреж-
дений, нарастания неудобств и потерь в эксплуатации. Приме-
ром может служить второе предельное состояние, ограничива-
ющее деформативность конструкций и не имеющее четких гра-
ниц. Так, если прогиб перекрытия достаточно мал, то он не
вызывает потери качества сооружения (например, появления
потолочных трещин); при увеличении прогиба могут возник-
нуть повреждения или известные неудобства, наличие которых
можно попытаться выразить в стоимостной форме. В этом слу-
чае правильнее будет говорить не об отказе как мгновенном
переходе в новое состояние, а о континууме состояний, харак-
теризуемых параметром f (прогибом); причем каждому значе-
нию этого параметра отвечает определенное значение потерь
Л = /С(Л-	(1059)
Обозначая плотность распределения прогиба через р/, полу-
чим математическое ожидание потерь:
У = \K(f)Pf(f) df.	(1060)
о
При значениях прогиба, больших некоторой предельной ве-
личины fnp, происходит разрушение, вызывающее большие по-
тери У1 с математическим ожиданием
У1 = У| f Pf(f)df = У, (t-Pf(fnp)]=y,Vi.	(1061)
^пр
где
V^l-Pftfnp).	(1062)
Эти потери можно считать входящими в выражение (1060),
а можно учитывать отдельно, исключая их из функции K(f).
226
В последнем случае вместо основной формулы экономической
ответственности (997) получим
с =C0+2V< У{ 4- 2 [ Kl (Xf) pXi(Xi) dXi = МИН;	(1063)
b
Если же ущербы У, включить в функцию	полагая
последние в общем случае разрывными, то (1063) примет вид
С = Со + 2 [ Ki (х/) pXi (Xf) dxt = мин,	(1064)
b
где Xi (t=l, 2, 3, ...) параметры различных постепенных отказов, возможных
для данного сооружения.
В общем случае ожидаемый ущерб, значение которого пред-
ставлено вторым членом в правой части формулы (1064), можно
выразить функцией
У = У (at, д2. * • •» ап> Ь2,..., Ьп),	(1065)
которую назовем функцией ущерба.
Здесь at случайные параметры, определяющие состояние
конструкци, а именно: величины нагрузок, прочностные и гео-
метрические характеристики и прочие, влияющие на качество
конструкций и вызывающие снижение их стоимости. Эти пара-
метры являются случайными величинами или экстремальными
значениями случайных функций за заданный срок службы со-
оружения.
В функцию (1065) входят также детерминированные величи-
ны определяющие размеры конструкции и первоначальные
затраты на ее возведение. Задача расчета — установить опти-
мальные величины bit исходя из условия минимума полных за-
трат С=С04-У.
В частном случае двух случайных параметров а\ и зави-
симость (1065) можно представить геометрически на плоскости
15<
227
координат alt а2 линиями равного ущерба y=const (рис. 123).
В некоторой области малых значений щ и а2, ограниченной на
рис. 123 жирной линией, ущерб У можно считать равным нулю.
Так как параметры af — случайные величины, то каждой точке
пространства состояний (tzi, а2 ...ап) соответствует определен-
ная плотность вероятности
Pa = Pa(al,	ап),	(1066)
В случае двух случайных переменных функция ра(аь а2)
может быть изображена на плоскости щ, а2 линиями равных
плотностей вероятности (рис. 124).
Общий ожидаемый ущерб получится интегрированием про-
изведения У ра по всей области возможных состояний системы:
У = f J •• • Jy(ai, a2,..., an)Pa(ai- a2,..., an) da{daz dan (1067)
(n раз)
При двух случайных параметрах
У = [ J У (fli, a2) Ра (flu a^dc^da*	(1068)
Этот интеграл можно найти численно, налагая одна на дру-
гую функцию У и ра, изображенные на рис. 123 и 124.
После определения ожидаемого ущерба^ задачу оптимизации
детерминированных параметров bit которыми могут считаться
геометрические размеры, модули упругости и другие величины
с малой изменчивостью, можно решить обычным способом на-
хождения минимума.
В данной методике затрудение вызывает вычисление функ-
ции ущерба (1065). Для практических целей на ближайший пе-
риод времени можно предложить следующее приближенное ре-
шение задачи. Для каждого вида сооружений устанавливается
классность, например от нулевого до четвертого. Нулевой класс
включает особо важные и уникальные сооружения. К четвер-
тому классу можно отнести временные сооружения. Каждый
класс определяет соответствующие требования в отношении ка-
чества работ, ограничения деформаций, отсутствия трещин ит.д.
В соответствии с этим для каждого класса устанавливается
своя цена конструкций и их элементов в готовом неповрежден-
ном виде. Если при некоторых значениях случайно-переменных
параметров в сооружении появляются дефекты, которые ухуд-
шают класс сооружения, то возникающий при этом ущерб легко
подсчитать по разнице в ценах, т. е. происходит своего рода
уценка. Функция ущерба (1065) в этом случае приобретает сту-
пенчатый вид и разграничивается в пространстве состояний ги-
перповерхностями, разделяющими классы между собой.
Для оценки ущерба, вызванного разрушениями, т. е. боль-
шими потерями, вводятся уже иные классы в соответствии с воз-
228
можными последствиями разрушений; причем для каждого та-
кого класса цена ущерба оценивается и нормируется заранее.
При таком подходе практическое решение задачи оптимиза-
ции сильно упрощается. Однако требуется большая предвари-
тельная работа по нормированию ущербов, вызванных повреж-
дениями и разрушениями сооружений различного класса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Анапольская Л. Е., Гандин Л. С. Методика определения расчетных ско-
ростей ветра для проектирования ветровых нагрузок на строительные соору-
жения. — «Метеорология и гидрология», 1958, № 10.
2.	Балдин В. А., Гольденблат И. И. и др. Расчет строительных конструк-
ций по предельным состояниям. М., Стройиздат, 1951.
3.	Барштейн М. Ф. Воздействие ветра на высокие сооружения. — «Строи-
тельная механика и расчет сооружений», 1959. № 1.
4.	Барштейн М. Ф. Воздействие ветра на здания и сооружения. — В кн.:
Нагрузка и надежность строительных конструкций. Труды ЦНИИСК, вып. 21.
М., 1973.
5.	Беляев Б. И. Статистический метод определения нормативных напря-
жений для стальных конструкций.— «Строительная промышленность», 1954
№ 3.
6.	Беляев Б. И. Статистический метод расчета железобетонных конструк-
ций.— «Строительная промышленность», 1957, № 8.
7.	Беляев Б. И. Еще раз о статистическом методе расчета строительных
конструкций. — «Промышленное строительство», 1965, № 11.
8.	Беляев Б. И. О совершенствовании метода расчета строительных конст-
рукций.— «Строительная механика и расчет сооружений, 1974, № 5.
9.	Беспрозванный И. М., Соколов А. Г., Фомин Г. М. Воздействие ветра
на высокие сплошностенчатые сооружения. М., Стройиздат, 1976.
10.	Благонадежин В. Л., Москаленко В. Н. Изгиб многопролетных квази-
регулярных балок со статистическими характеристиками. — «Строительная
механика и расчет сооружений», № 2.
11.	Болотин В. В. Статистические методы нелинейной теории упругости
оболочек. — «Известия АН СССР», ОТН, 1958, № 3.
12.	Болотин В. В. Изменчивость пределов прочности хрупких материалов
и ее связь с масштабным фактором. — «Строительная механика и расчет соо-
ружений», 1969, № 4.
13.	Болотин В. В. О сочетании случайных нагрузок, действующих на со-
оружения. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1962, № 2.
14.	Болотин В. В. Об упругих деформациях подземных трубопроводов,
прокладываемых в статистически неоднородном грунте. — «Строительная ме-
ханика и расчет сооружений», 1965, № 1.
15.	Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. М.,
Стройиздат, 1961, (1-е изд.) 1965, (2-е изд.)
16.	Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории на-
дежности в расчетах сооружений. М., Стройиздат, 1971.
17.	Булычев А. П. Надежность конструкций с конечным числом случай-
ных параметров при изменяющемся во времени случайном воздействии. — В
кн.: Нагрузки и надежность строительных конструкций. Труды ЦНИИСК,
вып. 21, М., 1973.
18.	Булычев А. П. Некоторые вопросы надежности строительных конст-
рукций. — В кн.: Нагрузки и надежность строительных конструкций. Труды
ЦНИИСК, вып. 21, М., 1973.
229
19.	Визир П. Л. Параллельное соединение идеально-хрупких стержней —
В кн.: Исследования по строительным конструкциям. Труды ЦНИИСК, вып.
19. М., 1971.
20.	Визир П. Л. Надежность элемента системы. — В кн.: Нагрузки и на-
дежность строительных конструкций. Труды ЦНИИСК, вып. 21, М., 1973.
21.	Визир П. Л. Надежность прочных упругопластических систем. — Вкн.:
Нагрузки и надежность строительных конструкций. Труды ЦНИИСК, вып. 21,
М., 1973.
22.	Вольмир Д. С. Устойчивость упругих систем. М., Физматгиз, 1963.
23.	Ворович И. И. Статистический метод теории устойчивости оболочек. —
«Прикладная математика и механика», 1959, том. 23, № 5.
24.	Гайнуллина С. X. Учет надежности при проектировании конструкций
наименьшего веса. — В кн.: Проблемы надежности строительной механики.
Материал 2-й Всесоюзной конференции по проблемам надежности в строи-
тельной механике. Вильнюс, 1968.
25.	Гвоздев А. А. К вопросу о статистическом методе расчета элементов
конструкций. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1964, № 6.
26.	Геммерлинг А. В. Об определении надежности строительных конструк-
ций.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1972, № 6.
27.	Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К-, Соловьев А. Г. Математические методы
в теории надежности. М., «Наука», 1965.
28.	Городецкий А. С. О численных методах определения вероятности раз-
рушения конструкций. — «Строительная механика и расчет сооружений»,
1971, № 3.
29.	Городецкий Б. Л., Котлов Г. Г., Соколкин А. Ф. Статистические иссле-
дования нагрузок от собственной массы покрытий в промышленных здани-
ях. — В кн.: Проблемы надежности в строительном проектировании. Сверд-
ловск, 1972.
30.	Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М., «Мир», 1965.
31.	Гусев А. С. К теории надежности стареющих элементов. — В кн.: Про-
блемы надежности в строительной механике», Материалы 2-й Всесоюзной
конференции по проблемам надежности в строительной механике. Вильнюс,
1968.
32.	Довейка В. Ю., Снарскис Б. И. Некоторые результаты исследования
полезных нагрузок на перекрытиях жилых домов. — В кн.: Проблемы надеж-
ности в строительном проектировании, г. Свердловск, 1972.
33.	Дорощук Г. П. К вероятностному обоснованию нормативных расчетов
на прочность. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1974, № 4.
34.	Дривинг А. Я. К определению числовых характеристик надежности
конструкций и сооружений с чисто экономической ответственностью. — В кн.:
Проблемы надежности в строительной механике. Материалы 2-й Всесоюзной
конференции по проблемам надежности в строительной механике. Вильнюс,
1968.
35.	Дривинг А. Я- Рекомендации по применению экономико-статистиче-
ских методов при расчетах сооружений с чисто экономической ответственно-
стью. ЦНИИСК, 1972.
36.	Дривинг А. Я- О коэффициенте перегрузки снеговой нагрузки на лег-
кие покрытия. — В кн.: Нагрузки и надежность строительной конструкции.
Труды ЦНИИСК, вып. 21, М., 1973.
37.	Дривинг А. Я. Экономический подход к определению оптимальных за-
пасов конструкций. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1973,
№ 5.
38.	Екимов В. В. «Вероятностные методы строительной механики корабля
Л., «Судостроение», 1966.,
39.	Житомирский Н. С., Качанов В. А. Некоторые статистические методы
решения дискретных задач оптимального проектирования. — «Строительная
механика и расчет сооружений», 1971, № 2.
40.	Заварина М. В. Строительная климатология. Л., Гидрометеоиздат,
1976.
41.	Кантор С. Л., Тимашев С. А. О сочетании случайных нагрузок.—
230
В кн.: «Проблема надежности в строительном проектировании», Свердловск.
1972.
42.	Коваль Збигнев. Зубжицки Стефан. О безопасности стержневых сис-
тем.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1970, № 2.
43.	Козлов Б. А., Ушаков И. А. Справочник по расчету надежности аппа-
ратуры радиоэлектроники и автоматики. М.. «Советское радио», 1975.
44.	Костюков В. Д. Формализация расчета надежности морских гидротех-
нических сооружений. — В кн.: Проблема надежности в строительном проек-
тировании. г. Свердловск, 1972.
45.	Кошутин Б. Н., Косоруков В. А. Методика оценки влияния метода ис-
пытания геометрической формы стальных строительных ферм на надежность
их сжатых стержней. — В кн.: Проблема надежности в строительном проек-
тировании, г. Свердловск. 1972.
46.	Красулин Н. Н. О некоторых характеристиках отказов и восстановле-
ния эксплуатируемых строительных конструкций. — В кн.: Проблема надеж-
ности в строительном проектировании. Свердловск, 1972.
47.	Кудзис А. П., Вадлуга Р. Р. Об определении минимальных величин ме-
ры надежности в железобетонных элементах. — В ки.: Проблемы надежности в
строительной механике. Материалы к 3-й Всесоюзной конференции по пробле-
мам надежности в строительной механике. Вильнюс, 1971.
48.	Кудзис А. П., Ш ап ал ас К. П. Статистическое обоснование метода рас-
чета по прочности внецентренно-сжатых элементов кольцевого сечения. «В кн.:
Вопросы надежности железобетонных конструкций. Куйбышевский ИСИ, г.
Куйбышев, 1972.
49.	Лазарев И. Б. Об одной схеме учета надежности при поиске опти-
мальных параметров дискретных систем. — В кн.: Проблемы надежности в
строительной механике. Материалы к 3-й Всесоюзной конференции по пробле-
мам надежности в строительной механике. Вильнюс, 1971.
50.	Ломакин В. А. Расчет на прочность н жесткость балки, изгибаемой
случайной нагрузкой. — «Механика твердого тела», 1966, № 2.
51.	Ломакин В. А. Плоская задача теории упругости микронеоднородных
тел. — «Механика твердого тела», 1966, № 3.
52.	Лычев А. С., Корягин В. П. Надежность железобетонных конструк-
ций. Куйбышевский ИСИ, Куйбышев, 1974.
53.	Лычев А. С., Корягин В. П., Леонтьев Г. В. и др. Использование ве-
роятностных методов при исследовании свойств бетона и железобетонных
конструкций. — В кн.: Йсследования надежности железобетонных конструк-
ций, Куйбышевский ИСИ, Куйбышев, 1974.
54.	Макаров Б. А. Применение статистического метода для анализа экс-
перименталь«ных данных по устойчивости оболочек. — «Йзвестия АН СССР»,
ОТН, 1962, № 1.
55.	Макаров Б. П. К расчету балок на статистическом упругом основа-
нии.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1974, № 3.
56.	Муллер Р. А. К вопросу определения коэффициентов однородности и
перегрузки по статистическим данным. — В кн.: Вопросы безопасности и проч-
ности строительных конструкций. М., Стройиздат, 1952.
57.	Муллер Р. А. Вероятность достижения предельного состояния конст-
рукций и взаимозаменяемость коэффициентов однородности и перегрузки.—
В кн.: Вопросы безопасности и прочности строительных конструкций. М.,
Стройиздат, 1952.
58.	Муллер Р. А. Технико-экономическая оценка надежности жилых зда-
ний на подрабатываемых территориях. — В кн.: Надежность и долговечность
строительных конструкций. Волгоградский политехнический институт. Волго-
град, 1976.
59.	Насонкин В. Д. О распределении напряжений в статически неодно-
родной упругой полупроскости. — Строительная механика и расчет сооруже-
ний, 1968, № 1.
60.	Насонкин В. Д., Соболев Д. Н. О распределении напряжений в ста-
тистически неоднородной упругой полуплоскости. — В кн.: Проблемы надеж-
231
ности в строительной механике. Материал к 2-й Всесоюзной конференции по
проблемам надежности в строительной механике. Вильнюс, 1968.
61.	Немировский Б. Я. К вероятностному расчету гибкой пологой оболоч-
ки.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1968, № 3.
62.	Никитин Н. В. Статистическая гипотеза прочности бетона.— В кн.:
Материалы к теории расчета конструкций по предельному состоянию, вып. 2,
М., Стройиздат, 1949.
63.	Никифоров В. А. К расчету надежности высотных сооружений. —
В кн.: Вопросы надежности железобетонных конструкций. Куйбышевский
инженерно-строительный институт, г. Куйбышев, 1973.
64.	Одинг И. А. Допускаемые напряжения в машиностроении и цикличе-
ская прочность металлов. М., Машгиз, 1947.
65.	Пугачев В. С. Теория случайных функций. М., Гостехиздат, 1957.
66.	Пшеиичкин А. П. Практический метод расчета конструкций на ста-
тистическом основании. — В кн.: Надежность и долговечность строительных
конструкций. Волгоград, 1974.
67.	Пшеничкин А. П. Вероятностный расчет железобетонных балок п плит
на стохастическом основании с учетом фактора времени. — В кн.: Надежность
и долговечность строительных конструкций, Волгоградский политехнический
институт, Волгоград, 1976.
68.	Пшеничкин А. П., Лялин Я. Д., Гарагаш Б. А. К учету влияния слу-
чайной неоднородности грунтового основания при расчете зданий и соору-
жений. — В кн.: Вопросы исследования и применения в строительстве эффек-
тивных материалов и конструкций. Волгоград, 1972.
69.	Рейтман М. И. Оптимальное проектирование конструкций под дейст-
вием случайных нагрузок. — В кн.: Проблемы надежности в строительной ме-
ханике. Материалы к 2-й Всесоюзной конференции по проблемам надежно-
сти в строительной механике. Вильнюс, 1968.
70.	Ржаницын А. Р. Определение коэффициента запаса прочности соору-
жений. — «Строительная промышленность», 1947, № 8.
71.	Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств
материалов. Изд. 1-е, М., Стройвоениздат, 1949, изд. 2-е. М., Госстройиздат,
1954.
72.	Ржаницын А. Р. Метод определения допустимых нагрузок на соору-
жения. — В кн.: Исследовательские работы по инженерным конструкциям,
вып. 2. М., Стройиздат, 1949.
73.	Ржаницын А. Р. Статистическое обоснование расчетных коэффициен-
тов. — В кн.: Материалы к теории расчета конструкций по предельному со-
стоянию, вып. 2, М., Стройиздат, 1949.
74.	Ржаницын А. Р. Статистический метод определения допустимых на-
пряжений при продольном изгибе, вып. 3. ЦНИИСК, М., Стройиздат, 1951.
75.	Ржаницын А. Р. Применение статистических методов в расчетах со-
оружений на прочность и безопасность. — Строительная промышленность.
1952, № 6.
76.	Ржаницын А. Р. К проблеме расчетов сооружений на безопасность. —
В кн.: Вопросы безопасности и прочности строительных конструкций. М., Гос-
стройиздат, 1952.
77.	Ржаницын А. Р. Необходимо совершенствовать нормы расчета строи-
тельных конструкций. — «Строительная промышленность». 1957, № 8.
78.	Ржаницын А. Р. Определение характеристики безопасности и коэффи-
циента запаса из экономических соображений. — В кн.: Вопросы теории пла-
стичности и прочности строительных конструкций. М.. Стройиздат, 1961.
79.	Ржаницын А. Р. Развитие в СССР вероятностных методов расчета со-
оружений.— «Строительная механика и расчет сооружения», 1967, № 4.
80.	Ржаницын А. Р. Статистическая устойчивость сжатого стержня. —
В кн.: Проблемы надежности в строительной механике. Материалы к 2-й Все-
союзной конференции по проблемам в строительной механике. Вильнюс, 1968.
81.	Ржаницын А. Р. Случайные процессы ползучести. — В кн.: Инженер-
ная механика полимеров и применение пластмасс в промышленности. Мате-
риалы республиканского совещания. Тбилиси, «Мецниереба», 1969.
232
82.	Ржаницын А. Р. Определение коэффициента безопасности при изме-
няющихся во времени случайных нагрузках и прочности. — В кн.: Проблемы
надежности в строительной механике. Материалы 3-й Всесоюзной конференции
по проблемам надежности в строительной механике. Вильнюс, 1971.
83.	Ржаницын А. Р. Определение коэффициента запаса при нагрузках,
представляющих собой случайные процессы. — «Строительная механика и
расчет сооружения», 1971, № 3.
84.	Ржаницын А. Р. Расчет конструкций на сочетания нагрузок. —В кн.:
Проблемы надежности в строительном проектировании. Свердловск, 1972.
85.	Ржаницын А. Р. Экономический принцип расчета на безопасность.
«Строительная механика и расчет сооружений», 1973, № 3.
86.	Ржаницын А. Р. Об общем принципе оптимизированного расчета со-
оружений. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1974, № 3.
87.	Ржаницын А. Р. Определение надежности статически неопределимых
систем по состоянию предельного равновесия. — В кн.: Исследования по строи-
тельной механике. МИСИ им. В. В. Куйбышева, М., 1975.
88.	Ржаницын А. Р., Визир П. Л. Устойчивость равновесия и движения
при случайных начальных и граничных условиях. — В кн.: Нагрузки и надеж-
ность строительных конструкций. Труды ЦНИИСК, М„ вып. 21, Стройиздат,
1973.
89.	Ржаницын А. Р., Сухов Ю. Д. Учет совместного действия нагрузок на
сооружения. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1974, № 4.
90.	Ржаницын А. Р., Сухов Ю. Д., Булычев А. П. Вероятностный метод
расчета конструкций, воспринимающих снеговую нагрузку. — «Строительная
механика и расчет сооружений», 1975, № 1.
91.	Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций.
М., «Наука», 1968.
92.	Седракян Л. Г. К статистической теории прочности. Ереван, 1958.
93.	Седракян Л. Г. Элементы статистической теории деформированных и
разрушающихся хрупких материалов. Ереван, изд-во «Айастан», 1968.
94.	Сладков С. И. Применение спектральных методов к оценке долговеч-
ности некоторых статически неопределимых систем. — В кн.: Проблемы на-
дежности в строительной механике. Материалы к 2-й Всесоюзной конферен-
ции по проблемам надежности в строительной механике. Вильнюс, 1968.
95.	Снарскис Б. И. К статистико-экономическому обоснованию запасов
несущей способности конструкций. Труды АН ЛитССР. Серия Б, 1962, 2(29),
1963,1(32).
96.	Снарскис Б. И. Оптимальные расчетные и контрольные значения слу-
чайных параметров как средство оптимизации надежности. — В кн.: Пробле-
мы надежности в строительном проектировании. Свердловск, 1972.
97.	Снарскис Б. И. О связи метода оптимальных расчетных значений с
методикой «предельных состояний». — В кн.: Проблемы надежности в строи-
тельном проектировании, г. Свердловск, 1972.
98.	Соболев Д. Н. К расчету конструкций, лежащих на статистически не-
однородном основании. — «Строительная механика и расчет сооружений»..
99.	Соболев Д. Н. К расчету конструкций, лежащих на статистически неод-
нородном основании, при помощи модели с двумя коэффициентами постели.—
«Строительная механика и расчет сооружений», 1975, № 3.
100.	Соболев Д. Н., Фаянс Б. Л., Шейнин В. И. К расчету плит на стати-
стически неоднородном основании. — «Строительная механика и расчет со-
оружений», 1968, № 3.
101.	Соловьев А. П. О запасе прочности конструкции, проектируемой по
прототипу. — «Строительная механика и расчет сооружений, 1969, № 5.
102.	Стась В. В., Никифоров В. А. К расчету надежности высотных соору-
жений. — В кн.: Вопросы математической физики и теории колебаний, вып. 3,
Ивановский энергетический институт, Иваново, 1975.
103.	Стрелецкий Н. С. К вопросу общего коэффициента безопасности. —
«Проект п стандарт», 1935, № 10.
23&
104.	Стрелецкий Н. С. Об исчислении запасов прочности сооружения.—
В кн.: «Металлические конструкции», № 1, МИСИ им. В. В. Куйбышева, 1938.
105.	Стрелецкий Н. С. К вопросу определения допускаемых напряже-
ний. — «Строительная промышленность», 1940, № 7.
106.	Стрелецкий Н. С. К вопросу о возможности повышения допускаемых
напряжений. — «Строительная промышленность», 1942, № 2—3.
107.	Стрелецкий Н. С. О возможности повышения допускаемых напря-
жений. — «Строительная промышленность», 1943, № 7.
108.	Стрелецкий Н. С. К вопросу установления коэффициентов запаса
сооружений. «Известия АН СССР», ОТН, 1947, № 1.
109.	Стрелецкий Н. С. Основы статистического учета коэффициента за-
паса прочности сооружений. М., Стройиздат. 1947.
ПО. Стрелецкий Н. С. Основные направления исследований по уточнению
метода расчета строительных конструкций по предельному состоянию. АСиА
СССР—НТО строительной промышленности, 1958.
111.	Стрелецкий Н. С. Современное состояние вопроса расчета конструк-
ций. — «Известия высших учебных заведений». Строительство и архитектура.
1963, № 1.
112.	Стрелецкий Н. С. К вопросу усиления экономического подхода в
расчете конструкций. — «Строительная механика и расчет сооружений»,
1965, № 2.
113.	Стручанский Ю. М. Вероятность разрушения упрутопластических
конструкций и некоторые вопросы их проектирования. — «Строительная ме-
ханика и расчет сооружений», 1971, № 4.
114.	Сухов Ю. Д. Некоторые особенности теории надежности строитель-
тельных конструкций. — «Строительная механика и расчет сооружений» 1975,
№2.
115.	Сухов Ю. Д. Вероятностно-экономическая модель процесса эксплуа-
тации строительных конструкций. — «Строительная механика и расчет соору-
жений», 1975, № 4.
116.	Таль К. Э. О совершенствовании принципов определения надежности
строительных конструкций. — «Строительная механика и расчет сооружений»,
1975, № 6.
117.	Тимашев С. А. Статистические исследования устойчивости тонких вы-
годных ортотропных оболочек. — В кн.: Проблемы надежности в строитель-
ной механике. Материалы к 3-й Всесоюзной конференции по проблемам на-
дежности в строительной механике, Вильнюс, 1971.
118.	Торроха Э. О нагрузках и факторах запаса. — В кн.: Материалы
международных совещаний по расчету строительных конструкций. М., Гос-
стройиздат, 1961.
119.	Улыбкин В. С. Экспериментальное определение статистических ха-
рактеристик ветра. — В кн.: Проблемы надежности в строительном проекти-
ровании, Свердловск, 1972.
120.	Федоров Е. И. К вопросу определения характеристик надежности из
экономических соображений. — «Строительная механика и расчет сооруже-
ний», 1974, № 1.
121.	Федоров Е. И. О вероятностном расчете стойки при продольно-попе-
речном изгибе. — В кн.: Проблемы надежности в строительном проектирова-
нии, Свердловск, 1972.
122.	Хоциалов Н. Ф. Запасы прочности. «Строительная промышлен-
ность», 1929, № 10.
123.	Хоциалов Н. Ф. Массовый анализ в железобетонном деле. — «Строи-
тельная промышленность», 1932, № 1.
124.	Черячукин В. В. Анализ устойчивости высоких сооружений методом
статистических испытаний. — «Строительная механика и расчет сооружений»,
1968, № 4.
125.	Черячукин В. В. Применение метода Монте-Карло к некоторым ста-
тистическим задачам устойчивости и надежности. — В кн.: Проблемы надежно-
234
сти в строительной механике. Материалы к 2-й Всесоюзной конференции по
проблемам надежности в строительной механике. Вильнюс, 1968.
126.	Чирас А. А. Задачи стохастического программирования при расчете
упругопластических одномерных систем. Строительная механика. Доклады
XV научно-технической конференции Каунасского политехнического институ-
та. Вильнюс, 1965.
127.	Чирас. А. А. К вопросу рационального проектирования упругопла-
стических дискретных систем при случайных нагрузках. — В кн.: «Проблемы
надежности в строительной механике». Материалы ко 2-й Всесоюзной конфе-
ренции по проблемам надежности в строительной механике. Вильнюс, 1968.
128.	Чирков В. П. Метод последовательной замены случайных аргумен-
тов для функций с зависимыми стохастическими параметрами. — В кн.; Иссле-
дования надежности железобетонных конструкций. Куйбышевский ИСИ, г.
Куйбышев, 1974.
129.	Шапиро В. Д. Статистическое исследование начальных искривлений
стержней при заводском изготовлении стальных стропильных ферм. — В кн.:
Проблемы надежности в строительном проектировании, п Свердловск. 1972.
130.	Юсупов А. К. Напряженное состояние статистически неоднородной
линейно-упругой полуплоскости. — «Строительная механика и расчет соору-
жений». 1969. № 5.
131.	Basler Е. Untersuchungen fiber den Sicherheitsbegriff von Bauwerken.
Schweizer Archiv ffir angewandte Wissenschaft und Technik, 1961/4.
132.	Benjamin J. R. Probabilistic structural analysis and design. Proc, of
ASCE, J. of Struc. Div., 1968/ST7.
133.	Cornell C. A. Stochastic Process Models in Structural Engineering.
Dept, of Civ. Engrg., Stanford University, Technical Report, N 34, 1964.
134.	Cornell C. A. Structural safety specifications based on second moment
reliability analysis. Symp. on concepts of safety (London, 1969), Final Report
IABSE, Zurich, 1969.
135.	Davenport A. G. The Buffeting of large Superficial Structures by At-
mospheric Turbulence. Ann. of New York Acad, of Sciences, 1964, v. 116, Art. I.
136.	Davenport A. G. The dependence of wind loads on meteorological para-
meters. Symp. on Wind Effects on Struct., Ottawa, 1967.
137.	Ferry Borges J. Critical view of methods for probabilistic calculation
of safety. Fourth Congress IABSE (Cambridge and London, 1952), Final Report.
London, 1952.
138.	Ferry Borges J., Castanheta M. Structural Safety, 2-nd edition. Labo-
ratorio Necional de Engenharia Civil, Lisbon, 1971.
139.	Freudenthal A. M. The Safety of Structures. Journ. Struct Div. (Proc.
ASCE), 71, ST/1945.
140.	Freudenthal A. M. Safety und the probability of structural failure. Proc,
of ASCE, vol. 80, paper No 468, 1954.
141.	Freudenthal A. M. Safety, Reliability and Structural Design, Journ.
Struct. Div. (Proc. ASCE), 87, ST/3/1961.
142.	Gumbel E. Statistics of Extrems. Columbia Univ. Press, New York, 1962.
143.	Johnson A. J. Strength, safety and economical dimensions of structures.
Bull, of Div. Struct. Engng Roy. Inst. Techn., Stockholm, 1955, Springer—Ver-
lag, 1956.
144.	Karman T. Niektore zagadnienia analizy konstruccji zwiazane z teoria
prawdopodobienstwa. Conf. CIB—W 23, Aug. 1965, Oslo.
145.	Levi R. Calculs probabilistes de la securite des constructions. Ann.
Ponts et Chaussees, 119, N 7—8, 1949.
146.	Levi R. La securite dans les constructions. Travaux, N 40, 262/1956.
147.	Mayer M. Die Sicherheit der Bauwerte und ihre Berechning nach Granz-
kraften statt nach zulassigen Spannungen. Springer Verlag. Berlin, 1926.
148.	Mrazik J. Poznamka dnesnimy stavu teorie medznych stavov stavebnych
konstrukcii Stavebnicky casopis, 1965/7.
149.	Murzewski J. Wpowadzenie do teorii bezpieczenstwa konstrukcji. Panst-
wowe wydawnictwo naukowe, Warszawa, 1963.
235
150.	Murzewski J. Bezpieczenstwo konstrukcji budowlanych. Arkady, Wars-
zawa, 1970.
151.	Pugsley A. The Safety of Structures. Arnold Publ. London, 1966.
152.	Ruhl K. Zur frage der Sicherheit von Baukorpern—Gedanken und Fol-
derung. Materialprilfung, 1963/1.
153.	Sandi H. Proprietati statistice ale capasitatii portante a structurilor
static nedeterminate. Studii $i cercetari de mecanica, 1961/3.
154.	Shinozuka M. Probability of structural failure under random loading.
Proc. ASCE, 1964. N EM-5.
155.	Tichy M., Vorlicek. Statistical theory of concrete structures (with spe-
cial reference to ultimate design). Czechoslovak academy of sciences. Praga,
1972.
156.	Torroja E. Notes sur le coefficient de securite. Ill Congr. AIPC, Liege,
1948.
/
157.	Vorlicek M. Fundamentals of the statistical theory of strength. Acta
derung. Materialprilfung. 1963/1.
158.	Weibull W. A statistical theory of the strength of materials. Proc. Roy.
Swedish Inst. Eng. Res., Stockholm, N 151, 1939.
159.	Weibull W. A statistical representation of fatigue failures in solids.
Trans. Roy. Inst. Techn.. Stockholm, N 27, 1949.
160.	Weibull W. A Survey of Statistical Effects in the Field of Material
Failure. AppL Meeh. Rev., 5, nr 11/1952.
161.	Wierzbicki W. Bezpieczenstwo budowli jako zagadnienie prawdopodo-
bienstwa. Przeglad budowlany, 1936.
162.	Wierzbicki W. Probabilistic and Semi—Probabilistic Method for the
Investigation of Structure Safety. Arch. Meeh Stos, 9, N 9, 1957.
163.	Wierzbicki W. Obiektywne metody oceny bezpieczenstwa konstrukcji
budowlanych. Panstwowe wydawnictwo naukowo, Warszawa, 1961.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие	3
Введение	4
Глава I. Случайные величины
1.	Характеристики случайных величин	11
2.	Функции случайных величин..................................... 14
3.	Случайные векторные величины двух измерений	14
4.	Функции двух случайных величин . .	17
5.	Случайные вектор п измерений...................... .	.	20
6.	Приближенные методы нахождения распределения функций слу
чайных величин.................................................... 22
7.	Часто применяемые функции распределения ....	26
8.	Распределение максимумов многих случайных величин	37
9.	Распределение минимумов нескольких случайных величин	40
10.	Вероятность редких событий .................................. 42
Глава II. Случайные функции
11.	Определение случайной функции................................ 44
12.	Корреляционно связанные случайные функции	45
13.	Стационарные случайные функции	  45
14.	Дифференцирование и интегрирование случайных функций	...	47
15.	Корреляционная функция суммы и линейной комбинации случай-
ных функций ....	49
16.	Выбросы случайной функции	  50
17.	Представление случайной функции через случайные величины	52
18.	Замена переменной в случайной функции . .	  53
19.	Спектральная плотность стационарной случайной функции	.	54
Глава III. Расчет сооружений на безопасность
20.	Основные положения расчета строительных конструкций на без-
опасность ........................................................ 56
21.	Основная расчетная формула	58
22.	Коэффициент запаса........................................... 61
23.	Корреляционная связь прочности с нагрузкой................... 64
24.	Несимметричные кривые распределения нагрузки	и прочности	65
25.	Коэффициенты однородности и перегрузки	70
26.	Изменение нагрузки во времени	74
27.	Влияние износа и изменения прочности во времени	76
28.	Расчет на безопасность с учетом времени	79
Глава IV. Нагрузки
29.	Случайный характер нагрузок, действующих на сооружения .	83
30.	Нагрузка в виде случайного гауссовского процесса	84
31.	Ветровая нагрузка	. .	87
32.	Пространственная изменчивость ветровой нагрузки	90
33.	Упрощенные распределения скорости ветра	91
34.	Снеговая нагрузка .....	95
35.	Нагрузка от свежевыпавшего снега	98
36.	Дискретное представление нагрузки	99
37.	Полезные нагрузки и их перегрузки............................. 101
38.	Уточнение понятия последовательности перегрузок	102
39.	Нестационарные последовательности перегрузок .	108
237
Стр.
40.	Вероятность перегрузки за срок Т эксплуатации сооружения	109
41.	Вероятность перегрузки при нестационарном процессе загружения 110
Глава V. Сочетания нагрузок
42.	Учет сочетаний нагрузок в расчетах конструкций	113
43.	Сочетания постоянных нагрузок................................. 114
44.	Частный случай сочетания двух постоянных нагрузок	117
45.	Сочетание двух нагрузок, изменяющихся во времени	119
46.	Распределение длительности совпадения перегрузок ....	122
47.	Вероятность совместных перегрузок при нескольких загружениях	127
48.	Сочетание снеговой и ветровой нагрузок........................ 131
49.	Сочетание поэтажных перегрузок в гражданских зданиях . .	133
50.	Динамическое действие ветра и некоторые другие виды перегрузок	135
Глава VI. Прочность конструкций и их элементов
51.	Статистический характер прочности............................ 136
52.	Параллельная работа упругих хрупких элементов	136
53.	Ожидаемая прочность хрупкого стержня......................... 138
54.	Параллельное соединение двух н трех хрупких стержней ....	140
55.	Аналитическое решение задачи надежности простейших систем по
прочности...........................................................142
56.	Случайная зависимость напряжений от деформаций при параллель-
ной работе нескольких одинаковых хрупких стержней	148
57.	Ожидаемая прочность упругопластического стержня .	150
58.	Случайная диаграмма работы в виде кубической параболы	152
59.	Последовательное соединение элементов	.......	155
60.	Параллельно-последовательное и последовательно-параллельное	сое-
динение элементов	   158
61.	Надежность растянутого длинного стержня	.	161
62.	Надежность изогнутой балки	.	.	163
63.	Влияние местных дефектов ...	..................... 164
64.	Надежность статически неопределимых упругопластнческих систем 165
65.	Прочность при сложном сопротивлении элемента .	.	168
Глава VII. Расчет балок на нагрузку, случайно распределенную по длине
66.	Шарнирно опертая балка со случайно распределенной нагрузкой 171
67.	Консольная балка со случайной нагрузкой...................... 177
68.	Другой метод определения корреляционных функций изгибающих
моментов в балке . .	...	180
69.	Приближенные решения ...	...	.	182
70.	Сосредоточенный груз в случайной точке длины балки	184
71.	Случайное положение связанной системы грузов	187
72.	Влияние изменчивости величины груза	191
Глава VIII. Вероятностные методы расчета на устойчивость
73.	Задача о статистической устойчивости сжатого стержня .	.	193
74.	Теорема о статистической устойчивости линейной системы	.	195
75.	Расчет внецентренно-сжатых и сжато-изогнутых стержней	. . .	197
76.	Случайный эксцентрицитет приложения продольной силы к торцу
стержня............................................................. 199
77.	Случайное искривление оси стержня............................ .	200
78.	Распределение несущей способности сжатого стержня................202
79.	Графики коэффициентов снижения допускаемых напряжений при
сжатии стержня.......................................................205
80.	Основные методы вероятностного расчета сжато-изогнутых стержней 208
81.	Нелинейная устойчивость и преодоление энергетического барьера .	212
238

Стр.
Глава IX Оптимизация вероятностного расчета конструкций
82. Определение оптимальной обеспеченности из экономических
соображений.................................................... 215
Оптимизация разрушения одного элемента	216
Учет возможности повторных отказов	221
Отказы, происходящие во времени	. .	.	222
Оптимизация шарнирно-стержневой конструкции и балки мини-
мального веса .............................................. .	224
87. Случаи неэкономических	потерь	225
88. Постепенные отказы	226
Список литературы	229