/
Автор: Панин Д.Н. Мамошина Ю.С.
Теги: электротехника физика электроника учебное пособие методические рекомендации электрические цепи
Год: 2024
Текст
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ
КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
Д.Н. Панин, Ю.С. Мамошина
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по выполнению курсовой работы
«Расчёт электрических цепей в стационарном режиме
постоянного и переменного тока»
по дисциплине
«Электротехника»
Учебно-методическое пособие
Самара, 2024
УДК 621.3.01(076) + 621.372(076)
ББК 00.000
П 17
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ Протокол №23 от
16.01.2024
Панин Д.Н.
П 17 Методические рекомендации по выполнению курсовой работы «Расчёт электрических
цепей в стационарном режиме постоянного и переменного тока» по дисциплине
«Электротехника»: учебно-методическое пособие / Д.Н. Панин, Ю.С. Мамошина – Самара:
ПГУТИ, 2024. - 110 с.
Учебно-методическое пособие «Расчёт электрических цепей в стационарном режиме
постоянного и переменного тока» содержит теоретический материал и методические
указания к выполнению курсовой работы, изучаемые в курсе «Электротехника». Разработан
в соответствии с ФГОС ВО по направлениям подготовки 27.03.04 «Управление в
технических системах», предназначено для студентов 3 курса очной формы обучения для
подготовки к курсовой работе.
©Панин Д.Н., Мамошина, Ю.С., 2024
© Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2024
2
Оглавление
1 Основные понятия дисциплины «Электротехника»............................................. 4
1.1 Классификация цепей и режимов их работы ..................................................... 6
1.2 Пассивные элементы цепи.................................................................................... 8
1.3 Активные элементы цепи ................................................................................... 13
1.4 Основные теоремы и принципы теории цепей ................................................ 19
2 Анализ цепей постоянного тока............................................................................ 26
2.1 Метод токов ветвей ............................................................................................. 26
2.2 Метод контурных токов...................................................................................... 26
2.3 Метод узловых напряжений ............................................................................... 28
2.4 Метод эквивалентного источника ..................................................................... 30
2.5 Метод суперпозиции ........................................................................................... 33
3 Анализ цепей гармонического тока...................................................................... 36
3.1 Основные параметры гармонического колебания ........................................... 36
3.2 Способы представления гармонических колебаний........................................ 38
3.3 Символический расчёт цепей гармонического тока ........................................ 42
3.3.1 Анализ последовательной RL-цепи ................................................................ 43
3.3.2 Анализ последовательной RC-цепи ............................................................... 44
3.3.3 Анализ параллельной RL-цепи ....................................................................... 45
3.3.4 Анализ параллельной RC-цепи ....................................................................... 46
3.4 Резонансные явления в электрических цепях .................................................. 47
3.4.1 Анализ последовательного колебательного контура ................................... 47
3.4.2 Анализ параллельного колебательного контура ........................................... 53
3.5 Индуктивно-связанные электрические цепи .................................................... 56
4 Цепи при негармонических периодических воздействиях ................................ 59
4.1 Представление периодических колебаний в ряд Фурье .................................. 61
4.2 Спектры периодических негармонических колебаний ................................... 65
4.3 Коэффициенты формы ........................................................................................ 68
5 Методические указания к выполнению курсовой работы ................................. 71
5.1 Требования к оформлению курсовой работы ................................................... 71
5.2 Выбор варианта и исходные данные ................................................................. 72
5.3 Задание на курсовую работу .............................................................................. 80
5.4
Методические указания к выполнению задания №1 .......................... 84
5.5
Методические указания к выполнению задания №2 .......................... 99
5.6
Методические указания к выполнению задания №3 ........................ 104
Приложение 1 .......................................................................................................... 107
Список использованных источников .................................................................... 108
3
1 Основные понятия дисциплины «Электротехника»
Электрическим током называют упорядоченное движение электрических
зарядов под воздействием электрического поля. Мгновенным значением тока
𝑖(𝑡) называют скорость изменения заряда 𝑞 во времени:
∆𝑞 𝑑𝑞
=
,
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
𝑖(𝑡) = lim
где ∆𝑞 – электрический заряд, прошедший за время ∆𝑡 через поперечное
сечение проводника. Заряд измеряется в кулонах (Кл), время – в секундах (с),
электрический ток – в амперах (А).
В любом проводнике упорядоченное перемещение носителей заряда
происходит в одном из двух возможных направлений, в соответствии с этим
ток также имеет одно из двух направлений. За направление тока независимо от
природы носителей электрического заряда и их типа принимают направление, в
котором
перемещаются
(или
могли
бы
перемещаться)
носители
положительного заряда. Таким образом, направление электрического тока в
наиболее
распространенных
проводниковых
материалах
(металлах)
противоположно фактическому направлению перемещения носителей заряда –
электронов. О направлении тока судят по его знаку, который зависит от того,
совпадает или нет направление тока с направлением, условно принятым в
качестве положительного.
Условно-положительное направление тока при расчетах электрических
цепей может быть выбрано совершенно произвольно.
Если в результате расчётов, выполненных с учетом выбранного
направления, ток получится со знаком «плюс», то его направление, т.е.
направление перемещения положительных зарядов, совпадает с направлением,
условно выбранным положительным; если ток будет иметь знак «минус», то
его направление противоположно условно положительному.
4
Электрическое
напряжение
𝑢(𝑡)
между
двумя
точками
𝑎
и
𝑏 электрической цепи определяется количеством энергии 𝑊, затрачиваемой на
перемещение единичного заряда из точки 𝑎 в точку 𝑏 (рисунок 1.1).
Рис. 1.1 – Электрическая цепь (двухполюсник)
∆𝑊 𝑑𝑊
=
,
∆𝑞→0 ∆𝑞
𝑑𝑞
𝑢(𝑡) = lim
Единица измерения напряжения – вольт (В).
Электрической
цепью
называют
совокупность
устройств,
предназначенных для прохождения тока и описываемых с помощью понятий
электрического тока и электрического напряжения. Существует и другое
определение электрической цепи – электромагнитная система, описание
которой возможно и целесообразно с помощью понятий электрический ток и
напряжение. Электрическая цепь содержит в себе как источники, так и
приемники.
Источниками электрической цепи являются устройства, которые создают
(генерируют) токи и напряжения.
Приёмниками электрической цепи называют устройства, потребляющие
или преобразующие электрическую энергию в другие виды энергии.
Особым
источники
классом
энергии, к
электрических
которым
устройств
относятся
являются вторичные
различные
блоки
питания,
выпрямители, стабилизаторы, приемные антенны. В устройствах этого типа
осуществляются
различные
преобразования
электрических
токов
и
напряжений, такие, как преобразование постоянного тока в переменный,
выпрямление переменного тока, изменение напряжения и т.п. Вторичные
источники получают электрическую энергию от первичных источников и
5
относительно них являются приемниками электрической энергии. В то же
время относительно остальной части цепи, которая получает электрическую
энергию от вторичных источников, они могут рассматриваться как источники
энергии.
Для подключения к остальной части цепи каждый элемент цепи имеет
внешние выводы, называемые также зажимами или полюсами. В зависимости
от числа внешних выводов различают двухполюсные (резистор, конденсатор,
катушка индуктивности) и многополюсные (транзистор, трансформатор,
электронная лампа) элементы.
В теории цепей предполагается, что каждый элемент цепи полностью
характеризуется зависимостью между токами и напряжениями на его
зажимах, при
этом
процессы, имеющие
место
внутри
элементов, не
рассматриваются.
Электрическая цепь, которую получают из исходной реальной цепи при
замене каждого реального элемента его упрощенной моделью, составленной из
идеализированных
элементов,
называют моделирующей или идеализированной. В теории цепей исследуют
процессы, имеющие место именно в таких цепях.
Основная
задача ОТЦ
–
изучение методов анализа и
синтеза
электрических цепей.
Задача анализа – расчёт электрических величин для заданной цепи.
Задача синтеза – создание электрической цепи с заданными свойствами.
1.1 Классификация цепей и режимов их работы
Классификация электрических цепей приведена на рисунке 1.2.
6
Электрические цепи
С распределенными
параметрами или
линии передачи
С сосредоточенными
параметрами
Открытые линии передачи
(Закрытые линии передачи)
Регулярные
(Нерегулярные)
Линейные
(Нелинейные)
Активные
(Пассивные)
Однородные
(Неоднородные)
Параметрические
(Непараметрические)
Рис. 1.2 – Классификация электрических цепей
На рисунке 1.3 представлены режимы работы электрических цепей.
Рис. 1.3 – Режимы работы электрических цепей
7
1.2 Пассивные элементы цепи
Все
элементы
электрической
цепи
условно
можно
разделить
на активные и пассивные.
К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы)
или накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия. К
основным характеристикам элементов цепи относятся их вольт-амперные,
вебер-амперные
и
кулон-вольтные
характеристики,
описываемые
дифференциальными или (и) алгебраическими уравнениями. Если элементы
описываются
линейными
дифференциальными
или
алгебраическими
уравнениями, то они называются линейными, в противном случае они
относятся к классу нелинейных. Строго говоря, все элементы являются
нелинейными. Возможность рассмотрения их как линейных, что существенно
упрощает математическое описание и анализ процессов, определяется
границами изменения характеризующих их переменных и их частот.
Коэффициенты, связывающие переменные, их производные и интегралы в этих
уравнениях, называются параметрами элемента.
Если параметры элемента не являются функциями пространственных
координат,
определяющих
его
геометрические
размеры,
то
он
называется элементом с сосредоточенными параметрами. Если элемент
описывается уравнениями, в которые входят пространственные переменные, то
он
относится
к
классу элементов
с
распределенными
параметрами.
Классическим примером последних является линия передачи электроэнергии
(длинная линия).
Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными.
Наличие в схеме хотя бы одного нелинейного элемента относит ее к классу
нелинейных.
Рассмотрим пассивные элементы цепи, их основные характеристики и
параметры.
Резистивным сопротивлением называют идеализированный элемент
цепи, обладающий свойством необратимого рассеивания энергии.
8
Условное обозначение резистивного элемента представлено на рисунке
1.4.
Рис. 1.4 – Условное обозначение резистивного элемента
Математическая модель определяется законом Ома:
𝑢𝑅 = 𝑅 ∙ 𝑖𝑅
𝑖𝑅 = 𝐺 ∙ 𝑢𝑅
𝐺=
1
,
𝑅
где 𝑅 – сопротивление [Ом], 𝐺 – проводимость, сименс [См].
Закон
Ома
определяет
вольтамперную
характеристику
(ВАХ)
резистивного элемента (рисунок 1.5).
Рис. 1.5 – ВАХ резистивного элемента
Если резистивное сопротивление не зависит от величины и направления
тока, то имеет место прямая пропорциональность между напряжением и током.
В этом случае резистивное сопротивление называется линейным. В противном
случае
резистивное
сопротивление
называется
нелинейным
и
условно
обозначается (рисунок 1.6):
9
Рис. 1.6 – Условное обозначение нелинейного сопротивления
Мгновенная мощность, поступающая в резистивное сопротивление,
определяется соотношением вида:
𝑝𝑅 = 𝑢𝑅 ∙ 𝑖𝑅 = 𝑅 ∙ 𝑖𝑅2 = 𝐺 ∙ 𝑢𝑅2
Электрическая энергия, поступившая в резистивное сопротивление и
превращенная в тепло, начиная с некоторого момента времени, например 𝑡 = 0,
до рассматриваемого момента 𝑡, равна:
𝑡
𝑡
𝑡
𝑊𝑅 = ∫ 𝑝𝑅 𝑑𝑡 = ∫ 𝑅 ∙ 𝑖𝑅2 𝑑𝑡 = ∫ 𝐺 ∙ 𝑢𝑅2 𝑑𝑡
0
0
0
.В случае постоянного тока 𝑖𝑅 (𝑡) = 𝐼𝑅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 или напряжения 𝑢(𝑡) =
𝑈𝑅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 имеем:
𝑊𝑅 = 𝑅 ∙ 𝐼𝑅2 ∙ 𝑡 = 𝐺 ∙ 𝑈𝑅2 ∙ 𝑡 − закон Джоуля − Ленца.
Индуктивным
элементом
называют
идеализированный
элемент
электрической цепи, приближающийся по свойствам к индуктивной катушке, в
которой
накапливается
энергия
магнитного
поля.
При
этом
термин
«индуктивность» и соответствующее ему условное обозначение 𝐿 применяются
для обозначения, как самого элемента цепи, так и для количественной оценки.
Единица измерения – Генри (Гн).
Условное обозначение индуктивного элемента показано на рисунке 1.7.
Рис. 1.7 – Условное обозначение индуктивного элемента
Математическая модель определяется соотношением вида:
𝛹 = 𝐿 ∙ 𝑖𝐿
10
𝑤
𝛹 = ∑ Ф𝑘 ,
𝑘=1
где Ψ – потокосцепление, Ф – магнитный поток единицы их измерения
вебер [Вб], w – число витков в катушке. Последнее уравнение определяет
вебер-амперную характеристику. Связь между током и напряжением на
индуктивном элементе определяется выражениями:
𝑢𝐿 =
𝑑𝛹
𝑑𝑖𝐿
=𝐿∙
,
𝑑𝑡
𝑑𝑡
откуда:
𝑡
0
−∞
−∞
𝑡
𝑡
1
1
1
1
𝑖𝐿 = ∫ 𝑢𝐿 𝑑𝑡 = ∫ 𝑢𝐿 𝑑𝑡 + ∫ 𝑢𝐿 𝑑𝑡 = 𝑖𝐿 (0) + ∫ 𝑢𝐿 𝑑𝑡
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
0
0
Видно, что если через индуктивный элемент протекает постоянный ток,
то напряжение будет равно нулю, а это возможно в случае, когда
сопротивление на индуктивном элементе равно нулю. Поэтому индуктивность
эквивалентна коротко замкнутому (КЗ) участку (рисунок 1.8).
Рис. 1.8 – Эквивалентность индуктивности КЗ участку
Мгновенная
мощность,
поступающая
в
𝑝𝐿 = 𝑢𝐿 ∙ 𝑖𝐿 = 𝐿 ∙ 𝑖𝐿 ∙
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
индуктивный
элемент,
определяется как:
Это уравнение показывает, что мощность связана с процессом нарастания
или убывания энергии магнитного поля. Энергия магнитного поля, запасенная в
индуктивном элементе к моменту t, определяется в виде:
𝑡
𝑖𝐿
𝑑𝑖𝐿
𝐿 ∙ 𝑖𝐿2 𝛹2
𝑊𝐿 = ∫ 𝑝𝐿 𝑑𝑡 = ∫ 𝐿 ∙ 𝑖𝐿 ∙
𝑑𝑡 =
=
𝑑𝑡
2
2𝐿
−∞
0
11
.Если часть магнитного потока, связанного с индуктивным элементом,
связана одновременно и с другим индуктивным элементом, то эти два элемента,
кроме
𝐿1
и
𝐿2 ,
обладают
параметром
𝑀,
называемым
взаимной
индуктивностью, измеряемым так же как индуктивность.
Ёмкостным
элементом
называют
идеализированный
элемент
электрической цепи, приближённо заменяющий конденсатор, в котором
накапливается энергия электрического поля. При этом термин «ёмкость» и
соответствующее ему буквенное обозначение C применяются для обозначения,
как самого элемента цепи, так и для количественной оценки.
Единица измерения – фарад[Ф].
Условное обозначение ёмкостного элемента показано на рисунке 1.9.
Рис. 1.9 – Условное обозначение ёмкостного элемента
Математическая модель определяется выражением вида:
𝑞 = 𝐶 ∙ 𝑢𝐶
Это уравнение определяет вольт-кулонную характеристику. Связь между
током и напряжением на емкостном элементе определяется как:
𝑖𝐶 =
𝑑𝑞
𝑑𝑢𝐶
=𝐶∙
,
𝑑𝑡
𝑑𝑡
откуда:
𝑡
0
−∞
−∞
𝑡
𝑡
1
1
1
1
𝑢𝐶 = ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡 = ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡 + ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡 = 𝑢𝐶 (0) + ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡
𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
0
0
Видно, что при постоянном напряжении ток равен нулю, т.е. ёмкостной
элемент эквивалентен разрыву цепи или холостому ходу ХХ (рисунок 1.10).
12
Рис. 1.10 – Эквивалентность ёмкостного элемента разрыву цепи или холостому ходу
Мощность, поступающая в емкостной элемент, определяется как:
𝑑𝑢𝐶
𝑑𝑡
Это уравнение показывает, что мощность связана с процессом
𝑝𝐶 = 𝑢𝐶 ∙ 𝑖𝐶 = 𝐶 ∙ 𝑢𝐶 ∙
накопления или убыли энергии электрического поля. Энергия, запасенная в
емкостном элементе к моменту 𝑡:
𝑢𝐶
𝑡
𝑑𝑢𝐶
𝑢𝐶2 𝑞 2
𝑊𝐶 = ∫ 𝑝𝐶 𝑑𝑡 = ∫ 𝐶 ∙ 𝑢𝐶 ∙
𝑑𝑡 = 𝐶 ∙
=
𝑑𝑡
2
2𝐶
−∞
0
.
1.3 Активные элементы цепи
Активными элементами являются зависимые и независимые источники
энергии. К зависимым источникам относят: электронные лампы, транзисторы,
операционные усилители. К независимым источникам относят: аккумуляторы,
электрогенераторы, термоэлементы. Независимые источники подразделяются
на источники напряжения и источники тока.
Независимым
источником
напряжения
(ЭДС)
называют
идеализированный двухполюсник, напряжение, на зажимах которого не зависит
от протекающего через него тока.
Условное обозначение независимого источника показано на рисунке 1.11.
13
Рис. 1.11 – Условное обозначение независимого источника
Внутреннее
сопротивление
идеального
независимого
источника
напряжения (ЭДС) равно нулю. ВАХ такого источника представляется в виде
(сплошная линия) (рисунок 1.12):
Рис. 1.12 – ВАХ независимого источника напряжения
ВАХ реального независимого источника напряжения представлена
пунктирной линией.
Реальный
независимый
источник
напряжения
(ЭДС)
обладает
внутренним сопротивлением.
Условное обозначение реального независимого источника напряжения
показано на рисунке 1.13.
Рис. 1.13 – Условное обозначение реального независимого источника напряжения
14
Независимым
источником
тока
называют
идеализированный
двухполюсный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах.
Условное обозначение независимого источника тока показано на рисунке
1.14.
Рис. 1.14 – Условное обозначение независимого источника тока
𝑈𝐽 = 𝑈𝑎𝑏 − напряжение на источнике тока.
ВАХ
такого
источника
в
виде
сплошной
линии.
Внутреннее
сопротивление равно бесконечности (рисунок 1.15).
Рис. 1.15 – ВАХ независимого источника тока
Реальный
независимый
источник
тока
обладает
внутренней
проводимостью.
Условное обозначение реально независимого источника тока показано на
рисунке 1.16.
15
Рис. 1.16 – Условное обозначение реально независимого источника тока
𝐺ист =
1
𝑅ист
𝑈𝐽 = 𝑈𝑎𝑏
Возможен переход от схемы независимого источника напряжения (ЭДС)
к эквивалентной схеме независимого источника тока по формулам:
𝐽ист =
𝐸ист
𝑅ист
𝐸ист =
𝐽ист
𝐺ист
𝑅ист =
1
𝐺ист
Зависимый источник представляет собой четырехполюсник с двумя
парами зажимов: входных (1, 1’) и выходных (2, 2’).
Различают четыре типа зависимых источников:
1) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН);
2) источник напряжения, управляемый током (ИНУТ);
3) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН);
4) источник тока, управляемый током (ИТУТ).
Покажем условные обозначения зависимых источников различного типа.
16
В ИНУН (рисунок 1.17) входное сопротивление равно бесконечности,
входной ток равен нулю, а выходное напряжение связано с входным
равенством вида: 𝑢2 = 𝐻𝑢 ∙ 𝑢1 .
Рис. 1.17 – Источник напряжения, управляемый напряжением
Коэффициент 𝐻𝑈 характеризует усиление по напряжению.
В ИНУТ (рисунок 1.18) входным током 𝑖1 управляется выходное
напряжение 𝑢2 . Входная проводимость равна бесконечности, входное
напряжение равно нулю.
Рис. 1.18 – Источник напряжения, управляемый током
Коэффициент 𝐻𝑅 имеет размерность сопротивления.
В ИТУН (рисунок 1.19) выходной ток 𝑖2 управляется входным
напряжением 𝑢1 . Входной ток равен нулю, входное сопротивление равно
бесконечности.
17
Рис. 1.19 – Источник тока, управляемый напряжением
Коэффициент 𝐻𝐺 имеет размерность проводимости.
В ИТУТ (рисунок 1.20) управляющим током является входной ток 𝑖1 .
Входная проводимость равна бесконечности.
Рис. 1.20 – Источник тока, управляемый током
Коэффициент 𝐻𝐼 характеризует усиление по току.
Примером зависимого источника является операционный усилитель (ОУ).
Операционный
усилитель
(рисунок
1.21)
имеет
два
входа:
1
–
неинвертирующий и 2 – инвертирующий. Идеальный ОУ представляет собой
ИНУН с бесконечно большим коэффициентом усиления 𝐻𝑈 , с бесконечно
большим входным сопротивлением и выходной проводимостью.
18
Рис. 1.21 – Операционный усилитель
1.4 Основные теоремы и принципы теории цепей
Если рассматривать напряжения и токи источников как задающие
воздействия, а напряжения и токи в отдельных ветвях цепи как реакцию
(отклик)
цепи
на
эти
воздействия,
то
принцип
наложения
можно
сформулировать следующим образом: реакция линейной электрической цепи
(ЛЭЦ) на сумму воздействий равна сумме реакций от каждого воздействия в
отдельности.
Принцип наложения можно использовать для нахождения реакции в
линейной цепи, находящейся как под воздействием нескольких источников, так
и при сложном произвольном воздействии одного источника.
Пример № 1. Пусть в ЛЭЦ действует несколько источников. Для
нахождения тока 𝑖 или напряжения 𝑢 u в какой-либо ветви осуществим
поочерёдное воздействие каждым источником и найдём соответствующие
частные реакции 𝑖𝑘 и 𝑢𝑘 на эти воздействия. Тогда результирующая реакция в
соответствии с принципом наложения определяется как:
𝑁
𝑖 = ∑ 𝑖𝑘
𝑘=1
𝑁
𝑢 = ∑ 𝑢𝑘 ,
𝑘=1
где N – общее число источников.
Пример № 2. Пусть в ЛЭЦ приложено напряжение сложной формы.
Раскладываем это сложное воздействие на сумму простых воздействий.
19
Определяем реакцию цепи на каждое простое воздействие с последующим
наложением полученных результатов.
Для нелинейных цепей принцип наложения неприменим – и это
обстоятельство часто служит критерием оценки линейности или нелинейности
электрической цепи. Для оценки линейности электрической цепи подадим на её
вход воздействие 𝑥(𝑡) в виде напряжения или тока (см. рисунок 1.22) и будем
наблюдать реакцию 𝑦(𝑡) на выходе цепи.
Если на вход цепи подано воздействие вида: 𝑘 ∙ 𝑥(𝑡) , а реакция на это
воздействие 𝑘 ∙ 𝑦(𝑡), то цепь линейна. В противном случае цепь является
нелинейной.
Рис. 1.22 – Электрическая цепь
Теорема замещения (рисунок 1.23): любую ветвь ЛЭЦ с напряжением 𝑢
и током 𝑖 можно заменить источником напряжения с 𝐸ист = 𝑢 и источником
тока с 𝐽ист = 𝑖.
Рис. 1.23 – Теорема замещения
Теорема взаимности (рисунок 1.24): если источник напряжения,
включенный
в
некоторую
ветвь
ЛЭЦ,
составленной
из
пассивных
20
двухполюсников, вызывает в другой ветви этой цепи некоторый ток, то тот же
источник напряжения, будучи перенесен в эту вторую ветвь, вызовет в первой
ветви прежний ток.
Рис. 1.24 – Теорема взаимности
Теорема об активном двухполюснике используется в случае, когда надо
найти реакцию цепи (ток или напряжение) в одной ветви. При этом остальную
часть цепи, к которой подключена данная ветвь, удобно рассматривать в виде
двухполюсника.
Активный двухполюсник – содержит источники электрической энергии,
которые не компенсируются взаимно внутри двухполюсника, в противном
случае двухполюсник пассивный.
Различают две модификации теоремы об активном двухполюснике:
Теорема
об
эквивалентом
источнике
напряжения
(теорема
Тевенина): ток в любой ветви ЛЭЦ не изменится, если активный
двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентном
источником напряжения (ЭДС) с напряжением (ЭДС), равным напряжению
холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и внутренним сопротивлением
источника, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного
двухполюсника со стороны разомкнутой ветви (рисунок 1.25). Схемы для
определения 𝑈𝑥𝑥 и 𝑅экв показаны на рисунке 1.26.
21
Рис. 1.25 – Теорема об эквивалентном источнике напряжения
Рис. 1.26 – Схемы для определения 𝑈𝑥𝑥 и 𝑅экв
Теорема об эквивалентом источнике тока (теорема Нортона): ток в
любой ветви ЛЭЦ не измениться, если активный двухполюсник, к которому
подключена данная ветвь, заменить эквивалентном источником тока с током,
равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью,
равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви
(рисунок 1.27). Схемы для определения 𝐼к.з. и 𝐺экв представлены на рисунке
1.28.
22
Рис. 1.27 – Теорема об эквивалентном источнике тока
Рис. 1.28 – Схемы для определения 𝐼к.з. и 𝐺экв .
Связь между эквивалентным источником напряжения и тока выражается
соотношениями:
𝐸ист = 𝐽ист ∙ 𝑅ист
𝐽ист = 𝐺ист ∙ 𝐸ист
𝐺ист =
1
𝑅ист
Принцип дуальности (таблица 1.1): если для данной электрической
цепи справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они
будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи.
Таблица 1.1
Принцип дуальности
Основные дуальные понятия и соотношения
Исходные понятия
Дуальные понятия
Напряжение
Ток
Сопротивление
Проводимость
Индуктивность
Ёмкость
I закон Кирхгофа
II закон Кирхгофа
Теорема об эквивалентном
Теорема об эквивалентном
23
источнике напряжения
источнике тока
Последовательное соединение
Параллельное соединение
u R (t ) R i R (t )
i R (t ) G u R (t )
u L (t) L
u C (t)
d i L (t )
dt
i C (t) C
1
i C ( t ) dt
C
Использование
принципа
дуальности
в
d u C (t)
dt
i L (t )
1
u L ( t ) dt
L
ряде
случаев
позволяет
существенно упростить расчёт. Так, если найдены уравнения для одной цепи,
то, используя дуальные соотношения можно сразу записать законы изменения
дуальных величин в дуальной цепи.
Теорема Телледжена: сумма произведений напряжений и токов всех
ветвей цепи, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равно нулю.
𝑁в
∑ 𝑢𝑛 ∙ 𝑖𝑛 = 0
𝑛=1
Баланс мощности: для любой замкнутой электрической цепи сумма
мощностей 𝑃ист , развиваемых источниками электрической энергии, равна
сумме мощностей 𝑃пот , расходуемой в приемниках энергии.
Уравнение баланса мощности:
𝑃ист = ∑ 𝑃пот или ∑(𝐸𝑘 𝐼𝑘 + 𝑈𝐽𝑘 𝐽𝑘 ) = ∑ 𝐼𝑘2 𝑅𝑘
Например: cоставить уравнение баланса мощности для резистивной
электрической цепи (рисунок 1.29).
24
Рис. 1.29 – Пример схемы для определения баланса мощности
𝐸𝐼 + 𝑈𝐽 𝐽 = 𝐼12 𝑅1 + 𝐼22 𝑅2 + 𝐼32 𝑅3 + 𝐼42 𝑅4 ,
где 𝑈𝐽 = 𝐸 + 𝐼2 𝑅2 − напряжение на источнике тока.
Следует обратить внимание на расстановку знаков при составлении
уравнения баланса мощности. Направление действия ЭДС 𝐸 совпадает с
заранее выбранном направлении тока ветви 𝐼, поэтому первое слагаемое в
левой части уравнения записывается со знаком «плюс».
Направление
напряжения на источнике тока выбрано противоположно направлению тока
источника тока, поэтому второе слагаемое также записывается со знаком
«плюс». При записи правой части уравнения баланса мощности все слагаемые
берутся со знаком «плюс».
25
2 Анализ цепей постоянного тока
2.1 Метод токов ветвей
Метод токов ветвей (МТВ) основан на законах Кирхгофа. Число
уравнений по МТВ равно количеству неизвестных токов ветвей и определяется
как:
𝑁МТВ = 𝑁𝐵 − 𝑁𝐽
Количество уравнений, составляемых по I закону Кирхгофа равно:
𝑁𝐼 = 𝑁уз − 1
Количество уравнений, составляемых по II закону Кирхгофа равно:
𝑁𝐼𝐼 = 𝑁𝐵 − 𝑁уз + 1 − 𝑁𝐽
При составлении уравнений по II закону Кирхгофа следует выбирать
независимые контуры, не содержащие источников тока.
2.2 Метод контурных токов
Метод контурных токов (МКТ) позволяет уменьшить количество
уравнений до числа:
𝑁МКТ = 𝑁𝐵 − 𝑁уз + 1 − 𝑁𝐽
Ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы
контурных токов, протекающих по этой ветви.
Выбирают и обозначают известные и неизвестные контурные токи.
Известные контурные токи – эти токи можно считать совпадающими с
соответствующими токами источников тока, и они являются заданными по
условию задачи.
Ни в коем случае нельзя выбирать известный контурный ток от
источника тока так, чтобы он охватывал ветвь с другим источником тока!!!
Неизвестные контурные токи определяются по II закону Кирхгофа.
Неизвестные контурные токи не должны охватывать ветви с источниками тока,
для них составляется каноническая система уравнений в виде:
26
R I R I R k I kk J n R n E ;
R I R I R k I kk J n R n E ;
R k I R k I R kk I kk J n R n E kk ;
n
где 𝑅𝑘𝑘 − собственное сопротивление контура 𝑘,
𝑅𝑘𝑚 − общее сопротивление контуров 𝑘 и 𝑚.
Причем, если направление контурных токов в общей ветви для контуров
k и m совпадают, то 𝑅𝑘𝑚 > 0, в противном случае 𝑅𝑘𝑚 < 0;
𝐸𝑘𝑘 – алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви, образующие контур 𝑘;
𝑅𝑛 – общее сопротивление ветви контура 𝑛 с контуром.
Приведём пример решения задачи методом контурных токов (рисунок
2.1).
Рис. 2.1 – Пример схемы для решения задачи по МКТ
I11, I22 – неизвестные контурные токи;
J11 = J – известный контурный ток;
I1, I3, I4 – неизвестные токи в ветвях, которые определяются через
контурные токи в виде:
I1 = – I11, I3 = J11 – I22, I4 = I22.
27
𝑁МКТ = 𝑁в − 𝑁уз + 1 − 𝑁𝐽 = 6 − 4 + 1 − 1 = 2
Система уравнений для контурных токов:
R I R I R J E
R I R I R J E
,
где R11 = R1, R12 = R21 = 0, R22 = R3 + R4, R J ,
R J R J , E11 = E1 + E2, E22 = –E1 – E2.
Перепишем уравнения в компактном виде:
R I E E
R R I R J E E
Окончательно получаем:
R J E E
E E
JR E E
, I J I , I I
I I
R
R R
R R
2.3 Метод узловых напряжений
Метод узловых напряжений (МУН) позволяет уменьшить количество
уравнений до числа:
𝑁МУН = 𝑁уз − 1 − 𝑁Е
Сущность метода: определяются потенциалы всех узлов, а токи ветвей,
соединяющих узлы, находят с помощью обобщенного закона Ома. При
составлении уравнений по МУН вначале полагают равным нулю потенциал
какого-либо узла (его называют базисным). Для определения потенциалов
оставшихся узлов составляется система канонических уравнений вида:
V G V G Vs Gs Vn Gn E G J;
V G V G Vs G s Vn G n E G J;
V G n V G n Vs G ns Vn G nn E G J;
n
n
G ss – сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s;
28
G sq – сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s
с узлом q.
E G – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих
s
к узлу s, на их проводимости;
При этом со знаком «плюс» берутся те ЭДС, которые действуют в
направлении узла, и со знаком «минус» – в направлении от узла;
J – алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к
s
узлу s;
При этом со знаком "плюс" берутся те токи, которые направлены к узлу s,
а со знаком "минус" – в направлении от узла s.
Приведём пример решения задачи методом узловых напряжений
(рисунок 2.2).
Рис. 2.2 – Пример схемы для решения задачи по МУН
Определим количество уравнений по МУН:
𝑁МУН = 𝑁уз − 1 − 𝑁Е = 4 − 1 − 2 = 1
За базисный принимаем узел 4, из чего следует:
V – потенциал узла 4;
V E – потенциал узла 2;
V E – потенциал узла 3;
29
Составим уравнение для определения V :
V G V G V G E G J .
Определим неизвестные коэффициенты нашего уравнения:
G
– проводимость ветвей, присоединенных к узлу 1;
R R
G
– проводимость ветви, заключенной между узлами 1 и 2;
R
G
– проводимость ветви, заключенной между узлами 1 и 3;
R
E G , поскольку нет ветвей с ЭДС, примыкающих к узлу 1;
J J , поскольку ток источника тока направлен от узла;
После подстановки всех величин получаем уравнение в виде:
V
E E
J .
R
R R
R
Из последнего уравнения определяем неизвестный потенциал
V
(единица измерения – вольт).
На следующем этапе определяем с помощью законов Ома неизвестные
токи в ветвях:
I
V V
V V
E E
V V
, I , I .
R
R
R
R
2.4 Метод эквивалентного источника
Данный метод основан на теореме об активном двухполюснике.
Применение данного метода целесообразно для определения тока в какой-либо
одной ветви сложной электрической цепи.
Пусть дана схема в виде (рисунок 2.3):
30
Рис. 2.3 – Пример схемы для решения задачи по теореме об активном двухполюснике
Определим ток 𝐼3 методом эквивалентного генератора.
Этапы решения задачи.
1. Разрываем цепь в указанном нами участке. Находим 𝑈𝑥𝑥 по второму
закону Кирхгофа, для этого рассматриваем контур I в следующей
схеме (рисунок 2.4):
Рис. 2.4 – Схема для определения 𝑈𝑥𝑥
𝑈𝑥𝑥 + 𝐼𝑥 𝑅4 = 0
𝑈𝑥𝑥 = −𝐼𝑥 𝑅4
2. Находим 𝐼х по методу контурных токов, для этого рассматриваем
контур с током 𝐼х с учетом влияния источника тока 𝐽4 .
𝐼х (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅4 ) + 𝐽4 𝑅1 = 𝐸2 − 𝐸1
Откуда определяем 𝐼х =
𝐸2 −𝐸1 −𝐽4 𝑅1
𝑅1 +𝑅2 +𝑅4
.
Соответственно напряжение холостого хода 𝑈х = 𝐸ист .
3. Определяем сопротивление эквивалентного источника (рисунок 2.5),
которое
должно
быть
равно
внутреннему
сопротивлению
пассивизированной активной цепи. Ветви, где были включены
источники тока, заменяются разрывом, а ветви с ЭДС – перемычкой. В
31
зависимости от вида соединения сопротивлений составляем формулу
для
расчёта
эквивалентного
сопротивления,
которое
равно
сопротивлению на источнике 𝑅эк = 𝑅ист .
𝑅ист =
(𝑅1 + 𝑅2 )𝑅4
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅4
Рис. 2.5 – Схема для определения 𝑅ИСТ
4. Находим ток в нагрузке 𝐼н = 𝐼з . Строим эквивалентную схему
замещения (рисунок 2.6), учитывая то, что мы, разрывая цепь,
исключили источник напряжения 𝐸3 и сопротивления 𝑅3 и 𝐼н ,
следовательно, мы не учли их влияние на нашу цепь, поэтому в данной
схеме мы должны включить их в цепь.
𝐼н =
𝐸ист + 𝐸3
, где
𝑅ист + 𝑅н
𝑅н = 𝑅3 + 𝑅
Рис. 2.5 – Эквивалентная схема замещения
32
2.5 Метод суперпозиции
Данный метод используется, когда действуют несколько источников
напряжения и тока. При этом находят частичные токи (напряжения), а
результирующие реакции определяются путем алгебраического суммирования
частичных токов (напряжений).
Пример: определим методом наложения токи 𝐼1 и 𝐼2 (рисунок 2.6).
Рис. 2.6 – Пример схемы
Определим реакцию цепи от источника ЭДС, исключив источник тока.
Составим схему замещения (рисунок 2.7), при этом на месте, где находился
источник тока, образуется разрыв (тока нет!). Логично предположить, что и в
сопротивлении 𝑅3 ток равен нулю, таким образом:
Сопротивления 𝑅1 и 𝑅2 соединены последовательно:
𝐼2(𝐸) = 𝐼1(𝐸) =
𝐸
, т. к 𝑈𝑅2 = 𝐼2(𝐸) 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
Формула делителя напряжения:
𝑈𝑅2 =
𝐸𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
33
Рис. 2.7 – Схема для определения 𝐼н
Определим реакцию цепи от источника тока, исключив источник ЭДС.
Составим схему замещения (рисунок 2.8), при этом на месте, где находился
источник ЭДС, образуется короткое замыкание (напряжение равно нулю!). Для
разнообразия поменяем направление тока 𝐼1(𝐽) .
Рис. 2.8 – Делитель тока
По схеме видно, что сопротивления 𝑅1 и 𝑅2 соединены между собой
параллельно!
Определим эквивалентное сопротивление параллельного соединения:
𝑅𝑎𝑏 =
𝑅1 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
С учётом эквивалентного преобразования упростим схему расчёта
(рисунок 2.9):
34
Рис. 2.9 – Упрощенная схема расчёта
По этой схеме видно, что сопротивления 𝑅3 и 𝑅𝑎𝑏 соединены
последовательнно, следовательно, через них протекает одинаковый ток J . По
закону Ома определим напряжение 𝑈𝑎𝑏 = 𝐽𝑅𝑎𝑏 .
По схеме делителя тока, учитывая, что при параллельном соединении
напряжение остается одинаковым, получим формулы по определению токов
𝐼1(𝐽) и 𝐼2(𝐽) .
𝐼1(𝐽) =
𝑈𝑎𝑏 𝐽𝑅𝑎𝑏
𝐽𝑅1 𝑅2
𝑅2
=
=
=𝐽∙
.
𝑅1
𝑅1
𝑅1 (𝑅1 + 𝑅2 )
𝑅1 + 𝑅2
Аналогично 𝐼2(𝐽) =
𝐼1(𝐽) = 𝐽 ∙
𝑈𝑎𝑏
𝑅2
=𝐽∙
𝑅1
𝑅1 +𝑅2
.
𝑅2
𝑅1
и 𝐼2(𝐽) = 𝐽 ∙
− формулы делителя тока
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
На последнем этапе определим истинные токи 𝐼1 и 𝐼2 :
𝐼1 = 𝐼1(𝐸) − 𝐼1(𝐽) =
𝐸
𝑅2
−𝐽∙
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝐼2 = 𝐼2(𝐸) + 𝐼2(𝐽) =
𝐸
𝑅1
+𝐽∙
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
В первом выражении присутствует знак «минус», поскольку ток 𝐼1(𝐽)
направлен противоположно токам 𝐼1 и 𝐼1(𝐸) .
35
3 Анализ цепей гармонического тока
3.1 Основные параметры гармонического колебания
Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону синуса
или косинуса. Графически гармоническое колебание можно представить в виде
(рисунок 3.1):
Рис. 3.1 – Гармонические колебания
где 𝐼𝑚 , 𝑈𝑚 – амплитуды тока и напряжения: максимальны по
абсолютному значению;
𝑇=
1
𝑓
– период: интервал времени, по истечении которого значения 𝑖(𝑡)
или 𝑢(𝑡) повторяются [c];
𝜔 = 2𝜋𝑓 – угловая частота: скорость изменения угла (аргумента)
[рад/сек];
𝑓 – циклическая частота: число периодов в единицу времени [Гц];
𝜑𝑖 , 𝜑𝑢 – начальные фазы тока и напряжения [рад].
Аналитически гармонический ток можно представить в виде:
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖 ) = 𝐼𝑚 𝑠𝑖𝑛𝛹𝑖 (𝑡)
Либо:
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖 ) = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠𝛹𝑖 (𝑡),
где 𝛹𝑖 (𝑡) = 𝜔𝑡 + 𝜑𝑖 – текущая фаза тока.
Аналогично для гармонического напряжения:
𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 ) = 𝑈𝑚 𝑠𝑖𝑛𝛹𝑢 (𝑡)
36
Либо:
𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 ) = 𝑈𝑚 𝑐𝑜𝑠𝛹𝑢 (𝑡),
где 𝛹𝑢 (𝑡) = 𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 – текущая фаза напряжения.
Номинальные
токи
и
напряжения
электротехнических
устройств
определяются так называемыми действующими значениями. Действующее
(среднеквадратичное) значение гармонического тока и напряжения:
𝑇
1
𝐼 = √ ∫ 𝑖 2 (𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
𝑇
1
𝑈 = √ ∫ 𝑢2 (𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
Найдём связь между амплитудными и действующими значениями тока и
напряжения. Зададим гармонический ток в виде: 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 cos𝜔𝑡, начальная
фаза тока равна нулю. Осуществим подстановку этого выражения в формулу по
определению действующего значения:
𝑇
𝑇
𝑇
2
2
1
𝐼𝑚
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡
𝐼𝑚
1
2
√
√
√
𝐼=
∫ 𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 𝑑𝑡 =
∙∫
𝑑𝑡 =
∙ 𝑇 + ∙ ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑇
𝑇
2
2𝑇
2
0
0
0
2
2
2
𝐼𝑚
1 1
𝐼𝑚
1 1
2𝜋
𝐼𝑚
𝐼𝑚
=√ + ∙
∙ 𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑡 = √ + ∙ ∙ 𝑠𝑖𝑛2 ∙
𝑇=√ =
2 2 2𝜔
2 4 𝜔
𝑇
2
2
Такие же выкладки можно показать и для напряжения. Таким образом
получаем: 𝐼 =
𝐼𝑚
2
, 𝑈=
𝑈𝑚
√2
– связь между амплитудными и действующими
значениями тока и напряжения.
Среднее значение гармонического тока и напряжения равно нулю. Это
можно доказать, если воспользоваться формулами по определению среднего
значения периодического негармонического тока и напряжения:
𝑇
1
< 𝐼 >= ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
37
𝑇
1
< 𝑈 >= ∫ 𝑢(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
3.2 Способы представления гармонических колебаний
Гармонические колебания представляют в виде:
1. временных диаграмм;
2. векторных диаграмм;
3. комплексных чисел;
4. амплитудных и фазовых спектров;
Временное
представление
(ранее
было
показано)
наглядно,
но
затруднительно при решении задач, поскольку требует проведения громоздких
тригонометрических преобразований.
Векторное представление (рисунок 3.2) является более удобным, при
этом каждому колебанию ставится в соответствие вращающийся вектор
определенной длины с заданной начальной фазой.
Пример. Пусть имеем колебания токов: 𝑖1 (𝑡) = 𝐼𝑚1 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖1 ) и
и
𝑖2 (𝑡) = 𝐼𝑚2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖2 ). Определим сумму этих токов: 𝑖3 (𝑡) = 𝑖1 (𝑡) + 𝑖2 (𝑡) =
𝐼𝑚3 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖3 ).
Рис. 3.2 – Векторное представление
38
Из геометрии рисунка видно, что:
2
2
𝐼𝑚3 = √𝐼𝑚1
+ 𝐼𝑚2
+ 2𝐼𝑚1 𝐼𝑚2 cos(𝜑𝑖2 − 𝜑𝑖1 )
𝜑𝑖3 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐼𝑚1 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑖1 + 𝐼𝑚2 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑖2
𝐼𝑚1 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖1 + 𝐼𝑚2 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖2
𝜑𝑖 = 𝜑𝑖2 − 𝜑𝑖1 – фазовый сдвиг между колебаниями токов 𝑖1 и 𝑖2 .
Векторной диаграммой называют совокупность векторов, изображающих
гармонические колебания в электрической цепи. Векторные диаграммы строят
для амплитудных или действующих значений.
Представления гармонических колебаний с помощью комплексных чисел
лежат в основе символического метода расчета электрических цепей (метод
комплексных амплитуд).
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖 ) → 𝐼𝑚 = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑖 – комплексная амплитуда, где
𝑗 = √−1 (мнимая единица).
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖 ) → 𝐼 = 𝐼𝑒 𝑗𝜑𝑖 – комплекс действующего значения,
причём 𝐼 =
𝐼𝑚
.
√2
𝐼𝑚 = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑖 , 𝐼 = 𝐼𝑒 𝑗𝜑𝑖 – запись в показательной форме. Существует
запись в алгебраической форме, для этого используем формулу Эйлера:
𝑒 𝑗𝑥 = cos(𝑥) + 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑥).
𝐼𝑚 = 𝐼𝑚 cos(𝜑𝑖 ) + 𝑗𝐼𝑚 sin(𝜑𝑖 ) = 𝑎 + 𝑗𝑏, где 𝑎 = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑖 ) , 𝑏 = 𝐼𝑚 𝑠𝑖𝑛(𝜑𝑖 )
Пример. Решим предыдущую задачу с помощью символического метода:
Каждому гармоническому колебанию тока ставим в соответствие
комплекс тока:
𝑖1 (𝑡) = 𝐼𝑚1 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖1 ) ↔ 𝐼1 = 𝐼1 𝑒 𝑗𝜑𝑖1 = 𝐼1 cos(𝜑𝑖1 ) + 𝑗𝐼1 sin(𝜑𝑖1 )
𝑖2 (𝑡) = 𝐼𝑚2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖2 ) ↔ 𝐼2 = 𝐼2 𝑒 𝑗𝜑𝑖2 = 𝐼2 cos(𝜑𝑖2 ) + 𝑗𝐼2 sin(𝜑𝑖2 )
Следует
заметить,
что
комплекс
тока
мы
представили
как
в
показательной, так и в алгебраической форме. Из теории комплексных чисел
известно, что если совершается операция сложения (вычитания) комплексное
число удобно представлять в алгебраической форме, если совершается
39
операция умножения (деления) комплексное число удобно представлять в
показательной форме. В данном примере осуществляется операция сложения
двух гармонических колебаний, поэтому комплексы токов удобно представить
в алгебраической форме.
Определяем суммарный ток:
𝐼3 = 𝐼1 + 𝐼2 = {𝐼1 cos(𝜑𝑖1 ) + 𝐼2 cos(𝜑𝑖2 )} + 𝑗{𝐼1 sib(𝜑𝑖1 ) + 𝐼1 sin(𝜑𝑖2 )}.
Последнее выражение представлено в алгебраической форме, его
необходимо перевести в показательную. Используем соотношение, которое
позволяет комплексное число перевести из алгебраической формы в
показательную форму:
𝑏
𝑎 + 𝑗𝑏 = √𝑎2 + 𝑏 2 ∙ 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 = |𝑐| ∙ 𝑒 𝑗𝜙𝑐 ,
где |𝑐| = √𝑎2 + 𝑏 2 – модуль комплексного числа,
𝑏
𝜙𝑐 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 – аргумент комплексного числа.
𝑎
Таким образом, суммарный ток в показательной форме можно записать в
виде: 𝐼3 = 𝐼3 𝑒 𝑗𝜑𝑖3 , где
𝐼3 = √{𝐼1 cos(𝜑𝑖1 ) + 𝐼2 cos(𝜑𝑖2 )}2 + {𝐼1 sin(𝜑𝑖1 ) + 𝐼2 sin(𝜑𝑖2 )}2 – модуль
(действующее значение тока),
𝜑𝑖3 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐼1 sin(𝜑𝑖1 )+𝐼2 sin(𝜑𝑖2 )
𝐼1 cos(𝜑𝑖1 )+𝐼2 cos(𝜑𝑖2 )
– аргумент (начальная фаза тока).
Полученные комплексы токов удобно представить в виде векторной
диаграммы на комплексной плоскости (рисунок 3.3):
Рис. 3.3 – Векторные диаграммы
40
Четвёртый способ представления гармонических колебаний – с помощью
амплитудных и фазовых спектров. Амплитудным спектром называется
зависимость
амплитуды
от
частоты.
Фазовым
спектром
называется
зависимость фазы от частоты.
Пример № 1. Построить амплитудный и фазовый спектр гармонического
напряжения вида (рисунок 3.4):
𝑢(𝑡) = 5 cos(500𝑡 + 45°) , В.
Понятно,
что
амплитуда
𝑈𝑚 = 5В,
напряжения
напряжения 𝜑𝑢 = 45°, угловая частота 𝜔 = 500
рад
с
начальная
фаза
.
Рис. 3.4 – Амплитудный и фазовый спектр гармонического напряжения
Пример
№
2.
Построить
амплитудный
спектр
периодического
негармонического колебания вида:
𝑖(𝑡) = 𝐼0 + 𝐼1 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐼3 ∙ 𝑠𝑖𝑛3𝜔𝑡
Рис. 3.5 – Амплитудный спектр периодического негармонического колебания
41
3.3 Символический расчёт цепей гармонического тока
Символический метод расчета (СМР) позволяет тригонометрические и
геометрические
операции
свести
к
алгебраическим
операциям
над
комплексными числами. Это упрощает расчет.
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑𝑖 ) = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑖 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ,
𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑𝑢) = 𝑈𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑢 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑈𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ,
где 𝐼𝑚 = 𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑖 , 𝑈𝑚 = 𝑈𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑢 – комплексные амплитуды тока и
напряжения;
𝐼=
𝐼𝑚
√2
𝑒 𝑗𝜑𝑖 , 𝑈 =
𝑈𝑚
√2
𝑒 𝑗𝜑𝑢 – комплексные действующие значения тока и
напряжения.
Запишем закон Ома в комплексной форме для элементов R, L и C.
Для резистивного элемента:
𝑢(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) или 𝑖(𝑡) = 𝐺𝑢(𝑡), то 𝑈𝑚 = 𝑅𝐼𝑚 , 𝐼𝑚 = 𝐺𝑈𝑚 или 𝑈 = 𝑅𝐼,
𝐼 = 𝐺𝑈.
Для индуктивного элемента:
𝑢(𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖
1
𝑈𝑚 = 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑚 = 𝑍𝐿 𝐼𝑚 , 𝐼𝑚 =
1
𝑗𝜔𝐿
1
= 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 или 𝑖(𝑡) = ∫ 𝑢(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑈 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
𝐿
𝑗𝜔𝐿 𝑚
1
𝑗𝜔𝐿
𝑈𝑚 = 𝑌𝐿 𝑈𝑚 , или 𝑈 = 𝑗𝜔𝐿𝐼 = 𝑍𝐿 𝐼, 𝐼 =
𝑈 = 𝑌𝐿 𝑈.
𝑍𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 – комплексное соединение индуктивности (алгебраическая
форма).
𝜋
𝑍𝐿 = 𝜔𝐿𝑒 𝑗 2 – комплексное сопротивление индуктивности (показательная
форма).
𝑌𝐿 =
1
𝑗𝜔𝐿
– комплексная проводимость индуктивности (алгебраическая
форма).
𝑌𝐿 =
1
𝜔𝐿
𝜋
𝜋
𝑒 −𝑗 2 = 𝐵𝐿 𝑒 −𝑗 2
– комплексная проводимость индуктивности
(показательная форма).
42
Из последних соотношений видно: |𝑍𝐿 | = 𝑋𝐿 , |𝑌𝐿 | = 𝐵𝐿 .
Для емкостного элемента:
𝑑𝑢
𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑡
1
𝐼𝑚 = 𝑗𝜔𝐶𝑈𝑚 = 𝑌𝑐 𝑈𝑚 , 𝑈𝑚 =
1
𝑗𝜔𝐶
1
= 𝑗𝜔𝐶𝑈𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 или 𝑢(𝑡) = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 =
𝐼𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 .
𝐶
𝑗𝜔𝐶
1
𝐼
𝑗𝜔𝐶 𝑚
= 𝑍𝑐 𝐼𝑚 или 𝐼 = 𝑗𝜔𝐶𝑈 = 𝑌𝑐 𝑈, 𝑈 =
𝐼 = 𝑍𝑐 𝐼.
𝑌𝑐 = 𝑗𝜔𝐶 – комплексная проводимость на ёмкости (алгебраическая
форма).
𝜋
𝜋
𝑌𝑐 = 𝜔𝐶𝑒 𝑗 2 = 𝐵𝑐 𝑒 𝑗 2 – комплексная проводимость ёмкости (показательная
форма).
𝑍𝑐 =
𝑍𝑐 =
1
𝑗𝜔𝐶
1
𝜔𝐶
– комплексное сопротивление ёмкости (алгебраическая форма).
𝜋
𝜋
𝑒 −𝑗 2 = 𝑋𝑐 𝑒 −𝑗 2
–
комплексное
сопротивление
ёмкости
(показательная форма).
Из последних соотношений видно: |𝑍𝐶 | = 𝑋𝐶 , |𝑍𝐶 | = 𝐵𝐶 .
3.3.1 Анализ последовательной RL-цепи
Последовательная RL-цепь изображена на рисунке 3.6.
Рис. 3.6 – Последовательная RL-цепь
На основании II закона Кирхгофа в комплексной форме:
𝑈 = 𝑈𝑅 + 𝑈𝐿 = 𝑅𝐼 + 𝑍𝐿 𝐼 = (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)𝐼 = 𝑍 𝐼, где 𝑍 – полное комплексное
сопротивление цепи.
43
𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 =
√𝑅2
𝜔𝐿
+ (𝜔𝐿)2 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑅 = |𝑍|𝑒 𝑗𝜑𝑧 ,
|𝑍|
где
–
модуль
комплексного сопротивления, 𝜑𝑧 – аргумент комплексного сопротивления.
𝜑 = 𝜑𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝜔𝐿
𝑅
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑋𝐿
𝑅
–
фазовый
сдвиг
между
входным
напряжением и током.
j
U
UL
φ
UR
I
+
Рис. 3.7 – Векторная диаграмма фазового сдвига между входным напряжением и
током
Из векторной диаграммы видно, что фазовый сдвиг между напряжением
и током больше нуля.
Вывод: цепь носит индуктивный характер.
3.3.2 Анализ последовательной RC-цепи
R
i(t)
С
u(t)
R
комплексная схема
замещения
I
U
ZС
Рис. 3.7 – Последовательная RC-цепь
На основании II закона Кирхгофа в комплексной форме:
𝑈 = 𝑈𝑅 + 𝑈𝐶 = 𝑅𝐼 + 𝑍𝐶 𝐼 = (𝑅 +
√𝑅 2 + (
1
2
1
) 𝐼 = 𝑍 𝐼,
𝑗𝜔𝐶
где
𝑍 =𝑅−𝑗
1
𝜔𝐶
=
1
) 𝑒 −𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑅𝜔𝐶 = |𝑍|𝑒 𝑗𝜑𝑧 – комплексное сопротивление,
𝜔𝐶
44
𝜑 = 𝜑𝑧 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
𝑅𝜔С
= −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑋С
𝑅
–
фазовый
сдвиг
между
входным
напряжением и током.
j
UR
I
+
φ
UC
U
Рис. 3.8 – Векторная диаграмма фазового сдвига между входным напряжение и током
Из векторной диаграммы видно, что фазовый сдвиг между напряжением
и током меньше нуля.
Вывод: цепь носит емкостной характер.
3.3.3 Анализ параллельной RL-цепи
Анализ
параллельно
соединенных
элементов
удобно
вести
с
использованием принципа дуальности.
i(t)
iG(t)
u(t)
G
iL(t)
I
комплексная схема
замещения
L
U
IG
IL
G
YL
Рис. 3.9 – Параллельная RL-цепь
На основании I закона Кирхгофа в комплексной форме:
𝐼 = 𝐼𝐺 + 𝐼𝐿 = 𝐺𝑈 + 𝑌𝐿 𝑈 = (𝐺 +
1
𝑗𝜔𝐿
) 𝑈 = 𝑌 𝑈, где 𝑌 – полная комплексная
проводимость цепи.
45
𝑌 =𝐺−𝑗
1
1
2
1
= √𝐺 2 + ( ) 𝑒 −𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝐺𝜔𝐿 = |𝑌|𝑒 𝑗𝜑𝑦 , где |𝑌| – модуль
𝜔𝐿
𝜔𝐿
комплексного сопротивления, 𝜑𝑦 – аргумент комплексного сопротивления.
𝜑 = −𝜑𝑦 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
𝐺𝜔𝐿
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐵𝐿
𝐺
– фазовый сдвиг между входным
напряжением и током.
j
IG
U
+
φ
IL
I
Рис. 3.10 – Векторная диаграмма фазового сдвига между входным напряжением и
током
Из диаграммы видно, что фазовый сдвиг между напряжением и током
больше нуля.
Вывод: цепь носит индуктивный характер.
3.3.4 Анализ параллельной RC-цепи
i(t)
iG(t)
u(t)
G
iC(t)
C
I
комплексная схема
замещения
U
IG
IC
G
YC
Рис. 3.10 – Параллельная RC-цепь
На основании I закона Кирхгофа в комплексной форме:
46
𝐼 = 𝐼𝐺 + 𝐼𝐿 = 𝐺𝑈 + 𝑌С 𝑈 = (𝐺 + 𝑗𝜔С)𝑈 = 𝑌 𝑈, где 𝑌 – полная комплексная
проводимость цепи.
𝜔𝐶
𝑌 = 𝐺 + 𝑗𝜔С = √𝐺 2 + (𝜔𝐶)2 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐺 = |𝑌|𝑒 𝑗𝜑𝑦 ,
где
|𝑌|
–
модуль
комплексного сопротивления, 𝜑𝑦 – аргумент комплексного сопротивления.
𝜑 = −𝜑𝑦 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝜔𝐶
𝐺
= −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐵𝐶
𝐺
– фазовый сдвиг между входным
напряжением и током.
j
I
IC
φ
IG
U
+
Рис. 3.11 – Векторная диаграмма фазового сдвига между входным напряжением и
током
Из диаграммы видно, что фазовый сдвиг между напряжением и током
меньше нуля.
Вывод: цепь носит емкостной характер.
3.4 Резонансные явления в электрических цепях
3.4.1 Анализ последовательного колебательного контура
Рис. 3.12 – Схема последовательной RLC-цепи
47
Резонансная частота:
1
𝜔0 =
√𝐿𝐶
, 𝑓0 =
1
2𝜋√𝐿𝐶
Резистивное сопротивление контура при резонансе: 𝑍 = 𝑅.
Определим реактивные сопротивления на индуктивности и емкости при
резонансе:
𝑋𝐿0 = 𝜔0 𝐿 =
𝑋𝐶0 =
1
√𝐿𝐶
𝐿=√
𝐿
𝐶
1
𝐿
√𝐿𝐶
=
=√
𝜔0 𝐶
𝐶
𝐶
𝐿
Видно, что сопротивления 𝑋𝐿0 = 𝑋𝐶0 = √ = 𝜌 – характеристическое
𝐶
сопротивление контура.
Резонансные свойства контура характеризуются добротностью:
𝑄 = 2𝜋 ∙
𝑊𝑝
𝑊𝑎𝑇
где 𝑊𝑝 – максимальное значение реактивной энергии, запасенной в
контуре при резонансе;
𝑊𝑎𝑇 – активная энергия, поглощаемая в контуре за период T;
𝑑=
1
𝑄
– затухание.
В контуре происходит периодический обмен энергии электрического и
магнитного полей, т.е.:
2
2
𝐿𝐼𝑚0
𝐶𝑈𝑚0
𝑊𝑝 =
=
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
2
2
Значение активной энергии, рассеиваемой в контуре, определяется как:
𝑊𝑎𝑇 =
𝐼02 𝑅𝑇
2
𝐼𝑚0
𝑅𝑇
=
.
2
С учетом этого, добротность последовательного колебательного контура:
2
𝐿𝐼𝑚0
2𝜋𝑓0 𝐿 𝜔0 𝐿 𝜌
𝑄 = 2𝜋 ∙ 2
=
=
=
𝑅
𝑅
𝑅
𝐼𝑚0 𝑅𝑇
48
Либо:
𝜔0 𝐿 𝜔02 𝐿 1
𝐿
1
𝜌
𝑄=
=
∙
=
=
= .
𝑅
𝑅 𝜔0 𝑅𝜔0 𝐿𝐶 𝑅𝜔0 𝐶 𝑅
𝑄=
𝜔0 𝐿
𝑅
=
1
𝑅𝜔0 𝐶
=
𝜌
𝑅
– добротность последовательного колебательного
контура.
Свои частотные свойства электрические цепи проявляют за счет наличия
в них реактивных элементов, сопротивления которых зависит от частоты.
Для
последовательного
X L L , X C
колебательного
контура
можно
записать:
, X X L X C , Z R X ,
C
ω→0
X, Z
XC
XL
0<ω<ω0
Z
X
ρ
ω = ω0
R
ω0<ω<∞
ω0
0
ω
ω→∞
Рис. 3.13 – Частотные характеристики X(ω) и Z(ω)
Определим частотную зависимость тока в контуре:
Рис. 3.13 – Частотная зависимость тока в последовательном колебательном контуре
I
U
Z
U
R X
, при резонансе: I
U
.
R
49
Определим
частотные
зависимости
напряжений
на
отдельных
элементах контура:
U R I R
UR
R X
U L I X L
, при резонансе: U R I R U .
U X L
R X
резонансе: U L U C I U
U C I X C
,
U X C
R X
,
при
U Q , откуда определим добротность:
R
U L U C
Q.
U
U
Рис. 3.14 – Частотные зависимости напряжений на отдельных элементах контура
U C C U L L U max
C и L определяются из условий:
d UL
d UC
.
,
d
d
L
C
Получаем уравнения:
L C C
R C L ,
L R C L C
C
L R C
L C
, L
L C R C
.
50
Определим частоты максимумов через добротность и резонансную
частоту контура:
C
L
L R C
L C
L C R C
Передаточная
колебательного
L
R C
CR
L C
R
функция
контура.
по
R
R
.
Q
Q
проводимости
Абсолютная,
Q
R
L
R C
C R
Q
.
последовательного
относительная
и
обобщённая
расстройка, полоса пропускания.
Комплексная передаточная функция по проводимости контура:
H Y j
I
U Z j
R j L
C
.
Степень отклонения режима колебательного контура от резонанса
оценивают по:
абсолютной расстройке: Δ или Δf f f ,
относительной расстройке: Δ
Δf
,
f
обобщенной расстройке:
В
X
R
теории
L
часто
R
C
R
L
L C
Q
C
L C R
применяется
обобщенная
расстройка,
т.к.
ее
использование упрощает расчет, т.е.
H Y j
H Y e j Y ,
R j
где H Y
R
. – АЧХ, Y arctg . – ФЧХ.
51
Мы
можем
более
упростить
расчет,
если
будем
использовать
нормированную АЧХ:
TY
H Y
– коэффициент передачи по проводимости,
H Y
где H Y ( 0) – значение АЧХ при 0 .
Построим
частотную
характеристику
коэффициента
передачи
по
проводимости:
Рис. 3.15 – Частотная характеристика коэффициента передачи по проводимости
Полоса пропускания (ПП) – диапазон частот в пределах которого
коэффициент передачи уменьшается в
раз. Определим граничные частоты
полосы пропускания из условия: TY
,
откуда , .
, тогда истинные частоты:
С другой стороны: Q
Q , Q .
Q
Q
Определим ширину полосы пропускания:
П
f
, либо П f .
Q
Q
Избирательность
–
способность
контура
выделять
колебание
определенной частоты.
Выводы:
52
1.
С увеличением потерь в контуре, его добротность уменьшается.
2.
Уменьшение
добротности
способствует
увеличению
полосы
пропускания.
3.
Увеличение
полосы
пропускания
ведет
к
уменьшению
избирательности.
3.4.2 Анализ параллельного колебательного контура
Принцип
дуальности
позволяет
распространить
частотные
характеристики последовательного колебательного контура на частотные
характеристики параллельного контура. В параллельном колебательном
контуре имеет место резонанс токов с частотой:
При резонансе:
Y G , L C , f L C .
B C C
BL
L
LC
LС
L
C
C
g,
L
C
g ,
L
Рис. 3.16 – Параллельный колебательный контур
где g – характеристическая проводимость контура.
Добротность определяется как: Q
BC C , B L
C
g
.
G
G L G
, B BC BL , Y G B
L
53
ω→∞
B, Y
BL
ω0<ω<∞
BC
Y
B
ω = ω0
g
G
0<ω< ω0
ω0
0
ω
ω→0
Рис. 3.17 – Частотная зависимость B(ω) и φ(ɷ)
Частотная зависимость напряжения в контуре показана на рисунке 3.18:
Рис. 3.18 – Частотная зависимость напряжение в контуре
U
I
Y
I
G B
при резонансе: U
,
I
.
G
Определим частотные зависимости токов на отдельных элементах
контура:
I G U G
IG
G B
I C U BC
, при резонансе: I G U G I .
I BC
G B
, I L U B L
I B L
G B
,
54
при
I C I L U g I
резонансе:
g
IQ ,
G
откуда
определим
добротность:
I C I L
Q.
I
I
Частотные зависимости фазовых соотношений:
arctg
B
B
B
, I L arctg
, I C arctg
.
G
G
G
Передаточная функция по сопротивлению параллельного колебательного
контура. Метод узкополосного приближения.
Комплексная передаточная функция по сопротивлению параллельного
контура: H Z j
U
I Y j
G j C
L
.
Обобщенная расстройка:
C
B
G
H Z j
L
G
C
g
L C
Q
G L
L C G
H Z e j Z ,где H Z
. – АЧХ,
G j
G
Z arctg . – ФЧХ.
TZ
H Z
– коэффициент передачи по сопротивлению.
H Z
Определим граничные частоты полосы пропускания из условия:
TZ
, откуда , .
, то истинные частоты:
Т.к. Q
55
Q , Q .
Q
Q
Определим ширину полосы пропускания: П
f
, либо П f .
Q
Q
Приближенный переход от к переменной Δ составляет
сущность метода узкополосного приближения.
Δ
Δ
.
Δ
Δ
Последнее слагаемое разлагаем в ряд:
Δ
Δ
Δ Δ
Δ
, то
.
Частотные характеристики имеют упрощенный вид:
TZ
Q
3.5
Δ
, Z arctg Q arctg Q
Q
Δ
.
Индуктивно-связанные электрические цепи
Мы рассматривали цепи без учета явления взаимоиндукции. При
протекании переменного тока i1 через катушку индуктивности L1 в
окружающем пространстве, согласно закону об электромагнитной индукции
(закон Фарадея), создается магнитный поток Ф11. Если какая либо часть этого
потока Ф12 пронизывает витки другой катушки L2, то в ней наводится
напряжение взаимоиндукции.
u M M
d i
.
dt
56
Ф11
Ф12
Ф21
Ф22
i1
i2
u
L1
L2
uM2
uM1
L1
L2
u
Рис. 3.19 – Схема цепи с взаимными индуктивностями
Если напряжение u приложено к катушке индуктивности L2, то
напряжение взаимоиндукции u M1 возникает на зажимах катушки L1.
u M M
Согласно
d i
.
dt
взаимности: M M M -взаимоиндуктивность
принципу
[Гн].
Рассмотренная индуктивная связь носит односторонний характер,
поскольку ток i1 вызывает напряжение взаимоиндукции u M 2 , а ток i 2 –
напряжение взаимоиндукции u M1 .
В случае замыкания одной из катушек на конечное сопротивление R
проявляется двухсторонняя индуктивная связь.
i1
u1
i2
L1
L2
u2
R
Ф21
Ф11
Ф12
Ф22
Рис. 3.20 – Проявление двухсторонний индуктивной связи
В катушке L1 индуцируется напряжение u1 : u L
di
di
M .
dt
dt
57
В катушке L 2 индуцируется напряжение u 2 : u L
di
di
M .
dt
dt
Включение катушек называется согласным, если потоки самоиндукции и
взаимоиндукции складываются. В противном случае включение называется
встречным.
Степень связи между L1 и L2 оценивается коэффициентом связи:
k
M
L L
.
Если k = 1 – жесткая индуктивная связь, если k = 0 – отсутствие
индуктивной связи.
Для компактности и удобства изображения схем электрических цепей с
взаимной индуктивностью вводят понятие одноименных зажимов – узлов,
относительно
которых
одинаково
ориентированные
токи
создают
складывающиеся потоки само- и взаимоиндукции.
Рис. 3.21 – Одноименные зажимы
58
4 Цепи при негармонических периодических воздействиях
Рис. 4.1 – Периодические негармонические колебания
Если f(t) – периодическая негармоническая функция, удовлетворяет
условиям Дирихле, то ее можно разложить в ряд Фурье:
a
f t a k cos k t b k sin k t тригонометрическая форма
k
Коэффициенты разложения определяются как:
t T
t T
ak
f t cos k t dt , b k T f t sin k t dt .
T t
t
Если площади положительных и отрицательных значений f(t) равны, то
a
t – может быть выбрано произвольно, далее полагаем t .
Для удобства введем переменную: t , учитывая, что
a
f a k cos k b k sin k ,
k
получим:
T
где
a k f cos k d ,
bk
f sin k d .
Если принять
t
T
,
то пределы интегрирования будут равны
соответственно и .
59
Сумма косинусоид и синусоид в ряде Фурье может быть представлена в
виде суммы только одних косинусоид с соответствующими начальными
фазами. Пусть a k Fk cos k , b k Fk sin k , тогда подставляя в ряд Фурье,
получим: f
a
Fk cos k k , где
k
b
Fk a k b k – амплитудный спектр, k arctg k – фазовый спектр.
a
k
Поскольку: cos k
e j k e j k
,
sin k
e j k e j k
,
j
a k Fk cos k
–
функция четная, поэтому a k a k , b k Fk sin k – функция нечетная, поэтому
b k b k , получаем:
a
e j k e j k
e j k e j k
f a k
jbk
k
a
a k j b k e j k a k j b k e j k
k
k
a
jk
a k j b k e j k
a
j
b
e
k
a k j b k e j k
k
k
k
k
f
F k e j k – комплексная форма ряда Фурье
k
где Fk a k j b k Fk e j k – комплексная амплитуда k-ой гармоники.
Поскольку a k f cos k d , b k f sin k d , то
F k a k j b k f cos k d j f sin k d f e j k d .
После возвращения к переменной t, получим:
Fk
T
f t e j k t dt , либо
T
T
jk t
Fk
dt – формулы для комплексного спектра.
f t e
T T
60
Представление периодических колебаний в ряд Фурье
4.1
Рис. 4.2 – Функция f(а) симметрична относительно оси ординат
1. Функция f симметрична относительно оси ординат:
a
f a k cos k .
k
Разложим в ряд Фурье прямоугольное колебание. Для определения
коэффициентов достаточно пользоваться кривой f за половину периода, т.е.
k
ak
cos k d
sin
, следовательно:
k
a
cos cos cos
f a k cos k cos
cos
cos
k
2. Функция f симметрична относительно начала координат:
f
b k sin k
k
Рис. 4.3 – Функция (f) симметрична относительно начала координат
61
cos k , следовательно:
b k sin k d
cos k
k
k
f
3.
b k sin k sin
k
sin sin sin
sin
sin
При сдвиге начала отсчета функции f(t) ее амплитудный спектр не
изменяется, а меняется только фазовый спектр.
Сдвинем функцию f(t) по оси времени влево на t0:
a
a
f t Fk cos k t t k Fk cos k t k ,
k
k
где
k k k t .
Рис. 4.4 – Сложная форма функции f(а)
В свойстве (1) прямоугольное колебание сдвинуто на угол влево
относительно прямоугольного колебания в свойстве (2), разложение которого в
ряд определяется как:
f
sin sin sin
.
62
С учетом свойства (3) получим:
f
sin sin sin
cos cos cos
Графо-аналитический способ разложения в ряд Фурье.
Данный способ применяется в случае, когда функция f имеет сложную
форму.
Период функции f , равный , разбивается на m равных интервалов
Δ , при этом выполняется:
m Δ .
Расстояние от начала координат до середины n-го интервала:
n n Δ
Δ
n Δ ,
n n
.
m
Коэффициенты ряда Фурье вычисляются как:
a k f cos k d , b k f sin k d .
Интегралы заменяем конечной суммой:
m
m
ak
f n cos k n , b k m f n sin k n m .
m n
m
n
Последние два уравнения легко программируются, и при вычислении
коэффициентов может использоваться ЭВМ.
Действующее,
среднее
значение
и
мощность
периодического
негармонического сигнала.
Действующее значение определяется как:
63
T
T
I
i t dt , U T u t dt .
T
Мгновенные значения периодических негармонических колебаний тока и
напряжения:
it I
k
k
I mk cos k t ik , ut U U mk cos k t uk .
Таким образом, получаем:
I
I
U
Вывод:
U
I
mk
k
U
mk
k
действующее
I
U
значение
I k
I k ,
k
k
U k
k
U k .
k
периодического
негармонического
сигнала определяется действующими значениями его гармоник и не зависит от
их начальных фаз.
Среднее
значение
периодического
негармонического
сигнала
T
T
определяется как: I it dt , U u t dt .
T
T
Активная мощность негармонического сигнала: P
T
u (t ) i(t ) dt .
T
Мгновенные значения представим как:
it
I mk cos k t ik , ut
k
U mk cos k t ik k ,
k
где k – фазовый сдвиг между током и напряжением k-ой гармоники.
Выражение для активной мощности будет в виде:
P
U k I k cos k
k
Pk [Вт].
k
64
Вывод:
средняя
за
период
активная
мощность
периодического
негармонического сигнала равна сумме мощностей отдельных гармоник.
Реактивная
мощность
и
полная
мощность
периодического
негармонического сигнала определяются соответственно:
Q
U k I k sin k
k
Q k [ВАр], S U I
k
U k
k
I k [ВА].
k
Q ,
Для периодических негармонических сигналов: S P Pиск
где Pиск – мощность искажений.
4.2
Спектры периодических негармонических колебаний
Рис. 4.5 – Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
t u – длительность импульса.
N
T
скважность.
tu
Определим комплексный амплитудный спектр по ранее выведенной
формуле:
T
T
u t e j k t dt .
Fk
f t e j k t dt , т.е. U k
T T
T T
После подстановки получим:
65
2
Uk
T
tu 2
Ee
tu 2
jk t
2E
dt
T
tu 2
e
jk t
tu 2
t
2
u
2E
1
jk t
dt
e
T j k
tu 2
2E
2E 1
1
e j k t u 2 e j k t u 2
e j k t u 2 e j k t u 2
T j k
T jk
Последнее выражение преобразуем к виду:
E
E sin k t u
e j k t u e j k t u
Uk
,
T
t
j
N k tu
k u
tu
учитывая,
что
:
T
Uk
k
E sin k N E sin k
, где k
.
N k N
N k
N
Запишем выражение в более компактном виде:
Uk
sin k
E
f ( k ) , где f ( k )
– функция отсчетов.
k
N
Представим комплексный спектр U k , если N , E В.
Рис. 4.6 – Комплексный спектр последовательности прямоугольных импульсов
66
E
f ( k ) , если N ,
Определим амплитудный спектр: U k U k
N
E В.
Рис. 4.7 – Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов
Определим фазовый спектр как:
, если sin k N
k
, N .
, если sin k N
Рис. 4.8 – Фазовый спектр последовательности прямоугольных импульсов
67
Вывод: амплитудный спектр является четной, а фазовый – нечетной
функцией частоты.
Коэффициенты формы
4.3
Периодические
негармонические
сигналы
характеризуются
рядом
коэффициентов:
1.
Коэффициент формы – отношение действующего значения к
среднему значению:
kф
2.
I
U
.
I U
Коэффициент амплитуды – отношение максимального значения к
действующему значению:
I
U
k a max max .
I
U
3.
Коэффициент искажения – отношение действующего значения
первой (основной) гармоники к действующему значению всего сигнала.
I
U
kи .
I
U
4.
Коэффициент гармоник – отношение действующего значения
высших гармоник к действующему значению основной гармоники.
I k
kг
k
I
U k
k
U
.
Пусть задано периодическое негармоническое колебание вида:
u(t ) Um sin t U m sin t , причем Um B , U m B .
Определим действующее значение по формуле:
U
U
U
mk
k
Um U m
, B .
Для удобства анализа используем переменную t , тогда
68
u() Um sin U m sin u () u () .
Представим графики u(), u () и u () :
U1m sin ( )
u1( )
u2( )
U2m sin ( 2 )
u( )
u1( )
u2( )
15
9
u1( )
3
u2( )
u( )
0
90
180
270
360
3
9
15
180
Рис. 4.9 – График u(a), u1(a) и u2(a)
Определим среднее значение напряжения u () по формуле:
U
Um sin U m sin d Um , B .
Таким образом, коэффициент формы определяется как:
kф
U
,
, .
U ,
Определим максимальное напряжение:
du
Um cos U m cos , поскольку cos cos , то
d
U m cos Um cos U m ,
cos
Um U m Um , .
U m
69
Следовательно,
arccos(,)
и
максимальное
напряжение
вычисляется как:
U max Um sin o U m sin o , B .
Таким образом, коэффициент амплитуды определяется как:
ka
U max ,
, .
U
,
Определим коэффициент искажения: k и
U Um
,
U U ,
Определим коэффициент гармоник: k г
U k
k
U
U U m
,
U Um
70
5 Методические указания к выполнению курсовой работы
5.1
1.
Требования к оформлению курсовой работы
Пояснительная записка к курсовой работе оформляется в текстовом
редакторе и сдаётся в печатном виде преподавателю.
2.
Пояснительная записка к курсовой работе должна быть оформлена
на стандартных листах бумаги А4 (210х297 мм) с одной стороны. Текст работы
печатается в полтора интервала шрифтом Times New Roman кеглем в 14
пунктов. Размеры полей: левое – 30 мм, правое – 15 мм, верхнее – 20 мм,
нижнее – 20 мм., абзацный отступ – 1,25 см. Текст работы должен быть
выровнен по ширине. Каждое задание курсовой работы начинается с нового
листа, наименование задания печатается шрифтом Times New Roman кеглем в
14 пунктов строчными буквами (кроме первой заглавной) жирным шрифтом.
Все рисунки (схемы) располагаются по центру и должны иметь названия.
Нумерация страниц начинается с оглавления, титульный лист не нумеруется
(первой страницей в работе является титульный лист). Пример титульного
листа представлен в приложении 1 методических рекомендаций.
3.
Все величины: сопротивления, ЭДС, напряжения, токи и т.п.,
буквенные обозначения которых применяются в ходе решения, – должны быть
показаны на каждой схеме, сопровождающих решение, и не должны меняться в
ходе
решения.
При
введении
обозначений
для
токов,
напряжений,
эквивалентных сопротивлений следует стремиться к наиболее простым
обозначениям. Например, ток, протекающий через некоторое сопротивление
𝑅5 , целесообразно обозначать с тем же индексом: 𝐼5 . Элементы электрических
схем нумеруются, как правило, слева направо и сверху вниз.
4.
При выполнении решения задач рекомендуются в начале наметить
ход решения и выяснить законы и формулы, на которых базируется решение
задачи,
составить
уравнения
в
общем
виде.
Дальнейшие
расчеты
рекомендуются вести не общем виде, а подставляя конкретные числа.
71
5.
Следует
иметь
в
виду,
что
в
промежуточных
формулах
наименование единиц не указывается. В окончательных формулах и в
окончательных цифровых результатах обязательно следует указать единицы
измерения, в которых получен ответ.
6.
При решении следует пользоваться международной системой
единиц СИ.
7.
При расчетах разрешается ограничиваться точностью в три
значащие цифры.
8.
Рекомендуется при решении задач на переменные токи проводить
построение векторных диаграмм во всех случаях, даже если это не
оговаривается условиями задачи.
9.
В конце работы указывается использованная литература, список
которой должен быть составлен с соблюдением ГОСТа.
5.2
Выбор варианта и исходные данные
Каждый студент выполняет курсовую работу по одному из вариантов, в
соответствии с номером своего студенческого билета: номер варианта должен
соответствовать двум последним цифрам номера студенческого билета.
Например, студент, имеющий студенческий билет №90237 выполняет
курсовую работу по заданию 37, а студент со студенческим билетом № 86680
выполняет курсовую работу по варианту 80. В таблицах 1-4 представлены
исходные данные для выполнения курсовой работы. В таблицах 2-4 параметр
n – последняя цифра текущего года. Например, в 2023 году n=3.
72
Таблица 1
Исходные данные для задания №1
Номер
схемы
или
задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Варианты
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
Таблица 2
Исходные данные для задания №1
Варианты
От 00 до
09
От 10 до
19
От 20 до
29
От 30 до
39
От 40 до
49
От 50 до
59
От 60 до
69
От 70 до
79
От 80 до
89
От 90 до
99
𝐸1
В
15+n
𝐸2
В
18+n
𝐸3
В
10+n
𝐽4
А
1,5
𝑅1
Ом
8
𝑅2
Ом
12
𝑅3
Ом
10
𝑅4
Ом
5
𝑅
Ом
3
20+n
10+n
30+n
1
20+n
92+n
12+n
20+n
5
12+n
18+n
20+n
2,5
40
10
19
6
10
10+n
12+n
40+n
3
10
84
26
19
8
20+n
18+n
60
4
70+n
19
17
30
7
16
20+n
80+n
3,5
50
40+n
18
25+n
10
10
15
30+n
7
40+n
30+n
50+n
30+n
5
20+n
12
40+n
1,5
30+n
90+n
28
16
6
16
18
20+n
1
30+n
70+n
15
26+n
4
12
20
30
4
50
22
10
25
8
73
Таблица 3
Исходные данные для задания №2
Варианты
От 00 до 09
От 10 до 19
От 20 до 29
От 30 до 39
От 40 до 49
От 50 до 59
От 60 до 69
От 70 до 79
От 80 до 89
От 90 до 99
𝑈𝑚 , В
10
20+n
30
40
50
60+n
70+n
80+n
90
100+n
𝑓, Гц
100+n
300
900+n
500+n
1000
700
400
200
600+n
800
𝜓𝑈 , град
45
-30
90
180
-180
135
30
-45
150
-135
Таблица 4
Исходные данные для задания №3
Варианты
От 00 до 09
От 10 до 19
От 20 до 29
От 30 до 39
От 40 до 49
От 50 до 59
От 60 до 69
От 70 до 79
От 80 до 89
От 90 до 99
𝑅1
Ом
10+n
20
30+n
40
50+n
10
20+n
30
40+n
50
𝑅2
Ом
10
10+n
20
20+n
30
30+n
40
40+n
50
50+n
𝑋𝐿
Ом
40
70
60
40
50
60
70
80
90
70
𝑋𝐶
Ом
20
30
40
60
70
90
80
60
70
90
Схемы для задания №1:
Рис. 6.1 – Схема 1
74
Рис. 6.2 – Схема 2
Рис. 6.3 – Схема 3
Рис. 6.4 – Схема 4
75
Рис. 6.5 – Схема 5
Рис. 6.6 – Схема 6
Рис. 6.7 – Схема 7
76
Рис. 6.8 – Схема 8
Рис. 6.9 – Схема 9
Рис. 6.10 – Схема 10
77
Схемы для задания №2:
Рис. 6.11 – Схема 1 и 2
Рис. 6.12 – Схема 3 и 4
78
Рис. 6.13 – Схема 5 и 6
Рис. 6.14 – Схема 7 и 8
79
Рис. 6.15 – Схема 9 и 10
5.3
Задание на курсовую работу
Задание №1. Выбрать схему цепи постоянного тока согласно своему
варианту (рис. 6.1-6.10). Номер схемы и параметры определяются в
соответствии с вариантом по таблицам 1 и 2 соответственно.
1.
Перерисуйте схему своего варианта. Составьте таблицу численных
значений вашего варианта.
2.
Выберите и укажите на схеме направление токов во всех ветвях
схемы. Пронумеруйте все узлы схемы.
3.
Подсчитайте числа ветвей 𝑁В и узлов схемы 𝑁У и число
независимых контурных токов 𝑁МКТ .
4.
Выберите и покажите полную систему независимых контурных
токов для расчета схемы методом контурных токов. Составьте уравнения
расчета схемы этим методом в алгебраической форме.
5.
Приведите в алгебраической форме выражения токов всех ветвей
через контурные токи.
6.
Составьте
уравнения
для
расчета
схемы
методом узловых
напряжений. Уравнения составьте и в алгебраической форме, и в числовых
значениях вашего варианта. Выразите токи ветвей через потенциалы узлов.
7.
Рассчитайте токи всех ветвей методом узловых напряжений.
80
8.
Методом эквивалентного источника рассчитайте ток ветви с
сопротивлением 𝑅. Сравните с результатом, полученным в пункте 7.
9.
Проверьте баланс мощности.
Задание №2. Задан двухполюсник, схема которого в общем виде
приведена на рис.6.16.
Рис. 6.16 – Схема двухполюсника в общем виде
Конкретная схема двухполюсника определяется в соответствии с
номером варианта (рис. 6.11-6.15).
Сопротивления двухполюсника имеют следующие численные значения:
𝑅 = 15 Ом, 𝑋𝐿 = 20 Ом, 𝑋𝐶 = 25 Ом.
источник
гармонической
ЭДС
На
входе
двухполюсника
𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚 ∙ sin(𝜔𝑡 + 𝜓𝑈 ).
действует
Значения
амплитуды𝑈𝑚 , частоты 𝜔 = 2𝜋 ∙ 𝑓, начальной фазы 𝜓𝑈 приведены в таблице 3.
При решении задачи:
1.
Запишите комплексные сопротивления 𝑍1 , 𝑍2 , 𝑍3 и рассчитайте
эквивалентное комплексное сопротивление 𝑍ЭК .
2.
Используя комплексные числа, рассчитайте комплексные токи
𝐼, 𝐼1 , 𝐼2 и комплексные напряжения на всех элементах цепи.
3.
Приведите векторную диаграмму токов 𝐼, 𝐼1 , 𝐼2 .
81
4.
Запишите
выражения
для
мгновенных
значений
токов
𝑖(𝑡), 𝑖1 (𝑡), 𝑖2 (𝑡) и напряжения на резисторе 𝑢𝑅 (𝑡).
5.
Постройте графики зависимости от времени 𝑖(𝑡) и 𝑢(𝑡).
6.
Вычислите активную и реактивную мощность.
7.
Рассчитайте индуктивность катушки 𝐿 и емкость 𝐶.
Задание №3. Электрические цепи, содержащие индуктивно-связанные
элементы, находятся под действием идеальных источников синусоидального
тока J рис. 14 (а, б, в). Для всех вариантов 𝑋𝑀 = 𝜔 ∙ 𝑀 = 40 Ом и 𝑖(𝑡) = 𝐽𝑚 ∙
sin(𝜔𝑡 + 𝜓1 ), где 𝑀 – взаимоиндуктивность, 𝐽𝑚 – амплитудное значение тока,
𝜓1 – начальная фаза. Номер схемы выбирается по таблице 1. Параметры
остальных элементов цепей определены в таблице 4. Рассчитайте цепь вашего
варианта согласно пунктам следующего задания.
1.
Перечертите схему рис. 6.17-6.19 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) вашего
варианта (см. таблицу 1).
2.
Составьте таблицу данных вашего варианта (см. таблицу 4).
3.
Вычислите все комплексные токи схемы.
4.
Рассчитайте
комплексные
напряжения
на
индуктивности,
примыкающей к источнику тока.
5.
Постройте векторную диаграмму всех токов и напряжения на
индуктивности, примыкающей к источнику тока. На диаграмме должны быть
показаны отдельно векторы всех составляющих напряжения (самоиндукции и
взаимоиндукции)
на
рассматриваемой
индуктивности
и
вектор
результирующего напряжения на ней.
82
Рис. 6.17 – Схемы для задания №3 (1-3)
Рис. 6.18 – Схемы для задания №3 (4-6)
83
Рис. 6.19 – Схемы для задания №3 (7-10)
5.4
1.
Методические указания к выполнению задания №1
Перерисуйте схему для задания №1 своего варианта согласно
заданному номеру (таблица 1) со всеми обозначениями указанного рисунка и
составьте таблицу численных значений вашего варианта по данным таблицы 2.
2.
Первой операцией при решении задачи любым методом является
определение топологических характеристик схемы: 𝑁У – число узлов, 𝑁В –
число
ветвей.
Величина
𝑁МКТ = 𝑁В − 𝑁У + 1 − 𝑁𝐽
определяет
число
независимых уравнений, составляемых методом контурных токов. 𝑁𝐽 – число
84
источников
тока.
Величина
𝑁МУН = 𝑁У − 1 − 𝑁𝐸
определяет
независимых уравнений методом узловых напряжений. 𝑁𝐸
число
– число ветвей,
содержащие только источники напряжения (ЭДС). Методы контурных токов и
узловых напряжений – универсальные методы расчета сложных цепей, при
использовании которых можно рассчитать токи во всех ветвях схемы. В
частных случаях, когда требуется рассчитать ток в отдельной ветви,
используется метод эквивалентного источника напряжения или тока. Вторая
операция состоит в указании на схеме токов в ветвях. Направления токов в
ветвях
выбираются
произвольно
и
перед
расчетом
принимаются
за
положительные направления. Истинное направление тока в ветви определяется
в результате расчета по алгебраическому знаку рассчитанного тока. Знак плюс
подтверждает,
что
фактическое
направление
тока
будет
совпадать с
выбранным. Знак минус означает, что фактическое направление тока будет
противоположным.
3.
При
решении
задачи
методом
контурных
токов
следует
придерживаться следующей схемы:
•
указать направления токов в ветвях;
•
определить 𝑁МКТ – число независимых уравнений, составляемых по
методу контурных токов, выбрать и указать на схеме контурные токи;
•
записать в алгебраической форме токи в ветвях через контурные
•
составить в алгебраической форме систему уравнений контурных
токи;
токов.
4.
При решении задачи методом узловых напряжений целесообразна
следующая схема:
•
указать направления токов в ветвях;
•
определить 𝑁МУН – число независимых уравнений, составляемых
методом узловых напряжений;
85
•
составить систему алгебраических уравнений методом узловых
напряжений, решить систему;
•
записать токи в ветвях через потенциалы узлов.
5.
Расчет методом эквивалентного источника должен сопровождаться
вычерчиванием всех необходимых схем:
а) схемы, из которой исключена ветвь с искомым током (на ней должны
быть обозначены входные узлы, к которым была подключена указанная ветвь),
т.е. развернутая схема источника;
б)
схемы
простейшего
эквивалентного
источника
(ЕИС , 𝑅ИС ),
заменяющего развернутую схему (с идентичным обозначением входных узлов);
в) развернутой схемы источника, полученной после исключения из нее
всех независимых источников 𝐸 , 𝐽;
г) если входное сопротивление 𝑅ИС определяется путем эквивалентных
преобразований последней схемы, то – всех промежуточных эквивалентных
схем.
Расчет электрической цепи заключается в первую очередь в определении
токов и напряжений в отдельных элементах цепи. Для этого рассматривают
схему цепи, где условными обозначениями показаны отдельные ее элементы.
Рассмотрим для примера расчет резистивной цепи с источниками
постоянного тока и напряжения, показанной на рис. 6.20 с исходными данными
приведенными в таблице 5.
Рис. 6.20 – Схема из примера для расчёта резистивной цепи с источниками
постоянного тока и напряжения
86
Таблица 5
Исходные данные для примера для расчёта резистивной цепи с
источниками постоянного тока и напряжения
𝐸1
В
16
𝐸2
В
18
𝐸3
В
20
𝐽4
А
1
𝑅1
Ом
30
𝑅2
Ом
70
𝑅3
Ом
15
𝑅4
Ом
26
𝑅
Ом
4
Методы контурных токов и узловых напряжений – универсальные
методы расчета сложных цепей, при использовании которых можно рассчитать
токи во всех ветвях схемы. В частных случаях, когда требуется рассчитать ток в
отдельной ветви, используется метод эквивалентного источника напряжения
или тока. При решении задачи любым методом необходимо определить
топологические характеристики схемы:
𝑁У – число узлов, для рассматриваемой схемы рис. 6.20 оно равно 3. Узел
– это место соединения трёх и более ветвей;
𝑁В – число ветвей, для нашей схемы оно равно 5. Ветвь – это участок
схемы, через который протекает один и тот же ток;
𝑁𝐽 – число источников тока, в нашей схеме оно равно 1;
𝑁𝐸 – число идеальных источников напряжения, равно 0.
Метод контурных токов
Произведём расчет данной цепи с помощью метода контурных токов.
Указываем на схеме токи в ветвях (рис. 6.21). Направления токов в ветвях
выбираются произвольно и перед расчетом принимаются за положительные
направления. Если в схеме есть ветви с источником тока, то нужно правильно
выбрать независимые контуры, а именно выбрать контуры так, чтобы источник
тока входил единственный раз в не основной контур. Контур – это замкнутый
путь по ветвям схемы. Независимый контур должен иметь хотя бы одну новую
ветвь, по отношению к уже выбранным. В силу свойств источника тока в
контур может входить только единственный источник тока. Если источник тока
87
включили в контур, то ток такого контура равен току источника тока и его не
нужно вычислять. Такой контур называют не основным (дополнительным). В
данном случае это третий контур, где ток третьего контура 𝐼33 = 𝐽4 .
Рис. 6.20 – Схема из примера для расчёта резистивной цепи с источниками
постоянного тока и напряжения (МКТ)
Определяем число независимых уравнений 𝑁МКТ = 𝑁В − 𝑁У + 1 − 𝑁𝐽 ,
𝑁МКТ = 2, выбираем и указываем на схеме рисунка 6.20 два контурных тока.
Контурный ток – это условный ток, который протекает через все ветви,
составляющие контур. Число неизвестных контурных токов должно быть равно
числу независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа.
Направление контурных токов 𝐼11 и 𝐼22 выбираем так, как показано на схеме.
Составляем в алгебраической форме систему уравнений контурных
токов. В общем виде система уравнений имеет вид:
R11 I11 R12 I 22 R1k I kk J n Rn E11 ;
1
R21 I11 R22 I 22 R2 k I kk J n Rn E22 ;
2
Rk1 I11 Rk 2 I 22 Rkk I kk J n Rn Ekk ;
n
где 𝑅𝑘𝑘 – собственное сопротивление контура k; 𝑅𝑘𝑚 – общее сопротивление
контуров k и m, причем, если направление контурных токов в общей ветви для
контуров k и m совпадают, то 𝑅𝑘𝑚 >0, в противном случае 𝑅𝑘𝑚 <0; 𝐸𝑘𝑘 –
алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви, образующие контур k; 𝑅𝑛 –
общее сопротивление ветви кон-тура n с контуром, содержащим источник тока.
88
Для данной схемы система уравнений имеет вид:
I11 R11 I 22 R12 J R E11 ,
1
I11 R21 I 22 R22 J R E 22 ,
2
где 𝐼11 и 𝐼22 – неизвестные контурные токи; 𝑅11 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅4 = 126 Ом,
𝑅22 = 𝑅3 + 𝑅4 + 𝑅 = 45 Ом – собственное сопротивление соответственно I и II
контуров; 𝑅12 = 𝑅21 = 𝑅4 = 26 Ом – общее сопротивление I и II контуров,
если направление контурных токов в общей ветви для контуров I и II
совпадают, то 𝑅12 = 𝑅21 > 0 , в противном случае 𝑅12 = 𝑅21 < 0 ; 𝐸11 = 𝐸2 −
𝐸1 = 2 В – алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви, образующих I
контур, 𝐸22 = 𝐸3 = 20 В – алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви,
образующих II контур, со знаком "+" берут те ЭДС, направление которых
совпадает с выбранным положительным направлением контурного тока, а со
знаком "–" ЭДС с противоположными направлениями; ∑ 𝐽𝑅 = 𝐽4 ∙ 𝑅1 = 30 В –
алгебраическая
сумма
произведения
тока
источника
тока
на
общее
сопротивление ветви контура I с кон-туром, содержащим источник тока, если
направление контурных токов 𝐼11 и 𝐼33 совпадают, то 𝑅 > 0 , в противном
случае 𝑅 < 0, , т.к. не существует общего сопротивления ветви контура II с
контуром, содержащим источник тока. Подставляя численные значения,
получаем систему уравнений для контурных токов в следующем виде:
I11 126 I 22 26 28 ,
I11 26 I 22 45 20 .
4.
Данную систему решаем методом Крамера. Составляем главный
определитель (второго порядка).
126 26
26 45
4994
Затем составляем определитель ∆𝐼11 .
I11
28 26
20
45
1780
89
Вычисляем ток по следующей формуле:
I 11
I 11
0,356 А
Аналогично определяем контурный ток ∆𝐼22 .
I 22
I 22
126 28
26
20
3248
I 22
0,65 А
Записываем в алгебраической форме токи в ветвях через контурные токи.
Токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов,
протекающих через данную ветвь.
I1 J 4 I11 0,644 A .
I 2 I11 0,356 A .
I 3 I 22 0,65 A .
I 4 I11 I 22 0,294 A
Ниже приведена программа для расчётов токов ветвей методом МКТ в
системе Mathcad.
E1 16 E2 18 E3 20 J4 1
R1 30 R2 70 R3 15 R4 26 R 4
R11 R2 R1 R4
R12 R4
R11 126
R21 R12
R22 R R4 R3 R22 45
E11 E2 E1 J4 R1
R11 R12 126 26
R21 R22 26 45
Ia R11 R12
Ib R21 R22
I1 Ia J4
I2 Ia
E22 E3
E11 28
E22 20
1
E11 Ia 0.356
E22 Ib 0.65
I3 Ib
I4 Ia Ib
I5 J4
Метод узловых напряжений (потенциалов)
Произведём расчет данной цепи с помощью метода узловых напряжений
по схеме рисунка 6.21.
90
Рис. 6.20 – Схема из примера для расчёта резистивной цепи с источниками
постоянного тока и напряжения (МУН)
При расчёте цепи по методу узловых напряжений определяем число
узлов схемы. Один из этих узлов принимаем за базисный. Остальные узлы
называются независимыми. Базисный узел – это узел от которого ведется
отсчет. Его выбирают в первую очередь там, где есть ветвь, содержащая только
одиночный идеальный источник ЭДС, и сходится много ветвей или это тот
узел, который удобнее для наглядности (в нашей схеме это узел 3). Базисный
узел часто заземляют, при этом его потенциал равен нулю. Из свойств
идеального источника напряжения, следует отметить, что если в схеме имеются
ветви, состоящие из одиночных идеальных источников напряжения, то их
сопротивление равно нулю, а проводимость – бесконечности. В нашем случае
таких ветвей нет
NE .
Для ветвей с источниками тока все наоборот.
Определяем число независимых уравнений, составляемых методом
узловых напряжений N МУН NУ 1 N Е 2 .
Составляем
систему алгебраических
уравнений
методом
узловых
напряжений, согласно первому закону Кирхгофа. Данная система уравнений
представляет собой узловую систему уравнений, записанную в канонической
форме. Число уравнений должно быть равно числу неизвестных узловых
напряжений. В общем виде система уравнений имеет вид:
91
V1 G11 V2 G12 Vs G1s Vn G1n E G J ;
1
1
V1 G21 V2 G22 Vs G2 s Vn G2 n E G J ;
2
2
V1 Gn1 V2 Gn 2 Vs Gns Vn Gnn E G J ;
n
n
где Gss – сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s; Gsq –
сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q.
E G
– алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к
s
узлу s, на их проводимости; при этом со знаком "+" берутся те ЭДС, которые
действуют в направлении узла, и со знаком "–" – в направлении от узла;
J
–
s
алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу s; при
этом со знаком "+" берутся те токи, которые направлены к узлу s, а со знаком "–
" – в направлении от узла s.
Для данной схемы система уравнений имеет следующий вид:
V1 G 11 V2 G 12 IУ 1 ,
V1 G 21 V2 G 22 IУ 2 ,
где G 11 ,G 22 – это собственные проводимости соответственно узлов 1 и 2.
G 11
G 22
1
1
0,048 См .
R1 R 2
1
1
1
0,105 См .
R2 R4 R3R
G 12 G 21 1 R 2 0,014 См – собственные проводимости между узлами 1
и 2.
IУ 1 , IУ 2 – собственный или задающий ток, соответственно, независимых
узлов 1 и 2. В общем виде токи IУ 1 , IУ 2 можно представить в следующем виде:
IУ 1 E G J ,
1
1
92
IУ 2 E G J ,
2
где
E G
2
– алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей,
1
E G
примыкающих к узлу 1, на их проводимости,
– алгебраическая сумма
2
произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу 2, на их проводимости; при
этом со знаком "+" берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла, и
J
со знаком "–" – в направлении от узла;
– алгебраическая сумма токов
1
источников тока, присоединенных к узлу 1,
J
– алгебраическая сумма токов
2
источников тока, присоединенных к узлу 2; при этом со знаком "+" берутся те
токи, которые направлены к узлу, а со знаком "–" – в направлении от узла. Для
нашего случая токи IУ 1 , IУ 2 имеют следующий вид:
IУ 1
E1
R1
IУ 1
E2
R2
E2
R2
J 4 1,79 A .
E3
R 3 R
1,31 A .
Узловое напряжение – это напряжение между независимым и базисным
узлами и направлено оно к базисному узлу. V1,V2 – узловые напряжения узлов 1
и 2 соответственно. Знак "+" перед узловым напряжением берётся, если это
собственное узловое напряжение, в противном случае берётся знак "–".
Данную систему решаем методом Крамера. Составляем определитель
второго порядка, в первую и вторую строки которого ставим значения
проводимостей стоящих при напряжениях, соответственно в первом и во
втором уравнениях нашей системы.
0,048
0,014
0,014
0,105
0,004844 .
93
Затем составляем определитель
Δ V ,
для этого в определителе
Δ
в первом
столбе значения проводимостей заменяем значениями токов, стоящих в правой
части нашей системе.
V1
1,79
0,014
1,31
0,105
После чего вычисляем напряжение
по следующей формуле:
V 1
35 ,014 В
V1
Аналогично находим напряжение
V .
0,048
V2
V
0,17 .
1,79
0,014 1,31
0,038 .
V2
7,808 В .
V2
Находим токи ветвей через узловые напряжения.
I1
V3 V1 E 1
0,644 A .
R1
I2
V1 V2 E 2
0,356 A .
R2
I3
V2 V3 E 3
0,65 A .
R3R
I4
V3 V2
0,294 A .
R4
Ниже приведена программа для расчётов токов ветвей методом МУН в
системе Mathcad.
E1 16 E2 18 E3 20 J4 1
R1 30 R2 70 R3 15 R4 26 R 4
G11
1
R2
1
R1
I11
G22
E1
R1
1
R2
E2
R2
J4
1
R3 R
1
R4
I22
G12
E2
R2
1
R2
G21 G12
E3
R3 R
94
V1 G11 G12
V2 G21 G22
I1
V3 V1 E1
R1
1
I11
I22
I2
V3 0
V1 V2 E2
R2
V2 V3 E3
V2 V3
I3
I4
V2 V3
V2 V3
R3 E3
R
R4
I3
I4
I5 J4
R3 R
R4
Метод эквивалентного источника
Решим задачу методом эквивалентного источника относительно тока I 3 .
В
данном
методе
источник
обычно
рассматривается
как
активный
двухполюсник с задающими напряжениями EИС или током I ИС и внутренними
сопротивлением RИС или проводимостью GИС , а приёмник как пассивный
двухполюсник с внутренним сопротивлением нагрузки
G Н.
RН
или проводимостью
Активным называют такой двухполюсник, у которого есть напряжение на
разомкнутых зажимах (полюсах) или ток, протекающий через закороченные
полюсы. Задающее напряжение генератора определяется как напряжение
холостого хода, на разомкнутых зажимах активного двухполюсника E ИС U XX ,
а задающий ток – как ток короткого замыкания I ИС I КЗ . Внутреннее
сопротивление активного двухполюсника RИС или его проводимость GИС
находятся как эквивалентные входные сопротивление или проводимость
относительно разомкнутых зажимов пассивного двухполюсника, которые
получаются после исключения из схемы всех источников напряжения и тока.
При этом источники напряжения заменяются перемычкой, а источники тока –
разрывом.
Разрываем цепь в указанном нами участке. Находим U XX по второму
закону Кирхгофа, для этого рассматриваем контур I в схеме:
95
U XX I X R4 0 ,
U XX I X R4
Находим
с током
IX
IX
по методу контурных токов, для этого рассматриваем контур
с учетом влияния источника тока
J .
I X R 1 R 2 R 4 J 4 R 1 E 2 E 1 .
Откуда определяем:
IX
E 2 E1 J4 R 1
R 1 R 2 R 4
0,222 A .
Соответственно напряжение холостого хода U XX EИС 5,778 В .
Определяем сопротивление эквивалентного источника, которое должно
быть равно внутреннему сопротивлению пассивизированной активной цепи.
Пассивизированние цепи означает удаление из неё источников тока и
напряжения (ЭДС), которое делает цепь пассивной. Ветви, где были включены
источники тока, заменяются разрывом, а ветви с ЭДС – перемычкой. В
зависимости от вида соединения сопротивлений составляем формулу для
расчёта эквивалентного сопротивления, которое равно сопротивлению на
источнике RЭК RИС .
RИС
R 1 R 2 R 4 20,635 Ом
R 1 R 2 R 4
.
96
Находим ток в нагрузке
I Н I 3 . Строим эквивалентную схему
замещения, учитывая то, что мы, разрывая цепь, исключили источник
напряжения E3 и сопротивления R 3 и R , следовательно, мы не учли их влияние
на нашу цепь, поэтому в данной схеме мы должны включить их в цепь.
IН
EИС E3
0,65 A ,
RИС RН
где RН R 3 R 19 Ом . Видим, что ток получился равным ранее
рассчитанному I 3 .
Ниже приведена программа для расчётов токов ветвей методом
эквивалентного источника в системе Mathcad.
E1 16 E2 18 E3 20 J4 1
R1 30 R2 70 R3 15 R4 26 R 4
Iei
Rab
E2 E1 R1 J4
R1 R2 R4
( R1 R2) R4
R1 R2 R4
Uxx Iei R4
I3
Uxx E3
Rab R3 R
Баланс мощности
Определим баланс мощности. Баланс мощности основан на законе
сохранения энергии: скорость поглощения энергии элементами цепи равна
скорости отдачи энергии источниками. Потребители на постоянном токе –
резисторы или резистивные сопротивления, в частности эквивалентные. На
переменном токе баланс мощности определяется отдельно по активным и
реактивным составляющим, то есть баланс активной и реактивной мощности.
97
Найдем мощности источников и нагрузок. Если задача решена правильно, то
они должны быть равны. Мощности источников определяются произведением
напряжения (ЭДС) на ток. В общем случае баланс мощности замкнутой
электрической цепи записывается в следующем виде:
Ek I k U Jk J k I k2 Rk ,
где
Ek I k
– алгебраическая сумма произведения ЭДС на токи ветвей;
здесь положительны те слагаемые, для которых направления действия ЭДС Ek
и соответствующего тока I k совпадают, в противном случае слагаемое
отрицательно;
U J k J k
– алгебраическая сумма произведения напряжений на
источниках тока на токи источников тока; здесь положительны те из слагаемых,
для которых направления напряжения на источнике тока и токов источников
тока не совпадают, в противном случае слагаемое отрицательное. В нашем
случае
PИСТ E1 I1 E2 I 2 E3 I 3 U J 4 J 4
10,304 6,408 13 35,32 31,6 Вт,
U J 4 E1 R1 I1 16 19,32 35,32 B,
PПОТ R 1 I12 R 2 I 22 R 3 R I 32 R 4 I 42
12,442 8,872 8,028 2,247 31,6 Вт.
Из расчетов видно, что баланс мощности выполняется достаточно точно.
Ниже приведена программа для расчёта баланса мощности в системе
Mathcad.
E1 16 E2 18 E3 20 J4 1
R1 30 R2 70 R3 15 R4 26 R 4
2
2
2
2
Pпот R1 I1 R2 I2 (R3 R) I3 R4 I4
UJ V1
Pист E1I1 E2I2 E3I3 J4UJ
98
Методические указания к выполнению задания №2
5.5
Пример расчета приведен на основе схемы и данных таблицы:
R
XL
XC
Um
f
U
Ом
Ом
10
Ом
15
B
9
Гц
60
град
270
5
u(t ) U m sin t U 9 sin t 270, B
В данной задаче все расчёты производятся на основании закона Ома в
комплексной форме по следующей схеме:
Строим эквивалентную схему замещения и, согласно ей, высчитываем
комплексное сопротивление, ток, напряжение. Метод комплексных амплитуд –
это расчёт гармонических токов и напряжений в комплексной форме. Каждое
значение гармонических токов и напряжения заменяем соответствующим
комплексным
числом,
которое
называется
комплексным
током
или
комплексным напряжением.
Определим сопротивление первого элемента схемы замещения. Он
состоит из конденсатора и резистора, соединённых последовательно, поэтому
общее сопротивление элемента рассчитывается как сумма комплексных
99
сопротивлений
комплексной
элементов
форме
на
первоначальной
ёмкости
Сопротивление на резисторе
схемы.
Z C j XC ,
Сопротивление
где
в
X C 1 C .
R . Получается комплексное число вида
Z 1 R Z C R j X C R j 1 C .
Аналогично
определяются
сопротивления второго и третьего элементов схемы замещения. Для них
соответственно можно записать:
Z 2 Z C j X C j 1 C
Z 3 Z L j X L j L
где Z L j X L j L – сопротивление в комплексной форме на
индуктивности. Выразим комплексные сопротивления
Z1,
Z2,
в
Z3
показательной форме. В общем виде комплексное сопротивление равно
Z Z exp j ,
где
Z
Re Z 2 Im Z 2
–
модуль
комплексного
сопротивления, arg Z arctg Im Z Re Z – аргумент комплексного
сопротивления. Следовательно:
Z 1 R 2 X C2 exp j arctg X C R
Z 2 X C2 exp j arctg X C 0 X C exp j arctg X C exp j 90
Z 3 X L2 exp j arctg X L 0 X L exp j arctg X L exp j 90 Т.к.
X L 10 Ом, X C 15 Ом, R 5 Ом для Z 1 , Z 2 , и Z 3 получаем:
Z 1 5 j 15 15,8 exp j 71,5
Z 2 j 15 15 exp j 90
Z 3 j 10 10 exp j 90
Эквивалентное сопротивление схемы определяется согласно законам
параллельного и последовательного соединения. Так как Z 1 и Z 2 соединены
параллельно, то их общее сопротивление
Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 ,
а затем они
соединены последовательно с Z 3 . Таким образом, комплексное эквивалентное
сопротивление записывается в следующем виде:
100
Z ЭК Z 3 Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 1,2 j 2,3 2,6 exp j 62,5
По закону Ома находим токи элементов и напряжения. Используем
среднеквадратичное или действующее значение гармонических колебаний,
которое меньше их амплитудных значений в
входного напряжения равно U U m
2 раз. Действующее значение
2 6,4 B . Комплексное действующее
значение входного напряжения равно:
U U exp j U 6,4 exp j 270 j 6,4
Комплексное
действующее
значение
I U Z ЭК 2,5 exp j 207,5 2,2 j 1,15 .
входного
тока
Комплексные
равно
действующие
значения токов в разветвленных частях цепи соответственно равны:
I 1 I Z 2 Z 1 Z 2 1,23 exp j 198 1,17 j 0,38
I 2 I Z 1 Z 1 Z 2 1,29 exp j 216,5 1 j 0,77
Комплексные действующие значения напряжений на Z 1 , Z 2 и Z 3
соответственно равны:
U 1 I 1 Z 1 19,4 exp j 126,5 11,5 j 15,6
U 2 I 2 Z 2 19,4 exp j 126,5 11,5 j 15,6
U 3 I Z 3 25 exp j 297,5 11,5 j 22,2
Комплексные
действующие
значения
напряжений
на
ZC
и
R
соответственно равны:
U C I 1 Z C 18,45 exp j 108 5,7 j 17,5
U R I 1 R 6,15 exp j 198 5,85 j 1,9
Записываем напряжение и токи в мгновенной тригонометрической
форме. Для этого применяем формулу общего вида st S m sin t S , где
st – мгновенное значение, S m S 2 – амплитудное значение ( S –
действующее значение), – частота колебаний, S – начальная фаза (град).
Мгновенное значение напряжения на резисторе
R
равно:
u R t 6,15 2 sin t 198 8,7 sin t 198, B
101
Аналогично для тока:
it 2,5 2 sin t 207,5 3,5 sin t 207,5, A
i1 t 1,23 2 sin t 198 1,74 sin t 198, A
i2 t 1,3 2 sin t 216,5 1,8 sin t 216,5, A
Вычислим активную и реактивную мощность, потребляемую от
источника.
PИСТ U I cos 6,4 2,5 cos270 207,5 7,4 Вт
QИСТ U I sin 6,4 2,5 sin 270 207,5 14,2 ВAр
Найдём индуктивность катушки и емкость конденсатора.
L X L X L 2 f 26,5 мГн 26,5 103 Гн
С 1 X C 1 X C 2 f 177 мкФ 17,7 105 Ф
На основании полученных значений строим векторные диаграммы рис.
12.
Представим
гармонические
токи
вращающимися
векторными
комплексными функциями. Длина векторов равна амплитудам комплексных
токов:
I m I m exp j I , где I m 3,5 A , I 207,5 0
I 1m I1m exp j 1 , где I1m 1,74 A , I1 198 0
I 2 m I 2 m exp j I 2 , где I 2 m 1,8 A , I 2 216,5 0
В алгебраической форме запись амплитудных комплексных токов
выглядит следующим образом:
I m 3,1 j 1,6
I 1m 1,65 j 0,54
I 2 m 1,44 j 1,07
Построение диаграмм выполняем на комплексной плоскости. Для этого
знаком обозначаем положительное направление вещественной оси, а
102
j 1 – положительное направление мнимой оси. Вектора токов вращаются
против часовой стрелки.
Построим на одном графике зависимости i (t ) и u (t ) . Для этого определим
период колебаний T 1 f 1 60 0,017 с 17 мс :
Кроме того, надо учесть начальные фазы напряжения U 270 0 и тока
I 207,5 0 . В этом случае графики напряжения и тока будут смещены влево
относительно
начала
координат
на
t u T 270 360 12,75 мс
и
t i T 207,5 360 9,8 мс .
Приведём пример в системе Mathcad.
Um 9
f 60
u
3
4
2 f R 5
XL 10
XC 15
103
Z1 R i XC
ZBX
Z12
Z1 Z2
Z1 Z2
Z3
Z1 Z2
3
2
5.6
Um i u
e
2
1
f
P R I1
2 XC
I2
I
U12
Z1
i( t) Im sin w t i
T
Q XC I1
U
Z3 i XL
U12 I Z12 I1
Z1 Z2
w 10
T
Z2 i XC
U
ZBX
I2
U12
Im I 2
Z2
i arg ( I)
u ( t) Um sin w t u
2
2
XL I
2
C
1
XC
L
XL
Методические указания к выполнению задания №3
Приведем пример расчета на основе схемы и данных таблицы:
R1, Ом
30
R2 , Ом
20
X L , Ом
20
X M , Ом
20
На заданную электрическую цепь воздействует переменный ток
it J m sin t J , где
J m 20 мA
– амплитудное значение тока,
J 200 0 – начальная фаза. Рассчитаем все неизвестные токи и напряжение
на индуктивности, примыкающей к источнику тока, построим векторные
диаграммы.
Для расчета неизвестных комплексных токов I 2 , I 3 воспользуемся
методом контурных токов. Число уравнений N МКТ N В NУ 1 N J 1.
104
Выбираем направление комплексных контурных токов I А и I B как показано
на рисунке. Обратите внимание, что
IА J
Jm
exp j J 13,289 j 4,837 14,142 exp j 200, A
2
Составим уравнение для определения неизвестного контурного тока I B .
Схема со взаимной индуктивностью, поэтому необходимо учитывать влияние
контурных токов I А и I B , протекающих через индуктивные элементы. Ветвь с
током
I
является общей для контурных токов I А и I B . В ветви с током I 3
контурный ток I А создает напряжение взаимоиндукции j J X M , которое
следует взять со знаком “ + ”, т.к. контурные токи I А и I B направлены
одинаково относительно одноименных зажимов, помеченных «звездочками». В
свою очередь, контурный ток I B создает одинаковые напряжения взаимной
индукции j I B X M в ветвях с токами I 2 и I 3 соответственно. При этом
данные напряжения следует взять со знаком “ + ”, т.к. контурный ток I B
одинаково ориентирован относительно одноименных зажимов. Таким образом,
уравнение будет иметь следующий вид:
I B R1 R2 2 j X L I A R2 j X L I A j X M 2 I B j X M 0
IB
J R2 j X L j X M
6,489 j 1,685 6,704 exp j 14,56
R1 R2 2 j X L X M
Через контурный ток I B определяем неизвестные токи ветвей I 2 и I 3 .
I 2 J I B 6,801 j 3,152 7,495 exp j 204,86, A
I 3 I B 6,489 j 1,685 6,704 exp j 194,56, A
Рассчитаем напряжение на индуктивности, примыкающей к источнику
тока согласно второму закону Кирхгофа. Оно будет определятся напряжением
самоиндукции I 2 j X L и напряжением взаимоиндукции I 3 j X M , взятого
со знаком “–”, поскольку направление
I2
и направление тока
I3
ориентированы относительно одноименных зажимов различно. Следовательно:
105
U L I 2 j X L I 3 j X M 29,326 j 6,236 30 exp j 168, B где
I 2 j X L 63,032 j 136,011 150 exp j 115, B
I 3 j X M 33,706 j 129,774 134 exp j 75,4, B
На комплексной плоскости представлена векторная диаграмма токов I 2 ,
I3.
На векторной диаграмме векторным сложением проверено, что
выполняется первый закон Кирхгофа: J I 2 I 3 . На диаграмме показаны
отдельно векторы всех составляющих напряжения (самоиндукции I 2 j X L и
взаимоиндукции I 3 j X M ) на индуктивности и вектор результирующего
напряжения на ней U L .
106
Приложение 1
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ
КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего
образования
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»
Факультет 5
Кафедра ТОРС
ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ
Руководитель
(подпись)
ЗАЩИЩЕНА С ОЦЕНКОЙ
Руководитель
(ФИО)
(подпись)
(дата)
(ФИО)
(дата)
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине
наименование дисциплины
наименование темы
ВЫПОЛНИЛ (А)
студент(ка)
(группа)
(ФИО)
Самара, 20__
107
Список использованных источников
1.
Бакалов, В.П. Основы анализа цепей [Текст]: учебное пособие для
вузов / В.П. Бакалов, О.Б. Журавлева, Б.И. Крук. - М.: Горячая линия - Телеком,
2007. - 591 с. (298 экз.)
2.
Панин, Д. Н.
Основы теории цепей. Первая часть [Электронный
ресурс] : конспект лекций / Д. Н. Панин ; ПГУТИ, Каф. ТОРС. - Электрон.
текстовые дан. (1 файл : 3,481 Мб). - Самара: ИНУЛ ПГУТИ, 2011. - Загл. с
титул.
экрана.
Режим
-
доступа:
http://elib.psuti.ru/Panin_Konsp_lekzii_po_1_chasti_kursa_OTZ.pdf
3.
Панин, Д. Н.
Основы теории цепей. Вторая часть [Электронный
ресурс] : конспект лекций / Д. Н. Панин ; ПГУТИ, Каф. ТОРС. - Электрон.
текстовые дан. (1 файл : 3,296 Мб). - Самара: ИНУЛ ПГУТИ, 2011. - Загл. с
титул.
экрана.
Режим
-
доступа:
http://elib.psuti.ru/Panin_Konsp_lekzii_po_2_chasti_kursa_OTZ.pdf
4.
Панин, Д. Н.
Основы теории цепей. Третья часть [Электронный
ресурс] : конспект лекций / Д. Н. Панин ; ПГУТИ, Каф. ТОРС. - Электрон.
текстовые дан. (1 файл : 3,044 Мб). - Самара: ИНУЛ ПГУТИ, 2011. - Загл. с
титул.
экрана.
Режим
-
доступа:
http://elib.psuti.ru/Panin_Konsp_lekzii_po_3_chasti_kursa_OTZ.pdf
5.
Панин, Д. Н.
Теория электрических цепей [Электронный ресурс] :
учебное пособие. Часть 1/ Панин Д. Н., Адамович Л. В. ; ПГУТИ, каф. ТОРС. Электрон. текстовые дан. (1 файл : 1,325 Кб). - Самара : ИНУЛ ПГУТИ, 2014. Загл.
с
титул.
экрана.
-
Режим
доступа:
http://elib.psuti.ru/Panin_Adamovitsh_Teoriya_elektritsheskih_tsepej_utsheb_posobi
ye_tsh1.pdf
6.
Панин, Д. Н.
Теория электрических цепей [Электронный ресурс] :
учебное пособие. Часть 2/ Панин Д. Н., Адамович Л. В. ; ПГУТИ, каф. ТОРС. Электрон. текстовые дан. (1 файл : 426 Кб). - Самара: ИНУЛ ПГУТИ, 2015. Загл.
с
титул.
экрана.
-
Режим
доступа:
108
http://elib.psuti.ru/Panin_Adamovitsh_Teoriya_elektr_cepej_uchebnoe_posobie_Tsh
2.pdf
7.
Шебес, М. Р. Задачник по теории линейных электрических цепей
[Текст]: учебное пособие для вузов / М. Р. Шебес, М. В. Каблукова. - 4-е изд.,
перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 1990. - 544 с. (1211 экз.)
8.
Михайлов, В. И.
Расчет электрических фильтров по рабочим
параметрам. Учебное пособие к курсовой работе [Электронный ресурс]: учеб.метод. пособие / Михайлов В. И., Членова Е.Д.; ПГУТИ, Каф. ТОРС. Электрон. текстовые дан. (1 файл: 2,072 Кб). - Самара: ИНУЛ ПГУТИ, 2010. Загл.
с
титул.
экрана.
Режим
-
доступа:
http://elib.psuti.ru/Mihailov_Chlenova_Raschet_elektrich_LC_filtrov_po_rabochim_
parametram_2010.pdf
9.
для
Михайлов, В. И.
углубленного
Индивидуальные задания к курсовым работам
изучения
дисциплины
ТЭЦ
[Электронный
ресурс]:
методическое пособие. / Михайлов В.И.; ПГУТИ, Каф. ТОРС. - Электрон.
текстовые дан. (1 файл: 198 Мб). - Самара : ИНУЛ ПГУТИ, 2013. - Загл. с
титул. экрана. - Электрон. версия печ. издания 2013 г. - Режим доступа:
http://elib.psuti.ru/Mihaylov_Individ_zadaniya_k_kursov_rabotam.pdf
10.
Бакалов, В.П. Основы анализа цепей [Текст]: учебное пособие для
вузов / В.П. Бакалов, О.Б. Журавлева, Б.И. Крук. - М.: Горячая линия - Телеком,
2013. - 591 с. (50 экз.)
11.
Атабеков, Г.И. Основы теории цепей [Текст]: учебное пособие для
вузов / Г.И. Атабеков - СПб.: Лань, 2006. - 432 с. (5 экз.)
12.
Запасный, А.И. Основы теории цепей [Текст]: учебное пособие для
вузов / А.И. Запасный - М.: РИОР, 2006. - 336 с. (200 экз.)
13.
Попов, В.П. Основы теории цепей [Текст]: учебное пособие для
вузов / В.П. Попов - М.: Высш. шк., 2000. - 575 с. (17 экз.)
14.
Бессонов,
Л.А.
Теоретические
основы
электротехники.
Электрические цепи [Текст]: учебное пособие для вузов / Л.А. Бессонов - М.:
Гардарики, 2000. - 638 с. (79 экз.)
109
15.
Белецкий, А.Ф. Теория линейных электрических цепей [Текст]:
учебник для вузов / А.Ф. Белецкий - М.: Радио и связь, 1986. - 544 с. (266 экз.)
16.
Воробиенко, П. П. Теория линейных электрических цепей [Текст]:
сборник задач и упражнений: учебное пособие для вузов / П. П. Воробиенко. М.: Радио и связь, 1989. - 328 с. (20 экз.)
110