Автор: Орехов С.А. Гореева Н.М. Демидова Л.Н. Кризогуб Л.М. Сердюкова Н.А. Швецова С.Т.
Теги: экономические науки в целом политическая экономия экономика экономические науки схемы эконометрика
ISBN: 978-5-699-26764-4
Год: 2008
Текст
ЭКОНОМЕТРИКА
в схемах и таблицах
Н. М. Гореева
Л. Н. Демидова
Л. М. Клизогуб
С. А. Орехов
Н. А. Сердюкова
С. Т. Швецова
Н. М. Гореева С. А. Орехов
Л. Н. Демидова Н. А. Сердюкова
Л. М. Клизогуб С. Т. Швецова
ЭКОНОМЕТРИКА
в схемах и таблицах
Под редакцией доктора экономических наук, профессора С. А. Орехова
Рекомендовано УМО по образованию в области статистики и антикризисного управления, математических методов в экономике в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Статистика», «Математические методы в экономике» и другим экономическим специальностям
Москва Эксмо| 2008
УДК 330 (075)
ББК 65 в 631
Э40
Рецензенты:
Мхитарян В. С. — доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой математической статистики и эконометрики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики;
Ильин В. В. — доктор экономических наук, профессор кафедры финансового менеджмента и антикризисного управления Московского городского университета управления Правительства Москвы
Эконометрика : учебное пособие в схемах и таблицах / Э 40 Н. М. Гореева, Л. Н. Демидова, Л. М. Клизогуб, С. А. Орехов, Н. А. Сердюкова, С. Т. Швецова ; под ред. д-ра экон, наук, проф. С. А. Орехова. — М. : Эксмо, 2008. — 224 с. — (Экономика — наглядно и просто).
ISBN 978-5-699-26764-4
В настоящем пособии в схемах и таблицах с комментариями по всем темам курса «Эконометрика» изложены общие теоретические положения, которые подготовлены в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования третьего поколения по экономическим специальностям. Цель учебного курса — подготовка специалистов, владеющих статистической методологией и практическими навыками эконометрического моделирования данных, характеризующих состояние и развитие экономики. Материал, наложенный в наглядной н доступной форме, позволяет студентам быстро освоить дисциплину.
Для студентов, обучающихся по программам бакалавриата и магистратуры, аспирантов и преподавателей экономических факультетов и вузов всех форм обучения, а также для тех, кто изучает данную экономическую дисциплину самостоятельно.
УДК 330 (075)
ББК 65 в 631
ISBN 978-5-699-26764-4
© ООО «Издательство «Эксмо», 2008
Содержание
Предисловие...................................................4
Учебно-методический план дисциплины «Эконометрика» ...........6
Вопросы к экзамену по дисциплине «Эконометрика» (Бакалавриат).8
Вопросы к экзамену по дисциплине «Эконометрика» (Магистратура) ..............................................10
Тема 1. Определение эконометрики.............................11
Тема 2. Парная регрессия и корреляция .:................... 22
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция.................61
Тема 4. Система одновременных уравнений .....................84
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов и выявление компонент ряда............................................113
Тема 6. Автокорреляция временных рядов ...................164
Тема 7. Динамические эконометрические модели................176
Глоссарий ................................................198
Ответы к тестам ..........................................207
Литература..................................................208
Приложения ...............................................210
Предисловие
Эконометрику изучают студенты экономических специальностей высших учебных заведений в блоке естественно-научных дисциплин. Цель учебного курса — освоение способов моделирования и количественного анализа реальных социально-экономических явлений и процессов.
Настоящее издание подготовлено в соответствии с современными требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования, разработанного Министерством образования Российской Федерации в 2007 г.
Для подготовки бакалавров в пособии рассматриваются основные понятия эконометрики, линейные регрессионные модели и методы их идентификации, представлены основные методы построения эконометрических моделей, общие характеристики временных рядов, методы исследования тенденций вре-меннбго ряда, построения адаптивных моделей и анализа сезонных колебаний, многофакторные модели прогнозирования.
Для магистров образовательным стандартом предусмотрено описание особенностей регрессионных моделей с переменной структурой и стохастическими переменными, стационарных и нестационарных рядов, система одновременных уравнений.
Учебное пособие содержит схемы и таблицы с комментариями по основным темам курса «Эконометрика». В каждой главе даны основные понятия и способы действий по теме, приведены примеры применения математических и статистических методов в эконометрике на базе фактического материала, предложены тесты для самопроверки с ответами.
Системное и наглядное изложение содержания в схемах и таблицах позволит студентам — будущим экономистам — бы-
1
Предисловие
стро усвоить учебный материал при подготовке к лекциям, семинарам, зачетам и экзаменам.
Авторы выражают признательность О.В. Блиновой за помощь в подготовке пособия.
Пособие подготовлено авторским коллективом в составе: Орехов СЛ. — доктор экономических наук; Сердюкова Н.А. — доктор экономических наук; Гореева Н.М. — кандидат экономических наук; Демидова Л.Н. — кандидат экономических наук; Клизо- губ Л.М. — кандидат экономических наук; Швецова С.Т. — кандидат педагогических наук.
Учебно-методический план дисциплины «Эконометрика»
По специальности «Статистика» и другим экономическим дисциплинам
ТЕМА Число кредитов (зачетных единиц) Всего В том числе Само-стоя-тельная работа
лекции семинары
Бакалавриат
1. Предмет эконометрики, ее цель, задачи и методы. Классы моделей. Этапы эконометрического моделирования. 1 42 10 16 16
2. Парная регрессия и корреляция 1 46 8 18 20
3. Множественная регрессия и корреляция 1 54 16 20 18
4. Временные ряды. Основные типы трендов и выявление компонент ряда. Регрессионный анализ временнйх рядов 1 54 16 20 18
Всего 4 196 50 74 72
(1
Учебно-методический план дисциплины
Окончание табл.
ТЕМА Число кредитов (зачетных единиц) Всего В том числе Самостоятельная работа
лекции семинары
Магистратура Дисциплина «Эконометрическое моделирование социально-экономических процессов»
1. Динамические эконометрические модели 1 44 10 16 18
2. Система одновременных - уравнений 2 108 24 48 36
Веего 3 152 34 64 54
1 зачетная единица = 36 учебным часам
Вопросы к экзамену по дисциплине «Эконометрика»
(Бакалавриат)
1. Эконометрика как наука. История развития эконометрики.
2. Предмет, цель и задачи эконометрики.
3. Эконометрическая модель — основа механизма эконометрического моделирования. Классы моделей.
4. Типы данных и виды переменных в эконометрических исследованиях экономических явлений.
5. Этапы эконометрического моделирования.
6. Понятия о детерминированных и стохастических процессах.
7. Статистическая зависимость (независимость) случайных переменных.
8. Понятие функциональной и статистической зависимостей.
9. Методы прогнозирования.
10. Спецификация эконометрических моделей.
11. Этапы проведения комплексного корреляционно-регрессионного анализа.
12. Регрессионная модель с одним уравнением и требования к ее построению.
13. Спецификация моделей парной регрессии.
14. Понятие о стандартной ошибке и оценка существенности коэффициентов регрессии.
15. Оценка параметров парной линейной регрессии и их экономическая интерпретация.
16. Расчет и интерпретация коэффициента корреляции для парной линейной регрессии.
17. Коэффициент детерминации и его характеристика.
18. Дисперсионный анализ: сущность и методика проведения.
19. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии.
20. Средняя ошибка аппроксимации.
Вопросы к экзамену по дисциплине «Эконометрика»
I---------------------------------------------------------
>> 21. Нелинейные регрессии и их характеристика. Линеариза-
|Ация в нелинейных регрессиях.
22. Статистическое изучение парной нелинейной регресси-9**онной эконометрической модели.
| 23. Расчет индекса корреляции для парной нелинейной ре-
* грессии.
24. Отбор факторных признаков при построении множе-I ственной регрессии.
г । 25. Оценка параметров множественной регрессии.
'4 26. Отбор факторных признаков при построении множе-
мтвенной регрессии.
1 27. Множественная и частная корреляция.
ж* 28. Задачи множественного корреляционно-регрессионного
|1шализа.
К 29. Понятие мультиколлинеарности и способы ее устранения.
Частный коэффициент корреляции.
Ж 31. /-критерий Стьюдента в оценке значимости коэффици-мщта корреляции.
ж 32. Понятие о коэффициенте эластичности и его характери-Ж^фИКа.
Жр!.. 33. P-коэффициент линейной регрессии и его применение.
I 34. Индексы множественной корреляции и детерминации и Диц .характеристика.
Кй 35. Прогнозирование по уравнению регрессии.
fek 36. Предпосылки метода наименьших квадратов.
ЯК 1 37. Гомоскедастичность и гетероскедастичность остатков.
38. Тесты проверки на гетероскедастичность и их характери-
39. Сущность обобщенного метода наименьших квадратов.
ЯИ1'«40. Временнбй ряд и его составляющие.
Ш 41. Моделирование временных рядов.
К 42. Аддитивная и мультипликативная модель временного ряда.
К 43. Моделирование тенденции временного ряда.
«КЯ;. 44- Основные типы трендов и их распознавание.
ML,. 45. Выявление сезонной компоненты во временнбм ряду.
ИГл 46. Выявление случайной компоненты во временнбм ряду.
И < 47. Понятие автокорреляции и авторегрессии временного
|ряда. Виды автокорреляции.
Щ 48. Выявление автокорреляции остатков по критерию Дарби-ИНа—Уотсона.
«И К; 49. Методы коррелирования и проверка гипотез о коинтег-$ | рации.
50. Ряд Фурье и его применение в оценке тренда.
.У у:
ч
Вопросы к экзамену по дисциплине «Эконометрика»
(Магистратура)
1. Тестирование гипотезы о коинтеграции временных рядов. Критерий Энгеля—Грангера. Критерий Дарбина—Уотсона.
2. Общие понятия о системе одновременных уравнений и ее составляющие.
3. Формы представления системы одновременных уравнений.
4. Задача идентификации уравнений системы. Необходимое и достаточное условие идентифицируемости.
5. Косвенный метод наименьших квадратов: алгоритм и условия применения.
6. Двухшаговый метод наименьших квадратов: алгоритм и условия применения.
7. Классы динамических эконометрических моделей и их характеристика.
8. Характеристика моделей с распределенным лагом и оценка их параметров.
9. Выбор формы модели с распределенным лагом.
10. Лаговые модели Алмон.
11. Характеристика авторегрессионных моделей. Метод Койка.
12. Оценка параметров моделей авторегрессии методом инструментальной переменной.
13. Модели адаптивных ожиданий.
14. Модели частичной корректировки.
JEMA1_______________________________________________
Определение эконометрики
План лекции
1. Понятие эконометрики: предмет, цель и задачи.
2. Эконометрическая модель — основа механизма эконометрического моделирования. Классы моделей.
3. Типы данных и виды переменных в эконометрических исследованиях экономических явлений.
4. Этапы эконометрического моделирования.
5. Современные проблемы эконометрики.
Эконометрика как самостоятельное знание
Эконометрическое знание выделилось и сформировалось как Закономерный результат развития и взаимодействия экономиче-£дой теории, математической экономики, экономической статистики, математической статистики и теории вероятностей. Эко-доэметрика формулирует собственные предмет, цель и задачи исследования. При этом содержание эконометрики, ее структура и область применения тесно связаны с перечисленными науками.
Взаимосвязь эконометрики с другими науками
Эконометрика Другие науки
Изучаются экономические явления с точки зрения количественных характеристик Осуществляется опытная проверка экономических законов Экономическая теория Изучаются качественные аспекты экономических явлений Математическая экономика Получают выражение экономических законов в форме математических моделей
п
ЭКОНОМЕТРИКА
Окончание табл.
Эконометрика Другие науки
Применяется инструментарий экономической статистики для анализа и прогноза экономических взаимосвязей Применяется аппарат математической статистики в силу случайного характера большей части экономических показателей Экономическая статистика Собираются, обрабатываются и представляются экономические данные в наглядном виде Математическая статистика Разрабатываются методы анализа данных в зависимости от целей исследования
Понятие «эконометрика»
Эконометрика — это у наука, предметом изучения которой является количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов
Термин «эконометрика» экономисты начали применять благодаря исследованиям П. Цъемпы (1910), Й. Шумпетера (1923), Р. Фриша (1930). Этот термин появился в результате соединения двух слов: «экономика» и «метрика». В переводе с греческого oikonomos (экономист) — это управляющий домом, метрика (metrihe, metron) — мера, размер.
Ученые-эконометристы, признанные авторитеты в области эконометрических исследований, по-разному подходили к определению эконометрики. Приведем примеры их высказываний.
Формулировки определений понятия «эконометрика»
Автор Содержание понятия «эконометрика»
Р. Фриш «...есть единство трех составляющих — статистики, экономической теории и математики»
Ц. Грилихес «...является одновременно нашим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира»
Э. Маленво «...наполняет эмпирическим содержанием априорные экономические рассуждения»
12
Тема 1. Определение эконометрики
Окончание табл.
Автор Содержание понятия «эконометрика»
С. Фишер «...занимается разработкой и применением статистических методов для измерения взаимосвязей между экономическими переменными»
С. Айвазян «...объединяет совокупность методов и моделей, позволяющих придавать количественные выражения качественным зависимостям»
Анализ подходов к определению эконометрики, а также состояние эконометрической науки позволяют сформулировать цель эконометрики, которая достигается решением определенных задач.
Цель эконометрики
Задачи эконометрики
13
ЭКОНОМЕТРИКА
Эконометрическая модель
Основой механизма эконометрического моделирования является эконометрическая модель. Экономический объект в такой модели описывается и изучается с помощью эмпирических (статистических) данных. Эконометрическая модель учитывает реальные условия существования объекта и не противоречит общим законам экономики. Ошибка предсказаний по такой модели не превосходит заданной величины.
Объясняемая переменная Y — случайная величина с некоторым распределением при заданных значениях объясняющих переменных X. (/' = 1, ..., п). Объясняющие переменные в модели могут иметь случайные или определенные значения
Эконометрическая модель является главным инструментом эконометрики и предназначена для анализа и прогноза экономических явлений и объектов. В связи с этим все эконометрические модели условно делят на три класса.
14
Тема 1. Определение эконометрики
15
ЭКОНОМЕТРИКА
Эконометрические модели отражают свойства изучаемых объектов или явлений, например:
свойство времени двигаться вперед (экономические явления происходят в пространстве и во времени) используется в моделях временных рядов;
свойство динамического равновесия многих экономических явлений применяется в решении систем одновременных уравнений;
свойство прошлых, настоящих и будущих значений переменных влиять на текущее состояние экономического явления реализуется в моделях авторегрессии и автокорреляции, в моделях адаптивного прогноза;
свойство временной задержки (лага) между причиной и следствием экономического явления проявляется в моделях с распределенным лагом;
свойство цикличности большого количества экономических явлений находит место в моделях временных рядов с сезонной составляющей.
Типы данных и виды переменных в эконометрическом моделировании
Объект эконометрического моделирования характеризуется многими признаками. Признаки в модели взаимосвязаны и выступают либо в роли результата (объясняемой переменной),
16
Тема 1. Определение эконометрики
либо в роли фактора (объясняющей переменной). Переменные эконометрической модели любого класса условно делят на следующие виды.
Моделирование зависит от объема совокупности (выборки).
Количество значений переменной или объем выборки должен быть в 6—7 раз больше количества факторов модели
Эконометрическое моделирование представляет собой комплексное решение целого ряда задач, поэтому весь процесс разделен на этапы. Такое разделение условно, однако позволяет Понять сущность действий эконометриста.
17
ЭКОНОМЕТРИКА
Этапы эконометрического моделирования
©Верификации модели
Идентификации
модели
_ Информационный
„,!Л, ©
Параметризации
ч
Априорный
©
Постановочный
18
Тема 1- Определение эконометрики
Отметим, что чем шире круг задач, решаемых в пределах одного исследования, тем меньше шансов получить эффективный результат.
Тесты
1. Какое определение соответствует понятию «эконометрика»: а) это наука, предметом изучения которой является количественная сторона массовых социально-экономических явлений и процессов в конкретных условиях места и времени;
б) это наука, предметом изучения которой является количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов;
в) это наука, предметом изучения которой являются общие закономерности случайных явлений и методы количественной оценки влияния случайных факторов?
2. Какова цель эконометрики:
а) представить экономические данные в наглядном виде;
б) разработать способы моделирования и количественного анализа реальных экономических объектов;
в) определить способы сбора и группировки статистических данных;
г) изучить качественные аспекты экономических явлений?
3. Спецификация модели — это:
а) определение цели исследования и выбор экономических переменных модели;
б) проведение статистического анализа модели, оценка качества ее параметров;
в) сбор необходимой статистической информации;
г) построение эконометрических моделей с целью эмпирического анализа.
4. Какая задача эконометрики является задачей параметризации модели:
а) составление прогноза и рекомендаций для конкретных экономических явлений по результатам эконометрического моделирования;
б) оценка параметров построения модели;
19
ЭКОНОМЕТРИКА
в) проверка качества параметров модели и самой модели в целом;
г) построение эконометрических моделей для эмпирического анализа?
5. Верификация модели — это:
а) определение вида экономической модели, выражение в математической форме взаимосвязи между ее переменными;
б) определение исходных предпосылок и ограничений модели;
в) проверка качества как самой модели в целом, так и ее параметров;
г) анализ изучаемого экономического явления.
6. Из перечисленных моделей выберите регрессионные модели с одним уравнением: 1) модель цены от объема поставки; 2) модель спроса и предложения; 3) модель тренда и сезонности; 4) модель зависимости объема производства от производственных факторов:
а) 2, 4;
б) 1, 4;
в) 2, 3;
г) все.
7. Набор сведений о разных объектах, взятых за один период времени, называется:
а) временными данными;
б) пространственными данными.
8. Выберите аналог понятия «независимая переменная»:
а) эндогенная переменная;
б) фактор;
в) результат;
г) экзогенная переменная.
9. Рассмотрите модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р): у = аи + а,х + а2р + е. Определите класс модели и вид переменных модели:
а) регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенная переменная — располагаемый личный доход, предопределенная переменная — цена продуктов питания;
20
Тема I. Определение эконометрики
б) регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания;
в) модель временного ряда; эндогенная переменная — расходы на питание, лаговые переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.
10. Найдите правильную последовательность этапов эконометрического моделирования:
а) постановочный, априорный, параметризации, информационный, идентификации, верификации;
б) постановочный, априорный, информационный, параметризации, идентификации, верификации;
в) информационный, постановочный, априорный, параметризации, верификации, идентификации.
ТЕМА 2
Парная регрессия и корреляция
План лекции
1. Статистическая зависимость (независимость) случайных переменных.
2. Анализ линейной статистической связи экономических данных.
3. Нелинейные модели и их линеаризации.
Экономические явления, обладая большим разнообразием, характеризуются множеством признаков, отражающих те или иные их свойства. Эти признаки изменяются (варьируются) во времени и пространстве. Нередко изменения признаков взаимозависимы и взаимообусловлены. В одних случаях связь (зависимость) между признаками оказывается очень тесной (например, часовая выработка и заработная плата), а в других случаях связь между признаками вовсе не обнаруживается или выражается очень слабо (например, пол студентов и их успеваемость). Чем теснее связь между признаками, тем точнее принимаемые решения и легче управление системами.
Среди многих форм связей явлений важнейшую роль играет причинная, определяющая все другие формы. Сущность причинности состоит в порождении одного явления другим. В любой конкретной связи одни признаки выступают в качестве факторов, воздействующих на другие и обусловливающие их изменение, другие — в качестве результатов действия этих факторов. Иными словами, одни представляют собой причину, другие — следствие. Признаки, характеризующие следствие, называются результативными (зависимыми, объясняемыми переменными у), признаки, характеризующие причины — факторными (независимыми, объясняющими переменными х).
Различают два типа зависимости между явлениями и их признаками: функциональную, или жестко детерминированную (на
22
Тема 2. Парная регрессия и корреляция
пример, зависимость выработки продукции на одного рабочего от объема выпушенной продукции и численности рабочих), и статистическую, или стохастически детерминированную (например, зависимость между производительностью труда и себестоимостью единицы продукции).
Понятие функциональной и статистической зависимости
Функциональная зависимость чаще всего встречается в естественных науках. Реже подобные связи наблюдаются в общественной жизни, в частности в экономических процессах.
Для социально-экономических явлений характерно то, что наряду с существенными факторами на них оказывают воздействие многие другие, в том числе случайные факторы. В связи с этим существующая зависимость не проявляется здесь в каждом отдельном случае, как при функциональных связях, а лишь «в общем и среднем» при большом числе наблюдений. В этом случае говорят о статистической зависимости.
Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость.
Корреляционная связь является «неполной» зависимостью, которая проявляется не в каждом отдельном случае, а только в средних величинах при достаточно большом числе случаев.
23
ЭКОНОМЕТРИКА
Известно, например, что повышение квалификации работника ведет к росту производительности труда. Это положение подтверждается в массе явлений и не означает, что у двух или более рабочих одного разряда, занятых аналогичным процессом, будет одинаковая производительность труда. Уровни их выработки будут различаться, хотя и незначительно, так как у этих рабочих могут быть различными стаж работы, техническое состояние станка, состояние здоровья и т.д.
Из этого следует, что статистическая зависимость — свойство совокупности в целом, а не отдельных ее единиц.
Виды функциональной и корреляционной зависимости
Функциональная и корреляционная связь в зависимости от направления действия бывает прямая и обратная.
24
Тема 2. Парная регрессия и корреляция
По аналитическому выражению зависимость может быть прямолинейной (линейной) и криволинейной (нелинейной).
В зависимости от количества признаков, включенных в модель, корреляционные связи делят на однофакторные и многофакторные.
Корреляционная зависимость исследуется с помощью методов корреляционного и регрессионного анализа.
25
ЭКОНОМЕТРИКА
Корреляционно-регрессионный анализ
Корреляционно-регрессионный анализ проводится поэтапно в определенной логической последовательности.
26
Тема 2. Парная регрессия и корреляция
Наиболее разработанной в эконометрике является методология парной линейной корреляции, рассматривающая влияние вариации переменной х на переменную у и представляющая собой однофакторный корреляционный и регрессионный анализ.
Понятие корреляционного анализа
Понятие корреляции
Варианты корреляции
Корреляция
i у I
£ Парная Частная Множественная
i i
Связь между Двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными) Зависимость между результативным и одним факторным признаками или двумя факторными признаками при фиксированном значении других факторных признаков Зависимость между результативным признаком и двумя и более факторными признаками, включенными в исследование
27
ЭКОНОМЕТРИКА
Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Построение коэффициентов корреляции основано на сумме произведений отклонений индивидуальных значений признаков х и у, от их средних значений х и у: £(х,- - х)(у - у).,Эта величина, деленная на число единиц сово-<=1
купности п, называется ковариацией. Она характеризует сопряженность вариации двух признаков и представляет собой статистическую меру взаимодействия двух случайных переменных.
Формула определения ковариации
При наличии прямой связи большие значения х должны сочетаться с большими значениями у, следовательно, отклонения (Xj - х) и (у - у) будут положительными.
Для малых значений х и у эти отклонения будут отрицательными, а их произведения — положительными. Значит, при прямой связи ковариация будет величиной положительной.
При наличии обратной связи отклонения (х, - х) и (у - у) будут иметь разные знаки (большие значения х сочетаются с
28
Тема 2- Парная регрессия и корреляция
меньшими значениями у и наоборот). Ковариация будет отрицательной величиной.
Наконец, при отсутствии связи сочетание знаков отклонений (х, - х) и (у, - у) будет беспорядочным, при суммировании отрицательные и положительные произведения (х, - х) и (у, - у) будут взаимно погашаться и ковариация будет близка к нулю.
Размер ковариации зависит от масштаба признаков х и у. Для получения относительной характеристики связи ковариацию делят на максимально возможное значение, равное произведению средних квадратических отклонений двух признаков о*, В результате получают линейный коэффициент корреляции.
Формула линейного коэффициента корреляции
Для расчета линейного (парного) коэффициента корреляции можно воспользоваться также следующими формулами:
1)
ху - X у
ух
<^У
где ху — средняя арифметическая произведения двух величин.
Определяется по формуле
__ ] «
ху =
«Г?
29
ЭКОНОМЕТРИКА
2)
У-v
3)
-x)(z - у)
/=1
-х)2£(у, -у)2
V /=1 /=1
/=1 /=1 /=1
Коэффициенты корреляции как статистические величины подвергаются в анализе оценке на достоверность. Это объясняется тем, что любая совокупность наблюдений представляет собой некоторую выборку, следовательно, значение любого показателя, вычисленное на основе выборки, не может рассматриваться как истинное, а является только более или менее точной его оценкой. В связи с этим возникает необходимость проверки существенности (значимости) показателей.
30
Тема 2. Парная регрессия и корреляция
Для оценки значимости коэффициента корреляции используют t-критерий Стьюдента (t-статистику), который применяется при /-распределении, отличном от нормального. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза (//0) о равенстве г к нулю, т.е. /7() : = 0. Если нулевая гипотеза отвергается, то ко-
эффициент корреляции признается значимым, а связь между переменными существенной.
Формула расчета f-критерия Стьюдента
Значение /-критерия сравнивают с табличным /и.., где а — заданный уровень значимости (обычно принимается равным 0,05 или 0,01); у = (п - к — 1) — число степеней свободы.
ВАЖНО!
Если выполняется неравенство / > / то значение коэффициента корреляции признается значимым, т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается и делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь
Зная линейный коэффициент корреляции, можно определить парный коэффициент детерминации, он представляет собой г,2ч.
31
ЭКОНОМЕТРИКА
Сущность регрессионного анализа
ВАЖНО?
Регрессионный анализ заключается в определении аналитической формы связи, в которой изменение результативного признака обусловлено влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на результативный признак, принимается за постоянные и средние значения
Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака от факторных признаков.
Основной предпосылкой регрессионного анализа является то, что только результативный признак подчиняется нормальному закону распределения, а факторные признаки — произвольному закону распределения. При этом в регрессионном анализе заранее подразумевается наличие причинно-следственных связей между результативным и факторными признаками.
Уравнение регрессии
Уравнение адекватно реальному моделируемому явлению или процессу в случае соблюдения требований его построения.
32
Тема 2. Парная регрессия и корреляция
Теоретическая обоснованность моделей
Теоретическая обоснованность моделей взаимосвязи явлений обеспечивается соблюдением определенных условий.
2 Эконометрика в схемах и таблицах
33
ЭКОНОМЕТРИКА
Форма связи может быть выражена как линейной функцией (уравнение прямой), так и нелинейными функциями (полиномы разных порядков, гипербола, степенная функция и др.).
Подбор функции для выражения формы связи между признаками проходит несколько этапов: графический, логический, экономический, а также математическую проверку близости эмпирических данных к теоретическим.
Часто для выражения формы корреляционной связи подходит одновременно несколько функций, поэтому желательно дать окончательное обоснование выбора функции для выражения формы связи на альтернативной основе.
Наиболее простой с точки зрения понимания, интерпретации и техники расчетов является линейная форма регрессии.
Уравнение линейной парной регрессии
Уравнение линейной парной регрессии — это^ ух = а0 - а,х, - £,, где а(), с, — параметры модели; е — случайная величина (величина остатка)
Параметры модели и их содержание
Параметр Содержание параметра
fl0 Свободный коэффициент (член) регрессионного уравнения. Не имеет экономического смысла и показывает значение результативного признака у, если факторный признак х = 0
Коэффициент регрессии показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак у, если переменную х увеличить на единицу измерения. Знак при коэффициенте регрессии показывает направление связи: при я, > 0 — связь прямая; при а, < 0 — связь обратная
Независимая, нормально распределенная случайная величина. остаток с нулевым математическим ожиданием (Л/ = 0) и постоянной дисперсией (О = о2)- Отражает тот факт, что изменение у будет неточно описываться изменением х, так как присутствуют другие факторы, не учтенные в данной модели
34
Тема 2. Парная регрессия и корреляция _______________________________________________________________
Опенка параметров модели а() и осуществляется методом наименьших квадратов. Сущность метода наименьших квадратов заключается в том, что отыскиваются такие значения параметров модели («0 и о,), при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака ус от вычисленных по уравнению регрессии у, будет наименьшей из всех возможных:
Е) = XU- - - "1 -ч Г ->min•
/Л (=1
Система нормальных уравнений для нахождения параметра линейной парной регрессии методом наименьших квадратов
Формулы для определения значения параметров а0 и а,
Параметр а, нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторного признака на результативный признак из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этих целей вычисляют коэффициент эластичности и бета-коэффициент.
Формула определения коэффициента эластичности
2'
35
ЭКОНОМЕТРИКА
ВАЖНО!
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак г при изменении факторного признак;! х на один процент
Формула определения бета-коэффициента
Проверка адекватности и точности уравнения регресии
После того как уравнение регрессии построено, выполняется проверка его адекватности и точности. Эти свойства модели исследуются на основе анализа ряда остатков е( (отклонений расчетных значений от фактических).
Уровень ряда остатков
к, = - У,, (з = 1, 2........ л)
Корреляционный и регрессионный анализ (особенно в условиях так называемого малого и среднего бизнеса) проводится для ограниченной по объему совокупности. В связи с этим показатели регрессии, корреляции и детерминации могут быть искажены действием случайных факторов. Чтобы проверить, насколько эти показатели характерны для всей совокупности, не являются ли они результатом стечения случайных обстоятельств, необходимо проверить адекватность построенной модели.
36
ТеМО 2. Парная регрессия и корреляция
Значения у(, соответствующие данным л; при теоретических значениях и ау. случайные. Случайными будут и рассчитанные по ним значения коэффициентов ап и
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии проводится по t-критерию Стьюдента путем проверки гипотезы о равенстве нулю каждого коэффициента регрессии. При этом выясняют, насколько вычисленные параметры характерны для отображения комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатом действия случайных величин. Для соответствующих коэффициентов регрессии применяют соответствующие формулы.
Формулы для определения f-критерия Стьюдента
37
ЭКОНОМЕТРИКА
Расчетные значения /-критерия сравнивают с табличным значением критерия /ц„, которое определяется при (л - к — I) степенях свободы и соответствующем уровне значимости а.
Если расчетное значение /-критерия превосходит его табличное значение /,., го параметр признается значимым. В таком случае практически невероятно. что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями
Для проверки значимости уравнения регрессии в целом используют F-критерий Фишера. В случае парной линейной регрессии значимость модели регрессии определяется по следующей формуле:
Формула определения F-критерия Фишера
Проверка наличия или отсутствия систематической ошибки (выполнения предпосылок метода наименьших квадратов — МН К) осуществляется на основе анализа ряда остатков.
Требования, при которых модель считается адекватной
Уровни ряда остатков имеют случайный характер
Математическое ожидание уровней ряда остатков равно нулю
Дисперсия каждого отклонения Е одинакова для всех значений л
Значения уровней ряда остатков независимы друг от друга (отстутствует автокорреляция)
Уровни ряда остатков распределены по нормальному закону
38
ТемО Парная регрессия и корреляция
Соблюдение требований, которым должен удовлетворять ряд остатков
Требование Метод проверки требований
Первое Для проверки свойства случайности ряда остатков можно использовать критерий поворотных точек (пиков). Точка считается поворотной, если выполняются следующие условия: е,_, < е, > е,_, или г, , > г, < е,.+1. Далее подсчитывается число поворотных точек р. Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства: 2 , (16л - 29 р> -{п -2)- ,96, — . Р [3 V 90 J Квадратные скобки означают, что берется целая часть числа, заключенного в скобки. Если неравенство выполняется, то модель считается адекватной
Второе Для проверки равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю вычисляется среднее значение ряда остатков: Ё = Х(е')/" Если в = 0, то считается, что модель не содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего. Если £ 0, то проверяется нулевая гипотеза о равенстве нулю математического ожидания. Для этого вычисляют /-критерий Стьюдента по формуле: |ё|-0 Г 1 = LJ У где 5 — стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка). Значение /-критерий сравнивают с табличным /ц . Если выполняется неравенство / > / . то модель неадекватна по данному критерию
39
ЭКОНОМЕТРИКА
Продолжение табл.
Требование Метод проверки требований
Третье Дисперсия уровней ряда остатков должна быть одинаковой для всех значений л; (свойство гомоскедастич-ности). Если это условие нс соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Для оценки гетероскедастичности при малом объеме выборки можно использовать .метод Гольдфельда—Квандта, суть которого заключается в том. что необходимо: расположить значения переменной х в порядке возрастания; разделить совокупность упорядоченных наблюдений на две группы; по каждой группе наблюдений построить уравнения регрессии: определить остаточные суммы квадратов для первой и второй групп по формулам: >i f,2 5,=£е2; S2= X Д /-I i~ H] +1 где nt — число наблюдений в первой группе; л. — число наблюдений во второй группе. • рассчитать критерий F)atii = 5, : 5, или Fac4 = : 5! (в числителе должна быть большая сумма квадратов). При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастич-ности критерий F^.^ будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы у, = п1 — т и у, = п — л, — т для каждой остаточной суммы квадратов (где т — число оцениваемых параметров в уравнении регрессии). Чем больше величина F превышает табличное значение F-критерия, тем больше нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин
Четвертое Проверку независимости последовательности остатков (отсутствие автокорреляции) осуществляют с помощью ^-критерия Дарбина—Уотсона. Он определяется по формуле: 2Л ~F.iV d = . /=|
40
ТеМЛ 2. Парная регрессия и корреляция
Окончание табл.
Требование Метод проверки требований
Расчетное значение критерия сравнивается с нижним d, и верхним d, критическими значениями статистики Дарбина—Уотсона. Возможны следующие случаи: 1) если d < dv то гипотеза о независимости остатков отвергается и модель признается неадекватной по критерию независимости остатков; 2) если d..< d < d, (включая сами эти значения), то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод и нужно использовать дополнительный критерий, например первый коэффициент автокорреляции: п=*Ч /=1 Если расчетное значение коэффициента по модулю меньше табличного значения г то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается; 3) если d2 < d <2, то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию; 4) если d > 2, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков. В этом случае расчетное значение критерия необходимо преобразовать по формуле d' = 4 — d и сравнивать с критическим значением d', а не d
Пятое Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения можно осуществить с помощью Я/5-критерия. который определяется по формуле: Я/5 = (еП1м-Ет]П)/.УЕ, где 5 — стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка). Расчетное значение /^/5-критерия сравнивают с табличными значениями (нижней и верхней 1раницами данного отношения), и если значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае гипотеза принимается
41
ЭКОНОМЕТРИКА
Для опенки качества регрессионных моделей целесообразно также использовать индекс корреляции (коэффициент множественной корреляции).
Формула определения индекса корреляции
где 5;- = S; + 5"
S2 — общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от ее среднего значения.
Определяется по формуле:
Индекс корреляции (корреляционное отношение)
У-2 — сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией.
Определяется по формуле:
S2 =
ян'.
И - ]
5; — остаточная сумма квадратов отклонений. Вычисляется по формуле:
и - 1
Уравнение = б'2 + S; можно представить следующим образом:
iu -у)2=i(y, ->j2
(=1 (=1 ' /^1 '
42
ТеМа Парная регрессия и корреляция
ВАЖНО!^> Индекс корреляции принимает значение от 0 до 1. Чем выше значение индекса, тем ближе расчетные значения результативного признака к фактическим. Индекс корреляции используется при любой форме связи переменных; при парной линейной регрессии он равен парному коэффициенту корреляции
В качестве меры точности модели применяют точностные характеристики.
Определение меры точности модели
Точностные характеристики Расчет и содержание характеристики
Максимальная ошибка Соответствует максимальному отклонению расчетных значений от фактических
Средняя абсолютная ошибка " ;=1 Ошибка показывает, насколько в среднем отклоняются фактические значения от модели
Дисперсия ряда остатков (остаточная дисперсия) 5>,-ё)2 * = где Ё — среднее значение ряда остатков. Определяется по формуле: - 1 V Е ~ — > Е,
Средняя квадратическая ошибка Представляет собой корень квадратный из дисперсии: s = \-— 1 п - 1 Чем меньше значение ошибки, тем точнее модель
43
ЭКОНОМЕТРИКА
Окончание табл.
Точностные характеристики Расчет и содержание характеристики
Средняя относительная ошибка аппроксимации — 1 11 I с ' £ш[1 =-У И-100. Допустимый предел значений £о1н составляет не более 8—15%
Если модель регрессии признана адекватной, а параметры модели значимы, то переходят к построению прогноза.
Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины независимой переменной хп .
Прогнозируемое значение переменной у и доверительные интервалы прогноза
Данный прогноз называется точечным. Вероятность реализации точечного прогноза практически равна нулю, поэтому рассчитывается доверительный интервал прогноза с большой надежностью.
Доверительные интервалы прогноза зависят от стандартной ошибки, удаления х и от своего среднего значения х. количества наблюдений п и уровня значимости прогноза а.
44
ТеМ^ Парная регрессия и корреляция
Нелинейные модели и их линеаризация
Соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями. Так, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства — трудом, капиталом и т.д.), функции спроса (зависимость между спросом на товары. услуги и их ценами или доходом) и др.
Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.
Нелинейность может проявляться как относительно переменных, так и относительно входящих в функцию коэффициентов (параметров).
Различают два класса нелинейных регрессий.
Для опенки параметров нелинейных моделей используют два подхода.
Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.
Второй подход обычно применяют в случаях, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование нс удастся. Тогда используют методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.
Применяемые чаше всего в экономическом анализе виды Нелинейных регрессий следующие: полином второго порядка, гипербола, степенная функция и показательная функция.
45
ЭКОНОМЕТРИКА
Оценка параметров нелинейной регрессии по переменным, включенным в анализ, но линейным по оцениваемым параметрам, проводится с помощью МНК путем решения нормальных уравнений.
Регрессии, нелинейные по переменным, но линейные по оцениваемым параметрам
Наименование регрессии Уравнение регрессии Нормальные уравнения
Полином второго порядка = а0 + <?,x, + а2х? «"о + a, Z X = 2, л; /=| /-1 /=| %,- + ц £ X/ + х; = £ у,х,; Ml / = 1 / = ) Ml + °| X < + X* = £ у,-х,2 / = 1 /-I Ml /'1
Гипербола 1 У,- = а0 + а, — х, /1 | н па() + Ф £ — = £ У,; / = | Х) ы н 1 « 1 " v /-1 Л/ / = 1 Л: ( = 1 Л: Или заменим 1/х на новую переменную X. В результате получим линейное уравнение: у, = а0 + ахХ. Параметры определяются из следующих формул: ^ = ^-5 atx Т--(Т)’
46
JeMa 2- Парная регрессия и корреляция
Линеаризация регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам
— Наименование регрессии Уравнение регрессии Линеаризация
Степенная функция к- = «о Для определения параметров степенной функции с помощью МНК необходимо привести ее к линейному виду путем логарифмирования обеих частей уравнения: In у\, = In а0 + о. In х,. Это уравнение представляет собой прямую линию на графике, по осям которого откладываются не сами числа, а их логарифмы (так называемая логарифмическая шкала или логарифмическая сетка). Пусть ¥ = lnyv, А'= 1пх, А = 1па0. Тогда уравнение примет вид ¥= А + а}Х. Параметры модели определяются по следующим формулам: T2-(Tf
Показательная функция У\ = а0 а-' Линеаризацию переменных проведем путем логарифмирования обеих частей уравнения: In yv = In аа + х, In а,. Уравнение изображается прямой линией на полулогарифмической сетке, которая получается как сочетание натуральной шкалы для значений независимой переменной х и логарифмической шкалы — для значений зависимой переменной у. Пусть Y = In у,, А = 1па(), В= Ina,. Тогда уравнение примет вид } - А + Вх. 1
47
ЭКОНОМЕТРИКА
Окончание табл.
Наименование регрессии Уравнение регрессии Линеаризация
Параметры модели определяются по следующим формулам: „ Y x-Y -х 7 О| = —= г-; 4, = Y - Вх •У - (xf
При использовании любой формы криволинейной корреляционной зависимости теснота связи между переменными может быть измерена с помощью индекса корреляции, который определяется аналогично коэффициенту корреляции для линейной формы связи.
Уравнение корреляционной связи должно быть по возможности более простым, чтобы сущность изучаемой зависимости между переменными проявлялась достаточно четко, а параметры уравнения поддавались определенному экономическому толкованию. Вопрос выбора соответствующего уравнения связи решается в каждом случае отдельно.
Пример. Имеются следующие выборочные данные — выборка 20% случайная бесповторная (табл. А).
Таблица А
Среднедушевые денежные доходы населения и среднедушевой оборот розничной торговли по городам региона (месяц)
(руб.)
№ города Среднедушевой денежный доход Среднедушевой оборот розничной торговли № города Среднедушевой денежный ДОХОД Среднедушевой оборот розничной торговли
1 3 357 2 425 9 3 563 2 200
2 3 135 2 050 10 3 219 1 892
3 2 842 1 683 11 3 308 2 008
4 3 991 2 375 12 3 724 2 225
5 2 293 1 167 13 3 416 L 1 983
48
Тема 2. Парная регрессия и корреляция
Окончание табл. А
-——-• “ № города Среднедушевой денежный ДОХОД Среднедушевой оборот розничной торговли № города Среднедушевой денежный ДОХОД Среднедушевой оборот розничной торговли
6 3 340 1 925 14 3 022 2 342
7 3 089 1 042 15 3 383 2 458
8 4 372 2 925 16 4 267 2 125
Необходимо построить уравнение регрессии, оценить его адекватность и точность, сделать выводы.
Решение. Для определения тесноты связи между признаками и построения уравнения сформируем табл. Б.
1. Теснота связи между признаками определяется по формуле
£ (х, - х)(у, - у)
Гу. = г;"'-... -- - •
-Х)2£(У, - У)2
V <=| <=1
Средние значения факторного и результативного признаков равны
£х,-
54 471
_ = = = 3395 (руб).
п 16
п
V v
_ 32 825 .... , _
У = —— = - 2052 (руб.).
п 16
Парный коэффициент корреляции равен
2 590 081
г,... = -т—_ = 0,706.
V4 070 771-3 299 601
Величина коэффициента корреляции свидетельствует о тесной связи между среднедушевым денежным доходом и среднедушевым оборотом розничной торговли.
49
th О
Расчет параметров уравнения парной линейной регрессии
Таблица Б
№ п/п X. V, (х,. - х) (У, - У) (Х; - X) X х(У/ ~ У) (х,. - х)2 (У, - У)1 5 я
1 3 357 2 425 -38 373 -14 174 1 444 139 129 11 269 449 2 027
2 3 135 2 050 -260 —2 520 67 600 4 9 828 225 1 886
2 842 1 683 -553 -369 20 4057 305 809 136 161 8 076 964 1 700
4 3 991 2 375 596 323 192 508 355 216 104 329 15 928 081 2 431
5 2 293 1 167 - 1 102 -885 975 270 1 214 404 783 225 5 257 849 1 350
6 3 340 1 925 -55 -127 6 985 3 025 16 129 11 155 600 2 017
7 3 089 1 042 -306 -1 010 309 060 93 636 1 020 100 9 541 921 1 857
8 4 372 2 925 977 873 852 921 954 529 762 129 19 114 384 2 673
9 3 563 2 200 168 148 24 864 28 224 21 904 12 694 969 2 158
10 3 219 1 892 -176 -160 28 160 30 976 25 600 10 361 961 1 940
11 3 308 2 008 -87 -44 3 828 7 569 1 936 10 942 864 1 996
12 3 724 2 225 329 173 56 917 108 241 29 929 13 868 176 2 261
13 3 416 1 983 21 -69 -1 449 441 4 761 11 669 056 2 065
14 3 022 2 342 -373 290 -108 170 139 129 84 100 9 132 484 1 814
15 3 383 2 458 -12 406 -4 872 144 164 836 11 444 689 2 044
16 4 267 2 125 872 73 63 656 760 384 5 329 18 207 289 2 606
Сумма 54 321 32 825 2 590 081 4 070 771 3 299 601 188 493 961
ЭКОНОМЕТРИКА
Темй Парная регрессия и корреляция -----
Парный коэффициент детерминации (rt; = 0,498) показывает, что на 49,8% изменение оборота розничной торговли объясняется изменениями денежных доходов населения.
Значимость коэффициента корреляции проверяется с помощью /-критерия Стьюдента по формуле
^расч
ZLX3 = о,7О6 16 1 1 = 3,73.
1-С \ 1-0.498
Табличное значение /-критерия Стьюдента при доверительной вероятности 0.95 и числе степеней свободы у = (я — Л — 1) = 14 составляет 2,14.
Так как г > /тай1, значение коэффициента корреляции признается значимым и делается вывод о том, что между среднедушевым денежным доходом и среднедушевым оборотом розничной торговли есть тесная статистическая взаимосвязь.
2. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид
Л = во +О|^-
Параметры модели определим ио формулам
а{} = у - а{х = 2052 - 0,636 3395 = -108,59.
Коэффициент регрессии at = 0,636 показывает, что с увеличением среднедушевого денежного дохода на 1 руб. среднедушевой розничный оборот возрастает на 63,6 коп.
Уравнение парной регрессии имеет вид
= -108.59 + 0,636%,.
Подставляя в полученное уравнение регрессии значения %,, можно определить условные средние (расчетные) значения yt.
3. Проверка адекватности (значимости) модели осуществляется на основе анализа ряда остатков е, (отклонений расчетных значений у, от фактических у,). Расчеты приведены в табл. В.
51
s Таблица В Проверка адекватности и точности модели парной линейной регрессии
№ п/п .V,- е,- е; Точки поворота (е, -Е,- |) (Е, - Е; । ) -'-100 У;
1 2 425 2 027 398 158 404 — — — 16,41
2 2 050 1 886 164 26 896 0 -234 54 756 8.0
1 683 1 700 -17 289 0 -181 32 761 1,01
4 2 375 2 431 -56 3 136 0 -39 1 521 2,36
5 1 167 1 350 -183 33 489 1 -127 16 129 15,68
6 1 925 2 017 -93 8 649 1 90 8 100 4,83
7 1 042 1 857 -815 664 225 1 -723 522 729 78,21
8 2 925 2 673 252 63 504 1 1 067 1 138 489 8.62
9 2 200 2 158 42 1 764 0 -210 44 100 1,91
10 1 892 1 940 -48 2 304 1 -90 8 100 2.54
11 2 008 1 996 12 144 1 60 3 600 0,60
12 2 225 2 261 -36 1 296 0 -48 2 304 1,62
13 1 983 2 065 -82 6 724 1 -46 2 116 4.14
14 2 342 1 814 528 278 784 1 610 372 100 22,54
15 2 458 2 044 414 171 396 0 -114 12 996 16,84
16 2 125 2 606 -481 231 361 -895 801 025 22,64
Сумма 32 825 -1 1 652 180 8 3 021 007 191,49
ЭКОНОМЕТРИКА
Тема 2. Парная регрессия и корреляция
Значимость параметров модели оценивается с помощью меритерия Стьюдента по формулам
а,. а\
t - —— t = ——
'расчЯ(| > ‘расч(;| ’
"О «I
где S , — стандартные отклонения свободного члена и коэффици-
ента регрессии.
Они определяются по формулам
Стандартное отклонение остатков модели (стандартная ошибка) определяется по формуле
•V
1 652 180
14
Значения стандартных отклонений следующие:
5 = 343,53 /188-93-^- = 584,41; Sc
а° Ш-4 070 771
343,53
2017,6
= 0,17.
Расчетные значения 7-критерия равны:
= -108,59 _
Грасч«(1 ~ 584,41 ~ °’ /|ИСЧ"|
^ = 3,74. 0.17
Табличное значение /-критерия с у = (и — к - 1) = 14 степенями свободы при доверительной вероятности 0,95 (а = 0,05) Равно 2,14.
Значит, имеются следующие результаты:
|/расч(;о | < /габл =* параметр а„ незначим;
U-ч», > ?ыбл => параметр а, значим.
53
ЭКОНОМЕТРИКА
Для проверки значимости уравнения регрессии в целом используется /-'-критерий Фишера:
г2 О 4Q8
Табличное значение A-критерия с у, = к = 1 и у, = п — к — 1 = = 14 степенями свободы при доверительной вероятности 0,95 (а = 0,05) равно 4,60.
Так как Та.ч > А^, уравнение парной линейной регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое.
4. Проверка выполнения предпосылок МНК (на основе результатов табл. Б).
4.1. Проверка свойства случайности ряда остатков.
Число поворотных точек (р) равно 8.
Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства
Неравенство выполняется (8 > 6). следовательно, модель может быть признана адекватной по критерию случайности.
4.2. Проверка равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю.
Вычисляется среднее значение ряда остатков.
е
~ = -0,06.
Так как г = 0, модель нс содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего.
4.3. Проверка свойства гомоскедастичности.
Значения факторного признака х располагаются в порядке
возрастания.
S42 3022 3089 3135 3219 3308 3340
357 3383 | 3416 3563 [ 37241 3991
4267I4372
54
Тема 2. Парная регрессия и корреляция
Совокупность наблюдений разделится на две группы, и для каждой группы с помощью программы «Анализ данных в EXCEL», инструмент «Регрессия», определяются параметры уравнений регрессий и остаточные суммы квадратов (табл. Г).
Таблица Г
Расчетные значения
Группа Уравнение регрессии Остаток
1 ух = -427,73 + 0,72х,- У, = Yc = 982 672 /-1
2 У = 1249,40 + 0,29х, У = У е,- = 474 564 •-«о ।
Исчисляется расчетный критерий:
F = S-. S, = 982 672 : 474 564 = 2,07.
Табличное значение f-критерия с у, = л, — /и = 6 и у2 = н — — п} — т = 6 степенями свободы при доверительной вероятности 0,95 (а = 0,05) равно 4,28.
Величина £ превышает табличное значение F-критерия, следовательно, свойство гомоскедастичности выполняется.
4.4. Проверка независимости последовательности остатков (отсутствие автокорреляции) с помощью ^-критерия Дарбина— Уотсона.
У (е; - Е, , )2 л.2? _ _i°21 007 = 1,8з.
Л 2 1 652 180
<=|
Расчетное значение критерия сравнивается с нижним и верхним d2 критическими значениями статистики Дарбина— Уотсона. При п = 16 и уровне значимости 5% d. = 1,10. d2= 1,37.
Поскольку d2 < d < 2, то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию.
55
ЭКОНОМЕТРИКА
4.5. Проверка соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения с помощью Я/5-критерия. Проверка осуществляется по формуле
Я/5= (£„их - emin) / 5 = (528 + 815)/343,53 = 3,91.
Расчетное значение /^/5-критерия сравнивается с табличными значениями (нижней и верхней границами данного отношения).
Нижняя и верхняя границы отношения при уровне значимости а = 0,05 равны соответственно 3,01 и 4,09.
Расчетное значение отношения попадает в интервал между критическими границами, следовательно, с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения принимается.
4.6. Оценка точности модели (табл. В).
В качестве показателя точности модели используется средняя относительная ошибка аппроксимации:
F^ = -i — 100 = ^-191,49 = 12,0%.
«“Г Л 16
Уровень точности модели можно признать приемлемым.
Тесты
1. Связь называется корреляционной:
а) если каждому значению факторного признака соответствует вполне определенное неслучайное значение результативного признака;
б) если каждому значению факторного признака соответствует множество значений результативного поизнака, т.е. определенное статистическое распределение;
в) если каждому значению факторного признака соответствует целое распределение значений результативного признака;
г) если каждому значению факторного признака соответствует строго определенное значение факторного признака.
2. По аналитическому выражению различают связи:
а) обратные;
б) линейные;
в) криволинейные;
г) парные.
56
Тема 2. Парная регрессия и корреляция ,————'
3. Регрессионный анализ заключается в определении:
а) аналитической формы связи, в которой изменение результативного признака обусловлено влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на результативный признак, принимается за постоянные и средние значения;
б) тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи);
в) статистической меры взаимодействия двух случайных переменных;
г) степени статистической связи между порядковыми переменными.
4. Под частной корреляцией понимается:
а) зависимость результативного признака и двух и более факторных признаков, включенных в исследование;
б) связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными);
в) зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков;
г) зависимость между качественными признаками.
5. Какое значение не может принимать парный коэффициент корреляции:
а) -0,973;
б) 0,005;
в) МН;
г) 0,721?
6. При каком значении линейного коэффициента корреляции связь между признаками У и А” можно считать тесной (сильной):
а) -0,975;
6) 0,657;
в) -0,111;
г) 0,421?
57
ЭКОНОМЕТРИКА
7. Какой критерий используют для оценки значимости коэффициента корреляции:
а) F-критерий Фишера;
б) /-критерий Стьюдента;
в) критерий Пирсона;
г) S-критерий Дарбина—Уотсона?
8. Если парный коэффициент корреляции между признаками У и X равен —1, то это означает:
а) отсутствие связи:
б) наличие обратной корреляционной связи;
в) наличие обратной функциональной связи;
г) наличие прямой функциональной связи?
9. Если парный коэффициент корреляции между признаками У и X принимает значение 0,675, то коэффициент детерминации равен:
а) 0,822;
б) -0,675;
в) 0,576;
г) 0,456?
10. Согласно методу наименьших квадратов минимизируется следующее выражение:
/=|
б) S(z-y,);
/=т|
в) £|х -у,|;
Г) £(^-Й)2?
1-1
11. Оценки параметров регрессии (свойства оценок МНК) должны быть:
а) несмещенными;
б) гетероскедатичными;
в) эффективными;
г) состоятельными?
58
Тема 2. Парная регрессия и корреляция
12. В уравнении линейной парной регрессии параметр а означает:
а) усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов;
б) среднее изменение результативного признака при изменении факторного признака на 1%;
в) на какую величину в среднем изменится результативный признаку, если переменную хувеличить на единицу измерения;
г) какая доля вариации результативного признака у учтена в модели и обусловлена влиянием на нее переменной х?
13. Значение параметра а} в уравнении линейной парной регрессии определяется по формуле:
а) у - а}х;
б) £(л--х)(у-у).
Х(х-х)(у-у) .
“/ I--------z--------г >
V)’
г) а1} х"' °
14. Уравнение регрессии имеет вид у = 2,02 + 0,78х. На сколько единиц своего измерения в среднем изменится у при увеличении х на одну единицу своего измерения:
а) увеличится на 2,02;
б) увеличится на 0,78;
в) увеличится на 2,80;
г) не изменится?
15. Какой критерий используют для оценки значимости уравнения регрессии:
а) A-критерий Фишера;
б) /-критерий Стьюдента;
в) критерий Пирсона;
г) (/-критерий Дарбина—Уотсона?
59
ЭКОНОМЕТРИКА
16. Какой коэффициент определяет среднее изменение результативного признака при изменении факторного признака на 1%:
а) коэффициент регрессии;
б) коэффициент детерминации;
в) коэффициент корреляции;
г) коэффициент эластичности?
17. Чему равен коэффициент эластичности, если уравнение регрессии имеет вид у = 2,02 + 0.78х, а х = 5,0, у = 6,0 :
а) 0.94;
б) 1,68;
в) 0,65;
г) 2,42?
18. Уравнение степенной функции имеет вид:
а) А = ц, -УУ
б) = aQ +at
Л‘
в) >\. = + а{х + а2х~',
Г) л = «о • < ?
19. Уравнение гиперболы имеет вид;
а) ух = а0 х"1:
б) = а, + а, -;
Л'
в) = я() + <7|Х + а2х2;
г) д = < ?
20. И ндекс корреляции определяется по формуле:
ТЕМА 3.
Множественная регрессия и корреляция
План лекции
1. Опенка параметров множественной регрессии.
2. Отоор факторных признаков при построении множественной регрессии.
3. Множественная и частная корреляция.
Множественный корреляционно-регрессивный анализ
Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости переменной у от нескольких объясняющих переменных лу, Л',.хк которая может быть решена с помощью множествен-
ного корреляционно-регрессионного анализа.
Задачи множественного корреляционно-регрессионного анализа
Измерение тесноты связи между признаками
Отбор факторных признаков в модель
Установление неизвестных причин связей
Определение вида уравнения регрессии
-►I Построение регрессионной модели и оценка ее параметров
Проверка значимости параметров связи
Интервальное оценивание нраметров связи
61
ЭКОНОМЕТРИКА
При исследовании зависимости методами множественной регрессии задача формируется так же, как и при использовании парной регрессии, т.е. требуется определить аналитическое выражение формы связи между результативным признаком у и факторными признаками лр х,. ..., хд, найти функцию
У.¥ = /’(л,, Х2. A-J,
где к — число факторных признаков.
Уравнение линейной множественной регрессии
Из-за особенностей метода наименьших квадратов во множественной регрессии, как и в парной, применяются только линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейному виду путем преобразования переменных. Причем из-за трудности обоснования формы связи чаше всего используется линейное уравнение, которое можно записать следующим образом:
Оценку параметров модели можно провести в матричной форме.
62
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция
У= Ха + г,
Уравнение линейной множественной регрессии в матричной форме
где У — векюр значений зависимой переменной размерности (п х I);
X — матрица значений независимых переменных А',. X,.......Хс размерность ма-
трицы Л равна nx(k + I). Первый столбец является единичным, так как в уравнении регрессии а0 умножается на единицу;
а - подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (к + I)хI;
е — вектор случайных отклонений размерности п I.
Формула для вычисления Нефометров фвфесснонного г .Янмнеяия я» методу
НЛНменыыил гЛмидратов
А = (Х'Х) ‘Х'У,
У где X’ — транспонированная матрица X: (Х'Х)'1 — обратная матрица
Оценивание достоверности каждого из параметров модели осуществляется при помощи /-критерия Стьюдента. Для любого •^параметров модели о, значение /-критерия рассчитывается по Формуле
стандартное (среднее квадратическое) отклонение уравнения Регрессии.
63
ЭКОНОМЕТРИКА
Оно определяется по формуле
с =
1 \ п - к - 1
b — диагональные элементы матрицы (Л"АТ‘.
Коэффициент регрессии а считается достаточно надежным, если расчетное значение Г-критерия с (н — к — 1) степенями свободы превышает табличное, т.е. z > Если надежность коэффициента регрессии не подтверждается, то следует вывод о несущественности в модели факторного /-го признака и необходимости его устранения из модели или замены на другой факторный признак.
Коэффициент эластичности и ^-коэффициент
Важную роль при оценке влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Однако непосредственно с их помощью нельзя сопоставлять факторные признаки по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости. Для устранения таких различий применяются частные коэффициенты эластичности Э и бета-коэффициенты [3.
Формула определения коэффициента эластичности
64
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция
Формула определения бета-коэффициента
Дельта-коэффициент
Указанные коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную.
Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов
Формула определения дельта-коэффициента
Дчсоэф-фициент
\ |де г, — коэффициент парной корреляции у между фактором j и зависимой пере-
менной;
R- — множественный коэффициент детерминации
Коэффициент множественной детерминации
Коэффициент множественной детерминации используют Лч51 оценки качества множественных регрессионных моделей.
з э
К°Нометрика в схемах и таблицах
65
ЭКОНОМЕТРИКА
Формула коэффициента множественной детерминации
При добавлении независимых переменных значение R2 увеличивается, поэтому коэффициент R2 должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных по формуле
>1 к — I
Для проверки значимости модели регрессии используется Е-критерий Фишера. Он определяется по формуле
Если расчетное значение критерия с у, = к и у2 = (п - к — 1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
В качестве меры точности модели применяют стандартную ошибку, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (п - к — 1):
п
С - А _Г=1 _
66
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция
Отбор факторных признаков в модель
Отбор факторов является важнейшей проблемой при построении множественных регрессионных моделей. Он проводится на основе качественного и количественного анализа социально-экономических явлений с использованием статистических и математических критериев.
Проводят три стадии отбора факторов.
Стадии отбора факторов в модель множественной регрессии
1. Предварительное определение перечня факторов, оказывающих влияние на переменную у
i
2. Сравнительная оценка и отсев факторов
I
3. Окончательный отбор факторов в процессе построения разных вариантов моделей и оценки значимости их параметров
Для сравнительной оценки и отсева части факторов составляют матрицу парных коэффициентов корреляции, измеряющих тесноту линейной связи каждого фактора с результативным признаком и с каждым из остальных факторных признаков.
Матрица парных линейных коэффициентов корреляции
у *1 Х1 X **
У 1 С». '>4:
Х| V 1 Со 2 ГТ| V - Сч
х2 С,.г г . 1 - j Г... Л2-Ч
‘
х. С,, г-,и С, г. 1
— ГЧУ гчм с< о Сы, 1
где у _ результативный признак; *и х2 ..., xk — факторные признаки; т, — парный коэффициенз корреляции между признака-
МИ X И X..
3"
67
ЭКОНОМЕТРИИ
Матрица парных коэффициентов корреляции — симметричная матрица (г = г) , на главной диагонали которой расположены характеристики силы связи признаков с самими собой, все другие элементы являются парными коэффициентами корреляции /-го и j-ro признаков.
Корреляционная матрица позволяет выявить факторы, которые находятся в тесной линейной корреляционной взаимосвязи, близкой к функциональной.
Мультиколлинеарность
Если в модель включаются два или более тесно взаимосвязанных фактора, то наряду с уравнением регрессии появляется и другая линейная зависимость. Подобное явление, называемое мультикол/шнеарностью, искажает величину коэффициентов регрессии, затрудняет их экономическую интерпретацию.
Понятие мультиколлинеарности
Мульти коллинеарность
К тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель
Изменения, возникающие под воздействием мультиколлинеарности
Мультикол.танеарность
Искажает величины параметров модели, которые имеют тенденцию к завышению
Приводит к изменению смысла экономической интерпретации коэффициентов регрессии
Вызывает слабую обусловленность системы нормальных уравнений
Осложняет процесс определения наиболее существенных факторных признаков
68
Тем о Мио.ясественния регрессия и корреляция .—---
Решение проблемы мультиколлинеарности
В решении проблемы мультиколлинеарности можно выделить несколько этапов.
69
ЭКОНОМЕТРИКА
Устранение мультиколлинеарности возможно посредством исключения из корреляционной модели одного или нескольких линейно связанных факторных признаков или преобразование исходных факторных признаков в новые, укрупненные факторы. Вопрос о том, какой из факторов следует отбросить, решается пн основе качественного и логического анализа изучаемого явления.
Описание методов устранения или уменьшения мультиколлинеарности
Метод Суть метода
Сравнение значении линейных коэффициентов корреляции При отборе факторов предпочтение отдается тому фактору, который более тесно, чем другие факторы, связан с результативным признаком, причем желательно, чтобы связь данного факторного признака с у была выше, чем его связь с другим факторным признаком, т.е. г,, > г,.,. . г... > г. . и г ,, <0,8
70
Тема 3- Множественная регрессия и корреляция
Продолжение табл.
Метод Суть метода
Метод включения факторов Метод заключается в том. что в модель включаются факторы по одному в определенной последовательности. На первом шаге в модель вводится тот фактор, который имеет наибольший коэффициент корреляции с зависимой переменной. На втором и последующих шагах в модель включается фактор, который имеет наибольший коэффициент корреляции с остатками модели. После включения каждого фактора в модель рассчитывают ее характеристики и модель проверяют на достоверность. Построение модели заканчивается, если модель перестает удовлетворять определенным условиям (например, к < и/3, — 5 ; > /, где п - число наблюдений; к — число факторных признаков, включаемых в модель; / — некоторое заданное малое число; 5 — среднеквадратическая ошибка; 5 — среднеквадратическая ошибка модели, полученная на предыдущем шаге и включающая к — 1 переменных)
Метод исключения факторов Метод состоит в том, что в модель включаются все факторы. Затем после построения уравнения регрессии из модели исключают фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение r-критерия. После этого получают новое уравнение регрессии и снова проводят опенку значимости всех оставшихся коэффициентов регрессии. Процесс исключения факторов продолжается до тех пор, пока модель не станет удовлетворять определенным условиям и все коэффициенты регрессии не будут значимы.
Пример. Требуется провести отбор факторов в модель множественной линейной регрессии на основе условных исходных данных, приведенных в табл. А.
71
ЭКОНОМЕТРИКА
Таблица А
Исходные данные
№ организации Объем реализации продукции, млн руб. (tf Расходы на рекламу, тыс. руб. (Л) Цена единицы продукции, руб-(Л) Отдел маркетинга в организации (1 — есть, 0 — нет) (Л)
1 1,27 138 140 1
2 1,34 134 141 1
3 1,25 116 136 0
4 1,28 137 149 1
5 1,43 127 154 0
6 1,25 125 143 0
7 1,53 116 155 1
8 1,57 134 155 1
9 1,27 145 151 1
10 1,46 135 154 1
И 1,28 164 147 0
12 1,55 109 151 0
13 1,35 145 144 0
14 1,49 144 156 1
15 1,46 132 152 0
16 1,25 122 141 0
17 1,29 163 148 1
18 1,28 139 141 1
19 1,33 134 139 0
20 1,51 136 147 1
72
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция
Решение.
Воспользуемся методом исключения факторов.
На первом этапе включим в модель все факторы. В качестве программного средства реализации анализа воспользуемся программой «Анализ данных в EXEL», инструмент «Регрессия». Результаты представлены в табл. Б.
Таблица Б
Вывод итогов
Регрессионная статистика
Множественный R 0,806634
Я-квадрат 0,650659
Нормированный Я-квадрат 0,585158
Стандартная ошибка 0,073662
Наблюдения 20
Дисперсионный анализ
Показатель df 55 MS F
Регрессия 3 0,161702 0,053908 9,933511
Остаток 16 0,086818 0,005426
Итого 19 0,248520
Показатель Коэффициенты Стандартная ошибка /-статистика Р-значение
Р-пересе-чение -0,199947 0,451283 -0,443064 0,663651
Расходы на рекламу, тыс. руб. -0,002977 0,001269 -2,345899 0,032196
Цена продукции, РУб. 0,013347 0,002845 4,691053 0,000245
Наличие отдела мар- _^етинГа 0,015308 0,036151 0,423457 0,677599
73
ЭКОНОМЕТРИКА
Модель зависимости объема реализации продукции от всех факторов имеет вид
у(х) = -0.200 - 0,003.x, + 0,013л'. + 0.015х,.
Проверку значимости уравнения регрессии осуществим на основе /•’-критерия Фишера. Расчетное значение (Ласч) равно 9,93. Табличное значение /•’-критерия при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы у, = к = 3 и у, = п - к — 1 = = 20 — 3 — 1 = 16 составляет 3,24.
Поскольку А ч > Л й1. уравнение регрессии следует признать адекватным.
Множественный коэффициент корреляции R. равный 0,807, свидетельствует о тесной связи между признаками.
Множественный коэффициент детерминации R2, равный 0,651, показывает, что около 65% вариации зависимой переменной (объема реализации продукции) учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов (ценой единицы товара, расходами на рекламу и наличием отдела маркетинга на предприятии) и на 35% — другими факторами, не включенными в модель.
Значимость коэффициентов регрессии оценим с помощью Л-критерия Стьюдента.
Расчетные значения критерия Стьюдента следующие: ta = —2,35; za = 4,69; ta = 0.42. Табличное значение критерия при уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы у = п — к — 1 = = 16 равно 2,12. Значит, выполняются следующие неравенства: М > %,г,5 С, > ?1.юг < 'т.б,’ Таким образом, коэффициент регрес-
сии а. незначим, й из модели нужно исключить факторный признак х,.
На втором шаге построим модель зависимости объема реализации продукции от пены продукции и расходов на рекламу Расчеты представлены в табл. В.
Таблица В
Выведение итогов
Регрессионная статистика
Множественный R 0,804204
Я-квадрат 0,646744
Нормированный Я-квадрат 0,605184
Стандартная ошибка 0,071862 _
Наблюдения 20
74
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция
Дисперсионный анализ
Показатель df MS F
Регрессия 2 0,160729 0.080364 15,5618652
Остаток 17 0,087791 0,005164
Итого 19 0,24852
Показатель Коэффициенты Стандартная ошибка г-статис-тика F-значение
К-пересе-чение -0,264114 0,414695 -0,636886 0,532682
Расходы на рекламу, тыс. руб. -0,002824 0,001186 -2.379640 0,029307
Цена продукции, руб- 0.013699 0,002653 5,162156 7,8161 Е-05
Модель зависимости объема реализации продукции от цены продукции и расходов на рекламу имеет вид
у(х) = -0,264 - 0,003х1 + 0,0 14х2.
Значения множественного коэффициента корреляции и детерминации по сравнению с первой моделью уменьшились незначительно.
Сравним вычисленные значения критериев с табличными. Расчетное значение F-критерия Фишера (F ч| = 15,56) больше табличного значения (Fra(5i = 3,59) при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы у, = 2. у, = 17. следовательно построенное уравнение регрессии значимо.
Расчетные значения критерия Стьюдента равны: = -2,38.
- 5,16. Табличное значение критерия при уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы у = 17 равно 2,11. Следовательно, выполняются неравенства: \tj > > /T.ifii. Таким об-
разом, коэффициенты регрессии значимы.
Параметр регрессии at = —0,003 показывает, что повышение Расходов на рекламу на 1,0 тыс. руб. при фиксированном (повеянном) значении цены на продукцию приводит к умсньше-
75
ЭКОНОМЕТРИКА
нию объема реализации продукции на 3,0 тыс. руб. Парамез регрессии а, - 0.014 свидетельствует о гом. чго с ростом цеш продукта на 1 руб. при фиксированном уровне расходов на рс кламу объем реализации продукции увеличивается в среднем н 14.0 тыс. руб.
Рассчитаем для этого примера коэффициенты эластичности бета- и дельта-коэффициенты и дадим их экономическую ин терпретацию.
Для определения коэффициентов эластичности вычислим сред ние значения признаков: У = 1,372 млн руб.; х, = 134.75 тыс. руб. х2 = 147,2 руб.
V 134 75
Э, = а, 1 = -0,003 -2222 = _0.29, 1 1 у 1,372
х2 п ... . 147,2
Ээ = а~ ~ = +0,014----= ,з0.
‘ - у 1,372
Анализ коэффициентов эластичности показывает, что по абсолютному приросту наибольшее влияние на объем реализации продукции оказывает фактор х,: повышение цены продукции на 1% приводит к росту объема реализации продукции на 1,5%. Снижение расходов на рекламу на 1% вызывает повышение объема реализации продукции только на 0,29%.
Для расчета бета-коэффициентов предварительно исчислим средние квадратические отклонения по следующим формулам:
\ - У1 = = 0,1 14;
-= Jx2 - х2 = 341,45 -(134,75)2 = 13,56;
= х/хГЗ? = J21 704,6 - (147.2)2 = 6,06;
р, = и S- - -0,003- 3’5— = -0,357;
р, =-= = 0.014 6' — = 0,744. ~ 2 5, 0,114
Для расчета дельта-коэффициентов определим парные коэффициенты корреляции, для чего воспользуемся пакетом «Лиа-
76
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция
низ данных» табличного процессора EXEL. инструмент «Корреляция».
Y Л Л
Y 1
-0,30497 1
X, 0,727375 0,051692 1
Значение R2 возьмем из табл. В.
Д, = г, • Д- = -0,305-Д^ = 0,168;
’ 1Л| R- 0,647
л Р' О 777 ^’^^ л отд
А, = Л-,- т = 0,727--= 0,836.
2 "2 R1 0,647
Анализ бета- и дельта-коэффициентов показывает, что на объем реализации продукции наибольшее влияние из двух исследуемых факторов оказывает фактор х, — цена продукции, так как фактору соответствуют наибольшие (по абсолютной величине) значения коэффициентов.
Множественная и частная корреляции
В настоящее время при построении корреляционных моделей исходят из условия нормальности многомерного закона распределения генеральной совокупности. Эти условия обеспечивают линейный характер связи между изучаемыми признаками, что делает правомерным использование в качестве показателей тесноты связи парного, частного коэффициентов корреляции и коэффициента множественной корреляции.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют связи двух признаков из совокупности признаков при условии, что все связи этих признаков с другими признаками элиминированы, т.е. закреплены на условно-постоянном (среднем) уровне.
Понятие частного коэффициента корреляции
Частный коэффициент корреляции
к характеризует тесноту связи между двумя \ переменными при фиксированном значе-
у нии остальных факторов
77
ЭКОНОМЕТРИКА
ВАЖНО!
Если парный коэффициент корреляции между двумя случайными величинами оказался больше частного коэффициента между теми же случайными величинами, то это говорит о том. что третья фиксированная величина усиливает взаимосвязь между изучаемыми величинами, т.е. более высокое значение парного коэффициента обусловлено присутствием третьей величины.
Более низкое значение парного коэффициента корреляции в сравнении с соответствующими частными свидетельствует об ослаблении связи между изучаемыми величинами действием фиксируемой величины
Частный коэффициент корреляции, например /*УХ]( V2>, характеризует степень линейной зависимости между двумя величинами у и х, при исключенном влиянии третьей величины х2, включенной в модель. Он определяется по формуле
то же — зависимость у от х, при исключении влияния х,:
Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:
ГЛ|.г2(>)
ВАЖНО!
Частный коэффициент корреляции изменяется в пределах от ~1 до +1. Если частный коэффициент корреляции равен ±1, то связь между двумя величинами функциональная, а равенство нулю свидетельствует о линейной независимости этих величин
78
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция
Если есть матрица парных коэффициентов корреляции R, то переход к матрице частных коэффициентов корреляции осуществляется на основании последовательного расчета коэффициентов частной корреляции и замены ими в матрице R коэффициентов парной корреляции с использованием формулы
а । ’
(4 -4)=
где г — коэффициент частной корреляции между i-м и у'-м признаками;
АГ — алгебраическое дополнение к элементу г. матрицы парных коэффициентов корреляции;
А:, А — алгебраические дополнения к элементам матрицы парных коэффициентов корреляции г. и г соответственно. Знак частному коэффициенту корреляции присваивается по знаку соответствующего коэффициента регрессии в модели связи У = /Uy).
Частные коэффициенты корреляции как статистические величины подвергаются в анализе оценке на достоверность. С этой целью используется /-критерий Стьюдента, который определяется по формуле
Значение /-критерия сравнивают с табличным /п.;, где а — заданный уровень значимости; у = (п — к — 1) — число степеней свободы.
Если выполняется неравенство /мсч > / , то значение коэффициента корреляции признается значимым, т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается и делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.
Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации.
.1\ Частный коэффициент детерминации показывает
: ВАЖНО! у долю вариации признака под действием одного из । / факторов при неизменном значении другого фактора
79
ЭКОНОМЕТРИКА
В случае двухфакторной линейной модели коэффициент множественной корреляции определяется по следующей формуле.
Формула определения коэффициента множественной корреляции
Когда известна матрица парных коэффициентов корреляции R, коэффициент множественной корреляции получают, решив матричное уравнение вида
где |А| — определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
|/?| — определитель матрицы парных коэффициентов корреляции, в которой вычеркнуты строка и столбец, характеризующие связи независимых переменных х с зависимой переменной у.
Для проверки существенности коэффициента множественной корреляции можно использовать F-критерий, который определяется по формуле:
„ R2 п-к-\
' “гл-—к~'
при к и п ~ к — 1 степенях свободы.
Наиболее достоверные результаты в корреляцион-, \ ном анализе можно получить, когда число объек-_ / тов наблюдения (п) превышает число анализируе-|/ мых признаков {т) в 6-8 раз
80
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция
Тесты
1. В каких пределах изменяется множественный коэффициент корреляции:
а) 0 < Ал,|Л2 < «;
б) 0 < Я,Х|Х2 < 1;
в) -1<ЛУХИ2 <1?
2. В каких пределах изменяется множественный коэффициент детерминации?
а) 0 < R2 <1;
б) 1 < со;
в) -1 < R2 <1?
><1<2
3. Частный коэффициент корреляции оценивает:
а) тесноту связи между двумя переменными;
б) тесноту связи между тремя переменными;
в) тесноту связи между двумя переменными при фиксированном значении остальных факторов.
4. Какой коэффициент указывает в среднем процент изменения результативного показателя у при увеличении аргумента х на 1%:
а) коэффициент детерминации;
б) коэффициент регрессии;
в) коэффициент эластичности;
г) бета-коэффициент?
5. Множественный линейный коэффициент корреляции R x Равен 0,75. Какой процент вариации зависимой переменной г учтен в модели и обусловлен влиянием факторов х, и х2.
а) 56,2;
б) 75,0;
в) 37,5?
81
ЭКОНОМЕТРИКА
6. Имеются следующие данные:
коэффициент регрессии а, = 1,341;
среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии 5 ] = 0,277.
Определи те г-критерий Стьюдента и оцените значимость коэффициента регрессии а,, если =2.11 при уровне значимости а = 0.05.
а) 0,207, коэффициент незначим;
б) 4,841, коэффициент значим;
в) 4.841, коэффициент незначим.
7. Имеется матрица парных коэффициентов корреляции:
У Ф xi У
Y 1
Ф -0,782 1
х2 0,451 0,564 1
*3 0,842 -0,873 0,303 1
Между какими признаками наблюдается мультиколлинеарность:
а) У и v ;
8. Какое значение может принимать множественный коэффициент корреляции:
а) 1,501;
б) -0.453;
в) 0,861?
9. Уравнение множественной регрессии имеет вид:
у = -27,16 + 1,37х, - 0,29х,. Параметра, = 1,37 означает следующее:
а) при увеличении х, на одну единицу своего измерения переменная у увеличится на 1.37 единиц своего измерения;
б) при увеличении х, на одну единицу своего измерения и при фиксированном значении фактора х,. переменная у увеличится на 1.37 единиц своего измерения;
82
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция
в) при увеличении х, на 1,37 единиц своего измерения и при фиксированном значении фактора х2, переменная у увеличится на одну единицу своего измерения.
10. Значение бета-коэффициента определяется по формуле:
в) а. .
J У
ТЕМА 4
Система одновременных уравнений
План лекции
1. Виды систем уравнений в эконометрике. Структурная и приведенная формы модели.
2. Задача идентификации уравнений системы. Необходимое и достаточное условие идентифицируемости.
3. Косвенный метод наименьших квадратов.
4. Двухшаговый метод наименьших квадратов.
5. Примеры систем одновременных уравнений.
Системы уравнений в эконометрике
Для изучения комплексных экономических явлений средствами эконометрики, как правило, применяют не отдельные уравнения регрессии, а системы уравнений. Это объясняется следующим.
Во-первых, описывая явление с помощью взаимосвязанных переменных, приходится учитывать, что изменение одной переменной влечет за собой изменение других. При рассмотрении же отдельного регрессионного уравнения часто предполагают, что объясняющие переменные можно изменять независимо одну от другой.
Во-вторых, взаимодействие переменных нередко затрудняет однозначную их классификацию при построении модели: одну и ту же переменную можно определить как объясняющую (фактор) и как объясняемую (результат).
Системы уравнений в эконометрике подразделяют на виды: независимых уравнений, рекурсивных уравнений и взаимозависимых (совместных) уравнений.
Третий вид, а именно системы совместных уравнений, представляет наибольший практический интерес. Такие системы эффективны в эконометрических исследованиях и наиболее ши
84
Тема 4. Система одновременных уравнений
роко применяются в макроэкономике. В силу этого под системой эконометрических уравнений обычно понимают систему совместных уравнений. Систему совместных (взаимозависимых) уравнений по-другому называют системой одновременных уравнений, указывая на го, что одни и те же переменные системы рассматриваются одновременно как объясняемые в одном уравнении и как объясняющие — в остальных уравнениях.
Систему независимых или рекурсивных уравнений решают с помощью МНК. Для решения системы одновременных уравнений требуются другие, отличные от МНК методы. Их применение обусловливается тем, что результативный признак одного
85
ЭКОНОМЕТРИКА
уравнения системы в другом уравнении этой системы используется в качестве фактора и будет коррелировать с соответствующей ошибкой.
Модели системы одновременных уравнений и их составляющие
Основными составляющими обеих форм записи являются эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные (у) определяются внутри модели и являются зависимыми переменными. Экзогенные переменные (х) определяются вне системы и являются независимыми переменными. Предполагается, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибкой в соответствующем уравнении.
Структурная форма модели
Содержание параметров структурной формулы модели
Параметр (структурный коэффициент модели) Содержание параметра
с„, где i = \.п Свободный член уравнения модели
/>„, где i = 1, п, j = 1, т Коэффициент при эндогенной переменной
aif где i = 1,д, у = 1, т Коэффициент при экзогенной переменной
86
Тема 4. Система одновременных уравнении
е, (/ = /,«) является случайной составляющей (ошибкой) /-го уравнения структурной формы модели.
Если в структурной форме модели переменные у. и х = 1,и. j = 1, дм} являются отклонениями от среднего уровня у и х соответственно, то в каждом уравнении системы свободный член не записывается.
ВАЖНО!
Структурная форма модели отражает реальный экономический объект или явление и показывает, как изменение любой экзогенной переменной определяет значения эндогенной переменной
Наряду с регрессионными уравнениями в модели могул быть записаны и тождества. Таким образом, структурные уравнения модели разделятся на два класса.
Классы структурных уравнений модели
Применение систем одновременных уравнений
Применение систем одновременных уравнений проходит во взаимосвязи с экономической шорней. В настоящее время наиболее разработаны следующие направления: исследование спроса и предложения, макроэкономическое моделирование меха
87
ЭКОНОМЕТРИКА
низмов функционирования экономики на примере конкретной страны, анализ функций издержек и производственных функций.
Модели спроса и предложения — классические примеры систем одновременных уравнений. Выбор переменных, оценка параметров уравнений системы отображают степень взаимного влияния признаков модели.
Модель 1. Предложение и спрос на рынке.
Т1, =С|0 +^1зУз, +ЕЙ (1)
Уз, ~ С20 + ^2зТз? + ^2’ (2)
Т1Г = Узо (3)
где у1г — спрос на товар в момент времени
у2г — предложение количества товара в момент г;
у3г — цена, по которой заключаются сделки в момент л
Все переменные системы ylt, у2/, у3/ эндогенные в силу экономического содержания модели. Величины спрос-предложение и цена определяются одновременно. Так как у1г = у,г, то (1) = (2). Выполним преобразования: с10 + Ь13у3г + е, ~ с20 + Ь23у3г + е,, (/>,з - />23)у3, = с20 - с|0 + е2 - е,, у3, = е1. Последнее
(ИЗ ~ "23 )
равенство подтверждает зависимый характер цены.
Для того чтобы модель 1 была эконометрически значимой, необходимо ввести предопределенные (экзогенные и лаговые эндогенные) переменные. Например, в уравнение спроса (1) ввести экзогенную переменную х[: — доход на душу населения в момент времени t, и в уравнение предложения (2) — эндогенную лаговую переменную у3г | — цену товара в момент (t — 1). Получим модель 2 спроса и предложения кейнсианского типа.
Модель 2. Предложение и спрос кейнсианского типа.
Ti, = СЫ + *1зУ3г + «И*Ц +еи (1)
Уз, = с2о + b2iyit + ЯззУз,,-! + (2)
У\, = Узо (3)
где у|; — спрос на товар в момент времени /: у2; — предложение товара в момент t;
88
Теми 4. Система одновременных уравнений
y,t — цена товара в момент Л
у — цена товара в момент (г — 1);
х1; — доход в момент Г;
1 — текущий период;
(/ — 1) — предыдущий период.
В модели три эндогенные переменные (у|(, ylt, y3f) и две предопределенные переменные (xlf и
Структурная форма модели может быть преобразована в приведенную форму.
Содержание параметров приведенной формы модели
Параметр (коэффициент приведенной формы модели) Содержание параметра
аю, где i = 177? Свободный член уравнения системы
«у, где i = 1,п, j - \,т Коэффициент при предопределенной переменной является функцией коэффициентов структурной формы модели
Л; (/ = /,«) — случайная составляющая (ошибка) /-го уравнения приведенной формы модели.
Под предопределенной переменной системы одновременных Уравнений понимают экзогенные и лаговые (за предыдущие мо-Менты времени) эндогенные переменные этой системы.
89
ЭКОНОМЕТРИКА
Решение проблемы идентификации
Переход от приведенной формы модели к ее структурной форме связан с решением проблемы идентификации.
Понятие идентификации
Единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели и составляет задачу идентификации. В зависимости от условий определения структурных коэффициентов модели по приведенным коэффициентам любая структурная модель может быть отнесена к одному из трех классов: идентифицируемая, неидентифицируемая и сверхидентифици-руемая.
90
Тема 4. Система одновременных уравнении
Установление неидентифицируемости (сверхидентифицируемости) модели
В идентифицируемой модели количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково. Если структурных коэффициентов больше (меньше), чем приведенных, то модель соответственно неидентифицируема (сверхидентифицируема).
Проверка структурной модели на идентифицируемость позволяет установить степень возможности оценивания коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенных уравнений.
91
ЭКОНОМЕТРИКА
Необходимое и достаточное условие идентифицируемости уравнения системы
Необходимое условие — п = р + 1 Достаточное условие — А* ф 0, rang Л/*= п — 1
Уравнение модели идентифицируемо, если количество (/?) эндогенных переменных этого уравнения на единицу больше количества (р) предопределенных переменных системы. не входящих в данное уравнение Если определитель (А*) матрицы коэффициентов (№*) при переменных системы, не входящих в данное уравнение, не равен нулю и количество эндогенных переменных сие гемы без единицы равно рангу этой матрицы, то уравнение м одел и ндс н ти ф и пи руе м о
Если выполнимо условие:
п < р + 1. то уравнение сверхидентифицируемо;
п > р + 1, то уравнение неидентифицируемо.
Проверка структурной модели на идентифицируемость позволяет установить степень возможности опенки коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенных уравнений.
Проверим, например, идентифицированы ли уравнения (1) и (2) модели 2 предложения и спроса кейнсианского типа.
>т, = q(1 +Мз, +с,; J’j; = C'xj + фзЗ’.Д + + (1) (2)
Л, = У2;. (3)
где у|; — спрос на товар в момент времени г. у2, — предложение товара в момент /;
у51 — цена товара в момент Л
у,— цена товара в момент (/ — I);
л\, - - доход в момент /;
/ — текущий период;
(/ - I) — предыдущий период.
Уравнения Переменные
эндогенные предопределенные
Jj, Уц Ум-1
(1) -1 0 0 «и
(2) 0 -1 /ц. (7,, 0
(3) - 1 1 L 0 0
92
Тема 4. Система одновременных уравнении
Уравнение (1):
а) п = 2 , р — I. Выполняется необходимое условие идентификации: 2=1 + 1.
б) А' — матрица коэффициентов при переменных системы, * ( — 1 ССх
не входящих в уравнение. А = I " I => rang = 2 (ранг равен
количеству эндогенных переменных модели минус один). |/Г| = = —о2, * 0. Достаточное условие идентифицируемости также выполняется. Можно сделать вывод о том, что уравнение (1) идентифицируемое.
Уравнение (2):
а) п = 2 , р = 1. Выполняется необходимое условие идентификации: 2=1 + 1.
б) А' — матрица коэффициентов при переменных системы.
не входящих в уравнение. А* =
«и "I
0 )
=> rang = 2 (ранг равен
количеству эндогенных переменных модели минус один). |Д| = = ~а2} * 0. Достаточное условие идентифицируемости также выполняется. Можно сделать вывод о том, что уравнение (2) идентифицируемое.
Таким образом, система одновременных уравнений идентифицируемая в силу идентифицируемости уравнений (1) и (2). Для оценки параметров системы можно применять как косвенный МНК, гак и двухшаговый МНК.
Приведенная форма модели имеет вид
- сс|0 + а! |А'И + «|2>’з.,-1 + г],; (1)
уэ, - а2<1 + OtjiA'i, + (Х22Т3.М + Й2’ (2)
>’.ч = ад„ +а31х1, +a32To-i +Пз- (3)
Применив соответствующие статистические данные, можно с Помощью косвенного МНК найти несмещенные и состоятельные °Ценки структурной формы, тем самым смоделировав реальную Экономическую ситуацию изучения сироса-предложения с учетом Похода в текущий период и цены товара в предыдущий период.
93
ЭКОНОМЕТРИКА
Отметим, что идентификация не применяется для тождеств модели.
Рассмотрим модель 3 предложения и спроса на деньги с точки зрения ее эконометрической разрешимости.
Модель 3. Предложение денег и спрос на деньги.
Ьф = <10 + + +ЕЙ
US = с20 +621).-|, + е2, (2)
где У,, — процентные ставки в период /;
у21 — ВВП в период /;
х|г — денежная масса в период /.
Уравнения Переменные
эндогенные предопределенные
Л, Л,
(1) -1 Ьп ап
(2) 621 -1 0
Уравнение (1):
а) п = 2, Р = 0, п > Р + 1.
Уравнение неидентифицируемое, следовательно, неиденти-фицируема вся система.
В этом случае изменяют модель так, чтобы она, с одной стороны, содержала основные эндогенные и экзогенные переменные, которые определяют спрос и предложение на деньги, с другой — была эконометрически разрешима.
Методы решения систем одновременных уравнений
Для получения качественных оценок параметров системы одновременных уравнений пользуются специальными методами. Выбор метода определяется условиями системы. Существен-
94
Тема 4. Система одновременных уравнений
ла также относительная простота алгоритма самого метода. В настоящее время классическими для решения систем одновременных уравнений являются косвенный МНК и двухшаговый МН К.
Косвенный метод наименьших квадратов
Косвенный МНК основан на получении состоятельных и несмещенных оценок параметров структурной формы модели по оценкам параметров приведенной формы. Последние являются состоятельными и несмещенными в силу применения к каждому уравнению приведенной формы МНК.
Алгоритм применения косвенного метода наименьших квадратов
Оценить параметры системы одновременных уравнений, которая задана структурной формой модели
1. Структурная форма модели преобразуется в приведённую форму
2. С помощью МНК оцениваются параметры приведённой формы
3. Приведённая форма преобразуется в структурную форму
Несмещённые и состоятельные оценки параметров структурной формы получены
95
ЭКОНОМЕТРИКА
Пример 4.1. Оценим параметры идентифицируемой структурной модели на основе условных исходных данных.
Модель:
У: =^10 + W2 +«и*| +ei;
У2 ~ С20 + ^21^1 + а22Х2 + £2-
где j', и у2 — эндогенные переменные системы;
х, их, - экзогенные переменные этой системы;
Воспользуемся данными, приведенными в табл. А.
Таблица А
Исходные данные
№ п/п У1 Х2
1 5 2 7 2
2 4 3 8 2
3 3 1 6 4
4 2 5 4 6
5 7 4 2 10
6 8 3 7 8
7 9 6 4 9
8 10 8 2 7
Сумма 48 32 40 48
I. От структурной формы перейдем к приведенной форме модели:
У1 = «ы +«11X1 + а,2х2 + р,; (1)
у2 = а20+ а21х,+a22x2+р2. (2)
II. Применяем МНК для опенки «-коэффициентов в уравнениях (1) и (2) модели.
96
Тема 4. Система одновременных уравнений
Определяем а|0, ан, и а,,, решив систему нормальных уравнений:
X >’1Х1 = «юХ *1 +°'-пХЛ12 +ai2X-W
' ХХ2 = «1<Х +а11Х-¥2 +«12ХХ22;
Xl = «|0« + «!1ХХ! +а12ЕХ2-
Составим табл. Б.
Таблица Б
Регион Л*. Л*2 *i2 *2 *1*2 T2*i У1х>
1 10 10 4 4 4 14 14
2 12 8 9 4 6 24 16
3 3 12 1 16 4 6 24
4 10 12 25 36 30 20 24
5 28 70 16 100 40 8 20
6 24 64 9 64 24 21 56
7 54 81 36 81 54 24 36
8 80 70 64 49 56 16 14
Сумма 221 327 164 354 218 133 204
221 = 32а10 + 164а,, + 218а|2;
327 = 48а10 + 218а), + 354а12;
40 = 8а1() + 32аи + 48а12.
Решаем систему, получаем а|0 = 1,59, ан = 0,53 и ар = 0,38.
Уравнение (1) приведенной формы модели принимает вид
у, = 1,59 + 0,53х, + 0,38х2 + 0,.
Определяем а20, а,, и а,2, решая систему нормальных уравнений:
X = «2о£*1 +«21Х-*2 + «22X1*21
• Хг*2 = «20 Х*2 + «21 Х1 х2 + «22 X *2 1
Е-^2 = «2О" + «2|ХХ1 + «22 £ *2-
4
Эконометрика в схемах и таблицах
97
ЭКОНОМЕТРИКА
С помощью данных табл. А и Б записываем систему и реша-
ем ее: 133 = 32а20 + 164а2, + 218а22;
204 = 48а 2П + 218а2, + 354а22; 40 = 8а 20 + 32а2, + 48а22.
Получаем а2(| = 9,09, ан = -0,50 и а2, = -0,35. Уравнение (2) приведенной формы модели принимает вид
у2 = 9,09 — 0,50л, - 0,35л2 + г|2.
Записываем приведенную форму модели:
Гу, = 1,59 + 0,53л, + 0,38л2 + г],; (3)
[у2 = 9,09-0,50л,-О,35л2+ р2. (4)
Отметим, что «-коэффициенты приведенной формы модели несложно определить с помощью электронной таблицы EXCEL (команда «Сервис -> Анализ данных Регрессия»),
III. От приведенной формы переходим к структурной форме модели. Из уравнения (4) выражаем
л2 = (9,09 — 0,50л, — у2) : 0,35
и подставляем правую часть этого равенства в (3):
у, = 1,59 + 0,53х, + 0,38 9’99-^|2*i ~ jk
или
у, = 11,46 — 1,09у2 — 0,01л, + £,.
Из уравнения (3) выражаем
л, = (у, — 0,38л, — 1,59) : 0,53
и подставляем правую часть этого равенства в (4):
у2 = 9,09 - 0,50 -1’1 ~ °’-q8^ ~ -59 - 0,35л2
ИЛИ
у, = 10,59 - 0,94у, + 0,01л2 + £,.
Структурная форма модели имеет вид:
у, = 11,46 -1,09у2 - 0,01л, + е,;
у2 = 10,59 - 0,94у, + 0,01л2 + е2.
98
Тема 4. Система одновременных уравнении
ВАЖНО!
Область применения косвенного МНК ограничивается идентифицируемыми системами одновременных уравнений
Двухшаговый метод наименьших квадратов
Двухшаговый МНК применяется как для идентифицируемых, так и для сверхидентифицируемых систем одновременных уравнений. В этом смысле метод является общим по отношению к косвенному МНК.
Алгоритм применения двухшагового метода наименьших квадратов
Оценить параметры сверхидентифицируемой системы одновременных уравнений, которая задана структурной формой модели
1. Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму
----С помощью '------------ МНК оцениваются параметры приведенной формы
' 3. В правой часта ’———
----- сверхидептифицируемого уравнения ’ ’— структурной модели выбираются эндогенные переменные __ и рассчитываются их теоретические значения
' -~~_iio соответствующим приведенным,—-—"
~~ уравнениям
_____—-— ' 4. С помощью МНК —______
------ на основе фактических значений предопределенных
и теоретических значений эндогенных переменных оцениваются
—__нараме!ры сверхидептифицируемого уравнения^—------
1—____ струк[урной модели
Несмещенные и сосгоящльные оценки параметров структурной формы получены
99
4*
ЭКОНОМЕТРИКА
Пример 4.2. Оценим параметры сверхидентифицируемой структурной модели, используя условные исходные данные.
Модель:
>1 = С1О+й12у;+с(; (1)
у2 = с20 +/>2,У| + а22х2 + д23х3 + е2, (2)
где у, и у, — эндогенные переменные;
х,, х, и х, — экзогенные переменные этой системы.
Воспользуемся данными, приведенными в табл. А.
Таблица А
Исходные данные
№ п/п Ji Уг *1 xi Х3
1 5 7 2 2 4
2 4 8 3 2 3
3 3 6 1 4 2
4 2 4 5 6 6
5 7 2 4 10 8
6 8 7 3 8 11
7 9 4 6 9 7
8 10 2 8 7 9
Сумма 48 40 32 48 50
В предложенной модели уравнение (1) сверхидентифициру-емое, так как для него выполняется условие п < р + 1; п — количество эндогенных переменных этого уравнения; р — количество предопределенных переменных системы, не входящих в уравнение (1). Уравнение (2) системы точно идентифицируемое, так как для него выполняется необходимое и достаточное условия идентифицируемости.
100
Тема 4. Система одновременных уравнений __------------------------------------------------------ . .
I. От структурной формы переходим к приведенной форме модели:
у, = а|П + осцЛ'| + 0С|2х2 + а13л'3 + т](;
У2 - °-20 + «21Х1 + а22Х2 + а23Х3 + 'Ъ •
(3)
(4)
II. Применяем МНК для оценки a-коэффициентов в приведенных уравнениях (3) и (4).
Определяем а|0, «и и аг с помощью электронной таблицы EXCEL (команда «Сервис —> Анализ данных -э Регрессия»),
Получаем уравнение
у. ~ 1,06 + 0,38.x. + 0,04х, + 0,51л- + е
Аналогично определяем «м, а,, и а22. Записываем уравнение у, = 8.70 + 0,61х. + 0,б0х> + 0,37х + £,. J 2 ' \ ~ 3 2
Приведенная форма модели имеет вид:
у = 1,06 + 0,38Х] + 0,04х; + 0,51х, + р,; (5)
у2 = 8,70 - 0,61Х| - 0,60а-2 + 0,37х, + р2. (6)
III. На основе приведенной формы модели по уравнению (6) определяем теоретические значения эндогенной переменной у,.
Составляем табл. Б.
Таблица Б
№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8
у3 7,76 6,78 6,43 4.27 3,22 6,14 2,23 2,95
IV. К сверхидентифицированному структурному уравнению
У| =СИ) +Ьпу, ТЯцХ, +£,
применяем МНК и получаем значения коэффициентов с10 = 4,34, % = -0.66, Ьп = -0,20.
Уравнение примет вид
у( = 4,34 — 0,20у, — 0,66л;, + ег
101
ЭКОНОМЕТРИКА
Вычисляем коэффициенты структурного точно идентифицированного уравнения
У2 ~ С>0 + + ‘С"'"' + + £т
С помощью косвенного МНК определяем коэффициенты следующим образом. Обращаемся к приведенной форме модели;
у, = 1,06 + 0,38х, + 0,04 х, + 0,51х3 + г|(; (7)
у2 = 8,70 - 0,61x'j - 0,60х2 + 0,37х3 + т]2. (8)
Из уравнения (7) выражаем
х, = (у, - 1,06 - 0,04х2 - 0,51х3): 0,38
и подставляем правую часть этого равенства в уравнение (8):
сто п Л’, - 1,06-0,04х,-0,51х3 у2 = 8,70 — 0,61 —-------------------0,60х2 +О,37х3.
0,38
Получаем структурное точно идентифицируемое уравнение
у2 = 10,40 — 1,61у, — 0,54х, + 1,19х3 + е2. (9)
Заметим, что такое же уравнение можно получить и двухшаговым МНК с помощью электронной таблицы EXCEL (команда «Сервис -э Анализ данных Регрессия»), Для этого на основе приведенной формы модели по уравнению (7) определяем теоретические значения эндогенной переменной у,.
Составляем табл. В.
Таблица В
№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8
3,94 3,81 2,62 6,26 7,06 8,13 7,27 8,97
По версии EXCEL структурное точно идентифицируемое уравнение имеет вид
у, = 10,39 - 1,60у, - 0,54х2 + 1,19х3 + е,. (10)
102
Тема 4. Система одновременных уравнений
Сравнение уравнений (9) и (10) отражает истинность значений параметров уравнения (4) структурной формы модели.
Таким образом, несмещенные и состоятельные оценки параметров данной системы структурных уравнений получены. Модель имеет вид
у’] = 4,34 — 0,20у2 - 0, 66х, + е, (R2 = 0,40);
у2 = 10,40-1,61^ - 0,54х2 + 1,19х3 + е2 (Я2 =0.77).
Двухшаговый МНК обладает свойствами, благодаря которым его практическая эффективность остается достаточно высокой. Сформулируем эти свойства:
1) для двухшагового МНК достаточно оперировать экзогенными и предопределенными переменными модели;
2) эффективность двухшагового МНК определяется высоким коэффициентом детерминации Я2 приведенных уравнений модели. В том случае, когда Я- низкий, расчетные значения эндогенной переменной слабо аппроксимируют ее фактические значения.
Тесты
1. Системами эконометрических уравнений являются:
а) системы одновременных уравнений;
б) системы рекурсивных уравнений;
в) системы нормальных уравнений;
г) системы независимых уравнений.
2. Система одновременных уравнений отличается от других видов эконометрических систем тем, что в ней:
а) эндогенная переменная одного уравнения находится в другом уравнении системы в качестве фактора;
б) одни и те же эндогенные переменные системы в одних уравнениях находятся в левой части, а в других уравнениях — в правой части;
в) каждая эндогенная переменная является функцией одной и той же совокупности экзогенных переменных.
103
ЭКОНОМЕТРИКА
3. МНК позволяет получить состоятельные и несмещенные оценки параметров системы:
а) рекурсивных уравнений;
б) одновременных уравнений;
в) независимых уравнений.
4. Экзогенные переменные модели характеризуются тем, что они:
а) датируются предыдущими моментами времени;
б) являются независимыми и определяются вне системы;
в) являются зависимыми и определяются внутри системы.
5. Выберите аналог понятия «эндогенная переменная»:
а) результат;
б) фактор;
в) зависимая переменная, определяемая внутри системы:
г) предопределенная переменная.
6. Для данной приведенной формы модели
У] = «10 + «11*1 + «12*2 + Пр
У2 = «20 + «21*1 + «22*2 + П?’
Уз = а30 + а3|х, + а32х, + т)3
укажите соответствующую ей структурную форму.
[У| =cl0 + Z>l,y3 + e1;
а> | У2 = с20+621У1+а22*2 + Е2;
|Уз = с30 + а3|Х| + о33х3 + е3.
У| = С|о + />13>-3 + £|;
б) у у = с2Ц + <7,|Х| + е2;
Уз = У, + У1 + *2 + ез-
[У1 = сы + Ь\1У1 + fln*i +£i;
В) Ь2 = с2() + Л23у3 + й21Х|+е2;
|Уз = с30 + Л31у + о3|х, +е3.
7. Если структурные коэффициенты модели выражены через приведенные коэффициенты и имеют более одного числового значения, то такая модель:
а) сверхидентифицируемая;
б) неидентифицируемая;
в) идентифиIщруемая.
104
Темя 4. Система одновременных уравнений
8. Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели:
а) сверхидентифицируемой;
б) неидентифицируемой;
в) идентифицируемой.
9. Изучите взаимосвязь переменных в системе одновременных уравнений:
У1.Г - С10 + + ^12.У1,гЛ + ей (1)
У1,, = е20 + Ь23у3., + b22y2l_} + е2; (2)
Уз., ~ сзо + ^Л.г + fl.3ixi,r + е3; (3)
Уу, = З’и + У1, t + Х2.г (4)
где у,, — расходы на потребление в период /;
у|г1 — расходы на потребление в период (г — 1);
у21 — инвестиции в период t;
y2i_t — инвестиции в период (г — 1);
у3 г — процентная ставка в период t;
у41 — совокупный доход в период г;
х, ( — денежная масса в период Г;
( — расходы государства в период t:
t — текущий период;
(Г — 1) — предыдущий период.
Найдите предопределенные переменные (1), эндогенные переменные (2), экзогенные переменные (3), лаговые эндогенные переменные (4) среди совокупностей:
а) инвестиции в период (Г — 1); расходы на потребление в период (г - 1);
б) денежная масса в период г; расходы государства в период /;
в) расходы на потребление в период Г; инвестиции в период д процентная ставка в период Г; совокупный доход в период г,
г) денежная масса в период Г; инвестиции в период (г — 1); расходы государства в период I; расходы на потребление в период (Г - 1).
105
ЭКОНОМЕТРИКА
10. В структурной модели (см. тест 9) не требует проверки на идентификацию равенство, описывающее зависимость:
а) расходов на потребление в период 1 от совокупного дохода в период I и расходов на потребление в период (t — 1);
б) инвестиций в период t от процентной ставки в этот же период и от инвестиций в период (/ — I);
в) совокупного дохода в период t от расходов государства, расходов на потребление и инвестиций в такой же период г.
г) процентной ставки в период t от совокупного дохода и денежной массы в такой же период t.
Ответ обоснуйте.
11. Проверили на идентифицируемость одно из уравнений модели:
Л, = с10 + W-u + 612л(-| +Е,: (1)
Л’з.г = сд) + ЬцУ}./ + + е2. (2)
Уз., = сзо + ЬыУ-i.t + + Ез: (3)
>4., = Т|.( + У1., + *2.,- (4)
где yt г
(t- 1)
t
— расходы на потребление в период Г,
— расходы на потребление в период (t— I);
— инвестиции в период t;
— инвестиции в период (/ — 1);
- процентная ставка в период t;
— совокупный доход в период г,
— денежная масса в период г;
— расходы государства в период /;
— текущий период;
— предыдущий период.
Получили, что в этом уравнении находятся две эндогенные переменные (л = 2) и отсутствуют три предопределенные переменные (р = 3), т.е. п < р + 1. Достаточное условие идентификации для уравнения выполняется: определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, которых нет в этом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы равен трем. Таким образом, сверхидентифицируемым является:
а) уравнение (1);
б) уравнение (2);
в) уравнение (3):
г) уравнения (1)—(3) модели.
106
fefiia 4. Система одновременных уравнений
12. Определите, для какого уравнения структурной модели
У| - с’ю + ^зУз + ен (1)
Уз = сзо +°21Л'1 +ед (2)
Уз = ^ззУз + аз2Х2 + е3- (3)
выполняется необходимое условие идентифицируемости:
а) уравнение (1); п = 2 (у, и у, — эндогенные переменные в уравнении); р = 2 (х, и х, — экзогенные переменные, которых нет в уравнении);
б) уравнение (2); п = 1 (у2 — эндогенная переменная в уравнении); р - 1 (х2 — экзогенная переменная, которой нет в уравнении);
в) уравнение (3); п = 2 (у, и у3 — эндогенные переменные в уравнении); р = 1 (х, — экзогенная переменная, которой нет в уравнении)?
13. Доказано, что система одновременных уравнений
У, = сю + ^зУз + fln*i +fli2^2 +е,; (В
Уз = с20 + h2lyt + о2|х, + а23х3 + е2; (2)
Уз = С30 +М1 + ЬцУз + а32Х1 +£,. (3)
идентифицируемая. Определите, какое обоснование идентифицируемости проведено для второго уравнения системы:
а) необходимое условие выполняется: п = 3(у,, у2, у,); р = 2(х,, х3), значит, п = р + 1.
Достаточное условие выполняется:
(3) X
(1) ао 0
(2) а1> fl23
Д’ = оиа23 * 0, rang М* = 2.
Общий вывод: уравнение точно идентифицируемое;
107
ЭКОНОМЕТРИКА
б) необходимое условие выполняется: п = 2 (у у); р = I (х,).
значит, п = р + 1.
Достаточное условие выполняется:
(2) Уз х2
(1) ^3 "12
(3) -1 «32
Д’ = Ь^а„_ + * 0, rang М* = 2.
Общий вывод: уравнение точно идентифицируемое;
в) необходимое условие выполняется: п = 2(у, у,); р = 1 (х,), значит, п = р + 1.
Достаточное условие выполняется:
(1) т
(2) -1
(3) К 0
Л* = ~Ь}2а2, 0, rang М* = 2.
Общий вывод: уравнение точно идентифицируемое.
14. Приведенная форма модели имеет вид:
у, = Зх, + 4х2;
[у, - 5х, + 6.х2.
Три студента вычисляли структурные коэффициенты модели и получили разные ответы. Определите, кто из них прав:
а)
У, = 15у2 + 10.x,; у2 = 24у, + 8х,;
б)
2
в)
5
6-
Ут = — у, + — X,
Л- 4Л' 4 '
108
Тема 4. Система одновременных уравнений
15. Рассмотрите систему одновременных уравнений и соответствующую ей таблицу коэффициентов при переменных системы:
Ун = си> + ьпУм + <bixi. + ЕФ (1)
У1, = г20 + + + е2; (2)
Уз, = Фо + + Здг + аззхз. + е3. (3)
Уравнения Переменные
эндогенные предопределенные
ЗУ У1, Уз, *1, Х2, Х3,
(1) -J 0 ао й,2 0
(2) ^21 -1 0 ф| 0 0
(3) 0 -J 0 а,,
Система уравнений сверхидентифицируемая, так как сверх-идентифицируемым является:
а) первое уравнение, при условии, что другие структурные уравнения системы идентифицируемые;
б) второе уравнение, при условии, что другие структурные уравнения системы идентифицируемые:
в) грегье уравнение, при условии, что другие структурные уравнения системы идентифицируемые.
Ответ обоснуйте.
16. Упрощенный вариант макроэкономической модели — 1 Клейна имеет вид:
С, = с|0 + altYr + b\,Tt уравнение функции потребления (1) I, = с2й + a2tYt + b2lKt_t + е2г; уравнение инвестиций (2)
У, = С, + тождество (3)
где Ct — потребление в период Г,
Yt — национальный доход в период г;
Tt — налоги на бизнес в период г;
/( — инвестиции;
К1Ч — запас капитала в период (г - I);
В этой модели используется допущение, согласно которому экономика состоит только из частного сектора, государственного сектора нет.
109
ЭКОНОМЕТРИКА
Подставьте тождество (3) в уравнения (1) и (2) и получите уравнения структурной формы, подлежащие оценке. Полученной структурной форме соответствует приведенная форма модели, которая имеет вид:
a) ]С, = а|0 + ЫцУ, + а12А',_| + т)„; |/, = Ct->Q +
б)
С. — ОС[Q + ОС] + О.|2+ ЛФ /, = а20 + а21Т, + ct22K,_ । + г]2,; Y, = “зо + «з^ + «32^-1 + Пзг
в) [С, = а,0 + а,,7} + а|2А';_| + г),,; [/, = а20 + а,,?} + a22K,_t + г]2,.
17. Найдите правильную последовательность шагов алгоритма косвенного МНК:
а) I. Приведенная форма модели преобразуется в структурную форму.
II. Параметры структурной формы модели оцениваются с помощью МНК.
III. Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму;
б) 1. Параметры приведенной формы модели оцениваются с помощью МНК.
II. Приведенная форма модели преобразуется в структурную форму.
III. Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:
в) I. Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму.
II. Параметры приведенной формы модели оцениваются с помошью МНК.
III. При веденная форма модели преобразуется в структурную форму.
18. Экзогенные переменные модели характеризуются тем. что они:
а) датируются предыдущими моментами времени;
б) являются независимыми и определяются вне системы;
в) являются зависимыми и определяются внутри системы.
ПО
Тема 4. Система одновременных уравнений
19. Найдите правильную последовательность шагов алгоритма применения двухшагового МНК:
а) I. Получение по соответствующим приведенным уравнениям теоретических значений эндогенных переменных правой части сверхидентифицируемого уравнения модели.
II. Процесс оценки параметров сверхидентифицируемого уравнения модели через теоретические значения эндогенных и фактические значения предопределенных переменных.
III. Преобразование структурной формы модели в приведенную.
IV. Процесс оценки параметров приведенной формы с помощью МНК:
б) I. Преобразование структурной формы модели в приведенную.
II. Процесс оценки параметров приведенной формы с помощью МНК.
III. Получение по соответствующим приведенным уравнениям теоретических значений эндогенных переменных правой части сверхидентифицируемого уравнения модели.
IV. Процесс оценки параметров сверхидентифицируемого уравнения модели через теоретические значения эндогенных и фактические значения предопределенных переменных;
в) 1. Процесс оценки параметров приведенной формы с помощью МНК.
II. Получение по соответствующим приведенным уравнениям теоретических значений эндогенных переменных правой части сверхидентифицируемого уравнения модели.
III. Процесс оценки параметров сверхидентифицируемого уравнения модели через теоретические значения эндогенных и фактические значения предопределенных переменных.
111
ЭКОНОМЕТРИКА
20. Рассмотрите структурную форму и соответствующую ей таблицу коэффициентов при переменных модели:
J’lz - «10 + ^12 3’2; + «И*1; + ф,х2, + £>; (1)
У 21 = «20 + ^2|3'1; + о2,х„ + ^2’ (2)
Уз, = «30 + Ml; + «31*!, + о33х3, + е3. (3)
Уравнения Переменные
эндогенные предопределенные
Л, У1, У3, Х11 *3;
(1) -1 Ь12 0 «и ач 0
(2) />21 -1 0 «21 0 0
(3) 0 -1 «31 0 «33
Если к уравнению (1) системы применить двухшаговый МНК, то оценки параметров получатся:
а) состоятельными и несмещенными:
б) несостоятельными и смещенными
21. Модель денежного рынка имеет вид:
fj’l, = «10 + Ь12У2, + а1 |Х|, + «|-
[у2, = с2() + Z>21y„ + а22х2, + е2, где — денежная масса;
х2г — внутренние инвестиции;
у, — процентная ставка;
У2, - ВВП;
t — текущий период.
Можно утверждать, что оценки параметров, полученные двухшаговым МНК совпадают с оценками, найденными косвенным МНК, если:
а) система идентифицируемая;
б) для каждого уравнения системы выполняется необходимое и достаточное условие идентифицируемости;
в) количество коэффициентов регрессии структурных уравнений совпадает с количеством коэффициентов регрессии приведенных уравнений.
ТЕМА 5____________________________
Временные ряды. Основные типы трендов и выявление компонент ряда
План лекции
1. Временные ряды: основные составляющие, виды и требования к построению.
2. Основные типы трендов и их распознавание.
3. Выявление сезонной компоненты во временнбм ряду.
4. Выявление случайной компоненты во временнбм ряду.
Ряды динамики и временные ряды
Для характеристики и анализа различных социально-экономических явлений за определенный период применяют показатели и методы, характеризующие эти процессы во времени (динамике).
В литературе используется понятие ряда динамики и временного ряда. Понятие «ряд динамики» трактуется более узко — как направленное изменение признака, имеющее определенную тенденцию к росту (снижению). Под временньгм рядом понимают ряд уровней, не обязательно имеющих определенную тенденцию, т.е. как статистическую последовательность уровней какого-либо показателя. Таким образом, «временной ряд» — более общее понятие. Такой ряд включает как динамическую, так и стационарную составляющую последовательностей уровней какого-либо показателя. Однако в литературе чаще всего применяют термин «динамический ряд», или «ряд динамики».
Понятие ряда динамики
1,3
ЭКОНОМЕТРИКА
Понятие временнбго ряда
В зависимости от показателя времени, временные ряды классифицируют на моментные (на определенную дату) и интервальные (за определенный период).
Виды временных рядов
Пример 5.1. Динамика средних мировых цен на нефть в долларах США за баррель.
Марка На 01.01.2006 На 01.04.2006 На 01.07.2006 На 01.10.2006 На 01.01.2007
Юралс 59,4 65.0 69,1 55,1 58,0
Брент 63,2 70.5 73,5 57,1 63,1
114
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
Пример 5.2. Динамика индекса физического объема ВВП в процентах к предыдущему году.
Страна 2002 г. 2003 г. 2004 г. 2005 г. 2006 г.
Россия 104,7 107,3 107,2 106,4 106
Беларусь 105,0 107,0 111.4 109,2 108,0
Украина 105,2 109.6 112,1 102,6 105,0
По форме представления уровни во временном ряду могут быть представлены абсолютными, средними (пример 5.1) и относительными величинами (пример 5.2).
По расстоянию между уровнями временные ряды подразделяются на ряды с равноотстоящими (примеры 5.1 и 5.2) и неравноотстоящими уровнями по времени. В равноотстоящих рядах даты регистрации периода следуют друг за другом с равными интервалами, в неравноотстоящих равные интервалы не соблюдаются.
115
ЭКОНОМЕТРИКА
Временные ряды также различают по расстоянию между датами и по содержанию показателей. По содержанию показатели временных рядов подразделяют на состоящие из частных и агрегированных показателей. Частные характеризуют явления изолированно, односторонне (например, динамика показателей среднесуточного объема потребленной воды); агрегированные являются производными от частных показателей и характеризуют изучаемое явление комплексно (например, динамика показателей экономической конъюнктуры).
При построении временных рядов необходимо соблюдать определенные правила (требования), которые возникают вследствие несоблюдения определенных условий, что приводит к несопоставимости ряда.
Основные причины несопоставимости временного ряда
116
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
Кроме равенства периодов, одним из условий сопоставимости уровней интервального временную ряда является однородность этапов, за которые проводятся сопоставления. Показатели уровня временного ряда должны подчиняться единому закону развития. В этих случаях проводят периодизацию ряда или типологическую группировку во времени.
Метод смыкания рядов
Для смыкания необходимым условием является наличие за один период данных, рассчитанных по разной методологии (или в разных границах).
В4ЖНО'
Если показатели уровня ряда принимают как положительные. так и отрицательные значения (например, прибыль и убыток в организации за ряд лет), то данные не могут быть использованы для анализа и временной ряд является несопоставимым
117
ЭКОНОМЕТРИКА
Общие составляющие уровней временного ряда
Как видим, все компоненты, которые формируют уровень временного ряда, подразделяются на три группы. Основной составляющей является тренд. Значения сезонной и случайной компонент остаются после выделения из него трендовой составляющей.
Если все составляющие компоненты найдены верно, то математическое ожидание случайной компоненты равно нулю и ее колебания около среднего значения постоянны.
Графическое изображение составляющих временнбго ряда
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
Уровни временного ряда можно представить как сумму иди произведение всех его составляющих компонент (трендовой, сезонной и случайной). Модель, в которой все компоненты ряда представлены как сумма этих составляющих, называют аддитивной. Если факторы влияния представлены как произведение составляющих, то модель называют мультипликативной.
Модели составляющих компонент временного ряда
Тренд
Основной компонентой, как уже говорилось, является тренд.
Понятие тренда
Тенденции изменения показателей сложных общественных явлений только приближенно можно выразить тем или иным уравнением, линией тренда.
Во временных рядах обычно различают тенденции трех видов.
119
ЭКОНОМЕТРИКА
При выборе уравнения тренда необходимо руководствоваться принципом простоты, который заключается в выборе из нескольких типов линий более близкую к эмпирическим данным (более простую). Обосновано это еще и тем, что чем сложнее уравнение линии тренда и чем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров.
На практике чаще всего используют следующие основные типы трендов временных рядов.
Основные типы трендов
120
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов -----
Таким же образом подразделяются типы тенденций и уравнений тренда.
В эконометрическом исследовании проводят количественную оценку каждой из перечисленных компонент по выбранной модели.
Прежде чем выделять тренд, необходимо проверить гипотезу о его наличии. На практике различают несколько критериев для проверки наличия тренда, но основными выступают два критерия. приведенные на схеме.
Метод разности средних двух частей одного и того же ряда. Расчетное значение критерия Стьюдента определяется по следующей формуле:
121
ЭКОНОМЕТРИКА
Табличное значение критерия Стьюдента выбирается с числом степеней свободы, затем определяется среднее квадратическое отклонение.
Параметр Расчет и содержание параметра
Число степеней свободы о = и, + п, — 2
Среднее квадратическое отклонение разности средних а= КЯ1 ~ • °2 + ~ О2 • у я, + п2 - 2 Для расчета дисперсий в каждой части временнуго ряда выбирается число степеней свободы (nt — 1) и (п2~ 1). Соответственно сама дисперсия /-й части временного ряда определяется по формуле о, = , , 1 - 1, 2, п. п - 1 Гипотезу о равенстве дисперсий проверяют с помощью критерия Фишера: Р - 2j_ где < > оз. Если фактическое значение критерия Фишера меньше табличного значения при заданном уровне вероятности, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Если фактическое значение критерия Фишера больше табличного. то гипотеза о равенстве дисперсий отвергается; тогда критерий Стьюдента для проверки существенности разности средних не может быть использован
122
Тема 5. Временные ряды. Основные тины трендов
Метод Фостера—Стюарта. При использовании этого метода вычисления строят в определенной последовательности:
Эганы вычисления наличия тренда при использовании метода Фостера—Стюарта
у
1. Сравнение каждого уровня временного ряда со всеми предыдущими уровнями
Сравнение проводят по следующим неравенствам:
если У' > У Kz_,; )' . то С. = 1: е = 0;
если У < У_,; У_2; У_,; У, , то тогда С = 0; е = I
2. Вычисление значений величин q и d
Вычисления строят по следующим формулам: q = I q;. d = У г/, где qt = (7 + е; d. = С — е,.
Величина охарактеризует тенденцию изменения дисперсии временнбго ряда и принимает значения в пределах: 0 < q < п — 1. Если все уровни ряда равны .между собой, то q = 0. Если уровни временнбго ряда монотонно убывают или возрастают, то q = п — 1. Величина Охарактеризует тенденцию изменения средней и имеет два предела — нижний и верхний. Нижний предел d = —(л — 1) характеризует монотонно убывающий ряд: верхний предел d = (п — 1) характеризует монотонно возрастающий ряд. Величина d может быть равна 0, но такие случаи в практических расчетах крайне редки
у
3. Определение критерия Стьюдента и его сравнение с табличным значением
Фактические значения критерия Стьюдента для разностей (q — q ) и (0 — 0) определяются по следующим формулам:
t = t = d-
4 °| d G2 ’
где ст,, ст. -- среднее квадратическое отклонение для величины S и г/;
q — среднее значение величины <?для ряда, в котором уровни расположены случайным образом.
Если фактические значения критериев Стьюдента меньше табличных при определенном уровне значимости, то гипотеза об отсутствии тренда в средней и дисперсии подтверждается
123
ЭКОНОМЕТРИКА
Линейный тренд
Самым простым типом линии тренда является прямая линия, которая описывается линейным уравнением тренда.
Характеристика параметров линейного тренда
Параметр Содержание параметра
Коэффициент тренда, численно равный среднему выровненному уровню для момента, или периода времени, принятого за начало отсчета (? = 0);
С Коэффициент тренда, характеризующий среднее изменение уровней ряда за единицу времени
Величина параметров «0 и at определяется по методу наименьших квадратов. Для этого строят систему нормальных уравнений.
Для решения уравнения с двумя неизвестными начало отсчета времени переносят в середину ряда. При нумерации периодов времени точно от середины ряда половина номеров г будет отрицательными числами, а половина — положительны-п
ми, т.е. = 0. В этом случае система нормальных уравнении /=|
сокращается.
124
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
Линейный тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерного изменения уровней: равных в среднем величин абсолютного прироста или абсолютного сокращения уровней за равные промежутки времени.
Причина близкого к равномерному изменению абсолютного прироста (сокращения) заключается во влиянии разнонаправленных и разноускоренных сил факторов, которые взаимно усредняются, частично взаимно погашаются, а равнодействующая их влияния приобретает характер, близкий к равномерному. Таким образом, равномерная динамика становится результатом сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.
Графическое изображение линейного тренда — прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным масштабом на обеих осях (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Динамика среднегодовой численности населения в Российской Федерации
Тренд в форме прямой линии обладает рядом свойств.
125
ЭКОНОМЕТРИКА
Свойства линейного тренда
Пример 5.6. Приведем расчет линейного тренда во временном ряду показателя обеспеченности жильем населения на коней года в Российской Федерации с 2000 по 2006 г. (табл. А).
Таблица /1
Показатели обеспеченности жильем в Российской Федерации на конец года (м2 на 1 человека)
Год Обеспеченность жильем на конец года Год Обеспеченность жильем на конец года
2000 19,2 2004 20,5
2001 19,5 2005 20,9
2002 19.8 2006 21.3
2003 20,2 Итого 141,4
126
feMO $• Временные ряды. Основные типы трендов
Определим цепные величины абсолютного прироста для выявления колеблемости временнбго ряда (табл. Б и рис. 5.2).
Таблица Б
Показатели динамики обеспеченности жильем в Российской Федерации на конец года (м2 на 1 человека)
Год Обеспеченность жильем на конец года Абсолютное изменение Разность величин абсолютного изменения
' 2000 19,2 — —
2001 19,5 0,3 0
2002 19,8 0,3 +0,1
2003 20,2 0,4 -0,1
2004 20,5 0,3 +0,1
2005 20,9 0,4 0
2006 21,3 0,4 +0,1
В среднем 20,2 0,35 +0,02
На графике изобразим фактическую обеспеченность жильем с целью графического выявления тренда.
Обеспеченность жильем, мг
Рис. 5.2. Динамика обеспеченности населения жильем на конец года в Российской Федерации
Из табл. Б и рис. 5.2 видно, что обеспеченность жильем имеет устойчивую тенденцию к росту с близкими к равным измене-
127
ЭКОНОМЕТРИКА
ниями. Средний абсолютный прирост имеет положительную величину, разность абсолютных изменений за последовательные периоды приближается к нулю. Следовательно, для показателя обеспеченности жильем на конец года в Российской Федерации можно использовать линейную функцию уг = а0 - а/1.
Для расчета параметров а0, а. используем данные табл. В.
Таблица В
Расчетная таблица
Год Обеспеченность жильем на конец года, м2 на 1 человека Г С / У,^ Теоретические значения тренда Г( Отклонение от тренда г, Отклонение с?
2000 19,2 -3 9 -57.6 19,0 0,2 0,04
2001 19,5 -2 4 -39,0 19,4 0,1 0,01
2002 19,8 -1 1 -19,8 19,8 0,0 0
2003 20,2 0 0 0 20,2 0,0 0
2004 20,5 1 1 20,5 20,6 -0,1 0.01
2005 20,9 2 4 41,8 21,0 -о,1 0,01
2006 21,3 3 9 63,9 21,4 -0,1 0,01
Итого 141,4 0 28 9,8 141,4 0,0 0,08
Система нормальных уравнений имеет вид:
(7а0 = 141,4 [28^ =9,8
ап = 20,2 о, =0,4
=> у, = 20,2 + 0,4 Л
Таким образом, обеспеченность жильем за семь лет возрастала в среднем за год на 0,4 м2.
В табл. В приведены теоретические значения уравнения тренда для расчета отклонений фактического уровня ряда от теоретического.
Ошибку репрезентативности коэффициента линейного тренда определим по формуле
о! = ^ст1 = 2Д8 = 0,0||4.
п 7
0 = 70,0114 = 0,1068 м2.
128
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
Таким образом, среднее квадратическое отклонение достаточно мало.
Параболический тренд
Параболический тренд обычно выражается полиномом II порядка, уравнение которого имеет следующий вид:
Значения параметров параболы II порядка такие же, как и в уравнении прямой, кроме ар аг
Значения параметров уравнения параболы
Параметр уравнения Содержание параметра
«0 Коэффициент тренда, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета (/ = 0)
«1 Коэффициент тренда, характеризующий средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется равномерно со средним ускорением, равным 2а,
«2 Главный параметр уравнения, константа, характеризующая ускорение
Тренд в форме параболы II порядка применяют для отражения тенденций динамики, для которых на некотором, обычно непродолжительном, этапе развития свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней (рис. 5.3).
5 Эконометрика в схемах и таблицах
129
ЭКОНОМЕТРИКА
Рис. 5.3. Динамика средних экспортных цен на природный газ по данным платежного баланса Российской Федерации
Тренд в форме параболы обладает рядом свойств.
Основные свойства параболического тренда
Наблюдаются неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки времени
Парабола имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением
Поскольку свободный член уравнения а0 как значение показателя в начальный момент отсчета времени обычно бывает величиной положительной, характер тренда определяется знаками параметров и а2: а) при а. > 0 и а2 > 0 имеет место восходящая ветвь, т.е. тенденция к ускоренному росту уровней; б) при at < 0 и аг < 0 имеет место нисходящая ветвь, т.е. тен-денция к ускоренному сокращению уровней; в) при а, > 0 и а2 < 0 имеет место либо восходящая ветвь с замедляющимся ростом уровней, либо обе ветви параболы — восходящая и нисходящая, если их считать единым процессом; г) при о < 0 и а: > 0 имеет место либо нисходящая ветвь с замедляющимся сокращением уровней, либо обе ветви - нисходящая и восходящая, если их считать единой тенденцией
Цепные темпы изменений либо уменьшаются, либо некоторое время возрастают, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращения уровней при а(< 0 и а: < 0 обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения)
130
Jgjua 5- Временные ряды. Основные типы трендов
Для вычисления параметров аа, а}, а2 по методу наименьших квадратов строят следующую систему нормальных уравнений с тремя неизвестными.
При переносе начала отсчета периодов (моментов) времени в середину ряда, суммы нечетных степеней номеров этих периодов и П.3 равняются нулю. Следовательно, второе уравнение становится уравнением с одним неизвестным. Отсюда можно выразить параметр а,:
Оставшиеся уравнения образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Параболическое уравнение тренда достаточно редко встречается в анализе экономических явлений и процессов.
131
5*
ЭКОНОМЕТРИКА
Гиперболический тренд
Одна из простых форм гиперболы — уравнение, имеющее следующий вид:
Уравнение гиперболы (гиперболиче-ский тренд) к а\ У, = о0 + у-
Значения параметров уравнения гиперболы
Параметр Содержание параметра
Свободный член гиперболы, предел, к которому стремится уровень ряда
"1 Основной параметр гиперболы: если о > 0, то этот тренд выражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при t -> «>, у.-^ а(|. если параметр а, < 0, то с возрастанием Л т.е. с течением времени, уровни тренда возрастают и стремятся к величине о при t
При расчете гиперболического тренда нельзя нумеровать периоды времени от середины ряда, так как значения 1Д. должны быть всегда положительными.
Гиперболический тренд, как и другие виды трендов, обладает рядом свойств.
132
ТеМО 5- Временные ряды. Основные типы трендов —-----------------------------------
Экспоненциальный тренд
Экспоненциальным трендом называют тренд, который выражается следующим уравнением.
Уравнение экспоненты (экспоненци-альный тренд) к у, = а - к'. или у, = ехр|In а + In k t,]
Значения параметров уравнения экспоненты
Параметр Содержание параметра
к Постоянный темп изменения уровней (цепной). Если к > 1. то имеется тренд с возрастающими уровнями. причем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными более высоких порядков. Если к < 1, то имеется тренд, выражающий тенденцию постоянного, ио замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экспонента не имеет и при стремится либо к оо при к > 1, либо к 0 при к < 1
а Свободный член экспоненты равен выровненному уровню, т. е. уровню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени (при t = 0)
Экспоненциальный тренд характерен процессам, развивающимся в среде, не создающим никаких ограничений для роста уровней. Следовательно, на практике такие явления встречаются только в ограниченном промежутке времени, поскольку любая среда рано или поздно создает ограничения.
Экспоненциальный тренд обладает рядом свойств.
133
ЭКОНОМЕТРИКА
Логарифмический тренд
Уравнение логарифмического тренда применяют в том случае, когда изучаемый процесс приводит к замедлению роста показателя, но при этом рост не прекращается, а стремится к какому-нибудь ограниченному пределу. В этом случае ни гиперболическая форма тренда, ни парабола с отрицательным ускорением не подходят. Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов /). но рост логарифмов не ограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, можно найти такую скорость снижения абсолютных изменений, которая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.
Логарифмический тренд выражается следующей формулой.
134
г
Теми Временные ряды. Основные типы трендов .—-----
Логарифмический тренд обладает следующими свойствами:
Логарифмический тренд, как и гиперболический, отражает постепенно затухающий процесс изменений. Однако эти тренды имеют существенное различие.
ВАЖНО!
Затухание по гиперболе происходит быстро при приближении к конечному пределу, а при логарифмическом тренде затухающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее
Логистический тренд
Логистическая форма тренда используется для описания процессов, при которых изучаемый показатель проходит полный Цикл развития, начиная от нулевого уровня, сначала медленно, но с ускорением возрастая; затем ускорение становится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду; далее, в завершающей части цикла, рост замедляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.
Если диапазон изменения уровней от 0 до 1. то уравнение логистического тренда имеет вид (1). Если диапазон изменения
135
ЭКОНОМЕТРИКА
уровней ограничен не нулем, а любыми значениями, определяемыми в зависимости от существа задачи, обозначаемыми ,vmu и У|11ш. то формула логистического тренда примет вид (2).
При разных значениях параметров логистического уравнения (а0 и ах) будут получаться разные виды трендов.
Распознавание типов трендов
Для правильного выбора типа тренда, который наилучшим образом отражает тенденцию фактического ряда уровней, используют несколько методов распознавания типов тренда. Приведем основные, наиболее распространенные методы.
136
feMU 5- Временные ряды. Основные типы трендов
Методы распознавания типа тренда
Графический метод
Следует выполнять правила построения графика: точное соблюдение масштаба как по величине уровней ряда, так и по времени. Временные интервалы откладывают на оси абсцисс, величины уровней — по оси ординат. По каждой оси нужно установить такой масштаб, чтобы ширина графика была примерно в 1,5 раза больше его высоты. Если уровни ряда на всем протяжении периода много больше нуля и между собой различаются не более чем на 20—30%, то следует обозначить перерыв на оси ординат, увеличить масштаб так, чтобы меньший из уровней ненамного превышал разрыв оси. Если уровни ряда различаются в десятки, сотни и тысячи раз, ось ординат следует разметить в логарифмическом масштабе, чтобы равные отрезки означали различие уровней в одинаковое число раз
Проверка статистических гипотез о типе тренда
Для математической формулировки гипотезы:
1) чтобы снизить искажающее тренд влияние колебаний, проводят сглаживание ряда уровней (скользящая средняя);
2) по ряду сглаженных уровней вычисляют цепные абсолютные изменения Д, = у/+| ~ у, (для параболы — ускорения, для экспоненты — темпы роста);
3) ряд разбивают на несколько равных или примерно равных подпериодов и по каждому вычисляют среднюю величину параметра, постоянство которого подтверждает выдвинутую гипотезу о типе тренда: средний абсолютный прирост — для прямой, среднее ускорение — для параболы, средний темп — для экспоненты;
4) методом дисперсионного анализа при многих средних значениях проверяемого параметра или по r-критерию при двух значениях проверяют существенность различия средних значений параметра в разных подпериодах исходного ряда. Если нельзя отклонить гипотезу о несущественности различий средних величин параметра в разных подпериодах, то принимают гипотезу о соответствующем типе тренда. Если различия средних признают существенными, гипотеза о данном типе тренда отвергается и выдвигается следующая гипотеза в порядке усложнения: после отклонения прямой линии — об экспоненте; после отклонения экспоненты — о параболе; при отклонении параболы — о других типах линий
137
ЭКОНОМЕТРИКА
Понятие сезонных колебаний и сезонной составляющей
Сезонные колебания
повторяющиеся в каждом временнбм периоде колебания, связанные с изменением времени года
Такие изменения непосредственно могут быть связаны с колебаниями других факторов, например в летний период потребление прохладительных напитков зависит от температуры. Взаимосвязь может быть обусловлен^! опосредованными (вторичными) факторами: политическими, экономическими, социальными, например война на Ближнем Востоке и российские цены на нефть; сезонный рост доходов населения к концу года (выплата премий, «тринадцатой» зарплаты), увеличение цен на сахар в период летних заготовок.
Если в течение года имеется только одно повышение (снижение) уровня за несколько лет, то говорят об одном сезонном цикле; если в течение периода наблюдают несколько минимумов и максимумов, то статистическую модель сезонной колеблемости выбирают согласно полученному циклическому процессу.
Отметим, что временной ряд нс всегда содержит сезонную (циклическую) составляющую. Проверку на наличие или отсутствие сезонных колебаний проводят с помощью какого-либо критерия (дисперсионного, гармонического) или визуально при построении графика.
При подтверждении наличия сезонного процесса выделяется сезонная составляющая. Значения сезонной компоненты рассчитывают методом скользящей средней и построением аддитивной или мультипликативной модели.
ВАЖНО!
Аддитивную модель У, - «, + v, + е, применяют н том случае, когда амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется.
Если происходят существенные сезонные изменения, то используют мультипликативную модель У, =
138
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
Сезонные и циклические колебания выявляют с помощью специфических методов: регрессионных, спектральных и итерационных. Один из методов — построение сезонной волны и расчет индексов сезонности.
Если ряд динамики имеет длительный период (15—25 лет), то сезонные колебания выявляют либо с учетом единой качественной особенности периода (ряд сначала делят на качественно однородные периоды), либо согласно методике многократного скользящего выравнивания.
Методы выявления сезонной компоненты
139
ЭКОНОМЕТРИКА
Каждый из используемых методов имеет ряд особенностей.
Для расчета индексов сезонности необходимо иметь данные ио периодам не менее чем за три года. Сущность метода заключается в расчете средних по одноименным периодам у, и для всего анализируемого ряда общий средний уровень ряда у. По этим данным определяют индекс сезонности:
Ц = 4 ЮО. у
В качестве среднего уровня ряда может быть использована также средняя арифметическая взвешенная, мода или другая структурная средняя. Их применяют для временных рядов за достаточно длительный период времени или для элиминирования случайной составляющей.
Пример 5.7. Имеются следующие данные о курсе евро за 2003—2005 гг. на ММВБ в Российской Федерации (табл. Г).
Таблица Г
Динамика курса евро на ММВБ в Российской Федерации (руб.)
Месяц Год
2003 2004 2005
Январь 31.82 28,89 28,01
Февраль 31.71 28,51 28,00
Март 31.45 28,53 27,63
Апрель 31.21 28,67 27,81
Май 30.91 28.98 27.95
Июнь 30,47 29.03 28.50
140
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
Окончание таб.1.
Месяц Год
2003 2004 2005
Июль 30,36 29.08 28,69
Август 30,35 29,21 28,48
Сентябрь 30,60 29,22 28,38
Октябрь 30,16 29,09 28,56
Ноябрь 29,81 28,64 28,76
Декабрь 29,43 28,24 28,80
В среднем 30,69 28,84 28,30
Определим индекс сезонности (при условии, что ряд не имеет ярко выраженной тенденции развития).
Для расчета сезонной составляющей необходимо рассчитать среднемесячные значения за три года:
. 31.82 + 28,89 + 28,01 ,п _ ,
за январь _г() =--------------------- 29,57 (руб.)
, . 31,71 + 28,51 + 28.00 эпЛ1/ гч
• за февраль =---------------------;— = 29,41 (руб.) и т.д
Затем рассчитывают среднегодовое значение:
_ 31,82 + 231,71 + ... + 28,8 R ,
У =------------------------= 29,28 (руб.).
36
По полученным данным определяют индекс сезонности:
/=21.100 = —-57 100 = 101 (%) и т.д.
' у 29.28
Полученные результаты представлены в таблице Д.
141
ЭКОНОМЕТРИКА
ТаСмица Л
Расчет индекса сезонности курса евро на ММВБ
Месяц Год Среднее месячное значение, руб Индекс сезонности, %
2003 2004 2005
Январь 31,82 28,89 28,01 29,57 101,99
Февраль 31,71 28,51 28,00 29,41 100,44
Март 31,45 28,53 27,63 29.20 99,73
Апрель 31,21 28,67 27,81 29,23 99,83
Май 30,91 28,98 27,95 29,28 100,00
Июнь 30,47 29,03 28,5 29.33 100,17
Июль 30,36 29,08 28,69 29,38 100,34
Август 30,35 29.21 28,48 29,35 100.24
Сентябрь 30,6 29,22 28,38 29.40 100,41
Октябрь 30,16 29,09 28.56 29,27 99,97
Ноябрь 29.81 28.64 28,76 29,07 99,28
Декабрь 29,43 28,24 28,8 28,82 98,43
В среднем 30,69 28,84 28,30 29,28 —
Среднее значение индекса сезонности составляет 100,07, а не 100%. Если разница существенна, то в дальнейших расчетах следует откорректировать индексы на пропорциональную величину.
Сезонная волна
Средние значения можно представить на линейной диаграмме, которая является графическим изображением сезонной волны (рис. 5.4).
Понятие сезонной волны
142
г
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
Индекс сезонности, %
Рис. 5.4. Сезонная волна курса евро на ММВБ в Российской Федерации за 2003—2005 гг.
Сезонную компоненту также можно изобразить на круговой диаграмме (рис. 5.5).
Рис. 5.5. Индекс сезонности курса евро на ММВБ в Российской Федерации за 2003—2005 гг.
143
ЭКОНОМЕТРИКА
Таким образом, наиболее высокий спрос на евро отмечался в январе — феврале и июне — сентябре, т.е. в месяцах с высокими доходами и значительным потреблением. Низкий спрос на валюту наблюдался в марте — апреле и октябре — декабре.
Случай 2
Если ряд динамики имеет тренд (нестационарный ряд динамики), то порядок расчета включает в себя этапы:
1) определения по внутригодовым уровням ряда (месячным, квартальным) за несколько лет расчетных (выровненных) уровней по методикам скользящей средней или аналитического выравнивания (У/);
2) определения относительной величины фактических значений уровней ряда (у) и выровненных (расчетных) значений (у,).
3) усреднения полученных показателей сезонности за весь исследуемый период.
У -'100
У, п
Для элиминирования сезонной составляющей в аддитивной и мультипликативной моделях выровненные и скорректированные уровни ряда динамики вычитают из исходных значений ряда
Пример 5.8. Имеются следующие данные об экспорте Российской Федерацией нефтепродуктов за 2003—2006 гг. по данным Федеральной таможенной службы России (ФТС России) (табл. Е).
Таблица Е
Динамика экспорта Российской Федерацией нефтепродуктов (по данным ФТС России)
Квартал Экспорт — всего (в страны дальнего зарубежья и страны СНГ), млн т
2002 г. 2003 г. 2004 г. 2005 г.
1 17,8 19.7 21,7 24,0
11 20,2 20,8 24,1 27,0
III 21,1 21,6 26,1 26,7
IV 18.5 20,3 25,3 25,8
144
г
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
Определим сезоную компоненту и ее интенсивность, построим аддитивную модель с учетом сезонной компоненты и устраним ее с помощью аналитического выравнивания.
Для определения сезонной составляющей воспользуемся методом скользящей средней (табл. Ж).
Таблица Ж
Расчетные данные (млн т)
Годы Квартал Экспорт нефтепродуктов, млн т Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая средняя Отклонение сезонной компоненты
2002 I 17,8 — —
II 20,2 — —
77,6 19,4
III 21,1 19,6 1,5
79,5 19,9
IV 18,5 20,0 -1,5
80,1 20,0
2003 I 19,7 20,1 -0.4
80,6 20,2
II 20,8 20,4 0,4
82,4 20,6
III 21,6 20,9 0,8
84,4 21,1
IV 20,3 21,5 -1,2
87,7 21,9
I 21,7 22,5 -0,8
2004 11 24,1 92,2 23,1 23,7 0,4
III 26,1 97,2 24,3 24,6 1.5
IV 25,3 99,5 24,9 25,2 0,1
102,4 25,6
2005 1 24,0 25,7 -1,7
103,0 25.8
11 27,0 25,8 1,2
103,5 25,9
III 26,7 —
—
IV 25,8 — —
145
ЭКОНОМЕТРИКА
Так как полученные значения скользящей средней находятся в четном ряду, методику следует дополнить центрированием ряда:
Необходимым условием является симметричность сезонных снижений и сезонных повышений признака по отношению к началу и концу базы сравнения (рис. 5.6).
Экспорт, млн т
2002 2002 2003 2003 2003 2003 2004 2004 2004 2004 2005 2005
Квартал года
Рис. 5.6. Динамика центрированной скользящей средней экспорта нефтепродуктов
Однако симметричность в данном показателе не соблюдается, поэтому полученная модель может быть использована с некоторыми ограничениями (табл. 3).
Таблица 3
Динамика экспорта Российской Федерацией нефтепродуктов с учетом сезонного фактора (по данным ФТС России)
Квартал Экспорт — всего (в страны дальнего зарубежья и страны СНГ), млн т
2002 г. 2003 г. 2004 г. 2005 г.
I — 20.1 22,5 25,7
11 — 20,4 23.7 25.8
111 19.6 20.9 24.6 —
IV 20.0 21,5 25,2 —
146
Тема 5- Временные ряды. Основные типы трендов
С I квартала по Ill квартал наблюдается повышение экспорта, а в III квартале каждого периода по IV квартал — снижение показателя. Однако центрированная средняя показывает только тенденцию повышения.
По полученным данным необходимо определить отклонение сезонной компоненты (см. табл. Ж).
Ду, = 21,1 — 19,6 = 1,5 (млн т)
Ду, = 18,5 - 20,0 = —1,5 (млн т) и т.д.
Определим индексы сезонности по данным отклонений сезонной компоненты (табл. И).
Средняя оценка для i-й составляющей рассчитывается по формуле
- -2 900
Д1 = —— = -0,967 (млн т) и т.д.
Расчетные данные
Таблица И
Квартал Год Отклонение сезонной компоненты Итого за /-й квартал по годам Средняя оценка сезонной составляющей для /-го квартала (а») Скорректированная сезонная компонента, (V)
1 2002 — -2,900 -0,967 -0,99167
2003 -0,4
2004 -0,8
2005 -1.7
11 2002 — 2,000 0,667 0,64167
2003 0,4
2004 0,4
2005 1.2
III 2002 1,5 3,800 1,267 1,24167
2003 0,8
2004 1,5
2005 —
147
ЭКОНОМЕТРИКА
Окончание табл.
Квартал Год Отклонение сезонной компоненты Итого за г-й квартал по годам Средняя оценка сезонной составляющей для /-го квартала (А/) Скорректированная сезонная компонента (V)
IV 2002 -1,5 -2,600 -0,867 -0,89167
2003 -1,2
2004 0,1
2005 —
И того X 0,300 0,100 0
Для корректировки сезонной компоненты рассчитаем корректирующий коэффициент:
„ (-0,967 + 0,667 + 1,267-0,867) _ 0,1000 л л_,
А =----------------------------— ------- —
4 4
Скорректированная сезонная компонента составит разность между ее средней оценкой для /-й составляющей и рассчитанным корректирующим коэффициентом:
за I квартал: v, = -0,967 - 0,025 = — 0,99167;
за 11 квартал: v, = 0,667 — 0,025 = 0,64167 и т.д. (табл. Н и К).
Сумма значений сезонной компоненты должна быть равна нулю:
-0,99167 + 0,64167 + 1,24167 - 0,89167 = 0.
Дтя элиминирования влияния сезонной составляющей на тренд рассчитаем разность между и v , затем тренд Ut (табл. К).
Определим компоненту модели экспорта нефтепродуктов. Для этого с помощью инструмента табличного редактора EXCEL (команда «Вставка —> Диаграмма —> Добавить линию тренда»}. На полученном рис. 5.7 представлено уравнение yt = 17,67 — 0,573г Коэффициент достоверности аппроксимации R1 составил 0,919.
Подставив в полученное уравнение значения t =1, ..., 16, найдем уровни тренда Ut (гр. 5 табл. 3). Затем — значения, полученные по аддитивной модели Ur + Vr (гр. 6 табл. К).
На рис. 5.7 ряд 1 показывает выровненные уровни С — V/. ряд 2 показывает аддитивные показатели (J7 + Г); линейный тренд — теоретические значения экспорта нефтепродуктов в Российской Федерации.
148
Таблица К
Расчетные данные
Год Квартал Экспорт, млн г (V) Сезонная компонента Выровненные уровни Г, ~ v, = = и, + г, Тренд L7 Ц + v, с, = у,- (Ц+ V) ег2 (у - г)2
Л 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2002 1 17.8 -0,99 18,8 18,24 17.25 0,55 0.3010 22,09
11 20.2 0,64 19,6 18,82 19,46 0,74 0.5511 5.29
111 21,1 1,24 19,9 19,39 20,63 0,47 0.2203 1.96
IV 18.5 0.89 19,4 19,96 19,07 -0,57 0,3253 16,00
2003 1 19.7 -0.99 20,7 20.54 19,54 0,16 0.0245 7.84
II 20.8 0.64 20,2 21,11 21,75 -0,95 0,9019 2,89
III 21.6 1.24 20,4 21.68 22.92 -1,32 1,7495 0.81
IV 20,3 -0,89 21,2 22,25 21,36 -1,06 1,1285 4.84
2004 1 21.7 -0,99 22,7 22,83 21,84 -0,14 0,0183 0,64
II 24.1 0,64 23,5 23,40 24,04 0,06 0,0034 1,56
111 26.1 1.24 24.9 23.97 25,21 0,89 0,7838 12,96
IV 25,3 -0,89 26.2 24,55 23,65 1,65 2.7082 7,84
2005 1 24,0 -0.99 25,0 25,12 24,13 -0,13 0,0162 2,25
II 27,0 0,64 26,4 25,69 26,33 0,67 0,4440 20,25
111 26,7 1,24 25,5 26.27 27,51 -0,81 0,6507 17,64
IV 25,8 -0,89 26,7 26,84 25,95 -0.15 0,0214 10,89
Итого 360,7 0,00 361,1 360,66 X 0.06 9,8481 135,75
fejno 5. Временные ряды. Основные типы трендов
ЭКОНОМЕТРИКА
Экспорт, млн т
Рис. 5.7. Динамика экспорта нефтепродуктов в Российской Федерации (фактические, выровненные значения и полученные по аддитивной модели)
Рассчитаем случайную ошибку е, = у, — (ut+ V) (гр. 7 табл. К).
Для оценки качества модели и уровня существенности колебаний определим сумму е/. Относительно среднего уровня ряда (360,7/16 = 22,5) его величина составит 135^5^) ^0 = 0,721, т.е. аддитивная модель объясняет 99,279% общей вариации уровней временнбго ряда экспорта нефтепродуктов в Российской Федерации.
Среднее квадратическое отклонение является обобщающим абсолютным показателем, характеризующим силу сезонных колебаний:
135 75
—-— = 5,83 (млн т нефтепродуктов). 4
Среднее квадратическое отклонение сезонности экспорта нефтепродуктов достаточно существенно. Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:
150
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
И = ! 100 =-- 100 = 25,91%. л 22,5
Таким образом, вариация сезонност экспорта нефтепродуктов в Российской Федерации незначительна.
Надежность установленного тренда и сезонность можно проверить сравнительной оценкой фактических и табличных значений (при значимости а и степенях свободы) по критерию Стьюдента. Фактические значения получают соотношением среднего квадрата (дисперсии) случайных колебаний к средней ошибке средне-квартального прироста по случайной составляющей.
Таким образом, аддитивная модель сезонных колебаний может быть использована при постоянстве колебаний абсолютных величин признака на протяжении изучаемого периода. В большинстве случаев ее применяют при отсутствии тренда (слабом тренде) и небольшой длительности изучаемых периодов времени.
Пример 5.9. Имеются следующие данные о прожиточном минимуме в Белгородской области за 2003—2006 гг. по кварталам (табл. JI).
Таблица Л
Динамика величины прожиточного минимума в Белгородской области
Год Квартал Величина прожиточного минимума, руб.
2003 1 1692
II 1743
III 1675
IV 1714
2004 I 1882
II 1959
III 1968
IV 2019
2005 1 2289
II 2397
III 2378
IV 2369
151
ЭКОНОМЕТРИКА
Окончание табл
Год Квартал Величина прожиточного минимума, руб.
2006 I 2565
II 2684
III 2884
IV 2901
Нужно построить мультипликативную модель временнбго ряда.
Построим график поквартальных значений прожиточного минимума в Белгородской области (рис. 5.8).
Прожиточный минимум, руб.
Периоды
Рис. 5.8. Динамика величины прожиточного минимума в Белгородской области, руб.
На рис. 5.8 заметна тенденция возрастания прожиточного минимума и наличие сезонных колебаний признака. В зимневесенний периоды величина прожиточного минимума несколько возрастает. Поскольку показатель имеет приблизительно одинаковое повышение и амплитуда сезонных колебаний повы-
152
ТемО 5. Временные ряды. Основные типы трендов -
щается равномерно, целесообразно построение мультипликативной модели:
У, = и, ' Е,-
Определим компоненты мультипликативной модели. Так как полученные значения скользящей средней находятся в четном ряду, то методику следует дополнить центрированием временного ряда:
1706,0+ 1753,5 ,„п
=------------- = 1729,75 (руб.);
1753,5 + 1807,5 ,_оп .
у2 =----—-------— = 1780,50 (руб.) и т. д.
Полученные расчетные значения представлены в табл. М.
Таблица М
Расчетная таблица ,nvfr ,
Год Квартал Фактическая величина прожиточного минимума Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая средняя Сезонная компонента Отклонение сезонной компоненты
А 1 2 3 4 5 6 7
2003 I 1692,0 — — — — —
II 1743,0 6824,0 — —
1706,0 —
III 1675,0 7014,0 0,968 -54,75
1753,5 1729,750
IV 1714.0 7230,0 0,963 -66,50
1807,5 1780,500
2004 I 1882,0 7523,0 1,021 37,88
1880,8 1844,125
11 1959,0 7828,0 1,021 40,13
1957,0 1918,875
III 1968,0 8235,0 0,980 -39,88
2058,8 2007,875
IV 2019,0 8673,0 0,955 -94,50
2168,3 2113,500
2005 1 2289,0 9083.0 2270,8 2219,500 1,031 69,50
II 2397,0 9433.0 1,036 82,50
2358,3 2314,500
111 2378,0 9709,0 2427,3 2392,750 0,994 -14,75
IV 2369,0 9996,0 0,962 -94,13
2499,0 2463,125
153
ЭКОНОМЕТРИКА
Окончание табл.
Год Квартал Фактическая величина прожиточного минимума Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая средняя Сезонная компонента Отклонение сезонной компоненты
А 1 2 3 4 5 6 7
2006 1 2565,0 10502,0 2625,5 2562,250 1,001 2,75
II 2684,0 11034.0 0,997 -8,00
2758,5 2692,000
III 2884,0 — — —
—
IV 2901,0 — — —
Определим итоговые значения за 4 квартала в каждом году (гр. 3 табл. М) и скользящую среднюю (гр. 4 табл. М). Расчет центрированной скользящей средней представлен в гр. 5 таблицы М.
Рассчитаем абсолютное отклонение сезонной составляющей как разность фактических и центрированных значений (гр. 7 табл. М).
Определим относительное отклонение фактических уровней прожиточного минимума от центрированных скользящих средних (гр. 6 табл. М).
По полученным данным необходимо определить отклонение сезонной компоненты (табл. Н). Методика расчетов детально представлена в примере 5.7 табл. И.
Расчет индексов сезонности
Таблица Н
Квартал Год Индекс сезонности Итого за /-й квартал по годам Средняя оценка для i-й составляющей И Скорректированная сезонная компонента (Г.)
1 2003 — 3,054 1,018 1,012
2004 1,021
2005 1,036
2006 0,997
154
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
Окончание табл.
Квартал Год Индекс сезонности Итого за i-й квартал по годам Средняя оценка для i-й составляющей н Скорректированная сезонная компонента (И)
11 2003 0,968 2,942 0,981 0,975
2004 0,980
2005 0,994
2006 —
III 2003 0,963 2,880 0,960 0,954
2004 0,955
2005 0,962
2006 —
IV 2003 1,021 3,053 1,018 1,012
2004 1,031
2005 1,001
2006 —
Итого X 11,929 3,976 3,953
Определим индексы сезонности по данным отклонений сезонной компоненты и скорректированные значения сезонной компоненты (табл. Н). Корректирующий коэффициент равен:
к _ (1,018 + 0,981+0,960 + 1,018) = 3,976 _ Q 994
4 4
Скорректированная сезонная компонента в мультипликативной модели составит произведение ее средней оценки для i-й составляющей и рассчитанного корректирующего коэффициента:
за 1 квартал: vt = 1,018 0,994 = 1,012;
за 11 квартал: v2 = 0,981 0,994 = 0,975 и т.д. (табл. Н).
Сумма значений скорректированной сезонной компоненты Должна быть равна 4:
1,012 + 0,975 + 0,954 + 1,012 = 3,953 = 4.
155
ЭКОНОМЕТРИКА
Для элиминирования влияния сезонной составляющей на тренд определим разность между у, и \\ , затем тренд Рассчитаем в таблице О средние значения по соответствующим кварталам. Найдем скорректированную сезонную компоненту И.
В гр. 4 табл. О определим относительную величину сравнения фактических (исходных) уровней прожиточного минимума со значением скорректированной сезонной компоненты Гг.
В I квартале 2003 г. yjU(B = = 1652,344 руб. и т.д.
Рассчитаем выровненные значения у, мультипликативной модели (гр. 5 табл. О). Параметры линейного тренда рассчитаем с помощью инструмента табличного редактора EXCEL (команда «Вставка Диаграмма Добавить линию тренда»). На полученном рис. 5.9 представлено уравнение у; = 1460 + 86,45 /. Коэффициент достоверности аппроксимации R- составил 0,956.
Подставляя в это уравнение значения t = 1...16, определяем у( (гр. 5 габл. О).
График полученных значений у;, значений yz • и фактических значений приведен на рис. 5.9.
Уровни ряда по мультипликативной модели определяют перемножением у( и Vt (гр. 6 табл. О).
Ошибку £, в мультипликативной модели определяют по формуле
Полученные значения нужно записать в гр. 7 табл. О.
Сумма квадратов абсолютных ошибок е; составит 256,639 (гр. 9 табл. О). Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней прожиточного минимума от среднего значения равна 2 657 826,94 (гр. 10 габл. О).
Доля объясненной дисперсии составит
1----^У39 =
2 657 826,94
Таким образом, доля необъясненной дисперсии уровней временнбго ряда составит 0,009%. Мультипликативная модель объясняет 99.0% общей вариации изменения прожиточного минимума за четыре года.
156
Таблица О
Расчетные данные
(руб.)
Год Квартал Величина прожиточного минимума Скорректированная сезонная компонента У, / К г, у, v< Е, = У,/ О; • V) 1 >7 ’ II С- “ 1 с/ (г-г)2
А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2003 I 1692 1,024 1 652,344 1 546,551 1 583,668 1.068 108,332 1,141 252 946,13
11 1743 0,987 1 765,957 1 633,002 1 611,773 1,081 131,227 1,169 204 247,50
III 1675 0,966 1 733,954 1 719,453 1 660,992 1,008 14.008 1,017 270 335.00
IV 1714 1.024 1 673,828 1 805.904 1 849.246 0,927 -135,246 0,859 231 300,88
2004 I 1882 1,024 1 837,891 1 892,355 1 937,772 0,971 —55,772 0,943 97 929.88
11 1959 0,987 1 984,802 1 978,806 1 953,082 1,003 5,918 1,006 55 666,50
III 1968 0,966 2 037,267 2 065,257 1 995,038 0.986 -27,038 0.973 51 5 00,63
IV 2019 1,024 1 971,680 2 151,708 2 203,349 0,916 -184,349 0,840 30 954.00
2005 1 2289 1.024 2 235,352 2 238,159 2 291,875 0,999 -2,875 0,997 8 847,75
11 2397 0,987 2 428,571 2 324,61 2 294.390 1.045 102.610 1.091 40 829,25
III 2378 0,966 2 461,698 2 411,061 2 329,085 1,021 48,915 1,042 33 511,88
IV 2369 1,024 2 313,477 2 497,512 2 557,452 0,926 -188,452 0,858 30 297,75
2006 I 2565 1,024 2 504,883 2 583.96.3 2 645,978 0,969 -80,978 0,940 136 946.25
II 2684 0,987 2 719,352 2 670,414 2 635.699 1.018 48,301 1.037 239 182,13
111 2884 0.966 2 985,507 2 756,865 2 663,132 1,083 220,868 1,173 474 807,13
IV 2901 1,024 2 833.008 2 843,316 2 911,556 0,996 -10,556 0,993 498 524,25
Итого 35 119 16,004 X 35 118,94 X 16,020 X 256,639 2 657 826,94
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
ЭКОНОМЕТРИКА
Прожиточный минимум, руб.
3100 Н
1500
-фактический прожиточный минимум, руб. — —уг • vr .тренд
Рис. 5.9. Динамика прожиточного .минимума в Белгородской области (фактические, выровненные значения и полученные по мультипликативной модели)
Мультипликативная модель может быть использована в случае синхронного возрастания (убывания) как самого признака, так и абсолютной величины его сезонных колебаний.
На основе полученного индекса сезонности рассчитываю! коэффициент сезонности.
158
Г
5- Временные ряды. Основные типы трендов
Для устранения случайной компоненты данные за несколько лет (10 и более) усредняют.
n.wun. \ Случайную компоненту определяют для нелиней-
. ВАЖНО. > ных МОделец
Случайный характер компоненты е, устанавливают несколькими критериальными оценками.
159
ЭКОНОМЕТРИКА
Тесты
1. На территории области в течение года ежемесячно проводится мониторинг цен на продовольственные и промышленные товары (5%-ная выборка торговых организаций). Индексы цен на продовольственные товары рассчитывались по методике Ласпейраса. а на промышленные товары — по методике Пааше. Укажите причины несопоставимости:
а) по территории;
б) по методике расчета показателей;
в) по кругу охватываемых единиц совокупности;
г) по стоимостным показателям.
2. В какое понятие включено исследование стационарного временного ряда:
а) ряд динамики;
б) временнбй ряд?
3. Аддитивная модель ряда динамики представляет собой:
а) У, = и, + vr + е,;
б) yt = и, • V, • е,;
в) У, = u, + v, • е,;
г) У, ~ " v, + £г-
4. Мультипликативная модель ряда динамики представляет собой:
а) у, = и • v, • в,;
б) yf = ut + V, + е,;
В) У, = и, + V, • е,;
г) у, = и + Vt + Е,.
5. Укажите правильную функцию логарифмического тренда:
а) У, = а0 + а, • 1п/;
fi) V = V + ^'Лах ~ -^min .
v/ Л/ /min г + ’
в) у, = Of, + + a2tf;
, - 1
г) у =---------
7 + ]
160
Тема 5. Временные ряды. Основные типы трендов
6. Укажите правильную функцию логистического тренда:
а) X = ф + о, • 1пг:
б) у = у + .
' /щш [a(\+a\t । । ’
в) у. - а{] + attt + а,?,3;
гО = -
' •'I /«о+оу + |
7. Укажите правильную формулу расчета коэффициента а0 для линейного тренда.
а> ао = -п—;
;=|
п
В) Ф = пъ - п
12 ’
г) а0 = Зя5 - Юл3 +1п
240
8. Уравнение тренда представляет собой у, = 32,5 - 4,6 t. На сколько в среднем за год в исследуемом периоде изменяется признак:
а) увеличивается на 32,5;
б) увеличился на 4,6;
в) уменьшился на 4,6;
г) уменьшился на 32,5.
9. Если ряд динамики имеет тренд (нестационарный ряд динамики), то порядок расчета включает в себя этап расчета:
а) гармоник Фурье;
б) отношения фактического и выровненного уровней;
в) средних значений за период;
г) средних темпов роста.
6 Эконометрика в схемах и таблицах
161
ЭКОНОМЕТРИКА
10. Для получения устойчивой тенденции сезонных колебаний, на которых бы не отражались особенности развития процессов в конкретные периоды, индекс сезонности / рассчитывают по формуле:
б) 1s = =
11. Укажите правильную функцию гиперболического тренда:
б) V = V + -V'"‘1X____________^niin
/ .’( /mm ian+aii . 1
В) у, = a0 + + а2ф:
/00+4' + ] '
12 Укажите правильную характеристику параметра a0 линейного тренда:
а) среднее изменение анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени;
б) среднее ускорение изменения анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени;
в) средний выровненный уровень ряда для периода (момента) времени, принятого за начало отсчета;
г) постоянный цепной темп изменения уровней временного ряда.
162
F
J’eMa 5. Временные ряды. Основные типы трендов
13. Укажите правильную характеристику параметра к экспоненциального тренда.
а) среднее изменение анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени;
б) среднее ускорение изменения анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени;
в) средний выровненный уровень ряда для периода (момента) времени, принятого за начало отсчета;
г) постоянный цепной темп изменения уровней временного ряда.
14. Что характеризует коэффициент параболического тренда щ: а) среднее изменение анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени;
б) среднее ускорение изменения анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени;
в) средний выровненный уровень ряда для периода (момента) времени, принятого за начало отсчета;
г) постоянный цепной темп изменения уровней временного ряда.
15. Что характеризует коэффициент линейного тренда а .
а) среднее изменение анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени;
б) среднее ускорение изменения анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени;
в) средний выровненный уровень ряда для периода (момента) времени, принятого за начало отсчета:
г) постоянный цепной темп изменения уровней временного ряда.
16. Случайная составляющая в модели = м, + v, + в обозначена: а) и-
б) г,;
в) у,;
г) V,.
6-
ТЕМА 6
Автокорреляция временных рядов
План лекции
1. Понятие автокорреляции и авторегрессии временнбго ряда. Виды автокорреляции.
2. Выявление автокорреляции по критерию Дарбина—Уотсона.
3. Методы коррелирования и проверка гипотез о коинте-грации.
Автокорреляция и авторегрессия
При обработке временных рядов необходимо учитывать наличие автокорреляции и авторегрессии, при которых значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений.
Понятие автокорреляции
Понятие авторегрессии
Сдвиг между соседними уровнями или сдвинутыми на любое число периодов времени (А) называют временным лагом.
164
г
Тема 6. Автокорреляция временных рядов
Понятие временного лага
Виды и показатели автокорреляции
Показатели автокорреляции
Показатель Расчет и содержание параметра
Нециклический коэффициент автокорреляции Рассчитывается не только между соседними уровнями. т.е. сдвинутыми на один период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени: г =——™—hzL, или Х(г, U 1 - У2) Г, = - , JXU ->’J- X (х-1 -у2) V- 2 ' г--2 где о.су ч — среднее квадратическое отклонение рядов у, и у, , соответственно: __ Ъ.в Vj , у > = ' 2- и - 1 ‘ и - 1
165
ЭКОНОМЕТРИКА
Окончание табл.
Показатель Расчет и содержание параметра
Различают коэффициенты автокорреляции 1, 11 и так далее порядков. Порядок коэффициента автокорреляции зависит от временного лага. Макси- мальный лаг должен быть не более (11 и)
Критерий Дарбина— Уотсона Основанием применения этого критерия является то, что во временных рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке. Его обычно используют для выявления автокорреляции I порядка и, как правило, для больших выборок. Критерий Дарбина— Уотсона определяется по формуле d = , п р,2 где е,. = у; - у, . Если отклонения уровней от тенденции (остатки) случайны, значения d. лежашие в интервале 0—4, всегда будут находиться ближе к 2. Если автокорреляция положительная, то d = 2; отрицательная — 2 < d < 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Их значения для трех уровней значимости (а = 0,01: 0,025; 0,05) с учетом числа наблюдений даны в специальных таблицах
Коэффициент автокорреляции обладает двумя важными свойствами.
166
Тема 6. Автокорреляция временных рядов
Коэффициенты автокорреляции широко используют для характеристики структуры ряда и определения лага, при котором автокорреляция (связь между текущим и предыдущим уровнями ряда) самая высокая. В этом случае строят коррелограмму.
При изучении автокорреляции с помощью критерия Дарби-на—Уотсона придерживаются определенной последовательности действий.
167
ЭКОНОМЕТРИКА
Последовательность выявления автокорреляции с помощью критерия Дарбина-Уотсона
Критерий Дарбина-Уотсона неприменим для моделей авторегрессии. Для выявления автокорреляции остатков в моделях авторегрессии используют критерий h-Дарбина.
168
г
Тема 6. Автокорреляция временных рядов
Принятие или отклонение нулевой гипотезы (//0) по критерию й-Дарбина строится в соответствии со следующим правилом.
Для уменьшения (или устранения) автокорреляции во временных рядах используют несколько методов.
169
ЭКОНОМЕТРИКА
Методы уменьшения (устранения) автокорреляции во временных рядах
Метод включения дополнительного фактора, например времени. Показатель времени как дополнительный фактор вводится всегда в линейной форме, тогда как уровни исходного ряда могут быть представлены показателями в любой форме. Показатель времени в этом случае аналогичен отклонениям фактических данных от тренда. Наиболее точные результаты этот способ дает при линейной связи
Метод последовательных разностей. Анализу подвергают не сами исходные уровни временнбго ряда, а последовательные разности между ними, которые определяют следующим образом: = У, - АК = У,_, - У,-2 и т.д. При использовании этого способа считается, что все разно-сти между уровнями содержат только случайную компоненту
Метод авторегрессионных преобразований. Анализу подвергают не исходные уровни временного ряда, а их отклонения от тенденции, определяемые следующим образом: У' ~ У''' У. - у, и т.д.
При изучении развития явления во времени иногда возникает необходимость оценить степень взаимосвязи в изменениях уровней двух и более временных рядов различного содержания, но связанных один с другим.
Связные временные ряды
это
к временные ряды, показывающие зависи-
2 мость результативного признака от одно-у го или нескольких факторных признаков
Решить задачу изучения связи между уровнями связных временных рядов позволяют три метода коррелирования.
При использовании этого метода (коррелирования по уровням) необходимо проверить каждый из рядов на наличие или отсутствие в них автокорреляции (при помощи коэффициента автокорреляции). При наличии автокорреляции между уровнями ряда она должна быть устранена.
170
Тема 6. Автокорреляция временных рядов
Методы коррелирования
Коррелирование уровней ряда динамики
Показывает тесноту связи между рядами динамики лишь в случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция, и определяется по формуле
XY-X Y г =----------,
где Л' уровни факторного ряда динамики;
У — уровни результативного ряда динамики
Коррелирование отклонений фактических уровней от выровненных уровней (тренда)
Метод состоит в том, что коррелируют не сами уровни, а отклонения фактических уровней от выровненных, отражающих тренд, т.е. коррелируют остаточные величины. Для этого каждый ряд динамики выравнивают по определенной, характерной для него аналитической формуле, затем из эмпирических уровней вычитают выровненные (т.е. находят dx = Xi - Хр, dy = У, - Yi) и определяют тесноту связи между рассчитанными отклонениями (<7А и dy) по формуле
""" PLAYJl
Коррелирование последовательных разностей Исключить влияние автокорреляции можно путем вычитания из каждого уровня предшествующего ему, т.е. находя разности уровней (уп - уп,), так как при переходе от уровней к их разностям исключается влияние общей тенденции на колеблемость. При этом изменении уровней по прямой можно коррелировать первые разности, при изменении по параболе «-го порядка — «-е разности. Формула коэффициента разностей такова:
г £А*'А->
171
ЭКОНОМЕТРИКА
Коинтеграция
Изучение развития явления во времени и опенка степени взаимосвязи в изменениях уровней двух и более временных рядов pas-личного содержания сопровождается иногда явлением коинтегра-ции. Линейная комбинация двух или более временных рядов будет нестационарна, если один или несколько из них нестационарны. Однако если существуют долговременные зависимости между временными рядами, то результат может быть другим. Коинтеграция присутствует, если линейная комбинация двух или более временных рядов стационарна (ряд имеет постоянную дисперсию в длительном промежутке времени и содержит только случайную компоненту).
Понятие коинтеграции
На практике различают два основных метода проверки наличия коинтеграции временных рядов.
172
Гема 6. Автокорреляция временных рядов
Характеристика параметров фактического значения критерия t при использовании метода Энгеля — Грангера учитывает следующие неравенства.
Характеристика параметров расчетного фактического значения критерия Дарбина—Уотсона подчиняется определенным правилам'.
173
ЭКОНОМЕТРИКА
Тесты
1. Коррелирование отклонений от выровненных уровней тренда поводят:
а) для определения тесноты связи между отклонениями фактических уровней от выровненных, отражающих тренд;
б) для определения тесноты связи между рядами динамики в случае отсутствия автокорреляции;
в) для исключения влияния автокорреляции;
г) для исключения влияния общей тенденции на колеблемость признака.
2. В каком случае присутствует явление коинтеграции:
а) если во временнум ряду присутствует постоянный средний темп роста анализируемого показателя;
б) если ряд имеет постоянную дисперсию в длительном промежутке времени;
в) если во временном ряду совпадают (или имеют противоположное направление) тенденции двух и более уровней;
г) если во временнум ряду присутствует постоянный цепной темп изменения уровней временнбго ряда.
3. Укажите формулу расчета нециклического коэффициента автокорреляции:
в) d =
174
Тема 6. Автокорреляция временных рядов
4. Укажите формулу для выявления автокорреляции остатков в моделях
авторегрессии.
а)
б)
5. Укажите методы уменьшения (устранения) автокорреляции во временных рядах:
а) авторегрессионных преобразований;
б) построения коррелограммы;
в) включения дополнительного фактора;
г) последовательных разностей.
6. Изучение связи между уровнями связных временных рядов проводят с помощью методов коррелирования:
а) уровней ряда динамики;
б) отклонений фактических уровней от тренда;
в) последовательных разностей:
г) авторегрессионных преобразований.
7. Укажите правильное определение связных рядов:
а) причинно-следственная связь в уровнях двух или более временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости;
б) показывающие зависимость результативного признака от одного или нескольких факторных;
в) зависимости значений коэффициента автокорреляции от значений величины лага;
г) временное смещение уровней временного ряда относительно первоначального положения на h моментов времени.
ТЕМА 7
Динамические эконометрические модели
План лекции
1. Динамические эконометрические модели. Основные понятия.
2. Характеристика моделей с распределенным лагом и оценка их параметров.
3. Лаговые модели Алмон. Модели Койка.
4. Оценка параметров моделей авторегрессии методом инструментальной переменной.
5. Модели адаптивных ожиданий.
6. Модели частичной корректировки.
Динамические эконометрические модели
Понятие динамической эконометрической модели
Динамические эконометрические модели
t модели, которые в данный момент време-ни учитывают значения входящих в нее переменных, относящихся к текущему и
г предыдущему моментам времени
Все динамические эконометрические модели условно разделяют на два вида.
176
Тема 7. Динамические эконометрические модели
Модели, в которых лаговые значения переменных непосредственно включены в модель. Эти модели также разделяют на два вида.
где х, xr_|( х: t — значения результативного признака в моменты време ни I, t — 1, t — I. Величина / характеризует временной лаг.
Временная лаговая переменная возникает вследствие действия многих факторов, которые формируют изменение результативного признака в прошлые моменты времени (политические, психологические, технологические, экономические и т.д. причины).
Модели, в которые включены переменные, характеризующие ожидаемый или желаемый уровень результативного признака или одного из факторов в момент времени t. Этот уровень считается неизвестным и определяется с учетом информации, которой располагают в предыдущий момент времени (г — 1).
Их подразделяют следующим образом.
177
ЭКОНОМЕТРИКА
Необходимо учитывать особенности построения динамических эконометрических моделей.
Определение параметров моделей с распределенным лагом
178
Тема 7. Динамические эконометрические модели
В модели с распределенным лагом коэффициент регрессии а0 при переменной хг характеризует среднее абсолютное изменение эндогенного (объясняемого) признака уг при изменении фактора xt на 1 единицу в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений х.
В момент (г + 1) совокупное воздействие переменной хг на результативный показатель составит а0 + а,. В момент времени (/ + 2) — соответственно ап + а, + а, и т.д.
А
Сумму всех значений £а, (h < I) называют промежуточным /=1
мультипликатором.
Сумму всех значений а (/ =0, 1,2, ..., IT) называют долгосрочным мультипликатором. Он характеризует изменение у под воздействием единичного изменения х в каждом периоде i = 0, 1, 2, /.
Коэффициенты а, в модели с распределенным лагом
179
ЭКОНОМЕТРИКА
Сила воздействия лаковых и текущих значений экзогенного (объясняемого) признака различна. С помощью коэффициентов регрессии количественно измеряют силу связи между эндогенной (у) и экзогенными (xt, х,, .... х ) переменными, которые относятся к разным моментам времени.
Зависимость полученных коэффициентов от величины лага и его структуры можно представить графически.
(а) (б) (в) (г) (д)
Частным случаем полиномиальной структуры лага является линейная модель (а). Перевернутая V-образная структура лага (в) аппроксимируется полиномом II степени. На графике (г) также показаны полиномы II степени. Полином III степени изображен на графике (д).
180
Тема 7. Динамические эконометрические модели
Лаги Алмон
Модель зависимости коэффициентов а (где i = 0, 1,2, ..., 1) от величины лага в форме полинома имеет следующий вид.
Общий вид полиномиальной модели
Каждый из коэффициентов а, модели можно записать: «о =
ос] = а0 + а, + ... + ал;
а, = ап + 2 а, + 4 а2 + ... + 2" а, и т.д.
В общем виде
а, = а0 + 1 а, + I2 а2 + ... + /пач;
У,- = «о + Х(а0 + «ь + сс2 /2) X,.-, + Д, -/-0
= «О + «О X Vi + « X ' А' - I + а2 ' X '2 + Ai
/-0 1=0
181
ЭКОНОМЕТРИКА
Обозначим слагаемые следующим образом:
Ео = А'/-|
/=0
г, = /=0
<2=vi-/-О
Тогда модель примет вид:
yt = «о + «о + «,£,+ а2 Z2 + д,.
Применение метода Алмон для параметризации модели можно представить в виде схемы.
Этапы применения метода Алмон для параметризации моделей
Расчет параметров исходной модели
Определение параметров преобразования уравнении регрессии в линейной форме
„..
Расчет значений переменных z, or
Определение степени полинома п, который описывает структуру лага
Определение максимальной величины лага
182
Тема 7. Динамические манометрические модели
С помощью метода Алмон строят модели с распределенным лагом любой длины.
Пример. Имеются данные об объеме экспорта и импорта Российской Федерации (по методологии платежного баланса) (табл. П).
Таблица 11 (млрд долл. США)
Месяц Экспорт Импорт
2004 г. 2005 г. 2006 г. 2004 г. 2005 I. 2006 г.
Декабрь предыдущего года 11 037 19 247 24 829 6 505 11 185 13 901
Январь 11 254 14 175 20 936 5 560 7 039 8 392
Февраль 12 079 16 221 21 959 6 569 8 477 10 159
Март 13 956 19 809 24 459 7 789 10 194 12 446
Апрель 14 712 19 <399 24 048 7 720 9 699 11 377
183
ЭКОНОМЕТРИКА
Окончание табл.
Месяц Экспорт Импорт
2004 г. 2005 г. 2006 г. 2004 г. 2005 г. 2006 г.
Май 13 615 20 278 27 111 7 360 9 628 12 890
Июнь 14 862 19 382 25 386 7 895 10 103 14 559
Июль 15 439 21 554 25 900 8 355 10 853 13 716
Август 16 759 21 628 28 217 8 320 10 774 14 491
Сентябрь 16 271 21 706 25 778 8 287 10 831 14 576
Октябрь 17 208 22 084 24 943 8 908 11 560 15 984
Ноябрь 17 807 22 235 25 534 9 434 12 374 16 308
Декабрь 19 247 24 829 29 653 11 185 13 901 19 793
Модель с распределенным лагом I = 3 представляет собой полином II степени yt = а0 + а0 zt + а2 + ег с преобразованием исходных данных в переменные zt, Z2'-
Z. = x, + + x,_2 + xr3;
= V, + 2 x,-i + 3 X: v-
z2 = x,-\ + 4 Vi + х^-
Расчст значений приведен в табл. Р.
Таблица Р
Расчетные данные
Месяц Экспорт Импорт zo Z! Z2
Декабрь предыдущего года 11 037 6 505 — — —
Январь 11 254 5 560 — — —
Февраль 12 079 6 569 — — —
Март 13 956 7 789 26 423 43 167 84 105
Апрель 14 712 7 720 27 638 49 574 97 997
Май 13 615 7 360 29 438 53 956 108 341
Июнь 14 862 7 895 30 764 53 495 106 815
184
Тема 7. Динамические эконометрические модели
Продолжение табл.
Месяц Экспорт Импорт Z0 zi Z2
Июль 15 439 8 355 31 330 53 585 106 175
Август 16 759 8 320 31 930 56 610 112 795
Сентябрь 16 271 8 287 32 857 58 347 116 762
Октябрь 17 208 8 908 33 870 58 762 116 936
Ноябрь 17 807 9 434 34 949 60 398 119 649
Декабрь 19 247 11 185 37 814 65 685 129 093
Январь 14 175 7 039 36 566 67 145 136 685
Февраль 16 221 8 477 36 135 67 295 137 298
Март 19 809 10 194 36 895 55 304 107 453
Апрель 19 899 9 699 35 409 63 995 126 768
Май 20 278 9 628 37 998 69 802 140 170
Июнь 19 382 10 103 39 624 68 155 135 906
Июль 21 554 10 853 40 283 69 571 137 917
Август 21 628 10 774 41 358 72 892 145 113
Сентябрь 21 706 10 831 42 561 75 791 151 604
Октябрь 22 084 11 560 44 018 76 318 151 850
Ноябрь 22 235 12 374 45 539 78 818 156 093
Декабрь 24 829 13 901 48 666 84 889 167 437
Январь 20 936 8 392 46 227 85 690 175 362
Февраль 21 959 10 159 44 826 82 547 168 836
Март 24 459 12 446 44 898 66 332 128 610
Апрель 24 048 11 377 42 374 76 905 152 592
Май 27 111 12 890 46 872 85 428 170 412
Июнь 25 386 14 559 51 272 85 847 168 512
185
ЭКОНОМЕТРИКА
Окончание табл.
Месяц Экспорт Импорт zo Z1 Z2
Июль 25 900 13 716 52 542 94 394 187 962
Август 28 217 14 491 55 656 100 159 200 386
Сентябрь 25 77S 14 576 57 342 98 422 195 984
Октябрь 24 943 15 984 58 767 103 100 204 707
Ноябрь 25 534 16 308 61 359 106 580 211 428
Декабрь 29 653 19 793 66 661 116 345 228 881
Определим переменные модели экспорта и лаговые переменные импорта с помощью инструмента табличного редактора EXCEL (команда «Анализ данных -> Регрессия»), Результаты представлены в табл. С.
Таблица С
Вывод итогов
Регрессионная статистика
Множественный R 0,927891
Л-квадрат 0,860982
Нормированный /?-квадрат 0,84708
Стандартная ошибка 1750,814
Наблюдения 34
Дисперсионный анализ
Показатель df .8.8 MS F Значимость F
Регрессия д 5.7Е -+ 08 1,9Е + 08 61,9332 5,85Е - 13
Остаток 30 91 960 509 3 065 .350
Итого 33 6,62Е+08
186
Тема 7. Динамические эконометрические модели
Окончание табл.
Показатель Коэффициент Стандартная ошибка /-статистика Р-значение Нижние 95% Верхние 95%
Y- пересечение 4 038.181 1 330,245 3,035667 0,004926 1 321,458 6 754,903
Переменная Х{ 0.210798 0,242254 0,870153 0,391126 -0,28395 0,705545
Переменная Х1 1,069681 0,61858 1,729252 0.094043 -0,19363 2,33299
Переменная X, -0,48353 0,256057 -1,88837 0,06868 -1,00647 0,039407
Таким образом, уравнение регрессии примет следующий вид:
у, = 4038,181 + 0.211 + 1,070 ~ 0,484 z2.
Значения а. определяют:
а0 = 0,211;
а, = 0,211 + 1,070 + (-0,484) = 0,797;
сх2 — 0,211 + 2 1,070 + 4 (-0,484) = 0,415;
а3 = 0,211 + 3 1,070 + 9 (-0,484) = -0,935.
Следовательно, модель с распределенным лагом имеет такой вид:
у, = 4038,181 + 0,211 х, + 0,797 х,_, + 0,415 х,_2 - 0,935 х^3.
Коэффициент детерминации показывает, что вариация экспорта на 86,1% обусловлена импортом, а на 13,9% — другими, не вошедшими в модель факторами.
Для оценки моделей с бесконечным числом лагов разработаны следующие методы.
187
ЭКОНОМЕТРИКА
Метод Койка для оценки эконометрических моделей с бесконечным числом лагов
Койк предложил методику оценки модели с бесконечным числом лагов из-за невозможности параметризации обычным МНК, так как число факторов бесконечно.
При геометрической структуре лагов предполагается, что коэффициенты а, при лаговых значениях факторного признака убывают в геометрической прогрессии:
а = а0 X,; i = 0, 1, О < X < 1.
Графически геометрическую структуру лага можно представить следующим образом:
d:
4 -
2 -
Рис. Геометрическая структура лага
X > 0 обеспечивает одинаковые знаки для всех коэффициентов X, > 0; X, > 1 является показателем убывания лагов в геометрической прогрессии. Чем ближе X к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на показатель времени I. Уравнение принимает вид:
У, = «0 + а() У + au * Х, I + «о Х У ; + •+ Е,-
Тема 7. Динамические тонометрические модели
Методы определения параметров полученного уравнения
-* Первый метод X последовательно присваиваются значения из интервала (0, 1) с произвольным фиксированным шагом (0,1; .... 0,001). Для каждого X рассчитывается ; = х + X X + X1 х , + X ’’ х , + ... + X" х . » / /1 !— ’ Г / •» Уравнение регрессии при принятых по условию значениях п принимает вид у, = а1} + сс„ ё, + е,. При решении уравнения следует учитывать, что выбор значений X осуществляется на основе наибольшего коэффициента детерминации, а искомые параметры а(1. а(), X подставляют в уравнение: у. = а„ + а0 х + «(1 X х,„, + а0 X2 х,_2 + ... + е,.
-► Второй метод Метод Койка (метод геометрической прогрессии). Этот метод включает несколько этапов Постоянный темп X (0 < X < 1) уменьшения во времени ла-говых воздействий фактора на результат. Для некоторого периода (/ — 1) изменение результата под воздействием фактора составит а. = а,, X. i = 0. 1. 2, .... 0 < X < 1. 1 1) ’ ’ Если все коэффициенты оу в модели выразить через ап и X, то получится у,„, = а + а„ х, , + а, X х,_, + а0 X2 х;_5 + ... + е, , (1) Умножив обе части модели на X, получим X у , = X а + X х( ( 4- а(| X2 xr_, + а„ X' х_, + ... + X е,_г (2) Вычитая найденное соотношение (2) из соотношения (1) получаем модель Койка.
К j; = а (1 - X) + а„ х, + (1 - X) у,_, + и,, у где </, = е, - X • е; ,
Модель Койка
189
ЭКОНОМЕТРИКА
Полученная модель есть двухфакторная модель линейной регрессии (точнее, авторегрессии). Определяя ее параметры, можно найти X и опенки параметров а и Ьи исходной модели. Применение обычного МНК к оценке параметров модели приведет к получению смещенных оценок ее параметров, так как в этой модели в качестве фактора лаговой результативной переменной yt_t.
Геометрическая структура лага позволяет определить величины среднего и медианного лагов в модели Койка.
Модели авторегрессии. Интерпретация параметров модели авторегрессии
190
Тема 7. Динамические эконометрические модели
В качестве примера модели авторегрессии приведем уравнение
У, = с + bt у,., + а„х, + с,
где Ьх — означает изменение у в момент t под воздействием своего изменения в предшествующий момент времени (t ~ 1);
ап — означает краткосрочное изменение у под влиянием изменения х на единицу своею измерения:
е, — случайная величина (величина остатка).
В указанной модели авторегрессии особую роль играет произведение Ь^, которое получило название промежуточного мультипликатора.
Наряду с показателем промежуточного мультипликатора применяют показатель долгосрочного мультипликатора.
Если в модели авторегрессии соблюдается условие стабильности — |Z>,| < 1, то при наличии бесконечного лага долгосрочный мультипликатор
а -
191
ЭКОНОМЕТРИИ
Метод инструментальных переменных
Для оценивания параметров моделей авторегрессии приме-
няют различные методы.
Рассмотрим метод инструментальных переменных, который позволяет устранить нарушение предпосылки МНК об отсутствии связи между факторным признаком и случайной величиной.
Приведем пример. В модели авторегрессии yt = с + Ь[У^ + + а0 xt + е, результативный признак yt зависит от факторного признака хг Следовательно, ум будет зависеть и от х_г Иначе говоря, имеет место регрессия
= с, + а} х,_, + ц,, или у^ = у; + т)„ где г|, — случайная составляющая.
Инструментальной переменной является у’. Измененная исходная модель авторегрессии имеет вид:
Л = с + Ь, ( у/ + гр + я0 х. + е,, или
у. = с + Ь{ у’ + byy + atixt + е, = = с + bty; + + е().
Оценки параметров и ап измененной модели авторегрессии находим с помощью МНК. Эти же оценки будут искомыми для исходной модели авторегрессии.
ВАЖНО!
Метод инструментальных переменных часто приводит к появлению мультиколлинеарности факторов в модели. Эту проблему разрешают в определенных случаях с помощью включения в модель с инструментальной переменной фактора времени
192
Тема 7. Динамические эконометрические модели
Модели адаптивных ожиданий
Моделью адаптивных ожиданий является, например, уравнение
у, = С + Я() + £,,
причем х*+1 — ожидаемое в следующий период значение факторного признака, которое формируется в виде среднего арифметического взвешенного реального и ожидаемого значений этого признака в текущем периоде, т.е. %(+) = + (1 - Х)хг. Это
равенство определяет механизм формирования ожиданий.
Покажем, как можно преобразовать модель адаптивных ожиданий
У, = С + О(Х+| + £,, (1)
чтобы оценка параметров стала возможной.
7 Эконометрика в схемах и 1аблица.ч
193
ЭКОНОМЕТРИКА
У, = с + а0 (Ах, + (1 - Х)х‘) + е(. у, - с + g0Xx, + а0(1 - Х)х* + е,.
Исходная модель (1) справедлива и для периода (t - 1):
У,_| = С + аох* + е,_].
(2)
(3)
Умножив равенство (3) на величину 1 - X, получим равенство:
(1 - Му,.| = (1 - А)с + (1 - A)tzox* + О - Me,-!. (4)
Вычитаем почленно из равенства (2) равенство (4) и получаем модель авторегрессии, параметры которой вычисляем известными методами:
У, - (1 - = Ас + Ааох, + [е, - (1 - А)^],
или
У, = Ас + /д<х; + (1 - А)у^, + [£,-(]- А)ег_1]. (5)
Исходная модель адаптивных ожиданий (1) — это долгосрочная функция модели адаптивных ожиданий: результативный признак зависит от ожидаемых значений факторного признака.
Преобразованная модель адаптивных ожиданий (5) — это краткосрочная функция модели адаптивных ожиданий: результативный признак зависит от фактических значений факторного признака.
Модели частичной корректировки
Модели частичной корректировки
К учитывают желаемое (ожидаемое) значе-) ние результативного признака в период / (r+ 1)
Моделью частичной корректировки является, например, уравнение
у, = с + аох, +е,. (6)
194
Тема 7. Динамические эконометрические модели
В такой модели фактическое приращение результативного признака yr — ум пропорционально разности
У* -Уг-ь
где у* — желаемое значение результата, у — фактическое значение результата в предыдущий период.
Иначе говоря,
L = X, 0< Х< 1.
У, - У,л
В итоге получим преобразованную модель
у, = Ху, +(1 -Ш-! + Пг
(7)
В такой модели yt — это среднее арифметическое взвешенное желаемого значения у* и фактического значения у^ в предыдущем периоде.
Проведем дальнейшее преобразование модели частичной корректировки так, чтобы стала возможной оценка ее параметров с помощью МНК:
у, = М', + (1 - Ш-1 + л,;
у, = Х(с + аох + £,) + (!- А.)у;_[ + ту;
у, = Хс + XdgX, + (1 - Х)у,_, + (ту + Хе).
Исходная модель частичной корректировки (1) — это долгосрочная функция модели частичной корректировки: ожидаемое
195
7*
ЭКОНОМЕТРИКА
значение результативного признака зависит от фактического значения факторного признака.
Преобразованная модель частичной корректировки у; = Х.с + + + (1 — X)yf l + (т|г + ле() — это краткосрочная функция
модели частичной корректировки: значения результативного и факторного признаков являются фактическими.
ВАЖНО!
Модель частичной корректировки аналогична модели Койка. Однако в модели частичной корректировки переменная не коррелирует с текущим значением ошибки е,. Оценки параметров такой модели асимптотически несмещенные и эффективные (с ростом объема выборки)
Тесты
1. Динамическая модель отличается от других видов эконометрических моделей тем, что в такой модели:
а) в данный момент времени учитывают значения входящих в нее переменных, относящихся к текущему моменту времени;
б) в данный момент времени учитывают значения входящих в нее переменных, относящихся к текущему и к предыдущему моментам времени.
2. Лаговые значения переменных непосредственно включены в модель:
а) авторегрессии;
б) адаптивных ожиданий;
в) с распределенным лагом;
г) неполной (частичной) корректировки.
3. Модели авторегрессии характеризуются тем, что они:
а) содержат в качестве факторных переменных лаговые значения результативного признака;
б) учитывают желаемое значение факторного признака в период (г + 1);
в) учитывают желаемое (ожидаемое) значение результативного признака в период (Г + 1).
196
Тема 7. Динамические эконометрические модели
4. Для некоторой модели адаптивных ожиданий в процессе преобразований получен механизм формирования ожиданий Ф+1 = 0,76х, + (1 0,76)х*. Как ожидаемое значение %* адаптируется к предыдущим реальным значениям:
а) не зависит от реальных значений;
б) медленнее;
в) быстрее?
5. В результате анализа фактических данных получена модель авторегрессии у, = 3 + Ю0у,_, + 20х, + е;. Общее абсолютное изменение результата в момент времени (? + 1) равно:
а) 2000;
б) 300;
в) 60;
г) 6000.
6. Результативный признак зависит от ожидаемых значений факторного признака:
а) в краткосрочной функции модели адаптивных ожиданий;
б) в долгосрочной функции модели частичной корректировки; в) в краткосрочной функции модели частичной корректировки; г) в долгосрочной функции модели адаптивных ожиданий.
7. Для некоторой модели частичной корректировки механизм формирования ожиданий получен в виде равенства у = у + г|. Это позволяет сделать вывод о том, что:
а) корректировка происходит быстрее;
б) корректировка происходит за один период;
в) корректировка не происходит;
г) корректировка происходит медленнее.
Глоссарий
А
Автокорреляция — явление взаимосвязи между рядами: первоначальным и этим же рядом, сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени.
Авторегрессионная модель — разновидность динамической эконометрической модели, которая содержит в качестве факторных переменных лаговые значения эндогенных переменных.
Авторегрессия — регрессия, учитывающая влияние предыдущих уровней ряда на последующие.
Адаптивных ожиданий модель — разновидность динамической эконометрической модели, в которой учитывается ожидаемое значение факторного признака х*+|.
Аддитивная модель временного ряда — модель, в которой все компоненты ряда динамики представлены как сумма этих составляющих yt = ut + vr + £t. Ее применяют в случае, когда амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется.
Б
Бета-коэффициент показывает, на какую часть своего среднего квадратического отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину своего среднеквадратического отклонения.
В
Верификация модели — проверка истинности модели, определение соответствия построенной модели реальному экономическому явлению.
198
Глоссарий
Временной лаг — сдвиг, временное смешение уровней временного ряда относительно первоначального положения на h моментов времени.
Временной ряд — ряд последовательно расположенных во времени числовых показателей, которые характеризуют уровень состояния и изменения явления или процесса.
Временные данные — набор сведений, характеризующий один и тот же объект за разные периоды времени.
Г
Графический метод — способ распознавания типа тренда, при котором временные интервалы откладывают на оси абсцисс, величины уровней — по оси ординат. При этом по каждой оси следует установить такой масштаб, чтобы ширина графика была примерно в 1,5 раза больше его высоты.
д
Двухшаговый метод наименьших квадратов — один из способов решения систем одновременных уравнений, который применяется как для идентифицируемых, так и для сверхидентифицируемых моделей.
Динамическая эконометрическая модель учитывает в данный момент времени значения входящих в нее переменных, относящихся к текущему и к предыдущему моменту времени.
Долгосрочный мультипликатор — показатель модели авторегрессии, который определяет общее абсолютное изменение результата в долгосрочном периоде.
И
Идентификация модели — проведение статистического анализа модели и оценивания качества ее параметров; установление соответствия между приведенной и структурной формами модели.
Идентифицируемая модель — разновидность структурной модели системы одновременных уравнений, в которой все структурные коэффициенты однозначно определяются через приведенные коэффициенты.
Интервальный ряд динамики — ряд последовательно расположенных показателей за определенный период.
199
ЭКОНОМЕТРИКА
К
Ковариация характеризует сопряженность вариации двух признаков и представляет собой статистическую меру взаимодействия двух случайных переменных.
Коинтеграция — причинно-следственная связь в уровнях двух или более временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости.
Корреляционная зависимость это связь, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует определенное математическое ожидание (среднее значение) зависимой переменной у.
Корреляционный анализ заключается в количественном определении тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).
Корреляция — это статистическая зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.
Косвенный метод наименьших квадратов — один из способов решения систем одновременных уравнений, основанный на получении состоятельных и несмещенных оценок параметров структурной формы модели по оценкам параметров приведенной формы.
Койка метод — оценивание эконометрических моделей с бесконечным числом лагов.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на один процент.
Криволинейная зависимость — это связь, при которой с возрастанием величины факторного признака возрастание (или убывание) результативного признака происходит неравномерно (выражаются уравнениями кривых линий).
Л '
Лаги Алмон — один из видов модели с распределенным лагом, который характеризуется полиномиальной структурой и конечной величиной лага.
Лаговые (экзогенные или эндогенные) — это такие переменные модели, которые датируются предыдущими моментами времени и н;ш),1Я1ся в уравнении с текущими переменными.
200
Глоссарий
М
Метод разности средних двух частей одного и того же ряда — один из критериев проверки на наличие тренда,_где проверяется гипотеза о существовании разности средних Но : К, = Y2. Для этого временной ряд разбивают на две равные или почти равные части. В качестве критерия проверки гипотезы принимают критерий Стьюдента. Если г > гтеор, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается; если /факт < /та6ч, то гипотеза На принимается.
Метод Фостера—Стюарта — критерий проверки на наличие тренда, где определяется наличие тенденции явления и тренд дисперсии уровней временного ряда. Часто этот метод используют в случае детального анализа временнбго ряда и построения по нему прогнозов. Вычисление критерия проводится поэтапно: проводится сравнительная оценка каждого уровня временного ряда со всеми предыдущими уровнями; вычисляют значения величин q и d, определяют критерий Стьюдента и сравнивают его с табличным значением. Величина d характеризует тенденцию изменения средней и имеет два предела: нижний и верхний. Величина q характеризует тенденцию изменения дисперсии временнбго ряда и принимает значения в пределах: 0 < q < п — 1.
Множественная корреляция — это зависимость между результативным признаком и двумя и более факторными признаками, включенными в исследование.
Многофакторная (множественная) зависимость — это связь между несколькими факторными признаками и результативным признаком (факторы действуют комплексно, т.е. одновременно и во взаимосвязи).
Множественная регрессия характеризует связь между результативным признаком и двумя и более факторными признаками.
Моментный ряд динамики — это ряд последовательно расположенных показателей на определенную дату.
Модель временного ряда — разновидность эконометрической модели, в которой результативный признак является функцией переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени.
Модель регрессионная с одним уравнением — имеет вид Y — Мх( Y) + + с, где результативный признак является функцией от факторных признаков Y = /(Д',, Д',, ..., Хк) + е. а объясненная составляющая flXt, Д',, Хк) представляет собой ожидаемое значение результата Y при заданных значениях факторов Д',, Д' ..., Xt.
201
ЭКОНОМЕТРИКА
Мультиколлинеарность — это тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель.
Мультипликативная модель временного ряда — модель, в которой факторы влияния представлены в виде произведения составляющих у= Такую модель применяют в случае, если про-
исходят существенные сезонные изменения.
Н
Неидентифицируемая модель — разновидность структурной модели системы одновременных уравнений, в которой структурные коэффициенты невозможно найти по приведенным коэффициентам.
Неполной (частичной) корректировки модель — разновидность динамической эконометрической модели, в которой учитывается ожидаемое значение результативного признака у,"+1.
О
Однофакторная (парная) зависимость — это связь между одним признаком-фактором и результативным признаком (при абстрагировании влияния других).
П
Параметризация — определение вида экономической модели, выражение в математической форме взаимосвязи между ее переменными, формулирование исходных предпосылок и ограничений модели.
Парная корреляция — это связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными).
Парный коэффициент регрессии показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак у, если переменную х увеличить на единицу измерения.
Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным.
Парный коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации переменной у учтена в модели и обусловлена влиянием на нее переменной х.
Поведенческие уравнения описывают взаимодействие между экзогенными и эндогенными переменными в структурной форме системы одновременных уравнений.
202
Глоссарий
Предопределенные переменные — лаговые и текущие экзогенные, а также — лаговые эндогенные переменные модели.
Приведенная форма модели — один из способов записи системы одновременных уравнений, в котором каждая эндогенная переменная определена в виде линейной функции от всех предопределенных переменных.
Проверка статистических гипотез о типе тренда — метод распознавания типа тренда, при котором проводится: сглаживание ряда уровней (скользящая средняя); вычисляют цепные абсолютные изменения А. = У^41 — К (для параболы — ускорения, для экспоненты — темпы роста); расчет по равным или примерно равным подпериодам средней величины того параметра, постоянство которого подтверждает выдвинутую гипотезу о типе тренда (средний абсолютный прирост — для прямой, среднее ускорение — для параболы, средний темп — для экспоненты); проверяется методом дисперсионного анализа или по /-критерию существенность различия средних значений параметра в разных подпериодах исходного ряда. Если различия средних признаются существенными, гипотеза о данном типе тренда отвергается и выдвигается следующая гипотеза в порядке усложнения: после отклонения прямой линии — об экспоненте; после отклонения экспоненты — о параболе; при отклонении параболы — о других типах линий.
Промежуточный мультипликатор — показатель модели авторегрессии, который определяет общее абсолютное изменение результата в момент времени (/ + 1).
Пространственные данные — набор сведений по разным объектам. взятым за один и тот же период времени.
Прямолинейная зависимость — это связь, при которой с возрастанием величины факторного признака происходит равномерное возрастание (или убывание) величин результативного признака.
Р
Регрессионный анализ заключается в определении аналитической формы связи, в которой изменение результативного признака обусловлено влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на результативный признак, принимается за постоянные и средние значения.
Регулярная компонента иг—составляющая временного ряда, которая характеризует общую тенденцию ряда.
203
ЭКОНОМЕТРИКА
Ряд динамики — это ряд последовательно (в хронологическом порядке) расположенных статистических показателей, изменение которых имеет определенную тенденцию развития изучаемого явления. Он содержит лаговую составляющую.
Ряд Фурье — в гармониках Фурье исходным рядом является не первичный ряд за несколько лет, а усредненные значения месячных уровней, в которых исключены тренд и случайная компонента.
С
Сверхидентифицируемая модель — разновидность структурной модели системы одновременных уравнений, в которой структурные коэффициенты, выраженные через приведенные коэффициенты, имеют два и более числовых значений.
Связные временные ряды — временные ряды, показывающие зависимость результативного признака от одного или нескольких факторных.
Сезонная волна — это графическое изображение полученных индексов сезонности.
Сезонная компонента vr — компонента временного ряда, которая характеризует внутригодичные колебания показателя. В общем виде является циклической составляющей.
Система независимых уравнений — одна из разновидностей систем эконометрических уравнений, в которой каждый результативный признак является функцией одной и той же совокупности факторов; набор факторов в каждом уравнении системы может варьировать в зависимости от изучаемого явления.
Система одновременных уравнений — одна из разновидностей эконометрических моделей, состоящая из тождеств и регрессионных уравнений, в которых наряду с факторными признаками включены результативные признаки из других уравнений системы.
Система рекурсивных уравнений — одна из разновидностей систем эконометрических уравнений, в которой результативный признак одного уравнения системы в каждом последующем уравнении является фактором наряду с одной и той же совокупностью факторов.
Смыкание рядов — объединение в один более длинный динамический ряд двух (или нескольких) рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методике или по разным границам территорий.
Статистическая зависимость это связь, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует множество значений зависимой переменной у, причем неизвестно заранее, какое именно значение примет у.
204
Глоссарий
«Смыкание рядов» — это объединение в один более длинный динамический ряд двух (или нескольких) рядов динамики, уровни которых исчислены по различной методологии или по различным границам территорий. Для смыкания необходимым условием является наличие за один период данных, рассчитанных по разной методологии (или в разных границах).
С распределенным лагом модель содержит наряду с текущими значениями факторных переменных их лаговые значения.
Структурная форма модели — один из способов записи системы одновременных уравнений, который отражает реальный экономический объект или явление и показывает, как изменение любой экзогенной переменной определяет значения эндогенной переменной модели.
Т
Тенденция автокорреляции — вид тенденции временного ряда, который характери зует связь между отдельными уровнями ряда динамики.
Тенденция дисперсии — вид тенденции временного ряда, который характеризует направление изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда.
Тенденция среднего уровня — вид тенденции временного ряда, который выражается обычно с помощью математического уравнения линии, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. Уравнение тенденции имеет вид: Yt = ft + e.z. Смысл этой функции заключается в том, что значения тренда в отдельные моменты времени выступают математическими ожиданиями ряда динамики.
Тождество — одна из разновидностей структурных уравнений модели, которая устанавливает соотношение между эндогенными переменными; не содержит случайных составляющих и структурных коэффициентов.
Тренд — это основная достаточно устойчивая тенденция во временнбм ряду, более или менее свободная от случайных колебаний.
Ф
Функциональная зависимость -- это связь, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует точно определенное значение зависимой переменной у.
205
ЭКОНОМЕТРИКА
Ч
Частная корреляция — это зависимость между результативным и одним факторным признаками или двумя факторными признаками при фиксированном значении других факторных признаков.
Частные показатели временного ряда характеризуют явления изолированно, односторонне.
Э
Экзогенные (независимые) — это переменные, значения которых задаются извне модели.
Эконометрика — это наука, предметом изучения которой является количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.
Эндогенные (зависимые) — это переменные, значения которых определяются внутри модели.
Ответы к тестам
ТЕМА 1. Определение эконометрики
1 б); 2 б); 3 г); 4 в); 5 в); 6 б); 7 б); 8 б), г); 9 б); 10 а).
ТЕМА 2. Парная регрессия и корреляция
1 б); 2 б), в); 3 а); 4 в); 5 в); 6 а); 7 б); 8 г); 9 г); 10 а); 11 а), б), в); 12 в); 13 б); 14 б); 15 а); 16 г); 17 в); 18 а); 19 б); 20 в), г).
ТЕМА 3. Множественная регрессия и корреляция
1 б); 2 а); 3 в); 4 в); 5 а); 6 б); 7 в); 8 в); 9 б); 10 а).
ТЕМА 4. Система одновременных уравнений
1 а), б), г); 2 б); 3 а), в); 4 б); 5 а), в); 6 б); 7 а); 8 в); 9 (1) г), (2) в), (3) б), (4) а); 10 в); 11 г); 12 в); 13 б); 14 в); 15 б); 16 в); 17 в); 18 б); 19 б); 20 а); 21 а), в).
ТЕМА 5. Временные ряды. Основные типы трендов и выявление копонент ряда
1 б); 2 б); 3 а); 4 а); 5 а); 6 б), г); 7 б); 8 в); 9 б); 10 а); 11 а); 12 в); 13 г); 14 б); 15 а); 16 б).
ТЕМА 6. Автокорреляция временнь'гх рядов
1 а); 2 б), в); 3 а), б); 4 г); 5 а), в), г); 6 а), б), в); 7 б).
ТЕМА 7. Динамические эконометрические модели
1 б); 2 а), в); 3 а); 4 в); 5 а); 6 г); 7 в).
Литература
Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: исследование зависимостей: Справ, изд. / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, А.Д. Мешал-кин: под ред. С.А. Айвазяна. М.: Финансы и статистика, 1985.
Афанасьев В.Н., Юзбашев М.И. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2001.
Бородич С.А. Эконометрика: Учеб, пособие. Мн.: Новое знание, 2001.
Гатаулин А.М. Основы математической статистики: Учеб, пособие для дистанционного обучения. М., 2001.
Доугерти К. Введение в эконометрику: Учебник. 2-е изд. / Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 2004.
Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2000.
Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования: Учеб, пособие. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.
Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976.
Крастинь О.П. Изучение статистических зависимостей по многолетним данным. М.: Финансы и статистика, 1981.
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.
Кобелев Н.В. Практика применения экономико-математических методов и моделей: Учеб.-практ. пособие. М.: ЗАО «Финстатин-форм», 2000.
Россия в цифрах 2005. М.: Госкомстат России, 2005.
Ряузов Н.Н. Общая теория статистики. М.: Статистика, 1980.
208
Литература
Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой. 3-е изд., перераб. М.: Финансы и статистика, 1999.
Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика: Учебник. М.: Экзамен, 2003.
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М, 1998.
Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1977.
Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2002.
Приложения
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Распределение Стьюдента (/-распределение)
У Вероятность = St(i) =
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001
1 0.158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619
2 0.142 0,289 0.445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598
3 0,137 0,277 0.424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2.353 3,182 4,541 5,841 12,941
4 0,134 0,271 0.414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610
5 0,132 0,267 0.408 0,559 0,727 0,920 1,156 1.476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859
6 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5.959
7 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1.119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,405
8 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041
9 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781
10 0,129 0,260 0,327 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,583
11 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437
12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318
13 0,128 0.259 0.394 0,538 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221
14 0.128 0,258 0.393 0,537 0,692 0,868 1.076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140
15 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073
16 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015
17 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965
18 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922
19 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2.861 3,833
20 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850
21 0,127 0,257 0,391 0,532 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819
22 0.127 0,256 0,390 0,532 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2.508 2,819 3,792
23 0,127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,868 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,767
24 0,127 0,256 0,390 0,531 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,402 2,797 3,745
25 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725
26 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2.779 3,707
27 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,855 1,057 1.314 1,703 2,052 2,473 2,771 3.690
28 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674
29 0,127 0.256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659
30 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646
40 0,126 0,255 0.388 0,529 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551
60 0,126 0,254 0,387 0,527 0,679 0,848 1,046 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460
120 0,126 0,254 0,386 0,526 0,677 0,845 1,041 1,289 1.658 1,980 2,358 2,617 3,373
ею 0,126 0,253 0,385 0,524 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291
Приложения
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Распределение Фишера-Снедекора (^-распределение)
Значение F^, удовлетворяющее условию Р (F> Fri&). Первое значение соответствует вероятности 0,05; второе — вероятности 0,01 и третье — вероятности 0,001; — число степеней свободы числи-
теля; — знаменателя
ЭКОНОМЕТРИКА
\/2 1 2 3 4 5 6 8 12 24 ос t
1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 238,9 243,9 249,0 253,3 12,71
4052 4999 5403 5625 5764 5859 5981 6106 6234 6366 63,66
406523 500016 536700 562527 576449 585953 598149 610598 623432 636535 636,2
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,37 19,41 19,45 19,50 4,30
98,49 99,01 99,17 99,25 99,30 99,13 99,36 99,42 99,46 99.50 9,92
998,46 999,00 999,20 999,20 999,20 999,20 999.40 999,60 999,40 999.40 31,00
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,84 8,74 8,64 8,53 3,18
34,12 30,81 29,46 28,71 28,24 27,91 27,49 27,05 26,60 26,12 5,84
67,47 148,51 141,10 137,10 134,60 132,90 130,60 128,30 125.90 123,50 12,94
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,91 5,77 5,63 2,78
21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,80 14,37 13,93 13,46 4,60
74,13 61,24 56.18 5343 51,71 50,52 49,00 47,41 45,77 44,05 8,61
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,68 4,53 4,36 2,57
16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,27 9,89 9,47 9,02 4,03
47,04 36,61 33,20 31,09 20,75 28,83 27,64 26,42 25,14 23,78 6,86
6 5,99 5.14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,00 3,84 3,67 2,45
13,74 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,10 7,72 7,31 6,88 3,71
35,51 26,99 23,70 21,90 20,81 20,03 19,03 17,99 16,89 15,75 5,96
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,57 3,41 3,23 2,36
12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,84 6,47 6,07 5,65 3,50
29,22 21,69 18,77 17,19 16,21 15,52 14,63 13,71 12,73 11,70 5,40
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,28 3,12 2,99 2,31
11,26 8,65 7,59 7,10 6,63 6,37 6,03 5,67 5,28 4,86 3,36
25,42 18,49 15,83 14,39 13,49 12,86 12,04 11,19 10,30 9,35 5,04
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,07 2,90 2,71 2,26
10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,47 5,И 4,73 4,31 3,25
22,86 16,39 13,90 12,56 11,71 11,13 10,37 9,57 8,72 7,81 4,78
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,91 2,74 2,54 2,23
10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,06 4,71 4,33 3,91 3,17
21,04 14,91 12,55 11,28 10,48 9,92 9,20 8,45 7,64 6,77 4,59
Приложения
214
\уг F>\ 1 2 3 4 5 6 8 12 24 ею t
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 2,95 2,79 2,61 2,40 2,20
9,65 7,20 6,22 5,67 5,32 5,07 4,74 4,40 4,02 3,60 3,11
19.69 13,81 11,56 10.35 9,58 9,05 8,35 7,62 6,85 6,00 4,49
12 4.75 3,88 3,49 3,26 3,H 3,00 2,85 2,69 2,50 2,30 2,18
9,33 6,93 5,95 5.41 5,06 4,82 4,50 4,16 3,78 3,36 3,06
18,64 12,98 10,81 9,63 8,89 8,38 7,71 7,00 6,25 5,42 4,32
13 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,77 2,60 2,42 2,21 2,16
9,07 6,70 5,74 5,20 4,86 4,62 4,30 3,96 3,59 3,16 3,01
17,81 12,31 10,21 9,07 8,35 7,86 7,21 6,52 5,78 4,97 4,12
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,53 2,35 2,13 2,14
8,86 6,51 5,56 5,03 4,69 4,46 4,14 3,80 3,43 3,00 2.98
17,14 11,78 9,73 8,62 7,92 7,44 6,80 6,13 5,41 4,60 4,14
15 4,45 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,48 2,29 2,07 2,13
8,68 6,36 5,42 4,89 4.56 4,32 4,00 3,67 3,29 2,87 2,95
16,59 11,34 9,34 8,25 7,57 7,09 6,47 5,81 5,10 4,31 4,07
КОНОМЕТРИКА
16 4,41 3.63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,42 2,24 2,01 2,12
8,53 6,23 5,29 4.77 4,44 4,20 3,89 3,55 3,18 2,75 2,92
16,12 10,97 9,01 7,94 7,27 6,80 6,20 5,55 4,85 4,06 4,02
17 4.45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,55 2,38 2,19 1,96 2,П
8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,79 3,45 3,08 2,65 2,90
15,72 10,66 8,73 7.68 7,02 6,56 5,96 5,32 4,63 3,85 3,96
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,34 2,15 1,92 2,10
8,28 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,71 3,37 3,01 2,57 2.88
15.38 10,39 8,49 7,46 6,81 6.35 5,76 5,13 4,45 3,67 3,92
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,48 2,31 2.11 1,88 2,09
8,18 5,93 5,01 4,50 4.17 3,94 3,63 3,30 2,92 2.49 2,86
15,08 10,16 8,28 7,26 6,61 6,18 5,59 4,97 4,29 3,52 3,88
20 4,35 3.49 3,10 2,87 2,71 2.60 2,45 2,28 2,08 1,84 2.09
8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,56 3,23 2,86 2,42 2,84
14,82 9,95 8,10 7.10 6,46 6,02 5,44 4,82 4,15 3,38 3,85
21 4.32 3,47 3,07 2,84 2,68 2.57 2,42 2,25 2,05 1,82 2,08
8,02 5.78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,51 3,17 2,80 2,36 2.83
14,62 9,77 7,94 6,95 6,32 5.88 5,31 4,70 4,03 3,26 3,82
Приложения
Продолжение табл.
\К2 Г>\ 1 2 3 4 5 6 8 12 14 ею t
22 4,30 3,44 3,05 2.82 2,66 2,55 2,40 2,23 2,03 1,78 2,07
7,94 5,72 4,82 4,31 3,99 3,75 3,45 3,12 2,75 2,30 2,82
14,38 9,61 7,80 6,87 6,19 5,76 5,19 4,58 3,92 3,15 3,79
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,38 2,20 2,00 1,76 2,07
7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,41 3,07 2,70 2,26 2,81
14,19 9.46 7,67 6,70 6,08 5,56 5,09 4,48 3,82 3,05 3,77
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,36 2,18 1,98 1,73 2,06
7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,36 3,03 2,66 2,21 2,80
14,03 9,34 7,55 6,59 5.98 5,55 4,99 4,39 3,84 2,97 3,75
25 4,24 3,38 2,99 2,76 2,60 2,49 2,34 2,16 1,96 1,71 2,06
7,77 5,57 4,68 4,18 3,86 3,63 3,32 2,99 2,62 2,17 2,79
13,88 9,22 7.45 6,49 5,89 5,46 4,91 4,31 3,66 2,89 3,72
26 4,22 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,32 2,15 1,95 1,69 2,06
7,72 5,53 4,64 4.14 3,82 3.59 3,29 2,96 2,58 2,13 2,78
13,74 9,12 7,36 6,41 5,80 5.38 4,83 4,24 3,59 2,82 3,71
ЭКОНОМЕТРИКА
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,30 2,13 1,93 1.67 2,05
7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,26 2,93 2,55 2,10 2.77
13,61 9,02 7,27 6,33 5,73 5,31 4,76 4,17 3,52 2,76 3,69
28 4,19 3,34 2,95 2,71 2,56 2,44 2,29 2,12 1,91 1,65 2,05
7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,23 2,90 2,52 2,06 2,76
13,50 8,93 7,18 6,25 5,66 5,24 4,69 4,Н 3,46 2,70 3,67
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,54 2,43 2,28 2,10 1,90 1.64 2,05
7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,20 2,87 2,49 2,03 2,76
13,39 8,85 7,12 6,19 5,59 5,18 4,65 4,05 3,41 2,64 3,66
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,09 1,89 1,62 2,04
7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,17 2,84 2,47 2,01 2,75
13,29 8,77 7,05 6,12 5,53 5,12 4,58 4,00 3,36 2,59 3.64
60 4,00 3,15 2,76 2,52 2,37 2,25 2,10 1,92 1,70 1,39 2,00
7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,82 2,50 2,12 1,60 2,66
11,97 7,76 6,17 5,31 4,76 4,37 3,87 3,31 2.76 1,90 3,36
оо 3,84 2,99 2,60 2,37 2,21 2,09 1,94 1,75 1,52 1,03 1,96
6,64 4,60 3,78 3,32 3,02 2,80 2,51 2,18 1,79 1,04 2,58
10,83 6.91 5,42 4,62 4,10 3,74 3,27 2,74 2,13 1,05 3,29
Приложения
218
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Критические границы отношения R/S
N Нижние границы Верхние границы
а = 0,05 а = 0,10 а = 0,05 а = 0,10
8 2,50 2.59 3,308 3,399
10 2,67 2,76 3,57 3,685
12 2,80 2,90 3,78 3,91
14 2,92 3,02 3,95 4,09
16 3.01 3,12 4,09 4,24
18 3,10 3,21 4,21 4,37
20 3,18 3,29 4,32 4,49
25 3,34 3.45 4,53 4,71
30 3,47 3,59 4,70 4,89
35 3,58 3,70 4,84 5,04
40 3,67 3,79 4,96 5,16
45 3,75 3,88 5,06 5,26
50 3,83 3,95 5,14 5,35
ЭКОНОМЕТРИКА
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Критические точки для статистики Колмогорова Dn
219
Объем выборки и Уровень значимости
0,1 0,05 0,02 0,01
1 0,95 0,98 0,99 0,995
2 0,78 0,84 0,9 0,93
3 0.64 0,71 0,78 0,83
4 0,57 0,62 0,69 0,73
5 0,51 0,56 0,62 0,67
6 0,47 0,52 0,58 0,62
7 0,44 0,48 0,54 0,58
8 0,41 0,45 0,51 0,54
9 0,39 0,43 0,48 0,51
Приложения
220
Окончание табл.
Объем выборки л Уровень значимости
0,1 0,05 0,02 0,01
10 0,07 0,41 0,46 0,49
11 0,35 0,39 0,44 0,47
12 0,34 0,38 0,42 0,45
13 0,33 0,36 0,4 0,43
14 0,31 0,35 0,39 0,42
15 0,3 0,34 0,38 0,4
16 0,29 0,33 0,37 0,39
17 0,29 0,32 0,36 0,38
18 0,28 0,31 0,34 0,37
19 0,27 0,3 0,34 0,36
20 0,26 0,29 0,33 0,35
ЭКОНОМЕТРИКА
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Критические значения корреляционного отношения т]2 и коэффициента детерминации R2 при уровне значимости а = 0,05
Приложения
1 2 3 4 5 6 8 10 20
3 0,771 0,865 0,903 0,924 0,938 0,947 0,959 0,967 0,983
4 0,658 0,776 0,832 0,865 0.887 0,902 0,924 0,937 0,967
5 0,569 0,699 0,764 0,806 0,835 0,854 0,885 0,904 0,948
6 0,5 0,632 0,704 0,751 0,785 0,811 0,847 0,871 0,928
7 0,444 0,575 0,651 0,702 0,739 0,768 0,81 0,839 0,908
8 0,399 0,527 0,604 0,657 0,697 0,729 0,775 0,807 0,887
9 0,362 0,488 0,563 0,628 0,659 0,692 0,742 0,777 0,867
10 0,332 0,451 0,527 0,582 0,624 0,659 0,711 0,749 0,847
11 0,306 0,42 0,495 0,55 0,593 0,628 0,682 0,722 0,828
12 0,283 0,394 0,466 0,521 0,564 0,6 0,655 0,696 0,809
14 0,247 0,345 0,417 0,471 0,514 0,55 0,607 0,65 0,773
16 0,219 0,312 0,378 0,429 0,477 0,507 0,564 0,609 0,74
18 0,197 0,283 0,348 0,394 0,435 0,47 0,527 0,573 0,709
20 0,179 0,259 0,318 0,364 0,404 0,432 0,495 0,54 0,68
Окончание табл.
А, \ 1 2 3 4 5 6 8 10 20
22 0.164 0,238 0,294 0,339 0,377 0,41 0,466 0,511 0,653
24 0,151 0,221 0.273 0,316 0,353 0,385 0,44 0,484 0.628
26 0,14 0,206 0,256 0,297 0,332 0,363 0,417 0,461 0,605
28 0,13 0,193 0,24 0,279 0,314 0,344 0,396 0,439 0,583
30 0,122 0,182 0,227 0,264 0.297 0.326 0,373 0,419 0.563
32 0.115 0,171 0,214 0,25 0,282 0,31 0,36 0,401 0,544
34 0.108 0.162 0,203 0.238 0.268 0,296 0,344 0,384 0,526
36 0,102 0,153 0,102 0,226 0,256 0.282 0,329 0,368 0,509
38 0.097 0,146 0,184 0,218 0,245 0,271 0.316 0,355 0,493
40 0.093 0.139 0,176 0,207 0,234 0,259 0,304 0,342 0,479
50 0.075 0,113 0,143 0,17 0,194 0,216 0,254 0,288 0,416
60 0.063 0,195 0,121 0,144 0.165 0,184 0.218 0,249 0,368
80 0.47 0.072 0.093 0,11 0,127 0,142 0,17 0,196 0,298
100 0,038 0,058 0,075 0,09 0.103 0,116 0,14 0,161 0,251
120 0.032 0,049 0,063 0,075 0.087 0,098 0.119 0,137 0,217
200 0.019 0.03 0.038 0.046 0,053 0,06 0,073 0,086 0,139
400 0.01 0,015 0,019 0,023 0,027 0.031 0,038 0,044 0.074
ЭКОНОМЕТРИКА
Учебное издание
Гореева Надежда Михайловна Демидова Лариса Николаевна Клизогуб Людмила Михайловна
Орехов Сергей Александрович Сердюкова Наталья Александровна Швецова Светлана Тимофеевна
ЭКОНОМЕТРИКА
Директор редакции И.Е. Федосова Ответственный редактор В.М. Щербакова Художественный редактор Н.М. Биржаков
Художник Р.В. Харламов
Технический редактор Л.А. Зотова Компьютерная верстка А.И. Попов Корректор В. И. Викулкина
ООО «Издательство «Эксмо»
127299, Москва, ул. Клары Цеткин, д. 18/5. Тел 411 -68-86, 956-39-21.
Home раде: www.eksmo.ru E-mail: lnfo@eksmo.ru
Подписано в печать 28 05.2008.
Формат 60х90У16. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 14,0.
Тираж 3000 экз. Заказ 3758
Отпечатано с готовых файлов заказчика в ОАО «ИПК «Ульяновский Дом печати» 432980, г Ульяновск, ул. Гончарова, 14