/
Автор: Николенко С.И.
Теги: экономические науки основные понятия стоимость капитал фонды теория денег и денежного обращения экономика финансы экономическая теория учебное пособие
ISBN: 978-5-9963-0014-3
Год: 2009
Текст
ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Теория экономических механизмов
(mechanism design theory) — быстро-
развивающаяся и относительно мо-
лодая область экономики, направ-
ленная на создание механизмов вза-
имодействия между эгоистичными
агентами. За работы, заложившие ос-
новы этой теории, Лео Гурвицу, Род-
жеру Майерсону и Эрику Маскину в
2007 г. была присуждена премия по
экономике Альфреда Нобеля. Теория
экономических механизмов широко
используется для проведения госу-
дарственных аукционов (аукционы на
разработку месторождений, ЗЭ-аук-
ционы) и онлайн-аукционов; есть и
неэкономические применения. Как
наука теория экономических меха-
низмов использует методы теории
вероятностей, математической ста-
тистики, теории игр, теории оптими-
зации и теоретической информатики;
это мультидисциплинарная область,
в которой находят применение идеи
из самых разных областей математи-
ки и экономики. Книга представляет
собой введение в теорию экономиче-
ских механизмов с изложением ос-
пенных классических результатов в
данной области; она содержит много
ишсросных примерен и обсуждений,
но при эюм не отклоняется от МаТе-
МаТИЧеСКОИ cipoi оши.
Сергей Николенко
ISBN 978-5-9963-0014-3
7 7В 4776 3UU Id
оснопы экономики
И МЕНЕДЖМЕНТА
<), И» Никоцонко
ТЕОРИЯ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ
МЕХАНИЗМОВ
Об авторе
Николенко Сергей Игоревич
В 2005 году окончил кафедру высшей алгебры математико-механи-
ческого факультета Санкт-Петербургского Государственного Универси-
тета (специальность «Математика», руководитель дипломной работы —
д. ф.-м. н., проф. Н. А. Вавилов). В настоящее время (сентябрь 2008) —
аспирант Санкт-Петербургского отделения Математического института
им. В. А. Стеклова (ПОМИ) РАН (научный руководитель — к. ф.-м. н.
Э. А. Гирш).
Основные области научных и преподавательских интересов — тео-
ретическая информатика и криптография (к этой области относится и
диссертация), высшая алгебра и алгебраическая геометрия, машинное
обучение, методы вероятностного представления знаний (в 2006 году
вышла подробная монография «Байесовские сети: логико-вероятност-
ный подход», написанная в соавторстве с А. Л. Тулупьевым и А. В.
Сироткиным), теория экономических механизмов.
Автор более 25 научных публикаций. Имеет значительный опыт пре-
подавания (Санкт-Петербургский государственный университет инфор-
мационных технологий, механики и оптики, занятия «PDMI Computer
Science Club» в ПОМИ РАН, Академический физико-технологический
университет), а также опыт практической научной работы (в настоящее
время — научный сотрудник петербургского «Центра речевых техноло-
гий», где занимается проблемами распознавания речи). Автор несколь-
ких научно-популярных статей в журналах «Компьютерра» и «Знание-
сила».
4
Лекции
Лекция 1. Теория игр..................................... 8
Лекция 2. Введение в дизайн механизмов...................25
Лекция 3. Принцип выявления предпочтений.................48
Лекция 4. Теорема об эквивалентности доходности..........69
Лекция 5. Эффективные и оптимальные механизмы............81
Лекция 6. Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта.........105
Лекция 7. Двусторонняя торговля и теорема Вильямса......128
Лекция 8. Теорема Робертса..............................138
Лекция 9. Аукционы с зависимыми ценностями..............162
Лекция 10. Доходы аукционов с зависимыми ценностями......175
Лекция 11. Принцип взаимосвязи...........................188
Литература...............................................201
5
Основы экономики и менеджмента
С.И. Николенко
ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ
МЕХАНИЗМОВ
Учебное пособие
Интернет-Университет
Информационных Технологий
www.intuit.ru
БИНОМ.
Лаборатория знаний
www.lbz.ru
Москва
2009
УДК 330.161(075.8)
ББК 65.012.12я73-1
Н63
Николенко С. И.
Н63 Теория экономических механизмов: учебное пособие /
С.И. Николенко — М.: ИНТУИТРУ: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2009. — 207 с.: ил., табл. — (Серия «Основы экономики и
менеджмента).
ISBN 978-5-9963-0014-3 (БИНОМ.Л3)
Теория экономических механизмов (mechanism design theory) — быстроразвива-
ющаяся и относительно молодая область экономики, направленная на создание меха-
низмов взаимодействия между эгоистичными агентами. Книга представляет собой
введение в теорию экономических механизмов с изложением основных классических
результатов в данной области; она содержит много интересных примеров и обсужде-
ний, но при этом не отклоняется от математической строгости.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов экономических и мате-
матических специальностей, а также исследователей, интересующихся тео-
рией игр и теоретическими вопросами экономики.
УДК 330.161(075.8)
ББК65.012.12я73-1
Полное или частичное воспроизведение или размножение каким-либо
способом, в том числе и публикация в Сети, настоящего издания допускается
только с письменного разрешения Интернет-Университета
Информационных Технологий.
По вопросам приобретения обращаться:
«БИНОМ. Лаборатория знаний»
Телефон (499) 157-1902, (499) 157-5272,
e-mail: Lbz@aha.ru, http://www.Lbz.ru
© Интернет-Университет
Информационных
Технологий, 2009
ISBN 978-5-9963-0014-3 (БИНОМ.ЛЗ)
© БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2009
О проекте
Интернет-Университет Информационных Технологий — это первое
в России высшее учебное заведение, которое предоставляет возможность
получить дополнительное образование во Всемирной сети. Web-сайт уни-
верситета находится по адресу www.intuit.ru.
Мы рады, что вы решили расширить свои знания в области компью-
терных технологий. Современный мир — это мир компьютеров и инфор-
мации. Компьютерная индустрия — самый быстрорастущий сектор эконо-
мики, и ее рост будет продолжаться еще долгое время. Во времена жесткой
конкуренции от уровня развития информационных технологий, достиже-
ний научной мысли и перспективных инженерных решений зависит успех
нс только отдельных людей и компаний, но и целых стран. Вы выбрали са-
мое подходящее время для изучения компьютерных дисциплин. Профес-
сионалы в области информационных технологий сейчас востребованы
везде: в науке, экономике, образовании, медицине и других областях, в го-
сударственных и частных компаниях, в России и за рубежом. Анализ дан-
ных, прогнозы, организация связи, создание программного обеспечения,
построение моделей процессов — вот далеко не полный список областей
применения знаний для компьютерных специалистов.
Обучение в университете ведется по собственным учебным планам,
разработанным ведущими российскими специалистами на основе между-
народных образовательных стандартов Computer Curricula 2001 Computer
Science. Изучать учебные курсы можно самостоятельно по учебникам или
на сайте Интернет-Университета, задания выполняются только на сайте.
Для обучения необходимо зарегистрироваться на сайте университета.
Удостоверение об окончании учебного курса или специальности выдает-
ся при условии выполнения всех заданий к лекциям и успешной сдачи
итогового экзамена.
Книга, которую вы держите в руках, — очередная в многотомной
серии «Основы экономики и менеджмента», выпускаемой Интернет-
Университетом Информационных Технологий.
Добро пожаловать
в Интернет-Университет Информационных Технологий!
Анатолий Шкред
anatoli@shkred.ru
Учебное издание
Николенко Сергей Игоревич
ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ
Учебное пособие
Литературный редактор С. Перепелкина
Корректор ТО. Голомазова
Компьютерная верстка С. Николенко
Дизайн обложки М. Автономова
Подписано в печать 25.I1.2008. Формат 60x90 '/ю-
Гарнитура Таймс. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 13. Тираж 1000 экз. Заказ № 460
ООО «ИНТУИТ.ру»
Интернет-Университет Информационных Технологий, www.intuit.ru
Москва, Электрический пер., 8, стр.З.
E-mail: admin@intuit.ru, http://www.intuit.ru
ООО «БИНОМ. Лаборатория знаний»
Москва, проезд Аэропорта, д. 3
Телефон: (499) 157-1902, (499) 157-5272
E-mail: Lbz@aha.ru, http://www.Lbz.ru
При участии ООО «ЭМПРЕЗА»
Отпечатано с готовых файлов заказчика в ОАО «ИПК
«Ульяновский Дом печати». 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
Курс
Теория экономических механизмов
Лекция 1. Теория игр
1.1. Основные концепции
Прежде чем начинать знакомство с теорией экономических механиз-
мов, придется посвятить некоторое время теории, которая совершенно
необходима для понимания всего происходящего в дизайне механизмов.
Речь в этой вводной главе пойдёт о теории игр.
Теория игр — наука молодая, хотя, конечно, и не такая молодая, как
теория экономических механизмов. Первые шаги на пути к теории игр
были сделаны в XVIII веке, первая опубликованная работа относится к
первой половине XIX века — зто знаменитая книга Антуана Огюстена
Курно [14]. Примечательно, что много важных замечаний, относящих-
ся к теории игр, были сделаны биологами, рассматривавшими теорию
естественного отбора и поведения животных; поведение было, разумеет-
ся, эгоистическим. Классический труд Рональда Фишера [19] содержит
многие методы теории игр, а уже после математического оформления
этой теории эстафету принял Джон Майнард Смит [46]. Математически
же теорию игр оформил Джон фон Нейман: сначала в статьях 1920-х
годов [61], а затем в книге с Оскаром Моргенштерном [62], с которой,
наверное, и нужно вести историю теории игр как развитого математи-
ческого аппарата. Учебники по теории игр мы здесь пересказывать не
будем, цель этой книги совершенно другая; мы просто изложим вкратце
некоторые вещи из теории игр, без которых нам совсем уж не обойтись.
А если читатель заинтересуется теорией игр всерьез, рекомендуем ему
учебники [20,23,64,65,79].
Дадим формальное определение игр, которые мы будем рассматри-
вать. Кстати, шахматы или даже го не будут подпадать под это опре-
деление. Что и логично: мы тут математикой занимаемся, а не эффек-
тивными алгоритмами; а с математической точки зрения (да и с точки
зрения теории сложности алгоритмов, асимптотической по своей при-
роде) шахматы или го совершенно неинтересны: на конечной доске с
конечной продолжительностью партии и с полной информацией вы-
игрышную (или беспроигрышную, если выигрышной нет) стратегию
можно «легко» подсчитать простым перебором вариантов.
8
Лекция 1
Теория игр
Игры, которые будем рассматривать мы, тоже обычно подразумева-
ют конечное (или в теории непрерывное, но в реальности всё равно ко-
нечное, как множество возможных цен, которые игрок может объявить
на аукционе) множество возможных стратегий. Но при этом информа-
ция принципиально будет неполной; об этом и вся теория. В нашем
понимании стратегической игры все игроки будут действовать одно-
временно, и выигрыш каждого будет зависеть от того, какие стратегии
изберут все остальные.
Определение 1.1. Стратегическая игра — это тройка
, {Sikei, {uiJiei),
где обозначения расшифровываются следующим образом:
1. Т — {1,..., N} — конечное множество игроков.
2. {SJvzj — множество доступных игрокам действий, где S< —
множество действий, доступных игроку г. Будем обозна-
чать через Si е Si действие игрока г, а через s_i = [sj]j^i —
вектор действий всех игроков, кроме I1. Через S = $г
будем обозначать множество всех векторов действий иг-
роков, через S_i = — множество векторов действий
всех игроков, кроме г. Вектор (sj,..., sn) = (si, s_i) e S будем
называть профилем действий, или исходом.
S. {uJiei — множество функций выплат щ : S —> R.
Нас будут больше интересовать не действия, а стратегии. Страте-
гия — зто то, как агент выбирает своё действие. В началах теории игр
«то одно и то же, но в теории экономических механизмов мы будем рас-
сматривать стратегии, представляющие собой вероятностные распреде-
ления на действиях или функции, которые принимают во внимание еще
и какую-либо дополнительную информацию.
Есть и ещё одно важное замечание: в течение этой лекции мы пред-
полагаем, что у участников есть предпочтения по поводу исходов игры
и эти предпочтения можно выразить при помощи функций гц.: S —> R.
Это далеко не всегда так, и в лекции 6 мы еще поговорим об интересных
1 Вообще, обозначения вида (•)_, в этой книге встречаться будут повсеместно —
привыкайте!
9
Курс Теория экономических механизмов
эффектах, возникающих, когда предпочтения так выразить нельзя. Но
для базовой теории игр придется это предположение всё-таки сделать.
Если множество стратегий S конечно, то множество исходов игры
можно выразить bJ-мерной матрицей, в ячейке которой с координатами
s = (si,... ,sN) стоят исходы (ui(s).un(s)). В случае игры с двумя
игроками эта конструкция превращается в самую обычную матрицу.
Пример 1.1. Первый пример возьмем совсем уж из детства — рассмот-
рим классическую игру «камень-ножницы-бумага»2. Камень побежда-
ет ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага — камень. У игры
получается вот какая матрица (где 1 означает победу того игрока, чьи
стратегии выписаны слева, а —1 — победу игрока, стратегии которого
стоят в первой строке):
л
и
а>
5
rt
К
&
S
И
*
о
К
Камень
Ножницы
Бумага
О 1
-1 О
1 -1
3
!>>
И
"-Г
1
о
Конец примера 1.1.
Пример 1.2. В качестве второго примера рассмотрим классическую
игру полковника Влотто [70,79]. Полковник Влотто должен распре-
делить свои силы (М солдат) между несколькими участками поля боя
(S участков). Его противник должен сделать то же самое (количество
его солдат может отличаться). Выигрывает тот, кто победит на боль-
шем количестве участков боя.
Например, пусть участков боя в игре три, причём и Влотто, и его
противник располагает тремя солдатами. Тогда множество стратегий у
обоих участников сражения состоит из следующих элементов:
(3,0,0), (2,1,0), (2,0,1), (1,2,0), (1,1,1),
(1,0,2), (0,3,0), (0,2,1), (0,1,2), (0,0,3).
2 Хотя насчёт детства ещё можно поспорить: в США вот недавно появилась
аж целая ассоциация, посвящённая игре в «Rock, Paper, Scissors» под логичным
названием USARPS. Призы неплохие — можете попробовать свои силы на сайте
http://www.usarps.сот/.
10
Лекция 1
Теория игр
В результате у этой игры получается вот какая матрица. Здесь стра-
тегии Влотто изображены слева, противника — сверху; 1 означает, что
победил Влотто, —1 — что противник, 0 — случилась ничья.
(3,0,0) о (2,0,1) (1.2,0) (L‘l‘ L) (1,0,2) о го с£ (0,2,1) гТ т— сГ (0,0,3)
(3,0,0) 0 0 0 0 -1 0 0 -1 -1 0
(2,1,0) 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1
(2,0,1) 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0
(1,2,0) 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 1
(1,1,1) 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1
(1.0,2) 0 -1 0 0 0 0 1 1 0 0
(0,3,0) 0 0 -1 0 -1 -1 0 0 0 0
(0,2,1) 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0
(0,1,2) 1 0 1 -1 0 0 0 0 0 0
(0,0,3) 0 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0
Конец примера 1.2.
Отметим, что в играх из примеров 1.1 и 1.2 прибыль одного участ-
ника строго равнялась убытку второго. Такие игры называются играми
с нулевой суммой] формально говоря, в таких играх для любого про-
филя действий участников s € S верно, что Jlili ut(s) = 0.
В дальнейшем нас будут интересовать не только игры с конечными
множествами стратегий, но и игры с непрерывными такими множества-
ми. Возьмём классический пример — конкуренцию по Курно (Cournot
competition).3
Пример 1.3. Рассмотрим рынок некоего продукта, на котором нахо-
дятся ровно две фирмы: I — {1,2}. Стратегия каждого из участников —
количество продукта, которое он производит: е [0, оо).
Прибыль каждого участника в результате игры — это его общий
доход за вычетом себестоимости:
Vi(si, S2) =Sip(Si + S2) -CiSi,
3 Этот пример действительно восходит к классику экономической теории Антуану
Огюстену Курно [14].
11
Курс
Теория экономических механизмов
Рис. 1.1. Конкуренция по Курно: функции оптимального ответа.
где p(q) — функция, по которой определяется цена, а с< — цена за едини-
цу для компании г. Мы будем предполагать, что ci = сг = 1- В качестве
функции р мы рассмотрим
p(q) = <
2-q,
О,
q>2.
Давайте попробуем проанализировать, как фирмам лучше всего иг-
рать в свою игру. Попробуем построить оптимальную стратегию для иг-
рока 1, если игрок 1 произвёл товара s_t (best response function, Bt(s_i)).
Если s_i > 2, то производить ничего не надо, потому что равновесная
цена всё равно будет равна нулю. Если же si е [0,2], то оптимальную
стратегию придётся искать так:
Bt(s-i) = arg max(si(2 - — s_i) - st) =
Si^O
= arg max(-s? + s<( 1 - s_t)) = - —
Si^O Z
См. рис. 1.1, на котором мы изобразили эти функции. Интуитивно
хочется сказать, что равновесие будет достигнуто в точке их пересече-
ния; но формально мы об этом поговорим ниже.
Конец примера 1.3.
12
Лгкция 1
Теория игр
1.2. Доминантные и доминируемые стратегии
Что же делать участвующим в игре агентам? Как им определить,
какая стратегия лучше других?
Давайте для начала поставим перед собой более скромную цель:
определить, какие стратегии точно не подойдут.
Определение 1.2. Стратегия s е агента г называется домини-
руемой, если существует такая стратегия s' G Si, что
Vs_i 6 S i Ui(s',s_ t) Ui(s,s_i).
В таком случае говорят, что s' доминирует над s.
Иначе говоря, стратегия s доминируема, если существует другая
стратегия, которая не хуже s' в каждой точке, при любых возможных
комбинациях стратегий других агентов. Значит, нет вообще никакой
причины предпочитать s, и ее можно просто отбросить при анализе.
Пример 1.4. Вспомним пример 1.2, в котором полковник Влотто со-
бирался расставить войска на поле. Если проанализировать матрицу из
примера 1.2, станет очевидным, что стратегии (3,0,0), (0,3,0) и (0,0,3)
доминируются другими: например, стратегия (1,1,1) окажется лучше
любой из них. Разумеется, то же самое верно и для противника Влотто.
Таким образом, матрица существенно сократится.
О ГЧ 1— о rj (1,2,0) г*— г-— Г“— (Z‘0‘l) (0,2,1) (ZTO)
(2,1,0) 0 0 0 0 1 -1 0
(2,0,1) 0 0 1 0 0 0 -1
(1,2,0) 0 -1 0 0 0 0 1
(1,1,1) 0 0 0 0 0 0 0
(1,0,2) -1 0 0 0 0 1 0
(0,2,1) 1 0 0 0 -1 0 0
(0,1,2) 0 1 -1 0 0 0 0
Конец примера 1.4.
Пример 1.5. В примере 1.3, в котором мы обсуждали конкуренцию
по Курно, было очень много доминируемых стратегий. Таковыми были
13
Курс Теория экономических механизмов
все стратегии Si 2: они гарантированно приносили неположительную
прибыль, в то время как нулевая стратегия (si = 0, ничего не про-
изводить) гарантирует нулевую прибыль. Поэтому сразу можно было
ограничиться анализом квадрата [0,2] х [0,2] в качестве множества стра-
тегий.
Конец примера 1.5.
Правда, стоит заметить, что легко построить пример, в котором лю-
бая стратегия доминируема. Это будет значить, что некоторые страте-
гии эквивалентны, то есть доминируют друг над другом. В таких слу-
чаях хотя бы одну из них стоит оставить, а то совсем не из чего будет
выбирать.
Продолжаем разговор. После доминируемых стратегий логично бу-
дет ввести доминантные стратегии.
Определение 1.3. Стратегия s е Si агента i называется доми-
нантной, если всякая другая стратегия s' G Si ею доминируется,
то есть
Vs' е Si Vs_i е S ~i u.i(s,s i) > Ui(s',s .i).
Доминантная стратегия для агента — настоящее счастье. Ему вооб-
ще думать не надо: достаточно выбрать доминантную стратегию, всё
равно никакая другая ни при каком исходе ничего лучшего не даст.
Волее того, если у всех агентов есть доминантные стратегии, то ана-
лиз такой игры закончится, не успев начаться. Можно с уверенностью
сказать, что все агенты выберут свои доминантные стратегии.
Определение 1.4. Равновесие в доминантных стратегиях для стра-
тегической игры [1, {Siligi, {ujiex) — это такой профиль страте-
гий s* G S, что для всякого агента г G I стратегия s? является
доминантной.
Такое равновесие является самым устойчивым из всех. В следующей
лекции мы приведём пример из теории экономических механизмов, в
котором возникает такое равновесие — так называемый аукцион Викри
(см. теорему 2.1).
Но, к сожалению, счастье достижимо далеко не всегда. Ни в при-
мере 1.1, ни в примере 1.2, ни в примере 1.3 никакого равновесия в до-
минантных стратегиях не получалось. Для каждой стратегии Si игрока
14
Лекция 1
Теория игр
I там существовал профиль стратегий других игроков s_t, в котором
игроку г было бы выгодно сменить Si на ту или иную s(
1.3. Равновесие Нэша
В предыдущем параграфе мы обсудили, что если у агента есть до-
минантная стратегия, то ему вообще размышлять и беспокоиться не о
чем: он может просто выбирать эту стратегию. Но что же делать участ-
вующим в игре агентам, когда таких стратегий нет и не предвидится?
Тогда приходится учитывать не только свои собственные стратегии,
но и стратегии других агентов. Учёт этот приведёт к понятию равнове-
сия, сформулированному в 1950 году Джоном Нэшем [60].
Определение 1.5. Равновесие Нэша в чистых стратегиях для стра-
тегической игры, (I, {SiKgi, {ujjiei) — это такой профиль страте-
гий s* € S, что для всякого агента г с 1 выполняется следующее
условие:
Vsi е St Ui(Si, slj Ui(si, s*_i).
Иначе говоря, как и прежде, агенту невыгодно отклоняться от из-
бранной стратегии s?. Но теперь ему это невыгодно делать не абстракт-
но, при любом выборе стратегий у других агентов, а только в конкрет-
ном профиле стратегий s*.
Пример 1.6. Продолжаем рассматривать беднягу Влотто. Матрица иг-
ры полковника без доминируемых стратегий была приведена в приме-
ре 1.4. Из матрицы легко видеть, что если один игрок выбирает стра-
тегию (1,1,1), то от выбора другого уже ничего не зависит, то есть
можно сказать, что другому тоже нет резона отклоняться от страте-
гии (1,1,1). Всё зто значит, что для данной игры профиль стратегий
((1,1,1), (1,1,1)) находится в равновесии Нзша.
Конец примера 1.6.
Приведём и непрерывный пример — поверьте, нас ещё ждут подоб-
ные рассуждения, и пора привыкать к чуть более серьёзному анализу.
Пример 1.7. Вернёмся к анализу конкуренции по Курно из приме-
ра 1.3. На этот раз мы не будем ничего упрощать: пусть цена задаётся
15
Курс Теория экономических механизмов
неизвестной функцией P(si+s2), а себестоимость производства для каж-
дой фирмы — неизвестной функцией Ci(si). Чтобы найти равновесие
Нзша, найдём функцию лучшего ответа. Прибыль компании определя-
ется как
Пг(8Ь S2) = SiPCS] + S2) - Ci(Si).
Чтобы определить максимум функции П, для фиксированного s3i,
нужно просто найти производную
8Пг 0P(S1+S2) 8Ci(Si)
я- = ----а-------p(s1 + S2)---а----
0Si ost OSi
и приравнять её к нулю. Соответственно, равновесие Нзша достигает-
ся там, где обе фирмы выдают оптимальный ответ на стратегию про-
тивника, то есть на решениях следующей системы дифференциальных
уравнений:
OSl 8S1 8S]
|П2=ЭРОН^ = о
8s2 8si 8s2
Оставим читателю удовольствие проверить, что в рассмотренном в при-
мере 1.3 частном случае равновесием Нэша действительно будет точка
пересечения прямых на рис. 1.1.
Конец примера 1.7.
В определении 1.5 упоминался странный термин «чистые страте-
гии»: а какими еще они бывают? Оказывается, что стратегии бывают
не только чистыми, но и смешанными. Смешанные стратегии — логич-
ное расширение понятия стратегии: давайте разрешим игроку не только
выбирать одну из s<, но и делать из них более или менее случайный вы-
бор.
Определение 1.6. Смешанная стратегия для игрока г в стратеги-
ческой игре (Z, {Sihgj, {u.i}i62) — это распределение вероятностей
о\ € Е<, г^е Ei — множество всех распределений вероятностей
над Si-
Смешанную стратегию также можно рассматривать как задание ве-
сов для каждой стратегии так, чтобы сумма (в непрерывном случае —
интеграл) всех весов была равна 1.
16
Лекция 1 Теория игр
Бывают игры, где нет равновесий Нэша для чистых стратегий. Но
оно всегда (в конечном случае) есть в смешанных стратегиях.
Пример 1.8. Вспомним игру «камень-ножницы-бумага», матрицу ко-
торой мы уже выписывали в примере 1.1.
Камень Ножницы Бумага
Камень 0 1 -1
Ножницы -1 0 1
Бумага 1 -1 0
Очевидно, что никакого равновесия Нэша в чистых стратегиях здесь
нет: для любой стратегии найдётся кому её опровергнуть. Но равнове-
сие Нзша в смешанных стратегиях здесь имеется. Предположим, что
второй игрок выбирает камень, ножницы или бумагу с вероятностью
а первый выбирает их с вероятностями р, q и 1- р — q. Тогда первый
игрок выигрывает с вероятностью
1 1 1,, 1
зР + зЧ + з(,-Р-Ч) = ?
р также проигрывает и делает ничью с той же вероятностью. Иначе
говоря, если противник выбирает стратегию равновероятно, для игрока
нее стратегии эквивалентны. Поскольку игра симметрична, получается,
что профиль смешанных стратегий
111^
З’З’з}
111
3’3’3
находится в равновесии.
Конец примера 1.8.
Доказательство того, что равновесие в смешанных стратегиях всегда
< угцествует, следует из теоремы Какутани о неподвижной точке [12,31].
Теорема 1.1 (Какутани). Пусть S — непустое выпуклое компакт-
ное подмножество евклидова пространства Rn, а ф : S -> 2s -
многозначная функция на S с замкнутым графиком, такая, что
множество ф(х) непусто, замкнуто и выпукло для всех х е S.
Тогда у ф есть неподвижная точка: Эх: х е ф(х).
17
Курс
Теория экономических механизмов
Рис. 1.2. Контрпример к теореме Какутани для невыпуклого графика.
Замечание. Чтобы понять условие теоремы, обычно лучше всего
привести пример, в котором без одного из условий теорема оказывается
неверной. Вот и здесь: давайте рассмотрим многозначную функцию на
единичном отрезке f : [0,1] —> 210,11, заданную как
f(x) = <
х + 2,
{0,1},
x-i
Х 2’
1
2>
Получилась функция с замкнутым графиком (график её изображён на
рис. 1.2), но прямую х — f(x) он не пересекает, а всё потому, что в точке
х = 2 график не является выпуклым (если замкнуть его по выпукло-
сти в этой точке, то она и будет неподвижной для f). Ну а для любой
функции, удовлетворяющей всем условиям теоремы, всё в порядке: вот,
например, на рис. 1.3 функция f(х) = — jX, 1 — х]], заданная на всё
том же отрезке S = [0,1]. Как видно, она пересекает прямую х = f(x)
(причём далеко не в одной точке); х-координаты всего этого пересече-
ния представляют собой неподвижные точки функции f.
Следствие 1.1.1. В любой конечной игре существует равновесие
Нэша в смешанных стратегиях.
Доказательство. Каждая смешанная стратегия есть распределение
вероятностей на множестве возможных действий агента, а значит, сум-
18
Лекция 1 Теория игр
Рис. 1.3. Пример к теореме Какутани: f(x) = [1 — х, | — |х].
ма этих вероятностей равна единице. Но в n-мерном евклидовом про-
странстве симплекс
Лп = < а = (си, аг. • •, ап) I Qi > О, сц = 1 ►
I 1=1
является выпуклым компактным множеством. Выигрыш игрока в игре
со смешанными стратегиями есть математическое ожидание вида
IIV] 1112 ТП-тт
Gi(ai,a2,...,an) = У У - У 9i(ii,i2, • • • Лп)^1 a^-.a^.
i1=1i2=1 in=1
Эта функция является линейной и непрерывной по а при фиксиро-
ванных остальных аргументах. Следовательно, по теореме Какутани, у
этой функции будет неподвижная точка. Это и означает существование
равновесия по Нзшу в играх со смешанными стратегиями. □
Говорят, в 1949 году Нзш рассказал фон Нейману о своей новой идее
насчёт равновесия для смешанных стратегий. Фон Нейман в своём стиле
ответил: «Это, знаете ли, тривиально; это же всего лишь теорема о
неподвижной точке». Позже Нэшу за это «тривиальное наблюдение»
дали Нобелевскую премию (хотя, конечно, не только за него).
19
Курс
Теория экономических механизмов
1.4. Совместные смешанные стратегии
Мы уже говорили о том, что в игре может быть несколько равно-
весий Нэша. Давайте приведем конкретный пример; пример не только
проиллюстрирует этот факт, но и вдобавок поднимет важную проблему,
которую мы попытаемся решить в этом параграфе.
Пример 1.9. Этот классический пример называется «Семейный спор»
(по-английски звучит более внушительно: «Battle of the sexes»). Рас-
смотрим семью (пока что из двух человек), которая пытается решить,
куда пойти вечером. Муж, разумеется, хочет идти на футбол, в то вре-
мя как жена пытается вытащить мужа в театр. Но, несмотря на этот
конфликт интересов, за семью можно быть спокойным: и муж, и жена
хотят провести вечер вместе, и ни футбол, ни театр будут не в радость,
если пойти туда одному. Осталось только сделать предположение (по-
жалуй, самое противоестественное), что муж и жена не обсуждают друг
с другом свои решения, а просто сами по себе идут или на футбол, или в
театр. У игры получается следующая матрица (строки выбирает муж,
столбцы — жена; в векторе результатов первый компонент принадле-
жит мужу, второй — жене). /
Футбол (5,2) (0,0)
Театр (0,0) (2,5)
Как нетрудно заметить, у этой игры два равновесия Нэша:
(Футбол, Футбол) и (Театр, Театр).
Ни мужу, ни жене невыгодно отклоняться от одного из этих равновесий.
Но вот первая беда: любое из них нечестное — если постоянно выбирать
одну и ту же стратегию (а стимулов отклоняться-то нет), один супруг
будет получать значительно бблыпую выгоду, чем другой.
Можно попробовать решить эту игру в смешанных стратегиях. Сыг-
раем за мужа: найдём для данной вероятности q того, что жена пойдёт
на футбол, оптимальную вероятность р пойти на футбол самому:
Е[выгода мужа] = 5pq +2(1 — р)(1 — q) = р(7q — 2) + 2 — 2q.
20
/|‘ кция 1
Теория игр
11и< кольку для жены ситуация абсолютно симметрична, понятно, что в
точке р = у, q = у (каждый выбирает свой любимый способ провести
пгчгр с вероятностью |) достигается равновесие в смешанных стратеги-
ях, ведь ожидаемая выгода каждого участника не зависит от его стра-
тегии. В итоге ожидаемая выгода и мужа, и жены оказывается равной
р(7(| — 2) 4-2 — 2q = 2 — у = Вот и вторая беда: использовать сме-
шанные стратегии хуже, чем просто согласиться на «неподходящий»
вариант: там выгода будет равна 2, а тут всего
Конец примера 1.9.
На первый взгляд кажется, что делать нечего: придётся кому-то по-
< тупиться своим интересом. Решение приходит в виде нового понятия
равновесия, которое позволяет участникам использовать внешнюю ин-
формацию.
Определение 1.7. Совместная смешанная стратегия игроков — это
распределение вероятностей на всём множестве возможных чи-
стых стратегий всех игроков S.
То есть, грубо говоря, муж и жена заранее договариваются: кто-то
(возможно, кто-то третий — важно, что ни один участник не контро-
лирует этот результат, но оба имеют к нему доступ) вечером подбросит
монетку, и если выпадет орёл, то они вместе пойдут в театр, а если
решка — на футбол. В такой ситуации исход получается оптимальным:
и точку (0,0) выбирать никогда не придётся, и равновесие честное, ведь
v каждого участника ожидаемая выгода равна
Определение 1.8. Равновесие в совместных смешанных стратегиях —
•то такое распределение вероятностей р на множестве чистых
стратегий S, что для всех ifrl и любой пары векторов st,s' € S
S-i S-i
или, что то же самое,
J2p(Si,S-i) (udSbS-i) > 0.
S-i
To есть некое внешнее устройство выбирает стратегию s € S случай-
пым образом по распределению р, и оказывается так, что для каждого
21
Курс Теория экономических механизмов
из игроков в получившемся векторе невыгодно отклоняться от своей
стратегии. В примере с семейным спором все выходит именно так: мо-
нетка определяет стратегию и мужа, и жены, но при этом выбор де-
лается между двумя равновесиями Нэша, то есть любой случайно вы-
бранный вектор получится равновесным. Совместные смешанные стра-
тегии — это способ перейти от одного равновесия Нэша к линейной
комбинации нескольких равновесий, если эта комбинация оказывается
более выгодна агентам.
1.5. Равновесия по Байесу-Нэшу
До сих пор мы рассматривали исключительно игры, в которых все
агенты знали все на свете. Каждый агент знал функции выплаты щ
других агентов, знал множества стратегий других игроков Sf. Более
того, каждый агент знал, что каждый другой агент это знает, и что
каждый другой агент знает, что он знает, что... в общем, понятно.
Однако на самом деле это условие довольно часто не выполняется. А
если агент не знает, к примеру, какие выплаты у других агентов, то го-
ворить о равновесии Нзша становится бессмысленным. Что же делать?
Пример 1.10. В качестве примера рассмотрим вариант всё того же
«семейного спора», который на этот раз для мужа гораздо печальнее.
Предположим, что муж не уверен, хочет ли жена провести с ним вечер
или, наоборот, в этот раз от него отдохнуть. Если жена ищет встречи,
то матрица игры будет как в примере 1.9:
Футбол (5,2) (0,0)
Театр (0,0) (2,5)
А если встречаться не хочет, то матрица становится другой:
о
Футбол (5,0) (0,5)
Театр (0,2) (2,0)
22
Лекция 1 Теория игр
I |у< ть муж ничего не знает о желаниях жены, и для него вероятности
•тих исходов равны 50%. Таким образом, с точки зрения мужа, у жены
•и ть два возможных типа; или, что то же самое, есть два возможных
р.шневероятных состояния мира, и только жена знает истинное состоя-
ние (этакая, простите за выражение, «жена Шрёдингера»).
Если в такой ситуации муж решит пойти на футбол, то (в предпо-
ложении о 50%) ему невыгодно будет менять своё предпочтение, ведь в
i лучае футбола выгода получается j-O+j-S = |, а в случае театра лишь
j • 2 I j • 0 = 2- А для жены, очевидно, в такой ситуации выгодным будет
идти на футбол, если она хочет встретить мужа, и идти в театр, если
не хочет. Таким образом, профиль стратегий (Футбол, [Футбол,Театр])
оудет находиться в равновесии Нэша.
Конец примера 1.10.
Более общая формулировка будет изрядно напоминать равновесие
п совместных смешанных стратегиях. Но теперь придётся немного до-
полнить модель самой игры. Определение 1.9 отличается от определе-
ния 1.1 только множествами типов ©<.
Определение 1.9. Стратегическая игра с неполной информацией —
что четверка
{Z, {Sikei, {©ilisi. {гцкет),
где обозначения расшифровываются следующим образом:
1. Т — {1,..., N] — конечное множество игроков.
2. {Si)iei — множество доступных игрокам действий.
3. {©iliei — множество типов игроков; для типов мы будем
применять ту же нотацию, например
0-1 = (0Ъ--- ,0г-1>0г+1> • • • >0n)-
Через ® будем обозначать множество векторов типов:
0 = 0, х ... х 0n . Каждому игроку г известен его соб-
ственный тип 0i и общее распределение р(0), из которого
берутся типы всех остальных; в частности, игрок г знает
Р(0—г I 0г) =
Р(0г, 0-i)
Р(0г)
23
Курс Теория экономических механизмов
4- {UilieT — множество функций выплат тщ: S х 0 —-> Ж. Функ-
ции выплат теперь зависят не только от стратегий, но
и от типов.
В играх с неполной информацией игроки не знают типов других иг-
роков, но знают распределение. Таким образом, легко определить новое
понятие равновесия, которое теперь будет действовать только в ожида-
нии.
Определение 1.10. Равновесие по Вайесу-Нэшу для стратегической
игры с неполной информацией (Z,{Si}i£T, {©iligT.luilier) — это та-
кой профиль стратегий s* & S, что для всякого агента г G I и
всякого его типа 0г £ 0г выполняется следующее условие:
s* Gargmax Ур(0-г| 0i)ui(s{,s_i(e_i),Oi, 0-г)-
Очевидно (проверьте!), что любое равновесие в доминантных стра-
тегиях является равновесием по Вайесу-Нэшу.
Кроме уже описанных, нам в теории экономических механизмов по-
требуется и ещё одно понятие равновесия, промежуточное между рав-
новесием по Вайесу-Нэшу и равновесием в доминантных стратегиях.
Определение 1.11. Равновесие ex post для стратегической игры с
неполной информацией {I, {Si}igi,{0i}igi,{ui)iei) — это равновесие
по Байесу-Нэшу s* € S, в котором дополнительно выполняется
следующее условие: для всех г € I, всех 0 € 0 и всех s( G Si
ui(s*(0),e)>ui(s(,s^(e_i),e).
Проще говоря, даже если агенту г рассказать о том, какие типы бы-
ли у всех остальных игроков, ему всё равно не будет резона менять своё
решение. Поэтому агенту г гарантированно «не о чем жалеть» в резуль-
тате игры: даже если он узнает то, чего не знал раньше, всё равно для
него s? останется оптимальной стратегией. Мы ещё не раз встретимся
с понятием ex post и другими моментами времени в течение игры в
контексте аукционов; подробно эти понятия мы объясним в разделе 2.4.
24
/ккция2
Введение в дизайн механизмов
Лекция 2. Введение в дизайн механизмов
*
2.1. О чём этот курс: суть, история и мотивация
В прошлой лекции мы увидели, что теория игр изучает взаимодей-
ствие между агентами, при котором каждый агент пытается выбрать
стратегию, максимизирующую его собственную прибыль. Агент, зная
правила игры, вычисляет для себя оптимальную стратегию, а затем
действует в соответствии с ней. В реальной жизни агенты населяют
окружающий нас мир: любой участник любой экономики пытается мак-
с имизировать свою прибыль в рамках той или иной экономической си-
туации.
Однако прежде чем продать что-нибудь ненужное, надо купить что-
нибудь ненужное. Прежде чем максимизировать прибыль по некоторым
правилам игры, нужно, чтобы эти правила игры кто-то разработал! А
тот, кто их разрабатывает, может сделать их такими, чтобы в результате
совершенно естественного развития событий достигались те или иные
цели, его интересующие. Intelligent design, знаете ли: достаточно сделать
первый шаг, дать начальный толчок Вселенной, и она по заложенным
в неё физическим законам начнёт расширяться от Большого Взрыва до
наших дней. В гипотезе о существовании Бога Лаплас не нуждался —
но и не отрицал её; совершенно нефальсифицируемо, что кто-то создал
Вселенную такой, какая она есть, с некоторым начальным замыслом. В
>том курсе мы будем исполнять роль таких вот мини-демиургов: раз-
рабатывать условия, правила игры, в которых совершенно самостоя-
тельные, внешние, эгоистичные, направленные только на извлечение
прибыли агенты в итоге будут достигать цели, которую заложил тот,
кто создавал правила игры.
Дизайн экономических механизмов (mechanism design) — это кон-
структивный подход, позволяющий создать такой механизм взаимодей-
ствия, при котором эгоистические действия каждого из агентов в сум-
ме приведут к решению, оптимальному с точки зрения общей целевой
функции.
Главный пример дизайна механизмов — аукционы. В обычном аук-
ционе целей, которые преследует «демиург», может быть не так уж и
25
Курс
Теория экономических механизмов
много: либо организатор пытается максимизировать общую прибыль
(social welfare), либо продавец пытается сделать такой аукцион, чтобы
продать подороже (см. лекцию 5). Кроме того, хочется достичь ситуа-
ции, при которой выявляются истинные предпочтения участников (это
называется правдивостью аукциона; мы об этом ещё будем подробно
говорить), и, конечно, решение должно быть в каком-либо смысле оп-
тимальным и/или устойчивым, иначе оно не сможет реализоваться.
Слово «mechanism» в этом контексте ввел Лео Гурвиц (Leo Hurwicz).
Он родился в Москве в 1917 году (тогда его, конечно, звали Леонидом),
жил в Польше, в 1940 эмигрировал в США — все вполне логично для
того неспокойного и опасного времени. В 1959-1960 годах он сформу-
лировал основные положения теории экономических механизмов [28],
в 1973-м сформулировал свойство правдивости [29], а затем и принцип
выявления, с которого по сути и началось исследование децентрали-
зованных систем применительно к экономике. Кстати говоря, недавно
вышла книга Гурвица о дизайне механизмов [30].
Дальше Эрик Маскин (Eric Maskin) начал разрабатывать так на-
зываемую «теорию реализации» (implementation theory) — то есть соб-
ственно дизайн механизмов: как сделать такой протокол, чтобы он обла-
дал нужными свойствами [39,43,44]. А потом Роджер Майерсон (Roger
Myerson) применил это все к аукционам и окончательно оформил поле
деятельности [54-57].
За это им всем троим и дали Нобелевскую премию 2007 года по
экономике (впрочем, не стоит забывать, что еще раньше — в 1994 —
премию дали Джону Нэшу за разработку теории игр, которая легла в
основу всей этой науки).
Но зачем все это нужно? Зачем нужно разрабатывать какие-то хит-
рые механизмы, хитрые аукционы? Кто применяет это на практике?
Например, Google и Yahoo. Как известно, интернет-компании зара-
батывают практически все свои деньги (мягко скажем, немалые) на
контекстной рекламе, которая продаётся через систему аукционов. Эта
система должна быть эффективной, распределённой, работать одновре-
менно для очень большого количества агентов и при этом, конечно, при-
носить интернет-гигантам максимальную прибыль. Для этого Google,
Yahoo и другие аналогичные компании прикладывают значительные
усилия для развития теории дизайна механизмов, и расцвет этого на-
правления в последнее время во многом связан именно с интернет-
26
Лгиция 2
Введение в дизайн механизмов
нуждами. Мы не будем подробно рассматривать систему AdWords здесь;
ж нможно, займёмся ею в следующем курсе — в конце концов, она отно-
। ится не к классическим, а к самым последним результатам в теории
п'ономических механизмов [1,17,50]. Не стоит забывать и про eBay —
труднейшую систему интернет-аукционов; правда, eBay в основном не
< <ш использует теорию аукционов, а предоставляет данные для обобще-
ний экономистов [6,27].
Если же отвлечься от интернет-компаний и вернуться к исходным,
гурвицевским постановкам, то примеров возможного применения ди-
мйна механизмов всё равно более чем достаточно. Например, при пла-
нировании общественно полезных работ, государственных тендеров и в
других тому подобных задачах нужно максимизировать всеобщее благо-
состояние (social welfare), но каждый участник всё равно остаётся эгои-
стичным. Да даже просто налогообложение — какую систему налогооб-
ложения ввести, чтобы максимизировать доход государства и всеобщее
Ьл агосостояние?
Ещё один важный пример, который тоже сыграл важную роль в
теории экономических механизмов, — аукционы на радиочастоты (3G
auctions). Эти аукционы проводятся между компаниями сотовой связи:
государство за деньги разрешает той или иной компании использовать
тот или иной диапазон частот. Традиционно эти аукционы тоже прово-
дятся (или, по крайней мере, впоследствии анализируются) по послед-
нему слову теории [33,34,51].
Есть и менее прямые и очевидные примеры применений, например
компьютерные распределённые системы. В задаче планирования в ре-
альном времени (real-time scheduling) к центральному процессору при-
ходят всё новые и новые задачи (заранее неизвестные), и процессор дол-
жен решить в срок как можно больше задач. Оказывается, что весьма
разумно рассматривать подающее задачу устройство как агента, пыта-
ющегося максимизировать ожидание того, что задача будет решена. А
центр, процессор пытается удовлетворить за данное время как можно
। дальше заявок — то есть как раз максимизировать всеобщее благососто-
яние [8,66]. Есть и более забавные применения: так, недавно появился
так называемый «Nobel powered BitTorrent client»; это peer-to-peer кли-
ент, который работает так, чтобы участникам р2р-сети (в данном случае
сети BitTorrent) было выгодно как можно более активно делиться фай-
лами, максимизируя при этом суммарную доступность файлов сети [41].
27
Курс Теория экономических механизмов
' -* - .— ' . !- JJ
2.2. Несколько забавных примеров
В этом параграфе мы приведём несколько интересных примеров,
позволяющих более детально рассмотреть сложности, с которыми нам
предстоит столкнуться, а также ещё немного мотивировать изучение
дизайна механизмов.
1. Дилемма заключённого. Мы начнём с так называемой дилеммы
заключённого (prisoner’s dilemma) — с классического примера из теории
игр. Двое заключённых сидят в тюрьме. Им предлагают признаться в
преступлении, заложив тем самым своего сообщника. Реальных дока-
зательств главного пункта обвинения у прокуратуры нет, следователи
могут рассчитывать только на помощь самих заключённых. Поэтому
каждому из них предлагают сделку:
— если оба заключённых промолчат, то оба отсидят по полгода за
другие грешки;
— если оба признаются, то обоим за такое примерное поведение дадут
по два года;
— но если один признается, а другой нет, то признавшегося за со-
трудничество вообще отпустят, а упорствующему впаяют по пол-
ной, лет десять.
Держать связь заключённые не могут. Как же поступить каждому
из них?
Вот какая получается матрица возможных стратегий этой игры:
Промолчать Сознаться
Промолчать (0.5,0.5) (10,0)
Сознаться (0,10) (2,2)
Посмотрите, как интересно получается: вне зависимости от выбо-
ра первого заключённого второму в любом случае выгоднее признать-
ся! Получается, что для каждого из них «Сознаться» — доминантная
стратегия, и в результате... они будут сидеть по 2 года, а не по 0.5.
Равновесие получается в доминантных стратегиях, но для каждого из
игроков оно неоптимально! И всё это получилось благодаря разумным
действиям следователя, который смог разработать правильный дизайн
«игры» с заключёнными.
28
Чскция 2 Введение в дизайн механизмов
Может показаться, что это абстрактный пример, не имеющий ни-
чего общего с реальностью. Однако легко привести вполне жизненный
пример, в котором возникает именно дилемма заключённого. Рассмот-
рим рынок, на котором две фирмы выпускают совершенно аналогичные
продукты, и других производителей на рынке этого продукта нет. Как
г>удут распределяться доходы компаний по отношению к их возможным
рекламным кампаниям?
Если рекламы не будет вообще, у них будет одно распределение рын-
ка, определённое производственными мощностями и другими фактора-
ми (сетью реализации, например). Предположим, что они обе будут по-
лучать прибыль по X. Если они обе будут активно рекламироваться,
то реклама «взаимно сократится», потребитель будет хорошо осведом-
лён об обоих продуктах, и относительное потребление их продуктов не
изменится. Но деньги на рекламу будут потрачены (обозначим их че-
рез А, от «advertising»)! Таким образом, ситуация, когда обе фирмы
рекламируются, хуже для них обеих. Но если одна фирма не будет ре-
г ламироваться, а вторая будет, то та, что будет, получит куда большую
прибыль от резко увеличившейся доли рынка (для простоты предполо-
жим, что доля рынка вырастет до 100%).
С рекламой Без рекламы
С рекламой (X, X) (2Х — А,0)
Без рекламы (0,2Х — А) (X — А, X — А)
Вот вам и классическая дилемма заключённого. Кстати, гонка вооруже-
ний во время холодной войны тоже неплохо укладывается в эту схему.
2. Трагедия общин. Второй пример — так называемая трагедия об-
щин. Этот пример имеет внушительную историю: он известен ещё из
Фукидида и Аристотеля. Трагедия общин возникает, когда у несколь-
ких игроков на рынке есть некий общий ресурс. Выгоды от его исполь-
зования индивидуальны, а затраты на использование общие, поэтому
все пытаются максимизировать своё собственное использование ресур-
са, и ресурс истощается для всех.
Классическая постановка выглядит так: на принадлежащем горо-
ду пастбище пасут овец несколько местных овцеводов. Пастбище общее
и бесплатное, а каждая дополнительная овца приносит овцеводу при-
быль. Поэтому все начинают разводить всё больше и больше овец, и
пастбище окончательно вытаптывается. Однако при этом каждый овце-
вод полностью рационален, потому что лично для него дополнительная
29
Курс Теория экономических механизмов
овца значит гораздо больше, чем дополнительный ущерб пастбищу от
одной овцы.
Такие примеры возникают всё время там, где есть общие ресурсы,
которые трудно разделить: при загрязнении окружающей среды, ис-
пользовании воды и воздуха, вырубке лесов, охоте, рыболовстве и в дру-
гих аналогичных ситуациях. Решения в хорошем смысле этого слова —
чтобы все сами по себе стали разумно использовать общий ресурс —
у этой задачи нет (потому и трагедия, наверное). Решение может за-
ключаться только в том, чтобы построить (при помощи государства)
некий общественный механизм, например механизм налогообложения
или квотирования, при котором общий ресурс не истощится. Вопрос,
как сделать это наиболее эффективно, — предмет теории механизмов.
3. Парадокс аукциона за доллар. Это пример того, к чему может
привести дизайн хитрых механизмов.
Рассмотрим такой аукцион: лот — один доллар, участники могут по-
следовательно поднимать цену (как в самом обычном аукционе), дав-
ший максимальную цену платит её и получает доллар. Но при этом —
вот где дьявол в деталях — максимальные объявленные цены должны
будут уплатить все участники аукциона, а не только победитель.
Участники, разумеется, действуют рационально. Пусть минималь-
ная разность между соседними ставками — один цент. Первый участ-
ник, желая заработать 99 центов, объявляет цену в один цент. Второй
перебивает её двумя центами, третий — тремя... Тут первый решает,
что заработать 96 центов куда лучше, чем потерять один, и объявляет
цену в 4 цента. И так далее.
Рано или поздно цена достигнет 98 центов (пусть такую цену в оче-
редном раунде дал первый участник). Второй участник, желая зарабо-
тать один цент, даёт цену в 99 центов. Но для первого даже остаться в
нуле гораздо лучше, чем потерять те 98, которые он уже объявлял! И
он ставит 100 центов за доллар. А второй... ставит 101!
Адекватного решения у этого парадокса нет. Собственно, и «пара-
докса» нет — у игры нет равновесия, и игроки могут в конце концов от-
дать хитрому аукционеру все свои деньги. С другой стороны, конечно,
«рациональность» игроков в этом аукционе тоже под вопросом: когда
игрок решает, что выгоднее — потерять 98 центов или получить доллар
за 100 центов, вторая альтернатива не равна нулю, а должна прини-
мать во внимание вероятность того, что его оппонент не остановится
30
/|| иция 2 Введение в дизайн механизмов
и сделает новую ставку. Ожидание выигрыша составляет бесконечный
расходящийся ряд потерь. С третьей же стороны, если все будут так
«рационально» рассуждать, то никто не начнёт торг, и не такой умный
первый игрок, объявивший цену в один цент, спокойно получит свои 99
центов прибыли. Игры без равновесия — непростое дело...
4. Winner’s curse. Возьмём следующую простую ситуацию (в сле-
дующих лекциях мы рассмотрим ее гораздо подробнее): есть аукцион,
на торги выставлен товар, у каждого участника своё мнение о ценности
товара. Участники делают ставки, исходя из своих понятий о ценности.
Выигрывает тот, кто сделал самую большую ставку.
Предположим, что истинную стоимость объекта участники допод-
линно не знают, у них есть некоторая общая информация, а дальше
происходят отклонения и в большую, и в меньшую сторону. Иначе го-
воря, предположим, что мнения участников распределены приблизи-
тельно нормально вокруг истинной стоимости продаваемого товара. Та-
кая ситуация часто возникает, например, в аукционах на нефтеносные
участки: информация о количестве нефти общедоступна, но неточна.
Отклонения от настоящей цены в зависимости от оптимизма или пес-
(имизма участников и их частной информации будут и в бблыпую, и в
меньшую сторону.
Но ведь в результате аукциона победит участник с максимальным
отклонением в плюс! Он наверняка объявлял стоимость выше истинной!
Иначе говоря, если вы победили на этом аукционе, сам факт вашей по-
воды означает, что вы были чересчур оптимистичны (и, как следствие,
переплатили). В этом и заключается парадокс winner’s curse.
4. Парадокс Враесса. Это пример так называемой «цены анархии»,
который подтверждает, что зачастую свободный рынок приходит от-
нюдь не к оптимальному решению.
Рассмотрим две точки, «Старт» и «Финиш», между которыми есть
два пути, проходящие через точки А и В. Если машина едет по неза-
полненной трассе, она едет со скоростью 100 км/ч. Если трасса запол-
нилась, то скорость передвижения падает до
„ Пропускная способность,,.
Скорость передвижения =--------------------—(100 км/ч).
Кол-во автомобилей
Все водители всё знают, включая текущее распределение автомобилей
па других дорогах, и выбирают оптимальный для себя маршрут.
31
Рис. 2.1. Парадокс Браесса: исходная ситуация.
Понятно, что в этой симметричной ситуации водители будут выби-
рать менее загруженную трассу (когда они заполнятся). Пусть проехать
должны 2500 машин. Тогда 1250 из них поедут по одной дороге, а другие
1250 — по другой. При этом путь каждого водителя занимает
Т = (100 км) 1—-—Ь (10 км) ---— — 1,25 ч = 75 минут
100 км/ч v ;500х 100 км/ч ’ у
(в числителе первого слагаемого — единица, а не 1250/2000, потому
что быстрее 100 км/ч ехать всё равно не получится, даже если трасса
заполнена лишь наполовину).
Но вдруг государство решило, что надо бы людям помочь быстрее
добираться от старта до финиша (или, возможно, муниципалитету про-
сто вдруг выделили кучу бюджетных денег на дорожные работы), и
была построена новая короткая дорога между А и В. Эта дорога имеет
длину всего 60 км супротив 100 км старых дорог. Важно: старые до-
роги никто не закрывает, у водителей просто появляется новый
выбор.
Рассмотрим старое равновесие (1250 на 1250). При появлении новой
дороги по ней ехать будет выгоднее, и водители будут выбирать но-
вую дорогу до тех пор, пока все три возможных пути не сравняются
по времени. Новое равновесие (когда все пути одинаковы) достигается
(проверьте зто!), когда из 2500 машин 1500 едут по новой дороге, а по
старым — по 500. Но давайте подсчитаем время в пути:
Т =
2000 10 км 60 км 2000 10 км
500 100 км/ч 100 км/ч + 500 100 км/ч
32
Фицин2
Введение в дизайн механизмов
Рис. 2.2. Парадокс Браесса: после постройки новой короткой дороги.
= 1,4 ч = 84 минуты!
<)называется, что, просто расширив спектр возможностей водителей,
мы перевели систему из более эффективного равновесия в менее эф-
фективное. При этом каждый водитель по отдельности действовал ра-
ционально: выбирал, где быстрее.
Замечание. Может показаться, что путей не три, а четыре: вдруг
появившийся после постройки новой дороги четвёртый путь
Старт —» В —> А —> Финиш,
несмотря на большую длину, всё-таки будет в каких-то случаях доста-
точно эффективным, чтобы его избрать? Но при нашей постановке за-
дачи он всё-таки будет всегда строго хуже пути Старт —> В —> Финиш:
даже если все 2500 машин едут по десятикилометровому участку В —>
Финиш, там всё равно можно добраться быстрее, чем в объезд по пу-
। тым дорогам.
Важно заметить, что в некоторых формулировках парадокса Браес-
i <i новая дорога могла бы быть и на пользу. Для этого нужно было бы,
грубо говоря, в пунктах «Старт» и А посадить двух регулировщиков,
которые будут распределять потоки как надо.
Этот эффект называется «ценой анархии» (price of anarchy): иногда
регулируемый рынок действительно функционирует эффективнее, чем
управляемый лишь невидимой рукой; наоборот, конечно, не бывает, по-
тому что отсутствие вмешательства — частный случай вмешательства.
Дизайн механизмов — один из способов (зачастую единственный) ввести
на рынок «видимую руку» того, кто этот дизайн осуществляет.
33
Курс
Теория экономических механизмов
2.3. Дизайн механизмов: определения
В этом параграфе мы кратко напомним основные понятия теории
игр из прошлой лекции, но приложим их к ситуации дизайна механиз-
мов. Рассмотрим сначала постановку задачи. Что бы мы ни говорили
о дизайне, после того самого дизайна начинается собственно игра. В
игре участвуют агенты. У игры есть различные исходы. А у каждо-
го агента в этой игре есть некий набор действий, которые он может
предпринимать.
Поставим задачу чуть формальнее. Во-первых, введём тип агента
0г 6 ©г для г-го агента (об этом ниже). У игры есть набор исходов О,
и для каждого агента каждый исход означает какую-то прибыль (воз-
можно, отрицательную). Так появляется функция полезности (utility
function)
Ui(o,0i)
для типа 0г и исхода о. Агент г предпочитает исход oj исходу 02, если
Щ(о], 0г) > гц(о2,0г) •
Стратегия агента — это план, который полностью описывает его
поведение во всех возможных состояниях окружающего мира. Через Д
мы будем обозначать множество стратегий агента г, через s^(0t) ё £-t ~
какую-нибудь конкретную его стратегию. Стратегии бывают чистые
и смешанные; чистые стратегии жёстко задают поведение в каждом
состоянии окружающего мира, смешанные задают распределения веро-
ятностей на множестве возможных действий агента.
Например, в аукционе возрастающей цены состояние мира для аген-
та полностью описывается парой (р,х), где р — текущая цена, а бит х
показывает, является ли агент в текущий момент лидером аукциона.
Пусть у агента есть своя (скрытая) оценка лота v, и он готов заплатить
любую сумму, которая была бы меньше v (получив при этом для себя
выгоду, равную разности между v и заплаченной суммой). Тогда так на-
зываемая стратегия лучшего ответа (best response strategy) sbr(v)
описывается следующим образом:
{р, если х — 0 и р < v,
сидеть молча, в противном случае.
Здесь b (от слова bid) — это ставка, которую должен сделать агент.
Понятно, что функцию полезности можно с конкретных исходов про-
34
Лекция 2
Введение в дизайн механизмов
дол жить на целые стратегии. Если N агентов имеют фиксированные
। гратегии (sj,..., Sn), то функция полезности
будет просто равна функции полезности Ui(o, 0г) на исходе о, который
однозначно задаётся этими стратегиями.
Рассмотрим тот же аукцион, в котором участвуют два агента и оба
W поведуют стратегию лучшего ответа. Для агента 2 ценность лота V2 =
I, для агента 1 она равна vj. Тогда функция полезности для первого
। гепта будет равна
Ul (SBR.I fV] ), SBR,2(1 )) =
V] —(1 + е), если¥1>1,
О, в противном случае,
где с — минимальное увеличение цены в аукционе.
Каждый агент пытается максимизировать свою собственную при-
быль. Он решает задачу оптимизации, добиваясь оптимальной страте-
ши, ив результате система оказывается в каком-нибудь состоянии. Мы
будем рассматривать возможные определения равновесного состоя-
ния системы, к которому она может придти после решения каждым
агентом своей локальной задачи.
Обозначим через
s = (si,..., sN)
профиль всех стратегий участников. Как и прежде, через
S-i — (si,. . . , Si—1,Si+1,. . . , Sn)
мы будем обозначать стратегии всех участников, кроме г. Введём также
ш i.логичные обозначения 0 и 0 для типов агентов.
Ключевое понятие всей теории игр — равновесие Нэша — мы по-
дробно обсуждали на прошлой лекции. Напомним определение в кон-
|«-ксте обозначений теории экономических механизмов.
Определение 2.1. Профиль стратегий s находится в равновесии
11 ина, если каждый агент при данных стратегиях других агентов
пы/шрает для себя оптимальную стратегию:
Vs( Si Ui(Si(0i), s_i(0_i), 0i) > Ui(s((0i), s_i(0_i), 0i).
35
Курс Теория экономических механизмов
В дилемме заключённого только профиль (Сознаться, Сознаться)
находится в равновесии Нэша — каждому из преступников всегда вы-
годнее сознаться, чем промолчать. Бывают игры с несколькими равно-
весиями Нэша.
Пример 2.1. Приведём пример игры, в которой существуют два рав-
новесия Нэша. Рассмотрим двух игроков, возможные действия каждого
из которых — опубликовать один бит. При этом, если биты совпадают,
игроки получают по $100, а если не совпадают — платят по $100. Матри-
ца игры выглядит так (доходы игроков совпадают, поэтому мы пишем
не пару, а одно значение):
0 1
0 $100 -$100
1 $100 $100
Очевидно, у этой игры два равновесия Нзша: (0,0) и (1,1). В каждом
из этих состояний ни одному из игроков не выгодно отклоняться от
выбранной стратегии.
Конец примера 2.1.
Равновесие Нэша — фундаментальное понятие, но оно не всегда при-
менимо. Например, оно много чего предполагает о доступной агентам
информации. Нужно, чтобы каждый агент знал структуру игры пол-
ностью, знал, что другие знают, знал, что все действуют рационально,
и, более того, знал, что все выберут одно и то же равновесие Нэша (а
их может быть несколько).
На деле агент может и не быть уверен, что все остальные всё зна-
ют и непременно выберут равновесие Нэша (вообще, редко кто уверен
в абсолютной рациональности всех остальных). Но если у агента есть
доминантная стратегия, ему всё равно.
Определение 2.2. Стратегия S; называется доминантной, если
она (слабо) максимизирует ожидаемую прибыль агента для всех
возможных стратегий других агентов:
Vs{ si, Vs_i е £_t иЦвг, s-i, 0t) > ui(s(, s-t, 0t).
Получается, что в случае, когда у агента есть доминантная страте-
гия, ему можно вообще ни о чём не беспокоиться: он в любом случае
окажется не в проигрыше.
36
Лекция 2
Введение в дизайн механизмов
Сейчас мы рассмотрим первый пример нетривиального дизайна ме-
.шиэмов — аукцион Викри (Vickrey auction). Это аукцион, проводя-
щийся по схеме закрытых ставок (sealed-bid): участники подают свои
«1чвки в конвертах, потом их вскрывают, и объект продаётся тому, кто
предложил самую высокую цену. Например, так обычно проводят тен-
деры.
Что выгодно делать участнику со скрытой ценностью v, если ему
продадут вещь по той цене, которую он запросит? Это довольно слож-
ная задача: если его скрытая ценность максимальна из всех участников,
ему нужно сделать заявку больше, чем у следующего за ним, но же-
лательно только чуть-чуть больше, чтобы максимизировать свою при-
быль. Участник, конечно, может решить эту задачу — но ему потре-
буется масса всяческих предположений, равновесие получится только
и ожидании (то есть по Байесу-Нэшу), а не в любом случае (не в до-
минантных стратегиях), и вообще система будет весьма нестабильной.
В результате на самом деле никому не лучше — и продавец не макси-
мизирует доход, и всеобщее благосостояние тоже страдает. Мы потом
проанализируем этот случай более подробно.
Давайте слегка видоизменим аукцион. В новом аукционе (который и
называется аукционом Викри) по-прежнему продают тому, кто боль-
ше предложил... но продают по цене, которую предложил второй сверху
участник! Оказывается, что в таком аукционе участникам выгодно про-
i то говорить правду о своей скрытой ценности, причём это «выгодно» —
< а мое сильное из возможных.
Ггорема 2.1. В аукционе Викри правдивая стратегия bi(vi) — щ
шляется доминантной.
Доказательство. Ожидаемая полезность стратегии bt(vi) = vt равна
, ч fvi— b', если Ь< > b',
ujbi.b'.vx) = <
10, в противном случае,
где Ь' — это наивысшая ставка среди всех остальных агентов. Какие
тут могут быть варианты?
1. Если b' < Vi, то оптимальна любая ставка bi Ь', ведь вещь всё
равно продадут по цене Ь'.
37
Курс
Теория экономических механизмов
2. Если b' то, опять же, оптимальна любая ставка b< V; (всё
равно не продадут или продадут с нулевой прибылью).
Ставка b[ = v-x подходит для обоих случаев и поэтому является до-
минантной стратегией. Б любом из двух возможных случаев сделать
правдивую ставку не хуже, чем любую другую. □
Мы только что буквально на пальцах доказали, что в аукционах Ви-
кри каждому участнику выгодно сообщать в качестве ставки свою ис-
тинную скрытую стоимость. Это очень важное свойство механизмов —
правдивость (truthfulness). Позже (в лекции 3) мы увидим, что на са-
мом деле можно ограничиться только правдивыми механизмами.
Оказывается, что доминантные стратегии гораздо удобнее для аген-
тов: им уже не надо ничего предполагать о других агентах, они могут
смело пользоваться доминантной стратегией. Поэтому в дизайне меха-
низмов гораздо приятнее получить механизм с доминантными страте-
гиями у каждого агента, чем механизм с «обычным» равновесием Нэша.
Но давайте ещё раз вернёмся к типам агентов; теперь мы предпо-
ложим, что агент не знает наверняка, каковы типы других агентов, то
есть каковы у них функции полезности. Но при этом он знает выплаты
для каждого возможного типа, и у него есть некоторое априорное рас-
пределение F(0) на типах для каждого из других агентов. И, конечно,
он пытается максимизировать математическое ожидание своей прибы-
ли в равновесии с такими же оптимизирующими стратегиями других
агентов.
Определение 2.3. Профиль стратегий s находится в равновесии
по Байесу-Нэшу (Bayeszan-Nash equilibrium), если каждый агент
при известном ему распределении F(0) на типах других агентов
выбирает для себя оптимальную стратегию: Vs( Sf
tF(0)Ui(Si(6i),S i(0-i),0i) > EF(ejUi(s{(0i),S_i(0_i), 0i).
Проще говоря, стратегия агента оптимальна по распределению ти-
пов других агентов. Б одном конкретном эксперименте вполне возмож-
но, что он будет выбирать неоптимальное поведение, но в среднем при
достаточно долгой игре агенту лучше всего выбирать именно зту стра-
тегию.
38
Лгнция 2
Введение в дизайн механизмов
Равновесие по Байесу-Нэшу обобщает обычное — оно делает более
₽< тсственные предположения о знаниях агентов. Для каждого фикси-
||ццанного типа 0г оно тоже должно быть оптимальным: Vs( s<
। ПО) [udSifOO.S-UG-iJ.Oi) I 0г] > Ef(0) [^(saej, в-г(е_<), ©г) | 0г] •
I Id у него есть другие недостатки равновесия Нзша: например, оно в об-
щем случае не единственно. Поэтому хотя равновесие по Байесу-Нэшу
получить лучше, чем обычное равновесие Нэша, доминантные страте-
гии всё равно остаются идеальным вариантом.
В итоге мы ввели и рассмотрели три типа равновесий, которые могут
пччникнуть в наших механизмах. Получается вот такая картинка:
Равновесие в доминантных стратегиях
>- Равновесие по Байесу-Нэшу
>- Равновесие Нэша.
11ерейдём теперь собственно к дизайну.
2.4. Основные понятия дизайна механизмов
Суть задачи дизайна механизмов заключается в следующем: мы хо-
тим построить механизм, в котором то или иное равновесное состояние
истемы будет оптимальным относительно той или иной цели. Для это-
го нужно сначала определить, какая же у нас цель.
< Определение 2.4. Функцией социального выбора называется функ-
ция
f : ©1 х ... х 0N —> О,
которая выбирает тот или иной желаемый результат f(0) при
данных типах 0 = (0,,..., 0n).
Функция социального выбора — это то, что нам бы хотелось полу-
чить от механизма, который мы разрабатываем. Но при этом каждый
пент будет максимизировать свою собственную прибыль, и надо это
г. ir. им-то образом примирить. На решение именно этой задачи и на-
правлено понятие механизма.
39
Курс
Теория экономических механизмов
Рис. 2.3. Участники экономического механизма.
Определение 2.5. Механизм = (Lp..., Ln, д) состоит из на-
боров стратегий Li для каждого агента и функции исходов g :
Z1 х ... х Ln —> О, которая определяет исход, предусмотренный
механизмом для полученного на вход профиля стратегий
s = (si,...,sn) е Li х ... х Ln.
На рис. 2.3 изображено то, что агенты обычно знают о себе и дру-
гих агентах; они выбирают стратегии Si так, чтобы максимизировать
вероятность удачного исхода, а затем «механизм», собрав все «ставки»,
определяет собственно исход. Кавычки здесь потому, что и механизма
может как такового не быть, и ставки могут быть весьма непривычны-
ми.
Можно проанализировать тот или иной механизм и понять, где у
него точки равновесия. При этом может оказаться, что механизм реа-
лизует ту или иную функцию социального выбора.
Определение 2.6. Механизм М = (Lp... ,LN, g) реализует функ-
цию социального выбора f : ©1 х ... х 0N —> О, если для всех воз-
40
/ктцин 2
Введение в дизайн механизмов
ипжных векторов типов 0 = (0ц..., 0^) е ©1 х ... х ©м
, л»
g(s^(01),...,s^(0N)) = f(0),
lie профиль стратегий (sp..., s“N) находится в равновесии по от-
ношению к игре, индуцированной АЛ.
Нод «равновесием» можно понимать равновесие по Нэшу, по Байесу-
II >шу, в доминантных стратегиях — какое угодно. Обычно нас интере-
сует максимально сильное иэ возможных равновесий.
Давайте попробуем построить тривиальный механизм, который мог
fi i.i реализовывать всевозможные функции социального выбора. Для
• того мы просто спросим у каждого агента, какой у него тип (отве-
ты на этот вопрос будут возможными стратегиями агентов), а потом в
г.пчестве функции исходов возьмём функцию социального выбора:
g(0)-f(0).
Низалось бы, всё работает. Но ведь агенты не обязаны говорить нам
правду! Агенты будут максимизировать свой доход, сообщая тот тип,
гОторый выгоднее, решая (для равновесия по Байесу-Нэшу) задачу оп-
тимизации
max Е0 гц(0', s_i(0__i), 0i).
e'e&t
11.im нужно построить механизм так, чтобы решение этой задачи для
и ентов сошлось с желаемым; в частности, в данном случае нам нужно
in 1ло бы реализовать правдивый механизм, при котором агентам было
fn.i выгодно сообщать свои настоящие типы. Один такой пример мы уже
разбирали — это был аукцион Викри.
Есть ряд свойств функций социального выбора, которые могут очень
помочь нам в дизайне механизмов, а также гарантировать много полез-
ных свойств тем механизмам, которые смогут реализовать обладающие
1тими свойствами функции. Сейчас мы их рассмотрим и введём (есте-
твенные) ограничения на агентов.
< >нределение 2.7. Функция социального выбора f : ®i х ... х ©м —>
। 1 называется оптимальной по Парето, если для всякого вектора
типов 0 = (0J,... ,0i) и всякого исхода о' Д f(0)
1ц(о',0г) > Ui(f(0),0i) => 3) : Uj(o',0j) <uj(f(0),0j).
41
Курс Теория экономических механизмов
Оптимальность по Парето значит, что если кому-то стало лучше, чем
в предлагаемом функцией f варианте, то кому-то другому обязательно
стало хуже. То есть нельзя монотонно улучшить дела сразу всех агентов
по сравнению с оптимальной по Парето функцией социального выбора.
Давайте приведём пример, демонстрирующий, что оптимальность
по Парето ещё не гарантирует правдивости механизма.
Пример 2.2. Рассмотрим множество исходов О = {x,y,z} и предпо-
ложим, что действуют два агента. У первого агента ровно один тип,
©1 — {01}1 и У этого типа структура предпочтений такова:
х >i у >i z.
А у второго агента два разных типа 02 = {9“, б]?}, и вот их структура
предпочтений:
2>2У>2х> y>2x>2z-
Мы пытаемся реализовать эффективную по Парето (проверьте!) функ-
цию социального выбора:
f(e1,e^)=y, f(e1;e^)=x.
Если мы захотим просто спросить у каждого агента его тип, второму
будет выгодно соврать: при типе б]? ему будет выгодно сказать, что он
в2, и получить в результате исход у, а не х.
Конец примера 2.2.
Можно теперь ввести вполне естественное определение оптимально-
го по Парето механизма.
Определение 2.8. Механизм называется оптимальным по Парето,
если он реализует оптимальную по Парето функцию социального
выбора.
Это определение на самом деле предполагает, что исход окажется
оптимальным по Парето уже для конкретных типов агентов, после то-
го как все типы окажутся известными, и функция социального выбора
отработает на векторе типов. Такая ситуация, когда некоторое понятие
рассматривается апостериорно, называется в теории экономических ме-
ханизмов ex post. Можно рассматривать оптимальность по Парето ех
42
Лекция 2
Введение в дизайн механизмов
untc, когда нет исхода, который бы в ожидании строго предпочёл один
йгснт и нестрого — все остальные. Получится более слабое определение.
Эту разницу между двумя определениями можно обобщить. Вообще
говоря, в литературе о дизайне механизмов есть три разных временных
not тановки.
1. Ex ante — до выбора исходов. Ex ante агенты знают только рас-
пределения (все, включая своё собственное). Информация у всех
агентов одинаковая.
2. Interim — после выбора исходов для каждого агента. То есть
ситуация при такой постановке задачи рассматривается с точки
зрения одного агента, который уже знает свой тип, но не зна-
ет типы других агентов (а распределения знает). Информация
теперь у агентов разная — каждый знает свой тип.
3. Ex post — после того как типы (точнее, стратегии) всех агентов
стали известны. Здесь уже поздно что-либо менять; ex post ситу-
ацию рассматривают в тех случаях, когда хотят показать, что ни
один агент даже постфактум не пожалеет о сделанном выборе.
То же самое можно сформулировать чуть более конструктивно: о
равновесиях или ограничениях можно говорить в трёх случаях.
1. Ex ante — в терминах распределений типов агентов.
2. Interim — в терминах распределений типов агентов и одного кон-
кретного типа одного агента.
3. Ex post — в терминах вектора типов всех агентов.
2.5. Предположения об агентах
Мы вскоре увидим, что про агентов с произвольными множествами
типов можно доказать массу отрицательных результатов. Фактически,
। ними нельзя сделать ничего толкового, нельзя реализовать ни од-
ной нормальной функции социального выбора (о том, какие функции
ненормальные, мы поговорим в лекции 6).
43
Курс
Теория экономических механизмов
К счастью, в реальной жизни агенты всё-таки не совсем какие угод-
но. В большинстве случаев про агентов можно сделать какие-то доста-
точно разумные предположения; и в этих предположениях, возможно,
жизнь окажется не столь безрадостной, какой мы увидим ее в лекции 6.
Первое предположение, которое мы рассмотрим, достаточно есте-
ственно для экономической ситуации. Оно утверждает, что функция
полезности агента — это то, насколько он заплатил дешевле, чем он
сам оценивает эту вещь.
Определение 2.9. Квазилинейная функция полезности агента г с
типом 0i имеет вид
гц(о,0г) =Vi(a,0i) - pt,
где исход о определяет выбор а е К- из дискретного множества К.
и выплату рц производимую агентом.
У агента с квазилинейными преференциями вместо общего вида
функции полезности появляется тоже достаточно общего вида функ-
ция оценки (valuation function) Vi(a), а е /С. Например, на аукционе,
где продаётся одна вещь, IC = {0,1} — агент либо получит эту вещь,
либо не получит. А р^ в этом случае — выплата агента продавцу. Это
достаточно естественное предположение в случае аукциона.
Есть ещё одно предположение, которое в жизни часто не выполня-
ется (хотелось написать «к сожалению», но, может, и к счастью). Мы в
дальнейшем будем для простоты предполагать, что агенты нейтраль-
ны к риску (risk-neutral agents). Что это значит?
Б экономике агенты различаются между собой по своему отношению
к риску. Можно совсем упростить ситуацию: предположим, что агент
может получить возможность с вероятностью j получить $100. Тогда:
— осторожный (risk-averse) агент готов заплатить за эту возмож-
ность сумму, строго меньшую $50;
— нейтральный к риску (risk-neutral) агент готов заплатить за эту
возможность ровно $50;
— рисковый (risk-loving) агент готов заплатить больше $50.
Б жизни часто встречаются осторожные агенты (risk-averse agents).
Сами посудите: вы готовы заплатить $999 за возможность подбросить
44
/|гкция 2
Введение в дизайн механизмов
монетку и выиграть $2000 при удачном её выпадении? А нейтральные
г риску агенты рассматривают это предложение как очень выгодную
1 Делку.
В этом курсе мы не будем рассматривать осторожных агентов. Но
гое-какие замечания об этом сделать всё же хочется, хотя бы просто в
качестве лирического отступления.
В экономике часто рассматривают (мы, собственно, уже рассмат-
ривали) функции полезности (utility functions). Классическая гипотеза
фон Неймана-Моргенштерна [62] утверждает, что полезность лотереи
U(p) = ^р(х)и(х),
X
где сумма берётся по возможным исходам лотереи, а и(х) — полезность
агента от исхода х. Например, в лотерее с двумя исходами, Z] и Z2, и
вероятностью выпадения исхода zj, равной р (пусть без потери общно-
сти, и(гг) > u(zi)), ожидаемая полезность играющего в лотерею агента
равна
U(p) =pu(zi) + (1 -p)u(z2)
(па рис. 2.4 этой функции соответствует прямая между точками А и В).
45
Курс Теория экономических механизмов
Основная суть осторожного агента в том, что для него получит»
просто сумму в z денег выгоднее, чем играть в лотерею с ожиданием
E[u] = z. Иначе говоря, полезность u(z) должна быть у него выше,
чем U(p) (см. рис. 2.4). Это значит, что функция полезности денег для
осторожного агента должна быть вогнутой (её вторая производная, если
она существует, должна быть отрицательной).
Можно даже выработать численный показатель того, насколько ос-
торожен агент. Поскольку полезность определена с точностью до аф-
финных преобразований, просто вторая производная не подойдёт. За-
то подойдёт так называемый коэффициент неприятия риска Эрроу-
Пратта (Arrow-Pratt measure of absolute risk aversion, ARA) [4,67]:
Axt(w) = —
u"(w)
u'(w)
Для этой меры справедлива следующая теорема (которую мы доказы-
вать не будем).
Теорема 2.2. Для некоторых функций полезности и и v неравен-
ство Au(w) > Av(w) верно тогда и только тогда, когда существу-
ет такая возрастающая вогнутая функция И., что u(w) - h.(v(w)).
Проще говоря, если Аи доминирует над Av, то и «более вогнутая»,
чем V. Посредством этой меры можно оценивать, насколько осторожен
тот или иной агент.
К сожалению, не все результаты, которые мы докажем в этом курсе,
распространяются на случай осторожных агентов. Более подробно об
том, что происходит с осторожными агентами, можно прочесть в [35].
А напоследок — любопытный пример, в котором даже гипотезы об
осторожных агентах недостаточно, чтобы объяснить происходящее в на-
ших с вами головах.
Пример 2.3. Этот классический пример называется парадоксом Эл-
сберга, хотя история его восходит ещё к Кейнсу [2,18,32]. Рассмотрим
урну, содержащую 30 красных шаров и 60 других шаров, которые либо
чёрного, либо жёлтого цвета. Вы не знаете, сколько там чёрных шаров,
а сколько жёлтых, но знаете, что в сумме тех и других ровно 60. Вам
предлагают выбор из двух вариантов:
А. Вы получаете $100, если вытащите красный шар.
46
Лекции 2 Введение в дизайн механизмов
В Вы получаете $100, если вытащите чёрный шар.
ИI миле того, вам предлагают и другой выбор.
( Вы получаете $100, если вытащите или красный, или жёлтый шар.
I > Вы получаете $100, если вытащите или чёрный, или жёлтый шар.
Поскольку доход одинаковый, то если вы последовательно предпочи-
таете А перед В, это значит, что вы верите, что вытащить красный
fii.ip строго более вероятно, чем вытащить чёрный шар. Аналогично,
ясли вы последовательно предпочитаете С перед D, это значит, что вы
верите, что вытащить красный или жёлтый более вероятно, чем вы-
тащить чёрный или жёлтый. Заметим, что в такой ситуации, если вы
дерите, что красный вероятнее чёрного (А лучше В), то автоматиче-
< г и «красный или жёлтый» становится более вероятным, чем «чёрный
или жёлтый» (к вероятности просто прибавляется непересекающееся
i оОытие, одинаковое в обоих случаях — читатель может сам строго вы-
иисать вероятности и убедиться в этом). То есть человек, выбирающий
А, должен выбирать С. Этот результат совершенно не зависит от сте-
пени осторожности агента: любая альтернатива включает в себя риск,
и следствие «если А лучше В, то С лучше D» сохраняется при любой
поправке на осторожность (проверьте это!).
Однако проведённые эксперименты показывают, что большинство
модей последовательно и строго предпочитают А перед В и D перед
( 1 Попробуйте сами опросить своих знакомых — наверняка получится
нечто подобное, если, конечно, опрашивать будете не специалистов по
теории вероятностей.
Получается, что люди предпочитают известный, хотя и ббльший,
риск неизвестному риску, что противоречит теории ожидаемой пользы,
которой мы сейчас слегка коснулись. Этот парадокс можно объяснить,
если принять, что агент пытается минимизировать не просто свой риск,
но некоторую комбинацию из риска и своего знания о риске. Получа-
ется крайне интересная теория, так называемая info-gap decision theory,
которую мы, к сожалению, в этой книге рассматривать не будем [9].
Конец примера 2.3.
47
Курс
Теория экономических механизмов
Лекция 3. Принцип выявления предпочтений
3.1. Введение
В этой лекции мы сначала подробно рассмотрим аукционы первой
и второй цены уже с более формальных, математических позиций, а
затем докажем интересный (и очень полезный в дальнейшем) факт о
том, что всегда можно перестроить аукцион так, чтобы агентам было
выгодно говорить правду. Для аукционов первой и второй цены мы по-
строим оптимальные стратегии поведения агентов, ожидания прибыли
организаторов. Но сначала определим условия, в которых проводится
аукцион.
Наши аукционы будут проходить с закрытыми ставками (ещё гово-
рят — в режиме закрытых торгов; так обычно проводят, например,
тендеры). Есть N независимых агентов, которые хотят купить один объ-
ект. Считается, что участники подают заявки «в конвертах» организа-
торам, которые на основании всех ставок решают, какому агенту отдать
этот объект и за какую цену.
Будем считать, что возможная внутренняя стоимость агента i опре-
деляется случайной величиной Xi. Иначе говоря, агент I при многократ-
ном повторении аукциона будет иметь внутренние стоимости, подчиня-
ющиеся распределению случайной величины Xi- Предположим также,
что Xi одинаково распределены на отрезке [0, со], и каждая из них име-
ет неубывающую функцию распределения F: [0, си] —> [0,1]. Б принципе
возможно, что си = оо, но в любом случае E[Xi] < оо.
Далее предположим, что агент г знает все X,, j г и знает свою
ставку Xi, которую он поставит. При этом конкретные значения Xj, j г,
которые поставили другие агенты, агент I не знает.
Наконец, сделаем ещё одно предположение о природе агентов. Бу-
дем считать, что все Xi имеют одну и ту же функцию распределения
F, и все агенты осведомлены о том, что у всех одинаковая функция
распределения F. Такая модель называется симметричной.
48
Лекция 3
Принцип выявления предпочтений
3.2. Модели аукционов: закрытые и открытые ставки
Когда мы говорим «аукцион», первой, конечно, на ум приходит си-
туация, в которой участники один за другим поднимают цену, и когда в
результате остаётся только один, который и покупает разыгрываемый
лот
- Сто сорок пять в пятом ряду справа, раз.
Зал потух. Слишком дорого.
- Сто сорок пять, два.
Остап равнодушно рассматривал лепной карниз. Ипполит Матве-
евич сидел, опустив голову, и вздрагивал.
- Сто сорок пять, три...
Но, прежде чем чёрный лакированный молоточек ударился о фа-
нерную кафедру, Остап повернулся, выбросил вверх руку и негром-
ко сказал:
- Двести!
Примерно так, правда? Такой аукцион называется английским. На
самом же деле, конечно, различных моделей аукционов гораздо больше.
11апример, другая классическая модель — так называемый голландский
аукцион. Он получил такое название потому, что именно по этой модели
проводятся классические голландские аукционы, на которых продают
цветы1. Б голландском аукционе аукционер начинает торги с заведомо
«лишком высокой цены, после чего понижает её до тех пор, пока не
поднимется первая рука (то есть пока первый агент не захочет купить
лот по объявленной цене). После этого лот уходит тому, кто захотел его
приобрести, и по той цене, которая была объявлена.
И английский и голландский аукционы относятся к аукционам с
открытыми ставками. В таких аукционах каждый агент полностью
пидит процесс торгов, включая ставки других агентов (хотя в голланд-
। ком аукционе, можно сказать, как раз не видит, а если увидел, значит,
торги закончились — но что поделаешь, такой уж аукцион).
Но бывают ещё и аукционы с закрытыми ставками. Модель эту
лучше всего представить следующим образом: агенты подают аукционе-
ру закрытые конверты, в которых написаны ставки каждого из агентов.
' http://www.floraholland.com/.
49
Курс
Теория экономических механизмов
Аукционер вскрывает конверты, а потом определяет победителя и це-
ну, которую победитель должен заплатить; именно этими двумя функ-
циями разные аукционы с закрытыми ставками и отличаются друг от
друга. Примеров аукционов с закрытыми ставками в реальной жизни
тоже много; например, так проводятся тендеры,.
Аукционы с закрытыми ставками анализировать с математической
точки зрения удобнее — гораздо более чётко формулируются базовые
понятия: в контексте закрытых ставок это просто две функции: распре-
деление выигрыша и выплаты агентов. Но при этом неплохо бы рас-
смотреть и аукционы с открытыми ставками. К счастью, легко понять,
что аукционы с открытыми ставками (в некоторых предположениях)
эквивалентны аукционам с закрытыми ставками.
Рассмотрим аукцион первой цены с закрытыми ставками: агенты
подают на бумажках цены, которые они готовы заплатить, аукционер
выбирает наибольшую из них и продаёт подавшему её агенту лот по
этой самой цене. Сравните эту модель с голландским аукционом: аук-
ционер начинает объявлять цены и понижает их до тех пор, пока не
найдётся первый агент, готовый купить лот по объявленной цене. Если
предположить, что у агента есть некоторая внутренняя стоимость,
с которой он готов расстаться ради объявленного лота, то агент в гол-
ландском аукционе поднимет руку как раз в тот момент, когда цена
достигнет этой стоимости. И в аукционе первой цены он напишет ту
же самую стоимость. Таким образом, голландский аукцион и аукцион
первой цены с закрытыми ставками эквивалентны.
Для английского аукциона тоже можно найти эквивалентный ему
аукцион с закрытыми ставками. Правда, для этого придётся предполо-
жить, что внутренние ценности агентов независимы, ведь в английском
аукционе агент слышит ставки других агентов и теоретически мог бы
модифицировать свою собственную ставку в зависимости от услышан-
ного. О том, что происходит в таких случаях, мы начнём говорить в лек-
ции 9; в действительности окажется, что в такой ситуации английский
аукцион нужно анализировать по-другому. Но если сделать предполо-
жение о независимости внутренних ценностей, то английский аукцион
становится эквивалентен аукциону второй цены с закрытыми ставка-
ми. В аукционе второй цены аукционер собирает ставки в конвертах;
победителем становится, как и в аукционе первой цены, объявивший
максимальную цену, но платит он не то, что объявил, а цену второго
50
Лгкция 3
Принцип выявления предпочтений
। псрху участника. Этот аукцион ещё называется аукционом Викри, в
< ледующем разделе мы узнаем о нём много интересного. Легко видеть,
что эти два аукциона эквивалентны: в английском аукционе победитель
определяется в тот момент, когда сдаётся второй сверху игрок. Соот-
пстственно, и платит он не свою внутреннюю ценность, а внутреннюю
ценность второго сверху игрока.
О разных моделях аукционов можно подробнее прочитать в [48]; мы
ч*е будем в дальнейшем в основном рассматривать аукционы с закры-
тыми ставками, особенно упирая на аукционы первой и второй цены.
Теперь вы знаете, почему они столь важны.
3.3. Стратегии и доход аукционов первой и второй цены
Определив в разделе 3.1 аукцион с закрытыми ставками с точки зре-
ния агентов, обратимся теперь к самбй реализации этой модели аукци-
она организаторами — кому отдать единственный продаваемый объект
и по какой цене. Сначала рассмотрим механизм аукциона Викри (по-
дробно описанный в предыдущей лекции). Напомним, что если агент i
подаёт ставку Ьц, то его прибыль, исходя из механизма аукциона Викри,
определяется следующим образом:
Xi — maxj^i bj, если bi > maxj b,,
О, если bi < maxj^ibj.
Если несколько агентов подадут одинаковые ставки, то в качестве
победителя аукциона мы просто равновероятно выберем одного из них.
В предыдущей лекции мы обсудили и доказали следующую теорему.
Теорема 3.1. В аукционе второй цены с закрытыми ставками
(аукционе Викри) стратегия делать правдивую ставку
bi(x) = х,
'де х — реальная внутренняя стоимость объекта для агента i,
является слабо доминирующей.
Напомним определение слабо доминирующей стратегии.
Определение 3.1. Стратегия агента bi.- [0, си] —> [0,со] называет-
(я слабо доминирующей, если она слабо максимизирует прибыль
51
Курс
Теория экономических механизмов
агента г при всех возможных стратегиях других агентов:
Vb( е Vb ч 6 Пг(Ьг, Ь_г) > ПЦЬ'ЪЪ ч),
где 2?ч — множество возможных наборов стратегий остальных
агентов, Ъ-ч — множество векторов их ставок.
Отметим, что доказательство этой теоремы не использовало ни тот
факт, что агенты знают априорные распределения друг друга, ни сим-
метричность аукциона.
Давайте теперь найдём, сколько агент ожидает заплатить в резуль-
тате аукциона Викри, учитывая его симметричность. Рассмотрим аген-
та 1 и первую порядковую статистику на распределениях всех осталь-
ных агентов {Хг, Х3, • • -, Xn}:
Y, = max{X2,X3,...,XN}.
Найдём функцию распределения Yi:
N
G(y) =p(max{X2,X3,...,XN}<y) = р[р(Хг<у) = F(p)N_1.
i=2
Итого, если х — ставка агента 1, то ожидание выигрыша с учётом
того, что все агенты ставят свои реальные ценности, будет вычисляться
по следующей формуле:
тп(х) — р [Выигрыш агента 1] х Е[2-я ставка | х — макс, ставка] =
= р [Выигрыш агента 1] х Е[2-я ценность | х — макс, ценность] =
= G(x)E[Y, | Y, < х] = Ftx^-’EtY! | Y, < х].
Запомним эту формулу — она нам ещё пригодится. А сами обратимся
к анализу другой модели аукциона. Теперь мы будем рассматривать
аукцион первой цены с закрытыми ставками. Функция прибыли агента
г выглядит следующим образом:
{Xi - bi, если bi > maxj^bj,
О, если bi < maxj^ibj.
Если несколько агентов подадут одинаковые ставки, то в качестве по-
бедителя аукциона выберем одного из них равновероятно.
52
И*|>ции 3 Принцип выявления предпочтений
Самое же первое наблюдение, которое можно произвести над фор-
мулой прибыли агента i, убеждает нас в том, что аукцион первой цены
и« будет правдивым. Ведь если агент сообщит в качестве ставки свою
истинную внутреннюю стоимость (bi = Xi), то ПРИ любом исходе агент
in r-гда получит нулевую прибыль! Говорить правду в аукционе первой
цепы — всё равно что в нём вообще не участвовать. Поэтому неизбежно,
что агенты будут лгать, подавать ставки, меньшие их истинных стои-
цо( тей. Наша ближайшая задача — найти их равновесные стратегии.
Рассмотрим стратегии агентов, обозначив через (3(х) ставку агента с
нн утренней ценностью х. Мы будем понемногу устанавливать свойства
функции |3, из которых она потом определится единственным образом.
Пот простейшие свойства:
I. |3(0) = 0 и Vx е [0, си] : (3(х) (3(си);
2. (3(х) — неубывающая функция.
Теперь рассмотрим первого игрока. Пускай он знает, что остальные
(ледуют стратегии (3, и хочет определить свою ставку b с учётом внут-
ренней полезности х, которую для него имеет текущий лот аукциона.
Тогда первый агент выигрывает, когда
max (3(Xi) < b.
По монотонности [3 получаем, что
шах[3(Xi) = [3 (maxXi) = |3(Yi).
1Д1 \ i^1 )
(Следовательно, первый игрок выиграет, когда Y] < (3 -1(b). Тогда веро-
ятность того, что агент выиграет, поставив Ь, будет равна
р[Быигрыш агента 1] — G (|3“1 (Ь)) ,
где G — распределение Y,. Б итоге получается, что ожидаемая прибыль,
которую получит первый игрок, равна
П(Ь,х) = G (|3-1(Ь)) (х-Ь).
Получив такую формулу для ожидаемого выигрыша, осталось мак-
। имизировать её по b стандартным способом: продифференцировать по
53
Курс Теория экономических механизмов
Ь и приравнять к нулю. Запишем получившееся уравнение:
|^М(х-Ъ)-с(г'(Ъ))=0. ]
Но мы же на самом деле ищем равновесную оптимальную страте-
гию. А в ней все агенты (так как они симметричны) будут делать ставки
в соответствии с единой оптимальной стратегией: Ъ = (3(х).
В итоге у нас получается дифференциальное уравнение:
G(x)(3z(x) + С'(х)(3(х) = хд(х).
Преобразуем его:
G(x)(3,(x) + G z(x) (3 (х) = xG'(x),
а затем решим относительно (3 с учётом начального условия (3(0) — 0:
PW = 77-7 [ yG'(y)dy.
G(x)Jo
А теперь вспомним определение условного математического ожида-
ния и получим итоговые формулы для стратегии игрока (3 и его ожи-
даемой выплаты т:
|3(х) = Е№<х];
т(х) = G(x)E[Yl|Y1 <х].
Пока что мы из некоего дифференциального уравнения нашли вид
функции (3. Но это пока только достаточное условие: мы знаем, что если
оптимальная стратегия существует, то она имеет вид (3. А чтобы дока-
зать, что она вообще существует, мы возьмём уже полученную формулу
для (3 и покажем, что это действительно равновесная стратегия, то есть
проверим и необходимое условие тоже.
Теорема 3.2. Стратегия
₽(х)=Е[^|^ <х]
является равновесной в аукционе первой цены,.
54
/|»КЦИЯ 3
Принцип выявления предпочтений
.\иказателъство. Доказательство такого рода теорем следует стан-
дартной схеме. Чтобы доказать, что что-то является равновесной стра-
it гной, мы предполагаем, что все участники, кроме одного, действуют
1ю >той стратегии, а затем рассматриваем всевозможные стратегии это-
го одного участника. Если выяснится, что ему тоже выгодно следовать
гой же самой стратегии, это и будет означать, что она была равновес-
ной.
Итак, пусть все участники, кроме первого агента, действуют по стра-
гггии
|3(х) - =E[yilYi <
г обозначим ставку первого игрока через Ь. Тогда, если b > (3 (си), первый
п ент получит отрицательную прибыль, какой бы ни была его внутрен-
няя ценность. Следовательно, в любом случае b < (3(си). Обозначим
через z = (3-,(Ь) значение, для которого b — равновесная ставка. Ис-
пользуя формулу
ГГ(Ь,х) = С(Г’(Ь))(х-Ь),
гвторую мы получили выше, найдём ожидаемый выигрыш первого иг-
рока:
ll(b,x) = G(z)(x — (3(z)) =
= G(z)x - G(z)E[Yi|Y] < z] - G(z)x - [ yg(y)dy =
Jo
= G(z)x — G(z)z+ [ G(y)dy =
Jo
= G(z)(x-z)+[ G(y)dy.
Jo
Итого получается:
П(Ь,х) = G(z)(x —z) +
G(y)dy.
о
I Io зто значит, что
ll(|3(x),x)-n(|3(z),x) = G(x)(x-x) + [ G(y)dy—
Jo
55
Курс
Теория экономических механизмом
G(z)(x-z)-[ G(y)dy = G(z)(z —х) - [ G(y)dy^0.
Jo Jx
Последнее неравенство выполнено, так как G — неубывающая функция.
В итоге мы получили, что в условиях нашего аукциона агенту, сопер-
ники которого действуют по стратегии (3, всегда выгоднее ставить [3(х);
а это и означает, что [3 — оптимальная равновесная стратегия. □
Можно переписать (3 в виде, в котором будет очевидно, что участ-
никам надо ставить меньше их внутренней ценности.
Следствие 3.2.1. В аукционе первой цены,
₽(х)=х-[ |^ydy.
Jo b(xj
Доказательство. Докажем, проинтегрировав по частям:
Р(х) = yG'(y)dy =
j0
1 ( г-< . чд А ГС(у)л
= 7чЗТ xG(x)- G(y)dyl=x— y^vdy
G(x) \ Jo / Jo G(x)
(одна часть — у, другая часть — G(y)). □
Замечание. Кстати говоря, учитывая, что
гад и G(^L.
Jo G(x) У G(x) Vf(x)J ’
получаем, что чем больше участников в аукционе, тем ближе им нужно
ставить к своей истинной ценности (и тем на меньшую прибыль они
могут в результате рассчитывать).
Пример 3.1. Предположим, что ценность каждого из агентов распре-
делена равномерно на [0,1], то есть
F(x) = х.
Это значит, что
G(x) =xN-’.
Как в этом случае будет выглядеть оптимальная стратегия?
56
Иякция 3
Принцип выявления предпочтений
Проинтегрируем выражение, полученное в предыдущем следствии:
п, . Гб(у) fx yN~' х xN
13 Х “ Х Jo G(x)dU “ Х Jo xN-1 ~ Х NxN-1
N-l
——X.
И i формулы |3(x) = видно, что, действительно, и в этом слу-
i.ic ставка строго меньше внутренней ценности, но с ростом количества
участников к этой внутренней ценности стремится.
Конец примера 3.1.
Рассмотрев выше ожидаемые выплаты игроков и их стратегии в обо-
их аукционах, обратимся теперь к доходу, который может от аукциона
придать продавец (обозначим его Е[Revenue]). В аукционе второй цены
продавец получает ожидаемую стоимость второго участника:
Е [Revenue] = E[Yz].
Лемма 3.1. Для Е[Уг] верна следующая формула:
г си
E[Y2]=n| y(l-F(y))s(y)dy.
Jo
Доказательство. В формуле просто записано, что вероятность у быть
второй сверху случайной величиной — это произведение вероятностей
двух событий:
— одно из N чисел больше у (вероятность 1 — F(y));
у является максимумом среди остальных N—1 чисел (вероятность
9(У))-
11ри этом порядковый номер числа, которое является первым максиму-
мом, можно менять — отсюда получается множитель N. Это же можно
(и позже будет нужно) сказать и другими словами:
PCD
у(1-F(y))y(y)dy
о
шляется ожидаемой выплатой одного агента в аукционе второй це-
пы со сделанными нами предположениями. А ожидание дохода продав-
ц.1, естественно, складывается из ожидаемых выплат всех агентов. □
57
---------------------------------------------------------------v
Курс Теория экономических механизме»
Итак, в случае аукциона второй цены
E[Revenue] = EfYj = N [ у(1 - F(y))g(y)dy.
Jo
Теперь рассмотрим аукцион первой цены; там анализ будет чуть
похитрее, но тоже ничего сверхъестественного. Учитывая, что тп(х) —
ожидаемая выплата одного участника, перейдём к сумме «средних» вы-
плат всех участников; напоминаем, что f (х) — функция плотности рас-
пределения внутренних стоимостей агентов:
га>
E[Revenue] = N m(x)f(x)dx = ...
Jo
Подставим уже найденное нами в предыдущем пункте тп(х):
... = N [ yG'(y)dy') f(x)dx = ...
Jo \Jo /
Изменим порядок интегрирования на треугольной области интегриро-
вания (в пространстве (х,у), см. рис. 3.1) и перейдём от функции рас-
пределения G(y) к её плотности д(у):
... = N [ ( [ f(x)dx ) yg(y)dy = ...
Jo /
И, наконец, по определению функции плотности вероятности случайной
величины,
реи
... = N у(1 — F(y))g(y)dy.
Jo
Оказалось, что ожидаемый доход продавца в аукционах первой и
второй цены совпадает. Но при этом доход в конкретных случаях может
отличаться.
Пример 3.2. Рассмотрим двух участников с равномерно распределён-
ными ценностями на [0,1]. Тогда в аукционе первой цены агенты будут
ставить Ь(х) — х/2 (как мы уже доказывали в примере 3.1), а в аукционе
второй цены — Ъ(х) = х (как было показано в теореме 3.1). Приведём
два варианта скрытых ценностей, когда с точки зрения продавца то
один аукцион лучше, то другой.
58
Лекция 3
Принцип выявления предпочтений
Рис. 3.1. Область интегрирования интеграла Jg •. dydx.
Если ценность первого 0, а ценность второго 1, то аукцион первой
цены даст доход 0,5, а второй цены даст нулевой доход; в этой
ситуации для продавца первая цена лучше второй.
Если ценности первого и второго равны 1, то аукцион первой цены
даст доход 0,5, а аукцион второй цены даст полную цену 1; в этой
ситуации для продавца вторая цена лучше первой.
Конец примера 3.2.
Напоследок ещё раз повторим основные выводы из нашего анализа
двух моделей аукционов:
— в аукционе второй цены все говорят свои настоящие ценности —
но получают вещь за меньшую цену — за цену второго сверху
участника;
— в аукционе первой цены каждый платит сколько сказал — но все
говорят меньше, чем истинная стоимость.
3.4. Свойства механизмов в контексте аукционов
Прежде всего напомним общее определение механизма.
59
Курс
Теория экономических механизме!
Определение 3.2. Механизм
A4 = (E1,...,EN,g)
состоит из набора стратегий Е< для каждого агента и функции
исходов
g : Ei х , х EN ч О,
которая определяет исход, предусмотренный механизмом для по-
лученного на вход профиля стратегий s = (s,,..., sn).
Теперь немного конкретизируем зто определение, применив его к
конкретной ситуации аукционов.
Во-первых, у агентов вместо множеств стратегий Е, будут множества
возможных ставок В\_. Каждый агент должен сделать ставку е
Итого получится вектор ставок
Ъ = (Ъ1,..., 6n) б В = В] х ... х Bn.
Во-вторых, в контексте аукционов можно конкретизировать и поня-
тие функции исходов. Она разделится на две функции: правило раз-
мещения (п) и правило платежей (ц).
Правило размещения (allocation rule) п : В —> Л будет определять,
кому достанется предмет; здесь А — множество распределений веро-
ятностей над множеством агентов, потому что правило размещения,
вообще говоря, не обязано ограничиваться строго детерминированным
размещением.
А правило платежей (payment rule) ц : В —> RN определяет, сколь-
ко каждый агент должен будет заплатить. щ(Ъ) — цена, которую дол-
жен заплатить г-й агент по итогам аукциона. Как и размещение 7ц(Ъ),
цена зависит исключительно от вектора ставок, поданного на вход ме-
ханизма. Здесь важно отметить, что платить может оказаться нужно
далеко не только победителю. Бывают аукционы, в которых все участ-
ники платят ту или иную сумму (либо за вход, либо сумму, связанную с
их ставкой). Бывают аукционы, в которых некоторые участники платят,
а другие перераспределяют между собой то, что первые заплатили (и
для них щ будет принимать отрицательные значения); таковы, напри-
мер, аукционы с условием баланса бюджета, которые мы рассмотрим в
лекции 5.
60
Лекция 3
Принцип выявления предпочтений
Пример 3.3. Функции размещения и платежей в аукционе первой це-
нт будут выглядеть так:
{1, если bt > maxj^ibj,
О, в противном случае.
I bi, если bi > maxj^ibj,
Цг(Ь) — X
[О, в противном случае.
То есть мы отдаём предмет агенту, который предложил больше всех,
и ни с кого не берём денег, кроме этого агента; зато уж с победителя
мы берём его ставку полностью. Каемся: в этих формулах мы допусти-
ли небольшую неточность. Может оказаться, что ни для какого г не
ргрно, что bi > maxj^ibj. Это значит, что в аукционе равенство ставок
между несколькими участниками; раньше мы упоминали, что будем в
такой ситуации равновероятно отдавать вещь любому из победителей (и
। пего и брать деньги). Поэтому формулы для щ и щ не вполне точны.
11о при равномерных функциях распределений внутренних ценностей
и ставок вероятность совпадения равна нулю, поэтому мы ею будем в
дальнейшем пренебрегать.
В аукционе второй цены функция размещения точно такая же, как
и и аукционе первой цены. Зато функция выплат отличается:
Hi(b) = <
maxj^ibj,
О,
если bi > maxj^ibj,
в противном случае.
Конец примера 3.3.
Стратегии в контексте аукционов тоже немного конкретизируются;
теперь стратегии — зто функции
Pi: [0, cvj —> Bi
где <x>i — максимальная возможная для г-го агента стоимость (возмож-
но, <l>i = оо).
Равновесие вектора стратегий р = (Pj,...,Pm) достигается, если для
гаждого г и каждого Xi отклонение от стратегии Pi уменьшает ожида-
емый выигрыш i-го агента:
Exj,j/i[m(P((xi))] < EXjij^i[m(Pi(Xi))],
61
Курс
Теория экономических механизмов
где вероятность берется по распределениям Xj других агентов, придер-
живающихся стратегии (3,.
Теперь снова обратимся к общему определению механизма и рас-
смотрим один из типов механизмов — прямые механизмы (direct mecha-
nisms, direct revelation mechanisms). В этом случае у каждого агента
просто спрашивают его тип, то есть Ei = 0;. В случае аукционов, соот-
ветственно, у агента спрашивают его истинную внутреннюю стоимость
Xt. Но, как мы уже выясняли, агенты могут нам лгать, и поэтому мы
хотим придумать такие механизмы, чтобы лгать было невыгодно.
Вспомним определение того, что механизм реализует социальную
функцию.
Определение 3.3. Механизм М = (Ei,..., En, д) реализует функ-
цию социального выбора f : 0, х ... х 0м —> О, если для всех 0 =
(01,..., 0м) е 0] х ... х 0м
g(sn0i),...,s*N(0N))=f(0).
где профиль стратегий (s’,,...,s^) находится в равновесии по от-
ношению к игре, индуцированной Л4.
А теперь добавим в это определение правдивость механизма.
Определение 3.4. Прямой механизм Л4 = (0ц...,0м, 9) реализует
функцию социального выбора f : 0] х ... х 0N —> О, если для всех
0 = (0],..., 0]\|) €01 х ... х 0м
g(0i,...,0N) = f(0),
где профиль стратегий (0i,..., 0м) находится в равновесии по от-
ношению к игре, индуцированной М.
Учитывая, что в этом определении получилось, что g = f, можно
определить правдиво реализуемую функцию социального выбора.
Определение 3.5. Функция социального выбора f : ©i х... x0n —> О
правдиво реализуема (truthfully implementable, incentive compatible),
если профиль стратегий (s’},..., s^), где s((0<) = 0i, находится
в равновесии в игре, индуцированной прямым механизмом Л4 =
(01,...,0N,f).
62
Менции 3 Принцип выявления предпочтений
Г ' --—тая--- —--Я. _ I "-ал-д—г —я — „
Итак мы получили определение правдивых механизмов. Их глав-
ный плюс заключается в том, что участникам выгоднее говорить прав-
ду Исли это так, то им нет нужды рассчитывать сложные равновесные
। тратегии, в которых можно допустить ошибку. Более того, если равно-
ипс ие у правдивого механизма — в доминантных стратегиях (см. также
ниже), то агенты могут вообще не задумываться: вне зависимости от
наличия или отсутствия информации от других агентов нужно просто
п ширить правду. Так у нас уже было с аукционом Викри, а теперь мы
рассмотрели то же самое и в общем виде.
Теперь, введя определение, можно задаться вопросом — когда можно
получить правдивый механизм для заданной функции социального вы-
бора? Ответ на этот вопрос уже есть: Роджер Майерсон доказал прин-
цип выявления доходности, который гарантирует, что если какую-
II। социальную функцию можно реализовать, её можно и реализовать
правдиво. Перед доказательством ослабленного варианта этого факта
нам нужно будет вспомнить несколько определений.
Определение 3.6. Стратегия Si называется доминантной, если
она (слабо) максимизирует ожидаемую прибыль агента для всех
возможных стратегий других агентов:
Vs^ St, S_i G £—i S—i, 6i) i> ®i)-
Мы уже говорили, что если стратегии у агентов доминантные, то
можно быть абсолютно уверенным, что агент изберет доминантную
стратегию, ведь она не зависит от его прогнозов на действия других
агентов. По этой же причине можно отказаться от предположений на
распределение типов у агентов F(0); да и вообще F(0) не рассматривать.
Определение 3.7. Механизм М. = (Li,..., £n, 9) реализует функ-
цию социального выбора f : 0j х ... х ©ы —> О в доминантных стра-
тегиях, если для всех векторов типов агентов 0 = (0j,...,On) G
i )i х ... х ©n выполнено равенство
g(S^01),...)s*N(0N))=f(e),
и каждая из стратегий s? является доминантной для агента i.
63
Курс Теория экономических механизмов
3.5. Принцип выявления предпочтений
Мы уже почти готовы сформулировать и доказать главную теорему
этой лекции. В ней пойдёт речь об очень интересном факте — оказыва-
ется, если какую-то функцию социального выбора можно реализовать
при помощи хоть какого-нибудь механизма, её можно реализовать и при
помощи прямого и правдивого механизма!
Важность этой теоремы трудно переоценить — после неё нам во мно-
гих случаях можно будет вообще не задумываться о том, что агенты
могут лгать. Ведь теперь каждый раз, когда мы раньше предполагали
бы, что какой-то механизм реализует функцию социального выбора,
мы сможем предполагать, что прямой правдивый механизм тоже ре-
ализует зту функцию. И если вдруг окажется, что прямых правдивых
реализаций у неё нет, то, значит, у неё и вообще никаких реализаций не
имеется; это нам очень поможет, когда мы будем рассматривать теоре-
мы о невозможности.
Исторически принцип выявления (по-английски звучит весьма пыш-
но — revelation principle, но как «принцип откровения» мы решили всё-
таки не переводить) сначала появился в ограниченной постановке, для
доминантных стратегий [22], но вскоре был обобщён на равновесия по
Байесу-Нэшу [15,25,54]. Наиболее общая его формулировка, для байе-
совских игр, была доказана Майерсоном [56,57], и он же продолжил те-
му принципа выявления ещё дальше, на игры, проходящие в несколько
раундов (multistage games), когда действия агентов в следующем раунде
могут зависеть от исхода предыдущих [58].
Но давайте перейдём к собственно теореме. Мы не будем касаться
этих самых многоэтапных игр, а поначалу и вовсе ограничимся фор-
мулировкой в доминантных стратегиях. Сформулируем самое «мощ-
ное» определение реализации функции социального выбора, скомпоно-
вав свойства правдивой реализуемости и реализуемости в доминантных
стратегиях.
Определение 3.8. Функция социального выбора f: 0, х... х ©n —» О
правдиво реализуема в доминантных стратегиях2, если профиль стра-
2 Терминов для этого понятия много, в зависимости от контекста по-английски
есть несколько разных обозначений: truthfully implementable in dominant strategies,
dominant strategy incentive compatible, strategy-proof, straightforward.
64
|(ИЦИ>| I
Принцип выявления предпочтений
lllfi'llii
(s1, • • • > sn)>
.»< s*(0L) = 0г, находится в равновесии доминантных стратегий в
н ре, индуцированной прямым механизмом Л4 = (0j,..., 0N,f),
нтъ
V0h0{ e 0i, 0_i e 0_i Ui(f(0i,0_i),0i) > Ui(f(0{,0-i),0i)-
Теперь можно и теорему сформулировать.
I горема 3.3 (принцип выявления предпочтений в доминантных стра-
тегиях). Пусть для данной социальной функции f существует ме-
। чнизм Л4 — (L,,..., Lm, g), который её реализует в доминантных
( тратегиях. Тогда f правдиво реализуема в доминантных страте-
члх.
) оказателъство. Несмотря на огромную полезность этого факта, до-
ем ытельство его будет достаточно простым. Суть происходящего мож-
но объяснить предельно понятной конструкцией построения правдивого
механизма по неправдивому.
Предположим, что у нас есть неправдивый механизм Л4], в кото-
ром агенты находятся в равновесии, но при этом лгут — показывают
иг < вой типы, а другие s* (0т.)- Рассмотрим тогда новый механизм с
немного изменённым протоколом — после получения значений от аген-
тки механизм будет их преобразовывать с помощью s?(0<), а потом уже
подставлять эти значения в функцию получения исхода. Иначе говоря,
мы как бы говорим агенту: «Давай мы будем врать за тебя; ты говори
правду, а мы уже подставим что надо». Мы это изобразили на рис. 3.2;
i лгпа изображена исходная схема, в которой агент пользуется стратеги-
ей s и выдаёт аукционеру не свой тип 0t, а прошедший через стратегию
Jl),). А справа на том же рисунке стратегию уже «вытащили» из аген-
। । и внесли в состав механизма (механизмом справа можно считать всё,
<т<> внутри штриховой линии). Естественно, в результате агенту будет
пы годно говорить такому механизму правду.
Давайте теперь формально проведём доказательство по этой схеме.
\ f (I।,..., 9) реализует f, значит, есть профиль стратегий
s* = (s;,...,s*),
65
КУРС
Теория экономических механизмам
Рис. 3.2. Принцип выявления предпочтений.
для которого
V0g(s*(0)) =f(0) и
Vi, 0i, s(, s_iUi(g(s?(0i),s_.i), 00 > Ui(g(s(,s ^), 0J.
В частности (подставим конкретное s' и s J,
Vi,0i иг(д(5?(0г),5_г),0П >ui(g(st(0i),sli(0_i)),0i).
Теперь, поскольку g(s*(O)) = f(0), получим, что
Vi, 0i Ui(f(0i, 0-i), 0i) > Ui(f(0(, 0-i), 0i).
А это и есть в точности определение правдивой реализуемости. □
Точно так же можно доказать эту теорему с неправдивыми меха
низмами, в которых реализуемая функция находится в равновесии по
Нэшу или Вайесу-Нэшу. Сформулируем общий факт.
Теорема 3.4 (принцип выявления предпочтений). Для любого меха
низма (£],..., Ln, g) и любого равновесия этого механизма р су
ществует прямой механизм Л4 - (Q, М), для которого:
66
Леици» 3 Принцип выявления предпочтений
стратегии говорить правду находятся в равновесии того же
типа, -что и (3;
результаты работы этого механизма в этом равновесии в
точности совпадают с результатами Л4.
Доказательство. Как и в теореме 3.3, нужно просто лгать за агента,
определим компоненты требуемого механизма Л4 как
Q(0) = п((3(х)), М(х) = ц((3(х)),
|до и — индуцированная g функция распределения исходного механиз-
му а ц — функция выплат исходного механизма. Осталось только про-
верить, что у этого механизма действительно будет заявленное равно-
весие; это мы оставим читателю, потому что в теореме 3.3 уже всю
। груктуру доказательства продемонстрировали. □
Доказав важную и интересную теорему 3.4, займёмся небольшой
еН переформулировкой, которая пригодится нам позже. Вспомним, что
правдивая реализуемость — это когда
vebe{ е 0ц 0-16 0-1 m(f(0i, 0-i), 0i) >Ui(f(0(,0-i),0i).
А теперь рассмотрим агента г и любую пару возможных типов 0' и
О". Если правдивость — доминантная стратегия, то V0_^ e 0_i выпол-
НГ11О
Ui(f(0(, 0-J, 0() > ujf (0(', 0—г), 0(),
питому что при векторе типов (0',0.ц) агенту г должно быть выгодно
। газать 0', а не 0". С другой стороны, для всякого вектора 0 ц 6 0 ц
n i.i полнено
ui(f(0(,,0_i),0f) > 0-i), ef),
питому что при векторе типов (0",0_t) агенту г должно быть выгодно
। газать 0", а не 0'.
Проще говоря, предпочтения агента i в той их части, где сравнива-
ли я f (0', 0—t) и f (0", 0-г), должны измениться, когда его тип меняется
< О' на 0" или обратно. Это называется свойством слабого обращения
преференций (weak preference reversal property).
Кстати, верно и обратное: если свойство слабого обращения префе-
ренций выполняется для всех 0 ц 6 0ци для всех пар О',0" е ©ц
67
Курс
Теория экономических механизмов
то говорить правду — доминантная стратегия для агента I. Это лег
ко проверить, если зафиксировать 0' в определении свойства слабоги
обращения преференций. А теперь введём новое определение и перс
формулируем теорему 3.3.
Определение 3.9. Множество нижнего контура (lower contour set)
возможного исхода о при агенте I типа 0^ — это
Li(o, 0J = {o' е О : ujo,0г) гц(о', 0J}.
Проще говоря, множество нижнего контура — это те исходы, кото
рые для агента i не лучше фиксированного исхода о.
Теорема 3.5 (переформулировка принципа выявления доходности).
Социальная функция f правдиво реализуема в доминантных стра
тегиях тогда и только тогда, когда для всех г, всех 0 ; 6 0 г ь
всех пар типов в', в" 6 ©i верно
П0",0-г) е и(Л0(,е_г),0{),
f(0{,0_t) е Ц(^0{',0_г),0").
Доказательство. На самом деле мы просто переформулировали факт
о том, что механизм реализуем в доминантных стратегиях. Оставляем
доказательство этого читателю. □
В заключение лекции скажем пару слов о том, что принцип выяв-
ления не обеспечивает. Главное упущение, которое может в некоторых
случаях осложнять жизнь, заключается в том, что теорема 3.4 кон-
струирует механизм, который имеет то же равновесие, что и исходный
механизм, для правдивых стратегий. Но никто не гарантирует, что этот
механизм не будет иметь других, неправдивых равновесий. Если они
появляются, то вполне возможно, что агенты окажутся в этих неправ-
дивых равновесиях, и анализ существенно осложнится. Но это всё, ко-
нечно, относится только к равновесиям по Нэшу или Вайесу-Нэшу, ведь
равновесий в доминантных стратегиях много не бывает (точнее говоря,
бывает, но все они эквивалентны).
68
Лекция 4
Теорема об эквивалентности доходности
Лекция 4. Теорема об эквивалентности доходности
4.1. Введение
В этой лекции мы снова будем рассматривать аукционы. Для на-
чала давайте вспомним и полностью перечислим условия, в которых
проводится аукцион, и обозначения, которые мы вводили для разных
। низанных с этим величин.
Итак, в аукционе участвуют N покупателей (агентов). У каждого
и । них есть своя внутренняя ценность Xi, которая определяется случай-
ной величиной Xi, распределённой по одному и тому же распределе-
нию F(x) (в этой лекции мы будем находиться в симметричном случае).
Первый момент множества из N — 1 агентов, то есть случайную вели-
чину, характеризующую максимальную цену из них, обозначим через
С(х) — F(x)N-1. Мы ограничимся стандартными аукционами, в ко-
торых вещь достаётся тому, кто больше всех предложил. При этом, ко-
нечно, то, сколько он в действительности заплатит, зависит от формы
|укциона.
Для аукциона А и агента г введём обозначение mA(xi) — сколько
участник i ожидает заплатить, участвуя в А и используя равновесную
< тратегию (предполагается, что равновесие в А существует). Агенты в
। имметричном случае одинаковые, поэтому пгА не зависит от г. Введём
пдобавок начальное условие: участник со ставкой 0 платит 0.
Кроме того, мы будем предполагать, что агенты нейтральны к рис-
м/ (risk-neutral). Нейтральный к риску агент не делает разницы между
р.п пределениями своего дохода с разными дисперсиями. Проще гово-
ря, для него заплатить 10$, чтобы с вероятностью получить 20$, —
честная сделка с нулевым доходом. В случае, когда агенты осторожны
(I isk-averse) и надёжный доход предпочитают случайным величинам,
шализ всех этих ситуаций достаточно существенно меняется; мы сей-
час не будем рассматривать эту ситуацию.
Теорема будет достаточно удивительной: окажется, что в любом рав-
попесии ожидаемые выплаты агентов (а значит, и доход продавца) оди-
наковы! То есть можно не ожидать, что при помощи какой-нибудь хит-
рой схемы аукционер сможет максимизировать свой доход, — при эго-
игтичных агентах, которые могут успешно рассчитать оптимальную
69
Курс
Теория экономических механизмов
стратегию, доходы будут совершенно одинаковыми. Впервые похожи!
эффект заметил основатель всей теории аукционов Викри [76, 77]. А
теорему независимо доказали Майерсон [55] и Райли и Самуэльсон [69],
4.2. Теорема эквивалентности доходности
Начнём с формулировки теоремы эквивалентности доходности, ко-
торая касается введённых выше обозначений. Мы будем устанавливать
эквивалентность доходности в терминах «дохода продавца» Revenue,
но доказывать будем для ожидаемых выплат каждого из агентов. Если
агент г участвует в аукционе А, его ожидаемая выплата равна
А ожидание дохода продавца получается как сумма всех ожидаемых
выплат покупателей:
‘ N
E[Revenue] — Е тп^х) = NE [тЛ(х]] ,
если мы находимся в симметричном случае, где все агенты равноправ-
ны.
Теорема 4.1. Пусть скрытые значения агентов х^ распределены
независимо и одинаково, и все агенты нейтральны к риску. Тогда
любое симметричное равновесие любого стандартного аукциона,
такое, что ожидаемая выплата агента со ставкой 0 равна нулю,
даёт один и тот же ожидаемый доход продавцу.
Доказательство. Будем следовать схеме, которую мы уже излагали
в доказательстве теоремы 3.2. Рассмотрим первого агента: остальные
следуют равновесной стратегии [3, а он ставит некоторое значение Ь.
Поскольку b — тоже возможная ставка, существует некоторое z, для
которого b = (3(z). Здесь z можно рассматривать как «ложную» внут-
реннюю стоимость: можно считать, что агент делает ставку по страте-
гии (3, но просто подменяет свою истинную внутреннюю стоимость х на
z.
Агент выигрывает, когда его ставка (3 (z) превышает самую большую
из других ставок (3(Yj), то есть (так как (3 возрастает) когда z > Yj.
70
1ы>ция 4
Теорема об эквивалентности доходности
Пи-да игрок ожидает получить следующую прибыль:
ПА(г,х) = G(z)x — mA(z),
где <i(z) = F(z)N-1 (распределение Y|). Заметим, что mA(z) зависит от
|* и от z, но не зависит от внутренней ценности х.
Нам нужно максимизировать прибыль, которую агент ожидает по-
лучить. Метод максимизации будет самый что ни на есть классический:
шить производную и приравнять её нулю. Дифференцируя выражение
для ожидаемой прибыли по z, получим следующее равенство:
^-nA(z,x) = g(z)x - -^mA(z) = 0.
oz dz
Но мы находимся в равновесии, а это значит, что агенту нужно по-
купать в соответствии со стратегией [3, применяя её к своей истинной
г рытой ценности. Иначе говоря, максимум достигается, если агент бе-
р<*т z = х и сообщает (3(х). Приравняв в предыдущем уравнении z и х,
получим следующее:
-^-mA(y) = д(у)у.
dy
Когда мы найдём решение этого дифференциального уравнения, мы
получим выражение для пгА(х):
1пл(х) = mA(0) + I yg(y)dy = I yg(y)dy = G(x) х E[Yi|Yy < х].
Jo Jo
В итоге у нас получилось, что ожидаемая выплата агента не зависит
от Л, а только от распределения на х. Поскольку ожидаемый доход
продавца складывается из ожидаемых выплат агентов, получается, что
• гот доход тоже не зависит от А. □
Давайте рассмотрим на простом примере, как можно подсчитать
11 * идаемые выплаты агентов и ожидаемую прибыль продавца.
11ример 4.1. Пусть скрытые значения агентов х^. распределены равно-
мерно на [0,1]. Тогда F(x) = х, G(x) = xN-1, и из теоремы получается,
ЧТО
71
Курс
Теория экономических механизма»
Е[тА(х)] =
N-1
N(N + 1)‘
А ожидаемый доход продавца — это N Е[тА(х)]:
E[Ra] =
N-1
N + T
Конец примера 4.1.
Математики говорят: «Theorems come and go, a good formula stays
for ever» («Теоремы приходят и уходят, хорошая формула остаётся на
всегда»). Во время доказательства теоремы мы получили формулу для
ожидаемой выплаты агента. Эта формула,
тА(х) = тА(0) + [ yg(y)dy = G(x) • EtYjIYj < х],
Jo
в будущем пригодится нам, разумеется, гораздо чаще, чем сама форму-
лировка теоремы. Заметим, что формула действует только если равно-
весие в аукционе есть — это нужно проверять отдельно, а уже потом,
если получилось, что равновесие есть, использовать зту формулу.
4.3. Два нестандартных аукциона
В качестве примеров применения теоремы эквивалентности доход-
ности (точнее, волшебной формулы из предыдущего параграфа) рас-
смотрим два аукциона, которые окажутся весьма интересными и с ма-
тематической, и с экономической точки зрения.
Пример 4.2. Рассмотрим аукцион, в котором платят все (по-англий-
ски такая ситуация называется all-pay auction). Здесь все агенты делают
ставки, потом все платят, сколько поставили, а вещь при этом дают то-
му, кто заплатил больше. В таком аукционе ожидаемая выплата строго
равна ставке. Поэтому если равновесие есть, оно должно быть таким:
maUPay(x) = Гуд(у)ау = ра11₽аУ(х).
Jo
Проверим, что это действительно равновесие (хотя бы по Нэшу). Пусть
все играют по ра11рау, а один агент ставит z. Тогда он получит
G(z)x — P(z) = G(z)x-[ g(y)dy = G(z)(x-z) + [ G(y)dy.
Jo Jo
72
1екции 4
Теорема об эквивалентности доходности
Ли мы уже видели в лекции 3, когда рассматривали аукцион первой
цены. Здесь тоже применим совершенно тот же вывод, и, следовательно,
|Дг< ь тоже будет достигнуто равновесие.
Конец примера 4.2.
1 i а верное, читатели удивляются: кто ж согласится участвовать в та-
гом невыгодном аукционе? Однако пример есть, и недалеко от поверх-
in >< ти. Этот аукцион представляет собой модель лоббирования: каждая
и । । руппировок, которые хотят добиться нужного результата в парла-
менте, платят за лоббирование, но результат-то один! Чуть менее чи-
। тый пример — рекламные кампании: все тратят деньги, а лидирующее
положение на рынке занимает одна компания (это, правда, не всегда
r.ir).
Второй пример — аукцион, при анализе которого нам потребуется
немного вспомнить математическую статистику.
11ример 4.3. В аукционе третьей цены всё похоже на аукционы пер-
пий и второй цены — агенты делают ставки, побеждает тот, кто поставил
больше всех, но победитель платит только третью сверху ставку, а не
пторую и не первую. Здесь будет много интересного из статистики, а в
гонце получится довольно забавный результат.
Итак, наша магическая формула подсказывает:
тпп1(х) = [ yg(y)dy.
Jo
Игрок выигрывает, когда У, < х, и платит третью сверху цену. С учётом
lin o, что равновесная стратегия [31П является неубывающей функцией,
пыплата выигравшего игрока будет равна (Зп1(У2), где У2 — вторая свер-
х у внутренняя ценность из оставшегося N — 1 игрока.
Теперь на время забудем об аукционах и займемся статистикой. Най-
дем плотность второй порядковой статистики в выборке из п элементов.
Событие У2 < у — это объединение двух непересекающихся событий:
все Хк меньше у;
(п — 1) величина из Хк меньше у, но один какой-то Хк больше у.
< Следовательно, для функции распределения этой случайной величины
мы получим следующее выражение:
^’(у) = F(yГ + nF(y)n-,(1 - F(y)) = nFfyP1 - (n - 1 )F(y)n,
73
Курс
Теория экономических механизме»
и, продифференцировав, получим плотность
=F^'(y) =n(n-l)(1 -F(ij))F(yr-2f(y).
Нас ещё интересуют условные вероятности. Сначала — совместная
вероятность; поскольку мы предполагаем, что все ук независимы, её
плотность просто равна произведению плотностей:
^(УъУг, • • • ,Уп) = n!f(y1)f(y2) • • f(Un)-
Теперь построим формулу для ^’(УъУг, •••,Ук):
,(n), , ••• ]’^о<т)(УьУ2,---,Уп)аук+1 ...dyn
(п — к)!
Пределы интегрирования в этом выражении описывают тот факт,
что переменные с Ук+i до уп должны оказаться меньше у к- А в знаме-
нателе стоит (п—к)!, потому что при подсчёте интегралов мы посчитаем
одни и те же события (п — к)! раз (это получается из-за того, что фор-
мула совместной вероятности не различает значения переменных у<, по
которым идёт интегрирование, друг относительно друга).
Теперь подставим формулу для совместной вероятности (с п пере-
менными) и проинтегрируем получившееся выражение. Интегрировать
в данном случае — дело совсем нехитрое:
^(У1,У2, - • • ,yn)dyk+1... dyn
(n-к)!
_ П • • • П n!f(у 1 )f(y2) • • • f(yn)dyk-n • - dy^
(n-к)!
_n!F(yk)"-kf(y1)f(y2),..f(yk)
(n-k)!
Например, при к = 2 мы получим следующее выражение:
f Ц2 (У 1 > У2) = п(п - 1 )f (у 1И (у 2)Г(У 2)П“2-
Теперь можно вывести формулу и для условной вероятности:
74
Нунция 4
Теорема об эквивалентности доходности
(z|Y1<n)=y)
fy(P,z) = n(n —1)f(y)f(z)F(z)n 2
f<n>(y) nf(y)F(yp-’
(n-1)f(z)F(z)n 2 f(n n(z)
F(y)n-1 F(y)—’ ’
Найдём условную вероятность второй порядковой статистики при
у< ловии первой; для этого выпишем определение условной вероятности,
а «тем упростим полученное выражение:
Г,п| (и I Y(n) < _
= -tJ— [ n(n- 1 )f(z)f(y)F(y)n-2dz =
F(r’(x)
1 Г , xr, ЧП-2Р n(F(x)-F(y))f(jn-1)(y)
^K-nFfzWFfy) ]x= FSn)w-------.
Получив таким образом условную вероятность второй порядковой
< татистики, можно уже подсчитать и ожидаемую выплату:
П1ш(х) = f'N”1,(x)E [Эш(У2) I у, < х] =
= Г ₽1П(у)(N - 1)(F(x) - F(y))f'N-2’(y)dy.
Jo
Приравняем это выражение к тому, что даёт нам полученная при
доказательстве теоремы 4.1 формула:
Г ₽ш(у)(N - l)(F(x) - F(y))f,N-2’(y)dy = pyg(y)dy.
Jo Jo
Продифференцировав по x, получим:
(N - 1)f(x) P PIII(y)f(1N 2)(y)dy -xg(x),
Jo
то есть
(N - l)f(x) Ppin(y)^N-2)(y)dy = (N - l)xf(x)F(x)N-2.
Jo
75
Курс
Теория экономических механизме»
Так как F™ 2(х) = F(x)N 2, получается, что
[4in(y)f^2)(y)dy = xF^2’(x).
Jo
Теперь продифференцируем это равенство по х:
|Зш(хКГ“2)(х) =xf‘N-2)(x) + F,N-2)(x),
а затем выразим отсюда |31п:
рш(х)=х +
f(,n"2)W
f!N-2)w
х !-
+ (N -2)f(x)-
Итак, мы получили итоговую формулу оптимальной стратегии:
3П1(х)=х +
F(x)
(N-2)f(x)’
К сожалению, это всё верно, только когда [3 возрастает; а для этого, как
видно из этой же формулы, надо, чтобы F/f возрастало. Иначе говоря
(вспомним, что f — это производная F, то есть f/F — это производная
InF), InF должен быть вогнутой функцией (в такой ситуации говорят,
что F log-вогнута, log-concave).
А обещанный интересный эффект вот в чём. У нас получилось, что
|31п(х) всегда строго больше х, а это значит, что агенту всегда опти-
мально ставить строго больше, чем своё истинное значение скрытой
ценности. Несколько неожиданно, но в общем вполне логично: можно
ожидать, что уж третий-то сверху окажется ниже истинной стоимости.
Конец примера 4.3.
4.4. Правдивость и эквивалентность доходности
Рассмотрим прямой механизм /Л — Напомним, что в нём
у участников просто спрашивают их скрытую стоимость: 0 = X, и
механизм можно рассматривать как два правила:
— правило распределения (allocation rule) Q = (Qi(x),..., Qn(x))
определяет вероятность того, что агент г получит объект;
76
Лекция 4 Теорема об эквивалентности доходности
правило выплаты, (payment rule) М = (Mi(x),..., Mn(x)) опре-
деляет ожидаемую выплату агента г.
Тогда исходы механизма определяются как множество пар значений
нтих функций для всевозможных векторов ставок:
<9 = {(Q(x),M(x))|x}.
Введём два важных обозначения. Обозначим через qjzj ожидае-
мую доходность агента г, когда он говорит zv, а остальные говорят прав-
АУ
qtfa) =
JaU
А через m.i(Zi) — его ожидаемую выплату в этой ситуации:
mi(zt) = Mifzi.x-jf-ifc-ddx-i
JA’-i
(и этих формулах, а также в дальнейшем, d означает многомерный диф-
ференциал, например dx_i = dxj ... dxi-jdxi+i... dxN). Тогда ожидае-
мый доход агента г, если он говорит z-x, получается как
Udzi) = qt(zi)xi- mi(zi).
'Теперь можно определить правдивость механизма в этих обозначениях.
Лемма 4.1. Прямой механизм (Q,M) является правдивым тогда
и только тогда, когда
Vi Vxt, Zi Ui(Xi) = qr(Xi)xi - Tnjxt) qt(zt)*i - mi(zi)-
11,(Xi) называется равновесной функцией дохода.
Доказательство. Собственно, неравенство, которое приведено в фор-
мулировке леммы, и исчерпывает доказательство: для правдивости от-
носительно агента i нужно, чтобы его ожидаемый доход при правдивой
< тавке был не ниже, чем при любой другой ставке; зто должно проис-
ходить в ожидании по типам всех остальных агентов. □
Ничего содержательно нового в этой вариации определения нет: по-
прежнему механизм правдив, если выгодно говорить правду. Новизна —
и удачно подобранных определениях, которые нам позволят доказать
несколько важных свойств.
77
Курс Теория экономических механизме»
Теорема 4.2 (свойства правдивых механизмов). Каждый правдивый
механизм Л4 = (Q, М.) с равновесными функциями дохода обла
дает следующими свойствами:
1. Для каждого г Llj является выпуклой функцией.
2. Для каждого г функция q, является неубывающей.
3. Функция ожидаемого дохода агента с точностью до кон
станты зависит только от правила распределения Q, но
не от правила выплаты М.
Более того, второе из этих свойств на самом деле равносильно
правдивости.
4- Если для некоторого механизма Л4 функции qt являются
неубывающими, то А4 правдив.
Доказательство. 1. Выпуклость Щ. Lit выпукла, потому что она
является максимумом аффинных функций:
Ui(xt) = max{qi(zi)xi - тп.г(щ)}.
2. Неубывание q^ Перепишем формулу для U-t(zi):
qi(Xi)Zi - ТП.г(Хг) = Ui(Xi) + qi(Xi)(Zi - Xi).
Значит,
Ui(Zi) 3^ 4i(Xi) I qt(Xi)(Zi‘ ^г)-
Всякая выпуклая функция абсолютно непрерывна и, следова-
тельно, дифференцируема почти всюду в своей области опреде-
ления. Значит, U((xi) = qi(xi) почти всюду. И опять же, раз Lit
выпуклая, то, значит, её вторая производная неотрицательна, а
это означает, что её первая производная q< не убывает. Иначе
говоря, если больше предложите, вероятность получить вещь не
уменьшится.
3. Независимость от правила выплаты. Абсолютно непрерыв-
ная функция представляет собой интеграл от своей производной:
Ui(xi) = Щ(0) + qi(ti)dti.
Jo
78
>1сицип 4 Теорема об эквивалентности доходности
Вот мы и получили, что форма ожидаемого дохода агента зависит
только от правила распределения, но не от правила выплаты.
Правило же выплаты определяет только Ui(0) (это называется
эквивалентностью наград, payoff equivalence).
4 Неубывание qi влечёт правдивость механизма. Правдивость
механизма по определению означает
Ux(zi) Ui(xi) + q<(xi)(zi Xi).
Но мы знаем, что UJxt) = П<(0) + qi(ti)dti. Значит,
Zi
Чг(^г)ЛЦ Qi (Xi) (zi Xi).
Но если qi не убывает, это неравенство верно. Получилось, что
из неубывания qi следует правдивость механизма.
□
Обобщив всё вышесказанное и вспомнив, что
Ui(x) = qi(xi)xi-mi(xi), причём Щ(0) = -ттц.(О),
можно сформулировать ещё одну, более общую формулировку теоремы
< г Бивалентности доходности.
Теорема 4.3 (теорема эквивалентности доходности). Если прямой ме-
ханизм (Q,M) правдив, то для всех г и Xi ожидаемая выплата
равна
mi(xi) = ттц(О) + qi(xi)xi - qt( tt) dti,
Jo
u это означает, что ожидаемая выплата агента с точностью
<1о константы зависит только от правила распределения.
Это обобщает наш предыдущий результат (теорема 4.1) — теперь
агенты могут быть несимметричными, и правила распределения тоже
могут различаться. Предыдущая теорема получается как частный слу-
чай: если агенты симметричны, есть неубывающая равновесная стра-
тегия и объект распределяется покупателю с наивысшей ставкой, то
правила распределения у всех таких аукционов совпадают и зависят
только от распределения F.
79
Курс
Теория экономических механизмов
4.5. Когда теорема не помогает
Теорема об эквивалентности доходности — мощный инструмент, и
теоретически она подтверждает, что доход продавца и ожидаемая при
быль участников от формы аукциона не особенно зависят. Разве что
аукционер решит собрать со всех по лишнему доллару — тогда у всех
доходность уменьшится на доллар, но смысл аукциона не изменится.
Однако практика не всегда подтверждает теорию; на практике есть
некоторые вещи, в основном психологические, которые иногда приво-
дят к тому, что агенты действуют не оптимально (точнее, не так, как
планировалось, что для них будет оптимально).
В 2004 году компания Google решила весьма оригинально выйти на
рынок. Их IP О прошло в виде большого голландского аукциона: по-
тенциальные инвесторы выставляли заявки на цены, по которым они
готовы купить акции Google, а конечная цена устанавливалась как наи-
высшая из всех, по которым на все акции ещё нашёлся бы покупатель.
Google таким образом надеялся максимизировать доход от IPO.
Всё прошло очень хорошо, но всё же не настолько хорошо, насколь-
ко ожидалось изначально. Экономисты предполагали, что акции Google
будут проданы по ценам между $108 и $135. Однако на самом деле по
итогам аукциона они колебались между $85 и $95. Как можно объяс-
нить зту «неудачу» (в кавычках, потому что на самом деле Google и
так вышел на рынок очень уверенно, и его акции долгое время были
одним из лучших вложений на рынке ценных бумаг)? Мог ли Google,
выбрав другую модель IPO (другую модель аукциона или продажу по
фиксированной цене), увеличить свои доходы от первого дня торгов?
Во-первых, могли сыграть роль психологические факторы. Специ-
алисты отмечают, что голландский аукцион не понравился многим по-
тенциальным инвесторам, в том числе по сугубо психологическим при-
чинам: старый, редко ныне используемый формат, вряд ли что-то хо-
рошее из него выйдет...
А во-вторых, и в-главных, теорема об эквивалентности доходности
верна только для нейтральных к риску агентов. Для осторожных
агентов она неверна, и разные модели аукционов приводят к разным
доходностям для продавца. А инвесторам, особенно после неоднократ-
ного краха доткомов и при общей нестабильности рынка высоких тех-
нологий, свойственна осторожность. Поэтому, возможно, Google мог бы
оптимизировать свой доход, используя другой формат IPO.
80
Лекция 5
Эффективные и оптимальные механизмы
Лекция 5. Эффективные и оптимальные механизмы
5.1. Введение
В предыдущих лекциях мы уже рассмотрели основные понятия тео-
рии экономических механизмов и привели несколько примеров, из ко-
торых видно, что построить хороший механизм — дело не всегда столь
простое и очевидное, каким может показаться.
В этой лекции дело за малым — попытаться объяснить, что же та-
гос хороший механизм (а из определений получатся и конструкции со-
отнетствующих механизмов). К примеру, в парадоксе Браесса, который
uu рассматривали в лекции 2, «хорошесть» можно было признать само-
очевидной: каждому водителю хочется доехать до цели побыстрее, и это
। ивершенно естественным образом совпадает с чаяниями организаторов
гр.шспортной развязки — максимально увеличить общую пропускную
< пособность конструкции.1
Но что такое «хороший аукцион»? С одной стороны, «хороший» аук-
цион должен наиболее эффективно распорядиться лотами, на него вы-
i тавленными: хотелось бы, чтобы вещь досталась тому, кому она дей-
ствительно более всех нужна. С другой стороны, аукционера тоже за-
вывать не следует: в конце концов, именно он устраивает аукцион так,
как ему удобнее, и вполне возможно, что он захочет максимизировать
< пою прибыль, а вовсе не эфемерное «всеобщее счастье» (зто понятие
мы чуть ниже конкретизируем).
В этой лекции мы будем рассматривать прямые механизмы, в кото-
рых у каждого агента просто спрашивают его тип. Более того, интуиция
>той главы полностью ограничивается ситуацией аукциона, в котором
продают одну вещь (один лот аукциона). Множество типов агента в та-
кой постановке — зто просто множество [0, cuj возможных ценностей,
которые агент может приписать продаваемой вещи. Ценность агента х^,
1 Может показаться, что водитель хочет побыстрее проехать сам, а организаторы
хотят уменьшить среднее время проезда, и здесь кроется конфликт. На самом деле,
конечно, конфликта нет, потому что в любом равновесии все водители проходят
маршрут за одно и то же время.
81
Курс
Теория экономических механизмо»
взятая (предположим) по распределению Хц остаётся скрытой, извест*
ной только ему. При начале аукциона агент подаёт некоторую ставку Ь)(
в прямом механизме у агента спрашивают его тип, но агент не обязан
сообщать свою истинную ценность — если ему это выгодно, он может
соврать. А в результате аукциона один из агентов приобретёт желаемую
вещь и тем самым получит свою внутреннюю ценность х<, заплатив за
зто, конечно, некоторую цену.
Прямой механизм реализует эту идеологию. Он полностью описы
вается двумя параметрами: правилом распределения Q и правилом вы-
платы М. В случае аукциона с одной вещью Q : В —> 1 ..N, а М : В -♦
Rn, где В = В] х ... х Bn — множество возможных векторов ставок
агентов. Иначе говоря, правило Q определяет, какой из N агентов по-
лучит продаваемую вещь, а правило М определяет, сколько каждый
агент при этом заплатит аукционеру (Mt, кстати говоря, вполне может
быть и отрицательным).
Теперь можно определить два понятия «хорошего аукциона», на ко-
торые мы уже намекали выше. Эффективный аукцион хорош для аген-
тов — для участников аукциона.
Определение 5.1. Правило распределения Q : В —» 1..N называ-
ется эффективным, если оно при эгоистичных действиях агентов
максимизирует общественное благосостояние (social welfare) — сум-
марную внутреннюю полезность всех агентов:
N
Vx Q(x) е argmaxQ У QjXj.
j=i
Прямой механизм (Q,M) называется эффективным, если у него
эффективное правило распределения.
Отметим, что свойство эффективности имеет отношение только к
Q. Правило выплаты на эффективность вообще не влияет. В простей-
шем случае аукциона с одним лотом механизм эффективен, если объект
достаётся тому, кому он действительно больше всего нужен, то есть
тому агенту, у которого внутренняя ценность х, максимальна.
А вот оптимальный механизм, в отличие от эффективного, хорош
не для покупателей, а для продавца.
82
1«|<цич Ь
Эффективные и оптимальные механизмы
Определение 5.2. Будем называть оптимальным механизм, кото-
рый при эгоистичных действиях агентов максимизирует мате-
матическое ожидание дохода продавца R2:
N
E(R)-£E[mi(Xi)],
г=1
uii(Xi) — выплата агента I, Хг — его распределение ценностей,
<1 \| — конкретное значение ценности агента.
Математическое ожидание здесь берётся исключительно по возмож-
ным типам агентов Х^, ведь дальнейший ход аукциона строго предопре-
делен: каждый агент рассчитает наиболее выгодную для себя ставку bt,
правило распределения получит все эти ставки и выдаст вещь одному
и 1 агентов, правило выплат по тем же ставкам рассчитает выплаты.
5.2. Аукцион второй цены с резервной ценой
Начнём наше повествование с примера, который призван убедить
читателя в том, что эффективные и оптимальные аукционы не всегда
тривиальны и не всегда совпадают друг с другом.
Рассмотрим аукцион второй цены (он же аукцион Викри). Напом-
ним, что в этом аукционе победитель платит вторую по величине став-
ку. Простое рассуждение в теореме 2.1 уже убедило нас, что аукцион
пторой цены правдив: агентам в нём невыгодно врать. Следовательно,
аукцион второй цены эффективен в смысле определения 5.1: так как
каждый агент сообщает свою истинную внутреннюю ценность, и аукци-
он распределяет вещь агенту с наивысшей ставкой, то, следовательно,
пещь достанется агенту с наивысшей внутренней ценностью: Qi — 1 то-
гда и только тогда, когда Qi е argmaxi_] Nxt- А это и означает, что
Q(x) 6 argmaxQ Kj=i .N Qixi» веАь вещь всего одна.
Сделаем теперь одну модификацию в нашем (уже эффективном)
аукционе: добавим в него резервную цену г. Резервная цена - зто такая
сумма, что:
— выигравший агент платит максимум между второй ставкой и г, то
есть выплата победителя не может быть меньше т;
От слова revenue.
83
Курс
Теория экономических механизме)»
— если все ставки окажутся ниже г, продавец оставит товар себе.
Иначе говоря, резервная цена — минимальная, по которой продавец
согласен расстаться с товаром. Поэтому агенты, внутренние ценности
которых меньше т, могут просто не участвовать в аукционе — у них вей
равно нет ни малейшего шанса получить от него доход. А по выплатам
данный аукцион будет отличаться от аукциона Викри только в том слу
чае, когда ровно один агент объявит ставку выше резервной цены; если
таковых будет хотя бы двое, победитель просто заплатит вторую цену.
Исследуем теперь вопрос о том, каковы будут стратегии и, как след
ствие, выплаты агентов в новом модифицированном аукционе по срав-
нению с обычным аукционом Викри.
Во-первых, стратегии не изменятся — по-прежнему доминантная
стратегия в том, чтобы говорить правду (напомним, что доминантная
стратегия — это такая стратегия, которая выгоднее любой другой вне
зависимости от стратегий других агентов). По-прежнему, если агент де-
лает ставку ббльшую, чем его внутренняя ценность, то может случить-
ся так, что ему придется заплатить больше его внутренней ценности,
потерпев тем самым убыток. А если он ставит меньше, чем его насто-
ящая цена, то он может не получить объект, несмотря на то, что при
правдивой ставке мог заплатить меньше настоящей цены. Рассуждения
теоремы 2.1 останутся справедливыми практически без изменений. Та-
ким образом, наличие резервной цены никак не повлияет на то, что
аукцион будет правдивым.
Однако изменятся выплаты агентов. В аукционе Викри ожидаемая
выплата агента составляла
т(х) = [ yg(g)dg,
Jo
где g(x) = (N — 1)f(x)F(x)N 2 — плотность второй порядковой статисти-
ки. Проще говоря, ожидаемая выплата в аукционе второй цены состав-
ляет (что вполне логично) ожидание второй сверху ставки.
Теперь рассмотрим выплату агента в аукционе с резервной ценой.
Он, который ставит ровно т, ожидает заплатить просто rG(r), посколь-
ку вероятность того, что агент выиграет, заплатив т, составляет G(r)
(функция распределения второй порядковой статистики, первообраз-
ная g(r)). Если же агент ставит больше г, то он ожидает заплатить
тп(х, г) = rG(r) + yg(g)dy,
84
Лкиция 5
Эффективные и оптимальные механизмы
tn есть столько же, сколько в первом случае, плюс ещё ожидание до-
платы за выигрыш благодаря более высокой ставке.
Проверим теперь, что принцип эквивалентности доходности работа-
|Т и с резервной ценой. В аукционе первой цены анализ будет точно
|‘йгим же, как раньше, только теперь участник с ценностью х < г вооб-
ще не будет участвовать, и оптимальная ставка агента станет равной
|3(х) = E|max{Y|,r}|Yi < х].
Раньше это было просто ожидание Yj, а теперь стал максимум из Yj
и г, поскольку ставка не может быть меньше т. Получаем, что
|3(х) = E[max{Yj,r}|Y] < х] =
Здесь первое слагаемое относится к случаю, когда Yi < г, а второе —
г случаю, когда Yj > г. Так как G(x) — вероятность того, что Y] < х,
то ожидаемая выплата агента составит тп(х,г) = p(x)G(x). Умножая
выражение справа на G(x), получим ту же самую выплату для агента
I, что и в аукционе второй цены:
тп(х,т) = rG(r) + yg(y)dy.
Итак, доходность у аукционов первой и второй цены одинаковая.
11айдём ожидаемую доходность продавца от одного агента:
E[m(X,r)] =
•си
m(x,r)f(x)dx = ...
11одставим значение т:
Во втором из этих интегралов, J'“ J* f(x)yg(y)dydx, нам нужно из-
менить порядок интегрирования. Напомним, что это можно делать без
каких-либо проблем и дополнительных условий, если подынтегральная
функция ограничена, а область интегрирования компактна. В нашем
случае все условия очевидно выполнены, и остаётся только рассмот-
реть, по какой именно области мы интегрируем; она изображена на
рис. 5.1.
85
Курс
Теория экономических механизм»»
Рис. 5.1. Область интегрирования интеграла J“ ... dxdy.
В итоге получается
ГШ ГСО / ГСО '
— tG(t) f(x)dx + I f(x)dx
Jr Jr \Jy
yg(y)dy.
Суммарно мы получили формулу
E[m(X,r)]=TG(T)(l-F(r)) +
Г СО
j y(1 -F(y))g(y)<iy-
(5.1)
Ранее мы уже доказывали, что аукцион с резервной ценой будет
эффективным. Теперь давайте попробуем, не меняя его вид, сделать
его настолько оптимальным, насколько это возможно: максимизируем
доходность продавца. Обозначим через хо его собственную внутреннюю
ценность объекта (сумму, в которую он оценивает тот факт, что объект
останется у него). Заметим, что раньше мы всё время рассматривали
частный случай при xq = 0. Тогда общий доход продавца от установки
резервной цены г вычисляется как
По = NE[m(X, г)] + F(t)nx0,
где первое слагаемое нам уже знакомо, а второе относится к случаю,
когда никто не получит объект, то есть все N ставок меньше т.
Чтобы максимизировать, продифференцируем по г, подставив вме-
сто Е[тп(Х,т)] выражение (5.1) и не забывая, что G(x) = F(x)N:
86
г
/1ен)ич 5
Эффективные и оптимальные механизмы
<П 10
ill
rG(r) (l — F(r))
(i - Ну)) g(y)dy + F(r)Nx0
У
= G(r) (l-F(r)) +rg(r) (1 -F(r))-
- rG(r)f(r) - r (l - F(t)) 9(t) + Nf(r)F(r)N-1x0 =
= N (l — F(r) — rf(r)) G(r) + NG(r)f(r)xo.
Введём (точнее, вспомним из статистики) новое обозначение — так
п.< янваемую функцию риска. Эта часто встречающаяся в статистике
функция показывает, грубо говоря, мгновенную вероятность «выжить»,
если считать F(x) распределением вероятности «смерти»:
Л(х) =
f(x)
1-F(x)‘
Пример 5.1. Рассмотрим ситуацию, которая очень часто возникает в
медицинской статистике. Предположим, что у нас есть некая выборка
людей, которые либо выжили, либо умерли после того или иного за-
болевания или лечения. Для каждого человека дано время его жизни
после начала заболевания. Как описать получающееся распределение
шроятностей?
Введём функцию, которая показывает вероятность человека выжить
после времени Т (буква S — от слова «survival»):
S(t) = р(Т> t),
где Т — случайная величина, показывающая время до смерти. Соответ-
< твенно,
S(t) = р(Т> t) = 1 -p(t Т) = 1 - F(t),
где F — функция распределения величины Т. А функция риска тогда
показывает, какова плотность вероятности умереть в данный момент
времени:
A(t) =
f(t)
l-F(t)’
Конец примера 5.1.
87
Курс
Теория экономических механизмов
Тогда в терминах функции риска производная общего дохода про
давца выражается как
= N _ (т _ Хо)Л(т)) _ F(r)) G(r).
При хо > 0 производная
^£(x0) = n(1-F(x0))g(x0)
положительна, то есть продавцу выгодно установить резервную цену
т > xq. Производная обнуляется только в точке xq = 0, но при этом тоже
выгодно установить резервную цену г > 0, что подтвердится в примере
ниже. Иначе говоря, резервная цена должна быть выше ценности
продукта для продавца.
А максимум доходности продавца получится, если
(т* — хо)Л(т*) = 1, что эквивалентно т* — - ? = xq.
Л(г*)
Пример 5.2. Подсчитаем оптимальную резервную цену для равномер-
ного распределения ценностей агентов на [0,1]. Найдём ожидаемый до-
ход у продавца в общем случае и в случае аукциона без резервной цены.
Во-первых, поскольку ценности равномерно распределены на [0,1],
F(x)=x, f(x) = 1.
Это значит, что
Л(х) =
f(x)
1 - F(x)
1
1 -х'
Подсчитаем оптимальную резервную цену г*:
*
Хо — г
1
Ж)
= 2т* —1.
Пусть хо = 0, тогда г* == j — искомая резервная цена.
Найдём теперь ожидаемый доход продавца:
По = NtG(t) Q -F(r)} + f у (l - F(y)) g(y)dy + F(r)Nx0.
88
Лекции 5 Эффективные и оптимальные механизмы
Зная, что G(x) = xN, а значит, g(x) = Nxn-1, после упрощения
получаем
М2 Ntn+1 2Ntn+2
П° ~ (N + 1)(N+2) + N + 1 N + 2 ’
Следовательно, ожидаемый доход продавца без резервной цены (в
гдучае г = 0) равен первому слагаемому (N+1N2n+2) • А при росте резерв-
ной цены ожидаемые доходы понемногу растут, достигая максимума
При г = 2-
Конец примера 5.2.
I [оследнее замечание, которое хочется высказать в этом параграфе,
(нилючается в том, что вместо резервной цены аукционер может с со-
вершенно тем же эффектом ввести плату за участие. Резервная цена г
отсекает участников с ценностями х < г. То же самое получится, если
। ютавить каждого агента заплатить «за вход»
е = [ G(y)dy,
Jo
т<> есть заплатить ожидаемый доход участника с ценностью ровно т,
а затем разыграть между ними обычный аукцион Викри, без всяких
резервных цен.
Здесь, правда, нужно оговориться, что резервная цена и плата за
и код эквивалентны так, как указано выше, только в одном важном пред-
положении: о том, что участвующие в аукционе агенты нейтральны к
риску (см. лекцию 4). Если же агенты осторожны (risk-averse), не
любят риск, как часто бывает на практике, то плата за участие ока-
жется для них более серьёзным барьером, чем резервная цена, и тогда
।ививалентность нарушится в сторону уменьшения платы за вход [35].
5.3. Оптимальные механизмы
Теперь вернёмся к более общей ситуации и начнём наши рассужде-
ния с оптимальных механизмов. Чтобы построить оптимальный меха-
низм, нужно для прямого механизма (Q, М) максимизировать ожида-
ние дохода продавца:
N
Е(к) = 22Е[тз(Хг)],
i=1
89
Курс
Теория экономических механизмов
где — распределение ценностей агента г, a mi(Xi) — его выплата
Далее мы подсчитаем это ожидание явно, но сначала вспомним обозна
чения доходности и выплаты агентов. Через qi(zi) мы обозначаем ожи-
даемую доходность агента г, когда он говорит zt, а остальные говорят
правду:
I X—•i)f—г(^—i)dx_
J AL,
А через m.i(zi) — ожидаемую выплату агента i в той же ситуации:
m.i(zi) =
Хл
Mita, x_i)f^(x_i)dx_i.
Напомним, что отрицательные индексы означают «все, кроме»; напри-
мер, f_i(x_i) означает распределение ценностей всех агентов, кроме
агента г.
Для вывода ожидаемого дохода продавца будем использовать фор-
мулу для ожидаемой выплаты m-jxj агента г, которую мы получали в
теореме об эквивалентности доходности (теорема 4.1):
гач
Jo
rCVi PCV; PXi
= mi(0) + qi(xi)xifi(xi)dxi- qi(ti)fi(xi)dtidxi.
Jo Jo Jo
Преобразуем двойной интеграл, поменяв в нём порядок интегриро-
вания. Здесь снова никаких теоретических проблем с изменением по-
рядка не возникает; область интегрирования показана на рис. 5.2.
[ [ qi(ti)fi(xi)dtidxi= [ [ qi(ti)fi(xi)dxidti =
Jo Jo Jo Jti
f CVi
= (1-h(ti))qi(t<)dti.
Jo
Запишем снова ожидаемую выплату агента i и вспомним, что q; по
определению — интеграл по х_v Тогда интегралы по xj и х_< весьма
удобно объединятся:
90
ОвМЦИМ 5
Эффективные и оптимальные механизмы
Рис. 5.2. Область интегрирования интеграла Jo' - • • dtidx<.
rwt / J — F (x )\
I linJXi)] = ТПг(О) + Xi------------T~r~V- I 4i(Xi)fi(Xi)dXi =
Jo \ Ti(XiJ /
f*i~ ~ Qi(x)f(x)dx.
Jx \ Ti(Xi) /
В итоге, просуммировав по всем агентам, получаем ожидаемый до-
ход продавца:
N N N /
I IR| = £E[mi(xi)] = £mi(°) + £ (xt-
i=1 i=1 i=l 'А' '
1 - Fi(xj)\
fi(Xi) J
Qi(x)f(x)dx.
Осталось максимизировать это выражение при следующих услови-
ях:
— правдивость, что равносильно неубыванию qi;
— рациональность, что равносильно mJO) < 0, то есть если у аген-
та собственная ценность 0, то он должен заплатить не больше О,
чтобы не быть в убытке.
Все эти равносильности уже объяснялись в лекции 4.
Введём для упрощения записи понятие виртуальной ценности
предмета для агента I:
Ipi(Xi) = Xi -
l-Fj(xj)
fi(xi)
91
Курс Теория экономических механизми*
Смысл виртуальной ценности в том, что продавец должен макси
мизировать ф<(хх), если хочет быть оптимальным. Заметим, что если
максимизировать х<, то он будет эффективным — вот и вся разница
между эффективностью и оптимальностью.
Докажем, что Е[фг(Хг)] = 0:
Е[г|н(Хг)] = Е(Х0 - [ 1 - ^-^f(xi)dxi = Е(Хг) - f
JXi Ti(Xi) J;
(1 -Fi(xi))dxi,
X,
Рассмотрим теперь отдельно интеграл справа. Поменяем порядок
интегрирования, как уже было сделано в показанном на рис. 5.2 случае
(1 - Fi(Xi)) dxi = f ( [ f(p)dy ) dxi =
Jo Jo \Jxi 7
fci>i /ГУ \ fcux
= I dxi ) f(y)dy = f(xj)xjdij =E(XJ.
Jo \Jo 7 Jo
Таким образом мы получили, что математическое ожидание вирту-
альной ценности каждого агента равно нулю.
Будем называть задачу дизайна механизмов регулярной, если ф[
является возрастающей функцией от х^ для любого I. Это эквивалентно
тому, что функция риска возрастает, так как
Фх(Хг) =Xi- —Ц-.
Ai(xi)
В дальнейшем мы будем рассматривать только регулярные задачи.
Запишем ожидаемый доход продавца в терминах виртуальных цен-
ностей:
N n „
E[R] = У тПг(О) + У" rl>i(xi)Qi(x)f(x)dx.
Рассмотрим подынтегральное выражение 4>i(xi)Qi(x)- Q по-
хожа на весовую функцию, взвешивающую фх Резонно было бы дать
максимальный вес максимальному ф^ (если он положительный), а про
остальные забыть. Это максимизировало бы функцию в каждой точ-
ке, а значит, и интеграл тоже. Это и будет идеей конструкции, но нам
ещё придётся учесть ограничения (правдивость и рациональность).
Итак, рассмотрим прямой механизм (Q, М), у которого выполняют-
ся следующие свойства:
92
'1»ицич 5 Эффективные и оптимальные механизмы
Функция распределения Q распределяет объект покупателю г с
положительной вероятностью тогда и только тогда, когда у него
максимальная и неотрицательная виртуальная ценность:
Qi(x) >0 о Фг(хг) = max фДх,) > 0.
j—1..N
Если покупателей с максимальным фг(хг) несколько, то на них мо-
жет быть любое положительное распределение Q, то есть просто
не важно, кому именно из них достанется объект.
Плата М определяется следующим образом:
Р*
Мг(х) = Qi(x)xi~ Qi(zi,x_i)dzv
Jo
Такая функция платы нужна для того, чтобы выполнялось усло-
вия рациональности.
()называется, что (при условии регулярности) это и есть оптимальный
механизм.
Теорема 5.1. Для регулярной задачи дизайна механизмов меха-
низм (Q, М), где
Q.(X) _ Р> Фг(хг) > тах^гфДх,) tz Cpi(Xi) 0,
0, е противном случае,
Мг(х) = QiWxi-f Qi(zi,x^i)dZi,
Jo
является правдивым, рациональным и оптимальным среди всех
рациональных?.
Доказательство. Во-первых, покажем правдивость построенного на-
ми механизма. Пусть z< < хь Тогда, по регулярности, ipi(zt) < cpjх<), и,
значит,
VX—i Qi(Zi,X_i) Qi(Xi,X—i).
3 Конечно, если разрешить аукционеру принудительно собирать любую сумму с
.ц ентов-участников, можно получить доход и побольше. Но мы всё же предполагаем,
что находимся на свободном рынке, и агенты вольны выбирать, участвовать им в
аукционе или нет. Следовательно, нас интересуют только рациональные аукционы —
остальные просто останутся без участников.
93
Курс
Теория экономических механизм»»
Значит, q< неубывающая, то есть механизм правдивый.
Во-вторых, покажем рациональность. Очевидно, что
Мг(О.Х-г) =0.
Значит, тгц(О) = 0, и механизм рациональный. Заметим, что форма пла-
ты М в данном случае полностью задана распределением Q; М опреде-
лена с точностью до константы, которую мы изначально приняли такой,
чтобы выполнялось m.i(0) = 0.
Таким образом, зто рациональный и правдивый механизм. Кроме
того, он оптимален, так как максимизирует каждое из двух слагав
мых формулы дохода продавца по отдельности. Во-первых, он мак-
симизирует пц.(0), потому что тгц(О) < 0 для всех рациональ
ных механизмов, а в нашем тщ(0) = 0. Во-вторых, он максимизирует
Hili 4’i(xi)Qi(x) в каждой точке, потому что даёт весь имеющийся вес
Qi — 1 агенту с максимальной виртуальной ценностью iK(xi). Значит,
он максимизирует и
N м f
E[R] = пц(0) + ^i(xi)Qi(x)f(x)dx.
i=l i=l Jx
□
Давайте теперь изучим то, что у нас получилось. Максимальный
доход нашего оптимального аукциона получается по простой формуле:
maxE[R] = Е ^max{4>](Xi),... ,4>n(Xn), .
Ноль добавляется на случай, если все виртуальные ценности окажутся
отрицательными.
Проанализируем теперь, сколько придётся заплатить победителю
такого аукциона. Рассмотрим новые функции
tJi(X-i) = inf{Zi I xpi(xi) > 0 и Vj г ч|н(хг) > ^j(xj)}.
Это минимальное значение ставки игрока I, которое позволит ему выиг-
рать аукцион (даст ему положительную виртуальную ценность, которая
окажется больше, чем виртуальные ценности всех других участников).
Тогда определение правила распределения Q можно переписать как
Qi(Zi, X—i) — <
1. Zi>iJi(x_i),
о, Zi<xji(x-i).
94
5
Эффективные и оптимальные механизмы
Подсчитаем интеграл:
Qx(^i, г) d-Zi
Хг-ш(Х-г), Xi>Ui(X-i),
О, XiXydXt).
значит, правило выплаты М можно с использованием функций yt пе-
реписать как
ГУг(Х-г), Xi>yt(X-i),
МЦх) = <
(О, Xi<yi(x-i).
Иначе говоря, только победитель что-то платит, и он платит мини-
мальную ставку уi(x_i), достаточную, чтобы обеспечить ему выигрыш.
1!о это в точности основной принцип аукциона второй цены! Значит, вы-
пи- мы доказали, что оптимальный аукцион при продаже одной вещи
нейтральным к риску агентам — это аукцион Викри с резервной ценой.
Волее того, из теоремы 5.1 можно извлечь и оптимальную резервную
цену.
Рассмотрим для простоты симметричный случай: пусть все агенты
। имметричны, то есть плотности распределения ценностей ft равны. То-
гда все виртуальные ценности ф< = ф. Тогда получаем, что
yi.(x_i.) = max < таххуф^(О) > .
I J
Таким образом, победитель платит максимум из всех остальных ста-
нок или резервную цену, если все остальные ставки меньше. Проще го-
иоря, мы получили в точности аукцион второй цены с резервной ценой
г = ф-’(0).
Пример 5.3. Подсчитаем ф 1 (0) для равномерных распределений на
|0,1]. Поскольку
го ф“7(0) является корнем уравнения
Решим это уравнение, используя определение функции риска:
1 _1~F(x)
Х Л(х) f(x)
95
Курс
Теория экономических механизмов
Поскольку ценности распределены на [0,1], то F(x) = х, f(x) = I
Тогда получаем, что ф-1 (0) = Иначе говоря, продавцу будет выгодно
установить резервную цену в р Здесь мы, конечно, предполагали, чти
упоминавшийся в предыдущем параграфе доход продавца от удержанич
вещи у себя (величина х0) равен нулю.
Конец примера 5.3.
5.4. Эффективные механизмы: VCG
Итак, мы научились максимизировать доход продавца. Теперь попы-
таемся решить более альтруистическую задачу: максимизируем обще-
ственное благосостояние (social welfare). Это значит, что мы будем
пытаться распределить вещь тому, кому она больше всего нравится.
Мы уже знаем, что аукцион второй цены (без резервной цены) зф
фективен. А вот, например, оптимальный аукцион, который мы только
что рассматривали, может оказаться и неэффективным. Во-первых, ре-
зервная цена автоматически предполагает, что иногда объект никому не
достанется, даже если есть положительные ставки. Во-вторых, макси-
мизируется виртуальная ценность: если распределения несимметрич-
ные, то это вовсе не эквивалентно максимизации самих х<.
История создания эффективных механизмов восходит к самым ис-
токам теории экономических механизмов. Собственно, мотивацией пер-
вой работы Уильяма Викри стал именно поиск эффективного (и прав-
дивого) механизма: его аукцион второй цены, предложенный в [76],
стал первым примером нетривиального дизайна экономических меха-
низмов и фактически основал науку, которой мы сейчас занимаемся.
Затем Кларк обобщил идею Викри и применил аналогичный механизм
в контексте распределения вещей общего пользования (так называе-
мых public goods) [13]. Наконец, в своём современном виде эффектив-
ные механизмы, которые мы сейчас будем рассматривать, появляются
у Т. Гровса [24].
Для начала немного обобщим постановку задачи. Расширим воз-
можные значения ценностей агентов, то есть обобщим X: теперь зна-
чения ценностей агентов будут х< G [оц, cuj. Это нужно для того, что-
бы разрешить отрицательные ценности. Напоминаем, что, по опреде-
лению 5.1, функция распределения Q* называется эффективной, если
96
Лекция 5
Эффективные и оптимальные механизмы
низ максимизирует общественное благосостояние, то есть
N
Vx е A” Q*(x) е argmaxQ QjXj.
j=i
I (роще говоря, мы даём вещь агенту с максимальной ценностью, ли-
г«и одному из таких агентов, если их несколько. Введём теперь ещё одно
of «означение — если Q* уже эффективна, то мы обозначим через W
тачение этого самого общественного благосостояния. Суммарное бла-
нк остояние всех агентов мы обозначим через
N
W(x) = £Q?(x)xj>
i=i
а < уммарное благосостояние всех агентов без г-го — через
W_i(x) = £Q?(x)xj.
Теперь можно переходить к определению.
Определение 5.3. Механизм Викри-Кларка-Гровса, он же механизм
VCG (Vickrey-Clarke-Groves) — это эффективный механизм с пра-
вилом платежа Mv : X —> KN, определённым следующим образом:
МУ(х) = W(<Xi,x_i) — W-i(x).
Напомним, что слово эффективный в определении означает, что
правило распределения Q уже задано:
N
Q*(x) € argmaxQ Qpq.
M
Рассмотрим повнимательнее функцию платы Mv. Цена МУ(х), ко-
тирую придётся заплатить агенту г — зто разница между общественным
благосостоянием при наименьшей возможной ставке агента г и благо-
। < м тоянием всех остальных агентов при текущей ставке. То есть агент
должен заплатить ровно столько, насколько он суммарно сделал хуже
другим от того, что сделал ставку, а не ограничился минимумом (как
97
Курс
Теория экономических механизме»
правило, равносильным неучастию). В контексте аукционов cci = 0, и
получается в точности аукцион второй цены.
Если другие агенты делают ставки х t, то прибыль агента i от став
ки Zi вычисляется как
Q*(Zi,X_i)Xi- МУ(Хг,Х-г) = Q*(Zi,X-i)Xi - W(Oi,X -i) + W-i(x) =
= Q*(Zi,X-i)xi - W(oi,x_i) + У Q- (zi,X-i)Xj =
IN
= у Qjfzi.X-iJxj - W(ai,x_i).
j=1
Здесь Q*(zt,x_-i)xi — ожидание дохода агента, а М.У(х,.,х_т.) — ожидание
выплаты агента. Вычитаемое от z не зависит, а уменьшаемое по опре-
делению Q* максимизируется, когда г говорит правду. Значит, аукцион
VCG правдив.
Из лекции 4 мы знаем уже много свойств правдивых механизмов. В
частности, ожидаемая доходность
игУ(хг) = E[W(Xi, X_i) - W(C4, X_J]
будет возрастающей и выпуклой функцией. Но = 0; значит, по
монотонности, мы получаем, что VCG рационален.
Пусть есть другой механизм, который тоже эффективен, правдив и
рационален. Тогда, по принципу эквивалентности доходности, его до-
ходность Ui отличается от LlV на константу. Но если
Ui(al)<uy(ai) = 0,
то механизм не будет рациональным (у агента г с ценностью — от-
рицательная ожидаемая доходность). Значит, Ui(z) > нУ(г), то есть
другой механизм больше даёт агентам; при одинаковом распределении
Q* зто значит, что агенты платят меньше. Таким образом, мы доказали
следующую теорему.
Теорема 5.2. Среди всех механизмов, которые распределяют один
объект и являются эффективными, правдивыми и рациональны-
ми, механизм VCG максимизирует ожидаемые выплаты каждо
го агента.
98
<1₽иция 5
Эффективные и оптимальные механизмы
11а самом деле, даже максимизируя выплаты, VCG всё равно не мо-
»гт добиться того, чтобы баланс сходился, то есть сумма выплат всех
йггп'гов равнялась нулю. В следующем параграфе мы рассмотрим дру-
гой механизм, в котором баланс будет сходиться, но не будет рацио-
нальности.
Кроме того, нужно понимать, что механизм VCG при всех своих
чпмечательных свойствах может оказаться совершенно нереалистичен.
Дли вычисления функции распределения Q в механизме VCG прихо-
дится решать сложную задачу оптимизации. Если агентов достаточ-
но много, зто не всегда можно сделать быстро: задача распределения
а ряде ситуаций оказывается NP-трудной, в том числе «совсем» NP-
i рудной, то есть такой, к оптимальному решению которой даже при-
близиться NP-трудно. Задача сделать вычислительно эффективный
механизм, то есть механизм, который бы работал полиномиально долго
и при этом обладал хорошими свойствами, — это совсем другая задача,
н рамках классической теории экономических механизмов удовлетвори-
тельно не решённая. Пути её решения были исследованы только в со-
hi ем недавних работах Нисана и Ронена [63]; мы в этом курсе рассмат-
ривать их не будем и, возможно, вернёмся к ним позже. Совершенно
аналогично нелегко сделать и эффективный оптимальный механизм.
5.5. Баланс бюджета и механизм AGV
Механизм VCG позволяет построить эффективную функцию рас-
пределения, максимизирующую всеобщее благосостояние. Это весьма
п(>щая конструкция, которая может быть применена далеко не только
для ситуации аукциона. Но зто ещё не всё, что можно потребовать от
хорошего механизма.
Зачастую в задачах дизайна механизмов требуется, чтобы у меха-
низма в результате его деятельности сходился баланс (budget balance
pioperty). Это значит, что система «замкнута»: деньги перераспределя-
ются между агентами, но никаких вливаний снаружи не требуется (и
।пружу никаких лишних денег не отдаётся).
Определение 5.4. Механизм удовлетворяет условию сба-
99
Курс
Теория экономических механизмов
лансированности бюджета, если
N
£Mi(x)=0,
г=1
то есть сумма выплат всех агентов равна нулю.
Условие сбалансированности бюджета требуется нередко, но меха-
низм VCG в том виде, в котором мы его рассмотрели в предыдущем
параграфе, свойства этого не обеспечивает (см., например, раздел 7.2).
А нам хотелось бы построить механизм, который и эффективен был бы,
и бюджет соблюдал бы нулевой. Эту задачу исполняет механизм AGVt
или механизм Эрроу-д’Аспремона-Жерар-Варе (Arrow-d’Aspremont
G6rard-Varet). Как и в случае VCG, зто не совместная работа, а дво
разных, независимых и вышедших в одно время: Эрроу [5] и остальных
авторов [16]. Обращаем внимание читателя на то, что «других авторов»
не три, а два: Жерар-Варе — зто один человек.
Этот механизм тоже эффективен (то есть использует правило рас-
пределения Q*). Его выплаты ЛИА определяются как
МА(х) = ExJW-jfrj.X-j)]
«Физический смысл» похож на смысл аукциона VCG: можно ска-
зать, что каждый агент компенсирует каждому другому агенту свое
присутствие на аукционе. При таких выплатах очевидно, что баланс
механизма AGV сходится, поскольку каждое ожидание входит в сумму
один раз с плюсом и один раз с минусом:
N
У мА(х) = 0.
г=1
Для полного счастья осталось лишь показать, что механизм AGV
правдив и рационален. И здесь нас ждёт некоторое разочарование. Во-
первых, в доминантных стратегиях доказать правдивость не получится.
Но равновесие по Нэшу (и даже по Байесу-Нэшу) получится: если дру-
гие агенты говорят правду, то есть сообщают х_^, а агент г делает ставку
Zj, его ожидаемый итоговый доход равен
100
ЛкнЦИН ’)
Эффективные и оптимальные механизмы
I ч , iQ^X-J-MAto] =Ex_iIQ*Ui.X-i)+W-i(zbX-i)]-
£Ex„JW4(XbX-j)]
i/i
11ервое слагаемое Q?(zit X _ j — доход агента, из которого вычитается
выплата агента. Вычитаемое ожидание не зависит от гц а первое ожи-
дание максимизируется при z^ = Xi, поэтому по Нэшу и по Байесу-Нзшу
механизм действительно правдив.
А вот рациональности у механизма AGV, вообще говоря, не будет.
11ример 5.4. Рассмотрим ситуацию торговли с двумя участниками, ко-
торую мы будем подробно обсуждать в разделе 7.2. В ней участвуют два
игрока, один из которых хочет продать вещь, другой — купить. Они
должны договориться о цене, подавая механизму свои себестоимость и
максимальную приемлемую цену v соответственно. Механизм должен
решить, происходит ли обмен, и если да, то сколько платит покупатель
и । колько получает продавец.
Предположим, что мы пытаемся реализовать механизм AGV в этой
с итуации. Эффективность означает, что товар перераспределяется то-
гда и только тогда, когда v > с. Выплата покупателя будет равна
M£(c,v) = Ev[Wv(c,v)] -Ec[We(c,v)],
а продавца —
M*(c,v) =Ec[Wc(c,v)] -Ev[Wv(c,v)],
где; Wv(c,v) — благосостояние покупателя, Wc(c,v) — благосостояние
продавца. Предположим, что они равны
Wv(c,v)
Wc(c,v)
v, v > с,
<
О, в противном случае,
О, v > с,
<
с, в противном случае,
то есть покупатель может увеличить своё благосостояние в случае по-
купки, а продавец может остаться при своей вещи (это логично: покупа-
тель должен как раз взносом компенсировать продавцу уменьшение его
101
Курс Теория экономических механизмов
благосостояния на эту вещь). При этом суммарное благосостояние, рп
зумеется, максимизируется в эффективном случае. Предположим, что
v и с распределены равномерно на [vo,v-j] и [с©, Cj] соответственно. Бу-
дем предполагать, что vo > со и ci Vi, потому что вне этих условий
всё равно никакой торговли точно не случится. Тогда
EctWJc.vM = Г'И'е(с.У)<к^сС,-ПЩ.(у,С,}
Jc0 С] -Со С! -Со
Ev[W„(c,v)] = ri^C’V>dv = vV'~-nlaXtC-'’°i.
Jv0 Vi -Vo V]-V0
Пока всё логично: ожидаемое благосостояние покупателя с ценностью
v — зто v умножить на долю случаев, когда продажа происходит; :
благосостоянием продавца то же самое. Но давайте теперь посмотрим
на выплату покупателя (и, соответственно, доход продавца):
M£(c,v) = -M*(c,v) = Ev[Wv(c,v)]-Ec[Wc(c,v)] =
Vj — max{c, vo) ci — min{v, ci)
= v----------------c-------------.
Vi — Vo Cl — Co
Конечно, когда щ < v0, сделка происходит всегда, выплата покупателя
всегда равна v, его доход, соответственно, равен 0, доход продавца ра-
вен v — с, и все довольны (хоть зто и не очень честно по отношению к
покупателю, но всё-таки рационально). А что, если v0^v^c^C]?B
такой ситуации max{c, vo} = с, min{v, С]} = v, и выплата равна
„.Л, , „хА/ х Vj — с ci —v
M(/(c,v) = —МЛ (c,v) = V--------С-------.
V!-V0 С] - Co
Легко убедиться, что она может оказаться не равной нулю — например,
для [vo,V]] = [1,3], [со.сд] = [0,2], v = 1, с = 2 получается M.^(c,v) = —]
и, соответственно, M(5(c,v) = j. В такой ситуации никакой торговли не
происходит, но продавцу приходится доплатить покупателю просто за
участие в аукционе! Разумеется, такой аукцион для продавца нерацио-
нален.
Конец примера 5.4.
Интересно, почему в данной ситуации не получается добиться ра-
циональности? Оказывается, что зто не механизм плохой; есть более
глубокая причина того, почему «совсем замечательный» механизм не
построить.
102
Мркция 5
Эффективные и оптимальные механизмы
Порома 5.3 (д’Аспремона-Жерар-Варе). Эффективный, правдивый
(в доминантных стратегиях) и рациональный механизм, у кото-
рого сходится баланс, существует тогда и только тогда, когда
механизм VCG даёт положительную ожидаемую прибыль аук-
ционеру.
’Доказательство. В одну сторону доказательство тривиально: VCG
должен давать прибыль, потому что он, как мы видели раньше, да-
йт аукционеру максимальную ожидаемую прибыль из всех эффектив-
ных правдивых рациональных механизмов (а все остальные ему зкви-
пплентны по теореме об эквивалентности доходности). Это тривиальное
шмечание и есть та проблема, из-за которой не всегда получается по-
строить хороший механизм, ведь VCG, как мы увидим в разделе 7.2,
порой требует внешних вливаний.
Докажем, однако, и в другую сторону: предъявим конструкцию эф-
фективного правдивого рационального механизма со сходящимся ба-
лансом в том случае, когда VCG даёт прибыль.
Возьмём за основу механизм AGV. Принцип эквивалентности доход-
ности нам говорит: есть такие константы сА, что ожидаемая доходность
ЦЛ(Хг)=Е№г,Х^)]-С^.
Для VCG зто тоже верно: существуют такие константы сУ, что
иУ(хг)=Е[\У(хьХ-1)]-сУ
Однако механизм AGV пока что не является рациональным; чтобы
добиться рациональности, слегка модифицируем его. Дано, что VCG
приносит прибыль:
Г N
е £мгУ(Х)
Li=l J
Поскольку AGV по определению имеет сходящийся баланс, то его
ожидание прибыли равно нулю:
Г N
Г N
е 22^(х) =0.
Li=1 J
Или, в терминах наших констант,
103
Курс
Теория экономических механизмов
Введём теперь специальные поправки: для г = 2..N
N
di = - сУ di = - У~ dj
i=2
(di просто выбирается таким образом, чтобы сумма всех di оказалась
равна нулю).
Тогда искомым механизмом будет механизм AGV с нашими поправ-
ками:
Mi(x) = МА(х) + di.
Очевидно, баланс всё так же сходится (поскольку зто М.А, подправ-
ленный на константы, которые в сумме дают 0). Механизм правдивый,
потому что выплаты агента отличаются от выплат правдивого Мл на
константу.
Осталось только проверить, что он рациональный, то есть ожидание
дохода каждого агента больше нуля. Для i 1
Ui(Xi) = UA(Xi) + di = uA(Xi) + cf - сУ = иУ(х) 0.
Для первого агента всё то же самое, нужно только заметить, что
N N
<11 = - У <1г = - сЛ) > cf - сУ,
i=2 г=2
так как общая сумма J2ili СУ Иь i с0-
Таким образом, мы сделали такой эффективный правдивый рацио-
нальный механизм, у которого сходится баланс. Иначе говоря, выплаты
остаются между агентами, участвующими в аукционе, но ни один из них
не ожидает остаться в убытке. □
104
Йркция 6
Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
Лекция б. Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
6.1. Голосования и наши главные цели
На этой лекции мы будем рассматривать вопрос, который, на пер-
ги.(й взгляд, даже не обязательно лежит в области экономики. Мы будем
рассматривать голосования, возможные схемы голосований и то, к ка-
гим результатам они могут привести.
На самом деле, конечно, это частный, но вместе с тем одновременно
и наиболее общий случай тех самых задач, которые мы решаем в этом
курсе. Голосование — очень простой и естественный частный случай
пшномического механизма. У голосования есть множество возможных
и< ходов, из которых участники должны выбрать; например, зто канди-
даты А, В и С, из которых один должен стать президентом. У каждого
участника голосования (агента) есть определённый порядок на этих ис-
ходах (нам будет достаточно случая, когда этот порядок линейный, то
есть каждый исход сравним с каждым), который отражает его пред-
почтения. Например, кандидат А мне нравится больше, чем В, а В —
Польше, чем С; мы зто будем обозначать через А >- В >- С. Этот порядок
можно рассматривать как скрытую функцию предпочтений агента. И,
и гконец, есть некоторая функция социального выбора, которая опреде-
ляет, какой кандидат должен бы победить при том или ином соотноше-
нии голосов.
Заметим, что этот частный случай вместе с тем оказывается и наи-
(юлее общим. Мы не предполагаем вообще никаких ограничений, ника-
кой структуры на множестве предпочтений каждого из агентов; любой
исход может оказаться на любом месте в его внутренней функции пред-
почтения. Поэтому результаты о невозможности, которые мы получим
и этой лекции, окажутся весьма полезными в доказательстве резуль-
татов о невозможности в теории экономических механизмов, которы-
ми мы будем заниматься в течение следующих трёх лекций. Основным
результатом станет теорема Эрроу, которая была доказана Кеннетом
’ >рроу в 1963 году [3].
Однако прежде всего нужно понять, что бы мы хотели получить
с >т системы голосования. Каковы цели, которых мы будем (безуспешно)
пытаться достигнуть?
105
Курс
Теория экономических механизма
Для этого рассмотрим достаточно простой и понятный случай го
лосования: случай, когда в нём участвует ровно один агент. Какими
самыми базовыми, самыми естественными свойствами будет обладать
множество предпочтений одного агента? Давайте сформулируем три ос-
новных свойства, три в высшей степени естественных предположения.
1. Транзитивность. Это совершенно естественное свойство поряд
ка: если А^ВиВ^С, тоА^С. В примере, который приво-
дился выше, мы даже не говорили отдельно, что в приведённой
там ситуации кандидат А нравится мне больше, чем С: зто было
понятно по транзитивности.
2. Попарная независимость предпочтений. Это свойство утвер-
ждает, что мой выбор между А и В зависит только от того, как
соотносятся друг с другом А и В в моём «персональном рейтин-
ге», и никак не зависит от положения там других альтернатив
С, D,... Довольно естественно, правда ведь: если вам предлагают
выбор между персиком и апельсином, ваши предпочтения насчёт
яблок не должны на этот выбор повлиять1.
3. Положительная ассоциированность. Это значит, что если мои
предпочтения изменились к лучшему для какой-либо альтерна-
тивы, то в результате голосования шансы этой альтернативы на
победу могут только возрасти. Грубо говоря, если у меня раньше
был профиль предпочтений А >- В >- С, а сейчас В >- А х С,
то шансы В в любом голосовании, даже против С, не должны от
этого ухудшиться.
Наконец, четвёртое свойство является по сути свойством функции
социального выбора, а не свойством одного-единственного агента, как
первые три. Мы его уже рассматривали в предыдущих лекциях.
4 Единогласие. Если все участники голосования предпочитают воз-
можный исход А другому возможному исходу В, то в результате
голосования не может быть выбран В. Это свойство нам хорошо
знакомо; в более общем экономическом контексте оно называется
1 А сам выбор, милые девушки, желательно делать быстро и однозначно... ну, вы
поняли, о чём я.
106
Лекция 6
Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
оптимальностью по Парето (вспомните и проверьте, что это дей-
ствительно она!).
Согласитесь, все эти свойства звучат абсолютно естественно, прав-
да ? Было бы очень странно, если бы система голосования не удовлетво-
ряла этим свойствам. Один пример хорошей системы мы уже привели:
( ис тема, в которой ровно один агент, удовлетворяет всем четырём свой-
(твам.
Можно провести и менее тривиальный пример. Предположим, что
И1Г1М0ЖНЫХ исходов всего два, то есть голосование превратилось в ре-
ферендум. Тогда можно предложить простейшую систему голосования:
выбирать нужную альтернативу большинством голосов. Рекомендуем
читателю проверить, что выбор простым большинством из двух исхо-
дов удовлетворяет всем четырём интересующим нас свойствам.
Однако оказывается, что для трёх и более возможных исходов го-
лосования такую систему построить непросто. Подходящих механизмов
голосования мало, и вряд ли существующие механизмы смогут удовле-
творить поборников демократической процедуры, потому что непремен-
но окажутся диктаторскими: результат голосования будет просто сов-
падать с предпочтениями какого-то одного его участника. Это и будет
теорема Эрроу.
Но начнём мы с того, что продемонстрируем, почему естественные
( истемы голосований оказываются беспомощными перед столь просты-
ми условиями. Наше изложение будет в основном следовать [75].
6.2. Парадоксы голосований
В этом параграфе мы будем приводить примеры разного рода стран-
ных конструкций, которые, философски говоря, доказывают одну про-
i тую вещь: на свете не существует рационального «общего мнения груп-
пы людей». Есть мнение каждого конкретного человека. Но общее мне-
ние, если пытаться его как-то более или менее «равномерно» вычислять
из множества мнений членов интересующей нас группы, вообще ника-
кими разумными свойствами обладать не будет. Формализуем мы это
в теореме Эрроу, а в этом параграфе дадим важную интуицию.
Первый пример восходит аж к XVIII веку. В 1785 году маркиз де
Кондорсе придумал конструкцию парадокса, который под его именем
107
Курс Теория экономических механизмои
вошёл в политическую и экономическую теорию. Идея парадокса Кон-
дорсе проста: рассмотрим три возможных исхода А, В и С и трёх участ-
ников х, у и z. Предположим, что их предпочтения распределены так:
А >х В ^х С,
В >~у С >~у А,
С >~z A >-z В.
Иначе говоря, предпочтения трёх участников получаются циклическим
сдвигом одного линейного порядка.
Что будет происходить при голосованиях? Если на выбор предложат
А и В, то х и z проголосуют за А, и будет избран А: А >- В. Если рефе-
рендум пройдёт между В и С, то победа альтернативы В будет обеспече-
на голосованием агентов х и у: В >- С. Но если предложат выбор между
А и С, то у и z проголосуют за С, и окажется, что С >- А! В парадоксе
Кондорсе нарушается транзитивность «мнения большинства».
Давайте посмотрим на это с точки зрения дизайна механизмов. Как
построить механизм голосования, который примет верное решение? Да
и что вообще такое в данном случае «верное решение»? Вполне есте-
ственным может показаться механизм, который последовательно осу-
ществляет референдумы, голосования с двумя исходами, до тех пор,
пока (в предположении транзитивности, разумеется) не получит до-
статочно информации для выбора оптимального исхода. На парадок-
се Кондорсе такой алгоритм может работать бесконечно (или выдавать
ошибку): сколько ни ходи по кругу, единого оптимального выбора не
сделаешь.
Но этим дело не ограничивается. Здесь пока кажется, что вообще
всё равно, какой выбор делать: все три варианта абсолютно симмет-
ричны, так что какая разница функции социального выбора, какой из
них предпочесть. Давайте рассмотрим небольшую модификацию пара-
докса Кондорсе, на которой результаты алгоритма попарного голосова-
ния окажутся ещё интереснее. Для примера нам потребуются аж семь
альтернатив, поэтому давайте назовём их как-нибудь поинтереснее, не
просто буквами латинского алфавита.
Пример 6.1. Семеро великих вождей собираются в поход на семиврат-
ные Фивы. Собираются в поход двое изгнанников — Тидей и Полинин,
108
/1< кция б Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
। обирается царь Адраст, двое аргивских вождей — Капаней и Гиппоме-
донт, ясновидец Амфиарай и аркадец Парфенопей.2
А в это время на Олимпе Гера, Афина и Артемида решают, кого
и 1 семи вождей сделать своим любимцем, кому больше других поспо-
। обствовать при осаде Фив. Предпочтения богинь весьма замысловаты.
Нот они (в таблице сверху вниз степень предпочтения убывает).
Гера
Тидей
Полиник
Капаней
Гиппомедонт
Адраст
Амфиарай
Парфенопей
Афина
Капаней
Гиппомедонт
Тидей
Амфиарай
Парфенопей
Полиник
Адраст
Артемида
Гиппомедонт
Тидей
Парфенопей
Полиник
Капаней
Адраст
Амфиарай
В лучших традициях древнегреческой демократии богини согласи-
лись решить дело голосованием. Они начали устанавливать общий по-
рядок поочерёдными голосованиями. И вот что у них получилось...
1. Тидей против Гиппомедонта: Гера в меньшинстве, Гиппомедонт
идёт дальше.
2. Гиппомедонт против Капанея: Гера и Афина проводят дальше
Капанея.
3. Капаней против Полиника: Полиник побеждает и проходит в сле-
дующий бой.
4. Полиник против Парфенопея: несмотря на то, что Гере Парфе-
нопей ну совсем не мил, он побеждает.
5. Парфенопей против Амфиарая: выигрывает Амфиарай.
6. Амфиарай против Адраста: Адраст побеждает, Афина в мень-
шинстве.
’ Мы бы с удовольствием рассказали эту историю поподробнее, но как-то совсем
уж тут не место... в общем, рекомендуем прочесть «Семеро против Фив» Эсхила и
«Финикиянок» Еврипида — или хотя бы краткое их содержание.
109
Курс
Теория экономических механизмов
Рис. 6.1. Парадокс Кондорсе: как результат зависит от порядка.
В результате не просто Афина оказалась в меньшинстве в последнем
голосовании, а как будто мудрость в этом голосовании и вовсе не ноче-
вала. Богини медленно, но верно спускались вниз по таблице, хотя на
каждом шаге делали выбор большинством (можно сказать, конститу-
ционным большинством — две трети набиралось). В результате победил
царь Адраст, хотя в изначальных предпочтениях и Тидей, и Полиник,
и Капаней, и Гиппомедонт у всех трёх богинь стояли выше Адраста.
Таким образом, в этом примере голосование привело к тому, что на-
рушился принцип единогласия-, вполне честным и естественным про-
токолом мы выбрали вариант, не оптимальный по Парето (причём ну
совсем далеко не оптимальный).
Конец примера 6.1.
Но и на этом интересные следствия парадокса Кондорсе не закан-
чиваются. Давайте подумаем: какие вообще были варианты у наших
голосований? Предположим, что мы хотим пока ограничиться выбором
между двумя альтернативами. Таким образом, голосование получает-
ся двухступенчатым: сначала две альтернативы сражаются друг с дру-
гом, потом победитель с третьей. Рассмотрим возможные варианты для
классического парадокса Кондорсе (см. рис. 6.1).
1. А побеждает В, затем С побеждает А. Выигрывает С (рис. 6.1а).
2. В побеждает С, затем А побеждает В. Выигрывает А (рис. 6.16).
3. С побеждает А, затем В побеждает С. Выигрывает В (рис. 6.1в).
110
/ккция б
Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
11олучается, что результат при одних и тех же предпочтениях кар-
динально зависит от формата голосования! А значит, тот, кто контроли-
ругт формат голосования (а в реальных ситуациях его обычно кто-то
контролирует), имеет существенное преимущество и может победить,
двже оказавшись в меньшинстве.
Более того, эта зависимость от формата приводит к тому, что попар-
ная независимость предпочтений в этом случае тоже не выполняется.
Давайте рассмотрим простую ситуацию, в которой есть ровно две аль-
тернативы: А и В, причём большинство хочет выбрать А. Тогда про-
1тым большинством, конечно, А без проблем выберут. Но если у мень-
шинства получится построить такую третью возможность С, что при
выборах С >- А и В >- С, то это самое меньшинство сможет, устано-
вив правильный порядок выборов (сначала А против С, затем В против
победителя), провести В, а не А.
Пример 6.2. В политике такие ситуации редко, но действительно воз-
никают на практике. Они называются «поправки-убийцы» (killer amend-
ments). Вот любопытный пример из практики [75].
В США сенаторов поначалу выбирали не прямым всенародным го-
лосованием, а законодательными органами соответствующего штата. В
том, чтобы ввести голосования на пост сенатора, заключалась 17-я по-
нравка к Конституции США, которая в конце концов всё же была при-
нята в 1913. Но на пути к её принятию был один любопытный случай.
Проблема заключалась в том, что в те годы в США Юг и Север всё
ещё не слишком любили друг друга, и южные сенаторы беспокоились,
что если федеральное («северное») государство возьмёт выборы сенато-
ров под свой контроль, то северяне-республиканцы сделают что-нибудь
ужасное, например допустят на выборы чернокожих — и действительно,
некоторые республиканцы так и собирались сделать.
Был достигнут компромисс: билль, который вводил прямые выборы
сенаторов, но содержал поправки, ограничивающие контроль федераль-
ного правительства над выборами в южных штатах. Его поддержива-
ло большинство (зто была возможность А), и на прямом голосовании
между' этим биллем и тем, чтобы вообще не вводить прямые выборы
(возможность В), билль бы прошёл.
Однако сенатор Сазерленд, лидер меньшинства, которое было про-
тив выборов сенаторов как таковых, сумел придумать поправку-убийцу
111
Курс
Теория экономических механизмов
Рис. 6.2. Поправка сенатора Сазерленда.
С. Таковой стало предложение о прямых выборах сенаторов без каких-
либо поправок про южные штаты. Сазерленд устроил дело так, что
сначала голосование шло между А и С. Меньшинство Сазерленда про-
голосовало за С, северяне-республиканцы тоже проголосовали за С, и С
победило А. Но на этом дело не закончилось: затем встал выбор между
С и В. Сазерленд внезапно «изменил свою точку зрения» и стал голосо-
вать не за С, а за В, то есть против выборов совсем. В результате билль
С сначала выполнил свою функцию и выбил поддерживаемый боль-
шинством билль А, а затем не прошёл на следующих выборах. Получи-
лась ситуация, изображённая на рис. 6.2 сплошными линиями, вместо
ситуации, изображённой там же пунктиром.
Конец примера 6.2.
Этот же пример демонстрирует, что правдивости при таких выборах
тоже лучше не ждать: меньшинство, стоявшее против выборов вообще,
здесь было вынуждено сначала голосовать за них, чтобы затем иметь
возможность провалить этот исход на следующих выборах. И он же
показывает, что попарная независимость тоже недоступна: ведь по это
му свойству выбор между А и В не должен зависеть от наличия или
отсутствия третьей альтернативы С.
Но отсутствие попарной независимости, а также ещё более интерес
ный эффект, можно проиллюстрировать и более наглядно.
112
Лекция 6 Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
>1 . — II ! .. 1—1 II .. '- 1 1 11-- - —
Пример б.З. В этом примере мы попробуем «повыбирать» президента
Российской Федерации. Делать зто мы будем так, как зто и делается в
реальности: в первом туре участвуют все кандидаты, и если никто не
набирает больше 50%, то двое лидеров выходят во второй тур. Предпо-
ложим, что у нас есть три кандидата на высокий пост и 27 избирателей,
чьи предпочтения распределены следующим образом. Цифры в таблице
показывают, на какое место ставят данного кандидата эти избиратели,
а число в первой строке — сколько избирателей так думают.
К-во избирателей 6 6 6 4 2 3
Барсуков 1 2 3 2 3 1
Гризлев 2 3 1 1 2 3
Углеводский 3 1 2 3 1 2
В первом туре Барсуков наберёт 9 голосов, Углеводский — 8, а Гриз-
лев — 10. Однако во втором туре ситуация изменится, и победит Бар-
суков, набрав 15 голосов против 12 у Гризлева. Пока всё нормально.
Предположим, однако, что Барсуков, пытаясь победить Гризлева в
первом туре, сумел воздействовать на сердца некоторых избирателей,
и они изменили свои предпочтения между Гризлевым и Барсуковым в
пользу последнего: трое из четырёх с распределением 2 >- 1 >- 3 пере-
местили Барсукова на первое место, а двое с распределением 3 >- 2 1
изменили его на 2 >- 3 >- 1. Итого получается следующая таблица:
К-во избирателей 9 8 6 1 3
Барсуков 1 2 3 2 1
Гризлев 2 3 1 1 3
Углеводский 3 1 2 3 2
Согласитесь, что всё это, казалось бы, может быть только в пользу
Барсукова. Но... В первом туре Барсуков действительно выигрывает с
Облыпим отрывом, получив 12 голосов. Однако во второй тур теперь
выходит не Гризлев, а Углеводский, который в итоге побеждает Барсу-
кова с счётом 14 : 13.
Иначе говоря, Барсуков сделал распределение строго лучше для
। сбя, но в итоге сменил победу на поражение. И всё зто во вполне
естественной системе голосования, по которой действительно выбирают
президента РФ...
Конец примера б.З.
113
Курс
Теория экономических механизмов
Итак, мы показали, что если пытаться сформулировать более или
менее естественную систему голосования, совершенно ничего не по-
лучается, вообще ни одного естественного и крайне желательного свой-
ства. Конечно, зто ещё не доказательство: возможно, мы просто не смог-
ли придумать правильную систему голосования?
Доказательство будет в следующем параграфе.
6.3. Теорема Эрроу
В этом параграфе мы перейдём к чуть более общей формулировке и
докажем, что всё равно ничего не получается. Как и прежде, через О мы
будем обозначать множество возможных исходов. На этом множестве у
каждого из агентов i есть некоторый профиль предпочтений, который
мы будем обозначать через Для двух исходов х и у будем писать,
что х у, если агент г предпочитает исход х перед у.
Определение 6.1. Профиль предпочтений Ь называется рацио-
нальным, если он является линейным порядком, то есть любые
два исхода сравнимы и выполняется условие транзитивности:
для всяких х, у, z е О, если х у и у z, то xtz.
Мы будем предполагать, что профили предпочтений бывают вся-
кие. Например, всякие рациональные — их множество мы обозначим
через 7Z. Или вообще всякие профили, лишь бы любые два исхода бы-
ли различимы: множество таких исходов мы обозначим через Р. Если
агентов N, то, значит, множество всевозможных предпочтений будет в
этих обозначениях 7?N или Ри.
Функция социального выбора в данном контексте — это некоторая
функция f с областью определения или T?N и областью значений О,
которая по данным предпочтениям агентов выбирает исход. Мы чуть
обобщим зто определение и будем считать, что функция социального
выбора выдаёт не один исход, а слабый линейный порядок на имею-
щихся исходах (то есть f : T?.N —> R); этот порядок мы будем обозначать
через {>_, ) или, когда ясно, на каком входе берётся функция,
ПРОСТО >lf.
Мы бы хотели, чтобы функция социального выбора удовлетворяла
тем естественным условиям, которые мы сформулировали в 6.1. Снача-
ла — принцип единогласия, он же эффективность по Парето.
114
/ккция 6 Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
Определение 6.2. Пусть пара исходов х,у 6 О такова, что для
каждого агента i исход х не хуже, и при этом для какого-нибудь
агента он строго лучше: для всех г х hi у, и существует такое ],
что х у. Тогда функция социального выбора f называется эф-
фективной по Парето, если для каждой такой пары исходов резуль-
тат функции социального выбора f(hi, • • • > ЬьО ставит х перед у:
х ' г У-
Затем сформулируем формально свойство попарной независимости
предпочтений: результат функции должен зависеть только от относи-
тельных предпочтений сравниваемых исходов, а не от каких-то третьих
позможностей.
Определение 6.3. Функция социального выбора f удовлетворяет
свойству попарной независимости предпочтений, если для каждой
пары профилей (hi, • • • >hbj) и (h{, • •,hf^), если для каждого i х hi
и тогда и только тогда, когда х h(У’
Vi xhty4=>xh(y,
то в результате х hf(>-, У тогда и только тогда, когда
к Ь(^,...,^)У;
Vi х bfc,,...,tN) У & х У-
Наконец, последнее определение будет касаться уже не того, чего бы
нам хотелось, а того, что у нас в итоге получится.
Определение 6.4. Функция социального выбора f называется дик-
таторской, если существует такой агент h, что для любых х, у е
С> и любого профиля (hi,---,hiN) х hf У тогда и только тогда,
когда х Х^У-
Проще говоря, диктаторская функция социального выбора делает
точно такой же выбор, как один из представленных агентов. Конечно, у
диктаторской функции получится соответствовать нужным свойствам,
точно так же как у предпочтений одного агента зто получается (про-
верьте зто формально!). А беда в том, что ничего другого-то и не полу-
чится. Мы наконец готовы к тому, чтобы сформулировать и доказать
теорему Эрроу [3].
115
Курс
Теория экономических механизмов
Теорема 6.1 (Эрроу). Пусть множество возможных исходов <.1
состоит из не менее чем трёх элементов, и возможны все ра
ционалъные профили (1Z) или все профили, в которых любые дв<
альтернативы различимы (Р). Тогда всякая функция социального
выбора f, которая оптимальна по Парето и удовлетворяет уело
вию попарной независимости, является диктаторской.
Доказательство. Начнём доказательство с определения, простите за
тавтологию, определяющих наборов агентов — ключевого понятия
для этого доказательства теоремы Эрроу.
Определение 6.5. Для данного f будем говорить, что набор аген
тов S с [N] (через [N] мы обозначим множество индексов от 1 до
N):
— определяющий для х перед у, если когда каждый агент в S
предпочитает х > у и каждый агент в [М] \ S предпочитает
у >- х, F выбирает х;
— определяющий, если он определяющий для любой пары {х,у};
— полностью определяющий, если когда каждый агент из S пред-
почитает х >- у, f тоже предпочитает х у.
Важное замечание: первое из этих определений достаточно слабое,
оно касается только ситуаций, когда агенты из S голосуют за х, а все
агенты не из S голосуют за у; но из него мы быстро перейдём и к более
сильным ситуациям.
Доказательство мы проведём в... десять этапов. Не будем, пожалуй,
оформлять каждый из этих этапов в отдельную лемму, а просто после-
довательно их приведём. В каждом пункте ниже выделенное курсивом
утверждение — то, что хочется доказать, а в следующем абзаце идёт его
доказательство. Большинство доказательств однотипны: мы пользуем-
ся тем, что множество возможных предпочтений достаточно богато, и
строим такой профиль предпочтений, из которого будет следовать нуж-
ный результат.
1. Если для некоторых х и у набор S с [N] является определя-
ющим для х перед у, то ^хДх набор S является определяю-
щим для х перед z и Vz у набор S является определяющим
для z перед у.
116
'Ii нция б Теоремы Эрроу и Гибба рда-Саттертуэйта
Если z = у, доказывать нечего. Если z у, то рассмотрим такой
профиль (hi, • • , hbj), что
х Xi у Xi z Vi G S,
у Xi z X, x Vi G |N] \ S.
Тогда, значит, по свойству определяющего набора f должна пред-
почесть х перед у. А по оптимальности по Парето f предпочитает
у перед z. Значит, f предпочитает х перед z. Осталось сослаться
на попарную независимость.
2. Если для некоторых х и у набор S с [N] является определя-
ющим для х перед у, и z — третья альтернатива, то набор
S является определяющим для z перед w и для w перед z для
всех w z G О.
По шагу 1, S определяющий для z перед у и для х перед z. При-
меним снова шаг 1 для пары {х, z} и альтернативы w; из шага 1
видно, что S будет определяющим и для w перед z. Аналогичное
рассуждение проходит и для пары {z,y}.
3. Если для некоторых {х, у) С О S определяющий для х перед
у, то S определяющий.
Доказательство сразу следует из шага 2 и из того, что третья
альтернатива существует (здесь зто важно!).
4. Если S определяющий и Т определяющий, то S П Т тоже
определяющий.
Рассмотрим тройку альтернатив {x,y,z} С О и такой профиль
(hi,---,Дм), что
zXtyXiX ViGS\(SnT),
х Xi z Хг у Vi G S П T,
yXtXXiZ VieT\(SnT),
yXiZXiX Vi G [N] \ (S U T).
Тогда z Xf у, потому что S = (SnT)U(S\(SnT)) — определяющий,
и x Xf z, потому что T — определяющий. Значит, х Xf у, и по
попарной независимости S П Т тоже является определяющим для
х перед у. Значит, он и вообще определяющий.
117
Курс
Теория экономических механизмов
5. Для любого S С [N] либо S определяющий, либо его допол
нение [N] \ S определяющий. Рассмотрим тройку альтернатив
х,у,z € О и такой профиль предпочтений (>],..., что
X^ZHU VieS,
y^i^ViZ Vie[N]\S-
Тогда либо х у, и S определяющий для х перед у, либо у х.
Если у >-f х, то по свойству оптимальности по Парето х z, и,
значит, у z; значит, [N] \ S является определяющим набором
для у перед z.
6. Если S определяющий и S с Т, то Т определяющий.
Пустой набор не может быть определяющим из-за свойства оп-
тимальности по Парето. Значит, [N] \Т не может быть определя-
ющим, потому что тогда и 0 = S П ([N] \Т) будет определяющим.
Значит, по пункту 5, Т определяющий.
7. Если S с [N] определяющий, и |S| > 1, то есть строгое под
множество S'C S, тоже являющееся определяющим набо-
ром.
Рассмотрим h G S. Если S \ {h} определяющий, то утверждение
доказано. Если нет, то [N] \ (S \ {h}) определяющий, и
{hj = S П ([N] \ (S \{h}))
определяющий.
8. Для некоторого h е [N] {h} определяющий.
Нужно просто несколько раз применить шаг 7.
9. Если S с [N] определяющий, то для всех х и у S полностью
определяющий для х перед у.
Нужно получить, что для всех Т с [N] \ S х у, если все агенты
из S предпочитают х >- у, все агенты из Т предпочитают х > у, а
остальные — у >- х.
Рассмотрим третью альтернативу и такой профиль (>ц,..., VN),
что
X z у VI е S,
118
ЛЕКЦИЯ 6
Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
х у z Vi е т,
y^z^x Vi е [N] \ (S UT).
Тогда х z, потому что S U Т определяющий, и z н У, потому
что S определяющий. Значит, х Xf у, что и требовалось.
10. Если {h} определяющий, то h — диктатор.
Это в точности следует из определения полностью определяю-
щего набора.
□
Как видите, мы неоднократно и по делу пользовались тем, что |О| >
I. В самом деле, если \О\ = 2, то теорема неверна: функция социального
выбора «большинство голосов», как мы уже отмечали в предыдущем
параграфе, и недиктаторская, и оптимальная по Парето, и обладает
свойством попарной независимости предпочтений.
6.4. Другие доказательства теоремы Эрроу
Доказательство теоремы 6.1 получилось довольно громоздким и тех-
ническим. Конечно, на самом деле это идейное доказательство: мы по-
степенно получали всё более и более сильные свойства определяющих
наборов, пока не выяснили, что на самом деле среди них есть одноэле-
ментные множества.
Но можно предложить и другие идейные доказательства, напри-
мер [7]. В этом параграфе, основанном на работе [21], мы рассмотрим
три альтернативных (и достаточно коротких) доказательства теоремы
Эрроу. Надеемся, их идеи окажутся достаточно различными, чтобы
оправдать такой подход.
Первое доказательство теоремы 6.1. Это доказательство тоже бу-
дет проведено в несколько шагов, но на этот раз шаги куда быстрее
приведут к цели. Правда, по сравнению с исходным доказательством
они могут показаться менее очевидными. Основным для доказательства
здесь станет доказательство существования ключевого агента (pivotal
agent): агента, который может изменением своего решения изменить ре-
зультат функции социального выбора.
119
Курс Теория экономических механизмов
1. Если в некотором профиле некий исход х G С>
для каждого агента г находится на самом верху или в са-
мом низу (то есть Vi Vy G Оу х или Vy G Ox у), то
в результате ранжирования функция социального выбора
также должна поместить х на одну крайних позиций.
Доказательство очень простое. Предположим, что это не так, то
есть у Xf х >-f z для некоторых у х, z х. Поскольку х у
каждого находится в одной из крайних позиций, мы можем, не
нарушая никаких индивидуальных предпочтений, переместить в
предпочтениях каждого агента z над у (проверьте, что это воз-
можно!). Тогда по транзитивности у Xf z, но единогласное реше-
ние агентов гласит, что z > у. Противоречие.
2. Для каждого из исходов х е О существует такой ключе-
вой агент г* = г(х), что для некоторого профиля предпочте-
ний, в котором х обладает вышеописанным свойством, он
может переместить х снизу вверх в результате функции
социального выбора, изменив только свой профиль.
Пусть каждый агент поставит х в самый низ. По анонимности, х
должен занимать последнюю позицию. Теперь пусть агенты по
одному перемещают х с самого низа на самый верх. Рано или
поздно х переместится и, по пункту 1, х переместится сразу на
самую верхнюю позицию. Вот последний перед этим профиль
предпочтений и соответствующего агента мы и выберем.
3. Агент г* = г(х) является диктатором для каждой пары ис-
ходов y,z е О, не включающей в себя х.
Выберем элемент у — один из этой пары — и рассмотрим про-
филь из пункта 2, для которого агент i* может переместить х
снизу вверх. Пусть теперь г* изменит свой профиль, переместив у
на самый верх: у z. Рассмотрим всевозможные профили
других агентов, в которых у и z меняются местами произвольно,
но х остаётся на своих крайних позициях. По свойству попарной
независимости, результат на этих профилях должен быть у х,
потому что относительные позиции у и х такие же, как в том
профиле, когда х у г* был в самом низу, и в результате х тоже
был в самом низу. Аналогично, в результате должно быть х z.
120
Лекция 6
Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
Соответственно, по транзитивности должно быть у >-f z. Но эта
конструкция не зависела от относительного расположения у и z
у других агентов! Иными словами, у Xf z тогда и только тогда,
когда у z.
4. Агент, г* является диктатором, для любой пары, исходов
х,у е о.
Рассмотрим третью возможность z, не входящую в зту пару. Для
неё должен быть какой-нибудь диктатор j*. Он должен быть дик-
татором для каждой пары, не содержащей z, например для х,у.
Но г* может изменить судьбу пары х,у, потому что он может
при определённых обстоятельствах переместить х с самого низа
на самый верх. Значит, j* и г* — одно лицо.
□
Нторое доказательство теоремы 6.1. Второе доказательство (как,
собственно, и третье) тоже будет строить агента-диктатора. Но делать
это мы будем уже другим способом. Давайте рассмотрим парадокс Кон-
дорсе и впишем его в профили агентов. Обозначим возможные исходы
н алфавитном порядке через О = {х, у,..., z}. Все агенты в так называ-
емых профилях Кондорсе будут иметь профили одного из |С?| типов:
0х, 0У,..., 0Z. Предпочтения этих типов будут выглядеть так:
0Х: х >- у >- ....... >- z,
0 у : у >- z >- ....... >- х,
02: z >- х >- у >- ..............
То есть это просто упорядоченная в алфавитном порядке последова-
тельность исходов, сдвинутая циклически так, чтобы в профиле типа
0а исход сс оказался бы на первом месте.
Если все агенты имеют тип 0Х, то, по принципу единогласия, х >-f
у Xf z. Рассмотрим все возможные векторы профилей агентов и выбе-
рем из них тот, где число агентов типа 0Х минимально, но результат всё
равно имеет тип 0Х. Обозначим этот профиль через ттх. Хотя бы один
агент г*, имеющий тип 0Х, должен существовать в 7ТХ, т. к. если никто
из агентов не этого типа, то по принципу единогласия z х.
121
Курс
Теория экономических механизмов
Теперь докажем, что г* может в профиле ях творить вообще всё что
хочет. Предположим, что исход [3 следует по алфавиту сразу за исходом
а, и в профиле ях агент г* меняет свой тип на 0р, ив результате по-
лучается профиль Кондорсе яр. По свойству попарной независимости,
всё равно в новом профиле х Xf й и р г. Значит, чтобы порядок
изменился (а он должен измениться, ведь мы взяли минимальное воз-
можное число агентов типа 0Х), нужно, чтобы в результате было верно
(3 hf а (а если р =f а, то по транзитивности должно быть х Xf z).
Пусть г* изменит свой профиль на —0Х, то есть на профиль вида
z >- ... >- у у- х.
Получится уже не профиль Кондорсе я_х. Рассмотрим любые два исхо-
да ос, (3, идущие друг за другом по алфавиту. Тогда 0р и 0 совпадают
на паре {(3, а} (в обоих (3 >- ос) и на паре {х, z} (в обоих z >- х). Значит, по
независимости, на профиле я_х |3 >^f ос, потому что так было в профиле
ях. Но поскольку а и Р произвольные, то, значит, в профиле п~ к
z >zf ... hf х.
Более того, если бы было верно, что ос =f Р в профиле я~х, то они
были бы равны и в профиле ях, и, значит, было бы верно, что х >-f z в
профиле яр, а значит, и в профиле я_х, что приводит к противоречию.
Значит, все неравенства строгие:
z >-f у )-f ... х.
Теперь покажем, что г* — диктатор в каждом профиле, не только в
ях. Предположим, что в некотором профиле я агент г* является дикта-
тором, то есть при условии, что предпочтения остальных соответствуют
профилю я, агент г* может добиться любого желаемого решения. Мы
зто про агента г* уже доказали для профиля ях. Изменим тогда я на
я', позволив ровно одному агенту i / i* поднять ровно одну альтер-
нативу на полшага выше: либо разрешить ничью между ос и (3, либо
её создать, но не то и другое вместе, и других альтернатив менять то-
же не позволим. Предположим, что для г* ос >-г* у (3 в профиле
я. Тогда, значит, и в результате профиля я ос у >-f (3 (ведь г* там
диктатор). Следовательно, и в я' ос у и у Xf (3, а это значит, что по
транзитивности ос (3.
122
Лггция 6 Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
А по принципу единогласия это значит, что те полшага, которые
сделал агент г в профиле п', ничего для f изменить не смогли: в п'
агент г* является таким же диктатором, каким был и в профиле п. Но
4т<> значит, что г* — диктатор везде, ведь из любого профиля в любой
другой можно придти последовательностью таких шажков (проверьте!).
□
Итак, второе доказательство использовало специальный вид профи-
лей предпочтений агентов — обобщение парадокса Кондорсе. Третье,
। .(мое короткое, будет весьма интересным — мы докажем лемму о том,
гак должны соотноситься между собой разные предпочтения.
Лемма 6.1 (о строгой нейтральности). Рассмотрим две пары аль-
тернатив (а,Ъ) и (ос, (3). Предположим, что предпочтения каж-
дого агента на этих парах совпадают, и все такие предпочтения
шляются строгими. Тогда предпочтения на выходе функции со-
циального выбора на этих парах тоже будут совпадать и тоже
(>удут строгими. Это выполняется для каждой функции соци-
ального выбора.
Доказательство. Если пары (х,у) и (ос, (3) идентичны, то утвержде-
ние очевидно. Рассмотрим случай, когда они не совпадают. Предполо-
жим без потери общности, что х > у. Переместим ос (если оно не равно
\) в позицию непосредственно сверху х для каждого агента, а (3 — в
позицию непосредственно снизу у для каждого агента (если, конечно,
('> у). Поскольку все предпочтения строгие, это можно сделать, не
нарушив относительного расположения пар (х, у) и (а, (3):
а у
х (3
У а
(3 х
Тогда, по принципу единогласия, ос >~ х и у >- (3, если они не равны.
По транзитивности, ос > (3. Теперь мы можем поменять (х,у) и (ос, (3)
местами и в итоге получить, по свойству попарной независимости, что
х )-f у в исходном профиле. Бот и всё, лемма доказана. □
Третье доказательство теоремы 6.1. Третье доказательство, опи-
рающееся на лемму 6.1, будет совсем коротким. Рассмотрим два исхода
123
Курс
Теория экономических механизме».
х у и начнём с у х для всех г. Пусть теперь, начиная с i = I,
каждый агент по очереди перемещает х наверх у. По единогласию и
лемме 6.1, будет существовать агент г*, при изменении предпочтения
которого х перемещается наверх относительно у и после применения
функции социального выбора. Докажем, что г* — диктатор. Рассмотрим
произвольную пару исходов (а, (3), для которой а (3. Пусть ранжи
рование этой пары у других агентов будет совершенно произвольным.
Рассмотрим теперь третий исход z £ {ос, (3} и переместим z выше всех
остальных исходов для агентов от 1 до г* —1, ниже всех остальных для
агентов от г* + 1 до N, а для самого i* поместим z между а и (3: а >-,•
z [3. Тогда, по попарной независимости и лемме 6.1, в предпочтениях
социальной функции a Xf z и z У ( |3, а это значит, по транзитивности,
что ос (3. Следовательно, г* оказался диктатором.
6.5. Теорема Гиббарда-Саттертуэйта
В предыдущих лекциях мы уже рассмотрели примеры, в которых
были получены правдивые механизмы, успешно реализующие социаль-
ную функцию в доминантных стратегиях. Иначе говоря, счастье иногда
есть — в некоторых случаях можно построить такой аукцион, в кото-
ром агентам вообще не надо ни о чём думать, а результат получается
правильный.
Однако теорема Эрроу заставляет задуматься, всегда ли зто возмож-
но. К сожалению, ответ совсем не положительный: возможно это далеко
не всегда. Теперь мы рассмотрим один из самых больших подвохов всей
теории экономических механизмов.
Оказывается, что всё-таки не любые механизмы существуют. Сейчас
мы сформулируем определение довольно узкого и «нечестного» класса
функций социального выбора — так называемых диктаторских функ-
ций, которые выгодны ровно одному конкретному участнику (полный
аналог диктаторских функций в теореме Эрроу). А потом, как и в тео-
реме Эрроу, докажем, что никаких других реализовать в доминантных
стратегиях нельзя.
Этот результат — одна из классических теорем теории экономиче-
ских механизмов. Она была независимо доказана Аланом Гиббардом и
Марком Саттертуэйтом и в их честь и называется [22,74].
124
Лгкция б
Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
Теорема Гиббарда-Саттертуэйта крайне похожа на теорему Эрроу.
• 'H.I, собственно, из теоремы Эрроу будет следовать (а есть и приме-
l>i.i единого доказательства этих двух результатов [68]). Мы начнём с
Формулировки того, кто же такие диктаторы в контексте теории эконо-
мических механизмов.
< >нределение 6.6. Функция социального выбора f называется дик-
i .i горской, если существует такой агент I, что для всех возмож-
ных векторов типов агентов 0 = (0Ъ..., 0м) G 0
f(0) е |х е О | щ(х, 0i) > иЦу,0г) для всех у G .
Проще говоря, функция социального выбора всегда выбирает один
и । вариантов, оптимальных для г-го агента.
Вспомним теперь определение 3.9: множеством нижнего конту-
ра возможного исхода х при агенте г типа ©i называется множество
Ц(х, 0i) = {х' е О : гц(х, 0J > гц(х', 0t)|.
' >то определение позволит нам сформулировать понятие монотонной
функции социального выбора.
Определение 6.7. Функция социального выбора f называется мо-
нотонной, если для каждого 0 G 0 и каждого другого 0' G 0 из
того, что для всех г
си(т(0),0[),
следует, что f(0) = f(0').
То есть если f(0) = х, и при переходе к 0' ни у одного агента ни
один исход, который раньше был хуже х, не стал строго лучше х, то х
должен остаться его социальным выбором.
Кроме того, важным для нас понятием будут порядки на возмож-
ных исходах О, которые для каждого агента задают, что именно ему
больше нравится (это те самые порядки предпочтений, которые играли
главную роль в доказательствах теоремы Эрроу). Нам не так важно,
сколько именно агент получит (конкретное значение гц). Важно то, что
он исход о 1 ценит выше, чем о 2, но ниже, чем од. Обозначим через
Г множество всех линейных порядков на О, а через — множество
порядков, которые может реализовывать агент г.
Теперь уже можно сформулировать и доказать основной результат.
125
Курс
Теория экономических механизмов
Теорема 6.2 (Гиббарда-Саттертуэйта). Предположим, что:
— множество возможных исходов О конечно и состоит не ме
нее чем из трёх элементов: |0| > 3;
— все исходы реализуются: f(0) = О;
— каждый агент может реализовывать любое рациональное
множество предпочтений: 7Zt = Р.
Тогда функция социального выбора f правдиво реализуема в доми-
нантных стратегиях тогда и только тогда, когда она диктатор
скал.
Доказательство. Доказательство следствия справа налево тривиаль-
но: совершенно очевидно, что диктаторская f правдиво реализуема в
доминантных стратегиях. Нужно просто выбирать исход, оптимальный
для агента-диктатора, и не обращать внимания на других. При этом
для диктатора правдивая стратегия будет, безусловно, доминантной, а
другие агенты вообще не влияют на исход, поэтому для них правди-
вая стратегия не лучше и не хуже любой другой. Дальше мы будем
доказывать следствие слева направо.
Доказывать будем в три приёма, тремя леммами.
Лемма 6.2. Если 71, = Р для всех i, и f правдиво реализуема в
доминантных стратегиях, то f монотонна.
Доказательство. Рассмотрим два профиля типов 0 и 0', для которых
u(f(0),0i) cu(f(0),e().
Мы хотим показать, что f(0) = f(0')•
Доказательство будет следовать классической схеме: взять один век-
тор (профиль типов) и менять его покомпонентно, пока он не станет
совпадать со вторым. Поскольку f правдиво реализуема, то
f(o(,e2,...,eN) е l, т.о,) с l, (f(0),ef)
и, с другой стороны, f(0) е Lj (f(0(,02,...,0n),0(). Так как порядки
линейные, и всё сравнимо (это то же самое условие, которое в теореме
Эрроу называлось «строгими предпочтениями»), из этого следует, что
f(e(,e2,...,oN) = f(0).
126
Лекция 6 Теоремы Эрроу и Гиббарда-Саттертуэйта
Теперь можно доказать, что
f(0{, 03), eN) = f (е;, е2>..., eN) = f(e).
И так далее, и тому подобное. В общем, f(0) = f(0'). □
Лемма 6.3. Если 7Zi = P для всех i, f монотонна, и f(0) = О, то f
><(>фективна ex post.
Доказательство. Напомним, что «эффективна ex post» означает, что
у же после того, как агенты сыграют по своим стратегиям, для каждого
возможного значения 0 нельзя сместить равновесие туда, где всем будет
лучше.
Предположим противное. Пусть существуют такие 0 € 0 и b е О,
что
ui(b,0i)>ui(f(0),0i)
(равенство невозможно, потому что нет несравнимых исходов). Вос-
пользуемся тем, что f(0) = О (сюръективностью). Это значит, что есть
такой д' е 0, что f(0') = у.
А теперь воспользуемся тем, что все предпочтения в Р возможны.
Выберем такой вектор 0"е0, что
ViVx^f(0),y щ(у,0{') >Ui(f(0),0{') >ui(z,0{').
Поскольку
иу,0()сц(у,еп
для всех I, то, по монотонности, f(0") = f(0). А зто приводит к проти-
воречию, так как у Д f(0). □
Итак, теперь мы всё подготовили к тому, чтобы напрямую приме-
нить теорему Эрроу.
.) 1емма 6.4. Если f монотонна и эффективна ex post, то она дик-
таторская.
Доказательство. Эта лемма является прямым следствием из теоремы
Эрроу о невозможности (теоремы 6.1). □
Суммарно эти три леммы и доказывают теорему Гиббарда-Саттер-
туэйта.
□
127
Курс
Теория экономических механизмов
Лекция 7. Двусторонняя торговля и теорема Вильямса
7.1. Введение
В этой лекции мы рассмотрим результат, который является обоб-
щением теоремы эквивалентности доходности (теоремы 4.1), — её мы
рассматривали, когда рассказывали об эффективных и оптимальных
механизмах. Мы будем доказывать, что не существует механизмов, ко-
торые обладают определённым (достаточно сильным) набором свойств,
в частности, что механизмы обычно не могут быть одновременно раци-
ональными, эффективными и сбалансированными.
Основная идеология того, что будет происходить в этой лекции, та-
кова. Мы хотим доказать, что не существует механизмов, которые ре-
шают такую-то задачу и обладают такими-то свойствами. Как это сде-
лать? Чтобы доказать отсутствие таких механизмов, мы просто пол-
ностью классифицируем множество механизмов, обладающих требу-
емыми свойствами. А затем покажем, что ни в каком из полученных
случаев механизм нужную задачу не решает.
Один результат о классификации мы уже доказали, когда вели речь
об аукционах; зто была теорема об эквивалентности доходности. Она
уже сама в чём-то является теоремой о классификации — утверждает,
что правдивые механизмы почти полностью (с точностью до константы)
классифицируются своими правилами распределения.
В частности, зто значит, что эффективные правдивые механизмы
вообще классифицированы уже очень хорошо, ведь правило распреде-
ления у них фиксировано. Это простое рассуждение — всё, что нам по-
требуется для первого результата — теоремы Майерсона-Саттертузйта
о двусторонней торговле [59].
А затем мы рассмотрим значительно более общую формулировку,
которая потребует более серьёзных математических рассуждений. Это
теорема Вильямса, которая классифицирует эффективные и правди-
вые механизмы в значительно большей общности, рассматривая прав-
дивость interim с точки зрения математических ожиданий по распре-
делениям типов других агентов [78]. Работу Вильямса можно рассмат-
ривать как обобщение и/или усиление достаточно большого числа ре-
зультатов об эквивалентности, разработанных в теории экономических
128
Лгкция 7
Теорема Вильямса
м 'ханизмов [37,38,42,49]. Применение теоремы Вильямса будет анало-
гичным теореме об эквивалентности доходности — мы установим, когда
могут существовать одновременно рациональные, правдивые и эффек-
тивные механизмы. Но главное будет заключаться в том, что мы зто
докажем при весьма слабых предположениях.
7.2. Торговля между двумя участниками
Торговля между двумя участниками (bilateral trade) — зто матема-
тическая модель очень простого экономического взаимодействия. Пред-
положим, что друг с другом хотят провзаимодействовать два агента,
один из которых хочет продать некую вещь, другой — её же купить.
Математически говоря, себестоимость вещи для продавца и её ценность
для покупателя представляют собой случайные величины. У продав-
ца есть распределение его себестоимости С; в частности, с е [co,cj], У
покупателя — своё распределение ценности V; в частности, v е [vq.v,].
Как водится в теории экономических механизмов, распределения слу-
чайных величин С и V всем известны, а конкретные стоимости, выпав-
шие в данном случае — нет. Наша задача — построить экономический
механизм, который позволил бы продавцу и покупателю договориться
друг с другом так, чтобы продажа совершалась тогда и только тогда,
когда она выгодна обеим сторонам. При этом, конечно, и продавец, и по-
купатель могут пытаться лгать о своей себестоимости (ценности), если
им зто покажется выгодным.
Конечно, если щ < vq, всё в порядке, и тривиальный протокол «по-
купатель всегда платит цену С| , продавец всегда получает то же
самое» решает проблему, ведь в этой ситуации с С v и продажа всегда
выгодна и одной стороне и другой. Предположим, что конфликт мо-
жет возникнуть, то есть vq < Cj. Можно ли построить механизм так,
чтобы торговля происходила тогда и только тогда, когда это выгодно
обоим?
Формально говоря, механизм должен определить две вещи:
— р — сколько покупатель заплатит;
— г — сколько продавец получит.
Механизм эффективен, если объект продан тогда и только тогда, когда
v > с.
129
Курс Теория экономических механизмов
Оказывается, что если мы не можем доплатить что-нибудь извне
в эту экономическую систему, то ни один эффективный механизм не
сможет обеспечить рациональность для агентов. Или ни один рацио-
нальный механизм не сможет обеспечить эффективность. Или ни один
рациональный эффективный механизм не сможет обойтись без внешних
денежных вливаний. В общем, зто уж как посмотреть.
Теорема 7.1 (Майерсона-Саттертузйта). В вышеописанной задаче не
существует механизма, который бы был эффективен, правдив,
рационален и у которого в то же время сходился бы бюджет.
Доказательство. Рассмотрим механизм VCG. Он работает в данном
случае следующим образом:
1. Покупатель объявляет v, продавец объявляет с.
2. Если v < с, ничего не происходит.
3. Если v > с, покупатель платит max{c,vo), а продавец получает
min{v, ci}.
Этот механизм, как и другие VCG-механизмы, обладает многими за-
мечательными свойствами. Во-первых, он правдивый и эффективный,
ведь объект продаётся тогда и только тогда, когда v > с. Во-вторых, он
рационален:
— у покупателя с ценностью v0 ожидаемая прибыль равна 0, даль-
ше — больше;
— у продавца с ценностью ci ожидаемая прибыль равна 0, дальше —
больше.
Но есть у него одна проблема — если vo < щ, то, когда обмен вообще
есть,
min{v, с,} > max{c,vo}.
То есть продавец в нетривиальной ситуации всегда получает строго
больше, чем платит покупатель. Значит, VCG в этой ситуации не может
сбалансировать бюджет.
Но теорема об эквивалентности доходности (теорема 4.1) гласит, что
любой другой хороший механизм должен на константу отличаться от
130
Лекция 7
Теорема Вильямса
VCG. А в VCG продавец с себестоимостью Ci не получает ровным счё-
том ничего. И зто значит, что уменьшить доход продавца, сохранив
рациональность, не получится. И покупатель с ценностью vq тоже не
извлекает никакой прибыли из этого механизма, а значит, увеличить
платёж, сохранив рациональность, тоже не получится.
Итак, мы показали, что механизм VCG рационален, но у него не схо-
дится баланс. А любой механизм, у которого сходится баланс, должен
на константу отличаться от VCG, причём константа эта должна либо
брать больше с покупателя, либо давать меньше продавцу. Но при лю-
бой из этих альтернатив теряется рациональность. Значит, для задачи
двусторонней торговли не существует эффективных правдивых рацио-
нальных механизмов, у которых сходится бюджет. □
Кстати говоря, в примере 5.4 мы рассматривали механизм AGV для
(того примера и пришли к выводу, что он не будет рациональным; то
есть механизм AGV теореме 7.1 тоже не противоречит.
7.3. Теорема Вильямса: дифференцируемый случай
В этом разделе мы докажем основной результат этой лекции — тео-
рему Вильямса — не в полной общности, а в одном частном случае. Этот
частный случай позволит использовать обычные производные вместо
дифференциалов по направлениям, и поэтому изложение станет проще
и яснее. Таким образом, мы сможем «на кошках» понять основную суть
теоремы Вильямса, а затем уже доказать её в полной общности.
Но сначала вспомним базовые определения и обозначения.
Определение 7.1. Квазилинейная функция полезности агента г с
типом 0г имеет вид
ujo, Oi) = Иг(Рг, a, 0J = Vi(a, 0г) - Pi,
где исход о определяет выбор а& К. из дискретного множества К,
и выплату pi, производимую агентом.
Мы будем рассматривать исключительно агентов с квазилинейными
преференциями (мы их уже упоминали в 2.5). У агента с квазилинейны-
ми преференциями есть функция оценки (valuation function) Vi(a, 0i),
a 6 К,. Например, в аукционе, где продаётся одна вещь, IC — {0,1): агент
131
Курс
Теория экономических механизмов
либо получит эту вещь, либо не получит. Величина р< в этом случае —
выплата агента продавцу.
Теорема Вильямса — это усиленная версия принципа эквивалент-
ности доходности; она классифицирует все «достаточно хорошие» ме-
ханизмы и утверждает, что механизмы VCG покрывают всё их множе-
ство. В этом параграфе мы установим основной результат для случая,
когда типы агентов являются вещественными числами.
Итак, предположим, что тип агента — это вещественное число, и он
лежит в интервале 0i е [0b 0J С К. Обозначим через 0; тип агента,
а через 0? — тип, который он сообщает механизму (к правдивости мы
вернёмся чуть позже).
Через Ui(0^ | 0J обозначим ожидаемую прибыль (utility) агента г,
которую можно по квазилинейности записать как
Ui(0t | 0t) [ui(pi(0*, 0_J, 0.(0*, ©-J,0j] =
= Ee_t ^Vi(a(0*,0-i),0i)-pi(0*,e _j] •
Теперь понятно, что LI ; можно разложить на два слагаемых; обозначим
их через Vi и Рр.
^(0?|0г) = Ee_t [vi (a(0t,0_t),0^
Рг(0?|0г) = Ee_t [рг(0:,0_г)],
Ui(0?|0i) = ViCOJ | 0J-Рг(0? | 0г).
Теперь мы можем записать основные свойства механизмов в мате-
матических терминах. Правдивость механизма в наших обозначениях
означает, что
V0t, 0г е ©г Ui(0i) = Пг(0г | 0г) > U(0r* I 0J.
Рациональность означает, что ожидаемый доход агентов неотрица-
телен:
V0t Пг(0г) 0.
Баланс бюджета (ex ante!) означает, что ожидаемая сумма выплат
неотрицательна:
Г N
Г N
Е Xvita^AJ-U^i) = Е £рг(0)
Li=1
.1=1
132
Лекция 7
Теорема Вильямса
Вспомним механизм VCG; это был эффективный механизм, выпла-
ты в котором равнялись
My(x)=W(ai,x_t)-W_i(x).
Для того чтобы рассмотреть частный случай в этом параграфе,
вспомним теорему об огибающей из математического анализа.
Георема 7.2 (об огибающей). Рассмотрим задачу оптимизации
М(а) — maxf(x, а).
X
Если функция f достаточно гладкая1, то
dM(a) 0f(x*,a)
da 0а
0а
где х( а) — точка, в которой достигается максимум.
Иначе говоря, достаточно продифференцировать f по а, по явному
вхождению параметра, и вычислить в точке максимума.
Применим теперь теорему об огибающей к нашей ситуации:
dut(8i) _ aUi(e? 10j)
d0i 301
потому что Pt от 0i не зависит. Иначе говоря, получается, что
Это и даёт нам результат об эквивалентности всех механизмов, по-
тому что Vi(0* | Ti) зависит только от правила а(0) и ценностей агентов
Vi, но не от деталей реализации механизма.
Механизмы VCG, таким образом, покрывают всё множество «хоро-
ших» механизмов. Это и есть теорема Вильямса.
Осталось понять, что такое «хороший» механизм. По идее, в теореме
«хороший» должно означать «правдивый и эффективный». Мы прямо
1 Мы не будем здесь приводить точные условия, да и доказательство теоремы об
огибающей, поскольку в следующем разделе всё равно не будем ею пользоваться и
докажем теорему в большей общности.
133
Курс
Теория экономических механизмов
сейчас уже почти доказали зту теорему. Но, к сожалению, у нас тут по-
явились ещё какие-то ограничения на дифференцируемость функций
Щ. Вообще говоря, нельзя применять теорему об огибающей к произ-
вольным агентам. К сожалению, совсем произвольных агентов у нас
всё равно не получится, но получится существенно расширить область
применимости теоремы. Поэтому в следующем разделе мы всё докажем
по-другому.
Важно также понимать, что ограничения на U; — зто ограничения не
на механизм, а на задачу, на допустимые множества агентов. Ослабляя
эти ограничения, мы расширяем класс задач, к которым применима
теорема о классификации. Но в любом случае теорема, которую мы
докажем, классифицирует все правдивые эффективные механизмы; на
механизм никаких дополнительных ограничений не накладывается.
7.4. Теорема Вильямса: общий случай
Итак, мы готовы сформулировать наш основной результат.
Теорема 7.3 (Вильямса). Рассмотрим проблему социального вы-
бора с квазилинейными предпочтениями. Предположим также,
что
— множества типов ©i представляют собой связные откры-
тые подмножества IR14,
— ожидаемые (interim) внутренние ценности агентов
Vi(0? I 6г)
непрерывно дифференцируемы на ©t х ©^ в точках, в которых
0? = 0г.
Тогда механизмы VCG являются правдивыми и эффективными
для этой задачи, и ожидаемые (interim) внутренние ценности
агентов Ui(0? | 0;) любого правдивого и эффективного механизма
совпадают с ценностями одного из механизмов VCG.
Как обычно, a good formula stays for ever, и формула, которая по-
лучится по дороге, будет ничуть не менее важной, чем сама теорема
классификации. Давайте её тоже сформулируем.
134
Лекция 7
Теорема Вильямса
Теорема 7.4 (Вильямса). В условиях теоремы 7.3 функция доходно-
сти любого правдивого эффективного механизма для любой пары
типов 0;, 0? е ©г имеет вид
иг(0г)=иг(0?)+ DeiVi(0? |0i)|
Jr 1
где С — гладкая кривая от 0? к 0t внутри ©;, т 6 R14.
Доказательство. Обозначим через р е R14 некоторый единичный
вектор, через s е R - некоторое вещественное число. Правдивость гла-
сит, что для всех 0^ 6 ©г
Uitej > UJOi + splOi),
Ui(0i + sp) > Ui(0i | 0t + sp).
Вычтем UJ0J из обеих частей первого неравенства; получается:
Ui(0i | 0i + sp) - Ui(0i) sS
Ui(0i + sp) - Щ(0г)
UJ0i + sp) — Ui(0i + sp | 0i).
Сократим там Pt слева и справа (они не зависят от истинной ценно-
сти, а только от сообщаемой) и разделим на s:
4(0г I 0i+sp) - Vi(0t)
иг(0г + 5р)-Цг(0г)
4(01 + sp) - 4(0г + sp I 0г)
Устремим теперь s —> 0. По условию о дифференцируемости V;, ле-
вая часть сходится к производной функции 4(т? | tJ по направлению
р В точке Т? = Тг = 0г-
Правая часть раскладывается на
4(0г + 5р)-Уг(0г) 4(0; + Sp | 0J - 4(0г)
135
Курс
Теория экономических механизмов
Первое слагаемое по тем же причинам сходится к производной УЦтч)
по Тг по направлению р в тч = 0г, а второе слагаемое — к производной
VJt? | Ti) по т* по направлению р в т? = тч = 0v
Таким образом, вся правая часть сходится к производной функции
Vi« | Ti) по Ti по направлению р в точке т? = Ti — ©i. Значит,
D0lUi(0i) = Dg Vi(0* | 0i)|
Отсюда следует утверждение теоремы, потому что производная по
предположению непрерывна. □
Это весьма показательный метод доказательства. По сути это раз-
витие исходной идеи Майерсона в максимальной (или близкой к тому)
общности. Видно, что откуда берётся во всех таких теоремах: нужно
взять изменение (приращение sp) и посмотреть, что от него изменится;
а затем устремить s (то есть длину вектора приращения) к нулю. В ре-
зультате получится результат об исходных функциях; единственное, за
чем нужно следить — зто за тем, какие предположения о непрерывности
и дифференцируемости использовались по дороге.
7.5. Рациональность
Давайте применим теорему Вильямса в контексте, обобщающем тео-
рему 7.1. Мы бы хотели создавать рациональные механизмы. Посмот-
рим, когда это получится.
Теорема 7.5. Рассмотрим проблему социального выбора с квази-
линейными предпочтениями. Предположим, что множества ти-
пов ©i представляют собой интервалы: ©i = [0t, ©J. Тогда в пред-
положениях теоремы 7.3 минимальная субсидия, которая тре-
буется рациональному, правдивому и эффективному механизму,
равна
min 0, —(N — 1)Е0
' N
У Vi(a(e), Oi)
.i=1
N
+ £Ui(0i)
i=1
Значит, рациональные, правдивые и эффективные механизмы со
сбалансированным бюджетом существуют тогда и только то-
136
Лекция 7
Теорема Вильямса
гда, когда
(N-l)Ee
’ N
£vi(a(e),ei)
.i=1
N
i=1
Доказательство. По теореме Вильямса, достаточно рассмотреть ме-
ханизмы VCG. Для них ожидаемая сумма трансферов
N
Ее Pi(6) =-Ее
N
+ 2>i =
1=1
N
i=1 j^i
= -(N-1)Ee
' N
У Vi(a(e),et)
_i=1
N
+ £ц.
i=1
По рациональности, UJ0J k; для всех i. Отсюда и получается утвер-
ждение теоремы. □
137
Курс
Теория экономических механизмов
Лекция 8. Теорема Робертса
8.1. Введение
В этом курсе мы всё время говорим о том, как бы нам реализовать
ту или иную функцию социального выбора, как построить механизм,
который добивается нужного результата. В этом — одна из основных
задач классического дизайна экономических механизмов (другие зада-
чи, например эффективность получившихся конструкций, — предмет
буквально самых последних исследований; их мы коснёмся в следую-
щем курсе).
Для функций ценности самого общего вида мы в лекции 6 уже гово-
рили о теореме Гиббарда-Саттертуэйта (теорема 6.2). Мы доказывали,
что если допустить любые порядки на множестве возможных исходов,
то реализовать можно только диктаторские функции социального вы-
бора, выгодные ровно одному участнику.
Результат, конечно, весьма печальный. Но неужели ничего нельзя
сделать? В математике обычно, если общий факт никак не доказыва-
ется или общая конструкция никак не строится, пытаются рассмотреть
ограниченную постановку, которая, однако, продолжает иметь смысл.
Для теоремы Гиббарда-Саттертуэйта аналогичный вопрос разумно
было бы задать для квазилинейных предпочтений — для ситуации,
когда функция полезности каждого агента представляет собой разность
между его внутренней ценностью от наступившего исхода и той ценой,
которую он должен в результате этого исхода заплатить. Такие пред-
почтения — более чем естественное предположение; в самом деле, ну
как же ещё? Но для этих предпочтений теорема Гиббарда-Саттертуэйта
уже не слишком-то применима: такого, как там, произвольного поряд-
ка предпочтений на всём множестве исходов уже может не получиться
построить. Поэтому и теорема о невозможности — а в этой лекции мы
опять будем доказывать теорему о невозможности — здесь уже не та-
кая пессимистичная, как теорема Гиббарда-Саттертуэйта. Я бы даже
назвал её не теоремой о невозможности, а теоремой классификации:
да, мы классифицируем все реализуемые функции социального выбора,
но их окажется вовсе не так мало, и среди них будут практически все
естественные функции.
138
Лекция 8
Теорема Робертса
Теорема Робертса, как нетрудно догадаться, доказана была Кевином
Робертсом [71]. Его доказательство было достаточно сложным техниче-
ски, и за деревьями трудно было рассмотреть лес, то есть основную ба-
зовую идею доказательства. Поэтому доказательства, которые мы при-
водим в этой лекции, отличаются от оригинального доказательства Ро-
бертса; мы изложим два (достаточно существенно отличающихся друг
от друга) упрощённых доказательства теоремы Робертса, представлен-
ных не так давно Лави, Му-алем и Нисаном [40].
Здесь, однако, стоит заметить, что мы докажем теорему Робертса
только для случая неограниченного множества типов. В реальной жиз-
ни множества типов часто бывают ограничены, и структура этих огра-
ничений бывает довольно прихотливой. Но в общем случае ответа на
этот вопрос до сих пор нет, есть только частные результаты [26, 40].
Поэтому будем излагать то, что есть.
8.2. Определения
Для начала напомним основные определения. У механизма есть на-
бор исходов О (в этой лекции мы их будем обозначать через тс,у, z,...).
Есть N игроков, и у каждого есть свой тип Этот тип — просто набор
ценностей, которые игрок может присвоить каждому исходу. Например,
в ситуации аукциона по продаже одного предмета, о которой мы часто
говорили, набор исходов О — зто то, кому достаётся вещь (фактически
множество исходов равно множеству агентов), а тип Vi — это функции
полезности агента от возможного исхода, которые равны нулю, если
эту вещь отдали кому-то другому, или самой ценности, если вещь дали
данному игроку:
. . fvi, х = г,
Vi(x) =
(0, в противном случае.
Мы будем называть множество типов неограниченным, если каж-
дый агент теоретически может присвоить каждому исходу любое веще-
ственное число.
Определение 8.1. Множество типов V = V] х V2 х ... х V]\ назы-
вается неограниченным, если Vi = для каждого г.
139
Курс Теория экономических механизмов
В дальнейшем в этой лекции мы всегда будем рассматривать толь-
ко неограниченные множества типов. Разумеется, суть здесь не в плюс-
минус бесконечностях, подошёл бы и любой открытый интервал — важ-
но, что очередной агент имеет возможность выбрать ставку, которая
строго больше всех остальных (да и вообще может находиться где угод-
но относительно других ставок — между любыми двумя вещественными
числами найдётся изрядное количество других вещественных чисел).
Следующий объект, который нас интересует, — это функция соци-
ального выбора f : V —» О. Можно без потери общности предполо-
жить, что f сюръективна; если это не так, мы просто ограничим О на
im(f) С О, не потеряв ни одного реально возможного исхода, то есть не
изменив ни стратегий агентов, ни результатов этих стратегий.
Кроме того, механизм берёт с игроков платежи pi: V —> R. А игроки
квазилинейны, то есть они хотят максимизировать себе функцию дохода
(utility function)
Ui = (f(v)) -pi(v).
В этой лекции мы будем вести речь о реализации функций социаль-
ного выбора в доминантных стратегиях.
Определение 8.2. Функция социального выбора f правдиво реали-
зуема, если существуют функции платежа pt, для которых прав-
дивость будет доминантной стратегией.
От нас в конструкции механизма зависит только pi (потому что рас-
пределение исходов задаётся функцией социального выбора), поэтому
задача сводится к следующей: нам нужно так подобрать значения р^,
чтобы в конце концов эгоистичные агенты, действуя для максимизации
своих ui (которые у них квазилинейные), максимизировали f.
Формально говоря, для каждого г, каждого v„i е V_i и каждого
v' 6 Vi доходность, которую получит агент, сказав правду, больше до-
ходности, которую получит агент, солгав:
Vi (f(v)} -Pi(v) Vi (f(v(,v_i)j -Pi(v(,v_i).
В лекции 4 мы уже говорили, что все функции социального выбора,
оптимизирующие суммарную полезность, она же общественное благосо-
стояние, правдиво реализуемы VCG-платежами (точнее говоря, функ-
ция социального выбора, которая оптимизирует общественное благосо-
стояние — она одна, и она реализуема посредством VCG-механизма).
140
Лекция 8
Теорема Робертса
Волее того, легко видеть, что точно так же реализуемы и функции
социального выбора, оптимизирующие взвешенное общественное бла-
госостояние, то есть функции, которые с разными весами учитывают
счастье разных агентов.
Задача этой лекции состоит в том, чтобы доказать обратное утвер-
ждение. Мы докажем, что оптимизацией таких вот «взвешенно-эффек-
тивных» функций социального выбора, собственно, и исчерпываются
все возможности, которые у нас есть с квазилинейными агентами.
Теорема 8.1 (Теорема Робертса). Пусть \О\ > 3, и множество ти-
пов V — неограниченное. Тогда для каждой правдиво реализуемой
функции социального выбора f существуют неотрицательные ве-
са к],..., км, не все равные нулю, и константы Сх, х е О, для
которых для всех v eV
f(v) 6 argmaxxeO крч(х) + С
8.3. Условия монотонности и их следствия
Оба доказательства теоремы Робертса (да и исходное) основаны на
условиях монотонности. Мы сначала докажем, что для правдивой
реализуемости f должна удовлетворять этим условиям, а затем, в до-
казательстве самой теоремы, докажем, что функция, удовлетворяющая
таким условиям, имеет требуемый вид. Начнём со свойства слабой мо-
нотонности.
Определение 8.3. W-MON — слабая монотонность (weak mono-
tonicity, отсюда и W-MON). f удовлетворяет свойству W-MON, если
для всех типов vx,v( е Vt и для любого вектора остальных типов
v_i при f(v) = х и f(v(,v_i) = у
v((u) -vjy) > v((x) -Vi(x).
Иначе говоря, если игрок г может изменить свой тип с Vi на v(, при
этом изменив исход с х на у, то разность его значений для у должна
быть не меньше, чем разность его значений для х. Вот так, ненавязчи-
во, здесь появляются разности, которые будут ключевыми объектами в
дальнейших рассуждениях.
141
Курс
Теория экономических механизмов
Лемма 8.1. Всякая доминантно реализуемая функция социального
выбора f удовлетворяет W-MON.
Доказательство. Во-первых, докажем, что р^ не зависит от Други-
ми словами, если функция правдиво реализуется механизмом, то функ-
ция платежа уже не зависит от ставки.
Предположим противное. Что значит, функция платежа зависит от
ставки? Это значит, что есть такие v b х, Vj и v{, что исход один и тот
же, но платёж при этом разный:
f(Vi,V_i) = f(v{,V-i) = X, PiCvbV_i) < Pi(v(, V_i).
Тогда очевидно, что при векторе типов v игроку г выгодно солгать. Сле-
довательно, у правдиво реализуемой функции такого быть не может.
Теперь зафиксируем v_b vb v{, х, у так, как было в определении W-
MON. Из-за правдивой реализуемости должно быть верно, что
Vi(x) -Pi(x,v-i) Vi(y) -Pi(y,v_i),
иначе при типе игрок i сможет улучшить себе доход, солгав v{. Ана-
логично,
Ч(у) -pi(y,v_i) > v((x) -pi(x,v_i).
Сложив эти два неравенства и сократив pt получим искомое условие
W-MON. Таким образом, W-MON необходимо для правдивой реализу-
емости. □
Второе условие монотонности — свойство PAD (Positive Association
of Differences). Это можно перевести как «положительная ассоциация
разностей», но большого смысла в этом нет, потому что название не
очень «говорящее»; пусть останется просто PAD.
Определение 8.4. Функция социального выбора f удовлетворяет
PAD, если для всех v,v' е V верно следующее: если f(v) = х и
v((x) - vjx) > v((y) - v<(y)
для всех у 6 О \ х и всех г, то f (v') тоже равно х.
Свойство PAD тоже рассматривает разности, и оно легко следует из
W-MON.
142
Лакция 8 Теорема Робертса
Лемма 8.2. Всякая доминантно реализуемая функция социального
выбора f удовлетворяет PAD.
Доказательство. Мы уже доказали, что она удовлетворяет W-MON.
Теперь зафиксируем типы v и v' из определения PAD. Схему доказа-
тельства, которую мы сейчас применим, мы уже неоднократно отраба-
тывали на предыдущих лекциях. Введём промежуточные векторы ти-
пов, будем менять их пошагово и докажем по индукции, что на каждом
шаге тип сохраняется. Промежуточные векторы определим так:
vl= (vi,...,v{,vi+1,...,vN).
Тогда
f(v°) = х, v° = v, vN = v'.
Предположим теперь противное: пусть f(vx ') = х, a f(v*) = у ± х.
Тогда можно применить W-MON;
Ч(у) - vi(u) Ч(х) - Vt(x),
что противоречит предположению PAD. Значит, f(vl) = х. Утверждение
леммы теперь следует индукцией по г. □
Мы будем пользоваться PAD и в еще одной форме. Рассмотрим два
вектора ос, (3 G RN. Будем обозначать ос > (3, когда имеет место строгое
неравенство в каждой компоненте (Vi оц > Pi). Также обозначим через
О нулевой вектор.
Лемма 8.3. Пусть функция социального выбора f удовлетворяет
PAD. Зафиксируем v,v’ е V. Если f(v') = х, и v'(y) — v(y) > v'(x) —
v(x) для некоторого исхода у & О, то f(v) у.
Доказательство. Так как в каждой компоненте имеет место строгое
неравенство, то, следовательно, можно построить вектор 5 > О, равный
разности двух векторов из исходного неравенства:
S=v'(y)-v(y)-v,(x)+v/(x) eRN.
Кроме того, для каждого г
Vi(x) - v((x) - у = Vi(y) - v((y) + у > Vi(y) - v{(y).
143
Курс
Теория экономических механизмов
Определим теперь новый тип v" € V:
minfvjz), v{(z) + vjx) - v((x)} - Дъ
vf(z) = Vi(x) -
z^x.y,
Z = X,
Vi(p),
Z = l).
Это сугубо техническая конструкция, которая нужна для того, что-
бы придти к противоречию: при такой конструкции из PAD будет од-
новременно следовать, что f(v") — у и что f(v") = х.
С одной стороны получаем, что
v"(y) - Vi(y) = о > v('(z) -Vi(z),
и из PAD следует, что f(v") = у.
С другой стороны, для z х, у
v"(z) V?(z) + Х(х) - v((x) - ДЪ
и
Vi'(X) - Vi(*) = vi(x) - v((x) - у > vf(z) - v((z).
Аналогично для z = у. Тогда из PAD получается, что f(v") = х, откуда
приходим к противоречию. □
Теперь, когда мы изучили все дополнительные леммы об условиях
монотонности, можно наконец-то перейти к доказательствам собственно
теоремы Робертса.
8.4. Первое доказательство
Чтобы показать, что функция — это аффинный максимизатор, на
самом деле нужно изучать разности. Это потому, что аффинная мак-
симизация на самом деле эквивалентна системе неравенств
N
у~ kj (vjx) -Vi(y)) Су- Сх,
1=1
где f(v) = х у (рекомендуем читателю не лениться и проверить эту
эквивалентность). Мы будем изучать структуру этих самых разностей.
144
Лекция 8
Теорема Робертса
Главное множество, которое мы будем изучать, — это
Р(х,у) = е Rn | Bv : v(x) — v(y) = ос, f(v) = x|.
Проще говоря, если f(v) = х, то v(x) — v(y) 6 Р(х,у).
В течение доказательства мы увидим, какова структура множеств
Р(х,у), и в конце концов покажем, что Р(х,у) — это полупространство.
В частности, мы сделаем два важных замечания о структуре Р(х,у).
Во-первых,
ос е Р(х,у) тогда и только тогда, когда — ос Р(у,х), (8.1)
причём внутренности Р(х,у) и Р(у,х) не пересекаются.
А во-вторых, для внутренних точек упомянутых множеств
P(x,y) + P(y,z) = P(x,z). (8.2)
Для чего нужны эти свойства? Предположим, что О G Р(х,у) для
всех х, у € О (на самом деле это не обязательно так, и нам позже придёт-
ся сместить множества Р(х,у)). Тогда по второму условию все Р(х,у)
равны. Введём новое обозначение — пусть они равны С. По первому
условию С U —С = RN: если ос £ С, то —ос е С. Также из первого
условия следует, что С — выпуклое множество: если + 3) i С,
то —^(ос+ 3) е С, и тогда, используя второе условие, получаем, что
ос+ 3 G С, а значит, ос+3~ 2(<х+3) € С. Противоречие.
Таким образом, С и —С покрывают всё пространство, выпуклы, и
их внутренности не пересекаются. Это в точности означает, что они
являются подпространствами.
Теперь, объяснив идею будущего доказательства, перейдём к нему
самому. Начнём с простейших свойств Р(х,у). Так как f — сюръекция,
то Р(х,у) непусто для любых х и у. Также,
если а G Р(х,у), то V 8 > О е Rn а+б€Р(х,у). (8.3)
Чтобы это доказать, рассмотрим v: f(v) = х и v(x) — v(y) = ос. Увеличим
v(x) на 5 (мы можем это сделать, так как множества типов V у нас
неограниченные), и получится, что ос+ 5 тоже будет лежать в Р(х,у).
Следующая лемма докажет нам свойство 8.1 для внутренних точек
множества Р(х,у).
145
Курс Теория экономических механизмов
Лемма 8.4. Рассмотрим произвольные векторы <х, е G Р(х,у). То-
гда
если ос — е € Р(х,у), то —<х^Р(у,х),
а если <х^Р(х,у), то —<хеР(у,х).
Доказательство. Сначала докажем первую часть леммы. Предполо-
жим противное: пусть, наоборот, — ос G Р(у,х). Тогда существует такой
вектор типов V, что
v(y) - v(x) = —ос, и f(v) = у.
Но так как ос — е е Р(х,у), то, значит, существует такой вектор типов
v', что v'(x) — v'(y) = ос — е, и f(v') — х. Тогда верно, что
v(x) — v(y) = ос > v'(x) — v'(y) — ос — е,
а это противоречит лемме 8.3. Вторая часть леммы доказывается абсо-
лютно аналогично — её мы оставим читателю. □
Пока что мы доказали, что внутренние области Р(х, у) и Р(у,х) не
пересекаются, и объединение Р(х,у) и —Р(у,х) составляет всё простран-
ство.
Отметим ещё, что из свойства 8.3 следует, что граница у Р(х, у) мо-
нотонно невозрастающая. Действительно, если граница будет возраста-
ющей, то тогда мы сможем прибавить ос к 6 и попасть вне Р(х,у).
Осталось только показать, что границы являются гиперплоскостя-
ми, и тогда мы докажем все необходимые свойства Р(х,у). Также стоит
показать, что Р(х,у) = Р(у,х).
Следующая лемма — это доказательство свойства 8.2. В ней поня-
тие «внутренней точки» приобретает исконный смысл, по определению:
если ос G Р(х,у) — внутренняя точка, то, значит, для всех достаточно
коротких векторов е“ G RN верно, что ос — е“6 Р(х,у).
Лемма 8.5. Рассмотрим некоторые векторы ос, (3 G RN и некото-
рые векторы е“, е13 6 RN, такие, что еа, е*3 > О. Тогда, если
ос— е“ е Р(х,у) и (3 — е13 е P(y,z),
то
£<Х _|_
<х+ (3 -
е P(x,z).
146
Лекция 8
Теорема Робертса
Доказательство. Выберем исход w^x,y,z (обратите внимание — мы
по делу пользуемся тем, что |(9| > 3!) и векторы 6W G P(x,w), е > О G
KN. Также выберем такой вектор типов v, что
g |3
v(x)~v(y) = ос — —, v(y)-v(z) = 0-—, v(x)-v(w) = Sw + e.
Значит, они лежат в соответствующих множествах:
v(x) — v(y) G Р(х,у), v(y) — v(z) G P(y,z), v(x)-v(w) G P(x,w).
Тогда, по лемме 8.3, f(v) = x, и, следовательно,
£ К g 3
ОС + (3------- = v(x) - v(z),
a v(x) — v(z), несомненно, лежит в P(x, z).
□
Вернёмся к доказательству теоремы. Если бы было верно, что О G
Р(х,у), то мы бы уже доказали всю теорему, так как лемма 8.5, приме-
нённая к О, доказывала бы, что внутренности всех Р(х,у) равны. Мы бы
доказали, что Р(х,у) — P(w,w), прибавляя к какому-нибудь а нулевые
векторы. Но нулевой вектор в Р(х,у) лежать, конечно, не обязан.
Чтобы обойти эту досадную трудность, давайте возьмём каждое мно-
жество Р(х,у) и сдвинем его на
у(х,у) = inf{p G R | р • 1 G р(х,у)},
где 1 — вектор из всех единиц. Число у(х,у) — это нижняя граница
множества тех чисел, для которых гиперплоскость | р • 1 начинает пере-
секаться с Р(х,у). То есть рассмотрим множество Р(х,у), подопрём его
гиперплоскостью и начнём эту гиперплоскость понемногу опускать. Ко-
гда она наконец-то коснётся Р(х,у), её коэффициент будет равен у(х,у).
Лемма 8.6. Для всех x,y,z G О:
Т(х,У) = -Т(У,х),
y(x,z) = Y(x,y) +Y(y,z).
147
Курс Теория экономических механизмов
-III I I — II I II I , I — м I 1^^——
Доказательство. Доказательство проведём в два этапа. Сначала по-
кажем, что для всякого е > О
(у(х,у) +1) • 1 е Р(х,у).
Это верно потому, что, начиная с у(х,у), векторы р • 1 уже лежат в
Р(х,у). Значит, по лемме 8.5,
(~У(х,у) -е) 1 £ Р(у,х).
Но, с другой стороны,
(у(х,у)-е) • 1 £ Р(х,у),
так как у(х,у) не лежит в Р(х,у). Следовательно, наоборот:
(-у(х,у) +1) • 1 е Р(у,х).
Таким образом, у нас получилось, что для любого е (—у(х, у) — е)
Р(х,у), но при этом
(-у(х,у) + е) е Р(х,у).
Второй этап: поделим е пополам и рассмотрим векторы
(у(х,у) + |) '1 е Р(Х,У) и (т(У>z) + f) ’1 е p(y>z)-
Тогда, по лемме 8.5,
(у(х,у) + y(y,z) + е) • 1 е P(x,z).
Только что мы доказали, что
^у(Т,х^ у(х,у) +у(у,х).
Обратное неравенство легко доказать, если поменять в этом неравенстве
буквы у и z местами:
у(у,х) y(y,z) + y(z,x),
а затем заменить y(y,z) на —y(z,y):
у(у,х) -y(z,y) 4-y(z,x).
Итого мы получили два противоположных неравенства, то есть доказа-
ли искомое равенство y(x,z) =у(х,у) +y(y,z). □
148
Лекция 8
Теорема Робертса
Теперь мы можем сдвинуть множества Р(х, у). Введем новые мно-
жества
С(х,у) = Р(х,у) - у(х,у) • 1,
для того чтобы О G С(х,у). Иначе говоря,
С(х,у) ={ос-у(х,у) • 1 | осе Р(х,у)}.
Также обозначим через С внутренность С; формально говоря:
С = {а € С | а — е £ С для любого е > О}.
Лемма 8.7. Внутренности всех С совпадают:
С(х,у) = C(w,z) для любых х,у,w,z е О, х^у, w 7^ z.
Доказательство. По второму пункту леммы 8.6,
Р(х, у) С P(x,z) - р
для любого р 6 P(y,z). Также это верно для р = (у(у, z) + е) 1.
Аналогично,
Р(х, z) С P(w,z) — ос
для любого ос = (y(w,x) + е) -1, и получается, что
Р(х,у) С P(w,z) - (у(у,z) + y(w,x)) • 1.
Также по второму пункту леммы 8.6,
y(y,z) +y(w,x) = y(y,z) +y(w,y) +y(y,x) = y(w,z) -y(x,y).
Перенося вправо y(w, z), получаем, что
P(x,y) — y(x,y) -1 C P(w,z) —y(w,z) • 1.
Тогда, поскольку х,у, w и z мы выбирали произвольно, получается, что
все Р(а,Ь) — у(а,Ь) • 1 равны, то есть равны все С. □
Стоит заметить, что для неразличающихся x,y,w,z утверждение
леммы 8.7 тоже выполняется. Докажем, например, что С(х,у) = С(у,х).
149
Курс
Теория экономических механизмов
Для доказательства выберем w е О, отличный от х и у, и используем
лемму 8.7 для пар равенств из следующей цепочки
С(х,у) = C(w,y) = C(w,x) = С(у,х).
Оставляем читателю доказательство остальных случаев частичного ра-
венства х, у, z, w между собой.
Доказав, что всевозможные С(х, у) равны, обозначим их все через
С. Теперь, в полном соответствии с общей идеей доказательства, можно
доказать, что С выпукло.
Лемма 8.8. С выпукло.
Доказательство. Пусть а, € С С Rn. Для начала покажем, что
<х+ (3 € С. Зафиксируем разные х, y,z е О. Тогда
у(х,у) • 1 + аёР(х,у) иу(у, z) -1 + |3 G P(y,z)
по определению у(а, Ь). Сложим их:
у(х, z) • 1 + а+ |3 6 P(x,z),
и, следовательно, а+ (3 € С.
Вторая часть выпуклости — покажем, что если а е С, то и е С.
Предположим противное: пусть а е С, но j С. Тогда
J +у(х,у) • 1 £ Р(х,у),
а значит,
“Т(х,у) •1 G Р(у,х).
Следовательно, —е С, и = <х+ (—^) е С. Противоречие.
Таким образом, для всех ос, (3 е С 6 С, то есть С выпукло. □
Теперь, наконец-то, можно завершать доказательство теоремы. Во-
первых, О С, так как нулевой вектор должен быть на границе: мы
уже видели, что если х € С, то — х С.
Вспомним теорему о подпирающей гиперплоскости: если есть вы-
пуклое множество и есть точка, которая не лежит в его внутренности,
то через неё можно провести такую гиперплоскость, что замыкание все-
го множества будет лежать по одну сторону от этой гиперплоскости.
150
Лекция 8 Теорема Робертса
.'Значит, в нашей ситуации существует вектор к 6 RN, для которого
к • а > 0 для любого ос G С (в замыкании). Этот вектор к и будет теми
константами к<, которые нам нужно найти для того, чтобы построить
аффинный максимизатор.
Зафиксируем исход х0 G О и константы
N
Сх = kjy(x0,x).
г=1
Докажем теперь все необходимые неравенства, то есть
N
22 МW - )) ^ Су - сх,
г=1
где f(v) = х у. Если f(v) = х у, то v(x) — v(y) G Р(х,у). Обозначим
ос = v(x) -v(y) -у(х,у) 1.
Тогда, по определению констант ki и Р(х,у), ос G С. Значит, к • а 0.
Так как —у(х,у) = у(хо,х) — у(х0,у), то
к • v(x) + Сх к • v(y) + Су.
Это и есть утверждение теоремы, так как мы его доказали для произ-
вольного Р = Р(х,у). Доказательство теоремы 8.1 тем самым завершено.
8.5. Второе доказательство
Второе доказательство использует другое условие монотонности и,
естественно, пользуется при этом иным методом анализа. Мы должны
также задействовать одно дополнительное условие [52].
Определение 8.5. Зададим функцию социального выбора f : V —» О.
Будем говорить, что игрок г принимает решения, если для каждого
v i G V_i и х G А существует такая функция полезности vt G Vi,
что f(vi,v_i) — х.
Проще говоря, игрок г может вынудить выбор любой из альтерна-
тив для любой комбинации типов других игроков (например задавая
«достаточно высокое» значение). Мы уже отмечали, что в том случае,
151
Курс Теория экономических механизмов
когда существуют только две возможные альтернативы, принцип боль-
шинства (выбирать альтернативу большинством голосов, где игрок г
«подаёт голос» за х по сравнению с у, выбирая vjx) > vt(y)) реализу-
ем, и при таком подходе нет ни одного игрока, принимающего решения.
Однако для трёх и более альтернатив, как мы уже знаем из предыдуще-
го доказательства, каждая выполнимая функция социального выбора
должна допускать существование как минимум одного принимающего
решения игрока. В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что такой
игрок существует.
Мы снова доказываем теорему Робертса — теорему 8.1.
Теорема 8.2. Пусть \О\ ^3,uV не ограничено. Тогда для каждой
правдиво реализуемой функции социального выбора f существуют
такие неотрицательные веса к,,..., kN, не все равные нулю, и та-
кие константы Ск, х G О, что для всех v G V
f (v) G argmaxxGO крч(х) + C
. i=1
Далее мы без потери общности будем считать, что игрок 1 решаю-
щий.
Введём важное обозначение: будем писать
v' = v + eli>x,
или, что то же самое,
v' = (vt + elx,v_t).
То есть через v' мы будем обозначать вектор, совпадающий с v за ис-
ключением того, что компонента Vj.(x) увеличена на е. А через мы
будем обозначать единичный вектор вдоль j-й оси.
Предыдущее доказательство занималось анализом свойств множеств
Р(х,у). Здесь мы будем рассматривать не множества, а числа, но числа,
тоже достаточно хитро определённые. Следующее определение вводит
основной объект нашего анализа [72,73].
Определение 8.6. Д ля каждых двух различных х, у Gt? и для каж-
дого V-i G V_i определим
SxyCv-t) = inf |v((x) - v((y) | v'G Vi u f(v(, v_J = x|.
152
Лекция 8
Теорема Робертса
По определению, если f(v) = х, то v((x) — v((y) < для всех
у G О. Иными словами, если зафиксировать v_t, то 5xy(v-i) “ это ми-
нимальное значение разницы между х и у всякий раз, когда f выбирает
х.
Пример 8.1. Для аукциона Викри обозначим через 0;£ О победу иг-
рока г в аукционе. Тогда v^oj — зто ставка, которую ставит агент 1,
a vi(Oj) для j 1 равна нулю (полезность выигрыша любого друго-
го агента для агента 1 равна нулю). Таким образом, в аукционе Викри
(v_i) для всякого j / 1 — это ставка, которую должен сделать агент
1 для того, чтобы выиграть аукцион.
Конец примера 8.1.
Теперь мы хотим исследовать структурные характеристики этого
определения для случая неограниченной области и в конце концов по-
казать, что SiytV-J — это аффинная функция от разницы векторов
(v_j(x) — v_i(y)). Отсюда и воспоследует свойство аффинной максими-
зации. Но сначала — немного более техническая лемма, которая уста-
новит, что сумма значений 5 по циклам небольшой длины равна нулю.
Лемма 8.9.
1. Для любого v-i е V_i и любых исходов х,у е О
SiybMj + ^V-!) -0.
2. Для любого v_i 6 V_i и любых исходов x,y,z G О
51y(v_1)+6iz(v_1) + 61x(v_1)=0.
Доказательство. Сначала докажем, что для любого v_] е V_i и лю-
бых исходов х,у G О значение Sxy(v_i) определено (конечно), и
+ 6yX(v_|) > 0.
Раз агент 1 принимает решения, то, значит, существует такая функ-
ция полезности vi € V|, что f (vi, V-i) = x. Тогда
6ly (V <) Vl(x) -Vj(y) < OO.
153
Курс
Теория экономических механизмов
Однако, поскольку агент 1, опять же, принимает решения, существует
и такая функция полезности V}, что f(VpV„i) = у. Для каждого из тех
vj е V,, для которых f(VpV-i) = х, мы по свойству W-MON знаем, что
v^(x) — v^(y) v^(x) — v^(y). Следовательно,
Sly(V-i) >Vi(x)-Vi(y) >-oo.
Чтобы доказать, что S^yfv—i) + 6yx(v_i) неотрицательно, зафикси-
руем произвольное е > 0 и рассмотрим такую v} е V], что
f(vi,v_i) = у HVi(x)-Vi(y) 61y(v_i) + е,
а также такую G V], что
f(vpv_i) = xHVi(x)-v^(y) Siy(v_t) + е.
По свойству W-MON мы имеем v^(x) — v^(y) > v^(x) — v,(y). Тогда,
значит,
6iy(v_i) + e ^v^(x)-vi(y) ^vi(x)-vi(y) >-5^(у_4) - e.
Следовательно, для любого e > О
^(v-i) + 5’x(v-i)+2e^0,
откуда и следует искомое неравенство.
Теперь можно доказать собственно утверждения леммы.
1. Достаточно показать, что &iy(v_ 1) + 6yX(v_i) < 0. Для каждых
таких е 0 и V], что f(vi,v~i) = хи vi(x) — vi(y) = е + £>iy(v_i),
рассмотрим
V] — vi + Зе • 1 у + е • 1 х.
Тогда f(vpV-i) е х,у по свойству W-MON. Однако f(VpV_|) не
может быть равно х, так как
v{(*)-4(u) = (vi(x) + e)- (vi(y) + 3e) < 6Xy(v_i).
Мы получили, что f(VpV_i) = у. Но тогда
5yX(v~ 1) «С (х) - (у) + 2е = —siy(V-!) + е,
и, таким образом, 5xy(v _<) + 6yX(v_i) < е для каждого е > 0.
154
Лекция 8 Теорема Робертса
2. Зафиксируем v_j. Рассмотрим такие Vi.Vpv", что
f(vi,v_i)=x, f(vi,v_1)=y, f(v",v_1) = z
(они существуют, потому что агент 1 принимает решения). По
правдивости,
vi(x)-pi(x,v_!) v1(y)-p1(y,v_1),
v{(y)-pi(y,v-i) > v((z)-pHz.V-,),
v"(z)-pHz.v-t) > v('(x)-p^x.V-t).
(обратите внимание — опять вдруг откуда ни возьмись появля-
ется парадокс Кондорсе!). Отсюда следует, что
VI (х) - V! (у) + V, (у) - (z) + v"(z) - v"(x) 0.
В частности,
^xy(V-l) + ^yz(v-l) + ^zx(V-l) 0.
Теперь предположим, что существуют такая функция полезности
v_, и такие исходы x,y,z, что
^xy(V-l) + ^z(v-i) + S^V-i) > 0.
По первому пункту этой леммы,
[51y(v- 1)+5^x(v_i)]+[5^(v_1)+6^y(v_1)]+[61x(v_1)-|-5i2(v_1)] = 0.
Таким образом,
Siz(v-i) + Sjy (V-!) + ) < 0,
что приводит нас к противоречию.
□
Следующая лемма показывает, что значение Sly(v_J зависит только
от
v_!(x)-v-Ну),
то есть от (п— 1 )-мерного вектора разностей оценок всех агентов, кроме
первого. Вспомним введённые ранее обозначения: (v — е 1,л) означает
оценку V, в которой агент ) уменьшил значение своей функции для
альтернативы z на е.
155
Курс
Теория экономических механизмов
Лемма 8.10.
1. Для каждого L 0, j 7^ 1, v_] е V-i и всякой тройки раз-
личных исходов x,y,z е О
= 5iy(v-i — L- 1j>z).
2. Пусть x, у е О, и пусть для некоторых векторов v_] и vf_1
верно, что
V-1 (х) - v-i (у) = vl, (х) - (у).
Тогда ^(v^) = 5^^).
Д оказателъство.
1. Возьмём vL] — V-i — L • 1jjZ. Если f(vi,v_i) = х, то по S-MON
f (vi, ) = х, и, следовательно,
Предположим противное: пусть равенство неверно, а, значит,
6iy(v_1)>61y(vL1).
Сперва заметим, что, как и в предыдущих доказательствах,
Syx(V-l) )•
Но
= о = ).
Но мы предполагали, что левая часть этого равенства больше,
чем правая; таким образом, мы пришли к противоречию.
2. Зафиксируем произвольные векторы v_],vL1 е V_|, для кото-
рых
V-1 (х) - V-J (у) = vL, (х) - vi, (у).
Для каждого j 1 и для каждого V; е V, условие S-MON под-
разумевает, что добавление аддитивной константы ко всем коор-
динатам Vj не изменит выбора f. Таким образом, мы можем без
156
Лекция 8
Теорема Робертса
потери общности предположить, что Vj(x) — Vj(x) и Vj(y) = Vj(y).
Теперь определим
v"(w) = min v-(w)|
для каждого w e О. Тогда первый пункт этой леммы позволяет
сделать вывод о том, что
Вот и всё, лемма доказана.
□
Итак, мы доказали, что Sxy(vO зависит только от v_](x) — v_|(y).
Таким образом, отныне мы можем рассматривать 5ху (v_ J как функцию
bxt)(v i(x) — Vjfy)). В этих (слегка изменённых) обозначениях можно
сформулировать следующее следствие.
Следствие 8.2.1. Для любой пары векторов r,t е Rn1 и любой
тройки исходов x,y,z е О верно, что
Siy(r) + ^x(-r) = о,
Siy(r) + 5k(t) + 6k(-r-t) = 0.
В частности,
5^(0) + б’х(0) = 0и 5^(0) + 5’г(0) + 6^(0) = 0.
Лемма 8.11. Для каждого г, s,t е и для любой тройки исхо-
дов x,y,z е О
Six(r + t) - six(r) = Slx(s + t) - Slx(s).
Доказательство. Достаточно показать, что
^zx(s) — \|х(г) = ^zx(s +1) — &yx(r +1).
По следствию 8.2.1,
Slx(s) - Snx(r) - &lx(s) + Sly(-r) = - s)-
Аналогично,
51x(s +1) - 6^x(r +1) = -6yZ(r- s).
□
157
Курс
Теория экономических механизмов
Теперь нам придётся ненадолго отвлечься1 от анализа следствий из
условий W-MON и S-MON и доказать небольшое техническое предло-
жение [52], которое нам пригодится на последнем шаге доказательства.
Предложение, кстати, само по себе тоже довольно интересное; именно в
нём вдруг из каких-то неравенств получается, что функция-то на самом
деле линейная.
В формулировке предложения «монотонность» означает следующее:
функция g : R11 —> R монотонная, если для любых векторов a, b G Rn
из pt > oci для каждого г следует, что g(b) > g(a). Иначе говоря, это
монотонность относительно частичного порядка на векторах, который
мы тут уже неоднократно вводили и использовали.
Предложение 8.1. Зафиксируем монотонную функцию g : Rn -э R
и предположим, что существуют такие функции hi : Rn —> R,
что
g(r + 6ei)-g(r) = ht(5)
для любого г G Rn и любого 6 > 0 (где — это единичный вектор
вдоль i-й оси). Тогда существуют такие константы k; е R и у е
R, что
п
g(r) = +
г—1
Доказательство. Доказательство мы для большей наглядности разо-
бьём на две леммы. Первая из них рассматривает одномерный случай.
Лемма 8.12. Предположим, что m : R+ —> R — монотонно неубы-
вающая функция, и существует такая функция h: R+ —> R+, что
тп(х + 6) — m(x) = h(6)
для любых х, 5 G R+. Тогда существует такое число w G R+, что
h(6) = w8.
Доказательство. Пусть w = h(1) (заметим, что w > 0, поскольку тп
не убывает). Сначала мы докажем, что для любых двух целых чисел р
1 Позволю себе, правда, усомниться в слове «придётся»: есть подозрение, что от-
влечься читатель сейчас будет уже очень рад.
158
Лекция 8 Теорема Робертса
и q h(p/q) — w(p/q). Заметим, что
, «*
4 1
h(1) =m(1) -m(0) = m f(i+ 1)/q) ~m(i/q) = q -h(1/q).
1=0
Таким образом, h(1/q) = (1/q) • h(1). Аналогично,
pi
h(p/q) = m(p/q) - m(0) = m ((i. + 1 )/q) - m(i/q) =
i=0
= P (1/q) = (p/q) -h(1) = (p/q) • W.
Теперь стандартным образом перейдём по полноте от рациональ-
ных чисел к вещественным: докажем, что для любого вещественного
б Н(б) = 6w. Заметим, что так как m монотонно не убывает, h тоже
должна быть монотонно неубывающей. Предположим от противного,
что h(6) > w6. Возьмём некоторое рациональное число т > б, доста-
точно близкое к 5, так, что h(6) > wr > w6. Так как h монотонна, и
г > б, то h(r) > h(6). Но так как г рациональное, h(r) = wr < h(б), что
приводит нас к противоречию. Доказательство совершенно аналогично
и при h(6) < w6. □
Лемма 8.13. Рассмотрим, подмножество X С Кп, обладающее сле-
дующим свойством: если х G X и р > х, то р G X. Рассмотрим
монотонно неубывающую функцию rn. : X —> R и предположим,
что существуют такие числа wj,..., wn G R, что
m(x + бег) — тп(х) = Wi.6
для любого г, любого х G X и любого б > 0. Тогда существует такая
константа -у G R, что
ТП.(х) — J" Wi Хг + у.
г=1
Доказательство. Сначала мы докажем, что для любых таких х, р G
X, что pt > Хг для всех г, в этом случае
п
пг(р) = тп(х) + (Pi~xi)-
i=1
159
Курс Теория экономических механизмов
Заметим, что (yi ,Х2,..., xn) е X и
m(y1,x2,...,xn) = m(x) + hi(yi -х,).
Повторяя этот шаг п раз, мы получаем, что
п
m(y) = т(х) + У Wj- (Ui-Xj).
i=1
Теперь зафиксируем любой х* G X. Докажем, что для любого % е X
п
т(х) = т(х*) + У Wi(Xi - х?).
Выберем такой вектор у, что у^ > шах{х<, х?} для всех i. Таким образом,
TL
пг(у) = т(х) + J" Wi(y г - xj,
г=1
а также
т(у) = т(х*) + У Wi(yi-x?),
i=1
из чего немедленно следует доказываемое утверждение. □
Эти две леммы и составляют доказательство предложения 8.1. □
Теперь вернёмся к доказательству теоремы Робертса. Нам осталось
уже буквально одно последнее усилие.
Лемма 8.14. Существуют такие неотрицательные веществен-
ные константы к2)..., кп, что для каждого г 6 Rn-1 и для любых
исходов y,z G О
п
SyZ(r) =-J2kjTj + 6^z(O).
i=2
Доказательство. Прежде всего заметим, что 6yZ(-) — это монотонно
невозрастающая вещественная функция. Если f(vi,v. i) = у, то тогда
f(vi,v_i+e1 j>y) = у по S-MON. ТогдаинфимумнаV-i+e-lj^ получается
на большем множестве, и, следовательно, он меньше. Значит, не
возрастает.
160
Лекция 8 Теорема Робертса
По лемме 8.11 и предложению 8.1 получаем, что существуют такие
вещественные константы kyz, что
^(r) = £kfr) + ^(O).
j=2
Поскольку 6yz.(-) является монотонно невоэрастающей функцией, все
kyz должны быть неположительными. Перепишем для удобства это ра-
венство как
^W = -£kfrj + ^z(O),
1=2
и будем отныне считать, что константы k|*z неотрицательны.
Нам осталось показать, что kxy = k-vz для любых x,y,z,w G О.
Выше мы получили, что к*у = 6хц(0) — 5xy(ej). По следствию 8.2.1
мы получаем кху = kzx, потому что 6^(е,) + 6yZ(0) + 6^(—е5) = 0.
Аналогично, к?* = к-^. □
Теперь мы легко можем завершить доказательство теоремы. Зафик-
сируем произвольную альтернативу w G О и зададим константы Сх =
6^(0) для всех х w, a Cw положим равной нулю. Зафиксируем v е V
и предположим, что f(v) = х. Следовательно, для любого другого ис-
хода у х
vi(x)-vi(y) > kj (vj(x)-Vj(y)) +51у(0).
Так как 5^(0) = 5^(0) + 5^(0) и 5^(0) - -6^(0), мы, перестав-
ляя элементы, получаем, что
vi (х) + У kjVj(x) + Сх > п(у) + У kjVj(y) + Су,
Mi
что и требовалось доказать.
161
Курс Теория экономических механизмов
Лекция 9. Аукционы с зависимыми ценностями
9.1. Введение
Можно ещё долго рассуждать о том, что нельзя сделать; в предыду-
щих лекциях мы об этом много говорили. Но, кажется, пора двигаться
дальше и попытаться всё же продвинуть наши знания о том, что сделать
можно, а также понимание того, что уже делается.
Отныне и до конца курса мы будем рассматривать аукционы в том
виде, в котором мы это делали в лекциях 3-5. Напомним вкратце клас-
сическую постановку задачи дизайна аукционов. Имеется некоторый
лот, который выставляется на торги продавцом. В торгах участвуют
N агентов, каждый из которых хочет приобрести лот за как можно
меньшую цену. При этом победа в аукционе приносит агенту i пользу
Vt — это так называемая внутренняя ценность для агента i. В лек-
циях 3-5 внутренняя ценность была функцией исключительно от его
собственной полезности Xi, распределённой по некоторому заранее из-
вестному распределению Xi, а также от цены, которую ему нужно было
заплатить (и уже эта цена зависела от ставок, а значит, и от внутренних
ценностей других агентов).
В лекции 4 мы доказали теорему об эквивалентности доходности
(теорему 4.1): если скрытые значения агентов Xi распределены одина-
ково и независимо и все агенты нейтральны к риску, то любое симмет-
ричное равновесие любого аукциона даёт продавцу один и тот же доход.
Иначе говоря, продавцу можно не затруднять себя сложным выбором
между, скажем, аукционом второй цены, первой цены и английским
аукционом: всё равно его доход от формы аукциона не изменится. Ко-
нечно, в разделе 4.5 мы немножко оговорились, что могут появиться
психологические причины предпочесть один формат другому, да и про-
сто — в аукционе второй цены оптимальная стратегия самоочевидна, а в
аукционе первой цены её нужно вычислять сложным образом, поэтому
аукцион второй цены можно применять шире. Но всё-таки математиче-
ски все аукционы были для продавца одинаковы.
Однако в реальной жизни далеко не всегда скрытые значения аген-
тов представляют собой независимые случайные величины. Рассмотрим
162
Лекция 9
Аукционы с зависимыми ценностями
следующее обобщение: пусть теперь каждый агент не знает точного зна-
чения своей ценности, но знает её примерно. А именно, агент i теперь
знает значение некоторого случайного неточного сигнала (noisy signal)
Xi из диапазона [0, cuj. Ценность лота для агента i является некоторой
функцией от сигналов всех агентов:
Vi = Vi(Xi,X2,... ,Xn).
При этом она также является случайной величиной (так как случайны-
ми являются все сигналы Xi).
Таким образом, теперь ценности всех агентов оказываются связан-
ными друг с другом посредством неточных сигналов. Такая постановка
задачи называется аукционом с зависимыми ценностями. Существу-
ет также модификация аукциона с зависимыми ценностями, в которой
кроме неточных сигналов агентов х< есть ещё неточный сигнал S, из-
вестный только продавцу (у продавца есть уникальная информация об
объекте продажи). При этом
Vi(xi,... ,xn) = Es [VilXi = Xj,... ,Xn = *n] .
В таком случае интересен вопрос о том, имеет ли смысл (для увели-
чения матожидания своего дохода) продавцу сообщать известный ему
неточный сигнал S агентам или нет.
Далее мы будем рассматривать первый, более простой случай. Будем
по умолчанию полагать, что vJO,0,... ,0) — 0 и что E[VJ < оо. Кроме
того, будем считать, что агенты нейтральны к риску, то есть каждый
из них хочет максимизировать матожидание величины Vi — pi, где pi -
цена, которую придется заплатить за обладание лотом.
Частным случаем аукционов с зависимыми ценностями являются
аукционы, в которых существует некоторая общечеловеческая цен-
ность V = v(Xi,... ,Xn), а сигналы отдельных агентов Xi распреде-
лены вокруг неё (то есть E[Xi|V = v] = v). Типичный жизненный при-
мер такой ситуации — аукционы по разработке месторождений: точный
доход от разработки некоторого месторождения примерно одинаковый
для всех и никому заранее не известен, но у потенциальных покупа-
телей могут быть примерные его оценки. Поэтому такая модель часто
называется «mineral rights model».
163
Курс Теория экономических механизмов
9.2. К чему приводят зависимые ценности
Рассмотрим для примера модель с общечеловеческой ценностью (mi-
neral rights model). В описанной выше ситуации возникает так называе-
мое проклятие победителя (winner’s curse; вспомните раздел 2.2). Так
как V — это, грубо говоря, среднее значение среди всех Xi, то наиболь-
шее из Xi неизбежно будет переоценивать V!
Возьмём для примера аукцион первой цены. Как только агенту сооб-
щают, что он выиграл аукцион, он понимает, что скорее всего переоце-
нивал значение V (так как остальные агенты в таком случае, очевидно,
оценивали его меньшим значением). Возможно, что стоимость, которую
заплатит агент-победитель, будет даже превышать значение V, то есть
в итоге он останется в убытке.
Пример 9.1. Рассмотрим простейшую (и самую, наверное, разумную
для моделирования реальности) ситуацию, когда оценки агентов рас-
пределены нормально и независимо вокруг общечеловеческой ценности
V. Может показаться, что здесь оценки агентов распределены независи-
мо, и мы возвращаемся в ситуацию аукционов с независимыми ценно-
стями. Но на самом деле это не так: они независимы только при условии
известной ценности V, а вся соль ситуации как раз в том, что никто эту
ценность не знает.
Так вот, предположим, что N агентов участвуют в аукционе первой
цены, и оценка стоимости лота у каждого агента представляет собой
нормальное распределение со средним, равным истинной ценности v и
дисперсией о2. Тогда функция распределения наивысшей оценки стои-
мости из N агентов будет равна не
1 _(x-v)2
Fn(v>o2)W = —7v=e .
а её N-й степени F(x) = Fj^(v ^(х), что, конечно, гораздо меньше. Вот
как растёт математическое ожидание максимальной оценки из десяти
участвующих агентов для вещи с ценностью 1 и дисперсией 1:
тах{ХЛ
i=1..2
max {Xi)
i=1.3
*NfN(1i1)(x)FN(1i1)(x)dx » 1.56419,
j xNfN(1(1)(x)F^(1i1)(x)dx ^1.84628,
164
Лекция 9
Аукционы с зависимыми ценностями
max{Xi}
1=1..5
(1,d Wdx « 2.16296,
max {XJ
i=1..1000
^fN(1i1)(x)F^(11)(x)dx « 2.53875,
^NfN(i,i)MFN(9i,i)(x)dx ~ 4-24144.
В аукционе с тысячей участников победитель рискует переплатить бо-
лее чем вчетверо!
Конец примера 9.1.
По этой причине в аукционе первой цены участники должны делать
определённую поправку и немного занижать заявляемую стоимость ло-
та. Мы ниже обсудим этот вопрос подробнее и покажем конкретные
стратегии для различных типов аукционов.
Стоит также отметить, что «проклятие победителя» зависит от ко-
личества участников N. Чем больше агентов участвуют в аукционе, тем
больше ожидание максимума среди всех оценок стоимости лота, и тем
хуже в среднем приходится победителю.
Но это не единственный (и даже не главный) эффект, который появ-
ляется в аукционах с зависимыми ценностями. Главным для нас след-
ствием зависимости сигналов является тот факт, что теперь теорема
об эквивалентности доходности перестаёт работать. Причём не просто
перестаёт работать доказательство, а теорема становится по сути невер-
ной. Мы будем обсуждать, как подправить теорему, чтобы суметь хоть
что-то сказать в случае зависимых ценностей.
Более того, в 3.2 мы рассказывали о том, каким образом различ-
ные модели аукционов оказываются эквивалентными друг другу. Для
двух основных моделей аукционов с открытыми ставками — голланд-
ского и английского — мы нашли их эквиваленты в терминах закрытых
ставок — аукционы первой и второй цены соответственно.
Так вот, в ситуации с зависимыми ценностями аукцион второй це-
ны и английский (восходящий) аукцион перестают быть эквивалентны-
ми! Это связано с тем, что в восходящем аукционе у участников, ко-
торые остаются активными, по ходу проведения аукциона появляется
новая информация — ставки участников, выходящих из аукциона (точ-
нее говоря, значения стоимости лота в те моменты времени, когда эти
165
Курс Теория экономических механизмов
участники говорили «пас»). Исходя из этих ставок, активные участни-
ки могут пытаться оценить скрытые сигналы пасующих агентов. Если
в случае аукциона с частными независимыми ценностями они не играли
никакой роли, то теперь эти значения могут повлиять на собственные
оценки ценности лота оставшихся в игре агентов.
Замечание. С голландским (нисходящим) аукционом всё остаётся
эквивалентным: поскольку лот отдают тому агенту, который первым
поднял руку, у него по определению не появляется никакой дополни-
тельной информации от ставок других агентов (он ничего не узнаёт о
них).
В дальнейшем мы проведём подробный анализ двух аукционов с
закрытыми ставками — первой и второй цены — и английского аук-
циона с открытыми ставками. Этот анализ позволит нам установить,
какой из них лучше с точки зрения продавца и с точки зрения агентов-
покупателей. Иными словами, раз уж эквивалентность не выполняется,
нужно хотя бы понять, в какую сторону тут всё неэквивалентно. Но сна-
чала нам предстоит рассмотреть несколько важных понятий из теории
вероятностей, без которых ничего у нас насчёт аукционов с зависимыми
ценностями доказать не получится.
9.3. Аффилированные сигналы
Итак, отныне мы отказываемся от предположения, что распреде-
ления Х| независимы, и будем считать, что они могут быть коррели-
рованными. В таком случае появляется единая совместная плотность
f(X), неравная fliM^i). Конечно, работать с совсем уж произвольным
распределением вероятностей нелегко, и многого о нём доказать не по-
лучится. Да и на практике предположение, которое мы сейчас сделаем,
представляется в высшей степени разумным. Мы будем предполагать,
что сигналы X,, Х2,... Хм аффилированы.
Определение 9.1. Случайные величины X = (Xi,...,Хм) называ-
ются аффилированными, если V х',х":
р(х' Х/х")р(х' Ах") ^р(х')р(х"),
где
x'Vx" = (max(x'1,x")>... ,тах(хм,х'мУ),
166
Лекция 9
Аукционы с зависимыми ценностями
х'Ах" = (min(xi,x"),... ,min(x^,x^)).
Аффилированность — это усиленная форма положительной корре-
ляции. По сути она означает, что если некоторая часть значений
велика, то остальные значения тоже, скорее всего, будут велики. Согла-
ситесь, что для аукционов с месторождениями, да и вообще для типич-
ной ситуации аукциона с зависимыми ценностями, это предположение
выглядит разумным.
Рассмотрим ещё одно сугубо математическое определение.
Определение 9.2. Функция f называется супермодулярной, если
V х'.х";
f (хх V х") + f (хх Ах") f (хх) + f(х")
Из определений 9.1 и 9.2 мгновенно следует, что компоненты вектора
случайных величин X аффилированы тогда и только тогда, когда In р
супермодулярна. Чтобы убедиться в этом, достаточно прологарифмиро-
вать равенство из определения аффилированной функции. Следующее
предложение мы также оставим без доказательства — доказать его бу-
дет хорошим упражнением.
Предложение 9.1. Если f — гладкая функция, то f супермодуляр-
на тогда и только тогда, когда
Сейчас мы будем понемножку устанавливать математические фак-
ты о супермодулярных функциях и аффилированных случайных пе-
ременных, которые нам потребуются в дальнейшем. Поэтому нетерпе-
ливый читатель может сейчас пропустить остаток этого раздела и воз-
вращаться к нему по мере надобности, когда мы в последующем тексте
будем на него ссылаться. Но для полноты картины всё же рекомендуем
читать по порядку.
Рассмотрим переменные Yi,..., Yn-i , которые мы уже использовали
в предыдущих лекциях. Напомним, что они представляют собой сигна-
лы Хг,..., Xn, упорядоченные в порядке убывания значений.
Совместная плотность g случайных величин Xi, Y],..., Yn-i легко
выражается через совместную плотность вектора сигналов X. Для этого
167
Курс
Теория экономических механизмов
достаточно заметить, что каждый вектор Ум = (yi,... ,yN-i) соответ-
ствует (М—1) 1 различных векторов (х2,..., хы): можно перемешать ком-
поненты (yi,... ,yN-i) гак угодно, а получаться всё равно будет один
и тот же упорядоченный вектор. Поэтому
g(x1,yi,...,yN_1) =
(n-1)!p(xi,y_N),
* О,
когда yi > ...> yN_! > О,
в противном случае.
Значит, если переменные Xi, Х2,..., Х^ аффилированы, то аффили-
рованными также будут и Xi, Yi,..., Yn-i
Введём теперь новое определение.
Определение 9.3. Рассмотрим две случайные переменные —Хи
Y — с функциями распределения F и G и плотностями распреде-
ления fug соответственно. Говорят, что:
— F доминирует над G в терминах отношения правдоподобия (likeli-
hood ratio), если функция отношения правдоподобия возрас-
тает, то есть
Vx<v
— F доминирует над G в терминах доли риска (hazard rate), если
доля риска у F всегда выше, чем у G:
1 -F(x) 1—G(x)
f(x) g(x)
— F доминирует над G в терминах обратной доли риска (reverse
hazard rate), если обратная доля риска у F всегда выше, чем у
G:
F(x) G(x)
f(x) " g(x) ’
— F стохастически доминирует над G, если
Vx F(x) > G(x).
Предложение 9.2.
1. Если F доминирует над G в терминах отношения правдо-
подобия, то F доминирует над G в терминах доли риска.
168
Лекция 9
Аукционы с зависимыми ценностями
2. Если F доминирует над G в терминах отношения правдо-
подобия, то F доминирует над G в терминах обратной доли
риска.
3. Если F доминирует над G в терминах доли риска, то F сто-
хастически доминирует над G.
Доказательство.
1. Доминирование в терминах отношения правдоподобия означает,
что
Vx < у
f(х) f(y)
g(x) " g(y)
Это эквивалентно тому, что
f(y) > gCy)
f(x) " g(x) ’
Проинтегрируем последнее выражение по у:
rw f(y)
Vx 7ГТаУ
Jx f(x)
Vx < у
7ТТаУ>
или, что то же самое,
1—F(x) 1—G(x)
f(x)
д(х)
2. Как и в первом пункте,
f(x) < f(p)
g(x) " g(y)‘
Но теперь мы это перепишем слегка по-другому:
Wv fW g(x)
f(y) g(y)
Vx < у
Снова взяв интеграл, но на этот раз по х, получаем:
Vx
или, что то же самое,
'^dx>r^ldx
О f(У) " Jo g(y) ’
F(y) > G(y)
f(у) " g(y) ‘
169
Курс
Теория экономических механизмов
3. Как известно, функцию распределения F(x) можно переписать в
терминах доли риска Лр(х) —
F(x) = 1 — е Jo^Wdt
(если вам это неизвестно, проверьте сами!). Из этого равенства
очевидно, что если для всех х Лр(х) > Ag(x), то и для самих
функций распределения F(x) > G(x) для всех значений х.
□
Рассмотрим теперь две переменные — X и У — с совместной плотно-
стью
f : [0, си] х [0, си] —> R
и, соответственно, функцией совместного распределения
F : [0, си] х [0, си] —> R.
Если X и У аффилированы, то
V х' > х,у' > у f(x',y)f(x,y') f(x,y)f(x',y').
Преобразуем это соотношение:
f(x,y') < f(x',y')
f(x,y) f(x',y)
f(y'|x)f(x) < f(y'|x')f(x')
f(y|x)f(x) f(y|x')f(xz)
f(y'|x) < f(y'lx')
f(y|x) " f(y|x')
Последнее равенство означает, что функция отношения правдоподо-
бия
f(-lx')
f(-|x)
возрастает для всех х' > х, то есть F(-|x') доминирует над F(-|x) в тер-
минах отношения правдоподобия для всех х' > х. А значит, по предло-
жению 9.2, F(-|x') в таких случаях доминирует над F(-|x) и в терминах
доли риска, и в терминах обратной доли риска, и стохастически.
170
Лекция 9
Аукционы с зависимыми ценностями
Из стохастического доминирования следует, что для всех у функция
I (у|-) является неубывающей (поскольку стохастическое доминирование
означает, что F(y|x') > F(y|x) для любых х' > х). А это, в свою очередь,
означает, что условное математическое ожидание E[Y|X = х'] тоже яв-
ляется неубывающим как функция от х. Отсюда, в частности, следует,
что в таком случае величины X и Y положительно коррелируют (так
мы доказали, что аффилированность — более сильное понятие, чем по-
ложительная корреляция). На самом же деле верно и более сильное
утверждение: для всякой неубывающей функции -у условное ожидание
E[y(Y)|X = x]
не убывает как функция от х (оставляем доказательство читателю в
качестве упражнения).
Итак, вернёмся теперь к нашим аукционам. Если сигналы агентов
Xi,..., XN аффилированы, то, следовательно, Xj, Yj,..., Yn i также бу-
дут аффилированы.
Пусть Xi и Yi аффилированы. Если G(-|x) — это распределение Yi,
то при условии, что Xi = х и х' > х, G( |x') доминирует над G(-|x) в
терминах обратной доли риска:
g(ulx') < д(ъ»1*Э
G(ylx') G(y|x)’
Волее того, для всякой возрастающей функции у, если х' > х, то
Е [y(Yi)|Xi = х'] >Е [y(Yi)|Xi = х] .
Вот такие следствия нам удалось извлечь из свойства аффилирован-
ности неточных сигналов агентов. В скором времени мы их применим.
9.4. Симметричная модель
Как и в случае обычных аукционов с независимыми ценностями, да-
лее мы будем рассматривать ситуацию, в которой все агенты находятся
в симметричных условиях. В случае, когда у каждого агента была лишь
своя, независимая индивидуальная ценность, симметричность означала,
что все ценности, как случайные величины, берутся из одного и того же
распределения.
171
Курс
Теория экономических механизмов
В случае зависимых и аффилированных сигналов симметричность
понимается двояко. С одной стороны, это симметричность функций цен-
ностей агентов Vi, а с другой — симметричность распределения случай-
ных сигналов.
Итак, мы будем полагать, что все X, берутся из одного и того же
интервала [0, со], и, кроме того, есть единая для всех агентов функция
П(Х)=и(ХъХ^),
которая является симметричной относительно последних N — 1 пере-
менных, то есть не изменяющаяся при их перестановке:
Vn G S{1...„i-j’i+t.м}
Vi(Xi, Xi,..., Xi_j, Xi+1,..., XN) =
= v^Xt.X^i),.. • ^„(^j.X^+i), • • • ,X„(N)).
Также будем считать, что плотность совместной вероятности f, опреде-
лённая на множестве [0, cu]N, также является симметричной функцией,
и что сигналы Xi,..., Хм аффилированы.
Определим одну важную функцию:
v(x,-y) = Е [Vi|Xi =x,Yi =у] .
Она представляет собой математическое ожидание дохода игрока 1 при
условии, что его скрытый сигнал хт = х является наивысшим, а наи-
высший среди всех остальных сигналов равен у. Поскольку модель сим-
метрична, функция v одинакова для всех игроков. Как мы узнали в
разделе 9.3, из аффилированности следует, что
e[y(Yi)|Xi=x'] ^e[Y(Yi)|Xi=x],
Следовательно, v неубывает от своих переменных. Кроме того, так как
11(0) = 0, то v(0,0) — 0.
9.5. Равновесие в аукционе второй цены
В заключение этой лекции мы отыщем симметричное равновесие
в модели аукциона второй цены. Это самый простой пример анализа
аукционов с зависимыми ценностями; более сложные примеры будут в
следующей лекции.
172
Лекция 9
Аукционы с зависимыми ценностями
Теорема 9.1. В аукционе второй цены симметричное равновесие
достигается при выборе следующей стратегии:
(Зп(х) = v(x,x).
Доказательство. Пусть остальные агенты играют по стратегии (3 —
Рн. Вычислим математическое ожидание дохода агента 1 с сигналом
х при условии, что он поставит b в качестве своей ставки. Для этого
обозначим через g(-|х) плотность Yj = max^i Х< при условии Xi = х.
Чтобы подсчитать ожидание дохода первого агента, нужно проинтегри-
ровать его потенциальный доход v(x, у) — (3(у) (здесь v(x,y) — ценность
лота для игрока 1, а (3(у) — вторая по величине ставка, то есть плата,
которую в аукционе второй цены платит победитель) по всем таким слу-
чаям, когда ставка следующего игрока оказывается меньше Ь, то есть
когда Р(у) < Ь; поскольку р — неубывающая функция, можно просто
интегрировать по у от 0 до (3~ 1 (Ь):
гр-’(ъ)
П(Ь,х) = (v(x,y) - |3(у))g(y|x)dy =
Jo
rP 1(b)
= (v(x,y)-v(y,y))g(y|x)dy.
Jo
Так как v возрастает по своему первому аргументу, то, следователь-
но,
Vy > х v(x,y) < v(y,y).
Таким образом, если у заберётся за х, подынтегральное выражение ста-
нет отрицательным, и интеграл начнёт уменьшаться. Следовательно,
максимум ожидания дохода достигается при использовании (3 1 (Ь) = х,
или, что то же самое, при b = (3(х). □
Пример 9.2. Приведём конкретный пример анализа аукциона второй
цены. Пусть в нём участвуют три игрока: X = (X?, Х2, Х3), и все X;
при условии сигнала V = v равномерно распределены на отрезке [0,2v]
и независимы. Таким образом, v действительно оказывается средним
значением ценностей Х<, и они зависят друг от друга исключительно
посредством этого общего сигнала. Оставляем читателю удовольствие
проверить, что эти случайные переменные действительно будут аффи-
лированы.
173
Курс
Теория экономических механизмов
Для этого примера крайне важной окажется случайная величина,
равная максимуму ценностей всех трёх агентов. Обозначим её через
Z = max{X1,X2,X3},
а в каждой конкретной точке, соответственно, z — max{xi, х2, ^31-
Плотность распределения Х< при условии V = v равна ~ на [0,2v].
Следовательно, совместное распределение (V, X) будет равно на мно-
жестве {(V, Х)|Х; 2V}.
Заметим, что вся информация, которую мы можем узнать про V,
зная значения Xi, — это то, что V > Значит, совместная плотность
X равна
Г1 1 4 — z2
р(х1,х2,х3) = ) ^3dv = 1fo2 > гАе г = тах{х1,х2,х3}.
J 2Z
Следовательно, p(V|X = х) = p(V|Z = z), и на интервале [^z, 1]
имеем
, lv , p(v,z) 1 16z2
p(v|Z = z) = —•
p(z) 8v34 —z2
Таким образом,
E [V|X = x] = E [v|Z = z] = f vf(v|X = x)dv =
J jZ + Z
А это означает, что
v(x,y) = E [У|Х] = x, Y, = у] = E [V|Z = max{x,y}] =
L J L 12 + max{x, y)
и, следовательно,
2x
(3n(x) = v(x,x) = ——
Z ~г X
В итоге мы нехитрыми преобразованиями получили явное выражение
для оптимальной стратегии поведения агентов в аукционе второй цены
с ценностями, которые коррелируют таким вот прихотливым образом.
Аналогичный анализ можно провести и в любом другом случае.
Конец примера 9.2.
174
Лекция 10
Доходы с зависимыми ценностями
Лекция 10. Доходы аукционов с зависимыми ценностями
10.1. Английский аукцион
В прошлой лекции мы начали рассматривать аукционы с зависимы-
ми ценностями участников; оказалось, что в общем случае о них мало
что можно сказать, но в случае аффилированных сигналов задача ока-
зывается более разумно сформулированной. Нам удалось доказать, что
для аукциона второй цены равновесные стратегии задаются формулой
(Зп(х) = v(x,x), где
v(x,y) = Е [VjIXj =x,Yi .
В этой лекции мы рассмотрим ещё две модели аукционов — англий-
ский и первой цены — а затем сравним их друг с другом с точки зрения
доходов. Наконец, в разделе 10.5, мы посмотрим насколько эффектив-
ными будут аукционы с зависимыми ценностями (окажется, что крайне
неэффективными, но мы, опять же, введём дополнительное условие, и
жизнь станет проще).
Итак, английский аукцион. В английском аукционе дополнительным
источником информации для агента является то, когда другие агенты
выходят из игры. В зависимости от этого стратегии активных участни-
ков аукциона могут меняться по ходу его проведения.
В такой ситуации уже нет смысла говорить о единой оптимальной
стратегии. Симметрическая равновесная стратегия превращается в на-
бор
p = (3N)3N-1,...,|32)
из bJ — 1 функции. Каждая его компонента (3 k представляет собой функ-
цию N — к переменных (Зк(х,рк+1,... ,pN) — цену, на которой игрок
1 должен выйти из игры при условии, что его сигнал равен х, в иг-
ре остались ещё к агентов, а цены остальных вышедших составляли
Рк+1 Рк+2 > • • • PN-
Опишем следующую стратегию для агентов. Во-первых, вначале,
когда все агенты ещё активны, положим
PN(x) — u(x,х,..., х)
175
Курс
Теория экономических механизмов
(напомним, что и — это ценность объекта, которая в случае аукционов
с зависимыми ценностями оказывается функцией от всех сигналов). За-
метим, что (3N непрерывна и возрастает.
Пусть агент N выходит из аукциона на цене рм- Тогда положим
PN-1(x,pN) — и (х,..., х, xN),
где xn — такое значение сигнала, что Pn(xn) = Pn (оно всегда един-
ственно, так как PN непрерывна и возрастает).
По аналогичному принципу строятся и остальные рк. А именно, если
из игры уже вышли агенты с номерами N,..., к +1, то
Pk(x,pk+1,...,pN) = u(x,...,x,xk+1,...,xN),
где xk+i определяется из условия
Pk+1 (%к+1, Pk+2i • • • , PN) = Рк+1 •
Неформально смысл описанной стратегии очень прост. Всякий раз
игрок определяет, стоит ли ему продолжать игру при текущей ставке
р. Он спрашивает себя: «Что будет, если я сейчас выиграю аукцион?».
Аукцион прямо сейчас выиграть возможно лишь в том случае, когда
все остальные агенты прямо сейчас, на ставке р, решат выйти из иг-
ры. Предполагая, что они действуют по аналогичной стратегии, можно
определить их скрытые сигналы у для такого случая из условия
Рк(У,Pk+i,•••.Pin) =Р-
А зная скрытые сигналы всех агентов, можно определить ценность объ-
екта и (х,у,... ,y,xk+1,xk+2..хм). Очевидно, что продолжать игру
стоит тогда и только тогда, когда эта ценность больше, чем р.
Теорема 10.1. Описанная выше стратегия р является симмет-
ричной равновесной для английского аукциона.
Доказательство. Пусть Xi = х, и все остальные агенты, кроме перво-
го, играют по стратегии р. Рассмотрим значения Yi, У2,..., Ym--j.
Пусть Yj таковы, что агент 1 при следовании стратегии р выигры-
вает объект (то есть х > yi). В этом случае цена, которую заплатит
176
Лекция 10
Доходы с зависимыми ценностями
первый агент, — это цена, на которой из аукциона выходит агент с сиг-
налом yi, то есть u (yi,yi,y2, • • • ,Уь|)- Так как х > у,, то выгода игрока
I будет положительной:
u(x,y1,...,yN)-u(p1,y1,...,pN) >0.
Так как игрок 1 не может повлиять на цену, которую ему придется
заплатить, то лучшего результата, чем от использования стратегии |3,
ему в этом случае все равно не добиться (классическое рассуждение,
оно часто помогает в анализе аукционов).
Если же агент 1 не выигрывает вещь при использовании р (то есть
если х < yi), то в случае, если он всё-таки решит выиграть аукцион,
его доход будет отрицательным:
u(x,y1,...,yN) -u(y1,y1,...,yN) < 0.
Таким образом, игроку 1 никогда не выгодно отклоняться от р. □
Особенность описанного выше равновесия заключается в том, что
оно зависит только от оценочной функции и и никак не зависит от
распределения сигналов f. Таким образом, для каждого конкретного и
равновесие р не сместится, если изменить распределение сигналов.
Как мы уже обсуждали, в таком случае говорят, что стратегии р
образуют равновесие ex post. Такое равновесие лучше, чем равновесия
ex ante и interim; в частности, оно обеспечивает свойство отсутствия
сожаления (по regret). Проще говоря, даже если после завершения
торгов все агенты раскроют точные значения своих сигналов, то никто
из них не будет жалеть о своем выборе стратегии: выигравший агент
останется с положительной выгодой, а проигравшие поймут, что даже
если бы они повысили ставку и выиграли аукцион, они остались бы в
убытке.
10.2. Аукцион первой цены
Перейдём теперь к симметричной равновесной стратегии в аукционе
первой цены. Сперва, как и ранее, выведем её эвристически.
Обозначим через (3 искомую равновесную стратегию, а через G(-|x) —
распределение Ут при условии Xj = х (запомните это обозначение, мы к
177
Курс Теория экономических механизмов
нему в дальнейшем ещё не раз и не два вернёмся). Плотность данного
распределения будем обозначать, соответственно, как g (-|х).
Тогда ожидаемый доход агента 1 при его собственном сигнале, рав-
ном х, и ставке (3 (х) составляет
П(г,х) = j (v(x,y) - 3(z)} g(y|x)dy = £ v(x,y)g(y|x)dy - 3(z)G(z|x).
Поскольку 3 должна быть оптимальной стратегией, получаем сле-
дующее дифференциальное уравнение:
(v(x,z) - 3(z)) g(z|x) - (3'(z)G(z|x) = 0.
А при симметричном равновесии z = x, и в итоге получается
Кроме того, есть и начальное условие: 3(0) = 0.
Теорема 10.2. В аукционе первой цены симметричное равновесие
достигается при использовании следующей стратегии:
3!W = [ v(y,y)dL(y|x),
Jo
где
L(y|x)=e
Доказательство. Во-первых, покажем, что L(-|x) является функцией
распределения на интервале [0, х]. По аффилированности, для всех t >
0
g(t|t) > g(t|O)
G(t|t) " G(t|O)’
Таким образом,
х д(Ш)
о G(t|t)
" g(t|Q)
о G(t|O)
^(lnG(t|0))dt =
- lnG(0|0) — lnG(x|0) = —oo.
Следовательно, L(0|x) — 0. Кроме того, L(x|x) = 1, и функция L(-|x)
является неубывающей.
178
Лекция 10
Доходы с зависимыми ценностями
Кроме того, из аффилированности сигналов следует, что
Vx'> х L(-|xz) < L(-|x).
Так как v(y, у) возрастает как функция от у, то р = р1 также возрастает
как функция от х.
Рассмотрим теперь агента, который делает ставку р (z) при скрытом
сигнале х. Так как р возрастает,
П(г, х)
(v(x,y) - P(z)j g(y|x)dy.
Продифференцировав предыдущее выражение по z, получаем:
= (v(x,z) - P(z)} g(z|x) - P'(z)G(z|x) =
= G(z|x) ((v(x,z) - P(z)) - p'(z)5) .
\ G(z|x) J
Рассмотрим случай z < x. Так как v(x, z) > v(z, z) и сигналы аффи-
лированы, то, следовательно:
g(z|x) g(z|z)
G(z|x) G(z|z)’
а значит,
> G(z|x) f (v(x,z) - Рк))ДЩ - P'(zj) = 0.
oz \ G(z|z) J
А в случае, когда z > x, можно совершенно аналогичным способом пока-
зать (проведите это рассуждение самостоятельно), что < 0. Из этого
следует, что функция П (z, х) в точке z = х достигает максимума. □
Полученный результат является обобщением предыдущих результа-
тов. Так, при частных значениях v(y,y) = у, а при независимых сигна-
лах G(-|x) = G(-), и, следовательно,
L(y|x) = е GPTdt =
G(x)
179
Курс Теория экономических механизмов
Пример 10.1. Рассмотрим случайные величины Si, S2, Т, равномерные
и независимые на интервале [0,1]. Пусть в аукционе участвуют два аген-
та с неточными сигналами Xi ~ S, + Т и Х2 = S2 + Т> а общая ценность
лота вычисляется следующим образом: V = j(Xi + Х2).
Наличие Т обеспечивает аффилированность сигналов Xi и Х2. Так
как участника всего два, то Yi = Х2.
Совместная плотность Xi и Yi (рис. 1) вычисляется отдельно на
разных треугольных участках.
Путём несложных вычислений можно показать, что для всех х из
интервала [0,2]
д(х|х) = 2
G(x|x) х’
а для всех у е [0,х]
L(y |х) = ^2-
xz
Тогда теорема 10.2 утверждает, что оптимальная равновесная стра-
тегия в данном случае имеет следующий вид:
р 2
З’М = v(y,y)dL(y|x) = -х,
Jo J
так как v(x,y) = ^(х + у).
Конец примера 10.1.
10.3. Английский аукцион против аукциона второй цены
В этом и следующем разделах мы будем сравнивать доходность трёх
описанных типов аукционов в случае, когда агенты действуют в рамках
симметричной равновесной стратегии. При наличии аффилированных
сигналов и зависимых ценностей уже не действует принцип эквивалент-
ности доходности. Далее будет показано, что английский аукцион пре-
восходит по доходности аукцион второй цены, который, в свою очередь,
превосходит аукцион первой цены.
Начнём со сравнения английского аукциона и аукциона второй цены.
Теорема 10.3. Ожидаемый доход от аукциона второй цены не
превосходит ожидаемый доход от английского аукциона.
180
Лекция 10 Доходы с зависимыми ценностями
Доказательство. В аукционе второй цены равновесие достигается при
использовании стратегии (Зп(х) — v(x,x), где
v(x,y) = Е [VtIXt = х, Y, = у] .
Таким образом, если х > у, то
v(y, у) = Е [u(X,, Y,, У2,..., Yn—1) IX1 = у, Y, = у] =
- Е [u(Y,, Y,, Y2,..., Yn_i )|Xi = у, Y, = у] <
^e[u(X1,Y1,Y2,...,Yn_1)|X1 = x,Y1=y],
Последнее неравенство следует из того, что и возрастает, а сигналы
аффилированы.
Доход в данном случае вычисляется следующим образом:
Е [R11] = Е [pHfYJIXj > Y,] = Е [v(Yb Y!)|X! > Yi] <:
< Е [Е [u(X,, Y!, Y2,..., YN1)|Х, = х, Y, = у] |ХЛ > Y,] =
= Е [u(Xi, Y,, Y2,..., Yn_! )|Xi > Yi] =
= E [(3Eng2(Yb Y2,..., Yn_j)] = E [REng] .
Здесь через [3Ellg2 обозначена стратегия для английского аукциона в
случае, когда в игре остаются всего два агента. Цена, на которой пред-
последний агент в английском аукционе выходит из игры, — это и есть
цена, которую заплатит победитель. □
Замечание. Английский аукцион дает строго большую доходность,
чем аукцион второй цены, только в том случае, когда одновременно
присутствуют и зависимость значений, и аффилированность сигналов.
Для независимых сигналов или индивидуальных значений эти два аук-
циона эквивалентны.
181
Курс
Теория экономических механизмов
10.4. Сравнение аукционов первой и второй цены
Продолжаем наши штудии. На очереди — сравнение аукционов пер-
вой и второй цены.
Теорема 10.4. Ожидаемый доход от аукциона первой цены не пре-
восходит ожидаемого дохода от аукциона второй цены.
Доказательство. В аукционе первой цены выплата равна в точности
ставке победителя |31(х). В аукционе второй цены ожидание выплаты
выигравшего агента с сигналом х равно
Е [рЧМХ! =x,Yi <х] .
Заметим, что вероятность того, что агент с сигналом х выиграет
аукцион, в обоих случаях одинакова — это просто вероятность того,
что сигнал х окажется наибольшим. Поэтому достаточно показать, что
ожидаемая выплата в аукционе второй цены не превосходит ожидае-
мой выплаты в аукционе первой цены, и из этого факта сразу будет
следовать утверждение теоремы.
Вспомним, что такое (3n(Yi) (в этом нам поможет теорема 9.1), и
перепишем выражение для ожидаемой выплаты:
E^Y^X, =x,Y, <х] =
= Е [vtYbY^IXj =x,Y] < xl = [ v(y,y)dK(y|x),
L J Jo
где для всех у < х
К(у|х) - -J—G(y|x).
G(x|x)
Вспомним, что К(-|х) — функция распределения вероятностей на от-
резке [0,х]. Кроме того,
рт(х) = [ v(y,y)dL(y|x)
Jo
также является функцией распределения на отрезке [0,х].
Далее мы покажем, что для всех у < х К(у|х) < L(y|x), или, выра-
жаясь в стиле определения 9.3, К(у|х) стохастически доминирует над
182
Лекция 10
Доходы с зависимыми ценностями
I (у|х). Поскольку v возрастает, из этого факта будет следовать утвер-
ждение теоремы.
Чтобы доказать стохастическое доминирование, вспомним, что из
аффилированности сигналов следует, что для всех t < х G(-|x) домини-
рует над G(-|t) в терминах обратной доли риска. Таким образом,
g(t|t) < g(t|x)
G(t|t) " G(t|x)‘
Значит, для всех у < х
Г g№)
G(t|t)
p g№) =
Jx, G(tlx)
dt =
= lnG(y|x) —lnG(x|x) — In
G(y|x)\
G(x|x)/ ’
Осталось применить к обеим частям полученного равенства экспо-
ненту, чтобы получить требуемый результат. □
Пример 10.2. Вспомним предыдущий пример: пусть случайные вели-
чины S], S2, Т равномерны и независимы на [0,1]. Имеются два участни-
ка с сигналами Xi = Si+T и Х2 = S2+T и общая ценность V = ^(Хт+Хг).
Так как участника всего два, то Yi = Х2, v(x,y) — ^(х + у), и, сле-
довательно, для аукциона второй цены равновесной будет стратегия
Рп(х) = х. Ожидание дохода в этом случае будет вот каким:
5
Em = 1-
о
Е [R11] = Е [min{Xi,X2}] = Е [
min{Si,S2}j +
В случае аукциона первой цены (3 т(х) = |х, а соответствующее ожи-
дание дохода
Е [r1] = Е
(2 2
max j -Xi,-X2
2 г 12 7
= -Е [min{Si,S2}j + -Е[Т] =
Таким образом, как и ожидалось, Е [Rn] > Е [R1].
Конец примера 10.2.
Итак, в последних двух разделах мы показали, что между мате-
матическими ожиданиями доходов английского аукциона и аукционов
первой и второй цены выполняются следующие соотношения:
Е [REng] Е [Rn] > Е [R1] .
183
Курс
Теория экономических механизмов
В начале лекции мы уже упоминали, что в аукционе первой цены
агенту необходимо занижать заявленную цену, чтобы избежать «про-
клятия победителя». Давайте для примера докажем это математически.
Теорема 10.5. В аукционе первой цены имеет место «проклятие
победителя», то есть
|3I(x)<E[v1|X1=x,Y1<x].
Доказательство. Во-первых,
₽т(х) = v(y,y)dL(ij|x) < v(y,y)dK(ij|x),
Jo Jo
так как К( |х) стохастически доминирует над L(-|x). Во-вторых,
v(y,y)dK(y|x) < v(x,y)dK(y|x),
Jo Jo
так как возрастает. Ну и, наконец,
v(x,y)dK(y|x) = Е — х, Yi < х
Jo
Теорема доказана.
Но, оказывается, «проклятие победителя» — это отнюдь не уникаль-
ное свойство аукциона первой цены.
Теорема 10.6. В аукционе второй цены «проклятие победителя»
также имеет место, то есть
pII(x)<E[v1|X1=x,Y1<x].
Д оказателъство.
Е [0n(Yi)|Xi =х, Yi < х
v(y,y)dK(xj|x) < Е V1IX1 =x,Yj <х
184
Лекция 10
Доходы с зависимыми ценностями
10.5. Эффективность
Для всех трёх рассмотренных выше аукционов с зависимыми ценно-
стями найденные нами симметричные равновесные стратегии оказались
возрастающими относительно неточного сигнала. Это значит, что при
этих стратегиях побеждает всегда тот игрок, у которого наибольший
сигнал.
Напомним, что аукцион называется эффективным, если лот всегда
достаётся агенту, для которого он представляет наибольшую ценность.
При этом не слишком важно, какой у него сигнал и является ли он
наибольшим.
Поэтому неудивительно, что полученные нами симметрические рав-
новесные стратегии могут вовсе не быть эффективными. Это покажет
и следующий пример.
Пример 10.3. Рассмотрим аукцион на двоих агентов, ценности лота
для которых вычисляются следующим образом:
Vl(xbX2)
V2(xi,X2)
1 2
3X1 + 3Х2'
2 1
3*1 + 3*2-
В данном случае vi > v2 тогда и только тогда, когда х2 > *1 • Таким
образом, у агента с более низкой ценностью сигнал будет выше, а значит,
вещь достанется ему.
Конец примера 10.3.
Пример 10.3 достаточно сильный. Из него видно, что практически
все формы аукционов могут быть неэффективными, если ценности лота
для агентов зависят главным образом не от их собственной ценности, а
от ценностей других агентов.
В этом разделе мы рассмотрим одно достаточное условие эффектив-
ности, которое часто выполняется в реальных ситуациях.
Определение 10.1. Будем говорить, что ценности удовлетворя-
ют условию одного пересечения (single crossing condition), если для
всех г ± j и всех х выполняется соотношение
dvt 3vj
тг-(х) >
(JX[ ОХ^
185
Курс
Теория экономических механизмов
Это условие называется условием одного пересечения, потому что
из него следует, что если зафиксировать сигналы всех агентов, кроме
г, то vt как функция от сигнала х^ в каждой точке будет круче, чем v,.
А зто, в свою очередь, означает, что они будут пересекаться не более
одного раза.
В случае симметричной модели с зависимыми ценностями
vi(x) =u(xt,x_i),
и и симметрична от последних N — 1 аргументов. Обозначим через и-
частную производную и относительно j-ro аргумента. В таком случае,
чтобы проверить условие одного пересечения, достаточно убедиться,
что для всех j ^4 1 > Uj. Более того, поскольку и симметрична,
достаточно лишь выполнения условия u, > и/,.
Условие одного пересечения гарантирует, что фактические (ex post)
значения ценности лота для всех агентов будут упорядочены так же,
как и их сигналы. А зто и означает эффективность. Доказательством
этого факта мы и завершим лекцию, посвящённую сравнению разных
типов аукционов с зависимыми ценностями.
Теорема 10.7. Пусть для симметричных зависимых ценностей и
аффилированных сигналов выполняется условие одного пересече-
ния. Тогда симметричные равновесия для аукционов первой цены,
второй цены и английского аукциона являются эффективными.
Доказательство. Как мы и говорили выше, будем доказывать, что из
условия одного пересечения следует то, что порядок на сигналах будет
совпадать с порядком на ex post значениях ценностей. Чтобы убедиться
в этом, предположим, что Xi > xj. Определим прямую, проходящую
через точки (xj,xi,x_ij) и (xi,Xj,x_ij):
a(t) = (1 -t)(xj,xi,x_ij) + t(xi,xj,x_ij).
Вычислим теперь линейный интеграл по этой прямой. Как известно
из математического анализа, значение (достаточно гладкой) функции
в точке (xi,Xj,x_ij) можно представить как значение функции в точке
(х,,Хг,х_ц) плюс интеграл от градиента этой функции по любому (до-
статочно гладкому) пути между этими точками (прямая замечательно
подходит). Таким образом, можно записать:
Г1
u(xi,Xj,x_ij) = u(xj,Xi,x_ij) + Vu(a(t)) • az(t)dt.
Jo
186
Лекция 10
Доходы с зависимыми ценностями
Осталось заметить, что
Vu(a(t)) a'(t) =Ui(a(t))(xi-Xj) +U2(a(t))(xj -xj О,
так как xj > Xj и > и'2.
Таким образом, при х< > xj ценность для агента г, которая равна
u(xi, X,, х_у), не меньше, чем ценность для агента j, равная и(х^, хц Х-у) -
Тем самым теорему можно считать доказанной. □
187
Курс
Теория экономических механизмов
Лекция 11. Принцип взаимосвязи
11.1. Введение
В предыдущих двух лекциях мы рассматривали наши извечные при-
меры — аукционы первой и второй цены, а также примкнувший к ним
неожиданно переставший быть эквивалентным английский аукцион. В
тех лекциях мы установили некие соотношения между ожидаемыми до-
ходами участников этих аукционов; а именно, мы установили, что
Е [REng] > Е [r11] > Е [R1] .
Проницательный читатель наверняка давно уже ждёт рифмы «ро-
зы» и предполагает, что эти соотношения являются лишь частным слу-
чаем какого-либо более общего принципа. В этой главе мы исследуем
как раз этот общий принцип, который получил название принцип вза-
имосвязи (linkage principle). Он предоставляет достаточно легко про-
веряемое достаточное условие, при помощи которого можно сравнивать
разные модели аукционов по их ожидаемому доходу.
Принцип взаимосвязи — изобретение уже довольно давнее (давнее,
конечно, если учитывать, насколько молода вообще теория экономи-
ческих механизмов). Он был доказан в 1982 году Милгромом и Вебе-
ром [53]. А вот слегка модифицированный его вариант, который нам
потребуется, чтобы классифицировать аукционы, где платит не только
победитель, появился на свет совсем недавно; его доказали Кришна и
Морган в 1997 году [35,36].
11.2. Принцип взаимосвязи
Мы продолжаем рассуждения в том же контексте, что и на преды-
дущей лекции. Сейчас мы будем выводить общий принцип, поэтому и
обозначения чуть обобщим. Для аукциона А обозначим через |3А его
симметричное равновесие. Через WA(z,x) (главное обозначение этой
лекции) обозначим ожидаемую цену, которую платит агент 1, если он
выходит из аукциона победителем, получает сигнал х и ставит при этом
[3A(z) (то есть ставит так, как будто получил z и применил |3А).
188
Лекция 11
Принцип взаимосвязи
Пример 11.1. В аукционе первой цены
WT(z,x) = |Зт(г).
В аукционе второй цены
Wn(z, х) = Е [(3n(Y1)|X1 = x,Y, <z] .
Конец примера 11.1.
Наконец, через WA(z,x) мы обозначим частную производную функ-
ции WA(-,-) по второму аргументу, вычисленную в точке (z,x):
WAfex)=aw^)
8u ы
Соответственно, через WA(z,x) будем обозначать частную производную
WA(-, •) по первому аргументу в точке (z,x).
Теперь всё готово для того, чтобы сформулировать принцип взаи-
мосвязи.
Теорема 11.1 (принцип взаимосвязи). Пусть А и В — два аукцио-
на, в которых побеждает наивысшая ставка и платит только
победитель. Пусть в каждом из них есть своё симметричное и
возрастающее равновесие, причём:
— для всех х WA(x,x) (х,х);
— выполняется начальное условие WA(0,0) = 0 = WB(0,0).
Тогда ожидаемый, доход аукциона А не меньше ожидаемого дохода
аукциона В.
Доказательство. Начнём с аукциона А. Пусть в нём все участники,
кроме первого, следуют равновесной стратегии (3А, а первый ставит
PA(z). Тогда вероятность его победы составит
G(z|x) = Pr(Y1 <z|X, =х).
Значит, каждый агент в аукционе А максимизирует
f v(x,Tj)g(p|x)dij — G(z|x)Wa(z,x).
Jo
189
Курс
Теория экономических механизмов
g(*|x) ( >
= 7^-r-rV х,х)
G хх
Поскольку мы находимся в равновесии, оптимально брать z — x, что
даёт нам соответствующее условие:
g(x|x)v(x,x) — g(x|x)Wa(x,x) — G(x|x)WA(x,x) = О
или, что то же самое,
WA(x, х)
Аналогично,
WB(x,x)
Значит,
G(x|x)
g(*|x) , .
= I Л х,х
G хх
S^w'(x.x).
WA(x,x) — WB(x,x) = fwA(x,x) - WB(x,
G>(x|x) \
х)) .
Определим теперь функцию, которая, собственно, показывает, как
связаны WA и WB:
Д(х) = WA(x,x) — WB(x,x).
Тогда
А'(х) = (WA(x,x) — WB(x,x)) + (WA(x,x) — WB(x,x)).
Но первую из этих скобок мы уже знаем, и в итоге получается
А'(х) = -^,Х|Х^,А(х) + fwA(x, х) - Wj(x,x)) .
G(x|x) \ /
Применим теперь условие теоремы. Оно гласит, что
WA(x,x) — WB (х,х) ^0.
В итоге у нас получилось простенькое дифференциальное уравнение на
функцию А вида
А'(х) = — аД(х) + 3,
где и а, и (3 положительные, с начальным условием Д(0) = 0. Предостав-
ляем читателю убедиться (мы такие уравнения в курсе уже решали),
что в решении этого дифференциального уравнения А(х) неотрицатель-
на для всех х, что и требовалось доказать. □
190
Лекция 11
Принцип взаимосвязи
Пример 11.2. Принцип взаимосвязи можно применить, например, к
сравнению всё тех же аукционов. Сравним аукционы первой и второй
цены. Мы знаем, что
¥И(г,х) = ^(z).
Это значит, что W|(x,x) = 0 для всех х, потому что функция W^ZjX)
от второго аргумента вообще не зависит. А для аукциона второй цены
WII(z,x) = E[3II(Y1)|X1 =х, Yi <z] .
Поскольку (3й возрастает, то, по аффилированности, Wffxj) > 0. Зна-
чит, доход от аукциона второй цены не меньше дохода от первой цены.
Конец примера 11.2.
Пример 11.3. А ещё принцип взаимосвязи можно ограничить и полу-
чить его частный случай — принцип эквивалентности доходности. Если
сигналы независимы, то WA(z,x) не зависит от х. Значит, в этой си-
туации WA(z,x) = 0 для любого аукциона, и доходности у них у всех
совпадают.
Конец примера 11.3.
11.3. Война на истощение
Теорема 11.1 позволила нам классифицировать многие известные
нам аукционы. Но в ней заложено важное ограничение: мы потребо-
вали, чтобы в аукционе что-то платил исключительно победитель. А в
реальной жизни это далеко не всегда так: мы в разделе 4.3 уже приводи-
ли пример с лоббированием и получающимся в результате аукционом, в
котором платят все участники. Давайте начнём подбираться к нужно-
му обобщению принципа взаимосвязи с конкретного примера, который
имеет ещё и биологическую мотивацию.
В качестве этого примера мы рассмотрим так называемую войну
на истощение (war of attrition). Её можно понимать следующим об-
разом: агенты соперничают за ресурс ценностью V, просто оставаясь в
игре и терпя со временем всё большие и большие убытки. Как только
все агенты, кроме одного, уйдут из игры, игра закончится, и остав-
шийся будет объявлен победителем. Эту модель начал рассматривать
191
Курс
Теория экономических механизмов
упоминавшийся уже Джон Майнард Смит [45], который применил тео-
рию игр к биологии. Модель войны на истощение — зто классическая
модель войны между биологическими видами за тот или иной ресурс.
Виды сражаются и терпят потери, пока один из них не отступится или
не вымрет полностью, после чего второй получает искомый ресурс.
Войну на истощение можно рассматривать как игру, в которой все
игроки делают ставки (ставку b надо понимать как «я буду держаться,
пока не понесу убытки Ь»), после чего выигрывает тот, у кого ставка
больше, но платит он при этом вторую сверху ставку. Получается инте-
ресная форма аукциона — аукцион второй цены, в котором платят все,
но победитель — не свою ставку, а вторую сверху.
С точки зрения теории игр война на истощение — крайне интерес-
ный объект. Если не ограничивать сверху возможные ставки, у участ-
ников может возникнуть мотивация ставить больше, чем стоит объект
(ведь платят они не свою ставку, а вторую). Но если этой мотивации
поддадутся все игроки, то, конечно, даже победитель останется в мину-
се. У войны на истощение очень интересная эволюционно стабильная
стратегия, суть которой такова: ставить настолько случайно, чтобы
противник не смог никак предсказать последующие ставки. Мы, прав-
да, не будем в это углубляться, а заинтересованному читателю пореко-
мендуем [10,11,45,47].
А мы возьмёмся за войну на истощение как за аукцион (как Кришна
и Морган [36]). Такой вот all-pay second price auction, в котором доходы
участников по вектору ставок Ъ определяются как
Vt-maxj^bj,
Wi = -bj,
если bt > maxj^ibj,
если bi < maxj^ibj,
если bi = maxj^i b.
(мы будем предполагать, что в случае равенства ресурс делится поров-
ну)-
Начнём, как водится, с того, что попытаемся вывести равновесную
стратегию, а затем уже докажем, что она равновесная. Предположим,
что игроки следуют симметричной равновесной стратегии (3, и игрок 1
получает сигнал х и ставит (3(z). Тогда его ожидаемый доход равен
Wi(z,x) = (Е | Xn = х, Y, = г,] - (3(i))) g(ij|x)dxj-
192
Лекция 11
Принцип взаимосвязи
- (l - G(z|x)) ₽(z) =
(v(x,y) - 3(d)) g(y|x)dy - (1 - G(z|x)) ₽(z).
Теперь максимизируем Wt(z,x) no z. Это даст нам условие
= (v(x,z) - |3(z)) g(z|x) “ (1 - G(z|x)j (3'(z) + g(z|x)|3(z) =
= v(x, z)g(z|x) - (l - G(z|x)) (3'(z) = 0.
В симметричном равновесии z - x, и поэтому в равновесии условие
превращается в
v(x,x)g(x|x) — (1 — G(x|x)) (З'(х) = 0,
= vfex)g(x|x)
1 — G(x|x)
и, наконец,
Мх)=г f
J—oo I— O(y|yj J_TO
если вспомнить определение доли риска А.
Итак, мы получили кандидата на равновесную стратегию. Осталось
только доказать, что это действительно она. Это будет верно не всегда,
а при дополнительном условии.
Теорема 11.2. Предположим, что для всех у функция
Ф(-,У) =v(-,y)AG(-|x)
возрастает. Тогда стратегия
v(y,y)AG(y|y)dy
является симметричной равновесной стратегией для войны на
истощение.
193
Курс Теория экономических механизмов
Доказательство. Доказательство будет очень похоже на кучу доказа-
тельств, которые мы уже видели. Здесь мы его ещё проведём, а в 11.5
уже не будем. Итак, мы хотим доказать, что функция W(z, х) максими-
зируется при z — х. Как мы уже знаем,
W(z,x) = | (v[x,y) - РСу)) g(y|x)dy - 0 - G(z|x)} |3(z).
Давайте возьмём вторую часть интеграла по частям:
W(z,x) = v(x,y)g(y|x)dy — |3(y)g(y|x)dy - (l - G(z|x)} (3(z) .=
J —oo J —oo ' '
fz lz
= v(x,y)g(y|x)dy - ₽(y)G(y|x) +
J—oo l—OO
+ [ ₽'(y)G(y|x)dy - (1 -G(z|x)} ₽(z) =
J—OO \ '
= f v(x,y)g(y|x)dy + [ p'(y)G(y|x)dy - |3(z).
Но мы знаем, что
(З'(х) = v(x,x)AG(x|x).
Таким образом,
pz fz
W(z,x) = v(x,y)g(y|x)dy + p'fyJGfylxJdy - ₽(z) =
pZ
v(x,y)g(y|x)dy-
—OO J—OO
(v(y,y)AG(y|y) -v(x,x)AG(yly)G(y|x)} dy =
[ v(x,y)g(y|x)dy-f v(y,y)g(y|x)AG(yly)-—dy =
J-oo J-oo 9WM
fz ( , . , , J—G(y|x)A , , ,,
= I v(x,y) -v(y,y)AG(y|y)--, . » g(y|x)dy =
J-oo \ g(uM )
= [ (v(x,y) -v(y,y)^YY^j g(y|x)dy =
J-oo k AG(y|x)7
= [ (ф(х,у)-ф(у,у)) AG(y|x)g(y|x)dy.
J- oo ' '
194
Лекция 11
Принцип взаимосвязи
Поскольку мы предположили, что ф возрастает по первому аргументу,
разность
ф(х,у) — ф(у,у)
больше нуля для всех х < у и меньше нуля для всех х > у. Таким
образом, W(z,x) достигает максимума в точке z = х. □
У нас получилась очень интересная стратегия. Во-первых, в нуле
агент, играющий по этой стратегии, ставит ноль: мы считаем, что сиг-
налы распределены на интервале [0, tv]; таким образом,
Г°
3(0) = j v(y,y)AG(y|y)dy =0,
потому что на отрицательных у функция AG(y |у) строго равна нулю; это
не слишком замечательно. Но вот при росте х происходит интересный
эффект.
Теорема 11.3. В предположениях теоремы 11.2 при росте значе-
ния сигнала х значения ставки в равновесной стратегии возрас-
тают неограниченно:
lim 3W =
х—>си
Доказательство. Выберем такой z, для которого v(z,z) > 0. Оценим
снизу значение 3(х):
3(х) = v(y,y)AG(y|y)dy =
= v(y,y)AG(y|y)dy + v(y,y)AG(y|y)dy >
J—oo Jz
v(y,y)AG(y|y)dy + [ v(z,y)AG(y|z)dy >
J—oo Jz
v(y,y)AG(y|y)dy + [ v(z,z)AG(y|z)dy.
J—oo Jz
Здесь первое неравенство следует из того, что ф(-,у) возрастает, а вто-
рое — из того, что возрастает v(z, •).
Заметим, что для всех у
AG№) = -^[ln(l-G(y|z))],
195
Курс
Теория экономических механизмов
и это значит, что
\g(1)|z) = In (1 - G(z|z)) - In (1 - G(x|z)) - In
Теперь подставим зто выражение в оценку на (3:
rz
Р(х)
v(u,u)AG(ijlu)dij + v(z,z)ln
J—оо
1 -G(z|z)\
1 — G(x|z)J
Но при х —> си G (x|z) стремится к единице, а числитель дроби к нулю
при этом отнюдь не стремится. Следовательно, Птхчш (3(х) = оо. □
Итак, мы подробно рассмотрели важный и интересный пример аук-
циона, в котором мало того что платят все, так ещё и каждый рад ста-
вить до бесконечности много, если сигнал его приближается к верхней
границе (заметим, что при этом ценность лота отнюдь не стремится к
бесконечности!).
В следующем параграфе мы разработаем общую технику, которая
позволит нам справляться с такого рода аукционами. Это будет послед-
ний важный результат в нашем курсе.
11.4. Обобщение принципа взаимосвязи
Итак, мы хотели бы обобщить принцип взаимосвязи на ситуации,
когда некие ненулевые суммы платит не только победитель, но и все
остальные участники. Результат получится на удивление просто и будет
сильно напоминать теорему 11.1.
Давайте просто вместо функции WA(z,x) рассмотрим другую функ-
цию, MA(z, х), которая показывает, какова в аукционе А ожидаемая
выплата агента, получившего сигнал х и делающего ставку [3 A(z), где
|3А — симметричная равновесная стратегия аукциона А. То есть фак-
тически всё то же самое, но теперь мы не предполагаем, что платит
только победитель, и вероятность победы этого агента в рассуждениях
участвовать не будет. Соответственно, в аукционе, где платит только
победитель, ожидаемая выплата будет равна
MA(z,x) = G(z|x)WA(z,x),
потому что G(z|x) — это вероятность выиграть с сигналом х и став-
кой |3A(z), a WA(z,x) — сумма, которую придётся заплатить в случае
выигрыша.
196
Лекция 11
Принцип взаимосвязи
Обозначим, как раньше мы делали для WA, через МА(х,у) частную
производную функции МА(-,-) по второму аргументу, вычисленную в
точке (z,x):
клА, , 3MA(t,u)
M£(z,x)=------
9U (z,x)
Теорема 11.4 (обобщённый принцип взаимосвязи). Пусть А и В —
два аукциона, в которых побеждает наивысшая ставка, причём
платить в результате может не только победитель. Пусть в
каждом из них есть своё симметричное и возрастающее равно-
весие, причём:
— для всех х М^(х,х) > Мв(х, х);
— выполняется начальное условие WA(0,0) — 0 = WB(0,0).
Тогда ожидаемый доход аукциона А не меньше ожидаемого дохода
аукциона В.
Доказательство. В аукционе А ожидаемый доход агента с сигналом
х, который ставит [3A(z), составит
[ v(x,xj)g(p|x)dxj -MA(z,x).
Jo
Именно зту величину максимизирует каждый агент. В равновесии оп-
тимально брать z = х, и поэтому
g(x|x)v(x,x) — МА(х,х) = 0, то есть
МА(х,х) = g(x|x)v(x,x).
Теперь, определяя, как и в доказательстве теоремы 11.1,
А(х) = МА(х,х) — Мв(х,х)
получаем, что
Д'(х) = МА(х,х) - М®(х,х) > 0.
Таким образом, Д(х) — неубывающая функция, и Д(0) = 0; следова-
тельно, А(х) 0 на [0, ш]. □
197
Курс Теория экономических механизмов
Оставляем читателю в качестве упражнения сравнить при помощи
теоремы 11.4 обычный аукцион первой цены и аукцион первой цены,
в котором платят все (all-pay auction, который мы описывали в разде-
ле 4.3. В результате должно получиться, что аукцион, в котором платят
все, для аукционера выгоднее (его ожидаемый доход больше).
11.5. Публичная информация
Напоследок, когда принцип взаимосвязи разобран нами полностью,
давайте продвинемся чуть дальше и рассмотрим ещё одно небольшое
обобщение ситуации аукциона. Предположим, что продавец кое-что зна-
ет. Какой-то сигнал S, которого не знают агенты-покупатели. То есть
теперь
Vi = vi(S,X1,...,XN),
что в симметричном случае превращается в
Рг(5,Х)=и(5,ХьХ_г).
Предположим, что S,Xi,... ,Xn аффилированы и распределены с сов-
местной плотностью р, которая симметрична по последним N аргумен-
там (то есть симметрична по Xj, но может оказаться несимметричной
для S).
Вопрос перед нами стоит весьма практический: стоит ли продавцу
сообщать агентам имеющуюся у него информацию? Если продавец свой
сигнал не сообщает, то этот сигнал просто можно получить интегриро-
ванием (маргинализовать) из всех выражений. Грубо говоря (проверьте
это формально!), все формулы, которые мы писали выше, получат до-
полнительный интеграл по s сверху, но s не будет вообще участвовать
в подынтегральном выражении. И просто всё получится как раньше:
v(x,y) = Е [VilXj = x,Yi =у] .
А вот если продавец информацию сообщит, то всё получится уже
совсем по-другому. Давайте предположим, что продавец просто всегда
сообщает свой сигнал всем агентам. Обозначим тогда через
$(s, х, у) = Е |S = s, X] = х, У, = уj
198
Лекция 11
Принцип взаимосвязи
ожидание ценности агента 1 для публичного сигнала s, приватного сиг-
нала х и наибольшего из остальных у.
По симметрии, эти функции одинаковы для всех агентов; по аффи-
лированности, $ возрастает; кроме того, $(0,0,0) = 0. Соответственно,
v(x,y) = Е [$(s, х,у )|ХЛ =х, Yj — У j .
Для начала возьмём аукцион первой цены. Мы будем рассматривать
два разных аукциона: в первом из них агентам говорят S, а во втором —
не говорят. Оба — первой цены. Давайте сравним их доходность.
Когда S не сообщают, всё как раньше:
Р = р1, WI(z,x) = p(z), W](z,x) = 0.
А когда сообщают, получается равновесная стратегия $(S, XJ, возрас-
тающая от обеих переменных. И тогда ожидаемый доход победителя с
сигналом х и ставкой P(z) будет составлять
V^(z,x) =e[£(S,z)|X1 = х] .
А поскольку S и X] аффилированы, Wj(z, х) 0.
Получается, что Wj(z, х) ^0, a W|(z, х) — 0. То есть продавцу всегда
выгодно сообщать имеющуюся у него информацию.
То же самое верно для аукциона второй цены и для английского
аукциона, в рассуждениях практически ничего не меняется.
Замечание. Мы здесь провели только «эвристическую» часть поис-
ка равновесной стратегии. Чтобы доказать, что р — равновесная стра-
тегия, надо ещё проверить, что р действительно существует. Именно
это мы всегда делали после того, как получали общий вид равновес-
ной стратегии; здесь это делается совершенно обычным образом, и мы
не будем приводить строгое доказательство — рекомендуем читателю
поупражняться.
199
Курс
Теория экономических механизмов
Благодарности
Эти конспекты относятся к курсу лекций, которые я читал в Санкт-
Петербургском государственном университете информационных техно-
логий, механики и оптики (СПбГУ ИТМО), в котором и сейчас являюсь
ассистентом кафедры компьютерных технологий факультета информа-
ционных технологий и программирования. В первую очередь я благода-
рен Антону Лиходедову, которому я обязан идеей этого курса, помощью
в разработке его структуры и подборе материалов, а также, last but not
least, финансовой поддержкой его проведения.
Я очень благодарен студентам групп 4538 и 4539 ИТМО, которые
весной 2008 года слушали этот курс1 и вели его конспекты. Эта книга
частично основана на конспектах, сделанных Искандером Акишевым,
Ильёй Варвалюком, Михаилом Дворкиным, Кириллом Егоровым, Ан-
тоном Иринёвым, Виктором Кашириным, Владимиром Кулевым, Ива-
ном Лагуновым, Евгением Мандриковым, Павлом Райковым, Михаи-
лом Чураковым и Андреем Якушевым (порядок, естественно, алфавит-
ный). Отдельное спасибо Юрию Бедному, который прочёл черновик и
высказал массу ценных замечаний. И, конечно, большое спасибо Вла-
димиру Глебовичу Парфёнову, благодаря которому у меня была воз-
можность прочесть этот курс в СПбГУ ИТМО.
Курс также был прочитан осенью 2008 года в рамках «Computer
Science Club» при Санкт-Петербургском отделении Математического
института им. В. А. Стеклова РАН, за что я благодарен Антону Лихо-
дедову, Эдуарду Алексеевичу Гиршу и Александру Куликову, а также
всем, кто приходил слушать лекции. Подробнее о клубе можно узнать
по адресу http://logic.pdmi.ras.ru/~infclub/.
На самом деле программа весьма существенно отличалась в большую сторону; с
полной программой этого курса и всеми студенческими конспектами сейчас можно
ознакомиться на http: //logic .pdmi. ras. ru/~sergey/index.php?page~auctions. Поз-
же, надеюсь, они войдут в следующий сборник лекций по теории экономических
механизмов.
200
Курс
Теория экономических механизмов
Литература
[1] Aggarwal G., Gael A., Motwani R. Truthful auctions for pricing
search keywords // Proceedings of the 7th ACM conference on Elec-
tronic Commerce. 2006. P. 1-7.
[2] Anand P. Foundations of Rational Choice Under Risk. Oxford Uni-
versity Press, 1993.
[3] Arrow K. J. Social Choice and Individual Values. New York: Wiley,
1963.
[4] Arrow K. J. Aspects of the Theory of Risk-Bearing. Helsinki, Yrjo
Jahnssonin Saatio, 1965.
[5] Arrow K. J. The Property Rights Doctrine and Demand Revelation
under Incomplete Information // Economies and Human Welfare / Ed.
by M. Boskin. Academic Press, New York, 1979.
[6] Bajari P., Hortacsu A. The Winner’s Curse, Reserve Prices, and En-
dogenous Entry: Empirical Insights from eBay Auctions // The Rand
Journal of Economics. 2003. Vol. 34, N. 2. P. 329-355.
[7] Barbera S. Pivotal Voters. A New Proof of Arrow’s Theorem // Eco-
nomic Letters. 1980. Vol. 6. P. 13-16.
[8] On the competitiveness of on-line real-time task scheduling / S. Baruah,
G. Koren, D. Mao, B. Mishra, A. Raghunathan, L. Rosier, D. Shasha,
F. Wang // Real-Time Systems. 1992. Vol. 4, N. 2. P. 125-144.
[9] Ben-Haim Y. Info-Gap Decision Theory: Decisions Under Severe Un-
certainty. Academic Press, London, 2006.
[10] Bishop D. T., Cannings C. A Generalized War of Attrition // Journal
of Theoretical Biology. 1974. Vol. 70. P. 85-124.
[11] Bishop D. T., Cannings C., Maynard Smith J. The War of Attrition
with Random Rewards // Journal of Theoretical Biology. 1978. Vol. 74.
P. 377-389.
201
Курс
Теория экономических механизмов
[12] Border К. С. Fixed Point Theorems with Applications to Economics
and Game Theory. Cambridge University Press, 1989.
[13] Clarke E. H. Multipart Pricing of Public Goods // Public Choice.
1971. Vol. 11, N. 1. P. 17-33.
[14] Cournot A. A. Recherches sur les principes mathematiques de la the-
orie des richesses. Paris, 1838.
[15] Dasgupta P., Hammond P., Maskin E. The Implementation of Social
Choice Rules: Some Results on Incentive Compatibility // Review of
Economic Studies. 1979. Vol. 46. P. 185-216.
[16] d’Aspremont C., Gerard-Varet L.-A. Incentives and Incomplete In-
formation // Journal of Public Economics. 1979. Vol. 11. P. 25-45.
[17] Edelman B., Ostrovsky M., Schwarz M. Internet Advertising and the
Generalized Second-Price Auction: Selling Billions of Dollars Worth of
Keywords // American Economic Review. 2007. Vol. 97, N. 1. P. 242-
259.
[18] Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms // Quarterly
Journal of Economics. 1961. Vol. 75. P. 643-669.
[19] Fisher R. The Genetical Theory of Natural Selection. Oxford: Claren-
don Press, 1930.
[20] Fudenberg D., Tirole J. Game Theory. MIT Press, 1991.
[21] Geanakoplos J. Three Brief Proofs of Arrow’s Impossibility Theo-
rem // Economic Theory. 2005. Vol. 26, N. 1. P. 211-215.
[22] Gibbard A. Manipulation of Voting Schemes: a General Result //
Econometrica. 1973. Vol. 41. P. 587-601.
[23] Gibbons R. A Primer in Game Theory. Harvester Wheatsheaf, 1992.
[24] Groves T. Incentives in Teams // Econometrica. 1973. Vol. 41, N. 6.
P. 617-631.
[25] Harris M., Townsend R. Resource Allocation under Asymmetric In-
formation // Econometrica. 1981. Vol. 49. P. 1477-1499.
202
Литература
[26] Holzman R., Monderer D. Characterization of Ex-Post Equilibrium
in the VCG Combinatorial Auctions // Games and Economic Behavior.
2004. Vol. 47. P. 87-103.
[27] Houser D., Wooders J. Reputation in Auctions: Theory, and Evidence
from eBay // Journal of Economics and Management Strategy. 2006.
Vol. 15, N. 2. P. 353-369.
[28] Hurwicz L. Optimality and Informational Efficiency in Resource Allo-
cation Processes // Mathematical Methods in the Social Sciences / Ed.
by K. J. Arrow, S. Karlin, P. Suppes. Stanford University Press, 1960.
P. 27-46.
[29] Hurwicz L. The design of mechanisms for resource allocation // Amer-
ican Economic Review. 1973. Vol. 63, N. 2. P. 1-30.
[30] Hurwicz L., Reiter S. Designing economic mechanisms. Cambridge
University Press, 2006.
[31] Kakutani S. A generalization of Brouwer’s fixed point theorem // Duke
Mathematical Journal. 1941. Vol. 8, N. 3. P. 457-459.
[32] Keynes J. M. A Treatise on Probability. Macmillan, London, 1921.
[33] Klemperer P. How (Not) to Run Auctions: The European 3G Telecom
Auctions // European Economic Review. 2002. Vol. 46, N. 4-5. P. 829-
845.
[34] Klemperer P. Auctions: Theory and Practice. Princeton University
Press, 2004.
[35] Krishna V. Auction Theory. Academic Press, Elsevier, 2002.
[36] Krishna V., Morgan J. An Analysis of the War of Attrition and the
All-Pay Auction // Journal of Economic Theory. 1997. Vol. 72, N. 2.
P. 343-362.
[37] Krishna V., Perry M. Efficient Mechanism Design: Tech, rep.: Econ-
WPA, 1997.
203
Курс
Теория экономических механизмов
[38] Laffont J.-J., Мазкгп Е. A Differentiable Approach to Expected Util-
ity Maximizing Mechanisms // Aggregation and Revelation of Prefer-
ences / Ed. by J.-J. Laffont, E. Maskin. Amsterdam, North-Holland,
1979.
[39] Laffont J.-J., Maskin E. Optimal reservation price in the Vickerey
auction // Economics Letters. 1980. Vol. 6, N. 4. P. 309-313.
[40] Lavi R., Mu’alem A., Nisan N. Two Simplified Proofs for Roberts’
Theorem. 2004.
[41] Ma R. T. B., Lee S. С. M., Lui J. C. S., Yau D. K. Y. An Incentive
Mechanism for P2P Networks // Proceedings of the 24th IEEE Inter-
national Conference on Distributed Computing Systems (ICDCS’04).
2004. P. 516-523.
[42] Makowski L., Mezzetti C. Bayesian and Weakly Robust First-Best
Mechanisms: Characterization // Journal of Economic Theory. 1994.
Vol. 64. P. 500-519.
[43] Maskin E., Riley J. Optimal Auctions with Risk Averse Buyers //
Econometrica. 1984. Vol. 52. P. 1473-1518.
[44] Maskin E., Riley J. Optimal multi-unit auctions // The Economics of
Missing Markets, Information, and Games / Ed. by F. Hahn. Clarendon
Press, 1989. P. 312-335.
[45] Maynard Smith J. Theory of Games and the Evolution of Animal
Contests // Journal of Theoretical Biology. 1974. Vol. 47. P. 209-221.
[46] Maynard Smith J. Evolution and the Theory of Games. Cambridge
University Press, 1982.
[47] Maynard Smith J., Parker G. A. The Logic of Asymmetric Con-
tests // Animal Behaviour. 1976. Vol. 24. P. 159-175.
[48] McAfee R. P., McMillan J. Auctions and Bidding // Journal of Eco-
nomic Literature (American Economic Association). 1987. Vol. 25,
N. 2. P. 699-738.
[49] McAfee R. P., Reny P. Correlated Information and Mechanism De-
sign // Econometrica. 1992. Vol. 60. P. 395-421.
204
1
Литература
[50] Mehta A., Saberi A., Vazirani U., Vazirani V. AdWords and gen-
eralized online matching // Journal of the ACM. 2007. Vol. 54, N. 5.
P. 22.
[51] Melody W. H. Spectrum Auctions and Efficient Resource Allocation:
Learning from the 3G Experience in Europe / / The Journal of Policy,
Regulation and Strategy for Telecommunications. 2001. Vol. 3, N. 1.
P. 5-10.
[52] Meyer-ter-Vehn M., Moldovanu B. Ex-post implementation with in-
terdependent valuations. Discussion paper, University of Bonn. 2002.
[53] Milgrom P., Weber R. A Theory of Auctions and Competitive Bid-
ding // Econometrica. 1982. Vol. 50. P. 1089-1122.
[54] Myerson R. Incentive-compatibility and the Bargaining Problem //
Econometrica. 1979. Vol. 47. P. 61-73.
[55] Myerson R. Optimal Auction Design // Mathematics of Operation
Research. 1981. Vol. 6. P. 58-73.
[56] Myerson R. Optimal Coordination Mechanisms in Generalized Prin-
cipal-Agent Problems // Journal of Mathematical Economics. 1982.
Vol. 10. P. 67-81.
[57] Myerson R. Bayesian Equilibrium and Incentive Compatibility: an In-
troduction // Social Goals and Social Organization / Ed. by L. Hurwicz,
D. Schmeidler, H. Sonnenschein. Cambridge University Press, 1985.
[58] Myerson R. Multistage Games with Communication // Econometrica.
1986. Vol. 54. P. 323-358.
[59] Myerson R., Satterthwaite M. A. Efficient Mechanisms for Bilateral
Trading // Journal of Economic Theory. 1983. Vol. 29. P. 265-281.
[60] Nash J. Equilibrium points in n-person games // Proceedings of the
National Academy of Sciences of the United States of America. 1950.
Vol. 36, N. 1. P. 48-49.
[61] von Neumann J. Zur Theorie der Gesellschaftspiele // Mathematische
Annalen. 1928. Vol. 100, N. 1. P. 295-320.
205
Курс Теория экономических механизмов
[62] von Neumann J., Morgenstern О. Theory of Games and Economic
Behavior. Princeton University Press, 1944.
[63] Nisan N., Ronen A. Computationally Feasible VCG Mechanisms //
Journal of Artificial Intelligence Research. 2007. Vol. 29. P. 19-47.
[64] Osborne M. J. An Introduction to Game Theory. Oxford University
Press, USA, 2003.
[65] Osborne M. J., Rubinstein A. A course in game theory. MIT Press,
1994.
[66] Porter R. Mechanism design for online real-time scheduling // Pro-
ceedings of the 5th ACM conference on Electronic Commerce. 2004.
P. 61-70.
[67] Pratt J. W. Risk Aversion in the Small and in the Large // Economet-
rica. 1964. Vol. 32. P. 122-136.
[68] Reny P. J. Arrow’s Theorem and the Gibbard-Satterthwaite Theorem:
a Unified Approach // Economics Letters. 2001. Vol. 70, N. 1. P. 99-
105.
[69] Riley J., Samuelson W. Optimal Auctions // American Economic
Review. 1981. Vol. 71. P. 381-392.
[70] Roberson B. The Colonel Blotto Game // Economic Theory. 2006.
Vol. 29. P. 1-26.
[71] Roberts K. The Characterization of Implementable Choice Rules //
Aggregation and Revelation of Preferences. Papers presented at the 1st
European Summer Workshop of the Econometric Society / Ed. by J.-J.
Laffont. North-Holland, 1979. P. 321-349.
[72] Rochet J. C. A necessary and sufficient condition for rationalizability
in a quasi-linear context // Journal of Mathematical Economics. 1987.
Vol. 16. P. 191-200.
[73] Rozenshtrom I. Dominant strategy implementation with quasi-linear
preferences. M. Sc. thesis, Dept, of Economics, The Hebrew University,
Jerusalem. 1999.
206
Литература
[74] Satterthwaite М. A. Strategy-proofness and Arrow’s Conditions: Exis-
tence and Correspondence Theorems for Voting Procedures and Social
Welfare Functions // Journal of Economic Theory. 1975. Vol. 10.
P. 187-217.
[75] Tabarrok A. Paradoxes of Voting. Working paper. Available from
http://mason.gmu.edu/~atabarro/paradoxofvoting.pdf. 2005.
[76] Vickrey W. Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed
Tenders // Journal of Finance. 1961. Vol. 16, N. 1. P. 8-37.
[77] Vickrey W. Auctions and Bidding Games // Recent Advances in Game
Theory. Vol. 29 of Princeton Conference Series. Princeton University
Press, 1962. P. 15-27.
[78] Williams S. R. A characterization of efficient, bayesian incentive com-
patible mechanisms // Economic Theory. 1999. Vol. 14, N. 1. P. 155-
180.
[79] Петросян А. А., Зенкевич H. А., Семина E. А. Теория игр. M.,
Высшая школа, Книжный дом «Университет», 1998.
207