/
Автор: Идельсон Н.И.
Теги: физика механика астрономия небесная механика издательство наука
Год: 1975
Текст
Н. И. ИДЕ ЛЬСОН
ЭТЮДЫ
ПО ИСТОРИИ
НЕБЕСНОЙ
МЕХАНИКИ
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Серия «Из истории мировой культуры»
Н.И.ИДЕЛЬСОН
ЭТЮДЫ
ПО ИСТОРИИ
НЕБЕСНОЙ
МЕХАНИКИ
№
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва 1975
Книга известного советского астронома профессора
Н. И. Идельсона состоит из отдельных историко-науч-
ных очерков-этюдов, в которых в увлекательной форме
рассказывается о классических теориях небесной меха-
ники, теории тяготения, теории фигуры Земли, тео-
рии движений небесных тел, а также о творцах науки.
Сочетание увлекательной формы изложения с глу-
боким проникновением в существо вопроса делает
книгу интересной как специалистам — механикам и
астрономам, так и широкому кругу читателей.
Редакторы-составители
А. Т. ГРИГОРЬЯН, Д. Р. МЕРКИН
20603—024 ,
И 054 (02)—75 43—44—75 НП
© Издательство «Наука», 1975 г.
ОТ РЕДАКТОРОВ
В XVII—XVIII веках классическая теория тяготения,
теория фигуры Земли и теория траекторий небесных тел яв-
лялись узловыми вопросами науки. Их решение привело
к построению фундамента современного естествознания и
во многом предопределило методы научного исследования.
Вплоть до начала XIX столетия вопросы теории тяго-
тения и фигуры Земли были предметом ожесточенных науч-
ных споров и проблемами первостепенной важности. За-
тем, в результате их решения, центр научных исследований
переместился в область других вопросов физики, а вопросы
теории тяготения и фигуры Земли отошли на второй план
и стали предметом специальных глав курсов механики и
астрономии.
Великие достижения последних лет — создание искус-
ственных спутников Земли, запуск космических аппаратов
и полеты человека в космос — возродили интерес к клас-
сической теории тяготения, теории фигуры Земли и теории
траектории небесных тел. В связи с этим особое значение
приобретают вопросы истории этих разделов науки.
В отечественной и зарубежной литературе отсутствуют
сводные работы по истории упомянутых разделов механики
и астрономии, а имеющиеся статьи рассеяны по различным
сборникам и журналам и поэтому практически недоступны
для широкого круга читателей.
Большое число работ по истории теории движения пла-
нет, теории тяготения и фигуры Земли принадлежит по-
койному профессору Ленинградского университета Нау-
му Ильичу Идельсону. В своей совокупности они представ-
ляют достаточно полное и обстоятельное изложение вопро-
са, охватывающее период от Птолемея до Ляпунова.
Профессору Н. И. Идельсону в своих работах удалось
совместить блестящую и увлекательную форму изложения
с глубоким проникновением в существо предмета. С иск-
лючительным мастерством он вводит читателя в историю
вопроса, кратко и образно характеризуя состояние науки
до описываемого открытия. У читателя не только создает-
ся ясное представление о самом предмете и о творцах нау-
з
ки, но он получает и сведения о борьбе различных взгля-
дов и трудностях, связанных с отысканием правильного
решения вопроса; затем следует обстоятельное изложение
существа сделанного открытия и краткий обзор дальней-
шего развития предмета. На всем изложении лежит от-
печаток большой эрудиции автора, его глубоких знаний аст-
рономии, механики, математики, специальной литературы
и искусства.
Следует отметить еще одну положительную сторону ра-
бот профессора Н. И. Идельсона. Хорошо владея древне-
греческим, латинским, французским, итальянским, не-
мецким и английским языками, Н. И. Идельсон изучал
классиков науки по первоисточникам. Все работы его по
истории науки, переводы и книги, вышедшие под его ре-
дакцией, строго документированны и снабжены подробными
комментариями, часто представляющими результат само-
стоятельных исторических изысканий*.
В настоящий сборник включены только те работы профес-
сора Н. И. Идельсона по истории небесной механики и
астрономии, которые, за редким исключением, не требуют
специальных знаний и вполне доступны широкому кругу
читателей. Такие его работы, как «Постановка проблемы
фигур равновесия в теории Ляпунова», «Эллипсоидальный
геоид» и другие, требующие для своего понимания хоро-
шего знания математики и специальных разделов механики
и представляющие интерес для сравнительно узкого круга
специалистов, в настоящее издание не включены. Лица,
интересующиеся этими работами, могут найти их по при-
лагаемой библиографии.
Мы надеемся, что предлагаемая книга будет с интере-
сом прочитана и принесет большую пользу не только ме-
ханикам и астрономам, но и широкому кругу научных ра-
ботников, преподавателей, инженеров, аспирантов, сту-
дентов, интересующихся творчеством корифеев науки и ис-
торией научных открытий.
А. Т. Григорьян, Д. Р. Меркин
* В настоящем сборнике дан только авторский комментарий, что сле-
дует иметь в виду при чтении книги, учитывая время написания ра-
бот.
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО КОПЕРНИКА *
Коперник — человек высшего гения
и, что в этих [астрономических] во-
просах особенно важно, свободного
мышления.
Кеплер
Сегодня советская научная общественность торжественно
отмечает четырехсотлетний юбилей появления произведе-
ния, заключавшего в себе одно из первых, но вместе с тем
и одно из самых значительных открытий, когда-либо сде-
ланных человеческой мыслью на путях познания строя Все-
ленной; оно является как бы гранью, разделяющей всю
историю физико-математических наук; с него ведет начало
все современное научное миросозерцание, имеющее в своей
основе грандиозное развитие астрономии в XVII—XVIII вв.
И, вместе с тем, это открытие было настолько неожиданно
в своей изумительной смелости и простоте, что не в 1543 г.,
при его обнародовании, а значительно позже, через ряд
десятилетий, оно было осознано во всем его революционном
величии; только тогда было понято, что им бесповоротно
разрушается та догма, которой питались не только наука,
но и все мировоззрение длинной вереницы предыдущих по-
колений.
Естественно поэтому, что изучение обстоятельств, при
которых была формулирована эта доктрина, ее возникнове-
ние на общем фоне культуры той далекой эпохи, составляет
одну из важнейших задач истории науки. Но когда, дви-
жимые общечеловеческим интересом, мы пытаемся теперь
воссоздать самый облик того, с чьим именем связан этот
достопамятный этап развития научной мысли, мы встре-
чаемся с существенными затруднениями: многое из той до-
кументации, которая нам здесь необходима, уже давно и
безвозвратно погибло; поэтому обрисовать этот облик со
* Речь, произнесенная на юбилейном собрании Академии наук СССР
6 июня 1943 г. Из книги «Николай Коперник». М.— Л., Изд-во
АН СССР, 1947.
5
всей той четкостью, которая бы нас удовлетворяла, по*
видимому, уже более невозможно; однако сегодня будет
достаточно связать лишь основные моменты биографии Ко-
перника с тем бессмертным творением, которое ее увенчало.
1. РОДИНА
Почти вся долгая жизнь Коперника протекала в прусских
землях. Если мы посмотрим на карту Пруссии, какой она
была в XV в., то увидим, что эта область разделялась тогда
в основном на три части: то были Восточная Пруссия с го-
родами Кёнигсбергом и Фридляндом и Западная с главным
центром в Данциге; первая лежала целиком к востоку от
Вислы, но в нее, на том же восточном берегу Вислы, вкли-
нивалась провинция, носившая тогда название Вармии,
или Эрменландии, с городами Эльблонгом, Браунсбергом,
Мариенбургом. Уже давно за обладание прусскими земля-
ми спорят Польское королевство и Тевтонский орден.
Орден появился в этом крае еще в XIII в., придя из
далекой Палестины, чтобы мечом и огнем обращать в като-
лическую веру язычников-пруссов; но в XV в., хотя языч-
ников, пожалуй, уже не осталось и хотя Ордену было на-
несено объединенными силами славян и литовцев сущест-
венное поражение в 1410 г. в знаменитой битве при Грюн-
вальде, под Танненбергом, Орден все еще продолжает уг-
гнетать прусские города и села; города восстают и воюют.
Последней фазой этих событий в середине XV в. была Три-
надцатилетняя война западнопрусских городов против
Ордена. Она закончилась Торунским миром 1466 г., по
которому вся Западная Пруссия отошла к Польше и со-
ставила так называемую Королевскую Пруссию; Восточ-
ная Пруссия осталась за Орденом, но в ленной зависимо-
сти от Польши. Город Торунь на Висле, лежавший у самой
границы Эрменландии, также отошел к Польше; формально
перешла к ней и Вармия; фактически же она осталась са-
мостоятельной и притом церковной областью. Вармийский
епископ был почти приравнен к независимым от светской
власти князьям церкви; у Вармийской епархии (или дио-
цеза) было даже собственное представительство у престола
св. Петра в Риме, где имелась эрменландская церковь со
своим деканом. Епископ Вармийский управляет областью
при помощи капитула кафедрального собора. Капитул со-
6
ставляется из каноников: это церковники, т. е. лица, све-
дущие в каноническом праве, но не обязательно духовного
сана; они обеспечивают службу в соборе, администрируют
епархию, собирают подати и налоги; за это они получают
высокую «пребенду», имеют участки земли («аллодии»),
пользуются помещением («курией») при соборе; их положе-
ние почетно, их должность спокойна. Впрочем, иногда, когда
и церковные земли заволакиваются дымом пожаров, поло-
жение каноника может стать волнующим и трудным — об
этом мы скажем ниже.
Кафедральный собор Вармийской епархии построен еще
в XIV в., в крошечном городке Фромборке (Фрауэнбурге),
близ Бранева (Браунсберга), у самого моря, вернее на бе-
регу Фришгофа, этого удивительного залива, отделенного от
Балтийского моря узкой песчаной косой; неподалеку, в не-
скольких милях к западу, в море вливается своими рука-
вами Висла. Собор стоит на высоком холме; чудесный вид
открывается с него на воды залива; собор обнесен прочной
стеной; в ней шесть башен; все это на случай осады — тако-
вые бывали.
Итак, Вармийская епархия, Фромборкский собор, воды
Вислы и воды залива — таков пейзаж, среди которого мед-
ленно развертывается жизнь Николая Коперника; в этом
отдаленнейшем углу земли, in hoc remotissimo angulo ter-
rae, как он сам потом говорил, годами размышляет он над
вечным бегом планет, над всей великой тайной природы. И
к концу своей жизни в одной из глав бессмертной книги
«Об обращениях небесных сфер» он пишет: «Такой путь к
изучению движения этой планеты [Меркурия] нам пред-
указали древние. Но им благоприятствовали более чистые го-
ризонты, так как от Нила не выделяется, по их словам,
столько испарений, как у нас от Вислы. В этом удобстве
нам, живущим в более суровом климате, отказала приро-
да». Правда, вместо того чтобы говорить о туманах Вислы,
Копернику надлежало бы сказать о туманах Фришгофа.
Но кто в Европе мог слышать и знать названия заливов да-
лекого Балтийского моря? И не то важно: астрономия древ-
них закончила свой расцвет много веков тому назад в Алек-
сандрии, в Египте, среди блеска и роскоши эллинистичес-
кой культуры; а теперь новое слово в этой древнейшей на-
уке скажет в глухом углу Северной Европы одинокий поль-
ский каноник с берегов Вислы.
7
2. RES PUBLICA LITTERARUM *
Николай Коперник родился 19 февраля 1473 г. в городе
Торунь (или Торн); то был тогда важный торговый центр,
через который по Висле шли товары из Западной Европы
в Венгрию и Польшу. Сюда, в Торунь, около 1450 г. пе-
реселился из Кракова отец Коперника. Про него известно,
что в Торуни он достиг известного положения в торговых
кругах, бывал избираем и в почетные судьи; здесь же он
женился, взяв жену из богатого старинного местного рода.
Когда он умер, младшему из четырех детей, Николаю, ед-
ва пошел десятый год. Тогда забота о всей семье переходит
в жесткие руки их дяди со стороны матери. То была лич-
ность значительная: в молодости он прошел высшие науки
в Кракове, в университете Ягеллонов, затем закончил свое
образование за Альпами, в знаменитейшем Болонском уни-
верситете. Теперь на родине, приняв духовное звание, он
шел вверх по служебной лестнице уверенно и спокойно;
десять лет состоял он каноником Фромборкского собора,
а затем вступил на Вармийскую кафедру, будучи возведен
в сан епископа Эрменландского (1489) — нелегкий пост в те
тяжелые времена, когда непрочен был и самый мир на зем-
лях Вармийского диоцеза.
Но как ни интересна политическая линия этого суро-
вого человека (который несколько лет спустя предлагал
Ордену оставить Пруссию и перебраться в Подолию, чтобы
оттуда вести войну с «неверными», с турками), мы следить
за ней не будем. Гораздо важнее, что само утверждение Лу-
ки Ваченроде (таково было его имя) фромборкским епис-
копом уже предопределяет судьбу семьи Коперника, ко-
торую он опекает. В частности, в отношении обоих брать-
ев, старшего Андрея и младшего Николая,— почему бы
и им не пойти теперь по стопам их могущественного дяди,
не изучить высшей науки и не войти в Фромборкский ка-
питул, где,гк тому же, он сам мог бы иметь от них прямую
помощь? Все это естественно и понятно; и на этот путь всту-
пает Николай Коперник, когда на девятнадцатом году жиз-
ни отправляется из Торуни в Краков, в польскую столицу,
и здесь имматрикулируется в университете летом 1491 г.
В те годы Краковский университет — хотя он один из
младших университетов Европы — уже создал себе проч-
* [Государство ученых].
8
ную славу; студенты прибывали сюда из разных стран Ев-
ропы; все они говорили по-латыни, преподавание велось по-
латыни, так что национальность студента в его обучении
не играла роли. Науки изучались в Кракове по средневе-
ковой классической схеме «семипутья» — trivium et quad-
rivium; математика и астрономия здесь стояли высоко.
Астрономию читал выдающийся лектор Альберт Блар из
Брудзева, обычно называемый Брудзевским.
Но, прежде всего, что представляло собой преподавание
астрономии в последние десятилетия XV в.? То были годы
расцвета гуманизма, когда античная культура, а вместе
с ней и высокая астрономическая наука греков, как бы про-
буждаясь от долгого сна, начинали вновь овладевать ума-
ми. Надо помнить, что астрономическим знанием мысль
средневековой Европы питалась только через вторые руки:
лишь арабские ученые, придворные мудрецы могуществен-
ных халифов в Багдаде, Каире и затем в Кордове, имели
в свое время доступ к сокровищам древней науки; так, они
переводили и комментировали величайшего астронома Гре-
ции — Клавдия Птолемея Александрийца. Эти арабские
трактаты в тяжеловесных переводах на латынь и составля-
ли тот довольно мутный источник, из которого черпала
свои знания Европа. Так возник, например, в XIII в. учеб-
ник астрономии, написанный английским монахом Голи-
вудом (латинизированное имя его Сакрабоско) для нужд
преподавания в Парижском университете. Поколения пи-
тались этой книгой, ее держал в руках Леонардо да Винчи,
о ней еще говорят при Галилее.
Однако теперь, в последние десятилетия XV в., препода-
вание смогло придвинуться несколько ближе к Птолемею.
Этим наука обязана двум энтузиастам, двум замечательным
астрономам венской школы: Пурбаху и его ученику Регио-
монтану (умершим в расцвете творческих сил). Региомон-
тан был, вероятно, первым астрономом Европы, державшим
в руках древнегреческие кодексы (манускрипты) Птоле-
мея. Он знакомится с ними в библиотеке знаменитого гума-
ниста кардинала Бессариона, грека родом; он изучает гре-
ческий язык, чтобы читать, переводить и комментировать
«Большой синтаксис астрономии», тот знаменитый трактат
Птолемея, который со времен арабов получил название
«Альмагеста». Пурбах составляет «Новые теории планет» —
«Theoriae Novae Planetarum», которые (одна из первопечат-
них книг) изданы в 1472 г. Региомонтаном. В них излагает-
9
ся содержание теорий Птолемея: определение орбит Солнца,
Луны и планет, а равно и методы основных наблюдений.
Появление этой книги знаменует начало возрождения точ-
ной астрономической науки в Европе; на то время, пока еще
будет держаться система Птолемея, учебник Пурбаха ос-
тается классическим руководством для университетов Ев-
ропы. По нему-то и ведет в Кракове преподавание Бруд-
зевский; но он и сам идет несколько дальше Пурбаха и со-
ставляет к нему комментарий (изданный в Милане в
1495 г.).
Таким образом, не может подлежать сомнению, что Ко-
перник изучает астрономию там, где она едва ли не лучше
всего преподавалась в Европе к концу XV в. Отсюда он уно-
сит — и это на всю жизнь — глубокое уважение к тому
важнейшему запасу наблюдений, который нам оставили
древние, к строгости и глубине методов, которые они при-
меняли. Этому мы имеем ряд доказательств; когда через
много лет (в 1537 г.) появится перевод одного арабского
трактата, автор которого не скупится на нападки и крити-
ку Птолемея, Коперник на титульном листе, под фамилией
автора, напишет: «...egregii calumniatoris Ptolemaei»
(«... крупного клеветника на Птолемея»), Из другого источ-
ника мы знаем, что Коперник говорил: «Я направляю стрелы
в ту же цель и тем же методом, что и Птолемей, хотя лук и
стрелы, которыми он пользовался, сделаны из совершенно
иного материала». Все эти высказывания великого рефор-
матора астрономии, число которых можно было бы значи-
тельно умножить, важны и значительны; и позволительно
думать, что именно в молодые годы, у Брудзевского, он впи-
тал эти мысли.
Однако преподавание в Кракове при всей его высоте
страдало одним несомненным недостатком: греческий язык
здесь в те годы не преподавался, и потому самостоятельный
подход к науке, к философии и поэзии Эллады для студен-
тов был закрыт совершенно. А между тем здесь несомненно
было известно, что его изучал Региомонтан (как мы уже
упоминали), и могло быть также известно, что еще пример-
но за полвека до него некто Георгий Трапезундский, имя
которого связано с первым, но неудачным переводом Пто-
лемея непосредственно с греческого на латынь, еще около
1420 г. начал в Венеции преподавать греческий язык при
невиданном стечении любопытных. Таким образом, в этом
отношении Краков не мог дать того, что составляло как бы
ю
самую соль культуры Ренессанса, и университет Ягеллонов
не мог удовлетворить своих передовых студентов.
Сколько лет обучался Коперник в Кракове, в точности
неизвестно; нет также сведений о том, что он получил здесь
докторскую степень; во всяком случае, он оставался здесь
три года, так как трехлетнее обучение в университете было
необходимым условием для получения звания каноника. Это-
му условию он несомненно удовлетворял, когда вернулся
из Кракова на родину, так как уже через два-три года пос-
ле этого его дядя и покровитель делает попытку провести
его в каноники собственной епархии, т. е. в члены капи-
тула Фромборкского собора. Однако эта попытка не удает-
ся; Коперник не получил утверждения в Риме. И тогда,
как некогда его дядя, он уезжает за Альпы, и с января
1497 г. он — студент Болонского университета; здесь он
записывается в германское землячество (Natio Germano-
rum), так же как это ранее сделал его дядя; члены этого
землячества могли изучать только правовые дисциплины.
И действительно, не может быть сомнений, что Коперник
был отправлен в Болонью именно с тем, чтобы изучать цер-
ковное право.
На деле вышло иначе. Впоследствии единственный пря-
мой ученик Коперника, Ретик, писал в своем знаменитом
«Первом повествовании» (1540): «Мой учитель с величайшей
тщательностью вел астрономические наблюдения в Болонье,
где он был не столько учеником, сколько помощником и
свидетелем при наблюдениях ученейшего Доменико Мария».
Мы не будем останавливаться на личности этого болонского
астронома, не будем подчеркивать, что стиль Ретика отли-
чается несколько возвышенным тоном; ясно одно, что се-
мена, брошенные в Кракове Брудзевским, упали на бла-
годатную почву; кстати, первое из тех двадцати семи соб-
ственных наблюдений, на которые ссылается Коперник в
книге «Об обращении небесных сфер», было действительно
сделано им в Болонье 9 марта 1497 г. (покрытие Альде-
барана Луной). Но несомненно, что Болонья дала ему
сверх того еще много в смысле общей гуманистической куль-
туры: знание греческого, чтение в подлинниках Платона,
Аристотеля и древних поэтов, словом, всю ту замечатель-
ную эрудицию в классической литературе, которой Копер-
ник потом блистал в своей книге.
В те же годы далеко, на родине, в его личной судьбе про-
исходит важнейшее событие. Упорный епископ Добивается
11
в 1497 г. избрания и утверждения Николая Коперника ка-
ноником Фромборкского собора с трехлетним отпуском в
Италию; все это выполняется заочно, в отсутствие Копер-
ника; по доверенности же он начинает получать и первые
«пребенды». Теперь он обеспечен, теперь перед ним, этим
баловнем судьбы, никогда не знавшим заботы о хлебе, на
всю жизнь открыты спокойные горизонты.
Из Болоньи, где он также не получил никакого диплома,
Коперник на короткий срок в 1500 г. переезжает в Рим.
Что в том удивительного? Кто из эрудитов Европы мог не
знать, что как раз в середине XV в. папа Николай V, один
из лучших носителей тиары, не щадя средств, скупал в Ви-
зантии греческие манускрипты, полагая тем начало зна-
менитейшей библиотеке Ватикана? Кто из католиков мог
не знать, что годы 1300, 1400, 1500 были у римской церкви
годами юбилеев (из которых первый описан в бессмертных
стихах Данте) \ когда к собору св. Петра стекались толпы
верующих за щедрыми индульгенциями и к торжествам
великим? Наконец, разве мог не знать астроном, что в Ри-
ме, в этом диковинном пантеоне Агриппы, похоронен Ре-
гиомонтан, умерший там на сороковом году,— одни гово-
рили — от чумы, другие — от злобной мести сыновей того
самого Георгия Трапезундского, который так неудачно,
если не сказать недобросовестно, переводил Птолемея.
Итак, Коперник в Риме; и тот же ученик его, Ретик,
сообщает, что здесь в 1500 г., «будучи приблизительно двад-
цати семи лет от роду, мой учитель читал математику перед
широкой аудиторией студентов и перед множеством заме-
чательных людей, знатоков в этой науке». Однако это мало-
вероятно: молодой человек, не имевший никакого диплома,
едва ли мог читать открытый курс в папской столице.
В том же 1500 г. кончался трехлетний отпуск Коперни-
ка от его капитула; ив 1501 г. он появляется в Фромборке
вместе с братом (который к тому времени тоже был уже
фромборкским каноником и в свое время присоединился к
Николаю в Болонье); однако появляются они не надолго и,
как это ни странно, с тем, чтобы просить о новом отпуске
для завершения образования. Над такой просьбой члены
капитула должны были задуматься: не слишком ли долгий
отпуск для учения каноников, даже если они и племянники
епископа? Однако Николай Коперник заверяет, что теперь
он будет изучать медицину, с тем чтобы потом врачевать и
самого епископа, и каноников, и их домочадцев. Отпуск дает-
12
ся; Коперник уезжает, и в 1503 г., тридцати лет от роду,
он снова за Альпами, на этот раз в Падуе, как слушатель
университета, в котором через девяносто лет раздалось с
кафедры могучее слово Галилея.
Падуанский университет, или, как тогда его называли,
Gymnasium Patavinum, был знаменит по двум направле-
ниям: по медицине и по философии. Медицинское образова-
ние здесь в общем основывалось на трактатах знаменитого
арабского врача и философа Авиценны. Курс разделялся на
несколько частей; в третьей из них, например, излагались
отдельные болезни, сначала «от головы до сердца», а затем
«от сердца и ниже»; по этим-то мудреным трактатам Копер-
13
ник достиг в медицинских науках такого искусства, что
впоследствии считался на родине, как говорит Гассенди,
его первый биограф, «вторым Эскулапом».
Не менее существенным считалось в Падуе и преподава-
ние философии: тут излагали и комментировали Платона и
Аристотеля, последнего порой чисто схоластически, порой
несколько более свободно (Помпонацци), призывая к тща-
тельному и неограниченному изучению природы. Большое
значение имел также арабский комментатор Аристотеля и
его фанатический поклонник, знаменитый Аверроэс из
Кордовы, про которого Данте сказал: «che И gran commen-
to feo» (тот, кто составил большой комментарий). Эти ком-
ментарии были тем более любопытны для астронома, что
Аверроэс отрицал какое бы то ни было значение за построе-
ниями Птолемея, звал назад, к Аристотелю, к той системе
концентрических сфер, равномерно вращающихся вокруг
Земли с различными скоростями, в различных направле-
ниях и под разными углами, с помощью которой философы
школы Аристотеля считали возможным воспроизвести, или,
как тогда говорили, «спасти», видимые движения планет.
О великих трудностях, которые отсюда возникали для аст-
рономической науки, несомненно слышал Коперник, когда
был падуанским студентом. Кстати сказать, еще на долгие
десятилетия Падуя оставалась твердыней аристотельянства
и аверроизма, и как раз здесь во времена Галилея, на пороге
XVII в., преподавал последний аристотельянец Евро-
пы Чезаре Кремонини.
Каких-либо документов, относящихся к пребыванию Ко-
перника в Падуе, не сохранилось. Но довольно неожидан-
но в конце минувшего века был найден нотариальный дип-
лом, который Коперник получил в университете города
Феррары 31 мая 1503 г.; почему он избрал именно Феррару
для получения докторского берета, неизвестно. Как ска-
зано в дипломе, он выдан «почтенному и ученейшему мужу
Николаю Копернику из Пруссии, канонику Вармийскому
и схоластику при церкви св. Креста в Братиславе, который
обучался в Болонье и Падуе и утверждается в каноническом
праве, при отсутствии чьих-либо возражений, и возводится
в докторскую степень».
После этого утверждения Коперник оставался в Падуе
еще два или три года (хотя срок второго отпуска кончался
в 1503 г.), и только через девять лет после первого отбытия
в Италию он возвращается в родные земли. За долгое
14
пребывание за Альпами Коперник овладел, как мы видим,
различными ветвями теоретической и практической науки:
он церковный законник, он астроном, он медик, в известной
мере и философ; он гуманист; ему не чуждо изобразительное
искусство; по словам Гассенди, он даже написал, глядя
в зеркало, свой портрет 2; так осуществляет он тот идеал мно-
гогранно образованной личности, который столь характе-
рен для культуры Возрождения. К тому же он достигает
всего этого как раз в те годы, когда самое познание мира,
и прежде всего познание Земли, начинает столь быстро и
значительно расширяться; одно за другим приходят изве-
стия об удивительных открытиях мореплавателей. И впо-
следствии Коперник мог вернуться к воспоминаниям кра-
ковских и итальянских лет, говоря в своей книге об анти-
подах, что вопрос о них станет еще ясней, «если... прибавить
сюда еще острова, которые в наше время открыты под владе-
нием Испании и Португалии, и прежде всего Америку, ко-
торую называют так по имени открывшего ее капитана ко-
рабля и которую по ее величине принимают за второй ма-
терик».
Так, когда Коперник заканчивает долголетнее впиты-
вание разнообразных культур, мир уже не тот, или уже не
совсем тот, каким он представлялся в те годы, когда Копер-
ник в Кракове начинал слушать Брудзевского. 3
3. ЛЮДИ И ПРОБЛЕМЫ
Было бы чрезвычайно важно выделить на этом об-
щем фоне фигуры тех итальянских ученых астрономов, с
которыми Коперник мог быть в контакте и в дружбе, а
также осветить вопросы, которые в то время могли осо-
бенно остро волновать людей науки. По первой теме, к
сожалению, известно очень немного. Помимо упомянуто-
го Доменико Мария в Болонье, Коперник был несомненно
близок в Падуе к молодому преподавателю логики Фра-
касторо (родился в 1483 г.); возможно, что они оба ди-
скутировали здесь трудности птолемеевой системы и зна-
чение критики Аверроэса. Но Фракасторо оставил Падую
через два-три года после Коперника, а через 30 лет вы-
ступил с большим астрономическим сочинением «Ното-
centrica»; оно появилось за пять лет до книги Коперника;
оба эти сочинения посвящены папе Павлу III; однако
в истории астрономии книга Фракасторо есть анах-
15
ронизм; здесь делается снова (но зато и в послед-
ний раз) попытка «спасти» систему мира с помощью ари-
стотелевых сфер, о которых мы только что говорили. В об-
щем это был очень сложный планетарий, явно нереальный
и, разумеется, не имеющий ничего общего с будущей докт-
риной Коперника. Другой итальянец, Челио Кальканьи-
ни, в молодости был профессором в Ферраре, а затем про-
должительное время путешествовал с дипломатическими
миссиями в Германии и Польше; в 1518 г., когда Коперник
уже жил во Фромборке, он провел продолжительное вре-
мя в Кракове. Услышал ли он здесь что-либо о фромборк-
ском канонике, которого он мог знать по Ферраре? Встре-
тились ли они? Во всяком случае, когда в 1525 г. Кальканьи-
ни написал небольшую работу под названием «О том, что
небо неподвижно, а Земля вращается, или о вечном движе-
нии Земли», он ее начал с утверждения, что вовсе не все
небо со звездами и планетами с невероятной скоростью вра-
щается вокруг Земли в течение суток, но вращается Зем-
ля; после чего начинается довольно слабая аргументация в
защиту этого тезиса. Работа Кальканьини была опублико-
вана после смерти как ее автора, так и Коперника (1544).
Кроме двух этих личностей, никакие непосредственные
связи Коперника с итальянской наукой неизвестны; во
всяком случае, ни в Италии, ни ранее в Польше он не встре-
тился ни с кем, кто обладал бы уже элементами гелиоцент-
рической системы.
Что касается тех общих вопросов, которые могли диску-
тироваться в итальянских университетах в те годы, когда
Коперник учился в их стенах, то здесь уже можно доволь-
но определенно указать две темы: вопрос о реформе церков-
ного календаря и проблемы общей значимости методов и ре-
зультатов астрономической науки.
Календарная наука была специфической дисциплиной,
усвоенной римской церковью от ученейшей и древнейшей
церкви — александрийской; ее задачей было назначение
передвижных церковных праздников в общем соответствии
с астрономическими явлениями, равноденствиями и фаза-
ми Луны. Эта наука была полна таинственных «эпакт» и
«скачков Луны» (saltus lunae), которые служили для опре-
деления дней весенних полнолуний. Но эти инструменты
уже заметно притупились. Самое равноденствие, которому
издревле была назначена дата 21 марта, теперь, к XVI в.,
сдвинулось на 11 марта, так что десять дней уже перешли
16
из зимы в весну. Об этом знал кое-что и Данте, так как
устами одного из своих героев он вещал о событиях, кото-
рые произойдут, «прежде чем январь выйдет из зимы, из-за
той сотой доли дня, которой там, внизу [на Земле], пренеб-
регают» 8. С Луной дело обстояло еще хуже, и это положе-
ние вещей католическая церковь считала нетерпимым.
Но реформа календаря требовала улучшения теорий движе-
ния Луны и Солнца; она была явно не по силам рядовому
астроному или клирику. Но вот все заговорили о Регио-
монтане, об его «Альманахе на 32 года» (1475—1506),
который оказался, кстати сказать, мощным орудием в ру-
ках испанских и португальских капитанов. Папа Сикст IV
вызывает Региомонтана в Рим, возводит его в сан епископа
Регенсбургского и поручает ему всю календарную рефор-
му; но Региомонтан трагически умирает, и реформа откла-
дывается на несколько десятилетий. Затем около 1515 г.,
во время Латеранского собора, была образована особая ко-
миссия по реформе календаря; теперь она запрашивает уже
нашего каноника из далекого Фромборка. Однако Копер-
ник не считает еще возможным дать какой-либо ответ; но
впоследствии, в посвящении своей книги папе Павлу III,
по этому поводу он скажет:
«Еще не так давно, когда при Льве X на Латеранском
соборе рассматривался вопрос об исправлении церковного
календаря, он только потому не получил решения, что про-
должительность года и месяца, а также движения Солнца
и Луны считались недостаточно точно определенными. Буду-
чи запрошен тогда знаменитым Павлом, епископом Фоссомб-
ронским, который стоял во главе этого дела, я с тех пор
прилагал усилия к тому, чтобы внимательнейшим образом
исследовать эти вопросы».
Однако теория солнечного года непосредственно сопри-
касается с некоторыми более общими проблемами, о кото-
рых мы сейчас узнаем и решение которых составляет самую
основу коперниканской доктрины; поэтому вопросы кален-
дарной реформы подводили к задачам, отнюдь не маловаж-
ным.
Другая и более обширная тема касалась вопроса о самом
значении методов астрономической науки. С древнейших
времен астрономы изучают движения небесных тел; они
наблюдают те сложные и странные пути, которые планеты
описывают на небосклоне, они видят, как планеты движут-
ся среди звезд то в одну сторону, то — после остановки —
17
в другую, как бы завязывая узлы на небесном своде. Но
астрономы знают также, ибо этому их учили и Платон, и
Аристотель, что небесные тела совершенны в своей природе,
а следовательно, им приличествует только самое совершен-
ное из всех движений, именно, движение равномерное и кру-
говое. И вот все астрономы, даже те, которых сам Птолемей
называет древними, были согласны с тем, что мироздание
замыкается в систему сфер; в их общем центре, в центре
Мира, покоится Земля; ее окружают последовательно сфе-
ры Луны, Меркурия, Венеры, Солнца, Марса, Юпитера и
Сатурна и, наконец, последняя, восьмая сфера, иначе —
сфера неподвижных звезд. Что находилось за нею, об этом
вопрос не ставился: по Аристотелю, вне неба нет ни места,
ни пустоты, ни времени; следовательно, там нет и движения.
Но ближе к Земле, внутри восьмой сферы, в извечной по-
следовательности происходят движения планет; и астроному
надлежало, опираясь на догму равномерных и круговых
движений, воссоздать все многообразие наблюдаемых путей
планет.
Астрономия Птолемея, замыкая длинный путь развития
греческой науки, достигала этого при помощи двух пра-
вильных круговых движений для каждой из планет (си-
стема несущего круга, или круга деферента, и круга эпи-
цикла). Однако здесь обнаружилось, что каждая такая
задача допускает еще и второе решение, аналогичное
первому и дающее одинаковую с ним геометрическую и
кинематическую картину движения планеты (так назы-
ваемая система эксцентрического круга). Птолемей еще
несколько усложнил все эти эти схемы, введя эпициклы,
движущиеся по эксцентрическим кругам; он подходил ко
всей этой своеобразной методике очень осторожно: «Не-
возможно, или по крайней мере очень трудно,— писал
он,— находить основы первых начал (t&v nporcov ap%wv),
и не должно удивляться множеству вводимых нами кру-
гов, если учесть наблюдаемые неправильности в движе-
нии светил, которые, тем не менее, удается спасти дви-
жениями правильными и круговыми». В другом месте,
приступая к последнему и самому трудному для древних
разделу планетных теорий (касавшемуся движения пла-
нет по широте), он говорил: «Пусть не возражают против
этих гипотез, что их трудно усвоить из-за множества спо-
собов, которыми мы пользуемся. Ибо какое сравнение
можно сделать между земным и небесным и какими при-
18
мерами можно было бы отобразить вещи столь различ-
ные? Надлежит применять к небесным движениям, на-
сколько это возможно, гипотезы простейшие: но если их не-
достаточно, нужно изыскивать другие, более подходящие».
Так, пользуясь этой формальной свободой в выборе гео-
метрических моделей движения и не останавливаясь особен-
но на философской стороне вопроса, Клавдий Птолемей
во II в. н. э. дал ту систему древней астрономии, которая
и теперь по своей тонкости и многообразию охваченных воп-
росов не перестает вызывать изумление. Однако философ-
ская мысль греков всем этим не удовлетворялась: что пред-
ставляют собой, с точки зрения действительного познания
мира, наблюдаемые сложные движения планет и что озна-
чают эксцентры и эпициклы, которые вводит астроном?
В ответах на эти вопросы наметились два течения. В од-
ном из них (Прокл) утверждалось, что наблюдаемое, вос-
принимаемое человеком сложное движение и есть самая
первосущность, самая реальность вещей: астрономы, кото-
рые подходят к изучению этих движений, постулируя их
равномерность, фактически игнорируют, что они в дейст-
вительности неравномерны и сложны; что же касается всех
этих кругов, эксцентров и эпициклов, то они, во всяком
случае, существуют только в мысли человека; это он здесь
подменяет, чтобы «спасти» явления, движения тел природы
на математические образцы и построения.
Другое направление (Симплиций) шло дальше; здесь
утверждали, что не только за эксцентрами или эпициклами
нельзя признать никакой реальности, но что, более того,
те сложные движения планет, которые изучает наблюда-
тель, сами являются только некоторой видимостью, отоб-
ражающей непознанную человеком реальность.
Так блуждала в поисках последней сущности мысль позд-
нейших греческих философствующих комментаторов Пто-
лемея (IV—VI вв.); и легко видеть, действительно, что она
и не могла бы найти выхода из этих затруднений. Те же воп-
росы не потеряли своей остроты и в средние века и в эпоху
Ренессанса; тогда было известно, что арабские философы,
как мы уже упоминали, призывали вообще к отказу от си-
стемы Птолемея, хотя они не были в состоянии построить
какую-либо иную систему, столь же удовлетворительную в
отношении предвычисления движения небесных светил, как
система Птолемея. Позднее Ретик, тот самый ученик Ко-
перника, о котором мы уже говорили, цитировал следую-
19
щий тезис Аверроэса: «Астрономия Птолемея ничтожна в
отношении существующего, но она удобна, чтобы вычис-
лять то, чего не существует». В том же направлении, хотя
и с несколько иных позиций, рассуждал и знаменитый иу-
дейский мыслитель Рабби бен Маймон (Маймонид из Кор-
довы): «Посмотри, как все это темно,— писал он в своем
«Путеводителе заблудших».— Если истинно все то, что ут-
верждает Аристотель в науке физической, то ни эксцентров,
ни эпициклов существовать не может, и все обращается во-
круг Земли; но откуда же тогда появляются эти сложные
движения планет?»
Среди всех этих сомнений одно явление представляло
особенно большие трудности; ввиду очень большой его
важности для дальнейшего нам надлежит пояснить его хотя
бы в немногих словах. Мы наблюдаем звезды, например
яркие звезды зодиакального пояса, и можем измерять на
небесной сфере их угловые расстояния одна от другой. Но
нельзя ли определить положения всех этих звезд по отноше-
нию к какой-либо точке, не относящейся к системе звезд?
То изумительное чутье в астрономии, которым обладали
греки, подсказало им, что такую точку на небе найти можно
и что удобнее всего взять для этого точку весеннего равно-
денствия, ту самую, которую Солнце проходит в своем ви-
димом движении вокруг Земли в тот момент, когда день по
всей Земле равен ночи. Определить этот момент равноден-
ствия не трудно, и у греков имелись для этого особые ин-
струменты. Если теперь в тот же момент мы смогли бы опре-
делить расстояние звезды от Солнца, то тем самым было бы
определено и ее расстояние от точки равноденствия. Как
это сделать,— вопрос особый; но греки решили него с боль-
шей или меньшей степенью точности. Такие определения
можно повторять из года в год; греческие астрономы зани-
мались этим вопросом в течение столетий, и при этом они
(в сущности, великий Гиппарх) установили, что расстояния
звезд от точки весеннего равноденствия не остаются посто-
янными, а возрастают, хотя и очень медленно.
Птолемей окончательно подтвердил это явление, причем
стало очевидным, что оно происходит так, как если бы вся
звездная сфера медленно вращалась как одно целое вокруг
оси, наклоненной под определенным углом к земному эк-
ватору. Это и есть то явление, которое мы называем пре-
цессией, или предварением, которое в средние века имено-
валось движением восьмой сферы,— движением, как уже
20
сказано, очень медленным. Птолемей несколько ошибочно
определил его скорость в 1* в столетие, т. е. полный
оборот восьмой сферы в 36 000 лет. Опять-таки и об этом
было известно Данте, ибо он говорит: «Прежде чем прой-
дет тысяча лет! Но перед вечностью это короче, чем
одно мгновенье ока, сравнив его с движением той сферы,
которая всех медленнее вращается в небе»4. Движение
восьмой сферы дало великому поэту могучий образ; но для
философствующего астронома она представляла собой лишь
мучительную загадку. Отчего движется восьмая сфера?
По Аристотелю, движение передавалось сферам от на-
ружных к внутренним, от периферии к центру; значит,
за восьмой сферой надо было предположить еще одну, де-
вятую, которая некоторым образом передавала бы движение
восьмой; эту девятую сферу действительно ввели средневе-
ковые астрономы: от арабов она была воспринята в знамени-
тых Альфонсинских таблицах XIII в. Потом арабские аст-
рономы, обладавшие особой страстью — на основе слабых
и недостаточных наблюдений создавать сложные теории и
системы, стали считать, что восьмая сфера движется нерав-
номерно, что она в течение тысячелетий меняет даже на-
правление своего вращения. Тогда приходилось измышлять
и десятую, пожалуй, и одиннадцатую сферу, чтобы найти,
как тогда думали, физическое объяснение движению вось-
мой. Средневековая мысль построила все эти своеобразные
модели, чуждые Птолемею; разумеется, этим она только
усложняла исходную систему; по всем названным основным
вопросам астрономической науки (теория солнечного года,
вращение восьмой сферы или общая теория движения пла-
нет) — везде она наталкивается лишь на непреодолимые
трудности; ничего и здесь окончательно не решено, и все
эти схемы едва ли больше чем «одно виденье, непостижное
уму».
Существует ли вообще выход из всего этого лабиринта,
и кто найдет верный путь?
4. ФРОМБОРКСКИЙ КАНОНИК
Учение Коперника есть изумительный по своей мощи,
простоте и философской глубине ответ на все эти тревожные
вопросы; но этот ответ Коперник найдет у себя в Вармии
еще очень не скоро и к тому же он приложит все усилия,
21
чтобы возможно дольше скрывать его от людей. Как уже
упоминалось, он вернулся из Италии в 1506—1507 гг.;
все остальные 37 лет жизни он редко и ненадолго выезжал
из пределов Вармийского диоцеза. Жизнь его теперь тес-
нейшим образом переплетается с тяжелыми судьбами края;
описывать же ее здесь подробно отнюдь не наша задача.
Отметим лишь, что первые пять-шесть лет он живет не
в самом Фромборке, а у стареющего и болеющего теперь
дяди-епископа в его замке в Лидзбарке (Гейльсберге)
в качестве домашнего врача, а также и спутника в его поезд-
ках, например, на польские сеймы в 1508 г. в Кракове и в
1509 г. в Петрокове. В этом же году в Кракове выходит из
печати первое произведение Коперника; как ни удивитель-
но, оно относится не к астрономии и не к математике, а к
филологии: это перевод с греческого на латынь писем ви-
зантийского (следовательно, христианского) историогра-
фа Феофилакта Симокаттского (VI в.). Все письма разде-
лены по триолям: в каждом из них одно буколистическое,
одно нравственное и одно любовное; все они изумительны,
мы бы сказали, только своей наивностью. Почему Копер-
ник решился выполнить и издать их перевод, посвятив его
все тому же епископу, не очень ясно; можно думать, что
эта книга была одной из тех, по которым он изучал гре-
ческий язык в Болонье.
После смерти епископа Ваченроде (1512) Коперник пере-
езжает, наконец, в самый Фромборк и здесь занимает поме-
щение в одной из башен собора; предание и до сих пор назы-
вает одну из них «коперниковой башней» (curia coperni-
сапа). Проходит несколько спокойных лет, и в 1516 г. он
избирается администратором коммунальных владений ка-
питула в городе Олыптыне (Алленштейне); сюда он и пере-
езжает на 3—4 года; однако как раз в эти годы политиче-
ская атмосфера в Вармии накаляется; войска Ордена вры-
ваются в вармийские земли; война между ним и Польшей
назревает; она вспыхивает в 1519 г. и несет страшные опу-
стошения всему краю. Большинство каноников — но не
Коперник —спасается в Данциге или в Эльблонге; в 1520 г.,
когда Коперник снова во Фромборке, войска Ордена под-
ступают чуть не вплотную к самому собору. Эти тяжелые
дни сменяются более спокойными лишь с апреля 1521 г.,
когда между Польшей и Орденом заключается перемирие на
4 года. Но в то же время церковно-политическая жизнь
края еще более осложняется, когда новый магистр Ордена
22
Альбрехт Бранденбургский (кстати, племянник польского
короля Сигизмунда) по совету Лютера принимает проте-
стантскую веру, обращает в лютеранство всю Восточную
Пруссию и получает ее затем от короля в ленное владение,
но уже как светское, а не церковное княжество. Вармий-
ская епархия к новому исповеданию не переходит.
Среди всех этих волнений и бедствий Коперник, насколько
это видно через пыль архивов, остается человеком практики
и дела; он стремится помочь своему краю тем, в чем он более
других сведущ как математик. Так, он составляет обшир-
ную записку о чеканке прусской монеты, где старается
выяснить причины безудержного падения марки и вывести
из хаотического состояния все монетное дело. Эту записку
он докладывает на нескольких сеймах.
Потом постепенно, когда он подходит к 60 годам, ад-
министративные интересы замирают; остается, однако, еще
врачевание; им он занимается до последних лет жизни;
известны случаи, когда его вызывают из Фромборка для
оказания помощи высокопоставленным больным. Деталь-
ное изложение всех этих фактов потребовало бы долгого
рассказа; однако о том, что нас здесь особенно интересу-
ет — именно, находился ли Коперник в контакте с людьми
современной ему науки, с астрономами по ту или другую
сторону Альп, мы не знаем.
Между тем, именно в эти годы зреет то великое произве-
дение, про которое сам он сказал, что «вынашивал его не
девять, а скорее четырежды девять лет»; ясно, что мысли
о новой астрономии зародились у него уже на родине и
претворялись в законченную систему в башне Фромборк-
ского собора. Однако какими-то неизвестными нам путями
сведения о том, что где-то в далекой Вармии творится новая
наука, проникают далеко за пределы диоцеза; так, мы уже
упоминали, что в 1515 г. Коперника запрашивали из Рима
по поводу календарной реформы. Затем до нас дошло и
единственное его письмо астрономического содержания
(1524): это послание Коперника к Бернарду Ваповскому,
его другу со времени краковского студенчества, а теперь
кантору и канонику Краковского собора и секретарю ко-
роля польского; Ваповский незадолго перед тем прислал
Копернику сочинение некоего математика Иоганна Вернера
из Нюрнберга; Вернер 5 в 1522 г. составил небольшой трак-
тат «О движении восьмой сферы». Вопрос был, очевидно, на-
столько актуален, что даже секретарь польской короны
23
счел нужным узнать мнение своего старинного друга об этой
работе. Ответное письмо Коперника (так называемое «Пись-
мо против Вернера») касается в сущности лишь хронологи-
ческой канвы исследований Вернера, в которой Коперник
вскрывает ошибки. По основному содержанию вопроса
Коперник здесь не высказывается, говоря в заключение:
«Каково же, в конце концов, мое собственное мнение о дви-
жении восьмой сферы? Поскольку я предполагаю изложить
мои взгляды в другом месте, я считаю ненужным и несвое-
временным развивать мое сообщение дальше».
К той же поре (1520—1530) относится небольшое про-
изведение Коперника, носящее название: «Nicolai Copemici,
De Hypothesibus motuum coelestium a se constitutis Com-
mentariolus», т. e. «Николая Коперника Малый комментарий
о гипотезах, относящихся к небесным движениям». Значе-
ние этого трактата в общем развитии гелиоцентрической
системы Коперника огромно; все, что здесь сказано кратко,
появится со значительными развитиями и некоторыми ва-
риантами в книге «Об обращениях небесных сфер»; здесь же
можно найти и основные философские предпосылки всей
коперниканской доктрины. Существуют две рукописи этого
«Малого комментария»; одна из них найдена в 1878 г. в Вене,
другая — в 1881 г. в библиотеке Стокгольмской обсерва-
тории; имеются глухие указания на существование еще од-
ного списка, до сих пор не открытого.
Через этот ли «Малый комментарий» или как-либо ина-
че, но молва об удивительном новом учении ширится в Ев-
ропе; тому порукой служит весьма любопытная запись, най-
денная на одной греческой рукописи из Мюнхенской биб-
лиотеки, содержание ее таково: «Этот манускрипт подарил
мне в Риме в 1533 г. папа Климент VII после того как я
в присутствии (называются имена трех сановников церкви)
объяснял ему в садах Ватикана учение Коперника о дви-
жении Земли (подпись: Иоганн Альберт Видманштадт, по
призванию Лукреций, святейшего отца нашего секретарь и
домочадец)».
Проходит еще семь лет, и в 1540 г. учение Коперника
впервые оглашается в печати: в Данциге появляется не-
большая книжка под (сокращенным здесь) названием: «О
книгах обращений небесных сфер Николая Коперника, пер-
вое повествование, составленное некиим юношей, изучаю-
щим математику». Весьма скоро и легко обнаружилось,
что этот юноша был 26-летний Иоганн Ретик, отличный
24
математик (оставивший заметный след в истории развития
логарифмов); на 23-м году он получил профессуру в Вит-
тенберге; отсюда, из этого центра протестантизма, услы-
шав про новое учение, молодой энтузиаст решается отпра-
виться в Вармию, где еще так недавно был издан «Mandat
gegen die Ketzerei», т. e. мандат против лютеранской ереси.
Здесь он встречается с 66-летним старцем, которого впредь
он будет называть не иначе, как Dominus Doctor Praecep-
tor — господин учитель наставник.
У Коперника к этому времени уже совершенно готов его
большой трактат; в течение почти двух лет Ретик изучает
его под руководством Коперника во Фромборке. Результатом
этих работ и является названная книжка, составленная в
виде послания к нюрнбергскому математику Шонеру; она
написана в изысканном стиле гуманистов, изобилует мно-
жеством цитат греческих и латинских авторов; но, так или
иначе, она содержит полное и правильное изложение всей
коперниканской доктрины и чрезвычайно интересна во мно-
гих местах, где ученик излагает сокровенные мысли учителя
несколько резче и яснее, чем это делает тот сам. Из Вармии
Ретик в 1541 г. возвращается обратно в Виттенберг и здесь
в 1542 г. издает часть трактата Коперника, именно ту,
которая относится к тригонометрии. Заглавие этой книги:
«О сторонах и углах как плоских, так и сферических тре-
угольников, сочинение ученейшее и полезнейшее как для
понимания многих доказательств Птолемея, так и для дру-
гих целей, составленное знаменитым и ученейшим Нико-
лаем Коперником из Торуни». В предисловии Ретик дока-
зывает приоритет Коперника в доказательстве некоторых
теорем сферической тригонометрии, несколько ранее опуб-
ликованных в посмертно изданном труде Региомонтана.
«Первое повествование» Ретика имеет большой успех:
уже через год оно переиздается, на этот раз под его именем,
в Базеле; теперь широкие астрономические круги знакомы
с новой доктриной. Так, в 1542 г. Эразм Рейнгольд, серьез-
ный виттенбергский астроном, в своих комментариях на
упомянутые нами «Новые теории» Пурбаха писал: «Я слы-
шу о современном ученом, исключительно искусном; он
во всех возбудил горячее ожидание; надеются, что он воз-
родит астрономию; уже он наводит последние штрихи на
свой труд перед его опубликованием».
При этих условиях престарелому Копернику становится
ясно, что дальше скрывать от людей труд своей жизни уже
25
не имеет смысла; и тогда, на 69-м году, он передает руко-
пись своему верному и старинному другу Тидеману Гизе.
Этому человеку (в то время епископу Хелмскому (Кульм-
скому), а несколько ранее канонику Фромборкского собора,
в капитуле которого он состоял одновременно с Коперни-
ком, будучи в то же время и секретарем короля польского)
в истории астрономии принадлежит немалая заслуга;
именно он, быть может, при участии Ретика, убедил Копер-
ника открыть свою доктрину миру; но это удалось ему
не сразу; даже и тогда еще Коперник испытывал колеба-
ния и сомнения, о которых весьма интересно повествует
Ретик:
«Так как мой господин учитель наставник был по при-
роде общителен и видел, что ученый мир нуждается в улуч-
шенных движениях [небесных светил], он охотно согласил-
ся на предложение его друга, почтенного прелата [Тиде-
мана Гизе]: он обещал, что составит астрономические таб-
лицы, основанные на новых правилах, так что, если труд
имеет какую-либо ценность, он не намерен скрывать его от
мира. Однако ему уже давно было очевидно, что наблюдения
сами по себе требовали таких гипотез, которые опрокидыва-
ли все принятые до сих пор положения, касающиеся поряд-
ка и движения сфер, и которые считались истинными; к то-
му же они [эти наблюдения] требуют введения постулатов,
противоречащих непосредственному чувственному [вос-
приятию]; поэтому он, мой наставник, решил, что он будет
подражать Альфонсинским таблицам и составит таблицы с
точными правилами пользования, но без доказательств.
Таким путем он не вызовет спора среди философов; любой
математик получит возможность правильно вычислять [не-
бесные] движения; но истинный ученый, на которого Юпи-
тер взглянул необычайно благосклонным взором, тот из при-
веденных чисел дойдет до того источника и до тех основ,
из которых все выведено. Рядовой астроном не будет ли-
шен возможности пользования таблицами, которых он ищет
и жаждет, независимо от какой бы то ни было теории; к то-
му же будет соблюдено и правило пифагорейцев, согласно
которому изучение философии следует направлять так,
чтобы ее глубокие тайны были сохранены лишь для знаю-
щих, искушенных в математике».
Таковы были, согласно Ретику, удивительные и много-
образные доводы Коперника против опубликования его
трактата в целом; но Тидеман Гизе разбил и эти соображе-
26
ния своего великого друга и, как говорил Ретик, он «полу-
чил от него обещание дать возможность ученым и всему
потомству судить о его трудах».
Так произошло, наконец, что рукопись, или, лучше ска-
зать, одна из рукописей книги 6 была получена Гизе от Ко-
перника и направлена им для печати к Ретику в Нюрнберг;
здесь в мае 1543 г. появилось это бессмертное произведение
человеческого ума под длинным и витиеватым заглавием:
«Николая Коперника Торунского
Об обращениях небесных сфер шесть книг.
Ты найдешь, прилежный читатель, в этом недавно закон-
ченном и изданном труде движения звезд и планет, представ-
ленные на основании как древних, так и современных наб-
людений, развитые на новых и удивительных теориях. К то-
му же ты имеешь полезнейшие таблицы, по которым ты
можешь удобнейшим образом вычислять их на любое вре-
мя. Поэтому, усердный читатель, покупай, читай и извле-
кай пользу.
Да не входит никто, не знающий математики» 7.
В том же месяце, получив печатные листы своего труда,
старый каноник умирает во Фромборке.
5. КОПЕРНИКАНСКАЯ ИСТИНА
В чем же состоит глубокая сущность освобождающей
мысли Коперника, столь остро поразившая ученый мир при
появлении его книги?
Новая истина этого учения базируется на двух принци-
пах, которые можно определить так.
Первое, и притом почти до конца проведенное, примене-
ние начала относительности к изучению всех воспринимае-
мых нами движений.
Требования соответствия астрономических теорий при-
роде вещей как единственный критерий истинности этих
теорий.
С максимальной отчетливостью высказан Коперником
первый из указанных тезисов 8.
«Всякое воспринимаемое изменение положения,— го-
ворит он,— происходит вследствие движения либо наблю-
даемого предмета, либо наблюдателя, либо вследствие дви-
жения того и другого, если, конечно, они различны между
собой; ибо когда наблюдаемый предмет и наблюдатель дви-
27
жутся одинаковым образом и в одном направлении, то не
замечается никакого движения между наблюдаемым пред-
метом и наблюдателем».
Но человек наблюдает с Земли; поэтому, если Земле
присуще какое-либо движение, то все то, что находится
вне ее, будет представляться земному наблюдателю дви-
жущимся с той же скоростью, но в обратном направ-
лении.
Этот принцип в истории астрономических учений яв-
ляется новым: понятие относительного движения было со-
вершенно чуждо и астрономии, и физике древних.
Коперник применяет свое кинематическое открытие
прежде всего к видимому суточному вращению небесного
свода. «Почему не признать,— говорит он,— что небу при-
надлежит только видимость суточного обращения, действи-
тельность же его — самой Земле, так что здесь происходит
то, о чем сказано в «Энеиде» Вергилия: «От гавани мы от-
плываем, а земли и села от нас убегают». Ибо, когда корабль
движется спокойно, то все, что находится вне его, представ-
ляется морякам таким, как если бы все это двигалось по
подобию корабля; самих же себя и все, что при них, они,
напротив, считают покоящимся».
При этом Коперник, утверждая суточное вращение не-
бесного свода, опирается на некоторые древние авторитеты,
на пифагорейцев Гераклида, Экфанта и Гикетаса, о кото-
рых он читает у (псевдо)-Плутарха и Цицерона. Однако
здесь не следует упускать из виду, что и сам Птолемей на
первых же страницах «Альмагеста» сообщает, что многие
философы высказывали тезис о неподвижности неба и о
вращении Земли; и тут Птолемей добавляет: «При весьма
большой простоте такого построения, поскольку речь идет
о явлениях звездного неба, ему ничто не препятствует».
Однако Птолемей отвергает это допущение (называя его
смешным) и приводит ряд «физических» доводов, которые по
своей недальновидности отнюдь не стоят на уровне других
его рассуждений; характерно, что с точки зрения астроно-
мической он не может найти здесь никаких возражений.
Почему-то на эти слова Птолемея Коперник не ссылается;
но так или иначе мысль о вращении Земли действительно
подсказывалась ему из глубоких толщ древней культуры;
и вообще вращение Земли было как бы самым простым и
очевидным применением его нового принципа (вспомним,
что о том же размышлял и Челио Кальканьини).
28
Существенно сложнее обстояло дело со вторым, годичным
движением Земли. Правда, здесь Коперник имел в древно-
сти изумительного предшественника в лице математика и
астронома Аристарха Самосского 9 (III в. до н. э.), о теории
которого повествует Архимед в том глубоком сочинении,
которое носит название «Исчисление песчинок» («Псаммит»).
«Ибо Аристарх,— сообщает Архимед,— полагает, что звез-
ды и Солнце неподвижны, но что Земля вращается вокруг
Солнца по кругу, лежащему посредине пути; при этом сфе-
ра звезд, у которой общий центр с Солнцем, имеет такие раз-
меры, что окружность, по которой, как он предполагает,
движется Земля, так относится к расстоянию до неподвиж-
ных звезд, как центр сферы относится к поверхности» 10.
Такова гениальная догадка Аристарха, не получившая
никакого развития в системе древних, но послужившая ос-
нованием к преследованию Аристарха «за оскорбление бо-
гов». Весьма удивительно, что Птолемей упоминает об
Аристархе только в связи с его наблюдением солнцестоя-
ния 281 г. до н. э., но совершенно умалчивает об его гелио-
центрической доктрине.
Аристарха Самосского принято считать как бы непо-
средственным предшественником Коперника, или «коперни-
канцем древности». Однако не подлежит сомнению, что сам
Коперник смотрел на это дело иначе. «Пусть никто не ду-
мает,— пишет он в «Малом комментарии»,— что я произ-
вольно допускаю вместе с пифагорейцами движение Земли;
в моем же изложении [теории сфер] будут найдены строгие
доказательства; ибо основные доводы, которыми философы
стремились установить неподвижность Земли, по большей
части основаны на кажущемся; но именно такие доводы
здесь отпадают, поскольку я рассматриваю неподвижность
Земли как одну только видимость».
В чем же состоят строгие доказательства Коперника?
Система планетных движений была описана Птолемеем в
ряде геометрических и кинематических построений, причем
за неподвижный центр всех этих движений принималась
Земля. Но если продумать птолемееву систему-в целом, то
она, как оказывается, обнаруживает ряд особенностей, или
закономерностей, которые в ней непонятны, необъяснимы
и как бы совершенно случайны. Так, эта система не дает
никакого обоснования тому странному обстоятельству,
что Марс, Юпитер и Сатурн оказываются всего ближе к
Земле (в перигеях их эпициклов) тогда и только тогда, ког-
29
да они приходят в противостояние с Солнцем, т. е. восходят
вечером и заходят поутру. Или, еще больше того: почему
в системе Птолемея радиусы-векторы, проведенные из
центров эпициклов к этим трем планетам, всегда параллель-
ны между собой и вместе с тем параллельны (как это под-
робно доказывает Птолемей) направлению от Земли к Солн-
цу? Почему эпицикл Марса огромен, эпицикл Юпитера
меньше, эпицикл Сатурна еще меньше? Почему центры
эпициклов Меркурия и Венеры лежат всегда на одной пря-
мой, соединяющей глаз наблюдателя с Солнцем, а времена
обращений центров этих эпициклов вокруг Земли как раз
равны одному году? Почему, наконец,— и это самое рель-
ефное — ни Солнце, ни Луна в системе Птолемея не полу-
чают попятных движений, таких же, какие наблюдаются
у планет?
Столетие за столетием поколения астрономов изучали,
комментировали, преподавали систему Птолемея; но никто
из них никогда не останавливался на всех этих загадках, и
ни у кого до Коперника не зародилась мысль о том, что
все эти явления не случайны, а происходят от какой-то
особенности в общих установках птолемеевой доктрины.
Именно эту особенность Коперник вскрывает теперь своим
ясным и глубоким взором: или, доказывает он, порядок пла-
нет может быть совершенно произвольным, или же в том
ряде, в каком их располагали древние (мы говорили о нем
выше), нужно обязательно переставить местами Землю и
Солнце, отнеся при этом к Земле видимое годичное движе-
ние Солнца; а что при этом все явления, зависящие от годич-
ного круга Солнца, нисколько не изменятся для земного
наблюдателя, это с необходимостью следует из того, что и
для Коперника, так же как для Аристарха и Птолемея,
сфера неподвижных звезд, на которую проектируются все
движения, бесконечно велика по сравнению с расстоянием от
Солнца до Земли. Но если признать, что истинное годичное
движение принадлежит не Солнцу, а Земле, то целый ряд
движений в схеме Птолемея — только кажущиеся, отра-
жающие движение Земли по ее орбите (по ее orbis magnus,
т. е. по «великому кругу», как ее постоянно называет Ко-
перник, чтобы подчеркнуть этим не его размер, но его зна-
чение для новой науки). Именно тот orbis magnus отобра-
жается в эпициклах Марса, Юпитера и Сатурна и в дефе-
рентах Меркурия и Венеры. Все это высказано в двух посту-
латах «Малого комментария», именно:
30
«То, что нам представляется как движение Солнца, про-
исходит не от его движения, а от движения Земли и ее сфе-
ры, вместе с которой мы обращаемся вокруг Солнца, как
любая другая планета. Так, Земля имеет больше, чем одно
движение.
Видимые простые и попятные движения планет проис-
ходят в силу не их движения, но движения Земли. Таким
образом, одно движение Земли достаточно для объяснения
и столь многих видимых неравенств на небе».
Оба эти постулата резюмируют сущность того, что мы
назвали бы теперь коперниканским обращением птолемеева
планетного механизма. Никто так ясно не усвоил сущности
этого обращения в ближайшие после Коперника десятиле-
тия, как Кеплер в его «Mysterium cosmographicum» (1596).
В двух превосходных диаграммах Кеплер показывает,
что эпициклы Марса, Юпитера и Сатурна видны с Земли
как раз под теми углами, под которыми орбита Земли ус-
матривается из точек, лежащих на орбитах каждой из этих
планет; именно поэтому так огромен эпицикл Марса, эпи-
цикл Юпитера меньше, эпицикл Сатурна еще меньше; и
вообще, все те загадочные вопросы, которые, как мы виде-
ли выше, безнадежно отягчали систему Птолемея, теперь
немедленно получают простое объяснение.
Но если в современном изложении все то, чего здесь до-
стигает Коперник, есть решение простой кинематической
задачи, именно — обращения движения системы точек и
отнесения его к новому центру, то, пожалуй, даже трудно
представить себе ту смелость мысли, то дерзновение, кото-
рое требовалось в XVI столетии, чтобы, вопреки многове-
ковой традиции и непосредственному чувственному вос-
приятию, преобразовать всю систему птолемеевых вращений,
отказавшись при этом от неподвижности Земли. Действи-
тельно, прав был Ретик, когда эпиграфом для своего «Пер-
вого повествования» он взял греческий стих: «Надлежит быть
свободным мыслию тому, кто желает достичь мудрости».
Но именно эта великая свобода в применении начала отно-
сительности дает грандиозные результаты: не только со
схемы Птолемея снимаются, как лишние, многочисленные
движения, но и впервые за всю историю человеческой мыс-
ли оказывается возможным определить расстояния всех
планет от Солнца, принимая данным размер orbis magnus;
этим достигается гармония не только движений, но и рас-
стояний (о которых Птолемей вообще ничего не знал).
31
Вся Солнечная система отныне становится космосом и,
по словам Ретика, все явления связываются в ней друг с
другом «благороднейшим образом и как бы золотой цепью».
Таковы значительные результаты применения начала
относительности к проблеме планетных движений. Но
едва ли не глубже сказываются они там, где речь идет о
движении восьмой сферы. В самом деле, как мыслили древ-
ние это движение? Они считали, что восьмая сфера медлен-
но вращается от запада к востоку вокруг оси, перпендику-
лярной к той плоскости, в которой, по Копернику, лежит
орбита Земли; отсюда происходит, что звезды видимо уда-
ляются, если считать в плоскости этого круга, от одной не-
подвижной его точки, именно точки его пересечения с эквато-
ром Земли. Но не проще ли предположить обратное: имен-
но, что восьмая сфера стоит совершенно неподвижно, а пере-
мещаются точки равноденствия от востока к западу, при-
чем это их движение есть проявление еще одного движения
Земли, вернее ее оси? Действительно, достаточно дать зем-
ной оси медленное вращение вокруг перпендикуляра к
плоскости земной орбиты, чтобы легко объяснить наблю-
даемое смещение точки равноденствия в экваторе; но ведь
в этом смещении единственно и обнаруживается движение
восьмой сферы!
Так осуществляется третье применение начала относи-
тельности, пожалуй, самое изумительное, на взгляд астро-
нома, открытие Коперника; и оно принадлежит на этот раз
ему, и только ему, так как никаких намеков на эту мысль
ни у древних, ни у средневековых астрономов не имеется.
Правда, в своем учении об этом третьем, или, как он его
называет, «деклинационном», движении Земли Коперник
допускает ошибку. Ему представляется, что ось Земли тог-
да, и только тогда, могла бы оставаться параллельной са-
мой себе в течение годичного обращения Земли, если бы она
в течение года описывала в обратном направлении полный
круг сверх того небольшого угла, который необходим для
объяснения смещения равноденствий. Эта ошибка (связан-
ная со своеобразными представлениями древних, относя-
щимися к вращению твердых тел) была раскрыта почти одно-
временно и Кеплером и Галилеем; она не существенна:
объяснение явления прецессии дано Коперником правиль-
но. Отныне эта «чудовищная, пустая от звезд девятая сфера
Альфонсин», как говорил Кеплер, выбрасывается из си-
стемы астрономии, так же как и целый ряд эпициклов Пто-
32
лемея. Вся эта надстройка воздвигалась потому, и только
потому, что видимые движения принимались, в нарушение
начала относительности, за действительные; то были фан-
томы, которые теперь навсегда развеяны Коперником.
К тому же, для Коперника именно открытие третьего
движения Земли имело и существенное философское зна-
чение; теперь он может утверждать, что восьмая сфера,
которая все в себя заключает, неподвижна; и потому она
есть то место мира, к которому относятся положения и дви-
жения всех светил. Поэтому в ее точках, в звездах, следует
искать неподвижное начало для всех астрономических отсче-
тов. Эту мысль Ретик развивает еще глубже: «Всякое дви-
жение,— говорит он,— познается лишь по сравнению с чем-
либо неподвижным; так моряки в море, когда земля уже
больше не видна, а отовсюду одно небо их окружает, и со
всех сторон воды моря, говоря словами Вергилия, не могут
познать движения их корабля, когда море не взволновано
ветром, хотя бы их и уносило со скоростью многих миль в
час. Соответственно этому небесная сфера была воздвигну-
та богом для нас, с ее великим количеством мерцающих звезд,
с тем, чтобы по сравнению с ними, несомненно неподвижны-
ми на их местах, мы могли бы определять положения и дви-
жения других заключенных в ней сфер и планет».
Разумеется, эти слова Ретика ошибочны; но они и ха-
рактерны. Они ошибочны потому, что познание относитель-
ных движений не требует неподвижной системы отсчета, и
все это искание абсолюта есть не что иное, как отзвук докт-
рины Аверроэса. Эти слова характерны потому, что в них
звучит мысль, идущая'от гораздо более глубоких слоев сред-
невековья. Вся природа создана для человека, для обеспе-
чения его жизни и его познаний; и мы ясно видим теперь,
как коперниканский принцип относительности упирается
в схему неподвижного абсолюта; поэтому мы и назвали его
выше «почти до конца доведенным». Однако не будем здесь
чрезмерно суровы ни к Копернику, ни к Ретику; вспомним
глубочайшие мысли Ньютона, пытавшегося найти сквозь
схему галилеевой относительности динамический абсолют
для познания движений.
Философская концепция Коперника, на которой мы
здесь остановились, приводит к одной из странных частей
его астрономической системы; здесь речь идет о каталоге
звезд. Подобно тому, как Птолемей в «Альмагесте» дал нам
первый звездный каталог, относя в нем положения 1 022
2 Н. И. Идельсон 33
5^ 1
звезд по долготе к равноденствию его эпохи (140 г. н. э.),
так теперь Коперник строит в трактате «Об обращениях не-
бесных сфер» свой новый каталог, где он дает долготы и ши-
роты тех же звезд. Но так как Коперник уже знает, что рав-
ноденствие есть подвижная точка, «то,— говорит он,— не
положения звезд следует относить к равноденствию, место
которого с течением времени меняется, а, напротив, поло-
жение равноденствия надлежит относить к звездной сфере».
Соответственно этому Коперник принимает за начало от-
счета, т. е. за начало всех долгот, определенную звезду
(у Arietis), долготу которой он полагает равной нулю, и,
преобразуя каталог Птолемея, определяет по отношению к
ней долготы всех звезд 11. Таким путем он мыслит создать
вечный звездный каталог, не связанный с равноденствием
какой-либо эпохи. Однако в истории астрономии такой ка-
талог есть не больше, как музейный уникум; начиная от
Гиппарха и Птолемея и кончая Гринвичем и славным
нашим Пулковом, все звездные каталоги относились иск-
лючительно к равноденствиям эпох наблюдений; этим не
только осуществляется до конца то начало относительности,
которое было введено самим же Коперником, но и обеспе-
чивается возможность последовательных приближений к
той системе отсчета, которую Коперник считал первично
данной в виде небесной сферы, усыпанной звездами; что
и эти звезды могут быть подвижны, о том, разумеется,
ни у Коперника, ни у Ретика еще не возникало подо-
зрений.
Из сказанного усматривается глубокое и своеобразное
значение коперниканского принципа относительности, и
притом не только для астрономической системы, но и для
общих установок, касающихся человеческого познания.
Но далее: чем гарантируется, что астроном, применяя этот
принцип, найдет уже истинное, а не искаженное познание
вещей?
Мы помним, как философская мысль греков безнадежно
старалась выяснить значимость того материала, который
получается в результате астрономических наблюдений, и
тех геометрических образов, в которые их укладывает аст-
роном. Для Коперника дело обстоит иначе и существенно
проще. В посвящении своей книги Павлу III, поясняя,
что древним астрономам не удалось достичь целостной кар-
тины всего мироздания и всех наблюдаемых движений, Ко-
перник говорит:
34
«Отсюда следует, что они [древние] в ходе своих дока-
зательств, что называют методом, либо опустили нечто суще-
ственное, либо включили нечто чуждое, постороннее пред-
мету, чего не случилось бы, если бы они руководились твер-
дыми началами; если бы примененные ими гипотезы не бы-
ли обманчивы, тогда несомненно подтвердилось бы все,
что из них вытекало».
Глубоко знаменательные слова! Отныне дело не в том,
чтобы любой ценой «спасать явления», как это было у
древних. Нет, постулаты астронома должны быть истинны!
Иными словами: существует объективный, не зависимый от
человека порядок вещей; познающий интеллект должен
подняться до него в положениях, истинных в их сущности;
его построения должны быть адекватны явлениям и охва-
тывать их во всей совокупности.
Ученик Коперника, Ретик, и здесь еще ярче подчерки-
вает мысль своего учителя; он пишет: «Аристотель сказал:
высшей истинностью обладает то, что является причиной
следствий, в свою очередь истинных. Соответственно это-
му мой наставник считал нужным применять гипотезы,
способные подтвердить истинность наблюдений минувших
веков, которые, как мы можем надеяться, будут в будущем
причиной истинности предвычисления всех астрономичес-
ких явлений».
Разумеется, то, о чем здесь говорит Ретик, это лишь одна
сторона дела. Правильное предвычисление астрономичес-
ких явлений не есть еще окончательное доказательство
истинности коперниканской доктрины; однако эти крите-
рии нашлись в изобилии на позднейших этапах развития
астрономии; они-то и сообщили учению Коперника тот ха-
рактер «высшей истинности», который принадлежит ему
первому в истории нашей науки.
Таково непреходящее значение обоих основных тезисов
коперниканской системы.
б. У ДРЕВНИХ ИСТОКОВ
От доктрины Коперника мы вернемся опять к самому
человеку. «Не у всех есть время читать книгу Коперника»,—
это заметил еще Кеплер в конце XVI в.; но, можно думать,
многим и в настоящее время будет ценно попытаться воссо-
здать его духовный облик как ученого и мыслителя хотя бы
35
2*
на основе все той же его знаменитой книги. Но вот на-
сколько ясна и кристальна его астрономическая и математи-
ческая доктрина, настолько его облик сложен и отчасти
малопонятен. Несомненно, что он верный сын католичес-
кой церкви, он сам церковник, хотя и не духовного сана.
Но его мысли текут, если так можно выразиться, по друго-
му руслу. Чтобы убедиться в этом, достаточно раскрыть его
книгу на той знаменитейшей странице, где впервые утверж-
дается гелиоцентрическая система мира. Здесь описывает-
ся последовательность сфер в ее новом, обращенном поряд-
ке, начиная от высшей и неподвижной сферы звезд и так
продолжая, вплоть до Меркурия. Потом говорится: «1п
medio autem residet sol (в середине же всего пребывает
Солнце). Ибо кто в сем прекраснейшем храме мог бы поста-
вить этот светильник в место иное или лучшее, чем то, из
которого он может сразу освещать всю совокупность [мира].
Ибо ведь уже иные не напрасно называли его светочем ми-
ра, другие — душою, еще иные — управителем. Триме-
гист называет его видимым богом, Электра у Софокла —
всевидящим. И так, действительно, Солнце, восседая на
царственном троне, управляет окружающим его хорово-
дом светил».
Кто были те, кто называл Солнце светочем мира, этого
мы не знаем; но мы можем найти, что Тримегист был мисти-
ческий герой греко-римской религии времен ее упадка,
таинственный составитель книг, полных туманных проро-
честв, нечто вроде покровителя оккультных наук, спаги-
рического искусства и алхимии; далее, не так важно, в кон-
це концов, что говорит Электра у Софокла. Изумительна
вся эта языческая аргументация в ее целом, помещенная в
ответственнейшем месте книги, которую автор посвящает
римскому папе! Мы можем судить отсюда, насколько ве-
лика была сила гуманистической культуры, выжигавшей
авторитет всех творцов церковной доктрины; сами по себе
взятые, они мало значат для Коперника; так, в том же по-
священии папе Павлу III имеется всего лишь одна ссылка
на отца церкви, и эта ссылка гласит:
«Ибо известно, что Лактанций, в иных отношениях зна-
менитый писатель, но слабый математик, совершенно по-
детски рассуждает, насмехаясь над теми, кто утверждал
шарообразность Земли».
Но мы знаем, что эта полупрезрительная фраза не мень-
ше, чем все иное, вызвала гнев инквизиторов в Риме, ког-
36
да, через 75 года после опубликования кпигй, римская цер-
ковь объявила войну коперниканской системе. Но Копер-
ника этот неизбежный конфликт с церковниками не оста-
навливает и не устрашает. Он пишет:
«Если, быть может, найдутся болтуны, которые, будучи
совершенно невежественными в математических науках,
все-таки решатся составить суждение [о моем учении] и
осмелятся порицать мое произведение или нападать на
него, ссылаясь на одно место Писания, смысл которого они
извращают в своих собственных целях, то с ними я отнюдь
не буду считаться, так что я буду даже презирать все их
суждения, как пустые».
Из этих подчеркнуто резких слов и из сказанного не-
сколько выше не вытекает ли, что облик фромборкского ка-
ноника выходит далеко за рамки портрета представителей
современной ему жизни и культуры? Как бы поглощая всю
средневековую надстройку и питаясь лишь глубокими ис-
точниками древней науки, Коперник непосредственно от
нее ведет нас вперед, к будущему нашей науки. В этом его
сила, но в этом же отчасти и его слабость. Здесь было бы,
пожалуй, слишком сложно выяснить, каким образом об-
щие кинематические схемы Коперника отнюдь не отходят
от аристотелевых постулатов; но, очевидно, что его абсолют-
ное подчинение принципу равномерных круговых движе-
ний (который он стремится выдерживать еще строже, чем
сам Птолемей), его отказ от возможности применений пря-
молинейных движений во всем, что относится к движению
светил, все это есть непосредственное примыкание к науке
древних, которую он лишь обновляет, дополняет, возрож-
дает своими новыми началами относительности движений и
истинности познания. Еще Кеплер сказал: «Коперник, не
зная своих собственных богатств, ставит себе задачей изъяс-
нять Птолемея, но не природу вещей, к которой, однако,
он очень близко подходит».
Но, несмотря на все это, Коперник все же первый из
новых астрономов, а отнюдь не последний из древних. С то-
го момента, как он, впитав в себя астрономию древних, да-
ет ей новый облик и форму, древняя наука теряет свою
жизненную значимость; она отходит существенно дальше
в глубь истории.
И уже не в этой системе, а у Коперника, и только у не-
го, Кеплер и Галилей найдут тот фундамент, на котором
воздвигается все здание современной астрономической науки.
37
7. СУДЬБА КНИГИ
Изложение истории восприятия и утверждения копер-
никанской доктрины, связанной с достопамятными и тра-
гическими судьбами Галилея и Джордано Бруно, не отно-
сятся к теме настоящей работы. Но здесь надлежит подчерк-
нуть два важнейших момента. Первое это то, что учение Ко-
перника в понятиях ближайших поколений воспринимает-
ся не иначе, как пифагорейская доктрина. Потому ли, что
Коперник в своей книге назвал имена нескольких пифа-
горейцев, или по удивительной задержке ее опубликования,
так или иначе, о Копернике говорят всегда только в связи
с таинственным пифагорейским учением; даже в том декрете
Конгрегации индекса запрещенных книг (5 марта 1616 г.),
которым было осуждено новое учение, оно именуется имен-
но пифагорейским. «Поскольку до сведения этой Конгре-
гации дошло,— говорится в декрете,-— что ложная пифа-
горейская доктрина, совершенно противоречащая Священ-
ному писанию, которую Николай Коперник изложил в
книге «Об обращениях», уже получила распространение и
многими признается..., то эти книги, во избежание распол-
зания подобного учения к ущербу католической истины,
приостанавливаются впредь до исправления». Таким об-
разом, получалось, что то ясное и непреложное знание,
которое Коперник строил на почве наблюдений и строгих
математических выводов и рассуждений, здесь сочеталось
с мифической премудростью пифагорейцев, от которой
церковь считала должным оградить свою паству, как от не-
которого опьяняющего яда. Совершенно рациональный ха-
рактер и смысл новой науки тут абсолютно не был учтен
и понят. По этому поводу Кеплер тонко заметил: «Карди-
налы приостановили книгу Коперника впредь до ее исправ-
ления; им лучше бы надлежало сказать: впредь до ее объ-
яснения». Однако, что влечет за собой объяснение книги
Коперника, этого Кеплер как протестант не изведал. Га-
лилею же пришлось через 16 лет после этого запрета услы-
шать угрозу допроса под пыткой и подписать акт отречения
от истины, которая являлась для него очевидной и неоспо-
римой. Таков первый момент, который мы считали должным
отметить в судьбах коперниканской доктрины.
Но удивительна и судьба самой книги Коперника: ее
первому изданию предпослано небольшое «Введение для
читателя», где анонимный издатель или редактор книги
пишет:
38
«Так как никакие рассуждения не позволяют астроному
дойти до истинных причин движения небесных тел, то он
измышляет и воображает какие угодно гипотезы с тем, что-
бы, приняв эти гипотезы данными, можно было с помощью
геометрии точно вычислять эти движения как за прошлое
время, так и на будущее... И нет никакой необходимости,
чтобы эти гипотезы были истинными и даже правдоподоб-
ными, достаточно одного, именно: чтобы вычисления, осно-
ванные на них, приводили к согласию с наблюдениями».
Таким образом, таинственный редактор, повторяя в сущ-
ности почти точно слова Симплиция (того комментатора Ари-
стотеля, о котором мы говорили), указывает здесь, что ис-
кать абсолютного знания — не дело астронома, как раз в
противность тому, к чему стремился Коперник всем своим
новым обоснованием астрономической науки. Поэтому,
если правильно то предание, по которому Коперник полу-
чил печатные листы своей книги только на смертном одре,
«когда его заботы уже были иные», как говорит его первый
биограф, то судьба лишь избавила его от чтения печальной
насмешки над трудом всей его жизни.
Кто был тот лютеранский богослов в Нюрнберге, кото-
рый составил это удивительное и лукавое введение к книге;
как реагировал на этот подлог верный друг Коперника,
Тидеман Гизе; как раскрыл Кеплер через 56 лет, кто был
автором этой страницы,— не в этом сейчас дело. Но совер-
шенно ясно, что это была как бы последняя и судорожная
попытка покрыть ясное учение Коперника еще одной ву-
алью, сделать его условным, неполноценным. В известной
мере это удалось, хотя и не надолго. Так, Галилей отчетливо
понимал, что всякий, кто пожелает ознакомиться с мне-
нием самого Коперника, «должен прочесть не пустые писа-
ния того, кто отдал книгу в печать, но все произведение са-
мого автора». Однако у многих слагалось несомненно про-
тивоположное мнение. Так, например, кардинал Белляр-
мино, имя которого столь часто встречается на страницах
инквизиционных актов, относящихся к запрещению копер-
никанской доктрины, писал неаполитанскому коперни-
канцу патеру Фаскарини (1615): «Мне кажется, что вы и
синьор Галилео поступили бы осторожно, если бы удовлет-
ворились высказываниями предположительными, но не аб-
солютно; ведь так говорил, как я всегда думал, и сам Ко-
перник». Эти слова создают впечатление, что в глазах мно-
гих учение Коперника казалось стоящим на каком-то зыб-
39
ком и ненадежном фундаменте; всего этого достиг автор
анонимного введения к книге.
Но в мощном историческом процессе развития знаний рас-
таяла и эта попытка, как растаял миф о таинственной пи-
фагорейской доктрине. И сегодня мы чтим в книге Копер-
ника именно тот источник, из которого последующие по-
коления черпали свое убеждение в существовании объ-
ективной науки, доставляющей нам истинное познание ве-
ликой и могучей природы.
40
ГАЛИЛЕЙ В ИСТОРИИ АСТРОНОМИИ *
L'autorita delVopinione di rnille nelle scienze non
val per una scintilla di ratione di uno solo.
Galileo. Istorie e Demonstrazioni intorno alle
macchie solari.— Edizione Nazionale, V, 2001.
Авторитет, основанный на мнении тысячи, в во-
просах науки не стоит искры разума у одного
единственного.
Галилей. Описания и доказательства, относя-
щиеся к солнечным пятнам.
1
Во все времена человек размышлял над строением внеш-
него мира. От глубочайшей древности он наблюдал восходы
и заходы Солнца, Луны и звезд и их суточное обращение по
небесному своду. Человек распознал на небе пять больших
планет и остановился перед загадкой их сложных, неравно-
мерных движений по звездному небу. Он заметил, что Марс,
Юпитер, Сатурн движутся между звезд то «прямым движе-
нием» с запада на восток, в ту сторону, куда смещается
Луна между звезд, то «обратным движением» с востока на
запад, в сторону суточного вращения неба; что между
этими движениями Марс, Юпитер, Сатурн по нескольку
дней остаются неподвижными относительно звезд и затем,
продолжая движение, описывают как бы петли на фоне
звездного неба. Человек заметил также, что две другие
планеты, Меркурий и Венера, в отличие от названных трех,
остаются на небе вблизи Солнца, появляясь и исчезая около
него в лучах вечерней и утренней зари. И как только че-
ловек начал осознавать закономерность в происходящих яв-
лениях, он стал убеждаться в том, что все эти движения по-
вторяются с извечной правильностью, что им присуща ус-
тойчивость, которой он не знает ни в чем, происходящем на
* Из книги «Галилео Галилей». М.— Л., Изд-во АН СССР, 1943.
41
Земле. И, размышляя, человек должен был спросить себя:
та твердыня, с которой он наблюдает эти движения,—
его Земля,— в каком стоит она отношении к тому театру
небесных явлений, который развертывается над ней? Где
происходят эти движения, какие из них ближе и какие
дальше от Земли? Как сочетаются между собой основное
суточное вращение всего свода в его целом, увлекающее
и Солнце, и Луну, и планеты, и звезды, с перемещениями
Солнца и Луны между звезд, со сложными путями планет
на вращающемся своде?
Вокруг этих высоких задач развивалось первичное есте-
ственнонаучное мышление. Все культуры разных времен
и народов, отзвуки которых дошли до нас, подходили к этим
проблемам со своими попытками решения. Но первые по-
строения и схемы, заслуживающие именно здесь нашего
внимания, принадлежат древней Элладе. Все научно-
познавательные принципы, все схемы чисто астрономиче-
ского содержания, созданные греками, сыграли самую вы-
дающуюся роль в том процессе смены мировоззрений, ко-
торый связан с именами Коперника, Кеплера и Галилея.
Первая астрономическая доктрина, более или менее де-
тально разработанная греками, есть так называемая систе-
ма концентрических сфер. В ее первичной форме, предло-
женной Евдоксом Книдским (около 410—350 гг. до н. э.),
она была призвана воспроизводить видимые движения пла-
нет при помощи четырех сфер для каждой планеты; все эти
сферы вращались равномерно вокруг осей, пересекающихся
в одной точке, но наклоненных друг к другу под различ-
ными углами; две сферы вращались с запада на восток,
другие две — в обратную сторону; периоды их вращений
различны. Каждая из сфер, независимо от ее собственного
вращения, воспринимала движение всех внешних по от-
ношению к ней; на экваторе самой внутренней из них,
четвертой, находилась точка, изображающая данную пла-
нету. Составное движение ее, получаемое в результате сло-
жения вращений всех четырех сфер, должно было воспроиз-
водить, путем подбора углов наклона осей и периодов их об-
ращений, видимое нам движение планеты с теми стоя-
ниями и петлями, о которых сказано выше.
Дальнейшее усовершенствование схем Евдокса принад-
лежит выдающемуся астроному Калиппу, который, по сло-
вам комментатора 2, прибыл в Афины и имел там постоян-
ные собеседования с Аристотелем, задумав с его помощью
42
произвести «пересмотр и дополнение системы Евдокса».
В системе Калиппа полагалось по пяти сфер для Солнца,
Луны, Меркурия, Венеры и Марса и по четыре для Юпите-
ра и Сатурна; всего их было таким образом 33. Затем сам
Аристотель подошел к той же проблеме; стремясь создать
единую модель, которая охватывала бы совокупность всех
наблюдаемых движений небесных тел, он смог достичь этого
только ценой существенного осложнения построений Ев-
докса и Калиппа 3.,
Разумеется, мы не будем описывать здесь всех деталей
аристотелевой схемы, а поставим вопрос: каково вообще
назначение всего этого построения? На какой запрос мыс-
лящего интеллекта оно отвечало — скажем, даже и не
практической, а научно-познавательной значимостью?
На этот вопрос мы нигде не найдем лучшего ответа, как
в одном положении, которое тот же комментатор Аристоте-
ля приписывает Платону:
«Платон принимает как основное правило, что небесные
тела движутся круговым, равномерным и вполне правиль-
ным 4 движением, и он ставит тогда перед математиками
следующую задачу: найти, с помощью каких подлежащих
заданию равномерных и правильных круговых движений
окажется возможным спасти явления, представляемые
планетами» 5.
В этих замечательных тезисах мы встречаем прежде
всего априорный постулат, изгоняющий из построений аст-
ронома все и всякие движения, кроме вращений с постоян-
ной угловой скоростью; постулат, который был заострен
еще сильнее великим учеником Платона: Аристотель счи-
тал необходимым ввести условие, что всякое вращательное
движение происходит только вокруг некоторого неподвиж-
ного тела, являющегося для этого движения необходимым
началом отсчета, и что для движений небесных тел таким
неподвижным центром служит Земля; иными словами,
в современной терминологии: всякое наблюдаемое с Земли
движение есть абсолютное. Каждое из этих положений на
долгие столетия легло тяжелым бременем на нашу науку!
Далее, в том же тексте Платона содержится и крылатая
фраза: «спасти явления» — та самая, которая будет повто-
ряться затем десятки раз у греческих астрономов и фило-
софов, у арабских астрономов и комментаторов IX—X вв.,
у парижских схоластов XIII—XIV вв.; отзвук которой
мы найдем у Коперника и в трагедии Галилея.
43
Совершенно очевидно, что схемы Евдокса, Калиппа и
Аристотеля соответствовали общей платоновой концепции:
они воспроизводили явления, и самое это воспроизведение
уже давало все, чего философ жаждал получить от астроно-
ма;оно представляло собой познание явлений, оно давало им
достаточное объяснение. Увы, эти схемы ничего не мог-
ли спасти: всякая точка любой из сфер всегда оставалась
на одинаковом расстоянии от центра всех движений, т. е.
от Земли. Но греки знали, например, что Марс и Венера
в разные моменты своего движения обладают совершенно
различной яркостью; что видимый диаметр Луны в течение
месяца изменяется в отношении 12 : 11; эти явления и еще
некоторые другие они правильно объясняли как следствие
изменения расстояния этих небесных тел до Земли. Отсю-
да вытекало, что обстоятельства движения небесных тел в
системе сфер не могут найти своего спасения. Греческой
астрономии приходилось искать для этого иных путей.
И она нашла их в двух основных построениях, связанных с
именами Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в. н. э.);
то были: система эксцентрических кругов и система эпи-
циклов.
В немногих словах вот в чем суть дела: астрономы Гре-
ции установили, например, неравенство времен года. Так,
Калипп нашел, что весна продолжается 94 дня, лето 92,
осень 89 и зима 90 дней 6. Этот факт очевидно не совмес-
тим со схемой равномерного годичного движения Солнца
по эклиптике вокруг неподвижной Земли. Однако Гип-
парх показал, что можно найти для Земли такое положение
внутри круговой орбиты Солнца — но не в ее центре,—
что углы, под которыми будут усматриваться с Земли че-
тыре части годичного круга Солнца, должны соответство-
вать по продолжительности равномерного движения Солнца
как раз 94, затем 92, потом 89 и 90 дням. Таким образом,
поместив Землю вне центра круговой орбиты, греческие
астрономы получали так называемую схему «неподвижного
эксцентра». Далее, Гиппарх показал, что прямые и обрат-
ные движения планет можно воспроизвести, вообразив, что
планета движется равномерно по окружности (называемой
эпициклом), в то время как центр эпицикла равномерно
вращается вокруг центра мира по другой окружности (на-
зываемой деферентом).
Но греки были слишком тонкие геометры, чтобы не за-
метить тотчас же, что обе схемы — неподвижного эксцентра
44
и эпицикла — в смысле «спасения явлений» — равноцен-
ны между собой. Так, например, неравномерное видимое
движение Солнца укладывается в любую из них; точно так
же прямые и обратные движения планет находят двойное
объяснение, так как можно всегда поменять местами эпи-
цикл и деферент при условии перемены направления одного
из составляющих движений 7. Для нас теперь все это про-
стые теоремы из той главы кинематики, которая носит
название «эпициклические механизмы». Но для греков то
были открытия самого первого ранга, имевшие немаловаж-
ное теоретико-познавательное значение.
В самом деле, они ставили перед греческими астронома-
ми и мыслителями такую проблему: если данное движение
допускает двойное объяснение, то какое же из этих объяс-
нений соответствует действительности? Если же астроном
откажется сделать такой выбор, то не получится ли, что
ни одно из этих объяснений не может претендовать на
соответствие действительности, так что оба они окажутся
только удобными фикциями для спасения явлений? Так,
Гиппарх полагал, что две различные гипотезы, одинаково
соответствующие природе вещей, могут совпадать между
собой в смысле получаемой из них схемы составного дви-
жения и притом совпадать «случайно» 8.
Напротив, Птолемей, которому пришлось в знаменитом
«Альмагесте» значительно осложнить схему эпициклов,
допустив неравномерные движения центров этих окруж-
ностей по деферентам, дает ясно понять, что он не припи-
сывает никакой реальности тем составляющим движениям,
из которых у него получается движение планеты. Поэтому
Птолемей признает единственным принципом всех постро-
ений астронома правило наибольшей простоты: «Нужно
применять, насколько возможно, наиболее простые гипоте-
зы в построении движения светил; но если они недостаточ-
ны. нужно брать другие, наиболее подходящие»9.
Из этих примеров видно, что греческая астрономия
существенно отошла от требований и от положений, уста-
новленных философами; она допустила движения, проис-
ходящие, и притом с неравномерной скоростью, не вокруг
материальных тел, а вокруг «пустых» центров — геомет-
рических точек, какими являлись, например, центры эпи-
циклов. Примирить Птолемея и Аристотеля теперь оказа-
лось невозможным. Поэтому, когда арабские астрономы
и философы обратились в X—XII вв. к изучению греческой
45
науки, они прежде всего осознали это противоречие,
и поклонники Стагирита начали борьбу против Птолемея,
борьбу под лозунгом «назад к Аристотелю». Основополож-
ником этого течения являлся знаменитый Аверроэс (Ибн-
Рошд, 1126—1198), которого Данте называет «1 gran
commentatore». Отзвуки этой борьбы можно проследить
в парижской Сорбонне до XV века; в итальянских универ-
ситетах она не заглохла еще в ту пору, когда в них был
слушателем и работал Коперник (1496—1506). Но, по
несчастью, система аристотелевых сфер была и навсегда
осталась бесплодной: по ней нельзя было строить таблиц
движения планет и предвычислять наперед их положения;
между тем как «Альмагест» Птолемея был знаменит у
астрономов своими таблицами движения Солнца, Луны и
планет.
Таким образом, в области астрономии создавалось очень
трудное и запутанное положение; оно осложнялось еще
тем, что некоторые греческие мыслители, идя дальше
Птолемея, ставили вопрос: познаваемы ли вообще небесные
движения в их сущности? И иные из них приходили к
выводу, что человеческому разуму доступно познание яв-
лений только в подлунном мире — на Земле. Но самая
сущность небесных явлений от него скрыта навсегда; чело-
век должен довольствоваться здесь только приближенным
знанием; он вправе выдвигать различные гипотезы, если
они приводят к выводам, одинаково спасающим явления;
но только Высшему Разуму, Логосу, дано познание этих
явлений в их первосущности 10. Так постепенно от ясных
требований Платона и Аристотеля греческая мысль за-
мыкается как бы в совершенном агностицизме по вопросам
астрономии, по крайней мере по главной линии развития
нашей науки, по линии Гиппарха и Птолемея.
Но наряду с этими основными построениями астрономия
греков наметила и иные схемы, для нас здесь особенно
существенные; то были гелиоцентрические системы мира,
о которых до нас дошли только более или менее глухие
указания 1Х. Мы знаем, например, что Гераклид Понтский
(эпоха Платона и Аристотеля, IV в. до н. э.) принимал
для объяснения суточного вращения небесного свода вра-
щение Земли вокруг ее оси; Солнце в системе Гераклида
обращалось вокруг Земли, но Венера и Меркурий обраща-
лись не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Мы узнаем далее
из изумительного сочинения Архимеда, носящего назва-
46
ние «Псаммит, или Исчисление песчинок» (Arenarius), что
Аристарх Самосский (живший в III в. до н. э., старший
современник Архимеда)12 предлагал законченную гелио-
центрическую систему мира, в которой неподвижным по-
лагалось только Солнце, в то время как Земля вместе с
ее Олимпом, с обителью богов, обращалась вокруг Солнца,
так же как и все прочие планеты, и вращалась вокруг
своей оси. И мы читаем, что некий стоик Клеант обличал
Аристарха, требуя ему возмездия за беззаконие и безбо-
жие,— примерно так, как через 18 столетий доминиканцы
обличали Галилея перед инквизицией; и если Аристарху
не пришлось испить сократовой чаши или испытать судьбу
Галилея, то это не была, конечно, вина благочестивого
стоика.
Помимо Гераклида и Аристарха, до нас дошли имена
нескольких более ранних мыслителей, воспринимавших
мир если не гелиоцентрически, то во всяком случае не
геоцентрически, принадлежавших к пифагорейской школе
(V в. до н. э.); то были Филолай, Гикетас из Сиракуз и
Экфант 13; но мы очень мало знаем об их учениях. То были
семена, брошенные греческим гением на неподготовленную
еще почву. Однако именно эти семена дали слабые ростки
в эпоху средневековья; они наметились более явственно
в мышлении Николая Кузанского (1401—1464), кардинала,
философа и математика, одного из замечательных немецких
гуманистов первого поколения, открыто признававшего
вращение и обращение Земли; а еще через столетие эти
же семена взошли неувядаемым цветом под ясным и глубо-
ким взором великого астронома с берегов Вислы.
2
Далекими истоками учения Коперника является прежде
всего неудовлетворенность философских школ' средневе-
ковья построениями Птолемея, особенно в связи с анти-
тезой Птолемей—Аристотель; затем отзвуки тех гелио-
центрических построений греков, о которых мы только
что упоминали. Сверх того, учение Коперника,— что часто
забывается,— отвечало и некоторым конкретным запросам
церковной культуры, именно требованиям исправления
солнечного и лунно-солнечного счисления 14.
Свою новую систему мира, всю свою радикальную
перестройку астрономии Коперник, осмотрительный и уе-
47
динившийся, скрывает от современников, по его словам,
«не девять, а четырежды девять лет»; и когда семидесятилет-
ним старцем он решается на опубликование «De Revolu-
tionibus orbium Coelestium libri VI» 15, то в посвящении
книги папе Павлу III он пишет: «Некоторые математики
пользуются только концентрическими сферами, другие
эксцентрами и эпицентрами; и тем не менее они не удовлет-
воряют требованиям астрономии. Те, кто отдают свое дове-
рие концентрическим сферам, действительно доказывают,
что некоторые неравномерные движения могут быть со-
ставлены этим способом; но, основываясь на их гипотезах,
они не смогли установить ничего точного, строго удов-
летворяющего явлениям; те, которые избрали эксцентры,
по-видимому, сумели так разложить большинство видимых
движений, что они совпадают с наблюдениями; но гипотезы,
принятые ими, в большинстве случаев, как кажется, про-
тиворечат основным началам, касающимся равномерности
движений; кроме того, они не смогли открыть или вывести
из их допущений то, что имеет наибольшую важность,
именно форму мира и точную симметрию его частей».
«К тому же,— говорится далее в посвящении,— для
астрономов остались столь неясными обстоятельства дви-
жения Солнца и Луны, что они не смогли ни определить
из наблюдений, ни доказать неизменяемость длины года».
Почему все это происходит? Потому что астрономы
пользовались неверными исходными представлениями: «Ес-
ли бы гипотезы, которые они приняли, не были обманчивы-
ми допущениями, то все следствия, выведенные из них,
были бы, без сомнения, подтверждены».
Из создавшегося нетерпимого положения для Коперника
выход один: явления надо «спасать» на основе допущений,
правильных в их сущности, т. е. соответствующих природе
вещей. Где же искать эти новые принципы? Оказывается,
сама древность дает эти орудия Копернику: у древних
авторов он читает сообщения о Филолае и других пифа-
горейцах, доказывавших вращение Земли 16.
«Воспользовавшись этим указанием,— говорит он,— я
тоже стал размышлять о движении Земли; это мнение ка-
залось бессмысленным; но я знал, что моим предшествен-
никам была предоставлена свобода изобретать какие угод-
но измышленные круговые движения, чтобы спасти небес-
ные явления; и я решил, что столь же легко и мне будет
предоставлено право сделать попытку в этом направлении,
48
именно испробовать, не окажется ли возможным, приписав
Земле некоторые движения, найти в отношении обращений
небесных тел доказательства более точные, чем у моих
предшественников».
И вот в маленьком городке Фромборке, недалеко от
устья Вислы, в тени старинного собора великий польский
астроном в течение трех десятилетий строит гелиоцентри-
ческую систему. «In medio omnium reside! sol»— В середи-
не же всего пребывает Солнце; и далее следует такой могу-
чий гимн этому светилу, что, читая эти строки, не знаешь,
написаны ли они скромным каноником Фромборкского со-
бора или древним солнцепоклонником... Но эта высокая
лирика не мешает методическому, математическому твор-
честву Коперника. По его словам, mathemata mathematicis
scribuntur — математическое пишется для математиков.
И он достигает грандиозного: в его доктрине не только легко
спасаются сложные движения планет; он первый за всю
историю человеческой мысли устанавливает правильные
значения расстояний планет от Солнца, принимая данным
расстояние от Солнца до Земли. При этом замечательно,
что переход от геоцентрической к гелиоцентрической сис-
теме достигается у него при помощи простого приема,
который теперь тоже удобно трактовать как задачу на об-
ращение эпициклического механизма; наряду с этим пере-
ходом он обогащает человеческую мысль понятием отно-
сительного движения, столь чуждым грекам и столь фун-
даментальным, как мы увидим, в миропонимании Галилея.
«Всякая замечаемая нами перемена положения предмета
происходит,— по замечанию Коперника,— или вследствие
движения этого предмета, или же движения наблюдателя,
или относительного их движения; если же движения и того
и другого равны, то перемещение незаметно».
Однако, наряду с этим великим новаторством, Коперник
во многом остается по необходимости насыщенным птоле-
меевскими концепциями. Так, например, Луна в его систе-
ме движется по эпи-эпициклу17; кое в чем он просто оши-
бается — его кинематическое мышление оказывается недо-
статочным; это происходит, например, при допущении так
называемого «третьего движения» Земли, бесцельность ко-
торого выяснил только Галилей18.
Но все это, конечно, не основное; свою центральную
доктрину о сложном движении Земли Коперник развивает
с твердой и спокойной уверенностью: мир в действительно-
49
сти таков, каким он раскрывается перед ним; Коперник
вовсе не излагает одну из его возможных схем, а открывает
некоторую реальность; он несет человечеству абсолютное
познание о движениях небесных тел; в этом его великое
отличие от астрономов древности, для которых, как мы
видели, главной задачей было спасение явлений ценой
любых подходящих построений. Так вместе с новой сис-
темой мира зарождается и новая установка в человеческом
познании вообще.
Творение Коперника появилось, как известно, в 1543 г.,
но уже после смерти его автора; и как бы в насмешку над
сокровеннейшим убеждением Коперника о безусловном
познании мира оно выходит в свет, обезображенное аноним-
ным предисловием. Только значительно позднее (1601),
благодаря Кеплеру, выяснилось, что это «Praefacio ad
lectorem» написано неким лютеранским богословом А. Оси-
андером, с которым Коперник поддерживал переписку
в последние годы жизни. Вот что писал боязливый ре-
дактор:
«Так как никакие рассуждения не позволяют астроному
дойти до истинных причин движения небесных тел, то он
измышляет и воображает какие угодно гипотезы, так,
чтобы, приняв эти гипотезы данными, можно было с по-
мощью геометрии точно вычислять эти движения как за
прошлое время, так и на будущее... И нет никакой необ-
ходимости, чтобы эти гипотезы были истинными и даже
правдоподобными, достаточно одно — именно, чтобы вы-
числения, основанные на них, приводили к совпадению
с наблюдениями».
Так говорит лукавый богослов, желая, очевидно, сгла-
дить острые углы в творении Коперника. Однако только
немногие адепты нового учения ясно усвоили и точку зре-
ния Коперника, и смысл анонимного предисловия. К их
числу принадлежал тот гневный и нервный мыслитель,
которому суждено было так трагически окончить свою
жизнь. Джордано Бруно писал: «Несомненно, что
Коперник верил в движение так, как он утверждал,
и он доказывал это всеми силами». Далее Бруно говорит
о некотором «вступительном послании, присоединенном к
книге Коперника неизвестно каким невежественным и вы-
сокомерным ослом..., который хотел, чтобы в этой книге
другие ослы нашли бы тот салат и легкую пищу, которую
он им оставил, а не рисковали бы уйти, не поев ничего...»19.
50
Однако, если просматривать астрономические работы,
следовавшие за появлением «De Revolutionibus» в ближай-
шие три-четыре десятилетия, и выступления богословов —
не только католиков, но и протестантов, например Меланх-
тона, знаменитого последователя Лютера, то создается впе-
чатление, что большинство останавливалось на точке зре-
ния, близкой к предисловию Осиандера 20. Учение Копер-
ника принималось как некоторая условность, не исклю-
чающая учения Птолемея; обе доктрины можно оставить
сосуществовать. Таким образом, средневековье тянуло на-
зад. Но оно тянуло как-то вяло и нерешительно: построе-
ниями Коперника уже пользовались для усовершенство-
вания астрономических вычислений21. Еще характернее,
что когда в 1582 г. папа Григорий XIII провел, наконец,
долгожданную реформу календаря, то в основу солнечного
и лунно-солнечного исчисления была положена длина года
в определении, данном именно Коперником. Вообще, ни
о какой цензуре его книги и учения речи не возникает;
она переиздается 22. Словом, ничто не предвещает той бури,
которая пронеслась над знаменитой книгой через 73 года
после ее появления.
Но вот, в 1616 г., неожиданно для всего культурного
мира той эпохи, этот момент перелома наступает; с неверо-
ятной поспешностью, ровно в одну неделю, инквизиция
выносит свой приговор учению, над созданием которого
один из величайших астрономов работал в течение десяти-
летий. В заключительном декрете от 5 марта 1616 г., тайна
появления которого была только отчасти раскрыта даже
перед главным участником драмы — Галилеем, конгрега-
ция индекса запрещенных книг объявляла:
«...Поскольку до сведения этой конгрегации дошло, что
ложная пифагорейская доктрина, совершенно противоре-
чащая Священному писанию, которую Николай Коперник
изложил в книге «De Revolutionibus», а Дидак Астуника
в «Комментариях на Иова», уже получила распространение
и многими признается, то эти книги, во избежание распол-
зания подобного учения к ущербу католической истины,
приостанавливаются впредь до исправления (suspendendos
donee corrigantur)».
Отсюда, как сказано в вводной части того же декрета,
следовало, что «отныне никто, какого бы он ни был звания
или положения, под угрозой наказаний, установленных
Тридентским собором, не смеет этих книг печатать или
51
содействовать их напечатанию, или под каким бы то ни
было предлогом хранить их у себя или читать» 23.
Почему над тенью Коперника пронеслась именно те-
перь эта гроза? Почему даже предисловие Осиандера ока-
залось бездейственным в данный момент?
3
На рубеже XVII столетия, точнее между 1590 и 1615 гг.,
две личности, обе грандиозной творческой силы и огромно-
го темперамента, вступают на арену борьбы за коперни-
канское учение. В настоящее время нам, пожалуй, даже
трудно сказать, кто из обоих современников — Кеплер
(1571—1630) или Галилей (1564—1642) 24— сделал больше
для утверждения новой астрономии 25; но если поставить
вопрос, какие даты и моменты являются наиболее значи-'
тельными в истории астрономии от появления «De Revo-
lutionibus» Коперника (1543) и до «Математических начал»
Ньютона (1688), то ответ может быть только один: это
1610 год, когда почти одновременно были изданы в Венеции
«Sidereus nuntius» («Звездный вестник») Галилея, а в Праге
«Astronomia nova» («Новая астрономия») Кеплера, и затем
1619 год, когда Кеплер опубликовал «Harmonices Mundi»
(«Гармонию мира»), содержащую его «третий закон».
Итак, роли Галилея и Кеплера в обосновании нового
миропонимания переплетаются как хронологически, так
и по содержанию. Но вместе с тем трудно представить себе
два интеллекта, работающих над одними и теми же пробле-
мами и менее схожих друг с другом, чем были Кеплер и
Галилей. Начать с того, что как математик Кеплер стоял,
на наш взгляд, существенно выше Галилея; тот невообра-
зимый вычислительный и синтетический труд, который
понадобился Кеплеру для того, чтобы установить в «Astro-
nomia nova» его первый и второй законы, стоял, как нам
представляется, далеко за пределами возможностей Гали-
лея 2в. Но огромное математическое дарование Кеплера
проявляется у него на фоне чрезвычайно интенсивного
мистического настроения; как древний пифагореец, он
мыслил мир наполненным числовыми и звуковыми гармо-
ниями. Так, в первой крупной работе «Mysterium cosmo-
graphicum» («Космографическая тайна», 1596) он пытается
построить расстояния в гелиоцентрической системе мира
52
на схеме правильных платоновых многогранников. В одной
из последних работ, именно в упомянутой выше «Нагшо-
nices Mundi» (1619), он пытается найти путь к той же проб-
леме на основе интервалов музыкальных тональностей.
Из этой мистики вытекала и квази-физика Кеплера;
всюду в природе он видел проявление сил или, вернее
сказать, проявление астрологических «влияний» (infiuxi).
Так, в Солнечной системе само Солнце есть центр, испус-
кающий подобные «влияния» на планеты; эту идею Кеплер
пытается сочетать с действием явлений магнетизма, как
раз в ту пору изученных английским врачом Гильбертом
(Gilbert) в его знаменитой книге «De Magnete» (1600).
Далее, в явлении приливов Кеплер видит проявление «вли-
яний» Луны, и здесь он определенно идет вслед за астроло-
гией, которая как раз в приливах видела неопровержимое
доказательство действия небесных тел на земные явления 27
и с болезненной смелостью распространяла его на предска-
зания дней радости и страдания, жизни и смерти людей.
Кеплер сам был астролог; он составлял гороскопы; он
предсказывал погоду по аспектам небесных тел и с серьез-
ным видом оправдывался в тех случаях, когда они не сбы-
вались. В этих безумных попытках соединить несоедини-
мое — математику и мистику — Кеплер провел всю свою
в сущности страдальческую жизнь, скитаясь по городам
Штирии, Австрии, Чехии, преследуемый если не за свое
коперниканство, то за свой протестантизм, неся на своих
плечах всю тяготу жизни гения в эпоху религиозных го-
нений и войн.
Кто же был Галилей? Здесь достаточно напомнить, что
годы молодости он провел в Пизе как студент и некоторое
время преподаватель университета (1581—1591); затем во-
семнадцать лет (1592—1610), о которых он вспоминал потом
как о счастливейшем периоде своей жизни 28,— как про-
фессор университета в Падуе, городе, принадлежавшем
тогда Венецианской республике; наконец, все остальные
годы (1610—1642) — во Флоренции как старший математик
и философ при дворе Медичи; но из них последние десять
(1633—1642)— в деревушке Арчетри близ Флоренции как
узник и мученик инквизиции, за каждым словом и шагом
которого следили из Рима. Так, вся его жизнь протекает
в Италии, в Венеции и в Тоскане, в то время когда над
этой страной уже прошло через полдень и клонилось
к закату солнце эпохи Возрождения; когда великие дости-
53
жения итальянской культуры в искусстве, в литературе,
в науке изменили мышление людей, а открытия морепла-
вателей расширили и их деятельность, и их горизонты и
когда жажда знаний охватила широкие круги горожан.
Все эти существенные элементы сами заслуживают деталь-
ного анализа; но сейчас нам прежде всего важен ответ на
вопрос: кем был, что представлял собой Галилей в смысле
основной целеустремленности его творчества?
По-видимому, не будет ошибкой, если, несколько схе-
матизируя его облик, мы скажем: Галилей был инженер;
он был инженер в итальянском понимании этого слова,
которое происходит от «ingegno», т. е. творческий гений,
изобретательский талант, примененный к вопросам меха-
ники и технического конструирования. Разумеется, это
был инженер, впитавший все традиции итальянского Ренес-
санса, знаток поэзии, замечательный стилист и писатель;
но существенно также подчеркнуть, что он первый из всех
размышлявших над проблемой мироздания сочетал ее с
циклом механических задач. Решение же этих задач достав-
ляли ему наблюдение и опыт, прошедшие через горнило
математического обоснования и доказательства. Более того,
мы увидим, что в течение долгих лет своей жизни он работал
в сущности над одной великой задачей: дать механическое
доказательство правильности и необходимости коперни-
канской системы; этого доказательства он не нашел, но в
поисках его он создал основы всей современной динамики
и заложил фундамент всей современной астрономии. Самый
метод его работы нам близок и понятен; схоластическое
мышление, которым человечество довольствовалось в тече-
ние столетий, ему просто ненавистно; вот, например, что
говорит в знаменитом «Диалоге о двух системах» Галилея
Сальвиати, обращаясь к аристотельянцу Симпличио:
«Я начинаю понимать теперь, что вы до сих пор при-
надлежите к стаду тех, которые, если им требуется узнать,
как происходит то или иное явление, или если им нужно
приобрести познание о действии сил природы, не взойдут
на лодку [речь идет о сопротивлении воды] и не подойдут
к луку или к артиллерийскому орудию, а удалятся в свой
кабинет и начнут перерывать указатели и оглавления, чтобы
найти, не сказал ли чего по этому поводу Аристотель; затем,
удостоверившись в точном смысле его текста, они уже боль-
ше ничего не желают и не придают цены тому, что можно
узнать о данном явлении» 29.
64
Самостоятельное рассуждение, основанное на опыте,—
вот столь же простая, сколь и значительная схема галиле-
ева метода; ни в одном месте многотомного собрания его
трудов мы не найдем ни богословских, ни вообще потусто-
ронних мотивов для обоснования того или иного положе-
ния; он не набрасывает никакой мистической вуали на
внешнюю природу; наоборот, для Галилея книга природы
никем и ничем от человека не закрыта.
«Вы, может быть, думаете,— пишет он в знаменитом пам-
флете «II Saggiatore» («Пробирщик золота», 1623), обращаясь
к иезуиту патеру Грасси,— что философия есть книга, при-
надлежащая воображению одного человека, как «Илиада»
или как «Неистовый Роланд»,— книги, в отношении кото-
рых наименьшее значение имеет вопрос, верно ли то, что
в них написано. Нет, синьор Сарси 30, дело так не обстоит.
Философия написана в той величественной книге, которая
постоянно лежит открытой у нас перед глазами (я имею
в виду Вселенную), но которую невозможно понять, если
не научиться предварительно ее языку и не узнать те пись-
мена, которыми она написана. Ее язык — язык математи-
ки, и эти письмена суть треугольники и другие геометри-
ческие фигуры, без помощи которых невозможно понять
в ней по-человечески хотя бы одно слово; без них мы можем
только кружиться впустую по темному лабиринту»31.
Набрасывая эту ясную и многозначительную программу
философии, или натурфилософии, philosophia naturalis —
как станут говорить несколько позднее, Галилей дейст-
вительно раскрывает миросозерцание, полярно противо-
положное Кеплеру. В мире нет тех таинственных соотно-
шений, которые грезились Кеплеру; мир познаваем; единые
законы действуют и в его подлунной, и в надлунной сферах.
При таком коренном расхождении обоих миропонимании
естественно, что Галилей никогда не мог освоить творений
Кеплера или оценить непреходящее значение кеплеровых
законов; и несмотря на дружественный и подчеркнуто
комплементарный тон их переписки, у Галилея чувствуется
как бы глухое раздражение против Кеплера. Так, в «Диа-
логе», излагая устами Сальвиати свою теорию приливов,
он говорит:
«Среди всех великих людей, рассуждавших об этом
замечательном явлении, больше всех других удивляюсь
я Кеплеру; будучи человеком свободного и острого ума и
владея теорией движений, приписываемых Земле, он стал
55
потом уделять внимание и соглашаться с мнением о «влия-
нии» (praedominio) Луны на воду, о скрытых качествах
и тому подобных детских выдумках (fancinlezze)» 32.
В письме Галилея к Diodati (9/IV 1632 г.) говорится
еще резче:
«Меня берет сомнение, не ведут ли соображения Ландс-
берга и Кеплера скорее к преуменьшению значения учения
Коперника, чем к его утверждению, так как мне кажется,
что оба они зашли, что называется, слишком далеко; поэ-
тому многие, переваривая их фантазии и, быть может,
принимая их за мысли самого Коперника, будут, мне ду-
мается, не без основания хохотать над подобной доктриной
(si burleranno di cotal dottrina)».
Наконец, еще позже, будучи уже узником инквизиции
и оглядываясь почти на четыре прошлых десятилетия,
Галилей писал к Fulgenzio Micanzio (19/XI 1634 г.):
«Я всегда считал Кеплера человеком свободного (по-
жалуй, даже слишком) и острого мышления, но мой метод
рассуждения (in mio filosofare) решительно отличен от его
метода; разумеется, может оказаться, что в наших работах
об одних и тех же предметах, однако только в отношении
движений небесных тел, мы могли встретиться в некоторых,
хотя и немногих построениях... но этого не будет обнару-
жено и в одной сотой части моих мыслей» 33.
Наряду с этими глубокими внутренними расхождениями
мы подчеркнем здесь еще одно, более внешнее, но немало-
важное различие их установок: это вопрос о языке. Как
известно, Кеплер не только все свои научные работы, но
и всю свою переписку научного характера писал по-латыни
и притом на очень цветистой латыни. Галилей опубликовал
по-латыни только «Sidereus nuncius» (1610); на латинском
языке составлены им еще только некоторые юношеские
произведения, в том числе трактат «О движении» («DeMotu»,
1590), при жизни не напечатанные. Все остальное твор-
чество Галилея и вся огромная переписка (за исключением
научных писем к иностранцам, в том числе и Кеплеру)—
все это написано им на итальянском литературном языке —
языке Данте, Петрарки и Ариосто, который Галилей назы-
вает «тосканским», т. е. флорентийским. На упрек иезуита
Шейнера, что напрасно Галилей пользуется этим языком
в делах научных, Галилей отвечал в печати:
«Я делаю это по многим соображениям, одним из кото-
рых является нежелание пренебрегать богатством и совер-
56
шенством нашего языка, достаточного для изложения и
пояснения понятий, необходимым всем факультетам»34.
Или еще яснее и откровеннее в одном из своих писем:
«Я писал [эту работу] на народном языке (volgare —
термин, применявшийся еше Данте), потому что мне нужно,
чтобы каждый человек мог ее прочесть...
Для того, чтобы вся молодежь, даже могущая разбирать
написанное на boas, увидела, что природа, давшая ей
глаза, подобно тому, как она дала их filuorichi, предостави-
ла ей также и рассудок, чтобы понимать и соображать» 35.
Соответственно этой замечательной установке Галилей
пишет простым, образным и доходчивым языком; он остро-
умен и знает цену шутке: когда Симпличио утверждает, что
в небесных телах никогда не замечались на памяти людей
какие бы то ни было изменения, Галилей отвечает ему
словами Сальвиати, что из этого факта ровно ничего нельзя
вывести, ибо иначе пришлось бы «считать небесными тела-
ми Китай и Америку, потому что вы, наверное, не видали
в них тех изменений, которые вы наблюдаете в Италии» 36.
Когда богослов эрудит Инголи в письме о неподвижности
Земли утверждает, что при допущении ее годичного движе-
ния пришлось бы принять, что расстояния до звезд в сотни
тысяч раз больше радиуса земной орбиты, а такая непро-
порциональность частей, по его мнению, в природе не дол-
жна иметь места, то Галилей уже от своего имени пишет
ему:
«Так как в море имеются рыбы столь малые, что один
кит может вместить большое их количество, так же как
слон превосходит величиной множество животных, то кит
и слон суть животные, слишком мало пропорциональные
прочим»; и следовательно, по мнению Инголи, «их на свете
не существует, так как подобные нарушения пропорций
не допускаются природой» 37.
Уже многое из того наследия, которое оставила чело-
вечеству древняя и средневековая культура, для Галилея
отзвучало безвозвратно; все те глубокие трудности и сомне-
ния, на которые натолкнулась при изучении внешнего мира
мысль древних греков и которые были еще вполне реальны
для Коперника, для Галилея более не существуют; они
выжжены солнцем итальянского Ренессанса; равным об-
разом не существует для него и астрология, столь понятная
еще Кеплеру. В одном замечательном письме38 Галилей
очень тонко иронизирует над астрологами, рассуждая,
57
например, о том, «влияли» или нет те спутники Юпите-
ра, о самом существовании которых никто не знал, пока
Галилей их не открыл.
По всем этим признакам делается очевидным, что Гали-
лей входит в историю науки как темперамент сильный и
свежий. Он человек передовой науки, который мог бы по
праву применить к себе стих столь любимого им Данте:
«L’acqua ch’io prendo diammai non si corse»— По водам,
по которым я отправляюсь, никто еще не плыл. И, несом-
ненно, он гораздо ближе и понятнее нам, чем Кеплер,
мышление которого во многом еще связано с глубоким
средневековьем. Но вместе с тем — мы подчеркнем это еще
раз — чрезвычайно важно, что в историю культуры,
в историю смены мировоззрений они оба входят как бы
совместно и нераздельно; они в равной мере подготовляют
то окончательное слияние механики и астрономии, которое
нам дано Ньютоном. Огромное различие их темпераментов
теперь уже сглаживается за гранью минувших столетий;
в сознании поколений остаются не их ошибки или заблужде-
ния, или взаимное непонимание, но их бессмертные откры-
тия и данное ими обоснование самых основных и краеуголь-
ных законов природы. Вот почему В. И. Ленин, изучая
«Науку логики» Гегеля, мог найти в ней следующее поло-
жение, которое он отчеркнул и выписал:
«Они — Кеплер и Галилей — доказали найденные ими
законы, показав, что им соответствует весь объем воспри-
нимаемых частностей» 39.
4
Когда и как Галилей стал подходить к проблемам космо-
логии, установить теперь довольно трудно. Во всяком слу-
чае его первые работы относятся сплошь к механике и к
прикладным задачам; то были: «Теоремы о центрах тяжести
твердых тел» (около 1585 г.), «Гидростатические весы»
(«Bilancetta», 1586), трактат «О движении» («De Motu»,
1590), в котором резко обнаруживаются первые расхожде-
ния с аристотелевой динамикой, «Краткие инструкции по
военной архитектуре» и «Трактат по фортификации» (1592
и 1593), «Механика» («Le Meccaniche», между 1593 и 1599 гг.),
где содержится первая формулировка так называемого
золотого правила Галилея и впервые применяется термин
58
«момент» силы. Все перечисленные произведения Галилея
при его жизни не были опубликованы. После них с доволь-
но большим интервалом следует «Геометрический и военный
циркуль» («Del compasso geometrico о militare», 1606; то
был пропорциональный циркуль, остроумно приспособлен-
ный для решений тригонометрических задач).
Уже самые заглавия перечисленных работ достаточно
ясно обнаруживают, куда были устремлены основные ис-
кания Галилея. Однако как всякий математик того времени
он не мог остаться в стороне от астрономии 40; его подго-
товительные записки по этому курсу, составленные не поз-
же 1595 г., были изданы посмертно в 1656 г. под названием
«Trattato della Sfera ovvero Cosmografia», т. e. «Трактат
о сфере, или Космография»; здесь даются (в современной
терминологии) только основы сферической астрономии,
математической географии, краткие сведения о затмениях
и т. п. Характерно, что здесь Галилей еще находил нужным
излагать коперниканскую точку зрения, и в главе под наз-
ванием «О том, что Земля стоит неподвижно» 41 он говорит:
«Настоящий вопрос заслуживает рассмотрения, так как
имеется достаточно значительное число великих философов
и математиков, которые, считая Землю планетой, придали
ей движение. Тем не менее, мы, следуя за Аристотелем и
Птолемеем, приведем здесь некоторые рассуждения, на
основании которых можно полагать (si possa credere), что
она совершенно неподвижна».
Далее Галилей приводит известные доводы Птолемея
против гипотезы о суточном вращении Земли 42.
С другой стороны, у нас есть веское доказательство,
что еще в эпоху чтения этого курса Галилей был скрытым,
если так можно выразиться, коперниканцем; об этом сви-
детельствует его письмо к Кеплеру от 4/VIII 1597 г., напи-
санное в ответ на получение от Кеплера экземпляра «Mys-
terium Cosmographicum» (1596); здесь Галилей, поздрав-
ляя себя с тем, что встречает такого союзника в деле ис-
следования истины, пишет, между прочим:
«Твою книгу я прочту с тем большей охотой, что на точку
зрения Коперника я встал уже много лет тому назад, и
мне удалось на основе ее найти объяснение многим явлени-
ям природы, которые, без сомнения, не могут найти объяс-
нения на основе общепринятых положений. Я записал мно-
го доказательств и много опровержений рассуждений, ос-
нованных на противоположной точке зрения; но выпустить
59
всё это в свет я не решался, устрашенный судьбой Копер-
ника, нашего учителя, который хотя и заслужил себе бес-
смертную славу у немногих, но со стороны бессчетного
числа людей (ибо так велико число глупцов) подвергся лишь
насмешке и освисту. Я решился бы, действительно, про-
должать мои рассуждения, если бы существовало много
людей, подобных тебе, Кеплер; но их нет, и я откажусь
от этих занятий» 43.
Разумеется, сейчас невозможно сказать, было ли искрен-
ним это решение Галилея отойти от проблем мироздания
или последние фразы письма надо понимать как подчерк-
нутый комплимент Кеплеру; но так или иначе отказаться
от этих занятий Галилею не пришлось, к счастью для на-
шей науки 44. Его изобретательский гений натолкнул его
на усовершенствование телескопа, и первые же наблюде-
ния дали ему столь значительный доказательный материал
в пользу доктрины Коперника, что утверждение ее стано-
вится одной из главных жизненных задач Галилея, не ме-
нее важной, чем проблемы механики, гидростатики или
сопротивления материалов.
Первый цикл наблюдений был проведен Галилеем в
Падуе с 7 января по 2 марта 1610 г. Почему и как он их
начал?
«Месяцев десять тому назад,— пишет он в «Sidereus
nuncius»,— до моего сведения дошло, что некий нидерлан-
дец (Belga quidam) изобрел «перспективу»45, с помощью
которой земные предметы, хотя бы и значительно удален-
ные от глаза наблюдателя, могли быть отчетливо видимы,
как бы близкие...; это и послужило причиной к тому, что
я целиком отдался такой задаче: найти основы устройства
подобного инструмента и выяснить также, из каких мате-
риалов я мог бы построить его»... И это удается Галилею;
не щадя, как он говорит, «ни труда, ни средств», он добился
конструкции, которая соответствовала приближению пред-
метов более чем в 30 раз по сравнению с наблюдениями
невооруженным глазом. «Перечислять,— продолжает Гали-
лей,— какие именно и сколь значительные преимущества
доставляет такой инструмент в делах сухопутных и мор-
ских, является совершенно излишним. Но я, оставив в
стороне земное, обратился к наблюдениям неба».
И вот в достопамятную ночь 7 января 1610 г. человек
впервые за всю историю культуры начинает изучать небо
вооруженным глазом. То, что раскрылось перед ним,—
60
это то, что каждый из нас увидал в молодости, скажем,
в трехдюймовую школьную трубу, с той разницей, что каж-
дый из нас знал наперед, что именно он должен увидеть в
эту трубу, а Галилей этого не знал; и перед ним неожидан-
но раскрывается этот изумительный, до сих пор нами до
конца не разгаданный лунный ландшафт с роскошной
картиной медленных восходов и заходов Солнца над крате-
рами, пиками и хребтами лунной поверхности. Он сразу
же замечает весьма значительное число слабых звезд,
недоступных простому глазу. Млечный Путь, как оказыва-
ется, есть почти везде скопление звезд, скученных и не-
различимых без помощи «перспективы»; и, наконец, самое
удивительное: вблизи Юпитера при первых же наблюде-
ниях обнаружились какие-то особые звездочки; когда на
следующую ночь добрый гений Галилея подсказывает ему
повторить наблюдение Юпитера, звездочки уже смести-
лись со своих прежних положений относительно планеты;
то же наблюдается и на третью, и на следующие ночи;
и очень скоро Галилей убеждается в том, что эти замеча-
тельные звездочки — подвижные небесные тела, новые пла-
неты — спутники Юпитера, о существовании которых никто
никогда не подозревал.
Действительно было от чего прийти в экстаз и в вос-
хищение; куда-то вдаль уходили схемы Аристотеля и Пто-
лемея; как дым рассеивалась та мистическая надстройка
над Коперником, которую предлагал Кеплер; новый мир,
реальный и величественный, открывался перед человеком;
материя этого мира представлялась ему в богатстве и раз-
нообразии, которое надлежало теперь осознать.
Об этих открытиях Галилей пишет уже наутро, после
первых наблюдений, детальное письмо во Флоренцию 46 и
сразу же приступает к составлению своего «Звездного вест-
ника» (опубликован в Венеции в марте 1610 г.), и заме-
чательны в этом письме и в этой книге именно их спокойный,
деловой тон, стиль научного описания, снабженного рисун-
ками; но никаких экстазов, лирических отступлений или
столь неизбежных в ту пору восхвалений Творца, ссылок
на тексты Писания и т. п. Это удивительный по точности
отчет и дневник наблюдений со включением в него некото-
рых общих выводов и замечаний.
Так, в отношении Луны говорится:
«Из наблюдений, неоднократно повторенных, мы приш-
ли к тому заключению, что поверхность Луны не гладкая и
61
не ровная и не в совершенстве сферическая, как полагал в
отношении ее великий легион философов (magna philoso-
phorum cohors), а, напротив того, неровная, шероховатая,
испещренная углублениями и возвышенностями, наподо-
бие поверхности Земли».
Через несколько страниц Галилей показывает, как опре-
делять высоту лунных гор по длине их тени, и говорит, что
наибольшая высота получилась у него в 4 итальянских
мили (т. е. примерно на 1/10 меньше, чем дают современные
наблюдения). Далее оказывается, что если Луна подобна
Земле по структуре поверхности, то и Земля подобна Луне,
будучи, как и она, непрозрачным телом, отражающим сол-
нечные лучи. «Когда Луна,— поясняет Галилей,— нахо-
дится близко к соединению с Солнцем, то с нее усматривает-
ся почти полностью то полушарие Земли, которое ярко
освещено его лучами, и на Луне воспринимается отра-
женный Землею свет; поэтому нижнее [т. е. обращенное к
Земле] полушарие Луны, хотя и лишенное солнечного света,
светится довольно значительным свечением»47.
На этих соображениях часть «Звездного вестника»,
относящаяся к Луне, заканчивается; Галилей обещает —
и это биографически очень важно — вернуться в будущем
к этой теме в книге «О Системе мира».
Затем Галилей устами Вестника рассказывает о мире
звезд. Громадное число их, превосходящее почти в десять
раз число звезд, видимых простым глазом, сразу раскры-
вается, если глядеть в «перспективу»; особенно изумитель-
ны их скопления в созвездии Рака, в Плеядах, в Орионе;
к тому же звезды представляются искрящимися точками,
совершенно непохожими на спокойно сияющие диски пла-
нет. И далее:
«Мы обратились к наблюдению того, что относится к сущ-
ности, или к веществу (essentia sen materies) Млечного Пу-
ти, и обнаружили с помощью перспективы возможность
сделать ее столь доступной нашему зрению, что все споры,
которые в течение веков мучили философов, умолкли сами
собой при наличии наглядной очевидности, да и мы сами
освобождаемся от многословного диспута. Действительно,
Галактика не представляет собой ничего иного, как скоп-
ление бессчетного множества звезд, как бы расположенных
в кучках; в какую бы область ее ни направить перспективу,
сейчас же становится видимым огромное число звезд, из
которых весьма многие достаточно ярки и вполне ясно
62
различимы; количество же звезд более слабых не допуска-
ет вообще никакого подсчета» 48.
Наконец, от звездного мира Вестник переходит к новым
планетам, обращающимся вокруг Юпитера (термином «спут-
ник» Галилей здесь еще не пользуется). То, что здесь ска-
зано об их открытии, превосходно дополняется дошедшим
до нас подлинным дневником наблюдений Галилея. И то
и другое раскрывает перед нами как бы все его пережи-
вания в эти волнующие ночи: уже в первый вечер наблю-
дений, 7 января 1610 г., Галилей естественно принимает
замеченных им спутников за три неподвижные звездочки,
расположенные, как сказано в «Sidereus nuncius», по пря-
мой, параллельно эклиптике; они «были более ярки, чем
звезды такой же величины». На следующую ночь он об-
наруживает, что - звездочки сместились по отношению к
Юпитеру на запад; и он не может истолковать это иначе,
как допустив, что Юпитер сместился к востоку, т. е. дви-
гался прямым движением, что, однако, было невозможно,
так как в действительности Юпитер смещался в то время
на запад. Еще на третью ночь Галилей принимает исчез-
новение одной из звездочек за эффект такого же «покрытия»
ее Юпитером, какие постоянно наблюдаются при прохож-
дении Луны между глазом наблюдателя и звездами; од-
нако он уже явно предчувствует здесь нечто необычайное;
так, в записи дневника рядом со словом «покрытие» осто-
рожно добавлено: «насколько можно думать». Но на чет-
вертую ночь, 11 января, Галилею уже становится ясно,
что видимые изменения положений принадлежат не Юпи-
теру, а звездочкам, и тогда, «переходя уже от загадки к
чувству восхищения» (iam ambiguitaten in admirationem
permutans, как сказано в «Sidereus nuncius») он оконча-
тельно убеждается в том, какое именно удивительное от-
крытие им сделано.
Наконец, 13 января Галилей впервые замечает все
четыре спутника и начинает вести ряд регулярных
наблюдений (описанных в «Sidereus nuncius») до 2 марта
1610 г. И тут-то, наряду с изложением самих наблюдений,
Вестник впервые упоминает об учении Коперника. Дей-
ствительно, в этой системе многие усматривали ту труд-
ность, что Луна, обращаясь в течение месяца вокруг Земли,
вместе с Землей в течение года делает оборот вокруг Солн-
ца (так что ее орбита, пользуясь терминологией древних,
есть эпицикл). Но теперь в системе Юпитера, говорит Га-
63
лилей, «мы имеем уже не одну, а целых четыре планеты,
движущиеся вокруг Юпитера, подобно тому как Луна
движется вокруг Земли, и в то же время описывающие
вместе с Юпитером в течение двенадцати летнего периода
его большую орбиту вокруг Солнца». Галилей, очевидно,
хочет здесь просто сказать, что система Коперника не ис-
ключает существования планет со спутниками и что в этом
отношении Земля является такой же планетой, как и Юпи-
тер 49.
На этих замечаниях о спутниках Юпитера «Sidereus
nuncius» как бы обрывается; Галилей заявляет, что и о
них речь будет идти в его книге «О Системе мира».
Таково основное содержание «Звездного вестника»; он
произвел подлинный переворот в астрономии: перед ней
начинают «отступать стены мира». И естественно, что с
1610 г. автор этой небольшой книги уже не только про-
фессор Падуанского университета, знаменитый доктор по
математике и астрономии; это, как тогда говорили, «Ко-
лумб неба», человек, подобно которому на земле еще не
бывало. И несмотря на злобный шепот завистников и си-
кофантов, из которых одни не умели пользоваться галилее-
вым инструментом, другие считали, что все видимое в него
есть только оптический обман и иллюзия, третьи боя-
лись приложить глаз к окуляру, четвертые просто от-
казывались смотреть в телескоп 50,— слава Галилея растет,
переливаясь далеко за пределы Италии. В сентябре 1610 г.,
бросив свою профессуру на службе у Serenissima, Галилей
возвращается как триумфатор, несмотря на глухие пред-
чувствия друзей 51, в родную Тоскану, ко двору герцогов-
миллионеров и получает должность первого математика
и философа у Cosimo II Medici; ему-то и был посвящен
«Sidereus nuncius», и в честь него Галилей, послушавшись
совета государственного секретаря флорентийского двора
Belisario Vinta, уже назвал спутников Юпитера «планета-
ми Медичи» (sidera Medicaca).
Какая-то особенная нервозность сразу же создается
вокруг его открытий 52. Венецианские сенаторы, римские
кардиналы, германские прелаты, эрудиты всех стран Евро-
пы стремятся получить телескоп и посмотреть в него на
земные и небесные дали.
Галилей же в это время идет все дальше и дальше: он
открывает последовательно необычайный вид Сатурна, за-
тем фазы Венеры и солнечные пятна.
64
Сатурн Галилей воспринимает как тройничную звезду 58
(«Altissimam planetam tergeminam observavi»— гласит его
запись, посланная в виде анаграммы Кеплеру, которую
тот не смог разгадать); кольцо Сатурна ему представлялось
в виде двух звездочек, по одной с каждой стороны у плане-
ты, и он шутливо писал к Giuliano Medici, тосканскому
послу при императоре в Праге: «Я нашел целый двор у
Юпитера и двух прислужников у старика [Сатурна]; они
его поддерживают в шествии и никогда не отскакивают от
его боков»64. Однако через два года Галилей к величайшему
изумлению увидел Сатурн одиноким и был совершенно не
в состоянии объяснить это явление 66.
Открытие фаз Венеры имело в тот момент, пожалуй,
наибольшее значение; Галилей писал о нем тому же Giuli-
ano Medici:
«... Я посылаю Вам в зашифрованном виде известие о
некотором новом моем наблюдении, из которого вытекает
разрешение весьма существенных контроверз в астрономии
и которое, в частности, заключает в себе решительный ар-
гумент (gagliardo argomento) в пользу пифагорейской ко-
перниканской системы»5®.
Через три года Галилей выступает с еще более значи-
тельным и ответственным заявлением в книге о солнечных
пятнах (1613):
«Эти явления — фазы Венеры — не оставляют никакого
сомнения в том, как происходит движение Венеры; мы с
абсолютной необходимостью приходим к выводу, соот-
ветствующему положениям пифагорейцев и Коперника, что
она обращается вокруг Солнца подобно тому, как вокруг
него же как центра обращаются и прочие планеты»57.
Трудно, пожалуй, было бы Галилею найти более реши-
тельные и четкие слова для заявления своих коперникан-
ских убеждений; к тому же в данном случае речь шла вовсе
не о неожиданном наблюдении. Фазы Венеры были един-
ственным из всех его открытий, которое он как коперни-
канец мог предсказать наперед, прежде чем увидел тонкий
серебристый серп планеты в свой телескоп 68. «Действи-
тельно, при наличии этих явлений,— говорит Галилей в
другом месте,— нет иного выхода, как признать, что Ве-
нера обращается по окружности вокруг Солнца. В самом
деле, эта окружность не может охватывать и заключать
внутри себя Землю или же лежать ниже Солнца, т. е. про-
ходить целиком между Солнцем и Землей, или лежать за
3 Н. И. Идельсон
65
Солнцем: она не может охватывать Землю, потому что в
этом случае Венера могла бы появляться в противостоя-
нии с Солнцем; она не может лежать ниже Солнца, потому
что в этом случае Венера в обоих соединениях представля-
лась бы нам в виде серпа; наконец, эта окружность не мо-
жет лежать и за Солнцем, так как в этом случае Венера
имела бы всегда вид круглого диска и никогда не пред-
ставлялась бы серпом» 59.
Если открытие фаз Венеры шло, таким образом, на-
встречу теоретическим ожиданиям коперниканцев, то от-
крытие солнечных пятен снова явилось таким же неожи-
данным и чудесным, как и открытия в ночь на 7 января
1610 г.; однако здесь возникала задача совершенно иного
рода, чем прежде; здесь предстояло еще определить, что
представляют собой эти темные пятна, видимые на ярком
солнечном диске, появляющиеся, меняющие форму и затем
исчезающие, но при этом всегда постепенно смещающиеся
по диску Солнца в направлении с востока на запад. Были
ли то посторонние небесные тела, заслоняющие собой при
прохождении перед диском Солнца его свет? Так полагал,
например, уверенный в школьной доктрине об извечной
неизменяемости Солнца астроном патер Шейнер из ордена
иезуитов, наблюдавший в 1611 г. солнечные пятна в Инголь-
штадте. Или, напротив, как заключал Галилей, не являют-
ся ли солнечные пятна какими-то образованиями, возника-
ющими или уничтожающимися или на самом Солнце, или в
непосредственной близости к нему, вроде облаков в его
атмосфере? Затем, как объяснить тот факт, что видимые
траектории пятен по диску Солнца только дважды в году,
именно около 10 июня и около 10 декабря, представляются
для земного наблюдателя прямыми линиями, в прочее же
время года они проектируются на диск Солнца в виде кри-
вых, непрерывно меняющих свою кривизну и достигающих
наибольшего искривления как раз посредине между ука-
занными датами, т. е. около 10 марта и 10 сентября?
При жизни Галилея шел ожесточенный спор даже
относительно самого приоритета открытия солнечных пя-
тен. Для нас этот спор имеет теперь интерес лишь постоль-
ку, поскольку от него падает тяжелая тень, омрачающая
последние годы жизни Галилея. Несомненно одно: первен-
ство правильного объяснения явления пятен принадлежит
только Галилею; он первый раскрыл их основную природу,
их принадлежность самому Солнцу. Длительным рядом 66
66
наблюдений он установил, что пятна возникают и исче-
зают только в ограниченной экваториальной зоне солнечной
поверхности; анализируя их движения, Галилей вывел,
что само Солнце вращается вокруг оси с периодом прибли-
зительно в 28 дней (по современным определениям в 27,28
дня). Наконец, он дал правильное объяснение указан-
ному своеобразному и изменчивому для земного наблю-
дателя виду траекторий пятен по диску Солнца, выяснив,
что это есть следствие наклона плоскости солнечного эк-
ватора к плоскости эклиптики под небольшим углом (по
современным данным 71 /4°). Вообще, вся дискуссия о явле-
ниях пятен при ясно выраженном убеждении, что говорить
об их существе, т. е. об их физической природе, было бы
преждевременно,— все это вместе взятое относится к самым
мастерским и блестящим моментам творчества Галилея.
Однако значительно позже, в эпоху создания «Диалога»
(1630), Галилей считал возможным извлечь из своего откры-
тия еще нечто большее; он находил, что своеобразный ха-
рактер пятен по диску Солнца служит доказательством —
правда, косвенным — того, что Земля обращается вокруг
Солнца, а не Солнце вокруг Земли, т. е. он мыслил найти
здесь совершенно новое и неожиданное утверждение сис-
темы Коперника. Его рассуждение — на этот раз ошибоч-
ное — сводилось к тому, что для сохранения наблюдаемого,
изменчивого в течение года вида траекторий пятен приш-
лось бы дать Солнцу «третье» движение, при котором его
ось вращения должна была в течение года совершать об-
ращение по конусу с половиной раствора, равной углу
наклона экватора Солнца к эклиптике. Иначе, думал он,
траектории пятен носили бы в течение года одинаковый
характер, т. е. были бы либо прямыми, либо кривыми с
неизменяющейся кривизной; но так как между периодом
вращения Солнца вокруг его оси (27,28 дня) и периодом
его предполагаемого годичного движения по эклиптике
вокруг Земли (365,24 дня) никакой необходимой связи и
зависимости не имеется, то удержать птолемееву систему
можно было бы только ценой ничем не оправдываемого
осложнения обстоятельств движения Солнца. Между тем
в системе Коперника достаточно дать Солнцу только одно
вращение вокруг неподвижной оси, чтобы «легко спасти
все странности видимого движения пятен, так что найти
иной выход, по-видимому, не удастся» 60. Таким образом,
по мысли Галилея, и фазы Венеры, и движения солнечных
з*
67
пятен являлись равноценными доказательствами копер-
никанской системы.
После ряда бессмертных открытий 1610 г. Галилей
сделал в дальнейшем, уже значительно позже, всего лишь
одно, но, пожалуй, самое трудное из всех с точки зрения
наблюдательного искусства: то была либрация Луны. О ней
сообщается, и то как бы вскользь, в «Диалоге», где гово-
рится «об одном особенном явлении, наблюденном недавно
нашим академиком [т. е. Галилеем], из которого происхо-
дит два следствия: первое, что мы наблюдаем несколько
больше (qualche cosa di piu) половины Луны, и второе, что
движение Луны в точности относится к центру Земли» 61.
Последними словами Галилей имеет в виду подчеркнуть
тот факт, что период обращения Луны вокруг Земли (так
называемый звездный месяц) в точности равен периоду
вращения Луны вокруг ее оси; иначе в течение больших
интервалов времени к Земле обращалась бы последователь-
но вся поверхность Луны; на самом же деле точка, нахо-
дящаяся в центре видимого нам лунного диска, совершает
только колебания вокруг ее среднего положения, открывая
земному наблюдателю не половину, а приблизительно 6/10
лунной поверхности. Это явление либрации было откры-
то им из наблюдений двух деталей лунной поверхности:
Это в современных названиях, море Crisium, близкое к за-
падному краю диска, и кратер Grimaldi у восточного края.
Либрация, приближая одну из этих деталей к видимому
краю диска, отодвигала другую, открывая тем самым еще
некоторую часть лунной поверхности, В позднейшем под-
робном письме об этих наблюдениях Галилей ищет и самую
причину явления; однако объяснение, которое он дает,
недостаточно; оно вскрывает только незначительную часть
полного эффекта либрации 62.
Все перечисленные нами открытия Галилея и составляют
его основной вклад в астрономию, вклад непреходящего
значения. Он дал ими первый толчок тому грандиозному
развитию этой науки, которое было достигнуто в течение
следующих трех веков. Каждый астроном, работающий
теперь на мощных рефракторах и рефлекторах обсерва-
торий, является только продолжателем того дела, которое
было начато Галилеем с его скромной трубой в ночь на
7 января 1610 г. Однако роль Галилея в истории астроно-
мии этим не исчерпывается: то объединяющее изложение,
которое он обещал в книге «О Системе мира», он даст через
68
22 года после появления «Звездного вестника» в своем зна-
менитом «Диалоге о двух системах»; но он сделает это,
только пройдя через ряд существенных тревог и испытаний,
которым мы должны уделить здесь хотя бы немного строк.
5
Галилей демонстрирует свой телескоп, показывает и
разъясняет свои открытия в 1610—1612 гг. в Падуе, Ве-
неции, Флоренции и в Риме; он показывает их ученым и
людям, которым «неясно, что Марс и Юпитер — планеты» 63;
он дает свои разъяснения с тем лекторским талантом, о
котором мы уже знаем. Восхищение его учеников и его
слушателей, в том числе и римских кардиналов, все уси-
ливается; число адептов новой астрономии растет. Сам
Галилей пишет в одном месте: «Весьма многих мог бы я
назвать последователей этой доктрины, хотя и не высту-
павших по ее поводу публично; они имеются в Риме, во
Флоренции, Венеции, Падуе, Неаполе, Пизе, Парме и в
других местах» в4. Но одновременно с этим сгущается ат-
мосфера в противоположном лагере, в лагере твердолобых
схоластов (vulgus philosophorum), в стане догматиков,
вообще всех, кому было интересно и выгодно держать за-
крытой от человека великую книгу природы — ту самую,
которую, как мы знаем, Галилей считал всегда открытой
перед ним,— и подменять ее книгами Писания и древних
авторитетов, в которых католическая церковь видела тог-
да свою научную базу и основу.
В самом деле, им было от чего всполошиться: одно дело,
когда фолиант Коперника, написанный на «boas», пылил-
ся на полках у эрудитов, и совсем другое — когда, напри-
мер, толпы людей осаждают Sertini, думая, что он получил
телескоп, или когда каждый может прочесть на родном
языке «Письма о солнечных пятнах», насыщенные копер-
никанской доктриной. Или Галилей выбьет у них почву
из-под ног, или же они расправятся с новым учением и
прежде всего с ним самим. И вот до Галилея с разных сто-
рон доходят сведения, что его положение осложняется 65;
следовательно, он сам как человек действия должен искать
какой-либо выход. Таких выходов могло быть только
два: первый — это встать на точку зрения, высказанную
еще Коперником в посвящении «De Revolutionibus» папе
Павлу III, а именно — что его система и Священное пи-
69
сание, если только правильно и непредубежденно толко-
вать последнее, ни в каком противоречии не находятся;
второй — пойти вслед за теми, кто продолжал считать,
что задача астронома состоит в «спасении явлений» ценой
каких угодно гипотез, но при условии не вдаваться в их
сущность, т. е. не высказываться о действительных дви-
жениях Земли и светил. На такой позиции стоял, например,
кардинал Беллармино (Bellarmino), игравший видную роль
в коллегии иезуитов, в конгрегации инквизиции, в римской
курии вообще. В одном весьма примечательном письме на имя
патера Р. Foscarini66 от 12/VI 1615 г. этот кардинал гово-
рил, между прочим, следующее: «Мне кажется, что Вы
и синьор Галилео поступили бы осторожно, если бы удо-
влетворились высказываниями предположительными (ex sup-
positione), но не абсолютными; так говорил, как я всегда
думал, и Коперник. Действительно, когда утверждают, что
в предположении, будто Земля движется и Солнце стоит
неподвижно, все наблюдаемые явления спасаются лучше,
чем при задании эпициклов и эксцентров, то это прекрасно
сказано и не заключает в себе никакой опасности; а этого
достаточно для математики; но когда начинают говорить,
что Солнце в действительности (realmente) стоит в центре
мира и что оно только вращается вокруг самого себя *7,
но не движется с востока на запад и что Земля находится
на третьем небе [третья по порядку планета от Солнца]
и с большой скоростью вращается вокруг Солнца, то это
вещь очень опасная и не только потому, что она раздража-
ет всех философов и ученых богословов (teologi ecclastici),
но и потому, что она вредит святой вере, поскольку из нее
вытекает ложность Священного писания» 68.
Едва ли возможно было в более яркой и отчетливой
форме переложить слова Платона и Симплиция на язык
кардинала из ордена иезуитов на рубеже XVII в. Однако
эта точка зрения, бывшая необходимой и даже неизбежной
в мышлении астрономов и философов Греции, в эпоху
Галилея могла быть уже только лицемерием в стиле Осиан-
дера. Галилей ощущал это чрезвычайно остро; в специаль-
ной записке «Considerazioni circa I’opinione copernicana» 69
он доказывал, что задачей Коперника отнюдь не являлось
формальное и гипотетическое «salvare apparentias», а ут- -
верждение действительной, реальной системы мира; в за-
ключение статьи он говорит:
«Во всем, что касается остальных вопросов этой заслу-
70
живающей восхищения системы, всякий, кто пожелает
ознакомиться с мнением самого Коперника, должен про-
честь не пустые писания того, кто отдал книгу в печать
(una vana scrittura del stampatore), но все произведение
самого автора; тогда, без сомнения, он как бы рукой на-
щупает, что для Коперника неподвижность Солнца и дви-
жение Земли были положениями истиннейшими (veris-
sima)».
Даже значительно позднее в «Диалоге», когда Галилею
приходилось отчасти пользоваться «эзоповым языком»,
он устами Сальвиати издевается над астрономами, главная
задача которых состоит в представлении наблюдаемых
движений с помощью сочетания движений круговых, «ма-
ло заботясь о том, что при этом приходится допускать
некоторые чудовищные положения, которые в других
отношениях заключают в себе действительные трудности» 70.
Таким образом, пойти за Беллармино Галилей в 1615 г.
решительно не мог; поэтому он действенно стал на точку
зрения Коперника и в ряде писем-посланий стремился
разъяснить и этим убедить хотя бы культурнейших людей
его эпохи в отсутствии неустранимых противоречий между
коперниканской доктриной и Священным писанием. Так
возникли его письма к Castelli (21/XII 1613г.), к кардиналу
Pietro Dini (16/11 1615 г. и 23/Ш 1615 г.) и знаменитое
письмо к герцогине-матери Христине Лотарингской. Все
эти послания в то время напечатаны не были, они ходили
по рукам в многочисленных списках. Написанные блес-
тящим стилем Галилея, они удивляют нас теперь и той зна-
чительной богословской эрудицией, которую в них обна-
руживает Галилей. Заметим кстати, что в письме к гер-
цогине Христине,— по-видимому, одним из первых,— он
высказывает ту мысль, что у науки есть область, где она
независима и суверенна, где вмешательство богословия
недопустимо:
«Предписывать,— говорит Галилей — самим профессо-
рам астрономии, чтобы они своими силами искали защиты
против их же собственных наблюдений и выводов, как
если бы все это были один обман и софистика, означало
бы предъявлять к ним требования более чем невыполнимые;
это было бы все равно, что приказывать им не видеть того,
что они видят, не понимать того, что им понятно, и из их
исследований выводить как раз обратное тому, что для
них очевидно» 71.
71
Так или иначе, каков бы ни был успех и значение писем
Галилея, написанных им с этой новой позиции, его усилия
напрасны. Уже с февраля 1615 г. в Риме тлеет тот процесс,
который, как мы увидим, промчится ураганом над коперни-
канской доктриной в феврале—марте 1616 г. Этот про-
цесс начинается с подготовки и проверки в инквизиции
материалов, направленных лично против Галилея: тут
были доносы двух доминиканцев (патеров Caccini и Lo-
rini); допросы свидетелей во Флоренции; изучение бого-
словом-экспертом письма Галилея к Castelli и т. д. На
всех этих моментах мы останавливаться не будем, тем бо-
лее что эта стадия процесса для самого Галилея последст-
вий не имела. Течение процесса принимает более быстрый
характер, когда сам Галилей в декабре 1615 г. появляется
в Риме. Была ли его поездка в «вечный город» на этот раз
добровольной или вынужденной, судить трудно72. Во
всяком случае, для Галилея несомненно, что замышляется
нечто серьезное; и кто может сказать — только ли против
доктрины Коперника или вместе с ней и против него само-
го? И правда, разве у него нет оснований, чтобы тревожить-
ся? Разве дым от костра, на котором сгорел в Риме шест-
надцать лет тому назад Джордано Бруно, мог уже разве-
яться в сознании передовых людей Италии?
И все же среди этих тревог и волнений Галилей находит
возможность и время направить послание к кардиналу
Орсини «О приливах и отливах моря»; в этом письме (по-
меченном: «Рим, 6/1 1616») раскрывается заветная и со-
кровенная мысль Галилея — дать механическое доказа-
тельство движения Земли; через 15 лет это письмо составит
самый нерв его «Диалога».
Однако же довольно скоро, в начале февраля, Гали-
лей, пользуясь мощными связями, узнает, что может не
волноваться лично за себя 73.
О том, что происходит дальше в инквизиции, мы сами
можем судить теперь по документам (актам) так называе-
мого «процесса 1616 года» 74.
Мы находим в них прежде всего экспертизу одинна-
дцати богословов (в большинстве своем — доминиканцев)
по двум основным положениям коперниканского учения;
в ней доктора богословия, консультанты инквизиции, с
молниеносной быстротой, со злобностью и легкостью мыс-
лей необычайной, творя волю пославшего их, единогласно
нашли, что учение Коперника «глупо, бессмысленно, фор-
72
мально еретично и по меньшей мере ошибочно в отношении
веры» 75. Мы узнаем далее — и это центральный момент
процесса 1616 г.,— что уже через два дня после получения
от экспертов заключения Галилей по приказанию папы
Павла V был вызван во дворец кардинала Беллармино,
и здесь 26 февраля 1616 г. этот кардинал «увещевал Гали-
лея об ошибочности упомянутого учения и о том, чтобы он,
Галилей, от этого учения отошел (ut illam opinionem di-
serat)», после чего патер-комиссар инквизиции «предписал
и приказал ему от имени папы и всей конгрегации инкви-
зиции, чтобы он упомянутое учение, а именно, что Солн-
це — центр мира и неподвижно, а Земля движется, совер-
шенно оставил и его каким бы то ни было образом не при-
держивался, не преподавал и не защищал, словесно или
письменно; иначе против него будет начато дело в инкви-
зиции (procederetur in Santo Officio). С этим предписанием
Галилей согласился и обещал повиноваться» 78.
Далее, в тех же актах 1616 г. имеется протокол пле-
нарного заседания конгрегации инквизиции в Ватикане
в присутствии папы Павла V 77; здесь кардинал Белларми-
но сообщил, что «математик Галилей, будучи предупрежден
о приказании конгрегации инквизиции (monitus di ordine)
отойти от учения, которого он до сих пор придерживался,
именно, что Солнце есть центр сфер и неподвижно, а Земля
движется, с этим согласился». На том же заседании папой
был утвержден к опубликованию текст того декрета конгре-
гации индекса, который был издан ею 5/Ш 1616 г. Силой
же этого декрета, являющегося заключительным моментом
процесса 1616 г., бессмертная книга Коперника была,
как мы помним, «задержана впредь до исправления» на-
ряду с произведением мало кому тогда известного Дидака
Астуника78, в то время как написанное в «примиренче-
ском» духе письмо Фоскарини было совершенно «запрещено
и осуждено».
Таким образом, сведения, которыми располагал Га-
лилей в начале февраля 1616 г., оказались правильными
и достоверными; его личность, действительно, оказалась
незатронутой; и что бы ни произошло во дворце Белларми-
но 26 февраля,— все равно это останется тайной между
ним и инквизицией. Но в единственном опубликованном
документе—в декрете конгрегации индекса от 5/Ш
1616 г.— не только не упомянуто имя Галилея, но в переч-
не задержанных и осужденных книг ни его «Звездный
73
вестник», ни его «Письма о солнечных пятнах» не значат-
ся 79.
И тем не менее исход процесса 1616 г. есть жестокий
удар — удар по самому Галилею прежде всего. Еще так
недавно он писал герцогине Христине:
«Запретить Коперника теперь, после того, как в много-
численных наблюдениях и в исследованиях его труда
учеными со дня на день все больше раскрывается истин-
ность его утверждений и все более укрепляется его докт-
рина; запретить его после того, как его допускали в тече-
ние стольких лет, когда ему уделялось и меньше внимания,
и меньше находили подтверждений,— это было бы, по
моему мнению, преступлением против истины; это доказы-
вало бы стремление прятать и уничтожать ее с тем большей
силой, чем более она становится очевидной и ясной»80.
Но вот теперь именно это и произошло: из-за его соб-
ственных открытий, из-за того напряженного внимания,
которое они вызывают, из-за той наглядной ясности, ко-
торую он внес в великую проблему мироздания, сделав
ее заманчивой и доступной для значительно более широких
общественных слоев, чем раньше, вся коперниканская
доктрина объявлена под запретом; ему не дано больше
права приводить доказательства в ее утверждение, напри-
мер, развивать свои мысли о приливах. Для Галилея,
как ученого, декрет от 5/Ш 1616 г. есть катастрофа, что
бы ни говорил он сам и что бы ни говорили вокруг
него.
Но более того, декрет от 5/Ш 1616 г. есть удар отнюдь
не по одному Галилею; это суровое испытание для науки
и культуры в странах католицизма, где развитие новой
астрономии приостанавливается приблизительно на 200 лет;
где оно искусственно и умышленно задерживается для
того, чтобы дать еще некоторое время безраздельно гос-
подствовать над умами представителям отживающих ми-
ровоззрений 81.
6
После зловещего 1616 года напряженность и самый
характер творчества Галилея существенно меняются; на
шесть-семь лет он умолкает совершенно, чего еще в жизни
с ним не бывало; позднейшие же его выступления по ас-
трономии носят в основном литературный характер; об
74
его единственном открытии, сделанном после 1616 г.,
именно о либрации Луны, Галилей, как мы видели, ничего
не сообщает вплоть до появления «Диалога» в 1632 г.
Из литературно-полемических трудов Галилея в эту
эпоху на первом месте стоит его знаменитый памфлет под
названием «Пробирщик золота» («II Saggiatore», 1623);
основное его содержание — это едкая и местами исклю-
чительно остроумная полемика Галилея с его давнишними
оппонентами — иезуитами, вызванная выступлением рим-
ского патера иезуита Grassi по вопросу о природе комет.
В 1618 г., к изумлению всей Италии, к ужасу всех суе-
верных, их появилось целых три! Галилей в это время
был серьезно болен и сам комет не наблюдал, но, очевид-
но, решил не оставлять без возражений выпадов Grassi,
направленных лично против него. Точка зрения Галилея
была высказана его учеником Марио Джудуччи в речи,
произнесенной в 1619 г. во Флорентийской академии.
Здесь мы можем отметить только то, что взгляды Галилея
по кометной проблеме не поднимались над общим уровнем
эпохи и сейчас большого интереса не представляют. Если
еще Пушкин мог говорить: «Как беззаконная комета в
кругу расчисленном светил»82, то тогда, в начале XVII в.
кометная проблема представляла собой просто клубок
загадок, вокруг которых довольно беспомощно блуждали
мысли астрономов.
Что такое кометы? Существуют ли они только пока
видимы, или же как небесные тела они существуют от
века до века? Где они появляются — в подлунном или
надлунном мире? Как и куда направлены их движения?
За соображениями Галилея по этим вопросам следить
особенно трудно, потому что он, не высказывая их с пол-
ной определенностью, полемизирует со всеми авторите-
тами: с Аристотелем, с Тихо Браге (за которого держались
иезуиты), с Кеплером. Особенно неприятно действует то,
что Галилей не придает значения крупнейшим результа-
там, полученным в этом вопросе Тихо Браге, именно, что
параллакс кометы 1577 г. оказался порядка —2', в то
время как параллакс Луны 57', так что комету надлежало
помещать в пространстве далеко в надлунную сферу.
Но Галилей не считает доказанным, что кометы суть ма-
териальные тела, и потому отрицает значение этого резуль-
тата; он говорит (устами Джудуччи): «Малость параллак-
са не может быть действительным аргументом в этом воп-
75
росе, пока не доказано, что кометы представляют собой не
явления, вызванные отражением света, но суть объекты
цельные, определенные, действительные, неизменные»83.
Для Галилея кометы — оптические явления, вызван-
ные отражением солнечных лучей в испарениях, отделяю-
щихся от Земли, и в поисках аналогий он художественно
описывает картину тех длинных солнечных лучей, кото-
рые прорываются из-под кромки облаков, освещенных
заходящим солнцем.
Таким образом, точка зрения Галилея есть один из
вариантов так называемой оптической теории комет, весь-
ма распространенной в XVII веке84. Однако подчеркнем,
что Галилей не выдает свои взгляды за окончательные:
«Я никогда не утверждал,— говорит он,— что я определю
условия происхождения комет, зная, что они могут воз-
никать и такими способами, которые весьма далеки от
всего, что мы можем вообразить»85.
Помимо кометных вопросов «II Saggiatore» затрагивает
массу других материй: здесь и спор Галилея с бессовест-
ным плагиатором Simon’oM Mario, пытавшимся присвоить
себе приоритет открытия спутников Юпитера; вопросы
о действиях телескопа, о самом понятии «увеличения»;
о природе тепла и многое другое, что мы должны оставить
вне поля нашего зрения; скажем только, что «II Saggia-
tore» написан «по пунктам» (всего их 53) и что эта растя-
нутая, почти непрерывная полемика действует на сов-
ременного читателя, на наш взгляд, несколько утомитель-
но, несмотря на блестящий стиль и силу аргументации.
«Проклятые» вопросы, подпадающие под действие декрета
от 5/Ш 1616 г., в нем старательно обходятся88.
Напротив, эти вопросы снова встают во весь свой рост
в послании Галилея к Франческо Инголи (Francesco In-
goli), написанном в сентябре 1624 г. Адресат послания,
Инголи, был ученый богослов, полиглот и юрист из Ра-
венны; во время пребывания Галилея в Риме в 1616 г.
он направил Галилею послание под названием «Di situ
et quietae Terrae contra Copernici Systema Disputatio» («Рас-
суждение о месте Земли и об ее неподвижности против
системы Коперника»).
В ту пору Галилей оставил «Рассуждение» Инголи
без ответа; но теперь, все еще продолжая верить в новые
веяния в Риме, он вернулся к этой теме и написал свое
возражение87.
76
Значение этого послания к Инголи в развитии твор-
чества Галилея огромно; оно содержит как бы краткий
эскиз «Диалога», появившегося через восемь лет; в нем
проходит вся основная аргументация «Диалога» и, между
прочим, вся галилеева теория относительности. Послание
начинается с вещей простых и элементарных: с объяснения
понятий параллакса и его действия на наблюдаемые по-
ложения светил и т. п. Затем мало-помалу тематика по-
слания явно перерастает уровень астрономического разви-
тия адресата: Галилей впервые оставляет здесь пределы
Солнечной системы и начинает говорить — и притом зна-
чительно более определенно, чем в «Диалоге»,— о звездах,
о проблеме строения и размере Вселенной. Он пишет:
«Неподвижные звезды светятся их собственным светом,
так что ничто не мешает нам называть и считать их солн-
цами; они должны быть ярки, как Солнце; если же, однако,
свет, исходящий от всех звезд в совокупности, и их види-
мая величина не достигают десятой части видимой величи-
ны Солнца и света, доходящего к нам от него, то единствен-
ной причиной этого являются их расстояния от нас» 88.
Высказывать такие мысли означало приближаться су-
щественно к мировоззрению Джордано Бруно, хотя —
заметим это — имени его Галилей ни разу не упоминает
ни в своей переписке, ни в трудах! Но где же тогда нахо-
дятся во Вселенной эти бессчетные, столь удаленные от
нас солнца? Аристотель и Птолемей помещали их все в
единую сферу, на так называемое «восьмое небо». Галилей
согласиться с этим не может. «Но это столь сомнительное
утверждение,— говорит он, обращаясь к Инголи,— что
ни Вы и никто другой не сможете доказать этого вовеки...
оставаясь же в области допустимого и вероятного, я ска-
жу,— продолжает он,— что среди любых четырех звезд,
не говоря уже обо всех, не найдется и двух, одинаково
удаленных от любой точки, которую вы пожелаете из-
брать во Вселенной»89.
Отсюда уже только один шаг к постановке вопроса
о конечности или бесконечности мира; Галилей в послании
к Инголи подходит к нему следующим образом:
«Разве вы не знаете, что до сих пор еще не решено (и
я думаю, что человеческая наука никогда не решит), ко-
нечна ли Вселенная или бесконечна? Но если допустить,
что она действительно бесконечна, как можете Вы ут-
верждать, что размеры звездной сферы непропорциональны
77
по сравнению с орбитой Земли, если сама эта сфера непо-
движных звезд по отношению к Вселенной оказалась бы
гораздо меньшей, чем пшеничное зерно по сравнению с
ней... Что касается меня, то когда я рассматриваю мир,
границы которому положены нашими внешними чувства-
ми, я совершенно не могу сказать, велик он или мал; ра-
зумеется, я скажу, что он чрезвычайно велик по сравнению
с миром дождевых и иных червей, которые, не имея других
средств к его измерению, кроме чувства осязания, не мо-
гут считать его большим того пространства, которое они
сами занимают; и мне вовсе не претит мысль о том, что
мир, границы которому положены нашими внешними чув-
ствами, может оказаться столь же малым по отношению
к Вселенной, как мир червей по отношению к нашему миру»90.
Самое представление о том, что Вселенная — в прямом
противоречии с тем, чему учил Аристотель91,—может
оказаться актуально бесконечной, отнюдь не страшит
Галилея.
В «Диалоге» он устами Сальвиати бросает замечание:
«Можно еще спорить о том, существует ли вообще в при-
роде центр мира, так как ни Вами [Симпличио] и никем
другим никогда не было доказано, что мир конечен и имеет
определенную форму, или же, напротив, что он бесконе-
чен и безграничен» 92.
Затем, через пятнадцать лет после послания к Инголи,
Галилей снова возвращается к той же проблеме; в одном
из писем он говорит:
«Весьма тонкие доводы представляются нам в пользу
того и другого мнения [конечен ли мир или нет]; но в моем
сознании ни те, ни другие не ведут к обязательному за-
ключению, так что я остаюсь в нерешимости, какое из
этих двух положений правильно; во всяком случае одно
мое личное рассуждение заставляет меня склоняться боль-
ше к решению о бесконечности, чем к ограниченности
мира: действительно, я не знаю, каков он, и не могу во-
образить его ни ограниченным, ни безграничным, а так
как бесконечное по своему существу (ratione sui) не может
быть постигнуто нашим ограниченным интеллектом, что
не имеет места по отношению к конечному и ограниченному
пределами,— ту самую невозможность познания я должен
отнести к непознаваемой бесконечности мира, но не к его
ограниченности, так как для последней оснований к не-
познаваемости не требуется»93.
7$
Таковы более поздние попытки Галилея логически
обосновать решение фундаментальной космологической про-
блемы, им впервые поставленной в неопубликованном
послании к Инголи; он и в этом трудном вопросе не шел
по стопам того или иного авторитета, а искал самостоя-
тельные решения. Вот почему мы выделяем здесь этот
основной вопрос из всего содержания послания; разу-
меется, этим оно не исчерпывается; многое будет повто-
рено, многое дополнено в «Диалоге». Галилей, заканчи-
вая свое послание, говорит: «Вы увидите, что все эти воп-
росы будут рассмотрены значительно более подробно, если
только у меня останется достаточно времени и сил, чтобы
довести до конца мое рассуждение о приливах и отливах
моря, где, приняв за гипотезу те движения, которые при-
писываются Земле, я получаю широкую возможность ис-
следовать все, что было написано по этому вопросу» 94.
7
Так постепенно мы подошли к произведению Галилея,
венчающему все его творчество по астрономии: это и есть
«Диалог о двух системах», вышедший в 1632 г. с девяти-
летним перерывом после появления «II Saggiatore». Пол-
ное заглавие этой знаменитой книги длинно и сложно:
«Диалог Галилео Галилея [академика] Линчео, эк-
страординарного математика университета в Пизе, фило-
софа и старшего математика Его Светлости Великого Гер-
цога Тосканского, где в собраниях, четыре дня продол-
жающихся, ведутся рассуждения о двух наиболее выдаю-
щихся системах мира, Птолемеевой и Коперниканской,
причем неопределительно предлагаются доводы столько
же для одной из них, сколько и для другой».
В такую форму оказалось облеченным произведение,
над которым Галилей размышлял едва ли меньше три-
дцати лет. Несомненно, в него вошли и те доказательства ис-
тинности коперниканского учения, о которых Галилей
писал Кеплеру еще в 1597 г.; это во всяком случае есть
та книга «О Системе мира», которую он обещал читателю
в своем «Sidereus nuncius» в марте 1610 г. и о которой он
писал два месяца спустя во Флоренцию государственному
секретарю Belisario Vinta: «Труды, которые мне предстоит
довести до конца, суть прежде всего две книги «De Sys-
79
ternate seu constitutione Universi» («О системе или строе-
нии Вселенной»), огромный замысел, исполненный фило-
софии, астрономии, геометрии» 95; о нем же под названием
«Рассуждения о приливах и отливах» говорится, как мы
видели, в конце послания к Инголи (1624).
По письмам Галилея известно, что тогда же, в 1624 г.,
он решил придать своему сочинению форму диалога о
приливах и отливах9в; с этого момента за его работой
над книгой можно следить по переписке почти что из года
в год. В конце 1629 г. книга была закончена, за исклю-
чением «церемониального введения» и некоторых деталей 97;
затем начались перипетии, связанные с разрешением кни-
ги к печати, во время которых Галилею пришлось изме-
нить предполагаемое заглавие и предпослать тексту еще
«Предисловие к благосклонному читателю» («А1 discreto
Lettore»), едва ли им самим полностью составленное и
во всяком случае действующее весьма неприятно на сов-
ременного нам читателя. Однако все эти моменты тесней-
шим образом переплетаются с процессом Галилея 1632—
1633 гг. Изучение его стоит вне плана настоящей статьи,
в силу чего на всех этих моментах мы не останавливаемся 98.
Естественно, что после декрета 5/Ш 1616 г. Галилей
не мог уже выступать открытым защитником коперникан-
ской доктрины; но он, этот «упрямый Галилей», по меткому
слову Пушкина ", либо вообще не хотел считаться с про-
цессом 1616 г., либо принимал за чистую монету прием,
оказанный ему в Риме в 1624 г., либо слишком доверчиво
отнесся к сообщению его любимого ученика Castelli в
письме от 16/Ш 1630 г. о том, будто папа Урбан VIII ска-
зал: «Это [запрещение Коперника] никогда не было нашим
намерением, и если бы зависело от нас, тот декрет не был
бы издан» 100.
Так или иначе, решив еще раз выступить со своим
credo перед миром, Галилей мог сделать это теперь только
с некоторой новой позиции; та, которую он выбрал, не
есть целиком точка зрения Осиандера—Беллармино: «Спа-
сайте явления какой угодно ценой, но только не затраги-
вайте их сущность»; такая нота если и звучит в «Диалоге»,
то чрезвычайно слабо. Теперь, как в «Послании к Инголи»,
так и в предисловии к «Диалогу» Галилей становится на
национально-религиозную точку зрения. Да, учение
Коперника теперь под запретом в Италии и в странах
католицизма; но пусть не думают иные, и прежде всего
80
протестанты, что это произошло лишь потому, что в Риме
не в состоянии понять и изучить доктрину Коперника,
что там царит темнота и ослепление; нет, эрудиция и та-
ланты живы и в Италии. Итальянский ученый должен
прежде всего изучить и понять до конца это учение, он
не может оставлять без ответа невежественные утвержде-
ния, выдаваемые за научные опровержения Коперника 1М.
Вероятно по той же причине, чтобы облегчить себе
высказывания в пользу новой астрономии, наряду с неиз-
бежной уже теперь аргументацией против нее, Галилей
и придал своей книге форму диалога 102. Участники дис-
пута могли придерживаться любой точки зрения; затем,
эта форма открывала перед автором возможность проя-
вить во всем блеске свое искусство вести диспут, нарисо-
вать красочные образы участников спора и, наконец,
создать несколько характерных, близких к комическим
положений (известно, что и драматическое творчество было
не чуждо Галилею).
Место действия «Диалога»—«изумительный город Ве-
неция» (la meravigliosa citta di Venezia), эта жемчужина
Адриатики, где над паутиной каналов сохранились все
архитектурные стили начиная от XI—XII веков; где не
только развивается великая художественная школа — обо-
их Беллини, Джорджони, Тициана, но где с незапамятных
времен существует знаменитый арсенал, работой которого
коммерческий гений венецианцев утверждал свое морское
владычество103; куда столько раз из Падуи наезжал и
сам Галилей в счастливые и далекие уже годы его паду-
анской профессуры 104.
И вот теперь в Венеции, во дворце Сагредо, стены кото-
рого и до сегодняшнего дня отражаются в зеленоватых
волнах Canalia Grande, ежедневно собираются для беседы
трое людей. Один из них — личность, измышленная Га-
лилеем, возложившим на нее нелегкую задачу быть пред-
ставителем и защитником школы Аристотеля и Птолемея —
фактически быть их последним защитником; имя его Симп-
личио, оно созвучно с именем знаменитого комментатора
Аристотеля, но — увы!— оно же каждым итальянцем вос-
принимается прежде всего в его прямом смысле —«прос-
так». Двое других — это тени галилеева прошлого. Один
из них носит имя Сагредо; это умерший еще в 1620 г. друг
Галилея, венецианский консул в Леванте, тот самый,
который в 1611 г. предупреждал его относительно пре-
81
вратностей придворной службы и опасности жить там,
где еще в силе иезуиты. Другой — Сальвиати — был уче-
ником Галилея в Падуе и сохранил затем с ним искреннюю
дружбу; он умер в 1614 г. во время путешествия в Испа-
нию 105.
Галилей от своего имени, естественно, не выступает.
Его точку зрения в беседах и спорах — диалогах раз-
вивает Сальвиати. Сагредо очень быстро все усваивает,
иногда дополняет, Симпличио возражает. Когда же речь
заходит о самом Галилее, о его открытиях, то о нем упоми-
нают под именем «Academic Linceo» или просто «Acade-
mic», иногда «наш общий друг» и т. п.
Беседы их составляют толстую книгу, около пятисот
страниц in quarto. За эту книгу — этот злосчастный «Диа-
лог» 108— Галилей, в возрасте семидесяти лет, будет от-
вечать на инквизиционном следствии и притом один раз
под прямой угрозой пытки107 — угрозой, которая не может
и не должна устрашить его, если он добрый католик;
за нее же он будет приговорен к заключению в тюрьмах
инквизиции108. Он прочтет и подпишет перед глазами
жадной до зрелищ толпы унизительную формулу отрече-
ния (22 июня 1633 г.). Но именно с этого момента «Диалог»
трех собеседников войдет в историю культуры не только
как одно из замечательных произведений итальянской
литературы и мировой науки, но и как книга, отмеченная
печатью личных страданий автора, как символ борьбы
передовой науки с обветшалыми доктринами, не сдающими
без боя своих последних позиций...
Перелистывая теперь эту книгу, читатель сразу же
убедится в том, что в нее, как мощные пласты, вошли почти
все предыдущие произведения Галилея: прежде всего
«Sidereus nuncius», затем очень важный, написанный в
молодости, но не опубликованный «Трактат об ускоренном
движении» («De motu accelerate»)109, «Письма о солнечных
пятнах», «Послание к Инголи», «Послание к кардиналу
Орсини о приливах и отливах» — одним словом, все твор-
чество Галилея от 1590 до 1625 г. Оно развито здесь в очень
немногих направлениях, но объединено одной великой
целью: представить не только астрономические, но и ме-
ханические доводы в доказательство коперниканской сис-
темы, выслушать и разбить,— оставаясь в неизбежных
уже рамках формальной объективности110,— те возражения,
которые может выдвинуть старая школа устами Симпличио.
82
Беседы длятся четыре дня, и соответственно дискути-
руются четыре основные темы. Первая: между Землей
и небесными телами нет столь существенных и прямых
различий, чтобы предположение о возможных движениях
Земли было принципиально неприемлемым; вторая: одно
из этих движений, именно суточное вращение, не только
имеет астрономически значительную долю вероятности,
но оно оказывается совместимым с законами движения
тел у земной поверхности; третья: другое движение Зем-
ли — годичное обращение вокруг Солнца — неизбежно под-
сказывается всей совокупностью наблюдаемых астроно-
мических явлений; наконец, четвертая: оба эти движения,
взятые вместе, вызывают как следствие определенное ме-
ханическое явление, наблюдаемое на Земле,— это приливы
и отливы моря. Изучая его, мы и получим, как думает
Галилей, завершающее механическое доказательство всей
коперниканской системы.
Но эта архитектоника «Диалога», столь стройная и
целостная в ее общем плане, далеко не всегда выдерживает-
ся в беседах и спорах. Участники диалога случается ухо-
дят в сторону от той или другой темы, затем решают к ней
вернуться, нередко повторяются и об одних и тех же яв-
лениях без видимой необходимости рассуждают дважды.
Еще Декарт отметил, что все эти отступления довольно
тягостно действуют при чтении книги ш. Однако для со-
временного читателя, и в первую очередь для астронома,
главная особенность, пожалуй, даже странность, «Диалога»
заключается в ином.
Галилей представляет все положение вещей так, как
будто для перехода к системе Коперника достаточно при-
нять несколько круговых орбит с Солнцем в их общем
центре 112 и дать каждой из планет равномерное движение
по соответствующей окружности. Но при этом он остав-
ляет без внимания основную характеристику планетных
движений, именно их неравномерность. Она была рас-
крыта, как мы помним, еще греками. Кроме того, гречес-
ким астрономам удалось в сложном видимом движении
планет выделить два неравенства: первое — соответствую-
щие неравномерности движения планет в их орбитах и
второе — прямые и обратные движения планет, их стояния
и т. п. Именно в этом и состояло одно из крупнейших ма-
тематических достижений древней астрономии.
Чтобы учесть оба эти «неравенства», Птолемей, поме-
83
щая Землю в центре, вводил в свою систему эксцентры,
эпициклы и экванты. Коперник, полагая в центре движе-
ний Солнце, устранял этим второе «неравенство»; но пер-
вое, разумеется, оставалось, и учет его потребовал у Ко-
перника введения столь сложного аппарата, как и у Пто-
лемея; поэтому Коперник принужден был пользоваться
эпи-эпициклами, эксцентр-эпициклами или эксцентрами
эксцентра.
Эту основную трудность всех планетных теорий Гали-
лей игнорирует в «Диалоге» совершенно; точно так же
игнорирует он и то окончательное решение планетной
задачи, которое было дано Кеплером. Больше чем за два-
дцать лет до появления «Диалога» Кеплер установил в
«Astronomia nova» (1610) применительно к планете Марс,
что орбита ее есть эллипс, в одном из фокусов которого
находится Солнце, и что скорость планеты в любой точке
ее орбиты обратно пропорциональна длине перпендику-
ляра, опущенного из этого фокуса на касательную к эл-
липсу в той его точке, где находится планета (так назы-
ваемый закон площадей). На все эти чрезвычайно важные
обстоятельства Галилей в «Диалоге» закрывает глаза.
Только один раз, уже в самом конце книги, Сальвиати
довольно неожиданно начинает говорить о том, что Солнце
одну половину орбиты проходит на девять дней скорее,
чем другую (вспомним Калиппа!). Но, продолжает он,
имеет ли место при прохождении меньших частей орбиты
равномерное или неравномерное движение, «этого до сих
пор еще не установили, быть может, и не исследовали» 113.
В связи с этими уже совершенно непонятными словами
высказывалось мнение, что Галилей вовсе и не читал «As-
tronomia nova» Кеплера. Однако с этим довольно трудно
согласиться, так как в том же месте «Диалога» говорится
о Марсе, «который так мучает современных астрономов» 114.
Все это можно бы пытаться объяснить тем, что Галилей
имел в виду дать в «Диалоге» отнюдь не ученый трактат
по астрономии, но что верный своему девизу быть понят-
ным возможно более широким кругам, он создавал здесь
одну из первых научно-популярных книг. Действительно,
во всем «Диалоге» нет ни одной формулы, а численные
данные и результаты вычислений приводятся крайне редко
и скупо. Но, на наш взгляд, причина этих странностей
лежит не в этом и даже не в общем расхождении установок
Галилея и Кеплера, а значительно более глубоко: равно-
84
мерные круговые движения играли, как мы сейчас уви-
дим, столь важную роль в механических построениях Га-
лилея (именно тех, которые он развивает в «Диалоге»,
но о которых уже не будет речи в его классических «Бе-
седах о двух новых отраслях знаний», 1638), что порвать
с этой схемой Галилей принципиально не мог. Однако
из одних равномерных обращений по круговым орбитам
теорию планетных движений создать невозможно, тем
менее возможно построить планетные таблицы. Между
тем еще в 1627 г., т. е. за пять лет до появления «Диалога»,
Кеплер издал свои знаменитые «Рудольфины» («Tabulae
Rudolphinae». Ulm, 1627); то были планетные таблицы,
основанные на кеплеровых же законах движения 115. Та-
ким образом, по странной иронии судьбы, планетные схе-
мы Галилея оказались в таком же отношении к теории
Кеплера, в каком схема концентрических сфер Евдокса —
Калиппа — Аристотеля находилась к построениям и таб-
лицам «Альмагеста».
В чем же состоит отличие между основными механи-
ческими началами, которые Галилей развивает в своем
«Диалоге» и в «Беседах»? В последних Галилей излагает
(«День третий» и «День четвертый») теорию равноускорен-
ного движения, в частности законы падения тел, исклю-
чительно в применении к явлениям земным. Вообще,
в «Беседах» об астрономии речи уже не могло быть и ее
нет; все, что он здесь говорит, безошибочно и классично
и по праву вызвало восхищенную оценку, которую Лаг-
ранж дал этим открытиям Галилея 116. Но в «Диалоге»
механика была впервые призвана сыграть некоторую кос-
мическую роль. Но для этого еще не настало время!
В самом начале «Диалога» Галилей, борясь со странными
динамическими воззрениями Аристотеля, излагает устами
Сальвиати открытия «нашего академика» о движении тел,
падающих с высоты вертикально вниз или по наклонной
плоскости. Он устанавливает, что скорость, приобретен-
ная телом на одинаковой высоте, в обоих случаях равна
(и это есть первое применение закона живых сил); он раз-
вивает положение о том, как увеличивается время падения
по мере уменьшения наклона плоскости; затем, когда
ему остается только перейти к пределу, Галилей выска-
зывает следующее неожиданное положение:
«Но движение по линии горизонтальной, которая не
опускается и не поднимается, есть круговое движение
85
вокруг центра; следовательно, круговое движение никог-
да естественным образом не может быть приобретено без
предшествующего [прямолинейного] движения; но, будучи
однажды приобретено, оно продолжается вечно (регре-
tuamente) с неизменной скоростью»117.
Мы будем называть этот своеобразный принцип Гали-
лея «началом космической инерции»; пользуясь им, Гали-
лей представляет себе упорядоченную систему мира как
строй планет, движущихся по круговым орбитам с посто-
янной скоростью; прямолинейное движение является как
бы регулятором этого порядка; оно превращает мир из
хаоса в космос.
«Согласно этому я заключаю,— продолжает Сальвиа-
ти,— что только круговое движение естественным образом
соответствует тем телам природы, которые входят как
составная часть во Вселенную, когда они находятся в
порядке совершенном; но прямолинейное движение пред-
назначается природой для ее тел и их частей в крайнем
случае тогда, когда они оказываются не на месте, распо-
ложенные с нарушением порядка, и когда требуется при-
вести их кратчайшим образом к их естественным местам» 118.
Таким образом, не гармония чисел или звуков стати-
чески отображается в мире; его бытие как космоса есть
равномерное круговое движение его частей. Совершенно
естественно, что при такой космологической схеме пере-
ход к неравномерным движениям, в частности к кеплеро-
вым эллипсам, был для Галилея закрыт совершенно; в
этом, по нашему мнению, и заключается причина той стран-
ности и особенности «Диалога», о которой сказано выше.
Но это положение вещей появилось не вследствие каких-
либо отвлеченных, философских концепций Галилея; на-
против того, оно возникло потому, что он, следуя своему
призванию механика и инженера, стал немедленно же
применять найденные им законы движения тяжелых тел
к мировой материи в целом 11в. Но в этих приложениях
его «принцип космической инерции», который, как некий
Янус, одним ликом был обращен к Аристотелю, а другим
к Ньютону, неизбежно должен был сыграть весьма тяжкую
роль. Приведем два примера.
Одно из самых глубоких открытий Галилея, которое
мы назовем теперь принципом относительности класси-
ческой механики, изложено им в «Диалоге». Этот принцип
выражен здесь не в виде формул и теорем, а в виде красоч-
86
ного описания явлений, происходящих в закрытой каюте
под палубой корабля. В этой каюте в разных направлениях
летают бабочки; рыбки в маленьком бассейне плавают
в разные стороны; капли воды падают вертикально на
подставку из отверстия в сосуде; два человека играют
в мяч, сообщая ему одинаковую скорость, но в разных
направлениях и т. п. Галилей пишет: «После того, как
вы внимательно пронаблюдаете все эти явления, пока
корабль остается на месте, дайте ему движение с какой
угодно скоростью; и тогда, если только движение его рав-
номерно и он не отклоняется ни в ту, ни в другую сторону,
вы не обнаружите ни малейшего изменения во всех ука-
занных явлениях, и ни по одному из них вы не сможете
судить, движется ли корабль или стоит на месте»120.
Из подчеркнутых нами слов Галилея видно, что мы
нисколько не узурпируем историю и не модернизируем
Галилея, когда называем теперь галилеевыми (или инер-
циальными) осями всякую систему осей, движущихся
в пространстве равномерно и прямолинейно. Но здесь,
к нашему удивлению, обнаруживается, что тот раздел
«Диалога», где приведено это замечательное предложение,
дан с такой пометкой на полях книги: «Опыт, который
один доказывает ничтожность всех тех [опытов], какие
приводятся против движения Земли»ш. Таким образом,
Галилей применяет принцип относительности к явлениям
на вращающейся Земле; он считает, очевидно, «инерцион-
ным» всякое движение, сообщаемое Землей телам, нахо-
дящимся на ее поверхности. Поэтому многочисленные
примеры, рассматриваемые на протяжении «Второго дня»,—
падение груза с высокой мачты, стрельба из орудия как
горизонтально по разным направлениям, так и вертикаль-
но и др., и все те рассуждения, которыми Галилей опро-
вергает доводы Птолемея о том, что вращающаяся Земля
обгоняла бы предметы, брошенные с ее поверхности, или
отставала от них и т. д.,— все это получается как бы не
на месте и может восприниматься современным механиком
только с весьма существенными оговорками.
Другой пример. Галилей как практик отдавал себе
вполне ясный отчет о проявлении центробежной силы
там, где речь идет о предметах, вращаемых на шнуре,
выбрасываемых из быстро вращаемой трубки и т. п.122
Хотя формула для центробежного ускорения была дана
не Галилеем, а несколько позднее Гюйгенсом, тем не менее
87
в соответствующих местах «Диалога» имеется ряд весьма
важных положений, например, о прямолинейном движении
вращаемого тела по касательной к окружности в точке
отрыва 123. Но как только возникает вопрос о телах, на-
ходящихся на Земле, Галилей оставляет в стороне эти
простые и ясные соображения; с помощью довольно слож-
ных умозаключений, в которых фигурируют бесконечно
малые величины различных порядков, он пытается дока-
зать, что вес тела, как бы он ни был мал, превышает дей-
ствие центробежной силы и лишает тело возможности
оторваться от Земли 124; когда же речь идет о небесных
телах, то самая мысль о том, что и в их движении может
проявляться действие центробежной силы, Галилею ка-
жется нелепой: «Разве не говорят философы, что Луна
и другие планеты не падают, потому что их удерживает
скорость их движения. О, что за глубокие соображения!» 125
В манускриптах Леонардо да Винчи, начертанных
его знаменитыми письменами «в зеркальном отображении»
(a rovescio), имеется такая запись126: «La luna densa е
grave, come sta, la luna»?— Луна, плотная и тяжелая,
на чем она держится, эта Луна?
На этот вопрос, поставленный задолго до Галилея,
грядущим поколениям астрономов космическая механика
Галилея, как мы видим, никакого ответа не дает; история
науки будет ждать этого ответа еще около полустолетия,
пока, наконец, гением Ньютона двуликий принцип инер-
ции Галилея будет выправлен до конца и на этой почве
будет достигнут синтез механики земной, созданной Га-
лилеем, и механики небесной, незыблемое начало которой
положил Кеплер.
Оставаясь в том же плане механических построений
Галилея, мы переходим теперь к его попытке дать одно-
временное, «по необходимости истинное», доказательство
обоих движений Земли, основанное на теории приливов.
Над этим явлением Галилей размышлял очень давно,
что видно из упомянутого выше его письма к Belisario
Vinta от 7/V 1610 г.: среди мелких работ, им законченных,
там указывается сочинение «De maris aestu» («О приливе
моря»). Помимо этого, когда Галилей сообщал Кеплеру
еще в 1597 г., что он «записал много доказательств» ко-
перниканского учения, то таким могла являться только
теория приливов, так как все прочие доказательства,
приводимые в «Диалоге», основаны на телескопических
88
открытиях Галилея и, следовательно, в 1597 г. ему еще
известны не были.
Окончательное выражение своим мыслям о приливах
Галилей дал, как было упомянуто, в 1616 г. в Риме, изло-
жив его в «Послании к кардиналу Орсини»127. Теория,
которую он здесь излагает, не подкреплена, да и не могла
быть подкреплена в ту пору, какими-либо численными
выкладками и результатами; она есть просто некоторая
механическая интуиция; и хотя в данном случае эта интуи-
ция обманула Галилея, тем не менее им была поставлена
здесь вполне правильная и осмысленная задача, решение
которой (никем еще до конца не проведенное) могло бы
иметь в других случаях известное значение.
Считая, что принцип относительности устраняет воз-
можность обнаружить движение Земли при помощи опы-
тов над движением твердых тел, Галилей, естественно,
приходит к выводу, что только «жидкие массы на земной
поверхности, имеющие на ней столь большое распростра-
нение и не так тесно связанные с земным шаром, как его
твердые составные части, одни только и могут дать нам
указание о том, движется ли Земля или находится в сос-
тоянии покоя» 128.
Рассмотрим поэтому движение жидкой частицы; она
участвует во вращении Земли, так что направление ее ско-
рости (относительно неподвижных звезд) через каждые
12 часов меняется на обратное; вместе с тем эта же частица
участвует и в годичном движении Земли, направленном
в течение суток все время в одну сторону; поэтому, если
в данный момент обе эти скорости параллельны между
собой, то через 12 часов они будут направлены антипарал-
лельно, и в первом случае абсолютная скорость частицы
будет равна сумме, во втором — разности скоростей. Таким
образом, в течение суток величина и направление абсолют-
ной скорости жидкой частицы непрерывно меняются: ее дви-
жение будет ускоренным или замедленным129. В силу этого
движение воды в каком-либо морском бассейне (в особенности
если он расположен в направлении параллели земного шара)
будет в общих чертах таким же, какое мы наблюдаем, на-
пример, в трюме большой барки, когда движение ее уско-
ряется или замедляется. «При ускоренном движении,—
говорит Галилей, — вода несколько поднимается у кормы и
опускается у носа, а затем мало-помалу приходит к под-
чинению движения всего вместилища и уже совершенно
89
не меняет уровня, пока движение его происходит спокойно
и равномерно»13°. При замедленном движении происхо-
дят обратные явления.
Таким образом, периодические ускорения и замедле-
ния движения воды служат причиной основного, полусу-
точного прилива, максимумы которого отделены двенад-
цатичасовыми промежутками.
Такова основная схема галилеевой теории приливов;
хотя в условиях Земли она совершенно не соответствует
действительности, но считать ее ошибочной и механически
неприемлемой, разумеется, нельзя. Напротив того, для
истории гидромеханики весьма интересны некоторые со-
ображения, которые попутно развивает Галилей. Так,
он отчетливо владеет понятием собственного периода ко-
лебаний бассейна; к главной причине колебаний с перио-
дом в 12 часов присоединяется, действуя против нее, еще
другая: «Эта последняя,— говорит Галилей,—зависит от
собственного веса воды и соответственно длине и глубине
вместилища обладает временем колебаний в 1, 2, 3 или
4 часа и т. д.; действуя против первой причины, она воз-
мущает ее и устраняет ее действие, не давая воде возмож-
ности дойти до предела или даже до середины соответству-
ющего движения... от такого противопоставления дей-
ствий явления прилива и отлива или совершенно уничто-
жатся или будут значительно затемнены» 131. Аналогично
Галилей описывает явления биений в колебаниях бас-
сейна: «Если вторичное действие имеет свой период, напри-
мер в 5 часов, то в некоторых случаях первичное и вто-
ричное действие будет согласованно давать импульсы в
одну и ту же сторону, и при таком соединенном и, так ска-
зать, едином их устремлении приливы будут велики...
в противоположных случаях движения воды будут ослаб-
лены и море приведено к состоянию спокойствия и почти
полной неподвижности» 132.
Из этих немногих ссылок становится очевидным, что
галилеева теория приливов (на дальнейших развитиях
и осложнениях которой здесь нет оснований останавли-
ваться) есть чисто динамическая схема явления, основан-
ная исключительно на учете инерции вод океана. «Выве-
денная из состояния равновесия,— образно говорит Га-
лилей,— вода не только будет стремиться вернуться к
нему, но, увлекаемая собственным импульсом, пройдет
через это состояние, поднимаясь в той части, где она стоя-
90
ла ниже всего; но и здесь вода не остановится, а снова
вернется обратно; многими повторениями этих переме-
щений вода укажет нам, что она как бы вовсе не желает
сразу вернуться от полученной ею скорости движения
к отсутствию таковой» 133.
Соответственно этой основной установке теория Гали-
лея исключает действие какой бы то ни было приливооб-
разующей силы; возможность действия таких сил Галилей
отрицает решительно и с некоторым затаенным гневом. От
его имени Сальвиати говорит: «Признать, что тут действу-
ют Луна и Солнце и что они вызывают подобные явления,—
все это совершенно претит моему рассудку». Он усматри-
вает, что движение морей есть местное явление, ощущаемое
нашими чувствами (sensato) и происходящее в огромных
количествах воды: «Мой рассудок не может приспособить-
ся к тому, чтобы подписаться под действием света, тем-
перированного тепла или возбуждения явлений через
скрытые качества (qualita occulte) и прочими тому подоб-
ными бреднями; все это не только не является, но и не
может явиться причиной прилива; скорее уже обратно,
прилив в мозгах ведет здесь к этой болтовне и крикливым
суждениям, а не к размышлениям над более глубокими
явлениями природы и к их исследованиям»134.
В этих словах Галилей объявляет войну той доктрине
средневековья, которая, как мы видели выше, приписыва-
ла приливы таинственному влиянию Луны, доктрине,
за которой шел и Кеплер.
Все это характерно для понимания исходных устано-
вок Галилея; для него мир рационален; больше того, он
«осязаем»; в нем нет скрытых влияний, нет дальнодействий;
как в планетной теории, так и в теории приливов для
пояснения космоса, его бытия и, может быть, даже его
происхождения, по Галилею, достаточно задаться ма-
терией, ее равномерными круговыми движениями и их
регулятором — движениями прямолинейными, равнозамед-
ленными или равноускоренными.
Все эти схемы Галилея оказались, однако, только
эскизом космической механики, не нашедшей подтвержде-
ния и оправдания в наблюдении и опыте.
Ньютон в единой формуле дальнодействия, над рас-
крытием сокровенного смысла которой человеческая мысль
работает и по настоящее время, объединил законы движе-
ния планет, их спутников и комет, приливы вод океана;
91
при этом явление приливов оказалось обусловленным
именно притяжением Луны; сила притяжения теперь сно-
ва появилась как орудие познания природы, будучи очи-
щена от той таинственной окраски, которую наложило
на нее мистическое мышление средних веков и которая
так отталкивала Галилея.
С этого момента сделалось очевидным, что галилеево
одновременное доказательство двойного движения Земли
несостоятельно и что его теория приливов может в лучшем
случае служить для пояснения некоторых частностей яв-
ления, каким оно наблюдается на Земле 135.
Таким образом, космическая механика Галилея ока-
залась не в состоянии решить стоявших перед нею задач;
в переходе же от нее к диаметрально противоположной
небесной механике Ньютона, являющейся применением
закона всемирного тяготения к планетной системе, диалек-
тика развития нашей науки проявила себя во всей своей
непреложной необходимости.
8
Если современный астроном снимет «Диалог» Галилея
с его недостаточно прочного механического фундамента,—
что же останется для него интересного в этой знаменитой
книге?
Уже довольно многое из ее содержания прошло перед
нами на предыдущих страницах: Луна с ее загадочной
поверхностью, пепельный свет, явление либрации; сол-
нечные пятна и вращение Солнца; фазы Венеры; поступа-
тельное движение земной оси и смена времен года 136.
Все это сделалось теперь элементарным и вошло в учеб-
ники; относиться к этим вопросам так, как к ним относи-
лись современники Галилея, мы уже не можем. Когда
Сагредо, рассматривая классический чертеж, которым по-
ясняется смена освещения Земли по четырем временам
года, говорит: «Признаюсь, я никогда не слышал ничего
более замечательного, и я не могу поверить, чтобы чело-
веческий разум когда-либо углублялся в более тонкие
размышления»137, то мы меньше удивляемся чертежу и
рассуждениям Галилея, чем словам Сагредо: слишком
давно уже все это было впитано нашей культурой138.
Поэтому, казалось бы, ценность «Диалога» может сохра-
92
няться только под углом зрения чистой истории науки,
где всякое высказывание, простое или сложное, правиль-
ное или неверное, имеет свою ценность в ретроспективном
и осмысленном познании развития науки.
Но это не так!
В «Диалоге» Галилея имеется некоторая общая установ-
ка, делающая его живым и современным даже теперь, когда
со дня смерти Галилея прошло триста лет. Эту установку
мы усматриваем в том, как относился автор «Диалога» к
будущему своей науки и к решению некоторых, совершен-
но недоступных в его время проблем.
Так же как Вселенная для Галилея безгранична в про-
странстве, так же безграничны для него в будущем возмож-
ности астрономии. «Когда же наступит,— спрашивает Саг-
редо, говоря о телескопе,— предел наблюдениям и откры-
тиям с этим изумительным инструментом?» — «Если успехи
в этой области,— отвечает Сальвиати,— будут развивать-
ся так же, как в отношении других великих изобретений, то
можно надеяться, что с течением времени удастся обнару-
жить многое, чего пока еще мы не в состоянии себе вообра-
зить» 139.
Это «многое» естественно лежит за пределами планетной
системы и составляет то, что во времена Галилея можно бы-
ло бы назвать Большой Вселенной.
«Кто решится утверждать, что пространство между Са-
турном и неподвижными звездами, которое кажется им
[перипатетикам] пустым и бесполезным, свободно от других
небесных тел? Не потому ли, что мы их не видим? Что же,
разве четыре спутника Юпитера и спутники Сатурна140
только тогда появились на небе, когда мы их впервые уви-
дели, и отнюдь не раньше? Пожалуй, и бессчетные непод-
вижные звезды тоже не существовали, пока их люди не
увидели... О, что за высокомерное и даже больше, что за
легкомысленное невежество людей!» 141
Этими словами великий астроном дает ясно понять, что
он допускает возможность открытия засатурновых планет;
он высказывает здесь мысль, которая была бы просто страш-
на в рамках средневековой культуры. Галилей знает также,
что когда наука выйдет за пределы планетной системы и при-
ступит к определению расстояния от Земли до неподвижных
звезд, иначе говоря, когда она подойдет к проблеме звезд-
ных параллаксов,— она столкнется с огромными трудно-
стями, потому что эти параллаксы чрезвычайно малы; но
93
он не только не складывает оружия перед этой задачей,
а поучает будущих астрономов, каким путем удастся ре-
шить и обнаружить годичное параллактическое смещение
звезды; к тому же это смещение послужит окончательным
доказательством годичного обращения Земли вокруг Солнца.
«По моему мнению,— говорит Сальвиати,— звезды вовсе
не рассеяны на одной сфере и не находятся в одинаковых
расстояниях от единого центра; их расстояния от нас очень
различны, так что некоторые из них могут быть в два или
в три раза дальше, чем другие 142. Поэтому, если бы при
помощи телескопа было обнаружено, что очень слабая звез-
да находится чрезвычайно близко от более яркой, так что
расстояние первой было бы значительно больше, то могло
бы случиться, что в их взаимном расположении происхо-
дили бы [в течение года] заметные изменения, соответственно
явлениям, обнаруживаемым у верхних планет» 143.
Эти слова Галилея оказались пророческими: именно та-
ким путем, сравнивая положения звезды, предполагаемой
весьма удаленной от находящейся «рядом» с ней, со звездой,
предполагаемой более близкой, Бессель в 1838 г. обнару-
жил параллакс 61-й Лебедя и тем впервые промерил рас-
стояние между Землей и звездой.
Вообще, Галилей вполне отчетливо сознавал, какие
огромные трудности предстоит превозмочь наблюдатель-
ной астрономии в вопросах, касающихся звезд. Он особенно
подчеркивал это в отношении измерения их угловых диа-
метров,— проблемы, которую удалось решить только в
XX веке в отношении очень немногих звезд и притом не не-
посредственным измерением их угловых диаметров через
телескоп. По этому вопросу до Галилея имелись только со-
вершенно фантастические оценки; Тихо Браге, величайший
наблюдатель в дотелескопическую эпоху, считал, что угло-
вые диаметры звезд имеют порядок 2' и даже 3'. Галилей
первый установил, что здесь скрыта существенная ошибка
и что диаметры звезд в десятки раз меньше такой величи-
ны 144.
Все эти примеры, число которых можно было бы умно-
жить, достаточно ярко свидетельствуют, насколько возвы-
шался Галилей над общим уровнем современной ему астро-
номической культуры. Сила его уверенности в безгранич-
ных возможностях науки нас изумляет; вот почему его «Диа-
лог» отмечен печатью вечной жизни в сознании всех, кто
занимался и кто будет заниматься астрономией; ошибки,
94
которые позднее были обнаружены в «Диалоге», его вели,
чия умалить не могут.
За эту бессмертную книгу «неумолимое коварство» лю-
дей, о котором Галилей когда-то говорил папе Павлу V,
будет преследовать Галилея вплоть до конца его дней; на
этом окончится цикл его астрономического творчества. Но,
поднимаясь с изумительной духовной мощью над «высоко-
мерным невежеством», на склоне лет Галилей возвращается
к творчеству в той области, с которой он начал свой жиз-
ненный путь: он не только астроном, он практик, механик
и инженер. Как великий новатор он и здесь идет навстречу
жизни с решением важнейших технических и механичес-
ких задач — он сознает их огромную ценность. В связи
с отправкой в Голландию рукописи его «Бесед» Галилей в
одном из своих писем 1636 г. говорит: «Эти вторые мои «Бе-
седы» содержат две новые науки, относящиеся к движению
и к сопротивлению твердых тел разлому, вместе с некото-
рыми геометрическими вопросами; все эти построения яв-
ляются самым ценным плодом моих исследований за всю
мою жизнь» 145.
Пусть так! Но здесь, подводя итоги, мы должны поста-
вить вопрос: какое же место принадлежит Галилею не в
истории динамики или теории упругости, а в истории аст-
рономии прежде всего?
К астрономам XVII века от ученых Древней Греции и
от Коперника перешла проблема планетной астрономии,—
проблема строения Солнечной системы и движения планет.
Эта задача имела двойной смысл: математически она ста-
вилась (до Кеплера) так, что к действительному, неравно-
мерному движению планет по эллипсу надо было прибли-
зиться при помощи движений круговых; иными словами,
нужно было найти некоторое число членов разложения дол-
готы планеты и ее радиуса-вектора в тригонометрический
ряд, так, чтобы их суммой можно было достаточно точно
представить наблюденное движение; физически нужно было
решить, что же представляет собой Земля, в какой мере и
ее можно причислить к системе планет и приписать ей дви-
жения в пространстве; этот вопрос, разумеется, имел и пер-
востепенное мировоззренческое значение.
Что же дал Галилей по каждому из этих направлений?
Читая его «Диалог», мы убедились, что по первому он не
внес, практически говоря, ничего — он просто отметал
от себя всю проблему неравномерных движений. Так же
95
он поступал и в своем предшествующем творчестве. Уже
довольно рано Галилей встал на ту точку зрения, что в
системе Птолемея эпициклы и эксцентры вводятся «чисты-
ми астрономами» просто как рабочая гипотеза, никакого
отношения к внешней реальности не имеющая 14в. Но как
надо поступать, чтобы в схеме Птолемея учесть хотя бы
одно «первое неравенство»,— об этом Галилей нигде ни ра-
зу не говорит; когда же он рассуждает с коперниканской
точки зрения, то выявляется как раз обратное: и эпициклы
и эксцентры суть не только реальные, но и единственно
возможные формы движений в планетной системе. Так,
орбиты спутников Юпитера суть эпициклы по отношению
к Солнцу, орбиты Меркурия и Венеры — эпициклы по от-
ношению к Земле, орбита Марса вокруг Солнца — эксцентр
по отношению к Земле 147. Однако все это, очевидно, не
больше, как игра определениями и словами, не вносящая
никакой ясности в кардинальный вопрос планетной астро-
номии.
Таким образом, мы вправе сказать, что от задачи о не-
неравномерном движении планет Галилей стоял так же да-
леко во всем своем творчестве, как и в «Диалоге». Но мы
не должны здесь забывать и того, что как раз движения
открытых им спутников Юпитера,— из чего сам Галилей
имел в виду извлечь только практически полезный метод
определения долгот,— послужили основой для весьма
глубоких выводов и обобщений, приведших к ответу на
вопрос Леонардо и к окончательному решению планетной
проблемы. Так, уже Кеплер весьма скоро после открытия
им «третьего закона» (1619) нашел, что квадраты времени
обращения спутников вокруг Юпитера пропорциональны
кубам их расстояний от планеты 148. Таким образом, в си-
стеме спутников имеет место та же самая зависимость между
периодами и расстояниями, которая связывает расстояния
самих планет от Солнца с периодами их обращений в орби-
тах. Далее теорию спутников развивал Дж. Борелли 149;
он высказал мысль, что некоторая сила притягивает спут-
ники к их планетам, а планеты к Солнцу и что эта сила
уравновешивается центробежной силой, возникающей при
круговом движении. Так постепенно Галилей — Кеплер —
Борелли подготовляли почву для заключительного откры-
тия Ньютона 15°.
Если же мы теперь перейдем к физической стороне пла-
нетной проблемы, то здесь не должно оставаться сомнений
96
в том, что именно Галилей больше, чем кто-либо, сделал для
ее правильного решения: почти все его открытия служат к
утверждению космического единства Солнечной системы;
Земля — такое же непрозрачное и отражающее свет тело,
как Луна, Венера и Юпитер; ей присущи те же движения
в пространстве, как и другим телам этой системы. Со свой-
ственным ему мастерством стилиста Галилей утверждает
это положение устами Сальвиати:
«Что же касается Земли, то мы стремимся облагородить
и поставить ее в условия большего совершенства, стараясь
установить ее подобие небесным телам и тем самым как бы
поместить ее на небо, откуда ее изгнали ваши философы» 1И.
Именно это убеждение Галилея в физической однород-
ности планет являлось основой его взглядов на природу ко-
мет: будучи уже de visu объектами, столь отличными от
«плотных» тел Солнечной системы, кометы вообще не могут
быть материальными телами: это временные, оптические
явления, вроде галосов и паргелиев. Вот почему в «Диа-
логе», где сопоставляются две системы строя материального
мира, о кометах говорится только мимоходом и вскользь.
Останавливаться здесь подробно на том, как именно эта
сторона учения Галилея, подкрепленная его открытиями и
отразившаяся на его личной судьбе, должна была действо-
вать на современников, означало бы повторять многое из
сказанного на страницах этой статьи 1И. Несомненно, что
Галилей нес человечеству новое мировоззрение, он указывал
Земле и человеку новое место во Вселенной, совершенно
отличное от того, чему его учили в течение долгого ряда ве-
ков. Вот почему папа Урбан VIII был по-своему прав, ког-
да говорил, что учение Галилея для католической церкви
«опаснее, чем писания Кальвина и Лютера».
Наконец, последнее. Это грандиозное расширение Все-
ленной; когда Галилей говорит о возможности существова-
ния засатурновых планет; когда он подчеркивает неизбеж-
ную малость звездных параллаксов и вместе с тем предска-
зывает метод их определения, это роднит его с нами, по-
жалуй, более, чем все остальное; и для нас вовсе не должны
звучать как преувеличение слова, которые вырываются у
него, когда в январе 1638 г. он сообщает Elio Diodati о
полной и безвозвратной утрате зрения:
«Вы можете себе представить, как я горюю, когда со-
знаю, что это небо, этот мир и Вселенная, которые моими
изумительными наблюдениями и ясными доказательствами
4 Н. И. Идельсон
97
расширены в сто и в тысячу раз по сравнению с тем, каки-
ми их считали люди науки во все минувшие столетия,—
теперь для меня так уменьшились и сократились» 183.
Нет, эти слова правдивы и правильны! Галилей в исто-
рии астрономии — это синтез учений о космическом един-
стве Земли и всей материи мира; об относительности чело-
веческих оценок и определений, но вместе с тем это и под-
черкнутое утверждение силы человеческого познания154.
Это тезис о безграничности внешней вселенной, и метод,
которым он пришел к своим «ясным доказательствам», есть
именно тот, о котором говорил Лобачевский в стенах Ка-
занского университета: «Читайте природу внимательным
оком, и она даст вам ответ, непременный и удовлетвори-
тельный...»
КЛЕРО И ЕГО
«ТЕОРИЯ ФИГУРЫ ЗЕМЛИ»*
«Из того, что в Лейпцигских ученых известиях пишут
про сочинение г-на Клеро о фигуре Земли, заключаю,
что эта книга должна быть превосходная...»
Христиан Гольдбах к Леонарду Эйлеру,
из Москвы, 1 июня 1744 г.
«Теория фигуры Земли» г-на Клеро есть действительно
произведение несравненное как в отношении глубоких
и трудных вопросов, которые в ней рассматриваются,
так и в отношении того удобного и легкого способа,
посредством которого ему удается совершенно ясно и
отчетливо изложить предметы самые возвышенные...»
Леонард Эйлер к X р и ст и ан у Гольдбаху,
из Берлина, 4 июля 1744 г.1
1
Книга Клеро под заглавием «Теория фигуры Земли, ос-
нованная на началах гидростатики» опубликована в Парйже
в 1743 г. Год достопамятный в анналах физико-математи-
ческих наук, так как тогда же в Париже, у того же королев-
ского печатника Жана-Батиста Коньяра (J. В. Coignard)
была издана и в той же книжной лавке под вывеской «Зо-
лотое перо» на улице Сен-Жак продавалась не менее зна-
менитая книга под длинным титулом: «Трактат по динамике,
в котором законы равновесия и движения тел приводятся
к наименьшему возможному числу и доказываются новым
способом и где дается новый принцип для определения дви-
жения тел, действующих друг на друга каким угодно об-
разом». То был один из первых трудов молодого Даламбера.
Ему минуло тогда, в 1743 г., двадцать шесть лет, а Клеро
ровно тридцать. Они первыми начали говорить во Фран-
ции языком новой науки — науки Ньютона,— иными сло-
вами, прилагать методы анализа бесконечно малых к за-
дачам механики, к проблемам движения небесных тел и к
* Из книги А. Клеро. Теория фигуры Земли, основанная на началах
гидростатики. М., Изд-во АН СССР, 1947.
4*
99
теории образования их фигур; и, несомненно, они положили
этим начало всей французской математической школе вто-
рой половины XVIII и начала XIX в., в которой блистали
имена Лапласа, Лагранжа, Лежандра, Пуассона и многих
других.
Однако значение того нового принципа, который Далам-
бер высказал в несколько туманной форме на страницах
своего трактата, было окончательно раскрыто и обосновано
только через несколько десятилетий, именно в 1788 г.,
в «Аналитической механике» Лагранжа. Между тем книга
Клеро от самого ее появления и вплоть до наших дней ос-
тается одним из тех редких произведений физико-матема-
тического цикла, где за старинными обозначениями и тер-
минами содержится окончательное решение, в строгих
пределах поставленной точности, четко отграниченной
и притом труднейшей проблемы,— решение, сохранившее
свое теоретическое и практическое значение на все времена.
Не существует курса по теории фигуры планет или по выс-
шей геодезии, где бы десятки раз не говорилось про тео-
ремы Клеро, про дифференциальное уравнение Клеро,
определяющее строение вращающейся неоднородной жид-
кой планеты,— уравнение, выведенное из самых условий
ее равновесия. Нет ничего удивительного поэтому, что
«проблема Клеро» явилась впоследствии предметом иссле-
дований и развития со стороны таких выдающихся матема-
тиков, какими были Лаплас, Пуанкаре и Ляпунов.
Почти в те самые годы, когда Клеро писал свой класси-
ческий труд — или немедленно вслед за этим,— к его кни-
ге был составлен важный и утвержденный затем им самим
комментарий, о котором необходимо сказать теперь же
несколько слов. Произошло это следующим образом. Мар-
киза Эмилия дю Шатле (1706—1749), — сыгравшая столь
значительную роль в судьбе Вольтера,— обладала, при
общей силе культуры той эпохи, еще и совершенно незау-
рядными математическими способностями. Ученица Самуи-
ла Кенига (1712—1757),— который сам вышел из школы
Иоганна и Даниила Бернулли в Базеле и чье имя, кстати
сказать, несколько позже, в 1750-х годах, шумело во всей
ученой Европе после знаменитой «Диатрибы» Вольтера
против Мопертюи,— маркиза дю Шатле, «божественная
Эмилия», как ее именовал Вольтер, на высших ступенях
своего математического развития находилась под несом-
ненным влиянием Клеро.
100
Под обаянием ли этого математика или повинуясь Воль-
теру в его безоговорочном признании ньютоновой фило-
софии в целом, она, по-видимому, не без колебаний, после
периода увлечения системой Лейбница 2, перешла на сто-
рону ньютонианцев и приняла на себя значительный и
важный труд — дать Франции полный перевод ньютоновых
«Начал» с латинского на родной язык. Этот перевод она снаб-
дила двумя комментариями. В первом, общедоступном, она
дала строгое и превосходно написанное «Сокращенное из-
ложение Системы мира». Второе носило название: «Анали-
тическое решение важнейших задач, относящихся к Си-
стеме мира», в пяти частях; содержание их было: «I.
О траекториях при всех предположениях о тяготении. II.
О притяжении тел с учетом их фигуры. III. Об объяснении
преломления лучей при помощи гипотезы тяготения. IV.
О фигуре Земли и V. О приливах».
Из «Исторического предисловия», которым Вольтер
снабдил издание этого перевода ньютоновых «Начал»8,
мы узнаем, как составлялась эта математическая или,
по тогдашней терминологии, «алгебраическая» часть Ком-
ментария.
«Что касается Алгебраического комментария,— пишет
Вольтер,— то это труд, стоящий высоко над переводом.
Маркиза дю Шатле работала в нем по идеям Клеро (sur les
idees de Clairaut); она сама производила все вычисления,
и когда она заканчивала главу, г-н Клеро ее просматривал
и исправлял. И это не все: в столь тягостной работе всегда
может проскользнуть описка, в формулах очень легко
поставить один знак вместо другого. Г-н Клеро отдавал
на просмотр третьему лицу все выкладки, после того,
как они были приведены к окончательному виду; так что
внутренне невозможно (moralement impossible), чтобы в
этой работе остались ошибки от невнимания; и этого вообще
можно было бы опасаться тем менее, что всякая работа,
к которой приложил свою руку г-н Клеро, не может не
быть превосходной в своем роде».
Как уже отмечено, Комментарий был закончен в 1745 г.,
всего через два года после выхода в свет книги Клеро;
к тому же его работа над этим переводом подчеркивается и
официально, в неизбежной тогда «апробации» книги к
печати. В данном случае эта апробация гласит:
«По распоряжению Монсеньера Канцлера 4 я прочел
перевод «Математических начал натуральной философии»
101
вместе с алгебраическим комментарием к нему г-жи' мар-
кизы дю Шатле, и я не нашел в них ничего, что могло бы
воспрепятствовать их печати. В Париже, 20 декабря 1745 г.
Клеро».
Не останавливаясь далее на этой замечательной карти-
не XVIII в., в которой величайший публицист Франции,
знаменитый математик и изысканная маркиза 5 склоняют-
ся над вечными страницами ньютоновых «Начал», будем
просто считать, что книга Клеро и IV часть Комментария
дю Шатле, трактующая о фигуре Земли, составляют единое
и нераздельное целое. К сожалению, Комментарий не рас-
пространяется на вторую половину II части книги Клеро,
где излагается теория фигур равновесия неоднородной вра-
щающейся жидкости, т. е. как раз то самое, что теперь но-
сит название «проблемы Клеро».
После смерти Клеро его книга была переиздана во Фран-
ции во времена наполеоновской империи (1808 г.). Ника-
ких примечаний и пояснений к тексту не дано; в анонимном
предисловии — оно приписывается Пуассону — сказано:
«В третьей книге „Небесной механики" Лапласа дано
развитие этой теории, т.е. теории фигуры Земли, во всей тре-
буемой подробности; поэтому тот, кто пожелал бы изучить
эту теорию в ее современном состоянии, должен читать ее
именно в этом изложении. Однако это отнюдь не освобож-
дает нас от изучения хода рассуждений первых творцов
этой теории. Наоборот, оно именно и возбуждает наш ин-
терес к ним. Поэтому мы считаем, что второе издание книги
Клеро принесет свою пользу, так как у него эти рассужде-
ния изложены с таким изяществом (elegance), что уже этого
одного было бы достаточно, чтобы его книгу продолжали
читать с живым интересом во все времена, независимо от то-
го, как велики окажутся здесь дальнейшие успехи науки».
Кто бы ни был автор этой вводной страницы, написанной
в 1808 г., он обнаружил здесь правильное понимание
задач истории науки, и его слова были, в сущности, и на-
шим девизом, когда мы предпринимали этот перевод«.
Кроме французских изданий, книга Клеро имеется и в
немецком переводе, изданном в известной серии «Класси-
ков естествознания Оствальда» ’. В этом издании сохране-
но старинное написание формул, оставлены основные опе-
чатки, имевшиеся во французских изданиях8; коммен-
тарий содержит только литературно-исторические, в не-
которых местах совершенно неверные данные
102
Заметим, наконец, что довольно детальное критическое
изложение всей книги Клеро можно найти в известной анг-
лийской книге Тодгентера «История теорий притяжения и
фигуры Земли» 10.
Таковы важнейшие источники нашего издания. Присту-
пая к нему, мы поставили своей задачей дать современному
читателю по возможности легко читаемый и удобопонятный
текст знаменитой книги. Поэтому написание формул в тек-
сте приведено к современному, а в детальный комментарий
введены те обозначения, которые приняты в теории фигуры
планет еще со времен Лапласа и которые применяются, на-
пример, в трактате Тиссерана и в работах Ляпунова и;
и общую цель нашей работы мы видели не только в том,
чтобы издать перевод книги Клеро, но и в том, чтобы в
комментарии выявить ее живую и вечную связь с дальней-
шим развитием теории фигуры планет.
2
После этих предварительных замечаний о предыдущих
изданиях KHnrti Клеро и об имеющихся к ней коммента-
риях поставим более общий вопрос: в чем же состоит глав-
ная задача, которую решает ее автор, и с какими пробле-
мами той эпохи связано ее появление?
Цель всей работы и, как мы бы сказали теперь, ее об-
щая направленность превосходно выражены самим Клеро
в заключительных словах его произведения:
«Изложенная нами теория,— говорит он,— находится
уже в соответствии и с маятниковыми измерениями силы
тяжести и с наблюденным сжатием Юпитера; если, кроме
этого, геодезические измерения, которые мы ожидаем от
перуанской экспедиции, дадут, по сопоставлении их с на-
шими измерениями в Лапландии, для сжатия Земли ве-
личину меньшую, чем 1 : 230-я, то эта теория получит под-
тверждение во всей возможной полноте, так что закон все-
мирного тяготения, уже столь прекрасно согласующийся
с движениями планет, окажется в таком же соответствии
и с фигурами этих небесных тел».
Таким образом, одна из самых основных проблем науки
XVIII столетия должна была получить здесь свое последнее,
окончательное решение. Подчинена ли вся материя столь
недавно раскрытому и столь загадочному в его сущности за-
103
кону всемирного тяготения? Верно ли, например, что Зем-
ля,— как некогда огненно-жидкая планета,— должна
иметь форму эллипсоида, сжатого по оси вращения? Так
утверждал Ньютон. Но ведь, напротив того, из декартовой
теории вихрей, из гипотезы «полного» декартова, а не «пу-
стого» ньютонова пространства следовало, что ее фигура
должна быть вытянута по оси; и, по-видимому, так оно и
получилось из длинного ряда геодезических работ, блестя-
ще начатых еще давным-давно, в 1679—1680 гг., во Франции
астрономом Пикаром, затем прерванных в 1683 г. (после
смерти знаменитого министра Кольбера), затем снова возоб-
новленных в 1701 г. и законченных только к 1715 г. Жа-
ком Кассини, вторым директором Парижской обсервато-
рии 12.
Вокруг этой дилеммы «сжатая или вытянутая?», или,
как тогда говорили, «oblatum sive oblongum», и полыхали
в ту эпоху ученые споры. Напряжение их было столь ве-
лико, что, например, в одном 1733 г. вышло шесть мемуа-
ров, касавшихся проблемы фигуры Земли и. От узкоспе-
циальных вопросов, относящихся к астрономическим опре-
делениям разности широт и к триангуляциям, эти споры
переносились на самую высокую проблематику: от их ис-
хода зависело решение о той или другой «системе мира» —
говоря языком того времени.
В этих условиях Парижская академия, пользуясь со-
чувственным вниманием морского министра де Морепа,
приняла историческое решение: направить экспедицию из
академиков математиков, астрономов и географов в область
экватора,— где теперь республика Эквадор, а тогда были
земли союзного с Францией испанского короля,— с зада-
чей измерить длину дуги меридиана и соответствующую ей
разность широт, а также длину дуги экватора и соответ-
ствующую ей разность долгот. Впрочем, от этой второй за-
дачи Академия вскоре отказалась, и экспедиция, отбывшая
из Франции в 1735 г., долгие восемь лет работала в труд-
нейших условиях Перуанских Кордильер над измере-
нием довольно значительной по своему протяжению дуги
меридиана под экватором (разность широт или «амплиту-
да дуги» была 3°8')- Главные ее участники после разнооб-
разных приключений и опасностей поодиночке возвраща-
лись во Францию: первым, в 1743 г.— Буге, этот замеча-
тельный ученый, имя которого мы встречаем в основных
построениях и теоретической фотометрии, и гравиметрии,
104
и теории корабля и; затем в 1744 г.— Ла Кондамин, сое-
динявший в себе обширную эрудицию с исключительной
страстью ко всевозможным наблюдениям. После окончания
геодезических работ в Перу он совершил опаснейшее пу-
тешествие в глубь Южноамериканского материка, по неиз-
веданной еще Амазонке, и оставил нам его превосходное
описание 15. Наконец, третий, математик Годен, появился
в Европе только в 1750 г., но во Францию не вернулся,
оставшись в Кадиксе как профессор на службе испанской
короны.
Однако по возвращении из этих продолжительных и тяж-
ких странствий и после всех трудов, осложненных бесконеч-
ными взаимными раздорами, участники перуанской экспеди-
ции могли только узнать, что за время их долгого отсут-
ствия проблема фигуры Земли была практически и прин-
ципиально решена; другая группа академиков сумела уже
получить этот результат, и притом в весьма короткий срок.
То была знаменитая лапландская экспедиция Парижской
академии наук. Во главе ее стоял Пьеро Моро де Мопертюи
(1698—1759), избранный академиком еще в 1723 г., в воз-
расте 26 лет; в числе ее участников находился Алексис
Клод Клеро (1713—1765), молодой друг и в известной мере
ученик Мопертюи. Как же все это произошло?
«Во время этих происшествий — читаем мы в известной
«Истории математики» Монтюкла 16 — Мопертюи, который
был вхож к графу де Морепа, однажды, во время его выздо-
ровления, предложил ему менее продолжительное путе-
шествие, а именно экспедицию к Северному полярному кру-
гу с тем, чтобы вблизи его измерить градус дуги меридиана.
Законное нетерпенье, с которым ожидали решения вопроса
о фигуре Земли, побудило принять этот проект. Мопертюи,
в сопровождении академиков Клеро, Камюса, Лемоннье
и аббата Утье, который был тогда «элевом» на Обсервато-
рии, отправился в экспедицию, получив рекомендательные
письма французского министерства к шведскому королю» 17.
Лапландская группа, к которой в Швеции присоединил-
ся профессор Цельсий, провела свою работу дружно и с эн-
тузиазмом. Первоначально предполагалось проложить три-
ангуляционный ряд по прибрежным островкам северной ча-
сти Ботнического залива. Но на месте выяснилось, что все
эти островки почти не возвышаются над уровнем моря;
ставить на них сигналы, видимые издалека, было бы не-
возможно. Поэтому решили вести триангуляцию по долине
105
реки Торнео, которая течет почти по меридиану с севера
и впадает в залив у города с тем же названием. Начав от
него, прошли на север приблизительно 110 км, до местечка
Пелло, под горой Киттис. Вся триангуляция имела форму
растянутого семиугольника; сигналы — числом восемь —
ставили на вершинах окрестных гор, прорубая к ним, при
помощи приданных воинских команд, просеки в лесах. Эта
работа была закончена в два месяца (июль-август 1736 г.).
Трудности при перевозке людей и инструмента для изме-
рения горизонтальных углов были громадные, особенно
страдали члены экспедиции от насекомых, которые черны-
ми тучами садились на людей и на пищу. Но все это превоз-
могли.
«Все наши переезды,— пишет Мопертюи в своей отчет-
ной книге м,— и 63-дневное пребывание в этой глуши дали
нам лучшую из всех сетей треугольников, которую мы толь-
ко могли желать. Работа, начатая нами, когда мы еще не
знали, окажется ли она возможной, и, так сказать, наугад,
оказалась вполне удачной; в ней мы как будто бы могли
ставить горные вершины по нашему желанию».
Во всей этой работе Мопертюи, очевидно, проявил не-
что большее, чем уменье сочинять песенки: настойчивость
и упорство, организаторский талант. Покончив с триангу-
ляцией, перешли к астрономическим наблюдениям. Про-
грамма их несомненно была тщательно продумана заранее.
При помощи большого зенитного сектора (труба 9 фут.,
лимб в б1/^, деленный через 7'30" — работа знаменитого
Грэхама в Лондоне) определялись не зенитные расстояния
какой-либо звезды, а только разности зенитных расстояний
одной и той же звезды, последовательно наблюденной в
меридиане сперва на северном, затем, после перевозки
инструмента, на южном пункте триангуляции. Первой из
этих зенитных звезд была 6 Дракона: ее наблюдали 4, 5,
6, 8 и 10 октября в Киттисе и 1, 2, 3, 4, 5 ноября в Торнео.
Дифференциальные поправки видимого места звезды за
этот месяц, с учетом не только прецессии, но и аберрации
и нутации, Мопертюи получил от самого Брадлея 19, сде-
лавшего еще столь недавно эти бессмертные открытия. Со
всеми этими поправками амплитуда дуги оказалась равной
57'27".
Там же, в Киттисе, определили по Солнцу азимут двух
выходных сторон триангуляции и ориентировали ее по ме-
ридиану. В декабре в одну неделю выполнили третью часть
106
всей операции: измерение базиса длиной около 15 км на
льду, по самой реке Торнео, приблизительно по середине
всей триангуляции. «Мы отправились к реке,— пишет Мо-
пертюи,— с таким количеством саней и с таким кортежем,
что лапландцы спускались с гор, привлеченные новостью
зрелища»20. Работу вели две партии, измерение произво-
дилось длинными (10 м) сосновыми жезлами, которые пред-
варительно при комнатной температуре сравнивались с
другими жезлами, а эти последние в свою очередь проверя-
лись по нормальной сажени (туаз — в системе старинных
французских мер), привезенной из Франции. Морозы во
время работ стояли лютые (—37° по Реомюру), французы
страдали от них жестоко. Но и здесь все прошло благопо-
лучно и успешно. Измерения обеих партий разошлись всего
на 10 см. После этого вычислили триангуляцию и обнаружи-
ли, что длина градуса получилась чуть ли не на 1000 туа-
зов (2 км) больше, чем следовало по книге Кассини от 1720 г.
«Длина дуги,— читаем мы у Мопертюи,— которую мы из-
мерили, оказалась настолько больше той, которая выте-
кала из измерений, приведенных в упомянутой книге о
величине и фигуре Земли, что это нас изумляло; и, несмот-
ря на бесспорность всей операции, мы решились провести
самые строгие проверки всех наших работ» 21.
Геодезическая часть их, при многочисленных контролях
измерения углов, казалась выше подозрений; поэтому пов-
торили только то, что было легче всего повторить, именно
астрономические наблюдения. Выбрав теперь другую звез-
ду, именно а Дракона, пронаблюдали ее три раза (17, 18,
19 марта 1737 г.) в Торнео и затем три раза (4, 5, 6 апреля)
в Киттисе. Амплитуда дуги, со всеми поправками Брад-
лея, получилась теперь 57'30". Мопертюи взял среднее из
обоих определений и отсюда окончательно получил длину
дуги градуса меридиана под средней широтой 66°20' в
57 437,9 туаза, что в переводе на метрическую систему дает
111 км 949 м 22. На этом основная работа экспедиции была
закончена; она выполнила, однако, еще ряд астрономичес-
ких наблюдений, произвела определение силы тяжести в
Пелло, пользуясь превосходными маятниками от Леруа в
Париже и от Грэхама в Лондоне. В июне отбыли в Сток-
гольм, и в сентябре 1737 г., через 15месяцев после отправ-
ки, экспедиция вернулась во Францию.
Она привезла туда «сжатую Землю», ньютоновский оЫа-
tum: действительно, уже из старинных работ Пикара было
107
известно, что длина градуса меридиана под широтой Амьена
(49°55') составляла 57 060 туазов, т. е. 111 км 212 м. Та-
ким образом, у Полярного круга длина одного градуса по-
лучилась на 737 м больше, чем под широтой Северной Фран-
ции. Длина дуги меридиана, соответствующая изменению
широты на Г, увеличивалась весьма заметно от экватора
к полюсу; а это было,— как тогда уже ясно понимали,—
совершенно несовместно с геометрией вытянутой кассиние-
вой Земли23.
Мопертюи, по возвращении во Францию, попал в центр
общего внимания. Появились его портреты в лапландской
шапке и в мехах, с палицей Геркулеса в одной руке и сжа-
тым земным шаром в другой. Его книгу, превосходно напи-
санную и изданную чрезвычайно быстро, меньше чем в один
год, переводили на разные языки; шум вокруг нее и вокруг
всей проблемы фигуры Земли не умолкал. Впоследствии
Мопертюи писал:
«Вернувшись, мы столкнулись с значительными раздо-
рами: Париж, жители которого не могут остаться безраз-
личными ни по какому вопросу, разделился на два лагеря:
одни приняли нашу сторону; другие же считали, что для че-
сти нации невозможно, чтобы у Земли осталась иностранная
фигура, которую придумали один англичанин и один гол-
ландец» 24.
Разумеется, ньютонианцы могли только ликовать. Воль-
тер,— один из первых среди них во Франции,— еще лет
6—7 тому назад узнавал у Мопертюи о первых истинах за-
кона тяготения, теперь он сам печатал в Амстердаме из-
вестную книгу об «Элементах ньютоновой философии»,
которая, кстати сказать, несколько позже послужила глав-
ным мотивом избрания его в корреспонденты Петербург-
ской академии наук; после возвращения Мопертюи из Лап-
ландии он писал ему письма, полные лестных похвал,
Мопертюи получал в них титулы «сэра Исаака», «гордости
своего века», «того, кто сплющил и Землю и всех Касси-
ни». К одному из портретов «героя Севера» Вольтер написал
хвалебные, впрочем чрезвычайно слабые (как сам он при-
знавался), стишки. Но времена меняются, и через 13 лет
после лапландской экспедиции, уже не на берегах Сены,
а на берегах Шпрее, Мопертюи, тогда уже директор Бер-
линской академии наук, узнал на себе всю силу демо-
нической ярости Вольтера. Случилось это в связи с появ-
лением довольно туманной работы Мопертюи о «принципе
108
наименьшего действия», с выступлением упомянутого уже
Самуила Кенига, и закончилось бурным разрывом Вольте-
ра с Фридрихом II и трагикомической историей ареста
Вольтера и его племянницы во Франкфурте28.
Весь этот инцидент,— мы бы сказали, одинаково тяго-
стный как в биографии Мопертюи, так и в биографии Воль-
тера,— и связанный с ним знаменитейший памфлет Воль-
тера: «Диатриба [отповедь] доктора Акакии уроженцу Сен-
Мало», все это чрезвычайно затрудняет для историка нау-
ки XVIII в. правильную оценку значения в ней Мопертюи:
но, оставив в стороне его характер, который несомненно
являлся несколько рекламным, и некоторое фантазерство
во многих его писаниях, мы все же должны подчеркнуть
здесь, что его роль в истории теории фигуры Земли немала:
с 1732 г. начинается беспрерывный ряд его публикаций по
этому вопросу, причем в первой из них, как писал впослед-
ствии Бальи, он оказался и первым из французских мате-
матиков, применившим закон тяготения 2в; он, несомненно,
обладал некоторым математическим дарованием и дал, на-
пример, простую формулу для вычисления сжатия мериди-
ана по длине двух дуг одинаковой амплитуды, измеренных
под разными широтами; он первый провел различие между
«притяжением» и «тяжестью» и дал корректное решение
задачи: по заданной величине и направлению силы тяжести
в точке сфероида найти величину и направление силы тяго-
тения 27.
Это подчеркивает и Клеро в неоднократных ссылках на
работы Мопертюи в своей книге м. Все это, в связи с умелой
организацией северной экспедиции — и независимо от ее
результата (о чем ниже),— побуждает нас видеть в нем од-
ного из первых геодезистов в современном понимании этого
слова, великого энтузиаста своего дела. Но, вместе с тем, и
его рассуждения о «наименьшем действии» заключали в се-
бе зерно некоторой истины, ибо известно, что Эйлер, под-
вергший эту проблему анализу с глубиной и силой, значи-
тельно превосходившими возможности Мопертюи, ввел в
научный обиход навсегда сохранившееся название «прин-
ципа Мопертюи»29, так что герой лапландской экспедиции
остался известен в истории науки еще и как провозвестник
вариационных принципов механики.
109
3
В кругу всех этих ярких и темпераментных личностей
XVIII столетия,— но как бы на накотором расстоянии от
них, при шуме их споров и игре тщеславия и страстей,
но совершенно чуждый им,— провел Клеро свою не очень
долгую жизнь. Его биография во многом отлична от жизне-
описания выдающихся людей той эпохи. Имена сильных
мира того — Фридриха, или Екатерины, или маркизы
Помпадур — в этой биографии, в отличие от биографий
близких ему Вольтера, Даламбера, Дидро,— не встре-
чаются вовсе. Излагать ее — значит представить карти-
ну его детства и после этого сразу перейти к перечню его
работ 30.
Алексис Клод Клеро родился 13 мая 1713 г. в Париже,
в семье Жана Батиста Клеро, преподавателя математики
и члена Берлинской академии наук,— вторым в семье,
насчитывавшей всего 21 ребенка. Преждевременность его
математического развития призводит теперь странное и
необычайное впечатление. Он выучился алфавиту по черте-
жам в «Элементах» Евклида; к девяти годам свободно читал
книги де Лопиталя по коническим сечениям и по анализу
бесконечно малых; на тринадцатом году написал свой пер-
вый мемуар. «Его отец,— читаем мы в его биографии,—
представил своего сына Академии, чтобы он прочел там
свою работу; но она настолько мало соответствовала его
возрасту, что возникло сомнение, может ли она действи-
тельно ему принадлежать; и только тогда, когда по вопро-
сам, ему предложенным, академики убедились, что он
может представить и работы еще более сложные, он получил
от ученой коллегии похвалы, им заслуженные; в особенно-
сти же аббат Рейно, который тогда присутствовал, не мог
удержать слез радости при виде ребенка, достойного уже
войти в круг самых замечательных людей» 31,
Таково было единственное в своем роде начало. Затем,
через три года, пережив довольно тяжелую болезнь, Клеро
представил Академии в 1729 г. своей знаменитый мемуар
«Исследования о кривых двоякой кривизны», которым он
положил начала дифференциальной геометрии простран-
ственных кривых; и мы читаем у его биографа: «Академия
вынесла решение, чтобы мемуар был возможно скорее на-
печатан, вместе с почетным удостоверением, которым она
его удостоила и в котором особенно отмечены были те пре-
110
досторожности, которые приняла Академия с целью убе-
диться, что автору его едва минуло 16 лет, когда он пред-
ставил книгу, которую почитали бы честью для себя самые
знаменитые геометры»/2.
Естественно, что после этой работы Академия стремится
привлечь необычайного юношу в свои ряды. Но по регла-
менту адъюнкты Академии не могли быть моложе двадцати
лет. Поэтому через графа де Морепа возбуждают ходатай-
ство перед Людовиком XV о специальном разрешении для
Клеро (dispense d’age); король медлит некоторое время,
но когда Клеро достигает 18 лет, утверждает его (14 июля
1731 г.) адъюнктом по механике; три кандидата старше
Клеро (среди них — Буге) отклоняются. Этот случай ос-
тался единственным в своем роде за всю историю Париж-
ской королевской академии наук, т. е. с 1666 по 1792 г. 88
Вскоре после этой решающей даты Клеро вместе с Мо-
пертюи, который пожелал его сопровождать, отправляют-
ся в Базель, к знаменитейшему тогда среди математиков
старшего поколения Европы Иоганну Бернулли, учителю
Леонарда Эйлера. Сколько времени они там остаются —
неизвестно, но биограф Клеро говорит, что ему «не приш-
лось сожалеть об этом путешествии как по тому количе-
ству знаний, которые он извлек, так и в силу тех друже-
ственных отношений, которые у него завязались с Бернул-
ли и его почтенным семейством»34.
По возвращении из Базеля в Париж Клеро и Мопертюи
попадают в самый разгар споров о фигуре Земли; готови-
лась перуанская экспедиция, а Мопертюи, как мы уже
знаем, задумал свой собственный проект. Для того чтобы
подготовить своего молодого, но уже знаменитого друга к
предстоящим астрономическим работам, Мопертюи увез
его далеко от города, в Мон-Валерьен, который тогда был
деревушкой, а значительно позднее одним из фортов внеш-
ней обороны Парижа. Теперь опять мы предоставим слово
современнику и биографу Клеро.
«Удаление от Парижа все же не поставило его под за-
щиту от посещений; знаменитая маркиза дю Шатле решила
обучиться математике у Клеро и она часто верхом приез-
жала в Мон-Валерьен, и именно для этой дамы он составил
ту книгу об «Элементах геометрии», которую он опублико-
вал затем в 1741 г.»
Но не ошибся ли здесь старинный биограф? Не предназ-
начались ли записки об «Элементах геометрии» для сына
111
маркизы 36, того самого, для которого она сама составила
«Основы физики» в духе лейбницианской философии?
Или вообще современному биографу нет оснований дольше
останавливаться на этой странице, чем того требует сооб-
щение о встречах в Мон-Валерьен?
Проходит еще год-другой. Клеро участвует в лапланд-
ской экспедиции; по возвращении ему назначается от ко-
роля пенсия в 1000 ливров; и меньше чем через год король
утверждает его, по представлению Академии, в звании пен-
сионера, т. е. действительного члена Академии по меха-
нике. Ему теперь около 25 лет 86.
На этом его фактическая биография закончена; все даль-
нейшее было бы сплошным перечнем его работ. Но на изу-
чении его творчества в целом мы здесь не можем останавли-
ваться; заметим только, что оно довольно многообразно и,
помимо общих проблем анализа, геометрии, механики, со-
держит обширные разделы по теории движения Луны и
Земли и ее фигуры, по теории кометы Галлея, по приклад-
ным темам (теория аберрации, ахроматические объективы,
маневрирование кораблей). В ряде вопросов геометрии,
анализа, небесной механики Клеро является основополож-
ником и создателем великих ценностей 37.
. Особенно замечательна — помимо книги о «Теории фи-
гуры Земли» — его теория движения Луны, где он первый
разъяснил загадку с движением лунного перигея, так вол-
новавшую астрономов XVIII в. 38; и его работы по движе-
нию кометы Галлея, где он первый применил «численные
методы» (так называемые механические квадратуры) для
вычисления возмущений кометы от Юпитера и Сатурна
и показал, что действие этих планет замедляет ее оборот
(1682—1758) по сравнению с предыдущим (1607—1682)
на 618 дней; соответственно этому 14 ноября 1758 г. Клеро
сообщил в Академии, что комета будет в перигелии 13 ап-
реля 1759 г. По наблюдениям же, комета Галлея, появле-
ние которой было, таким образом, за всю историю челове-
чества впервые предвычислено, прошла через перигелий
13 марта 1759 г.; ошибка вычисления составила 31 день 83.
Но вспоследствии Клеро улучшил свои вычисления и. довел
расхождение до 19 дней, что можно было, действительно,
считать великим торжеством вычислительной астроно-
мии, произведшим яркое впечатление на всех, кто только
видел тогда комету Галлея или хотя бы слышал про нее.
Так, в тиши своей комнаты,, этот спокойный и, как мы
112
читаем, всегда любезный человек и приятный собеседник
шел от одного триумфа к другому. Его слава росла; совет-
скому читателю будет интересно узнать, что две его работы
получили премии Петербургской академии наук и напеча-
таны на французском языке в Петербурге; то были:
1) «ТЬёопе de la Lune, бёбиИе du seul principe de 1’at-
traction, reciproquement proportionelle aux carres des dis-
tances» («Теория движения Луны, выведенная единственно
из начала притяжения, обратно пропорционального квад-
ратам расстояний»).
Работа получила в 1751 г. премию по теме, объявленной
еще в 1750 г. «Дело» об этой премии хранится и по сей день
в архиве Академии; в нем имеется подлинная рукопись
Клеро и отзывы Гольдбаха, Эйлера и Гейнзиуса. Эйлер,
выяснив подробно достоинства работы, писал в заключении
(по-латыни): «По этим причинам эту диссертацию не только
нужно считать достойной высшей награды, но через нее и
слава знаменитейшей Академии возрастает не незначитель-
но, так как, предложив вопросы столь трудные, она при-
вела к ясности положения самые скрытые».
Премированная работа Клеро напечатана в Петербурге
в 1752 г. Похвальную речь по случаю присуждения премии
держал Никита Попов, назначенный профессором астро-
номии в 1751 г.40
2) Вторая премированная работа была «Recherches sur
la conrete des аппёеэ 1531, 1607, 1682 et 1759 pour servir de
supplement a la these, par laquelle on avait аппопсё le temps
du retour de cette comete» («Изыскания о комете 1531, 1607,
1682 и 1759 гг., служащие продолжением работы, в которой
было назначено время возвращения этой кометы»).
Премия по этой теме, объявленной в 1761 г., была присуж-
дена в сентябре 1762 г.; именно здесь Клеро определил мо-
мент прохождения кометы Галлея через перигелий с точ-
ностью до 19 дней,— что обычно забывают в истории аст-
рономии, где принято говорить об «ошибке Клеро на 1 ме-
сяц».
Если бы список дошедших до нас работ Клеро был огра-
ничен этими двумя премированными в стенах Петербург-
ской академии работами и его «Теорией фигуры Земли»,
то уже этого было бы достаточно, чтобы мы ценили в нем
того геометра, который в период, промежуточный между
Ньютоном и Лапласом, больше чем кто-либо сделал для
утверждения закона всемирного тяготения в его величай-
113
ших глубинах и, следовательно, для развития динамиче-
ской астрономии; равной этим трем работам в истории ме-
ханики и астрономии мы могли бы в эту эпоху считать толь-
ко «Трактат по динамике» и «Теорию предварения равноден-
ствий» Даламбера 41.
В промежуток между двумя премиями Петербургской
академии Клеро был избран ее членом 42, и в фондах Архива
АН СССР сохраняется его благодарственное письмо (от
16 июня 1755 г.), отправленное при получении диплома
президенту Академии графу Разумовскому.
Мы только что упомянули рядом имена Клеро и Да-
ламбера. Действительно, для историка науки они идут «пле-
чом к плечу»; но для биографа их разделяет пропасть: не-
дружелюбие, доходившее, как говорят иные, до ненависти
со стороны Даламбера, отравляло долгие годы жизни Кле-
ро. Не было ни одной теории, предложенной Клеро, против
которой Даламбер не возражал бы, и притом,—как говорит
Монтюкла,— «с той мелочностью и с той особенной аффек-
тацией, за которыми скрывается по меньшей мере жела-
ние обесценить» 43.
В немногих случаях (об одном из них мы узнаем ниже)
Даламбер был прав; но в большинстве — бессмысленно
придирчив. Мы видели, например, что Клеро предвычислил
возвращение кометы Галлея к перигелию с ошибкой в 1 ме-
сяц. Какова относительная погрешность этого вычисления?
Большинство астрономов считали, что это один месяц, взя-
тый по отношению к 76 годам обращения кометы, т. е.
приблизительно 1 : 9000. Даламбер возражал. «Клеро,—
говорил он,— вычислял не самый период, а его возмущения;
он нашел величину этого возмущения в 600 дней; и раз он
ошибся при этом на 30 дней, то относительная ошибка
его вычисления есть г/2о» 44. Разумеется, все это ненужная
и злая игра слов. Но так повторялось много раз, и длин-
ный ряд страниц в «Journal des Savants» за годы 1758—1762
заполнен полемикой этих замечательных людей; здесь не-
сомненно сказалась особенная властность и страстность
натуры знаменитого участника движения энциклопеди-
стов 45.
Эта прискорбная полемика затихла после 1762 г., когда
Клеро, как бы собрав все силы, опубликовал статью «Раз-
мышления о разногласиях между Даламбером и мной» 46,
где отвечал на критику и в отношении кометы Галлея и
по теории Луны.
114
Вскоре после этого Клеро в полном расцвете сил, в воз-
расте 52 лет, скончался от какой-то острой и скоротечной
болезни; по описанию, возможно, от тифа. Это произошло
17 мая 1765 г.
Слово его памяти в Академии в том же году произнес, как
уже упоминали, геометр Фонтен; он был другом и Даламбе-
ра, и Клеро. Но сам Даламбер, который в обеих академиях,
во Французской и в Академии наук, говорил десятки речей,
посвященных памяти довольно бледных членов обеих этих
коллегий, на этот раз не нашел ни слова, чтобы почтить па-
мять своего ближайшего и знаменитого собрата...
Пенсия Клеро по секции механики в том же 1765 г.,
но не без задержки, перешла, по праву, к Даламберу; он
получал ее еще 18 лет и много раз возвращался в своих ра-
ботах к критике теорий и результатов Клеро.
Ученик Клеро, Бальи, горько переживал внезапную
утрату; впоследствии он писал:
«Главной заслугой Клеро был его талант к приложениям.
Несмотря на его гений, он не останавливался перед дета-
лями. Он считал, что истина, практически важная, заслужи-
вает предпочтения перед теми, которые остаются погребен-
ными в десятках страниц аналитических выкладок; поэтому
он создал одни лишь полезные вещи. Его имя было извест-
но, всюду превозносилось; его будут повторять в веках» 47.
4
Из всего творчества Клеро нас интересует здесь ближай-
шим образом его книга по теории фигуры Земли. Как вид-
но из самого заглавия книги, эта теория основывается в ней
на законах гидростатики: в этом ее большая и принципи-
альная новизна. История гидростатики до XVIII столе-
тия знает великие имена и важнейшие открытия — Архи-
меда, Галилея, Паскаля. Но все это было, если так можно
выразиться, гидростатика «в малом», т. е. преимуществен-
но вопросы о равновесии тяжелых тел, погруженных в жид-
кость. Но для решения гидростатической проблемы «в боль-
шом», например для определения фигуры жидкой планеты,
свободно вращающейся в пространстве,— для этого общих
методов и приемов, ко времени появления книги Клеро,
еще не существовало. Имелись только отдельные, своеоб-
разные «принципы», предложенные величайшими матема-
115
тиками и механиками XVII столетия — Ньютоном и Гюй-
генсом.
В своих «Началах» Ньютон поставил и до конца решил
задачу о фигуре равновесия вращающейся жидкой массы,
предположив, что жидкость однородна, что все ее части-
цы взаимно притягиваются по закону всемирного тяготе-
ния, и допустив априорно, что жидкая планета имеет фи-
гуру эллипсоида вращения, слабо сжатого по полярной
оси. Для своего решения Ньютон ввел понятие «веса» стол-
бов жидкой массы, направленных от полюса и от экватора
к ее центру. Эти «веса» получались у него определенным
образом из сил притяжения, действующих на частицы
столбов от всей жидкой массы, из длины этих столбов и из
центробежной силы, действующей на частицы экваториаль-
ного столба. Введя это своеобразное понятие «веса», Нью-
тон утверждал, что для равновесия жидкой планеты, вра-
щающейся как твердое тело вокруг своей полярной оси,
необходимо, чтобы «веса» обоих столбов — полярного и
экваториального — были между собой равны 48.
Второй принцип, предложенный Гюйгенсом, который
не принимал всемирного тяготения и, стоя на позициях
Лейбница, допускал лишь притяжение всех частиц жид-
кости к ее центру, казался гораздо проще ньютонова и гла-
сил, что для равновесия жидкой массы необходимо, чтобы
в каждой точке ее поверхности направление силы тяжести
(или веса в обычном смысле этого слова, т. е. равнодейст-
вующей сил притяжения и центробежной) было направле-
но по перпендикуляру к поверхности жидкости. Гюйгенс
высказал этот принцип в 1690 г. в статье «О силе тяжести»,
приложенной к знаменитому «Трактату о свете» 4#.
То, что каждый из этих принципов был необходим для
равновесия, вытекало с очевидностью из рассуждений как
Ньютона, так и Гюйгенса. Но был ли каждый из них в от-
дельности или они оба, взятые совместно, как полагал Бу-
ге 50, достаточны для равновесия жидкой планеты, этого
никто тогда не знал; и Клеро справедливо замечал, что если
оба эти принципа друг от друга независимы, то где гаран-
тия, что не имеются еще и другие условия равновесия, со-
вершенно отличные от постулатов Ньютона и Гюйгенса,
но столь же необходимые для равновесия?
Весь этот комплекс вопросов Клеро разрешил полно-
стью на первых же страницах своей книги о теории фигуры
Земли. Он дал условие,— и необходимое и достаточное для
116
равновесия. Вместо двух ньютоновых столбов он рассмат-
ривал канал любой формы, взятый в жидкости, замкнутый
в себе или заканчивающийся в двух точках ее поверхности,
и он утверждал, что равновесие в нем невозможно, если
только усилия (efforts) всех частей жидкости, в нем заклю-
ченных, не уничтожают друг друга. Что это за таинствен-
ные «усилия» жидкости? Достаточно немного вдуматься в
текст книги Клеро, чтобы усвоить, что под этим термином
он понимал просто давления, развивающиеся в канале;
следовательно, он утверждал, что разность давлений, взя-
тая по всему ходу любого замкнутого канала, в случае его
равновесия должна приводиться к нулю. Отсюда немед-
ленно получалось, что разность давлений в любых двух точ-
ках канала зависит только от их положения внутри жид-
кой массы, но не может, в случае равновесия, зависеть от
формы канала, между ними проведенного; и далее, отсюда
вытекало, что давления в любой точке на поверхности жид-
кой массы при равновесии должны быть между собой рав-
ны, а отсюда весьма просто следовал также и принцип
Гюйгенса.
Это гениальное в своей простоте соображение «придало
гидростатике совершенно иной вид и превратило ее в новую
науку»,— так говорит Лагранж в своем очерке принципов
гидростатики 81.
Разумеется, это открытие бросало яркий свет на прин-
цип и на вычисления Ньютона: то, что он называл «весами»
(pondera) столбов, были просто давления, производимые
в центре массы полярным и экваториальным каналами
жидкости, и ньютоново условие равновесия оказывалось
совершенно интуитивным; но вместе с тем делалось очевид-
ным, что этот принцип, даже взятый совместно с принципом
Гюйгенса, еще недостаточен как условие равновесия (§ 15
первой части книги Клеро).
Но здесь необходимо отметить еще одно существенное и
любопытное обстоятельство: чисто физическое соображение,
выдвинутое Клеро как условие равновесия, немедленно со-
четалось у него с другим открытием, которое он сделал по
математическому анализу за три-четыре года перед тем. Эту
теорему его мы приведем сейчас дословно по тексту уже
пожелтевшей рукописи Клеро, посланной им в Петербург-
скую академию вместе с письмом от 17 сентября 1740 г.
на имя Эйлера 82.
Содержание этой теоремы таково:
117
«Если Adx + Bdy представляет собой дифференциал
какой угодно величины, составленной из х и у и из постоян-
ных, то утверждаю, что дифференциал от А, считая только
у переменным и отбрасывая dy, равен дифференциалу от В,
предполагая только х переменным и отбрасывая dx, что я
выражаю так:
dA dB
j- = т-»-
dy dx
Таким образом, мы имеем здесь первую формулировку
теоремы о равенстве накрест взятых производных в полном
дифференциале функции двух переменных, с той несуще-
ственной оговоркой, что Клеро не вводит ни термина, ни
специального обозначения для частных производных. Эту
именно теорему он и применил к условию равновесия кана-
лов в жидкой массе, показав (в главе IV первой части),
что элементарное усилие, или,—как мы сказали бы теперь,—
дифференциал давления, на элементе длины канала всегда
приводится к дифференциальной форме Qdx 4- Pdy, где
Q и Р, т. е. проекции действующей силы на перпендикуляр-
ные оси, суть функции координат точек х, у, a dx, dy —
проекции на те же оси бесконечно малого отрезка канала.
Отсюда Клеро приходит к убеждению, что «всякий раз, как
будет соблюдено условие
dx " dy ’
можно быть уверенным, что равновесие будет иметь место
в жидкости» (§ 17 первой части). В конце IV главы Клеро
распространяет это условие и на пространственную зада-
чу, вводя проекции сил на три оси координат (§ 46 первой
части).
Всеми этими положениями и была, в сущности, создана
аналитическая гидростатика. И это тем более изумительно,
что фундаментальное для нее понятие давления еще не бы-
ло систематически введено в науку; этот последний шаг
был сделан Эйлером лишь через 12 лет после появления
книги Клеро в работе «Principes generaux du mouvement des
fluides» 5S, где применен впервые и самый символ р для
обозначения давления. Однако Лагранж в упомянутом
очерке дает ясно понять, что эйлеровы уравнения равнове-
сия жидкой массы находятся в теснейшей связи с общим
принципом равновесия, данным Клеро. Несомненно к то-
118
му же, что и введение в формулировку этого принципа
понятия «силовой функции» со стороны позднейших мате-
матиков — например, Лежандра — было только естествен-
ным развитием основного положения Клеро о том, что в
случае равновесия элементарное «усилие» есть полный диф-
ференциал.
Первая часть книги Клеро содержит систематическое
развитие этого общего принципа и приложение его к слу-
чаям действия на жидкость различного рода сил как про-
стейших, так и более сложных по своему аналитическому
выражению. (Изучая эту часть, читатель все время должен
переводить на современный язык терминологию Клеро:
«усилие» есть элементарное давление dp; «вес части канала»—
это разность давлений на его концах, иными словами, ра-
бота приложенных объемных сил на заданном отрезке ка-
нала.)
Вместе с тем, имея в виду представить книгу Клеро на
общем историческом фоне науки XVIII в., мы должны здесь
же подчеркнуть один пробел, оставленный Клеро в форму-
лировке его принципа. Элементарное усилие, как мы виде-
ли, должно быть, в случае равновесия, полным дифферен-
циалом некоторой функции от двух (или трех) переменных.
Но о свойствах этой функции Клеро не сделал никаких ого-
ворок. С удивительной проницательностью Даламбер (по-
сле смерти Клеро) заметил, что если эта функция неодно-
значна или если внутри силового поля имеются особые точ-
ки этой функции, то равновесие все равно не будет иметь
места. Даламбер развил эти замечания в мемуаре «О рав-
новесии жидкостей», опубликованном в 1768 г. Как видим,
когда от жизни людей мы переходим к истории научных ис-
тин, имена Клеро и Даламбера должны быть снова поставле-
ны не иначе, как одно рядом с другим.
Во второй части своей книги Клеро переходит от об-
щих вопросов к фигурам равновесия жидких планет.
В I главе рассматривается случай однородной жидкости.
Как мы уже сказали, теория однородных жидких планет
была начата Ньютоном; позднее она была весьма сущест-
венно развита Маклореном в «Трактате о флюксиях», вы-
шедшем в свет всего за год до появления книги Клеро 64.
Здесь условие равновесия приведено к уравнению, связы-
вающему угловую скорость вращения со жидкой массы й
ее плотность р (точнее говоря, отношение <о2/р) со сжатием
того эллипсоида вращения, который служит поверхностью
119
уровня жидкой планеты; таким образом, здесь возмож-
ность эллипсоидальной фигуры доказана, а не просто до-
пущена, как у Ньютона. Клеро находит метод Маклорена
столь «прекрасным и глубоким», что ведет изложение этой
проблемы, следуя точно за Маклореном, и дает его урав-
нение равновесия.
Однако в этой теории жидкой однородной планеты пос-
леднее слово принадлежало все же не Маклорену и Клеро,
а Даламберу и Лапласу. В мемуаре, опубликованном че-
рез тридцать лет после появления книги Клеро, Даламбер
провел исследование уравнения равновесия Маклорена—
Клеро и доказал, что если при данном значении отношения
®2/р равновесие жидкой массы возможно, то ему будут со-
ответствовать, вообще говоря, не одна, а две фигуры рав-
новесия, иными словами, два эллипсоида вращения с раз-
личными сжатиями. Этот мемуар Даламбера 55 является
одним из прекраснейших в его творчестве; он особенно за-
мечателен тем, что в нем впервые ставится вопрос об устой-
чивости фигур равновесия, так что с ним может быть в из-
вестной мере исторически связана теория линейных серий
фигур равновесия, созданная впоследствии Пуанкаре.
Все следующие главы второй части книги Клеро пос-
вящены проблеме фигур равновесия неоднородной жид-
кости — вопросу, в котором Клеро предшественников со-
вершенно не имел. Эти главы и составляют как бы самое
ядро его книги, ее наиболее существенную часть. Резуль-
таты Клеро здесь особенно удивительны в свете дальней-
шего развития этой проблемы. Дело в том, что значитель-
но позднее было доказано, что для неоднородной вращаю-
щейся жидкой массы эллипсоидальные конфигурации во-
обще невозможны; но вместе с тем было строго доказано и то,
что в первом приближении, если центробежная сила, разви-
ваемая при вращении, настолько мала по сравнению с при-
тяжением, что квадратом отношения этих сил можно пре-
небречь, то эллипсоидальные конфигурации, как форма
равновесия, возможны 86.
Разумеется, Клеро ничего этого не знал; он просто ог-
раничил себя этим первым приближением и шел обрат-
ным путем, т. е. он не разыскивал возможных конфигураций
равновесия вообще, а проверял, может ли быть фигурой
равновесия эллипсоид вращения, сжатие которого было бы
величиной того же порядка малости, как и упомянутое от-
ношение центробежной силы к силе притяжения. Словом,
120
Клеро поступал в отношении неоднородной жидкости со-
вершенно так же, как Ньютон в отношении однородной;
но принципиальное различие обоих случаев было то, что
ньютоново решение оказалось впоследствии частным случаем
общей теории, не зависимым от каких бы то ни было при-
ближений; в то время как допущение Клеро оказалось при-
емлемым в той и только той степени приближения, с кото-
рой он его проводил. Действуя этим методом проверки,
Клеро не только доказал возможность первого приближе-
ния, но и привел условие равновесия эллипсоида к некото-
рому интегро-дифференциальному уравнению; теоретиче-
ски говоря, это уравнение дает возможность определить
сжатия последовательных слоев неоднородной жидкости,
если их плотности заданы как функция расстояния от цент-
ра («основное уравнение» Клеро, § 55 второй части).
За такую постановку проблемы академик А. М. Ляпунов
в наши дни довольно сурово порицал Клеро 57. Но, учиты-
вая все сказанное академиком А. М. Ляпуновым, мы долж-
ны отметить и то, что Клеро в его эпоху о втором прибли-
жении не мог и мечтать; а с другой стороны, что никто не
сделал больше, чем сам академик А. М. Ляпунов, для ут-
верждения значения результатов Клеро. Так, в мемуаре
1903 г., применив ко всей проблеме равновесия неоднород-
ной жидкости совершенно новый метод последовательных
приближений, не связанный ни с какими допущениями о
форме жидкой массы, А. М. Ляпунов в первом приближении
получает именно уравнение Клеро ®8; а в мемуаре 1904 г.,
исследуя это уравнение, А. М. Ляпунов показал, что оно
допускает решение для функции, определяющей.форму сло-
ев, при столь широких предположениях о плотности слоев
внутри массы (например, предполагая ее прерывной),
которые далеко превосходят по своей общности все то, что
могли представлять себе математики XVIII в. Для это-
го анализа А. М. Ляпунов создал специальный класс ин-
тегралов, превращающихся при некоторых частных пред-
положениях в интегралы Стильтьеса. Все эти исследования
показали, какую глубокую трактовку все еще допускает
старинная проблема Клеро.
Разумеется, та цель, которую преследовал сам Клеро,
могла быть и была совершенно иная. Над ним тяготела дру-
гая задача: определить теоретически возможные пределы
для сжатия Земли, если считать, что она представляет собою
неоднородную жидкую планету; этот вопрос был для него
121
тем более острым, что в «Началах» Ньютона он находил на
него ответ; однако правильность этого ответа Клеро прин-
ципиально отрицал.
Дело в том, что в 1-м и 2-м изданиях «Начал» (1687 и
1713 гг.) в конце предложения XIX книги III у Ньютона
имелось следующее утверждение:
«Так обстоит все это в предположении, что вещество пла-
неты однородно. Однако, если вещество плотнее у центра,
чем по окружности, то диаметр, проведенный от востока
к западу, будет еще больше».
Таким образом, Ньютон утверждал здесь, что сжатие
неоднородной планеты должно быть больше, чем у однород-
ной (при одинаковой величине отношения центробежной
силы к силе тяжести). Между тем, по теории Клеро получа-
лось как раз обратное. Поэтому в целом ряде мест своей
книги 69 Клеро приводит возражения против этого утвер-
ждения Ньютона, не зная, очевидно, что Ньютон впослед-
ствии, по-видимому, от него сам отказался, так как он иск-
лючил приведенное место из 3-го издания «Начал» (1725 г.).
Кто был здесь прав — Клеро или Ньютон, могли решить
только фактические геодезические измерения. Но, к сожа-
лению, во времена Клеро среди французских геодезистов
по этому поводу царила совершенная путаница, и вопрос об
истинном значении сжатия так и остался мучительной за-
гадкой для Клеро ®°. Только через несколько десятилетий
после его смерти, в начале XIX в., была определена почти
верная величина сжатия Земли; тогда лишь была устано-
влена правильность всей теории «первого приближения»,
полученного Клеро. Практически оно оказалось совершенно
достаточным и для наших дней.
Наконец, в дальнейшем развитии науки эта же теория
получила еще и другое подтверждение. Фигура равновесия
определяется, разумеется, полем сил тяготения, развиваю-
щихся внутри жидкой массы. Но эта фигура сама находит-
ся в поле сил тяготения, развиваемом внешними телами,
например Солнцем и Луной; это внешнее поле вызывает
определенные движения всей фигуры, например прецес-
сионное движение ее оси. Поэтому возникает вопрос: так
как оба эти поля, внутреннее и внешнее, едины в своей фи-
зической сущности, то нет ли возможности определить
фигуру равновесия, по возможности исключив внутреннее
поле и воспользовавшись только теми данными, которые
либо определяются на самой поверхности Земли (отноше-
122
ние центробежной силы к силе тяжести), либо теми, кото-
рые получаются астрономически, как, например, прецес-
сионным движением земной оси. Иными словами, нельзя
ли так преобразовать «основное уравнение» Клеро, чтобы
ввести в него «прецессионную постоянную», но вместе с тем
исключить внутреннее поле, т. е. неизвестное нам распре-
деление масс внутри Земли?
Это особенное направление в проблеме Клеро, начатое
еще Даламбером в упомянутой уже «Теории предварения
равноденствий» (1749), было закончено только Пуанкаре;
оно привело к одному из самых замечательных результатов
всего цикла геодезии и небесной механики, к так называе-
мому определению пределов сжатия Земли через «постоян-
ную прецессии». И все это было достигнуто единственно пу-
тем некоторых преобразований «основного уравнения» Кле-
ро; было еще раз показано все неизмеримое богатство ре-
зультатов, заключавшихся в теории «первого приближения».
Вот почему, заканчивая наш краткий обзор содержания
книги Клеро, мы можем и теперь повторить слова, сказан-
ные о ней более ста лет тому назад Лапласом:
«Важность всех этих результатов и изящество, с кото-
рым они представлены, ставят это произведение в ряд са-
мых прекрасных работ из области математики» 61.
Посвящается памяти
Б. И. РАКА
ЭТЮДЫ ПО ИСТОРИИ ПЛАНЕТНЫХ
ТЕОРИЙ *
ВВЕДЕНИЕ
Задача наших «Этюдов» — представить в кратком из-
ложении наиболее яркие и существенные моменты истории
теории движения планет начиная от классической древ-
ности и кончая первыми десятилетиями XVII в. При этом
здесь предполагается принять во внимание лишь те элемен-
ты старинных теорий, которые в конечном счете привели
к познанию истины, в той или иной мере служили прибли-
жением к ней или заключали в себе соотношения, на основе
которых могли быть сделаны дальнейшие открытия. Этим
условием существенно ограничивается выбор подлежащего
здесь изложению материала: все то, что представляло собой
лишь безуспешные искания, что оказалось впоследствии
теорией без будущего, все это должно остаться вне поля
нашего зрения. Например, мы вовсе не коснемся одного из
древнейших построений греческой науки, так называемой
теории гомоцентрических сфер, т. е. сфер, имеющих общий
центр с Землею; эта теория не заключала в себе даже и
возможности правильного подхода к проблеме определе-
ния планетных расстояний и учета непрестанного измене-
ния их от земного наблюдателя; следовательно, она оказа-
лась и фатально непригодным инструментом для астронома-
теоретика.
Древняя наука начинается для нас поэтому с Гиппарха
и Птолемея *; но и здесь, в изложении учений «Альмагеста»,
мы оставим в стороне, например, особенную теорию, пред-
ложенную Птолемеем для Меркурия; равным образом,
нет, на наш взгляд, необходимости излагать специальные
теории Венеры и Меркурия, выдвинутые Коперником для
* Из книги: «Николай Коперник». М.— Л., Изд-во АН СССР, 1947.
124
объяснения неравенства их гелиоцентрического движения.
Наконец, нет оснований говорить здесь и о попытках теоре-
тического обоснования движения планет по широте. Такие
попытки имеются и у Птолемея и у Коперника; однако пер-
вое правильное решение этой задачи, данное Кеплером, есть
уже скорее материал для современного курса теоретической
астрономии, чем для наших «Этюдов». Поэтому здесь будем
изучать только движение планет по долготе, отдельно от
движения по широте, как это делается в «Альмагесте» и в
трактате «Об обращениях небесных сфер».
Разумеется все те вопросы, мимо которых мы проходим,
должны найти свое место в полном трактате по истории
астрономии; но здесь для нас важно иное, именно: возмож-
но глубже проанализировать те простые и изящные кон-
цепции, которые привели к утверждению гелиоцентрической
истины и к раскрытию законов эллиптического движения
планет.
Этот анализ позволит нам прийти к некоторым ин-
тересным и, насколько мы знаем, еще нигде рельефно не
проведенным сопоставлениям основных теоретических схем
древней и новой науки.
Заметим в заключение, что мы оставляем в стороне так-
же и всю ту обширную и значительную тематику, которая
связана с философским, мировоззренческим и культурно-
историческим значением планетных теорий; в оправдание
напомним, что, насколько богата литература, посвященная
этим общим темам, настолько она бедна по специальной,
теоретико-астрономической стороне дела; на русском же
языке по ним вообще никакой литературы не имеется;
между тем, несомненно, что не только для астронома, но
и для всякого адепта физико-математических наук они на-
всегда останутся полными своеобразного значения и инте-
реса.
1. НЕПОДВИЖНЫЙ ЭКСЦЕНТР,
ДЕФЕРЕНТ И ЭПИЦИКЛ
Для пояснения основных кинематических моделей древ-
ней астрономии целесообразно начать с изучения одного из
простейших случаев плоского движения, именно вращения
параллелограмма вокруг одной из его сторон. Пусть дан
параллелограмм TNPO (рис. 1); представим себе, что его
125
стороны — стержни (или звенья) и что в его вершинах по-
ставлены шарниры, позволяющие каждой из его сторон
вращаться вокруг смежной с ней; пусть сторона ТО укреп-
лена неподвижно в плоскости. Геометрически очевидно, что
этот четырехзвенник сможет получать вращение в плоско-
сти вокруг ТО, сохраняя, конечно, форму параллелограм-
ма; при этом звено NP будет всегда параллельным ТО, ина-
че говоря, оно во все время движения может совершать
в плоскости только перемещения, называемые поступа-
на тот же самый
Рис. 1.
тельными.
Но сумма углов параллелограмма, прилежащих к любой
его стороне, всегда равна 180°; поэтому, если при вращении
параллелограмма, например против часовой стрелки2,
угол а увеличится на величину 0, то угол 0 уменьшится на
0; угол б уменьшится, а угол у увеличится на тот же угол 0.
Это означает, что при вращении прямой TN на любой угол
вокруг неподвижного центра Т отрезок NP повернется
, но в обратном направлении, вокруг
подвижного центра jV; точно так же
повернется этот отрезок в обратном
направлении вокруг подвижного
центра./3, в то время как прямая ОР
вращается в прямом направлении
вокруг неподвижной точки О.
Такие совокупности вр ащений
носят в кинематике название па-
ры вращений', одно из этих враще-
ний состоит в переносном вращении
отрезка NP вместе с NT, как если
бы он был жестко прикреплен к
NT в точке N; второе есть отно-
сительное вращение NP вокруг NT
на шарнире в точке N. Абсолютное движение NP, т. е. его
движение относительно неподвижных осей в плоскости чер-
тежа, и приводится, как мы видели, к поступательному
перемещению; к тому же это поступательное движение яв-
ляется в данном случае круговым-, мы хотим сказать этим,
что все точки отрезка NP опишут при его движении се-
мейство одинаковых окружностей, центры которых лежат
на отрезке ТО. Это обстоятельство не вызывает сомнения
для точек N и Р, траектории которых будут окружностями
равных радиусов NT и РО\ но то же самое будет иметь
место и для любой промежуточной точки Д'; проводя KL
126
параллельно РО, убеждаемся, что траектория точки К
будет окружность с центром L; на чертеже показаны дуги
аг Ь, с тех эксцентрических по отношению друг к другу
окружностей, которые описывают точки N, К и Р в их
абсолютном движении по плоскости.
Рассмотрим, наконец, траектории точек отрезка NP при
его относительном вращении вокруг центра 2V; так как при
всех положениях W любая из этих точек будет оставаться на
одном и том же расстоянии от N, то относительные траек-
тории точки Р и любой другой на отрезке NP представят
собой семейство концентрических окружностей с общим
центром N; точки отрезка NP опишут эти окружности в об-
ратном направлении за то же самое время, за какое N
обернется в прямом направлении’ [вокруг неподвижного
центра Т.
Описанная здесь схема движений шарнирного парал-
лелограмма имеет фундаментальное значение для астроно-
мии древних; чтобы формулировать полученные результаты
соответствующим] образом, вве-
дем термины, применявшиеся
древними и средневековыми ав-
торами ®: на' рис. 2 окружность,
которую описывает точка N во-
круг Т, есть несущий круг, или
деферент (circulus deferens); ок-
ружность, описываемая Р в ее
относительном движении вокруг
N, есть эпицикл (circulus epicyc-
lus); наконец, окружность, ко-
торую Р описывает вокруг не-
подвижного центра О, есть экс-
центрический круг, или просто
эксцентр (т. е. окружность, рас-
положенная эксцентрично по отношению к деференту).
В дальнейшем точка N будет изображать так называемую
среднюю (или «фиктивную») планету; точка Р — действи-
тельную планету; наконец, точка У, центр деферента, при-
нимается совпадающей с глазом наблюдателя и вместе с тем,
как говорили древние, с центром мира. К тому же, допу-
стим вместе с ними, что все введенные здесь вращения про-
исходят равномерно, т. е. с постоянной угловой скоростью.
Предпослав все это, приходим к теореме, приписываемой
Аполлонию Пергскому (ок. 200 г. до н. э.):
127
«Пусть средняя планета N обращается вокруг центра
мира Т по деференту в прямом направлении, с постоянной
угловой скоростью, а планета Р обращается в то же время
по эпициклу с той же угловой скоростью, но в обратном
направлении; при этих условиях движение планеты Р бу-
дет такое же, как если бы она обращалась с той же скоро-
стью и в прямом направлении по эксцентру, радиус которо-
го равен радиусу деферента, а центр О удален от центра
мира на отрезок ОТ, равный и параллельный радиусу эпи-
цикла NP».
Так как отрезки NP и ОТ сохраняют в изучаемом дви-
жении постоянное направление, то эта схема получила на-
звание неподвижного эксцентра\ таким образом, резюмируя
и переводя теорему кинематики о паре вращений на язык
древней астрономии, мы скажем, что система эпицикла и
деферента, при условии равных и противоположно направ-
ленных вращений, эквивалентна неподвижному эксцентру.
Отметим еще на том же рисунке два особенных положе-
ния нашего шарнирного четырехзвенника, когда он вытяги-
вается в прямую, допустив раз навсегда, что радиус дефе-
рента больше радиуса эпицикла. В первом из этих поло-
жений TONiA планета Р совпадает с Л и находится на наи-
большем расстоянии от Т; во втором OTDN2 планета
находится в D, в наименьшем расстоянии от Т. Диаметр экс-
центра AD есть линия апсид эксцентра (от греческого
apsis — вершина); точка А—ее верхняя, точка D—ее
нижняя вершина (summa et infima apsis) или, по термино-
логии, заимствованной у арабов, А есть aux, D — opposi-
tum augis; у греков А — апогей, D — перигей, т. е. точки
«удаленная» и «ближайшая» к Земле. Пусть будет:
а — радиус деферента или эксцентра,
b — радиус эпицикла (Ь < а),
Г1 — расстояние ТА (апогей),
г2 — расстояние TD (перигей);
тогда, очевидно
гх = а+ Ь, г2 = а — Ь, а = у (гх + r2), b = у (гу — г2).
Наконец, отношение Ыа есть эксцентриситет эксцентра 8.
Таким образом,
= А = 9L = ri ~~z'* 2
6 а ~ О А ~~ п 4- Г2
(1)
128
Какое назначение имели эти схемы для древних геомет-
ров и астрономов — для Аполлония Пергамского, Гиппар-
ха и Птолемея? Они открывали перед ними возможность
ввести численные соотношения в наблюдаемые неравномер-
ные движения светил и потому вообще сводить неравномер-
ное движение к равномерному. В самом деле, если прямая
TN, а вместе с ней и радиус эксцентра ОР вращаются рав-
номерно вокруг центров мира и эксцентра, то прямая ТР,
определяющая единственное непосредственно наблюдае-
мое направление всей схемы от наблюдателя к планете,
очевидным образом не может вращаться равномерно вок-
руг Т: углы при вершине Т будут меньше соответствующих
углов при вершине О, когда Р находится в области апогея,
и больше их, когда будет в области перигея. Таким обра-
зом, наблюдаемое из Т неравномерное движение планеты
здесь разлагается на два равномерных вращения. К тому
же очевидно, что степень уклонения наблюдаемого враще-
ния прямой ТР от равномерности находится в прямой за-
висимости от величины только что введенного эксцентри-
ситета эксцентра в; к изучению этой зависимости мы и пе-
рейдем.
2. ГИПОТЕЗА ПРОСТОГО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА
Схемы эксцентра, эпицикла и деферента применялись древ-
ними, начиная от Гиппарха, к построению теорий движения
Солнца и Луны. Однако здесь нужно прежде всего учесть
некоторые особенности в отношении отсчета углов и опре-
деления направлений, которые возникают в силу общих ус-
ловий всякого астрономического наблюдения: все поло-
жения светил проектируются на «небесную сферу», и древ-
ние ясно осознали, что радиус этой сферы можно считать
бесконечно большим по сравнению с теми расстояниями, ко-
торые могут отделять наблюдателя от Солнца, Луны или
планет; поэтому любые два параллельных направления на
рис. 2 определяют одну и ту же точку небесной сферы; та-
ковы, например, NP и ТА — радиус эпицикла и линия ап-
сид; оба они ведут к той же самой точке сферы, неподвиж-
ной среди звезд. Но положение этой точки наперед неизве-
стно, и вести от нее непосредственные отсчеты углов нель-
зя. Для определения направления прямой ТР нужно за-
даться какой-либо определенной точкой небесной сферы;
5 Н. И. Идельсон
129
за таковую Гиппарх принял точку весеннего равноденствия,
и уже в самом этом факте сказывается немаловажное до-
стижение древней науки.
Суть дела здесь заключается в открытии, что Солнце
в его видимом годичном движении между звездами (направ-
ленном от запада к востоку) описывает большой круг не-
бесной сферы; центр этого круга, который получил назва-
ние эклиптики, есть глаз наблюдателя, т. е. точка Т (она
же центр деферента — см. рис. 2); величина радиуса этого
круга никакой роли не играет, поскольку он вообще слу-
жит только для отсчета центральных углов при точке Т
(поэтому Птолемей постоянно^называет эту точку «глаз
наблюдателя, или центр круга, концентричного с эклипти-
кой»). Угловые расстояния, отсчитываемые в этом круге
при центре Т от некоторой определенной его точки, именно
упомянутой уже точки весеннего равноденствия у, полу-
чили название долгот4; таким образом (рис. 3), угол
у ОА = у ТА есть долгота апогея', мы будем обозначать
ее через П; угол у ТР есть видимая долгота планеты, кото-
рую обозначаем Л; от нее отличаем среднюю долготу, опре-
деляемую направлением на
центр эпицикла N.
Таким образом,
X = П + v, (2)
где угол v = АТР и есть
тот, которым (поскольку он
сохраняет постоянное значе-
ние) измеряется неравномер-
ное движение планеты, вос-
принимаемое наблюдателем;
найти закон изменения его с
течением времени — основная
задача теории планет; для этого требуется связать угол о
с каким-либо равномерно возрастающим углом. В изучае-
мой схеме, которая в отличие от другой, более сложной (с ко-
торой мы познакомимся дальше) получила название гипо-
тезы простого эксцентриситета, эта связь осуществляется
следующим образом. Продолжим радиус деферента TN до
пересечения с эпициклом в точке А'; эта точка и противо-
лежащая ей В' суть так называемые истинный апогей и
истинный перигей. Угловое расстояние планеты от истин-
ного апогея, т. е. угол A'NP, есть, по Птолемею, аномалия
130
планеты (или, по терминологии «Альфонсин», ее аргумент)-,
мы будем обозначать его через М; очевидно, что М =
= / A'NP = / РОА, и по условию именно этот угол возрас-
тает пропорционально времени.
Таким образом, мы должны найти выражение v через
М; но имеем:
v = М - х, (3)
где х есть угол ОРТ = PTN-, иными словами, имеем
тот угол, под которым наблюдатель усматривает радиус
эпицикла или под которым из Р усматривается линейный
эксцентриситет эксцентра ТО = ае; заметим здесь же, что
углы, отсчитываемые при центре деферента Т, назывались
в средние века центрами-, угол ATN, равномерно возра-
стающий, есть средний центр (centrum medium); угол х
есть периодическое неравенство или уравнение этого цен-
тра (aequatio centri); поэтому v есть центр, отягченный его
неравенством (centrum aequatum).
Искомая зависимость между М и х или М и v получает-
ся весьма просто по рис. 3; опустим из Р перпендикуляры
на TN и ТА-, полагая ТР = г; TN = OP = a; NP = ОТ —
= Ъ,
найдем
PF = г sin х — b sin М,
(4)
TF = г cos х = а + b cos М,
а также
РК = г sin и = a sin М,
ТК = г cos v = b + a cos М.
(5)
Деля первые из этих уравнений на вторые, затем возводя
их в квадрат, складывая и вводя при этом эксцентриситет
е, получим
tex= esinM
ё l + ecosM ’
tgv=-sinM ,
® 8 + COS М ’
r2 — а2Ц _|_ е2 2е cos М).
(6)
(7)
(8)
Из этих формул и при учете (2) видно, что долгота впол-
не определяется заданием двух постоянных величин 8 и П
5*
131
(11)
и переменной М\ мы имеем
1 = П + М — х. (9)
По условию, М возрастает пропорционально времени;
пусть Мо — значение этого аргумента в произвольно вы-
бранную начальную эпоху /0 и р. — его изменение (или
движение) за единицу времени (обычно за сутки); тогда для
любого момента t
М = Мо + р (t - t0). (10)
Вместо аномалии М можно пользоваться и средними
долготами L, определяющими, как уже сказано, направле-
ние из Т на среднюю планету iV; положим
L = М + П = Lo + р, (/ - /0),
где Lo есть средняя долгота для начальной эпохи, или про-
сто долгота эпохи, тогда
А = L — х= Lo + р (/ — t0) — х,
где х определяется из (6)
, 8 sin (L — П)
lg - 1 _|_ gcos (£ — П) •
Формулами (11), (1Г) и (8) исчерпывается все содержа-
ние гипотезы простого эксцентриситета. Заметим кстати,
что из (8) можно получить только величину отношения
r/а; никакими методами определения г или а в отдельности,
т. е. получения линейных размеров в планетной системе,
астрономия до Коперника не владела.
Разумеется, все полученные соотношения можно было
бы вывести непосредственно из схемы эксцентра, вовсе не
вводя даже понятий эпицикла и деферента. Из основного
треугольника ТРО (глаз наблюдателя — планета — центр
равномерных вращений) имеем (см. рис. 3):
sin х_sin v sin М
b а г ’
откуда легко получаются формулы (6) и (7), учитывая ус-
ловие v = М — х; наконец, формула (8) есть просто выра-
жение для квадрата стороны через другие элементы этого
же треугольника. Из соотношения
ь .
sin х = — sin v — е sin v
а
(12)
132
вытекает, что наибольшее значение
уравнения центра соответствует
значению v = 90°, когда мы имеем
SIH Xmax 8. (13)
Птолемей получает эти послед-
ние результаты простым геометри-
ческим выводом 5; мы воспроизве-
дем его здесь. 2
Проведем через Т (рис. 4) хор-
ду K.L перпендикулярно AD.
Пусть планета находится в Р; тог-
да РТ > ТК‘, следовательно, в
треугольнике РТК будет
/ РКТ > Z ТРК.
Вычитая из обеих частей этого неравенства равные углы
РКО и ОРК., найдем:
/ ОКТ > Z ТРО, или / OLT > Z_ ТРО.
Если же планета находится в Q, то QT <. ТК‘, следова-
тельно, / QKT < / TQK} вычитая обе стороны неравен-
ства из равных друг другу углов OKQ и OQK. получим:
Z.OKT>^_OQT, или Z_OLT>Z.OQT>
так что в обоих случаях уравнение центра меньше угла
OLT, который и есть уравнение центра при v = 90°.
Рассмотрим в заключение вопрос о скорости изменения
наблюдаемой, или, как ее называют, «видимой» долготы А.
Так как апогей неподвижен, имеем по (2)
dk dv
dt ~ dt •
Но ввиду (7)
Но если
v = arc tg — ,
то
dt у* '
1.3.5
Применяя эту формулу к выражению для о и замечая,
что по (10)]
dM
-di = ^
найдем
dk__ (1 -f- ecosM) p
dt 1 + 2e cos Л1 + e2 '
Ввиду (8) можем написать:
dX a2 Z1 . ...
d/=7f(l +ecosM) p.
В перигее, когда M = v = 180° и г = а (1 — е), угловая
скорость (или движение) долготы наибольшая:
dk__ р
dt 1 — 8
В апогее, при Л1 = и = 0иг = а(1+е), угловое движе-
ние долготы наименьшее:
dl__ р
dt 1 + е ‘
Таким образом, в апсидах, но и только в них, движение
планеты по ее видимой долготе обратно пропорционально
расстоянию планеты от точки Т.
(14)
(15)
(16)
3. «ПЕРВОЕ НЕРАВЕНСТВО».
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СОЛНЦА
ПО ГИППАРХУ И ПТОЛЕМЕЮ
Древние причисляли Солнце к числу планет; однако его
движение существенно проще движения других пяти пла-
нет: в отличие от них, Солнце не останавливается в своем
видимом движении между звездами, не получает попятного
движения; оно перемещается неизменно прямым движе-
нием от запада к востоку, обходя в течение года весь круг
эклиптики, и только скорость его движения в разных ча-
стях этого круга, в разных знаках зодиака, не одинакова.
Такое неравенство древние называли первым, или простым,
и именно для того, чтобы получить возможность предвы-
числять положения Солнца на любой момент времени, Гип-
134
парх и приложил к его движению гипотезу простого экс-
центриситета. Но это требовало, прежде всего, определе-
ния среднего движения Солнца по долготе, а значит, и точ-
ной формулировки самого понятия солнечного года. В этом
направлении Гиппарх считал, что нельзя найти более со-
ответствующего определения самому явлению «возвраще-
ния Солнца», как то, которое «приводит его снова к одина-
ковому состоянию теплоты воздуха, иными словами, его
возвращения к тому же самому времени года» ®.
Так было создано фундаментальное понятие тропиче-
ского года, т. е. промежутка времени между двумя весен-
ними равноденствиями (позднейшие его названия: annus
vertens или temporalis). Из совокупности имевшихся
в его распоряжении наблюдений (от 281 до 135 г. до н. э.)
Гиппарх нашел, что «тропический год равен 365 дням и од-
ной четверти и меньше приблизительно на 1/300 дня». Это
определение (как и вообще вся теория Солнца) было сох-
ранено Птолемеем; оно дает, следовательно, для длины
тропического года в эпоху Гиппарха 7:
А = 3651 = 365,24667дня = 365Д5Ч55"12С.
Отсюда среднее суточное движение Солнца по долготе 8:
р = = бб’в11! 71" 13IV12V31VI, (17)
или, обращая в секунды и их десятичные доли,
р = 3548",287002;
это определение меньше действительного значения р на
О’,042.
Итак, первый кардинальный факт в древних теориях —
это установление некоторого среднего движения Солнца;
второй, не менее важный результат гласил, что внутри года
наблюдаемое движение Солнца не остается равномерным:
равные углы по видимой долготе Солнца проходит в неоди-
наковые интервалы времени; так, по Гиппарху, астрономи-
ческая весна (промежуток, когда видимая долгота Солнца
возрастает от 0 до 90°) длится 941/2 дня; астрономическое ле-
то (промежуток времени, когда видимая долгота увеличи-
вается от 90 до 180°) составляет 921/2 дня.
На этих трех данных: именно на величине р и на длине
весны и лета, Гиппарх, а за ним и Птолемей строят всю
155
теорию Солнца, применяя к его движению гипотезу просто-
го эксцентриситета; при этом, как нам уже ясно, можно
развивать ее безразлично либо в терминах деферента и
эпицикла, либо в терминах эксцентра; Птолемей останав-
ливается на эксцентре, считая, что «гипотеза эксцентра
проще, поскольку она достигает цели с помощью только
одного движения»9.
В качестве исходного уравнения для определения сол-
нечной орбиты мы возьмем здесь формулу (12):
sin х = 8 sin v, х = М — v = L — X; и = X — П.
Таким образом
sin( L — X) = в sin (X — П). (18)
Долгота Солнца X получается из наблюдений в опреде-
ленный момент I; поэтому (18) содержит три неизвестных
элемента солнечной орбиты: эксцентриситет 8, долготу апо-
гея П и среднюю долготу L для момента t. Так как все
средние долготы получаются из любой из них при помощи
суточного движения, которое предполагается заданным,
то очевидно, что для определения трех указанных неизве-
стных необходимо иметь три наблюденные долготы Хх,
Хз, Х3 и соответствующие им моменты 4, 4, h- Задача легко
решается в самом общем случае, но здесь мы ограничимся
весьма простым геометрическим решением Птолемея, соот-
ветствующим численным данным Гиппарха; именно здесь
мы имеем:
Хх = 0, Х2 = 90°, Х3 = 180°,
4 = 0, 4 - 4 = 94,5, t3 -t2 = 92,5.
Отсюда с приведенным выше значением р получаем при-
ращения средних долгот за весну и лето
L2 — Lx = ji (/2 — 4) — 93°8'32’, (*)
Ls — L2 = p. (t3 — 4) = 91°10'15".
Пусть на рис. 5 точка О есть центр равномерных враще-
ний, она же — центр эксцентра, радиус которого полагаем
равным 1. Требуется поместить в эксцентре глаз наблюда-
теля так, чтобы удовлетворить условиям (*). Допустим,
что задача решена и что Т есть искомая точка, так что AD
есть линия апсид эксцентра. Точка Т есть в то же время и
136
центр эклиптики; Эту окружность мы проводим радиусом,
равным, например, О А (величина его, как уже сказано,
никакой роли не играет); на эклиптике отмечаем долготы
О, 90, 180 и 270°; прямые, направленные из Т к этим дол-
готам, пересекут окружность эксцентра в точках у, 8, а
и 0; именно в них будет находиться Солнце в моменты на-
чала весны, лета, осени и зимы; но за соответствующие
промежутки радиус эксцентра, вращаясь равномерно во-
круг центра О, опишет как раз углы, равные указанным
приращениям средних долгот, так что
Z ?О6 = 93°8'22", ^/бОа = 91° 10'15".
Проводим теперь через О два диаметра эксцентра, па-
раллельные прямым ау и 06; пусть они пересекают эксцентр
в точках с, d, а и Ь; тогда
Z сОу = yZ (уОб + ЬОа - 180°) = 2°9'23",5,
£ dO8 = / уОд — 90° Z сОу = 0°59'8",5.
Поэтому в треугольнике ТОЕ (имея в виду, что О А =
= 1) будет
ОЕ = Су = sin г^гз^б TE=Nd=sin 0°59'8",5.
Долгота апогея есть угол
П = £ уТА = ЕТО,
так что
tgn--^- sin2°9'23"’5 9 1874
8 ТЕ ~ sin 0°59'8",5 ~ 2’1874’
137
откуда
П = 65°26'0".
И затем
е = ОТ = -££=- = -infiX2fi^’.5 = 0,04137,
sin П sin 65°26'0
ИЛИ
8 = 2477 •
Отсюда, по формуле (13), наибольшее уравнение центра
Солнца
хтах = arc sin 8 = 2°22'6".
Гиппарх получал 10
П = 65°30'; в = ; хтах = 2°23\
так что эти его численные результаты вполне соответство-
вали и его наблюдениям и той теории, которую он приме-
нял к их обработке.
Нам осталось определить теперь третий и последний эле-
мент теории Солнца, именно его среднюю долготу для ка-
кого-либо заданного момента; но, как было сказано выше,
уравнение центра есть угол, под которым с планеты усмат-
ривается отрезок ОТ; следовательно, в данном случае урав-
нения центра, соответствующие видимым долготам % = 0
и к = 90°, будут как раз углы:
£ ОуТ = ХуОК = 2°09'23",5,
Z 067 = /SON = 0°59'8",5.
Но, по определению, k—L — х, и в первом случае, по
формуле (6), х отрицательно (М > 180°, см. рис. 5), во вто-
ром — положительно и, так что
£х = кг + xr = 357°50'36", Lj = ^ + х2 = 90°59'8'.
Отсюда, вычитая долготу апогея П, получаем «аргу-
менты» или «аномалии» Солнца. В весеннее равноденствие:
= 292°24'36",
в летнее солнцестояние:
М2 = 25°23'8".
138
Теперь достаточно определить из наблюдений точный
момент какого-либо равноденствия или солнцестояния, что-
бы при помощи известного уже среднего движения р по-
лучить среднюю долготу Солнца на любой момент времени.
Вычитая же из средних долгот уравнение центра, вычис-
ленное по (6), можно определить и его видимую долготу X.
К этим простым и изящным построениям и сводится тео-
рия движения Солнца, данная Гиппархом и воспроизве-
денная без всяких изменений Птолемеем. Какова же сте-
пень ее точности?
Подходя к ответу на этот вопрос, мы оставим совершенно
в стороне изучение точности определения моментов равно-
денствий или солнцестояний; это — вопросы наблюдатель-
ной техники древних, весьма интересной и своеобразной,
но не подлежащей здесь нашему изучению; вообще говоря,
даже Гиппарх не мог получить этих моментов точнее, чем
на несколько часов (и действительно, перевычисление его
равноденствий по современным таблицам обнаруживает
ошибки, доходящие до 18 час.). Однако, как мы видели
выше, это мало сказалось на точности определения сред-
него движения, так как совокупность наблюдений, которы-
ми обладал Гиппарх, охватывала достаточно большой про-
межуток времени — по меньшей мере два столетия. В вопросе
же о точности определения долготы апогея нужно суще-
ственно отличать Гиппарха от Птолемея, который наблю-
дал через 300 лет после него Птолемей сделал здесь одну из
самых существенных своих ошибок: он принял как догмат,
что долгота апогея Солнца навсегда сохраняет постоянное
значение, то самое, которое нашел Гиппарх, именно П =
= 65°30'. На самом деле это не так; долгота апогея увеличи-
вается на Г42' в столетие. Этот факт, раскрытый только
арабскими астрономами (Альбатани, умерший в 930 г.,
получил из наблюдений П = 82°), подтверждается небес-
ной механикой 12. С помощью ее данных, точность которых
значительно превосходит точность древних наблюдений,
находим значения П для интересующих нас эпох:
Эпоха Долгота апогея Солнца Эпоха Долгота апогея Солнца
—150 66°10' +50 69°34'
—50 67 52 +150 71 16
139
Из этой таблицы видно, что когда Гиппарх (наблюдав-
ший приблизительно в эпоху —150) определил долготу
апогея в 65°30', то его ошибка была порядка 1/2°13; но когда
Птолемей, наблюдавший в эпоху +150, утверждает, что
он получил то же самое значение для апогея, то это уже
гораздо хуже, так как его ошибка доходит до 5°, и она об-
наруживает с несомненностью, что Птолемей вступил здесь
на путь очень свободного обращения с наблюдениями, чтобы
извлечь из них то, что он наперед считал нужным получить.
Поэтому мы оставим здесь Птолемея в стороне с его наблю-
дениями Солнца (которые
еще и Делямбр считал «не-
много подозрительными»)
и для численной оценки
точности гиппарховой тео-
рии применим ее к материа-
лу, доброкачественность
которого не будет вызывать
сомнения. Мы вычислим
для этого по современным
таблицам14 движения Солн-
ца моменты начала весны,
лета и осени и к этим дан-
ным применим теорию Гиппарха. Так, например, для 1942 г.
мы получаем:
Начало весны март 21,5 ч. 50 м. гринвичского времени
» лета июнь 22,1 ч. 15 м. » »
» осени сентябрь 23,16 ч. 10 м. » »
Соответствующие интервалы и движения средней долготы:
Весна 92,809д. ... 91’28'26'
Лето 93,622д. ... 92’16'41'.
Мы имеем поэтому (рис. 6)
ZcO? = 1°52'34",
= — 0°24'07",
откуда по приведенным выше формулам
П = 102°6'; 8 = 0,03348; хтах = 1°55'10".
140
Наконец, средняя долгота для момента 1942 III 21,
5 ч. 50 м.
L = 360° — Г52'34" = 358°07'26".
Действительные же значения элементов П, хтах для
1942 г. и L для указанного момента:
П = 101°57'; хтах = Пбб'б"; L = 358°07'30".
Ошибка в П, таким образом, всего 9' (и она неизбежна, по-
тому что в формуле для tg П знаменатель очень мал), ошиб-
ка в е и L ничтожна. Поэтому читатель, вероятно, к некото-
рому удивлению, обнаружит, что теория Гиппарха обла-
дает очень высокой точностью. Если бы мы построили по
только что полученным элементам таблицы движения Солн-
ца, т. е. таблицы его средней долготы L и уравнения центра
х, вычисленного по формуле (6) с найденным значением е,
то ошибка таких таблиц в долготе Солнца на ближайшие
десятилетия не превысила бы Г — 2'.
Поэтому перед нами возникает очевидная задача: объяс-
нить, в чем же причина этого замечательного согласия
древней теории с астрономической действительностью, от
полного познания которой греческие астрономы были еще
очень и очень далеки 16.
4. БИССЕКЦИЯ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА
Для того чтобы произвести надлежащую оценку гиппар’
ховой теории, мы должны, конечно, обратиться к истинным
законам планетного движения, раскрытым Коперником и
Кеплером. Теперь ровно 400 лет как стало известным, что
в схемах Гиппарха и Птолемея надо поменять местами точки
Т и Р в том смысле, что не Солнце в точке Р обращается во-
круг неподвижного наблюдателя в Т, а, наоборот, наблюда-
тель, находясь в подвижной точке Р, движется вокруг не-
подвижного Солнца в Т. Однако ввиду отмеченной нами
особенности астрономических наблюдений коперникан-
ский переход к гелиоцентрической системе не имеет суще-
ственного значения именно для изложенной теории Гип-
парха и Птолемея. В самом деле, наблюдатель (рис. 7) в Р
«несет с собой» из Р в Р' круг произвольного радиуса, центр
которого «совпадает с его глазом»; на этом круге (иными сло-
вами, на эклиптике) он отсчитывает долготы, начиная от
141
направления уР и считая их против стрелки часов. По-
этому если в счете Гиппарха угол уТР есть геоцентрическая
долгота Солнца, то теперь этот угол уТР есть гелиоцентриче-
ская долгота Земли, а угол у РТ есть геоцентрическая дол-
гота Солнца, по Копернику. Но так как направления Ру и
Ту параллельны, то
+ 180°,
следовательно, неравенства в движении точек Р вокруг Т
или Т вокруг Р будут одинаковы. Здесь еще кстати отметим
(что нам будет нужно в дальнейшем), что направление РО
от глаза наблюдателя к центру земной орбиты есть не что
иное как направление радиуса деферента (см. рис. 3); сле-
довательно, им определяется среднее Солнце, так что угол
уРО на рис. 7 есть средняя геоцентрическая долгота L
Солнца.
Наконец, если, по Гиппарху, Солнце проходит в прямом
направлении угол РТР', то, и по Копернику, для наблюда-
теля в Р’ Солнце сместилось
тоже в прямом направлении
(против часовой стрелки) на та-
кой же самый угол (Т)Р’Т.
(Здесь Р'(Т)\РТ.)
Рис. 7
Поэтому в астрономическом
языке до сих пор удержалась
терминология Гиппарха; мы го-
ворим о таблицах движения
Солнца, о моментах вступления
Солнца в знаки зодиака, о пери-
гее и апогее солнечной орбиты,
вместо того, чтобы говорить о
перигелии и афелии орбиты
Земли.
Неизмеримо более существенным для теории Солнца был
тот окончательный отказ от «круговой астрономии» древ-
них и Коперника, который связан с именем Кеплера:
в 1609 г. Кеплер установил, что орбиты планет, в том числе
и орбита Земли, суть эллипсы, в одном из фокусов кото-
рых, общем для всех планет, находится Солнце. Пусть
дана такая орбита (рис. 8); большая ось эллипса AD есть
его линия апсид, в фокусе F находится Солнце, положение
точки Р определяется ее радиусом-вектором FP = г и ис-
тинной аномалией 1в v = ^/AFP- Теория эллиптического
142
движения вводит также некоторый угол М, растущий про-
порционально времени и носящий название средней анома-
лии (на рис. 8 этот угол показан быть не может; он не впол-
не совпадает, как мы увидим ниже, с птолемеевой аномалией,
но различием их мы пока пренебрежем). Разность между
обеими аномалиями (или уравнение центра}, а также и ве-
личина ria (где а есть большая полуось эллипса, т. е. ОА)
определяются в теории эллиптического движения беско-
нечными рядами, расположенными по степеням эксцентри-
ситета эллипса
каковая величина для планет Солнечной системы является
величиной малой. Сохраняя в этих разложениях толь-
ко члены, содержащие е и е2, имеем 17 :
х = 2а sin М — -|-e2 sin2M, (19)
•£ = 1 4--у 4-ecosAf —-y-cos2Al. (20)
С этими разложениями мы и сопоставим «гипотезу простого
эксцентриситета», осуществленную в тео-
рии Солнца по Гиппарху; ее основные
формулы (6) и (8) гласят:
.______в sin М
g х 1 + 8 COS М ’
г2 =а2 (1 4- в2 + 2е cos М).
Производя в первой из них деление,
с точностью до 82, а во второй извлече-
ние корня, с той же точностью, по фор-
муле
/rrs-i+i*
и считая еще угол х настолько малым, что его можно при-
равнять его тангенсу, найдем:
x = 8sin44—g-sin2Al, (21)
7 = 1 + -J- 4- в cos М - -J cos2M. (22)
143
Сравнивая эти формулы с эллиптическими (19) и (20),
видим, что члены первого порядка в уравнении центра сов-
падут, если только мы положим формально
е = 2е; (23)
тогда будем иметь в гипотезе простого эксцентриситета
х = 2е sin М — 2е2 sin 2М, (24)
у = 1 + е2 + 2е cos М — е2 cos 2М. (25)
Таким образом, приходим к интересному результату:
если в формулах «простого эксцентриситета» отождествить
эксцентриситет эксцентра с удвоенным эксцентриситетом
кеплерова эллипса и радиус эксцентра с полуосью эллипса,
то выражения уравнения центра в обеих теориях совпадут
в членах первого порядка и обнаружат лишь разницу в
3/4 e2sin 2Af; но разложения радиуса-вектора будут разли-
чаться, кроме членов второго порядка, еще и на член
первого порядка, именно на +е cos М.
Так, мы будем иметь на эллипсе в перигелии и афелии
М = 180° и М = 0):
г = а (1 — е) и г = а (1 + е),
а в гипотезе Гиппарха
г — а (1—2е) и г = а (1 + 2е). (25')
Указанным обстоятельствам и обязана своим успехом
теория Гиппарха в отношении долгот Солнца; согласно ре-
зультату, полученному в конце предыдущего параграфа,
мы нашли
е = 4 = 4 -0,03348 = 0,01674;
это находится в превосходном согласии с действительной
теорией эллиптического движения Земли (е = 0, 0167510).
Поэтому наибольшая ошибка в долготе не превосходит
Ч Р2
^±Уг = ±<
и эта погрешность, разумеется, существенно перекрывалась
неточностью древних наблюдений. Но, в то время как ра-
диус-вектор в эллипсе колеблется у Земли в пределах
144
от 1,0167 до 0,9833 (принимая полуось эллипса за 1), у Гип-
парха он изменялся от 1,0335 до 0,9665. Следовательно,
древняя теория была совершенно не пригодна к представле-
нию расстояний светил. Но расстояниями древние мало ин-
тересовались; проблема определения точной формы земной
орбиты встала во всей остроте лишь перед Кеплером, когда
он начал свои исследования движения Марса; здесь он
нуждался в возможно точных значениях расстояний Солн-
ца от Земли. Однако в этих изысканиях Кеплер смог опе-
реться на значительно более совершенную теорию неравно-
мерного планетного движения, чем гипотеза простого экс-
центриситета: то была схема «биссекции» — шедевр древ-
ней науки, неоспоримо принадлежащий Птолемею18.
Теория Птолемея поясняется рис. 9 и 10. Пусть Р —
планета, Т — глаз наблюдателя, или центр эклиптики,
О — центр равномерного вращения, так что по-прежнему
ОТ = аг, причем здесь е — полный эксцентриситет, а —
радиус эксцентра. Разделим ОТ пополам и соединим пла-
нету Р со средней точкой отрезка ОТ, которую назовем С.
Пусть теперь Р движется по кругу радиуса PC, который
будем по-прежнему называть эксцентром, но так, что рав-
номерно будет вращаться не этот радиус PC, а прямая
РО. В этом и заключается птолемеева «гипотеза биссекции
(или равного деления) эксцентриситета».
Положим здесь PT = г, PC — а', ТС = СО = -|- аг.
В этой новой теории движение планеты в круге эксцен-
тра не только «представляется» неравномерным наблюда-
145
телю в Т, но оно и реально неравномерно, поскольку посто-
янная угловая скорость принадлежит прямой ОР. Таким
образом, точка О как бы вызывает неравенство движения
планеты в эксцентре; соответственно этому в Альфонсин-
ских таблицах она называется punctum aequans (эквант,
у Птолемея особого названия для нее не дается); точно так
же всякий круг с центром О, радиус которого вращается рав-
номерно, есть круг, «вызывающий» неравенство движения
планеты (circulus aequans — эквант).
Таким образом, здесь мы имеем уже три круга: эксцентр
Р (по нему движется планета), эквант (круг равномерного
вращения) и эклиптику (круг отсчета долгот); на чертежах
Птолемея радиусы не только экванта и эксцентра, но также
и эклиптики принимаются равными, так что этот последний
круг можно называть и деферентом (см. рис. 10).
Разовьем теперь формулы теории биссекции. Пусть
будет, как и раньше (см. рис. 9),
Z РОА = М, РТА = v, Z_ ОРТ = х = M — v.
Обозначим через ф угол ОРС, так что
/ СРТ = х — ф = ф.
Можно заметить, что в «Альфонсинах» угол ф назывался
физической, а угол ф оптической частью уравнения центра.
Из треугольников СРО и ТРС находим
sin ф = sin М, (26)
зшф= -|-sinu. (26')
Далее, из прямоугольных треугольников CPG и TPF,
учитывая, что ТС = СО и FG = GO, получим
rsinx = aesinM = а (эшф + 4 sin М.),
/ 8 \ <27)
rcosx = aecosM = п(созф + у cosМ \.
Очевидные комбинации этих формул приводят к основным
зависимостям «гипотезы биссекции»:
tgx =
е sin М
cos ip -f- Л. cos M
(28)
146
г = a [cos (х — ф) + у cos (М — х) j , (29)
г2 = а2 [1 е cos (М — ф) + -yj • (29')
Если теперь от этих точных формул перейти к прибли-
женным, то достаточно заметить, что по (26)
cos ф = (1 — -у sin2 М^1 =1 —sin2 М,
так что с точностью до первой степени
cos ф — 1; cos (М — ф) = cos М -У sin2 М;
£
отсюда с точностью до е2 включительно
г2 = а2 Ц- -у 4- е cos М. — -^-cos 2Л^ . (29")
Из этих формул выводим
g2
х = 8 sin М —7- sin 2М,
4
г = 4- jg®2 4- уcosM — е2cos2Л?),
или, наконец, полагая 8 = 2е,
х = 2е sin М — e2sin 2 М,
г = а (1 4- + еcosМ — е2cos2М^ . (30)
Эти приближенные формулы и надлежит сопоставить с
приближенными формулами эллиптического движения (19)
и (20); мы заключаем, что уравнение центра и выражение
для r/а отягчены в теории биссекции ошибками:
6х = — sin 2М, б[-^ = —-J-(l — cos2M). (31)
Таким образом, по сравнению с гипотезой простого экс-
центриситета ошибка в х уменьшилась в три раза, а ошиб-
ка в г!а, которая в той гипотезе содержала член первого
147
порядка, теперь упала до второго; при этом в апогее и
в перигее получаем по второй формуле (30): г = а (1 + е)
и г = а (1 — е), т. е. такие же значения, как в эллипсе;
все это составляет существенное улучшение сравнительно
с (25').
Наибольшие значения этих ошибок теории биссекции
равны:
бх = 4-7X77; б(^ = — (31')
— 4 sin Г ’ \ а / 2 v '
Так, например, для Марса, у которого е = 0,0933, эти
ошибки достигают всего лишь
бх = + 7',48; б = + 0,00435.
Но как раз эти предельные уклонения в долготах и радиу-
сах-векторах Марса были тем самым источником, из ко-
торого выросла, в результате поражающих трудов Кеплера,
теория истинного эллиптического движения планет.
При определении планетных орбит Птолемею приходит-
ся постоянно решать следующую задачу: определить дугу
KL в эклиптике, вырезаемую на ней радиусами-векто-
рами ТР' и ТР (см. рис. 10), иными словами, найти изме-
нение долготы, происходящее в силу перехода от неравно-
мерно движущейся в эксцентре планеты Р к равномерно
движущейся в экванте точке Р’.
Положим
/ Р'ТО = t>0, ОР'Т = х0, Z РТО = v, Z орт = х,
так что величины у0 и х0 соответствуют гипотезе простого
эксцентриситета с полным эксцентриситетом в = ОТ.
Мы имеем здесь:
М = / АОР = v + х = у0 + х0.
Уравнение центра х0 определяется формулой (6), уравне-
ние центра х — формулой (28); поэтому задачу Птолемея
удобно решать следующей совокупностью формул (разло-
жения в ряды для получения разности (х — х0) недопусти-
мы):
. е sin М , 8 sin М
tg х0 = -г—;----------гг » tg X = ------------------------
~ cos ф + cos М
(32)
148
где
sin Я? = 4-sin М.
В таблицах планетных неравенств 19 Птолемей дает по
аргументу М прежде всего уравнение центра х0, соответ-
ствующее гипотезе простого эксцентриситета, и рядом с ним
поправку х — х0 для перехода к гипотезе биссекции; на
этом исчерпывается часть таблиц, относящаяся к «первому
неравенству», т. е. к неравномерности движения планет
в различных частях Зодиака; при этом изложенная здесь
теория первого неравенства применена им к Венере, Марсу,
Юпитеру и Сатурну; для Меркурия, представлявшего, для
древних наибольшие трудности ввиду его очень большого
эксцентриситета (в = 0,4), теория (которую мы здесь раз-
вивать не будем) строится на несколько иных началах.
Для примера берем таблицу Марса 20, у которого Птоле-
мей принимает е = 0,2; мы находим по (32), например, для
М = 111° х0 = 1Г22'; х — х0 — — 22' (у Птолемея те же
числа); для М = 135° х0 = 9°2Г; х— х0 = — 42' (у Пто-
лемея 9°2Г и —40').
Заметим, кстати, что составление упомянутых таблиц
неравенств (в них аргумент М возрастает сначала через
6°, затем через 4° и потом через 3°, так что до М = 180°
таблицы содержат по 52 строки), в которых каждое число
получается Птолемеем геометрически в результате решения
длинного ряда прямоугольных треугольников при помощи
одной только таблицы хорд (т. е. синусов)2г, должно было
потребовать огромного труда.
Но, очевидно, что всей этой грандиозной работой, давая
законченное применение к планетным движениям своей
теории биссекции эксцентриситета, Птолемей осуществил
чрезвычайно важный сдвиг астрономической науки: отка-
зываясь здесь от той догмы равномерных круговых движе-
ний, которой была насыщена вся греческая философия,
на которой настаивали в течение столетий мыслители школ
Пифагора, Платона, Аристотеля, Птолемей дал, на наш
взгляд, такой же мощный толчок мыслям Кеплера, как
Аристарх Самосский и некоторые ранние пифагорейцы сво-
ими высказываниями о движениях Земли влияли на зарож-
дение коперниканской доктрины 22.
149
5. ДВОЙНОЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ КОПЕРНИКА
В вопросе об общих свойствах планетных движений ве-
ликий реформатор астрономии держался существенно бли-
же к догматике древней философии, чем Птолемей. Несом-
ненно, в этом отношении сыграла роль та ожесточенная крити-
ка птолемеевой системы, которую проповедовали арабские
мыслители, в особенности Аверроэс, с учениями которых
Коперник, несомненно, детально ознакомился в годы своего
падуанского студенчества; так или иначе, допущение нерав-
номерных круговых движений (каковым в системе биссекции
было движение точки Р в птолемеевом эксцентре) казалось
ему совершенно несовместимым с разумной системой астро-
номического знания. Об этом Коперник говорит неоднократ-
но определенно и настойчиво; так, уже в «Малом коммен-
тарии» 23 сказано: «Планетные теории Птолемея и боль-
шинства других астрономов, хотя они и согласны с числен-
ными данными, тоже представляют немалые трудности. Ибо
эти теории оказывались несоответствующими [движениям
небесных тел], если только не вводились некоторые экванты;
но тогда обнаруживалось, что планета не движется с по-
стоянной скоростью ни на деференте, ни вокруг центра ее
эпицикла. Поэтому подобная система представлялась и не-
достаточно абсолютной и недостаточно удовлетворительной
для ума. Уяснив себе эти дефекты, я часто размышлял о
том, нельзя ли найти более разумное сочетание кругов,
с помощью которого можно было бы вывести всякую на-
блюдаемую неравномерность движения и в котором все
движения происходили бы равномерно вокруг их собствен-
ных центров, как того требует правило абсолютного [т. е.
истинного] движения».
Те же самые мысли много раз повторяются и в книге об
«Обращениях небесных сфер». Так, на первых же страни-
цах ее сказано: «Невозможно, чтобы первичные небесные
тела двигались неравномерно на одном единственном кру-
ге, ибо это должно было бы происходить либо в силу непо-
стоянства природы движителя..., или по причине неравенств
движущегося тела. Но так как наш рассудок противится
тому и другому и так как недостойно приписывать нечто
подобное тому, кто все устроил по наилучшему порядку,
то надлежит признать, что неравномерные движения только
представляются нам таковыми» 24.
Аналогично этому, приступая к своей замечательной
150
переработке птолемеевой теории Луны, Коперник говорит:
«Таким образом, в той теории эпицикл движется неравно-
мерно в том эксцентре, который он описывает. Но если бы
так обстояло, что должны бы мы были сказать с точки зре-
ния основного постулата, в силу которого движения небес-
ных тел происходят равномерно, даже если они и представ-
ляются нам неравномерными?» 25
Значит, для Коперника наблюдаемая неравномерность
есть только изъян, вносимый в извечную равномерность
движений небесных тел случайным положением наблюда-
теля; и в своих планетных теориях, будучи прежде всего
изумительным по силе кинематиком, Коперник дает изящ-
ное решение той самой задачи, для которой Птолемей при-
менил биссекцию эксцентриситета и эквант.
Для пояснения схем Коперника примем во внимание
двойной шарнирный параллелограмм TRLPQN (рис. 11).
Пусть в нем неподвижна сторона TR, а оба других парал-
лелограмма вращаются в плоско-
сти, в прямом направлении, при-
чем в то время как первый, TRQN,
получает (от одного двигателя) вра-
щение с постоянной угловой ско-
ростью ®, второй, RLPQ, в то же
самое время получает (от другого
двигателя) вращение с удвоенной
постоянной угловой скоростью
2 со относительно неподвижной пло-
скости.
Пусть
TN = RQ = LP = а.
Сумму длин малых сторон парал- Рис. 11
лелограммов положим равной 2 ае;
таким образом, взяв RLt = RL, имеем TL-i = 2 ае.
Вместо биссекции этой длины полного эксцентриситета
Коперник делит ее на четыре части и полагает
= 4 ае; RL=±ae.
& £
Рассмотрим теперь движение точки Р относительно
центра Т; в схеме двойного параллелограмма имеются три
различные, но эквивалентные друг другу картины этого
движения:
151
1) Точка Л/, вращаясь в прямом направлении вокруг Т
со скоростью о, описывает деферент (рис. 12,а); прямая WQ
сохраняет постоянное направление в плоскости (пара вра-
щений), так что точка Q описывает эпицикл радиуса NQ =
= 3/2 ае, двигаясь в обратном направлении со скоростью <о
относительно TN. Точка Р движется в прямом направлении
на втором эпицикле радиуса QP = 1/2 ае со скоростью 2 <»
относительно неподвижного направления WQ; при этом
предполагается, что, когда оба параллелограмма вытяги-
ваются в прямую, точка Р занимает во втором эпицикле
нижнее положение Р'. Такая система называется у Копер-
ника «эпи-эпициклом»; ее можно было бы назвать «кон-
центрическим биэпициклом». На этой схеме строится у Ко-
перника его замечательная теория Луны.
2) Совокупность вращений (TN — NQ) эквивалентна,
как мы знаем, движению точки Q в эксцентре в прямом нап-
равлении, со скоростью со вокруг центра R (рис. 12,6).
Относительно подвижной прямой RQ радиус QP будет
вращаться с угловой скоростью со тоже в прямом направле-
Рис. 12
нии; следовательно, точка Р опишет эпицикл радиуса QP
вокруг подвижной точки Q; эта система носит у Коперника
название «эксцентр-эпицикла».
3) Прямая RL вращается вокруг R со скоростью 2 ®,
a PL по условию вращается вокруг подвижной прямой RL
со скоростью ®; траектория точки L есть эксцентр по отно-
шению к Т, траектория Р — эксцентр относительно R
(рис. 12,с); эта схема есть, по Копернику, «эксцентр-
эксцентра».
Из параллельности соответствующих линий (см.
152
рис. 12 а, Ъ, с) вытекает, что все эти кинематические моде-
ли приводят к одинаковому положению точки Р и что, сле-
следовательно, они эквивалентны.
Чрезвычайно интересно, что Коперник не сразу остано-
вил свой выбор на какой-либо одной из этих моделей. Так,
в «Малом комментарии» для Марса, Юпитера и Сатурна он
принимает биэпицикл, описывая его следующими слова-
ми: «Деферент [каждой планеты] имеет два эпицикла, из
которых один несет другой, во многом подобно тому, как
это объяснено в случае Луны... Но здесь первый эпицикл
движется в направлении, обратном движению деферента,
и периоды этих движений равны. Второй эпицикл, несу-
щий планету, вращается в обратном направлении с удво-
енной скоростью... Комбинацией этих движений дости-
гается, что удаления и приближения планеты происходят
в абсолютно неподвижных направлениях небосклона; сле-
довательно, направление линий апсид неподвижно».
Но в дальнейшем, в книге «Об обращениях», Коперник
(отказавшись от первоначального предположения о непод-
вижности апсид) перешел на вторую из описанных схем,
именно эксцентр-эпицикла, доказав предварительно кине-
матическую тождественность обеих.
Вот в каких терминах эта вторая схема описана в книге
Ретика, этого единственного непосредственного ученика
Коперника: «Разделим на четыре равные части расстояние
между центром orbis magnus и центрами эквантов планет.
Затем поместим центр эксцентра каждой из верхних пла-
нет в третьей точке деления, в том направлении, в каком от
центра orbis magnus мы поднимаемся к апогею. Остающейся
четвертой частью, как радиусом, опишем эпицикл с цент-
ром на окружности эксцентра, и тогда схема истинного дви-
жения этих планет по долготе станет явственной» 28.
Перейдем теперь к выводу зависимостей, связывающих
элементы движения во всех этих схемах (у Коперника ни-
каких формул вообще не дается). Пусть угол NT А =
= Q/M = М (см. рис. 11) возрастает пропорционально
времени.
Положим
ТР = г; ATP = v.
По условию угол NQP = 2 М (см. рис. 12, а), так что отре-
зок QP образует с положительным направлением NB угол
180° + 2 М (считая от В против часовой стрелки)27. Бу-
153
дем проектировать теперь ломаную TRQP и ее замыкающую
г на направление, перпендикулярное к ГЛ (ось «/), и по этой
прямой (ось х) найдем:
г sin v = a sin М — sin 2М,
г cos v — 4- ае -f- a cos М — cos 2М.
Умножая первое из этих равенств на —cos М, второе на
+sin М, затем первое на +sin М, второе на 4-cos М и
складывая, получим, вводя снова х = М —v:
г sin х = 2 ае sin М, г cos х — a (t + е cos 7И), (33)
откуда, деля первое на второе, затем возводя оба в квадрат
и складывая,
2esinM i<iv\
’ <33>
г2 = а® (1 + ег + 2 е cos М + 3 е2 sin ®/И), (34)
замечаем, что (33') тождественна по форме с птолемеевой
(28'), с той разницей, что формула Коперника во всей точ-
ности соответствует принятой здесь кинематике, тогда как
при самом выводе (28') нами были отброшены члены по-
рядка е8. Если теперь мы разложим выражения х и затем
r/а в ряд, сохраняя лишь члены порядка е2, то получим:
х = 2 е sin М — е 2 sin 2 М, (35)
г = а (1 + е2 + е cos М — е2 cos 2 М). (36)
Сопоставляя с формулами теории «биссекции эксцентри-
ситета» (30) и эллиптического движения (19) и (20), видим,
что в отношении уравнения центра точность их совершенно
одинакова, так что наибольшая погрешность здесь может
достигать, как в (31), величины
я , 1 е2
ОХ = Ч- -г ..77- .
— 4 sin г
Но ошибка в радиусе-векторе составляет у Коперника
б(4) = ~ 4(1-COS 2М),
следовательно, в максимуме она доходит до —е* и потому
154
она в два раза больше соответствующей ошибки у Птолемей
(см. формулу (31)). Таким образом, введенное Коперником
деление полного эксцентриситета на четыре части позволило
ему достичь только несколько худшего, чем это было у
Птолемея, приближения к истинным кеплеровым законам
движения планет; поэтому эта теория его имела бы лишь
сугубо исторический интерес, если бы Коперник, развивая
свои схемы, не сделал одного весьма важного замечания 28.
Именно, он первый обратил внимание на то, что орбита пла-
неты Р, в силу принятой для нее кинематики, не может
представлять собой окружности. Действительно, обратимся
к рис. 11 и, приняв точку R за начало координат, проеци-
руем ломаную RQP на оси хну.
Найдем:
х = a (cos М — cos ,
у = a ^sin М — у sin 2А4у , (37)
а это есть уравнение укороченной эпициклоиды, у которой
радиусы неподвижного и катящегося кругов равны каждый
у, расстояние же точки Р, описывающей эпициклоиду, от
центра катящегося круга есть 1/2 ае. В самом деле, когда
центр катящегося круга переходит из В в Bi (рис. 13),
повернувшись на угол М вокруг центра А, то радиус этого
круга и точка Р на нем повернутся на такой же угол М
вокруг центра В, так что координаты бегущей точки Pi
будут, как легко видеть, как раз представлены выражениями
(37); вторые члены в этих формулах и представят уклоне-
ние орбиты точки Р от окружности 2в. Какую именно кри-
вую описывает точка Р, этого Коперник не поясняет; но
он доказывает простым геометрическим построением, ко-
торое мы сейчас воспроизведем, что эта кривая не может
быть окружностью.
Пусть в схеме эксцентр-эпицикла Pi (рис. 14) есть на-
чальное положение планеты в апогее относительно центра
Т; после того как радиус эксцентра RQ повернется на 180°,
точка Р пройдет по эпициклу тоже 180° и придет в перигей
Р3. Если обе эти точки лежат на окружности с центром на
линии апсид, то таким центром может быть только точка F,
удовлетворяющая условию
RF = QiPi = Q3P3.
155
Опишем из центра Р эту окружность РгВР3 и докажем,
что траектория точки Р с ней совпадать не может. Примем
во внимание положение радиуса эксцентра, перпендикуляр-
ное линии апсид; ему соответствует на эпицикле положение
планеты в Р2> причем Z.PAP ~ прямой, ибо в силу закона
движения точки Р он равен ZQi#Q2. Проведем теперь пря-
мую P2F; пусть она пересечет прямую в точке L, а ок-
ружность с центром F — в упомянутой уже точке В; так
как Q2P2 = RP, то прямоугольные треугольники P2Q2L
и LRF равны, следовательно, P2L = LF и Q2Z. = LR, и от-
сюда очевидно, что Р2Р > Q2R. Вместе с тем радиус окруж-
ности FB равен радиусу эксцентра Q2R, так что P2F FB
и, следовательно, точка Р2 лежит вне окружности, прохо-
дящей через Pi и Р3.
«Таким образом,— заключает Коперник,— планета в ре-
зультате равномерного движения центра эпицикла по экс-
центру и ее собственного равномерного движения в эпи-
цикле описывает окружность не в точности, но только при-
ближенно» so.
Поэтому, в итоге, спасая аксиоматику древней астро-
номии, поскольку она касалась принципа равномерности,
Коперник должен был отойти от нее, показав, что действи-
тельное движение планеты вокруг центра всех обращений
не может совершаться в точности по круговой орбите. Но
какова истинная форма этой орбиты, было раскрыто только
через 65 лет после появления трактата «Об обращениях
небесных сфер» в книге, по праву носившей название «Но-
вой астрономии».
156
6. ЭЛЛИПС И ЭКСЦЕНТР
[«Против этих отклонений путей планет от кругового со-
вершенства Птолемей с основанием возражал бы Копер-
нику,— пишет Кеплер,— но я не возражаю; ибо дальше,
в четвертой части моей книги, будет показано, что под дей-
ствием двух простых физических агентов, совместно влияю-
щих на движение планеты, по необходимости происходит,
что она несколько отклоняется от круга. Однако планета
выходит не наружу его, как в гипотезе Коперника, но,
уклоняясь в противоположном направлении, приближает-
ся к его центру» 31.
Здесь нет оснований входить в изложение тех физиче-
ских (в сущности, фантастических) допущений, на которых
Кеплер обосновывал свое новое учение о движениях светил.
Для астронома-теоретика более существенно помнить, что
открытие истинных законов движения Марса было полу-
чено Кеплером как чисто эм-
пирический результат ценой
упорных и огромных по объе-
му вычислений, с помощью
которых он стремился пред-
ставить наблюдения Тихо
Браге с погрешностью, не л
превосходящей 1—2'. Так, I
например, «предварительная» '
орбита Марса была получена
им по гипотезе «сложного экс-
центриситета» 32 из четырех
противостояний (а не из трех,
как у Птолемея и Коперника)
после семидесяти приближе-
ний; но она была неудовлет-
ворительна, так как в расстоя-
ниях сохранялись ошибки первого порядка в эксцентриси-
тете. После длительных исканий Кеплер нашел, наконец, тот
закон изменения расстояний планеты от Солнца, который
удовлетворял и наблюдениям планеты и связи их с дви-
жением Земли. С этого эмпирического закона расстояний
и надлежит вести сравнение окончательных результатов
древней и новой науки.
Такое сопоставление дано на рис. 15. Здесь окружность
APD есть эксцентр, в котором движение «птолемеевой точ-
о
с
Р~ Птолемеева точна
К-Кеплерова точна
\РК~ Неплерова стрелна
л
Рис. 15
157
Кй» Р происходит по закону биссекции эксцентриситета,
так что ТС = СО, и притом точка О есть центр равномерных
вращений (центр экванта — см. рис. 10). Как новый эле-
мент, одинаково важный и для Кеплера и для Птолемея,
введем теперь угол при центре эксцентра, называемый экс-
центрической аномалией и обозначаемый через Е, так что
Е = ^РСА.
Примем еще новые обозначения для полярных коорди-
нат точки Р, чтобы не смешивать их с координатами «кепле-
ровой точки» К, о которой речь будет несколько ниже.
СА — СР — а — радиус эксцентра,
СТ = СО = ае — половина полного эксцентриситета,
w = /_РТА — птолемеева уравненная аномалия,
М' = </РОА — птолемеева аномалия,
р = РТ — птолемеев радиус-вектор.
Мы имеем тогда согласно рис. 15:
р sin = asinE, р cos&y = а(е + cos Е), (38)
откуда
р2 = а2(1 + е2 + 2е cos i). (40)
Из этой последней формулы с точностью до е2 получаем
р = а[1 + + ecosE — -^-cos2E^ . (41)
Таков птолемеев закон расстояний, соответствующий гипо"
тезе биссекции эксцентриситета.
Но Кеплер нашел, что этот закон неверен и что подлин-
ный закон, полученный им для Марса в результате мучи-
тельных вычислений и счастливого совпадения некоторых
чисел, гласит просто:
г — а (1 + е cos Е), (42)
где через г, в отличие от р, мы обозначаем новый, кеплеров
радиус-вектор; небезынтересно заметить, что выражение г
отличается от р в (41) только отсутствием членов второго
порядка. Но если действительная величина определяется
по (42), то как направить этот радиус-вектор внутри орби-
158
ты, чтобы получить еще и правильное представление наб-
люденных долгот?
Построим прежде всего величину г на~рис. 15; для этого
продолжим радиус деферента TQ до его пересечения в F
с окружностью эпицикла, который всегда можно постро-
ить на центре Q, взяв QP равным и параллельным СТ-,
опустив из птолемеевой точки Р перпендикуляр на QT,
замечаем, что в прямоугольном треугольнике PBQ угол
PQB = Е, гипотенуза PQ = СТ — ае, и так как QT —
~РС = а, то отрезок ТВ будет равен а + ае cos Е. Таким
образом, ТВ будет как раз равно кеплерову радиусу-
вектору г по (42); следовательно, если верен этот закон,
планета должна находиться где-то на окружности с цент-
ром Т и радиусом, равным ТВ. Но где именно на этой ок-
ружности, Кеплер еще не знал; он предполагал сначала
поместить ее в точке пересечения дуги этой окружности BJ
с птолемеевым радиусом-вектором ТР (точка G на рис. 15).
Это давало ему для орбиты планеты овальную кри-
вую, на которой все радиусы-векторы удовлетворяли, ко-
нечно, закону (42), но на которой долготы, а значит, и
уравненные аномалии представлялись очень плохо, с ошиб-
ками в 4' — 5,5'; и Кеплер был уже готов отказаться от
своего закона расстояний (42), как внезапно ему сделалось
ясным, что искомая точка лежит на пересечении дуги окруж-
ности BJ с перпендикуляром PL, опущенным из птолемеевой
точки Р на линию апсид-, этим и определяется на рис. 15
«кеплерова точка» К; и тогда оказывается, что эта точка
лежит на хорошо известной и еще древними изученной
кривой, именно на эллипсе, разумеется, если допустить, что
а — большая полуось этого эллипса, О и Т — его фокусы,
так что е — его численный эксцентриситет.
Действительно, введем полярные координаты точки К
относительно Т, положив
r = ТК — а (1 + е cos £), и=£АТК.
Угол v и есть кеплерова истинная аномалия планеты.
По основному свойству эллипса
KL=PLVV=&\
поэтому
г sin v = K.L — аУ 1 — ё2 sin Е,
г cos v = TL = а (е + cos Е), (43)
159
откуда
г2 = a2(l + 2e cos E + e2 cos2 £), (45)
так что извлечение корня здесь действительно приводит к
кеплерову закону (42)
г = а (1 + е cos Е).
Таким образом, в эмпирическом законе расстояний, от-
крытом Кеплером, и заключается уже его первый закон: пла-
нета вращается по эллипсу вокруг точки Т, являющейся
одним из фокусов этого эллипса; из коперниканского обра-
щения теперь вытекает, что это вовсе не «пустая точка»,
а что в ней находится Солнце, действующее на планету те-
ми «физическими силами», о которых всю жизнь грезил
Кеплер.
Но здесь нам важно лишь окончательно сопоставить ко-
ординаты (р, w) птолемеевой точки Р с координатами (г, о)
кеплеровой точки К. Сравнивая (39) с (44) и (41) с (42),
имеем:
tga, = W==T’ Р = г+^(1-cos2E);
и из первой формулы, применяя одно известное в анализе
разложение, найдем, отбрасывая члены с а4,
е2 • о
w — v = -т- sin 2v.
4
Таким образом, наибольшие ошибки птолемеевой тео-
рии действительно будут иметь ту величину, которую мы
уже получили для них иначе в (31).
У Птолемея фигурирует еще равномерно возрастающий
угол, описываемый радиусом экванта (мы обозначаем его
здесь через М'); у Кеплера, согласно его второму закону,
вводится тоже равномерно возрастающий угол М (средняя
аномалия}', величина этого угла по определению так отно-
сится к полной окружности, как площадь сектора эксцент-
ра APT относится ко всей площади эксцентра; это условие
легко приводит к уравнению Кеплера
М = Е + е sin Е,
160
Но в птолемеевой схеме биссекции
^' = £+11?,
где угол ф определяется из условия
sin ф = 4sinA4'.
Сопоставляя последние три формулы, легко получить
с точностью до е2
M' = M + 4j-sin2M'.
Li
Таким образом, в действительном движении планеты по
эллипсу птолемеев угол М' не может расти пропорциональ-
но времени. Однако отклонения его от кеплеровой средней
аномалии М имеют порядок е2; по этой причине, ограни-
чиваясь именно таким приближением, мы и пользовались
им, сопоставляя формулы эллиптического движения с древ-
ними теориями (стр. 143).
Резюмируя, мы еще раз сравним друг с другом коорди-
наты точек Р и Д’. Из рис. 15 видно, что абсциссы х, считае-
мые по линии апсид, у них одинаковы; отличаются только
их ординаты, причем величина стрелки РК определяется
равенством
РК = PL — KL = а (1 — /1 — е2) sin £. (46)
Таким образом, кеплерова точка К всегда входит внутрь ,
птолемеева эксцентра, и притом тем глубже, чем она даль-
ше от линии апсид (не так, как эпициклоида Коперника, ко-
торая частично выходила из круга). Наибольшее значение
стрелки будет при Е = 90°, т. е. когда К попадает в вер-
шину малой оси эллипса; оно равно тогда
РДтах = а (1 - /Т^),
и мы заметим, что на этот раз получено равенство точное,
а не только приближенное до той или иной степени эксцент-
риситета. Но для планет Солнечной системы (кроме Мерку-
рия, для которого, как уже сказано, Птолемей и не приме-
нял гипотезы биссекции) величина РК составляет очень
малую долю от полуоси а соответствующего эллипса. Так,
мы имеем:
6 Н. И. Идельсон
161
Планета е РК : а
Венера 0,00681 0,00003
Земля 0,01674 0,00014
Марс 0,09333 0,00436
Юпитер 0,04837 0,00117
Сатурн 0,05582 0,00156
В этой таблице и кроется причина успеха древней на-
уки, которая, отправляясь от эстетики круговых движений,
сумела подойти столь близко к истинным орбитам планет,
нашедшим свое окончательное обоснование в динамической
теории мира. Если бы эксцентриситеты планет были суще-
ственно больше, чем это имеет место в действительности
(например, имели порядок эксцентриситетов периодических
комет), то простые и изящные модели древних неминуемо
разбились бы о неприступные скалы природы.
В этом, конечно, и заключается ответ на вопрос, постав-
ленный нами в конце 3-й главы.
7. КИНЕМАТИКА ЭПИЦИКЛОВ
В предыдущих главах исчерпаны все намеченные нами мо-
менты истории развития так называемого первого неравен-
ства, т. е. неравенства, вызываемого самой неравномер-
ностью движения планет в их орбитах; все эти теории
были непосредственно применимы к движению Солнца и
Луны; в этом последнем случае потому, что движение на-
шего спутника фактически происходит вокруг Земли,
в первом — потому, что, как было найдено, гелиоцентри-
ческое движение Земли неотличимо от геоцентрического
движения Солнца. И мы скоро придем к выяснению того
изумительного метода, который позволил Птолемею пра-
вильно применить схемы первого неравенства и к прочим
пяти планетам, хотя здесь он принимал для них уже не-
верный центр обращений.
Но именно ввиду этого последнего обстоятельства древ-
ним приходилось искать метод учета существенно более
рельефного, бросающегося в глаза неравенства, чем «первое»,
162
именно неравенства их движения по сравнению с движе-
нием Солнца; оно-то и получило название «второго».
Здесь, уже на самой заре астрономической культуры,
было обнаружено, что планеты делятся на две группы:
к первой относятся те, которых, по выражению Птолемея,
«Солнце всегда обгоняет». Планеты этой группы отстают
от Солнца даже тогда, когда они движутся между звезда-
ми в ту же сторону, что и Солнце, от запада к востоку; они
тем более отстают от него, когда после стояния между звез-
дами начинают в течение определенного промежутка вре-
мени двигаться попятным движением (от востока к западу).
Планеты этой группы приходят в своем движении в любые
угловые расстояния от Солнца: они могут, например, про-
ходить через меридиан в полночь, через 12 часов после
Солнца, следовательно, в это время — во время противо-
стояний — они, очевидно, восходят вместе с заходом Солн-
ца, заходят при его восходе, т. е. видны всю ночь; это есть
их акроническое положение, как говорили древние; на
середине промежутка, отделяющего два противостояния
(или, как говорят, на середине синодического периода), эти
планеты проходят через меридиан одновременно с Солнцем;
это моменты соединений, когда они невидимы, так как то-
нут в солнечных лучах.
К этой группе планет, называемых теперь верхними,
относятся Марс, Юпитер, Сатурн (у греков — звезды Арея,
Зевса и Кроноса).
Планеты второй группы (нижние планеты, Меркурий и
Венера, у греков «Стильбон»— сверкающий и звезда Афро-
диты) ведут себя в отношении Солнца совершенно иначе:
они то обгоняют его, двигаясь быстрее его прямым движе-
нием к востоку, когда мы видим их как вечерние светила;
дойдя до наибольшего удаления от Солнца (до наибольшей
восточной дигрессии), они останавливаются; затем, двигаясь
попятно, сближаются с Солнцем, исчезают в его лучах,
отстают от него к западу (утренние светила), доходят до
наибольшей западной дигрессии', но затем снова начинают
догонять его, и действительно догоняют, так что, когда
нижняя планета возвращается к той же точке эклиптики,
Солнце как раз уже находится в ней; от одной дигрессии до
следующей, одноименной с ней, происходит «синодическое
обращение» нижней планеты; посередине его имеет место
вторая дигрессия; между двумя дигрессиями происходит
по одному соединению планеты с Солнцем (так называемое
6*
163
первое и второе), когда планета одновременно с ним про-
ходит через меридиан и тонет в его лучах.
Таковы самые общие характеристики «второго неравен-
ства» планетного движения; разумеется, оно осложняется
наличием «первого неравенства»; так, например, в различии
промежутков между противостояниями и соединениями
или обеими дигрессиями, или в длине дуг попятного дви-
жения и т. п. Полная симметрия всех явлений внутри каж-
дого синодического оборота происходила бы лишь в том
случае, если бы первое неравенство не имело места, т. е.
если бы орбиты и Солнца и всех планет были круговыми.
Совершенно ясно, что дать кинематическую схему второго
неравенства и учесть вместе с ним первое было далеко не
легкой задачей для древнего астронома; на современном
языке это означает, что они должны были дать непосредст-
венно таблицы наблюдаемого геоцентрического движения
планет, тогда как в современных вычислениях мы пользуем-
ся таблицами движения планет вокруг Солнца и Солнца
вокруг Земли и отсюда на основании теоремы о проекциях
вычисляем на заданный момент положение планеты относи-
тельно Земли.
Задачу о представлении второго неравенства Птолемей
решил тем же методом деферентов и эпициклов, который
нам уже известен; к тому же он обнаружил здесь те чис-
ленные соотношения между различными движениями, без
которых переход к истинной гелиоцентрической системе
был бы в дальнейшем невозможен.
Для выяснения как основных элементов птолемеевой
системы, так и скрытых в ней возможностей, мы опять нач-
нем с рассмотрения некоторых простых кинематических
предложений, как и в случае Солнца. Но там мы имели
дело с угловой скоростью +р в деференте и —р в эпи-
цикле 88; здесь по необходимости войдут две различные
угловые скорости, для которых введем обозначения:
со — угловая скорость движения центра эпицикла по де-
ференту,
or — угловая скорость движения планеты в эпицикле
относительно истинного (подвижного) апогея.
Обе эти угловые скорости сочетаются различным обра-
зом в теории движения верхних и нижних планет; мы изу-
чим поэтому обе группы раздельно.
Верхние планеты. Рассмотрим шарнирный параллело-
грамм TNPQ', допустим, что его сторона TN неподвижна,
164
сторона TQ вращается в прямом направлении со скоростью
4-сг вокруг Т, а сторона PQ — в обратном, т. е. с угловой
скоростью —о вокруг Q; тогда планета Р опишет окруж-
ность радиуса PN, вращаясь вокруг N в прямом направле-
нии со скоростью +<5 (рис. 16).
Дадим теперь всему параллелограмму TNPQ дополни-
тельное вращение с угловой скоростью +« вокруг непод-
вижной точки Т\ тогда произойдет следующее.
Сторона TN, бывшая раньше неподвижной, начнет те-
перь вращаться со скоростью 4-со вокруг Т.
Сторона TQ, которая вращалась ранее со скоростью
-f-б, теперь будет вращаться вокруг той же точки Т со
скоростью со 4- б.
Сторона NP сохранит по отношению к центру N ту же
скорость относительного вращения 4-о; по отношению же
к неподвижному направлению 34 Ту ее абсолютная скорость
будет со 4- б.
сторона Fy сохранит
по отношению к TQ отно-
сительную скорость —5,
но по отношению к непо-
движному направлению Ту
она будет иметь скорость <о.
Введем теперь соответ-
ствующую терминологию.
У Птолемея TN — радиус
деферента, NP — радиус
эпицикла; TQ есть в
сущности второй деферент.
Но так как древние не до-
пускали, чтобы длина ра-
диуса деферента TQ могла
быть меньше радиуса эпи-
цикла QP, то ТО получил
название радиуса эксцентра,
и вся схема была схемой подвижного эксцентра. Таким об-
разом, приходим к теореме:
Пусть центр эпицикла N вращается со скоростью 4-со,
а планета со скоростью 4-сг в эпицикле, или, что то же
самое, со скоростью со 4- о относительно неподвижного
направления; тогда движение планеты будет такое же, как
если бы она вращалась на подвижном эксцентре, центр кото-
рого Q обращается вокруг Т со скоростью cb-f-o, а планета
обращается в подвижном эксцентре со скоростью со относи-
165
тельно неподвижного направления, или, что то же самое,
со скоростью —о относительно прямой QT .
В дальнейшем угловая скорость а будет у нас скоро-
стью синодического движения планеты в эпицикле, со —
скоростью движения средней планеты в эклиптике или про-
сто ее зодиакальной скоростью; наконец, условимся (по
причинам, которые выяснятся дальше) называть вершину
параллелограмма Q точкой Тихо Браге.
Тогда предыдущий результат будет гласить:
Пусть верхняя планета Р обращается с синодической
скоростью в птолемеевом эпицикле, центр которого
обращается вокруг наблюдателя Т с зодиакальной скоростью
со; тогда движение планеты будет такое же, как если бы
она обращалась в эксцентре со скоростью +со (считая
от неподвижного направления) вокруг точки Тихо Браге,
которая сама обращается со скоростью со + ст вокруг на-
блюдателя (см. рис. 16).
Заметим здесь же, что древние совершенно не пользо-
вались отсчетами углов от неподвижных направлений в
эпициклах и подвижных эксцентрах. Это во многом скры-
вало от них значение соотношений, которые ими же были
установлены.
Нижние планеты. Здесь соотношения много проще, так
как переходить к подвижному эксцентру здесь не прихо-
дится.
Пусть в шарнирном параллелограмме TNPQ сторона
TN неподвижна, сторона TQ вращается вокруг Т в обрат-
ном направлении с угловой скоростью —а (т. е. по часо-
вой стрелке), а сторона PQ — со скоростью +ст вокруг
точки Q, так что точка Р опишет эксцентр радиуса PN со
скоростью —а (рис. 17).
Дадим теперь всему параллелограмму дополнительное
вращение с угловой скоростью + со вокруг неподвижной
точки Т, предполагая, что со > | а |; тогда произойдет сле-
дующее.
Прямая TN, ранее неподвижная, получит вращение со
скоростью 4-со вокруг Т.
Прямая TQ получит теперь вращение вокруг той же
точки Т с положительной скоростью со — а.
Радиус эпицикла будет продолжать вращаться вок-
руг Q с той же относительной скоростью + а; но так как
сама точка Q вращается со скоростью со — <г, то абсолют-
ная скорость вращения точки Р, т. е. скорость этой точ-
166
ки по отношению к неподвижному направлению, будет
со— <т 4- ст=со.
Здесь точка Тихо Браге Q совпадает с центром птоле-
меева эпицикла; она вращается со скоростью со — а, а пла-
нета Р обращается вокруг Q с угловой скоростью в (счи-
тая в манере древних) или со скоростью со (считая от не-
подвижного направления).
Входить в дальнейшие тонкости кинематики нижних
планет нам нет оснований. Поэтому, резюмируя и подчер-
кивая как то общее, так и то различное, что характеризует
кинематику обеих групп планет, ограничимся следующей
совокупностью основных положений:
I. Все планеты, как верхние, так и нижние, вращают-
ся в эпициклах в прямом направлении, с синодической
скоростью +<т, считая в манере древних, именно от по-
движных апогеев эпициклов.
II. Центры эпициклов верхних планет обращаются вок-
руг наблюдателя в прямом направлении с зодиакальной
скоростью +со, т. е. со скоростью обращения «средней
планеты» в эклиптике.
III. Центры эпициклов нижних планет вращаются вок-
руг наблюдателя в прямом направлении со скоростью
®—<т, где о есть зодиакальная скорость нижней планеты.
IV. В то же время верхние планеты движутся в по-
движных эксцентрах со скоростью со (относительно непо-
движного направления) вокруг точек Тихо Браге, которые
являются центрами этих эксцентров и сами обращаются
вокруг наблюдателя со скоростью со 4- <т (см. рис. 16).
167
V. Для нижних планет точки Тихо Браге являются
центрами птолемеевых эпициклов, так что, согласно пун-
кту III, они обращаются вокруг наблюдателя в прямом
направлении со скоростью со—<т (см. рис. 17).
VI. Скорости движения планет в эпициклах, считая в
нем от неподвижного направления (от точки равноденст-
вия), имеют значения: со + ст — для верхних планет и
со — для нижних планет.
Пункт IV этого перечня содержит часть теоремы, свя-
занной с именем Аполлония Пергского, так же как и тео-
рема на стр. 128. Вывод подобной же теоремы эквивалентно-
сти для нижних планет (введя и здесь понятие подвижного
эксцентра) предоставим читателю; он легко получит тогда
и самое общее предложение этой теории: при заданном
эпициклическом движении планеты всегда можно переста-
вить местами эпицикл и деферент, при условии замены од-
ного из данных вращений (со или а) на обратное; в одном
из этих случаев, при со = ст, получится снова схема не-
подвижного эксцентра.
8. СООТНОШЕНИЯ ПТОЛЕМЕЯ
И СИСТЕМА ТИХО БРАГЕ
Приступая к наиболее трудной части своего трактата —
к теории планет, Птолемей начинает IX книгу «Альмагеста»
с рассмотрения вопроса «о порядке сфер (т. е. орбит) Солн-
ца, Луны и остальных пяти блуждающих светил». Как не
подлежащие сомнению положения, «относительно которых
согласны и все древние астрономы», он выдвигает здесь
следующие тезисы:
1) Все планетные сферы находятся ближе к Земле, чем
сферы неподвижных звезд, но дальше от Земли, чем сфера
Луны.
2) Три сферы: Сатурна, Юпитера и Марса (из которых
первая наибольшая, а каждая из следующих меньше пре-
дыдущей) лежат дальше от Земли, чем сферы других пла-
нет и сфера Солнца.
«Что же касается Меркурия и Венеры,— говорит Пто-
лемей,— то некоторые более новые астрономы считали
нужным и их полагать за Солнцем». Но Птолемей опро-
вергает такие соображения и, присоединяясь к «старым
астрономам», считает более естественным поместить Солнце
в среднее положение между планетами, поскольку оно «от-
168
деляет те из них, которые приходят в противостояние, от
тех, которые этого положения не достигают, оставаясь
всегда вблизи Солнца».
Так устанавливает он окончательно порядок семи блуж-
дающих светил: Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс,
Юпитер, Сатурн.
В следующей, 2-й главе IX книги идет речь об общих
трудностях планетной проблемы, о тех началах и принци-
пах, которыми надлежит руководствоваться в ее решении,
о наблюдениях, которые здесь должно использовать. Эта
глава была бы полна для нас особенного интереса, если
бы мы занимались сейчас общими установками древней
науки. Но мы изучаем теперь ее результаты и рабочие
схемы и потому сразу переходим далее, к 3-й главе
IX книги: «О периодических возвращениях пяти планет»; и
тут можно смело сказать, что ни одна из прочих глав знаме-
нитого трактата не заключает в себе столько загадочного,
можно даже сказать, столько таинственного материала, как
именно эта третья глава. Птолемей приводит здесь некото-
рые постулаты, относящиеся к движению планет, и неко-
торые численные соотношения между их движениями; взя-
тые сами по себе, все эти соотношения — верные; но от-
куда он их получил, какая доктрина лежит в основе этих
постулатов, — все это остается совершенно необъяснимым
и, по-видимому, останется навсегда не объясненным в исто-
рии науки.
Эти тезисы Птолемея особенно примечательны в отно-
шении верхних планет. Их два:
I. Каждая из верхних планет, приходя в соединение
с Солнцем, одновременно с этим приходит в апогей своего
эпицикла и достигает наибольшего удаления от наблюдателя.
На рис. 18 это условие отображено для Марса (положе-
ние его Р', положение Солнца S'); здесь видно, что в тот
момент, когда долгота Солнца, т. е. угол yTS', и долгота
Марса, т. е. угол уТР', одинаковы (это и есть момент со-
единения по долготе), Марс оказывается в апогее своего
эпицикла. Почему это происходит, почему соединение с
Солнцем не может наступить, когда Марс (и аналогично
Юпитер или Сатурн) находятся в любых точках их эпи-
циклов, Птолемей не объясняет и, разумеется, не в со-
стоянии объяснить.
II. Пусть будут35 «>з, <в4, со8 — средние зодиакальные
скорости Марса, Юпитера и Сатурна, иными словами,
169
скорости движения центров их эпициклов по деферентам;
пусть будут далее <з3, <з4, о5 их синодические скорости, т. е.
скорости обращения точек Р по эпициклам вокруг точек
N; тогда, во всех трех случаях, утверждает Птолемей, сум-
мы со + равны одной и той же угловой скорости, и эта
скорость есть не что иное, как среднее суточное движение
Солнца по долготе, т. е. та самая величина, которая была
обозначена в главе 3 через р и численное значение которой
приведено в (17):
р = 0°59,8n17ni13Iv12v31vt.
Таким образом, второй постулат Птолемея гласит:
®з + б8 = (04 + = ®5 + о5 = р. (47)
Насколько точно Птолемей выдерживает это соотношение,
видно из тех значений а и з, которые он приводит, опира-
ясь на данные Гиппарха для верхних планет; так, мы
имеем:
Марс 0>з - 0° 311 26п 36111 53IV 51v 33VI
<й = 0 27 41 40 19 20 58
р =0 59 8 17 13 12 31
Юпитер ©4 = 0 4 59 14 26 46 31
<54 — 0 54 9 2 46 26 0
р = 0 59 8 17 13 12 31
170
Сатурн cos — 0 2 0 33 31 28 51
Об = 0 57 7 43 41 43 40
р, =0 59 8 17 13 12 31
Таким образом, все суммы сходятся до единицы послед-
него знака всех вычислений Птолемея — до «сексты гра-
дуса».
Совершенно несомненно, что в распоряжении Птолемея
не было и не могло быть рядов наблюдений, из которых он
мог бы извлечь указанные соотношения во всей их непости-
жимой точности зв; нет, эти соотношения, несомненно, вве-
дены в «Альмагест» как некоторый обрывок каких-то иных
законов и какой-то другой доктрины, которую Птолемей
почему-то тщательно скрывает от будущих поколений.
К тому же, как бы не довольствуясь этой численной
проверкой условия (47), Птолемей высказывает свой вто-
рой постулат еще и в другой форме. Он говорит:
Если в течение k лет происходит г возвращений верх-
ней планеты по долготе (т. е. зодиакальных) и в то же время
s возвращений синодических, то
k = z + s. (48)
Для доказательства тождества обеих формулировок до-
пустим, что все угловые скорости выражены в градусах и
отнесены к суткам как единице времени. Тогда, обозначая
через Т, S и А продолжительности зодиакального оборота
планеты, ее синодического оборота и солнечного года, вы-
раженные в сутках и их долях, получим:
_ 360а . е^ЗбСР. л _ 360°
<0 ’ <5 ’ р
Пусть теперь за k солнечных лет происходят г оборотов
длительности Гиз оборотов длительности S. В таком слу-
чае
Т _ 360° • $ _ kA 360° .
г ~ <о ’ — s о ’
отсюда
_ЛА<о __ , ю . ___ЛАз _ , з
2 “ 360° — Й ’ S ~ 360s ~ Н ‘
Следовательно,
2+s==fe^±±,
171
и мы действительно получим
k — z + s, если <о + <з = ц.
Мы видим отсюда, что условие (48) есть не что иное,
как (47). Так, например, для Марса, по Птолемею, имеет
место такое соотношение: «37 синодических оборотов Марса
продолжаются 79 лет 3 дня 5 ч. 12 м., и это совпадает с
42 возвращениями в Зодиаке и сверх их еще 3°10'». Переведя
здесь дни и часы в доли года, градусы и минуты — в доли
окружности, получим 87:
г = 42,00881, s = 37,00000, k = 79,00881,
так что формула (48) удовлетворяется в точности.
Из обоих приведенных здесь постулатов Птолемея вы-
текает чрезвычайно важное геометрическое свойство его
системы для верхних планет:
Во всякий момент движения радиусы эпициклов трех
верхних планет параллельны направлению, проведенному
от наблюдателя к Солнцу, поэтому радиусы эпициклов Мар-
са, Юпитера, Сатурна всегда параллельны между собой.
Для доказательства обратимся к рис. 18 и начнем счет
времени от того момента, когда верхняя планета — для оп-
ределенности будем говорить про Марс — находится в Р',
т. е. в соединении с Солнцем, и условимся также считать
направление ТР' за неподвижное (что можно на время од-
ного синодического оборота); если после соединения прош-
ло t дней, то прямая TN' повернется на угол N3TN' =
= at; радиус эпицикла в своем относительном вращении
вокруг N3 повернется на угол st, и, следовательно, точка
Р3 повернется на угол (со + б) t относительно неподвижно-
го направления N3 (Р')-, но в то же самое время Солнце,
двигаясь по своей орбите со скоростью р, пройдет из S'
в S, так что угол S'TS = р/; отсюда ввиду (47) следует, что
Z S'TS = Z P'N3P3,
а это возможно лишь при условии параллельности направ-
лений N3P3 и TS, что и требовалось доказать. Но так как
все это справедливо для каждой из трех верхних планет,
то радиусы их эпициклов всегда параллельны.
Как частный случай из этого положения следует, что
когда через половину синодического оборота верхняя
планета придет в противостояние с Солнцем (положение
Р" на рис. 18), так что долгота ее, считаемая от Ту про-
172
тив часовой стрелки, будет отличаться от долготы Солнца
на 180°, то она должна пройти через перигей эпицикла и,
следовательно, приблизиться на наименьшее расстояние
к Земле Т.
К полученному основному геометрическому результату
можно прийти и несколько иначе: в положении IV преды-
дущей главы установлено, что у верхней планеты центр
подвижного эксцентра (точка Q3 Тихо Браге) движется со
скоростью со + с; но теперь мы знаем, что <в + б = ц;
следовательно, точка Q3, бывшая в момент соединения на
прямой TQ'S'P', никогда не сможет оторваться от Солнца,
и потому она в любой момент движения лежит на прямой
TS-, следовательно, сторона NSP3, параллельная TQ3, па-
раллельна TS.
Применяя то же положение IV к другим верхним пла-
нетам, мы скажем:
В любой момент движения центры подвижных эксценщ-
ров трех верхних планет (т. е. точки Тихо Браге Q3, Q4,
Q5) лежат на одной прямой, соединяющей наблюдателя с
Солнцем', вместе с Солнцем они обращаются вокруг Т со
скоростью [X, т. е. совершают оборот в эклиптике в течение
года', вокруг этих точек каждая из верхних планет обраща-
ется с соответствующей зодиакальной скоростью со3, или
®5 (считая от неподвижного начала).
Наконец, из постулата II можно вывести еще одно след-
ствие, которого Птолемей не высказывает, так как он ни-
когда не считает углов в эпицикле от неподвижного направ-
ления. Но, как было показано в предыдущей главе (поло-
жение VI), угловая скорость движения точки Р в эпицик-
ле, считая от неподвижного направления, есть со + б, т. е.
ввиду (47) она равна как раз суточному движению Солнца.
Следовательно:
Периоды обращения всех трех верхних планет в их эпи-
циклах, считая от неподвижного направления, равны одно-
му году.
Таковы чрезвычайно знаменательные характеристики
геоцентрического движения трех верхних планет в системе
Птолемея. В отношении обеих нижних у Птолемея имеет-
ся только один постулат, и здесь он уже отнюдь не столь
загадочен, как для верхних планет.
«Для Меркурия и Венеры,— говорит он о скоростях
центров их эпициклов,— получаются, очевидно, те же са-
мые значения, которые мы раньше получили для долготы
173
Солнца»; иными словами, Птолемей утверждает, что угло-
вая скорость вращения прямой Q2T (см. рис. 18) есть р;
и это естественно и понятно, раз наблюдения обнаруживают,
что нижняя планета «в среднем» не может удалиться от
Солнца, а лишь периодически отклоняется от него на наи-
большие дигрессии к западу и к востоку.
Таким образом, применяя этот постулат Птолемея к Ве-
нере и Меркурию и учитывая пункт V предыдущей главы,
получаем:
Центры эпициклов обеих нижних планет (т. е. точки
Тихо Браге Qx и Q2) всегда лежат на прямой, соединяющей
наблюдателя с Солнцем; поэтому они движутся вместе с
ним со скоростью р, и совершают оборот в эклиптике в те-
чение года.
Но, согласно пункту V предыдущей главы, скорость
обращения точки Q для нижней планеты есть <в — о; по-
этому постулат, принимаемый Птолемеем для нижних
планет, гласит:
«1 — ffi = — <*2 = Н- (49)
Птолемей этим соотношением почему-то не пользуется
и потому не дает и формулы, аналогичной (48), именно:
k — z — s, (50)
где z — число зодиакальных, s — число синодических обо-
ротов нижней планеты, происходящих за промежуток k
лет.
Так, в отношении Венеры у Птолемея сказано лишь,
что «5 ее синодических возвращений совпадают с 8 годами
без 2Д7Ч12“», иными словами, что 5S — 7,9937 года.
Но отсюда, по формуле (50), следует, что за то же са-
мое число лет, и притом близкое к целому числу солнеч-
ных лет, происходит и близкое к целому число возвра-
щений планеты в Зодиаке, именно г = 12,9937 38.
Точно так же, оставаясь в своей «древней манере» сче-
та углов в эпицикле, Птолемей не замечает, что зодиакаль-
ная скорость со, которая у него для нижних планет со-
вершенно выпадает, уже заключена в его схеме (см. рис.
17 и пункт VI предыдущей главы): это есть угловая ско-
рость движения планеты в эпицикле, но считая от не-
подвижного направления. Следовательно, для нижних
планет, в отличие от верхних, на одном и том же подвиж-
ном круге, именно эпицикле, отображается как синодиче-
174
ское движение планеты (считая от подвижного апогея),
так и зодиакальное (считая от неподвижного направления).
Подведем итоги. Геоцентрические движения пяти пла-
нет подчинены в системе Птолемея следующим общим
условиям:
1) Центры подвижных эксцентров трех верхних планет
и центры эпициклов обеих нижних всегда находятся на
прямой, соединяющей глаз наблюдателя с Солнцем; вместе
с Солнцем эти пять точек Q обращаются вокруг Земли в
прямом направлении в течение года.
2) Каждая из пяти планет обращается в прямом на-
правлении вокруг соответствующей точки Q в течение зодиа-
кального периода данной планеты, считая углы ее враще-
ния от неподвижного направления в плоскости эклиптики
(пункты IV и VI предыдущей главы).
3) Скорости синодического движения планет, считае-
мые в их эпициклах от истинных, т. е. подвижных, апогеев
эпициклов, определяются, согласно (47) и (49), условиями:
о: = р — со/, причем р >со для верхних планет (i — 3,
4, 5); di = со/ — р, причем co, >• р для нижних планет
(i = 1, 2), где р — суточное движение Солнца 39.
Мы могли бы еще согласиться с тем, что Птолемей при
его обычной манере счета углов в эпициклах мог не осоз-
нать тезиса 2, хотя и это мало вероятно; но положения 1 и
3 были ему заведомо известны; тогда возникает вопрос:
как мог этот замечательный астроном-Теоретик, ко орому
мы обязаны, например, важнейшим открытием лунной
эвекции 40, как мог он г . учесть, что найденные им условия
геоцентрического движения планет обнаруживают такие
соотношения и гармонии, которые были бы решительно
немыслимы, если бы движения всех планет не были со-
пряжены и связаны между собой единым движением Солн-
ца — светила, которое в его системе лишь «разделяет верх-
ние планеты от нижних»? Как мог он, одним словом, не
прийти к элементам гелиоцентрической системы?
В этом заключается одна из неразгаданных тайн исто-
рии науки. В связи с этим некоторые крупнейшие исследо-
ватели считают возможным полагать, что геоцентрическая
система Птолемея есть только переделка и отзвук кем-то и
когда-то детально разработанной гелиоцентрической систе-
мы, быть может, заброшенной потом из-за разнообразных
опасений и предрассудков ".
Как бы тони было, теперь для всякого, кто хоть немно-
175
го вдумается в три приведенных выше тезиса, ясно, что
система Птолемея раскрывает, и притом, так сказать, с са-
мой своей поверхности, возможность ее существенного гео-
метрического упрощения,— к тому же без какого бы то ни
было изменения ее кинематических основ и даже с сохра-
нением того принципа, что всякое абсолютное движение
совершается вокруг Земли. Это упрощение птолемеевой
системы есть так называемая система Тихо Браге 42, пред-
ложенная, к удивлению, не раньше, а только через не-
сколько десятилетий после появления бессмертной книги
«Об обращениях небесных сфер».
Для того чтобы уяснить сущность этой системы, доста-
точно заметить, что все точки — Q5 (которые мы, преду-
преждая развитие событий, и назвали «точками Тихо Бра-
ге») в системе Птолемея лежат на одной и той же прямой
TS (рис. 19, вверху). Но их абсолютные расстояния от
наблюдателя Т не даны и принципиально не могут быть
даны, потому что в системе Птолемея (см. следующую гла-
ву) существенны лишь отно-
шения радиусов эпициклов к
радиусам деферентов. Ничто
нам не мешает поэтому слить
все точки Q в одну и эту
Л единую точку поместить в S.
Для этого нам нужно только
геометрически привести пто-
лемееву систему к одному мас-
штабу, иными словами —
так сжать или растянуть
радиусы эпициклов трех верх-
них планет и деференты двух
нижних, чтобы общая вели-
чина этих отрезков стала рав-
ной TS, абсолютная длина которого останется неопределен-
ной и может быть принята за единицу длины.
Само собою разумеется, что в таком же отношении долж-
ны быть увеличены или уменьшены вторые стороны всех
пяти параллелограммов, так что подобие фигур сохранит-
ся, и все углы, а следовательно, и угловые скорости оста-
нутся такими же, какими они были до преобразования.
Если после этого мы проведем из S прямые SP3 и SP2,
параллельные 43 птолемеевым Q3P3 и Q2P2, то кинематика
нашей схемы отнюдь не изменится: точки Р3 и Р2 будут
Рис. 19
176
обращаться вокруг Солнца S с зодиакальными скоростями
планет (см. выше, тезис (2)), а Солнце S — вокруг Земли с
общей угловой скоростью всех точек Q, т. е. со скоростью
р, как ему и надлежит. В этом и состоит промежуточная
система Тихо Браге1, в ней все планеты обращаются вок-
руг Солнца, а Солнце — вокруг Земли. При этом орбиты
верхних планет относительно Солнца отображают подвиж-
ные эксцентры, относительные орбиты нижних — птолеме-
евы эпициклы; на языке кинематики, движение точек Р
вокруг S есть относительное, движение точки S — перенос-
ное, движение точек Р вокруг неподвижной Земли Т —
абсолютное. Поэтому с несколько более общих точек зре-
ния здесь нужно подчеркнуть, что в то время как копер-
никанская доктрина вся насыщена «началом относитель-
ности в познании движений», для «промежуточной» систе-
мы этот принцип еще не играет никакой роли.
Но, вместе с тем, геометрическое упрощение, которое
вносит промежуточная система, огромно: из четырех сто-
рон каждого параллелограмма она сохраняет только одну
(приведя ее к новому масштабу), и эти сохраненные сторо-
ны превращаются в гелиоцентрические радиусы-векторы
планет, или, пока мы принимаем эти орбиты круговыми,
они суть просто радиусы планетных орбит; при этом за-
мечательно, что, как только мы производим приведение
птолемеевой системы к «единому масштабу», размеры всех
планетных орбит (в их движении вокруг Солнца) автома-
тически принимают надлежащую, в действительности при-
сущую им величину; но к этому, еще одному удивительному
свойству птолемеевой системы, мы вернемся после более
детального анализа геоцентрической кинематики планет.
9. «ВТОРОЕ НЕРАВЕНСТВО»
И ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Создание теории движения планет, которой посвящены VII,
IX — XIII книги «Альмагеста», есть венчающая постройка
всей древней науки. На первый взгляд может казаться,
что после коперниканского переворота вся теория геоцент-
рического движения, развитая Птолемеем, отошла в архив
истории, так что автору книги «Об обращениях небесных
сфер» пришлось начинать все сначала. На самом же деле
это далеко не так и отнюдь не так.
177
Как же это могло случиться? Как произошло, что Пто-
лемей, изучая геоцентрическое движение планет, нашел
все-таки элементы планетных орбит в их истинном движе-
нии вокруг Солнца, так что его численные выводы вовсе не
превратились в ненужный балласт, а остались действенным
содержанием астрономической науки? Каким образом
Птолемей находит, например, для Сатурна эксцентриситет
е = 0,0570 и долготу апогея П = 233°, а Коперник полу-
чает е — 0,0570 и долготу афелия П = 240°?
Ответ на эти вопросы мы получим, уяснив самый метод,
который Птолемей применил для разделения обоих нера-
венств планетного движения.
Допустим для определенности, что речь идет о верхней
планете. Примем во внимание ее соединение с Солнцем: на
рис. 20 (справа) Sx есть Солнце, К — центр эпицикла Мар-
са, L — положение Марса в соединении. «В этот момент,—
говорит Птолемей44,— положение планеты таково, что
теоретически мы смотрим на нее как бы сквозь центр эпи-
цикла, как будто бы она и не двигалась по эпициклу,
Рис. 20
а просто занимала положение на том круге» (по которому
движется центр эпицикла).
Таким образом, используя свой первый постулат, имен-
но, что верхняя планета в соединении с Солнцем проходит
через апогей эпицикла, Птолемей открывает перед собой
возможность элиминировать второе неравенство, а сле-
довательно, и все причудливые особенности геоцентриче-
ского движения планет. Поэтому, получив несколько по-
ложений (т. е. геоцентрических долгот Марса) 46 и соот-
ветствующие им моменты времени, можно будет присту-
178
пить к определению элементов 8, П и средней долготы I,
в принципе совершенно подобно тому, как это было сде-
лано для Солнца в теории Гиппарха (к тому же Птоле-
мей существенно улучшает метод Гиппарха, применяя ко
всем планетам, кроме Меркурия, гипотезу биссекции).
При этом — и для нас это сейчас самое важное — эле-
менты е, П и I полученной орбиты будут гелиоцентричес-
кими.
Произойдет это по следующей причине: на рис. 20 ви-
димая геоцентрическая долгота Марса в момент соединения
есть угол X = yTL\ но гелиоцентрическая долгота его в тот
же момент есть угол I = у StL и эти углы равны. Следо-
вательно, из наблюдений Марса в соединениях получаются
непосредственно гелиоцентрические долготы Марса, т. е.
его долготы, отнесенные к Солнцу как началу координат.
И тогда, в силу все той же основной особенности астроно-
мических наблюдений, о которой мы неоднократно упоми-
нали, будет совершенно безразлично, станем ли мы прово-
дить направления на Марс из разных положений Солнца,
или все эти положения совместим в одно и из него прове-
дем веерообразно направления, параллельные заданным;
элементы орбиты получатся такими же, как если бы пла-
нета обращалась вокруг Солнца. Поэтому должно усвоить
с совершенной ясностью, что те направления, которые Пто-
лемей называет направлениями на апогей и перигей пла-
нетной орбиты, суть в действительности направления на ее
афелий и перигелий, т. е. на точки, где она наиболее всего
удаляется от Солнца или приближается к нему. Совершен-
но то же самое относится и к средней долготе планеты /;
но к этому мы вернемся ниже.
Таким образом, если бы в цитированную выше фразу:
«в соединениях мы смотрим на планету как бы сквозь центр
эпицикла» Птолемей включил всего два слова и написал:
«в соединениях мы смотрим на планету как бы с Солнца
сквозь центр эпицикла», то разгадать гелиоцентрический
характер элементов 8, П и I было бы потом существенно
легче.
Но теперь возникает вопрос: о каком Солнце идет здесь
речь? Разумеется, в точной теории планет здесь надо было
бы учесть неравномерное, действительное движение Солн-
ца, т. е. принять за его орбиту хотя бы rnnnt ов эксцентр.
Однако с этой трудностью Птолемей совлад;гь не мог: в
его планетных теориях «Солнце» есть некоторое фиктивное
179
светило, движущееся вокруг Земли по круговой орбите
(см. рис. 20) с постоянной угловой скоростью ц.. Долгота
этого светила есть средняя долгота истинного Солнца; мы
будем называть его «средним Солнцем» 4в.
Заметим, что такую же ошибку допустил в своих пла-
нетных теориях и Коперник. Исследуя движения планет
вокруг Солнца, он всегда относит их не к истинному Солн-
цу, а к «пустой точке», именно к центру земной орбиты;
но мы показали выше (стр. 142), что направление на центр
солнечной орбиты есть как раз направление на среднее
Солнце; поэтому у Коперника здесь происходит то же са-
мое, что и в планетных теориях «Альмагеста» 47.
Но вернемся к Птолемею.
Введя в свои теории среднее Солнце вместо истинного,
Птолемей тем самым как бы начинает теории верхних пла-
нет с определения: «Моментом видимого соединения пла-
неты считается тот, когда видимая долгота планеты сов-
падает со средней долготой Солнца, и соответственно: мо-
мент противостояния есть тот, когда видимая долгота
планеты отличается на 180° от средней долготы Солнца».
Таким образом, комбинируя наблюденные им в моменты
противостояний долготы планеты (или, что здесь то же са-
мое, долготы центров эпициклов) со средними долготами
Солнца, Птолемей и строит всю теорию геоцентрического
движения планеты, применяя к движению центра эпицик-
ла гипотезу биссекции эксцентриситета.
Соответственно этому мы должны возвратиться к содер-
жанию главы 4-й и к рис. 10 и 20. Орбита центра эпицикла
Марса есть эксцентр, AD — его линия апсид; по этому
эксцентру эпицикл Марса движется так, что равномерно
возрастают углы при центре равномерных вращений, т. е.
при центре экванта О (наносить этот круг на рис. 20 нет
оснований); но направления на точку К совпадают здесь с
направлениями на планету, и потому средняя угловая ско-
рость эпицикла есть как раз зодиакальная скорость планеты,
т. е. <о. Направления из точки О на центры эпициклов К и
N (см. рис. 20) пересекают эпициклы в точках Во и Ао; это
суть так называемые средние апогеи эпициклов; поэтому, если
мы начнем счет времени t от момента соединения планеты и
проведем прямую /С(Л0)||ЛМ0, то будем иметь
z K0N = Z ВоКИо) = <0/. (51)
180
Синодическое движение планеты есть ее равномерное
движение в эпицикле, считая по отношению к подвижному
и, здесь надо добавить, по отношению к подвижному сред-
нему апогею; если в первом положении угловое расстояние
планеты от Во есть угол ЬК.Вй, а во втором — угол AaNP,
то их разность и будет синодическим движением за время
t. Поэтому, проведя на первом эпицикле прямую (Р)/С,
параллельную PN на втором, и обозначив, как обычно,
через о синодическую скорость, имеем:
Z.A0NP - ZLKB0 = at,
так что, если назовем LKB^ через 0, то
/A0NP = at + 0 = а. (52)
По Птолемею, этот равномерно возрастающий угол AaNP
есть аномалия планеты 48; мы будем обозначать его через а.
Определим теперь величину угла LK(P\ Учитывая (51)
и (52), находим:
Z^TO = Z^KHo) + ZGW^ = - 0 + at +
+ 0 = (co + a)t.
Но, согласно (47),
co + a = p,
так что
Z L/<(P) = pt (53)
Поэтому, если проведем S2T Ц (P)/< || PN, так что
Z SjTSj = ZtK(T’) = pt то точка S2 будет как раз
изображать положение среднего Солнца при втором по-
ложении эпицикла (см. рис. 20), и мы приходим к важно-
му положению:
Направление от наблюдателя на среднее Солнце (или,
что то же самое, на центр солнечной орбиты) всегда парал-
лельно направлению от центра эпицикла к планете.
Очевидно, этот результат есть некоторое обобщение того,
о котором шла речь выше (стр. 172).
Поведем теперь из Т прямую Т (N) || ON; долгота точки
N, считаемая при центре О, получила название средней
долготы планеты; мы будем обозначать ее через I; таким
образом,
Z fON = Z yT(N) = t
.181
С другой стороны, средняя долгота Солнца L есть угол
yTS2', ввиду условий A 0N Ц (N)T и РМЦЗаТ имеем:
L = I + а, (54)
так что во всякий момент времени средняя долгота верхней
планеты, сложенная с ее аномалией, есть средняя долгота
Солнца. Поэтому в таблицах «средних движений» данной
планеты достаточно табулировать только одну из перемен-
ных, именно среднюю долготу I или аномалию а; средняя
долгота Солнца L дается в таблицах Солнца и является
общей для всех планет. Так, в «Альфонсинах» для всех
планет дается только а; но Птолемей табулирует для верх-
них планет как I, так и а («Альмагест», кн. IX, гл. 4),
причем условие (54) выдерживается у него, конечно, с
точностью до «секст». Для нижних планет I = L и по таб-
лицам движения планеты вычисляется только а.
Задача определения геоцентрического направления на
планету, иными словами, ее видимой долготы
% = z уТР,
сводится теперь к вычислению средней, равномерно нара-
стающей долготы I и, как сейчас увидим, двух неравенств:
одно из них есть хорошо известное нам уравнение центра
х (взятое с обратным знаком), другое есть тот угол, под
которым из Т усматривается радиус эпицикла верхней пла-
неты (и аналогично радиус деферента для нижней); обоз-
начим его через у, так что (см. рис. 20)
У = Z NTP.
Покажем теперь, что основная рабочая формула всего
метода, в которой, кстати сказать, весьма рельефно ото-
бражается разделение обоих неравенств, налагающихся на
равномерно возрастающую угловую переменную I, имеет
вид
% = I — х + у. (55)
Но эта формула сразу читается на рис. 20, на который
нанесены обозначения, принятые в главе 4 при изложении
теории биссекции.
Действительно,
/ = ZyT(N) = Z yON = М + П (56)
182
и потому
Х = /?ТР = П + » + у = П + Л(-х + ? = /-
— х + у,
что и требовалось доказать.
Для вычисления уравнения центра х мы имеем готовую
формулу (28). Перейдем к вычислению у (которое в «Аль-
фонсинах» именовалось «.уравнением аргумента») и обра-
тимся для этого к треугольнику TNP. Радиус эксцентра
CN = а принимаем за 1; тогда, согласно (29),
TN — г = cos (х — ф) 4- 4- cos (М — х). (57)
Пусть будет теперь NP = 6 радиус эпицикла (иными
словами, его отношение к радиусу эксцентра а); тогда,
опустив из Р перпендикуляр на NA' (на рис. 20 не пока-
зан), найдем:
PT-sin у ~ 6 sin (а + х),
PT -cos у = г + 6 cos (а + х),
откуда
t 6sin(« + x) (58)
г + д cos (а + х) • • {00'
Для нижних планет формулы не меняются.
Таким образом, обе величины, необходимые для опреде-
ления геоцентрической долготы, именно первое неравенство
х и второе у, нам известны ®, и мы можем установить те-
перь порядок всех действий для вычисления % в их после-
довательности.
Сводка. Для вычисления геоцентрической долготы пла-
неты на данный момент t должны быть заданы четыре эле-
мента движения планеты, именно П (долгота апогея), 8
(полный эксцентриситет), /0 (средняя долгота для началь-
ной эпохи таблиц), б (радиус эпицикла) и, сверх того, сред-
няя начальная долгота Солнца Lo.
1) Пользуясь известными суточными движениями р и
со, вычисляем для момента наблюдения /:
L> — Lo + р(/ — /0), I = /0 + со(/ — /0).
2) Образуем вспомогательные углы М, а и ф:
М = I — П, а = L — I, sin ф = e/2sin М.
183
3) Уравнение центра х по (28) и г в частях радиуса
эксцентра по (27) или (29):
rsinx = esinAl 1
,.8 .. ( или
rcosx — cos яр + tCOS М I
, 8 sin М
tgx =----------------
COS ф + — cos
г = cos (х — яр) + cos (М — х).
4) Уравнение аргумента по (58):
tg и = 6 sin
® “ г + d cos (а 4- х)
5) Искомая геоцентрическая долгота получается, на-
конец, по (55):
1 = I — х + у.
Замечания'. 1) Если таблицы дают также начальное
значение аномалии а0 и ее суточное движение, то вычисляем
а = а0 + о(/ — /0)
и пользуемся им для контроля: L — I — а.
2) Если А, относится к моменту соединения, то
К = L; а = — х + у.
Этот угол обозначен через 0 на рис. 20.
3) В противостояниях
а + х = 180° + у.
4) Для нижней планеты, по определению, I — L, так
что здесь а вычисляется по таблицам независимо от сред-
них долгот.
Приводим полный пример вычисления А по предыдущей
схеме; это позволит нам получить представление о точности
таблиц обеих простефэрез, данных в «Альмагесте» (кн. XI,
гл. 12).
В кн. XI, гл. 6 Птолемей приводит наблюдение Сатурна
(вне противостояния), произведенное им во 2-м году Ан-
тонина Пия, 6/7 египетского месяца Мехир, за 4 равноден-
ственных часа до полуночи (в Александрии). Перевод на
184
современный счет дает: 22 декабря 138 г. н. э., 8 ч. вечера
(считая сутки от полудня в Александрии). Наблюден-
ная долгота Сатурна, по Птолемею, была
X = 309°4'.
Для вычисления К с элементами орбиты Сатурна, по
Птолемею, имеем 60
е = 6₽5О' = 0,11 389 S = 6*30' = 0,10833
П = 233°0.
Кроме того, начальные значения равномерно возрастающих
угловых переменных:
/0 = 296°43' а0 = 34°2' Lo = 330°45'.
Начальная эпоха таблиц Птолемея есть знаменитое в
хронологии первое число первого египетского месяца (1-е
Тот) царствования Набонассара (26 февраля 747 г. до
н. э.); интервал от этой эпохи до момента наблюдения —
885 египетских лет (по 365 дней), 5 египетских месяцев
(по 30 дней), 5 дней и 8 часов; по таблицам средних
движений, имеющимся в «Альмагесте», сохраняя только се-
кунды и их округляя, вычисляем L, I и а для данного
момента.
L 1 а
Начальное 330°45'0" 296°43'0" 34°2'0*
810 лет 163°4'12йг 180°53'13" 342°10'59"
72 года 342°29'42" 160°4'44" 282°24'59"
3 года 359°16'14" 36°40'12" 322°36'2"
5 месяцев 147°50'43" 5°1'24" 142°49'19"
5 дней 4°55'41" 0°10'3" 4°45'39"
8 часов 0°19'43" 0°0'40" 0°19'3"
Сумма 268°41'18" 319°33'16' 309°8'1"
Примечание. Контроль через L — I = а. сходится с точностью до 1" на всех
строках таблицы.
Далее имеем:
М = I _ п = 86°33'16".
185
Вычисляя (с точностью до пятого знака), последова-
тельно находим
Ф = 3°15'ЗГ
х = 6°28'27*
х — ф = 3°12'56"
г = 1,00825 -
(в частях радиуса
эксцентра)
М — х = 80е 4'49"
а + х= 315’36'28"
у = -З’бЭ'Зб'
— х + у = —10°28' 2"
/= 319°33'16"
Х= 309е 5'14"
Как видно, согласие с непосредственным определением
Птолемея (% = 309°4') получалось, можно сказать, даже
слишком хорошее: оно далеко превосходит самую точ-
ность древних наблюдений (порядка ± 20'); к тому же,
в теории вовсе не отображено еще движение Сатурна по
широте, которое, вообще говоря, отражается и на наблюден-
ной геоцентрической долготе. Так или иначе, тот резуль-
тат, который мы имели в виду, нашим вычислением под-
тверждается: «таблицы неравенств» Сатурна в «Альмагесте»
дают для данного примера х = +6О28' и у = — 4°2'; следова-
тельно, в пределах 2'—3' они заменяют точное вычисление;
на весьма остроумных методах их устройства мы, к со-
жалению, здесь не можем задерживаться.
Покажем теперь, как при помощи приведенных нами
схем и формул выводится весьма важное положение птоле-
меевой теории:
«Если для произвольного момента вне противостояния
планеты получена из наблюдений ее видимая долгота % и
если известны ее элементы 8 и П, а также и средние дол-
готы Солнца и планеты, т. е. L и I для того же момента,
то этого одного наблюдения достаточно для определения 6,
т. е. радиуса эпицикла, выраженного в частях радиуса
эксцентра планеты». Действительно, так как известны %
и I, то известна также величина
— х + у = X — Г,
но, имея вспомогательный угол М — I — П (поскольку П
задано) и зная е, вычисляем первое неравенство х и по
предыдущей формуле находим у.
Обратимся теперь к треугольнику NPT на рис. 20.
В нем сторона S = NP и по (57)
NT = г = cos (х — ф) + cos (Л1 — х),
186
причем угол i|) определяется из соотношения (26):
sin я|> = -|-sinAf.
А
Далее, угол при вершине Т в этом треугольнике есть у,
угол NPT, как смежный с внешним углом а -}- х, равен
а + х — у, поэтому
§ = Г______.
sin (а + х — у)
(59)
Совокупностью этих формул и решается поставленная зада-
ча. Применим их к выводу б Сатурна для только что рас-
смотренного примера, взяв за исходное полученное нами
значение X.
Последовательно находим приведенные ниже значения:
Л. = 309° 5'14"
/= 319’33'16"
- х + у = -10’28' 2"
М = 86’33'16"
яр = 3’15'31"
х = 6’28'27"
у = -3’59'35"
а = 309° 8' 1"
а + х — у = 319’36' 3"
х —1|)= 3’12'56"
М— х= 80’ 4'49"
cos (х —1|0 = 0,99 844
8
-х- cos (Л4 — х) = 0,00981
&
Г = 1,00825 1 ( частях
X п \rvrn 1 радиуса,
о —u,iuoo6j эксцентра)
Мы пришли, таким образом, — ив этом контроль пер-
вого вычисления — в точности к тому самому значению ра-
диуса эпицикла Сатурна, которое было положено выше
(стр. 186) в основу вычисления его видимой долготы %.
В заключение нам остается лишь еще раз подчеркнуть
значение всех тех элементов орбиты, которыми определяет-
ся, по Птолемею, геоцентрическое движение планеты и ко-
торые были использованы в предыдущем вычислении.
Эти четыре элемента следующие: е, П, I и б; гелиоцентри-
ческий характер первых двух достаточно разъяснен вы-
ше (стр. 179); долгота I, которую Птолемей называет сред-
ней, т. е. долготой центра эпицикла, и притом геоцентри-
ческой, поскольку она измеряется углом yON — уТ (N), в
моменты соединений обращается в гелиоцентрическую дол-
готу самой планеты Р, отсчитываемую при точке S (см.
рис. 20); а так как после соединения с Солнцем птолемеева
средняя долгота возрастает с зодиакальной скоростью ю,
187
то она и всегда будет гелиоцентрической долготой планеты,
и притом средней, поскольку в нее не включено еще уравне-
ние центра.
Для нижних планет элемент I есть, очевидно, также ге-
лиоцентрический, потому что здесь это просто средняя
долгота Солнца L.
Таким образом, из всех четырех птолемеевых элемен-
тов движения планеты (или элементов ее орбиты, как теперь
говорят) три являются гелиоцентрическими', только один,
именно радиус эпицикла 6, имеет чисто геоцентрическое
значение; он представляет собой неизбежную и неотъемле-
мую принадлежность геоцентрических теорий; раскрытие
же его смысла и значения в гелиоцентрической системе и
явилось для теоретической астрономии самым существен-
ным моментом в той революции знания, которую принесла
с собой книга Коперника.
10. КОПЕРНИКАНСКОЕ ОБРАЩЕНИЕ
ПЛАНЕТНОГО МЕХАНИЗМА
Появление трактата «Об обращениях небесных сфер, в VI
книгах» (1543) есть один из важнейших этапов истории
науки прежде всего потому, что новая доктрина достигала
существенно более общего и объективного познания движе-
ний в планетной системе, чем все, что было на этом пути
получено древними. И она пришла к этому путем система-
тического применения принципа, роль которого все более
и более утверждалась в последующем развитии механики и
физики; то был, как мы уже упоминали выше, принцип
относительности в познании движений. Этот принцип Ко-
перник провел в своем труде от начала и до конца; он объяс-
нил им видимое суточное движение небесного свода, видимое
годичное движение Солнца и, наконец, в этом же направле-
нии он сделал едва ли не самое глубокое свое открытие:
он первый объяснил явление прецессии, или попятного дви-
жения точек равноденствий, показав, что и это наблюдае-
мое нами движение есть не более как отображение еще
одного движения Земли; на этот раз — это медленное вра-
щение земной оси вокруг полюсов эклиптики. Так высту-
пил Коперник со своим учением о «тройном движении Зем-
ли» (вращательном, орбитальном и прецессионном, которое
он называет «деклинационным») и.
188
Совершенно очевидно, что все это должно было звучать
для современников лишь как некоторый удивительный па-
радокс («до ошеломления парадоксально»— ad stuporem
paradoxotaton, как писал тогда виттенбергский астроном
Эразм Рейнгольд); нужен был гений Галилея и Кеплера,
чтобы через 50 лет после появления книги увидеть в этих
общих установках коперниканского учения всю первоос-
нову будущей астрономической науки.
В немногих словах мы коснемся здесь содержания зна-
менитого трактата в его целом.
Для современного читателя наибольший интерес пред-
ставит, без сомнения, первая из шести книг, где Копер-
ник в общих и широких рассуждениях устанавливает на-
чало относительности и показывает, как из наблюдений с
несомненностью обнаруживаются все движения Земли (в
особенности важна 10-я глава I книги, где развивается ге-
лиоцентрическая доктрина).
Но на 11-й главе эта общая часть всего трактата как бы
обрывается, и I книга заканчивается тремя главами три-
гонометрического содержания; здесь же фигурирует (как и
у Птолемея в конце I книги «Альмагеста») таблица хорд,
вычисленная уже в десятичном делении (радиус принимает-
ся за 100 000) и притом через каждые 10'. По сферической
тригонометрии даются важные теоремы, новые по сравне-
нию со сферикой «Альмагеста» 52.
Во II книге идет речь о предметах, относимых теперь к
сферической астрономии; это — вопросы преобразования
координат (эклиптикальных в экваториальные), затем яв-
ления, относящиеся к суточному вращению небесного сво-
да, как-то: восходы и заходы звезд и т. п.; все это соответ-
ствует в очень сокращенном, но несколько обновленном из-
ложении содержанию I и II книг «Альмагеста»; II книга
заканчивается звездным каталогом, содержащим координа-
ты 1 025 звезд, а именно их долготы и широты. Но здесь, в
результате своего собственного открытия кинематической
сущности прецессии, Коперник допускает одну из своих
самых странных концепций. Точки равноденствия движут-
ся по небесной сфере; поэтому, поясняет он, эти точки не
могут служить началом отсчета координат в эклиптике;
за таковое должна быть принята какая-либо звезда, так
как звезды, по его мнению, «абсолютно» неподвижны на
небесной сфере. Поэтому, взяв в основу знаменитый звезд-
ный каталог, помещенный в VII книге «Альмагеста», Ко-
189 .
перник принимает за начало всех отсчетов первую звезду
в знаке Овна (у Arietis), а так как долгота этой звезды у
Птолемея показана равной 6°40', то весь каталог Копер-
ника есть не что иное, как каталог Птолемея, в котором дол-
готы всех звезд просто уменьшены на 6°40', а широты ос-
тавлены без изменения. Но подобный каталог, не являющий-
ся результатом самостоятельных определений звездных по-
ложений, разумеется, не мог иметь, и не имел, в отличие от
каталога Гиппарха — Птолемея, никакого значения в зве-
здной астрономии.
В следующей, III книге излагаются теории движения
Солнца и прецессии; в историческом аспекте содержание
ее менее всех остальных было оправдано последующим раз-
витием науки; к движению Солнца Коперник применяет
гипотезу простого эксцентриситета; однако, имея задачей
удовлетворить некоторым наблюдениям арабских астроно-
мов, Коперник необычайно осложняет эту теорию, введя
в нее не только прогрессивное, но еще и периодически ус-
коренное и замедленное движение апогея. Центр земной ор-
биты не совпадает у него с Солнцем (центром мира); некото-
рая вспомогательная точка обращается вокруг Солнца в
50 000 лет, и вокруг этой подвижной точки центр земной
орбиты обращается в 3434 года; поэтому эксцентриситет
земной орбиты периодически изменяется; все это, конечно,
не нашло в последующем никакого подтверждения. То же
самое и в отношении прецессии, в которую Коперник ввел
(опять для того, чтобы удовлетворить средневековым наб-
людениям), сверх равномерного движения точек равноден-
ствия, еще и не существующую на деле периодическую либ-
рацию с амплитудой + 15",4 и периодом 1717 лет. Впрочем,
надо заметить, что средние значения как для годичного
смещения равноденствия, так и для длины тропического го-
да получились у него очень хорошими: для прецессии
50",20 в год (вместо правильного значения для его эпохи
50", 17) и для года 365 д. 5 ч. 49 м. 28 с.— всего на 29 се-
кунд больше действительного значения в его эпоху; к то-
му же кинематические схемы, которые Коперник приме-
няет в этих теориях, если их рассматривать независимо от
лх астрономического содержания, сами по себе весьма поу-
чительны.
Следующая, IV книга трактата относится к теории Лу-
ны и составляет одну из самых блестящих его частей. Здесь
вопросы гелиоцентрической доктрины, разумеется, роли
190
не играют. Луна как до Коперника, так и после него ос-
тается обращающейся вокруг Земли; поэтому в IV книге
происходит лишь чисто техническая переработка птоле-
меевой теории; устраняя из нее столь тягостный для него
эквант, Коперник заменяет его концентрическим биэпицик-
лом (см. выше, стр. 152) и затем не только достигает одина-
кового с Птолемеем, в смысле точности, представления
обоих главных неравенств лунного движения (так назы-
ваемых эллиптического и эвекции), но и существенно
улучшает лунные расстояния в различные моменты ее еже-
месячного обращения. К тому же, в то время как здесь у
Птолемея получалось нечто совершенно не соответствую-
щее действительности, Коперник идет далеко вперед, и
его результаты уже близки к согласию с наблюдениями.
Вообще вся IV книга обнаруживает очень высокое мас-
терство автора, и по праву она вызывала удивление совре-
менников; она не затрагивала к тому же вопросов «пара-
доксального» характера.
Наконец, только в следующей, V, предпоследней книге
Коперник переходит к теории движения планет по долго-
те 63 (так же как Птолемей, Коперник рассматривает дви-
жение по широте в последней книге своего трактата и здесь
дальше своего великого предшественника отнюдь не идет;
но, поскольку самые принципы их решения одинаково не-
верные, мы не говорим здесь ни о XIII книге «Альмагеста»,
ни о VI книге «De Revolutionibus»). Таким образом, книга
V единственно и относится к истории планетных теорий;
однако и здесь, как мы предупреждали во введении, сле-
дует оставить в стороне детали теорий Венеры и Меркурия,
так как для построения неравенств их гелиоцентрического
движения Коперник создал специальные модели, не нашед-
шие никакого подтверждения в теории эллиптического дви-
жения планет.
В чем же состоит основное и характерное содержание
учений, развиваемых в V книге?
Внимательное чтение ее и освоение всего стиля, в кото-
ром она составлена, не оставляет сомнения в том, что здесь
цель автора была показать, что система планетных теорий
«Альмагеста» отнюдь не терпит изъяна и ущерба от нового
учения о движении Земли; весь численный скелет древней
теории сохраняется неизменным, а методика ее упрощает-
ся и улучшается, поскольку птолемеевы экванты уничто-
жаются и заменяются движениями более совершенными —
191
круговыми и равномерными; к тому же ряд движений те-
перь вовсе отпадает, поскольку все они учитываются еди-
ным движением Земли м.
Разумеется, для истории астрономии было бы чрезвы-
чайно важно проследить за генезисом коперниканского
открытия и выяснить, на каких именно свойствах древней
системы базируется Коперник, производя все эти сущест-
венные ее упрощения. Но, к сожалению, установить это
решительно невозможно, так как ни разу на протяжении
своего длинного труда Коперник не говорит, как появилась
у него уверенность в возможности такого перехода, как за-
блистала впервые его освобождающая мысль.
Мы узнаем, что его система есть результат длительных,
продолжавшихся почти сорок лет размышлений; но сверх
этого — ничего. Разумеется, древние реминисценции, и
Филолай Пифагореец, и глубокий астроном-математик
III в. до н. э. Аристарх Самосский,— все они сыграли здесь
свою роль. Но то, что от них сохранилось, все это в лучшем
случае является недоказанными тезисами и постулатами.
Коперник же работал не над этими общими концепциями и
мыслями, а над вполне конкретным материалом теорети-
ческой астрономии, над системой «Альмагеста». И его ве-
ликая историческая заслуга состоит прежде всего в том,
что, в то время как за 13 столетий после Птолемея ученые
греки, византийцы, арабы и латиняне изучали, препода-
вали и комментировали «Альмагест», он первый осознал
значение тех общих «птолемеевых соотношений», которые
были детально развиты нами выше (гл. 8). И с удивитель-
ной — для нас, пожалуй, уже непостижимой — смелостью
мысли извлек из них все следствия и выводы ценой отказа
от прочно сложившихся и, казалось бы, непререкаемых дог-
матов и убеждений.
Но раз мы владеем не только деталями птолемеевой сис-
темы, но и общей характеристикой всех описываемых в
ней планетных движений в их целом, то переход к гелио-
центрической системе должен быть проведен нами с воз-
можной методической ясностью и полнотой; мы осуществим
его здесь с помощью двух приемов, именно:
1) приведения геометрических размеров птолемеевых
моделей для каждой из пяти планет к единому масштабу;
2) обращения кинематики всей системы в целом путем
приведения к покою одной из ее точек, считавшейся под-
вижной, и взамен этого включения в движение другой.
192
Действительно, мы видели (см., например, стр. 173),
что птолемеева система обладает следующей основной осо-
бенностью: каждой из пяти планет'соответствует своя точ-
ка Q; все эти пять точек!располагаются всегда в направле-
нии от наблюдателя к Солнцу S; они обладают той же уг-
ловой скоростью движения по долготе р, как и само Солн-
це, и совершают свой оборот вокруг Т в течение года. При
этом, в случае верхних планет расстояния TQ суть радиу-
сы их эпициклов, для нижнихэто радиусы деферентов.
Привести всю систему к одному*масштабу означает сов-
местить все пять точек Q в единую точку Q' на прямой
TS, сохранив при этом геометрическое подобие систем
(рис. 21 и 22). Но астрономам ясно, что за такую объеди-
няющую точку Q' можно принять только само Солнце S,
иначе создалось бы совершенно бессмысленное положение
вещей. Примем поэтому расстояние Солнце — Земля ST за
основное и, положив
ST = а0,
напишем условия, вытекающие из указанного преобразо-
вания.
Пусть будут, как прежде, bi, 62..........Ь5 — радиусы
эпициклов; а*, аг......а5 — радиусы деферентов, так что
bi = 6iai; f>2 = 624г2; . . .; Ьъ = 66а5. (60)
В системе Птолемея абсолютная длина отрезков b и а
неизвестна, задаются лишь их отношения 6. Но остано-
вимся на какой-либо определенной совокупности всех этих
длин (задав их, скажем, в милях), так чтобы сохранялись
только отношения 6 в каждой паре длин (Ь и а). После это-
го для каждой из планет назначим соответствующее отвле-
ченное число (масштабный множитель kit . . ., kb) и
величину этих множителей определим из условий:
для верхних планет
= = k6bb = 4Z(>;
для нижних планет
&1441 = ^2^2 4Zq.
Тогда из (60) получим
для_верхних планет
с ___ Др . „ _ Др
8 kittz ’ 4 Й4Й4
7 Н. И. Идельсрн
’ = <б1>
для нижних планет
^ = 4г: (62) I
Но так как для всех планет а0 есть отрезок TQ, преобразо-
ванный в TS, то отсюда следует, что для верхних планет -
(см. рис. 21) отрезки k3a3,k^a4f k5a5 будут в силу подобия
фигур представлять собой длины^ЗР', преобразованные из
QP, иными словами это будут расстояния планет от Солн-
цам но и для нижних планет (см. рис. 22) после преобразо-
вания TQ в TS отрезки krbx и k2b2 будут представлять
собой длины SP', т. е. опять-таки расстояния планет
от Солнца. I
Таким образом, из (61) и (62) следует:
для верхних планет
«=4 = ^ <61')
для нижних планет II
б = JL = . (62z)
a aQ S
Если теперь, закончив преобразование, мы вернемся к
радиусу деферента (или эксцентра) как единице масштаба
для данной планеты, то для верхних планет aQ будет выра-
жаться тем же числом, что и Ь, т. е. числом 6; для нижних
планет а0 будет выражаться тем же числом, что и 1/6,
т. е. числом 1/6. Условившись называть я0, по Копернику,
194
радиусом «основного круга» (упомянутый уже orbis magnus),
получаем правило:
Радиус основного круга, выраженный в частях радиуса
деферента {или эксцентра) данной планеты, равен птоле-
меевой величине 6 для верхних планет и 1 : 6 для нижних.
Поэтому, если в теории данной планеты получена ка-
кая-либо длина г, выраженная в частях радиуса эксцентра,
то для выражения ее же в частях радиуса основного кру-
га достаточно разделить г на 6 в случае верхней планеты и
умножить на 6 в случае нижней. Это правило и применяет
в своих вычислениях Коперник.
Поступим теперь иначе и примем за единицу всех рас-
стояний в планетной системе радиус основного круга а0 и
обозначим через a, (i = 1, 2, . . ., 5) средние расстояния
всех планет от Солнца, выраженные в этой единице; тогда
из (61') и (62') получим
6i = Qi; 6j = а%, 63 = ; 64 = ; 65 = -=—. (63)
аз at а&
Таким образом, последовательность чисел
61( 62, V63, V64, х/65
есть в то же время последовательность средних расстояний
планет от Солнца, выраженных в частях радиуса основ-
ного круга.
Мы считаем, что именно это свойство преобразования
системы Птолемея имеет в виду Коперник, когда он говорит
(«Об обращениях», кн. I, гл. 10):
«Или не надлежало бы оставлять Землю в том центре,
к которому относится последовательность планет; или же
[если ее там оставить] не существовало бы, по меньшей
мере, никаких оснований для [того или иного] порядка пла-
нет, и совершенно невозможно было бы понять, почему наи-
более высокое [т. е. далекое] место принадлежит Сатурну,
а не Юпитеру или какой-либо другой планете».
Из сказанного ясно, насколько существенной и значи-
тельной оказалась система птолемеевых чисел 6; но в древ-
ней теории это были только пять случайных, не связанных
Друг с другом геоцентрических элементов пяти планетных
теорий; после Коперника та же самая пятерка чисел опре-
деляет истинный порядок и строй планетной системы; прав-
да, теперь к ним присоединяется и еще одно значение 6,
7*
195
не известное древним: это 6=1, соответствующее
Земле.
Ввиду важности чисел 6 сведем в таблицу определения
их, данные Птолемеем и Коперником:
Планета 3 по Пто- лемею * 3 по Ко- пернику ** 1 а а Истинное значение
Сатурн 6р30' 6₽32' 0,1090 9,184 9,139
Юпитер 11р30' 11р30' 0,1917 5,217 5,203
Марс 39р30' 39₽29' 0,6580 1,520 1,524
Венера 43р10' 43₽10' 0,7195 0,723
Меркурий 22р30' 22р34' 0,3762 0,387
* Сводка в «Альмагесте», кн. XI, гл. 10.
** «De Revolutionibus...», кн. V, гл. 9, 14, 19, 21, 29; самостоятельных наблюде-
ний для определения орбиты Венеры у Коперника не имеется.
Мы не будем исследовать здесь любопытный вопрос о
том, каким образом у Коперника, на основе новых наблю-
дений всех планет (кроме Венеры), получилось почти абсо-
лютное совпадение с данными Птолемея, а отметим лишь,
насколько близки к неосознанной действительности были
птолемеевы определения, например, для Юпитера, Марса
и Венеры.
Геометрическое преобразование птолемеевой системы
вскрывает еще и некоторые интересные зависимости между
различными угловыми величинами, входящими в древнюю
и новую схемы. Впервые указал на них Кеплер; для форму-
лировки этих кеплеровых положений введем еще один тер-
мин, принадлежащий Копернику: «Параллаксом основного
круга» (parallaxis orbis magni) будем называть угол
SP'T, под которым из планеты Р' в данном положении ее
на орбите усматривается радиус ST. Учитывая далее, что
угол, под которым из Земли Т усматривается эпицикл верх-
ней планеты или деферент нижней, есть ее «второе неравен-
ство», немедленно получаем по рис. 21 и 22:
Параллакс основного круга планеты Р' в системе Копер-
ника всегда равен второму неравенству той же планеты в
системе Птолемея.
Именно этим объясняется, как показал Кеплер 55, что
эпицикл Марса огромен, эпицикл Юпитера меньше, эпи-
196
цикл Сатурна еще меньше; Величина радиусов эпициклов,
т. е. б, для верхних планет обратно пропорциональна их
расстояниям от Солнца.
Для нижних планет, как видно из рис. 22, имеет место
еще дополнительное условие:
Угол, под которым из Земли Т усматривается радиус
орбиты нижней планеты SP' в системе Коперника, равен
углу, под которым из Т в системе Птолемея усматривается
радиус ее эпицикла.
На этом закончим изучение первого, геометрического
преобразования системы Птолемея и перейдем ко второму,
кинематическому.
Соответственно полученным до сих пор результатам,
каждая из планет Р обращается вокруг S в прямом направ-
лении с зодиакальной скоростью со, а точка 3, заменившая
все пять точек Q, обращается в прямом направлении вок-
руг Т со скоростью р. Покажем
движений за интервал t будет
такой же, как если бы планета
Р продолжала обращаться с той
же скоростью со вокруг 3, а
точка Т обращалась вокруг 3
со скоростью р.
Для доказательства примем
во внимание на рис. 23 исход-
ное положение трех точек 3, Р,
Т; оставаясь при геоцентричес-
ком толковании, мы скажем,
что точка 3 пройдет за интер-
вал t дугу p/ = SSi на окружно-
сти а с центром Г; за это же вре-
мя Р пройдет дугу со/ = РК на
что результат обоих этих
Рис. 23
исходном положении окружно-
сти у с центром 3; поэтому на новом положении этой
окружности б с центром в St точка Р придет к положе-
нию L; при этом KS будет параллельно LSlt так как
вращение Р вокруг 3 происходит одинаково, движется
ли центр 3, или нет; к тому же KS = LSlt так как это ра-
диусы одинаковых окружностей. В гелиоцентрической
картине Земля Т пройдет в том же прямом направлении
дугу TTi — на окружности Р с центром в 3. Таким об-
разом, STf и SiT будут параллельные друг другу радиусы
одинаковых окружностей; следовательно, треугольники
197
К87\ и LSiT, имея по две стороны, равных и параллельных,
равны, и их третьи стороны параллельны. Поэтому для
наблюдателя Т единственные непосредственно восприни-
маемые астрономические элементы, а именно направления
на Солнце S и на планету Р, останутся совершенно одина-
ковыми, будет ли движение после исходного момента про-
исходить геоцентрически или гелиоцентрически; а так как
за исходный может быть принят любой момент движения,
то данное кинематическое обращение системы Птолемея не
оказывает влияния на определение направлений на Солнце
и на планеты, т. е. на угловые расстояния между ними на
небесной сфере.
Но читатель, несомненно, заметил, что система, к ко-
торой мы пришли после геометрического преобразования
системы Птолемея, есть не что иное, как та «промежуточ-
ная» система Тихо Браге, о которой шла речь в гл. 8-й.
Отсюда вытекает, что если бы в нашем распоряжении были
только и единственно определения направлений на Солнце
и планеты, то решить вопрос о том, какая из обеих систем
имеет место в действительности, «промежуточная» или ко-
перниканская, было бы невозможно. По счастью, мы об-
ладаем и другими наблюдениями, из которых видно, как
отображается движение Земли на положениях звезд (звезд-
ные параллаксы)', имеются и чисто физические доказательст-
ва движения Земли (аберрация света)-, наконец, динамичес-
кая теория прецессии, развиваемая на основе закона все-
мирного тяготения, совершенно исключает возможность
«промежуточной» системы. Таким образом, скромная роль
этой последней не идет дальше того геометрического пре-
образования, которое есть лишь первый этап в переходе
от древней системы к новой. Копернику принадлежит от-
крытие истины; и именно этот характер своей теории, в
корне отличающий ее от древней, Коперник с глубокой про-
зорливостью подчеркивает уже в посвящении своей книги
папе Павлу III.
На всех упомянутых доказательствах истинности копер-
никанской теории мы останавливаться здесь не будем; для
полного выяснения картины обращения птолемеева пла-
нетного механизма существенно сопоставить здесь фор-
мулы и схемы вычисления видимой долготы планеты %;
при этом обнаружится, что эти схемы находятся в ясном и
отчетливом соответствии друг с другом в обеих системах.
Для выяснения этого обстоятельства допустим в качест-
198
для верхних планет схему
X = Z_ уТР
I = Z yTN
L = Z_yTS
TN = 1
NP = 8
ве первого приближения, что орбиты всех планет в обеих
системах — круговые, полагая их эксцентриситеты рав-
ными нулю; тогда, используя
рис. 21, получим
а) В системе Птолемея:
Видимая долгота планеты
Средняя долгота планеты
Долгота Солнца
Радиус деферента
Радиус эпицикла
Но по рис. 21
L — I — а; к=1 + у,
затем из треугольника ТРМ
TP-siny = 6 since, TP-cos у — 1 + б cosa,
(64)
откуда
tg У =
Наконец,
6 sin а
1 + б cos а
из треугольника PNT
sin у
(65)
(66)
б = -г-,----г.
sin (а —у)
Разумеется, обе последние формулы соответствуют (57),
(58) и (59), если сделать в них
8 = х — ф = 0; NT = 1.
б) В системе Коперника:
Видимая долгота планеты
Средняя гелиоцентрическая
долгота планеты I = Z.ySP'
L = ZyTS
Р S = a
ST = 1
% = /_уТР'
Долгота Солнца
Расстояние планета — Солнце
Радиус основного круга
Но по рис. 21
L — I = а;
х — I + у,
(67)
откуда
. sina
° ~ ц + cos а ’
(68)
199
затем из треугольника P'LT
P'T-sin у = sin a, РТ-cosz/ = а + cos а.
Наконец, из треугольника P'ST
а = sin(a~y) . (69)
sin у ' '
Заметим теперь, что все одноименные углы, входящие
в (64) и (67), соответственно равны друг другу согласно
рис. 21; если теперь подставить в (65) и (66)
6 = 1 : а,
что имеет место по (63) для верхних планет, то (65) авто-
матически перейдет в (68), а (66) в (69); следовательно,
для получения видимой геоцентрической долготы планеты К
Копернику было достаточно применять древнюю схему,
сохраняя в ней значения всех углов-, но только произведя вы-
числение, он мог утверждать, что полученное 6 есть отно-
шение 1 : а, т. е. отношение радиуса основного круга а0 к
гелиоцентрическому расстоянию верхней планеты.
Почему перед ним были открыты эти возможности?
Здесь нужно отметить, что, поскольку мы предполагаем
орбиту планеты круговой, элементы е и П вообще отпадают;
остается одна средняя долгота I; но мы уже подчеркивали
в конце предыдущей главы, а рис. 21 делает это теперь со-
вершенно наглядным, что птолемеева средняя долгота I
(центра эпицикла) есть средняя гелиоцентрическая дол-
гота планеты по Копернику. Поэтому в теоретическую
вычислительную схему Копернику никаких изменений вно-
сить не приходилось — числа Птолемея в ней делают свое
дело; результат вычислений по древней схеме будет всегда
правилен и для новой; нужно только выразить его на но-
вом языке.
Для нижних планет соответствующее сопоставление
производится с помощью рис. 22.
Совершенно аналогичную картину мы констатируем,
если учтем эксцентриситет орбиты планеты, т. е. введем
элементы е и П. К тому же, как уже отмечено, эксцентри-
ситетом земной орбиты Коперник, так же как и Птолемей,
пренебрегает, так что в его вычислениях фигурирует то же
самое «среднее Солнце», долгота которого была обозначена
нами выше через L.
200
Эксцентриситет планеты учитывается здесь, как мы зна-
ем из гл. 5-й, своеобразным методом деления полного экс-
центриситета на четыре части, с применением модели экс-
центр-эпицикла; поэтому в основе всех вычислений здесь ле-
жит схема рис. 24. На нем Р есть истинная планета, Ро —
средняя в смысле теории Коперника, причем положение
ее определяется углом равномерного вращения радиуса
ррй вокруг центра равномерных вращений этот послед-
ний отстоит на 3/4 полного эксцентриситета е от Солнца S;
углы М, v и х (уравнение центра) имеют прежнее значение;
расстояние PS есть гелиоцентрический радиус-вектор
планеты, который обозначим через г. Для вычисления г
и х применяем формулы (33); мы перепишем их здесь, при-
нимая за 1 радиус эксцентра РР0 и полагая М — v — х и
е — е/2. Таким образом, для определения г и х имеем:
г sin х = в sin М, rcosx = 1 -^-cos М, (70)
где
М = 1 — П= ZySPo — ^ySA. (71)
Далее на том же рис. 24:
видимая геоцентрическая долгота планеты
% = Z уТР,
параллакс основного круга
Р = У = Z SPT-
201
и тогда, проведя ТР' Ц SP, убеждаемся, что
Л = I - х + у = I' + у, (72)
где Г теперь «истинная», т. е. отягченная уравнением цент-
ра, гелиоцентрическая долгота планеты.
Для вычисления у Коперник, так же как и Птолемей,
вводит равномерно возрастающий угол
а = L — I = X P0SG; (73)
этот угол носит у него название «параллактического дви-
жения» планеты (по существу это ее «синодическое» движе-
ние); значение а в таблицах Коперника для верхней пла-
неты не приводится, и оно получается по формуле (73).
Обратимся теперь к треугольнику РТК. В нем ТК |
I PS и сторона ТР есть геоцентрическое расстояние пла-
неты; ST = а0, но, по сказанному выше, а0, выраженное в
частях эксцентра для верхней планеты, есть просто птоле-
меево 6; замечая еще, что / K.ST — а + х, и полагая
PT — р, PS — г, находим
psin у — 6sin (а + х) pcos у = г + 6cos (а + х), (74)
откуда
• (75)
®у г + о cos (а + х) ' '
Формула (75) совершенно соответствует (58), чем и объяс-
няется, что «вторая простафареза» Птолемея совпадает с
«параллаксом большого круга» Коперника 8*.
Предыдущими формулами решается задача вычисления
X по заданным элементам е, П, L, а и 6, и мы подчеркиваем,
что, начиная от формулы (72), весь ход решения совпадает с
изученным выше в теории Птолемея (гл. 9).
Для определения значения 6, из треугольника SPT
имеем:
6 = г—г ,si"y----г , (76)
sm (а + х — у) ' '
что опять тождественно с формулой (59) в птолемеевой тео-
рии.
Разумеется, у Коперника никаких формул вообще не
дано, и он приводит, от случая к случаю, еще меньше де-
талей своих вычислений по треугольникам, чем Птолемей.
Пример вычисления видимой долготы по Копернику.
202
Коперник приводит собственное наблюдение Сатурна
от 1514 г., февраля 25, 5 часов пополуночи (краковское вре-
мя). Долгота Сатурна X была равна, по его определению,
в этот момент 209°0'.
Для вычисления этой долготы принимаем следующие
элементы орбиты Сатурна по Копернику: П = 240°20'
(от у Arietis), а0 = 0,1090 (в частях радиуса эксцентра
Сатурна)57, 3/4е = RT = 0,0854 (в частях радиуса экс-
центра Сатурна). Следовательно, г = 4SRT = 0,1139
(в частях радиуса эксцентра Сатурна). Для момента на-
блюдения L = 315°41' (от-у Arietis), а = 116°ЗГ (незави-
симо от начала долгот). Отсюда 1 = L — а = 199°10' (от
у Arietis), М — I — П = 318°50' (независимо от начала
долгот).
По формулам (70) находим х = — 4°6'40" (у Коперни-
ка 4°6'), г — 1,0456 (у Коперника 1,0465) в частях радиуса
эксцентра. Отсюда по формуле (74) у = 5°43'54" (у Копер-
ника 5°44'). Следовательно, по1 формуле (72) X = 209°0'34"
(от у Arietis), у Коперника 209°0'.
Опять, как и у Птолемея (см. стр. 186), согласие вычис-
ленной долготы с наблюденной получилось даже несколько
удивительным.
Для решения обратной задачи, именно определения а0
по заданным X, е, П, L и а, применяем формулу (76) и нахо-
дим 6 = 0,1090 = 6Р32' = а0 (в частях радиуса эксцентра).
Коперник сравнивает это значение а0 с величиной 6 =
= 6р30' из «Альмагеста» и подчеркивает, что оно «поисти-
не очень мало отличается от того значения, которое дал
Птолемей».
Мы разобрали этот пример вовсе не для вычислительного
упражнения на старинном материале; суть дела здесь в том,
что не только основная схема, но и все без исключения чис-
ла, именно L, I, М, а, е, П, с которыми мы здесь работали,
суть совершенно те же самые, которые надо было бы взять
для этого примера из таблиц «Альмагеста», применяя к ним
формулы ’.9-й ‘ главы. Результат получился бы одинако-
вый58.
Куда же девалась вся «парадоксальность» новой теории?
Перед совокупностью чисел и формул она развеялась, как
дым. Произошло это потому, что древняя система описы-
вала математическую картину реального мира ; «Альмагест» —
отнюдь не бредни варвара и не грезы пифагорейца; это под-
линная теоретическая астрономия. Однако истинного зна-
903
чения некоторых ими же введенных элементов этого описа-
ния (именно величин б) древние не смогли раскрыть. Ко-
перник это сделал; он подошел, если так можно сказать,
к древней системе сверху; он заставил старые числа гово-
рить на новом языке. В теоретической, вычислительной
схеме он ничего не изменил (не считая мало удачного де-
ления эксцентриситета на четыре части); но именно тем,
что, произведя обращение всей древней схемы, он раскрыл
истинное значение птолемеевых элементов б, он открыл не
только новую эпоху в общем миропонимании, но и новые
горизонты перед теоретической астрономией. Отныне ста-
новится возможным при вычислении видимых координат
светил и при определении их орбит вводить в расчет реаль-
ное, а не только среднее круговое движение Земли, ибо
теперь уже найдена общая мера расстояний от Солнца как
для планет, так и для Земли. Но только Кеплер вступил на
этот новый путь.
Известно, что в I книге своего труда Коперник ссылает-
ся на тех древних писателей, чьи более или менее определен-
ные высказывания дали толчок его мыслям в направлении
гелиоцентрической истины; в сохранившейся пражской ру-
кописи его трактата имеется ссылка и на Аристарха Са-
мосского. Но I книга составлялась для кардиналов и эру-
дитов; дальше I книги едва ли кто-нибудь из них перелис-
тывал его труд. Однако в V книге, где речь идет уже о спе-
цифически астрономических вопросах, Коперник мог бы
не только ссылаться на наблюдения и отдельные результа-
ты Птолемея; он по праву мог сказать, что во многом ис-
пользует ту основную схему теоретического мышления и
весь тот числовой аппарат, который древние с такой изу-
мительной прозорливостью как бы подготовили для даль-
нейших выводов по многим направлениям теоретической
астрономии.
В этом характерном и единственном в своем роде сочета-
нии древней и новой науки и заключается тот важнейший
момент в развитии планетных теорий, который мы имели в
виду обосновать на страницах этой статьи.
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
И ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ *
ВВЕДЕНИЕ
В 1750 г. Петербургская академия наук объявила сле-
дующую тему для очередной своей премии: «Показать,
согласны ли все неравенства, которые наблюдаются в дви-
жении Луны, с ньютоновой теорией, и какой должна быть
истинная теория всех этих неравенств, чтобы по ней можно
было со всей точностью определять место Луны на любое
время» х.
Постановкой этой задачи самая молодая из академий
Европы подходила к центральной и важнейшей теме физи-
ко-математических дисциплин середины XVIII века. Прош-
ло уже около 20 лет со дня смерти автора «Математических
начал натуральной философии» и уже 60 лет после появле-
ния его бессмертной книги; однако еще продолжались споры
вокруг ньютонова учения; картезианство не сдавало окон-
чательно своих позиций; как раз в те годы (1747 — 1748)
три великих математика — Клеро, Эйлер и Даламбер —
высказали, как мы увидим ниже, свои сомнения в отноше-
нии достаточности закона всемирного тяготения для объяс-
нения всех особенностей движения Луны и планет. Поэто-
му теперь назревала задача выяснить окончательно, нас-
колько глубоко закон Ньютона может охватить всю астро-
номическую действительность, всю совокупность движений,
наблюдаемых в Солнечной системе; не есть ли этот закон
и вся ньютонова динамика только первое приближение к
начинающим раскрываться гармониям?
На решение этого фундаментального вопроса и был на-
правлен конкурс, объявленный Петербургской академией;
его тема была сформулирована отчетливо и ясно; и, пожа-
луй, Академия не могла найти для нее лучшего предмета,
как теория движения Луны. Однако для того чтобы пока-
* Из книги: вИсаак Ньютон», Сборник статей к трехсотлетию со дня
рождения. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1943.
205
зать здесь, в чем состояла важность и глубокая трудность
проблемы, мы должны отойти далеко назад и прежде всего
выяснить, что понималось под словами «теория Луны»
к моменту появлений ньютоновых «Начал».
1. ЦИКЛЫ ГИППАРХА
По-видимому, невозможно уже установить, где именно
и в какую эпоху были получены первые закономерности из
наблюдений над непрерывным смещением Луны на небо1
склоне: уже самые смены лунных фаз давали первичному
мышлению уверенность в извечной ритмике явлений в ок-
ружающей его природе; и когда на исходных ступенях ци-
вилизаций возникла необходимость в упорядочении счета
времени, фиксации его интервалов, было естественно вести
его счисление по месяцам, чтобы не потерять ориентировки
в счете монотонно бегущих дней. И было легко подметить,
что лунные месяцы продолжаются то 29, то 30 дней и что
на год приходится то 13, то 12 смен лунных фаз; но, несом-
ненно, потребовались столетия внимательных наблюдений,
чтобы убедиться, что 125 месяцев по 30 дней и ПО месяцев
по 29 дней, вместе взятые, дают 6940 дней и, следовательно,
почти в точности равны 19 солнечным годам по 365 llt дня 2.
Установление подобных целочисленных соотношений
между несоизмеримыми интервалами времени — день, ме-
сяц, год — имело само по себе глубочайшее философское
значение, так как им утверждался тот факт, что астрономи-
ческие явления не «расползаются» во времени, а протекают
на фоне жесткого временного скелета, связывающего их
на долгие столетия как до, так и после эпохи наблюдения.
И это было существенно важно именно в отношении дви-
жения Луны: ибо, помимо лунного месяца или месяца лун-
ных фаз, еще иначе — синодического, по истечении которого
Луна снова возвращается к тому же положению относитель-
но Солнца, отмечается также и период, когда Луна, обойдя
все’'небо,гвозвращается'"к’’тому [же положению относительно
звезд,—'’сидерический,гили’звездный, месяц. Быстрота пере-
мещения Луны между звездами все время непрерывно ме-
няется, и время между ее возвращениями к точке наиболь-
шей скорости и наибольшего приближения к Земле — к
перигею — оказывается всегда несколько больше звезд-
ного месяца (что можно объяснить тем, что самый перигей
206
Луны имеет движение между звездами, направленное в ту
же сторону, куда движется Луна). Так был введен древни-
ми еще один род месяца — от перигея к перигею,— полу-
чивший название аномалшпического. Наконец, в течение
каждого месяца Луна дважды пересекает тот большой круг
небесной сферы, на который отображается видимое пере-
мещение Солнца между звездами — эклиптику; однако про-
межуток времени между двумя пересечениями эклиптики
Луной в одном и том же направлении оказывается короче
звездного месяца: самые точки, в которых Луна пересекает
эклиптику — так называемые узлы,— отстают от Луны,
перемещаясь между звездами в сторону, обратную ее дви-
жению; так создается понятие еще одного месяца — греки
называли его возвращением по широте 8.
Казалось бы, нет никакой надежды связать эти четыре
периода достаточно простыми целочисленными соотно-
шениями. Однако мы читаем у Птолемея: «Древнейшие ма-
тематики нашли из наблюдения лунных затмений, что за
промежуток в 6585 х/3 дня заканчивается приблизительно
223 синодических месяца, 239 аномалистических, 242 воз-
вращения по широте, 241 возвращение по долготе и сверх
того 10 2/3°, которые Солнце прошло за то же время сверх
своих 18 оборотов, считая их по отношению к неподвижным
звездам; и они назвали этот промежуток времени периодом
(ypovov irspto8iw5v), так как после него все эти движения
возвращаются к исходному положению» 4.
Кто были те древнейшие математики, которым удалось
получить столь поразительные результаты, Птолемей нам
не сообщает; они проходят у него под общим названием хал-
деев (yaXSaixoi); поименно он называет только своего ве-
ликого предшественника Гиппарха и говорит про него:
«Но Гиппарх уже показал, пользуясь наблюдениями хал-
деев и своими собственными, что эти числа не являются дос-
таточно точными. Действительно, он доказывает, что наи-
меньшее число дней, после которого затмения повторяются
через одинаковое число месяцев и при одинаковых движе-
ниях, равно 126 007 дням и одному равноденственному
часу; он находит в нем 4 267 полных синодических месяцев,
4 573 возвращения аномалии, 4 612 возвращений по дол-
готе, без 7 которых недостает Солнцу, чтобы закончить
345 оборотов по отношению к неподвижным звездам»; он же
нашел далее, что в «5458 месяцев происходит 5 923 возвра-
щения Луны по широте» 5.
207
У нас нет оснований развивать здесь все численные соот-
ношения, вытекающие из 345-летнего цикла Гиппарха;
скажем только, что выводимая из него продолжительность
аномалистического, драконического и синодического ме-
сяцев отличается лишь на немногие доли секунды от тех
значений, которыми пользуются теперь астрономы, накопив
наблюдения еще за 21 столетие. Но определим здесь же ве-
личину трех параметров, играющих важнейшую роль во
всех динамических лунных теориях, начиная с ньютоновой;
пусть п, tii, п' означают соответственно средние су-
точные движения лунной долготы, ее перигея, ее узла и дол-
готы Солнца, считая их по отношению к неподвижным звез-
дам.
Положим:
(обозначения 1 — си 1 — g приняты со времен Лапласа);
с данными Гиппарха находим:
т = 1-----------—° = 0,074801;
4612 — 7-^-/360
1 _ с = 1 - S(1 - m) = 0,008452;
4267 (1)
1 - S = 1 - - т) = - 0,004023
(знак минус указывает, что движение узла направлено об-
ратно движению Луны); обозначая теперь через 7\ и пе-
риоды обращения перигея и узла, получаем, вводя длину
. 2л
звездного месяца ч = —:
/т> 2л 27,32166 оооп о ос
Т1 = 7Щ-С) = 0,-668452' = 3232 дня = 8’85 юлианских
лет;
/р 2л 27,32166 г-п
одагз- = 6791 день = 18’59 юлиан'
ских лет.
По современным теориям 7\ = 3232,38 дня и Т2 =
= 6794,4 дня6, так что точность чисел Гиппарха и тут весь-
ма велика.
Разумеется, нам важны здесь не только эти численные
значения основных параметров, но и взятый сам по себе
208
тот фундаментальный результат, к которому пришла древ-
няя наука, доказав наличие у Луны определенных средних
движений. Эти движения составляют как бы тот фон, на
остове которого развивается наблюдаемое единое, неравно-
мерное движение Луны. Грандиозная абстракция древних
позволила им раз навсегда построить тот костяк движения,
над которым периодически возникают и исчезают его укло-
нения от равномерности; и эта концепция особенно важна
именно для теории Луны, у которой эти уклонения, эти
неравенства движения особенно велики. Еще более порази-
тельно, что, как выяснилось через много столетий, динами-
ческая теория Луны не нуждается ни в каких других равно-
мерно нарастающих углах, кроме тех четырех, которые с та-
ким дивным искусством вавилонская и греческая наука
извлекла из наблюдений Луны ’.
2. ПТОЛЕМЕЙ.
ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НЕРАВЕНСТВА
Выделение неравенств движения Луны началось уже в
Вавилоне; здесь истинная, т. е. наблюдаемая, долгота Лу-
ны определялась по схеме:
X = Xq nt 4“ Е,
где %0 + nt — средняя долгота, равномерно растущая от
момента t = 0; Е — неравенство долготы, зависящее от
расстояния Луны от перигея, т. е. от ее аномалии 8. Гип-
парх и Птолемей 9 пошли значительно дальше и дали для
определения Е стройные кинематические модели; конструк-
ция Птолемея для нас существенна, и мы приведем ее, опус-
кая лишь некоторые детали. Мы допустим, что движение
Луны происходит в плоскости эклиптики, отвлекаясь та-
ким образом от наклона лунной орбиты, который тот же
изумительный Гиппарх («муж трудолюбец и поклонник ис-
тины», как его называет Птолемей 10) определил в 5°, с
ошибкой всего в 8' против его действительного (среднего)
значения. Итак, пусть окружность с центром О есть «де-
ферент» (рис. 1). Земля Т находится вне его центра, так
что деферент есть в то же время и эксцентр; С — перигей
эксцентра, А — его апогей, диаметр АС — линия апсид
эксцентра 1Х, ОТ — эксцентриситет; направление Ту — на-
чало счета долгот. Направление на Солнце в схеме непос-
209
редственно не участвует, но элонгация Луны от Солнца,
которую будем обозначать через D, играет в ней важную
роль. Кстати заметим, что когда D = О или D = 180°,
т. е. Луна в новолунии или полнолунии, говорят, что она в
сизигиях (схождениях с Солнцем); когда D = + 90°, т. е.
Луна в первой или последней четверти, говорят, что она в
квадратурах.
В схеме осуществляются четыре движения:
1. По эксцентру движется в прямом направлении (про-
тив часовой стрелки) точка Ох, центр эпицикла, притом так,
что угол yTOi при точке Т растет пропорционально времени,
с угловой скоростью, равной среднему суточному движению
Луны по долготе12; поэтому во всякий момент времени
будет
•yTOi = + nt.
2. Линия апсид деферента АС вращается вокруг Т в
обратном направлении (по часовой стрелке), притом так,
что угол OiTA при точке Т также растет равномерно со
средней скоростью, равной
удвоенному среднему су-
точному движению Луны
по элонгации; при этом,
по условию, когда Луна
в сизигиях (D = 0 или
D = 180°), точки 01 и Л
совпадают; поэтому во
всякий момент времени
OiTA = 2D;
очевидно в сизигиях, т. е.
дважды в синодический
месяц, центр эпицикла
проходит через подвижный
апогей эксцентра; когда Луна в квадратурах, OiTA =
= OiOA = 180°, и центр эпицикла проходит дважды в ме-
сяц через перигей эксцентра.
3. По эпициклу движется в обратном направлении точ-
ка L, изображающая Луну; угловая скорость ее равна
среднему суточному движению Луны по аномалии; началом
отсчета средних аномалий по эпициклу древние принимали
«средний апогей Луны» ат (он же средний апогей эпицикла);
в данной конструкции ат лежит на продолжении прямой
210
NOi, причем положение точки N на линии апсид эксцентра
определяется условием NT = ТО.
4. Наряду со средним апогеем ат (и средним перигеем
рт), Птолемей вводит «истинный апогей» Луны а (и пери-
гей р), лежащие на эпицикле, на продолжении прямой ТОг,
при движении эпицикла по эксцентру точки аир несколько
смещаются на эпицикле в ту и в другую сторону от их сред-
них положений (в конструкции Птолемея не больше как
на ± 13°)13; в этом состоит последнее, четвертое, движение
в данной схеме.
Для того чтобы использовать всю эту кинематику, тре-
буется прежде всего задать для некоторого начального мо-
мента среднюю долготу Луны %0, ее среднюю аномалию 10,
среднюю элонгацию Луны D и их суточные движения; но
нас интересуют здесь не столько эти элементы, сколько
конструктивные постоянные схемы, именно: эксцентриси-
тет деферента е = ОТ = TN и радиус эпицикла г = O^L,
выраженные, разумеется, в частях радиуса эксцентра. АО.
Получение этих параметров из наблюдений — фактически
из наблюдения лунных затмений — составляет особую гла-
ву истории астрономии; мы проходим мимо нее и приводим
лишь результат Птолемея, записанный в его обычной вави-
лонской манере счета 14:
АТ = 60р; ОТ = 10р 19'; OXL = б'Чб',
или в десятичном счислении:
ОТ 10р19' = =* 0,20765,
АО 49Р4Г 2981 ’ ’
OiL Г = va" = 5Р15' = 4*5 0,10567. (2)
АО 49Р4Г 2981 ’
Обращаясь теперь к рис. 1, вводим обозначения:
OiTy — %0 + nt — средняя долгота Луны,
LTOi = Е — неравенство долготы,
LTy = А. = А.о + «^ + Е — истинная долгота,
PmOiL = I — средняя аномалия Луны 16,
pOipm = z — неравенство аномалии,
pOiL — I + г — уравненная аномалия,
OiTA — 2D — удвоенная элонгация Луны,
OiT = р — переменный радиус-вектор центра эпи-
цикла.
211
Средние углы %0 + nt, I и 2D считаются известными для
данного момента времени; поэтому задача вычисления ис-
тинной долготы X сводится к нахождению неравенства Е;
эта задача решается, как легко видеть из рис. 1, совокуп-
ностью формул
р = е cos 2О + У 1 —е* sin120,
, r (3)
— sin 2D — sin (/ + z)
18г=-Ч---------- *8E= p f .
1 + cos 2D 1 — — cos (I -f- г)
Обе последние формулы относятся к весьма частым в
астрономии формулам «типа параллакса» 16 и допускают из-
вестные разложения в ряды; в данном случае, где можно
ограничиться точностью порядка 10' (дальше которой древ-
ние в своих наблюдениях не могли идти), пренебрегаем
всеми членами четвертого и некоторыми членами третьего
порядка в отношении г и е и находим:
Е = f sin е + fl sin (2D — /) + -у г2 sin 21, (4)
где
3
4
г' = 4
подставляя в (4) значения параметров (2) по Птолемею, по-
лучаем:
Е = 6°15'sin I + l°18'sin (2D — /) + 19'sin 21. (5)
К этой короткой формуле и сводится вся древняя теория
Луны в отношении ее долготы; но эта теория оказывается
великолепной, так как современное разложение для Е —
сохраняя в нем, разумеется, только члены с теми же ар-
гументами — гласит:
Е = 6°17J3sin / + 1°16;4sin (2D — /) + 13',0 sin/. (6)
Согласие настолько замечательное, что его можно в
известной мере считать делом случая 17; нам важнее теперь
сосредоточить внимание на каждом из членов этих формул
в отдельности.
Первый из них носит название главного эллиптического
неравенства-, период его аргумента есть средний аномалисти-
ческий месяц (27,55 дня); его амплитуда является одной
218
из произвольных постоянных в динамической теории Луны
и определяется только из наблюдений; третий член в (5)
тоже относится к эллиптическим.
Второй член, с аргументом 2D — I, как мы увидим ни-
же, имеет небесномеханическое происхождение: в нем
отображается существенная часть возмущающего действия
Солнца на движение Земли вокруг Луны (здесь уже начи-
нает становиться понятной задача, поставленная Петер-
бургской академией!). В XVII в. это неравенство получило
название эвекции18; его амплитуда, разумеется, к числу
произвольных постоянных лунной теории не относится;
период его равен 31,85 дня; можно было бы назвать этот
период «птолемеевым месяцем» 19.
Вернемся теперь к формуле (5) и рассмотрим два част-
ных случая.
а) Луна в новолунии или полнолунии, иначе говоря, в
сизигиях, так что D = 0 или 180°; пусть %' есть средняя
долгота Солнца в момент сизигии; следовательно, истин-
ная долгота Луны будет
X = X' + Е или X = X' + 180° + Е,
так что, определяя Е по (5), получаем
% (или X — 180°) = X' + 4°57' sin I + 19' sin 21, (7)
где I — средняя аномалия Луны в момент этой сизигии.
В таком виде неравенство, налагающееся в сизигиях на
среднее движение Луны, было раскрыто Гиппархом из
наблюдений лунных затмений. Это неравенство получило у
древних название простого, или первого.
б) Луна в первой или последней четверти, т. е. в квад-
ратурах, D == + 90°; если X' есть средняя долгота Солнца
в момент этой квадратуры, то истинная долгота Луны бу-
дет
X = X' ± 90° + Е
и потому, на основании той же формулы (5)
X = X' ± 90° 4- 7°33' sin I + 19' sin 21, (8)
где I — средняя аномалия Луны в момент данной квадра-
туры.
Сопоставляя (7) и (8), заключаем, что при переходе Лу-
ны от сизигии к квадратуре и затем к следующей сизигии,
т. е. дважды в синодический месяц, амплитуда первого не-
313
равенства сначала увеличивается и затем уменьшается на
2°36', причем эти изменения амплитуды не зависят от по-
ложения перигея Луны. Птолемей, сделавший это заме-
чательное открытие (которого, как замечает не очень рас-
положенный к нему Делямбр, достаточно, чтобы «поста-
вить его в первые ряды астрономов» 20), понимал это полу-
месячное колебание амплитуды первого неравенства как
второе неравенство в движении Луны; и это вполне соот-
ветствует содержанию формулы (5), так как она может
быть написана в виде
Е = 4°57' sin I + 2°36' sin Deos (D — /) + 19' sin 2/. (9)
Таким образом, первое и второе неравенства являются
только отображением главного эллиптического неравенст-
ва и эвекции в сизигиях и в квадратурах; в первом случае
их амплитуды 6°15' и Г18' вычитаются, во втором — скла-
дываются; но, разумеется, обратный переход невозможен,
и из обеих «древних» формул (7) и (8) «современная» форму-
ла (5) не выводится: конструкция Птолемея дает несколько
больше того, что могли извлечь из нее древние астроно-
мы 21, именно непосредственное выделение аргумента эвек-
ции 2D — I.
3. ЭПИЦИКЛИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА
КОПЕРНИКА
Глубочайший переворот всего миропонимания, связан-
ный с именем великого польского астронома, не затрагивает
теории движения Луны; как до, так и после Коперника не
возникает сомнения в том, что Луна обращается вокруг
Земли как центрального тела; говорить о гелиоцентриче-
ской системе мира здесь не приходится. Но автор «De
Revolutionibus orbium coelestium» усматривал два сущест-
венных недостатка в птолемеевой теории движения Луны.
Первый из них он раскрывал с философских, второй с ас-
трономических позиций.
Действительно, у Птолемея центр эпицикла движется
по эксцентру с неравномерной скоростью, и апогей эпи-
цикла колеблется вокруг некоторого среднего положения.
Коперник, дерный в этом направлении традициям Платона
и Аристотеля, не может оставить подобных гипотез в астро-
номии; движения небесных тел, по его убеждению,— кру-
214
говые и равномерные, либо слагаются только из таковых.
«Неравномерные движения,— говорит он, — подчинены оп-
ределенным периодам; но это было бы невозможно, если бы
эти движения не были круговыми; только на круге вос-
станавливается то, что уже было однажды» 22. Таково его
первое возражение; второе касается расстояний Луны от
Земли в птолемеевой схеме; в самом деле, наибольшее ее
расстояние, по Птолемею, имеет место, когда Луна в сизи-
гиях, в апогее эксцентра и эпицикла; оно равно тогда
1 е + г = 1,31; наименьшее — в квадратурах, в пери-
гее эксцентра и эпицикла (1 — е — г = 0,69) их отношение
равно 1,9. Однако на памяти людей никто никогда не ви-
дел, чтобы угловой диаметр Луны почти удваивался; в
этом отношении схема Птолемея была просто неверна 23.
Нужно ли было по обоим этим основаниям отбросить
все учение Птолемея? Нет. Коперник в простом и изящном
решении показал, что оно допускает существенное улучше-
ние 24. Пусть земля Т (рис. 2) находится в центре деферен-
та ВВ\ по этому кругу движения в прямом направлении
Г
точка А — центр первого эпицикла; ее угловая скорость
равна среднему движению Луны по долготе, так что во
всякий момент средняя долгота Луны Хо + nt = АТу;
по первому эпициклу движется точка О — центр второго
эпицикла 25; движение центра О обратное (по часовой стрел-
ке), и его угловая скорость равна среднему движению
Луны по аномалии; таким образом, средняя аномалия Луны
отсчитывается здесь по первому эпициклу и выражается
углом при центре А; началом счета этого угла берем (по
современной манере) перигей первого эпицикла pi. По вто-
215
рому эпициклу движется в прямом направлении точка L,
изображающая Луну; ее угловая скорость равна удвоен-
ной скорости элонгации Луны от Солнца, так что угол при
центре О равен 2D; он отсчитывается от О А в сторону дви-
жения L; при этом вводится следующее условие: когда
Луна в сизигиях (D = 0 или D — 180°), точка L проходит
через р2, т. е. через ближайшую к А вершину диаметра
второго эпицикла; когда же Луна в квадратурах (D =
= ± 90°), точка L проходит через дальнюю вершину этого
диаметра а2; очевидно, в течение синодического месяца L
дважды обходит второй эпицикл.
Пусть Г1 и г2 — радиусы обоих эпициклов, р —радиус-
вектор Луны относительно центра A, R — ее радиус-век-
тор относительно Земли; из фиг. 2
уТА = %0 + nt; piAO = I; LOA = 2D;
OAL = z; ATL = E.
Неравенство долготы E, как легко видеть, вычисляется
здесь по совокупности формул, вполне аналогичных форму-
лам (3), именно:
sin 2D
= —------------>
1 — — cos 2D
р2 — rf + rl — 2 ггг2 cos 2D, (10)
tgE_ psin(/+z)
® 1 — p cos (Z + z)
Значения параметров rx и г2 получены Коперником ча-
стью из его собственных наблюдений лунных затмений,
частью из данных Птолемея. Он нашел 26 ,
гх = 0,1097; г2 = 0,0237 при ТА = 1. (11) 4
Разложение (10) в ряд дает здесь, в пределах требуемой
точности: «
г2
Е = Г1 sin 14- r2 sin (2D — /) + -у- sin 21, (12)
или, подставляя значения обоих параметров,
Е = 6°17' sin/+ 1°2Гsin(2D —/) + 2Гsin2/. (13)
216
Полученное выражение неравенства достаточно близко
к формуле Птолемея (5), что и обнаруживает эквивалент-
ность обоих решений; но Коперник, введя вместо эксцен-
трического круга второй эпицикл, достиг несомненного уп-
рощения всей конструкции. Проблема расстояний тоже ре-
шалась в его схеме значительно лучше, чем у Птолемея;
согласно условию, наложенному на движение точки L,
находим для перигея и апогея (/ = 0 и 180°):
перигей, при сизигии, TL = 1 — — г2 — 0,867,
апогей, при квадратуре, TL = 1 + fi + гг = 1,133.
Отношение этих крайних расстояний есть 1,30, в дейст-
вительности оно равно 1,17; к тому же Коперник пользу-
ется уже очень хорошим значением еще одной произвольной
постоянной всех будущих лунных теорий, получаемой не-
посредственно из наблюдений; мы имеем в виду постоянную
лунного параллакса, иными словами, среднее расстояние
Земля—Луна, выраженное в единицах радиуса Земли.
По Копернику, крайние значения этого расстояния 27 равны
681/3 и 5217/в0 земных радиуса; среднее между ними есть
60,308; и тогда по определению параллакса р будет:
sin р = 1 : 60,308;
отсюда р = 57'0" с ошибкой всего лишь в 2",7 против дейст-
вительной величины (по современным определениям
р = 57'2",7).
Значение теории Коперника (в дальнейшие детали кото-
рой мы входить не будем) для истории науки весьма велико.
Но здесь надо отличать, разумеется, эпициклическую кон-
струкцию как таковую от того математического выражения,
к которому она приводит и согласно которому неравенства
лунной долготы представляются в виде суммы периодиче-
ских синусоидальных членов. С этой стороны теория Ко-
перника подходит к самой сущности лунной проблемы и дает
нам ту «форму познания» лунного движения, от которой
астрономия в дальнейшем уже не отойдет. Более того, как
только появится теория тяготения, а с нею и динамические
теории движения Луны, их главной задачей будет именно
обоснование каждого отдельного неравенства, каждого
синусоидального члена, вскрытого наблюдениями в выра-
жении лунной долготы.
Напротив того, кинематические модели, из которых вы-
лились эти разложения и которые составляют самую основу
древней «теории эпициклов», очень быстро должны будут
217
отступить на далекий план: в самом деле, уже на приме-
рах теории Птолемея и Коперника видны зачатки той фа-
тальной болезни, которую носила в себе эта теория: на
совершенно различных моделях Птолемей и Коперник дали
приблизительно одинаково удовлетворительное представ-
ление движений Луны по долготе, но существенно различ-
ное представление изменений ее расстояния от Земли. Так,
у Птолемея наибольшее расстояние Луны всегда в сизи-
гиях, у Коперника — всегда в квадратурах; разумеется,
ни то, ни другое неверно; но и в самом деле, от эпицикличе-
ского механизма нельзя требовать ничего иного, как воспро-
изведения определенной совокупности угловых скоростей.
Поэтому, если, нагромождая эпициклы, и было бы возможно
представить некоторый комплекс уже выделенных нера-
венств движения Луны по небесной сфере, то во всяком
случае оказалось бы невозможным однозначно решить с
их помощью проблему изменения расстояний Луны от
Земли. Поэтому, как только Кеплер поставил перед астро-
номией задачу охватить движения небесных тел во всей
их не только временной, но и пространственной реальности,
схема эпициклических механизмов оказалась для этого
принципиально непригодной и безвозвратно отошла в му-
зей истории.
4. ОТКРЫТИЯ ТИХО БРАГЕ. ИТОГИ
Только через 14 с половиной столетий после Птолемея в
лунную теорию был внесен новый и весьма существенный
материал; его дал Тихо Браге (1546—1601), этот «феникс
астрономов», как назвал его Кеплер. Имея в своем распо-
ряжении обширный ряд наблюдений Луны, произведенных
с небывалой до того времени точностью (до ± О',5), Тихо »
обнаружил, что наблюденное место Луны значительно укло-
няется от теории Птолемея—Коперника, когда Луна
проходит половину дуги между сизигиями и квадратурами;
амплитуду этого третьего неравенства Тихо определил в
40',5 и с огромной интуицией ввел его непосредственно 28
в выражение для Е в виде члена
4O',5sin2D. (14) 5
Третье неравенство, исчезающее в сизигиях и квадра-
турах, естественно, не могло быть обнаружено из наблю-
218
дений лунных заТМеййй 29; оно Достигает численного Мак-
симума в так называемых октантах, т. е. приД = ± 45° и
135°. Это и есть знаменитая вариация Луны, играющая,
как мы увидим, значительную роль в лунной теории Нью-
тона; она же послужила истоком новых методов небесной
механики у Хилла и явилась прообразом периодических
орбит Пуанкаре. Современное (теоретическое) значение
коэффициента вариации есть 39'30".
Помимо третьего неравенства, Тихо Браге нашел еще
четвертое, так называемое годичное неравенство Луны; он
обнаружил, что долгота Луны меньше теоретической, пока
Земля движется от перигелия к афелию ее орбиты (январь —
июль), и больше теоретической в течение следующих шести
месяцев; действие этого неравенства на долготу, по Тихо
Браге, составляет —4',5 sin I', где Г — средняя аномалия
Солнца (считаемая от перигелия, через который Земля
проходит 1—2 января). Примерно в те же годы (1598—
1600) Кеплер, независимо от Тихо, улучшил амплитуду
годичного неравенства, дав для нее значение —Н',0
(современная теоретическая величина есть —1Г10"30).
Впрочем, и Тихо Браге и Кеплер понимали это неравенство
как поправку к моменту наблюдения Луны, и только Флемс-
тид уже во времена Ньютона ввел его непосредственно в ее
долготу. На четвертом неравенстве фактически и закончился
процесс их эмпирического выделения из наблюдений в
доньютоновой астрономии.
От Тихо Браге ведет свое начало и более точная теория
движения Луны по ее второй полярной координате, т. е.
по широте: в этом направлении и Птолемей и Коперник
знали только то, что орбита Луны наклонена к эклиптике
под углом в 5° и что линия пересечения этой орбиты с плос-
костью эклиптики (линия узлов), проходя через Землю,
непрерывно отступает с постоянной угловой скоростью и
совершает свой оборот в 6791 день (см. стр. 208).
Но Тихо сделал здесь следующие удивительные откры-
тия. Прежде всего, наклонность лунной орбиты к эклип-
тике не остается постоянной: ее среднее значение равно
5°8', но оно уклоняется на ± 9',5 от среднего, так что пре-
дельные значения наклонности равны 5°17',5 и 4°58',5;
первого из них наклонность достигает, когда направления
от Земли на Солнце и на лунный узел совпадают (узлы в
сизигиях), второго — когда они взаимно перпендикулярны
(узлы в квадратурах); таким образом, период этого коле-
219
бания равен половине промежутка между двумя соедине-
ниями Солнца с одним и тем же лунным узлом (так называе-
мый драконический год, равный 346,64 дням). Далее, из
наблюдений обнаружилось, что и самое движение узлов
неравномерное: вращение полюса лунной орбиты вокруг
его среднего места вызывает колебание линии узлов во-
круг ее среднего положения; это неравенство также про-
ходит свой цикл в течение половины драконического года,
т. е. в 173,32 дня. Амплитуда колебания узлов была опре-
делена Тихо Браге в Г46'; действие его сводится к тому,
что узлы, отступая по эклиптике, уходят вперед от их сред-
него места между сизигией и квадратурой и остаются поза-
ди его между квадратурой и следующей сизигией. При лун-
ных затмениях Луна проходит через узел и находится в
противостоянии с Солнцем; расстояние Солнца от лунного
узла обращается тогда в 0 или 180°, неравенство узлов
обращается в нуль: вот почему древние, строившие лунную
теорию на наблюдениях лунных затмений, вовсе не могли
обнаружить этого колебания узлов.
Из открытий Тихо Браге следовало, что движение Луны
по широте отнюдь не так просто, каким его изображали и
Коперник и Птолемей; на этом движении также обнаружи-
вается некоторое своеобразное неравенство. Не входя в
подробности, сопоставим лишь основные формулы. Табли-
цы для лунной широты (которую обозначим через р) по-
строены у Птолемея и у Коперника по простейшей формуле
0 = 5° sin и, (15)
где и — угловое расстояние Луны от ее восходящего узла
(так называемый аргумент широты); но по теории Тихо
Браге
0 = 5°8' sin и + 9',5 sin (и — 2D')-, (16)
здесь D' — угловое расстояние между Солнцем и восходя-
щим узлом лунной орбиты; второй член в (16) и дает глав-
ное неравенство лунной широты, раскрытое Тихо Браге.
Оно получило название эвекции по широте-, происхождение
этого названия станет ясным, если преобразовать выраже-
ние аргумента (и —2 D'). Пусть 0 — долгота восходящего
узла Луны, 1 и Г — долготы Луны и Солнца; тогда
и — 2D' = К — 0 — 2Г + 20 = 2 (X — X') — (X — 0);
(17)
220
но с достаточным здесь приближением можно заменить
X — X' его средним значением, т. е. средней элонгацией
Луны D, а угол X — 0 средним угловым расстоянием Луны
от ее восходящего узла; это последнее будем обозначать
через F; тогда
и — 2D' = 2D — F,
и неравенство широты принимает форму
60 = 9',5 sin (2D - F). (18)
Теперь бросается в глаза аналогия в структуре его ар-
гумента 2D — F с аргументом эвекции по долготе 2D — /;
отсюда тождественность названий самих неравенств.
Период эвекции по широте равен 32,36 дня; действитель-
ное значение ее амплитуды есть 10'42". Заметим, что других
неравенств широты до появления ньютоновых «Начал»
известно не было; на открытиях Тихо Браге заканчиваются,
в основном, накопление и обработка наблюдательного ма-
териала за длинный ряд веков, предшествующих появле-
нию теории тяготения.
Однако этот материал уже достаточно разнообразен и
велик, и здесь уместно подвести его общие итоги. Прежде
всего было установлено наличие средних движений Луны
по отношению к звездам, к ее перигею и к узлу; из них вы-
ведены с очень большой точностью движения лунного
перигея и лунных узлов. Далее, были раскрыты основные
неравенства движения Луны по долготе (эллиптическое,
эвекция, вариация и годичное) и по широте (эвекция).
Наконец, еще древним было известно значительное нера-
венство в движении перигея (угол г в конструкции Птоле-
мея— рис. 1; величина его может доходить до 13°); из
наблюдений было также обнаружено колебание лунной
наклонности и неравенство узлов с амплитудой в 1°46'.
Такова была разнообразная совокупность фактов, ко-
торой обладала астрономия к началу XVII в. в отношении
Луны; и эти данные были тем более замечательны, что в
смежной области, в планетной астрономии, аналогичные
явления или вовсе не наблюдались, или же не выявлялись
столь интенсивно и рельефно, как у Луны; неравенства
планетного движения, после того как Коперник снял с них
отражение движения Земли, имели значительно меньшие
амплитуды, чем неравенства Луны; и если намечались дви-
221
Женйя уЗЛой й йёриРелйей, То ойй й й отдаленной стейёйй
не обладали быстротой обращения лунного перигея и узла.
При этих услониях перед астрономией XVII н. назревала
великая и сложная проблема: надлежало решить, возможно
ли связать в едином объяснении, в одной и той же теории
все разнообразие движений, наблюденных у Луны и планет,
всю совокупность их неравенств; наконец, установить за-
висимость движения лунного узла и перигея от прочих
элементов движения Луны.
Но в то же самое время все те построения, которыми
пользовалась астрономическая мысль от Гиппарха и до
Тихо Браге, были не чем иным, как отдельными, не свя-
занными друг с другом кинематическими схемами, различ-
ными для Луны и не одинаковыми даже для всех планет,
схемами, не дававшими к тому же и однозначного представ-
ления движений; наконец, громоздкость этих схем ставила
под вопрос — по мере расширения наблюдательного ма-
териала — целесообразность их дальнейшего развития. Рас-
крывавшаяся в наблюдениях действительность перерастала
приготовленные для нее формы; по-видимому, теперь пред-
стояло либо вовсе отказаться от рационального познания
небесных движений, либо требовалось искать его на новых,
неизведанных путях.
5. КЕПЛЕР, ГАЛИЛЕЙ И НЬЮТОН
Первая и притом важнейшая для истории науки попытка
рассматривать явления с новой точки зрения принадлежит
Кеплеру; уже самое название одного из его крупнейших
трудов содержит многозначительные слова: «Astronomia
nova seu Physica coelestis» 81.
В отличие от своих великих предшественников, Кеплер
ставит и решает в ней новую задачу: найти действительную
орбиту планеты в пространстве, связать друг с другом вре-
мя движения, расстояния планеты от Солнца и угловые
координаты, определяющие ее положение на небесной сфере.
Каждый, кто знакомится теперь с простыми формулами
эллиптического движения, неразрывно связанными с «за-
конами Кеплера» и «уравнением Кеплера», воспринимает
непосредственно ту окончательную форму, в которой Кеп-
лер нашел решение задачи планетного движения. Но нужно
внимательно изучить «Astronomia nova», чтобы отдать
222
себе отчет в том грандиозном вычислительном труде, в том
изумительном упорстве, с которым Кеплер шел к своей
цели, отбрасывая постепенно одну за другой классические
схемы планетного движения, строя новые гипотезы, за-
меняя их другими, пока, наконец, истина не раскрылась
перед ним в ее величии и простоте.
«Первая моя ошибка,— говорит он,— состояла в том,
что я считал орбиту планеты совершенной окружностью,
и эта ошибка оказалась тем более злостным вором моего
времени, что она была основана на авторитете всех филосо-
фов и в своем роде наиболее соответствовала мета-
физике» 32.
Дерзновение Кеплера, впервые отказавшегося в пла-
нетных теориях от круга и заменившего его сначала на
овал, затем на эллипс, действительно не имеет прецедента
в истории астрономии; к тому же оно сочетается с другой,
столь же необычной концепцией: движение планеты не есть
хотя бы и упорядоченное, но самопроизвольное блуждание;
оно происходит под действием, под влиянием некоторого
внешнего агента. В этом состоит его физическое обоснование
астрономии; и пусть оно для нас теперь во многом является
причудливым, фантастическим, навеянным астрологией,
тем не менее от него невозможно отвернуться, так как только
с этих позиций, которые он называл физическими, Кеплер
шел на приступ великой проблемы и в конце концов нашел
ее решение.
Откуда же исходит то действие, которое планета испы-
тывает в своем движении? Его источник — Солнце; в Солнце
находится «движущая душа» всей планетной системы;
Солнце обладает способностью «virtus»— действия; это
действие ослабевает по мере удаления планеты, усиливается
при ее приближении: оно же влечет планету по ее орбите.
В знаменитых 33 и 34 главах «Astronomia nova» Кеплер
устанавливает «шесть аксиом» планетного движения: «Пер-
вое,— что тело планеты по природе склонно к пребыванию
в покое во всяком месте, где бы ни поместить его одиноким.
Второе,— что тем действием, которое [исходит] из Солнца,
оно перемещается с места на место по всему кругу Зодиака.
Третье,— что если бы не менялось расстояние планеты
от Солнца, то путь свой она проходила бы, после такого
преобразования его, с постоянной скоростью. Четвертое,—
если бы одна и та же планета поочередно обращалась
вокруг Солнца на двух различных от него расстояниях,
223
не изменяющихся во все время ее обращения, то периоды
относились бы как квадраты расстояний или радиусов
окружностей 33. Пятое — действие, заключающееся в самом
теле планеты, взятое само по себе и отдельно, не достаточно
для переноса ее тела с места на место. Шестое — тем не ме-
нее приближение планеты к Солнцу и ее отступление от него
происходят в силу свойств (virtus), которые присущи самой
планете»34.
В некоторых построениях Кеплер идет значительно
далее и наделяет планету способностью осознания (рег-
ceptio) ее движения; например, мы читаем: «если установ-
лено, что планета имеет ощущение (sensum) величины углов,
то не будет ничего абсурдного, если мы по нашему челове-
ческому образованию понятий (conceptu) скажем, что ей
присуще и сознание синусов углов» 36. Впрочем, этим по-
следним допущением Кеплер практически не пользуется;
и иногда он сам же констатирует, как подобные «физические
гипотезы» обращаются в дым (in fumos abeunt) 33.
Тем таинственным свойствам, носителями которых ока-
зывается Солнце и планеты, Кеплер ищет аналога в явле-
ниях земных; где можно найти им лучшее пояснение, как
не в действиях магнитных сил? «Что если,— говорит он,—
тела всех планет представляют собой огромные шарообраз-
ные магниты? Ведь относительно Земли это доказано Виль-
ямом Гильбертом» 37. И этого соображения для него доста-
точно, чтобы построить всю схему эллиптических движений
планет вокруг Солнца, помещая определенным образом их
магнитные полюсы так, чтобы расположение магнитных
осей планет, в связи с основным направлением магнитного
истечения (effluvium) Солнца могло привести к осуществле-
нию изменения расстояний планет от Солнца в различных
частях их орбит.
В этой своеобразной космической схеме тяготение непо-
средственно не участвует; по Кеплеру, оно действует только
между покоящимися телами, но при их движениях тяготение
роли играть не может; вообще Кеплер не знает еще радиаль-
ного действия: Солнце увлекает планету по орбите силой
своего virtus promotoria, направленной всегда в сторону
движения, т. е. по касательной к траектории. Тем не менее,
все, что говорит Кеплер о тяготении, заслуживает внимания;
во введении к «Astronomia nova» по этому вопросу разви-
вается такое учение:
«Всякой телесной субстанции, поскольку она телесная,
224
свойственно покоиться в любом месте, где бы ни поместить
ее в отдельности вне сферы действия (virtus) сродственного
тела.
Тяготение есть взаимное телесное расположение (af-
fectio) двух сродственных тел к объединению и соединению
(каковым по природе вещей являются магнитные свойства),
так что гораздо более Земля притягивает камень, чем ка-
мень стремится к Земле.
Тяжелые тела (в особенности, если мы помещаем Землю
в центре мира) не устремляются к центру мира как таковому,
но как к центру сродственного шарообразного тела, именно
Земли. Поэтому, где бы ни находилась Земля, или куда бы
она ни переместилась по своей внутренней способности
(facultas animalis), всегда к ней устремляются тяжелые
тела.
Если бы два камня были помещены вблизи друг от друга
в каком-либо месте мира, вне круга действия третьего
сродственного тела, то эти камни сошлись бы в промежу-
точной точке, причем каждый из них приблизился бы к дру-
гому на такое расстояние, каким является громада (moles)
второго камня сравнительно с первым.
Если бы Земля и Луна не удерживались своей естест-
венной силой (vi animal!) или любой ей равнозначной ка-
ждая на своей орбите, то Земля приблизилась бы к Луне
на 1/8< часть расстояния, а Луна опустилась бы к Земле
на остальные 53 части его, и здесь бы они соединились; все
это, однако, в предположении, что плотности и той и другой
равны и одинаковы.
Если бы Земля перестала притягивать свои воды, то
все воды морей поднялись бы и втекли в тело Луны» 38.
Кто станет отрицать теперь, что в этих тезисах заложены
в какой-то мере положения, которые вошли затем в строй-
ную архитектонику ньютоновой динамики? Но самое су-
щественное здесь то, что у Кеплера все эти положения со-
здаются почти вне всякого контакта с опытом, они налага-
ются на природу как некоторые умозрительные выводы, как
предпосылки будущих опытов вообще.
Итак, в области астрономического знания Кеплер своими
эмпирически найденными законами планетных движений
заложил вечный и незыблемый фундамент динамической
астрономии; но, когда он пытается раскрыть их внутрен-
ний смысл и их содержание, он беспомощен, и в его твор-
честве историк культуры найдет напластование традиций,
8 Н. И. Идельсон 225
идущих от древней философии, от астрологии, от средне-
вековой мистики; и в их толще то новое слово, которое Кеп-
лер пытается сказать миру — физическое обоснование пла-
нетных движений,— совершенно теряется и не пробива-
ется наружу.
Наименьшего успеха достиг Кеплер, стремясь применить
свои физические концепции к теории движения Луны;
разумеется, ее движение ему нужно было уложить в эллип-
тическую схему, которая так блестяще подошла к движению
планет, ибо, не забудем, эллипсы возникли именно на почве
кеплеровой физики. Но здесь неравенства движения Луны
ставили непреодолимую преграду его попыткам. Уже со-
вокупность первых двух — основного эллиптического и
эвекции — ясно указывала, что эксцентриситет эллипса
должен быть переменным; значит, нужно было осложнять
физические схемы, вводя, например, эффект действия сол-
нечных лучей. Обо всем этом было бы излишне здесь гово-
рить детально, и мы ограничимся указанием, что в поисках
физической схемы для вариации Луны Кеплер только ухуд-
шил величину коэффициента, найденного Тихо Браге, и
вместо 40',5 вывел для него значение 51'. Таким образом,
в лунных теориях заслуга Кеплера ограничивается в ос-
новном тем, что он независимо от Тихо Браге открыл го-
дичное неравенство, о чем было сказано выше.
В то самое время как Кеплер раскрывал новую астро-
номию и представлял ее современникам как бы овеянной
целым миром его догадок и грез, другой гений, за Альпами,
закладывал основы рационального познания движений и
прежде всего движений, происходящих на Земле. Галилею
принадлежит самый метод подхода к действительности путем
наблюдения и опыта и вывода математических зависимостей,
связывающих их отдельные элементы между собой. Говоря
его словами, «философия написана в той величественной
книге, которая постоянно лежит открытой у нас перед
глазами,— я имею в виду Вселенную,— но которую не-
возможно понять, если не научиться предварительно ее
языку и не узнать те письмена, которыми она написана;
ее язык — язык математики, и эти письмена суть треуголь-
ники, окружности, без помощи которых в ней невозможно
понять хотя бы единое слово; без них мы можем только кру-
житься по темному лабиринту» 39. И одну из крупнейших
ошибок схоластиков Галилей видит в том, что «когда им
приходят в голову различные опыты, с помощью которых
226
было бы невозможно подойти к свету истины, Они воЁсё
не производят их в действительности, а считают их сделан-
ными и допускают, что эти опыты говорят в пользу их умо-
заключений» 40.
И Галилей, оставаясь величайшим реалистом и прак-
тиком своей эпохи, дает механике ее самые общие и ценные
начала: принцип возможных перемещений, закон состав-
ного движения, закон относительности в динамике, законы
равноускоренного движения и параболического движения
тел, брошенных наклонно к горизонту, закон живых сил
в прямолинейном движении. Как некогда Леонардо да
Винчи, он мог бы сказать: «Le mecchaniche sono il paradiso
delle scienze mathematiche» (Механика есть рай среди мате-
матических наук). А в этом раю нет места кеплеровой фан-
тастической физике; ей места нет и во Вселенной вообще:
«Из всех людей, рассуждавших об этсм замечательном
явлении — о приливах и отливах моря,— больше всех
удивляюсь я Кеплеру; будучи человеком свободного и ост-
рого ума и владея теорией движений, приписываемых
Земле, он стал потом уделять внимание и соглашаться с
мнением о влиянии (praedominium) Луны на воды, о скры-
тых качествах и подобных детских выдумках» 41.
Вот почему величайшие открытия Кеплера — закон
эллиптического движения планет, закон постоянства секто-
риальной скорости и закон возрастания периодов оборота
планет в полукубическом отношении их расстояний от
Солнца (1609 и 1619) — для Галилея просто не существуют;
несомненно, он читал соответствующие трактаты Кеплера
(«Astronomia nova» и «Harmonices Mundi»), но он отгоражи-
вается от них: «мой метод рассуждений (il mio filosofare)
решительно отличен от его метода; разумеется, может ока-
заться, что в наших работах об одних и тех же предметах —
однако только в отношении движений небесных тел — мы
могли встретиться в некоторых, хотя и немногих построе-
ниях... но этого не обнаружится и в одной сотой части моих
мыслей» 42.
Галилей не допускает, таким образом, чтобы зерна ра-
ционального знания могли существовать в окружении тех
квазифизических концепций, в которые они облечены у
Кеплера. И в этом отчасти трагизм его положения: когда
он трактует о движениях небесных тел, когда он снова и
снова, несмотря на все трудности и личные страдания,
вступает в борьбу со схоластиками за коперниканскую ис-
8*
227
тину, он не идет далее самых элементарный построений, он
закрывает глаза на неравенства планетных движений, он
охватывает в своих схемах, допускавших только круговые
движения, гораздо меньше фактического наблюдательного
материала, чем их охватывали Гиппарх и Птолемей. И во
многих очень ответственных случаях его решения небесно-
механических проблем являются не больше как механиче-
скими фантазиями.
Так, к самому концу последнего, «Четвертого дня»
знаменитого «Диалога»43 Галилей говорит, очевидно на-
мекая на Кеплера, что «не только теория Марса, но и тео-
рия Луны излагались за последнее время совершенно но-
вым образом, даже после того как Коперник существенно
изменил теорию Птолемея». Но Луна в новолуниях ближе
к Солнцу, чем в полнолуниях, следовательно, утверждает
Галилей, скорость ее должна быть в первом случае больше,
чем во втором; и он сравнивает затем Солнце с точкой под-
веса маятника, а Землю и Луну с двумя грузами, прикреп-
ленными к его стержню, причем у одного из них, изобра-
жающего Луну, расстояние от точки подвеса может изме-
няться. Но при этом должен изменяться период колебаний
маятника; следовательно, заключает Галилей, Земля должна
двигаться медленнее во время полнолуния, чем во время
новолуния 44. Так с удивительной смелостью переносятся
на космос законы и соотношения, выведенные для явлений
земных.
В том же «Диалоге», например, ставится вопрос о том,
сколько времени продолжалось бы падение Луны на Землю,
и Сальвиати, этот alter ego Галилея, с триумфом сообщает,
что оно длилось бы очень недолго, всего 3 часа 22 мин.
4 сек. 46 Откуда это? Галилей применяет к падению Луны
законы равноускоренного движения, т. е. в современных
обозначениях формулу t = У 2s/g; и хотя его результат
лишен всякого значения, так как о постоянном ускорении
на всем пути воображаемого падения Луны говорить не
приходится, тем не менее на этот раз Галилей подходит к
самой грани ньютонова учения о тяготении: ускорение от
массы притягиваемого тела не зависит.
Другим примером галилеевой космической механики
может служить его теория приливов, изложению которой
посвящен «Четвертый день» «Диалога». Вводить в действие
притяжение Луны на воды океана Галилей, как мы уже
знаем, не может: это значило бы идти вслед за Кеплером и,
228
хуже того, за астрологией, которая именно в приливах
видела основной пример воздействия небесных тел на зем-
ные явления и распространяла его, по аналогии, на многое
и многое иное. Нет, Галилей для объяснения приливов
строит свою собственную оригинальную теорию: движение
вод океана объясняется просто их «раскачиванием», проис-
ходящим потому, что частица воды, участвуя во вращении
Земли вокруг ее оси и в ее обращении вокруг Солнца, дваж-
ды в сутки меняет не только направление, но и величину
составной скорости, следовательно, непрерывно подвер-
гается ускорению. Нечего и говорить, что эта теория, при
изложении которой Галилей высказывает, однако, множест-
во глубоких гидромеханических соображений (о периоде
собственных колебаний воды в бассейне, о явлениях резо-
нанса и т. п.), оказалась совершенно несостоятельной, и
зерно истины в этом случае было предугадано именно Кеп-
лером.
Так, в первые десятилетия XVII в. Галилей и Кеплер
создают новую науку; но они стоят на глубоко различных
культурно-исторических позициях; непроходимая пропасть
их разделяет; к середине столетия ничто еще не предвещает
возможного синтеза их учений. Как раз тогда на сцену
выступает картезианство; но это была уже чистая химера.
Правда, Декарт мыслил мир механически (допуская при
этом существенные механические ошибки); но он вводил в
него гипотетических агентов, ту «materia subtilis», которая
своими разнообразными вихревыми движениями захваты-
вает и увлекает планеты в их обращениях вокруг Солнца.
И эта своеобразная теория фантомов, попирающая всякую
реальность, господствовала над умами в течение десятиле-
тий, быть может, «за неимением лучшего», как заметил
Вольтер4’.
К самому концу XVII в. на всем этом сложном и
полном глубоких противоречий фоне мировоззрений и док-
трин появляется теория тяготения. Для историка астроно-
мии величие ньютоновой «Системы мира» 47 заключается
прежде всего в том, что ею достигается то, что еще так
недавно представлялось принципиально невозможным: она
перебрасывает мост между Галилеем и Кеплером. Та истина,
которая была заложена в их открытиях, объединяется и
запечатлевается в окончательных формулах. Но чтобы до-
стичь этого, недостаточно было, на наш взгляд, даже и нью-
тонова математического гения; нужно было создать новую,
229
особенную схему подхода к природе, при которой сделалось
бы безразличным и окончательно отпало бы все то темное,
недоговоренное и неверное, что осложняло оба исходных
учения.
Эта новая, принципиально отличная от всего прежнего
точка зрения Ньютона и есть та, которая резюмируется в
знаменитом заключительном аккорде его «Начал»:
«Все, что не выводится из наблюдений, следует называть
гипотезой-, гипотезам же, либо метафизическим, либо физи-
ческим, либо скрытых свойств, либо механическим, нет
места в экспериментальной философии».
Почему величайший механик и физик ставит здесь физи-
ческие и механические гипотезы на одну доску с метафизи-
ческими схемами и «скрытыми свойствами» науки схоласти-
ков?
Не потому ли, что и то и другое уже было представлено
миру Кеплером и Галилеем, не говоря уже о Декарте,
и притом представлено так, что отсюда ничего кроме споров
и неясностей не произошло?
Но далее этого быть не должно и не будет: как титан под-
нимается Ньютон над всем строем научной мысли своей
эпохи и, опережая ее примерно на 150 лет, излагает свою
доктрину так, как это будут делать великие математики
французской школы XIX в. в своих трактатах по небесной
механике и математической физике.
С этих новых позиций самые задачи науки о Вселенной,
о действующих в ней силах уже отнюдь не те, какими они
были для Галилея или для Кеплера. Ньютон подчеркивает
в «Началах», что он «исследует не виды сил и свойств их,
а лишь их величины и математические соотношения между
ними» 48; что ряд понятий нужно рассматривать как мате-
матические, ибо здесь «не обсуждаются физические при-
чины и свойства сил» 49; что в его сочинении «мы зани-
маемся математикой, поэтому, оставив в стороне физиче-
ские споры, будем пользоваться более обычными названиями
для сил» 50.
Это подчеркнутое отмежевание «Натуральной филосо-
фии» от всяких физических предпосылок тем более естест-
венно и исторически тем более оправданно, что «Система
мира» строится на основе учения о притяжении, о тяготе-
нии тел; при этом несомненно, что некоторые элементы этого
учения перешли к Ньютону от тех тезисов Кеплера, кото-
рые были нами приведены. Поэтому здесь действительно
230
создавалось очень деликатное положение вещей; от тяго-
тения к «скрытым свойствам» путь не особенно далек. Это
очень отчетливо высказал Лаплас. «Этот великий человек,—
говорит он про Ньютона,— несомненно заслужил бы уп-
рек в том, что он восстанавливает «скрытые качества», если
бы он удовлетворился тем, что приписал всемирному тяго-
тению эллиптическое движение планет и комет, неравенст-
ва лунного движения, изменения как длины градусов ме-
ридиана, так и силы тяжести, предварение равноденствий,
приливы и отливы моря, не показав связи своего принципа
с этими явлениями» и.
Но Ньютон выявил эту связь, и притом с такой гран-
диозной полнотой и силой, что и сейчас невозможно без
изумления перелистывать заключительные страницы его
«Начал». Одна за другой, все из той же простейшей фор-
мулы, раскрываются гармонии движений небесных тел;
планеты обращаются по эллипсам вокруг Солнца, спутники
обращаются вокруг центральных тел, и все эти движения
подчинены законам Кеплера, которые только теперь полу-
чают свое общее и единое обоснование: вырванные из кеп-
леровой мистики, они оказались включенными в схему
рационального знания; к тому же сила, которая вызывает
все эти движения, действует не только в небесных прост-
ранствах, но и у самой поверхности Земли.
Далее, здесь строится понятие силы, возмущающей кеп-
лерово движение планет или спутников, и устанавлива-
ется, что все особенности движения Луны — ее неравенст-
ва — могут и должны быть объяснены, если, помимо цен-
тральной силы притяжения Луны Землею, учесть еще силу
притяжения Луны Солнцем, которая и является возмущаю-
щей в этой «задаче трех тел». Воды океана подчинены тому
же действию притяжения Солнца и Луны; теория приливов,
объяснение приливов суточных и полусуточных, квадра-
турных и сизигийных скрыты в формуле всемирного
тяготения, а вовсе не в той теории колебаний океана, ко-
торую развивал Галилей. Прецессия — явление, загадоч-
ное для всех прежних астрономов,— выводится Ньютоном
путем гениальной интуиции на основе схемы движения
спутников и смещения узлов их орбит на орбите главного
тела; изучается фигура Земли, предполагаемой вращаю-
щейся однородной жидкой массой, и выводится зависимость
между ее сжатием и отношением центробежной силы к силе
тяжести на экваторе. Наконец, устанавливается, что и
?31
движения таинственных комет входят в общую схему
закона притяжения, и в заключение Ньютон учит вычис-
лять их параболические орбиты.
Никогда, ни до, ни после появления «Начал», совокуп-
ность проблем такого порядка не ставилась совместно перед
мыслителем и никогда природа не раскрывала сразу столько
своих тайн перед одним, хотя бы и гигантским усилием; но
Ньютон, заканчивая на этом свою могучую «Систему мира»,
этот вечный источник гордости всего мыслящего челове-
чества, считает необходимым только еще раз подчеркнуть,
что в рассмотрение физической сущности открытой им силы
он входить не будет:
«Довольно того, что тяготение на самом деле сущест-
вует и действует согласно изложенным нами законам,
и вполне достаточно для объяснения всех движений небес-
ных тел и моря» 52.
И только теперь, при свете совершенно новых теорий и
доктрин, нам начинает раскрываться, насколько Ньютон
был не только осторожен, но и прав, поставив вопрос о тя-
отении именно так, как это сделано в его «Системе мира».
6. ТЯЖЕСТЬ И ТЯГОТЕНИЕ
Из всех открытий Ньютон считал особенно важными два,
именно: вывод самой формулы закона тяготения и доказа-
тельство тождества между силой тяготения и силой тяже-
сти на Земле 53. Это знаменитое доказательство проводится
у Ньютона путем вычисления центростремительного уско-
рения Луны в ее обращении вокруг Земли; затем Ньютон
уменьшает это ускорение пропорционально квадрату рас-
стояния Луны от Земли, после чего оно оказывается рав-
ным ускорению силы тяжести у земной поверхности.
«Итак,— заключает Ньютон,— сила, которою Луна удер-
живается на своей орбите, если ее опустить до поверхности
Земли, становится равной силе тяжести у нас, поэтому она
и есть та самая сила, которую мы называем тяжестью, или
тяготением»84.
Вычисление Ньютона воспроизведено в бесчисленных ру-
ководствах и учебниках. Но здесь мы несколько перестро-
им его, чтобы показать, как именно на этом выводе проис-
ходит объединение законов Галилея и Кеплера 86.
Действительно, из элементов галилеевой динамики рав-
232
ноускоренного падения тел у земной поверхности легко
вывести, какую скорость нужно сообщить любому тяжело-
му телу, например камню, бросая его горизонтально, с тем,
чтобы этот камень не упал на Землю, а продолжал обращать-
ся вокруг нее наподобие спутника. Пусть v эта скорость;
мы найдем
v = VgR> (19)
где R — радиус экватора, g — ускорение силы тяжести;
разумеется, от всяких сопротивлений движению мы отвле-
каемся и считаем Землю сферой радиуса R.
Период обращения этого воображаемого спутника Зем-
ли будет:
Т = = 2л , (20)
так что, полагая R = 6400 км, g = 9,80 м/сек2,
Т = 5080 сек. = 0,0588 дня.
Но у Земли есть и действительный спутник — Луна;
по третьему закону Кеплера периоды обращений спутников
вокруг центрального тела возрастают в полукубическом
отношении их расстояний от центрального тела, а расстоя-
ние Луны от центра Земли в 60 раз больше расстояния кам-
ня; следовательно, период обращения Луны должен быть
равен:
Т\ = Т.60’/*= 27,3 дня.
Но этот период таким и является в действительности
(по наблюдениям, 7\ = 27,321 661 дня); следовательно,
движение камня, удерживаемого у земной поверхности
галилеевой силой тяжести, в такой же мере подчиняется
третьему закону Кеплера, как ему подчиняется Луна, удер-
живаемая на своей орбите ньютоновой силой всемирного
притяжения; следовательно, Луна, будучи опущена до
поверхности Земли, стала бы обращаться вокруг нее со
скоростью камня, а при этом и непрерывно падать на Зем-
лю с ускорением силы тяжести; значит, обе силы, галиле-
ева — земная и ньютонова — космическая, действуют оди-
наково, значит, они тождественны между собой.
Приведенный расчет произведен нами с грубым при-
ближением; но представляет некоторый интерес провести
233
его со всей точностью современной астрономии, тем более
что численные данные, которыми пользовался Ньютон,
теперь устарели и всё его вычисление имеет только исто-
рическое значение. Для точного вычисления мы должны,
прежде всего, применить третий закон Кеплера в его так
называемой исправленной форме, данной Ньютоном5в,
в которой учитывается движение обоих тел вокруг их об-
щего центра тяжести. Пусть М — масса Земли, R — радиус
ее экватора, р — масса Луны. Полагая массу камня равной
нулю, имеем:
для камня
(21)
для Луны
= /(М + р).
4лаа8
Т?
Следовательно,
или, ввиду (20),
(22)
(23)
Для численных подстановок в формуле (23) используем
следующие данные: а) по геодезии: R = 637 838 800 см 87,
б) по гравиметрии: ускорение силы тяжести на экваторе 68
g0 = 978,049 см/сек2, в) по наблюдательной астрономии:
средний параллакс Луны 59 р = 57'2",700; г) по небесной
механике: отношение массы Луны к массе Земли80 ц/М =
= 1 : 81,53 (оно выводится из наблюдений одновременно
с определением солнечного параллакса).
Из данного значения р получаем, по определению парал-
лакса:
= -Д- = 60,26652. (24)
R sin р ’ ' '
Однако мы не можем подставить в (23) ни этого значения
-Д-, ни приведенного выше значения g0, и вот почему:
А
234
законы Кеплера относятся к движению только двух тел, в
данном же случае движение Луны возмущается третьим
телом, Солнцем, и наблюденный период ее обращения 7\
есть, таким образом, «возмущенный». В небесной механике
показанов1, однако, что уравнение Кеплера сохранит
о тт По
свои смысл и для Луны, если ввести в него вместо ве-
личину
а 1 , т? 179 л . m2e'2 . \ /f>c-4
-R =-FV + —- 288 w4 + — +•••)’ (25>
где т — основной параметр лунных динамических теорий,
определенный из наблюдений еще Гиппархом, е' — экс-
центриситет земной орбиты;
т = 0,07480133; е' = 0,016771,
таким образом,
4- = -S’ 1,00091346 = 60,32158. (26)
К к
Наблюденная величина ускорения силы тяжести на
экваторе g0 зависит не только от силы притяжения, разви-
ваемой массой Земли, но и от центробежной силы, проис-
ходящей от ее вращения; однако эта последняя не имеет
никакого отношения ни к движению Луны, ни к движению
камня, как только он отделяется от Земли; наконец, на
наблюденной величине g0 сказывается и влияние сжатия
Земли; но на сжатой Земле притяжение зависит от широты,
и потому круговая траектория камня возможна только в
плоскости земного экватора. Чтобы освободиться от всех
этих дополнительных условий, мы должны в (23) вместо
gQ подставить то значение ускорения у, которое определяется
формулой:
ML
1 ~ Ri ’
т. е. соответствует только притяжению Земли, предпола-
гаемой притом точечной массой. Зависимость между у и
gz выводится в теории фигуры Земли. По формулам Дж. Дар-
вина 62 имеем
у = 1,0018181 g0; (27)
здесь коэффициент есть функция сжатия Земли и отношения
центробежной силы к силе тяжести на экваторе, включаю-
235
щая члены второго порядка относительно этих величин;
эти параметры известны теперь настолько точно, что и
коэффициент Дарвина можно считать числом точным.
Таким образом:
у = 979,827 см/сек2.
Ввиду всего сказанного формула (23) принимает вид:
(28)
производя вычисления, находим
7\ = 5069,448-60,321581/»-0,9939232 = 2360601 сек.
Между тем наблюденное значение равно
2360591,52 сек.
Итак, расхождение между вычисленным и наблюденным
значениями звездного месяца получилось 9,5 сек.; его от-
носительная величина равна 4-10-®; но здесь необходимо
учесть, что если бы мы увеличили постоянную лунного
параллакса всего на 0",01 или взяли отношение масс Луны
и Земли 81,47, вместо классического 81,53, то оба значения
Ti сошлись бы с точностью до 1 сек.; однако подобные от-
клонения обеих указанных величин лежат в пределах сред-
них ошибок их определения из наблюдений, и потому более
точный результат был бы здесь вообще нереален. Следо-
вательно, нам остается только подчеркнуть, что данные,
полученные из столь разнообразных по своей природе
наблюдений и определений (геодезических, гравиметри-
ческих и астрономических), превосходно согласуются с
теориями небесной механики, воздвигнутой на законах
Галилея — Кеплера — Ньютона и имеющей в своей глу-
бокой основе именно тождественность силы всемирного
тяготения и силы тяжести на Земле.
7. ВАРИАЦИОННАЯ ОРБИТА
Одно из сильнейших неравенств лунного движения, имен-
но вариация Луны, раскрытая Тихо Браге, есть результат
возмущающего действия Солнца на движение Луны в поле
сил земного притяжения: в этом заключается один из
236
первых и глубочайших триумфов небесной механики Нью-
тона вз. «Метод, которому здесь следовал Ньютон, представ-
ляет собой,— говорит Лаплас,— одно из самых замеча-
тельных мест во всем содержании «Начал»
Действительно, модернизируя изложение, теперь можно
легко и быстро показать на этом примере всю глубину нью-
тонова гения и выяснить к тому же значение некоторых
ньютоновых построений для истории небесной механики
вплоть до наших дней.
Пусть на рис. 3 точки L, Т, S изображают соответствен-
но Луну, Землю и Солнце; массы их обозначим, как при-
нято, через L, Т, пг'\ пусть 7, г', р — радиусы-векторы
TL, TS, LS; каждое ньютоново ускорение будем писать
в виде г/г3, выделяя этим не только величину вектора
(1/г2), но и его направление; пусть /1 и д — векторы аб-
солютных ускорений точек L и Т; полагая постоянную
притяжения f ~ 1, напишем два уравнения движения
Луны и Земли в поле сил ньютонова притяжения:
т Тг . т'р 7 Lr . tn'r'
11 -------75" + , 1т----------рз- ,
(29)
вычитая геометрически из первого уравнения второе и
обозначая через w вектор «наблюдаемого ускорения» Луны
относительно Земли, найдем
(L+T)7
г»
w —
(30)
Но по рис. 3:
Р = f - г,
237
так что
™ = -~г+ -£) + т'? (А-- -L) . (31)
Эта последняя формула и является единственной основой
всех динамических теорий движения Луны; однако инте-
грирование трех соответствующих ей уравнений движения
оказалось, как мыслил еще Эйлер, «сопряженным с такими
существенными и важнейшими трудностями, что оно пред-
ставляется превосходящим силы человеческого ума» ®5.
Как бы то ни было, пойдем немного далее и прежде
всего спроецируем вектор w на направление радиуса-
вектора г; обозначим при этом через ф разность истинных
долгот Луны и Солнца:
ф = X — X' = yTL — yTS\
тогда будем иметь, обозначая через wr, искомую проекцию
L-\-T т'г , , , I / 1 1 \
wr=-----?------^r + mr С08Ф (7г-75-J • (32)
Пусть n' — наблюденное среднее суточное движение
Солнца; а' — полуось земной орбиты, так что по третьему
закону Кеплера
т' = п'2а'3-,
далее, пусть п — наблюденное среднее суточное движение
Луны, а — некоторая, наперед точно не известная постоян-
ная (близкая к среднему расстоянию Луна — Земля),
вводимая раз навсегда под условием:
nW = L + Т.
С помощью обоих этих соотношений из формулы (31) исклю-
чаются массы tri и L + Т; целесообразно еще ввести в эту
формулу хорошо известный нам «параметр Гиппарха»
/« = ^-= 0,07480133 и переписать ее в виде
Лг)Т (зз)
г / J
Полученное выражение — точное; теперь переходим к
приближениям и замечаем, что
р2 = г2 + г'2 — 2/т' cos ф,
238
так что
1 1 . Зг .1
= —+ —COS1J) + ...
Подставляя в (32), учитываем, что параллакс Солнца
(8",8) приблизительно в 390 раз меньше параллакса Луны
(3422",7), так что ala' — 1/390; поэтому, отбрасывая члены,
имеющие порядок не ниже
/8 А
4^4-1,4.10-%
r'4 а3 af
найдем
Wr= — ^-[1 ч-m2-— -^-(1 — Зсоз2ф) . (34)
Эта важная формула раскрывает, что возмущающее
действие Солнца пропорционально /п2 = 0,00560; поэтому,
если ограничиться только первой степенью возмущающего
действия, то в членах, умноженных на /и2, можно положить
г' = а’; г = а,
т. е. допустить, что Земля движется по круговой орбите,
а Луна, в отношении ее возмущений, также движется «без
эксцентриситета» (как говорит Ньютон); сверх того, вместо
разности истинных долгот ф можно ввести разность сред-
них долгот, т. е. хорошо известный нам аргумент D (сред-
няя элонгация Луны)
D = (п — п') t = n (1 — т) t,
причем счет времени t можно начать со среднего новолуния,
когда D = 0. При всех этих условиях и допущениях при-
ходим к первой формуле лунной теории Ньютона, дающей
величину центростремительного ускорения Луны в ее
движении вокруг Земли:
— wr = + т2 — 3m2 cos2 D). (35)
Из этой формулы вытекают два удивительных на первый
взгляд следствия:
1) Возмущающее действие Солнца одинаково как в
ближней, так и в дальней части лунной орбиты (направо
и налево от оси Y, рис. 3); действительно, выражение в
239
скобках в формуле (35) не изменяется при замене D на
D + л, поэтому с принятой здесь степенью приближения
ничто не препятствует орбите Луны быть замкнутой кри-
вой, симметричной относительно Т.
2) Так как среднее значение cos2 D есть х/2, то действие
солнечных возмущений в среднем эквивалентно уменьше-
нию центростремительного ускорения Луны к Земле в
отношении
. пг2 _ 356
1 2 ~ 357 ’
или, иначе, наблюденное (т. е. возмущенное) ускорение
Луны к Земле в среднем таково, как если бы масса системы
Земля — Луна была уменьшена на ее величины.
Поэтому, если мы вообразим некоторое фиктивное движение
материальной точки вокруг Земли, подчиняющееся третье-
му закону Кеплера, с «наблюденной» полуосью а0, удовлет-
воряющей условию
пЧ3= (L + T)(l-4)> (36)
и сопоставим это условие с формулой
п2а3 = L + Т,
то найдем, отбрасывая члены с т*,
а = а0 (1 + = 1,00093. (37)
Формула (37) дает, с точностью до т2, то соотношение
между постоянной а и синусом лунного параллакса, кото-
рым мы уже пользовались в предыдущем разделе (см.
формулу (25)).
Вернемся теперь к основной формуле (31) и сделаем
новое допущение, именно примем, что движение точек L,
Т, S происходит в одной плоскости (в плоскости эклипти-
ки), пренебрегая, таким образом, наклоном лунной орби-
ты. Умножая теперь (31) векторно на г и замечая, что
- —, d - d / » dX \ —
[r,wj = — [Г,У]= —
где v — вектор скорости Луны в ее движении относительно
Земли, К — ее истинная долгота ид — единичный вектор,
240
перпендикулярный к эклиптике, найдем
d / о d'K \ — r“ ">i I 1 1 \
St \r -dT) Pl= т1 [г> “ Т5? ’
или в проекциях на направление этого перпендикуляра
4 С2 4)=- m'rr'sin * (4 - 4): (38)
вводя, наконец, указанное выше разложение для р“3,
найдем с той же степенью точности, как и выше,
d ( 2 d'K \ 3 f • q । /QG\
dt \r -dt) = -Tm 7гsin<39>
Разделив обе части на г, получаем, как хорошо известно,
проекцию ускорения на перпендикуляр к радиусу-вектору;
отсюда важный вывод: трансверсальная проекция уско-
рения при учете первой степени возмущающего действия в
среднем равна нулю; к тому же она исчезает как в сизигиях,
так и в квадратурах Луны (ф = ОТ 180° или ± 90°). В левой
части формулы (38) мы имеем производную от удвоенной
секториальной скорости; обозначим ее через h и заметим,
что в невозмущенном круговом движении
h = па2.
В правую часть (38) вводим т' = п’2а'я и полагаем здесь,
с тем же приближением, как и выше,
г — а, г' = а'\ 2ф = 2D = 2n (1 — т) t.
При этих условиях получаем
dh 3 ,2 о • л
-п- =-----7- п a2 sin 2D;
dt 2
интегрируя и взяв за начальное (здесь среднее) значение
h = па2, приходим ко второй формуле лунной теории
Ньютона:
= = +4-/^-cos2DV (40)
dt \ 1 4 1 — т / ' 7
Отсюда мы опять заключаем, что секториальная ско-
рость одинакова в симметричных точках на двух половинах
лунной орбиты: она не меняется при замене D на D + л;
241
в частности, она одинакова в обеих сизигиях и в обеих
квадратурах.
Коэффициент при cos 2D равен 1 : 220,46, так что от-
ношение значений h в сизигиях и в квадратурах есть
11 073 : 10 973, как и установлено Ньютоном 66.
Из формулы (40) нужно получить X; но слелать это пока
невозможно, так как мы не знаем выражения г в функции
D (т. е. в функции времени): «вид лунной орбиты неизве-
стен», как замечает Ньютон; но здесь именно и раскрывает-
ся перед нами изумительная глубина ньютоновой теории:
уравнениями (35) и (40) устанавливается возможность су-
ществования лунной орбиты, симметричной не только по
отношению к точке 7, но и по отношению к прямой TS и
перпендикуляру к ней, проведенному через Г; иначе го-
воря, орбиты, симметричной по отношению к вращающимся
осям X и У, из которых первая (ось сизигий) всегда про-
ходит через S, вторая ей перпендикулярна, а угловая
скорость вращения осей равна угловой скорости Солнца,
т. е. п'.
При этих условиях Ньютон допускает, что эта вращаю-
щаяся кривая есть эллипс с центром в Т. Пусть х, у — ко-
ординаты Луны на подвижном эллипсе; обозначим его полу-
оси через
а (1 — а) и а (1 + а),
считая при этом а малой величиной порядка возмущений,
т. е. порядка ги2, и снова подчеркивая этим, что собствен-
ный эксцентриситет лунной орбиты полагается равным
нулю; имеем:
х = г cos ср; у — г sin ф;
cos2 ф । sin2 ф____а2
(1 — а)2 п (1 + а)2 ~~ г2 ’
или, отбрасывая члены с а2, т. е. с /п4 и выше,
г = а (1 — а cos 2ф),
вместо чего можно положить, отбрасывая квадраты воз-
мущений,
г = а (1 — a cos 2D). (41)
Таким образом, выражение для г как функции D най-
дено или, лучше сказать, предугадано, и вся задача сво-
242
дится к вычислению параметра а. Ньютон достигает этого,
определяя радиусы кривизны эллипса (41) в сизигиях и
квадратурах, и производит это двояким способом:
а) динамически: в сизигиях и квадратурах трансвер-
сальное ускорение, как сказано выше, исчезает, и полное
ускорение сводится к радиальному wr\ оно уравновеши-
вается центробежным ускорением Луны, т. е. величиной
и2/р, где р — радиус кривизны траектории; далее:
и2
но здесь первый член можно отбросить, так как он порядка
а2; следовательно
А2
—
v2 — г2
и поэтому в сизигиях и в квадратурах
— Д2
Р wrr2
По обеим формулам Ньютона, (35) и (40), легко находим,
отбрасывая /и4, отношение радиуса кривизны в сизигиях
pi к таковому же в квадратурах р2:
(42)
-£-= 1 +3т2(1 +-г^~
р2 1 \ 1 1 — т
б) геометрически: для эллипса (41) с помощью надлежа-
щих дифференцирований по аргументу nt (среднее движе-
ние Луны за время /) получается 87:
-g- = 1 + 2а [4(1 -m)2- 1].
Приравнивая (42) и (43), получаем
/ , 1 \
(43)
(44)
2
3
а ~ 2 4 (1 — m)2 — 1
В это выражение удобно ввести, по примеру Адамса,
новый параметр mlt положив
т
т = ; тг = 0,08084893, (45)
1 + mi х х '
243
так что
а = 2-ml 2+mi - = 0,0072048. (46)
4 1 3-2mi-m2 '
Таким образом, полуоси ньютонова эллипса относятся как
1,0072 : 0,9928, или, по Ньютону ®8, как 70V24 : 691/24.
Так как с получением величины а выражение (41) для г
окончательно определено, подставляем его в выражение
(40) и выводим, отбрасывая а2,
^ = п[1+(2а +2D]; !
интегрируя и учитывая при этом, что
2D = 2n (1 — т) t,
найдем
Л 3 тъ
2а + ""4” 1 — m
% = %0 + nt + - 2^-^- - Sin2D- <47) I
Коэффициент при sin 2D и есть наибольшее значение I
вариации Луны; обозначая его (по Адамсу) через Ь2, полу- |
ЧИМ I
b2 = а (1 + тх) + ml. (48)
Подставляя численные значения а и и обращая ре-
зультат в секунды умножением на 206265", находим
Ь2 = 0,01028 = 2112" = 35'12". (49)
У самого Ньютона результат гласит ®9:
Ь2 = 35'10".
Как указывалось выше, значение Ь2 по современным лун-
ным теориям есть 39'30"; таким образом, уже первое нью-
тоново приближение дает результат, очень близкий к
действительности, и ставит вне сомнений гравитационное
происхождение лунной вариации.
Вычислим в заключение прямоугольные геоцентриче-
ские координаты Луны х, у, отнесенные к вращающимся
ньютоновым осям; считая движение Земли круговым, еле-
244
довательно, и равномерным, имеем:
ф = А— Az = Ay nt Н- f>2 sin 2D — п't — Ay.
Условившись отсчитывать время от момента, когда
Ао = Ау, можем написать:
ф = D + b2 sin 2D; (50)
поэтому, применяя (41) и отбрасывая члены с произведе-
нием ab2, находим
cos ф = (1 _-^---|-)cosD +
+(4--r)c°s3D>
dr=dr sin ф = (1 + -4 + -^sin D + (4- - -2-) sin 3D.
а а т\'2 2/ \ 2 2/
Но из (44) и (48) получается с точностью до т{:
2 t И 2
а = /nf, =
так что предыдущие выражения приводятся к виду:
X / 1 19 гч t 3 2 о
— = 1 —-гп-/nj) cos О +-тс-cos 3D,
0 / 4Q 7 3 (51)
“Г = (! + sinD + ’П’m* sin 3D‘
Эти важные формулы обнаруживают, что в ньютоновом
решении координаты Луны по отношению к вращающимся
осям являются периодическими функциями аргумента D,
а следовательно, и времени; таким образом, уже Ньютоном
установлена возможность периодических решений в задаче
трех тел ’°.
Через 100 лет после Ньютона Эйлер в своей второй лун-
ной теории начал систематически применять метод враща-
ющихся осей; еще через 100 лет Хилл в знаменитом мемуаре
1877 г. п, пользуясь этими же осями, но предложив исклю-
чительно мощную методу последовательных приближений,
вычислил координаты Луны с точностью до /п10; полученное
им периодическое решение, определяемое по отношению к
тем же ньютоновым вращающимся осям, имеет вид:
— = ^41cosD -|- Л3со5 3D + 4scos5D + ...
а (52)
— BjSinD-J-BjsinSD-h 55sin5D + ...
245
Это решение обладает тем же периодом, что и ньютоново
решение (51); кривая Хилла, определяемая уравнениями (52)
и получившая название «вариационной орбиты», пересекает
обе вращающиеся оси ортогонально; она обнаруживает по
отношению к ним такую же симметрию, как эллипс Ньюто-
на. Таким образом, ньютоновы формулы (51) дают по два
члена рядов Хилла, и коэффициенты их определены с точ-
ностью только до /и2. Но сущность дела от этого не меняет-
ся, и мы должны здесь подчеркнуть, что то могучее направ-
ление небесной механики, которое от Эйлера ведет к Хил-
лу и от него к Пуанкаре 72, имеет в своей глубокой основе
мысли и построения, данные еще на страницах ньютоно-
вых «Начал».
8. СОМНЕНИЯ
Включением лунной вариации в общую схему небес-
ной механики, основанной на законе притяжения, содер-
жание ньютоновой лунной теории отнюдь не исчерпано.
Напротив, все развитие задачи трех тел, данное в «Началах»,
рассчитано преимущественно на теорию движения нашего
спутника; так, например, знаменитое предложение 66, кн. I
с его 22 следствиями 73, где Ньютон проводит качественное
изучение возмущенного движения, служит как бы общим
введением в эту теорию и находит затем применение только
в том разделе «Системы мира», где изучается движение Лу-
ны. В настоящее время, после исследований Адамса и
А. Н. Крылова 74, можно считать установленным, что за
теми геометрическими методами, которыми пользуется
Ньютон, скрывается гораздо более глубокое проникнове-
ние в проблемы небесной механики, чем то, которое дано
непосредственно на страницах «Начал». Вся теория вариа-
ции произвольных постоянных эллиптического движения
и те уравнения, которые были даны впоследствии Лагран-
жей, по-видимому, были предвосхищены Ньютоном и при-
менены им к решению проблем лунной теории. Но по
странной особенности ньютонова гения все это осталось
тщательно замаскированным от читателя «Начал»; за цепью
труднейших геометрических построений он мог лишь со-
зерцать, как значительные разделы лунных теорий, эмпи-
рически развитых в минувшие века, теперь объединяются
и находят единое объяснение в теории протяжения; то был,
246
действительно, один из моментов истории культуры, на
котором будет всегда останавливаться с гордостью челове-
ческая мысль.
Одним из важнейших результатов новой лунной теории
было: 1) объяснение движения узлов, притом как того сред-
него движения, выявленного, как мы знаем, еще древними,
так и неравенства с периодом в 346,6 дня, раскрытого Тихо
Браге; 2) вывод колебаний наклонности лунной орбиты,
которым вызывается важнейшее неравенство в широте
Луны, именно ее эвекция.
В рамках настоящей статьи было бы невозможно раз-
вить всю ньютонову теорию этих явлений, и мы подчеркнем
здесь лишь ее чрезвычайно высокую точность.
Так, по Ньютону 75, среднее движение узлов в один
звездный год получается равным 19°18'1 ",38; отсюда пе-
риод оборотов узлов
Т2 = 6812,9 дня.
Между тем, по точным современным теориям и в соот-
ветствии с наблюдениями Т2 = 6794,4 дня; таким образом,
погрешность ньютонова определения не превышает 1/300;
но мы знаем, что Т2 связано с лапласовым параметром g
соотношением:
_ 27,321661
1 2 “ f ~ •
Знаменатель этого выражения получается в небесной
механике в виде ряда расположенного по степеням пара-
метра т, эксцентриситета лунной орбиты и синуса поло-
вины угла ее наклона к эклиптике 76 (е = 0,05490 и у =
= sin < = 0,04490),
„ 1 з» 9 » 273 . , 3 » ,
g _ 1 = — __ _ m4 + _ m2g2 _
- A m2y2 = 0,0040202.
Между тем, по результату Ньютона: g— 1 — 0,0040103;
таким образом, Ньютон своим геометрическим методом су-
мел учесть не только первую степень возмущающего дей-
ствия Солнца, но и члены высших порядков, притом почти
с совершенной точностью 77. Кроме того, им определено и
периодическое неравенство в движении узла с амплитудой
247
в 1°30', тогда как из наблюдений Тихо Браге эта амплитуда
была получена равной Г46'; точно так же и колебание на-
клонности лунной орбиты, для которого Тихо Браге вы-
вел из наблюдений значение 19', у Ньютона, по гравита-
ционной теории, получилось равным 17'45". Следователь-
но, главное неравенство лунной широты — ее эвекция, о
которой мы упоминали,— нашло свое полное объяснение
в теории тяготения. Так во всем этом разделе согласие
ньютоновой теории с наблюдениями оказалось превосход-
ным.
Столь же значительные результаты получены Ньютоном
и в отношении ряда неравенств лунной долготы; о том, как
они выведены из теории или как они выделены из наблюде-
ний, Ньютон не сообщает: только окончательные выводы
даются им в том общем «Поучении», которым заканчивает-
ся в «Системе мира» раздел, относящийся к движению Лу-
ны ’8. О них же идет речь в особой записке Ньютона, оза-
главленной «Theoria Lunae», изданной посмертно, в 1772 г. 79
Ее содержание во многом повторяет и отчасти дополняет
указанное «Поучение»; из нее видно, что Ньютону были из-
вестны семь неравенств лунного движения, между ними—
годичное неравенство, раскрытое Тихо Браге и Кеплером,
амплитуду которого по теории тяготения Ньютон опреде-
лил в 11'5Г (действительное значение 11'10"), и затем чрез-
вычайно важное неравенство третьего порядка (именно,
порядка та/а'), с амплитудой 2'5", получившее назва-
ние параллактического80. В «Theoria Lunae» дано так-
же замечательное построение, позволяющее определить на
любой момент времени эксцентриситет лунной орбиты и не-
равенство лунного перигея. Все это представляет собой глу-
бокое развитие птолемеевой теории первого и второго не-
равенства; правда, здесь остается неясным, как получено
значение главного неравенства долготы (эвекция) — по
теории тяготения или просто взято из наблюдений. Но
«Theoria Lunae» во всяком случае обнаруживает, какой
огромный труд был уделен Ньютоном этой теории; и она
еще раз подтверждает, что в определении неравенств лун-
ного движения из наблюдений Ньютону так же трудно бы-
ло найти себе равного, как и по другим направлениям свое-
го творчества 81.
Однако этими достижениями еще не все проблемы лун-
ной теории были исчерпаны; имелся еще весьма существен-
ный момент, а именно вопрос о среднем движении перигея,
248
который ни в «Системе мира», ни в указанной здесь «Theoria
Lunae» подробно не рассматривался. О движении перигея
лунной орбиты читатель «Начал» узнавал как бы вскользь
в книге I в разделе «О движении тел по подвижным орбитам
и о перемещении апсид». Здесь Ньютон приложил получен-
ные им общие, теперь классические, теоремы к движению
Луны (о котором речь будет только в книге III «Начал») и
тут, предвосхищая некоторые данные своей лунной теории 82,
он вывел для среднего движения перигея значение вдвое
меньшее того, которое следует из наблюдений. Но в изло-
жение «Системы мира» этот результат вовсе не вводится,
быть может, чтобы «не нарушать стройности теории», как
полагал Лаплас; заключительное «Поучение» заканчивает-
ся глухим указанием на то, что до сих пор «среднее движе-
ние Луны и ее апогея еще не получаются с достаточной точ-
ностью».
Ввиду важности вопроса, приведем краткий вывод
ньютонова результата; чтобы получить его, достаточно,
как это и делает Ньютон в книге I «Начал», учесть только
«осредненное» значение возмущающей силы Солнца, или,
как теперь принято говорить, ее постоянную часть. Мы
знаем, что возмущающее ускорение, перпендикулярное
радиусу-вектору Луны, в среднем равно нулю; следователь-
но, «осредненное» возмущенное движение есть центральное,
и постоянная площадей равна в нем ее среднему значению,
так что по формуле (40) h = па2-, радиальное ускорение по-
лучается из формулы (34). Предполагая, что движение Солн-
ца происходит по кругу (так что г' = а'), и заменяя
cos2 D на его среднее значение, т. е. 1/2, находим (учитывая,
что пт = п'),
пусть теперь и — обратная величина радиуса-вектора Лу-
ны, к — ее истинная долгота. Согласно формуле Бине для
центральных движений 88
। Г2 /ел\
dF+“ = -“>> (54)
и, следовательно, ввиду (53)
d2u . 1 , т2 ___ л
d№~+U а~ ' — и‘
249
Положим здесь
(55)
считая % малой величиной порядка эксцентриситета лун-
ной орбиты, квадратом которой будем пренебрегать. Под-
ставляя (55) в (54), найдем, отбрасывая т4, дифференциаль-
ное уравнение для %:
±1 + Л _ = 0
dX2 V 2
Таким образом, обозначая через е произвольную постоян-
ную (вторая здесь не существенна, она связана с началом
отсчета долготы X), находим
X = е cos сХ,
где
с = ]Л1 --|~m2^ 1--|-т2 = 0,995804, (56)
так что согласно (55)
— = —(1--------£-+ecoscX). (57)
Из полученного выражения видно, что максимальные
и минимальные значения радиуса-вектора Луны повторя-
ются после того, как ее долгота X возрастает на угол
6Х = 360° = 360°. 1,004223 = 361°,520;
, Z 3m2
V 1- 2
следовательно, с каждым оборотом Луны ее линия апсид
(т. е. ее перигей и апогей) перемещается в сторону движе-
ния Луны на 1°,520 = 1°31'20". И этот результат с точно-
стью до 8" совпадает с тем, который получен у Ньютона как
следствие его теории движения по вращающимся орбитам
(по Ньютону84, перемещение апсид Луны за один ее оборот
равно Г31'28"). Тоже самое движение апсид получится, ес-
ли написать аргумент ск в выражении обратной величины
радиуса-вектора (57) в виде
сК = X — (1 — с) X = X — л*;
в таком понимании сХ будет истинной аномалией Луны, от-
25Q
считываемой от подвижного перигея л*, долгота которого
определяется формулой
л* = (1 — с) X,
так что отношение угловой скорости перигея к скорости
движения Луны по долготе будет:
1-с = 4-w2 = 0,004196. (58)
Но все эти выводы, как оказывается, весьма далеки от
действительности: движение апсид Луны за один ее оборот
составляет не 1°ЗГ28", а 3°4'8", и наблюденное значение
1 — с, по циклам Гиппарха (стр. 208), есть 0,008452. Не-
чего и говорить, что если бы определение параметра с,
данное в (58), было окончательным, то такой результат
был бы фатальным для всей ньютоновой теории Луны; она
была бы, как писал впоследствии Клеро 85, «осуждена бес-
поворотно, так как приводила бы даже к большим отклоне-
ниям от наблюдений, чем теории тех древних астрономов,
которые допускали равномерное круговое движение Луны
вокруг Земли; при таком предположении их ошибка не
могла превышать 6 или 7°, тогда как теперь [при уменьше-
нии вдвое скорости вращения апсид] часто приходилось бы
придавать к средней долготе Луны ее неравенство в 6 или 7°,
в то время как его необходимо вычитать, что повлекло
бы ошибки в 13 или 14°».
В чем же причина этого существенного и значительного
расхождения теории с действительностью? В приближен-
ном ли характере приведенного вычисления, которым уч-
тена только постоянная часть возмущений, вносимых при-
тяжением Солнца в движение Луны? Или, быть может,
эта причина лежит глубже, и встреченное затруднение
свидетельствует о том, что теория тяготения натолкнулась
здесь на непреодолимое для нее препятствие и, следова-
тельно, обнаружила на нем свою неполноту?
Для вдумчивого читателя «Начал», для всей науки пер-
вой половины XVIII в. каждый из этих вопросов был свое-
образной и неразрешимой загадкой, и потому впредь до
их выяснения на всей ньютоновой теории лежал совершен-
но определенный изъян 8в. Но снять его или, напротив, ут-
вердить окончательно, продвигаясь далее с помощью син-
тетических методов великого автора «Начал», было, по-
видимому, невозможно; необходимо было поставить всю тео-
251
рню на иные основы и применить к исследованию движения
Луны совершенно новую методу; только тогда, быть может,
удастся установить, согласуются ли все неравенства лун-
ного движения с ньютоновой теорией, как об этом ставила
вопрос, объявляя свой конкурс в 1750 г., Петербургская
академия наук.
9. ВЕЛИКАЯ ФРАНЦИЯ
Открытию закона тяготения предшествует в Англии пери-
од очень напряженных и волнующих исканий, в которых, по-
мимо Ньютона, участвуют крупнейшие математики и астро-
номы той эпохи: Гук, вечный противник и оппонент Нью-
тона, Галлей, его восторженный поклонник, Врен 87. Но
после выхода в свет ньютоновых «Начал» творчество англий-
ской науки по линии небесной механики надолго как бы
иссякает; дальнейшее развитие теории тяготения, а вместе
с тем и ее популяризация переходят на континент и де-
лаются важнейшими из тех задач, какие ставят перед собой
французская наука и культура.
Развитие ньютонианства во Франции в эпоху 1730—
1750 гг., т. е. непосредственно после смерти Ньютона (1727),
протекает двумя мощными руслами: одно из них связано
с именем Вольтера, другое представлено рядом замеча-
тельных работ, прославивших Парижскую академию
наук.
Изучение генезиса и развития научного мировоззрения
одного из величайших публицистов, литераторов и мысли-
телей Франции, конечно, не относится к задачам настоящей
статьи, и мы ограничимся напоминанием, что после ряда ед-
ких замечаний о декартовой и ньютоновой доктринах,
разбросанных в «Lettres philosophiques» (1734), Вольтер
издал в 1738 г. небольшой трактат под заглавием: «Элементы
философии Ньютона в доступном для всех изложении» 88.
В этой книге, предназначенной для читателя, который «и
Ньютона и философию знает лишь по названию», Вольтер из-
лагает ньютонову теорию света и тяготения. Ведя и тут же-
стокую полемику с картезианством, Вольтер говорит об
этих предметах как о новых главах физики, рожденных в
стране социального прогресса и индуктивного мышления.
Он идет довольно далеко в своем простом и ясном изло-
жении: достаточно сказать, например, что из содержания
252
21-й главк Читатель пблуЧаеТ немало сведений о возмущен-
ном движении планет и Луны.
Помимо этой прелестной книги, Вольтер навсегда свя-
зал свое имя с Ньютоном как инициатор французского пе-
ревода «Начал», выполненного Эмилией дю Шатле 8Э. На-
конец, каждое новое подтверждение ньютонова учения
получило как бы свое тонкое и остроумное заключение
под его удивительным пером. Но как раз в те годы фран-
цузская наука приносила эти подтверждения одно за дру-
гим. Парижская академия наук, для которой вопрос ''Де-
карт или Ньютон» имел не только принципиально науч-
ное значение, но и как бы национально-политическое —
для престижа Франции, шла навстречу этим задачам и при-
том с очень широким размахом там, где надлежало решать
вопросы большого научно-практического значения. Доста-
точно упомянуть про две знаменитые экспедиции, снаряжен-
ные ею для измерения дуги меридиана в Перу, под эквато-
ром (Буге, Ла Кандамин и Годен, 1735—1742), и в Лаплан-
дию, близ Торнео (Клеро, Мопертюи и др., 1735). Результа-
том их явилось не только подтверждение сжатия Земли у
полюсов, как это и следовало по гравитационной теории,
но и постановка проблем, существенно более сложных, чем
те, которые исследовали по теории фигуры Земли Гюйгенс
и Ньютон. Эта теория получает отныне свой незыблемый
фундамент в произведениях Клеро и Буге 90.
Но здесь, в пределах основной темы нашей статьи, мы
можем и должны говорить детальнее только о работах пер-
вого из них, с которыми почти по всем направлениям стал-
кивался другой замечательный представитель французской
науки и культуры — Даламбер. Действительно, Клеро и
Даламбер были теми математиками, которые почти непосред-
ственно один за другим сняли с гравитационной теории тот
существенный недостаток, который на ней лежал в отношении
движения лунного перигея. Их бессмертная заслуга перед
небесной механикой состоит в том, что они первые, приме-
нив к проблеме движения небесных тел под действием сил
ньютонова притяжения методы анализа бесконечно малых,
т. е. созданный самим же Ньютоном «метод флюксий», со-
ставили дифференциальные уравнения задачи трех тел.
Убедившись, что эти уравнения не интегрируются в конеч-
ном виде, они начали применять к ним способ последова-
тельных приближений и сумели показать его высокую эф-
фективность. Но знаменательно, что по теории Луны оба
253
они пришли к своим замечательным результатам, только
преодолев ряд существенных трудностей и сомнений.
Первая работа Клеро 91 по интересующей нас теме от-
носится к 1743 г. Она озаглавлена: «De 1’orbite de la Lune
dans le systeme de Newton» . В ней даны выражения для ус-
корений Луны по ее радиусу-вектору и по перпендикуляру
к нему, которые были выведены выше — формулы (34)
и (40). Затем Клеро нашел отношение полуосей ньютонова
эллипса в «вариационной кривой» и решил задачу о движе-
нии лунных узлов. Здесь далее Ньютона он не пошел. Но он
вернулся к лунной теории в 1747 г. и представил Парижской
академии наук большой мемуар под заглавием: «О системе
мира согласно началу тяготения» ®2. Во введении к нему,
говоря о простоте и величии ньютоновой доктрины, Клеро
остановился на особенной трудности многих доказательств
и выводов в «Началах». Разумеется, большинство читателей
удовлетворяется одними результатами. «Разве было бы
естественно,— спрашивает он,— отказать в доверии про-
воднику, который так часто вел нас по верному пути, и не
лучше ли пользоваться его открытиями, чтобы идти даль-
ше, чем возвращаться на истоптанную дорогу, на которой
нечего выиграть, кроме, быть может, частных результатов
чисто математического значения?»
Но в дальнейшем Клеро пошел самостоятельным путем.
«После долгих размышлений над теорией Ньютона,— пишет
он несколько ниже,— и не достигнув той степени убежден-
ности, которой я ожидал, я решил больше ничего у него не
заимствовать и самостоятельно искать определения движе-
ния небесных тел, при единственном допущении об их взаим-
ном притяжении». Одной из важнейших проблем в этой
области Клеро считал теорию движения Луны и находил,
что наиболее существенно исследовать то неравенство, «ко-
торое получило у Ньютона наиболее темное развитие, имен-
но движение лунного перигея». Но после исследования этой
проблемы теми новыми методами, о которых мы будем го-
ворить ниже, Клеро к величайшему своему удивлению при-
шел к тем же самым результатам, о которых Ньютон сооб-
щает на страницах «Начал». Значит, теперь уже не могло
оставаться сомнений в том, что закон всемирного тяготения
недостаточен для объяснения движения лунного перигея.
Но, может быть, его не трудно исправить, но так, что-
бы не внести одновременно ухудшения в другие разделы
«Системы мира», в частности в теорию движения планет?
254
В своем ответе на этот вопрос Клеро встал на путь, пред-
указанный самим Ньютоном; он предложил принять выра-
жение для ускорения по закону притяжения в виде дву-
члена такого типа:
т . ат
F = — + —
или
F т . £т
Г ~~ ' Г3 •
Коэффициенты 0 или а можно подобрать, взяв их на-
столько малыми, чтобы на очень больших расстояниях (ка-
ковы расстояния планет от Солнца) вторые члены в F бы-
ли исчезающе малы; но при малых г, как, например, на
расстоянии Луны от Земли, их действие будет значительно
и приведет к вращению апсид, как доказал сам Ньютон 93.
Такой выход и предложил Клеро, настаивая на том, что он
установил окончательно недостаточность закона Ньютона
для объяснения движения лунного перигея.
В том же томе мемуаров Парижской академии за 1745 г.,
непосредственно за работой Клеро, помещено исследование
Даламбера. В нем, так же как и у Клеро, доказывается, что
под действием ньютонова притяжения период обраще-
ния лунного перигея был бы 18 лет, а не 9, как показывают
наблюдения, так что, по Даламберу, «Луна притягивается
к Земле еще другой, небольшой по величине силой, дей-
ствующей не по закону обратной пропорциональности
квадратам расстояний»; при этом Даламбер подчеркивает,
что он пришел к такому заключению, не зная о выводе Кле-
ро, так же как и Клеро не знал о его результате. Таким об-
разом, они оба, независимо друг от друга, установили не-
достаточность закона Ньютона в теории движения Луны м.
Очевидно, ньютонова небесная механика проходила в этот
момент] через серьезнейшее испытание; движение лунного
перигея являлось тогда, как говорит академик А. Н. Кры-
лов, «пробным камнем не только для теории Луны, но и для
теории тяготения вообще» 95.
Предложение Клеро о введении дополнительного члена
в формулу Ньютона вызвало возражение с той стороны, от-
куда его можно было меньше всего ожидать: Бюффон, член
Академии и знаменитый французский натуралист, высту-
пил в тех же мемуарах с «Соображениями о законе притя-
255
жения» 96. Здесь он доказывал, что «всякий физический за-
кон лишь потому является законом, что его выражение об-
ладает единственностью и простотой»; но если бы мы реши-
ли ввести добавочный член в формулу Ньютона, то ничто не
помешало бы включить впоследствии еще третий и четвер-
тый и т. д.,т. е. тем самым как бы уничтожить значение за-
кона притяжения, действующего обратно пропорционально
квадратам расстояний. «Нам предлагают,— говорит Бюф-
фон,— нечто произвольное, вместо того, чтобы воспроизво-
дить истину».
Таким образом, натуралист, отвергая предложения Кле-
ро, становился на точку зрения предустановленной просто-
ты физических законов — точку зрения, которую Лаплас
называл впоследствии метафизической 97. Клеро возражал
Бюффону 98, и возражал даже после того, как своими но-
выми исследованиями по теории Луны он довольно быстро
установил, что причина расхождения теории с наблюде-
ниями лежит не в законе тяготения, а в недостаточности
анализа, который он применял. Действительно, в самом
конце того же замечательного тома мемуаров за 1745 г.
помещено краткое «Извещение Клеро относительно мемуа-
ров, данных им в 1747 и 1748 гг. по поводу «Системы мира»,
построенной на начале притяжения». Оно было доложено
Парижской академии 17 мая 1749 г. 99 Здесь Клеро сооб-
щил, что, рассмотрев вопрос о движениии перигея «с такой
точки зрения, на которую не становился еще никто, он дос-
тиг достаточно точного согласования наблюденного движе-
ния лунного перигея с теорией притяжения». Мы изложим
несколько ниже, в чем состоял этот новый подход к про-
блеме у Клеро; здесь же заметим, что к такому же резуль-
тату вскоре пришел и Даламбер 10°.
Таким образом, французская наука весьма быстро раз-
решила затруднения с движением перигея Луны. Она раз-
веяла этим единственную тень, лежавшую до тех пор на не-
досягаемых вершинах ньютоновых «Начал», и вслед за
этим она стремительно пошла дальше в создании полной
системы небесной механики на единственной основе закона
всемирного притяжения. Так, Клеро дал классическое ис-
следование движения кометы 1682 г., тождественность ко-
торой с кометой 1607 г. установил еще Галлей 101. В заме-
чательных работах по теории кометных возмущений он
установил, что следующий оборот этой кометы будет про-
должаться не 75, а 77 лет, и назначил ее возвращение к
256
перигелию на апрель 1759 г. 102; и тогда, впервые за исто-
рию человечества, астрономы начинают «ожидать» комету.
Волнение, вызванное этим необычайным обстоятельством,
передается широким кругам парижан. И комета приходит,
к восторгу народа, во славу Ньютона и Клеро! Далее, Кле-
ро развивает теорию так называемого лунного неравенства
в долготе Солнца и показывает, что значение отношения мас-
сы Луны к массе Земли, данное Ньютоном, именно 1 : 39,8,
существенно больше действительного и не может превосхо-
дить 1 : 67 103.
В те же годы Даламбер дает первую строгую теорию пред-
варения равноденствий (1754); а через несколько десятиле-
тий пламень Дианы переходит к великим французским уче-
ным следующего поколения — к Лагранжу, Лапласу и
Пуассону. В теории спутников (в теории Луны и в теории
спутников Юпитера) Лаплас делает свои величайшие от-
крытия: он выясняет причину так называемого векового
ускорения Луны, именно члена типа 6/2 в лунной долготе.
Наличие такого члена (не имеющего аналога в теории дви-
жения планет) было поставлено вне сомнения еще Галлеем
из сопоставления «триоли» солнечных затмений, взятых из
наблюдений древних, у арабов, и от новых времен. Лаплас
разрешил эту проблему, показав, что вековое ускорение от-
нюдь не противоречит закону Ньютона 104, оно есть следст-
вие векового уменьшения эксцентриситета земной орбиты
и обнаруживается на движении Луны, потому что Луна, как
некоторый манометр, воспринимает и усиливает влияние
возмущений, развивающихся в Солнечной системе.
Наконец, в своей лунной теории 105 Лаплас вскрыл не-
которые неравенства в движении Луны, остававшиеся еще
неизвестными; особенно интересным оказалось парал-
лактическое неравенство, амплитуда которого позволяет оп-
ределить величину солнечного параллакса (о нем знал
Ньютон), и неравенство, возникающее от фигуры Земли, т. е.
из-за уклонения ее от строго сферической формы. Лаплас
установил этим, что астроном по наблюдениям Луны может,
как он говорил, «не выходя из своей обсерватории»10в,
определить и размеры Солнечной системы и сжатие Земли.
Это явилось великим триумфом человеческого разума, это
явилось еще одним торжеством закона тяготения.
От эпохи Лагранжа и Лапласа наука, которой Лаплас
дал многозначительное название «небесной механики» 107,
продолжает свое могучее развитие, оставаясь связанной
9 Н. И. Идельсон
257
какими-то особо прочными узами с великой французской
культурой. Ее главнейшими этапами в XIX в. и в начале
XX в. являются работы Пуассона по устойчивости Солнеч-
ной системы; еще один, во многих отношениях очень цен-
ный трактат Понтекулана по аналитической теории систе-
мы мира; грандиозные вычисления Леверье по теории пла-
нет, завершенные таблицами их движения; теория Луны,
данная Делоне после двадцатилетней и устрашающей, как
говорит Тиссеран, работы; замечательные трактаты Тис-
серана и Андуайе; и над всем этим творчество великого Ан-
ри Пуанкаре, который не только придал в своих «Methodes
nouvelles de la Mecanique Celeste» новый облик всей проб-
леме трех тел, но и развил до неожиданных глубин ряд
классических и казавшихся застывшими теорий. Ему при-
надлежат и весьма важные теоремы по теории движения
Луны 108. Здесь, разумеется, немыслимо изучать строение
этого огромного здания, возведенного на фундаменте столь
простой формулы Ньютона; и мы возвращаемся к одному
из его первых зодчих, навсегда связавшему свое имя с на-
шей Академией наук.
10. ПРЕМИЯ ПЕТЕРБУРГСКОЙ АКАДЕМИИ
На конкурс, объявленный Петербургской академией наук
в 1750 г., Клеро представил свои новые исследования по
теории Луны. Они были направлены в Петербург, по-види-
мому, к концу назначенного срока (1752 г.): Клеро опустил
многие выкладки и детали «за краткостью остающегося ему
времени», как он писал. Но самое существенное — его от-
крытие относительно движения лунного перигея, доложен-
ное, как мы знаем, Парижской академии 17 мая 1749 г.,—
вошло полностью в этот петербургский мемуар. Премия
была ему присуждена, и в летописях Академии немаловаж-
ным остается факт, что работа Клеро под названием: «Тео-
рия Луны, выведенная из единственного начала притяже-
ния, обратно пропорционального квадратам расстояний»,
была издана в Петербурге в 1752 г. 109
Теория Клеро имеет в наши дни, разумеется, лишь ис-
торический интерес; никто не станет вычислять теперь по-
ложение Луны по таблицам Клеро. Но его мысли глубоки
и ясны, и потому данный им первый отчетливый вывод дви-
жения лунного перигея на основе закона тяготения стоит
258
того, чтобы его изучать еще и сейчас, в особенности когда
этот’вывод помещен в работе, изданной Петербургской ака-
демией 190 лет тому назад.
Излагая основы теории Клеро, мы будем пренебрегать
наклонностью лунной орбиты к плоскости эклиптики и
допустим, что Земля движется по круговой орбите, так что,
обозначая через X' долготу Солнца, через г' его радиус-
вектор, будем иметь
г' = а'; X' = n't + Хо;
истинную, иными словами, возмущенную долготу Луны
обозначаем по-прежнему через X, а разность долгот Луны и
Солнца через -ф, так что
-ф = % — n't — %0. (59)
Выше были выведены выражения для проекций уско-
рения Луны на направление ее радиуса-вектора г и на пер-
пендикуляр к нему; вводя здесь для них обозначения S
и Т, находим по формулам (34) и (39):
о п2а3 , 1 ,з , 3 ,2 п.
S =-----;-д- п г + -Q- п г cos 2ф,
Т ~-----«'V sin 2ф. (60)
Величина п2а3, по определению, равна сумме масс Зем-
ли и Луны (стр. 238). Выражения для проекций ускорения
на оси полярных координат Луны, которыми в данном слу-
чае будут г и X, даются в курсах кинематики (любопытно,
что они принадлежат тому же Клеро и выведены им в свя-
зи с задачей трех тел ио); пользуясь ими, имеем:
= (61)
dt* \dt j ’ r dt \ dt j ' '
Пусть h — удвоенная секториальная скорость Луны
г’ f - Л, (62)
так что по второму уравнению (61)
~ = гт,
dt ’
9*
259
откуда
fa dh гзт d\
П dt Г 1 dt ’
и, следовательно, обозначая через произвольную постоян-
ную,
h2 = h} + 2$773dX. (63)
Для сокращения положим
Л2 = ^о(1 +2р),
так что
p = -L[Tr3dK.
h2 J
«о
Из формулы (62) имеем теперь
dt ___ г2
dh ho У1 -j~ 2р ’
(64)
(64')
(65)
и это есть первое уравнение теории Клеро, устанавливаю-
щее зависимость между временем и долготой Луны.
Второе уравнение этой теории найдем, преобразуя в
независимой переменной А, левую часть первого уравнения
(61); это преобразование не представляет труда и дает
&и , ~ <Sf2 + ТтИк
W “ ^(1 + 2р)
(66)
1
где по-прежнему и—у.
Выделим теперь в S по первому уравнению (60) его глав-
ный член — п2с?!г2 и положим
_ 1
' Р •
(67)
Заметим, что р в знаменателе формулы (66) есть величина
порядка возмущений; поэтому, отбрасывая в правой части
(66) величины порядка квадрата возмущающего действия,
можем написать:
сРи । 1 f« л \ । Т* dr /со\
__ + и__{1_2р)__+_Гж, (68)
260
где, согласно (60)
ф = -у- п'\" (1 + 3 cos 2ф), Т —----n'V sin 2ip. (68')
При отсутствии возмущений, т. е. при р — Ф — Т — 0,
интеграл уравнения (68) приводится к виду:
и =4- = y- + -yC°s(X-(o); (69)
он соответствует эллиптической орбите с параметром р,
эксцентриситетом е и долготой перигея со; для нее постоян-
ная площадей Ло = пр2 (1 — е,2)“3'2; следовательно, отбра-
сывая в правой части (68) все произведения е2 на члены,
происходящие от возмущающих ускорений Ф и Т, можем
положить
п'2 _ п'2 __ /и2
n2pi “ *
Наконец, для удобства введем еще безразмерную пере-
менную всегда близкую к единице, положив
'1 = 7 • (7°)
Тогда уравнение (68) по подстановке в него выражений
р (по 64'), Т и Ф по (68') приведется к окончательной форме:
^- + «=y(l+^F), (71)
где
F = 3 sin 2'4'dX — (1 + 3cos 2ip) — 4- ri sin 2ф .
J “ " UN
(72)
Таково с очень незначительными упрощениями то урав-
нение, которое Клеро интегрирует методом последователь-
ных приближений; но, чтобы приступить к этому, ему нуж-
но: 1) задаться «исходным приближением» для и 2) вы-
разить ф через X. Для этого приближения Клеро принимает
эллиптическое движение на вращающемся эллипсе и пола-
гает:
г = , , р . , (73)
1 + е cos nc v 7
261
где е — произвольная постоянная, играющая роль эксцен-
триситета в невозмущенном движении; она предполагается
малой, квадрат ее отбрасывается; с — подлежащая опреде-
лению постоянная, характеризующая, как мы знаем, дви-
жение перигея.
Таким образом, в исходном приближении
Ti = 1 — е cos Хс. (73')
Далее угол ф определяется по (59); но выразить его
через X не так просто, ибо в него явно входит время /,
а зависимость t от X может быть установлена ввиду (65) толь-
ко после того, как г будет выражен через X, т. е. когда бу-
дет проинтегрировано основное уравнение (71); из этого
затруднения (неизбежно возникающего во всех лунных
теориях, применяющих независимую переменную, отлич-
ную от Z) Клеро выходит, упрощая формулу (64) и допуская,
что в «исходном приближении»
тогда, учитывая (73'),
dt = (1 — 2е cos сХ) dX,
откуда
, X 2е . . . ,
t =--------sincX 4- tQ,
п сп 1 °’
так что
n't = пгК — sincX 4- п70,
и, следовательно, по (59)
ф = (1 — /и)Х + sincX. (75)
Произвольную постоянную Клеро полагает здесь равной
нулю; таким образом, переменная ф обращается в нуль
вместе с X.
С помощью (75) подготовляются выражения sin 2ф и
cos 2ф, входящие в функцию F; сохраняя в их разложениях
только члены порядка ет и обозначая через k известную
262
наперед постоянную
k == I — tn = 0,925199,
получаем
sin2ty = sin26X + [sin (26 4- c)X — sin (26 — c)X],
2em (76)
cos 2ip = cos 2kk-\—[cos (26 + c) X — cos (26 — с) X j.
Теперь, действительно, уже нет препятствий к получе-
нию исходного приближения для функции F-, пользуясь
выражениями (73') и (76), находим
F — Е cos ск + A cos 26Х + В cos (26 — с) X +
+ С cos (26 + с) X 4- Р. (77)
Такое разложение F в ряд косинусов, заключающих ос-
новной член с аргументом сХ и ряд «комбинационных» чле-
нов с аргументами 26Х; (26 — с) X; (26 + с) X, представляет
собой весьма важную часть методы Клеро; коэффициенты
разложения Е, А, В, С составляются определенным обра-
зом из всех трех введенных постоянных: заданной наперед
6, произвольной е и подлежащей определению с; мы прцве.
дем здесь только значения Е и Р, которые, как оказывается,
таковы:
Q 1
f = ув; Р = у. (78)
При этих условиях и ввиду (77) и (78) уравнение (71) мо-
жет быть написано в виде:
сРи . 1 Г. т2 . Зет2 - . Л , ,
—— 4- и — — 1-----я- 4—я— cos сХ 4- Am? cos 26Х 4-
иКг р L ~ "
4- Вт? cos (26 — с) X 4- Cm? cos (26 4- с) Х^ . (79)
Если же ввести теперь вместо р его новое значение, изме-
нившееся за счет возмущений, положив
1 __ 1 / 1 т2 \
~рг~~р\ — ~t) ’
и отбросить в (79) члены порядка т*, то уравнение для и при-
263
ведется к окончательной форме: I
+ и = — Г1 + cos сХ 4- Am2 cos 2ХХ 4- ,
аМ1 Pi L.
+ Вт2 cos (2k — с) X + Cm2 cos (2k + c) %] . (81) I
В связи с этим уравнением Клеро делает важное заме-
чание: если бы для исходного приближения было взято эл-
липтическое движение с неподвижным перигеем, типа (69), |
то при соответствующих подстановках в правую часть (81) 1
вошел бы член вида G cos X; но он был бы для этого урав-
нения, как мы теперь говорим, «резонансным», так что в I
его интеграле и независимая переменная К вышла бы за знак !
косинуса; в таком решении обратная величина радиуса- |
вектора возрастала бы неопределенно, что невозможно.
Поэтому выбор исходного приближения в виде эллиптиче- 1
ского движения с подвижным перигеем, типа (73), не только |
соответствует данным астрономии, но и имеет глубокое ме- I
ханическое значение, впервые учтенное Клеро.
Теперь остается произвести интегрирование уравнения
(81); Клеро выполняет его несколько особенным образом;
в конечном счете он ищет только вынужденное колебание
для переменной и, не требующее новых произвольных по-
стоянных; при этом условии получается, как хорошо из-
вестно,
Р1« = = 1 - cos ck - cos 2feX - (82) ?
—’ (2k — с)2 — 1 C0S ~ с) ~ (2k 4- с)2 — 1 C0S
Сосредоточим наше внимание на втором члене; в исход-
ном приближении он был взят в виде е cos сХ; если мы по-
пробуем теперь, чтобы после интегрирования уравнения (81), 1
т. е. после введения возмущзний, этот член сохранил бы
ту самую форму, которую он имел до их учета, т. е. |
чтобы его коэффициент равнялся е, то придем к условию I
л _ Зет2
е~~~ 2(с2—1) •
Произвольная постоянная е здесь сокращается, и мы
получаем:
С2 = 1
264
откуда
с = 1 —^-т2.
4
Таким образом, движение перигея определено, и, надо
сказать, оно выведено чрезвычайно изящным методом.
Но, к изумлению, здесь оказывается, что полученное
значение равно как раз тому самому, которое было найдено
Ньютоном и которое, как мы знаем, вдвое меньше истин-
ного; это и был тот результат, к которому пришел Клеро
в работе 1747 г. и который привел его к убеждению, что
закон Ньютона недостаточен для объяснения движения лун-
ного перигея и требует исправлений или дополнений, как
мы о том говорили выше.
Так или иначе, постоянная с теперь определена, хотя бы
и с грубой точностью. Таким образом, становятся извест-
ными зависящие от нее коэффициенты Л, В, Св формуле
(82). Если провести их вычисление до конца, сохраняя
лишь обусловленную точность, то найдем:
-у- = 1 4- е cos ск + /и2 cos 2feX + те cos (2k — с) X —-
— т?е cos (2 k + с) X, (84)
где
k = 1 — /и; с = 1 — ~ т\
4
Более совершенные теории обнаружили впоследствии,
что коэффициенты при третьем и четвертом членах в (84)
точны в пределах второго порядка малости (величины е
и т считаются обе одинакового, именно первого, порядка).
Оставляя в стороне последний член в (84), имеющий
очень малый коэффициент третьего порядка, выясним зна-
чение неравенств, соответствующих аргументам сХ, 2йХ,
(2/г — с Для этого допустим на минуту, что X изменяет-
ся пропорционально времени с угловой скоростью п. Тог-
да аргумент сХ равен ent = /, где I — средняя аномалия
Луны (см. прим. 7). Таким образом, член с coscX дает главное
эллиптическое неравенство в обратной величине радиуса-
вектора Луны (иными словами, в ее параллаксе). Далее,
аргумент 2&Х перешел бы в 2(1 — т) nt = 2 (п — п') t =
= 2D, т. е. он равнялся бы удвоенной средней элонгации
265
Луны от Солнца, иными словами, он превратился бы в ар-
гумент вариации. Таким образом, член с cos 2kk соответ-
ствует вариации в параллаксе. Наконец, аргумент (2k —
— с ) X превратился бы в (2£ — с) nt = 2D — I, т. е., сог-
ласно сказанному на стр. 213, это был бы аргумент эвек-
ции. Следовательно, член с cos (2k — с) К дает эвекцию в лун-
ном параллаксе.
Из сказанного видно, что теория Клеро была первой,
обнаружившей возможность одновременного вывода ос-
новных неравенств лунного движения в разложении 1/г
на единственной основе закона всемирного тяготения. Та-
кой же результат получил Клеро, исходя из уравнения (65),
и для долготы Луны: его таблицы включают для нее уже
20 неравенств. Но на этих сторонах его теории мы останав-
ливаться не будем.
Как же обстоит, однако, вопрос с движением перигея?
В чем различие между теориями Клеро от 1747 и 1749 гг.?
«Немного размышлений над предосторожностями, необхо-
димыми в таких вычислениях,— говорит он,— покажет,
что нельзя рассчитывать на точность предыдущего решения
в отношении этого элемента лунной теории, и обнаружит,
что его очень легко исправить последующими операциями»111.
Действительно, сущность этих операций напрашивается
сама собой. При образовании «исходного приближения»
для функции F — см. формулу (72) — было принято такое
выражение для rt:
П = 1 — a cos сХ;
в результате интегрирования для г( получены дополни-
тельные члены разложения; из них мы удержим здесь толь-
ко вариацию и эвекцию и напишем соответственно (84):
= 1 — е cos сХ — р cos 2k’K — у cos (2/г — с) X, (85)
где Р = m2 — 0,00560; р = —= 0,00770, принимая,
по наблюдениям, е = 0,0549.
Но чтобы исчерпать возможности первого приближения,
мы должны подставить теперь в выражение для функции F
новое выражение по (85) и выяснить, как изменятся коэф-
фициенты Е, А, В, С. При этом здесь опять наибольший ин-
терес представит для нас коэффициент £; к тому же совер-
шенно ясно, что если мы возьмем из (85) хотя бы наиболее
сильное неравенство — эвекцию — и будем вводить ее в
266
(72), то от произведений типа cos (2k — с) A.-cos 26А, и им
подобных произойдут члены с аргументом (4k — с)А, ко-
торые нас не интересуют, и члены с аргументом ск, которые
для нас очень важны, так как они существенно изменят
как раз коэффициент при cos ск, т. е. Е. Действительно,
произведя такую подстановку и отбрасывая все члены по-
рядка уе или ут, мы найдем для последовательных членов
функции F в выражении (72) следующие «приращения»,
как их называет Клеро:
/с , л । 9 3 \ *15 . 225 ,
I бу + 0+ -j- у—t)cosca = -^-усскск— те cos ск.
225
Таким образом, коэффициент Е изменяется на те, так
что его полное значение, ввиду (78), должно быть принято
равным:
« 3 225 /о£*\
Е± ~ ~2 е -] те. (86)
Следовательно, соответствующий член в разложении
(82) теперь будет:
и если мы снова потребуем, чтобы это неравенство в возму-
щенном движении имело ту же форму, что и в исходном
приближении, т. е. чтобы его коэффициент равнялся е,
то это приведет к условию
— -z- т?е----тд- т3е = в (с2 ~ 1).
Z 10
Произвольная постоянная здесь опять выпадает, как и в
(83), и мы получаем:
а 1 3 „ 225 ,
с2 = 1 — -т;- т2--тд- tn3,
2 16 ’
откуда
с = 1 — | т2 — -§ т3, (87)
или, переходя к числам,
1 — с= 0,04196 + 0,02943 = 0,07139.
Это значение уже существенно ближе к «наблюденному»
0,08452, чем первое приближение Ньютона.
267
Более совершенными лунными теориями было подтвер-
ждено, что оба члена в выражении (87) правильны. Впро-
чем, сам Клеро вовсе не приводит буквенных выражений
для коэффициентов А, В, С, р, у и постоянной с, а сразу
дает их значения в числах.
Итак, резюмируя, Клеро разъяснил загадку с движе-
нием лунного перигея тем, что, интегрируя уравнение (81),
он ищет то вынужденное колебание переменной и, которое
при отсутствии возмущений, т. е. при т = 0, с = 1, пере-
ходит в свободное (ср. выражения (84) и (69)). Период
этого колебания, найденный в первом приближении, Клеро
исправляет, учитывая влияние одного из вынужденных ко-
лебаний, полученных при интегрировании уравнения (81)
в этом же приближении, в данном случае эвекции. С точки
зрения специальных проблем небесной механики Клеро
положил этим начало к определению последовательных
членов знаменитого ряда 112 для 1 — с. В этом вопросе,
как и во многих других, он оказался одним из основопо-
ложников небесной механики, и премия, присужденная
ему в Петербурге в 1752 г., оправдала себя во всей ее ис-
торической полноте.
11. ТЕОРИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ
Излагая результаты своей лунной теории, Лаплас в
VII книге «Небесной механики» писал: «Из них бесспорно
следует, что закон всемирного тяготения есть единствен-
ная причина неравенств движения Луны; и если учесть их
значительное число и величину, а также близость этого
спутника к Земле, то станет очевидным, что именно Луна
среди всех небесных тел является наиболее подходящим
для того, чтобы утвердить этот великий закон при-
роды» 113.
Оправдалась ли эта уверенность Лапласа за истекшие
полтораста лет? За это время лунные теории достигли та-
кой степени законченности и совершенства, о которых в его
эпоху едва ли было можно мечтать. Во второй половине
XIX в. и в первое десятилетие XX в. Ганзен, Делоне и
Броун, работая по совершенно различным направлениям,
ценою грандиозного и вызывающего изумление труда ис-
черпали не только теорию солнечных возмущений в дви-
жении Луны, но и значительно более сложную теорию
268
«планетных неравенств», возникающих в движении нашего
спутника под действием притяжения больших планет Сол-
нечной системы 114, так что в настоящее время, по общему
убеждению астрономов, на теории и на таблицах Эрнеста
Броуна гравитационная теория движения Луны может
считаться законченной. Хотя в свое время Эйлер, как мы
видели, не мог отрешиться от убеждения, что она «превос-
ходит силы человеческого ума», мы вправе смотреть теперь
на нее как на этап, уже окончательно пройденный наукой
на очень сложном и трудном пути.
И теперь снова перед нами встает все тот же вопрос, с
которого мы начали нашу статью и который был поставлен
еще тогда, когда развитие ньютоновой теории только на-
чинало намечаться в трудах Эйлера, Даламбера и Клеро.
Итак, совпадает ли наблюдаемое движение Луны с тем, ко-
торое дается теорией, основанной исключительно на за-
коне всемирного тяготения?
На этот вопрос современная астрономия во всяком слу-
чае не может дать утвердительный ответ: в наблюденном
движении Луны обнаруживаются отклонения от теории,
и, как теперь твердо установлено, эти отклонения являются
окончательными. Рассчитывать на то, что их удастся унич-
тожить путем усовершенствования теории и таблиц, уже
нельзя.
«Если в прошлом,— говорит Броун,— было затраче-
но много усилий на то, чтобы представить движение Луны
с помощью одной гравитационной теории, то теперь при-
знается, что это не может быть достигнуто полностью. Ког-
да мы пытаемся представить древние и современные наблю-
дения с одной и той же совокупностью постоянных, то ока-
зывается, что при любых способах уравниванья остается
некоторое расхождение с теорией. То же самое имеет место
и, в отношении современных наблюдений. Здесь обнаружи-
ваются знакопеременные разности, которые не соответству-
ют никакому гравитационному теоретическому неравенству
и которые достаточно велики для того, чтобы исключить
возможность объяснения их ошибками в теории или в на-
блюдениях» 115.
Ньюкомб, один из крупнейших теоретиков минувшего
столетия, высказывался в этом вопросе с еще большим песси-
мизмом: «Мы не можем предвычислять долготу Луны, и нам
придется вносить в нее поправки по наблюдениям через
каждые 10 или 20 лет»11в.
269
И это удивительное положение вещей нашло себе как бы
окончательное признание в следующем факте: в Таблицах
Броуна включено 751 неравенство лунной долготы. Начиная
от эвекции с амплитудой в 1° 16' 25",426, здесь учтены все
солнечные и планетные неравенства, если только их ампли-
туды превосходят 0",001; но среди них мы находим одно
(за № 1374), с довольно значительной амплитудой в 10",71
и периодом в 260 лет, которому дается название «Большого
эмпирического» (Great Empirical Term); оно введено в
таблицы только с тем, чтобы удовлетворить наблюдениям
за время с 1750 по 1900 г. 117; и надо признать, что появле-
ние его среди огромного количества гравитационных не-
равенств несколько странно действует на астронома, если
тблько в памяти его живы заветы Лапласа и Клеро. В какой-
то мере, хотя бы и в миниатюрном масштабе, оно возвра-
щает нас к эмпирическим лунным теориям Гиппарха и
Птолемея. К тому же «большое эмпирическое неравенство»
еще не спасает положения вещей. Мы уже знаем, что Таб-
лицы Броуна не воспроизводят движения Луны во всей
точности; так, для предвычисления ближайших солнечных
затмений астрономические ежегодники вводят поправку
долготы Луны, доходящую теперь (1942 г.) до 3".
Вопрос о сопоставлении гравитационной лунной тео-
рии с наблюдениями представляет особенный интерес,
когда имеется в виду охватить материал за всю дошедшую
до нас историю астрономической культуры. В «Альмагесте»
Птолемея сохранились данные о наблюдении лунных зат-
мений в Вавилоне, на острове Родос и в Александрии от
720 г. до н. э. до 140 г. н. э. У древних авторов имеются
более или менее правдоподобные описания нескольких
солнечных затмений; и уже Галлей в XVII в. знал, что все
эти наблюдения нельзя согласовать с средневековыми и с
современными ему, не введя в долготу Луны квадратичного
члена о/2. Определение о, начатое Лапласом, было закон-
чено только Адамсом и Делоне; его теоретическая величина,
считая время t в столетиях, равна 6". Между тем, для полу-
чения согласия с древними наблюдениями для него тре-
буется ровно вдвое большее значение, именно о = 12".
За 25 столетий разность теоретического и эмпирического
квадратичных членов составит больше 1°; но Луна прохо-
дит 1° в 1 час 40мин.; за это время полоса фазы солнечного
затмения уходит на сотни километров; отсюда ясно, что
разница оказывается весьма существенной. Напротив, ког-
270
да речь идет о представлении точных наблюдений за два
минувших столетия, эта разность не превзойдет 24" и имеет
гораздо меньшее значение; но зато здесь возникает другое
затруднение.
Уже Лаплас заметил, что среднее движение Луны, оп-
ределенное по сравнению теории с наблюдениями до эпохи
1750 г., оказывалось большим того, которое определялось
из позднейших наблюдений; но если бы весь вопрос сво-
дился к вековому ускорению, получалось бы как раз на-
оборот 118; поэтому Лаплас приходил к выводу о наличии
в долготе «одного или нескольких неравенств долгого пе-
риода, которые могут быть раскрыты только теорией»; и
действительно, мы знаем теперь, что имеется одно, но и
только одно значительное неравенство такого типа — это
знаменитое «большое неравенство от Венеры» (Great Venus
Term) с теоретически определенными амплитудой в 14",3
и периодом в 273 года. Появление его в теории быстро дви-
жущейся Луны является одним из самых удивительных фак-
тов в небесной механике 119. Однако оказывается, что пос-
ле введения этого неравенства в таблицы остаются необъяс-
нимые уклонения от наблюдений, почти такой же величи-
ны и такого же периода. Ими и объясняется появление
«большого эмпирического неравенства», не могущего най-
ти никакого оправдания в гравитационной теории. И на-
конец, над этим большим колебанием вырисовываются до-
статочно ясно флуктуации с меньшими амплитудами, по-
рядка 5—4", с периодами в 60 и 70 лет.
В чем же причина этих странных явлений? Ее искали
безуспешно в сжатии Солнца (ускользающем пока от не-
посредственных наблюдений), в магнитных силах, действую-
щих между Землей и Луной; так просто объяснить их нель-
зя; не помогла здесь нисколько и теория относительности.
Но астроном борется за великий закон Ньютона, и он го-
тов скорее признать эти несомненные уклонения нереаль-
ными, чем окончательно порвать с классической теорией,
раскрытой на страницах ньютоновых «Начал». Такой выход
наметился еще в середине минувшего столетия, когда Де-
лоне предложил усматривать в особенностях лунного дви-
жения лишь отображение особенностей вращения Земли,
дающего нам единицу счета времени, в котором мы познаем
и изучаем движение Луны 12°.
Совершенно естественно, что всякое ускорение движе-
ния Луны может явиться лишь кажущимся, будучи отра-
271
жением замедления вращения Земли, следовательно, удли-
нения наших «суток» и потому запаздывания астрономиче-
ского времени по отношению к тому «абсолютному времени»,
которое постулировал Ньютон 121. Но этот вопрос приоб-
ретает очень большую сложность, если мы учтем, что за-
медление (или ускорение) вращения Земли должно отоб-
ражаться также и на наблюдаемых движениях планет,
по крайней мере ближайших к Земле и обладающих наи-
большей скоростью, именно Меркурия и Венеры. Произве-
денные в данном направлении очень тщательные исследова-
ния не привели, однако, как кажется, к окончательному
решению этих тонких и сложных проблем 122; вопрос же о
возможных причинах изменения скорости вращения Земли
переходит от астронома к геофизику и требует развития
соображений, в которые мы не можем здесь входить 128.
Но в этих сложных условиях астрономы, вооруженные тем
«трудолюбием и любовью к истине», о которых когда-то
говорил Птолемей, имеют перед собой одну важнейшую
задачу: продолжать и умножать ряды наблюдений Луны и
их методическую обработку, пока собранный материал не
будет достаточно обширен и точен для того, чтобы позво-
лить решить последние загадки в той проблеме, на
изучении которой человеческая мысль, озаренная гением
Ньютона, прошла уже столь длинный и славный путь.
О МЕХАНИКЕ ЛАГРАНЖА *
Представить в юбилейном сборнике, появляющемся в па-
мять двухсотлетия со дня рождения Лагранжа, все основные
моменты его творчества по механике, было бы, очевидно,
работой, непосильной для одного докладчика; но наша за-
дача существенно облегчается тем, что в замечательном
докладе академика А. Н. Крылова мы услышали не только
очерк жизни и деятельности великого математика, но и яр-
кий анализ I тома его magnum opus, его «Аналитической
механики»; далее, специальная работа проф. Л. С. Полака
знакомит нас с вариационными принципами, столь сущест-
венными в построении этого изумительного творения. Но
глубина и богатство лагранжевых идей в механике действи-
тельно неизмеримы; они допускают разнообразный подход
и освещение. Мы уже слышали, например, что он облек
всю механику в одну единственную формулу: это одно нас
изумляет! Неужели природа механической действительно-
сти так проста, что позволила — даже Лагранжу — объять
себя в единой формуле?
Как бы то ни было, мы не можем сейчас отдать лучшей
дани его гению, чем подойти ближе к сути дела и написать
именно эту формулу в том виде, в котором она фигурирует
у Лагранжа. В ее первичной концепции она имеет в виду
движение системы п материальных точек, при наличии т
связей; декартовы координаты точек назовем: х1г х2, х3,...
..., xsn; предполагая связи двусторонними, голономными и
стационарными, имеем их уравнения в виде:
Ф1 (*i, ^2,..., xsn) = 0; <р2 (хг) = 0; <р,п (хг) — 0,
и тогда «единое уравнение Лагранжа», в современных обоз-
начениях, будет х:
3/1
2 -Ь ^16ф1 + Хабфг 4“ • • • 4“ ^тбф/и == 0.
Z=1
(О
* Из книги: «Жозеф Луи Лагранж». Сборник статей к 200-летию со
дня рождения. Изд-во АН СССР. М.— Л., 1937.
273
Здесь Xi — проекции активно приложенных сил; xz- —
проекции актуальных ускорений, которые получают точки
системы под действием заданных сил и при наличии свя-
зей; — их виртуальные перемещения; наконец, —
множители, перенесенные Лагранжем в динамику из соз-
данной им же методы решения задач на относительные
maxima и minima функций нескольких переменных. Раз-
вивая вариации 6cpfe в уравнении (1) и применяя классиче-
ское рассуждение относительно вариаций координат зави-
симых и независимых, приходим к системе Зп уравнений
Лагранжа первого рода:
т а
tn-xi = Xi + 2 h > (2)
k=l 1
в которых лагранжевы множители получают уже смысл
механических величин, пропорциональных тем силам реак-
ций связей, которые появляются здесь как механический
эквивалент ограничений, наложенных на движения точек
системы геометрическими условиями связей. Как хорошо
известно, эти уравнения равносильны началам Даламбера
и Гамильтона; они содержат в себе основу и сущность ме-
ханики системы материальных точек — этих ужасающих
абстракций, из которых каждая может занимать ровно
столько же места в пространстве, сколько его занимает
тройка чисел х, у, z.
Но вот теперь, вслед за Лагранжем, от системы дискрет-
ных материальных точек мы делаем большой и ответствен-
ный шаг в приближении к реальной природе. Мы минуем
даже твердое тело и обращаемся сразу к материальной сис-
теме с совершенно конкретными физико-математическими
свойствами. Возьмем, например, нерастяжимую гибкую
нить, закрепленную на ее концах. Пусть на каждый эле-
мент ds этой системы действует внешняя сила Г; при обыч-
ном изложении вопроса теперь говорят, что в каждом эле-
менте нити возникают силы натяжения и что совокупность
этих натяжений вместе с приложенными внешними силами
и силами инерции приводится к равновесию на каждом
элементе нити. Но как подходит к этому вопросу Лагранж?
Для него все дело обстоит несколько иначе; единственной
механической основой является все то же уравнение (1);
но только здесь геометрическая природа связи должна
соответствовать условию нерастяжимости; именно, если ds
274
есть длина элемента, то при всех возможных его перемеще-
ниях будет:
8ds = 0.
Обозначим через / длину нити; через р — ее линейную плот-
ность; через X, Y, Z — проекции внешней силы, рассчи-
танной на единицу длины; тогда уравнение (1), применен-
ное ко всем элементам нити, дает:
i i
[(X — х) 8х + (Y — у) 8у + (Z — z) 6z] pds 4 § \8ds = 0.
о о
(3)
Вариация 8ds во втором интеграле заменяет здесь вари-
ацию бфй в уравнении (1); но из формулы для квадрата
элемента дуги следует:
8ds = &dx + 6dz,
ds 1 ds 1 ds
так что
/ i
htts = + X +k ^-bdz.
j J ds 1 ds J 1 ds
о о
Переставляя здесь операции б и d, интегрируя по час-
тям и замечая, что в отынтегрированной части вариации на
концах, по условию, исчезают, находим:
Подставляя это в уравнение (3) и замечая, что теперь бх,
8у, 6г имеют значение свободных вариаций, получаем, при-
равнивая нулю коэффициенты при этих вариациях под ин-
тегралом:
р ds \ ds
'Л__ у____£ 1 dy
У р ds \ ds
~ 1 d К dz
z = 2 —— — Х-т-
(4)
275
Эти уравнения и представляют собой уравнения движе-
ния гибкой, нерастяжимой, закрепленной на концах нити;
по размерности формул мы видим, что лагранжев множи-
тель X получает здесь механическое значение силы, действу-
ющеи на элемент массы нити; % и т. д. суть проекции ее
на направление касательной к нити. Но что это за сила?
Вот что отвечает Лагранж: «Так как K8ds может предста-
вить собой момент силы X [т. е. мы бы сказали теперь —
виртуальную работу силы %], стремящейся уменьшить дли-
ну элемента ds, то член [k8ds в общем уравнении равнове-
сия нити (3) представит собой сумму моментов [виртуаль-
ных работ] всех сил X, которые можно предположить дей-
ствующими на все элементы нити; действительно, каждый
ее элемент, в силу его нерастяжимости, оказывает сопротив-
ление действию внешних сил, и это сопротивление рас-
сматривают обычно под видом активной силы, которую на-
зывают натяжением. Таким образом, величиной К выражает-
ся натяжение нити» 2.
Такова основная лагранжева концепция данной ме-
ханической задачи; она обнаруживает нам воочию, что об-
щее уравнение механики (1), переброшенное от системы ма-
териальных точек непосредственно на сплошные системы,
является достаточным для составления уравнений движения,
если только надлежащим образом учесть геометрические
связи системы. Мы не знаем ничего, кроме заданных внеш-
них сил и условий связи; нам незачем, я бы сказал, входить
внутрь системы, брать ее под микроскоп; чуждыми и дале-
кими остаются все понятия, связанные с действием частич-
ных сил.
Чрезвычайно важно отметить, что на такого же рода
схемах Лагранж построил и всю гидромеханику; если ог-
раничиться случаем идеальной, несжимаемой жидкости,
то уже из сказанного ясно, как надо подходить к подобной
системе. Пусть X, Y, Z — проекции внешней силы, дей-
ствующей на единицу массы; р — плотность, dx — элемент
объема жидкости; условие несжимаемости накладывает на
виртуальные перемещения частиц внутри жидкой массы
единственное условие:
8dx = 0.
Далее, пусть Р есть вектор сил внешнего давления,
276
приложенного к поверхности жидкости (на единицу площа-
ди); элементарная работа этого вектора на элементе поверх-
ности do, при виртуальном перемещении 8s, ввиду условия
идеальности жидкости, определяется выражением:
Pda-cos (п, 8s) 8s,
где п — направление внутренней нормали к поверхности.
При этих условиях основное уравнение (1) приводится
к виду 3:
[(X — х) 8х + (Y — у) 8у + (Z — z) 8z] pdx 4-
+ ( Р cos (п, 8s) 8sds + K8dx — 0, (5)
s т
где средний интеграл распространен по поверхности, оба
крайних — по всему объему жидкости.
Но, как показывает Лагранж:
8dx ^(^L + ^L + ^L\dx.
\ дх 1 ду 1 дг /
Далее, применяя формулу Гаусса, находим:
С д - \-^8xdx =
J дх J дх 1 дх
т т т
— — ?A.cos(n, 8x)8xds — y.~8xdx.
S т
После этих преобразований уравнение (5) приводится
к виду:
+ (z — z — — -^-)бг1йт4-^(Р—%)6s-cos(n, 6s)do=0,
\ Р / J (6)
откуда, ввиду произвольности 8х, 8у, 8z внутри жидкости
277
и 6s в точках поверхности, предполагаемой свободной, по-
лучаем уравнения:
х = Х--
_ 07.
р дх
v Р ду
7 1 дК
Z = Z---------ТГ-
р dz
Р— К (на поверхности)
(7)
С первого взгляда на эти уравнения мы убеждаемся в том,
что лагранжев множитель % есть не что иное, как то самое
гидростатическое давление р, с определения и выяснения
свойств которого начинается обычное изложение начал
гидромеханики. В точках поверхности значение этого мно-
жителя равно внешнему давлению; если это давление равно
нулю, то уравнение X =0 определит форму поверхности; ес-
ли же жидкость частично ограничена стенками, то на поверх-
ностях касания, очевидно, будет 6s-cos (n, 6s) = 0, и пото-
му мы снова получаем Р = К,т. е. X есть давление жидкости
на стенки сосуда, уравновешиваемое их сопротивлением.
Это механическое значение множителя X Лагранж поясняет
следующими словами: «Так как $X6dr есть виртуальная
работа сил X, стремящихся уменьшить значение функции
Ф [т. е. левой части уравнения связи ф = 0], и поскольку
здесь полагаем 6ф = ddxdydz, то можно сказать, что сила
X стремится сжать каждую частицу dxdydz жидкости; сле-
довательно, эта сила есть не что иное, как давление, которо-
му частица равномерно подвергается со всех сторон и кото-
рому она сопротивляется своей несжимаемостью» 4.
Таким образом, и здесь, как в случае нерастяжимой ни-
ти, нам не пришлось входить во внутрь изучаемой системы,
не было необходимости проводить внутренние сечения и
изучать действующие на них поверхностные силы, не при-
шлось пользоваться принципами отвердевания или усиления
реакций связей — единая формула (1) и здесь сделала свое
дело: она как бы автоматически привела нас к уравнениям
движения систем, а множитель X, как некий Протей, приоб-
ретал в ней каждый раз особенное механическое значение.
Оба примера, рассмотренные нами, поясняют характер-
ную особенность лагранжевой механики; но число их мож-
но было бы умножить и показать, что его система дает кон-
278
секвентное и законченное построение всей механики, вплоть
до упругого тела. Это построение в его целом характери-
зуется тем, что в нем совершенно игнорируются молекуляр-
ные силы; оно исходит из понятия среды сплошной, в мате-
матическом смысле этого слова, и только косвенным обра-
зом подходит к напряжениям, действующим в этой среде,
решая всегда тождественную вариационную задачу свя-
занного типа.
Как бы мы ни отнеслись к этому методу, как бы мы его
ни назвали — формальным или феноменологическим,—
никто и никогда не откажет в признании величественности
всего этого построения. Оно характеризует и исключитель-
ную силу обобщения, присущую гению Лагранжа. Под-
чинить обширный класс явлений одной единственной фор-
муле было для него, по-видимому, основной задачей всякого
научного мышления. Так, заканчивая один замечательный
мемуар по геометрической оптике 5, Лагранж говорит про
доказанную им здесь весьма общую формулу, что ее зна-
чение такое же, как значение начала возможных перемеще-
ний, т. е. все той же формулы (1) в механике; очевидно, это
служило для него высшим мерилом успеха в решении дан-
ной проблемы.
Но, разумеется, было бы совершенно неправильно, если
бы мы не упомянули здесь, что наряду с лагранжевой трак-
товкой сплошной среды не были сделаны попытки иного
рода к овладению ее движением. История механики знает
одну из таких попыток, связанную с именами Лапласа и
Пуассона. Быть может, Пуассон яснее других выразил эту
точку зрения. «Желательно,— говорит он,— чтобы гео-
метры пересмотрели основные вопросы механики с физичес-
кой точки зрения. Для того чтобы раскрыть законы движе-
ния и равновесия, их нужно было рассматривать с чисто
отвлеченной точки зрения; и в направлении этих абстракций
Лагранж пошел настолько далеко, насколько это можно
себе представить, когда он заменил физические связи вну-
три тел уравнениями, связывающими координаты отдель-
ных их точек; в этом и состоит сущность его аналитической
механики. Но наряду с этой замечательной концепцией
можно было бы воздвигнуть теперь физическую механику,
принцип которой состоял бы в сведении всех явлений к мо-
лекулярным действиям, которые передают от точки к точке
действие заданных сил и являются посредниками в их рав-
новесии. Так, например, в проблеме равновесия изгибаемых
279
тел напряжение, которое вводится при решении этой за-
дачи, было бы непосредственным результатом взаимодейст-
вия молекул, сколь угодно мало отклоненных от их естест-
венного положения; и точно так же действие, оказываемое
жидкими телами внутри их массы и на поверхности сосуда,
оказалось бы результирующим действием молекул жидкости
на подвергаемые давлению поверхности или, лучше ска-
зать, на чрезвычайно тонкий жидкий слой, находящийся
в соприкасании с каждой поверхностью» ®.
Такова точка зрения Пуассона; она исходит в основе
от его великого учителя Лапласа. Разве для нас, например,
не удивительно, что в «Небесной механике» Лапласа, в этом
величайшем памятнике, созданном в развитие «Начал»
Ньютона, мы находим целую главу под названием «О капил-
лярном действии»; мы изумляемся этому, так как на пер-
вый взгляд не видим связи между задачами ньютоновой
механики, примененной к системе свободных точек, и за-
дачей о равновесии жидкостей в капиллярах. Но для Лап-
ласа это была одна и та же проблема; природа не знает ни-
каких сил, кроме сил центральных, именно сил взаимного
притяжения между молекулами, которые надлежит мыслить
свободными; но только эти силы, в отличие от ньютонова
притяжения, делаются исчезающе малыми, когда расстоя-
ния между молекулами принимают сколько-нибудь замет-
ную величину. Таким образом, математическая физика дол-
жна строиться по образцу небесной механики, и обе эти
науки вместе должны дать нам исчерпывающее обоснование
динамики макрокосма и микрокосма; такова была первая
программа математической физики, похожая на породив-
шую ее небесную механику Ньютона.
Мы видим, насколько все эти построения, рисующие в
дали вещей картину молекулярной механики, в корне
чужды принципам механики Лагранжа. В своем подходе
к природе Лагранж никогда не набрасывал широких и за-
манчивых программ, а брал все до него сделанное от самых
истоков (вспомним его знаменитые исторические проле-
гомены к каждому из разделов аналитической механики)
и приводил их к форме непревзойденной уже затем матема-
тической полноты и совершенства.
Было бы чрезвычайно интересно проследить здесь даль-
нейшее развитие и, если так можно выразиться, борьбу этих
двух механических мировоззрений на самой интересной аре-
не их столкновения, именно на упомянутой уже теории ка-
280
пиллярных явлений. Знаменитый мемуар Гаусса допол-
нивший и во многом изменивший первичную теорию Лап-
ласа, стоит формально на почве молекулярных притяжений,
но вся задача проводится и решается, как говорит Гаусс,
«исходя из самых высших принципов механики, именно на
основе начала возможных перемещений». Подробное изло-
жение этих вопросов не входит в задачу настоящего очер-
ка; укажем здесь на промежуточную манеру изложения
Кирхгофа, столь близко стоящего в своих лекциях к Лаг-
ранжу. От гауссовой теории здесь воспринимается лишь то
положение, что на поверхностях соприкасания различных
по своей природе тел развиваются силы, имеющие потенци-
ал U, по величине пропорциональный поверхности сопри-
касания S, так что U = — aS, где а — положительная
постоянная. Но при этом условии вывод уравнения внешней
поверхности жидкости требует нескольких строк. В самом
деле, обозначим через £ бесконечно малое смещение по
внешней нормали к элементу do; тогда приращение эле-
ментарного объема будет
S dx = £d<r,
условие несжимаемости жидкости даст уравнение связи:
0.
S
(а)
Виртуальная работа единственной внешней силы, имен-
но силы тяжести, будет:
pgSzdx = pg • 6 z£do;
Т S
справа интегрирование распространено на свободную по-
верхность; ось z направлена вниз; плотность р предположена
постоянной. Наконец, виртуальная работа сил поверхност-
ного натяжения, при закрепленных краях жидкости, будет:
6t/ = — a-6S,
или, по известной формуле Гаусса, данной им в указанном
мемуаре:
6U = 2а
s
281
где Н — средняя кривизна поверхности, равная полусумме
обеих главных кривизн; поэтому начало возможных пере-
мещений дает условие равновесия на внешней поверхности:
(р§г + 2аН) Уз = 0, - (b) f
s
а это равенство, ввиду условия несжимаемости (а), может
иметь место тогда и только тогда, когда
pgz + 2аН = const. (с)
Но это уравнение и есть первое основное уравнение тео-
рии капиллярности. Мы видим, как легко овладевает лаг-
ранжева метода проблемой, казалось бы, требующей специ-
фических подходов со стороны молекулярной физики;
и тем более удивительно, что Пуассон в мемуаре по теории .
капиллярности 8 утверждал, что положения, к которым при- |
шли Гаусс и Лаплас, не могли бы иметь места, если бы жид- I
кость была несжимаемой; напротив, физически ее можно I
мыслить только сжимаемой, допуская, что плотность ме- ||
няется очень быстро вблизи граничных поверхностей. Та- I
ким образом, по мнению Пуассона, «эти геометры упустили 1
из виду физическую сторону вопроса, учесть которую было |
существенно, так как вне ее капиллярные явления не могли I
бы иметь места». Но Пуассон оказался неправ, его выводы |
были неверны. Безошибочной и на этот раз оказалась имен- |
но аналитическая механика, с ее понятием несжимаемой, !
математически сплошной жидкости; и мы убеждаемся снова, :
что совокупность явлений столь разнородных, как, скажем,
движение математического маятника и движение жидкости
в капиллярах, подчинена единой лагранжевой формуле;
мы имеем здесь пример, аналогов которому вообще сущест-
вует немного: полного овладения природой, в известных
формах ее проявления, анализом нашего мышления. i
*
Перед лицом этого замечательного создания ума имеет ли
сейчас большое значение говорить более детально об от-
дельных моментах и результатах Лагранжа в конкретных
задачах механики? Например, напоминать здесь о том, что
он первый ввел понятие силовой функции 9 и этим положил
начало всей теории силового поля? Или про теорему о том,
что положения устойчивого равновесия определяются через
282
maxima силовой функции,— теорему, связанную в ее даль-
нейшем развитии с именами Дирихле и Ляпунова; про урав-
нения второго рода, о вечном значении которых для всей
техники уже говорил так красочно академик А. Н. Крылов;
или про открытый Лагранжем интегрируемый случай вра-
щения тяжелого тела вокруг точки; про решение задачи
о колебаниях струны предельным переходом от невесо-
мой нити, загруженной несколькими тяжелыми точками;
про его теорему из гидродинамики, по которой движение
совершенной жидкости, являющееся безвихревым в дан-
ный момент, навсегда таковым остается, этот фундамент
гельмгольцевой теории вихрей?
Нам кажется, нет нужды и невозможно говорить об этом
детально, не рискуя перейти к изложению школьных истин.
Ведь действительно замечательно то, что Лагранж отнюдь
не есть пройденный этап в истории развития механики;
это наш учитель вчера и сегодня; сколько тысяч студентов
во всех странах мира ежедневно повторяют его имя! Но
все-таки на фоне этой изумительной картины имеется одна
глава его механики, заслуживающая сейчас более сосредо-
точенного внимания. Это метод вариации произвольных по-
стоянных; то, что обычно разумеют под этим термином,
есть только очень частный момент лагранжевой теории.
Нужно, нам думается, признать, что на рубеже XIX в.
механика не была и не могла еще быть механикой машин;
в основном она вся питалась «Началами» Ньютона и была
ориентирована в сторону задач небесной механики, в сто-
рону теории движения системы свободных точек, действую-
щих друг на друга силами ньютонова притяжения.
Как мы увидим несколько позже, Лагранж пошел на-
столько далеко, насколько это вообще и до настоящего
времени оказалось возможным, в направлении упрощения
и редукции знаменитой задачи трех тел. Но нужно было
иметь в виду и тот частный случай, осуществленный в Сол-
нечной системе, когда массы планет малы по сравнению с
центральной, именно солнечной массой; тогда возмущен-
ное движение мало отличается от невозмущенного эллип-
тического; его можно рассматривать как движение на неп-
рерывно изменяющемся эллипсе. Отсюда и произошла
метода вариации произвольных постоянных, т. е. тех посто-
янных, которыми определяются размеры и положение в про-
странстве невозмущенной эллиптической орбиты и положе-
ния на ней планеты в данный момент движения. И вот фран-
283
цузские геометры конца XVIII и начала XIX в. как бы
взапуски друг перед другом решали задачу о нахождении
простейшей формы тех дифференциальных уравнений, ко-
торыми определяются изменения этих постоянных под дей-
ствием поля возмущающих сил. Важнейшие результаты
принадлежат здесь Лагранжу и Пуассону; мы наметим
лишь главные основы лагранжевой теории; она имеет, ко-
нечно, совершенно общее значение, не зависящее от спе-
циальных условий планетной задачи 10.
Пусть дана система с п степенями свободы; ее параметры
подчинены системе п лагранжевых уравнений второго рода:
d dL dL ______Q
Здесь лагранжева функция L есть сумма живой силы сис-
темы Т и силовой функции U (последняя не зависит от
скоростей §/); вводя, как обычно, импульсы
dL дТ
Pi = = V” ’
напишем систему лагранжевых уравнений в виде:
(8)
Допустим, что интегрирование системы произведено и
все qi выражены в функции времени t и 2п произвольных
постоянных ух, у2). . . , у2п; будем теперь варьировать эти
постоянные; дадим им совокупность бесконечно малых при-
ращений бу3; затем другую совокупность приращений, не-
зависимых от первых, которые назовем Ays; обозначим
через 6<7z, 6pz и через Д#; Др,- те приращения, которые по-
лучат соответственно вследствие этих вариаций постоянных
ys координаты и импульсы точек системы. Из предыдущего
уравнения найдем тогда:
bdpi — d8pi = 6 dt '
°4i
dL • (*)
Adpz = dt^pi — Д dt
Умножим первое из этих уравнений на Д</; и заметим, что
ddq, • Дд,- = d (&qt • 6pz) — &p~d&q£ = d (&q£ • dpt) —
— f>pi • Мхц = d ^qi • Spi) — 6pz • hq/dt;
284
аналогично этому
d^pi • dq£ = d (dq£ • Др,) — Дрг- • 6qzcI/;
поэтому, вычитая из верхней строки (*), умноженной на
Д^-, нижнюю, помноженную на 8q£, и суммируя по i, на-
ходим:
d 2 (6Pz • Д<Р — бР/ • ДР/) = S + бр/-д?/)х
z=i <=1 х q‘ >
X dt (д -^-^1 + kpfi'q^dt.
/=i ' 41 '
Но так как
то первая сумма справа приводится, как легко видеть, к
6Д£, вторая — к ДбЛ, которые между собой равны; от-
сюда следует основная лемма Лагранжа:
п
2 i^pAqi — ^>qi • Др/) = const. (9)
i—1
Таким образом, если выразить левую часть (9) в функ-
ции t, ys, 6ys и Ays, то t должно исключиться из этой
суммы, в которой останутся только ys и их вариации; эти
последние войдут во все члены в виде произведений типа
бу5-Ду*.
В частности, если считать, что все вариации б вызваны
изменением только одного у, например ys на 6ys, а вариа-
ции Д определяются изменениями только одного у* на Ду*,
то будет:
S дрг » Л дрг Л
бр/ = 6rs; Дрг- = • Ду*;
X dqi R Л dqi А
Дд,= —ДТй.
Подставляя в (9), получаем следующее важное равенство:
А У - о МО'
dt^\d-rk dts dys (10)
285
Сумма, стоящая под знаком производной, получила
название скобок Лагранжа; ее обозначают символом yj;
таким образом:
4^ Ts] = 0.
Эта теорема, предполагающая, конечно, что все интег-
ралы системы найдены (и потому не имеющая значения для
отыскания новых интегралов), обнаруживает весьма ин-
тересное их свойство; скобки Лагранжа, равно как и сумма
(9), сохраняют постоянное значение во все время движения;
мы можем — и это есть центральный пункт лагранжевой
теории вариации произвольных постоянных — подставлять
в них значения qi и pt для любого момента времени, -не из-
меняя величины этих сумм.
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению лагран-
жевой теории, заметим следующее: сам Лагранж указывал
относительно формулы (9), что она «представляет собой
новое и притом весьма замечательное свойство живой силы
Т, которое может служить общим критерием для выясне-
ния правильности решения, найденного каким угодно спо-
собом» и. Для нас же теперь кажется более существенным
отметить, что в левой части формулы (9) мы встречаемся
впервые с той билинейной формой вариаций параметров и
импульсов, которая имеет столь важное значение для всей
современной динамики; известно, что она является инвари-
антной по отношению к любому касательному преобразо-
ванию, и смысл лагранжевой леммы становится понятным
только тогда, когда мы учтем, что преобразование пере-
менных qi и pi в момент t к их значениям в момент t + dt
есть именно касательное преобразование.
Далее, ту же лемму Лагранжа можно сопоставить с тео-
рией «уравнений в вариациях», развитой Пуанкаре; дей-
ствительно, мы можем рассматривать Д^- , Дрь с одной
стороны, и §pi — с другой, как две совокупности 2п
переменных, с помощью которых мы переходим от основ-
ного решения qh pi к двум другим решениям системы, бес-
конечно близким к основному; в таком случае эти перемен-
ные Дрь равно как и 8qt и брь должны быть решениями
некоторой системы линейных уравнений первого порядка,
которые и называются «уравнениями в вариациях» урав-
нений динамики. Пуанкаре показал12, что если -ф
и £z, r\i суть два решения уравнений в вариациях, то они
286
связаны соотношением:
2^ — ПЛ/) = const,
i
которое, разумеется, есть не что иное, как лемма Лагран-
жа, но именно из этого соотношения Пуанкаре получил не
только новое доказательство знаменитой теоремы Пуас-
сона, но и пришел к важной теореме, касающейся характе-
ристических показателей периодических решений уравне-
ний динамики13. Все это показывает, насколько глубоко
связаны результаты Лагранжа с весьма современными про-
блемами динамики.
Возвращаемся теперь к методе вариации произвольных
постоянных; пусть Q есть силовая функция возмущающего
поля, так что в возмущенном движении функция Лагранжа
будет:
L* = Т + U + Q = L + Q.
Обозначая через q} параметры в возмущенном движении,
будем иметь уравнения движения:
d dL* dL* р
или, как выше:
, * dL*
dpi = —г dt. (а)
dqi
Допустим, что мы имеем решение невозмущенной зада-
чи при Q = 0; пусть qt (t9 у2, • • • > Чъп) есть это решение;
будем искать теперь решение qt для возмущенного движе-
ния, сделав для этого ys функциями времени и поставив
условием, чтобы в каждый момент движения не только
7г (Л ?s) совпадало с возмущенными 7*, но чтобы было также:
т. е. чтобы производные от qif взятые по времени, посколь-
ку оно входит явно в их выражения, придавая всем те
значения, какие они будут иметь в данный момент времени,
совпадали с производными ср в действительном, возмущен-
ном движении. Определенное таким образом движение но-
287
сит в астрономии название оскулирующгго по отношению
к действительному движению q*\ короче говоря, в ©окули-
рующем движении координаты точек qi и проекции векто-
ров скорости qt совпадают в каждый момент с соответствую-
щими значениями в реальном, возмущенном движении.
Если поэтому мы обозначим через 6 дифференциалы пе-
ременных qit pt, вызванные только изменением всех пара-
метров ys в данный момент движения, то будем иметь:
dp* = dq* = q^C = dq.,
откуда следует, что 8qt — 0, и эти равенства являются ус-
ловиями, накладываемыми на функции ys в оскулирующем
движении. Замечая теперь, что dp* удовлетворяют уравне-
ниям (a), dpt — уравнениям (8) при Q = 0 и, наконец, что
dL*
при всех значениях ys и t производные —г будут совпадать
dL . dp,
с , следовательно cj-^- , получаем:
8pj _ до, .
dt, “ dq, ’
эти п уравнений вместе с п уравнениями
(Ю')
(10")
п . dys
составляют систему 2п линейных уравнении для —, из
которых «оскулирующие элементы» ys и подлежат опреде-
лению; все дальнейшее состоит в переработке этой системы
с целью выражения через производные пертурбационной
функции Q по этим же элементам.
Пусть теперь Д<?г означают вариации переменных в ис-
ходном движении, вызванные вариациями всех или не-
которых ys, но притом совершенно произвольными, не свя-
занными условием Aqt = 0. Умножая предыдущие равен-
ства (10') на &qt и суммируя, находим:
• Ддг- = ДО • dt,
(Н)
288
где
ДЯ = 2^.
s s
Из левой части выражения (11) мы можем вычесть те-
перь
• ДрЛ
S
тождественно равную нулю, понимая под 6<?г вариации пе-
ременных, соответствующие условию оскуляции; это дает
нам весьма важную формулу Лагранжа 14:
2(6pt- • Дрг- — 8qi • ^pi) = ДО • dt, (12)
i
представляющую замечательное обобщение его основной
леммы (9) для возмущенного движения, если предполагать
бр, и относящимися к оскулирующему движению. Но
так как лемма (9) применима к каким бы то ни было вариа-
циям pt и qi и во всяком движении, то вместо рг и qit взя-
тых для бегущего времени, можно взять те значения, ко-
торые эти переменные имели в какой-либо определенный
момент движения t — х; обозначая эти значения их через
Pi и Qi, получаем:
2(6MQ/ - SQz • ДРг) = ДО • dt. (13)
i
Но Qt и Pt, представляющие собой значения оскулирую-
щих переменных в некоторый момент движения, суть по-
стоянные, связанные определенными зависимостями с ys,—
зависимостями, в которых мы должны положить t — т,
т. е. дать времени t некоторое определенное, но вполне про-
извольное значение. Следовательно, обратно, мы можем вы-
разить через Qi и Pt и соответственно этому выразить не
только qt и pi, но и самую пертурбационную функцию Q
через t, Qi, Pt и, конечно, через т.
Допустив, что эта замена произведена, имеем:
ДО = 2-g-ДД. + AQZ,
и потому, приравнивая в (13) коэффициенты при прозволь-
10 Н. И. Идельсон 289
ных вариациях А, получаем:
6Д=^-Л; 6Qz=--^-d/.
Однако вариации б по сути вещей представляют собой
дифференциалы от Р и Q, ставших переменными; поэтому
эти дифференциалы можно отнести ко времени, так что те-
перь «позволено и даже приличествует делу», как говорит
Лагранж 1S, заменить б на d; и тогда получается система
канонических, уравнений:
за . до_ ,,,
dt дР; ’ dt dQ; ’
из которых сейчас же следует, что
rfQ _ dQ .
dt ~ dt ’
или иначе, если обозначить через бй дифференциал этой
функции, взятый через посредство одних дифференциалов
от Pt и Qi, то
бй = 0, (15)
что является, по словам Лагранжа, весьма замечательным
свойством функции й. (Разумеется, это свойство осущест-
вляется только тогда, когда й выражена через каноничес-
ки сопряженные элементы Qt и Рг.)
Уравнения (14) и (15) составляют основу лагранжевой
теории вариации произвольных постоянных; мы подчер-
киваем, что именно в этой теории была впервые введена в
динамику каноническая система уравнений-, но она появ-
ляется у Лагранжа только для специальной задачи интег-
рирования уравнений возмущенного движения.
Дальнейший шаг в развитии теории Лагранжа сделал
знаменитый астроном Ганзен 16; основной момент его тео-
рии может быть вкратце намечен следующим образом. Для
определения переменных q, и в оскулирующем движении
служат формулы:
4t (0 = Qt Qz> Л); Pi (6 = Pi (Л Qz, Рд,
где qi и pt — функции времени и произвольных постоян-
ных, полученные при интегрировании уравнений невозму-
щенного движения; но по самому определению Qi и Д-
290
мы имеем для момента t — т:
qi (т) = qi (т. Qi, Pi) = Qi, Pi (Т) = pi (r, Q,-, Pi) = Р/.
При этом Qi и Pt получаются из решения системы (14);
допустим, что это решение найдено каким бы то ни было спо-
собом; мы будем иметь тогда Qt и Рг как функции t некото-
рых абсолютных постоянных и параметра т, который
введен в й при замене на Qi и но так как момент t =
= х соответствует положению движущейся точки в опре-
деленной точке ее траектории, мы можем сказать, что Qi
и Pi — не что иное, как значения параметров qt и рг- для
одной точки орбиты, но в отношении возмущений опреде-
ленные как функции t на все время движения. Однако точ-
ка в орбите может быть взята совершенно произвольная;
поэтому достаточно после интегрирования системы (14)
в выражениях Qi и Р/ заменить х на t, чтобы получить пе-
ременные q, и pi во всех точках орбиты и на все время воз-
мущенного движения. Эта операция (переход от т к f)
обозначается по Ганзену чертой над соответствующей ве-
личиной; так, например, по предыдущим уравнениям:
= М0 = Л-
Но ввиду (14) возмущенные значения Qt и Pi даются
формально такими выражениями:
следовательно,
Г dQ 1. (* dQ и.
qi —' — -дрт-dt; pi — \ -QQ-dt,
или иначе:
C dQ. p dPf
^=\-dFdt' P‘ = \-dFdt- <16>
Под Qi и Pi под интегралами надо понимать, разумеет-
ся, возмущенные значения; параметр х остается постоян-
ным при интегрировании и заменяется на t после его выпол-
нения. Эти формулы, на которых мы не будем останавливать-
ся подробнее, представляют собой, на наш взгляд, метод
Лагранжа в самом конденсированном виде; они являются
Ю*
291
основными в теории движения Луны и планет, развитой
Ганзеном.
Однако сам Лагранж в применении метода вариации по-
стоянных избрал совершенно иной путь. Действительно,
выражения qi и Q через Qz и Pi сложны и неудобны на прак-
тике; поэтому переменные Qz и Л имеют у него только про-
межуточное значение; для целей практики он возвращается
от них к тем обыкновенным параметрам ts, которые полу-
чаются при решении задачи невозмущенного движения.
Этот обратный переход от Qz и Pt к ys совершается чрез-
вычайно просто с помощью тех лагранжевых скобок, о ко-
торых говорено выше. Пусть у* есть один из «обыкновен-
ных» элементов, подлежащих варьированию при переходе
к возмущенному движению. Мы имеем, очевидно:
дй _ v / <?й dQi , дй dPi \
dyk “f VQZ ' + ЭР; '
или, пользуясь канонической системой (14):
дй _ /rfPz _3Qz_dQz_ dPi \
~ \ dt ' dt ' дЧ ) '
Но мы можем написать, помня, что зависимости между
Qz, Pi и у* не содержат времени t явно:
rfPz v, ъ dQ‘ d^
dt 2j dys dt ’ dt 21 dxs * dt
s s
Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:
dtk ~ A dt dyk drs дчк ' drs) •
dTs
Коэффициент при есть не что иное, как скобка Лаг-
ранжа (10); в нее входят пока еще канонические параметры
Qz и Рг-; но мы знаем, что скобки сохраняют постоянное
значение во все время движения; следовательно, можно
прямо заменить в них Qz и Р/ на qi и рг, тогда коэффициент
^Тя
при будет именно такой, как он определен в (10); мы
292
получаем поэтому:
(17)
и здесь все скобки могут быть вычислены на основании тех
соотношений между координатами, импульсами и элемен-
тами, которые дает решение невозмущенной задачи. На-
конец, решая линейную систему (17) в отношении d^sldt,
получаем окончательную систему уравнений, дающих
производные от элементов ys в оскулирующем движении
через производные пертурбационной функции по тем же
элементам. Для планетной задачи это вычисление в доста-
точной мере сложно и громоздко 17; но Лагранж провел его
до конца и дал нам тем самым основную систему формул
небесной механики.
Несколькими десятилетиями позже было показано, что
ту же основную систему можно получить значительно более
простым и прямым путем, если вместо параметров Qz и
Р,- пользоваться другими каноническими элементами,
именно теми ае и Р/, которые получаются при решении
задачи невозмущенного движения по способу Гамильто-
на—Якоби и которые тоже, разумеется, связаны урав-
нениями типа (14); но в отношении основной группы формул
небесной механики это открытие Якоби, столь важное с
других точек зрения, не могло уже дать ничего нового.
Лагранж не только создал метод вариации произвольных
постоянных, но дал и совершенно законченный пример его
применения к той именно задаче, которая стояла как одна
из важнейших перед механикой в начале XIX в.
*
На грани между творениями Лагранжа по общей дина-
мике и его специальными астрономическими работами стоит
его знаменитый мемуар о задаче трех тел 18. Как мы уже
упоминали, Лагранж достиг здесь пределов возможного
в смысле редукции этой задачи, т. е. понижения порядка
системы ее дифференциальных уравнений. Французские
математики Радо, Серре и др. сделали многое в отношении
упрощения изложения Лагранжа и внесения большей сим-
метрии в его формулы. Но прежде чем наметить здесь хотя
бы самый ход его мыслей, напомним, что в общей задаче трех
тел мы имеем систему с 9-ю степенями свободы, следова-
293
тельно, систему дифференциальных уравнений движения
18 порядка; с помощью 6 интегралов центра инерции воз-
можно редуцировать систему к 12-му порядку, т. е. к 6 сте-
пеням свободы. Для этой редукции пользуются теперь
обычно так называемыми каноническими относительными
координатами Якоби, при которых движение точки А от-
носится к центральному телу С, движение тела В — к
центру инерции точек А и С; оба эти движения описывают-
ся с помощью канонической системы уравнений 12-го по-
рядка, в которой переменными являются канонические по-
стоянные обоих оскулирующих движений, например эле-
менты Delaunay или Poincare.
Далее, известны три интеграла площадей; с их помощью
система понижается до 9-го порядка, т. е. имеет как бы 4х/2
степени свободы. Однако Якоби в знаменитом мемуаре
1842 г.19 показал, что здесь происходит нечто другое; имен-
но, при пользовании указанными координатами один из
интегралов площадей получает значение интеграла момен-
тов, который имеет место у канонической системы тогда,
когда один из ее параметров является циклическим, т. е.
входит только через его производную в выражение живой
силы. Такой интеграл позволяет исключить сразу две пе-
ременные («способ Роуза»), т. е. уменьшить число степеней
свободы на единицу; два других интеграла площадей реду-
цируют систему еще на одну степень свободы, так что ос-
тается система с четырьмя степенями свободы.
Геометрически теорема Якоби сводится к тому, что если
за основную плоскость взять лапласову неизменяемую
плоскость системы трех тел, то восходящий узел одной из
оскулирующих орбит, например той, которой описывается
движение А вокруг С, будет во все время движения совпа-
дать с нисходящим узлом другой орбиты, т. е. той, ко-
торой описывается движение В вокруг центра инерции
(Л, С). Но систему с четырьмя степенями свободы можно
редуцировать несколько далее; пользуясь интегралом жи-
вых сил и элиминируя, по известным правилам, время,
поскольку оно входит в систему только через dt, доходим,
наконец, до неканонической системы 6-го порядка, т. е.
системы с тремя степенями свободы; в этом и состоит, для
общего случая, предельная редукция задачи с помощью су-
ществующих десяти ее интегралов; априори мы могли бы
ожидать редукции только к 8-му порядку, в лучшем слу-
чае к 7-му, при элиминации времени.
294
Но тех же самых результатов достиг еще в 1772 г. Лаг-
ранж; однако его метод был совершенно отличен от из-
ложенного. Главную его задачу составляло найти ту си-
стему уравнений, которой определяются три взаимные
расстояния в задаче трех тел; если считать, что эти расстоя-
ния найдены, то дальнейшая задача — определение коор-
динат точек в пространстве — приводится, как показал
Лагранж, к одним квадратурам. Мы наметим здесь только
основные моменты его анализа первой части проблемы, вос-
пользовавшись для упрощения формулами векторного ис-
числения. Обозначим через т0, и т2 массы трех тел, че-
рез г0 — вектор (mi, т2), через — вектор_(т2, т0), на-
конец, через г2 — вектор (т0, т^\ через vt (i = 0,1,2)
назовем относительные скорости, через wt — относитель-
ные ускорения трех тел, так что
dri — dv- d2ri
Vi= ~dt’ Wi = ~dT = IF ’
мы будем иметь, очевидно:
ro + + Г2 = 0
+ v2 = 0
+ w2 = 0 ' •
(18)
Обозначая теперь через /0, Д, /2 векторы абсолютных
ускорений трех тел, будем иметь, по закону Ньютона, по-
лагая постоянную притяжения равной 1:
т __ ГИ1Г2 тчГ1 . ~ _____ тъго /ПоГг . " ____ mori miro
1° гз гз ’ Л 7з jT" ’ Л ~~ ZF" *
Г2 Г1 го Г2 Г1 Г0
Отсюда, имея в виду, что
d2rn -гт
-^2“ — — /2 ~ /Ь
получаем
Ч—— (f?h + ^2) “V =
\ Г1 Г2 / 0
(Го । И । Га \ , % Го
-у + -7 + -j- — (та + mi + /п2) — .
'о Г1 Г2 / Г0
295
Полагая здесь для сокращения
5 = ^г + ^г + ^г; ЛГ = та ч-/П1 +/п2, (18')
получаем основные уравнения относительного движения
в форме:
1 d2rQ — S — M . Z2_
mo dt2 mo r3 ro
1 tPn — M Г1
mi dt2 = s — mi (19)
1 d2r* Q M Г2
m2 dt2 m% 3 2
Это система 18-го порядка, так как в ней каждое урав-
нение эквивалентно трем скалярным второго порядка;
Лагранж стремится преобразовать ее так, чтобы в уравне-
ниях остались только скалярные величины rt и их произ-
водные. Найдем прежде всего все интегрируемые комби-
нации; так, умножая уравнения (19) векторно на 70, h, г2,
складывая и замечая при этом, что в силу (18)
ко + ri + s] = 0
и что
- «Рг- I d - —
И’ ~di^V^
получаем после интегрирования:
4 - _ 4 - - d —
[Го, Vo] + [Г1, V1] + — [r2, V8] = k.
(20)
Здесь k есть вектор, постоянный по величине и направ-
лению; три проекции уравнения (20) на оси дадут, очевид-
но, три скалярных интеграла площадей.
Далее, если помножим основные уравнения (19) ска-
лярно на и0, Vi и и2 и заметим при этом, что:
I av
и D) = hr’v
1 dv2
2 dt 1
г 1 /- dr \ 1 dr2 _ d / 1 \
yr > v) “ — Y ’ ~di)— 2r3 dt ~ ~ dt\r ] ’
296
то, складывая все три вместе, получим после интегрирова-
ния интеграл живых сил:
_±U_ + = /2П
2т0 ‘ 2гп1 2т2 2 ’ v21'
где положено
и - М + -— + ——(22)
\ ГИоГо ГП1Г1 ШъП / ' '
h
и где через — у обозначена постоянная живых сил. Интег-
рал живых сил можно теперь модифицировать так, чтобы
2
вместо vt в него вошли только скаляры гг и их производные
по времени. Для этого множим уравнения (19) скалярно на
r0, h и г2 и замечаем, что
dr2 о-ч dV2 о/- d2r\ . П »
-^ = 2^^); — = 2(г,^ + 2^
И что
(s, /"о + fi + fz) = 0; ;
складывая все три уравнения, находим:
1 rf2r0 1 d2^ .д_ 1 ^Г2 —
2m0 dt2 2mi dt2 "г 2ma dt2
2 2
mo mi
Полагая здесь
2 2
7?2 =_L + __L
та 'mi т%
можем написать ввиду (22):
^_Mp_ + -L + _L\
т^ \тага min ГП2Г2/
(23)
1 d2R2 z : Qq . »i . vj LT
2 dt2 mo ffii ' mi
Сопоставляя это уравнение с интегралом живых сил
(21), получаем весьма важное уравнение Лагранжа:
^-U~h- (А)
Это уравнение (см. уравнение L у Лагранжа — v. VI,
р. 240) содержит в себе только взаимные расстояния трех
тел и их производные по времени.
297
Дадим здесь же еще одно его видоизменение, идея ко-
торого принадлежит Зундману20. Замечая в силу (23),
что:
пг> __ ГоГо Г1Г1 Г2Г2
mQ "Т" mi т,2
(где точками обозначены производные по времени), приме-
rz G- тт
няем к величинам -?= и —7= известное тождество Ла-
гранжа; оно дает нам здесь
/г2 г2 г2 \
/?2 + -J- + — = R2-R2 + Q, (24)
«о 'mi ' тг) 1 '
где через Q обозначена сумма квадратов миноров матрицы:
Го Г1 гч
У/По Vnil Vin^
Го Г1 Г2
У/й1
Далее, разлагая каждую из относительных скоростей
по радиусу-вектору и по направлению перпендикуляра
к нему и обозначая эти трансверсальные проекции через
di, будем иметь
_,2 _ „2 । л2
“Г »
откуда
Но первая из сумм справа может быть выражена че-
рез /?, R и Q по (24); таким образом
V2
3^- = ^2 + Р, (25)
где положено
р А
/?2 ‘ т£
298
Функция Р, состоящая, так же как и Q, из суммы одних
только квадратов, не может принимать отрицательных зна-
чений во все время движения. Подставляя теперь формулу
(25) в интеграл живых сил (21), находим:
R2 + P = 2U—h; (26)
но из формулы Лагранжа (А) следует, что
RR + R2 = U —h-
сопоставляя это с предыдущим равенством, приходим к
уравнениям:
2RR + R2 = Р -h
RR = Р — U) .
Эти уравнения лежат в основе знаменитых исследований
Зундмана по задаче трех тел, и мы наметили здесь их орга-
ническую связь с формулой Лагранжа, имея в виду толь-
ко подчеркнуть этим, насколько прав был Radau, говорив-
ший в 1886 г. про мемуар Лагранжа 21: «Естественно пред-
положить, что еще многие геометры будут черпать из этого
глубокого источника...»
Возвращаемся к изложению мемуара Лагранжа. Имея
уравнение (А), требуется составить еще два уравнения, ко-
торые содержали бы только три расстояния rt и их произ-
водные. Эти два уравнения Лагранж получает, применяя
некоторую вспомогательную неизвестную р, которая вво-
дится следующим образом: из уравнений (18) следует, что
(гъ ца) = — (72, й2) — (г0, о2) = (Й> ог) + (й> о0) — (й> о2)>
поэтому:
(Н> о2) — (Й. Й) = (г2, й) — (г0, ра),
(г2, ц0) — (г0, Й) = (г», й) — (Й, Vo)-
Таким образом, все три написанные разности между
собой равны; общая величина их и представляет собой
вспомогательную неизвестную Лагранжа; мы можем
положить:
Р = (й, 02) — (г2, й)> (25')
откуда, дифференцируя и вводя относительные ускоре-
299
НИЯ wit
= (ru Wt) — (гй, ah). (26')
Подставляя значения wt из основных уравнений (19),
находим:
^- = mo (7lt ?2) + пц (г2, 70) (4г - 4-) +
+ т%(Го, Г1) (—j---4 • (В)
Vo ri /
Правая часть этого уравнения есть функция одних толь-
ко скаляров г(; в самом деле, если положить
(ri, ъ) = — Ро5 (г2, го) = — Pi, (г0, ri) = — pt, (27)
то из треугольника tn0tnitn2, имея в виду формулы (18),
найдем:
Го = ri + г* — 2р0
и два уравнения аналогичных.
Следовательно, все pi выразятся только через гг; точно
так же и правая часть выражения (В). Покажем теперь,
что квадраты относительных скоростей vt суть также функ-
ции одних гг и их производных; для этого достаточно по-
множить первое из основных уравнений (19) скалярно на г0
и учесть те замечания, которые были сделаны при выводе
уравнения (А); мы получаем:
2«о Л2 — ’ °) /по ШоГп * (
Но с помощью формул (18) первый член справа легко
преобразуется и дает:
_ - /1 1\ /1 1 \
(S, Го) = Р! (-г - -^ 4- Р2 -Г - -V -
\ 'О '2 ' ' Г0 Г1 /
Отсюда, ввиду (28) и замечания, сделанного выше относи-
тельно pt, заключаем, что t/о действительно зависит только
от rf и аналогичное заключение имеет место относительно
прочих V/- Это же свойство принадлежит и попарным скаляр-
ным произведениям всех уг. В самом деле, если сделаем:
(th, и2) = —и0; (v2, v0) = — Ui, (v0, th) = —
300
то будет
Vq = Vi + vl — 2u0 и т. д.;
следовательно, все иг- выражаются через t/?, а потому через
rt и п
Все это позволяет теперь использовать интеграл пло-
щадей; Лагранж переходит от него к скалярному интегра-
лу; для этого достаточно помножить строку (20) скалярно
на самое себя, имея при этом в виду следующие формулы:
— = (fl, + (t>i, г2); р = (Гх, у2) — (Рх, г2);
(''1, ^)= 4"(р~ (гы2) = 4-(—Р —•
Далее,
| [Я-, У/] |2 = гМ — (о, у/)2 = г2у2 — г?
и, наконец,
(Hi, »il, [г2, Уг]) = (Гм ''гНих-Уг) — ki, v^-(vvr^ =
______ 1 Zdpo\2 , 1 .
Ро«о 4 dt ) + 4 Р •
В результате мы получим уравнение:
= £2-^—р2. (С)
2m0mim2 r v 7
Это уравнение в своей левой части заключает, по ска-
занному выше, только величины, зависящие от rf и их про-
изводных первых двух порядков; в правой части фигури-
рует неизвестная р. Если теперь удастся выразить р через
Г; и их производные, то, подставляя это выражение р в
(В) и (С), получим те два уравнения, которые, вместе с
уравнением (А), представят нам искомую систему трех урав-
нений для переменных г,. Но именно отыскание этой за-
висимости р от rt составляет самую трудную часть задачи
Лагранжа; она решается, исходя из того соображения, что
в силу (25') р зависит от rit и от косинусов углов, обра-
зуемых векторами rt и и, попарно.
301
Возьмем, например, пары r0, vt ио0, если при центре
единичной сферы построить эти направления, то они пере-
секут сферу в вершинах сферического четырехугольника.
Обозначим через М, М', N и N' косинусы сторон и через L
н L' — косинусы диагоналей этого четырехугольника, по-
ложив:
М - COS 5.) = А % ; М' = COS (?,, М - х • £;
W _ cos(;„ ?,) _ - ; N' _ cosft. »,) » -- ;
Л = с°5Л-“«)=^(-Р-т);
1.- = со5(;.,О1) = ^-(р-^);
в эти формулы следует ввести еще соотношения:
G) “ l^pl + Рг *, Г1 — j/'po + Р2 9
v$ ~ V+ и<> ; = V&o 4" и% .
Но шесть косинусов 7И, ЛГ, N, N', L, L' не могут быть не-
зависимы между собою, потому что для построения тех двух
сферических треугольников, из которых составляется че-
тырехугольник, достаточно задать четыре его стороны и
одну только диагональ; поэтому между этими шестью ко-
синусами существует зависимость, которая выражается
следующей формулой 22:
1 — (L2 + М2 + N2 + Г2 + М'2 + др) + (L2L'2 +
+ М2М'2 + N2N'2) + 2 (LfMN + M'NL+ N'LM) —
— 2 (LL'MM' + NN'MM' + NN'LL') - 0.
Подставляя в эту формулу приведенные выше значения
косинусов, Лагранж и получает «разрешающее уравнение»
всей проблемы; очевидно, это будет алгебраическое урав-
нение для р, в которое р войдет в четвертой и во второй сте-
пени; коэффициенты этого уравнения выражаются рацио-
2 (drA2 (dPt\2
нально через г, и у-^ J , через все Рьу-^-) , наконец, через
все щ. А так как все эти величины, ввиду установленного
выше, выражаются через rt и их производные первых двух
порядков, то в конечном счете мы получаем для р биквадрат-
302
ное уравнение с коэффициентами, зависящими только от
rt и от их производных первых двух порядков.
Допустим, что это алгебраическое уравнение для р
решено и надлежащее определение этой функции выбрано;
подставляя ее выражение в (С), мы получаем второе из
требуемых уравнений между гг- и их производными; порядок
этого уравнения останется вторым. Но если подставим зна-
чение р в уравнение (В), то это последнее, как заключающее
Лр
приведется уже к уравнению третьего порядка относи-
тельно /у, в таком виде совокупность уравнений (А), (С)
и (В) представит собой систему трех уравнений, из которых
два первые будут второго, наконец последнее — третьего
порядка. Все это дает нам результат Лагранжа: взаимные
расстояния в задаче трех тел определяются системой трех
дифференциальных уравнений, эквивалентных системе седь-
мого порядка. При интегрировании этой системы в решение
войдут семь произвольных постоянных помимо тех двух,
именно постоянной живых сил h и постоянной площадей k,
которые были введены в самые уравнения. Дальнейшие
этапы решения — определение положения плоскости тре-
угольника и ориентировка треугольника в его плоскости —
приводятся к квадратурам, при которых входят еще три
постоянных; значит, всего их получается 12, как и долж-
но быть в задаче об относительном движении трех тел.
Таков тот трудный путь, которым Лагранж привел за-
дачу трех тел к системе седьмого порядка (фактически ше-
стого, так как время явно в уравнения не входит). Он до-
бился тех же результатов, которые через семьдесят лет
столь изящно получил Якоби своей теоремой об элимина-
ции узлов. «На пути решения этой проблемы он сделал шаг
вперед»,— говорит Тиссеран. Но можно сказать иначе:
сложность полученной Лагранжем нелинейной системы (ко-
торая в явном виде у него даже не написана) такова, что
всякая надежда на возможность ее интегрирования должна
была быть оставлена; и задача трех тел — с физической точ-
ки зрения столь элементарная — предстала после появле-
ния мемуара Лагранжа как некий вызов, брошенный при-
родой человеческому уму; ничего не оставалось иного,
вплоть до работы Зундмана, подошедшего к проблеме с но-
вой точки зрения, как рассматривать отдельные частные
случаи или целые классы частных решений при тех или иных
ограничениях общей проблемы.
303
ж
Среди этих частных случаев задачи трех тел особенное ме-
сто занимает именно тот, которому посвящена вторая часть
мемуара Лагранжа; в этом лагранжевом решении расстоя-
ния между тремя телами остаются постоянными или же сох-
раняют постоянные отношения во все время движения.
Эти случаи так и остались единственными, для которых уда-
лось получить точное решение при любых значениях всех
трех масс. Лагранж показал, что задача трех тел допускает
такие решения:
1) когда все три тела в начальный момент находятся на
прямой, если их начальные скорости удовлетворяют оп-
ределенному условию и если отношение начальных рас-
стояний является корнем некоторого уравнения пятой сте-
пени с коэффициентами, зависящими только от масс;
2) когда все три тела находятся в начальный момент в
вершинах равностороннего треугольника и их относитель-
ные скорости имеют некоторые определенные величины и
направления.
В обоих случаях все три тела навсегда сохраняют пря-
молинейную или равностороннюю конфигурацию; их дви-
жение будет плоским; относительные орбиты двух тел в
движении вокруг третьего будут коническими сечениями;
наконец, отношения взаимных расстояний навсегда сох-
раняют постоянную величину; при некотором выборе на-
чальных условий сами эти расстояния остаются постоян-
ными. Короче говоря, если мы имеем две массы и /п2,
то можно определить в плоскости пять точек, так называе-
мых лагранжевых точек либрации L3, Lb L2, L4 и L6,
из которых три первые лежат на прямой с и /п2 (L3
налево от Li между /Hi и m2; Л2 направо от /п2), а две
последние — в вершинах равностороннего треугольника,
над и под отрезком mizn2, так что если третья масса т0
будет помещена в одной из этих точек, то можно будет за-
дать такое движение всей системе в ее плоскости, что она
навсегда останется в той же относительной конфигурации 23.
Рассматривая эти случаи, Лагранж считал их исследо-
вание делом чистой любознательности (pure curiosite), не
предполагая возможности осуществления их в астрономии.
Он дал эти точные периодические решения задачи трех тел
как простейший случай применения формул (А), (В), (С)
и того уравнения, которым определяется р2. Но в дейст-
304
вительности оказалось иначе; при открытии на исходе
XIX в. астероидов юпитеровой группы, движущихся при-
близительно по орбите Юпитера, выяснилось, что они за-
нимают положения, приблизительно соответствующие лаг-
ранжеву решению, образуя почти равносторонний тре-
угольник с Солнцем и с Юпитером. Но Лагранж еще в
1772г г. указал на важность изучения того случая, когда
третье тело не находится в точности в одной из точек L,
но движется достаточно близко к ней; в этом случае дви-
жение астероида должно быть близким к случаю точного
решения.
Это замечание вызвало к жизни длинный ряд работ,
связанных с именами Charlier’a, Brown’a, Stromgren’a,
в которых теория движения планет юпитеровой группы
(так называемых троянцев) изучается либо аналитичес-
кими, либо численными методами; оно привело уже в на-
стоящее время к разысканию всех типов периодических
движений в так называемой плоской ограниченной задаче
трех тел (т0 = 0; движение /пх вокруг /п2 по окружности),
в частном случае mi = т2. Однако мы не можем входить
в эти детали, не вдаваясь в вопросы, уже более близкие к
астрономии, нежели к общей механике; но сказанного здесь
едва ли не достаточно, чтобы показать, что по тем направ-
лениям, которые наметил Лагранж, научная мысль движет-
ся и теперь на многих путях ее развития; в этом особенный
секрет, особенное значение творчества Лагранжа в меха-
нике.
Ж.
Как часто, говоря про «Аналитическую механику», броса-
ют ей некоторый упрек в том, что в ней ничего не сказано по
линии основной аксиоматики механики; что фундаменталь-
ные концепты этой науки — сила, масса, инерция мате-
рии — в ней почти не обсуждены, во всяком случае, де-
тально не развиты. Упрек в известной мере справедливый;
вся механика Лагранжа вырисовывается перед изучаю-
щим ее как сложная горная цепь, нижние террасы которой
теряют свои очертания для наблюдателя, как бы покрытые
мглой легкого тумана. Если это и так, то они все-таки бес-
конечно прочны, эти террасы; противоречий механика
Лагранжа не знает, но тонкости аксиоматики Лагранж дей-
ствительно поставил задачей другим поколениям, с их не-
305
измеримо большим, чем в его эпоху, физико-механическим
опытом. Хотелось бы все-таки отметить в заключение этого
очерка, что в одном очень принципиальном и общем воп-
росе Лагранж ясно показал, что самые элементарные ос-
новы механики, именно начала статики, неотделимы от той
геометрической основы, на которой строится вся механиче-
ская система.
На самых первых страницах «Аналитической механики»,
делая введение в статику, Лагранж отмечает существенное
различие между доказательствами закона сложения схо-
дящихся сил (правилом параллелограмма), с одной сторо-
ны, и законом рычага—с другой. То, что прямой горизон-
тальный рычаг, загруженный на концах равными грузами,
будет в равновесии, если его точка опоры посредине ры-
чага,— это истина, очевидная сама по себе, говорит Лаг-
ранж, так как нет оснований, чтобы один груз перевесил
другой, раз все симметрично по отношению к середине ры-
чага. Но не очевидно, продолжает он, что нагрузка в опоре
равна сумме обоих грузов на концах. И, в самом деле, как
показать, что она не зависит от длины рычага? Лагранж
приводит простое и ясное доказательство правила рычага,
из которого, однако, обнаруживается, что теорема Архиме-
да об удвоенной нагрузке, не зависящей от длины рычага,
имеет место только тогда, когда на плоскости действует
геометрия Евклида 24.
Это обстоятельство тем более замечательно, что доказа-
тельство закона параллелограмма сил производят, исходя
из первичных аксиом статики, совершенно независимо от
аксиомы параллельных или от архимедова принципа рыча-
га. Это положение было установлено впервые Фонсене в
1760 г. 25; однако имеются определенные указания на то,
что работа Фонсене была инспирирована Лагранжем, а
быть может, даже и написана им.
Действительно, мы знаем теперь, что начало параллело-
грамма сил имеет совершенно одинаковую формулировку
в системах Евклида, Лобачевского и Римана; напротив,
в неевклидовой статике закон рычага не сохраняется; ве-
личина равнодействующей зависит от длины рычага; она
будет больше 2Р в геометрии Лобачевского, меньше 2Р
в геометрии Римана. Как бы в предвидении всех этих глу-
боких вещей Лагранж говорит: «Хотя оба начала, именно
рычага и сложения сил, приводят всегда к одинаковым ре-
зультатам, замечательно то обстоятельство, что случай,
306
наиболее простой для одного из них, является наиболее
сложным для другого» 26. Более ясных указаний по этому
вопросу Лагранж не оставил, а по теории параллельных он
ничего не опубликовал 27; но из этих замечаний не видно
ли, как глубоко раскрывались перед ним и самые принци-
пиальные вопросы механики, если не в их физической, то
во всяком случае в их геометрической сущности? И несмотря
на неясность формулировки основных концепций, отме-
ченную в предыдущем докладе, он развил ее до глубочай-
ших обобщений и оставил ее нам как один из краеуголь-
ных камней всей физико-математической и всей техничес-
кой культуры на долгие столетия вперед.
ИСТОРИЯ КАЛЕНДАРЯ*
Летят за днями дни, и каждый час
уносит
Частичку бытия..
Пушкин
ВВЕДЕНИЕ
В вопросах, которые выдвигает учение о календаре, мож-
но оставить в стороне все то сложное и трудное, что связано с
самой сущностью понятия времени, о чем так много рассуж-
дали философы и о чем так глубоко поучают теперь физики.
Мы принимаем, как данное, смену вечно бегущих дней и
ставим задачу выяснить приемы, выработанные для наи-
более удобного их счисления, а вместе с тем и для наиболее
простого измерения сравнительно длинных промежутков
времени. Обе задачи возникают только на довольно высо-
ком уровне культурного развития, когда является созна-
тельная потребность в точном и определенном ответе на
вопрос: когда произошло такое-то событие, сколько вре-
мени с тех пор прошло? Когда наступит такое-то явление?
Если я говорю, что 23 сентября 1846 г. д-р Галле в Бер-
лине, по предвычислению Леверье, открыл планету Неп-
тун, или что 19 июня 1936 г. в России будет видимо полное
солнечное затмение, я пользуюсь систематическим кален-
дарным счислением, и оно с непререкаемой отчетливостью
выделяет день первого события из всего ряда предшедших
ему и следовавших за ним дней и позволяет в будущем от-
личить заранее назначенный день затмения от всех смеж-
ных с ним. Мы так привыкли пользоваться календарем,
что даже и не вполне отдаем себе отчет, как велика в нашей
жизни и во всем нашем мышлении роль упорядоченного сче-
та времени; между тем, нетрудно видеть, что никакая
культура невозможна без него.
Каким образом психологически мыслима такая система
* Научное книгоиздательство, 1925 (печатается с небольшими со-
кращениями).
308
счисления? Она допустима, как кажется, только при по-
стоянной и живой связи календаря с внешней природой.
Есть огромное различие в счете времени и в счете или изме-
рении каких-либо иных предметов или величин, встречаю-
щихся в повседневном опыте, например в измерении рас-
стояния между двумя пунктами. Ибо дорога, которую мы
мерим, существовала и будет существовать до и после про-
цесса ее измерения, но каждый день, который мы нуме-
руем или считаем, исчезает в прошлом и не возвратится
никогда. Но если в нас говорит уверенность, что то или иное
явление природы через некоторый и небольшой, сравнитель-
но с продолжительностью человеческой жизни, промежу-
ток времени повторится вновь, а затем возвратится снова
через такое же число дней и так далее без конца, то есте-
ственно будет начинать и кончать счет дней именно на та-
ком периодическом явлении: оно будет служить и конечным
и отправным пунктом счисления. Этим путем, именно пу-
тем искания в природе достаточно ярких и хорошо обозна-
ченных периодических явлений, и шли все культурные
народы в деле построения календаря. Напротив того, вся-
кая манера счета, не связанная непосредственно с внешней
природой, может состоять только в монотонном начислении
дней, и на большие интервалы времени она представляет-
ся нам невозможной психологически.
Когда Дарий, царь персов, шел походом на скифов,
он оставил отряд греков для охраны моста, построенного
через Дунай, и сказал: «Возьмите этот ремень и, начиная
с того дня, как я пойду на скифов, развязывайте на нем
каждый день по одному узлу; если за этот промежуток
времени я не вернусь и минует число дней, означенное уз-
лами, плывите обратно на родину». Этот наивный рассказ
древнего Геродота поучителен: Дарий заменил для своих
солдат всякий календарный счет приспособлением, которое
позволяло им вести счет дням, их не считая,— считать, оче-
видно, должен был лишь тот, кто завязывал узлы. Без-
различно, сколько было узлов на веревке, и неизвестно,
как справились греки с этой нехитрой операцией. Но, не-
сомненно, что из таких веревок систематического и жизнен-
но приемлемого счисления создать нельзя.
Для него нужны опорные точки в чем-то, лежащем вне
человека и вне тех приспособлений, которые он может изо-
брести. Даже и те полудикие племена, которые еще не до-
шли до понятия года, оценивают время по смене сухого
309
времени и периода дождей, характерных ветров (муссо-
нов), по созреванию плодов, по появлению или исчезнове-
нию насекомых и птиц — примеры этому показывают эт-
нографы. Но все эти неясно определенные климатические
периоды тоже еще недостаточны для упорядоченного счета
времени, ибо кто говорит период, тот должен требовать,
чтобы его начало и конец можно было отметить с совершен-
ной определенностью, с тем чтобы длина сколь угодно боль-
шого числа таких периодов допускала точное численное
сравнение.
С этой точки зрения один из самых значительных этапов
культурного развития был пройден тогда, когда было
усвоено, что подобные периоды можно и нужно искать сре-
ди явлений звездного неба; Солнце, планеты, Луна, звезды
повторяют перед человечеством бессчетное число раз пра-
вильное чередование своих явлений; в очень отдаленные
эпохи человек научился за ними внимательно следить. Ру-
ководили ли им здесь практические потребности жизни,
именно желание найти в периодах небесных явлений неиз-
менные единицы для измерения больших интервалов вре-
мени, или же в нем говорили запросы отвлеченного зна-
ния, стремление распознать численные соотношения в дви-
жении небесных светил, или же и то и другое вместе, этого
сейчас установить нельзя. Но очевидно только одно: пер-
воначальное развитие астрономии совершенно неотделимо
от развития календарных систем. Для вавилонян и греков,
главных учителей в настоящем вопросе, это было одно.
Таким образом, годовой круг Солнца, месячное обращение
Луны, а у некоторых народов 12-летний круг Юпитера
стали основными единицами календарного счета; каждое
возвращение Солнца к равноденствию, каждое новолуние
или возвращение Юпитера к тому же созвездию служили
отправными точками в этом счислении, которое от каждого
подобного явления могло спокойно и уверенно снова идти
вперед.
Где и как была впервые осуществлена связь календаря
с астрономическими фактами? На этот вопрос археология
и хронология ответа еще не дают.
В Англии, по дороге между Бристолем и Солсбери, со-
хранился удивительный памятник доисторического перио-
да: огромные камни-монолиты, по пяти метров величиной,
расположены в виде сложной фигуры; когда-то они стояли
в правильном порядке, образуя два круга: внешний из
310
30 камней, связанных поверху каменными балками, и внут-
ренний из 40 камней меньшего размера; внутри последнего
намечаются еще два ряда камней, расположенных в виде
двух концентрических, открытых со стороны северо-вос-
тока, подков; в средине всей группы отдельный огромный
камень; наконец, на некотором расстоянии от внешнего
круга, следовательно, вне всей фигуры и тоже на северо-
восток от нее, стоит еще один отдельный монолит. Подме-
чено, что человек, стоящий у среднего камня и смотрящий
на внешний, увидит приблизительно в этом направлении
восход Солнца в день летнего солнцестояния. Таким обра-
зом, центр сооружения и отдельный монолит как бы опре-
деляют ось всего сооружения, и эта ось оказывается на-
правленной приблизительно к той точке горизонта, у кото-
рой останавливаются восходы Солнца в дни солнцестояния.
Мало того, вычислено, что приблизительно за 1 700 лет
до н. э. Солнце в те же дни должно было в точности восхо-
дить в отмеченном направлении.
Случайное ли это совпадение или обдуманное? Мог ли
первобытный человек 1 ориентировать свое сооружение по
Солнцу? Познавал ли он периодичность солнечного года
с такой отчетливостью, что сумел провести на Земле на-
правление, которое безошибочно указывало ему момент воз-
вращения Солнца к солнцестоянию? На эти вопросы архео-
логия, как сказано, ответа не дает, и в настоящее время она
тщательно избегает тут поспешных выводов. Но если толь-
ко мы ответим на поставленный вопрос утвердительно, то
должны будем признать, что первобытный строитель осу-
ществил в основной идее солнечный календарь; все осталь-
ное было делом усовершенствования и улучшения его тех-
ники.
Но на пути этого развития надо было преодолеть два
огромных затруднения.
Первое: указанные повторения небесных явлений грубо
подмечаются всяким, кто только вообще ими интересует-
ся; но чтобы определить их точно и, если можно сказать,
«остро», нужен длинный ряд умелых наблюдений, мате-
матически понятых и обработанных. Считая от одного ново-
луния к другому и ведя точный счет дням и часам соответ-
ственного промежутка, убеждаемся, что следующие друг
за другом периоды между собой неравны', то же и в отноше-
нии других наблюденных небесных явлений: движения тел
Солнечной системы неравномерны — в этом основная труд-
312
ность их изучения; нужно умело комбинировать получен-
ные результаты, чтобы вывести некоторую среднюю, важ-
ную в календарном деле, длину интервала. Все это состав-
ляет задачу астрономии: это процесс определения основных
астрономических постоянных, связанных с движением Солн-
ца, Луны и планет; в существенных для календаря чертах
этот процесс был закончен греческой и вавилонской нау-
кой в III или IV веке до н. э.
Второе: календарная единица, например год, месяц,
проста и удобна только тогда, когда она заключает в себе
целое число дней. Но периоды, найденные из астрономичес-
ких наблюдений, никогда не выражаются в днях целым
числом. Поэтому календарная единица неизбежно выходит
ошибочной против своего астрономического прообраза;
с течением времени эта ошибка накопляется и календарные
даты уже не соответствуют астрономическому положению
вещей. Как выравнить эти расхождения? Это задача чисто
арифметическая; она ведет к установлению календарных
единиц с неодинаковым числом дней (например, 365 и
366, 29 и 30) и к определению правил их чередования;
в более глубокой трактовке она соответствует выражению
дробного числа через наиболее простые дроби, с наимень-
шими возможными знаменателями; с этой стороны данная
задача полна интереса и по настоящий день.
Как только оба указанных затруднения превзойдены,
календарная система является законченной. Она получает
свое течение как бы независимо от астрономии: только при
таком условии она может быть не только правильной, но и
общепринятой. Обращаясь к календарю, мы вовсе не дол-
жны каждый раз сосредоточиваться на тех астрономических
фактах и соотношениях, из которых он выведен. Календарь,
который остается в постоянном соприкосновении с астро-
номией, делается громоздким и неудобным; примером та-
кой системы является индусский календарь. В нем счис-
ление ведется по солнечным месяцам, длина которых колеб-
лется в связи с неравномерной скоростью движения Зем-
ли вокруг Солнца; помимо этого, ведется счет лунных ме-
сяцев, продолжительность которых также варьируется и
вычисляется по астрономическим правилам; кроме солнеч-
ных дней, существует еще счет по лунным дням, длина
которых полагается равной одной тридцатой части продол-
жительности данного лунного месяца; ко всему этому при-
соединяется еще счисление лет по движению Юпитера.
312
Получается нечто большее, чем нужно для календаря, и
нечто значительно меньшее, чем нужно для точной астро-
номии; система бесполезно усложняется и лишается ариф-
метической простоты; подобных календарей, ввиду их
сложности, мы в дальнейшем не рассматриваем и ограни-
чимся классическими системами, созданными в общих чер-
тах Египтом, Вавилоном и Грецией.
Помимо задач астрономических и арифметических, в ка-
лендарь долгое время вводились задания совершенно
иного характера; в течение многих веков предполагалось,
что тот, кто знает численные соотношения в движениях не-
бесных тел, тот должен быть сведущ и в ходе земных собы-
тий; он должен разбираться в судьбах людей; отсюда воз-
никла чрезвычайно сложная болезнь, которой духовно пе-
реболело человечество: астрология. Ее колыбель в Вави-
лоне; западный мир усвоил ее после культурного столк-
новения с Востоком, после эпохи походов Александра
Македонского; с тех пор поколения людей, от Левконои,
подруги Горация («Nec babylonios temptaris numeros» —
над вавилонскими вычислениями не задумывайся!), и до
Татьяны у Пушкина («Мартын Задека, глава халдейских
мудрецов, гадатель, толкователь снов»),— искали в чис-
ленных выкладках вавилонской или халдейской науки от-
вета на самые сокровенные свои запросы, но весьма редко
видели то, что в ней было действительно заложено, а имен-
но — первооснову познания гармонических законов миро-
здания. Исходя из каких-то совершенно фантастических вы-
числений, календарь предсказывал погоду на 100 лет впе-
ред (в России — Брюссов календарь); устанавливал удач-
ные и неудачные, а у римлян даже и полуудачные дни; сло-
вом, он должен был ориентировать людские дела и дни в
самых многообразных направлениях, не ограничиваясь
одной лишь — выражаясь современным языком — «ариф-
метизацией» времени, в чем заключается его единственная,
но бесконечно важная задача.
К числу таких календарных элементов не астрономи-
ческого, а, вероятно, астрологического характера, при-
надлежит и семидневная неделя; история ее через Иудею —
Вавилон — Рим — христианство, несомненно, поучитель-
на; но в календарных системах, астрономо-арифметическое
значение которых сейчас очерчено, это есть элемент побоч-
ный и вспомогательный, и на его связи с прочими элемен-
тами счисления нам не придется останавливаться.
313
Еще одно замечание: в хронологии, т. е. науке, специаль-
но изучающей все формы счисления времени и устанавли-
вающей их взаимное соотношение, основной единицей яв-
ляется день. Более точное определение этого понятия от-
носится к области астрономии; оно было формулировано
уже тогда, когда развитие календарей в их основных чертах
было закончено; теперь мы понимаем под этим термином
единицу времени, определенным образом скомбинирован-
ную из явлений суточного вращения Земли и ее годичного
обращения вокруг Солнца: за среднюю величину дня, точ-
нее, за средние солнечные сутки принимается промежу-
ток времени, который отделял бы два полудня в том слу-
чае, если бы движение Земли вокруг Солнца происходило
в плоскости земного экватора и притом всегда с одной и той
же средней скоростью, равной среднему значению этой
скорости в действительном обращении Земли.
Определенная таким образом величина есть абсолютная
постоянная, ибо, создавая это понятие, мы в указанных
движениях выделяем части, строго пропорциональные
времени. В этой основной единице измеряются все прочие
интервалы времени; для малых промежутков средний
солнечный день делится на часы, минуты и секунды; далее,
сколь угодно большие промежутки времени можно выра-
жать в днях, без всякого внутреннего противоречия. Поэ-
тому в вычислениях хронологического и астрономического
характера главное, что нужно знать, это число дней, т. е.
число средних солнечных суток, протекших от одного мо-
мента до другого.
Тут возникает задача, в сущности обратная календар-
ной: фиксировав оба момента в любых системах счисления,
найти промежуток времени между ними; ясно, что здесь
самым простым методом решения является переход от ка-
лендаря к непосредственной нумерации дней от какого-
либо произвольного начала. Так, если я знаю, что первый
момент произошел в день № 383 208, а второй в день
№ 2 419 866 2, то непосредственно заключаю, что проме-
жуток между ними есть 36 658 дней; в этом случае для хро-
нолога совершенно безразлично, что первый момент соот-
ветствует дате 21 Кислев 5573 г. в счете иудеев или 4 Фри-
мера 21 года Французской республики, а второй 2 Чайтра
5014 г. Калиюги индусского счета или 1 Джумада I 1331 г.
магометанской эры. Все системы счисления с этой точки
зрения являются только своеобразными сетками, накину-
314
тыми на беспрерывно текущую последовательность дней
как уже бывших, так и имеющих еще наступить. К из-
ложению принципов устройства подобных сеток мы и
должны сейчас перейти.
И с каждой осенью я расцветаю
вновь...
Пушкин
СОЛНЕЧНЫЕ КАЛЕНДАРИ
1. ВРЕМЕНА ГОДА
Годовой круг явлений, зависящих от обращения Зем-
ли вокруг Солнца, известен каждому. Что Солнце два дня
кряду не поднимается на одну и ту же высоту над гори-
зонтом, что беспрерывно меняются точки горизонта, в ко-
торых оно восходит и заходит, что дни то прибывают, то
убывают,— все это ощущает каждый, кто в своей жизни и
работе соприкасается с внешней природой. Проследим эту
годичную последовательность явлений более внимательно.
Отметим каким-либо образом, f
например по компасу, на месте /а ю а \
наблюдения четыре основных на- Д ^А
правления на юг и на север, на #[_________________U
восток и на запад; начнем наши Г 1
наблюдения к марту месяцу. Мы \ j
увидим, что в начале марта (все с
числа по новому стилю) Солнце
будет восходить на юго-востоке, в Рис. 1
какой-либо точке с горизонта и
заходить на юго-западе в точке с' (рис. 1); с каждым сле-
дующим днем точки восхода и захода будут, видимо, сме-
щаться к северу, в направлении линии В — 3; наконец,
20—21 марта восход придется именно на востоке в точке
В, заход на западе в 3; продолжительность дня и ночи
в эти дни будет одинаковой, и мы называем этот момент
весенним равноденствием, считаем его за начало весны.
Дальше будет продолжаться отступление точек восхода
и захода к северу, дни будут прибывать, ночи уменьшать-
ся, высота Солнца над горизонтом увеличиваться — это
315
идет весна, до тех пор пока продвижение восходов и захо-
дов к северу не остановится у точек bb'. Простояв у этих то-
чек два-три дня, Солнце повернет свой путь к югу; это
стояние Солнца в точках bb’ совпадает с наступлением длин-
нейшего дня и самой короткой ночи, с наибольшим полу-
денным подъемом Солнца над горизонтом. Этот момент,
приходящийся на 22 июня, мы называем летним солнце-
стоянием. С него начинается лето. После солнцестояния ви-
димое движение точек восхода и захода по горизонту про-
исходит в обратном направлении; они начинают смещаться
теперь к югу и к 22—23 сентября снова происходят в точ-
ках В — 3; тут день снова равен ночи — это осеннее рав-
ноденствие, начало осени.
После него восходы и заходы все время продвигаются
к югу, дневная дуга Солнца над горизонтом укорачивается,
его полуденная высота уменьшается, а ночи прибывают в
длине; так продолжается, пока это движение не замедлит-
ся и не остановится вовсе, в дни 21—22 декабря, в самых
южных точках аа'. Это зимнее солнцестояние, начало зимы.
Здесь вновь поворот в движении точек восхода, они начи-
нают отступать к северу, вновь проходят сс', где мы нача-
ли их наблюдать, а 21 марта снова возвращаются к востоку
и западу; и годовой круг солнечного года повторяется сно-
ва, а с ним обычное чередование тепла и холода, предопре-
деляющее и жизнь природы и черед людских работ.
Таким образом, точки восхода и захода от зимы и до
лета и затем обратно от лета к зиме как бы колеблются по
дуге ab, дважды в году проходя через В и 3 в моменты рав-
ноденствия. Величина этой дуги тем меньше, чем южнее
(в Северном полушарии) лежит место наблюдения; на са-
мом экваторе дуга ВЬ или Ва составляет 23°. На средней
широте России, например в Харькове (4- 50°), она равна
приблизительно 38°. Таким образом, видно, что восходы
Солнца в течение каждого из времен года проходят по оди-
наковой дуге; в этом отношении все четыре времени года
подобны между собой. Но здесь возникает другой, весьма
важный вопрос. Сколько же дней приходится на каждое
из времен года? Иными словами, сколько раз взойдет Солн-
це, пока его восходы держатся в части ЬВ горизонта, и т. д.?
Тут следует заметить, что для подразделения солнеч-
ного года на четыре части и, следовательно, для более или
менее точного определения длины каждой из них, данное
выше описание годового круга Солнца еще совершенно не-
316
достаточно; невозможно с точностью установить самый мо-
мент наступления равноденствия или солнцестояния, наб-
людая одни лишь восходы и заходы Солнца; для этого нуж-
ны иные приемы и методы. Астрономия учит — и мы огра-
ничимся установлением этого факта — что явления равно-
денствий и солнцестояний соответствуют определенным по-
ложениям Земли в ее годичном обращении вокруг Солнца,
и что соответствующие моменты можно определить вполне
точно специальными наблюдениями; она показывает так-
же, что если бы Земля двигалась вокруг Солнца по кругу,
с постоянной скоростью, то между равноденствиями и
солнцестояниями проходила бы ровно одна четвертая часть
года, т. е. что все его времена были бы между собой равны.
Значит, вопрос, поставленный нами несколько выше, рав-
носилен другому вопросу: равномерно ли движение Земли
вокруг Солнца, иными словами, видимо движение Солнца
вокруг Земли или же нет?
Приблизительно за 400 лет до н. э. греческие астрономы
нашли, что видимое движение Солнца вокруг Земли про-
исходит с неравномерной скоростью; это открытие состав-
ляет один из фундаментов дальнейшего развития астроно-
мии. Они установили, что весна продолжается в среднем
94 дня, лето 92, осень 89 и зима 90; теплое время года длин-
нее холодного приблизительно на 7 дней. Почему же это
так? Над этим вопросом астрономия древних напряженно
работала; но прошло много веков, прежде чем эта загадка
была раскрыта, и было показано на основании принципов,
абсолютно чуждых науке греков, что такое неравномерное
движение Земли вокруг Солнца объясняется как следствие
общего закона природы, именно закона взаимного притяже-
ния материи, в данном случае Солнца и Земли.
Но нас сейчас интересует другое. Допустим на минуту,
что за весь исторический период, который примем в 6 000
лет, считая 4 000 лет до начала нашей эры и 2 000 лет (для
округления счета) после него, существовали астрономы,
обладавшие всем современным искусством наблюдения, и
что они беспрерывно со всей точностью определяли наступ-
ление четырех основных моментов солнечного года, и соот-
ветственно этому выводили длину весны, лета, зимы’и осе-
ни. Спрашивается следующее: нашли ли бы они, эти наб-
людатели, на протяжении столетий своей работы, что вес-
на продолжается 94 дня, лето 92 и т. д., как это установили
греки, или же наоборот, не пришлось ли бы им признать,
317
что времена года постоянно, хотя и весьма медленно, ме-
нялись в своей продолжительности?
Ответ на этот вопрос дает табл. 1, в которой длина вре-
мен года выведена через каждые 500 лет и показана в днях
и десятых долях дня, от года —4000 до + 2000, считая
годы до нашей эры отрицательными, последующие поло-
жительными.
Таблица 1
Продолжительность времен года
Эпоха Весна Лето Сумма Осень Зима Сумма
—4000 93^6 89^2 182^8 89?1 93?4 182?5
—3500 93,8 89,6 183,4 88,8 93,0 181,8
—3000 94,0 90,0 184,0 88,6 92,6 181,2
—2500 94,2 90,4 184,6 88,5 92,2 180,7
—2000 94,2 90,8 185,0 88,4 91,8 180,2
—1500 94,3 91,2 185,5 88,4 91,3 179,7
-1000 94,2 91,7 185,9 88,5 90,9 179,4
— 500 94,1 92,1 186,2 88,6 90,5 179,1
0 93,9 92,4 186,3 88,7 90,2 178,9
+ 500 93,7 92,8 186,5 89,0 89,8 178,8
+1000 93,4 93,1 186,5 89,2 89,5 178,7
+1500 93,1 93,4 186,5 89,5 89,2 178,7
+2000 92,7 93,6 186,3 89,8 89,1 | 178,9
Из приведенных здесь чисел 3 можно сделать важные для
дальнейшего выводы; они показывают прежде всего, что
длина времен года беспрерывно меняется; это изменение
очень медленное и совершенно плавное; так, если за 500 лет
весна от 93^6 доходит до 93<?8, то это происходит посте-
пенным или, как говорят, непрерывным нарастанием ее
длины. Любопытно проследить также, как весна увеличи-
валась до своей наибольшей величины — 94?3, потом на-
чала убывать, причем к нашей эпохе, в конце таблицы, это
убывание идет быстрее, чем нарастание в ее начале; наобо-
рот, лето все время удлиняется; зима непрерывно укора-
чивается. Кроме того, следует отметить, что продолжитель-
ность теплого времени года за 4000 лет до нашей эры почти в
точности равнялось холодной его половине (мы все время
318
имеем в виду Северное полушарие); затем происходит уве-
личение теплой части года за счет холодной; ко времени
расцвета греческой астрономии (от —200 до 4-200) раз-
ность между ними достигла величины 7^5, как мы уже от-
метили выше; максимум этой разности наступил в 1250 г.
(чего, впрочем, по нашей таблице выяснить нельзя). Пос-
ле этого холодная часть года стала возрастать, а теплая
убывать.
Откуда известны все эти числа? Ведь воображаемые аст-
рономы в действительности не существовали, и ранее
VI—VII вв. до нашей эры никаких точных наблюдений ниг-
де и никем не было произведено; но дело в том, что в настоя-
щее время теория движения Земли вокруг Солнца разра-
ботана с такой полнотой, что мы сейчас с достаточной уве-
ренностью можем разъяснять основные явления, как они
происходили и будут происходить на взятом нами проме-
жутке в шесть тысяч лет; и воображаемые астрономы, если
бы они наблюдали достаточно искусно, к результатам, от-
личным от данных нашей таблицы, прийти бы не могли.
Те факты, которые мы установили до сих пор, пользуясь
табл. 1, любопытны сами по себе, но сейчас надо отметить
еще одно обстоятельство, гораздо более важное. Если сло-
жить продолжительность всех четырех времен года на всех
строках таблицы, то всюду получится либо 365^2, либо
365?3; на всем протяжении нашей таблицы длина года
выходит, таким образом, равной приблизительно 365f2, и
можно сказать, что за все протяжение исторического перио-
да эта длина не изменилась ни на одну десятую дня.
Это приводит нас к основному выводу: хотя каждое из
времен года в отдельности на протяжении тысячелетий под-
вергается непрерывным и довольно значительным колеба-
ниям, однако общая продолжительность всего года колеба-
ний такого размера не испытывает и сохраняет почти в точ-
ности свое исходное значение.
Небесполезно запомнить, что полученный результат
является выражением одной из важнейших теорем мате-
матической астрономии, так называемой теоремы об устой-
чивости Солнечной системы; мы констатировали бы то же
самое явление, если бы проследили движение Земли вок-
руг Солнца на интервале в сотни тысяч лет. Оставаясь же
в пределах 6000-летнего периода, легко будет получить сей-
час результат гораздо большей численной точности.
319
2. ДЛИНА СОЛНЕЧНОГО ГОДА
Прежде всего надо решить: с какого собственно момен-
та или с какого дня начинать счет дней в году? Для граж-
данской жизни это в сущности безразлично; в России год
начинали с 1 сентября, на Западе в средние века с 25 де-
кабря, 25 марта и еще иначе, прежде чем не вошло во все-
общее употребление нынешнее 1-е января. Но читатель,
подготовленный предыдущим, легко поймет, что астрономи-
чески удобнее начинать счет дней солнечного года только
от одного из четырех моментов: двух равноденствий и двух
солнцестояний, ибо эти моменты действительно внутренне
связаны с движением Земли вокруг Солнца, и наблюдения
их составляли одну из важнейших задач астрономов
всех эпох.
Поэтому мы должны сейчас более точно установить,
когда наступают эти моменты равноденствий и солнцестоя-
ний, не ограничиваясь, как раньше, общим указанием, вро-
де 20—21 марта и т. п.; мы потребуем теперь от вычислений
несколько большей точности, а именно до 0,01 дня (что со-
ставляет 14',га4). Далее, чтобы составить таблицу моментов
наступления равноденствий и солнцестояний, мы должны
в основу ее положить какой-нибудь календарь. Какой имен-
но мы изберем, является тут безразличным; остановимся на
одном из простейших, о котором подробно будем говорить
потом, именно, мы будем считать три года по 365 дней,
четвертый в 366; распределение дней в месяцах оставим
такое, как оно действует сейчас. Подобный счет называется
юлианским', в нем принимают на каждые четыре года один
день лишний и длина года полагается равной 365 х/4 дня.
Следовательно, мы допускаем сейчас, что от —4000 г.
1 января и вплоть до 1 января 2000 г. идет счет дней и лет так,
как сейчас установлено, и что наши воображаемые астроно-
мы считают дни и годы именно в таком календаре; тогда ре-
зультат точных определений моментов равноденствий и
солнцестояний может быть сведен в таблицу (табл. 2).
Вся теория солнечного года, вся трудность построения
идеального солнечного календаря заключены в численных
данных этой таблицы. Ибо, прежде всего, нам бросается в
глаза, что все четыре основные точки солнечного года не
стоят на месте, а непрерывно сдвигаются назад в том ка-
лендаре, в котором эта таблица составлена; на сколько
каждая из них сдвигается за 500 лет, показывают числа со
320
Таблица 2
Начало времен года в юлианском календаре
Эпоха Весна Лето Осень Зима ]
—4000 Апр. 23?35 Июль 25^90 Окт. 23?13 ЯНВ. 20^96
—4,04 —3,77 —3,39 —3,67
-3500 19,31 22,13 19,74 17,29
—4,03 —3,83 —3,45 —3,64
-3000 15,28 18,30 16,29 13,65
—4,03 -3,89 —3,50 —3,61
-2500 11,25 14,41 12,79 10,04
—4,03 -3,95 —3,53 —3,60
—2000 7,22 10,46 9,26 6,44
-4,01 -3,99 —3,57 —3,59
—1500 3,21 6,47 5,69 2,85
-4,01 -4,03 —3,62 +30,25; —3,58
-1000 Март 30,20 2,44 2,07 Дек. 29,52
-3,98 —4,08 —3,66 -3,56
-500 26,22 Июнь 28,36 Сент. 28,41 25,96
—3,94 —4,12 —3,71 —3,56
0 22,28 24,24 24,70 22,40
—3,91 -4,16 —3,79 —3,56
+500 18,37 20,08 20,91 18,84
—3,89 -4,16 —3,85 -3,58
+1000 14,48 15,92 17,06 15,26
—3,84 -4,17 —3,90 —3,59
+1500 10 64 11,75 13,16 11,67
—3,82 -4,19 —3,96 —3,62
+2000 6,82 7,56 9,20 8,05
47,53 48,34 43,93 43,16
Правила пользования таблицей для нахождения равноденствий и солнцестояний
в любом году в Дополнении //.
знаком «минус» под каждой основной строчкой, а итоговые
числа, стоящие под каждым из столбцов, указывают, на
сколько данная точка сдвинулась за весь 6000-летний ин-
тервал, охватываемый таблицей; и эти числа достигают до-
вольно внушительной величины.
11 Н. И. Идельсон
321
Итак: в юлианском календаре каждый из четырех основ-
ных моментов постепенно отодвигается назад; этой сдвиг
за 500 лет составляет в среднем около четырех дней, откуда
выходит, что на один день точка равноденствия или солн-
цестояния передвигается примерно в 125 лет. Условимся на-
зывать это явление предварением равноденствий; мы мо-
жем сказать, что за каждые 125 лет равноденствие предва-
ряется в среднем на один день.
Если теперь читатель пожелает подняться до совершен-
ной, астрономической точности, то он сразу увидит, какая
сложная и, если можно так выразиться, трудная единица
измерения времени есть солнечный год. Прежде всего оче-
видно, что если бы все четыре основные точки сдвигались
одинаково, то можно было бы решить, что избранный ка-
лендарь не соответствует действительной длине года. Од-
нако более внимательное изучение табл. 2 показывает, что
все четыре точки предваряются отнюдь не с одинаковой
скоростью; сильнее всех сдвинулась точка лета, слабее
всех — точка зимы, и разность в их предварениях за 6000
лет составляет заметную величину 5d,18. Отсюда ясно, что
мы не многого добьемся простым изменением календаря.
Представим себе, что последовательные годы нанесены
на линейку, подобно тому, как наносятся на нее единицы
длины, и пусть в каждом из этих лет отмечены основные
точки весны, лета, осени и зимы. Тогда окажется, что на
нашей линейке нет двух годов, четыре отрезка которых бы-
ли бы между собой соответственно равны. От года к году
эти части непрерывно и неодинаково меняют свою длину,
и когда они расширяются или сжимаются, то всегда нерав-
номерно, так как каждая из основных точек предваряется
с особой, отличной от других, скоростью; отсюда видно
также, что не вполне безразлично, измерять ли какой-ни-
будь длинный промежуток времени годами, начинающимися
и кончающимися весенними равноденствиями (назовем их
просто весенними), или же годами, начало и конец которых
считаются в точке осени (осенними): табл. 2 показывает,
что 6000 осенних лет (иными словами, 6000 видимых обо-
ротов Солнца, начало и конец которых в точке осени)
длились почти на целых четыре дня больше, чем 6000 его
оборотов от и до точки весны. (Первые продолжались 6000
лет noj Збб1/^ дней без 43d,93, вторые столько же дней без
47d,53, откуда и вытекает сказанное.)
При этих условиях надо определить окончательным об-
322
разом, что именно подразумевает астроном под словом сол-
нечный год. Это можно без труда выяснить, пользуясь
все той же табл. 2. В самом деле, установим, сколько длился
весенний год в эпоху —4000. Мы видим, что за 500 лет он
укоротился против принятой в таблицах его длины, т. е.
3651/ц дней, на 4,04 дня; значит укорочение в год составляло
4d,04/500 = 0d,00808. Поэтому длина весеннего года рав-
нялась 365d,25 — №,00808 = 365d,24192. Рассуждая так
же в отношении осеннего года и для этой же эпохи, полу-
чим укорочение 3d,39/500 = 0d,00678; следовательно, дли-
на осеннего года была 365^,24322. Теперь проделаем такое
же вычисление для последней строки таблицы, переведем
полученные десятичные дроби дня в часы, минуты и се-
кунды и сопоставим все результаты.
Таблица 3
Длина солнечного года
Эпоха —4000 +2000
Весенний год Осенний год 365^24192 365</5ft48m22s 365,24322 365 5 50 14 365^24238 365</5ft49m2s 365,24202 365 5 48 30
Среднее 365,24257 365 5 49 18 365,24220 365 5 48 46
Данные, приведенные в табл. 3, позволяют нам сказать:
длина солнечного года есть величина почти постоянная;
за 6000 лет весенний год удлинился всего на 40s; осенний
же укоротился на lm44s. Основной астрономический факт
неизменяемости длины года, который мы уже отметили,
пользуясь табл. 1, теперь подтвержден со всей возможной
точностью. Мало того, если мы возьмем для каждой эпохи
среднюю величину между продолжительностью обоих го-
дов, весеннего и осеннего, то увидим, что эта средняя из-
меняется еще медленнее, чем каждый из них в отдельности:
именно, за 6000 лет средняя величина, проставленная в
третьей строке нашей таблицы, укоротилась на 32s, или
по 5s,4 на тысячелетие. Теперь остается сказать, что в
астрономии под длиной солнечного года подразумевается в
сущности эта средняя величина, которой дано название
тропического солнечного года. Для всех наших дальнейших
11*
323
вычислений мы будем считать ее практически совершенно
постоянной и примем равной
365^,2422 = 365^,5М8М6\
Продолжительность тропического года есть одна из
основных величин современной науки и самая важная в
учении о календаре. В дальнейшем нам предстоит выяс-
нить, путем каких приближений и с какой точностью она
выявляется в действующих или предложенных типах сол-
нечных календарей.
3. ГОДИЧНЫЕ ВОСХОДЫ И ЗАХОДЫ ЗВЕЗД
Изучение годичного обращения Земли вокруг Солнца
выяснило нам астрономическое, а следовательно, и кален-
дарное значение четырех основных моментов солнечного
года; в дальнейшем мы встретим календари, в которых это
значение выявлено уже тем, что самое начало года, т. е.
«Новый год», положено на один из этих дней. Но то же го-
дичное обращение Земли связано с другим рядом небесных
явлений, игравших немаловажную роль в астрономии древ-
них, а в частности, и в деле развития календаря; эти явле-
ния относятся к видимой в ту или иную пору года картине
звездного неба, в особенности к восходам и заходам звезд.
В основе их лежит следующий факт: то расположение
звезд над горизонтом, которое можно наблюдать, например,
сегодня в 10 час. вечера, через месяц будет видимо на небе
на два часа раньше, в 8 часов; в этот момент те же самые
звезды будут восходить и те же заходить, что и при первом
наблюдении. Через два месяца исходная картина будет
видима в 6 часов, а через 12 месяцев снова в 10 час. вече-
ра; таким образом, за год произойдет полный годичный обо-
рот явлений звездного неба, связанных с движением Зем-
ли. Он объясняется тем, что обращение Земли вокруг Солн-
ца вызывает кажущееся движение его между звездами от
запада к востоку, как бы навстречу суточному движению
звезд над горизонтом, которое, в свою очередь, объясняется
суточным вращением Земли вокруг ее оси. Если, например,
допустить, что сегодня звезда и Солнце восходят одновре-
менно, то завтра в момент восхода звезды Солнце будет на-
ходиться несколько восточнее ее, а так как время мы счи-
таем по Солнцу, то второй восход ее по нашим часам про-
324
изойдет несколько ранее первого. Длинный ряд наблюде-
ний показал, что это ускорение звезд перед Солнцем со-
ставляет около 4Щ в день, точнее Зш56\
Одним из следствий этого будет следующее явление:
каждая звезда однажды в году будет восходить при заходе
Солнца; один раз заходить при его восходе; однажды вос-
ходить вместе с ним и, наконец, раз в году вместе с ним
заходить. Эти восходы и заходы, в отличие от ежедневных,
так сказать обыкновенных, называются годичными.
Для уяснения их чередования приведем сейчас пример
этой последовательности явлений, оговариваясь только,
что предсказывать их на основании вычислений — дело
малонадежное, так как восходы и заходы звезд наблюдают-
ся плохо — в тумане горизонт и атмосферные, не поддаю-
щиеся учету условия могут видоизменить всю картину.
Для примера я выбираю яркую звезду а в созвездии
Девы (называемую Колосом, Spica) и прослежу ее восходы
и заходы на средней широте России (широта 50°).
В начале года звезда восходит около полуночи; она вид-
на всю ночь, от своего восхода до утренней зари. Однако
с каждым днем ее восходы происходят все раньше и раньше,
с ночи переходят, как объяснялось выше, на вечерние ча-
сы. Наконец, настанет день (5 апреля), когда мы еще уви-
дим восход звезды при вечерней заре (положение Л), но
на следующий день в момент восхода Колоса Солнце бу-
дет уже слишком близко к горизонту (положение А') и
*
Рис. 2. Последний видимый В
вечерний (акронический )
восход
звезда потонет в его лучах; ясно, что то же самое произой-
дет и в последующие дни. Итак, 5 апреля наблюдался пос-
ледний видимый восход звезды (рис. 2).
Всю эту пору года (январь — март) мы не можем наб-
людать заходов звезды; она подходит к западной стороне
неба засветло и заходит в январе около полудня, в нача-
ле марта около 10 час. утра. Но постепенно эти заходы про-
двигаются к ранним утренним часам, подходят к восходам
Солнца; наконец, наступит день, когда в момент захода
Солнце будет уже стоять достаточно низко под горизонтом;
325
это будет 5 мая (положение В). Ясно, что на следующий
день, в момент ее захода, Солнце будет еще ниже под го-
ризонтом (положение В'), и что с каждым днем условия бу-
дут еще более благоприятны для наблюдения захода звез-
ды; мы говорим, что 5 мая произошел первый видимый за-
ход (рис. 3).
3 Рис. 3. Первый видимый
утренний ( космический )
заход
После 5 мая заходы звезды будут отодвигаться с утрен-
ней зари все глубже в ночь; в июне они будут происходить
около полуночи; следовательно, в это время звезда будет
видна от вечерней зари до своего захода; но восходов ее
наблюдать будет нельзя. Затем постепенно заходы подой-
дут с ночи на вечерние часы, приблизятся к заходу Солнца.
1 сентября заход звезды произойдет еще после Солнца (по-
ложение С), но на следующий день в момент ее захода Солн-
це будет уже стоять в горизонте (положение С') и самого яв-
ления захода наблюдать будет нельзя; то же самое в после-
дующие дни; следовательно, 1 сентября был последний ви-
димый заход (рис. 4).
Рис. 4. Последний видимый
вечерний (гелиакический)
заход
После этого в течение около двух месяцев мы звезды не
увидим вовсе: она заходит раньше Солнца, восходит поз-
же него, и весь свой путь над горизонтом проходит в свет-
лую пору дня. Но в это-то время, незаметно для нас, вос-
ходы звезды отступают к утру; наконец наступает день,
именно 30 октября, когда при восходе звезды Солнце бу-
дет уже под горизонтом (положение £>); на следующий
день оно будет в тот же момент еще ниже (положение £>'),
значит в последующие дни еще легче будет наблюдать вос-
ход. Поэтому 30 октября будет днем первого видимого
восхода звезды (рис. 5). После этого восходы уходят глуб-
же в ночь и явления снова описывают свой годичный круг 4.
326
Точно таким же образом, как сейчас показано с Колосом
Девы для Харькова, можно проследить восходы и заходы
любой заходящей звезды во всяком другом месте наблюде-
ния; мы и тут найдем период, именно промежуток между
последним видимым заходом и первым видимым восходом,
когда звезда как бы совершенно скрывается от наблюдателя.
Но современный наблюдатель без всякого напряжения
ждет этого первого появления звезды в лучах утренней
зари, или, как говорили древние, ее гелиакического (от
слова Гелиос — Солнце) восхода. Для него это простые кар-
тины, «явления» неба, лишенные особого астрономического
интереса и научного значения. Да и наблюдаются они, как
сказано выше, довольно плохо.
Перенесемся, однако, в другие эпохи; возьмем римский
календарь, уже реформированный Юлием Цезарем. В нем
мы найдем почти на каждый день года указание, какая
именно звезда или созвездие в тот или другой день должны
иметь первый или последний годичный восход или заход.
Так, например, в римском ноябре (выписывая даты как
они считаются теперь, а не как их называли римляне)
находим: 2-е — заход Арктура; 3-е — восход малой Лиры;
7-е — заход Плеяд и Ориона; 8-е — восход блестящей
Скорпиона и т. д.
Какой смысл имели эти указания в календаре? Откуда
они появились в нем? Они вошли в него от жизни и труда.
Земледелец в распределении своих работ не знал никакого
*
Рис. 5. Первый видимый g g
утренний (гелиакический) U ?
восход
писаного календаря; едва ли он умел вести правильный
счет дней по сложной технике римских фаст (так называ-
лось то, что сейчас именуется словом календарь): все это
было делом ученых и жрецов, трудное и таинственное де-
ло, к которому не просто было подойти. Но земледелец
знал, что, когда впервые поутру восходят Плеяды, начи-
нается время жатвы, с восходом Арктура — сбор виногра-
да, с первым видимым заходом Ориона — посев озимых
и т. д. В этой постоянной, полной внутренней закономер-
ности смене созвездий на горизонте заключался его не-
писаный, природный, аграрный, если можно так выразить-
327
ся, календарь; он жил по восходам и заходам ярких звезд,
как бы по вехам, поставленным небом на протяжении года.
И для мореплавателя, который не имел других способов
ориентировки на море, кроме звезд, восходы и заходы тоже
должны были иметь немаловажное значение. Вот почему
этими явлениями полон римский календарь. И чем дальше
мы пойдем в глубь веков, тем больше будет значение этих
явлений в деле счисления времени вообще.
Во времена вавилонской династии города Ур (2500 лет
до н. э.) один из месяцев носил название «посланного боги-
ней Иштар»; в этом месяце должен был происходить первый
утренний восход Колоса Девы — созвездия, которому у
вавилонян приписывалась роль «возвестителя произраста-
ния плодов».
Но, разумеется, этот месяц Иштар (в позднейшее время
он назывался месяцем новых — подразумевается — плодов)
оправдывал свое название только тогда, когда первый вос-
ход Колоса приходился на пору всхода полей; и если этого
не случалось, если их лунный календарь расходился с при-
родой, вавилоняне по мере нужды вставляли в год лишний,
добавочный месяц, чтобы согласовать таким образом те-
чение года природы и движение календаря. Отсюда ясно
огромное значение этих астрономических наблюдений на
заре культур в деле разработки календарных форм.
Но, более того, именно наблюдения гелиакических,
т. е. первых видимых, восходов самой яркой звезды всего
небосклона — Сириуса привели древних наблюдателей к
фундаментальному выводу, что солнечный год не может
быть равен целому числу дней, а превышает 365 дней при-
близительно на одну четверть дня. Это познание было делом
египтян, и от них оно распространилось на древний мир.
4. ЕГИПЕТСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
В долине Нила, т. е. в полосе плодородной земли, ши-
риной от 5 до 30 верст, которая на протяжении 3000 верст
тянется от Средиземного моря до центра Африканского ма-
терика, в течение тысячелетий развивалась жизнь народа,
место которого во всей семье прочих человеческих рас с
точностью еще не установлено. Этот народ обладал огром-
ным художественным дарованиемб, жгучей фантазией в
области мифотворчества, волшебства и магии, поразитель-
328
ным консерватизмом как в отношении устройства своей жиз-
ни, так и во всех своих учениях и верованиях. Его мысль,
по-видимому, особенно напряженно работала над пробле-
мой смерти и времени и искала выхода в таких формах
культа, которые могли, по их суждению, предопределить ин-
дивидууму победу над смертью и вечное бытие. Так, фараон,
как царь, уходит в вечность постройкой огромных пирамид
и дворцов; как отдельный человек — он и все прочие спа-
саются необычайно сложным погребальным ритуалом и
предохранением останков от уничтожения; ясно, что при
такой окраске мышления мы должны встретить и упорную
работу над проблемой счисления времен.
Этот народ, столь особенный по своему темпераменту,
жил среди природы, единственной в мире и которой он
никоим образом не мог понять.
Египет — дар Нила. Все его существование и благо-
денствие было связано с рекой; не будь ежегодных ее раз-
ливов, культурная полоска «черной земли» (как египтяне
называли свою страну) слилась бы с окружающей пусты-
ней. Самое название реки имеет общий корень с такими по-
нятиями, как «таинственный», «загадочный»; однако проис-
хождение слова «Нил» совершенно не выяснено.
Откуда Нил берет свое начало, египтяне не знали и знать
не могли *; чем вызваны его разливы, для них, конечно, то-
же было загадкой; ведь еще великий астроном Птолемей
во II в. н. э. полагал, что они вызваны таянием снегов не-
ких мифических гор 7. Но эти разливы происходили еже-
годно с незапамятной древности и притом с неизменной
правильностью; египтяне следили за ними с отдаленней-
ших эпох — отметки высот реки находятся на памятниках
времен 3 500 лет до н. э. Разливы Нила не только обуслов-
ливали урожай и все течение хозяйственной жизни страны:
они же вызывали к жизни и технику, ибо иногда после раз-
лива надо было перемежевывать участки, ввиду чего раз-
вивалось землемерное искусство, связанное с основами
геометрии. С ними же, несомненно, были связаны и первые
астрономические наблюдения.
Действительно, и в настоящее время Нил разливается
в самое время летнего солнцестояния. В календаре коптов
(это чистые потомки древних египтян, принявшие хрис-
тианство в V в. и не смешавшиеся с арабами) от времен фа-
раонов и до наших дней сохранились особые праздники
Нила. Так, например, ночь на 17 июня (по нашему счету)
329
называется «Ночью слезы», ибо в эту ночь, по учению древ-
них, слеза богини Изиды падает в реку и вызывает ее раз-
лив. Около 21 июня, т. е. в самые дни солнцестояния, в
Каире начинается подъем реки; с 3 июля глашатаи объяв-
ляют горожанам высоту воды; последующий ход разлива
связан с другими праздниками и обычаями, о которых здесь
нет основания говорить. Но это примечательное — и трудно
объяснимое — совпадение разлива с солнцестоянием, эта
связь жизни Нила, жизни всей страны с одним из основных
и легко наблюдаемых моментов годового солнечного круга,
не могли не приковывать внимания всех, кто в эти отдален-
ные времена уже думал над окружающей природой.
К этим впечатлениям в довольно далекие эпохи еги-
петской истории присоединялось еще одно: во время солн-
цестояния и, следовательно, около времени разлива реки
происходило и первое утреннее появление Сириуса, его
первый гелиакический восход. Вслед за последним види-
мым заходом эта блестящая звезда в течение двух с полови-
ной месяцев в Египте вовсе невидима; но к солнцестоянию,
когда Солнце жгло пустыни со своей наибольшей высоты,
над горизонтом вновь показывалась самая яркая звезда
неба в лучах утренней зари.
В истории Египта все так необыкновенно, что здесь исто-
рики и астрономы совершенно спокойно переходят из ты-
сячелетия в тысячелетие, предполагая, что примерно за
3 500 лет до н. э. уже созрела достаточно сложная культура,
сохранившаяся потом на много веков. Если мы примем,
что простейшие астрономические наблюдения начались
действительно так давно, то следует прежде всего вычислить,
в какие именно дни в различные эпохи египетской истории
мог наблюдаться первый утренний восход Сириуса. Это дано
в табл. 4, вычисленной для широты Мемфиса, культурного
центра древнего Египта (развалины его вблизи Каира,
30° сев. широты); в ней показано, за сколько дней до или
после солнцестояния происходил первый видимый восход
Сириуса, а затем и самая дата этого явления в обыкновен-
ном юлианском календаре (египтяне, конечно, им не вла-
дели); числа третьего столбца получены сочетанием чисел
второго столбца с датами солнцестояний, взятыми из табл. 2.
Приводя эти данные, мы вновь оговариваемся, что наб-
людения первых восходов существенно зависят от условий
метеорологических; это особенно важно именно в Египте,
где утренний горизонт окутан испарениями. Кроме того,
ззо
Таблица 4
Первый видимый восход Сириуса в Египте
Эпоха Число дней до или после солн- цестояния Дата восхода Эпоха Число дней до или после солн- цестояния Дата восхода
—4000 -6?6 Июль 19,2 —1500 +12,3 18,8
-3500 —3,2 19,0 —1000 +16,4 18,9
—3000 +0,4 18,8 —500 +20,7 19,1
—2500 +4,2 18,7 0 +25,2 19,5
-2000 +8,2 18,7 +500 +29,7 Июль 19,8
надо представить себе, что самое явление первого восхода
есть, в идеальном случае, явление мгновенное: не успеет
звезда блеснуть над горизонтом, как она должна уже
погаснуть в солнечных лучах; поэтому ясно, что вместо
первого восхода легко может быть наблюдаем только вто-
рой или третий; следовательно, приведенные здесь числа
не доказывают, что египтяне действительно наблюдали
этот восход именно в показанные дни. Наконец, все вычис-
ление основано на традиционном (идущем от Птолемея)
положении, что звезды первой величины видимы на первом
восходе — в тот момент, когда Солнце поднимается на 1Г
под горизонтом.
Так или иначе, наши числа констатируют, что около
эпохи —3000 первые восходы звезды фактически совпада-
ли с солнцестоянием, а следовательно, и с началом разли-
ва реки. Получалось действительно удивительное сочета-
ние этих трех явлений, и оно произвело свое впечатление
на народ. Сириус, или Сотис (как потом выговаривали гре-
ки его египетское название), получил совершенно исключи-
тельное значение в миропонимании египтян; своим появле-
нием он как бы вызывал благодатный разлив; его отож-
дествляли с Изидой и приобщили к культу бога Озириса.
В одном из текстов эпохи пирамид (2900—2750 гг. до н. э.)
в обращении к этому божеству говорится: «Сотис, дочь твоя
любимая, которая создала твои плоды (т. е. наводнениями
производит пищу), она же годом называемая ведет к тебе
такого-то (умершего) л когда он является перед тобой».
Здесь же следует отметить и ряд надписей, относящихся
к значительно более поздней, именно греко-римской эпохе
331
(рис. 6); они находятся в знаменитом храме богини Хатор
в Дендере, начатом постройкой при последних Птолемеях и
законченном только при императоре Тиберии (14—37 гг.
н. э.). Перевод их гласит:
1. Божественная Сотис вызывает Нил к началу года.
2. Сотис, великая, блистает на небе, и Нил выходит из
обоих (его) источников.
3. Божественная Сотис производит разлив Нила в его
верховьях.
Все эти тексты показывают, насколько глубоко связан
был Сириус с мыслью египтян на протяжении тысячелетий.
Рис. 6. Иероглифические тексты — календарные надписи
Немудрено, что на почве этих представлений вырабаты-
вался сложный культ обожествленной звезды с различны-
ми обрядами и празднествами, последний отзвук которых
мы имеем в календаре коптов.
Для нас сейчас важно отметить, что год египтян есть
год Солнца, Нила игСириуса, как бы спаянных в своем
возвращении между собой. Счисление времени по солнеч-
ным годам велось в Египте с незапамятных времен; эти сол-
нечные годы в определенную эпоху начинались с восходом
Сириуса; его первое явление было как бы астрономической
маркой начала года.р
Правда, табл. 4 показывает, что такое идеальное соотно-
шение не осталось навсегда; постепенно Сириус расходился
с Солнцем и Нилом; к эпохе расцвета египетской монархии
(XVIII династия, около —1500) его восход уже происходил
332
на 12 дней позже солнцестояния; к VI в. до н. э.— на 20
дней. Но Аля египтян это чрезвычайно медленное расхожде-
ние Сириуса с солнцестоянием есть факт второстепенный, ве-
роятно, даже не вполне усвоенный; год природы для них
всегда год Сириуса; фиксировать его восходы в календаре —
значило бы для них построить правильный солнечный ка-
лендарь. Как же могла быть решена эта задача в схеме еги-
петского календаря?
Дело в том, что этот календарь был самый простой и ра-
дикальный, какой только можно вообразить; Луна в нем
не играла роли, во всяком случае явной. Календарной еди-
ницей времени был год в 365 дней; он делился на 12 меся
цев, по 30 дней в каждом 8; за 12 месяцами считалось 5 до
бавочных дней («те, что над годом»; у греков эти дни носили
название «эпагомен»). Каждый месяц делился на три де-
кады 9, по 10 дней в каждой; каждая из 36 декад была по-
священа особому мифическому «декану»; их строгий хоро-
вод изображен на многих египетских памятниках астрономи-
ческого, или, вернее, астрологического, содержания. На-
сколько такой календарь проще нашего, с его совершенно
абсурдными месяцами в 28, 29, 30 и 31 день!
В таких годах, по 365 дней, египтяне вели счет времен
из столетия в столетие; читатель согласится, что, само по
себе взятое, определение длины года в 365 дней есть очень
крупное научное завоевание: это действительно есть целое
число дней, наилучшее подходящее к точной длине астро-
номического солнечного года (365^,2422); но так как это
число меньше действительной продолжительности года, то
легко выяснить, что от этого должно происходить.
Чтобы сделать это вполне наглядным, возьмем другой
пример: пусть кто-нибудь измеряет длину, равную двум
аршинам, неправильной аршинной линейкой, которая раз-
делена на 16 равных частей, но длина которой,— что ему
неизвестно,— в действительности составляет 15 вершков.
Отложив свою линейку два раза, измеритель найдет еще
остаток, который, как нетрудно видеть, составит 2 2/Х5 де-
ления его линейки. Следовательно, в его слишком короткой
мере данная длина оказалось больше надлежащей ее ве-
личины, ушла, если так можно сказать, вперед. Точно так
же, если годы, в каждом из которых больше 365 дней, я
буду измерять годами в 365 дней, то всякий момент, точно
фиксированный в действительном солнечном году, в моем
слишком коротком календаре уйдет вперед. Наоборот, в
ззз
слишком длинном календаре явления действительного года
будут отставать. Поэтому, если египтяне, начав однажды
год с солнцестояния, считали затем в годах всегда по 365
дней, то солнцестояние в этом календаре должно было бы
непрерывно продвигаться вперед, т. е. с первых чисел пер-
вого месяца постепенно переходить на следующие, и т. д.
Так как на каждом году они делали ошибку в 0,2422
дня, то в 100 лет солнцестояние в их календаре смещалось
на 24 дня вперед, в 1 000 египетских лет уходило на 8 мес.
и 2 дня вперед. Таким образом, начало египетского года
постепенно продвигалось вперед по всем месяцам, с лета на
осень, зиму и весну; по этой причине год египтян получил
впоследствии название блуждающего. И египтяне сами,
несомненно, познали этот особый характер их летоисчисле-
ния в отношении Солнца. Но он раскрылся им численно
не из наблюдений Солнца (до чего их искусство не дошло),
а все из тех же наблюдений первых восходов Сириуса—
Сотиса.
Действительно, третий столбец табл. 4 раскрывает чрез-
вычайно любопытное обстоятельство: на широте Мемфиса
первый восход Сириуса, если считать в нашем обыкновен-
ном календаре, в течение тысячелетий держался на одной
и той же дате, именно на 19 июля. Такое строгое постоян-
ство гелиакического восхода вовсе не должно иметь места в
любых широтах и для любой звезды. То, что мы видим здесь,
есть скорее исключение; даже для других пунктов Егип-
та такого абсолютного постоянства установить нельзя. Од-
нако именно из вышеприведенного факта и сделаны выво-
ды, давшие нам в конце концов правильный календарь.
Действительно, мы можем сказать так: календарь, в
котором построена табл. 4, предполагает, что длина года
составляет 365 х/4 Дня. Так как в этом календаре восходы
Сириуса в течение огромных промежутков времени держат-
ся почти в точности на одной дате, на 19 июля, то я могу
сказать, что от одного утреннего восхода Сириуса до дру-
гого проходит ровно 365 */4 дней; иначе, как мы видели, это
явление передвинулось бы в календаре либо вперед, либо
назад. Условимся теперь промежуток времени между
двумя первыми восходами Сириуса называть годом Си-
риуса. Мы можем тогда высказать следующее положение:
год Сириуса есть промежуток времени, в точности равный
365 х/4 дням 10, подразумевая при этом, конечно, что дело
идет о наблюдениях на параллели 30° сев. широты в эпо-
334
хи от —4 000 до начала нашей эры приблизительно. А это
положение в свою очередь приводит нас к такому основному
факту: за каждые четыре блуждающих года первый утрен-
ний восход Сириуса продвигается в египетском блуждаю-
щем году ровно на один день вперед.
Для нас это совершенно ясно арифметически, ибо
365 V4 X 4 = 365 х 4 + 1;
но посмотрим, как могли наблюдать это явление сами егип-
тяне и предположим, что в 1-й день какого-либо определен-
ного египетского года (1-е число первого месяца Тот) вос-
ход Сириуса происходил в ЗЧО"1 утра (это приближенно
соответствует его восходам в Мемфисе, около времени лет-
него солнцестояния, в эпоху —3000).
Таблица 5
Восходы Сириуса в египетском календарном году
Дата 1-й год 2-й год 3-й год 4-й год 5-й год
1-е Тот 3A41w bhi£m
2 » 3 36 3 37 3 38 3 39 3 40
3 » 3 32 3 33 3 34 3 35 3 36
4 » 3 28 3 29 3 30 3 31 3 32
В табл. 5 показано, когда происходило явление в пос-
ледующие дни того же года, а затем и в одноименные дни
следующих египетских лет. Если предположить идеальный
случай видимого восхода, т. е. что звезда, взойдя в ЗЧО"1,
мгновенно гаснет в лучах зари, то ясно, что на второй год
мы этот восход увидим в день 1-е Тот, но уже во всяком слу-
чае хуже, чем в первом году, ибо к восходу звезды Солнце
будет уже несколько ближе к горизонту, чем в первом
году. На второй и третий год мы первого восхода в день
1-е Тот не увидим вовсе; звезда восходит, когда Солнце
уже две или три минуты ярко освещает небосклон; но
затем на пятом году мы снова будем иметь возможность
увидеть первый восход при тех же самых условиях, т. е.
с той же самой отчетливостью, что и в первом году
(в ЗЧО'"); иными словами, первый восход продвинется в
блуждающем году за четыре года на один день вперед.
335
Читатель сразу заметит, что именно нужно сделать,
чтобы восход в 3Л40т продолжал бы оставаться на 1-м
Тот. Для этого нужно, очевидно, к концу четвертого года
прибавить один лишний (366-й) день; тогда тот день, кото-
рый называется 1-е Тот пятого года, назывался бы 366-м
(или лучше 6-м дополнительным) днем четвертого года;
2-е Тот пятого года называлось бы 1-е Тот пятого года, и
восход Сириуса на пятом году снова пришелся бы на 1-е Тот.
Нельзя сомневаться в том, что египетские жрецы уяс-
няли себе указанные здесь соотношения; но практического
выхода из них они не нашли; консервативный египетский
ум, очевидно, не вмещал понятия года с дробным числом
дней; в могильный склеп можно поставить 365 фигурок
(«ушебти»), из которых каждая должна работать за покой-
ного один день в году; поставить их 365 с четвертью, увы,
нельзя — так или иначе египетский год продолжал «блуж-
дать». Насколько такое блужданье было чувствительно для
обихода повседневной жизни,— это другой вопрос; за 60 лет
1-е Тот уходило на две недели от Солнца, Нила и от Сири-
уса; вероятно, это не очень бросалось в глаза, ибо даже Ге-
родот, посетивший Египет в V веке до н. э., не заметил это-
го свойства египетского года, а, напротив, отдавал дань его
простоте и постоянству, ставя его гораздо выше запутан-
ного греческого лунно-солнечного календаря.
5. ПЕРИОД СОТИСА. АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ ГОД
Продвигаясь в календаре, как было показано, первый
восход Сириуса должен был, очевидно, через известный про-
межуток времени вновь прийти к началу календарного го-
да (1-е Тот). Этот период установить нетрудно. Чтобы
обойти все 365 дней египетского года, требовался проме-
жуток в 365 х 4 = 1460 лет. Поэтому, если в первый год
восход приходился на 1-е Тот, на 1460 год от начала, он в
последний раз попадал на последний день египетского го-
да, т. е. на его пятый дополнительный день. После этого
наступал 1461-й год, любопытный тем, что в нем первого
восхода Сириуса вовсе не могло быть — это очевидно, ибо
восход приходился на последний день предшествующего го-
да, значит, вновь поместиться в 1461-м году он не мог. На-
конец, в 1462 году восход снова попадал на 1-е Тот.
Таким образом, через 1461 египетских лет от начала, пер-
336
вый восход звезды вновь возвращался на свое место в ка-
лендаре; \этот период в греко-римскую эпоху получил наз-
вание «Великого года», «Божественного года», или, на-
конец, «Псового года» (Сириус — звезда в созвездии Боль-
шого Пса). Знали ли сами египтяне в древнейшие эпохи о
существовании подобного периода — вопрос еще открытый.
Во всяком случае, установив такой период, они должны бы-
ли бы прийти к правильному выводу в отношении длины
года Сириуса; ибо, в самом деле, если за 1461 г. звезда ухо-
дит на год вперед, то значит правильных лет, в которых вос-
ход звезды оставался бы неподвижным, было на один мень-
ше, т. е. 1460; следовательно, правильный год равен-
365 x 1461
—J460— = 365 1/4 дня.
Значит, не только из непосредственных наблюдений,
но и из хронологических сопоставлений могло быть полу-
чено приближенное значение длины солнечного года, го-
раздо более точное, чем первоначальное число 365.
Выведенное сейчас соотношение имеет очень большое
значение для египетской хронологии. Действительно, ес-
ли только установлено, на какой день нашего обыкновен-
ного календаря приходилось начало одного из таких перио-
дов, то начала всех других в том же обыкновенном кален-
даре получатся прибавлением или вычитанием 1460 лет.
Современные египтологи, основываясь на сведениях гре-
ко-римских авторов (надо сказать, достаточно противоре-
чивых), укладывают всю египетскую историю в четыре та-
ких «периода Сотиса»; их начала полагаются на следующие
даты: 19 июля 4241 г. до н. э.; 19 июля 2781 г. до и. э.;
19 июля 1321 г. до н. э. и 19 июля 140 г. н. э. Таким образом,
предполагается, что в каждую из этих дат первый утрен-
ний восход Сириуса на широте Мемфиса приходился на на-
чало подвижного египетского года, т. е. на 1-е Тот. (Эти
моменты возвращений 1-го Тот к гелиакическому восходу
Сириуса назывались у греков апокатастазами.)
Имея указанные соотношения, легко перевести дати-
ровку восхода Сотиса с египетского календаря на наш.
Так, например, если в памятнике сказано, что в 7-й год
царствования такого-то фараона праздник Изиды, т. е.
все тот же первый восход Сириуса, пришелся на 16-е
число восьмого месяца, и если известно, что это относится
ко второму периоду, то нетрудно установить, что дата это-
337
го гелиакического восхода Сириуса есть 19 июля, 1877 г.
до и. э. Каждая такая датировка по Сотису являемся крае-
угольным камнем египетской хронологии. К сожалению,
их известно немного.
В позднейшие эпохи египетской истории неудобства
блуждающего года стали, по-видимому, слишком заметными.
В связи с этим необходимо отметить попытку реформы ка-
лендаря, совершенно аналогичную той, которая значи-
тельно позже была осуществлена Юлием Цезарем. В 1866 го-
ду в развалинах одного храма в дельте Нила была найдена
плита с «триязычной» надписью (иероглифическим пись-
мом, более простым египетским шрифтом и по-гречески),
имеющей важное значение в истории календаря. Это так
называемый канопский декрет, данный одним из царей ди-
настии Птолемеев (Птолемеем Эвергетом); дата этого па-
мятника определяется точно: 7 марта 238 г. до н. э. В нем
говорится, между прочим, следующее:
«...Дабы времена года неизменно приходились как
должно по теперешнему порядку мира, и не случалось бы
то, что некоторые из общественных праздников, которые
приходятся на зиму, когда-нибудь пришлись на лето,— так
как звезда [Сириус] за каждые четыре года уходит на один
день вперед,— а другие, празднуемые летом, в будущее вре-
мя не пришлись бы на зиму, как это бывало и как будет
случаться, если год будет и впредь состоять из 360 дней и
пяти дней, которые к ним добавляют, то отныне предписы-
вается через каждые четыре года праздновать праздник богов
Эвергета после пяти добавочных дней и перед новым го-
дом, чтобы всякий знал, что прежние недостатки в счисле-
нии времен года и лет отныне счастливо исправлены царем
Эвергетом».
В этих предписаниях перед нами первый и притом от-
четливый проект системы високоса; мы разумеем под этим
правила для начисления через определенное количество
блуждающих лет одного лишнего или добавочного дня,
причем целью такого начисления является удержание астро-
номического явления (в данном случае первого восхода Си-
риуса) на одной и той же дате в календарном году. Год
Сириуса, это замечательное приближение к солнечному го-
ду, должен был заменить блуждающий счет. Впервые в
календарь вводится единица, средняя величина которой
состоит из дробного числа дней, именно Збб1/^; для нас это
кажется очень простым, но для древней мысли это был боль-
338
шой шаг йцеред. Однако эта правильно задуманная реформа
в жизнь не прошла; египтяне и после канопского декрета
продолжали вести счет лет по старинке, и только значи-
тельно позже император Август распространил на египет-
скую провинцию ту систему календаря, которую сами рим-
ляне при Юлии Цезаре заимствовали у египтян; таким об-
разом, система счета времени, являющаяся результатом
многовековых египетских наблюдений, была введена в дей-
ствие в самом Египте по приказу завоевателя.
Так или иначе, с тех пор и по настоящее время египтя-
не-христиане (копты) и абиссинцы ведут счет в так называе-
мых александрийских годах. В них, как и в древнем кален-
даре, год состоит из 12 месяцев по 30 дней; затем следуют
пять дополнительных дней, к которым один раз в каждые
четыре года добавляется еще шестой дополнительный день.
Нельзя не признать за таким календарем замечательной
ясности и простоты; в сущности значительно дальше его мы
сейчас не пошли: основные корни нашего календаря ле-
жат в долине Нила; они созданы культурой, последние жи-
вые следы которой уже совершенно исчезли с лица земли
около 2000 лет тому назад.
6. ЮЛИАНСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
В нашу задачу не входит подробное описание устройст-
ва римского календаря; это был тоже аграрный год, ослож-
ненный счетом дней по Луне. К эпохе республики римляне
считали годы по четырехлетиям и в них длина года после-
довательно равнялась 355, 355, 378 и 377 дням. Первые бы-
ли обыкновенными годами в 12 месяцев; из них семь по 29
дней, четыре по 31 и один в 28; последний был посвящен
подземным силам преисподней; все остальные имели нечет-
ное число дней — отзвук древней пифагорейской числен-
ной мистики, которая давала нечетным числам преимущест-
во над четными 1Х. Длинные годы получались прибавкой 23
или 22 дней после 23 числа февраля месяца; они назывались
вставочными днями (dies intercalares).
Если взять среднюю длину года в указанном периоде,
то она выйдет равной 366х/4 дням. В таком году, как
слишком длинном, явления естественного солнечного
года должны были быстро отступать назад; время от вре-
мени приходилось изменять систему вставочных дней,
чтобы не разойтись окончательно с годом Солнца; глав-
339
нейшие праздники языческой религии были глубоко свя-
заны с внешней природой и должны были приходиться на
определенное время года; таковы, например, «виналии»,
связанные со сбором винограда (осень) и с первым раз-
ливом перебродившего вина (весна). Но из этих случайных
вставок не выработалось никакой календарной системы;
они остались произвольным средством выравнивания ка-
лендаря, наблюдение за правильностью которого лежало на
верховном жреце (Pontifex Maximus) и его курии.
С этой формой счисления связано и самое слово «кален-
дарь»; оно происходит от латинского «са1ео»— выкликать,
и применялось первоначально для провозглашения первого
появления тонкого серпа луны после новолуния (об этом
см. ниже); но вместе с тем оно напоминает нам, что это са-
мое включение новых дней или вставка дополнительного
месяца объявлялись для всеобщего сведения по опреде-
лению жрецов. Все это имело достаточно большое полити-
ческое значение: высшие должности республики, в том чис-
ле и проконсульские, отдававшие огромные области в пол-
ное распоряжение правителя, назначались всегда на один
год. Шаткий календарь открывал тут возможность несколь-
ко продлить или сократить срок действия этих полномочий:
есть определенные указания позднейших греко-римских
историков, что те, кому было нужно и можно, пользовались
этим довольно элементарным приемом в своих целях. В
результате — полная путаница календаря. «Римские гене-
ралы,— писал Вольтер,— побеждали всегда, но они не
знали, в какой день они побеждали». Но последствия не-
определенного счисления времени сказывались не только в
календарных недоразумениях римских генералов: вся по-
литическая и экономическая жизнь страны, с ее сроками
податей, налогов и многими другими, естественно должна
была от этого страдать. В таких условиях реформа кален-
даря могла иметь значение острой социальной проблемы.
Описанное положение вещей было уничтожено только
при Юлии Цезаре. В 46 г. до н. э., занимая должность вер-
ховного жреца, Цезарь провел свою знаменитую и оконча-
тельную реформу римского календаря. Едва ли можно сом-
неваться, что эта реформа была крепко связана с мудростью
египтян; это видно из того, что сам Цезарь незадолго до упо-
мянутого года был в Египте; что, по словам некоторых позд-
нейших историков, он сам составил немаловажные сочине-
ния астрономического содержания (они до нас не дошли);
340
наконец, что в числе' его сотрудников по реформе был еги-
петский астроном Созиген.
Юлианская система имеет для нас огромное значение
прежде всего потому, что в ней была совершенно оставлена
первоначальная римская система лунно-солнечного счисле-
ния; юлианский календарь, как и египетский, есть чисто
солнечный: его задача держать определенные, фиксирован-
ные в календарном году моменты (народные празднества,
служебно-политические сроки) всегда на одних и тех же
временах года; он вовсе не имеет назначением держать пер-
вые числа каждого месяца около той или другой фазы Лу-
ны (с чем мы встретимся далее); его месяц с лунным месяцем
не имеет ничего общего. После юлианской реформы только
церковным календарям пришлось, в связи с пасхалией,
считаться с движением Луны; но для гражданской жизни
его значение в календаре было сведено на нет.
Солнечный год Цезаря — это все тот же хорошо извест-
ный нам год Сириуса, год канопского декрета; в нем
365!/4 дней; иными словами, на каждые четыре года по 365
дней присчитывается один лишний день; на каждые четыре
года полагается, следовательно, один високосный год.
Оставалось, кажется, одно: отказавшись от привязан-
ности к нечетным числам, рационально распределить дни
в подразделениях года. Но Цезарь, не желая, по-видимому,
окончательно порвать с традициями, сохранил для некото-
рых месяцев их прежнюю длину в 29 и 31 день, другие же
удлинил до 30 дней. Вставной день был включен в февраль,
в тот самый месяц, где раньше производились вставки 22
и 23 дней; по-римски это было второе 24 февраля 12; таким
образом, все месяцы получили ту именно длину, которую
они имеют до сих пор. Это компромисс между численным суе-
верием римлян и численной простотой египтян.
Начало года положено на 1-е января, т. е. на начало
одного из зимних месяцев, с которого еще и до Цезаря на-
чинался служебный римский год, и в частности, когда рас-
пределялись армии между консулами на предстоящие ве-
сенние походы. Чтобы перевести начало римского года на
зиму, Цезарю пришлось удлинить предшествующий год
на 90 дней, отчего он получил невероятную длину в 445 дней
(«год путаницы»— annus confusionis). В эпоху Цезаря зим-
нее солнцестояние приходилось на 24 декабря; с этого мо-
мента и было бы естественно начать счет лет в исправлен-
ном календаре. Но Цезарь, и тут не желая порвать с тра-
341
диционными формами, назначил начало реформирован-
ного года, его «1-е января», на первое новолуние после зим-
него солнцестояния (46 г. до н. э.).
Но уже с этого момента юлианский календарь получил
свое течение, совершенно независимое, как сказано, от дви-
жения Луны, и в течение 16 столетий, вплоть до реформы
папы Григория XIII, европейские народы не знали в сущ-
ности иной системы счета времени. Однако, довольно лю-
бопытно, что при самом введении юлианского календаря
обнаружилось, насколько идеи Цезаря носили чужезем-
ный и малопонятный римлянину характер: вместо того,
чтобы производить вставку добавочного дня «в каждый
четвертый год», жрецы назначали ее раз в три года (сам
Цезарь был убит на 2-м году после реформы); только при
императоре Августе эта ошибка была исправлена и год Со-
тиса окончательно утвердился в качестве основной едини-
цы хронологического счисления.
Тут мы расстаемся с Сириусом; но прежде заметим, что
в Италии его первый восход, приходившийся на первые дни
августа, знаменовал собой начало самой знойной поры го-
да, с ее болотными лихорадками и другими заболеваниями.
В эту пору происходил необходимый перерыв в трудах и
земледельца и горожанина; эти мучительные дни называ-
лись у римлян «каникулярные» (dies caniculares, от canis,
или canicula — пёс 13).
7. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
СОЛНЕЧНОГО КАЛЕНДАРЯ
Мы познакомились с двумя типами календарного сол-
нечного года: блуждающим египетским в 365 дней и юлиан-
ским в 3651/4 дней. Первый из них очевидным образом слиш-
ком короток и явления действительного солнечного года в
нем быстро продвигаются вперед. Читатель помнит, что
продолжительность действительного, или тропического, сол-
нечного года была найдена равной
365,2422 дням.
Поэтому и юлианский год, содержащий 365,25 дня, то-
же оказывается недостаточно точным; его длина больше
надлежащей, и моменты тропического года в нем неизбеж-
но отодвигаются назад, что мы видим на примере четырех
основных точек солнечного года по табл. 2.
342
Теперь мы ставим задачу: найти такой календарный
год, длина которого возможно лучше подходила бы к длине
тропического года; особенность ее состоит в том, что в
календарном году должно быть всегда целое число дней,
именно 365 или 366, но никак не 365 дней с дробью; значит,
эта календарная задача имеет только тот смысл, что тре-
буется установить такую последовательность чередования
годов в 365 дней (простых) и 366 дней (високосных), при ко-
торой среднее число дней, выведенное из данного ряда ка-
лендарных годов, возможно точнее подходило бы к указан-
ной длине тропического года. Эта задача решается в ариф-
метике приемом последовательного деления (алгорифм
Евклида).
Если принять календарный год равным 365 дням, то с
каждым таким годом допускается ошибка в 0,2422 дня.
Спрашивается: через сколько календарных лет эта ошибка
дойдет до одного целого дня? Ответ, очевидно, будет: через
1 10000 312
0,2422 “ 2422 “ 42422 года'
Отсюда ясно, что для уничтожения накапливающейся
ошибки нужно будет вставлять по одному дню через каж-
312
дые 4^2 года. Положим теперь, что мы будем произ-
водить эту вставку добавочного дня через каждые 4 года
ровно. В такой системе длина года выйдет равной:
365 1/4 дня. (1)
Вместе с тем ясно, что по нашему правилу добавочный
день вставляется слишком часто, так как ошибка в один
л 312 Л
день накапливается не в четыре, а только в 4^2 года>
значит, с каждым четырехлетием вставка производится на
^4^ года раньше, чем нужно. Спрашивается теперь: через
сколько четырехлетий вставка добавочного дня произойдет
на целый год раньше, чем нужно? Ответ будет: через
1 2422 „ 238
312 : 2422 = “312 = 7 312 четырехлетий.
Это означает, что правильнее будет, после того как пройдет
семь четырехлетий, прибавить один простой год, и только
после него начать новый счет семи четырехлетий. Тогда
343
получится такое распределение високосных лет:
1-й период
високосы 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, но 32 простой
2-й период
високосы 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, но 61 простой
В этой схеме после каждых семи четырехлетий простав-
ляется по одному лишнему простому году; таким образом,
получается период в 29 лет, из них 7 високосных и 22 прос-
тых. Можно сказать, следовательно, что после семи високо-
сов следующий полагается не на 32, а на 33 году, т. е. с
перерывом не в 4, а в 5 лет. Так как на каждые 29 лет у нас
прибавлено 7 лишних дней (в високосных годах), то сред-
няя длина календарного года в таком периоде составит:
365 7/29 дня. (2)
Теперь можно рассуждать так: нам надо было прибав-
238
лять один простой год через 7^ четырехлетия, но от-
нюдь не через каждые 7. Следовательно, с каждым 29-лет-
238
ним периодом мы прибавляем простой год на четырехле-
тия раньше. Спрашивается: через сколько периодов мы
произведем эту вставку на одно целое четырехлетие раньше?
Ответ гласит: через
1 312 , 74
238 : 312 ~ 238 — 1 238 пеРиода в 29 лет-
Отсюда ясно, что через каждый период выгоднее пере-
ставить вставной простой год (32-й) на одно четырехлетие
дальше, чем это делалось до сих пор, т. е. после 28-го ви-
сокосного года считать еще 32-й год високосным, и потом
только вставлять добавочный простой 33-й год. Тогда по-
лучится период другой формы, который мы назовем удли-
ненным, его вид будет таков:
1-й период
високосы 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, но 36 простой
2-й период
високосы 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, но 69 простой.
При такой схеме мы на каждые 33 года прибавляем 8
добавочных дней (в високосных годах); поэтому средняя
344
длина одного года в удлиненном периоде равна:
365 8/33 дня. (3)
Сделаем еще один шаг: нам было выгодно удлинять 29-
летний период до 33-летнего через каждые 1 периода;
но вместо этого мы пока удлиняем каждый 29-летний период
до 33 лет. Спрашивается: через сколько удлиненных перио-
дов у нас окажется на один краткий (29-летний) период
меньше, чем надо? Ответ будет: через
1 238 „ 16
. 23g = = 3 74 удлиненных периода.
Из этого мы заключаем, что еще правильнее будет пос-
ле каждых трех длинных периодов в 33 года оставлять один
краткий в 29 лет. Тогда получится схема нового периода,
который будет составлен так:
3 удлиненных периода по 33 года, всего 99 лет, в них
3 X 8 = 24 високоса,
1 короткий период в 29 лет, всего 29 лет, в нем 1x7 =
= 7 високосов.
Итого: один общий период в 128 лет, в нем 31 високос.
Средняя длина календарного года в этом общем периоде
будет
365 31/128 дня, (4)
так как на каждые 128 лет включен всего 31 дополнитель-
ный день в високосных годах.
Не продолжая наших вычислений дальше — читатель
проделает их без труда,— сопоставим полученные нами
определения средней длины года в различных системах
(1) . . . (4), причем для удобства сравнения напишем дро-
1 7 8 31
би Т’ 29’ 33’ 128 в десятичном виде; тогда получим:
(1) 365d,25000 + 0d,00780
(2) 365,24138 - 0,00082
(3) 365,24242 + 0,00022
(4) 365,24219 — 0,00001
Числа во втором столбце показывают избыток или
недостаток вычисленной длины года по сравнению с его
действительной величиной, именно 365d24220; обращаем
внимание на их замечательную особенность: величина (1)
больше надлежащей длины года, (2) меньше, (3) больше,
345
(4) меньше; но ошибки каждой из них идут, все время умень-
шаясь в численной величине; ошибка 4-й практически
равна нулю. Этот ряд величин, иными словами дроби -г,
7 8 31 ’
29’ 33’ 128’ называются в арифметике подходящими дро-
бями относительно дроби . Следовательно, все на-
ше изыскание наиболее правильного чередования про-
стых и високосных лет и составление из них периодов
равносильно вычислению подходящих дробей к исходной
дроби 0,2422. Каждая из найденных дробей дает такой пе-
риод, и к ним применима следующая весьма важная теоре-
ма арифметики: невозможно найти периоды, которые были
бы в данном случае короче 4, 29, 33, 128 лет и из которых
средняя длина года получилась бы точнее, чем из подходя-
щих дробей •р ?Rj, 5$ и (теорема Лагранжа).
Таким образом, мы получили четыре типа календарных
периодов или четыре системы високоса, именно:
(1) 4-летний период с 1 високосом;
(2) 29-летний период с 7 високосами;
(3) 33-летний период с 8 високосами;
(4) 128-летний период с 31 високосом.
Теперь возникает еще другой вопрос: какое распределе-
ние високосов внутри периода арифметически наиболее
целесообразно? Например, на каких местах 33-летнего пе-
риода лучше всего расставить его 8 високосных лет? Мы по-
кажем сейчас на примерах, что надлежащим расположением
високосов внутри периода можно достичь, чтобы начало ка-
лендарного года не отходило больше, чем на половину дня,
от начала среднего года, длина которого выведена из всей
длины данного периода.
Разъясним все это на периоде (1), который есть не что
иное, как уже известная нам система юлианского високоса.
Мы хорошо знаем, что в нашем календаре високосными счи-
таются годы, порядковый номер которых делится нацело
на 4, как, например, 1920, 1924, 1928 и т. д., или 0, 4,
8 и т. д. Если порядковый номер високосного года есть N,
то N должно быть кратным четырем, т. е. V = 4п, где п
любое положительное целое число.
Что происходит в такой системе? Допустим, что какое-
либо явление повторяется через промежуток времени, в
точности равный Збб1/* дням (или 365d6'1), и что в каком -
346
либо году (назовем его для определенности 4-м), Это со-
бытие произошло 20 марта в полночь, или в 0 часов, если
считать начало суток от полуночи. В какие дни и часы то
же самое явление будет наблюдаться в одноименные дни
последующих лет, видно из нижеследующей таблицы (звез-
дочкой отмечены високосные годы):
Год 4-й *, марта 20, 0 часов, ИЛИ март 20,00
» 5-й » 20, 6 » » » 20,25
» 6-й » 20, 12 » » » 20,50
» 7-й » 20, 18 » » 20,75
» 8-й » 20, 0 » » » 20,00
Способ составления таблички ясен: с каждым простым го-
дом явление 14 уходит на четверть дня вперед; с каждым ви-
сокосным оно отходит на 3/4 дня (18 часов) назад и потому
вновь возвращается к тому моменту, на который пришлось
в 4-м (начальном) году. Из этой же таблички усматривается,
что, располагая високосы на 4-м, 8-м, 12-м и т. д. годах от
начала, мы будем годы 3-й, 7-й, 11-й и т. д., т. е. годы, третьи
после високоса, начинать с ошибкой в 3/4 дня. Но я утверж-
даю, что если сделать високосными 3-й, 7-й, 11-й и следую-
щие годы от начала, то ошибка никогда не будет больше по-
ловины дня. Начав опять с 4-го года (который здесь будет
простым), получим следующие смещения начала среднего
года в календарном году:
Год 4-й, марта 20, 0 часов, или март 20,00
» 5-й » 20, 6 » » » 20,25
» 6-й » 20, 12 » » » 20,50
» 7-й* » 19, 18 » » » 19,75
» 8-й » 20, 0 » » » 20,00
Действительно, так как 7-й год положен високосным, то
явление сдвигается на 18 часов назад, т. е. с полудня 20
марта в 6-м году перейдет в 7-м году на 6 часов вечера 19
марта; таким образом, смещения будут: для 5-го года
+ 0^25; 6-го + (Н50; 7-го — 0d,25; 8-го 0^00, т. е. ошибки
календарного года по численной величине не превысят по-
ловины дня. Читатель легко увидит, что в этой системе ви-
сокосными годами будут уже не годы типа N = 4п, но ти-
па М = 4п + 3, иными словами, те, порядковое число ко-
торых при делении на 4 дает остаток 3.
Мы упоминали выше про календарь, которым пользуют-
ся современные копты, именно так называемый алексан-
347
Арийский счет; одна из его особенностей, смысл которой
только сейчас нам ясен, та, что високосными годами у них
полагаются как раз 3-й, 7-й, 11-й и т. д. их эры, т. е. года
типа 4п + 3. Таким образом, и в этом отношении их ка-
лендарь оказывается рациональнее европейских.
Перейдем теперь к более сложным периодам, например
к удлиненному периоду в 33 года, и поставим себе задачей
распределить его годы так, чтобы внутри периода ошибка
календаря против начала среднего года никогда не превы-
шала половины дня. Так как длина года, выведенная из
всего периода, равна 36 5 8/33 дня, то с каждым простым го-
дом я отбрасываю 8/33 дня; с каждым високосным прибавляю
лишних 1 — 8/33 = 25/33 дня. Поэтому, начав с ошибки О,
мы последовательно получим ошибки 8/33, 18/33 и т. д. Ус-
ловимся теперь, что всякий раз как ошибка будет пере-
растать 18/33 (т. е. половину дня), мы будем производить в
конце текущего года вставку, добавляя день, и тем самым
уменьшать нарастающую ошибку на 26/33, т. е. будем про-
ставлять високос на соответственное место периода.
Руководясь установленным правилом, легко составим
таблицу распределения ошибок к концу каждого года в пе-
риоде, причем для удобства письма мы выражаем их все
в 33-х долях дня, отбрасывая знаменатель. Таким образом,
получим следующую схему (табл. 6).
Таблица 6
Ошибки к концу каждого календарного года 33-летнего периода
в отношении среднего года, в частях дня
(звездочкой отмечены високосные годы)
Год Ошибка | | Год Ошибка | Год Ошибка | | Год Ошибка
1 + 8 9 + 6 17 +4 25 + 2
2 +16 10 +14 18 +12 26 +10
3* — 9 И * -11 19* —13 27* —15
4 — 1 12 — 3 20 — 5 28 — 7
5 + 13 + 5 21 + 3 29 + 1
6 +15 14 +13 22 +Н 30 + 9
7* —10 15* —12 23* —14 31* —16
8 — 2 16 — 4 24 — 6 32 — 8
33 0
348
Эта таблица показывает, что високосы будут стоять на
следующих местах:
3, 7, И 15 19 23 27 31, затем
36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64 ... и т.д.
Читатель обратит внимание на любопытную особен-
ность полученного ряда значений ошибок: к концу двух
годов, равно отстоящих от конца и от начала периода, ошиб-
ки равны между собой по величине и обратны по знаку.
Например, для 5-го года +7; для 28-го—7; для 15-го —
—12, а для 18-го+12 и т.д.
Совершенно аналогичным способом могут быть обрабо-
таны и другие календарные периоды, выведенные выше.
Считая ошибку в начале первого года равной нулю, мы к
концу последнего года, но не раньше, снова придем к ошиб-
ке ноль, и нигде во всем периоде она не превысит половины
дня.
Из приведенных примеров видно, что юлианский кален-
дарь, и именно в форме александрийского счисления, нашел
свое естественное место в арифметической теории солнечно-
го календаря. Другим календарем, основанным на той же
теории, был, как сейчас увидим, средневековый персидский
календарь.
8. КАЛЕНДАРЬ ОМАРА ХАЙЯМА
Проста и спокойна была жизнь этого человека, но уди-
вительна судьба его славы. Под покровительством школь-
ного товарища, ставшего впоследствии одним из первых го-
сударственных деятелей Персии, Омар Хайям (1050—1123)
провел зрелые годы своей жизни в занятиях математикой,
астрономией и поэзией. И если сейчас его научные творения
известны очень немногим специалистам, то его поэтическое
творчество (знаменитые рубаи) с середины прошлого столе-
тия стало необычайно популярно на Западе.
И вот этот поэт-астроном в 1074 г. получил от своего
Друга и покровителя Назима-уль-Мулька («устроитель го-
сударства») предложение произвести коренную реформу пер-
сидского календаря. Необходимость в ней ощущалась тогда
в Персии не только как отвлеченная проблема введения аст-
рономически правильного счисления времени, но и как прак-
тическая мера упорядочения административной и финансо-
349
вой жизни страны, несколько аналогично тому, что мы ви-
дели на примере Рима. Научная задача, которую при этом
надлежало решить, опять-таки сводилась к тому, чтобы най-
ти такую систему чередования високосов, при которой ка-
лендарь наилучшим образом был бы согласован с внешней
природой, и в частности, чтобы персидский Новый год
(«Науруз») всегда оставался бы на весеннем равноденст-
вии: с этого момента персы, как и большинство народов
Востока, начинали свой год. «В сердцах томленье будит
новый год»,— говорит Омар Хайям,— и это понятно, лишь
когда Новый год приходится на весну.
Следует заметить, что наступление весны в Персии про-
исходит с какой-то особенной стремительностью. «Прежде
чем снег сойдет окончательно с полей,— читаем у одного
путешественника,— деревья уже в полном цвету; на Нау-
руз снег еще лежал в тенистых долинах, а деревья уже бы-
ли покрыты почками и на равнинах везде зеленели цветы».
Новый год в Персии, действительно, связан с солнечным го-
дом: это праздник весны.
Итак, Омару Хайяму для решения поставленной задачи
предстояло: 1) определить момент наступления астрономи-
ческого равноденствия и 2) назначить систему високоса,
при которой Новый год продолжал бы совпадать с этим мо-
ментом. Оба вопроса были решены комиссией из восьми аст-
рономов и математиков, которые совершенно правильно,
после ряда специальных наблюдений, назначили исходное
весеннее равноденствие на 15 марта 1079 г. по нашему
счету. Этот день и есть начало реформированного календаря,
так называемой эры Джелал-Эдин; от него течет счет сол-
нечных лет по 365 и 366 дней в каждом. Для нас же сейчас
особенно интересно, что система распределения високосных
годов среди простых соответствует рассмотренному уже
удлиненному периоду в 33 года с 8 високосами. Такой цикл
(или круг, или период) есть календарный инструмент очень
большой точности. Действительно, средняя длина года
равна здесь:
8
365 зз — 365,24242 дня.
Сравнивая его с точным определением продолжитель-
ности тропического года, найдем избыток в (И,00022 ~198.
Таким образом, в этой системе равноденствие уйдет от своей
календарной даты на один день назад приблизительно через
35(
4500 лет. Ни о какой большей точности календарное счисле-
ние не должно и мечтать.
Читатель помнит, что сущность 33-летнего периода в
том, что семь раз кряду високос вставляется через каждые
четыре года, но на восьмой раз через пять лет, и что при
таком чередовании начало года внутри периода ни разу не
отойдет от равноденствия больше, чем на половину дня.
К сожалению, нам неизвестно, назначил ли Омар Хайям
именно такой порядок последовательности високосов или
какой-нибудь другой. Если же действительно верно, как
утверждают некоторые исследователи, что распределение
високосов в его периоде имело такой вид:
3, 7, 11, 15, 20, 24, 28, 32
затем
36 , 40 и т. д.,
т. е. с пропуском пятилетия внутри периода, а не в его
конце, то это должно привести к отступлению равноденст-
вия от начала года в четырех местах периода больше чем
на половину дня; в этом легко убедиться, составив таблицу,
подобную табл. 6. Однако для правильности всего счисле-
ния это особого значения не имеет: календарь астронома-
поэта есть один из самых точных солнечных календарей.
9. ПРОЕКТ МЕДЛЕРА
Остается сказать два слова о четвертом из найденных ка-
лендарных периодов, именно периоде в 128 лет с 31 високос-
ным годом. Он любопытен потому, что в юлианском кален-
даре в 128 годах заключается 128 : 4 = 32 високоса; зна-
чит, достаточно было бы на каждые 128 лет откидывать один
високос, чтобы прийти к арифметическому периоду, в кото-
ром средняя длина года составляет:
31
36512g = 365,24219 дня
и, следовательно, в пределах точности современной астро-
номии совпадает со средней длиной тропического года. Про-
ект подобного календаря был предложен в 70-х годах прош-
лого столетия профессором Медлером. Практически, конеч-
но, нечего было думать о проведении такой реформы в
жизнь в Европе и Америке в XIX веке: слишком прочно
351
укоренился тут юлианский и григорианский счет; но нас
интересует только арифметическая сторона вопроса. Если
обработать распределение ошибок в таком периоде, то уви-
дим, что можно избегнуть ошибки, большей половины дня,
скомбинировав этот большой период из 33-х и 29-летнего
в таком порядке:
1 период в 33 года с 8 високосами
1 период в 33 года с 8 високосами
1 период в 29 лет с 7 високосами
1 период в 33 года с 8 високосами
Такая последовательность високосов составляет ариф-
метически идеальный солнечный календарь: равноденствие
в течение тысячелетий продолжает оставаться на исходной
дате, и внутри каждого периода не отходит от своего на-
чального положения в календаре больше, чем на 12 часов.
Но было бы гораздо хуже, как предлагали некоторые, счи-
тать високосами года 4-й, 8-й, 12-й и т. д. до 124-го, а затем
делать 128-й простым, т. е. считать 31 високос подряд, а затем
пропускать 32-й. Тогда к концу 124-го года ошибка равно-
денствия сделалась бы равной целому дню, а после этого
шли бы восемь лет с одним високосом (именно, четвертым
годом нового периода), что совершенно не вяжется с приро-
дой солнечного года вообще.
10. КАЛЕНДАРЬ ФРАНЦУЗСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ
В 1793 г. постановлением Конвента был введен в дейст-
вие во Франции новый и своеобразный календарь. Каждое
из его правил являлось как бы протестом против установ-
ленной системы счисления времени и, больше того,— всего
быта; в особенности же этот протест был направлен против
папства и католической церкви, которыми был создан и раз-
работан во всех деталях действующий, так называемый гри-
горианский календарь.
Из этих правил особенно любопытными являются сле-
дующие: 1) начало года с 1 января переносится на день
осеннего равноденствия; первый год Французской респуб-
лики начинается 22 сентября 1792 г. 15; 2) год делится на
12 месяцев, по 30 дней в каждом; каждый месяц делится на
три декады 16; 3) за 12 месяцами следуют пять дополни-
тельных дней (они назывались эпагоменами, короткое вре-
352
мя—сан-кюлотидами); в високосных годах к ним при-
бавляется еще шестой добавочный день (любопытное
сходство с александрийским годом); 4) праздниками в году
считаются: 10-е, 20-е, и 30-е число каждого месяца, так
называемые декади; кроме того, 1-й день первого месяца
(1-е Вандемьер) и все дополнительные дни в конце года;
5) дни считаются от полуночи к полуночи и делятся на 10
равных частей (десятичный час); час — на 100 десятичных
минут, минута — на 100 десятичных секунд.
Особым свойством этого календаря является то, что
здесь не установлено наперед никакой системы високоса;
начало года определяется в нем каждый раз точным
астрономическим вычислением: год начинается в полночь
того дня, на который по среднему парижскому времени
приходится момент осеннего равноденствия. Действитель-
но, вычисление показывает, что в 1792 г. равноденствие на-
ступило 22 сентября в 9 ч. 10 м. утра по парижскому вре-
мени; в последующие годы оно могло приходиться либо на
22, либо на 23 сентября; и таким образом, год мог иметь
длину либо в 365, либо в 366 дней (такие годы назывались,
как и у нас, високосными — bissextile). Следовательно,
мы здесь имеем дело с примером астрономического солнеч-
ного календаря, вовсе не связанного на первый взгляд с
арифметической теорией. Но результат астрономического
вычисления может приводить, как достаточно выяснено в
предыдущем, только к тому, что високос вставляется либо
один раз на каждые четыре года, либо один раз в пять лет
(в этом последнем случае високосный год французского ка-
лендаря называется задержанным — sextile retardee).
И если мы теперь посмотрим, как фактически идет чередова-
ние простых и високосных лет в системе французского ка-
лендаря, то обнаружим любопытное обстоятельство: фран-
цузский календарь совершенно соответствует персидскому
календарю Омара Хайяма.
Действительно, если выписать из хронологических таб-
лиц високосные годы Французской республики, то они ока-
зываются на следующих местах (выделены задержанные ви-
сокосы):
3, 7, 11, 15, 20, 24, 28, 32,
36, 40, 44, 48, 53, 57, 61, 65,
69, 73, 77, 82, 86, 90, 94, 98,
102, 106, НО, 115, 119, 123, 127, 131
12 H. И. Идельсон
353
Таким образом, перед нами хорошо известный удлинен-
ный период в 33 года, с 8 високосами, с той только разни-
цей, что задержанный високос несколько сдвигается внут-
ри периодов, а не стоит на каком-либо определенном месте,
как в арифметических календарях, но на этом подробнее
останавливаться не будем.
Неоднократно указывалось, что астрономическое опре-
деление начала года есть недостаток французского кален-
даря. И действительно, последний должен быть в своей
конструкции настолько прост, чтобы счет дней между ка-
кими угодно отдаленными эпохами производился без особо-
го затруднения, этого, конечно, не будет, если нет уверен-
ности относительно момента начала года 17. Кроме того, ука-
зывалось, что мало понятно, почему следует считать пер-
вым днем года 23 сентября, если равноденствие наступит,
например, через две минуты после полуночи этого числа, и
22-е, если оно произойдет за две минуты до той же полу-
ночи. Наконец совершенно неизвестно, как быть, если оно
придётся на самую полночь — этот последний случай, хо-
тя и весьма маловероятный, требует особого дополнитель-
ного правила. Наконец, нельзя связывать систему счисле-
ния времени с каким-либо определенным меридианом, пока
он не принят для универсального счета времени по всей
Земле.
Из всех этих возражений нам представляется серьезным
только первое: действующий, не теоретический календарь
должен быть прост, и система високоса должна выражать-
ся ясным и отчетливым правилом. Этого недоставало фран-
цузскому календарю и в этом отношении он определенно
уступает периоду Омара Хайяма, хотя и не выигрывает
перед ним в точности. Что же касается последующих ука-
заний, то надо помнить, что в настоящее время теория
движения Солнца разработана с такою полнотой, что пред-
вычисление момента равноденствия на сотни лет вперед с
точностью до нескольких минут не представляет никакого
труда. И мы пользовались в предыдущем таблицами, кото-
рые разработаны хронологами из чистого интереса на 600 лет,
хотя, как известно из истории, французский календарь
действовал 14 лет и в 1806 г. был вновь заменен григори-
анским календарем.
Это по части теории; практически же наибольшее за-
труднение для проведения в жизнь данного календаря было
связано с попыткой введения десятичной системы деления
354
№• 2 i 3.
46» de h Convention Nationale*
RfiV OLUTIONS
DE PARIS,
OiDliES A LA NATION.
AN SKOSD KtFlFBLlQUB»
DIX SEPTIEME TRIMESTRE,
Avec gravures et canes des d^partetnem,
tes gm*h ne nous parsUfent grsw
parce qat nous femmes a jnnoux,
♦.*»»«» L«*ons- nans
«МЖЖМ1ЙШ
^ISSS^
Z>e fiptitli 7 Ал»же/«, e« ywrtidl м , ед de l&
HpMfU* frfin^ifu
Puc. 7. Титульный лист французского журнала, впервые датирован-
ного по революционному календарю (28 октября — 4 ноября 1793 г.)
времени; не говоря уже о часах (правда, десятичные цифер-
блаты были сделаны в нескольких экземплярах), но даже и
более простой переход от семидневной недели к 10-дневному
периоду был сопряжен с большими трудностями. Вот прос-
той пример тому: на рис. 7 изображена заглавная страница
издававшегося тогда журнала Revolutions de Paris. Преды-
дущий номер был датирован по 28 октября 1793 г.; следую-
щий № 213, как видно из подписи, обнимает период с сеп-
тиди 7 по квартиди 14 брюмера II года Республики. Читатель
сразу обратит внимание, что издатель, citoyen Prud’homme,
сохранил семидневную неделю для своего издания; между
тем логика десятичного календаря подсказывала ему вы-
12*
355
пуски от примиди 1 брюмера до декади 10, от примиди 11
до декади 20, от примиди 21 до декади 30; поэтому, оставаясь
на старом семидневном делении (с 7 по 14-е), хотя бы и под
новыми числами, он обнаруживал либо полное непонимание
смысла нового счисления, либо невозможность практиче-
ски к нему приспособиться.
11. григорианский календарь
Читатель, может быть, удивится, что мы только сейчас,
к концу наших бесед о солнечном календаре, подходим к
григорианскому счислению, по которому живут теперь все
народы Запада и к которому присоединилась и Россия, пос-
ле того как в 1918 г. у нас был принят новый стиль 18. Но
дело в том, что этот календарь, введенный в действие папой
Григорием XIII в 1582 г., обязан своим происхождением
мотивам довольно сложного характера, несколько отлич-
ным от тех, с которыми мы знакомились до сих пор и о ко-
торых придется упомянуть, говоря о лунных календарях.
Сейчас ограничимся указанием, что после многовековых,
подчас жестоких споров христианская церковь выработа-
ла окончательные правила празднования основного празд-
ника — Пасхи. Известно, что для вычисления этого празд-
ника нужно найти по особым предписаниям, но отнюдь
не по точным современным астрономическим таблицам, так
называемое весеннее полнолуние, т. е. полнолуние, насту-
пающее в самый день или непосредственно после весеннего
равноденствия. Введя оба эти элемента счета, т. е. Луну
и равноденствие, христианская церковь включила в свой
календарь чисто восточные начала, корни которых, через
Иудею, восходят к первобытному вавилонскому календарю.
Она внесла в календарь подвижный праздник, ибо весен-
нее полнолуние из года в год падает на другие числа в сол-
нечном календаре; мы знаем из устройства этого последнего,
что его подразделения, которые мы условно называем
месяцами, отнюдь не связаны с движением Луны и повторе-
нием ее фаз.
Однако эта идея о весеннем празднике (не забудем, что
еврейская пасха, прообраз христианской, и посейчас празд-
нуется около весеннего полнолуния, всегда в 15-й день
лунного месяца Нисана), идея совершенно бездонной древ-
ности, влекла за собой необходимость действительно дер-
356
жать пасхальное полнолуние около времени начала весны.
Значит, прежде всего нужно знать, когда наступает этот
момент. Постановлением, которое традиционно припи-
сывается Никейскому собору 325 года (но которое фак-
тически на этом соборе вовсе не было сделано), весеннее рав-
ноденствие было положено на 21 марта по юлианскому ка-
лендарю; в этом постановлении кроется, как сейчас увидим,
источник всех дальнейших затруднений. Действительно,
табл. 2 показывает, что для эпохи 325 г. весеннее равно-
денствие приходилось приблизительно на 21 марта; но та
же таблица обнаруживает, что в дальнейшие эпохи равно-
денствие беспрерывно смещалось на более ранние даты,
ввиду чего впоследствии день 21 марта только условно мож-
но было считать днем равноденствия. Между тем к эпохе
Никейского собора уже имелись определения длины сол-
нечного года, сделанные великими астрономами древности
Гиппархом и Птолемеем, из которых было видно, что она
короче 3651/<дней, откуда нельзя было не заключить о пред-
стоящем сдвиге равноденствия с даты 21 марта.
Были ли эти данные вообще неизвестны богословам или
же они оставили 21 марта, чтобы не усложнять своих пра-
вил,— сейчас судить нельзя. Так или иначе, мы видим из
той же табл. 2, что приблизительно через каждые 125 лет
равноденствие предваряется на один день. По существу,
т. е. для жизненного обихода, этот факт совершенно не ин-
тересен и не важен. Земледельцу, начинающему весенние
труды, совершенно безразлично, что 100 лет назад весна
начиналась на сутки позже, чем сейчас показывает кален-
дарь; астрономы же справятся со всяким календарем.
К XVI в., когда равноденствие с 21 марта перешло уже
приблизительно на 11 марта, у людей церкви, связанных
не юлианским календарем, а все тем же постановлением
Никейского собора, не могло не возникать впечатления, что
праздник уходит в году слишком далеко вперед, что он уже
на 10 дней в лучшем случае опережает начало весны и та-
ким образом продвигается к лету, теряя всякую связь со
своим первоначальным определением.
В этом — первая побудительная причина реформы;
вторая — в том, что те особые правила для вычисления пол-
нолуния, о которых упоминалось, тоже не были безгрешны:
к XVI в. все эти «эпакты», «золотые числа» и прочие эле-
менты, которыми свыше всякой меры затемнен церковный
счет, стали давать полнолуние с ошибкой от 3 до 5 дней;
357
«iitittiefus aureus factus est plumbeus», t. ё. золотое Число I
стало свинцовым,— писали незадолго до реформы папы ?
Григория. Разумеется, и это расхождение тоже бросалось
в глаза. Итак, оба основания счисления, т. е. и равноден-
ствие и полнолуние, потеряли связь с реальными астро-
номическими явлениями. Григорианская реформа имела
своей задачей исправить положение вещей. Вот что говорит-
ся по этому поводу в знаменитой папской булле «Inter gra-
vissimas»:
«Было заботою нашею не только восстановить равно- i
действие на издревле назначенном ему месте, от которого |
со времени Никейского собора оно отступило на десять i
дней приблизительно, и XIV луне19 вернуть ее место, от
которого она в настоящее время на четыре и пять дней
отходит, но и установить также способ и правила, которыми
будет достигнуто, чтобы в будущем равноденствие и XIV
луна со своих мест никогда не сдвигались».
В этих указаниях ясно виден двойной характер рефор-
мы; в пределах бесед о солнечном годе покажем лишь, ка-
ким образом разработавшая ее комиссия астрономов дос-
тигла решения первой части своей задачи.
Для этого нужно было исходить из наилучшего для то-
го времени определения длины тропического года. За тако-
вое были приняты данные так называемых Альфонсинских
астрономических таблиц20, где она положена равной
365<?5h49m24s,
т. е. всего на 38s больше действительной величины тропиче-
ского года.
Таким образом, оказывалось, что юлианский год в
365d6h длиннее табличного на 10m36s = 10m,6. Эта ошибка в
400 лет нарастает до 4240т, что составляет приблизительно
три дня (в сутках 1 440т). Отсюда следует, что для того
чтобы удержать равноденствие на определенной дате, нуж-
но за 400 лет продвинуть его вперед на три дня, для чего
достаточно из 400 календарных юлианских лет исключить
три дня, иными словами, три високосных года на протя-
жении 400 лет сделать простыми. Какие для этого избрать
високосные годы, было совершенно безразлично: уже изло-
женного достаточно, чтобы видеть, что реформа шла не по
пути арифметической теории года, а более простым практи-
ческим путем. Комиссия решила считать простыми столет-
ние годы (т. е. годы, порядковые числа которых делятся
358
на сто), если в них число сотен не есть кратное четырем.
Так, если начать с 2000 года, то из столетних годов:
2000, 2100, 2200, 2300, 2400, 2500, 2600, 2700,
2800, 2900, 3000, 3100, 3200, 3300, 3400, 3500
только выделенные шрифтом суть високосные, остальные
простые. В юлианском же календаре все эти годы неизмен-
но считаются високосами; таким образом, с каждым столет-
ним простым годом григорианский календарь, выправляя
равноденствие, выбрасывает 29 февраля и, следовательно,
уходит на один день вперед от юлианского календаря.
В год введения реформированного счисления равноден-
ствие, по совершенно правильным результатам специальных
астрономических наблюдений, приходилось на 10 дней
раньше положенной для него даты, т. е. 21-го марта. Что-
бы вернуть его «к издревле назначенному месту», надлежало
продвинуть календарь на 10 дней вперед, для чего день,
следующий за 4 октября 1582 г., был в реформированном
календаре обозначен 15 октября. Следовательно, исходная
разница была в 10 дней; в дальнейшем она нарастала, как
это показано в следующей таблице (дата старого стиля —
в числителе, нового — в знаменателе; м.— март;
ф.— февраль):
От 1582 5 окт. г‘ 15 окт. до 1700 г. 28 ф. 10 м. ’ поправка 10 дней
1 м. 28 ф.
От 1700 г’ 12 м. до 1800 г. И м. ’ » 11 »
1 м. 28 ф.
От 1800 г- 13 м. до 1900 г. 12 м. ’ » 12 »
1 м. 28 ф.
От 1900 г’ 14 м. до 2100 г. 13 м. * » 13 »
1 м. 28 ф.
От 2100 г- 15 м. до 2200 г. 14 м. ’ » 14 »
Таким образом, критические дни суть:
1700 г. 1800 г. 44^’> 1900 г. 44^-;
11 м. * 12 м. * 13 м. ’
2100 г. 4^-; 2200 г. 44^-и т. д.
14 м. ’ 15 м.
Григорианский счет укорачивает юлианское 400-летие
нр 3 дня, а следовательно, каждый юлианский год на
359
3/400 = 0,0075 дня; поэтому средняя длина года в григо-
рианском четырехсотлетии будет:
365й,25 - 0й,0075 = 365й,2425 = 365d5h49m128.
Как видно, она превосходит истинную длину тропиче-
ского года на 0,0003 дня (или 26 секунд); эта ошибка не на-
растает до одного целого дня в 3000 лет, так что и с точки
зрения точности, и с точки зрения удобства системы висо-
коса григорианский календарь не заставляет желать луч-
шего.
Но при этом все же интересно проследить ближе арифме-
тическую сторону дела и посмотреть, как именно на григо-
рианском календаре отражается его отступление от арифме-
тической теории.
Мы видели, что его период чрезвычайно длинен: он со-
ставляет 400 лет; сущность всякого периода в том, что, счи-
тая годы то по 365, то по 366 дней, мы все время делаем про-
тив принятой для периода средней длины года некоторую
ошибку, которая выравнивается к концу периода до нуля;
в арифметических периодах можно распределить годы так,
что ошибка не превысит половины дня; но легко показать,
что внутри григорианского периода ошибка начала года
достигает по величине Р/г дня.
Действительно, средняя длина года есть 365й,2425;
когда я считаю год в 365й — ошибка начала следующего го-
да 0й,2425; в случае високосного года она составит
365й,2425—366й = —0й,7575; ошибка каждого четырехлетия,
в котором четвертый год високосный, будет 0й,2425 х
X 3—0й,7575 = —0й,0300; ошибка 24-х четырехлетий, т. е.
ошибка к концу 96-го года, —0й,7200. Дальше имеем:
К концу 96-го года — 0й,7200
» » 97 » -0,4775
» » 98 » —0,2350
» » 99 » + 0,0075
» » 100 (прост.)']-0,2500
Таких столетий пройдет три; к концу 300-го года от на-
чала мы придем с ошибкой +0й,7500; затем получим:
К концу 301-го года + 0й 9925
» » 302 » +1,2350
» » 303 » +1,4775 — максимум
» » 304 (вис.) +0,7200
360
За следующие 96 лет, из которых последний, 400-й, будет
високос, придается, как видели, ошибка — 0d,7200, и к
концу 400-го года она, как и следовало, обратится в нуль.
Итак: если в начале 400-летнего григорианского периода
ошибка календаря есть нуль, то через 303 года от начала
она составит приблизительно полтора дня и к концу 400-го
снова обратится в нуль. Это можно непосредственно под-
твердить табл. 2, вычислив, например, моменты весеннего
равноденствия для годов 1600,1903 и 2000 и переведя затем
соответствующие моменты на новый стиль; мы получаем
таким образом (гринвичское время, сутки от полудня):
1600, III 9,86 ст. ст. = 1600, III 19,86 н. ст.
1903, III 8,30 » » = 1903, III 21,30 » »
2000,111 6,82 » » =2000,111 19,82 » »
Даты правого столбца действительно подтверждают,
что внутри периода равноденствие сперва сдвинулось впе-
ред на 1 d,5, потом вернулось обратно к исходной календар-
ной дате; в арифметических календарях такое движение
внутри периода есть вещь невозможная.
Кроме того, в григорианском календаре чрезвычайно
затруднительно составить таблицу, вроде нашей табл. 2.
В ней мы пользовались юлианским календарем потому, что
все юлианские столетия между собой равны, в каждом из
них 36525 дней; в григорианском же столетии — 36 524,25,
т. е. дробное число дней. Значит, в таблице во всяком слу-
чае можно идти не через 500, а через 400 лет, в которых це-
лое, но весьма неудобнее число дней (400 лет григ.= 146097
дней). К этому присоединяется, и это еще важнее, что внут-
ри 400-летия годы календаря резко различаются в своей
длине; так, если начать с года 1600, то до 1696 все годы
между собой равны: в каждом из них Збб1/^ дней; но затем
наступает восемь лет с одним високосом (1700 год простой),
именно годы 1697—1704; следовательно, эти восемь лет не
равны прежним, в каждом из них Збб1/» дней. Но мы уже
видели, что это совершенный абсурд и астрономически и
арифметически. Все эти обстоятельства умаляют значение
системы для хронолога и для вычислителя. Но, повторяем,
практически и особенно ввиду простоты високоса, эта си-
стема близка к совершенству. По этой причине все проекты
изменения действующего календаря, а их на Западе не ма-
ло, кажутся обреченными на неудачу.
361
*
Отметим в заключение весьма любопытную систему висо-
коса, принятую уже упомянутым Константинопольским
собором 1923 года, одновременно с переходом восточных
церквей на новый стиль. Правило гласит:
Високосными считаются те столетние годы, у которых
число сотен делится на девять с остатком два или шесть.
Таким образом, если начать, как и выше, с 2000 года, то
високосными будут лишь столетние годы, выделенные
шрифтом:
2000, 2100, 2200, 2300, 2400, 2500, 2600, 2700, 2800,
2900, 3000, 3100, 3200, 3300, 3400, 3500, 3600, 3700.
Отсюда видно: 1) вновь реформированный юлианский
календарь до 2799 г. в точности совпадает с григорианским;
2) период новой системы составляет 900 лет, а не 400, как у
григориан; через каждые два григорианских периода по-
правка отодвигается еще на 100 лет; 3) в этом периоде 25 X
X 2 4- 24 х 7 = 218 високосных и 900—218 = 682 про-
стых года, т. е. 366 х 218 4- 365 X 682 = 328 718 дней;
поэтому средняя длина года в этой системе составит:
328718^: 900 = 365^,24222 ... = 365rf5/t48"I48s;
следовательно, она только на 2 секунды превышает длину
астрономического тропического года, принятую здесь в
качестве среднего его определения. Но какой вообще имеет
смысл вся эта разработка календаря для эпох 2800—
3700?
12. ХРИСТИАНСКАЯ ЭРА
Рассмотрев григорианский и юлианский календари с
их древним вариантом, александрийским счислением, мы
познакомились со всеми системами летоисчисления, кото-
рыми пользовались и пользуются народы христианского
Востока и Запада. Но всякий действующий календарь свя-
зан с какой-либо эрой, под чем подразумевается началь-
ный момент данного счисления. Что же такое есть христиан-
ская эра? Когда и кем начат счет лет от Рождества Христо-
ва и имеет ли этот счет под собой какие-либо основания?
Этот вопрос относится скорее к области истории и хроно-
362
логии, чем к описанию календарных систем. Однако вви-
ду естественного интереса, который с ним связан, коснем-
ся его в коротких словах.
Древний мир счета по эрам практически не знал; егип-
тяне и вавилоняне, римляне и греки считали по годам цар-
ствования фараонов и царей, по годам правления консулов
и архонтов. Подобные датировки, оставленные нам в памят-
никах древности, могут быть сведены в хронологическую
систему лишь тогда, когда научно устанавливается вся по-
следовательность правителей данной страны; восстановле-
ние подобных хронологических рядов есть трудная задача
историков. Однако среди списков подобного рода один име-
ет особенное значение: это так называемый Канон царей
(Канон тон базилейон), составленный знаменитым астроно-
мом Клавдием Птолемеем; он начинается с вавилонского
Набонассара, затем перечисляет царей нововавилонской
монархии, потом ассирийцев, персов и всех остальных по-
велителей потерявшего свою независимость Египта, т. е.
македонских (греческих) династов и римских императоров,
вплоть до Антонина Пия (138—161 гг. н. э.).
Приводим для примера начало и конец канона:
Годы Сумма лет Годы Сумма лет
Набонассар 14 14 Траян 19 863
Надий 2 16 Адриан 21 884
Хинзерос 5 21 Антонин 23 907
Здесь надо сделать некоторые замечания: 1) канон со-
ставлен в системе блуждающего египетского года по 365
дней в каждом, без всякого високоса, так что в сущности
это непрерывный счет дней; 2) список правителей составлен
особенным манером, именно, если какое-либо из правлений
началось в середине или даже в последний день данного го-
да, то оно считается начавшимся в первый день этого года,
в его 1-е Тот; 3) отправной пункт всего счета, т. е. 1-е Тот
1-го года Набонассара, определяется в нашем календаре с
абсолютной и несомненной точностью, именно выходит:
(а) 1-е Тот 1-го года Набонассара = среда 26 февраля
747 г. до Р. Хр.
С этого момента, и притом с полудня, Птолемей ведет
счет дней на 907 египетских лет. Правильность приведен-
ного соотношения (а) подтверждается прежде всего тем, что
Птолемей приводит в своей датировке ряд астрономических
363
явлений; переведя их на наш счет путем указанного соот-
ношения, мы констатируем, что они приходятся на те имен-
но дни, в которые они должны были произойти по данным
точных астрономических таблиц 21.
Описанная сейчас система датировок удержалась и в
первые века христианства; разумеется, церковь к этому де-
лу никакого отношения еще не могла иметь. Хронологи
продолжали Канон Птолемея через последующих римских
императоров, вплоть до Диоклетиана, причем получается:
1-й год Диоклетиана = 1032 год от начал Набонассара
(сумма лет); с помощью соотношения (а) легко вычисляем:
(Ь) 1-е Тот 1-го года Диоклетиана = 13 июня 284 г. по
Р. Хр.
Если, однако, припомнить, что в III веке в Египте уже
действовал не блуждающий египетский календарь, а ис-
правленная его форма, т. е. александрийский счет, то 1-е
Тот надо будет считать не по-египетски, а по-александрий-
ски, т. е. как Новый год этого календаря; а так как алек-
сандрийский Новый год совпадает с 29 августа ст. ст. (оба
календаря, юлианский и александрийский, друг другу
параллельны и начало последнего всегда есть в нашем счете
29 или 30 августа), то соотношение (Ь) правильнее запи-
сать в александрийском счете так:
(с) 1-е Тот 1-го года Диоклетиана = 29 августа 284 г.
по Р. Хр.
Соотношение (с) считается в хронологии столь же проч-
ным, как и соотношение (а).
По не вполне понятным историческим основаниям эра
Диоклетиана удержалась в христианском Египте в сущ-
ности и по настоящий день. Прекратив счет по прочим пра-
вителям страны, египтяне продолжали считать в годах от
Диоклетиана, и их современная датировка переводится на
юлианский (или на григорианский) календарь с помощью
соотношения (с).
Чрезвычайно любопытно отметить, что никакой эры от
Рождества Христова весь христианский Восток не знает
вовсе; например, 1923 год до 29 августа старого стиля (11
сентября н. ст.) совпадал с 1639-м годом Диоклетиана; с
30 августа (12 сентября) для коптов, сирийцев и абиссин-
цев начался новый, 1640 год, так, что 12 сентября 1923 — 1-е
Тот 1640-го года Диоклетиана; это есть не что иное, как со-
отношение (с) в новом стиле.
В равенствах (а) и (с) написаны символы «Р. Хр.» (т. е.
364
от Рождества Христова), хотя очевидно, что это суть не-
которые позднейшие хронологические выводы; не говоря
о моменте (а), никто и в момент (с) не взялся бы их проверить
и написать. Теперь остается сделать последний шаг и пос-
мотреть, когда и как они произошли?
То религиозно-астрономическое дело, которое первона-
чальное христианство восприняло от Иудеи и Востока, имен-
но вычисление пасхи по Луне и равноденствию, требовало
в те времена солидной учености, которая была неразрывно
связана с научным центром древнего мира — Александри-
ей, столицей эллинизированного Египта. Из Александрии
получались первые пасхалии, т. е. расписания дней празд-
нования пасхи на известное число лет вперед. Одна из та-
ковых — до нас недошедшая — была составлена александ-
рийским патриархом Кириллом; совершенно ясно, что как
всякий календарный документ той эпохи, она могла быть
составлена только в годах «от Диоклетиана», без всякого
упоминания символов «Р. Хр.». И действительно, эта пас-
халия была вычислена на 95 лет, именно на годы 153—247
Диоклетиана. Когда срок этих пасхальных таблиц подхо-
дил к концу (около 242 г. Диоклетиана), римский монах,
аббат'Дионисий, взялся за ее продолжение; таким образом,
ему надо было вести вычисление от 248 г. Диоклетиана впе-
ред. И вот в одном письме, составленном по поводу этой
работы, Дионисий объясняет, что он не пожелал вести счет
лет от языческого государя, а перешел к счислению от Рож-
дества Христова — «ab incarnatione Domini nostri Jesu
Christi» и в пасхалии своей положил:
248 г. Диоклетиана = 532 от Р. Хр.
Точнее говоря: 1 января римского юлианского года,
падавшее внутри 248 г. Диоклетиана, есть, по утвержде-
нию Дионисия, 1 января 532 г. от Рождества Христова;
а так как 248 г. Диоклетиана продолжался в юлианском
счете от 29 августа 531 г. по 29 августа 532 г., то утвержде-
ние Дионисия сводится к следующему равенству:
(d) 1-е Тот 248 г. Диоклетиана = 29 августа 531 г. от
Р. Хр.
Если уменьшим обе стороны на 247, то непосредственно
получим равенство (с), а от него уже вычислением перей-
дем к (а).
В равенстве (d) римского аббата перед нами первое упо-
минание эры «по Р. Хр.» вообще. До этого момента, т. е.
365
в течение пяти Веков после того события, с которым Дио-
нисий связывает свой счет, ни один епископ в Египте, ни
один римский папа, по-видимому, не находил нужным или
целесообразным переходить на подобный счет. Но откуда
взял Дионисий свое равенство (4)? Как мог он, римский аб-
бат, фиксировать с точностью до одного года событие, ко-
торое он считал происшедшим больше чем за 500 лет до него
в Палестине и к которому он подходил со стороны алексан-
дрийской пасхалии? По этому поводу он никаких указаний
нам не оставил. Правда, хронологи с большой степенью
вероятности восстановили ход вычислений, которые могли
привести Дионисия к его выводу; но, конечно, при этом име-
ются в виду церковное лунное исчисление и мотивы бого-
словской символики, а отнюдь не исторические соображе-
ния. Соотношение (d) есть чистая хронологическая услов-
ность, а выяснение его исторической реальности или оши-
бочности есть особая и весьма трудная задача хронологии
и истории, выходящая совершенно за пределы наших бесед.
Так или иначе, ввиду большого значения пасхальных
таблиц Дионисия (о чем ниже), его хронологическое пред-
ложение было постепенно, хотя и очень медленно, воспри-
нято в западной церкви. В средние века было выдвинуто
много различных эр, но они все вышли из употребления, ».
только счисление Дионисия удержалось до наших дней
Таким образом, слова «от Р. Хр.» иногда правильнее за-
менять словами: эры Дионисия; в исследованиях, относя-
щихся к началу эры, такая замена является неизбежной.
Некоторое неудобство эры Дионисия историки видят в
том, что ее начало приходится весьма поздно, так что важ-
ные отделы истории и хронологии высококультурных стран
(Греция, Рим) относятся к предшествующим ей эпохам.
Поэтому очень долго считали в других эрах (от основания
Рима и т. п.). Только в XVIII столетии английские ученые
ввели исчисление в годах «до Р. Хр.» (или до нашей эры).
Однако эта манера счета может служить причиной очевид-
ных вычислительных недоразумений; поэтому астрономы,
по предложению Жака Кассини (1740), считают годы до
начала эры как отрицательные числа, уменьшая при этом
число года на 1 (так, например, 1200 до н. э. хронологиче-
ски =—1199 астрономически). При этом год, предшест-
вовавший первому году эры, условно называется год 0;
но, разумеется, и в отрицательных годах месяцы и дни счи-
таются всегда вперед, к году один, а не от него назад.
зов
— Римляне тоже поклоняются
Луне,— сказал Цезарь.
— Да,— отвечал бритт; — но это
наверно другая Луна; это слишком
далеко...
Анатоль Франс. Клио.
ЛУННЫЕ КАЛЕНДАРИ
На предыдущих страницах изложены системы счета
времени, астрономическую основу которых составляет пе-
риод годичного обращения Земли; с установлением точных
правил согласования календаря с этим явлением задача
счисления больших промежутков времени практически
решена. Но солнечный год есть — сравнительно — весьма
длинная единица времени; она могла быть усвоена и при-
нята в жизнь человечества, когда оно подошло уже к поз \-
нейшим ступеням своего развития; считать дни по Солнцу
от равноденствия к равноденствию — задача нелегкая;
человек естественно искал в окружающей природе какое-
либо иное, вечно повторяющееся явление, но только более
краткого периода, чтобы с этим явлением связать счет
дней.
Такое явление он легко мог познать в движении Луны;
и действительно, куда ни проникает взгляд хронолога, он
везде обнаруживает именно лунное счисление в основе пер-
вичного календаря. Самое слово месяц во всех так называе-
мых индогерманских языках имеет общий корень, созвуч-
ный с корнем слова «мерить»: месяц есть изначальная мера
времени. К этому присоединяется, что у народов азиатско-
го Востока, в долинах Евфрата, Тигра и Ганга, Луна, при
мягком свете которой человек отдыхал от жгучего дня, иг-
рала заметную роль в первобытной религии, и ее культ
иногда даже доминировал над культом Солнца.
Вероятно, в незапамятные времена было уже замечено,
что период чередования лунных фаз, т. е. новолуния, пер-
вой четверти, полнолуния и последней четверти, продол-
жается приблизительно 291/2 дней; равным образом, что
приблизительно через 27х/3 дней Луна, обойдя все небо,
вновь возвращается к той же звезде. Арабы, индусы и ки-
тайцы усердно изучали этот путь Луны между звездами,
назначив для каждого дня особые «домы», или местоположе-
ния ее в отношении групп ярких звезд; в этих изыскани-
ях — первые проблески теории движения Луны. К VI в.
367
до н. э., когда начался расцвет нововавилонской культу-
ры и науки, эти исследования значительно продвинулись
вперед. Дошедшие до нас от этой эпохи клинописные мате-
риалы показывают, что вавилонские (или, как говорят,
халдейские) астрономы достигли затем изумительной точ-
ности в определении некоторых основных постоянных лун-
ной теории.
Для календарных целей достаточно остановиться на са-
мом простом и ярком явлении, связанном с движением на-
шего спутника, именно на периоде лунных фаз. Всякий зна-
ет, что непрерывная смена фаз Луны объясняется тем, что
она, обращаясь вокруг Земли, приходит в различные по-
ложения относительно Солнца, которое она, видимо, об-
гоняет на небе, продвигаясь от него все время на восток.
По этой причине промежуток времени от новолуния к ново-
лунию получил название синодического месяца (от грече-
ского слова, означающего схождение,— в конце этого пе-
риода Луна как бы вновь сходится с Солнцем).
Когда Луна в той же стороне неба, что и Солнце, мы на-
блюдать ее не можем вовсе; но через несколько дней она
отойдет от него к востоку, будет заходить уже после Солн-
ца и видна будет как вечернее светило, т. е. от вечерней зари
и до своего захода. Через полмесяца она придет в положе-
ние, прямо противоположное положению Солнца; в это вре-
мя ее восходы будут происходить приблизительно с заходом
Солнца, ее заходы придутся на восход Солнца. Еще дальше
Луна окажется уже к западу от Солнца и к концу месяца,
как утреннее светило, она будет видна на востоке от своего
восхода до утренней зари. За это время происходит всем
известное изменение видимой формы лунного диска — от уз-
кого серпа к полнолунию и затем снова к узкому серпу. Го-
ворить не приходится, как такая смена явлений действова-
ла на воображение первобытного человека — и не только
его!
Однако, чтобы связать непрерывно текущее изменение
лунных фаз с счислением времени и дней, надо, очевидно, из
этого круга явлений выделить какой-нибудь один, достаточ-
но отчетливо наблюдаемый момент. В этом отношении не
годятся ни полнолуние, ни обе четверти; одним непрерыв-
ным наблюдением Луны довольно трудно безошибочно
определить момент, когда перед нами действительно полная
Луна или когда ее диск действительно делится пополам.
В новолуниях же, очевидно, Луну вовсе нельзя наблюдать.
368
Куда же положить отправную точку счета дней месяца?
У всех народов, считавших по Луне, за таковую было со-
вершенно рационально избрано первое появление лунного
серпа после новолуния, рождение молодого месяца; наб-
людение именно этого явления и лежит в основе всех лунно-
календарных систем.
1. НЕОМЕНИЯ
Чтобы вполне уяснить значение этого момента, надо точ-
но представить себе условия видимости Луны в дни, пред-
шествующие астрономическому новолунию и непосредст-
венно следующие за ним. Для примера, я выбираю пункт
широты северной 36°, долготы восточной от Гринвича 2ft50m,
что приблизительно соответствует расположению древнего
города Калах в Ассирии.
1925 г. Восход О Восход (С Заход ) Заход О
h т h т h т h т
21 марта 6 1 4 8 15 0 18 10
22 » 6 4 4 49 16 2 18 11
23 » 6 2 5 28 17 3 18 13
24 » 5 59 6 5 18 5 18 15
25 5 57 6 40 19 8 18 16
26 » 5 55 7 13 20 11 18 17
Приведенная таблица уясняет ход явления — общая
картина которого всегда повторяется — для избранного
пункта и для мартовского новолуния 1925 г.; время в ней
показано местное, считая сутки от полуночи. Из нее видно,
что 21 и 22 марта Луну можно наблюдать на восточной сто-
роне неба перед утренней зарей; 23-го — едва ли, ибо за
полчаса до восхода Солнца в этих местах начинается заря;
это будет 5А32ОТ утра; но и Луна восходит в то же время;
24-го и в следующие дни ее несомненно утром видеть уже
нельзя, она тонет в солнечных лучах; но 23 и 24-го заход
Луны тоже пропадает в лучах Солнца, ибо 24-го сумер-
ки кончатся в 18Ч5т, и Луна к тому времени зайдет.
Такой промежуток, в среднем 2—3 дня, древние метко
называли междулунием (interlunium); за эти дни Луна с
западной стороны Солнца переходит на восточную, из ут-
реннего светила превращается в вечернее, 24 марта в 16 ча-
сов по местному времени — новолуние. Наконец, 25 мар-
369
та — первый день видимости, по-гречески — неомения,
т. е. явление молодой Луны: она появляется, за несколько
минут до своего захода, в сумерках вечерней зари.
Здесь мы имеем полную аналогию с первым видимым
восходом звезд; как там после периода невидимости можно
отметить первое появление светила, так и здесь после меж-
дулуния впервые наблюдается тонкий серп заходящей
Луны.
Итак, неомения — это ее первый видимый заход.
И вот именно этот момент и принимался у всех народов,
считающих дни от Луны к Луне, за начало календарного
«месяца», за начало его 1-го числа 22.
Как видим, этот момент существенно отличается от мо-
мента астрономического новолуния; в рассмотренном слу-
чае он наблюдается приблизительно через 26 часов после
новолуния; однако длина этого промежутка зависит и от
астрономических обстоятельств — так, например, от положе-
ния Солнца на пути его видимого годичного обращения
вокруг Земли — и, разумеется, от явлений метеорологи-
ческих, которые могут и вовсе скрыть первый заход.
В хронологии этот промежуток принимается в среднем рав-
ным 36 часам.
Движение Луны чрезвычайно сложно. Чтобы уметь точ-
но предвычислить, например, через сколько дней от данной
неомении произойдет по счету десятая, нужен большой за-
пас астрономических сведений. Пока его нет, или пока нет
уверенности в его прочности, легче обосновывать, или, во
всяком случае, проверять наступление нового месяца пос-
тоянным наблюдением неомений; и эти-то наблюдения
фактически и составляют первооснову лунных календарных
систем. В этом отношении древние евреи, римляне, греки,
индусы, вавилоняне и современные турко-арабы идут со-
вершенно одинаковым путем. В некоторых случаях — как
в Турции — эти наблюдения продолжают даже уживаться
и с теоретическим лунным календарем. В древние же эпохи
неомении наблюдались усердно и тщательно, отчасти подоб-
но тому, как древние египтяне тщательно наблюдали пер-
вый восход своего Сотиса.
Мало того: как только первый серп пронаблюден, надо
оповестить население, которое еще не пользуется никаким
писаным календарем, о начале нового месяца. В Риме,
в более отдаленные эпохи, это выкликалось, как уже ска-
зано, в храмах и на улицах; вот почему 1-е число месяца в
370
римском календаре называется календами; римляне никог-
да не говорили 1-е мая, но всегда: календы мая и т. п.
В других культурах формальности, которыми сопровож-
дается смена календарного месяца, принимают весьма лю-
бопытную и странную для нас форму. У евреев, еще в I—
II вв. нашей эры календарь держался исключительно на наб-
людении неомений. Обязанность определения начала ме-
сяцев лежала на иерусалимском синедрионе, который вы-
делял для этой цели особую коллегию; эта последняя долж-
на была производить самостоятельные наблюдения и выслу-
шивать показания свидетелей, очевидцев первого захода
Луны; таких свидетелей не могло быть менее двух, и пока-
зания их не должны были быть противоречивыми; если яв-
лялось более двух свидетелей, надо было выслушать всех;
мало того, каждый иудей, очевидец первого захода, был обя-
зан при всех условиях и даже в субботу отправляться в
Иерусалим для показания. Всему этому составлялся про-
токол и если мнение коллегии совпадало с утверждением
свидетелей, старший судья освящал молодой месяц молит-
вою. Затем начиналось оповещение населения; для этого
употреблялась система сторожевых огней, которые зажига-
лись на холмах; потом перешли к посылке гонцов из Иеру-
салима в другие центры страны, причем и первый и второй
способы были разработаны с большими деталями. Но при
всем том, дабы избежать сомнения относительно наступле-
ния основных праздников (которые всегда в еврейском ка
лендаре полагаются на определенный день Луны), для них
назначалось по два дня (Пасха и Новый год).
Чем вызвана такая щепетильность в определении нача-
ла месяцев? Нам, живущим по календарю, она кажется
просто смешной. Но представим себе жизнь достаточно
культурной страны, у которой наперед вычисленного, пи-
саного календаря нет, где начало каждого месяца и каж-
дого года нужно непосредственно открывать в природе; где
регулировка общественной и финансовой жизни зависит от
того, когда и кем был замечен первый серп Луны; тогда бу-
дет ясно, что все эти тонкости вовсе не так излишни и оп-
равдываются совершенно инстинктивной боязнью запутать-
ся в счете времени и потерять нить дней!
Говорить, насколько такие наблюдения могут быть слу-
чайными, не приходится. Погода может играть тут решаю-
щую роль. В магометанской «Сунне» сказано: «если в ново-
луние месяц не наблюдается, ты определишь его длину в
371
тридцать дней»; но это, конечно, очень наивно, ибо в бли-
жайшем пункте может быть ясно, и там месяц выйдет
в 29 дней. Мало того, непрерывные наблюдения неомений
покажут только, что лунный месяц может содержать либо
29, либо 30 дней (так называемые пустые и полные месяцы).
Но одни эти наблюдения не раскроют закона чередования
пустых и полных месяцев; следовательно, зная, например,
что в месяцах текущего года прошло столько-то дней, никто
не может вывести заключения, сколько дней придется на
одноименные лунные месяцы следующего года. Поэтому ка-
лендарь, основанный на одних наблюдениях, есть только
система хранения протекшего времени; он не допускает бо-
лее или менее точного вычисления вперед. Все это показы-
вает, что если счет времени по Луне должен стать календар-
ным, т. е. системой счисления времени в полном смысле
этого слова, то его надо развить в арифметическую систему,
основанную на точных данных астрономии.
2. ЛУННЫЙ МЕСЯЦ
Задача лунного календаря может быть формулирована
следующим образом: установить такую последовательность
чередования пустых и полных лунных месяцев (т. е. кален-
дарных месяцев в 29 и в 30 дней), при которой начала этих
месяцев приходились бы постоянно на определенную фазу
Луны, например на новолуние. Если некоторое число ка-
лендарных месяцев (обычно 12) объединить в новую единицу,
которую назовем лунным годом, то очевидно и начала лун-
ных годов должны безошибочно следовать за действитель-
ными астрономическими фазами Луны. Длина лунного го-
да равна приблизительно 29^ X 12 = 354 дня; она на
целых 11 дней отличается от длины календарного солнеч-
ного года.
Следовательно, лунный календарь может быть хорошо
согласован с Луной, но в солнечном календаре (т. е. от-
носительно равноденствия) начала лунных годов будут неиз-
бежно блуждать; поэтому такая форма лунного счисления на-
зывается свободной; в этом смысле 12-месячный лунный год
называется свободным лунным годом. Если же лунному ка-
лендарю поставить дополнительное условие, потребовав, что-
бы начала лунных лет всегда приходились на определенную
пору солнечного года, т. е. не сдвигались бы относительно
.372
времен года, то очевидно, что этому условию 12-месячным
лунным годом удовлетворить нельзя. В этом случае получа-
ется усложненная система лунного счисления, называемая
связанной; соответствующий год, длина которого, как уви-
дим, постоянно колеблется между 12-ю и 13-ю лунными ме-
сяцами, носит название связанного, или лунно-солнечного.
Отличительная черта обоих типов этих календарей, ко-
ренным образом отличающая их от нашего обычного счета,
будет та, что 1-е число каждого календарного месяца в них
должно приходиться на новолуние, каждое 15-е — прибли-
зительно на полнолуние. От подобных требований европей-
ские календари освобождены, как мы знаем, со времени
Юлия Цезаря.
Для арифметического построения всех этих более или
менее сложных систем нужно, очевидно, точно знать их
основную астрономическую единицу, именно длину лунного
синодического месяца.
В астрономических ежегодниках имеются указания, иа
какие дни месяцев и на какие часы приходятся в данном го-
ду все фазы Луны. Для примера и для дальнейших выводов
ниже выписано, когда произойдут в 1925 г. полнолуния;
часы показаны в таблице по гринвичскому времени, считая
от полуночи.
Январь 10,3й Июль 6,5h
29*19* 29<*7Л
Февраль 8,22 Август 4,12
29 16 29 8
Март 10,14 Сентябрь 2,20
29 13 29 9
Апрель 9,3 Октябрь 2,5
29 И 29 12
Май 8,14 Октябрь 31,17
29 8 29 15
Июнь 6,22 Ноябрь 30,8
29 7 29 18
Июль 6,5 Декабрь 30,2
Числа, проставленные сбоку, показывают, сколько дней
и часов проходит между двумя смежными полнолуниями.
Из них видно, что длина лунного месяца колеблется в зна-
чительных пределах, именно от 29d7/1 до 29d19h. Ясно, что
такой, как говорят, истинный лунный месяц отнюдь не го-
дится в качестве меры времени. Если применим обычный
373
способ и образуем среднюю длину месяца для 1925 г., то
получим приблизительно 29d12h. Но мы совершенно не
можем быть уверены в том, что в 1926 году средняя длина
месяца не получится отличной от только что найденной;
очевидно, нужно брать значительно большие промежутки
и из них выводить средние. Если же хотим воспользоваться
наблюдениями, то желательно остановиться на таких пол-
нолуниях, которые могли быть точно пронаблюдены. Здесь
нам приходят на помощь лунные затмения; при некоторых
условиях Луна во время полнолуния попадает в тень, кото-
рую Земля отбрасывает от Солнца в направлении Луны,
происходящее тогда явление затмения легко наблюдается;
его середина и может быть принята за самый момент астро-
номического полнолуния.
Пользуясь этим, мы для вывода средней длины синоди-
ческого месяца сравним два затмения, отделенные друг от
друга весьма значительным интервалом времени в 2 640 лет;
для этой цели мы выберем за первое одно из древнейших зат-
мений, о наблюдении которого до нас дошли сведения.
Птолемей сообщает: «В 27 г. Набонассара, в ночь с 29
на 30 египетского месяца Тот было лунное затмение; оно
наблюдалось в Вавилоне больше чем час спустя после
восхода Луны и было полное». Перевод дат дает: 721 г.
до н. э., марта 19. Для определения момента середины зат-
мения, который нам достаточно знать с точностью до часа,
замечаем, что по табл. 2 этот день 19 марта был близок к
весеннему равноденствию, когда Солнце повсюду заходит в
6 часов вечера (по местному времени); а так как в этот день
было полнолуние, то Луна взошла около того же време-
ни; следовательно, начало затмения, по Птолемею, при-
шлось приблизительно на 7х/2 вечера, его середина на 9 ча-
сов. Итак, если считать время от полуночи, то момент пер-
вого полнолуния будет:
721 г. до н. э., марта 19, 21л по вавилонскому времени. <
С этим затмением сравним другое, середина которого на-
блюдалось в Харькове, 1920 г. мая 3, 4/zl 5т местного вре-
мени, считая от полуночи. Специальные таблицы легко по-
казывают, что от первого момента до второго прошло
96429И,30 и в то же время 32 654 лунных месяцев. 1
Делением первого числа на второе получаем из этой па- 1
ры наблюдений для средней длины синодического месяца:
29rf,53059, илч 29d712л44т35,0.
374
Это значение весьма близко подходит к точнейшей вели-
чине, принимаемой в астрономии (29d,53058812). Однако та-
кое совпадение отчасти случайное; из нескольких пар дале-
ких затмений никогда не получится в точности одна и та же
средняя длина месяца. Поэтому под средней длиной надо
понимать среднее из целого ряда определенных указанным
способом величин.
В хронологических вычислениях играют большую роль
некоторые кратные только что найденной основной величи-
ны, а именно:
12 лунных месяцев = 354^ 3671 = 354d,8ft48m38s
13 » » = 383, 8977 = 383 21 32 41
99 » » =2 923,5282=2 92312 40 36
235 » » = 6 939, 6882 = 6 93916 31 01
Кроме того, полезно тут же заметить соотношение меж-
ду продолжительностью тропического солнечного года и
длиной лунного месяца:
365,2422
1 тропический год — —здЗзбб- ~ 12,3683 месяца.
Этих данных достаточно, чтобы приступить к изучению
лунных календарей. Мы начнем с простейшего, в основу
которого положен свободный, т. е. не связанный с Солнцем
лунный год.
3. МУСУЛЬМАНСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
Календарные лунные месяцы могут заключать в себе толь-
ко целое число дней; длина синодического месяца, 29</,5306,
показывает, что такими числами могут быть либо 29, ли-
бо 30, причем 30 должно повторяться несколько чаще, чем
29 23. Если считать попеременно по 30 и по 29, т. е. чередо-
вать пустые и полные месяцы, и 12 таких месяцев объеди-
нить в один лунный год, то его длина выйдет равной
30 X 6 + 29 X 6 = 354 дня.
Между тем, 12 лунных месяцев, как мы видели, состав-
ляют 354*,3671; таким образом, считая все годы по 354 дня,
мы каждый раз делаем ошибку в 0^3671, и в нашем календа-
ре новолуния будут непрерывно сдвигаться на поздней-
шие даты. Через 10 лет они уйдут от начала месяцев на 4 дня
375
(заметим еще раз, Что и лунных календарях 1-е число вся-
кого месяца должно совпадать с новолунием); чтобы вер-
нуть их на место, придется их задерживать в среднем на
один день каждые три года, а для этого соответственно уд-
линять наш календарь. Таким образом, приблизительно
через каждые три года вместо 354 дней (назовем такие года
простыми лунными) придется считать в году 355 дней (на-
зовем такие года лунными високосными). Отсюда видно, что
задача построения свободного (т. е. не связанного вовсе с
Солнцем) лунного календаря сводится к следующей: найти
такой порядок чередования простых и високосных лунных
лет, соответственно в 354 и 355 дней, при котором начала
месяцев не отодвигались бы заметно от новолуния.
Очевидно, эта задача будет решена, если удастся найти
такое целое число лунных лет, которое бы наилучшим об-
разом приближалось к целому числу дней, т. е. отличалось
бы от целого числа дней на возможно малую дробь; ибо
это целое число дней всегда можно распределить между
отдельными годами, комбинируя числа 354 и 355.
Вопрос, который сейчас поставлен, вполне аналогичен
задаче построения арифметического солнечного календаря,
так как мы и здесь ищем систему високоса. Однако на этот
раз можно поступить и проще, именно множить 354^,3671
на числа 2, 3 ... и т. д. и выделять те случаи, когда полу-
ченные произведения возможно ближе подойдут к целому
числу, т. е. когда их дробные части начнутся с девяток или
с нулей.
Результат этой простой операции следующий:
а) 354*,3671 X 8 = 2834* 937
Ь) 354, 3671X30=10631,013
Только эти соотношения и имеют практическое значение
в действующих календарях; первое ведет к так называемо-
му турецкому, второе — к арабскому периоду високоса
или, как принято говорить, циклу. Рассмотрим каждый
из них.
А. Турецкий цикл. Восемь простых лунных лет заклю-
чают 354 х 8 = 2832 дня; между тем, такое же число астро-
номических лунных лет равно приблизительно 2835 (с ошиб-
кой против полученного выше точного числа в О4,063); по-
этому на 8 лунных лет целесообразно добавить три лишних
дня, иными словами, вставить три лунных високоса по
355 дней; действительно, 354 х 5 + 355 X 3 = 2835.
376
Распределение високосов в цикле назначим с таким расче-
том, чтобы ошибка календаря к концу каждого года не
превышала половины дня, предполагая, конечно, что в
начале цикла она равна нулю. Для этого примем во внима-
ние, что, считая год в 354 дня, мы отбрасываем 0,367 дня
и потому новолуние уходит вперед на эту дробь дня против
его момента в начале первого года; а когда присчитывается
355-й день, то делается ошибка в —0,633 и на эту долю
дня новолуние сдвигается назад. Поэтому, начав с ошибки
0, будем с каждым простым годом присчитывать 0,367, и
когда ошибка будет превосходить х/2 дня, назначим висо-
кос, отбрасывая при этом 0,633; тогда получим:
Ошибка к концу 1-го года + 0^ 367
» » » 2 » —0,266
» » » 3 » +0,101
» » » 4 » +0,468
к концу 5-го года — 0? 165
» » 6 » + 0,202
» » 7 » —0,431
» » 8 » —0,064
Таким образом, високосы оказались на 2, 5 и 7-м мес-
тах цикла; кроме того, мы видим, что к концу периода ново-
луние сдвинулось назад на 0d064, что и естественно, так как
длина периода (2835 дней) превосходит соответствующую
длину восьми астрономических лунных лет именно на эту
величину. Остается заметить, что 2835 дней содержат в се-
бе целое число недель (405), поэтому к концу периода ново-
луния (или, что то же, первые числа лунных месяцев) па-
дают снова на те же дни недели. Зная это, легко составить
так называемый вечный календарь, или таблицы, показы-
вающие соответствие чисел месяца и дней недели внутри
цикла (читатель помнит, конечно, что еженедельным празд-
ником у мусульман считается день, приходящийся по
нашему счету на пятницу — яум-эль-джума, день сое-
динения). Подобные таблицы называются у турок «руз-
намэ», т. е. книга дней.
Б. Арабский цикл. Из соотношения (Ь) видно, что этот
цикл должен обнимать 30 лет; но 354 х 30 = 10620 дней;
между тем, длина 30 астрономических лунных лет прибли-
зительно равна 10631d (с ошибкой в 0d,013), поэтому на 30
лет надо поместить 11 високосов. Действительно:
354 X 19 + 355 х Н = 10631.
Расположение первых трех високосов будет, очевидно,
такое же, как и в турецком цикле (т. е. на 2, 5 и 7-м году),
ибо исходные данные остаются те же. За ними последует
второй восьмилетний цикл, во всех годах которого ошиб-
377
ки будут отличаться от ошибок первого на —О'*,064. Таким
образом найдем високосы на 10, 13, 15-м месте; заключи-
тельная ошибка 16-го года будет —О'*,128; прилагая ее к на-
чальным значениям ошибки по турецкому циклу, увидим, что
високосы 2 и 5, теперь 18 и 21, останутся на местах; но пос-
ле этого распределение ошибки будет следующее:
К концу 21-го года — 0d,293 к концу 26-го года — 0d,458
» » 22 » +0,074 » » 27 » —0,091
» » 23 » +0,441 » » 28 » +0,276
» » 24 » —0,192 » » 29 » —0,357
» » 25 » +0,175 » » 30 » +0,010
Таким образом, високосы арабского цикла стоят на мес-
тах:
2, 5, 7, 10, 13, 15 (16), 18, 21, 24, 26, 29.
К концу цикла новолуние сдвигается на 0rf,010 вперед и,
следовательно, в 100 циклов или 3000 лет уходит на один
день; точность периода, таким образом, очень велика. Лю-
бопытно заметить, что ошибка к концу 15-го года равна
(—О'*,431) + (—0^,064) = —О'*,495. У арабских астрономов
эта ошибка выходила равной 1/2 дня, и они ставили себе
коварный для всякого вычислителя вопрос: считать ли ее
равной нулю или единице? В первом случае 15-й год цикла
простой, 16-й високос, во втором — наоборот. Этот вопрос,
конечно, «решен» быть не может; он требует просто допол-
нительного условия; в настоящее время обычно считается
високосным 16-й год, как и показано в нашем списке.
Изложенным исчерпывается арифметическая часть сво-
бодного лунного календаря, которым в настоящее время
пользуются исключительно народы ислама. Таким обра-
зом, их лунный год в среднем на 14 дней короче нашего сол-
нечного и, следовательно, в нашем календаре, как более
длинном, начало магометанского года отступает постоянно
на 11 дней назад и приблизительно в 33 года обходит весь
круг времен года — весну, зиму, осень и лето. Начало сче-
та, или магометанская гэджра, положено на начало того
лунного года, в котором Магомет, спасаясь от преследова-
ния племени корейшитов, бежал из Мекки в Медину; 1-й
день первого месяца (Мохаррема) этого года есть отправной
пункт мусульманской эры; исторические данные и записи
арабских астрономов устанавливают, что 1-е Мохаррем
относится к июню 622 года, а так как астрономическое но-
378
йбЛунйе произошло в тот год 15 июня, то можно положить:
(а) 1-е Мохаррем 1-го года гэджры — 15 июня 622 г. (четверг).
Но в народе крепко держится и посейчас счисление ме-
сяцев не от астрономического новолуния, а от неомении,
которая наблюдается в среднем на сутки позже; поэтому
чаще применяется соотношение:
(&) 1-е Мохаррем 1-го года гэджры = 16 июня 622 г. (пятница).
Эти замечания надо всегда иметь в виду, говоря о пере-
воде мусульманских дат на даты солнечных календарей.
Не зная, какое из равенств (а) или (Ь) кладется в основу да-
тировок и какой год цикла, 15 или 16-й, считается лунно-
високосным, можно всегда сделать ошибку в один день.
Поэтому для гарантии желательно, чтобы, кроме магоме-
танской даты, был задан также и соответствующий ей день
недели.
Установив, таким образом, отправную точку счета, при-
ведем пример движения начала мусульманского года в на-
шем календаре (при равенстве (Ь) и високосе на 16-м году
цикла):
Год гэджры Дата н. ст. № в цикле 24 Длина в днях
1342, , 1-е Мохаррем 1923, авг. 14 22 354
1343 » 1924, авг. 2 23 354
1344 » 1925, июль 22 24 355
1345 » 1926, июль 12 25 354
1346 » 1927, июль 1 26 355
Нельзя отрицать, что такой календарь производит на
европейца довольно странное впечатление. Мусульманский
год абсолютно не соответствует коренному требованию,
предъявляемому нами к году: их «год» вовсе не следует за
временами года. Если я скажу, что такое-то событие про-
изошло, например, в 25 день Сафара (2-й месяц), то это ут-
верждение не сопровождается в моем представлении теми
значительными жизненными ассоциациями, с которыми
неразрывно связана датировка в солнечном году (внешние
климатические условия, годичное распределение работ);
«25 Сафара» говорит мне только, что событие произошло за
4 или 5 дней до новолуния, значит, в период безлунных
ночей; но это едва ли, вне связи с временами года, имеет
большее практическое значение.
379
Почему же магометане так упорно держались За свой
удивительный свободный лунный год? Ответить на это до-
вольно затруднительно, тем более что даже их религи-
озное учение не содержит никаких обоснований правил Ма-
гомета. Замечательно, что доисламское арабское летоис-
числение знало системы счета, при которых начала лунных
месяцев вновь возвращаются к определенному моменту сол-
нечного года, в чем, как мы уже говорили, состоит основная
проблема лунно-солнечного календаря. В VII в. было тем
легче развить эту систему, что еврейский календарь уже
получил свою окончательную формулировку и эта задача
была в нем решена; руководило ли Магометом, когда он соз-
давал свой довольно несуразный календарь, желание от-
делить арабов, в смысле счисления времени, от других се-
митических народов, в частности евреев, или же иные мо-
тивы,— сейчас решить нельзя.
Свободным лунным годом пользуются исключительно
народы мусульманского Востока (арабы, турки, персы, ин-
дусы-магометане, татары, кавказские горцы и др.). И
как трудно отделима их система от примитивного наблюде-
ния первого захода молодой луны! Так, например, в Тур-
ции до недавнего времени важнейшие празднества и посты
назначались не в день, показанный в календаре, а в день
действительной неомении; в Константинополе еще за два ме-
сяца до наступления Рамадана (9-й месяц, месяц особо
важного поста) начинались наблюдения Луны, чтобы по-
том возможно точнее «предсказать» эту неомению и не зави-
сеть от погоды. Для этого уже с конца 6-го месяца правовер-
ные собирались за городом на холмах, чтобы пронаблюдать
явление 7-го месяца; как только это случится, отправлялись
к судье, который записывал их показание в протокол и пе-
ресылал его градоправителю столицы (Истамбул эффенди).
То же происходило в последние дни 7-го месяца; установив,
таким образом, «астрономически» начало 8-го месяца, Ша-
бана, градоправитель отсчитывал 30 дней вперед и назначал
день начала Рамадана; и в этот день с заходом Солнца, и
уже невзирая на то, появится ли в стороне Мраморного мо-
ря тонкий серебристый серп или же нет, Рамадан считался
начавшимся и тысячи огоньков мелькали над минаретами
и пушечная пальба возвещала о том толпе.
Остается показать, насколько мусульманский календарь.
соответствует своему назначению, именно — насколько
близко начала его месяцев совпадают с новолуниями, или,
380
если исходить из соотношения (Ь) народного календаря, с
действительными неомениями. Для этой цели выбран на-
удачу 1137 г. гэджры и составлена таблица, в которой при-
ведены: названия месяцев и их длина; перевод дат на новый
стиль; астрономическое новолуние в константинопольском
времени, считая от полуночи, и указание, какого числа на-
шего.стиля мог наблюдаться вечером первый серп; это пер-
вый вечер после истечения Зб-часового промежутка от ново-
луния (табл. 7).
Таблица 1
Гэджра 1137 Дата нового стиля Новолуние Неомения
1-е Мохаррем (30) 1724 IX 20 IX 17, 12л57т IX 19
1-е Сафар (29) X 20 X 17, 6 14 X 18
1-е Рэби I (30) XI 18 XI 16, 0 29 XI 17
1-е Рэби II (29) XII 18 XII 15, 19 40 XII 17
1-е Джумада I (30) 1725 I 16 I 14, 13 12 I 16
1-е Джумада II (29) II 15 II 13, 5 02 II 14
1-е Реджеб (30) III 16 III 14, 17 17 III 16
1-е Шабан (29) IV 15 IV 13, 4 19 IV 14
1-е Рамадан (30) V 14 V 12, 12 29 V 14
1-е Шавван (29) VI 13 VI 10, 19 26 VI 12
1-е Джулькаде (30) VII 12 VII 12, 2 10 VII И
1-е Джульхидже * (29) VIII И VIII 8, 9 50 VIII 10
* В лунно-високосных годах в последнем месяце 30 дней. Данный год простой.
Нас интересует сравнение второго и четвертого столб-
цов; тут надо вспомнить, что мусульмане начинают свой день
с вечера, за шесть часов раньше нас; поэтому даты в четвер-
том столбце правильнее увеличить на единицу. После это-
го обнаруживается в общем замечательное согласие обо
их рядов; календарь, разработанный арабскими астроно
мами, превосходно выполняет задачу, которую ему поста-
вил ислам.
381
4. ПЁРЁИЧЙОЁ ЛУННО-СОЛНЁЧНОЁ СЧИСЛЕНИЕ
Мы подошли теперь к интереснейшей проблеме кален-
даря: объединить в одной и той же системе счисления связь
календаря с движением Солнца и с движением Луны.
Здесь требуется, во-первых, достигнуть того, чтобы на-
чала календарных месяцев не отходили от новолуний, и,
во-вторых, создать из этих лунных месяцев новую едини-
цу — год — с тем, чтобы начало его не отходило значитель-
но от астрономически важных моментов солнечного года,
например от равноденствия. Решения этой проблемы до-
бивались астрономы всего древнего мира; она почиталась
весьма трудной, и когда, например, она была численно ре-
шена в Греции, то это открытие приветствовалось как очень
большое достижение, внесшее порядок в учение о движении
светил.
Так как двенадцать лунных месяцев на 11 дней короче
солнечного года, то через каждые три лунных года его нача-
ло отступает в солнечном году больше, чем на месяц; это
было показано на примере свободного лунного календаря.
Но если, когда нарастет такая ошибка, вставить в лун-
ный год тринадцатый лунный месяц25, то начало следую-
щего года придется примерно на ту же дату в солнечном
календаре, на которую оно приходилось три года тому
назад,— согласование обоих календарей будет приблизи-
тельно достигнуто. Конечно, если поступать так через каж-
дые три лунных года, то скоро все опять придет в расстрой-
ство, ибо взятые пока числа грубо приближенные. Поэтому
народы древних семитических культур, которые считали
дни месяца по Луне, от новолуния к новолунию, но для ко-
торых все-таки немыслимо было в их счислении расстаться
совершенно с годом Солнца, годом всей живой природы,
прибегали к такой вставке 13-го месяца всякий раз, когда
она представлялась необходимой, чтобы вновь привести
начало лунного года, например, к началу весны.
Это система произвольных вставок; древнейшее упоми-
нание о ней имеется в указе вавилонского царя Хаммура-
би (2194—2152 гг. до н. э.), данном на имя одного из его
вассалов, где сказано: «Так как год имеет недостаток, то
пусть месяц, который сейчас начинается, получит назва-
ние второго Элуля, и потому подать Вавилону причитается
не на 25-е число Тишри, а на 25-е второго Элуля». Здесь со-
вершенно ясно видно, как естественная последователь-
382
ность лунных месяцев вавилонского года, именно Элуль-
Тишри, нарушается вставкой второго Элуля между ними,
так что данный год, имеющий недостаток, т. е. год, конец
которого пришелся бы по Солнцу слишком рано, удли-
няется на 13-й добавочный месяц. Такой способ произволь-
ных вставок удержался в Вавилоне с древнейших времен
вплоть до IV в. до н. э., когда вавилоняне перешли к систе-
ме периодического, или циклического, вычисления.
Сказанное относится и к древним евреям; сейчас доволь-
но трудно установить, начинался ли их год с осени или с
весны; можно думать, что после вавилонского пленения
(597—538 гг. до н. э.) начало официального и церковного
года было перенесено на весну, между тем как в народе
удержалось древнейшее, именно осеннее начало года (оно
сохранилось и посейчас в еврейском календаре); весенний
же год начинался ко времени весенней жатвы, когда в на-
иболее жарких областях Палестины созревает ячмень
(середина апреля — середина мая). На эту пору должен
был приходиться «авив», древний месяц «новых плодов».
Поэтому, когда, например на 11-м месяце, становилось яс-
но, что ячмень через два месяца не созреет, то к концу те-
кущего лунного года прибавлялся 13-й месяц; по этой
причине начало следующего года задерживалось на 30 дней,
а продолжительность текущего года выходила равной
приблизительно 384 дням. Возможно, что именно климат
Палестины с его резким и постоянным делением года на две
части, зноя и дождей, позволял здесь сохранять подобное
счисление в течение столетий, без путаницы в календаре.
Новый год отчетливо фиксировался тут климатически, а к
климатическим периодам сравнительно просто было под-
гонять лунный календарь.
Не так давно вопрос о первоначальном еврейском ка-
лендаре вызвал значительный интерес хронологов в связи
с находкой в городе Ассуане в Египте в 1904 г. десяти па-
пирусов, составленных на арамейском языке 26. Несмотря
на 2300-летний возраст, они по степени сохранности про-
изводят впечатление написанных на днях. Бытовое зна-
чение их огромно: это нечто вроде семейно-имущественного
архива двух поколений еврейской семьи, прибывшей в
Египет, как можно думать, вслед за войсками Дария Пер-
сидского (—500) и обосновавшейся около древнего Сиэнэ
(Ассуана). Период времени, ими охватываемый, составляет
60 лет (с 471 по 411 г. до н. э.). Для хронолога особая важ-
383
ность этих документов заключается в их параллельных да-
тировках, именно в еврейском лунном и египетском сол-
нечном календарях.
Приводим для примера первые строки папируса D
(рис. 8) в переводе Sayce: «21-е Кислева, т. е. в 1-й день
Месори, в 6-й год Артаксеркса царя, сказал Мазия, сын
Гедонии, иудей, обладающий недвижимым имуществом в
крепости Гэб...» (дальше идет вопрос о земельном участке).
Эта датировка особенно любопытна тем, что в ней пи-
сец несомненно сделал ошибку, пометив 6-й год Артаксер-
кса вместо 5-го года.
Действительно, исходя из данных Канона Птолемея,
нетрудно вычислить, что 6-й год Артаксеркса начинался
16 декабря 460 г. до н. э. (1-е Тот); следовательно, 1-е
Месори, начало 11-го месяца, приходилось на 11 ноября
459 г. до н. э. Далее, в документе утверждается, что эта
Рис. 8. Арамейский папирус, датированный в египетском и еврей-
ском календарях
дата совпадала с 21-м числом еврейского лунного месяца
Кислева; значит выходит, что за 20 дней до этого, 22 ок-
тября, была неомения; но это неверно. Расчет показы-
вает, что в тот год новолуние произошло 10 октября. Ошибка
очевидна. Между тем, если взять предыдущий год, т. е.
5-й год Артаксеркса, то выйдет: 1-е Тот = 16 декабря
461 г.; 1-е Месори = 11 ноября 460 г.; 1-е Кислев = 22 ок-
тября 460 г.; астрономическое же новолуние было 21 ок-
тября; совпадение прекрасное. Удовлетворительное согла-
сие дают датировки и прочих папирусов.
384
Представим себе теперь, что подобные параллельные
лунно-солнечные данные имелись бы у нас для целого ряда
моментов, более или менее равномерно распределенных на
продолжительном интервале: можно было бы установить
порядок чередования коротких еврейских лет (12-месяч-
ных) и длинных (13-месячных), иными словами, выяснить
структуру счисления, если бы оно было в то время система-
тизировано. К сожалению, ассуанские папирусы недоста-
точны для решения вопроса в ту или другую сторону.
Несмотря на очевидную примитивность описанной си-
стемы произвольных вставок, следует помнить, что зна-
чение ее в истории науки очень высоко. Только там разви-
валась астрономия, где применялся лунно-солнечный ка-
лендарь. В вавилонских таблицах находятся записи вроде
следующей: «Если в первый день Нисана Луна в соедине-
нии с Плеядами, год простой; если на третий день Нисана
Луна в соединении с Плеядами, год полный [13-месячный]».
Такие указания, астрономически правильные, обнаружи-
вают уже обширный и систематизированный наблюдатель-
ный материал и приближают нас к окончательному реше-
нию задачи лунного счисления.
5. ОСНОВНЫЕ ЦИКЛЫ
Арифметически законченные лунно-солнечные системы
основаны на двух астрономических постоянных: длине
года (365^,2422) и длине синодического месяца (29d,5306).
Пользуясь этими точными данными, весьма просто решить
основную задачу лунно-солнечного счисления, т. е. устано-
вить, сколько месяцев соответствует целому числу солнеч-
ных лет, и как наиболее выгодно чередовать короткие 12-
месячные лунные годы с 13-месячными, эмболисмическими,
чтобы в течение всего периода держать начала лунных лет
возможно ближе к какому-либо моменту астрономиче-
ского солнечного года, например к равноденствию. Можно
было бы воспользоваться для этой цели либо арифметиче-
ской теорией подходящих дробей, либо более простым прие-
мом, примененным при вычислении магометанских циклов.
Но необходимо помнить, что древние при разыскании
таких периодов не располагали только что приведенными
точными данными. Напротив, они постепенно подходили
к этим значениям путем длинного процесса последователь-
13 Н. И. Идельсон
385
ного приближения; открывая различные соизмеримости
между годом и месяцем, т. е. находя такие кратные от числа
лунных месяцев и солнечных годов, которые дают одно и то
же, и притом близкое к целому, число дней, они постепенно
улучшали исходные значения обеих искомых величин. Тот
процесс, которым они при этом шли, в точности неизвестен.
Но ввиду важности вопроса полезно хотя бы предположи-
тельно его восстановить.
В этом исследовании будем предполагать данным толь-
ко следующее: солнечный год составляет приблизительно
365*4 дней; лунный месяц равен 29*4 дням; в календаре
можно считать либо пустые, либо полные месяцы.
Самое грубое наблюдение показывает, что 3 года
(1095 дней) соответствуют приблизительно 37 лунным ме-
сяцам (12 х 3 + 1); действительно, сделав из них 19 пол-
ных и 18 пустых, получим:
19 X 30 +18 X 29 = 1092 дня.
Так, если в данное равноденствие случилось полнолу-
ние, то через три года в этот момент Луна снова будет близ-
ка к полнолунию.
Более точные наблюдения приводят к составлению
восьмилетнего периода; в самом деле, взяв 99 месяцев -и
сделав из них 51 полный и 48 пустых, найдем:
51 X 30 4- 48 X 29 = 2922 дня.
Но и восемь лет (365*4 X 8) составляют тоже 2922 дня;
поэтому через восемь возвращений Солнца к равноденст-
вию Луна должна снова вернуться к исходной фазе.
Попробуем теперь объединить оба периода, 3- и 8-лет-
ний, в один общий, 11-летний; затем вновь соединим 8- и
11-летние периоды в новый, 19-летний87. Мы получим
вполне определенные совокупности пустых и полных меся-
цев, равно как и соответствующее им целое число дней.
Если это число дней плохо согласуется с кратными действи-
тельных, астрономических месяцев, то к концу периода но-
волуния сдвинутся в календаре с 1-го числа и с повторе-
нием периодов будут все дальше отходить от этой даты.
Ошибку в отношении Солнца, т. е. сдвиг начальных момен-
тов периодов от равноденствия, оставим пока без внимания.
Сведем все эти данные в таблицу (табл. 8).
Мы видим, что такое наслоение периодов ни к чему не
ведет; ошибка все время возрастает. Но мы можем легко по-
386
Таблица 8
Период в годах Число полных месяцев Число пустых месяцев Общее число месяцев П родолжи- тельность в днях Астроном, продолжи- тельность Ошибка периода в отношении Луны
3 19 18 37 1092 1092^63 —0,63
8 51 48 99 2922 2923,53 —1,53
И 70 66 136 4014 4016,16 —2,16
19 121 114 235 6936 6939,69 —3,69
Таблица 9
Период в годах Число полных месяцев Число пустых месяцев Общее число месяцев Продолжи- тельность в днях Ошибка периода в отношении Луны Выведенная из него длина солнечного года
3 19 18 37 1092 -0d63 364*000
8 53 46 99 2924 4-0,47 365,500
И 72 64 136 4016 -0,16 365,091
19 125 НО 235 6940 4-0,31 365,263
править дело, именно положить 8-летний период равным
2924 дням, что, как мы знаем, ближе к истине, чем
2922 дня; для этого достаточно два месяца из числа пустых
сделать полными; тогда операция соединения периодов даст
уже совершенно иную картину (табл. 9).
Одного взгляда на эту таблицу достаточно, чтобы оце-
нить все преимущества периода, устроенного, как указано
в последней строке; в отношении Луны он дает на 235 меся-
цев довольно слабую ошибку в 0,31 дня. Средний месяц,
т. е. дней или 29<*12А46'П, выходит только на 2 минуты
длиннее астрономического; длина года получается равной
—jg- дней или 365d6/t19/ra, т. е. приближается к величине
365V4 Дня; а эта величина долгое время считалась у греков
незыблемой истиной. Все прочие периоды, т. е. 3-, 8- и 11-
летний слишком сильно расходились либо с Луной, либо
с Солнцем.
13*
387
Итак, естественным образом, греки могли подойти К
знаменитому соотношению Метона (432 г. до н. э.): 235 ме-
сяцев, считая в том числе 125 полных и ПО пустых, а всего
6940 дней, соответствует 19 солнечным годам.'
Такой цикл осуществляется включением 7 эмболисми-
ческих месяцев на 19 лунных лет (12 х 12 + 13 х 7 =
= 235 месяцев).
Выведенное сейчас соотношение справедливо считается
одним из шедевров греческой астрономии. Но нужно пом-
нить, что не только греки, но, в различные эпохи, вавило-
няне и евреи, индусы и китайцы пользовались им. Позна-
ние его составляет как бы часть основного запаса научных
сведений человечества. Однако греки пошли значительно
дальше, внеся в полученное соотношение две поправки:
Калиппа (330 г. до н. э.) и Гиппарха (125 г. до н. э.).
Поправка Калиппа. Длина солнечного года, выведен-
ная из круга Метона, слишком велика. Действительно, мы
имеем:
6940 „Лг 5 ппг 20
‘ig — 365 IQ — 365 уф дня.
Но, согласно египтянам, солнечный год равен
1 19
365= 365-jg-дня.
Итак, солнечный год в круге Метона на дня длиннее,
чем следует; за 76 лет календарь должен уйти от Солнца на
1 день.
Поэтому естественно сократить четыре метоновых пе-
риода на 1 день, сделав один пустой месяц там, где полагал-
ся полный. Тогда получится:
76 лет по 365 */« дней = 27 759 дней;
с другой стороны,
499 X 30 + 441 X 29 = 27 759.
Поэтому можно положить:
76 лет (юлианских) = 940 лунных месяцев, при 441 пу-
стых и 499 полных, — 27759 дней.
Эта поправка удачная; она правильно укорачивает дли-
ну солнечного года и- наряду с тем дает хороший результат
388
для Луны; лунный месяц выходит равным
2946"" дней ~ 29dl2/r44w25s,
так что в длине его остается ошибка всего в 22s.
Поправка Гиппарха. Этот астроном первый отрешился
от догмата, что в году Збб1^ дней; в этом состояло следствие
его гениального открытия предварения равноденствий:
он вывел путем сравнения своих собственных наблюдений
с более древними, что за 147 лет равноденствие предвари-
лось на 1/2 суток 28. Отсюда он сделал правильное заклю-
чение, что длина египетского солнечного года, года Сириу-
са, должна быть слишком велика, приблизительно на 720 :
: 147 минут, т. е. на 4W48S. Исходя из того, что 4m48s состав-
ляют приблизительно Vgoo дня, Гиппарх считал, что длину
четырех калипповых периодов (4 х 76 = 304 года) надле-
жит снова укоротить на один день; таким образом, он полу-
чил:
304 солнечных года = 27 759 X 4—1 = 111035 дней,
или 940 X 4 = 3760 лунных месяцев.
Эта поправка, в свою очередь, улучшала соотношение не
только для Солнца, нои для Луны; изопределения Гиппар-
ха выходило:
111035
1 солнечный год = —394 ~ дня ~ 365d5/:55/?716s.
111035
1 лунный месяц = —jygo—дня — 29 d12lt44rn2sl5.
Таким образом, в длине солнечного года остается, против
астрономического определения, ошибка всего в 6V2 минут
(см. стр. 324); в длине месяца ошибки фактически уже
больше нет 29 (стр. 374).
Заметим, что разность между «месяцем Калиппа» и «меся-
цем Гиппарха» составляет:
27759 111035 1
940 — 3760 ~ 3760 дня’
Поэтому 3760 «месяцев Калиппа» на 1 день длиннее того
же числа «месяцев Гиппарха». Но 3760 месяцев Калиппа
равны:
76
3760 X "94о = 304 юлианским годам.
389
Таким образом, мы приходим к равенству:
304 юл. года = 3760 месяцев Гиппарха+ 1 день.
Если считать «месяц Гиппарха» астрономически окон-
чательно верным, то это приводит к формулировке: за 304
юлианских года фазы Луны сдвигаются в юлианском кален-
даре на один день назад.
Этот окончательный и важный результат не получил,
однако, применения в календарном деле. Даже и 76-летними
периодами Калиппа пользовались исключительно грече-
ские ученые и хронологи. Так, например, Птолемей в
«Альмагесте» датирует годы в калипповых периодах (на-
чало первого периода падает на 28 июля 330 г. до н. э.),
а числа месяцев в египетском календаре—любопытное соеди-
нение двух совершенно различных систем.
Приведем численную иллюстрацию результата Гип-
парха; для этого составим таблицу действительных астро-
номических новолуний для 284 г. н. э. (с ним связаны основ-
ные вычисления пасхалии) и сравним их с датами соот-
ветствующих новолуний для 1500 г. Так как эти годы
отделены промежутком в 1216 (304 X 4) лет, то следует ожи-
дать сдвига новолуний в среднем на 4 дня. Вычисления же
дают следующий результат (табл. 10).
Таблица 10
284 г. 1500 г. Сдвиг | 284 г. 1500 г. Сдвиг
I 5.5 I 1.3 —4*2 I VII 29.9 VII 26.2 -3?7
II 4.3 I 30.8 -4,5 VIII 28.2 VIII 24.9 —3,3
Ш 4.9 II 29.3 -4,6 IX 26.6 IX 23.4 —3,2
IV 3.5 III 29.8 -4,7 X 26.2 X 23.0 —3,2
V 2.9 IV 28.4 -4,5 XI 24.8 XI 21.5 —3,3
VI 1.2 V 28.0 —4,2 XII 24.5 XII 21.0 —3,5
VI 30.6 VI 26.6 —4,0 1 Средняя величина -3,9
сдвига
Вся остающаяся здесь невязка падает на счет юлиан-
ского календаря; если бы наш солнечный календарь был
составлен по циклу Гиппарха, то 4 периода были бы укоро-
чены на 4 дня, и ошибка к концу всего интервала свелась
бы практически к нулю. Следовательно, если бы построить
390
солнечный календарь по Гиппарху и расписать, на какие
числа падают в нем новолуния, то они все возобновились
бы на тех же датах через 304, 608, 912 и т. д. лет, одним
словом, было бы достигнуто полное выравнивание кален-
даря с Луной. Однако система осталась бы все-таки несо-
вершенной, так как в календаре Гиппарха астрономическое
равноденствие отходило бы от момента, назначенного для
него в календаре, за каждые 304 года на 6т,5 х 304, или
приблизительно на ld9h.
Устранение этого последнего дефекта заставило себя
долго ждать: оно было осуществлено, и притом с большим
успехом, только в эпоху Возрождения при григорианской
реформе церковного календаря.
6. ВОСЬМИЛЕТНИЙ ПЕРИОД И МЕТОНОВ КРУГ
С лунно-солнечными системами, довольно необычными
для всех, кто пользуется лишь обыкновенным солнечным
календарем, лучше всего познакомиться на простом приме-
ре. Для этого рассмотрим самый краткий из всех выведен-
ных периодов, именно восьмилетний; для упрощения отбро-
сим пока астрономическую невязку цикла и будем исходить
из соотношения:
8 солнечных лет = 2922 дня = 99 лунных месяцев.
Но 8 лет по 12 месяцев составляют только 96 месяцев;
ясно, что на протяжении этих 8 лет надо вставить 3 доба-
вочных (эмболисмических) лунных месяца. Таким образом,
произойдут 5 лет по 12 месяцев и 3 года по 13 месяцев; эти
длинные годы условимся также называть эмболисмическими.
Спрашивается, прежде всего, как разместить эти длин-
ные годы между всеми 8-ю годами круга? Ответ на этот воп-
рос всецело зависит от условий, которые мы поставим ка-
лендарю; в данном случае мы поступим аналогично тому,
как поступали при распределении високосных лет в сол-
нечном периоде или лунно-високосных в арабском цикле.
Допустим, что в начале цикла начало солнечного года в
точности совпадает с началом лунного года. Определим
затем последовательность чередования коротких лунных
лет (354 дня) и длинных (384 дня) с таким расчетом, чтобы
во всех последующих годах круга начало солнечного года не
отходило от начала соответствующего лунного года в ту или
иную сторону больше, чем на полмесяца. Но мы знаем, что
391
солнечный год равен 12,368 месяцев; поэтому если лунный
год считать ровно в 12 месяцев (354 дня), то к концу его
Солнце продвинется вперед на 0,368 месяца; если же приба-
вить к концу текущего лунного года еще 13-й месяц (30 дней),
то к началу следующего лунного года Солнце отойдет на-
зад на 13—12,368 = 0,632 месяца. С этими данными легко
вычислить таблицу «смещений Солнца» к концу каждого
лунного года; при составлении ее естественно и разместятся
эмболисмические годы в круге.
Смещения начала солнечного года к концу лунных го-
дов цикла получатся следующие (в долях месяца):
К концу 1-го года-f-0,368 к концу 5-го года — 0,160
» » 2 » —0,264 » » 6 » +0,208
» » 3 » +0,104 » » 7 » —0,424
» » 4 » +0,472 » » 8 » —0,056
Таким образом, чтобы избежать ошибки или смещения
больше, чем в полмесяца, нам пришлось проставить длин-
ные (эмболисмические) годы на 2, 5 и 7-м местах; отсюда по-
лучается следующая схема распределения дней во всех
восьми лунных годах нашего круга:
1-й лунный год 354 дня 5-й лунный год 384 дня
2 » » 384 » 6 » » 354 »
3 » » 354 » 7 » » 384 »
4 » » 354 » 8 » » 354 »
Сумма 2922 дня
Теперь читатель должен представить себе, что с некото-
рого определенного момента текут оба календаря: один —
солнечный, на восемь лет (причем четвертый и восьмой
год будем считать високосными), и другой лунный, тоже на
восемь лунных лет, при трех вставных месяцах, как сей-
час показано. Посмотрим, сколько от общего отправного
момента пройдет дней: с одной стороны — до начала 2-,
3-го и следующих солнечных годов, а с другой — до на-
чала 2-го, 3-го и т. д. лунных годов; эти суммы дней в про-
текших годах соединим в таблицу.
Из этой таблицы сейчас же станут ясными все мудреные
свойства лунно-солнечных календарей. Ее последний стол-
бец надо читать так: от общего отправного пункта до на-
чала 2-го года по Солнцу прошло на 11 дней больше, чем до
39?
Т аблица 11
К началу солнечного года лунного года Солнце впереди Луны
прошл о дней
2-го 365 354 +11
3-ГО 730 738 —8
4-ГО 1095 1092 +3
5-го 1461 1446 +15
6-го 1826 1830 —4
7-го 2191 2184 +7
8-го 2556 2568 —12
9-го 2922 2922 0
начала 2-го лунного года ... до начала 8-го солнечного года
на 12 дней меньше, чем до начала 8-го лунного года, но до
начала 9-го года — одинаковое число дней; ведь в этом и
состоит процесс выравнивания календарей в 8-летнем круге!
Какое же будет соотношение между моментами возвра-
щения в одном календаре какой-либо даты, заранее фикси-
рованной в другом?
Тут могут представиться два внутренне одинаковых, но
внешне совершенно различных случая.
А. Некто ведет непрерывный счет в лунном календаре,
т. е. от новолуния к новолунию, и замечает, что в первом
году круга определенная дата солнечного календаря, ска-
жем 17 апреля, совпала с 15-м числом второго лунного ме-
сяца. Спрашивается, на какие дни второго лунного месяца
упадет 17 апреля во всех последующих годах цикла?
Ответ ясен: ничто не мешает нам считать именно указан-
ный момент за общий исходный пункт счета, а так как до
возвращения 17 апреля пройдет на 11 дней больше, чем
до возвращения 15-го числа второго лунного месяца, то
во втором году оно упадет на 26-е число этого месяца; в
третьем на 19 дней раньше, т. е. на 7-е число, в четвертом
опять на 11 дней позже, т. е. на 18-е число, и т. д. Таким об-
разом, в лунном календаре взятая для примера дата пос-
ледовательно придется на числа:
(а ) 15, 26, 7, 18, 30, 11, 22, 3; 15, 26, 7.... второго лунного
месяца.
393
Это мы можем формулировать так: любая дата, отмечен-
ная раз навсегда в солнечном календаре, будет в лунно-
солнечном календаре в течение цикла перескакивать с да-
ты на дату, причем только к началу следующего цикла она
впервые вновь вернется к своему исходному месту в лунном
счете; если цикл точен, то описанный процесс повторится
неопределенное число раз; тогда вообще данный солнечный
момент может совпадать только с вполне определенными
числами лунного календаря.
В. Некто ведет счет в солнечном календаре и замечает,
что в первом году круга определенная лунная дата, напри-
мер новолуние, т. е. 1-е число третьего лунного месяца,
совпало с 16 мая. Спрашивается, на какие числа мая при-
дется новолуние третьего месяца в последующих годах
круга?
Ответ сразу получится из предыдущего, заменой слов
«раньше» на «позже» и наоборот, т. е. плюса на минус; мы
установим, что 1-е число третьего лунного месяца последо-
вательно придется на:
(6 ) 16, 5, 24, 13, 1, 20, 9, 28; 16, 5, 24.... мая.
Это показывает, что любая дата, фиксированная в лун-
ном календаре, будет перескакивать в течение периода с
даты на дату, причем только к началу следующего цикла
она впервые вновь вернется к исходному месту; и если из-
бранный цикл точен, то описанный процесс повторится не-
ограниченное число раз, так что вообще заданный лунный
момент может совпасть только с раз навсегда определенны-
ми восемью солнечными датами.
Наконец, из чисел рядов (а) и (Ь) получится и величина
последовательных скачков любой даты солнечного кален-
даря в лунном счете (тип А) или же, наоборот, лунной даты
в солнечном календаре (тип В).
Мы находим путем вычитания предыдущего из после-
дующего в рядах (а) и (6):
Для типа А: +11, —19, +11, +12, —19, +11, —19, +12
Для типа В: —11, +19, —11, —12, +19, —11, +19, —1230.
Полученный на последней строке результат можно
формулировать и в такой форме: даты новолуний в солнеч-
ном календаре с каждым годом либо сдвигаются на 11 (или
12) дней назад, либо продвигаются на 19 дней вперед, но
394
к началу нового периода (круга) вновь становятся на свое
место в солнечном календаре.
Если теперь вместо восьмилетнего периода взять какой-
либо иной, более точный, например 19-летний, круг Мето-
на, то и на нем, разумеется, будет обнаружен тот же харак-
тер счисления. В обычном солнечном календаре такая си-
стема будет прыгающей. Но именно этот, столь особенный
не первый взгляд характер обеспечивает лунно-солнечному
году огромное преимущество над свободным лунным годом;
последний, как показано в главе о мусульманском календа-
ре, в нашем обычном счислении всегда сползает в одну сто-
рону, и его начало обходит все времена года; тут такая не-
лепость невозможна именно потому, что к концу каждого
периода календарь возвращает начало лунного года к его
исходному месту в действительном солнечном году.
7. ДРЕВНЕГРЕЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
Астрономическая мысль древних греков с отдаленных
эпох развивалась в схеме лунно-солнечного календаря;
счет дней в гражданской жизни шел у них по Луне, от но-
волуния к новолунию; их календарные числа показывали,
таким образом, только возраст Луны. Но с тем научным
реализмом, который характеризует греческую культуру,
с тем проникновенным «удивлением», с которым греки под-
ходили к природе, они быстро усвоили, что астрономические
наблюдения должны раскрыть связь явлений звездного
неба с движением Солнца и что календарь должен эту связь
отображать. С VIII в. до н. э. им был известен восьмилет-
ний период (октоэтерис) — инструмент, как мы знаем,
весьма примитивный. Ко времени Солона-законодателя
(около VI в. до н. э.) в Аттике действовала уже исправлен-
ная октоэтерида; каждый период удлинялся на Р/2 дня.
Следовательно, из двух таких периодов получалось:
2922 X 2 -f- 3 = 5847 дней =198 лунных месяцев =
= 16 солнечных лет.
Такое соотношение дает для Луны вполне приемлемый
результат; но солнечный год выходит равным 365 7/ie дня,
т. е. на ®/ie дня больше юлианского года. Следовательно,
на каждые 16 лет солнцестояния — год у древних греков
начинался с летнего солнцестояния — смещались в кален-
395
даре на 3 дня назад; ошибка очевидная, даже и при всей
трудности соответствующих наблюдений. Но уже в V в.
Метон достиг существенного улучшения. «Этот человек
добился истины в отношении предсказания явлений звезд-
ного неба, ибо движения светил и перемены погоды вполне
согласуются с его данными; поэтому большинство греков
до моего времени пользуются его 19-летним кругом», — пи-
сал историк Диодор в I в. до н. э. Что метеорологические,
или климатологические, предсказания шли у древних гре-
ков параллельно с астрономическими предвычислениями,
это одна из характерных черт их общего мировоззрения;
познание природы строилось у них на чисто наблюдатель-
ном материале, без всякой примеси астрологии. В какую
же календарную форму оно было облечено?
Годовой круг Солнца разделен на 12 равных частей (до-
декатеморий), на 12 знаков Зодиака; происхождение этого
деления есть вопрос особый, очень сложный и нас сейчас
не интересующий; для древнего наблюдателя было суще-
ственно, что смена годичных восходов и заходов звезд и —
думал он — перемены погоды (эписемазии) происходят в оп-
ределенные моменты прохождения Солнцем его круга; по-
этому из наблюдений строятся зодиакальные таблицы,
в которых по 12 знакам расписаны и те, и другие явления 81.
Ясно, что такие таблицы достаточно составить на 365 дней
года; тогда останется только согласовать их со счетом дней
в гражданском лунном году и сделать эти данные обще-
доступными — греческая наука никогда не запиралась в
храмы и не была кастовой. Метон для наблюдения солнце-
стояний воздвигал свои стелы (колонны) и инструменты
на Пниксе в Афинах, у самой площади народных собра-
ний 32, и все решительно могли видеть его парапегмы, т. е.
высеченные на камне календари.
Археологи долго не понимали, как могли быть устроены
эти календари; ведь нельзя же нанести на камень 6940 дат
19-летнего круга, повторив в них 19 обходов Солнца по всем
знакам Зодиака. Только в 1902 г., при раскопках театра
в Милете (в Малой Азии) были найдены обломки такой па-
рапегмы; из них сразу же выяснилось остроумное решение
данной технической задачи, найденное греками. На рис. 9
изображен один из фрагментов памятника; на нем виден
ряд надписей, расположенных по строкам; слева от строк,
а также и между ними имеется ряд небольших отверстий;
всего их на правом столбце 30 — что показано сверху гре-
396
Рис. 9. Древнегреческий переставной календарь
ческой буквой Л; пронумеруем все эти отверстия, проста-
вив для ясности перед строками числа, которых на памят-
нике нет.
В переводе надписи гласят следующее:
1 ф Солнце в Водолее
2 ф Лев на утренней заре заходить начинает и Лира заходит
5 ф Лебедь на вечерней заре заходит
15 ф Андромеда утром на заре восходить начинает
18 ф Водолея середина восходит
19 ф Пегас утром на заре восходить начинает
21 ф Центавр целиком утром заходит
22 ф Гидра целиком утром заходит
23 ф Кит на вечерней заре заходит
24 ф Стрела заходит, пору Зефира (весну) приводя
29 ф Лебедь целиком на вечерней заре заходит
30 ф [Арктур] на вечерней заре восходит
397
Мы видим, что это отлично сохранившаяся зодиакальная
таблица на 1 месяц, именно на время прохождения Солнцем
знака Водолея. В нашем современном календаре Солнце
вступает в этот знак (300° долготы) около 22 января;
отсюда легко было бы, с помощью чисел, поставленных пе-
ред строками, определить календарные даты всех остальных
предсказанных явлений. Но сейчас надо совершенно за-
быть эту солнечную датировку; греки ее не знали. В их лун-
ном календаре вступление Солнца в любой из знаков пере-
скакивало с даты на дату по годам круга, как показано на
стр. 393, тип А. Но тут приходят на помощь отверстия в
камне: если известно, в какое число лунного календаря
Солнце в данном году вступает в первый знак, то доста-
точно проставить во все отверстия как у строк, так и между
строками, штифты с последовательными датами, чередуя
месяцы по 29 и 30 дней по правилам лунного календаря;
тогда каждая из строк таблицы, т. е. каждое явление, при-
дется на вполне определенную дату лунного года; всякий
сразу увидит, на какие числа упадут важные и интересные
явления природы. Так выяснили, наконец, загадочный
раньше смысл слова парапегма и его связь с глаголом, оз-
начающим «прикреплять», «вкалывать». Это был всена-
родный переставной календарь.
Вопрос о внутренней структуре метонова круга у гре-
ков хронологами еще окончательно не разрешен; на 19 лет
надо вставить 7 эмболисмических месяцев (12 X 12+7 х
X 13 = 235); древние не оставили сколько-нибудь точного
описания устройства цикла в отношении порядка их разме-
щения. Теперь обычно считается, что эмболисмическими
были 3, 6, 9, 12, 15, 17 и 19-й годы круга. Приняв во внима-
ние, что средний солнечный год в этой системе выходит
равным 12 ’/io месяца, читатель легко построит таблицу
распределения ошибок к началу каждого из лунных лет,
как это было сделано для 8-летнего периода или для свобод-
ного лунного календаря.
Введение метонова круга связано с знаменитым астро-
номическим наблюдением, о котором сообщает Птолемей:
«Летнее солнцестояние, которое наблюдали Метон и Эукте-
мон, приведено в записях при афинском архонте Апсейде,
в 21-й день египетского месяца Фаменот утром». Перевод
датировки и исторические данные весьма точно определяют
день наблюдения: это 27 июня 432 г. до н. э. Но по таблице
равноденствий легко проверить, что солнцестояние было
398
432 г., 28 июня, в 2 часа, считая сутки от полудня, по афин-
скому времени (Афины на 1х/2 часа к востоку от Гринвича).
Следовательно, наблюдение Метона ошибочно не больше
как на 1х/2 суток — для той эпохи хороший результат. Пер-
вый день первого метонова круга положен на первую нео-
мению после этого солнцестояния, что дает 16 июля 432 г.
до н. э., следуя большинству хронологов.
8. СРЕДНЕВЕКОВОЕ (АЛЕКСАНДРИЙСКОЕ) СЧИСЛЕНИЕ
От первоначальных построений греческих астрономов
V века, через Гиппарха и великую школу александрийских
ученых (II в. до н. э.) греческая наука прошла путь огром-
ного развития. Птолемей, во II в. н. э., подвел итоги всему
астрономическому и географическому знанию древности,
обнаружив замечательное математическое дарование; на
1300 лет, вплоть до эпохи Возрождения, он остался един-
ственным и непререкаемым авторитетом. В Европе в эти
века царила узкая схоластика; одухотворенная культура
греков сошла на нет. Через александрийские общины цер-
ковь восприняла элементы хронологического знания; оно
замкнулось в монастыри, где продолжалась абстрактная
систематизация лунно-солнечного счисления (computum)
с помощью тяжеловесного аппарата, доступного немногим
посвященным клерикам. Дионисий Малый в Риме, этот
«скиф по рождению», ученейший муж VI века, который
установил христианское летоисчисление, Беда в Англии
(VIII в.) разрабатывали счисление эпакт 33 для нужд цер-
ковного календаря на основе того же 19-летнего круга.
«Монах из Ярмута, Беда досточтимый, был при жизни кла-
дезем премудрости. Он писал по теологии и хронологии;
он говорил о дне и о ночи, о неделе и месяце, о знаках Зо-
диака, об эпактах, о лунном круге, о подвижных праздни-
ках», — так повествует А. Франс с ему одному свойствен-
ной иронией...
И правда, сколько учености,— и все для того, чтобы
разместить 235 лунных месяцев по 19 годам круга! Изла-
гать всю эту технику здесь было бы затруднительно и не
нужно. Но следует ясно понять, что задача этих хронологов
была обратной задаче греческих астрономов; эти последние,
взяв для канвы лунный год, вплетали в него явления сол-
нечного года; первые же, приняв в основу солнечный ка-
399
лендарь, должны были вместить в него лунное течение.
Допустим, что эта задача решена, т. е. что установлено, на
какое число месяца каждого из 19 лет круга приходятся
новолуния; тогда технически несложно свести эти сведе-
ния в таблицу, т. е. построить, как говорилось, вечный
календарь.
Здесь прежде всего нужно распределить все годы по кру-
гам. Так, например, пусть 1900-й год будет первым, 1901
вторым ... 1919 снова первым и т. д., вперед и назад неогра-
ниченное число раз. Затем построим таблицу месяцев, от
1 января до 31 декабря, и поместим под каждой датой поряд-
ковый номер того года в круге, в котором на эту дату по
счислению приходится новолуние 34.
Для примера выписываем вечный календарь на один ме-
сяц; числа, разумеется, в старом стиле.
Апрель 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Золотое число — 11 — 19 8 16 5 — 13 2 — 10 — 18 7
Апрель 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2п 29 30
Золотое число — 15 4 — 12 1 — 9 — 17 6 — 14 3 >—
По этой таблице для 1915 г., или, как говорят, под зо-
лотым числом 16, апрельское новолуние должно быть 6/19-
го; для 1918 г.— 4/17-го, для 1917—14/27-го. Очевидно, что
если такую таблицу продолжить на 12 месяцев, то все зо-
лотые числа повторятся в ней по 12 раз; золотые числа годов
эмболисмических, т. е. о 13 месяцах,— 13 раз. Дальше,
имея такую таблицу в полном объеме, мы сразу можем ска-
зать, на какие числа падают все новолуния года, зная
только его золотое число. Ясно, что вечный календарь от-
носится к парапегме древних греков, как негатив к пози-
тиву (тип В к типу Л).
Однако и вечный календарь не вечен; его таблицы, весь-
ма ценные в V—VI вв., сейчас не имеют астрономического
значения. Так, например, апрельские новолуния были:
в 1915 г. 31 марта, а не 6 апреля; в 1917 — 8-го, а не 14 ап-
реля; в 1918 г.— 28 марта, а не 4 апреля (все в ст. ст.). Сле-
довательно, средневековый календарь разошелся с Луной
к нашей эпохе в среднем на 6 дней. Причина этого явления
кроется в самих принципах рассматриваемого счисления,
начала которого разработаны еще в Александрии, в первые
века нашей эры.
400
Основания его состоят в следующем: 1) солнечный год
равен 3651/4 дням, но календарный год предполагается
всегда равным 365дням; 29 февраля в вечном календаре не
показывается. 2) В 12-месячном лунном году 354 дня; в
13-месячном — 384. Эмболисмические годы стоят на 3, 6,
8, 11, 14, 17 и 19-м местах круга. 3) В определенных таким
образом 19 лунных годах 6936 дней; но на 19 лет случится
всегда, т. е. откуда бы ни начать счет, 19/4 = 43/4 високоса;
поэтому фактически длина 235 лунных месяцев, размещен-
ных в календаре, есть 6940 3/4 дня. 4) С другой стороны,
19 солнечных лет, по 365V4 дня, составляют 6939 3/4 дня;
поэтому, достаточно из 235 месяцев круга один укоротить
на 1 день, т. е. сделать пустой месяц там, где нормально
выходит полный. Тогда получится равенство:
19 солнечных лет — 235 лунных месяцев = 6939 3/4 дня.
Умножим всю строку на 4:
76 солнечных лет = 940 лунных месяцев = 27 759 дней.
Что же мы нашли? В точности равенство Калиппа; та-
ким образом, александрийское счисление и калиппов круг
суть системы совершенно тождественные; этим и объяс-
няется беспрерывный сдвиг новолуний в отношении вечного
календаря.
Расхождение вычисленных фаз луны с наблюденными
стало очевидным для всех к XVI в.38; оно составляло тогда
в среднем 4 дня. Поэтому хронологи от даты вечного кален-
даря отступали на 4 дня назад, считая слоги: no-va lu-na
hie, т. е. но-во-лу-ньетут; своеобразный способ исправления
астрономических таблиц! 9
9. ЕВРЕЙСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
Как уже отмечено, у евреев система «произвольных вста-
вок» удержалась значительно дольше, чем у других наро-
дов древности. Когда Иудея потеряла последние следы по-
литической независимости и Иерусалим, разрушенный при
Веспасиане и Тите (70 г. н. э.), из духовного центра страны
был превращен в римскую «Элию Капитолину» — центр
римского владычества в Сирии (130 г.), только тогда, и,
вероятно, под влиянием значительных еврейских коло-
ний Вавилона и Александрии, начались попытки система-
тизации счисления рассеянных уже везде евреев. Реформа
подготовлялась весьма долго; обычно годом введения дей-
ствующего календаря считается 499-й г. н. э.
401
Влияние вавилонской астрономии в этом календаре не-
сомненно: основная единица счета, длина месяца, принята
в нем равной 29d12ft44'"31/ss, что вполне соответствует дан-
ным вавилонян, к которым подошел впоследствии и Гип-
парх (как видим, это значение чрезвычайно точное: поэтому
еврейский календарь практически не может расходиться
со средними астрономическими фазами Луны). Любопытно,
что и самые названия месяцев здесь явно вавилонского про-
исхождения 36. Однако, система вставки эмболисмических
лет в точности соответствует александрийскому кругу (3,
6, 8, 11, 14, 17 и 19 г.); она получается из условия, чтобы
моменты солнечного года не уходили в лунном году более
чем на месяц вперед. Отличие от средневекового календаря
только в том, что еврейский круг начинается на три года
позже александрийского. Вообще, система разработана
очень детально и глубоко; но странным пережитком тех
древних эпох, когда неомении объявлялись в Иудее посыл-
кой гонцов и зажжением костров, осталось в календаре пра-
вило, по которому на новолуние (рош-ходеш), в тех слу-
чаях, когда календарный месяц полный, полагается два
дня: именно 30-й день текущего и 1-й день следующего ме-
сяца.
Характерное отличие еврейского календаря от древне-
греческого и александрийского состоит в том, что 19-летние
круги не должны постоянно заключать в себе одно и то же
число дней; их длина варьируется и составляет то 6 939,
то 6 940, то 6 941 день; последовательность их чередования
не может быть формулирована каким-либо правилом; она
определяется рядом довольно сложных, частью астрономи-
ческих, частью обрядовых предписаний, фиксирующих на-
чало отдельных годов. (Длина их равна либо 354, 355,
356 дням — простые годы, либо 384, 385, 386 дням — эм-
болисмические годы).
Замечательно также, что теория солнечного года разви-
та в этой системе весьма слабо; моменты равноденствий и
солнцестояний (текуфы) вычисляются здесь формально и
астрономически неправильно.
Для сравнения с солнечным календарем особенно инте-
ресны два момента еврейского года: новый год, неомения —
после осеннего равноденствия (молед-тишри) и весеннее
полнолуние (15 Нисана).
Обе даты, конечно, из года в год перескакивают в сол-
нечном календаре, колеблясь в течение 19-летнего периода
402
Таблица 12
Таблица соответствия дат еврейского и григорианского календарей ♦
Год евр. эры № в круге Григор, дата 1-е Тиигри Григор, дата 15-е Нисана Год евр. эры № в круге Григор, дата 1-е Тишри Григор, дата 15-е Нисана
5681 19 1920 С. 13 1921 А. 23 5694 13 1933 С. 21 1934 М. 31
5682 1 1921 0. 3 1922 А. 13 5695 14 1934 С. 10 1935 А. 18
5683 л 2 1922 С. 23 1923 А. 1 5696 15 1935 С. 28 1936 А. 7
5684 3 1923 С. И 1924 А. 19 5697 16 1936 С. 17 1937 М. 27
5685 4 1924 С. 29 1925 А. 9 5698 17 1937 С. 6 1938 А. 16
5686 5 1925 С. 19 1926 М. 30 5699 18 1938 С. 26 1939 А. 4
5687 6 1926 С. 9 1927 А. 17 5700 19 1939 С. 14 1940 А. 23
5688 7 1927 С. 27 1928 А. 5 5701 1 1940 0. 3 1941 А. 12
5689 8 1928 С. 15 1929 А. 25 5702 2 1941 С. 22 1942 А. 2
5690 9 1929 0. 5 1930 А. 13 5703 3 1942 С. 12 1943 А. 20
5691 10 1930 С. 23 1931 А. 2 5704 4 1943 С. 30 1944 А. 8
5692 11 1931 С. 12 1932 А. 21 5705 5 1944 С. 18 1945 М. 29
5693 12 1932 0. 1 1933 А. 11 5706 6 1945 С. 8 1946 А. 16
♦ М.— марш; А, — апрель, С. — сентябрь, О.—октябрь; выделенные годы —эмболисмические.
приблизительно на месячном интервале; это движение
их иллюстрируется приведенной таблицей перевода дат
для эпох 1920—1945 гг. (табл. 12). Показанный в ней счет в
эре иудеев связан с библейскими мотивами и имеет условный
характер.
По этой же таблице можно чисто эмпирически устано-
вить некоторые важные свойства еврейского круга, кото-
рые, конечно, нетрудно было бы подтвердить и расчетом:
а) Даты между 1-м Тишри и 1-м Нисана уходят дальше
всего в солнечном календаре в 1-м и 9-м годах круга; даты
от 1-го Нисана до конца года попадают на «передовые» места
в 19 и 8-м годах круга; наиболее раннее положение первых
будет на 6, 14 и 17-м; вторых — на 5, 13 и 16-м годах круга.
Ь) Внутри круга все лунные даты перескакивают в сол-
нечном календаре либо на 10, 11, 12 дней назад, либо на 18,
19, 20 дней вперед.
с) В 8, 11 и 19-м годах круга 15 Нисана обязательно па-
дает на второе полнолуние после астрономического равно-
денствия (в самом деле, первое не может случиться позже
21+30 марта = 20 апреля; в нашей таблице находим 25,
21, 23 апреля).
Это последнее обстоятельство происходит оттого, что в
еврейском круге средняя длина года, получаемая из равен-
ства
235
гэ+гЧ^з Vs5 х -та- = 365rf5ft55m25s,
на 6m39s длиннее астрономического тропического года.
По этой причине начала кругов еврейского календаря
непрерывно, хотя и весьма медленно, продвигаются вперед
в солнечном календаре — приблизительно на сутки за
каждые 210 лет; вычислено, что через 1 200 лет на всех эм-
болисмических годах круга еврейский календарь будет на-
зывать первым полнолунием фактически второе полнолуние
после равноденствия. Но это не составляет особого дефек-
та изучаемой системы, так как при построении ее имелось
в виду возможно более точное согласование календаря с
Луной и только приближенное согласование его с Солнцем.
ДОПОЛНЕНИЕ I
ТРОПИЧЕСКИЙ И ЗВЕЗДНЫЙ ГОД
Мы пользовались в тексте выражением предварение, что-
бы обозначить смещение момента равноденствия в юлиан-
ском календаре. Такое обозначение принято в хронологии
(anticipatio aequinoctiorum). В астрономии же под терми-
ном предварение разумеется смещение самых точек равно-
денствий и солнцестояний — явление первостепенной важ-
ности, открытое, как уже сказано, величайшим астроно-
мом древности Гиппархом («Альмагест», кн. VII, гл. 2).
Мы выясним сейчас, в чем это явление заключается, изло-
жив, каким путем оно было обнаружено.
Для объяснения неравномерного годичного движения
Солнца вокруг Земли (это видимое движение древние, конеч-
но, считали реальным), Гиппарх развил замечательную тео-
рию, полагая, что Солнце движется с равномерной скоро-
стью по кругу, но Земля (центр эклиптики или срединного
круга Зодиака) занимает внутри этого круга положение
эксцентрическое, место которого определяется из усло-
вия, чтобы весна, лето, осень и зима продолжались соот-
ветственно 94%, 92%, 882/i5 и 902/15 дней. Круг эклиптики
разделен на 360°; точку, которую Солнце проходит в момент
равноденствия, Гиппарх принимает за начало счета дол-
гот, т. е. угловых расстояний в эклиптике; долготы точек
летнего солнцестояния, осеннего равноденствия и зимнего
солнцестояния будут очевидно: 90°, 180° и 270° 37. Гиппар-
хом же построена первая таблица движения Солнца, т. е.
таблица, позволяющая вычислить его долготу на каждый
день.
Теперь далее, если принять эклиптику за основной
круг на небесной сфере, то можно будет определить поло-
жение любой звезды, задав ее расстояние до эклиптики по
перпендикулярному к ней кругу (широта) и угловое
расстояние между точкой весеннего равноденствия и точ-
кой, в которой упомянутый круг пересекает эклиптику
(долгота).
Но как определить долготы и широты хотя бы некоторых
основных звезд? Как связать их положения с точкой равно-
денствия, которая ничем на небе не обозначена? Греки за-
метили, что на ночном небе можно указать, при некоторых
405
условиях, точку, долгота которой на 180° отличается от
долготы Солнца в этот момент, а широта равна нулю (т. е.
которая находится в эклиптике, в направлении, прямо
противоположном направлению на Солнце), и притом не-
зависимо от места наблюдения на земле: эта точка —
центр Луны в момент середины ее затмения. Не будем оста-
навливаться на доказательстве этого положения. Но из него
вытекало, что, измерив расстояние от звезды до Луны при
ее затмении, и, внеся некоторые поправки, требуемые са-
мой техникой подобного наблюдения, можно определить
широту звезды непосредственно (ибо широта Луны при зат-
мении близка к нулю); долгота же звезды в отношении
Солнца получится, прибавив 180° к наблюденной долготе
ее в отношении Луны; а так как долгота Солнца в этот мо-
мент известна из таблицы его движения, то будет найдена и
абсолютная долгота звезды в отношении точки равноден-
ствия.
Гиппарх, сравнивая свои наблюдения, произведенные
этим способом (эпоха их — 130), с наблюдениями Тимоха-
риса (эпоха — 280), нашел, что звезда а Девы (Колос),
приблизилась за это время по долготе к осеннему равно-
денствию (т. е. к долготе 180°) на 2°, а широта ее осталась
без изменения.
Чтобы показать, насколько это был удовлетворитель-
ный результат, приводим долготы (L) и широты (В) а Де-
вы, как они получаются по современным точным таблицам
для интересующих нас эпох.
a Virginis
Эпоха L ‘ 1 Эпоха L В
—300 171°92 —1’91 | — 100 174’66 -1°92
—200 173,29 —1,91 | 0 176,04 —1,92
Заметим тут же, что для эпохи +2000 будет: L =
= 203°,86; В = —2°,05; чрезвычайно слабое изменение
широт (в данном случае, —0°,13 на 2000 лет) подчеркивает
значение эклиптики для определения положений небесных
тел, предугаданное греками.
406
По этой таблице находим:
при Тимохарисе, эпоха — 280:
£=172° 19; В = — 17 91
при Гиппархе, эпоха — 130:
£ = 1747 25; В = — 17 92.
Таким образом, в пределах точности древних наблюде-
ний, Гиппарх мог утверждать, что долгота Колоса Девы за
150 лет увеличилась на 2°, а широта ее осталась прежней.
Но этот великий трудолюбец и поклонник истины, как на-
зывает его Птолемей, пошел дальше: сравнив подобным же
образом положения других звезд, он для всех констатиро-
вал то же явление, именно одинаковое изменение в долго-
тах и отсутствие заметных изменений в широтах. Отсюда
он сделал — со всею осторожностью и некоторыми оговор-
ками — такой вывод: результаты всех этих наблюдений
могут быть объяснены тем, что основные точки равноден-
ствий и солнцестояний сами сместились в эклиптике в нап-
равлении, обратном счету долгот, иными словами в направ-
лении, обратном видимому движению Солнца между звезд,
т. е. от востока к западу; иначе не объяснить, действитель-
но, одинакового увеличения долгот при неизменяем ости
широт. Это смещение и носит название предварения (или,
лучше, предшествия) равноденствий, или прецессии 38.
С данными Гиппарха годичная прецессия составляет
приблизительно 7200’: 150 = 48"; точная величина для
его эпохи есть 49",8.
В чем важность явления прецессии для хронологии?
В том, что наряду с пойятием тропического года, т. е. года
природы, или промежутка между возвращениями Солнца
к действительному (подвижному) равноденствию или солн-
цестоянию 39, создается понятие звездного года, где движе-
ние точки равноденствия не учитывается и где в сущности
идет речь о ежегодном возвращении Солнца к одной и той
же неподвижной звезде. Ясно, что звездный год длиннее
тропического приблизительно на тот промежуток времени,
в течение которого Солнце проходит дугу, равную годично-
му смещению точки равноденствия (в нашу эпоху 50",25);
по современным данным тропический год короче звездного
на 20m24s, и длина звездного года составляет
Гиппарх, комбинируя найденные им значения прецессии
и длины тропического года получил Эбб^Ю"1.
407
Но звездный год в календарных системах — всегда их
больное место. Если считать, например, началом весны
момент, когда Солнце вернется к точке равноденствия, оп-
ределенной раз навсегда для какой-нибудь исходной эпохи,
то в дальнейшем Солнце будет проходить через эту точку все
позже и позже, чем оно проходит подвижную точку равно-
денствия, т. е. чем наступает астрономическое равноден-
ствие на Земле. Отсюда видна тесная связь между календар-
ным понятием предварения и явлением прецессии; в звезд-
ном году равноденствие будет отступать, и притом даже бы-
стрее чем в юлианском году, ибо звездный год длиннее юлиан-
ского приблизительно на 10т.
Ошибки вавилонян в предвычислении равноденствий
объясняются именно тем, что в основе их солнечного счи-
сления лежал звездный год, длину которого в результате
2000-летней наблюдательной работы они определили до-
статочно точно (365d6ft13m43s); они подошли к нему со сто-
роны очень своеобразной лунной теории. Но понятие пре-
цессии и различие между обеими формами солнечного года
остались тут неизвестными.
Аналогичные условия мы находим и в действующем
индусском календаре. Точка весеннего равноденствия фик-
сирована индусскими астрономами в том месте эклиптики,
где она находилась приблизительно в эпоху + 500 (около
звезды £ в созвездии Рыб). Работая дальше со звездным
годом, их календарь постоянно отходит от астрономиче-
ского равноденствия; в нашем календаре Солнце прохо-
дит указанную точку в дни 11—12 апреля нового стиля и,
следовательно, когда индусы на этот момент полагают на-
чало весны,— которая наступила уже 21 марта — их
календарь расходится с природой приблизительно на
20 дней.
ДОПОЛНЕНИЕ И
ПРАВИЛА ПОЛЬЗОВАНИЯ ТАБЛИЦЕЙ
РАВНОДЕНСТВИЙ И СОЛНЦЕСТОЯНИЙ
Таблица (см. стр. 321) построена для високосных годов.
При переходе к другому году определяется его положе-
ние в отношении високоса делением на 4.
Годы после начала эры (со знаком +); если при делении
года на 4, остаток 1 ... год первый на високосе; остаток 2 ...
второй; остаток 3... третий; остаток 0 ... високос.
Годы до начала эры считаются астрономически, т. е.
У до н. э. — — (N — 1). Если при делении W—1 на 4 оста-
ток 1 ... третий по високосе, остаток 2 ... второй, остаток
3 ... первый, остаток 0 ... високос.
Для приискания моментов равноденствий и солнцестоя-
ний в любом году исходим из ближайшей табличной эпохи
и находим пропорциональное изменение искомого момента,
пользуясь помещенными в таблице разностями.
К найденному результату прилагается еще поправка на
календарь, а именно: 0,00; 0,25; 0,50; 0,75 дня, в зависимо-
сти от положения года в отношении високоса.
Все числа таблицы показаны в старом стиле, в среднем
гринвичском времени и при астрономическом счете суток,
т. е. считая начало их в полдень, как это принято было со
времен Птолемея. Но с 1925 г. астрономы, по международ-
ному соглашению, переходят на гражданский счет; в нем
сутки считаются от предыдущей полуночи, и, следователь-
но, все числа нашей таблицы надлежит увеличить на 045.
Эту поправку можно соединить с поправкой на календарь.
Год Астр, счет Гражд. счет
Високосный, поправка на календарь 0<00 + 0?50
1-й по високосе » » » + 0,25 + 0,75
2-й » » » » » + 0,50 + 1,00
3-й » » » » » + 0,75 + 1,25
К полученным датам, с XVI столетия, придается поп-
равка на новый стиль. Переход на часы производится ум-
ножением дробной части суток на 24, с округлением до часа.
409
ДОПОЛНЕНИЕ III
ТАБЛИЦА НОВОЛУНИЙ ДЛЯ ЭПОХ
ОТ -3000 ДО +3000
Тысячеле- mu я Столетия Десятиле- тия Годы
—2000 1.7
—1000 15.6 —9 19.7 5.0 9.4
0 0.0 —8 24.3 14.2 28.0
+1000 13.9 —7 28.6 23.5 17.1
+2000 27.7
-6 3.4 3.3 6.2
—5 7.8 12.6 24.9
—4 12.1 21.9 14.0
Март 24.2
Апрель 22.6 -3 16.5 1.6 3.1
Май 22.0 —2 20.8 10.9 21.8
Июнь 20.6 —1 25.2 20.2 10.9
Июль 20.0 0 0.0 0.0 0.0
Август 18.4 1 4.3 9.3 18.6
Сентябрь 17.0 2 8.7 18.6 7.8
Октябрь 16.6 3 13.0 27.9 26.4
Ноябрь 15.1 4 17.4 7.6 15.5
Декабрь 14.8 5 21.7 16.9 4.6
6 26.0 26.2 23.3
Январь 13.4 7 0.8 6.0 12.4
8 5.2 15.3 1.5
Февраль 11.9 9 9.5 24.6 20.2
Правила пользования. Дату новолуния в данном году
и месяце, с точностью до 0,5 дня, в гражданском гринвич-
ском времени, найдем, сложив числа, стоящие в столбцах
тысячелетия, столетия, десятилетия, года и месяца, и придав
поправку на календарь.
Поправка на календарь определяется в годах положи-
тельных и отрицательных (считаемых астрономически),
как для таблицы равноденствий, и будет равна здесь 0,0;
0,2; 0,5; 0,8 дня в зависимости от того, будет ли остаток от
410
деления года на 4 равен 0, 1, 2 и 3 (в годах положительных),
или же 0, 3,' 2, 1 (в годах отрицательных).
Январь и февраль считаются за месяцы предыдущего
года. Например, январь 1925 г. вычислять для 1924 г., ян-
варь (поправка 0,0); 505 г. до н. э., февраль, вычислять
для —505 (предшествующий — 504-му), февраль (поправ-
ка 0,8).
От полученной суммы вычитать 29,5 или 59,1, или 88,6,
если сумма превысит одно из этих чисел; остаток и пока-
жет дату первого новолуния в данном месяце (если их мо-
жет быть два).
После 1582 г. прилагать поправку на новый стиль.
Дату полнолуния, с точностью до 0,5 дня, найдем, при-
дав к полученной сумме 14d8.
Посвящается, памяти
Льва Борисовича
МОДЗАЛЕВСКОГО
ЛОБАЧЕВСКИЙ - АСТРОНОМ *
В Казани, на всех зданиях Университетского городка,
лежит отблеск имени Лобачевского; историки Казанского
университета называют Лобачевского его «великим строи-
телем» х; современники и авторы воспоминаний отмечают,
что в университетских зданиях и учреждениях, устроен-
ных Лобачевским, «везде был виден ум, обдуманность и
даже роскошь» 2. К числу этих зданий относится и обсер-
ватория Казанского университета, так называемая «новая»,
сменившая ту крошечную постройку, которая действовала
с самого основания университета, т. е. с 1805 г. Новая
обсерватория была закончена постройкой в 1836 г. и нача-
ла действовать в 1838 г., т. е. на год раньше Пулковской.
В наши дни посетитель Казани, входя в это здание, сразу
же испытывает изумление: обсерватория стоит во дворе, она
выходит фасадом на улицу Чернышевского; но ось здания,
перпендикулярная к этой улице, не совпадает с меридиа-
ном места, а наклонена к нему приблизительно на 45°;
поэтому основные меридианные инструменты — в мериди-
ане и в первом вертикале — поставлены не по оси здания,
как везде, а как-то совершенно необычно, в прорезях, под
углом 45° к главному входу и вестибюлю (рис. 1).
— Кто это придумал такую хитроумную и единственную
в мире планировку здания? — спрашивает посетитель.
Ему отвечают: «Это Лобачевский» ®.
— Разве Лобачевскому,— спрашивает опять посети-
тель,— были так близки и понятны интересы астрономии,
что он взял на себя расстановку основных меридианных
инструментов?
И ему снова отвечают: «Конечно. Он и лекции читал
по астрономии и временами заведовал старой обсервато-
рией; он наблюдал знаменитую комету 1811 г. и комету
Энке в 1832 г.; он ездил из Казани в Пензу, вместе со сво-
*Из книги'. «Историко-математические исследования», вып. 2. Гостех-
издат, 1949.
412
им учеником Ляпуновым,
наблюдать полное солнечное
затмение 7/VII 1842 г.» 4
И тогда посетитель Ка-
зани,— если он когда-либо
вникал в сочинения Лобачев-
ского, — начинает припоми-
нать, что в одном очень ответ-
ственном месте его первой и
основоположной работы1829г.
«О началах геометрии» дей-
ствительно говорится и о рас-
стояниях неподвижных звезд
и о бесконечной Вселенной.
Из этих казанских впечат-
лений и из этих воспоминаний
составилось настоящее мое
сообщение.
1
Учителем Лобачевского по математике был Мартин Бар-
тельс 6, [прибывший в далекую Казань из Германии в
1808 г., через год после приема в Казанский универси-
тет студента Николая Лобачевского.
- Удивительна и неповторима судьба этого Бартельса!
В молодости он [у себя на родине, в Брауншвейге, был
помощником учителя в начальной школе как раз в те годы,
когда среди поступивших мальчиков был один, говорив-
ший с сильным нижне-немецким акцентом и носивший
фамилию Гаусс. Бартельс чинил перья для школьников
и проверял их тетради; он был всего на восемь лет старше
Гаусса. К тому же сам Бартельс увлекался математикой,
и на его глазах этот мальчик превращался в юношу с изум-
ляющей математической одаренностью. Спустя десятиле-
тие, в 1802 г., один научно образованный русский посети-
тель Брауншвейга, Д. А. Голицын, обратил на Гаус-
са внимание президента Петербургской академии наук
А. Л. Николаи, подчеркивая желательность привлечения
в состав Петербургской Академии этого математика, кото-
рый, как писал Голицын, «сделан из того же дерева, из
которого природа создает Ньютонов и Эйлеров» 6. И дей-
413
ствительно, через год, в 1802 г., в Брауншвейге появились,
после значительной задержки в печати, знаменитейшие
«Арифметические исследования» 24-летнего Гаусса. Но за
эти же годы и сам Бартельс преуспел в математических
науках; он получил звание доктора наук Йенского уни-
верситета, а в 1805 г., в год основания Казанского универ-
ситета, был приглашен в Казань и утвержден профессором
по кафедре чистой математики. Но только через три года,
в 1808 г., после многотрудного путешествия, Бартельс поя-
вился в Казани, и тогда учитель восьмилетнего Гаусса стал
учителем шестнадцатилетнего Лобачевского.
Способности Лобачевского поразили и восхитили Бар-
тельса: в июне 1811 г. он сообщал попечителю Казанского
округа Степану Яковлевичу Румовскому: «Об искусстве
Лобачевского предложу хотя один пример: лекции свои
располагаю я так, что студенты мои в одно и то же вре-
мя бывают слушателями и преподавателями. По сему
правилу поручил я перед окончанием курса Лобачев-
скому предложить под моим руководством пространную и
трудную задачу о кругообращении (Rotation), которая
мною для себя уже была по Лагранжу в удобопонятном виде
обработана. В то же время Симонову приказано было за-
писывать течение преподавания,.. Но Лобачевский, не
пользуясь сей запискою, при окончании последней лекции
подал мне решение столь запутанной задачи на нескольких
листочках, в четверку написанное. Г. академик Вишнев-
ский, бывший тогда здесь, неожиданно восхищен был сим
небольшим опытом знаний наших студентов» 7.
И Бартельсу, этому восторженному учителю, удалось
развеять те грозные тучи, которые как раз к тому времени
навлекал на себя Лобачевский своим шумным и непокор-
ным поведением: 15 сентября 1811 г. девятнадцатилетний
Лобачевский был утвержден магистром физико-математиче-
ских наук. Через месяц после этого решающего в жизни
Лобачевского события Бартельс сообщал совету:
«С Лобачевским будет он особенно на дому у себя зани-
маться четыре часа в неделю, по четвергам и субботам, от
9 до 11 часов пополудни, арифметикой Гаусса и изъясне-
нием первого тома «Небесной механики» Лапласа, и сверх
того Лобачевский будет объяснять слушателям его то,
чего они недоразумевают» 8.
Как бы мы ни оценивали историческое значение Бар-
тельса как математика,— оно, несомненно, невелико,—
414
мы обязаны, мне думается, признать, что в своем воспи-
тательном подходе к Лобачевскому он оказался на большой
высоте. Он дал в руки своего ученика передовые работы
того времени — работы по той большой программе матема-
тического знания XIX в., которое начиналось в глубинах
теории чисел и завершалось наукой о движении земных
океанов, Луны и планет. Ибо надлежит нам помнить, что
в ту эпоху, когда не существовало ни звездной астрономии,
ни науки о физике небесных тел, астрономия фактически
кончала свой обзор космоса в пределах Солнечной системы.
И Лаплас 9 был здесь велик не только своими открытиями;
самый его подход к этому космосу был важен и значителен.
Лаплас неоднократно подчеркивал 10, что этот мир позна-
ваем до конца, что перед человеческим интеллектом, воору-
женным аппаратом математического анализа, никакие гра-
ницы не поставлены; что тонкости движений в планетной
системе, как бы они не казались сложны, будут до конца
раскрыты наукой на основе только одного, единственного,
закона: закона Ньютона, «закона природы», как его на-
зывал Лаплас. И как бы иллюстрируя эту познавательную
мощь человеческого интеллекта, которую он считал бес-
предельной, Лаплас ссылался на свои собственные откры-
тия в небесной механике, на открытие вековых ускорений в
движении Луны, на его действительно изумительные зако-
ны в системе первых трех спутников Юпитера, на данное
им объяснение великого неравенства Юпитера и Сатурна.
Про эту установку Лапласа, столь характерную для его
эпохи, можно сказать, что она была как бы песнью торже-
ствующего разума.
С нее и началось большое астрономическое образование
Лобачевского. В июне 1812 г. Лобачевский представил Бар-
тельсу, а этот последний — совету университета, сочине-
ние на тему «Об эллиптическом движении небесных тел».
Спустя месяц его неутомимый учитель рапортовал совету
Казанского университета1х, что «труды его увенчались успе-
хом и что на приватных занятиях с Симоновым и Лобачев-
ским изъяснял он большую часть всего 1-го и некоторую
часть 2-го тома превосходного труда, сочиненного знаме-
нитым Лапласом». И Бартельс добавлял: «Хотя Симонов
хорошо осведомлен в математических науках, однако Ло-
бачевский превосходит его, особенно в вопросах тонких.
Из его сочинения, составленного им без всякой помощи,
если не считать самого труда Лапласа, видно, что он не
415
только проник в то, о чем в этом труде говорится, но и
сумел обогатить его собственными соображениями. Многие
места его краткого сочинения содержат признаки выдаю-
щегося математического дарования, которое в будущем
непременно славой озарит его имя; говорить же о них здесь
не место».
Но едва ли в те годы, от 1812 до 1820-го (когда Бартельс
покинул Казань), мог бы он сам нам ответить, в какой
собственно области обширнейшей науки о числах, о про-
странстве и о природе создаст себе славу его ученик. Ибо
за эти годы Лобачевский, быстро и как бы одно за другим
получивший звания адъюнкта (1814) и экстраординарного
профессора (1816), приступает к преподавательской дея-
тельности в Казанском университете и ведет ее по весьма
обширному циклу. Он начинает с курсов теории чисел «по Га-
уссу и Лежандру» (1814)12. Кэтому курсу прибавилась плос-
кая и сферическая тригонометрия, «принимая в рассуждение
более практическую часть оной, руководствуясь сочинением
Каньоли»13, а потом дифференциальное и интегральное
исчисление по Лакруа (1818—1819)14. Затем, когда Симо-
нов, утвержденный уже профессором астрономии, уезжает
в 1819 г. в двухлетнее кругосветное плавание на шлюпе
«Восток» в знаменитой экспедиции Лазарева и Беллингс-
гаузена 16, Лобачевский подает в совет университета заяв-
ление:
«Не угодно ли будет совету возложить на меня препода-
вание лекций астрономии на время отсутствия профессора
Симонова, которые лекции я вызываюсь продолжать даже и
тогда, когда бы какие-нибудь обстоятельства задержали
надолго проф. Симонова в отлучке. Если совет согласится
на мое предложение, то прошу его доверить мне попечение
об обсерватории и издержки суммы, на нее назначенной» 16.
[Совет принимает предложение, и Лобачевский с жаром
берется за эту работу. В доказательство приведем то место
из его рапорта совету от 26/VI 1819 г., где он отказывается
от порученной ему литературно-реферативной работы. Он
пишет:
«Наконец, прошу совет принять и то в уважение, что я
занимаю теперь две кафедры, что летнее время только и
способно для наблюдений, которым я иногда посвящаю и
дниТи ночи» 17..
Но в то же время обстоятельства складываются так, что
совет вынужден поручить Лобачевскому и преподавание
416
физики, опытной и теоретической; и тогда, как сказано в
одном рапорте ректора «о преподавателях, отличившихся
трудолюбием и успехами»: «Лобачевский пишет свои лек-
ции, как физики, так и астрономии, отдавая их студентам,
чтобы могли с меньшим трудом повторить на дому прой-
денное» 18.
К тому же Лобачевский находит время расширять и уг-
лублять свои курсы: так, в 1820 г. 19 он проходит по Де-
лямбру и Лаланду «средство определять из наблюдений эле-
менты солнечного пути, также об изменении эксцентриси-
тета солнечного пути», иными словами — определение эле-
ментов земной орбиты и их вековых изменений.
Далее, в 1821 г. «из астрономии будет он, Лобачевский,
читать теорию спутников и комет, руководствуясь сочине-
нием Лапласа «Небесная механика», и потом об обращении
Земли, о наступании равноденственных точек, о приливе и
отливе моря, руководствуясь тем же сочинением»20.
В 1821 г. он объявляет полный курс астрономии теоретиче-
ской и практической а. Он хотел бы даже вести и высшую
геодезию и теорию фигуры Земли, опираясь на книгу Буге
и на «Основания метрической системы» Делямбра 22, но на
этот раз курс состояться не мог, потому что совет отделения
вынес следующее изумительное постановление:
«Преподавание студентам о фигуре Земли допустить
затруднительно, во-первых, потому, что точная фигура
Земли ни посредством умозрений, ни из наблюдений до-
ныне с математической достоверностью не определена; во-
вторых, потому, что число лекций для студентов третьего
отделения было бы слишком велико» 23.
Так и не удалось Лобачевскому прочесть этот последний
предложенный им курс астрономо-геодезического цикла;
но, думается нам, что уже тот значительный труд, который
он вложил в постановку преподавания практической астро-
номии и небесной механики в Казанском университете,
дает основание всем преподавателям астрономии советских
университетов гордиться тем обстоятельством, что некогда
Лобачевский стоял в их рядах. 14
14 Н. И. Идельсон
417
2
После отъезда Бартельса из Казани все преподавание
«чистой математики» переходит к Лобачевскому. Со сле-
дующего года, по возвращении Симонова из его плавания
(1821), для Лобачевского отпала необходимость, а может
быть и желательность, чтения курсов по астрономии; в
1821 г. оно как бы обрывается. В ближайшие следующие
годы (нам неизвестно в точности, как и когда) слагается
его великое новое слово, его система неевклидовой геомет-
рии 24. Первое сообщение о ней было сделано Лобачевским
Казанскому университету 11/23 февраля 1826 г. Рукопись
этого доклада Лобачевского утеряна, но через три года в
«Казанском вестнике» публикуется его основоположная
работа «О началах геометрии»25. Здесь новая часть,
добавленная, судя по примечанию Лобачевского, к рабо-
те 1826 г., начинается со следующих знаменательных слов:
«Изложенная нами теория параллельных предполагает
линии с углами в такой зависимости, которая, как после
увидим, находится или нет в природе, доказать никто не
в состоянии...».
Но почему же,— должен был поставить вопрос вдум-
чивый читатель «Казанского вестника», если бы таковой
читатель тогда нашелся,— мы должны отказаться от воз-
можности проверки новой геометрии в опыте и в наблю-
дении? Разве мы потеряли веру в лапласову установку о
всепобеждающей силе разума? Или разве сам Лобачевский
в те же годы (точнее в 1828 г.) не говорил об этом в своей
«Речи о важнейших предметах воспитания»:
«Чему, спрашиваю я, одолжены своими блистательны-
ми успехами в последнее время математические и физические
науки, слава нынешних веков, торжество ума человече-
ского?» 26
Так почему же как раз на вопросе о действительности
новой геометрии кончается это торжество?
Чтобы обосновать свое утверждение, Лобачевский об-
ращается к простейшим геометрическим образам — к плос-
ким треугольникам и к измерению суммы их углов. Напом-
ним, что всего за год до появления в печати работы Лоба-
чевского Гаусс в своих геометрических исследованиях то-
же обращался к измерению суммы углов в треугольниках,
но только в треугольниках земных; его знаменитые «Общие
исследования о кривых поверхностях» (1828) 27 как-то не-
418
ожиданий заканчивается примером, взятым из той триан-
гуляции, в обработке которой сам Гаусс участвовал. Этот
пример относится, как говорит Гаусс, к «самому большо-
му треугольнику, который был измерен в предыдущие
годы». Уравнивая и вычисляя углы этого треугольника с
исключительной точностью до 10~б сек. дуги, Гаусс пока-
зывает, что сумма их, после надлежащих — гауссовых —
редукций к плоскости, приводится с этой точностью ровно
к 180°. Таким образом, в земных треугольниках уклонений
от обычной геометрии не наблюдается 28.
Но Лобачевский идет теперь дальше, и — мы могли
бы сказать словами Галилея—«оставив в стороне земное,
обращается к небесному». Однако в ту пору наука о небе
оставалась еще в полной неизвестности по основному воп-
росу мироздания — о расстоянии Солнца до ближайших
звезд. Идет ли свет от них месяцы, или годы, или десяти-
летия,— никто не мог еще сказать. Но это важнейший воп-
рос для Лобачевского. Он пишет: «Кажется, более всего
можно полагаться на способ, придуманный Дасса — Мон-
дидье»,— и ссылается на статью этого никому не извест-
ного автора, помещенную во французском «Астрономиче-
ском ежегоднике на 1831 г.» 29.
Необходимо прежде всего обратить внимание на ту тща-
тельность, с которой Лобачевский изучал современную
ему астрономическую литературу. Ежегодник, о котором
идет речь, был опубликован в Париже в 1828 г. и, очевидно,
не сразу попал в Казанскую библиотеку; но уже в 1829 г.
Лобачевский публикует свои «Начала геометрии», в ко-
торых данные французского астронома полагаются в основу
проверки действительности неевклидовой геометрии в кос-
мических пространствах. И неважно для нас, хорош или
плох был способ определения звездных параллаксов, при-
думанный отставным французским моряком, который в
течение четырех лет неустанно вел наблюдения,— правда,
примитивные по технике,— для определения параллаксов
трех звезд: 29-й Эридана, Ригеля и Сириуса. Для нас су-
щественно здесь то, что в первый раз за историю человече-
ской культуры уединенный геометр и мыслитель в далекой
Казани делает попытку именно из этих наблюдений выве-
сти свойства пространства и геометрии мира! Для упомя-
нутых трех звезд французский моряк-астроном получил
параллаксы30: 1",00 для 29-й Эридана, 0",72 для Ригеля
и 0",62 для Сириуса.
419
14*
Как мы теперь знаем, это все определения завышены
и нереальны; параллакс первой из этих звезд не определен
до настоящего времени; для Ригеля он оказался равным
О",006, но с вероятной ошибкой ±0"007; для Сириуса —
одной из самых близких звезд — он равен 0",371 ± 0",004.
Но вместе с тем мы знаем, что наибольший измеренный па-
раллакс равен 0",76. Таким образом, в смысле порядка
величины наибольших параллаксов результаты Дасса
можно считать приемлемыми. Но Лобачевский опирается
на них, чтобы выяснить, какова наименьшая величина из-
меренных параллаксов, так как ему требуется знать рас-
стояние до самой далекой звезды. И тут, со всей строгостью
естествоиспытателя, который принимает лишь то, что по-
лучено в опыте и наблюдении, Лобачевский считает, что
0",62, определенные Дасса, это и есть наименьший парал-
лакс, т. е. он принимает, что свет идет к Земле от самой
далекой звезды 5V2 лет; затем он приступает к своим вы-
водам.
Здесь, на наш взгляд, уместно подчеркнуть особенность
его постановки задачи; во множестве курсов астрономии
параллакс определяется как «угол при звезде» в том тре-
угольнике, основанием которого служит радиус земной ор-
биты, а звезда является третьей вершиной. Но угла при
звезде никто никогда наблюдать не будет: он выводится,
конечно, через сумму обоих других углов. Лобачевский
поступает гораздо рациональнее: он определяет параллакс
как полуразность направлений на звезду из двух противо-
положных точек земной орбиты. Угол при звезде остается
великой неизвестной: если сумма трех углов треугольника
меньше двух прямых и равна л — 2<о, то дефект 2со ляжет
на угол при звезде, недоступный нашему измерению. Та-
ким образом, у Лобачевского схема всегда такая, как по-
казано на рис. 2.
Здесь а — диаметр земной орбиты, Т и Т' — два диа-
метрально противоположных положения Земли, S — по-
ложение звезды. Солнце, не показанное на рисунке, лежит
в середине отрезка ТТ'; угол при звезде равен 2р — 2<в.
Заметим, что комментаторы Лобачевского не всегда отчет-
ливо поясняют эту схему. Один из них 31 говорит, что она
изображает треугольник между Солнцем, звездой и Землей,
что неверно, так как основание треугольника — диаметр,
а не радиус земной орбиты; в другом месте 32 мы читаем, что
угол при Т предполагается прямым «для простоты рассуж-
420
дений»; это тоже неверно, так как схема Лобачевского при-
ложена ко всякой звезде в тот момент, когда она находит-
ся в квадратуре 33 с Солнцем, как это и поясняет затем
Лобачевский.
Установив эти определения, Лобачевский доказывает
три теоремы — три следствия из его геометрической сис-
темы. Первая и важнейшая из них гласит: как бы ни было
велико расстояние звезды от Солнца, ее параллакс остается
больше некоторой абсолютной постоянной.
Эта основная теорема создает впечатление, что астро-
номы, получая параллаксы все более далеких звезд, будут
приближаться к познанию этой абсолютной постоянной,
а следовательно, и к выяснению метрических свойств про-
странства. На самом деле это не так: на этом пути структу-
ра пространства ускользает от астрономов, и вот почему:
та постоянная, о которой здесь идет речь, есть отношение
вполне определенной длины, именно диаметра земной ор-
биты, к той единице длины, которой в геометрии Лобачев-
ского измеряются все длины
вообще, так же как в обычной
геометрии все углы измеряют-
ся в долях окружности еди-
ничного радиуса.
Пусть k — это абсолютная
единица длин; р — параллакс
звезды, выраженный в секун-
дах дуги; а —диаметр земной
орбиты. Тогда теорема Ло-
бачевского имеет только тот
смысл, что 34
6 >206 265^-. (1)
Рис. 2
Следовательно, если в наши дни астрономы определяют
у какой-либо звезды параллакс в 0",05, то они могут
только сказать, что абсолютная единица длин у Лобачев-
ского в 2 х 10е раз больше диаметра земной орбиты; а
так как никакие пределы для постоянной k не могут быть
назначены и она ни с какими другими постоянными, нам
известными из опыта, не связана, то к познанию нижнего
предела всех параллаксов астрономические определения
никогда не приведут 36.
Едва ли можно было бы в форме более глубокой и отчет-
421
Ливой сочетать две истины, казалось бы друг другу совер-
шенно противоречащие: пространство бесконечно, но па-
раллаксы всех звезд, его населяющих, как бы они ни были
далеки, не могут быть меньше некоторой определенной ве-
личины.
Лобачевский подчеркивает это изумительное положение
вещей в следующих словах:
«Между тем нельзя не увлекаться мнением Лапласа, что
видимые нами звезды и Млечный путь принадлежат к од-
ному только собранию небесных светил, подобных тем, ко-
торые усматриваем как слабо мерцающие пятна в созвез-
диях Ориона, Андромеды, Козерога и пр. Итак, не говоря
о том, что в воображении пространство может быть продол-
жаемо неограниченно, сама природа указывает нам такие
расстояния, в сравнении с которыми исчезают за малостью
даже расстояния нашей Земли до неподвижных звезд» 36.
Эти грандиозные расстояния нам даны природой, но
они еще не измерены; наибольшим измеренным расстоянием
остается для Лобачевского то, которое соответствует звезд-
ному параллаксу р = 0",62. Но вот именно потому, что са-
ма природа раскрывает нам такие расстояния, перед кото-
рыми ничтожны расстояния, определяемые только что ука-
занными звездными параллаксами, человечество не в сос-
тоянии решить, какая геометрия — обыкновенная или
геометрия Лобачевского — адекватна природе космоса.
Астрономический опыт определения расстояний звезд ре-
шить этого не может. Но такое утверждение в устах Лоба-
чевского отнюдь не есть признание принципиальной непоз-
наваемости геометрии мира. Нет, Лобачевский далек от
этого. Здесь уместно вспомнить слова А. М. Ляпунова,
затерянные в примечании к его очерку о П. Л. Чебышеве:
«Великий геометр, подобно П. Л. Чебышеву, оставался
всегда на реальной почве и в этих изысканиях трансцен-
дентального 37 характера едва ли мог увидеть развитие сво-
их идей» 38. Разумеется, реальная первопричина невозмож-
ности решения вопроса о космической геометрии состоит в
том, что астрономы не имеют способов измерять угол при
звезде в треугольнике, основание которого есть диаметр
земной орбиты. Но дальше Лобачевский в известной мере
обходит и это роковое затруднение, доказывая свою вторую,
весьма замечательную теорему: если определены параллак-
сы двух звезд, находящихся на различных расстояниях
от Солнца, то можно определить верхнюю границу дефекта
422
2(о в том треугольнике, у которого основание — диаметр
земной орбиты, а вершина — при более близкой звезде.
Пусть рг — параллакс более далекой, р — параллакс
более близкой звезды; тогда, по теореме Лобачевского 39,
ш<2р sin2-—-, (2)
где
р'
smx = — .
р
Для численной иллюстрации обозначим
4- = «> 2 sifl2 4- = Р»
р 4
так что в силу формулы (2)
<о<рр.
Значения 0 по аргументу п приведены в следующей
таблице:
п 3 п 3
0,1 0,009 0,5 0,134
0,2 0,020 0,6 0,200
0,3 0,046 0,7 0,286
0,4 0,084 0,8 0,402
0,5 0,134 0,9 0,710
Лобачевский, опираясь все на те же данные из статьи
Дасса, полагает р' = 0",62, р = Г,00; тогда п = 0,62,
₽ = 0,217. Следовательно, в треугольнике, «который про-
стирается до второй из сих звезд», с параллаксом в 1",
2® < 0",43.
как и дано у Лобачевского.
Но если мы примем за меньший параллакс р' = 0",05,
а за наибольший р= 0",75, то по формуле (2) получим, что
2® < 0",0033.
Таким образом, с теми данными, которыми мы теперь
располагаем, можно утверждать, что дефект космических
423
треугольников с вершиной у звезды не превышает несколь-
ких тысячных долей секунды дуги.
Замечательно здесь то, что вторая, далекая звезда дей-
ствует как бы как некоторый светоч, освещающий геомет-
рию малого треугольника, простирающегося до близкой
звезды. Чем эта вторая звезда дальше, тем меньше будет
дефект малого треугольника; вот почему для Лобачевского
имеет столь большое значение самый малый известный па-
раллакс для земного диаметра; чем он меньше, тем меньше
дефекты в треугольниках с вершиной в любой более близ-
кой звезде.
Третья теорема Лобачевского относится к тому вообра-
жаемому случаю, когда звезда находилась бы от Земли на
расстоянии диаметра земной орбиты (именно TS — а на
рис. 2), т. е. к треугольнику, оба катета которого были бы
равны 2-150-10* км; эта теорема есть следствие общей фор-
мулы Лобачевского для дефекта со и той оценки, которая со-
держится в теореме 1. Лобачевский получает из них нера-
венство
со < р'2 sin 1". (3)
Здесь р' есть снова наименьший измеренный с Земли
параллакс, т. е. наименьший параллакс для диаметра зем-
ной орбиты ст, за таковой Лобачевский принимает опять
р' = 0",62 и получает:
2со < 3",72-10-*.
К несчастью, Лобачевский совершил численную ошибку
или допустил опечатку; у него написано в «Началах гео-
метрии» 40:
2® < 3",72-10-4.
Но и при этой численной ошибке Лобачевский убежда-
ется, что в пределах Солнечной системы уклонения от ус-
ловий обычной геометрии могут быть лишь чрезвычайно
малы.
3
Три приведенные здесь теоремы и содержат в сущности
основные результаты Лобачевского по космической геомет-
рии. После статьи «О началах геометрии» в 1829 г. он к ней
почти не возвращался, и, по-видимому, основные работы по
424
звездным параллаксам в следующее десятилетие, именно
работы В. Я- Струве в Дерпте и X. А. Петерса в Пулкове,
не остановили на себе его внимания.
Равным образом не воспроизводил он своих трех заме-
чательных теорем в последующих работах; он ограничил-
ся только тем, что несколько раз повторял, без всякого
обоснования, тот последний численный пример, о котором
мы сейчас говорили и в котором он ошибся на два знака 41.
Но как раз одна из этих его публикаций вызвала отзвук,
о котором сам он — увы! — никогда ничего не узнал.
Об этом эпизоде скажем здесь несколько слов.
В 1835 г. Лобачевский опубликовал в «Ученых записках
Казанского университета» статью под названием «Вообра-
жаемая геометрия». Этим термином он решился называть
свою геометрическую систему, после того как изложенные
выше соображения убедили его в невозможности доказать,
что она необходимо имеет место в космических условиях.
В 1837 г. эта работа, в несколько сокращенном переводе на
французский язык, была опубликована в 17-м томе извест-
ного «Журнала Крелля» по чистой и прикладной матема-
тике. Здесь Лобачевский, имея в виду свою работу 1829 г.,
но без прямой ссылки на нее, писал следующее: «В другом
месте, опираясь на некоторые астрономические наблюде-
ния, я доказал, что в треугольнике, все стороны которого
равны приблизительно расстоянию от Земли до Солнца,
сумма углов никогда не может отличаться от двух прямых
на величину, превосходящую 0",0003. К тому же эта вели-
чина должна быть тем меньшей, чем меньше стороны треу-
гольника» 42.
Разумеется, ни один читатель в мире, даже если бы он
владел формулами геометрии Лобачевского, не мог бы по-
нять, как получил Лобачевский эту оценку, ибо он не го-
ворит здесь даже того, что она основана на допущении, что
наименьший измеренный параллакс принят им равным
0",62. К тому же читатель не мог знать, что Лобачевский
сделал здесь в арифметике ошибку в 100 раз.
Но все же у этой статьи нашелся читатель, который не
прошел мимо этого загадочного места и, по-видимому, о
нем много размышлял. Это был Гаусс. В 1844 г., т. е. че-
рез семь лет после появления упомянутой работы Лобачев-
ского, Гаусс говорил о ней в письме к Герлингу, одному из
своих учеников. Гаусс, который, как известно, овладел
русским языком с основной целью изучать работы Лоба-
425
невского, в начале своего письма совершенно правильно
указывает, что работа Лобачевского в 17-м томе «Журнала
Крелля» есть вольный перевод его «Воображаемой геомет-
рии», напечатанный в «Казанских известиях». Затем он го-
ворит, что основой обеих работ является мемуар Лобачев-
ского от 1829 г., который, по словам Гаусса, не легко было
бы достать в Германии 43.
Далее Гаусс продолжает: «В отношении той основанной
на опыте оценки, которая приведена на стр. 303 17-го тома
«Крелля» 44, я не нашел ничего и в работе от 1840 г. 4б;
поэтому я должен буду, по-видимому, когда-нибудь ре-
шиться написать самому Лобачевскому, который год тому
назад, по моему предложению, был избран корреспонден-
том нашего геттингенского ученого общества. Быть может
он пришлет мне «Казанский вестник»...»
Нет, этого не произошло! После указанного письма к
Герлингу Гаусс прожил еще одиннадцать лет, Лобачев-
ский — двенадцать, но никакого обмена письмами между
ними не состоялось. Об этом должен скорбеть биограф Ло-
бачевского, ибо Гаусс, который, как нам теперь доподлин-
но известно, восхищался творчеством Лобачевского, был
единственным человеком, который мог разбить то действи-
тельно леденящее одиночество, в котором Лобачевский, по
линии его геометрического творчества, прожил всю свою
жизнь. Но здесь не об этом должна идти речь.
4
Среди работ Лобачевского, не относящихся к геомет-
рии, имеется одна весьма интересная, близкая по своему
содержанию к общей астрономической проблематике. На-
звание ее — «О вероятности средних результатов, получен-
ных из повторных наблюдений». Статья была напечатана в
1842 г. в 42-м томе «Журнала Крелля», рядом со статьями
корифеев математики той эпохи: Дирихле, Якоби, Штей-
нера. В ней рассматривается вопрос о том, с какой вероят-
ностью можно ожидать, что при суммировании нескольких
величин, из которых каждая отягчена случайной погреш-
ностью, в сумме произойдет та или иная компенсация этих
погрешностей46. Таким образом, Лобачевский решает
здесь классическую задачу о вероятности отклонения сум-
мы случайных переменных от ее среднего значения. Лап-
426
лас посвятил этой проблеме важнейшие части своей «Ана-
литической теории вероятностей» (1812). Но он делал здесь
переход к случаю бесконечного числа наблюдений, откуда
и получал закон, впоследствии названный «законом нор-
мального распределения». Лобачевский так не поступает:
он выводит формулу для вероятности данного результи-
рующего отклонения для суммы конечного числа случай-
ных переменных.
«Лаплас,— говорит он,— в своей «Аналитической теории
вероятностей» занимался в сущности только случаем очень
большого числа наблюдений. При помощи чрезвычайно
сложных соображений и пользуясь всегда определенными
интегралами, он пришел к выражениям, вполне совпадаю-
щим с теми, которые мы здесь только что вывели» 47. Свою
формулу для любого конечного числа наблюдений Лоба-
чевский иллюстрирует таблицей для случая, когда это
число п = 10; его численные результаты представлены во
втором столбце следующей таблицы:
Рю(х)
X Формула Лобачевского Формула Лапласа X Формула Лобачевского Формула Лапласа
1,0 1,000 1,000 0,5 0,995 0,994
0,9 1,000 1,000 0,4 0,973 0,971
0,8 1,000 1,000 0,3 0,899 0,900
0,7 1,000 1,000 0,2 0,722 0,726
0,6 0,999 0,999 0,1 0,411 0,416
Значения P1G(x) представляют вероятность, что погреш-
ность среднего из 10 наблюдений не выйдет за пределы ±х,
если наибольшая погрешность каждого наблюдения заклю-
чена в пределах ±1. Отсюда Лобачевский заключает, что
вероятность компенсации погрешностей не мала; например,
«можно поставить 18 против 7,— говорит он,— что ошибка в
среднем не превысит одной пятой той наибольшей ошибки,
которой может сопровождаться каждое отдельное наблю-
дение» 48.
К этим теоретическим исследованиям Лобачевский до-
бавил в «Новых началах» (§ 165) несколько замечаний прак-
427
тического характера; из них вытекает, что, говоря о пог-
решностях наблюдений, он имел в виду прежде всего наб-
людения астрономические (он останавливается здесь на
«повторительных кругах» и на выгоде их «для орудий ма-
лого размера»). Не была ли поэтому рассматриваемая на-
ми работа только частью некоего более обширного замысла:
назначить вероятные ошибки тех определений и тех выво-
дов, которыми он пользовался в работе 1829 г. в своих по-
строениях космической геометрии? Или, быть может, Ло-
бачевский только вновь возвращался здесь к тем задачам
повседневной практики астрономических наблюдений и их
обработки, к которым он был столь близок в оставшиеся
уже далеко позади годы преподавания астрономии?
5
В 1842 г. астрономы европейских стран могли с удоб-
ством наблюдать солнечное затмение: утром 8 июля полоса
полной фазы прошла через множество населенных пунктов в
Италии, Франции, Австрии, России, в том числе и через
места расположения обсерваторий, как, например, в Милане
и в Вене. Пулковская обсерватория, начавшая свою дея-
тельность всего на три года раньше этого события, высла-
ла небольшую экспедицию в Липецк49; директор ее
В. Я- Струве выразил пожелание об организации наблю-
дений в Пензе, где продолжительность полной фазы была
значительная — около трех минут. Для этих наблюдений
в Пензу направились из Казани профессора Лобачевский
и Кнорр вместе с 22-летним астрономом-наблюдателем Ка-
занской обсерватории М. В. Ляпуновым 50.
В те времена еще не были раскрыты основные элементы
физики Солнца. Наблюдая затмения, астрономы не пони-
мали, нужно ли считать протуберанцы (эти «красные горы»,
как иногда говорили) образованиями, принадлежащими
Солнцу или Луне; им было далеко не ясно, что представляет
собой солнечная корона: «Как истолковать происхождение
светлого кольца вокруг солнца? Составляется ли венец этот
собственно вокруг солнца, или вокруг луны, или гораздо
ближе к нам, в нашей атмосфере?» — таковы главные воп-
росы, которые ставит Лобачевский в его весьма подробном
и развернутом «Отчете о полном солнечном затмении в Пен-
зе 26 июня ст. ст. 1842 г.»61. Лобачевский начинает этот
428
отчет с описаний подготовки к наблюдениям в Пензе и са-
мих наблюдений. Погода им не благоприятствовала; во вре-
мя полной фазы Солнце было покрыто легкой завесой об-
лаков. Тем не менее впечатление осталось грандиозное:
«На месте дневного светила, когда последний его луч исчез,
явился темный круг, как бы само Солнце, но теперь уже
черное, стояло на небе. В трепетном ожидании чего-то не-
известного, в торопливом желании все видеть, с опасением
чего-нибудь не заметить, стояли мы, зрители, среди при-
зраков во мраке, с обращенным взором к потухшему Солнцу,
как обвороженные, постигнутые страхом и беспокойством,
вдохновенные чувством возвышенным и торжественным» 52.
От этих непосредственных впечатлений, для которых он
нашел здесь проникновенные слова, Лобачевский присту-
пает к изложению описаний старинных наблюдений, начи-
ная с затмения 1567 г. и; он сообщает различные попытки
объяснить наблюдаемые явления и высказывает собствен-
ные соображения, полные глубоких мыслей о сущности
физических теорий и, в частности, о трудностях, с которы-
ми сталкивается теория света.
Одно из этих мест мы приведем здесь м. «Систему вол-
нений [волновую теорию] нельзя справедливо называть тео-
рией, а только, выражением тех явлений, которые желают
объяснить. Истинная теория должна заключаться в одном
простом, единственном начале, откуда движение берется как
необходимое следствие, со всем своим разнообразием. Еще
Пуассон в письме к Френелю («Ann. de Ch. et de Ph.», 1823,
стр. 170) заметил несообразности, как скоро хотим идти да-
лее тех случаев, к которым теория волнений приспособле-
на. Говорить о волнах значит основывать все суждение
на том, что в строгом смысле не существует, подобно тому,
как мы говорим о линиях и поверхностях, тогда как в при-
роде находятся только тела 56. Теория волнений представ-
ляет верно некоторые .законы в явлениях света, но не дает
еще понятия, в чем существенность заключается...». Не-
сколькими строками далее у Лобачевского содержится та
любопытная,—правда, выраженная в очень общей форме,—
попытка объединить эмиссионную и волновую теорию све-
та, которую отметил академик С. И. Вавилов в своей кни-
ге о Ньютоне 8в.
Однако все это относится уже к истории физики и не
подлежит развитию в настоящем сообщении.
429
б
На последней странице последней работы Лобачевско-
го— это была «Пангеометрия», которую совершенно ослеп-
ший геометр в 1854 г. диктовал своему ученику Больцани,—
мы опять сталкиваемся с вопросами геометрии мира, с
проблемой о возможности ее проверки при помощи астро-
номических наблюдений. Это были, таким образом, его
последние мысли. Но то, что мы читаем на этой странице,
далеко не ясно и не продвигает нас дальше того, что было
сказано Лобачевским за четверть века перед этим, в его
первой работе, опубликованной в 1829 г. 87
7
Прежде всего нужно с известной осторожностью гово-
рить о Лобачевском-астрономе. Так, в одной недавно вы-
шедшей и вообще превосходной работе58 встречается и
такое указание: «В целях этого оправдания [оправдания его
геометрической системы] Лобачевский производил астро-
номические наблюдения, которые не могли, однако, дать
решающего результата, как он считал вероятным, из-за
недостаточной точности инструментов». С такими соображе-
ниями не может согласиться астроном.
Чтобы вести специальные наблюдения для определения
звездных параллаксов, Лобачевскому надо было бы вести
наблюдения по специальным программам и годами не от-
ходить от инструмента. Никаких следов такой его дея-
тельности нет и быть не может. А если бы он отложил ре-
шение поставленной им проблемы до того момента, когда
конструкторы меридианных кругов создадут более совер-
шенные инструменты, то позиция его, из той высокой и
безупречной, на которую его поставили три открытые им
теоремы, сделалась бы случайной и неуверенной; но на нее
он никогда и не становился. И ведь всего через 7—8 лет
после работы Лобачевского, относящейся к 1829 г., три аст-
ронома — Бессель, Струве и Гендерсон дали уже более
точные значения четырех звездных параллаксов, получен-
ные безупречными методами; этим они открыли новую стра-
ницу в звездной астрономии. Но их результаты не имели
уже существенного значения для Лобачевского.
430
8
Так в чем же, наконец, важность и смысл для астро-
номии тех построений Лобачевского, о которых говорилось
в нашем докладе?
Та геометрия, т. е. соотношения между отрезками и уг-
лами, которые фактически имеют место в наблюдаемом мире,
в космосе, те ли они самые, которые человечество тысяче-
летиями усваивало в обычной геометрической системе? Вот
вопрос, которого до Лобачевского никто не решал, пожалуй,
даже и не ставил. А то единственное, что сделал в этом нап-
равлении Гаусс в его исследовании треугольника, взятого
из геодезических триангуляций, не привело, как мы виде-
ли, ни к каким результатам.
Лобачевский вывел геометрию на иные просторы и пер-
вый сформулировал эту проблему во всей ее общности:
совпадает ли обычная геометрия с той, которая действует
на безмерных расстояниях космоса? И он нашел ответ в
виде двух положений. Первое: это совпадение отнюдь не
обязательно, потому что наряду с обычной геометрией
имеет такое же право на космическую значимость и та сис-
тема геометрии, которую он раскрыл перед человечеством.
Второе: даже в грандиозных протяжениях Вселенной, в
пределах звездной системы и на расстоянии ближайших
звезд, обычная геометрия почти сливается с его собствен-
ной геометрической системой. Дефекты треугольников,
как он показал, еще очень малы; поэтому методами изме-
рения звездных параллаксов вопрос не решается. Это стало
для него очевидным, и в этом смысл его слов: находится в
природе построенная им система геометрии или нет, «ник-
то доказать не в состоянии». Но он не сказал, что решения
нельзя будет найти иными путями, и в других своих работах
высказал даже убеждение в том, что в «нашем уме не
может быть никакого противоречия, когда мы допускаем,
что некоторые силы в природе следуют одной, другие —
своей особой геометрии» 59. Поэтому мы можем лишь утвер-
ждать, что после Лобачевского вопрос об истинной геомет-
рии физического мира остался открытым; он только вселил
в мыслящее человечество законные сомнения по этой ка-
питальной проблеме 60.
Но с этого момента в истории человеческой мысли нача-
лась новая эпоха, и для астрономии было создано поло-
жение науки, могущей сказать свое слово и участвовать в
431
решении этих фундаментальных вопросов человеческого
знания. Вот почему Лобачевский — астроном. И семена
сомнения, посеянные им, никогда уже не исчезали из астро-
номии. Не останавливаясь здесь на многих интересных
моментах 61, я хочу только напомнить, какое волнение ох-
ватило научные круги в 20-х годах нашего века, когда
от результатов астрономических экспедиций, посланных
в Собраль (в Бразилии) для наблюдения полного солнечного
затмения 29 мая 1919 г., ожидали ответа на вопрос: какова
геометрия в поле тяготения вокруг Солнца — обыкновен-
ная или некоторая иная; и когда, по-видимому, было окон-
чательно решено, что иная.
Кто же первый провозвестник этой новой доктрины,
первый глашатай того высокого и всеобщего учения, кото-
рое показало нам, что материя — отнюдь не гость в бес-
конечных пустынях пространства, но что ею творится и
самая геометрия мира 62. Мне думается, мы вправе при-
знать, что этим провозвестником был Лобачевский, несмотря
на то, что он шел другими, существенно более простыми и
скромными путями, и иначе не мог идти в его эпоху. Вот
почему я решаюсь повторить: Лобачевский — великий
астроном. Вот почему из бездонных глубин его мысли
человечество еще долго будет черпать силы к построению
науки о мире и о природе. Для нас же, в нашем служении
советской науке, он весь остается воплощенным в том при-
зыве, который он привел в своей «Речи о воспитании» 63
и который повторил однажды Владимир Андреевич Стек-
лов64,—все на ту же тему о конечном торжестве человеческого
разума. Ибо Лобачевский писал 120 лет назад:
«Спрашивайте природу: она хранит все истины и на
вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлет-
ворительно».
ПРИЛОЖЕНИЯ
НАУМ ИЛЬИЧ ИДЕЛЬСОН
Наум Ильич Идельсон родился 1 (13) марта 1885 г. в Петербурге.
Его отец, хотя сам был по образованию математик, хотел, чтобы сын
избрал юридическую карьеру. Уступая желанию отца, Н. И. Идельсон
после окончания гимназии поступил на юридический факультет Петер-
бургского университета. Но его личные склонности были направлены
совсем в другую сторону: его интересовала математика, и он решил
пройти курс двух факультетов — юридического и физико-математи-
ческого. Благодаря блестящим способностям ему это удалось, и в 1909 г.
он окончил университет по обеим специальностям.
По окончании университета Н. И. Идельсон был некоторое время
помощником присяжного поверенного. Но, несмотря на то, что его пер-
вые шаги на этом поприще были очень удачны, юриспруденция по-
прежнему не увлекала Наума Ильича. Ему хотелось работать в области,
так или иначе связанной с математикой, и он воспользовался предста-
вившейся ему возможностью стать преподавателем математики в сред-
нем учебном заведении. Преподавание всегда привлекало Н. И. Идель-
сона, и к тому же оно не отнимало много сил и оставляло достаточно сво-
бодного времени для самостоятельных занятий.
Астрономией Наум Ильич стал заниматься довольно поздно
В бытность студентом он слушал некоторые, необязательные для мате-
матиков, астрономические курсы (которые читал А. А. Иванов). Его
особенно заинтересовала теоретическая астрономия и небесная меха-
ника. И хотя Н. И. Идельсон окончил университет как математик, за-
родившийся в то время интерес к астрономии не угас. Свободное от ра-
боты время он отдает занятиям астрономией. Он посещает заседания
Русского астрономического общества и Общества любителей мирове-
дения, в 1914 г. избирается членом обоих обществ. Общество любителей
мироведения вело в то время очень энергичную деятельность, объединя-
ло любителей астрономии самых различных специальностей. Здесь
Идельсон познакомился с Г. А. Тиховым, М. А. Вильевым, Н. А. Мо-
розовым, вошел в астрономическую среду.
Превращение Н. И. Идельсона из человека, интересующегося аст-
рономией, в астронома-специалиста завершилось в 1918 г., когда он
получил приглашение стать научным сотрудником только что органи-
зованного Астрономического отделения Научного института имени
П. Ф. Лесгафта. В этом отделении, во главе которого стоял Н. А. Мо-
434
Н. И. И ДЕЛЬ СОН
розов, было создано специальное вычислительное бюро в составе
М. А. Вильева, Н. И. Идельсона и Н. М. Штауде. В задачи бюро вхо-
дило составление упрощенных таблиц для вычисления положений Солн-
ца, Луны и планет с целью быстрого и легкого определения датировки
исторических памятников, содержащих указания астрономического ха-
рактера; продолжение канона затмений Опольцера; вычисление орбит
падающих звезд и т. д.
Это было время, когда после Великой Октябрьской социалистиче-
ской революции перед русской наукой встали новые задачи и нужно бы-
ло искать новые организационные формы для их решения. Одной из
таких задач было создание собственных астрономических ежегодников.
Эфемеридная астрономия — составление и издание ежегодников и весь
круг вопросов, с этим связанный,— совершенно не развивалась ни в
Пулковской обсерватории, ни в других учреждениях дореволюционной
России. Выпускались только два любительских календаря: «Русский
астрономический календарь», издававшийся Нижегородским кружком
любителей физики и астрономии, и «Ежегодник Русского астрономи-
ческого общества». При составлении этих кратких календарей пользо-
вались данными из иностранных астрономических ежегодников. Для
астрономических обсерваторий, для удовлетворения нужд флота, для
435
геодезической и топографической служб выписывались иностранные,
главным образом английские, ежегодники.
Первая мировая война и последовавшая после Октябрьской рево-
люции блокада создали полную оторванность нашей страны от стран
Западной Европы и Америки. Выписывать иностранные альманахи ста-
ло почти невозможно. Появилась необходимость в создании собствен-
ных эфемерид, собственных ежегодников.
В апреле 1917 г. в Петрограде состоялся первый Всероссийский
астрономический съезд. На этом съезде П. М. Горшков представил про-
ект издания Русского астрономического ежегодника по типу лучших
заграничных календарей и альманахов. Предложение П. М. Горшкова
не встретило сочувствия у членов съезда. Не хотелось начинать совер-
шенно новое и сложное дело создания точных эфемерид, и слишком
прочно укоренилась привычка надеяться на Запад. Проект был передан
в специальную теоретическую комиссию и там похоронен — он даже не
обсуждался.
Однако надежды на быстрое восстановление связи с заграницей не
оправдались. Наоборот, оторванность чувствовалась еще острее. Необ-
ходимость создания специального учреждения, задачей которого было
бы составление и издание ежегодников и других эфемерид, стала со-
вершенно очевидной. В конце 1919 г. и было создано такое учрежде-
ние — Государственный вычислительный институт. Н. И. Идельсон
был приглашен в число сотрудников института.
Молодой институт испытывал первое время большие затруднения.
Никто из сотрудников не был знаком с теорией и практикой вычисления
точных эфемерид, не обладал соответствующими навыками. При этих
обстоятельствах очень ценным оказался опыт, который приобрел Наум
Ильич, работая в Астрономическом отделении Института им. П. Ф. Лес-
гафта, его прекрасное знакомство с фундаментальными таблицами дви-
жения Солнца, Луны и планет. Он сразу становится во главе вычис-
лителей основных разделов «Ежегодника» (координаты Солнца, планет,
затмения, прохождения Меркурия по диску Солнца), занимается тео-
рией и техникой составления астрономических таблиц, пишет поясне-
ния к Ежегоднику. В приложении к Ежегоднику на 1922 г. появляется
его статья «Основные понятия сферической астрономии».
В 1923 г. в результате слияния двух институтов — Астрономо-гео-
дезического и Вычислительного — был образован один институт —
Астрономический. Н. И. Идельсон руководит его астрометрическим
отделом, а в 1924 г. становится заместителем директора. Основной за-
дачей астрометрического отдела было издание Ежегодников и различ.
ных таблиц. Ежегодники издаются регулярно, и Н. И. Идельсон —
один из редакторов. По его плану и под его руководством составляются
436
с 1930 по 1945 г. вспомогательные таблицы для вычисления эфемерид
500 пар Цингера и ежегодно издаются эфемериды.
Быстрый рост нашего флота поставил на очередь вопрос о созда-
нии собственного специального морского календаря. В 1929 г. Астроно-
мическим институтом впервые был выпущен «Морской астрономический
ежегодник» (на 1930 г.), составленный при участии и под редакцией
Наума Ильича.
В 1924 г. после восстановления связи с зарубежными астрономи-
ческими учреждениями Берлинский вычислительный институт предло.
жил Астрономическому институту принять участие в международной
работе — выполнить вычисление эфемериды лунного кратера «Mosting
А» для Berliner Jahrbuch’a. Берлинский институт в свою очередь
предоставлял Астрономическому институту эфемериды, вычисляв-
шиеся в этом институте. Вычисление эфемериды «Mosting А»
взял на себя Н. И. Идельсон. В 1925 г. он был командирован в Гер-
манию для подробного знакомства с работами Берлинского института и
наметки плана дальнейших совместных работ. Кроме Берлина, Наум
Ильич побывал в Планетном институте во Франкфурте-на-Майне, за-
тем проехал во Францию, посетил Бюро долгот в Париже и ряд фран-
цузских обсерваторий.
Почти одновременно с созданием Вычислительного института Со-
вет астрономов Пулковской обсерватории решил организовать (в кон-
це 1920 г.) в более широких размерах вычислительную помощь астроно-
мам-наблюдателям и создать с этой целью Петроградское отделение
Пулковской вычислительной. Заведовать этим отделением было пред-
ложено Науму Ильичу. Он оказался, таким образом, в центре вычи-
слительных работ как Астрономического института, так и Пулковской
обсерватории. Все большие вычислительные работы обсерватории про-
ходили по его плану и под его руководством.
Одной из первых работ Н. И. Идельсона в Петроградском отделе-
нии было составление в 1922 г. по методу Бесселя таблиц величин А,
В, С, D, Е для эпохи 1920—1960 гг., которые дают возможность легко
получать эти величины на любую дату. Таблицами Наума Ильича до
самого последнего времени пользовались при вычислении редукцион-
ных величин, помещаемых в Ежегодниках, и при обработке меридиан-
ных наблюдений.
Второй большой работой Н. И. Идельсона было определение по-
правки равноденствия Пулковского каталога 1915,0 по наблюдениям
Солнца (1927 г.). Главной целью работы было выяснить, возможно ли
вообще по пулковским наблюдениям Солнца определить поправку рав-
ноденствия. В Пулкове всегда проводились длинные ряды наблюдений
Солнца, но из-за неблагоприятных климатических условий они были
437
недостаточно точны и очень неравномерно распределены в течение года.
Поэтому полученные на основании этих наблюдений поправки равноден-
ствия не были достаточно надежными и сильно отличались от получен-
ных в других обсерваториях. Может быть, играло роль и то, что для об-
работки применялся метод Бесселя. Наблюдения Солнца 1904—1915 гг.,
обработанные Наумом Ильичем, были выполнены в несколько лучших
условиях, чем прежние: на пассажном инструменте был установлен без-
личный микрометр. Для определения поправки равноденствия Наум
Ильич применил метод Ньюкома и нашел значение А = —0,045, ко-
торое оказалось в прекрасном согласии с результатами, полученными
около того же времени на основании гринвичских, вашингтонских и
капских наблюдений. Эта работа является образцовой по выполнению и
свидетельствует о вычислительном искусстве автора.
К этому же периоду бурной вычислительной деятельности
Н. И. Идельсона относятся его занятия кометной астрономией: им оп-
ределены элементы нескольких комет и проведена (совместно с
М. М. Мусселиусом) большая работа по предвычислению появления ко-
меты Meehain—Tuttle в 1926 г. Эта комета, период обращения которой
равен приблизительно 13 годам, наблюдалась в пяти появлениях. Объяс-
нение трех последних появлений (1885, 1899 и 1912 гг.), позволило пред-
сказать ее появление в 1926 г. с достаточной точностью. Комета была
открыта и наблюдалась.
Н. И. Идельсон оставался во главе Ленинградского отделения
Пулковской вычислительной до 1926 г., когда он был приглашен в Ле-
нинградский университет. Однако он не прерывал связи с Пулковской
обсерваторией, заканчивал некоторые работы, всегда живо интересо-
вался всеми работами пулковских астрономов, в особенности астро-
метр истов.
В 1931 г. в Пулкове был создан специальный теоретический сектор,
который имел своей задачей сводную обработку законченных рядов
астрономических наблюдений с целью вывода и исправления фундамен-
тальных астрометрических постоянных, а также выполнение работ в
области небесной механики, наиболее тесно связанных с астрометрией.
Это был круг вопросов, живо интересовавших в то время Н. И. Идель-
сона, и он вновь возвращается в Пулково, в теоретический сектор, ос-
тавив работу в Астрономическом институте. Наум Ильич занимается
обработкой пулковских наблюдений Солнца за 1885—1900 гг., обработ-
кой собственных движений звезд Гельсингфорсской зоны, вычислением
возмущений кометы Энке. С августа 1934 г. он становится заведующим
теоретическим сектором.
Через несколько лет, в 1939 г., Науму Ильичу пришлось вновь вер-
нуться к делу издания астрономических ежегодников. Астрономический
ежегодник, выпускавшийся в то время Астрономическим институтом,
438
не вполне удовлетворял требованиям, предъявляемым к Такбго рода
изданиям. Во-первых, он был недостаточно полон, во-вторых, из-за
того, что часть данных заимствовалась из иностранных ежегодников,
всегда выходил с запозданием. Поэтому в 1938 г. было решено присту-
пить к изданию Астрономического ежегодника по расширенной про-
грамме, совершенно не зависимого от зарубежных альманахов, не усту-
пающего им по полноте и точности помещаемых данных.
В 1938—1939 гг. в Астрономическом институте начались подгото-
вительные работы для выпуска первого «большого» Астрономического
ежегодника СССР (на 1941 г.). В декабре 1939 г. в институте был соз-
дан Отдел эфемеридной службы и ежегодников, который возглавил
Н. И. Идельсон. Для издания ежегодников по новой форме была соз-
дана редакционная коллегия, и Наум Ильич был назначен ответствен-
ным редактором. По его инструкции и под его руководством велись вы-
числения раздела «Солнце», им же составлялось объяснение. Ежегод-
ники на 1942—1943 гг. также вышли под его редакцией.
В приложении к Ежегоднику на 1941 г. была дана статья
Н. И. Идельсона «Редукционные вычисления в астрономии». В этой
статье с большой полнотой и ясностью изложены принципы редукции
наблюдений за прецессией и нутацией, параллаксом и аберрацией и
подробно изложен вопрос о исчислении времени. К Ежегоднику
на 1942 г. приложена его другая статья «Фундаментальные постоянные
астрономии и геодезии», примыкающая к предыдущей. В статье рас-
сматриваются постоянные, связанные с системой Солнце — Земля —
Луна, выводятся основные соотношения, связывающие эти постоянные,
излагаются способы их определения из наблюдений и приводятся со-
временные численные значения. Эта статья имела большое значение,
так как знакомила широкие круги советских астрономов с вопросами,
совершенно не затрагивавшимися в нашей литературе и в учебниках
по сферической астрономии.
При создании Астрономического института туда полностью перешла
из Астрономо-геодезического института проблема гравитационных наб-
людений и их интерпретации. Это был период, когда начали широко
развиваться гравитационные наблюдения, имеющие значение как для
определения фигуры Земли вообще, так и для изучения строе-
ния отдельных участков земной поверхности, для геологической раз-
ведки. Гравитационный отдел института производил массовые опреде-
ления аномалий силы тяжести, разрабатывал методику маятниковых и
вариометрических наблюдений, помогал организовать гравитационную
службу в различных геологических учреждениях, готовил кадры гра-
виметристов. Наум Ильич не остался в стороне и от этой деятельности
Астрономического института. Не будучи ни в какой мере практикоми
наблюдателем, он участвовал в теоретической подготовке гравиметрис-
439
тов _ читал специальный курс гравиметрии потенциала в Астрономи-
ческом институте в 1930—1931 гг.— и углубился в теорию определения
фигуры Земли по маятниковым наблюдениям.
В Астрономическом институте образовалась группа теоретиков-
гравиметристов: Н. И. Идельсон, Д. Н. Храмов, Н. Р. Малкин, нем-
ного позднее к ним примкнул Д. В. Загребин. Особенно интересует
Наума Ильича так называемая проблема Стокса. Появляется ряд его
заметок, посвященных этому вопросу.
На седьмой Балтийской геодезической конференции, проводив-
шейся в 1934 г. в Москве, Н. И. Идельсон сделал доклад «Об опреде-
лении фигуры Земли по наблюдениям силы тяжести» (напечатан в от-
четах конференции, 1935 г.).
В то же время Н. И. Идельсон читает курс теории потенциала и
теории фигуры Земли в Ленинградском университете. В результате
появляется его «Курс теории потенциала», выдержавший три издания
(первое издание —- литографированное, изд. ЛГУ, 1931 г.). В 1936 г.
вышло последнее издание, значительно переработанное и дополненное.
Центральную часть книги составляет глава о гравиметрии. Проблемы
физической гравиметрии здесь также связываются с общими проблемами
теории потенциала, с общими задачами математической физики. Эту
главу можно рассматривать как небольшую монографию по теории фи-
гуры Земли и теоретической гравиметрии.
В этот же период под редакцией Н. И. Идельсона выходит пере-
вод книги П. Аппеля «Фигуры равновесия вращающейся однородной
жидкости». В качестве дополнения к книге приложены две статьи Нау-
ма Ильича: подробное изложение теории фигур равновесия А. М. Ля-
пунова и статья об эллипсоидальном геоиде.
Великая Отечественная война застала Н. И. Идельсона в Ленин-
граде. В условиях суровой зимы 1941 г., в условиях блокады, он не
прекращал работы. В учреждениях работа замерла, занятий в универ-
ситете не было. В холодной неуютной комнате или в бомбоубежище Наум
Ильич штудировал «Курс небесной механики» Пуанкаре, для чего, как
он говорил, никогда раньше у него не находилось времени. В декабре
1941 г. он был эвакуирован в Казань и там в Казанском университете
прочел для студентов старших курсов и аспирантов специальный курс
небесной механики, построенный на основе курса Пуанкаре.
В Казань Н. И. Идельсон приехал, когда Астрономический ин-
ститут оставался еще в Ленинграде и неизвестно было, будет ли он эва-
куирован. Поэтому Наум Ильич был направлен в Институт теорети-
ческой геофизики Академии наук СССР, а впоследствии он перешел в
Казанский университет, где заведовал кафедрой геофизики.
По возвращении из эвакуации в 1944 г. Н. И. Идельсон приступил
к работе в Ленинградском университете, а в 1946 г. и в Пулковской об-
440
серватории, где заведовал астрометрическим отделом. Здесь он про-
должал свои занятия теоретической астрометрией, производил обработ-
ку старых рядов пулковских наблюдений Солнца, вновь обработал
обширный ряд наблюдений на пассажном инструменте в первом верти-
кале, проводившихся А. С. Васильевым с 1925 по 1941 г. с целью оп-
ределения постоянной нутации. Обработаны были 2160 наблюдений трех
звезд. Сопоставляя полученные им значения постоянной нутации со
значениями, выведенными из других наблюдений, Наум Ильич при-
шел к пессимистическому выводу, что при малом числе ярких звезд,
которые могут быть наблюдаемы на этом инструменте, получить резуль-
тат большей точности принципиально невозможно; уверенные резуль-
таты могут получиться только путем вывода поправок из наблюдений
большого числа объектов. Таким образом, работа на пассажном инстру-
менте в первом вертикале в Пулкове в течение почти столетия не могла
дать и не дала существенных результатов для определения постоянной
нутации.
На протяжении всей своей жизни Н. И. Идельсон много сил и тру-
да отдавал преподаванию. Он был прекрасным педагогом, блестящим
лектором и преподавательскую работу очень любил. Вначале, с 1918
по 1926 г., Наум Ильич был преподавателем Военно-топографического
училища. Здесь ему пришлось читать курс о способе наименьших
квадратов. Изданный в 1926 г. литографским способом краткий курс
«Уравнительные вычисления по способу наименьших квадратов» явил-
ся тем зерном, из которого вырос впоследствии обстоятельный курс
«Способ наименьших квадратов и теория математической обработки
наблюдений» (три издания: 1927, 1932, 1947). У нас в стране было вы-
пущено много руководств по способу наименьших квадратов, но ни в
одном из них мы не найдем такой полноты теоретического изложения,
как в курсе Н. И. Идельсона. Изложение способа наименьших квадра-
тов в этом курсе примыкает к классическому изложению академика
А. А. Маркова. Последние две главы посвящены теории ошибок и ком-
плексу вопросов, связанных с законом распределения случайных пог-
решностей. Большое место отведено описанию практики применения
способа наименьших квадратов.
, В 1926 г. Н. И. Идельсон получил предложение преподавать в Ле-
нинградском университете, с большим увлечением отдался этой работе-
и с небольшим перерывом, вызванным эвакуацией, проработал в уни-
верситете до конца своей жизни. Начав со скромной роли ассистента, он
в 1931 г. утверждается доцентом, а в 1933 г. профессором по кафедре
астрономии. В 1936 г. ему присуждается без защиты диссертации уче-
ная степень доктора физико-математических наук. Он преподает не
только на кафедре астрономии, но и на кафедрах механики, аэрогидро-
динамики, геофизики. Курсы, читавшиеся Н. И. Идельсоном, весьма
441
разнообразны. В разное время им читались: теория вероятностей и спо-
соб наименьших квадратов, теория потенциала, теория фигуры Земли,
общий курс механики, теоретическая астронометрия, история астроно-
мии и история механики.
С 1930 по 1937 г. и в послевоенное время Наум Ильич преподавал
также в Ленинградском институте точной механики и оптики, где за-
ведовал кафедрой теоретической механики и читал основной курс ме-
ханики.
Очень любил Н. И. Идельсон заниматься историей науки. Здесь
сказывалось, может быть, влияние его второй, гуманитарной специаль-
ности. Обычное знакомство со специальной литературой, обязательное
для каждого научного работника, часто принимало у него характер ис.
торического изыскания, и он стал постепенно настоящим специалистом
по истории астрономии и механики. Так, например, занимаясь состав-
лением ежегодников и календарей, Наум Ильич углубляется в историю
календаря и пишет в 1925 г. популярную книгу «История календаря»,
позже — статьи для Большой советской энциклопедии на ту же тему.
Занятия теорией фигуры Земли заставили его обратиться к старым ме-
муарам Клеро, Стокса, Брунса и Пуанкаре, имеющим основное значе-
ние для этой проблемы, у него возникает план издания этих мемуаров
на русском языке с соответствующими комментариями. Перевод всех
четырех мемуаров был выполнен частично самим Наумом Ильичом,
частично под его редакцией, но только первый из них увидел свет.
Мемуар А. Клеро «Теория фигуры Земли, основанная на началах гид-
ростатики» был издан в 1947 г. под редакцией Н. И. Идельсона, с его
комментариями и очерком о жизни и научной деятельности Клеро.
Тогда же появилась его небольшая статья «Алексис Клод Клеро и Пе-
тербургская академия наук» (1947). Курсы истории астрономии и исто-
рии механики, читавшиеся Н. И. Идельсоном в университете, всегда
вызывали большой интерес у слушателей.
14 июля 1951 г. Наум Ильич скоропостижно скончался в полном
расцвете своих творческих сил. Смерть застала его за работой над кур-
сом «Теоретической астрометрии», который он читал в университете.
К сожалению, написанной и вполне готовой к печати оказалась только
первая, вводная глава.
Поражала глубокая эрудиция Н. И. Идельсона, его глубокие зна-
ния не только в узкой области астрономии, которой он непосредственно
занимался, но и в смежных областях, в математике, механике. В памяти
всех, знавших Наума Ильича Идельсона, он останется как человек,
широко и глубоко образованный, человек высокой культуры.
442
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
РАБОТЫ Н. И. ИДЕЛЬСОНА
1920 г.
У могилы М. А. Вильева.— Мироведение, т. 9, № 1 (38), стр.
2—16.
1921 г.
Comete 1921. Главк. Росс. Астроном, обсерват., Циркуляр № 1
(совместно с Е. Ивановой).
Эфемерида кометы 1921с (Дубяго). Гос. вычислит, ин-т., Цирку-
ляр № 6.
Neuer Komet 1921с (Dubiago), Elemente, Ephemeride. Beob. Zirk.,
Bd. 3, Ks 17, S. 29.
Эфемерида периодической кометы 1916a (Neujmin), Гос. вычислит,
ин-т., Циркуляр № 7.
Эфемерида (4) Vesta. Гос. вычислит, ин-т, Циркуляр № 8 (совмест-
но с Е. Рубинштейн).
К вопросу об определении орбиты кометы 1921а (Reid). Гос. вы-
числит. ин-т, Циркуляр № 10.
Эфемерида планеты (2) Pallas. Гос. вычислит, ин-т, Циркуляр № 13.
Основные понятия сферической астрономии. В кн: «Астрон. еже-
годник на 1922 г.» Пг., стр. 158—177.
Tables auxilares pour le calcul des quantites Besseliennes А, В, C,
D, E, pour Ол temps sideral Poulkovo et 12л temps sideral Greenwich
pour les epoques 1920—1960.— Бюлл. ГАО, N 91, стр. 235—274.
Новое учение о тяготении (всеобщий принцип относительности)
Тезисы доклада 1-му Всероссийскому съезду любителей мироведения.—
Мироведение, т. 11, № 1 (42), стр. 5—10.
1923 г.
Прецессионные постоянные для перехода от 1 и 0 начальных
эпох от 500 до + 2000 к экватору и равноденствию 1920,0.
Приложение к Астрон. ежегоднику на 1923 г., Пг., стр. 235—
238. Komet 1922с (Baade). AN, 217, 345.
1924 г.
Elements de la planete Baade. Бюлл. Астрон. ин-та, № 5, стр. 32.
К вопросу о расширении таблиц.— Известия РАО, вып. 25, № 5—
9, стр. 40—43.
443
1925 г.
Sur le retour la comete Mechain—Tuttle.— Бюлл. Астрой, ин-та,
№ 7, стр. 41—45.
Tuttlescher Komet.— Beod. Zirk., Bd. 7, N 48. S. 91 (совместно c
M. M. Myсселнусом).
Le retour prochain de la comete Mechain-Tuttle.— Бюлл. Астрон.
ин-та, № 10, стр. 75—77.
История и астрономия.— Мироведение, т. 14, № 2, 153—169.
История календаря. Л., Научное книгоиздательство, 176 с.
1926 г.
Tuttlescher Komet (1926а), Ephermeride.— Beob. Zirk., Bd. 8,
№ 2, S. 3.
Ephemeride des Tuttleschen Kometen (1926a).— Beob. Zirk., Bd. 8,
№ 4, S. 9 (совместно с M. M. Мусселиусом).
Tuttlescher Komet (1926a).—Beob. Zirk., Bd. 8, № 5, S. 11 (сов-
местно с M. M. Мусселиусом).
Sur 1’interpolation par la methode de Tchebycheff.— Бюлл. Астрон.
ин-та, № 14, стр. 153—157.
Уравнительные вычисления по способу наименьших квадратов.
Л., Изд. Военно-топограф. школы, 148 с.
1927 г.
Уравнительные вычисления по способу наименьших квадратов.
Гос. изд-во, 192 с.
Remarks on the calculation of the elliptic integral.—Astr. Nachr.
230, № 5508, p. 225—228.
Die Aequinoktailkorrektion des Pulkowoer Katalogs 1915,0 und
Vergleichung desselben mit Eichelberger’s System und dem Greenwich
First Catalogue for 1925,0.— Труды ГРАО, серия 2, 33, стр. LXXV—
XCIV.
Три годовщины (Ньютон, Лаплас, Леверье). В кн.: «Русский
астрон. календарь, вып. XXX», стр. 192—229.
1928 г.
Вращение Земли.—Природа, № 1, стр. 3—22.
1929 г.
Спектры туманностей.— Человек и природа, № 5.
Проблемы теоретической астрономии.— Природа, № 10, стр.
836—846.
1930 г.
Проблемы теоретической астрономии. В кн.: «Труды II, III и IV
астрономических съездов, 1920—1928». Л., стр. 59—74.
Механизация счета. Гос. изд-во, 128с. (изд. 1-е и 2-е).
Джордж Дарвин. В кн.: «Творцы науки о звездах». Л., стр. 59—
444
1931 г.
Sur la formule de Stokes pour la distance entre le geoide et 1’ellip-
soide.— Бюлл. Астрой, ин-та, № 26, стр. 68—70 (совместно с Н. Р.
Малкиным).
Die Stokesche Formel in der Geodasie als Losung einer Randwer-
taufgabe.—Gerlands Beitr. z. Geophys, № 29, H. 2. S. 156—160 (сов-
местно с H. P. Малкиным).
To же (реф.).— Phys. Вег., № 12, S. 1858.
To же (реф).— Zbl. Mathem. und Grenzgebiete, № 1, S. 380.
Теория потенциала и ее приложения к геофизике, часть I. Изд.
ЛГУ, 176с.
1932 г.
Теория потенциала и ее приложения к вопросам геофизики.
ГТТИ, 348с.
Способ наименьших квадратов. Второе издание, пересмотренное и
дополненное. Л., Изд-во Кубуч, 200с.
Кинематика. Л., Изд-во Кубуч, 198с. с илл.
Die Integralgleichung der physikalischen Geodesie.— Gerlands
Beitr. z. Geophys, № 40, H. 1, S. 24—28.
To же (реф.).— Zbl. Mathem. und Grenzgebiete, № 7, S. 286.
To же (реф.).— Phys. Вег. № 15, S. 67.
1934 г.
Eigenbewegungen von 185 Sterne in Deklination.— Труды ГАО,
46, с. 59—66 (совместно с. Б. И. Раком).
Enck’s Comet in 1934. Elements and Ephemeries.— Poulcovo obs.
Circ., № 10, Apend., 3.
1935 г.
Uber die Bestimmung der Figur der Erde aus Schwerkraftmes-
sungen, Comptes Rendus 7-e seance Comm.—Ceod. Balt., 1934, N 2,
S. 9—23, Helsinki.
To же (реф.).—Zbl. Mathem. und Grenzgebiete, № 11, S. 92.
To же (реф.).— Phys. Ber., № 17, S. 472.
La comete d’Enkeen 1924—1934.— Изв. ГАО 15, № 124, стр. 1—18.
La comete d’Enke en 1924—1934.—J. d. Observateurs 18, №8,
p. 133—141.
Суждения по поводу статьи А. Клозе. Основы измерения времени.—
Мироведение, Л? 24, стр. 2.
1936 г.
Теория потенциала с приложениями к теории фигуры Земли и
геофизике. Издание 2-е дополненное и переработанное. ОНТИ, 424с.
Постановка проблемы фигур равновесия в теории Ляпунова.
Дополнение 1-е к переводу книги П. Аппеля «Фигуры равновесия вра-
щающейся однородной жидкости». ОНТИ, стр. 316—357.
445
Эллипсоидальный геоид. Дополнение 2-е К переводу книги П. Ап-
пеля «Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости», ОНТИ,
стр. 358—366.
Erwiderung auf die vorstehenden Kritiken.— Gerlands Beitr. z.
Geophys., № 47, H. 4, S. 411—412.
To же (реф.)—Phys. Вег., № 17, S. 2263.
To же (реф.).—Zbl. Mathem. und Grenzgebiete, N 14, S. 240.
Комета Энке.— Природа, № 6, стр. 5—13.
От Птолемея к Копернику.— Вестник знания, № 12.
1937 г.
О механике Лагранжа. В кн.: «Ж. Л. Лагранж (1736—1936).
Сборник статей к 200-летию со дня рождения». Изд-во АН СССР,
стр. 17—46.
Календарь. В кн.: «БСЭ, т. 30», стр. 691—693.
1940 г.
Редукционные вычисления в астрономии. Приложение к Астрон.
ежегоднику СССР на 1941 г., Изд-во АН СССР, стр. 379—432.
Замечания по поводу теории Ломоносова о кометных хвостах и выз-
ванной ею дискуссии. В кн.: «Ломоносов. Сборник статей и материалов».
М,— Л., стр. 66—116.
1941 г.
Фундаментальные постоянные астрономии и геодезии. Прило-
жение к Астрон. ежегоднику СССР на 1942 г. Изд-во АН СССР,
стр. 409—476.
Comet Paraskevopoulos (1941с) (Elements). UA I Circulaire № 853.
1942 г.
Галилей в истории астрономии (к трехсотлетию со дня смерти).—
Природа, № 5—6, стр. 95—107; № 7—8, стр. 105—117.
Ф. Ф. Ренц (некролог).— Астрон. журнал, № 19, вып. 4, стр. 3—4.
В. Р. Берг (некролог).— Астрон. журнал, № 19, вып. 4, стр. 5—6.
1943 г.
Галилей в истории астрономии. В кн.: «Галилео Галилей, 1564—
1642. Сборник статей к 300-летию со дня смерти». Изд-во АН СССР,
стр. 68—141.
Галилей и Ньютон.— Наука и жизнь, № 3, стр. 17—23; № 4—5,
стр. 5—11.
Закон всемирного тяготения и теория движения Луны. В кн.:
«Исаак Ньютон, 1643—1727. Сборник статей к 300-летию со дня рожде-
ния». Изд-во АН СССР, cip. 161—210.
О вычислении весов неизвестных в способе наименьших квадратов.—
Астрон. журнал, № 20, вып. 3, стр. 11—13.
446
1947 г.
Каталог 2957 звезд со склонениями от —10°до-^- 90°. В кн.:
«Юбилейный сборник, посвященный тридцатилетию Великой Октябрь-
ской социалистической революции, ч. 1.» Изд-во АН СССР, стр.
465—470 (совместно с А. А. Немиро).
Способ наименьших квадратов и теория математической обработки
наблюдений. Геодезиздат, 359с.
К методике изложения теоретической гироскопии. Сборник статей,
вып. 1. Приборостроение, стр. 127—135.
А. Клеро и его «Теория фигуры Земли». В кн.: Алексис Клод Кле-
ро. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. М.,
стр. 221—259.
Алексис Клод Клеро и Петербургская академия наук.— Вестник
АН СССР, № 8, стр. 118—121.
Жизнь и творчество Коперника. В кн.: «Николай Коперник. Сбор-
ник статей к 400-летию со дня смерти». Изд.-во АН СССР, стр. 5—42.
Этюды по истории планетных теорий. В кн.: «Николай Коперник.
Сборник статей к 400-летию со дня смерти». Изд-во АН СССР, стр 84—
179.
Исследователи звездных пространств. Всесоюзное общество по
распространению политических и научных знаний, Ленинградское
отделение. Стенограф, лекции, прочитанной 11 октября 1948 г.
Памяти Григория Николаевича Неуймина. В кн.: «Астрон. кален-
дарь, изд. Горьковского отделения ВАГО», стр. 138—147.
1949 г.
Уклонение отвеса. В кн.: «Геодезия. Справочное руководство,
т. 1», стр. 56—72.
Лобачевский-астроном. В кн.: «Историко-математические исследо-
вания, вып. 2». Гостехиздат, стр. 137—167.
А. М. Ляпунов. Избранные труды (рецензия). Вестник АН СССР,
№ 4, стр. 120—123.
1950 г.
Определение постоянной нутации из наблюдений А. С. Василье-
ва на пассажном инструменте в 1-м вертикале в Пулкове (тезисы).—
Труды второй Всесоюзной широтной конференции. Киев, Изд-во
АН УССР, стр. 193.
1951 г.
Вводная статья и комментарии к статье Н. И. Лобачевского
«Условные уравнения для движения и положения главных осей в твер-
л дой системе». В кн.: Н. И. Лобачевский, Поли. собр. соч., т. 2. Гостех-
g изд ат, стр. 351—356 и 369—378.
I
1952 г.
Определение постоянной нутации из двух рядов наблюдений на
пассажном инструменте в первом вертикале в Пулкове.—
447
Известия ГАО, 19, вып. 1, сгр. 122—137 (совместно с X. И. Пот-
тером).
Гелиоцентрическая система мира. В кн.: «БСЭ, 2-е изд. т. 10», стр.
362—365.
Гюйгенс X. В кн.: «БСЭ, 2-е изд., т. 13, стр. 248—250.
Даламбер. В кн.: «БСЭ, 2-е изд., т. 13», стр. 306.
Даламбера принцип. В кн.: «БСЭ, 2-е изд., т. 13», стр. 306—307.
1953 г.
Календарь. В кн.: «БСЭ, 2-е изд, т. 19», стр. 401—406.
1954 г.
Ньютона закон тяготения. В кн.: «БСЭ, 2-е изд, т. 30», стр. 242.
1956 г.
Работы А. Н. Крылова по астрономии.— Труды Института исто-
рии естествознания и техники, вып. 15. Изд-во АН СССР, стр.
24—31.
ПЕРЕВОДЫ И РЕДАКТИРОВАНИЕ
Ленц. Счетные машины. Пер. со 2-го нем. изд. с доп. Э. Р. Гаген
торна, под ред. Н. И. Идельсона. Гос. изд-во, 1928, 160 с.
Творцы науки о звездах. Сб. статей, под ред. проф. Н. И. Идель-
сона, Изд-во «Красная газета», Л., 1930.
Джинс Джемс. Вселенная вокруг нас. Пер. со 2-го англ. изд.
Н. И. Идельсона с предисловием М. Ширвиндта. ГТТИ, 1932, 401 с.
Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жид-
кости. Пер. с франц. В. Ф. Газе, Н. Р. Малкина и С. Л. Хубларовой,
под ред. и с доп. проф. Н. И. Идельсона, ОНТИ, 1936, 357 с.
Джонс Гарольд Спенсер. Жизнь на других мирах. Пер. с англ.
А. К. Федоровой-Грот под ред. Н. И. Идельсона. М,— Л., Гос-
техиздат, 1946, 176 с.
Клеро Алексис Клод. Теория фигуры Земли, основанная на началах
гидростатики. Пер. Н. С. Яхонтовой. Коммент., послесл. «А. Клеро
и его „Теория фигуры Земли“» (стр. 221—259), ред. Н. И. Идельсона.
Изд-во АН СССР, 1947, 360 с.
Из переписки П. С. Лапласа, К. Ф. Гаусса, Ф. В. Бесселя и
других с академиком Ф. И. Шубертом. Ред. и прим. Н. И. Идельсона.
В кн.: Научное наследство, т. 1. Изд-во АН СССР, 1948.
Крылов А. Н. Собрание трудов, т. 2, ч. 1. Компасное дело. Отв.
ред. проф. Н.И. Идельсон. Изд-во АН СССР, 1943.
Крылов А. Н. Собрание трудов, т. 2, ч. 2. Земной магнетизм и ком-
пасное дело. Отв. ред. проф. Н. И. Идельсон, Изд-во АН СССР, 1947,
264 с.
Крылов А. Н. Собрание трудов, т. 8. Механика. Отв. ред. проф.
Н. И. Идельсон. Изд-во АН СССР, 1950, 351 с.
ПРИМЕЧАНИЯ
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО КОПЕРНИКА
1 «Ад», песнь XXI.
2 По преданию, это и есть тот портрет, который здесь помещается.
3 «Рай», песнь VIII.
4 «Чистилище», песнь XI.
5 Имя его сохранилось в математической картографии — «серд-
цевидная проекция» Вернера.
6 Другая рукопись была обнаружена в библиотеке графа Ностица
в Праге.
7 Последняя фраза (легендарный девиз платоновой академии) —
по-гречески.
8 Разумеется, здесь идет речь не о динамической относительности
Галилея и Ньютона, а об относительности восприятия, или «оптической»
(кинематической).
9 В печатном тексте книги Коперника имя Аристарха Самосского
не названо, но оно есть в том манускрипте, который был впоследствии
найден в Праге; в отношении годичного обращения Земли Коперник
упоминает про пифагорейца Филолая, учившего, что Земля «движется
в пространстве и принадлежит к числу планет».
10 Этими словами (которые повторяются в других вопросах у Пто-
лемея) имелось в виду формулировать, что величина, о которой идет
речь, бесконечно мала по сравнению с расстоянием до неподвижных
звезд; слова Аристарха о «круге, лежащем посредине пути», довольно
темны и не поддаются точному переводу.
11 Вторые координаты звезд (их широты) по астрономии древних
вообще не могли затрагиваться прецессией.
ГАЛИЛЕЙ В ИСТОРИИ АСТРОНОМИИ
1 Все ссылки на произведения и письма Галилея даются в настоя-
щей статье по так называемому «Национальному изданию» его трудов
(EdizioneNazionale). Оно выходило в составе двадцати томов во Фло-
ренции с 1890 по 1909 г. под главной редакцией Antonio Favaro, при
консультантах-астрономах Gerutti и Schiaparelli, и содержит, сверх
критически изданного текста трудов Галилея, некоторые библиографи-
чески редкие статьи его противников; около 4200 писем как самого
Галилея и его корреспондентов, так и вообще его современников, ко-
торые о нем упоминают; различные акты, относящиеся к его жизни,
в том числе акты инквизиции по процессам 1616 и 1633 гг. (эти же акты
изданы Favaro отдельно в 1907 г.— «Galileo еГ Inguisizione)»; наконец,
замечательный указатель имен и предметов по всем статьям и письмам
в девятнадцати томах и краткие биографии всех лиц, имена которых
встречаются на страницах издания.
15 Н. И. Идельсон 449
2 Simplicius. In Aristotelis quatuor libros de Caelo commentaria,
ed. Heiberg, p. 493.
3 Действительно, в этих системах не было никакой связи между
сферами, вводимыми для каждой планеты, равно как для Солнца и
для Луны; так, во всех случаях первая, именно внешняя сфера, обра-
щалась в одни сутки соответственно суточному движению свода. По-
этому при объединении всех систем сфер в одну общую схему получа-
лось, например, что при переходе от Сатурна к Юпитеру сферы Юпитера
должны были воспринять Движение всех сфер Сатурна, между тем как
было достаточно передать им движение только первой из них, соответ-
ствующее одинаковому для обеих планет суточному вращению. По-
этому между сферами Сатурна и Юпитера и т. д. Аристотелю было не-
обходимо ввести несколько дополнительных сфер, назначение которых
состояло лишь в уничтожении предыдущих вращений при переходе
от одной планеты к другой; все эти сферы получили соответственные
вращения, но в обратную сторону. Таким образом, в построение Ари-
стотеля входило уже более 50 сфер.
4 Т. е. направленным всегда в одну сторону.
* Simplicius, op. cit, in lib. II, comm. 43 et 46.
6 Эти определения приближенно правильны, так как по современ-
ным таблицам соответственно находим (для эпохи Калиппа): 94, 17;
98,08; 88,57 и 90,44 дня.
7 Если радиус полученного при этом деферента был меньше ра-
диуса эпицикла, то греки называли эту схему «подвижным эксцентром».
Теоремы о равноценности экснентров и эпициклов приписываются
Птолемеем Аполлонию Пергскому (III в. до н. э.).
8 Theoni Smirnii Platonici, Liber de Astronomia, ed. H. Martin,
1849, p. 245.
0 В «Альмагесте», переведенном на латынь с греческого в 1160 г.,
с арабского в 1175 г., Птолемей применяет в теории Солнца гипотезу
неподвижного эксцентра, предпочитая ее, благодаря простоте, теории
эпицикла, так как первая требует только одного движения, а вторая
двух. В теории Венеры, Марса, Юпитера, Сатурна центр эпицикла
движется равномерно не по кругу деферента, а по некоторой третьей
окружности, носящей название «экванта»; центры деферента и экванта
лежат на одной прямой с центром мира (Землей) на равных расстояниях
от первого; для Меркурия и для Луны Птолемей строит особые теории.
10 Procli Diadochi in Platonis Timaeum Commentaria, ed. Diehl,
t. I, P. 352—353. Lpz, 1903; Simplicius, op. cit., lib. II, comm. 28; lib. I,
comm. 6 (ed. Heiberg, p. 32 et 422).
11 По этому вопросу см. Duhem. Le Systeme du Monde, v. I (1914),
p. 399—426; о гелиоцентрических системах в средние века — там же,
v. III, р. 44—157.
12 Heath. Aristarchos of Samos, the ancient Copernicus. Oxford,
1913; «Псаммит» Архимеда имеется в русском переводе (1932).
13 Duhem, op. cit., v. I, p. 5—26.
14 Постановление об исправлении юлианского календаря, давав-
шего к 1600 г. ошибку в дне весеннего равноденствия в 10 дней по от-
ношению к издревле установленной дате, 21 марта, было сделано на
Латеранском соборе 1514 г. при папе Льве X.
Над календарной проблемой работали последовательно: Николай
Кузаиский, Роджер Бекон, знаменитый астроном Региомонтан, нако-
нец, сам Коперник. См. статью в этой книге «История календаря»,
стр. 308.
450
Вышло в Нюрнберге в 1543 г.
16 Именно у Цицерона (Cicero. Questiones Academicae) и псевдо-
Плутарха (Plutarchi. De placitis Philosophorum); ни Гераклида Понт-
ского, ни Аристарха Коперник (в печатном тексте) не упоминает, равно
как не ссылается он и на Николая Кузанского.
17 Об этом несколько подробно будет сказано ниже, в 7-й главе.
18 Построение Коперника следующее: пусть центр некоторой сферы
обращается по кругу радиуса R вокруг центра О. Коперник считает
в таком случае, что вся сфера жестко связана с радиусом R и с цент-
ром О, так что при своем обращении она остается повернутой к центру
О все время одним и тем же полушарием; но в таком случае любая ось
сферы, не перпендикулярная к радиусу R, опишет по отношению
к внешнему пространству, например по отношению к звездам, кони-
ческую поверхность, причем половина раствора конуса будет как раз
равна углу наклона данной оси к оси сферы, перпендикулярной радиу-
су R. Применяя эту общую схему к случаю Земли, Копернику прихо-
дилось учитывать, что ее ось вращения направлена всегда к одной и той
же звезде, именно к Полярной, так что эта ось перемещается в простран-
стве поступательно, оставаясь всегда параллельной самой себе. По-
этому, сохраняя свою «жесткую» схему, Коперник должен был дать
земной оси обратное вращение по конусу с половиной раствора 23,5°
(это и есть угол между осью вращения Земли и перпендикуляром к ра-
диусу ее орбиты, или, иначе, угол наклона экватора к эклиптике),
притом с годичным периодом; в этом и состояло «третье», или «декли-
национное», движение Земли по Копернику.
Галилей первым обратил внимание на то, что все это построение
излишне и ненужно; можно отказаться от схемы жесткой связи и просто
сообщить Земле поступательное перемещение по ее орбите; при этом
ее ось всегда будет сохранять в пространстве одно и то же направление,
но тело Земли за время ее оборота по орбите совершит один оборот
вокруг своей оси в обратном направлении по отношению к центру О,
т. е. к Солнцу.
19 G. Bruno, ed. Lagarde, v. I. La Cena dei Ceneri, p. 150—152.
20 См., например: Duhetn. Essai sur la notion de la theorie Phisique
de Platon a Galilee, p. 71—109. Paris, 1908.
21 В 1551 г. Эразм Рейнгольд (Erasmus Rheinhold) издал таблицы
движения планет, основанные на теории Коперника (Tabulae Pruteni-
cal).
22 В 1617 г. было уже третье издание (Nicolai Mulerii, Amsterdam).
23 Декрет от 5 марта 1616 г. (Ed. Naz., XIX, 322—323) касается не
только обеих указанных книг, но и ряда других; все они, в отличие от
двух названных, были «совершенно запрещены и осуждены» (omnino
prohibendos et damnandos). Полный перевод текста этого декрета см.
М. $. Выгодский. Галилей и инквизиция, М.— Л., 1937, стр. 170—
171.
24 День рождения Галилея (18/11 1564 г. ст. ст.) совпадает с днем
смерти Микеланджело, год его смерти — с годом рождения Ньютона.
25 Мы не касаемся здесь роли Джордано Бруно, который подходил
к тем же проблемам с совершенно других позиций и мышление которого
требует особого анализа (см. Л. Олыики. История научной литературы
на новых языках, т. III. М., 1933).
26 С другой стороны, одинаково плодотворными оказались мысли
Кеплера и Галилея по обоснованию новой математики, т. е. анализу
бесконечно малых. Кеплер дал одно из первых применений принципов
15*
451
интегрального исчисления к вычислению объемов в своей «Стереомет-
рии винных бочек» (русский перевод — М., 1938). Галилей первый
воспользовался им в механике, показав, что длина пути в равноуско-
ренном движении измеряется площадью прямоугольного треугольника,
один из катетов которого соответствует времени движения, а другой —
скорости движения в момент t («Dialogo» — Ed. Naz., VII, 255). На-
помним, что одним из учеников Галилея был знаменитый Бонавентура
Кавальери (Bonaventura Cavalieri), автор «Геометрии неделимых»
(русский перевод — М.—Л., 1940). Переписка Галилея и Cava-
lier! могла бы стать предметом детального анализа.
27 См. главу в упомянутом уже сочинении—Duhem. Le Systeme
du Monde, v. II, ch. XIII, p. 267—390 (La theorie des Marees et 1’Astro-
logiej.
28 В письме к F. Liceti от 23/VI 1640 — Ed. Naz., XVIII, 209.
28 «Dialogo» — Ed. Naz., VII, 211.
30 Псевдоним, под которым выступал Грасси.
81 Ed. Naz., VI, 232. В письме к F. Liceti от января 1641 г. (без
даты — Ed. Naz., XVIII, 295) Галилей почти дословно повторяет эти
соображения, которыми, таким образом, он руководился всю жизнь.
32 «Dialogo» — Ed. Naz., VII, 486. Характерно также различие
в отношении Кеплера и Галилея к вопросу о конечности и бесконеч-
ности Вселенной, о чем мы будем говорить ниже.
83 Ed. Naz., XIV, 340; XVI, 163. Вот еще мелкий штрих: в 1614 г.
Галилея посетил во Флоренции французский каноник Jean Tarde;
в чрезвычайно любопытном рассказе о его беседе с Галилеем он, между
прочим, сообщает, что на вопросы о преломлении лучей и об изготов-
лении объективов Галилей ответил, что эта наука еще мало развита и
что «излагал ее только Кеплер, математик императора, написавший об
этом особую книгу, но настолько темную, что автор, по-видимому, не
понимал сам себя (un livre expres mais si obscur qu’il semble que Гаи-
theur mesme ne s’est pas entendu)» — Ed. Naz., XIX, 590.
84 Ed. Naz., V, 189.
85 Boas — насмешливое обозначение школьной латыни; filuorichi —
то же для касты ученых на падуанском наречии. В письме Галилея
к Paolo GualdooT 16/VI 1612 г. (Ed. Naz., XI, 326) есть несколько фраз
на народном падуанском наречии, автору настоящей статьи не понят-
ных. Известно, что Галилей очень любил и этот диалект, и стихи народ-
ного поэта Ranuzante (см. Л. Олыики, ук. соч., т. II, стр. 96).
36 Ed. Naz., VII, 72.
37 Ed. Naz., VI, 530 цит.
38 Письмо к Dini от 21/V 1611 — Ed. Naz., XI, 105—116.
39 В. И. Ленин. Философские тетради. М., 1938, стр. 121.
40 В актах Падуанского университета сохранились списки пору-
чений Галилею по кафедре математики; он читал: «О сфере Евклида»
(1593); «Пятую книгу Евклида и теории планет» (1594); «Элементы Ев-
клида и механические проблемы Аристотеля» (1598) и т. д.; под «сферой»,
которая включена и в поручения 1599 г., надо понимать комментиро-
ванное изложение Птолемея и трактата «Сфера» (De Sphaera) Сакро-
боско (Sacrobosco) — классическое руководство средневековья, состав-
ленное английским монахом около 1250 г.; о нем упоминает и Леонардо
да Винчи. Как лектор Галилей имел огромный успех; даже если не до-
верять словам его первого биографа (Viviani), проведшего при Галилее
в качестве его ученика последние 2 1/2 года его жизни, о том, что Га-
лилею дважды приходилось менять аудиторию, причем последняя вме-
452
тала более тысячи человек (Ed. Naz., XIX, 628), то следует, во всяком
случае, помнить слова самого Галилея, что о новой звезде 1604 г. он
читал «три длинных лекции более чем перед тысячью слушателей»
(Ed. Naz., II, 520).
41 Che la Terra stia immobile — Ed. Naz., II, 223.
42 Их изложение и анализ можно найти в кн.: Duhem. Le Systeme
du Monde, v. I, p. 480—484.
43 Ed. Naz., X, 67.
44 Мы оставляем в стороне все выступления Галилея по поводу
новой звезды 1604 г. в созвездии Змееносца, так как его соображения
о новых звездах (тогда была еще в памяти знаменитая новая 1572 г.
в Кассиопее) совершенно устарели и не представляют сейчас интереса.
46 Слово «телескоп» было придумано несколько позже филологом
Demesiani (1576—1614) по просьбе председателя римской Academia
dei Lincei (Академия рысьеглазых), князя Federico Cesi; сам Галилей
пользуется в первых работах либо словом «Perspicillum», либо назва-
нием «occhiale» — подзорная труба, на современном итальянском язы-
ке— окуляр. Слово «Perspicillum» передается, как указал нам акад.
С. И. Вавилов, названием «перспектива», которым часто в качестве
технического термина пользовались еще Ньютон и Ломоносов. В упо-
мянутом уже памфлете «II Saggiatore» (1623) Галилей описывает более
подробно, как шли его работы по усовершенствованию телескопа (Ed.
Naz., VI, 258). Отметим, что Кеплер после получения галилеева «ин-
струмента», представлявшего собой бинокль, в своей «Диоптрике»
(«Dioptrice», Augsburg, 1611) изложил принципы устройства астрономи-
ческого (обращающего) окуляра. К кеплерову (двояковыпуклому),
но не к галилееву (двояковогнутому) окуляру оказалось возможным
приспособить микрометр (Gascoigne, 1667), что составило эпоху в на-
блюдательной астрономии; однако отзыв Галилея о «Диоптрике» Кеп-
лера читатель нашел уже выше.
46 Письмо к Antonio Medici от 7/1 1610 — Ed. Naz., X, 273.
47 Ed. Naz., Ill, 62, 71, 74. О лунной поверхности у Галилея име-
ется обширная переписка. Отметим уточнение вычисления высоты лун-
ных гор, предложенное страсбургским математиком Бернеггером
(Bernegger), и ответ Галилея от 8/XI 1610 г. (Ed. Naz., X, 460—462
и 466—473); подробное письмо Галилея к астроному патеру Грембер-
геру (Gremberger) из Коллегии иезуитов в Риме от 7/1X 1611 г. (Ed.
Naz., XI, 178—203). Уже в конце жизни Галилея вновь возникла пере-
писка по этому же вопросу, вызванная появлением фантастической тео-
рии «пепельного света» («болонский камень» на Луне), предложенной
F. Liceti, бывшим лектором философии в университете в Падуе (см.
детальное письмо Галилея к герцогу Леопольду Тосканскому от 31/Ш
1640 г.— Ed. Naz., V, 489—541, особенно 502 и след.). Как известно,
«пепельный свет» Луны был правильно объяснен еще Леонардо да Винчи
(см. Леонардо да Винчи. Избр. соч., т. 1, стр. 198. М., 1935).
48 Ed. Naz., Ill, 75.
49 Ed Naz., Ill, 95—96. Над спутниками Юпитера Галилей про-
должал работать долгие годы; он первый определил приближенно
периоды их оборотов и стал составлять графики их положений относи-
тельно Юпитера на будущее время примерно так, как это делается и
посейчас в больших астрономических ежегодниках (например, в «Na-
utical Almanac»); к тому же, не оставляя и здесь в стороне практиче-
скую сторону дела, он полагал возможным применять наблюдения
спутников Юпитера для определения долгот, особенно в море. Об этом
453
L
проекте он вел переписку с правительствами морских держав: с Испа-
нией и Генеральными штатами Соединенных нидерландских провинций.
В ту эпоху проблема долгот была одной из важнейших и труднейших
задач мореходной астрономии, за правильное и удобное решение ко-
торой в XVII и XVIII вв. назначались крупные премии; однако для этой
цели способ Галилея оказался мало пригодным; к тому же переговоры
Галилея с Испанией и со Штатами по разным причинам закончились
безрезультатно.
50 Из письма Галилея от 17/XI 1610 г. к Paolo Gualdo: «В Пизе
скончался философ Либри, с такой страстью боровшийся против этих
моих безделушек queste mie ciancie (подразумеваются спутники Юпи-
тера]; и так как он никогда не хотел посмотреть на них с Земли, то,
быть может, он их увидит, направляясь на небо» (Ed. Naz., X, 484);
см. также характерное письмо Галилея к Кеплеру от 16/VIII 1611 г.
(Ed. Naz., X, 420).
51 Письмо венецианца Джиовани Сагредо (Giovani Cagredo) к Га-
лилею от 13/VIII 1611 г. (Ed. Naz., XI, 172); то был искренний друг
Галилея, только что вернувшийся из путешествия в Левант. После
описания возможных превратностей придворной службы Сагредо за-
мечает: «К тому же меня весьма огорчает, что Вы будете пребывать там,
где, как говорят, друзья Berl inzone находятся в большой силе» (Саг-
редо имеет в виду иезуитов, изгнание которых из Венеции тогда уже
состоялось; оно красочно описано в письме Галилея от 11/V 1606 г.-->
Ed. Naz., X, 158).
52 Письмо к Галилею от Alessandro Sertini из Флоренции в Падую
от 27/Ш 1610 г. «Вчера, подойдя к новому рынку, я встретил Ф. Ма-
нелли, который сообщил мне, что брат его Пьетро написал ему, что
почтовый курьер из Венеции привез для меня посылку от Вас. Это
известие распространилось (si divulgo) и притом так, что я не мог за-
щитить себя от людей, желавших узнать, что в ней такое, и думавших,
что это, быть может, подзорная труба; когда же выяснилось, что это —
Ваша книга, то и тогда любопытство не прекратилось, особенно со сто-
роны интеллигентов (nomini di lettere)» — Ed. Naz., X, 305.
63 Первое упоминание о Сатурне — в письме Галилея к упомяну-
тому уже Belisario Vinto от 30/VII 1610 г. (Ed. Naz., X, 409).
54 Письмо от 13/XI 1610 г. (Ed. Naz., X, 474).
56 Ed. Naz., V, 238. Только через 45 лет, в 1655 г., Христиан Гюй-
генс дал правильное описание кольца Сатурна и показал возможность
его исчезновений для земного наблюдателя, когда кольцо Сатурна усма-
тривается «в ребро».
66 Письмо от 11/Х1 1610 г. (Ed. Naz., X, 483).
57 Ed. Naz., V, 99
68 Так, например, ученик Галилея по Падуанскому университету
бенедиктинец патер Castelli, автор книги по гидравлике («Della mi sura
delle aque correnti», 1628), такой же коперниканец, как и его учитель,
в письме от 5/Х 1610 г., не зная о состоявшемся уже открытии фаз
Венеры, просил Галилея провести ее наблюдения в телескоп, будучи
уверен, что они «без сомнения, дадут верное средство для убеждения
сколь угодно упрямого человека» (Ed. Naz., X, 480).
69 Ed. Naz., VII, 351.
60 «Dialogo» — Ed. Naz., VII, 380; эти рассуждения Галилея не
нашли достаточного обсуждения в истории астрономии (см. по этому
поводу превосходное немецкое комментированное издание: Galileo
Galilei. Dialog fiber die beiden hauptsachlichsten Weltsysteme, S. 556—
557, ed. E. Strauss. Leipzig, Teubner, 1891). Ошибочность их ясна: будет
ли Земля вращаться по эклиптике, сохраняя параллельным направле-
ние своей оси в пространстве вокруг неподвижного Солнца, или, на-
против, будет ли Солнце обращаться вокруг неподвижной Земли по
той же эклиптике, сохраняя параллельной свою ось вращения, харак-
тер траекторий пятен и их изменчивого вида для земного наблюдателя
был бы в обоих случаях одинаковый. Эта ошибка Галилея тем более
удивительна, что сам он доказал ненужность «третьего» движения
Земли в системе Коперника (см. выше).
Присоединим сюда же несколько необходимых замечаний о при-
оритете открытия пятен и о последствиях возникшего по этому поводу
спора Галилея с иезуитами. Сам Галилей устами Сальвиати утверждает
в «Диалоге»: «Он [Галилей] открыл их в 1610 г., будучи лектором мате-
матики в университете в Падуе, и он говорил о них как в Падуе, так и
в Венеции со многими лицами, из которых некоторые еще живы» (Ed.
Naz., VII, 372). Первый биограф Галилея Viviani сообщает, что Га-
лилей наблюдал эти пятна еще в Падуе, но не пожелал тогда опублико-
вать открытие, «которое могло навлечь на него зависть и преследование
упрямых перипатетиков» (Ed. Naz., XIX, 511). Во всяком случае не-
сомненно, что Галилей демонстрировал солнечные пятна в Риме (март—
июнь 1611 г.), первое упоминание о пятнах в печати сделано Галилеем
во введении к трактату «О плавающих телах» (1612). Между тем уже
в январе 1612 г. в Аугсбурге вышло сочинение анонимного автора о
пятнах, составленное в виде писем к Маге*у Welser’y, аугсбургскому
богачу и в то время бургомистру, много путешествовавшему по Европе,
владевшему итальянским языком и сохранившему обширные культур-
ные связи с Италией; из слов автора, оказавшегося патером Шейнером
из ордена иезуитов, вытекало, что он наблюдал пятна в марте 1611 г.;
Вельзер просил Галилея высказаться по поводу этой книги, посылая
ему ее экземпляр. Галилей ответил тремя письмами от 4/V, 14/VIII
и 1/XII 1612 г.; эти-то письма вместе с письмами Вельзера опубликованы
Галилеем в Риме в 1613 г. под заглавием: «Istorie е Demonstrazioni
intorno alle macchie solari» («Описания и доказательства, относящиеся
к солнечным пятнам»).
Таким образом, приоритет опубликования, по-видимому, принад-
лежит патеру Шейнеру, но приоритет наблюдения принадлежит либо
Галилею, либо астроному Иоганну Фабрициусу (Io Fabricti Fristi.
Maculis in Sole observatis et apparente earum cum Sole conversionenara-
tio. Wettenberg, 1611). Днем первого наблюдения пятен Фабрициусом
считается 9 марта 1611 г.; однако Фабрициус только констатировал
наблюденное явление, не сделав каких-либо выводов. К удивлению, ни
Галилей, ни Шейнер о Фабрициусе ничего не знали, но Кеплер о нем
знал (Ed. Naz., XI, 537).
В дальнейшем, после периода корректной переписки, между Га-
лилеем и Шейнером возникла полемика; Галилей заострил ее в памфле-
те «II Saggiatore» (1623), о котором см. ниже; Шейнер весьма резко
обрушился на Галилея в своей «Rosa Ursina» (1630). Галилей писал о
Шейнере в письме от 9/11 1636 г. к Fulgenzio Micanzio: «Этот поросенок
и лукавый осленок составляет теперь перечень того, чего я не знал
в свое время; но все это произошло потому, что в начале ни я, ни он не
знали одного обстоятельства, именно весьма малого наклона тела Солн-
ца к плоскости эклиптики; но я открыл это, заявляю уверенно, раньше
его; однако я не имел случая говорить об этом до «Диалога» (Ed. Naz.,
XVI, 390).
455
На темную роль Шейнера в судьбе Галилея указывает страсбург-
ский математик Bernegger в письме от 31/VII 1638 г. «Он [Галилей]
обнаруживает в письмах, что переносит спокойно всю эту грязь и эти
преследования (которые, вероятнее всего, имели своим возбудителем и
вдохновителем некоего иезуита Шейнера)» (Ed. Naz., XVII, 365).
Весьма характерно письмо самого Галилея к Diodati от 25/VIII 1634 г.,
где говорится, что один из его друзей имел недавно в Риме беседу
с Gr ember ger’ ом, математиком коллегии иезуитов, который сказал:
«Если бы Галилей сумел сохранить расположение к себе со стороны
этой коллегии, то жил бы он в славе на свете и не случилось бы с ним
ни одного из его несчастий, и он мог бы писать по желанию о любом
предмете, в том числе о движении Земли и т. д.»; и Галилей заключает:
«Вы видите, что война против меня велась и ведется не за те или дру-
гие мои мнения, но за то, что я в немилости у иезуитов» (Ed. Naz.,
XVI, 117). Так или иначе, но темные предчувствия его друга Сагредо,
по-видимому, сбылись.
61 Ed. Naz., VII, 90.
62 Письмо Галилея от 20/11 1638 г. к Alfonso Antonini, помеченное,
как и многие письма Галилея последней эпохи, «из моей тюрьмы в Ар-
четри» (Ed. Naz., XVII, 291—297). Галилей рассматривает здесь ли-
брацию только как эффект параллакса; в конце письма говорится, что он
должен прекратить наблюдения из-за болезни глаз, «которая уже два
месяца тому назад перешла в полную слепоту, затемнив свет глаз весь-
ма плотными катарактами». Этими словами, кстати сказать, опровер-
гается утверждение, которое иногда приходится читать, будто Галилей
потерял зрение, наблюдая солнечные пятна через ничем не защищенный
окуляр; к тому же из повествования французского каноника Jean’a
Tarde, о котором мы говорили выше, видно, что Галилей применял
четыре способа наблюдения Солнца и его пятен, в том числе отбрасыва-
ние его изображения на экран, или помещая между глазом и окуляром
зеленые очки, чтобы ослабить действие лучей (pour esmousser la pointe
dy rayon) (Ed. Naz., XIX, 592—593).
63 Письмо Галилея к Кеплеру от 19/VIII 1610 г. (Ed. Naz., X, 422).
64 Из неопубликованной при жизни Галилея специальной записки
«Considerazioni circa 1’opinione copernicana», 1615 (Ed. Naz., V, 352).
66 Так, ученик Галилея патер Castelli сообщает в письме от 6/XI
1613 г. из Пизы, что кардинал Arturo d’EIci дал ему указание не вхо-
дить при чтении лекций в рассуждения относительно движения Земли
и т. п. (Ed. Naz., XI, 589). Сам же Галилей получил от кардинала Carlo
Conti в ответ на вопрос о возможности согласования Священного писа-
ния и новой астрономии весьма сдержанный и уклончивый ответ: такие
толкования Писания без большой необходимости не должны быть до-
пускаемы (Ed. Naz., XI, 355). В 1614 г. доминиканец патер Caccini —
будущий доносчик на Галилея — произносит во Флоренции резкую
проповедь против математики и математиков, давая ясно понять, кого
он имеет в виду в первую очередь. И хотя расположенный к Галилею
патер Luigi Maraffi, старший проповедник ордена, пишет Галилею
10/1 1615 г., «что он — на его несчастье — стоит в стороне от всего того
свинства (bestialita), которое могут творить и творят тридцать или сорок
тысяч братьев-монахов» (Ed. Naz., XII, 127), положение от этого не
проясняется, так как Caccini не только не подвергают взысканию, но
направляют в Рим проповедником в монастырь Santa Maria Sopra
Minerva, тот самый, в котором 22 июля 1633 г. произошла отврати-
тельная и мучительная сцена отречения Галилея.
456
Другой доносчик на Галилея, доминиканец патер Lorini, отрицая
в письме к Галилею от 5/XI 1612 г., что он выступал против него с ам-
вона, признавался, что ему пришлось в одном споре сказать пару слов
«об этом Ипернике [Копернике] или как он там называется» (quell'
Ipernico, о come sie chiama), и о том, что его учение противоречит
Писанию (Ed. Naz., XI, 427). Галилей, сообщая об этом человеке и об
его «Ипернике» князю Federico Cesi, основателю и председателю Aca-
demia dei Lincei в Риме, говорит: «Теперь Вы можете видеть, что за
люди перебрасываются бедной философией, как мячиком (da chi vien
trabolzata la povera filosofia)» (Ed. Naz., XI, 461).
Разумеется, в рамках настоящей статьи невозможно даже пытаться
восстановить всю ту сложную ситуацию, которая образовалась в Риме
и во Флоренции в связи с выступлениями Галилея на общем политиче-
ском и дипломатическом фоне эпохи контрреформации.
66 Патер П. Фоскарини (из ордена кармелитов) был коперниканец,
Галилею неизвестный. В 1615 г. в Неаполе вышло его небольшое сочи-
нение «Lettera del R. Р. Paolo Foscarini sopra 1’opinione de Pitagoreici
e del Copernico della mobilita della Terra». В нем Фоскарини пытался
доказать отсутствие противоречий между доктриной Коперника и док-
триной церкви. По декрету конгрегации индекса запрещенных книг
от 5/Ш 1616 Р. сочинение Фоскарини было «совершенно запрещено и
осуждено». Копия письма Беллармино к Фоскарини имелась у Галилея,
как он показал потом во время процесса 1633 г.
67 Кардинал Беллармино обнаруживает здесь знакомство с «Пись-
мами о солнечных пятнах» Галилея (1613).
68 Ed. Naz., XII, 171.
69 При жизни Галилея не опубликовано, написано около 1615 г.
(Ed. Naz., V, 349—365).
70 Ed. Naz., VII, 369.
71 Ed. Naz., V, 325—326.
72 Имеется письмо прелата Antonio Quarengo к его покровителю
кардиналу Alessandro d’Este от 1/1 1616 г., где говорится: «К тому, что
я писал раньше, теперь добавляю, что его [Галилея] приезд в Рим не
является, как предполагали, добровольным, но что от него желают
получить отчет о том, как он сочетает движение Земли с совершенно
противоположным учением Священного писания» (Ed. Naz., XII, 220);
см. также значительно более позднее письмо Niccolini (от 11/IX 1632 г.).
73 Письмо Галилея к Curzio Picchena, новому государственному
секретарю флорентийского двора, от 6/П 1616 г.: «Сообщаю, что дело
обо мне совершенно закончено, поскольку оно касается моей личности
индивидуально (il mio negozio esser del tutto terminato, in quella parte
che riguarda 1’individuo della persona mia)»— Ed. Naz., XII, 220.
74 Об этих документах, впервые опубликованных в 1850 г., суще-
ствует обширная литература—см. М. fl. Выгодский, ук. соч., стр.
166—167 и 182—216.
75 По вопросам, поставленным 19 февраля 1616 г., в очень небреж-
ной формулировке (воспроизводящей отчасти слова доносчика патера
Caccini), уже 24 февраля было получено заключение экспертов. По
первому вопросу (о неподвижности Солнца): «Напе propositionem esse
stultam et absurdam in philosophia et formaliter haereticam»— «Это пред-
ложение философски глупое и нелепое и формально еретическое»; по вто-
рому вопросу (о движении Земли, но неизвестно какому именно, годично-
му или суточному): «Напе propositionem recipere eandem censuram in
philosophia et spectando veritatem theologicam ad minus esse in Fide
457
еггопеагп —* «Это предложение нельзя принять как противное веро-
учению по оценке философии и богословской истины» (Ed. Naz., XIX»
320—321); Галилей об этом заключении не знал вплоть до упоминания
о нем в приговоре 1633 г.
76 Значение этого акта от 26/П 1616 г. (Ed. Naz., XIX, 321—322)
огромно главным образом потому, что осуждение Галилея в 1633 г.
последовало в конечном счете только за ослушание предписания «не
придерживаться» и т. д. (полный приговор читатель найдет в книге:
3. А. Цейтлин. Галилей, стр. 218— 226. М., 1935). Однако на следствии
1633 г. Галилей не мог припомнить, чтобы в 1616 г. с ним говорил во
дворце Беллармино кто-либо, кроме самого кардинала; далее акт от
26 февраля — никем не подписанный! — в его второй части (выступле-
ние патера-комиссара) трудно связать с другими моментами процесса
1616 г. Вот почему еще в 1870 г. Wohlwill высказал предположение,
что этот акт подложен и во второй своей части сфабрикован в 1633 г.
На такой точке зрения стоит и большинство историков процесса. Ана-
лиз этого трудного момента к теме настоящей статьи не относится; мы
предложим читателю только депешу флорентийского посла в Риме
Niccolini к Andrea Cioli от 11/IX 1632 г.: «Сверх всего этого говорят
с обычной конфиденциальностью и секретностью, что в актах инкви-
зиции найдено, что лет 12 (sic!) тому назад, когда дошли сведения, что
Галилей придерживается этого учения и сеет его во Флоренции, и когда
поэтому он был вызван в Рим, ему было запрещено кардиналом Бел-
лармино от имени папы и инквизиции продолжать держаться этого
учения; уже одного этого обстоятельства достаточно, чтобы погубить
его совершенно (rovinarlo affatto)» — Ed. Naz., XIV, 389.
77 Ed. Naz., XIX, 278; M. fl- Выгодский, ук. соч. стр. 185—186.
78 О нем см.: Dreyer. History of Planetary Systems. Cambridge,
1906, p. 353.
79 Так именно старается изобразить исход процесса 1616 г. Гали-
лей в своих сообщениях во Флоренцию государственному секретарю
Curzio Picchena; 6/III 1616 г., т. е. на другой день по опубликовании
декрета, Галилей пишет ему, что весь вопрос теперь будет только в са-
мых незначительных исправлениях текста книги Коперника, поручен-
ных кардиналу Gaetano; но что враги его, Галилея, совершенно посрам-
лены (Ed. Naz., XII, 243); кстати, до конца своих дней Галилей не смо-
жет подняться над этой точкой зрения и всю трагедию своей жизни он
будет приписывать только проискам его личных врагов. Еще характер-
нее письмо от 12/1П 1616 г., в котором Галилей, описывая милостивую
аудиенцию, данную ему накануне папой Павлом V, говорит: «Когда
в заключение я указал, что остаюсь в некотором беспокойстве, опасаясь
возможности постоянных преследований со стороны неумолимого ко-
варства людей (1’implacabile malignita), папа утешил меня словами, что
я могу жить в спокойном настроении (Panirno riposato), так как обо
мне у его святейшества и у всей конгрегации остается такое мнение, что
нелегко будет прислушиваться к словам клеветников; так что, пока он
жив, я могу чувствовать себя в безопасности»... (Ed. Naz., XII, 247).
И это говорил тот самый Павел V, который в предписании о вызове Га-
лилея к Беллармино дал распоряжение заключить Галилея в тюрьму,
если только он не согласится отказаться от защиты, преподавания или
изложения коперниканского учения (Ed. Naz., XIX, 321).
80 Ed. Naz., V, 328—329.
81 Декрет от 5/Ш 1616 г. был впервые «опущен» в 1757 г. при со
ставлении нового индекса запрещенных книг (декрет конгрегации ин-
458
декса от 16/IV 1757 г. при папе Бенедикте XIV— см. Ed. Naz., XIX,
419); но только в индексе издания 1835 г. не встречаются уже больше
имена Коперника, Дидака Астуника, Фоскарини, Галилея и Кеплера.
82 «Портрет»— А. С. Пушкин. Сочинения. М., 1936, стр. 401.
83 Ed. Naz., VI, 71.
84 См. Ф. А. Бредихин. О хвостах комет. М., 1934, стр. 120—132.
86 «II Saggiatore». Ed. Naz., VI, 281.
86 «II Saggiatore» был выпущен в Риме в 1623 г. с посвящением папе
Урбану VIII (но не от самого Галилея, а от римской Academia dei
Lincei). Под именем Урбана VIII на папский престол вступил 6/1II
1623 г. кардинал Matteo Barberini из семьи богатейших римских пат-
рициев и меценатов. Галилей имел все основания считать этого кар-
динала, писавшего, между прочим, и стихи в его честь,— весьма
расположенным к нему и, пожалуй, более терпимым к коперниканству.
В 1624 г. Галилей предпринял поездку в Рим (с 25/IV до 10/VI), где,
несомненно, надеялся добиться ослабления действия декрета от 5/1II
1616 г. Однако эта поездка осталась безрезультатной. 8/VI 1624 г.
Галилей сообщал князю Federico Cesi: «Кардинал Zoller [Hohenzollern]
передал мне, что он имел беседу с его святейшеством относительно Ко-
перника и сказал папе, что, поскольку все еретики [протестанты] при-
держиваются коперниканского учения, которое они считают достовер-
нейшим,то, принимая то или иное решение, здесь нужно действовать
весьма осмотрительно. На это папа ответил: «Святая церковь не осуж-
дала и не предполагает осуждать это учение как еретическое, но только
как необоснованно смелое (temeraria); однако [добавил папа] не следует
опасаться, что кому-нибудь удастся доказать, что это учение есть не-
обходимо истинное (necessariamento vera)» (Ed. Naz., XIII, 182).
При отъезде Галилея из Рима Урбан VIII снабдил Галилея так
называемым бревэ на имя герцога Тосканского, где Галилею расто-
чались высокие похвалы: «Уже давно взираем мы с отеческим благово-
лением на мужа, слава которого сияет в небесах и распространяется по
всей земле» (Ed. Naz., XIII, 183). Все это не помешало Урбану VIII
через восемь лет оказаться главным инициатором позорного процесса
против Галилея, а после осуждения ученого— проявить себя просто
его мучителем.
87 В Приложении к книге «Галилео Галилей» (Изд-во АН СССР,
1943) дается перевод послания Галилея к Инголи; здесь мы ограничи-
ваемся весьма немногими из него выдержками.
88 Ed. Naz., VI, 525—526; оценка в одну десятую значительно
преувеличена: Галилей мог бы поставить здесь одну стомиллионную.
83 Ed. Naz., VI, 523.
90 Ed. Naz., VI, 529—530.
91 «De Caelo», lib. I, cap. VI et VII.
92 Ed. Naz., VII, 347; об отсутствии центра мира учил еще Николай
Кузанский («De docta Ignorantia»).
93 Письмо к Fortunio Liceti от 24/IX 1639 г. (Ed. Naz., XVIII,
106). Напомним здесь же, что Кеплер, в отличие от Галилея, опреде-
ленно стоял на точке зрения конечности мира (см. письмо его Галилею
от 19/IV 1610 г.— Ed. Naz., X, 333). Когда в Прагу до Кеплера и до его
окружения дошли слухи о первых телескопических открытиях Галилея,
они вызвали здесь большое волнение. Так, в знаменитом «Разговоре со
звездным вестником» («Dissertatio cum Nuncio Sidereo»), который Кеп-
лер успел издать в Праге в том же 1610 г., говорится, что некий совет-
ник Вакер «предполагал, что эти новые планеты обращаются вокруг
459
одной из неподвижных звезд (подобно тому,— замечает Кеплер,— как >
это уже давно являлось для меня следствием рассуждений кардинала
Кузанского и Джордано Бруно); и если до сих пор были неизвестными
четыре планеты, то что нам мешает считать, что вслед за этим началом
в будущем не будет открыто бесчисленное множество других? И, на-
конец, не будет ли и мир бесконечным, как полагали (древний философ)
Мелисс и англичанин Вильям Гильберт, автор исследований по магне-
тизму; или же— согласно тому, как считали Демокрит и Левкипп,
а из новых Бруно и Бруций (Edmund Bruce), наш общий друг с тобой,
о Галилей,— что существует бесчисленное множество миров (или зе-
мель, как говорил Бруно), подобных этому нашему миру»? (Ed. Naz.,
Ill, 106). Однако, когда из полученной книги Галилея выяснилось, что
новые планеты— спутники Юпитера, Кеплер вздохнул облегченно;
он пишет в том же «Dissertatio»: «Если бы ты действительно открыл, что
новые планеты обращаются вокруг одной из неподвижных звезд, то
мне пришлось бы обречь себя на оковы, на темницу в бесчисленных
мирах Бруно и даже более того, на изгнание в эту бесконечность. Таким
образом, ты спас меня теперь от великого страха, овладевшего мной
после первых слухов о твоей книге, при торжестве моего противника
[Вакера]» (Ed. Naz., Ill, 119).
Во всех этих напечатанных высказываниях Кеплера с подчеркнутым
повторением имени Джордано Бруно нельзя не уловить его призыв
к Галилею быть осторожным, говоря о вопросах подобного рода. Во
всяком случае Галилей никогда не увлекался фантазиями об обитае-
мости других миров; так, в отношении Луны он писал некоему G. Muti
28/11 1616 г. (т. е. через два дня после злосчастного вызова к кардиналу
Беллармино): «Я могу доказать, что на лунном шаре не могут сущест-
вовать не только люди, но и животные и растения, одинаковые или по-
добные тем, которые имеются на Земле» (Ed. Naz., XII, 240); о том же
самом в «Dialogo» (Ed. Naz., VII, 86): «на Луне нет ни земли, ни воды»
(Ed. Naz., VII, 125).
94 Ed. Naz., VI, 561.
95 Знаменитое письмо из Падуи от 7/1 1610 г., где Галилей воз-
буждает вопрос о переходе на службу к Медичи и развивает обширную
программу своих будущих работ (Ed. Naz., V, 348—353).
96 Письмо Галилея к Cesare Marsili от 7/XII 1624 г.: «Пока что
я продвигаю вперед мой «Диалог о приливах и отливах», а с тем вместе
продвигается соответственно и коперниканская система...» (Ed. Naz.,
XIII, 236).
97 Письмо Галилея к князю Federico Cesi от 24/XII 1629 г., где
говорится еще: «Я довел почти до пристани мой «Диалог и раскрыл
весьма явственно многое, что мне казалось почти необъяснимым»
(Ed. Naz., XIV, 60); а уже 5/1 1630 г. G. Ciampoli в письме из Рима
поздравлял Галилея со «счастливым окончанием «Диалога»» (Ed. Naz.,
XIV, 64).
98 Заметим только, что из имеющихся на книге пяти разрешений
(два в Риме, без даты; и три во Флоренции) последнее помечено 12/IX
1630 г. Затянувшееся печатание закончилось у Landini во Флоренции
в феврале 1632 г.; издание вышло с красивым фронтисписом, изобража-
ющим беседующих Аристотеля, Птолемея и Коперника. Осенью 1632 г.
продажа книги была запрещена, и на заседании конгрегации инквизи-
ции 23/IX 1632 г. доложено о приказании папы Урбана VIII сообщить
инквизитору во Флоренции о вызове Галилея в Рим в течение октября
(Ed. Naz., XIX, 279).
460
99 «Движение».— А. С. Пушкин. Сочинения. М., 1936, стр. 376.
Разумеется, Пушкин имел в виду легенду о будто бы сказанных Гали-
леем словах по объявлении ему приговора 22/VI 1633 г.-— легенду,
бесповоротно разрушенную после опубликования актов процесса;
тем не менее эпитет, данный им Галилею, превосходно характеризует
всю силу упорства астронома в борьбе за коперниканскую доктрину.
100 Ed. Naz., XIV, 88.
101 Эти мысли развиты Галилеем с необычайным блеском в «Посла-
нии к Инголи» (Ed. Naz., VI, 511—512) и весьма кратко повторены в пре-
дисловии к «Диалогу» (Ed. Naz., VII, 30).
102 Впрочем, эта форма была популярной в эпоху Ренессанса после
появления переводов «Диалогов» Платона; в форме диалога писал
Джордано Бруно; отец Галилея Винченцо (Vincenzo Galileo) составил
в такой же форме трактат по истории музыки (см. об этом: Л. Олыики,
ук. соч., т. II и III).
103 Прочтите описание венецианского арсенала (около 1300 г.)
у Данте—«Ад», песнь XXI (например, в переводе М. Лозинского.
М., 1940, стр. 180). О том значении, которое для Галилея как механика
имело знакомство с мастерами арсенала и их работой, он говорит в сво-
их знаменитых «Беседах и математических доказательствах, касающихся
двух новых отраслей знания» (1638; русский перевод: Галилео Галилей.
Соч., т. 1, стр. 47. М., 1940). Об интенсивности работы арсенала доста-
точно говорит тот факт, что в конце XVI в., в период напряженной
борьбы с турками, венецианский арсенал в течение 100 дней подряд
выпускал ежедневно по одной галере.
104 В «Послании к Инголи» Галилей описывает, как для плывущего
на барке из Падуи в Венецию мимо чудесных берегов Бренты по-раз-
ному «убегают» близкие и далекие предметы на берегу — от прибреж-
ных деревьев до отдаленных склонов Альп (Ed. Naz., VI, 550).
10- Ко времени выхода в свет «Диалога» (1632) мир уже сильно опу-
стел вокруг Галилея; кардинал Беллармино, от которого теперь могло
бы зависеть очень многое, умер в 1621 г., покровитель и друг Галилея,
князь Federico Cesi— в 1630 г., Кеплер— в том же, 1630 г.
106 «II mio Dialogo sfortunato»—из письма Галилея к F. Liceti
от января 1641 г. (Ed. Naz., XVIII, 244).
107 Допрос 21/VI 1633 г. (Ed. Naz., XIX, 362).
108 Приговор — см.: Ed. Naz., XIX, 406; 3. А. Цейтлин. Галилей,
стр. 225.
109 Этот трактат широко использован Галилеем не только в «Диа-
логе», но и в «Беседах о двух новых отраслях знания».
110 Эта объективность выдержана в «Диалоге» очень относительно.
Инквизитор, рассматривавший книгу в 1632 г., нашел, что «заключи-
тельное противоядие вложено здесь в уста дурака и притом в таком
месте книги, что его и найти трудно» (Ed. Naz., XIX, 326).
111 Находясь в добровольном изгнании в Амстердаме, Декарт
в 1634 г. получил на тридцать часов экземпляр «Диалога», тогда уже
запрещенной книги; он писал по поводу ее Mersenne: «Его [Галилея]
доводы для доказательства движения Земли очень хороши; но мне ка-
жется, что он не так излагает их, как нужно, чтобы убеждать; отступ-
ления, которые он вставляет, служат причиной, что о первых доказа-
тельствах забываешь, читая последние» (Ed. Naz., XVI, 124). Из того
же письма видно, что под впечатлением приговора над Галилеем Декарт
отказался от мысли создать свой собственный труд о системе мира;
см. также другое письмо Декарта к Mersenne (Ed. Naz., XVI, 50).
461
112 См. чертеж в «Dialog©»— Ed. Naz., VII, 531.
113 Ed. Naz., VII, 481.
114 Ed. Лаг., VII, 480. Имеется еще одно указание на то, что об
эллиптических орбитах было известно в кругах Галилея: в книге его
ученика <0 зажигательном зеркале» («Lo specchio us tor io», Bologna,
1632) упоминается об эллиптической орбите Марса; Галилею эта книга
была известна (см. письмо Cavalieri к Галилею от 31/VIII 1632 г.— Ed.
Naz., XIV, 378).
«Рудольфины» Кеплера пришли на смену тем «Tabulae Drute-
nicae», которые Rheinhold составил на основе теории Коперника и издал
в 1551 г.; и те и другие таблицы были известны Галилею, так как в сен-
тябре 1632 г. он получил запрос от Cesare Marsili о некоторых затруд-
нениях, встреченных при пользовании ими (Ed. Naz., XIV, 396).
116 См.: Лагранж. Аналитическая механика, т. 1, стр. 166—167.
М., 1938; статью акад. А. Н. Крылова о механике Галилея — Сб.
«Галилео Галилей». М.— Л., Изд-во АН СССР, 1943.
117 Ed. Naz., VII, 53.
118 Ed. Naz., VII, 56. Роль прямолинейного движения определена
Галилеем здесь совершенно так же, как у Коперника («De Revolutioni-
bus», lib. I, p. 8); о том же мимоходом говорится и в «Беседах»; но тут
Сальвиати решает оставить в стороне все космогонические приложения
законов падения: «Столь глубокие соображения,— говорит он,— отно-
сятся уже к наукам более высоким, чем наша» («Беседы», стр. 343—
344). По вопросу о применении космического принципа инерции Гали-
лея к проблеме происхождения мира см. также любопытное письмо
Mersenne от 4/ХП 1634 г. (Ed. Naz., XVI, 169).
119 Так, например, весьма характерно и показательно вычисление,
при помощи которого Галилей находит, что тело, падающее с Луны на
Землю, должно пройти это расстояние за 3 часа 22 мин. 4 сек., двигаясь
равноускоренно (Ed. Naz., VII, 250).
120 Ed. Naz., 213; это место— повторение из «Послания к Инголи»
(Ed. Naz., VI, 547— 548).
121 Такие пометки на полях, вроде небольших заголовков (postil-
1е) — маргиналии — даны по всему тексту «Диалога». Цитируемое
место находится во «Втором дне», где речь идет только о вращении
Земли (Ed. Naz., VII, 412).
122 Ed. Naz., VII, 216.
123 Ed. Naz., VII, 219.
124 Ed. Naz., VII, 221: «Я прекрасно понимаю,— говорит Симпли-
чио,— что камень не отделяется от Земли, потому что его удаление вна-
чале будет настолько малым, что, пожалуй, в тысячу раз сильнее будет
стремление камня двигаться к центру Земли» (доказательство — на стр.
223—229).
12£ Письмо Галилея к Fulgenzio Mucanzio от 15/Ш 1636 г. (Ed.
Naz., XVI, 406).
126 Приводимая здесь цитата из Леонардо да Винчи в русском изда-
нии, указанном выше, не помещена; см. итальянское издание (Solmi)
или немецкое (Marie Herzfeld).
127 «Del flusso e riflusso del Маге» (Ed. Naz., VII, 395); оно состав-
ляет основу содержания «Дня четвертого» «Диалога» и местами воспро-
изведено в нем дословно.
128 Ed. Naz., VII, 442.
129 Скорость суточного вращения частицы на экваторе 0,5 км
в секунду; скорость годичного движения Земли— 30 км в секунду.
462
Поэтому отношение навь^ыпей абсолютной скорости к наименьшей
численно равно 1,03; соответствующее значение, по Галилею, можно
оценить следующим образом: среднее расстояние от Земли до Солнца
он принимает, следуя Копернику, равным 1 208 радиусов земного эк-
ватора (Ed. Naz., VII, 386), вместо современного значения 23 400;
поэтому скорость движения Земли на орбите должна быть у него
в 19,4 раза меньше надлежащей, т. е. порядка 1 1/а км в секунду, так что
отношение наибольшей к наименьшей абсолютной скорости должно бы-
ло бы получиться порядка 2:1. Но Галилей этого отношения не при-
водит и ограничивается замечанием, что «один раз в сутки движение
происходит с наибольшей скоростью, один раз с наименьшей и дважды
со средней» (Ed. Naz., V, 383).
130 Ed. Naz., V, 380.
131 Ed. Naz., VII, 458.
132 Ed. Naz., VII, 460.
133 Ed. Naz., VII, 442.
134 Ed. Naz., VII, 470.
13~ Напомним, что теория приливов, данная Ньютоном, статиче-
ская, так как в ней предполагается, что воды океана, лишенные инер-
ции, непрерывно принимают форму поверхности уровня по отношению
к потенциалу — возбудителю прилива. Начало динамической теории
приливов, в которой инерция вод океана учитывается, положено Лап-
ласом. Заметим также, что до сих пор неизвестно механическое явление,
которым можно было бы доказать одновременно оба движения Земли —
суточное и годичное; для механического доказательства первого из них
служит маятник Фуко; второе обнаруживается только в аберрации
неподвижных звезд и в их годичном параллаксе. То, что не удалось
Галилею, не удалось и в последующие три столетия.
136 К удивлению, о спутниках Юпитера в «Диалоге» упоминается
только мимоходом, так что Галилей как бы забывает обещание, данное
им в «Sidereus nuncius», вернуться к ним в книге «О системе мира».
137 Ed. Naz., VII, 423. Кстати, в одном месте «Диалога» Сальвиати
говорит: «Смотрите, как все это легко понять».— «Да,— отвечает Са-
гредо,— таковы все истинные положения после того, как они найдены;
вся трудность в том, чтобы уметь их найти» (Ed. Naz., VII, 251).
138 Впрочем, здесь уместно вспомнить слова Льва Толстого о том,
что многие, и даже лица с высшим образованием, обычно начинают очень
уверенно объяснять «времена года», но потом безнадежно запутыва-
ются (см. Л. Н. Толстой. Собр. соч. под ред. Бирюкова, т. XIII, стр.
203. М., 1913).
139 Ed. Naz., VII, 91.
140 Напомним, что Галилей принимал за спутников Сатурна его
кольцо.
141 Ed. Naz., VII, 396.
142 Мы теперь сказали бы «в сотни и в тысячу раз дальше, чем дру-
гие».
143 Ed. Naz., VII, 409.
144 Ed. Naz., VII, 386, 389.
Здесь Галилей все еще чрезмерно преувеличивает оценку углового
диаметра «звезды первой величины в 5", звезды шестой величины —
шесть раз меньше»; о том же см. в «Послании к Инголи» (Ed. Naz., VI,
523). Напомним, что наибольший из угловых диаметров, измеренных
в 20-х годах нашего века интерферометром Майкельсона, оказался рав-
ным 0,50. Способ определения этих диаметров Галилеем описан в ста-
463
тье акад. С. И. Вавилова — Сб. «Галилео Галилей».— М.—Л., Изд-во
АН СССР 1943.
145 Письмо к Bernegger’y от 12/VII 1636 г. (Ed. Naz., XVI, 452).
146 См., например, первое письмо о солнечных пятнах (Ed. Naz.
V, 102—103).
147 Так именно составлен ответ Галилея от 30/VI 1612 г. (Ed. Naz.,
XI, 344) на вопрос, поставленный князем Cesi: нельзя ли совершенно
освободить систему Коперника от эксцентров и эпициклов? (письмо
к Галилею от 20/VI 1612 г.— Ed. Naz., XI, 332). То же самое утвер-
ждает Галилей в письме к кардиналу Pietro Dini от 23/Ш 1615 г. з
(Ed. Naz., V, 298), или в «Considerazione circa 1’opinione copernicana»
(1615), где говорится: «Коперник задается эпициклами и эксцентрами;
однако вовсе не они служат причиной того, что система Птолемея от-
вергаемся (так как и те и другие, несомненно, имеются на небе), но иные
его чудовищные положения (esorbitanze)» (Ed. Naz., V, 367).
148 Kepler. Epitome Astronomicae Copernicanae (Linz u. Frankfurt,
1618—1621), IV, 2; ed. Frisch, VI, p. 361.
149 G. Borelli. Theoricae Medicearum Planetarum. Florentiae, 1666.
В «Математических началах натуральной философии» Ньютона
(1687) обстоятельства движения спутников Юпитера приводятся как
первое из тех «явлений», из которых Ньютон выводит закон всемирного
тяготения (всего таких явлений Ньютон упоминает шесть) — см.
А. Н. Крылов. Собр. трудов,т. VII. М.— Л., 1935, стр. 504; при этом
в перечне определений расстояний спутников от центра Юпитера Нью-
тон приводит и данные Борелли (см. там же, стр. 506).
1°1 «Dialogo». Ed. Naz., VII, 62.
152 Наиболее трудное в изложении истории науки — это отрешить-
ся от современных, столь укоренившихся в нас понятий. Галилей во
многих местах говорит о сложении движений и приводит простые при-
меры геометрического сложения скоростей; Мерсенн, издавая в 1634 г.
французский перевод галилеевой «Della Scienza Meccanica», называет
в предисловии эти явления «достойными изумления».
163 Письмо от 2/1 1638 г. (Ed. Naz., XVII, 247).
Об этом имеется замечательное место в конце «Первого дня»
«Диалога».
КЛЕРО И ЕГО «ТЕОРИЯ ФИГУРЫ ЗЕМЛИ»
1 Corr. Math, et Phys., par N. Fuss, 1843, v. 1 p. 277 et 292.
2 О чем свидетельствует ее книга «Основы физики, данные в виде
уроков сыну» (Institutions de Physique, 1740), изданная анонимно.
3 Principes Mathematiques de la philosophic naturelle, par feue
Madame la Marquise du Chatellet, v. I et II. Странным образом, имя
Ньютона на титульном листе отсутствует. Книга была закончена
в 1745 г.: она внесена в реестр Палаты издателей и книгопродавцев
Парижа 7 марта 1746 г., но опубликована только в 1759 г., через 10 лет
после смерти дю Шатле.
4 Президента Королевской академии наук в Париже; напомним, что
она была основана в 1666 г., ед начала регулярную деятельность только
в 1699; с первых же лет работы в ее состав были привлечены выдаю-
щиеся иностранные ученые: Христиан Гюйгенс, Олаф Ремер и др.
6 См.: /(. Н. Державин. «Вольтер» (М., 1946, стр. 82—100), и нашу
работу «Вольтер и Ньютон» (Сб. «Вольтер». М.—Л., 1948).
464
6 Издание 1808 г. было перепечатано без изменений в 1900-х годах
издательством Gauthier—Villars в Париже.
7 Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, № 189. Theorie
der Erdgestalt nach Gestzen der Hydrostatik, von Clairaut, herausgegeben
von Ph. Jourdain und A. v. Oettingen. Leipzig, 1913.
8 Особенно значительная в § 63 второй части.
9 Например, п. 41, где Даламберу приписывается утверждение,
которого на указанном месте нет.
10 Todhunter. History of the Theories of Attraction and the Figure
of the Earth. 2 vol. (1873), особенно v. I, p. 189—230.
11 Tisserand. Traite de Mecanique Celeste, v. II, p. 186-—220. Lia-
pounoff. Recherches dans la theorie de la figure des corps celestes, 1903
(Mem. Ac. Sc. St.-Petersb., v. XIV, N. 7). Sur I’equation de Clairaut
et les equations plus generales de la theorie de la figure des planetes,
1904 (ibidem, v. XV, N 10).
12 Все эти работы резюмированы в обширном труде, изданном
в 1720 г.: «De la Grandeur et de la Figure de la Terre», par J. Cassini.
Suite des Memoires de I’Academie Royale des Sciences pour 1’annee 1718.
13 Авторами их были академики Мопертюи, Годен, Ла Кондамин,
Клеро и Буге. См. прекрасную работу G. Bigourdan. Sur di verses me-
sures d’arcs de meridien, faites dans la premiere moitie du XVIII s.
(Bull. Astron., 1901, v. XVIII, p. 320).
14 Отметим здесь только две его книги: «Theorie de la Figure de la
Terre», par J. P. Bouguer (1749), где дан вывод той формулы редукции
силы тяжести, которой гравиметристы пользуются и по сей день, и его
«Traite du Navire, de sa construction et de ses mouvements», 1746, которая
вместе с книгой L. Euler’a «Scientia Naval is» лежит в основе теории
корабля (см.: A. Kriloff. Theorie des Schiffes. Enz. d. Math. Wiss.,
IV, 22, S. 52).
16 La Condandne. Relation abregee d’un voyage fait dans 1’inte-
rieur de 1’Amerique Meridionale (Mem. Ac. Sc. de Paris pour 1745, pub-
lie en 1749, p. 391—492).
16 J. F. Montucla. Histoire des Mathematiques (1802), v. IV, p. 149.
Здесь речь идет о дебатах по теории фигуры Земли, не прекратившихся
в Парижской академии и после отправки перуанской экспедиции.
17 В этом месте Монтюкла (или редактор посмертного издания его
истории, Лаланд) делает следующее примечание: «Мопертюи был при-
ятен, он сочинял песенки и играл на гитаре; все это помогло ему полу-
чить то поручение, которого он добивался».
18 La Figure de la Terre, determinee par les observations de Messi-
eurs de Maupertuis, Clairaut, Camus, Lemonnier de I’Academie Royale
des Sciences et de M. L’abbe Outhier, Correspondant de la meme Acade-
mie, accompagnes par M. Celsius, professeur d’Astronomie a Upsal,
faites par ordre du Roy au Cercle poiaire, par M. de Maupertuis. A. Paris,
de 1’Imprimerie Royale, 1738.
19 Там же, стр. 44 и 123.
20 Там же, стр. 51.
21 Там же, стр. 63.
22 При этом переводе мы пользуемся классическим соотношением:
1 туаз — 1,949040 м, которое было установлено при введении метриче-
ской системы мер; нужно только помнить, что оно относится к так назы-
ваемому «перуанскому туазу», которым пользовался Буге; что касается
«лапландского туаза» Мопертюи, то совершенно точная длина его не-
16 Н. И. Идельсон 465
известна, так как этот туаз пострадал при кораблекрушении во время
возвращения Мопертюи во Францию.
23 По этому вопросу долгое время считали как раз обратное, пока
его не разъяснил в 1719 г. некий инженер Рубе (Roubaix). См.: Bigo-
urdan, op. cit., p. 322. Детальное изложение истории французских
градусных измерений XVIII в. можно найти в старых книгах: Montucla.
Hist, des Mathem., v. IV, p. 137—175 (1802); Bailly. Hist, de I’Astrono-
mie Moderne, v. Ill, p. 1—56 (1785). Из новых: Todhunter, op. cit.,
v. I, p. 93—103, 231—248; Bigourdan. Bulletin Astronomique, v. XVIII,
p. 320, 351, 389, 444. См. также: H. Poincare. La Geodesie Fran^aise.
Bull. Soc. astron. France, 1900, v. 14, p. 513—521., иФ. H. Красовский.
Руководство по высшей геодезии, ч. II, стр. 421—433 (1942).
24 Т. е. Ньютон и Гюйгенс. См.: Maupertuis. Lettres XIII (Sur la
Figure de la Terre) — Oeuvres, ed. 1758, v. II, p. 296.
25 Письма Вольтера к Мопертюи находятся в XI томе его полного
собрания сочинений (Oeuvres de Voltaire, ed. Firmin Didot); особенно
интересны на стр. 254, где Вольтер пишет ему (январь 1738 г.): «Ведь
рано или поздно истина и Вы возьмете верх. Помните, что были дис-
сертации и против кровообращения; думайте о Галилее, и успокойтесь».
Мопертюи и Галилей! — пожалуй, несколько сильно и для самого Воль-
тера. Но через 14 лет (там же, стр. 629, октябрь 1752 ), в письме из
Потсдама к племяннице (M-me Denis): «Во время всех этих споров Мо-
пертюи совершенно помешался... И вот человек, который составил себе
я не знаю какую репутацию потому, что он был в Торнео и похитил там
двух лапландок... И он был моим другом!» Об этих двух лапландках,
появление которых на улицах Парижа вызвало, можно думать, не мень-
шую сенсацию, чем решение вопросов высшей геодезии, см. в письмах
Вольтера к Мопертюи и к Даржану (1754 г.): «В год немилости 1738 он,
Мопертюи, схватил в свои когти двух обитательниц ледяной зоны, но
написал тогда всем своим друзьям, также и мне, что это врач их экспе-
диции похитил этих несчастных; соответственно, он начал с того, что
устроил сбор в их пользу, якобы как искупитель чужой вины. Я послал
ему тогда пятьдесят экю»... и т. д. и т. д.
26 Bailly. Hist. Astron. Moderne (1875), v. Ill, p. 7.
27 Figure de la Terre etc. (1738), p. 127—130; 153—162; 182—184.
28 См. Введение, стр. 15; Первая часть, § 10, 29, 73, 76.
29 Maupertuis. Accord des differentes lois de la Nature. Mem. Ac.
Sc. Paris, 1744; Des lois du mouvement et du repos, deduties d’un prin-
cipe metaphysique. Mem. Ac. Sc. Berlin, 1745, p. 286. Обе работы пере-
печатаны в Oeuvres, ed. de Lyon, 1768, v. III.— Euler, Mem. Ac. Sc.
Berlin, 1751, p. 199 et 246, а также отдельно: Dissertatio de principio
minimae actionis (1753). См. также: Лагранж. Аналитическая механика
(русск. перев. ГОНТИ, 1938), стр. 180 и 218.
30 Биографические материалы довольно скудны; первое место за-
нимает «Речь памяти Клеро» (Eloge de Clairaut), анонимная, но, как
известно по другим источникам, составленная академиком математиком
Фонтэном (Fontaine) напечатана в Hist, de I’Academ. R. des Sc. de Paris,
1765, p. 144—159; статья Дидро у Grimm, Correspondance litteraire.
Биография Клеро в Biographie universelie (Michaud) составлена Lac-
roix (v. VIII, p. 322). Из более новых работ: J. Bertrand. Clairaut, sa vie
et ses oeuvres (Eloges academiques, Nouv. s., p. 231—261). Имеется одно
письмо Вольтера к Клеро от 1759 г. (Oeuvres..., v. XII, р. 24) и несколько
писем Вольтера, в которых говорится о нем: к Даламберу (v. XII,
р. 630) и к Варенну (v. XI, р. 575). В Архиве Академии наук .СССР
466
хранятся несколько писем Клеро к Эйлеру, к профессору Гришову
и секретарю Миллеру; имеется также и вся переписка, связанная с при-
суждением ему премии в 1751 г. за работу по теории движения Луны.
31 Eloge..., р. 148. В этом мемуаре Клеро идет речь о четырех кри-
вых четвертого порядка, типа х4 — а2 (х2 у2), х* = я2 и т. д.
и их свойства исследуются с помощью анализа. Упоминание о докладе
этой работы см. в Hist. Acad. R. Sc., Paris, 1726 (ed. 1753), p. 45. Там
сказано следующее: «Этому автору было тогда всего 12 лет и 8 месяцев.
В прежнее время подобное произведение сделало бы честь самым искус-
ным геометрам, а теперь надо поделить хвалу между превосходством
новых методов и изумительным гением ребенка». Сама работа напеча-
тана позднее в Miscellanea Berlinensia, v. IV, р. 143—152 (Berlin, 1734).
См.: M. Cantor. Vorlesung. iib. die Geschichte d. Mati., Bd. Ill, S. 779
(1901). ,
32 Eloge..., p. 150. Эта работа напечатана в 1731 г. отдельной кни-
гой под названием «Recherches sur les courbes a double courbure» (113 p.).
Оригинала ее нам видеть не удалось; у М. Cantor’a (loc. cit., 779—784)
имеется весьма подробный ее анализ, который заканчивается словами:
«Читатель вместе с нами присоединяется к тем восторженным похвалам,
которые имеются в отзыве академика Прива-де-Мольера» (напечатан-
ном в предисловии к изданию 1731 г.).
33 Здесь уместно остановиться на составе Академии. В нее входили
12 почетных членов; то были, вообще говоря, вельможи, интересовав-
шиеся науками; затем 20 членов-пенсионеров (они одни получали по-
жетонное вознаграждение, носили черные мантии и парики); пенсио-
неры составляли основное рабочее ядро Академии, среди них было по
три геометра, астронома, механика, анатома, химика и ботаника, сек-
ретарь и казначей. Следующую группу составляли двадцать associes
(«присоединенных»), а именно по два на каждую из указанных шести
секций, и восемь иностранцев, которые могли избирать ученую спе-
циальность по усмотрению; к ним, несколько позднее, были прибав-
лены еще 4 associes libres. Наконец, третью группу составляли 12
адъюнктов (adjoints), по два на каждую дисциплину. Про них в регла-
менте 1715 г. сказано: «Адъюнкты должны иметь жительство в Париже;
они пользуются совещательным голосом только по научным вопросам;
они могут занимать места между associes, когда пустые места окажутся;
если же таковых не будет, они разместятся, без различия, на местах, ко-
торые им будут указаны». Президент Академии и его заместитель назна-
чались королем из числа почетных членов, секретарь и казначей изби-
рались пожизненно из числа пенсионеров. Весьма красочное и любопыт-
ное описание заседаний и состава Парижской академии в несколько
более позднюю эпоху можно найти в письме астронома Лекселя к
И. А. Эйлеру, непременному секретарю Петербургской академии, от
7 января 1781 г. (См. «Ученая корреспонденция Академии наук XVIII в.».
Изд-во АН СССР, 1937, стр. 490—500) и в специальных книгах: Е. Main-
dr on. L’Academie des Sciences. Paris, 1888 (стр. 18 — основной регла-
мент 1699 г., стр. 46—47 — регламент 1715 г.); Maary. Les academies
d’autrefois, v. I. Paris, 1864.
34 Eloge..., p. 151.— Иоганн Бернулли (1667—1748) с 1705 г. за-
нимал в Базельском университете кафедру математики, вакантную после
смерти его старшего брата Якова Бернулли. О том влиянии, которое он
имел на математиков XVIII в., видно из первых фраз речи Даламбера,
посвященной его памяти (D'Alembert. Oeuvres, v. Ill, Eloge de Berno-
ulli, p. 338—360): «Я знал Бернулли только по его трудам, и я обязан
16*
467
ёму почтой полностью 7еми немногими успехами, которые я сделал 6 Ма-
тематике»; там же (стр. 359) упоминается о поездке к Бернулли Клеро
и Мопертюи. В русском переводе имеются «Избранные сочинения по
механике» И. Бернулли (изд. 1937 г.).
35 Так, по крайней мере, следует из Предисловия издателей к пере-
воду ньютоновых «Начал» (Avertissements, р. II). «Элементы геометрии»
Клеро представляют собой замечательное педагогическое сочинение,
имевшее немалое значение в системе элементарного образования во
Франции.
36 Степень associe Клеро получил еще в 1733 г., двадцати лет;
см.: Eloge..., р. 153.
37 Как хорошо известно, некоторые теоремы Клеро приводятся под
его именем в курсах теории дифференциальных уравнений и теоретиче-
ской механики; но от многих данных им формул его имя теперь отпало:
таковы, например, выражения проекций ускорения в плоском движе-
нии на радиус-вектор и на перпендикуляр к нему, которые Клеро вывел
на первых страницах своей «Теории Луны». Весьма интересны также
его «Elements d’Algebre» (1749); в истории алгебры они занимают про-
межуточное положение между «Arithmetica Universalis» Ньютона (1707)
и «Anleitung zur Algebra» Эйлера (1768).
38 Об этих работах Клеро мы имели случай говорить детально
в статье «Закон всемирного тяготения и теория движения Луны» (см.
сборник «Исаак Ньютон». Изд-во АН СССР, 1943, стр. 192—202).
39 В этих достопамятных работах Клеро имел помощниками: мо-
лодого тогда Ж. Лаланда (Jerome Lalande, 1732—1807), который впо-
следствии создал себе имя ведущего астронома — вычислителя и на-
блюдателя во Франции в конце XVIII в., и кроме него, одну из первых
женщин, избравших делом своей жизни астрономические вычисления:
то была г-жа Николь Лепот (Nicole Lepaute, 1723—1788), жена знаме-
нитого тогда конструктора и теоретика часовых механизмов (Jean
Lepaute Paine, 1709—1788). Про нее сказано (см. «Biographie univer-
selie»): «она была другом Клеро и Лаланда и сообщала им результаты
своих работ, и они находили удовольствие их поощрять». Однако в пе-
чати Клеро никогда не упоминал о помощи ему этой ученой женщины.
40 Н. Попов. Речь о новых изобретениях в лунной теории (7 сен-
тября 1752 г.). После этой премии Клеро стремился укрепить связи
с Петербургской академией; так, по поводу проекта установки на об-
серватории Академии (в башне над Кунсткамерой) большого стенного
квадранта Клеро писал в Петербург 1 октября 1752 г. профессору Гри-
шову: «Если Вы придете к мысли, что я мог бы быть полезен Вам моими
исследованиями, укажите мне, что именно Вам наиболее важно, и я
с великим удовольствием возьмусь за работу, требуемую для этого, так
как никто не желает развития этой области астрономии сильнее, чем
я» (имеются в виду наблюдения Луны и их сравнение с теорией ее дви-
жения).
41 D'Alembert. Recherches sur la precession des equinoxes et sur la
nutation de Гахе terrestre dans le systeme Newtonien. Paris, 1749.
42 В конце протокола Конференции Петербургской академии от
8 июля 1754 г. значится (по-латыни): «Решено присоединить к сему из
Франции Клеро и Кондамина, из Швеции — Линнея». Протокол под-
писали: Готфрид Миллер (секретарь с 1730 г.), Михайло Ломоносов,
Степан Крашенинников (профессор ботаники и натуральной истории
с 1750 г.), М. Клейнфельд (адъюнкт анатомии с 1748 г.). Очевидно, во-
прос был подготовлен и проведен Ломоносовым.
468
43 J. F. Montuela. Hist, des Mathem., v. IV, p. 72. Неприязненные
отношения между ними начались, можно думать, еще в самом начале
их академической карьеры. Так, во втором издании «Трактата по дина-
мике» Даламбер, приступая к изложению своего нового принципа,
счел нужным и тактичным сделать примечание, в котором сказано:
«В тот самый день, когда я начал чтение моего мемуара, что было к кон-
цу 1742 г., г-н Клеро представил свой мемуар, носивший название:
«О некоторых общих началах, облегчающих решение большого числа
задач динамики». Эта работа, опубликованная в томе мемуаров Ака-
демии за 1742 г., была прочтена после моей; к тому же, она не имеет
ничего с ней общего» (D'Alembert. Traite de Dynamique, ed. 1758, p. 72).
Такое же столкновение произошло в стенах Парижской академии 15
ноября 1747 г., когда Клеро и Даламбер одновременно представили
свои мемуары о задаче трех тел.
44 Даламбер написал на эту тему особый мемуар: «Reflexions sur
ia comete de 1682et 1759» (Opusc. Mathem., v. II, p. 218—138 (1761)).
46 В переписке Эйлера и Лагранжа имеется весьма любопытная и,
по-видимому, правильная характеристика Даламбера. Эйлер пишет
Лагранжу (16 февраля 1765 г.): «Г-н Даламбер сделал мне множество
возражений по этому вопросу [теории колебаний струн]; но, признаюсь,
я не нахожу их достаточно сильными, чтобы опровергнуть ваше реше-
ние. Этот высокий гений, как мне кажется, слишком склонен уничто-
жать все то, что сделано не им самим...» и далее: «г-н Даламбер повсюду
проявляет великое стремление сделать сомнительным все то, что утвер-
ждали другие, но он никогда не потерпит, чтобы такие же возражения
были сделаны против его исследований» (Oeuvres de Lagrange, v. XIV,
p. 205, 206). См. также характеристику Даламбера в вышеупомянутом
письме Лекселя («Ученая корреспонденция XVIII в.», стр. 503). С дру-
гой стороны, в этом раздражении Даламбера могла иметь значение
трудность его академической карьеры: принятый в адъюнкты в 1741 г.,
он был как бы забыт французским правительством, и только в 1756 г.
получил звание «сверхштатного пенсионера» (pensionnaire surnume-
raire). Пенсию (в 1200 ливров) он получал только от Фридриха II.
Об этом странном и несомненно обидном положении общепризнанного
ученого, математика и литератора (с 1762 г. Даламбер был избран и
членом Французской академии) многократно говорится в переписке
Вольтера и Даламбера (см. особенно его письмо к Вольтеру от 30 июня
1765 г.— Oeuvres de Voltaire, ed. Didot, v. X, p. 630). Однако здесь же
уместно отметить, что для следующего поколения именно за Даламбером
сохранился ореол первого математика Франции в XVIII в. Так, в 1807 г.
Наполеон передал Национальному институту (т. е. реорганизованной
Академии) свое повеление о том, чтобы «в залах заседаний Института
была поставлена статуя Даламбера — того французского математика,
который больше всех содействовал развитию этой первой из наук»
(см. Е. Maindron, op. cit., р. 277). В связи с этим можно только изум-
ляться, что ни одно сочинение Даламбера по математике, небесной ме-
ханике и математической физике не было когда-либо переиздано во
Франции!
46 Clairaut. Reflexions sur la contestation entre d’Alembert et lui
(Journ. des Savants, 1762).
47 Bailly. Hist. Astron. Moderne, v. Ill, p. 198 (1785). Намек
на Даламбера прозрачен. В том же 1765 г. некто Варенн, инспектор
налогов, не оставивший имени в истории науки, задумал писать книгу
469
о Клеро. Он обратился к Вольтеру, й Вольтер ответил ему любопыт-
ным письмом:
«Г-н Клеро не имел, милостивый государь, никакого отношения
к философии Лейбница, в которую г-жа дю Шатле внесла столько же
ясности, сколько сам Лейбниц навел на нее темноты. Она привела ее
даже к такой ясности, что почти у всех читателей раскрылись глаза на
лейбницевы фантазии. Иначе обстояло дело с алгебраическим коммен-
тарием к Ньютону. Так как здесь речь шла только об истинах, г-жа
дю Шатле совещалась с Клеро; он проверял все вычисления; он много
работал с ней; однако ей одной принадлежит слава работы над перево-
дом ньютоновых «Начал», а этот труд был бы почетным и для академика.
Я нашел у себя копию письма, которое я послал Клеро несколько лет
тому назад; отправляю ее Вам, она может найти место в примечаниях
к Вашей работе. Это и есть то самое письмо, на которое Вы ссылаетесь
в Вашем последнем письме; оно будет служить по крайней мере дока-
зательством той дружбы, которая меня связывала с знаменитым Клеро.
Эта дружба была лестной для меня, и я не предполагал пережить его.
Мы понесли тяжелую утрату. Однако публика ее недостаточно ощущает;
она не отдает себе отчета, как немногочисленны выдающиеся люди
в этой области. Мы знаем не больше трех-четырех математиков-
астрономов; если бы они отошли, все были бы поражены узнать, что нет
никого, кто сумел бы сделать наблюдение. На тысячу человек, читаю-
щих общую прессу (les feuilles publiques), найдется всего один, поуча-
ющийся по работам Клеро. Меня очень интересует памятник, который
Вы ему воздвигаете; он заслужил, чтобы Вы говорили о славе его».
48 Решение Ньютона, поражающее своей глубиной, но весьма сжато
у него изложенное, требует и в настоящее время обширных коммента-
риев к тексту знаменитого Предложения XIX из III книги «Начал».
См. примечания А. Н. Крылова (Собр. трудов, т. VII, стр. 531—535)
и статью Л. Н. Сретенского «Ньютонова теория приливов и фигуры
Земли» (Сборник «Исаак Ньютон», стр. 218—225).
49 Гюйгенс. Трактат о свете. ОНТИ, 1935; но в русский перевод
дополнение о силе тяжести не введено. Traite de lumiere avec un discours
sur la cause de la pesanteur (Leyden, 1690).
50 J. P. Bouguer. Comparaison des deux lois que la Terre et les
autres planetes doivent observer dans la figure que la pesanteur leur fait
prendre. Mem. Ac. Sc. Paris, 1734, p. 21—40.
61 Лагранж. Аналитическая механика, стр. 137.
52 Рукопись под титулом «Sur Г integration ou la construction des
equations dieffrentielles», так же как и письмо Клеро и ответ Эйлера
хранятся в Архиве АН СССР. Эйлер доложил эту работу Клеро в засе-
дании Конференции 17 октября 1740 г. («Протоколы Конференции
Академии наук», т. I, стр. 635, 1897). Клеро опубликовал свою работу
на эту тему: «Recherches generales sur le calcul integral» в Mem. Ac.
Sc. Paris, 1749, p. 425—436 и «Sur Г integration...» (и т. д., как в петер-
бургской рукописи) в Mem. Ac. Sc. Paris, 1740, р. 293—323. Подробный
разбор этих работ см.: Af. Cantor, loc. cit., Bd. Ill, S. 883—889.
53 Mem. Acad. Berlin. 1755, p. 274.
64 Maclaurin. A Treatise of Fluxions. Edinburgh, 1742, v. II, p. 522—
566.
w D'Alembert. Sur la figure de la Terre. Opusc. Mathem., v. VI,
p. 47—67.
Ь6 См., например, Poincare. Figures d’equilibre d’une masse fluide.
Paris, 1902, p. 65—67.
470
57 Приводим здесь полностью мнение знаменитого математика из
его лекции «О форме небесных тел» (Изв. АН СССР, Отд. физ.-мат. наук,
1930, стр. 38—39): «Клеро, рассматривая неоднородную жидкую массу,
вращающуюся весьма медленно, предположил a priori, что поверх-
ности уровня суть эллипсоиды вращения, и занимался лишь разыска-
нием элементов этих эллипсоидов, ограничиваясь первым приближе-
нием. Между тем, так задачу ставить нельзя, ибо поверхности уровня
в ней не могут быть эллипсоидами, как это и было доказано значительно
позже. Можно только сказать, что они мало отличаются от эллипсо-
идов, но и это только в первом приближении, ибо уже во втором при-
ближении они делаются некоторыми поверхностями вращения четвер-
того порядка. Таким образом, совершенно неправильно искать элементы
эллипсоидов в первом приближении, ибо это суть элементы тех эллип-
соидов, которые сами представляют неизвестные поверхности в первом
приближении. Таким образом, по самой постановке задачи Клеро не
мог идти далее первого приближения».
68 Изложение этого вывода А. М. Ляпунова см. в нашей статье
«Постановка проблемы фигур равновесия в теории А. М. Ляпунова»
(Приложение к книге: П. Аппель, Фигуры равновесия однородной вра-
щающейся жидкости. 1936, стр. 319—336).
59 Введение ко второй части, § 35 и 51 второй части.
60 Известная доля вины в этой путанице лежит и на самой лапланд-
ской экспедиции, так как полученная ею длина градуса дуги меридиана
под широтой Полярного круга оказалась на 430 м больше действительной.
Объяснить происхождение этой огромной ошибки довольно трудно
(см.: В. Ф. Красовский. Руководство по высшей геодезии, ч. II, стр.
428, 1942). Так или иначе, сжатие, которое было принято к 1740-му
году, было I : 178, т. е. почти в два раза больше истинного; оно могло
соответствовать первоначальному предположению Ньютона, но никак
не теории Клеро.
61 Мёс. Cel., v. V, р. 12 (1825).
ЭТЮДЫ ПО ИСТОРИИ ПЛАНЕТНЫХ ТЕОРИЙ
1 Приводить данные историко-биографического или библиографи-
ческого характера мы, вообще говоря, не предполагаем; но сделаем ис-
ключение для обоих основоположников астрономической науки.
Клавдий Птолемей — астроном II в. н. э.; из его книги, полное
название которой «Математический синтаксис [т. е. трактат] астрономии
в XIII книгах», видно, что он наблюдал в Александрии в Египте в сере-
дине царствования Антонина Пия (138—161 н. э.); никаких иных био-
графических сведений о нем не имеется; но в средние века самое созву-
чие его имени с именами многочисленных династов, правивших Египтом
после смерти Александра] Македонского (Птолемей Лаг, Птолемей Со-
тер и др.), придавало некий таинственный ореол его «Синтаксису». (Не
потому ли, в отличие от многого другого, этот обширный трактат дошел
до нас в безупречной сохранности?) Ознакомление с «Синтаксисом»
в латинских странах шло первоначально через арабские переводы гре-
ческого текста, относящиеся к IX—XI вв.; от арабов же за трактатом
Птолемея утвердилось название «Альмагест»— испорченное греческое
«Мегистэ», т. е. «величайший». Первое печатное издание «Альмагеста»
по-латыни вышло в 1515 г. в Венеции; оно представляет собой тяжелый
471
перевод с арабских рукописей, выполненный еще в конце XII в. Герар-
дом Кремонским. Следующее латинское издание (Венеция, 1528) осно-
вано на первом, неудачном переводе, исполненном непосредственно с
с греческих кодексов (рукописей) Георгием Трапезундским в 1451 г.
Первое печатное издание греческого текста (editio princeps) вышло в Ба-
зеле в 1538 г., всего за пять лет до появления книги Коперника «Об обра-
щениях небесных сфер». Лучшее современное критическое издание
греческого текста принадлежит датскому филологу и историку матема-
тики F. Heiberg’y (1898 и 1903). Имеется два перевода на новые языки.
Первый из них выполнен аббатом Halma в Париже (I том — 1813 г.,
II том — 1816 г.); его издание снабжено примечаниями Делямбра (De-
lambre); этот же знаменитый геодезист, астроном и историк астрономии
дал детальное изложение трактата Птолемея в «Histoire de I’Astronomie
ancienne», vol. II (1817). Второй, немецкий, перевод превосходно вы-
полнен К. Mani tins* ом в 1912 г. Кроме «Альмагеста», Птолемею припи-
сывается «География», астрологический трактат «Тетрабиблос» и другие
труды.
Гиппарх —«отец астрономии»— родом из г. Никеи в Вифании наб-
людал между 160 и 126 гг. до н. э., т. е. приблизительно за 300 лет до
Птолемея,— отчасти на о. Родосе, отчасти в Александрии; больше о нем
ничего неизвестно. В «Альмагесте» Птолемей использует многочислен-
ные наблюдения и действительно изумительные по глубине и точности
результаты Гиппарха в теориях Солнца и Луны, а также и подготовлен-
ные им материалы для будущей теории планет (построение же этой по-
следней, вне всяких сомнений, принадлежит самому Птолемею). Пол-
ный преклонения перед своим предшественником, Птолемей называет
его «мужем трудолюбцем и любителем истины» или «величайшим дру-
гом истины» («Альмагест», кн. III, гл. 1 и кн. IX, гл. 2). К сожалению,
все те труды Гиппарха, о которых упоминает Птолемей, не сохрани-
лись, и с его именем связывается лишь мало значительный «Коммента-
рий» на поэму о небесных явлениях, составленную неким Аратом (II в.
до н. э.).
2 Такое вращение мы будем называть прямым, противоположное
ему, т. е. направленное по часовой стрелке, обратным.
8 Мы имеем здесь в виду как Птолемея, так и те таблицы, которые
были составлены в половине XIII в. коллегий из 50 арабских, иудейских
и христианских ученых, созванных королем Альфонсом X в Толедо
(так называемые «Альфонсины»); теория, положенная в их основу, лишь
в некоторых деталях отличается от птолемеевой.
4 Едва ли стоит напоминать, что точки равноденствия определяют-
ся как точки пересечения эклиптики с другим большим кругом — имен-
но, спроектированным на небесную сферу земным экватором. Долготы
считаются в эклиптике в направлении видимого годичного движения
Солнца, от запада к востоку (это направление и считается прямым), каж-
дые 30° долготы соответствуют одному «знаку Зодиака». Вступления
Солнца в знаки Овна, Рака, Весов, Козерога, т. е. моменты, когда его
долгота равна 0, 90, 180, 270°, суть начала времен года.
6 «Альмагест», кн. III, гл. 3.
6 Там же, гл. 1.
7 Длина тропического года, по теориям небесной механики, умень-
шается на 6 сек. в тысячелетие; в эпоху Гиппарха она была равна 365д
5Ч48М59С, так что определение Гиппарха ошибочно на 6м 13е.
8 Мы приводим это основное число в «вавилонской» записи Птоле-
мея; здесь единицы каждого разряда в 60 раз меньше единиц предыду-
472
щего; после привычных нам минут и секунд идут терции, кварты, квин
ты и сексты.
9 Тогда для эпицикла и деферента их нужно два («Альмагест», кн.
III, гл. 4).
10 «Альмагест», кн. III, гл. 4.
11 В настоящей статье все аномалии считаются в манере древних,
т. е. от наиболее далекой точки орбиты.
12 Из указанной общей величины столетнего изменения долготы
апогея Г 23',4 возникает из-за медленного отступления точек равноден-
ствия в эклиптике, в силу чего долготы всех точек небесной сферы не-
прерывно увеличиваются (явление прецессии, открытое все тем же неи-
стощимым Гиппархом); остальные 18',6 в столетие вызываются возму-
щающим действием планет на движение Земли вокруг Солнца.
13 Следует отметить еще, что наибольшее значение уравнения цен-
тра в эпоху Гиппарха было 2°Г, а не 2°23'; эта ошибка происходит от
недостаточной точности в его определении длины весны и лета.
14 М. А. Вильев. Таблица движения Солнца и больших планет. Тру-
ды обсерватории Петрогр. у нив., т. II, 1917.
15 Прежде чем оставить эту тему, обратим внимание, что сопоставле-
ние рис. 5 и 6 ясно показывает эффект векового движения апогея на вре-
мена года. Смещаясь с указанным выше вековым движением, апогей
прошел через долготу 90° в эпоху 1250 г. н. э.; тогда весна и лето имели
одинаковую продолжительность (по 93,24 дня), так что теплая часть
года (в Северном полушарии) превосходила холодную на 7,72 дня.
16 Как уже упомянуто, мы считаем все аномалии от афелия орбиты
(точка А), а не от ее перигелия (точка D), как это было принято впослед-
ствии, со времен Эйлера.
17 См., например, Мулыпон. Введение в небесную механику. М.—
Л., 1935, стр. 158.
18 «Альмагест», кн. IV, гл. 7; по утверждению Птолемея, Гиппарх
никакой теории планет не оставил; «он ограничился тем, что собрал наб-
людения для их плодотворного использования и доказал с их помощью,
что гипотезы современных ему астрономов не могут быть с этими наблю
дениями согласованы» (там же, кн. IX, гл. 2).
19 «Альмагест», кн. XI, гл. 10—12.
20 Там же, кн. IX, гл. 12.
21 Эта таблица дана Птолемеем в ^Альмагесте», кн. I, гл. 11; хорды
даны в ней для всех углов от 0 до 180°, через каждые 1/2°.
22 Уже в первом своем произведении («Misterium cosmographicum»,
1596) Кеплер высказал соображение, что если Земля есть действитель-
но планета, как тому учит Коперник, то к ней нужно прилагать теорию
биссекции, а не простого эксцентриситета. Несколько позднее, в работе
э Марсе («Astronomia nova», 1609), Кеплер определил орбиту Земли и
и нашел для нее е = 0,0180, что соответствовало теории биссекции.
32 «Nicolai Copernici de hypothesibusmotuum coelestium a se Constitu-
tes comment ar iobus», т. e. «Николая Коперника малый комментарий об
установленных им началах небесных движений». При жизни Коперника
не был напечатан и найден только в конце прошлого века в двух рукопис-
ных текстах. Цитируем по прекрасному американскому изданию: Е. Ro-
sen. Three Copernican Treatises. N.Y, 1939, p. 57—58.
24 «De Revolutionibus orbium coelestium...», кн. I, гл. 4.
25 Там же, кн. IV, гл. 2.
26 Rhaeticus. Narratio Prima, ed. Rosen, p. 169. Под orbis magnus,
т. e. под «кругом великим», здесь, как и везде у Коперника, подразу-
473
мевается орбита Земли вокруг Солнца, находящегося в центре этой ор-
биты (точка Т на рис. 11 и 12).
27 Таким образом, точки Р, Q, R вместе с вершиной угла М обра-
зуют так называемый антипараллелограмм. Углы, прилежащие к длин-
ным сторонам этой фигуры, равны между собой, именно М или
180°—Л4-
28 «De Revolutionibus...», кн. V, гл. 4.
29 Здесь нужно предположить, что ВР = 1/2 ае величина очень ма-
лая; при е = 1 траектория Р будет кардиоида.
30 Non describit circulum perfectum, sed quasi («De Revolutioni-
bus...», кн. V, гл. 4).
31 Kepler. Astronomia nova, I, cap. 4.
32 В этой гипотезе «полный эксцентриситет» ТО (рис. 15) делится
на две неравные части, так что здесь появляется одна новая неизвестная
при определении орбиты. Однако можно показать, что при любом де-
лении эксцентриситета, кроме биссекции, в выражении для радиуса век-
тора останутся погрешности первого порядка в эксцентриситете, как
это имеет место и в гипотезе простого эксцентриситета.
33 Начиная отсюда, мы будем приписывать знак + скоростям в
прямом направлении (против часовой стрелки) и знак — обратным.
84 На рис. 16 даны не скорости, а самые углы со и а, т. е. углы, прой-
денные всеми указанными точками за единицу времени; они все непо-
средственно видны на чертеже, и доказательства указанных здесь поло-
жений делаются интуитивными, если проводить при точках соответ-
ствующие параллельные линии.
85 В дальнейшем индексами 1, 2, . . ., 5 отмечаются величины, отно-
сящиеся к пяти планетам, от Меркурия до Сатурна.
36 1 секст = 3600" : 60е = 0 ,000 000 0772. Кстати, при сложении
чисел, записанных в шестидесятиричной системе, начинаем с секст и
каждые 60 единиц младшего разряда переносим, как одну единицу,
в высший разряд.
87 Соотношения в форме (48) интересны тем, что число синодических
оборотов (легче всего наблюдаемых у верхних планет) принимается у них
в точности целым, и Птолемей дает такие значения z и k, которые также
приближаются возможно точно к целым числам: все это сводится к пред-
ставлению отношения движений рациональными дробями, получаемы-
ми из их разложений в непрерывные дроби.
38 Эта вторая часть соотношения для нижних планет дается Копер-
ником («De Revolution!bus...», кн. V, гл. 1).
39 Таким образом, у планет б всегда положительно; как раз это
условие обеспечивает возможность стояний и попятных движений пла-
нет по видимой долготе %; в теории Солнца и Луны движения в эпицик-
лах происходят в обратном направлении, и стояния по этой причине ис-
ключаются; этой побочной темы мы здесь не развиваем.
40 Делямбр, вообще мало расположенный к Птолемею, говорит,
однако, что одного открытия лунной эвекции было бы достаточно, что-
бы «поставить Птолемея в первые ряды астрономов».
41 См. Duhem. Le Systeme du Monde, v. I (1914), стр. 182. Вопрос
о том, знал ли Птолемей о существовании гелиоцентрической теории, не-
сомненно высказанной Аристархом Самосским еще в III в. до н. э., т. е.
за 400 лет до него, решить невозможно. В «Альмагесте» имя Аристарха
упоминается три раза в кн. III, гл. 1, где идет речь о длине солнечного
года. Птолемей говорит, что вслед за наблюдениями древнейших астро-
номов (Метона и Эйктемона, V в. до н. э.) надлежит привлечь к сопоста-
474
влению «наблюдения солнцестояний, произведенные последователями
Аристарха» (т. е. школой Аристарха). В дальнейшем приводятся наблю-
дения солнцестояний, выполненные (и очень плохо) этой «школой Ари-
старха» в 281 и 280 гг. до н. э. (последнее из них использовал Гиппарх,
как говорит Птолемей). Но весьма примечательно, что в том месте «Аль-
магеста» (кн. I, гл. 7), где Птолемей борется с мнением «некоторых фило-
софов», допускавших вращение Земли, он не называет ни одного имени,
таким образом, создается впечатление, что всякое упоминание о сущ-
ности учений того, кто был основателем названной им «школы» (и о ко-
тором мы, к сожалению, осведомлены только по довольно беглым ука-
заниям Архимеда и Плутарха), было тщательно вытравлено из «Альма-
геста».
42 Тихо Браге—«феникс астрономов», как его называет Кеплер,—
обнародовал свою теорию в книге о знаменитой комете 1577 г. («De Со-
meta anni 1577», cap. VIII), говоря, что эта система была им найдена
«как бы по вдохновению»; из его переписки видно, что он решительно
возражал тем, кто считал эту систему промежуточной между системами
Птолемея и Коперника (как оно и есть на деле). Система Тихо никогда
не имела широкого признания. Галилей уже самым заглавием своего
диалога «О двух важнейших системах мира, птолемеевой и коперникан-
ской» (1632) как бы подчеркивает, что говорить о системе Тихо он не бу-
дет.
43 На рис. 19 (внизу) это выполнено для Марса и Венеры.
44 «Альмагест», кн. X, гл. 6.
45 Фактически таких положений достаточно иметь три; заметим, ко-
нечно, что в соединениях с Солнцем планета не наблюдаема; но совершен-
но аналогичные условия имеют место в противостояниях; поэтому тео-
рия движения верхних планет строится на трех противостояниях,
а теория нижних — на их дигрессиях.
46 Этот термин имеет здесь значение, несколько отличное от того,
которое ему придается в современной астрономии.
47 Эта ошибка Коперника доставила величайшие затруднения Кеп-
леру при его исследованиях движения Марса; он показал, в конце кон-
цов, что отсюда в гелиоцентрических долготах Марса происходят погреш-
ности порядка 5', но ошибки в геоцентрических долготах могут дохо-
дить до Г,3 («Astronomia nova», VI). В связи с этим отметим одну глу-
бокую ошибку, допущенную Дрейером (Е. Dreyer) в его, вообще гово-
ря, превосходной книге «History of the planetary systems» (Cambridge,
1906); «Коперник получал,— пишет Дрейер (стр. 338, прим.),—апо-
геи, а не афелии планет, так как линия апсид проходила у него через
центр земной орбиты, а не через Солнце». Из предыдущих страниц вид-
но, что здесь несущественная деталь спутана с оставшейся неясной ав-
тору глубокой сутью дела.
48 В главах 2—4 мы называли аномалиями углы при центрах Т
или О; в планетных теориях предпочтительнее сохранять терминологию
Птолемея («Альмагест», кн. IX, гл. 3): углы при центре Т суть видимые
долготы, углы в эпицикле — аномалии. В «Альфонсинах» первые, как
мы уже знаем, назывались центрами, вторые аргументами.
49 В «Альмагесте» всякое периодическое неравенство, прилагаемое
с тем или иным знаком к значениям равномерно нарастающей угловой
величины, носит название ее простафэрезъг, этот термин применялся
еще Галилеем и Кеплером.
475
50 Древние выражали все дроби в частях радиуса, длина которого
принималась равной 60 единиц; каждая из них (partes, обозначаемая
символом р) в свою очередь делилась на 60 частей и т. д. (обозначаются
как минуты, секунды и т. д.). Определение элемента П ошибочно у Пто-
лемея приблизительно на 13°, так как долгота афелия Сатурна для эпо-
хи 4-150 была П = 246°23'.
51 К тому же в теории этого движения Коперник допустил ошибку:
он правильно установил, что в течение годичного обращения Земли ее
ось, если отвлечься от прецессии, сохраняет постоянное направление
в пространстве, т. е. движется поступательно. «Мне известно,— писал
он в «Малом комментарии»,— что в предметах меньшего размера намаг-
ниченная игла всегда указывает на одно и то же направление». Однако
применительно к явлениям небесным он полагал, что земная ось только
тогда будет сохранять постоянное направление, если в течение года она
сделает полный поворот на 360° обратно орбитальндму движению, и это
за вычетом 50", которые требуются для объяснения предварения равно-
денствий. Галилей уделяет этому вопросу внимание в «Диалоге» («День
третий») и выясняет совершенную ненужность такого вращения земной
оси на 360°, создавая при этом ряд правильных понятий кинематики
твердого тела.
52 Эти три главы I книги были изданы в 1541 г. Ретиком в Виттен-
берге отдельно, так что их появление опередило на два года издание
трактата в целом; в предисловии к этой книжке верный ученик Копер-
ника доказывает, что новые результаты по сферике были получены Ко-
перником ранее опубликования посмертных работ Региомонтана (1436—
1476) с аналогичными теоремами.
53 Может поразить, что Коперник откладывает так далеко изложе-
ние гелиоцентрической системы; но прежде всего он следует здесь об-
щему плану «Альмагеста»; затем не нужно забывать, что и в изложении
его ученика Ретика (Rhaeticus. Narratio Prima) планетные теории зани-
мают только последнюю треть книги.
64 Так, например, теория Марса (кн. V, гл. 19) заканчивается сло-
вами: «Итак, и у Марса движение по расстоянию и изменение его вели-
чины объясняются как надежный вывод из движения Земли».
65 См.: «Mysterium cosmographicum» (1596). Здесь Кеплер, наиболее
ясно освоивший весь смысл коперниканского обращения в первые деся-
тилетия по смерти Коперника, строит две поучительные диаграммы,
где обе системы рельефно сопоставляются друг с другом.
56 Это подтверждается таблицами неравенств («Альмагест», кн. XI,
гл. 12 и «De Revolutionibus...», в кн. V, гл. 23); так, для Марса при аргу-
менте 90° у Птолемея у = 30°54', у Коперника р — ЗГО'; для Венеры
при том же аргументе 90° у Птоломея у = 35°11', у Коперника р —
= 35°2Г; расхождения имеют свое техническое объяснение.
67 См. «De Revolutionibus...», кн. V, гл. 9. Как уже отмечено, Ко-
перник считает все долготы от у Arietis, но в каталоге Птолемея долгота
этой звезды 6°40': прецессия от эпохи Птолемея (4-150) до эпохи Копер-
ника (4-1520) составляет 19°0'; таким образом, долготы Коперника надо
увеличивать на 25°40', чтобы приводить их к обычному счету. Так, он
дает для афелия Сатурна П = 240°20', считая от -у Ariefis. В счете от
равноденствия это будет П — 266°0' — и это очень хорошо, так как для
той эпохи истинное значение П = 265°30'.
58 Разумеется, мы отвлекаемся при этом от своеобразной манеры
счета долгот у Коперника и его деления эксцентриситета на четыре час-
ти. Теория биссекции дает для этого примера: х = —4°6'53", у =
476
= -Н5°48'0" и Л = 209°5'; все это в данном разрезе не имеет принципиаль-
ного значения; но, например, угол а, определяющий в конечном счете
оба неравенства, получается с точностью до нескольких минут одина-
ковым по таблицам Коперника и Птолемея.
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
И ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
1 «Ап omnes inaequalitates, quae in motu Lunae observantur,
Theoriae Newtoniarae sunt consentaneae, et quaenam sit vera Theoria
harum inaequalitatum unde locus Lunae ad quodvis tempus possit
inveniri?»
2 Так называемый «цикл Метона» (предложен в 433 г. до н. э.), со-
ставляющий основу не только древнегреческого, но и действующих еще
теперь китайского, японского и еврейского календарей; по Делямбру
(Delambre. Hist, de Tastronomie ancienne, v. I. P., 1817, p. 350) этот цикл
был известен в Китае за 26 веков до н. э. У греческих астрономов был
принят еще так называемый «период Калиппа», равный учетверенному
метонову циклу без одного дня: 27 759 дней = 76 лет = 940 лунных
месяцев; отсюда длина лунного месяца получалась равной 29,53085
дня (с ошибкой в 3 мин. 44 сек.).
3 Средневековая астрономия поместила в узлах Луны голову и хвост
дракона (caput et cauda draconis), пожирающего Луну во время затме-
ния, и месяц возвращения по широте получил название драконического*,
нечего и говорить, что грекам это название не было известно. Заметим
кстати, что звездный, аномалистический и драконический месяцы носят
у греков название «возвращений» Луны по долготе, по аномалии и по
широте.
4 «Альмагест», кн. IV, гл. 2 — Cl. Ptolomee. Almageste. ed Hal-
ma, v. I. p. 216; этот знаменитый вавилонский цикл (Сарос) и по
настоящее время сохранил свое значение для построении таблиц затме-
ния (см. Newcomb. Tables of the Solar Eclipses).
» Ptolomee, op. cit., p. 216 и 218.
6 E. Brown. An Intoductory Treatise on the Lunar Theory, 1896,
p. 118 и 130.
7 Эти углы следующие: 1) среднее угловое расстояние Луны от Солн-
ца (средняя элонгация) — обозначение ее в дальнейшем D, среднее
суточное движение п — п' — п — т); 2) среднее расстояние Луны
от перигея (средняя аномалия) — обозначение его Z, среднее суточное
движение п — щ = сп\ 3) среднее расстояние Луны от восходящего
узла — обозначение F, его среднее суточное движение п — п2 — gn\
4) наконец, последний угол — средняя аномалия Солнца (его среднее
угловое расстояние от перигея орбиты Земли), обозначение среднее
суточное движение п' = пт. Во всех этих выражениях п — среднее су-
точное движение Луны по долготе (по отношению к неподвижным звез-
дам): об этих углах см., например, Л. Эйлер. Новая теория Луны. В кн.:
А. Н. Крылов. Собр. трудов, доп. кт. V и VI, 1937, стр. 5); почему неза-
висимых аргументов здесь необходимо и достаточно именно четыре,
вытекает из общих теорем небесной механики (см. И. Poincare. Lemons
de mecanique celeste, Paris, 1909, § 193).
8 Tannery. Rech, sur 1’hist. de 1’astronomie ancienne, 1893, стр. 186—
187; наибольшее значение 2 определялось в 7°7'; по вавилонской астрс-
477
номии имеется длинный ряд специальных работ, например Epping’a und
Strassmayer’a, Neugebauer’a и др.
9 «Альмагест», кн. IV и V — Ptolomee, op. cit, v. I.
10 Там же, кн. Ill, гл. 2 — Ptolomee, op. cit, v. I, p. 150.
11 По средневековой терминологии А есть aux; С — oppositum au-
gis.
12 Это условие формулировалось в средние века определением точ-
ки Т как «экванты» (punctum aequans) движения.
13 Это движение носит у Птолемея название «киванье», т. е. коле-
бание эпицикла.
14 В ней радиус круга принимался за 60 единиц или «частей»; вся-
кая длина выражалась в долях радиуса и в свою очередь делилась на
60 частей и т. д.; таким образом, запись ОТ = 10р19' (где р означает
pars, часть) в нашем счете равносильна: ОТ — 619/3600= 0,17194.
15 Мы будем считать средние аномалии от перигея Луны, а не от ее
апогея* так принято в астрономии со времен Эйлера.
16 Это и естественно, так как основа схемы — перемещение наблю-
дателя из О в Т.
17 Делямбр и другие исследователи в формуле (4) принимали г вме-
сто г', отчего согласие получалось у них значительно хуже, чем у нас
(Delambre, op. cit, v. II, p. 206).
18 Его ввел Bouillaud (Bullialdus у Ньютона) в своей «Astronomia
Philolaica», Paris, 1634.
19 Долгоруков. Теория движения Луны, 1902, стр. 319 и сл.
20 Заметим, что вместо фигурирующих в формуле (9) амплитуд Гип-
парх и Птолемей получали 5°Г и 2°39' («Альмагест», кн. V, гл. 7 — Pto-
lomee. op. cit., v. I, p. 314); таким образом, коэффициент эвекции был
бы у Птолемея 1°19'3(Г, т. е. всего на 2' больше его действительного зна-
чения— см. формулу (6). Оба указанных угла и являются единствен-
ными элементами, с помощью которых Птолемей построил первую таб-
лицу неравенств лунной долготы в результате действительно огромных
вычислений (immenses calculs, как замечает Лаплас — см. Laplace. Oe-
uvres, 1846, v. VI, р. 259).
21 Ptolomee, op. cit., v. II, p. 147.
22 «De Revolutionibus Orbium coelestium», кн. 1.
23 Птолемей обходит полным молчанием это очевидное обстоятель-
ство. Не потому ли, что всю свою схему он считал не более как фикци-
ей, предназначенной только для изображения обоих неравенств долготы?
24 «De Revolutionibus...», кн. IV, гл. 8.
25 По Копернику epicepicyclus.
26 Заметим, что и. у Коперника почти в точности равен удвоенной
постоянной лунного эксцентриситета современных теорий, именно е =
= 0,054899.
27 «De Revolutionibus...», кн. IV, гл. 17.
28 Строя свою эпициклическую схему лунного движения, на дета-
лях которой ввиду сказанного выше нет оснований останавливаться,
Тихо включил новое неравенство так, что оно не могло изменить ампли-
туд ни первого, ни второго, а налагалось на их суммарный эффект.
В своей теории Тихо добился дальнейшего снижения отношения край-
них расстояний Луны; оно равно у него 1,15, что весьма близко к дей-
ствительности; но из даваемых им предельных значений (52V4 и 6Р/б
радиуса Земли) получается невозможная постоянная параллакса: р =
= 61'10".
29 В 1840-х годах французский арабист Sedillot выступил с утвер-
478
ждением, что вариацию открыл арабский астроном Аб-уЛь-Вефа (око-
ло 900 г.); на эту тему длился многолетний горячий спор; но в настоя-
щее время вопрос исчерпан, и не в пользу Аб-уль-Вефы: вариация от-
крыта Тихо Браге, как он сообщил об этом в 1598 г. (см. Dreyer. History
of the Planetary Systems, 1906, p. 252—257).
30 Кеплер, вычислявший астрономические ежегодники, обнаружил,
что солнечное затмение 7 марта 1598 г. (н. ст.) и лунное затмение в фев-
рале произошли на час позже, чем было дано в его календаре, а лунное
затмение в августе случилось раньше, чем полагалось; и уже в Ежегод-
нике на 1599 г. Кеплер сумел определить отсюда годичное неравенство
лунной долготы.
31 Полное заглавие этой, вышедшей в 1609 г. книги в переводе:
«Новая астрономия, причинно обоснованная, или небесная физика, из-
ложенная в комментариях на движение планеты Марс по наблюдениям
Тихо Браге».
32 Kepler. Opera omnia, 1860, v. Ill, p. 320.
33 В этом тексте заключается одна из самых удивительных ошибок
в кеплеровых рассуждениях; она вытекает непосредственно из его ос-
новной «физической гипотезы»: скорость планеты убывает пропорцио-
нально расстоянию планеты от Солнца; для эллипса это положение вер-
но только, когда планета в перигелии и афелии. Разумеется, из «физи-
ческой гипотезы» для круговых орбит немедленно получается v : и' =
= г' : г; Т : Т' = г2 : г'2; от этого тезиса Кеплер не отказался даже и
и тогда, когда открытие «третьего закона» сделало очевидным, что в кру-
говых орбитах и : vr = г' : У7. Еще более замечательно, что корен-
ная ошибочность «физической гипотезы» компенсируется у Кеплера вто-
рой ошибкой при определении среднего расстояния планеты; здесь сум-
ма ее радиусов неправильно отождествляется у него (в пределе) с пло-
щадью, описанной радиусом-вектором; но из обеих этих неверных пред-
посылок выводится правильное и классическое «уравнение Кеплера».
34 Термин «virtus» трудно поддается точному переводу — он может
означать свойство, качество, способность, действие. См. Kepler. Opera
omnia, v. Ill, p. 315.
36 Там же, стр. 395.
36 Там же, стр. 359.
37 Там же, стр. 387.
38 Там же, стр. 151.
39 Galileo. Il Saggiatore, 1623.— Ed. Naz., v. VI, p. 232.
40 Galileo. Lettera a Fr. Ingoli.— Ed. Naz., v. VI, p. 543.
41 Galileo. Dialogo.— Ed. Naz., v. VII, p. 486.
42 Galileo. Lettera a Fulganzio Micanzio, 1634.— Ed. Naz., v. XVI,
p. 163.
43 Galileo. Dialogo.— Ed. Naz., v. VII, p. 480.
44 Там же, стр. 478.
45 Там же, стр. 250.
46 Voltaire. Elements de la philosophic de Newton, 1738. Весьма ин-
тересная и едкая критика астрономических фантазий Декарта имеется
у Делямбра (Delatnbre. Histoire de Tastronomie moderne, v. II, ch. X.
P., 1821).
47 Таково заглавие книги III «Математических начал натуральной
философии»; все цитаты из них приводятся по кн.: А. Н. Крылов. Соб-
рание трудов. Изд-во АН СССР, т. VII, 1936.— в дальнейшем «Начала».
48 «Начала», стр. 244.
49 Там же, стр. 29.
479
60 Там же, стр. 216.
51 Laplace. Oeuvres, 1846, v. VI, р. 435.
52 «Начала», стр. 662. В настоящей статье мы не касаемся ни тех
последовательных этапов, которые привели Ньютона к открытию зако-
на всемирного тяготения, ни его отдельных высказываний о сущности
этой силы; к этим последним относятся прежде всего знаменитый «31-й
вопрос» в «Оптике», 1704 г. (русский перевод под ред. акад. С. И. Вави-
лова, изд. 1927 г.:, стр. 10, 292, 331—332), и часто цитируемое письмо
к Бентлею от 25/11 1692 г.; по всем этим вопросам отсылаем читателя
к кн.: Ф. Розенбергер. История физики, 1937, ч. II, стр. 188—207; Дан-
наман. История естествознания, 1936, т. II, гл. VII и XII. В самих «На-
чалах» имеются только указания, что под притяжением разумеется во-
обще «какое бы то ни было стремление тел к взаимному сближению»
(стр. 244); что сила тяготения подчиняется третьему закону движения
(стр. 54); что она иного рода, чем магнитная (стр. 518), и, наконец, что
обоснование ее свойств из явлений Ньютоном не найдено (стр. 662).
53 Письмо к Галлею от 20/VI 1686 г.
54 «Начала», стр. 512.
55 Этот путь вывода указан, в сущности, самим Ньютоном в «Поу-
чении» к приведенному доказательству («Начала», стр. 512, 513).
56 «Начала», стр. 220.
67 Большая полуось так называемого «международного эллипсои-
да», принятая в 1924 г. (Hayford).
58 Значение, принятое в 1930 г. для так называемой «международ-
ной формулы силы тяжести» (Cassinis).
59 Значение постоянной лунного параллакса, принятое в таблицах
Луны Броуна (Е. Brown. Tables of the Motion of the Moon, 1919).
60 Определение Hinks’a (1906), принятое в тех же таблицах Броуна.
61 См., например, Долгоруков, ук. соч., стр. 298.
02 G. Darwin. On the Figure of the Earth, carried to the second order
of small quantities (Coll. Works, v. Ill); поэтам вопросам ем. статью ав-
тора «Фундаментальные постоянные астрономии и геодезии» в «Астро-
номическом ежегоднике» на 1942 г., стр. 429.
63 «Начала», стр. 548—557.
64 Laplace, op. cit., v. V, стр. 438.
65 Л. Эйлер, ук. соч., стр. 11.
66 «Начала», стр. 552; разумеется, написание формул у Ньютона
совершенно иное, и все его выводы геометрические.
87 Вывод Лапласа, повторенный Гиссераном, можно найти в «На-
чалах», стр. 671—672 (Дополнения).
68 «Начала», стр. 556; ньютоново отношение есть 1,00719: 0,99281.
Выражение (46) для а интересно сопоставить с тем, которое находит
Адамс в своих «Lectures on the Lunar Theories» (частично включены акад.
А. Н. Крыловым в издание «Новой теории Луны» Эйлера, стр. 160—
163); у Адамса для а, в результате совершенно иного вывода, в знамена-
теле вместо — т2г получается так что у него а (называемое а2)
равно 0,0071795.
69 «Начала», стр. 557; формула Адамса для Ь2 совпадает с формулой
(48), но его численный результат Ь2 = 35'06",4.
70 Весьма замечательно, что формулы (51) в точности соответству-
ют тем, которые получаются у Дж. Дарвина как результат первого
приближения к лунной теории Хилла; к сожалению, Дж. Дарвин не
отметил тождества между этим решением и теорией лунной вариации
480
у Ньютона (см. G. Darwin. Lectures on Hills Lunar Theory. Scient. pa-
pers, 1916, v. V, p. 25).
71 G. Hill. Researches on the Lunar Theory. —Coll. Works, v. I.
72 H. Poincare. Les Methodes nouvelles de la mecanique celeste, v. I,
1892.
73 «Начала», стр. 227—244.
74 Там же, стр. 288—309.
75 Там же, стр. 570.
76 Долгоруков, ук. соч., стр. 306.
77 «Начала», стр. 676 (замечания Тиссерана).
78 «Начала», стр. 580—584.
79 Is. Newtoni. Opera quae extant omnia, ed Horsley, v. Ill, p. 245—
250; насколько нам известно, «Theoria Lunae» никогда не была еще ком-
ментирована.
80 Оно получается из тех членов порядка т2а/аг, которые были от-
брошены при разложении радиального ускорения Луны.
81 Известно, с каким настойчивым упорством Ньютон требовал от
Флемстида (директораобсерватории в Гринвиче) сообщения ему наблю-
дений Луны; отсюда долголетняя размолвка между ними, взаимные
обиды и огорчения. Некоторые из писем Ньютона к Флемстиду приведе-
ны в кн.: А. Н. Крылов. Ньютонова теория астрономической рефракции.
Изд-во АН СССР, 1935, стр. 36—37.
82 Именно, отношение «осредненной» возмущающей силы Солнца
к притяжению Луны Землей, равное m2/2 — 1 : 357,45 («Начала»,
стр. 198).
83 Ньютон владел эквивалентными ей соотношениями — см. «На-
чала», стр. 83 (примечание 42-е А. Н. Крылова).
84 «Начала», стр. 198.
86 Histoire de I'Academie Royale des Sciences, annee 1745, ed 1749,
p. 336.
86 Только в конце XIX в. после открытия манускриптов Ньюто-
на, вошедших в так называемую коллекцию лорда Портсмутского, вы-
яснилось, что Ньютон путем рассуждений изумительной проницатель-
ности вывел почти точное значение движения перигея (см. «Начала»,
стр. 683—685, где дано извлечение из статьи Adams’a «Studies in New-
tons Lunar Theory»). Однако для органического развития науки XVIII в.
этот факт прошел, разумеется, бесследно.
87 В 1684 г. они встречаются втроем в Лондоне и дискутируют во-
прос о движении под действием силы притяжения; здесь Гук заявляет,
что у него уже готово решение, но он откладывает сообщение и самоуве-
ренно обещает «подарить книгу в 40 шиллингов всякому, кто опере-
дит его на этом пути». Но время идет, Галлей замечает, что м-р Гук «не
так хорош, как его слова» (not as good as his word), и обращается с пись-
мом к Ньютону в Кембридж: какова должна быть орбита тела, движу-
щегося вокруг центра притяжения под действием силы притяжения,
обратно пропорциональной квадрату расстояния? Ньютон ответил не-
медленно, что это эллипс и что он уже с 1679 г. владеет решением. С это-
го момента и начинается напряженная работа Ньютона над созданием
«Начал».
88 «Elements de la philosophie de Newton, mis a la portee de tout le
monde, par M. de Voltaire». Amsterdam, 1738, p. 86.
89 Маркизу Эмилию дю Шатле (Marquise Emilie du Chatelet, 1703—-
1749) Вольтер, посвящая ей только что упомянутую книгу, называет
«vaste et puissant genie, Miner^e de la France immortelle Emilie, disci-
481
pie de Newton et de la verite» (обширный и могучий ум, Минерва Фран-
ции, бессмертная Эмилия, ученица Ньютона и истины). Прекрасные
страницы написаны Вольтером в память этой выдающейся французской
женщины в предисловии к первому тому ее перевода ньютоновых «На-
чал»; этот перевод с примечаниями Клеро был издан через десять лет
после смерти дю Шатле. Почти одновременно (в 1760 г.) появился и дру-
гой перевод «Начал», выполненный иезуитами LeSueur’oM и Jacquier’oM.*
Если к этому прибавить, что в 1744 г. в Париже начало выходить ла-
тинское издание математических сочинений Ньютона, то все это ясно
покажет, как велик был интерес к Ньютону во Франции в первую поло-
вину XVIII в.
90 Христиан Гюйгенс (1629—1695), великйй голландский механик
и физик, был одним из первых иностранных членов Парижской акаде-
мии, основанной в 1666 г. Гюйгенс допускал только притяжение частиц
Земли к ее центру, но не друг к другу. Он создал, таким образом, модель
планеты, вся масса которой сосредоточена в точечном ядре. Сжатие та-
кой планеты под действием центробежной силы и центрального притя-
жения было определено Гюйгенсом еще в 1669 г., т. е. задолго до появле-
ния «Начал» (1687). Оно получалось в 27г раза меньше, чем то сжатие,
которое было получено Ньютоном для принятой им модели жидкой и
и однородной гравитирующей вращающейся планеты. Ньютоновой тео-
рии тяготения Гюйгенс не признавал и в объяснении тяжести склонялся
к декартовым вихрям. Говоря о Буге, мы имеем здесь в виду его книгу:
«La Figure de la Terre, determinee par les observations de Bouguer et la
Condamine, envoyes par ordre de Roi au Perou, pour observer aux envi-
rons de I’Equateur». Paris, 1749. Некоторые главы этой книги и поныне
сохранили свое значение для геодезии и гравиметрии. Здесь дана та
«формула Буге», которой учитывается притяжение крупных наземных
масс на материальную частицу на их поверхности, формула, постоянно
применяемая при обработке наблюдения силы тяжести. О книге Клеро
см. прим. 92.
91 Алексис Клод Клеро (Alexis Claude Clairaut, 1713—1765) был
избран членом Парижской академии в возрасте 18 лет за работу по тео-
рии пространственных кривых. В мемуарах Парижской академии за
1728 г. имеется указание, что первая его работа, доложенная Академии
его отцом, была написана Клеро в возрасте 12 лет и 8 месяцев.
92 Первая из упомянутых работ была опубликована в Hist, de ГАса-
demie, annee 1743, ed 1746, p. 17—32; вторая — там же, annee 1745, ed
1749, p. 329—364. Тома мемуаров объединяли материал за несколько
лет, и Академия могла постановить включить в данный том работы, по-
явившиеся после его начальной даты. Следует помнить, что между обе-
ими этими работами по теории Луны появилась замечательная книга
Клеро по теории фигуры Земли (Clairaut. Theorie de la figure de la Ter-
re, tiree des principes de 1’hydrostatique. Paris, 1743; второе издание да-
но Пуассоном в 1808 г. без дополнений или примечаний). Содержание
этой классической книги, в которой впервые рассмотрен вопрос о равно-
весии медленно вращающейся неоднородной гравитирующей жидкости,
явилось отправным пунктом исследований многих великих математи-
ков — Лапласа, Пуанкаре, А. М. Ляпунова.
93 «Начала», стр. 184—199. Тот факт, что при действии закона Нью-
тона перигелии и узлы планет в невозмущенном кеплеровом движении
неподвижны, является источником величайших трудностей в задаче
трех тел. Любопытно отметить, что в теории относительности при объяс-
нении той части движения перигелия Меркурия, которая не могла быть
482
оправдана классической небесной механикой (42*,9 в столетие), дейст-
вие ньютонова притяжения усиливается членом вида ат/г* (см., на-
пример, Л. Д. Ландау. Теория поля, 1941, стр. 245). Однако, как толь-
ко это было установлено, окончательный результат, именно величина
смещения перигелия за один оборот планеты, немедленно получается
по формуле Ньютона («Начала», стр. 195), полагая в ней b = 1; с = а;
т = 1; п 1, так что = — (1/^— Л = где р — па-
р \у 1—а ) р
раметр орбиты.
94 D'Alembert. Methode generale pour determiner les orbites et les mo-
uvements de toutes les planetes, en ayant egard a leur action mutuelle.—
Hist, de I’Academie, annee 1745, p, 365—390, особенно 384 и 389; к такому
же выводу о недостаточности закона Ньютона пришел в то же время
и Эйлер из-за некоторой ошибки, допущенной им же в исследовании вза-
имных возмущений Юпитера и Сатурна (Euler. Recherches sur le mou-
vement des corps celestes en general.— Memoires de I’Academie de Ber-
lin, 1747, и в работе, премированной Парижской академией в 1749 г.).
95 «Начала», стр. 679 (Примечания).
96 Buffon. Reflexions sur la loi de 1’attraction.— Hist, de Г Acade-
mic, annee 1745, p. 493, 551.
97 Laplace, op. cit., v. V, p. 423.
98 Hist, de I’Academie, annee 1745, p. 529, 578.
99 Avertissement de M. Clairaut au sujet des Memoires qu’il a donne
en 1747 et 1748 sur le Systeme du Monde dans les principes de 1’attraction,
lule 17 Mai 1749.— Hist, de I’Academie, annee 1745, ed. 1749, p 577.
100 D'Alembert. Recherches sur differents points importants du Systeme
du Monde, v. I et III (1754 и 1756). Впоследствии между Клеро и Далам-
бером возникла довольно острая полемика по вопросам как теории Лу-
ны, так и комет; отзвуки ее см. в ряде томов «Journal des Savants» (на-
пример, 1760, р. 714, 751, 815; 1761, р. 837 и др.).
101 См. «Начала», стр. 656. «Но определение эллиптической орбиты
этой кометы,— говорит Ньютон,— будет верно, если через 75 лет ко-
мета действительно возвратится по этой орбите».
102 Clairaut. Memoire sur la comete de 1759.— Hist, de I’Academie,
annee 1759, ed. 1765, p. 115—121; Sur la theorie du mouvement des come-
tes.—«J. des Savants», 1760, p. 714. Предвычисление появления кометы
Галлея было выполнено Клеро в сотрудничестве с знаменитой тогда вы-
числительницей м-me Lepaute; результаты сообщены Парижской акаде-
мии 14 ноября 1758 г., т. е. за несколько месяцев до появления кометы;
неточность предвычисления, как потом оказалось, не превышала од-
ного месяца, что было действительно замечательным результатом для
той эпохи.
103 Clairaut. Memoire sur 1’orbite apparente du Soleil.— Hist, de 1’Aca-
demie, annee 1754, ed. 1759, p. 521, особенно 557—559; действительная
величина этого отношения есть 1 : 81,5; ближайшее к ней определение,
данное в XVIII в., принадлежит Эйлеру (1 : 85).
104 Laplace. Sur ^acceleration seculaire de la Lune.— Hist, de Г Aca-
demic, annee 1786, ed. 1788, p. 235 —261; любопытно, что первоначаль-
но Лаплас полагал возможным объяснить вековое ускорение Луны ко-
нечной скоростью распространения действия притяжения (см. Мёса-
nique celeste.— Oeuvres, v. V, 1846, p. 420). После Лапласа вопрос о ве-
личине векового ускорения Луны имел очень сложную историю, под-
483
робно изложенную вкн.: Tisserand. Traite de mecanique celeste, v. Ill,
ch. XIII (P., 1896).
105 Laplace. Mecanique celeste, VII; Theorie de la Lune — v. Ill,
1845, p. 209—353.
106 Laplace. Exposition du systeme du monde.— Oeuvres, v. VI,
1845, p. 264.
107 На самом этом названии ощущается веяние эпох революции,
консульства и империи, когда издавалась «Небесная механика» Лапла-
са. Не забудем, что ее III том, содержащий теорию планет и Луны, вы-
шел с посвящением: «А Bonaparte, de 1’Institut National»— Бонапарту,
члену Национального института (т. е. реорганизованной Конвентом
Академии наук); оно начинается словами: «Citoyen Premier Consul! Vo-
us m’avez permis de vous dedier cet ouvrage...» («Гражданин первый кон-
сул! Вы позволили мне посвятить Вам это сочинение...»).
108 Н. Poincare. Lemons de mecanique celeste, v. II, 2-me partie (Pa-
ris, 1909). Theorie de la Lune — p. 136.
109 «Theorie de la Lune, deduite du seul principe de 1’attraction re-
ciproquement proportionelle aux quarres des distances» par M. Clairaut.
St.-Petersbourg, 1752. Направление в печать («Imprimatur») подписа-
но графом Кириллом Разумовским. В 1765 г. Клеро выпустил в Пари-
же второе издание этой книги, довольно значительно развив ее содержа-
ние и присоединив к ней «Таблицы движения Луны, вычисленные по
теории всемирного тяготения».
110 Clairaut. De 1’orbite de la Lune, en ne negligeant pas les quarres
de meme ordre que les forces perturb a trices.— Hist, de I’Academie, annee
1748, ed. 1752, p. 421—440.
111 Clairaut. Theorie de la Lune, 1765, p. 27.
112 Следует заметить, что буквенное выражение третьего члена в
в формуле (87) было дано впервые Даламбером (1754). Ряд для 1 —с
оказался исключительно медленно сходящимся; так, по теории Делоне,
с поправкой Андуайе, коэффициент при т9 равен дроби с числителем
29 726 828 924 189 и знаменателем 679 477 248 (см. Tisserand, op. cit.,
Ill, p. 412). С современной точки зрения величина с в терминологии
Пуанкаре есть характеристический показатель периодического решения
уравнений движения Луны, представляемого вариационной орбитой.
Для вычисления с имеются исключительно мощные методы Хилла. За-
мечательный по своей простоте способ получения 1 — с без разложения
в ряды дан в лекциях Адамса (см. «Приложение» А. Н. Крылова к «Но-
вой теории Луны» Эйлера, стр. 183—192; там же приведены достаточно
детальные выдержки из классической работы Хилла).
113 Laplace. Oeuvres, v. Ill, p. 200; v. VI, p. 265—266.
114 Появление Таблиц Ганзена, изданных, кстати сказать, Бри-
танским адмиралтейством (Р. A. Hansen. Tables de la Lune. London,
1858), составило эпоху в истории лунной проблемы. Они заключают
около трехсот периодических неравенств. Солнечная часаь возмущений
в них весьма высока, но планетная только намечена и к тому же содер-
жит ошибки. Так или иначе, считалось, что Таблицы Ганзена безошибоч-
но представляют движение Луны с 1750 по 1850 г. Но затем в долготе
стали обнаруживаться расхождения, дошедшие к эпохе 1900 г. до 20".
Тем не менее Таблицы Ганзена применялись в астрономических еже-
годниках (с так называемыми эмпирическими поправками Ньюкомба)
до 1920-х годов. Лунная теория Делоне (Delaunay. Theorie de la Lune.
Paris, 1860, 1867) была переложена в Таблицы (очень неудобные) только
484
значительно позже трагической смерти ее знаменитого автора (он уто-
нул в 1872 г.). Эти Таблицы применялись короткое время во «Француз-
ском ежегоднике» («Connaissance des Temps»). Согласие их с наблюде-
ниями было существенно лучше (к 1915 г.), чем Таблиц Ганзена с по-
правками Ньюкомба. Наконец, Таблицы Эрнеста Броуна, о которых
мы уже упоминали, представляют результат его тридцатилетних работ
по теории Луны, являющихся непосредственным продолжением работ
Хилла. Таблицы Броуна изданы Yale University (США) в 1919 г. и с
1923 г. применяются во всех больших астрономических ежегодниках,
в том числе и в «Ежегоднике СССР». Таблицы Броуна заключают около
1 500 периодических неравенств лунного движения. Самые методы табу-
лировки этого огромного числа тригонометрических членов содержат
множество новых интереснейших приемов. Краткую характеристику
трех упомянутых здесь лунных теорий («единственных, которые теперь
идут в счет», как заметил Пуанкаре) читатель найдет в докладе Нью-
комба IV Математическому конгрессу (Ньюкомб. Теории Луны, изд.
Mathesis, Одесса, без даты). Изложение и развитие теории Броуна дано
в кн.: Н. Poincare. Lemons demecanique celeste, v. II, 1909; Рэссель, Дэ-
ган, Стюарт. Астрономия. М. — Л., 1934, т. I, стр. 232—235.
116 Ernest W. Brown. Tables of the Motion of the Moon, v. I, 1919,
Preface, p. X.
116 S. Newcomb. Researches of the Motion of the Moon. Washington,
1878, p. 11.
117 Здесь должно отметить, что эти непрерывные ряды наблюдений
Луны (на меридианном круге и на специальном инструменте — альт-
азимуте) производились только в Гринвичской обсерватории; в этом один
из величайших титулов ее мировой славы.
118 Действительно, среднее движение при наличии квадратичного
члена определяется выражением п 2<з/; оно убывает при (см.
Laplace, op. cit., v. III. p. 207).
119 Другое неравенство долгого периода (239 лет), но с амплитудой
всего в 0",24 передается на движение Луны от возмущений в долготе
Земли, вызываемого Венерой. Оно представляет собой пример «косвен-
ного» планетного неравенства, в то время как «большое неравенство
от Венеры» относится к разряду «прямых».
120 По вопросу о сравнении лунной теории с наблюдениями имеется
очень большая литература. Помимо классических работ (S. Newcomb.
Researches of the Motion of the Moon) укажем на некоторые основные
статьи (все они помещены в Monthly Notices of the Royal Astronomical
Society): E. W. Brown. The Longitude of the Moon from 1750 to 1910.
1913, N 73, p. 692; The Elements of the Moon’s Orbit. 1915, N 75, p. 508;
Fotheringham. The Longitude of the Moon from 1627 to 1918. 1920, N 80,
p. 289; The Secular Acceleration of the Moon’s Mean Motion. 1923, N 83,
p. 370; Two Babylonian Eclipses. 1935, N 95, p. 719.
121 «Начала», стр. 30.
122 По вопросу о вращении Земли см. статью Андуайе («Успехи
астрономических наук», сб. V. М., 1935) и статью автора («Природа»,
1928, № 1, где указана литература).
123 См. Jeffreys. The Earth, 1929 (ch. XIV «Tidal Friction»— Прилив-
ное трение).
485
О МЕХАНИКЕ ЛАГРАНЖА
1 См. «Oeuvres de Lagrange», v. XI, p. 79 et 334.
2 Там же, v. XI, p. 149.
3 Там же, v. XI, p. 205; v. XII, p. 273.
4 Там же, v. XI, p. 215.
5 Sur une loi generale d’Optique («Oeuvres...», v. V, p. 701).
6 Poisson. Memoire sur les corps elastiques. См. также: Duhem. L’evo-
lution de la mecanique, 1905.
7 Gauss. Principia generalia theoriae figurae fluidorum (Werke, V,
29); см. также J. Bertrand. Sur la theorie des phenomenes capillaires. J.
de Lioville, v. XIII, 1848, p. 185.
8 Poisson. Nouvelles theorie de Taction capillaire. Paris, 1831.
9 В частности, силовая функция ньютонова притяжения введена
в мемуаре Лагранжа Sur Tequation seculaire de la Lune, 1773 («Oeuv-
res...», v. VI, p. 349).
10 Три мемуара Лагранжа по этой теории были опубликованы в
1808 г. (см. «Oeuvres...», v. VI); в переработанном виде они вошли во
2-е изд. Мёс. anal. (1813), seconde partie section V, а также section VII,
§ 58 и след. («Oeuvres...», v. XII, p. 72).
11 Мёс. anal., seconde partie, V, § 1, 7 («Oeuvres...», v. XI, p. 351).
12 H. Poincare. Metnodes nouvelles de la mec. celeste (Oeuvres, v.
v. I, p. 167).
13 Там же, p. 169 et 193; ср.: A. M. Ляпунов. Общая задача об устой-
чивости движения (ОНТИ, 1935), стр. 224.
14 «Oeuvres...», v. XI, р. 355.
15 Там же, р. 357.
16 Р. A. Hansen. De corporum coelestium perturbationibus. Astr.
Nachr., Bd. XI, S. 322; Fundamente nova investigationis orbitae verae
quam luna perlustrat (1838).
17 Применение скобок Пуассона дает непосредственно выражения
производных от ys через производные от Q по этим элементам, так что
необходимость решения линейной системы (17) здесь отпадает.
18 Essai sur le probleme des trois corps, 1772 («Oeuvres...», v.VI,
p. 229).
19 Sur Telimination des noeuds dans le probleme des trois corps. Crel-
le’s Journal, Bd. 26, p. 115.
20 Sundmann. Memoire sur le probleme des trois corps. Acta mathem.
v. 36, p. 105.
21 Quelques remarques sur Telimination des noeuds. Bull, astr., v. 3,
p. 113—125. По задаче трех тел см.: Marcolongo. Il problema dei tre cor-
pi (Milano, 1919), где приведена обширная литература.
22 Вывод ее см. у Tisserand’a (Мёс. sei., v. I, р. 144). Эта формула
является развитием одной важной формулы Гаусса, связывающей ко-
синусы четырех элементов сферического четырехугольника (четырех
сторон или двух сторон и двух диагоналей) с синусами двух других
элементов и косинусом угла между ними (Гаусс. Общие рассуждения
о кривых поверхностях, 1887, стр. 6).
23 Эти же точные решения рассмотрены Лапласом — Oeuvres, v.
IV, р. 307; см. также: Мулыпон. Введение в небесную механику (ОНТИ,
1936), стр. 275.
24 Доказательство сводится к следующему. На горизонтальном ры-
чаге АВ, как на основании, строим равнобедренный треугольник с вер-
шиной Z); к ней полагаем приложенным груз 2Р; тогда вертикальная
486
плоскость треугольника ABD с приложенными к нему грузами Р, Р
и 2Р будет в равновесии, если опереть ее в точках М и N, лежащих
в серединах равных сторон AD и BD; но основание АВ в равновесии
относительно его середины С; если соединим С с вершиной D, то полу-
чаем вертикальный рычаг, нижним грузом которого служит рычаг АВ
с его грузами; этот рычаг будет в равновесии относительно той точки
горизонтальной оси MN, в которой он с ней пересекается, так как вся
система в равновесии относительно оси MN. Но MN соединяет середи-
ны равных сторон треугольника; поэтому она пройдет через середину
Е прямой CD, и поэтому вертикальный рычаг будет только тогда в рав-
новесии относительно Е, если в точке С будет приложен такой же груз
2Р, как и в вершине D. Между тем прямые MN и CD будут делить друг
друга пополам в точке их пересечения тогда и только тогда, когда тре-
угольник обладает свойствами треугольников евклидовой геометрии.
См.: Бонола. Неевклидова геометрия. 1910, стр. 194 и след.
26 De Foncenex. Sur les principes fondamentaux de la statique. Misc.
Taurin., v. II, p. 305, 1760.
26 «Oeuvres...», v. XI, p. 14.
27 Де Морган рассказывает, что Лагранж к концу своей жизни
представил Академии мемуар о параллельных. Во время заседания он
прервал его чтение, сказав: «II faut que j’y songe encore!» (Мне надо
еще об этом подумать!). См.: Бонола, ук. соч., стр. 44.
ИСТОРИЯ КАЛЕНДАРЯ
1 Сооружение это (Стонхендж) относится к концу неолитического
или началу бронзового периода.
2 Такой счет принят в хронологии под названием счета в юлианских
днях; первый из указанных дней есть 25/XI 1812 г., второй —8/IV
1913 г. н. ст.
3 Для обозначения дней, часов, минут и секунд приняты буквы
d, h, т, s,
4 На схематических рисунках 2—5 даны названия описанных яв-
лений, принятые у древнегреческих астрономов.
3 Вся глубина этого дарования раскрылась только после находки
гробницы Тутанхамона (XVIII династия, около 1350 г. до н. э.).
6 Первый европеец, подошедший к верховьям Нила у озера Викто-
рия Нианза, был англичанин Спек (28 июня 1863 г.).
7 Только в нашу эпоху доказано, что их причина в необычайно
сильных весенних ливнях на Абиссинском плато.
8 Египетские названия месяцев: Тот, Фаофи, Атир, Хойяк, Тиби,
Мехир, Фаменот, Фармути, Пахон, Пайни, Эпифи, Месори.
9 Позднейшее греческое обозначение.
10 Более строгое вычисление показывает, что 1 ООО «годов Сириуса»
отличаются от 1 000 лет по 365 Va дней на один день.
11 Сумма ряда последовательных нечетных чисел равна квадратно-
му числу.
12 Самое слово високос, бис секстум, по-русски «второй шестой
день», указывает на вставку лишнего дня в определенном месте рим-
ского календаря; для выяснения происхождения здесь слова «шесть»
потребовалось бы более подробное изложение его техники. Во многих
хронологических вычислениях неудобство нашего календаря обнару-
487
живается в том, что в нем вставной день високосного года приходится
в его середине, а не в самом его конце, как у александрийцев.
13 Отсюда и общее для всех европейских языков выражение «собачья
погода».
14 Иными словами, начало среднего года в Збб1^ дней.
15 В этот день состоялся декрет об уничтожении королевской вла-
сти во Франции.
16 Вот благозвучные названия этих месяцев: Вандемьер, Брюмер,
Фример, Нивоз, Плювиоз, Вентоз, Жерминаль, Флореаль, Прериаль,
Мессидор, Термидор, Фрюктидор,— т. е. месяцы: сбора винограда, ту-
мана, заморозков (на aire); снега, дождя, ветра (на ose); созревания,
цвета, лугов (на al); жатвы, жары, плодов (на or).
Каждый из дней декады имел порядковое обозначение: примиди,
дуоди, триди и т. д. до декади.
17 Известно, что астрономы, подготовлявшие календарь на IV год
республики, запросили Комитет общественного просвещения, считать
ли в III году 5 дополнительных дней или 6.
18 Декрет Совета Народных Комиссаров от 25 января 1918 г. В Юго-
славии, Румынии, Греции новый стиль должен быть введен с 1 октября
1923 г. в силу решения Собора православных восточных церквей, про-
исходившего в Константинополе в мае 1923 г.
19 Церковное обозначение полнолуния.
20 Составленных по поручению и при участии короля Альфонса
Кастильского, по прозванию Ученый — El Sabio (1252—1284).
21 Ссотношения вроде (а), в которых один из календарей распро-
страняется обратно на эпохи, когда он фактически еще не действовал,
называются пролептическими (предваряющими)-.
22 С этим логически связано, что народы, считающие месяцы по Лу-
не, начинают сутки не с полудня или полуночи, а с заходом Солнца.
23 Это обнаруживает, между прочим, что длина месяца в 28 и 31
день, фигурирующая в нашем календаре, есть совершенная невозмож-
ность для лунного календаря.
24 Год гэджры будет лунно-високосным, если от деления его поряд-
кового номера на 30 получим в остатке одно из чисел, соответствующих
високосам в арабском цикле.
26 Этот тринадцатый месяц называется в хронологии эмболисмичес-
ким, от греческого слова, обозначающего «вставлять, вбрасывать».
26 Древнесемитический язык, между прочим, язык Дамасского цар-
ства. Он был широко распространен в Сирии и Палестине.
27 Арифметически это соответствует образованию промежуточных
25 37 99 136 235
подходящих дробей. Здесь получаются подходящие -g-, -g, -g-, ур, -рр
28 Этот термин имеет здесь, так же как и на стр. 322, исключитель-
но календарное значение; см. Дополнение I.
29 Уже вШв.дон.э.,т.е. за 300 лет до Гиппарха, вавилонские ас-
трономы пользовались определением длины лунного месяца, которое
в пределах вычислительной точности совпадает с данными Гиппарха
(по Kugler’y Тут очевидна некоторая, не вполне еще
раскрытая, преемственность культур. Но в отношении Солнца вавило-
няне остались далеко позади греков; в их таблицах равноденствие пока-
зывается с ошибкой в несколько дней. Только греческая наука сделала
тут решительный шаг вперед.
488
30 Суммы чисел в обоих рядах равны нулю, ибо общий сдвиг одного
счисления в отношении другого к началу нового периода равен нулю
(отбрасывая невязку!).
31 Общеупотребительное теперь обозначение моментов вступления
Солнца в знаки Овна, Рака, Весов и Козерога как начала весны, лета,
осени и зимы было введено Гиппархом (см. Дополнение I).
32 Аристофан в своих комедиях «Облака» и «Птицы» жестоко осме-
ивает Метона, его наблюдения и нововведения, видимо, не вполне пони-
мая их смысл.
33 Эпактой называется возраст луны, т. е. число дней, прошедших
после новолуния в определенный день года, например на 22 марта (эпа-
кта Беды) или 1 января (римская эпакта). Лунные эпакты смещаются
в солнечном календаре по типу В, стр. 394.
34 Порядковый номер года в 19-летнем круге называется «золотым
числом» данного года; очевидно, это есть остаток от деления на 19 числа
года, увеличенного на 1; фактически, первым годом в средневековом
счислении избран 285 год, ибо на начало соответствующего алексан-
дрийского года, его 1-е Тот, или 29 августа 284 г., была неомения; в этот
момент лунное и солнечное счисление как бы совпали. Но от 285 до
1900 г. проходит 85 полных 19-летних кругов, поэтому 1900 г. снова
первый в круге, и т. д.
36 Одним из первых указал на него знаменитый Роджер Бэкон
(1214—1294).
36 Вот эти названия: Тишри, Хешван, Кислев, Тебет, Шебат, Адар,
Веадар (2-й Адар, вставной месяц в семи эмболисмических годах), Ни-
сан, Ияр, Сиван, Таммуз, Аб. Эдуль.
37 Все эти обозначения сохранились в астрономии и по наши дни.
38 Механическое объяснение этого явления, на основе закона все-
мирного тяготения, дано Ньютоном.
39 Самое слово «тропический» происходит от греческого «тропай Ге-
лиу»— повороты Солнца, применявшегося со времен Гомера для обоз-
начения солнцестояний.
ЛОБАЧЕВСКИЙ - АСТРОНОМ
1 И. П. Загоскин. История Казанского университета, т. IV, стр. 437.
Казань, 1906.
2 Л. Б. Модзалевский. Материалы для биографии Н. И. Лобачев-
ского. Изд.-во АН СССР, 1948. Воспоминания Н. П. Вагнера, стр. 643.
Вся дальнейшая документация первой части нашей работы, поскольку
ею затрагивается биография Лобачевского, основана на этой замеча-
тельной книге, автор которой трагически погиб 26 июня 1948 г. в пол-
ном расцвете сил, в возрасте 46 лет (см. Некролог в «Вестнике АН СССР»,
1948, № 12).
3 Так, по крайней мере, говорили автору настоящей работы про-
фессора Казанского университета во время его пребывания в Казани
(1942—1944). Нужно заметить, что в статье И. М. Симонова (упоминае-
мого ниже профессора астрономии во времена Лобачевского) «Описание
обсерватории Казанского университета» (Журн. Мин. нар. проев., 1838,
т. VII, стр. 1—22) не содержится прямых указаний на то, что описан-
ный нами план постройки обсерватории исходил от самого Лобачевско-
го. Все же Симонов отмечает, что надзор за проведением всех строитель-
ных работ принадлежал строительному комитету, состоявшему при уни-
489
верситете под председательством ректора — Н. И. Лобачевского. К ста-
тье Симонова приложен план первого этажа и общий вид обсерватории
со стороны террасы. Эточ общий вид воспроизведен во втором издании
книги В. Ф. Кагана «Лобачевский» (1948), стр. 280; те прорези, о кото-
рых говорится в нашем тексте, хорошо видны на этой иллюстрации.
(Здание обсерватории, уничтоженное пожаром 1842 г., было вновь от-
строено Лобачевским.) Схема устройства первого этажа будет ясна чи-
тателю из рисунка, (рис. 1)
4 Л. Б. Модзалевский, ук. соч., стр. 49, 99, 470, 463—479.
6 Мартин Федорович Бартельс (1769—1836), проведший в Казани
12 лет (1808—1820). Любопытные воспоминания его о работе в Казани
приведены у Модзалевского, стр. 698. В Дерпте, куда Бертельс переехал
из Казани, дочь его Иоганна в 1835 г. вышла замуж за овдовевшего нес-
колько лет перед тем Вильгельма Струве, будущего основателя Пулков-
ской обсерватории; об этом — в весьма редкой брошюре: Wilhelm Stru-
ve. Zur Erinrerung an den Vater, von Otto Struve (Carlsruhe, 1895, стр.
50), имеющейся в Пулковском книгохранилище.
6 Письмо Д. А. Голицына доложено конференции Академии наук
9/VIII 1801 г. (§ 203) и частично опубликовано в «Протоколах заседа-
ний конференции» (т. IV, стр. 923), за исключением абзаца о Гауссе;
эта неопубликованная часть письма была любезно сообщена нам ст.
научн. сотр. Архива АН СССР М. В. Крутиковой.
7 Л. Б. Модзалевский, ук. соч., стр. 47.
8 Там же, стр. 51.
8 Первые два тома «Небесной механики» Лапласа (1749—1827) поя-
вились в 1799 г. В 1800 и 1802 гг. в Берлине был издан перевод их на
немецкий язык с превосходным комментарием Буркхард (J. Burkc-
hardt). Третий, четвертый и пятый тома были изданы Лапласом в 1802,
1803, 1823—1825 гг. Лобачевский изучал, по-видимому, особенно де-
тально только первые два тома этого знаменитого труда. Из других ра-
бот Лапласа нам придется ссылаться в дальнейшем на его единственное
научно-популярное произведение, именно «Изложение системы мира»
(Exposition du Systeme du Monde, 1796) и на «Аналитическую теорию
вероятностей» (Theorie Analytique des Probabilites», 1812).
10 См., например, «Exposition du Systeme du Monde». Oeuvres, ed.
1846, v. VI, p. 440—441, 447, 460.
11 Л. Б. Модзалевский, ук. соч., стр. 54—55 (перевод с латинского
мной выправлен). Впрочем, здесь не ясно, изучал ли Лобачевский тео-
рию эллиптического движения планет по первому тому Лапласа или по
незадолго перед тем вышедшему классическому сочинению Гаусса «Тео-
рия движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коничес-
ким сечениям» (1809). Во всяком случае из автографа Лобачевского,
приложенного к книге проф. В. Ф. Кагана «Лобачевский» (2-е изд.,
стр. 67), видно, что Лобачевский изучал и книгу Гаусса (его выписка
сделана со стр. II и 15 «Theoria Motus» в ее первом издании 1809 г.).
12 Там же, стр. 62 и 64. Это, по-видимому, первое упоминание име-
ни Лобачевского в планах преподавания; ссылки на того или иного ав-
тора в этих планах (например, по Лапласу, или по Каньоли, или по Ла-
круа) соответствуют современным указаниям литературы предмета в
в программах курсов.
13 Там же, стр. 75.
14 Там же, стр. 83.
15 В этом кругосветном плавании Ив. Мих. Симонов впервые ввел
490
ежечасную запись отсчетов термометра и барометра; см. биографию
Симонова в энциклопедии Брокгауза—Эфрона, т. 58.
16 Л. Б. Модзалевский, ук. соч., стр. 85—86.
17 Там же, стр. 89—90.
18 Там же, стр. 96.
19 Там же.
20 Там же, стр. 102.
21 Там же, стр. 106.
22 Там же, стр. 115.
23 Там же,-стр. 116.
24 О первых работах Лобачевского по неевклидовой геометрии см.
в упомянутой уже книге В. Ф. Кагана (изд. 2-е, 1948 г.), стр. 176—184.
26 Это произведение Лобачевского переиздано теперь в 1-м томе
Полного собрания его сочинений (ГТТИ, 1946, стр. 179—411) с вводной
статьей и комментарием А. П. Котельникова; для нашего дальнейшего
изложения особенно важны стр. 207—210 текста и стр. 283—286 Приме-
чаний.
26 Л. Б. Модзалевский, ук. соч., стр. 321—327; цитируемое место
на стр. 323.
27 Имеется русский перевод Краснова, под ред. проф. К. А. Поссе,
СПб., 1887; подлинник (по-латыни) в IV томе Полного собрания трудов
Гаусса (Gauss Werke, Bd. IV., S. 217—258).
28 Гаусс говорит: «Так, например, в самом большом из треуголь-
ников, которые мы измеряли в прошлые годы, а именно между точками
Гогегаген, Броккен, Инзельсберг, где избыток суммы углов был 14",
85348, вычисление дало следующие величины для приведения углов
(от эллипсоида) к плоскости: —4",95113; —4",95104; —4",95131». Сумма
этих редукций составляет как раз —14",85348, так что сумма углов плос-
кого треугольника есть 180°, с точностью до 10~б сек. дуги.
29 «Connaissance des Temps pour Гап 1831». Paris, 1828, p 120—148.
Полное название этой работы: «Дасса-Мондидье. Мемуар об определе-
нии параллакса и собственного движения звезд по склонению посред-
ством нового способа искусственных покрытий». В приложенном отчете
об этой работе (стр. 149—151) Делямбр указывает на связь ее с некото-
рыми важными соображениями Галилея об определении звездных па-
раллаксов.
30 Сказать, что параллакс звезды равен Г,— то же самое, что ска-
зать, что свет от нее идет к нам Зг/3 года.
31 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 1. Комментарий, стр. 284.
32 Н. Liebmann. Nichteuclidische Geometric, 1905, стр. 244. Сущест-
венно правильнее у Богомолова—«Основания геометрии», 1923, стр.
310. Чтобы показать соответствие схемы Лобачевского с обычными
построениями сферической астрономии, представим на рисунке плос-
кость эклиптики Е. Пусть Q есть основание перпендикуляра, опущен-
ного на эту плоскость из звезды S. Проведем из Q касательную QT
к кругу, представляющему земную орбиту; если проведем еще плос-
кость Р через прямые SQ и QT, то эта плоскость будет касательной к
прямому цилиндру, основанием которого служит орбита Земли; поэ-
тому диаметр ТТ' будет перпендикулярен к прямой TS; точки Т, S, Тг
как раз и образуют треугольник Лобачевского на рис. 2. (Аналогичное
построение в том случае, когда Q попадает внутрь земной орбиты.)
Пусть теперь р — параллакс звезды; X' и % — ее гелиоцентрическая и
и геоцентрическая долготы; р — ее широта, т. е. угловое возвышение
491
над плоскостью эклиптики. По формулам сффической астрономии для
параллакса по долготе имеем:
(X' — X) cosP = psin ((•) — Л),
где (•) — долгота Солнца. Пусть для положения Земли в Т долгота Солн-
ца равна ®i, долгота звезды — %i, причем
©1 — = л/2,
и, аналогично, для положения Земли в Т'
®2 — К = Зл/2.
Учитывая, что широта Р и гелиоцентрическая долгота звезды X' в обоих
случаях одинаковы, получим:
(Х2 — Xi) cosP = 2р,
что и соответствует схеме Лобачевского.
83 Т. е. когда разность долгот и Солнца и звезды равна 90°.
34 Численный множитель в формуле (1) есть величина, обратная
sin Г\
36 Эта первая теорема Лобачевского есть простое следствие из ос-
новных положений его геометрической системы. В Комментарий
А. П. Котельникова (т. 1, стр. 283) вкралась ошибка: в 4-й формуле при-
мечания 26-го, в правой части неравенства, пропущен множитель 2, так
что окончательный результат должен быть a <Z tg2p, как в тексте Ло-
бачевского (там же, стр. 207).
36 По-видимому, Лобачевский имеет в виду следующее место из
«Exposition du Systeme du Monde» (Oeuvres, v. VI, p. 455): «Таким об-
разом, вероятно, что среди туманностей многие представляют собой ско-
пления очень большого числа звезд и что, если смотреть на них изнутри,
они представились бы подобными Млечному Пути. Если теперь вдумать-
ся в это изобилие звезд и туманностей, рассеянных в небесных простран-
ствах, и в те огромные расстояния, которыми они отделены, то вообра-
жение, изумленное огромностью Вселенной, не сможет постичь его гра-
ниц». Эта последняя фраза Лапласа как раз соответствует высказыва-
нию Лобачевского: «В воображении пространство может быть продол-
жаемо неограниченно».
37 Т. е. лежащих за пределами возможного опыта.
38 Этот очерк А. М. Ляпунова включен в издание: «П. Л. Чебышев.
Избранные математические труды. ОГИЗ, 1946» (см. стр. 20).
492
59 Доказательство этой Теоремы Довольно Сложно; оно прекрасно
разъяснено А. П. Котельниковым в упомянутом Комментарии, стр. 284—
285. В написании окончательной формулы Лобачевского мы заменяем
синусы параллаксов углами, косинусы — единицей. Заметим, что по
1-й теореме Лобачевского р' не может быть равно нулю.
40 Эту ошибку обнаружил впервые проф. Энгельс в его комменти-
рованном немецком издании «О началах геометрии»; см. Н. И. Лобачев-
ский, т. 1. Комментарий, стр. 286.
41 «Воображаемая геометрия» (в «Полном собрании сочинений по
геометрии Н. И. Лобачевского», изд. Казанского университета, 1883,
т. 1, стр. 79); «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных»
(там же, стр. 229, или в переиздании проф. Д. Синцова, «Харьковская
математическая библиотека», № 2—3, Харьков, 1912, стр. 17).
42 Этот французский перевод воспроизведен во II томе казанского
издания «Полного собрания сочинений по геометрии Н. И. Лобачевско-
го» (1886), стр. 590.
43 Письмо Гаусса в «Gauss Werke», Bd. VIII, S. 236—237; оно дано
и в книге Модзалевского, стр. 483—485, с переводом на русский язык.
44 Это и есть то место, которое мы только что цитировали.
45 Работа Лобачевского, про которую упоминает здесь Гаусс,—
это «Геометрические исследования», изданные в Берлине в 1840 г., она
вошла в I том нового издания сочинений Лобачевского (1946).
46 Статья Лобачевского помещена в «Crelles Journal», 24 (1842),.
стр. 164—170. Происхождение ее таково. В работе «Новые начала гео-
метрии с полной теорией параллельных» имеются две обширные главы,
XII и XIII (казанское издание Трудов, 1883, т. I, стр. 370—480) под
названиями: «Решение прямолинейных прямоугольных треугольников»
и «Решение сферических прямоугольных треугольников». Здесь Лоба-
чевский на множестве примеров, сопровождаемых подробными числен-
ными выкладками, изучает вопрос о точности определения элементов
треугольников в зависимости от условий задания других элементов.
Всего рассмотрено более 40 различных случаев; при этом предполагает-
ся, что вычисления производятся с логарифмами и что логарифмы име-
ют погрешность в х/2 единицы последнего (седьмого) знака. Но в одном
месте этого изложения (стр. 428) Лобачевский как бы прерывает его
и говорит: «Назначая точность вычисления, мы предполагали все слу-
чаи неблагоприятными, тогда как ошибки в их соединении могут быть
одна другой противными, следовательно частью по крайней мере уни-
чтожаться...» Дальнейшие страницы этой работы (стр. 428—438) и по-
священы вычислению вероятности той или иной компенсации этих слу-
чайных погрешностей. Именно эти страницы из работы «Новые начала
геометрии», с некоторыми дополнениями и вариантами, перешли в ста-
тью «Вероятность средних результатов». Заметим, что обе главы о тре-
угольниках были напечатаны в 1838 г. в «Ученых записках Казанского
университета»; тогда же Лобачевский послал Креллю, члену Берлин-
ской академии наук, для напечатания в издаваемом им математическом
журнале и ту статью, которая появилась лишь четыре года спустя на
страницах этого журнала (см. Л. Б. Модзалевский, ук. соч.. стр. 498).
Насколько нам известно, эта статья никем еще не была детально ком-
ментирована.
47 «Crelles Journal». Bd. 24, 1842, S. 169.
48 Действительно, PiQ (x) — 0,72 при x = 0,2; поэтому вероятность
отклонения, не превышающего 0,2, относится к вероятности большего
отклонения, как 0,72 и 0.28 или как 18 к 7. Заметим, что Лобачевский
493
дает свою Таблицу с Точностью до пяТи знаков после запятой; против
х = 0,4 у него стоит 0,96179, тогда как правильное число есть 0,97295.
В третьем столбце таблицы мы приводим те же вероятности, вычислен-
ные посредством интеграла Лапласа, считая при этом сумму десяти
слагаемых случайной переменной, подчиненной по вероятности нор-
мальному закону, со средним значением, равным нулю, с дисперсией
<з2 = 10/3 (см. мою книгу «Способ наименьших квадратов», 1947,
стр. 252). Поэтому нормированное уклонение вычисляется по формуле
t — KV3/io = 0,5477& (где k = 10, 9, ... 2, 1). Найденное по этому
аргументу значение интеграла Лапласа нужно удвоить, чтобы полу-
чить искомую вероятность. Результаты, найденные по формуле Лоба-
чевского и посредством интеграла Лапласа, отличаются не очень зна-
чительно, как видно из приведенной в тексте таблицы.
49 Отчет об этих наблюдениях имеется в «Astron. Nachrichten»,
Bd. 20, 1843, S. 227 (Липецк), S. 73 (Дубно), S. 355 (Семипалатинск).
50 Документы, относящиеся к казанской экспедиции, приведены
в книге Л. Б. Модзалевского, стр. 439, 444, 447, 457, 459. О Михаиле
Васильевиче Ляпунове (1820—1868), отце знаменитого математика Алек-
сандра Михайловича Ляпунова, см. у Модзалевского, стр. 758.
51 Этот отчет напечатан впервые в «Ученых записках Казанского
университета», 1842, кн. III, стр. 51—83; перепечатан в книге Модзалев-
ского, стр. 463—478; он написан Лобачевским дважды. «Теперь я при-
нимаюсь,— говорит он,— уже в другой раз за свой отчет о поездке
в Пензу. Первый мой опыт сделался добычей пламени в несчастный для
Казани день 24 августа» (Об этом страшном пожаре см.: В. Ф. Каган.
Лобачевский. Изд. 2-е, стр. 283.)
52 Л. Б. Модзалевский, ук. соч., стр. 465.
53 Для сопоставления отчета Лобачевского с различными взгляда-
ми на явления, наблюдаемые при затмении в 50-х годах XIX в., HHiepec-
но прочитать в книге Arago. Astronomie Populaire, 1859, v. 3, главы
о протуберанцах и о короне (XIII и XIV).
54 Л. Б. Модзалевский, ук. соч., стр. 474.
55 В «Новых началах геометрии» Лобачевский высказывал еще бо-
лее общие соображения, которые считаем уместным здесь отметить:
«В природе мы познаем собственно только движение, без которого чув-
ственные впечатления невозможны» (Изд. под ред. Д. Синцова, Харь-
ков, 1912, стр. 13).
66 С. И. Вавилов. Исаак Ньютон. Изд. 2-е, 1945, стр. 79.
Ь7 «Пангеометрия» была опубликована в Казани в 1856 г. одновре-
менно на русском и французском языках. Оба текста вошли в казанское
издание «Полного собрания сочинений по геометрии Н. И. Лобачевско-
го» (Казань, 1883 и 1886); интересующее нас место находится на
стр. 549—550 и 679—680. Имеется также немецкое издание в серии «Ost-
walds Klassiker», № 130, с комментариями Н. Liebmann’a (Leipzig,
1902). Лобачевский снова имеет здесь в виду параллакс звезды, но те-
перь уже не по долготе, как было в работе «О началах геометрии», 1829
(см. выше прим. 32 и рис.), а по широге. Пусть (см. рисунок) Е — плос-
кость эклиптики, Р — плоскость, проведенная перпендикулярно к Е
через S и центр земной орбиты, т. е. Солнце; 7\ и Т2 — два диаметраль-
но противоположных положения Земли в плоскости Р. Лобачевский
вводит геоцентрические широты звезды, определенные из положений
Ti и Т2, он обозначает их через а и р, а через 6 — угол при звезде, под
которым виден диаметр земной орбиты TiT2. «Если углы а, р, 6 — гово-
рит он,— не удовлетворяют уравнению а = Р + 6, то это будет зна-
494
ком, что сумма трех углов этого треугольника не равна двум прямым
углам». Но ведь угол при S из наблюдений непосредственно не опреде-
ляется, так что этот критерий реального значения иметь не может. Да-
лее, Лобачевский говорит: «Можно так выбрать звезду, что 6 = 0 ...;
тогда прямые от двух положений Земли к звезде могут считаться за па-
раллельные». Но легко видеть, что если угол 6 (это и есть параллакс
по широте) был бы равен нулю, то был бы равен нулю и параллакс по
долготе, следовательно и тот угол р, который в системе Лобачевского
всегда больше некоторой абсолютной постоянной (по теореме 1). Поэ-
тому очень трудно согласиться с этими последними мыслями Лобачев-
ского и со следствиями, которые он из них выводит.
58 В. Ф. Каган. Великий русский ученый Н. И. Лобачевский и его
место в мировой науке. ГТТИ, 1948, стр. 56.
&9 «Новые начала геометрии», изд. Д. Синцова, Харьков, 1912,
стр. 13.
60 С этой точки зрения теряют свою остроту слова П. С. Алексан-
дрова в его статье о Лобачевском («Люди русской науки», т. 1, 1948,
стр. 95): «Вопрос о том, какая геометрия осуществляется в физическом
мире, не имеет того непосредственного наивного смысла, который ему
придавался во времена Лобачевского».
61 Особенно интересна статья: К. Schwarzschild. Uber das zulassige
Krummungsmaass des Raumes (Шварцшильд. О допустимой кривизне
пространства), помещенная в «V. J. S. d. Astr. Ges.», Bd. 35, 1900, S. 337.
62 По всей проблематике, связанной с так называемой общей теори-
ей относительности, мы придерживаемся принципиальных концепций
академика В. А. Фока, изложенных, между прочим, в его общедоступ-
ной статье «Система Коперника и система Птолемея в свете общей
теории относительности» (в сборнике «Николай Коперник», Изд-во
АН СССР, 1947, стр. 180—186).
63 См. Л. Б. Модзалевский, ук. соч., стр. 323.
64 В. А. Стеклов. Теория и практика в исследованиях П. Л. Че-
бышева. Изд-во АН СССР, 1921, стр. 19.
495
СОДЕРЖАНИЕ
От редакторов 3
Жизнь и творчество Коперника 5
Галилей в истории астрономии 41
Клеро и его « Теория фигуры Земли» 99
Этюды по истории планетных теорий 124
Закон всемирного тяготения и теория
движения Луны 205
О механике Лагранжа 273
История календаря 308
Лобачевский — астроном 412
Приложения
Наум Ильич Идельсон 434
(Н. С. Яхонтова)
Библиографический указатель 443
Примечания 449
Наум Ильич Идельсон
Этюды по истории небесной механики
Утверждено к печати Институтом истории естествознания
и техники Академии наук СССР
Редактор Н. Б. Прокофьева. Художественный редактор В. А. Чернецов
Художник Т. К. Самигулин. Технический редактор Л. И. Куприянова
Корректор Е. Н- Белоусова
Сдано в набор 4/П-1975 г. Подписано к печати 20/V-1975 г. Формат 84x108 1/й2
Ус л. печ. л. 26,04. Уч.-изд. л. 27,8. Тираж 10000. Т-07740. Бумага типографская № 1
Тип. зак. 1725. Цена 1 р. 91 к.—в балакроне; 1 р. 95 к.—в коленкоре
Издательство «Наука». 103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10