МГУ

Н Н БОГОЛЮБОВ
избранные труды
по статистической
Физике
Издательстю
Московского университета
1979

УДК 536 75
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Рецензенты:
академики М. А. МАРКОВ, С. Н. ВЕРНОВ
Редакционная коллегия:
академик А. А. ЛОГУНОВ,
профессор О. А. ХРУСТАЛЕВ,
доцент И. А. КВАСНИКОВ
Боголюбов Н. Н.
Избранные труды по стати-
статистической физике. М.г
Изд-во Моск. ун-та, 1979,
343 с, 2 ил. Списки лит. в
конце статей.
Книга содержит избранные
работы академика Н. Н. Бо-
Боголюбова по статистической
физике. Каждая из них зна-
знаменовала собой новый этап
развития современной физи-
физики многочастичных систем
от обоснования и уточнения
классических кинетических
уравнений до новейшей
теории квантовых макросис.
тем и теории ядерной мате-
материи.
Издание, содержащее рабо-
работы, ставшие ныне класси-
классическими, будет полезно
для научных работников,
специализирующихся в об-
области теоретической физи-
физики, а также для студентов и
аспирантов физических фа-
факультетов университетов.
20402—132
1 077@2)—79
63 № 31—4—79.
© Издательство
Московского университета,
1979 г.

Проблемы
динамической теории
в статистической
физике
М.-Л., ГИТТЛ, 1946
Предисловие
Настоящая монография посвящена
изложению особой формы теории воз-
возмущений для проблем статистической
физики. При этом нашей главной за-
задачей является разработка метода,
позволяющего получать кинетические
уравнения на основе механики сово-
совокупности молекул.
Заметим, что до сих пор проблемы
кинетики никогда не рассматривались
с точки зрения динамической теории,
и их исследование совершалось мето-
методами другого типа, типичным для ко-
которых можно считать метод, приме-
примененный Больцманом для получения
кинетического уравнения идеального
газа.
В этих методах имеется, однако,
внутреннее противоречие. С одной сто-
стороны, движение молекул трактуется
как некоторый случайный процесс и
вводится в рассмотрение определенный
статистический механизм — механизм
бинарных соударений, с другой сторо-
стороны, входящие в уравнение случайного
процесса эффективные сечения рассчи-
рассчитываются из уравнений классической
механики. Для квантовой статистики
применяются такие же «гибридные
приемы» с тем отличием, что эффек-
эффективные сечения вычисляются по пра-
правилам квантовой механики и допол-
дополнительно учитываются требования
симметрии.
Кроме того, метод Больцмана осно-
основан на полном пренебрежении корре-
корреляцией между динамическими состоя-
состояниями молекул и потому не может
быть непосредственно обобщен для по-
получения уравнений более высокого
приближения.
Устранение этих трудностей и
представляет главную цель излагае-
излагаемой здесь динамической теории.

Для того чтобы наиболее естественным образом подойти к
формулировке общих методов, мы начинаем с рассмотрения
простейшего случая и в главе I исследуем системы в состоянии
статистического равновесия на основе канонического распре-
деления Гиббса. При этом нами изучаются два типа степенных
разложений. Один из них непосредственно приводит к извест-
известным разложениям теории реальных газов Урселла — Майера, в
которой, кстати, они получаются весьма сложным путем с по-
помощью комбинаторики. Другой, разработанный для систем с
кулоновскими силами, приводит в первом приближении к фор-
формулам Дебая в теории сильных электролитов.
В главе II мы переходим к проблемам кинетики, соответст-
соответственно обобщая намеченные ранее пути исследования. Здесь
рассматриваются особые методы степенных разложений, при-
приводящие к кинетическим уравнениям, и в зависимости от вы-
выбора малого параметра получаются различные формы этих
уравнений.
Характерной особенностью излагаемой теории является
введение последовательности функций распределения, характе-
характеризующих вероятностные распределения для комплексов иа
s E=1, 2, 3...) молекул и составление для них системы интегро-
дифференциальных уравнений. Оказывается, что в ряде важных
случаев эти уравнения содержат малый параметр, и мы можем
получать асимптотические приближения посредством разложе-
разложений по степеням этого параметра.
Вместо последовательности функций распределения можно
рассматривать «производящий функционал», через функцио-
функциональные производные которого они непосредственно выра-
выражаются.
С помощью такого функционала система уравнений, опре-
определяющих последовательность функций распределения, может
быть представлена в более сжатой форме «уравнений в функ-
функциональных производных».
Использование производящего функционала в ряде случаев
весьма целесообразно ввиду получающихся упрощений, хотя
само по себе отнюдь не является обязательным для примене-
применения излагаемых методов.
С формальной точки зрения, разработанная здесь теория
является достаточно общей и может прилагаться для решения
самых разнообразных проблем статистической физики, в том
числе и при квантовомеханической их трактовке.
Следует, однако, подчеркнуть, что проблема ее математиче-
математического обоснования является весьма сложной и по существу не
затрагивается в данной монографии.
Вопрос о формулировках предельных теорем, строго обосно-
обосновывающих получаемые результаты, остается открытым, так же>

впрочем, как и вопросы обоснования обычной теории возмуще-
возмущений, используемой в современной физике.
В заключение считаю своим долгом выразить здесь свою
благодарность проф. А. А. Власову, беседы с которым значи-
значительно способствовали автору в уяснении им физической сторо-
стороны рассматривавшихся проблем.
Н. Боголюбов

Оглавление
Глава I. Разложения по степеням малого па-
параметра в теории статистического
равновесия 9
§ 1. Функции распределения 9
§ 2. Производящий функционал 16
§ 3. Разложения по степеням плотности 25
§ 4. Кулоновское взаимодействие 29
§ 5. Интегральные уравнения для ра-
радиальных функций распределения 41
Глава II. Кинетические уравнения в класси-
классической механике 49
§ 6. Кинетические функции распреде-
распределения 49
§ 7. Уравнения в функциональных про-
производных 55
§ 8. Релаксационные процессы в вероят-
вероятностных распределениях 63
§ 9. Обобщенные уравнения Больцмана 71
§ 10. Уравнения Ландау и Власова 95
§ 11. Кинетические уравнения для систем
с кулоновским взаимодействием 104
§ 12. Заключение 111
Список цитированной литературы 113

Глава I
Разложения по
степеням малого
параметра в теории
статистического
равновесия
1. Функции распределения
Основным предметом исследования
в настоящей главе является вопрос о
разработке методов разложения по
степеням малого параметра, позво-
позволяющих определять различные функ-
функции распределения в теории статисти-
статистического равновесия и допускающих
обобщение на проблемы кинетики.
Рассмотрим простейший случай
системы из N одинаковых одноатом-
одноатомных молекул, заключенных в некото-
некотором макроскопическом объеме V и
взаимодействующих посредством цент-
центральных сил, характеризуемых взаим-
взаимным потенциалом Ф(г). Положение q
каждой молекулы условимся считать
полностью определенным заданием
трех декартовских координат qa (a=
= 1,2,3).
Мы будем здесь исходить из обыч-
обычной теории равновесных состояний,
основанной на каноническом распре-
распределении Гиббса:
A.1)
где DN представляет функцию распре-
распределения вероятности положений всех
молекул, UN — потенциальную энер-
энергию системы
^лг = ? ф(|^-9/|), A.2)
(KKKN)
Qn — конфигурационный интеграл
exp{— UN!Q}dqx ... dqN.
J ... J

S Введем в рассмотрение функции распределения
— симметричные функции qu ..., q8> нормированные таким
образом, что выражение
1 * /
Л представляет вероятность того, что в положения данной группы
х молекул лежат соответственно в бесконечно малых объемах
S. dqu ..., dqs около точек qu ..., qs. В силу такого определения
g имеем, очевидно,
1 Ps(Qu • • • ,9s) = V* f ... ГZ)^, ... , Ы^-м • •. dqN. A.4)
$ V v
I Заметим, что с помощью функции распределения A.3) мы
j| можем вычислять средние значения динамических переменных
з типа
2,
с
поскольку из A.4) следует, что
v
Заметим также, что из введенных функций распределения
особо важное значение имеет бинарная функция i^, так как
через нее может быть выражено уравнение состояния изучае-
изучаемой системы.
В самом деле, обозначая через Р давление при равномер-
равномерном расширении объема, имеем, как известно [1],
dQN
Для того чтобы найти производную ——» при пропорциональ-
пропорциональном расширении линейных размеров области, заметим, что
dQN ^ l
10 dV 3V { dl

где QnW обозначает конфигурационный интеграл, соответст- $
вующий расширению линейных размеров в Л раз: |
6-
V V (KKKN)
Имеем поэтому
<Kr<s<JV)
откуда
xexp
j ~
и потому, на основании A.1), A.4), можем написать
И |01 —
9 69° Kl^
Р = — е-
V ~ 6V3
v v
или, вводя объем на одну молекулу v = —,
N
9 69° Kil^ A.5)
Таким образом, зная F2 в ее зависимости от параметров
системы, например от v, мы можем найти давление как функ-
функцию этих параметров и тем самым определить основные термо-
термодинамические переменные, характеризующие изучаемую сово-
совокупность.
С помощью F2 мы можем также определять величины раз-
различных флюктуации, например, флюктуации плотности. Пусть,
в самом деле, G будет некоторой областью, лежащей внутри V.
Введем функцию fG(q), равную единице, когда q находится в G, 11

2 и равную нулю, когда q лежит вне G. Тогда число молекул NG
| в области G будет
! АЪ= ? /a fa),
5 d«w
I и потому его среднее значение найдется из уравнения
т V G
х
g. Для определения соответствующей флюктуации напишем
S =г-
V
где для сокращения положено
S Имеем, следовательно:
или
= 2 1 • •• 5Dn E (/g (^ —a)^fo(q,) -a)dqx ...dqN
A</</<А0
откуда:
^Г±) J f F2 (9i
«} {/о
v
Упрощая, найдем окончательно

w
— / JV/j x *т '" -v - - '*
N°\l 7~ + (ya 1} f f ^2 ^ь ft) — Fx (qx) Fx (q2)} dqxdq2. §
V N ' ii A.6) I
Совершенно аналогично можно получить также формулы и ?
для определения флюктуации других переменных. 5
Заметим, что для систем в однородной фазе, например, «
для газов и жидкостей, бинарная функция с точностью до ве- i
личин, исчезающих вместе с 1/N, оказывается радиально-сим- g
метричной: •¦
a Ft равно единице. Корреляционное отклонение \х(г)—1
быстро стремится к нулю и практически исчезает для расстоя-
ний, больших по сравнению с-эффективным радиусом молеку-
лы Го. Потенциальная функция также практически исчезает для
В этом случае формулы A.5) и A.6) допускают дальней-
дальнейшее упрощение. Так, например, величина интеграла _
практически не зависит от положения точки qx и равна
4я
J
о
Мы можем поэтому написать, вместо A.5)
Возьмем теперь формулу A.6) и рассмотрим случай, когда
объем G весьма мал по сравнению с У, но его линейные раз-
размеры велики по сравнению с г0. Тогда отношением Ng/N можно
пренебречь по сравнению с единицей. Далее, интеграл
J j {^2 foi, 92) - Fx Ы Fx (q2)}dqxdq2
приближенно равен
o 13

2 Таким образом, из A.6) получим
ft
A.8)
1 Укажем, наконец, что зависимость \i от г может быть опре-
g делена экспериментально по измерениям интенсивности рентге-
2 новского рассеяния [2—7]. Многочисленные эксперименты по-
т казывают, что ц(г) стремится к единице не монотонно, а про-
* ходя через ряд максимумов >1 и минимумов <1.
§¦ После этих предварительных замечаний о физической значи-
5 мости функций распределения составим уравнения, определяю-
§ щие F8.
| Будем исходить из очевидного соотношения
| dDN I dUj, ^
S —%r+ ?-Dn=0; a =1,2,3,
J которое помножим на Vs и проинтегрируем по переменным
5 9s+i, ... ,9лг. Имеем в виду A.4),
v v
Но, с другой стороны,
dUN dUs
где
Поэтому
|4

Так как
V V $
= f «Klft-»«l) (Г... Г DNdqs+2...dqA
у ^1 X
CL
то из A.9) получим 8
A.10) I
где 21
v = V/N; a =1,2, 3; s=l,2, 3... |
Заметим теперь, что, так как в случаях, рассматриваемых 5
в статистической механике, число N чрезвычайно велико, то g-
возникает задача нахождения асимптотических выражений для
F8 при N-+0O.
Имея в виду исследование объемных свойств, мы совершим
этот предельный переход обычным образом !, предполагая, что,
когда N-^oo граничная поверхность уходит на бесконечность,
V-^оо, а плотность числа частиц на единицу объема N/V=l/v
остается постоянной.
Тогда формальный переход к пределу в A.10) приводит к
уравнениям
в которых интеграция распространяется уже по всему трехмер-
трехмерному пространству.
Заметим, с другой стороны, что корреляция между положе-
положениями молекул должна ослабевать по мере увеличения расстоя-
расстояний между ними. Поэтому
Л(?1...-.О- П Л(*)-*о,
A.12)
1 Заметим, что в любом исследовании объемных свойств реальных газов,
жидкостей и т. п. систем, основанном на статистической механике, такой
предельный переход всегда совершается, хотя иногда явно и не оговари-
оговаривается. 15

2 когда все |<7»—qj\-*-oo. Имеем, наконец, условия нормировки
I \im-L[Fl(q)dq=l, A.13)
lim — \Fs+l(qlt ... ,qs+l)dqs+l = Fs(qly ... ,<?s). A.14)
х
5:
lim — \
V
S
5 Функции Fs, определенные уравнениями A.11), A.12), (ЫЗ),
™ A.14), и должны представлять искомые асимптотические выра-
g. жения функций распределения для реальных систем с конеч-
S ным, весьма большим числом молекул N, находящихся в ко-
я нечном макроскопическом объеме V.
§
S 2. Производящий функционал
Изучение функций Fs во многих случаях может быть значи-
5: тельно облегчено с помощью введения особого функционала,
| представляющего обобщение производящих функций, приме-
нявшихся в работе М. А. Леонтовича [8] по теории стохастиче-
ских процессов с дискретным фазовым пространством.
Рассмотрим здесь несколько более общую систему, чем в
предыдущем параграфе, предполагая, что составляющие ее
молекулы могут принадлежать к М различным классам. Число
молекул а-го класса условимся обозначать через Na. Возьмем
функцию канонического распределения в виде
B.1)
где
B.2)
и qa,i обозначают точку q для t-й молекулы а-го класса,
а=19...9М. Взаимные потенциалы Фа,ъ(г) предполагаются сим-
симметричными по отношению к а, Ь. Сумма в выражении B.2)
распространена по всем различным парам молекул.
Введем в рассмотрение функции распределения
Fat «,&.¦¦•.*,) B.3)
нормированные таким образом, что выражение
-$Г-р* as(q1,...,qs)dql...dqs
представляет вероятность того, что для системы s фиксирован-
фиксированных молекул из классов аи..., а8 их положения находятся
соответственно в бесконечно малых объемах dqu ...i dq8 около
16 точек qu...9q8-

Функции распределения F могут быть выражены через DN 3
, следовательно, чер |
видных соотношений
3
и, следовательно, через взаимные потенциалы с помощью оче- |
й *
Ч'. = * 1
Fa, as(qi, ... ,qs) = V'DN , B.4)
в которых символ да,,1\ = Я\, ¦ ¦ • , qa л = <?4 используется для
LN=DN П A+^и«^/)I. B.5)
обозначения интеграции по всем переменным {<7а,г}> кроме g
Qat it, • •• » 9as,/s положения которых фиксированы соответствен- Ц
но в точках qu...,q8. |
Благодаря симметрии потенциальной энергии UN по отно- §•
шению к любой перестановке между молекулами одного и того ?
же класса значения индексов н,..., is в формуле B.4) могут %
быть выбраны совершенно произвольно, с тем естественным 5
ограничением, чтобы в ряду (ai, ii),..., (as, is) не оказалось бы |
ни одной пары (a&, t\), (ar, tr), относящейся к одной и той же |
молекуле. х
Чтобы ввести производящий функционал, рассмотрим про- J
извольные регулярные функции *
Mi(9). ••• >^м(9)> |
заданные на всем бесконечном трехмерном пространстве и с
достаточно быстро стремящиеся к нулю с возрастанием \q\.
На этом классе функций построим функционал
LN =LN(ul9 ... ,Нц),
определив его соотношением вида
Для исследования этого функционала нам придется систе-
систематически использовать понятие функциональной производной,
представляющее естественное расширение понятия частной
производной.
Как известно, частная производная —^- некоторой функ-
ции п переменных хи..., хп может быть определена как коэф-
коэффициент при dxn в сумме
B.6)
представляющей дифференциал этой функции.
1 Здесь черта сверху обозначает, явшщ&юшI «©¦ всем пареидиньш ^a,i,
причем по каждой ищ них интегравдая-ишвори^трзс^/цсему объему V. 17

Пусть теперь мы имеем некоторый функционал 1(и), для
которого вариация б/(и), определенная как главная часть при-
ращения 1(и+8и)—1(и), может быть представлена интегралом
| вида
б/ (и) = [A(q,u)8udq,
где А является функционалом и, зависящим от положения точ-
ки q в области G:
2 подобно тому как в сумме B.6) Ai была функцией xif..., хПу
* зависящей от индекса i. Тогда, по аналогии с вышеприведен-
g ным определением частотной производной, введем понятие функ-
| циональной производной ~— функционала / по и в точке q,
* определив ее с помощью соотношения
Таким же образом можем ввести и функциональные произ-
производные высших порядков, причем нетрудно заметить, что функ-
функциональные производные обладают основными свойствами
обычных частных производных.
Возвратимся сейчас к нашему функционалу Ln, зависяще-
зависящему от нескольких функций ии ..., им. Варьируя B.5), найдем
Ki<Nb
\Ф. /)^(а,/)/
откуда ввиду симметрии функции распределения Dn по отно-
отношению к перестановкам между молекулами одного и того же
класса:
V
где для сокращения положено
$Ea(q9uNua(q)dq,
V
Ea(q,u)=DN П
/ 1<6<М \
18 \(b,/)9fe(a»O/

Поэтому |
f=V-Ea(d,u). B.8) I
,х
о
Далее, совершенно аналогично получим 5
c
(с,кЖа,\)
(ck)HbJ)
и поэтому
Ыа,ч = Zj ( N'T
где
Яа,х = ?! 96,4 = q'
2 "И" 6U* («W) ^ П A + ~ "c (<?,
Ea,b{q,q'u)=DN [\ (l+-^- »e(^.*))- B.9)
Имеем, следовательно,
я Ь2Ь" = V2 A -^ ?^(9, 9', a). B.10)
buaj>ubq, \ Nb )
Но, ввиду B.4), B.7), B.9), можем написать
Fa (9) = VEa (q, 0); FaJb (q, q') - V2?a,, (q9 q', 0)
и, таким образом, благодаря B.8), B.10) убеждаемся, что
=f"(«); (тг^-) -(«-¦?¦)'«tort.
4
где символ (...)о обозначает, что в данном выражении, стоящем
в скобках, функции щ, ..., им заменены нулями. 19

S Продолжая функциональное дифференцирование, нетрудно
| убедиться, что вообще
5 где Of —) обозначают величины порядка , ... , -^—.
S
¦ Как видно, с помощью этих формул вопрос об изучении
х функций распределения F сводится к вопросу об изучении
о" введенного функционала LN.
* Построим теперь уравнения в функциональных производ-
g ных, которым должен удовлетворять этот функционал. Заме-
g тим для этого, что функция распределения DN в соответствии
х с B.1) удовлетворяет уравнению вида
| dE>N ± ?lL dU" = о.
|
« Положим здесь i = 1 и подставим вместо (/# сумму B.2).
? Получим
Помножим теперь обе части этого уравнения на произведение:
V П (l+? «с (*.!
/ l<c<Af \
K;l<.NC \
\(с,0^(а, 0/
и проинтегрируем результат с помощью операции <7а
Тогда, ввиду B.7), B.8), можем написать
20
4 S у*4»"*.-»'" д„ П
( Kb^M \ 0Q I Кс^М \
KKNC

или, принимая во внимание симметрию по отношению к переста- |
новкам между молекулами одного и того же типа: |
>х
даа dua,q Q *-> S
1
Х1
<7а,1 = <?: «76,2 = 9'
^ П (J + -j?-ЫС^.'))) d<?' = 0.
S
С другой стороны, благодаря B.9), B.10), имеем J
У (Nb - 8а,ь) DN
Nb
и таким образом приходим окончательно к следующему уравнению:
—--JL-1 V Г———-— —х
> v
'9'=0. B.12)
Совершим теперь здесь переход к пределу, так же как и в
предыдущем параграфе, считая, что при N-+oo отношения
X- = v- ^=па; а=1,...,М B.13)
остаются постоянными.
Получим уравнение
д dL
я
дФа,ь(\Я~Я'\)
B.14)
в котором интеграция распространяется по всему трехмерному
пространству. 2t

5 Аналогично, формальный переход к пределу в B.11) дает
I
Функционально дифференцируя B.14) и заменяя затем произволь-
ные функции ult ... , им нулями, получим благодаря B.15)
5 где Uux ,..., а обозначает потенциальную энергию изолирован-
| ной системы молекул, принадлежащих соответственно к
« ai-му,..., а8-му классам.
g. В частности, если Af=l, т. е. в случае, рассмотренном в § 1,
з полученные уравнения B.16) переходят в ранее установленные
о уравнения A.11).
ё Нетрудно заметить, что уравнения в функциональных
g производных B.14) и система уравнений B.16) в функциях
распределения полностью эквивалентны. Более сжатая форма
записи в B.14) может представить известные преимущества
для различных преобразований и замен переменных. Введение
функционала L оказывается также весьма удобным при рас-
рассмотрении математической проблемы о строгом обосновании
совершаемого предельного перехода. Сами уравнения B.16)
могли бы быть также получены без введения L-функционала,
по тому же способу, как и в предыдущем параграфе.
В заключение установим еще одну форму уравнений в функ-
функциональных производных. Ограничиваясь для простоты случаем
однокомпонентных систем (М=1), будем исходить из перво-
первоначального определения производящего функционала. Имеем
22
и потому:
Отсюда, находя функциональную производную, получим

X f[ (l + vu(ql))dq1...dqN.
A</<Л0
Но, по определению A.1):
Поэтому, полагая для сокращения |
8
можем написать
«V
(iV + i)Q, Г
П
J П
V (KKN)
Итак:
v
Совершим теперь здесь предельный переход. Вводя активность
N-*oo
получим
J^-=zvL(u(l+M + -^f^. B.18)
Заметим также, что
L(u) = l + V J- f... Г Fs(9l, ... ,<?5)«Ы •••
<oTu J J B.19)

2 Так как для системы в однородной фазе Fi(q) = l, то, за-
| меняя в B.18) произвольную функцию и нулем, получим
1
| откуда находим выражение активности
& Уравнения в функциональных производных B.18) нетрудно
2 переделать в систему уравнений, связывающих функции рас-
о пределения. В самом деле, функционально дифференцируя
5 B.18), можем получить
п
A
с где
Полагая в B.21) ы = 0, находим
... , ft) L \— Ф,'.....,-}. B-22)
где
F°s = exp { V Ф (| q't — q] |)). B.23)
I 0 i— I
Воспользовавшись B.19), можем исключить производящий
функционал из уравнений B.20), B.22) и написать
24
X /,' (ft) ...// (9jdft ... dqsy\ B.24)

i. ... ,qs) =
П "\0?i> ••• ,Qr) X
i
5*
g
X П »(?Й1 •••<%}. B.25) I
(KM g
Заметим, что по существу эти же уравнения были установлены *
Майером и Монтроллом [10] с помощью совершенно иного ме- х
тода, основанного на применении комбинаторики к преобразо- 2L
ванию интегралов A.4). 8
Ъ
3. Разложения по степеням плотности S
Приступим сейчас к решению задачи о фактическом опре- |
делении функций распределения для совокупности одинаковых |
молекул исходя из уравнений A.11), A.12), A.13). *
Рассмотрим обычный случай короткодействующих сил4 и 1
заметим, что в этом случае при слабых концентрациях целе- S
сообразно воспользоваться разложением по степеням плотности *о
l/v. Такие разложения фактически будут проводиться по сте- с
пеням отношения rl/v (где /*о — эффективный радиус моле-
молекулы), которое, например, для газов в обычных условиях может
считаться малым параметром.
Возьмем разложения
Fs =F°s+±rFls+-jrF2s+ ... C.1)
и подставим их в уравнения A.11), A.12), A.13). Тогда, при-
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях плотности,
найдем
1 Общее представление о характере потенциальной функции Ф(г) можно
получить, например, из формулы Ленарда — Джонса:
Ф(г) = -
часто используемой для практических расчетов. В этой формуле и будет
глубиной потенциальной ямы, г0 — расстоянием, для которого Ф = 0.
Величины м, го подсчитаны для ряда газов [7]. Так, для гелия
и= 14,03- 10~ie эрг, го=2,56-1О-8 см, для неона и=48,8Ы0в эрг, го=
«=2,743-Ю-8 см, для аргона м= 165,0- 10~1в эрг, го=3,4О8.1О-8 см.
Для упрощения расчетов иногда учитывают лишь силы отталкивания и
форму Ф(г) задают монотонно убывающей функцией г. В качестве одной
из наиболее простых форм используют, например, форму потенциального
барьера, соответствующую представлению о молекулах как о непроницае-
мых, упругих сферах. 25

C.2)
, ...,<?s)- П
! ? П ^
g I № )
I C.3)
, lim — \F{{q)dq = 1; lim — \F\(q)dq=*O ... C.4)
X V->oo V J V-»oo V J
5 Положим
= ^=С?(9ь ... ,9s)exp f ^
Тогда из уравнения C.2) видим, что
т. е. что Cj не зависит от qlu Но, так как С°& симметрична по от-
отношению к ft» • • • » 9s» отсюда следует, что С? = const.
Граничные условия C.3) покажут тогда, что С? = (С? )s, а ус-
условия нормировки C.4) дают С? = 1. Имеем, таким образом
^ = exp{-f/s/e}; tf-1. C.5)
Возьмем теперь второе из уравнений C.2) и напишем его в
виде
в afl« в J atf
Но, с Другой стороны
26

П
где для сокращения положено
/и-«р {--2*4
В связи со сделанными предположениями о характере по- g
тенциальной функции Ф(г), функция f(r) достаточно быстро *
убывает с возрастанием г так, что рассматриваемые ниже ин- g
тегралы являются абсолютно сходящимися, и мы можем 8
написать |
Имеем, следовательно,
. + JJL
atf e
f[
f(\Qi— <7s+i|)}d<7s+i.
(\<Ks)
Положим здесь опять
Fl = Cl (qlt ... , qs) exp | ^-|; C.6)
тогда получим
дС\ д Г ( г-f ......
do?
27

I Так как С] должна быть симметричной, по отношению к аргумен-
5 там <?i> •- , qs> T0
- 1 — ? /(| qc — 9s+i |)j d9s+1 + kb; ks = const.
Но, ввиду быстрого убывания функции f(r) при г-+*эо> имеем
n (i+/(ifc
»х
g когда все |^— ?j|-*°o, и потому на основании C.3), C.4), C.6)
8 замечаем, что ks = 0.
| Итак:
2
d<t<s)
Совершенно аналогично могли бы быть найдены и осталь-
остальные коэффициенты наших разложений.
Подставив C.5), C.7) в C.1), приходим к следующим фор-
формальным выражениям для функций распределения:
(Kks)
} C.8)
В частности, для бинарной функции получаем
X [l + ±jf(\<l-<l'\)f(\q'\)dq'+ ...}• C.9)
Подставляя C.9) в ранее установленную формулу A.7) для давле-
давления, можем получить также уравнение состояния:
Pv _ j Pi 2ра_
28 0 2v 3t>a

с «неприводимыми интегралами» g
j I
и
Итак, мы видим, что решение наших уравнений для функ- 5
ций распределения с помощью разложений по степеням плот- 5
ности приводит к известным выражениям теории Урселла — в
Майера [7, 9, 10, 11], причем выражения эти получаются здесь ^
непосредственно, без применения сложной комбинаторики. Этот о
же результат мог бы быть получен также на основе уравнений и
B.24), B.25). 1
8
4. Кулоновское взаимодействие 1
Перейдем теперь к рассмотрению систем электрически за- 5:
ряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона. Как |
известно, полученные выше разложения C.8) оказываются в g
этом случае непригодными, хотя бы уже потому, что интегралы *g
при степенях l/v будут расходящимися. Нетрудно заметить, что ?
расходимость этих интегралов происходит здесь из-за поведе-
поведения Ф(г) больших г, а именно в силу того, что для г->*оо, Ф(г),
а потому и f(r) убывают слишком медленно — как 1/г. Таким
образом, чтобы получить приближенные формулы, пригодные
для рассматриваемого случая кулоновского взаимодействия,
необходимо перейти к другому способу решения уравнений в
функциональных производных, для чего найдем новый пара-
параметр, по степеням которого будет происходить разложение.
Прежде всего уточним поставленную задачу. Пусть сум-
суммарный заряд рассматриваемой системы равен нулю и пусть
все составляющие ее частицы различаются между собой толь-
только величиной заряда, причем по этой величине их можно от-
отнести к М^2 различным типам. Условимся обозначать заряд
молекулы а-го типа буквой еа. Поскольку здесь МФ\, мы
должны исходить из общих уравнений B.14), B.16). Входя-
Входящие в эти уравнения положительные числа па по самому их
определению имеют единичную сумму
а
=1,
и, кроме того, в силу электрической нейтральности всей систе-
системы должно выполняться также соотношение
D.1) 29

х В соответствии с предположением о кулоновском характере
« взаимодействия возьмем
г
¦S Фа.ь(г) = -&*-. D.2)
8 Кг
| где К — диэлектрическая постоянная. Кроме кулоновского чле-
S на в выражение взаимного потенциала следовало бы включить
2 еще потенциальную функцию Фа,ь(г):
+ ф;>(г), D.3)
соответствующую короткодействующим силам отталкивания,
обусловливающим непроницаемость молекул. В качестве одной
g из простейших форм для Фа,ь(г) можно было бы принять, на-
х пример, известную форму потенциального барьера.
% Однако, имея в виду лишь получение первого приближения,
1 мы воздержимся пока от введения этой дополнительной потен-
- циальной функции и попробуем оперировать непосредственно
J с выражением D.2). Заметим, что именно таким образом
? ставится задача в дебаевской теории растворов сильных элект-
2. ролитов [12], в которой электролит фактически трактуется как
с совокупность материальных точек с электростатическим
взаимодействием, а растворитель учитывается только с помощью
введения в закон взаимодействия феноменологической вели-
величины /С.
Для отыскания величины, которая при известных условиях
может считаться малым параметром и по степеням которой
мы будем разлагать, необходимо перейти по методу подобия
к безразмерным величинам, выбрав подходящую единицу
длины.
Возьмем в качестве такой единицы дебаевский радиус
-V- <**** , D.4)
rd
обратно пропорциональный квадратному корню концентрации.
Отмечая звездочкой значения, получаемые величинами, вхо-
входящими в наши уравнения, после перехода в них в безразмер-
безразмерной форме, мы видим, что объем v заменится безразмерным
объемом, пропорциональным квадратному корню концентрации
30
где

Напомним теперь, что дебаевская теория электролитов при-
прилагается исключительно в случаях предельно слабых концент-
концентраций, когда взаимный потенциал на расстояниях порядка г<*
является весьма малым по сравнению с тепловой энергией 9:
«9; а, 6 = 1, ... ,М. D.6)
Таким образом, ограничиваясь в дальнейшем рассмотре-
рассмотрением случаев, в которых е может считаться малым параметром
е«1, D.7)
мы тем самым требуем выполнения условий приложимости де-
баевской теории D.6).
Вводя величины порядка единицы:
1 еа
можем написать g
так как
1 Фа,* (Г) = '*»
6 —"w ЬКГ rlrd \ QKrd J Л Tin
а
Итак, для рассматриваемых случаев входящий в безразмер-
безразмерные уравнения объем на одну молекулу оказывается малым
параметром, а функции —Фа.ь(г) будут пропорциональны
9
этому параметру.
Приняв и* за параметр разложений, заметим, что эти же
разложения могут быть получены и без перехода к безразмер-
безразмерной форме, если вести их по степеням v. Надлежит только счи-
считать — Фа,ъ {г) пропорциональными vy в связи в чем положим
9
D.8)
где
D.9)
31

аи...,а
? при граничных условиях
I Fa, ag(q19 ... ,9,)- П Fei(^)->-0, D.11)
I
g когда все |^ —-^[-^сю, и условии нормировки
I lim-i- f^(9)^=1, DЛ2)
ё V
2. с помощью разложений по степеням v
Fai,...,as = F°ai,,..tas + vF^....^ + ... D.13)
В уравнениях D.10)
Входящие сюда функции г|)а,ь определены выражениями
D.9), но мы можем рассматривать здесь и другие, более общие
формы этих функций, если желаем несколько расширить изла-
излагаемую теорию, тем более, что использование специальной
формы D.10) не вносит по существу никаких упрощений.
Исследуя ряды D.13), необходимо принять во внимание
основное различие между применяемым сейчас способом раз-
разложения по малому параметру и способом разложения, исполь-
использованным в предыдущем параграфе.
Так, вводя безразмерные координаты, мы можем написать
ряды § 3 в виде
Поскольку здесь г0 не зависит от концентрации, эти ряды
соответствуют обычным разложениям по степеням параметра.
32 Разложения же D.13) приводятся к виду
Итак, будем теперь рассматривать задачу о решении уравнений

( ql
\7Г
причем радиус rd сам обратно пропорционален е. Таким обра- |
зом, сейчас мы фактически разлагаем по степеням е не функции ?
Fau...,a (<?1> • • • > <?s)' a ФУНКЦИИ С
г ах о I'dSi» ••• y'dbs)* x
В уравнениях D.14) целесообразно совершить «замену пе-
переменных» и ввести вместо функционала L(uu ..., им) новый
функционал А (пи ..., им) с помощью соотношения
expj —
^L(g) = / ЬА (у) 6А(у) [ 6М (у) \ п л(
D.16)
6Л 6Л
>х
о
Можно было бы, как и в предыдущем параграфе, непосред-
ственно подставить D.13) *в уравнения D.10), D.11), D.12).
Но для эффективного определения коэффициентов рядов D.13)
мы воспользуемся здесь методом производящего функционала |
и будем исходить вместо D.10) из эквивалентных уравнений |
в функциональных производных |
1 Г у tya,b(\Q-(f\) 3
drf* bua,q + в J AJ dq* X g
О.
=0. D.14) =
= expJ^.i4(TOb ... ,шмI. D.15)
Полагая
^"i = Уи • • • э шм = Ум,
с помощью функционального дифференцирования найдем
l, ... , им) = exp |-L Лх (у1э ... , t/M) J,
6L(a) _ 6А(у)
+ 33
2 Н. Н. Боголюбов

6M 6A i бм ал бм ал \ .
| дУа,дЬуЬд, ЬУС,Я»^ bya,qbyCfQ« bybq, ~^bybtq> ЬУс,д" 6ya,q )
t ^ ДЦ lexpf-1-л).
Ф
| Таким образом, убеждаемся, что введенный функционал,
х зависящий от М функций Hi{q),..., Ум{я), удовлетворяет урав-
2 нениям вида
д 6Л
а.
S
I
я. л ?ъ л \
¦q' = 0. D.17)
I Рассмотрим функции
'¦
S. и заметим, что на основании D.16) мы можем выразить функ-
с ции распределения jF через эти функции g с помощью соотно-
соотношений
Fa,b(q, Я') =ga(Q)8bW) ¦+ <>8а.ь(Я> Я'),
'> q") =gfl(<?)&,(<?')&(<?") + v{g*.b(q, q')gc(q") +
+ ga.c (q, q") gb Ю -{ gb.c (qr, if)ga (?)} + v*ga,b,c fa, q', /). D.19)
Так как корреляция между состояниями молекул должна
ослабевать с увеличением расстояния, то ga,b(q> q') должна
стремиться к нулю при \q—д^-^оо. Совершенно аналогично
ga,b,c(q, q\ q") приближается к нулю при неограниченном уве-
увеличении одного из расстояний \qr—q\9 \q"—q\, \q"—q'\; то же
И ДЛЯ ПОСЛедуЮЩИХ фуНКЦИЙ ga,b>c,d, ..., г-
Для определения этих функций будем решать уравнения
D.17) с помощью разложений по степеням v:
A = A0 + vA1+ v2A2 + ... D.20)
Полагая
34

напишем также: |
gat as(<7i, ... ,qs)= ?
XT
= g%,..,as foi, ¦¦¦ >Qs)+ V«. as (ft, • . . , ?J + . • • , D.22) 1
Ф
Подставим теперь разложение D.20) в уравнения D,17). Полу- |
чим S
д
даа дУа,а $Уа,а J ^ doa ,
Q.
X -?—2—^(n6 + yb(q'))dq' = 0, D.23) S
|
D.24)
Имеем, кроме того, в силу условий нормировки,
Пт -y[g°aD)dq = l, D.25)
V-»oo V J
V
fgi(?)? O. D.26)
Возьмем уравнения D.23). Заменяя в них функции y(q) ну-
нулями, в силу определения D.21) будем иметь
Г V ^—-— nbgl (qf) dq' = 0.
D.27) 35

g Заметим теперь, что ввиду D.1) функции D.9) связаны соот-
| ношением
Z
S
ж в силу которого имеем тождественно
I J ? «У *«•-¦>¦
g_ Последнее тождество справедливо, однако, не только для
S функций D.9). Так, будем предполагать, что для функций
^@ интегралы
»х ^а,&@ интегралы
X
I
J J Lmi
о о A<&<ло
ь В этом случае може
Г дУа(\Я—Я'\) j л
1 —i „, dQ =
A<6<ЛО
являются сходящимися. В этом случае можем написать
и убедиться тем самым в выполнении соотношений D.28).
Благодаря D.25) уравнения D.27) имеют очевидное ре-
решение
соответствующее пространственно однородному распределению.
Рассмотрим опять уравнение D:23). С помощью функцио-
функционального дифференцирования и последующей замены функций
{уа} нулями, получим на основании D.21), D.28)
—г$.ь(Я'Я') +
т. e.
dqa
36
д ( <b(q,q')-maA\q-q'\)

Таким образом, желая определить функцию корреляцион-
ного отклонения g^bt достаточно быстро стремящуюся к нулю
при удалении на бесконечность одной из точек q, q\ переходим
к следующей системе линейных интегральных уравнений: g
I
g
= I
= -ЧЧб (I <?-<?'{)• D.29) 5
Ввиду того что ядра этой системы обладают радиальной х
симметрией, воспользуемся для ее решения трехмерными ин- JL
тегралами Фурье. g
Положим >g
J^v,- q)dv, D.30) |
где |
= П dv01, |
(Ka<3) 2
и допустим, что функции г|)а,ь(О имеют интегральное представ- g
ление вида ^
^(г) = -~ J Ka,6(v) vsin vrdv. D.31)
о
Таким интегральным представлением обладают, например,
функции D.9). Для них
Переходя от формул D.31) к трехмерным интегралам Фурье,
находим
%.ь (\q — q'\)= ~J~ \ е^я-я'\) YQtb (| v I) dv. D.33)
Подставим теперь D.30) и D.33) в уравнения D.29) и заметим, что
§e-Wg°a,b(q", q')dq" = BnfCa,b(v, q').
Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:
Ca,b(v, q') 4- 2л2 J] YaA\v\)ntCcAv,<l') =
4я a'ovl " ' 37

2 Полагая здесь
I Ca,b(v, q') = Ка,ье-<«1\
,x будем иметь
| V -~-Ya.b(\v\). D.34)
и
Й Решая эту систему, убеждаемся, что Ка,ь должны зависеть
Б только от |v|:
8 Для функций D.9) благодаря D.32) можем написать реше-
? ние D.34) в явной форме:
g
| или, принимая во внимание определение чисел Я:
Мы видим теперь, что
и, таким образом, искомые решения интегральных уравнений
D.29) оказываются радиально-симметричными:
g°a,b(q,q') i
где
gib (r) = ^ J v iCa,6 (| v |) sin vr dv. D.36)
(r) = ^ J
В частности, в случае кулоновского взаимодействия
оо
ехр (— r/rd)
о / ч __ 2bah С v sin vr . _
a,b V) t ~ av —
D.37)
Заметим, что в этом случае найденное решение можно было
бы получить непосредственно из интегральной системы D.29),
без применения интегралов Фурье. В самом деле, прилагая к
обеим частям D.29) лапласиан Aq, приходим к известным
38 уравнениям теории Дебая:

D.38)
\4-4
Таким образом, для случая кулоновских сил, наше первое
приближение приводит к известным формулам теории Дебая:
ехр( — — ) ехр( ——
>x
где б — объемная дельта-функция. Мы воспользовались здесь, о
однако, методом интегралов Фурье ввиду его большей общнос- g
ти. |
Заметим, наконец, что, заменяя в уравнениях D.24) функ- ?
ции {уа} нулями, мы получим уравнения для определения *
gla(q) имеющие, ввиду D.26), решение JJ
Мы можем теперь, воспользовавшись D.19), написать вы- *
ражение для функций распределения F с точностью до величин g
второго порядка малости. Имеем в принятом приближении ф
1
D.39)
d
D.40)
где г= | q—q'\.
Как видно, эти формулы теряют свою пригодность при ма-
малых г порядка erd. Например, если знаки зарядов молекул
я, b одинаковы, то Ка'кь>0 и потому
Fa,b{qyq')-+ — oo, при \q — q'\-+.Q,
что явно абсурдно, поскольку в силу своего определения функ-
функции Fu}b не могут становиться отрицательными.
Изложенным приемом можно было бы получить и высшие
приближения. С формальной точки зрения здесь не встретилось
бы особых трудностей, и для фактического построения выра-
выражений функций пришлось бы каждый раз решать системы ин-
интегральных уравнений одного и того же типа D.29) с теми же
ядрами, которые бы отличались один от других лишь правыми
частями. Однако для наиболее интересного случая — кулонов-
ского взаимодействия — переход к высшим приближениям не
имеет смысла, так как свойства расходимости при малых г при 39

g этом усиливаются. Эта расходимость обусловлена не только
| тем, что система материальных точек, взаимодействующих
6- исключительно посредством кулоновских сил, не может нахо-
>g дитЬся в состоянии статистического равновесия *. Если мы
5 включим дополнительный потенциал короткодействующих сил
| и будем исходить из выражения D.3), то это лишь ухудшит
и положение, так как тогда уравнения D.29) не будут иметь ре-
S шсния из-за слишком быстрого возрастания ядер ^a,b(\Q—9'|)
« при \q—g'|->0, и мы не сможем даже получить формул перво-
" го приближения. Вообще можно сказать, что тогда как члены
? рядов, расположенных по степеням 1/и, расходились при нали-
8 чии кулоновских сил из-за их поведения на больших расстоя-
? ниях, в рассматриваемом методе разложений по степеням и
S расходимость получается из-за их поведения при малых г.
« С точки зрения получаемых разложений стремление Фа,ь(г)
к бесконечности при уменьшении г, типа 1/г, уже оказывается
g слишком быстрым.
5: Итак, остается открытой проблема построения разложений,
| с помощью которых можно было бы исследовать системы с
g взаимодействием, включающим и кулоновские и короткодейст-
*§ вующие силы, и которые бы позволяли получать асимптотиче-
? ские формулы не только первого приближения. Решение этой
проблемы наталкивается на значительные математические труд-
трудности, связанные с тем, что для разложения необходимо (для
того чтобы учесть наличие двух характеристических длин —
молекулярного радиуса г0 и дебаевского радиуса г&) представ-
представлять функции распределения в форме
F (а а\ — ы [3L. JbL- BL Л*.- р\
\ 'о '0 'd ra /
и разлагать выражения
Кроме того, по-видимому, следует оперировать не с обычными
разложениями ср в степенные ряды по е, а использовать метод
типа последовательных приближений ввиду вероятного появле-
появления множителей вроде e2log e.
1 Следует иметь в виду, что присутствие короткодействующих сил, обус-
обусловливающих конечный радиус непроницаемости молекул, а тем самым и
обращение в нуль функций *вь...вв при ограниченных расстояниях \qi—qj\
и достаточно больших 5, существенно для возможности строгого перехода к
пределу при N-+<x> и для обоснования законности наших основных урав-
40 нений.

5. Интегральные уравнения для g
радиальных функций распределения |
¦е-
Установим сейчас приближенные интегральные уравнения '§
для бинарных функций Ра,ь, такие, что в разложениях их реше- 3
ний по обоим упомянутым способам два первых члена совпа- |
дают с соответствующими точными членами разложений C.9), 5
D.40). S
Для этой цели будем исходить из уравнений B.16), причем Б
условимся рассматривать пространственно-однородные реше- "
ния, для которых *
и бинарная функция Fa,b{q, q') зависит лишь от расстояния >§
\я-яЧ з
Имеем, положив в уравнения B.16) s =2, cii=a, a2=&, |
j
A<с<АО Я
Так как корреляция между положениями молекул должна
исчезать при их удалении, отклонение
Ра.ь (9, Я') - Fa (q) Fb (q') = Fa,b (q, q') - 1 E.2)
должно приближаться к нулю при увеличении расстояния
Совершенно аналогично тернарная функция распределения
Fa,b,c(q, q\ q") при удалении на бесконечность одной из точек
qy q', q" должна приближаться к бинарной функции распреде-
распределения остальных двух точек.
Ввиду этого нам представляется естественным использо-
использовать для аппроксимации выражения тернарной функции рас-
распределения следующую «интерполяционную» формулу:
Fatb,cXq, q'> q") = Fa>b(q, <?')/v(<?> q")FCtb{q"y q'). E.3)
Подставив эту формулу в уравнения E.1), получим
—~ Fa.b(q, q ) + Fa.b(q, q ) +
dqa в dq*
*FaAq,Q")FcAq"><i')dq"=O. E.4) 41

Но, поскольку бинарные функции радиально-симметричны,
4'\)- E.5)
| можем написать
g По соображениям радиальной симметрии можно заметить, что
1
g
х и, следовательно,
Г V дФа,сA<7-<7) пс
J 1 ^ -»aA\9-
>* J 2j Za \iaA\q-q \)Vc,b(\q"-q'\)dq''=
пс
I
i
1 X (le.c (/ q — <?' — qx I) {He.* (| qx \) — 1}dqlm
Имеем таким образом:
J L
1Л1)
Z5
( J \h.c{r) ^J-drjdq^ E.6)
oo
Положим для сокращения
Ра,с(г) J-l!dr dfc. E.7)
ОС
Тогда, подставляя C.5), E.6) в уравнения E.4) и заменяя
42 в результате подстановки q—qr на q, получим

*
Но, поскольку |
v
X
при|?|-»оо, S
Ai.ni9l)-^0, I
из уравнений E.8) вытекает g
^(к|) = ехр ( g }. S
Итак, для определения бинарных функций распределения I
имеем систему нелинейных интегральных уравнений |
IQ-Q ' С
II
dr
E.9)
Входящую в эти уравнения функцию Аа,ъ(г) можно физи-
физически интерпретировать как эквивалентный потенциал некото-
некоторого, «самосогласованного поля», учитывающего взаимодейст-
взаимодействие, осуществляемое молекулами а, Ь через посредство осталь-
остальных молекул системы. Тогда Wa,b(r) может рассматриваться
как полный эквивалентный потенциал, учитывающий как «пря-
«прямое», так и «косвенное» взаимодействие молекул а, Ь.
Заметим теперь, что если для решения уравнения E.9) при-
применить разложения по степеням l/v, то первые два члена в
рядах, представляющих jxa,&, будут в точности совпадать с
соответствующими членами в формулах C.9) i.
Далее, если положить E.9)
1 В случаях многокомпонентных систем мы, естественно, предполагаем,
что здесь дело идет о рядах обобщающих C.9), ибо сами ряды C.9) при-
приведены лишь для однокомпонентных систем. 43

S и использовать для решения этих уравнений разложения по
| степеням и, то первые два члена в рядах, представляющих
* 1*а,Ьу будут в точности совпадать с соответствующими членами
*§ в формулах D.40).
5 Разумеется, такое совпадение уже не имеет места для выс-
5 ших членов разложений ввиду приближенного характера самих
и уравнений E.9).
S Кроме того, заметим, что при выводе уравнений E.9) из
« точных уравнений E.1) мы не отбрасывали каких-либо членов,
" малость которых была бы обусловлена малостью сил взаимо-
g. действия, малостью плотности и т. п., и единственная допу-
S щенная аппроксимация состояла в замене выражения тернар-
,, ной функции распределения выражением E.3).
S Эта же аппроксимация кажется приемлемой, хотя бы с ка-
у чественной стороны, и для системы в однородной конденсиро-
| ванной фазе, например, для жидкостей, если, конечно, в них
S нет упорядочения кристаллического типа.
5 Мы считаем поэтому желательным исследовать возмож-
| ность применения уравнения E.9) к теории конденсированного
g состояния, тем более, что радиальные функции распределения
*g не только могут служить отправным пунктом для расчета
? термодинамических свойств, но допускают и экспериментальное
определение по интенсивности рентгеновского рассеяния. Было
бы интересно также исследовать возможность построения тео-
теории концентрированных растворов на основе этих уравнений*
поскольку они во всяком случае более обоснованы, чем те, из
которых исходили Гронвалль, Ламер и Зандвед [12, 13] в их
работе над обобщением теории Дебая.
Уравнения E.9) имеют весьма сложную форму. Ее можно
несколько упростить, сводя трехмерные интегралы к одномер-
одномерным. Таким образом, их можно написать в виде
~ 6 log \1а.Ъ (Г) = Фа,Ь (г) +
где
[.c(t)^^dt. E.11)
dt
Поскольку эффективное построение точного решения вряд
ли выполнимо, следовало бы разработать приближенный метод,
44 позволяющий хотя бы численно решать эти уравнения.

Рассмотрим сейчас случай однокомпонентной системы, когда 8
М—1.В этом случае из E.10), E.11) имеем |
— в log ц (г) = t
jr+pj и
{ j
|г-р|
8
Напомним, что давление выражается через радиальную >х
функцию распределения с помощью уравнения 2
|
упрощая которое получим 2
I
в 39у .
о —
Возьмем простейший случай, когда функция Ф(г) соответ-
соответствует идеальному потенциальному барьеру:
Ф@= t-oo, 0<г<г0 E14)
Ф (г) = 0, г0 < г.
Ввиду формы определения функций E(t) переход к такой
вдеализованной функции требует выполнения некоторых пре-
предосторожностей, и мы совершим его в два этапа.
Рассмотрим сперва непрерывную функцию:
Ф(г)=Ф0; 0<г<го — ц;
Ф(г) = Фо + jM^p —/" — тО. Го _л ^ г ^ Го.
Ф(г)=0; г>го, E.15)
и затем, перейдя к пределу, при tj-^О получим уравнения, соот-
соответствующие разрывной функции конечного потенциального
барьера
Ф(г) = Фо;0<г<го;
Ф(/-) = 0; го<г. 45

I Последующий переход к пределу Ф0-»-оо и даст нам уравне-
| ния, соответствующие идеальному потенциальному барьеру.
* Имеем в случае E.15):
| ?@=0, t>r0,
J
| E(t) = E(O) = J t*»{t)dt, t<ro-i\,
jo ro—r\
I 0<E(t)<E@), ro-r\<t<rOt E.17)
SL и соотношение E.13) дает
ri J
| i
Ь e
$
| вследствие чего
i^{It)l~i8r]); 6yi"^0> Eл8)
g когда rj-ъО.
*§ Но, в силу E.12), можем написать
CL
|r+p|
/p>0 ^ Jr-pJ
2r0 r0
j ( J
\P>rroj
E.19)
Положим для сокращения
F _ Wv I Pv
0 0
v0 = exp {- -g- -L j p ( J fctf j (ц(p) - 1)dp}, E.20)
0 I r0—PI
где давление Р и радиальная функция ja взяты для системы с
функцией E.16). Тогда, благодаря E.18) можем написать:
Но, с другой стороны, на основании E.17), E.18) можем
заключить, что в интервале го—r\<r<.ro при т)-*0 имеет место
соотношение
46 v(r)->v0,

в силу которого |
)() |
|
= Volim^L f expf-^^
Итак, для случая E.16) функция E(t) должна иметь вид
E0; 0<t<r0;
0; t>r09
причем
0 Ф0/е)). E.21) |
Поэтому в рассматриваемом случае уравнение E.12) может i
быть представлено в форме ?
|
|
I { 1 } =
~ I Р{ 1 ^}(И(Р)-1)Ф. E.22) =
( Р>0 ^ /Го—Р]
\р>;
Сравнивая его со второй из формул E.19), нетрудно заме-
заметить, что
Теперь нетрудно уже перейти к пределу dV-^oo и написать
соответствующие уравнения для случая идеального потенциаль-
потенциального барьера. Заметим для этого, что после совершения этого
предельного перехода
|i(r)=0; 0<r<r0,
и уравнения E.22) имеет смысл только для г>г0, где оно
должно иметь вид
р
Г—Го
E.23)
Здесь благодаря E.20), E.21)
?о = -~- (~- - О = вц(г0 + 0). E.24)
2лг\ \ в У 47

Перейдем для упрощения полученных формул к безразмер-
безразмерным переменным.
Положим
|i(r) = l +-Лф(Л-У E.25)
Тогда для определения функции ф(дс) будем иметь из E.23),
E.24) интегральное уравнение
х log 11 4 -5i^Ll —а, Г {(х — |J — 1} Ф (I) d%, E.26)
а:—I
в котором
Я=—L{i+q)(i + 0)} E.27)
Ф(*) = 0; 0<дг<1.
Решив это уравнение, можем написать уравнение состояния:
Заметим, что по существу то же уравнение E.26) было уста-
установлено иным путем в работе Кирквуда [14]. В этой работе
Кирквуд сводит его к линейному с помощью аппроксимации:
благодаря чему оказалось возможным получить расчетные
формулы для нахождения ф(л;). Определенная таким образом
радиальная функция распределения была сравнена им с экспе-
экспериментальными данными для случая жидкого аргона, причем
получилось удовлетворительное совпадение.

Глава II
Кинетические
уравнения
в классической
механике
6. Кинетические функции
распределения
Перейдем теперь к нашей главной
задаче о нахождении методов получе-
получения кинетических уравнений на основе
механики совокупности молекул, для
чего будем соответственно обобщать
тот ход идей, который был нами наме-
намечен в предыдущей главе. Ограничимся
здесь простейшей схемой и рассмот-
рассмотрим, с точки зрения классической ме-
механики, системы из N одинаковых
одноатомных молекул, заключенных
в некотором конечном, макроскопиче-
макроскопическом объеме V. Пусть для простоты
изложения динамическое состояние
каждой молекулы полностью опреде-
определяется ее положением q и момен-
моментом р. Декартовские координаты q, р
будут обозначаться соответственно
через qa , ра причем а=1, 2, 3. Для
сокращенного обозначения динамиче-
динамических состояний (q, р) одной молекулы
будут использованы буквы ху у, z. Бес-
Бесконечно малый элемент лиувиллев-
ского объема
dqdp = f]
будет обозначаться через dx (или
через dyy dz). Фазовое пространство
Qv одной молекулы определяется как
пространство точек {q, p), для кото-
которых р совершенно произвольны, a q
должны находиться внутри объема V.
Так как мы рассматриваем здесь
только классические системы, то их
динамическая эволюция полностью 49

? определяется каноническими уравнениями:
дИ а - 1 2 3- I -
(X — 1, Z, О, 1 —
Л dp? ' dt dq*
в которых Н представляет полный гамильтониан системы, а
индекс i используется для нумерации различных молекул.
В дальнейшем мы будем предполагать, что Н может быть
представлено суммой индивидуальных энергий молекул и
взаимных потенциалов пар:
= V H(xt)+ ? Ф(|Ф-*,|). F.1)
О
S В случае отсутствия внешнего поля индивидуальная энер-
| гия Н(х) молекулы должна равняться ее кинетической энергии
2т
2 A<а<3)
с Но для того чтобы учесть конечность объема V, можно вос-
^ пользоваться обычным приемом и ввести дополнительную по-
с тенциальную функцию l)v(q), постоянную внутри V и резко
возрастающую к бесконечности при приближении q к гранич-
граничной поверхности. Положим, поэтому
Потенциальная функция Ф(г) для реальных систем быстро
увеличивается, когда r-й), таким образом, что на малых рас-
расстояниях между молекулами действуют интенсивные силы от-
отталкивания, обеспечивающие взаимную непроницаемость мо-
молекул как твердых сфер с некоторым конечным радиусом.
Благодаря исключительной сложности канонических урав-
уравнений в обычных случаях весьма больших значений N их непо-
непосредственная интеграция, очевидно, невыполнима, и необходи-
необходимо перейти к вероятностной трактовке динамического процесса.
Введем функцию распределения динамических состояний всей
системы:
D = D(t, xx,x2, ... 9xN)9
симметричную функцию Хи..., *n> зависящую от /, определив
ее таким образом, чтобы выражение
представляло вероятность того, что в момент времени динами-
50 ческие состояния 1-й,..., N-й молекул находятся соответственно

в бесконечно малых объемах dxu...,dxN около точек хи...,xN.
В силу этого определения мы, очевидно, имеем
5=ь
где символ ... обозначает интеграцию по всем переменным Хи •••
..., xNt причем по каждой из них интегрирование совершается
по всему фазовому пространству Qv-
Как хорошо известно, закон временной эволюции функции
D представляется уравнением
— = [Я; D] F.2)
dt l J v '
со скобками Пуассона
Ш дР дН дР \
п<«<зи^ др<? др> *К\
Это уравнение определяет D в любой момент времени t, я
если D задано в начальный момент /=0. J
Заметим, что с формальной точки зрения канонические 5
уравнения и уравнение F.2) эквивалентны, и если S(tN) обо- о.
значает оператор, заменяющий начальные значения *?•..,*&
их значениями для момента t: Xi(t), ...,XN(t)> определенными
с помощью канонических уравнений, то мы можем написать
D(t9 xlt ... , xN) = S(^tD@, xu ... , xN).
Таким образом, уравнение F.2) не находится в противоре-
противоречии с детерминистическим принципом классической механики.
Можно сказать, что статистика вводится здесь исключительно
неопределенностью начального динамического состояния систе-
системы, тогда как закон движения остается полностью детермини-
детерминированным.
Это динамическое уравнение и будет положено нами в ос-
основу нашей теории кинетических процессов. Так как непосред-
непосредственное изучение самой функции D весьма неудобно из-зя ч
громадного числа ее аргументов FiV+l)> целесообразно ввести
более простые функции распределения.
Рассмотрим функции распределения Fs(t> xu...,xs), s=l,
2,..., симметричные функции лч,..., xs, зависящие от t> нормиро-
нормированные таким образом, что выражение
— Ft(t,xlf ... 9xs)dxl ...dxs
дает вероятность того, что в момент времени t динамические
состояния данной группы s молекул находятся соответственно 51

5 в бесконечно малых фазовых объемах dxu..., dx8 около точек
в* Имеем, очевидно
1 FB(t,x1,...,xi) = W J... $D(ttxv...,xN)dxH.i...dxN. F.3)
| Заметим сейчас, что кинетические уравнения составляются
? обычно для функции распределения динамических состояний
Б одной молекулы, т. е. для F±. Иногда желательно также иметь
" выражение для F2 — корреляционной функции распределения
о. динамических состояний пар молекул. Изучению этих простей-
2 ших функций и будет уделено нами основное внимание.
>х Проблема определения функций jFe(/, Хи ..., х8) принципиаль-
§ но отлична от проблемы определения функций F8(qu...,q8)
J в случае статистического равновесия, которую мы рассматри-
| вали в предыдущей главе. Мы имели тогда явное аналитиче-
х ское выражение для D, и трудности нахождения F8(qu ...yqs)
5: были трудностями, относящимися к вычислению асимптотиче-
| ских значений данных интегралов. Теперь у нас нет явного
g выражения для D и мы можем исходить лишь из дифферен-
*§ циального уравнения F.2), определяющего ее эволюцию во
с" времени. Тем не менее оказывается возможным получить сис-
систему уравнений, связывающих F8(t, хи...,х8) совершенно тем
же путем, как и в главе I, так как и тогда мы использовали
фактически не явную форму D, а лишь то дифференциальное
уравнение, которому удовлетворяла эта форма.
Итак, будем исходить из уравнения F.2), которое благодаря
F.1) мы представим в следующем виде:
Умножим обе части F.4) на V8 и проинтегрируем по пере-
переменным дсв+1,..., Xn, причем интеграцию по каждой из них со-
совершим по всему фазовому пространству Qy Тогда, на осно-
основании F.3), получим
2
A<г</<Л0 QV
ИЛИ
Vs
dt
A</<s) Qv Qy

V' J... ^[H(xi);D]dxs+l...dxN+ I
Qv QV
1...^л,. F.5)
Но, с другой стороны, интегрируя по частям, имеем тожде- |
ственно, в силу самого определения скобок Пуассона: |
$lH{xt);D]dxt=0i |
QV |
I 1
Qy Qy
и потому
Qy
Qy Qy
Имеем, далее,
<1</</<s)
= I [H(x();W $... $Ddx,+l...dxN]
(l<i<) QV QV
(i</<s) (i<t</<s) 53

2 Кроме того, ввиду симметрии функции D по отношению к
| переменным xif..., xN можем написать
?
A</<S)
N —S
.i(t,x19 ...,xs+i)]dxs+uF.8)
о
5 Воспользовавшись F.6), F.7), F.8) из F.5) полудам
Ф (I qt —
g ^
c Вводя обозначения
можем представить это уравнение в следующей форме:
dt
1— —
QK i<t<s
F.9)
До сих пор в приведенных рассуждениях нигде не учиты-
учитывался тот факт, что в рассматриваемых динамических системах
число молекул iV исключительно велико и что, поэтому, при
построении интересующих нас выражений для функций распре-
распределения мы можем ограничиться асимптотическим приближе-
приближением для N-+oo.
Чтобы получить эти асимптотические приближения, поста-
54 вим сейчас вопрос о предельном переходе при Л^-^оо.

Такой предельный переход, очевидно, может быть совершен 2"
различными способами, в зависимости от того, какие физиче- Ц
ские свойства системы мы желаем исследовать. Имея здесь в в-
виду изучение объемных свойств и желая исключить влияние *g
поверхности, совершим данный предельный переход обычным 5
образом, а именно: предположим, что при Af->oo граничная по- j
верхность расширяется, уходя на бесконечность, объем V не- 5
ограниченно увеличивается, а отношение V/N, представляющее ?
объем на одну молекулу, сохраняется постоянным: *
v
N
Тогда, замечая, что члены
отличны от нуля, лишь когда qi находится вблизи граничной
поверхности, уходящей на бесконечность, из уравнений F.9) с
помощью формального перехода к пределу можем получить
5.
8
f 1
о
+ -f([ 2 фA^-95+1|); Fs+{yXs+u s= 1,2, ... , F.10) ?
где Q представляет уже неограниченное пространство точек
x(q, p). Функции Fs, определенные этими уравнениями, и
должны представлять искомые асимптотические выражения
функций распределения для реальных систем с конечным, весь-
весьма большим числом молекул N, находящихся в конечном:
макроскопическом объеме V.
7. Уравнения в функциональных
производных
Как и в случае статистического равновесия, изучение функ-
функций распределения Fs может совершаться с помощью введения
производящего функционала.
Рассмотрим произвольные регулярные функции и(х), за-
заданные на всем фазовом пространстве Q, достаточно быстро-
стремящемся к нулю при возрастании \q\9 |p|, и введем «про-
«производящий» функционал LN с помощью уравнения 1
Черта сверху означает интеграцию по всем переменным хи 55

2 Тогда нетрудно видеть, что
л ____
J 61*<*.«>°™
? ? № П
<1<*<JV)Q
x I '** J
g откуда благодаря симметрии функции D по отношению к любой
перестановке молекул, имеем, очевидно,
I
g
5 откуда
1
Совершенно аналогично, для функциональной производной вто-
второго порядка, получим следующее выражение:
Таким образом, на основании F.3) можем написать
\—Ых ),~Л('.*). G.5)
&LN(t,u
где символ (...)о указывает, что в выражении, стоящем в скоб-
скобках, и(х) заменена нулем.
Вообще нетрудно убедиться, что
Fs(t,xu ... ,*8) =
1 Здесь символ xk=x указывает на интеграцию по всем переменным
56 х1 ,..., Xjfy за исключением хк, положение которой фиксировано в точке х.

и потому выражение G.1) представляется рядом
LN==l+ $F1(t9x)u(x)dx +
fly
(s>2) fly fly w
... u(xs)dx1 ... dxs, G.7) J
содержащим N + 1 член. о"
Заметив это, получим сейчас уравнение, которое должно по- *
зволить определять выражение рассматриваемого функционала §
в любой момент времени t, если задано выражение этого функ- J
ционала для начального момента ?=0. 1
Возвратившись к уравнению F.2), помножим обе его части i
на !f
П 0 + тв
и проинтегрируем по всем переменным Хи причем по каждому
из них интеграцию распространим на все пространство Qy.
Получим
П
или, ввиду специальной формы F.1) гамильтониана Я
п
-^1);^] П A + ти
Отсюда имеем
dLN
dt
( %* )

(!</•<!< AT)
x [<D(K-<7S|); D П
? и потому, принимая во внимание симметрию D по отношению
С к любым перестановкам между Xi,..., *w, можем написать
S
У> D П \l + iru{
v /V
, iV(iV-l)
2
Qy
X |<D(|<7 —f'l); ? П (l + — "(jq^l d*d#, G.8)
\i f fi/ 111 Л/ /I
где
^ = (9,P); У
Положим теперь для сокращения
и заметим,
Г
I
E(x,y,u)=D
П (i
C<t<iV)
что по определению скобок
Qy Qy
у, дф(||/—ly' |)
<l<a<3) dq<X
f дЕ(х, у
+ ^-"(^,))
Пуассона
, и) дЕ(х, у, и)
dp*
Поэтому, обозначая через М бесконечное трехмерное прост-
58 ранство импульсов, имеем

Qy Qy A<а<3) V V -8-
>x
s
Af Af
Но плотность вероятности Z)(x, у, Хз,..., ^n), а следовательно, S
и ?(х, j/, и) должны быстро стремиться к нулю при возрастании ?
\р\ или |//|. Поэтому х
Л1 Af
А1 М
7
И МЫ ВИДИМ, ЧТО 2
J J[O(| 9-9'l); E(x,y,u)]dxdy = O.
Qy Qy
Совершенно аналогично можно убедиться также, что
J [#(*); E(x,u)]dx =
QV
= J [Г (р); Е (х9 и)] dx + J [(/у (9); ? (jc, a)] dx = 0.
Благодаря этим тождествам уравнение G.8) может быть представ-
представлено в форме
* П 0 + i»
oV
Qy
x\<b{\q-q'\); D f]
L C<^
5?

из которой на основании G.3) и G.4) имеем
Qv
пу
V
т v
i
у J J («W«(у) + у«(*) + -?-«
Совершая здесь предельный переход, получим
S —— = I и (х) \Т (р); —
dt
ICC/ 1 1 \
2 J J \ v v I
X I Ф (| q — q' I); ~—-—\dxdy. G.9)
^8
Аналогично, переходя к пределу в G.7), напишем
1
7ГГ J
... u(xs)dxt ... dxsy G.10)
ввиду чего
Можно заметить поэтому, что, применяя к обеим частям
уравнения в функциональных производных G.9) операцию,
);
мы придем опять к системе уравнений F.10) для функций рас-
распределения.
Во всем нашем изложении, как сейчас, так и в предыдущей
главе, предельный переход N-*~oo совершается чисто фор-
формально.
Мы не рассматриваем при этом сложную математическую
60 проблему о точной формулировке тех условий, которые нужно

наложить на исходные данные, например, на вид потенциальной S
функции Ф(г), чтобы обеспечить проведение строгого матема- |
тического обоснования законности такого предельного пере- в-
хода. Ограничимся лишь замечанием о том, что благодаря *§
тому, что молекулы не могут сближаться между собой на рас- 5
стояние, меньшее их диаметра 2г0, разложение G.7) для Ln Z
оказывается сходящимся равномерно по отношению к N для 5
любой функции и(х), достаточно быстро убывающей при воз- К
растании \q\> например, для любой функции, удовлетворяющей Б
неравенству "
,„/.м^ М GИ) |
в котором М, y (y>3) —положительные постоянные. Для до- §
казательства справедливости этого утверждения рассмотрим 9
произвольную функцию f(xi,..., xs)y удовлетворяющую нера-
неравенству
и построим выражение вида
Имеем, очевидно,
Но так как молекулы не могут сближаться на расстояние
(между их центрами), меньшее 2г0, то в правой части нашего
неравенства мы можем ограничить интеграцию только той об-
областью фазового пространства всей системы, в которой
\Яг—<Ы^2г0, и потому
G.13)
где / обозначает величину, большую любого значения суммы
G.12) 1
I
в области, где всегда \q%—qj\^2r0 при \Ф\. Подсчитаем сей-
сейчас эту мажоранту /. Заметим, что в шаре |^|^г0 не может
лежать больше 23 точек q, а в шаровом слое Шо^\q\ ^ (л+1)г0 61

ж не может находиться больше (я+2K—(п—IK этих точек. Сле-
| довательно, в рассматриваемой области
t Y д ^ д /у , v Qp+2K-(/p-iK I ^
I
? Так как у > 3, то ряд
jj является сходящимся, и мы можем положить
1
% С другой стороны, по самому определению ё имеем
I . ^Г
= N(N-l)...(N-s + l)-±r J...
Qy Qy
X Fs^l» ••• >Xs) dxl ••• ^s
X^fe, ... , xs)dxx ... dxs
и потому на основании G.13) видим, что
Qy Qy
X Fs(Xli ... , jc,)^ ... dxs<CJ*v*. G.14)
Это неравенство справедливо для всякой функции f, удов-
удовлетворяющей неравенству G.12). Положив здесь f=u(xi) ...
62 ... u{xs), убеждаемся, что абсолютная величина s-rd члена ряда

G.7) ограничена не зависящей от N величиной — (MJv)sf ряд х
s! g
из которых всегда сходится. Это и доказывает сделанное ут- #
верждение. В тесной связи с доказанным утверждением из не- §
равенства G.14) нетрудно установить, что последовательность 5
функционалов {LN} является компактной для класса функций |
и(х) удовлетворяющих неравенству G.11), т. е. что из любой 5
ее последовательности {LN} можно выбрать сходящуюся после- S
довательность. Таким образом, всегда существуют предельные **
функционалы L. Если бы предельный функционал был единст- "
венным, то вся последовательность {LN} была бы сходящейся: §,
Ln-*L при N-+oo. С другой стороны, существование различных 2
предельных функционалов влечет за собой существование раз- ?
личных предельных распределений вероятности динамических S
состояний, и потому в этом случае физические свойства системы у
будут существенно зависеть от специального способа удаления |
на бесконечность граничной поверхности, хотя бы при этом ?
плотность N/V и оставалась постоянной. 5:
Итак, вопрос о математическом обосновании совершаемого |
формального перехода к пределу сводится по существу к мате- g
матической расшифровке тех условий, которые обеспечивают *g
существование определенных объемных свойств у рассматри- ?
ваемой системы.
В заключение заметим, что для случая статистического
равновесия сделанное замечание о равномерной сходимости
разложения LN совместно с тождествами B.17) достаточно
для проведения строгого доказательства соответствующих пре-
предельных теорем.
8. Релаксационные процессы в
вероятностных распределениях
Перейдем теперь к исследованию задачи о фактическом
определении функций распределения, для чего будем исходить
из нашей основной системы уравнений F.10).
Ограничимся здесь рассмотрением того случая, когда взаим-
взаимный потенциал Ф(г) соответствует короткодействующим силам
обычного типа и концентрация частиц является малой. В этом.
случае для фактического решения уравнений F.10) целесооб-
целесообразно воспользоваться разложениями по степеням плотности
числа частиц l/v. Элементарные соображения метода подобия
показывают, что в действительности такие разложения совер-
совершаются по степеням «безразмерной плотности» rl /v> которая,
во всяком случае для газов, может считаться малым парамет-
параметром. 63

S Попробуем сначала рассмотреть обычную форму степенных
| разложений, полагая
| F9 = jfi+±Fl+-±rF2g+ ... (8.1)
I Тогда, подставляя эти разложения в обе части уравнений
S F.10) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
S параметра, получим
i
о
О 1
| _^?_ = [tfs; FJ] f ?[ ? Ф(|*-*+,.!);*?+,]**+,. (8.2)
[
S Q (K:i<s)
I Как видно, все эти уравнения будут уравнениями типа
| х19 ... , *s) _
dt
= [Нь(хх, ... t xs); cp(/, *,..., ^s)] + /(/, ^, ... , *,). (8.3)
Для построения их решений рассмотрим вспомогательную
«задачу s тел». Возьмем s материальных точек с массой т,
свободно движущихся в неограниченном пространстве и взаимо-
взаимодействующих посредством центральных сил, происходящих от
взаимного потенциала Ф(г). Мы имеем здесь, следовательно,
динамическую систему с гамильтонианом Н8. Интегрируя соот-
соответствующие канонические уравнения с гамильтонианом HSf
мы можем определить динамические состояния X(t> Xit..., xs)
рассматриваемых s материальных точек, которые они прини-
принимают в момент времени t, при условии, что в начальный момент
они находились в динамических состояниях Xi,..., xs.
Введем оператор Sf\ заменяющий х1у ... , xs соответственно
на Xlt ... ,XS
и заметим, что тождественно
—— S&t1p(x19 ... 9xs) = [Hs(xly ... 9xs); S®fty(xi> • • •
dt
Поэтому, совершая в уравнении (8.3) замену неизвестной
64 Y \t> Хх, . . . , Xs) — о_/ U \1У лц, • • • , Xs)9

мы можем написать
Hs) du(t, *!, ... , xs)
*-* dt ~ •
или
du(t, xx, ... , xs) _ ^(S) г у
dt " ' n
Отсюда имеем
u(t, xlt ... , xs) = u@,x1, ... , xs) 4- JSis)/(t, AJi, .. • , *s)dt =
и
ffl
= Ф @, x19 ... , *s) + \ Sf/(t, x19...9 xs)dx. |
Итак, убеждаемся, что с помощью введенного оператора |
уравнение (8.3) решается квадратурой |
= S®t Ф @, jclf ... , jcs) + j S%-x) / (t, x19 ... , *s) rft, (8.4) J
0 Q.
ибо c
Используя эту квадратуру, из уравнений (8.2) получим
F°s(t, xlf ... , х3) = SM(O, xlf ... , xs);
7.1 (f, xl9 ... , jc.) = S^Fi @, ^, ... , xs) + J {
X
x ? I [ф (I * — ft+i I); ^s°+i (t, х2, ... , xs+i)]dxs+i) dx
и, подставляя эти выражения в (8.1), найдем
Fs(tt xl9 ... , *s) = S®tF°s@, xl9...9 xj
v
t
@, *!,..., xs+1) 1 dxs+i] dx + -i- ...
65
3 H% H. Боголюбов

2 Таким образом можем получить следующие формальные вы-
| ражения для функций распределения:
¦®" F (t х х) =
t
a (i<i<s)
, xlt ... , xs+l)jdxs+l}dx+-±- ... ; s = l,2
I ° (8.5)
S Заметим, что эти разложения имеют простой физический
'§ смысл. В первом приближении
| Fs(t,xu ...,x,) = S&Ft{0,xt, ... ,xs), (8.6)
i эволюция распределения вероятности динамических состояний
5 комплекса s молекул совершается так, как будто этот комплекс
| движется независимо от остальных молекул совокупности. По-
g правочный член в (8.5), пропорциональный l/v, учитывает
*§ здесь влияние остальных молекул, причем это влияние состав-
? ляется аддитивно из влияний каждой из них на рассматривае-
рассматриваемый комплекс.
Рассмотрим сейчас вопрос о пределах применимости изло-
изложенного способа степенных разложений. Для того чтобы соста-
составить себе некоторое представление о порядках величин по ме-
методу подобия, целесообразно ввести соответствующие единицы
длины и времени, при переходе к которым функции, входящие
в наши уравнения, принимали бы значения ~ 1 и основные
значения интегралов по фазовому пространству происходили
бы от областей аргументов ~1. За такие единицы измерения в
рассматриваемом случае, очевидно, следует взять Го и го/иСр где
Мер обозначает среднюю скорость молекул. Тогда нетрудно
убедиться, что поправочные члены в формулах (8.5) имеют
г3 /
порядок величины главных членов, умноженных на—^- Л\ ——
v I иср
Таким образом, основным условием применимости асимптоти-
асимптотических приближенных формул, которые мы получаем для
малых значений rl /v, оставляя в разложениях (8.5) один-два
члена, является условие
Рассмотрим функцию распределения импульсов одной мо-
66 лекулы:

w
(t, p) = Hm -1 \Fx(t, x)dq = lim -L [Fx(t, q, p)dq
V-»oo V J V-Юо V J
.§.
о
и заметим, что в первом приближении эта функция не изме- о
няется со временем: g
1 Г m *
w (t, р) = lim — \ S—t Fx (О, qt p)dq = о
v 2
m
и потому зависимость данного распределения от времени может *
появиться лишь при учете поправочного члена. Таким образом, g
формулами (8.5) можно пользоваться лишь в том промежутке S
времени, в течение которого распределение импульсов одной |
молекулы не успеет еще заметно отойти от своего начального «
распределения и потому, для того чтобы получить кинетиче- g.
ское уравнение, которое позволило бы исследовать эволюцию з
распределения импульсов в течение времени, достаточно дли- ф
тельного для того, чтобы заменить приближение к некоторому 5
стационарному распределению, например к максвелловскому, 2.
следует отказаться от принятого нами элементарного способа
разложения и разработать более эффективный метод1.
Заметим, что совершенно аналогичные трудности встреча-
встречались в самых разнообразных вопросах, приводившихся к реше-
решению дифференциальных уравнений с малым параметром.
Так, например, при исследовании движения планет в астро-
астрономии и при исследовании нелинейных колебательных процес-
процессов в нелинейной механике непосредственное разложение реше-
решений соответствующих дифференциальных уравнений в ряды,
расположенные по степеням малого параметра, приводит к при-
приближенным формулам, непригодным для достаточно длительно-
длительного изучения процесса.
Характерной особенностью всех формул этого типа являет-
является наличие в них так называемых секулярных членов, интен-
интенсивность которых увеличивается с возрастанием времени,
благодаря чему степень точности получаемого приближения
ухудшается. Нетрудно установить наличие подобных членов и
в наших формулах (8.5).
Заметим, однако, что теперь для указанного круга вопросов
уже существует целый ряд методов, позволяющих получать
1 Изложенный метод оказывается, впрочем, пригодным для рассмотре-
рассмотрения стационарных решений. Он может также применяться в случае системы,
находящейся во внешнем периодическом поле, для исследования периоди-
периодических решений, € периодом изменения поля. 67

2 более эффективные разложения, не содержащие секулярных
| членов. Упомянем, например, о методах нелинейной механики,
¦е- разработанных автором настоящей статьи совместно с акад.
*g H. М. Крыловым [15]. Для решения поставленной проблемы
5 построения кинетического уравнения мы и воспользуемся здесь
I основной идеей этих методов.
и Прежде чем приступить к этому, рассмотрим поведение кор-
J5 реляционных функций распределения Fs{s^2) исходя из фор-
** мул первого приближения (8.6). Ограничимся для дальнейшего
" теми случаями, в которых потенциал Ф(г) будет монотонно
? убывающей функцией г, т. е. случаями, в которых, следова-
S тельно, между молекулами действуют лишь силы отталкива-
? ния. Тогда во вспомогательной задаче 5 тел все материальные
§ точки разлетаются на бесконечность:
i Далее, поскольку потенциал Ф(г) и обусловленные им силы
? взаимодействия весьма быстро исчезают при г^гОу эти мате-
I риальные точки движутся практически равномерно и прямоли-
J нейно, когда все расстояния между ними велики по сравнению
g^ с /*о; к тому же при увеличении этих расстояний движение
с быстро приближается к полной равномерности.
Таким образом, импульсы S{ltPi приближаются к опреде-
определенным предельным импульсам:
S^tPc+P?(*!, ...9xjit-+. + oot (8.7)
причем быстрота приближения обеспечивает справедливость
соотношений
Г {Р?
О
- S^ Pi) dx,
t {Pls) - S®t Pc} -> 0, t-++oo, (8.8)
из которых следует, что
т- т J
о
S%qt f t-+tf, t-> + oo, (8.9)
68 m

где
оо
Pf> — S^xPi}dx. (8.10)
jj
I
I
Заметим теперь, что поскольку движение в упомянутой за- |
даче s тел отличается от равномерного лишь пока расстояния «
между материальными точками будут ~/*о, а длительность их 5
пребывания й такой окрестности будет ~/*0/аср, то когда \qi— jj
—<7j|~ro> эффективная длительность процессов приближения х
(8.7), (8.9) будет иметь порядок величины го/аср. 5.
После этих предварительных соображений о свойствах one- 2
ратора Sf обратимся сейчас к исследованию корреляционных >g
функций распределения (8.6). Разумеется, что с чисто матема- g
тической точки зрения начальное распределение вероятности |
может быть задано произвольно, однако, для того чтобы оно г
соответствовало реальным физическим условиям, необходимо |
учесть при его выборе свойство ослабления корреляции между *
динамическими состояниями молекул, удаленных друг от друга. |
Возьмем s фазовых точек xiy ...,х8 для которых \qi—<7j|~ro> J
и заметим, что для т>Го/г/ср будем иметь |S-t*fc— S^Tgf|>r0. ?
Напомним также, что в первОхМ приближении комплекс s моле- с
кул движется так, как будто бы он был изолирован от осталь-
остальных молекул совокупности, т. е. так же, как в нашей вспомога-
вспомогательной задаче «5 тел». Длительность приложимости первого
приближения обусловливается, как мы видим, неравенством
г<^— — и, так как -^->1, то первое приближение
может быть использовано на отрезке времени, большем по срав-
сравнению С Го/?/ср.
Рассмотрим теперь комплекс s молекул, которые в начальный
момент / = 0 находятся в динамических состояниях S-Xxit где
—^- . —г±— >т> —^—. Так как эти молекулы не только далеко
г\ "ер "ер
находились друг от друга (на расстоянии, много большем чем
го) в начальный момент, но и длительный период перед этим
моментом (длительный по сравнению с го/мСр) не находились в
интенсивном взаимодействии, т. е. не сближались на дистанции
порядка го, то, очевидно, корреляцией между ними в рассмат-
рассматриваемый начальный момент можно пренебречь и соответст-
соответствующее корреляционное отклонение
Ff(o,s«U, ...,s!fUs)- П Л<о,йи) =
69

П
о.
* должно практически исчезать.
g Наложим поэтому на начальное распределение вероятности
ф такие формальные условия i
*0; (8.11)
2 оо; s = 2, 3, ...
I Тогда, в соответствии с (8.6), (8.7), (8.9), (8.11) можем
g написать
(О у у)
*'.<М О- П
— П л(о, Qf— — t,
1 Очевидно, эти условия в рассматриваемом случае эквивалентны
условиям
fe @, хх, ... , xs) - П ^i @, хй)\ -> 0;
(l</<s) J
t->+«>; s = 2, 3, ..., (8.12)
в которых S^t обозначает оператор, соответствующий равномерному и
прямолинейному движению системы 5 материальных точек с гамильтониа-
гамильтонианом: T(pi)+ ... -\-T(ps). Условия ослабления корреляции в формуле (8.12),
вообще говоря, более общие, чем условия в формуле (8.11), так как они,
очевидно, должны выполняться и в том случае, когда Ф(г) не является
монотонно убывающей функцией и когда, следовательно, в задаче «s тел»
могут существовать движения, при которых эти тела не разлетаются на
бесконечность.
Заметим также, что условия (8.12) заведомо выполняются, если корре-
корреляционное отклонение
F, @, х1у ... , xs) -Ft @, *!)... Fx @, xs)
70 стремится к нулю при |<7*—<7j|-»-oo.

Итак, в главных членах (8.6) корреляционных функций распре- %
деления совершается процесс их синхронизации с функцией F\\ |
они приближаются к выражениям €•
П FAt.&.Pf). 1
(K/<s) I
которые в каждый момент времени полностью определяются х
формой распределения Fi для этого же момента. Заметив здесь, S
что из вышеприведенных соображений следует, что эффектив- JJ
ная длительность этого процесса приближения по порядку ве- |
личины определяется временем /*0/иСр. %
Таким образом, в эволюции исследуемых распределений мы 8
замечаем наличие двух процессов — «медленного» процесса из- *
менения функции распределения импульсов одной молекулы с 5
эффективной длительностью порядка . г° и «быстрого» |
процесса синхронизации корреляционных функций распределе- ?
ния с эффективной длительностью порядка ro/ucv. з
Этот «быстрый» процесс можно проследить с помощью на- о
ших формул разложения, поскольку они пригодны для f>rolucv, 5
а «медленный» процесс описывается ими, так сказать, лишьвса- а.
мом его начале, так как они пригодны только пока t < -^- . -^—.
rl «ср
9. Обобщенные уравнения Больцмана
Перейдем теперь к формулировке особого метода степенных
разложений, прилагая который к уравнениям F.10) мы сможем
уже получать кинетические уравнения.
Заметим, прежде всего, что кинетическое уравнение есть
уравнение типа
^Х=Л(*1;^), (9.1)
где А{хи Fi) представляет выражение, которое в любой момент
времени t полностью определяется формой распределения Fi
для этого же момента.
Таким образом, начальное распределение должно опреде-
определять распределение /ч для ?>0. Но, с другой стороны, основ-
основные уравнения F.10) показывают, что для определения какой-
либо из функций распределения, например Fu для />0, необ-
необходимо задать при ?=0 не только Fu но и все корреляционные
функции F2y F3,.... Ясно поэтому, что для того, чтобы прийти
к кинетическому уравнению, нам следует рассматривать такое
частное решение уравнений F.10), у которого корреляционные 71

g функции Fs для произвольного t>0 оказываются полностью
| определенными формой распределения Fx для этого же мо-
€• мента:
| Fs (U хг, ... , xs) = Fs(xl9 ...,хь; Ft); s > 2. (9.2)
| Как видно, Fs зависит здесь от t лишь через посредство F\.
С Разумеется, такое решение не является общим, ибо начальные
g распределения вероятности динамических состояний комплек-
S сов 5 молекул Fs@, xu .., xs) не могут задаваться произвольно,
Ц поскольку они полностью определены заданием начального рас-
i пределения Fu т. е. заданием одной функции Fi@, х), которая
g одна только и будет играть роль «произвольной постоянной
* интеграции».
g Тем не менее ввиду ранее изложенных соображений можно
© ожидать, что и при общих физически допустимых начальных
| распределениях корреляционные функции будут быстро при-
? ближаться к выражениям (9.2), соответствующим рассматри-
5: ваемому частному решению.
з Итак, поставим задачу об определении выражений, стоящих
| в правых частях (9.1), (9.2), таким образом, чтобы выражение
*g Fu F2(xu x2\ Fi),..., в которых Ft представляет решение урав-
? нения (9.1), удовлетворяли уравнениям F.10). Будем решать
эту задачу с помощью разложений по степеням плотности 1М
подбирая их коэффициенты так, чтобы выражения
г* • г* i/ v V* 1 —— Р (y V* V* • г* ^ {
•* 1> Л S \Li Л1» • • • > ЛБ/ 1 S \Л1» Л2» * * ' » AS> 1/ »
+ —F\(xl9 ...,xs;Fx)+ ..., (9.3)
v
в которые вместо Fi подставлено решение уравнения
^р 1 1
— = Ао (хх\ F±) 4 Аг (хг; Fx) -\—- Л2 (хх\ гх) + • • •» (9.4)
dt v
формально удовлетворяли уравнениям F.10). Написав F.10)
для s=l, видим сразу же, что
А (хх; FJ = j[Ф(\qx — q2\); F°2(xlt x2; Fx)]dx2,
Ar (хг; Fx) = f [Ф (| fc - q, \); FT1 (x» x2; Fx)] dx2. (9.5)
h
Далее, пусть
72 ^(^i> • • • >**> ^i)

будет каким-то выражением, которое для каждого / полностью *
определяется формой распределения Ft для этого же момента. |
Составим вариацию в-
(хг, ... , xs\ Fx) = ф(Xi, ... , xs\ rx, orj), g
соответствующую вариации б/ч, и заметим, что она линейно за- |
висит от 6Fi. 5
Имеем поэтому благодаря (9.4) «
dt
т.е. S
ID
где Dr обозначает оператор дифференцирования по t (которое i
входит в г|) через Fi) с последующей заменой dFi/dt на Аг. -
Заметив это, подставим формальные разложения (9.3) в g
обе части уравнений F.10) и приравняем коэффициенты при 5
одинаковых степенях параметра. Получим а.
(9.6)
Чтобы решить эти дифференциальные уравнения относи-
относительно Fg, Fs, ..., нам необходимо задаться соответствующими
граничными условиями.
Для этого будем исходить из условий ослабления корреля-
корреляции в форме (8.12), налагая их на всякое начальное распреде-
распределение Fs, совместимое с рассматриваемым частным решением.
Так как все такие распределения получаются при подстановке
в Fs(xu ...,#s; Fi) различных распределений Fu то мы напишем
граничные условия в следующей форме:
S% {Fs (xlt ...,*,; SVFJ - П (S?^)} - 0. (9-7)
oo,
предполагая, что они выполняются.для произвольного распре-
распределения. 73

S Ограничимся здесь для простоты опять тем случаем, в кото-
| ром взаимный потенциал монотонно убывает с увеличением
•в- расстояния.
*§ Тогда условие (9.7) можем заменить условием вида
| SS1X {Fs (*lf ... , xs; S^Ft) - П №1)} -*¦ 0; t -> + oo.
о (Kt<s)
g Таким образом, приходим к следующим граничным условиям
U для коэффициентов разложений (9.3):
I
(
4-оо. (9.8)
| Приступим теперь к решению уравнений (9.6) с граничными
* условиями (9.8). Заметим, что переменная t сюда не входит и
| наша задача состоит в определении выражений Frs; Ar как
J функционалов от произвольной функции Fi{x). Решив эту за-
g_ дачу, мы найдем в явной форме и кинетическое уравнение (9.4)
с и корреляционные распределения (9.3). Разумеется, в правые
части (9.3), (9.4) мы должны подставить вместо Ft выражение
Fi(t, x)y зависимость которого от параметра t определяется
кинетическим уравнением.
Итак, возьмем первое из уравнения (9.6), заменим в выра-
выражении F^ ее произвольный «функциональный аргумент» F{ на
S^x/7! и заметим, что по определению D благодаря (9.5)
имеем тождество
Поэтому
-2-F°9(xlt..., хь] S^FJ = [Я,; F°>(xi>-.-> хш; S^FJ],
ox
откуда
F°a(xlt..., xs; SiL^) = S^xF°$(xlt ...,хя; Рг)
и
F°s (Xl9 ...,xa; Fx) = SM (xl9 ... , xs; S^F,). (9.9)
Так как это равенство имеет место для произвольного т и
его левая часть не зависит от т, то, принимая во внимание гра-
74 ничное условие (9.8), мы можем написать

F°s{xv ...,*,; FJ = lira SM(*If .... *s; S?^) =
+
1
= lim S% П (Sr^i(**))•
T"*+°° A</<s)
Но, с другой стороны, x
u
2. П № (*<))= П ^(s^
Поэтому, ввиду (8.7), (8.9), имеем окончательно 2
^(*1Э ... , хъ\ F±) = П Fi (Q?\ ^S))» (9-l°) 1
d</<s) |
откуда, в силу (9.5), находим з
x*. (9.11)
Перейдем теперь к определению Fs и заметим, что выражение
уже известно:
^ —9s+il); П ^i(Q?+1),Pf+1)]^s+i. (9.12)
Имеем из (9.6)
= [Я5 (^, .... *s); Fj (xlt ... , xs; FJ] + ^ (xlt ... ,xs', Fx),
или, заменяя здесь произвольный функциональный аргумент Fx на
S^Flt 75

x ~T— ¦« s VH> • • • > XSy &—iri) —
X
I Так как это уравнение принадлежит к типу (8.3), то, при-
х меняя квадратуру (8.4), получим
и
т
О
что дает
F1 (у у . F \ <v(s) Fl (y y • ^A) F \ 4-
4
3
5
Это соотношение должно выполняться для любого значения
параметра т.
Принимая во внимание граничное условие (9.8), перейдем
здесь к пределу для т->+оо. Найдем тогда, что
Fl (xl9 .. - , xs; F±) = J S%% (xlt ...,хш; 8?%) dr. (9.13)
о
Зная это выражение, мы можем написать в явной форме
коэффициент при квадрате плотности в кинетическом уравне-
уравнении
= J [ф(I * - ъ I); J S-Ж(*i, ^2; sil)Fx) dtj dv2. (9. и)
й О
Совершенно аналогично можем последовательно определять
и другие члены разложений (9.3), (9.4).
Итак, приходим к следующим формальным выражениям для
функций распределения:
^s= П FiV><#)>pP) +
76

%% (*„..., xs; S?^) <*r + ... (9.15) |
I
и для кинетического уравнения: g
dFi (t, *i) = jT ^. ^ ^ j, + I
т 1[ф (ki ~ *'); Fi {ti Qf)>pf)) Fi {tf
(9.16) |
Отбросив здесь члены, начиная со второго порядка малости, I
получим кинетическое уравнение первого приближения в виде |.
dFl(t,g,p) _ Y1 р° afi(<.ft.ft) | I
+ y J [Ф (| <?i - 921); Fi (U Q?\ Pf) Ft (t, d\ Pf)] dx2. (9.17)
Q
Рассмотрим, в частности, пространственно-однородные рас-
распределения
для которых уравнение (9.17) принимает вид
{tp
= т I[ф ('qi -q*'); w {tt p?)) w {t>pf)
Покажем сейчас, что это кинетическое уравнение первого
приближения для пространственно-однородных распределений
только своей формой записи отличается от классического кине-
кинетического уравнения Болыщана.
В самом деле, из определения Pf следует тождество
для любой функции / импульсов Р{\\ ... ,Pf\ Таким образом,
имеем
= -1? (ft) ¦*- Т (р2); w {U P?) w (t9 Pf% 77

ф
>х
S
I
I
2
1
3
I
3
о
a
78
С другой стороны, импульсы Pf\ P(i> зависят от qiy q2 лишь
через посредство разности q2—<7i. Поэтому, выделяя интегра-
интеграцию по <7г и по р2. можем написать
i
-fi{2
(t,
(t,
p«-p? dw(t,Pf>)w(t,Pf>)
m
dq2dp2. (9.19)
Введем теперь для точки (qz) вместо декартовой системы
координат {q%} цилиндрическую систему, установив ее начало
в точке <7i. За цилиндрическую ось | возьмем прямую, проходя-
проходящую через точку #1 и параллельную вектору р2—ри причем ус-
условимся считать на ней положительным то направление, кото-
которое совпадает с направлением р2—Рь Радиус и полярный угол
будем обозначать соответственно через а, ф. Тогда, очевидно
т
— Pi
и поэтому
P? —pf dw(t,Pf)w[t,Pf)
m
<1«X<3)
} <*ь =
P2—P1
m
0 0 ' — <»
Ho
+00
1
-d6=a»(/,PP>)a»(/,if))
(9.20)
(9.21)
С другой стороны, Р{р (xv х2), ?22) (xlf x2) представляют им-
импульсы, с которыми в рассматриваемой задаче двух тел выхо-
выходят из бесконечности эти два тела в том их движении, в кото-
котором они проходят через динамические состояния Xi(qu Pi);
#2 (#2, Рг). Поэтому имеем
(9.22)
{Р? (х19 л:2)Ь -+00 = pi

J[Ф(К-<?21); w(t, Р?)w(t, Pf)]dx, =
ь
2Я оо
ил-^
О О (р2)
— w(t, Pi)w(t, p2)}dpzddadcf, (9.23)
dt v
О б (р2)
которое дает
[Ф (I Ях ~ Яг I); Л {U Q?\ Р?) F, (t, Qf\ F?)] =
— I-' \Pl) i * \P2/> "l U> 41 у * 1 ) * 1 U> У2 > ^2 )J "
род» ,
-2 (-.
(l<cx<3)
^HV^.Qf.Pf'1
- iC/- \", -X,^ 7 - «i / - 1 \"» ^1 7*1 / I —Q
где ри р2 представляют импульсы, с которыми выходят из бес- |
конечности указанные два тела в том их движении, в котором g
они будут уходить на бесконечность с импульсами р\9 р*г Ис- *
пользуя общепринятую терминологию классической теории g
газов, можно сказать, что p*v р*2 будут здесь импульсами «inoc- JJ
ле соударения», выраженные как функции импульсов «до со- 5
ударения» pi9 р2, а также «прицельного расстояния» а и угла <р g
р\ = р\ (л, р2> а. ф); р\ = р\(pi» P2»а» ф). S
Итак, на основании (9.19), (9.20), (9.21), (9.22) имеем тож- °
дество 5.
I
{а»(^р;)в»(Лрр-
- o#, px) a;(/, p2)}dp2adad<?. (9.24)
В общем случае пространственно-неоднородных распреде-
распределений уравнение (9.17) также можно аналогичным образом
трансформировать исходя для этого, например, из уравне-
уравнения (9.6):
X
благодаря которому кинетическое уравнение первого прибли- *>
жения для пространственно-однородных распределений дейст- ?
вительно может быть представлено в обычной форме Больц-
мана

i
!
Положим для сокращения
Q? -Ь-
- Яг = К,', Р? - а = /х; Р? - А =
S и заметим, что эти выражения зависят от qit q2 только через
« посредство разности q%—qi=q'. Заметим также, что
'.—Pi д
—Pi
т
" Мы можем поэтому написать
[<D(lfc-ftl);M*.
Pi — Pi
т
(Ka<3)
4-Л(*,*
^  * 2-* i^a v^> 9i ~г Аг> ^2 / "i \Ji q\ ~п Ai> *i //.
ю Таким образом, второй член правой части уравнения (9.17)
а. представится в форме
2Я
О 0 (р2) —о°
X F, (t, qx4-Kt,
- V —
л—* т
(Ka<3)
X
X
X F±(ty q
(9.25)
Эта форма, хотя по виду и более сложная, дает возмож-
возможность исключить из правой части кинетического уравнения
производные потенциальной функции и тем самым значительно
облегчает переход от плавной формы Ф(г) к разрывной. Так,
например, в случае «модели упругих шаров», когда Ф(/*) =
= + оо для г<г0 и Ф(г)=О для /->0, нетрудно убедиться, что
член (9.25) может быть представлен в виде
2Я
тШ
—Pi
t (t,
r0/, pi) —
О 0 (р2)
— Fi (ty qXy Pi) Fx (t, qx — r0/, p2)} dp^adady, (9.26)
80 где / обозначает единичный вектор с направлением по оси ?.

Заметим теперь, что то кинетическое уравнение, которое по- S
лучается в обычной теории Больцмана для пространственно- |
неоднородных распределений, будет в наших обозначениях: €•
dFx(ty ft, рг)
dt
2Я °°
1 pfflJ
0 JJJ Г
0 0 (p2)
-FAt,
(
ч — p\
m
l<a<
quPy)Fx(u
 ^l(<-?l. Pi) ,
m a<^ '
q1,Pd}dp2adad<f.
(9
§
и
:тиче
i
¦
•27) §
Первый член в его правой части получается из представле- о
ния об инерциальном движении молекул в промежутках между g
соударениями, второй член появляется благодаря введению в J
рассмотрение особого стохастического механизма — механизма %
бинарных соударений. Оба эти процесса рассматриваются как |
неинтерферирующие, и полное приращение —— dt считается
dt
dt считается |
dt ф
g
равным сумме приращений, обусловленных инерциальным дви-
жением и соударениями. Кроме того, вводится так называемая
гипотеза молекулярного хаоса, на основании которой пол-
полностью пренебрегают корреляцией между динамическими со-
состояниями молекул.
Благодаря тождеству (9.23) мы видим, что обычное кине-
кинетическое уравнение (9.27) эквивалентно «испорченному» урав-
уравнению первого приближения:
.
dt
i - 921); Л (t, Яг, P?) F, (t, ql9 Pf)] dx2. (9.28)
Следует заметить, что методы классической кинетической
теории не могут быть непосредственно усовершенствованы так,
чтобы с их помощью можно было учитывать высшие степени
плотности или взаимодействие между инерциальным движе-
движением и соударениями.
Лишь в одном частном случае — в случае модели упругих
невзаимодействующих шаров — Энскогу удалось получить [18]
правильное выражение (9.26) для члена соударений. По наше-
нашему мнению, это оказалось возможным лишь потому, что в этом
случае корреляция при выводе учитывалась тривиально. Стоит 81

2 только принять во внимание, что при соударении двух молекул
| их расстояние должно равняться 2г0.
в- Различие между правильным кинетическим уравнением
*g первого приближения (9.17) и обычным уравнением' (9.28) вы-
5 ступает при переходе к уравнениям гидродинамики. Как из-
| вестно, уравнения гидродинамики, получающиеся из уравнения
и (9.27), соответствуют среде с уравнением состояния идеального
Й газа. Исходя же из уравнения (9.17) или уравнений высших
« приближений, мы придем к поправкам в уравнении состояния,
" в коэффициентах вязкости и теплопроводности, расположен-
? ным по степеням плотности.
S Переход к уравнениям гидродинамики можно совершать
? здесь по методу Энскога — Чепмена [18]. Укажем сейчас на
S один вариант параметрического представления этого метода,
8 который нам представляется более естественным, чем тот, кото-
| рый излагается в известной монографии самого Чепмена [18].
? Чтобы прийти к уравнениям гидродинамики, условимся рас-
5 сматривать распределения с малой пространственной неодно-
| родностью, так что пространственные градиенты первого поряд-
g ка dFi/dqa могут считаться величинами первого порядка ма-
*§ лости, градиенты второго порядка d2Fi/dqa dq$ — величинами
? второго порядка малости и т. д. Удобно ввести для обозначе-
обозначения порядков малости какой-нибудь параметр \х, например,
го/1 — отношение эффективного радиуса действия молекуляр-
молекулярных сил к длине, характеризующей линейные размеры прост-
пространственной неоднородности.
Будем рассматривать, таким образом, распределения вида
^1 = /('.М.р.И). (9-29)
Для избежания лишних преобразований координат и явного
введения длины /, определенной лишь по порядку величины,
целесообразно считать в (9.29) \х формальным параметром и в
окончательных формулах положить его равным единице, ибо
нетрудно видеть, что разложения по степеням \х для изучае-
изучаемых распределений эквивалентны разложениям по степеням
го//, поскольку в получающихся рядах степени \х умножаются
на соответствующие степени г©//. Мы можем поэтому говорить
о величинах порядка малости \i, \х2, ... (jjt= 1!), подразумевая
здесь величины порядка малости Го//, (го//J, ...
Следует сразу же заметить, что непосредственное разложе-
разложение f по степеням \х:
f(t, Е, р, и) = /0(f, g, р) + |iM*, Е, р) +- . • •
представляет неудобства, аналогичные тем, с которыми мы
82 встретились, по другому поводу, в § 8.

(9.30)
В самом деле, подставляя разложение
Fx = /0 (t, \iq, p) + (i/x (t, \iq, p) +
в уравнение (9.17) и приравнивая коэффициенты при одинако-
одинаковых степенях \х, получим
df0 (Л уд, р) __
dt
|
о
= — f
- q* I); /о (Л и. М2>) /о 0, и.
или
2Я
ot
т
(9.31)
J
О 0
- /о (^, М, Pi) /о С
Решение этого уравнения будет приближаться к стационарному
выражению
|
с временем релаксации порядка
—
Введем в рассмотрение среднюю плотность, скорость и кине-
кинетическую энергию в точке q:
= [F1(t,q,p)dp;
()
(р)
P(t, q) J m
(p)
^
1(t9qtp)dp-T(mu).
(p)
Тогда, в первом приближении
Р =
u(t,q) =
J
— /о (Л
m

\
T(p)h(t, M, p)dp
T(mu). (9.32)
о Но, с другой стороны, из уравнения (9.30) нетрудно убедиться,
JE что
и
5 д
2
w dt
ш (Р)
ft
(P)
Таким образом, в первом приближении средние плотности,
скорость и кинетическая энергия в любой данной точке не за-
висят от времени. Поэтому
\ р = BятрK/2 С; и = — а; 9 = р.
С т
т
Зависимость «гидродинамических функций» (9.32) от вре-
времени может появиться, следовательно, только при учете попра-
поправочного члена, пропорционального \i.
Отсюда видим, что приближенными асимптотическими фор-
формулами, получаемыми на основе принятого способа разложе-
разложения, можно пользоваться лишь в том промежутке времени, в
течение которого гидродинамические функции не успеют еще
заметно отойти от своих начальных значений, т. е. в промежутке
времени порядка г° . -iL. Поэтому, для того чтобы по-
«ср г30 г0
лучить уравнения гидродинамики, которые позволили бы сле-
следить достаточно долго за временной эволюцией величин р, и, Э,
необходимо отказаться от вышеуказанного элементарного спо-
способа разложения по степеням \х и развить более эффективный
метод.
Сформулируем его по аналогии с методом, примененным для
получения кинетического уравнения из уравнений F.10). Рас-
Рассматривая эволюцию распределения Fi с помощью разложения
(9.31), мы заметим наличие двух процессов — «медленного»
процесса изменения гидродинамических функций и «быстрого»
процесса изменения Fi. Этот быстрый процесс проявляется уже
84 в первом члене и состоит в синхронизации /ч с гидродинами-

Го
"ср
V
s
X
«
i
ческими функциями. В течение времени порядка
функция /о приближается к выражению
полностью определенному гидродинамическими функциями. S
Таким образом, желая получить уравнения гидродинамики, ?
т. е. уравнения для изучения «медленного» процесса эволюции *
гидродинамических функций, поставим задачу об определении I
коэффициентов разложений так, чтобы выражения о"
Fx (t, qy р) = /0 (\tq, р\ р, и, 0) + \i Д (\iq, р; р, и, 6) + ... , (9.33) %
в которые вместо р=р(?, |); u=u(t, |); 0=0(?, |) подстав- |
лены решения уравнений: |
|
> и, 6) +№(?; Р, ^> в)
dt
(9.34)
удовлетворили кинетическому уравнению. Здесь выражения
/г(Еэ Р; Р. и, 0), /?Г(Е; р, а, 0), t/?(E; p, а, 6), Or(g; р, а, 6)
в каждый данный момент t полностью определяются формой
зависимости р, и> 0 от | для того же f.
В соответствии с (9.32) здесь
р (t9 I) = J {/0 (g, р; р, а, 6) + \i /x (g, p; р, и, 0)
J{/o(E.p;p.f)+|/1(g,p; p,,)+ }(p)p
(р) 85

I Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
« нях [1, имеем дополнительные условия:
1 Р(М)= J/o(?>P; P> ufQ)dp; |Д(|,р; p,a,6)dp = 0 ... ,
S = f — /o(I,p; P, «, 6)dp; ^Ad.pjp, ы, 6)dp=0 ... ,
С») (р)
S о») (р)
I (9.35)
g важные для возможности полного определения выражений
5 fo, fi,...
3 Разложения (9.34) начинаются с членов первого порядка,
g так как решения изучаемого типа (9.33) при полной однород-
ности (fx=O) должны соответствовать равновесному распре-
делению.
Будем исходить из общего кинетического уравнения
дМ*» Я, Р)
dt
+ -f Аг (9, р; Fx) +~А2 (<?, р; F,) + ... , (9.36)
в котором, как ранее было установлено
- яг I); ^Г1} (^. ^; *i)l ^ (9-37)
Для определения коэффициентов наших разложений нам
надлежит подставить (9.33) в (9.36) и при выполнении диффе-
дифференцирования по времени воспользоваться уравнениями (9.34).
Кроме того, из (9.33), (9.35) и (9.36) имеем непосредст-
непосредственно
86
,р; Р, «, 6) -f- |л2 /а (|, р; р, и, 6) -t- ...

• —ЛО?>р; /о + иЛ. + •••) + .--[Ф; (9.38)
е-
о
П—
О { v
I
a.
8
(9-39) 1
*
A«х<3) (р) "• "* |
О
(р)
(<?» Pi /о + n/i + • • •) + • • • I T(p)dp. (9.40)
+
Разлагая правые части (9.38), (9.39), (9.40) по степеням
|д. и сравнивая полученные уравнения с (9.34), получим соотно-
соотношения, определяющие коэффициенты Яг, (/?, Фг.
Заметим, например, что тождественно
(р)
= \ \ \ у lK ^lU r—\dp^dp = Q.
*) ц) *J шшшл до I dp ди\ )
<Р) (Qi) (Pi) A<а<3) п г Г1
Поэтому из (9.38), ввиду (9.35), получим гидродинамическое
«уравнение непрерывности»
dt
так, что
87

Рассмотрим сейчас степенные разложения
Л(<?>Р; /0+И/1+ ...) =
= tyrivQ* р'у /о) -t Hv(,u<7» p; /о» /i) -t-
Заметим, что для распределения вида
С можем написать
Д<?, р; w) = Ar (p; w) + \iBr&, p; ш)
(9.42)
(9.43)
g
8
8
i
о.
Здесь Ar(p\ w) имеют форму, соответствующую пространствен-
пространственно-однородному распределению так, что операции в Ar(p\ w)
не действуют на переменные g функции w. Выражение Вг, Сг
для данного go могут зависеть также от производных w no g,
соответствующих ?0.
Имеем, например,
А, (р, w) = f [Ф (| q - qx |); w (gf PB)) w (g, P?)] dxx =
2Jt o°
-Ш
0 0
Pi — p
{w (g, р*)ш (g, pi) — a; (g, p) a; (g, px)} dpxa da dtp
(9.44)
J [Ф (l 9 ~ 9l l); (QaB> ~ ^
X 4(g, PB))»(g, P?) + (Qf2) - tf) ^a(I, Pi2))»(g,
Возьмем, далее, разложения
Л(р;/о + ц/х+ ...) =
= А, (р; /о) + ц Лг (р; /0, /х) + ц2 ЛДр; /0, Д, /2)
= вгF, р; /о)
X
(9.45)
88
= Сг (|, р; /0) -ЬцСг F, р; /о, Л) + • • • ,
(9.46)

в которых Лг(р; foy fi), Br(l, p; /o, fi),... линейны по отношению |
к ft, Ar(p\ /o, fu /2),... — линейны по отношению к f2 и т. д. |
Итак, имеем ¦В"
>х
= Ar (p; /c) + (x {Л, (p; /0, /x) + Д, (g, p; /0)} + |
+ fi2D(p; /о. Л, /2) + Br (g, p; /о, Д) + Cr (g, p; /0)} + ... (9.47) 1
Заметим, наконец, что а
x
-^L = ViD1F1 + ц2D2F2 -t ... , (9.48) |
dt g
где Dr обозначает операцию дифференцирования по t, входя- о
щему через р, и, 8, с последующей заменой др/dt, du/dt, dQ/dt g
соответственно на ^r, Ur, Фг. х
Теперь можем уже подставить разложение (9.33) в уравне- «
ние (9.36). Ввиду (9.47) и (9.48) получим §.
-у Л (р; /о) + -±г Л (р; /о) + . •. = о, (9.49) 1
-^Л(р; /о> /i) + -j-At(p\ /о, А) +...== I-
(9.50)
Далее, подставим (9.47) в (9.39), (9.40) и сравним полу-
полученные уравнения с (9.34). Замечая, что тождественно1
= O, ... , fT(pL(P,
(h)
1 Заметим, например, что для пространственно-однородного распределе-
распределения РГ2~~1 в формуле (9.37) может зависеть от q, q\ лишь через посредст-
посредство разности: ffl = фг (q — qu p, рц w).
Поэтому, так как форма Ат{р\ w) соответствует такому распределению
имеем*
Ar (p; w)= f [Ф (\q — q11); cpr (q — qlt p, /у» w)] dqx dpl9
откуда, интегрируя по частям,
JJ { j ^, а; ю) dpdp\dq =
(g) dq (p) (pi) 89

2 и потому
>х (Р) (Р)
$
Получим
С fJa_ V ^ fpV
j
(p)
S ¦^-I
(Ka<3)
з
-i-J7(pMia,p;/0)dp+ ..., (9.51)
(р)
(р)
«>* = - 2 ¦^¦1^0»)/х
b (p)
o> fl) + Cl {ly p;
Возвратимся теперь к уравнению (9.49). Имеем
(Р) (Pi)
Но из условий симметрии
и мы видим, что
и потому
90

где С, а, Р — произвольные функции. Определяя их с помощью g
условий (9.36), найдем |
fo~ Bл«в(ЛВ^ Р( в (/.6) Г (9'Б2) §
С помощью этого выражения мы можем благодаря (9.51) |
определить первые коэффициенты разложений (9.34). Тем g
самым определяется вторая часть уравнения (9.50). Решив это S
уравнение совместно с дополнительными условиями (9.36), *
найдем из (9.51) явные выражения для коэффициентов второго "
порядка в уравнениях (9.34) и т. д. 5.
Можно показать, что уравнения второго приближения, полу- 8
чаемые из формальных уравнений (9.34), при отбрасывании *
членов, начиная с третьего порядка малости, как раз и будут §
обычными уравнениями «гидродинамики вязкой жидкости» S
(включающими уравнение теплопроводности). 1
Таким образом, чтобы получить расчетные формулы для |
коэффициентов вязкости и теплопроводности, достаточно найти =с
решение линейного уравнения 3
1 ё
Л(р; Л» Д) +—4(р; Л» Л) + • • • = *8
и определить содержащиеся в нем произвольные элементы с
помощью условий (9.35).
В зависимости от v это решение ввиду линейности (9.35),
(9.50) можно искать в виде ряда
/i =»/? + /1 + -^ /? -f -jrfl t • ¦ ¦ (9.53)
Для определения коэффициентов его будем иметь1
т
(9.54)
Здесь Dp Dj, ... обозначают коэффициенты разложения
Di = Di +~Di+ ••• 91

>х
о
А (р; /о. fl) = - Л (р; /о. /?) - ^i (?> р; /о) + #! /0; (9.55)
X
§ Нетрудно заметить, что первый член ряда (9.53), определяемый
S системой (9.54), соответствует приближению Энскога — Чепме-
JJ на, основанному на обычном кинетическом уравнении (9.27).
" Так как последующие системы (9.55) имеют ту же форму, что
о. и система Энокога — Чепмена (9.54), то мы можем применить
8 для их фактического решения способ, изложенный в монографии
>х Чепмена, и таким образом найти явные значения поправочных
§ членов для коэффициентов вязкости и теплопроводности.
$ Заканчивая изложение настоящего параграфа, заметим, что
| полученные нами разложения (9.15) для корреляционных функ-
| ций распределения для случая
(9.56)
о^ переходят в известные разложения теории Урселла—Майера/
с Имеем в самом деле
W I
Но, исходя из закона сохранения энергии, во вспомогатель-
вспомогательной задаче двух тел нетрудно прийти к соотношению
в силу которого
Далее, поскольку для распределения (9.56) имеем тождест-
тождественно
А(р, и>)=0,
соотношение (9.12) дает
92

так как тождественно
Но, очевидно,
x
-±-ехр J ФA«к-»1) + ФA»=&1)-U,=
X
и, с другой стороны, *>
о
c
[Я2(*,*,); (ехр{-ф(|^-»') + ф('*-»|)} -1)
Таким образом, полагая для сокращения
можем написать в рассматриваемом случае
-1|> (xlt xz; w) = [Я, (*lf xj; С2 exp |- HA*q ^ j x
X j"{/(l9i—9.0+ /([^« —<7«[) + /(l<7i —9«I)/(J9« —
Ho, очевидно,
J/A9i -<?sI)<*<?8 = J/(I<?I)<*<? = const;
Яг-Яз\)с1д3= §f(\q\)dq = const 93

g и потому
е-
>х
о
|
Б Имеем, следовательно,
U
а
х
I
>х =
Я о
|
* Замечая, что
получаем окончательно
оо
о
= w(Pl)w(p2) A + f(\qi- q2\)) $ f(\qi-q2-q\) f(\q\)dq.
Итак, для стационарного распределения (9.56) наше разло-
разложение (9.15) принимает вид
Ft (xlt хг) = w(Pl)w(p.) {exp Ф(к1~'?—} X
X {l 4- -i-j7(l9i-9,-9|)/(l9l)d9
и мы приходим к известному выражению теории Урселла —
Майера, обобщением которой на случай кинетики и является
теория, излагаемая нами в настоящей главе.
В заключение заметим, что для получения кинетического
уравнения нам необходимо было допустить, что потенциальная
функция монотонно убывает с расстоянием. Если бы это допу-
допущение не было сделано, мы не смогли бы определить для лю-
94 бых динамических состояний такие величины, как, например,

Р{2){хи хг), имеющие смысл только для движений, удаляю- g
щихся на бесконечность. S
Не предпринимая существенного видоизменения излагаемо- е-
го метода, можно было бы устранить возникшую здесь труд- >g
ность, приняв S
I
где Фо(г)—потенциальная функция для сил отталкивания, u
еф(г) —для сил притяжения. Для реальных систем в обычных "
условиях можно считать 8 малым параметром, поскольку ин- 5.
тенсивность потенциала в зоне притяжения мала по сравнению 8
со средней кинетической энергией молекулы. В этом случае мы >*
смогли бы повторить рассуждения настоящего параграфа с тем §
отличием, что вместо разложений по степеням l/v нам при- ?
шлось бы иметь дело с разложениями по степеням двух пара- |
метров l/v и е. Таким способом мы устранили бы упомянутую |
трудность, поскольку операторы S® будут определяться здесь *
для потенциальной функции Фо(г) и, благодаря этому, будут *
соответствовать движениям, удаляющимся на бесконечность. J
о
Q.
10. Уравнения Ландау и Власова
В предыдущем параграфе для получения кинетического
уравнения были использованы разложения по степеням плот-
плотности.
Рассмотрим здесь другой возможный тип разложений — раз-
разложения по степеням малости энергии взаимодействия. Возь-
Возьмем модель совокупности, в которой можно положить
ф (/-) = ег|? (г) A0.1)
и считать е малым параметром. Заметим, что разложения по
степеням малости энергии взаимодействия весьма часто ис-
используются, особенно в квантовой механике, хотя, строго
говоря, допущение A0.1) для реальных систем соответствует
пренебрежению короткодействующими силами отталкивания и
тем самым идеализации, в которой мы отказываемся от учета
непроницаемости молекул и сглаживаем ход потенциальной
функции в окрестности г=0 таким образом, что Ф(г) оказы-
оказывается малой по сравнению со средней кинетической энергией
молекулы.
Приняв допущение A0.1), мы можем, почти без всяких из-
изменений, применить ранее изложенный метод. 95

? Будем исходить из уравнений F.10):
# s
о
? 4- — Г [ V I Л IV F
5 Q (Ui<s)
" и подбирать коэффициенты разложений так, чтобы выражения
Q.
О
+*Fl(x1, ... ,x&;F1)+ ... 9 A0.3)
g в которые вместо F± подставлено решение уравнения
I
2 формально удовлетворяли уравнениям A0.2).
| Написав эти уравнения для s=l, найдем сразу же, что
I
I AA;1)
Q
Л (xi, ^i) = -7
V
Чтобы определить коэффициенты разложений A0.3) для
2, подставим их в обе части уравнений A0.2). Получим
T(Pi); F°s(Xl xs; Fj] -D0F°s(Xl хь; FJ = 0;
A0.6)
- Dx F°s (xlt ... , xs; Fx) + [ J * (I'?'-'?/1)! ^ (*i» • • • A^i)] 4
+ J [ ? * 0 9* — ?s,+i I)• Fs+x (jfi, • • •, *s+i; Л)] dxn-i = o,
96 (Ю.7)

где, как и в предыдущем параграфе, Dr обозначает оператор §
дифференцирования по t (которое входит через Ft) с после- |
дующей заменой dFJdt на Ar(Fi). в-
Граничные условия ослабления корреляции возьмем в фор- %
ме (9.7) и потому будем иметь 5
fe № (xlt x2, ... , xs; S? Fx) - П (S?> Рг)\ -* 0; т ->¦ + oo, |
1 (i<f<s) ' ?
A0.8) 6
Так как тождественно
&t П (SPFO- П FM,
(Ю.9) i
О
Ф
z
то условие A0.8) можем представить в виде 5:
&. ... , jc.; S? FJ->• П Z7!^); т-foo, A0.10) |
Заметив это, приступим к решению уравнений A0.6), A0.7).
Возьмем уравнение A0.6) и заменим входящую в него
произвольную функцию Fx на S^xFlm Получим
д
xs; S—XF1) =
dt
откуда, по определению оператора S?» найдем
F°s(xlt ... ,*s; 5li)TF1)=&
или
§
F°s (xl9 ... , xs; Fx) = &T^(^, ... yxs; S^FJ.
Но так как это равенство должно иметь место для произ-
произвольного значения т и его левая часть не зависит от т, то мы
можем перейти здесь к пределу при т->+оо и написать, в силу
A0.10)
Fs° (xlf ... , xs; F±) = П ^i (*t)> (Ю. 11)
(Ki<s) 97
4 Н. Н. Боголюбов

I откуда, ввиду A0.5), получим
* Afe. Ft) = -^ Jfoflfc -fcl); F1(x1)^lfe)l^. A0.12)
« Перейдем теперь к решению уравнения A0.7). Имеем
х Dx F?(*!, ... , a:s; Fj) = Dt Y\ Fi fe) =
S
X — [¦ (I * - 9s+i I); Z7! (xt) F±
I Q (K«s) (K/<s+D
J и потому рассматриваемое уравнение может быть написано в
? следующем виде:
с
D0Fl(xl9 ... ,*s;^) =
fr F[(xlt ... .^Л
+ [ E ¦(lft-9/l); П F1fe>].
(t<t</<s) (\<i<s)
Отсюда имеем
д pi j ^(i) n,
= [ J] Г (Pi); Fife, ...,xt;S<L)tFl
1-«/1>; П (sUfx)]-
Интегрируя, получим
Fi fe, ... , *t; S^FJ = & Fi (лгХ) ... , xs; Ft)
98 о (K«</<s) (K/<s)

откуда |
Fl{xl,...,xtiFl)=s?xF\(xl,...,xtiS2)F1)+ ?
A0.13) ,g
J L ^™ J •-
Но, с другой стороны, благодаря свойству скобок Пуассона g
можем написать «
g
и. . 1—г /1Ч т Ф
7» —9il); s^t П (si^i)]. 5
Кроме того, S
^ . /I to — Pi) \\ i
1
& П (^4)= П f
Поэтому, на основании A0.13) имеем
Fl(xlt...t xs; Fx) = & F] fo *s; S?^)
+ [ 2 j\(|ft-«,-
A</</<H
Принимая во внимание граничное условие A0.9), перейдем
здесь к пределу для т->-+оо. Найдем тогда, что
Г8 (#1» • • • 9 Xs\ Г-jJ =
-[ S ММЧ)
s) 0 A</<s)
A0.14)
и, в частности,
F\(xx, x2; Fa) =
4*
Ы]. A0.15)

откуда ввиду A0.5)
>Х V
i. A0.16)
ш Указанный процесс можно продолжать и дальше. Итак, при-
I ходим к следующим формальным выражениям для функций
8е распределения:
1
— Г VI С . ( (О/—Di) I \ i 1 f r» /i
У. l^l Qi~~ Я} — "^—^-т ) dx; [ [ гг (t, х
"A</</<s) 0 A<г<$)
A0.17)
и для кинетического уравнения:
dt v
A0.18)
Заметим теперь, что
С другой стороны, предполагая, что \|>(г) достаточно быстро
исчезает при увеличении г, можем написать благодаря абсолют-
абсолютной сходимости соответствующих интегралов
100 I * *"

«Ml. *L_ ,,„ Ь„ _л |
»-<*}«-<>¦
• , др<
так как тождественно g
dp* С
(р2) ?
S
Имеем поэтому u
>x
о
4»
Таким образом, кинетическое уравнение первого приближе- ю
ния, получаемое из A0.18) при отбрасывании членов, начиная а.
со второго порядка малости, может быть представлено в виде с
V S
Введем функцию распределения координат
(й
и потенциал, обусловленный непрерывным распределением с
объемной плотностью — р
Тогда кинетическое уравнение первого приближения может
быть представлено в форме уравнения А. А. Власова с само-
самосогласованным полем [16]: 101

*
Q
5 Возьмем теперь частный случай пространственно-однородно-
S го распределения
5. В этом случае первые два члена в правой части общего ки-
g нетического уравнения A0.18) исчезают и потому, ограничи-
* ваясь здесь основнььм, третьим, членом, можем написать при-
g ближенное кинетическое уравнение в виде
I dw(tyP) =
| dt
I
= iwfrpjwiupjj^db. A0.21)
Раскрывая и упрощая правую часть A0.21), можем на-
написать полученное уравнение гакже в следующей форме:
^J dp? J
X Г"^ w(t, p2)— шу>™ w(t, pjUpt, A0.22)
где
a# (p) = i j,./«(r) dr ""•^p"" ; A0.23)
b
A0>24)
Впервые такой тип кинетических уравнений был рассмотрен
Л. Д. Ландау [17]. Скажем сейчас несколько слов по поводу
области его применимости. Заметим, что выражение A0.17)
102 для бинарной функции в случае равновесного распределения

1
дает *
*,(*!.*«) = {l- Ф(|<?1-?2|) }«(ft)«(ft). (Ю.25) |
Это последнее выражение может быть получено из формулы й
Больцмана: g
l, xt) ^w(Pl)w(p2) exp {-
° ' 3.
если мы разложим ее правую часть в ряд по степеням Ф и оста- g
вим в разложении два первых члена. При наличии короткодей- *
ствующих сил приближенная формула типа A0.25), очевидно, g
непригодна для малых г из-за отсутствия в ней множителя «
ехр ( ), «обрезывающего» бинарную функцию в области, I
в которой —— > 1. Наоборот, для сил, медленно убывающих *
9 з
при увеличении расстояния, например для кулоновских, она Ъ
будет давать неправильную форму убывания корреляции с ю
увеличением r=\qt—Цг|, ибо она не учитывает дебаевского g
экранирования, обрывающего корреляционное отклонение при
больших г. Вообще формула A0.25) может быть использована,
если, во-первых, может быть использована формула Больцмана
(для чего требуется достаточно быстрое убывание Ф(г) при
г-»-оо) и если, во-вторых, потенциал Ф(г) является достаточно
малым (по сравнению со средней энергией 0).
Совершенно аналогичные замечания могут быть сделаны
и по поводу кинетического уравнения A0.22). Так, оно может
быть получено из обычного кинетического уравнения Больцма-
Больцмана, если в нем положить ф(г)=еф(г), разложить его правую
часть по степеням е и ограничиться главным членом разложе-
разложения. Подобным способом оно и было установлено в упомяну-
упомянутой работе Ландау. Как видно из ранее сказанного, уравнение
A0.22) получается из точного соотношения
*°<№~±[1Ф(\Я-.Ч1)); F%(ttXtXl)]dxl9
ot v J
5.2
если в его правую часть подставить приближенное выражение
A0.17), обобщающее A0.25) на кинетический случай. Посколь-
Поскольку здесь происходит интеграция по всему фазовому пространст-
пространству Q, для пригодности уравнения A0.22) существенна закон-
законность приближенной формулы A0.17) и при малых и при
больших расстояниях. Так, например, для случая кулоновского 103

g взаимодействия интеграл, входящий в коэффициенты A0.23),
| оказывается логарифмически расходящимся и в окрестности
6- нуля и в окрестности бесконечности. Заметим, что сам Ландау
'§ рассматривал уравнение типа A0.22) как раз для систем с ку-
5 лоновским взаимодействием. Получив расходящиеся выраже-
g ния для коэффициентов, он исключил из интеграла вида A0.23)
и «опасные» области. Границы интегрирования указаны им при
S этом лишь по порядку величины, в связи с замечанием о неко-
« торой нечувствительности значения этого интеграла (из-за его
" логарифмической расходимости) к точному их выбору. Ясно,
? что такого рода обрывание интеграции, не вытекающее из
S самого вывода кинетического уравнения и наложенное «извне»,
? не может считаться удовлетворительным, и вопрос о построе-
S нии адекватного кинетического уравнения для систем с куло-
S новским взаимодействием остается открытым.
х
| 11. Кинетические уравнения для систем
* с кулоновским взаимодействием
g Перейдем теперь к изучению систем заряженных частиц. Для
*g простоты изложения, вместо того чтобы рассматривать электри-
электрика- чески нейтральную систему разноименно заряженных частиц,
мы возьмем здесь систему частиц с одинаковым зарядом, дви-
движущихся в облаке компенсирующего пространственного заряда
с равномерным распределением.
Как и в гл. 1, мы будем принимать во внимание лишь куло-
новскую слагающую потенциальной функции, полагая
ф<г)=А
Возьмем в качестве единицы длины дебаевский радиус г<*
1 __ 4я*?2
rd ~~ Во '
где 9 — величина порядка средней кинетической энергии моле-
молекулы, и за параметр разложения величину
считая, разумеется, что е<С1.
Используя указание гл. 1, мы можем не переходить на
самом деле к безразмерным величинам и проводить разложе-
разложения по степеням и, принимая только Ф(г) пропорциональным
у, в связи с чем положим
Ф(г) « w|)(r); *W =V
104

Для того чтобы не получить в кинетическом уравнении "
расходящегося интеграла, целесообразно «обрезать» 1/г для |
малых г и положить, например, €¦
Ф (/¦)= — {1— ехр(— %г)};
(П.2)
S
где
Расходимость интегрального члена в кинетическом уравне-
уравнении следует ожидать при точном кулоновском законе взаимо-
взаимодействия потому, что при нашем способе разложения второе
приближение для бинарной функции расходится при г<^га, а,
как мы видели, для кинетического уравнения весьма существен-
существенно поведение бинарной функции и на малых и на больших рас-
расстояниях.
Учитывая наличие компенсирующего поля пространственного
заряда, мы должны исходить вместо уравнений F.10) из урав-
уравнений вида
U(t,qt);F.]
в которых
t,q)= \F1(t,x)dP.
Отсюда, на основании A1.1), можем написать
dFs
dt
T(Pi) + U(t,qt);
a (i<«<s)
>x
i
i
ьA1.3)
(П.4)
105

? Эту потенциальную функцию мы можем также представить
| в виде
Z
5 поскольку для каждого t ее выражение полностью определяет-
| ся распределением Ft для того же момента времени.
Б Для получения кинетического уравнения из общих уравне-
S ний A1.5) воспользуемся нашей обычной методикой. Будем
« подбирать коэффициенты разложений так, чтобы выражения
| t ... ,xs; Fx) +
I +vF\(xl9 ... ,*,; Fx) f v*F2s(xlf ... ,jcs; F±) ± ..., A1.6)
g в которые вместо Fx подставлено решение уравнения
1 J^==Mx;F1) + vA1(x1;F1)+v*A,(xl;F1)+ ..., A1.7)
з формально удовлетворяли уравнениям A1.5).
| Написав эти уравнения для 5=1, найдем
Имеем, далее, для s > 2
+ [
и
К этим уравнениям добавим граничные условия ослабления
106 корреляции, взяв их в обычной форме A0.8), A0.9).

Нетрудно заметить, что уравнения A1.9) при этих гранич- |
ных условиях имеют очевидное решение g
ь ...,*.;/У = П Fiixt). (ll.ll) |
Подставляя полученное выражение в A1.8), найдем
ОД - A0(Xl; Л) = [Г(л) 1- {/fa, Fx); Л], A1.12)
является в рассматриваемом случае уравнением с самосогласо-
ванным полем
и, таким образом, кинетическое уравнение первого прибли- ^
жения г
§
[+/;/11]. A1.13) |
dt ^
Перейдем теперь к рассмотрению уравнений A1.10). Заме- х
тим прежде всего, что на основании A1.8) можем написать J
Al П ЛС*)= Е { П ^^)}^() I
v
П ^i(*/)}r
и потому
= J] f [фA^—ft+il); ^(^^s-fi; i7!) П
<1</<S)Q
Имеем, кроме того,
П
Таким образом, рассматриваемые уравнения A1.10) могут быть
представлены в следующей форме: 107

<l<i<s)
П
П FAxr).
I
0 Можно показать, что уравнения A1.14) с принятыми гра-
g ничными условиями имеют решение вида
| Fl(xly...,xs;F1)= ? g(xt9x,) П М*г). (И.15)
1 где
I g fe» ^2) = ^2 (^1, ^2#» ^i) A1.16)
2.
с является решением уравнения
Л ^а) = [71 (А) + Г (рг) ¦+ t/ fa FJ +1/ (W
+ J ЖI ft—& I);
4 й» (I <?! - <?21); Л to) Л M (i i. 17)
при соответствующих граничвых условиях
&«г(*1.^)-^0;т-* + оо. A1.18)
Определив отсюда функцию A1.16), мы сможем найти явное
выражение для
Л (*; Л) = J fo (I fc - fc I); * (*i. *I ^2 (П.19)
и, таким образом, получить кинетическое уравнение второго
приближения
-^- = Л(^;^) + ^1(^;Л). (П.20)

Рассмотрим сейчас частный случай пространственно-одно- 2
родного распределения: |
} A1.21) |
В этом случае потенциальная функция U исчезает, и пото- ?
му из A1.12) будет следовать, что Ьо=0. J
Но тогда уравнения A1.17) может быть представлено в виде S
а а в
Р2 Р\ og (Я, Pi, Рг) г, In ^ п\. /11 ОО\ 5
== ^W> Pi> Рг)> \li.ZZ) х
. Pt- A)=
2
Ф
с:
Pl"~
Заменив теперь в уравнении A1.22) q на q ——— т, получим
откуда
Л—р2_ Т) р^ р2 \ g ^ Pi> p2^ _
о
Но, с другой стороны, граничное условие A1.18) дает
Поэтому, переходя здесь к пределу, получим
Ь Piy Р2) = — \ G (^ i—— т, Pi> P2) Л. A1.24)
о У 109

$ Подставив сюда выражение A1.23), придем к интегрально-
| му уравнению, определяющему функцию g.
В- Положим
>х
о
\ S О?» Pi> P2) &Рг == ^ (<?> Pi) A1 «25)
Ы
и заметим на основании A1.19), что
8
? Таким образом, для нахождения явной формы выражения
о А\ достаточно определить функцию A1.25).
g Интегрируя A1.24) по переменной р2, получим ввиду A1.23)
следующее интегральное уравнение для определения этой
- функции:
2
О =
с" 1<<х<3 ~ri ' (д')фг) 6
ХЛ(— q',
-ИИ S
' 0 ()(l<<
ИИ ^ ' v "
' 0 (ft)(l<06<3)
X
-wipt)— K™ wipMdpidx. A1.27)
Заметим, что если бы мы применили приближение преды-
предыдущего параграфа, то в уравнении A1.27) оставался бы один
третий член, и мы имели бы тем самым явное выражение для
функции h. Интегральные члены — .первый и второй — являются
типичными для рассматриваемого случая, и именно ими обус-
обусловливается эффект дебаевского экранирования, «обрезываю-
110 щий» корреляционную функцию h(q, p) при больших \q\.

Определив выражение h=h(q, р\ w) для данного распреде- $
ления w, можем написать кинетическое уравнение в виде |
Интегральное уравнение A1.27) несколько упрощается за-
заменой функции h(q, p) ее фурье-отображением
h(q, p) =
I
так как для функции #(v, p) получается интегральное уравне- о
ние, в котором интегральные операторы действуют только на ?
переменные р. При этом, однако, для #(v, p) явное выражение о
через распределение w также сразу не получается. g
Против кинетического уравнения A1.28) можно выдвинуть, |
по-видимому, то существенное возражение, что оно справедли- *
во для сглаженного кулоновского взаимодействия §.
а для точного кулоновского взаимодействия и тем более для g.
взаимодействия в реальных системах с
Ф(г)=7- + Фь('), (Н.29)
учитывающего короткодействующие силы отталкивания, это
уравнение заведомо непригодно из-за расходимости интеграла
в его правой части, происходящей от области |<7|~г0.
Таким образом, задача составления правильного кинетиче-
кинетического уравнения для реальных систем электрически заряжен-
заряженных частиц требует для своего решения построения нового спо-
способа асимптотической аппроксимации функций распределения,
который бы позволял рассматривать взаимодействие A1.29),
включающее и кулоновские и короткодействующие силы.
Нам кажется, что для этого следовало бы предварительно
решить соответствующую задачу для случая статистического
равновесия, о которой мы говорили в § 4 гл. 1, как более прос-
простую задачу того же типа.
12. Заключение
В предыдущем изложении, никоим образом не претендую-
претендующем на полноту и законченность, мы наметили пути для реше-
решения проблем кинетики на основе динамической теории. 111

I-
>x
Мы рассматривали здесь системы одинаковых частиц,
однако приведенные рассуждения непосредственно обобщаются
и для систем, состоящих из частиц разных сортов. Для таких
систем вместо уравнений F.10) можно было бы получить
уравнения вида
I + V N"s+1 - ' Г V
i_ s+i ^ ¦
0 где HUi fl обозначает гамильтониан системы 5 изолирован-
§ ных частиц соответственно ai,..., as сортов. #а,&— гамильто-
1 ниан взаимодействия пары частиц. При этом предполагается,
| что полный гамильтониан взаимодействия составляется из би-
§: нарных членов
з
g Н1 = ЪНа,ь.
о- Не представляло бы принципиальных затруднений и обоб-
обобщение уравнений A2.1) на тот случай, когда в выражении пол-
полного гамильтониана взаимодействия входят тройные и высшие
члены.
Весьма интересной проблемой является обобщение изложен-
изложенной теории для квантовых систем. Наиболее естественно мож-
можно прийти к этому обобщению с помощью введения вместо
функций распределения Fs соответствующих операторов плот-
плотности для комплексов 5 E=1, 2, 3,...) частиц.
Тогда, например, наши уравнения F.10) или A2.1) сохра-
сохранят свою форму, если только мы заменим операцию интегриро-
интегрирования по jcs+i операцией следа Sp, взятой по переменным
E+1)-и частицы, и придадим скобкам Пуассона их квантовый
смысл.
Поскольку формализм нашей теории основан на свойствах
скобок Пуассона и касательных преобразований, остающихся
справедливыми и при квантовом их толковании, изложенные
методы без особых изменений переносятся на квантовые сис-
системы.
Здесь надо только сделать одно существенное замечание по
поводу условий ослабления корреляции. Когда мы будем
пытаться получать кинетическое уравнение
112 ~аГ"

нам необходимо будет сформулировать «граничные условия» 2
для операторов корреляционных плотностей Fs(Fi). Нельзя |
требовать в случае системы одинаковых частиц, чтобы Fs(Fi) -в-
при взаимном удалении частиц распадались на произведение о
П Л A2.2) |
индивидуальных плотностей, так как это противоречило бы ус-
ловиям квантовой симметрии
I
при перестановках. Следует, по-видимому, заменить здесь ?
произведение A2.2) произведением §
с П ^ 1
симметризованным с помощью оператора квантовой симметри- 3
зации © |
Тогда можно было бы, например, наши условия (9.7) сфор-
сформулировать в виде
U^{F(U^ FtU^)-^ П {UP F^WX-^O, A2.3)
где U® обозначает унитарный оператор, соответствующий сво-
свободному инерциальному движению системы 5 частиц.
Заметим, наконец, что в квантовой механике мы можем вос-
воспользоваться методом вторичного квантования и заменить сис-
систему одинаковых частиц системой «различных осцилляторов».
В этом случае следует исходить из соответствующего обобще-
обобщения уравнений A2.1) для операторов плотностей, относящихся
к системам «осцилляторов», и тогда в граничных условиях типа
A2.3) мы сможем избавиться от оператора G, вообще сильно
усложняющего вычисления.
Литература
1. Леонтович М. А. Статистическая физика. М., Гостехиздат, 1944.
2. Zernicke F., Prins J. A.—«Zeits. f. Phys.», 1927, 41, 184.
3. Deb ye P., Menke H.—«Phys. Zeits.», 1932, 31, 797.
4. Eisenstein A., Gingrich N. S.—«Phys. Rev.», 1940, 58, 307. 113

5. Lark-Horovitz К., Miller E. P.—«Nature», 1940, 146, 459.
6. Gingrich N. S.—«Phys. Rev.», 1941, 59, 290.
7. В о e r J. de, M i с h e 1 s A.— «Physica», 1939, 6, 97.
8. ЛеонтовичМ. А. — ЖЭТФ, 1935, 5, 211.
9. Ursel 1 H. D.—«Proc. Camb. Phil., Soc.», 1927, 23, 685.
10. Mayer J. E., Mon troll E. W.--«J. Chem. Phys.», 1941, 9, 2.
11. Mon troll E. W., Mayer J. E.— «J. Chem. Phys.», 1941, 9, 626.
12. Семенченко В. К. Физическая теория растворов. М., Гостехиздат,
1941.
13. Gronwall Т. Н., La Mer V., Sandwed К.—«Phys. Zeits.», 1928,
29, 358.
14. Kirk wood J. G., Monroe E.—«J. Chem. Phys.», 1942, 10, 354.
15. Крылов Н. M., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механи-
механику. Киев, 1937, с. 310.
16. Власов А. А. — ЖЭТФ, 1938, 8, 291.
17. Ландау Л. Д.—«Phys. Zs. Sow.», 1936, 10, 154.
18. Chapman S., Cowling T. The Mathematical Theory of Non-Uniform
Cases, Cambridge, 1939. (Чепмен С, Каулинг Т. Математическая
теория неоднородных газов. Пер. с англ. М., ИЛ, 1960).

К теории
сверхтекучести
Известия АН СССР,
физика,1947, П, № 1, 77
В настоящей статье сделана попыт-
попытка построения последовательной моле-
молекулярной теории явления сверхтеку-
сверхтекучести, без допущения определенных
предположений о структуре энергети-
энергетического спектра.
Наиболее естественно здесь исхо-
исходить из модели неидеального газа
Бозе — Эйнштейна со слабым взаимо-
взаимодействием между частицами. Анало-
Аналогичные попытки объяснения сверхте-
сверхтекучести с помощью явления вырожде-
вырождения идеального газа Бозе — Эйн-
Эйнштейна уже делались Тиссой и Лон-
Лондоном, но столкнулись с сильной кри-
критикой. Указывалось, например, что ге-
гелий II ввиду наличия интенсивного
взаимодействия между его молекула-
молекулами не имеет ничего общего с идеаль-
идеальным газом. Это возражение, впрочем,
не может считаться существенным, так
как, если поставить целью создание
не феноменологической теории, а мо-
молекулярной и исходить только из
общепринятых «микроскопических»
уравнений квантовой механики, то
совершенно ясно, что попытки теоре-
теоретического расчета свойств реальной
жидкости безнадежны. От молекуляр-
молекулярной теории сверхтекучести, во всяком
случае на первом этапе, можно требо-
требовать лишь принципиального, качест-
качественного объяснения, основанного на
упрощенной модели.
Действительно, существенное воз-
возражение против указанного круга идей
состоит в том, что в вырожденном иде-
идеальном газе Бозе — Эйнштейна части-
частицы, находящиеся в основном состоя-
состоянии, не могут вести себя как «сверх-
«сверхтекучие», поскольку ничто не могло бы
помешать им обмениваться импуль-
импульсом с возбужденными частицами при
столкновениях и тем самым испыты-
испытывать трение при их движении через
жидкость.
115

I
о"
5 В настоящей статье мы постараемся преодолеть эту основ-
$ ную трудность и показать, что при некоторых условиях в слабо-
*" неидеальном газе Бозе — Эйнштейна «вырожденный конденсат»
g может двигаться без трения относительно элементарных воз-
6 буждений с произвольной, достаточно малой скоростью. Су-
S щественно отметить, что в нашей теории эти элементарные воз-
буждения являются коллективным эффектом и не могут
отождествляться с индивидуальными молекулами. Необходи-
мость рассмотрения «коллективных» элементарных возбужде-
возбуждений вместо индивидуальных молекул была впервые подчеркнута
Л. Д. Ландау в его известной работе по теории сверхтекучести.
1
Рассмотрим систему N одинаковых одноатомных молекул,
заключенных в некотором макроскопическом объеме V и под-
подчиняющихся статистике Бозе.
Предположим, как обычно, что ее гамильтониан имеет вид
где
2m
— кинетическая энергия ?-й молекулы; Ф(|<7г—Qj\)—потен-
Ф(|<7г—Qj\)—потенциальная энергия пары (/, /).
Тогда, воспользовавшись методом вторичного квантования,
напишем основное уравнение в следующей форме:
^ ^ ^b A)
причем + +
f f
+
В этих формулах af> щ —сопряженные операторы с пере-
перестановочными соотношениями известного типа
afar— af>af =0, afar — ага/ = Д/,г
a {ф^ (q)} — ортонормированяая,
116 полная система функций.

Для простоты изложения будем применять в дальнейшем
систему собственных функций оператора импульса одной час-
тицы:
для которой оператор Nf=afaf представляет число молекул с
импульсом /. При конечном значении V вектор /, очевидно, яв-
является квантованным. Например, при обычных граничных усло-
условиях типа периодичности
где п1, ft2, ft3 — целые числа; / — сторона куба, объем которого V.
Поскольку, однако, мы здесь будем заниматься исследова-
исследованием термодинамических, объемных свойств, мы должны всегда
иметь в виду предельный переход, при котором стенки сосуда
раздвигаются до бесконечности, У->оо, iV-^oo, а удельный объем
v=V/N остается постоянным. Поэтому в конечном результате
будем переходить к непрерывному спектру, заменяя суммы
вида IiF(f) интегралами
S
B л/гK
Уравнения A) являются точными уравнениями задачи N
тел, и, чтобы продвинуться в исследовании движения рассмат-
рассматриваемой совокупности молекул, нам необходимо совершить
некоторую аппроксимацию, основанную на допущении малости
энергии взаимодействия. В соответствии с этим допущением
будем считать потенциальную функцию Ф(г) пропорциональ-
пропорциональной некоторому малому параметру е. Какое безразмерное от-
отношение может быть принято за е, выяснится из дальнейшего.
Заметим лишь, что, строго говоря, сделанное предположение
соответствует пренебрежению конечностью радиуса молекул,
поскольку мы здесь не учитываем интенсивного возрастания
Ф(г) при малых г, обеспечивающего непроницаемость молекул.
Впрочем, как мы увидим, результаты, которые будут получены,
могут быть обобщены и на случай учета конечности радиуса.
Переходя к формулировке приближенного приема, заметим,
что если бы взаимодействие полностью отсутствовало, т. е. если
бы параметр е точно равнялся нулю, то при нулевой темпера-
температуре мы могли бы положить N0=N, Nf=0 (f=^=0). В рассмат-
рассматриваемом же случае малого е и слабо возбужденных состояний
газа эти соотношения выполняются приближенно в том смысле, 117

? что подавляющая часть молекул обладает импульсами, близ-
$ кими к нулю. Разумеется, выбор нулевого импульса, как пре-
I" дельного для частиц в основном состоянии, очевидно, соответ-
5 ствует специальному выбору координатной системы — именно
8" такой, в которой «конденсат» покоится.
" На этих соображениях мы основываем следующий прием
х для приближенного решения уравнений A).
g 1. Ввиду того что No = aoao весьма велико по сравнению
* с единицей, выражение
+ +
аоао — аоао = 1
+
должно быть мало по сравнению с самими а0, а0, и потому мы
будем считать а0, а0 обычными числами*, пренебрегая их не-
некоммутативностью.
2. Полагая
будем считать f> «поправочным членом первого порядка» и пре-
пренебрежем в уравнении A) членами, начиная с квадратичных
относительно f>, что соответствует учету слабости возбуждения.
Тогда получим основные приближенные уравнения в виде
^f B)
где
Для перехода от операторной волновой функции Ф к опера-
операторным амплитудам а/ воспользуемся разложением Фурье
yeh v(f). C)
f
1 Аналогичное замечание было использовано Дираком в его монографии
«Основы квантовой механики» B-е изд. Л.—М., ОНТИ, 1937) в конце § 63
118 «Волны и бозе-эйнштейновские частицы».

Благодаря радиальной симметрии потенциальной функции
амплитуды
П d
или, полагая
можем написать также
Решая эту систему двух уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами, убеждаемся, что зависимость от времени операторов
bfy bf выражается линейной комбинацией экспоненциалов
вида
fr
в этом разложении зависят лишь от длины \f\ вектора f. *
Подставив C) в уравнение B), найдем §>
е lh ,
где
Е (/) = у 2Г (/) --^- v (/) + Т2 (/) • F)
Заметим теперь, что если
v @) = f Ф (| q \) dq > 0, G)
то в рассматриваемом случае (е достаточно мало) подкорен-
подкоренное выражение в F) будет положительным, и таким образом
bf, bf оказываются периодическими функциями времени. Если»
наоборот, v@)<0, то для малых импульсов это подкоренное
выражение будет отрицательным, и, следовательно, E(f) ока-
окажется комплексным. Поэтому bfi bf будут содержать вещест- 119

S венный экспоненциал, возрастающий со временем, ввиду чего
« состояния с малыми Nf оказываются неустойчивыми.
5* Чтобы обеспечить устойчивость слабовозбужденных состоя-
5 ний, будем рассматривать в дальнейшем только такие типы
8" взаимодействия между молекулами, для которых неравенст-
5 во G) удовлетворяется. Интересно отметить, что неравенство
I G) представляет собой не что иное, как условие термодинами-
о" ческой устойчивости газа при абсолютном нуле.
^ В самом деле, при абсолютном нуле свободная энергия
совпадает со средней энергией, а главный член в выражении
этой последней имеет вид
так как поправочные члены, например средняя кинетическая
энергия, будут пропорциональны высшим степеням е.
Поэтому давление р выразится формулой
dV 21/2 J I; 2m2
[<t>(\q\)dq,
где p = —-— плотность газа.
Следовательно, неравенство G) эквивалентно условию тер-
термодинамической устойчивости:
др
др
¦>0.
Заметим, наконец, что поскольку мы здесь учитываем лишь
главные члены, то вместо F) можем написать с тем же при-
приближением
откуда для малых импульсов1
где многоточие обозначает члены, исчезающие вместе с f.
Условимся теперь всегда приписывать всякому квадратно-
квадратному корню, с которым будем иметь дело, положительный знак.
1 Если мы здесь построим соответствующую частоту E(f)/h и перейдем к
пределу: Л-*0, f/h—k, то получим классическую формулу А. А. Власова для
120 зависимости частоты от волнового числа.

Тогда для малых импульсов ?
E(f)=c\f\(l +...). (8) |
О
где с — скорость звука при абсолютном нуле. Наоборот, для g[
достаточно больших импульсов можно разложить E(f) по сте- 2
пеням е и написать х
х
-^f + v(/)+... (9) 8
Так как v(/) стремится к нулю при увеличении |/|, то для
достаточно больших импульсов E(f) приближается к кинетиче-
кинетической энергии одной молекулы T(f).
Возвратимся теперь к уравнениям E) и введем вместо опе-
операторов bf, bf новые взаимно сопряженные операторы |/, \t
с помощью соотношений
t
в которых L/ представляют числа, определенные равенствами
так что
^
(И)
Обращая A0), найдем
. Ь + LfL,
Подставляя эти соотношения в уравнения E), получим
A3)

Непосредственно убеждаемся также, что новые операторы
овлетворяют те
операторы af> a,f\
удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и
f 6/6r-&'g/=O, ?,?'-&-Б, = Af.r. A4)
i Отсюда уже можно заключить, что возбужденные состояния
о" изучаемой совокупности молекул можно представить как
•¦ идеальный газ из отдельных «элементарных возбуждений» —
36 «квазичастиц» с энергией, зависящей от импульса согласно
формуле E=E(f). Подобно тому как молекулы описывались
-f
операторами af, щ% эти квазичастицы описываются оператора-
операторами gj, If и потому также подчиняются статистике Бозе. Опе-
Оператор
+
nf = Ь %
представляет число квазичастиц с импульсом f.
Сказанное станет совершенно ясным, когда мы рассмотрим
полную энергию
Н = #кин + #пот>
где
#пот= \l\q4^)%
h
Имеем для кинетической энергии
f f
Потенциальную энергию вычислим в соответствии с приня-
принятым приближением, а именно в выражении
) ( i
122 отбросим члены, начиная с кубических по отношению к #, О.

Тогда
Так как здесь
то в принятом приближении
2 V V *- т т 2 V
и потому
П = —-7- Фп "Ь —¦
+ +
Выразив операторы 6f, fy через операторы lf, gf с помощью фор-
формул A2), найдем окончательно
A5)
где
1 Л/2
= Т'"Т" ° "*
Итак, полная энергия рассматриваемого неидеального газа
складывается из энергии основного состояния Но и суммы ин-
индивидуальных энергий отдельных квазичастиц. Квазичастицы,
очевидно, не взаимодействуют друг с другом и образуют
идеальный газ Бозе — Эйнштейна.
Легко видеть, что отсутствие взаимодействия между квази-
квазичастицами обусловлено применявшейся аппроксимацией, в ко- 123

5 торой в выражении энергии отбрасывались члены, начиная с
>. кубических по отношению к |/, \f. Поэтому полученный ре-
2 зультат относится лишь к слабо возбужденным состояниям.
S. Если бы мы учли как малое возмущение отброшенные куби-
¦ ческие члены в выражении энергии или соответственно квадра-
х тичные члены в уравнениях A3), то мы обнаружили бы слабое
g- взаимодействие между квазичастицами, обусловливающее уста-
g новление статистического равновесия в их совокупности. Пере-
з* ходя к изучению состояния статистического равновесия, дока-
докажем, что полный импульс квазичастиц 2/л/ сохраняется. Рас-
Рассмотрим для этого компоненты полного импульса совокупности
молекул. Имеем
2 pf=
f f
откуда на основании формул преобразования A2) убеждаемся, что
Но ввиду инвариантности Lf9 L) при замене /на —/ можно
написать
S Lft-ftf у Lflfl_f ^Q
f f
откуда следует, что
(K/<iV) f
т. е. что полный импульс совокупности молекул равен полному
импульсу совокупности квазичастиц. Поскольку полный импульс
совокупности молекул сохраняется, то сумма У*/^ действи-
f
тельно представляет собой интеграл движения.
Легко заметить, что полное число квазичастиц 2% не сохра-
сохраняется; они могут возникать и уничтожаться. Поэтому-с по-
124 мощью обычного рассуждения убеждаемся, что в состоянии

статистического равновесия средние значения чисел заполне- ?
ния /г/(/#=0) определяются формулой |^
\ A = U A7) |
где 0 — температурный модуль; и — произвольный вектор. Дли- *
на этого вектора, впрочем, должна быть ограничена сверху. ?.
В самом деле, так как средние числа заполнения должны быть 8
положительны, то для всех f#0 должно выполняться нера- *
венство
из которого следует неравенство
E(f)>\f\\u\.
Но в силу ранее установленных свойств E(f) отношение
E(f)
I/I
является непрерывной положительной функцией |f[, принимаю-
принимающей значение с>0 при |f|=0 и возрастающей как -^- при
|/|-^оо. Поэтому рассматриваемое отношение имеет сущест-
существенно положительное минимальное значение; таким образом,
условие положительности чисел я/ эквивалентно неравенству
A8)
Если бы при малых импульсах E(f) убывало не пропор-
пропорционально импульсу, а пропорционально его квадрату, как
кинетическая энергия молекулы, то правая часть полученного
неравенства равнялась бы нулю, и единственным возможным
значением и был бы нуль. В нашем же случае вектор и может
быть произвольным, лишь бы его длина была достаточно мала.
Заметим, что формула A7) дает такое распределение им-
импульсов в газе квазичастиц, при котором он как целое движет-
движется со скоростью и. Вначале мы выбрали координатную систе-
систему, в которой конденсат, т. е. совокупность молекул, в основном
состоянии покоится. Если бы мы перешли к координатной сис-
системе, в которой газ квазичастиц как целое покоится, мы обна-
обнаружили бы, наоборот, движение конденсата со скоростью и.
Поскольку это относительное движение происходит стационар-
стационарно в состоянии статистического равновесия при отсутствии 125

5 внешних сил, мы видим, что оно не сопровождается трением и
8 представляет собой, следовательно, свойства сверхтекучести *.
ж Как мы видели, энергия квазичастицы при малых импуль-
5 сах приближенно равна c\f\, где с—скорость звука. Поэтому
g- квазичастица при малых импульсах представляет собой не что
5 иное, как фонон. При увеличении импульса, когда кинетическая
I энергия T(f) делается большой по сравнению с энергией связи
о" молекулы, энергия квазичастицы непрерывно переходит в ин-
*¦ дивидуальную энергию молекулы T(f).
* Таким образом, ни о каком разделении квазичастиц на два
различных сорта — на фононы и ротоны — не может быть речи.
Рассмотрим теперь распределение импульсов в совокупности
молекул для состояния статистического равновесия. Введем
функцию w(f), определив ее так, чтобы Nw(f)df представля-
представляло среднее число молекул с импульсами из элементарного им-
импульсного объема df. Эта функция, очевидно, нормирована в
том смысле, что
J »(/)?*/-1. A9)
Пусть теперь F(f)—произвольная непрерывная функция
импульса. Тогда среднее значение динамической переменной
будет равно
N^F(f)w(f)df. B0)
Но, с другой стороны, это же среднее значение равно
1 Если мы возьмем систему координат, в которой конденсат движется
со скоростью и, нетрудно заметить, что энергия рассматриваемой совокуп-
совокупности молекул будет
SMu2
{?(/)-(/-и)} tif + #0+—j-.
f
Отсюда с помощью рассуждения Ландау из его ранее цитированной работы
свойство сверхтекучести делается непосредственно очевидным, поскольку воз-
возникновение элементарных возбуждений энергетически невыгодно, так как
126 сопровождается увеличением энергии.

Таким образом, сравнивая B0) и B1), находим
ш(/) N, = - ЫЬ„
' BяйK ' '
Bя ftK ' \zn п)" " к
flL
+ . + . s
откуда, выражая bf, bf через gf, g^ получим *
Bяй)8 ' l— 11/1*
где на основании A7)
^"\ B3)
Полученное выражение B2) для функции распределения
справедливо лишь для }Ф0. Поэтому на основании условия
нормировки A9) общее4 выражение функции распределения
импульсов молекул будет
где б (/) — 6-функция Дирака; С — число, определенное равенством
С = 1 V f "Z + lW^ + i) d/ B5)
Величина С, очевидно, равна —-, так как CN представляет
N
среднее число молекул с нулевым импульсом.
В полученных формулах на основании A1)
2E(f)
2?(/)
B6)
и потому при абсолютном нуле функция распределения им-
импульсов будет 127

i fN<>
s
причем
I 1_C = —°— [
8 Bл йK J
B7)
Таким образом, и при абсолютном нуле только часть моле-
молекул будет обладать точно нулевым импульсом. Остальные же
непрерывно распределены по всему спектру импульса.
В соответствии с ранее сказанным, примененный нами при-
приближенный метод пригоден лишь пока —~~ ° = 1—С< 1;
N
поэтому взаимодействие между молекулами должно быть
достаточно малым, чтобы обеспечить малость интеграла B7).
Теперь выясним, что следует понимать под малостью
взаимодействия.
Пусть
где F(p)—функция, принимающая со своими производными
значения порядка 1 для р~1, быстро стремящиеся к нулю при
Тогда
где (д(х)—функция, принимающая значения ~1 для #~1,
быстро стремящиеся к нулю (при #-^оо.
Переходя в B7) к безразмерным переменным и приводя
трехмерный интеграл к одномерному, найдем
N~N° =JL4-A-l ^ ХГ1(ХУТ B8)
где
Л2
Нетрудно убедиться, что при малом х\ интеграл в правой
части B8) будет величиной порядка "|/V|, и условие примени-
128 мости нашего метода представится неравенствами

г)«1, ~Ц «1, I
т. е. &
JLom«_*_> -17^фт«_^-. B9) i
v 2mri f v 2mri o-
и и о
2
Для температур, отличных от нуля, аналогичное рассмот- *
рение общей формулы B4) приведет к дополнительному усло-
условию слабости возбуждения, требующему, чтобы температура
была мала по сравнению с температурой Я-точки.
Как видно, условие малости взаимодействия в форме B9)
автоматически исключает возможность учета короткодействую-
короткодействующих сил отталкивания, так как для этого было бы необходимо
принять во внимание интенсивное возрастание Ф(г) при г->0.
Нетрудно, однако, видоизменить полученные здесь резуль-
результаты с тем, чтобы распространить их на более реальный случай
газа малой плотности с молекулами, обладающими конечным
радиусом.
Действительно, в наших окончательных формулах потен-
потенциальная функция Ф(г) входит лишь в выражение
Af-Q)
г h dq, C0)
пропорциональное амплитуде борновской вероятности парного
соударения. Так как при малой плотности взаимодействие
между молекулами осуществляется главным образом с по-
помощью именно парных соударений, то выражение C0) должно
быть заменено 4 соответствующим выражением, пропорциональ-
пропорциональным амплитуде точной вероятности парного соударения; иными
словами, мы должны положить
C1)
где ф(q, f) —решение уравнения Шредингера для относи-
относительного движения пары молекул:
Af'Q)
переходящее на бесконечности в е h
1 Это важное замечание было мне любезно сообщено Л. Д. Ландау. 129
5 Н Н Боголюбов

5 Замена C0) на C1) в формуле для E(f) и приведет нас к
8 результатам, относящимся к газам малой плотности. Поэтому,
?* например, условие существования сверхтекучести v@)>0
2 запишется в виде
>0, C2)
о" где ф(|?|) —радиально-симметричное решение уравнения
переходящее на бесконечности в 1.
Чтобы связать, как и раньше, неравенство C2) с условием
термодинамической устойчивости, вычислим главный член в
разложении свободной энергии газа при абсолютном нуле по
степеням плотности. Поскольку при абсолютном нуле свобод-
свободная энергия совпадает со средней энергией, имеем следующее
выражение для этой энергии, отнесенной к одной молекуле:
C3)
где Т — среднее значение кинетической энергии одной молеку-
молекулы; g(r)—молекулярная функция распределения, стремящая-
стремящаяся к 1 при г->оо.
С другой стороны, по теореме вириала давление р можно
определить по формуле
iJ C4)
Заметим теперь, что главный член в разложении молеку-
молекулярной функции распределения (при абсолютном нуле) по сте-
степеням плотности будет, очевидно, равен Ф2(М)- Поэтому, от-
отбрасывая в C3) и C4) члены, пропорциональные квадрату
плотности, найдем
Отсюда, принимая во внимание, что
"—¦?¦

получим уравнение для определения главного члена в выра- 5
жении Т. Произведя вычисление, находим S
|
Таким образом, в рассматриваемом случае — газ малой плот- g
ности — условие существования сверхтекучести C2) эквива- х
лентно обычному условию термодинамической устойчивости g-
газа при абсолютном нуле: g
Кроме того, можно также убедиться в том, что при малых
импульсах энергия квазичастиц опять будет переходить в c\f\9
где с — скорость звука.
Рассмотрим в качестве примера модель, в которой молеку-
молекулы являются идеально упругими шарами с диаметром г0, так
что
ф(г) = + оо, г<г0,
ф(г)=0, г>го.
Произведя простое вычисление, найдем
v @) = 4я -*-&_.
т
Если допустить здесь наличие слабого притяжения между
шарами и положить
ф(г) = + оо, г< г0,
Ф(г) = еФ0@<0. г>го>
где 8 — малый параметр, то с точностью до членов порядка еа
получим
v @) = 4я -^?- + 4л; Г г2Ф (г) dr.
т J
Го
Таким образом, в данной модели появление сверхтекучести
обусловлено соотношением между силами отталкивания и при-
притяжения. Силы отталкивания «благоприятствуют» сверхтекуче-
сверхтекучести, силы притяжения «препятствуют».
Заметим в заключение, что переход к рассмотрению реаль-
реальной жидкости по указанной здесь теории, по-видимому, возмо-
возможен, если использовать такие полуфеноменологические понятия,
как понятие свободной энергии для слабо неравновесных со-
состояний. 131
5*

О новом методе
в теории
сверхпроводимости
ЖЭТФ, 1958, 34, № 1, 58
После открытия изотопического
эффекта стало общепризнанным пред-
представление о том, что взаимодействие
электронов с решеткой должно играть
существенную роль в явлении сверх-
сверхпроводимости. Были сделаны весьма
интересные построения [1—6], анали*
зирующие систему электронов, взаи-
взаимодействующих с фононным полем,
В настоящей статье мы покажем, что
путем развития метода, предлагавше-
предлагавшегося нами ранее для теории сверхтеку-
сверхтекучести, можно дать последовательную
теорию сверхпроводящего состояния.
При этом, в частности, подтверждают-
подтверждаются результаты работ [4—6].
Для простоты изложения будем
исходить из модели, предложенной
Фрелихом [1]; в ней кулоновское
взаимодействие явным образом не
вводится, и динамическая система
характеризуется гамильтонианом *
tfFr - V Е (к) ? Ав + ? о> (q) %qbq + Ны,
k,s g
\k'-k=q)
Ч-
4-
conp,
где E(k) —энергия электрона, оо(<7) —
энергия фонона, g — константа связи,
V — объем.
Как теперь хорошо известно, обыч-
обычная теория возмущений по степеням
константы связи неприменима, так
как электронно-фононное взаимодей-
взаимодействие, несмотря на свою малость, ока-
оказывается весьма существенным вблизи
поверхности Ферми. Поэтому мы пред-
Здесь принята система единиц, в которой

варительно совершим некоторое преобразование, исходя из еле- 5
дующих соображений. |
Заметим прежде всего, что матричные элементы, соответст- *
вующие виртуальному рождению «частиц» из вакуума, всегда g
сопровождаются энергетическими знаменателями а
{б (kx) + ... + в (*О + со (Ql) + ... + со for)}-i, |
в которых e(&) = |?(&)—EF\ представляет энергию частицы — х
электрона (E(k)>EF) или дырки (E(k)<zEF)y становящуюся о.
малой у поверхности Ферми. ?
Такие знаменатели вообще не являются «опасными» и при «
интеграции по импульсам k\ ... k2s, Ц\... qT к расходимостям не 5:
приводят, кроме того случая, когда мы имеем дело с виртуаль- 2
ным процессом рождения одной пары без фононов. Тогда в *
силу закона сохранения частицы этой пары будут иметь про- g
тивоположно направленные импульсы ±k, и энергетический g
знаменатель Be(fe))" становится уже опасным для интегра- *
ции. Заметим, что их спины также будут противоположны.
Таким образом, при выборе канонического преобразования
следует иметь в виду необходимость обеспечения взаимной ком-
компенсации диаграмм, приводящих к виртуальному рождению из
вакуума пары частиц с противоположными импульсами и спи-
спинами.
Подчеркнем аналогию с ситуацией, имевшейся в нашей тео-
теории сверхтекучести при рассмотрении неидеального бозе-газа,
когда такую же роль играло виртуальное рождение из конден-
конденсата пары частиц с импульсами ±k. Тогда мы использовали
линейное преобразование бозе-амплитуд, «перепутывающее»
bq с ?>_4- Обобщая это преобразование, введем в рассматривае-
рассматриваемом случае новые ферми-амплитуды
4- +
<**о = uha j — vka l , akl = uka 1 -f vka 1
или
*.-§- ~*--" —
где uky vk — вещественные числа, связанные соотношением и? +
Нетрудно проверить, что такое преобразование сохраняет
все коммутационные свойства ферми-операторов и поэтому яв-
является каноническим. Заметим еще, что оно представляет собой 133

SE обобщение обычного преобразования, с помощью которого
о вводятся операторы рождения и уничтожения дырок внутри по-
позе, верхности Ферми и электронов вне этой поверхности.
g Действительно, если положить
& и*=1, vk = 0, E(k)>EFy
S ^ = 0, vk= 1, E(k)<EF,
x то получим
g o^o = a , , akl = a ,,?(?)> EF,
%
+ +
akA> ^^^i' E(k)<EFy
k ^
^ 2 2
О
о так что, например, ало вне сферы Ферми будет оператором
о уничтожения электрона с импульсом k и спином 1/2, а внутри —
оператором уничтожения дырки с импульсом — k и спином
—1/2. В общем же случае, когда (а*, ^)=^=@,1), мы имеем де-
дело с суперпозицией дырки и электрона.
Возвращаясь к рассмотрению гамильтониана Фрелиха, за-
заметим, что технически нам будет удобнее не связывать себя
соотношением
k,s
где iV0 — полное число электронов, и поэтому мы воспользуем-
воспользуемся обычным в такой ситуации приемом, а именно введем пара-
параметр Я, играющий роль химического потенциала. Тогда вместо
#Fr будет иметь дело с гамильтонианом.
H = Hrr—XN. B)
Параметр Я определим в свое время из условия, что в рассмат-
рассматриваемом состоянии
^=Af0. C)
Преобразовав Н к новым ферми-амплитудам, получим
Я = U + #0 т- Нш, Hlnt = Hi -т Н2 + #з>
где {/—- постоянная:
134 I/

и
#1
н
Введем
v
-Вдк
0 = S(E(*)
/"со (а) ~^ ~^~
-ш / СО (с) /
= Е2(Е(Л)-?1)адгК
числа заполнения
-1- t
»-«
-f t
-feOj
+ +
»} bq 4 conp,
[bq + СОПр,
+ %«»)-
:l-f
A-
|
о
8
flu
1
О
X
X
Q,
I
a
I
<
I
z
О
новых квазичастиц, порождаемых операторами а. Тогда «ваку-
«вакуумом без взаимодействия», т. е. состоянием Су, в котором
Н0Су = О,
будет, очевидно, состояние
с нулевыми значениями чисел v.
Заметим еще, что X должна быть близкой к EF, поскольку
X=EF при отсутствии взаимодействия, и что, следовательно,
выражение
должно обращаться в нуль на поверхности, близкой к поверх-
поверхности Ферми. Мы видим теперь, что опасным в смысле ранее
данного критерия будет виртуальный процесс рождения из
вакуума одной пары квазичастиц v&o, vm без фононов, так как
соответствующий энергетический знаменатель будет .
v 2s (*)
а такому процессу прямо приводит гамильтониан #з, который, 135

I
i
X
О
прилагаясь к вакууму, дает диаграмму1 (рис. 1). Этот же про-
процесс возникает, кроме того, еще из-за совместного действия #i,
#2. Например, во втором порядке по константе связи g имеем
диаграммы, изображенные на рис. 2, а. В высших порядках
получаются диаграммы типа, изобра-
изображенного на рис. 2, б, где кружок
обозначает связную часть, которая не
может быть разбита на две связные
части, соединенные только двумя ли-
линиями одной рассматриваемой пары.
Используя ранее выдвинутый прин-
принцип компенсации опасных диаграмм,
мы должны приравнивать нулю сумму
вкладов диаграммы рис. 1 и диаграмм
рис. 2. Таким образом, получается
уравнение для определения щ, vk.
Теперь мы не должны больше при-
принимать во внимание диаграммы, изо-
изображенные на рис. 1, 2 (и им сопряженные), и поэтому в раз-
разложениях теории возмущений не будут появляться выражения
с опасными энергетическими знаменателями. Построим уравне-
уравнение для uk, vk во втором порядке. В этом приближении мы
должны компенсировать диаграмму рис. 1 диаграммами рис. 2, а.
Получаем
Рис. 1
где пк — коэффициент при аАОаЛ1Су в выражении —i
Раскрывая это уравнение, находим окончательно
со (/г— k')
к'
где
Е (k) = ? (ft) — У g2
-"(*-*'>
D)
I—*). E)
Оставаясь в пределах принятого приближения, заменяем в зна-
знаменателе правой части
на
1 Здесь используются диаграммы типа, рассмотренного в работе Гуген-
136 гольца [7].

Тогда, полагая *
i
запишем полученное уравнение в виде
а
Рис. 2
I
§
\»
1
/>
4-
(
^ '
)>^
ш
%
о
1-
§
О
Уравнение это, очевидно, обладает тривиальным решением
соответствующим «нормальному состоянию». Оно обладает,
однако, еще решением другого типа, переходящим в тривиаль-
тривиальное при отдалении от поверхности Ферми. Обозначая
находим из F)
«4--Ы1 +
r 2
} p»= ' h S 1 G)
|« J1 * 2 I /?»(*) + ?• }' '
откуда
. 1 С {к)
2 ' /c«(*) + S» ' 8 У C« (*) + &• * 137

Таким образом, наше уравнение приводится к следующей форме:
2BяK
§ Заметим, что это уравнение имеет своеобразную особенность:
2.
5
О.
ш при g^-^О решение С стремится к нулю как
х ( А )
* ехр I , А = const > О,
8 Ч «Ч
а поскольку интеграл в правой части (8) становится логарифми-
« чески расходящимся вблизи поверхности ?(/0=0, если поло-
g жить С=0. При такой ситуации нетрудно получить асимптоти-
% ческую форму решения при малых g:
z __L
5 W 2
о
где
S \ E(ko) = K, /in.
dE(k) , v 0/ A0)
dk 1k=ka
dty
Учитывая дополнительное условие C) и найденные выра-
выражения G), (9) для и, v, можно заметить, что
Ясно, далее, что поправки к выражению E), происходящие о*
замены входящих в него Uk, Vh их «нормальными» значениями:
(И)
будут экспоненциально малы. Поэтому в формулах A0) мы
можем без потери точности заменить E(k) соответствующей
формой для нормального состояния и интерпретировать фактор
1 / k* \ 1 Г V
138 ч dk

как относительную плотность dnjdE числа электронных уров- 5
ней в бесконечно узком энергетическом слое вблизи поверхнос- |
ти Ферми. Тогда J
р = gz л A2) о^
Перейдем теперь к вычислению энергии основного состояния &
во втором приближении. Из всего Нщ, мы должны сейчас учи- 8
тывать только Hi. Получим, следовательно, для собственного I
значения Н в основном состоянии 8"
S
Подставляя в A3) найденные выражения для uh> vh, вычис- g
ляем разность Д? между энергией основного состояния и энер- о
гией нормального состояния:
АЕ dn & i 2 \
= • ехр / • A4)
V dE 2 * \ р ]
Интересно отметить, что этот результат совпадает с результа-
результатом Бардина [5]. Для этого стоит лишь выбрать параметры
Бардина со, V следующим образом:
2со = (о, F = g2. A5)
Построим теперь в принятом приближении формулу для
энергии элементарного возбуждения. Возьмем для этого воз-
возбужденное состояние
Сг = ak0Cv
и применим к нему обычным образом теорию возмущений. По-
Получим для энергии элементарного возбуждения с импульсом /г
следующее выражение:
Ее (k) = е (k) - {С\НЫ (Я. - в (к)Г1 НЫС, >спяз,
раскрыв которое, найдем
139

С Первый член здесь, пропорциональный г{к), никакими особыми
% свойствами не обладает и обращается в нуль на Поверхности
5 Ферми. Второй же член на поверхности Ферми равен
"f
I Таким образом, энергии возбужденных состояний отделены от
g- энергии основного состояния щелью
« A=WT. A7)
О
ф Заметим, что в работе [3] имеется выражение типа
о 2о) i p , интерпретируемое там как энергия, необходимая для
g разрушения «пары».
О Рассмотрим теперь «основное токовое состояние», т. е. со-
состояние с наименьшей энергией среди всех возможных состоя-
состояний с данным импульсом р. Нам потребуется, следовательно,
находить собственное значение Н при дополнительном условии
aksaks = р.
Вместо этого, используя обычный прием, введем кроме скаляр-
скалярного параметра к еще векторный параметр и, играющий роль
средней скорости, и возьмем полный гамильтониан в виде
? ( • k) aksaks =
k,s
-ьЯ1п1. A8)
Значение и определяется из условия
к
k,s
Так как в наших рассуждениях мы все время имеем дело лишь
с малой окрестностью поверхности Ферми, можно для просто-
простоты положить здесь
E(k) = — + D, D=EF k-?-
140 W 2m 2m

и затем в окончательных формулах принять
т =
S
\ dk Jk^kF 8
Но тогда \
5
E(k) - (и-к) = Е(к — та) —
1 s.
и поэтому, если в пространстве импульсов к совершить трансляцию g
k-vk-i- um, aks-*ak+mu.s A9) -
и заменить Jf
о
гамильтониан A8) примет форму B) и вектор и из него выпа- о
дет. Мы приходим к случаю основного состояния с нулевым о
импульсом. Поэтому для изучения токового состояния нового
исследования нам проводить не надо, достаточно лишь в ранее
полученных формулах совершить преобразование, обратное A9).
Таким образом, убеждаемся, например, что энергия основ-
основного токового состояния со средней скоростью и отличается от
энергии основного состояния без тока на величину N .
Возбуждения отделены от энергии основного токового состоя-
состояния щелью
А« = А — М> Д — ftF|u|.
Следовательно, если
токовое состояние, хотя и обладает большей энергией, чем не-
нетоковое состояние (пока не учитывается действие магнитного
поля), оказывается, однако, устойчивым по отношению к воз-
возбуждениям.
Итак, мы убеждаемся, что в рассматриваемой модели имеет-
имеется свойство сверхпроводимости.
Сделаем еще ряд замечаний. В нашем методе исследования
мы должны были считать параметр р малым, чтобы иметь воз-
возможность ограничиваться асимптотическими приближениями.
Как, однако, было показано В. В. Толмачевым и С. В. Тяблико-
вым [8] с помощью метода, не использующего допущение о
малости р, при р>1/2 скорость звука становится мнимой, т. е.
решетка делается неустойчивой. В случаях, когда решетка яв-
является настолько жесткой, что электронно-фононное взаимо- 141

действие не оказывает существенного влияния нА энергию
фонона, параметр р должен быть малым. Уже при р=1/4 вели-
величина е р равна 1/55. Это, по нашему мнению, объясняет
малость величины энергетической щели, а поэтому и критиче-
критической температуры.
Заметим далее, что если гамильтониан Фрелиха дополнить
явным образом членом кулоновского взаимодействия, то необ-
необходимо будет провести суммирование диаграмм электрон —
дырка типа Гелл-Манна — Бракнера для того, чтобы обеспе-
обеспечить появление экранировки.
В порядке предварительной оценки можно было бы ввести
в гамильтониан кулоновское взаимодействие сразу в экраниро-
экранированной форме и трактовать его также с помощью теории возму-
возмущений. Тогда получились бы по существу те же формулы, что
и раньше, но только в них надо было бы заменить g2 на
9 1
— 1
где ve(k) — фурье-образ экранированной функции. Таким об-
образом, можно сразу же убедиться в том, что кулоновское
взаимодействие противодействует появлению сверхпроводи-
сверхпроводимости.
В заключение считаю своим приятным долгом поблагода-
поблагодарить Д. Н. Зубарева, В. В. Толмачева, С. В. Тябликова,
Ю. А. Церковникова за ценное обсуждение.
Литература
1. Frolich H.—«Phis. Rev.», 1950, 79, 845; «Proc. Roy. Soc», 1952, A215,
1291.
2. Bardeen J.—«Rev. Mod. Phis.», 1951, 23, 261; «Handbuch der Phys.»,
(Springer, Berlin), 1956, 15, 294.
3. Bardeen J., Pines D.—«Phys. Rev.», 1955, 99, 1140.
4. Cooper L. M.—«Phys. Rev.», 1956, 104, 1189.
5. Bardeen J., Cooper L. M, Schriffer J. R.—«Phys. Rev.», 1957,
106, 162.
6. Pines D.—«Phys. Rev.», 1958, 109, 280.
7. Gugenholtz N.— «Physica», 1957, 23, № 6, 481.
8. Толмачев В. В., Т я б л и к о в С. В.— ЖЭТФ, 34, № 1, 66.

О принципе
компенсации и
методе
самосогласованного
поля
УФН, 1959, 67, № 4, 549
§ 1. Принцип компенсации
В настоящей работе мы рассмот-
рассмотрим возможные обобщения принци-
принципа компенсации опасных диаграмм на
случай пространственно-неоднородных
состояний, а т#кже установим его
связь с методом самосогласованного
поля.
Важным примером здесь может
служить вопрос об электродинамике
сверхпроводящего состояния, когда
мы должны исследовать реакцию ди-
динамической системы на приложение
внешнего неоднородного поля.
Пусть А (г) будет вектор-потенци-
вектор-потенциал, зависящий от г. Тогда в индиви-
индивидуальном гамильтониане электрона
будет дополнительный член
нарушающий пространственную од-
однородность.
Заметим, что наличие членов этого
типа делает недостаточной компенса-
компенсацию диаграмм, соответствующих им-
импульсам к,—к. Действительно, опреде-
определяя А (г) суперпозицией компонент
Фурье A(q)e~~igr, мы видим, что в та-
таком же смысле опасными будут и
диаграммы с произвольными импуль-
импульсами ku &2, во всяком случае те, для
которых q—kx-\-k2 достаточно мало.
Ясно, что их нельзя исключить нашим
обычным каноническим преобразова-
преобразованием, перепутывающим амплитуды
рождения и уничтожения импульсов
±Л, так как оно содержит лишь одну
произвольную функцию ufl (или
vh).
Чтобы компенсировать диаграммы
с любой парой импульсов /?ь /?2, мы
должны воспользоваться более об- 143

щим каноническим преобразованием, сформулированным в ра-
боте [1],
+
v + tffvav), (I)
i
g где f= (p, a), a — спиновой индекс, UfVt VfV — произвольные
5 функции, связанные своеобразными соотношениями ортонор-
0 мировки:
1 ? {Ufv Urv + Vfv Vrv} = б (/ - /'),
О (v)
* ? {ufv vf>v -+ Ufv Vfv} =0. B)
x (v)
5 Именно эти соотношения обеспечивают канонический харак-
g тер рассматриваемого преобразования A).
% Для простоты изложения мы изучим здесь обобщенный
* принцип компенсации применительно к гамильтониану с прямым
| взаимодействием между частицами, поскольку в таком случае
J уже первое приближение приводит к нетривиальному результа-
о. ту. Как уже отмечалось ранее [2], введение в рассмотрение,
? например, электронно-фононного взаимодействия потребует
перехода ко второму приближению.
Имея в виду различные приложения, возьмем выражение
полного гамильтониана в достаточно общей форме:
я = ^ т(/, п ifar + y ? "(Л. /*•> /i' /0 «f. +ahai2atr
r)9 C)
где % — химический потенциал, / — индивидуальный гамильто-
гамильтониан частиц, U — энергия взаимодействия пары частиц. Мы,
разумеется, предполагаем здесь, что / и U удовлетворяют обыч-
обычным условиям симметрии, эрмитовости и т. п.
Принцип компенсации опасных диаграмм в рассматривае-
рассматриваемом первом приближении будет
<aVlav,#>0 = 0. D)
Усреднение берется по состоянию Со, -соответствующему ва-
вакууму для новых амплитуд а:
144 avC0 = 0, Coav=O. E)

Уравнение D) можем раскрыть, подставив сюда выражения *
(I) и вычислив просто вакуум!йые средние. Таким путем полу- 8
чим явные уравнения для определения неизвестных и, v, кото- 8
рые надо решить совместно с условиями B). |
В ряде случаев более удобно придать этим уравнениям не- g
сколько иную форму. Покажем для этого, что из D) следует, 8
что Е
= 0, §
F) %
% = {&fiaft; #]>0 = 0.
Имеем, действительно,
+ +
vt «v, + vhVl aVl) (uhV2 aVt + vhV2 aVt); H])o =
"f»v, Of,v. (aVl aVl Я — H av, aVlH +
(Vi.V2)
(Vt.V,)
+ + + +
ftv4 v/,v. (aVl a^H — H aVt av,>0.
(Vi,V2)
Но ввиду E)
+ + ¦+¦ +
(ЯаУ1сЦ;я)о = (av1aVt^)o = (QvtQ>vaH)o = (^^«уЛо == О
и, кроме того,
+ + + +
(Ovt сцг H — H aVl aVt) = ( — av, aVl H + H aVa aVl >0 = 0.
Отсюда на основании D) и вытекает
(vlfv2)
I
Аналогично доказывается и второе из уравнений F).
Нетрудно убедиться также, что из уравнений F) следует
уравнение D). Таким образом, обе эти системы D), F) пол-
полностью эквивалентны. 145

5 Покажем сейчас, что сами формы 31 и 95 не являк^гся незави-
8 симыми.
§ Начнем с преобразования соотношений ортонормировки B).
i Введем комбинированные индексы:
| g=(/»P). Р = 0, 1,
1 о-(v, т), т = 0,1
О И ПОЛОЖИМ
u Tv,o(/» 0) = i>/,v, Фу,о(/» 1) = W/v»
2 фхм (/, 0) = u%, 9v,i (/, 1) = vfv. (8)
x В таких обозначениях рассматриваемые соотношения прини-
х мают обычный вид
-?')> (9)
с (©)
о откуда следует, что
с У^ Ф® te) 4V te) — ^ (^ — ^О»
| 00
g- или, в старых обозначениях,
о
(f)
X] {%i w/v2 + %2 a/Vl} = 0. A0)
Ф
С помощью этих соотношений нетрудно выразить амплитуды а, а
через а, а:
</)
Обратим теперь внимание на тождество
(Kctv,; #1>в = 0, A2)
обусловленное лишь свойствами E). Подставив сюда выраже-
выражения A1), найдем
+ + \
146 А)

или, раскрытая,
тождественные соотношения1:
|
+ + 5
^(К^,; Я1>о+ g
8
+ *
;iVi trMe <[a/t ah; Я])о = 0. S
|
Таким образом, убеждаемся, что между формами 91 и 95 имеются
1
I
*
? /i, /2) +
4v, ^v.»(/i> /2) + ^Vl »/iVi в* (/ь /2)} = 0. A3) I
Перейдем теперь к нахождению явных выражений для 91 и 95. g
Имеем 5
X
* (Л /•) = ? G1 (/i. /) <a, а/г>0 + Г (/„ /) <a,t a, >„} + I
tf) О
/
12
+ У] U(f,ftif2,f\)(ifahaf'a'H, A4)
/, 2 1
1 Заметим, что если бы мы в формулах F), определяющих $1, Я$, заменили
Sp(...D)
усреднение по вакуумному состоянию Со усреднением по некоторо
Sp D
му распределению ?>, диагональному в представлении ,../iv... (rtv=avav),
то тождества A3) все же имели бы место при Vi~v%. Действительно, ввиду
диагоналыюсти D,
Sp (av сц, HD) = Sp (HD av av) = Sp (Hav av D)
~+
и, следовательно, [ауау;Я] = 0. 147

а также
2 »(Л. /2) = ? {Г (/„ /) (а,, а, )„ - Т(/, Д) <а, аиH) -
I
(
-tf(/t,/; /a./I) А^а^.Ы. A5)
о
f
S Входящие сюда вакуумные средние типа
n (
5 < / + +
S ^2 (Л. /2; h, /0 = <о/, а/, О/' а.'>0,
| +
« Ф2 (Д; /а, /з. /«) = (Of, afl ah aflH
I + +
x определим, выражая амплитуды а, а через a, a с помощью фор-
g- мулы A). Таким образом, найдем:
° ')=JIofvO/«v. <D(/i./.)=2>.viV,v, A8)
(V) (V)
2, f2)-F{fltf2)F(ftt /,') +
/2), A9)
Ф2(/i; /., /., /«) =F(fltft)<b(/„ /4)-F(Д, /3)Ф(/,. /4) +
8). B0)
Подставив полученные выражения в A4), A5), мы получим
искомые явные выражения для 31 и 35 :
Ф).
Имеем, например,
91 (Л, /21Л Ф) = ? {? (Л. /) Ф (Л /t) + ? (/i, /) Ф (Д. /)}+
</)
n}, B1)
148 (/)

где
/i). B2) I
/;; |
о
Итак, наш обобщенный принцип компенсации приводит в о
первом приближении к уравнениям |
B3)
Было бы, очевидно, весьма целесообразно сформулировать
|
(
о
которые ранее были уже получены [3, 4] с помощью обобще- |
ния хорошо известного метода самосогласованного поля Фока. х
Кроме этих уравнений, мы имеем еще дополнительное уело- |
вне, а именно функции F, Ф должны быть представимы в фор- J
ме A8). «
о
о
такое дополнительное условие в виде ряда соотношений, нало- о
женных непосредственно на F, Ф. о
Заметим прежде всего, что из A8) сразу же вытекает, что |.
с
Введем опять комбинированные индексы g, со и рассмотрим о
матрицу
<<о)
в которой /Zv,o = 1, nv,i = 0. Тогда
f't Q) =?tyv»f'v, /((/, 0; /', 1) =
(V) (V)
f, 1; /', 0) =?^v^v, /C(/, 1; /', 1) = J^ty'v.
(v) (v)
Отсюда получим в силу условий ортонормировкн B)
ф*(/п- б7/-п-^(//')|- B6)
С другой стороны, прямо из определения B5) мы видим, что
Ф(о(#)#> л<о будут соответственно собственными векторами и
собственными числами оператора К. Так как эти собственные
числа равны нулю или единице, К будет проекционным опера-
оператором, и потому
К = К2. B7) 149

Раскрывая эти соотношения, найдем дополнительные усло-
вия, которым должны удовлетворять функции F и Ф:
. к) = ?
Ф Ф
2 Покажем сейчас, что условия B4), B8) полностью эквива-
3: лентны условию представимости функций F, Ф в форме A8).
S Для этого нам остается доказать, что любые F, Ф, удовлетво-
^ ряющие условиям B4), B8), действительно представимы в
A8)
у
виде A8).
П
()
jj Прежде всего воспользуемся тривиальными условиями B4)
S и введем матрицу /C(gf, gr) соотношением B6). В силу B4)
g K(gy g')> очевидно, будет эрмитовской и потому может быть
| представлена в форме B5), в которой (p&(g) будет представ-
* лять ортонормированную систему собственных векторов К.
| Введем в пространстве точек {g} точечное преобразова-
ние Г, меняющее (/, 0) на (f, 1), и наоборот. Имеем
а.
О TK = K(Tg;Tg') =
-Ф (/./'); F{f',f)
= b(g-g')-K*(g,g').
Ввиду этого свойства нетрудно заметить, что если <p(g")
есть какой-либо собственный вектор оператора /С, а п — соот-
соответствующее собственное число, то <р*(Г§) и A—п) будут так-
также собственным вектором и числом для /(.
Таким образом, нумерацию {со} собственных векторов и чи-
чисел оператора К можем осуществить системой двух индексов
{v, т} (г=0, 1), положив:
/Zv,0 = Яу> Лу,1 == 1 —nv>
B9)
4>v,0 0?) = Tv (g)9 9v,l (g) = фС (Tg).
Теперь воспользуемся условиями B8), из которых вытекает,
что
и, следовательно, п^—О, 1. Единичное значение припишем nv ,
а нулевое 1—nv , ликвидировав тем самым произвол, содержа-
150 щийся в разбиении индекса со на (v, 0) и (v, 1).

Определив qyoCg)» <Pv,\(g)> можем теперь определить функции
Ufv> U/v, обратив соотношения (8). Так как cpo)(g) образу к т обычную
ортонормированную систему, мы видим, что найденные функции
и у v будут удовлетворять соотношениям B).
Для окончания нашего доказательства нам остается лишь
раскрыть равенства B5) и заметить, что из них непосредст-
непосредственно вытекают представления1 A8).
Итак, наша задача привелась к решению уравнений B3)
совместно с дополнительными условиями B4), B8). Функции
и, v явно здесь уже не фигурируют. Найдя выражения для F
и Ф, мы можем затем уже определить и систему функций и, v
с помощью изложенного выше приема.
Подчеркнем здесь, что определение системы и> v содержит *
большой произвол. х
Действительно, пусть <pVfo(g) представляет ортонормирован- f
ную систему собственных векторов для операторов, соответст- ?
вующих единичному собственному значению. Если мы подверг- |
нем ее произвольному унитарному преобразованию, мы опять о
получим ортонормированную систему собственных векторов one- «
ратора /С, соответствующих единичному собственному числу. То i
же замечание, разумеется, относится и K<pv,i(g). Видим, еле- |
довательно, что системы {q>v,o(g)}> {<Pv,i(g)} определены лишь g-
с точностью до произвольных унитарных преобразований, дей- о
ствующих на индекс v. Поэтому и в функциях и, v содержится
та же степень произвола.
Мы уже говорили, что уравнения B3) не являются независи-
независимыми, так как формы 91, 35 связаны между собой тождества-
1 Интересно отметить, что если бы мы имели дело с функциями F, Ф,
удовлетворяющими только условиям B4), то, повторив сделанные рассуж-
рассуждения, мы получили бы вместо A8) представления вида:
П = J] iv*fv vf'v (* — nv) + u)v uf'vnv)>
(у)
ф (Л П = J^iUfyVfyil—nJ +v*fvuf,vnv}.
(v)
Заметим еще, что если F и Ф определяются с помощью усреднения
F (/, П = Sp {tf af, D) (Sp D)"b Ф (/, /') = Sp {af af. D) (Sp D)^
по любому положительному статистическому оператору Д то К, 1—К
должны быть оба неотрицательными, и потому в полученном представлении
0<nv<l.

ми A3). Поэтому во многих случаях целесообразно рассмотре-
рассмотрение одного1 из них:
g совместно с дополнительными условиями B4), B8). Другое из
й уравнений B3) будет тогда выполняться автоматически.
Е Рассмотрим в качестве примера войрос об определении ос-
g новного сверхпроводящего состояния в теории сверхпроводи-
% мости.
JJ Положим в наших формулах /=(р, а), где р —импульс, а
5 а — спиновый индекс, два значения которого условимся обо-
5 значать знаками + и —. Возьмем, как обычно2,
7(р,р')=?(рN(р-р'),
X
^2> Ну /0 == — ^ (Pi + Рг — Pi — Р2) в (^i — tfi) б (ст2 — (Тг) X
Р2#,Р2, Pi), C0)
ф где У — объем системы. В качестве / мы рассматриваем ве-
f щественную функцию, инвариантную по отношению к преобра-
§ зованию отражения импульсов р-> —р.
g- Нетрудно проверить тогда, что всем нашим уравнениям и
о дополнительным условиям мы удовлетворим, положив:
ф (р, -) = ф (р), ф (р. +) = - ф (р)> )
где F(p)y Ф(р) —вещественные функции р, инвариантные по
отношению к преобразованию отражения импульса, определяе-
определяемые уравнениями:
-р; -Р',
*(р)9 C2)
в которых
(р)
C3)
1 Может представиться также случай, когда Ф^О. Тогда, наоборот,
уравнение U =0 выполняется тривиально, и мы должны ограничиться рас-
рассмотрением уравнения S3 =0.
2 Обращаем внимание на то, что в нашем изложении мы пользуемся
дискретной б-функцией, т. е. символом Кронекера:
152 б

Положим здесь
Тогда из уравнений C2) получим:
I
S
2Q (р) '
и убедимся, что С (р) удовлетворяет уравнению
= 0- C5) I
(Р) с
Как видно, мы приходим здесь к обычным формулам теории 2
сверхпроводимости. g
Соответствующие функции и, v можно определить, поло- ?
жив i
v(p,+)=v(p), v(p,—) = —v(p), C6)
причем
§ 2. Метод согласованного поля
Мы рассматривали до сих пор лишь вопрос об определении
основного состояния, не зависящего от времени. Нетрудно,
однако, обобщить метод самосогласованного поля и для изуче-
изучения процессов, явно зависящих от времени.
Введем для этого зависящие от времени функции
<biif»ft) = *h*h C7)
и условимся рассматривать амплитуды а в представлении Гей-
зенберга. Совершающееся здесь усреднение надо понимать
тогда как усреднение
3= Sp(AD)
SpD 153

no некоторому не зависящему от t статистическому оператору D.
Заметим теперь, что из уравнений движения вытекают сле-
дующие точные соотношения:
* яли, в более развернутой форме:
h) = ? {т(/ /} P{ff)_T(Д /i}p (/( h)} _
(ft
- У
(f.fvf2)
./; /2, A)F2 (/,,/; /;,/;)}, C8)
| m
о I
4 J
+ t/(/, /.; /2, Л)Ф2(/; Л, /i,/i)}, C9)
где опять
, , + +
2; /2. /1) =a/,fl/Ja^af-,
Фа (A; /2. /e. /«) = a/, a/, a/. aft. D0)
По принципам теории цепочек функций распределения мы
должны были бы снова выразить—~, — через функции
распределения более высокого порядка и т. д.
Переход к замкнутой системе приближенных уравнений мог
бы быть совершен за счет «расцепления» одного из таких
154 уравнений, например с помощью какой-либо подходящей ап-

проксимации, выражающей входящую в него высшую корреля- g
ционную функцию через низшие. 2
В методе самосогласованного поля мы довольствуемся наи- 2
более простым и грубым подходом, а именно ограничиваемся |
только первыми, уже полученными, уравнениями C6), C9) и g
проводим в них приближенную замену F2, Фг через F, Ф. 8
Возьмем эти функции *: Е
м- ^
> Гг)
SP{afAt)ah(t)D)
f '
D1)
h'f h> /0 =
ф2 1/1> /2» /3, /4) — сТГП '
и предположим, что статистический оператор D диагонален i
-f с
в представлении ... nv ..., в котором nv = av(^)av(/). Строго о
говоря, такое предположение можно сделать только для одного
фиксированного момента времени, так как D остается постоян-
постоянным, а а(*), а(/), вообще говоря, изменяются со временем.
Тем не менее наше приближение мооюно считать правильным
для первого приближения в тех случаях, когда основная часть
гамильтониана Н в амплитудах а имеет вид
Q(v)avav,
(V)
так как тогда в «нулевом приближении» уравнения движения будут
dav
i—щ- = Q(v)aVf
а для них
av (t) av (t) = const.
Здесь главная часть зависимости #/(/), aj(t) от /, так ска-
сказать, компенсируется временной зависимостью функций м, v.
1 Из такого определения сразу же следует, что F, Ф всегда удовлетво-
удовлетворяют условиям B4). 155

g Используя указанное приближение, подставим в D1) выра-
- жение A) и выполним усреднение с учетом диагональности D
2 в представлении ... nv
| Получим
(v)
D2)
S +
о где nv — среднее от av (t) av (t).
% Найдем также
J Подставим эти выражения D3), D4) в уравнения C8), C9);
о. мы и получим- временные уравнения самосогласованного поля
" в виде
D5)
Нетрудно заметить, что входящие сюда формы 21, 95 имеют
те же выражения, что и раньше. Это обусловлено совпадением
правых частей уравнений C8), C9) с соответствующими выра-
выражениями из A4), A5) и совпадением формул D3), D4) с фор-
формулами A9), B0).
Мы можем, следовательно, воспользоваться ранее установ-
установленными свойствами St и 95.
Обратим сейчас внимание на тождество A3), справедливое
в рассматриваемом случае1 при vi=V2.
Основываясь на нем, установим важное свойство решений
уравнений D5), а именно то, что для любого решения
=0. D6)
1 Как уже ранее отмечалось, тождество A3) будет верно при любых
156 vb v*> если в формулах D2) все /2v=0.

Иначе говоря, покажем, что собственные числа оператора К 5
остаются постоянными при изменении времени. с
Действительно, в соответствии с B5) 2
о
Поэтому сделанное утверждение D6) будет доказано, как g
только мы убедимся, что при любом со о
(g) dK{g;gf) 4w=o
dt
«О ?
Но, так как всегда %
ж
» » х
мы видим, что равенство D7) достаточно доказать лишь для 2
со = (v, 0) |
о
Пользуясь определением B6) оператора К и формулами ф
(8), найдем g
*-^ ЛК la ry'\ л , , X
Ф \§ ' == °"
О
(f.f) (f.D
откуда, на основании D5) и A3):
(&«')
что и доказывает сделанное утверждение D6).
Мы имеем здесь типичное свойство метода самосогласован-
самосогласованного поля — неучет релаксационных эффектов.
Раз сохраняется любой набор ... nv ..., то, в частности,
будет сохраняться и система nv =0, соответствующая ранее 157

I
I
рассматривавшемуся основному состоянию. Поэтому уравнения
D5) совместимы и с дополнительными условиями B8).
Запишем сейчас эти уравнения и дополнительные условия
в г-представлении для случая, когда
(p-gA)«
у = ,
т
2l взаимодействие характеризуется не зависящей от скоростей
и спинов потенциальной функцией U(ru г2).
Имеем
dt
2m
,
д \2
+еА(г2)\
2т
(a)
ф
a*
I
О
()
t/ (Г,, Г') /?вл (Г', Г,) Фаиа (rlt r')
lt Г2) Фа,,*,
0.02(/-', Г2)
.a, (/", Г2) U (rlt Г') Ф0„„ (rlf Г')},
D8)
dt
2m
2m
X
X Fait<Jl (rlt r2) + J] j dr {Ф (rt, r) - Ф (r1( /¦)} X
x {F0i(J (r, r) Fо„02 (rx, r2) — F0t>(J (rlf r) Fa.<x2 (r, r2)
D9)
158 1 Здесь г обозначает вектор г, a dr — трехмерный элемент объема.

,.*('i. rt) =2 I driFovoir» r)Fa,9,(r,
(o) 2
e,.e (rlf г) Ф^, (r, rt) + Fot,o (г„ г) Ф;>о, (r, /-,)} = 0. E0) j
<°> 8
Как видно, вся эта система уравнений градиентно-инва- Е
риантна. Градиентное преобразование §
-?-<f(r) E1) J
J
I
компенсируется преобразованием функций F, Ф: ^
). E2) |
Градиентная инвариантность здесь обусловлена градиентной |
инвариантностью гамильтониана. х
При рассмотрении задач теории сверхпроводимости в моде- |
ли, в которой электронно-фононное взаимодействие заменено |
прямым взаимодействием электронов, зависящим от скоростей ?
(оно эффективно лишь у поверхности Ферми), соответствую- с
щий гамильтониан уже не будет точно градиентно-инвариант- °
ным. Это свойство выполняется только приближенно, и потому
уравнения метода самосогласованного поля будут градиснтно-
инвариантны лишь с той же степенью приближения.
Тут существенно отметить, что использованные при выводе
наших уравнений аппроксимации сами по себе не нарушают
градиентной инвариантности. К этому вопросу мы еще возвра-
возвратимся в § 4.
§ 3. Представление с фиксированным
числом частиц
Будем рассматривать теперь совершенно независимо от
ранее сказанного корреляционную функцию
^(/i./iJ/i./!).
взятую в г-представлении. Мы «полагаем здесь /=(/*, ст), где
о — некоторый дискретный, например спиновый, индекс.
Пусть эта функция может быть представлена в форме
(/1./.)Г,(/1./;н^ E3)
таким образом, что: 159

g 1) при стремлении к бесконечности расстояний между пара-
е ми (ft, /2) и (/[, /2) добавок F2 достаточно быстро исчезает;
2 2) при неограниченном увеличении расстояния между точ-
= ками fx и f2 функция x?n(fu /2) также приближается к нулю и
S интеграл
{ J IVЛ/i, /,) I2 df% = J | Уп (/2, Д) |2d/t E4)
1 является сходящимся.
2 Тогда очевидно, что мы можем интерпретировать xPn(fu /2)
§: как волновую функцию пары частиц, находящихся в одном из
2 связанных состояний, а интеграл E4) — как пропорциональный
* плотности числа тех частиц в точке /i, которые связаны в пары,
* находящиеся в состоянии 4V
§. Рассмотрим с этой точки зрения нашу формулу D3) и возь-
S мем для определенности случай теории сверхпроводимости.
| Имеем для основного состояния
8 <D-+(/i, rs) = (^
о и
= J^ f 1 6W 1
Как видно, упоминавшиеся условия A), B) здесь выполне-
выполнены, и потому <D(/i, /2)=Ф-+(>*1, гг) может считаться волновой
функцией связанной пары частиц (обладающих противополож-
противоположными спинами). В данном случае существует лишь одно со-
состояние O(fu /2), и мы можем говорить, что все связанные
квазимолекулы находятся в конденсате. Связанные пары, вы-
выпавшие из конденсата, в изложенном методе принципиально не
учитываются ввиду формулы 1 D3).
Обратим сейчас внимание на то, что в наших рассуждениях
мы существенно использовали каноническое преобразование A).
В силу этого обстоятельства и для состояния Со и для стати-
статистического оператора D полное число частиц #=2д^а/ не яв-
является квантовым числом и не имеет строго фиксированного
1 Такой учет можно произвести, если обобщить аппроксимацию D3)
160 в духе выражения E3).

значения. С другой стороны, N всегда является интегралом g
движения для рассматриваемого нами гамильтониана C). По- с
этому вполне естественно потребовать получить те же резуль- 2
таты, работая в представлении, в котором N является кванто- |
вым числом. g
Посмотрим, однако, что получилось бы в действительности, 8
если бы мы попытались проводить наши рассуждения в таком |
представлении. 8
Прежде всего мы не могли бы перепутывать амплитуды *
рождения и уничтожения, и потому должны были бы положить "
в формулах A) v = 0. Но тогда вместо D3) мы получили бы 8:
аппроксимацию §
F (Л. /.; /2, h) =F(fl9 f[) F (/2, fa - F (A, fy F (/2, fl) E5) «
обычного метода Фока, вообще не учитывающую возможность 5
появления связанных состояний из пар частиц. |
Положение может показаться еще худшим, так как незави- §
симо ни от каких аппроксимаций имеет место равенство *
Щгаи = О I
о.
для любого усреднения, при котором N строго фиксировано. *
Выход из этого парадокса, однако, не представляет затрудне-
ний. Просто, если мы желаем работать с фиксированным N>
нам необходимо пойти дальше в цепочке уравнений, связываю-
связывающих между собой функции распределения и обратиться к кор-
корреляционным функциям более высокого порядка.
Чтобы не вдаваться в сложные вычисления, воспользуемся
сейчас интуитивным, несколько упрощенным подходом. Исходя
из представления о том, что в рассматриваемой динамической
системе имеются связанные пары, находящиеся в одном и том
же состоянии Ф(/\, /г)> дополним формулу E5) обычного мето-
метода Фока членом
описывающим вклад таких пар. Подставив полученное выра-
выражение в точное соотношение C8), мы сразу же получим вто-
второе из уравнений D5).
Чтобы вывести первое из уравнений D5), определяющее Ф,
рассмотрим двухвременную корреляционную функцию вида
6 Н Н. Боголюбов

I и продифференцируем ее по времени t. На основании точных
в уравнений движения получим *
l + +
1 d{afi(t)ah(t)a>,(x)a.(x))
g . f2 '1
Jt
(f)
2 1
af (t) Jf-j(т)а,-(t))}
@ ^.W^(Oef;@if.;(t)ifj(t)>4-
0^f;@^f;@v2W^;(T)>- E6>
Заметим, кстати, что это соотношение отличается от C9) только
тем, что теперь справа стоят два оператора а, компенсирую-
компенсирующие изменение числа частиц.
Произведем здесь переход к приближенному уравнению,
приближенно выразив функции вида
(lfl @ ah (t) a^ (t) a,! (*) Jfj (t) Jfj (T)>
через произведения четырех и двух операторов. Заметим, что
при таком расцеплении мы должны теперь учитывать строгое
сохранение числа N. После этого мы в уравнении, полученном
из E6), отодвинем пару (/2> Л) на бесконечность.
1 Операцию усреднения будем обозначать здесь не чертой сверху, а
162 скобками <...>, поскольку это удобнее для длинных выражений.

Воспользуемся поэтому следующей аппроксимацией:
Ч '2 Ч О
Oef'(oS/(t)S.(t)>+ s
'2 '1 '2 4 g.
+ {%At)a,(t)){ah(t)aAtUAr)t.{%)) +S, E7) I
^1 '2 '2 4 X
X
где 5 обозначает сумму членов, содержащих множителем J
(a»(%)af(t)) или (а.*(т)а*(т)). Мы не выписываем явного g
12 о
выражения S, поскольку такие члены исчезнут при удалении S
пары точек (/2, f\) на бесконечность. |
Подставим E7) в E6) и удалим на бесконечность эту пару *
точек. Тогда выражения вида §,
(х))
h
распадутся на произведения
в которых XPt(fu /2,) обозначает волновую функцию связанных
пар, и мы получим, отделяя общий множитель ^(/ь /г)"
b /I)-
/i)^(/„ /*)} + 163

+
I - Ft (/, fy % (/, /i) + F, (/, /,') ?, (Д, /?)}. E8)
g Заметим, что в основном 'стационарном состоянии Wt долж-
g на быть пропорциональна е~ш, где Е—соответствующая энер-
| гия. Введем величинуi X = — и положим в общем, неравно-
« весном случае
х так что
с Тогда, как видно, полученное уравнение E8) превратится в не-
о достававшее нам первое из уравнений D5).
ф Приведенным рассуждениям можно придать более совер-
? шенную форму и с их помощью прийти к более точным урав-
I" нениям, но на этом мы останавливаться не будем. Сейчас нам
а существенно подчеркнуть, что уравнения обобщенного метода
о самосогласованного поля можно получить в схеме с фиксиро-
фиксированным полным числом частиц. При этом выясняется смысл
преобразования A). Именно с его помощью те результаты, ко-
которые нормально получились бы в более высоком приближе-
приближении, получаются в более низком приближении.
Это свойство основано на том, что в переменных а связан-
связанное состояние выпадает. Так, например, в использованном на-
нами первом приближении
<aVl<xV2a ' а Л = A — th,) (I — 1Ц2) х
V2 vl
1 Смысл такой величины X как химического потенциала можно раскрыть
из следующих соображений. С одной стороны, фактор e~lEt должен выра-
выражать временную зависимость волновой функции пары
где CN обозначает низшее состояние системы в случае, когда число частиц
равно N. С другой стороны, пусть полная энергия системы в состоянии Си
будет E(N). Тогда временная зависимость приведенной формы определится
множителем е~~''{^W-^—^M}*. таким образом,
Л м Ш A»#V =^s i-l =l 1J ^M ~ |" **^ *^~" Л \l* ) И

X {6 (vx - vj) б (v, - v'2) - 6 (Vl - v;) б (v, - v',)} = I
+ + + + о
m
Такого же положения можно добиться и в высших прибли- о
жениях. Принцип компенсации опасных диаграмм как раз и g
представляет для этого средство. Все те диаграммы, которые о
по этому принципу компенсируются, именно и определяют свя- |
занное состояние. 8
Таким образом, в тех случаях, когда препятствие для при- ®
менения теории возмущений составляет возможность появления g
связанного состояния пар частиц (бозе-конденсата), принцип %
+ х
компенсации, вводя новые переменные а, а, в которых такое со- х
стояние выпадает, ликвидирует тем самым препятствие для |-
применения этой обычной теории. §
§ 4. Коллективные колебания §
ф
Перейдем теперь к вопросу об определении спектра элемен- |
тарных возбуждений основного состояния. ?
С точки зрения метода самосогласованного поля вопрос этот a
может решаться следующим образом. о
Как уже отмечалось, числа п* остаются постоянными, и для
основного состояния все они равны нулю. Желая исследовать
малые колебания около такого состояния, положим nv =0.
Иными словами, наложим дополнительные условия B8).
Пусть Fo, ФЬ будут выражениями F, Ф для основного состоя-
состояния. Рассмотрим бесконечно малые приращения
F = F0 + 6F, Ф = Фо + 6Ф
и составим для них линейные уравнения в вариациях:
E9)
Кроме того учтем, что 6F и 6Ф должны быть связаны между
собой дополнительными условиями B8), ввиду чего:
? . f)F(f> /Л- ЕФ*<ЛЛ)Ф(Л/.)} = 0,F0)
*(/, ft) + ?F(/2, /)Ф(/, /,)} = о.
f J 165

g Заметим еще, что благодаря B4) 6Ф должна быть антисим-
с метричной, a 6F — эрмитовской.
2 Полученные одноррдные уравнения будем решать суперпо-
| зицией элементарных решений, пропорциональных eriEt. Таким
| образом, найдем * секулярные уравнения для определения
8 спектра колебаний.
| Ввиду наличия условий F0) 6F и 6Ф не являются независи-
8 мыми, и потому технически удобно будет представить их через
% новые независимые неизвестные, автоматически удовлетворяю-
5 щие F0). Такие выражения можно сразу же получить, замечая,
? что ввиду F0) бесконечно малое преобразование претерпевают
2 не fiv = 0, a UfV и VfV. Эти преобразования должны быть сов-
* местны с условиями ортонормировки B).
* Вместо того чтобы варьировать и, v, мы можем совершить
* бесконечно малое преобразование над самими а:
| av->-av + ?ji(v',v)(v + ?Mv',v)JV', F1)
О (V) (V)
g при этом из условий каноничности данного бесконечно малого
я- преобразования следует, что
I ^(v1,v1) + X(v2fv1) = 0, F2)
° ^(v^-f-fxKv^O. F3)
Тогда
(ауа>и)о-*'Ъ' (v> ц); («v«jli)o —остаются нулями,
и отсюда
(Vt,V2)
if /2) + J] {o/iv.Hf.v.Mvi, v2) + tihVxvhvX (v2, vx)}9
Фо (fv h) + 6Ф(A, /2) = ? (("f^av, + vftVXt) X
(Vi,V2)
1 Подчеркнем, что такой способ определения спектра элементарных
возбуждений путем линеаризации нелинейных уравнений идейно восходиг
к известным работам А. А. Власова [5].
Следует также заметить, кстати, что именно эти работы оказали боль-
166 шое влияние на разработку понятия коллективных колебаний.

i/f2v3aV2) >0 = Фо (/i, /2) + I
f^ (vlf v2) + vhVtvhvX (v2, vt)}. о
(Vi.V2) g
Как видно, коэффициенты \i не вошли в наши формулы. Это 8
обусловлено тем, что в рассматриваемом случае ги, =0. Заме- |
тим еще, что и независимо от приведенных соображений не- g
трудно проверить, что выражения %
.v1^,v^(v1,v1) + tt?iv10f,vX(v1>v1)}, F4) I
6Ф (/l, /2) = ? («WkvA К, V2) + ^v^v.^ (V2, VX)} F5) ж
(vt.v.) J
р произвольной антисимметричной X(vi, V2) представляют с
общее решение дополнительных условий F0), B4). о
Чтобы получить уравнение для , целесообразно выра- g
dt x
зить также Я через 6F и 6Ф. Умножим для этого F4) на UflM>1, a |
F5) на и^ и просуммируем. Тогда в силу условий ортонорми- |.
ровки в форме A0) найдем о
E v2). F6)
(Ы (v2)
Умножим, далее, F4) из Uft[il, a F5) на о! и опять просумми-
просуммируем. Получим
EK^F^, /2) + о^вФ^, /а)} = ?t;fiV^ (vlf Hi).
(Ы (v2)
ИЛИ
S(^e^(/i. /2) + W*O*(/lf /2) = -2^Л(И1. vf). F7)
(/1) (v2)
Из F6) и F7) тем же приемом найдем искомое выражение для Я.
i> h) + «f,i»^f.iiie®(/i. /2) —
Wh^F* (Л> /2) - о/.|*Л4щвФ* tfi, /2)}. F8)
Продифференцировав это выражение по / и приняв во внимание
E9), получим уравнение для определения X: 167

(fuh)
1 i. /2) + ^.^вв* (Л, /2) + Vfrfltofi** (fl9 /t)>. F9)
2 Чтобы полностью раскрыть это уравнение, надо проварьировать
ц формы 9135 и выразить 8F, 6Ф через X, с помощью формул
I FЬ F5>
g После длительных, но в сущности простых вычислении будем
% иметь *
= V {Q (v2, со) Я К, со) - Q (vlf ш) Я (v2, о)} +
{X (vb v2; ©!, <в2) к К, ш2) + У (vlt v2; (о^ ю2) Г (co2, ©j)},
((°ll<fl2) G0)
причем
Q (v, со) = ^ g(/, /' ; ^
+ 5] u{flth;ft, t\) Фо (a,
(fl.f,.f\.f'2)
i. /; /'. h)-"if» Л /1. /')> ^o(/i, Л'),
X(vlf v2; a>lt @2) = ^-
* * • ¦
) и , и ,
~ 2 {{/(д, /2; /;, /0 -1/ (/lf /,; /;,
il Здесь индекс со, в отличие от обозначений § 1, представляет просто
168 индекс суммирования по v.

1 ' '
F(v1? v2; %, ©a) = — S?/(/1( /2; /2. /i) X
X («|,v, и/.v, — uhVtuhVl)v. v, +
-Lst/ • ' ' v v -v v и i
+ |S{l/(/lf /2; /2, /1) -f/(/i, /2; /ь /2)} X I
x (v , Uf.v, — v , ufv)(Uf2(dtv , —uf^2v , ). G1) 2
fiV, /jv, f2co2 f2©t ©
X
Из G0) получим также I
- <a<(^' = V {Я* (v2, со) Г (Vl, со) - Q* (vx, со) Г (v2, со)} + |
@) о
4 2 (X ^vi» V2» Ш1' ^а) Г (®ь (°2) + F <vi' V2; ^p ^ Ь («2» ®i)}. I
5
Систему линейных однородных уравнений G0), G2) будем ре-
решать суперпозицией нормальных колебаний
5
G2) g-
(Я)
61В = Ч*. G3)
Подставив G3) в G0) и G2), получим секулярные уравнения
для определения спектра в виде
v v2) =2{Q(v2, (o)gК, ©)-Q(vlf co)|(v2, ©)} +
1, v2; ©!, co^Ka)!, co2) + Y(vx, v2; co^) Y] (co2, (ox)},
— Eц(yv v2) = 2 {Q* (v2, со) л (vlf со) — Q*(vx, ш) т| (v2, со)} +
+ S {X*(vlf v2; cox, co2) т| (cox, co2) +¦ Y* (vx, v2; cox, co2) g(co2, cox)}. G4)
Подчеркнем, что те же самые уравнения мы получили бы,
если бы вместо метода самосогласованного поля воспользова-
воспользовались методом приближенного вторичного квантования. 169

g В этом методе мы должны были бы ввести бозе-амплитуды
с Pw(Pw = —Pvv), заменив ими произведения ферми-амплитуды
2 avav. Тогда мы диагонализировали бы соответствующий га-
| мильтониан, являющийся квадратичной формой из операто-
5 ров р, р посредством канонического преобразования
8 Pv.v2 = У {L (Vlf V2) ? .+Т,„ (Vl, V2) U G5)
I t)
JJ с законом нормировки
| 1Ыа-КЛ = 1. G6)
X
1 Здесь ?n — новые бозе-амплитуды с зависимостью от време-
S" ни, определяемой множителем е~1Еп*.
g При этом оказалось бы, что g и г\ должны удовлетворять
| как раз нашим уравнениям G4).
2 Заметим, кстати, что вывод этих уравнений с помощью ме-
g тода приближенного вторичного квантования имеет некоторое
g. преимущество перед тем, который был нами дан выше, так как
1 естественно приводит к условию нормировки G6), определяю-
с" щему знак Е.
о В методе самосогласованного поля этот знак не фиксирует-
фиксируется: нетрудно заметить, что если ?, g, г) есть решение системы
секулярных уравнений G4), то преобразование
приводит опять к решению той же системы.
Мы составили сейчас уравнения для собственных колебаний.
Рассмотрим теперь вопрос о вынужденных колебаниях, воз-
возбуждаемых малыми внешними полями, вызывающими вариацию*
^(f> П (закон взаимодействия считаем не зависящим от внеш-
внешних полей).
Тогда, повторяя предыдущие рассуждения, получим вместо
однородных уравнений G0), G2) неоднородные уравнения вида
pL = ? {Q (v2, со) К (vx со) - Q (Vl, со) Г (v2, со)} -t-
@))
, v2; соь щ)Х((й1у со2) -t K(Vi, v2; co2, co2) Я*(со2, сох)} +-
170

- i ax*^'*> = J] {?Г (v,, со) Г (vx, @) - Q* (v,, со) Г (v,, со)} -
((О)
- 2] {*>!, v2; щ, «>2) Г ((o1>(o2) +Г (Vlv,; сохо
,)«ПЛЛ). G7)
Применим теперь только что выведенные общие уравнения »
к конкретному случаю динамической системы, рассмотренной g
в § 1 в связи с теорией сверхпроводимости. %
Подставим формулы C0), C1), C6) из § 1 в выражения х
{71) и раскроем тем самым уравнения G4). |
Заметим при этом, что спектр распадается на две ветви, у 3"
одной из которых |
и колебания происходят у пар частиц с противоположными «
спинами. Для другой ветви, наоборот, |
и колебания происходят у пар с одинаковыми спинами. о
Рассмотрим здесь первую ветвь и положим
Тогда система уравнений G4) примет вид
? 6(Рь Pi) = {О (Pi) + Q (ft)} 6 (Pit ft) +
+ "у" S e (Pi + Л — Pi — P2) {*(Pift; Pi pi) g(Pi, P2) +
l» P2; Pi» P2) Л (— P2, —Pi)},
p1) = {Q(ft) + Q(pa)}4(—Pe» — Pi)"h
— Pi — P2) I*(Pi. P2; Pi. P2) П (— P2, — Pi) +
+ YiPi, P2; р'ь ft) & (Pi, pi)}, G8) 171

g где Q(p) имеет то же выражение, что и в § 1, и где
2 х (Рь Р2; Ри ft) = J (Pi, P2; ft. Pi) {" (Pi) " (Рг) и (pi) а(й) +
I +v (px) v (p2) v (pi) v(p2)} + [J (— px, P2; — pi, p2) —
• J (Рг, — Л5 — pi. Р2)] {о (Pi) « (Рг) о (Pi) « (P2) +
§ + и (/>,) у (р2) u (pi) о (рг)} + / (Л, ~ pi; pi — р2) X
J i
J X {ы (рх) о (р2) о (pi) н (рг) + v (ft) и (р2) ы (pi) о (р2)},
i y(pi, p2; pi. P2) = —Hpi> p2; рг. pi)x
х X {«(Pi) ы (р2) с (Pi) v (р2) + с (Pi) v (р2) ы (pi) ы (р2)} +
I + [^ (— Pi, p2; —p[,p2) — J(р2, — рх; — pi. р2)] х
| X {и (Pi) v (р2) v (pi) и (р2) -Ь & (pt) и (р2) u (pi) v (р2)} +
« 4- J (Pi, — pi; рг, — Pa) {v (Pi) «(p2) »(pi) и (р2) +
I + и (Pl) v (p2) и (pi) v (p2)}. G9)
e Как видно, полученные уравнения связывают между собой
° функции
i(Pi. р2). ч(— Р2. — Pi)
только при фиксированном pt+Рг- Заметим также, что коэффи-
коэффициенты X, Y одинаковы в обоих уравнениях G8). Поэтому
будет удобно положить
Pi = Р. Р3 = — Р + Чу
I (ft. Рг) - Л (— Рг. — Pi) i = 9„ (Р).
I(Рк Рг) + Л (— Рг, — Pi) = %(р).
Преобразуем тогда уравнения G8) к более простой форме:
1,F) =ЕЪ, Mq($)=EQ, (80)
где
Lq (в) ={Q(p) + Q(p- q)) 6 (Р) + у 2 Q< (Р- Р')в (Р')>
<р'>
М,(д) = {?2(р) + Q(p-?)}§(p) + U/?,(р, р')*(р'), (81)
172 о»')

и где
причем
Поясним сейчас физический смысл функций 8 и #. Рассмот-
Рассмотрим для этого выражения для плотности числа частиц р(г) и
плотности импульса р(г).
Имеем
173

Введем компоненты Фурье для эткх плотностей:
f Р(г)
О (д) (q)
g и заметим, что наше основное состояние является пространст-
8 венно-однородным и бестоковым.
g Имеем, следовательно, на основании (83)
" (р)
| Р«=Т 2
—(Pi.Pt)>. (84
* С другой стороны, раскрыв формулы F4), получим
| SF— (рх, р2) =» у (рх) а (ра) А, (р2, — pj + и (рг) v (р2) X* (рг, — р2),
(85)
Подставив эти выражения в (84), после очевидных упрощений
найдем
ь Ра) + V(—р2, — р^},
i — P2) iv (Рг)и (Р2) — v (Pl) и (р2)} x
X {^(px, p2) — V (- p2, — px)}, (86)
откуда, на основании G3),
(?) (fi)
p^=т S(u (p) v {p ~q)+v {p) u {p -
(p)
174 (87)

Таким образом, вклад в колебания плотности числа частиц от g
элементарного возбуждения определяется функцией Ф, а соот- с
ветствующий вклад в колебания плотности импульса — функ- 2
цией в. |
Обратимся теперь к уравнениям (81). Положим в них g
0(p) = S16(p — p0), 8
(88) 1
#(p)=S26(p-p0), о
где S\ и 52 — постоянные, а р0 — произвольный фиксированный 5
импульс. S:
Отбрасывая члены порядка 1/У, исчезающие после предель- 2
ного перехода V->-oo и вызывающие лишь локальные измене- *
ния в волновой функции, видим, что (88) будет допустимой сие- *
темой решений, если Si и S2 будут связаны соотношениями I
51 {& (р„) +• Й (Ро — <?)} = ?S2, S
52 {Q (р0) -t Й (Ро — <?)} == ESi» (89) с
откуда видим, что |
Таким образом, убеждаемся в существовании непрерывного i-
спектра1 ^
отделенного щелью. При данном q энергии Е здесь непрерыв-
непрерывно зависит от импульса ро.
Построим еще асимптотическую часть волновой функции
элементарного возбуждения этого типа, для чего раскроем фор-
формулу F5). Найдем
6Ф_+ (рх, р2) = и (рг) и (р2) % (р19 р2) — v (рг) v (р2) X* (- р2, — рх),
и потому в рассматриваемом случае для б-образной слагающей
бф_+ (рх, р2) = б (рх — р0) б (р2 + Ро — Я) X
X S ехр {-1 [Q (р0) + Q (ро - 9)] 0.
где постоянная S будет
1 Положительный знак выбираем на основании общего условия норми-
нормировки G6), которое в рассматриваемом случае будет
?б(р)д(/?)>0. G6)
(Р)
Подставив в это условие решение (88), видим, что Si и 5г должны иметь
одинаковые знаки. Поэтому уравнение (89) приводит к положительному
знаку Е. 175

Имеем, следовательно, в г-предстявлении
6Ф_+ (гх, г2) = const х ехр {— i (Й (р0) -+
* (<7 — Ро) rt}.
о Сравним это выражение с волновой функцией пары (—, +) в
g основном состоянии:
о
0 ф^+ (г1э г2) = const f е^»-1^ и (р) v (p) dp.
g Ясно, что такая Ф1^. + соответствует связанному состоянию пары
2 частиц, в частности при \п—г2|-^оо функция эта стремится к
1 нулю. Выражение же 6Ф-+ распадается на произведение двух
* плоских волн и соответствует независимому движению двух
I частиц с импульсами р0, q—ро-
д Видим, таким образом, что элементарные возбуждения из
S непрерывного спектра можно физически интерпретировать как
| отвечающие диссоциации квазимолекулы на отдельные состав-
S ляющие ее частицы.
g Перейдем теперь к изучению спектра коллективных колеба-
=г ний, который будет определяться с помощью решений уравне-
|^ ний (81), соответствующих дискретным (при фиксированном q)
с значениям Е.
О Рассмотрим прежде всего случай, когда частицы не имеют
электрического заряда. В этом случае, ввиду отсутствия куло-
новского взаимодействия, будем считать все ядра /, /, G конеч-
конечными.
Далее, из уравнения C5) следует, что
Мв)=0 для Q^u(p)v(p).
Поэтому неоднородное уравнение
может иметь решение, только если
Yif(p)u(p)v(p) =0. (91)
(р)
Видим теперь, что система уравнений (81) имеет при д = 0 ре-
решение
й = 0, ? = 0, (92)
и потому будем искать ее решение для малых |q| с помощью
разложений по степеням |qf:
176 е = и(р) v(p) + |q | 0х(р, е) 4-1 q|a 02(p, e) + ... ,

+ -... (93) о
где |
е--*-. I
|ql I
g
Подставю эти разложения в уравнения (81), получим j
(«i) = ^i« О») о (rt, (95)
_.L у eaeJ-^L-) . (96) I
Уравнение (94) разрешимо, тшк как функция /(р), стоящая g-
в его правой части, обладает свойством f(—р)=—f(p), ввиду о
которого условие (91) выполняется тривиально.
Для разрешимости уравнения (96) мы должны потребовать
л а основании (91), чтобы
(Р)
J-
Из уравнения (95) мы видим, что fti пропорционально Еи по-
поэтому условие (97) дает нам возможность определить ??
и т. д.
Фактически, проведя указанную здесь программу вычисле-
вычислений в случае радиальной симметрии, можем убедиться, что
при малом |q|

g где, если отвлечься от поправок на взаимодействие, s будет
с равно величине скорости частиц ни поверхности Ферми.
2 Мы находим, таким образом, коллективные колебания
| квази-акустического характера. Область их существования
g ограничена импульсами q, для которых соответствующая Е
3 лежит ниже порога возбуждения непрерывного спектра.
g Посмотрим теперь, что произойдет с колебаниями этого
3 типа у динамической системы электронов, рассматриваемой в
| теории сверхпроводимости. Заметим прежде всего, что наличие
« кулоновского взаимодействия вызывает здесь существенную
8: особенность у ядра Gq:
! *.--**¦+*
§ Целесообразно поэтому представлять теперь оператор Mq в виде
| Xy"?®(P'){v (P') u(p'~q) + u(p') v(p' -g)}9 (98)
X .(P'>
Q.
^ явно выделив в нем часть с особенностью i при q=0.
Для регуляризации (81) введем новую неизвестную, положив
) {о(Р') НР'-Я) + и(р') v(p'
Тогда наша система уравнений иожет быть записана в форме
1 Не следует думать, что при более точной трактовке мы получили бы
эффект экранирования в множителе Gq и тем самым ликвидировали бы
указанную особенность. Причина этого в том, что мы имеем здесь дело с
колебаниями плотности электрического заряда, что видно хотя бы из того,
что в (98) как раз и входит амплитуда этих колебаний (см. (87)). Эффект
экранирования появляется, вообще говоря, в выражениях, соответствующих
учету корреляции. При рассмотрении же влияния пространственной неодно-
неоднородности мы всегда должны принимать во внимание дальнодействующий
характер кулоновских сил. Именно поэтому мы и считаем, что в более точ-
точной трактовке сингулярность при ?=0 в указанных выражениях сохранится.
При обследовании же неоднородности в распределении заряда кулоновские
силы носят дальнодействующий характер и поэтому в ^-представлении всегда
178 должна быть указанная особенность при <7=0.

16 яе* ^
Видим, что при 9=0 она имеет решение при произвольном Е: |
Q = u(p)v(p), ф = 0, ^ = ?, |
поэтому будем искать ее решение для малых | q | с помощью раз- g
ложения |
в =u(p)v(p) + \q\Q1(p,e) + |q|262(p, e) + ... , |
I
Я = Яо -h | q | ^х + ... , A00) |
подставив которые в (99), найдем: |
^ \ с а \Л Л f dLQ(uv) ) /mix *
(^Г^ 002)
(а)
^ A03)
(a)
Co)
{ ^L ^} A05)
В уравнении A02) возьмем
E1~Mp1 = O; 179

g тогда из A00), A02) можно заметить, что 9i и Oi будут анти-
с симметричны при перемене знака р и потому условие A03)
? удовлетворится автоматически.
Для разрешимости A04) напишем наше обычное условие:
E02®2(p)u(p)v(p)=2u(p)v(p) \
(а)
« (а,Р)
§ Левая часть этого равенства на основании A05) будет
I
i
g Теперь видим, что уравнение A06), определяющее Е, не имеет
§ нулевого корня. Действительно, из A01), A02) следует, что
* левая часть A06), представленная выражением A07), обра-
S тится в нуль при ?0=0. Правая же часть A06) при Ео=О сов-
ж падает с правой частью (97) и потому будет отлична от нуля.
|. Вычислим сейчас Ео для радиально-симметричного случая.
о Возьмем
2т
и предположим еще, что
J (ft, P2; Ръ pi) = J (Pi — Pi) при рх + p2 = p[ + pi A08)
Тогда можно проверить наличие тождества
v (р) и (р — (j) — и (р) v (р — о)}* (Ю9)
в котором
lq(P)=u{p)v{p-q)+u{p-q)v(p). (ПО)
Заметим, что случай A08) реализуется, если взаимодействие
не зависит от скоростей и определяется потенциалом
U(ri—г2). В этом случае
J (р) = J (_р) = j U(r)e^dr.
В теории сверхпроводимости кроме кулоновских сил, для кото*
рых условие A08) естественно выполняется, необходимо при-
180 нять во внимание еще фрелиховское взаимодействие, обуслов-

ленное обменом фононами. Такое взаимодействие эффективно ?
лишь в узком слое около поверхности Ферми, и в этой области с
его вклад в / будет 2
JPh(Pi> AJ &> Pi) ==— S2(Pi — Pi) при р1+рш = р[+рь, A11) g
JPh
где g(q)— величина, характеризующая связь электронов с фо- 8
нонами. Поэтому мы и можем пользоваться соотношением g
A09). Строго говоря, чтобы оно имело место точно, необходи- о
мо продеформировать выражение (ПО). Мы заметили бы тогда I
отклонения порядка отношения , где со — средняя энергия ?
со о
фонона, т. е. отклонения порядка величины эффектов запазды- |
вания электронно-фононного взаимодействия. х
В силу этого обстоятельства такое уточнение нецелесообраз- |
но проводить в рассматриваемой сейчас модели, в которой g*
электронно-фононное взаимодействие заменено прямым взаимо* |
действием электронов, поскольку сама эта замена допустима |
лишь с точностью до пренебрежения эффектами запаздывания, о
Применим сейчас соотношения A09), A10) для определения *,
величины ?о. Ввиду эрмитовости оператора Lq имеем I
(Р)
откуда
(р)
(ИЗ)
Вычислим теперь обе части этого равенства с точностью до ве-
величины порядка |q|2 включительно. Из A00) видим, что
Кроме того, из (99) и A00) имеем

поэтому из A13) получим
(P)
и*®\\ A14)
dp J \ dp
где е =р-. Подставив в A14) выражения C6), найдем оконча-
окончательно
. А , (И5)
-/¦
Зя
Pf — импульс Ферми.
Как видно, мы получили здесь обычное значение энергий
для известных плазменных колебаний; специфика сверхпрово*
дящего состояния полностью выпала *. Ввиду того что Eg
значительно больше энергии непрерывного спектра (при малых
q)y найденное стационарное решение окажется в более точной
трактовке лишь квазистационарным.
Отметим, однако, одно любопытное обстоятельство, а имен-
именно то, что, несмотря на полученный сейчас результат, у систе-
системы уравнений (81) значение Е=0 можно рассматривать как
приближенное собственное значение.
Действительно, учитывая A09), нетрудно заметить, что, взяв
МР)=Х», fy(p)=0, ?-0,
мы удовлетворим системе (81) с точностью до величин порядка
|q|2. Несколько позже мы заметим, что это обстоятельство
оказывается весьма существенным для обеспечения градиент-
градиентной инвариантности теории.
Мы только что отмечали, что плазменные колебания со
своим высоким значением Е не специфичны для сверхпроводя-
сверхпроводящего состояния. В связи с этим можно поставить вопрос,
имеются ли вообще коллективные колебания, характерные для
такого состояния.
Как мы теперь видим, их можно искать лишь среди колеба-
колебаний, не меняющих плотности распределения электрического за-
заряда.
1 Этот результат был ранее получен Андерсоном [6]. Высказывавшееся
ранее (см. § 7 в [1]) представление о существенности влияния сверхпрово-
182 дящего состояния не подтвердилось.

Иначе говоря, мы должны искать решения системы (81), у
которых исчезает выражение
(P)v(P-q) tv{p)u(p-q)},
())
Возьмем радиально-симметричный случай. Установим ось z
Я1+ (- л,- рг) = - -i- 0, (р), A16)
(«,) = - -J- BP - <?) A (q) {v (р) и (р - q) - и (р) v (р - q)}. A17)
О
о
I
с которым и связано появление особенности при ^=0 S
(см. (98)). 8
В %
8
%
по направлению вектора q и введем цилиндрические координа- 5
ты. Будем искать решения вида &
|
Такие решения формально будут существовать, и для них 3*
указанное выражение тождественно равно нулю. Вопрос со- |
стоит лишь в том, будут ли соответствующие значения Е §
лежать ниже порога возбуждения непрерывного спектра. g
Следовало бы проанализировать также колебания не рас- g
сматривавшейся здесь ветви спектра, у которой g.
А у = А-| = 0. g»
О
§ 5. Вопросы электродинамики
сверхпроводящего состояния
Рассмотрим вопрос об изменении основного сверхпрово-
сверхпроводящего состояния под действием внешнего постоянного поля
А (г).
Чтобы работать в линейном приближении, будем считать
А (г) бесконечно малым первого порядка и воспользуемся общи-
общими уравнениями G7).
Тогда, если не учитывать наличия парамагнитного члена 1У
получим
1 В линейном приближении его эффект можем всегда рассмотреть не-
независимо. 183

S Займемся сейчас исследованием свойств этого уравнения.
в Возьмем
| (П8)
8 Тогда в г-представлении мы должны иметь при наличии гра-
S диентной инвариантности
| Р(гг, г2) - е<«р<'2>-ф('1» Fo (гг, г2),
Ф или, поскольку в нашем случае ср бесконечно мало,
| (г19 г2) - I {ф (г,) - ф (гг)}Fo (r19 г2).
О
Переходя к р-представлению и используя формулу (85), no-
noлучим
Р.) -= *ф (Pi + P.) {"(Pi
6, (р) = 2?ф (9) {гг (р) у (р -1/) + *
I С другой стороны, найденное Qq(p) должно удовлетворять
J уравнению A17) в случае A18), и потому
а.
Но это и есть не что иное, как соотношение A09).
Таким образом, свойство градиентной инвариантности
имеет место с той же степенью точности, как и соотношение
A09), т. е. с точностью до эффектов запаздывания электрон-
но-фононного взаимодействия.
Представим теперь себе то положение, которое получилось
бы, если поступать следующим образом. Рассмотрим сперва га-
гамильтониан системы без внешнего поля; совершим канониче-
каноническое преобразование
и определим и, v из условия компенсации опасных диаграмм
с импульсами k, —k.
Затем введем в гамильтониан малое внешнее поле, преобра-
преобразуем все выражение к амплитудам а, а, после чего, не заботясь
о компенсации новых опасных диаграмм с импульсами k, —fe+
+9, возникающих из-за внешнего поля, применим обычную тео-
184 рию возмущений.

Тогда вместо A17) мы получили бы
Щр-<?)}в,(р) = -J |
X {v(p)u(p — q) -u(p)v(p — q)}, §
откуда
-—Bp-q)A(9)
? 0 i^P)^P-<l)-u(p)v(p-q)}. A19)
(р)
^y. A20)
Этот результат, очевидно, уже не будет градиентно-инвариант- S
ным ни в каком разумном приближении. Заменив Lq(Q) на %
мы разрушили тем самым основное свойство этого операто- S
ра — то, что нуль является его собственным значением при |
q=0. о
Интересно отметить, что уравнение A17) может быть также о
получено следующим образом. В полном гамильтониане мы со- |.
вершаем обычное каноническое преобразование, перепутываю- =
щее амплитуды с импульсами ±q. Затем применим метод при- g*
ближенного вторичного квантования, вводя бозе-амплитуды, q
заменяющие произведения операторов av a^. Тогда, как пока-
показал Галасевич, мы приходим при изучении статической дефор-
деформации системы, обусловленной действием постоянного вектор-
потенциала в точности к уравнениям A17). Таким образом, ин-
интегральный член в выражении L в каком-то смысле можно ин-
интерпретировать как происходящий от коллективного эффекта.
Заметим, что аналогичный подход был развит в работе Блатта
и Матсубара [9].
Перейдем теперь к изучению зависимости плотности тока от
вектор-потенциала. Имеем на основании (84)
и потому благодаря (87)
185

S Обозначим через Га (р, q) решение уравнения
§ Lq(Ta) = - 2ра~Ча {v(p)u(p-q)-u(p)v(p-q)}, a = 1, 2,3.
| П A21)
« Тогда на основании A17) и A20) найдем
I
а!
л где
I
I P
I S«p(<7) = 4-S i2\7"a) iu(°)v(P-9) - v (p) и(р~д)}П(р, q).
| A23)
|_ Ввиду A21) можем написать также
f
Убеждаемся отсюда в симметричности Sap:
A24)
Из A23) имеем также
ibJ ОлК ^-J К Рл ^-"
(а) (р) (р)
2 Bрр — <7iO {«(р) о (р — 9) —
(р)
— v(p)u(p — q)}{u(p)v{p — q)+v(p)u(p — q)} =
1
2 Bpp - 9э) К (P)  (P - Я) - у2 (P) «2 (P ~ <
(p)
186

(р)
= > Bpe + Я$)v \P) 7 , ^
(p) (p) g
Получаем, таким образом, соотношения Бекингема [7] &
Яа^а^КЯ) = 9Р« A^) g
(а) ф
В силу A25) и A22) убеждаемся в выполнении закона сохранения g
q j^ = 0. Видим также, что ]q фактически зависит лишь от попе- *
речной части 31 вектор-потенциала А: х
|
Исследуем сейчас зависимость jg от 9t(^) при малых q. Так как
теперь qSI(qi) =0, то уравнение A17) можем представить в форме
где p_L — составляющая р, перпендикулярная вектору q. Устано-
Установив в пространстве импульсов ось г по направлению 31(9), а ось
х — по направлению q, получим тогда
»(р,<7), A26)
где
Lg(x)=f(p,q) = ^pz{ti(p)v(p-i)-v(p)u(p-q)}. A27)
Как видно, здесь f(p, q) будет антисимметричной функцией pz:
f(Px> Ру> —Рг\ Я) + f(Px, Ру + Рг\ й) = 0. A28)
Такая функция будет ортогональна к и(р) v(p). Мы можем
поэтому всегда1 искать решения уравнения A27) в виде
1 С чисто математической точки зрения возможен, конечно, случай,
когда уравнение Lo@)=O кроме симметричного решения Q=u(p)v(p)
имеет еще другое собственное решение, антисимметричное по отношению
к рг. С физической точки зрения, однако, рассмотрение подобного случая не-
обоснованно, и мы его учигывать не будем. 187

S где xl9 т2, ... —антисимметричные функции переменной р в смыс-
2 ле A28).
2 С другой стороны, подставив A26) в A20), найдем
f J, = -^
| где ez — орт оси г, а
ф
| Но при q-+Q функция т будет первого порядка малости, и поэто-
* му S(q) будет исчезать, как q2.
* Итак, для достаточно малых q
| A29)
ф 171
g и мы имеем эффект Мейсснера в чистом виде [8, 9].
ф Как мы видели, при рассмотрении влияния вектор-потен-
5 циала существенным оказался лишь оператор [10] Lq(Q).
| Если бы мы пожелали рассмотреть влияние внешнего ска-
6 лярного потенциала U, то в линейном приближении пришли бы
О к уравнению
Mq @) - - 2JU (q) {uip) v(p-q)i-v(p)u(p- q)}
с оператором Mq. Так как оператор этот содержит сингулярный
член из-за деформации зарядовой плотности, нетрудно убедить-
убедиться, что специфика сверхпроводящего состояния (в линейном
приближении) здесь выпадает и эффект экранировки будет
происходить так же, как и в нормальном состоянии.
Заметим, наконец, что если мы будем изучать влияние чле-
члена, пропорционального НХ<у, то мы придем к новому операто-
оператору, тому самому, который входит в уравнения колебаний для
той ветви спектра, где Я_+=0.
Примечание при корректуре. Недавно нам стала
известна новая интересная работа Мэя и Шафрота [11], в ко-
которой с использованием нашей старой техники компенсации
только диаграмм с противоположными импульсами также по-
получены убедительные результаты относительно калибровочной
инвариантности эффекта Мейсснера. Ввиду этого им пришлось
рассмотреть все порядки теории возмущений, ибо, как мы по-
показали это в настоящей работе, в случае наличия электромаг-
электромагнитного поля следует применить обобщенный принцип компен-
188 сации. В отличие от нашего подхода, однако, указанные авторы

сразу исследовали ситуацию с тройным гамильтонианом, что
доставляет дополнительные преимущества.
Литература
1. Боголюбов Н. Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В. Новый метод
в теории сверхпроводимости. М., Изд-во АН СССР, 1958.
2. Боголюбов Н. Н. — ЖЭТФ, 1958, 34, 58.
3. Тябликов С. В. —ДАН, 1958, 121, 2, 250; «Научные доклады Высшей
школы. Сер. физ.-матем.», 1958, № 3.
4. Боголюбов Н. Н., Соловьев В. Г.— ДАН, 1959, 124, №5,
1011.
5. В л а с о в А. А. Теория многих частиц. М., ГИТТЛ, 1950.
6. Anderson P. W.—«Phys. Rev.», 1958, 110, 827; 110, 985; 112, 1900.
7. Buckingham M. J.—«Nuovo Cimento», 1957, 5, 1763.
8. Barden J., Cooper L. N., Schrieffer T. R.—«Phys. Rev.», 1957,
108, 1175.
9. Blatt J. M., Matsubara Т.—«Progr. Theor. Phys.», 1958, 20, 781;
Blatt J. M.—«Progr. Theor. Phys.», 1960, 24, 851.
10. Bardeen J. —«Nuovo Cimento», 1957, 5, 1765.
11. May R. M., Schafroth M. R.—«Phys. Rev.», 1959, 115, 1446.

Об одном
вариационном
принципе в задаче
многих тел
ДАН, 1958, 119, № 2, 244
Рассмотрим динамическую систему
ферми-частиц с гамильтонианом вида
+
где Я — химический потенциал, а, а —
ферми-амплитуды, f — совокупность
индексов, характеризующих состояние
одной частицы. Совершим линейное
преобразование ферми-амплитуд
Чтобы это преобразование было кано-
каноническим и не нарушало тем самым
коммутационных свойств ферми-ам-
ферми-амплитуд, ^-функции ut v должны удов-
удовлетворять условиям ортонормирован-
ности
= 0.
Подставим B) в выражение A) и
найдем среднее значение Н по ваку-
вакуумному состоянию Со, av Co=O, для
новых ферми-амплитуд. Получим
=5] {Г (/,/')
^ (/,/') +
4.
где
Г) =
D)

Определим и, v из условия минимума формы <§ (и, v) при на- |
личии дополнительных условий C). Соответствующее уравне- «
ние стационарности имеет вид |
Si (и, v) = 0, I
g(u, v) = S(u, v) + ?{Ц/, /')?(/> /')+ S
I
+ и (/,nn(/./') + |i'(/,nti'(/./')}. E) I
где X, p,— эйлеровы множители; вариации би, 6а и би*, 6и* g-
рассматриваются здесь как независимые. t
Мы приходим теперь к формулировке нового приближенно- |
го метода в задаче многих тел. В этом методе берем такие и, §
v, удовлетворяющие уравнениям стационарности, которые при- %
дают минимальное значение форме <g (м, v). Для них соответ- |.
ствующее Со считаем волновой функцией основного состояния, ¦
а <§ (и> v) — энергией основного состояния. Вопрос об обосно- %
вании метода и пределах применимости весьма сложный. По- &
этому ограничимся .здесь лишь рядом замечаний. ^
Так, на основании результатов работы [1] можем утверж- О
дать, что предложенный метод дает точное решение задачи в
случае, когда в гамильтониане учитываются только взаимодей-
взаимодействия пар частиц с противоположными импульсами. С другой
стороны, покажем, что среди решений уравнения стационарнос-
стационарности всегда содержится решение, точно соответствующее извест-
известному методу Фока [2].
В самом деле, возьмем ортонормированную в обычном смыс-
смысле систему функций (p/V
и разделим всю совокупность индексов v на две части F и G.
В качестве F — «сферы Ферми» — возьмем конечное множество
индексов v, состоящее из N элементов (где N — число частиц);
остальные v объединим в дополнительное множество G. Поло-
Положим
Ufv = 0; Vfv = q>fv; veF.
Ufv = q>fv; v^ = 0; vsG.
Тогда, очевидно, все условия ортогональности C) будут вы-
выполнены. Если подставить такие и, v в форму g, то Ф в ней
исчезает и она будет зависеть только от Fif а тем самым толь-
только от ф/v при veF. 191

Обозначим vef буквой со. Определим ф/ю из условия мини-
минимума формы <§(... ф/ю ...) при дополнительных условиях F).
Соответствующее уравнение стационарности имеет вид
6lF = 0, If = *(... Ф/to ...) J- ?МА ПС(Л Л- (8)
Нетрудно заметить, что мы сформулировали не что иное,
как обычный метод Фока. Волновая функция системы соответ-
соответствует такому положению, когда индивидуальные частицы за-
занимают все состояния ф/©; остальные состояния q>/v пусты.
С другой стороны, из уравнений E) видим, что они всегда
имеют решение типа G), в котором q>/© подобраны по методу
Фока как решения уравнений (8). Итак, наш метод может рас-
рассматриваться как обобщение метода Фока, и, следовательно,
его пределы применимости во всяком случае не будут более
узкими.
Рассуждая как в работе [1] и составляя выражение второй
вариации 62<g(#, v) для «нормального решения» G), можем
получить условие его неустойчивости. Это условие формули-
формулируется с помощью задачи на собственные значения у соответ-
соответствующей системы линейных уравнений. Практически оно
может быть использовано, например, при получении критерия
сверхпроводимости в модели, в котором явным образом учиты-
учитывается кристаллическая решетка металла.
В заключение заметим, что изложенный метод может полу-
получить дальнейшее развитие и уточнение с помощью исследова-
исследования цепочки уравнений для «функций распределения»
а. ... а, а - ... су = Fs+r(t, fx, ... , /s, />,..., /i).
lx 'S if '1
Например, если в стационарном случае оставить в уравнениях
цепочки только функции ^0+2 (/ь /2), ^2+o(/i,/2)> а остальными
функциями пренебречь, то мы опять получим уравнения нашего
метода. В случае, когда Fo+2, ^2+0 явно зависят от времени,
ограничившись линейным приближением по отклонениям Fo+a—
Fo+2» ^2+0 — ^2+0, получим уравнения для определения спект-
спектра коллективных колебаний.
Литература
1. Боголюбов Н. Н. ДАН, 1958, 119, 52.
2. Фок В. A.—«Zs. f. Phys», 1930, 61, 126.
192

Квазисредние в
задачах
статистической
механики
Препринт Д-781, ОИЯИ,
Дубна, 1961
Глава I
Квазисредние
§ 1. Функции Грина, построенные
из обычных средних.
Аддитивные законы сохранения
и правила отбора
В современной статистической ме-
механике все возрастающее значение
приобретают понятия и методы кван-
квантовой теории поля. Так, весьма плодо-
плодотворным оказалось введение функций
Грина, с помощью которых удается,
например, обобщить для задач стати-
статистической механики диаграммное
представление теории возмущений и
проводить парциальное суммирование
разложений. Обсудим, прежде всего,
само определение функций Грина. Как
известно, эти функции выражаются
линейными формами из средних зна-
значений
A.1)
с коэффициентами, составленными из
произведений функций Q(ti—4). Ис-
Используем следующие обозначения:
х= (г, а) — совокупность пространст-
пространственных координат (г) и ряда дискрет-
дискретных индексов (а), характеризующих
спин частиц, их сорт и т. п.; ty(tf х)>
ty(t, х)—полевые операторные функ-
функции в гайзенберговском представле-
представлении. Эти полевые функции выражают-
выражаются «квазидискретными» суммами
<*)
A.2)
193
7 Н. Н. Боголюбов

x через операторы рождения a&j и уничтожения a&j, удовлет-
| воряющие обычным перестановочным соотношениям Бозе или
* Ферми. В этих суммах &а = ПП(Х> a = 1, 2, 3, я» целые
g числа, 1/=L3 — объем системы. Так как функции Грина оред-
? ставляются универсальными (не зависящими от специфики си-
Б стемы) линейными формами из средних значений типа A.1),
5 то вопрос об определении функций Грина сводится к вопросу
С об определении выражения A.1). Обычно они определяются
g как средние по гиббсовскому (большому) каноническому ан-
5 самблю, причем всегда совершается общепринятый предельный
8 переход статистической механики V->oo. Таким образом,
а
ф
8" «
J...)e ))
где Я — полный гамильтониан системы; при наличии закона
сохранения числа частиц в Н включаются известные члены с
химическим потенциалом. Условимся называть средние значе-
значения A.1), определяемые соотношениями A.3), обычными сред-
средними, а 'соответствующие функции Грина — функциями Грина,
построенными из обычных средних.
Обратим теперь внимание на хорошо известный факт, что
аддитивные законы сохранения приводят к правилам отбора
для обычных средних, а тем самым и для построенных из них
функций Грина.
Пусть, например, выполняется закон сохранения полного
числа частиц
(fc,a) (a)
так что
[#;#] = о,
где Н — полный гамильтониан системы (включающий член XN
с химическим потенциалом К). Так как тогда H=UHU, где
194 и=е''ч>м и ф — произвольное вещественное число, видим, что

гамильтониан инвариантен по отношению к градиентному пре- *
образованию 1-го рода |
к
ф
>*
g
Следовательно,
Sp({.
= Sp({.
..aka(t)..
+
Sp({... akl
¦ ak'o~ (?) ¦ ¦
...ak'0>(t')
j(t) ...ak'O'
H
+ н
.}Ue~T
...}Ue~
«')¦¦.}
=
"?/) =
H
e-T),
Ф
X
X
где n — разность между числом операторов а и числом опера- ©
+ + 8*
торов а в рассматриваемом произведении ... а*а@ •• • а*'о'С')- «
Отсюда на основании самого определения A.3) находим S
и убеждаемся, что
(...аЛа@-..а^(Г)...>=0,
если в данном произведении число операторов рождения не
равно числу операторов уничтожения.
Так как функции Грина выражаются универсальными ли-
линейными формами из обычных средних, то правила отбора для
обычных средних справедливы и для фукнций Грина, например
{T(...akG(t) ...avo'it')...)) =0, если пфО.
Рассмотрим еще правила отбора, обусловленные законом
сохранения полного импульса
_ +
р = у k akoakG.
(k,o)
При наличии этого закона сохранения имеем
9;P]}=0.
Положим здесь
31= ...i|>(*/,r/4-S,,<f/)...4>(*1,rf+S,,crJ) ... 195
7*

i и заметим, что
Spe
5 Таким образом, средние A.1) не изменяются при пространст-
пространство венной трансляции гу- —>• Гу -{- § с произвольным вектором g.
Б Иначе говоря, обычные средние A.1) должны быть простран-
5 ственно-однородны.
3: Воспользуемся теперь импульсным представлением B.1).
8 Получим
, г,, т;)... i|>(f,, г„ as)...) =
Отсюда, принимая во внимание трансляционную инвариант-
инвариантность, находим правила отбора
<... a^kra.(tj) • • • %,os(ts) ... > = 0, если кх + ... +
Такие же соотношения выполняются и для функций Грина. Нап-
Например,
(Т(... i-k^it,) ... fl*e.a,(g ...)>= О, если кх + ... + кпф0.
Аналогичная ситуация возникает при учете законов сохране-
сохранения суммарного спина и других аддитивных динамических ве-
величин.
Правила отбора приобретают особую наглядность при пере-
переходе к диаграммному представлению теории возмущений. Для
формулировки теории возмущений полный гамильтониан раз-
разбивается на две части: Н=Н0+Ни причем разложения прово-
проводятся «по степеням Hi». Как правило, в качестве Но выбирают
гамильтониан, соответствующий «идеальному газу» без взаимо-
взаимодействия; все взаимодействие включается в #i. Мы хотим здесь
подчеркнуть, что при выделении Но обеспечивается выполнение
упоминавшихся выше аддитивных законов сохранения также
для «динамической системы нулевого приближения», характе-
характеризуемой гамильтонианом Но. Благодаря такому выделению Но
196 Для совокупности точных функций Грина и совокупности функ-

ций Грина нулевого приближения получаются одни и те же 5
правила отбора. |
Рассмотрим диаграммное представление. Можем иметь 3
здесь в виду или обычные диаграммы Фейнмана для случая *
нулевой температуры, или обобщающие их диаграммы Мацу- g
бара — Блоха для 9>0. В обоих случаях диаграммы характе- g
ризуются линиями и узлами; в каждом из узлов выполняются |
аддитивные законы сохранения, все допустимые линии также ?
удовлетворяют этим законам. Пусть, например, имеется систе- g
ма частиц со спином сг=±1/2, полное число которых сохра- )J
няется. Пусть также справедливы законы сохранения суммар- S
ного импульса и г— компоненты суммарного спина. Тогда все 3:
«спаривания», т. е. все функции Грина нулевого приближения ет
типа ф
X
при рфр' или офо' тождественно равны нулю. Единственно J
допустимыми линиями распространения рассматриваемых час-
ТИЦ ЯВЛЯЮТСЯ ЛИНИИ, СООТВеТСТВуЮЩИе СПариванИЯМ а^Дра.Яравра»
сохраняющим р и а.
Такая же ситуация возникает и в случае «жирных», «про-
«просуммированных» линий, соответствующих точным функциям
Грина. Точные функции Грина типа
при р=7^=р' или аф& все равны нулю; единственно допустимыми
являются жирные линии, характеризуемые функциями Грина
<^арв, пра^ или <apa, apa>, сохраняющими р и а.
Как видно, правила отбора существенно упрощают и топо-
топологическую структуру диаграмм и фактически проводящиеся
вычисления.
§ 2. Вырождение состояний
статистического равновесия.
Введение квазисредних
Применяя диаграммную технику, нельзя упускать из виду,
что она является лишь удобным представлением обычной тео-
теории возмущений и, естественно, приводит к тем же трудностям, 197

>х
в частности, к весьма сложному вопросу о сходимости полу-
чающихся разложений. В настоящее время сходимость удается
доказать лишь для ряда простейших модельных примеров.
В более реалистических задачах можно только .предполагать
о наличие некоторого соответствия между истинными решениями
g и получающимися формальными разложениями. Такие фор-
| мальные разложения используются, в частности, для построе-
Б ния приближенных решений. Весьма эффективным приемом
5 оказывается здесь шарциальное суммирование в каком-то смыс-
JJ ле «главных» членов, что особенно удобно проводить с по-
? мощью диаграммной техники.
6 Если возмущение «достаточно слабое» и характеризуется
8 малым параметром, приближенные решения строятся как
" асимптотические формулы. Парциальные суммирования играют
jg здесь роль средства учета особенности при нулевом значении
5 параметра малости возмущения. Несмотря на то что с матема-
5* тической стороны законность всех этих приемов не выяснена,.
8 тем не менее при решении многих важных задач таким путем
5 удается получать физически корректные результаты, относя-
относящиеся к качественным свойствам точных решений. Однако в
ряде случаев, например в теории сверхпроводимости и теории
кристаллического состояния, обычная диаграммная техника не
приводит к физически корректным результатам. По нашему
мнению, было бы недостаточно ограничиться здесь лишь ссыл-
ссылками на такие формальные причины, как отсутствие сходи-
сходимости, сложность аналитической структуры по отношению к
малому параметру и т. п. Следует поискать физически обосно-
обоснованные, конструктивные разрешения возникающих трудно-
трудностей.
Обратим внимание на такое хорошо известное в квантовой
механике понятие, как вырождение. При рассмотрении задач о
нахождении собственных волновых функций в квантовой меха-
механике разъясняется, что теорию возмущений в обычной форме,
разработанной для невырожденных случаев, нельзя прямо при-
применять к задачам, где имеется вырождение. Необходимо ее
предварительно видоизменить. В задачах статистической меха-
механики благодаря наличию аддитивных законов сохранения
всегда имеется случай вырождения. Однако на первый взгляд
может показаться, что в этих задачах вырождение не эффек-
эффективно и его практически можно не учитывать. В самом деле,
в упоминавшихся задачах квантовой механики одному собст-
собственному значению энергии может соответствовать линейное
многообразие из различных собственных функций; собственная
функция в таком случае содержит неопределенные постоянные.
В статистической же механике среднее значение любой дина-
198 мической величины 31 всегда однозначно определено:

—a" *
Spe |
Следовательно, и построенные из обычных средних функции о
Грина также должны определяться однозначно. Поэтому и |
может показаться, что при изучении статистического равнове- х
сия, скажем, с помощью диаграммной техники, не надо прини- g
мать во внимание наличие вырождения. *
Но в действительности положение не так просто. Чтобы со- |
ставить себе интуитивное представление о характере возни- JJ
кающих здесь трудностей, рассмотрим случай идеально изо- ?
тройного ферромагнетика. Для определенности возьмем ф
динамическую систему, характеризуемую гамильтонианом (мо- |
дель Гайзенберга), ?
и
Н = - \ ? J(h- /2)(V%2), B.1) |
<fi.f«>
где / — пространственные точки, соответствующие узлам крис-
кристаллической решетки (лежащие в объеме V), S/ — векторы
спина с обычными перестановочными соотношениями,/(fi—/2) —
неотрицательные числа; предполагается, что /(ft—f2) положи-
положительны, например, когда узлы /i, /2 — «ближайшие соседи».
Для рассматриваемой динамической системы каждая из
компонент вектора суммарного спина S=2^S^ является ин-
Ф
тегралом движения. Кроме того,
SySz — SzSy = iSx,
Отсюда следует, что
н н
iSp(Sze 9)= Sp{(SxSy~SySx)e 9 }.
Но, поскольку Sx коммутирует с Я, получим
Sp (SySxe e)=Sp(V QSx)=Sp(SxSye e)
и поэтому
Sp(Sze e) = 0. 199

Совершенно аналогично найдем
X
5 н и
>х
2
I
ад
X
—— ——
Sp(Sxe e)=0, SpE/ e)-0.
2 Введем вектор намагничения, отнесенный к единице объема,
« Имеем
и, следовательно,
*iM? L = 0. B.2)
9
Итак, обычное среднее от вектора 501 равно нулю, чтог
очевидно, соответствует изотропии рассматриваемой динамиче-
динамической системы по отношению к группе вращения спина. Под-
Подчеркнем, что соотношение B.2) справедливо для всех темпера-
температур 0, в частности и для температур ниже точки Кюри.
Рассмотрим специально именно последний случай. Тогда,
как известно, величина вектора намагничения отлична от нуля,
направление же его может быть взято произвольно. В этом
смысле состояние статистического равновесия в рассматривае-
рассматриваемом случае является вырожденным. Включим теперь внешнее
магнитное поле ve (v>0, e2=l), заменив гамильтониан B.1)
гамильтонианом
Яте = Я4 v(e.S»)l/. B.3)
Принимая во внимание характерное свойство изотропных фер-
ферромагнетиков при температурах ниже точки Кюри, видим, что
где AIV —стремится к конечному, отличному от нуля пределу,
когда интенсивность v внешнего магнитного поля стремится к
нулю. С формальной точки зрения мы имеем здесь «нестабиль-
«нестабильность» обычных средних: при добавлении к гамильтониану
B.1) члена v (е • 3R) Ус бесконечно малым l v среднее (ЗЙ)
1 Когда мы говорим о бесконечно малом v, то всегда подразумеваем,
что сначала совершается предельный переход статистической механики
200 V-*-oo, а затем v устремляется к нулю.

претерпевает конечное, отличное от нуля приращение §
em; т = HmMv. g
v-*o *
Введем теперь для динамической системы с гамильтонианом 2
B.1) понятие «квазисредней». Возьмем какую-либо динамиче- 8
скую величину А, являющуюся линейной комбинацией из произ- S
ведений *
и определим квазисреднее -*$А$>- от этой величины, положив
v-»0 g
где (/4)ve—обычное среднее от А при гамильтониане #Ve. 5
Таким образом, наличие вырождения непосредственно отра- &
жается на квазисредних их зависимостью от произвольного g
орта е. Нетрудно заметить также, что 5
B.4)
Понятно теперь, что для описания рассматриваемого случая
вырожденного состояния статистического равновесия квази-
квазисредние более удобны, более «физичны», чем обычные средние.
Последние представляют собой те же квазисредние, только
усредненные по всем направлениям е. Заметим еще, что обыч-
обычные средние
должны быть инвариантны по отношению к группе вращения
спина. Соответствующие квазисредние
4S?'(^)...S^>- B.5)
будут обладать лишь свойством ковариантности: при вращении
спинов надо подвергнуть такому же вращению и вектор е, что-
чтобы выражение B.5) не изменилось. У квазисредних, таким
образом, не будет тех правил отбора, которые для обычных
средних обусловливались их инвариантностью по отношению к
группе вращения спина. Как видно, орт е — направление век-
вектора намагничения — характеризует вырождение рассматривае-
рассматриваемого состояния статистического равновесия. Чтобы снять вы-
вырождение, надо зафиксировать направление е. Выберем это 201

i направление вдоль оси z. Тогда все квазисредние будут опре-
| деленными числами. Как раз с такого рода средними обычна
S и имеют дело в теории ферромагнетизма. Иначе говоря, можно
* снять вырождение состояния статистического равновесия по
о отношению к группе вращения спина, включив в гамильтониан
g H дополнительный неинвариантный член vtjc бесконечно
| малым v.
? Перейдем теперь к рассмотрению другого примера вырожде-
5 ния. Обратимся для этого к теории кристаллического состоя-
JJ ния. Возьмем динамическую систему бесспиновых частиц с би-
? нарным взаимодействием, характеризуемую гамильтонианом
6 обычного типа
g- (P) (Pl,P2,Pt>P2)
flu
? X * (Pi + P2 — Pi — P2)v (Pi — Pi)» B.6)
?
в котором б(р) — дискретная б-функция, v(p) — фурье-образ
потенциальной энергии взаимодействия Ф(г) пары частиц.
Предположим, что это взаимодействие такого типа, что наша
динамическая система должна находиться в кристаллическом
состоянии при достаточно низких температурах 8<0Кр.
Рассмотрим наблюдаемую плотность числа частиц р(г),
которая, очевидно, должна быть периодической функцией г с
периодом решетки кристалла. Естественно, казалось бы, счи-
считать, что р(г) равна обычному среднему значению оператор-
операторной плотности
р(г) = <J(rL>(r)> = -i-2 {2<?a*+*>} e'qr.
in) (k)
Это, однако, неправильно.
В самом деле, в рассматриваемом случае выполняется за-
закон сохранения полного импульса
и поэтому на основании сказанного в § 1 выполняются правила
отбора
202 (^iflk+й)- = 0, если q ф 0,

откуда
<г|) (г) Ч> (г) > = 4" 2 (аЛ> = — = const.
Таким образом, обычное среднее значение операторной плот- §
ности не может быть равно периодической функции р(г). Ясно, 5
что такое положение вызвано вырождением рассматриваемого 5
состояния статистического равновесия. Действительно, кристал- 5
лическая решетка как целое может быть произвольно располо- g
жена в пространстве. В частности, наш гамильтониан обладает ?
трансляционной инвариантностью и поэтому всегда можно при- «
дать решетке произвольную трансляцию. *
Какое-либо специальное положение кристаллической решет- J.
ки в пространстве ничем не выделено, и когда мы берем обыч- S
ную среднюю, то тем самым проводим усреднение по всем о.
возможным расположениям этой решетки. Чтобы снять такое *
вырождение и ввести квазисредние, включим в выражение га- S
мильтониана член *
dr, v>0, v->.0, B.7)
соответствующий бесконечно малому внешнему полю vU(r)
Полученный гамильтониан обозначим Hv. В качестве U(r)
возьмем .периодическую функцию г с соответствующей перио-
периодичностью (периодичностью решетки) так, чтобы внешнее поле
vU снимало вырождение, фиксируя положение нашего крис-
кристалла в пространстве. Так как, с другой стороны, мы, естествен-
естественно, рассматриваем только физически стабильные случаи, ясно,
что включение бесконечно малого внешнего поля может быть
лишь бесконечно мало изменит физические свойства изучае-
изучаемой динамической системы. Поэтому, взяв обычную среднюю
от операторной плотности (ф(г)'ф(г) для гамильтониана #Y с
бесконечно малым v, мы фактически получим среднюю для
системы с первоначальным гамильтонианом Я, но без дополни-
дополнительного усреднения по расположениям (как целого) кристал-
кристаллической решетки в пространстве, поскольку ее положение
теперь закреплено. Таким образом, мы получим наблюдаемую
пространственную шютность распределения частиц р(г).
Определим формально квазисредние, положив
Щ, г,)... iK^r^^HmJ.. .{(f/f Г/)... tp (*„ rs).. .bv.

? Тогда, как отмечалось,
I
ф
* Приняв во внимание, что
о + 1
S ^(Г)г|)(г)^ = —
| <я
S видим, что квазисредние
S +
u -^akak^y k' фку B.8)
S
т не могут все равняться нулю. Таким образом, правила отбора,
f обусловленные законом сохранения суммарного импульса, не
й выполняются для введенных квазисредних.
$ Заметим теперь, что квазисредние зависят вообще от ряда
S произвольных параметров, например от произвольного век-
S. тора |. В самом деле, если заменить функцию U (г) столь же
g допустимой функцией t/(r+S), то нетрудно убедиться, что ква-
S зисредние B.8) заменяются квазисредними
Квазисредние становятся однозначно определенными, когда
фиксируется функция U(r).
Мы рассматривали до сих пор случаи вырождения состоя-
состояния статистического равновесия, связанные с законом сохране-
сохранения суммарного вектора спина или суммарного вектора им-
импульса. В обоих случаях можно было снять вырождение и
ввести физически адекватные квазисредние путем включения
подходящего бесконечно малого внешнего поля.
Перейдем теперь к рассмотрению тех случаев, когда вы-
вырождение связано с законом сохранения полного числа частиц.
Начнем с элементарного примера конденсации бозе-эйнштей-
новского идеального газа. Чтобы было удобнее выделить кон-
конденсат, возьмем гамильтониан идеального газа в форме
Я = -Хаоао ± ? ("?- - *•) ifik , е > 0. B.9)
|Л|>е
Величину е устремим к нулю после совершения предельного
перехода У-^-оо. Для средних чисел заполнения импульсов
найдем
—Г ш-%
204 е -i e » -\

Сразу же видно отсюда, что Л<0. Обозначая полное число
частиц через N, получаем
B.10) *
s
I
Рассмотрим случай бозе-эйнштейновской конденсации, когда g
у W
0)
является конечной, отличной от нуля величиной. В этом слу- |
чае, перейдя к пределу в соотношении B.10), найдем 5
п = lim — = п0 -J \
V BлK J
BлK J f ^2 ) 1 ' 5
Устремив здесь «импульс обрезания» г к нулю, получим окон-
окончательно
1 Г dk /о 1i\
\ BЛ1)
ехр \ \ — 1
Р 1 2m9 I
Таким образом, приходим к условию конденсации в обычной форме:
1 Г
2я)» J
B) J
ехр
2тв
Нетрудно заметить, что оператор —°-°— асимптотически равен
с-числу:
-п0. B.12)
Рассмотрим амплитуды а* » Д , коммутирующие со всеми
у V К V
амплитудами ал, aft, *=^0. Так как коммутатор 205

Г ар До I 1
[ Vv9 Vv J v
>x бесконечно мал (V->-oo), то можем считать также и рассмат-
§ риваемые амплитуды с-числами, причем ввиду B.12)
] k' BЛЗ)
? Вещественный фазовый угол а здесь произволен. Этот факт
т связан с градиентной инвариантностью 1-го рода, обусловлен-
J ной законом сохранения числа частиц, и свидетельствует о по-
2 явлении вырождения.
х Возьмем обычные средние / а* \, / а* \ и заметим, что
g- благодаря правилам отбора они точно равны нулю. Тем самым
| обнаруживаем, что обычные средние включают еще дополни-
^ тельное усреднение по углу а. Чтобы ввести квазисредние и
снять вырождение, включим в гамильтониан Н члены
— v (aoei(v + aoe-/(P) l/V, v > 0.
Положим
#м = Н - v B^ф + аое-"Р) VV9 B.14)
где ф — некоторый фиксированный угол.
Для приведения B.14) к диагональной форме совершим ка-
каноническое преобразование над амплитудами а0, а0, не меняя
остальных амплитуд акУ ак\
^o B.15)
А*
Получим
й;2(^)^т1/- BЛ6)
Положим здесь
Л---^-. B.17)
У п0
Тогда в +/
206 <^о>%ф = 0, (ao)v.«p = 0,

+, , ( v i-l
Благодаря наличию в экспоненте «предохранительного» слагае-
слагаемого —^=г нам сейчас можно и не вводить «импульс обреза-
V П
о
ния» е. Непосредственно перейдя к пределу в соотношении
B.19), найдем
-^^L)-1l <*• <2-20>
Заметим далее, что
V-*oo V
Следовательно, асимптотически
a!
>x
о
где (...)v<p — среднее для гамильтониана #v,cp. Поэтому на осно- Б
вании B.15), B.17) %
1
V
eQ VrT0
j
B.
18)
к
ID
So
m
V
ф
Q.
т. е. для системы с гамильтонианом HVi4> амплитуды конден-
конденсата являются асимптотически фиксированными с-числами.
Полученные формулы B.18) —B.20) показывают, что, совер- 207

X
X
X
о
I
i
I
шив предельный переход v->0 (после предельного перехода
V—>(»), мы придем к обычным результатам теории конденсации
идеального бозе-газа.
Введем квазисредние
\'-*0
>
Тогда
Как видно, правила отбора, обусловленные законом сохране-
сохранения частиц, не выполняются для квазисредних. Видим также,
что квазисредние зависят от фазового угла <р, который можно
фиксировать произвольно. Возьмем ф = 0. Тогда квазисредние
будут определенными величинами. Иначе говоря, вырождение
снимается добавлением к гамильтониану Я бесконечно мало-
малого члена —v(a0 -J- a)l/V. В данном случае квазисредние отли-
отличаются от обычных 'Средних только для амплитуд конденсата
благодаря тому, что мы рассматриваем идеальный газ без
взаимодействия. При наличии взаимодействия это отличие рас-
распространяется и на остальные амплитуды. Появляются, напри-
например, отличные от нуля квазисредние типа -^afea_A?-.
Перейдем теперь к рассмотрению более сложного примера.
Возьмем модельную динамическую систему с гамильтонианом
B.21)
(f)
(f.f)
изучавшуюся в связи с теорией сверхпроводимости [1, 2].
Примем следующие обозначения:
+
О,
-обычные ферми-амплитуды.
Ъп
Эж)т пример интересен в том отношении, что он нетривиа-
нетривиален: уравнения движения для гамильтониана B.21) точно не
208 интегрируются; вместе с тем асимптотически точные формулы

(при V-voo) могут быть получены для функций Грина всех i
порядков. *
Приведем здесь вкратце относящиеся к этому случаю ре- S
зультаты, опубликованные в работах [3, 4]. Возьмем «аппрок- *
симирующий гамильтониан» g
о
B.22) §
в котором величина С является с-числом (вообще говоря, *
комплексным), определяемым как нетривиальное (С=#=0) ре- 3:
шение уравнения "
C = T%W<<4*№ <2-23> I
Здесь 8*
5
/ \(V) __ Sp(...)g
Sp e
В связи с принятым обозначением напомним, что обычное сред-
среднее (... )н определяется как предел Пш (... )я). Так как Но
V->x>
с точностью до постоянного члена представляется квадратичной
формой по отношению к операторам а, а, можно привести Но
к «диагональному виду» посредством линейного канонического
преобразования. Действительно, введем новые ферми-ампли-
туды а и а, положив
+ + +
af = afuf 4- <*-fvf> af =afuf +¦ a4vn
где
T{f)
Тогда
fa,-f/C, B.24)
(ft
где К — постоянная,
1 У T J 209

1 Отсюда
х ~Ь 1
1 e°+1
§ {a.faf> g) - «,г, ^^ = - и*, th -ML = _M»_ cth ML
% f Ho f f ЕЮ f f 29 2?(/) 29
H It®
s
j Можно теперь раскрыть соотношение B.23). Получим
:
X
Таким образом, искомое нетривиальное решение С определяется
уравнением
I B 25)
Г
1 У ш
2V jf /ЯМ/IСр+гм/) I 26
или, после предельного перехода
!_, ! f_ Я2^>^Р fh \уОШШ±Ш!1\ B 26)
BяK J /W(p)|Cl«+T»(p) 1 29 J
Как известно, это уравнение имеет решение для 0, меньших
некоторого критического 9Кр. Мы будем рассматривать только
такой случай 8<0Кр. Заметим также, что уравнение B.25)
или B.26) определяет только модуль |С|, фаза же С остается
произвольной.
Рассмотрим среднее
{..?, At,)... а, №...)% B.27)
от произведения любого числа операторов а и а (в любом по-
порядке следования). Так как ферми-амплитуды а, а линейно вы-
выражаются через ферми-амплитуды а, а
в которых Но имеет диагональную форму B,24), видим, что
для вычисления выражений B.27) применимы правила Вика —
Блоха. С их помощью эти выражения представятся в виде сум-
210 мы произведений «простейших спариваний»

< () ())ffi u)
l+e^ l+e в
+ +
<a, @ a-f
i+ee
l+e" l+e ' |
Q.
Два последних из них зависят не только от модуля С, но и от |
ее фазы. Следовательно, вообще выражение B.27) может за- g
висеть от фазы С. Нетрудно заметить, что эта зависимость *
весьма проста. Действительно, гамильтониан Яо инвариантен
по отношению к замене
+ . +
в которой ср — произвольный (вещественный) угол. Поэтому
C = eia\C\, B.29)
где п — разность между числами операторов рождения и опера-
операторов уничтожения в рассматриваемом произведении. Ясно, что
п здесь может считаться четным, так как при нечетном п тож-
тождественно
Заметим также, что в случае м = 0 из B.29) следует, что сред-
средние B.27) не зависят от фазы С. Как видно, исследование сис-
системы с «аппроксимирующим гамильтонианом» Яо совершенно
элементарно. Соответствующие уравнения движения точно ин-
интегрируются. Мы рассматривали вспомогательную систему с
гамильтонианом Яо, так как удается доказать [3, 4] следую-
следующий важный результат. 211

I
и
Если для произведения
J
J,, (*,)... а,§ (*,)
B.30)
число п равно нулю, то]
1 Чтобы несколько разъяснить причины, обусловливающие такой резуль-
результат, приведем следующие простые соображения. Заметим, что гамильто-
гамильтониан Н может быть представлен в виде
Y1+ 1
Н = ^ Т (/) afaf - —
где
+
{|k
р = — \ Х(/) а_/а/, и
V лвтл
(/)
что уравнения движения имеют вид
3ai\ieTHM далее, что
dt
• = Г(/)а,-М/)«-/Р.
+ +
(б)
_2_
V
(f)
Таким образом, все коммутаторы операторов
между собой и с опера-
операторами а/, а/ являются бесконечно малыми величинами порядка —. Поэто-
Поэтому естественно ожидать, что квантовый, операторный характер величин р,
Р становится в пределе У-^оо несущественным. Заменив в (а), (б) эти
величины их средними значениями, мы и приходим к задаче с гамильтониа-
ном #о(Р=С). Нетрудно заметить, что операторы р, р по своему характеру
весьма похожи на операторы —Тр"» лгт? из теоРии конденсации бозе-
газа. Как и последние, они содержат произвольную фазу.
В связи с такой ситуацией соотношения B.31) и доказываются только
для тех произведений B.30), которые не зависят от этой фазы, т. е. у кото-
которых /1=0. Математическая техника доказательств значительно упростится,
если мы избавимся от произвольности фазы, включив, например, в гамиль-
212 тониан Я член —vV(P+P), v>0.

/j/,i B.31) |
С другой стороны, совершенно элементарно устанавливается 5
существование предела J
для любого произведения B.30). Кроме того, если соответст-
вующее п не равно нулю, то в силу правил отбора для системы
с гамильтонианом.Я, обусловленных законом сохранения числа
частиц,
Таким образом, g
= (... af. (*;)... аи (ts)... )Яо, если п = 0, B.32)
I 0, если п
т. е. можно вычислить обычные средние B.32) любого порядка,
а следовательно, и функции Грина для рассматриваемой мо-
модельной системы с гамильтонианом Н. Больше того, доказы-
доказывается, что при любом значении числа п
-J... ih(t,)... afs(tb) .. .Н,= <.. .+af.(tj) ... afs(ts) .. .)„,. B.33)
Здесь, как и раньше, символ ~^...г~ обозначает квазисредние.
Как отмечалось, вторая часть равенства B.33) содержит фак-
/па
торе 2 . Поэтому
a,,
т. е. обычная средняя получается из квазисредней после допол-
дополнительного усреднения по произвольному углу а.
Как и в ранее рассматривавшихся случаях, квазисредние
можно ввести, дополняя гамильтониан бесконечно малыми чле-
членами, снимающими вырождение. Возьмем гамильтониан 213

}, v>0, B.34)
эх содержащий члены, снимающие вырождение по отношению к
| градиентной инвариантности 1-го рода, или, что то же самое,
| снимающие закон сохранения полного числа частиц. Аппрокси-
S мирующий гамильтониан возьмем в виде
С #v = #о — ~" 5- К W (a-faf "*" afa-fi •
(/)
5 Величина С определяется уравнением
8" т. е.
I VI th
/ (/) (С + v)« + T* (f)
или, после предельного перехода,
BяK J W /X«(P) (C+ v)«
В качестве С возьмем корень этого уравнения, который при
v->0 приближается к положительному корню уравнения B.26).
Тогда можно доказать, что
С другой стороны, легко убедиться, что
Следовательно,
U>o;
+
214

Если бы мы вместо #v взяли гамильтониан Hv,<p,
-fa/}, v>0, |
то получили бы1 5
-Ц .. lfj (/,) ...afa (*,).. -5-=1ип < ... %. (*,) ... аи (g ... > «v = |
(v>o) 5
= {...a//(^.)...a/s(g...K) С = е'ф|С|. |
IB
Таким образом, как и следовало ожидать, в рассматриваемом ?
случае квазисредние зависят от произвольного фазового угла ср. «>
Существенно также, что для квазисредних здесь не выполняют- ^
ся правила отбора, обусловленные законом сохранения числа ?
частиц. Чтобы иметь вполне определенные значения для квази- S
средних, мы должны как-то фиксировать этот угол. Положим S
<р=0, т. е. условимся снимать вырождение включением в га- «•
мильтониан Н бесконечно малых членов типа
- "Т 2
a~f af + "/ *
Такой выбор фазового угла удобен в том отношении, что делает
вещественными значения всех «одновременных» квазисредних
типа-^...а/#(<) ... в/в@ . ..^-. Заметим также, что результат
не изменится, если дополнительные члены B.35) написать в
более общей форме:
4af + tfa4}, v>0, B.36)
(f)
где w(f)—вещественная, нетривиальная, достаточно регуляр-
регулярная функция.
1 Как видно, обычная средняя
2л
§
о
терпит разрыв, когда в гамильтониан Н добавляются бесконечно малые
члены с источниками пар
~ "г" Z
Ф 215

|
I
5
X
10
I
Выше рассматривались произведения полевых функций в
импульсном представлении. Такая же ситуация возникает в
случае произведений из полевых функций
ч-
, г, s) =
(р)
в координатном представлении. Например:
(
,
, r2, s2) г|)(*ь П, Si)) ==
(
5» Г2>
2, Г2, 52) 1|)(^2> 1*2» 52) фС^Ь ГЬ Sl))tf0 ===
= F(tx — turx — rl) F (t% —12, r2 — r2) б (sl — s[) б (s2 — s2) —
— F (^2 — ^i, r2 — ri) F (ti — /2» гг — r2) б (s2 — Si) б (sx — s2) +
— t2y rx — r2) Ф (^ — ^2, r I — Г2) e (sx) x
xe(s;N(s1+stN(s;+%),
B.37
где
г) = —l- i
r) l/ 1 —
e—lEW
1+e
l+e
?(P)
e
ЕЦр)
dp.
X-
B.38)
<
Заметим также, что
ij — si) = (г|?(^, rlf
Ф (tt — tv VX — Г2) 8 (Si) б (St + S2) ==
+ +
r'lt si)) =
. B.39)

и
X
го
т
го
Мы рассмотрели ряд примеров вырождения состояния ста- i
тистического равновесия. Во всех этих случаях такие особые со- I
стояния статистического равновесия возникают при температу- g
pax ниже некоторых критических: 9<9Кр. При 8 = 8Кр происхо- *
дит фазовый переход к «нормальному» невырожденному со- о
стоянию. |
В приведенных примерах вырождение связано с наличием |
аддитивных законов сохранения, или, что то же самое, с нали- ?
чием инвариантности по отношению к соответствующим груп- 5
пам преобразований. Подчеркнем, что не все имеющиеся в дан-
данной системе законы сохранения вызывают вырождение. Так, в
третьем и четвертом примерах вырождение состояний статисти-
статистического равновесия связано только с законом сохранения числа «
частиц. В соответствующих квазисредних нарушались только "
те правила отбора, которые обусловливались именно этим за- |
коном; правила отбора, обусловленные другими аддитивными ф
законами сохранения, например законом сохранения импульса 8*
и спина (в 4-м примере), оставались в силе. Во втором же при- й
мере вырождение связано только с законом сохранения импуль- ?
са. Правила отбора, обусловленные, например, законом сохра-
сохранения числа частиц, здесь не нарушались.
Можно было бы умножить число подобных примеров, рас-
рассматривая случаи вырождения, связанные с другими группами
или одновременно с несколькими группами преобразований.
На этом мы здесь останавливаться не будем и перейдем к об-
общему рассмотрению, введя соответствующие общие опреде-
определения.
Возьмем некоторую макроскопическую систему с гамильто-
гамильтонианом Я. Добавим к Я бесконечно малые члены, соответст-
соответствующие внешним шолям или источникам, нарушающим адди-
аддитивные законы сохранения, и получим таким образом некото-
некоторый гамильтониан #v, v->0. Тогда, если все средние значения
<Л>, А = ... ф (tn xf) ...q(tSixs) ... B.40)
получают лишь бесконечно малые приращения, будем гово-
говорить, что рассматриваемое состояние статистического равнове-
равновесия не вырождено. Наоборот, если некоторые из средних
B.40) получают конечные приращения мри переходе от Я к
бесконечно близкому гамильтониану HVi будем говорить о вы-
вырождении состояния статистического равновесия. Заметим, что
мы, естественно, ограничиваемся рассмотрением лишь стабиль-
стабильных систем, поскольку только они имеют физический смысл.
Поэтому бесконечно малая вариация 8H=HV—Я гамильто-
гамильтониана может вызывать лишь бесконечно малое изменение тех
величин, которые действительно характеризуют реальные фи-
физические свойства системы. 217

Для случаев вырождения целесообразно вводить вместо
обычных средних квазисредние, положив
% v->0
5 Как мы уже убедились на ряде примеров, для квазисредних не
| обязательно выполнение всех правил отбора, обусловленных
S аддитивными законами сохранения. Подчеркнем, что, определяя
S квазисредние, следует сначала выполнить предельный переход
S V->oo, а затем уже устремить v к нулю.
т Выше отмечалось, что бесконечно малые члены, образующие
д. разность Нх —Я, выбираются так, чтобы нарушались адцитив-
5 ные законы сохранения. Вообще говоря, нет необходимости на-
" рушать все такие законы, чтобы получить гамильтониан Hv,
| снимающий вырождение.
J Пусть, например, бесконечно малые члены, вызывающие
6 нарушение некоторых аддитивных законов сохранения, дают
g лишь бесконечно малый вклад в (A)Hv. Ясно тогда, что эти за-
aS коны нет надобности нарушать и что #v, содержащий только
члены, нарушающие остальные законы сохранения, уже будет
снимать вырождение. В таком случае для квазисредних не
будут выполняться как раз те правила отбора, которые обус-
обусловлены этими последними законами сохранения.
Рассмотрим, в частности, обычную динамическую модель
для теории сверхпроводимости, в которой мы имеем дело с
континуумом и не учитываем непосредственно наличия кристал-
кристаллической решетки. При отсутствии внешних полей в этой мо-
модели естественно ожидать полной пространственной однород-
однородности и считать, что все средние
<
являются трансляционно инвариантными. В такой ситуации
закон сохранения импульса будет выполняться и для квази-
квазисредних и нет надобности его нарушать, чтобы снять вы-
вырождение.
Предположим также наличие полной спиновой однород-
однородности, когда законы сохранения суммарного спина выполняют-
выполняются для квазисредних. Тогда у нас «останется для нарушения»
только закон сохранения числа частиц. В таком случае можем
положить
Яу=Я+ v2o>(/) (aft4 + a_f a,), B.41)
w(f)=e(o)v(j>),
218 где v(p) —вещественная функция импульса.

Если мы хотим рассмотреть случай, когда спиновой одно- I
родности может и не быть, целесообразно исходить из более |
общей формы *
HV=H + v 2 {ш (р, аэ о') арC а-ро* + I
+ о
+ w* (р, а, а') а-Ро>аро + X (р, а, а') аро аро>} |
и т. п. 5
Перейдем теперь к вопросу о приложении различных форм «
теории возмущений, и в частности диаграммной техники, к изу- «
чению вырожденных состояний статистического равновесия. ?
Чтобы устранить трудности, возникающие при использова- R
нии обычного формализма, о которых мы говорили в начале и
параграфа, будем исходить из следующего общего правила, х
Для того чтобы воспользоваться какой-то формой теории возму- J
щений для изучения вырожденных состояний статистического 8"
равновесия, следует прежде всего снять вырождение, или, что §
то же самое, рассматривать не функции Грина, построенные из ?
обычных средних, которые удовлетворяют всем правилам от-
отбора, а функции Грина, построенные из квазисредних, которые
не удовлетворяют некоторым из этих правил. Таким образом,
соответствующие диаграммы могут включать также «аномаль-
«аномальные» линии, запрещенные обычными правилами отбора. На-
Например, диаграммы в теории кристаллического состояния кроме
«нормальных» линий арар> «сохраняющих» импульс, содержат
+ '
также «аномальные» линии арар> (рфр')у «не сохраняющие»
импульс. В диаграммах из теории сверхпроводимости появ-
ляются аномальные линии af a_f, af a~f и т. п. Следует иметь
в виду, что аномальные линии соответствуют опасным диаграм-
диаграммам в следующем смысле: сумма их дает конечный вклад, хотя
само наличие их формально обусловлено бесконечно малыми
добавочными членами в гамильтониане #v. Поэтому такие
линии надо вводить в расчет всегда в просуммированной (хотя
бы частично) форме. Можно ввести, например, лишь полностью
просуммированные аномальные линии и для определения соот-
соответствующих им аномальных функций Грина получить уравне-
уравнение типа уравнения Дайсона. В фактически проводящихся
расчетах можно вообще допускать бесконечно малые дополни-
дополнительные члены, роль которых сводится лишь к представлению
возможности иметь дело с квазисредними вместо обычных
средних. Если уравнения типа уравнения Дайсона имеют лишь
тривиальное решение (аномальные функции Грина тождествен- 219

§ но равны нулю), то, очевидно, вырождения нет. Если же истин-
| ное * решение нетривиально, имеем реальный случай вырож-
S дения.
* Как упоминалось в § 1, теория возмущений обычно строится
5| исходя из разбиения полного гамильтониана системы на две
8 части:
| Н=Н0 + Н19
g причем в качестве Яо выбирается гамильтониан, соответствую-
S щий «идеальному газу» без взаимодействия и обладающий
« всеми теми аддитивными законами сохранения, что и полный
S гамильтониан Я. Такого типа подход к построению теории воз-
% мущений можно обобщить и для изучения вырожденных со-
* стояний. Для того чтобы сразу, уже (с .нулевого приближения
х появились аномальные (частично «просуммированные») функ-
5 ции Грина, можно добавить к Яо конечные члены А того же
g- рода, что и бесконечно малые дополнительные члены в #v; тем
« самым для #о+Л устраняется ряд аддитивных законов сохра-
J нения, справедливых для полного Н и «ответственных за вы-
вырождение».
Напишем
я;=яо4- а, я;=я1-а.
Тогда, исходя из модифицированного разбиения
можно строить теорию возмущений для случаев вырождения
уже обычным путем, используя разложения «по степеням Hi».
По самому выбору Яо уже в нулевом приближении у нас по-
появятся конечные аномальные функции Грина. Рассмотрим, на-
например, динамическую систему, исследуемую в теории сверх-
сверхпроводимости в случае, когда вырождение снимается бесконеч-
бесконечно малыми членами типа B.41). В обычных формах теории
возмущений, не учитывающих возможности вырождения, в Яо
включают член
Y,Tt(k)afaf9 B.42)
Ф
соответствующий «ренормировке» кинетического члена
Ur>'/ B-43)
(f)
1 Мы говорим об истинном решении, имея в виду, что рассматриваемые
уравнения могут всегда иметь тривиальное решение, которое, однако, в слу-
случаях вырождения не удовлетворяет необходимым физическим требованиям
220 (например, имеет неправильную спектральную структуру).

Для учета вырождения введем в Н'о вместо B.42) более общую i
квадратичную форму из ферми-амплитуд *
(Г)
Тогда, действительно, «нулевое приближение», определяемое
гамильтонианом Я7о, будет давать асимптотически точное ре-
решение и шаправки любого порядка будут асимптотически равны
нулю.
Обратим теперь внимание на тот факт, что форма Q при-
приводится к диагональному виду
J] Е (/) af af + const,
if)
w*(f)=w(f). B.43') |
Тогда мы должны включить в Н[ кроме членов взаимодей- |
ствия еще компенсирующее выражение JVj (-^ XJ a^ ay — Q. g
Произвольную функцию ш(/) целесообразно шодбирать так, «
чтобы по возможности улучшить степень приближения. Напри- т
мер, для получения первого приближения можно подобрать «
w(f) исходя из условия, чтобы поправки этого приближения, 5
скажем, к(а_^), равнялись нулю, т. е. чтобы эта аномальная 8.
средняя в нулевом приближении уже была «просуммирована» |
с точки зрения принятого первого приближения. В связи с S
этим заметим, что в частном случае рассматривавшейся выше х
модельной системы с гамильтонианом B.21) мы таким образом
можем получить асимптотически точное решение. Для этого
стоит лишь взять в качестве Tt(k) ее ненормированное зна-
значение из B.43) и положить
посредством канонического {и, ^-преобразования
af=afuf+a4vf,
+ +
af =afuf +a4vf. 221

? Таким образом, для построения теории возмущения вырож-
| денных состояний совершенно эквивалентно или модифициро-
| вать выражение Но, выполнив замену #о->-#о, или принять в
>х качестве гамильтониана нулевого приближения гамильтониан
о в™^ 4*
5 идеального газа 2d^(v)avav» в котором «новые ферми-ампли-
g (v)
Й туды» а связаны со «старыми» с помощью (и, и)-преобразова-
g ния. В наших первых работах [5, 2] по теории сверхпроводи-
й мости мы использовали именно (и, v) -преобразование для по-
S лучения надлежащей модификации теории возмущений.
S Последнее замечание носит общий характер и относится не
8 только к рассмотренному случаю B.43) квадратичной формы.
» Действительно, произвольную квадратичную форму
Х 4- 4-4-
/), B.44)
подчиненную лишь условию положительности, посредством
обобщенного (и, v) -преобразования [6]
af =
(v) (v)
также можно привести к диагональности виду
2] Е (v) <xv av + const.
(v)
В заключение заметим, что если работать с полностью про-
просуммированными функциями Грина (с «жирными линиями»
диаграмм типа диаграмм Фейнмана), то окончательные урав-
уравнения инвариантны по отношению к специальной форме Яо;
необходимо лишь введение в диаграммы соответствующих ано-
аномальных линий. Методика построения функций Грина особен-
особенно удобна, если необходимо оценить роль затухания или
вообще иметь дело с высшими приближениями.
§ 3. Принцип ослабления корреляции
В этом параграфе мы постараемся сформулировать интуи-
интуитивные представления (общепринятые в статистической меха-
механике) о том, что корреляция между пространственно отдален-
отдаленными частями макроскопической системы практически исче-
222 зает.

Рассмотрим средние
C.1) I
x = (r, a), |
и разобьем совокупность аргументов {tu *i,...» tn, xn} произ- |
вольно на ряд групп Б
{... ta, Ха, ...}, {... fp, X(J, ...}. g
Нас интересует асимптотическая форма F, когда все моменты 5
времени tu •••» tn фиксированы, а расстояния между точками tj 5:
из различных групп стремятся к бесконечности. Постулируем Л
прежде всего, что под знаком рассматриваемой средней поле- JJ
вые функции I
)
(ф=1|) или tf) при фиксированных tu t2 и | гг—г2|->оо в пределе
будут точно коммутировать или антикоммутировать между
собой. Тогда для нахождения асимптотической формы F мы
можем переставлять в выражении C.1) полевые функции
<p(ft, Xi) с аргументами из различных групп и тем самым до-
добиться такого положения, чтобы полевые функции для каждой
группы аргументов оказались вместе в одном комплексе. По-
Получим таким образом
C.2)
где Чг (... ta, ха ...) — произведение полевых функций с аргу-
аргументами только из 1-й группы, 9!2(... t$, #3 ...)— соответст-
соответствующее произведение с аргументами только из 2-й группы
и т. д. Допущение об асимптотической коммутации выражает,
по нашему мнению, совершенно универсальную закономерность
для реальных динамических систем статистической механики.
Как известно, в квантовой теории поля все полевые функции
ф(^1, Xi), ф(^2, х%) должны даже точно коммутировать или анти-
антикоммутировать, если четырехмерный вектор t\—t* rx—г2 прост-
пространственно подобен. В задачах статистической механики, где мы
имеем дело с формально нелокальными взаимодействиями,
свойства коммутации должны удовлетворяться лишь прибли-
приближенно, тем более точно, чем больше \т{—г2| при данных tiy h. 223

I Перейдем теперь к рассмотрению асимптотической струк-
I туры выражения
| {«!(... /а. **...)«!(.. .<Р*Э. ¦¦)¦¦¦> C.3)
О
g при неограниченном увеличении пространственных расстояний
5 между точками Tj из различных групп (временные аргументы
5 tu...,tn фиксированы). Так как корреляция между динамиче-
5 скими величинами Э^, 3t2 • • • должна ослабевать и практи-
g чески исчезать для достаточно больших расстояний, следует
? считать, что соответствующая асимптотическая форма для
«F C.3) распадается на произведение вида
g. Необходимо уточнить, с какого рода «средними» мы имеем
5 дело в нашей формулировке принципа ослабления корреляции.
J В случаях отсутствия вырождения выражения (...), очевидно,
являются обычными средними. Можно заметить, однако, что в
случаях вырождения рассматриваемого состояния статистиче-
статистического равновесия выражения (...), входящие в нашу формули-
формулировку, следует понимать как квазисредние: приведенная выше
формулировка принципа ослабления корреляции становится
прямо неверной, если продолжать .считать выражения (...)
обычными средними.
Действительно, представим себе, что мы рассматриваем
кристаллическое состояние. Тогда при ссылке на ослабление
корреляции между динамическими величинами Щ, 912 ... мы
интуитивно подразумеваем, что кристаллическая решетка как
целое фиксирована в пространстве; хотя и произвольно фикси-
фиксирована, но она одна и та же при вычислении средней и 9tx, и 2t2,
и т. д. Иначе говоря, мы считаем, что все рассматриваемые в
этом случае выражения средних относятся к одному и тому
же фиксированному расположению кристаллической решетки,
т. е. мы имеем дело с квазисредними, а не с обычными средни-
средними, которые получаются из квазисредних в результате дополни-
дополнительного усреднения по всем возможным положениям и ориен-
тациям кристаллической решетки. Такая же ситуация возникает
и в других случаях вырождения состояния статистического
равновесия. В качестве параметров, остающихся одинаково
фиксированными для всех частей системы, здесь могут высту-
выступать или магнитный момент (случай ферромагнетизма), или
фазовый угол (сверхтекучесть либо сверхпроводимость) и т. п.
Таким образом, в нашей формулировке принципа ослабле-
224 ния корреляции выражения (...) действительно следует счи-

тать квазисредними 4. Подчеркнем, что мы не можем строго ?
доказать принцип ослабления корреляции для макроскопиче- |
ских динамических систем, рассматриваемых в статистической ?
механике. Строгое доказательство мы можем провести лишь *
для ряда простых моделей, например для модели, упоминав- о
шейся в предыдущем параграфе. Для общего же случая мы g
можем сослаться либо на интуитивные соображения, либо на |
аргументы, заимствованные из теории возмущений. Заметим, i
что в этом отношении принцип ослабления корреляции не §
стоит особняком среди других общепринятых важнейших коло- ?
жений статистической механики. Например, вопрос о доказа- •?
тельстве значительно более простого утверждения, а именно jj
утверждения о существовании предела w
JL
lim ~
У-»оо V
выражающего свободную энергию на единицу объема, нахо-
дится примерно в таком же положении. Поэтому мы не будем
здесь исследовать труднейшую математическую проблему
обоснования принципа ослабления корреляции и ограничимся
выводом ряда его физических следствий.
Прежде всего обратим внимание на применение этого прин-
принципа для построения несколько иного, чем раньше, вообще
говоря, более «физического» определения понятия квази-
квазисредней.
Исследуем в качестве примера случай, рассматриваемый в
теории сверхпроводимости, когда имеется состояние статисти-
статистического равновесия, вырождение которого связано только с
законом сохранения числа частиц. Рассмотрим выражение
$ (, х2) г|) (fe, x2)Wu *i)>. C.5)
Так как оператор
+ + , , ,
г|? (tx, хг) г|) (*2, х2) У (fe, x2) ф (tu
сохраняет число частиц, выражение C.5) является обычной
средней. Будем неограниченно увеличивать расстояние между
двумя группами пространственных точек (гх, г2), (п, г2) при
фиксированных моментах времени. Тогда на основании прин-
1 Так как в случаях вырождения мы всегда будем иметь дело с квази-
квазисредними, а в случаях отсутствия вырождения квазисредние и обычные
средние совпадают, то в дальнейшем не будем применять особый символ
-S... ?*• для обозначения квазисредних и будем пользоваться одним симво-
символом (...), поскольку теперь это уже не приведет к недоразумениям. 225
8 Н. Н. Боголюбов

ципа ослабления корреляции выражение C.5) будет прибли-
жаться к произведению
2,
Исходя из такого асимптотического распределения обычной
средней C.5), можем теперь определить квазисредние
? Аналогичным приемом можно воспользоваться и для введе-
5 ния квазисредних от произведений высшего порядка из полевых
Я функций. Если ранее мы вводили квазисредние с помощью бес-
« конечно малых добавок к гамильтониану, не всегда имеющих
ж ясный физический смысл, то теперь с помощью принципа ослаб-
5: ления корреляции мы можем вводить квазисредние, рассмат-
g. ривая асимптотические формы обычных средних, относящихся
| только к исследуемой динамической системе, с данным неиз-
J менным гамильтонианом. Правда, надо сказать, что для фор-
формального вывода обобщенной диаграммной техники, использую-
использующей аномальные линии, метод бесконечно малых добавок к
гамильтониану удобнее, поскольку он автоматически сводит эту
задачу к уже решенной.
Рассмотрим еще систему бесспиновых бозе-частиц, находя-
находящуюся в пространственно-однородном состоянии статистическо-
статистического равновесия, и построим выражение
Ffo — r2) = (i|3#, ii)i|)(f,r2)) =A|)(г1)я|5(г2)), г|?(г) =г|)@, г). C.6)
Перейдя здесь к импульсному представлению, найдем
р (хг _ Га) — _L у /ak ak) е-ло-i-r.) C.7)
Поэтому в интеграле Фурье
Fir) = [ w(k)er^'r dk C 74
произведение w{k)dk выражает плотность числа частиц с им-
импульсами из бесконечно малого импульсного объема dk. Отсю-
Отсюда следует, что
w(k) ^ О,
N
где р = плотность числа частиц.

Рассмотрим случай, когда в нашей системе имеется покоя- |
щийся конденсат. Тогда g
где w\ (k) — обычная функция, характеризующая непрерывное g
распределение по импульсам частиц, не находящихся в кон- |
денсате, а ро — плотность числа частиц конденсата. Но по- С
скольку w\{k) является обычной интегрируемой функцией, g
jx(k)e~ikt dk-*0, |r|-*oo, S
и поэтому jj
Л(Г1I|)(Г2))=/Г(Г1 —Г2)= «
г I
= Ро + J Щ. (*) е-*-^- '•> dk -* р0 ^ 0, | fi — г21 -*оо. |
Q.
С другой стороны, на основании принципа ослабления кор- S
реляции S
(ftri) * Ы) - (^ 0"i)> (Ц (г2)> -н. О, | тг - г21 —оо.
Поэтому
Если бы рассматриваемое состояние статистического равнове-
равновесия не было вырождено по отношению к закону сохранения
числа частиц, то в силу соответствующих этому закону правил
отбора мы имели бы тождественно
Таким образом, в случае конденсата правила отбора, обус-
обусловленные законом сохранения N, не выполняются и данное со-
состояние статистического равновесия вырождено.
Можно показать, что аналогичная ситуация возникает и в
случае ферми-систем, когда появляется конденсат из связанных
пар. Для этого прежде всего необходимо определить само
понятие «связанной пары», чем мы и займемся в следующем
параграфе.
§ 4. Состояния пар частиц
Рассмотрим пространственно-однородные состояния статис-
статистического равновесия для макроскопических систем, состоя-
состоящих из одинаковых ферми-частиц. Попытаемся распространить
на них такие понятия, как «волновая функция пары частиц» 227
8*

i [7], «состояние пары частиц», в частности «связанное состоя-
| ние пары», и т. п. Эти понятия имеют очевидный смысл в слу-
g чае, когда динамическая система состоит из двух частиц. Мы
* же хотим обобщить их для систем из макроскопически болыыо-
о го числа частиц, взаимодействующих друг с другом. С этой
SJ целью рассмотрим парную корреляционную функцию (относя-
| щуюся к одному моменту времени)
g F (xv х2\ х'и х2) = <$(*!>$(*.) ф (х2) г|)(х\)). D.1)
« Учитывая свойство эрмитовости
S F*(x[, x2\-xXi x2) =F(xlf х2\ х'и дсг), D.2)
а
« напишем разложение F по ортонормированной системе собственных
§. функций Wv:
| F(xl9 х2; хи х2) = ?^VV Yv(xx, x2) ЧГу(х[, х2) D.3)
S v
? с нормировкой
\\\Wv(x1,x2)\4xldx2 = U D.4)
V
где вообще
Если мы имеем дело с газом малой плотности, то в первом
приближении Ч\(#1, х%) являются обычными волновыми функ-
функциями для задачи двух тел (что вполне естественно, поскольку
в первом приближении влиянием остальных частиц на данную
пару частиц можно пренебречь).
Основываясь на такой аналогии, назовем собственные функ-
функции Wv (Хи х2) волновыми функциями пар частиц. Коэффициен-
Коэффициенты Nv интерпретируем как среднее число пар, находящихся в
состоянии, описываемом волновой функцией Wv Из D.1), D.3)
и D.4) следует, что4
1 В самом деле, из D.1), D.3) и D.4) получаем
^v = f J <t(
V
+ r +
причем
228
л +

I
т. е. сумма всех Nv представляет полное число пар. Заметим еще, *
что благодаря D.1) g
F \Х2, хх\ Х\9 х2) = —F(х^, х2\ Х{, х2), ?
Г* I V V" • УЛ V«l —— __— Г* |У У • V, У/-А Л
\ 1' *^2> •^'2» «^l/ — "^^i \Л1» ^2' ^м •*'2/ ^
и поэтому S
Как видно, функции Wv , как и обычные волновые функции Ф
двух ферми-частиц, должны обладать свойством антисим- 1
метрии. g.
Запишем теперь разложение D.3) в более развернутой фор- S
ме. Воспользуемся законом сохранения импульса и выделим в g
волновой функции Wv (х\9 х2) фактор, соответствующий движе- *
нию центра тяжести с некоторым импульсом q. Положим
индекс v= (о, q) включает импульс q и, возможно, некоторые
другие индексы (со). Тогда соотношение D.3) приведется к
виду
F(xv х2; х'и х2) = 2 ^ iV©,^©^ (гг — г2; о19 <т2) х
X V^r'x - п; аи о2) ехр щ ( Г1 + Г«-^~Г' ). D.5)
Здесь N(otQ — среднее число пар частиц, находящихся в состоя-
состоянии ^Рад, причем каждая пара считается один раз (а не два,
как раньше). На основании D.4) в D.5) принята следующая
нормировка:
J^ D.6)
(ot,o2)
Запишем теперь разложение D.5) в интегральной форме,
для чего перейдем к более удобной нормировке. Рассмотрим 229

I волновую функцию пары частиц Ч/1©,? (г; а19 сг2) для данного
| фиксированного импульса q. Так как корреляция между обеими
8 частицами пары должна практически исчезать для достаточно
* больших расстояний г, то асимптотическая форма (при г->оо)
о рассматриваемой функции или вообще равна нулю, или описы-
g вает плоскую волну, соответствующую относительному свобод-
| ному движению с некоторым импульсом р.
5с Рассмотрим сначала первую возможность. Положим в этом
g случае
о
к
| ?<м(г; о19 <т2) = ^—.фад(г; а19 ог2),
¦ так что
ф
х
| Будем говорить тогда, что Ч^,? представляет связанное состоя-
состояние пары частиц с суммарным импульсом q. Дискретный индекс
о указывает, так сказать, номер связанного состояния.
Пусть теперь асимптотическая форма Ч^,? — плоская вол-
волна, соответствующая инерциальному относительному движению
частиц пары, с импульсом р. Положим
В этом случае будем говорить, что (pP,g,j является волновой
функцией несвязанного или «диссоциированного» состояния
пары частиц. Для q>p,g,j имеем обычную в таком положении
нормировку
\ — I | фА<7Л- (г; al9 (T2) \2dr = 1. D.8)
(Gt, G2)
Можем теперь записать разложение D.5) в следующей форме:
Р(у у . у у'\
^м а * / ч / ' \
_«ml_ m 'i-i — г2; alf ст2) фсо)<7 (гх — г2; аи о2) X
(со, q)
230

"
. ( Г1
Xexptq ^!
Г. + Г2 — Г! —Г* ^ ft
о
Учитывая предельный переход У-^оо, замений суммы по им- 5
пульсам соответствующими интегралами. Получим С
к
я
F(xlt лу, х'и х2) = I
= 2- 2 \ dqw((u, q) y^q (гх — г2; о1У а2) х ф
ы J |
X фа),? (ri — г2; аь а2) exp iq! * ' ' х
2 \ dpdqw, (р, о) ф«.а; (rt — г5; сгг, с2) X
х ф ^ (п—г2; аь (T2)exptq 1 ' -)• D.9)
Как видно, ш(со, g)dq представляет в этой формуле плотность
числа связанных пар, импульс q которых лежит в бесконечно
малом имшульсном объеме dq, Wj(p, q)dp rfq, обозначает плот-
плотность числа несвязанных лар с импульсами р, q из бесконечно
малых объемов dp, dq.
Рассмотрим какую-либо волновую функцию связанного со-
состояния фсо><7 (г; аь а2). Если линейные размеры I той прост-
пространственной области, в которой практически локализована
<Ра),«7> существенно меньше среднего расстояния гср между час-
тицами (из различных пар) в нашей макроскопической систе-
системе, то естественно говорить о том, что данная фо),а соответст-
соответствует обычной молекуле из двух частиц, находящейся в состоя-
состоянии со и движущейся с импульсом q. Если / того же порядка
или больше гср, то можем сопровождать <;лово «молекула» при-
приставками «квази» или «псевдо».
Сравним интегральное представление D.9) с представле-
представлением простейшей средней
x, х') = (#(х) г|)(*')) = Д(<У-а') J*p/fo) e"i-(r'-fl. D.10)

I Видим, что как D.10) описывает распределение частиц по
| «одночастичным состояниям», т. е. по плоским волнам, так и
g формула D.9) характеризует распределение частиц по «пар-
* ным состояниям».
*| С помощью высших корреляционных функций можно было
g бы таким же образом ввести понятия волновых функций для
х комплекса из трех и больше частиц [7].
g Напомним тецерь, что в первоначальных исследованиях
S Шафрот выдвинул положение (впоследствии полностью под-
? твердившееся) о том, что явление сверхпроводимости обуслов-
? лено возникновением в системе электронов проводимости кон-
й денсата из квазимолекул, образованных из пар электронов.
" В связи с этим представим себе вообще случай, когда в систе-
JJ ме фермионов (с обычным спином 1/2) имеется конденсат из
i парных квазимолекул, скажем, находящихся в s-состоянии.
« Иными словами, рассмотрим случай, когда в формуле * D.9)
S о;(со, $)=роД(со — cooN(q)+^1(co, q),
фшо.0 (г; <rlf с2) = е (ах) А (аг + а2) —1==- ф (г), D.11)
причем
1) ш±(со, q) и Wj(p, q) соответствуют обычному непрерывно-
непрерывному распределению частиц по импульсам парных состояний;
2) ф(г) —вещественная, радиально-симметричная функция
с нормировкой, ввиду D.7),
В изучаемом случае представим формулу D.9) в следующем
виде:
F(xl9 х2У х'и х2) =poe((T1)e(cr'i) X
X A fax + or2) A (<Ti + or2) ф (гх — г2) ф (п — г2) +
-t 2 J] J dqw± (ш, q) ^>д (тг — r2; alf or2) X
(со)
/ rl + r2 — rl — r
.а (гг— г2; au (T2)exptq
х) Здесь Д (s) обозначает дискретную 6-функцию:
232 ^

x i
где
Ф(г)=Ф@, г),
Подставив сюда интегральное представление
dk9
— Г2; crj, 02)exptq (i! JV^V^^j. D.12)
Здесь po — плотность числа связанных пар, находящихся в |
конденсате. Заметим, что мы совершенно не касаемся вопроса j
о том, будут ли в действительности существовать связанные 2
состояния, не находящиеся в конденсате. Если таких состояний *
нет, мы должны считать в D.12), что тождественно \
щ(®> я) = 0. "
ш
Рассмотрим, например, случай модельной динамической сие- g
темы, исследовавшийся в § 2, и воспользуемся формулой B.37). 5
Получим для такой системы в принятых теперь обозначениях о.
F(xl9 x2; х'и х2) = |
= Ф(гх - г2) Ф(г1 — гз) sia^eia'i) А(аг + а2) А(а[ +а2) +
+ F (гх — r[)F(r2 — r2) A((TX — а[) А(ст2 — а2) —
';(T;)A(a1- a2), D.13)
приведем D.13) к форме D.12).
Заметим, что в данном случае t^i((o, <7)=0, а парные со-
состояния q)p,q,j — обычные плоские волны. Следовательно, здесь
имеется лишь одно связанное состояние с суммарным импуль-
импульсом, равным нулю, а остальные парные состояния с суммар-
суммарным импульсом q=7^0 такие же, как у невзаимодействующих
частиц. Такой результат совершенно естествен, поскольку в
нашей модельной системе взаимодействуют лишь те пары час-
частиц, суммарный импульс которых равен нулю.
Возвратимся теперь к «общему случаю Шафрота» и приме-
применим принцип ослабления корреляции. Разобьем аргументы
функции D.1) на две группы (xv x2), (x\f x2) и будем неогра-
неограниченно увеличивать расстояния между точками г из различ- 233

i ных групп. Тогда в силу принципа ослабления корреляции
| соответствующая асимптотическая форма для F примет вид
1 + +
,х <Ч>(*1Ж*2)>0М*2Ж*1)>.
О
| С другой стороны, на основании D.12) получим для этой же
5 асимптотической формы произведение вида
и
g ро8 (ох) 8 (а[) А (ох + а2) А (а[ + о'2) ф (гх — г2) ф (г[ — г а).
S Поэтому можем написать
1
К е(^i) A (^i + ог2) ф (гх — г2),
D.14)
8(ai)A(aI +аз)ф (г! — Гг).
а
| Видим отсюда, что эти квазисредние отличны от нуля и что
3 поэтому для них не выполняются правила отбора, обусловлен-
обусловленные законом сохранения числа частиц.
Итак, если для рассматриваемого состояния статистическо-
статистического равновесия имеется конденсат из парных квазимолекул, то
это состояние статистического равновесия вырождено, причем
вырождение связано с законом сохранения числа частиц,
В заключение отметим, что формулы D.14) приводят к
простой интерпретации «аномальных квазисредних» {'Ф'Ф)»
('ф'фХа именно эти квазисредние пропорциональны волновой
функции квазимолекул, находящихся в конденсате. Их норми-
нормировка
Е/Р D.15)
(ст2)
описывает плотность числа таких квазимолекул.
§ 5. Некоторые неравенства
Рассмотрим теперь средние от произведения двух операто-
операторов ( АВ ) как билинейные формы из Л и В (линейные по от-
отношению к каждому из этих операторов). Если символ (•••)
обозначает обычную среднюю, то нетрудно заметить, что
{ВА)
234 <ЛЛ)>0. E.1)

Н6, поскольку квазисредние можно рассматривать как обыч- i
ные средние, только взятые для системы с бесконечно мало |
проварьированным гамильтонианом, те же соотношения E.1) g
выполняются и для квазисредних. Напомним, далее, что если *
A (t), B(t) являются операторами в гайзенберговском представ- о
лении, то в случае обычных средних доказываются следующие g
спектральные формулы: |
(В(х)А (*)> = ~J Ja.b (со)er«*-*> Ао, S
E.2) I
+00 _ю_ 5
{A(t)B(x))= J J^,b(©)в e *-*»<*-*> do, S
— DO в
О
в которых спектральная интенсивность /а,в(со) является били- |
нейной формой по отношению к операторам Л, В. В силу толь- ?
ко что приведенного аргумента эти же формулы остаются х
справедливыми и для квазисредних. 2
Основываясь на свойствах E.1), E.2), установим некоторые *
неравенства, которые нам понадобятся в следующей главе.
Символ (...) здесь может представлять как обычную сред-
среднюю, так и квазисреднюю. Докажем, прежде всего, что
/ +(со)>0. E.3)
А,А
Возьмем для этого произвольную функцию /(со), достаточно
регулярную и достаточно быстро убывающую на бесконечности.
Если мы сумеем доказать, что для всякой такой функции
f J +((o)|/((o)|2d(o>0, E.4)
A,A
f
то тем самым будет установлена справедливость E.3), посколь-
поскольку всегда можно локализовать |/(со)|2 в сколь угодно узкой
окрестности любой точки соо.
Чтобы доказать неравенство E.4), построим функцию
-,—
ft(f) = -i— Г /(co)e^dco
2л J
и заметим, что
-и
-i 235

Поэтому
3 f J + (co)j/(co)|2dco = [dt [dx f daJ +(w)h(t)h'
* J» A<A A. -L -L л.л
Joo Joo _oo
¦g
ac -j-oo 4.00
Jj — oo —oo
I где
" 4(t)ft*(T)dT, 21= f A(t)h(t)dt.
a Отсюда на основании E.1) и вытекает неравенство E.4).
« Докажем теперь, что
&
g Действительно,
{A(x)B(t)) = J J
—oo
и поэтому
Л5)) = l f J++{<o)eia>v-^d<x). E.6)
J B-A
Joo B-A
С другой стороны,
)* = Г Л,в (<о) e'w<'-*> dco. E.7)
Сравнив E.6) с E.7), убедимся в справедливости E.5).
Пусть теперь Z(A, В)—произвольная билинейная форма
из Л, В, обладающая свойствами
ад--г(в,л;,
Покажем, что всегда справедливо неравенство
+ +
236 | Z (Л, В) J2 < Z (Л, Л) Z E, 5). E.9)

Для\доказательства заметим, что на основании E.8) ?
Z (хА + у'В, х'А + уВ) > 0, |
где х, у — произвольные С-числа. Отсюда, раскрывая, получаем о
xx*Z {A, A) A- xyZ (А, В) + у' x'Z (В, % + y'yZ (В, В) > 0. E.10) |
Положим %
+ + ?
x' = -Z(A,B), x = -\
+ f
y = y*=Z{A,A). 2
Тогда |
-|Z(A B)\*Z{A, A) + {Z{A, A))*Z(B, B)>0. |
4- S
Отсюда, если Z(A, А)Ф0, мы и получим неравенство E.9). *
Нам остается показать, что если
Z(A,A) = 0, E.11)
то и
ZD,B)=0. E.12)
Для этого в E.10) в случае E.11) положим
где R — произвольное положительное число. Найдем
-2R\Z(A,B)\*4-Z(B,B)^0. E.13)
Пусть 7?->оо. Тогда, если E.12) неверно, видим, что левая часть
E.13) должна стремиться к —оо, что невозможно. Итак, наше
доказательство неравенства E.9) полностью закончено.
Заметим теперь, что
Z(A,B)=Ja.b{®)
удовлетворяет условиям E.8), так как для Ja,b справедливы
соотношения E.3), E.5). Поэтому можем воспользоваться в
данном случае неравенством E.9) и написать
|^,вИ|2</ +(©)/+ @). E.14)
а,а в,в 237

Можем положить также
(О
Z(А, В) = -J- Г JAtB(со) е* -1 dco, E.15)
/Л J CD
поскольку условия E.8) опять выполняются ввиду E.3), E.5)
(О
и положительности функции ~—^—. Свяжем функцию E.15)
со
с функцией Грина. Рассмотрим, следуя [8], запаздывающую
и опережающую функции Грина
«Л @, ?(t)>ret = —t0(/ — t) (A(t)B(x)— B(x)A (/)>, 1
«Л@, B(t)>adv= iB(x-t)(A(t)B(x)—B(x)A(t)). J
Учитывая спектральные представления E.2), нетрудно заме-
заметить, что фурье-образы их, как функции /—т, имеют вид
«Л, Я>я+/8, «Л, Я»?-/8.
Здесь <Л, Б>я как функция комплексного переменного Е зада-
задается формулой
СЛ, fi>E = -i- J /л,в(©) ?_ш d(Q» E-17)
—с»
Видим отсюда, что выражение E.15) равно
E.18)
Поэтому неравенство E.9) в данном случае принимает форму
| «Л, В»?=о I2 < «А Л»е=о «В, В»е=о E.19)
(в дальнейшем эта форма будет использована).
В заключение обратим внимание на одно важное приложе-
приложение формы E.18). Дадим гамильтониану Н бесконечно малое
приращение 6# (также не зависящее явно от времени). Тогда
соответствующая вариация средней от некоторого оператора
A(t) [8]
б (А) = (Л)я+бя - <Л) - 2я «Л, бЯ»Е^о. E.20)

Глава II
Теоремы об
особенностях типа
1/q2 в теории
сверхтекучести
бозе- и ферми-систем
§ 6. Свойства симметрии
основных функций Грина
для бозе-систем при наличии
конденсата
Рассмотрим динамическую систему
из одинаковых бесспиновых бозе-час-
тиц с гамильтонианом вида
1
+
=2 (^-
*,, F.2)
Здесь Ф(г) — вещественная функция
расстояния, представляющая энергию
взаимодействия пары частиц. При
этом мы ограничиваемся изучением
случая, когда в нашей системе при
данной температуре 0 имеется бозе-
конденсат. Как отмечалось в § 3, в
таком случае соответствующее состоя-
состояние статистического равновесия долж-
должно быть вырождено, причем вырожде-
вырождение обязательно связано с законом
сохранения числа частиц. Для того
чтобы снять вырождение, возьмем га-
гамильтониан
F.3) 239

I содержащий дополнительные бесконечно малые члены вида
1 — +
3 — v VV (а0 -+ а0), v > 0. F.4)
'S Предполагаем, что других типов вырождения нет1, следова-
S тельно, введение членов F.4) достаточно для снятия вырож-
5 дения.
« Таким образом, для квазисредних (A(t)B(x) ), где
ё А, В = a±ky a±k(kФ0)У правила отбора, вытекающие из закона
g сохранения импульса, должны выполняться, а правила отбора,
S обусловленные законом сохранения числа частиц, могут не вы-
« полняться.
0 Введем простейшие функции Грина, положив
1 «Л @, В (т)»«* = - *в (/ - т) (A (t) В (т) - В (т) Л @>.
F.5)
Их «энергетическое представление» определяем с помощью интегра-
интегралов Фурье:
j F.6)
Основываясь на спектральных формулах
<В(т)Л@>=У/д,в(
00
~4~оо 0)
<Л(ОВ(т))= J /л.в(©)в1
—оо
получаем
—оо
+ 00
; — © + 18
1 По существу мы предполагаем здесь, что наша система находится в
пространственно-однородной фазе и что в ней нет молекул, состоящих из
240 двух и более частиц.

j
>g
В особом случае нулевой температуры спектральные формулы g
для рассматриваемых средних представляются в виде g
(Л (О В (т)) = f IAiB (©) ^М) Ло, S
2я J E — со — /в
1 У В(СО)/Л (C0
=—— \ —; —
2л J ? — co + te*
• е(со)
где
8((° I -1, (о<0.
Как видно, запаздывающая и опережающая функции Грина
<Л, В>я\ <Л, 5>|dv всегда являются граничными значения-
значениями функции комплексного переменного Е:
«Л, 5»? = -tJ— f ^,j
^я j
и энергетическое представление функций Грина принимает вид |
Причинная же функция Грина <^А> S>| обладает этим свой-
свойством, вообще, только в случае нулевой температуры.
Заметим теперь, что из определений F.5) вытекает
«Л @, В(т)»' = «Я (г), Л@»с,
«Л@, Д(т)>«* = <<5(т), Л(*)»«*. 241

I
s
s
s
Ю
о
X
I
@
2
Отсюда на основании F.6) получаем
«4, В»! = «5, Л»1*, F.8)
«Л, Б»^ = «Я, Л»1а1 F.9)
Расширяя соотношение F.9) на комплексную плоскость, убеж-
убеждаемся, что для функции комплексного переменного F.7) так-
также справедливо равенство типа F.8):
Е. F.10)
Рассмотрим матричную функцию Грина
G (?, ft) =
12
где
Gn (E, k) =
G12(E, k) =
, G21 (?, k) =
, k) -Ca_ft
F.11)
F.12)
Под <<Л, В^>Е подразумеваем здесь или функцию комплексно-
комплексного переменного F.7), или причинную функцию Грина для веще-
вещественных Е. В обоих случаях благодаря F.8), F.10) имеем
G22(Eik)=G11(-Ei -k),
Gal3(?, k) = GaP(-E, -ft), agt p.
F.13)
Заметим теперь, что гамильтониан #v инвариантен по от-
отношению к каноническому преобразованию
Поэтому средние
{ak(t)a-k(%))9 {Lk(t)ak(x))
не должны изменяться при замене k->—k. Следовательно, и
для наших функций Грина
, -k).
F.14)
Заметим, далее, что, так как все коэффициенты в выраже-
выражении гамильтониана Hv вещественны, соответствующие уравне-
242 ния движения должны быть инвариантны по отношению к ин-

версиц времени t->—^сопровождающийся заменой i->—?. По- i
этому средняя |
+ ОО |
\ F.15) >g
I
не изменяется при преобразовании |
ввиду чего •*
+ ОО +ОО S
J J 2
—оо —оо "
а
Отсюда следует, что спектральная интенсивность /^(со) являет- $
ся вещественной функцией 5:
4(со)=Л(со), F.16) I
и поэтому на основании F.15) ?
+ + +0°
—-о
+ +
Соответствующее соотношение для функций Грина имеет вид
т. е. в наших обозначениях
Си(?, Л) =Glt (?,*). F.17)
Введем теперь матрицу S(?", ^):
2(?, А) = -^-(Г! (?,*), F.18)
или
2nS(?,ft)G(?,ft) = l, F.19)
где 1 — единичная матрица. Эту матрицу 2(?, k) можно ин-
интерпретировать как полный «массовый оператор». В частном
случае нулевой температуры, когда применима фейнмановская
диаграммная техника, 2(?, k) является обычной «собственно-
энергетической» частью. Из определения F.18) ясно также, что
ее элементы 2ар (?, k) всегда удовлетворяют тем же соотно-
соотношениям симметрии F.13), F.14), F.17), что и Gap(?, k). 243

Раскрыв матричное равенство F.19), получим
2U (?, ft) Gu (?, ft) + 2„ (?, ft) Gu (?,*)=•
^* XX \ ' / хл. \ / • in \ 1 / ал. \ ' f ~
| 221 (?, ft) Gu (Я, Л) -* 222 (Е, ft) G21 (?, ft) = 0.
5 Но в силу только что сказанного
| 2„ (?, ft) =2„ (?,*),
J 2M(?,ft)=2u(-?,ft).
| и мы можем написать
2И (?, ft) «cft> aft>E + 2lt (?, ft) «a_*,
I F.20)
| 2lt (?, ft) <afc, afc> + 2U (— ?, ft) Ca-b Х>я = О.
|
S Входящие в F.20) функции 2ap обладают свойствами симметрии:
2U (Е, - ft) = 2U (?, ft), 2И (?, ft) = 212 (?, - ft),
2xl(?,A) = 2M(-?,ft). F.21)
Поэтому из F.20) можем получить следующие формулы, выра-
выражающие рассматриваемые функции Грина через 2ц, 2^:
-?, fe) 8
, k)
:п(— е, k) — щ2 (Е,
F.22)
§ 7. Модель с выделенным
конденсатом
Обратим теперь внимание на то, что ввиду вещественности
коэффициентов в гамильтониане #v выражение {.по) яв-
является вещественным и поэтому
+
Рассмотрим среднюю
244

и заметим, что
^jlf)>rfr1*2. G.2)
V >х
о
Так как здесь V->oo, то ясно, что все значение интеграла в 5
G.2) происходит от области бесконечно удаленных между |
собой точек ri и г2. Поэтому, применив принцип ослабления «
корреляции, найдем с асимптотической точностью S
ft- -J-jAfo»,?JrtW). () {^), I
v у r r S
откуда на основании G.1) ф
<7-3> |
Рассмотрим теперь выражение типа
в котором
Г *-*¦
и применим к нему, так же как в случае G.2), принцип ослаб-
ослабления корреляции. Получим равенство i
(.. .A(ta) . • ¦
Введем обозначения
Тогда на основании только что полученного результата заклю-
заключаем, что при вычислении средних вида {. .. ф(^а, га)... )
1 Разумеется, равенства такого типа носят асимптотический характер и
становятся точными, лишь после того как совершается предельный переход
V->-oo; так как, однако, мы всегда здесь имеем дело с предельными соотно-
соотношениями, то не будем каждый раз оговаривать это обстоятельство. 245

I можно заменять операторы а0, а0, входящие в ф, на с-число (/ #0,
S где Afo=poV. Учитывая это свойство, покажем, что задача с
% гамильтонианом Hv может быть приведена к задаче с га-
»g мильтонианом Hv (No), который получается из выражения F.3)
5 для #v заменой
| г|> (г)-> I/ft + ^(г), $ (г)-*.I/pi + $i (r),
2 +
„ т. е. заменой операторов а0, а0, входящих в HVy с-числом
- Для этого рассмотрим систему «двувременных» [8] функций
Грина типа
a
|
& =
ret
«<Pi (t, fi) • • • <Pi if, rs); <Pi (T, Xj) ... q>! (T, xm)»adv =
' G-4)
+
где фх= г|51? г|?1# Чтобы получить цепочку уравнений, связывающих
эти функции, выразим производную
* 4
от
с помощь^) уравнений движения.
Для гамильтониана #v
01 \
+ \ Ф (г — г') i (U г') г|? (t9 r') dr'-ф (f, r),
и поэтому
^.=D(t, г; ф, $) —-i-ГЙ^, г; ф
v
Так как D и Z) войдут в выражение производной G.5) лишь
через посредство средних вида
246

в формах *
%
можно совершить замену >х
г— + й
Таким образом, при раскрытии членов
— ... фх (t, r&); фх (т, хх)... ф (т, хл?)^> G.6)
¦4L
мы фактически будем пользоваться уравнениями вида 8
\ ^(^, г; Vpo + ^i» УРо 4
V .)
v
ъ,
fb ViV h G.7)
С их помощью члены G.6) можно представить через функции
Грина рассматриваемого нами класса. В исследуемое выраже-
выражение G.5) кроме суммы членов типа G.6) входит еще «неодно-
«неоднородный член»
S (t — х) (fax (t, rx) ... фх(t, rs); фх (т, хх)... фх (t, хш)]>.
Для раскрытия его используем перестановочные соотношения.
Получим средние от произведений не больше чем из s+m—2
одновременных полевых функций фь которые можно опять вы-
выразить через функции Грина (низшего порядка) с помощью
спектральных представлений.
Однако практически более удобно иметь дело с энергети-
энергетически-импульсным представлением. Обозначим наши функции
Грина в этом представлении через
Тогда полученную цепочку уравнений можно записать в виде
EGHv (?; Pi, ... , ps; ql9 ... ,qm) = L (E; pl9 ... , ps; qly ... , qm; GHv), 247

где выражения L являются формами, зависящими от функций
различных порядков. Поскольку спектральные представления
«универсальны», из сказанного ясно, что от конкретной формы
гамильтониана будут зависеть только те члены в выражении L,
которые происходят от членов типа G.6). Но при раскрытии их
мы воспользовались уравнениями G.7). Нетрудно заметить,
однако, что эти уравнения являются точными уравнениями дви-
движения для гамильтониана Hv (No).
Таким образом, GHv удовлетворяют той же цепочке уравне-
уравнений, что и соответствующие функции Грина Gh-v(N0) для га-
гамильтониана Hv (No). С другой стороны, «граничные условия»
для функций GHv> Ghv(n0) комплексного переменного Е на ве-
вещественной оси Е (типа дисперсионных соотношений), обуслов-
обусловленные спектральными /представлениями, также идентичны.
Отсюда заключаем, что i
Ghv=GHv(No) G.8)
S или
t, гх) ... q>x (t, rs); фх (t, xx) .. . фх (т, хт)»Яу =
С гх)... Фх (Л rs); фх (т, Хх) ... фх (т, х/п)»Яу(^о). G.9)
Далее, так как средние вида
(Фх (U Гх) ... фх(*, О) = (фх(Гх) ... фх(г„))
выражаются через наши функции Грина, то
1 К такому же заключению мы могли бы прийти, и притом тем же
путем, если бы вместо «двухвременных» функций Грина G.4) рассмотрели
совокупность швингеровских «многовременных» функций Грина типа
и составили соответственно швингеровскую цепочку уравнений. Мы замети-
заметили бы опять, что
удовлетворяют той же цепочке уравнений, что и
а соответствующие спектральные свойства, обусловленные структурой сред-
248 них от 7-произведений, идентичны.

_ + _ s
+" % (r«)) • • • (KPo +¦ % (Гр)) • • • >tfv<JV0>. G.10) *
о
Отсюда следует равенство соответствующих средних энергий, 5
а поэтому и свободных энергий для обеих динамических систем. |
Таким образом, убеждаемся, что изучение динамической Б
системы с гамильтонианом Hv можно привести к изучению ?
«модельной системы с выделенным конденсатом», характера- »
зуемой гамильтонианом Hv (No). Следует, однако, заметить, 5
что в модели с выделенным конденсатом величина No формаль- ?
но может рассматриваться как «произвольный» внешний пара- Я
метр. J
Чтобы получить уравнение для определения No, обратимся |
опять к первоначальной системе с гамильтонианом #v и рас- 5
кроем соотношение 8*
*(-*=-) 1 А I
0 = i Х У v l = (iv"rJE^)9 G.11)
dt \ dt I v
воспользовавшись уравнением движения (которого «не хватает»
в модельной системе)
где
Jk'r dr.
Отсюда, выделив амплитуды с нулевым импульсом, найдем
Ф @)} арара0 + — ^] ф (р) аоар
+
а^а/72 А (р ~ Pl ~ Р2)-
249

i Подставив это уравнение в правую часть равенства G.11), при-
х ведем его к виду
1
i S=0, G.12)
+
1 где
8
i
5
X
а.
Но в соответствии с ранее сказанным мы можем заменить здесь
-f
а0 и а0 с-числом у NQ9 а остающиеся средние
+ +
(^fflp}Hvy (apa-p)Hv, (apaPlap2)Hv
средними
(арпр)HV(NO)> (^р^-р)ЯV(WO)> (upaPiap2)hv(N0) •
Получим тогда
5 = pf ф @) - v - ЯрУ2 + Ц- V {Ф (р) 4- Ф @)} (а.а^я^^о) 1-
X <<W^>tfv(iv,). G.13)
С другой стороны,
250 #v (Л^о) = Я (Л?о) - 2v КЛГО К1/2, G.14)

¦4- х
где H(N0) получается из выражения Н заменой операторов а0 и а0 g
с-числом l/iV0, т. е. g
»т9 i ^
+ +
 S {ф (A)+® (*^>^в*А (к
)} А (к ~ ki~
— *1) А 04 +к2 — к! — к2) X
аъаща^. G.15)
Поэтому, учитывая G.12), можем написать
^w =^±^.=^ = 0> GЛ6)
\ a^Vo /hv(JVo) 2/ро /ро
о
Построим выражение свободной энергии с гамильтонианом
HV(NO)
Fv(NOt Я, 6) = — GlnSpe ~5—e
В этом выражении Л^о рассматривается как некоторый произ-
произвольный макроскопический параметр. Имеем
/ dHv (No) v = dFv(N0,KB)
\ dN0 /hv(No) dN0
и поэтому уравнение G.16) для определения No принимает вид

1 Такое уравнение естественно согласуется с термодинамически-
| ми соображениями. Действительно, поскольку в рассматривае-
3 мой модельной системе No является внешним параметром, его
* значение при данных X и 9 должно соответствовать минимуму
0 свободной энергии. Уравнение G.17) в этой интерпретации и
| выражает необходимое условие минимума.
5 Посмотрим теперь, как в расчет нашей модельной системы
g входит вспомогательный параметр v, который мы должны
S устремить к нулю после предельного перехода У-^оо. Заметим
JJ прежде всего, что так как Hv (No) отличается от H(N0) лишь
? постоянным членом—2v]/~iV0I/, то все функции Грина и
Л средние от произведений полевых операторов при данном No
2 не зависят явно от v. Они те же, что и для системы с гамиль-
Ф тонианом H(Nq). Далее,
1 FV = F — 2vl/F0Vl/2, G.18)
* где F=F(N0, Л, 0) представляет свободную энергию системы
J с гамильтонианом H(N0). Поэтому уравнение G.17) может
быть записано в форме
dF(N0, А,,6) v n 1Q4
~7' GЛ9)
и мы видим, что параметр v войдет в расчет лишь через по-
посредство iV0. Поскольку мы должны совершить предельный
переход v->0, получим окончательно
= 0. G 20)
dN0
Модель с выделенным конденсатом впервые была предложе-
предложена в нашей работе [9]. Рассмотренный нами приближенный га-
гамильтониан был диагонализован с помощью (м, а)-преобразо-
ния. Функции Грина типа F.11) и диаграммная техника при-
применялись к ней в работе [10]. Недавно эта модель была под-
подвергнута подробному обсуждению в работе [11].
§ 8. Теорема о 1/q2 и ее приложения
Возвратимся к исследованию функций Грина, рассматри-
рассматривавшихся в § 6, и покажем, что
+ . const
Kfy' a,»E=ol > ——»
(8.1)
252 12U @, q) - Slt @, q) | < const q2.

В этом доказательстве весьма существенную роль будут играть i
градиентные преобразования. Так как наши квазисредние были |
введены не градиентно-инвариантным образом, то из пред- g
осторожности мы будем иметь дело с гамильтонианом Hv и *
получим сначала ряд неравенств для соответствующих выра- о
жений, основанных на обычных средних для Hv. Затем с по- g
мощью перехода к пределу v-^О получим формулы вида (8.1). |
Рассмотрим градиентное преобразование ?
(8.2) |
I
и построим «преобразованный» гамильтониан т
Н' + -Я +' *
Заметим, что *
I
{..-¦(Га)...
Sp{(...
Spe
Sp {(... ф' (га) ... ty' I
""-'Ж)
0
откуда на основании (8.3)
< . . . ф (Га) . . . Ч>(Гр) • • • >HV = ( • • • 1|>' (Га) • • • 1|>' (Гр) . . . )н\
Но, с другой стороны, ввиду (8.2) получаем непосредственно
<...{'(r«)...i|>'(rp)...>*; =
v а В 253

i Поэтому
254
(8.4)
Б Таким образом, получаем следующее правило: чтобы вы-
S числить средние от произведений полевых функций для га-
? мильтониана Hv , надо взять эти средние для неизменного га-
5 мильтониана Hv и провести в них обратное (8.2) градиентное
6 преобразование
I (8.5)
J Для наших целей достаточно будет ограничиться рассмотре-
рассмотрением лишь бесконечно малых градиентных преобразований, у
которых
где 6Е — вещественная бесконечно малая величина. В этом
случае преобразования (8.2) имеют вид
или в импульсном представлении
a'k = ak — i (ak+q + ak-q) 6g
ak = ak^ i (ak+g + ak-q) 6?. (8.6)
Найдем соответствующее выражение для
8#v = tfv(J%il/)-#v(
Так как благодаря F.2)
|)), (8.7)
то получим

откуда I
6tfv=*,6g, (8.8) I
где %
•-а — а„-
(8.9)
= —I
Найдем теперь приращение
для чего подсчитаем величины |
+ + &
i) () {)
В соответствии с установленным выше правилом можно вычис- *
лить эти величины, если заменить (...)//v+6//v средней (...)//v
+
и одновременно подвергнуть амплитуды а, а градиентному пре-
преобразованию, обратному по отношению к (8.6):
Таким образом, получим
@*>tfv+6//v — (ak)Hv = i {{ak+q
Но
1 0, кфО.
Поэтому
(aA)tfv4-6//v — (a*)tfv = i l/^A^o { А (к f q) 4- A (k — q)} 6g. (8.10)
Аналогично
¦ • '~ {A (k-q) + Д(к + q)} eg. (8.1
Далее,
+ + +
Cl) {Ufl^ f ((aClq) ^2)яv S| +- 255

I 4 i {akt (ak2+g + a*2-*))//v 6g.
S
| Заметим теперь, что
| >
где
+
NPt={aP
Получим, следовательно,
+ +
I + +
f {(tkflk^H^H — (aklak2 )ну = t { A (K — k2 + q)
|
I Воспользовавшись этим равенством, из (8.9) найдем
О.
|
где
представляет полное число частиц в нашей системе. Приняв во
внимание (8.10), (8.11), получим
- W*v=- 4 (л/ -^+v i/f; f1/2 ) eg,
Ь (8.12)
) 2KiV;eg.
С другой стороны, приращение
где Л = Э1^, ^, aq — a-qy можно подсчитать. по формуле E.20).
Таким образом, учитывая (8.8), получаем
^»?e06g,
(8.13)
256 {а, — a-q)Hv+6Hv — {aq — a-q)Hv = 2л C(a^ —

Сравнивая эти формулы с (8.12), убеждаемся, что
(? w) (8.14)
«(a,
«(a, -
Воспользуемся теперь неравенством E.19), в котором положим
Л = aq, aq — aq, B=%q, и заметим на основании (8.9), что St^ =
= 9tf. Тогда из (8.15) получим
g
<|«) ( I
откуда, принимая во внимание (8.14), находим
(8.16)
| «(a, _Lf), A -a.,)
Перейдем к пределу v->0. Как видно, при этом у рассматривае-
рассматриваемых выражений в окрестности q~0 появляются особенности
типа const/*?2:
| «(о, -L,), (a, -Ju,)»M|> (-^-) ^-. (8-18)
Заметим, что
+ + +
<t(aq — a-q), (aq — a-<7)
Но благодаря свойствам симметрии F.13), F.17)
+ + г+
^, <7> <^ <7>0 <^, q 257
9l/2 Н# Н. Боголюбов

i и поэтому
I +
+
+
+
= 2 <?ад, ад^Е=о — 2
3 С другой стороны, благодаря F.22) можем написать
(8.19)
2л 2ц (О, <7)-212@,<7) e
Поэтому, принимая во внимание (8.18), (8.19), получаем
или
121Х @, q) - 212 @,
РоН<
(8.20)
Неравенства (8.17), (8.20) как раз и являются теми неравенст-
неравенствами (8.1), которые мы хотели доказать.
Перейдем теперь к рассмотрению ряда их приложений. На-
Напишем спектральные формулы
I -J-OO
{a9{x)ag(t))= J Jg (со) ?-*»('-*> dco,
—оо
(8.21)
«a
+ у *
+oo
и заметим, что
со
Поэтому
©
29
258
4- +00 о)
4я9

откуда на основании (8.17)
7
Поскольку (см., например, C7), C.7')) 2
C
Caqaq) = BяK w (q) = BяK щ (q), <? =? О,
можем написать также
2Bя)«
(8.23)
Таким образом, плотность непрерывного распределения час- 2
тиц по импульсам при q-+0 стремится к бесконечности как1 — . |
Это утверждение относится только к случаю, когда 0>О. 2.
Чтобы получить некоторую информацию о положении при х
в=0, воспользуемся спектральными формулами для этого осо- g
бого случая (см. § 6) *
2 <а,, а,> 4- 1 = <а,а, + afy) = j /, (ш) do», /?(со) > 0.
—со
Для достаточно малых |^|, когда можно говорить об «элемен-
«элементарных -возбуждениях», обладающих определенной энергией,
естественно предположить, что спектральная интенсивность
/д(со) практически равна нулю при \(o\<CE(q)9 где E(q) —ми-
—минимальная энергия элементарного возбуждения с ийпульсом q.
Тогда
2 я J
+00 +00 +
Г
J
2 {daO-a) +
*V | со | 2лЕ(д)
и поэтому на основании (8.17)
2пЕ (q)
1 Если бы мы рассматривали вспомогательную систему с фиксирован-
фиксированным v>0 и не перешли к пределу v=0, то этой особенности вообще не
было бы. 259

или
Если спектр элементарных возбуждений носит фононный ха-
рактер, E(q)=c\q\, то Wi(q) стремится к бесконечности при
<7"-*0 не медленнее, чем °°ш .
\я\
Покажем теперь, что нашими неравенствами можно восполь-
зоваться и для выяснения характера спектра возбуждений.
Обратимся для этого к соотношению (8.20), из которого сле-
дует, в частности, что
Su @, 0) - 2М @, 0) = 0. (8.24)
Отметим, что это равенство для случая нулевой температуры
впервые было выведено Гугенгольцем и Пайнсом на основе тео-
рии возмущений. В их работе [11] рассматривалась модельная
система с выделенным конденсатом, и для ее исследования
была применена диаграммная техника. Таким путем им удалось
показать, что равенства (8.24) справедливы в любом порядке
теории возмущений. Значение этого соотношения — в его связи
со структурой энергетического спектра возмущений.
Действительно, рассмотрим «секулярное» уравнение
2U(E, *JП(-Я, *)-2?2(?, Щ = 0. (8.25)
Предположим, что массовый оператор 2(?о, k) регулярен в
окрестности точки ?=0, k=0. Представим уравнение (8.25) в
форме
2 J -2»^ *> - [ i J '
(8.26)
Заметим, что ввиду радиальной симметрии в нашей задаче
функции 2аэ (?, k) будут зависеть от k лишь через посредст-
посредство скаляра №.
Далее, левая часть уравнения является четной функцией Е.
Благодаря (8.24) она обращается в нуль при ?=0, &=0. По-
Поэтому для достаточно малых Е и k можем написать
Р, Y = const.
Заметим еще, что выражение 2ц(?, k)—2ц(—Е9 k) являет-
260 ся нечетной функцией Е. Учитывая лишь член первого порядка,

получим для достаточно малых Е, k
ag> a
Таким образом, из уравнений (8.25), (8.26) получаем
Исключим из рассмотрения особые случаи, когда а2—y и Р °б- 5
ращаются в нуль. Тогда g
?2=s62, s^O, s = —В—. I
a2 — y n
Так как полюс функции Грина не может лежать в комплексной |
плоскости вне вещественной оси, видим, что величина 5 должна 3F
быть положительной. §•
Итак, для энергии возбуждения получаем «акустическую» 2
зависимость, без щели, 5
Из проводившихся ранее рассуждений видно, что равенство
(8.24) существенно связано с градиентной инвариантностью
«потенциальной энергии» U. Не удивительно поэтому, что если
мы нарушим это свойство, рассматривая, например, модельные
системы, у которых в выражении U оставлены лишь взаимодей-
взаимодействия пар с противоположными импульсами и т. п., то нарушим
и равенства (8.24) и получим для E(k) формулы, содержащие
энергетическую щель. То же самое положение возникает и при
включении в гамильтониан градиентно-неинвариантного члена
— vVV (ao+ao), если брать фиксированное v>0.
Проиллюстрируем этот факт на простейшем примере перво-
первого приближения по степеням малости взаимодействия Ф в слу-
случае 8=0. Для фактического построения такого приближения
используем модельную систему с гамильтонианом Hv (No). Из
формы G.14), G.15) этого гамильтониана нетрудно установить,
что с учетом лишь членов первого порядка малости
2V
(8.28)
261
9 Н. Н. Боголюбог

Поэтому из уравнения G.17) получаем
SF ~ V
^ Л + Ф@)
| 0=+ р0Ф@)
S Тогда
2и@,0)-21а@,0) = —^<0. (8.29)
2 Рассмотрим, далее, секулярное уравнение (8.25). В принятом при-
\ ближении из (8.28) получим
ф Отсюда для энергии элементарного возбуждения найдем формулу
I
= \f±- + 2 -^ (f- + р„Ф (*)) + Р.Ф») Л-
содержащую энергетическую щель. Эта щель исчезает лишь
после предельного перехода v->0, когда мы приходим к обыч-
обычному выражению
с квазиакустическим характером при малых k. Заметим, на-
наконец, что формулы «со щелью» для E(k) могут получаться и
при v=0, если «рассогласовать» используемые приближения,
т. е. если, например, использовать для 2ар(?, k) формулы пер-
первого приближения, а в уравнение
dN0
подставить формулы второго приближения для Fv.
§ 9. Теорема о 1/q2 для ферми-систем
Приступим теперь к распространению «теоремы о —* на
Я2
ферми-системы, рассматривавшиеся в § 4, для случая, когда
262 в системе имеется конденсат из парных квазимолекул, находя»

щихся в 5-состоянии D.11), и когда гамильтониан имеет обыч- i
ную форму |
+ W. (9.1) f
(a) 8
в которой выражение U градиентно-инвариантное. i
Заметим, что модель Фрелиха, в которой электроны взаимо- g
действуют с полем фононов, принадлежит к рассматриваемому 5
типу. Действительно, для нее в U можно включить энергию *
фононов и энергию их взаимодействия с электронами. Подчерк- |
нем, что нам нужна инвариантность формы U по отношению 3:
к градиентным преобразованиям, действующим только на фер- «
мионные функции -ф, -ф. $
Обратимся к рассуждениям предыдущего параграфа и при- 5:
ведем их здесь почти дословно. Для краткости не будем S.
теперь явно вводить в выражение гамильтониана бесконечно $
малые члены, снимающие вырождение, и условимся иметь дело S
непосредственно с соответствующими квазисредними.
Итак, рассмотрим бесконечно малые градиентные преобра-
преобразования
г|? (х) -*>г|/ (х) = \|э (я) — д|) (х) 6Х,
+ + +
и построим вариацию
Получим
откуда
bH = ^-Sqdl (9.2)
где q — фиксированный импульс, не равный нулю, и
5f - - / V Bk+gq)'q (i-Kaakta - ?taak+q,a). (9.3)
(, 263
9»

I Заметим теперь, что приращение
I {Щн+ьн-
>s можно подсчитать двумя способами. При прямом вычислении
\
\
аг
х
(9.4)
где ЗР получается из 21 с помощью обратного градиентного преоб-
разования
+ +
S или в импульсном представлении
g {+, q;
I 0.5)
i" + + + +
ak,O -^ uk,O — I {&k+q, О + uh-q, a} 8g.
С другой стороны, можем воспользоваться ^формулой E.20) и на-
написать
1 eg.
т
Следовательно,
(%' —Щн = —2_ ^д^ Sg^E=$$%. (9.6)
tn
Положим 5t =V-1 5f. Тогда
i_ i_
<У 2 5f, V 2 S^>e-o = j^-> P = -^-. (9.7)
Введем операторы
,)A(o
Хв 2 dridr2, (9.8)
где 0(r)—некоторая радиально-симметричная, вещественная
функция г, достаточно быстро убывающая при г-*оо и удов-
удовлетворяющая условию
264

Тогда
)
T2) у \\{«*q T' + eiqtl +е~'ЧГ2 +е-'чг-} X
X
e(a1) A (a, f a2)^-JJ 2cos
(at,a2) V
и поэтому на основании D.14) получаем §•
< V~Т(р; - Р,)) = 4i J Ф(г) 6 (г)cos(-^-j dr К^Г«6. (9. Ю)
Отсюда ввиду вещественности функций <р, 6
Следовательно,
(9.11)
Воспользуемся теперь соотношениями (9.6) для
Тогда благодаря (9.10), (9.11)
4-
где
J(^)r. (9.13)

i Мажорируем левые части равенств (9.12) с помощью неравенств
| E.19), в которых полагаем
1 + -JL
| л = р,,(Р,-М, b = v »sf.
I Гак как на основании (9.3) Sq=Sg, приходим к неравенствам вида
I
|
g. Отсюда, принимая во внимание (9.7), получаем
5 + 4m у2 (^7) Ро
Р>| > —
причем благодаря (9.9), (9.13)
Итак, «теорема о ——» в рассматриваемом случае доказана.
Она, по-видимому, связана со свойством энергетического спект-
спектра «коллективных возбуждений». Мы не будем здесь занимать-
заниматься этим вопросом и ограничимся лишь применением доказан-
доказанной теоремы для получения оценки числа пар с импульсом
0 в случае 8Х).
Примем во внимание спектральные формулы
+0° Т
—oo
+ +? -
PaP,)= (l-ie*)J(v>)dtd.] (9.15)
Учитывая, что
И> В)
ее-1 1+е*
266 © 28 '

можем написать |
Поэтому на основании (9.14)
4- 4-
Оценим теперь ($g$q — $д$д). Для этого представим определение
(9.8) в несколько более абстрактной форме:
?*«={*(*. х*)Ъ(xt) ¦ (^i)^i^2> (9.17)
где
К(х%9х1) = —К(х19хг)9
и воспользуемся перестановочными соотношениями в форме
Получим
— 4 J jj K(xlt xj К*(х[, *,) dJOi
Конкретизируя вид функции /С в соответствии с (9.8), убеждаемся,
что
<РЛРЛ>4 ^3()^4 S<iaapa> x
xl|lfl(r + r')e(r')'dr'i«V- 2/ ^г,
и поэтому
где
Следовательно, из (9.16) найдем
8mev4(o)
267

? Заметим теперь, что
¦§
ХТГ
1 Г+, +
x
Подставим в эту формулу выражение D.5). Получим
<РР>
х (со) (а„стг)
| X J Ye., (r, 01( a2) 6 (г) &х \. (9.19)
Я
й Но функции ^"(о^, входящие в формулу D.5), обладают при дан-
данном q следующими свойствами ортонормированности:
V j ЧЧ,? (г> 0i а2) ^ю„* (г> ^1 аг) * = Д (% — <о2).
Поэтому, применяя соответствующее неравенство Бесселя, находим
Е У | ? в Ю Д (ах + (т2) J Т^г, а19 (Т2) 6 (г) dr f <
(со)
Отсюда на основании (9.19)
со
и поэтому благодаря (9.18)
()
J 6я (г) dr р / * 816* (г) dr
Пусть 0 > 0 и пусть ?2 — некоторая положительная величина,
удовлетворяющая неравенству
П < _ _Ро_
268 je*(r)dr p

Тогда для достаточно малых q получим
max Л^ q > -2—.
(со) Цг
Итак, для любого достаточно малого импульса q имеется
такое парное состояние (со, q), 4fo среднее число шар частиц,
находящихся в этом состоянии,
удовлетворяет неравенству
nq>^-. (9.22)
Как видно, оно аналогично неравенству (8.22), установленно-
установленному для бозе-систем при наличии конденсата.
В заключение подчеркнем, что неравенство (9.22) доказано
лишь для случая, когда форма t/(i|j>, -ф), входящая в выраже-
выражение (9.1) гамильтониана Я, является градиентно-инвариантной.
Для модельной системы, рассматривавшейся в § 2, форма U не
является градиентно-инвариантной, и поэтому не удивительно,
что в этом случае неравенство (9.22) неверно.
Литература
1. Bardeen J., Cooper L. N., Schrieffer J. R.— «Phys. Rev.», 1957,
106, 162; 108, 1175.
2. Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н., Церковников Ю. А.—
ДАН, 1957, 117, 788.
3. Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н., Церковников Ю. А.—
ЖЭТФ, 1960, 39, 120.
4. Боголюбов Н. Н. К вопросу о модельном гамильтониане в теории
сверхпроводимости. Препринт Р-511, ОИЯИ, Дубна, 1960.
5. Боголюбовы. Н.— ЖЭТФ, 1958, 34, 58.
6. Боголюбов Н. Н.— ДАН, 1958, 119, 52; УФН, 1959, 67, 4.
7. Боголюбов Н. Н. Лекции по квантовой статистике. Киев, «Радянь-
ска школа», 1949.
8. Зубарев Д. Н.—УФН, 1960, 71, 71; Бонч-Бруевич В. Л., Тяб-
ликов С. В. Метод функций Грина в статистической механике. М.,
Физматгиз, 1961.
9. Боголюбов Н. Н.—«Изв. АН СССР. Сер. физ.», 1947, 11, 77; «Вестн.
Моск. ун-та», 1947, 7, 43.
10. Беляев С. Т.—ЖЭТФ, 1958, 34, 417.
11. HugenholtsH., Pines D.— «Phys. Rev.», 1959, 116, 489.

Уравнения
гидродинамики в
статистической
механике
Сборник трудов Институ-
Института математики АН УССР,
1948, 10, 41
1. В предлагаемой статье устанав-
устанавливаются уравнения гидродинамики
на основе классической механики для
системы молекул. Как обычно, мы
ограничиваемся наипростейшей схемой
и рассматриваем совокупность очень
большого числа N одноатомных оди-
одинаковых молекул, находящихся в не-
некотором макроскопическом объеме V.
Предполагаем также, что взаимодей-
взаимодействие между молекулами обусловли-
обусловливается центральными силами, которым
соответствует потенциальная энергия
пары молекул Ф(г), зависящая толь-
только от расстояния между ними.
Используя результаты и обозначе-
обозначения наших предыдущих работ [1, 2],
вводим функцию распределения дина-
динамических переменных комплексов мо-
молекул
Fs=*Fs(t><li> ••• >Qs, Pi, ... , рл),
s= 1,2, 3, ...
и определяем последние так, чтобы вы-
выражения
-J—Fsdqx ... dqsdpi ... dps
представляли собой вероятности того,
что в момент времени t координаты
и импульсы 1, ..., s-й молекул из не-
некоторого произвольного комплекса s
молекул находятся соответственно в
бесконечно малых объемах коорди-
координатного и импульсного пространства
dqu ...> dqSy dpu ..., dp9.

Поскольку нашей целью является изучение только объемных $
свойств системы, ограничиваемся рассмотрением основной |
асимптотики в уравнении движения для функции F8, установ- §
ленном в предыдущих работах, *
A)
где
Ф/.s+i = Ф(| qi - qs+i I). v = —
я Я8 означает гамильтониан системы s изолированных молекул,
Уравнения A) необходимо дополнить условиями нормировки
Fs = lim -J- [dqs+i [dps+l Fs+1,
V-*oo V J J
lim-i- Di(Wi = l C)
и условиями ослабления корреляции, которые можно предста-
представить, например, в следующем виде:
„О, т->+оо, D)
где S% означает оператор, Заменяющий координаты
соответственно координатами
qx L_ т, ... , q 2-1,
т т
оставляя значения импульсов pi, ..., ps неизменными. Ясно, на-
наконец, что функции Fs должны быть симметричными относи-
относительно перестановок динамических переменных молекул
P4FS = FS, E)
где Pij — оператор, заменяющий переменные (qu pi) соответ-
соответственно переменными (q^ pj), и наоборот.
271

2. Для проблем гидродинамики особенное значение имеют
| следующие динамические величины: плотность числа частиц
3 o(t, q), плотность потока /(/, q) и плотность внутренней энер-
гии E(t, q). Эти динамические величины можно представить
следующим образом:
|
3
(К/<ЛГ)
Следует, однако, подчеркнуть, что такое определение величин а>
J и Е необходимо лишь при микроскопическом рассмотрении
движения системы. Для обычной макроскопической гидродина-
гидродинамики достаточно знать их средние значения, которые можно
определить с помощью функций F± и F2:
= Р = -^-\Fi(t> Ч, P)dp9
=з три =—[qF1(t, q, p)dp,
, - .. G>
Поскольку, согласно приведенному определению, величина
р(/, ^)^ — среднее число молекул, координаты которых в мо-
момент времени t лежат в бесконечно малом объеме dq, мы можем
рассматривать здесь р как функцию распределения вероятности
координат молекул. Вектор и, очевидно, представляет собой
Е
среднюю скорость, отношение — среднюю энергию на одну
молекулу. Вычитая из кинетическую энергию упорядочен-
Р
ного движения, получаем среднюю внутреннюю энергию
*.* е = и2.
272 Р 2

Из G) нетрудно получить 2
р8 = \ —~ — Fx (/, С
v J 2/п
Вывод уравнений для описания эволюции основных гидродина-
мических функций р, иа, е и составляет нашу основную за-
дачу1.
3. В теории кинетических уравнений при исследовании про-
цесса приближения функций распределения к их стационарно-
му виду, соответствующему состоянию статистического равнове-
сия, специально рассматривают так называемый пространствен-
но-однородный случай, когда Ft(t, q, p) не зависит от q, а вые-
шие корреляционные функции Fs(ly qu ..., qs, Рь •••> Ps) инва-
риантны относительно пространственных трансляций
?o> Qsis^Qo |
о.
(при произвольном <7о). Необходимо подчеркнуть^ что наши >
уравнения всегда имеют пространственно-однородное решение,
в чем нетрудно убедиться, приняв во внимание уравнения A),
так как если пространственная однородность существует в на-
начальный момент времени, то она автоматически сохраняется и
для последующих моментов времени t. Можно установить
также, что в пространственно-однородном случае гидродинами-
гидродинамические функции р, м, 8 не зависят от t и не изменяются со вре-
временем. Таким образом, этот случай физически соответствует
полной однородности макроскопического пространственного
распределения молекул.
В гидродинамике при введении этих функций мы факти-
фактически усредняем их по области, линейные размеры которой ве-
велики в сравнении с радиусом действия г0 межмолекулярных
сил, и по промежутку времени, большому в сравнении с «моле-
«молекулярной единицей Бремени» г°т ¦, где |р|ср — среднее значе-
tPlcp
ние модуля импульса молекулы. Таким образом, для получения
обычной макроскопической гидродинамики мы должны рас-
рассматривать функции распределения, достаточно близкие к про-
пространственно-однородным, чтобы р, щ е, определяемые с по-
помощью формул G) и (8), как функции q к t изменялись доста-
достаточно плавно по отношению к молекулярному масштабу г0,
1 Буквы а, р, y> расположенные над векторами, обозначают одну из де-
декартовых компонент. 273

i r°m . В связи с этим необходимо ввести некоторый малый па-
S Plcp
S раметр |i и определить его физический смысл.
э* Прежде всег© рассмотрим выражение
| = Fs(t, qy ql9 ... , qs, рг... , ps) (9>
g и заметим, что
J FS С» 9l» • • • э 0S» Pi» • • • э Ps) = FS ('» 01» 01: • • • » 0S, Pi» • • • » Ps).
| Поскольку выражение (9) является пространственно-однород-
g н(ым по отношению к qu ..., qs>
J = ^»('i 9i + <7o> 9i» • • - . 9.» Pi» • • • . Ps).
| Таким образом, функции Fs тем меньше изменяются при транс-
S ляциях
* Яг-+Я1 +%>...> Я$-»Я5 + Яо>
чем медленнее изменяются F8(ty qy qu —, ^e, pu —,Pe) при изме-
изменении #. Поэтому, ограничиваясь рассмотрением распределе-
распределений, близких к пространственно-однородным, ищем решение
для F8 в виде
^s = fs(t> H9i, Яъ • • • . 9,; А, • • • , Ps, И).
Л=/10.М1. А. И). (Ю)
где jfc — малый параметр и функции
/*('•?» ft» •-• 10*. А» ••• >Р8»И)> «= 1,2, 3, ... , A1)
асимптотически регулярны в окрестности \i=0. Устремляя ц
к нулю, получаем из A0) распределения, все более прибли-
приближающиеся к пространственно-однородным.
Подставляем A0) в формулы G) и (8) и учитываем, что
функции р, и> г зависят от q только через произведение \iq=%
и поэтому являются плавными функциями q. Далее, замечаем,
что производные ——, ——, —— пропорциональны \i так, что
dt dt' dt
функции р, и, е плавно изменяются в зависимости от t. В связи
с этим можно физически интерпретировать введенный нами
параметр \i как число, по порядку равное отношению-у-, т. е.
274 отношению радиуса действия межмолекулярных сил г0 к длине

U характеризующей среднюю протяженность макроскопической *
неоднородности. Уравнения гидродинамики, которые мы ниже |
получим, носят очевидный асимптотический характер разложе- ?
ния по степеням параметра fi. Заметим сразу, что нам тре- ^
буются выражения для гидродинамических характеристик р, и, g
е, представленные как функции t и |. Подставляя A0) в G) и S
(8), получаем |
^§ A2) I
а
A3) §
Яг — 921) h (*, S> <?i> <?2> Л, Pi) dq* dpx dp2. A4)
Поскольку функция f2 пространственно-однородна по отношению
к Ци 42, она зависит от них только через (qi—#2):
/2 (t> S> Л. ?2> Pi. P2) = ф С. i» 9i — 92» Рь Р2)» A5)
и поэтому выражение в правой части A4) не зависит от qu
хотя по этой переменной интегрирование и не проводится.
Получим теперь из уравнений A) уравнения, определяющие
эволюцию функций fs. Замечаем, что при этом, согласно A0),
"г— = —-—, ] = 2, о, ... , S,
dq; dqf
Ms дЬ_ , , 2 о
, > 1 , &у О, ... , О,
И
№* a/s 1ц °fs
Поэтому из уравнений A) получаем основные уравнения, опре-
определяющие эволюцию функций fs в виде
от -*-J m
(Ка<3)
-7Я 2 O/'s+i; f*+i]dqs+idps+u A6)
275

$ где скобки Пуассона действуют только на канонические пере-
| менные qu — , qs, Pu —> Ps и не действуют на дополнительную
S переменную g. Принимая во внимание тождество
*Ъ,1 a/, f
можем написать в качестве частного случая A6) уравнение
dt
Jj Обратимся теперь к условиям симметрии E). Если учесть
| формулу A0), очевидно, что
I PiiU = L ' = 2, 3, ... ,s, / = 2,3, ...s. A8)
^ Далее,
9l)» 9/э • . • э ^1, . . . , ?S, P;, . . . , Pi, . . . , PS).
Условимся рассматривать Pjj как оператор перестановки, кото-
который не действует на | и действует лишь на канонические
переменные. Тогда можно написать
Л('» 6э 9i» ••• , ?s» Pi. ••• э Ps) =
или
PljfsV, 6,^1» ••• .9s» Pi» ••• »Ps) =
= fs(t,l — H(<7/— 9i), ?i» •-. » 9S» Pi» ••• .P.)- (I9)
Отсюда
276
a,

Заметим теперь, что условия нормировки C) и условия ?
ослабления корреляций D) для функций f8 можно представить |
в виде S
/ = lim — \ dqs+\ \ ^Ps+i /"s-fb B1) 2
V-#oo V J J U
v |
ty g, ^i, ... , qsy Pi, ... , P5) — S
- П /i(',
I
где оператор Slf!T действует только на канонические перемен- g
ные. Дифференциальные уравнения A6) вместе с условиями 5:
симметрии A8) и B0), нормировки B1) и ослабления корре- а
ляций B2) определяют функции распределения fs. ?
4. Перейдем теперь к вычислению производных «
|
dt ' dt ' dt I
Дифференцируя A2) и учитывая A7), получаем
Так как
и, кроме того, поскольку вследствие A3)
мы приходим к обьиному «уравнению непрерывности»
JL.-nViie*! B3)
а ъ
Продифференцируем теперь выражение A3) и примем во
внимание уравнение A7). Тогда получим
277

X
s
I
w откуда, проинтегрировав по частям второе слагаемое,
B4)
5 Заметим теперь, что, согласно A5),
х I —•?— f2dpidp2dqo4 =
- J dcff
= I ^—-— Ф {U S* 9i — <?2> Pi»
» S. 9, Pi.
откуда, изменяя индексы у переменных интегрирования, находим
6. ^ ft. Pi)dqdPldp2 =
> Ь -^.Л, Pi)dqdPldp2.
Поскольку очевидно, что
Ф (t, I, — (Qi — %). Pi. Pi) = ^1.2ф (U l> Qi — 9t. ft. ft),
можно написать
и поэтому
278

Далее, учитывая свойство симметрии B0), имеем $
J "atf" й****** = Т1J ^f ^ ~ ^ W dq2dPlP2 ~ *
Заметим также, что, согласно A2) и A3),
Pi = j (Pi — «и)а (Pi — muf hdPl i «Чи^иРр. B6)
Подставляя эти соотношения в правую часть формулы B4), по-
лучаем
dt r"AJ деР Ц
p °ё р ~а |
- + Ц3-... B7) I
где для сокращения записи мы положили
+ аЬ"J 'Ф('^~<?1') (*~^)Р/АЖФ„ B8)
ra.p.v==ra.p.Y(/s) _ -j-jj. J — X
X {Ь — <7i)p (* — ^)v hdq2dPldPi. B9)
Наконец, согласно уравнению непрерывности B3), можно написать
уравнение B7) также в виде
P P - P,v dm
C0)
Перейдем, наконец, к дифференцированию выражения A4). За-
Замечая, что тождественно
д
-5-lft-m
279

S получаем
!
Отсюда, используя уравнения A6) и A7), находим
_?(peL=
dt
а
+ — J Ф1.2 [Фи + Ф2,з; /з] dq2dqzdpxdp2dp^
_ Так как тождественно
" Ф1.2 [Физ + Фг,з; /з] dp±dp2dps = О,
и, согласно A5),
можно записать
280
Заметим, что

дФ, 9 д I рл — ти I2 дФ
/» дФ« О ^
= \—^{2mu^-p^~p^}f2ck]%dp1dp2. C2) >g
С помощью перестановок и условий симметрии, полученных I
выше, можно убедиться в справедливости следующих соотно- |
шений: S
(* дФч * ш
-^-f1 {2/""а — р« — р^} hdq^dpz = х
I
к
x
X (<72 — i
Заметим также, что
I | p± — mu \2p^ dpx = —-~ \\p1 — mu \2р^Мрг +• OO4
10 H. H. Боголюбов
\ i a i л./ \ ie § л./ i a i л
Таким образом, из C1) и C2) находим

g
* . с, m -^ - i /^ ^щ
Ф
>X
1 ^J^.imB._JlLL-}(flb-.^
Ф
5 r M»i,i f
5 Поэтому
a с ^i,2 .
aj
a.
получаем
282 ^ 7
2
или, используя A2) — A4), а также тождество

Если мы положим g
1 Л «
г то J * J х х I
>х
= —:—. C4) а
X Ца _ ^L+ZLJ _|k_ %dpidp2, C6)
то можем написать вместо C3)
C7)
5. Определив производные основных гидродинамических
переменных, возвратимся к уравнению A6), которое еще тре-
требуется решить с учетом условий симметрии A8) и B0), норми-
нормировки B1) и ослабления корреляций B2). При этом необходимо
отметить, что обычное разложение по степеням \i
/s(^ ?> Qi> • • • > <?s> Pi» P2» • • • > Ps) =
не может привести к нашей цели — построению уравнений
гидродинамики, с помощью которых можно было бы описать
эволюцию гидродинамических переменных. 283
10*

g Действительно, подставляя C8) в формулы A2) — A4), по-
х лучаем
* Р = Ро + ЦР1 +¦ • • -.
1 и* = Щ + \iuf + ..., C9)
%j
g где р0> Щ, е0 определяются формулами A2) —A4), в которых
* вместо f подставлены /°; plf ы<*, eL — теми же выражениями с
х /1 вместо f и т. д. С другой стороны, подставляя C8) в урав-
| нение A6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
* степенях р,, получаем, например, для основных членов
4f = 1Я*! $ + — f [ S °^s+i; /2+11 dqs+idps+i, s = 1, 2, 3, ...
* J Liiis J D0)
Замечаем также, что условия симметрии принимают вид
р. & _, & р .f* ~ f* D1)
Поскольку функция fs пространственно-однородна по отноше-
отношению к qu..., qs и поскольку в уравнениях D0) и дополнитель-
дополнительных условиях для fs отсутствуют операторы, которые действо-
действовали бы на аргумент g, устанавливаем, что функции fs изме-
изменяются во времени точно так же, как и функция Fs в случае
пространствевно-однородного распределения. Поэтому произ-
производные
dt dt dt
должны тождественно равняться нулю, так как формальные
выражения для них получаются из B3), B7) и C7) при пере-
переходе к пространственно-однородному случаю, т. е. при ц=0.
Таким образом, р0, и*у е0 не изменяются с течением времени t.
Мы устанавливаем, что, согласно C9), изменение гидродинами-
гидродинамических функций целиком определяется эволюцией поправочных
членов, пропорциональных малому параметру.
Однако использовать асимптотическое разложение C8),
удерживая один-два члена, можно лишь до тех пор, пока по-
поправочные члены малы по сравнению с основными. Поэтому
эти разложения пригодны только для таких интервалов вре-
времени, в течение которых р, иа, е не успевают еще далеко отой-
отойти от своих начальных значений. Иначе говоря, мы не можем
284 построить уравнения гидродинамики, т. е. такие уравнения,

которые описывали бы эволюцию р, иа, е в течение достаточ- 2
но долгого промежутка времени, за который эти величины за- |
метно изменяются. Очевидно, что трудность использования 2
обычного разложения достаточно тривиальна и связана, как *
всегда в таких случаях, с появлением секулярных членов. о
Чтобы правильно сформулировать адекватный способ разло- 3
жения аналогично тому, как это делается в нелинейной меха- |
нике, заметим, что в рассматриваемом случае требуется част- |
ное решение fs(t, g, qu ..., q$, pu --, Ps) наших уравнений, для ко- g
торого производные —— сразу имеют порядок \i. Действитель- «
dt х
но, вводя малый параметр \л и рассматривая для Fs выражения |
типа A0), мы фактически выполняем пространственное усред- *
нение по области, линейные размеры которой достаточно велики §.
в сравнении с молекулярными, и рассматриваем решения, для g,
dfs 5
которых —— пропорционально \i и считается определенным ?
dt щ
способом усредненным по времени. Тогда в первом приближе- ?
нии функции |
/. = /? D2) *
будут удовлетворять уравнениям
^]T==O, D3)
условиям симметрии D1) и соответствующим условиям норми-
нормировки и ослабления корреляции. Заметим также, что /? прост-
пространственно-однородны по отношению к qu..., qs. Мы видим, что,
лоскольку написанные соотношения не содержат операторов,
действующих на переменную |, и эта переменная входит в fs
только как параметр, D3) и есть те самые уравнения, которые
определяют стационарное пространственно-однородное распре-
распределение jFs. Допустим, как это справедливо для газов при обыч-
обычных плотностях, что существует лишь одна система стационар-
стационарных решений, а именно та, которая соответствует статистиче-
статистическому равновесию и которая полностью определяется значе-
значениями плотности, температуры и вектором средней скорости *.
1 Для аморфных твердых тел типа стекла существуют распределения,
не соответствующие статистическому равновесию, причем они имеют беско-
бесконечно малую скорость релаксации и поэтому являются стационарными.
С другой стороны, для кристаллов, даже находящихся в состоянии статисти-
статистического равновесия, распределение плотности вероятности зависит от рас-
расположения кристаллической решетки в пространстве, и поэтому для его
определения необходимо задавать большее число параметров. 285

I Тогда ищем выражение для /s в виде
D4)
где k — некоторый вектор, 0 — температура. Так как функция
<ps пространственно-однородна, то
D5)
| Подставляя D4) и D5) в уравнение D0), получаем
I
? . 1 Bят9J С d®i,s+i A п ,
I где
и функции ф8 предполагаются симметричными по отношению к
qu —у qs- Кроме того, принимая во внимание условия ослабле-
ослабления корреляций для fs и формулу D5), устанавливаем, что
функции <ps(?, qu...,q8) стремятся к {q>(?)}s при бесконечном
увеличении расстояний (\qi—<7j|)-
Чтобы получить соответствующие выражения для /s, a
также для коэффициентов разложения
/? = /? + H/s+..., D7)
наложим дополнительное условие: производя это разложение,
мы не должны разлагать функции р, иа, е по степеням \i. Иначе
говоря, определяем коэффициенты разложения D7) так, чтобы
р = 
ТI IPl7mm f4P + 5Г J Ъ&ЫЖ& D8)
но

T J 'Р1
-0. D9) i
Тогда из D4) и D5) находим
E0)
S
>х
8
B ят9) 2
Полагая
устанавливаем, что функции xs удовлетворяют уравнениям |
0- E1) I
Замечаем также, что функции %s симметричны и пространст- х
венно-однородны по отношению к qu...tqs- Кроме того, %\=1У «
a %s(s=2y 3,...) приближаются к единице при непрерывном воз- |
растании расстояний между молекулами. Таким образом, функ- %
ции Xs являются не чем иным, как функциями распределения ?"
координат комплексов молекул, рассмотренных в первой главе
монографии [2] (в указанной монографии эти функции обозна-
обозначены Fs(qu ..., 9s)). В рассматриваемом случае вместо плотности
l/v фигурирует, очевидно, р.
Явные выражения для %s можно получить, например, с по-
помощью разложений по степеням р. В данном случае явные вы-
выражения для Xs нам не потребуются. Необходимо только, что-
чтобы Х2, хз> ••• целиком определялись заданием числа р и были
инвариантны по отношению к преобразованиям трансляции и
отражения в пространстве q. Поэтому записываем
—fcl.P). E2)
Как видим, g(ry p) — обычная «молекулярная функция рас-
распределения», зависящая от расстояния г между двумя молеку-
молекулами и от средней плотности р.
С помощью полученных формул записываем D4) в виде
Г{ 2 ^} E3)
BятЭJ (l</<s)
Подставляя это выражение в последнюю из формул D8), получаем
0 + р|ф(|9|)?A?|р)Ф е(Р6) E4)

>х
х Необходимо подчеркнуть, что написанное выражение есть не
| что иное, как термодинамическая «средняя энергия на одну
S молекулу», выраженная как функция плотности р и температу-
2 ры е-
0 Если выразить с помощью E4) параметр 9 через 8 и р, то
«5 выражения для fs целиком определяются значениями р, м, 8
? как произвольных функций g. Вспоминая уравнения B3), C0)
х /пт\ * dp ди де
*z и C7), видим, что в первом приближении ——, , рав-
н dt dt dt
в няются нулю, и поэтому р, и, 8 могут рассматриваться в этом
1 приближении как «произвольные константы» по отношению к
| переменной t.
g 6. Перейдем теперь к окончательной формулировке соответ-
| ствующего метода асимптотического разложения функции fs по
а степеням малого параметра \i.
g Используя методы нелинейной механики, которые пред-
* ставляют собой соответствующее обобщение «метода вариации
g произвольных постоянных» Лагранжа, ищем выражение для /8
S в виде
-+ |*/i Fэ Л* ... »9в»Лэ--- ,PS|P> w, e) + ji2..., E5)
где р, и, е — решения уравнений
-f- - Mi F1 Р> «. е)
|iflfjF|p,a, 8)+fi2B2(||p, w, 8)-ьц3..., а = 1,2,3, E6)
^ fiQdlp, Г/, 8) + Ц*С%Ш Г/, 8) + (X3 ...
В этих соотношениях /?, /1, ...; Лх, Л2, ...; Bf, Б? ...; С\, С2,...
— неизвестные функционалы от р, и, 8, являющиеся функция-
функциями 1> которые должны быть выбраны так, чтобы выражение
E5) после подстановки в него решений уравнений E6) удов-
удовлетворяло уравнениям A6) и всем дополнительным условиям>
накладываемым на fs, включая D8) и D9). Разумеется, разло-
разложения E5) и E6) полностью формальны, и фактический смысл
в них имеют только один-два члена. Поэтому приведенные выше
формулы необходимо понимать как такие, асимптотические при-
приближения для которых, полученные при пренебрежении некото-
некоторой степенью параметра ц, удовлетворяют соответствующим
288 уравнениям с точностью до данной степени этого параметра.

Учитывая B3), непосредственно находим
@7) ф
А л п
, Л2 — Л8 = ...=и, @7) ф
а ,х
т. е. первое из уравнений E6) действительно является уравне- 5
нием непрерывности. Далее, из C0) и C7) видим, что 5
Э P.v
2
a
I
С другой стороны, используя соображения предыдущего раз-
раздела, нетрудно убедиться, что первый член разложения E5)
определяется формулой E3). Поэтому В? и d можно легко
найти. Приняв во внимание это обстоятельство, покажем, что
уравнения первого приближения
Т E9)
следующие из уравнения E6), если пренебречь членами второго
порядка малости, являются обычными уравнениями гидродина-
гидродинамики идеальной жидкости.
Действительно, подставляя выражения E3) в E8) и исполь-
используя обозначения B8), C4) и C5) для Та,р, Sa и SafP, получаем
т
где

Таким образом, уравнения первого приближения E9), если
вернуться в них снова к пространственной переменной q=\i~%
принимают вид
х
g
F3)
g где тр — плотность массы.
* Как видим (см., например, формулу A.7) в монографии
о [2]), величина Р, определяемая F1), является давлением, а
| само соотношение ^61)—уравнением состояния в случае, если
5 нам известно явное выражение для молекулярной функции рас-
5 пределения g. Таким образом, уравнение F2) является обыч-
? ным уравнением движения идеальной жидкости.
Б Чтобы преобразовать уравнение F3) к обычно используе-
" мой форме, введем в рассмотрение свободную энергию системы
х в расчете на одну молекулу
|
|
? Тогда, поскольку Р и г определяются с помощью канонического
? распределения Гиббса, как известно,
f <64>
Используя уравнение непрерывности, из F3) находим
ИЛИ
дг (
it+2u" if) f р i
it+2ju i
f) f р it (~
откуда, вновЬ используя уравнение непрерывности, получаем
290

Определяя удельную энтропию
ЯШ
F6)
из F4) находим
Pp
Р dp
Поэтому F5) принимает вид
а ае
ИЛИ
ae \ 7 ?
a a
Окончательно уравнение F3) можно записать следующим образом:
"^--°- F7)
Как видим, это и есть обычно используемое уравнение адиаба-
тичности (см., например, работу [3]).
Мы показали, таким образом, что уравнения первого при-
приближения являются обычными уравнениями гидродинамики
идеальной жидкости. Можно показать также, что уравнения
второго порядка, которые получаются из E6), если пренебречь
в них членами порядка jut3, представляют собой уравнения вяз-
вязкой жидкости, включающие и процессы теплообмена.
Литература
1. Боголюбовы. Н. — ЖЭТФ, 1946, 16, 681; 16, 691.
2. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической
физике. М., Гостехиздат, 1946.
3. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика сплошных сред. М., 1944.

К вопросу о
гидродинамике
сверхтекучей
жидкости
Препринт Р—1395,
ОИЯИ, Дубна, 1963
Введение
Целью наших лекций является
вывод уравнений гидродинамики
сверхтекучей жидкости исходя из
уравнений движения системы одина-
одинаковых бозе-частиц и получение на этом
пути «гидродинамического приближе-
приближения» для функций Грина. Для просто-
простоты изложения мы ограничимся при-
приближением идеальной жидкости.
Рассмотрим систему одинаковых
бозе-частиц с парным взаимодейст-
взаимодействием, гамильтониан которой в пред-
представлении вторичного квантования
имеет видi
х
+ J {'1V, r)% (*, r) -t- rf (t, г) ф (*, r) +
Здесь К — постоянная, jjp(t, г).
ij)(/, r) — бозе-операторы в представ-
представлении Гайзенберга с обычными пере-
перестановочными соотношениями.
Обратим внимание на то, что в
форму гамильтониана введены кроме
обычных членов еще дополнительные
члены с «источниками частиц» r\(t,r)9
ri*(?, г) и внешним полем U(t, r);
1 Мы пользуемся системой единиц, в ко-
которой Я=1. Под знаком функциональной за-
зависимости условимся писать вместо г про-
просто г.

т|, rj*, U — заданные с-функции /, г. Введение таких «внешних
источников» нам нужно для того, чтобы брать по отношению
к ним вариации от обычных гидродинамических средних и та-
таким образом получить выражения для функций Грина.
§ 1. Предварительные тождества
Для получения уравнений гидродинамики нам потребуется
ряд тождеств, выражающих производные по времени следую-
щих «локальных величин»:
, г') ф(f, r')dr' г|>(t, r) + U(t, г)-ф(t, r) + ц (t, r),
>х
|
(I) I
P(T)e(*r)~ 1 + +
"* 2
представляющих среднюю плотность числа частиц р, средний
поток j и среднюю энергию на одну частицу е. Скобки (...)
в выражениях (I) обозначают средние, взятые с некоторым,
вообще говоря неравновесным, статистическим оператором.
Чтобы найти производные по времени от величин (I), можно
воспользоваться уравнениями движения, которые в рассматри-
рассматриваемом случае гамильтониана Н имеют вид
г)|ф(г — r')%(t, r')y(t, r')dt' -
)-4{(t.r). 293

5 Продифференцировав (I), получим
Т Ф(г -г') (Jtf, /•)$(*, г*) Ч>('. ''Ж*, г) -
*, г) {(*, г') ч>'(*. г') i|>(*, r)> dr' ¦+
Но
r)!—Ф(^r) (M?(tfr))).
Поэтому окончательно
dp(t, r) V4 d]a(t, r)
m f- У —\ = im [rf (t, г) ф (t, r) — ц (t, r)
dt *~* ara
a
Точно так же получим выражение для плотности тока1
dt 2
+
4-
1 В дальнейшем аргументы /, г, г/, -ф, ч|) и т. д. будут опускаться, за
294 исключением случаев, когда это может привести к недоразумениям.

+ \ 55
)(r — г')г|)(?, r ) tyiU r')dr' ty(t, r)\ — g
')г]>(/, г) г|)(/, r') ty{t, r')dvf
1
2
'a "'a
Используя введенные нами величины и проводя некоторые упроще- о
ния, находим g"
ш
- f—1—
+ 2
Удобно ввести новую величину Dt(r, г — г'):
= Dt(r9r' —r)=Dt(r\ r — r') =—{Dt{r',r—r') ±Dt(r,r' — r)}.
С помощью этой величины последнее соотношение может быть
записано после перехода к новой переменной интегрирования
R=r—г' в виде
Др
4т дга 2т^ *J дг$ \ дга дга дг$ дга .

Введем последнее тождество
5 Займемся вычислением последнего члена:
Пользуясь перестановочностью
296 отсюда получаем

Ж' ){(/ ')C ')(A('))(AW 0Ж
|
8
-{(Л г) (А А/, г')) *(*, г')*(Л г)> + 8
+ ivT (t, r) ($(t, г') ф(/, г') ф(Л г)> + |
Л , г) ip (Л г') Ч> (*, г» - |
-1Л(Л г) <{(f, r) J(f, r') i|,(/, r')> -in(Л О
Подставляя это равенство и учитывая уравнения движения, нахо- о
дим |
щ- (~ (Л j ф^-О^. О J(f, /"ж*, г')*') ^(л г)
-$(/, г
t, r) -
, r) (aJ(/, r')) ${t, r')q(t, r))dr' +
i, r) W, r')$(t, r)> +
(>- 297

, r')t|)(/, r)))dr' - -^ <(An')^ ¦+ П* At|)-
g A.3')
8" Заметим теперь, что
о
Преобразуем члены с Ф:
/ р 4-4- \
— I А \ Ф (г — г') i|) (tt r ) г|) (t, г') if (t, r')dr' I гЬ (/, г) -+•
\ J /
+ (Дф(/, г)) Jo(^ — г')^У, г') ty{t, r')dr' q(t, r) +
+ ty(t9 г) I A i Ф(г — r')i|)(^, r'Jib^, r') dv') \b(^, г) —
Кроме того,
О*С. ^)Ч>С r')dr' Аф(/, г)
29g — i^v —г')(Д1|>(*,г)Ш*,г'тг.Г

i*
Аналогично получаем равенство
С + +
J ф(г_г')<ф Ц, r){^(tt г'
i
__ \ф{г-г') U(t, r)^t, r')y(t, r')
г)} dr' -
о
>•
I
Подставляя полученные равенства в A.3'), окончательно находим
д(ое) i + 4-
А «А *) * *
Ф (Г —Г') (y(tt Г) -ф (/, r')i|5(/, Г')
, г') я|э(г, r')ty(tt r)) dr':
| ¦ 299

/, г)
/71
о
I
8 + +
а* — W> f) х'Ф (t, г) я|э (/, г'
Если ввести величину
и в некоторых интегралах — новую переменную интегрирования
R=r'—г, то полученное нами тождество .принимает вид
-Л) + <#> (r-R, R))dR-
^ p* - ^Acp + ч^ч - фАт>*) +
300 +-т$Ф(г-г) W(tt r)&(t, r') W, r')y(t, r)) + A-4)
га ^J дгл 4га
р р

§ 2. Уравнения гидродинамики g
для нормальной жидкости ^
Приступим теперь к выводу уравнений гидродинамики для *
случая нормальной несверхтекучей жидкости. Заметим, что |
этот вопрос уже был исследован в работах К. П. Гурова [1] и |
здесь мы им будем заниматься только в целях дальнейшего i
обобщения на случай сверхтекучей жидкости. ?
Для поставленной в этом параграфе цели источники т), ч\* j
несущественны, поэтому положим tj=t)*=O. Рассмотрим, *
прежде всего, состояние статистического равновесия нормаль- ^
ной жидкости. Это состояние характеризуется обычными пара- о
метрами: плотностью числа частиц р, температурой 8, скоростью в*
движения жидкости как целого v. Зависимость от скорости v S
тривиальна. Посредством преобразования операторных функ- *
ций t|?->?"nvr можно выразить значения средних (•••)рье,о
через значения средних (... )р,в,о для состояния статистическо-
статистического равновесия покоящейся жидкости. Например,
j =mpv,
n , т v2 , m . т v2 /о 1ч
8 + "Т~= 8 (р> )+ Т~у ( ^
где е(р, в) —средняя энергия, отнесенная на одну частицу, для
состояния статистического равновесия покоящейся частицы.
В дальнейшем нам придется иметь дело со средними типа
¦(/, г)) (©Лр, г')) (©,¦(', П) (
где ?>v —линейные комбинации из постоянных и оператора
дифференцирования по пространственным переменным (см.,
например, выражения для функций ?>, и Gf] в § 1); в частности,
©v может быть просто равна единице.
Благодаря полной пространственной однородности состояния
статистического равновесия нетрудно заметить, что
30i

5 Заметим также, что если имеется постоянное внешнее поле
| (j(t, /•)=[/ = const,
J то ни 2f, ни 95 от такой постоянной U не зависят, поскольку
$ зависимость от U исключается градиентным преобразованием
I* \|э-*едаг|) (а 91 и 95 инвариантны при этих преобразованиях).
5 Перейдем к рассмотрению изучаемых в гидродинамике не-
8" равновесных процессов, для которых неравновесные величины
" типа
2 +
| 9(t. r) = {(torfit, r)) (©2^ (f, r))>, B.2)
95(/, г, г-г') = {фх%(и г)) (»аф(*э г')) (©,!>(*, г')) (»4
? а также, разумеется, и внешнее поле U(t> r) изменяются доста-
° точно медленно при временных и пространственных трансля-
g циях.
g- Предполагаем, что отклонения от статистического равнове-
8 сия асимптотически затухают, так что можно определить хотя
* бы по порядку величины время релаксации Т и длину свобод-
свободного пробега I. Следовательно, мы рассматриваем такие не-
неравновесные процессы, для которых величины B.2) и U(t, r)
изменяются достаточно мало при трансляциях
t-+t + t0; r-+r + r0, r'-*r' +r0; \to\^T; |ro|^/,
и в окрестности каждой точки (/, г) имеются лишь малые от-
отклонения от «локального статистического равновесия». Говоря
более детально, мы предполагаем, что величины типа B.2)
достаточно мало отличаются от соответствующих равновесных
величин
91 (Р (/, г), 6 (t, r), v (*, г)), 95 (р (*, г), 6 (*, г), v (/, г) | г - г') B.3)
(тем меньше, чем меньше градиенты р, 0, v, ?/), где 0(/, г),
v(f, r) определяются уравнениями B.1), т.е. выражаются через
поток j и среднюю энергию е в данной точке.
Заметим, что предположение о том, что для процессов с
достаточно малыми градиентами р, 6, v, U имеется в каждой
малой области приближенно локально статистическое равнове-
равновесие, весьма существенно для возможности перехода к уравне-
уравнениям гидродинамики. Например, если в нашей динамической
системе взаимодействие полностью отсутствует — система со-
состоит из взаимодействующих бозе-частиц, можно, конечно, рас-
рассматривать процессы со сколь угодно малыми градиентами
р, j, е, ... и формально ввести локальные v и 0. Только при этом
302 величины типа B.2), вообще говоря, не будут даже приближен-

но выражаться их «квазиравновесными» значениями B.3). ?
Именно поэтому уравнения гидродинамики и не будут верны для о
систем полностью невзаимодействующих частиц. f
Заметим еще, что обычный вывод уравнений гидродинамики *
(Гильберта — Чепмена — Энскога) для газов из уравнения '©
Больцмана как раз основан на том, что это уравнение имеет |*
решения, близкие к локальному равновесному, допускающие S
разложения по степеням градиентов. g-
Возвратимся к нашим предложениям о характере рассмат- 8
риваемых неравновесных процессов. Чтобы сформулировать g
их в виде, удобном для расчетов, целесообразно ввести некото- |
рый малый параметр |х, характеризующий степень медленности ?
процесса и отступления от изотропии. Средние типа B.2) и
внешнее поле представим в виде
ir;|i)=I(T,g;|i), B.4)
,r-r/; ц) = §(т, g, R; fi),
т=ц/, l = iir, R=r —r'.
В частности, можем написать также
р(/, г) = р(т, |), j (t, г) =Т(т, |), е(/, г) =Д (т, I).
Представления B.4) оформляют наше допущение о медленности
изменения во времени и слабое отступление от локальной изо-
изотропии.
Чтобы выразить допущение о слабом отклонении от локаль-
локального статистического равновесия, напишем
i (т, |; ti) = 1@) (т, |) + ц 1A) (т, |) t ц* 1<2) (т, I) + .
(t, |, R; & = 1@) (т, I, R) + ц i(I) (т, 1, R) + ц21<2) (т, g;
B.5)
!)= Я (?(т,|), 6(т,|), v(T,g)),
^(т, 1, R) = »(?(т, |), §(т, g), v (t, g) |/?),
где 0 и v определены соотношениями
v = -^-f, г = е(р, 0) + -2^L. B.6)
303

§ Далее, W\ Ш{1) должны быть линейными формами по отношению
| к градиентам р, 6, v, (/ и т. д.
>х Таким образом, пользуясь B.5), мы предполагаем, что Be-
Bear, личины типа 91, 95 можно разлагать то градиентам в, v, 0, U.
J Фактически такое разложение мы получим, если будем иметь
{[ кинетическое уравнение типа Больцмана.
8 Перейдем теперь непосредственно к установлению уравнений
гидродинамики. В этом случае необходимо рассмотреть функции
О,(г, R), G,a)(r,/?), принадлежащие к типу $5. Поэтому положим
Ю,(г, R) = ВхF, Я; (л), Gf (r, /?) = g*> (g, /?; И),
или в более сокращенной записи
8
(г, R) = 6f} (Б, /?), (#» (г, /?) = Sf (|, /?).
g Перейдем в тождествах предыдущего параграфа от перемен-
g- ных (ty r) к переменным (т, |). Тогда из уравнений A.1), A.2),
S A.4) получим
т
щ—-f-
дга ' 2i» J
B.8)
304
—2?э -~
m ^

Заметим, что в уравнение B.8) входит величина ©t (g—|л/?, R)
с быстроубывающим при увеличении |R| множителем
<ЭФ (/?)/<?/?«. Разложив ее по степеням \xR, для соответствую-
соответствующего члена в уравнении B.8) получим
Мы воспользовались здесь тем, что ©г F» — #) + ©г(Б»#) яв" §*
ляется четной функцией R и, кроме того, сама ?>% (?, /?) являет- ас
ся четной функцией Л с точностью до величин порядка ц. В ре-
результате, оставив только члены порядка р, получим уравнение
^^
2m
ИЛИ
где
B.11)
Проводя аналогичное разложение по jji для величины \l
—\iR, R) в уравнении B.9), находим с точностью до членов по-
порядка [i включительно 305

8* Здесь величина /а определяется выражением
I
"Ss-.f^^Mb*)**' B-13)
Заметим теперь, что формы Гар, /а составлены из величин
типа 9С, 95 B.2), и поэтому воспользуемся для них разложе-
разложениями B.5). Получим
Тар = Т?Э 4- rfp 4- .•., /а = 40) + |i/2} •*-..., B.14)
где
Гй = ТаЭ (р, g v), /?> = /а (р, f, v), B.15)
причем Тар(р, 0, v), /а(р, 0, v) получаются из выражений
B.11), B.13) заменой неравновесных средних <...> соответ-
соответствующими равновесными средними (...)р.о,у. Учет членов по-
порядка \i в B.14) соответствует приближению вязкой жидкости.
Поскольку мы здесь ограничиваемся лишь приближением
идеальной жидкости, нам достаточно иметь дело только с
Т% и /(а}. Преобразуем эти выражения к более удобному
виду. Целесообразно прежде всего выразить (•••)р,е,и через
{• -Ор.О'О. Поэтому совершаем преобразование
306
Находим

JJL 4 i
J
так как члены, содержащие только одну производную, пропа- о.
дают в равновесном состоянии при v=0 из-за инвариантности g
при замене г->-—г. ф.
Таким образом, замечая, что при v=0 Гар может быть |
только изотропным тензором, получаем ?
ГаР (р, 9, v) = — mpVaVfi — 6аEР (р, 6) B.16) |
и при любом а = 1, 2, 3 о
+ /. X
"" m \ ага дга /f>>Q>° 2 J dRa a ' '|
B.17) х
где
Пусть jF (p, 0) — свободная энергия на одну частицу. Покажем,
что (N — число частиц)
e) ^f ^ B.,8)
т. е. что наше Р — обычное термодинамическое давление. Чтобы
установить это соотношение, удобно подвергнуть объем V ли-
линейному расширению только по одной, например а-й, оси коор-
координат ra-*Lra> г$-+*г$(аф$). Пусть HL — соответствующий
гамильтониан «растянутой системы»,
где
т IФь (г ~г>) ()
2 1 EL^Y _^_
307

•Е и <Dl(/?) получается из Ф(/?) заменой Ra -»•?/?«,
о Тогда
l\ \
JL«i /Pfe,o
| (
* dV V \\ Ы JL«i /Pfe,of
§• или в явном виде
о
5* что и доказывает справедливость соотношения B.18).
| Подставив B.14) —B.16) в уравнение B.10), найдем
2 дТа \Ч д ~~ ~ с ~ ~ ~ №
ж —±- — — > {mpvaVfr 4- оарР(р, 0)) — р B.19)
дх ~ agp dla
Аналогично можно преобразовать уравнение энергии B.12). За-
Заметим, прежде всего, что
G«*> (r-r>\ p, e, v) = -i- ($(г') Й(г) imva$(r) +
4т
-f <ф(О^уа'Ф(О]'Ф(г'))р,в,0 = ®(^ — ^' |Р> в).
Преобразуем еще первый член в выражении B.13) для /«#
учитывая, что среднее берется по состоянию статистического
равновесия аналогично тому, как это мы делали, преобразовы-
преобразовывая 7V
+ +
308

/A. *L
\drz *ar3p,e.o
pg / at)) at|) \ ^g а|
m \ ara ara /pt9,0 2m
Таким образом,
a^l)
p,e,o
Но, с другой стороны,
p,e,o
и поэтому, приняв во внимание B.17), получим
/а (Р. 9. v) = -va (р(е(р, 0) + ^f-j 4- Р(р, в)}.
Таким образом, из B.12) в рассматриваемом приближении найдем
<«»
причем для определения локальной скорости и температуры
имеем соотношение B.6). 309

S Введем энтропию
2
ае
© Тогда, комбинируя ранее полученные уравнения, нетрудно по-
>. лучить вместо B.20) уравнение для энтропии
g
| Возвратимся теперь в полученных уравнениях B.7), B.19),
? B.21) к первоначальным переменным t, г. Как видно, для
S этого достаточно в уравнениях 'просто заменить т, I переменны-
§? ми /, г и снять знак ж с входящих в них величин. Таким о>б-
? разом, мы приходим к обычной системе уравнений идеальной
о жидкости.
g* § 3. Уравнения гидродинамики сверх-
S текучей жидкости
ас
Сверхтекучая жидкость характеризуется наличием {г|э (t, г) ) =
=ф(/, г)фО даже при исчезающе малых источниках. По-
Поэтому наряду с уравнениями для введенных нами ранее локаль-
локальных величин необходимо также рассматривать отдельное урав-
уравнение для величины ср. Это уравнение получается при усредне-
усреднении уравнения для -ф и имеет вид
at
= _мр;(*, г) - Аф (,, г) 4 ГФ(г-г')
2m J
, г)Ф (<, r) + i\(t, r).
В этом уравнении ф является комплексной величиной. Нам
удобнее пользоваться действительными величинами — фазой и
модулем ф, т. е. положим ф=аехр (*'/). Уравнения для этих
величин получаются с помощью непосредственной подстановки
в уравнение для ф:
x + (y?/(/,r)
dt 2та 2т \ дг ) 2а
где
Xt(r, r'-r) = fat, r')y(t, r')ty(t, r)> <f{t, r),
310 ?(t,r)

и в уравнение для a(ty r): 5
о
!
>х
г (з.2) |
i
В дальнейшем мы будем часто использовать сверхтекучую ско- 3
рость vf* =— -~л^"» уравнение для которой согласно C.1) имеет g
т "гг* т.
вид
I
dt дга 1 2та 2 2а
w л/ ~" вг_. 1 9та о u оЛ ?:
C.3) ^
Рассмотрим прежде всего случай статистического равнове- в
сия сверхтекучей жидкости при t/=0, r|=0. В отличие от слу- *
чая статистического равновесия нормальной жидкости, которое
характеризовалось кроме р, 8 лишь одной скоростью v, здесь
мы имеем, вообще говоря, состояние с двумя скоростями, на-
например, ico скоростью движения конденсата vs и скоростью
«нормальной компоненты» vn. Средние для такого состояния
статистического ргавновесия обозначим символом (...) Vs,vn.
При этом для сокращения обозначений не будем в индексах
выписывать параметры р, 6. Средние указанного типа нам удоб-
удобно выражать через средние (...H/ 0, ^'s^^s—v«» соответст-
вующие состоянию v^ = 0. Для этого, очевидно, можно вос-
воспользоваться галилеевским преобразованием операторов
•ф-^'фехр (itnvnr).
Начнем поэтому с рассмотрения состояния р, 9, vsf у которого
vrt = 0. Для него
9
а = const =а(р, 0, и)у F = F(p, 6, и), и = —?-•
Химический потенциал также имеет вид
1SE»L=F+p°L = a{p,q.u).
dN dp u ' 311

н Введем, кроме того, поток
? и положим р = psm, так что
JJ ди
S Очевидно, ps^p. Покажем, что /«, введенное таким образом,
| совпадает с обычным определением. Для этого удобно перейти
| к системе координат, движущейся со скоростью V&-, причем
5 одновременно при вычислении средних будем рассматривать
g усреднение только то состояниям с vs=0, vn = —vs. В резуль-
Е тате средние не изменяются. Гамильтониан в новой системе
° координат как функция новых операторов ф имеет вид
Ф (г- г') ф (г) J (/•') ф (г') ф (г
Вычислим в этом представлении р :
+
Мы получили выражение, совпадающее с обычным определе-
определением /а. В состоянии термодинамического равновесия Х=
=Х(г—г'\р, 0, vs). Из уравнения C.1) шолучим
2а2
312 = (Р' iU' 2

Отсюда, приняв во внимание уравнение C.2), найдем
C.4) |
и
Займемся теперь вычислением тензора Тар в состоянии рав- ф1
новесия (v8, 0). Из общих соображений о тензорном характере "
величин следует, что, поскольку единственным выделенным на- |
правлением является направление vs, величина Г |
1 С дФ (R) °
2 J dRa ' g
имеет вид §
Tat = А (р, 6, и) vf) vf + Sa$B (р, 6, и), *
где А и В—скалярные величины. По доказанному ранее в § 2,
Таа = — • —~—- , где зависимость F от L получается в
V dL l—\
результате растяжения а-й оси «в L раз». Поэтому
v dL
С другой стороны,
р
_. q2 иг р ог /V((X)\2 _. р /р 0 и\
L—\ dp ди s
dL
Таким образом,
А= —mps, B = — Р(р, 0, и)
и окончательно
-6аРР(Р, в, И).
Перейдем к рассмотрению состояния с двумя скоростями
vs, vn. Заметим, прежде всего, что выражения
X (г - г' | р, 6, vs, у„) = <% (г') г|> (г') ф (r))rs „п {J (r»Ds, v
©(г-r' |р, в, vs, vn) =<$(/¦) J(r')^(/-')^(/-)>os,On 313
И Н. Н. Боголюбов

? инвариантны при галилеевских преобразованиях
о
5 -ф-^гр exp (imvr)
* и поэтому
X
-X" (г — г' | р, 0, vs, v/7) = X (г — rr | р, 0, vs — vrt),
g D(r — r'\p, 0, vs, vn) = ?>(r-r'|p, 0, vs-vj.
Q.
ш Рассмотрим, далее, выражение /а:
I -1
g- Мы ввели здесь плотность нормальной компоненты pn=p—ps-
g Подсчитаем теперь тензор напряжений:
гаР (р, е, vs, vj = -L J -^?р- /?р© (/? | р, е,
э, 0, w) — mpsvfWg) — mprt^)t^f). C.5)
Здесь и в дальнейшем и = — —
314

Преобразуем выражение для средней энергии
рв(р, 0, vs, vrt) = -j J<D(#) ©(Я|р, 0, vs- vn, 0)dR -
а . \2 + i + г/ д \а
+ г/ д \а 1\ 1
[Ы+) ])= |
ф
8
ф
C.6) 8
Здесь, как и обычно, ?(р, 6, и) = F — 8 . Нам понадобится |
также вектор /а, вычисленный для случая статистического рав- о
новесия при наличии vs и vn. §:
Заметим, что о
G(a)(r-r'|p,6fvs>v/I)= |
+ I
ara dra J /os-°n
/ dty{t, r)
= G(a)(r'-r|p,e,vs-vn) 1_ ©(/¦'-./¦ I p,e,vs-vn).
Для самого вектора /a получаем
/.(p. e, vs, vj - -
¦ —мшДО-ф) I ( Ь imvn\ ty\) +
f° 315
11*

I
>x
i
t Ф(Я)О(а)(/?|р, 6, vs-vn)dR-
CL
S i
Sc -4-
I
о
¦+¦ +
+ +
" \ 3rp ' дга дга ' дг$ I vs-v
2m ^J " \ 3rp дга дга дг$ I vs-vn,o
C.7)
Пользуясь определением /а, формулой C.6), C.5) и опре-
определением /а, находим
316 А* (Р. 0. vs, vn) = /«(Р, 6, vs - vn, 0) - ?j»p? (р, в, и) +

><?>ne3(p>e.vs-vrtH)-
2 2
vs(t,r) =- i f =v5(r, g),
I
I
Положим cc
о
/a (p, e, v5 - уяэ о) = [- л (p, e, u) ps 4- a (p, e. u)\ (vg> - of). |
C.8) о
Позднее докажем, что Ле—О. о^
До сих пор мы считали, что ?/=0. Те же выражения для о
/а, X, Тар, /а мы получили бы и в случае U=const, поскольку ^
все эти величины инвариантны по отношению к градиентному
преобразованию
После предварительных преобразований различных величин
для состояний статистического равновесия перейдем к вопросу
о получении уравнений гидродинамики сверхтекучей жидкости,
для чего воспользуемся с естественным обобщением схемой,
изложенной в § 2.
Введем параметр |х, характеризующий степень малости
i=fxr, x=[it. Положим
р (t, г) = G(т, 6), j (U г) = Г(т, В, е {t, г) = f(t, g), f/ (*, г) == 0 (t, g),
)> I =a(t, g) ^0.
Подчеркнем, что, делая допущение о том, что Vs является мед-
медленно изменяющейся функцией t> r (и связанное с ним допуще-
допущение о том, что знаменатель в выражении \s не обращается в 317

S нуль: афО), мы тем самым ограничиваемся рассмотрением
g безвихревого сверхтекучего течения rotvs=0. Случай, когда
х <Ф(*э г)> может обращаться в нуль, исследовался в работе
* С. В. Иорданского [2]. Заметим, что для получения выражений
*| функций Грина нам понадобятся уравнения гидродинамики
?¦ только в «акустическом случае», когда все приведенные выше
S величины лишь бесконечно мало отличаются от своих равновес-
§¦ ных значений. Но в этом случае
v5 = 6vs = 7ТГ ( * )> а = ао+ 8а,
и поэтому всегда
О
|
? Таким образом, для вычисления функции Грина указанное огра-
>, ничение автоматически выполняется.
о о д д
о. Заметим, далее, что, поскольку градиенты , — от р,
g dt дт
8 vs... являются величинами первого порядка малости по отно-
* шению к (х, мы должны считать в силу уравнений A.1) т), или,
что то же самое, ?, пропорциональной |я. Положим поэтому
?(?, г)=|а?(т, I). Для сокращения обозначений условимся с
этого момента не выписывать верхний индекс « над функция-
функциями от т, |, поскольку это не приведет нас к недоразумению.
Введем, исходя из выражений для р(т, |), j(t, |), е(т, g),
vs(t, I), величины в(т, |), vn(r, §), которые вместе с р(т, |),
Vs(t, g) характеризуют «локальное квазиравновесное состоя-
состояние». Возьмем функции
т ди
и = (V/tVs) , ря(Рэ 0> и) - р — ps(p, e, и),
выражающие е, ps, p для статистического равновесия, и опреде-
определим функции 6(т, |), vn(r, l) из соотношений
в(т, ©=е(р, 9, vs> vj, C.9)
t, E) = ps(p, е,и)vs + Ря(р, е, u)vn. (зло)
разом функции C.9), мы можем та
положив, по определению,
318 Ps(t, 6) =Ps(P, 6» ")t Ря(т, Ю =рЛР» е< ").
Введя таким образом функции C.9), мы можем также ввести
Ps(t, g), рп(т, I), положив, по определению,

Сформулируем теперь наше предположение о том, что для S
рассматриваемого неравновесного процесса локальное состоя- g
ние лишь слабо отличается от локального квазиравновесного 5
состояния. Следуя схеме, изложенной в § 2, напишем *
|
т, g) =а(Р, 9, и) + \и*» (т, g) + ...,
> 6, vs, уп) + fx*(I) (т, g) +
Tap(t, i) = гаР(p,e, vs, vn) + iir$(x,t)~ ..., I
/a (T |) = /a (p, 9, VS, V,,) -U |1/й} (T, 1) + . . • C.11) I
О
и подставим эти разложения вместе с C.10) в уравнения A.1), «*
A.2), A.4) *, C.3), преобразованные к переменным т, g. Огра- *
ничиваясь приближением идеальной жидкости, будем пренебре- ^
гать поправочными членами порядка \х. о
Рассмотрим, например, уравнение C.3). Имеем с"
дх дЪа Г 2ma 2 r 2a
и поэтому в рассматриваемом приближении
дх <^<х 1 2
Отсюда с помощью C.4) получим окончательно
т
дх д$а
и= Ъ-Ъ)* ш (ЗЛ2)
1 Уравнения A.2), A.4) преобразуем к виду, аналогичному B.10),
B.12). 31°

Таким же образом из A.1), A.2), A.4), C.8) найдем
dp
|
g -t- itnvf (Г — t) a — P -щ-, C.14)
I ape(p,e, v5, vn) _ ^i a/p(p, e, у5, vn)
ди
C.15)
Подставив в уравнения C.14), (ЗЛ5) выражения C.5) — C.8) для
7"аэ(Р> в, vs, vj, e(p, 9, vs, vn), /a(p, 6, vs, v/2), получим
\ а^ ^^ ^э J ~
Р
~0, C.16)
2
-^- [p? (p, в, и) -t- -^ + mPs (vs- v,,) vn] ¦+
A + /7z(vsvn —
320

Перейдем теперь в уравнениях C.12), C.13), C.16), C.17) S
от вспомогательных переменных т, | к первоначальным пере- g
менным t, г. Получим, таким образом, систему уравнений гидро- 5
динамики в виде *
>х
ф
т
О
2 g-
+ mps (vs- v>n j + 2
2
(of - f<f>) Ps [Л + m (vsvn у-) J} +
^ ia (C* - 0 [ A + m (vsvn- ^-) ] =
(ЗЛ8)
Напомним, что здесь
а = а(р,в,и), Л = Л(р, в, и), «
, e,«) + p afyя). 5 (Л О = л (*, г

где в(^, г) — потенциал скоростей сверхтекучего движения
*«
>• Упростим последнее из уравнений C.18), для чего введем энтро-
пию S = . Сначала преобразуем первое слагаемое в левой
8-
S части этого уравнения:
|
Э Г Т7
1ГГ
a/ \K ae
dt
(Ps + Pn) rf -^ + 4- <rf
"
— (ps + p.) rf" -^- H-

V2) - o(«) -^- - (ps + Ря) е> -|r- •
Величина -^—(^Р)р?) в последнем уравнении C.18) может быть
преобразована так же:
Перепишем левую часть последнего уравнения C.18), сразу
группируя однотипные члены:
323

dps(vf-vf)
Ф
- p, bf + 2Ps № + Ps vf - ps vf>) -
vf-±- [psvf -psvf -ps(vf ~vf)]-
I
О
f - « П^- IPnvf v<» + psvf (eg* - 0«) - Ps vf vf
0 „Лр .... PsV^iPs'— Vh') — ySvn vn
1 - pn of vf - ps vf # + 2PS vf vT]~
С
8 а.<«) . « м „ '-)_t,f)_pst,(a)l;f]
Приравнивая к правой части последнего уравнения C.18), при-
приходим к следующему уравнению для плотности энтропии:
-»f) Л (р, 0, «)]. C.19)
Пользуясь полученными уравнениями, покажем, что
Л(р, 0, и) = 0. C.20)
Для этого рассмотрим случай статистического равновесия, когда
внешнего поля нет, а г\ является заданной функцией г:
324 U » 0, I = I (г), в = const, р = р (г), v,, = 0, vs = vs (r).

Тогда из уравнения C.19) получим
а из уравнения неразрывности C.18)— g
* — 0. C.22) g
8
Кроме того, из C.18) имеем также %
„2
1 = 0. C.23)
_ ае
Принимая во внимание, что \s = —, сразу можем заметить, °
дг >.
что неизвестных функций у нас две, а уравнений для их опреде- g.
ления — больше (C.21) — C.23)). Именно этот факт и лежит §
в основе нашего утверждения о справедливости равенства "
C.20).
Рассмотрим сначала случай, когда у|, \s и отклонения р от
постоянной являются бесконечно малыми. Пренебрегая беско-
бесконечно малыми 2-го порядка, получаем
° =Aa4U(p,8,0)V^ = 0;
откуда и следует, что Л (о, 8, 0) = 0.
Рассмотрим теперь более общую ситуацию, когда
где 6у5, 6р и ^—бесконечно малые. Из C.21), C.22) найдем
\ d д ^ д 2j
др дг ди 4-1 дг»
у
C.24)
325

X
t-
w
О
1
«текуче!
а
о
м
Пусть
Тогда, очевидно,
мы должны
бр = eikr
6G, 8G =
положить
- Sv + e-
бГ -4- е-'к|
const.
кг gv*
• бг,
| где б v, бГ—бесконечно малые постоянные. Произвольный вектор
I k выберем так, чтобы kw= 0. При таком выборе к
|
f Т *' Т
5е и поэтому C.24) представится в виде
I
"*..te(t._0.
откуда и следует справедливость утверждения C.20) Теперь
можем написать вместо последнего уравнения C.18)
dt
Итак, система уравнений гидродинамики для сверхтекучей
жидкости (в рассматриваемом приближении идеальной жид-
жидкости) представляется уравнениями -C.18) (первые три) и
C.25). Подчеркиваем, что в случае ?/=0, т]=0 эту систему
впервые получил Л. Д. Ландау [3], исходя из феноменологи-
феноменологических соображений.
§ 4. Уравнения в вариациях и
функции Грина
Рассмотрим теперь с помощью полученных уравнений C.18),
C.25) случай бесконечно малого отклонения от покоящегося
состояния статистического равновесия. Положим
Мы переходим, таким образом, от уравнений гидродинамики к
линеаризованным «акустическим» уравнениям. Так как в рас-
326 сматриваемом случае с точностью до второго порядка малости

r)=?, то эти линеаризованные уравнения принимают вид (верх- g
ний индекс 0 у р и S опускаем) g
-'^
б6 S8i
ae p
Прежде чем переходить к рассмотрению системы D.1),
выясним связь различных величин с функциями Грина. Член с
источником в исходном гамильтониане можно рассматривать
как вариацию гамильтониана (будем считать в дальнейшем
С/=0), т. е. Я=Я0+бЯ, где
6Я = J{4>(*, r)n(t, r) + {(*, г)
Положим
Т] (t, Г)
Г]* (/, г) = е-^®'+е'+Лг Т|1гЛ + ^/а>/+е*—Лг yj*, D.2)
где е>0, е->-0. В этом случае мы имеем адиабатическое вклю-
включение 6Я.
Рассмотрим вариацию
0)
~ , - дЬР dU g.
mPs-5r + /np,,-^- = S^-Р-ЖГ' S
т—~ = gjr • D.1) |
dbS , о
а^ а^ ^j aro x
где °
бф = б <гр(/, г)) = егш+& б 91 (г) + еш+* б 95 (г),
бф* = б (гр (/, г).> = б-^^+е^ б 35* (г) + &<»*+** б Г (г).
По известной теореме о вариации средних при адиабатическом
включении дополнительного малого члена в гамильтониане, если
рассматривать только вклад в 6Я, пропорциональный eVx (см.,
например, [5]), получаем 32

б «(г) = 2я J е'кг' «ф (г); ф (г'
б в* (г) = 2я Г С1"' {«!j> (г);
| г); ф (г')»? = -^- j «а,; а_,»?е'«««') dq,
« (г); ф (/•')»? = -^р- J «а_,; а_,»?в"» <r"r'> dq,
; ¦ ('•')»? = -^jr J ««-«; «,»я ^ч<'-''> cfq. D.2')
о
g" Здесь ?"=а)+ге, <С^; а-^^ и т. д. обозначают фурье-компо-
в ненты соответствующих запаздывающих функций Грина. Ис-
* пользуя D.2) и D.2'), находим
6 * (г) = 2я {«а/г; а^,»Е т|^ -}- «аЛ; аА»я П*> ^'kr =
б »• (г) = 2я {«L,;
С помощью введенных величин бФЛ, бф^ вариация бф может быть
записана в виде
бф (/, Г) = ?-*»/+eWkr §фл .|_ еШ + zt-ikr
бф* {t9 Г) = е-ш+**+*кг бф!^ -f
Величина бф(/, г) в уравнение D.1) непосредственно не входит,
но она связана с vs(^, г). Используя определение vs, легко по-
получить выражение
Введем фурье-компоненты
328 fsa)(^'') =е-Лй'+«!^Лг of (k)-t-e^+e'-'kr о^а)(— к),

для которых, согласно выражению для v^ и определениям 8q>k, g
+ + f
— a_ft; аЛ»?цй}. D.3) >•
Ф
Кроме того, согласно определению, ?
a2 (^ г) =ф*(/,г) ф(/,г), 8
откуда •
|
Снова переходя к фурье-компонентам и используя определение g.
бфА, получаем 5
8а (t, r) = ^-/co/+e/+/kr 8ak + е***+**-н* 6a^ky •
+ + + 2
баЛ = я {<^ak + a-k\ a-fe>? x\-k~t <ak + а_Л; а^>? r]fe}. D.4) §
Формулы D.3) и D.4) связывают гидродинамические вели- *
чины, получаемые из уравнения D.1), с функциями Грина. Надо
отметить, что так как уравнения гидродинамики справедливы
лишь при «медленном» изменении гидродинамических величин,
то такая связь носит асимптотический характер и верна только
при k<^—и?<—, где I — длина свободного пробега, а
Т — время релаксации. Чтобы найти соответствующие решения
и асимптотические выражения для функций Грина, нужно толь-
только, как это обычно делается в акустике, подставить выражения
D.2) для ц и г)* в D.1) и искать решения, пропорциональные
x\h и т)*_&. Уравнения D.1) могут быть переписаны в виде урав-
уравнений для фурье-компонент (полагаем 8U=U=0):
-Е бр(k) -^PsZft») vf (k) + Pll?ft<» vf (ft) - VpT(Ч-k ~ Л
mE Ips vf (k) 1- Ppi4a) (ft)] = *(«) ^ вр (ft) + ^ 69 (ft)],
— . — 6p(ft)+ -L.-^69(ft)l, D.5)
P Ф Р дЭ J
? [p 65 (ft) + S бр (ft)] = pS ? ft**» of (ft),
*S (A) =-?!

5 Проанализируем теперь некоторые предельные случаи. Рас-
8 смотрим сначала случай ?=0. Тогда из второго и третьего
| уравнений D.5) следует, что 6р(&)=69(&)=0, а из четвертого
§ уравнения получим J] k^ v® (k) = 0. Согласно первому урав-
I р
нению, отсюда
?} о») (А) = 1/рГ Л - Л,),
I
| или, если использовать D.3),
«о
+ +
= n-ft— Л».
о Приравняв коэффициенты при т]_ь т]л, получим
о
о
+
4- +
т р0 1
/про 1
Кроме того,
или, согласно D.4),
+
«•-¦!-•>+¦?-«•.
+
откуда
Подставив эти соотношения в D.6), получим
+ + + +
= 0»
D.7)
тр0
—-,
К
Таким образом, мы получили «теорему о —j-» [4] для функ-
330 ций Грина с точным коэффициентом. Интересно отметить, что

в коэффициент входит не только ps, но и сама плотность частиц 5
конденсата рю. §
Рассмотрим теперь случай 0=0. Необходимо отметить, что 5
уравнения гидродинамики при 8=0 могут иметь только фор- *
мальный смысл, так как времена релаксации становятся вблизи '|
0=0 очень большими. Рассмотрим этот случай формально, ?
чтобы посмотреть, что дают наши формулы в пределе при 2
6->0. При этом все выражения значительно упрощаются, так g-
как 8
как
-S.-0. -Jf-O. -f-=0.
8Л = — 8P = — — op.
dp /6=0
Согласно D.5),
- E 6p (ft) + p ? *'w # (ft) =
дР \ *л /,ч «
'0=0
или
= — f—
m \ dp
9=0
C
Подставляя бр(^) в первое уравнение, получаем
я
Так как 6р(&) содержит лишний малый множитель Е (нас ин-
интересует асимптотика функций Грина при малых ? и ft), то
по-прежнему справедливы в низшем порядке равенства D.7),
поэтому, приравнивая коэффициенты при т)!*, % находим
Рассмотрим теперь общий случай (9=^0). Согласно второму
и третьему уравнениям D.5)
тЕ [Ps vf (k) + 9nvf (ft)] = k{a) 8P (ft),
m? (Ps + Pj ^a) (ft) ¦-= — ft(a) P S 66 (ft) + ft(a) 6P (ft). 331

о
jj Вычитая одно из другого, получаем
тЕ р„ [tfi* (ft) - vf (ft)] = р Sft(a) 60 (ft). D.8)
Первое уравнение D.5) может быть переписано в виде
- Е 6р (ft) + р ? кф) vf (ft) + ря ? *(Р) [vf (ft) - *f (ft)] =
Р Р
(r|lfe — г|Л). D.9)
IS
X
| Исключая с помощью этого уравнения 6p(ft) из последнего уравне-
g ния D.5), находим
I E рб S (ft) + S ps ? ft(P) af (ft) + 5 pn ? km vf (ft) —
с
о
- S /Ро (тм - п») = S (Ps + Р„)
Выражая 6S(ft) через 66 (ft), 6p(ft) и снова исключая 6p(ft), полу-
получаем
4 Eps -р«р(-ф"
или, используя D.8),
Е 66 (k) = - ^liBiiL V
+
332 r v ае Ур r \ ее

Окончательно получим
№ (k) =
as
тЕ
D.10)
|
i
i
I
I
I
Выразим также 6р(&) через vs(k). Из уравнения D.9) получаем о
бр (А) = -|-
Подставляя D.10), находим
I—)
-f-
/Po
-о -г1 1
dS \
50 / р
D.П)
Подставляя выражения для 8p(k) и 60 (Л) в уравнение для
умножая на kw и суммируя, получаем
333

dp
ф
ф
CL
m
u
!
r
Q.
С
О
ST(
S+P
as
P \ dp /e
X
dS \
dp /e
OS \ / Ps / dS \
Ыр"*¦-**• (s-57-'Ы
X
X
OS
Ы
-IX
X
I ds \
p —- mE
\ dp в
V kW vf (k).
dS\ I ps i dS
-Wjp-Sk2[S ?"рЫ
Разрешая это уравнение относительно y]k{a)vf\k), находим
(k) =
mQ (k, E)
(rf Л - тц) =
}, D.12)
где
334
1 Р2А2ГС2 PS
m I dS

P
X
Величина й> стремится к обычной скорости звука как при p
так и при 8-^0. Величина d является специфической для сверх-
сверхтекучей жидкости скоростью «второго звука» и стремится к
нулю при р?г>0. Величина Д(?, k) имеет вид
dp
aP r
Легко показать, так же как мы это делали для 0=0, что бр(&)
и 68 (k) содержат лишний малый множитель порядка k по
сравнению с vs(k). Поэтому равенства D.7) в низшем порядке
по-прежнему справедливы. Приравнивая коэффициенты при
% и K-k и пользуясь D.7), получаем окончательно
. D.15)
Ясно, что в предельных случаях 0=0 или Е=0, отсюда выте-
вытекают ранее полученные результаты. Видим, далее, что на осно-
основании C.13) функции Грина имеют полюсы, соответствующие
двум типам элементарных возбуждений E=cok, E=C\k. 335
причем

В формулах D.15) не учтены эффекты затухания, что обус-
обусловлено рассматривавшимся приближением идеальной жидкос-
жидкости. Было бы интересно улучшить асимптотическую точность
D.15), рассмотрев «приближение вязкости жидкости». Для
этого надо было бы принять во внимание в уравнениях § 3 от-
отброшенные в них члены «порядка ja». Эта задача существенно
упрощается тем обстоятельством, что для построения функций
Грина нам нужны не полные уравнения гидродинамики, а лишь
линеаризованные акустические уравнения. Мы получили бы
таким образом уточненные выражения для функций Грина, ко-
которые содержат члены затухания, составленные из кинетических
коэффициентов (вязкости, теплопроводности и т. д.).
В заключение мне хотелось бы выразить благодарность
С. В. Иорданскому за его большой труд по подготовке этих
лекций к печати.
Литература
1. Гуров К. П. — ЖЭТФ, 1948, 18, 110; ЖЭТФ, 1950, 20, 279.
2. Иорданский С. В. — ДАН, 1963, 153, 74.
3. Ландау Л. Д. — ЖЭТФ, 1941, 11, ЖЭТФ, 1944, 14, 112.
4. Б о г о л ю б о в Н. Н., Квазисредние в задачах статистической механики.
Препринт R-1451 ОИЯИ, Дубна, 1963.
5. 3 у б а р е в Д. Н. — УФН, 1960, 71, 71.

К вопросу
об условии
сверхтекучести в
теории ядерной
материи
ДАН, 1958, 119, 52
Имея в_виду приложения к теории
ядерной материи, рассмотрим модель-
модельную динамическую систему с гамиль-
гамильтонианом
Н =
k,a
"яГ 2
— ?>} akoaka +
' k'
X
r
>x
о
О.
О
2
s.
Здесь а — дискретный индекс, харак-
характеризующий, например, спин ^ изото-
изотопический спин; Ef—«ферми-энер-
гия» — параметр, играющий роль хи-
химического потенциала; V — объем
системы.
Неполнота, «модельность» такого
гамильтониана обусловлена тем, что
в нем учитываются только взаимо-
взаимодействия пар частиц с противополож-
противоположными имлульсами.
Для удобства записи целесообраз-
целесообразно ввести вместо импульсного индек-
индекса к индекс q пары (к, —к); q и
—q описывают одну и ту же пару;
суммирование по q понимается как
суммирование по различным парам.
При этом, очевидно, потребуется вве-
ввести еще дополнительный индекс р=
= ±1 и к описывать как (q, p). Це-
Целесообразно р как дискретный индекс
соединить с а и положить 5= (а, р).
В таких обозначениях рассматривае-
рассматриваемый гамильтониан A) представится
в форме
О
337

I + IF S ! ^ 1' ISi-s*-s^ s'l) a^ a*s> V f,-,: ¦ B)
X (<7,<7',...s...)
g_ Покажем, что основное состояние в нашей схеме можно найти
§. асимптотически точно для процесса предельного перехода
" 1/->оо.
? Здесь будет удобно воспользоваться вариантом приема за-
g метки [1], предложенным Д. Н. Зубаревым и Ю. А. Церковни-
в ковым. Введем какие-то с-функции Ag(s1,s2) и запишем га-
г мильтониан B) в виде
и
J. Н = Uo лг Но -f Hlf
ф где
ф Uo = const = — — ^ I(q,q'\ sl9 s2, Ss, si) Л* (s1? s2) Л^ (si, s2)f
g Яо = J] Hg; Hx = ^- ^] / (qr, ?' | sls s2, S2, s\) Bf (sx, s2) B,' (si> ft)
^g причем
2{G,7'| slf s2, s2,
-t /(G',?| slf s2, S2, ^^
^ (slf s2) =aqSiagSt —Aq (slt s2). C)
Так как Hq является квадратичной формой из ферми-опера-
торов, то ее диагонализация совершается элементарно с по-
помощью линейного канонического преобразования
, s, s')a%>}. D)
Входящие сюда функции иу v должны удовлетворять соот-
соотношениям ортонормальности
^/(9, s', s") + v* (q, s, O»(?, s', sT)} = Ssy ,
ri = ?{u(9, s, О у (q, s\ sT) +v(q9 s, s")u(q, s', s")} = 0. E)
338

Определив и, v из секулярных уравнений, соответствующих I
форме C), мы приведем ее к виду 8*
. 5
Поэтому у гамильтониана Яо основное состояние Со буд<
вакуумным состоянием для новых фермионных амплитуд
5.
ет г
2
Подберем теперь с-функции А таким образом, что
(ClBg (Sl, s2)C0) = 0,
J] /(<7, <? I Si, s2,
1
a»
и примем во внимание тот важный факт, что Hq, Bg, Bq, coot- r
ветствующие различным qf все коммутируют между собой. |
Тогда с помощью рассуждения, приведенного в [1], нетруд- 5
но показать, что вклад в энергию основного состояния, проис- ^
ходящий от Ни становится пренебрежимо малым по сравнению а
с вкладом от ?/о+Яо при У->оо. Грубо говоря, это положение g
обусловлено тем обстоятельством, что Н\ остается конечным с*
при У-)-оо, тогда как энергия пропорциональна V. 2
Итак, соответствующим подбором функций и, v можно до- *
биться того, что среднее значение Я = (С*0НС0) асимптоти-
асимптотически точно представляет энергию основного состояния для
рассматриваемого гамильтониана Я.
Отсюда вытекает, что фактическое определение м, v можно
произвести следующим образом: подставляем формулы преоб-
преобразования D) в выражение Я и находим
Я = 2 {E(q)-EF} ]TV(<?, s, s')v(q9 s, s') +
q,s s'
, 1
X JJa(9» 4 s)o(9, sj, s) = «(a,o). F)
Тогда и, v мы должны определить из условия минимума
формы <§ (м, v) при наличии дополнительных условий E). Для 339

$ таких и, v выражение ? и дает искомое значение энергии ос-
& новного состояния.
| Соответствующее уравнение стационарности будет
I + f*fa, s, s')r]fa, s, s') + \i*(q9 s, s')r|*fa, s, s'))\ = 0, G)
s
? где А,, ц,— эйлеровские множители. Легко заметить, что это
" уравнение всегда допускает тривиальное решение
g ji = О, X = QF fa) {EP - Е fa)) 8,.,. , (8)
о.
ю где б/? fa) равно единице внутри сферы Ферми и нулю вне; GG fa) =
g Как видно, в соответствующем состоянии Соя) взаимодейст-
5^ вие неэффективно, и весь вклад в энергию его вносится только
ю первым членом гамильтониана A).
>, Чтобы решить вопрос о том, когда энергия С(о не будет
§_ минимальной и когда, следовательно, основное состояние Со
§ будет характеризоваться нетривиальным решением уравне-
^ ний G), обратимся к известной процедуре вариационного ис-
исчисления. Построим выражение второй вариации 62g для три-
тривиального решения. Найдем
621 = J \Efa)-EF| V*fa, s, s'LFfa, s, s') +
l
+ 2V
где
W fa, s, s') = QP fa) 6a fa, s, s') + 6G (9) во fa, s, s');
функции УР связаны только одними условиями антисимметрии:
W(qy s't s)=—4?(q, 5, s'), получающимися при вариации усло-
условий ортонормальности.
Возвратимся теперь к системе индексов, принятой при напи-
написании гамильтониана A). Получим
340

-| Л j \к9 к \ ах, и2, и2, %зх) ъ ^/с, иг, и2; т ^« , ар и2;. g.
X
^г | - N.-, .- , ~А, -z, -2» / - V» -л.* "'z/ * \'" > ^1» /# ^"
>Х
Условие антисимметрии будет g
4(-ky о2, аг) = -?(й, а1э а2). J
имеет собственное решение с отрицательным значением Е.
)
В таком случае энергия Соп) не будет минимальной и возни-
Как видно, знак 62<? может быть сделан отрицательным тогда 8
и только тогда, когда уравнение ¦
2\E(k)-EP\V(k,ol,ot) + |
»
у р у
кает основное состояние CoS) другого типа, характеризующееся >•
нетривиальным решением уравнений G). g.
Интересно отметить, что уравнение (9), написанное в г-пред- о
ставлении (для взаимодействия, не зависящего от скорости) ?
A0)
весьма напоминает уравнение Шредингера для задачи двух тел
в системе центра инерции. Отличие состоит в своеобразной фор-
форме оператора «кинетической энергии». Это отличие естественно
исчезает в случае нулевой плотности, когда EF=0.
Полученное уравнение A0) можно применить для исследо-
исследования вопроса о сверхтекучести ядерной материи в качестве
критерия неустойчивости нормального состояния.
В заключение заметим, что приведенные рассуждения обоб-
обобщаются для расчета свободной энергии при температуре, от-
отличной от нуля. Здесь получаются довольно сложные нелиней-
нелинейные уравнения, но уравнения для определения критической тем-
температуры фазового перехода опять будут линейными. Так, на-
например, если ограничиться случаем системы частиц одного сор- 341

та, взаимодействующих только с противоположными спинами,
то из уравнения A2) работы [1] найдем
где 0 — критическая температура.
Пользуюсь случаем выразить свою признательность Д. Н. Зу-
Зубареву и Ю. А. Церковникову за ценные замечания.
Литература
1. Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н., Церковников Ю. А.—
ДАН, 1957, 117, 788.

Содержание
Проблемы динамической теории в статистичес-
5 кой физике
"|"| 5 К теории сверхтекучести
"| 32 О новом методе в теории сверхпроводимости
О принципе компенсации и методе самосогла-
43 сованного поля
Об одном вариационном принципе в задаче
*|90 многих тэл
Квазисредние в задачах статистической меха-
193 ники
Уравнения гидродинамики в статистической ме-
270 ханике
К вопросу о гидродинамике сверхтекучей жид-
292 КОСТИ
К вопросу об условии сверхтекучести в теории
733 ядерной материи

Николай Николаевич Боголюбов
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ
Заведующий редакцией С. И. Зеленский
Редакторы Р. А. Б у н а т я н,
О. В. Семененко
Художник Е. К. Самойлов
Художественный редактор Л. В. Мухина
Технический редактор К. С. Чистякова
Корректоры М. И. Э л ь м у с,
С. Ф. Будаева, Т. И. Смирнова
БЗ № 31—4—79
ИБ № 829
Сдано в набор 28.03.79. Подписано к печати
12.07.79. Л-75073 Формат 60X84l/ie Бумага
тип № 1 Гарнитура литературная. Высокая пе-
печать Физ. печ. л. 21,5 Усл. печ. л. 20,0 Уч.-изд.
л. 20,76 Тираж 2580 экз. Зак. 56 Цена 3 р. 80 к.
Изд. № 840
Издательство
Московского университета
Москва, К-9, ул. Герцена, 5/7.
Типография Изд-ва МГУ.
Москва, Ленинские горы