Автор: Днестровский Ю.Н. Костомаров Д.П.
Теги: вычислительная математика численный анализ математика физика плазмы математическое моделирование
ISBN: 5-02-014737-0
Год: 1993
Текст
Компьютеры в физике
Ю.Н. ДНЕСТРОВСКИЙ
Д.П.КОСТОМАРОВ
Математическое
моделирование
плазмы
Издание второе,
переработанное и дополненное
ш
Москва
Издательская фирма
«Физико-математическая литература*
ВО «Наука»
1993
ББК22.19 Серия сКомпьютеры в физике> издается с 1990 года
Д54
УДК519.6
Редакционная коллегия серии €Компьютеры в физике*
СА.АХМАНОВ (сопредседатель), Д.В.ШИРКОВ (сопредседатель),
В Н.ЗАДКОВ (ответственный секретарь), П.В.ГЕРДТ, Н.И.КОРОТЕЕВ,
Д П КОСТОМАРОВ, А.П.КРЮКОВ, К-К ЛИХАРЕВ, А.В ТИХОНРАВОВ
ДНЕСТРОВСКИЙ Ю.Н., КОСТОМАРОВ Д.П. Математическое модели
рование плазмы. —2-е изд., перераб. и доп. — М.: Физматлит, 1993. —
336 с. -(Компьютеры в физике). ISBN 5-02-014737-0
Описаны основные математические модели высокотемпературной
плазмы в установках «токамак» и методы их численного исследования
на ЭВМ. Дан анализ физических результатов, полученных методами
математического моделирования, показана их роль в исследованиях по
проблеме управляемого термоядерного синтеза. Новое издание (1-е
изд.—1982 г.) существенно переработано и дополнено с учетом
достижений 80-х годов.
Для специалистов по физике плазмы, по математическому
моделированию, а также для аспирантов и студентов старших курсов,
специализирующихся в этих областях.
Табл. 5. Ил. 97. Библиогр.: 384 назв.
Научное издание
Днестровский Юрий Николаевич, Костомаров Дмитрий Павлович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАЗМЫ
Серия «Компьютеры в физике», выпуск 3
Компьютерный набор представлен авторами.
Оригинал-макет подготовлен в редакции
литературы по общей и прикладной физике
Заведующий редакцией Л.И.Гладнева
Редактор Л П Русакова. Редактор-организатор В.А.Кузнецова
Корректор Т. К Кармакулова. Технический редактор Л.В.Лихачева
ИБ №41369
Подписано в печать с оригинал-макета 0010.92. Формат 60x90/16.
Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литературная. Печать офсетная.
Усл. печ. л 21. Усл. кр.-отт. 21,25. Уч.-изд. л. 18,82
Тираж 1000 экз. Заказ *(472. С-030
Издательская фирма «Физико-математическая литература» ВО «Наука».
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Московской типографии № 2 ВО «Наука»
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
п 1604120000-030 _
Д 053(02)-93 Без объЯВЛ-
©ЮН. Днестровский,
ISBN 5-02-014737-0 Д П. Костомаров, 1993
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 6
Из предисловия к первому изданию 8
1. Управляемый термоядерный синтез и задачи
математического моделирования 11
1 1. Управляемый термоядерный синтез 11
1.1.1. Критерий Лаусона (11). 1.1.2. Магнитное
удержание (14). 1Л.З. Роль математического
моделирования в исследованиях по УТС (15).
1.2. Установки токамак 18
1.2.1. Устройство и принцип действия (18). 1.2.2.
Особенности экспериментов на токамаках (20).
1.2.3. Математические модели плазмы в токамаках
(28).
1 3. Движение заряженных частиц в установках токамак 31
1 3.1. Дрейфовое уравнение движения (32). 1 3 2.
Модель магнитного поля токамака с круглым
поперечным сечением (33) 1.3.3. Движение заряженных
частиц в магнитном поле токамака (35).
2. Моделирование кинетических процессов с кулоновским
взаимодействием 43
2.1. Оператор кулоновских столкновений 43
2.1.1. Определение оператора кулоновских
столкновений (43). 2.1.2. Свойства оператора кулоновских
столкновений (47). 2.1.3. Оператор кулоновских
столкновений для аксиально-симметричных
распределений по скоростям (52). 2.1.4. Оператор
кулоновских столкновений при изотропном распределении
частиц сорта |3 по скорос-тям (5о).
2.2. Задача Коши. Характерные времена релаксации 56
2.2.1. Задача Коши (56). 2.2 2. Столкновения
частиц одного и того же сорта между собой Простейшее
время релаксации (59). 2.2.3 Релаксация
относительного движения электронов и ионов (60). 2.2.4.
Обмен энергией и выравнивание температур в
неизотермической плазме (63). 2.2 5 Качественная
картина поведения решения задачи Коши для двухкомпо-
нентной плазмы (64).
3
2.3. Линейная задача о взаимодействии быстрых ионов
с максвелловской плазмой 66
2.3.1 Математическая постановка задачи (66).
2 3.2. Изотропная задача (69) 2.3 3. Двумерная
задача (73). 2 3.4. Разностная схема для решения
линейного кинетического уравнения (78).
2.4. Эффекты, обусловленные электрическим полем 82
2.4.1. Критическое электрическое поле (82). 2.4.2
Убегающие электроны (84) 2.4 3 Эффективное
электрическое поле, действующее на ионы (87) 2.4.4.
Взаимодействие быстрых ионов с плазмой при наличии
электрического поля (90)
2 5. Задача о поддержании тока в плазме ВЧ-методами 95
2.5.1. Кинетическое уравнение для электронов (95).
2.5.2. Генерация тока электронно-циклотронными
волнами (97). 2.5.3 Генерация тока
нижнегибридными волнами (103). 2 5.4. Роль запертых электронов
в генерации тока электронно-циклотронными волнами
(109).
3. Моделирование МГД-процессов ИЗ
3.1. Основные системы уравнений 113
3.1.1 Уравнения переноса (ИЗ) 3 12 Двужид-
костная гидродинамика (114). 3.1 3. Одножидкостная
гидродинамика (115) 3 14. Приближение большого
продольного магнитного поля (приближение токамака)
(118)
3 2 Равновесие 125
3 2 1 Уравнения равновесия в токамаке (125)
3 2 2. Равновесие в присутствии железного
сердечника (129) 3 2 3. Уравнения равновесия в цилиндре
(131) 32 4 Винтовое равновесие (132) 32 5
Некоторые математические свойства задачи о
равновесии (132) 3 2 6 Равновесие тонкого шнура
круглого сечения (133) 3 2.7 Численное решение задач
о равновесии (139) 3 2 8 Эволюция равновесия
(145).
3.3 Устойчивость 147
3 3 1. Вводные замечания (147/ 3.3.2 Основные
уравнения (148) 3.3 3 Круглый цилиндрический
шнур (152) 3.3 4. Численное решение задачи об
устойчивости (169).
3 4. Нелинейные задачи 182
3 4 1. Нелинейное развитие внешних мод (183).
3.4 2. Развитие внутренней моды т/п = 1/1 и
перезамыкание магнитных поверхностей (188) 3.4.3.
Нелинейное развитие мод т ^ 2 и рост островов (191)
3 4.4 Винтовые моды с двумя резонансными
поверхностями (двойные тиринг-моды) (194) 3 4 5
Взаимодействие винтовых мод (196) 3 4 6 Полунеявный
метод для МГД-уравнений (198)
4. Транспортные модели 204
4.1 Физические предпосылки транспортных моделей 204
4 1.1 Основные уравнения (204). 4 1 2.
Неоклассические потоки частиц и энергии (207).
4
4 2 Развитие транспортной модели 212
4 2.1 Модель классического баланса энергии (212).
4 2 2. Аномальная теплопроводность (212). 4.2 3
Модели переноса, основанные на канонических
профилях (218). 4 2 4. Поток частиц (230). 4.2 5.
Модель для нейтралов (236). 4.2.6. Поджатие плазмы
магнитным полем (244) 4.2.7. Влияние гофрировки
магнитного поля (246).
4 3. Примеси 255
4.3.1. Поступление примесей в плазму (255). 4.3.2.
Основная система уравнений (256). 4 3.3. Атомарные
процессы (258). 4.3.4 Потоки частиц (260). 4.3.5.
Приближенные решения системы (4.149) (263).
4.3.6. Сравнение с экспериментом (2о4). 4.3./.
Излучение примесей в моделях энергобаланса (267).
4 4 Численное решение систем уравнений (4 1) и
(4 149). 270
4 4 1. Линейная неявная схема (270) 4 4 2
Нелинейная неявная схема (272) 4 4.3 Общий метод Ги-
ра для жестких систем (273)
Гибридные модели 275
5 1 Модели нагрева плазмы с помощью инжекции пучка
нейтралов высокой энергии 275
5 1.1. Ионизация нейтралов и захват образовавшихся
ионов в ловушку (275). 5.1 2 Простая модель
баланса энергии с учетом инжекции нейтрального пучка
(284). 5 13. Гибридная модель баланса энергии с
учетом инжекции нейтрального пучка (285). 5 14
Влияние кратной перезарядки на передачу энергии
быстрых ионов частицам фоновой плазмы (28/).
Г) 2 Влияние МГД-перемешивания на баланс энергии и
частиц 294
5.2.1. Экспериментальные сведения о перемешивании
(294) 5 2.2 Структура гибридной модели (295).
5 2 3. Модель внутреннего перемешивания Кадомцева
для винтовой моды т/п = 1 (296) 5 2 4.
Перемешивание при немонотонном профиле тока (302)
5 2 5 Электрическое поле при перемешивании (306)
5 2 6. Свойства гибридной модели и ее приложение к
описанию экспериментов (310)
Г) 3 Кинетический конвективный перенос ионов в
гофрах продольного магнитного поля 313
5 3 1. Диффузионный и конвективный переносы (313)
5 3 2 Основные уравнения (314) 5 3.3. Решение
системы (5 113)45 118), (5 126)-{5 129) (318)
5 3.4. Численное решение системы (5 113)—{5.118),
(5 136Н5 140) (321)
< мисок литературы
324
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая книга посвящена широкому кругу вопросов,
связанных с математическим моделированием
высокотемпературной плазмы. В ней описаны основные модели плазмы в
установках термоядерного синтеза, приведены численные методы их
исследования на ЭВМ. Много внимания уделено анализу
результатов расчетов и тем физическим выводам, которые из них
следуют.
Книга выходит вторым изданием. С момента завершения
работы над рукописью первого издания прошло более 10 лет. За это
время в исследованиях по физике термоядерной плазмы
накоплено много нового теоретического и экспериментального
материала. Активно ведутся эксперименты на крупнейших установках
80-х годов: TFTR, JET, JT-60. В Москве вступил в строй тока-
мак Т-15 Работает большое число тороидальных установок
средних размеров, обладающих различными конструктивными
особенностями. Новые экспериментальные результаты и дальнейшее
развитие теории привели к созданию более сложных и
совершенных моделей термоядерной плазмы. Существенным стимулом для
развития исследований по математическому моделированию
плазмы послужили работы над проектами международных реакторов-
токамаков ИНТОР и ИТЭР.
Вместе с тем эксперименты 80-х годов показали, что плазма
в токамаке удерживается хуже, чем ожидалось. В результате
размеры термоядерного реактора представляются теперь более
грандиозными, чем в конце 70-х годов. Сдвинулись и оценки
сроков создания термоядерных электростанций. По-видимому,
физический токамак-реактор будет построен лишь к середине
первого десятилетия XXI века, а создание демонстрационного
реактора прогнозируется на второе десятилетие. Решение проб-
r
чгмы термоядерной энергетики оказалось более трудным и доро-
iiiM делом, чем это представлялось как в 50-е, так и в 70-е
l ОДЫ.
При подготовке второго издания книга подверглась сущест-
нгнной переработке. Перечислим наиболее важные изменения и
/'обавления. В главе 1 заново написан раздел, характеризующий
< овременное состояние исследований на установках токамак и
роль методов математического моделирования в этих
исследованиях. В главу 2 добавлен большой раздел, содержащий модели
i операции тока и нагрева плазмы электромагнитными волнами. В
i лаву 3 включен раздел с подробным описанием редуцированных
МГД-уравнений для плазмы с большим давлением. В отдельном
разделе рассмотрено явление бифуркации равновесных
состояний В главу 4 включены последние данные по моделям
аномального переноса и добавлен раздел о роли эффекта
согласованного профилей. Два новых раздела добавлены в главу 5. Один
посвящен исследованию роли кратной перезарядки при инжекции
пучка быстрых нейтралов в плазму, второй— кинетическому опи-
< анию конвективного переноса в гофрах тороидального
магнитного поля. В то же время проведено сокращение материала,
павшего общеизвестным или менее актуальным. Значительно
обновлена и расширена библиография за счет работ,
опубликованных в 80-е годы. В целом в результате переработки второе
издание обновлено примерно на 30-35 % .
В заключение отметим, что в 1986 г. издательство Шпрингер
в своей серии «Вычислительная физика» выпустило книгу на
английском языке. При подготовке перевода в книгу были внесены
некоторые изменения и добавления. К сожалению, это издание
практически недоступно русскому читателю. Настоящее, второе
издание книги на русском языке включает в себя основные
добавления, внесенные в английскую версию книги
В подготовке этого издания значительную помощь нам
оказали наши коллеги А.М.Попов и А.П.Смирнов. Мы приносим им
1лубокую благодарность. Мы благодарим также
А.Ю.Днестровского, С.Е.Лысенко, С.В.Цауна и Е.А.Шеину за большую работу по
технической подготовке текста.
Июнь 1991 г
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Работы по управляемому термоядерному синтезу (УТС)
начались в СССР по инициативе И.В.Курчатова в 1950 г. С тех пор
прошло более 30 лет. В настоящее время настойчивые поиски
решения этой энергетической проблемы ведутся во многих
странах, в них вовлечены значительные материальные и людские
ресурсы. Большие успехи эксперимента и теории позволили
вплотную подойти к созданию нового поколения установок —
физических реакторов. Их успешный запуск является важнейшей
задачей 80-х годов. Параллельно ведутся разработки концепци-
онных проектов демонстрационных реакторов и термоядерных
электростанций. Предполагается, что первые электростанции
будут построены около 2000 г. Это закрепило за термоядерной
энергией название энергии будущего века.
Настоящая книга посвящена математическому моделированию
высокотемпературной плазмы, играющему в настоящее время
важную роль в исследованиях по УТС.
Первые работы по моделированию плазмы появились в конце
50-х годов и затем получили широкое распространение в 60-е
годы. Они были посвящены изучению кинетических процессов в
бесстолкновительной плазме с помощью метода макрочастиц.
Рассчитывались известные эффекты: плазменные колебания,
пучковая неустойчивость, линейное и нелинейное затухание
Ландау, плазменное эхо и т д Эти расчеты вполне
соответствовали характеру большинства теоретических работ того
времени, в которых на основании простейших моделей изучались
общие свойства плазмы Они не были непосредственно связаны с
УТС, с моделированием поведения плазмы в реальных
установках К таким работам в 60-е годы еще не была готова ни
теория, ни эксперимент. Пожалуй, единственное исключение со-
8
■ кшляла прозрачная по своей математической постановке
задача о потерях частиц в открытых ловушках с магнитными
пробками (уход частиц в «конус потерь» в результате кулоновских
« юлкновений).
Ситуация резко изменилась в конце 60-х —начале 70-х
гомон Существенный прогресс в исследованиях на установках
ткамак поставил задачу детального количественного сопостав-
иния эксперимента с теорией Такое сопоставление требовало
применения методов математического моделирования, поскольку
многие величины, фигурирующие в выводах теории, непосредст-
пгино в эксперименте не наблюдаются и не измеряются
Так, неоклассическая теория процессов переноса стимулиро-
илла разработку транспортной модели баланса энергии и
части, первые варианты которой были предложены авторами книги
и группой Мерсье из Франции в 1969 г. Модель дала интересные
результаты и скоро завоевала широкую популярность.
Широкое распространение получили магнитогидродинамические
модели Равновесие, линейные колебания и спектр собственных
частот, устойчивость, баллонные моды, перезамыкание магнит-
чих силовых линий в окрестности резонансных поверхностей,
нелинейное взаимодействие мод —вот далеко не полный перечень
*лдач, рассмотренных в МГД-приближении
Сложные математические задачи возникли при исследовании
процесса дополнительного нагрева плазмы в установках «тока-
мак» с помощью инжекции пучков нейтралов высокой энергии.
-)ти работы положили начало созданию гибридных моделей,
объединяющих описание явлений разной природы: кинетических и
фанспортных, магнитогидродинамических и транспортных и т.д.
Во второй половине 70-х годов в ряде стран началось
проектирование и строительство нового поколения
токамаков—физических реакторов: Т-15 (СССР), TFTR (США), JT-60 (Япония),
ЛЕТ (Европейское объединение «Евроатом»), INTOR (МАГАТЭ).
Эти сложные дорогостоящие устройства должны вступить в строй
в текущем десятилетии и обеспечить следующий шаг на пути к
решению проблемы УТС. Они предназначены для работы в
термоядерных режимах, которые не могут быть достигнуты и изучены
экспериментально на существующих установках. Единственным
доступным для проектировщиков источником информации о
поведении плазмы в таких экстремальных условиях является вычис-
9
лительный эксперимент Современное состояние теории,
математические модели, прошедшие проверку на широком
экспериментальном материале, позволяют рассчитывать на надежность
прогнозов.
В заключение несколько слов о содержании и характере
книги. Она посвящена математическому моделированию плазмы в
квазистационарных термоядерных установках с магнитным
удержанием, в первую очередь —в установках токамак. Такой
отбор материала определяется, с одной стороны, его
актуальностью, с другой—кругом научных интересов авторов.
Книга начинается небольшой вводной главой В ней коротко
рассказывается о проблеме УТС, токамаках и движении
заряженных частиц в магнитном поле этих установок В этой же главе
обсуждаются вопросы моделирования высокотемпературной
плазмы, связанные с широким спектром характерных времен
различных процессов. Дается характеристика основных моделей. В
следующих трех главах рассматриваются модели кинетических
процессов, обусловленных механизмом кулоновских
столкновений, магнитогидродинамические и транспортные модели. Главы
написаны так, что могут читаться независимо друг от друга. В
последней главе описываются гибридные модели, которые начали
развиваться во второй половине 70-х годов.
При изложении большое внимание уделяется математическим
аспектам проблемы. После краткого обсуждения физических
соображений, объясняющих выбор приближения, дается
математическая постановка задачи, изучаются ее свойства и описываются
численные методы решения. Много внимания уделяется
результатам расчетов и физическим выводам, которые из них следуют.
Мы считаем такой стиль изложения наиболее соответствующим
содержанию книги. Он должен удовлетворить и физиков, которым
постоянно приходится проводить большие расчеты на ЭВМ по
методу «самообслуживания», и математиков, широко
привлекаемых к решению наиболее сложных задач физики плазмы.
Воззрения авторов книги в области математического
моделирования физических процессов сложились под влиянием идей
академиков А.Н.Тихонова и А.А.Самарского. Пользуясь приятной
возможностью, мы выражаем своим учителям глубокую и
искреннюю благодарность за постоянное внимание к работе, за
многочисленные ценные советы и замечания.
1. УПРАВЛЯЕМЫЙ ТЕРМОЯДЕРНЫЙ СИНТЕЗ
И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1. Управляемый термоядерный синтез
В начале 30-х годов в экспериментах на небольшом
электростатическом ускорителе с тяжелым изотопом
водорода—дейтерием—была обнаружена первая ядерная реакция синтеза. Синтез
ядер дейтерия (0,0-реакция) может идти одним из двух способов:
D+D -> (3Не+0,82) + (п+2,45),
(1.1)
D+D -> (Т+1,01) + (р+3,03).
Здесь п —нейтрон, р —протон, D—дейтерий, Т —сверхтяжелый
изотоп водорода —тритий, Не—легкий изотоп гелия. Числа в
(11) означают энергию (в мегаэлектронвольтах), которую
помучают отдельные частицы, родившиеся в результате реакции.
—12
(Напомним, что 1 эВ = 1,6* 10 эрг.)
Позднее наряду с D, D-реакцией были осуществлены другие
реакции синтеза. Среди них прежде всего необходимо отметить
1),Т-реакцию, поскольку на нее в настоящее время
ориентирована вся программа управляемого термоядерного синтеза (УТС):
D + Т -» (4Не+3,52) + (п+14,06). (1.2)
Эта реакция сопровождается более интенсивным выделением
энергии, а ее сечение в 50-100 раз превышает суммарное
сечение обоих типов 0,0.-реакции.
1.1.1. Критерий Лаусона. Рассмотрим простейшую
математическую модель энергетического баланса в дейтериево-тритиевой
плазме и оценим с ее помощью условия, при которых D,T-peaK-
ция может обеспечить положительный выход энергии.
Пусть однородная плазма состоит из электронов плотности п
и ионов дейтерия и трития плотности п/2. Температуру Т всех
трех компонент примем для простоты одинаковой, причем здесь
и в дальнейшем условимся задавать температуру не в кельви-
11
нах, а в энергетических единицах —электрон-вольтах (1 эВ
соответствует 11 600 К)
Число ЭД-реакций, происходящих в такой плазме в единице
объема в единицу * >емени, определяется выражением
±п2«ти>, (1.3)
где и— относительная скорость реагирующих ионов, а = а(и) —
сечение реакции. Угловые скобки означают усреднение по макс-
велловскому распределению дейтерия и трития Усредненная
величина <аи> является функцией температуры Т. Для удержания
горячей плазмы используется магнитное поле Нейтроны не
задерживаются магнитным полем и покидают плазму без потерь
энергии Они могут быть затем использованы в окружающем
плазму защитном слое — бланкете, как в обычном урановом
реакторе Заряженные ос-частицы (ядра Не) удерживаются
достаточно сильным магнитным полем В этом случае мощность
термоядерного энерговыделения в единице объема равна
W = \п2«ти>Е, Е = Е„ = 3,52 МэВ. (1.4)
яд 4 a v ;
Рассмотрим теперь энергетические потери Электроны,
нагретые до температуры Г, теряют энергию за счет тормозного
излучения. Мощность этих потерь в единице объема
определяется формулой
W = Ап2л/Ту (1.5)
тор v '
—13 3 1/2
где А = 2,2-10 см • эВ /с. Обозначим через W мощность
всех остгльных потерь, рассчитанную на единицу объема, и
представим ее в виде
W = ЪпТ/тЕ (1.6)
Параметр тр обычно называют энергетическим временем жизни
Он характеризует качество термоизоляции плазмы.
Составим условие положительного баланса энергии*
W -W - W > 0 (1.7)
яд тор v '
Согласно (1.4)—(1 6) его можно записать в виде
\Е<си>/4-А^]птЕ-ЗТ > 0. (1.8)
Если множитель при rr£ отрицательный, то данное неравенство
невозможно. В противном случае, когда он положителен, имеем
птр > f(T) = 51 . (1 9)
Е E«xu>/4-AVT
12
чм неравенство, выражающее требование положительного энер
.ш.шга в термоядерной плазме (18), называется критерием
lm/( она
ll.i рис 11 на плоскости Т.,пт приведен график функции
/(/) Вдоль этой линии неравенство (1.9) превращается в
строим- равенство, выше нее критерий выполняется, ниже —нет.
id
о Т-/0 \
К^ Алкатор-/! \
[ \ о \ ч"
Г-4 PLT(HH) \
X"
, Q N
lOtM
oj
1
10 T D 100
T;, *Эв
Рис 1 1. Критерий Лаусона и параметры плазмы в
некоторых установках
Точка, соответствующая минимуму функции f(T), имеет коорди-
14
.3
паты TQ = 25 кэВ, пх£ = /(TJ = 1,7-10 с/см Эти величины
служат ориентиром программы УТС.
Любая термоядерная установка характеризуется большим
числом параметров Критерий Лаусона выделяет из них два самых
1лавных температуру Т и произведение птр, которое обычно
называется параметром удержания В результате появляется
возможность сравнить существенно разные по своему характеру
и принципу действия системы, оценить их эффективность и
перспективность для проблемы УТС. Критерий Лаусона (1 9) иногда
называют условием зажигания термоядерной реакции. Для
характеристики близости параметров плазмы к границе зажигания
можно использовать величину F = nt Т Кривые F = const пока-
13
заны на рис. 1.1 штриховыми линиями. Для зажигания необходи
•1С О
мо F ^ 4-10 кэВ-с/см. В лучших режимах на установке JET на
конец 1990 г. F ~ 9-Ю14 эВ-с/см3.
Было бы очень заманчиво ориентировать программу УТС на
D,D-peaKUHio (1.1), поскольку запасы дейтерия в природе
практически неограничены, а трития нет и его получение
сопряжено с определенными трудностями Однако анализ показывает,
что D, D-синтез предъявляет по температуре и пт£ несравненно
более жесткие требования, чем Э,Т-синтез. Поэтому вопрос его
осуществления, по-видимому, не будет серьезно рассматривать^
ся до тех пор, пока не будет полностью решена проблема УТС
на основе Э,Т-реакции
1.1.2. Магнитное удержание. Критерий Лаусона показывает,
что проблема УТС —это проблема нагрева и удержания
термоядерной плазмы. С самого начала исследований в этой области
была выдвинута идея магнитного удержания, основанная на том,
что магнитное поле допускает свободное растекание плазмы
вдоль силовых линий, но препятствует ее движению в
перпендикулярном направлении. Благодаря этому открывается
возможность изолировать плазму от стенок камеры.
Предложено несколько типов магнитных ловушек,
рассчитанных на постепенный нагрев п достаточно длительное удержание
в квазистационарном состоянии высокотемпературной плазмы
[1-2]. К их числу относятся замкнутые тороидальные установки
(токамаки, стеллараторы) и открытые ловушки с магнитными
пробками.
Первые же эксперименты на самых разных установках
показали, насколько сложна эта проблема. Плазма вела себя
совершенно не так, как хотелось бы исследователям. Она была
неустойчива, в ней самопроизвольно возбуждались колебания,
развивалась турбулентность, образовывались сильные
конвекционные потоки. Все это приводило к повышенным потерям частиц и
энергии
Академик Л. А. Арцимович, возглавлявший в течение многих
лет исследования по УТС в СССР, писал [2]' «Поставив своей
целью осуществление управляемого термоядерного синтеза,
физики столкнулись с проблемой, которая по своей трудности
оставила далеко позади все другие проблемы, порожденные
естествознанием XX века. Эти трудности особенно заметны по конт-
14
расту с прозрачностью и подкупающей простотой тех физических
идей, на которых основаны предложенные до настоящего времени
конкретные методы удержания и нагрева плазмы».
Потребовались годы напряженного труда теоретиков и
экспериментаторов, прежде чем удалось понять происходящие
процессы, найти пути подавления наиболее опасных неустойчивостей и
приблизиться к термоядерным параметрам, определяемым
критерием Лаусона. Об уровне достигнутых результатов можно судить
по рис. 1.1. На нем, кроме кривой Лаусона, которую мы
обсуждали выше, приведены параметры некоторых действующих и
проектируемых установок
1.1.3. Роль математического моделирования в исследованиях
по УТС. В настоящее время физика плазмы нуждается в самом
широком применении математического моделирования. Это
отражает сложившийся уровень теоретических и экспериментальных
работ, характер задач, которые ставит УТС, перспективы
развития этих исследований.
В основе теории лежит надежный математический фундамент.
Уравнения, описывающие плазму, были известны еще до начала
работ по УТС. Структура этих уравнений при всей их сложности
вполне прозрачна. Они включают уравнения механики в
гидродинамическом или кинетическом приближении с учетом действия
электромагнитных сил и уравнения Максвелла.
Аналитическое исследование таких «смешанных» систем,
объединяющих большое число разных по своему характеру
уравнений, предполагает максимальное упрощение, идеализацию
модели В то же время современный уровень развития
вычислительной техники и численных методов позволяет рассматривать
задачи физики плазмы в более реальной постановке с учетом
конструктивных особенностей экспериментального устройства и
сложной геометрии магнитного поля. С помощью расчетов на ЭВМ
можно провести детальный количественный анализ процесса,
оценить роль отдельных факторов в его протекании, выявить
новые свойства и закономерности, рассмотреть сложные коллек-
швные явления.
Приведем пример, связанный с неустойчивостью баллонных
мод в токамаках (см. разд. 3.3). Этот эффект впервые обнару-
/ксн в результате расчетов на ЭВМ [3,4]. Аналитическое иссле-
/ювание магнитогидродинамических колебаний тороидальной
15
плазмы обычно проводится по следующей схеме Сначала решает
ся более простая, цилиндрическая, задача, а затем
определяются поправки на тороидальность В случае баллонных мод
такая стандартная схема не сработала, потому что
цилиндрическая задача не имеет аналогичных решений: баллонные моды
представляют собой чисто тороидальный эффект. Однако при
расчетах на ЭВМ этой трудности не существовало, поскольку
они проводились прямо для тороидальной плазмы, и новый тип
колебаний был обнаружен.
Важное значение имеют методы математического
моделирования для сопоставления результатов теории и эксперимента.
Установление между ними количественного соответствия усложнено
тем, что многие величины, которые фигурируют в выводах
теории, непосредственно не наблюдаются и не измеряются Теория
и эксперимент используют разный язык, и им для общения нужен
«переводчик»—его роль берет на себя ЭВМ.
На основе теоретических представлений строится
математическая модель процесса и проводится ее полный расчет В
частности, определяются все измеряемые в эксперименте
величины. По степени близости результатов расчета и эксперимента
можно судить о соответствии теоретических предпосылок модели
реальным процессам, происходящим в экспериментальных
установках
Характерным примером может служить эволюция транспортной
модели баланса частиц и энергии в установках токамак. Одной
из целей, для которой она первоначально создавалась, была
проверка так называемой неоклассической теории процессов
переноса [5] В рамках такой модели, задаваясь определенными
выражениями для коэффициентов теплопроводности и диффузии,
можно было рассчитать профили температуры и плотности и
сопоставить их с экспериментальными данными
Расчеты 70-х годов показали, что для ионов неоклассика
дает результаты, которые хорошо согласуются с экспериментом.
В то же время она не может объяснить энергобаланса
электронов, их энергопотери более чем на порядок превышают
неоклассические [6,7]
Так продолжалось до второй половины 80-х годов, когда
начались эксперименты на установках нового поколения (JET —
«Евроатом», TFTR—США). Здесь температура ионов возросла до
Т. ~ 20-гЗО кэВ (против Т. ~ 1*5 кэВ в 70-е годы). Было
показано, что в этих условиях энергопотери по ионному каналу
превышают неоклассические в 10*50 раз. Таким образом,
перенос теплоты через ионы при большой температуре в о'бласти
малых частот соударений также оказался аномальным (подробнее
см. разд. 1.2, 4.2, 4 3)
Следующая функция, которую математическое моделирование
выполняет в исследованиях по физике плазмы и управляемому
термоядерному синтезу,—это прогноз. В случае, когда модель
хорошо «отлажена», основана на надежном теоретическом
фундаменте., успешно прошла проверку критерием практики, прогноз
отличается высокой точностью. Появляется возможность надежно
предсказать особенности развития разряда и параметры
создаваемой плазмы. Прогноз очень полезен при планировании
экспериментов. Он позволяет провести всю подготовку
целенаправленно, заранее установить наиболее интересные режимы,
определить области параметров, в которых изучаемые зависимости
подвержены наиболее резким изменениям, носят пороговый
характер
Задача прогноза приобрела новый аспект, когда встал
вопрос о проектировании следующего поколения установок
—физических реакторов Эти установки представляют качественно
новый шаг на пути к решению проблемы УТС. Они предназначаются
для работы с плазмой в термоядерных режимах, которые не
могут быть достигнуты и изучены экспериментально на
существующих установках.
Сегодня единственно доступным источником количественной
информации о поведении плазмы в таких экспериментальных
условиях является вычислительный эксперимент, основанный на
хорошо проработанных математических моделях.
Используя накопленный опыт математического моделирования
и разработанные коды для ЭВМ, международная группа экспертов
в конце 80-х годов Схмогла за три года разработать эскизный
проект реактора—токамака ITER [8]. Создание оптимального
проекта, отвечающего техническому заданию, потребовало
широкого комплекса расчетов всех систем установки, просмотра и
(равнения большого числа вариантов Без такого анализа
сложная многолетняя дорогостоящая работа не достигнет намеченной
цели Важную роль играют также методы математического моде-
17
лирования в далеких прогнозах, связанных с разработкой
концептуальных проектов демонстрационных реакторов и
термоядерных электростанций.
1.2. Установки токамак
1.2.1. Устройство и принцип действия. С установками
токамак связано одно из наиболее разработанных и перспективных
направлений в исследованиях по УТС [9-14]. Мы коротко
расскажем об устройстве и принципе действия этих установок,
поскольку математическому моделированию происходящих в них
процессов в книге будет уделено наибольшее внимание.
На рис. 1.2 показан схематический чертеж токамака Основу
установки составляет вакуумная тороидальная камера с катуш-
Рис. 1.2. Схема установки токамак: У—плазменный шнур,
2 — камера, 3 — медный кожух, 4 — катушки тороидального
поля, 5 —железный сердечник, 6 — первичные обмотки,
7—смотровой патрубок
ками для создания продольного магнитного поля ZL. Эти
главные конструктивные элементы установки определили ее
название, которое составлено из начальных букв слов «тороидальная
камера с магнитными катушками».
Камера, заполненная водородом или его тяжелыми изотопами
под давлением р ~ 10 -ИО торр, служит вторичной обмоткой
трансформатора. При изменении тока в первичной обмотке в
камере индуцируется вихревое электрическое поле £,.. Оно
осуществляет пробой газа и возбуждает в образовавшейся плазме
электрический ток /. Ток выполняет две основные функции: на-
гревает плазму за счет джоулева тепла и создает
дополнительное полоидальное магнитное поле В .
р
Наложение полоидального поля тока на тороидальное поле
внешних катушек порождает специфическую магнитную
конфигурацию токамака. Силовые линии этого поля имеют вид винтовых
линий, которые «наматываются» на систему вложенных друг в
друга тороидальных магнитных поверхностей (рис. 1.3). Плазма
Рис. 1 3. Тороидальные
магнитные поверхности и силовые
линии магнитного поля в то-
камаке
практически свободно растекается и перемешивается вдоль этих
поверхностей, однако ее движению в перпендикулярном
направлении препятствует магнитное поле. Теоретический анализ
показывает, что главную роль в удержании и термоизоляции
плазмы играет полоидальное поле В , а продольное поле BQ
необходимо только для подавления магнитогидродинамических неустой-
чивостей.
В течение 50-60-х годов исследования на установках тока-
мак проводились только в СССР Теоретические работы были
начаты еще в 1950 г. [1], а в 1955 г. в Институте атомной
жергии имени И.В.Курчатова вступила в строй первая
экспериментальная установка этого типа. Важной вехой в истории то-
камаков стала III Международная конференция по физике плазмы
и управляемому термоядерному синтезу, которая состоялась ле-
юм 1968 г в Новосибирске Академик Л А.Арцимович
представил результаты экспериментов на крупнейшей для того времени
установке Т-3 [15]. В этих экспериментах была получена плаз-
13 -3
мл с плотностью п = 5*10 см , температурой ионов Т. =
500 эВ, электронов Т = 700 эВ, энергетическим временем
удержания т£ = 10 мс, изучены условия нагрева и удержания
пмазмы, исследован ряд важных закономерностей.
19
Вскоре после Новосибирской конференции началось
строительство токамаков во многих странах. В 70-е годы было
построено поколение установок «средних» размеров с большим
радиусом R ~ 150 см и малым радиусом а ~ 35-40 см К ним
относятся токамаки Т-10 (СССР), PLT (США), TFR (Франция), ASDEX
(ФРГ). Кроме того, в разных странах было сооружено несколько
десятков «малых» установок.
Эксперименты 70-х годов в сочетании с развитием теории и
математического моделирования заложили основу для
проектирования и строительства нового поколения «больших» токамаков с
параметрами плазмы, близкими к термоядерным Создание таких
установок потребовало более 10 лет труда больших коллективов
физиков, инженеров и строителей
В настоящее время (1992 г ) работает шесть «больших»
токамаков, имеющих размеры R ~ 250-^300 см, а ~ 70420 см и вы-
тянутость поперечного сечения плазмы к - Ь/а ~ 1-=-1,8 (JET в
Англии— «Евроатом», TFTR и DIII-D в США, JT 60 в Японии,
Т-15 в России, TOR-SUDRA во Франции). Эксперименты на этих
установках начались в середине 80-х годов За несколько лет
напряженной работы удалось достичь термоядерных параметров
плазмы: максимальной температуры Г. ~ 30 кэВ и
энергетического времени жизни тр ~ 1с. Некоторые из этих результатов
отмечены на рис. 1.1.
1.2.2. Особенности экспериментов на токамаках. 1.
Равновесие и дивертср Из теоретических
соображений следует, что для поддержания равновесия можно
использовать хорошо проводящий кожух, расположенный вокруг плазмы
внутри или вне вакуумной камеры, или небольшое
дополнительное вертикальное магнитное поле, создаваемое специальными
управляющими тороидальными витками с током (см. разд 3.2).
Для длительного поддержания равновесия разрабатываются
системы обратных связей, регулирующие токи в управляющих
витках В результате удается надежно удерживать плазму в
равновесии без проводящего кожуха
Ряд токамаков имеет вытянутое вдоль главной оси тора
сечение плазменного шнура. Для таких токамаков параметр к -
= Ь/а называют эллиптичностью сечения шнура (здесь а и Ь —
горизонтальный и вертикальный радиусы сечения) При
достаточно большом к (> 1,5) сепаратриса магнитных поверхностей
20
вместе с гиперболической «х-точкой» может оказаться
расположенной внутри камеры. В этом случае магнитные силовые линии,
лежащие вне сепаратрисы, но близкие к ней, через окрестность
х-точки выходят за пределы основного объема камеры. В такой
конфигурации плазма может заполнять объем внутри
сепаратрисы, а пересекающие сепаратрису заряженные частицы по тонкому
диверторному слою вдоль силовых линий могут выводиться во
внешнюю камеру — дивертор. То же самое может происходить с
заряженными частицами примесей, летящими от стенок камеры к
плазме. Таким образом, с помощью дивертора можно попытаться
ослабить как потоки горячих частиц из плазмы на стенку, так
и приток примесей со стенок в плазму.
Для формирования вытянутого сечения или диверторной
конфигурации приходится устанавливать еще одну систему
тороидальных витков с токами, близкими по величине к току плазмы.
Простой по первоначальному замыслу токамак постепенно
превратился в установку со сложным распределением полей и токов.
Работа крупных токамаков с дивертором (ASDEX, PDX, JET,
JT-60) привлекла внимание к изучению физики самого
дивертора. Для уменьшения потоков заряженных частиц на стенку нужно
иметь достаточно толстый диверторный слой. Внутри объема
дивертора силовые линии, направляющие потоки заряженных
частиц, выходят на специальные диверторные пластины Для
снижения энергии частиц, бомбардирующих пластины, плотность
холодной плазмы в диверторном объеме должна быть достаточно
большой. В ряде режимов в диверторе удалось получить
холодную плазму с температурой Г ~ 10 эВ и высокой плотностью
п ~ 10 см" . По данным многочисленных экспериментов
толщина диверторного слоя оказалась равной 2^4 см.
2 Устойчивость С самого начала устойчивость
плазмы оказалась связанной с проблемой очистки стенок камеры
от посторонних примесей. В «грязной» камере в плазме много
примесей и разряд неустойчив. При попытке увеличить ток в
плазме или ее плотность развивается неустойчивость срыва
(которую называют также большим срывом) и происходит быстрое
разрушение разряда Внутренняя природа срыва и даже критерии
его появления пока однозначно не установлены Ясно лишь, что
по развитие связано с деталями профиля тока и давления. При
очистке камеры устойчивость плазмы по отношению к срыву по-
21
вышается. При этом увеличивается предельно допустимый ток
/ и предельная плотность плазмы п .
сг г сг
Обычно ток /, протекающий в плазме, характеризуется без-
о
размерным параметром q = aBQ/RB = ca /L/2/?/. Здесь В =
= 21/ас — поле тока плазмы, обычно называемое полоидальным
полем, #q-~тороидальное поле. В грязной камере ток / мал и
значения параметра q велики. Очистка камеры позволяет
уменьшить q от значений q ~ 5-гб до q ~ 2^-3, т.е. в два
раза увеличить разрядный ток /.
Экспериментально установлено, что предельная плотность
п возрастает с ростом плотности тока. Поэтому область
устойчивых разрядов часто характеризуют неравенством
qa ca n an ^ и (Л \с\\
о р
где // — размерная величина, называемая иногда параметром Хью-
гелла. При очистке стенок камеры Н возрастает Иногда вместо
Н используется параметр Мураками М = nR/BQ = H/q .
Обычно увеличение плотности плазмы в течение разряда
производится с помощью открытия быстрого клапана и напуска газа
в камеру. При этом ионизация поступающего газа происходит на
периферии плазменного шнура и профиль плотности п(г)
оказывается уплощенным. В этих условиях в омическом режиме при
достаточно чистой камере Н ~ (10^-12) • 10 м~ -Тл~ .
В конце 70-х годов для контроля плотности был разработан
метод инжекции крупинок замороженного водорода — пеллет в
плазму. Обычные размеры пеллет 1-И мм, скорость инжекции
0,8-^-2 км/с В горячей плазме пеллеты быстро испаряются,
однако, при этом они успевают проникать на глубину 20-^40 см В
результате образуется более пикированный профиль п(г), чем
при напуске газа, а параметр Н повышается до значений И. ~
- 20-1019м"2-Тл_1
Из неравенства (1.10) следует, что п возрастает с
ростом ZL и уменьшением R В малой установке с большим полем
Алкатор-А при R = 54 см и /L = 8 Тл была получена рекордная
плотность плазмы дг(0) ~ (HI,5)• 1015 см-3. В больших токама-
ках с умеренным полем предельная плотность меньше В
установке Т-10 при R = 150 см и ZL = 3,5 Тл экспериментально до-
14 -*}
стигнутая предельная плотность п(0) = 1,2-10 см соответ-
1Q — 1 —1
ствует параметру И ~ 12-10 м -Тл .
22
При введении в плазму дополнительной мощности предельная
плотность возрастает примерно по закону п ~ V Q Здесь
Q = QQH + Qaux — полная мощность, введенная в плазму,
QOH = IU — омическая мощность тока (ОН—от английского «Ohmic
Heating»), (У— напряжение на обходе шнура,
Qaux—дополнительная мощность.
Внутри области (1.10) проявляются неустойчивости другого
типа,связанные с развитием винтовых мод (см. разд. 3.3). Они
могут привести к разрушительным последствиям, если параметр
q близок к целочисленным значениям: q - 5, 4, 3, 2.
Перейти через неустойчивую, зону q ~ 2 к меньшим значениям q
удалось только на небольшом числе установок.
Развитие методов дополнительного нагрева привело к
появлению неустойчивостей, связанных с увеличением давления
плазмы. Это так называемые баллонные неустойчивости, а также
внутренние и внешние винтовые моды (см. разд. 3.3). Обычно
величина давления характеризуется безразмерным параметром
о
/3 = 8и<р>/В , где р = пТ, а угловые скобки означают
усреднение по объему плазмы Экспериментально и теоретически
установлено, что разряд устойчив в области
fSaB^I < Ст, (1.11)
где Ст~ размерная величина, называемая параметром Тройона.
Для токамака с круглым сечением Ст = 2,7+4,0 м-Тл/МА.
Величина Ст слабо зависит от q и достигает максимума при q ~ 8.
При изучении мягкого рентгеновского излучения были
обнаружены релаксационные колебания температуры и плотности в
центральной части шнура. Обычно их называют пилообразными
колебаниями (sawtooth oscillations). В этом процессе
амплитуда колебаний температуры электронов растет при уменьшении
параметра q и при малых q ~ 2,5 в омическом режиме
достигает 20 % максимальной температуры, амплитуда колебаний
плотности находится на уровне 2-5 % Период колебаний т в
омическом режиме пропорционален плотности и увеличивается с
размерами токамака- т ~ 1+200 мс Для размера зоны, затра-
1иваемой колебаниями (г < гп), имеется экспериментальная
оценка rQ ~ a/q . При введении в плазму дополнительной
мощности величины т и г изменяются. При нецентральном вводе
мощности пилообразные колебания могут быть подавлены.
В обычных условиях уменьшение энергетического времени
жизни тр за счет пилообразных колебаний не превышает 10^-
20 %. Однако при мощном центральном дополнительном нагреве
максимальная температура частиц может снижаться в 1,5-^2
раза. Пилообразные колебания, по-видимому, играют важную роль
в начальной стадии развития неустойчивости срыва (см. п. 3.4.2).
3. Нагрев и перенос. До начала 70-х годов
нагрев плазмы в токамаке производился только за счет джоулева
тепла тока, протекающего по плазме. Однако для нагрева до
термоядерных температур в токамаке с тороидальным полем BQ ~
~ 5 Тл одной джоулевой мощности недостаточно. За последние
20 лет были развиты различные методы дополнительного нагрева
плазмы. Наиболее разработан метод инжекции в плазму
нейтралов большой энергии Е„ ~ 30-Н40 кэВ Нейтральные частицы не
отклоняются магнитным полем, и пучок легко входит в плазму.
В ней за счет различных атомарных процессов (перезарядки,
ионизации электронами и ионами) нейтралы ионизуются и
образовавшиеся ионы захватываются магнитным полем. Глубина
проникновения пучка / сильно зависит от плотности плазмы и
энергии инжектируемых частиц: / ~ [пс(Е0)]~ , где a(EQ) —
суммарное сечение перечисленных процессов. При возрастании
13 —3
£0 сечение o*(£Q) уменьшается. Для плотности п ~ 5*10 см
при изменении £Q от 20 до 150 кэВ глубина проникновения /
возрастает от 22 до 250 см. В области энергий £Q < 50 кэВ
главным процессом является перезарядка, при больших энергиях
основную роль играет ионизация на ионах плазмы.
Образовавшиеся «горячие» ионы за счет кулоновских соударений передают
свою энергию ионам и электронам плазмы (см разд. 2.3 и 5.1).
В настоящее время на ряде установок мощность
инжектируемого пучка в десятки раз превышает мощность омического
нагрева и достигает 20-^25 МВт В таких экспериментах инжекция
из «дополнительного» источника энергии превращается в
основной. С ее помощью на установках JET и TFTR была получена
рекордная для токамаков температура ионов Т. ~ 27-^30 кэВ. При
большой интенсивности пучка инжекция определяет не только
температуру, но и плотность плазмы
Наряду с инжекцией интенсивно развивались методы нагрева
плазмы с помощью электромагнитных волн Эти волны сильно
взаимодействуют с плазмой в окрестности циклотронных резо-
24
нансов с частотой cofi . = еВ/т.с (/ = /, е). К настоящему
времени мощности, вводимые в плазму на ионно-циклотронной
частоте со = 0)в . ~ 30-^50 МГц (ИЦР) достигают 10-И5 МВт. При
этом нагреваются как ионы, так и электроны. Для нагрева
электронов на электронно-циклотронной частоте со = cofi ~
~ 50*140 ГГц были разработаны специальные генераторы — гиро-
троны. В настоящее время на установке Т-10 используется
комплекс из одиннадцати гиротронов с суммарной мощностью,
вводимой в плазму, до 2 МВт.
В конце 70-х годов появились идеи о том, чтобы
использовать внешние источники мощности не только для нагрева
плазмы, но и для поддержания тока. Проведенные эксперименты
показали, что наибольшей эффективностью для этой цели обладает
метод инжекции пучка нейтралов и метод, использующий
электромагнитные волны в диапазоне нижнего гибридного резонанса
(НГ) с частотой со ~ со. u ~ со . > ^"со" loZ . С помощью пучков
v ' Ln pi В, i В, е J
горячих нейтралов удалось создать ток в плазме до нескольких
сотен килоампер На установке JT-60 в течение одной секунды
с помощью НГ-волн поддерживался ток / ~ 2 МА при нулевом
напряжении на обходе шнура.
Создание длительного разряда с большим током позволило
исследовать энергетический баланс плазмы и отдельных ее
компонент. Была применена разнообразная диагностика для
измерения плотности плазмы, температуры ионов и электронов, их
распределений по радиусу плазменного шнура. В настоящее
время на крупных токамаках используется до 2(Н30 различных
диагностик. Ряд диагностик имеет много каналов они
одновременно измеряют параметры плазмы в большом числе
пространственных точек. Объем экспериментальных данных с каждого
импульса токамака достигает 10 Мбайт. Для регистрации и
математической обработки поступающей информации при каждом тока-
маке создана система автоматизированной обработки данных,
включающая мощную центральную ЭВМ и разветвленную сеть ЭВМ
нижнего уровня
Обилие экспериментальных данных позволило детально
изучить энергетический баланс плазмы и отдельных ее компонент.
Одновременно развивалась теория переноса. В 1967 г. А. А.Га-
леев и Р.З Сагдеев получили выражения для коэффициентов
диффузии и теплопроводности в тороидальной плазме с кулоновским
25
взаимодействием между частицами [5]. Развитая ими теория
получила название неоклассической. В дальнейшем она была
обобщена на многокомпонентную плазму с примесями.
Сложность процессов, протекающих в плазме токамака,
привела к необходимости разработки математической модели
энергетического баланса и созданию транспортных кодов. Расчеты
по этой модели и сравнение с экспериментом подтвердили
классический характер продольной проводимости плазмы. В то 'же
время коэффициенты диффузии частиц и теплопроводности
электронов оказались аномальными, превышающими неоклассические
значения в десятки раз. Для ионов ситуация оказалась более
запутанной. В установках поколения 70-х годов, в которых
температура ионов Т. не превышала нескольких
килоэлектронвольт, а частота соударений ионов была достаточно велика,
теплопроводность ионной компоненты была близка к
неоклассической. В крупных токамаках 80-х годов с температурой ионов
Т. > 10 эВ и очень низкой частотой соударений
теплопроводность ионов превышает неоклассическую в 10-^50 раз и также
явлется аномальной. Более подробное обсуждение энергобаланса
плазмы проведено в гл. 4.
4. Примеси. Много труда было затрачено на изучение
поведения примесей в плазме и их влияния на энергетический
баланс. Расчеты показали, что зажигание термоядерной реакции
в плазме может произойти только при очень низком уровне
концентрации примесей. В противном случае значительная часть
энергии будет переизлучена и температура окажется слишком
низкой. В условиях современных токамаков легкие примеси
(углерод, кислород) должны излучать в основном на периферии
плазмы, элементы средней группы (железо, хром, никель) —на
промежуточных радиусах, тяжелые примеси (молибден,
вольфрам)—в центре шнура. В основном такая картина наблюдается в
эксперименте.
Большое число работ посвящено потокам примесей со стенок
и их диффузии по сечению шнура Имеется много экспериментов
по активному напуску малого количества примесей в плазму.
Построены сложные математические модели для описания
диффузии ионов примесей разных сортов и степеней ионизации.
Сопоставление результатов расчета с экспериментом пока не
приводит к однозначным выводам из-за большого разнообразия взаи-
26
модействующих частиц. По-видимому, в ряде случаев
взаимодействие тяжелых частиц определяется неоклассическими
формулами, а взаимодействие тяжелых частиц и электронов превышает
неоклассическое в несколько десятков раз (см. разд. 4.4).
5. Кинетика. Ряд экспериментов указал на важную
роль группы ускоренных электронов с энергией от десятков
килоэлектронвольт до нескольких мегаэлектрон-вольт. Такие
частицы появляются в больших количествах на начальной стадии
разряда, в режимах с грязной камерой и при срывах. При малой
плотности плазмы ускоренные электроны могут переносить
заметную часть тока. Выходя на диафрагму и стенки, они создают
жесткое рентгеновское излучение и вторичные потоки
нейтронов. Как правило, время удержания ускоренных электронов
составляет несколько миллисекунд. При срывах, когда
разрушаются магнитные поверхности, они практически мгновенно выходят
из плазмы.
В токамаке с дополнительным нагревом функция
распределения частиц может сильно отличаться от максвелловской. Нагрев
плазмы с помощью инжекции горячих нейтралов с энергией £Q
приводит к сильным искажениям функции распределения ионов в
области Е < EQ Использование ИЦР- и НГ-волн для нагрева
ведет к появлению большого числа ионов с энергией Е >
> (4-г5)7\. Функция распределения ионов имеет в этой области
«хвост» горячих частиц с эффективной температурой Т f ~
~ (5*10 )7\ % простирающийся до энергий ~ 100 кэВ. Подобная
же картина для электронов возникает при генерации тока с
помощью ЭЦР-волн. Расчету функций распределения в столь
сложных условиях посвящена гл. 2.
6. Термоядерный реактор-токамак. Достижения в
области эксперимента и теории подготовили следующий шаг на
пути решения проблемы УТС. В начале 80-х годов была сделана
первая серьезная попытка разработки проекта международного
реактора-токамака INTOR на основе базы данных, полученных в
70-е годы [16-18] Однако эта попытка успеха не принесла
Экстраполяция с установок среднего масштаба на реактор
оказалась слишком оптимистической. Эксперименты на крупных то-
камаках в конце 80-х годов показали, что энергия в плазме с
(юльшой мощностью дополнительного нагрева удерживается хуже,
чем ожидалось ранее.
27
Вторая попытка спроектировать и построить международный
реактор-токамак ITER началась в 1988 г. За три года был
создан эскизный проект установки. Основные параметры ее
таковы /? = 6 м, а = 2,2 м, к = b/а = 1,8-5-2, BQ = 5 Тл, / = 2(Н
22 МА [8]. Сейчас не видно принципиальных трудностей в
реализации проекта. Если он будет принят правительствами
заинтересованных стран, то, как ожидается, на проведение
технического проектирования и строительства потребуется около 13
лет. Однако для этого нужна большая экспериментальная,
теоретическая, расчетная и инженерная подготовка. Моделирование
процессов в плазме токамака составляет ее существенную часть.
1.2.3. Математические модели плазмы в токамаках. Основная
трудность моделирования горячей плазмы состоит в следующем:
ее поведение определяется различными по своей природе
физическими процессами, которые имеют пространственные и
временные масштабы, различающиеся на много порядков Это
заставляет отказаться от попытки создать общую модель поведения
плазмы в термоядерной установке и направляет усилия на
разработку специализированных моделей различных процессов со
своими характерными пространственно-временными масштабами.
По такому пути развивались математические модели плазмы в
токамаках. Общее представление о них дает табл. 1. В ней по
горизонтальной оси в логарифмическом масштабе отложена шкала
времен. По вертикали перечислены типы процессов и
соответствующих им специализированных моделей. При оценке времен мы
исходили из значений параметров плазмы, характерных для
развитой квазистационарной стадии разряда в установке Т-10 R =
= 150 см, а = 35 см, В = 35 кГс, / = 400 кА, В = 2,3 кГс,
а = 3,5, п = 5-Ю13 см , Т. = 0,7 кэВ, Т = 1 кэВ Плазма
предполагалась чисто водородной. В начальной стадии процесса
при формировании разряда значения характерных времен могут
изменяться на несколько порядков
В табл 1 приведены времена следующих процессов.
1. Движение отдельных частиц. Период ларморовского
(циклотронного) вращения частиц xfi . = 27r/o)fi . Средний период
обращения пролетных частиц по дрейфовым траекториям т . =
= 2nRq/v., v. = V2T ,/m. — тепловая скорость. Средний период
обращения запертых частиц по дрейфовой траектории (по
«банану») т . = т У2/?/а .
J ' зап,/ пр, у '
28
2. СВЧ- и ВЧ-колебания. Период циклотронных колебаний тд .
к плазменных колебаний т . = 2п/о) ., 0) . = v4ne п/т . —
Р./ Р»/ Р»/ 7 /
плазменная частота.
3 МГД-равновесие. Скиновое время плазменного шнура т =
- 4ша2/с2 где сг — проводимость плазмы (а = 1,2-1013Г3/2 с-1,
если Т выражено в электрон-вольтах). Скиновое время кожуха
(Tw
4. МГД-колебания. Периоды колебаний альфвеновских волн по
продольному и полоидальному полю т... = a/vA,i , т = a/v ?
{v. и • = BQ/V4nnm. t v = В /V4nnm. — альфвеновские скорости).
Таблица 1
Типы процессов и lg T (с)
специализированных
моделей -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 Движение отдельных частиц
Модель отдельных частиц
в заданном магнитном поле TD Тп. Т Т
ое о* запе заш
2 С£¥- и ВЧ-колебания
Кинетическая модель
с самосогласованным полем TD Т Т . TD.
fie ре pi Bi
3 МГД-равновесие
Модель равновесия на основе
уравнения Грэда—Шафранова Т Т
4 МГД-колебания
Временная линейная
и нелинейная МГД-модель ^Л||^л ^л*
5 Кулоновские столкновения
Локальная кинетическая
модель с оператором
кулоновских столкновений Т Т. Т~ Т,
6 Квазилинейное взаимодействие
ВЧ- и СВЧ-волн с частицами
плазмы
Кинетическая модель
с кулоновскими квазилинейным
оператором Т Т. ^HF
/ Процессы переноса
Транспортная модель
баланса частиц и энергии X ^ Т Т .
Время перезамыкания силовых линий на резонансной поверхности
тс = (РУа) та тс & *~РаДиУс резонансной поверхности).
5. Кулоновские столкновения. Простейшие времена
релаксации частиц Q/0
т = JL_i L
1 nVZ e*nL
Время передачи импульса от электронов к ионам
, T3/2VW~
х = J* е- е- ~ т
e/ 4V2W e4nL
Время обмена энергией между электронами и ионами
n Tm. m.
Т _ о е i ^ i_T
Т SV2ne4nVm~L ~ me e'
е
Время торможения ионов, образующихся при инжекции атомарного
пучка для нагрева плазмы,
i.
И + .
16 m
е
Э'тг m .
i
Г^п!
0
Т~
I eJ
3/2-.
J
о Г3/2/п.
ТЬ = 1 "I"
6 4V2n e4nVFL
где £Q—энергия инжектируемых ионов.
6. Квазилинейное взаимодействие ВЧ~ и СВЧ-волн с
частицами плазмы. Время релаксации резонансных частиц,
взаимодействующих с волнами, т. Через тн обозначена типичная
длительность высокочастотного импульса.
7. Процессы переноса. Энергетическое время жизни т, время
жизни частиц т , длительность разряда т
Шкала времен процессов, перечисленных в табл 1,
охватывает 12 порядков. Даже если мы исключим из рассмотрения
самые быстрые процессы —ларморовское вращение электронов,
ионов и плазменные колебания, то сэкономим всего 3-4 порядка,
а останется еще 8-9. Это и заставляет обращаться к
специализированным моделям. Обычно их начинают строить с
кинетических уравнений, получая с помощью усреднения по скоростям и
дополнительных упрощающих предположений более простое
описание плазмы (уравнения переноса, магнитной гидродинамики,
диффузионные уравнения баланса частиц и энергии и т.д.).
Общая схема такого последовательного спуска описана в разд. 3.1.
Основная часть настоящей книги (см. гл 2-4) посвящена
специализированным моделям процессов, которые перечислены в
табл. 1 под номерами 3-7. С движением отдельных частиц в
магнитном поле токамака мы познакомимся в следующем
разделе. Однако возможности специализированных моделей ограниче-
30
ны, поэтому с середины 70-х годов начинают разрабатываться
«гибридные» модели. В них объединяются описания процессов
разной природы и учитывается их взаимное влияние
(одностороннее или двухстороннее).
В зависимости от соотношения времен возможны гибридные
модели трех типов. В первом случае характерные времена
специализированных моделей достаточно близки. Это позволяет
интегрировать соответствующие временные уравнения параллельно,
установив параметрические связи между ними. Примерами могут
служить гибридные модели нагрева плазмы с помощью инжекции
пучка быстрых атомов и с помощью ВЧ- и СВЧ-волн. В первом
случае транспортная модель объединяется с кинетической
моделью для горячих ионов, во втором--с кинетической моделью
ВЧ-нагрева электронов.
В гибридных моделях второго типа учитывается влияние
быстрого процесса на более медленный. При реализации такой
модели быстрый процесс непосредственно не рассчитывается.
Просто в момент его возникновения система скачком переводится
из начального состояния в конечное. При этом предполагается,
что нам известны критерии начала быстрого процесса и связь
между его начальным и конечным состояниями По такой схеме
нами была разработана транспортная модель баланса,
учитывающая МГД-эффект перезамыкания силовых линий магнитного поля
на резонансных поверхностях при развитии неустойчивости (см.
гл. 5).
Наконец, в гибридных моделях третьего типа исследуется
влияние медленной перестройки системы на протекание быстрого
процесса. В этом случае медленно изменяющаяся величина
вводится в качестве параметра в коэффициенты уравнения быстрого
процесса. Как пример можно рассмотреть задачу о МГД-эволюции
равновесия в процессе нагрева плазмы и повышения ее
давления Некоторые типы гибридных моделей описаны в гл 5.
1.3. Движение заряженных частиц в установках токамак
В этом разделе мы изучим особенности движения заряженных
частиц в установках токамак Анализ задачи даст первое пред-
< 1авление о магнитном удержании, а его результаты
понадобятся в дальнейшем при исследовании более сложных процессов.
11аличие сильного магнитного поля позволяет воспользоваться
31
дрейфовым приближением, основанным на усреднении уравнений
движения по ларморовскому вращению [19,20].
1.3.1. Дрейфовое уравнение движения. Дрейфовое уравнение
движения заряженной частицы в стационарном электрическом и
магнитном полях имеет вид
£ = ы В + с [ЕхВ] + mc(w2 /2+и2) [BxVB] +
+ mcu LotB_ В (BrotB)l (ХЛ2)
еВ2 L В2 J
где В = |В|, w и w —составляющие скорости, перпендикулярная
и параллельная магнитному полю: w = и_|_, а = и... Первый член
в правой части (1.12) описывает движение вдоль силовой линии
магнитного поля, остальные—дрейфовое движение,
перпендикулярное магнитному полю
Интегральные кривые уравнения (1 12) называются
дрейфовыми траекториями. Они определяют движение ведущего ларморов-
ского центра, вокруг которого частица вращается с частотой
0) по окружности радиуса гR:
Ее траектория представляет собой спираль, навитую на дрейфо
вую траекторию (рис 1 4). В дальнейшем для краткости будем
отождествлять частицу с ее ведущим ларморовским центром, а
^Истинная траектория частицы
4Дрейфовая траектория частицы
Рис. 1.4 Истинная и дрейфовая траектории частицы
дрейфовую траекторию называть просто траекторией. Это не
вызовет недоразумений, поскольку истинные траектории и
истинное движение нигде рассматриваться не будут.
Уравнения (1 12) следует дополнить законами сохранения
энергии и магнитного момента
2
Е = ^(w2+u2) + e<p = const, [i = ^ = const, (1 14)
где (р — потенциал электрического поля Энергия Е является
точным интегралом движения, магнитный момент д представляет
32
собой адиабатический инвариант дрейфового приближения.
Соотношения (1.14) позволяют выразить составляющие скорости
через Еу IX и текущие координаты. В случае, когда электрическое
поле отсутствует (ф = 0) и у частицы наряду с энергией Е
сохраняется ее полная скорость
v - Vw +u - V2E/m = const,
формулы для w и и принимают вид
w = AiLB/m , и = ± Л2-2\хВ/т . (1.15)
Здесь выбор знака у продольной скорости и определяется
направлением движения частицы: плюс соответствует движению по
полю, минус —против поля.
Формулы (1.15) показывают, что частица со скоростью v и
магнитным моментом ji не может в процессе своего движения
попасть в область, в которой магнитное поле превышает
некоторую критическую величину
Бсг = mv2/2ii = £7sin2j3, (1.16)
где |3 — угол между направлениями скорости и магнитного поля в
начальной точке, В*— соответствующая этой точке величина
поля Из (1.16) видно, что чем меньше (3, тем больше В и тем
дальше может проникнуть частица в область сильного поля.
При приближении частицы к «запретной» для нее области
продольная скорость и стремится к нулю. В граничной точке,
определяемой условием В = В , она, обращаясь в нуль, меняет
знак После этого частица начинает двигаться в обратном
направлении. На эффекте «отражения» заряженных частиц от
области сильного магнитного поля основано, в частности,
удержание плазмы в открытых ловушках с магнитными пробками [2].
1.3.2. Модель магнитного поля токамака с круглым
поперечным сечением. В разд. 3.2 на основании уравнений магнитной
гидродинамики будет рассмотрена самосогласованная задача о
равновесных состояниях плазменного шнура. Она включает в
себя в качестве центрального вопроса расчет магнитного поля.
Сейчас опишем простейшую модель магнитного поля токамака с
круглым поперечным сечением.
Введем цилиндрические координаты г, <р, z с осью 2,
направленной вдоль главной оси тора, и сделаем следующие
предположения:
? Ю Н Днестровский, Д П Костомаров
33
1) магнитная конфигурация является
аксиально-симметричной: В = В(г, 2);
2) ток в плазме имеет только тороидальную компоненту:
3) сечение магнитных повеохностей меридиональной
плоскостью ф = const образует семейство концентрических окружностей.
Общий вид такой магнитной конфигурации показан на рис. 1.3.
Центром окружностей, которые образуются при пересечении
тороидальных магнитных поверхностей меридиональной плоскостью,
является след замкнутой силовой линии, лежащей в
экваториальной плоскости z = 0. Ее называют магнитной осью.
При сделанных предположениях тороидальное и полоидальное
поле задаются формулами
*„-*<>£• <117>
вг = Щв(Р), вг = -BiLzRlB(Ph (U8)
/2 2
._. _, ,._._.._,. , ,_ (r~R) +z —расстояние,
отсчитываемое в плоскости (г, г) от магнитной оси. Функция
£(р) характеризует распределение величины полоидального поля
по магнитным поверхностям р = const:
вр = ЛзКв1 = В.В(рУ (1.19)
Ее вид связан с распределением тока по сечению плазменного
шнура:
rotB = т§Ь{рВ{р))-г-тт-рВ{р)}'<Р= r%V (120>
Следует подчеркнуть, что в токамаках тороидальное поле на
порядок сильнее полоидального:
В(р) « В0. (1.21)
Это условие связано с требованием МГД-устойчивости
плазменного шнура (см разд 3 3).
Множитель R/r в (1 17)—(1.20) отражает эффект тороидаль-
ности. В пределе при R -» оо, R/r- -> 1 тор распрямляется и
получаются более простые формулы, соответствующие
цилиндрической геометрии. В частности, формула (1 20) для плотности
тока принимает вид
££р(рв(Р)) = pi(P)- (122)
Пусть функция В(р) пропорциональна р:
В(Р) = В,£- (1-23)
34
Такому полоидальному полю соответствует однородное распре <
ление тока по сечению плазменного шнура в цилиндрическом
случае (1.22): в с
I - ufe. (1-24)
и распределение, близкое к однородному, в тороидальном
случае (1.20). Мы будем называть его квазиоднородным.
Совершенно аналогично, функции В(р) вида
ад = в2£[2-$
соответствует «квазипараболическое» распределение тока,
которое в цилиндрическом пределе (1.22) переходит в
параболическое: о 9
1.3.3. Движение заряженных частиц в магнитном поле тока-
мака. Исследуем с помощью дрейфового уравнения (1.12)
движение частиц в магнитном поле (1.17)—(1.18). Воспользуемся при
этом условием (1.21) и пренебрежем членами порядка В (р) по
сравнению с £ Такое предположение позволяет опустить в
правой части уравнения (1.12) последний член и положить
С учетом (1.25) формулы (1.15) для составляющих скорости и
(1 16) для критического поля принимают вид
w = Ai±B0R/mr = v Угсг/г, и = ± Jv2-2iiBQR/mr = ± v A-r Jr,
(1.26)
2nBQR R
r" = ljt~' Bcr=Sof- d-27)
v m cr
Тороидальное поле нарастает при уменьшении г, так что
область возможного движения частицы определяется условием г ^
^ г Это видно из формулы (1 26) для продольной скорости
it, которая при г < г теряет смысл. Подставляя (1.17),
(1 18), (125) и (1.26) в (1 12) и переходя от векторной
формы записи к координатной, получим систему уравнений
= ±^Й^/-^
dz
Ш
35
Здесь rR — ларморовский радиус, соответствующий тороидальному
полю BQ на магнитной оси и полной скорости и:
0)в = еВ^/тс, rB = v/u>B. (1.29)
Вторые члены в уравнениях для dz/dt и dip/dt описывают дрейф,
обусловленный неоднородностью тороидального магнитного поля.
Его называют тороидальным дрейфом Особенно важную роль в
формировании траектории частицы играет дрейф в направлении г.
Система (1.28) имеет первый интеграл
ф(г,г) = f(p) + r-j^/l -f± = С, (1.30)
где р
f(p) = -fc-$B(s)ds
°о
В частности, для полоидального поля (1.23), соответствующего
квазиоднородному току, этот интеграл принимает вид
Wr'z> = ЩаНг-®2 + г2]*-Тт/* "Г1' (131>
Соотношение (1 30) определяет поверхности вращения, на
которых лежат искомые дрейфовые траектории. Их называют
дрейфовыми поверхностями
Исследование задачи упрощается благодаря ее аксиальной
симметрии Правые части уравнений (1 28) не зависят от <р,
так что два первых уравнения можно рассматривать независимо
от третьего Они определяют проекцию дрейфовых траекторий на
меридиональную плоскость (г, z) Их вид дает достаточно
полное представление об особенностях движения частиц в поле
(1 17), (1 18) Дрейфовые члены в системе (1 28) и первом
интеграле (1 30) содержат малый множитель rB/R Это
позволяет рассмотреть сначала задачу в упрощенной постановке,
пренебрегая дрейфом (нужно формально положить rR = 0)
«Бездрейфовые» уравнения (1.28) описывают движение частиц строго
по силовым линиям магнитного поля.
Напряженность поля вдоль силовых линий не остается
постоянной Согласно формуле (1 25) она достигает минимального
значения на внешней стороне тороидальной магнитной
поверхности (г = /?+р, z = 0), максимального— на внутренней (г = /?-р,
2-0)
Bm,n = В0 7^Гр> Bmax = B0JTp (L32)
36
В связи с неоднородностью поля возникают два типа движе
1 Пролетные частицы Предположим, что
критическое поле рассматриваемой частицы В^ больше
максимального поля В на силовой линии, по которой она движется
max
(рис. 1.5). Сформулированное условие означает, что силовая
Пролетные частицы
Рис 1 5 Изменение магнитного поля вдоль силовой
линии. Возможные значения критического поля для
пролетных и запертых частиц
линия целиком лежит в разрешенной для частицы области, т.е.
£>_р > г (рИС> 1.6). В этом случае неоднородность
магнитного поля не препятствует ее свободному движению вдоль силовой
линии. Такие частицы называются пролетными
Двумерный образ движения пролетной частицы на плоскости
(г,г) сводится к вращению ее проекции по окружности, которая
является проекцией .силовой линии на эту плоскость
(окружность, проведенная штриховой линией на рис 1 6) Подсчитаем
период этого вращения. Полагая
г = # + pcos9, z = psinG (l 33)
и подставляя эти значения в систему (1.28) без дрейфа (rfif =
0), будем иметь
. впР — "
dt
m
'о'
/?+pcos9
B(p)v v /?- г +pcos9 '
(1.34)
Чтобы не усложнять вычислений и получить простой наглядный
ответ, ограничимся случаем r^ « R. Согласно (1.26), это
условие означает, что продольная скорость частицы и много
больше поперечной w.
37
'1
1
Запретная
область
гк
Область возможного
движения частицы
fil
III
In
111
r-rl
\\\
v\
Движение протиб топа
о2оа
'У
Движение по тому
\\\
\ч
ill -^
Pi ^
14
III
^£/г Проекция
&^ силовой
линии
Рис. 1.6. Проекция дрейфовых траекторий пролетных
частиц на плоскость (г, г)
При сделанных предположениях получим
тпр = 2nBQp/B(p)v = 2я Rq(p)/v,
(1.35)
где
q(p) = B0p/B(p)R. (1.36)
Величина q(p) показывает, сколько оборотов совершает силовая
линия вокруг главной оси тора при одном обороте ее проекции
на меридиональную плоскость (ryz) вокруг магнитной оси. Она
играет важную роль в теории МГД-устойчивости шнура (см.
разд. 3.3).
2. Запертые частицы. Предположим теперь, что
критическое поле рассматриваемой частицы В меньше
максимального поля на силовой линии В , по которой движется
частица (см. рис. 1.5). Сформулированное условие означает,
что силовая линия заходит в область, являющуюся для частицы
запретной, т.е. R-p < г < R + p (рис. 1.7).
В этом случае частица может находиться только на участке
силовой линии, расположенном на внешней стороне тороидальной
магнитной поверхности при г ^ г . Захваченная в магнитную
яму (см. рис. 1.5), она совершает периодические
колебательные движения по силовой линии" между точками отражения М. и
AL. Приближаясь к ним и не имея возможности двигаться дальше
в область сильного поля, частица останавливается, меняет
38
hz
Запретная
область
Область возможного
движения частиц
Ддижение протид топа
АЗижение по тону
Проекция силоВои
линии
Рис. 1.7. Проекция дрейфовых траекторий запертых
тиц на плоскость (г,г) («бананы»)
час-
знак продольной скорости и начинает двигаться в обратном
направлении. Такие частицы называются запертыми.
Двумерный образ движения запертой частицы на плоскости
(г, г) сводится к колебаниям ее проекции по дуге окружности
между точками отражения М. и AL (см. рис. 1.7). Подсчитаем
период этих колебаний. Интегрируя соотношение (1 34), имеем
е
т = 4—^-
B(p)vi
/?+pcos9
R-r +pcos6
с г r
de,
(1.37)
о
где
е
-R
arccos
max P
Для дальнейшего нам достаточно получить оценку величины
т , поэтому мы упростим интеграл (1.37), пренебрегая в
числителе членом pcos0 по сравнению с R. В результате получим
в
„max dQ
'О
ЯР
Тзап " 4 B(p)v
vxosG-
(1.38)
COS0
О max
Интеграл (1.38) сводится к полному эллиптическому интегралу
первого рода. Окончательный ответ имеет вид
^ _ 2/2
К
Ч?^7р
Ж
v7?/PT
пр
(1.39)
39
Мы видим, что период движения запертых частиц по порядку
величины в v R/p раз больше периода движения пролетных частиц
Существенное замедление связано с тем, что запертые частицы
имеют малую продольную скорость в окрестности точки отражения
Рассмотрим точку, лежащую в экваториальной плоскости z =
= О на внешней стороне магнитной поверхности радиуса р (г =
= R + р), и определим угол /3, который должна образовывать
скорость с магнитным полем, чтобы частица была запертой. В
этой точке магнитное поле минимально: В* = В = B^RAR+p),
min 0 ' х г'
а своего максимального значения В = BnR/(R-p) оно дости-
тах 0 / v г'
гает на внутренней стороне поверхности (г = R - р, z = 0).
Согласно формуле (1.16) условие того, что частица заперта,
имеет вид о
В = —ИШ1 < В ,
cr s i п2Э
ИЛИ о
sin2,3 > ^ИЯ = ^ = 51п2Эо (1 40)
max
Предположим, что имеется ансамбль частиц с изотропным
распределением по скоростям на внешней стороне
рассматриваемой магнитной поверхности Формула (1 40) позволяет
подсчитать, какую долю среди них занимают запертые частицы:
тг/2 у •
7) = JsinPdp = /^|e. (1.41)
Эта доля относительно невелика, основная масса частиц
является пролетной
Нам осталось обсудить последний вопрос какие изменения в
картину движения вносит учет дрейфа, которым мы до сих пор
пренебрегали
1. Остановимся сначала на пролетных частицах
Вертикальный тороидальный дрейф приводит к смещению траектории
пролетных частиц относительно магнитной поверхности в
направлении г Для частиц с положительной скоростью это смещение
направлено наружу, с отрицательной —внутрь (см рис 1.6)
В случае, когда г « R и VI-г /г ~ 1, проекция
пролетной траектории на плоскость (л, z) с учетом поправок первого
порядка по гв остается окружностью, только центр смещается
относительно центра магнитной поверхности О на величину ±Л .
40
Здесь ~в~ларморовский радиус частицы, соответствующий поло-
идальному полю;
^В = е Вр(Р)/тс> ~в = V^B •
Величина А является важной характеристикой траектории
пролетных частиц Она показывает, на какое расстояние траекто
рия удаляется от своей магнитной поверхности. Отметим, что
тороидальное поле из формулы (1.42) выпало: смещение
определяется только полоидальным полем.
2. Рассмотрим запертые частицы. Запертые частицы не
сохраняют постоянным знак продольной скорости. Каждый раз,
достигнув точки отражения, они меняют его на противоположный.
При этом картина движения выглядит следующим образом. Когда
частица движется с положительной продольной скоростью, она
смещается во внешнюю сторону от магнитной поверхности, а при
обратном движении—во внутреннюю сторону. В результате
получается траектория, проекция которой на плоскости (г, г) имеет
сходство с бананом (см. рис. 1.7) За это сходство траектории
запертых частиц получили название банановых.
Чтобы получить приближенное уравнение банана на плоскости
(г, г), воспользуемся первым интегралом (1.30). Перейдем в
нем от переменных г, г к переменным р, 9 (1.33) и будем
искать решение преобразованного уравнения в виде
р(Э) = Р0 + Ар(6).
Здесь pQ — нулевое приближение, Ар(6)—поправка Вычисляя ее
с первым порядком точности по г , получим
Вп _
p(Q) = pQ ± rB B(p )R ^(fl+P0cose)(/?-rcr+p0cose), (1.43)
г -R
0 < \В\ * QQ = arccos-^—.
Поправка определяет сдвиг банановой траектории относительно
магнитной поверхности р = pQ. Знак плюс соответствует
внешней стороне банана, минус—внутренней. Сдвиг становится
максимальным в экваториальной плоскости z = 0 (в = 0):
Др = ±Дзап, (144)
BQV(X+p)(R-rcr+p) „ V(/^+p)(^-rcr+p)
Лзап " ГВ ЩрТЯ гв Я •
(Индекс нуль в этих формулах у р опущен ) Мы видим, что рас-
|'юяние, на которое банановая траектория отходит от магнит-
41
ной поверхности, заметно превышает аналогичную величину
(1.42) для пролетных частиц: А ~ A VR/p .
Когда мы обсуждали зависимость смещения частицы от знака
продольной скорости, то предполагали, что заряд частицы е и
функция В(р) положительны. (Знак функции В(р) определяется
направлением тока в плазме.) Если обе величины одновременно
изменят знак, то все выводы останутся прежними. Это видно,
например, из формулы (1.43): выражение для сдвига Ар(0)
содержит только произведение еВ(р). При изменении одного знака
(у заряда или у функции В(р)) роли движений с положительной
и отрицательной продольной скоростью меняются на
противоположные.
Чтобы не усложнять формулировки соответствующими
оговорками, им можно придать инвариантную форму. Простой анализ
показывает, что нужно различать только две возможности:
направление тока по <р, который создает движущаяся частица,
либо совпадает с направлением тока в плазме, либо ему
противоположно. В первом случае условимся говорить о движении по
току (в разобранном варианте это соответствует движению с
положительной продольной скоростью), во втором—о движении
против тока. Именно такая инвариантная формулировка принята
на рис. 1.6 и 1.7. Отметим, что наиболее полный анализ
дрейфовых траекторий частиц в токамаках проведен в работе [21].
Подводя итоги обсуждения, подчеркнем, что магнитное поле
токамака (1.17), (1.18) является идеальной ловушкой для
отдельных частиц. Попав в такое поле, частица будет все время
двигаться по своей дрейфовой поверхности (1.30), оставаясь
строго локализованной в пространстве. Однако нас, в конечном
счете, интересует удержание не отдельных частиц, а гораздо
более сложного объекта —плазмы. Частицы плазмы не
изолированы друг от друга. Они находятся во взаимодействии,
приводящем к сложным коллективным процессам. Плазме принадлежит
важная роль в формировании магнитной конфигурации.
Фактически плазма и создаваемое ею магнитное поле представляют
единую самосогласованную систему, и приближение заданного поля,
которым мы пользовались, не может отразить всех ее
особенностей.
2. МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
С КУЛОНОВСКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
2.1. Оператор кулоновских столкновений
2.1.1. Определение оператора кулоновских столкновений. В
начале нашего века Л.Больцман предложил кинетическое
уравнение, которое играет важную роль в кинетической теории газов
и носит его имя. При выводе уравнения он исходил из простых
механических представлений о взаимодействии частиц среды
посредством парных упругих столкновений.
Уравнение Больцмана пишется для функции распределения
каждого сорта частиц / (^,r,v). Функция распределения
трактуется как плотность вероятности в шестимерном фазовом
пространстве, объединяющем трехмерное геометрическое
пространство и трехмерное пространство скоростей, с нормировкой на
число частиц. В соответствии с этим уравнение Больцмана
представляет собой математическую формулировку закона
статистического изменения функции распределения:
dU dfa Fadfa , r
Здесь га —масса частиц сорта <х, F = F(^, г)—действующая на
них внешняя сила.
Структура левой части уравнения (2.1) очевидна: это
полная производная по времени от функции распределения / вдоль
фазовых траекторий частиц. В правой части стоит оператор L ,
описывающий изменение распределения частиц сорта а по
скоростям в результате их столкновений между собой и с другими
частицами:
W - Е Wal (2-2)
1де L о-парциальные операторы столкновений. Суммирование
по /3 означает суммирование по всем сортам частиц, включая
р = <х.
43
Мы не будем приводить и обсуждать классический интеграл
столкновений Больцмана, широко используемый в кинетической
теории газов. В дальнейшем он нам не понадобится. Перейдем
сразу к плазме, которая представляет собой ансамбль
заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона. В этом
случае парциальные операторы столкновений имеют вид
La,№ ~ —п£-Bvt\ U£ШГк ~ «£4 J u* dv > <23>
'a " №•*)• f'fi = ¥{'r'v,)'
Я2 д.. и .и.
иш-ШШ\^'\-7Г--^' u-v-V. (2.4)
I k U
и = I u I = У (v -v')2 + (v -v')2 + (v -v')2t
II V х х/ \ у у/ \ 2 2/ »
d\' = dv' dv' dv' ,
x у z
e и во—заряды, т и гад —массы частиц, L — так называемый
кулоновский логарифм, о котором будет сказано ниже. Индексы
i, к принимают значения х, у, z\ по дважды встречающимся
индексам i и к предполагается суммирование.
Оператор (2.3) был получен Л.Д.Ландау из интеграла
столкновений Больцмана [1]. Его вывод учитывал специфические
особенности кулоновского рассеяния, связанные с очень медленным
убыванием кулоновского потенциала. Благодаря этому основной
эффект создают дальние столкновения, соответствующие большим
прицельным параметрам Для таких столкновений передаваемый
импульс Ар мал. Малость величины Ар в главной области
интегрирования позволила разложить подынтегральное выражение
интеграла Больцмана по степеням Ар с точностью до членов
второго порядка (члены нулевого и первого порядков при этом
сокращаются) и выделить в явном виде основной эффект
Важным моментом в работе Ландау было также следующее
соображение: максимальным прицельным параметром, существенным
при столкновении заряженных частиц в плазме, является де-
баевский радиус
Ш
-1/2 ATJ
Вне сферы дебаевского радиуса заряд любой частицы
экранируется зарядами других частиц. Фактически это эквивалентно
замене кулоновского потенциала \/г потенциалом exp(-r/d)/r
44
Предположение об экранировании позволило обрезать
логарифмически расходящийся интеграл, появление которого в
задаче связано с бесконечностью полного сечения кулоновского
рассеяния. «Обрезанный» интеграл вошел в окончательный ответ
в виде множителя—кулоновского логарифма L:
L = 1п(р /р . ). (2.6)
Ч1тах' lmin/ v '
В этом соотношении за р , как мы уже говорили выше,
принимается дебаевский радиус: р = d, за р —прицельный
r J "max "min r
параметр, при котором частица отклоняется в результате
столкновения на угол порядка тг/2, и предположение о малости
передаваемого импульса Ар перестает работать. Дальнейшее
развитие кинетической теории дало обоснование такой
процедуре [2] Для типичной плазмы L ~ 1(Н20, именно наличие такого
большого параметра позволило при выделении главного члена
ограничиться в разложении подынтегрального выражения членами
второго порядка по А/?, а также не уточнять величины р и
числового множителя под знаком кулоновского логарифма.
Через 20 лет после работы Ландау появилась еще одна
работа, посвященная выводу оператора кулоновских столкновений
[3]. Ее авторы исходили из предположения о том, что
изменение вектора скорости частиц плазмы в результате столкновений
с другими частицами аналогично броуновскому движению. Такой
процесс можно математически описать уравнением
Фоккера—Планка. В результате в рамках принятой предпосылки задача
свелась к подсчету коэффициентов оператора Фоккера-Планка с
учетом особенностей кулоновских столкновений, что и было
сделано в работе. Окончательный ответ внешне отличался от
ответа Ландау, однако вскоре была установлена полная
эквивалентность обоих выражений, полученных на основании разных
исходных предпосылок [4,5]
Приведем новую форму записи оператора кулоновских
столкновений, поскольку во многих случаях она удобнее, (2.3) и
именно этой формой мы будем пользоваться в дальнейшем при
решении задач
(4ТГ£ вп) Lq г* дфг> л д Фо dfа~л
La,fiUa) = т„ ffij.\mQBv. f<x.~ TrTdv .dv. eft A' ^ 7>>
1 oc i L p i a i k kJ
H = -Ыт^т^'- фр - -kJV^i/^' <28>
45
Потенциалы 0g, ф^, определяющие коэффициенты оператора
(2.7), удовлетворяют по переменным v , v , v уравнениям
х у z
А0р = /э, А0э = *э. (2.9)
Эквивалентность двух представлений (2.3) и (2.7) вытекает из
соотношений
I ft I I ft ft ft
Запись оператора столкновений в форме (2 7) близка к
принятой в [3]. Основное отличие состоит в том, что вместо
суммарных потенциалов Розенблюта g , А мы пользуемся
парциальными потенциалами 0о, 0о, введенными Б.А Трубниковым [4,5].
Связь между первыми и вторыми дается формулами
jg*. ».-««i!g-v*'-
Парциальные потенциалы более удобны, поскольку они в явном
виде выделяют вклад каждого сорта частиц.
Оператор L g имеет вид дивергенции некоторого вектора,
который представляет собой поток в пространстве скоростей,
обусловленный столкновениями:
£а,ЭС/«] = -divV6'
где согласно (2 7) 0 0
"а, Р'/" ^ Imp Э5\ 'а " 7^ 3t^3ITfe ftTJ • V-10>
Поток состоит из двух слагаемых, разных по своей физической
природе. Первое слагаемое, пропорциональное / , описывает
торможение частиц а частицами (3, второе—диффузию по
скоростям частиц а в результате столкновения с частицами (3.
Заканчивая обсуждение оператора кулоновских столкновений
(2 3), остановимся на его применимости к замагниченной
плазме. Влиянием магнитного поля можно пренебречь, если
вызываемое им искривление траекторий частиц, которое характеризует-
ся ларморовским радиусом rBQC = ^а/^>Ва = у 2T(jrn(Xc/\ e \ В, не
оказывает существенного влияния на столкновения Поскольку
размеры области взаимодействия определяются дебаевским
радиусом, то в качестве основного параметра естественно ввести
отношение
ксс = 7— = В
а г Во.
8*1
е£а 2
(3Vp
-1/2
(2.11)
46
Оно содержит в знаменателе Vm , т.е. электроны более
чувствительны к магнитному полю, чем ионы.
В качестве примера приведем значения параметров к для
10 О
водородной плазмы с параметрами п. = п = п = в • 10 см ,
В = 35 кГс, Т. - Т \ в этом случае к. = 0,016, к - 0,7.
i e J i e
В настоящее время начала развиваться кинетическая теория
плазмы, находящейся в сильном магнитном поле. В работах
[6-£], исходя из интеграла столкновений Балеску-Ленарта,
получены интегродифференциальные операторы, описывающие ион-
электронные, электрон-электронные и электрон-ионные
столкновения. Они записываются через специальные магнитные
потенциалы, которые при fc -» 0 переходят в потенциалы Розенблюта
g и h . Весьма сложным в этой теории является вопрос о
корректном и в то же время пригодном для практического
использования описании столкновений электронов между собой [9,10].
Нами выполнена первая работа [11], посвященная численному
решению кинетического уравнения с оператором кулоновских
столкновений, учитывающим влияние магнитного поля. В ней
рассмотрена линейная задача о релаксации распределения по
скоростям пробных ионов в плазме с максвелловским
распределением по скоростям фоновых ионов и электронов.
Естественно было бы предположить, что условие
применимости оператора (2.3) к замагниченной плазме имеет вид
сильного неравенства к « 1. Однако анализ показывает, что фак-
шчески ситуация более благоприятна: столкновительные
процессы мало чувствительны к магнитному полю и операторами
(2 3) можно пользоваться вплоть до значений к порядка
единицы. В дальнейшем влияние магнитного поля на столкновения
нигде учитываться не будет.
2.1.2. Свойства оператора кулоновских столкновений.
Известно, что интеграл Больцмана для столкновений частиц а с
частицами (3 обладает следующими свойствами:
1) обращается в нуль для максвелловских распределений
частиц а и |3 с одинаковой температурой и средней переносной
< коростью;
2) сохраняет число частиц;
3) сохраняет суммарный импульс частиц а и /3;
4) сохраняет суммарную энергию часриц а и (3;
47
5) не увеличивает //-функцию (//-теорема Больцмана).
В предыдущем разделе мы говорили о том, что оператор ку-
лоновских столкновений L о (2.3) обязан своим
происхождением интегралу Больцмана, но не является его прямым
математическим следствием: его вывод включал такие операции, как
разложение по степеням передаваемого импульса с
отбрасыванием старших членов, обрезание расходящегося интеграла.
Теперь, оставляя в стороне физические соображения, на
основании которых была получена формула (2.3), примем ее за
исходное определение оператора L g и докажем с ее помощью
свойства 1-5, а также свойство:
6) при fo > 0 оператор L ^ является эллиптическим, т.е.
квадратичная форма, которую можно образовать с помощью
матрицы коэффициентов при вторых производных функции f в
операторе L £, положительно определена
При доказательстве свойств мы будем предполагать, что
функции распределения и их частные производные по скоростям
достаточно быстро стремятся к нулю при v -» оо, так что
рассматриваемые интегралы по пространству скоростей сходятся, а
подстановки подынтегральных выражений при v = оо равны нулю
1. Пусть
т„ -.3/2 г гп„
г гпг> -ч 3/2 г rrig -х
h = "э Ы&р) ехр г -?Ц I (°грэ, Р г
3/2 г тг . <2"12>
причем Т = 7\ = Г, va = Vg = vQ. Подставляя эти функции в
подынтегральное выражение оператора (2.3), получим
т.е. Lft g[/a] = 0- Отсюда, в частности, следует, что для
максвелловского распределения L o[/a] = 0.
2. Плотность частиц л выражается через функцию
распределения / по формуле
Она не меняется в результате столкновения частиц <х с
частицами /3 в силу дивергентного вида оператора L о'
48
3. Плотность импульса частиц а выражается через функцию
распределения / по формуле
Pa(*,r) =^mav fa(l,r,v) dv. (2.14)
Рассмотрим изменение /-й компоненты этого вектора в
результате столкновений частиц <х с частицами (3:
Подставим в (2.15) выражение (2.3) для оператора L q и
проинтегрируем по частям по v. В результате получим
Проведем еще одно интегрирование по частям, перекидывая
дифференцирование с функций распределения / и /А на компоненты
тензора U... Принимая во внимание соотношения
1 dU.k dU.k 2u.
будем иметь
Таким образом,
dP
[MPL= ~4пи*ве <W Я ?'<#*"*' (216>
Поменяем ролями сорта частиц и получим выражение для
[(dPr>/dt) ] .. Оно отличается от (2.16) только знаком.
Таким образом,
т е суммарная плотность импульса частиц а и /3 в результате
их столкновений между собой не меняется Наши рассуждения
остаются справедливыми, в частности, при /3 = а, так что
K-U, ■»
4. Плотность энергии частиц <х выражается через функцию
распределения / по формуле
£а(',г) = ^Jmai;2/a(tfr,v)dv. (2 17)
С помощью выкладок, аналогичных предыдущим, для изменения
*той величины в результате столкновений частиц а с частицами
49
/3 можно получить выражение
[(arU = 2></Ч^а^ =
LV- J(3Jcol v' v и
- ^Lelel Я («^+«$ i щd^' (2-18>
Меняя в этом соотношении ролями сорта частиц, будем иметь
[&V £U, ■ •■ [№\L ■ °
Таким образом, энергия, как и импульс, передается в
результате столкновений от одного сорта частиц к другому.
Столкновения частиц любого сорта между собой не могут изменить их
энергии.
5. Составим Я-функцию Больцмана:
Я = Ej(/aln/aMv. (2.19)
Взятая с обратным знаком, она представляет собой энтропию
единицы объема плазмы S =-//. Изменение //-функции в
результате столкновений характеризуется следующей теоремой.
//-теорема Оператор кулоновских столкновений не
увеличивает Н-функцию, т е
Щ =£gr<ln/a+l)L ^fjrfvso. (2.20)
L Jcol a p ''
Это утверждение означает, что процессы, которые
описывает кинетическое уравнение с оператором столкновений (2.2),
(2.3), являются необратимыми. Будущее для них качественно
отличается от прошлого. Система, ушедшая от некоторого
состояния, никогда не сможет вернуться к нему самостоятельно.
Для доказательства //-теоремы рассмотрим в сумме (2.20)
два слагаемых, содержащих операторы L g и Lg .
Подставляя их явные выражения (2.3), будем иметь
[(^U
col
/я»/» l*V к
Заменим во втором члене переменные интегрирования v на v' и
наоборот и проведем интегрирование по частям, перекинув
операторы дифференцирования перед квадратными скобками на мно-
50
жители 1п/а+1 и lnfg+1. В результате получим
df<x I dfh
Введем обозначения
тогда подынтегральная функция в (2.21) запишется в виде
■OttikUlk _ т)У-(т).Ы.)2 fe o
'«'* «3/«/0
Итак, отрицательность выражения (2.21), а следовательно, и
выражения (2.20) доказана.
Если функции распределения всех частиц являются максвел-
ловскими с одинаковой температурой и средней переносной
скоростью, то в этом случае [dH/dt] = 0.
6. Рассмотрим матрицу коэффициентов при вторых
производных функции / в операторе L g. Согласно (2.3)
2uLele2
А., =
^«*. *ш=1и*Гр*''
ik m2
а
Нам нужно доказать, что квадратичная форма, которую можно
(оставить с помощью этой симметричной матрицы, является
положительно определенной, т.е что для любого ненулевого век-
юра ^
Известно, что необходимое и достаточное условие положи-
юльной определенности квадратичной формы состоит в
требовании положительности всех диагональных миноров матрицы Л:
Л1 = (Х\\> °' Л2 = а11а22-аг2 " °>
Л s = аиа22а33 + а^а^а^ + а^а^а^ - а^а\ъ - а^ - а^а\2 > 0.
Справедливость первого из условий (2.22) очевидна:
(2.22)
Л1 = аП
2 2
и +и
-гГе*' >0-
и
51
Для проверки второго условия оценим а*2 с помощью неравенств
Коши-Буняковского:
2 2
- -Ун".
2 2
W2+W3
т.е.
Д2 = апа22-ап > 0.
Для проверки последнего условия (2.22) введем обозначения
.2
6. =
i^v/
Диагональные элементы матрицы запишутся через величины Ь. по
формуле
а.
1, 2, 3.
Остальные элементы a..(i^k) оценим через Ь. с помощью
неравенства Коши-Буняковского:
[и . и L ,
KJ =
f'pdy'
-з /$ dv'
Ги2и Л1/2
г к
Таким образом,
А3 > {b2+bj{bfbj(bx+b2)-2bxb2b^-
Положительная определенность квадратичной формы, означающая
эллиптичность оператора L о, доказана. Заканчивая
обсуждение этого вопроса, отметим, что коэффициенты а., -> 0 при
v -> оо, т.е , являясь эллиптическим в каждой точке
пространства скоростей, оператор L ^ не является равномерно
эллиптическим по всему пространству (при v -» оо он вырождается).
2.1.3. Оператор кулоновских столкновений для аксиально-
симметричных распределений по скоростям. В замагниченной
плазме распределение частиц по скоростям из-за их быстрого
вращения вокруг силовых линий магнитного поля можно, как
правило, считать аксиально-симметричным Если принять
направление магнитного поля в рассматриваемой точке за ось z
В = (0,0, Б), то функции распределения частиц будут зависеть
от переменных v±
/2 2
х у II
'ос 'ctv ' ' х у z'
(2.23)
52
Отметим, что для таких распределений член в левой части
кинетического уравнения (2.1) с силой Лоренца обращается в
нуль:
тасЯГ
^4v,B]S= 0.
(2.24)
В аксиально-симметричном случае удобно перейти от
декартовых координат в пространстве скоростей v ; v , v к
сферическим v, в, 0 (0 ^ v < со, 0 ^ 6 ^ 7Г):
у = и sinQ sin0,
и = и cos0,
2
v = v sin0 cos0,
Тогда, благодаря отсутствию зависимости от угла ф> оператор
L о из трехмерного превращается в двумерный. Приведем его
запись в сферических координатах, соответствующую
представлению в форме (2.7), которой мы будем обычно пользоваться
при решении задач:
L
a^J " [ m2 J Lp^[w \mfiBv
d_!3dU
dv
2 St7
1 д
usi n6 ШУ
о и Ш ' a '
'P'
[иЗйШ 2 36 J?t7 иЗлА2 „2 SHE; JЭЭ"
(2.25)
и-— -- ^°aez и'"" ■"" ■■■
Для вывода формулы (2.25) нужно преобразовать вектор потока
j о (2.10) из декартовых координат в сферические и записать
сто дивергенцию в сферических координатах.
2.1.4. Оператор кулоновских столкновений при изотропном
распределении частиц сорта £ по скоростям. Предположим, что
функция распределения частиц (3 является изотропной, т.е. не
твисит от угла 6:
/Э = fpH (2-26)
(чтобы не усложнять записи формул этого раздела, аргументы t
!! г мы опустили). В этом случае потенциалы фг> и фг> также бу-
iyt зависеть только от v В результате оператор L о (2.25)
упрощается и принимает вид
/
lsin0sirj}
\dh i а
и 3tT~ si пб 3TJ
(2.27)
53
2 2 2 2
Перейдем к выводу формул для функций v дф^/ду, v д фо/dv,
v~ дфо/dv, которые выступают в качестве коэффициентов в
операторе. Для этого удобнее воспользоваться не интегральными
представлениями потенциалов (2.8), а уравнениями Пуассона (2.9).
Записывая L g в уравнении для фг> в сферических
координатах, опуская производные по углам и интегрируя, будем иметь
oi V
v2^<v) = J/pO*) ю2 А*. (2.28)
о
Повторное интегрирование (2.28) с условием 0pi =00 = 0>
вытекающим из (2.8), дает
СО 5 V СО
*№ = - 14 \h{w) w*dw =" {I \h[w) w<1 dw + lh{w) w dw\ (2,29)
0S 0 0 v
Функция (2 29) является правой частью уравнения Пуассона для
потенциала ф^. Интегрируя его аналогичным образом, можно
2 2 2 —1
подсчитать функции v д фо/dv и v дф^/ди.
со
v2 —£ = - {^ Jfp(m-) w4 dw + §• Jf^o») w dw}, (2 30)
0 v
Q I У U СО
^ - - {к h{w) w"dw' Ь JV^ ^ **+ * 1^(ш) ш dw} (231)
0 , 6t; 0 с J
Введем вместо функций (2.28), (2 30), (2.31)
безразмерные коэффициенты аМ)), br>(v), с^(и):
л «2 ; V СО
vu) = ■ ^?f v2^/ = 4^^ i^(w) w*dw+v3№w) w H
30 " (232)
^-^^-^J^»)*2^ (233)
|3V ' n^v mo vov nR^ mR L^J'P
и со
- -ig |/р(ш) ш4 rfa; + j |/р(ш) ш dw\ (2.34)
0 у
где na~ плотность, Го— температура (точнее, две трети
средней кинетической энергии) частиц (3*
со
Пп = \fo(w) w dw, (2.35)
° т "
Ч'ГТ&Ы»)»***. (2.36)
р о
54
о
Функции o>o(v) и bg(v) при малых v пропорциональны v , с
увеличением v монотонно возрастают (для Уи) это очевидно,
монотонность cir>{v) легко проверить дифференцированием) и при
v -» оо стремятся к единице. Функция Cr>(v) при v = 0 принимает
значение
с увеличением и монотонно убывает (это легко проверить
дифференцированием) и при и -» оо стремится к нулю как (1/2и) х
xl/2Vm(3-
С введением коэффициентов йо, £>о, Со оператор L р (2 27)
можно записать в виде
4п ele%nRL. гя rTRaR(v)df„ mf
, rf , <t,tggggw|3l'l Г5 rliliili '«+«/, /,,w 1*
La>(3t^ = w2 ^ \Э^ [m£ "V- cFIT + 7^ V} fa] +
+ /з^рМ sTMaV[sine от*]}- (2-37)
Если распределение рассматриваемых частиц а также является
изотропным:
fa = У")> (2-38)
то оператор (2.37) упрощается из-за обращения в нуль
последнего члена.
L гм 4я*а*^ a ryggg(p)^a, maft (p)f 1 (2 39)
В заключение приведем коэффициенты a^, 60 и с^ для
изотропного максвелловского распределения частиц £ по скоростям
г mR -.3/2 -mRv /2TR
ffi = прУЩ e P * (24°)
Подставляя (2 40) в • (2 32), можно вычислить второй интеграл,
а в первом провести один раз интегрирование по частям. В
результате выражение для а^ преобразуется к виду (2.33). Таким
образом, для максвелловского распределения (2.40)
" 2
aJv) = bp(v) = —\e~s s2dsy (2.41)
и = v/vr>y Vr> = v2To/n
*o
1 де a = u/i/g, i/g = V2I о/то — тепловая скорость частиц p. С
помощью повторного интегрирования по частям интеграл (2.41)
можно записать в виде суммы экспоненты и функции ошибок,
однако мы будем пользоваться непосредственно представлением
(J 41) как более естественным и удобным
55
Перейдем теперь к вычислению коэффициента с». Подставляя
(2.40) в (2.34), подсчитаем последний интеграл, а во втором
интеграле выполним один раз интегрирование по частям. В
результате получим
c0(o) = ^{e~"2^yks2*24 (242)
Выпишем асимптотические формулы для найденных
коэффициентов при малых и больших и:
av = bv*^iu*' c$*ik при w<<1, (2-43)
% = 6э * *> ср * к при и » х- (2-44)
2.2. Задача Коши. Характерные времена релаксации
2.2.1. Задача Коши. В случае, когда основную роль в
процессе играют столкновения, а влиянием пространственной
неоднородности и электрического поля можно пренебречь,
кинетическое уравнение (2.1) принимает вид
я f
sr = lMW- (245)
Пусть такое уравнение написано для каждой компоненты плазмы
а = 1, 2, . , гс Вместе они образуют систему нелинейных ин-
тегро-дифференциальных уравнений, связанных между собой
через коэффициенты операторов L g, которые в представлении
(2.7) можно записать через потенциалы фо и фо (2.8). Макс-
велловские распределения всех частиц с одинаковой средней
скоростью vQ и температурой Т дают единственный класс
стационарных решений этой системы.
Рассмотрим для системы (2.45) задачу с начальными
условиями (задачу Коши)
y°'v> = £<*(у)- (2-46>
Будем считать, что функции ga(v) обладают следующими
свойствами* 1) являются ограниченными, непрерывными и
неотрицательными функциями во всем пространстве скоростей; 2) имеют
моменты (2.13), (2.14), (2.17), определяющие плотность
частиц п , массы М , импульса Р , энергии Е Такие функции
условимся называть функциями распределения и обозначать
образуемое ими пространство через F Сопоставим начальным
распределениям (2 46) суммарные плотности частиц я, массы М,
56
импульса Р, энергии Е:
Принимая во внимание физическую разумность задачи (2.45),
(2 46), эллиптичность операторов L о, законы сохранения и
Я-теорему, можно высказать следующие утверждения.
Если функции ga(v) являются распределениями. ga(v) ^ F, и
удовлетворяют некоторым дополнительным требованиям
гладкости и поведения на бесконечности, то:
1) существует единственное классическое решение задачи
(2 45), (2.46) в целом (т.е. при 0 ^ t < оо), причем функции
/ при любом t являются распределениями: /a(^v) e F;
2) плотность каждого сорта частиц п а также суммарные
плотности импульса Р и энергии Е не меняются со временем;
3) при t -> оо это решение стремится к стационарному макс-
нелловскому решению системы (2 45), в котором средняя
скорость v и температура Т определяются законами сохранения-
vQ = Р/М, Т =(2/3)' п~] (E-Mv20/2). (2.47)
~)ти утверждения выглядят вполне правдоподобно, с ними легко
согласится любой физик Однако пока они не получили
исчерпывающего математического обоснования. Поэтому вместо доказа-
[сльства мы можем предложить лишь следующие комментарии.
1 Существование и единственность решения. В настоящее
кремя для одного уравнения (2.45) доказано существование
обобщенного решения задачи Коши в течение некоторого
конечного промежутка времени [0,/J и его принадлежность при лю-
иом t € [О,/J пространству распределений [12] Вопрос
существования обобщенного решения в целом не решен. Результа-
1ы, относящиеся к существованию и единственности классиче-
< кого решения, получены пока лишь для линеаризованного
уравнения [13]
2. Законы сохранения. Законы сохранения подробно обсужда-
■шсь в предыдущем параграфе При их выводе производилось ин-
итрирование по частям, и все подстановки на бесконечности,
■ 'держащие не только функции распределения, но и их первые
производные, полагались равными нулю. Это требование являет-
- л дополнительным ограничением на решение, не вытекающим
непосредственно из приведенной выше постановки задачи (2.45),
( ' 46).
57
В данных условиях возможны два подхода к проблеме:
а) Сделать постановку задачи более жесткой, включив в нее
нужные ограничения на поведение функций распределения на
бесконечности. Тогда любое решение будет автоматически
удовлетворять законам сохранения и все трудности перенесутся на
выяснение условий разрешимости задачи.
б) Рассматривать законы сохранения как свойство класса
решений с нужным для их справедливости поведением на
бесконечности. Попытаться выделить класс начальных распределений,
порождающих такие решения, а также построить, если это
возможно, пример решения, не удовлетворяющего какому-нибудь
закону сохранения.
С точки зрения физики следует выбрать первый подход:
нарушение закона сохранения означает, что математическая
модель вышла за пределы своей разумности. Однако если смотреть
на задачу (2.45), (2.46) как на объект математического
исследования, то может представлять интерес ее анализ при
минимальных ограничениях. Поэтому не стоит априори накладывать
запрет на второй подход, не зная результатов, к которым он
может привести
3. Асимптотическое поведение решения при t -> со. Это
утверждение обосновывают ссылкой на //-теорему. Некоторые
авторы считают вопрос настолько тривиальным, что предлагают его
читателям в качестве упражнений для самостоятельного анализа
[14]. Однако и здесь основные вопросы пока не получили
исчерпывающего математического решения. Во-первых,
доказательство Я-теоремы, как и закон сохранения, основано на
интегрировании по частям. Поэтому к нему целиком относятся
сделанные выше замечания. Во-вторых, Я-теорема позволяет
установить только следующий факт: функционал (2.19) от решения
рассматриваемой задачи, монотонно убывая со временем,
стремится к значению этого функционала от стационарного максвел-
ловского решения. Такая сходимость по функционалу ничего не
говорит о локальных свойствах решения и его поведении при
больших t.
Для сравнения укажем, что для задачи Коши с классическим
интегралом столкновений Больцмана доказано существование
решения в целом (т.е. при 0 ^ t < со) [15] и его равномерная
сходимость при t -» со к стационарному максвелловскому решению
58
[16]. Поскольку такие вопросы представляют с практической
точки зрения большой интерес, отсутствие теоремы приходится
компенсировать физической интуицией. Одна из специфических
особенностей плазмы состоит в том, что существенное различие
масс ионов и электронов приводит к различию характерных
времен столкновительных процессов в несколько тысяч раз. В
следующих пунктах этого раздела мы на простейших примерах
оценим характерные столкновительньде времена и на основании
полученных результатов дадим общую качественную картину
особенностей решения задачи Коши для двухкомпонентной ион-
электронной плазмы.
2.2.2. Столкновения частиц одного и того же сорта между
собой. Простейшее время релаксации Рассмотрим эволюцию
изотопного распределения частиц сорта а в результате их
столкновений между собой от заданного начального распределения
X (v). Процесс описывается уравнением с оператором L в
|)орме (2.39)-
dfg _ ™*g"aM д Г'аааи/а . f 1 „ ш
dL *ne«n«L\ я (т«а<чЪ\(
Ннедем в оператор столкновений вместо скорости v
безразмерную переменную и - Vm /2T -v = v/v . Здесь Г —температура
печального распределения, которая для решения задачи (2.48),
\? 49) в силу законов сохранения не меняется со временем С
переходом к новой переменной уравнение (2.48) примет вид
dfa _±_ д Jaadfa , f \
Ш~ ~ т 112~5й\ТйШ + Vap
\ пг т—величина, имеющая размерность времени, которую
начинают простейшим временем релаксации [5]
гЗ/2 /
т„ = -J^--*— «■ (2 50)
a ** 4naL
1 »n.i определяет характерное время процессов, обусловленных
1 и>/1кновениями частиц между собой, в частности, время выхо-
i i решения задачи (2 48), (2.49) на максвелловскую асимпто-
iiikv 2
Г та 13/2 Г mav Л
У^) *яаЫУ ехр{"^}
59
Отметим, что т пропорционально ^РГ., т.е. при одинаковой
температуре для ионов оно в ^т./т раз больше, чем для
электронов.
2.2.3. Релаксация относительного движения электронов и
ионов. В предыдущем разделе была получена формула (2.16) для
изменения импульса частиц а в результате столкновений с
частицами |3. Применим эту формулу к исследованию процесса
релаксации относительного движения электронов и ионов.
Характерной особенностью этой задачи, как и ряда других задач
кинетической теории плазмы, является существенное различие
масс взаимодействующих частиц.
Предположим, что функции распределения электронов и ионов
являются максвелловскими, причем электроны движутся
относительно ионов со средней скоростью vQ в отрицательном направ-
лении
В ра<
оси z:
f = п
1 е е
f. = п.\
l l
:сматрив*
Г т
е
\ТпТ
m . Л
i 1
2л7".
IJ
1емой
]3/2 Г me r 2 2
3/2 г m д/2-,
exp |- rf- J.
системе координат,
cv^2]}
связанной с
(2.51
ионами
электроны обладают импульсом
Ре = - nemvQ. (2.52)
При сравнимых температурах Т и Т. тепловая скорость
ионов много меньше тепловой скорости электронов, так что
функцию f. под знаком шестикратного интеграла (2.16) можно
приближенно заменить на б-функцию. Снимая за счет этого тройной
интеграл и пренебрегая в множителе \/т +1/т. ионным
членом, получим
[<гт% - -Л ' гз/2 е Н{-тг^^ CV^2]}x
е v dv dv dv
х7~2 2 2л 3/2 ' (2.53)
[v +v +v ]
^ х у zJ
где Z — относительный заряд ионов. Введем в тройном
интеграле / новую теременную v' - v + i/ Если теперь считать v ,
v , v' обычными пространственными координатами, то / можно
трактовать как интеграл, который определяет напряженность
электрического поля в точке (0,0,^п) при сферическом распре-
о
делении зарядов с объемной плотностью р = exp (- m v /2Т ).
60
Эта аналогия позволяет получить для / с помощью
интегрирования уравнения Пуассона простую формулу
4я
/ = -Ц$ехр(-теи2/2Те)у2с1и.
О О
Пе прямой вывод, основанный на переходе к сферическим
координатам и интегрировании по углам, является достаточно
громоздким.
Подставляя найденное значение / в формулу (2.53),
запишем окончательный ответ в виде
2 2
rdP -ч Z.e n.L rv^
М,--^н-°М- (254>
где
d = vT /(4я£ п ) —дебаевский радиус электронов,
m-dbS'*?*
Vnx
(2.55)
-функция Чандрасекара На рис. 2.1 приведен график этой
функции При малых и больших значениях х ее поведение харак-
кфизуется асимптотическими формулами
G(x)
3Vn
х при х « 1, G(x)
1
2 л:2
при х » 1.
(2 56)
<вое наибольшее значение функция G(x) достигает в точке
\п - 0,968, причем G = G(xn) = 0,214.
О r max v О7
Если плазма состоит из нескольких сортов ионов, непод-
нижных относительно друг друга, и нас интересует полное
изменение импульса электронов в результате взаимодействия со
«4
0 I 2 3 4 л
Рис. 2.1 График функции Чандрасекара G(x\ (2.55)
61
всеми ионами, то в формуле (2.54) нужно просуммировать
правые части. Полученный при этом результат удобно записать в
виде 2
М, - -V-°(# <257)
е
Здесь Z f — эффективный заряд, приходящийся на один ион:
Zef = i lZ*nr (2.58)
е i
который вводится с учетом условия нейтральности плазмы
п = У Z л ..
е С i i
i
Формула (2.58) показывает, что наличие в плазме даже
сравнительно небольшого числа многозарядных примесей может
существенно повысить интенсивность обмена импульсом между
электронами и ионами.
Для рассматриваемой задачи наиболее характерен случай,
когда скорость относительного движения vQ много меньше
тепловой скорости. электронов (л: = u^/v « 1). Подставляя в
(2.57) выражение для d и асимптотическое выражение функции
G(x) при малых ху получим
Г е\ _ 4V2TI ef е е ч1 _ е /0 cq\
[ТГ ].- "В ^з72 ^о " ~т~: (259)
L Ji l ei
e
где ,/9
т . = —^- e A e . (2.60)
ei 4VTHZ <eAn L
ef e
Величина т . представляет собой характерное время передачи
импульса от электронов к ионам, время релаксации их
относительного движения при небольших скоростях vQ. Сравнивая т .
с временем максвеллизации электронов т , видим, что они
различаются только множителем 3Vn/4Z .. Таким образом, данный
процесс относится к числу наиболее быстрых столкновительных
процессов в плазме
В заключение отметим, что в противоположном случае —при
большой скорости относительного движения vQ (ufi » v)—
интенсивность обмена импульсом падает при ее увеличении как
1/^0. Это свойство, как будет показано в разд. 2.4, приводит
к специфическим особенностям поведения плазмы в сильном
продольном электрическом поле.
62
2.2.4. Обмен энергией и выравнивание температур в неизо
термической плазме. В предыдущем разделе получена формула
(2 18) для обмена энергией между двумя компонентами плазмы.
Теперь рассмотрим явление энергообмена более подробно, особо
выделяя случай взаимодействия электронов и ионов. Из-за
существенного различия их масс такой процесс оказывается одним
из самых медленных столкновительных процессов в плазме: его
характерное время по порядку величины в Vm ./m раз больше т.
(2 50) и в т./т раз больше т (2.50) и т . (2.60).
Формула (2.18) слишком сложна для аналитического
исследования. Поэтому мы рассмотрим задачу об энергообмене в
случае изотропного распределения частиц по скоростям, когда
функции / и /о зависят только от v. При изотропных
распределениях можно перейти к сферическим координатам и провести
в (2 18) четырехкратное интегрирование по всем углам. Однако
более простой путь состоит в том, чтобы вывести формулу
заново, используя не общий оператор, а изотропный (2.39). Итак,
s°**<l'faLba iLfi&U + H'bj }du. (2.6i)
т J ov \mo v ov niQ p'OLj \<"^ч
Проинтегрируем (2.61) по частям и после этого повторно
проинтегрируем по частям член, содержащий df /dv. В результате
оудем иметь
(dEa) x^eleln&L}[T&da& "V,/, Ъ А, *9«<м
ЬТ7-.|Э - ma' J Ц ШГ ~ 7^ vbp\ fa dv- <2-62)
< огласно формуле (2.32)
daR 4nmR 9 r
^ =^V h{Uw)wdw- (2-63)
Подставим выражение (2.63) для daR/dv и (2.33) для bR в ин-
ичрал (2.62) и после этого поменяем во втором двойном ин-
пч рале порядок интегрирования по v и до. Тогда формула
( ' 62) примет вид
\ р оо оо
il\\ = b4n^L{±Jfa(t,v)v2dv^t,w)wdw-
'Р
hR №'w) w2 dw /У ^ v dv} ■ <2-64>
*b
63
Отметим, что из (2.64), как и из общей формулы (2 18),
следует сохранение энергии в процессе энергообмена-
Следующий шаг можно сделать, предположив, что
распределения f и /о являются изотропными максвелловскими
распределениями В этом случае интегрирование в формуле (2.64)
проводится до конца: сначала в явном виде берутся
внутренние интегралы, после чего удается провести повторное
интегрирование. В результате получаем
CdEoC] 2v^'/V?igVg£a^ (Т т, (9М.
В формуле (2 65) удобно перейти от энергии Е к
температуре 7' = 2Е„/Зп„ и записать ее в виде
a a a fdT , Тв-Т
(зт]э = Лр (266)
где тг —характерное время релаксации температур в результате
энергообмена
р a p a р
Предположим, что частицы а —электроны, р — ионы Если их
температуры сравнимы, то т./27\ » т /2Т и формула (2 67)
принимает вид „/0
о 7^/2т .
Тг = — о 6 л 1 ^2-68)
т 8VZnZ2n.e4V7frL
i i e
Как мы уже говорили выше, из-за существенного различия в
массах электронов и ионов обмен энергией между ними
является медленным процессом- его характерное время в m./m раз
больше времени обмена импульсом т . (2 60)
2.2.5. Качественная картина поведения решения задачи Коши
для двухкомпонентной плазмы Пусть имеется двухкомпонентная
плазма, состоящая из электронов и однозарядных ионов
одинаковой плотности п Рассмотрим для нее задачу Коши (2.45),
(2 46)
Проведенный анализ основных столкновительных процессов и
оценка их характерных времен показывают, что при не слишком
экзотических начальных условиях в процессе релаксации
начального состояния к равновесному максвелловскому можно
выделить три этапа
64
Первый этап. Его продолжительность определяется
характерным временем т (2.50) или, что практически то же
самое, т . (2.60). На данном этапе в результате электрон-
ионных столкновений происходит релаксация относительного
движения компонент плазмы. В результате электроны и ионы
начинают двигаться с одной и той же средней скоростью vQ,
которая определяется формулой (2.47) Кроме того, электрон-
электронные столкновения приводят к максвеллизации функции
распределения электронов.
Второй этап. На данном этапе ион-ионные
столкновения приводят к максвеллизации функции распределения
ионов. Продолжительность этапа определяется характерным
временем т.(2.50).
Третий этап. После того как функции распределения
электронов и ионов становятся максвелловскими с одной и той
же средней скоростью, но с разными температурами,
начинается процесс выравнивания температур за счет электрон-ионных
столкновений. В результате плазма переходит в равновесное
изотермическое состояние с температурой Г, определяемой
(2 47). Характерное время этого самого медленного процесса
/у (2 68).
Для получения детальной количественной информации о про
мессах, которые описываются кинетическими уравнениями,
приходится обращаться к численным методам. При их разработке
необходимо учитывать характерные особенности
рассматриваемых математических задач: 1) задача ставится в
неограниченной области пространства скоростей; 2) при v -> оо коэффициен-
ii)i оператора L о стремятся к нулю, причем коэффициенты при
шорых производных убывают быстрее коэффициентов при первых
производных, оператор вырождается; 3) характерные времена
различных процессов относятся как 1 . Vm ./m ' т./т , 4)
характерные ионные и электронные скорости относятся как 1 к
«tn./m , 5) функции распределения (каждая в своем масштабе)
мнляются быстро спадающими функциями v и при увеличении ско-
рогти в несколько раз могут изменяться на несколько порядков.
Особенно сильно усложняет проведение расчетов
существенное различие характерных времен. Однако нет худа без добра:
ыкое различие открывает возможности построения упрощенных
моделей. Так, при изучении быстрых электронных процессов
Ю Н Днестровский, Д П Костомаров
65
медленно меняющиеся характеристики можно «заморозить».
Наоборот, при изучении более медленных процессов можно
считать, что для электронов уже установилось максвелловское
распределение. В результате отпадает необходимость решать
кинетическое уравнение для электронов, требующее «быстрого
времени». Вместо него достаточно написать обыкновенное
дифференциальное уравнение для электронной температуры Т (t),
составленное из соображений энергобаланса электронов. В
последующих разделах мы встретимся с такими упрощенными
моделями. Этими замечаниями мы закончим общее обсуждение
кинетических уравнений с оператором кулоновских столкновений и
перейдем к конкретным задачам.
2.3. Линейная задача о взаимодействии
быстрых ионов с максвелловской плазмой
2.3.1. Математическая постановка задачи. Известно, что
сопротивление плазмы быстро падает с ростом температуры
—3/2
электронов (в классическом случае как Т ) Это
обстоятельство затрудняет омический нагрев: чем сильнее нагрета
плазма, тем труднее нагревать ее дальше Оценки, проведенные
еще в конце 60-х годов, показали, что для достижения
термоядерных температур в установках «токамак» омического нагрева
недостаточно [13-15]. Встал вопрос о дополнительных методах
нагрева, среди которых были выделены два метода как наиболее
перспективные: нагрев с помощью пучков нейтралов высокой
энергии и ВЧ-нагрев.
Идея нагрева пучками состоит в том, что нейтральные
частицы с энергией в несколько десятков и даже сотен
килоэлектронвольт, влетая в плазму, ионизуются в ней. Образовавшиеся
ионы захватываются магнитным полем установки и в результате
взаимодействия с частицами плазмы отдают им свою энергию.
При математическом моделировании нагрева нужно
последовательно рассмотреть три задачи [19,20]. 1) определить
количество атомов пучка, испытавших ионизацию или перезарядку на.
частицах плазмы, исследовать их захват в ловушку и найти
распределение захваченных ионов по магнитным поверхностям,
2) рассмотреть процесс передачи энергии захваченных ионов
плазме; 3) провести расчет баланса частиц и энергии в
установке с учетом эффектов, обусловленных инжекцией.
66
Близкие по своему характеру вопросы возникают также пои
исследовании баланса энергии в токамаке-реакторе с учет
энергообмена с термоядерными а-частицами.
Задачи 1 и 3 будут обсуждаться в гл. 5, сейчас же на
основании кинетического уравнения с оператором кулоновских
столкновений мы рассмотрим задачу 2 [21-26]. Характерная ее
особенность состоит в том, что плотность быстрых ионов,
образующихся в результате инжекции или термоядерных реакций,
мала по сравнению с плотностью фоновой плазмы. В этих
условиях их столкновениями между собой по сравнению со
столкновениями с частицами плазмы можно пренебречь.
Запишем кинетическое уравнение для функции распределения
рассматриваемых ионов f , опустив член самодействия L •
ЯГ = ^сЛ] - VW) fa + P nv-v^B). (2.69)
(Мы пользуемся сферическими координатами в пространстве
скоростей и предполагаем аксиальную симметрию задачи. Индекс а
не означает, что ионы сорта а обязательно являются а-час-
гицами.)
Первый член в правой части уравнения (2 69) описывает
гголкновения ионов а с частицами фоновой плазмы электронами
(/3 = е) и различными сортами ионов ((3 = /), включая ионы
изотопов водорода и ионы примесей. Второй член характеризует
потери, интенсивность которых определяется функцией v(v,Q).
Наконец, последний член представляет собой источник ионов
о
< орта а с характерной скоростью v и энергией £ = т и*/2.
Функция F предполагается нормированной на единицу:
оо тг
2тг \v2 dv J>(i/-i/0,8) sine dQ = 1, (2.70)
0 0
коэффициент р определяет интенсивность источника, т е. число
частиц, образующихся в единицу времени в единице объема.
Функции распределения электронов и ионов фоновой плазмы
иудем считать заданными в виде изотропных максвелловских
функций (2.40) В этом случае операторы L п имеют вид
(" 37), коэффициенты a», bo, c„ определяются формулами
i ' 41), (2 42)
При сделанных предположениях уравнение (2 69) становится
чпнейным дифференциальным уравнением параболического типа
• иносительно искомой функции f которое можно записать в
67
виде
dfa_vl га f!a(",9'a ,,lfi+£Mi a rsineaf«n
-ф,8)[а+р?И0,е), (2.71)
1 £„/2Vm^
т = -i L ^, (2.72)
плгУп l
2 a e „
'(»> = —^ I P * %(*)■ (2.74)
"eVm<x|3*oc ^
При исследовании нагрева плазмы с помощью инжекции пучка
быстрых атомов основной интерес представляет случай, когда
Е0 » 7р, /3 = /, г. (2.75)
Это условие тем более выполняется в задаче о термоядерных а-
частицах, которые получают во время реакции синтеза дейтерия
и трития энергию Е~ = 3,5 МэВ
Для того чтобы иметь возможность оценить роль различных
членов в уравнении (2 71), получим асимптотические формулы
для коэффициентов a(v), b(v), c(v) Пусть скорость v
образующихся ионов ос удовлетворяет условиям
v.«v0«ve, Vq = У2Тр/гпр. (2.76)
Здесь левое неравенство следует из (2.75), а правое
означает, что Vn/v - v E~m /T m « 1, хотя Е(]/Т » 1 В этом
случае при v ~ v~ для ионных коэффициентов справедливы
асимптотические формулы (2 44), для электронных—(2.43)
а. = Ь. = 1, с. = Л, a =b = -i-M , с = -2-. (2.77)
Подставляя (2 77) в (2 73) и (2.74), получим
,, ... , -. ,278)
где Z . определяется формулой (2 58),
/л„ Z . п. m„ Z .п Т.
е i i e e i i
68
Состав ионной компоненты плазмы учитывается в формула*
(2.78) через усредненные относительные заряды 2„ 1 Z
Величины 2V 22 в силу структуры формул (2.79) оказываются
сравнительно мало чувствительными к примесям: для них с
увеличением Z. одновременно увеличивается в знаменателе масса
т.. Иначе обстоит дело с величиной Z (2.58). При наличии
примесей она может существенно превосходить единицу, что
означает повышенную интенсивность углового рассеяния ионов а
по сравнению с рассеянием в чисто водородной плазме. Это
будет видно из результатов расчетов, приведенных в п. 2.3.4.
Сравнение коэффициентов (2.78) между собой показывает,
что при v ~ vQ основным процессом является торможение ионов
а фоновой плазмой. Интенсивность этого процесса определяется
коэффициентом b(v). Следующим по значению является процесс
углового рассеяния. Он обусловлен в основном ионами, вклад
электронного члена в коэффициент c(v) в v()/v раз меньше.
Диффузия представляет собой самый слабый процесс. Ее
интенсивность характеризуется коэффициентом а(и), содержащим
малый множитель T/EQ.
2.3.2. Изотропная задача. Рассмотрим сначала задачу о
взаимодействии быстрых ионов с максвелловской плазмой в
рамках простейшей изотропной модели. При всей своей
ограниченности такая модель достаточно хорошо описывает передачу
энергии фоновой плазме и ее распределение между отдельными
компонентами.
Предположим, что функции F и У, характеризующие источники
п потери, не зависят от угла 9. В этом случае искомая
функция распределения быстрых ионов также не будет зависеть от
угла 9: f = f (tyv). В результате угловая часть в уравнении
(2 71) пропадает и оно становится одномерным.
Мы уже говорили в конце предыдущего пункта, что при v ~
v диффузия по скоростям мала по сравнению с торможением.
Пренебрегая в (2 71) диффузионным членом, получим вместо
\равнения второго порядка по v уравнение первого порядка
та = ^1ш И fa) -v^ fa + р^-V- (2-8°)
l.iKoe упрощение уравнения (2.71) не является равномерным,
<>но несправедливо при малых v. Однако для подсчета интере-
< ующих нас энергетических характеристик область малых v не
69
является существенной. Уравнение (2.80) интегрируется
аналитически [21,25]. Мы приведем лишь его стационарное решение
для случая моноэнергетического источника быстрых ионов, ког-
да F(v-v0) = d(v-v0)/4nv0,
fa(v) = 0 при vQ < v < со, (2.81)
0 v ' 0 v
По функции распределения (2 81) можно подсчитать долю
энергии, которую быстрые ионы передают каждой из компонент
фоновой плазмы, а также долю теряемой энергии. Если
предположить, что интенсивность потерь не зависит от скорости:
v(v) = v = const, и воспользоваться для b(v) асимптотическим
выражением (2.78), то соответствующие формулы принимают вид
72 1 1
3/2 Linima f\./.. 1 .. ч .. j.. г~ о-* 3/2
о
(2.82)
17. = 2Л3/2 ^—а \g{uX[iQ) и du, Id. = 2Л3/2 j£(w,A,fi0) и du
Z\nemi0 l 0
1 1
^e = 2 j^'W u* du> 4 = 3^0 №u>X*Vx)) u* du = l^e»
0 ° ч -i/o
n3/2 ,ЯчДп-1 л/и m v° 1 m r0/z
°; (X3/K\fo ° 4 mo3 4v/2WZ*eW^ L
£l
а о a ее
• 2
1 ""a
т^г
Ге , м0 = vt0 , X = E/EQ
Здесь 17., J]7). и 17 —доли энергии, получаемые соответственно
ионами сорта /, всеми ионными компонентами и электронами,
г/ —доля теряемой энергии.
При малом поглощении быстрых ионов (v -> 0, fiQ -» 0)
интегралы (2 82) вычисляются в явном виде и мы получаем
^ ' J0A3/2+H3 lev? J (1-мЯ)2 VJ ёЛХ-)
(2.84)
На рис. 2.2 приведен график функции (2.84). Из него видно,
что при Л < 0,4 основная часть введенной энергии передается
электронам, при Л > 0,4 —ионам
Численное решение рассматриваемой задачи с учетом
диффузионного члена и с использованием полных выражений (2 73)
70
Рис. 2.2. Доля энергии, передаваемая ионами а ионам
фоновой плазмы, в зависимости от Л = EJE~ при v = О
для коэффициентов a(v), b(v) позволяет получить более
полную количественную информацию о процессе, установить
степень точности " формул (2.82). Поскольку примеси в изотропном
случае не играют существенной роли, расчеты проводились для
чисто водородной плазмы. Быстрые ионы также предполагались
водородными, а их источник —моноэнергетическим. Каждый
вариант характеризовался тремя безразмерными параметрами:
\1 = ут,
Л.
i
Т/Е,
О'
V£o-
при этом согласно (2.83)
дп = 19 Л3/ V
14,8 Л
О е • ' ' е
Если считать, что потери быстрых ионов обусловлены
перезарядкой на атомарном водороде, то для этого процесса в ши-
—7 3
роком диапазоне энергий crv = 1,5*10 м /с Таким образом,
v
crv N
1,5-10"7^ [с"1],
е
(2 85)
где N — плотность атомов водорода, £п —энергия в киловольтах.
Пусть £п - 20 кэВ, 7) = 5-1013см"3, а N изменяется от 108
10 -^ е
до 10 см , тогда /I будет изменяться от 0,7 до 70.
Результаты некоторых расчетов для изотропной задачи
приведены на рис. 2.3 и 2.4 [25]. Сплошными линиями на них
показаны зависимости величин 7)., 7) и Т}, характеризующих
распределение введенной энергии между компонентами фоновой
плазмы и соответствующих полному решению задачи, от
параметра д.
Рис. 2.3 соответствует Л. = 0,04,
Л = 0,065.
е
В
этом
лучае А = 0,96, так что ионы получают больше энергии, чем
71
/1
0,75
0,5
0,25
1С ^*^^ч
/ " =ьлв
\С 1 1 1 ,
J-—
10
15
/i = VX
Рис. 2.3 Доли энергии ионов а, передаваемые ионам и
электронам фоновой плазмы, а также доля теряемой
энергии в зависимости от поглощения д при Л. = 0,04,
Л - 0,065
jl^VX
Рис. 2.4. Доли энергии ионов а, передаваемые .ионам и
электронам фоновой плазмы, а также доля теряемой
энергии в зависимости от поглощения и, при Л. = 0,012, Л =
= 0,015
электроны Рис. 2 4 соответствует параметрам Л. = 0,04, Л =
= 0,015 и Л = 0,22. При таком значении Л большую часть
энергии получают электроны. Штриховыми линиями на рис. 2.3 и 2.4
приведены кривые для величин т/., т/ иг/, рассчитанные по
приближенным формулам (2.82) Сравнение результатов
показывает, что формулы (2 82) достаточно хорошо описывают
распределение введенной энергии. С увеличением ji точность этих
формул возрастает.
72
2.3.3. Двумерная задача. Одномерная изотропная задача не
позволяет рассмотреть все особенности взаимодействия быстрых
ионов, образующихся при инжекции нейтрального пучка, с
плазмой. Ряд факторов делает эту задачу анизотропной. К их числу
относятся:
1. сильная анизотропия источника, который имеет б-образ-
ный характер не только по v, но и по 9:
F = —-21 d(v-v0) 6(9-9 ); (2.86)
2nv2Qsine0 u u
2. наличие в пространстве скоростей «области потерь»;
3. действие электрического поля.
Здесь мы изучим влияние первых двух факторов. Роль
электрического поля будет рассмотрена в п. 2.3.4.
Начнем обсуждение с области потерь, обусловленной
особенностями движения заряженных частиц в магнитном поле то-
камака. Мы видели в разд. 1.3, что дрейфовые поверхности не
совпадают с магнитными и частицы в процессе движения отходят
от своих магнитных поверхностей на расстояние порядка Л
или Л (см (1 42) и (1.44)). Благодаря этому эффекту
быстрый ион при определенных модуле и направлении скорости
может выйти за пределы плазменного шнура и погибнуть на
диафрагме или стенке камеры.
На рис. 2.5 и 2.6 в качестве примера показаны дрейфовые
|раектории протонов с энергией £п = 20 кэВ в установке Т-11:
R = 70 см, а = 20 см, В,{ = 12 кГс, / = 120 кА (2.87)
Траектории определяются следующими начальными условиями:
г = /? + 0,6а = 82 см, 2 = 0, 9 = 100
г = /? + 0,6а = 82 см,
г = R + 0,3а = 76 см,
г = /? + 0,За = 76 см,
|де г, г —цилиндрические i
р.шстве За положительное направление у.., от которого отсчи-
илвается угол 9 в пространстве скоростей, принято
направление тока в тороидальном плазменном шнуре В обоих случаях
\1лу 9 = 100 соответствуют запертые частицы, углу 9 =
160 —пролетные.
2 = 0,
2 = 0,
2 = 0,
здинаты
9
CD CD
В
= 160°,
= 100°,
= 160°,
геометр;
(рис. 2.5)
(рис. 2.6)
ическом прост-
73
Т Граница плазмы Траектория IIу 9=160°
20
10
0
10
■20
^^^^^^^^Тоае/мпория I, $=100
~ {^^у\\.
Шд id w Ш Щ I too r>
' х^ ^{Jy
^z^Jx^
Рис. 2.5 Две дрейфовые траектории быстрых протонов в
установке Т-11 (2.87). Траектория / соответствует
запертой частице, а траектория // — пролетной частице
2\
20\
Граница плазмы Траектория 11,6=160°
Траектория /, 9 = 100°
Рис. 2.6. Две дрейфовые траектории быстрых протонов в
установке Т-11 при других начальных условиях
Траектории на рис. 2.5 и траектория запертой частицы на
рис. 2.6 выходят за пределы плазменного шнура. Быстрый ион,
попавший на такую траекторию, погибнет при первом же обороте
на диафрагме или стенке камеры. С этим эффектом и связано
понятие области потерь, введенное в связи с задачей об ин-
жекции [23,24].
Рассмотрим всевозможные траектории, выходящие при разных
начальных скоростях из точки экваториальной плоскости тора с
74
координатами г = /? + р, z = 0 В зависимости от модуля и
направления скорости часть из них лежит внутри плазменного
шнура, а часть выходит за его пределы Область в
пространстве скоростей, точкам которой соответствуют такие выходящие
траектории, представляет собой область потерь для рассматри-
/ 2 2*
ваемой магнитной поверхности v(r-R) +z - р = const.
Область потерь можно построить, интегрируя дрейфовые
уравнения движения с различными скоростями или анализируя их
первый интеграл (см. (1.30)). На рис. 2.7 в качестве примера
Нк
I
0,5
3l
Щ
Рис 2.7. Области потерь для протонов, образующихся в
экваториальной плоскости установки Т-11 (2.87) на
разных магнитных поверхностях. Положительное направление
и.. соответствует направлению тока в плазме, vQ ~
~ 2-108см/с
показаны области потерь для протонов в установке Т-11
(2 87), соответствующие магнитным поверхностям р = 0,6а,
(> = 0,3а, р = 0,1а. Отметим, что нижняя часть границы
области потерь, отходящая от горизонтальной оси, определяется
пролетными частицами, а окрестность угловой точки и верхняя
млеть —запертыми За единицу скорости на принята скорость
о
протонов v при энергии EQ = 20 кэВ i/ = 2-10 см/с. По
шалогии с известной задачей об адиабатическом удержании ча-
< шц в пробкотроне область потерь в токамаке иногда называют
конусом потерь, хотя, как это видно из рис 2.7, конической
«»па не является. При решении задачи с учетом области потерь
\ равнение (2 71) следует рассматривать вне этой области с
ц\'1евым краевым условием на ее границе /(/,^,6)| = 0.
75
Область потерь
Рис 2.8. Стационарное решение двумерной задачи с ин-
жекцией (2.86) при EQ = 20 кэВ в четырех случаях:
плазма (2 88)у (2.90), 9. = 30°, без
а —водородная
учета области
(2 89), (2 9D),
в —водородная
том области
е0 = зо
потерь,
е0 = зо
^ — плазма с примесью углерода
без учета области потерь
плазма (2 88), (2 90), в
30
(2 90), 9
0
потерь, г —водородная плазма
150", с учетом области потерь
с уче-
(2 88),
76
В двумерной задаче по сравнению с изотропной одномерней
появляется новый процесс— рассеяние ионов а по углу 6.
Основную роль в нем согласно (2.78), играют ионы фоновой
плазмы, в частности примеси. Повышая Z ., они могут существенно
усилить интенсивность углового рассеяния, увеличить поток в
область потерь и тем самым повлиять на баланс энергии. Роль
электронов в угловом рассеянии из-за их малой массы является
сравнительно слабой.
Приведем некоторые результаты численного решения
двумерной задачи, соответствующие двум моделям плазмы: чисто
водородной плазме (/ = Н):
(2.88)
Н е
2=z=\y 2=т./т= л/л ,
е г е
и плазме, которая состоит из изотермической смеси водорода и
шестикратно ионизированного углерода (/ = Н, С)
дги = 0,4/2 ,
Н е
пп = 0,1дг , Т„
С е Н
Т
21 = 0,7,
Z , = 4,
ef
(2.89)
Ионы а в обоих случаях предполагались ионами водорода.
Значения остальных параметров выбирались следующим образом:
]Li = 3, Лн= Лс= 0,04, Ле= 0,065, рх = 1. (2.90)
На рис. 2.8 дано стационарное решение задачи в четырех
разных случаях Рис 2.8а и 2 Ьб соответствуют моделям плаз-
/i = vr
Рис 2.9 Доля энергии ионов а, передаваемая ионам и
электронам плазмы, а также доля теряемой энергии в
зависимости от поглощения д при Л., = Л~ = 0,04, Л =
^ r H С е
-= 0,065 для водородной плазмы (2 88) (штриховые линии)
и для плазмы с примесью углерода (2.89) (сплошные
линии)
77
мы (2.88), (2.90) и (2.89), (2.90) при EQ = 20 кэВ, eQ = 30°
без учета области потерь, рис. 2.8в и 2.8г —модели плазмы
(2 88), (2.90) с учетом области потерь (р/а = 0,3) при ин-
жекции по току 0Q = 30 и против тока 9 = 150°.
На рис. 2.9 показана зависимость коэффициентов
энергообмена от параметра поглощения д в стационарном режиме без
учета области потерь. Штриховые линии соответствуют чисто
водородной плазме (2.88), сплошные —плазме с примесью
углерода (2.89).
Табл. 2 позволяет сравнить стационарные энергетические
характеристики решения задачи без учета и с учетом области
хн =
Модель
Без учета области
потерь
С учетом области
потерь
Лс = 0,44,
ео
30°
30°
60°
о
150
е
ef
1
4
1
4
1
4
1
4
= 0,065,
i
0,49
0,38
0,46
0,25
0,42
0,19
0,33
•0,11
Д = 3,
\
0,13
0,22
0,13
0,18
0,12
0,14
0,11
0,10
Ео =
Т)
0,38
0,40
0,41
0,57
0,46
0,67
0,56
0,79
Та б
20 кэВ
т /т
TV
0,333
0,333
0,312
0,183
0,267
0,136
0,197
0,072
л и ц а 2
Vх
0,333
0,333
0,310
0,179
0,247
0,122
0,181
0,070
потерь. В трех ее столбцах приведены доли инжектируемой
энергии, передаваемой ионам (rjH в случае (2.89), т)н + т/г в
случае (2.90)), электронам, и доля теряемой энергии. В двух
последних столбцах даны корпускулярное и энергетическое
времена жизни ионов ос-
хп = па/Р- ТЕ = У"£о- . (2-91>
где па и Еа~плотность частиц (2 13) и энергии (2.17).
2.3.4. Разностная схема для решения линейного
кинетического уравнения. При разработке разностной схемы для
уравнения (2.71) необходимо учитывать, что операторы (2.37) имеют
достаточно сложную структуру и ведут себя существенно
по-разному при различных значениях v. При малых v (v«v)
они превращаются в оператор Лапласа, это указывает на преоб-
78
ладающую роль диффузии. При v ~ v. эффект торможения сравнь
вается с диффузией, так что все члены уравнения имеют
примерно одинаковый порядок.
При больших v (v»v) главным процессом становится
торможение на частицах фоновой плазмы, которое описывается
оператором первого порядка по v. Таким вырождением уравнения мы
пользовались в п. 2.3.2. При v -> оо все коэффициенты
оператора стремятся к нулю, хотя и с разной скоростью. Наконец,
использование сферических координат приводит к появлению
особенностей при v = 0, в = О, 6 = тт.
В настоящем пункте мы опишем консервативную, абсолютно
устойчивую разностную схему для уравнения (2.71),
предложенную и исследованную в работах [27,28]. Представим опера-
юр L q в виде суммы двух дифференциальных операторов, один
из которых содержит производные по скорости, второй—по углу:
i де
/(i)rfi ^§_д r.,2 iffv) д ГЬ(,Л*Л\
(2)г* 1 - Vj3. (tl\ 9 /Г1 „2-, dfa\
L
>
kf^v) =
2
ехр
(2.93)
(2.94)
(2.95)
д = cos0, \\mqR(v) = \\mcr>(v)
Мри записи оператора L^ А в виде (2.93) было использовано
равенство коэффициентов а,г> и br> для максвелловских распре-
/к'лений /о (2.41). Введем на плоскости (у,д) разностную сетку
v. = ih , / = 1, 2, ..., дг,, пл\,
i vJ Г 1
д. = - 1 + (/-1/2) Ад, / = 1, 2, ..., дг2, Ад = 2>2,
it построим с помощью интегро-интерполяционного метода [29]
разностную аппроксимацию оператора столкновений Для этого
проинтегрируем выражения (2.93) и (2 94)> с весом v по
элементарной ячейке сетки v.\/2 " и ~ и+1/2' ^-1/2 ~ ^ ~
/х+1/2 Затем повторно проинтегрируем выражения для пото-
i «ж по и и д. В результате получим
79
Здесь
= ;2K^4w-^(3w+l+fi(3,MK/+SP,^H/}' (297)
Д i f
" <4l/A/^i + <1-<1/2^.m}' <298)
где 1 ^ / < я 1 < / < я индексами и, д и и, д обозначены
правая и левая разностные производные,
Л^ЛР,М/2
д _ atttgViMg,f+i/2feg,f+i n _ aa,ggg,<
Р'1" " /z2£ ' Р»'" " /г2
(2 99)
Оператор Лы/ (2 96) в разностной форме сохраняет
дивергентный характер оператора L rUoJ (2.37) и аппроксимирует его
2 2
на решении с погрешностью 0((h +h )/v).
Полный разностный оператор столкновений получается
суммированием выражений (2.97) и (2.98) по всем сортам частиц
фоновой плазмы g. Мы не будем заново переписывать формулы
(2.96)-{2.99), поскольку в конечном счете все сводится к
замене парциальных коэффициентов Аг>, Br>y Dr> на суммарные.
Точки v = О, д - ±1 являются особыми точками операторов
L о Мы уже отмечали, что эта особенность связана не с
самой задачей, а с использованием сферических координат. С ее
тественной постановке исходной задачи нет никаких
граничных условий при v = О, д = ±1. Построенная разностная
аппроксимация операторов столкновений также не требует дополни
тельных условий в граничных точках / = 1, / = 1, / = п~. Для
них, как и для обычных внутренних точек сетки, остаются
справедливыми формулы (2.97) и (2.98), однако из
трехточечных они превращаются в двухточечные.
Действительно, согласно (2.99) А - BQ - О, и формула
(2.97) для оператора Л. при i = 1 принимает вид
Vw = ui2<- Vi,/+s^2,/>-
По переменной д выбрана специальная, потоковая сетка [30].
Ее крайние узлы, соответствующие / = 1 и / = пт сдвинуты
80
относительно граничных значений ji = ± 1 на полшага. На такой
сетке
1
.„2
О, 1-цГ 1/0 = О
В результате при / - 1
и / = п9 получаем
D
Ку
'2*1,1
Апи.
^[-(1-^/2Ь 1 + (1-^/2)(/.2],
2 [(l-^2H/2^V1-(l-^24/2^.2]-
u2 V{
Точки четвертой стороны сеточного прямоугольника / = пл\
являются для оператора Л. истинно граничными точками. В них
уже нельзя пользоваться формулой (2.97), а нужно ставить
краевое условие. Появление этой границы связано с заменой
бесконечной области изменения переменной v на конечную
Чтобы граница v 1 не вносила заметного искажения в задачу, ее
г п. +1 J
v 1Л ~ 1,5с/п. В качест-
п+] О
следует выбирать достаточно далеко
ве дополнительного условия на ней можно поставить нулевое
краевое условие
У*
О
т
(2.100)
Перейдем к обсуждению вопросов, связанных с численным
решением задачи Коши для уравнения (2 71) Методом суммарной
шпроксимации [23] для нее можно построить следующую
локально одномерную разностную схему (i/ ' = г/):
(n+\)_in+\/2)
= (A2-|E]^ + fF.
Wiecb E — единичный оператор,
Vl/2*Vl/2
F = F.
v2.hh
Г Г F(v-v0,ii) v2 dv dji,
(2.101)
(2 102)
(2.103)
1 v ^vi-\/2^\-\/2
1,1 v I v
^ = \/ = /a(°'v<v-
Функция
поэтому в
интеграла.
i че
/(и-с/ ,|и) может иметь б-образный характер (2.86),
формулах (2.103) она не вынесена из-под знака
11|>едложенная разностная схема является консервативной и аб-
« <>лютно устойчивой. Учитывая ее однородность, мы использова-
м1 безындексные обозначения
Решение разностных уравнений (2 101) можно построить с
помощью модификации метода прогонки В пространстве сеточных
81
функций с нормой
1=1 j=iJ ^
оно аппроксимирует решение дифференциального уравнения
2 2
(2 71) с погрешностью 0(т+/^+/г ).
2.4. Эффекты, обусловленные электрическим полем
2.4.1. Критическое электрическое поле. Если на плазму
наложено продольное электрическое поле, то оно вызывает
движение электронов относительно ионов Развитию процесса
препятствует взаимодействие между компонентами плазмы через куло-
новские столкновения. Рассмотрим совместное действие этих
двух факторов в рамках простейшей модели Будем считать, что
функции распределения электронов и ионов все время остаются
максвелловскими (2 51), а для определения относительной
скорости uQ - vJt) напишем уравнение баланса импульса
электронов Р - - п т vJt), учитывающее действие электрического
поля и обмен импульсом между электронами и ионами (2 57).
dP Z zn e2L
L : n e L rvn-\
= -v£ + ^_G[-°] (2.104)
a L eJ
e
[£-£cAfG[?]]' (2105)
at с * z, it/
a L e
e
dv0 e
~дЛ т
где
E = eL/d2 = 4ne3n L/T (2 106)
cr ' e e ' e v '
— так называемое критическое поле, являющееся важной
характеристикой плазмы с точки зрения задач, которые будут
рассмотрены в этом разделе Впервые в форме, несколько отличной
от (2 106), оно введено в [31] Определение (2 106), ставшее
в настоящее время общеупотребительным, предложено в [33].
При анализе (2.105) могут встретиться два случая [31]. Если
электрическое поле удовлетворяет неравенству
Е > Еп = Е Z fi , (2.107)
0 cr ef max ч '
то правая часть уравнения остается положительной при любой
относительной скорости v0 Это означает, что электроны под
действием поля попадают в режим непрерывного ускорения,
которое не может быть остановлено за счет их кулоновского
взаимодействия с ионами. Процесс приводит к развитию
неустойчивости и переходу плазмы в турбулентное состояние, в ко-
82
гором основную роль уже играют не кулоновские столкновения,
а коллективные эффекты
Рассмотрим теперь поведение электронов в электрическом
поле, удовлетворяющем неравенству противоположного знака*
Е < Еп = Е Z fi
U cr ef max
(2 108)
В этом случае уравнение
Е = Е Z fiix)
cr ef v '
имеет два корня х^Е) и *2(£): х\ < xq < х2 (Рис- 2.10). Нас
иудет интересовать меньший корень х. Он определяет
устойчивое стационарное решение уравнения (2.105):
vQ = vE = x{E)ve, (2.110)
к которому стремится решение этого уравнения с нулевым
начальным условием при t -> т. Когда скорость электронов при-
0 х{(Е)
Рис. 2.10. Решение уравнения Е = Е Z Xj(x) для
электрического поля, удовлетворяющего неравенству (2.108)
чмижается к величине v£} действие на них электрического поля
\ равновешивается тормозящим действием ионов и ускорение пре-
i ращается. Для слабых полей
Е « Е
(2.111)
м>рень хАЕ) можно найти, заменяя функцию G(x) при малых х
чпнейной функцией (2 56) В рамках этого приближения
скоро* гь vp оказывается пропорциональной электрическому полю Е:
3
гЗ/2
Е 4V2tt Z ,n e^SnTL
ef e e
Е.
(2.112)
Подсчитаем в рамках данной модели проводимость плазмы.
I in этого разложим функцию распределения электронов (2 51)
83
по степеням vn - vc
О Е
fe = fQ(v) [l-(2u£t;/t;2)cose]f
где fJv) —изотропное максвелловское распределение, и
найдем плотность тока
0071 v и cos9 Г3/ 2
/ = -2пе \\fJv)\\-2E 0 }v3 cosQs'mQ dvdQ = —^ % Е.
Ц° L v2 J 4V2tt Z ,e2V7JTL
Таким образом, 3/2
o-n = "t = — 5 • (2.ИЗ)
0 * 4V5ttZ ,e2VrfTL
Этот результат является достаточно точным: он правильно
передает зависимость проводимости от параметров, в частности
температурный закон 3/2, но несколько занижает числовой
коэффициент.
Более строгий расчет, основанный на численном решении
линеаризованного кинетического уравнения для электронов,
позволяет внести в ответ уточнение. Он дает для классической
проводимости плазмы следующую формулу:
<rcl = a(Zef)cr0, (2.114)
которую называют формулой Спитцера Здесь коэффициент ее
является медленно меняющейся, монотонно возрастающей функцией
эффективного заряда ионов Она начинается со значения
ос = 1,96, соответствующего Z = 1 Предельное значение а
при больших Z ., когда можно пренебречь столкновениями
электронов между собой и учитывать только их столкновения с
ионами (приближение газа Лоренца), вычисляется аналитически:
а = 32/Зтг = 3,40.
В заключение оценим величину критического поля плазмы с
параметрами, характерными для современных токамаков. Пусть
пе = 5-1013см"3, Те = 1 кэВ, L = 17, тогда согласно (2.106)
Е = 0,22 В/см. По обычным представлениям это весьма слабое
поле. Иначе обстоит дело с высокотемпературной плазмой,
обладающей очень хорошей проводимостью. В установках на
развитой стадии разряда ток поддерживается полем, в пятьдесят-сто
раз меньшим Е ~ 0,002-^0,004 В/см
2.4.2. Убегающие электроны. Если на плазму наложено
сильное электрическое поле (2 107), то оно ускоряет электроны,
отрывая их от ионов Слабое поле (2 111) сделать этого не
84
может: процесс останавливается трением между компонентами
плазмы Однако в слабом поле всегда существует небольшая
группа быстрых электронов, которая отрывается от основной
массы частиц и переходит в режим непрерывного ускорения.
Физическая причина такого своеобразного кинетического
эффекта, получившего название убегающих электронов,
заключается в следующем. Интенсивность взаимодействия быстрых
электронов с остальными частицами через механизм кулоновских
столкновений с увеличением скорости падает, а действие поля
от скорости не зависит. В результате электроны, движущиеся с
достаточно большой скоростью против поля, получают от него
импульс в направлении своего движения, который превышает
потери из-за взаимодействия с плазмой, и начинают ускоряться.
Чем выше становится их скорость, тем слабее взаимодействие и
1ем сильнее ускоряющее действие поля
В слабом электрическом поле (2 111) в режим непрерывного
ускорения переходит экспоненциально малая часть электронов,
1ем не менее они приводят к ряду экспериментально
наблюдаемых эффектов На многих токамаках наблюдалась так
называемая веерная неустойчивость, возникающая из-за присутствия в
ппазме убегающих электронов Попадая на диафрагму или стенки
камеры, убегающие электроны создают интенсивное рентгенов-
< кое излучение Наконец, благодаря большой направленной
скорости, они могут переносить значительную долю электрического
юка
Определим границу области убегания Пусть / —функция
распределения электронов, которую удобно рассматривать не в
• ферических координатах и, 8, а в цилиндрических w = v±,
4 - v\\ f ~ f (w,u) Рассмотрим ансамбль электронов,
движущихся с большими отрицательными скоростями вдоль оси г:
(Uq+Ilu) £ и ^ - и~, Uq » v . Функция распределения этих
м к:тиц имеет вид
f = d(u+u0)fe(w,-u0)Au (2.115)
Подсчитаем для выделенных электронов по формуле (2 16)
■ реднее изменение импульса в результате взаимодействия с ос-
i 1'1ьными электронами
I//P") _ 8ne4L г с и-и' w \
\*1Г]е ~~ lm JJrT^ ~ , ,, , 72"; ,, 2-, 3/2 6{U+ Vх
[ J е [w -2ww cos(0-0 )+w +(u-u ) ]
x fe(w,-uQ) f (w',u') ww' dwdudfy dw'da' d<p', (2.116)
85
/ = 2тг §fe{w,-u0) wdw. (2.117)
о
Произведем в (2.116) интегрирование по и за счет б-функ-
ции и, принимая во внимание условие и„ » v , положим
и-и ' „ 1
[ш2-2шш'СО5(0-0/ )+w'2+(ll-u')2f/2 U2Q'
В результате интегралы по штрихованным и нештрихованным
переменным разделяются. Интегрирование по нештрихованным
переменным дает / (2.117), по штрихованным—плотность
электронов п . Таким образом,
[JT)e ~
\пе*п L 27
= еЕп—\ (2.118)
2 сг 2
е 0 е О
Аналогично можно вычислить среднее изменение импульса
выделенных электронов в результате взаимодействия с ионами:
\dP) . = Ц_е_ = z Е е (2 И9)
ей ей
Различие числовых множителей в формулах (2 118) и (2.119)
обусловлено множителем ^/ma + l/m« B выражении (2 16) Для
электрон-ионных столкновений он равен \/т + \/т. ~ \/т ,
для электрон-электронных 2/пг
Подсчитаем теперь полное изменение импульса выделенных
электронов, усредненное по ансамблю:
При
e 0
"0- "cr= °е/тт[иТ-1] >>Ve (2-121)
выражение в квадратных скобках становится положительным. В
этой области (называемой областью убегания) основная масса
электронов под действием электрического поля увеличивает
скорость своего движения в отрицательном направлении оси г,
переходя в режим непрерывного ускорения Отметим, что
положение границы области убегания не зависит от тонкой
структуры функции распределения электронов по скоростям Согласно
(2 106) величина v V~E .пропорциональна VTiT L, те она
определяется только плотностью электронов, если не принимать
во внимание слабую зависимость от температуры через кулонов-
ский логарифм
86
Электрическое поле играет в этой задаче роль
своеобразного вакуумного насоса Оно, увеличивая скорость электронов,
которые попадают на границу области убегания, «отсасывает»
их внутрь области. Образующийся «вакуум» заполняется новыми
электронами, приходящими сюда из основной области. В
результате образуется постоянный поток частиц в область убегания с
их последующим ускорением электрическим полем.
Задача вычисления этого потока с помощью решения
кинетического уравнения для электронов была рассмотрена Г.Драйсе-
ром и А. В. Гуревичем [32,33]. Гуревич предложил для нее
наиболее естественную постановку, сравнивая рассматриваемый
процесс с процессом вытекания воды из большого резервуара
через маленькое отверстие. В соответствии с такой аналогией
гостояние основной массы электронов предполагалось все время
квазистационарным Кинетическое уравнение непосредственно
решалось в области v » v , причем искалось решение, которое
и области тепловых электронов переходит в максвелловскую
функцию По найденному решению вычислялся поток электронов S
из основной области в область убегания. В последующих рабо-
ых был уточнен предэкспоненциальный множитель [34-36], рас-
* мотрен случай плазмы с Z f * 1 [37], учтено влияние
релятивизма [38]. В настоящее время для потока убегающих
электронов принято использовать выражение
п гг -,3(Z f+l)/l6 г Е /(Z л\ )2Е ^
eL crJ L J
W [39,40] задача об убегающих электронах решалась численно.
Расчеты позволили исследовать распределение по скоростям
оыстрых электронов, движущихся в произвольном направлении, а
иг только вдоль поля [40] Это имеет важное значение для
сопоставления результатов теории с экспериментом [41]. В
заключение укажем два обзора [42,43], посвященных поведению
\оегающих электронов в тороидальных системах.
2.4.3. Эффективное электрическое поле, действующее на
ионы. Вернемся еще раз к задаче о взаимодействии быстрых ио-
н.ш с фоновой плазмой и рассмотрим ее с учетом влияния сла-
|")го продольного электрического поля (2 111). В этом случае
i пнетическое уравнение для функции распределения быстрых ио-
)н / должно включать по сравнению с (2.71) два новых чле-
Во-первых, в левую часть уравнения войдет член, описыва-
IIOl1
87
ющий прямое действие поля на ионы or
„о^_Е^ = — cose^-^-^J^l. (2.123)
Во-вторых, в правой части уравнения из-за возмущения
функции распределения электронов / электрическим полем
изменится вид оператора столкновений ионов а с электронами
L Г/а]. В нем появится дополнительный член, учитывающий
отличие функции распределения электронов / от максвелловс-
кой [44,45].
Для расчета этого члена представим функцию распределения
электронов в виде суммы двух слагаемых
U = W + №>е)' ^е> = К») cos9> (2 124)
fjv) — изотропное максвелловское распределение, fAv.Q) —
возмущение, пропорциональное полю. Вклад максвелловского
члена в оператор столкновений L [/ ] известен и уже учтен
в правой части (2 71). Чтобы подсчитать дополнительный член
ZA 1[/а]> нужно найти соответствующие функции /. потенциалы
ф. и фу Для их определения удобнее воспользоваться
уравнениями Пуассона, а не интегральными формулами (2.8). Будем
искать функции 0. и ф как и функцию L, в виде
0^,9) = 0(u)cos9, 0^,9) = 0(u)cos9. (2.125)
Функции ф(и) и ф(и) согласно (2.9) удовлетворяют уравнениям
^аграйЛ'-К0)' (2126)
v *- J v
hlU^E]-**** M <2127>
V ^ J V
Решение (2 126), ограниченное при v = О и v - оо
00 V
0(c) = - j {и J)(w) ^ш + -2 |Дш) ш3 жЛ. (2.128)
у у 0
Аналогично выражается функция ф(и) через ф(и).
оо и
0(и) = - *. Iv |0(ш) dw + i2 |0(ш) ^3 жЛ (2.129)
и U 0
Подставляя в это соотношение выражение (2.128) для функции
ф(и) и меняя порядок интегрирования в двойных интегралах,
получим ^ ^
J оо у оо и
0(и) = ц \v \f(w) w dw + \f(w) w dw-%- \f{w) dw 2 \f(w) w dw У
v 0 и 0
(2 130)
Уравнение для функции распределения ионов а нам нужно
(формулировать в области v ~ t>0 « v , поэтому для функций
ф(и) (2.128) и ф(у) (2.129) можно воспользоваться
разложениями при малых v. Подставляя эти разложения в (2.125),
будем иметь
0,(^,0) = - v cose-^- U(w) dw,
оо ' оо
0^,0) = v cos0-g- \f(w) w2 dw - t/3 cos0*27j \f(w) dw.
0 0
Отметим, что в разложении 0 по степеням v нельзя
ограничиться только первым членом. Он пропорционален v cos0 = v и
не дает вклада в оператор столкновений.
По найденным выражениям для потенциалов 0. и 0. можно
подсчитать дополнительный член в операторе столкновений
'а №<х)у обусловленный возмущением функции распределения
>лектронов электрическим полем
'ixi - -^й^1«-)*{[—к»- чр'М ♦
а е Q
ос u v ** ^
or or
+ ^5 5F(2sin2e^+4;'inecose^]]} (2131>
Рассмотрим в данной формуле выражение в фигурных
скобках Оно состоит из двух членов. Первый обязан своим проис-
м>ждением функции фг второй— 0 Второй член входит с ма-
iKiM множителем т/\0т и может быть опущен.
Теперь обратимся к интегралу, который стоит в виде мно-
кнтеля перед фигурными скобками. Его можно выразить через
и шряженность электрического поля с помощью уравнения ба-
i шса импульса электронов
- Еепе+ Р. = 0, (2 132)
i и- первое слагаемое —импульс, получаемый электронами от
» к-ктрического поля, второе —импульс, который электроны пе-
счают ионам в результате столкнов-ений с ними'
Pi = mel]Lepx]vcosedv (2.133)
11 '.отропная максвелловская функция f(v) вклада в Р. не да-
« i Для подсчета интеграла (2 133) следует воспользоваться
89
формулой (2.16). В силу условия v. « v ионную функцию /.
под знаком шестикратного интеграла можно заменить б-функци-
ей и снять за счет этого тройной интеграл. В оставшемся
тройном интеграле легко провести интегрирование по углам и
получить следующий
Ответил г/ 4 г оо
л nJ2 Z , е п L .
Pi = "-IT- m 6 \f^)dw. (2.134)
о
Выражая из (2.132) и (2 134) интеграл от функции f(w)
через напряженность электрического поля, подставим
полученный ответ в (2 131) с опущенным вторым членом. В результате
будем иметь 2
/(1)г*п ZueE L^pd/g sin9 dfg'] /o iqcx
LaJfcJ = 7ГТШ- cose ЪЪ F-Щ-) <2135)
e f (X *■ J
Выражения (2.123) и (2.135) имеют одинаковый вид и их удобно
объединить:
Zae с dfg г (1)Гг -, Zae Е f_Q dfg sin9 dfg] /01^,
W^ E ЯГ ~ Lke^ot) = —^[cose ЯГ--Ц—М-}' <2•136>
Г = £(1-Za/Zef). (2.137)
Эта величина, введенная в [45], играет для ионов а роль
эффективного электрического поля С ее помощью можно
единообразно описать в кинетическом уравнении два разных фактора-
прямое действие электрического поля и изменение оператора
столкновений ионов а с электронами из-за возмущения
электронной функции распределения / При Z - Z ^ согласно
(2 137) получаем Е* = 0
2.4.4. Взаимодействие быстрых ионов с плазмой при
наличии электрического поля. Линейное кинетическое уравнение для
функции распределения быстрых ионов / при наличии
электрического поля с учетом результата предыдущего пункта имеет вид
ot m I ov v 50. J
= iL^fJ-vWf^pFiv-VyB), (2.138)
где L о —операторы столкновений ионов а со всеми частицами
фоновой плазмы, включая электроны, вычисленные для
изотропных максвелловских распределений частиц (3 Все отличие
уравнения (2 138) от уравнения (2.69) заключается в
дополнительном члене с эффективным полем Е*
90
Чтобы получить качественную картину процесса
взаимодействия ионов а с плазмой при наличии нескомпенсированного
электрического поля (£* * 0), рассмотрим, как и в разд. 2.3,
простейшую модель: пренебрегая в операторах столкновений
L /з[/а] диффузией по v, рассеянием по 0, оставим только
член первого порядка, описывающий торможение ионов а
плазмой. В результате уравнение второго порядка (2.138)
редуцируется к уравнению первого порядка
l]U ZaeE*(^dU s\nQdfd] vl d rh(rAfl
llT~ ""^Г ' ^——mr\ = ^з^иу-
-v(v,e)fa + pF{v-vQ,e), (2.139)
i де коэффициент b(v) и величина т определяются формулами
(2 72), (2.73)
Эффект торможения можно охарактеризовать действием силы
Г, направленной против скорости иона-
т v*b(v)
F = - а " v (2.140)
И интересующем нас диапазоне скоростей (2.76) для коэффици-
« нта b(v) справедлива асимптотическая формула (2.78), кото-
1><1я позволяет записать величину F(v) в виде
F(o) = Zje£cr Hv/vJ. (2.141)
""-iW2^? (2'142,
Исследование функции f(x) показывает, что она достигает
< коего минимального значения в точке х-
а
ничем
3 / о /=• т
^/ЩглгЛ <2143>
3 / о т
I < пи а —ионы водорода и 2, = 0,7, то хп = 0,1, f . = 0,057.
I рлфик функции f(x) приведен на рис. 2 11
Наряду с торможением на ионы а действует сила FF,
обусловленная электрическим полем Она направлена вдоль оси z и
"чределяется эффективным полем Е*
fe= Vе* = [ze-y zleE- <2144>
91
U
■ e Рис. 2.11 График
х0 0,2 0,3 0,4 (2.142)
функции f(x)
В дальнейшем мы будем предполагать, что Z < Z ., Е* > 0.
Составим характеристическую систему уравнения (2.139),
определяющую в рамках принятой модели фазовые траектории ионов а
в пространстве скоростей:
lie
lie
(2.145)
При отсутствии электрического поля фазовые траектории
представляют собой лучи, сходящиеся к началу координат. С
включением поля картина усложняется, причем ее вид существенно
зависит от знака выражения, стоящего в квадратных скобках.
Рис 2.12 Фазовые траектории, ионов а (протонов) в
пространстве скоростей при Е/Е = 0,02, Z = 4,
21 = 0,7. В этом случае электрическое поле
удовлетворяет неравенству (2.146)
92
Если электрическое поле удовлетворяет условию
ЯП 1 Ь* _ 3/3 ™е у
/ 2я т„ ^Г
.еДа-и<'.,.-/я-^г .2,46,
то данное выражение всюду положительно Такое поле, не меняя
общего характера фазовых траекторий, лишь несколько
искривляет их. При этом все они по-прежнему сходятся к началу
координат, что хорошо видно на рис. 2.12
Обратимся теперь к случаю, когда неравенство (2.146)
имеет противоположный знак, но в то же время остается
справедливым условие слабого поля (2.111), лежащее в основе
рассматриваемой модели Для таких полей уравнение
(см рис 2 И) Они
определяют две точки покоя рассматриваемой системы (2 145):
Af1(uJ_=0, i>„ - v] = xxve), M2(v± = 0t i/ц =и1 = x2ve).
Первая из них является седловой, вторая—устойчивым узлом
Сепаратриса, проходящая через точку Му делит
полуплоскость {v±,V\i) на две области (рис. 2 13): область /
расположена левее сепаратрисы, область // — правее. В первой
области фазовые траектории сходятся к началу координат Здесь
действие электрического поля не может остановить процесс
/w = §-
сг
имеет два корня- х и х х < х < х~
Сепаратриса
Область I
Область 11
Рис. 2.13. Фазовые траектории ионов а (протонов) в
пространстве скоростей при Е/Е = 0,09, Z = 4,
Z. = 0,7. В этом случае электрическое поле
удовлетворяет неравенству, противоположному (2.146)
93
торможения ионов а плазмой. Во второй—фазовые траектории
сходятся к точке М^.
Штриховкой на рис. 2.13 выделена подобласть, в которой
выражение в квадратных скобках уравнения (2.145) становится
отрицательным. В ней действие электрического поля
превышает эффект торможения и ионы переходят в режим ускорения,
увеличивая свою скорость (dv/dt > 0) Такое ускорение
быстрых ионов электрическим полем отличается по своему
характеру от явления убегающих электронов* рост скорости в данном
случае ограничен величиной v^
Проведенный анализ не дает полного описания процесса. Он
не учитывает диффузии и углового рассеяния, которые
нарушают детерминированное изменение скорости ионов а в
соответствии с характеристической системой (2.145), размазывая
описанную картину Все же такой анализ полезен он позволил
нащупать ряд особенностей процесса, обнаружить интересный
режим ускорения части ионов электрическим полем, установить
условия возникновения этого режима Теперь, зная
предполагаемый ответ, его можно проверить и уточнить с помощью чис-
Рис 2.14. Стационарное решение уравнения (2 138) для
плазмы с параметрами (2 89), (2.90) при двух значениях
электрического поля (2 148). Поле Е] удовлетворяет
неравенству (2 146), поле £ —неравенству
противоположного знака
94
ленного решения уравнения (2.138). Некоторые результаты
расчетов, соответствующие плазме с параметрами (2.89), (2.90)
при инжекции ионов водорода (£Q = 20 эВ, GQ = 30 ), даны на
рис. 2.14.
Здесь показано стационарное решение уравнения (2.138) при
двух разных значениях напряженности электрического поля:
Ел = 0,043 Е , Е0 = 0,094 Е . (2.148)
1 сг 2 сг v '
Решение того же уравнения при нулевом поле приводилось ранее
на рис. 2.86. Сравнение рис. 2.86, и 2.14а, 6 позволяет
проследить, как перестраивается функция распределения f по
мере увеличения Е
Поле Е. удовлетворяет неравенству (2 146) и,
следовательно, не может пересилить торможение ионов а плазмой Оно
юлько замедляет это торможение В результате на рис. 2.14а
мы получаем картину, качественно аналогичную картине на
рис 2 86, но с уменьшенным числом «холодных» ионов Поле £2
удовлетворяет неравенству, противоположному (2 146). В дан-
пом случае ионы ос, источник которых находится в области //,
могут перейти в область / и затем затормозиться только за
■ чет рассеяния и диффузии Поэтому число «холодных» частиц
па рис. 2 146 существенно меньше, чем на рис. 2.14а и тем
оолее на рис. 2.86. В то же время за счет действия поля
возрастает число быстрых ионов с большой продольной скоростью.
2.5. Задача о поддержании тока в плазме ВЧ-метода ми
2.5.1. Кинетическое уравнение для электронов В последние
|<>ды резко возрос интерес к теоретическому и
экспериментальному исследованию взаимодействия электромагнитных волн с
имазмой. ВЧ-методы широко используются как для нагрева
плазмы, так и для поддержания в ней электрического тока
Последив v открывает заманчивую возможность создания стационарного
и'камака, в котором продолжительность разряда не ограничена
г<> [ьт-секундами, запасенными в индукторе
В данном пункте мы обсудим математическую модель процесса
■ойкания тока в плазме электромагнитными волнами в диапазоне
ни кпегибридной и электронно-циклотронной частот. Основу мо-
и hi составляет кинетическое уравнение для электронов
dJf= LjLfe-\-LHF[fe]. (2.149)
95
Здесь первый член в правой части описывает кулоновские
столкновения электронов между собой и со всеми ионами.
Р
второй— усредненное взаимодействие электронов с ВЧ-полем.
Для кулоновских операторов L g мы будем пользоваться
выражением (2 37), в котором коэффициенты ао, br>, Сг>
вычисляются по формулам (2.41), (2 42), соответствующим изотропным
максвелловским распределениям частиц. Такой выбор операторов
основан на предположении, что взаимодействие с волнами слабо
возмущает распределение частиц в области их тепловых
скоростей. Для оператора LHF возьмем выражение, которое дает
квазилинейная теория [46-49]:
lhM * Lb,*?]- (2151)
Тензор диффузии, описывающий рассеяние электронов на волнах,
зависит от их типа, спектрального состава и плотности энер-
Резонансная
область
■(Л
Л I I Z!1
5 "е
Рис. 2 15. Резонансная область в пространстве
скоростей, в которой электроны сильно взаимодействуют с
ВЧ волнами
гии колебаний. В замагниченной плазме волны наиболее сильно
взаимодействуют с электронами, для которых выполнено условие
резонанса
0)- ПО)
Вуе
fc„i/„, л = 0, ±1, ±2,
(2.152)
Для каждого типа волн оно определяет в пространстве
скоростей резонансную область
vx < ^и < v2 (2 153)
(рис. 2 15). В этой области осуществляется интенсивное
взаимодействие волн с электронами и компоненты тензора диффузии
96
максимальны, а за ее пределами они практически равны нулю.
Ширина области и положение ее границ определяются разбросом
продольных фазовых скоростей v. = &)/&.. в спектре
возбуждаемых волн. В дальнейшем мы будем предполагать, что скорость
о которая определяет левую границу разонансной области
(см. рис. 2.15), значительно превышает тепловую скорость
электронов. В этом случае волны возмущают хвост функции
распределения электронов , в то время как в области тепловых
электронов она остается близкой к максвелловской.
В результате рассеяния на волнах резонансные электроны
получают от них энергию и импульс. Это нарушает симметрию в
распределении электронов по продольным скоростям и приводит
к возникновению тока. Плотность тока и плотность ВЧ-мощно-
< ги, поглощаемой электронами, определяется формулами
/„ = ф/'ndv, (2.154)
. т v
Важной характеристикой является отношение этих величин, ко-
трое называют эффективностью
S = /,,/Янр . (2 156)
Ниже будет рассмотрена задача о поддержании тока в плазме
электромагнитными волнами в диапазоне нижнегибридной и элек-
iронно-циклотронной частот Обзоры теоретических работ по
проблеме неиндукционного поддержания тока даны в [50—52].
2.5.2. Генерация тока электронно-циклотронными волнами.
Эксперименты по нагреву плазмы и поддержанию в ней тока
"юктронно-циклотронными волнами описаны в работах [53—56].
Мри напряженности тороидального магнитного поля В ~ 20*
М) кГс, характерного для современных токамаков, циклотронная
млстота электронов изменяется в диапазоне (3,5*7,0)-10 с~ .
Поглощение волн электронами, для которых выполняется ус-
ижие циклотронного резонанса, приводит к увеличению их по-
п* речной скорости В соответствии с этим оператор LHF
принимает в данном случае вид [49]
я f
'•чесь D —коэффициент поперечной диффузии на электронно-
циклотронных волнах, который определяется спектральной плот-
I Ю Н Днестровский, Д П Костомаров
97
ностью энергии в плазме. В дальнейшем при проведении
расчетов мы будем считать его постоянным в резонансной области и
равным нулю вне ее:
(О
„ = const, v. < v., < v0<
Остальные компоненты тензора диффузии на
электронно-циклотронных волнах положим равными нулю.
Сделав ряд упрощающих предположений, проведем сначала
аналитическое исследование задачи. Это позволит выяснить
качественные закономерности процесса и установить характер
зависимости интересующих нас величин от параметров плазмы.
Будем считать процесс стационарным, тогда кинетическое
уравнение (2.149) примет вид
LJ.fe] + LHF[fg] = 0. (2 159)
Предположим далее, что мощность ВЧ-излучения мала, так что
главным в уравнении (2.159) является кулоновский оператор, а
оператор LHF играет роль возмущения. Область резонансных
электронов (2.153), где он действует, соответствует надтеп-
ловым скоростям v > v . Это позволяет воспользоваться для
коэффициентов кулоновских операторов (2.37) асимптотическими
формулами (2.44) при больших значениях аргументов и оставить
в операторах столкновений с ионами L . только член углового
рассеяния. Диффузией и динамическим трением, обусловленными
столкновениями быстрых электронов с ионами, можно
пренебречь, поскольку они в т/т. раз меньше аналогичных членов в
операторе L . В результате этих упрощений оператор
кулоновских столкновений принимает вид
(2.160)
4 2 3
где 4пе п L/m = v/t , т —простейшее время релаксации
электронов (2 50).
В соответствии с теорией возмущений будем искать решение
уравнения (2.159) в виде
fe(v,e) = f0(v)[\ + <Kvte)i (2.161)
Здесь fJv)—максвелловское распределение электронов,
которое с учетом (2.160) удовлетворяет уравнению (2.159) в
нулевом приближении: L [L] = 0. Функция 0(и,0) описывает возму-
98
щение, обусловленное оператором LHF (2 157). Она
определяется из уравнения первого приближения
LJ_f04>] + ^НРГ/0] = 0 (2-162)
при естественном граничном условии на бесконечности
\imfJv) 0(и,9) = 0. (2.163)
у-* 00
Перейдем к обсуждению процедуры подсчета плотности тока
/ Подставляя (2 161) в (2.154) и полагая v± = v cosG,
получим
/в|С = е Jfli/,9) fQ(v) ucosG dv (2 164)
Легко проверить, что для оператора L (2.160) на классе
достаточно гладких функций ф и g имеет место равенство
lgLJifQ<P]dv = feLJ_f0g]dv. (2.165)
Пусть функция g удовлетворяет уравнению
*eLeU0g] = f0% cosG (2.166)
е
при граничном условии на бесконечности типа (2 163). Тогда,
используя (2.162), (2.164), (2.165), можно преобразовать
выражение для тока (2 164) к виду
/в,с= -eve\!sLHF[fQ}dv. (2.167)
Новая форма ответа вместо функции ф содержит функцию g,
удовлетворяющую более простому уравнению (2.166). Его
особенность заключается в том, что зависимость неоднородного
члена в правой части от угла 0 выражается через первый
полипом Лежандра* PJcosQ) = cos0. С учетом структуры угловой
части оператора L (2.160) это позволяет искать решение в
ниде
g(v,G) = G(x)cos0, x = v/ve. (2.168)
Для функции G(x) согласно (2.166) получается обыкновенное
дифференциальное уравнение
^мм-^'-Ы0"*3 (2169)
Нас интересует решение в области достаточно больших х:
\ > v./v > 1, удовлетворяющее условию типа (2.163) на
бесконечности. Такое решение можно искать в виде асимптотиче-
< кого ряда по обратным степеням X'
О(х) = lamxk'm. (2.170)
m=0
1 99
Подставляя (2 170) в (2 169), получим 2
* = 4' а0=-&Г.' й Г °> am+2 = am2(i-m?l .)•
ei v er
Оставим в разложении (2 170) два первых члена, которые не
ограничены на бесконечности и поэтому дают главный вклад в
интеграл (2.167) для плотности тока /. В этом приближении
При подсчете плотности тока положим для простоты v = со.
Подставляя (2.168), (2.171) в интеграл (2.167), будем иметь
en v D Зил 2 г 3(4+Z ,) 1 .
^--^^•М'-^Ы- (2,72)
где и. = vjv , D = ^ /т —характерное значение
коэффициента кулоновской диффузии электронов Величина дроби D /D
определяется соотношением между интенсивностями двух
конкурирующих процессов, возмущением распределения электронов по
скоростям в результате взаимодействия с
электронно-циклотронными волнами и максвеллизациеи в результате кулоновских
столкновений. Приближение теории возмущений основано на
предположении, что эта дробь является малым параметром.
Обратимся теперь к подсчету плотности ВЧ-мощности,
поглощаемой электронами. Согласно формулам (2.155), (2.157)
v О
Выполним дважды интегрирование по частям по переменной Vjj.
V 00
Р = 4uD \dv» Г/ v±dv± = 2т п D , (2.173)
е, с е, с J II J'е -1- -1- е г е,с у '
v} 0
где п —плотность резонансных электронов Формула (2 173)
является универсальной, однако, чтобы ею воспользоваться,
нужно иметь возможность вычислить п В нашем случае
распределение электронов f (2 161) близко к максвелловскому.
Ограничиваясь главным членом f ~ fQ и полагая v = со, имеем
Р = т п D —] fl - i- 1 (2 174)
Теперь можно рассчитать эффективность генерации тока
электронно-циклотронными волнами. Согласно (2.172), (2.174)
9
ет Зи r 15+4Z f 1 -ч
5в,с = ^-^(1+ЩТ7Т)У- (2175)
' ее ef *- v ef7 U ,J
100
Размерный множитель exJm v в формуле (2.175) используется
обычно в качестве масштабной величины, в единицах которой
принято измерять эффективность
Формулы вида (2.172), (2.174), (2.175) в приближении
Лоренца были получены в [57-59]. В соответствии с характером
приближения они содержали вместо множителя (5+Z .)~ просто
-1
множитель Z f Кроме того, в разложении по обратным степе-
2
ням w в них удерживался только главный член. Полные
выражения (2.172), (2.174), (2.175) выведены в [60-62].
Численному решению задачи о возбуждении тока с помощью
электронно-циклотронных волн посвящены работы [53,58,59,61—
64]. В [63] решалось двумерное стационарное уравнение
(2 159) с асимптоти1 еским кулоновским оператором (2.160).
Характерная особенность работы [53] состоит в том, что куло-
новский оператор L брался нелинейным: коэффициенты
оператора рассчитывались по искомой функции / , а не по максвел-
ловскому распределению. К существенному различию с решением
линейного уравнения это не привело. В [58,64] в кулоновский
оператор включались неоклассические поправки, учитывающие
эффект тороидальности. На этих работах остановимся в п. 2.5.4.
В заключение обсудим результаты расчетов, представленные
на рис. 2.16 и 2.17. При их проведении стационарное уравне-
Рис 2 16. Зависимость функции распределения э^ектро-
HOg от скороости для четырех, направлений (8 = 0, 45 ,
90 и 180 ) в случае "электронно-циклотронных волн.
Штриховая линия соответствует максвелловскому
распределению
101
ние (2.159) записывалось в сферических координатах v, 0, к
которым преобразовывался оператор LHp (2 157). Для кулонов-
ских операторов L г> использовались полные выражения (2.37).
Это позволило вести счет по единым формулам как в области
тепловых скоростей, так и в резонансной области. На основе
метода, описанного в п. 2.3.4, строилась консервативная
разностная схема, сохраняющая число частиц.
На рис. 2.16 представлены профили распределения
электронов по скоростям для четырех направлений: 6 = 0, 0 = 45 ,
0 = 90°, 0 = 180°. Расчеты проводились для водородной плазмы
при следующих значениях параметров: D /D = 1, и, = 2,8,
в, с с 9 9
ип = 3,5, Т. = Т . По оси абсцисс отложена величина v /v в
2 i е „ ' е
линейном масштабе, по оси ординат v f в логарифмическом
масштабе. Максвелловскому распределению соответствует на
этом рисунке прямая линия.
Направления скоростей электронов, ускоряемых электронно-
циклотронными волнами, изменяются в пределах от 0 = 0 до
0 = 90°. Этот факт, а также эффект углового рассеяния
объясняет, почему три кривые, 0 = 0°, 0 = 45°, 0 = 90°, в области
больших скоростей, сильно отличаясь от максвелловского
графика, идут в то же время близко друг к другу. Область 0 >
> 90 обогащается быстрыми электронами только в результате
углового рассеяния. Поэтому четвертая кривая 0 = 180° лежит
enRi
meve
Рис. 2 17. Зависимость плотности индуцированного тока
и эффективности от D /D
102
ниже первых трех, но существенно выше графика максвелловско-
го распределения.
Обратим внимание на то, что кривая 8 = 0 для скоростей,
меньших нижней границы резонансной области v , имеет по
сравнению с максвелловским графиком небольшой провал. Он
образуется потому, что часть электронов выносится из этой зоны
в резонансную область, где начинает ускоряться волнами в
направлении Uj_.
На рис. 2.17 приведены графики зависимости
индуцированного тока и эффективности от отношения D /D . В области
малых значений аргумента результаты расчетов хорошо
согласуются с формулами (2.172), (2.175), полученными с помощью
аналитического решения задачи.
2.5.3. Генерация тока нижнегибридными волнами. В
последние годы на ряде токамаков были проведены успешные опыты по
поддержанию тока с помощью электромагнитных волн в диапазоне
нижнегибридной частоты [65-68]
0) ~ м u = 0)о У (о)2 .+и>1 .)/(0)2 +<£ ) , (2.176)
LH В,е v pyi B,i//y pye В,е; v '
где о>п ., 0)п — ларморовские, о> ., 0) —плазменные частоты
В, i В,е г г р^ ре
ионов и электронов. Нижнегибридные волны, эффективно
поглощаясь в плазме резонансными электронами, сообщают им
продольное ускорение и возбуждают электрический ток. В
соответствии с этими особенностями процесса оператор LHF (2.151)
принимает в данном случае вид [69,70]
ьМ = к;Ыщ) <2177>
Здесь А н~коэффициент продольной диффузии на нижнегибридных
волнах. Его величина и функциональная зависимость от
скорости определяются спектральной плотностью энергии колебаний в
плазме
В дальнейшем при проведении расчетов мы будем считать
аналогично (2.158) D,H постоянным в резонансной области
(2 153) и равным нулю вне ее
(D н = const, и < v» < и0,
1.0. I»,, <vy v2< «„
Как и в предыдущем случае, начнем исследование задачи с
построения аналитического решения в рамках упрощенной моде-
103
ли. При малой мощности ВЧ-излучения решение опять может быть
получено с помощью метода теории возмущений. Не повторяя
вычислений, аналогичных вычислениям п. 2.5.2, сразу приведем
окончательные формулы для интересующих нас величин [60,62]:
* 2
D. цт АиАле~и\ г 9(4+Z ,) л л
у = env _Ш_£ ! Г1+ ef 1J (2179)
е v e I ' 1
D. „яг /г ы, 2 г < -,
Р = LH g е 1е-И] f1 + l_ I (2180)
LH Vff «• 2и^
о '
ет \и. г 30+7Z f | л
SLH = TiTU (5+Z ,)[1 + 4(3+/f)"~2j (2181)
е е v ef7 *- v ef' U ,J
Отметим одинаковую зависимость главных членов в формулах
(2.175) и (2 181) для эффективности S и S,H от параметров
плазмы вплоть до множителя (5+Z Л~ .
В [69,70] был развит другой метод аналитического
исследования задачи, основанный на сведении двумерного
кинетического уравнения (2 149) к одномерному. Такое сведение основано
на следующих предположениях. Выражение для оператора LHF
(2.177) показывает, что взаимодействие с нижнегибридными
волнами возмущает распределение электронов по продольным
скоростям.
В результате кулоновских столкновений это возмущение
передается также на распределение по поперечным скоростям,
однако оно искажается слабее и остается близким к максвеллов-
скому Поэтому естественно искать приближенное решение
задачи в виде
К = пе— 2 ехр Г- -J"] F(/,u„), (2 182)
е е
где функция F(tyVi,) удовлетворяет условию нормировки
F(/,u„) flfo,, = 1. (2.183)
Уравнение (2 149) (с (2 160), (2.177)), преобразованное к
цилиндрическим координатам v±, t/м, не допускает разделения
переменных, и функция (2.182) в обычном смысле ему
удовлетворять не можег Поэтому потребуем, чтобы уравнение
выполнялось «в среднем», понимая под этим следующую процедуру
[69,70]
Подставим (2 182) в это уравнение, умножим полученные
выражения на v± и проинтегрируем по этой переменной Равенство
j
104
проинтегрированных выражений, в которых исключена
зависимость от поперечной скорости и осталась только зависимость
от продольной скорости, дает одномерное уравнение для
функции F
8F
FT
feHK^n)^-+
Стационарное решение уравнения (2.184) имеет вид
fii/и
F(vn) = £ ехр{- Г* ^ „du\
(2.185)
о -л(и)|
где множитель С определяется из условия нормировки (2.183),
функция а(и) задается формулой
о т D.„(uv )
а(и> ~ 2Т7~7 2
(2.186)
В случае кусочно-постоянного коэффициента диффузии D\Jiv\\)
(2 178) функция а(х) также является кусочно-постоянной-
а(и) =
ZTZ~fa0'
ef
V л /V < U < Vn/V
1 ' О 9' Р
и < v./v
Л' 4-
v2/vg < и.
i де
ао =
е LH
(2.187)
(2.188)
V ~ С
е
Чдесь, как и в предыдущем случае, Dc = и^/т^ —характерное
значение коэффициента кулоновской диффузии электронов. Таким
образом, параметр осп характеризует соотношение между интен-
сивностями двух конкурирующих процессов: возмущением
распределения электронов по скоростям в результате взаимодействия
<* нижнегибридными волнами и максвеллизацией за счет кулонов-
< ких столкновений
При малых aQ распределение (2.185) близко к максвеллов-
< кому С увеличением этого параметра в резонансной области
появляется возмущение, которое при больших а0, в полном со-
• чветствии с общими представлениями квазилинейной теории,
превращается в почти горизонтальное плато:
^п)
-ехр
2+Z
1 ef [_<? е ]
v2' % hv
v\ * vw
< t/,
2'
(2.189)
По найденной функции распределения электронов (2.182),
( ' 185) можно подсчитать ток и поглощаемую ВЧ-мощность. Фор-
105
мулы (2.154), (2.155) в данном случае принимают вид
оо
/ш = вПе J tf (°ll) " F(~V\\ >] °ll dv\\' <2-19°)
и1
и1
При малых aQ отсюда получаем
en v <х„
ef
^ 1 W^
LH meVeT^eiTJiI^J'
где
"2 _ 2 и v
Is(uvu2) = \ е u us du, u] = - , w2 = - , 5 = 2, 4.
По мере увеличения aQ и образования у функции распределения
F в резонансной области плато происходит замедление роста
тока и поглощаемой мощности. При aQ->oo эти величины,
монотонно возрастая, стремятся к конечным предельным значениям,
которые легко подсчитать с помощью формул (2.15), (2.190),
(2.191):
2
'lh = enve-\Ce-u\{ul-u\),
PLH = me"A<2+Zef) Ce~U] ln( W' (2193)
_^e_ 1 (и1~иЬ
\н = meve^T{2\n(u2/u])-
Следует отметить, что эффективность в обоих предельных
случаях одинаково зависит от параметров плазмы. Дополнительные
множители определяются положением границ резонансной области.
Представляет интерес сравнение формулы (2.192),
определяющей эффективность при малых ocQ, -с формулой (2.181), которая
была получена в этом же приближении с помощью метода теории
возмущений При выводе формулы (2 181) дополнительно
предполагалось, что iiy = oo, aw достаточно велико Используя
аналогичные предположения, получим следующую асимптотическую
формулу для отношения интегралов / и / •
/4//2 = и] (i+ !/«;).
106
В результате формула (2.192) принимает вид
2
е е ef L U .J
Сравнение (2.181) и (2.194) показывает, что главные члены в
них различаются только множителями, описывающими зависимость
от эффективного заряда ионов Z f. в первом случае множитель
имеет вид 4/(5+Z f), во втором—(2+Z Л~ .
С математической точки зрения метод теории возмущений в
пределах своей применимости при малых а является достаточно
последовательным и строгим. Оценить же степень достоверности
метода одномерного уравнения, основанного на насильственном
разделении переменных в двумерном уравнении, труднее. В
определенной степени это позволяет сделать проведенное выше
сравнение (2.194) с полученной более строгим методом
формулой (2.181). Хотя метод одномерного уравнения дает более
грубый ответ, отказываться от него не стоит Он не связан с
предположением о малости ocQ, так что формулы (2.189)-
(2.191) и вытекающее из них выражение для эффективности S,H
позволяют исследовать решение задачи в более широком
диапазоне параметров, чем формулы теории возмущений. При этом для
повышения точности результатов можно умножить ток /. н и
эффективность S н на корректирующий множитель
k = 4(2+Zef)/(5+Zef) (2.195)
Идея коррекции ответа была предложена в работе [71] Авторы
пришли к ней, оценивая роль возмущения распределения
электронов по поперечным скоростям. Полученная нами уже после
опубликования работы [71] формула (2.181) является дополни-
1сльным аргументом в ее пользу. С учетом коррекции метод
одномерного уравнения будет давать результаты, совпадающие при
малых ос0 с результатами теории возмущений.
Для более детального количественного анализа процесса в
\<\ловиях реальных экспериментов, для уточнения условий
применимости и степени точности различных аналитических формул
необходимо рассмотреть задачу в полной постановке и решать
.г численно [53,62,63,70].
Некоторые результаты расчетов представлены на рис 2.18 и
' 19 При их проведении, как и в предыдущем разделе,
стационарное кинетическое уравнение записывалось в сферических ко-
107
ординатах v, 9, к которым преобразовывался оператор LHF
(2 177) Для кулоновских операторов L о использовались
полные выражения (2 37) Расчеты проводились по консервативной
разностной схеме, сохраняющей число частиц
На рис 2 18 показана зависимость функции распределения
электронов от скорости для четырех направлений. 9 = 0 ,
9 = 45°, 9 = 90°, 9 = 180° Расчеты проводились для водород-
следующих значениях
0
-5
-10
- N.
10
Г"
Ч
20
Г"
Гч" ^— —
ч ■—■"■ =
^-^ ч
30
!
параметров:
2
V
.9=45°
90°
0°
180°
ос,
о
1,
Рис 2.18. Зависимость электронной функции
распределения от скорости в четырех направлениях (9=0, 45 ,
90 и 180 ), в случае нижнегибридных волн Штриховая
линия соответствует аналитическому решению задачи
(2.182), (2.185)
и* - 2,8, ^2 = 3,5, Т. = Т . По оси координат отложена ве-
2 2 3
личина v /v в линейном масштабе, по оси абсцисс v f в ло-
гарифмическом масштабе. На графике, соответствующем
распределению электронов по продольной скорости 9=0, хорошо
видно почти горизонтальное плато в резонансной области
Распределения по трем" остальным направлениям, включая 9 = 180 ,
также заметно отличаются от максвелловского
Рис. 2 18 позволяет сравнить функцию распределения
электронов, полученную с помошью решения полного уравнения, с
приближенным аналитическим решением (2 182), (2.185)
Графики аналитического решения при 9 = 0°, 9 = 90°, 9 = 180°
показаны на рис 2 18 штриховой линией Согласно формулам
(2 182), (2.185) распределения по поперечным скоростям:
9 = 90 и по продольным скоростям в отрицательном
направлении: 9 = 180 являются максвелловскими На рис 2 18 макс-
велловскому распределению соответствует штриховая прямая ли-
108
meve
Рис. 2.19 Зависимость плотности тока и эффективности
от а = D.H/D в случае нижнегибридных волн. Штриховые
линии соответствуют аналитическому решению задачи
пия Сравнение графиков показывает, что в области больших
< коростей аналитическое решение передает решение полного
\равнения весьма грубо.
На рис. 2.19 показана зависимость плотности тока и эффек-
швности от а Значения остальных параметров такие же, как
и на рис 2 18. Штриховой линией построены графики для тока
и эффективности, рассчитанные с помощью аналитического
решения по методу одномерного уравнения с учетом корректирующего
множителя (2 195). Напомним, что при такой коррекции данное
Решение совпадает при- малых а0 с аналитическим решением по
mi*году теории возмущений
2.5.4. Роль запертых электронов в генерации тока
электронно-циклотронными волнами. Специфика ускорения электронов
• ■к'ктронно-циклотронными волнами приводит к тому, что их
функция распределения / оказывается обогащенной в области
11 *- v\\ « v±
Расчеты, описанные в п. 2.5 2, показывают, что эта группа
'истиц дает заметный вклад в возбуждаемый ток Однако в ре-
i ibiibix условиях установок токамак электроны с большим
отпоим нием v±/v,i оказываются запертыми (см п 1 3.3). Совершая
109
движение по банановым траекториям, они дважды за период
обращения меняют знак продольной составляющей скорости ип и не
переносят тока Это снижает эффективность. Таким образом,
для завершения исследования метода возбуждения тока
электронно-циклотронными волнами нужно оценить роль тороидальных
эффектов.
Область запертых электронов в пространстве скоростей
определяется неравенством
|я/2-9| < 9
(2.196)
(рис. 2.20), где для среднего значения угла 6. на
магнитной поверхности радиуса р имеем 0 = Ve, с = p/R.
Тороидальные эффекты могут проявиться в режиме, когда
период обращения электронов по банану т
(см. формулу
(1.37)) меньше характерного времени электронно-ионных столк-
Ооласть
запертых
электроноб
Резонансная
область
Рис. 2.20. Область резонанса и область запертых
электронов в пространстве скоростей
новений т . (2 60). В этом случае запертые электроны
успевают завершить обход раньше, чем в результате столкновений они
перейдут на другую траекторию. В процессе движения они меня-i
ют продольную скорость v„ по величине и направлению. Внешне|
это проявляется как быстрое перемешивание электронов в обла?
сти (2.196) по углу 0
В работах [61,62] предложено феноменологически описывать
такой процесс включением в кинетическое уравнение (2.149
дополнительного члена
а/.
WU = iTiTele(sine-y3an(0)3Se]
(2.197
110
Эффективную частоту перемешивания v (9) положим постоянна/
в области (2.196) и равной нулю вне ее:
v (9) =
v = const, |я/2 -91 < 9 ,
зап ' i / i зап
О,
|тг/2-9| > 9q
(2.198)
За величину v примем характерную частоту обращения
запертых электронов по бананам на рассматриваемой магнитной
поверхности р.
На рис. 2.21 приведены результаты численного решения
уравнения (2.149), в правую часть которого добавлен оператор
(2 197). Показана зависимость эффективности 5 от угла раст-
0,1
0,015
JO Л
trap
Рис. 2.21. Зависимость эфективности от конического
угла 9 области запертых электронов для трех значений
отношения D /D : 0,015, 0,1 и 0,35
г,</ с
пора области запертых электронов 9 . Расчеты проводились
1мя водородной плазмы при трех значениях отношения D /D :
<» 015, 0,1, 0,35 и следующих значениях остальных параметров:
//. = 2,8, ип = 3,5. Увеличение угла 9 расширяет область
12 J зап v v
( ' 196), в которой оператор (2 197) уменьшает асимметрию в
р определении электронов по продольной скорости u.i, уменьшая
•Ффективность
В [58,64] для учета эффекта тороидальности использован
«ругой подход. В кулоновский оператор L включалась неоклас-
• ичоская поправка, учитывающая в усредненном виде тороидаль-
tt'Mib Предполагалось, что взаимодействие с волнами приводит
■минь к небольшому отклонению функции распределения электро-
111
нов f от максвелловской. Для возмущения формулировалось
неоднородное уравнение и его решение строилось в виде ряда по
полиномам Лежандра. Для коэффициентов разложения ф (v)
получалась бесконечная зацепляющаяся система уравнений, которая
решалась численно. В работе [58] из всей системы выделялось
только одно уравнение п = 1, поскольку функция 0Av) необхо-
smeve
ет£
Рис. 2 22. Зависимость
эффективности от параметра
Сплошная линия
и = v\/v2
V е
соответствует вычислениям с
использованием оператора
1 (2 197), штриховая —резуль-
w e тату, полученному в [2.64]
JV-L
дима для вычисления тока. В работе [64] решалась система
нескольких уравнений Проведенные там расчеты, в частности,
показали, что учет в системе одного уравнения дает грубое!
приближение.
На рис. 2.22 приведены результаты расчетов [58], которые
позволяют сравнить две модели учета эффекта тороидальности.
На нем показана зависимость эффективности S от параметру
2 2/2 « 1
и. = v./v , характеризующего положение левой границы резо4
нансной области. Приведены кривые, соответствующие с = О,
с = 0,03, с = 0,1 (в =0°, 0 = 10°, в = 18°)
v зап зап зап '
следующих значениях остальных параметров: D JDr = 10
и = и . + 0,1, Т.-Т. Сплошные линии соответствуют нашж(
расчетам, штриховые —расчетам из работы [64]. Несмотря н|
различие в выборе математической модели совпадение результд
тов хорошее
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ МГД-ПРОЦЕССОВ
3.1. Основные системы уравнений
3.1.1. Уравнения переноса. Кинетические уравнения,
описанные в предыдущей главе, весьма сложны для исследования. В
первую очередь это связано с большим числом независимых
переменных, от которых зависит функция распределения /(^,r,v).
Однако описание многих процессов с помощью функции
распределения является слишком детальным, содержащим избыточную
информацию. Оно может быть заменено более грубым описанием на
языке моментов функции распределения, полученных усреднением
по скоростям и зависящих только от пространственных
переменных и времени. Проблема состоит в том, чтобы построить для
них замкнутую систему уравнений и установить пределы ее
применимости.
Пусть плазма образована несколькими сортами частиц /
(электронами / - еу основными ионами / = /, ионами
примесей). Усредняя кинетическое уравнение для каждого сорта
частиц по скоростям, построим формальную систему уравнений
относительно моментов [1,2]:
дп.
g^+diV^.V.) = О,
d v.
1
d.T. \ ' О-»)
л Г 1 1
т.п. -A-1* Vp. + div п. = Z.en. E + -[v.xB] + R.
о
г>п.Л l + p. div v. + div q, + (rc.V) v. = Q.,
2 j dt f j j 4/ v / ; / ^/
'/ = Vr li'h + W)
Здесь п. и v. —соответственно плотность и средняя скорость,
р. —давление, я. —тензор вязкости, Е, В —соответственно
электрическое и магнитное поле, Z. — относительный заряд иона
(для электрона Z. = -1), Г. —температура частиц, q. —поток
теплоты, R. —сила трения, возникающая за счет кулоновских
113
соударений, Q. —теплота, выделяющаяся при столкновениях с
частицами других сортов. Выражения для функций, входящих в
систему (3.1), через функцию распределения /. и интеграл
соударений приведены в [2]. Они нам здесь не понадобятся.
Система (3.1) должна быть дополнена уравнениями Максвелла.
rotE = -~rfy, rot В = ^j, divB = 0. (3.2)
В уравнениях (3.2) мы опустили ток смещения, так как им
можно пренебречь для достаточно медленных движений,
рассматриваемых в настоящей книге.
Система (3.1), (3.2) незамкнута. Число уравнений
существенно меньше числа неизвестных функций. Для одного сорта
частиц насчитывается 18 неизвестных функций: я., v., 7\, я.,
q., R., Q., а уравнений только 5. Кроме того, на 9 функций,
описывающих поля и токи: Е, В, j, имеется только 7
уравнений. Такова цена, которую приходится платить за
использование процедуры усреднения кинетического уравнения.
Задаче установления дополнительных связей между
функциями, входящими в систему (3.1), (3.2), посвящена обширная
литература [1,2]. Обычно используются упрощающие
предположения, имеющие достаточно общий характер: близость функции
распределения каждого сорта частиц к локальному максвеллов-
скому распределению, малость искажения функции распределения
при воздействии электрического поля и т. д. Однако, как
правило, таких общих предположений оказывается недостаточно, и
при решении конкретных задач приходится требовать выполнения
более жестких условий.
Если каким-либо способом установлены линейные или
квазилинейные дополнительные связи между функциями, входящими в
систему (3.1), (3.2), и их производными, то коэффициенты в
найденных соотношениях называют коэффициентами переноса.
Полную же систему уравнений, состоящую из уравнений (3.1),
(3.2) и дополнительных связей, называют уравнениями переноса.
3.1.2. Двужидкостная гидродинамика. Рассмотрим двухкомпо-
нентную ион-электронную плазму с одним сортом ионов.
Простейшую систему уравнений переноса мы получим, если
пренебрежем вязкостью и термосилой [2].
* s, mm.
тт. = тг = 0, R = -R = -4—£(v.-v ), j = (Zny.-n v ) е, (3.3)
i е i е Т v i е' J v i i i e e' v '
114
и будем считать Т. (rj) заданными функциями. Здесь т —
время передачи импульса от электронов к ионам (2.60). В этом
случае в (3.1) остаются только два первых уравнения:
^ + div(n.v.) = 0, т.п. ^L-J + Vp. = Z.^E+^vxB]] + R, (3.4)
где p. = п.Т.. Система (3.4) совместно с (3.3) и уравнениями
Максвелла (3.2) обычно называется системой уравнений двужид-
костной гидродинамики Первое из уравнений (3.4) носит
название уравнения непрерывности, второе — уравнения движения.
Система (3.2)-(3.4) пригодна для описания движения плазмы, в
которой установилось локальное максвелловское распределение
по скоростям. В задачах, где существенна анизотропия в
пространстве скоростей, вызванная, например, внешним магнитным
полем, нужно использовать более общие, чем (3.3), формулы.
Часто оказывается достаточным, сохраняя в целом систему
(3 4), ввести соотношения, учитывающие анизотропию трения:
m n r л
*/ = - К = т^е {aii(\-irveii)+ °^v -v4 <3-5>
е i L J
и заменить Vp. в (3.4) на Ч±р.±+ Ч\\Р-\\- Здесь р.ц = яТ.,, и
р.± = п.Т.± — давления вдоль и поперек магнитного поля, 7\., и
Т .± — средние энергии частиц в этих направлениях. В сильном
магнитном поле а.. = 0,51, а± = 1.
3.1.3. Одножидкостная гидродинамика. Система уравнений
(3 4) все еще достаточно сложна. Целый ряд задач может быть
рассмотрен в более грубом приближении. Пусть по-прежнему
плазма состоит из двух сортов частиц —ионов и электронов.
Введем новые неизвестные функции—массовую плотность плазмы
р и скорость V
р = п.т.+ п пг , V = (n.m.v.+ n m v )/p (3.6)
r i i е е х i i i е е е" г у '
Будем рассматривать достаточно плотную плазму, в которой
выполняется условие квазинейтральности
\п.-пе\ « пе. (3 7)
Кроме того, будем считать, что
vjv. « m/m, ^ . = | v . |. (3.8)
.-)то условие весьма слабое, так как даже для тепловых скорос-
iей V- при Т ~ Т. запас достаточно велик
Т . r e i
v~ / v~ ~ v m ./m
Т ' Т. г t
е i
115
В случае (3.7), (3.8)
р - п.т., V = v.. (3.9)
Используя уравнение непрерывности для ионов и суммируя
уравнения движения для ионов и электронов, получим
|?+div(pV) = 0, p^+Vp = i[jxB], ^ = ^+(W), р = р?р.
(3.10)
Система (3.10) совместно с уравнениями Максвелла (3.2)
называется системой уравнений одножидкостной гидродинамики. Для
ее замыкания необходимо добавить уравнение состояния
р = р(р) (3.11)
и уравнение для тока (закон Ома), которое берем из системы
(3.4). Форма закона Ома однозначно не определена. Одну из
формул мы получим, если выберем из (3 4) уравнение движения
для электронов. Опуская в силу (3.8) инерционный член и
используя (3.3), будем иметь
E + iCWBl-i^HxBl-JLvp.. (з.12)
9
Здесь а = п , с - пе т/т —проводимость плазмы. Если учесть
анизотропию трения (3.5), то первый член справа в (3.12)
следует заменить на сумму Ь/о*ц + ]±/&± (^и/Я ~ ^j. = (Г)«
Левая часть закона Ома (3.12) выражает электрическое поле
в системе координат, движущейся со скоростью плазмы V.
Первый член справа отражает диссипативные процессы, связанные с
передачей импульса от электронов к ионам при столкновениях.
Второй член (его обычно называют членом Холла) описывает
влияние магнитного поля на движение электронов Третий член
связан с дрейфовым движением в неоднородной плазме
Дальнейшие упрощения связаны с отбрасыванием отдельных
членов в законе Ома (3.12) Для достаточно быстрых движений
плазмы, когда скорость V превышает дрейфовую vD = сТ/(еВа) и
токовую u = V-v (а—характерный размер плазмы), вторым и
третьим членами справа в (3 12) можно пренебречь. Подставляя
(3 12) в (3.2), придем в этом случае к системе уравнений
магнитной гидродинамики с конечной проводимостью:
ff+div(pV) = 0, p£V + Vp = I[jxB], p = р(р),
2 (3.13)
rot В = Ц j, divB = 0, || = rot[VxB] - rot ^ rot В.
116
Наконец, если пренебречь диссипативными процессами, пола-
i ля с = оо, то получим систему уравнений идеальной магнитной
iидродинамики
!£+div(pV) = 0, P^y+Vp = ^[rotBxB],
ЯВ (314)
р = р(р), Щ = rot[VxB], divB = 0.
Решения системы (3.14) облаххают важным свойством вмороженно-
< 1и магнитного поля в плазму. Пусть S — произвольная
поверхность, ограниченная контуром L и движущаяся вместе с
плазмой. Введем в рассмотрение магнитный поток
Фь = JJ(Bn) dS> (3.15)
S
i де n—-нормаль к поверхности 5. При фиксированном контуре L
ноток ф, не зависит от выбора S, так как divB = 0. В силу
( И4) и теоремы Стокса
Я[з?п] dS = JJrot[VxB]n^S = J[VxB]dl. (3.16)
S S L
Рассмотрим теперь два момента времени t. и t~ = t. + А/.
Пусть S,— положение поверхности S в плазме в момент /., а
\? —положение S в момент t~. Поверхность, которую прошел
контур L за время А/, обозначим через Z. На ней n dS ~
[dlxV] А^. Для замкнутой поверхности S =- S. + S2 + Е в
момент f имеем
° = hH{B{t2^dS = S7WL^2)-*L^"J[B(gxV]dl =
S 2 ] L
= h^L^L^ -h^L^L^ ~ J[B(^2)XV] d\. (3.17)
2 1 1 1 L
Переходя к пределу при А^ -» 0 и пользуясь соотношением
( i 16), получим
d\pL/dt = 0. (3.18)
1«1ким образом, магнитный поток в контуре L сохраняется при
мо движении: ф = const.
Проведем теперь через точки контура L силовые линии
магнитного поля Поверхность, состоящую из этих линий, обычно
|| i швают магнитной силовой трубкой. Очевидно, что для любого
i онтура, лежащего на поверхности данной трубки, поток ф оди-
п 1ков, и вся силовая трубка движется вместе с плазмой Отсю-
i I, в частности, следует, что и силовые линиии (бесконечно
ч «лые силовые трубки) также движутся вместе с плазмой.
Обычно говорят, что силовые линии вморожены в плазму
117
Если не интересоваться движениями, связанными со сжатием
плазмы звуковыми волнами, то (3.14) можно упростить
воспользовавшись приближением несжимаемой жидкости
р = const. (3.19)
В этом случае из уравнения непрерывности вытекает, что
divV = 0. (3.20)
Уравнение (3.20) фактически заменяет уравнение состояния
(3.11). Используя (3.20), можно записать полную систему в виде
P^+V^k[rotBxBJ> Ap = }|fdiv[rotBxB]f ff=rot[VxB]. (3.21)
Начальное условие для системы (3.21) должно удовлетворять
уравнению (3.20). Уравнение для поля в системе (3 21) может
быть дополнено диссипативными членами (3 13), учитывающими
конечную проводимость
3.1.4. Приближение большого продольного магнитного поля
(приближение токамака). Для поддержания гидродинамической
устойчивости плазмы в токамаке приходится создавать большое
продольное магнитное поле ZL (см. гл 1), возбуждаемое
внешними катушками Собственное магнитное поле В , создаваемое
J P
токами, протекающими в плазме, существенно меньше. В
настоящей главе будет показано, что соотношение между В и BQ
определяется условием устойчивости
В а
Р
где q — параметр, введенный в гл i (см. (1.36)), обычно
называемый коэффициентом запаса устойчивости. Таким образом, в
токамаке малый параметр
* a/R = € « 1, (3 23)
описывающий геометрию тора, в силу (3 22) определяет и
соотношение между полями
Я/В0 - c/q < e (3.24)
Неравенства (3 23), (3.24) позволяют упростить систему
МГД-уравнений для описания движения плазмы в токамаке.
Впервые такие упрощенные (редуцированные) МГД-уравнения были
получены Б.Б.Кадомцевым и О.П Погуце [3] для плазмы с малым
давлением без учета тороидальных эффектов. В последующие
годы усилиями большого числа авторов были построены уравнения,
учитывающие тороидальную геометрию и пригодные для описания!
118
плазмы с достаточно большим давлением [4—16]. Среди решений,
редуцированной системы отсутствуют быстрые магнитозвуковые
полны. Это свойство сильно облегчает ее численное решение по
сравнению с решением полной системы (3.13).
Введем цилиндрическую систему координат т, <р, z с осью г,
совпадающей с главной осью тора. Для построения
редуцированной системы будем использовать следующее представление для
произвольного магнитного поля в торе [9,10]:
В = В0 + rot А = В0 + В, + В2 + В3, В0 = В0Я е?), (3.25)
| де
А = % + Ах- \ = Во0, Ах = ^[V^xBQ] = ^rot(B0z),
(3.26)
'», - rotA^ = [V^xB0], B2 = кВ0, * - - £, А*. В3 - % §*.
'.десь Vx = е д/дг + е д/dz, R— большой радиус плазменного
юра, А —трехмерный оператор Лапласа. Вектор-потенциал А
удовлетворяет следующему условию калибровки:
d\v[AjJr2] = 0. (3.27)
Отдельные члены в представлении (3.25) имеют ясный
физический смысл. Поле В0 создается внешними тороидальными ка-
i ушками, поле В.—тороидальным током, протекающим в плазме.
Поле В2 описывает диамагнитный эффект изменения продольного
поля за счет конечного давления плазмы. Поле В3 в токамаке
невелико.
В дальнейшем будет показано, что наиболее опасными с точ-
1-п зрения устойчивости плазмы являются возмущения, почти по-
• тянные вдоль силовой линии. На такие движения магнитное
м-»не влияет наиболее слабо, и характерное время их развития
определяется не продольным, а поперечным полем. Для этих
но шущений
i и" т = a/v v = BQ/V4np — альфвеновская скорость по про-
|и1ц,ному полю, а —малый радиус- плазмы Из (3.26) следует,
•мо для таких возмущений
В3 ~ сВ2. (3.29)
119
С помощью (3.25), (3.26) нетрудно найти ток в плазме
j = j^V (з.зо)
где
i2 = fwrotB2 = ftfso7tv^xV]'
Л. _ а и а 1 а2
(3.31)
Подставляя (3.25), (3.26), (3.30), (3 31) в уравнение
движения для поперечной компоненты скорости Vj_ = (v , 0, v ),
будем иметь
3VX В2п 2
РсГГ=1¥(р,+ р2 + рЗ + р4)- ? = ^Р. <332>
где
F2 =
(3.33)
F3
V,fea2,
F = _^15_1+ 1
4 n2 o,„2
M^SKSO-
Нетрудно установить порядок малости некоторых членов ъ
(3.25), (3.26) и (3.32), (3.33) Используя (3 24), имеем
Вх ~ сВ0, у ~ еа, Vj_ - eavA (3.34J
Порядок малости остальных членов зависит от давления плазмы1ь
которое характеризуется безразмерными параметрами
8 Tip 8тгрп с2
*>--^- *--^ = 7^ (3-35'
Р 0 ч
где pQ —некоторое среднее значение давления. Для равновесий
плазмы необходимо, чтобы
0 < /?/а = 1/е. (3.36^
В противном случае невозможно существование вложенных друг $
друга магнитных поверхностей (см далее (3 100), (3.110)),
Из (3 35) и (3.36) вытекает, что
0 25 е/<72< е.
120
В дальнейшем под плазмой с большим давлением мы будем
понимать плазму, для которой
/3 - е. (3.37)
И современном эксперименте обычно |3 ^ 1. В этом случае в
• илу (3.35)
/3 - е2. (3.38)
< оответствующую плазму мы будем называть плазмой с малым
давлением
1 Редуцированные уравнения для плазмы с большим давлени-
гм В этом* случае давление плазмы компенсируется полем В2,
поэтому
Л ~ р ~ е, X ~ еа2 (3.39)
I «-перь можно определить порядки всех членов в уравнении
dv ,
< ; 32)
.//', - е, aF2 ~ с2, aF3 ~ с3, aF\ ~ с4, а ^ - с2%2. (3.40)
• и сюда видно, что только член F. имеет первый порядок по с.
I 'инагая
F1 = 0, (3.41)
Mi i исключим из уравнений быстрые магнитозвуковые движения,
определяемые продольным полем Интегрируя (3 41), с учетом
< » J3), получим уравнение диамагнитного равновесия:
^~р+ k = 0. (3 42)
Очевидно, что уравнение (3 41) определено неоднозначно. К
и« mv можно добавить любые члены более высокого порядка по с.
Иногда вместо (3 41) используют уравнение [16]
!■ ном случае в правой части (3.32) все члены содержат опе-
1'иор д/д(р. Уравнение (3.43) удобно тем, что при V = 0 и
• ' •'</> - 0 оно совпадает с уравнением равновесия для полной
• и. к'мы МГД-уравнений (3 13). Однако оно гораздо сложнее
Ч'ишения (3.41), и мы не будем им пользоваться
Подчеркнем, что исключение быстрых магнитозвуковых
движении приводит к дополнительному уравнению (3.41) или (3.43).
• и- 1ема МГД-уравнений (3.18) оказывается переопределенной.
111• 11 построении редуцированной системы одно из уравнений сис-
121
темы (3.13) нужно отбросить. Вид отбрасываемого уравнения
также однозначно не определен, поэтому окончательная система
редуцированных уравнений зависит как от типа рассматриваемой
задачи, так и от вкусов автора.
Перейдем теперь к анализу уравнения для магнитного поля
системы (3.13). Тороидальная компонента этого уравнения дает
|f = - r2div(V^2) - r2d\v{k\Jr2) + r/[0,iyr], (3.44)
где /[0,/] = /)((//,/)/D( r, z). Здесь мы опустили диссипативный
о
член и малые члены порядка с . В силу (3.44)
ar2 div(V_b/'r2) ~ eV± ~ е1+(Х ^А •
Отсюда видно, что движение плазмы в основном порядке по е
оказывается несжимаемым, и в поперечной плоскости можно
ввести функцию потока w
V± = £[Vxaxev] + Vxt>, r, ~ acV± (3.45)
В дальнейшем функцией Т) мы пренебрежем, а уравнение (3.44),
в которое она входит, отбросим Его нам заменит уравнение
(3.42) Для определения оставшейся компоненты магнитного
поля удобно использовать одно из уравнений Максвелла (3.2) и
закон Ома (3 12) в простейшей форме
rotE = -\т = -r04it' E + c-[VxBl= ° <3-46)
Интегрируя (3.46) , получаем
D
Е = 4sT + T°w+Bo*o-4tVxB]- (347>
Здесь постоянная Ф0 описывает внешнее напряжение. Уравнений
для потенцала Ф вытекает из условия калибровки (3.27):
E_l VJ> [VxB]x
с div —к = В div —г- = - div — . (3.481
г г г
Подведем итоги Применяя операцию е * rot к (3 32), отде)
ляя тороидальную компоненту уравнения (3.47), восстанавливав
диссипативный член и используя (3.42), (3 45), (3 48), nptd
дем к следующей системе скалярных уравнений-
Д*(Ф - ы) = - div [Ц рЧ±и + Vy Vx0], (3.4Я
б° 2
/ = -Д>, со = -4div(pVx«), ДХ = ^Цр-
г■ Bi
122
Здесь
ш = m + ^J^ (3-5°)
в2
«2=ЙЙ+й{Щ^']}~г2.
R 2
В2
й*('-'"4а4['ff-4i)4('^'4?) ~«? («I»
Функция / описывает профиль тороидального тока (3.31), 0) =
rot pVx. В операторе переноса (V-V), входящем в оператор
d/dt (3.50), оставлены только члены наименьшего порядка по
г В правой части уравнения (3.49) мы сохранили члены поряд-
кa £ . Такая конструкция уравнении позволяет правильно
опирать широкий класс задач о равновесии и устойчивости плазмы,
|'. которых оператор (V-V) отсутствует. На стадии развитого
нелинейного движения члены порядка е и е в системе (3.49)
играют второстепенную роль
Для замыкания системы (3.49) ее нужно дополнить
уравнениями для тороидальной скорости V , плотности и давления. Под-
« '.авляя (3 25), (3 30) в тороидальную компоненту уравнения
пшжения (3.13) и используя (3 42), будем иметь
~dVw
| ie
o,--^(»J#^ga-^-»Jj3g~«'.
И правой части уравнения (3.52) мы отбросили члены порядка
• , поскольку тороидальная скорость V входит в систему
( i 19) лишь в членах порядка е . Предполагая далее, что
\ равнение состояния имеет степенной вид Р/Рп = (Р/Рп)> » и
п« пользуя уравнение непрерывности (3.13), получим
И = °- &=Т?рШ- (3-53)
1
'|мь мы пренебрегли членами, содержащими г dV^dfp.
Построенная система редуцированных уравнений (3.49),
i i >2), (3.53) пригодна для описания достаточно вытянутых
|' |'>мь координаты <р движений тороидального плазменного шнура
произвольного сечения В ряде работ [11-13] в системе (3.49)
123
в уравнении для разности Ф - и опускается член, содержащий
V В этом случае система (3.49) отделяется от уравнения
(3.52) для тороидальной скорости.
На стадии развитого нелинейного движения члены порядка е
и с в системе (3.49) и уравнениях (3.53) могут быть
отброшены. В этом случае Ф = и и система редуцированных уравнений
сильно упрощается:
dw _ 2 Э£ "о (81 ,и, п\ dJi_du + S) с* ,
(3.54)
«£=0, ff=0, / = - Aj/», w = - div(pVx«)
Переменная С, = R<p играет роль координаты вдоль оси цилиндра.
Поэтому иногда систему (3 54) называют системой МГД-уравне-
ний для цилиндрической плазмы большого давления Уравнение
для тороидальной скорости в этом приближении имеет вид
dVw дР
где р, р и 0 —решения системы (3.54).
2. Редуцированные уравнения для плазмы с малым давлением.
В этом случае в силу (3 34), (3.38)
к ~ с2, % ~ е2а2, Vv ~ e2vA
Опуская в системе (3 49)—(3.53) члены, содержащие давление
р и диамагнитные эффекты %, получим систему уравнений для
плазмы с малым давлением в торе:
2 2
d0> - В° /па л + В° а/ 4$. - х ди + ф с2 /
/v/ 2
ff- = 0, р = р^, / = - Д>, (3.55.]|
ы
= - ^div(pV^), ^= ^+£/[„,].
Наконец, опуская в (3 55) тороидальные поправки (т е. nor
лагая г = /?), придем к системе уравнений в цилиндрическое
геометрии [3,4]
/ = -Aj//, w = -Дхи, ^ = fy+'K ]
Здесь для простоты мы предположили, что р = const = рп.
Для токамака с круглым сечением плазменного шнура важную
роль играют движения с винтовой симметрией. Пусть р, 8, £*4
124
цилиндрические координаты с осью С направленной вдоль оси
шнура. Решения с винтовой симметрией должны зависеть от
переменных р, (р = в - оеС t, где а —постоянная, определяющая
шаг винта. В этих переменных д/д<р = д/дву д/дС, = -ад/д<р.
Уравнения для винтовых движений могут быть записаны в
компактной форме, если ввести вспомогательное поперечное
поле и функцию потока
В^ = В±-арВ0е^ = fio[V0.xeff], 0/= ф + (а/2)р2. (3.57)
Поле В^ замечательно тем, что для специального случая, когда
продольный ток однороден, а поперечные токи отсутствуют, оно
исчезает, если а = \/{Rq ), где q = aB~/(RB^(a)). Таким
образом, поле В# определяет отличие полного поля Bj_ от поля
однородного тока. Подставляя (3.57) в (3.56), получим
.#1 Bl ГВ2 п с1ф л
7ГГ = wj^7] '.• Ш = -TO5=('.+2a). *> = ~^ /. = - Дх0,
(3.58)
В идеальной плазме, когда о* = оо, второе из уравнений (3.58)
принимает вид dijj/dt = 0. Очевидно, что р этом случае вспомо-
1ательное поле также вморожено в плазму.
3.2. Равновесие
3.2.1. Уравнения равновесия в токамаке. В квазистационар
пых установках время существования плазмы много больше
характерных альфвеновских времен. В типичных условиях
современных токамаков эта разница достигает 7-8 порядков величин.
Отсюда видно, что плазма в токамаке должна находиться либо в
■ 1ационарном состоянии с установившейся конвекцией, либо в
«остоянии равновесия.
Вопрос о наличии стационарных конвективных движений и их
роли в удержании плазмы до сих пор остается не вполне
решенным Несомненно, что существует дрейфовое движение,
связанное с неоднородностью плазмы, а также вращение плазмы, под-
кфживаемое радиальным электрическим полем. Для правильного
описания таких движений нужна либо система уравнений двужид-
костной гидродинамики (3 4), либо одножидкосгная
гидродинамика (3.10) с достаточно полным законом Ома (3.12) Однако,
по видимому, стационарная конвекция с точки зрения
длительного удержания плазмы имеет второстепенный характер. Учет
• рейфовых и конвективных эффектов имеет характер поправок к
125
основному состоянию равновесия. Поэтому для описания
равновесия в первом приближении можно использовать систему
уравнений идеальной магнитной гидродинамики (3.14).
Опуская производные по / в (3 14) и полагая V = 0,
получим уравнения равновесия
Vp - ^[jxB], j = f^rot B, divB = 0 (3.59)
Первое из этих уравнений имеет в качестве следствий
(Vpj) = о, (vPB) = о. (3.60)
Отсюда вытекает, что линии тока и магнитные силовые линии
лежат на поверхностях, описываемых уравнениями р = const.
Для замкнутых тороидальных плазменных конфигураций
поверхности р = const вложены друг в друга Они являются
одновременно магнитными и токовыми поверхностями.
Для описания равновесия в токамаке
(аксиально-симметричном торе произвольного сечения) удобно ввести цилиндрические
координаты г, <р, z с осью г, совпадающей с осью симметрии
системы. В этих координатах разделим магнитное поле на поло-
идальное В и тороидальное В
В = В + В„ В = (В ,0,5), В, = (0,Д,П,0) (3 61)
Для тока j = j + j . В условиях токамака д/д(р = 0, поэтому
divB = 0, divB, = 0, В = rot A ,
Р * Р Р
А„ = «м,,о). i,-ferotBr h = frfrotB„
Введем функции
(3 62)
0 = 2nrA , / = \crBy. (3.63)
Прямой проверкой нетрудно убедиться в том, что
ВР = 2SFWV J, - 2SFl™V <3-64>
Покажем, что функция ф описывает полоидальный магнитный
поток. В самом деле, в силу (3.64)
(70Вр) = (ЧфВ) = 0,
те на магнитной поверхности ф = const Пусть теперь / и
L— две образующие, лежащие соответственно на магнитных
поверхностях S. и S2, S —кольцевая поверхность между этими
образующими; тогда
j(Bpn)dS - ^ji(Wxe^n)dS = fffldl = ф2-фг
',
126
где ф. и 02— значения 0 на поверхностях S. и S2
соответственно. Таким образом, функция 0 описывает полный поток поло-
идального магнитного поля между магнитными поверхностями.
Она определена с точностью до произвольной постоянной.
Нетрудно выяснить и смысл функции /. В силу (3.64)
(v/y = (v/j) = о,
т.е. на магнитной поверхности функция / также постоянна.
Обозначим теперь через £ поверхность, ограниченную
образующей L, лежащей на магнитной поверхности. Тогда
|(jn) dS = ^J7([V/xe^]n) dS = /. (3.65)
Таким образом, функция / равна полоидальному току,
протекающему между осью симметрии и рассматриваемой магнитной
поверхностью. Функцию / можно разделить на две части:
/ = /0 + / , где IQ— ток в катушках продольного поля, а
/ — полоидальный ток плазмы. Если полоидальные токи в плазме
р
отсутствуют, то В = 2IQ/cr Для парамагнитных токов знаки
/Q и / одинаковые, для диамагнитных —разные.
Подставляя выражение для поля (3.64) в тороидальную
компоненту уравнения для поля j = ^-- rotB , получим
Уравнения равновесия совместно с выражениями (3.64) дают
Выберем теперь функцию 0 в качестве переменной,
описывающей семейство вложенных магнитных поверхностей. На магнитной
оси 0 имеет минимум. 'Тогда р = /?(0), / = /(0), причем
V/? = р' V0, V/ = /' V0, (3.68)
i де штрих означает производную функции по 0. Из (3 67) имеем
1<р = гА(ф)ЛВ{ф)у (3.69)
|де А(ф) = 2пср'у В(ф) = \02У• Подставляя (3.69) в
( 1 66), придем к уравнению для функции 0, обычно называемому
сравнением Грэда— Шафраново. [17—19]:
д*0 = _^_ [л(0)г2 + Я(0)]. (3 70)
Таким образом, система уравнений равновесия (3.59) в ак-
< плльно-симметричном случае сводится к одному скалярному
127
уравнению, содержащему две произвольные функции относительно
неизвестной функции Одна из произвольных функций, Л(0), —
описывает градиент давления, другая, В(ф), — полоидальные
токи и их градиенты. В условиях реального эксперимента эти
функции определяются историей процесса. При решении
модельных задач обычно используют представления для А(ф) и В(ф) в
виде полиномов и экспонент. Аналитические решения уравнения
(3.70) можно получить, если использовать полиномы нулевой и
первой степеней.
Перейдем к постановке граничных условий для уравнения
(3.70). В дальнейшем двумерную область поперечного сечения
плазменного шнура мы будем обозначать через S , ее
Гр ) Рис 3 1 Сечения плазменного
S и проводящего кожуха S;
Г —границы плазмы и кожуха
шнура
Г и
Р
границу —через Г , двумерную область сечения кожуха —через
S, ее границу— через Г (рис 3.1). Простейшие граничные
условия мы получаем, если предположим, что плазма полностью/
заполняет всю область внутри идеально проводящего кожуха
(S = S, Г = Г) В этом случае
8тг2
д ф = _ 2__ rj B s, ф = ф^ ~ const на Г
к0
(0
В частном случае, когда А и В линейны по 0, задача (I)
также линейна В общем случае плазма может не доходить до
кожуха, и кожух с большой, но конечной проводимостью не
обязан совпадать с магнитной поверхностью. Внешние управляющие;
и рассеянные поля могут проникать в объем, занятый плазмой.
В этом случае для интервалов времени порядка скинового
времени кожуха задача формулируется следующим образом:
Q^2 • *
в S ,
Ь*ф = \ с Л{р р Ф = ф0{г,г) на Г, (II)
в S -S
128
где 0 (г,г)—заданная функция, определяемая внешними полями
и формой кожуха Положение границы плазмы в задаче (II) не
задается, а определяется решением задачи Поэтому она
нелинейна даже при линейных функциях Л(ф) и В(ф).
В отсутствие проводящего кожуха состояние равновесия
возможно лишь при наличии внешних удерживающих токов. Используя
в этом случае в качестве граничных условий условия на
бесконечности и на оси симметрии, будем иметь
Д*0 = J
-8-f4
-Ц Е rJS(r-r.)8(z-z.) вне S ,
(по
0 -* О при г или z -» оо и при г -> 0,
1де L, (r.,z.), /. — число внешних стационарных проводников,
их положение и сила тока в них. Как и в задаче (II),
положение границы плазмы Г определяется решением самой задачи
(III).
3.2.2. Равновесие в присутствии железного сердечника. Для
увеличения магнитного потока, возбуждающего вихревое
электрическое поле, часто используют железный сердечник При
насыщении железа часть магнитного потока выталкивается в
вакуум, и поля в области, занятой плазмой, изменяются. Это
приводит к необходимости учета железа при нахождении равновесия.
Железный сердечник не обладает аксиальной симметрией, и
задача о равновесии в этом случае трехмерна. Однако
относительно большое расстояние от железа до плазмы и малость по-
чоидальных вакуумных полей в плазме по сравнению с полем в
келезе позволяют построить эквивалентную двумерную (2D) за-
чачу, близкую по полям в области плазмы к полной трехмерной
задаче (3D). Обычно железный сердечник состоит из двух час-
!сй. внутреннего керна, обладающего аксиальной симметрией, и
нескольких (например от двух в Т-7 до двенадцати в Т-15)
внешних магнитопроводов прямоугольного сечения На рис 3 2
показан железный сердечник, имеющий четыре внешних магнито-
провода При построении эквивалентной 2D-зaдaчи отдельные
внешние магнитопроводы заменяют более тонким непрерывно
распределенным по большому обходу тора магнитопроводом
(железным кожухом) с сохранением на каждом радиусе полного количе-
Ю Н Днестровский, Д П Костомаров
129
«^
Железо
\гн
Уг
а 5 L-J
Рис. 3.2. Железный сердечник с четырьмя магнитопрово-
дами: а —вид сбоку, б —вид сверху. Штриховой линией
показана граница в двумерной модели магнитопровода
ства железа. При этом внутренняя граница магнитопровода, как
правило, остается неизменной, а внешняя граница приобретает
вид, показанный на рис. 3.2 штриховой линией.
Полоидальное поле в железе удовлетворяет уравнениям
rot Н =0, divB = 0, В = juH = rot A = ^[V0xe,n]f
р р р ^ р р zurL T wJ
(3.71)
ц = ЦН), Н = |Нр|.
Отсюда
Поскольку железо сильно экранирует плазму от посторонних
полей, граничное условие для ф удобнее всего поставить на
внешней поверхности Гр эквивалентного железного кожуха,
считая эту поверхность магнитной. Таким образом, полная
задача о равновесии с железом принимает вид
" 8тт2
Д*0
с '<*
в железе,
в плазме,
8тт
2 L
(IV)
£ rJ.d(r-r) d(z-z.) в вакууме
= 0.
Замечание. Вид оператора А* подсказывает другой
возможный вариант замены 3D задачи на эквивалентную 2D зада-
130
чу. Внутри аксиально-симметричного керна радиуса rQ onepai^o
(3.72) следует сохранить. Внутри внешнего магнитопровода его
надо заменить на «декартов» оператор
сохранив сечение магнитопровода неизменным.
3.2.3. Уравнения равновесия в цилиндре. При исследовании
ряда свойств равновесия или устойчивости тороидальные
эффекты могут оказаться несущественными. В этом случае можно
использовать более простые уравнения равновесия в прямом
цилиндре. Вводя системы координат х, у, z с осью z,
параллельной оси цилиндра, и проделывая преобразования п. 3.2.1,
придем к скалярному уравнению относительно функции
магнитного потока ф на единицу длины цилиндра 2
Здесь р = р(ф)у В - В (ф), В = [V0xe ]. Для уравнения
(3.74) можно поставить граничные задачи типа (I)—(IV).
Для круглого цилиндра радиуса а нетрудно получить ряд
полезных усредненных формул. Введем цилиндрические координаты
р, 9, z и рассмотрим равновесные состояния, не зависящие от 9:
в = (о, вв(Р), вгш /0 = кщ>'. i,- klph(pBe)- <3-75)
Уравнение равновесия (3.59) дает
Л* dB Br\ А
Отсюда
%(&np+B\) = -X-i%{pBe) (3.76)
2
Умножая (3.76) на р и интегрируя от 0 до а, получим
8яр = Bl(a) + В\(а) - В\, (3.77)
где черта означает усреднение по сечению шнура:
а
1 = -2 |>(Р) Р dp. (3.78)
а о
Из (3.77) вытекает важная формула
Цр = 1 + (В2г(а) - в\) В'1 (а), (3.79)
_ о
1де /3 = 8пр/Вд(а). Формула (3.79) используется в
эксперименте для определения параметра /3 по измерению диамагнитно-
9 Р
ю потока ЛФ = па (В (а)-В ), вытесненного плазмой.
131
В токамаке в *
Р
В дБ ~ вЬа),
2 2 DV '
1, поэтом
дВ
2
2
у в сил
■BQ(ay
В
2
У (3-79)
2
а
€ =
а
= 7?
(3.80)
PSP
р/р
дф
~ №
And!
~ сШ'
Вв
V
т е полоидальные токи существенно меньше продольных (/« ~
~ е/2).
3.2.4. Винтовое равновесие. Задача о равновесии сводится
к скалярной задаче и в случае винтовой симметрии. В
цилиндрических координатах р, 9, z решения с винтовой симметрией
зависят лишь от двух переменных, р и <р = 9 - otz, так что
Параметр а определяет значение периода L вдоль оси z: a =
= 2n/L. Поскольку divB = 0 и divj = 0, можно ввести
потоковые функции ф и / такие, что [20]
В силу уравнения равновесия, / и ф постоянны на поверхности
р - const. Из уравнений В - rot A, j = Ж^гг r0* ^ следует, что
ф = Az^apAQy I = Bz + apBQ. (3.83)
Из (3.82), (3 83) можно найти выражения для компонент
магнитного поля:
/ЗВ0 = ар/ -Ц, $В2 = I + ар Щ, р = 1 + а2р2. (3.84)
Используя (3.82)-(3 83), нетрудно показать, что
?</г-Р/е) = ^-^ У . i^^) + Of* (з.85)
Проецируя уравнение равновесия (3.59) на направление iQ и
подставляя в него (3 82)-(3 85), получим
У ■-4,V/-12p11 + jpf/- <386)
Как и в предыдущих случаях, уравнение (3.86) зависит от двух
произвольных функций, р{ф) и 1(ф). При а = 0 уравнение
(3 86) переходит в уравнение (3.74)
3.2.5. Некоторые математические свойства задачи о
равновесии. С помощью замены и = - ^Т' (ф-ф~) задача (I)
приводится к квазилинейной задаче на собственные значения:
Ды + Л/(г,и) = 0 в S, и > 0 в S, ы|р = 0, (3.87)
132
где Л—параметр, пропорциональный полному продольному току \
плазме. Для цилидрической геометрии f = f(u).
Имеется много работ, посвященных математическому
исследованию задачи (3.87) (см., например, [21-23]). К настоящему
времени показано, в частности, что если /—достаточно
гладкая, неубывающая функция, удовлетворяющая условиям
f(r,u) < A + B\u\bec*u* , а < 2, /(г,0) £ О,
то существует непрерывный спектр положительных собственных
значений. Если дополнительно Дг,0) > 0 и f'(r,u) > 0, то
множество собственных значений ограничено сверху. Для задачи
(II) с вакуумной прослойкой эти условия нарушаются (/(г,0) =
= 0) и множество собственных значений может быть
неограниченным. Фиксированному собственному значению А может
соответствовать несколько собственных функций Существуют
простые примеры с двумя решениями. Показано, что
последовательность итераций Пикара
Дип+1 = -\f(r,un) (3.88)
для нулевого начального приближения сходится к минимальной
собственной функции. Для другого итерационного процесса
Аи-1 = -\f(r9u% ип+] = Zn+1/?|Zn+V, R = \\u°l IMI = N1^1
(3.89)
последовательность ип сходится к одной из собственных
функций, соответствующих собственному значению Л = /?/||и||. Предел
последовательности ип для процесса (3.89) зависит от выбора
начального приближения.
3..2.6. Равновесие тонкого шнура круглого сечения. В
дальнейшем нам понадобится функция Грина для уравнения (3.70).
Для ее определения найдем сначала вектор-потенциал A Q
тонкого кольцевого тока / Пусть токовое кольцо лежит в
плоскости z = г', его центр расположен на оси г = 0, а радиус
кольца равен г'. В этом случае
(rOtfOlA^ = ±J/a(r-r') 6(2-2'),
откуда я
</)0 </)0v
R = [г
вую переменную интегрирования 0 = (<р-<р'-я)/2, нетрудно при-
Здесь R = [г2 + г'2-2rr'cos((p-(p') + (z-z')2]]/2. Вводя но
133
вести (3.90) к виду
**> = Ш^Г*{[*-*-)«")-%»}-
(3.91)
где k2 = 4rr' [(r+r')2+(z-z'fY\
ские интегралы соответственно I и II рода:
тг/2 тг/2
K{k) = Г dQ —, £(*)'« jVl-A:2sin2erfe .
0 /l-fc2sin29 0
С помощью (3.91) найдем функцию Грина для уравнения (3.80):
.G(r,z,r',z') = Ц^Аф = ^£^{(l - §-)K(k) - £(*)} (3.92)
В окрестности токового кольца г ~ г', г ~ г', /г ~ 1, /г' =
= V
1-Л'
1. Используя асимптотические формулы
/((А) - 1п(4/й'). ^W ^ 1»
нетрудно получить выражение для функции 0 в окрестности
кольца. Введем квазитороидальные координаты р и w (рис. 3.3)
r-R = p coso), z-z' = psinw, R = г' (3.93)
Тогда
*
/2
2-2 = р SinO),
Л2
1-6Z
е = ft « 1. (3.94)
4/?*(l+ecosw) K
Подставляя асимптотические выражения для К и Е в (3.92) и
используя (3.94), имеем
*о - 'С « ^{1пр-2 + ^соза,(1п|^-1]}. (3.95)
При решении граничных задач о равновесии тонкого
плазменного шнура выражение (3.95) следует дополнить решениями од-
Кольцо с топом
Рис. 3.3. Квазкторондальные
координаты для поля кольца с током
нородного уравнения (3.70), не дающими дополнительного
вклада в полный ток. Дипольные члены, пропорциональные costo,
имеют вид
[СЛ+С4)С0Ш (396)
*н-
4nRI
134
k2 -» 4rr'/(r2+z2) -* 0.
Здесь член С.р/а соответствует внешнему вертикальному одно
родному полю. При г, г -» оо значение
Используя асимптотические формулы
пь\ п U л. *2 * 9А4 ,. 1 р7м тг Г. ft2 3/г4
■]•
получим
2тт
тг/?2/-
*() ~ С ^0 ^2+22,3/2
(3.97)
где д0 = тгАТ/ —магнитный момент тока /.
Следуя работам [24,18], рассмотрим решение уравнений
равновесия внутри тонкого шнура. Магнитные поверхности внутри
шнура с круглым сечением в первом приближении по е представ-
Рис. 3.4. Соседние магнитные
поверхности для тонкого
плазменного шнура
ляют собой окружности со смещенными центрами Пусть
расстояние между центрами О и О' двух соседних магнитных
поверхностей радиуса р и р + dp равно dk. Из треугольника 00' М
(рис. 3.4) имеем
(p+dpf + (dA)2 - 2(p+dp) db cosw = (p+d^f,
где ОМ = р + d£. Отсюда
d% = dp - cosw dL = Г1 - 2§ cosw 1 dp
На магнитной поверхности
%-
U= B^d-ecosu),
В
<pQ
2/
^7?
Bo) = BuoO + eAcosw),
(3.98)
(3.99)
(3.100)
Будем искать полоидальное поле в плазме в виде
Л = Л(р).
Нетрудно найти соотношение, связывающее А и Л. Полоидальный
поток между магнитными поверхностями радиусов р и р + Ар не
зависит от о). Следовательно,
d\l) = const = (BdS) = Ви>-2шй% (3.101)
135
Подставляя (3.94), (3 98), (3.100) в (3.101) и приравнивая
нулю множитель при cosco, получим
*£ = С(1 + Л), Л = -1 + 1§ (3.102)
Обратимся теперь к уравнениям равновесия (3.59)
Используя тождество
V£2 = 2(BV)B + 2[BxrotB],
приведем первое из уравнений (3.59) к виду
9
Ч[р + Ъп) = ¥W<BV)B- <3103)
Обозначим через i , i^, i единичные орты выбранной
системы координат и через n = i — нормаль к магнитной
поверхности радиуса р. Спроектируем уравнение (3.103) на нормаль п.
Для вычисления правой части (3 103) удобно использовать
соотношения
(пй ■ -*• ("й - °- ["&] - °- (п^) - -cosw- (3104)
Учитывая, что В = 0, (nV) = d/d^, нетрудно найти проекцию
(3.103) на нормаль п с точностью до членов первого порядка
по с: 2 2 2
Для членов нулевого и первого порядков по е отсюда получаем
BL л dB2
^-^-Hf. (3^06)
|p[eAfly =-2£Л^+^|А. (3.107)
Подставляя (3.102) в (3.107) и используя (3 106), получим
уравнение относительно Л
%[^Ш)---Лыр%-ви <3-108>
Интегрируя (3 108) и переходя от Д к Л (3 102), будем иметь
Л = - 1 - Щр-МВ^а) + (1/2) В^/В^а). (3.109)
На поверхности плазмы р = а, р(а) = 0, поэтому
Л(а) = /3 +/./2-1, (3.110)
_ 2 2 2
где /3 - 8пр/Вш(а), I. = В^/В^Ла) —внутренняя
самоиндукция шнура. Таким образом, внутренние поля (3 99), (3 100) в
шнуре определены.
136
Величину сдвига магнитных поверхностей Л(р) можно
определить, интегрируя (3 102) или (3.108). Мы не будем выписывать
здесь общих формул, а ограничимся двумя важными частными
случаями. Пусть давление распределено по параболическому за-
2 2
кону р = рЛ\-р /а ), тогда для однородного тока j(p) -
= const смещение равно Л(р) = (р /2/?) (|3 +1/4). При
пикировании тока смещение может уменьшиться. В частности, для па-
2 2
раболического тока / = /*(1-р/а ) смещение центра крайней
магнитной поверхности относительно магнитной оси равно
А(а) = (а /4/?) ((3 +0,64). В литературе величина А(а) обычно
называется сдвигом Шафранова [18].
Имея общие выражения для полей внутри и вне шнура, можно
найти значение внешнего поля, необходимого для равновесия.
Для этого надо определить постоянные С. и С2 (3.96),
используя условие непрерывности В на поверхности плазмы р = а и
условие В (а) = 0 Для поля вне плазмы (3.64)
Сравнивая (3.100) и (3.101) при р = а, будем иметь
ваа> - §7 = *«*»• СГС2 = -77?>4*-*Л- (3-«2)
Условие В (а) = 0 дает
^^--лтК*-1] (3113)
Отсюда
ci--s*K*+A-7L с2-Ыа+9- (3114)
Из (3.111), (3.114) следует, что внешнее поле, необходимое
для равновесия, равно
4°)--ClU- Vf7?['"F+A-?]- (3-115)
Поскольку поверхность плазмы р = а является магнитной
поверхностью (фЛа) = const), то внешняя самоиндукция шнура /
определяется внешним магнитным потоком:
Ф0Н - Ф0(а) = - Ф0(а) = Ц^11е. (3.116)
Используя (3.95), (3.96), (3.114), (3.116), получаем
полезную в приложениях формулу
1е = 2 [lnF-2]- (З-117)
137
Полученные выше формулы справедливы в приближении е = a/R «
« 1. Более тонкие оценки показывают, что необходимо, кроме
того, выполнение условия
(3 a/R « 1. (3.118)
Если оно не выполняется, то магнитные поверхности в шнуре
нельзя считать окружностями. Для современных токамаков a/R ~
~ 1/4 и формулы (3 115), (3 117) находятся на границе
применимости. Пока р < 1, условие (3 118) хорошо выполняется.
Однако с ростом плотности и температуры плазмы параметр (3
может стать больше единицы и условие (3.118) заведомо будет
нарушаться. В этом случае магнитные поверхности примут
эллиптическую форму и выражения (3.100)-(3.117) перестанут
быть справедливыми.
На практике формулой (3.115) пользуются для оценки
диапазона необходимых полей, а более точный подбор поля
производится с помощью численных методов. Изменение параметров /,
(3 , /.в течение разряда заставляет изменять во времени и
необходимое Для равновесия поле В . В некоторых
экспериментах для создания нужного поля используют обратные связи. По
измеренному смещению шнура система обратной связи
вырабатывает токи во внешних обмотках, необходимые для поддержания
смещения в заранее заданных пределах
При небольшой длительности разряда равновесие может
поддерживаться за счет токов Фуко в хорошо проводящем кожухе,
окружающем плазму. Для кожуха круглого сечения радиуса Ь
(Ь > а) положение равновесия шнура может быть найдено с
помощью уравнении ф(Ь) = С
Запишем выражения (3.95), (3.96) для ф = 0О + ф в виде
ф = А(р) + В(р) cosw, В « А (3.119)
Полагая С = А(Ь), с точностью до членов первого порядка
малости будем иметь
р = Ь- Ба>\1) coso). (3.120)
Уравнение (3.120) совпадает с уравнением окружности радиуса
Ь, центр которой смещен на величину Л = B(b)/A'(b)
(положительные смещения направлены к оси симметрии, см. рис. 3.4).
Используя (3.95), (3.96), получим
Д = \=Й?К+К]И2]} (3-121)
138
Если в объеме внутри проводящего кожуха имеется еще внешнее
поле В , то граничное условие на кожухе принимает вид
Ф{Ь) = \l)Q(ti) + 2nRBzbcosu). (3.122)
Отсюда для смещения получаем
Д = Д6 - Ь В2/Ви0(й), ВШ(Ь) = 21/сЬ. (3.123)
3.2.7. Численное решение задач о равновесии. Задачи (I)-
(IV) нелинейны, поэтому при их численном решении приходится
использовать итерационные методы. Для сложных задач типа
(III) или задач с железом (IV) полные алгоритмы могут
содержать несколько итерационных циклов.
Остановимся сначала на решении задачи (II). Пусть задана
область S с границей Г (проводящим кожухом), в которой надо
искать равновесие. Обсудим задачу о положении границы плазмы
Г Обычно при описании физического процесса считаются
заданными полный ток /, протекающий по плазме, и положение
одной из точек контура Г , которое отождествляют с положением
края диафрагмы. Если через ф обозначить значение ф на
поверхности плазмы, то задача (II) может быть сформулирована
1ак:
Л> - -*£гЩфр-ф)19(ф) в S, ф\г = ф0, (Па)
1Н(0) = 1 при ф > 0, Щф) = 0 при ф < 0, причем
!i<pdS = 7> V = *[гА(ф) + В(ф)/г1
S
Р
ф Q(r, z) —заданная функция, а поверхность ф(г,г) = ф
проходит через заданную точку AL € S. Если А(ф) и В(ф) заданы, то
параметры а и ф должны быть определены в ходе решения задачи.
Заметим, что возможны и другие постановки. В простейшем
• лучае считают заданными ток / и параметр ф . В сложных сис-
юмах с дивертором, где поверхности ф = const имеют
сепаратрису, обычно требуют заполнения плазмой всего объема внутри
<^паратрисы
Задача (На) нелинейна и обычно решается с помощью
следующего итерационного процесса Пусть фт(г,г)у фт, ат,
*\— соответственно значения функции 0, параметров 0 , а и
пиласти S , занятой плазмой, на итерации с номером т. Тогда
|| кфационный шаг заключается в решении линейного уравнения
1
139
Пуассона
д>«+1 = _Ц2гЩфтр_Гит в s> ^m+1|r = ^ (Иб)
где \т = ат[гЛ(фт) + В(фт)/г], и последующем определении
0m+1 и S из условия прохождения магнитной поверхности
0™4"1 = i//m+r через край диафрагмы и параметра ат+ из условия
сохранения полного тока:
ат+] = / [ J ^[Л^1) + B(i//m+1)) rfs]"1 (3 124)
з
р
Наиболее трудоемкая часть описанного итерационного цикла
заключена в решении уравнения Пуассона (Пб). Обсудим
наиболее распространенные методы решения этой задачи. Введем на
плоскости (г, z) разностную сетку
Q = {r=ih , z=jh , /=0, 1, ..., N , / = О, 1,
, N
2*
и обозначим 0.. = ф(г.,г.). Обычно используют разностный
оператор Л, аппроксимирующий оператор Л* с выделенной первой
производной В обозначениях работы [25]
А°0 ^ тг (0- 1 • - 0. 1 •). Л = Л- - i-Ao
r^ Ztl VTi+l,/ w-l.y' гг Г. г
Л- ,
22
(3.125)
.-2
Л-0 = /Г'(0. t .-20. . + 0. , .),
гГ VT*+1,/ w,y w-l,/'
A- 0 - /T2(0. . ,- 20. . + 0. . t)
22^ Г VW,/+1 W,/ W./-1'
(3.126)
Однако иногда применяют и более симметричную аппроксимацию.
А = Л1 + А- , где
122 г ф л -ф. ф. ~0.
. . S I ' 7-4-1 1 Т t I ' I 1 Т I ■
1 /Л.
1 + 1, / 1, у _ I, ] 1-1,1
l+l I I 1-1
(3.127)
Если граница Г не совпадает с координатными линиями
г = const или z - const, то появляется проблема
аппроксимации граничных условий (116). В том случае, когда сетка
достаточно велика, граничные условия можно перенести без
изменений в ближайшие узлы сети. Если N к N не очень велики,
приходится идти на дробление шага возле границы. Однако это
может ухудшить сходимость методов, используемых для решения
задачи (Нб) С помощью аппроксимации (3 126) или (3 127)
задача (Пб) сводится к разностной задаче
Л0т+1 = - Щ\ Щфтр -фт) у J в S, 0m+11 г = ф0 (3 128)
140
Для решения задачи (3.128) обычно используют итерационные
методы, являющиеся модификациями метода установления. Для
упрощения обозначений опустим временно индекс т в (3.128) и
запишем эту задачу в следующем виде:
Л0 = /, 0|г - 0О, (3.129)
где /—заданная на Q функция. Вместо задачи (3.129)
рассмотрим задачу на установление
где В,—некоторый разностный оператор, т, — итерационный
параметр. Для широкого класса операторов В, и итерационных
параметров т функции ф -» ф при к -» оо. Выбирая разные В, и
т мы будем получать разные реализации итерационного
процесса. Операторы В, должны быть достаточно простыми, чтобы
решение разностной задачи (3 130) относительно ф + не
вызывало особых затруднений. Поэтому в качестве В выбирают
обычно операторы с диагональной, трехдиагональной или
треугольной матрицей. Выбор итерационных параметров т. важен с
точки зрения скорости сходимости итерационного процесса.
Простейший набор т. = т = const обычно требует большого
числа итераций.
Остановимся на наиболее известных реализациях
итерационного процесса (3.130) [25].
1. Метод простой итерации: В = Е, т, = т = const. Итера-
2
ции сходятся при условии т 2S т где tq = 2/(у1+у2) = 0(h ),
h - max (/&,/&), у. и ^ ~-соответственно минимальное и
максимальное собственные значения оператора Л в S Для
получения решения с точностью е при единичной начальной функции
0 2
ф = 1 требуется большое число итераций: К ~ 0,2Лп 1п(1/е),
где N = max (N , N ).
2. Чебышевский метод'
R - F т Т0 м ллс (2fe-l)TT
Bk - £> т/е= ттр^;> ^ = -cos Гк »
(3 131)
* = 1, 2, . , /(, р0 = (1-0/(1+?), ? = у/у2 « 1,
Д—число итераций. Порядок выбора параметров д из множества
(3 131) произвольный. Необходимое число итераций невелико:
Д - 0,37V ln(2/e)
141
3. Метод Зейделя. Представим матрицу оператора Л в виде
суммы Л= D+L+U, где D — диагональная матрица, L и
(У—соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы. Матрица Л
симметрична, поэтому L = U* В методе Зейделя Bk = В = D+L,
т. = 1. Треугольный характер матрицы Б позволяет быстро
разрешить систему (3.130). Необходимое число итераций немного
о
меньше, чем для метода простой итерации К ~ 0,1 А/" 1п(1/е).
4. Метод релаксации. Положим В, = В = D + 0)L, т. = 0), где
со —некоторый параметр. Итерационный процесс (3.130)
сходится, если 0 < 0) < 2. При со = 1 метод релаксации совпадает с
методом Зейделя. При 0) > 1 (о) < 1) он называется методом
верхней (нижней) релаксации. Наибольшая скорость сходимости
получается при
" = "° = iwx^T ~ 1+si2n(n/A/) > *'
где Л —минимальное собственное значение задачи
Аф-Хйф = 0bS, 0|г = О (3 132)
Необходимое число итераций при о) = 0) • К ~ 0,6Af 1п(1/е). Оно
существенно меньше, чем для метода Зейделя.
5 Попеременно-треугольный метод Самарского Представим
матрицу В, в виде произведения двух треугольных матриц:
Bk = В = (E+u>R})(E+u>R2)t /?t = L+D/2, R2 = U + D/2. (3.133)
В этом случае в качестве т. можно выбрать чебышевские
значения (3 131), причем
£ = 2Vt)/(1+Vt)), г, = У/А,
а параметр Л определяется условием 4/?./?2 ^ АЛ. Наибольшая
скорость сходимости получается при а) = 0)Q = 2/Vy А. Если
область S —квадрат со стороной а и /i = /i = /i, то А ~ 8//г ,
0)п = /га/я. Необходимое число итераций невелико. К" ~ 0,3VW х
х 1п(2/е) Хотя на каждом итерационном шаге надо два раза
решать треугольную систему уравнений, рассматриваемый метод
при большом N может оказаться эффективнее метода верхней
релаксации и явного чебышевского метода
6 Метод переменных направлений Мы остановимся здесь
лишь на простейших вариантах метода. Представим оператор Л в
виде суммы Л = Л + А где Л2 = Л- , а оператор Л, опреде-
142
лен формулой (3.127). Очевидно, что
Л; = Лг Л; = Л2, Л^ = Л2ЛГ (3.134)
Положим
Bk = В = (wf+Лр (wf+Ag), т^ = 2d), (3 135)
где 0) —некоторый параметр. Каждый из сомножителей в (3.135)
представляется трехдиагональной матрицей, поэтому для
реализации итерационного процесса удобно использовать
двухступенчатый алгоритм Писмена-Рэкфорда:
(u>E+AJ\l>k+V2 = (о)Е-А2)фк + /, (0)Е+А2)фк+г = (иЕ-А^)фм/2 + f,
(3.136)
эквивалентный общему алгоритму (3.130), (3.135). Для решения
уравнений (3.136) можно использовать широко известный метод
прогонки (см. разд. 4.3). Наилучшая сходимость достигается
при 0) = о)0 = VSS, в = min(A™?A™n), Л = max (A™? А™ах),
А™1П, А™ах —соответственно минимальные и максимальные
собственные значения операторов Л1 и Л2. Для квадратной области
со стороной 2а 0)Q = n/ha. Необходимое число итераций К ~ N х
х 1п(1/е). Вместо алгоритма (3.136) можно использовать схему
с расщеплением:
(coE+A^h+]/2 = и)Ефк + }у (и)Е+А2)фк+] = о)Ефк+]/2. (3.137)
Вернемся к решению задачи (II). Итерационные процессы
(3 138) и (3.130) обычно объединяют в единый процесс,
который можно записать следующим образом:
9
(3.138)
На каждой итерации задача (3.138) линейна относительно ф + .
Обратимся теперь к задаче (III) для неограниченной
области. Хотя функция Грина G(r,г,г' ,z') оператора Л* для
неограниченного пространства известна (3.92), ее
непосредственное использование для решения задачи (III) ведет к большому
количеству вычислений. Поэтому обычно применяют другие ме-
юды
Представим решение задачи (III) в виде суммы
ф = 07 + 0st. (3.139)
Фз{ = £G(ryz,r\z')Jr (3 140)
/ = l
143
ф . —потенциал поля токов стационарных проводников, 0,
—потенциал поля плазменного тока. Для функции ф, получим задачу
А>,= -Ц2гЩфр-фгф${)1(р(ф1+ф^
(3.141)
07 -» 0 при (г, г) -» оо, SSiydS = /,
р
где 0 —параметр, определяющий положение границы плазмы
Для решения задачи (3 141) используют алгоритм,
предложенный Лакнером [26] Выберем некоторый контур Г„, имеющий
форму прямоугольника, содержащий внутри себя область
локализации плазмы и не содержащий управляющих токов Область
внутри Гд обозначим через SR Пусть известен потенциал ф™ на
итерации с номером т Будем искать фт* в SR как решение
задачи 2
д>7+1 = - -сг н(</<;+Чг^Г1) /y*7+4t) <3-142)
с граничным условием
07+1|г = SSGjyW"!^) dS. (3.143)
R SR
Эта задача относится к типу (I) и для ее решения может быть
использован алгоритм (3 138)
Наиболее трудоемкой частью рассматриваемого метода
является вычисление двойных иптегралов (3 143) при пересчете
граничных условий. Вместо подсчета интегралов для
определения граничных условий можно использовать параллельное
решение задачи с нулевым граничным условием.
д-„«+1 = -^гЩЦГ-Ф^)^^), «7+1|гл = °- (ЗИ4)
Подставляя в формулу Грина
Jji(«AV0A-«)dS= 11[и%-0Щ*г
SR . rR
выражения и = ит , v = G{r,z,r' ,z') и учитывая (3.143),
получим искомое граничное условие
^\г---!т1^^ <3145>
* rR
Вспомогательная задача (3.144) также решается с помощью
алгоритма (3.138)
Для решения задачи (IV) можно использовать разные методы.
Один из них заключается в решении задачи (IV) с помощью схем
сквозного счета, используемых для уравнений с разрывными ко-
144
эффициентами. Обозначим сечение железного сердечника
плоскостью ф = const через Sp , внешнюю границу этого
сечения—через Гр , внутреннюю —через Г. Область, ограниченную контуром
Г, обозначим через S. Пусть Л(|1)—разностный оператор,
аппроксимирующий оператор Л* с разрывными коэффициентами в
SF -т 5 (д = 1 в S). Тогда итерационный процесс для задачи
(IV) может быть записан в виде
Bk,^rf-+ *"V - - Щ2г K~0fe) / <Фк) + /J, Фк+Х | г =о,
k+\ L Г Г J I pe
где д = fi(|V0 |) определяется кривыми намагниченности
железа. Если узлы сетки Q лежат на контуре Г, то в качестве Л(д)
можно использовать центрированный оператор типа (3.127).
Другой метод заключается во введении еще одного внешнего
итерационного цикла. На каждом шаге этого цикла раздельно
решаются задачи типа (II) в 5, типа (IV) в Sp и
производится сшивка этих решений [27,28]. Пусть ф™ и ф™ —решения
задач в S и Sp на итерации с номером т Тогда задачи для
ф™+\ i//pJe] имеют вид
AjJl^-O sSFe, CV^0' CV^r? (3-146)
Функция 0р+ определяется из условия «конечной проводимости»
границы раздела
,/,т+ 1 ,/,т я,/,^ я,/,т
т+ . jLi.
Здесь под п понимается внешняя к контуру Г нормаль Каждая
из задач (3 146) и (3.147) решается с помощью итерационного
процесса (3.138) Проведенные вычисления показали хорошую
сходимость метода.
Отметим, что в последние годы были предложены различные
упрощенные модели для расчета равновесия в токамаке [29,30].
Одни из них используются при исследовании устойчивости
плазмы, другие удобны при квазистатическом моделировании
сценария разряда с помощью электротехнических уравнений [31].
3.2.8. Эволюция равновесия. Изменение макроскопических
параметров плазмы в ходе разряда (плотности, температуры,
полного тока) приводит к изменению состояния равновесия.
Поскольку время жизни частиц и энергии в плазме токамака много
145
больше характерных альфвеновских времен, прямое
использование системы МГД-уравнений (3 10)-{3.12) или (3.13) для
прослеживания эволюции равновесия наталкивается на большие
вычислительные трудности.
Основная идея решения задачи заключается в отказе от
рассмотрения быстрых инерционных эффектов и замене
динамической МГД-системы на квазистационарную систему равновесия
(3.59) или эквивалентное ей скалярное уравнение для
потенциала (3.70) [19]. Однако в этом уравнении правая часть у =
= 2цсгр' + (/ )'/(гс) будет теперь функцией времени, и для
замыкания системы требуются дополнительные уравнения.
Современный эксперимент указывает на то, что давление
плазмы определяется аномальными процессами переноса и слабо
связано с характером равновесия. Поэтому в задаче об
эволюции равновесия принято пользоваться приближением заданного
давления, когда р определяется либо данными эксперимента,
либо расчетами баланса энергии и частиц. В то же время
проводимость согласно эксперименту является классической или
неоклассической, поэтому диффузию тока можно описывать
уравнениями Максвелла и продольной компонентой закона Ома.
Остальные компоненты закона Ома содержат массовую скорость, не
входящую в задачу эволюции равновесия.
Таким образом, система уравнений для эволюции равновесия
имеет вид
Vp = ^[jxB], rotB = p-l divB = 0, (3.149)
rotE = ~\дЛ <EB> = ^ (315°)
где р — заданная функция магнитной поверхности ф и времени.
Систему (3.149), (3.150) можно записать через потенциалы,
вводя систему координат, связанную с движущимися магнитными
поверхностями. Наряду с полоидальными функциями ф и I введем
функции тороидального потока и тороидального тока
* = tfBtdS, J = JJ/^S.
S S
где 5 —сечение магнитной поверхности. Пусть a(rj) = const —
уравнения магнитных поверхностей в момент t. Тогда
усреднение (3.150) по магнитной поверхности дает
ф/|?-^Э7 = бМ'-""') (3151)
146
Здесь штрих означает производную по переменной а,
характеризующей магнитную поверхность. Уравнение (3 151) надо
рассматривать вместе с уравнением для ф
Д> = - Ц r\2ncrp' + ^(/2)') (3.152)
и уравнениями магнитостатики
divB = 0, rotB = р-Ъ (3.153)
записанными в координатах а, 9, <р, где 9 —какая-либо поло-
идальная координата. Вид уравнений (3.153) зависит от
элементов метрического тензора выбранной координатной системы
[19]. Уравнение (3.152) определяет мгновенную геометрию
магнитных поверхностей a(rj) - const, a (3 151), (3.153) —
связь функций Ф, ф, J, I между собой и их эволюцию во
времени Систему (3.151)—{3 153) следует дополнить необходимыми
начальными и граничными условиями. Исследование этой задачи
проводилось в работе [32].
3.3. Устойчивость
3.3.1. Вводные замечания. Равновесные решения,
обсуждавшиеся в предыдущем разделе, имеют разумный физический смысл
лишь в том случае, если они устойчивы. Это означает, что
небольшие отклонения от равновесия не должны радикальным обра-
юм возрастать во времени. Исследованию устойчивости решений
системы МГД-уравнений посвящено большое количество работ.
Первоначально изучались идеальные МГД-уравнения в
цилиндрической геометрии [33-38] В Д Шафрановым был установлен кри-
1ерий устойчивости для крупномасштабных типов колебаний
135] Для локализованных возмущений общее условие
устойчивости было найдено Сайдемом [38]. Затем было исследовано
влияние конечной проводимости на устойчивость [39-45]. Показано,
и частности, что, несмотря на появление новых типов
колебаний, условия устойчивости для крупномасштабных мод могут
ныть выражены через решения идеальных МГД-уравнений [39,42].
Численное решение задачи [40,42] подтвердило выводы
упрощенного аналитического исследования Обзор работ по устойчиво-
< ги можно найти в [46]
Влияние тороидальности на устойчивость исследовалось в
нескольких направлениях. Прежде всего выяснилось, что
тороидальные поправки улучшают устойчивость колебаний, характер-
147
ных для цилиндрической геометрии. Для локализованных мод
соответствующие критерии устойчивости были цолучены в работах
[47,48]. Крупномасштабные винтовые колебания были изучены в
работах [49-51]. С помощью численных методов были найдены
новые типы колебаний, характерные только для тороидальной
геометрии [52,53]. Эти колебания, имеющие наибольшую
амплитуду на внешнем обводе тора, получили название баллонных
мод. Они становятся неустойчивыми при достаточно больших
давлениях плазмы. В дальнейшем для баллонных мод были
развиты и аналитические методы [54]. Критерий устойчивости для
мелкомасштабных колебаний был получен в работе [55].
Устойчивость баллонных мод улучшается при увеличении
эллиптичности поперечного сечения плазмы
Таким образом, к настоящему времени количество идей и
объем результатов по МГД-устойчивости весьма велики, и мы не
будем здесь стремиться полностью охватить этот материал
Обсудим только постановку задач и основные методы
исследования На примере задачи об устойчивости круглого
цилиндрического шнура продемонстрируем физические представления о
типах неустойчивых колебаний Как правило, мы будем
рассматривать крупномасштабные движения, не затрагивая локализованных
в пространстве колебаний Затем будут описаны численные
методы и обсуждены некоторые результаты вычислений.
3.3.2. Основные уравнения. Пусть функции р р В0, L
описывают равновесное состояние без конвекции (V = 0)
Через рг р., В., L, v обозначим малые отклонения от
равновесных величин Линеаризуя систему уравнений идеальной
магнитной гидродинамики (3 14), получим
др.
37 + div(Vi) = °-
Ро Ш = " V Р\' Ш [rotBoxBi] + \n [rotBixBo3« (3 154>
Р\ = 1 pfv ЪЧ = rot[VB0]
Здесь ^ — показатель адиабаты в уравнении состояния рр -
- const Введем смещение if с помощью соотношений dt^/dt = v
Нетрудно выразить остальные неизвестные функции через if,
используя первые три уравнения системы (3 154)
Р] = - div(p0S), В1 = rot[?xB0], Р] = - rp0divt-(t4pQ). (3 155)
148
Подставляя (3.155) во второе уравнение системы (3.151),
получим уравнение для £:
Р0 ^| = - Ы, (3 156)
где /(—дифференциальный оператор второго порядка, зависящий
от равновесных функций р„, pQ, В •
Ы = V [щ diwt + (£VpQ)] + ^ [rotB0 х rot[^xB0]] +
+ ^[rotrot[?xB0]xBQ]. (3.157)
Уравнение (3.156) справедливо внутри плазмы в области V .
Если между плазмой и кожухом имеется вакуумная прбслойка
V = V - V (У —область внутри кожуха), то в этой области
поля удовлетворяют уравнениям Максвелла:
В1 = rot A, E1 = i|£, rot rot A = 0, divA = 0. (3.158)
Обсудим граничные условия иа разделяющих поверхностях. На
подвижной границе плазмы J] должно выполняться условие
равенства полных давлений
Ь+ ?,+ k <VBi>2]/ = к <Bb+Bi)2.- <3-159>
где индексы * и е означают пределы с внутренней и внешней
стороны поверхности Е Используя условия равновесия на
несмещенной поверхности раздела плазма-вакуум Е • (р i-
2 2
t В /8тг). = (В0/8я) , и оставляя в (3.159) члены первого
порядка по смещению, получим
- wo div? + к*п\!лг- ътге)+ is £<В<А>" <В<А>] = °- (3-160)
Здесь все величины берутся на £ 0, через п обозначена
внешняя нормаль к этой поверхности. Второе граничное условие на
поверхности Е Q следует из непрерывности тангенциальной
компоненты электрического поля в системе координат, движущейся
с плазмой'
K4fvM, = [E«4hxlw]< (3161)
Применяя оператор (n rot) к выражению (3 161) и используя
\ равнения Максвелла (3 158) для поля Е получим
<noV - <no rot t?xBoJ) или tnoxA3 = - ?А<> <3 162>
! 1а идеально проводящей поверхности кожуха £
(п Bt) = 0 или [пхА] = 0 (3.163)
149
Пусть ^ и г/ —два произвольных достаточно гладких
смещения, А и Q —два поля, удовлетворяющие в V уравнениям
(3.158), и пусть каждая пара {?,А} и {T/,Q} удовлетворяет
граничным условиям (3.160), (3.162), (3.163). Тогда можно
показать [33,37], что оператор /С, определенный условиями
(3.157)-(3.163), является самосопряженным, т.е.
W^,% = ДИ*$ dV = Ш&Ы dV = W(%t). (3.164)
v v
Р Р
Будем искать решение уравнения (3.156) в виде ^(г,/) =
для Ц(г) получим уравнение
-Ы+Лр0% = 0, Л-О)2. (3.165)
Из свойства самосопряженности (3.164) следует, что
собственные значения X (k = 1, 2, , А ^ А ) задачи (3.165),
(3.160)—{3.163) вещественны Очевидно, что отрицательным
собственным значениям Л, = 0), < 0 соответствуют нарастающие
во времени (неустойчивые) решения исходной задачи (3.156),
(3.160)—{3.163), положительным—ограниченные во времени
устойчивые решения. Нулевое собственное значение соответствует
границе устойчивости.
о
Наименьшее отрицательное собственное значение \л = 0) .
r I mm
определяет наиболее неустойчивое решение. Из свойства
самосопряженности (3 164) следует справедливость вариационного
принципа:
Л, = min[U(ti)/N(tt)l N(H) = N = ^j^p0\i\2dVt (3.166)
V
где U(t>t>) = Щ?>?)/2 —потенциальная энергия. Равновесие
неустойчиво, если хотя бы для одной допустимой функции
U(tt) < 0 (3.167)
Проводя в выражении (3 164) интегрирование по частям,
используя (3.158) и граничные условия (3 160)—(3.163) получим
и&%> = HJJ^{yMdiv$2+<S4>div£+
V
р
+ ^ (rot[?xB0])2 - ^ ([?xrotB0] rot[?xB0])} н-
+ knj(-tA)2^-HM0 + k^-^]}^ (3.168)
и pO
150
где £ = (?nQ). Выражение (3.168) содержит производные функ
ции ^(г) более низкого (первого) порядка, чем выражение
(3.164). При этом существенно расширяется класс допустимых
функций для функционала (3.166): теперь он содержит все
кусочно-гладкие функции jf(r), удовлетворяющие граничным
условиям (3.160)-(3.163). Однако за это расширение мы заплатили
появлением объемного интеграла по области V При этом поле
А в (3.168) не произвольно, а удовлетворяет уравнению
Максвелла (3.158) и связано граничными условиями (3.160)—{3.163)
с функцией сравнения ^(г). Для достаточно гладких
равновесий, когда
"o|z n = 0' aVart|z=0' io|z =°« (ЗЛ69>
1 рО ' р0 ' рО
поверхностный интеграл в (3.168) исчезает.
Выражение (3.168) для потенциальной энергии формально
можно упростить, вводя фиктивное смещение в вакууме с
помощью соотношений
rot[£xBQ] = rot A, rot rot[£xBQ] = 0. (3.170)
Подставляя (3.169), (3 170) в (3.168) и учитывая, что в
вакууме р = 0 и rotBQ = 0, получим выражение для
потенциальной энергии в более компактной форме.
U^'t) = \ \\\dV {э-р0 (divf)2 + ($р0) divt +
V
+Jl{(rot[?xB0])2 - ([?xrotB0] rot[|xB0])}}. (3.171)
Таким образом, для нахождения возможных движений и
инкрементов развития неустойчивости (значений 0), = VX7) нужно
либо решить временную задачу (3.156), (3.158), (3.160)—
(3 163), либо искать экстремум функционала (3.166). При
численном решении задачи используются оба подхода, и каждый из
них содержит свои трудности.
Однако в ряде случаев представляет интерес не решение
полной задачи о движении или о спектре, а ответ на более
простой вопрос* устойчиво данное равновесие или нет? Для
отпета на него нужно исследовать знак потенциальной энергии
^($,*;). Если мы найдем (или угадаем) допустимое смещение £,
1/1Я которого U < 0 (3 167), то равновесие неустойчиво На
использовании этой идеи основано большое число аналитических
исследований задачи об устойчивости
151
3.3.3. Круглый цилиндрический шнур. Остановимся более
подробно на устойчивости цилиндрического шнура с круглым
сечением. В этом случае выражение для потенциальной, энергии
(3.168) существенно упрощается. Влияние тороидальных
эффектов на устойчивость обсудим ниже. Введем цилиндрические
координаты г, <р, z и обозначим радиусы плазменного шнура и
проводящего кожуха через а и Ь (а £ Ь). Уравнение равновесия
для круглого шнура имеет вид (3 76):
4* д£=-ВгЯ7г-ТРд<Гг СV' В = (0, В<Р(Г)' В*{Г))- (3-172)
Здесь .и в дальнейшем в настоящем пункте мы опускаем индекс
нуль у равновесных функций. Поскольку равновесие не зависит
от (р и 2, будем искать смещение t, в виде
t(r^z) = t{r)ei{m^kz\ (3.173)
Потенциальная энергия U (3.171) зависит от трех функций —
компонент вектора £. Однако простота цилиндрического
равновесия (3.172) позволяет провести алгебраическую минимизацию
U по £ и £ Вместо £ , £ £ введем неизвестные функции
* - div?" ? а? <*> = *т V '***• с = '"(V*-** V- * = ^
(3.174)
Тогда
Ц = - tF-^C+T^), ?г = ^"'' [у С- Т)В], (3.175)
F = ^B(()+kBz (3 176)
Вычисляя необходимые векторы
В, = rottfxB] = {^^-^(^-^C-fl^B,)},
Id dB~
(3.177)
[?xrotB] - I farBJ {^, -С 0} - ^{-^ 0, Q
и подставляя (3.177) в (3.i71), после несложных, но
громоздких преобразований будем иметь
Ь ,2 2.
" - Г}г{ьЬ>§}+Щ^)2^Ч^«<0?}^ (3178)
о г
с°= -^^{{кгвф~тв^-{кгв<р+тв^ г} <3179>
*-B-kBr (3 181)
152
Очевидно, что смещения, минимизирующие (3.178), должны
удовлетворять условиям
div£ = 0 в V , C-CqBV (3.182)
Эти уравнения определяют £ и £; через £ и d^/dr Первое из
условий (3.182) означает, что минимизирующее смещение
соответствует несжимаемому движению В случае (3.182)
6
U = ^\kr dr. (3.183)
о
Перейдем теперь от смещения £, фиктивного в вакуумной
области, к переменной
Ф - F£ (3.184)
пропорциональной радиальной компоненте возмущенного
магнитного поля В]г = 1Ф Подставляя (3.184) в (3 180), (3.183),
интегрируя по частям член, содержащий произведение ФФ', и
учитывая граничное условие Ф(Ь) = 0, после некоторых
преобразований получим
4nU = ||^г{ЯФ/2+^Ф2}, (3 185)
о
. де -3
4 к \k2rhnp' + (k2rhm2-l) rF2 - 2k0 r GFX (3.186)
г +mz L k r +m ■>
k
Функция F (3.176), стоящая в знаменателе подынтегрального
выражения (3 186), зависит от равновесного магнитного поля и
характеристик смещения m и k\ F = F(r,m,k). Точки г , в ко-
юрых функция F обращается в нуль-
F(r ,m,k) = — Bm + kB = 0, (3.187)
s. r
пудем называть резонансными При наличии таких точек
выражение (3 185) для U становится сингулярным и требует внима-
юльного исследования Заметим, что подынтегральная функция
<> (3 186) может быть сингулярной только внутри плазмы. В
накууме, где р' = 0 и L = 0, функция
2
g, = ^~{2k2r2 + (k2r2+m2)(k2r2+m2-\)} (3 188)
1 гь
не содержит сингулярностей.
Обсудим один из возможных выборов функций сравнения,
минимизирующих функционал (3.185). Пусть с —произвольная внут-
153
ренняя точка интервала (0,6), ФАг) и Ф2(г)—функции,
удовлетворяющие граничным условиям
Ф^О) < со, Ф2(6) = 0 (3.189)
и условию сшивки
Ф,(с) = Ф2(с). (3.190)
Разобьем (3.185) на два интеграла по интервалам (0,с) и
(с,Ь), положим Ф = Ф. при 0 < г < с, Ф = Ф2 при с < г < b и
проинтегрируем по частям:
с Ь
4nU = J |Ф11[Ф1]г^г + ||Ф2ЦФ2]/-^-^Я(с)Ф2(с)Л/(^ (3.191)
0 с
где
'ЦЧ'-^^Ь*!*' (3.192)
А'(с) = (Ф^(С)-Ф;(С))/Ф(с) (3.193)
— скачок логарифмической производной функции Ф в точке с.
Потребуем теперь, чтобы функции Ф. и Ф2 удовлетворяли
уравнению Эйлера
ЦФ12] = 0, Ф^О) < со, Ф2(Ь) = 0 (3.194)
Тогда
AnU = -%Н(с)Ф2(с)Ь'(с). (3.195)
Таким образом, при А' (с) > 0 плазма может быть неустойчивой.
В вакуумной области уравнение (3.194) совпадает с уравнением
для В , которое можно получить из системы уравнений
Максвелла (3.159) и условий (3.182).
Оправданием процедуры (3.189)-{3 195) для выбора функций
сравнения может служить следующее рассуждение. Вернемся к
полному функционалу .(3166), зависящему от векторной функции
f Рассмотрим его на ограниченном классе функций,
удовлетворяющим условиям (3.182). Минимизация (3.166) в этом классе
приводит к задаче на собственные значения.
- ЦФ] + Лр ЦФ] = 0, Ф(0) < оо, Ф(6) = 0, (3.196)
где Z, — некоторый оператор второго порядка. Мы не будем его
выписывать, так как в дальнейшем он нам не понадобится.
Пусть теперь минимальное собственное значение задачи
(3.196) равно нулю (Л . = 0), т.е. плазма находится на
границе устойчивости для смещений из класса (3.182). В этом
случае уравнение (3.196) вырождается в уравнение Эйлера
(3.194), решения Ф и Ф2 как собственные функции задачу
154
(3.196) линейно зависимы и А' = 0 при любом выборе точки с.
Таким образом, условие
А' = 0 (3.197)
является необходимым при переходе из устойчивой области
параметров в неустойчивую.
Условие (3.197), вообще говоря, не является достаточным
для определения границы устойчивости. В самом деле, в случае
(3.197) задача (3.194) определяет лишь одну из собственных
функций задачи (3.196), а именно ту, для которой Л = 0.
Задача (3.196) при этом может иметь и другие собственные
значения, в том числе и меньшие нуля Поэтому для решения
вопроса об устойчивости в некоторых случаях приходится
использовать также функции сравнения, отличные от решения
уравнений Эйлера.
Остановимся подробнее на решении задачи (3.194). Будем
считать, что /?(r), j(r), В (г), В (г) аналитичны в области 0
< г < а внутри плазмы. Вне плазмы в вакууме /7 = 0, j = 0,
В,п = аВ,л /г, В,п = В J а), В = В (а) = В . Таким образом,
на границе плазмы аналитичность коэффициентов уравнения
(3.194) нарушается. Если резонансная точка г (3.187) лежит
вне плазмы, г > а (или внутри нее, г < а), то
соответствующее движение плазмы обычно называют внешней [внутренней)
винтовой модой.
В условиях токамака
V^*«*• (3198)
поэтому
кг « т. (3.199)
Кроме того, для тороидальной системы имеют смысл лишь
периодические вдоль продольного поля движения с периодом L =
2nR/n. В цилиндрической геометрии для таких движений
к = 2n/L = - n/Ry n = 0, ±1, ±2, .. (3.200)
Условие (3.199) позволяет упростить уравнение Эйлера (3.194):
W-farpa7] + mV-°- <3-201>
«VkarpafW"1*- (3202)
о 2 2
Заметим, что в вакууме г dF/dr = const и m g* = m - 1
155
Уравнение (3 201) для моды т = 1 вырождается. В этом
случае оно имеет очевидные решения.
Ф = CF (г < а), Ф = C1F+ C2 (г > а). (3.203)
Если этих решений недостаточно для удовлетворения граничных
условий, то следует использовать полный оператор Эйлера
(3.186), (3.192). Иногда вместо уравнения (3.201) используют
эквивалентное ему уравнение для функции ф = гФ:
M&l-P'vbs'bHb'»]}*-'- (3204)
Здесь ц = \/q = RBJrB . Нетрудно показать, что
W^7Erd~r |737<r ^J = —B(\-nq/m)- (3-205>
В вакууме / = 0 и второй член в фигурных скобках (3.204)
2 о
пропадает В этой области F = (та/г ) В - (n/R) В .
1 Внешняя винтовая мода (г > а) В этом случае
резонансной точки в плазме нет и удобно положить с = а
Формулу (3.195) при m * 1 можно обобщить на случай, когда
плотность тока / (г) на границе шнура не обращается в нуль. При
этом dF/dr разрывна в точке г = а. Выделяя в интеграле
(3.183) малую окрестность точки а и интегрируя его по
частям, для функций Ф, удовлетворяющих (3.194), получим
AnU = - |Я(а)Ф2(а)[Л,(а)-5,(а)], (3 206)
б'(*) = 7Т^[^а+0)-^а-Ч- (3207)
Условие неустойчивости имеет вид
Д'(а) > 8'(а) (3 208)
Для моды т = 1 уравнение Эйлера (3 201) имеет решение
(3.203) для произвольного профиля тока Рассмотрим смещения,
соответствующие движению шнура как целого. В этом случае
внутри плазмы
€ = С = €e = const, Ф, = $aF (3 209)
Вне плазмы Ф2 = C*F+C~ Определяя значения С. и С из
условий ФАа) = Ф2(а), $9^) = ^' полУчим
Учитывая, что
2? 2? F(a) B(
—аВ Ф'(а) = - а
a Y a(\-a /о
*i<o>--jfV $2<а> = :,тта' ^) =-f-d-»?.)-
156
где q = q{a), найдем логарифмическую производную-
а 2
Ф2(а)Д' = 2еа^Ц1-пча)[1-^г^], (3.211)
и потенциальную энергию*
4*t/ - - тг fljfl £ [l - nqa - ^—ф ] (3 212)
Условие неустойчивости А' > 0 имеет вид
а2/62 < я? < 1 (3 213)
Оно не зависит от профиля тока в плазме. Для оценки инкре-
9 9
ментов у (у = - со ) воспользуемся функционалом (3.166). В
приближении (3 199) для смещений (3 175), (3 182)
m^Jr-TiB 1 ггг Л 9 9
V
(3.214)
Инкремент достигает максимума в середине интервала (3 213)*
II R о
2 _ max = <M_Lal (3215)
^^ 87ia2<p>L 62J '
Для более высоких мод т £ 2 аналитические условия
неустойчивости можно получить для однородного распределения тока / -
- const В этом случае внутри плазмы F = const, q = const =
<7 и уравнение Эйлера принимает вид
Уф] ^-faFpH?)*^2-1)* = ° (о < ^ < *). (3.216)
Частные решения этого уравнения гт~ и г~^т+ ' позволяют
определить
А'(*) = "2m/fl 2m, S'(fl) - - {2r/aa/m (3.217)
l-( a/6)2m [ n4a/m
Условие неустойчивости теперь имеет вид
т - 1 + (а/Ь)2т < дг^а < т. (3 218)
В общем случае произвольного профиля тока нужно решать
уравнения (3.201) или (3.204) В Д Шафрановым [36] было показа
но, что пикирование тока в центральной части шнура улучшает
устойчивость внешних мод На рис. 3 5а приведены зависимости
'нмразмерных инкрементов неустойчивости у = Уа^ 4тг<р>"/£ от
параметра nq (q - q(a)) для параболического профиля тока
I /0(1 - г /а ) Эти результаты получены с помощью
численного решения уравнения Эйлера (3 201). Видно, что при
увеличении т быстро спадают как размеры области неустойчивых зна-
157
/77=2
/77= J
"n.
m=2
3 Ща
0,5 f Л
б Ь
Рис. 3.5. Поведение инкрементов неустойчивости внешней
винтовой моды для параболического профиля тока
о о
/ = jrX\~r /a ) в зависимости а—от параметра nq , б —
от параметра а/Ь
чений nq , так и максимальные значения инкрементов
Приближение проводящей стенки к поверхности плазмы также уменьшает
инкременты (рис 3 56) и области неустойчивости. Сравнение
рис. 3 5 с неравенством (3.218) показывает заметное
уменьшение области неустойчивости мод т = 2 и т = 3 при переходе от
однородного к параболическому току
Более широкий класс профилей описывается двухпараметриче-
ской формулой
2^v
J,
2 .
q па /n
sj-"*1''--^"-
Я(0)
(3.219)
>г -uL- агу qQ ■ v+i ■ Ч
Дж Вессон [46] для представления результатов анализа
устойчивости предложил использовать плоскость параметров х = \/q
у = qQ/q . Горизонтальные линии у = 1 и у = 1/2 на этой
плоскости соответствуют однородному и параболическому профилю
тока, наклонные прямые, проходящие через начало координат, —
значениям q = const В качестве примера на рис 3 б
показаны области неустойчивости внешней моды т = 2, п - \ для
профилей тока (3 219) при различных параметрах а/Ь В случае
кусочно-постоянной плотности тока
/2 = /0 (г < с < а), \г = О (г > с) (3.220)
для границы области неустойчивости нетрудно получить
аналитическую формулу Для этого в (3.218) заменим а иг с и ис-
158
y=V?*
Неустойчивость
'Л '/г
' *='/?«,
Рис 3.6. Области неустойчивости для внешней моды
га = 2, п = 1 (1 < £ < 2) с профилем тока у = / х
2 2 У а
х (1-г /а ) и а/6 - 0 и 1/1,2. Штриховой линией
показаны границы не/стоичивых
профиле тока (3.220)
областей при ступенчатом
пользуем соотношения q
q//c2, qc
qn. В результате для
правой нижней границы получим
0JL-
х =
т-1+(а/Ь)2тут'
(3.221)
кривая
кривая
(3.221)
(3.221)
На рис. 3.6 штриховой линией нарисована
для га = 2, п = 1, а/6 = 1/1,2. При а/b = О
совпадает с биссектрисой ^0 = 1. Можно показать [56], что
условие qQ > 1 является достаточным условием неустойчивости
моды m = 2, п = 1 для любого профиля тока при а/Ь = 0.
Отсюда, в частности, следует, что при заданных значениях
плотности тока в центре /(0) = / и полного тока / (т.е. заданных
к qa а В^/0,2/?/) наиболее устойчивым
являемся кусочно-постоянное распределение тока (3.220) при с =
а VV?a
2. Внутренние моды (rs < а) . В этом случае внутри
плазмы существует резонансная точка г , в которой уравнение
( \ 201) сингулярно Граничное условие для внутренней моды
Ф - 0 будем предполагать заданным либо на границе плазмы
159
г = а, либо на поверхности проводящего кожуха г = Ь.
Нетрудно показать, что решения уравнения (3 201) непрерывны в
точке г . Используя этот факт, обычно полагают с = г .
Возможен и другой выбор положения точки с, но в этом
случае решение должно быть аналитически продолжено через особую
точку. Для моды т = 1, полагая с = г и используя (3.203),
будем иметь
г < г
С = 0, Ф = 0, г > г
s1 ж2,
Ф'{с)Ь'(с) -- 0. (3.222)
Таким образом, в приближении (3.199) мода т = 1 находится
на границе устойчивости. Учет малых отброшенных членов по-
9 о
рядка k r или введение дополнительных членов, описывающих
конечную проводимость, могут снять вырождение. Подставляя
(3 222) в качестве функции сравнения в полный функционал
(3.185), получим
4nU = zZlfedr. (3.223)
о
При р' < 0 подынтегральная функция g < 0 и U < 0 Однако
инкремент неустойчивости мал по сравнению с инкрементом у
для внешней моды: у ~ кг у
Для высших мод т £ 2 также обычно полагают с = г . Легко
показать, что при т S: 2 сингулярное решение уравнения
(3 201) в окрестности точки г имеет вид
Фо = С1+С2(г-г4)1п(г-д+ , (3 224)
а регулярное решение Ф = С Л г-г ) + .. обращается в нуль в
этой точке. Условие ФАг ) = ФЛг ) приводит к тому, что. Ф.
и Ф9 содержат одинаковую сингулярную часть. Поэтому скачок
производной [Ф']г/ имеет только регулярное решение и может
S
быть легко определен при численном решении задачи
На рис. 3.7 на той же плоскости, что и на рис. 3.6,
показаны области А' > 0 для внешней и внутренней винтовой моды
m = 2, я = 1, а/b = 0. Видно, что область Л' > 0 для внут-;
ренней моды является продолжением области Л' > 0 для внешней
моды на полосу q > 2. Левая граница q0 = 2 соответствует
выходу резонансной точки в центр плазмы.
, Вопрос о том, является ли условие Л' > 0 для
рассматриваемых нелокальных внутренних мод достаточным условием неус-.;
тойчивости, требует специального обсуждения Дело в том, что
160
в этом случае смещение ^ = Ф/F имеет сильную особенность в
точке г , и интеграл N, стоящий в знаменателе полного
функционала (3 166), расходится Для таких смещений в
приближении идеальной гидродинамики мы будем иметь нулевые
инкременты независимо от знака Л'. Физически это означает, что вмо-
роженность магнитного поля в окрестности резонансной точки
не дает возможности реализоваться неустойчивому решению. Для
кЧаК
Рис 3 7 Области А' > 0 для
внешней и внутренней винтовой
моды т = 2 на той же плоскости,
что и на рис. 3.6
того чтобы снять расходимость и разрешить нужное движение,
следует учесть какой-либо диссипативный процесс, например
конечную проводимость плазмы. Учет конечного значения
проводимости необходим лишь в малой окрестности резонансной
точки, где может происходить процесс перезамыкания силовых
линий магнитного поля. Вдали от г влияние конечной
проводимости невелико. Смещения, для которых существенна конечная
проводимость, обычно называют диссипативными или резистизни
ми модами
3 Д и с с и п а т и в н ы е моды (о* * оо) Учет конечной прово-
чимости изменяет последнее уравнение в линеаризованной сис-
1еме (3 14), которое теперь принимает вид
аВ1 с2 1
gyi - rot[vlXB] + fe rot irotB1 (3.225)
В приближении токамака (3 198), (3 199) для умещений, удов-
ютворяющих условиям (3 182), (3.214) (div£ = 0, £л = 0),
нетрудно получить уравнение для £ = £ и Ф = - /£
применяя оператор (В rot) ко второму уравнению системы (3.154)
и вычисляя радиальную компоненту уравнения (3 225) [44]:
4ттг2р LJ£\ = -F ЦФ], гФ = Г«; - ~£—9 ZJ?], г < а, (3 226)
47ГОТ
Ю Н Днестровский, Д П Костомаров
161
где L[y] = Ly[y] + Lfy — оператор Эйлера (3.201), (3.202),
(3.227)
Операторы L„ и Lp безразмерны. В вакууме Lp = 0, L = L„, p =
= 0, сг = 0 и система (3.226) вырождается:
£у[Ф] - 0, а < г < Ь. (3.228)
Решения системы (3.226)-{3.228) должны удовлетворять
граничным условиям
Ф(0) < со, £(0) < со, Ф(Ь) = 0 (3.229)
и условиям непрерывности на границе плазмы г = а
[?]а = [Ф]а - 0^ ?а = ?(*) - «(flJ/^a) (3 230)
Здесь [/] = lim [/(а+е) - f(a-c)] Заметим, что уравнение
а е^0
Эйлера (3 201) соответствует обращению в нуль правой части
первого уравнения (3 226) В случае бесконечной проводимости
система (3 226) сводится к одному уравнению
ld_ р(7?2+4язг2р) d£j _ {f2+4^2p)(m2_1) ? = 0 (3 231)
При р = 0 (или у = 0) мы вновь приходим к уравнению Эйлера,
записанному теперь относительно функции £. Уравнение (3.231)
2 2
получается из (3 196) в пределе (kr) /m -> 0.
Выделим характерные параметры системы (3.226). Пусть
4 тот2
А = —Я* f£5_] , v = 1, тн = -A S = =Д, (3.232)
S г
Ф = ЛФ, В,п = Bin(r ), F(r ) =0
В этих обозначениях система (3 226) принимает вид
о
^ L^] = F 1[Ф], Ф = - F? - -L ^Ф]. (3.233)
В окрестности точки г F ~ х-1 Конечная проводимость
приводит к существенному изменению решения в малой окрестности
точки г , которую обычно называют резистивным слоем Вне ре-
^ 2 2
зистивного слоя в силу малого параметра р /S «1 поведение
решения по-прежнему описывается уравнением (3.201) для
идеальной плазмы.
162
В условиях современных токамаков
Т - НЮ кэВ, В ~ 5 кГс,
г ~ 154-30 см, i
п ~ 5-1013см~3,
107-И09 » 1
(3.234)
Используя (3 234), построим приближенную систему уравнений,
справедливую в некоторой окрестности точки г (знутри резис-
тивного слоя). Преобразуем еще раз переменные
JC-1 =
Л7з'
dx =
dz
Т7з'
Ф
ТТ7з'
А =
S1
оставляя
^7з-
(3.235)
главные члены по
(3.236)
Sl/° Sl
Подставляя (3.235) в (3.233)
степеням S, получим
Л2£" = 21//", ф = -z% + ^1>",
где ф/ = dxjj/dz К системе (3.236) нужно присоединить условия
сшивки с решением системы (3.233) вне резистивного слоя Эти
дополнительные условия различны для га = 1 и га £ 2, поскольку
при га = 1 система идеальных МГД-уравнений, справедливая вне
резистивного слоя, сильно вырождается
Для случая m = 1 уравнение Эйлера (3.201) имеет решение
(3 222). Поэтому для решений системы (3.236)
Mm £
2->- 00
I i m (- ф/z) = CQI
Mm £
2-»+ 00
Mm (-0/2) = 0,
z->+ со
(3.237
lim (0-2i//y) = Mm £'22 = 0.
2^1 00
2~>J00
Последнее условие является следствием приближения токамака
о о
(3 199), в котором отбрасываются члены порядка к r .
Поведение функций £ и 0 при га = 1 качественно показано на рис. 3 8
Рис 3 8 Поведение функций £ и 0 (радиальных
компонент смещения и магнитного поля) в резистивном слое
при га = 1
163
При т ^ 2 для уравнения Эйлера (3.201), вообще говоря,
Ф(г ) * 0 и вне резистивного слоя £ ~ (- ф/z) = Ф/F ведет
себя как функция, имеющая полюс в точке г . Решение
идеальной задачи (3.201), (3.189), (3.190) и величина Д' могут
быть в общем случае найдены лишь с помощью численных
методов Условия сшивки в этом случае имеют вид
lim 0=lim (~гО = Ф 0= f-^]^73, lim ф\' = 4s lim 4f, (3.238)
т.е
2->Z0O
Л/Зч
lim (0V0)-Mm (0V0) = (r/S"°)A'.
2~> + 00 2~> - 00
Поведение функций £ и (// при m ^ 2 показано на рис. 3.9.
Задачи (3 236), (3.237) и (3 236), (3.238) обладают
следующим важным свойством, собственные значения,
соответствующие неустойчивым движениям, вещественны, те если Re Л > 0,
i
Резистибный
Рис 3.9 Поведение функций £ и ф в резистивном слое
при т ^ 2
то Im Л = 0 В самом деле, умножая первое из уравнений
(3.236) на £*, интегрируя по резистивному слою R и используя
второе уравнение, получим
\Ц\^' \2 dz-\\^'^^ \\Г\2 dz- [jf-] |0O|2 + J|0'|2^ = 0.
/? ' I R R R
(3.239)
В силу (3.237) или (3.238) [C%']R = 0, [(//'/i//^ = (Vм) A'-
Пусть Л = а + /(3 Учитывая, что Im А7 = 0, отделим в (3.239)
164
мнимую часть:
Здесь
2а(3/1 + р/2 = 0. (3.240)
У = ||Г |2 dz > 0, J2 = -J—2J|0' |2 dz > 0.
R 1Л| R
Из (3.240) следует, что либо |3 = Im Л = 0, либо а = Re Л
= - У2/2У1 < О
Построим решение задачи (3.236), (3.237) для т =
дем функции
Очевидно, что
£ = - и + (uz)"/ks = -w + x'/Az2, 0" = %'/*
Подставляя (3 241), (3 242) в (3 236), получим
Ь(Х"-2Г/г)-(\2+2?)х = ~Cz\ A2?' = * - С.
где С = %(- оо) — постоянная интегрирования. Последнее
ловий (3.237) дает С = %(-°о) = 0. Однородная задача
ЧХ"-2%'/г)-(\2+2?)х = 0, lim z = 0, (3.244)
имеет собственное значение Л = 1 и собственную функцию
X = ?(0)<TZ /2 (3 245)
1. Вве-
(3.241)
(3 242)
(3.243)
из ус-
Используя (3 232), (3 243), (3.245), найдем смещение и
инкремент
? ^ г*о[1-Л/ехр ["И*]' ^н = ТТ/з- <3246)
о ^
Таким образом, внутренняя мода т = 1 с учетом конечной
проводимости всегда неустойчива. В условиях современного экспе-
римента S ~ 10 -5-10 , т е инкременты этой моды на два
порядка меньше инкрементов внешних мод Толщина резистивного
слоя Лг определяется соотношением Лг ~ 1, те
Лг - /"/51/3. (3.247)
Перейдем к задаче (3.236), (3 238) для высших мод т £ 2
Внутри резистивного слоя функция ф меняется существенно
медленнее, чем £, поэтому решение для ф можно искать в виде
ф = 0О + 0 0 « ф = const (3 248)
Подставляя (3 248) в (3 236). получим уравнение для £•
*?"- <?2? - 20о, (3.249)
165
при дополнительном условии (3.238)
lim (-*/€) = Ф0- (3.250)
2">±00 -
Частное решение задачи (3.249), (3.250) при Re Л > 0
является интегралом [45] .
*°-^Hi:!ffi^*- (3'251)
Однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.249), не
имеет собственных значений с положительной действительной
частью, поэтому на полуплоскости Re Л > 0 решение (3.251)
единственно. В силу (3.238) и (3.248)
JP'-jg-'-^-ik»' (3-й»
R R
С другой стороны, в силу (3.248) и (3.236)
Ф" = ЧФ0+г$). (3.253)
Отсюда получаем дисперсионное уравнение, определяющее
собственное значение задачи (3.236), (3.238):
Я'Ч)
г
S
dz = —г4о А'. (3.254)
R
Подставляя (3 251) в (3.254), получим
v^A5/4S1/3/ = rsL\ (3.255)
°° 1 2N
/ = J^c[l-C2JeXp(2^/i^] = PW4)]2 « 1,5 > 0. (3.256)
-со Q^~t )
Отсюда вытекает, в частности, что условие неустойчивости
А' > 0 (3.196), полученное выше для идеальных мод, остается
справедливым и при учете конечной проводимости С помощью
(3.255) и (3 256) нетрудно найти инкремент
(rsA')4/s (г/')4/5
*ТН = 53/5(л/27)4/5 * 18S3/5 О 257>
Часто в литературе [39] смещение £ вида (3.251),
удовлетворяющее условиям (3.238), называют тиринг-модой (т е. раз-
рывной модой), поскольку при ее развитии изменяется
топология магнитных поверхностей.
4 Влияние тороидальности на устойчивость
винтовых мод (R/a * оо). В настоящем пункте мы
ограничимся перечнем результатов, не входя в детали
исследования. В. Д. Шафрановым [36] было показано, что устойчивость
166
внешних мод слабо зависит от поправок на тороидальность.
Устойчивость внутренних диссипативных мод в торе изучалась в
работах [49-51]. Для моды т = 1, обладающей наибольшим
инкрементом, влияние тороидальности оказалось слабым- она по-
прежнему неустойчива с инкрементом (3.246).
Для высших мод т ^ 2 дисперсионное уравнение вместо
(3.255) принимает вид
/(А) = v^A5/451/3(l + dX~3/2) = rgL\ (3.258)
где d — величина, зависящая от тороидальности плазмы и пара-
метров равновесия. Если г А7 > / . = 6V27S (d/5) , то
существует два вещественных положительных корня А. , А2
(А > А2), причем корень А. близок к корню уравнения (3.255)
лля тиринг-моды. При уменьшении Л' корни А. и А2 сближаются
и при г Д' = / . сливаются. При дальнейшем уменьшении Л'
образовавшиеся комплексно-сопряженные корни на комплексной
плоскости А перемещаются влево, уменьшая свою действительную
часть. При Л', равном некоторому Л , корни уравнения
(3.258) переходят на полуплоскость Re A < 0 и плазма
становится устойчивой. Таким образом, условие неустойчивости
теперь имеет вид
Д' > Лсг > 0, (3.259)
а /а г г В таа' -, -л 1/3
Л = AD5/6, А = 1,54 £ \eS 2 0 Vrzol .
R at B(f)q2 (l+2<y2)1/2J
(3.260)
R B\r(q')2 L r3 JQV B\ J J
Все величины берутся здесь на резонансной поверхности г .
Сравнение критериев (3 197) и (3 259) показывает, что дисси-
нативные моды в торе более устойчивые.
Величина Л пропорциональна безразмерному параметру
Л = p5/6e2fs^l , (3.261)
зависящему от тороидальности, давления плазмы и
проводимости При увеличении Л колебания становятся более
устойчивыми В [51] приведены результаты расчетов по определению
областей неустойчивости с помощью критерия (3 259) для двухпа-
раметрических профилей тока (3.219) Показано, что высшие
моды становятся устойчивыми уже при Л ^ 3 Изменение
областей неустойчивости (НУ) для моды т = 2 на плоскости
167
k^/h
Г m=Z A
Д'^ 0
Г />^
Л = 0 /
r/
rwJ/
/ У Ji
yji
dy/l
Внешняя мода /
A'>0 /
НУ /
Внутренняя мода
i—i 1 1 =^
2 h
J
4
8 4 3 2 f qq
Рис. 3.10. Области неустойчивости для моды т = 2 на
плоскости (\/qn, Яп/Яп) ПРИ различных значениях пара-
^5/6^2,
летра Л = $>р' ^(SB/By)
npv
1/3
(\/q , qQ/q ) приведено на рис 3.10. Видно, что при Л ^ 30
область неустойчивости моды т = 2 сильно уменьшается.
В установках масштаба Т-10 Л ~ 3^-8 и моды т ^ 3 должны
быть стабилизированы. Для обычных режимов работы, q ~ 2,5,
q /q ~ 3 мода т = 2 согласно рис. 3.10 неустойчива. В тока-
маках нового поколения (Т-15, TFTR) согласно расчетам Л ~
~ 23-5-30 и мода т = 2 также может быть стабилизирована.
5. Локальные критерии устойчивости (т»1,
дг » 1) До сих пор мы обсуждали устойчивость колебаний,
характерные размеры которых были сравнимы с радиусом плазмы
(т ~ п ~ 1) Однако имеет смысл также рассмотреть
мелкомасштабные колебания, для которых
, т » 1, п » 1,
\kr\
пг\
» 1
(3.262)
Для цилиндра такое исследование было проведено в [38]
Вернемся к уравнению Эйлера (3.194) и формулам (3.186)
для коэффициентов Я, g. и g. В случае (3.262)
подынтегральное выражение в формуле для потенциальной энергии (3.185)
может быть отрицательным только в окрестности резонансной
точки г , так как в остальной области F велико. В этой
окрестности
F'(rs)(r-rs)
Г (г
тВ z
k2r2
k2r2+m2
8тгр
^2'
(3.263)
168
где s = rq' /q — шир магнитного поля, а уравнение Эйлера для
смещения £; = Ф/F имеет вид
r~rs (r-r/ (F')2r s2b\
Решения уравнения (3.264) £ ~ (r-r ) при вещественных v не
локализованы. Условие отсутствия локализации
о
i+a>0, или %-+Snp'r > 0, (3.265)
2
обычно называется критерием устойчивости Сайдема. Аналог
условия (3.265) в случае тороидальной геометрии для плазмы с
небольшим давлением е(3 « 1, полученный в [47,48]:
l-+Snp'r(l-q2) > 0, (3.266)
4 В2
г
называется критерием Мерсье При р' < 0 и q > 1 все
локализованные возмущения согласно этому критерию устойчивы.
Устойчивость плазмы с большим давлением в торе изучалась
в [54,55]. Оказалось, что в этом случае собственные функции
задачи описываются совокупностью большого числа мод с
различными m Они уже не локализованы в окрестности выделенной
резонансной поверхности, а имеют баллонный характер, когда
амплитуда возмущений на внешней части тора больше, чем на
внутренней. Выпуклый характер линий магнитного поля на
внешнем обводе тора способствует развитию колебаний желобкового
гипа. Критерий устойчивости для таких колебаний имеет вид [55]
|2+§^[1.V[l-i5e-1/l-l]]-2S[^]V> 0. (3.267)
2 2
При достаточно большом давлении плазмы колебания неустойчивы.
3.3.4. Численное решение задачи об устойчивости. В
настоящее время используется три типа моделей для решения задачи
об устойчивости плазмы:
1) прослеживание временной эволюции решений
линеаризованной системы уравнений (3 154),
2) исследование знака потенциальной энергии с помощью
различных функций сравнения,
3) минимизация функционала (3.166) для определения
спектра собственных значений задачи (3 165)
Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недо-
< гатки. Метод 1 позволяет естественным образом найти наибо-
iee неустойчивую собственную функцию. Он является обычно
169
частью общих программ по решению нелинейных задач. С другой
стороны, с его помощью трудно определить спектр устойчивых
колебаний. Затруднения возникают также в случае
существования двух неустойчивых решений с близкими инкрементами.
Разработка алгоритма и отладка программ для метода 1 обычно
менее трудоемка, чем для метода 3, однако проведение расчетов
по методу 1 требует больших затрат машинного времени. Метод
2 обычно используется для конструкции аналитических критериев.
1. Временная эволюция решений системы (3.154).
Введем обозначение f = {p,v1,B1}. Для аксиальносимметричных
равновесий (не зависящих от угловой координаты <р) решение
линеаризованной системы можно искать в виде
f = Re(t(r,ztt)einV), (3.268)
где \(r,z,t) —вообще говоря, комплексная функция. Подставляя
(3.268) в (3.154), получим систему 14 скалярных уравнений
первого порядка относительно компонент f(r, z, t). При учете
проводимости (3.225) порядок уравнений повышается. Для
внутренних мод граничные условия (3.163) можно поставить на
поверхности плазмы. Для внешних мод следует также решать
задачу в вакууме (3.158) с условиями (3.163) на поверхности
проводящего кожуха.
Создание программ для решения задачи о временной
эволюции—большое и сложное дело. Прежде всего должен быть сделан
код для расчета равновесия в токамаке, позволяющий
определить как магнитные поверхности, так и метрические коэффици
енты, необходимые для перехода из одной системы координат в
другую. Основные части кодов, описывающие временную
эволюцию, различаются между собой прежде всего выбранной системой
МГД-уравнений. В ряде кодов используется редуцированная
система (3.49), (3.54) или (3.56) [14-16,57-61]. В последние
годы в связи с развитием численных методов происходит
постепенный переход к полной системе МГД-уравнений (3.13) [62-
67]. Одни коды создаются специально для решения
линеаризованной задачи об устойчивости плазмы. К ним, в частности,
относится код MUSCET, разработанный в МГУ им. М.В.Ломоносова
(СССР) [59,60]. В других случаях линейная задача об
устойчивости решается с помощью общего кода, созданного для решения
нелинейных задач Так происходит в коде HIB, созданном в
170
Принстоне (США) [15-16,61], в коде FAR, разработанном в Ок-
Ридже (США) и Калэме (Великобритания) [62-64], в коде CTD,
созданном в Техасском университете (США) [65-67], а также в
кодах, использующихся в Мэрилендском университете (США) [57]
и в Политехнической школе в Лозанне (Швейцария) [58].
Все перечисленные выше коды включают диссипативные
эффекты, связанные с проводимостью Часть кодов использует
цилиндрическое приближение [57,58], другие учитывают торои-
дальность для плазмы с круглым сечением [14-16,59,65-67].
Коды, разработанные в последнее время, позволяют изучать
устойчивость тороидальной плазмы с некруглым поперечным
сечением [60-64].
При реализации метода возникает целый ряд трудностей.
Одна из них связана с нахождением границы устойчивости в
пространстве параметров, определяющих равновесие и тип
колебания Вблизи границы устойчивости решение изменяется во
времени очень медленно, что ведет к увеличению длительности
счета и накоплению ошибок. Для преодоления этой трудности
иногда используют уравнения второго порядка со сдвигом
р 9-| = - Я? + а?, а = const. (3.269)
Параметр а обусловливает быстрое нарастание решений системы
(3 269) и уменьшает необходимое время счета Если £ —
инкремент, полученный для уравнения (3.269), то истинный инкре-
мент определяется формулой у = у - ос.
Другая трудность связана с присутствием быстрых магнито-
^вуковых волн, определяемых продольным полем В Она
приводит к жестким ограничениям на допустимый шаг по времени при
интегрировании системы (3.154). Для снижения затрат машинно-
ю времени приходится ограничивать сеть по пространству и
очень тщательно выбирать разностную схему. Использование
редуцированных уравнений типа (3.49)-{3.54) для анализа
устойчивости позволяет исключить эту трудность [16].
Разностным схемам для системы гиперболических уравнений и
пя МГД-уравнений, в частности, посвящена обширная
литература (см , например, [68-72]) Как правило, используются явные
аемы. Применение неявных схем позволяет увеличить временной
шаг, но усложнение вычислений в целом оказывается неоправ-
манным Здесь мы для справки ограничимся кратким обсуждением
171
наиболее широко применяемых схем на примере уравнения
непрерывности
|у--н divF = О, F = (G,tf). (3.270)
Эти же схемы обычно используются и для нелинейных задач.
Пусть по-прежнему
Q = tr=ih , z=jh , /=0, 1, ..., yV , /=0, 1, ..., N }
1 f Г J ' Z Г ' Z'
— разностная сетка на плоскости (г,-г),
Л = *А„ *Л = u(r.,zju), Fk. = F(/\,z.X,*A).
а) Метод Лакса. Под таким названием известна простейшая
двухслойная консервативная схема
иМ = ^.-^DFfe. (3.271)
*/ 4V г -hI, / г — 1, / f,/+1 i,/-r
* 1 ь ь 1 ь ь (3.272)
Схема (3.271) условно устойчива и требует оптимального
выбора шага по времени h Фактически она содержит диффузионный
по
член вида [(/г +/г )/2й ] Аы (здесь А —оператор Лапласа) и при
малых /г приводит к сильной численной диффузии решения.
б) Метод «с перешагиванием» (английское название
«leapfrog»—«прыжок лягушки»). В этом методе имеются две
взаимопроникающие разностные сетки, отмеченные на рис 3.11
кружками и квадратиками Для краткости значения функции и и
потока F на первой и второй сетках отметим значками л и ~
Трехслойная консервативная схема имеет вид
Zk+] = Zk-]-hDph., Fk+] - F(^V
ч ч * ч ч ч
(3 273)
Zk+2 ,-uk.,- htDF™. v Pk+2 , - F(Sri -)
Хотя схема (3.273) условно устойчива, наличие слабо
связанных сеток может привести к колебаниям решения Для
подавления колебаний, нужно хорошо согласовать решения и и и на
начальной стадии интегрирования, когда для «разбега»
приходится использовать двухслойные методы с малым шагом по времени.
в) Двухшаговая схема Лакса-Вендроффа. Эта схема наиболее
распространена в МГД-кодах Она использует те же сетки, что
и метод с перешагиванием (см рис. 3 11). Пусть в момент
времени t функция и., и потоки F.. определены на сетке, от-
172
Рис. 3.11 Разностная сетка для
метода «с перешагиванием» («leap-frog
method») и метода Лакса-Вендроффа
-т-
MJ
-$-
Ц+1
-Ф-
/>-/
-Р"
w/
меченной кружками. На первом шаге определяются значения
функции и и потоков F в момент ^+1/2 = V^/2 с пеРвым п0~
рядком точности на вспомогательной сетке, отмеченной
квадратиками (метод Лакса):
А+1/2
w.
= u::-^DFk
р/г+1/2
F(«ft+,/2)
(3.274)
й*. ., ...
Затем на втором шаге используются формулы второго порядка
точности:
ЧЫ
и.
и .
h D Fft+,/2,
t IJ
Vм = F(ZM)
ij v // ;
(3.275)
ij 4 t Ч Ч Ч ■
Основное преимущество схемы заключается в слабой численной
диффузии длинных волн. По сравнению с методом «с
перешагиванием» рассматриваемый метод требует меньшего объема машинной
памяти, поскольку промежуточные данные (3 274) не хранятся.
г) Метод коррекции потоков. Изложенные выше методы
содержат сильную дисперсию волн и отчасти диффузию. В работе [72]
был предложен двухшаговый метод, позволяющий сохранить
положительность решений и уменьшающий общую численную диффузию.
Для одномерного уравнения непрерывности (F = vu— скаляр)
алгоритм метода заключается в следующем. На первом
вспомогательном шаге вычисляется промежуточное значение функции и:
и. = и.
°.5[е/+1/2<«*+1+"*)-е/-1/2<И/+Ым)] +
+ L^W<r«> - "м/Х-"мИ- О 276)
где е. 1/2—коэффициенты, вытекающие из условия
аппроксимации уравнения непрерывности,, а у/+1/2 определяют
вспомогательную сглаживающую диффузию. Требование положительности и
приводит к условию
Л/2
е,.
1/2
I/2
(3 277)
173
Для ослабления сглаживания решения на следующем шаге
вводится антидиффузия. Обозначим через Ф поток
Ф,+1/2 = ^+1/2<"ыЛ)- <3-278>
Введение антидиффузии означает, что
Однако формула (3.279) способствует росту уже имеющихся
экстремумов и образованию новых. Для того чтобы обеспечить
положительность решения и предупредить его раскачку, вместо
антидиффузионного потока (3.278) следует использовать поток
с коррекцией:
$.+1/2 = Smax{0, min[S(2,+2-2.+1), |Ф.+1/2!, 5(2.-^)]}, (3.280)
где S = sign (и. .-и), и вычислять и + по формуле
иТ - V *м/2 + $М/2 <3-281)
Для уравнения du/dt + д(ии)/дх = 0 верно £ = v. y h/h . В
методе Лакса-Вендроффа v = e /2. Типичный выбор параметров
о
для метода коррекции потоков v = е /2 + 1/8, д = 1/8. Метод
может быть обобщен и на многомерные задачи. Использование
этого метода наиболее эффективно при наличии больших
пространственных градиентов у решения.
Если система уравнений содержит диссипативные члены,
определяемые проводимостью (3.225) или вязкостью (3.1), то при
их описании встают новые проблемы. Неявные методы,
используемые для уравнения диффузии, будут обсуждаться в гл. 4.
Здесь мы отметим, что смешанные схемы, явные для
гиперболических членов и неявные для диссипативных, по-видимому,
неудобны. Если диссипация мала (как это обычно бывает), то для
ее описания естественно использовать явные схемы.
д) Простая явная двухслойная схема для уравнения с
проводимостью
&-§*№] (3282)
в одномерном случае (и = u(t,x)) имеет вид
UTX = U* + ^ki/2<tt If» •) " V,/2<" Г"--,)] О 283)
* 2
Эта схема устойчива при т//г /h ^ 1/2. Если для решения МГД-
уравнений используется метод Лакса-Вендроффа, то на
вспомогательном шаге (3.274) диссипацией пренебрегают, включая ее
только на основном шаге (3 275)
174
е) Схема Дюфора-Франкела может быть использована, если
для решения МГД-уравнений применяется трехслойный метод
(например, метод «с перешагиванием»). В одномерном случае она
имеет вид
„ г ..fe+1. ..ft-1 ..ft+1. „h-\
h<
. r , U . +U . i . rU . +U . . Л
(3.284)
Схема (3.284) явная, поскольку она содержит только одно
значение неизвестной функции с верхнего слоя и легко может быть
разрешена относительно и.+ . Привлекательность схемы (3.284)
определяется е.е безусловной устойчивостью. Однако цена,
которую за это приходится платить (хранение функции и на двух
слоях — t, и t.X иногда бывает чрезмерно высокой
Вернемся к задаче о временной эволюции решений системы
(3.154). Если изучается устойчивость тороидального шнура с
круглым сечением, то функцию f удобно представить в виде
f = einif)leim0)im(pj), (3.285)
га
где р, о — квазитороидальные координаты (3.93). Подставляя
(3 285) в (3 154), придем к системе зацепляющихся уравнений
относительно f (p,t) Гармоники внутренних мод с различными
т в граничных условиях (3 163) разделяются. Для разумного
описания баллонных мод оказывается достаточным не очень
большое число гармоник (~ 5-ИО).
ж) Метод подгоночных коэффициентов. Система уравнений
относительно амплитуд f для плазмы с малым давлением в торе
круглого сечения имеет вид (3 226)-{3.227) с правой частью,
определяющей зацепление гармоник.
4щ2р Ly [£ ] + F L [Ф ] = е ЛЩ +1] + е М0[Ф +1],
2 (3.286)
У* - TfF ? + -£—s- U, [Ф ] = e ЛЩ +1] + e М.[Ф +1]
m птУт Аттсгг 3L^mllJ 4L wl1J
Здесь AL, . , M,— линейные дифференциальные операторы.
Система (3.286) является бесконечной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений. Однако присутствие малого параметра
с - r/R в правой части (3.286) позволяет оборвать эту
систему и рассматривать уравнения относительно небольшого числа
соседних гармоник. Для постановки задачи об устойчивости
нужно дополнить систему (3.286) граничными условиями в точке
175
г - 0 и на поверхности плазмы или проводящего кожуха. Тогда
мы придем к задаче на собственные значения относительно
параметра у
В идеальной плазме с бесконечной проводимостью сг
резонансные точки г = г , в которых Fir ) - О, на границе устой-
sm r rrv sm' r J
чивости при у - 0 являются особыми точками системы (3.286)
В окрестности таких точек решение сингулярно (3.224). В
плазме с конечной проводимостью или при у * 0 сингулярности
пропадают, однако система (3 286) содержит в этом случае ма-
2 2/3
лые параметры v = \/S и у ~ v ПРИ старших производных.
Поэтому решение быстро изменяется в узком резистивном слое
-J /О
шириной 5 - a/S в окрестности точки г Поведение
решений в этом слое определяется уравнением (3 236), а их
приближенная асимптотика описывается формулами (3 246) и (3.251).
Быстрое изменение решений в резистивном слое затрудняет
численное исследование системы (3 286) Для правильного
описания решений приходится использовать густую разностную
сеть Однако этого недостаточно Обычные разностные схемы не
обладают свойством равномерной сходимости относительно
параметра v при шаге сетки /г, стремящемся к нулю. Это
определяется сингулярным характером предельных решений. Для
обеспечения равномерной сходимости используются разные методы
Мы остановимся здесь на методе подгоночных коэффициентов,
развитом в работах А М Попова с сотрудниками [73,74]. Этот
метод аналогичен методу экспоненциальной подгонки,
применяемому в задачах о пограничном слое с ограниченным предельным
решением [75].
Рассмотрим применение метода подгоночных коэффициентов на
примере системы (3 286). Пусть N — число точек разностной
сети по г, г. = ih, h - a/N — шаг сети Обозначим через L.. , L
«обычные» разностные операторы, аппроксимирующие операторы
второго порядка Ly , L Разностную аппроксимацию системы
(3 286) запишем в виде
САщ2р^ [£ ] + F .Lh[1> .] = е(М* + М*),
i r VmL^miJ mi nv- miJ v 1 2'
2 (3 287)
уФ .- rF .£ .+ Dv —s-~ L* [Ф .] = e (M* + MhX
mi mi*mi i 2 VmL miJ v 3 4'
Hi
где у. = y(r.), т и 5 определены формулами (3.232), С. и
D. — подгоночные параметры При С. = D. = 1 разностная схема
176
(3.287) не обладает свойством равномерной сходимости. Ее
решение будет раскачиваться в окрестности точки г при
h ~ v . Для обеспечения равномерной сходимости разностной
схеме нужно «подсказать» правильное поведение решения,
выбирая должным образом коэффициенты С. и D.
Пусть ф(г) и ^(г)—общее решение упрощенных уравнений
(3.236) в окрестности резонансной точки г . Согласно
1 /ч sm
(3.232), (3.205), Ф = Avl/,y. Выберем коэффициенты С. и D.
так, чтобы разностная схема (3.287) была точной на решениях
Ф и £ в этой окрестности. Для этого введем переменную z =
1/3
= (г-г )/r v , разностную сеть по этой переменной z. =
<s т <з гп 1/0 ^
= /Az, Аг = h/r v , подставим Ф и £ в (3.287) и отбросим
правые части и те члены в операторах L„ и L которые
несущественны в окрестности точки г . В результате получим
СЛ2ДХ~г.А01//. = 0, Л0.+ Лг£. Ц А0(//. - 0, (3.288)
(Аг) ,
где A2t/ - Ум-2у.+ уну у. = iy(2.)f Л = ут^Л
-безразмерное собственное значение задачи, имеющее порядок 0(1).
Если С.(Аг, Л) и D(Lz, Л) определены с помощью (3.288), то
схема (3.287) будет обладать свойством равномерной
сходимости по параметру v при h -> О
Заметим, что в качестве ф и £ могут быть использованы
приближенные решения системы (3.236). Важно лишь их
правильное поведение в окрестности точки 2 = 0. Мы уже обсуждали
приближенные решения в виде (3.246) и (3.251) Однако они
слишком сложны для использования в расчетах. Лучше применять
более простые приближения [74]. Будем искать приближенные
решения системы (3.236) в виде произведения полинома по z на
экспоненциальный множитель, помогающий правильно описать
поведение £(г) в окрестности экстремумов В силу (3.236)
функции ф и £ сопряжены по четности. Общее решение имеет вид
ф = ф. + ф , £ = £ + £ . Сохраняя главные члены
г Тцет г нечет ^ ^чет ^нечет г
разложения, будем иметь
<Ачет = A[U(UX)z2/2] ехр(-22/2), ?чет = B[Uz2/2] ехр(-г2/2),
•Счет = - В[*/(А+3)]г ехр(-г2/2), ^цет = - A[z/3X] exp(-z2/2).
Постоянные Л и В определяются в процессе численного решения
задачи о собственных значениях. На рис. 3 12 показаны
радиальные зависимости функции £,2/] (т - 2, п = 1) в окрестности
177
Ь/п
Рис. 3.12. Радиальная
зависимость смещения £>2/\ в окРест~
ности резонансной точки г 2,
построенная с помощью метода
подгоночных коэффициентов при
v = 1/5 = 10~7. Штриховая
линия соответствует классической
численной схеме
резонансной точки г 9 при v = 10 и фиксированном числе
точек сети N = 100. Сплошной линией изображены результаты
расчета по методу подгоночных коэффициентов, штриховая соответ-
ствует классической схеме для С. = D. = 1 При v = 10 в
' 1/3 ( -9
резистивный слой шириной д = av = 10 а попадает всего
несколько точек разностной сети. Тем не менее и в этом
случае схема с коэффициентами разумно описывает собственные
функции задачи
Для прямого цилиндра с круглым сечением шнура гармоники
по т разделяются и в уравнениях, и функция f принимает вид
f = ei{m{f)+k2U(pJ), (3.289)
где г, <р, г —полярные координаты «с осью 2, параллельной оси
цилиндра. Задача об устойчивости идеальной плазмы для мод
(3 289) решалась в работах [76,77]
2. Исследование знака потенциальной энергии.
Постановка задачи для цилиндрической геометрии шнура описана
в п 3.3.3 (уравнения Эйлера (3 194) и выражение для
потенциальной энергии (3 195)) Устойчивость диссипативных мод
численно изучена в работах [42,51] Метод широко использует-
178
ся для получения аналитических критериев неустойчивости и в
более сложных случаях. При этом обычно для нахождения
функций сравнения сначала строят приближенное уравнение Эйлера,
а затем его решения подставляют в более точное выражение для
потенциальной энергии. Таким путем, например, построен
критерий (3.267) для высших баллонных мод [55].
3. Минимизация функционала (3.166) для н а-х о ж-
дения спектра собственных частот. Трудность задачи
определения спектра заключается в том, что характерные соб-
9
ственные значения А = 0) для различных ветвей колебаний
различаются на 5—6 порядков величины (продольные акустические
волны, поперечные альфвеновские волны и быстрый магнит"ный
звук).
Для того чтобы разделить продольные и поперечные
движения, естественно в качестве координат в меридиональном
сечении тора выбрать функцию потока ф и какую-либо угловую
функцию 9. Обычно 0 выбирают так, чтобы в координатах 0, 0, (р
магнитные силовые линии были прямыми. В результате
координатные линии ф = const и 0 = const оказываются неортсго-
нальными, что ведет к некоторому усложнению выражений для
потенциальной энергии.
Иногда вместо ф, 0, ф используют натуральные координаты,
определяемые следующим образом-
P = «$i№> £ = 7адУ s = R(p (3290)
В этой системе координата р для тора с круглым сечением
магнитных поверхностей переходит в обычную радиальную
координату (3.73), а магнитные силовые линии остаются прямыми.
Для определения спектра задачи (3.165) обычно используют
метод Галеркина. Рассмотрим одну из гармоник Фурье по <р для
смещения
£0//,е,<р) = е1п(р^(ф,в). (3.291)
Функцию £(0,0) представим в виде суммы
МЛ
$- Ee«/*J*e)- <3-292>
m , /
Фт/((//,0) - е""9»^), (3.293)
где Ф.(ф) —некоторая система функций. Подставляя (3 291) в
(3 165) и используя условие ортогональности левой части
(3 165) к каждой из функций (3 293), придем к однородной си-
179
стеме уравнений Галеркина относительно коэффициентов а ..
Приближенное дисперсионное уравнение для спектра мы получим,
приравняв нулю определитель этой системы.
\AN(<b ,,Ф /./)-У(Ф ,,Ф /./)| = 0 (3294)
1 х ml ml' v mi m I ' ' x '
Сходимость разложения (З 292) сильно зависит от выбора
функций Ф/(^) Пусть 0П, фу , ф, —разностная сетка по
координате ф Поскольку структура собственных функций заранее
обычно неизвестна, в качестве Ф. используют локализованные
функции, отличные от нуля на одном интервале или на двух
соседних интервалах разностной сетки (метод конечных
элементов) Графики различных компонент этих вектор-функций
предал
Рис 3.13. Базисные функции,
используемые для разложения в
9н ft Ъч Ь ftv> 9 методе Галеркина
ставляют собой либо «столик», либо «шалашик» (рис. 3 13). В
результате в определителе (3 294) оказывается очень много
нулей, что облегчает его вычисление.
В настоящее время в литературе имеются данные о
нескольких кодах, использующих описанную методику. Среди них
наиболее известны коды серии PEST [78-80] Принстонской
лаборатории по физике плазмы, США, коды серии ERATO, разработанные в
Швейцарии [81-82], и код TORUS, созданный в Институте
прикладной математики им М.В Келдыша [83-84]. Применение
метода конечных элементов подробно обсуждается в книге [85].
Разложение (3.292) для £ справедливо внутри плазменного
шнура. Если исследуются внешние моды, то нужно учесть
влияние вакуумной прослойки В кодах PEST и ERATO задача для
вакуума с помощью функции Грина (3 92) сводится к
интегральному уравнению Фредгольма по поверхности плазмы и кожуха Это
уравнение решается разложением по гармоникам eim
Рассмотрим некоторые примеры задач об устойчивости,
изученных с помощью численных методов В [60] изучалась утойчи-
вость внутренней моды гп/п = 1/1 в токамаке с некруглым
сечением шнура на основе редуцированной системы (3 54)
180
На рис. 3.14 показана зависимость безразмерного
инкремента неустойчивости jt
Н
(V2 = - ь?)
от вытянутости сечения.
к - Ь/ау где а и Ь — горизонтальный и вертикальный радиусы
малого сечения плазмы. Видно, что возрастание к улучшает
устойчивость. Кривая 1 соответствует распределению тока с
«мягким» профилем q(r): q(r) = qQ[\ + (p/pQ) ] при
q = 0,9, pn = = 0,66а, q = 2,25. В этом случае инкремент
велик и вытягивание сечения до значений к = 2 не приводит к
устойчивости. Кривая 2 соответствует профилю q(r)y плоскому
в центральной части и круто нарастающему на периферии.
Параметры профиля выбраны так, что в резонансной точке р =
= 0,46а функция q(r) имеет точку перегиба с горизонтальной
касательной- q(ps) = 1, q'ipj = 0, Я"(РГ£) = °> Я0 = °>9>
q = 2,45. Для круглого сечения {к = 1) в этом случае
инкремент существенно меньше, а при к > 1,63 равновесие
становится устойчивым Улучшение устойчивости связано с увеличением
зацепления мод т/п = 1/1 и т/п - 2/1 при возрастании к.
0,005
У*
0,01
к-Ь/а
4Д%
Рис. 3 14 Зависимость инкремента неустойчивости ухн
моды т/п = 1/1 от эллиптичности сечения шнура к = Ь/а
для «мягкого» профиля q(r) (кривая 1) и профиля q(r) с
точкой перегиба в резонансе q(r ) = 1 (кривая 2)
Рис 3 15 Инкременты неустойчивости баллонных мод со
свободной границей в зависимости от |3 (давления плазмы)
181
В качестве второго примера приведем результаты
исследования устойчивости баллонных мод с помощью кода PEST [52] для
плазмы с током / ~ ф Для выбранного равновесия параметр q
изменяется от qQ = 1,04 на оси до q = 3,77 на границе,
е - 0,218. В разложении (3.288) М = 21, L = 12 На рис. 3.15
приведены инкременты неустойчивости у = ут„ в зависимости от
Э для внешних мод со свободной границей при п = 1,3. Видно,
что при увеличении давления становятся неустойчивыми
колебания со все более высокими п.
3.4. Нелинейные задачи
Если для линейной задачи имеется более или менее развитая
теория (см. разд 3.3), то для нелинейных уравнений
теоретические успехи не столь велики. Ряд задач решен в так
называемом квазилинейном приближении, когда учитывается лишь
влияние отдельных мод на равновесный фон, но отбрасывается
взаимодействие мод между собой В некоторых случаях полезными
оказываются энергетические соображения, указывающие на
возможное направление эволюции системы. В общем же случае для
решения нелинейных задач приходится использовать численные
методы.
Сложность исходной системы уравнений (3.4) или (3.13),
многомерность задачи делают разработку алгоритмов и программ
весьма дорогим и трудоемким делом. Тем не менее за последние
годы в ряде научных центров были созданы комплексы программ
(«коды») для решения двух- и трехмерных задач в МГД-прибли-
жении. Полученные интересные результаты дают надежду на
быстрый дальнейший прогресс. Здесь мы ограничимся изложением
лишь немногих результатов, важных для понимания физики
тороидальных ловушек и, в частности, токамаков.
Особое внимание будет уцелено попыткам описания
«неустойчивости срыва» (иногда называемой «дизруптивной» в
соответствии с английским названием «disruptive instability»),
которая наблюдается на всех токамаках. Обычно эта
неустойчивость проявляется в быстром спаде тока и возникновении
отрицательных пичков напряжения на обходе плазменного тора. При
этом большая часть энергии и частиц выбрасывается на стенки
камеры и разряд разрушается. Условия появления срыва не
всегда хорошо контролируются Обычно срывы часты в грязной
182
плазме с большим содержанием тяжелых примесей. Легкие
примеси могут улучшить устойчивость. Во всех случаях имеется
предельная плотность плазмы, выше которой разряд обязательно
«срывается» (см. разд. 1.2).
3.4.1. Нелинейное развитие внешних мод. Еще в работах
[3,86] была высказана идея о том, что срыв является
следствием развития внешней винтовой моды с небольшими значениями
т (т = 1, 2, 3). Деформация границы шнура может привести к
захвату вакуумной полости («пузыря») в плазму и, как
следствие, резкому расширению шнура поперек магнитного поля. Можно
показать [3,86,87], что для цилиндрической геометрии
появление вакуумной полости внутри плазмы при условии сохранения
полоидального потока приводит к уменьшению энергии поло-
идального магнитного поля. Однако возможность непрерывной
эволюции винтовых возмущений и отсутствие потенциальных
барьеров между начальным и конечным состояниями может быть
выяснена только в ходе решения временной задачи.
Рассмотрим систему уравнений (3.56), (3.58) для винтовых
движений в приближении токамака. Положим <г = со, так как
конечная проводимость для внешних мод несущественна, и будем
считать распределение тока в плазме однородным (/ = const,
Л = °) t88]- Учтем тождество [rotBxB] = - \ V(£2) + (BV) В.
Для винтовых возмущений с шагом, совпадающим с шагом силовых
линий, оператор (BV) = 0, и внутри плазмы имеем
Рш- = -VjP, (3.295)
где Я —обобщенное давлен1 е, удовлетворяющее уравнению
АХР = 0. (3.296)
Вне плазмы токов нет и уравнения (3 58) дают
Ajl0* = -/. = 2а. (3.297)
На подвижной границе плазма-вакуум Г и кожухе Г должны
выполняться условия
р\г =УвЛг -few2|r =кЙ2|г'
1 р ' р ' р ^ J > р
л (3-298)
ф\г = ф" = const, ф\=0.
р
Пусть в начальный момент времени плазма имеет круглое
сечение радиуса а, радиус кожуха равен Ь Если поверхностных
токов нет, то в этот момент в вакууме
Vm(r,t=0) = ~%[b2-r2 + a2ln[-^] ], a = -Ц— (3.299)
Здесь У —полный ток в плазме, ф% = ф^ (г = а, tf = 0}
Таким образом, мы имеем уравнение движения (3.295) и
стационарные задачи в плазме (3.296) и вакууме (3.297). Эти
задачи связаны граничным условием (3.298) Поскольку нас
интересует лишь движение границы, заменим в уравнении (3 295)
инерцию трением:
VV± = -Vj_P, (3.300)
и будем следить за положением точек контура Г .
Задачи (3.296)-(3.298) сводятся к интегральным уравнениям
первого или второго рода относительно производных дф/дп и
дР/дп на контуре Г Применяя формулу Грина для функций ф =
2 Р
= ф - аг /2 и Я, будем иметь
Г +Г
-"рЧ\$&1п7-рк*"т}а* <3-302>
г
Для возбуждения различных мод следует ввести начальную
деформацию контура Г , пропорциональную Acosm<p
Алгоритм вычислений в рассматриваемой задаче заключается
в следующем: 1) решаем уравнение (3.301) относительно дф/дп
на контуре Г ; 2) с помощью граничного условия (3.298)
определяем Р на этом контуре, 3) решаем уравнение (3.302)
относительно дР/дп на Г ; 4) делаем шаг по времени в уравнении
(3.300).
При решении слабо некорректных уравнений (3.301), (3 302)
приходится использовать регуляризацию и периодически
сглаживать контур Г с помощью разложения в конечную сумму Фурье.
На рис 3 16 приведены результаты расчетов для случая
т = 1, Л = 0,16, а = 0,46 Здесь показаны контуры границы
плазмы в различные моменты безразмерного времени т
Напомним, что в пространстве возмущение имеет винтовую структуру.
Видно, что на нелинейной стадии на границе плазмы образуются
два гребня, которые, постепенно нарастая, начинают двигаться
навстречу друг другу Скорость движения их вершин с ростом
возмущения также нарастает Аналогичная картина получается и
184
7,37
Рис. 3.16 Контуры границы плазмы в различные моменты
времени при развитии нелинейной внешней моды т = 1 для
случая однородного тока
для мод т = 2, 3. Таким образом, в рамках рассматриваемой
модели МГД-моды не стгбилизируются на нелинейной стадии, а
развиваются вплоть до образования конфигурации с новой
топологией.
Модель с однородным током, конечно, является слишком
упрощенной, поскольку в этом случае магнитное поле обладает
бессиловой конфигурацией и выпадает из уравнения движения. В
реальных условиях неоднородное распределение тока приводит к
появлению магнитных сил и движение может сильно отличаться
от движения в упрощенной модели
Задача с неоднородным током была рассмотрена в работе
[87] Внутри плазмы использовалась система уравнений (3.58)
для винтового движения (3 57), поле в вакууме по-прежнему
описывалось интегральным уравнением (3 301). Расчеты
показали, что наличие шира стабилизирует неустойчивость на
нелинейной стадии. В результате плазма переходит в состояние
нового, теперь уже винтового равновесия с измененным сечением,
поддерживаемым поверхностными токами, наведенными на границе
плазма—вакуум
На рис 3 17 приведены сечения плазмы для винтового
равновесия, появившегося при развитии мод т = 1 (рис 3 17а) и
т = 2 (рис 3 176) В этом случае начальный профиль тока был
близок к параболическому, а значения q = 0,8, 1,85 На обо-
185
а б
Рис. 3.17. Сечения плазмы для винтового равновесия,
появившегося в результате развития внешних мод:
а-т = 1, а = 0,8, а = 0,8; б-т = 2, а = 0,66,
<7 = 1,85 в случае квазипараболического тока
их рисунках вытянутость сечений за счет появления «гребней»
не очень велика, но может оказаться достаточной для
усиленного взаимодействия плазмы с диафрагмой.
Область параметров, в которой происходит нелинейная
стабилизация внешней моды т/п = 2/1, была изучена в работах
[89,90]. Поведение плазмы здесь также определялось системой
уравнений (3.58), а область вакуума описывалась с помощью
низких значений проводимости. Пусть кривая qQ = q* =
= q f(l/q ) определяет нижнюю границу области неустойчивости
на плоскости х = \/q , у - q~/q (сплошная кривая на
рис. 3.18).
Проведенные расчеты показали, что с точки зрения
поведения решения на нелинейной стадии область неустойчивости
qQ > q* разделяется на две части В области У, где qQ > 1,
винтовые возмущения нарастают во времени неограниченно. В
st
области 2 (заштрихована на рис. 3.18), где qQ < qQ < 1,
неустойчивое движение, как и в работе [87], на нелинейной
стадии стабилизируется. Такое квазистационарное винтовое
состояние существует в расчетах в течение многих сотен альфвенов-
ских времен. Если через d и а обозначить вертикальный и
горизонтальный радиусы сечения шнура (d > а), то эллиптичность
сечения в квазистационарном состоянии не превышает значений
к - d/a < 1,2. При эволюции от круглого к эллиптическому
сечению на границе плазмы возникают поверхностные токи. Однако
они слабо затухают, так как успевают продиффундировать в
область с более высокой проводимостью.
186
\НеустойчиЗость i /
/
/
Рис. 3.18. Область неустойчивости
моды т/п = 1/1 на плоскости
(1/q , q0/q ) (она лежит выше
кривой qQ = qQs ). В заштрихованной
подобласти (2) происходит
нелинейная стабилизация моды
Устойчивость
1/2
>/?а
Можно ожидать, что за времена порядка скиновых TD припо-
верхностные токи все же затухнут и плазма перейдет в
винтовое равновесное состояние с монотонно спадающим
распределением тока и эллиптическим сечением Задача о винтовом
равновесии цилиндра и бифуркации из аксиально-симметричного в
винтовое равновесие рассматривалась в работах [91-93]. Урав-
v2„2
нения равновесия (3.86) в приближении токамака (ос г «1,
(3.303)
|3 = 1, / = В ) имеют вид
Ьф = - (in/c) 1г(ф) + 2aBz
с граничным условием на поверхности кожуха р
1 ' 7Л
0.
(3.304)
Для решения задачи о винтовом равновесии в работе [93]
использовались два метода: прямое численное решение задачи
(3.303)-(3.304) и метод моментов [92], приводящий к
одномерному интегродифференциальному уравнению относительно
эллиптичности k - k{\j)). Показано, что для фиксированного профиля
тока при переходе через границу линейной неустойчивости q -
= q* (рис. 3.18) происходит бифуркация
аксиально-симметричных равновесий в винтовые. В области 2 рис 3 18 бифуркация
является закритической, что соответствует нелинейной
стабилизации мод во временных задачах. Внутри области 2
эллиптичность k сильно возрастает при приближении к границе qQ = 1.
В подобласти q* /q < Я0/яа < V2 эллиптичность невелика
(k < 1,Н1,2), что согласуется со значениями эллиптичности в
187
квазистационарных состояниях. В области / бифуркация
является докритической, что соответствует неограниченно
возрастающим решениям для временной задачи.
Отметим физические следствия проведенного исследования
для внешней моды т/п = 2/1. Закритичность бифуркации в
области 2 означает, что винтовая неустойчивость здесь является
неопасной. Реально опасной является зона /, лежащая выше
линии qQ = 1. Положение правой границы этой зоны определяется
в основном расстоянием от поверхности плазмы до кожуха.
3.4.2. Развитие внутренней моды т/п = 1/1 и перезамыкание
магнитных поверхностей. Исследование интенсивности мягкого
рентгеновского излучения из плазмы токамака [94] показало
наличие регулярных «пилообразных» МГД-колебаний в
центральной части плазмы. Эти колебания имеют три характерных
времени: 1) медленные релаксационные колебания т/п = 0/0 с
периодом 1-^200 мс; 2) гармонические колебания т/п = 1/1 с
периодом порядка 100 мкс и возрастающей амплитудой; 3) срыв
релаксационных колебаний с временем порядка 30-^200 мкс. Первые
цифры здесь относятся к «малым» установкам (малый радиус
плазмы а ~ 10 см), вторые —к установкам нового поколения
(малый радиус а ~ 100 см)
По-видимому, колебания первого типа связаны с собиранием
тока к центру плазмы и образованием одной или нескольких
резонансных поверхностей г = г , на которых q{r ) = 1. Этот
процесс будет рассмотрен в гл. 5. При наличии резонансной
поверхности мода т/п = 1/1 неустойчива (см разд. 3.3). При
достаточно большой ее амплитуде происходит процесс третьего
типа («внутренний срыв»), при котором центральная часть
плазмы перемешивается, а профиль тока сглаживается
Б.Б.Кадомцевым [95] было отмечено, что учет конечной
проводимости может объяснить срыв МГД-колебаний. Для диссипа-
тивной моды т/п = 1/1 тороидальные поправки несущественны, и
для ее описания на нелинейной стадии можно использовать
систему (3 58)
Вводя новые переменные и функции
t = t .т, г = ах, 0)
А
аВ± В±
0)
в = в, В ,
* -*-а *
(3.305)
а ~
и = -г и,
1А
188
lA-
V
a
'*-
q(r) -
4ncra2
c2 '
arBQ
v л =
*a
-■-a
V4np
= g(a).
приведем систему (З 58) к безразмерной*
(3.306)
В^ - [Vi/^xeJ, Im = - Л^, a) = - Aw, V = [VttxeJ.
Здесь для упрощения знак «~» отброшен:
(3.307)
Параметр Sn » 1 определяет эффект конечной проводимости. Он
аналогичен параметру S (3 232) линеаризованной системы
(3 233) Будем считать, что на границе плазмы расположен
идеально проводящий кожух, на котором граничные условия
имеют вид
и = 0, фж = 0 (3.308)
Если всюду в плазме q(r) > 1, то возбуждение моды т/п =
= 1/1 приводит к колебательному движению плазмы Если внутри
плазмы появляется резонансная поверхность, то движение
становится более сложным Для исследования таких движений
выберем в качестве начального условия для потенциала функцию
0,|(O = -[|-^-,2(l-^]+^2]- (3-309)
Для такого распределения потенциала плотность тока имеет па-
о
раболический профиль / ~ 1 - г , а положение резонансной
г 2
поверхности определяется условием г = 2 - q При 1 < q <
< 2 резонансная поверхность лежит внутри плазмы
Возбудим моду т/п = 1/1, задавая начальную скорость в виде
vr = Л(\ - г2) cosp, v - Л(\ - Зг2) sin<p. (3.310)
При этом центральная часть плазмы начинает двигаться вправо,
сгущая магнитные поверхности и увеличивая плотность тока в
окрестности точки с координатами х = г , у = 0, где В = 0 и
отсутствуют магнитные силы. Повышение локальной плотности
гока приводит к перезамыканию силовых линий и образованию
магнитного острова с новой магнитной осью [95]
Система уравнений (3 306) численно интегрировалась в
работах [96-99]. На рис. 3.19 приведены линии уровня ф =
- const в момент т = 4 для варианта г = 0,7, Sn = 200,
r s 0
1 = 0,1 Хорошо видна трехосевая система магнитных поверхно-
189
Рис. 3.19. Линии уровня ф^ - const для моды т = 1 при
г
0,7, SQ = 200, Л = 0,1
стей. В окрестности поверхности г
г компонента скорости
v достигает больших значений, и плазма быстро выносится
вверх и вниз из области перезамыкания. Полное время выноса
старой магнитной оси в окрестность точки г и- перезамыкания
окружающих ее магнитных поверхностей в рассматриваемом
случае составляет (6-^8) t что совпадает как с оценкой / ~
~ г*/21/50/л t95!' так и с оценкой l ~ jA ~ ^о^д [98],
вытекающей из линейной теории (3.246). На рис. 3.20 приведены
t=f,93-W~%
t =3,8-10'3 S0
t=i88'!0~350
Рис 3 20 Профили тока в раз-
t = l36-J0'lS личные моменты времени при раз-
0 витии моды т = 1 и
перезамыкании магнитных поверхностей
(г = 0,4)
профили тока для различных моментов времени, полученные в
работе [98] для г = 0,4. В результате процесса
перезамыкания профиль тока в центральной части шнура становится более
плоским, значения q(r) возрастают и резонансная поверхность
q(r ) = 1 исчезает.
190
3.4.3. Нелинейное развитие мод т ^ 2 и рост островов. Мы
уже видели, что инкременты высших внутренних мод существенно
меньше инкрементов моды т = 1 (см разд. 3.3), поэтому их
стабилизация на нелинейной стадии облегчена. Для плазмы с
конечной проводимостью это приводит к более медленному росту
магнитных островов, образующихся вокруг новых магнитных
осей, и ограничению размеров островов на некотором уровне
(насыщению роста).
П.Резерфордом с помощью приближенной квазилинейной теории
было показано [100], что если ширина острова W превышает
толщину резистивного слоя (3.247):
W > r/sj73, (3.311)
то нелинейные члены в уравнениях (3.306) замедляют скорость
роста островов. В случае (3.311) ширина острова
удовлетворяет уравнению
иш 1,66Д'г
7ГГ = f *' т ~ 2> (3.312)
a i i R
т е. экспоненциальная зависимость от времени
трансформируется в линейную
Насыщение размера островов связано с более аккуратным
описанием проводимости сг. Для моделей с сг = const острова
либо вообще не ограничиваются, либо их предельные размеры
W оказываются сравнимыми с размерами плазмы. Применение
более реалистичной стационарной модели
с ~ jjr) (3.313)-
или модели с «вмороженным сопротивлением»
|| + VVrj = 0, т) = 1/с (3.314)
приводит к существенному уменьшению W Как правило, W
зависит от деталей профиля тока в окрестности резонансной
поверхности г . Более точное приближенное уравнение,
описывающее динамику роста островов и их насыщение, было получено
в [101]-
ff = rRX[\№ (A'(W)-aW)rsl (3.315)
i де а —коэффициент, зависящий от градиентов тока и
проводимости на поверхности г и слабо (логарифмически) зависящий
от Wy
A,W = «гЫа?! +~§\ J. r1 - rs±W/2. (3.316)
191
Приближенное стационарное уравнение для ^тах мы получим,
если потребуем [101]
L'(W ) = 0. (3.317)
v max7 v '
Решение этого уравнения в дальнейшем мы будем обозначать
через №.
Алгоритм приближенного вычисления максимальной ширины
островов, таким образом, заключается в следующем
1. Выбираем равновесное распределение тока jz(r) (или
коэффициента запаса устойчивости q(r)), задаем т и п и
определяем положение резонансной поверхности г (г < а)
2. С помощью численного интегрирования уравнений Эйлера
(3.194), (3.201) находим Ф (г) и Ф2(/) в областях 0 < г <
<г иг < г < Ь.
s s
3. Если Л' = А'(0) > 0 (т.е плазма неустойчива),
разыскиваем корень W уравнения (3.317), подставляя в выражение
(3.316) для Д'(№) найденные решения ФА г) и Ф2(г)
Численное исследование роста островов на основе системы
МГД-уравнений (3.306) для т £ 2 проводилось в работах
[97,98,102-104] На рис. 3.21 в качестве примера приведены
линии ф = const в моменты т = 2 (рис. 3.21а) и т = 6 (рис.
3.216) для г = 0,7, SQ = 103, Л - 0,12, m = 2, сг = const.
Видно, что острова велики* W/a ~ 0,3.
Рис. 3.21 Линии уровня 0^ = const, определяющие
геометрию магнитных островов в моменты а—х = 2, б —т -
= 6 для г = 0,7, 5П = 103, Л - 0,12, т = 2
s и
192
Рис. 3.22. Зависимость ширины
островов моды га = 2 от времени для
двух моделей проводимости
(Г = const И О* ~ / (г = 0,4).
Штриховой линией нарисована
кривая, полученная с помощью решения
приближенного уравнения (3.317)
а
0,3
0,2
о,'\
\
-
/б= const
L /
/°ZJzir)
■*-—1 1— 1 ,
о
ОМ Qfiit t/tR
На рис. 3.22 нарисованы зависимости ширины острова от
времени для двух моделей проводимости Здесь
q(r) = q0(\ ь r2/r\), (3 318)
т = 2, г = 0,4 Для модели сг ~ / (3.313) острова
насыщаются на небольшом уровне W ~ 0,15а Штриховой линией обо-
J r max г
значена кривая для W(t), полученная с помощью уравнения
(3.315).
Сравнение результатов вычислений по приближенным
уравнениям (3.315) и (3.317) проводилось в [102] На рис. 3 23
нанесены зависимости W от положения резонансных поверхно-
max r r
стей для различных профилей q(r) (3 318). Сплошные кривые —
результаты решения уравнения (3.317),
штриховые—стационарные решения уравнения (3 315) Видно хорошее качественное и
Рис. 3.23. Зависимости стационарной ширины островов от
положения резонансной поверхности г для двух
приближенных моделей: сплошные кривые —решения уравнения
(3.317), штриховые —решения уравнения (3.315)
7 Ю Н Днестровский, Д П Костомаров
193
количественное согласование кривых. Заметные расхождения
возникают лишь при периферийном расположении островов г /а ~
~ 0,8. При выбранном «мягком» параболическом профиле q(r)
(3.318) W /а < 0,2 Однако для более пикированных профилей
тока размеры островов, расположенных на периферии плазмы,
возрастают до значений W /а ~ 0,25-г0,3.
Зная ширину острова, можно найти значение переменной
составляющей полоидального поля В на поверхности плазмы:
= -я
if
1 д
фа
[Г ) L^v s' \r=aJ'
a\6aq2(rs)
ф = гФ.
Множитель в квадратных скобках может быть подсчитан с
помощью решения уравнения Эйлера (3.194), (3.201) Значение
В найденное по формуле (3 319), хорошо согласуется с
измерениями на установках Т-4 и ORMAK [102].
3.4.4. Винтовые моды с двумя резонансными поверхностями
(двойные тиринг-моды). При немонотонном или скинированном
профиле тока в плазме могут образоваться две резонансные
поверхности г 1 и г 2, определяемые уравнениями
<^,) = 4(rs2) = m/n, rs] < rs2. (3.320)
Такие профили тока могут реализоваться в начальной стадии
разряда при быстром подъеме полного тока [105], на
стационарной стадии при достаточно высоком уровне излучения
тяжелых примесей [106,107] либо при пилообразных МГД-колебаниях.
Поскольку между резонансными поверхностями (3.320)
расположен минимум функции q(r), то величина шира 5 = rq'/q здесь
Точки перезамыкания
Рис. 3.24. Поле скоростей для
моды т = 2 при наличии двух
резонансных поверхностей. Точки
перезамыкания отмечены кружками,
начальное положение островов
заштриховано
194
невелика и следует ожидать быстрого роста двух систем
островов, связанных с поверхностями г . и г 2.
Эволюция островов для двойных мод на основе системы
уравнений (3.306) изучалась в [98,108-110]. Характер течения,
возникающего при развитии двойной моды, довольно сложен. На
рис. 3.24 для одной четверти сечения плазмы показано качест-
Рис. 3.25 Линии уровня 0^ = const для моды т = 2 при
наличии двух резонансных поверхностей в моменты време
т = 3, 6, 9 для случая г
ва) и г
0,48, rs2 = 0,82 (справа)
0,58,
s2
0,77 (сле-
7
195
венно поле скоростей для моды т = 2. Точки перезамыкания
обведены кружками. Начальное положение островов заштриховано.
Если магнитный поток между резонансными поверхностями
невелик, то размеры островов быстро возрастают по
экспоненциальному закону без перехода в степенной режим, определяемый
уравнением (3.312). В процессе перезамыкания в некоторый
момент т образуется единая сепаратриса, охватывающая острова
на обеих поверхностях. После этого начинается размыкание
островов и постепенное образование одноосевой конфигурации
магнитных поверхностей.
В качестве примера на рис. 3.25 показаны линии 0 = const
в моменты т = 3, 6, 9 для случая г = 0,58, г 2 = 0,77
(слева) и г 0,48, г = 0,82 (справа). В первом случае
около момента т = 6 ~ т образуется единая сепаратриса для
обеих пар островов. При т > 6 острова, ранее расположенные
снаружи, оказываются внутренними. В момент т = 9 острова уже
поменялись местами, точки перезамыкания теперь стали точками
«размыкания», острова «тают» в окружающей плазме В
результате происходит перемешивание магнитного потока во всей
области между г 1 и г 2. Во втором случае магнитный поток
между резонансными поверхностями больше и рост островов идет с
меньшей скоростью К моменту т = 9 единая сепаратриса еще не
образовалась. В расчетах, приведенных на рис. 3.25,
использовалась упрощенная модель о* = const Для более
реалистических моделей (3 313) или (3.314) может наблюдаться насыщение
роста обеих систем островов [НО], и перемешивания может не
произойти В дальнейшем (в гл 5) мы используем описанную
выше картину развития двойных мод и перемешивания для
расширения модели баланса энергии и частиц
3.4.5. Взаимодействие винтовых мод. До сих пор мы рассма
тривали движения плазмы, обладающие винтовой симметрией, —
винтовые моды В этом случае общая система уравнений (3.56)
сводится к одномодовой системе (3 58) или (3.306) Если в
начальный момент возбуждено несколько мод с различным
отношением т/а, то, в силу нелинейности уравнений (3 56), они
будут взаимодействовать между собой Пока амплитуды
отдельных мод малы, это взаимодействие невелико и отдельные моды
развиваются независимо, в согласии с уравнениями (3.58).
Однако если имеются моды, неустойчивые в линейном приближении,
196
то рост амплитуды этих мод вызывает нарастание устойчивых
мод и картина движения сильно усложняется. Движение
становится трехмерным, и по крайней мере часть магнитных
поверхностей разрушается.
Для решения системы уравнений (3.56) использовались
различные методы. Самый естественный из них (но не самый
эффективный) состоит в замене уравнений (3.56) разностными
уравнениями по всем трем координатам г, </), z Обычно здесь
используется явная или частично неявная схема типа Лакса-Вен-
дроффа, причем в неявном случае двухшаговыи характер схемы
позволяет применить процедуру переменных направлений (см.
п. 3.2.7).
Присутствие мод с различным отношением т/п ведет к
необходимости иметь достаточно большую разностную сетку. Это
вызывается несколькими причинами Во-первых, теперь нужно
описать тонкую структуру колебаний в окрестности нескольких
резонансных поверхностей. Во-вторых, дискретность значений
аргумента по координатам <р и z приводит к тому, что шаг винта
в разностной задаче (эффективное значение отношения (т/п) А
не совпадает с шагом винта (отношением т/п) в задаче (3 56).
Это различие зависит от отношения шагов сетки по координатам
>(р и z и неодинаково для разных мод В результате положения
резонансных поверхностей в задаче (3.56) и разностной задаче
различаются Для уменьшения этих различий приходится не
только увеличивать разностную сетку, но и тщательно выбирать
отношение длин шагов по координатам (р и z.
Другой метод решения уравнений (3.56) заключается в
разложении всех неизвестных функций f = (о)}ф^и) в двойной ряд
Фурье по координатам <р и г:
f = I \iCmn(rJ) cos(m^nQ + 1Smn(rJ) s\n(m^p+nO], (3.32I)
га, п '
где С, = z/2nR, и использовании разностной сетки по
координате г для коэффициентов разложения f и f Члены с одина-
^^ г тп тп
ковыми т и п в (3 321) представляют собой отдельную винтовую
моду Прозрачность физической задачи в ряде случаев
позволяет ограничиться в разложении (3.321) небольшим числом
членов. В то же время сетка по переменной г может быть сделана
достаточно густой. Главная трудность при использовании
формулы (3 321) заключается в необходимости расчетов большого
197
числа сверток тригонометрических функций. При реализации
алгоритма эта часть программы должна быть тщательно
отработана, поскольку именно здесь при вычислениях затрачивается
основная часть машинного времени.
В работах [111,112] оба описанных метода решения
трехмерной задачи (3.56) были использованы для анализа возможного
развития неустойчивости срыва. Из проведенных вычислений
вытекает важный качественный вывод, неустойчивость срыва может
возникнуть, если размеры островов становятся настолько
большими, что острова пересекаются. Для параметров плазмы,
характерных для эксперимента qQ ~ 1, q ~ 2^-3 больших размеров
достигают острова лишь с небольшими значениями т ~ 2-^3.
Стационарная ширина островов приближенно может быть подсчитана
с помощью уравнения (3.317) Тогда условие появления
неустойчивости срыва может быть записано в виде
^(t2/] + t3/2) > r3/2 - V], (3.322)
где г / положение резонансной поверхности, $" , ширина ост-
рова моды т/п
3.4.6. Полунеявный метод для МГД уравнений. До середины
80-х годов лишь небольшое число работ было посвящено
численному решению полной трехмерной системы МГД-уравнений (3.13)
в геометрии токамака. Это связано с существованием быстрых
магнитозвуковых волн, скорость которых определяется
продольным магнитным полем Использование явных разностных схем
приводит в этом случае к жестким ограничениям на временной
шаг и большому времени ЭВМ при расчетах Сначала казалось,
что переход к неявным схемам резко уменьшит затраты
машинного времени. Однако необходимость обращения на каждом
временном шаге больших матриц со сложной структурой не позволила
этого сделать.
Прогресс в численном решении системы (3 13) во второй
половине 80-х годов связан с развитием полунеявных методов
[111-113]. Рассмотрим сначала использование этих методов на
примере простейшей системы волновых уравнений
ди _ Л dv dv _ Л ди /q qoq\
ЭТ " а В~х~ > ЪЧ ~ аЪЧ- {6.616)
Введем разностную сеть по х и /, обозначая через т и h шаги
по времени и по пространству Как известно, обычные явные
схемы для системы (3.323) условно устойчивы (см. п. 3.3.4) и
198
требуют для сходимости выполнения условия Куранта т < h/a.
Полунеявный метод для системы (3.323) состоит из двух эта-
пов. На первом этапе наряду с системой (3.323) строится
модифицированная система
о
отличающаяся от (3.323) членами порядка т . Здесь aQ — пока
произвольный параметр, Н—линейный оператор по
пространственным переменным. Выбор оператора Н неоднозначен и является
центральным моментом полунеявного метода. Для нелинейной
системы уравнений оператор И должен описывать распространение
наиболее быстрых волн, определяющих жесткость системы. В то
же время он должен быть достаточно простым, чтобы обеспечить
эффективность численной процедуры Система (3.323) линейна и
эквивалентна волновому уравнению и - а и , поэтому в
качестве оператора Н в системе (3 324) можно выбрать оператор
о о
второй производной: Н = д /дх . Тогда размерность ап будет
совпадать с размерностью скорости а. Дополнительный член в
(3.324) имеет смысл «регуляризатора» при решении (3 323).
На втором этапе метода запишем для системы (3.324) двух
шаговую разностную схему типа предиктор-корректор:
V* = Vn + CCCITUq ,
X
ип+] - aJtV+1 = ип * axvl - а\х2ип_ , (3.325)
XX X XX
,"+1 = И" + (а/2)т(^+1^0").
X X
Здесь а —параметр схемы (Г/2 < а < 1), vQy v_y v — централь-
X X
ная, левая и правая• аппроксимация производной dv/dx. Для
разностной схемы (3.325) нетрудно построить эквивалентное
о
дифференциальное уравнение с точностью до членов порядка т :
ffiiu-*2Quxx) = avx + (a-\/2)Ta2uxx, (3.326)
где Q = с£- (а2/2)(а-1/4) В уравнении (3 326), как и в
уравнении (3 324), член порядка т играет роль
регуляризатора, если Q > 0. Можно показать, что схема (3.325) безусловно
устойчива по т , если ап > а(2ос+1)/4 при а > 1/2. В этом
случае Q > а /8 Значение т фактически ограничено сверху
требованием близости решений системы (3.324) к решениям
системы (3.323).
199
В качестве другого примера рассмотрим решение системы
уравнений идеальной магнитной гидродинамики (3.14) Выбор
оператора Н подсказывает линеаризованная система (3.156)-
(3.157). Наиболее быстрые волны определяются продольным
полем BQ = BQ(r, t) через последний член в (3.157), содержащий
старшие производные от смещения £ по пространству.
Естественно поэтому выбрать оператор Н в виде векторного оператора
Н(0 = [rot rot[£xC°] x C°], (3.327)
где С —постоянный вектор, достаточно близкий к полю BQ На
втором этапе строится разностная схема типа (3.325). Эта
схема безусловно устойчива, если вектор С = С i +C i +C i
J J Г X X у у 2 2
параллелен BQ. Поскольку В зависит от пространственных
координат и времени,то для сохранения безусловной устойчивости
следует предпринять специальные меры Можно показать, что
для этого необходимо в операторе (3.327) отбросить все
члены, содержащие «недиагональные» произведения С .С. при / * /,
2 l ^
и сохранить члены, содержащие С. К сожалению, на развитой
нелинейной стадии эта процедура не является достаточной для
обеспечения безусловной устойчивости Выбор оператора Н в
виде (3 327) существенным образом связан с линейной стадией
развития неустойчивостей. Если нелинейные члены типа vVv
или BrotB становятся большими, то могут появиться
ограничения на значение временного шага т.
Полунеявный метод был использован в [67] для
моделирования пилообразных колебаний. Система МГД-уравнений (3.13)
была дополнена уравнением переноса для полного давления р =
= р.+ р (3.1). Кроме того, для упрощения задачи
предполагалось, что плотность постоянна (р = р„ = const) и давление
пропорционально температуре Т с некоторым постоянным
множителем. В этом случае система одножидкостных МГД-уравнений
принимает вид
РоШ + ЧР - ^хВ] + йДУ, {£ = [VxB]-£j,
k .2 <3-328)
l%j= -P di W + -1 (В grad)2p + div (kj_ gradp) + £ ,
В
где В = rot A, rotB = 4n]/c, /1 — коэффициент кинематической
вязкости, &|j и kj_ — продольный и перпендикулярный (по
отношению к направлению магнитного поля В) коэффициенты теплопро-
200
водности, сг —проводимость плазмы. Величины jJ. и &ц
предполагаются постоянными во времени и пространстве, проводимость
о* ~ р . Для поперечной теплопроводности рассматриваются
-1/2
модели &х = const и k± ~ р
Решение системы (3.328) в тороидальной плазме круглого
сечения ищем в виде
f(p,6,<p) = I f п(р,/)ехр[£(тв+л«))], (3.329)
га, л *
где 6 и р — полоидальный и тороидальный углы, f = (V,A,p). В
разложении (3.329) используется до четырех гармоник по <р и
И гармоник по 6. Разностная сеть по р содержит до 150 узлов
В эксперименте при Т ~ 5-НО кэВ параметр 5П =
9 9 8
= 4ясга /с /д -5*10 (альфвеновское время /. определено
формулами (3.307)). Столь большое значение S0 требует очень
высокого пространственного разрешения в окрестности
резонансных поверхностей. Для упрощения расчетов при вычислениях
принималось SQ ~ 10°-Н0 •
Полунеявный метод позволил авторам [67] выбрать шаг по
времени достаточно большим и проследить эволюцию процесса на
полном периоде пилообразных колебаний. В качестве примера мы
обсудим вариант расчета, в котором
с = a/R = 1/3, 0 = 2,7%, egn = 0,1, tAk± /a2 = 3,3-10"6,
P л
tAk /a2 = 102, tAti/a2 = 10~4, tA * 0,1 mkc.
Результаты вычислений приведены на рис. 3.26, где по оси
абсцисс отложено безразмерное время т = //10 tА> по оси
ординат—безразмерный инкремент jt. моды п = 1 в
логарифмическом масштабе (сплошная кривая) и изменение интенсивности
мягкого рентгеновского излучения в центре шнура А/
(штриховая кривая). Величина А/ обычно измеряется в
эксперименте. Поведение А/ показывает, что в моменты тл = 4,2 и
sxr 1 '
т2 = 5,1 происходят два последовательных внутренних срыва. В
промежутках между ними (на стадии релаксации) величина А/
монотонно возрастает. Разность т2 - т1 = т - 0,9 определяет
период пилообразных колебаний
Из рис. 3.26 видно, что плазма в первую половину периода
(пока т < 4,6) устойчива. Это связано с особенностями
профиля q(r). При срыве в момент т. происходит перемешивание
частиц и полоидального магнитного поля В результате в центре
шнура образуется плоское распределение давления, тока и па-
20!
t=t/jQ4tA
Рис. 3.26 Зависимость инкремента yt
тенсивности мягкого рентгеновского
и изменения ин-
излучения А/
(штриховая кривая) от времени в течение периода
пилообразных колебании
раметра q. Всюду при этом q(r) > 1 и резонансная поверхность
отсутствует. На стадии релаксации происходит постепенный
нагрев центра шнура, пикирование тока и уменьшение q . =
= min q(r), однако, устойчивость сначала сохраняется. К
моменту т = 4,6 значение q становится меньше единицы, появ-
ляется резонансная поверхность и плазма становится
неустойчивой При eq = \q -1| « 1 неустойчивость вызывается
идеальными модами (см. п. 3 3.3) и инкременты невелики. По
мере увеличения dq неустойчивыми становятся резистивные моды
и инкременты возрастают.
Результаты расчетов при т > 4,6 показывают, что момент
появления неустойчивости и момент срыва т = т2 - 5,1
разделены большим промежутком времени порядка половины периода
пилообразных колебаний т . Это радикально противоречит
существующим представлениям о внутреннем срыве До сих пор
считалось, что момент появления неустойчивости совпадает с
началом процесса срыва. В связи с этим большое внимание
уделялось поиску границы неустойчивости в пространстве
параметров, определяющих значение и профиль q(r) [115,116]. При
202
этом всегда неявно подразумевалось, что «фоновое»
распределение q(r) изменяется во времени достаточно медленно и любая
неустойчивость имеет возможности для своего развития.
Однако из рис. 3 26 видно, что это не так Пока
инкременты невелики, существует нелинейная стабилизация неустой-
чивостей. Один из механизмов такой стабилизации может быть
связан с быстрым увеличением радиуса резонансной поверхности
г моды т/п = 1/1 при эволюции плоского профиля q(r). В
самом деле, при развитии резистивных неустойчивостей
собственные функции имеют большие градиенты в резистивном слое (см.
рис. 3.8 и 3.9). Если за время развития неустойчивости
dt - а/у (а - 2-гЗ) резонансная поверхность сдвинется на рас-
1/з
стояние дг , большее ширины резонансного слоя д = a/SQ , то
неустойчивость развиться не успеет, так как новые
собственные функции будут сильно отличаться от старых. Обратное
условие
8rg < 5 (3.330)
является необходимым для появления срыва. Расстояние дг
г S
можно оценить с помощью соотношения- 8г - v dt, где и =
S S S
-г /t —средняя скорость движения резонансной
поверхности, г = а/а —экспериментальная оценка положения
pesos' max ' ^a r 4 r
нансной поверхности в момент срыва, / = т -10 tfi период
пилообразных колебаний. Отсюда получаем условие на величину
инкрементов для появления срыва
aS1/3
**А > 5-Г-'10"4- (3'331)
При S = 10 , q - 2,5, т = 1, а = 2 будем иметь jt >
> 4*10 , что близко к максимальному инкременту перед срывом
It * 5-Ю"3 (см рис. 3 26).
В [67] показано также, что насыщения острова 1/1 при
срыве не происходит. При к - const процесс пилообразных
колебаний близок к периодическому, а картина срыва похожа на
модель Кадомцева [95], обсуждавшуюся в п. 3.4 2. Для более
-1/2
сложной зависимости к - р периодичность нарушается и
появляются промежуточные срывы. В этом случае на стадии
релаксации возможно появление немонотонного профиля q(r) и пары
резонансных поверхностей для моды т/п = 1/1. Процесс срыва
здесь подобен перемешиванию при двойных тиринг-модах (см.
п 3.4.4).
4. ТРАНСПОРТНЫЕ МОДЕЛИ
4.1. Физические предпосылки транспортных моделей
4.1.1. Основные уравнения. Транспортные модели баланса
энергии и частиц в установках токамак были впервые
предложены авторами книги и группой французских физиков: Люком,
Мерсье, Субрамайером, на Международной конференции по
удержанию плазмы в замкнутых системах, которая проходила в Дубне
в 1969 г. При своей относительной простоте они оказались
чрезвычайно гибкими и удобными для изучения медленных,
эволюционных процессов в тороидальной плазме, благодаря чему
быстро завоевали широкое признание. В настоящее время версии
транспортных кодов- имеются практически во всех лабораториях,
связанных с работами на тороидальных установках. Эти коды
используются для анализа экспериментальных данных, для
планирования новых экспериментов и прогнозирования их
результатов, для проектирования установок следующего поколения
вплоть до термоядерных реакторов.
В основе транспортных моделей лежат следующие физические
предпосылки. В «спокойных» режимах при отсутствии
крупномасштабных колебаний и интенсивной конвекции плазма в
установках токамак находится в состоянии, близком к равновесному,
и поверхности постоянного давления совпадают с магнитными
поверхностями. Нагрев плазмы, потоки частиц и энергии
поперек магнитного поля, изменение тока и его распределения по
сечению плазмы, излучение и другие процессы приводят к
медленной перестройке плазменного шнура, к его постепенному
переходу из одного квазиравновесного состояния в другое.
Математическое описание эволюционного процесса для
аксиально-симметричных систем представляет собой двумерную
задачу, однако благодаря существенному различию характерных
времен переноса вдоль и поперек магнитных поверхностей ее уда-
204
ется достаточно хорошо описать в рамках одномерных моделей,
получивших название «транспортных». Их основу составляет
система диффузионных уравнений, выражающих баланс частиц и
энергии на каждой магнитной поверхности. Снижение
размерности задачи достигается за счет усреднения рассматриваемых
величин и потоков по магнитным поверхностям, отражающего
высокую скорость продольного перемешивания.
Пусть плазма состоит из электронов и ионов водорода, а
сечение магнитных поверхностей меридиональной плоскостью
</) = const представляет собой семейство концентрических
окружностей (см. рис. 1.3). В этом случае, используя описанную
в разд. 3.1 процедуру перехода от кинетического описания к
уравнениям для моментов и пренебрегая вязкостью и инерцией
электронов и ионов, можно получить систему уравнений,
которая лежит в основе простейшей транспортной модели:
Г (4-1)
ЗТ - сЯр ■ рЭр<Рвв) - —1<р
Здесь р —радиус магнитной поверхности, n(t,p) —плотность
плазмы, Т (tf,p), Т .(t,p) —температура электронов и ионов,
#о(/,р) — полоидальное магнитное поле, Е (pj),
/(p,/)—тороидальное электрическое поле и ток, являющиеся искомыми
функциями задачи.
Смысл каждого из уравнений (4.1) достаточно ясен: первое
выражает баланс частиц, второе и третье —баланс энергии
электронов и ионов, два последних являются уравнениями
Максвелла, в которых опущен ток смещения. Величины Г , q , q.
означают соответствующие потоки, S, Q , Q. — различные
источники и стоки частиц, энергии электронов и ионов,
QOH"~омический нагрев, Q . — энергообмен между электронами и ионами
При переходе от уравнений переноса [1] к системе (4 1)
были использованы уравнения равновесия для электронов и
ионов, которые получаются из уравнений двужидкостной
гидродинамики (2 4) при dy./dt = О В результате второе и третье
уравнения системы (4 1) содержат одинаковые недивергентные
205
члены (Г /п) д(пТ)/др1 но с разными знаками. При сложении
уравнений эти члены взаимно сокращаются. Сами по себе
уравнения (4.1) представляют лишь скелет транспортной модели.
Чтобы наполнить модель конкретным содержанием, необходимо
еще указать формулы, связывающие потоки и источники с
искомыми функциями, написать закон Ома. Выбор этих соотношений
является важнейшим элементом формирования модели.
Система содержит только одну пространственную переменную
р и написана в виде, который соответствует цилиндру, с
трансляционной и круговой симметрией. Трансляционная симметрия
отражает аксиальную симметрию исходного тора,
круговая—процедуру усреднения в перпендикулярном сечении. Однако такое
усреднение и замена тороидальной геометрии на цилиндрическую
не означают исключения из транспортной модели тороидальных
эффектов. Их вклад учитывается с помощью формул, выражающих
различные члены в уравнениях (4.1) через искомые функции.
Отметим, что для некоторых процессов тороидальные эффекты
несущественны: они либо вообще не сказываются, либо дают
небольшие поправки. В качестве примера можно указать
энергообмен между электронами и ионами. Если принять предположение о
классическом характере этого процесса, то его можно включить
ъ модель с помощью формулы (2.65).
m e*Ln\T -T.)
0 ^ О I '
^ = 4/^^Г =573- <4-2>
I I
е-
В то же время для переноса частиц и энергии поперек
магнитных поверхностей тороидальные эффекты, как показывает
анализ, играют определяющую роль. Это находит свое отражение в
формулах для потоков, которые обсуждаются ниже
Для более полного описания процессов з токамаке с
инжектором горячих частиц систему (4.1) следует дополнить
уравнением относительно продольного импульса ионов р^ (компоненты
импульса в направлении продольного магнитного поля BQ):
Э7<лV = )> У-р(ЯР+РФГпЯ = епЕф + *ф + Sp <4-3>
Здесь р± = ту.л, v.^ — продольная скорость ионов, q —поток
импульса рф поперек магнитного поля, R(k~ продольная
компонента силы трения ионов о другие частицы плазмы, S
—источник продольного импульса от пучка горячих инжектированных
частиц.
206
В дальнейшем мы будем использовать понятия запаса энергии
в электронной и ионной компонентах плазмы
V
и полного энергозапаса W = W + W.. Здесь интегрирование
проводится по всему объему плазмы. Складывая второе и третье
уравнения системы (4.1) и интегрируя, будем иметь
ВТ + > [я.+ Ь + 2< W Гп) dS = Кн+<Эе+(2Р dV = Q-
S V
где S —поверхность шнура, Q — суммарная мощность источников
нагрева плазмы.
Введем понятие энергетического времени жизни т£ с помощью
соотношения
|р(,е+,/+|<Ге+Г.)Гп]^=|; ,4.5
s b
тогда
W
ТЕ = Q-dW/dt' (46)
Величина тр характеризует глобальное удержание энергии в
шнуре и часто используется при анализе экспериментов.
4.1.2. Неоклассические потоки частиц и энергии. Основы
теории классического переноса в аксиально-симметричных
тороидальных системах были разработаны в 1967 г. А А. Галеевым и
Р.З Сагдеевым [2]. Исторически эта теория получила название
«неоклассической». Приставка «нео» появилась потому, что ее
результаты существенно отличались от результатов
классической теории переноса в магнитном поле с прямыми силовыми
линиями. Было показано, что усложнение конфигурации поля и
связанное с этим усложнение траекторий частиц приводят к
существенному увеличению коэффициентов переноса. Изменяется
также характер их зависимости от частоты столкновений.
После работы А.А.Галеева и Р.З.Сагдеева [2] развитием и
уточнением неоклассической, теории занимались многие авторы
(см , например, [3-5]) Обзор современного состояния теории
и подробный список литературы можно найти в работах [6,7].
В аксиально-симметричных тороидальных системах в силу
законов сохранения диффузия может возникнуть только за счет
перекрестных столкновений между электронами и ионами. Это
автоматически приводит к равенству их диффузионных потоков.
207
Из результатов разд. 1.3 следует, что электроны сильнее
«привязаны» к своим магнитным поверхностям, чем ионы:
смещение пролетных и запертых частиц пропорционально их ларморов-
скому радиусу гв ., т.е., в конечном счете, V т. (/ = /, е).
Поэтому неоклассический коэффициент диффузии D определяется
параметрами электронных орбит и частотой «перекрестных»
столкновений v . = 1/т (см. (2.60)).
Амбиполярная диффузия—это процесс, в котором ионы и
электроны выступают как единое целое. В отличие от нее
теплопроводность «индивидуальна». Ее интенсивность зависит от
параметров орбит соответствующего сорта частиц / и частоты
столкновений между ними v... Большие размеры сдвига ионных
траекторий относительно магнитных поверхностей приводят к
тому, что коэффициент ионной теплопроводности %. превышает
коэффициент электронной теплопроводности х и коэффициент
диффузии D по порядку величины в Vm ./m раз. Таким образом,
из трех перечисленных процессов самым интенсивным является
ионная теплопроводность.
В разд 1.3 мы видели, что частицы по характеру их
движения в магнитном поле токамака можно подразделить на
пролетные и запертые Доля запертых частиц на магнитной
поверхности радиуса р составляет небольшую часть порядка Vc-', где
с = р//?. Однако в процессе движения они дальше отходят от
—1/2
магнитных поверхностей, чем пролетные: А ~ Л е
r r зап пр
Благодаря действию этих противоположных факторов возникает
типичная для неоклассики «трехступенчатая» зависимость
коэффициента переноса от частоты столкновений.
Приведем формулу для потока энергии ионов, которую дает
неоклассическая теорий [7]:
дТ. q2r*
_ vneo i neo _ ь Z_£jJ ,, (Л 7\
Здесь
\J7e3v
0,66 { —i- + з^i
4+1,03 /ТГ7+0,31у . l+0,74e3/2i> )
4 i ^qR»u
v.. = —-— —, v . =
3VZrrT;' "' e3/2f.
I
v.. — ион-ионая частота столкновении, т. —простейшее время
и
релаксации, которое определяется формулой (2.50), v .—
вспомогательная безразмерная величина, пропорциональная v...
208
Электронные члены в формуле (4.7) для q. опущены, они по
сравнению с главным членом имеют порядок vVn /m '..
Заменяя в формуле (4.7) коэффициент к его
асимптотическими выражениями, при малых и больших v . будем иметь
Хпе° = 1,6 q2rl V.., V . > е"3/2. (4.9)
Анализ показывает, что в области малых частот столкновений
(4.8) основной вклад в поток энергии дают запертые ионы, а в
области больших частот столкновений (4.9) их повышенная
подвижность проявиться не может: запертые ионы переходят в
пролетные раньше, чем завершат один обход по банану. В
соответствии с этим первую область принято называть банановой,
вторую—гидродинамической. Отметим, что формула (4.9) для
коэффициента теплопроводности в гидродинамической теории была
впервые получена в [8] до создания неоклассической теории.
Между банановой и гидродинамической областями имеется
область промежуточных частот столкновений, в которой
коэффициент ионной теплопроводности (4.7) можно представить в виде
Х™° = CflVfl/R, 1 < ил( < е~3/? (4.10)
где С. = C(v.) —медленно возрастающая функция частоты
столкновений v... Из за слабой зависимости тпео от v.. эту
область обычно называют плато.
Интересно сравнить неоклассический коэффициент
теплопроводности с классическим:
*? = 4,v <*■">
Сравнение показывает, что неоклассический коэффициент
существенно больше классического. В гидродинамической области
о
различие характеризуется множителем 1,6(7, B банановой —
2 —^/2
0,66 q с , что соответствует числам порядка 10 и 100.
На рис. 4.1 приведен график функции %пео(1>..) (4.3) и
«стилизованный» график, построенный по асимптотическим
формулам (4.4)-(4 6). При сравнении двух графиков обращает на
себя внимание отсутствие ярко выраженного плато на кривой
(4.3). В области промежуточных частот столкновений (4.6)
просто происходит постепенный переход от банановой
асимптотики к гидродинамической Плато в виде почти горизонтального
участка появляется на кривой (4 3) лишь при очень малых е.
209
Рис. 4.1. Зависимость неоклассического
теплопроводности ионов %пео от частоты столкновений
коэффициента
Г записываются аналогично [7] и также
Выражения для q ,
имеют характерную для неоклассики трехступенчатую
зависимость от частоты столкновений. Как уже отмечалось выше, эти
потоки определяются смещением электронных дрейфовых
траекторий относительно магнитных поверхностей, и их интенсивность
в л/т /т . раз меньше q.. Мы не будем выписывать
соответствующие формулы, потому что в дальнейшем они нам не
понадобятся. Эксперименты показывают, что потоки энергии электронов и
потоки частиц в установках «токамак» являются аномальными и
для их описания в транспортных моделях приходится
пользоваться другими выражениями. Подробнее эти вопросы
рассматриваются в следующем разделе.
Перейдем к обсуждению закона Ома. Неоклассическая теория
дает следующую формулу для плотности тороидального тока
(4.12)
где / — ток проводимости,
электрическому полю,
l<r+h
/п- = *
пропорциональный
,пео£
тороидальному
(4.13)
'а ~ ~<р'
), — так называемый «бутстрэп-ток», который возникает из-за
градиентов плотности и температуры. Выражение для
проводимости в неоклассической теории имеет вид [9]
Ые) 1 г. CJJe),
(4.14)
*e
Здесь о* —классическая проводимость плазмы (2.114), v
величина, которая вычисляется аналогично v^. с заменой
ионных параметров электронными,-
f^) = X--—=^^-, ? = 0,58 +0,2 Zef, CR = m^
/l-г2 (l+l,46Ve) ef ef
Z f —эффективный заряд ионов с учетом примесей (2.58). Для
чисто водородной плазмы он равен единице
Тороидальные эффекты в формуле (4.14) учитываются
поправочными множителями. Они меньше единицы и стремятся к
единице при е -» 0. Уменьшение проводимости связано с запертыми
электронами: меняя при каждом отражении направление своего
движения на противоположное, они практически остаются на
месте и не проводят электрический ток. Кроме того, запертые
электроны тормозят пролетные через трение.
Бутстрэп-ток определяется формулой
где )/2
*п = С— Что1' -2,li>2.e3] (1+у2.е3)_1(1+у2 с3)"1,
* <■
k. = 2,3 (l+l,02v1/2+l,07i> )_1(1+1,07и е3/2г',
А0 = 4,19 (1+0,57у1/2+0,61у)-1 (1+0,61у е3/2)"1.
Подставим (4.12), (4.13) в два последних уравнения
системы (4.1) и исключим Е и / В результате получим уравнение
второго порядка, аналогичное по своей структуре трем первым
уравнениям этой системы:
^ = йЦгРУЫ-сЫ^ь} <416>
Оценим бутстрэп-ток jb Заменяя в формуле (4.15) фигурную
гкобку на величину Т/а, будем иметь
/<Лг~ ^,»Л <417)
li установках масштаба Т-10 отношение (4.17) порядка 0,2.
Потому в транспортных кодах бутстрэп-током часто
пренебрегают. Однако с увеличением мощности дополнительного нагрева и
чавления плазмы роль бутстрэп-тока должна возрасти, так что
«то учет станет существенным.
211
4.2. Развитие транспортной модели
4.2.1. Модель классического баланса энергии. Расчеты
энергобаланса по неоклассической модели, проведенные в 70-х
годах для установок масштаба Т-10 или PLT, показали
следующее. Модель хорошо описывает баланс энергии ионов, дает
значения их температуры и энергетического времени жизни,
согласующиеся с экспериментом. Однако она завышает электронную
температуру и энергетическое время жизни плазмы в целом. Это
указывает на существование потерь энергии по электронному
каналу, которые моделью не учитывались. В дальнейшем эти
дополнительные потери были названы «аномальными».
В установках 70-х годов температура ионов Г., как
правило, не превышала 3*5 кэВ, частота соударений ионов i; . не
слишком сильно отличалась от единицы, а значение
экспериментального коэффициента теплопроводности %^хр было близко к
определяемому формулой (4 10) для области плато. Согласно
неоклассической теории, при дальнейшем нагреве и снижении
частоты соударений v . ионы должны перейти в область
«бананов», а величина %. — резко уменьшиться и определяться
формулой (4 8) Эксперименты на установках нового поколения тока-
маков должны были подтвердить или отвергнуть эти
теоретические предсказания.
Такой «experimentum crucis» был проведен в 1987-1989 гг.
на установках TFTR и JET [10-12] К сожалению, предсказания
неоклассической теории не подтвердились. Была достигнута
большая температура ионов Т. = 20*30 кэВ, при которой
частота соударений v < 0,01 лежит глубоко в области «бананов».
Однако экспериментальные значения коэффициентов теплопровод-
exD
ности Х- ПРИ росте температуры не уменьшились и превышают'
теоретические (4.8) на 1-2, порядка величины. Таким образом,
в области v < 1 перенос теплоты по ионному каналу также
оказался аномальным.
4.2.2. Аномальная теплопроводность. Для согласования
транспортной модели с экспериментом в нее необходимо
включить аномальную теплопроводность электронов %ап и ионов %ап.
Физические причины аномальности до сих пор однозначно не
определены В ряде работ для объяснения аномальности
привлекаются модели, основанные на различных неустойчивостях плазмы.
212
В других работах используется более простой
феноменологический подход.
Остановимся сначала на аномальной теплопроводности
электронов. Л.А.Арцимович на основе анализа экспериментальных
данных, полученных на установке Т-3, предложил эмпирическую
формулу для %ап, получившую название «псевдоклассической»
[13]:
*Г = 5 VAQ,e <418)
Здесь v r —эффективная частота столкновений электронов,
рассчитанная по сопротивлению плазмы, гв —ларморовский
радиус электронов по полоидальному магнитному полю Bq.
В результате обработки экспериментальных данных на тока-
маке Алкатор-А была установлена формула [14]
х*п = 5!igl7CM2.c-i (419)
Анализ экспериментов на установке Т-11 [15] привел к более
сложной формуле, содержащей помимо плотности и другие
параметры плазмы:
<" - Х]П - 0,5-Ю20^ [ft)U5 (Г.-вэВ). (4.20)
Согласно (4.20) теплопроводность возрастает с ростом
температуры электронов.
Формулы (4 18)—{4 20) относятся к омическому режиму
разряда на токамаках Как мы отмечали, теплопроводность ионов
при этом близка к неоклассической. Начиная с середины 70-х
годов проведено много экспериментов с дополнительным
нагревом плазмы Для нагрева использовались пучки горячих
нейтралов и электромагнитные волны в ВЧ- и СВЧ-диапазонах. Для
описания экспериментов с дополнительным нагревом в величины
S, Q , Q. системы (4 1) следует добавить члены Saux, Qaux,
Qaux e
Поведение плазмы при большой дополнительной мощности
нагрева Qaux » QOH оказалось более сложным, чем в омическом
режиме. Как правило, при увеличении Qaux энергетическое
время жизни хр уменьшается Такой режим разряда получил
название L-режима Аномальные теплопроводности ионов и электронов
в этом режиме оказываются близкими друг к другу:
%ап/%ап = 1*4 Зависимость %ап. от плотности плазмы стано-
213
вится слабой, но появляется благоприятная зависимость от
тока плазмы /: при возрастании тока коэффициенты
теплопроводности уменьшаются.
По мере развития экспериментальных исследований были
найдены и другие режимы разряда. Значения параметров плазмы в
центральной области шнура оказались сильно зависящими от
граничных условий. При достаточно чистой стенке (или наличии
дивертора) иногда происходит переход в состояние с
улучшенным удержанием энергии. Такой режим получил название Н-ре-
жима [16-21].
Переход из L-режима в //-режим (L-Я-переход) реализуется,
если дополнительная мощность Qaux и плотность плазмы п пре-
вышают некоторые пороговые значения. При переходе в //-режим
вблизи границы плазмы образуется тонкий слой с большими
градиентами температуры и плотности В слое толщиной 2*3 см
скачок температуры электронов достигает значений bJ = 0,5*
13 -3 ^
2 кэВ, а скачок плотности Arc = (1*2)-10 см
В Я-режиме удержание частиц улучшается во много раз. В
результате плотность плазмы непрерывно возрастает и разряд
практически становится нестационарным. При изменении условий
на периферии или перераспределении Qaux может произойти
обратный переход из //-режима в /,-режим (И—L-переход). На
установке DIII-D при нагреве плазмы на электронно-циклотронном
резонансе (ЭЦРН) наблюдались многократные L-H- и H-L-
переходы [22].
На установке TFTR изучались режимы с очень узким профилем
плотности и высокой температурой ионов (так называемые «су-
першоты» [10]). Было показано, что удержание энергии в таких
режимах слабо зависит от вводимой мощности и тока плазмы
На установке JET были обнаружены режимы с большой
температурой ионов и умеренно пикированным профилем плотности
(так называемая «горячая ионная мода»). Недавно было
обнаружено, что горячая ионная мода может существовать как в L-,
так и в Я-режимах [20].
За последние несколько лет развилась техника поддержания
плотности плазмы с помощью инжекции в шнур твердых
водородных таблеток («пеллет») размером 1*4 мм. При попадании в
горячую плазму пеллеты быстро испаряются. Для того чтобы пел-
лета долетела до центральной области плазмы, не испарившись
214
полностью, ее скорость должна превышать HI,5 км/с. В этом
случае при размере пеллеты 2-5-4 мм плотность плазмы в центре
шнура увеличивается в 1,2-^2 раза, а профиль плотности может
стать сильно пикированным.
Соединение дополнительного нагрева с инжекцией пеллет
дало экспериментаторам еще один инструмент воздействия на
плазму. Прежде всего было отмечено, что пикирование профиля
плотности при инжекции пеллеты улучшает удержание энергии в
омическом режиме [23]. В дальнейшем эксперименты показали,
что для пикированного профиля плотности улучшается удержание
и при дополнительном нагреве на ионном циклотронном
резонансе (ИЦРН) [24]. При таком способе нагрева область поглощения
волн локализована в малой окрестности центра шнура.
Разнообразие экспериментальной информации предопределило
большие трудности моделирования транспортных процессов в
плазме токамака. В настоящее время не существует ни
общепризнанной теории аномального переноса, ни общепринятых
эмпирических формул для коэффициентов теплопроводности и диффузии.
В 80-е годы было сделано немало попыток построить
эмпирические выражения для #ап. Однако каждый раз оказывалось, что
предложенные формулы пригодны для описания лишь части
экспериментов и только на «своей» установке.
В этих условиях моделирование энергобаланса и баланса
частиц развивалось по следующим направлениям.
1 Установление эмпирических зависимостей глобальных
величин, характеризующих перенос, от параметров плазмы и
мощности дополнительного нагрева [25,26]. Заметим, что
зависимость вида тЕ = тE(nJ,a,R,B,Qaux, ...) принято называть
скейлингом удержания энергии. В работах этою направления
авторы отказываются от локального описания процессов
переноса. Статистический анализ большого числа экспериментов,
проведенный группой ученых, работающих над проектом реактора-
токамака ITER, привел к следующему скейлингу [26]:
т£ = 0,048 M°'V'85tf''V'3*0-V''Bj'Vuxr°-3 f^ fy (4 21)
Здесь tp — в секундах, М — отношение массы иона к массе
протона, ток / — в MA, R и а — в метрах, k - Ь/а — эллиптичность
поперечного сечения шнура, п— в 10 см~ , ^0~в Тл, Q?ux — в
МВт, fs = Rk°>S/a3/\ fq = ^/3,2, дш = abBQ/(0,2RI), |<xj <
^ 0,7, |ос | ^ 0,15. Эта формула справедлива при достаточно
большой мощности дополнительного нагрева, когда Qaux/C?oH ^ 1
(Qaux = Qaux+QauX)
2. Использование различных турбулентных моделей для #ап„
основанных на развитии в плазме мелкомасштабных колебаний.
Источником турбулентности служат неустойчивости того или
иного типа. Наиболее популярны дрейфовые неустойчивости,
причиной которых являются градиенты температуры или
давления. В этом случае развиваются колебания потенциального
типа. Некоторые авторы используют неустойчивости токового
типа, приводящие к образованию мелкомасштабных магнитных
островов, разрушению магнитных поверхностей или дрожанию
магнитных силовых линий [27,28].
Предельная формула для %ап при развитии дрейфовых неус-
тойчивостей была предложена в [28]#
X™ = У-*-(Л5 + Ве2), (4.22)
е О)2 qR
где А, В ~ 1,5-5-5, с = р//?, 0) —плазменная частота электро-
нов, s = pq'/q — шир (изменение хода винта) магнитных силовых
линий. Формула (4.22) близка к выражению (4.20) для
установки Т 11.
Формулы типа (4.22), связанные с определенным типом
неустойчивости, описывают поведение %ап лишь в ограниченной
области параметров Для построения более универсальной модели
иногда используется одновременно несколько типов неустойчи-
востей Примером такого подхода к описанию %ап в 70-х годах
являлась шестиобластная модель Дюкса [29]. В настоящее время
такая идеология используется в работах многих авторов
[30-32]. В качестве примера приведем выражения для %*п •»
предложенные в [31]:
хе = С = 2,5/)е [i + ^], t г. = х™ + С хап = 2>5 (°е+ Dh
где 2
rr. -л г wo г а) е> со г v Л1
De - Ш ».. ^ **" (I- ^Г) + *f ™* 1. ^ ,
U'J L *■ ei J te *■ teJJ
Г 2T L T) 1/2
Di = Ш »*е [Ч^г] Г\ f = 1* exp[- 6( V<)],
r = cv m.T /eBQ — ларморовский радиус ионов с температурой,
равной температуре электронов, t^ = krJ /L eB~, k^ - 0,3/r
216
ЫХе = V?*' Ln = П^П>'' ^ = nT\/Tin' > Vei = X/Tei ОПРеделя"
ется формулой (2 60) Величина Т)сг (~ 1-5-1,5) определяет
границу устойчивости ионных дрейфовых мод. Если Т). £ Т}сг, то
%ап. резко возрастают
Еще одна группа моделей использует идею «предельных»
профилей и «предельных» градиентов тока, давления или
температуры плазмы [33,34]. Здесь предполагается, что при локальном
превышении критического градиента тепловые потоки сильно
возрастают и дальнейший рост градиента останавливается. В
результате профили параметров плазмы должны быть «близки» к
предельным. Выбор предельного градиента обычно связывается
либо с границей какой-либо неустойчивости, либо с границей
разрушения магнитных поверхностей В работе [34] предложены
следующие формулы для потоков теплоты.
q . = ?neo + ?a\ q*n. = ntnW .F, (4.24)
Fe = (1 - V7;c/Vrg) H{ \VTg\ - |Vrjc) H{Vq), (4.25)
(Vre)c = 0.06[£В3/лГ;/2]1/2(1А)[е2/л0тв1/2],/2.
д0 = 4тг-10~ Гн/м, Е — продольное электрическое поле, Н(х) =
= 0 при х < 0, Н(х) = 1 при х > 0. Выбор числовых
коэффициентов в (4.24), (4.25) проведен с помощью моделирования
экспериментов на установке JET.
3 К следующему классу относятся работы, предлагающие
полуэмпирические формулы для коэффициентов переноса,
сконструированные из безразмерных параметров [35-37]. Из 11
размерных параметров, описывающих свойства квазинейтральной ион-
электронной плазмы с максвелловским распределением и Т ~
~ Т. = Т.
i
е, с, m , /л., р, a, R, /, £L, пу Т,
е С ^ 0» » »
можно составить семь независимых безразмерных параметров:
77 e m с2 В2 *е m- d d
(4.26)
где V = (4n/3)d —объем дебаевской сферы, d = v Т/(4пе п) —
дебаевский радиус. Другие безразмерные параметры могут быть
выражены через параметры (4.26), Коэффициенты теплопроводно-
217
сти % . должны быть представимы в виде произведения харак-
терной физической величины, имеющей размерность см /с (на-
2 2 1/Я
пример, v а, с f Уь> /? или v /n ), на функцию, зависящую
от параметров (4.26).
По-видимому, параметр N. не является существенным в
плазме токамака, где N. » 1 и условие квазинейтральности хорошо
выполняется. Зависимость у . от v .в современных экспе-
Ле, i *e,*i r
риментах с достаточно горячей плазмой не проявляется. Таким
образом, %ап. должны быть представимы в виде
Сж vV'*n..r»' (4-27)
Формула (4.19) не принадлежит к классу (4.27), поэтому
она может быть справедлива лишь в узкой области изменения
параметров плазмы. Нетрудно показать, что формула (4.20)
может быть записана в виде
*™ = Ъе^% (4.28)
что хорошо соответствует представлению (4.27). Близость
числового множителя в (4.28) к единице говорит о разумности
выбора системы безразмерных параметров.
Область применимости формулы (4.28) можно расширить,
вводя в нее зависимость от параметра /3. На этом пути, используя
2 2
множители типа (1 + (3 ) ((3 = fiq /e ), можно попытаться
описать увеличение теплопереноса в L-режимс при увеличении
мощности нагрева плазмы. Однако получить достаточно
универсальные формулы, исходя из представления (4.27), пока не удалось.
4.2.3. Модели переноса, основанные на канонических
профилях. 1. Канонические профили. Неудачи с поиском общих
выражений для %ап. заставили обратиться к новым идеям по
описанию переноса в плазме. Дополнительным толчком к поиску
новых подходов послужили эксперименты на ряде установок, в
которых было показано, что при изменении профиля
вкладываемой дополнительной мощности нагрева Qaux(p) профили давления
р(р) и температуры электронов Т (р) практически не
изменяются Это означает, что локальные значения %ап зависят от
профиля Qaux(p) и перестраиваются таким образом, чтобы
сохранить выделенные самой плазмой профили р(р) и Т (р). Такие
предпочтительные профили параметров плазмы получили название
канонических или оптимальных.
218
При изменении профиля Qaux(p) локальные значения %*п(р)
могут как увеличиваться, так и уменьшаться. В экспериментах
с ЭЦРН на Т-10 при нецентральном нагреве величина %ап в
центральной части шнура уменьшалась почти в 10 раз [38]. При
центральном нагреве, наоборот, %ап возрастала. Форма
канонического профиля и скорость его восстановления («жесткость»)
зависят от параметров плазмы. При увеличении q(a) пикирован-
ность канонического профиля возрастает В тех же
экспериментах на Т-10 было показано, что жесткость профиля увеличива-
га
ется вместе с ростом величины п/1, где п = (1/2а) ndl —
средняя по диаметру шнура плотность плазмы. Таким образом,
эксперимент подводит к заключению, что плазма хорошо
«самоорганизована». В ней существуют сильные обратные связи,
подстраивающие перенос в сторону релаксации распределенных
параметров к каноническим профилям.
Впервые идея о «согласованности профилей» была высказана
Б. Коппи [39]. Затем она получила широкое распространение. К
настоящему времени представления о канонических профилях
подтверждены анализом экспериментов на разных установках
[40-42]. Б.Б.Кадомцевым [43] было предположено, что
канонические профили определяются минимумом функционала полной
энергии F с условием сохранения полного тока. Подобные идеи
обсуждались и другими авторами [44,45]. В цилиндрическом
приближении для плазмы с круглым сечением имеем
а ^2
dF = 2яб|[^|-+Д+Л/]рф. (4.29)
о
Здесь ^ — показатель адиабаты, Л— множитель Лагранжа
Дополнительно предполагается, что в окрестности минимума
функционала F функции Bg, р и / зависимы. Это означает, что
допустимые вариации сохраняют топологию магнитных поверхностей и
поверхностей постоянного давления. В качестве независимой
переменной удобно принять величину \х = \/q. В этом случае
будем иметь
р = piii), j = /(д), BQ = pBQii/R.
Введем потенциал магнитного поля ф (Bq - dip/dp) и обозначим
через дф локальную вариацию потенциала. Тогда
(4.30)
219
Потребуем также, чтобы положение магнитной оси и внешней
магнитной поверхности при вариации не изменялось:
30(0) = 60(a) = О Учиты-вая (4 28)-(4.30), будем иметь
а а
6F = 2тг |фбдрф = -2тг§ J30^[|dp = 0, (4.31)
°о
где
В
2
фв^А + г^ + А& (4'32)
Отсюда получаем уравнение Эйлера:
f = 0- (433)
К нему надо добавить уравнение Максвелла
/ = го?°;53рЛ <4-34>
граничные условия в центре шнура и на границе
М(0) = /iQ, p(ii0) = p 11(a) = Щ- , (4.35)
са В0
а также условие нормировки тока
а
I = 2тг Г/'р dp.
о
Задача (4.32)-{4 35) содержит два уравнения относительно
трех функций д, / и р и допускает много решений. Если
дополнительно предположить, что канонические профили давления и
тока подобны:
рШр0 = /W/0. /0 = /(Mq) = ^Vo/(27l/?)' <4-36)
то уравнение Эйлера примет следующий вид:
В силу (4.34) имеем
Подставляя (4 38) в (4 37), получим
hfehfek*^)]-*- ,439>
Интегрируя (4 39), для регулярных в точке р = 0 решений
будем иметь
или
D D
220
Для выбора постоянной CQ требуется привлечь дополнительные
предположения Из (4 35) следует, что д(а) -» 0 при а,
стремящемся к бесконечности Исходя из этого, потребуем, чтобы
решение уравнения (4.41) стремилось к нулю при
неограниченном увеличении р. При CQ = 0 решение (4.41) имеет вид
Up2/а2. ] 4СК
Здесь а.— постоянная интегрирования («токовый радиус»),
определяемая из граничного условия (4 35):
r q .1/2 г q~ -л 1/2 Г^ПП1/2
vbi) ~аШ ~аШ • (443)
При CQ, не равном нулю, решениями (4.41) служат функции
* = v^Jctg [^^(р2^)), С0 < О,
у • rcth , , В 9 .
Они не стремятся к нулю при увеличении р, и их следует
отбросить. Таким образом, функция (4 42) является единственным
решением поставленной задачи (4.32)-^4 35) при
дополнительном условии (4.36)
С помощью (4 34) и (4 36) нетрудно найти канонические про
фили тока и давления:
/ = !0WVQfr P = Р0(М/Д0)2 (4.44)
Заметим, что эти выражения не обращаются в нуль на границе
плазмы
В стационарном случае ЕАр) = const. Отсюда, используя
(4 44) и закон Ома с классической проводимостью / = сс Е^,
(тс ~ Т /Z ., а также предполагая, что Z (р) = const,
чегко получить канонический профиль электронной температуры:
Те{р) = Ге(0)(м/д0)4/3. (4.45)
Заметим, что полная энергия на каноническом профиле
a d2 d2 a
Fm,n= 2*J(s! + V]p* = 7^J(P2 + a/)^rfP <446>
0 4K 0
не зависит от давления pQ. Это означает, что рассматриваемая
юория допускает увеличение давления без катастрофических
последствий. Нужно только, чтобы профили были достаточно
плизки к каноническим
221
В дальнейшем состояние плазмы с каноническими профилями
ру р и / будем называть релаксированным, а процесс перехода
к релаксированному состоянию —процессом релаксации. Сами
канонические профили обозначим как Дс(р), РС(Р)> /С(Р)- Через
Ф обозначим выражение (4.32), в котором р = Дс, р = рс,
а
у = / . Очевидно, что 5F = 2тг Г$с<5д рф = 0 в силу (4.31). В
о
окрестности канонических профилей
a a g 2
6F = 6F-6Fc = 2я|(Ф-Фс)бдрф = 2я J[—2-2р2(|х-»хс) +
+ FTL^-SC]+A(^-^C)]6fipdp- (4-47)
Используя (4.36), (4.37), (4.42), (4.44), сохраняя члены
первого порядка относительно разности р-р и учитывая, что
dp /dp. = р'/р'', dy/dju = у'/Д'» приведем (4.47) к виду [43]:
0 0/7 п
LK о ау с о с с
(4.48)
В выражении (4.48) первое слагаемое зависит только от
величины и распределения тока, второе пропорционально давлению
р0 и зависит от распределения давления по радиусу. Отношение
второго члена к первому характеризуется параметром б - =
2 °
= STCPn/^Q/r Для динамической системы в окрестности минимума
потенциальной энергии величина - grad 5F определяет
возвращающую силу («жесткость» системы). Для диссипативной системы
величина 8F характеризует скорость релаксации. Если
распределение тока достаточно близко к каноническому, то первый
член мал и скорость релаксации пропорциональна параметру (3 .
2 Простейшая транспортная модель
канонических профилей. Обратимся к формулировке математической
модели переноса. Выражение (4.48) для SF будем использовать
в качестве ориентира при выборе структуры потоков теплоты и
коэффициентов теплопроводности.
Выше были найдены канонические профили для тока, давления
и температуры электронов (4.44), (4.45). Будем считать в
дальнейшем, что плотность п = n(pj) известна из
эксперимента. Естественно в качестве неизвестных функций в этом случае;
222
выбрать / = j(p>t), Te= Te(pyt) и р = p(p,t). Поведение Т&
и / определяется вторым, четвертым и пятым уравнениями
системы (4.1). Уравнение для р получится, если сложить второе и
третье уравнения этой системы:
lyi+mVb. + ^nVM]= QoH + Qe+Qr <4-49>
Для замыкания системы нужно еще связать поток q + q. с
каноническими профилями и определить ионную температуру из
соотношения
Т. = р/п - Те. (4.50)
Однако построенная таким образом модель обладает
существенным недостатком: если Т заметно превышает Т. (разряды с
малой плотностью в омическом режиме, эксперименты с ЭЦР
—нагревом плазмы), то уравнение (4.49) практически совпадает с
уравнением для Т , а в правой части (4.50) стоит разность
близких величин. В результате Т. определяется с большой
погрешностью.
Для обхода этой трудности рассмотрим другую модель, в
которой неизвестными функциями, как и в (4.1), являются
функции Т , Т. и / (или Bq) В этом случае придется ввести
дополнительное "предположение о существовании канонического
профиля для ионной температуры Т. (р). Будем считать, что
т~т - v „2j • глот" I1 !М ' (4,51)
где у , ^. — параметры порядка минус единицы. Мы видели (см.
(4.45)), что при Z f(p) = const у = -4/3. Сравнение
расчетов с экспериментом показало, что у.~ К ■
Специфика модели канонических профилей заключается в
выборе потоков теплоты Мы полагаем
Яе=?е" + С< ,/=С + ,РС. (4.52)
}десь
1™ = -*™пх™а£. (4.53)
Т 11 Т 11
а —коэффициент порядка 0,2, х определяется формулой
(4 20), qneo — неоклассический поток теплоты ионов (4.7). Че-
РС 1
1>ез q . обозначены тепловые потоки, возникающие при
отклонении Т (р) и 7\(р) от Т (р) и Т. (р). Индекс «PC» соответ-
< гвует английскому названию идеологии канонических профилей
(«profile consistency»).
223
Центральным является вопрос о мере отклонения Т и Г. от
Т и Г. . Мы видели, что подынтегральные выражения в 6F
(4.48) содержат разности производных искомых функций и их
канонических профилей. В соответствии с этим отклонение Т и
Г. от Г и Т. будем описывать однородными операторами
первого порядка:
Э7\ Т'
WvhJ^-lfh <* = «.<■>• (4.54)
Очевидно, что L(T, ,7\ ) = О (k = e, i). В простейшей
квазилинейной модели мы полагаем
qPkC = - nXPkC L(Tk,Tkc) (k = e,i). (4.55)
Выражение (4.48) для 6F указывает на возрастание потоков
теплоты при росте давления. Детальное сравнение результатов
вычислений с экспериментами на ряде установок приводит к
следующей формуле [46]:
к? = <С = 10XC^]0-75,[f],(a)/rfe^j/4)n (k=e, i) (4.56)
Здесь к^С в см""1-с"1, аРС = 3,4, схРС = 5, Т . в кэВ, Вп в
k pp e i e,i О
Тл Заметим, что к, не зависит от радиальной координаты:
PC т
к, (р) = const. В режимах с достаточно большой плотностью
13 -3 PC
(п > 3*10 см ) и q(a) > 3 коэффициенты переноса к почти
T 11
на порядок больше множителей при дТ ./др в потоках q ' и
qneo (4.52). Таким образом, в системе (4.1) присутствует
большой параметр, стоящий перед операторами ЦТ,,Т' ), и >
уравнения относительно Г и Г. являются жесткими. Это
приводит к сильной взаимной компенсации входящих в ЦТ.УТ ) чле- ,
нов. При изменении внешних воздействий система
«самонастраивается», изменяя степень компенсации.
Полезно сравнить (4.56) с представлением (4.27). Формула
(4 56) может быть записана в виде
**С = [^Тз] №>") *V = № m'g) ^/3(^Г1/3- (4-57) ■
1/3 —1/3
Она отличается размерными множителями п /£ или (BQT)
от представления (4.27). Обычно эти множители слабо меняются
в эксперименте, поэтому до настоящего времени однозначный '
PC
выбор xk в виде (4.27) не сделан.
На рис. 4.2 в качестве примера приведены результаты
расчета температуры электронов при СВЧ-нагреве плазмы на ^лект-
224
г, см
Рис. 4.2. Профили электронной температуры при
омическом (ОН) и электронно-циклотронном (ЭЦРН) нагреве на
установке Т-10
ронно-циклотронном резонансе (ЭЦР) в токамаке Т-10 В рас-
— 13 —3
сматриваемом режиме а = 32 см, п = (3,5*3,9)-10 см , / =
= 0,175 MA, BQ = ЗТл, а ЭЦР-мощность Q*ux = 0,6 МВт
вкладывается в центральную зону шнура («центральный нагрев»)
Результаты экспериментов нанесены сплошными линиями, расчетные
кривые —штриховыми Штрих-пунктиром показан канонический
профиль Т (р) при Ц - - 4/3 В центре шнура профиль Т (р)
близок к каноническому
ЦТ J )
v e ее'
достигает 90*95'%
компенсация членов в операторе
На периферии профиль Т (р)
сильно отклоняется от канонического из-за граничных условии.
PC
В результате поток q сильно возрастает.
Своеобразным «experimentum crucis» для модели является
смешанный ЭЦР-нагрев, когда часть мощности вкладывается в
центре шнура, а часть в зоне р
сравниваются результаты экспериментов при центральном (им-
— 13 —3
пульс 45439) и смешанном (45443) нагреве при п = 3-10 см
pF ~ 18 см На рис 4 3
8 ЮН Днестровский, Д П Костомаров
225
Те,кэВ
О 10 20 30
г, см
Рис 4.3. Профили электронной температуры при
омическом (ОН) и электронно-циклотронном (ЭЦРН) нагреве на
установке Т-10
/ = 0,2 МА. В импульсе 45439 в центре шнура вводилась
мощность Оаих = 0,63 МВт. В импупьсе 45443 вводимая мощность в
центре равна Qaux = 0^2 МВт, а в окрестности точки PECR
мощность Qaux = 0,65 МВт.
Удивительным является близость графиков Т (р) для этих
экспериментов (сплошные линии на рис 4.3) Ведь мощности,
введенные в область р < 12 см (и тепловые потоки электронов
в сечении р = 12 см) различаются в три раза Без идеи
канонических профилей описать такие эксперименты практически
невозможно.
Результаты расчетов по модели (4.52)-(4.56) близки к
экспериментальным (штриховая линия на рис 4 3) При использо-
РС
вании потоков q происходит «самонастройка» модели,
отражающая реальную «самоорганизацию» плазмы Результаты
вычислений удобно иллюстрировать эффективным коэффициентом тепло-
226
проводности:
Kef -
uf
e, i).
(4.58)
На рис. 4.4 показаны зависимости к от радиуса для тех же
импульсов. В центре шнура ке различаются в четыре раза за
счет разной степени компенсации членов в операторе ЦТ >Т ).
На периферии компенсация в обоих случаях несущественна и ке
велики и близки друг к другу.
Рис. 4.4. Эффективные коэффициенты электронной
теплопроводности для импульсов с центральным (45439) и
смешанным (45443) ЭЦР-нагревом (см. рис. 4.3)
3. Транспортная модель с забыванием
канонических профилей. Развитая выше модель описывает L-режим
разряда с дополнительным нагревом, в котором удержание
энергии (энергетическое время жизни тр) заметно хуже, чем в
омическом режиме. Мы уже отмечали, что существуют и другие
режимы разряда (//-режим, горячая ионная мода, супершоты,
разряды с пикированым профилем плотности), в которых удержание
в несколько раз лучше, чем в L-режиме
Для описания перехода из одного режима в другой введем
дополнительное предположение о том, что канонические профили
имеют ограниченную зону влияния. Если отклонение от
канонического профиля невелико, то поведение плазмы описывается
227
системой (4 1) * квазилинейными потоками (4.52)-(4.56) Если
же отклонение превышает некоторое критическое, то плазма
«забывает» о каноническом профиле, потоки теплоты
уменьшаются и удерж.шне энергии улучшается. Переходы из одного режима
в другой гооггетствуют бифуркациям в нелинейной системе
уравнений
В рамках гаких представлений поведение плазмы аналогично
поведению твердого тела при растяжении. Если растяжение
меньше предела пластичности, то сила упругости
пропорциональна растяжению (закон Гука). Если растяжение превышает
предел пластичности, то твердое тело «забывает» об исходном
состоянии и при росте растяжения сила упругости падает.
Исходным при конструкции модели является
экспериментальный факт, что удержание энергии улучшается при пикировании
профиля плотности При этом естественно пикируются и профили
давления электронов и ионов р и р.. Однако в одних случаях
удержание улучшается в обеих компонентах плазмы, а в других
лишь в одной из них. Это подводит к необходимости
раздельного описания забывания канонических профилей для электронов и
ионов
Введем дополнительное предположение о существовании
отдельных канонических профилей давления для ионов и
электронов, р (р) и р. (р), и будем считать,что они совпадают с
каноническим профилем полного давления (4.44):
Для описания улучшения удержания при больших отклонениях
р . от р положим Г471
где F'—фактор забывания, равный
Fk = Fk{zk) = exp(- z\/1z\k) (k = e, /), (4.61)
z—безразмерное расстояние между профилем давления р и
каноническим профилем р :
h = **<р.<> = й/(РЛ) {k = e'i}' (4'62)
z0k = z0k^ ~шиРина зоны влияния канонического профиля
(zQ, > 0). Для профиля давления, более плоского, чем канони-
228*
ческий, z. > 0, для более острого (пикированного) 2fe < О
Соотношение \z \ = z . разделяет области «хорошей памяти»
\z \ < zQ и «забывания» \г | > zQ Для области хорошей
памяти F, ~ 1 и потоки (4 60) совпадают с потоками (4 55). В
области забывания F, « 1, потоки (4 60) малы и главными
становятся первые слагаемые в (4 52) В переходной области
PC
\z. | ~ 2П. потоки gv являются сильно нелинейными
операторами относительно Т Ар)
Модель (4.60), (4.61) содержит две неизвестные функции
z (р) и zQ.(p), которые могут зависеть также от параметров
плазмы. Они должны Сыть определены из сравнения расчетов с
экспериментом, однако такая работа в полном объеме до сих
пор не завершена Установлено лишь, что они изменяются в
ограниченных пределах, причем zQ (0) ~ 6-5-7, zQ (a) ~ 4^5,
г0.(0) ~ 2+3, z0.(a) ~ 3.
Формулу (4.60) можно переписать в виде
ф = ф(гп) = zTk exp [- (zTk+zJ/2zlkl (4 64)
гты - wkL{TuJk^ znk - й Цп' V- V = т;с
В дальнейшем в силу сделанного предположения о профиле плот
ности функцию z (р) будем считать известной из эксперимента
Пусть Qaux(p) (k = е, I) локализована в центре шнура в
области р < р~ € а. Если Q*ux(0) достаточно велика, то
профиль давления в центре может стать пикированным, так что
величина - 2,(0) превысит z^AO). В этом случае в центре шнура
появится область забывания Условие появления области
забывания (условие «прорыва» барьера, окружающего канонический
профиль) имеет вид
QckT = |max |^C| = кРкС^тах\ф\. (4.66)
Функция \ф(гТ)\ имеет два максимума при
Tk
\<> = ±/4+г!,/4"-г^/2 (4-67)
"1,2 ~ 0k nk' nk
Пикированным профилям температуры соответствует корень г,
- z < 0, так что
Tk
max |0| = \ф(г2)\ = f(2nfe.*0fe) = |*2 |ехр[- (z^zJ2/2z2Qkl (4 68)
229
В случае достаточно плоского профиля плотности, когда п(р) =
= nkM znk = 0. г2 = - 2Qk, имеем
\ф(г2)\ = г0Аехр(-1/2) = ф. (4.69)
При пикировании профиля плотности |0(г2)| уменьшается. В
частности, при гпк(0) = -tz0k z2 = -(20fe/2)(i4^-y) (у > 0)
будем иметь
|0(г2)| = 0,250, у = 1, |0(г2)| = 0,040, у = 2. (4.70)
Вместе с |0(г2)| быстро уменьшается и критическая плотность
мощности Qcr (4.66).
Модель с забыванием позволяет интерпретировать режимы с
улучшенным удержанием энергии следующим образом, //-режим
соответствует забыванию на периферии шнура. Здесь электроны и
ионы сильно связаны, поэтому забывание происходит
одновременно по обоим каналам в очень узкой зоне по радиусу В
основной части сечения шнура профили Т (р) и Т.(р) оказываются
очень близкими к каноническим Горячая ионная мода
соответствует забыванию (прорыву) канонического профиля Т. в
центральной зоне шнура В зависимости от условий на границе
плазмы при этом может произойти (или не произойти) забывание
и на периферии, т е. может образоваться горячая ионная Н-
(или L-) мода. Улучшенное удержание энергии после инжекции
пеллеты отвечает забыванию обоих канонических профилей Т и
Т. в центре шнура. Сравнение расчетов с экспериментами на
установках JET и DIII-D проведено в [47].
4.2.4. Поток частиц. Измерения потока газа и плотности
электронов на установках токамак уже давно показали, что
диффузия частиц также аномальна Однако детальный анализ
баланса частиц в экспериментах оказался сложнее баланса энергии
Плотность электронов, согласно результатам измерений на
многих установках, обычно имеет монотонный профиль. В то же
время профиль плотности атомарного водорода, ионизация
которого является источником ионов и электронов, очень сильно
скинирован. разница в значениях плотности на периферии и в
центре составляет несколько порядков Эти факты можно
согласовать следующим образом. В плазме токамака, наряду с
диффузионным потоком частиц Г~ = - D дп/др, направленным наружу,
должен существовать дрейфовый поток Г, = nv. , который на-
230
правлен внутрь плазменного шнура. Полный поток Г равен их
сумме:
Г = Гп+Гн = -/><&+„« (4.71)
П
D dr Op dr
На стационарной стадии из-за скинирования источника частиц
S, потоки Г~ и Г. компенсируют друг друга в большей части
сечения плазмы: Г- + Г. ~ 0. Поэтому для их определения
изучают нестационарные процессы.
Наиболее распространенными нестационарными процессами,
используемыми для нахождения потоков Г~ и Г. , являются
импульсный напуск газа [48-50] и инжекция водородных таблеток
в плазму [51,52]. В этих экспериментах происходит возмущение
плотности по всему сечению шнура, поэтому для раздельного
определения Г~ и Г. требуется тщательный анализ большого
числа измерений.
Удобным нестационарным процессом для определения Г. в
центральной части шнура является перемешивание плотное™ при
развитии неустойчивости винтовой внутренней моды т - \ (см.
гл. 5). В конце быстрой фазы перемешивания образуется
плоский профиль плотности, который затем, на фазе релаксации,
медленно эволюционирует в сторону увеличения плотности в
центре шнура. На этой стадии Г~ « Г. . Если, кроме того,
средняя плотность достаточно велика, так что источник S из
первого уравнения (4.1) в центре шнура мал, то изменение
плотности определяется только потоком Г. :
Измеряя прирост плотности в центре шнура Л/? за период
релаксации т , можно найти скорость дрейфа
Г
Анализ экспериментов на многих установках привел к выводу,
что коэффициент диффузии D аномален и связан с аномальным
коэффициентом электронной теплопроводности следующим образом:
D = aDxe^ aD ~ 0,3*0,5. (4.74)
С дрейфовой скоростью дело обстоит сложнее. Эксперименты
по измерению Ln/n при перемешивании на моде т = 1 показали,
что в центральной части шнура (р £ 0,2а) скорость дрейфа
близка к неоклассической: р
С = Мбс £jf/Г, (4-75)
231
где
kW~e, 0,53+Z
= ^ [1 + * - 1,46-g—J, ft, = 2 /1+1 322 ,)
V. J е[\ g(/
G = 1 + /(0,4+0,112 ,)v + (0.55+0.255Z .) v
V ' ' pf' * /> ^ ' ' Pt/
et7 *e N ef *e
13 -3
В плотной плазме, когда п(0) > 5-10 см , во внешних
слоях шнура и, аномальна и превышает и"ео на 1-2 порядка
[50,53,54]. В плазме с небольшой плотностью определение
.скорости v. на периферии затруднено большим притоком частиц за
счет ионизации пристеночного нейтрального газа, и в
настоящее время здесь нет надежных измерений Однако в этом случае
источник S в первом из уравнений (4.1) слабо скинирован и
дрейфовый поток Г, не играет заметной роли в балансе частиц
Существует несколько моделей описания аномальной скорости
v. . В наших работах [55,56] предложена формула
F F
"dr = Vе2 ^ = Vе* i# (476)
сходная с формулой (4.75) по зависимости от электрического и
магнитного поля. Однако правая часть (4.76) не зависит от
плотности. Анализ экспериментов [48—52] показывает, что при
изменении плотности плазмы в диапазоне от 10 до 10 см
эмпирический параметер <х почти постоянен (ар = 50*70)
Если v направлена внутрь шнура (v. < 0), то существует
ненулевое стационарное распределение плотности без
источника, описываемое уравнением
В самом целеу используя (4 19) или (4 20) и (4.74), имеем
D = к/я, где к = const в случае (4.19) и к = к(р) в случае
(4 20). Интегрируя уравнение (4 77) с учетом (4.76), будем
иметь
п(р) = «о[1 + воД-!г}*Г- (478)
о
Подставляя (4.76) в (4.78), используя параболическое прибли-
2 2
жение для q(p) [q - q~ + (q -qQ)p /a ] и полагая к = const,
получим
««-«.['••.М'-жМ]"
где а0 = я^0/2£0, vo = aPc(E<i/Bo) 4oa/R> D0 = к/п0' ПаРаметР
а определяет «остроту» профиля в центральной зоне шнура
232
г =
а'
Решение (4.78) ограничено сверху сепаратрисой
п(р) < ns(p) = [Д-^jdp]'1. (4.79)
О
Наличие сепаратрисы означает, что решение нестационарной
задачи с граничным условием, удовлетворяющим неравенству п(а) >
> п (а), неограниченно возрастает во времени. По-видимому,
что-то подобное происходит в Я-режиме.
В других моделях [52,53,57] скорость дрейфа связывается с
коэффициентом диффузии*
v. = vn/°-%v , v = а|А (4.80)
dr dr а а' а а х '
Если в выражении (4.80) положить а = const и пренебречь
слагаемым f[|e(\ то уравнение (4.77) для стационарной плотности
без источника оказывается линейным:
£>[0-2а£2я] = 0. (4.81)
В этом случае
п(р) = п0ехр(-ар2/а2). (4.82)
Экспоненциальная зависимость профиля плотности плазмы от
параметра а позволяет описать широкий класс профилей при
относительно малом изменении а. В работе [53] предлагается выби-
о 9—1
рать а непостоянным по сечению: а = (1 - р /а ) . В этом
случае при отбрасывании и"60 в (4 80) стационарные профили
2 2
плотности будут параболическими п = nJ\ - р /а ). В
настоящее время экспериментальных данных недостаточно для того,
чтобы отдать предпочтение какой-либо из формул (4 76),
(4 80) для дрейфовой скорости
На рис 4 5 показано распределение скорости дрейфа по
радиусу шнура в модели (4 76) при а = 50 для установки Т-10 в
режиме с параметрами R = 150 см, а = 30 см, ZL = 1,7 Тл, / =
-- 190 кА, U = 1,5 В, qQ = 1, qa = 2,5, 7,(0) = 1 кэВ, 7\(0) =
0,43 кэВ, пп = 2,7-10 см , Z . = 4. Здесь же приведена
0 ef г
кривая для и"ео При возрастании плотности и"ео уменьшается
(штриховая линия) и зона, где v, ^ v^0, тоже уменьшается.
г ' dr dr J
Рис 4.6 передает результаты моделирования напуска газа в
установке Алкатор-А. Коэффициент диффузии принят равным
17 —1 2
/) = 3-10 п (р) см /с, для дрейфовой скорости использова-
чась формула (4 76) при а = 70. Крестиками отмечены
экспериментальные данные [49] При использовании неоклассической
233
CM
' с
ZUU
100
tz±
Vdr
05
1 jo/a
Рис 4.5. Радиальное распределение скорости дрейфа на
установке Т-10 рассчитанное по модели (4 76) и по
неоклассической теории
п,Ю%-*
Рис. 4 6 Эволюция профиля плотности плазмы при
напуске газа в установке Алкатор-А. Сплошные линии—расчеты
с дрейфовой скоростью udr по формуле (4.76), крестики —
эксперимент [49]
234
скорости дрейфа (4.75) профиль плотности быстро скинируегся
и результаты вычислений не имеют ничего общего с
экспериментом.
Интегрируя первое из уравнений системы (4 1) по
поперечному сечению шнура, будем иметь
8N
-gY = 2п jSp dp-2narn(a), где N - 2па jnp dp (4.83)
о с
— полное число частиц в столбе плазмы высотой 1 см. Введем
время жизни частиц т с помощью соотношения
v P
N/т v
(4.84)
2па Г (а).
Тогда в стационарном состоянии будем иметь
тр = Np (2л \Spdp\~'
О
Наличие дрейфовой скорости затрудняет прямое использование
формул (4 84), (4.85). В качестве примера рассмотрим простую
модель (4.80), отбросив член и"ео и полагая D = const:
(4.85)
v p/a, v = 2aD/a = const.
(4.86)
dr a1 ' ' а
В стационаре при отсутствии источников имеем распределение
плотности (4 82) и формула (4 85) дает бесконечно большое
время удержания Заметим, однако, что решение (4 82) не
равно нулю на границе плазмы Если определение времени жизни
частиц (4 84) дополнить условием
п(а) = 0, (4.87)
го для создания такого профиля плотности понадобится
источник Этот источник следует распределить по всему сечению
шнура для того, чтобы величина т (4 85) правильно отражала
удержание частиц во внутренних и внешних слоях плазмы.
Пусть источник постоянен: S = SQ В стационаре
или Г
р7$РГг)
V
Р^
(4.88)
Интегрируя (4.88) с граничным условием (4.87), будем иметь
nJe
-ар2/а2 _ е-а)/(1 _ е-а}
(4 89)
9 а
причем SQ = nJ4D/a ) а/(е -1) Подсчитывая полное число ча-
< тиц jV для (4 89) и пользуясь формулой (4 85), получим
_ _ а2 еа-а-\
(4.90)
235
При достаточно большой скорости дрейфа, направленной внутрь
шнура (<х > 1), время удержания частиц экспоненциально
зависит от скорости дрейфа.
Если источник скицирован, то время удержания частиц Ts по
формулам (4 84), (4.85) будет меньше т . Нетрудно показать,
что для источника, сосредоточенного возле границы шнура в
области а(1-6) < р < а (д « 1), время удержания частиц ts =
2 (X Р
= 8(а /4£>) (е -1)/ос ~ 5т . Очевидно, что в этом случае время
ts описывает быструю циркуляцию частиц на периферии шнура, а
не глобальное время удержания.
Другой подход к определению времени жизни частиц
заключается в исследовании поведения решения нестационарной задачи
для плотности при S = 0 и п(а) = 0. Асимптотика такого
решения при t -» оо определяется первым собственным значением Лп
краевой задачи
£ар<егп)-Лп = °« nia^ = °- <4-91>
Задача (4 91) для модели (4.86) была численно исследована в
[58]. Приближенная формула для времени удержания частиц
1 „ а2 77+а2 еа-сс-\
?~ Го~ ТО56+а2 а2
хорошо соответствует формуле (4.90). Она совпадает с ней при
|ос| » 1 и отличается несущественным множителем при [<х| « 1.
4.2.5. Модель для нейтралов. Анализ баланса частиц
потребовал включения в транспортную модель еще одной
компоненты—нейтралов остаточного газа. Ионизация атомов водорода
определяет интенсивность источника частиц S в первом
уравнении системы (4.1). Кроме того, как показывают расчеты [59] и
эксперименты [60,61], процессы перезарядки и ионизации дают
заметный вклад в баланс энергии ионов и электронов, особенно
в слое, прилегающем к границе плазмы.
Величины S, Q , Q. в системе (4.1), описывающие вклад
атомарных процессов, рассчитываются по формулам
S = («У.и> + <с и>) Nn - «у и> п2,
О = - («ги> + <с и>) NnR - |<сг и> п2Т , (4.92)
a u> Nn(T-TK!) + i(«T.u>+<(T u>) NnTS!-±<a и> пгТ.у
ex v i Лг 2 v i e ' N 2 r i
где R =13,56 эВ, N, TN~плотность и температура нейтралов,
(У , о*., с , сг —сечения перезарядки, ионизации ионным уда-
сх i e r
236
ром, ионизации электронным ударом и радиационной
рекомбинации. Угловые скобки означают усреднение. Для двух первых
процессов оно проводится по максвелловскому распределению
ионов /..
«г и> = Г/.(г,1/')сг J(v')v'd\\ <<r.w> = \f(r,v')v{v')v'd\', (4,93)
для двух других, в которых участвуют электроны,—по
максвелловскому распределению электронов / •
<creu> = f/e(r»t;/)(re(t;/) v' dw'» <crrw> = Jfe(r»t;/) °"r(t;/) f'dv'. (4.94)
Максвелловские распределения f. (j = /, e) в (4.93), (4.94)
предполагаются нормированными на единицу, а не на число
частиц. Усредненные величины <си> являются функциями температур
Г. и Г и через них могут зависеть от пространственных
координат.
Использование в (4.93), (4.94) усредненных сечений,
которые не зависят от скорости нейтрала v, означает, что при
подсчете числа атомарных процессов относительная скорость
взаимодействующих частиц и = |v-v'| заменяется на скорость
v' - |v' | ионов (4 93) или электронов (4.94). Для
электронных процессов (4 94) такая замена сомнений не вызывает, для
ионных (4.93) она возможна благодаря сравнительно слабой
зависимости сечений о* и о*, от скорости в интересующем нас
интервале энергий.
В плазме токамака при отсутствии инжекции существуют два
источника нейтралов: 1) поток атомов водорода со стенок,
2) радиационная рекомбинация.
В интересующем нас диапазоне энергий от 100 эВ и выше
сечение рекомбинации очень мало, оно на 6-7 порядков меньше
сечения перезарядки и ионизации электронами Поэтому в
режиме с невысокой плотностью плазмы (п < 10 см ) основным
источником нейтралов является их поток со стенок Однако по
мере повышения плотности плазмы он будет доходить до
центральной части шнура все более ослабленным. В результате
относительная роль рекомбинации в балансе нейтралов может
стать определяющей.
Такой вывод был впервые сделан в [62] Специальные
измерения, проведенные на установках Т-10 [63] и Алкатор [64] в
режимах с плотной плазмой (п £ Ю14 см-3), подтвердили его
справедливость
237
Ионизация ионным ударом становится заметной на фоне
остальных атомных процессов только при термоядерной
температуре Т.~ 10 кэВ. При Т.~ 1 кэВ ею можно пренебречь.
После этих замечаний перейдем к формулировке кинетической
модели для нейтралов Время их пролета поперек плазменного
шнура много меньше характерного времени изменения
макроскопических параметров плазмы Поэтому функцию распределения
нейтралов в любой момент времени можно считать стационарной.
Она соответствует мгновенному состоянию плазменного шнура и
медленно изменяется по мере его эволюции. Иными словами,
время в задачу о нейтралах входит не как независимая
переменная, а как параметр.
Напишем для функции распределения нейтралов /
стационарное кинетическое уравнение, учитывающее взаимные превращения
нейтралов и ионов в результате перезарядки, ионизации и
рекомбинации-
vU+sf = (s^+s2n)fr (4.95)
Здесь /. — нормированное на единицу максвелловское
распределение ионов,
1 сх 2 г
(4.96)
5, = (<0* М> + <0* U>) Пу S = S1 + 5Q.
Плотность нейтралов N(r) связана с их функцией распределения
f обычным соотношением
N(t) = J/(r,v) dv. (4.97)
Рассмотрим уравнение (4.95) в плазменном цилиндре,
обладающем трансляционной и круговой симметрией. Введем
цилиндрические координаты р, <р, z в геометрическом пространстве и
w, фу и в пространстве скоростей. По предположению плотность
плазмы п, температура ее компонент Г., Т и, как следствие,
вероятности атомных процессов (4.93), (4.94) зависят только
от радиуса р. Для завершения математической постановки
задачи нужно сформулировать краевое условие на границе
плазменного цилиндра р = а Будем считать, что распределение по
скоростям входящих нейтралов имеет вид
f\p=a = F(w,u), \<р-ф\ > тг/2. (4.98)
Интегрируя уравнение (4.95) вдоль характеристик (т.е
вдоль прямолинейных траекторий нейтралов) и используя крае-
238
вое условие (4.98), можно выразить функцию распределения
нейтралов / через их плотность N(p) и параметры плазмы:
О 0 0
!(р,и>,ф-(р,и) = F(w,u) expj- Г s[p(T)] dx\ + Jexp Г-Г^[р(х)] dx\ x
<o <o *
x {s{p(t)] N[p(t)] + s2[p(t)] n[p(t)]} ftlp(t)fw9u) dt, (4.99)
p(t) = У p2+2ptw cos(\p-(p)+t2w2
t = -w 1 jp cos(0-<p) + Va2-p2sin2(0-<p) < 0.
Функция p(t) описывает изменение радиуса p при равномерном
прямолинейном движении нейтрала, величина - ^0 определяет
время, за которое нейтрал с заданной скоростью пролетает от
границы плазмы до рассматриваемой точки.
Первый член в формуле (4.99) соответствует нейтралам,
попадающим в плазму через ее границу р = а. Интенсивность
потока на границе определяется функцией F(wyu) (4.98). По мере
продвижения внутрь плазмы в результате перезарядки и
ионизации она экспоненциально убывает. Второй член описывает
«вторичные» нейтралы, которые образуются внутри плазмы за счет
перезарядки и рекомбинации
Если (4 99) проинтегрировать по скоростям, то получится
интегральное уравнение относительно плотности нейтралов
а
ЩР) = jKtP.O^Otfte) ^ + АУР)- (4.100)
о
Ядро этого уравнения /С(р,£) определяется формулами:
arcsi n(£;/p) со , р
0 V £; -pzsiri 0 0 L £v Tf-p^si гГ0
*«p[-±j w^-h) /^_]W^.
psm0 v -rf-p si n 0 psin0v T) -p si n 0 J
0 < £ < p < a, (4.101)
ГС/2 oo r £
«P.© = 2g J '* jjexp [-1J /(^^ 1 +
/ 9 9 9 ^ / 999 J
0 • £ -p si rT0 0 L pv rf-pzs i гГ0
* «P [- 1 f 'W^l - i J 'НЙЧ )W,,) *..
psini// v 7) -p si n 0 psm0 V 7) -p si n 0 J
0 < p < € < a, (4.102)
239
где f .(р,до) — двумерное максвелловское распределение.
Неоднородный член NJp), характеризующий источники, состоит из
двух слагаемых:
Уур) = Л^р) + tf2(p). (4.103)
Одно из них —плотность «первичных» нейтралов, которые входят
в плазму через ее границу и достигают слоя р без превращений:
Я/2 оо r a p
0 0L pvT)-p Sin0 psin0 V 7f-p si П 0
a -4 +oo
" 1 Г /(T?)T? ^—l I F(a;) dw, F(w) = \F{w,u) и du. (4.104)
psm0v T) -p sin i/i J -oo
Второе —плотность нейтралов, образующихся в плазме в
результате рекомбинации:
N2(p) = J/C(pf?)52(?)/i(?)rfe (4.105)
о
При выводе формул (4.101), (4.102), (4.104) из (4.99) была
сделана замена переменных интегрирования т и t на т) и £:
т) = р(т) = v p2+2pTw соб0+т2ш2,
£ = p(f) = v p2+2ptw cos0+f2w2.
Показатели экспонент в (4.101), (4.102), (4.104)
характеризуются параметром а// = sa/v. (и. —тепловая скорость ионов),
где / = v./s — средняя длина свободного пробега нейтралов в
плазме Если параметр а/1 велик («оптически» толстая
плазма), то экспоненты с отрицательным показателем очень быстро
убывают. В результате при интегрировании по 0 основную роль
играет окрестность точки 0 = 0, в которой функция
s(t))t? / v т)2-р2si п20 ~ s(T))
минимальна С физической точки зрения это означает, что
основной вклад в обмен нейтралами между разными слоями р дают
нейтралы, движущиеся по кратчайшему пути—прямо по радиусу.
Такой процесс можно хорошо описать в рамках одномерной
модели для слоя - а ^ х ^ а.
Не будем повторять выкладок, аналогичных цилиндрическому
случаю и приведем сразу интегральное уравнение для плотности
нейтралов в слое, которое учитывает предполагаемую симметрию
240
задачи относительно его середины х = 0:
а
Щх) = $К(х,$Щ$)Щ® d$ + N0(x). (4.106)
о
Здесь ю
*(*,£) = J{*(&*.») + Ф(0,*.1»)Ф(0,С,1;)} f/C.») ^ (4-107)
О
где
Ф(£,*,о) = ехр[- i | Js(tj) Л)|], Лу*) = N{x) + Л^х), (4.108)
00 ^
Л^(х) = |{Ф(х,а,и) + Ф(0,х,и)Ф(0>а,и)} F(v) dv, (4.109)
0
а
N2(x) = \K(x,0 s2(0 n(0 d£ (4.110)
0
и = и , f .(£,у) —одномерная функция распределения ионов,
нормированная на единицу, F(v) —заданная функция входящих
нейтралов на границе плазмы,
f(-a,v) = f(a,-v) = F{v), v > 0 (4.111)
Для упрощения расчетов выберем функции f.(£,i>) и /7(у)
дельтообразными:
F(o) = Na8(v-va), f($,v) = £{5(™/0)+ «("-»/€))}. (4.П2)
где и .(£)—тепловая скорость ионов в точке £. Скорость v
входящих нейтралов соответствует энергии порядка 1-Н0 эВ
Для распределений (4.112) после интегрирования за счет
6-функций по v формулы (4 107), (4 108) принимают вид
(4 ИЗ)
N}(x) = Na{i(a%x,vJ + *(x%Q,va)*(at0,va)}
В случае «толстого» слоя (sa/t/., = а/1 » 1) распространение
нейтралов в результате многократных перезарядок приобретает
характер диффузионного процесса и может быть описано
дифференциальным уравнением [65,66] Такое уравнение имеет вид
„ s(x)sJx) 2, ч s(x)sQ(x)
N я-3 М(х) = ^(дс)Ш^- т~ п(х). (4.114)
v){x) 1 ^ ^(х)
Оно получается из (4 106), (4 113) двукратным
дифференцированием, причем производными медленно меняющихся функций s(x)
241
и v(x) по сравнению с производными экспонент следует
пренебречь.
Предположим, что поток нейтралов в плазму со стенок
отсутствует: N = О, N (х) = О В этом случае решение
уравнения (4.114) в ВКБ-приближении по параметру а/1 имеет вид
sn(x)
NW = ГЩп^- ' <4Л15)
Оно дает минимальный уровень плотности нейтралов, который
определяется только радиационной рекомбинацией и не зависит
от потока нейтралов со стенок. Такое распределение нейтралов
устанавливается в экспериментах с плотной плазмой в
центральной части плазменного шнура [63,64], куда поток
нейтралов со стенок доходит ослабленным на несколько порядков и не
оказывает существенного влияния на формирование нейтральной
компоненты
Для численного решения интегрального уравнения (4.100)
или (4 106) можно воспользоваться методом последовательных
приближений. Запишем искомую плотность нейтралов в виде ряда
00
N(p) = У N[k\p). (4.116)
fefro
За нулевое приближение М \р) примем функцию Л'(р) —
плотность нейтралов, не испытавших ни одной перезарядки. Первую
поправку М \р) вычислим по формуле
а
о
Она представляет собой плотность однократно перезарядившихся
нейтралов. Совершенно аналогично вторая поправка М \р) —
плотность дважды перезарядившихся нейтралов и т.д.
Реализация вычислений по методу последовательных
приближений не вызывает трудностей, однако число необходимых
итераций растет с увеличением параметра а/1. Поэтому в случае
«толстой» плазмы удобнее обратиться к дифференциальному
уравнению (4 114) Можно либо воспользоваться его решение*м,
либо, если точность диффузионного приближения недостаточна,
использовать его в качестве начального шага в итерационном
процессе (4 116) и уточнить результат вычислением нескольких
поправок. По найденному в том или ином приближении профилю
плотности нейтралов N(p) формула (4 99) определяет их
функцию распределения f. С ее помощью можно рассчитать лк^ю ин-
1
/О"
10ю
to9
w8
to7
w6
I05
to*
!03
102
i /V, см-5
~
/
/
//
^^^X,
ш. —'""""^ /
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
- /
•
У
—1—1—1—1—1—1 1 1 1 1 =»^_
♦t*l "»-**-**
0 0,2 Ofi 0,6 0,8 1,0/0/з
Рис. 4.7 Распределение плотности нейтралов
в случае плотной плазмы
4 ЕуКзВ
по радиусу
Рис 4.8 Экспериментальный и расчетный энергетический
спектр нейтралов, выходящих из плазмы (п = 5х
х1014см~3, 7 = Т. = 790 эВ)
тересующую нас характеристику профиль температуры нейтралов
7 Ар), поток нейтралов, выходящих через границу плазмы р =
- а, их распределение по энергиям и т д
На рис 4 7 приведены результаты расчета профиля
плотности нейтралов в плазме с высокой средней плотностью ~п =
- 5 • 10 см~ [66]. Нарисованы две кривые Штриховая кривая
нарисована без учета рекомбинации и описывает распределение
нейтралов, образующихся за счет потока атомов водорода со
стенки Первичные нейтралы проникают в плазму на очень малую
1лубину / = v /s = v l/v. « / Этот пограничный слой,
показать который в масштабе рис 4 7 невозможно, служит
источником вторичных нейтралов перезарядки Их плотность в резуль-
1ате ионизации экспоненциально падает от периферии
плазменного шнура к его центру, изменяясь на 8 порядков. Она с
хорошей точностью может быть описана асимптотическим решением
однородного дифференциального уравнения (4 114)
Щр)
ехр
J „ ih dt-
^ж
243
Сплошная линия дает плотность нейтралов, рассчитанную с
учетом рекомбинации Сравнение кривых между собой наглядно
показывает роль каждого из двух процессов на периферии и в
центральной части плазменного шнура
На рис 4 8 приведены экспериментальный и расчетный
спектры нейтралов, выходящих из плазмы [66] По оси ординат в
логарифмическом масштабе отложена интенсивчосгь потока час-
—3 -3/2
тиц различной энергии (в см • эВ ) в анализатор.
Соответствие между кривыми очень хорошее Штриховой линией
нарисован энергетический спектр, рассчитанный без учета
рекомбинации. Он идет намного ниже экспериментального, особенно в
области высоких энергий.
Варианты моделей и кодов для нейтралов описаны в работах
[2-4,18,65,66]. Для моделирования поведения нейтралов
применяются также специальные коды, которые разработаны для
нейтронных задач на основе метода Монте-Карло [67]. Они
позволяют наиболее полно учесть реальную геометрию установок тока-
мак и могут быть использованы для детального анализа
типичных вариантов Однако включение таких сложных программ,
требующих очень большого расхода машинного времени, в
транспортные коды, где задачу о нейтралах приходится
пересчитывать много раз, по-видимому, нецелесообразно.
4.2.6. Поджатие плазмы магнитным полем. Увеличение
основного магнитного поля во времени приводит к поджатию и
дополнительному нагреву плазмы Такой процесс происходит
адиабатически, если время подъема поля т^ много больше альфвенов-
ского времени т Для .эффективности нагрева должно также
выполняться условие TR « Тр где т^ —энергетическое время
жизни плазмы.
Увеличение поля в объеме плазмы можно осуществить разными
способами Один из них состоит в том, чтобы увеличить
тороидальное поле Ву сохраняя постоянным большой радиус
плазменного шнура R (поджатие по малому радиусу) Возможен и другой
подход, идея которого была предложена Л А Арцимовичем [77]:
осуществить поджатие за счет уменьшения большого радиуса и
перемещения плазмы в область с более сильным полем (поджатие
по большому радиусу) Обе возможности, а также их комбинации
были использованы в экспериментах на различных установках
[78-80] Было обнаружено, что сжатие и нагрев плазмы согла-
244
суются с соответствующими теоретическими оценками. При этом
плазма частично отрывалась от стенок камеры и диафрагмы и ее
термоизоляция улучшалась.
Дополнительные члены в (4.1), описывающие поджатие плазмы,
могут быть получены с помощью уравнений переноса (3.1) и
уравнений для полоидального магнитного поля (3.13):
Р = -div(rcv), Q. = - ^d'w(py) + vV/?.,
(4.117)
p. = nTjt j = i, e, QB = rote [vxB],
где v —скорость движения плазмы при поджатии,
1. Сжатие по малому радиусу. В этом случае в силу
вмороженности продольного магнитного потока имеем
р2В = const. (4.118)
Отсюда легко найти скорость движения магнитных поверхностей
v = V "р = 3? = ~а£' divv = ~а' (4119)
где а = Вф] dBJdt Подставляя (4 119) в (4 117), получим
Я п
P = an + Japj£, Qj = 5^3^^ Qg = \a^pBQ), (4.120)
где у = /, е При вычислениях вместо поля В„ часто
используют функцию \i ng
Уравнение для нее имеет вид
Последний член справа в этой формуле описывает перенос
функции /1, которая, как и магнитный поток, вморожена в плазму.
Условимся приписывать индексы 1 и 2 к значениям
рассматриваемых величин до и после поджатия Тогда, подставляя
(4 120) в систему (4.1), нетрудно получить соотношения
л2<°> V г
Полный ток в плазме
/ -
2/3
= faa2Bvli{t,a)
л вморож
енности
не
= с2/3
изменяется
(4.122)
Величину С = В^а/В . обычно называют коэффициентом поджатия На
рис 4.9 приведены экспериментальные профили температуры
электронов на установке Туман-2 до и после поджатия по мало-
245
Те,эВ,
Рис 4 9 Изменение профиля
электронной температуры в установке Ту-
ман-2 при адиабатическом поджатии
по малому радиусу с коэффициентом
''Q,см поджатия С = 3
му радиусу с коэффициентом С = 3 [7S] Увеличение
температуры в центре плазменного шнура разумно согласуется с (4 122)
2. Сжатие по большому радиусу В этом случае,
кроме (4.118), имеем
RB,
<р
const,
1 dR _ _ 1 dBy _
~RTT " ~B It ~
(4 123)
Движение плазмы складывается из движения по малому и
большому радиусам.
VP + v
V = V 1 ,
р р р
vp = - ар/2,
v = - aR,
Подствляя (4.124) в (4.117), получим
div v = - 2а.
(4.124)
где / = /, е. Уравнение для функции д по-прежнему имеет вид
(4 121), т.е она, как и в предыдущем случае, вморожена в
плазму. С помощью (4 125) легко можно показать, что
п2(0) _ Я, _ с
/?2
Г,(0)
С
",(0) „2 J/1V„, „2 ., „2
Неоднократно выдвигались идеи сооружения установок, в
которых с помощью поджатия могут быть получены условия,
необходимые для зажигания термоядерной реакции. Для этого
требуется создание сильных магнитных полей В ~ (3-^5)-10 Гс, что
является весьма сложной технической задачей.
4.2.7. Влияние гофрировки магнитного поля. До сих пор мы
предполагали, что магнитное поле обладает строгой аксиальной
симметрией. На самом деле это не так- «дискретность» катушек
246
Рис. 4.10 Изменение магнитного поля вдоль силовой
линии при наличии гофрировки
делает создаваемое ими поле слегка гофрированным В
результате напряженность поля вдоль силовых линий оказывается
дважды модулированной На модуляцию, которая обусловлена
эффектом тороидальности и подробно обсуждена в разд 1 3,
накладывается в виде мелкой «ряби» модуляция за счет
гофрировки (рис. 4.10).
При этом на внешнем и внутреннем обводах тора возникают
магнитные «ямы», которые приводят к появлению так называемых
локально-запертых или суперзапертых частиц Такие частицы «не
чувствуют» вращательного преобразования. В результате
вертикальный тороидальный дрейф со скоростью
% = <*/('V>
для них оказывается некомпенсированным, что приводит к
дополнительным потерям
Ряд работ [68-72] был посвящен вычислению
соответствующего потока энергии и его описанию через эффективный
коэффициент теплопроводности ионов %Г1рре. В последующих работах
[73,74] был дан более детальный кинетический анализ
процесса. Численный расчет энергетического спектра выносимых
частиц и интенсивности потока описан в [75] Этой задаче
посвящен разд 5 3 настоящей книги
247
Гофрированное магнитное поле токамака в простейшем
приближении описывается формулой
В ~ В = BQ(\ -р cos6 -д(р,в) cosMp),
где (р и 6—тороидальная и полоидальная угловые координаты.
г = R + pcosQ, z = psinQ,
N — число катушек, е = р//?, <5(р,6)—функция, описывающая
гофрировку поля в поперечном сечении плазменного шнура.
Рассмотрим силоьую линию поля, расположенную на магнитной
поверхности р = const и описываемую уравнением <р = q(p)Q.
Вдоль этой линии
WTI = 7p(<xsin0 + sinMp), (4.126)
где 5—длина дуги,
а(р,в) = e[S(p,e)q(p)NY\ (4 127)
В (4.126) в скобках мы опустили член (б^ЛО (дд/дв) cosNy,
который мал по сравнению с членом sinM/).
Положение локальных максимумов и минимумов поля на
рассматриваемой силовой линии определяется уравнением
ос sinG + sinAty) = 0,
которое имеет решения при
ос | sinG | < 1 (4.128)
В противном случае локальные магнитные ямы, обусловленные
гофрировкой поля, отсутствуют При ос ^ 1 (большая
гофрировка) магнитные ямы расположены практически по всему объему
тора С уменьшением гофрировки <5 и соответственно
увеличением ос (4 127) они остаются только на внешней периферии тора и
в окрестности экваториальной плоскости z - 0 Глубина
магнитных ям 2Л в области их существования (4.128) задается
формулой
Л = ^тах-Вт,п)/2Б0 = S(p,9) f( | asinG | ), (4.129)
f(x) = У 1-х2 - х(п/2- arcsinx), 0 < х < 1 (4.130)
Изложенные сображения иллюстрирует рис 4 11 На нем в
поперечном сечении тора нанесены линии уровня глубины
магнитных ям 2Л - const в установке Т-15 при q(p) = 3 Область,
в которой магнитных ям нет, заштрихована Она ограничена
248
кривой, определяемой уравнением
а(р,9) | sinG | = 1. (4.131)
Гофрировка магнитного поля оказывает более сильное
влияние на перенос энергии ионов, чем электронов Ионный
коэффициент теплопроводности %Г1рре качественно можно оценить на
основании наглядных соображений Доля локально запертых
ионов определяется углом раствора соответствующего конуса в
Граница плазмы
Рис. 4.11. Линии уровня глубины
магнитных ям в установке Т-15
при q(a) = 3 Область, где
магнитных ям нет, заштрихована. Ее
граница определяется уравнением
(4.131)
пространстве скоростей и связана с глубиной магнитной ямы*
г/ = V~~K Время пребывания иона в суперзапертом состоянии
дается формулой т . = А/у... За это время ион сместится
по вертикали за счет тороидального дрейфа на расстояние
3z
v X , = v . Л/у..
d ripple d ' и
Эти величины позволяют написать для коэффициента ионной теп
лопроводности следующее приближенное выражение:
%Г1РР1е * г,(6г)2/т . , * v2.L3/2/v..
** i t \ / / Прр1е d / и
Более строгий расчет [69] позволяет уточнить результат:
.2
,npple = 40,6-^ <Л3/2>,
xyrr^ = 4U,b^ <А0/Ъ, (4.132)
где угловые скобки означают усреднение глубины ямы А по
магнитной поверхности р,
<А3/2> = i J A3/2(p,9)sin29de. (4.133)
Q(p)
Область интегрирования в этой формуле представляет собой
ту часть рассматриваемой магнитной поверхности, на которой
есть магнитные ямы, т е выполяется условие (4 128) и
функция Да |sin61) (4.130) определена. При этом возможны два
случая Если ямы распределены по всей магнитной поверхности
(ос(р,9) < 1), то Q(p) совпадает с сегментом [0,2тг]. В
противном случае она распадается на два сегмента [- вг 0Л и
249
[82, 2tt-G2], где G1 и 62~корни уравнения (4.131) (0 < 91 <
< Э2 < тг) при рассматриваемом значении р. Обычно величина
гофрировки максимальна на внешней стороне магнитной
поверхности при 0 = О, так что главный вклад в интеграл (4.133)
дает сегмент [- Э., GA
Согласно формуле (4.132) коэффициент теплопроводности
%Г1рр пропорционален Т. , т.е. очень быстро растет при
увеличении температуры. Для сравнения напомним, что %"ео в
-1/2 1
банановом режиме пропорционален Т. Это указывает на
необходимость строго контролировать гофрировку при
проектировании и строительстве больших установок, в противном случае
связанные с ней потери легко могут превысить неоклассические
и существенно усложнить достижение термоядерных температур.
Для подсчета коэффициента теплопроводности Ripple п0
формулам (4.132), (4.133) нужно знать функцию б,
характеризующую гофрировку магнитного поля Ее вид зависит от
индивидуальных особенностей установки, устройства и формы катушек,
толщины зазоров между ними. Детальный расчет гофрировки
является достаточно сложной задачей. Мы не будем
останавливаться на ее обсуждении, а для дальнейших оценок
воспользуемся модельной функцией
I (&Ny(p.e)/R)
5^e) = Sma,l0((iNy(a,0)/R) (4134)
Здесь 6 —максимальное значение гофрировки, которое
достигается на внешнем обводе границы плазменного шнура (р = а,
6 = 0), / — модифицированная функция Бесселя,
у(р,в) = У р2 + 2pA#cos9 + (Л/?)2
Формула (4 134) получается при замене тора цилиндром. Она
основана на предположении, что линии постоянной гофрировки
б(р,Э) = const представляют собой семейство концентрических
окружностей Величина Л/? —сдвиг их-центров относительно
центра плазменного шнура Параметр /3 подбирается из
соображений наилучшей аппроксимации в области наибольшей гофрировки
Например, анализ магнитного поля установки Т-11 (R = 70 см,
а - 20 см, N - 24) показал, что его гофрировка может быть
описана функцией вида (4 134) при А/? = 7 см, /3 = 0,65
Влияние гофрировки на процессы переноса сказывается
наиболее сильно в пограничном слое плазмы (р ~ а), где
гофрировка максимальна. В этой области функцию y{p,Q) можно раз-
250
ложить по степеням А/?:
y(pyQ) ~ р + A/?cos9,
а для модифицированной функции Бесселя воспользоваться
асимптотической формулой при больших значениях аргумента. С
учетом таких упрощений выражения для б(р,8) (4.134) и ос(р,9)
(4.127) принимают вид
6(р,9) = б(р)£(9), а(р,9) = а(р)/£(9). (4.135)
Здесь
«(р)<7(р>Л/
в<Р> = 6maxeXP [-f^(fl-P)]' ^ = С
£(9) = exp[-^(l-cos9)], ц = j3tf ££.
(4.136)
Подставляя (4.135) в (4.133), получим следующую формулу
для усредненной глубины магнитных ям:
<Л3/2> = 63/2(р)/(а,|ш), (4.137)
где
/(а,д) = ijf3/2(x)£3/2(9)sin29d9, (4.138)
Q
х = a(p)|sin9 |/g(9). (4.139)
Ha рис 4.12 показана зависимость интеграла (4.138) от а при
различных значениях jli (масштаб по оси ординат
логарифмический). При а ~ 1 (большая гофрировка) линии отстоят друг от
друга далеко, что указывает на сильную зависимость
результата от параметра /х Если он меняется от 0 до 2, то /
уменьшается примерно на порядок. С увеличением а (уменьшением
гофрировки) линии уходят вниз и постепенно сближаются.
Выведем асимптотическую формулу для интеграла (4 138) при
а -» со При больших а область интегрирования Q распадается на
два сегмента [-^,9^ и [92, 2тг-92]. В соответствии с этим
интеграл / можно записать в виде суммы двух слагаемых.
Рассмотрим интеграл L по сегменту [- 9 9 ] При а -» со,
91 -» 0, поэтому функцию g(Q) можно заменить ее значением при
9-0: g(0) = 1
В упрощенном таким образом интеграле перейдем от
интегрирования по 9 к интегрированию по х (4.139). В результате
будем иметь
1 2 г 1
/ 2 Г*3/2,„ч X dx „ 1 „ 2 ГгЗ/2, ^ 2. ел сллсо
yi = ^3Jf {Х) у о о ~ Л' Ci = n\f (*)*** = 0,0168
™ о /l-*2/*2 a
о
251
Аналогично вычисляется интеграл У0 по сегменту [0О, 2тг-90]
9/2 ^
Его значение отличается от У множителем g (п) = ехр(-9д)
Таким образом, при больших а
У(а,д) ~ с(д)/а3, с(д) = ^(l+e-9^) (4.140)
При д > 0,3 вкладом У9 по сравнению с J. можно пренебречь-
c(i±) ~ су Поведение кривых на рис. 4 12 хорошо согласуется
с этой асимптотической формулой
Формула (4 140) позволяет получить простые выражения для
средней глубины магнитных ям (4 137) и коэффициента
теплопроводности (4 132) в наиболее интересном случае слабой
гофрировки Подставим (4 140) в (4 137), заменим а(р)
выражением (4 136) и, чтобы не усложнять записи формул лишними мно-
Рис 4 12. Зависимость интеграла У (4.138) от а при
11 - 0, 0,5, 1, 1,5, 2. Поведение кривых при а ~ 2,5-^3
хорошо согласуется с формулой (4.140)
252
жителями, положим c(fi) = с = 0,0168 В результате имеем
2
<Л3/2> = 0,0168 [^^i]V/2(p), x-PPIe = 0,68 [^Zifil] V/2(p) ^.
(4 141)
Эти выражения справедливы при больших а(р), т.е. согласно
(4 136) при
5(р) « eANg(p)] (4 142)
Если N - 12, q(p) ~ 2, с ~ 0,1, то в правой части
неравенства (4 141) стоит число порядка 0,004
Коэффициент теплопроводности (4.141) очень быстро растет
при увеличении гофрировки и температуры ионов Т. (%.lppe ~
7/2 * *
^ 7\ ). Однако есть механизм, ограничивающий пределы
применимости такой формулы со стороны малых частот столкновений
(высоких температур) Действие механизма заключается в
следующем При слабой гофрировке существуют обширные области, в
которых не выполняется условие (4 128) и магнитные ямы
отсутствуют (рис 4 11) Они расположены по обе стороны от
экваториальной плоскости на расстоянии
h = RN д(р)б(р) (4.143)
Обозначим через / дрейфовый путь, который проходят
локально-запертые частицы за время т . между
столкновениями, / = v т , и предположим, что он сравним с /г. В этом
случае локально-запертые частицы, образующиеся в центральной
части плазменного шнура, выносятся тороидальным дрейфам
практически без столкновений в область, где магнитных ям
лет, и там превращаются в просто запертые частицы На этом
их дальнейший вынос прекращается
Расчет [76] показывает, что условие возникновения такого
режима имеет вид
Av
Al > h или vu < v0 = KNq{py (4 144)
i/ie А— числовой коэффициент порядка 10-^20 При выполнении
условия (4 144) конус локально-запертых частиц в
пространстве скоростей оказывается «пустым», подобно конусу потерь в
пробкотроне Его заполнение идет из всего пространства
скоростей и характеризуется частотой столкновений У.., что для
^прр е при малых частотах столкновений (4.144) дает
%пРР1е = Bh2v.. (4 145)
253
Для определения коэффициента В можно воспользоваться
условием непрерывного сопряжения (4 141) и (4.145) при v = v •
B = 0,68^V(P)65/2(P)
Azc6
Подставляя (4.143) и (4.146) в (4.145), будем иметь
Ripple = 0 68 N6q5(p)f/2(p) R2V
Приведем некоторые оценки. Прежде всего сравним частоту
столкновений t?n (4 144) с частотой столкновений у =
= v.e /(v 2Rq), определяющей границу банановой области в
неоклассике:
vQ aJ~2 vd
Гь= Ne'/2v . '
i
Это отношение достаточно мало. Например, при BQ = 3 Тл, Т. =
= 1 кэВ, е = 0,1 и А ~ N оно порядка 0,01, т.е. vQ лежит
глубоко в банановой области.
При v.. < vQ величины %прре и %пео пропорциональны у..,
а их отношение от частоты столкновений не зависит:
Y ripple
*/ = A^V(P)6^ (P) 4 (4 147)
с О
Это выражение содержит несколько больших множителей. N /A ,
_о/о о 9/2
е , (R/rR •) и малый множитель б (р), так что оно
может изменяться в широких пределах. Учитывая высокую степень
б в формуле (4.147), удобно ввести критическую величину
гофрировки 2 2/q
Г „2^3/2 rz "^/У
б
сг
>re*/z 'а,
l^V(p) я2
(4.148)
При б < б энергопотери, связанные с гофрировкой, малы, а
при переходе через б они резко возрастают, существенно
превышая неоклассические. Таким образом, величина б
определяет допустимый уровень гофрировки с точки зрения
эффективного нагрева и термоизоляции плазмы.
С другой стороны, резкая зависимость энергопотерь от
гофрировки может быть использована для регулирования режима
горения термоядерной реакции в токамаках-реакторах. В
результате искусственного увеличения б за счет включения или
выключения специальных обмоток можно остановить разогрев
плазмы на развитой стадии процесса и поддерживать ее температуру
254
Рис. 4.13. Зависимость %прр е от ион-ионной частоты
столкновений для двух разных значений гофрировки д. и
на нужном уровне. На рис. 4.13 качественно показана
зависимость %прре от частоты столкновений для двух разных
значений гофрировки д и 5л (б < 5 < б2) Штриховой линией
показано поведение функции %Г1рре согласно формуле (4.141)
без учета эффекта «опустошения» конуса локально-запертых
частиц в результате их выноса в область, где магнитные ямы
отсутствуют. Для сравнения также приведен график %пео
4.3. Примеси
4.3.1. Поступление примесей в плазму Примеси
неводородных ионов могут существенно влиять на параметры плазмы в то-
камаке. Они определяют потери на излучение Q и
эффективный заряд плазмы Z .. Радиальное распределение примесных
ионов влияет на плотность тока, плотность электронов и
энергобаланс. Оценки показывают [81,82], что небольшая
концентрация тяжелых примесей (~ 10" п вольфрама или 10" п
молибдена) существенно затрудняет зажигание термоядерной реакции
По этим причинам очень важно правильное понимание процессов
появления примесей в плазме, их ионизации и излучения.
В настоящее время механизм появления примесей в плазме
изучен слабо Потоки примесей со стенок камеры связаны со
степенью очистки стенок и с характером взаимодействия частиц
со стенкой и с диафрагмой Имеются эксперименты по
определению коэффициентов распыления различных материалов при
бомбардировке их протонами и тяжелыми ионами в отсутствие плаз-
255
менного разряда [83]. Однако все попытки использовать эти
коэффициенты для описания баланса ионов примеси до сих пор
не приводили к разумным результатам. По-видимому, это
объясняется тем, что взаимодействие тяжелых частиц со стенкой
сильно зависит от условий протекания разряда.
Из эксперимента известно, что увеличение плотности
рабочего газа приводит к уменьшению потоков тяжелых примесей
(типа железа или вольфрама) со стенок. Это связано с
охлаждением пристеночных слоев плазмы и уменьшением средней
энергии выходящих из плазмы частиц Зависимость потоков тяжелых
примесей со стенок от концентрации легких примесей (типа
углерода и кислорода) носит немонотонный характер. При
возрастании плотности легких примесей до некоторой критической
(масштаба 2+3 % плотности электронов) потоки тяжелых атомов
со стенок камеры и диафрагмы увеличиваются. Когда плотность
легких примесей превышает критическую, потоки тяжелых атомов
уменьшаются По-видимому, это тоже связано с охлаждением
периферии Соотношение потоков со стенок камеры и диафрагмы
сильно зависит от величины «тени» диафрагмы. Обычно
экранировка стенки становится заметной при размерах тени порядка
6+8 см.
Поток атомов легких примесей зависит в первую очередь от
материала диафрагмы и степени очистки стенок камеры при
подготовке разряда Важную роль для величины потоков играет
также характер начальной стадии разряда, плотность
нейтрального газа при подъеме тока и амплитуда МГД-колебаний на этой
стадии.
Сложность описанной картины приводит к тому, что в
настоящее время при моделировании примесей, как правило,
используют эмпирические значения потоков холодных частиц, идущих
со стенки, без детального учета процессов взаимодействия.
Однако отсутствие самосогласованной задачи затрудняет
сколько-нибудь надежную экстраполяцию на более высокие параметры
плазмы.
4.3.2. Основная система уравнений. Поведение примесей
внутри шнура естественно описывать вместе с поведением
частиц и энергии основной компоненты плазмы и магнитного поля
(4.1). В этом случае мы приходим к самосогласованной системе
уравнений относительно плотностей и температуры большого
256
числа компонент. Однако уже описание чисто водородной плазмы
содержит несколько эмпирических коэффициентов и справедливо,
как правило, в не очень широкой полосе параметров.
Добавление уравнений для примесей сильно увеличивает
неопределенность результатов. Поэтому сейчас для примесей обычно строят
автономную систему уравнений, отделяя ее от уравнений
энергобаланса и диффузии магнитного поля. В этом случае величина
и распределение по радиусу температуры электронов и ионов
водорода берется из эксперимента, а температура всех ионов
примесей полагается одинаковой и равной температуре ионов
водорода. Последнее предположение обычно хорошо выполняется,
так как время обмена энергией тт между ионами примесей с за-
рядом / и массой т. и ионами водорода в у ти/т. раз меньше,
чем время максвеллизации водородных ионов (т., —масса ионов
водорода). Такая модель была рассмотрена нами в работе [84].
Иногда задачу упрощают еще больше и предполагают известной
из эксперимента также и плотность электронов п = п (p,t)
[85]. В этом случае система уравнений описывает только
плотности примесей, а плотность ионов водорода пи определяется
из условия квазинейтральности В настоящей книге мы
остановимся подробнее на моделях первого типа
Поведение плотности п. электронов, ионов водорода и
примеси одного элемента с зарядом ядра Z будем описывать
следующей системой уравнений:
т1 = - £эр<рг/> + sr ' = е- н- *•2-3- •• z- (4Л49>
где Г. —потоки частиц, S. —источники, связанные с процессами
ионизации, рекомбинации и перезарядки примеси на нейтральных
атомах водорода,
Se = ne^HN-RHn^ + Vo +J^IjnrR!+\ni+J'
SH = "eV" VW + N I C'nr (4150)
S. = nU. м. .-(I.+R.)n.+ R. м. Л + N (С. м. л- С п.),
1де / = 1, 2, , Z, nz+] = О, /н, /., /?н, /?., С —скорости
ионизации, рекомбинации и перезарядки, N и п~ —плотности
нейтральных атомов водорода и примеси. Плотность частиц
должна удовлетворять условию квазинейтральности
Z
пн+1&. = п^ (4.151)
9 Ю Н Днестровский, Д П Костомаров 257
что налагает некоторые требования на потоки частиц. Если
требуется описать поведение нескольких сортов примесей,
система (4.149) должна быть дополнена соответствующими
уравнениями.'
Модель для нейтральных атомов водорода была описана в
разд. 4.2 5, и мы будем предполагать функцию Af(p) известной.
Поведение нейтральных атомов примеси определяется главным
образом ионизацией, и их радиальное распределение должно
удовлетворять уравнению
"o^-VVo = °- Va) = поо- <4Л52>
Здесь vQ и дгоп—скорость и плотность нейтральных атомов
примеси, падающих на плазму. Решение уравнения (4.152)
а
л0(р) = n00exp[-l-JneI0dp'} (4.153)
вместе с функцией N(p) определяет плотность источников в
системе (4.149). Для завершения постановки задачи нужно еще
дать формулы для коэффициентов атомарных процессов, выразить
потоки частиц через искомые функции и поставить необходимые
граничные и начальные условия
4.3.3. Атомарные процессы. Наиболее апробированные
скорости ионизации даны в работе [86]. Хорошие аппроксимационные
формулы и таблицы коэффициентов приведены в [87,88]. Для
достаточно больших степеней ионизации (/ £ 3) удобно
пользоваться приближенной формулой
я fR -.3/2 у . ,
/. = 5,9-10-%.|у>] /р. Е^.) [см3/с], (4.154)
где /3. = &./Т , &. —эквивалентный потенциал ионизации иона с
1 } е ]
зарядом /, R = 13,56 эВ, q. — число эквивалентных электронов
во внешней оболочке иона,
00
Еу(х) = J* 1е х dx.
X
В табл. 3 и 4 приведены значения &. и q. для наиболее
распространенных легких примесей—углерода и кислорода. В
обзорах [89—91] показано, что экспериментальные данные
отличаются от (4 154) не более чем в два раза.
В расчетах следует учитывать два рекомбинационных
процесса. R. = Rr+R., где Rr и /?.—скорости радиационной и ди-
электронной рекомбинации. Выражения для R[ имеются в работах
258
Таблица 3
Ион
§., эВ
У
Ион
с0
16,6
2,8
О0+
01+
С1+
28,2
2,8
02+
С2+
61,3
2
о3+
О4
с3+
102
2,2
+ о5+
С4+
392
2
Та
06+
с5+
490
1
блица 4
07+
g., эВ 15,7 37,6 58,8 83,7 148 219 739 871
q[ 3 4,5 3,8 3 3,1 2,2 2 1
[92-94]. При достаточно высокой температуре электронов
(/3. ^ 1) радиационная рекомбинация невелика и можно
пользоваться квазиклассической формулой Крамерса
RrM = 5,2-Ю-14 /Э3/2 (ехр |3.) Е^.). (4.155)
Диэлектронная рекомбинация важна для глубоко ионизованных
атомов тяжелы-х элементов. Формулы для R. получены в работах
[90,95-98]. Обычно пользуются приближенным выражением
*/ + 1 = 2-3-10~9f^I !ЛЛ(у)гхр [-^ffe], (4.156)
/ . , *- eJ
е i ,k
ВЦ) = /,/2(/+1)5/2(/2+13,4Г1/2,
• 3 t?
а = a(j) = 1 + 0,015 -*— у = у' = U* ,
(/+1) (/+1)-13,6
8 = &.~ с? —энергия перехода в эВ, / —сила осциллятора
IR. I R IR.
для перехода / -> к [99]. Функция А(у) зависит от характера
перехода: ]/2 1/2
А(у) = У- 0 , Алг = 0; Л(у) = ^-^ 0 , Ддг * 0
l+0,li/+0,015i/2 l+0,2(/+0,03i/2
(здесь « — главное квантовое число). В формуле (4.156) сумма
берется по всем резонансным уровням иона с зарядом /. Сила
осциллятора может быть вычислена по данным работы [S7]. Для
легких примесей можно использовать более простую формулу
Rd. = 10-10а.[^]3/2ехр[-^). (4.157)
1аблицы постоянных <х. приведены в [100].
4 259
При больших плотностях плазмы увеличивается вероятность
ионизации в результате потери электрона, захваченного на
верхнюю орбиту. Это приводит к уменьшению скорости диэлект-
ронной рекомбинации. Соответствующие приближенные формулы
приведены в работах [90,101-103]. Для переходов с Arc * 0
эффект становится заметным при плотностях п ~ 10 см" для
ионов с зарядом ядра Z ^ 10.
Сечение перезарядки нейтралов водорода на ионах примесей
вычислялось в [104-111]. Результаты экспериментальных
измерений- перезарядки ионов углерода, кислорода, железа на ато-
бсх,Ю",5смг
10 к
ю! е„,эв
воде
pax углерода и кислорода С0+ и Ой+ [109-112]
Рис 4.14. Сечения перезарядки атомов водорода на яд-
^6+ „ гч8+
мах водорода приведены в [112-115] На рис. 4 14 в качестве
примера показаны сечения перезарядки для ядер углерода и
кислорода по данным работ [109-112] Для скорости
перезарядки в интервале температур нейтралов 300 эВ < 7\. < 10 эВ
можно пользоваться формулой _
С. = (1,0-1,8)-10"9//7л/. (4.158)
Разброс числовых множителей соответствует данным разных
авторов. Подробные сведения по перезарядке приводятся в
обзорах [90,116,117].
4.3.4. Потоки частиц. Потоки частиц представимы в виде
Z
Г. = Г. + Г.„ + У Г.., / = £?, Н, 1, 2, , Z, (4.159)
260
где парциальные потоки Г. , Г.н, Г соответствуют
взаимодействию частицы сорта / с электронами, ионами водорода и
примесей с зарядом к. Согласно условию квазинейтральности
г./ = >г/.' 'г/* = -*г*/. '•**«• <4160>
В настоящее время для потоков Г<н и I\fe иногда используют
неоклассические выражения. Наиболее полные формулы для этих
потоков приведены в [85,118] Они весьма громоздки, поэтому
мы их здесь не приводим.
По неоклассической теории поток Г. мал: Г. ~ V т /т . х
r je je e/ i
х Г., « Г Однако в эксперименте notOK Г. оказывается од-
JR. J и. J В
ного порядка с потоком Г ,. Структура потока Г. пока
однозначно не определена. По-видимому, так же как и поток частиц
в чистой плазме (4 26), он содержит диффузионную и
конвективную части о
Г. = Гап = -D.jr-J-+v.n.. (4.161)
je j J op j ] v ;
Экспериментальное изучение функциональной зависимости
коэффициента диффузии и дрейфовой скорости от параметров плазмы
пока не привело к общепризнанным результатам. Поэтому в
расчетах диффузии примесей сейчас предпочитают использовать
наиболее простые модели [58,85,119-126]-
D. = D = const, D ~ (3-6)-103см2-с-1,
D. = D = к/ле, к - (5-10)-1016см~1-с"1,
где D. = D(p), D(p) —коэффициент диффузии электронной
компоненты, полученный из эксперимента (см. разд 4.2).
В экспериментах с импульсной инжекцией примесей в плазму
показана важная роль конвективного члена в потоке (4.161).
Его значение также заметно превышает неоклассическое
значение Для описания v. используют простейшие формулы типа
(4.80) и (4 86)
v. = v. = -2pD/a2, v. = v. = v р/а при v ~ 2- 102-И03 см/с.
Граничные условия для системы (4.149) требуют специального
обсуждения Физически наиболее наглядные граничные условия
имеют вид „
(vjMU-0- (4162)
Они означают невозможность выхода ионов из плазмы без
электронов (сохранение квазинейтральности) и отсутствие потоков
261
ионизованных примесей из вакуума в плазму. Ионы могут
выходить из плазмы только вместе с электронами, т.е. в нашей мо-'
дели за счет аномальных потоков:
Г I = Г. I = Гап1 . (4.163)
/|р=а /е|Р=а / 1Р=а
Источником примесей в этом случае является поток нейтральных
атомов примесей Г\, определяемый выходом атомов примеси со
стенок и диафрагмы Г . и частичным или полным отражением
потока выходящих ионов:
1
rnL = Г , + Д УТап1 (4 164)
О р=а ext s.L< \ \Р=а v '
Здесь R —коэффициент отражения примесей от стенок.
Граничные условия (4 162)-(4.164) не очень удобны для
расчетов. Другая модель граничных условий учитывает область
тени диафрагмы [85]. Пусть радиус диафрагмы равен а , радиус
лайнера а (а < а) В области а < р < а дополним уравнения
(4.149) членом п./т , описывающим вынос примесей на
диафрагму. По порядку величины т ~ nRq/v , где v = v(T +T.)/m„ —
скорость звука. Эта модель приводит к быстрому спаданию
плотности примесей по радиусу в области тени диафрагмы, В
результате плотность примесей у стенки лайнера (р = а)
оказывается малой и простые граничные условия
л/|р-а = °» ' = 1»2' ••Z- <4165>
вполне достаточны. В этом случае, однако, поток нейтралов
примеси (4 164) должен быть подсчитан по выходящим из
плазмы потокам на радиусе диафрагмы р = а..
Z
гп1п = Г + + /? Тг*П\п ■ (4.166)
0|р=а ext sUy J | P=arf V ;
Выбор начальных условий
AZ.(P,0) = AZ.0(P) (4 167)
зависит qt характера решаемой задачи. Для быстрого выхода на
стационарную стадию при определении n.Jp) часто используют
экспериментальные оценки При изучении динамики накопления
примесей (например, при инжекции инертных газов типа аргона
в плазму) приходится полностью прослеживать процесс
установления
Специфической особенностью задачи (4.149), (4.150),
(4 165)—(4 167) является наличие большого числа характерных
262
времен. Времена ионизации ионов с зарядом / [т. = \/{п /.)]
различаются на много порядков величин. В условиях
современных токамаков для ионов с небольшой глубиной ионизации т.
невелики (десятки и сотни микросекунд). Для глубоко
ионизованных атомов в центральной части шнура т. составляют
десятки миллисекунд. Для времени диффузии в глубинных слоях
плазмы эксперименты дают значения т~ ~ 50-H00 мс. Трудности
численного решения полной системы (4.149) со столь различными
временами повышают роль приближенных аналитических решений.
4.3.5. Приближенные решения системы (4.149). Рассмотрим
стационарную систему (4.149), в которой отброшены члены,
содержащие потоки частиц Г. и скорости перезарядки С:
/. лп. .-(I.+R.)n.+ R. .п. л = 0, (4.168)
где / = 1, 2, ..., Z, я~ - = 0. Решения системы (4.168)
«у = Vi"h//?/' i = 1( 2> -• z' (4169)
называют приближением коронального равновесия. Как правило,
результаты экспериментов не совпадают с корональным
приближением (4.169) как по соотношениям плотностей п./п. , так и
по положению их максимумов по радиусу [127]. Это расхождение
особенно велико для ионов с небольшой глубиной ионизации,
расположенных на периферии шнура Расхождения для
центральной части шнура также значительны. Несмотря на это, формулы
(4.169) часто используют для качественной оценки
распределения примесей по радиусу.
Более точную стационарную систему уравнений можно
получить, используя в системе (4.149) усредненные выражения для
диффузионных членов
п Г/. лп. 1 - (I.+ R.)n.+ R. лп. Л - п./т. = 0. (4.170)
е L у-1 /-1 v у \' i /+1 y+1J у7 у v '
Здесь т. —величины, характеризующие время диффузии примесей.
В центральной области для ионов предельной степени ионизации
/ = Z в этом случае будем иметь [128]
neVz-\nZ-\ ~ RZn7) = VTZ-
Отсюда находим
nZ-SnZ = [*Z + l/lneXz)]rZ-r (4171>
Оценим соотношение плотностей ионов кислорода О + и О + в
плазме с параметрами 7=1 кэВ, « = 5*10 см , а =
263
= 35 см. В корональном приближении т^ = оо и формула (4.171)
дает n?/ns = 0,01. Для учета диффузии используем оценку тz=
= a7/v,y где а7 ~ 10см —радиус центральной области, содер-
жащей ионы О , v. — скорость диффузии. Для неоклассической
модели v. ~ 1 см/с, так что согласно (4.171) будем иметь
п?/ng ~ 0,1. Учет аномальности диффузии приведет к еще
большему увеличению отношения п7/п~. Таким образом, концентрация
водородоподобных ионов кислорода в центральной зоне шнура
может на порядок превышать значение, подсчитанное по
корональной модели (4 169)
Для низкоионизованных ионов (/ = 1, 2, ..., /0, /0 « Z)
лучшее приближение может быть получено, если учесть, что на
периферии плазмы в области максимумов плотности дг.(р)
времена ионизации малы /?. « /.. Кроме того, здесь имеется
постоянный приток нейтральных примесей и быстрый уход более
глубоко ионизованных атомов с зарядом /' за счет диффузии. В
этом случае уравнения (4.168) дают
"у = '/-ЛУ7/' ' < 'о « z (4172>
Формулы (4 172) иногда называют приближением «на протоке». С
помощью этих формул часто строят упрощенные модели для
описания диффузии примесей [84]. Для низких степеней ионизации
плотности примесей определяют без учета диффузии по формулам
(4.172), а для остальных ионов решают уравнения (4.149).
4.3.6. Сравнение с экспериментом. В настоящее время ис
пользуются как стационарные, так и импульсные методы
исследования переноса примесей в установках токамак. В
стационарных методах изучаются примеси, поступающие в плазму со
стенок камеры и диафрагмы. Обычно это С, О, Fe, Cr, Ni, Mo и W.
Совсем недавно к ним добавился Be [129]. В импульсных
методах в плазму вводится малое количество других элементов. Для
ввода примесей используют напуск газа импульсным клапаном
(например, напуск дейтерия в водород), лазерное распыление
мишеней внутри камеры и инжекцию твердых таблеток [130].
Экспериментальная информация о плотности ионов примесей
получается с помощью коллимированных хордовых измерений интен-
сивностей отдельных линий в различных частях спектра.
Истолкование этой информации весьма сложно, так как интенсивности
зависят также от температуры и плотности электронов и от
264
степени заселенности различных уровней в ионах. Для
сравнения с экспериментом диффузионная модель должна содержать
алгоритм вычисления интенсивности измеряемых линий [131].
Наиболее полные данные по скоростям возбуждения линий
содержатся в работах [88,91]. Если требуется определить
интенсивности линий, возбуждаемых при сложных переходах (например, при
переходах из метастабильных состояний), приходится, кроме
того, одновременно решать систему уравнений, описывающих
динамику заселенности различных уровней в ионах примеси.
Некоторые модели излучения для Н-, Не-, Li-, Be- и Ne-подобных
ионов рассмотрены в работе [132]
С помощью системы (4 149) были проведены расчеты для
анализа экспериментов по напуску аргона в водородную плазму
[48], напуску дейтерия в водородную плазму [133],
исследованы стационарные распределения легких примесей в плазме [84,
85,120-123,134-137]. На рис 4 15 в качестве примера приве-
см'3 к кэВ
Рис.4 15 Профили плотности атомов углерода /г°, . ионов
(/ =
углерода q
= 1, 2, . ,6)
6
различной степенью ионизации п
плотности ионов
суммарной плотности ионов углерода
п~ = .Z n+J, плотности и температуры электронов п , Т
265
J*2 (2291 к)
J+2(№7A)
Рис 4.16 Расчетные интенсивности спектральных линий
различных ионов углерода Крестиками помечены
экспериментальные точки, полученные на установке Т-10
русм
Рис. 4.17 Потоки различных ионов углерода.
Положительное направление потоков соответствует диффузии наружу
266
дены стационарные распределения атомов и ионов углерода для
параметров установки Т-10 при радиусе диафрагмы а - 29 см,
радиусе лайнера а. = 37 см, токе / = 200 кА, магнитном поле
В = 1,5 Тл, плотности электронов в центре шнура п (0) =
= 2*10 см На этом же рисунке показаны профили
температуры и плотности электронов, которые предполагались
фиксированными.
Плотность дейтонов определялась из условия
квазинейтральности. Сравнение расчетных интенсивностей оптических линий
ионов С + и С + с экспериментальными позволило установить
абсолютные значения потоков атомов углерода на границе:
Г0| = 4-Ю14 част./(см2-с) (рис. 4.16). На рис. 4.17
приведены распределения потоков ионов углерода по радиусу.
4.3.7. Излучение примесей в моделях энергобаланса.
Перейдем теперь к моделям расчета излучения энергии примесями.
Если решается система (4.149) для распределения примесей по
пространству, то можно рассчитать излучение, просуммировав
излучение линий по всем ионам и по всем разумным переходам в
каждом ионе. Такая модель для легких ионов (углерод,
кислород) была реализована в работе [85], где учитывалось
излучение большого числа линий ионов всех степеней ионизации.
Однако для достаточно тяжелых ионов (типа железа или
вольфрама) проведение таких детальных и громоздких вычислений
весьма затруднительно. Кроме того, ценность такой работы, по
крайней мере в настоящее время, представляется сомнительной
из-за большой неопределенности в формулах для потоков частиц
и скоростей атомарных процессов.
Для учета излучения примесей в программах энергобаланса
нужно иметь простую и достаточно гибкую модель, требующую
малых затрат машинного времени Такая модель была построена
в [101] на основе приближения «среднего иона» [138].
Параметры «среднего иона» определяются с помощью статистического
усреднения по всем возможным зарядовым состояниям данного
элемента. В модели решается система уравнений, описывающая
заселенность уровней «среднего иона» с учетом процессов
ударной ионизации и возбуждения, радиационной и диэлектрон-
ной рекомбинации и радиационных переходов между уровнями.
Распределение плотности примеси данного элемента в
пространстве п? = nJpJ) считается заданным. Стационарные решения
267
системы описывают корональное равновесие по степеням
ионизации. Суммарные потери энергии складываются из тормозного
излучения, излучения при рекомбинации и при внутренних
переходах.
В работе [101] приведены подробные результаты расчетов по
модели «среднего иона» для нескольких десятков элементов. В
качестве примера на рис. 4.18 показаны зависимости суммарной
скорости излучения энергии SR (эрг-см /с) от температуры
электронов для наиболее распространенных элементов (углеро-
ffi2 « 8WZ
Рис 4.18. Скорость излучения некоторых примесей в
приближении «среднего иона» в зависимости от температуры
электронов
да, кислорода, железа и вольфрама) Видно, что излучение
легких примесей имеет «квазирезонансный» характер. Максимумы
излучения находятся при низких температурах электронов
(Т = 7 эВ для углерода и Г = 17 эВ для кислорода),
а затем излучение быстро уменьшается на 2,5-3 порядка
величины. Для тяжелых примесей максимум излучения расположен в
области более высоких температур, а ширина максимума больше.
Такая зависимость SR от Т приводит к образованию «примесных
барьеров», препятствующих нагреву плазмы в начальной стадии
268
разряда при подъеме тока. В работе [101] приведены аппрокси-
мационные формулы для зависимостей SJT ), удобные для
использования в моделях энергобаланса Локальные потери на
примесях в уравнении для температуры электронов в системе
(4.1) определяются соотношением
Qrad = 0,625-10® nenzSR (эВ/с). (4.173)
Учет диффузионных потоков Г. должен привести к отклонению
распределения ионов примесей от коронального и собтветствую-
щему изменению полного излучения. Сравнение результатов
полных расчетов для легких примесей с моделью «среднего иона»
позволяет сделать следующие выводы.
1. Зависимость скорости излучения от температуры
электронов сохраняет «квазирезонансный» характер, но максимум
излучения смещается в сторону более высокой температуры. При ра-
3 2
зумных коэффициентах аномальной диффузии D ~ (4*6)-10 см /с
температура Т (положение пика излучения) хотя и
возрастает в 2*2,5 раза, но излучение по-прежнему происходит в
глубоко периферийной ' области (для углерода новое значение
Т ~ 20 эВ, для кислорода Т ~ 40 эВ).
е max r e max '
2. Максимум и полуширина пика излучения сохраняются на
прежнем уровне.
Для повышения точности модели «среднего иона» при
подсчете излучения по формулам работы [101] в периферийной области
следует вместо SJT ) использовать SJT/a), где а ~ 2*2,5
определяет сдвиг максимума пика излучения за счет
диффузионных потоков. Величина а зависит также от градиентг
температуры электронов в области максимума излучения. В центральной
зоне шнура излучение водородоподобных и литиеподобных ионов
может заметно возрасти за счет конечности времени диффузии и
перезарядки ядер и гелиеподобных ионов на атомах водорода
[128].
Слабым местом модели «среднего иона» является также
необходимость задавать полную плотность примесей
рассматриваемого элемента nJpyt) Эта величина определяется в
эксперименте с большой погрешностью.
Однако в целом можно заключить, что с помощью модели
«среднего иона» для легких примесей удовлетворительно
описывается глобальный энергобаланс и энергобаланс внутренних
269
слоев плазмы. Погрешности возникают лишь на дальней
периферии шнура Для тяжелых примесей отклонение от модели
«среднего иона» оказывается более сложным. В периферийных слоях,
где излучают внешние оболочки ионов, картина подобна
описанной для легких примесей. В центре шнура отклонение сильно
зависит от конкретных условий разряда. Результаты расчетов
излучения железа с учетом перезарядки на атомах водорода
приведены в [90,139]. При Т ~ 5 кэВ и относительной плотно-
сти нейтралов N/n - 10 излучение возрастает в пять раз по
сравнению с моделью «среднего иона».
4.4. Численное решение систем уравнений (4.1) и (4.149)
Системы (4.1) и (4.149) являются системами квазилинейных
параболических уравнений второго порядка. Для их решения
можно использовать разные методы. Мы остановимся сначала на
простейших двуслойных неявных методах, а затем кратко опишем
более сложную процедуру, приспособленную для решения так
называемых жестких систем
4.4.1. Линейная неявная схема. Данный метод решения на
примере системы (4.1) заключается в следующем
1) линеаризуем систему (4.1) относительно
пространственных производных на каждом временном слое;
2) аппроксимируем линеаризованные уравнения с помощью
неявной разностной схемы второго порядка точности по х = р/а и
первого порядка по t,
3) строим решение разностной задачи с помощью процедуры
прогонки,
4) для улучшения сходимости проводим несколько итераций
Рассмотрим подробнее схему вычислений. Обозначим через h
и т шаги разностной сети по х и /• х. = ih, i - 0, 1, .., N,
t = пт, п - 0, 1, 2, . Каждое из уравнений системы (4.1)
запишем в виде
,^ди д (с ЗиЛ , ,/, да г ,А лпл\
Ч>ЪТ = 31 [f сГт) + ^ сПГ f • (4Л74>
где и— одна из неизвестных функций, </), f, ф и F — функции от
и, других неизвестных функций, х и /. Функция F может
зависеть также от производных других неизвестных функций. Мы
будем предполагать, что выбранная модель коэффициентов
переноса такова, что / не зависит от ди/дх (т.е уравнение (4.174)
270
является квазилинейным по и). Введем сеточные функции,
порученные после /77-й итерации на последующем слое по времени
t = f :
u<m)= u{m\xctn), (4.175)
и решение разностной задачи на предыдущем слое
и. = u(xj X (4.176)
Аналогичные обозначения будем использовать и для остальных
неизвестных функций.
Сначала рассмотрим разностную схему, в которой со слоя t
в правых частях входят только те функции, которые стоят в
левых частях уравнений (4.1) («построчная неявная схема»)
Для такой схемы можно использовать простую прогонку для
каждого уравнения в отдельности Для уравнения (4.174)
используем следующую разностную аппроксимацию порядка точности h '
u{m)-Z
9. l x * - Л*"1"1) и^ + F„ (4 \Ti
w T i v
K(m-\)u = 1 Г(/(т-1)+/(«-1))(ы. „.)_
- (fim-1)+ft1)) («r«M)]+ %t ^Ятг- <4-178>
/N /N /N
Здесь (р., «/»., Г. —функции, вычисленные на слое t _.. Запишем
(4.177), (4.178) в виде, удобном для прогонки [140]:
-A.u{m\ + B.u{m)-C.u{ml = /)., / - 1,2, . ., ЛМ, (4.179)
J 1+ 1 L I I l-\ I v '
Л. - а.+ кф., С. = а. ,- А0., D. = 2/i2F.+ 2/г2 -V
* i Ti i i-л i i i X i
B. = a.+ a. , + 2ft2 £', a. = /(m:1) + /(тЛ (4.180)
Пусть и = Г.. Тогда граничные условия в центре шнура и на
границе имеют вид
«im) = "Sm)- «i"0 = Т0, (4.181)
что соответствует условиям дТ(0J)/dp = 0 и T(a,t) = Гл.
Решение системе (4.179) ищем в виде
w|.m) = E.^ + G., / = ЛМ, yV-2, ., 0 (4.182)
Комбинируя (4 179) с уравнением (4 182), получим
рекуррентные соотношения для Е. и G:
Ei = <вгс A-i)"1 Ai • Gt = <вг с А.,)-1 (^+с*°м) • (4-183>
271
с начальными условиями в центре при / = О
Е0 = 1. GQ = 0. (4.184)
Вычисляя Е. и G. по формулам (4.183), затем по (4.182),
получим решение.
Эта же схема вычислений пригодна и в общем случае, когда
в разностной схеме (4.177), (4.178) пространственные
производные других неизвестных функций, линейно входящие в F,
берутся на слое t . Для решения такой системы надо
использовать матричную прогонку. При этом и и F — векторы, а / и
ф — матрицы. Формулы (4.179)-(4.183) сохраняют свой вид, но
величины А., В.у С, D., £., G. теперь являются матрицами, а
под выражением (В-С.Е._Л~ следует понимать
соответствующую обратную матрицу.
Изложенный метод решения эффективен лишь в том случае,
когда характерные времена процессов, описываемых системой
(4.1), не слишком сильно различаются. Это относится, в
частности, к моделированию развитой стадии разряда, когда все
члены в правых частях системы (4.1) имеют примерно
одинаковый порядок величины. Однако в начальной стадии разряда
члены, связанные с ионизацией, излучением и джоулевым ьнерговы-
делением, оказываются много больше диффузионных, и
интегрирование уравнений сильно замедляется. Система уравнений для
примесей (4.149) всегда обладает большим набором сильно
различающихся характерных времен, и использование процедуры
(4.177)—<4.183) приводит к необходимости применять очень
мелкий шаг т, определяемый самым быстрым характерным
временем. В результате затраты машинного времени оказываются
непомерно большими.
4.4.2. Нелинейная неявная схема. Для улучшения
устойчивости метода будем использовать неявную схему также и для
недифференциальных членов. Такую схему мы получим, если вместо
F. в (4.177) подставим F(u{.m)):
<р. 1 т ' = Л(т"]) и{т) + /Цт>), (4.185)
Уравнение (4.185) нелинейно относительно и\' Для его
решения было бы естественно использовать простейший итерационный
процесс . ч л,
у. l T l = Л(т-1} u<m) + /Цт_1)), (4.186)
272
однако скорость его сходимости невелика. Для ускорения
сходимости лучше воспользоваться методом Ньютона
и(т)-и dF(u(m~*h
Ti T v i ' О U v i i '
(4.187)
Иногда для ускорения расчетов производную dF/du в формуле
(4.187) вычисляют в точке н., не пересчитывая ее в ходе
итераций. Для существенного улучшения устойчивости вычислений
бывает достаточно одной итерации.
Решение уравнения (4.187) может быть проведено методом
прогонки. В этом случае в формулах (4.180) выражения для В.
и D. имеют вид
0л. dF(u[m'\
£.= a,+ aM + 2A2gi ^ ,
/ п - (4.188)
D. = 2h2 \F(u m"^) - A u m-« + ^ и 1.
Условие сходимости метода прогонки <р./т - dF/du > 0
определяет максимально допустимый шаг т.
Рассмотренные до сих пор разностные аппроксимации (4.177),
(4 185)—{4.187) имели первый порядок точности по т. Для
неявных схем, используя метод Кранка-Никольсона, нетрудно
написать схему второго порядка точности. Она имеет вид
u{m)-Z
[Ф-т_1) + V,] -^ ' = [Л(т~ Vm> + Ли] +
+ [Ди<ж-,>) + Ь + 2 -Ц7Г- [«</"> - 4тЧ)]. (4189)
где через Л обозначен оператор Л на предыдущем слое /
Схема (4.189) линейна по w*m' и ее можно решать методом
прогонки. Для решения системы (4.1) пригоден также явный
трехслойный метод Дюфора-Франкела (см. разд. 3.3). Хотя он
обладает вторым порядком точности по т и безусловно устойчив,
использование слишком больших шагов по времени может
привести к раскачке решения.
4.4.3. Общий метод Гира для жестких систем. Системы урав
нений с сильно различающимися релаксационными временами
называют жесткими. К таковым принадлежит и система (4.149) для
описания диффузии примесей. Общий многослойный метод для
эффективного решения таких систем был разработан Гиром [141,
273
142]. Метод безусловно устойчив и позволяет в ходе решения
задачи после установления быстрых процессов увеличивать
временной шаг. Алгоритм Гира разработан для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений и является естественным
обобщением идей предыдущего пункта. Рассмотрим уравнение
3? = «*0. 1/(0) = У0, (4.190)
где у и / — векторы размерности 5. Заменим уравнение (4.190)
(&+1)-слойной разностной аппроксимацией
k k
= tJ (3.f ., a. = 1, (4.191)
/to ' «
где У = y(t }, t = azt, f = f(y >t ). Выбор коэффициентов
a. и р. для /г = 1, .. , 5 на основе анализа устойчивости и
точности решения проведен в [141]
Для решения системы уравнений (4.149) с помощью
указанного метода представим ее в дифференциально-разностном виде с
сеткой по х = о/а с переменным шагом {хп = 0, х. 1 = x.+h.,
х. л/= 0,5(х.+х. л), i = 1, 2, . , N} В точках с целым
1+1/2 v i i+V J
индексом будем вычислять потоки Г., а с полуцелым—
концентрации п. Тогда будем иметь
—Чгг^-2 = ~ V~^—jt (*• Т. . л-хГ. .) + S. . 1/0, (4.192)
at X. л /ri/Z.v i+\ /,н-1 г /,r ui+\/T v '
/2. . 1/0= AZ.(X. ), Г. .= Г .(*.), S. . 1 = S.(x. 1/0)<
/,i+l/2 /v j+1/27 /,г /v г7' /,м-1/2 /v г+1/27
Метод Гира [141—146] позволяет устойчиво решать задачу
(4.149), (4.192) с переменным, быстро увеличивающимся шагом
по времени Высокий порядок схемы (k ^ 5) сохраняет хорошую
точность вычислений даже при большом шаге т. Пример решения
задачи о диффузии примесей приведен на рис 4.15-4.17. В
данном случае по мере выхода решения на стационар шаг т
увеличивался по сравнению с начальным более чем на три порядка
величины.
5. ГИБРИДНЫЕ МОДЕЛИ
5.1. Модели нагрева плазмы с помощью инжекции
пучка нейтралов высокой энергии
Гибридные модели представляют собой новое направление в
математическом моделировании плазмы, которое активно
развивается с середины 70-х годов Такие модели объединяют
описание процессов разной природы с учетом их взаимного влияния
друг на друга Это позволяет выйти за рамки
специализированных моделей и рассмотреть более сложные связи происходящих
процессов
Мы уже говорили в разд 2 3 о нагреве плазмы с помощью
инжекции пучка быстрых нейтралов При математическом
моделировании этого процесса нужно рассмотреть три задачи:
1. Определить количество атомов пучка, испытавших
ионизацию или перезарядку на частицах плазмы, исследовать их
захват в ловушку и найти распределение захваченных ионов по
магнитным поверхностям.
2. Описать процесс передачи энергии захваченных ионов в
плазме.
3 Провести расчет баланса энергии и частиц с учетом
инжекции
Перейдем к последовательному обсуждению этих задач с
учетом результатов разд 2.3, относящихся к задаче 2
5.1.1. Ионизация нейтралов и захват образовавшихся ионов
в ловушку. Время пролета инжектируемых нейтралов через
плазму на много порядков меньше характерного времени изменения
ее параметров Поэтому задача 1 выделяется в самостоятельную
задачу, которая может быть рассмотрена независимо от двух
других задач. В процессе ее решения рассчитывается
усредненная по магнитным поверхностям плотность ионов W(t,p),
которые образуются за единицу времени на магнитной поверхности р
и захватываются магнитным полем ловушки
275
Задача 1 по своему характеру является стационарной:
функция W(t,p) в любой момент времени t определяется мгновенными
профилями плотности плазмы n(t,p)y температуры электронов
Т (/,р), полоидального магнитного поля Bn(t,p). Таким
образом, время входит в задачу не как независимая переменная, а
как параметр (для простоты записи в этом разделе будем его
опускать) Умножая W(p) на энергию инжектируемых нейтралов
EQ} получим плотность мощности Q(p) = EQW(p)y подводимой
пучком к магнитной поверхности р. Дальнейшая судьба
введенной энергии исследуется в ходе решения задач 2 и 3.
После этих замечаний перейдем к обсуждению задачи расчета
функции W(p) и рассмотрим ее сначала е рамках упрощенной
модели тонкого пучка.
1. Модель тонкого пучка. Предположим, что пучок
инжектируется параллельно экваториальной плоскости, а его
поперечные размеры малы по сравнению с радиусом плазменного
шнура а Введем декартову систему координат, приняв
экваториальную плоскость тора за плоскость XOY и направив ось z
вдоль главной оси тора, ось ^ — параллельно лучу инжекции. В
этих координатах его положение можно охарактеризовать
прицельным параметром xQ и высотой по отношению к
экваториальной плоскости 2Q Сечение тора плоскостью z = zQ = const
представляет собой концентрическое кольцо (рис. 5.1):
rl<V " г ~ r2<V' r = v/^V, ru(20) - Я + ^2"4 (5.1)
Если xQ > г (г ), to луч инжекции входит в тор и выходит из
него, пересекая внешнюю окружность кольца. Это видно на рис.
5.1 Координаты у. и уп точки входа А* и выхода В.
определяются формулами
уу2{х0,г0) = +/ф0)-*2 . (5.2)
Такую инжекцию будем в дальнейшем называть продольной. В
противоположном случае, когда xQ < r (z ), луч инжекции
входит в тор, пересекая внешнюю окружность кольца, а выходит —
пересекая внутреннюю окружность (это также видно на рис.
5 1). Координаты у. и у точек входа /L и выхода ZL в данном
случае определяются формулами
Такую инжекцию будем называть поперечной.
276
ч
Рис. 5.1. Схема продольной и
поперечной инжекции тонкого
пучка в установку токамак.
Сечение тора плоскостью z - г0,
в которой лежит луч инжекции,
заштриховано
С точки зрения ионизации пучка и захвата образовавшихся
ионов продольная инжекция имеет существенные преимущества
перед поперечной. При продольной инжекции путь луча в плазме
длиннее и его ионизация при тех же условиях оказывается
более полной Ионы, образующиеся при продольной инжекции,
движутся по пролетным траекториям и лучше удерживаются
магнитным полем ловушки. Однако осуществить продольную инжекцию
более трудно с технической точки зрения из-за небольших
зазоров между катушками, через которые вводится инжектируемый
пучок.
Ионизация атомов в плазме происходит в результате одного
из трех процессоз перезарядки или ионизации на ионах и
ионизации на электронах При этом ослабление интенсивности
пучка вдоль луча инжекции равно
У
I(y) = /0exp{-Jcr/i(p(O)d?}, (5.4)
У\
где /п — инжектируемый ток, с — суммарное сечение ионизации
благодаря всем трем процессам, р —радиус магнитной
поверхности, связанный с текущей координатой у вдоль луча "инжекции
соотношением
Р(У) = ASx2Q+y2-R)2+ г\ (5.5)
Линейная плотность ионов, образующихся вдоль луча инжекции,
может быть найдена дифференцированием функции (5 4)
Р(У) = -Iй{У) = <гп(р(у))1(у) (5.6)
277
Примем, как и в гл. 2, что скорость атомов ll
удовлетворяет условию
v. « un « v . (5.7)
i 0 е v '
В этом случае при подсчете числа ионизовавшихся атомов
относительную скорость взаимодействующих частиц и для процессов
перезарядки и ионизации ионами можно заменить на vQ, для
процесса ионизации электронами—на скорость электрона. Q
результате выражение для сечения о* принимает вид
где угловые скобки в третьем члене означают усреднение по
максвелловскому распределению электронов Усредненная
величина <о* v> в диапазоне температур электронов от 0,5 до 5 к-эВ
е —8 я
является практически постоянной: <сг v> = 2,6-10 см /с, так
что величина ст не зависит от пространственных координат и
может быть вынесена в формуле (5.4) за знак интеграла.
Таблица 5
.16 2 „ 1П16 2
] , см (Г* 10 , см
20,7
17,0
14,9
13,7
12,7
9,3
4,7
3,0
2,4
2,2
0,8
В табл 5 приведены сечения перезарядки и ионизации
атомов водорода на протонах [1], величина <сг u>/i) и полное
сечение всех трех процессов (5.8) при различных значениях
энергии атомов EQ = m^o^/2 (в кэВ)
Формулы (5 4) и (5 8) выписаны для чисто водородной
плазмы Для плазмы с примесями ионизация атомов водорода
может также произойти в результате перезарядки на примесях. В
этом случае выражение <Уп в показателе экспоненты нужно
заменить суммой Ц^ь^а,' взятой по всем компонентам Аппроксима-
яп
0
2
4
6
8
10
20
40
60
80
100
150
СГ '1016,cm2
сх
16,5
13,8
12,0
11,0
10,0
6,6
2,0
0,6
0,2
0,1
0,0
OV 10 , см
i
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,4
1,8
1,7
1,6
1,5
0,3
е
vo
4,2
3,0
2,5
2,1
1,9
1,3
0,9
0,7
0,6
0,6
0,5
278
ционные формулы для сечений перезарядки атомов водорода на
примесях обсуждались в разд 4 3
При инжекции пучков высокой энергии (>100 кэВ/а.е.м) надо
учитывать процессы многоступенчатой ионизации [2], в которых
атомы пучка сначала возбуждаются, а затем ионизуются За
счет этого сечение торможения пучка может увеличиться на 25-
50 % в современных экспериментах и в 1,8-2 раза в
термоядерных реакторах. Учет этого эффекта требует увеличения энергии
пучка, необходимой для достижения центральной области плазмы.
Для исследования захвата образовавшихся ионов в ловушку
нужно рассмотреть их дрейфовые траектории Скорость,
магнитный момент и начальные координаты дрейфовой траектории иона,
образовавшегося в точке у луча инжекции, определяются
формулами £ 2
v = vv ^ = 7Г 7*=. (5-9)
*° */^7
г = rQ = ^7, z = 20, р = р0 = S(rQ-R)2+zl (5 10)
Интегрируя дрейфовые уравнения (1 28) с интегралами
движения (5 9) и начальными условиями (5 10), можно установить,
остается ли соответствующая дрейфовая траектория все время
внутри плазменного шнура или выходит за его пределы В
первом случае ион захватывается в ловушку, во втором—погибает
на диафрагме или стенках камеры Для исследования захвата
можно наряду с прямым интегрированием дрейфовых уравнений
использовать также их первый интеграл (1 31) При поперечной
инжекции анализ дрейфовых траекторий требует несложных
численных расчетов, при продольной он может быть проведен
аналитически.
Как мы уже отмечали в разд. 1.3, проекция траектории
пролетной частицы на меридиональную плоскость г, z близка к
окружности, центр которой сдвинут относительно центра
плазменного шнура О (г = R, z = 0) на величину
±Апр = ±q(p)rB (5.11)
(1 46) Здесь и далее верхний знак соответствует инжекции по
току, нижний—инжекции против тока. Легко написать уравнение
такой окружности по координатам начальной точки (5.10):
(r-R + <7(P0)rs)2 + z2 = (rQ-R + q(pQ)rBf + z2Q. (5.12)
279
Условие захвата ионов в ловушку сводится к требованию, чтобы
она не выходила за пределы круга радиуса а с центром в точке
О, соответствующего сечению плазменного шнура Это условие
имеет вид неравенства
Q(P0)rB + 4r0-R+q(P0)rB)2 + г20 < а. (5.13)
На рис. 5.2 показаны две дрейфовые траектории, выходящие
из одной и той же точки AL. Одна из них соответствует инжек-
ции по току, вторая—против тока. Первая траектория целиком
лежит внутри круга, который представляет собой сечение плаз-
Инжснция против тома
Инжемция
no mwy
Рис 5 2. Дрейфовые траектории
ионов, образующихся в точке AL
при продольной инжекции по
току и против тока. В первом
случае ион захватывается в
ловушку, во втором —нет
менного шнура Это означает, что при инжекции по току ионы,
образующиеся в точке AL, захватываются в ловушку. Вторая
траектория выходит за пределы круга Таким образом, при
инжекции против тока захвата ионов, образующихся в той же
точке, не происходит Они гибнут на диафрагме или стенках
камеры на первом же обороте по дрейфовой траектории.
Введем фактор захвата 7)(у) ri(y) = 1, если ионы,
образующиеся в точке у луча инжекции, захватываются в ловушку, и
ri(y) = 0 в противоположном случае С его помощью линейную
плотность захваченных ионов Р (у) можно записать в виде
Язах^) = ъ(у)Р{у) - Чу) * п(р(у)) 1(у) (5.14)
Теперь с помощью усреднения (5.14) по магнитным поверхностям
необходимо рассчитать функцию W(p) Простейшая схема расчета
основана на следующем упрощающем предположении- ион
считается «привязанным» к той магнитной поверхности, на которой он
образовался. В рамках данного приближения получаем
280
где 4тг Rp — площадь тороидальной поверхности с радиусами R • и
/~2 2*
р, г = vx +*/ /у —корни уравнения
"11/2
Р = [(/^7^)2 + гд'
(5.16)
Освобождаясь дважды от иррациональности в правой части,
(5.16) можно свести к биквадратному уравнению и написать
явные формулы для корней у, В зависимости от положения луча
инжекции, определяющегося координатами (х у ), и
выбранного значения р число вещественных корней может равняться О,
2, 4 Если при некотором значении р уравнение (5.16)
вещественных корней не имеет, то это означает, что луч инжекции
через соответствующую магнитную поверхность не проходит и
ионы на ней не образуются. Для таких значений р нужно
положить W(p) = 0.
Более точная схема расчета W(p) основана на учете
различия между дрейфовыми и магнитными поверхностями. Рассмотрим
ее на примере продольной инжекции, когда образующиеся ионы
являются пролетными и все соотношения приобретают простой
вид. Обратимся к рис. 5 3. На нем штриховой линией показана
Рис. 5 3. Дрейфовая траектория
иона, образующегося в точке М
при инжекции по току, и две
магнитные поверхности
дрейфовая траектория иона, образующегося в точке AL (инжек-
ция по току), а сплошными линиями—две магнитные
поверхности Одна > из них проходит через точку AL и имеет радиус рп
(5.11) Радиус второй поверхности равен радиусу дрейфовой
траектории
Р = ((/АУ2 -R-q(P0)rBf + zl]V2. (5.17)
Из рисунка видно, что естественнее считать ион связанным не
с первой магнитной поверхностью, на которой он родился, а со
второй, около которой он движется, отклоняясь от нее то в
281
одну, то в другую сторону. С учетом этой поправки мы получим
для функции W(p) ту же формулу (5.15), только теперь корни
yk следует определять не из уравнения (5 16), а из уравнения
(5.17). При инжекции против тока член ?(P0)r# B уравнении
(5.17) меняет знак на противоположный:
Р = [(Ух2+У2 -R+qipo)rB)2 + ziy/2. (5.18)
Следует отметить, что поправка, которую вносит такая схема
расчета в окончательный результат —энергобаланс плазмы,
профили температуры электронов и ионов, —как правило, невелика.
2. Модель толстого пучка. Поперечные размеры
инжектируемого пучка в условиях реального эксперимента обычно
бывают значительными, так что модель тонкого пучка для его
описания неприменима. Один из возможных способов расчета
функции W(p) для толстого пучка состоит в том, чтобы
представить его в виде набора тонких пучков, провести для
каждого из них расчет по описанной схеме, а затем сложить
результаты Возможен и другой подход, основанный на выводе прямых
расчетных формул для толстого пучка. На нем мы кратко и
остановимся
Будем считать, что пучок инжектируется параллельно
экваториальной плоскости и что его расходимость мала Введем,
как и в предыдущем случае, систему координат x,y,z, направив
ось z вдоль главной оси тора, ось у — параллельно пучку
Обозначим через 5 — поперечное сечение пучка плоскостью XOZ,
через /0(х, г) —плотность тока в инжектируемом пучке до его
входа в плазму. Функция j (х,г) отлична от нуля в области S
и равна нулю вне ее.
Плотность тока пучка в плазме и объемная плотность
образующихся ионов определяются формулами типа (5 4) и (5.6):
/(*.</.*) = /0(*.*) ехр{- | (г/i(p(0) d^ (5.19)
у^х.г)
P(x,y,z) = -Ц- = crn(p(y))j(x,y,z) (5.20)
Умножая р на фактор захвата 7)(x,y,z), получим плотность
захваченных ионов
рз^х/у,г^ = V{x,y,z) P(x,y,z) (5 21)
Для расчета функции W(p) остается усреднить (5 21) по
магнитным поверхностям, т е собрать все ионы, образующиеся
282
на данной магнитной поверхности р, и разделить на ее площадь
о
4тг /?р. В рамках модели, когда ионы считаются привязанными к
магнитным поверхностям, на которых они родились, это
приводит к формуле 2Я 2Я
Щр) = Л"! ] p3giX(x,ytz)(R+pcosQ)dQd<p, (5.22)
4я R Q 0
где переменные х, у, z нужно считать функциями тороидальных
координат р, 6, (/):
х = (/?+pcos9) cos<p, у = (R+pcosG) sin<p, z - psinG),
и интегрировать по углам при фиксированном р
Фактически интегрирование в (5 22) идет не по всей
магнитной поверхности р, а только по ее пересечению с областью,
через которую проходит инжектируемый пучок. Если при
некоторых значениях в и <р точка не попадает в эту область, то под-
ыинтегральная функция в этой точке равна нулю Для тонкого
пучка, когда jQ(x,z) = ^0 ^(x-Xq) d(z-zQ), формула (5 22)
автоматически переходит в формулу (5.15).
Не представляет большого труда вывести для функции W(p)
несколько более сложную формулу, учитывающую сдвиг дрейфовых
поверхностей относительно магнитных, как это было сделано
при обсуждении модели тонкого пучка.
Перезарядка инжектируемых атомов на ионах плазмы
сопровождается образованием тепловых нейтралов, создающих так
называемое гало пучка. Интенсивность этого источника нейтралов,
усредненная по магнитной поверхности р, определяется формулой
Pb(9) = (vcx/o-)W(p) (5.23)
Здесь функция Щр) рассчитывается по формулам типа (5.15)
или (5.22), но без учета фактора захвата быстрых ионов в
ловушку Отношение сечения перезарядки к полному сечению
ионизации (5.8) характеризует долю быстрых ионов, образующихся с
появлением тепловых нейтралов. При инжекции атомов водорода
с Е~ = 20 кэВ она составляет согласно табл. 5 около 70 %.
В режимах с инжекцией этот эффект может стать основным
источником тепловых нейтралов в центральной части
плазменного шнура, значительно превосходящим по интенсивности их
поступление со стенок и образование в результате рекомбинации
Для его включения в расчет общего баланса нейтралов нужно
прибавить функцию (5.23) к выражению s.N + s^n в правой час-
283
ти кинетического уравнения (4.95). При переходе к
интегральному уравнению (4 100) относительно плотности нейтралов N(p)
это приводит к появлению в неоднородном члене (4 103),
наряду со слагаемыми Л^(р) (4.104) и N2(p) (4.105), третьего
слагаемого
а
N3(p) = р((р,€) Я6(0 *€
о
Каждый из этих членов выделяет в явном виде один из трех
возможных источников тепловых нейтралов в плазме токамака.
5.1.2. Простая модель баланса энергии с учетом инжекции
нейтрального пучка. Дальнейшая судьба энергии, которая
вводится в плазму с помощью инжекции пучка нейтралов,
выясняется в ходе решения задач 2 и 3 В этом пункте мы рассмотрим
простейшую схему расчета энергобаланса Она основана на
предположении, что время торможения быстрых ионов меньше
характерного времени изменения параметров плазмы и ионы
успевают отдать свою энергию компонентам плазмы прежде, чем
последние изменяют заметным образом свое состояние. Различие
характерных времен позволяет разделить задачи 2 и 3 и
рассматривать их последовательно.
Задача 2, соответствующая «быстрому» процессу, решается в
предположении, что торможение ионов определяется мгновенным
состоянием плазмы в момент их образования В такой
постановке она обсуждалась в разд 2 3 Для изотропной модели
инжекции там были получены формулы (2 82) Эти формулы определяют
доли энергии Т)„ которые получают от быстрых ионов каждая из
компонент плазмы, и долю энергии т/, теряемой из-за
перезарядки Величины г/, и т/ зависят от параметров плазмы, те. в
конечном счете являются функциями t и р. В рамках
рассматриваемого приближения с раздельным решением задач 2 и 3 их
подсчет является итоговым результатом решения задачи 2
В масштабе эволюционного времени, характерного для задачи
3, процесс передачи инжектируемой энергии компонентам плазмы
осуществляется мгновенно В результате задача 3 сводится
просто к решению системы уравнений баланса (4 1), в которой
эффект инжекции учитывается в энергетических уравнениях для
электронов и ионов через источники энергии
Qjfb(t,p) = EQW(t9p)i)ft9p), j = е, i. (5.24)
284
С математической и алгоритмической точки зрения такая схема
расчета энергобаланса достаточно проста Она целиком
укладывается в рамки концепции гл. 4, когда все члены в
рассматриваемой системе уравнений непосредственно выражаются через
искомые функции. Схема расчета описана в работах [3-6].
5.1.3. Гибридная модель баланса энергии с учетом инжекции
нейтрального пучка. Гибридная модель энергобаланса
предполагает не последовательное, а параллельное решение задач 2 и 3
с самосогласованным учетом взаимного влияния процессов
торможения быстрых ионов и разогрева плазмы [7]. Такое
усовершенствование модели необходимо прежде всего для того, чтобы
более точно описать нестационарную стадию развития разряда,
когда характерное время изменения параметров плазменного
шнура оказывается сравнимым со временем торможения быстрых
ионов.
Гибридная модель, которую мы опишем в этом пункте,
основана на предположении, что быстрые ионы в течение всего
процесса своего торможения остаются связанными с одной и той же
магнитной поверхностью В модели не учитывается смещение их
траекторий по радиусу в результате изменения направления и
величины скорости. Такое предположение является в
достаточной степени оправданным, особенно при малых значениях
параметра Л (см. 2.83). В этом случае главную роль играет
взаимодействие быстрых ионов с электронами, которое сводится в
основном к чистому торможению и не связано с перестройкой
дрейфовой траектории.
С математической точки зрения модель основана на
совместном решении системы уравнений баланса гл 4 и кинетического
уравнения для быстрых ионов Будем считать для
определенности плазму чисто водородной Тогда систему уравнений баланса
составят дифференциальные уравнения (4 1) и интегральное
уравнение (4.100) или (4.106) для функций n(typ)y Т (typ)y
Г.(/,р), BQ(t,p), N(t,p)
Функция распределения быстрых ионов / кроме времени t
зависит еще от переменных р, v, G. Пренебрегая диффузией
быстрых ионов по радиусу, мы заменяем трехмерную
кинетическую задачу набором двумерных задач в пространстве скоростей
(v, 9), соответствующих разным значениям р. В каждой точке
дискретной сетки {р } для функции fM>P >и>9) составляется
285
кинетическое уравнение (2.71), которое описывает
взаимодействие быстрых ионов с фоновой плазмой на магнитной
поверхности р . Правая часть этого уравнения определяется значениями
параметров плазмы при р = р Коэффициенты оператора
столкновений выражаются по формулам (2.73), (2.74) через
плотность n(t,p ) и температуру 7\(/,р ), / = еу /, а
коэффициент У, определяющий потери из-за перезарядки, выражается
через плотность атомарного водорода N(t,p ) по формуле (2.85).
Наконец, неоднородный член, соответствующий источнику
быстрых ионов на магнитной поверхности р , вычисляется с помощью
процедуры, описанной в п. 5.1 1.
Например, в случае продольной инжекции тонкого пучка он
имеет вид
F(t,p v,6) = У F(t,p ) —^ 8{v-v) 3(6-6 ). (5.25)
U k
Здесь у. -корни (5.17) или (5.18) при р = р и г, - vx +у
г At,p ) = —~ , sinG, = —— , (5 25)
4я R\ (rk-R)yk\ k
причем 6, = arcsin( | у. IAJ при инжекции по току, 6. =
= и - arcsin( | у. IAJ при инжекции против тока, суммирование
по k означает суммирование по всем корням (5 17) или (5 18).
Обратимся теперь к уравнениям баланса (4 1) В них эффект
инжекции учитывается в виде источников Q. М,р) в
энергетических уравнениях. Эти источники определяют плотность
мощности, которую быстрые ионы передают электронам и ионам (/ =
= е, i) на магнитной поверхности р в момент времени t. В
точках сетки р = р величины Q. (t,p ) вычисляются по формуле
тг оо
Q. At,p ) = 32n3zle4L [sine dQ Д- f).(/,p ,w) w1 dw x
0 ! 0
00 00 00
x \fJt,p ,v,Q)vdv- — \f(t,p ,v,6)v2dv\fit,p ,w)wdw, (5 27)
W 0 и
где f.(^,p yW) — максвелловское распределение фоновых частиц
сорта / с плотностью n(t,p ) и температурой 7\(/,р ) (/ =
= е, i) Формула (5.27) является обобщением (2 64) для
энергообмена на случай, когда одно распределение /. является
изотропным, а второе / зависит от v и 6. Она может быть
получена либо из общей формулы (2 18), либо прямым
интегрированием кинетического уравнения (2.71) для fa(t,p ,t>,0).
286
Итак, мы описали процедуру вычисления правых частей в
системе уравнений баланса и в кинетическом уравнении с учетом
взаимного влияния фоновой плазмы и быстрых ионо.в. Численное
интегрирование такой гибридной системы позволяет
промоделировать развитие соответствующего процесса. Для этого могут
быть использованы разностные схемы, описанные в гл. 2 и 4.
На рис. 5.4 приведены три графика, показывающие
зависимость ионной температуры ь центре плазменного шнура на
установке Т-11 от времени. Кривая / рассчитана по простой модели
Рис. 5.4 Зависимость ионной
температуры в центре плазменного шнура 100* • !-
на установке T-il от времени ° 2£ 5,0 t,MC
с инжехцией, кривая 2 — по гибридной, кривая 3 — без учета ин-
жекции. Время (в мс) отсчитывается от момента начала инжек-
ции. Кружками отмечены экспериментальные точки в режиме с
инжекцией и без нее. Они очень хорошо согласуются с кривыми
2 и 3. Простая же модель, в которой передача энергии быстрых
ионов компонентам плазмы предполагается мгновенной, дает
несколько завышенные значения ионной температуры по сравнению
с гибридной моделью и экспериментом
5.1.4. Влияние кратной перезарядки на передачу энергии
быстрых ионов частицам фоновой плазмы. При разработке
моделей баланса энергии в п 5 1.2 и 5 1.3 мы предполагали, что
вторичные быстрые нейтралы, которые образуются при
перезарядке быстрых ионов на тепловых нейтралах, немедленно
покидают плазму Однако при достаточно большой толщине и высокой
плотности плазменного шнура часть из них может
перезарядиться или ионизоваться еще раз и захватиться на другую
магнитную поверхность Вторичный захват уменьшает потери, делая
287
условия баланса инжектируемой энергии более благоприятными
Настоящий пункт посвящен построению и исследованию
математической модели такого процесса В работе [8] задача о влиянии
кратной перезарядки на потери быстрых ионов решалась методом
Монте-Карло Мы рассмотрим метод, основанный на прямом
решении кинетических уравнений [9]
Обозначим через /a(^p,v) функцию распределения быстрых
ионов на магнитной поверхности р, через / (/,г,v) —функцию
распределения вторичных быстрых нейтралов и составим для них
систему кинетических уравнений, учитывающих переход частиц
из ионизованного состояния в нейтральное и наоборот
Я f
V^ + 1V, = "Уа" <529>
Здесь функция F = F(t,p,v) описывает, как и в п 5 1 3 ,
образование быстрых ионов на магнитной поверхности в
результате ионизации или перезарядки атомов инжектируемого пучка,
L л —операторы кулоновских столкновений быстрых ионов с
частицами фоновой плазмы, у..„ уА/. —частоты столкновений у... =
^ . iN Ni iN
= о* vNy у д.. = cvn, где сг —сечение перезарядки, о*
—суммарное сечение ионизации и перезарядки (5.8), N — плотность
тепловых нейтралов, п — плотность фоновой плазмы
Уравнение (5 28) для ионов аналогично уравнению (2.71), в
котором величина у теперь обозначена через у.„ Отличие
составляет только один член vN.\ описывающий образование
быстрых ионов в результате ионизации или перезарядки быстрых
нейтралов Уравнение (5 29) записано в стационарном виде без
производной по времени Такую постановку задачи мы обсуждали
в п 4 2.5 Уравнение (5.29) нужно дополнить граничным
условием Если вылетающие быстрые нейтралы не отражаются от
стенок камеры, то на границе плазменного шнура S для тех
направлений скорости, которые соответствуют влету частиц в
плазму, следует положить
fh\s = 0. (5 30)
Начнем анализ с задачи (5.29), (5 30) В реальной
геометрии она слишком сложна, чтобы ее можно было включить в общую
модель баланса и решать на каждом временном шаге. Поэтому мы
288
рассмотрим ее в упрощенной постановке для слоя - а ^ х ^ а,
интерпретируя в дальнейшем при переходе к функции / декар-
тову координату х как переменную р.
Представим функцию распределения нейтралов /. в виде
суммы двух слагаемых: fh = /* + f~. Первое слагаемое описывает
нейтралы с положительной компонентой скорости v , второе —с
отрицательной. Положим v = ± /ни, где величина д характе-
2 *
ризует среднее значение v при заданной скорости и. В модели
* 2
изотропного распределения по скоростям д = 1/3. Анизотропию
распределения можно учесть, полагая
д2 = <v2±>/2v2 = <sin29>/2, (5.31)
2 2
Здесь <sin G>— среднее значение sin 0 для ионов, которые
образуются в результате инжекции и захватываются в ловушку. В
приближении тонкого пучка
<sin2e> = £\ ix = fp3jy)-JiLdy, i2 = fp3jy)dy. -
^ — прицельный параметр луча инжекции, у. и у^—его
координаты входа и выхода, которые даются (5.2) или (5.3), функция
Р (у) определяется формулой (5.14). В случае толстого пуч-
зах 2
ка для подсчета <sin 9> нужно интегрировать выражение (5.21).
Для определения функций f~ при сделанном предположении
относительно v получаем следующие задачи:
+ х
я f
i^Bxh + vNiftH'iviNfa' 0~-а'°- rh\x=a-0. (5.32)
Их решение позволяет выразить в явном виде /. через / .
а х
^ = 2ЫеЧЧИ?1Ыа^. <5-33>
а к
и свести таким образом систему (5.28). (5.29) к одному ин-
тегродифференциальному уравнению для функции /а:
%а = Е *•«.#*!- V.+ !Ь»[~ IIsd^'I) V«*+ F' <534>
0*а -а С
где 5 = v.N/\iv = orn/ii. При подстановке (5.33) в (5.28) мы в
соответствии со сделанным выше замечанием заменили
переменную х на р.
В модели баланса энергии, описанной в предыдущем пункте,
кинетическое уравнение (2.71) решалось в разных точках сетки
(р } независимо, т.е. координата р играла роль параметра, а
10 Ю.Н.Днестровский, Д.П Костомаров 289
не независимой переменной. Учет эффекта кратной перезарядки
привел к появлению в уравнении (5.34) дополнительного
интегрального члена. В результате набор отдельных двумерных
задач заменился трехмерной задачей, в которой р выступает в
качестве третьей независимой переменной. В остальном схема
расчета остается такой же, как и в п. 5.1.3. Решение
уравнения (5.34) для f позволяет определить энергию, которую
быстрые ионы передают компонентам плазмы. Соответствующие
плотности мощности Q., находятся по формулам (5.27) и входят в
качестве источников в систему уравнений баланса (4.1).
На рис. 5.5 в качестве примера показано распределение по
радиусу доли энергии быстрых ионов, которая теряется в
результате перезарядки на тепловых нейтралах. Сплошная линия
Рис. 5.5. Радиальное
распределение части энергии
быстрых ионов, потерянной
в результате перезарядки с
тепловыми нейтралами
рассчитана с помощью численного решения уравнения (5.34) и
учитывает эффект кратной перезарядки, штриховая линия
получена в приближении однократной перезарядки (s = 0). Расчеты
проводились для параметров плазмы, соответствующих установке
Т-11: R = 70 см, а = 20 см, EQ = 20 кэВ, я(0) = 5-1013см~3,
7\(0) = 0,6 кэВ, Т (0) = 0,8 кэВ. Профили плотности плазмы,
температур ионов и электронов предполагались
параболическими. Плотность тепловых нейтралов в центральной части плаз-
о _о
менного шнура 0 ^ р ^ 0,6а принималась равной 8-10 см , а
в периферийном слое 0,6а z р'< а она постепенно повышалась
10 —3
от указанного выше значения до 2*10 см Сравнивая
сплошную и штриховые линии, мы видим, что кратная перезарядка иг-
290
рает в данном случае заметную роль. Она уменьшает потери
энергии, введенной в центральную часть плазменного шнура с
помощью инжекции пучка быстрых нейтралов, примерно в два раза.
В заключение упростим уравнение (5.34) с помощью
дополнительных предположений и проведем некоторые оценки
рассматриваемого эффекта аналитическими методами. Будем считать, что
коэффициенты операторов столкновений La o[fa] и частота
столкновений у... не зависят от р. Для центральной части
плазмы такое предположение в достаточной степени оправдано,
а периферия играет в балансе инжектируемой энергии менее
важную роль. Будем также считать величину s = ап/ц. функцией
только р, т.е. пренебрежем зависимостью полного сечения
ионизации (Т (5.8) от скорости, а плотности плазмы п от времени.
При сделанных предположениях уравнение (5.34) допускает
разделение переменных. Чтобы его осуществить, рассмотрим для
интегрального оператора в (5.34) задачу на собственные
значения и собственные функции
а р
4^ Jexpf- | J*s(C) df |] R(0 dfi = Л /?(р). (5.35)
Сделаем замену переменных:
P
У = J*€K. Y(y) = ^руЯ(Р).
о
В результате уравнение (5.35) преобразуется к виду
h a
\ Jexp (-!</-</' \)Y(y')dy' = Щу), где h = Js(£) d$ (5.36)
-h О
— величина, характеризующая толщину плазменного шнура по
отношению к процессам ионизации и перезарядки быстрых нейтра-
лов.С помощью двукратного дифференцирования (5.36) сводится
к уравнению
у + ([-1)У = 0. (5.37)
Подставляя его четное решение Y(y) = cos (у v 1/A-1) в
(5.36), получим дисперсионное уравнение для определения
собственных значений задачи
cos (А У 1/Л-1) - / 1/Л-1 sin (h У 1/Л-1) = 0. (5.38)
Согласно (5.38) их можно записать в виде
\ = h2Ahz-t\ (Л)]. ' (5.39)
10*
291
где t.(h)— корни трансцендентного уравнения:
ttgt = A, (А-1)л < tk(h) < (А-1)л + л/2, А = 1, 2, 3, ...
Собственные функции уравнения (5.35) даются формулой
/?fc(p) = s(p)cos [\- Js(S) ^J. (5.40)
о
Они образуют на отрезке [0,а] полную систему функций,
ортогональных с весом l/s(p):
а
K(P)«fc/(P)jfgy = 0 при А * А'.
о
Вернемся к уравнению (5.34) и будем искать его решение в
виде ряда по собственным функциям интегрального оператора
fa{t,p,v,e) = l<Pk(t,v,e) Rk(p). (5.41)
Коэффициенты разложения (р. -должны удовлетворять уравнению
д(рь
|3*ос
где коэффициенты Фурье неоднородного члена в уравнении (5.34)
а
Fk(t'v'e) = 1пЬ* ^<.Р.".е) *»<р> jffy. (5.43)
"Kk" 0 „
■*/=№> ife- * (1 * ^ф}]. р^> - * - >*(*)=^
(5.44)
Уравнение (5.42) совпадает с (2.69). Эффект кратной
перезарядки проявляется в нем в том, что частоты столкновений v .„
входят с дополнительным множителем pAh), причем согласно
(5.44) Р} < Р2 < Р3 < •■• < *•
Рассмотрим особо функцию pih). Ее график приведен на
рис. 5.6. В области h < 3 для этой функции справедлива ап-
проксимационная формула
PXW * Р/Л) = "P<-jj> Shh. (5.45)
Выражение (5.45) можно получить, сопоставляя интегральному
оператору (5.36) вариационный функционал и вычисляя его
значение при Y(y) = 1. При h -» оо, f (A) -> я/2 и для функции
рЛА) оказывается справедливой асимптотическая формула
p{h) * ^(А) = (я/2/г)2. (5.46)
292
Рис. 5.6. График функции p{h) (сплошная кривая).
Штриховой линией показаны асимптотики р.(/г) и pJh)
Графики функций pi/г) и p.(h) приведены на рис. 5.6
штриховыми линиями.
Обычно в эксперименте стремятся осуществить инжекцию
таким образом, чтобы основная часть пучка ионизовалась и за-
хватилась в центральной части плазменного шнура. Эти режимы
соответствуют h ~ КЗ. Например, для значений параметров
установки Т-11, которые мы приводили выше, h ~ 1. При меньших
h значительная доля инжектируемых частиц пролетает сквозь
плазму; наоборот, при h » 1 пучок практически целиком
ионизуется на периферии плазмыЛ
В случае, когда функция F имеет максимум вблизи центра
плазменного шнура, основной вклад в ее разложение (5.43) и
соответственно в разложение (5.41) искомого решения будут
давать первые члены
F(ttp,v,e) * Fp^Q) Цр), fa(f,p,u,e) * ^(f.i/.e)/?^). (5.47)
Функция <pAt,v,Q) удовлетворяет уравнению (5.42) или, что то
же самое, (2.71). Это позволяет перенести на рассматриваемую
задачу все результаты разд. 2.3. В частности, для подсчета
величин т/„ 7) , 17, которые определяют доли инжектируемой
энергии, передаваемой ионам и электронам фоновой плазмы, а
также долю теряемой энергии, можно пользоваться
приближенными формулами (2.82). При этом учет эффекта кратной перезащ-
рядки сводится к простой замене частоты столкновений v = v .„
на эффективную частоту столкновений v Ah) = v.^p^(h) < v.N .
293
5.2. Влияние МГД-перемешивания
на баланс энергии и частиц
5.2.1. Экспериментальные сведения о перемешивании.
Накопление экспериментальных данных показало, что диффузионное
описание плазмы с помощью системы уравнений баланса энергии
и частиц (4.1) справедливо лишь в первом приближении. На
самом деле в плазме время от времени происходит частичное
разрушение магнитных поверхностей и быстрое перемешивание
полоидального поля, плотности и температуры частиц в
некотором слое. Время перемешивания обычно составляет т . =
= 50-5-200 мкс, что много меньше характерных времен
теплопроводности и диффузии.
Экспериментально наблюдаемое перемешивание весьма грубо
можно разделить на внутреннее, происходящее в центральных
областях плазмы, и внешнее, проявляющееся на периферии
плазмы. Внутреннее перемешивание на квазистационарной стадии
разряда, как правило, имеет периодический релаксационный
характер. Оно наблюдается практически на всех установках в
режимах, когда значения коэффициента запаса устойчивости на
границе плазмы не слишком велики: q(a) ^ 3*4 [10-12].
Экспериментальная картина релаксационных колебаний мягкого
рентгеновского излучения в этом случае описана в разд. 3.4. В
процессе нагрева плазмы сигнал детектора мягкого рентгена
сначала быстро и монотонно возрастает, а затем его рост
резко останавливается и на фоне среднего сигнала появляются
периодические «срывы» с амплитудой порядка 10 % максимального
значения. На ряде установок обнаружены релаксационные
колебания плотности плазмы, хорошо коррелированные во времени с
колебаниями мягкого рентгена [13,14].
Различные теоретические описания процесса внутреннего
перемешивания были предложены в [15,16]. Ряд численных моделей
на основе двумерных МГД-уравнений был описан в разд. 3.4.
Тонкие эксперименты, проведенные с помощью многоканальных
коллимированных детекторов, позволили установить
пространственную картину движения плазмы при перемешивании [17-20].
Эта картина в целом подтверждает теоретические
представления, однако разрешающей способности диагностики пока
недостаточно для однозначного выбора среди вариантов модели.
294
В начальной стадии разряда при подъеме тока в
эксперименте наблюдаются всплески МГД-активности плазмы, когда
параметр q(a) подходит к резонансным (целочисленным) значениям
[21]. Причиной такой активности, по-видимому, является
тенденция к скинированию распределения тока, приводящая к
перемешиванию в области максимума плотности тока. Модель
перемешивания при немонотонном профиле тока была предложена в
работах [22,23]. Она основана на том, что в этом случае в
плазме появляется несколько (две или более) резонансных
поверхностей с одинаковыми т, я, расположенных на значительном
удалении друг от друга. Перемешивание между этими
поверхностями приводит к крупномасштабным движениям, регистрируемым
извне с помощью магнитных зондов [21].
5.2.2. Структура гибридной модели. Предположим, что
известны МГД-условия, при которых происходит перемешивание, и
известны условия, связывающие параметры плазмы до и после
перемешивания. Тогда гибридная модель, содержащая медленные
диффузионные процессы и быстрое МГД-перемешивание, может
быть построена следующим образом:
1) Интегрируем систему баланса энергии и частиц (4.1),
следя на каждом шаге по времени за появлением резонансных
поверхностей и выполнением условий МГД-перемешивания.
2) В тот момент, когда условия МГД-перемешивания
выполняются, интегрирование системы, (4.1) прерываем и проводим
перемешивание всех (или некоторых) искомых функций (/г,Т ,7\,д).
3) После перемешивания интегрирование системы (4.1)
возобновляем.
В этой модели перемешивание мгновенно. Для ее
справедливости необходимо, чтобы т . (экспериментальное время
перемешивания) было много меньше времен, характеризующих
диффузионный перенос. Для внутреннего перемешивания в современных
установках это всегда справедливо, так как энергетическое
время жизни тF, время жизни частиц х и скиновое время Xs
—3 Р О
для центра шнура имеют масштаб 10 -И0 с, что много больше
т . - 10"4 с.
mix
Однако для внешнего перемешивания использовать описанную
модель приходится более осторожно. Низкая температура
электронов на периферии шнура ведет к низкой проводимости плазмы
и, как следствие, малым временам диффузии тока Xs внутри об-
295
ласти перемешивания. В результате время между
последовательными перемешиваниями в модели Лт ~ Xs может оказаться меньше
т . , что противоречит физической картине процеоса. Для
сохранения разумного характера модели к принятым МГД-условиям
перемешивания следует добавить еще одно: перемешивание
производим лишь в том случае, если Лт > т . .
Перейдем теперь к формулировке МГД-условий для
перемешивания.
5.2.3. Модель внутреннего перемешивания Кадомцева для
винтовой моды т/п = 1. В гл. 3 было показано, что наличие
резонансной поверхности в плазме приводит к развитию дисси-
пативной неустойчивости, перезамыканию силовых линий и
'образованию магнитных островов. Для высших мод предельные
размеры островов, как правило, невелики. Б.Б.Кадомцевым была
высказана идея [15], подтвержденная дальнейшими расчетами
(разд. 3.4), что для моды т = п = 1 единственный в этом
случае остров не ограничивается в своем росте. Перезамыкание
силовых линий продолжается вплоть до образования одноосевой
магнитной конфигурации с круговой симметрией (см. рис.3.23).
При этом внутри области, включающей резонансную поверхность,
происходит перемешивание всех параметров плазмы. Профиль
тока, в частности, становится более плоским, величина [i в
центральной части шнура уменьшается, и резонансная поверхность
исчезает. Энергия полоидального магнитного поля в конечном
состоянии оказывается меньше начальной. Избыток энергии
частично сразу, а частично через кинетическую энергию переходит
в джоулево тепло. Поскольку перезамыкание силовых линий
локализовано, то основная часть полоидального потока остается
вмороженной в плазму и перемещается вместе с ней. Условия
вмороженности потока, несжимаемости плазмы и сохранения
энергии позволяют установить связь между начальным и
конечным состоянием плазмы.
Введем функцию потока ф вспомогательного полоидального
поля J3# согласно (3.57), опуская для краткости индекс «*»:
Р В Р
'--J*:* = -№-#>* (548)
о и о
(д = Вл/?/(В-р)). Функция ф описывает отклонение
полоидального магнитного потока от потока, создаваемого однородным то-
296
ком. Радиус резонансной поверхности определяется уравнением
M(PS) = п/т или 0'(р5) = 0, (5.49)
т.е. на этой поверхности поток ф имеет экстремум. Радиус pQ
области, внутри которой происходит перемешивание, в силу
вмороженности потока определяется равенством
0(0) = 0(РО), 0 < ps < pQ < а. (5.50)
Условимся об обозначениях. Все функции перед
перемешиванием будем обозначать индексом 1 в области 0 < р < р и
индексом 2 в области р < р <■ р~. Эти индексы мы будем
опускать, если нас не будет интересовать различие в поведении
функций в этих областях. Для состояния сразу после
перемешивания мы будем использовать верхний индекс «+».
Поведение функции ф до и после перемешивания качественно
изображено на рис. 5.7. До перемешивания ф имеет минимум в
точке р , после перемешивания резонансной поверхности нет,
Рис. 5.7. Поведение функции ф в случае одной
резонансной поверхности р . Через ф+ обозначен профиль ф после
перемешивания, через pQ —граница области перемешивания
поэтому ф+ монотонна. В процессе перемешивания две области,
соответствующие значениям потока от ф до ф+йф, сливаются в
одну. В силу несжимаемости плазмы
(5.51)
(5.52)
p^dp^ + р2ф2 = pdp, dp] < 0,
т.е.
2 2
02 "Pi
Условие вмороженности потока дает
По функции ф+(р) нетрудно определить ji+ и /+:
(5.53)
(5.54)
297
Качественное поведение ji(p) и /(р) при т/п = 1 показано на
рис. 5.8. При перемешивании часть тока выбрасывается из
-области 0 < р < р в область р < р < pQ. Скачок производной
функции ф+ в точке pQ приводит к разрыву функции д+ в этой
точке и появлению здесь поверхностного отрицательного
«антитока», однако величина полного тока в плазме сохраняется.
Если время перемешивания т . меньше времени жизни частиц
в области р < рп, то плотность частиц после перемешивания
Ы I L 1_э^
I В ° Ро °Р
Рис. 5.8 Распределение функции \1 и плотности тока /
по радиусу до и после перемешивания
Рис. 5.9. Распределение плотности плазмы п и
температуры электронов Т по радиусу до и после перемешивания
п+(р) можно определить из условий сохранения числа частиц и
вмороженности поля в плазму
- np^dpx + n2p2dp2 = n+p dp (5.55)
Пренебрегая потоками теплоты за время перемешивания и
используя закон сохранения энергии, получим уравнение для
температуры ионов Т+(р):
- /г1Глр1 ф1 + n2TQp2 dp2 = гСГ.р dp. (5.56)
Уравнение для температуры электронов должно учитывать джоу-
лево энерговыделение за счет диссипации части полоидалького
поля
" 2 Л1Гв1Р1 dp\ + 2 Ve2P2 *>2 + Q = 2 П+Ге Р dp> (5'57>
298
Джоулево энерговыделение Q обычно невелико (несколько элект-
ронвольт на частицу), и им часто пренебрегают. Качественно
поведение п(р) и Т (р) до и после перемешивания показано на
рис. 5.9. Характер функций п+(р) и Т*(р) существенно зависит
от скорости спада плотности и температуры по радиусу перед
перемешиванием. Для достаточно плоских распределений п(р) и
Т (р) функции п*(р) и Т*(р) оказываются монотонно
убывающими. Для пикированных профилей п(р) и Т (р) функции п+(р) и
Т+(р) в области р < р~ могут оказаться нарастающими. Именно
такой случай изображен на рис. 5.9. В эксперименте профиль
п(р), как правило, более плоский, чем Т (р). Поэтому
амплитуда колебаний плотности Ln/n = = [п(0)-п+(0)]/п(0) обычно в
2-3 раза меньше амплитуды колебаний температуры электронов
№е/Те = [Ге(0)-Г(0)]/Те(0). На установке Т-10 в режимах с
q(a) ~ 2, Ln/n ~ 0,05, значения АГ^Т ~ 0,Н0,15.
Рассмотрим случай параболических профилей тока, плотности
плазмы и температуры, когда решение уравнений (5.51)-(5.58)
можно провести аналитически. Пусть
/(р) = /0"(1-р2/а2), /0 = 2//(па2), ' (5.59)
где / — полный ток в плазме. Уравнение для ф при m - п = 1
имеет вид (3.85Н3.86) при (3 = 1:
А* = -||Г'" + 17' «°) = °- (56°)
Отсюда
0 = V(P2-PJ)> % = -щ = 4Лр(р2-р2), (5.61)
где А = njQ/4a2cB0 = ц(а)/4а2/?, р2/а2 = 2 - tfa), pj = 2р2.
Резонансная поверхность в плазме существует, если 1 < q(a) <
< 2. В этом случае 0 < р < а. Подставляя (5.61) в (5.53),
будем иметь
Лр2(р2-р2) = Лр2(р2-р2) = ф+(р). (5.62)
Совместное решение (5.52) и (5.62) дает
р2 = (р2-р2)/2, р2 = (р2+р2)/2, Г = 0(рр (l-p4/pj). (5.63)
где ф(р ) = - Ар < О.Зная функцию ф+, нетрудно найти /и+ и
s Л
плотность тока /
.2 ллЪ
Ро 0 * ^ 2а'
(5.64)
299
Поскольку q(a) < 2, то /+(0) = (q(a)/2) /Q < jQ, т.е.
плотность тока в центре после перемешивания уменьшается.
Заметим, что эта величина
Г(0) = (q(a)/2)j0 = cB0/2nR (5.65)
не зависит от полного тока в плазме, его профиля и размеров
области перемешивания. По существу она определяется
соотношением, вытекающим из уравнения Максвелла для магнитного
поля:
, = й*(0,яЦш^-2!!£т1* (5.66)
р-»0 pDo Doc
Формулу (5.65) часто используют для оценки плотности тока в
центральной части шнура в режимах с внутренними
релаксационными колебаниями.
Перейдем к уравнениям (5.55)-(5.58) для плотности и
температуры частиц. Из (5.63) следует
-р, dpx = р2 ф2 * (р/2) dp. (5.67)
Подставляя (5.67) в (5.55), будем иметь
п = (п^п0)/2. (5.68)
Для параболического профиля плотности
п = п0 (1 - р2/а2), (5.69)
вновь используя (5.63), получим
п+ = nQ(\-p2s/a2) = const, (5.70)
т.е. после перемешивания плотность плазмы в области р, < рп
однородна. Для параболического профиля температуры ионов
Т. =>ю(1-р2/а2) (5.71)
давление пТ. описывается полиномом четвертого порядка.
Подставляя (5.67)-(5.71) в уравнение (5.56), получим
т+
Я1ГП+Л2Г/2 Ti0
i о + 1 Л2/Л2
2«+ 1-pVa
а2 4а4
(5.72)
Отсюда видно, что ^(р) в области Р < Р0 возрастает.
Для температуры электронов, подсчитывая джоулево тепло
(5.58), будем иметь
е 2/г+ 8тг/?212/г+ а6 I ° 2 J
300
При В0 = 3-104Гс, R = 150 см, q(a) = 2, п+ = 1013 см 3,
р/а = 0,5, Р0/а = 0,5 последний член в формуле (5.73) имеет
порядок 0,1 эВ.
Формулы (5.64)-(5.73) соответствуют параболическим
профилям тока, плотности и температуры. Использование уравнений
(5.51)-(5.58) в общем случае приводит к трудоемким
вычислениям. На практике при конструировании гибридной модели
обычно поступают более просто, аппроксимируя профили полиномами
и вычисляя коэффициенты полиномов из условий вмороженности
потока, несжимаемости плазмы и сохранения энергии и числа
частиц. Такой подход оправдывается тем, что исходная модель
уже сама содержит ряд упрощающих предположений.
Для аппроксимации Д+(р) обычно используют правую часть
формулы (5.64), в которой д(р) берется в момент перед
перемешиванием. Распределение плотности и температуры частиц по
радиусу после перемешивания часто принимается однородным. В
этом случае
9 Рг° 9 ?°
\п(р) р dp, п+Г. = % |л(р) Г/р) р dp.
Poo ' ?5о
Р
(5.74)
п+Т+е = ^/п(Р)?"е(р)рф + 5р,
00 0
где
В2 р0
Sp = —-§-„ Г f(M-l)2 - (М+-1)21 Р3 dp. (5.75)
6^Роо L J
Построенная в настоящем пункте модель перемешивания
привлекательна своей простотой. Однако гибридная модель в целом
оказывается несамосогласованной, так как отсутствуют
условия, определяющие момент перемешивания. Для замыкания модели
приходится привлекать экспериментальные Данные. Это можно
сделать разными способами. В работе [24] предполагался
заданным радиус резонансной поверхности рехр в момент
перемешивания. В процессе диффузии тока расчетное положение
резонансной поверхности р меняется. Перемешивание производилось
в тот момент, когда р = рехр. Этого условия достаточно для
замыкания модели, и остальные характеристики релаксационных
колебаний, такие как период т , амплитуда колебаний
плотности и температуры ионов и электронов, определяются
автоматически в процессе интегрирования системы уравнений баланса
301
(4.1). Сравнение этих величин с экспериментом указывает на
разумный характер избранного способа пополнения модели.
Другой способ замыкания состоит в задании периода
релаксационных колебаний т В этом случае в ходе вычислений
будет определяться положение резонансной поверхности в момент
перемешивания р , которое можно сравнить с экспериментом.
5.2.4. Перемешивание при немонотонном профиле тока.
Распределение тока по радиусу может стать немонотонным либо в
начальной стадии разряда при нарастании полного тока, либо в
процессе релаксационных колебаний. Мы уже видели, что
перемешивание приводит к немонотонным профилям температуры
электронов. В свою очередь диффузия тока в более горячую область
ведет к сдвигу максимума плотности тока из центра Такой
профиль тока определяет немонотонное распределение д(р) и
появление нескольких резонансных поверхностей с одинаковыми
тип. Здесь мы рассмотрим наиболее типичный случай, когда
образуются две резонансные поверхности.
Двумерная МГД-задача для этого случая обсуждалась в
разд. 3.4. Если резонансная поверхность одна и т/п > 1, то
развитие диссипативной неустойчивости приводит к образованию
островов конечных размеров и сглаживанию параметров плазмы
по областям, занимаемым островами. Однако ширина островов,
особенно при больших тип, обычно невелика и усреднение по
островам не приводит к заметному изменению потоков частиц и
энергии.
Если имеется пара резонансных поверхностей, то ситуация
существенным образом изменяется. Продолжение процесса
перезамыкания позволяет магнитным островам поменяться местами. В
этом случае характерным размером перемешивания будет не
ширина островов, а расстояние между резонансными
поверхностями, которое может быть сравнимо с радиусом плазмы. Построим
модель перемешивания для двух резонансных поверхностей,
расположенных в точках р . и р 2 (р . < р 2). Уравнения для них
имеют вид, аналогичный (5.49):
M(psl) = ii(ps2) = n/m. (5.76)
Функция потока ф(р) (5..48) имеет в точке р 1 максимум, а в
точке р 2 минимум:
Г(Рс1) = 0'(Рс2) = 0. (5.77)
302
Условия вмороженности потока определяют возможную область
перемешивания. После перемешивания ф (р) должна быть
монотонной функцией радиуса, поэтому магнитные силовые линии из
окрестности точки р 2 должны сместиться внутрь до некоторой
точки р. ,, а магнитные силовые линии из окрестности точки
р . должны переместиться наружу до некоторой точки р ..
Положение этих точек определяется уравнениями
«Pint> = WPs2). 1«Pext) = «Ps1). (5.78)
аналогичными уравнению (5.50): Область р. { < р < р . и
будет возможной областью перемешивания.
Нетрудно построить уравнения, связывающие состояния
плазмы до и после перемешивания. Будем отмечать индексами 1, 2 и
3 все функции в областях p|nt < р < р <, Psi < Р < Р о и
р 2 < р < ре . перед перемешиванием. Поведение функции ф до
и после перемешивания качественно показано на рис. 5.10.
В силу несжимаемости плазмы
т.е.
р1 dpx - р2 dp2 + р3 ф3 = р ф,
2 2 2 2
Условие вмороженности потока имеет вид
0(Р,) = 0(Р2) = 0(Р3) = *+(Р).
(5.79)
(5.80)
(5.81)
At# fist Рг PPsi PsPzrt P
Рис. 5.10. Поведение функции ф в случае двух
резонансных поверхностей р. и р2 (р. ,и р .—внутренняя и
внешняя границы области перемешивания)
Рис. 5.11. Распределение функции [i и плотности тока /
по радиусу до и после перемешивания
303
причем
Й+-"т .Ш+ = °- <582>
1 i m d ..... .
p-.p.nt+o P р^рехГо P
Зная функцию 0, можно найти функцию д и плотность тока /.
Их схематический вид приведен на рис. 5.11. Функция Д+(р)
разрывна в точках р. . и р ., причем в силу (5.82)
1 i m д+(р) = 1 i m д+(р) = п/п\.
p^p.nt+o р^рехГо
При перемешивании плазмы из области, где плотность тока
имеет максимум, часть тока выбрасывается во внутренние слои
плазмы, а часть на периферию. На границах области
перемешивания в точках pjnt и pext появляются поверхностные токи
противоположного направления.
По аналогии с (5.55)-(5.58) йетрудно построить уравнения
для п+(р) и T)e(f>):
л^ dp1 - n2p2 dp2 + n3p3 dp3 = n+p dp,
"iV *>i " *2 V2 *2 + "aVa *з = n+7> *• <5-83)
I "l^A *1 " I Vdft *2 + I "з^З *3 + Q = I л+7> *•
где
«■Л
Уравнения (5.79)-(5.84) полностью определяют связь
начального и конечного состояний при перемешивании.
Теперь можно перейти к построению самосогласованной
гибридной модели, предполагая (на основании имеющегося
эксперимента), что перемешивание может быть либо внутренним, либо
внешним. Полоидальный поток ф (см. рис. 5.10) обладает
четырьмя характерными значениями (0(0), ф(р X ф(р 2), Ф(а)).
В ходе эволюции во времени соотношения между этими
величинами изменяются, и моменты времени, когда некоторые из них
совпадают, являются выделенными. Этим свойством функции ф мы
воспользуемся для замыкания гибридной модели.
Примем априори, что внутреннее перемешивание происходит в
тот момент, когда р. = 0, а внешнее —когда р . = а.
Другими словами, будем считать, что условия реализации
перемешивания имеют вид
ф(0) = ф(р 2) (внутреннее перемешивание), (5.85)
ф(а) - ф(р Л (внешнее перемешивание). (5.86)
304
Физический смысл условий (5.85)-{5.86) заключается в
следующем. Пусть диффузия тока согласно уравнениям (4.1)
привела к появлению пары резонансных поверхностей, и пусть
расстояние между резонансными поверхностями и размер возможной
области перемешивания р < р < р возрастают во времени.
Тогда условия (5.85)-{5.86) определяют мом.ент времени, в
который область перемешивания максимальна, но еще
целиком'лежит в плазме. В случае (5 85) процесс перезамыкания доходит
до магнитной оси и в нем участвуют все силовые линии внутри
области р < р .. В случае (5.86) область перемешивания
доходит до внешней границы плазмы. При этом полный ток и
полный магнитный поток сохраняются.
Обоснование условий (5.85) можно найти в энергетических
соображениях и в результатах моделирования двумерной МГД-за-
дачи с двумя резонансными поверхностями (см. разд, 3.4).
Расчеты, в частности, показывают, что перемешивание через центр
действительно реализуется при условиях, близких к (5.85)*
ф(рз2) - 0(О)|
uurj
< 0,1
Для внешнего перемешивания (5 86) разумных МГД-моделей пока
нет, и выбранные условия могут быть оправданы лишь
сравнением результатов модели с экспериментом
При практической реализации модели перемешивания вместо
решения уравнений (5.79)-(5 84) часто используют
приближенные представления для функций Д+(р), п+(р) и Т+. (р). Для
внутреннего перемешивания функцию д+ можно аппроксимировать
кубичной параболой
д+(р) - n/m - Лр2 (рехГр), (5.87)
а постоянную А определить из условия непрерывности 0 в точке
?ехГ
А = 20/? (ф(р^) - *P(PS2))/P5ext (5.88)
В процессе перемешивания область плазмы р ^ р „ смещается в
центр шнура, а область р ~ р — на радиус р *••> р
Сравнение смешивающихся объемов плазмы показывает, что
*+(0) = /i(Ps2), Г jo) - Tjps2)
"+(Pext> = ^s^ riJP*xx) = TlJPsJ*
(5.89)
11 ЮН Днестровский, Д П Костомаров
305
поэтому для п+(р) и Т+. (р), пренебрегая джоулевым
энерговыделением, можно использовать следующую аппроксимацию.
п\р) = n(ps2) + [n(pri)-n(Pf2)] (p/pext)a
(5.90)
Т+ (р) = 7. (р0) + [7\ (р >Г. (р0)](р/р JP/.e,
где а, р., и р —параметры, определяемые из условий
сохранения числа частиц и энергии. Обычно в расчетах а ~ 2, |3. ~
- 2-2,5
Перейдем теперь к внешнему перемешиванию. Функцию М^(р)
можно выбрать в виде квадратичной параболы
д+(р) = n/m - B(p-Pint) (a-p), (5.91)
где
Б = 12/?[0(psl)-i/<p52)]/(a+pint)(a-p.nt)3 (5.92)
Наибольшая неопределенность содержится в выборе
аппроксимации для плотности и температуры частиц Дело в том, что в
периферийном слое диффузия и теплопроводность аномально
велики (см. гл. 4) и характерное время этих процессов может
оказаться сравнимым с временем МГД-перемешивания Имея это
в виду, обычно используют модель однородного перемешивания
для плотности и температуры частиц в периферийном слое
а а
п = ^ 2 Г п(р)р dp, Г = -т-^ J n(p) T (p)p dp,
(а-р ♦ ) i n+(a-p Yi l,e
v "lnt' p. . v Kint; p ,
(5.93)
пренебрегая изменением энергии полоидального поля При этом
на границе плазмы образуются разрывы в распределениях пот-
ности и температуры по радиусу, ведущие к импульсному
выбросу частиц и энергии из плазмы после перемешивания при
возобновлении интегрирования системы уравнений баланса Такой
эффект иногда наблюдается и в эксперименте, однако
количественного сравнения результатав расчетов с измерениями пока не
проводилось.
5.2.5. Электрическое поле при перемешивании. Период
релаксационных колебаний мал по сравнению с энергетическим
временем жизни т£ и скиновым временем по области перемешива-
\шр\/с2.
тг « т£ « тЛ (5.94)
306
В развитой стадии разряда при Т
1 кэВ, п = (3-5)-1013см 3,
а - 30 см,
р0 = 12 см,
равны тг = 5-^-10 мс, т£
с этим профили Т (pj), j(pJ), а
~ 3 характерные времена в (5.94)
30*50 мс, ts = 200*400 мс. В связи
вместе с ними и профиль
электрического поля Е (pj) далеки от стационарных.
В силу уравнений Максвелла
ди 2пВо^дц
Wp = "T" pdf'
где /7 = 2nRE — напряжение на обходе шнура Обсудим поведение
U(p,t) на стадии релаксации. На рис. 5.12 вверху показаны
профили д~(р) и Д+(р) до и после перемешивания по модели
Кадомцева. Через р здесь обозначена точка, в которой М~(Рд) =
= Д+(р.,). На стадии релаксации должен происходить медленный
(5.95)
Рис 5.12 Радиальное распределение функции д и
напряжения U Индексы «-» и «+» соответствуют
распределениям до и после перемешивания
обратный переход от д+ к (Г, т.е в области 0 < р < р
функция n(p,t) во времени должна в основном возрастать, а в
области Р,, < Р < Р0~убывать На самом деле из-за
нестационарности Д~(р) области возрастания и убывания функции д(р,0 во
времени слегка смещаются, но это смещение имеет малую
величину порядка (т/т )а « а, и мы им пренебрежем. Из формулы
(5.95) сразу следует, что U{p,t) возрастает при 0 < р < р и
убывает при Р„ < Р < Р0- в области Р > Р0
П*
307
релаксации d[i/dt > 0, а затем она меняет знак. На рис. 5.12
внизу показано качественное поведение функции U(pJ).
Сплошная линия соответствует профилю U(pJ) сразу после
перемешивания, штриховая—профилю U(pJ) во второй половине стадии
релаксации Здесь U - U(a,t)
Количественно отклонение U(pJ) от стационарного значения
U удается найти только с помощью численного решения полной
системы уравнений (4 1) с перемешиванием. Оценки с помощью
формул (5.61)-{5.64) завышают значение Ш = U - U(pJ) во
много раз. Это связано с тем, что параболический профиль
тока за период колебаний т в силу (5.94) не успевает
устанавливаться. В условиях токамака средних размеров при U ~
~ 1*2 В вычисления по полной модели дают Ш(0) = 0,2*0,3 В,
т е. LU/Ua = 15*20 %.
С поведением электрического поля при перемешивании связан
следующий парадокс. Будем считать, что релаксационные
колебания установились во времени. Тогда напряжение можно
представить в виде __
U(pJ) = U{p) + 8U(pJ), (5.96)
ГД6 _ t+xr
U(p) = i J rU(pJ)dT (5.97)
r t
— среднее значение напряжения, a dU(pJ) -периодическая по /
функция со средним значением, равным нулю. Поскольку область
перемешивания лежит глубоко внутри плазмы, то напряжение на
поверхности U(a,t) можно считать постоянным: U(ayt) - U =
= const Интегрируя уравнение (5.95) по отрезку (р,а) и
производя усреднение по периоду т , будем иметь
U(p) = Ua = const. (5.98)
Пусть т^ —длительность стадии релаксации, т . — длитель-
J и mix
ность стадии перемешивания тг>+т • ~ т- В силу (5.94)
напряжение на стадии релаксации меняется мало: V(pJ) ~
~ U (р) Напряжение на стадии перемешивания обозначим через
U \р).
В силу (5 97),(5 98) и соотношения т « тD имеем
U ~ U (p) + U '-^х. (5.99)
а rvr/ mix Т х '
Отсюда
Шт = U т , (5.100)
г mix mix '
308
где Ш = U - U (р). Из формулы (5.100) следует, что при
перемешивании в центральной области плазмы появляются большие
импульсы напряжения U . ~ (50-И00) Ш ~ (10^-20) U'
На первый взгляд кажется, что напряжение U . должно
приводить к появлению большого числа ускоренных электронов,
поскольку прирост энергии надтеплового электрона под
воздействием импульса длительностью т ~ 100 мкс должен составлять
J mi y
mix
LE ~ eU . ид . /2nR ~ 10-=-15 кэВ. В этом случае катастрофи-
mix t mix/ J г т
чески большое число электронов должно быть заброшено за
границу убегания (2.121) и должно перейти в режим непрерывного
ускорения. Однако в эксперименте при появлении
релаксационных колебаний количество убегающих электронов хотя и
увеличивается, но не радикальным образом. Возникающий импульс
напряжения не приводит к массовому ускорению электронов. Для
объяснения этого парадокса полезно обратиться к закону Ома,
учитывающему движение плазмы при перемешивании (3.12):
Е+^хВ] = 1+7^ПхВ]-^е. (5.101)
Ускоряет электроны только продольная (вдоль магнитной
силовой линии) компонента электрического поля £,. = (ЕВ)/|В|.
Умножая (5.101) ча В/|В|, получим
£„ - /,,/сг. (5 102)
Из формул (5 101), (5 102) видно, что движение плазмы при
перемешивании приводит к появлению большого поперечного
электрического поля Е± ~ - (l/c)[vxB] с тороидальной
компонентой Е,п . = U /2nR ~ - (\/с) ["vxB~L. Продольная ком-
(pmix mix7 v / / l J(p r ~
понента (5.102) при этом изменяется не очень сильно. Решение
двумерной МГД-задачи с перемешиванием (см разд. 3.4)
показывает, что в окрестности точки перезамыкания появляется пик
плотности продольного тока /.,. Однако связанное с током
возрастание поля £ц (5.102) локализовано по пространству и лишь
в несколько раз превышает электрическое поле на стадии
релаксации. В результате полное число ускоренных электронов
оказывается небольшим. Детальные расчеты функции
распределения электронов при перемешивании описаны в работе [25].
Другой парадокс связан с временной эволюцией
электрического поля на стадии релаксации. Казалось бы, напряжение
U(pJ) в центральной области р < р со временем должно
возрастать, приближаясь к стационарному значению U (см.
309
рис. 5.12). Однако в силу (5.94), нагрев плазмы и увеличение
проводимости здесь опережают рост плотности тока. Поэтому
напряжение в центре шнура, определяемое законом Ома (5.102),
на стадии релаксации уменьшается, отклоняясь еще дальше от
U (штриховая линия на рис. 5.12).
Несмотря на необычное поведение локальных значений
электрического поля, его средние значения по области
перемешивания и по периоду колебаний вполне разумны. Умножая условие
несжимаемости (5.51) на условие вмороженности потока при
перемешивании (5.53), будем иметь
-01р1ф1 + 02р2ф2 = ф'рйр = 0+рф (5.103)
Интегрируя (5.103), получаем
j (i/Лн/Г)р dp = 0 (5.104)
0
В силу соотношения (5.95)
m i x
Из формул (5 104), (5.105) и (5.99) можно найти средние
значения напряжений U и U по области перемешивания-
т0 г
<^,x>pn S К I Um^ * = О- <Ur>Pn - Ua- <5 106>
u po о
Для подсчета средней за период джоулевой мощности ^он
обратимся к уравнениям Максвелла в векторной форме (формулы
(3.2)). Умножая первое из этих уравнений на В, второе на Е и
вычитая одно из другого, будем иметь
-div[ExB] = lH(jE) + ^f|2 (5.107)
Проинтегрируем (5.107) по объему плазменного тора и усредним
по периоду релаксационных колебаний (5.97) В результате
получим
Здесь справа стоит интеграл по поперечному сечению шнура.
Поскольку 3Vp=a= (™а*)~*1иа- <VeW = fi0 £9<a> = °«
5.2.6. Свойства гибридной модели и ее приложения к
описанию экспериментов. Остановимся сначала на модели внутреннего
перемешивания и описания релаксационных колебаний. В силу
310
неравенств (5 94) относительное изменение плотности тока
dj/j за время Т сущее ничто меньше относительного изменения
температуры электроном <$Т /Г Функции ju(p) и q = \/[Х ведут
себя подобно плотности гокл, полому и модели релаксационных
колебаний при р < pext
m * </(0)«",!■ ЛД8| ■■ '
ПЛОСКИЙ ПрОфиЛЬ jLl(p) И большое ЧШЧение ирииоди МОСТИ С
приводят к тому, что уравнение ;uivi полои/т.мммч о нолч факти
чески вырождается в уравнение переноса иериот порядка, и
котором скорость определяется градиенюм icMiiepai уры, ie it
конечном счете теплопроводностью электроном
др2ц _,_ „шдр2ц п „ с2.3 1 дГе ,г .,» у .. |мм.
-ТГГ + ^"Зр = °' и = Ъш ?ТеЯр ' * ч '<• (Ь ИЖ)
о
Согласно (5.108) функция рд сносится в облаеп, максимуме
температуры электронов со скоростью v При изменении положе
о
ния максимума Т максимум функции р \х (и плотное in мжп /)
следует за максимумом электронной температуры.
Вычисления подтверждают эти качественные рассуждения Им
берем для электронной теплопроводности формулу (4 19) %
17 (>
= 5*10 /п. Тогда с увеличением плотности плазмы процесс
теплопереноса (и, следовательно, переноса тока) должен
замедлиться, а период релаксационных колебаний возрасти. На
рис. 5.13 приведены результаты вычислений по гибридной
модели для установки Т-10 Здесь нарисована зависимость периода
релаксационных колебаний т от средней по радиусу плотности
~п = а~ И? п(р) dp при q(a) = 2,2. Видно, что в расчетах
т ~ п, что хорошо отражает экспериментальную зависимость.
Конечно, период колебаний в расчетах зависит также и от
значения параметра q(a)y т.е полного тока плазмы и
продольного магнитного поля, но эта зависимость гораздо более
слабая, чем зависимость от плотности Разброс экспериментальных
точек на рис 5 13 также частично определяется тем, что
значения тока и продольного магнитного поля в разрядах слегка
различались. Результаты моделирования приближенно
описываются формулой
xr = p2s/\2xe(0) (с).
На рис. 5.14 показаны профили температуры электронов в
моменты перед перемешиванием Т (р) и сразу после перемешива-
311
*р,МС
2 п. Wf3CM'3
I-260kA
/W Лхг 1РА
Рис. 5.13. Зависимость периода релаксационных
колебаний при внутреннем перемешивании т от средней
плотности плазмы для гибридной модели с использованием двух
резонансных поверхностей. Кружками отмечены
экспериментальные точки для установки Т-10
Рис. 5 14 Профили температуры электронов Т до и
после перемешивания, рассчитанные для установки Т-10 при
токе 120 и 260 кА
ния Т+(р) для двух значений тока плазмы 120 и 260 кА Видно,
что скачок температуры в центре шнура при перемешивании
составляет ЛГ = 150-5-200 эВ, а радиус области перемешивания
р ~ 0,45-5-0,6 а Эти данные не противоречат эксперименту.
При быстром подъеме тока в начальной стадии разряда может
появиться внешнее перемешивание. Рис. 5.15 иллюстрирует этот
процесс. На нем приведены временные зависимости тока / и на-
Рис 5 15. Зависимость тока / и
напряжения U от времени на
стадии подъема тока, вычисленная
по модели внешнего
перемешивания (черточки по оси
абсцисс—моменты перемешивания)
312
пряжения на обходе плазменного тора U = 2nRE, где Е =
о 13 °
= 4 тг Re в Зр^*^ ~~вихРевое электрическое поле на поверхности
плазмы. При подъеме тока / значения параметра д(а) убывают.
При подходе q(a) к целочисленным значениям т (п = 1) в
плазме появляется пара резонансных поверхностей этого типа, и в
соответствии с условиями (5.86) происходят перемешивания.
Моменты перемешивания отмечены на рис. 5.15 черточками над
осью абсцисс. Видны перемешивания на модах т = 7 и 8.
Положительные выбросы напряжения масштаба Ш - 8-НО В
согласуются с экспериментальными значениями [21]. Заметим, что по
нашей модели отрицательные поверхностные токи сразу после
перемешивания (см. рис. 5.11) должны приводить к коротким
отрицательным пичкам напряжения. Однако грубая разностная
сеть, использованная при вычислениях (20 точек по радиусу),
привела к их сглаживанию В результате на рисунке видны
только более длительные положительные пики напряжения
Число перемешиваний на каждом из резонансов зависит как
от значения т, так и от скорости подъема тока. На высших ре-
зонансах (т ~ 10+15) при dl/dt ~ 10 А/с число
перемешиваний, как правило, невелико (~ 2*3). На резонансах с
небольшими номерами (га ~ 3*4) при уменьшении скорости подъема тока
до типичных значений dl/dt ~ 10 А/с оно может составлять
несколько десятков. При этом внешнее перемешивание
предупреждает образование сильно скинированных распределений тока,
обеспечивает переброс тока в глубинные слои плазмы и
формирует в результате многократных перемешиваний квазиоднородный
по сечению профиль плотности тока.
5.3. Кинетический конвективный перенос ионов
в гофрах продольного магнитного поля
5.3.1. Диффузионный и конвективный переносы. Влияние
гофрировки на перенос энергии обсуждалось в разд. 4.2 в
диффузионном приближении [26-30] В этом случае мы предполагали,
что частота соударений v.. достаточно велика, так что
смещение теплового иона от магнитной поверхности Ар за время
между соударениями мало по сравнению с размерами плазмы:
Ал А, 2vA cv^TT5/22A
А£ « А* = ^_ = LJ « 1 (5.109)
313
Если ион имеет энергию & - mv /2, отличную от тепловой, то
для него смещение определяется левой частью формулы (5.109),
в которой Т. заменено на &. Смещение быстро возрастает с
ростом энергии Ионы с достаточно большой энергией
л2 AnnLRaB//Г>2/5
cr 2 L ЫТпТЬ J
i
для которых Lz/a ^ 1, смещаются далеко от магнитной
поверхности. В диффузионном приближении (формулы (4.132), (4.141)
движение этих ионов не учитывается.
Однако если & не очень велико по сравнению с Г., то
деля ионов, для которых нарушается условие (5.109), может
оказаться высокой. Движение этих ионов имеет конвективный
характер. Конвекция определяет быстрый вынос горячих частиц на
периферию плазмы, вызывая сильную деформацию функции
распределения. Диффузионная картина процессов переноса становится
несправедливой, и для их правильного описания требуется
кинетическая теория.
Все сказанное относится и к переносу электронов с тем
лишь отличием, что критическая энергия для них в (т./т ) ~
~ 4,5 раза больше, чем для ионов. Поэтому при Т ~ Т.
электронные конвективные потоки заметно меньше ионных и их роль в
балансе энергии невелика. Однако конвективные потоки
энергичных электронов могут заметно исказить функцию
распределения электронов на периферии плазмы и затруднить диагностику
плазмы по спектрам рентгеновского излучения. Для простоты в
дальнейшем мы будем рассматривать только конвекцию ионов.
При необходимости приводимые формулы могут быть легко
перенесены и «а электроны [31-33].
5.3.2. Основные уравнения. Кинетические уравнения,
описывающие поведение функции распределения сверхтепловых ионов с
учетом конвективного переноса в локальных гофрах магнитного
поля, получены в работах [31,32] при условиях
Д « 1, Nq » 1, е = p/R « 1 (5.111)
(в обозначениях гл 4) Второе из этих условий означает, что
на периоде вращательного преобразования силовой линии
умещается большое число магнитных гофров (см. рис. 4.6). В
горячей плазме гофрированного токамака все частицы можно
разделить на три группы, пролетные, запертые и локально-запертые
^•м
(суперзапертые). Локально-запертые частицы дрейфуют поперек
магнитного поля в вертикальном направлении со скоростью v . =
с&/(еВ R). Относительное число их невелико (~ V А), однако
они могут сильно искажать функцию распределения как
запертых, так и пролетных частиц. Причина этого состоит в
довольно быстром перемешивании частиц в пространстве скоростей
из-за кулоновских соударений. В условиях (5.111) функция
распределения / запертых и пролетных частиц сглажена по гоф-
рам магнитного поля и зависит от времени ty координаты, р,
характеризующей' магнитную' поверхность, и двух интегралов
дрейфового движения частицы, £ и \1 (см. (1.14)). В
дальнейшем вместо магнитного момента д мы будем использовать более
удобную безразмерную переменную
s - fiBQ/& = (l+ecos#) sin26, (5.112)
где # —полоидальный угол, 9—угол между вектором скорости и
направлением магнитного поля («питч-угол») Для запертых
частиц 1-е < 5 < 1+е, для пролетных 0 < 5 < 1-е (рис. 5.16).
В токамаке с круглым сечением магнитных поверхностей
кинетическое уравнение для функции распределения пролетных и
запертых частиц f(t,&,stp} имеет вид [31-34]
!t = ¥*/ЩрЧ> (б-«4)
8n3nZ2fe4LpL г ' яп
'е = J [<1+\>f+ < WA^st]* <5-115>
8n°/2Zof Zze*Lp
е i i K
т2 &
2Я 1 2ТГ
т2 8 2 ^
\ [me}U2ftS
О О
m -v 1/2 г<р л 3/2
П = Vl+ecos^s, Л = — f-e] Г1 ]
Для запертых частиц
,3/2
^ ^ lJ
для пролетных / = 0.
Первые три члена в уравнении (5.113) соответствуют
двумерному кинетическому уравнению с линеаризованным оператором
315
-SB(f>)
W=NO
Рис. 5.16. Расположение областей запертых и пролетных
частиц
Рис 5.17. Обозначения для магнитной ямы гофрировки
магнитного поля
столкновений (2 71), в котором использованы асимптотические
формулы (2 78) Эти члены описывают столкновения
сверхтепловых ионов с тепловыми ионами и электронами, функция распрег
деления которых считается максвелловской
Выражения (5.115)—(5.117) справедливы при v. < v « v ,
т.е. при
Т. < & « {т./те)Те. (5.119)
Величина / описывает перенос, осуществляемый дрейфующими
по вертикали локально-запертыми частицами. Через <f*> и </2>
обозначена функция распределения локально-запертых частиц /,
в верхней и нижней половинах тора соответственно,
усредненная по допустимому магнитному моменту внутри магнитной ямы
гофрировки. Дрейф предполагается направленным вверх по оси
z В величинах <f. 2> полоидальный угол # соответствует
точкам отражения банановых траекторий запертых частиц, в которых
9 = я/2, 5-1 = ecosfl = x/R (5.120)
Здесь х = р cos^ —горизонтальная координата, отсчитываемая
от центра плазменного шнура к наружной стороне тора.
Параметр а в (5.118) описывает структуру магнитной ямы
гофрировки при параболической аппроксимации магнитного поля
вдоль силовой линии.
В(ф)
2(0) = В0(ф) - 3fl(0), бВ(ф) = [l - а2(0н//о)2] дВ (5.121)
316
Здесь ф = Мр, <р — тороидальный угол, ф0 — координата дна ямы
(рис. 5.17), ВМ) — поле без гофрировки. Параметр а
определяется из условия бВ(ф) = 0 при ф-ф0 ~ я/2: а ~ 0,5*0,7.
Для замыкания системы (5.113)—(5.118) нужно
сформулировать уравнения для функции распределения локально-запертых
частиц /, внутри ямы гофрировки магнитного поля. Условие
локальной запертости иона определяется формулой
В0 -SB < &/I1 < В0, (5.122)
где В - ВЛфЛ (рис. 5 17) Его можно переписать в виде
0 < т> < 1, (5.123)
т) = 1 + (в-дВ°)/И дВ. (5.124)
Переменную Т) удобно использовать в качестве одной из
независимых переменных внутри ямы. В качестве другой переменной
вместо координаты z будем использовать безразмерную величину
г(г) = \
Z vtt(8)dz
„ 2Л v <
zQ d
(5.125)
имеющую смысл времени дрейфа от точки zQ до точки г,
отнесенного к времени пребывания в гофре до рассеяния. Для
частиц с энергией £ ~ & (формула (5.110)) т ~ 1 Поскольку
время пребывания иона в гофре 2А/у..(§) много меньше времени
установления для функции распределения запертых и пролетных
частиц (~1/у„(§)), то для определения функции / можно
использовать стационарное уравнение. В переменных (5.124),
(5.125) это уравнение имеет вид [32]
Здесь 0 < т) < 1, т[-\/а2-л:2 < т < т К/а2-*2 Функция fb =
= /,(т,Т)) должна удовлетворять граничным и начальным условиям
/ь(т,0) = 0, /6(т,1) = /[*,е, 1+^УАг2(т)], /ь[т[-/а2-*2],т)]=0,
(5.127)
где /(/,£, 5, р) —функция распределения запертых и пролетных
ионов, г(т)—функция, обратная к т(г) (5 125). Время /,
энергия £ и горизонтальная координата х входят в задачу
(5 126)—{5 127) в качестве параметров через граничные и
начальные условия. Через Р = Р(т) обозначена функция
ю = ¥[§пГ (5128)
317
Уравнение (5.126) определено только в областях, где А > 0.
Точка т) = 0 и нули функции Р(т) являются особыми точками
этого уравнения. Средние значения функции /^, входящие в
(5.118), определяются формулой
\ [к = 1 при z > 0,
</.> = [fhd% \ (5.129)
k j0b [k = 2 при z < 0.
Сформулированная система уравнений (5.113)—(5.118) и
(5.126)-(5.129) является замкнутой, если заданы параметры,
определяющие тепловую компоненту плазмы: плотность
электронов л(/,р), температура ионов T(t,p) п электронов Т (t,p).
Связь между (5.113Н&-И8) и. (5.126)-<5.129) происходит
через погок / и условия сшивки (5.127). В качестве начального
условия выбирается, например, максвелловское распределение
ионов с заданной плотностью гс(0,р) и температурой 7\(0,р).
Зная функцию распределения /, нетрудно найти потоки
частиц Г и энергии Г •
Г* = 2Wp J'p d& ds> rw = Ар JV d§ ds' (5 130)
и значения эффективных коэффициентов диффузии и
теплопроводности за счет конвекции:
DCOn = - гп ШГ* ^--^["^У- <5131>
5.3.3. Решение системы (5.113)-(5.118), (5.126)-(5.129). Задача
(5.126), (5.127) представляет собой трехпараметрический
набор двумерных задач. Очевидно, что ее прямое численное
решение требует больших затрат времени ЭВМ. В связи с этим мы
рассмотрим здесь подробнее важный частный случай, когда для
задачи (5.126), (5.127) может быть построено аналитическое
решение [31,32]. Будем считать, что величина VE/a мало
меняется вдоль дрейфовых траекторий запертых частиц
(вертикальных линий х = const). В этом случае
Р = const, (5.132)
и задача (5.126), (5.127) упрощается:
dh _ д fjfb^i
fb(r,0) = 0, fb(r,l) = fU, &, \+x/R, v42+22(t)1 = /(t), (5.133)
/6[x[Va2-*2 ),т>] = 0.
318
Ее решение имеет вид
h = J?(T')/?(UT-T')rfT'.
О
1 S Угь^) Г
^4l2*V^exfT
Здесь ЛЛ^) и /.(г)—функции Бесселя,
2Ь
-T-J-
г,—корни
(5.129) и
/0(г) = 0. Подставляя (5.134), (5.135) в
ясь от переменной т к р, будем иметь
Рг Р ^ Р Р
<ff = J M(jp) f(P) цр) dp + J M(//?|s_1|+//?|s_]|)/(p)L(p)dp
/?|s- 1 | «| s- 1 |
a
</2> = jA*(/g) /(P) ЦР) 45,
P
в
/J = |fL(p)dp|, M(/) « ^Ь^1,
L(g,s,p) = г
(5.134)
(5.135)
уравнения
возвраща-
/dr(g.p)
dr
2vdh
/Hr(g,p)/e2-(5-l)2
v/-? cVm
g5/2A
Здесь L,
rcrcZ (Z3e5LRB
e f *
<P
w. -характерная длина дрейфового пробега в гофре
5 = 1 величина /J? имеет вид
(5.136)
(5.13
(5.13S;
(5.139)
(5.140)
При
- й
5/2
Г-
nZe{ Z^Lflfi p
ПИ
2/5
(5.141)
Величина & ,
,. - & является важным параметром,
характеризующим перенос в гофрах. Для ионов с малой энергией, когда
§ « £. , величина M(J) экспоненциально мала и конвективный
перенос невелик Для ионов с энергией & > &. величина
M(J) ~ 1 и конвективный перенос определяет функцию
распределения запертых и пролетных частиц. Подчеркнем, что заметные
отклонения функции распределения от максвелловской
начинаются уже при энергиях &. ~ £ T.(p)/T(pQ) < & Здесь через pQ
обозначен минимальный радиус, начиная с которого возможен
вертикальный дрейф до границы плазмы, а р > pQ.
Если условие (5.132) не выполняется, то уравнение (5.126)
содержит член с первой производной <9/V<3t}, который
определяет адиабатический (без соударений) переход ионов из запертых
319
0,0025
IZ,CM
A = 0f0005
JO xfCM
Рис. 5.18. Линии уровня гофрировки А = const для
одного из режимов установки Г-10. В заштрихованной области
нет магнитных ям гофр
в локально-запертые и обратно [31-32]. Направление перехода
зависит от знака dP/dx при dP/dx > 0 происходит
адиабатический захват запертых ионов в яму гофрировки, при dP/dx < О
локально-запертые ионы переходят в запертые.
В реальном токамаке чередование знаков Р'(т) вдоль
траектории дрейфа может быть сложным В качестве примера приведем
результаты расчета гофрировки для одного из режимов
установки Т-10. На рис 5.18 в поперечном сечении шнура показаны
области, где ямы гофрировки отсутствуют, и приведены некото
рые линии уровня Л = const
На рис. 5.19 показано поведение функции Vff, входящей
множителем в Р(т), вдоль некоторых вертикальных хорд, отмечен-
К=2бсм
20 J 0 Z,cm
Рис. 5.19. Поведение функции
1/2
А вдоль вертикальных хорд,
отмеченных на рис 5.18 Для
х > 10 см величина
зависит от z
А1/2 слабо
ных на рис 5 18 При х/а > 0,4 т 0,5 функция Р > 0 и
примерно постоянна вдоль вертикальных хорд Здесь приближение
(5 132) хорошо выполняется и адиабатический переход играет
малую роль При х < 0 существуют три области с Р > 0,
разделенные двумя областями, где ям нет Здесь главную роль игра-
320
ет адиабатический захват, однако абсолютные значения потока
/ невелики Для переноса в этой области справедливы формулы
диффузионного приближения (см гл. 4).
5.3.4. Численное решение системы (5.113)-(5.118); (5.136)-
(5.140). Для решения уравнения (5.113) естественно ввести
трехмерную сеть по переменным &, s, p в области [33]
Тп < S < & , 0 < 5 < 1 + е, 0 < р < а (5.142)
ДО max » г- v /
(Т^ —температура ионов в центре плазмы). Энергия & должна
быть достаточно велика по сравнению с & • & £ (4*5)& .
г сг max v ' cr
При выборе разностной сети по 5 и р следует помнить, что
интеграл L имеет логарифмическую особенность на линии 5 =
= 1-е, разделяющей пролетные и запертые частицы (рис. 5.16).
Для хорошего описания функции распределения /, которая
изменяется на несколько порядков величины, требуется
достаточно большое число точек сети N*> по переменной £ (для
полосы энергий Т^ < £ < 15Г^ число точек N& ^ 40). Число точек
сети по переменным .9 и р определяется памятью ЭВМ и
допустимым временем вычислений. Простейшие граничные условия по
переменной & имеют вид
НТю,з,р) = 1м(Тю,р), f(SmM,s,p) = 0. (5.143)
где fM(&,p) — максвелловская функция с плотностью п(р) и
температурой 7\(р).
Граничные условия по переменной 5 сводятся к условию
ограниченности функции / в точках 5 = 0 и 5 = 1+е, поскольку
s/2 = 0 в этих точках Радиальный оператор dl /dp действует
только внутри области запертых частиц 1-е < s < 1+е, Для него
не требуется дополнительных условий, поскольку / обращается
в нуль при s = 1±е.
Для разностной аппроксимации первых трех членов в
уравнении (5.113) нужно выбрать неявную консервативную схему,
сохраняющую число частиц. Кроме того, максвелловское
распределение с температурой тепловых ионов Т(р) должно быть точным
решением разностного уравнения (5.113) при 1=0. В
противном случае описание переноса ионов с большими энергиями
будет сильно искажено. При выборе разностной схемы по
переменной s учет обращения / в нуль в точках 5 = 0 и 1+е удобно
провести с помощью алгоритма, предложенного в работе [35].
321
о
5
10 8,кэВ
Рис. 5.20. Энергетические спектры функции
распределения в разных точках вдоль вертикальной хорды х = 11 см
для глубоко захваченных частиц (6 = 90, 5 = 1 + x/R =
=1,07). Штриховая линия соответствует максвелловскому
распределению с температурой Г(р), штрих-пунктирная —
пролетным частицам (9 = 0, 5 = 1) для р = 25 см
Этот алгоритм позволяет заменить оператор второго порядка
dl/ds на границе двухточечным разностным аналогом. Для
описания радиального потока / можно использовать явную схему.
Решение разностных уравнений по переменным & и s проводится
методом переменных направлений (разд. 3.2) в сочетании с
методом прогонки по каждому направлению (разд. 4.4)
Выбор временного шага при интегрировании разностного
аналога (5.113) определяется оператором / , поскольку
характерное время конвективного переноса тсоп = a/vi& ov) много
т. = \/v.(& ).
i ' iv max7
(г max'
Полное время
меньше времени соударении
счета на ЭВМ велико, так как время установления в (5.113)
определяется временем соударений т.. Для достижения
стационарного состояния обычно требуется около 200 шагов по времени.
В качестве примера приведем результаты вычислений для
установки Т—10 в режиме с параметрами ZL = 1,5 Г, Z . = 4,
д(а) = 3 для гофрировки, показанной на рис. 5 17 и 5.18 [34]
322
при профилях плотности и температуры ионов
п(р) = 4-1013[1-(р/37)4]4. Г/р) = Тю [1-(р/29)2'5]2
(р в см). В этих, условиях при х ~ 20 см & ~ 4 кэВ На рис.
5 20 приведены зависимости функции распределения от энергии
в различных точках вдоль вертикальной хорды х = И см для
Э = 90°, 5 = 1 + x/R ~ 1,07 (запертые частицы на границе с
локально-запертыми). Штрих-пунктирной линией показана
функция распределения пролетных частиц (6 = 0, 5 = 1) при
О 5 10 £,К?в.
Рис. 5.21 Усредненные функции распределения для
локально запертых частиц в некоторых точках хорды х =
= И см. Направление дрейфа совпадает с направлением
оси z. Функция </.> соответствует точкам z > 0,
функция <f2> —точкам z < 0. Пунктир показывает функцию
распределения / запертых частиц на границе с
локально-запертыми частицами
р = 25 см, штриховыми линиями—максвелловские распределения
с температурой 7\(р). Видно, что на периферии плазмы функция
распределения для запертых и пролетных частиц радикально
отличается от максвелловской Отличие усредненных функций
распределения локально-запертых частиц </\> и <L> от функции
распределения запертых частиц показано на рис 5 21
Перемешивание между всеми классами частиц велико, и абсолютные
значения функций распределения различаются не очень сильно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе 1
1. Тамм1 И Е , Сахаров А Д Физика плазмы и проблема
управляемых термоядерных реакций —М АН СССР, 1958 Т1 С 13, 21.
2. Арцимович Л А Управляемые термоядерные реакции — М Физ-
матгиз, 1963
3 Kodd А М , Chance М S , Greene J M е а // Phys Rev Lett
1977 V 38. Р 826
4 Bateman G , Peng Y-K M //Phys Rev Lett 1977 V.38 P 829
5 Галеев A A , Caedeee P 3 II ЖЭТФ 1967 T 53 С 348
6 Днестровский Ю. И , Костомаров Д П I Междунар конф по
удержанию плазмы в замкнутых системах Дубна, 19б9. (Сб.
аннотаций докл.). -М 1969 С 41
7. Днестровский Ю И , Костомаров Д П , Павлова Н Л II Атом
энергия 1972 Т 32 С 301
8 ITER Documentation Series.-Vienna IAEA, 1990 VI P.34
9. Artsimovich L A II Nucl Fusion 1972 V 12 P 215
10. Furth HP. //Nucl Fusion 1975. V 15 P.487
И Муховагов В С I Итоги науки и техники, Сер Физика
плазмы -М ВИНИТИ, 1980 Т1 Часть 1 С 6
12 Sheffield J II Ргос IEEE 1981 V 69 Р 885
13. Мирное С В Физические процессы в плазме токамака —М
Энергоатомиздат, 1985
i4 White R В. Theory of Tokamak Plasmas. —Amsterdam, Oxford,
New-York, Tokyo North-Holland, 1989 381P
15. Арцимович Л А Бобровский Г А , Горбунов Е П и др /
Plasma Phys and Control Nucl Fusion Research (PPCNFR) (Proc
3rd Intern Conf , Novosibirsk, 1968 ) -Vienna IAEA, 1969 VI
P157.
16 INTOR GROUP Intern Tokamak Reactor Phase Zero —Vienna
IAEA, 1980
17 INTOR GROUP Intern Tokamak Reactor Phase One -Vienna:
IAEA, 1982
18 INTOR GROUP Intern Tokamak Reactor Phase Two A, Part
1 -Vienna IAEA, 1983
19 Боголюбов И Н , Митропольский Ю.А. Ассимптотические методы
теории нелинейных колебаний —М : Наука, 1974 С 399
20 Сивухин Д В. I Вопросы теории плазмы — М . Госатомиз-дат,
1963 Вып 1 С 7
21 Rome J A , Peng Y-K M //Nucl Fusion 1976 V 16 P.55
К главе 2
1. Ландау Л Д //ЖЭТФ 1937 Т7 Вып 2. С 203
2 Боголюбов Н Н Проблемы динамической теории в
статистической физике — М Гостехиздат, 1946
3 Rosenbluth М N , MacDonald W М , Judd D L // Phys Rev
1957. V107. №1 PI
4. Трубников Б.А. //ЖЭТФ, 1958. Т,34 С.1341.
324
5. Трубников Б А I Вопросы теории плазмы — М Госатомиздат,
1963 Вып.1. С 98
6 Hassan М//, Watson С J //Plasma Phys 1977 V.19. №3
Р237
7. Baldwin D E , Watson С J /I Plasma Phys 1977 V 19 P 517
8 Hassan M H , Watson С J //Plasma Phys 1977 V 19 P 627
9 Matsuda К //Phys Fluids 1983 V 26 P1247
10 O'NeilT //Phys. Fluids 1983 V 26 P 2128
11 Inovenkov I.N., Kostomarov D P , I.ukyiuutsa A A I Proc
16th Intern. Conf on Phenomena in Ionized Gases, Dusseldorf,
1983. V.l. P.40
12 Арсеньев А А , Песков Н В //ЖВМ и МФ 1977 T 17 С 1063
13. Буряк О.Е. Существование в целом классическою решения
линеаризованного уравнения Ландау —М. 1983 Промрит ИПМ им
М.В.Келдыша —119
14. Ишимару С Основные принципы физики плазмы М Агомиз
дат, 1975. С.38.
15 Маслова Н Б., Чубенко РП //Вестн ЛГУ 1973 Т 19
С 100
16 Маслова Н Б , Чубенко Р П //Вестн ЛГУ 1976 Г 13 С 90
17 Арцимович Л А //УФН. 1967 Т 91. С 365
18. Golovin I N , Dnestrovskij Yu N., Kostomarov I) P I Pi ex
Nucl Fusion Reactor Conf , Culham, 1970 BNES, 1970 P 194
19 Dnestrovskij Yu N , Kostomarov D P , Karetkina N V с </
I CFPP (Proc 6th EuroD Conf Moscow, 1973) VI P 41
20 Днестровский Ю H , Костомаров Д П I Вычислительные методы
в физике плазмы — М Мир, 1974 С 483
21 Cordeu J W , Houghton M /. // Nucl Fusion 1973 V 13
P215
22 Connor JW, Cordey J G //Nucl. Fusion 1974 V 14 P 185
23 С alien /D, Colchin RJ , Fowler RH e a. / PPCNFR
(Proc 5th Intern Conf, Tokyo, 1974) -Vienna IAEA, 1975 VI
P645
24 Rome LA , McAlees DGy Callen JD, Fowler R.H //Nucl
Fusion. 1976. V 16 P 55
25 Гришанов Н В , Днестровский Ю Н , Кареткина Н В , Костома
ров Д П. II Физика плазмы 1976 Т 2 С 260
26 Dnestrovskij Yu.N , Kostomarov D.P., Smirnov AP. //Nucl
Fusion. 1977 V 17. P 433
27. Кареткина Н.В //Вестн МГУ. Сер 15 Вычисл математика и
кибернетика 1978 С 41
28 Кареткина Н В. //ЖВМ и МФ 1980. Т.20 С.236
29 Самарский А А Теория разностных схем. — М Наука, 1977.
30 Фрязинов ИВ //ЖВМ и МФ 1971 Т И С 1219
31 Dreicer Н Ц Phys Rev 1959 V 115 Р 238
32 Dreicer H //Phys Rev 1960 V 117 Р 329
33 Гиревич А В //ЖЭТФ 1960 Т 39 С 1296
34 Kruskal M D , Bernstein I В Princeton Plasma Phys Lab
Rep MATT-Q-20, 1962
35 Лебедев A H. IIЖЭТФ 1965 T 48 С 1393
36 Гуревич А.В, Живлюк ЮН //ЖЭТФ 1965 Т 49 С 214
37 Cohen R H //Phys Fluids 1976 V 19 Р 239
38 Connor JW , Hastie R J //Nucl Fusion 1975 V 15 P.415
39 Kulsrud R M , Sun Y С , Wilson N К , Fallon HA II Phys
Rev Lett 1973 V 31 P 690
40 Гуревич А В , Димант Я С, Днестровский Ю Н , Смирнов А П
II Физика плазмы 1979 Т 5 С 777
41 Vinogradova N D , Esipchuk Yu V , Kovrov P E , Razumova
К A e a I PPCNFR (Proc 7th Intern Conf , Innsbruck,
1978) -Vienna. IAEA, 1979 VI P 257
42 Knoepfel H , Spong D A II Nucl Fusion 1979 V 19 P 785
325
43 Параил В В , Погуце О П / Вопросы теории плазмы. — М
Энергоиздат, 1982. Вып И С 5
44 Гуревич А.В //ЖЭТФ. 1961. Т 40 С 1825.
45 Furth И , Rutherford Р II Phys Rev Lett 1972. V 28 Р 545.
46 Веденов А А , Велихов Е И , Сагдеев Р 3 II Nucl Fusion
1961. V.l P.82
47. Якименко В Л //ЖЭТФ. 1963. Т.44 С.1534
48. Kennel С, Engelmann F. //Phys. Fluids. 1966 V 9. Р 2377.
49. StixTH. //Nucl. Fusion 1975. V.15 P 737
50. Cordey J.G //Plasma Phys. and Control Fusion 1984.
V.26. P.123.
51. Fisch N J. //Rev Mod Phys 1987 P.175.
52. Колесниченко ЯИ, Параил В В, Переверзев Г.В /Вопросы
теории плазмы —М. Энеогоатомиздат, 1989 Вып 17 С 3
53 Аликаев В В , Вдовик В Л. II Физика плазмы 1983 Т 9.
С928 * ' •
54. Alcock MM, Edlington T.f Gaisford PA e a / CFPP
(Proc 10th Europ. Conf , Moscow, 1981) VI P.H-15
55 Start D.F H , Ainsworth NR, Cordey JG e a /CFPP
(Proc 10th Europ. Conf, Moscow, 1981). VI. P.H-16
56 Fidone I I Intern Symp on Heating in Toroidal Plasmas,
Roma, 1984 Rep. E-15
57. Eldridge ОС Rep ORNL/TM-7503 -Oak-Ridge, 1980
58 Cordey JG ea Culham Lab Rep.CLMP-636 -Abingdon,
1981.
59. Параил ВВ, Переверзев Г.В //Физика плазмы 1982 Т8
С 45
60 Fisch N J II Phys Fluids 1985 V 28 P 245
61 Dnestrovskij Yu N., Kostomarov D P , Lukyanitsa A A., Pa-
rail V V , Smirnov A P I CFPP (Proc 12th Europ. Conf ,
Budapest, 1985) V.2. P200
62 Dnestrovskij Yu N f Kostomarov DP., Lukyanitsa A A, Pa-
rail VV, Smirnov AP //Nucl. Fusion 1988. V.28 P 267
63. Karney FF, Fisch N.J //Nucl. Fusion. 1981. V 21. P 1549
64. Taguchi M Rep IPPJ-620 -Nagoya, 1983
65 Аликаев В В, Вдовин ВЛУ Иванов И.В и др Эксперименты
по генерации тока в токамаке Т-7 нижнегибридными волнами. —М ,
1982. Препринт ИАЭ-3702сУ7.
66. Luckhardt S С , Porcolab М е а // Phys Rev Lett 1982
V47 Р152
67 Tanaka S, Kubo S, Nakamuro M e. a. /CFPP (Proc 11th
Europ Conf , Aachen, 1983) EPS V 1 P 311
68 Stevens J.E , Bernabei S., Bitter M e a /Proc 3d
Intern Symp on Heating in Toroidal Plasmas, Grenoble, 1982
V.2 P455
69. Fisch N J //Phys Rev. Lett 1978 V 41 P 873
70 Karney F F , Fisch N J. // Phys Fluids 1979 V 22 P 1870
71 Fisch N J , Boozer A. H. //Phys Rev Lett 1980 V 45 P 720
К главе З
1 Чепмен С , Каулинг Т Математическая теория неоднородных
газов -М ИЛ, 1960
2. Брагинский С И / Вопросы теории плазмы — М Госатомиздат,
1963. Вып 1 С 183
3 Кадомцев Б Б , Погуце О. П //ЖЭТФ 1967 Т 53 С 575
4 Rosenbluth М N , Monticello D А , Strauss И R , White R В
II Phys Fluids. 1976 V 19 Р 1987
5 Monticello D A , Park W , Jardin S С е а / Plasma Phys
and Control. Nuclear Fusion Research (PPCNFR) (Proc 8th Intern
Conf., Brussels, 1980) -Vienna IAEA, 1981 VI. P 227
326
6. Hicks H.R., Holmes J A, Carreras В A e a. / PPCNFR
(Proc 8th Intern Conf , Brussels, 1980).-Vienna IAEA, 1981.
V.l P259
7 Strauss H R. //Phys Fluids 1977 V 20 P 1354
8 Strauss H R If Nucl Fusion 1983 V 23 P 649
9 Edery D , Pellat R , Soule J L Equations for the Nonlinear
Evolution the Resistive Tearing Modes in Toroidal Plasmas
Preprint EUR-CEA-FC-1013, 1979
10 Edery D., Pellat R, Soule JL II Comp Phys Comm 1981
V24 P427
11 Schmalz R //Phys Lett 1981 V 82A P 14
12 Schmalz R II Comp Phys Comm 1981 V 24 P 421
13. Schmalz R II Comp Phys. Comm 1983. V 30 P 139
14 Lynch V E , Carreras В A , Hicks H R , Holmes J A , Garcia
L. II Comp. Phys Comm 1981 V 24 P 465
15. Carreras В A., Hicks H R , Lee D.K //Phys Fluids. 1981
V.24. P.66
16. Izzo R., Monticello DA, Strauss H R. e a //Phys
Fluids 1983. V26 P3066.
17 Шафранов В.Д //ЖЭТФ 1957 T 33 С 710
18 Шафранов В Д / Вопросы теории плазмы — М Госатомиздат,
1963 Вып 2 С 92.
19 Захаров Л Е , Шафранов В Д. I Вопросы теории плазмы — М .
Энеогоиздат, 1982, Вып И С 118
20. Соловьев Л С I Вопросы теории плазмы — М Госатомиздат,
1963 Вып.З. С 245
21. Похожаев СИ. //ДАН СССР 1965 Т 165. С 36
22 Keller Н , Cohen D IIJ Math Mech 1967. V 19 P 1361
23 Georg К //Numer Math 1979 V 32 P 69
24 Кадомцев Б Б Коллективные явления в плазме — М Наука,
1976 С 14
25 Самарский А А , Николаев Е С Методы решения сеточных
уравнений -М Наука, 1978 С 592
26 Lakne- К //Comp Phys Comm 1976 V 12 Р 33
27 Dnestrovskij Yu iJ , Tsaun S V , Kostomarov D P , Popov
AM I Control Fusion and Plasma Phys (CFPP) (Proc 10th Europ
Conf, Moscow, 1981) V.l P B-14
28 Андреев в Ф , Днестровский Ю Н , Костомаров Д П , Попов
А М , Цаун С В Ц Физика плазмы 1986 Т 12 С 387
29 Захаров Л Е Метод электродинамических моментов для
расчета равновесия тороидальной ллазмы М. 1985 Препринт ИАЭ-4114/6.
30 Днестровский ЮН, Попов AM, Цаун СВ. Редуцированная
модель равновесия плазмы с сепаратрисой в токамаке с железным
сердечником. —М 1990. Препринт ИАЭ — 5178/7
31 Андреев ВФ, Днестровский Ю.Н., Костомаров ДП, Попов
А.М //ВАНТ, Сер Термоядерный синтез 1988. С 36
32 Zakharov L Е , mikhailov M I , Pistunovich VI е а
/PPCNFR (Proc 8th Intern Conf, Brussels, 1980) -Vienna
IAEA, 1981 VI P313
33 Bernstein I В , Frieman E A , Kruskal M. D , Kulsrud R M
II Proc Royal Soc 1958 A244 № 1 P 17
34 Newcomb W A II Ann Phys 1960 V.10 P 232
35 Шафранов В Д. / Физика плазмы и проблемы управляемых
термоядерных реакций -М АН СССР, 1958 Т IV С 61
36 Шафранов В Д //ЖТФ 1970 Т 40 С 241
37 Кадомцев Б Б I Вопросы теории плазмы — М Госатомиздат,
1963. Вып 2 С 132
38 Suydam В /Proc II UN Intern Conf PUAE -Geneva,
1958 P 31
39 Furth H P , Killeen J , Rosenbluth M N //Phys Fluids
1963. V6 P459 .
327
40 Wesson J A //Nucl Fusion 1966 V6 P 130
41 Johnson JL, Greene JM, Coppi В //Phys Fluids. 1963
V6 P1169
42 Furth H P , Rutherford P , Selberg H II Phys Fluids 1973
V 16 P 1054
43 Coppi В , Greene J M , Johnson J L II Nucl Fusion 1966
V6 P101
44 Коппи Б , Гальвао Р , Пелат Р , Розенблют М , Резерфорд П
II Физика плазмы 1976 Т 2 С 961
45 Basy В , Coppi В //Nucl Fusion 1977 V 17 Р 1245
46 Wesson J A //Nucl Fusion 1978 V 18 P 87
47 Mercier С II Nucl Fusion 1961 VI P 47
48 Шафранов В Д , Юрченко Э И //ЖЭТФ 1967 Т 53 С 1157.
49 Glasser А Н , Greene J.M , Johnson J L //Phys Fluids
1975 V.18 P875
50 Glasser A H , Greene J M , Johnson J L II Phys Fluids
1976 V19 P567.
51 Hastie R J , Sykes A , Turner M , Wesson J A II Nucl
Fusion 1977 V 17. P515
52 Todd A M , Chance M S , Greene J M e a II Phys Rev
Letters 1977 V 38 P 826
53 Bateman G , Peng Y К II Phys Rev Letters 1977 V 38
P829
54 Connor J W , Hastie R J , Taylor J В II Phys Rev
Letters 1978 V4 P396
55 Погуце О П , Юрченко Э И II Физика плазмы 1979 Т 5. С 786
56 Захаров ЛЕИ Физика плазмы 1981 Т 7 С 1295
57 Kleva RG, Drake /F, Boyd DA //Phys Fluids 1986.
V 29 P 475
58 Bondeson A II Nucl Fusion 1986 V 26 P 929
59 Ильина Е В , Педоренко А В , Попов А M II Физика плазмы
1989 Т15 С 926
60 Andreeva Е V , Dnestrovskij Yu N , Kostomarov D P , Nefe-
dov VV, Pedorenko AV, Popov AM /CFPP (Proc 17th Europ
Conf ) -Amsterdam, 1990, Pt II P 894
61 Strauss H R , Monticello D A , Manickam J II Nucl Fusion.
1989 V29 P320
62 Charlton L A , Holmes J A , Hicks H R e a // J Comput
Phys 1986 V 63 P 107
63 Holmes J A , Carreras В A, Charlton LA e a II Phys
Fluids 1988 V31 P 1202
64 Holmes J A , Carreras В Л, Charlton LA e a II Phys
Fluids B. 1989 V.l P 788
65 Aydemir AY, Barnes DC //J Comput Phys. 1984. V.53
P100
66 Aydemir A Y , Barnes DC //J. Comput. Phys 1985 V.59.
P. 108
67 Aydemir AY, Wiley JC, Ross DW. U Phys Fluids B.
1989 VI. P.774
68 Роберте К , Поттер Д I Вычислительные методы в физике
плазмы -М.. Мир, 1974 С 335
69 Поттер Д Вычислительные методы в физике —М. Мир, 1975
70 Самарский А А , Попов Ю П Разностные схемы газовой
динамики — М Наука, 1975.
71 Брекбилл Дж. / Вычислительные методы в физике Управляемый
термоядерный синтез —М Мир, 1980 С 11
72 Борис Дж , Бук Д Л / Вычислительные методы в физике
Управляемый термоядерный синтез — М • Мир, 1980 С 92
73 Ильина Е В , Педоренко А. В , [Топов AM ft Матема тическое
моделирование 1990 Т 2 С 86
328
74 Ильина Е В , Педоренко А В , Попов А М Эффективный
численный метод исследования спектра тороидальной диссипативной
плазмы, / Актуальные вопросы прикладной математики, —М МГУ,
1989 С.193
75 Дулан Э , Миллер Дж , Шилдерс У , Равномерные численные
методы решения задач с тираничным слоем —М Мир, 1983 С.200
76 Днестровский К) II , Костомаров Д П , Попов А.М Винтовые
волны в плотной плазме М МГУ, 1971
77 Днестровский К) II , Костомаров Д П , Попов AM IIЖТФ
1972 Т42. С 1825.
78 Гримм Р К , Грин Дж М , Джонсон Дж Л /Вычислительные
методы в физике Управляемый термоядерный синтез —М. Мир, 1980
С.268
79 Dewar R L , (ir eerie J M , Grimm R С , Johnson J L Ц У
Comput. Phys. 1975 V 18 P 132
80 Grimm R С , Demit R L , Manicam J , e a. / PPCNFR (Proc
9th Intern Conf , Halt miora. 1982) -Vienna IAEA, 1983. V.3
P 35
81 Berger D, Betmud LC, Gruber R, Trouon F. /PPCNFR
Proc 6tn Intern Conl , Berchtesgaden, 1976) —Vienna IAEA,
976 V2 P411
82 Kerner W , I ethniper К , Gruber R , Tsunematsu T , //Comp
Phys Comm 1985 V 'M\ P 225
83 Дегтярев ,/I M //Фишка плазмы 1985 Til С 1299
84 Дегтярев Л Л! , Дрои)ов В В , Медведев С Ю Численное
моделирование равновесны м \м тйчивости тороидальной плазмы. —М. ИПМ
им.М В Келдыша, \1)НЧ
85 Gruber R , Ruppn I Finite Element Methods in Linear
Ideal Magnetohydrodyiunm • Berlin, Heidelberg Springer, 1985.
86 Kadomtseo li II , Pogutse О P I CFPP (Proc 6th Europ
Conf , Moscow, 19/.i) V I I» 59
87 White R В , ,\hmtitello D A , Rosenbluth M N. e a I
PPCNFR (Proc Mb ImImm Conf, Tokyo, 1974) -Vienna IAEA,
1975 V 1 P 495
88 Днест/ншскип l(> II , Захаров Л Е , Костомаров Д.П и dp
//Письма в ЖТФ 1«>/'. II С 45
89 Dnestrovskij ) и N , Kostomarov D.P , Popov AM, Shagirov
E.A. /СГРР (Рим Mil. I mop Conf., Aachen)-1983. Pt II B-52
P. 173
90 Днеп-potu htm H> II , Костомаров Д П , Попов A M , Шагиров
Э.А. //Фи'шкл П./1.ИМЫ I4.S4 111 С 1080
91. 3uxnf)im .// / // <Imi iiik.i плазмы 1981. T7 С 18
92 Si/kes -1, Ui-ss,»// I A /PPCNFR (Proc 8th Intern Conf.,
Brussels, "1980) Viniiu I А! Л, 1981 VI P 237
93. Днеарот ми) l<> II , Костомаров Д П , Педоренко А. В , Попов
А.М, // Фи uik;i мшимы |4,s(» Г 13 С 1186
94 Von (ioelet S . Shxhek W , Sauthoff N // Phys. Rev
Letters 1974 V ;u P 1201
95 Кш)омцеч hi, //Фишка плазмы 1975 T 1. С 710
96 Дани'ion ■] </' , Цне< ipotiCKuu Ю Н., Костомаров Д П , Попов
AM //Фишка тиимы Г>/<> 12 С 167
97 Damlov \ I l>/ie\fr<>uskij Yu N , Kostomarov D P., Popov
AM. /PPCNIR (P.... oth Intern. Conf, Berchtesgaden,
1976). -Vionn,i 1Л1 A, P>/7 VI P 591
98. White R li , Monh<ell<> DA, Rosenbluth MN, Waddell B.V
/PPCNFR (Рим (.Hi lutein Conf, Berchtesgaden, 1976) -Vienna
IAEA, 1977 V 1 I'M,'»
99. Johns (i I . S,>lr, Л1 , Waddell BV II Nucl Fusion 1978
V.18. P609
100. Ruthot\i»il I'll //Phys Fluids 1973. V 16 P 1903
329
101 White RB, Monticello DA., Rosenbluth MN/ Waddell
BV. //Phys Fluids 1977 V 20 P 800
102 Carreras В A , Waddell В V , Hicks H II Nucl Fusion
1979. V 19. P 1423
103 White R В , Monticello D A , Rosenbluth M N II Phys Rev
Letters 1977. V 39 P 1618
104 Данилов А Ф , Днестровский Ю. H , Костомаров Д П , Попов
A.M. //Физика плазмы 1977 Т.З. С 213
105 Мирное С В, Семенов И Б //Физика плазмы 1978. Т.4.
С 50.
106 Bretz N., Ball К., Dimock D е. a /Symposium. Status of
Ohmic Heating in PLT -Prinseton. 1977 PI
107 Bagdasarov A A , Berlizov А В , Vasin N L e a. I PPCNFR
(Proc 7th Intern Conf , Innsbruck, 1978) -Vienna IAEA, 1979
VI P35
108 Kadomtscv B.B /PPCNFR (Proc 6th Intern Conf, Berch-
tesgaden, 1976) --Vienna: IAEA, 1977 VI P.555
109. Днестровский Ю. И , Костомаров Д Я., Попов А М, //Физика
плазмы 1979. Т5 С 519
110 Carreras В А , Hicks H R , Waddell BV II Nucl Fusion
1979. V 19. P 583
111 Waddell В V , Carreras В A , Hicks H R e a // Phys
Rev. Letters 1978 V 41 P 1386
112 Waddell BV, Carreras В A., Hicks H.R , Holmes J. A.
//Phys Fluids 1979 V 22 P 896
113 Harned D.S , Kerner W II3 Comput Phys 1985 V 60 P 62
114 Harned DS, Schnack- D D IIS Comput Phys 1986
V65. P57
115 Wesson J A //Plasma Phys Contr Fusion 1986 V 28
P243.
116 Hastie R J , Hender T С , Carreras В А е а // Phys
Fluids 1987 V 30 P 1756
К главе 4
1. Брагинский СИ /Вопросы теории плазмы — М • Госатомиздат,
1963 Вып 1 С.183.
2. Галеев А А, Сагдеев РЗ //ЖЭТФ 1967 Т 53 С 348
3. Коврижных Л М II ЖЭТФ 1969 Т 56 С 877
4 Ware А А II Phys Rev Lett 1970 V 25 Р 15
5. Chang CS, Hinton FL //Phys Fluids 1982 V 25 P 1493
6 Галеев А А , Сагдеев P 3 I Вопросы теории плазмы —M .
Атомиздат, 1973 Вып 7 С 205
7. Hinton F L , Hazeltine R D // Rev Mod Phys 1976 V 48
P 239
8. Шафранов В.Д II Атом энергия. 1965. T 19. С.120.
9 Hirshman SP, Hawryluk RJ.y Birge B. //Nucl. Fusion.
1977. V.17. P.61
10 Zarnstorff M , Arunasalam V , Barnes CWea / PPCNFR
(Proc 12th Intern Conf, Nice, 1988) -Vienna IAEA, 1989 VI.
P 183
11 Taroni A, Tibone F CFPP (Proc 14th Europ Conf.,
Madrid, 1987) EPS, 1987 VI P 97.
12 Tibone F , Balet В , Cordey J G e a I CFPP (Proc. 16th
Europ. Conf , Venice, 1989) EPS, 1989. V 1. P.283
13 Арцимович Л. А Письма в ЖЭТФ 1971. Т 13 С.101
14. Jassby D L , Cohn D R , Parker R R II Nucl Fusion. 1976.
V.16. P 1045
15. Leonov VMy Merezhkin VG, Mukhovatov V.S e. a.
/PPCNFR (Proc 8th Intern Conf, Brussels, 1980) -Vienna.
IAEA, 1981 VI P393
330
16. Kaye S.M., Bell К, Bol К. е. а. / CFPP (Proc. 11th Europ.
Conf , Aachen, 1983) EPS, 1983. V.l P. 19.
17 Keilhacker M., Becker G, Bernardi K. e. a. /CFPP (Proc.
11th Europ. Conf, Aachen, 1983) EPS, 1984 V.26. № la P.49.
18. ASDEX Team. II Nucl. Fusion. 1989 V 29. P 1959
19. JET Team (Keilhacker M.) / PPCNFR (Proc 12th Intern.
Conf , Nice, 1988). -Vienna IAEA, 1981 VI. P 159 20. Tanga
A, Balet B, Bartlett DV e a. /CFPP (Proc 17th Europ.
Conf., Amsterdam, 1990) EPS, 1990 VI P 259
21 Matsumoto H., Burr el KM., Carlstrom TN e a /CFPP
(Proc. 17th Europ Conf, Amsterdam, 1990) EPS, 1990 VI P.279
22. Lohr J I., Stallard BW, Prater R //Phys Rev. Lett
1988. V.60 P2630
23. Soldner F X , Muller E R , Wagner F e a II Phys. Rev
Lett 1988. V.61 P.1105
24 Bhatnagar V.P , Taroni A., Ellis G e a. /CFPP (Proc
16th Europ. Conf, Venice, 1989) EPS, 1989 V.l. P 91
25 Goldston RJ //Contr. Fusion Plasma Phys., Special Issue
1984 V.26 №la. P 87
26 Yushmanov P.N, Takizuka T, Riedel К е. a. //Nucl
Fusion. 1990. V30 P. 1999
27 Kadomtsev В В , Pogutse О Р I PPNCFR (Proc 7th Intern
Conf Innsbruck, 1978) -Vienna IAEA, 1979 VI P 649
28 Parail V.V , Pogutse OP /PPNCFR (Proc 8th Intern.
Conf., Brussels, 1980) -Vienna IAEA, 1981 VI P 67
29 Ducks DF, Post D.E , Rutherford P.H //Nucl Fusion
1977 V 17 P 565
30 Tang S.M , Bishop CM, Coppi В е a /PPNCFR (Proc
11th Intern Conf., Kyoto, 1986).-Vienna IAEA, 1987 VI. P 337
31 Waltz R E , Dominguez R R , Wong S К е а / PPNCFR (Proc
11th Intern Conf, Kyoto, 1986) -Vienna IAEA, 1987 VI P 345
32 Dominguez R R , Waltz R E //Nucl Fusion 1987 V 27 P 65
33 Иванов HB, Мартынов ДА, Чцдновский All //Фишка ила*
мы 1987 Т13 С 1273
34 Rebut Р Н , Lallia Р Р , Watkins M I. I PPNCFR (Proc 121 h
Intern Conf, Nice, 1988) -Vienna IAEA, 1<Ж<) V \l V l<M
35 Кадомцев Б Б //Физика гики мы 1(>/Г> I I С !>.'1|
36 Connor J W , Taylor J В //Nucl I iisioii 1')// VI/ 1404/
37. Кадомцев Б Б //Физика пл.-пмы ГЖ.Ч I <> ( <МН
38 Аликаев В В, Багдисиров A A, Ihuun II .П и <)р //Фишка
плазмы 1988 Т 14 С 1027
39 Coppi В II Comm Plasma Phys Conli I имоп 1<>Ж) V Г>
Р264
40 Gruber О, ASDEX Team / (ТРР (Pioc Mill Lump Conl ,
Madrid, 1987) EPS, 1987 VI IMS
41 Lazzaro E , Avinash К , Gottatdi N , Smculders P Relaxa
tion model of II modes in JIT - Abingdon JET Joint Uundertaking,
1988 Rep. JET-P(88)48
42 Васин И л , Есипчик Ю В , Разумова К А , Санников
В.В //Физика плазмы 1987 Т 13 С 109
43. Кадомцев Б Б II Физика плазмы 1987 Т 13 С 11
44 Biscamp D //Comm Plasma Phys Contr Fusion 1986 V 10.
P. 165
45 Hsu J V , Chu M S II Phys Fluids 1987 V 30 P 1221
46 Berezovskij E L , Dnestrovskij Yu N , Lysenko S E., Pivin-
skij A A , Tarasyan К N I CFPP (Proc 17th Europ Conf ,
Amsterdam, 1990) EPS, 1990 V2 P 785
47 Днестровский Ю H , Лысенко С Е , Тарасян К Н // Физика
плазмы 1990 Т 16 С 216
48 Berlizov A , Bugarya V , Buzankin Veal PPCNFR (Proc
8th Int Conf, Brussels, 1980) Vienna IAEA, 1981 VI P 23
331
49 Apgar E , Coppi В , Gondhalekar A e a I PPCNFR (Proc
6th Int Conf , Berchtesgaden, 1976) Vienna IAEA, 1977 V 1
P247
50 Strachan J D , Bretz N , Mazzucato E e a II Nucl
Fusion 1982 V22 P 1145
51 MO Group /CFPP (Proc 11th Europ Coni , Aachen,
1983) EPS, 1983 VI P 289
52 Greenwald M , Parker /, Besen M e a / CFPP (Proc 11th
Europ Conf , Aachen, 1983) EPS, 1983 VI P 7
53 Coppi В , Sharky N // Nucl Fusion 1981 V 21 P 1363.
54 Dnestrovskij Yu N , Lysenko S E , Neudatchin S V , Pere-
verzev GV, Kostomarou DP /CFPP (Proc 10th Europ Conf.,
Moscow, 1981) 1981 V 1 P B-15
55 Dnestrovskij Yu N , Neudatchin SV., Pereverzev GV, Po-
levoj AR /CFPP (Proc 11th Europ Conf, Aachen, 1983) EPS,
1983 V2 P271
56 Днестровский Ю H , Неудачин С В , Переверзев Г В // Физика
плазмы 1984 Т10 С 236
57 Behringer К , Fussman G , Poschenrieder W e a / CFPP
(Proc 11th Europ Conf, Aachen, 1983) EPS, 1983 V2 P 467
58 Seguin r H , Petrasso R , Mar mar E S II Phys Rev Lett
1983 V51 P455
59 Днестровский ЮН, Костомаров ДП //ЖТФ 1974 Т 44
С 2489
60 Gorbunov Е Р , Zaveryaev V S , Petrov М Р / CFPP (Proc
6th Europ Conf , Moscow, 1973) 1973 VI PI
61 Александров Е В , Афросимов В В , и dp II Письма в ЖЭТФ
1979 Т29 СЗ
62 Гордеев Ю С , Зиновьев А Н , Петров МП II Письма в ЖЭТФ
1977 Т25 С 223
63 Заверяев В С , Извозчиков А Б , Лысенко С Е , Петров М П
II Физика плазмы 1978 Т 4 С 1205
64 Goudreau М Р , Kislyakov A I , Sokolov Yu A II Nucl
Fusion. 1978 V 18 Р1725
65 Днестровский Ю Н , Костомаров Д П , Лысенко С Е
Определение температуры ионов по спектру нейтралов перезарядки —М ,
1977 Препринт ИАЭ-2908
66 Dnestrovskij Yu N , Lysenko S E , Kislyakov A I // Nucl
Fusion. 1979 V19 P 293
67 Lister G , Post D E , Goldston R R I Proc 3d Symp on
Plasma Heating, Varenna, 1978 P 303
68 Connor J W , Hastie R J , Taylor J В I CFPP (Proc 5th
Europ Conf , Grenoble, 1972) 1972 V 2 P 157
69 Stringer T E //Nucl Fusion 1972 V 12 P 689
70 Dnestrovskij Yu N , Kostomarov D P , Lysenko S E II Nucl
Fusion 1975 V 15 P 1185
71 Tsang К T //Nucl Fusion 1977 V 17 P 557
72 Tani К , Kishimoto H , Tamura S / PPCNFR (Proc 8th
Intern Conf, Brussels, 1980) -Vienna IAEA, 1981 VI P 631
73 Gurevich A V , Dimant Ya S II Nucl Fusion 1978 V 18
P629
74 Гуревич А В, Димант Я С и dp II Письма в ЖЭТФ 1977
Т26 С 733
75 Гуревич А В, Димант Я С и dp //Физика плазмы 1979 Т5
С 777
76 Юшманое П Н // Письма в ЖЭТФ 1981 Т 33 С 97
77 Artsimovich L А II Nucl Fusion 1972 V 12 Р 215
78 Казанский М Е Адиабатическое сжатие плазмы токамака —Л
Наука, 1979
79 Ellis R А , Eubank HP e a // Nucl Fusion 1976 V 16
Р524
332
80 Днестровский Ю Н.у Костомаров Д.П , Павлова Н.Л. //Письма
в ЖЭТФ. 1971 Т.13. С 697.
81 Гервидс В.И , Коган В И., Лисица В С Допустимые
концентрации примесей в плазме токамака ИНТОР — М 1979, Препринт
ИАЭ-3179.
82 Jensen R.V , Post DE, Jassby DL //Nucl. Sci. Eng.
1978 V65. P.282.
83 Berish R //Nucl Fusion 1972 V 12. P 695
84 Dnestrovskij Yu N , Inovenkou I N , Kostomarov D P
/I Nucl Fusion 1976 V 16 P 513
85 Hawryluk R J , Suckewer S , Hirshman S P , // Nucl Fusion
1979 V 19. P607.
86 LoizW. //Astrophys J Suppl 1967. V 14 P 207
87 Вайнштейн Л A , Собельман И И , Юков Е А Сечения
возбуждения атомов и ионов электронами — М Наука, 1973
88 Вайнштейн Л.А , Собельман И И , Юков Е А. Возбуждение ато
мов и уширение спектральных линий — М : Наука, 1979
89. Grandall D.H //Physica Scripta 1981. V 23. Р.153
90 Лисица В.С , Коган В И I Итоги науки и техники Физика
плазмы -М.: ВИНИТИ, 1982. ТЗ С 5
91 БазылевВ.А, Чибисов М И //УФН 1981 Т.133. С 617
92 Seaton М //Mon Not Royal Astron. Soc 1959 V 119 P 81
93 Von Goeler S, Stodiek W e a //Nucl Fusion 1975
V15 P301
94 Breton C., de Michelis С , Mattioli M //Nucl Fusion
1976 V16 P.89.
95. Burges SA //Astrophys J 1964 V.139 P.776
96 Burges S A //Astrophys J 1965 V 141. P 1588
97. Donaldson T P , Peacock N J //J Quant. Spectrosc. Rad
Trans, 1976 V 16 P 599
98 Wiese W E. //Physica Scripta 1981 V.23 P 194
99 Собельман И И Введение в теорию атомных спектров - М
Наука, 1977.
100 Бейгман МЛ, Вайнштейн Л А., Сюняев РА //УФН 1968
Т95 С 267
101 Post D.E , Jensen RV, Tarter С В e a //At D.ila
Nucl Data Tables. 1977 V.20 P 397.
102 Жданов В П I Вопросы теории плазмы — М Энергоиздш,
1982. Вып 12, С.79
103 Бейгман МЛ, Вайнштейн Л А., Чинков БН II ЖЭТФ 1981
Т80 С 964
104 Grodzanov Т , Janev R //Phys. Rev. A 1978 V 17 Р 880
105 Чибисов М. И //Письма в ЖЭТФ 1976 Т 24 С 56
106 Абрамов В А , Барышников Ф Ф , Лисица В С Перезарядка
атомов водорода на многозарядных примесях в трячей плазме — М
1979 Препринт ИАЭ-3121
107 Крупин В А , Марченко В С , Яковяснко С И Ц Письма в
ЖЭТФ 1979 Т29. С 353
108 Пресняков Л П , Уланцев АД II Квантовая электрон 1974.
Т1 С 237/
109 Vaaben J , Briggs J. //J Phys В 1977 V 10 P 521.
110 Salop A, Olson RE //Phys Rev A 1979 V 19. P.1921.
111 Ryufuku S , Watanabe T //Phys Rev A 1979 V 20 P 1828
112 Phaneuf R.A //Phys Rev A 1981 V.24 P 1138.
113 Phaneuf R.A, Alvares I, Meyer FW Crandall D.H //Phys.
Rev. A 1982 V 26 P 1892
114 Phaneuf RA //Phys Rev A 1983 V 28. P.1310.
115 Афросимов В В , Басалаев А А , Гордеев Ю.С. и др.
II Письма в ЖЭТФ. 1981 Т.34 С 332
116 Чибисов М И Перезарядка aiомов на многозарядных ионах —
М.. 1980 Препринт ИАЭ-3233
333
117. Gilbody H.B //Physica Scripta 1981. V.23 P 143
118. Hirshman S P., Sigmar В J //Nucl Fusion 1981 V.21.
P. 1079.
119 Marmar E.S., Rice J.E., Terry J.L , Seguin F.H. //Nucl.
Fusion. 1982 V22 P 1567
120 Post D.E., Goldston R.J., Grimm RC e a. / PPCNFR
(Proc 7th Intern Conf., Innsbruck, 1978) -Vienna IAEA, 1979
V.l. P471.
121. Sato M, Amano Т., Sato K, Miyamoto К //J Phys. Soc.
Japan. 1981. V.50 P.2114
122 TFR Group. //Nucl Fusion. 1982. V 22. P.1173
123. Bugarya V L, Dnestrovskij Yu N , Krupin DA e.a / CFPP
(Proc 10th Europ. Conf., Moscow, 1981) 1981. VI P All
124 Бугаря В И , Вершков В А , Крупин В А и др // Физика
плазмы. 1983 Т 9 С 914
125 Behringer К , Engelhardt W , Fussman С Proc / IAEA
Xechn Com. Meeting on Divertors and Impurity Control MPI
fur Plasmaphysik, Garcning, 1981 P 42
126 TFR Group II Nucl Fusion 1983 V 23 P 559
127 Fepeudc В И . Крупин В А //Письма в ЖЭТФ 1973 Т 18
С 106
128 Dnestrovskij Yu N , Pereverzev G.V //Nucl Fusion 1983
V23 P633
129 Jones TTC, Lomas P J., Attenberger Sea /CFPP
(Proc 17th Europ Conf , Amsterdam, 1990) EPS, 1990 V 1 P.9
130 Жилинский A /7 , Кутеев Б В , Ларионов ММ и dp II Письма
в ЖЭТФ 1980 Т 32 С 412
131. Equipe TFR II Nucl Fusion 1975 V 15 P 1053
132 Fepeudc ВИ, Жидков AF, Марченко ВС, Яковленко С.И.
I Вопросы теории плазмы. —М Энергоиздат, 1982, Вып 12 С 156
133 Buzankin V V , Vershkov V А е а. / PPCNFR (Proc. 7th
Intern Conf, Innsbruck, 1978) -Vienna IAEA, 1979 VI P 287
134 Mercier С , Papoular R e a II Plasma Phys 1976 V 18.
P873
135 Mercier C, Werkoff F. /PPCNFR (Proc 6th Intern Conf.,
Berchtesgaden, 1976) -Vienna IAEA, 1977 V2 P 29
136 TFR Group //Plasma Phys 1978. V.20 P 735
137 De Marco F , Gianella R , Mazzitelli G II Plasma Phys
1982 V24 P25
138 Stromgren В Z //Astrophys 1932 V4 P 118
139 Абрамов В А , Fepeudc В И , Крупин В А , Лисица В С
II Письма в ЖЭТФ 1979 Т 29 С 550
140 Самарский А А , Николаев В С Методы решения сеточных
уравнений —М . Наука, 1978
141 Gear С W Ц Comm ACM 1971 V 14 Р 185
142 Гир С В Современные численные методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений —М Мир, 1979
143 Nordsieck A //Math Comput 1962 - V 16 Р 24
144 Воеводин В В Вычислительные основы современной
алгебры. — М • Наука, 1977
145 Kahaner D , Sutherland С D —Los Alamos, Rep LASL
D-205, 1975
146 Днестровский Ю.Н., Стрижов В Ф. Модель диффузии примесей
в токамаках —М. 1983 Препринт ИАЭ —3779/6
К главе 5
1 Riviere А С //Nucl Fusion 1971 V И Р 363
2 Boley CD, Janev RK, Post DE //Phys Rev Letts 1984
V 52 P. 534
3 Днестровский Ю H , Костомаров Д П Вычислительные методы в
физике плазмы — М Мир, 1974 С 483
334
4 Хоган Дж Т I Вычислительные методы в физике Управляемый
термоядерный синим —М Мир, 1980 С 142.
5 Ducks D Г , Post D E , Rutherford P И // Nucl. Fusion
1977 V 17. Р 565
6 Rome J Л , Cnllen J D , Clarke J F II Nucl Fusion 1974
V14 P141
7 Post l) Г , (iutdston R , Grimm R С I PPCNFR (Proc 7th
Intern Conf , IiinsbiiK k, 1978) -Vienna IAEA, 1979 VI. P 471
8. Goldstoti R I , McCune D С , Towner H H , Davis S L , Hawry-
luk RJ, Schmidt (i I //J Сотр. Phys 1981 V 43 P.61
9 Dnesttovskii Yn N /CFPP (Proc 10th Europ Conf, Moscow,
1981) -Moscow РЖ1 V2 B-23 P 145
10. Вершков li A , Лысенко С E , Семенов И Б , Щербак А Ф
Поведение пллшы и установке Токамак-4 при больших токах
разряда -М 1*>/.Ч, Препринт ИАЭ-2291
11 Von Gorier S , Stodiek W , Sauthoff N // Phys Rev
Letters 1974 v ;i;i i> 1201
12. Кувшинок h II , Саврухин П В Ц Физика плазмы. 1990. T 16.
Вып 5 С 612
13 Berlutw А И . Hugaria V I , Buzankin V V е a I PPCNFR
(Proc 8th Inlriii Conf, Brussels, 1980) -Vienna IAEA, 1981
V 1 P 23
14 Rant .Ml" ЛI /ОГРР (Proc 9th Europ Conf Invited
Papers).-Oxfonl Г>/(> V 1> P 371
15 Кш)<)мщч1 /> /. // <|>ц шка плазмы 1975 T 1 С 710
16 Hapmii ПН Псреверзев Г В //Физика плазмы 1980 Т6
С 27
17 Suutlmjl N R Von Goeler S , Stodiek W // Nucl Fusion
1978 V 1 I' I'M.'.
18 Ntivuiinmi, ) I //Appl Phys 1987 V 62 P 2702
19 liohtofJsti <i 1 , Dnestrovskij Yu N Kislov D.A , Lyadina
ES, Smnukhm Г V //Nucl Fusion 1990 V 30 P 1463
20 Durst,oush-4 ) и N , Lyadina ES, Savrukhin PV /CFPP
(Proc 17 I iimp («»nl. Amsteidam, 1990) EPS, 1990 V4 P 1620
21 Мирно,i С П ( гчс,:ов И Б //Физика плазмы 1978 Т4 С 50
22 Днг< 11><>т him AMI, Костомаров Д.П , Переверзев Г В, Тара-
сян К II II Фи uik.i ii'i.iiMi.1 1478 Т4 С.1001
23 I>nrstn4>\kti ) и N , Lysenko S.E , Pereverzev GV, Tara-
si/an KN, l\o-Jommoe DP /PPCNFR (Proc. 7th Intern Conf, In-
sbiurk, l'»/H) Vmiim.i IAI A, 1979 VI P 443
24 Дтч i inmi hiw loll , Лысенко СЕ, Смит Р //Физика плазмы
1977 I .1 ( hi
2!) (intrnnh \Y Dimmit Ya S , Dnestrovskij Yu N , Kostoma-
rov DP, S//M///..C 1/' /CFPP (Proc. 11th Europ Conf,
Aachui) А.и In и |'ж I V •.» I> 267
26 Sinner, 11 //Nn. I I usion 1972. V 12 P 689
27 Cimtmr !W tin .ti, Rl //Nucl Fusion 1975 V 15 P 415
28 Dncstn>v\ln\ ) и N , Kostomarov DP, Lysenko SE //Nucl.
Fusion M>/!, V Г. Г Им:,
29 Ynslimmmr l' N // Nn. 1 Fusion 1982 V 22 P 315
30 him Л 1 -mm Л1 hishimoto H , Tamura S //J Phys. Soc.
Japan I9H1 Ml P l/'.'i.
31 dutrtiuh \ luimmt ),i //Nucl Fusion 1978 V 18 P 629.
32 (iurevhh 1 Dinmnt),, //Nucl Fusion 1981 V 21 P 159
33 Гуреппч 1/1 IluMiiHi Я(\ Днестровский ЮН. //ДАН СССР.
1979 T2-II < /I
34 Hrtr.-<x<j,4i t I I e.ttlukov AB, Petrov MP, Gurevich
A.V , Dimmit ) <» '. Dm ItonJcij Yu N , Efremov SL, Kostomarov
DP., Sim,tmr M' // Nik I I и .inn 1983 V 23 P 1575
35. Фрчштч, It H ГН1М .. MM> 1971 Til С 1219
335
NAUKA PUBLISHERS
FIZMATLIT PUBLISHING COMPANY
15, Leninski prospekt, Moscow 117071, Russia
MATHEMATICAL MODELLING OF PLASMA
2nd edition
Yu.N. DNESTROVSKY, D Sc (Phys & Math)
Kurchatov Institute of Atomic Energy
D.P. KOSTOMAROV, D Sc (Phys & Math)
Moscow State Universityy
1993, 336 pages, ISBN 5-02-014737-0
About the book: This book is devoted to wide circle of
problems connected with mathematical simulation of hot plasma.
The authors show the role of numerical simulation in modern
stage of Controlled Fusion Research Program. * Considerable
attention is paid to the mathematical aspects of the
problems The statement of problems and used numerical methods
are considered in details Much attention is devoted to the
analysis of physical results obtained by numerical
simulation. While preparing the second edition the authors have
revised the text considerably Several new models are
described. Some fresh ideas on numerical methods are discussed. A
number of new sections is included into the text A part of
the material contained in the first edition is exluded to
conserve the book volume The book reflects now the modern
picture of high temperature plasma simulation The first
edition (1982) was published by Springer in 1986.
Contents: Controlled Fusion and Numerical Simulation.
Simulation of Kinetic Processes Involving Coulomb Interaction.
Simulation of MHD Processes. Transport Models. Hybrid
Models.
Readership: Researchers in modelling of plasma physics and
numerical methods in kinetic arid magnetic hydrodynamics.
Postgraduates and students of senior forms of physics and
applied mathematics departments.