Автор: Мун Ф.
Теги: аппаратура для изучения и демонстрации явлений физика колебания
ISBN: 5-03-001413-6
Год: 1990
Текст
Chaotic Vibrations
An Introduction
for Applied Scientists
and Engineers
Francis C. Moon
Theoretical and Applied Mechanics
Cornell University
Ithaca, New York
A Wiley-Interscience Publication
John Wiley & Sons
New York Chichester Brisbane Toronto Singapore
Ф.Мун
Хаотические
колебания
Вводный курс
для научных работников
и инженеров
Перевод с английского
Ю.А. Данилова и
A.M. Шукурова
Москва «Мир» 1990
ББК 22.317
М90
УДК 53.072.11
Мун Ф.
М90 Хаотические колебания: Вводный курс для научных работ-
работников и инженеров: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 312 с,
ил.
ISBN 5-03-001413-6
Kuan известного американского ученого знакомит читателя с шкпп и методами бурно развиваю-
развивающегося раздела современное фязнкя нелинейных пленяй — с теория хаотических колебании. Приведе-
Приведены примеры систем различной природы, допуспюших хаотическое поведение, даны критерия и мате-
математические модели хаоса, его количественные характеристики, описания я результаты физических я
численных экспериментов с хаотическими системами. Книга насыщена рисунками; прилагается словарь
терминов нелинейной динамики. Может служить учебным пособием.
Для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших курсов, интересующихся
проблемами нелинейной физики.
1604030000 — 208
М 41 — 90 ББК 22.317
041@1) — 90
Редакция литературы по физике и астрономии
© 1987 by John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved. Authorized,
translation from English language
edition published by John Wiley &
Sons, Inc.
ISBN 543-001413-6 (русск.) © перевод на русский язык, Дани-
ISBN 0-471-85685-1 (англ.) лов Ю.А., Шукуров A.M., 1990
От редакции
Предлагаемая вниманию читателя книга профессора и декана
факультета теоретической и прикладной механики Корнеллского
университета Фрэнсиса Муна — заметное явление в довольно об-
обширной литературе по стохастическим колебаниям. Небольшая по
объему, она ориентирована в первую очередь на читателя, делаю-
делающего первые шаги в понимании тех сложных режимов, которые
возникают при определенных условиях в нелинейных системах раз-
различной природы и не связаны с действием на эти системы случай-
случайных шумов. Предъявляя весьма скромные требования к математи-
математической подготовке читателя, автор выстраивает основные идеи, по-
понятия и методы нелинейной динамики стохастических систем в та-
такой тщательно продуманной последовательности, которая позволя-
позволяет начинающему легко войти в курс дела и активно овладеть новой
для себя областью, глубоко прочувствовать ее универсальный ха-
характер. Излагая критерии хаоса, сопоставляя и сравнивая результа-
результаты физических и численных экспериментов, автор подводит читате-
читателя к выводу о границах применимости той или иной модели, неиз-
неизменно подчеркивая физику описываемого явления.
Помимо единства и изящества изложения внимание более под-
подготовленного читателя привлекут обширный — более 40! — пере-
перечень систем различной природы, допускающих хаотические колеба-
колебания, их математические модели, а также подробные описания чис-
численных и физических экспериментов.
Книга Фрэнсиса Муна завершается словарем терминов нелиней-
нелинейной динамики и описанием нескольких красивых демонстрационных
экспериментов.
Перевод выполнили A.M. Шукуров (предисловие, гл. 1—4) и
Ю.А. Данилов (гл. 5, 6 и приложения).
Моим дочерям Кэтрин, Патриции и
Элизабет, которые к моей жизни
добавили немножко счастливого хаоса
Предисловие
Если бы кто-то сказал, что через триста лет после публикации
Principia Ньютона в динамике будут сделаны новые открытия, его
бы посчитали наивным или неумным. Тем не менее в последние де-
десять лет во всех областях нелинейной динамики были обнаружены
новые явления, главное из которых — хаотические колебания. Хао-
Хаотические колебания — это возникновение неупорядоченных движе-
движений в совершенно детерминированных системах. Такие движения и
раньше обнаруживались в механике жидкостей, ио недавно их заме-
заметили в несложных механических и электрических системах и даже в
простых задачах с одной степенью свободы. Вместе с этими от-
открытиями пришло понимание того, что нелинейные разностные и
дифференциальные уравнения могут иметь ограниченные неперио-
непериодические решения, которые ведут себя случайным образом, хотя в
этих уравнениях нет случайных параметров. Это способствовало
развитию новых математических идей, новых подходов к динами-
динамическим решениям, проникающих сейчас в лаборатории.
Цель этой книги как раз и состоит в том, чтобы помочь переве-
перевести эти математические идеи н методы на язык, который инжене-
инженеры и экспериментаторы могли бы использовать в своих исследова-
исследованиях хаотических колебаний. Хотя я и экспериментатор в области
динамики, мне пришлось разобраться до определенной степени в
этих новых математических идеях, таких, как странный аттрактор,
отображение Пуанкаре, фрактальная размерность, для того, чтобы
экспериментально изучать хаотические явления. Недавно появился
ряд прекрасных математических исследований хаотической динами-
динамики. Я попытался прочитать эти труды и выделить с помощью мо-
моих коллег-теоретиков по Корнеллскому университету суть новых
представлений. Книга, лежащая перед Вами, — попытка объяснить
важность этого нового языка динамики инженерам, особенно тем,
кто намерен изучать колебания в эксперименте. Я полагаю, что но-
Предисловие 7
вые геометрические и топологические представления в динамике
станут такой же непременной частью лабораторных методов ана-
анализа колебаний, какой стал фурье-анализ.
Помимо того что исследования хаотических колебаний приносят
с собой новые идеи, они важны для инженерных исследований еще
по нескольким причинам. Во-первых, хаос или шум в механических
системах затрудняет предсказание времени работоспособности или
анализ старения материала, поскольку оказывается неизвестной
точная зависимость напряжений в твердых материалах от времени.
Во-вторых, осознав, что простые нелинейности способны привести
к хаотическим режимам, мы сталкиваемся с вопросами о предска-
предсказуемости в классической физике и о ценности численного моделиро-
моделирования нелинейных систем. Обычно полагают, что чем больше и
мощнее станут суперкомпьютеры, тем точнее можно будет пред-
предсказывать поведение систем. Однако в нелинейных задачах с хаоти-
хаотической динамикой поведение системы чувствительно к начальным
условиям и точный расчет будущего поведения может оказаться не-
невозможным даже в случае периодического движения.
Авторы многих новых книг по хаотической динамике предпола-
предполагают, что читатель уже имеет некоторое представление о современ-
современной динамике, нелинейных колебаниях и соответствующих матема-
математических методах. В этой книге я старался исходить из тех знаний,
которые должен иметь студент старших курсов политехнического
института, — это теория обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений, некоторые представления среднего уровня о динамике, теории
колебаний или динамике систем. Я также старался приводить кон-
конкретные примеры систем с хаотическим поведением и указывать
экспериментаторам способы измерения, предсказания и количест-
количественного описания хаотических колебаний в физических системах.
В гл. 2 я описываю некоторые характеристики хаотических ко-
колебаний и обсуждаю их характерные признаки и способы их выяв-
выявления в физическом эксперименте. Классы физических моделей и
экспериментальных систем, в которых обнаруживается хаотическое
поведение, приведены в гл. 3. В гл. 4 обсуждаются некоторые экс-
экспериментальные методы регистрации хаотических явлений; в их
числе — отображение Пуанкаре. Это глава о том, как следует ста-
ставить эксперимент, и те, кому интересен общий взгляд на проблему,
могут ее пропустить. Гл. 5 и 6 более насыщены математикой и по-
посвящены изучению критериев, которые сейчас применяются для
предсказания хаотических колебаний, а также обзору новых идей
математики фракталов. Представления о фракталах сейчас занима-
занимают центральное место во многих новых направлениях развития не-
g Предисловие
линейной динамики. Красивые изображения фрактальных геомет-
геометрических объектов публикуются популярными изданиями, привнося
в динамику эстетический аспект. В гл. 6 я попытался связать идеи
теории фракталов с конкретными прикладными проблемами нели-
нелинейной динамики.
Читатель может спросить, стоило ли писать эту книгу сейчас,
когда исследования нелинейных колебаний испытывают такие
быстрые изменения. Во-первых, это время оказалось подходящим
потому, что я получил приглашение подготовить и прочитать во-
восемь лекций о хаотических колебаниях в Институте фундаменталь-
фундаментальных проблем техники в Варшаве (Польша) в августе 1984 г. Из этих
лекций выросла книга. Во-вторых, в 1984 и 1985 годах меня пригла-
приглашали прочитать лекции о хаотических колебаниях почти в тридца-
тридцати университетах и исследовательских лабораториях. Многие мои
коллеги высказывали желание получить книгу о хаосе, написанную
для экспериментаторов. Я также чувствовал, что многие экспери-
экспериментаторы и инженеры, занимающиеся колебаниями, не были осве-
осведомлены об интереснейших новых результатах динамики. Не со-
сомневаюсь, что, вооруженные новыми подходами к динамическим
системам, экспериментаторы придут к дальнейшим достижениям в
этой новой области на пути изучения новых приложений и разра-
разработки более удобных методов регистрации и описания этих новых
явлений.
Я хотел бы поблагодарить моих коллег по факультету теорети-
теоретической и прикладной механики Кориеллского университета, в осо-
особенности Филипа Холмса и Ричарда Рэнда, которые терпеливо пы-
пытались объяснить мне эти новые математические идеи. Мне были
также полезны беседы с Джоном Гукенхеймером, который раньше
работал в Калифорнийском университете в Санта-Крус, а сейчас —
в Корнелле. Однако намеренный недостаток строгости в описании
некоторых новый идей геометрии и топологии — целиком моя ви-
вина. Работая над книгой, я исходил из того, что она достигнет своей
цели, только если сможет возбудить интерес к этой новой области
науки. При таком интересе читатель, я надеюсь, просмотрит более
математизированные работы из списка литературы, где найдет бо-
более детальное и точное обсуждение этих новый идей.
И наконец, я хотел бы отметить вклад дипломников и аспиран-
аспирантов, которые с таким энтузиазмом работали со мной над пробле-
проблемами хаоса, — это Джозеф Кузумано, Мохаммед Голнараги, Ли
Гуаньцзянь, Ли Чикунь, Бимал Поддар, Габриэль Раччо и Стефан
Шоу (ныне в Университете штата Мичиган). Особого упоминания
заслуживает техническая помощь Стефана Кинга и Вильяма Холм-
Предисловие 9
са, которые помогли сконструировать часть электронного оборудо-
оборудования для наших опытов с хаотическими колебаниями.
Что касается списка литературы в конце книги, то я не пытался
включить в него все исторически заметные статьи по исследованию
хаоса и прошу прощения у тех исследователей, чьи прекрасные
вклады в эту область не упомянуты. Включение большего числа
ссылок на мои собственные работы, чем на работы какого-либо
другого автора, следует толковать как меру авторского тщеславия,
а не их относительной важности.
За финансирование хочу поблагодарить Национальный научный
фонд (в рамках программы по механике твердого тела, руководи-
руководимой д-ром Клиффордом Астиллом), Отдел научных исследований
военно-воздушных сил (в лице д-ра Энтони Эймоса из Аэрокосми-
Аэрокосмического отдела), Отдел научных исследований военно-морских сил
(в лице д-ра Майкла Шлезинджера из Физического отдела), Иссле-
Исследовательский отдел армии (в лице д-ра Гэри Андерсона из Отдела
инженерных наук) и корпорацию IBM.
Итака, штат Нью-Йорк, Фрэнсис Мун
май 1987 года
1. Введение.
Второе дыхание динамики
... поучавший свой народ
Возникновенью Неба и Земли
Из Хаоса...
Джон Мильтон, Потерянный рай,
1667 г. (пер. Арк. Штейнберга).
1.1. ЧТО ТАКОЕ ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА?
Для многих изучение динамики началось и закончилось вторым
законом Ньютона F = тА. Нам говорили, что если заданы силы,
действующие между частицами, а также начальные положения и
скорости частиц, то с помощью достаточно большого компьютера
можно предсказать движение или развитие системы для любого
сколь угодно позднего момента времени. Однако появление боль-
больших и быстрых компьютеров не привело к обещанной бесконечной
предсказуемости в динамике. Напротив, совсем недавно было обна-
обнаружено, что движение некоторых очень простых динамических си-
систем не всегда можно предсказать на большой интервал времени.
Такие движения были названы хаотическими, и их исследование
привлекло в динамику некоторые новые математические идеи.
Приближается трехсотлетний юбилей Principia Ньютона A687), где
в динамику введено дифференциальное исчисление. Кажется неслу-
неслучайным, что по прошествии трех веков в динамике открыты новые
явления, и в эту почтенную науку из топологии и геометрии прони-
проникают новые математические идеи.
Бытовое понятие хаоса" очень древнее и часто ассоциируется с
беспорядочным или неуправляемым физическим состоянием или
поведением людей. Хаос пугает. Чувство страха вызывают такие
'' Слово «хаос» происходит от греческого глагола, означающего «зиять», кото-
который часто использовался при описании первобытной пустоты Вселенной до возник-
возникновения вещества (Encyclopaedia Britannica, vol. 5, p. 276). Стоики под хаосом пони-
понимали воду и жидкое состояние, которое следует за периодическим уничтожением
земли огнем. Овидий в «Метаморфозах» использует это понятие для обозначения
бесструктурной и бесформенной массы, не наделенной никаким порядком, из кото-
которой возникает упорядоченная Вселенная. Современные словари (Funk, Wagnalls) при-
приводят два значения: 1) абсолютный беспорядок и 2) первоначальное неразвитое со-
состояние Вселенной.
Ac. /./.
P. Дюма).
i эа круговым
12 Глава 1
ситуации и события, когда перестают что-то регулировать законы
и традиции,— тюремный бунт, гражданская или мировая война.
Правда, всегда остается надежда узнать потаенные силы или при-
причины этого хаоса или объяснить, почему оказываются непредсказу-
непредсказуемыми события, на вид случайные.
В контексте физики образцом хаотического явления остается
турбулентность. Например, столб поднимающегося дыма и вихри
за судном или крылом самолета1' дают наглядные примеры хаоти-
хаотического движения (рис. 1.1). Однако специалисты по механике жид-
жидкостей полагают, что эти явления не случайны, потому что можно
выписать уравнения физики, описывающие движение каждого жид-
жидкого элемента. Кроме того, при низких скоростях структуры в
жидкости вполне регулярны и предсказуемы на основе этих уравне-
уравнений. Впрочем, при скоростях, превышающих некоторую критиче-
критическую, течение становится турбулентным. Большая часть усилий в
области современной нелинейной динамики связана с надеждой,
что этот переход от упорядоченного течения к беспорядочному
можно объяснить или моделировать с помощью относительно про-
простых уравнений. В этой книге мы надеемся показать, что подобные
новые подходы к турбулентности также применимы к твердотель-
твердотельным и электрическим непрерывным средам. Именно осознание того,
что хаотическая динамика свойственна всем нелинейным физическим
явлениям, вызвало ощущение революции в современной физике.
Мы должны различать так называемые случайные и хаотиче-
хаотические движения. Первый термин относится к ситуациям, когда мы
действительно не знаем действующих сил или знаем только некото-
некоторые статистические характеристики параметров. Термин «хаотиче-
«хаотический» применяется в тех детерминированных задачах, где отсутст-
отсутствуют случайные или непредсказуемые силы или параметры. О су-
существовании хаотических или непредсказуемых движений, описыва-
описываемых уравнениями классической физики, было известно еще
Пуанкаре2'. Вот выдержка из его очерка «Наука и метод»:
" Читателю следует просмотреть прекрасную коллекцию фотографий турбу-
турбулентных явлений в жидкостях, собранную Ван-Дайком [204].
2) Анри Пуанкаре A854—1912) — французский математик, физик и философ, ко-
который был свидетелем как великого века классической механики, так и века револю-
революционных идей теории относительности и квантовой механики. Работа в области не-
небесной механики привела его к вопросам динамической устойчивости и задаче на-
нахождения точных математических выражений для описания динамической эволюции
сложных систем. В процессе этих исследований он открыл «метод сечений», ныне
известный как сечение, или отображение, Пуанкаре.
Превосходное обсуждение неопределенности и детерминизма и идей Пуанкаре об
этом можно найти в очень доступно написанной книге Л. Бриллюэна [14, гл. IX].
Введение. Второе дыхание динамики
13
Рис. 1.2. а — Движение шарика после нескольких соударений с бортами бильярдного
стола эллиптической формы. Это движение можно описать дискретным набором чи-
чисел (sr ф;), называемым отображением; б — движение частицы в паре потенциаль-
потенциальных ям под действием периодического возбуждения. При определенных условиях ча-
частица периодически перескакивает слева (L) направо (R) и обратно: LRLR... или
LLRLLR... и т. д. При других условиях перескоки хаотичны, т. е. последователь-
последовательность символов L и R неупорядочена.
«... иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызы-
вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая по-
погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем.
Предсказание становится невозможным...»
В современной литературе термин «хаотический» применяется к
таким движениям в детерминированных физических и математиче-
математических системах, траектории которых обнаруживают сильную зави-
зависимость от начальных условий.
На рис. 1.2. показаны два примера механических систем, дина-
динамика которых хаотична. Первый пример — это мысленный экспе-
эксперимент с идеализированным бильярдным шаром (мы пренебрегаем
твердотельным вращением шара), который ударяется и отскакива-
отскакивает от сторон эллиптического бильярдного стола. Если соударения
упругие, то энергия сохраняется, но для эллиптических столов
определенной формы шар блуждает по столу, никогда не повторяя
в точности свою траекторию.
Другой эксперимент читатель может воспроизвести сам, если у
него есть доступ в лабораторию. Это шар в потенциале, состоя-
состоящем из двух ям (рис. 1.2, б). Когда стол, на котором стоит при-
прибор, не колеблется, такой шар имеет два состояния равновесия. Од-
Однако, если стол колеблется, совершая периодическое движение до-
достаточно большой амплитуды, шар начинает беспорядочно пере-
перепрыгивать из одной ямы в другую; таким образом, периодическое
воздействие на одной частоте вызывает неупорядоченный отклик с
широким спектром частот. Возбуждение непрерывного спектра ча-
частот, расположенного ниже частоты воздействия, является одной
из примечательных особенностей хаотических колебаний (рис. 1.3).
14
Глава 1
3,0
I I
x + \ x - x + x3 - 0,3 cos t
Фурье-спектр мощности
1.5
Рис. 1.3. Спектр мощности (преобразование Фурье) хаотического движения в паре
потенциальных ям (по Й. Уэде, Университет Киото).
Другое свойство хаотических систем — потеря информации о
начальных условиях. Предположим, что мы способны измерить ко-
координату с точностью Ах, а скорость — с точностью Av. Разделим
теперь плоскость координата—скорость (называемую фазовой пло-
плоскостью) на ячейки площадью ДдгДи, показанные на рис. 1.4. Если
начальные условия заданы с конечной точностью, то мы знаем,
что система находится где-то в заштрихованной области на фазо-
фазовой плоскости. Но если система хаотична, то эта неопределенность
со временем растет, увеличиваясь до размера N(t) ячеек, показан-
показанных на рис. 1.4, б. Увеличение неопределенности, описываемое за-
законом
N ~NQehl,
A.1.1)
является вторым характерным свойством хаотических систем. По-
Постоянная А связана с понятием энтропии в теории информации
(см., например, [170, 171]); ниже мы ее также свяжем с другой ве-
величиной, показателем Ляпунова (см. гл. 5), мерой скорости разбе-
гания близких траекторий системы.
Читатель может спросить: «Если в хаотических системах невоз-
невозможны предсказания, то разве в них может присутствовать какой-
либо порядок?» Для диссипативных систем ответ на этот вопрос
утвердителен; хаотическая динамика развивается в рамках опреде-
определенной структуры. Эту структуру нелегко усмотреть с помощью
обычных методов изучения динамики, например откладывая зави-
Введение. Второе дыхание динамики
15
(а)
Рис. 1.4. Иллюстрация увеличения неопределенности, или потери информации, в ди-
динамической системе. Заштрихованный квадрат в момент времени ' = ',, показывает
неопределенность знания начальных условий.
симость отклика от времени или получая частотный спектр. Этот
порядок следует искать в фазовом пространстве (по осям которого
отложены координата и скорость). Здесь можно обнаружить, что
хаотические движения обладают новым геометрическим свойством,
называемым фрактальной структурой. Одна из целей этой книги —
научить выявлять фрактальные структуры в хаотических колебани-
колебаниях, а также количественно описывать потерю информации в этих
движениях, так похожих на случайные.
ЗАЧЕМ ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ИНЖЕНЕРАМ?
С недавних пор исследования хаоса — в особенности их матема-
математические аспекты — стали предметом внимания прессы. Многие
научно-популярные журналы, и даже «Нью-Йорк тайме» и «Ньюс-
уик», опубликовали статьи о новых математических результатах в
области хаотической динамики. Но инженеры давно знали о хаосе,
называя его шумом, помехами или турбулентностью, а фактор нео-
неопределенности или фактор надежности использовались для учета в
проектах этих внешне случайных неизвестных величин, которые не-
неизменно возникали в каждом техническом устройстве. Так что же
нового стало известно о хаосе?
Во-первых, выяснив, что хаотические колебания могут возни-
возникать в нелинейных детерминированных системах низкого порядка,
мы обрели надежду понять источник неупорядоченного шума и
16 Глава 1
как-нибудь управлять им. Во-вторых, новые открытия нелинейной
динамики принесли новые идеи и методы регистрации хаотических
колебаний в физических системах и количественного анализа этого
«детерминированного шума» с помощью таких новых мер, как
фрактальная размерность и показатели Ляпунова.
Еще с начала века математики тоже знали, что определенные
динамические системы обладают нерегулярными решениями. Как
явствует из приведенной выше цитаты, Пуанкаре осознавал воз-
возможность хаотических решений, об этом в начале века знал и Бирк-
гоф. Ван дер Поль и Ван дер Марк [203] сообщали о «нерегулярном
шуме» в статье об экспериментах с электронным осциллятором,
опубликованной в журнале Nature. Так что же нового стало извест-
известно о хаосе?
Новым в хаотической динамике стало открытие внутреннего по-
порядка, который обещает сделать возможным предсказание опреде-
определенных свойств зашумленных систем. Вероятно, наибольшие ожи-
ожидания связаны с возможностью понять турбулентность в жидко-
жидкостях, термогидродинамических и термохимических системах. Тур-
Турбулентность — одна из немногих нерешенных проблем классичес-
классической физики, и недавнее открытие детерминированных систем, со-
совершающих хаотические колебания, вызвало большой оптимизм
среди тех, кто занят загадками турбулентности. Но этот оптимизм
уже умерен сложностями хаотической динамики в термогидродина-
термогидродинамических системах. Впрочем, исследования хаотических явлений в
системах с меньшим числом степеней свободы могут быстрее при-
привести к результатам, существенным для несложных нелинейных ме-
механических устройств и нелинейных электрических цепей.
ИСТОЧНИКИ ХАОСА В ФИЗИКЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СРЕД
Хаотические колебания возникают в присутствии сильной нели-
нелинейности. Вот примеры нелинейных элементов в механических и
электрических системах:
нелинейные упругие элементы, пружины;
нелинейное затухание типа трения;
мертвый ход, зазоры или ограничители и билинейные пружины;
силы, создаваемые жидкостями;
нелинейные граничные условия;
силы, создаваемые нелинейными обратными связями в системах
управления;
нелинейные сопротивления, емкости или индуктивные элементы
электрических цепей;
Введение. Второе дыхание динамики 17
диоды;
большие комплексы транзисторов и других активных элементов;
электрические и магнитные силы.
В непрерывных механических средах нелинейные эффекты возни-
возникают по различным причинам, в числе которых следующие.
1. Кинематика: например, переносное ускорение, кориолисово и
центробежное ускорения.
2. Материальные соотношения, например зависимость напряже-
напряжений от деформаций.
3. Граничные условия, например свободная поверхность жидко-
жидкости, или ограничения, определяющиеся деформациями.
4. Нелинейные массовые силы, например магнитные или элек-
электрические.
5. Геометрические нелинейности, связанные с сильными дефор-
деформациями в конструкционных твердых элементах, таких, как
балки, плиты перекрытия и оболочки.
Чтобы понять, как эти нелинейности входят в законы механики,
рассмотрим уравнение сохранения импульса в механике сплошной
среды:
^ A.1.2)
где t — тензор напряжений, f — массовая сила, а в правой части
стоит ускорение. Нелинейности могут входить в это уравнение по-
посредством зависимости напряжений от деформаций или скорости
деформаций в первом члене в левой части. Нелинейные массовые
силы, встречающиеся в магнитной гидродинамике или физике плаз-
плазмы, могут входить в силовой член f. И наконец, в правой части
уравнения A.1.2) мы видим явно нелинейный член — переносное
ускорение. Этот член появляется во многих задачах о движении
жидкости и является одним из источников турбулентности в жид-
жидкостях.
Хотя хаотические явления наблюдались в термогидродинамиче-
термогидродинамических, механических и электрических системах, из-за широкой рас-
распространенности турбулентности хаос в жидкостях иногда считался
фундаментальным примером хаоса. Однако в классическом уравне-
уравнении Навье — Стокса механики жидкостей, которое является следст-
следствием уравнения сохранения импульса A.1.2), нелинейность содер-
содержится в переносном ускорении, т. е. в кинематическом члене:
18 Глава 1
»>V2v - VP = --V + v • Vv, A.1.3)
д t
где v — кинематическая вязкость, аР — давление. Вязкий член в
левой части линеен и обычно рассматривается в приближении нью-
ньютоновской жидкости.
Можно ожидать, что, если выйти за рамки уравнения Навье —
Стокса и включить в рассмотрение нелинейно-вязкие (неньютонов-
(неньютоновские) жидкости или упругопластичные среды, мы обнаружим об-
обширное поле нелинейных и хаотических явлений механики, электро-
электромагнетизма и акустики. Поэтому нет никаких оснований утверж-
утверждать, что переносное ускорение представляет собой фундаменталь-
фундаментальную нелинейность классической физики.
ГДЕ НАБЛЮДАЮТСЯ ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ?
Из проведенного обсуждения можно заключить, что хаотиче-
хаотические явления возможны во многих физических системах. В научной
и технической литературе ежемесячно сообщается о новых таких
явлениях. Неполный список механических и электрических систем, в
которых известны хаотические колебания, включает:
колебания изогнутых упругих структур;
механические системы с зазором или мертвым ходом;
аэроупругие системы;
динамику системы колесо—рельс;
магнитомеханические приводы;
сильные трехмерные колебания таких структур (и конструкцион-
конструкционных элементов), как балки и оболочки;
системы с трением скольжения;
системы с вращением или гироскопами;
нелинейные акустические системы;
простые цепи с источниками тока и диодами;
цепи с гармоническими источниками тока и р — «-транзистора-
«-транзисторами;
цепи с гармоническими источниками тока и нелинейными ем-
емкостными и индуктивными элементами;
контрольные устройства с обратной связью;
лазеры и нелинейные оптические системы.
Это всего лишь некоторые из тех систем, в которых обнаружен
хаос. Описание отдельных примеров приведено в гл. 3. Начиная за-
занятия в области хаотической динамики, многие спрашивают, поче-
Введение. Второе дыхание динамики 19
му хаос не обнаружили в экспериментах раньше, если он столь рас-
распространен. На этот вопрос есть два ответа. Во-первых, если по-
порыться в библиотеке и почитать ранние статьи об экспериментах с
нелинейными колебаниями, мы уже натолкнемся на беглые упоми-
упоминания о непериодических явлениях, погребенные в обсуждении бо-
более традиционных аспектов нелинейных колебаний (см. примеры в
гл. 3). Во-вторых, Джозеф Келлер, занимающийся прикладной ма-
математикой в Станфордском университете, отвечая на этот вопрос
на лекции, сказал, что раньше ученые и инженеры были воспитаны
почти исключительно на идеях линейной математики, например на
линейной алгебре и линейных дифференциальных уравнениях. По-
Поэтому, заключает Келлер, естественно, что при постановке динами-
динамических экспериментов они искали только те явления, которые удов-
удовлетворяли линейным математическим моделям.
Что же касается вопроса о том, почему теоретики не наткну-
наткнулись на эти идеи раньше, то есть свидетельства, что некоторые из
них — как Пуанкаре и Биркгоф — осознавали эти возможности.
Однако конкретные проявления хаотического поведения не могли
быть выявлены до появления мощных компьютеров, которые по-
позволили рассчитывать длинные временные ряды, необходимые для
наблюдения и измерения хаотических явлений.
1.2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ.
КРАТКИЙ ОБЗОР
Этот раздел посвящен краткому обзору классической теории ко-
колебаний, как линейных так и нелинейных. Мы намерены лишь дать
определения и перечислить некоторые идеи нелинейной динамики,
касающиеся периодических колебаний, с тем чтобы позже сопоста-
сопоставить их с хаотическими колебаниями. Читателям, которые хотели
бы познакомиться с более подробным обсуждением нелинейных ко-
колебаний, следует обратиться к таким книгам, как [180, 135, 148].
Начнем с краткого обзора идей теории линейных колебаний.
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Классическая парадигма теории линейных колебаний — это си-
система из массы и пружины, показанная на рис. 1.5 рядом с ее
электрическим аналогом. Если отсутствуют возмущающие силы и
трение, то система колеблется с частотой, независимой от ампли-
20
Глава 1
1}
¦ xW
м
////////У/
(а)
(б)
Рис. 1.5. a — Классический механический осциллятор с пружиной, массой и демпфе-
демпфером; б — электрическая цепь, свойства которой аналогичны свойствам осциллятора
с затуханием.
туды колебаний:
"°= \т) = \LC
i/2
A.2.1)
В таком состоянии энергия попеременно переходит из упругой энер-
энергии пружины (электрической энергии конденсатора С) в кинетиче-
кинетическую энергию массы (магнитную энергию индуктивности L ), и на-
наоборот. Включение затухания (с Ф О, R Ф 0) делает свободные ко-
колебания затухающими, так что амплитуда колебаний массы (или
заряд в цепи) имеет следующую временную зависимость:
x{t) = /l0e-T'cos[(wg - y2)l/2t + <р0), A-2.2)
где
с R
у = _ , „ЛИ у = —
Говорят, что затухание докритическое, когда у2 < ш^, критиче-
критическое, когда у2 = cojj, и сверхкритическое, когда у2 > ш§.
Одно из классических явлений в линейных колебательных
системах — резонанс при гармоническом возбуждении. Дифферен-
Дифференциальное уравнение, описывающее систему в этих условиях, имеет
вид (см., например, [190]):
х + 2ух + иЪх = f0cosQt. A.2.3)
Если при постоянной амплитуде/0 изменять вынуждающую ча-
частоту Q, то абсолютная величина стационарного смещения массы
(после затухания переходных возмущений) достигает максимума
вблизи естественной частоты ш0, а более точно — при
П = (ш§ — у2Уп. Это явление изображено на рис. 1.6. Эффект вы-
Введение. Второе дыхаине динамики
21
I!
•о п
Рис. 1.6. Классические резонансные кривые (зависимость амплитуды отклика от ча-
частоты) для вынужденного движения линейного осциллятора с затуханием при раз-
разных коэффициентах затухания у.
ражен ярче при слабом затухании. В структурированных системах
это явление широко распространено, и инженеры хорошо знакомы
с проблемой усталостного разрушения конструкций и машин при
сильных резонансных колебаниях. Если линейная механическая си-
система имеет много степеней свободы, ее часто моделируют систе-
системой связанных осцилляторов из пружин и масс, обнаруживая при
гармоническом возбуждении появление множества резонансных ча-
частот. Такое поведение часто наталкивало на предположение, что
каждый максимум в спектре колебаний соответствует по меньшей
мере одной степени свободы. В нелинейных колебательных систе-
системах это не так. В отличие от своего линейного аналога, нелинейная
система с одной степенью свободы может возбудить много частот,
как это показано на рис. 1.3. В любом случае математическая тео-
теория линейных систем хорошо разработана и запрограммирована в
мощных пакетах математического обеспечения для компьютеров.
Другое дело — нелинейные задачи.
ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Нелинейные эффекты могут проявиться многими разнообразны-
разнообразными способами. Классический пример — это нелинейная пружина, в
которой восстанавливающая сила нелинейно зависит от растяже-
растяжения. В случае симметричной нелинейности (одинаковый отклик при
сжатии и растяжении) уравнение движения принимает вид
х + 2<у* + ах + 0дг3 =/(О- A.2.4)
Если затухание отсутствует и /(/) = 0, имеются периодические ре-
22
Глава 1
\А\ к
Рис. 1.7. Классическая резонансная кривая нелинейного осциллятора с жесткой пру-
пружиной в случае, когда колебания периодичны и имеют тот же период, что и вынуж-
даюшая сила (а и /3 определяются в уравнении A.2.4)).
шения, в которых при /3 > О естественная частота увеличивается с
амплитудой. Эта модель часто называется уравнением Дуффинга
по имени изучавшего ее математика.
Если на систему воздействует периодическая сила, то в класси-
классической теории полагают, что и отклик будет периодическим. Резо-
Резонанс нелинейной пружины при частоте отклика, совпадающей с ча-
частотой силы, показан на рис. 1.7. Как показано на этом рисунке,
при постоянной амплитуде вынуждающей силы существует диапа-
диапазон вынуждающих частот, в котором возможны три различных
значения амплитуды отклика. Можно показать, что штриховая ли-
линия на рис. 1.7 неустойчива, и при росте и уменьшении частоты
происходит гистерезис. Это явление называется перебросом, и оно
наблюдается в экспериментах со многими механическими и элект-
электрическими системами.
Существуют и другие периодические решения, такие, как субгар-
субгармонические и супергармонические колебания. Если вынуждающая
сила имеет вид /Ocosu/, то субгармонические колебания могут
иметь вид x0cos(wt/n + <р) плюс более высокие гармоники (п —
целое число). Как мы увидим ниже, субгармоники играют важную
роль в предхаотических колебаниях.
Теория нелинейного резонанса зиждется на предположении, что
периодическое воздействие вызывает периодический отклик. Одна-
Однако именно этот постулат оспаривает новая теория хаотических ко-
колебаний.
Самовозбуждающиеся колебания — другой важный класс нели-
нелинейных явлений. Это колебательные движения, которые происхо-
происходят в системах без периодических внешних воздействий или перио-
периодических сил. На рис. 1.8 показаны несколько примеров. В первом
Введение. Второе дыхание динамики
23
^-\ |
(а)
(б)
C^z ?¦
(в)
Рис. 1.8. Примеры самовозбуждаюшихся колебаний: a — сухое трение между массой
и движущимся ремнем; б — аэроупругие силы, действующие на тонкое крыло; в —
отрицательное сопротивление в цепи с активным элементом.
примере к колебаниям приводит трение, создаваемое относитель-
относительным движением массы и движущегося ремня. Второй пример ил-
иллюстрирует целый класс аэроупругих колебаний, при которых ста-
стационарные колебания вызывает стационарный поток жидкости за
твердым телом на упругой подвеске. В классическом примере из
области электричества, показанном на рис. 1.9 и исследованном
Ван дер Полем, в цепь включена электронная лампа.
Во всех этих примерах в системе присутствуют стационарный
источник энергии и источник диссипации, или нелинейный демпфи-
демпфирующий механизм. В случае осциллятора Ван дер Поля источником
Рис. 1.9. Схема цепи с вакуумной лам-
лампой, в которой происходят колебания на
предельном цикле того же типа, кото-
который исследовал Ван дер Поль.
24
Глава 1
энергии является постоянное напряжение. В математическую мо-
модель этой цепи источник энергии входит в виде отрицательного со-
сопротивления:
х - ух (I - рх2) + ш%х = 0. A.2.5)
Энергия может поступать в систему при малых амплитудах, но при
увеличении амплитуды ее рост ограничивается нелинейным затуха-
затуханием.
В случае маятника Фруда (см., например, [135, гл. 28]), подвод
энергии осуществляется стационарным вращением оси. При малых
колебаниях нелинейное трение играет роль отрицательного затуха-
затухания; между тем при сильных колебаниях амплитуда колебаний
ограничивается нелинейным членом 0в3:
в + asind = То + 70A - 0в2). A.2.6)
Колебательные движения таких систем часто называются пре-
предельными циклами. На рис. 1.10 показаны траектории осциллятора
Ван дер Поля на фазовой плоскости. Малые колебания раскручива-
раскручиваются по спирали, приближаясь к замкнутой асимптотической тра-
траектории, а движения большой амплитуды стягиваются по спирали
к тому же предельному циклу (см. рис. 1.10 и 1.11, где .у = х).
При изучении подобных проблем часто возникают два вопроса.
Какова амплитуда и частота колебаний на предельном цикле? При
каких значениях параметров существуют устойчивые предельные
циклы?
>- о -
Рис. 1.10. Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изобра-
изображенное на фазовой плоскости.
Введение. Второе дыхание динамики
25
-10 -5 0 5 10
Рис. 1.11. Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля.
В случае уравнения Ваи дер Поля удобно нормировать про-
пространственную переменную на VJ3, а время — на w^, так что урав-
уравнение принимает вид
х - ехA -х2) +х = О, A.2.7)
где е = 7/«0. При малых е предельный цикл представляет собой
окружность радиуса 2 на фазовой плоскости, т. е.
х = 2 cos/ + ..., A.2.8)
где через + ... обозначены гармоники третьего и более высоких по-
порядков. При больших е движение приобретает вид релаксационных
колебаний, показанных на рис. 1.11, с безразмерным периодом око-
около 1.61 при е > 10.
Более сложна задача с периодической силой в системе Ван дер
Поля:
х -
+
a' =
A.2.9)
Поскольку эта система нелинейна, неприменим принцип суперпози-
суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. Вместо этого возникаю-
возникающее периодическое движение захватывается на вынуждающей ча-
частоте, когда последняя близка к частоте предельного цикла. При
слабом внешнем воздействии имеются три периодических решения,
но лишь одно из них устойчиво (рис. 1.12). При больших значениях
амплитуды силы /0 существует только одно решение. В любом слу-
случае с увеличением расстройки «0 - ш, при фиксированном/0 захва-
26
Глава 1
Расстройка
Рис. 1.12. Амплитудные кривые
для вынужденного движения ос-
осциллятора Ван дер Поля A.2.9).
ценное периодическое решение оказывается неустойчивым и стано-
становятся возможными другие типы движения.
При больших отличиях вынуждающей и собственной частот в
системе Ван дер Поля появляется новое явление — комбинацион-
комбинационные колебания, иногда называемые почти периодическими или ква-
квазипериодическими решениями. Комбинационные колебания имеют
вид
х =bicoso)lt
A.2.10)
Когда частоты ш, и ш2 несоизмеримы, т. е. ы,/ы2 — иррациональ-
иррациональное число, решение называется квазипериодическим. Для уравнения
Ван дер Поля A.2.9) о>2 = ы0, где ш0 — частота предельного цикла
свободных колебаний (см., например, [180, с. 166]).
Ниже мы еще поговорим о квазипериодических колебаниях, но,
поскольку они не периодичны, их можно спутать с хаотическими
решениями, каковыми они не являются. (Для них спектр Фурье ре-
решения A.2.10) состоит из двух пиков при ш — «,, «2, в то время
как хаотические решения имеют широкий, непрерывный спектр.)
Когда ш, и ы2 несоизмеримы, фазовый портрет решения A.2.10)
представляет собой незамкнутую траекторию, и для графического
представления квазипериодических функций используется другой
способ. Для этого делается стробоскопическая выборках(/) с ин-
интервалом 2тг/«,; положим
п 2тг
ш,
A.2.11)
и обозначим x(tn) =xn, x(tn) = vn . Тогда соотношение A.2.10)
Введение. Второе дыхание динамики
27
Рис. 1.13. Стробоскопическое изображение
на фазовой плоскости квазипериодических
решений для осциллятора Ван дер Поля
A.2.9).
¦/
\
\\
/
=v_.r
СВОДИТСЯ К
2irn
, . 2 7177 Wn
-wno,sin ^
w,
«062s
O),
A.2.12)
С ростом л точка (х"л, ул ) смещается вдоль эллипса, лежащего в
стробоскопической фазовой плоскости (называемой сечением Пуан-
Пуанкаре), как показано на рис. 1.13. Если «0/ш, иррационально, то
множество точек I x^ vn) прип — оо заполняет замкнутую линию,
уравнение которой имеет вид
A.2.13)
Квазипериодические колебания происходят также и в системах с
более чем одной степенью свободы.
ЛОКАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИКИ
Идеи современной нелинейной динамики часто представляют в
геометрической форме или в виде рисунков. Например, движение
осциллятора без затухания, х + ы?х = 0, можно представить на
фазовой плоскости (х, х) в виде эллипса (рис. 1.13). На таком ри-
рисунке время представлено неявно и временная эволюция описывает-
описывается движением вдоль эллипса по часовой стрелке. Размер эллипса
зависит от задания начальных условий для (х, к).
В общем при исследовании нелинейных задач сначала следует
найти точки равновесия системы, а затем рассмотреть движение
вокруг каждого положения равновесия. Локальное движение харак-
28 Глава 1
теризуется свойствами собственных значений линеаризованной си-
системы. Таким образом, если динамическую модель можно предста-
представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка
х = |(х), A.2.14)
где х — вектор, компоненты которого — параметры состояния, то
точки равновесия определяются равенством х = 0, или
1(х,) = 0. A.2.15)
Например, в случае гармонического осциллятора имеется толь-
только одна точка равновесия, расположенная в начале координат:
х = (х, v s х), хе = О, ve = 0. Для выяснения характера поведения
вблизи х = \ следует разложить функцию f(x) в ряды Тейлора
вблизи каждой точки равновесия х^ и рассмотреть линеаризованные
задачи.
Для иллюстрации этого метода рассмотрим систему двух урав-
уравнений первого порядка:
х =/(*, у),
y=g(x,y). (L2-16)
Если время не входит явно в функции /( ) и g ( ), то задача
называется автономной. Координаты точек равновесия должны
удовлетворять двум уравнениям: f(xe, уе) = 0 и g (хе, уе) = 0.
Вводя малые отклонения от каждого из положений равновесия,
т. е.
х =хе + г) и у =уе + $,
перепишем систему в виде
A.2.17)
где производные вычисляются в точке (хе, уе).
Некоторые авторы обозначают матрицу производных в уравне-
уравнении A.2.17) символами V F или?> F, где F = (f, g). Характер дви-
движения вблизи каждой из точек равновесия выясняется с помощью
собственных решений
д/
Ьх
dg
дх
д/
ду
dg
ду
&}¦&}-¦
Введение, второе дыхание динамики
Спираль
Узел
Седло
Центр
Рис. 1.14. Классические фазовые портреты окрестностей четырех различных типов
точек равновесия системы двух дифференциальных уравнений, не содержащих явной
зависимости от времени.
где а и /3 — постоянные. Движения классифицируются на основе
свойств двух собственных значений матрицы DF (т. е. на основе то-
того, действительно или комплексно s, и в зависимости от знака ReE).
Траектории на фазовой плоскости при разных собственных зна-
значениях показаны на рис. 1.14. К примеру, седловая точка возника-
возникает, когда оба собственных значения 5 действительны, но s, < 0, а
s2 > 0. Спираль соответствует случаю, когда5, as2 комплексно-со-
комплексно-сопряженные.
Устойчивость решения линеаризованной системы A.2.17) опре-
определяется знаком Re(s). Когда действительная часть одного из чисел
5, или52 положительна, движение вблизи этой точки равновесия не-
неустойчиво. Существуют теоремы, показывающие, что если корни
не являются чисто мнимыми, то локальное движение, описываемое
линеаризованной системой, подобно движению исходной нелиней-
нелинейной системы A.2.16). Чисто колебательное движение линеаризован-
линеаризованной системы (s = ±i ы) делает необходимым дальнейший анализ
для выяснения вопроса об устойчивости нелинейной системы. Эти
идеи, изложенные для системы второго порядка, можно обобщить
на случай фазового пространства большей размерности (см., напри-
например, [3] или [57]).
30 Глава 1
БИФУРКАЦИИ
По мере изменения параметров динамической системы может
меняться число точек равновесия и их устойчивость. Такие измене-
изменения нелинейных систем, связанные с изменением параметров систе-
системы, являются предметом теории бифуркаций. Те значения пара-
параметров, при которых изменяются качественные или топологические
свойства движения, называются критическими или бифуркационны-
бифуркационными значениями.
В качестве примера рассмотрим решение, описывающее идеаль-
идеальный осциллятор Дуффинга:
х + ах + /Злг3 = 0. A.2.19)
Для начала построим зависимость положения точек равновесия от
а. С изменением а от положительных до отрицательных значений
единственная точка равновесия распадается на три. На языке дина-
динамики: единственный центр преобразуется в седловую точку в цент-
центре координат и два центра (рис. 1.15). Бифуркация такого типа на-
называется бифуркацией типа вил. Физический смысл этого явления
понятен из того, что силу — (ах + /Зх3) можно описать с по-
помощью потенциальной энергии. Когда а становится отрицатель-
отрицательным, потенциал с одной ямой заменяется потенциалом с двумя
ямами. При этом происходит качественное изменение динамики си-
системы, и поэтому а = 0 является критическим бифуркационным
значением.
Другой пример бифуркации — появление в физических системах
предельных циклов. В этом случае по мере изменения некоторого
управляющего параметра пара комплексно-сопряженных собствен-
собственных значений s,, s2 = ± iu + у переходит из левой части плоскости
(у < 0, устойчивая спираль) в правую часть (у > 0, неустойчивая
спираль) и возникает периодическое движение, называемое предель-
предельным циклом. Такой тип качественного изменения динамики систе-
системы, показанный на рис. 1.16, называется бифуркацией Хопфа.
Только что описанная теория называется локальной, потому
что она описывает динамическое поведение лишь в окрестности
каждой точки равновесия. Основная цель классического динамиче-
динамического анализа заключается в составлении мозаики локальных кар-
картин и описания глобальной картины траекторий между точками
равновесия.
Такой анализ возможен, когда пучки различных траекторий, со-
соответствующих разным начальным условиям, движутся более или
менее когерентно, как ламинарный поток жидкости. Это происхо-
происходит, если фазовое пространство имеет только два измерения. Одна-
<r>0
0>O
Рис. 1.15. Траектории осциллятора с нелинейной возвращающей силой (уравнение
Дуффинга A.2.19)) на фазовой плоскости: а — случай жесткой пружины, а, /3 > 0;
б — случай мягкой пружины, а > 0, /3 < 0; в — потенциал с двумя ямами, а < 0,
/3 > 0.
Устойчивость
Устойчивость
(э)
Рис. 1.16. Бифуркационные диаграммы: а — бифуркация типа вил для уравнения
Дуффинга A.2.19), отвечающая переходу из состояния с одним устойчивым положе-
положением равновесия в состояние с двумя устойчивыми равновесными точками; б — би-
бифуркация Хопфа, отвечающая переходу от устойчивой спирали к колебаниям на
предельном цикле.
32 Глава 1
ко если присутствуют три или более уравнений первого порядка, то
пучки траекторий могут разбегаться и запутываться, создавая то,
что мы теперь называем хаотическим движением.
Наш короткий обзор пояснил, что существует три классических
типа динамического движения:
1) равновесие;
2) периодическое движение, или предельный цикл;
3) квазипериодическое движение.
Эти состояния называются аттракторами, поскольку в присутст-
присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и
система «притягивается» к одному из трех перечисленных состоя-
состояний. Цель нашей книги — описать другой класс движений, харак-
характерных для нелинейных колебаний, который не сводится ни к одно-
одному из этих классических аттракторов. Этот новый класс движе-
движений — движения хаотические в том смысле, что они непредсказуе-
непредсказуемы, если присутствует малая неопределенность начальных условий;
этот класс движений часто связан с состоянием, называемым
странным аттрактором.
Классическим аттракторам соответствуют классические геомет-
геометрические объекты в фазовом пространстве: равновесному состо-
состоянию — точка, периодическому движению или предельному цик-
циклу — замкнутая кривая, а квазипериодическому движению соот-
соответствует поверхность в трехмерном фазовом пространстве. Как
мы увидим в последующих главах, «странный аттрактор» связан с
новым (по отношению к классической геометрии) геометрическим
объектом, называемым фрактальным множеством. В трехмерном
фазовом пространстве фрактальное множество странного аттрак-
аттрактора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллель-
параллельных плоскостей, причем расстояние между некоторыми из них
приближается к бесконечно малому. Для описания этого нового
аттрактора нелинейной динамики требуются новые математические
идеи и язык, а для его обнаружения и количественной характерис-
характеристики — новые методы эксперимента. Связь между бифуркациями и
хаосом обсуждается в недавно изданной книге [193].
1.3. ОТОБРАЖЕНИЯ И ПОТОКИ
Математические модели динамики в общем случае могут иметь
один из трех видов: дифференциальные уравнения (или потоки),
разностные уравнения (называемые отображениями) и символиче-
символические динамические уравнения.
Введение. Второе дыхание динамики 33
Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом про-
пространстве, который начинается на множестве близких начальных
условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных си-
системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным
движением частицы. Однако определенную качественную и коли-
количественную информацию о системе можно получить, анализируя
эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах
времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить раз-
разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюциониру-
эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанка-
Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно
различающихся типов, например периодические, квазипериодиче-
квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принима-
принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы
оказывается ограниченной конечным набором значений или катего-
категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Напри-
Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может
интересовать только, в какой яме находится частица, правой (R)
или левой (L). Тогда траектория может описываться последова-
последовательностью символов LRRLRLLLR, .... Периодическая орбита
может иметь вид LRLR ... или LLRLLR .... На современном но-
новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции
физических систем применяются модели всех трех типов (см. об-
обсуждение символической динамики в [26] или [211]).
В колебательных системах с периодической вынуждающей силой
отображение Пуанкаре можно получить, стробоскопически измеряя
динамические переменные в моменты, соответствующие определен-
определенной фазе вынуждающего движения. В задаче с п переменными сече-
сечение Пуанкаре получается в результате измерения п — 1 переменных
в те моменты, когда п-я переменная принимает некоторое опреде-
определенное значение или когда траектория в фазовом пространстве пе-
пересекает некоторую произвольную плоскость, как показано на
рис. 1.17 (см. также гл. 2 и 4). Если известен закон эволюции в про-
промежутке между двумя пересечениями выбранной плоскости, то
можно связать положение траектории в моменты tn + , и tn с по-
помощью известных функций. Например, в случае, показанном на
рис. 1.17:
Математические методы исследования таких отображений по-
подобны методам исследования дифференциальных уравнений. Мож-
Можно найти равновесные или неподвижные точки отображения и про-
произвести классификацию этих точек с помощью анализа отображе-
34
Глава 1
Рис. 1.17. Сечение Пуанкаре — составление
разностного уравнения (отображения) для
динамической модели с непрерывно меняю-
меняющимся временем.
ния, линеаризованного вблизи данной точки покоя. Если
х„ + , = f(xn) есть отображение общего вида для, скажем, п пере-
переменных, составляющих вектор х, то точка покоя удовлетворяет
уравнению
же = fog. A.3.2)
Итерацию отображения часто записывают в виде f(f(x)) = f<2)(x)-
При такой записи уравнение для "m-цикла" или /л-периодической
орбиты, т. е. точки покоя, повторяющейся после т итераций ото-
отображения, имеет вид
хо= fC")(x0). A.3.3)
Эти рассуждения подразумевают, что при непрерывной эволю-
эволюции периодические движения соответствуют точкам покоя разност-
разностных уравнений, полученных с помощью сечения Пуанкаре. Итак,
объекты, наиболее часто исследуемые при изучении перехода от пе-
периодического движения к хаотическому, — это простые одномер-
одномерные и двумерные отображения.
ТРИ ОБРАЗА ХАОСА
Простейшим примером динамической модели, обнаруживающей
хаотическое поведение, по-видимому, является логистическое урав-
уравнение, или уравнение роста популяции (см., например, [130]):
хп + 1=сх„ -Ьх„2. A.3.4)
Первый член в правой части описывает рост или рождение, а нели-
нелинейный член ответствен за ограничение роста, связанное, напри-
Введение. Второе дыхание динамики _,_,
мер, с ограниченностью энергетических или пищевых ресурсов. Ес-
Если пренебречь нелинейным членом ф = 0), то можно выписать яв-
явное решение получающегося линейного уравнения:
хп+ i = ахп> хп = хоа"- A-3.5)
Это решение устойчиво при I a I < 1 и неустойчиво при I a I > 1.
В последнем случае из линейной теории следует нереалистичное
предсказание неограниченного роста.
Нелинейную модель A.3.4) обычно переписывают в безразмер-
безразмерном виде
*я + 1 = Ч,0-*я)- О-3-6)
При X > 1 имеются две точки равновесия (т. е. х = Хх A — х)).
Для выяснения устойчивости отображения хп + , —f(xn) следует
вычислить величину наклона I/' (х)\ в точке покоя. Если
I/' I > 1, точка покоя неустойчива. При 1 < X < 3 логистическое
уравнение A.3.6) имеет две точки покоя: х — 0, (X — 1)/Х; при
этом начало координат — неустойчивая точка, а вторая точка по-
покоя устойчива.
Однако при X = 3 наклон при* = (X — 1)/Х превышает едини-
единицу (/' = 2 — X) и обе точки равновесия становятся неустойчивы-
неустойчивыми. При значениях параметра X, заключенных между 3 и 4, это
простое разностное уравнение описывает множество многопериоди-
многопериодических и хаотических движений. При X = 3 становится неустойчи-
неустойчивым стационарное решение, но остается устойчивым бицикл или
двупериодическая орбита. Эта орбита показана на рис. 1.18. Вели-
Величинах,, повторяется через каждую итерацию.
При дальнейшем увеличении X двупериодическая орбита стано-
становится неустойчивой и возникает цикл с периодом 4, который
вследствие бифуркации быстро заменяется циклом с периодом 8
при еще больших значениях X. Этот процесс удвоения периода про-
должаетя до тех пор, пока X не достигает значения Х^ =
= 3,56994 ... . Вблизи этого значения последовательность значений
параметра, при которых происходят удвоения периода, подчиняет-
подчиняется точному закону
*я + 1 ~ К _ 4,66920 ... . A.3.7)
К ~ \ - 1
Это предельное отношение называется числом Фейгенбаума — по
имени физика, который обнаружил эти свойства рассматриваемого
отображения.
При значениях X, превышающих Х^, могут возникать хаотиче-
36
Глава 1
Период -1
I I I I I I I I I I .
Период - 2
MV
I I I I I I I
_^ J
Период -4
I I I I I I I I I.
I I I I I I I
Хаос
Л
Рис. 1.18. Возможные типы решений логи-
логистического уравнения A.3.6) (квадратичного
отображения). Вверху — стационарное дви-
движение с периодом 1; посередине — движения
с периодом 2 и периодом 4; внизу — хаотиче-
"л ское движение.
ские итерации, т. е. поведение модели на больших временах не
укладывается в рамки простого периодического движения. В интер-
интервале \а < X < 4 также присутствуют определенные узкие интерва-
интервалы ДХ, для которых существуют периодические орбиты. Хаотиче-
Хаотическая орбита логистического отображения показана на рис. 1.19 с
помощью зависимости хп , от хп .
Роль этого отображения не только в том, что оно дает обра-
образец хаоса. Было показано, что и другие отображения вида
х„ + 1 = / (*„)» где / (х) — квадратичная или более сложная функ-
функция, ведут себя примерно так же, удовлетворяя тому же закону
A.3.7). Поэтому явление удвоения периода или регулярного измене-
изменения бифуркационного параметра называют универсальным свойст-
свойством определенных классов одномерных разностных моделей дина-
динамических процессов.
Удвоение периода и отношение Фейгенбаума A.3.7) обнаружива-
обнаруживаются во многих физических экспериментах (см. гл. 3). Это означа-
означает, что во многих непрерывных эволюционных процессах сведение
к разностному уравнению с помощью сечения Пуанкаре приводит к
квадратичному отображению A.3.4); отсюда следует важная роль
Введение. Второе дыхание динамики
37
/
у
f
I
/
/
/
/ ,
У
t
\ '
\
\ /
v
A
/ \
/ \
/¦
\
\
\
юдическая
траектория
fci_L
J L
J L
дг4
\
Рис. 1.19. Графическое решение разностного уравнения первого порядка. Показан
пример квадратичного отображения A.3.6).
отображений в исследовании дифференциальных уравнений. (Даль-
(Дальнейшее обсуждение логистического уравнения A.3.4) см. в гл. 5.)
ОТОБРАЖЕНИЕ ЭНОНА И «ПОДКОВА»
Не удивительно, что состояние большинства физических систем
описывается более чем одной переменной и необходимо исследо-
исследовать отображения более высокого порядка. Одним из обобщений
задачи Фейгенбаума A.3.6) является двумерное отображение, пред-
предложенное французским астрономом Эноном1* [68]:
Х" + ' ~ ~ аХ" + Уп ' A.3.8)
V , , = (ЗХ„ .
Заметим, что при /3 = 0 мы возвращаемся к квадратичному ото-
отображению. При I C I < 1 отображение уменьшает площади в пло-
плоскости ху. Кроме того, оно вытягивает и изгибает области на фа-
фазовой плоскости, как это показано на рис. 1.20. В результате этого
растяжения, сжатия и изгиба или складывания областей фазового
пространства получаются области, напоминающие подкову. После-
Последовательные итерации таких отображений типа подковы приводят
к появлению в фазовом пространстве сложных орбит, потере ин-
информации о начальных условиях и хаотическому поведению.
'* В русской литературе часто используется неправильная транскрипция
«Хенон». — Прим. перев.
38
Глава 1
Рис. 1.20. Преобразование прямоугольной области начальных условий под действи-
действием системы разностных уравнений второго порядка, называемой отображением
Энона A.3.8), состоящее в вытягивании, сжатии и складывании, которые приводят к
хаотическому поведению (а = 1,4, /3 = 0,3).
На рис. 1.21 приведена иллюстрация способности простых ото-
отображений моделировать сложные движения. После итерации ис-
использованного отображения прямоугольная область растягивается
в вертикальном направлении и сжимается в горизонтальном и скла-
D
Рис. 1.21. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после боль-
большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
luuiu чиила шсрацин иширажсних
к фрамальнин
D,
Рис. 1.21. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после боль-
большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
У,
СИ
D,
Рис. 1.21. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после боль-
большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
У,
D,
Рис. 1.21. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после боль-
большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
40 Глава 1
ния можно получить критерий возникновения хаотических колеба-
колебаний динамической системы, при которых предсказание будущей
эволюции становится чувствительным к начальным условиям. Это
метод Мельникова, который успешно применяется для получения
критериев хаоса в определенном классе задач о нелинейных колеба-
колебаниях с одной степенью свободы (см., например, гл. 5).
АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА И ХАОС В ЖИДКОСТИ
Что касается непредсказуемости эволюции реальных физических
систем, то проведенное нами обсуждение отображений и хаоса
многим читателям может показаться неубедительным. И если бы
не нижеследующий пример из области механики жидкостей, связь
между отображениями, хаосом и дифференциальными уравнения-
уравнениями, описывающими физические системы, могла бы до сих пор не
выйти за рамки математических журналов. В 1963 г. специалист по
физике атмосферы по имени Э.Н. Лоренц из Массачусетсского тех-
технологического института предложил простую модель тепловой
конвекции в атмосфере1'. Жидкость, подогреваемая снизу, стано-
становится легче и всплывает, а более тяжелая жидкость опускается под
действием гравитации. Такие движения часто организуются в кон-
конвективные валики, подобные движениям жидкости в трехмерном
торе, показанном на рис. 1.23. В математической модели конвек-
конвекции, которую предложил Лоренц, используются три переменные
(х, у, z), описывающие состояния системы. Переменная х пропор-
пропорциональна амплитуде скорости, с которой жидкость циркулирует в
жидком кольце, а переменные у и z отражают распределение тем-
температуры по кольцу. Так называемые уравнения Лоренца можно
формально получить из уравнения Навье — Стокса, уравнения в
частных производных механики жидкости (см., например, гл. 3). В
безразмерном виде уравнения Лоренца записываются следующим
образом:
х = а (у — х),
у = рх - у - xz, A.3.9)
z - ху - /Зг.
Параметры аир связаны соответственно с числами Прандтля и
Рэлея, а третий параметр /3 описывает геометрию системы. Отме-
" Приоритет в открытии непериодических решений в задаче о конвекции Лоренц
отдает Зальцману [167], который рассматривал систему из пяти уравнений первого
порядка. А математики предпочитают анализировать более простую систему Лореи-
ца A.3.9), состоящую из трех уравнений. Вот как складываются судьбы в иауке.
Введение. Второе дыхание динамики
41
Рис. 1.23. Вверху — схема линий то-
тока жидкости в конвективной ячейке
при стационарном движении; внизу —
одномерная конвекция в кольцевой
трубке под действием силы тяготе-
тяготения и градиента температуры.
тим, что единственные нелинейные члены — это xz и ху во втором
и третьем уравнениях.
При а = 10 и 0 — 8/3 (набор параметров, предпочитаемый
специалистами в этой области) и при р > 1 имеется три положения
равновесия, из которых то, которое расположено в начале коорди-
координат, является неустойчивой седловой точкой (рис. 1.24). При
Рис. 1.24. Локальные схемы движения вблизи трех точек равновесия для уравнений
Лоренца A.3.9).
Введение. Второе дыхание динамики 43
Чтобы привести A.3.10) к виду, подходящему для исследования в
фазовом пространстве, положим у = х. Далее, если на массу дей-
действует периодическая вынуждающая сила, то неавтономную систе-
систему второго порядка A.3.10) можно свести к автономной системе
уравнений третьего порядка. Итак, предположим, что
F(x, t) = m[f(x, у) + *(/)],
8 (t + т) = g (t ).
Вводя обозначения г = со/исо = 2тг/т, мы приведем уравнения к
виду
х = у,
y=/Uy) + g(z), 0.3.11)
Z = со.
Частный случай с сильно хаотичным поведением — осциллятор
Дуффинга — получается при F - - (ах + Ьх3 + су) (см. гл. 2 и 3).
Следует заметить, что если фазовое пространство двумерно, то
решения автономных систем не могут быть хаотичными, потому
что линии тока «потоков» не могут пересекаться. Однако при вы-
вынужденных колебаниях, т. е. в трехмерном фазовом пространстве,
эти линии могут «перепутываться» и становятся возможными хао-
хаотические движения.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Динамика — старейший раздел физики. И тем не менее через
300 лет после публикации Principia Ньютона A687) появляются все
новые открытия. Появившиеся за это время идеи Эйлера, Лагран-
жа, Гамильтона и Пуанкаре, родившись в небесной механике, про-
проникли теперь во все области физики. Так же как новая наука, дина-
динамика, породила в XVII в. дифференциальное исчисление, в наше
время нелинейная динамика ввела в обиход такие новые идеи гео-
геометрии и топологии как фракталы, без освоения которых ученому
XX в. не удастся полностью понять предмет исследований.
Идеями хаоса западная мысль обязана еще древним грекам. Са-
Сами эти идеи сводились к объяснению порядка в том мире, который
возник из первобытного мира — бесформенного, хаотичного и не-
неупорядоченного. Но уже в восточной мысли, в частности, в даосиз-
даосизме (по словам Г. Майер-Кресса [131] из Лос-Аламосской нацио-
национальной лаборатории), хаос ассоциируется со структурами, вложен-
вложенными в структуры, вихрями, вложенными в вихри, как это проис-
44 Глава 1
Рис. 1.26. Рисунок на японском кимоно подобен фрактальной структуре (воспроизво-
(воспроизводится с любезного разрешения Mitsubishi Motor Corp.).
ходит, например, в течении жидкостей (см. также рисунок на япон-
японском кимоно, показанный на рис. 1.26).
Вплоть до последнего десятилетия XX в. в динамике преоблада-
преобладало представление, что порядок возникает из окружающего бесфор-
бесформенного хаоса, и этот порядок узнается лишь по предсказуемой пе-
периодической структуре. Теперь эту точку зрения вытесняет другая
концепция хаотических явлений. Они возникают согласно регуляр-
регулярным законам и за ними стоит не бесформенный хаос, но хаос с со-
сокрытым порядком, фрактальными структурами. На пути этого из-
изменения парадигм мы руководствуемся новыми математическими
представлениями нашего «упорядоченного» мира.
46 Глава 2
В последующих главах мы обсудим более сложные методы, в
том числе измерение двух характеристик движения, именно фрак-
фрактальной размерности и показателя Ляпунова.
Ниже мы разберем все пункты представленного списка и опи-
опишем признаки хаотических колебаний. Чтобы конкретизировать об-
обсуждение, для иллюстрации признаков хаотической динамики вы-
выбраны колебания изогнутого стержня (задача с парой потенциаль-
потенциальных ям).
Для диагностики хаотических колебаний необходимо ясное опре-
определение такого движения. Однако по мере того, как новые исследо-
исследования раскрывают новые сложности нелинейной динамики, строгие
определения оказываются ограниченными определенными классами
математических задач. Это создает трудности для экспериментато-
экспериментатора, поскольку его цель — выяснить, какая математическая модель
наилучшим образом описывает данные. Поэтому на данном этапе
развития этой науки мы используем одновременно ряд диагности-
диагностических критериев и рассматриваем различные классы хаотических
Таблица 2.1. Классы движений в нелинейных детерминированных системах
Предсказуемое регулярное движение: периодические колебания, квазипериодическое
движение; нечувствительно к изменениям параметров и начальных условий
Непредсказуемое регулярное движение: множественные регулярные аттракторы (допу-
(допустим более чем один тип периодического движения); длительное движение чув-
чувствительно к начальным условиям
Переходный хаос: движения, которые кажутся хаотическими и имеют характерные для
странного аттрактора свойства (обнаруживаемые по отображению Пуанкаре), но
в конце концов вырождаются в регулярное движение
Перемежаемый хаос: периоды регулярного движения, прерываемого переходными
вспышками хаотического движения; длительность периодов регулярного движе-
движения непредсказуема
Ограниченный.или узкополосный хаос: хаотические движения, орбиты которых прохо-
проходят в фазовом пространстве вблизи от орбит некоторых периодических или регу-
регулярных движений; их спектры часто обнаруживают небольшое или ограниченное
уширение определенных частотных компонент
Слабый крупномасштабный или широкополосный хаос: динамические процессы мож-
можно охарактеризовать с помощью орбит в фазовом пространстве малого числа из-
измерений 3 < п < 7 (от 1 до 3 мод в механических системах) и обычно удается
измерить фрактальную размерность, которая оказывается меньшей 7; хаотические
орбиты охватывают обширные области фазового пространства; спектры состоят
из широкого набора частот, особенно меньших частоты возбуждения (если послед-
последнее присутствует)
Сильный крупномасштабный хаос: динамические свойства можно описать только в
фазовом пространстве очень большого числа измерений; присутствует большое
число существенных степеней свободы; трудно получить надежную оценку фрак-
фрактальной размерности; до сих пор не существует динамической теории явления
Как обнаружить хаотические колебания 47
движений (см. табл. 2.1). Экспериментаторам рекомендуется при-
применять по два и более тестов, чтобы получить адекватную картину
хаоса.
Чтобы помочь разобраться в растущем числе определений и
классов хаотических движений, мы перечислим наиболее распро-
распространенные признаки без математических формул, но с указанием в
скобках наиболее приемлемого диагностического метода.
ПРИЗНАКИ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Чувствительность к изменению начальных условий (часто изме-
измеряемая показателем Ляпунова (гл. 5) и границами фракталь-
фрактальной области (гл. 6)).
Широкий фурье-спектр движения, возбуждаемого на одной ча-
частоте (получаемый быстрым преобразованием Фурье, БПФ, с
помощью современных электронных спектр-анализаторов).
Фрактальные свойства движения в фазовом пространстве, кото-
которые указывают на присутствие странного аттрактора (и ха-
характеризуются отображениями Пуанкаре и фрактальными
размерностями (гл. 6)).
Растущая сложность регулярных движений по мере изменения
некоторого параметра эксперимента, например удвоение пе-
периода (часто можно получить число Фейгенбаума (гл. 1 и 5)).
Переходные или перемежаемые хаотические движения; неперио-
непериодические всплески нерегулярного движения (перемежаемость)
или первоначально неупорядоченное движение, которое в кон-
конце концов релаксирует к регулярному (методы эксперимен-
экспериментального исследования бедны, но включают измерение сред-
средней длительности хаотических всплесков или переходных ре-
режимов в зависимости от значения какого-либо параметра.
Автомодельная зависимость может подсказать верную мате-
математическую модель — см. гл. 5).
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Любая хаотическая система должна иметь нелинейные элемен-
элементы или свойства. В линейной системе не может быть хаотических
колебаний. В линейной системе периодические внешние воздействия
вызывают после затухания переходных процессов периодический
отклик того же периода (рис. 2.1). (Исключением являются пара-
параметрические линейные системы.) В механических системах возмож-
возможны следующие нелинейные компоненты:
1) нелинейные упругие элементы;
48
Глава 2
Входной сигнал
/\ /\ /, Линейная А /Д
v V система v V
Выходной сигнал
Нелинейная
система
Периодический,
-* квазипериодический
\а/
*. Субгармонический
Хаотический
Рис. 2.1. Схема возможных преобразований сигнала в линейных и нелинейных систе-
системах.
2) нелинейное затухание, подобное трению покоя и скольжения;
3) мертвый ход, зазор или билинейные пружины;
4) большинство гидродинамических явлений;
5) нелинейные граничные условия.
Нелинейные упругие эффекты могут быть связаны либо со
свойствами веществ, либо с геометрическими особенностями. На-
Например, соотношение напряжений в образце из резины и его дефор-
деформации нелинейно. Однако, хотя соотношение напряжений и дефор-
деформаций стали обычно линейно вплоть до предела текучести, сильные
изгибы балки, плиты или оболочки могут быть нелинейно связаны
с приложенными силами и моментами. Подобные эффекты, связан-
связанные с сильными смещениями или поворотами, в механике обычно
называются геометрическими нелинейностями.
Нелинейные свойства электромагнитных систем обусловлены
следующими факторами:
1) нелинейными сопротивлениями, емкостями или индуктивны-
индуктивными элементами;
2) гистерезисом в ферромагнитных материалах;
3) нелинейными активными элементами, подобными вакуумным
лампам, транзисторам и диодам;
4) эффектами, характерными для движущихся сред, например
электродвижущей силой v х В, где v — скорость, а В — маг-
магнитное поле;
5) электромагнитными силами, например F = J х В, где J —
ток, или F = М VB, где М — дипольный магнитный мо-
момент.
Примерами нелинейных устройств являются такие обычные эле
Как обнаружить хаотические колебания
49
(а)
F1
Рис. 2.2. Нелинейные задачи с несколькими положениями равновесия: a — продоль-
продольный изгиб тонкого упругого стержня под действием осевой нагрузки на торце; 6 —
продольный изгиб упругого стержня нелинейными магнитными массовыми силами.
менты электрических цепей, как диоды и транзисторы. Такие маг-
магнитные материалы, как железо, никель или ферриты характеризу-
характеризуются нелинейными материальными соотношениями между полем
намагничивания и плотностью магнитного потока. С помощью
операционных усилителей и диодов некоторым экспериментаторам
удается собрать отрицательные сопротивления с билинейной вольт-
амперной характеристикой (см. гл. 4).
Не во всякой системе легко выявить нелинейности, во-первых,
потому что мы часто приучены рассуждать на языке линейных си-
систем, а во-вторых, потому что основные компоненты системы мо-
могут быть линейными и нелинейность является тонким эффектом. К
примеру, отдельные элементы фермы крепления могут быть линей-
линейно упругими, но они собраны так, что имеются зазоры и присутст-
присутствует нелинейное трение. Таким образом, нелинейность может
скрываться в граничных условиях.
В примере с изогнутым стержнем нелинейные элементы выделя-
выделяются без труда (рис. 2.2). В любом механическом устройстве, име-
имеющем более одного положения статического равновесия, присутст-
присутствуют зазор, мертвый ход или нелинейная жесткость. В случае
стержня, изогнутого нагрузкой на конце (рис. 2.2, а), виновником
является геометрическая нелинейность жесткости. В стержне, изги-
изгибаемом магнитными силами (рис. 2.2, б), источником хаотического
поведения системы являются нелинейные магнитные силы.
СЛУЧАЙНЫЕ ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
В классической линейной теории случайных колебаний обычно
рассматривают модели, в которых случайно меняются внешние си-
лы или параметры, например:
где предполагается, что /и, (/)> с, (/), Л:,(г) и /,@— случайные
функции времени с заданными статистическими свойствами, таки-
такими как среднее или стандартное отклонение. Затем вычисляются
статистические свойства функции x(t) в зависимости от заданных
статистических параметров внешних факторов. При исследовании
хаотических колебаний не делается предположений о случайных
внешних воздействиях, т. е. внешние силы и возбуждения считают
ся детерминированными.
По определению, хаотические колебания возникают в детерми
нированных физических системах или детерминированных диффе
ренциальных и разностных уравнениях. Хотя шум всегда присутст
вует в эксперименте и даже при численном моделировании, предпо
лагается, что сильный непериодический сигнал ие может возник
нуть из-за слабого шума на входе системы. Таким образом, если
мы намерены приписать непериодический отклик детерминирован
ному поведению системы, отношение выходного сигнала к шуму
на входе должно быть большим.
НАБЛЮДЕНИЕ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ
Обычно первые указания на присутствие в эксперименте хаоти-
хаотических колебаний выявляются при наблюдении зависимости ампли-
амплитуды сигнала от времени с помощью самописца или осциллографа
(рис. 2.3). Движение не обнаруживает признаков упорядоченности
или периодичности. Однако этот тест не надежен, поскольку пе*
риод движения может быть очень большим и его нелегко обнару*
жить. К тому же некоторые нелинейные системы совершают ква-
500 мс
Устойчивее
положения
равновесия
Время
Рис. 2.3. Запись движения продольно изогнутого упругого стержня, на которой э»
метны перескоки между двумя устойчивыми положениями равновесия.
Как обнаружить хаотические колеоания j i
зипериодические колебания, в которых присутствуют два или боль-
больше периодических сигнала с несоизмеримыми частотами. Тогда
суммарный сигнал может казаться непериодическим, но его можно
разложить на сумму двух или большего числа периодических коле-
колебаний.
ЭВОЛЮЦИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим одномерное движение массы, смешение которой
обозначено через x(t), а скорость — через v(t). Как следует из вто-
второго закона Ньютона, уравнение ее движения можно записать в ви-
виде
;
v = — f{x, v, t),
т
где т — масса, а / — приложенная сила. Фазовая плоскость опре-
определяется как множество точек (х, и). (Иногда вместо скорости v ис-
используется импульс mv.) Когда движение периодично (рис. 2.4, а),
его орбита описывает в фазовой плоскости замкнутую кривую, ко-
которую лучше всего наблюдать с помощью аналогового осциллогра-
осциллографа. Например, вынужденные колебания системы из линейной пру-
пружины, массы и демпфера описываются орбитой эллиптической
формы. Вынужденные колебания нелинейной системы с кубичным
упругим элементом могут иметь орбиту с самопересечениями, но
тем не менее замкнутую. В этом случае следует ожидать присутст-
присутствия субгармоник.
Системы, в которых сила не зависит от времени явно, например
/ = /(jc, v) в уравнениях B.1), называются автономными. Перио-
Периодические движения в автономных системах (в отсутствие гармони-
гармонических внешних воздействий) называются предельными циклами; на
фазовой плоскости они также изображаются замкнутыми орбита-
орбитами (см. гл. 1).
Напротив, орбиты хаотических движений никогда не бывают
замкнутыми, не повторяются. Такие орбиты стремятся заполнить
некоторую область фазового пространства, как показано на
рис. 2.4, б. Хотя подобное блуждание орбит указывает на хаос, не-
непрерывные графики на фазовой плоскости малоинформативны, и
следует использовать более совершенный метод исследования фазо-
фазовых портретов, называемый отображением Пуанкаре (см. ниже).
Часто имеются измерения только одной величины v(t). Если
v(l) — это скорость, то ее можно проинтегрировать, чтобы полу-
получить x(t) и составить фазовый портрет из точек [favdr, v(t)].
Скорость
Положение
М
¦ *
Li
Рис. 2.4. а — Вынужденное движение с периодом 2 продольно изогнутого стержня,
изображенное на фазовой плоскости (скорость деформации как функшм изгибной де-
деформашш); б — хаотическая траектория вынужденного движения продольно изогну-
изогнутого стержня.
Как обнаружить хаотические колебания
53
С другой стороны, если приходится дифференцировать сигнал x(t),
имеющий смысл смещения или деформации, то часто появляется
высокочастотный шум. Тогда мы советуем экспериментатору пе-
перед дифференцированием пропустить сигнал x(t) через хороший
фильтр пропускания нижних частот (см. гл. 4).
Методы псевдофазового пространства. Другой метод, кото-
который используется, если измерена только одна переменная, — это
метод псевдофазового пространства с временной задержкой (также
называемый методом объемлющего пространства). Для системы с
одной степенью свободы, в которой измерена величина х (/), стро-
строится зависимость сигнала от его же величины в другой момент вре-
времени, отстающий или опережающий данный момент на постоян-
постоянную величину: [x(t),x(t + Т)]. Идея заключается в том, что сиг-
сигнал х {t + Т) связан ex (t) и результат должен иметь те же свойст-
свойства, что и при использовании истинной фазовой плоскости [х (/),
х (t)]. На рис. 2.5 показаны орбиты осциллятора Дуффинга на псев-
псевдофазовой плоскости при различных временных задержках. Если
0.4
0.2
0,0
-0.2
-0.4
i'.t)
— /
: (
\
\
\
i
— о —
1
1 : . . i i I i ¦ i i i i I
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Рис. 2.5 а. Траектория осциллятора Дуффинга A.2.4) на фазовой плоскости при
а =-1 и В = 1.
54
Глава 2
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
I i
I
I I i
I
0.4
0,6
1.0
1.2
1.4
Рис. 2.56. Траектория того же периодического движения, изображенная на псевдо-
псевдофазовой плоскости для двух значений времени задержки.
движение хаотично, то траектории не замыкаются (рис. 2.6). Вы-
Выбор величины Т несуществен, следует только избегать естественно-
естественного периода системы. Когда в системе больше двух переменных,
описывающих состояние (координата, скорость и время или фаза
внешней силы), с помощью нескольких задержек можно построить
траектории в псевдофазовом пространстве большего числа измере-
измерений. Например, трехмерное пространство можно построить с по-
помощью вектора с компонентами (x(t), x(t + T), x(t + 2 7)). Мы
еще вернемся к этому методу в гл. 4.
СПЕКТР ФУРЬЕ
Один из признаков хаотических колебаний — появление широко-
широкого спектра частот, когда на входе поддерживается одночастотное
гармоническое движение или постоянный ток (рис. 2.7). Этот при-
признак хаоса особенно важен, когда система имеет малую размер-
размерность (скажем, от одной до трех степеней свободы). Если изначаль-
изначально имеется одна преобладающая частотная компонента о^,, то ча-
часто предвестником хаоса является появление в частотном спектре
-0.5 -
i i i I i i i i I i I I I I I I I i I I I I i I I I i I I i i i i I i i i
-1.5 -1,0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Рис. 2.6а. Траектория хаотического движения частицы в паре потенциальных ям
(продольно изогнутый стержень) при периодическом возбуждении (см. A.2.4)), изо-
изображенная на фазовой плоскости, а — — 1, 0 = 1.
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-
—
[ A
~i i i 1 i i i i 1 i i i i i i i i i
mmImmImmI.h
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0- 1.5
Рис. 2.66. Траектория того же движения на псевдофазовой плоскости.
56
Глава 2
I
Частота
la)
(б)
Рис. 2.7. а — Частотный спектр колебаний продольно изогнутого упругого стержня
при возбуждении с малой амплитудой (линейный периодический отклик); б — ча-
частотный спектр колебаний продольно изогнутого упругого стержня при более силь-
сильном возбуждении (широкополосный спектр отклика объясняется хаотичностью коле-
колебаний).
субгармоник о»0/л (см. ниже). Кроме частоты шо/п возникают так-
также гармоники на частотах тьH/п (т, п = 1, 2, 3, ...)• Иллюстра-
Иллюстрация этого теста приведена на рис. 2.7, а, б. Верхний спектр имеет
единственный пик на совпадающих частотах вынуждающей силы и
отклика изогнутого стержня. На нижнем рисунке показан широкий
спектр, указывающий, что движение, по-видимому, хаотично.
Следует предостеречь против интерпретации отклика, содержа-
содержащего много гармоник, как указания на присутствие хаотических ко-
колебаний, поскольку исследуемая система может иметь много скры-
скрытых степеней свободы, неизвестных экспериментатору. В системах
с большим числом степеней свободы построение фурье-спектров
может принести мало пользы для выявления хаотических колеба-
колебаний, если только экспериментатор не может исследовать пере-
перестройки спектра при изменении какого-либо параметра, например
амплитуды или частоты внешнего воздействия.
ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ
При математическом исследовании динамических систем ото-
отображением называют временную выборку данных | х if,), х (t2), ...,
Как обнаружить хаотические колебания
57
х(/„), .... *('лгI. для которой вводят обозначение дг„
простом детерминированном отображении величину хп
иайти по значению хп Э
Это часто записывают в виде
*('„)• В
B.2)
В такой записи можно узнать разностное уравнение. Понятие ото-
отображения обобщается и на большее число переменных. Так, х„ мо-
может быть вектором с М компонентами; хя = (Yu, Yln, .... YMn), и
тогда уравнение B.2) будет системой из А/ уравнений.
Предположим, например, что мы анализируем движение части-
частицы, отображенное на фазовой плоскости [х {t),x (t)]. Мы уже зна-
знаем, что если движение хаотично, то траектория стремится запол-
заполнить некоторую область фазового пространства. Если, однако,
вместо того, чтобы непрерывно следить за движением, мы будем
фиксировать динамические характеристики только в отдельные мо-
моменты, то движение будет представлено последовательностью то-
точек фазовой плоскости (рис. 2.8). Если хп а х (/„) и у„ ж х (tn), то
эта последовательность точек фазового пространства представляет
собой двумерное отображение
хп + 1 = J '
+ 1 =«(*«
Уп'>
B.3)
Если моменты выборки /„ подчиняются определенному правилу,
обсуждаемому ниже, это отображение называется отображением
Пуанкаре.
Отображение Пуанкаре для систем с вынужденными колебани-
колебаниями. Когда присутствует вынуждающее движение с периодом Т,
для получения отображения Пуанкаре естественно выделить выбор-
т0. Это позволяет отличить периодические движе-
ку с tn = пТ +
Рис. 2.8. Схематическая ил-
иллюстрация временной эволюции
точек Пуанкаре из выборки ци-
цифровых измерений.
1 y(t) = хШ
<*2.уг>
(х„.уп)
хП)
58
Глава 2
(а)
¦ •
\
0
16)
Ai
¦..*!
t ^»
S
VXfcl _*f'
Рис. 2.9. a — Отображение Пуанкаре на фа-
фазовой плоскости, соответствующее субгар-
субгармоническому движению с периодом 3 про-
продольно изогнутого стержня, возбуждаемого
периодическим сигналом; б — хаотическое
движение вблизи третьей субгармоники.
ния от непериодических. Например, если выборку гармонического
движения, показанного на рис. 2.4, а, синхронизировать с его пери-
периодом, то «отображение» будет представлено двумя точками на фа-
фазовой плоскости. Если же, однако, отклик содержал бы субгармо-
субгармонику с периодом 3, то отображение Пуанкаре состояло бы из трех
точек, показанных на рис. 2.9, а. (Пользуясь жаргоном математи-
математической теории динамики, говорят, что отображение B.3) с функция-
функциями / и g имеет три точки покоя.)
Еще одно нехаотическое отображение Пуанкаре показано на
рис. 2.10, где движение представляет собой колебания на двух несо-
несоизмеримых частотах:
х (О = C,sin(w,/ + cf,) + C2sin(<o2/ + d2),
B.4)
где <о,/ш2 — иррациональное число. Если делать выборку с перио-
периодом, соответствующим одной из частот, то траектория станет не-
непрерывной замкнутой фигурой или орбитой на фазовой плоскости.
Такое движение иногда называют почти периодическим, или квази-
квазипериодическим, или «движением на торе»; оно не хаотично.
И наконец, если отображение Пуанкаре не состоит ни из конеч-
конечного множества точек (см. рис. 2.9, а), ни из замкнутой орбиты
(см. рис. 2.10), то соответствующее движение может быть хаотич-
хаотичным (рис. 2.11). На этом этапе следует провести грань между си-
системами с затуханием и без него. В системах без затухания или со
слабым затуханием отображения Пуанкаре хаотических движений
часто имеют вид неупорядоченного скопления точек на фазовой
Как обнаружить хаотические колебания
59
••
J.
Л
f
• • *•
1
. t*
if
/>ис. i. 10. Отображение Пуанкаре на фа-
фазовой плоскости, соответствующее ква-
эипериодическому движению возбуждае-
возбуждаемого периодическим сигналом стержня с
двумя степенями свободы, который ко-
колеблется в паре потенциальных ям, со-
создаваемых магнитными силами.
й
(б)
Рис. 2.11. а — Отображение Пуанкаре для ха-
хаотического движения продольно изогнутого
стержня при слабом затухании; б, в — ото-
отображения Пуанкаре для хаотического движе-
движения продольно изогнутого стержня при более
сильном затухании обнаруживают фракталь-
фрактальную структуру странного аттрактора [136]
(The American Society of Mechanical Engineers,
© 1980).
1 1 1 1
1 I 1 1
1 1
(в)
плоскости (рис. 2.11, а). Такие движения иногда называют стоха-
стохастическими (см., например, [110]). В системах с затуханием ото-
отображения Пуанкаре иногда представляют собой бесконечные стро-
строго упорядоченные множества точек, концентрирующихся на подо-
подобии параллельных линий, как это показано на рис. 2.11, б, в. При
численном моделировании можно увеличить часть отображения
Пуанкаре (рис. 2.12) и обнаружить более тонкую структуру. Если
такая структура множества точек сохраняется после нескольких
увеличений, то говорят, что движение ведет себя как странный
аттрактор. Множества с подобным вложением одной структуры в
другую часто называют канторовскими множествами (см. гл. 6).
Появление в отображении Пуанкаре, отображающем временную
эволюцию колебаний, структур, которые подобны канторовскому
множеству, является сильным индикатором хаотических движений.
60
Глава 2
Рис. 2.12. Отображение Пуанкаре для хаотических колебаний возбуждаемого нели-
нелинейного осциллятора, сохраняющее автомодельную структуру все меньших и мень-
меньших масштабов.
Классы структур, встречающиеся в отображениях Пуанкаре, пере-
перечислены в табл. 2.2.
Таблица 2.2. Классификация отображений Пуанкаре
Конечный набор точек: периодическое или субгармоническое колебание
Замкнутая кривая: квазипериодическое движение в присутствин несоизмеримых частот
Незамкнутая кривая: имеет смысл попытаться моделировать одномерным отображе-
отображением; постройте х @ как функцию x(t + Т)
Фрактальный набор точек: странный аттрактор в трехмерном фазовом пространстве
Бесформенный набор точек: 1) динамическая система со слишком сильным случайным
сигналом или шумом на входе; 2) странный аттрактор, но диссипация в системе
очень слаба — для проверки используйте показатель Ляпунова; 3) странный ат-
аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями — попытайтесь при-
применить множественное отображение Пуанкаре; 4) квазипериодическое движение с
тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот
пак wnayy/riniD лаи I пчп.м1с яилпмпии
Жидкость
Упругая пластина
Газ
Жидкость
16)
Рис. 2.13. Примеры самовозбуждающихся колебаний: а — течение жидкости над
упругой пластиной; б — течение газа над поверхностью жидкости.
Отображения Пуанкаре для автономных систем. Стационар-
Стационарные колебания могут возбуждаться без периодических или случай-
случайных воздействий также и в том случае, если движение порождает-
порождается динамической неустойчивостью, как, например, индуцирован-
индуцированные ветровым потоком колебания упругой структуры (рис. 2.13)
или создаваемое градиентом температуры конвективное движение
жидкости или газа (например, конвекция Бенара— см. рис. 1.23).
В электрических системах или системах управления с обратной
связью самовозбуждаюшиеся колебания могут возникать благодаря
элементам с отрицательным сопротивлением или отрицательной
обратной связи. Тогда возникает вопрос о том, в какие моменты
времени следует проводить измерения, чтобы получить отображе-
отображение Пуанкаре. Обсуждение этого вопроса мы проведем на несколь-
несколько более абстрактном языке.
Рассмотрим хаотическую систему нижайшего порядка, описыва-
описываемую тремя дифференциальными уравнениями первого порядка (на-
(например, уравнения Лоренца из гл. 1). В случае электромеханической
системы переменные х (t),y (t) и г (О могут иметь смысл смеще-
смещения, скорости и управляющей силы, если это система управления с
обратной связью. Движение можно представить в виде траектории
в трехмерном фазовом пространстве (рис. 2.14). Отображение Пу-
Пуанкаре можно определить, построив в этом пространстве двумер-
двумерную ориентированную поверхность и следя за точками (хп, уп, zn),
в которых траектория проходит сквозь эту поверхность. Выберем,
например, плоскость л ,х +п2у + л3г =с с нормальным векто-
вектором п а (л,, л2, л3). Как частный случай можно выбрать пло-
62
Глава 2
Рис. 2.14. Схематическое изображение траекторий системы уравнений третьего по-
порядка н типичная плоскость Пуанкаре.
скость л- = 0. Тогда отображение Пуанкаре состоит из тех точек
плоскости, через которые траектория проходит в одном и том же
направлении, т. е. если 8@ — единичный вектор, касательный к
траектории, то скалярное произведение 8(/„) • п всегда должно
иметь один и тот же знак.
Определение отображения Пуанкаре распространяется и на слу-
случай, когда на систему действует периодическая внешняя сила. В ка-
качестве примера рассмотрим вынужденные нелинейные колебания,
описываемые уравнениями движения:
х = у, B.5)
у = F(x, у) + /Ocos(o>/ + vQ). B.6)
Эту систему можно привести к автономному виду, вводя определе-
определение
что дает
х = у,
у = F(x, у) + /Ocos z,
z = wt + <p0 + 2 мг, B.7)
B.8)
B.9)
z = «. B.10)
Теперь можно естественным образом выбрать те моменты вы-
выборки, при которых z = 0. У этой системы фазовое пространство
имеет цилиндрическую форму с ограниченными значениями z:
0 < z < 2я\ Построение отображения Пуанкаре показано на
рис. 2.15.
Как обнаружить хаотические колеоания
А
Рис. 2.15. Схематическое изображение странного аттрактора для вынужденных ко-
колебаний нелинейного осциллятора — «произведение» плоскости Пуанкаре и фазы
возбуждающего сигнала.
Сведение динамических моделей к одномерным отображениям.
В гл. 1 мы убедились, что простые одномерные отображения или
разностные уравнения вида хп + , = f(xn) могут содержать бифур-
бифуркации удвоения периода и хаос, если функция /(х) имеет хотя бы
один максимум (или минимум), как показано на рис. 1.19. Явления
удвоения периода наблюдались во многих разнообразных сложиых
физических системах (жидкостях, лазерах, электронных р—п- пере-
переходах); и часто динамика этих систем хорошо описывается одно-
одномерными отображениями. Такая возможность особенно характерна
для систем с существенным затуханием. Чтобы проверить эту воз-
возможность, следует сделать выборку какой-либо динамической пере-
переменной с помощью сечения Пуанкаре, обсуждавшегося выше, ска-
скажем хп = x(t = tn). Затем можно построить зависимость каждого
хп от последующего значения хп + ,. Чтобы можно было объявить
систему хаотической, необходимо выполнение двух критериев. Во-
первых, точки на графике с отложенными по осям величинами
хп + 1 и хп Должны группироваться, создавая некую функциональ-
функциональную зависимость; во-вторых, эта функция f(x) должна быть немо-
немонотонной, т. е. иметь максимум или минимум. Если эти требова-
требования выполнены, то следует подобрать полиномиальную аппрокси-
мацию полученных точек и использовать найденное отображение
для дальнейших численных экспериментов или анализа, подобного
анализу квадратичного отображения (гл. 1 и 5). Примерами исполь-
использования этой методики являются исследование протекающего крана
[171] и эксперимент с варикапным диодом в электрической цепи
[162] (см. также обсуждение этих задач в гл. 3). В гл. 4 мы продол-
жим обсуждение этой методики.
ПУТИ К ХАОСУ
От периодических движений к хаотическим через изменение па-
параметров. Ставя любой из упомянутых тестов на хаотические ко-
колебания, следует попытаться изменить один или большее число па-
параметров, определяющих состояние системы. Например, в случае
изогнутой структуры (см. рис. 2.2) можно менять амплитуду вы-
вынуждающей силы или ее частоту, а в нелинейной цепи можно варь-
варьировать сопротивление. Цель этой процедуры — выяснить, не об-
обнаруживает ли система стационарного или периодического поведе-
поведения в некоторой области пространства параметров. Таким обра-
образом, можно убедиться, что система действительно детерминиро-
детерминированная и не содержит скрытых внешних или внутренних источников
истинно случайного шума.
Меняя параметр, надо следить за появлением периодического
отклика. Одним из характерных предвестников хаотического дви-
движения является появление субгармонических периодических колеба-
колебаний. Вообще говоря, предхаотическое состояние может принимать
самые разные формы. Как численные, так и физические экспери-
эксперименты обнаруживают несколько моделей предхаотического поведе-
поведения (см., например, [42, 89]).
Путь к хаосу через удвоение периода. Когда наблюдается явле-
явление удвоения периода, в начальном состоянии система совершает
основное периодическое движение. Затем, по мере изменения
какого-либо параметра эксперимента — назовем его X — происхо-
происходит бифуркация или изменение движения на периодическое с перио-
периодом, в два раза превышающим период исходных колебаний. С
дальнейшим изменением X система подвержена последовательным
бифуркациям, при каждой из которых период удваивается. Замеча-
Замечательное свойство этого процесса в том, что критические значения
X, при которых происходят последовательные удвоения периода,
подчиняются при п — оо следующему автомодельному соотноше-
соотношению (см. также гл. 1):
^fl-—^_-_L - 8 = 4,6692016. B.11)
КаК ООНЯРУЖИТЬ шишчп.мк ишсиаппл OJ
(Число называется числом Фейгенбаума — по имени физика, кото-
который обнаружил это автомодельное поведение.) На практике это от-
отношение сходится к 8, уже при третьей или четвертой бифуркации.
Процесс удвоения периода имеет точку сгущения вблизи некото-
некоторого критического значения параметра, после которого движение
становится хаотическим.
Это явление наблюдалось в ряде физических систем, а также
при численном моделировании. Простейшее математическое урав-
уравнение, с помощью которого можно пояснить такое поведение, —
это одномерное разностное уравнение (см. гл. 1)
*n+. = 4**nU - *„)• B.12)
Когда параметр системы становится больше критического зна-
значения, в определенных диапазонах значений параметра движение
становится хаотическим. Однако такие диапазоны могут иметь
конечную ширину; другими словами, при изменении параметра мо-
могут встречаться окна периодического движения. В этом режиме пе-
периодические движения могут вновь проходить через бифуркации уд-
удвоения периода, вновь приводя к хаотическому движению (см.
разд. 5.3).
Модель появления хаоса через удвоение периода элегантна и
изящна, и ее не раз описывали в популярных статьях. Однако, хотя
многие физические системы обнаруживают свойства, подобные
свойствам отображения B.12), многие системы ведут себя по-дру-
по-другому. Тем не менее, если вы подозреваете, что в системе присутст-
присутствуют хаотические колебания, стоит проверить, не происходят ли в
ней удвоения периода.
Бифуркационные диаграммы. Широко используемым способом
исследования предхаотических или послехаотических изменений ди-
динамической системы при вариации ее параметров является построе-
построение бифуркационных диаграмм (пример которой показан на
рис. 2.16). На таких диаграммах некоторая мера движения (напри-
(например, максимальная амплитуда) откладывается как функция какого-
либо параметра системы, например амплитуды вынуждающей си-
силы или коэффициента затухания. Если выборка данных сделана с
помощью отображения Пуанкаре, то без труда выделяются удвое-
удвоения периода и субгармонические бифуркации, что иллюстрируют
экспериментальные данные для нелинейной цепи, приведенные в
статьях Брайанта и Джеффриса [17, 18], сотрудников Калифорний-
Калифорнийского университета в Беркли (см. также рис. 2.16). Однако разрывы
бифуркационных диаграмм могут означать возникновение квазипе-
квазипериодического либо хаотического движения, и для точной классифи-
классификации динамического режима необходимы дальнейшие тесты.
5-161
Рис. 2.16. Полученная ¦ эксперименте бифуркационная диаграмма для периодически
возбуждаемой нелинейной цепи с р— л-переходом: зависимость тока от напряжения
возбуждающего сигнала, построенная по периодической выборке измерений 1202)
(The American Physical Society, © 19в5).
Квазипериодический путь к хаосу. Хотя удвоение периода — са-
самый знаменитый путь к хаотическим колебаниям, обнаружено и
изучено еще несколько схем. В одной из них, предложенной Ньюха-
узом и др. [150], авторы рассматривают систему, которая, прежде
чем перейти в хаотическое состояние, испытывает последователь-
последовательные динамические неустойчивости. Пусть, например, система сна-
сначала находится в стационарном состоянии, но после изменения
какого-нибудь параметра становится динамически неустойчивой
(например, аэродинамические колебания — флаттер). С раскачкой
движений вступают в действие нелинейности, н движение выходит
на предельный цикл. Такие переходы математики называют бифур-
бифуркациями Хопфа (см., например, [1]). Если при дальнейших измене-
изменениях параметра в системе происходят две или более бифуркации
Хопфа, так что одновременно присутствуют три связанных пре-
предельных цикла, то становится возможным хаотическое движение.
Итак, предвестником таких хаотических движений является при-
Как обнаружить хаотические колебания
67
рус. 2.17. Схематическое изображение
движения пары связанных осцилляторов
и плоскость Пуанкаре, которая позволя-
позволяет проследить квазипериодический путь
к хаосу.
Плоскость
Пуанкаре
сутствие двух одновременных периодических колебаний. Когда ча-
частоты этих колебаний ы, и ш2 несоизмеримы, наблюдаемое движе-
движение само по себе непериодично, его называют квазипериодическим
(см. B.4)). Как обсуждалось выше, отображение Пуанкаре квазипе-
квазипериодического движения представляется замкнутой кривой на фазо-
фазовой плоскости (рис. 2.17). Такие движения можно представить про-
происходящими на поверхности тора, а отображение Пуанкаре образу-
образуется пересечением тора плоскостью (см. рис. 2.17). Если ы, и ы2 не-
несоизмеримы, то траектории полностью покрывают поверхность
тора. Если же ш,/ы2 — рациональное число, то траектория в конце
концов замкнется на торе, хотя до этого она может сделать много
оборотов по обеим угловым координатам. В этом случае отобра-
отображение Пуанкаре распадается на набор точек, в общем выстраиваю-
выстраивающихся вдоль окружности. В такой системе хаотические движения
часто характеризуются разрушением квазипериодической торои-
тороидальной структуры при изменении параметра системы (рис. 2.18).
Признаки такого трехчастотного перехода к хаосу наблюдались
в течении между двумя вращающимися цилиндрами (течении
Тейлора — Куэтта), в котором с изменением скорости вращения
ч.
(at (б)
Рис. 2.18. а — Отображение Пуанкаре для квазипериодического движения в тепло-
тепловой конвекции Рэлея — Бенара при отношении частот, близком к и,/ш2 = 2,99; б —
разрушение тороидальной поверхности перед появлением хаоса [9].
68
Глава 2
10»
10'
103
10'
10'
1С3
10'
10'
ю3
Течение Куэтта
-
2
-
i л
f
0 Частота 1 2
ЯИС. i./Я. Свидетельства перехода к хаосу через трехчастотный режим в течеииш
между вращающимися цилиндрами (течение Тейлора — Куэтта); разность угловых
скоростей вращения возрастает сверху вниз [183].
появляются вихри. На рис. 2.19 показаны три спектра Фурье, полу-
полученные в одном из таких экспериментов. На верхнем рисунке, несо-
несомненно, присутствует одно периодическое движение, а на среднем
заметны уже два основных движения. На нижнем рисунке видны
следы увеличившегося широкополосного шума, характерного для
хаотического поведения.
Перемежаемость. На третьем пути к хаосу длительные интер-
интервалы периодического движения перемежаются со вспышками хаоса.
Эта схема называется перемежаемостью. По мере изменения пара-
параметра вспышки хаоса становятся все более частыми и длительны-
длительными (см., например, [125]). Сообщалось об указаниях на эту модель
предхаотического состояния в экспериментах с конвекцией в ячейке
(замкнутом прямоугольном объеме) с градиентом температуры (на-
Как обнаружить хаотические колебания 59
рцС, 2.20. Вил эвопюции при хаосе перемежаемого типа.
зываемой конвекцией Рэлея — Бенара) (см. рис. 2.20). Как предска-
предсказывают некоторые модели перемежаемости, средняя длительность
хаотичной или турбулентной фазы движения < г> определенным об-
образом меняется с изменением некоторого параметра системы; на-
например, эта зависимость может иметь вид
где \ — значение, при котором периодическое движение становит-
становится хаотическим.
Следует заметить, что в некоторых физических системах при
разных значениях параметров можно наблюдать все три типа пред-
хаотических колебаний и даже больше. Преимущество отождест-
отождествления конкретной структуры предхаотического движения с одной
из этих «классических» моделей заключается в том, что каждая из
них подробно исследована математически, а это может помочь луч-
лучше понять изучаемое хаотическое физическое явление.
КРИЗИС
Один из признаков проникновения революционных идей в дина-
динамику и теорию колебаний — путаница новых названий, даваемых
новым явлениям. Одно из новых слов, предложенных Гребоджи и
ДР- И9], — это термин «кризис», который используется для описа-
описания резкого изменения хаотического состояния при изменении неко-
некоторого параметра системы. К примеру, первоначально хаотическая
система может неожиданно стать периодической. Или же хаотиче-
хаотическое движение сначала ограничено узким интервалом изменения
x(t), но внезапно он резко расширяется.
ПЕРЕХОДНЫЙ ХАОС
Иногда хаотические колебания, возникнув при определенных из-
изменениях параметров, через недолгий промежуток времени вырож-
вырождаются в периодическое или квазипериодическое движение. Соглас-
Согласно Гребоджи и др. [50], этот переходный хаос — следствие кризиса
70 Глава 2
или внезапного исчезновения установившегося хаотического режи
ма. Поэтому эксперимент или численное моделирование необходи
мо продолжить еще некоторое время после того, как вы пришли к
выводу, что в системе появился хаос, даже если отображение Пуан-
Пуанкаре явно отпечатывает фрактальную структуру, характерную для
странного аттрактора. Как долго нужно ждать, прежде чем на
звать состояние хаотическим? В настоящее время ответ на этот во
прос может подсказать только здравый смысл. В нашей лаборато
рии мы требуем, чтобы в отображении Пуанкаре аттрактора, в ко-
котором мы подозреваем фрактальную структуру, накопилось 400
точек, прежде чем назвать наблюдаемое состояние хаотическим
Дальнейшее обсуждение переходного хаоса можно найти в гл. 5.
КОНСЕРВАТИВНЫЙ ХАОС
Хотя в последнее время активность в области нелинейной дина-
динамики связана преимущественно с хаосом в диссипативных систе-
системах, уже немалое время известна возможность хаотического пове-
поведения в бездиссипативных, или так называемых консервативных
системах. По сути дела, именно поиск решений уравнений небесной
механики привел в конце XIX в. некоторых математиков, например
Пуанкаре, к предположению, что решения многих задач динамики
чувствительны к начальным условиям и поэтому детали движения
тел по орбитам оказываются непредсказуемыми.
Изучение хаотической динамики в системах с сохранением энер-
энергии, которое, впрочем, не является основным предметом этой кни-
книги, занимает много места в научной литературе. Это направление
иногда помещают в разделы, озаглавленные «Динамика гамильто
новых систем», что указывает на методы Гамильтона (и Якоби),
используемые для решения нелинейных задач для бездиссипатив-
бездиссипативных систем с большим числом степеней свободы (см., например,
превосходную монографию [110]).
Наша цель состоит в том, чтобы дать чисто описательную кар-
картину хаоса в таких задачах и противопоставить свойства непредска-
непредсказуемой динамики в неконсервативных и консервативных системах.
Физические примеры консервативных систем связаны с пробле-
проблемами расчета орбит в небесной механике и поведения частиц в элек-
электромагнитных полях. Понятно поэтому, что большая часть рабо-
работы в этой области была проделана теми, кто занимается физикой
плазмы, астрономией и астрофизикой.
Впрочем, хотя в большинстве земных динамических систем про-
происходят некоторые потери энергии, в некоторых из них, как, напри-
например, в структурированных конструкциях или микроволновых резо-
Как ООНаружть *ouir-i«.™ „„..
ваторах, затухание очень слабо, и на конечных интервалах времени
они могут вести себя как консервативные или гамильтоновы систе-
системы. В качестве примера можно привести технологическую кон-
конструкцию, находящуюся на околоземной орбите. Кроме того, ди-
нимика консервативных систем представляет собой предельный
случай динамического анализа при слабом затухании1'. Поэтому,
даже если мы не намерены привести строгий или подробный синоп-
синопсис гамильтоновой динамики, имеет смысл обсудить общие свойст-
свойства этих задач.
Системы, в которых сохраняется энергия, в типичных случаях
обнаруживают те же типы ограниченных колебательных движений,
что и системы с потерями. К числу таких движений относятся пе-
периодические, субгармонические, квазипериодические и хаотические.
Одно из основных отличий между колебаниями в системах с поте-
потерями и без них состоит в том, что хаотические орбиты в системах
с потерями обнаруживают фрактальную структуру фазовых порт-
портретов, в то время как в бездиссипативных системах такая структу-
структура отсутствует.
В консервативных системах хаотические орбиты стремятся од-
однородно заполнить все части некоторого подпространства в фазо-
фазовом пространстве; другими словами, они характеризуются одно-
однородной плотностью вероятности в ограниченных областях фазово-
фазового пространства. Поэтому бездиссипативные системы имеют дру-
другие отображения Пуанкаре, чем системы с диссипацией. Тем не ме-
менее по-прежнему применима такая мера расхождения близких ор-
орбит, как показатели Ляпунова. Примером бездиссипативной систе-
системы является шарик, подскакивающий на упругом столе, причем
стол движется и предполагается, что при соударениях не теряется
энергия, т. е. они упруги. Эта задача подробно разбирается в гл. 5.
ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА И ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ
Признаки хаотических колебаний, описанные в этой главе, носят
в основном качественный характер и требуют от исследователя
применения доли здравого смысла и опыта. Имеются и количест-
количественные признаки хаоса, использование которых приносит опреде-
определенный успех. Два наиболее распространенных критерия — это по-
показатель Ляпунова (см. гл. 5) и фрактальная размерность (см.
" Такой предельный переход возможен не всегда; в широком классе систем даже
слабое затухание приводит к существованию целого класса специфических решений.
В качестве примера можно привести дифференциальные уравнения с малым пара-
параметром (вязкостью) при старшей производной. — Прим. перев.
72 Глава 2
гл. 6). Если не вдаваться в подробности, эти два индикатора сейчас
используются следующим образом:
1) положительный показатель Ляпунова указывает на хаотиче-
хаотическую динамику;
2) фрактальная структура орбиты в фазовом пространстве ука-
указывает на присутствие странного аттрактора.
Проверка с применением показателя Ляпунова может использо-
использоваться как в диссипативных, так и в бездиссипативных (консерва-
(консервативных) системах, а фрактальные размерности имеют смысл толь-
только в диссипативных системах.
С помощью показателей Ляпунова проверяется чувствитель-
чувствительность системы к вариациям начальных условий. Идея такой про-
проверки заключается в том, чтобы мысленно выделить в фазовом
пространстве небольшой шар, в котором сосредоточены начальные
точки траекторий, и проследить за его деформацией в эллипсоид в
ходе динамической эволюции системы. Если d — максимальный
размер эллипсоида, a d0 — начальный размер сферы начальных ус-
условий, то смысл показателя Ляпунова Л явствует из соотношения
Заметим, что единичного измерения недостаточно и результаты
расчета следует усреднить по разным участкам фазового про-
пространства. Такое среднее может иметь вид
X = Um I f L_ • *
Более подробное обсуждение и ссылки приведены в гл. 5.
Понятие фрактальной размерности связано с обсуждением ото-
отображения «подкова», приведенным в гл. 1. Мы видели, что в систе-
системах с хаотической динамикой области фазового пространства вы-
вытягиваются, сжимаются, складываются и отображаются обратно
на исходную область. При этом отображении в фазовом про-
пространстве остаются лакуны. Это значит, что орбиты стремятся за-
заполнить менее чем целое подпространство фазового пространства.
Фрактальная размерность — мера степени заполнения орбитой
определенного подпространства, и нецелая размерность — визит-
визитная карточка странного аттрактора. Имеется много определений
фрактальной размерности, но основное следует из процедуры под-
подсчета числа сфер N размера е, необходимых для покрытия орбиты
в фазовом пространстве. Функция N (в) существенным образом за-
зависит от подпространства данной орбиты. Если эта орбита перио-
Как обнаружить хаотические колебания 73
дичиа, т. е. принадлежит предельному циклу, то Л/ (в) к е~]. Если
же движение происходит на страииом аттракторе, то N (в) = e~d,
т. е.
d — lim
Дальнейшее обсуждение можно найти в гл. 6.
Хотя оба этих количественных теста можно автоматизировать с
помощью компьютера, от исследователя по-прежнему требуются
опыт и здравый смысл, чтобы достичь убедительного заключения
о хаотичности движения, т. е. о присутствии странного аттрак-
аттрактора. И наконец, почти все физические примеры странных атт-
аттракторов оказались хаотическими, т. е. нецелое значение rf указы-
указывает на то, что X > 0. Однако были найдены и изучены несколько
математических моделей, где из одного утверждения не следует
другое (см., например, [51]).
3. Обзор систем
с хаотическими колебаниями
Мир наш такой, какой он есть, и я
такой, каким живу ... Все вне меня и все
во мне порождено игрой необъяснимых
сил. Порядок, тот, что в хаосе таится,
превыше разуменья, недоступен человеку.
Генри Миллер, Черная весна (Black
Spring).
3.1. НОВЫЕ ПАРАДИГМЫ ДИНАМИКИ
Томас Кун в книге «Структура научных революций» [97] ут-
утверждает, что крупные изменения происходят в науке в общем не
тогда, когда выдвигаются новые теории, а когда меняются про-
простые модели, с помощью которых ученые формулируют и осваива-
осваивают теорию. Концептуальная модель или задача, которая охватыва-
охватывает основные свойства целого класса задач, названа им «парадиг-
«парадигмой». Модель, состоящая из массы и пружины, является такой па-
парадигмой теории колебаний. В области нелинейной динамики клас-
классическими парадигмами стали движение маятника и задача трех
тел небесной механики.
Нет лучшего примера теории, новые модели и парадигмы кото-
которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и ма-
математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытываю-
испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадиг-
парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения A.3.9)) и
логистическое уравнение A.3.6). Эти два примера заключают в себе
многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающи-
разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода,
отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освое-
освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости
модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания
сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в совре-
современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений,
скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие,
менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития те-
теории динамических систем. Среди них вынужденные движения ос-
осциллятора Ван дер Поля (уравнение A.2.5)), модели осциллятора
Обзор систем с хаотическими колебаниями 75
Дуффинга A.2.4), разработанные Уэдой и Холмсом (см. ниже в
этой главе), и двумерное отображение Энона A.3.8).
Читателям, заинтересовавшимся моделью тепловой конвекции
Лоренца, следует прочитать ее подробное обсуждение в посвящен-
посвященной этой проблеме монографии Спэрроу [178]. Гукенхеймер и
Холмс [57] написали современную математическую книгу, основан-
основанную на четырех парадигмах современной динамики, уравнении Ван
дер Поля, модели Дуффинга изогнутого стержня, системе Лоренца
и аттракторе Энона. Еще одна классическая модель хаотической
динамики — масса под действием внешних соударений, например
шарик, подскакивающий на колеблющемся столе или отскакиваю-
отскакивающий от пары стенок. Эта модель находит применение в теории
ускорения электронов в электромагнитных полях, и ее иногда назы-
называют моделью ускорения Ферми. Она описывается двумерным ото-
отображением, аналогичным отображению Энона. Хорошее обсужде-
обсуждение модели Ферми и системы Лоренца можно найти в книге Лих-
тенберга и Либермана [ПО].
Впрочем, большинство перечисленных здесь книг почти полнос-
полностью посвящены математическому анализу соответствующих моде-
моделей хаоса. В этой главе мы проведем обзор разнообразных матема-
математических и физических моделей, которые обнаруживают хаотиче-
хаотические колебания. Мы попытаемся описать физическую природу хао-
хаоса, возникающего в этих примерах, и указать как точки соприкос-
соприкосновения, так и отличия физических примеров от их более матема-
математизированных парадигм, упомянутых выше. Эти примеры взяты из
механики твердых тел и жидкостей, теории электрических цепей,
теории управления и химической технологии. Особое внимание мы
уделим имеющимся на сегодняшний день экспериментальным дока-
доказательствам существования хаотических колебаний.
3.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ХАОТИЧЕСКИХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Мы будем отличать математические модели, построенные для
физических процессов с хаотической динамикой, и физические экспе-
эксперименты, в которых непосредственно наблюдаются хаотические
движения. Читатели, имеющие в распоряжении небольшой
компьютер, могут наблюдать хаотические решения для многих из
этих моделей с помощью численного интегрирования методом Рун-
ге — Кутта. Примеры задач с рекомендуемыми наборами значений
параметров приведены для некоторых моделей в приложении Б.
76
Глава 3
ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ В ЖИДКОСТИ
По-видимому, самой знаменитой сейчас моделью является си-
система Лоренца, которая возникла в результате попытки моделиро-
моделирования динамики атмосферы. Представим себе слой жидкости, нахо-
находящийся под действием силы тяготения, который подогревается
снизу, так что поперек слоя поддерживается разность температур
(рис. 3.1). Когда эта разность становится достаточно большой,
возникают циркуляционные, подобные вихрям, движения жидко-
жидкости, в которых теплый воздух (жидкость) поднимается, а холод-
холодный — опускается. Верхушки параллельных рядов конвективных
валов можно иногда увидеть, пролетая над слоем облаков. Двумер-
Двумерное конвективное течение можно описать с помощью классического
уравнения Навье— Стокса A.1.3). Это уравнение раскладывается
по фурье-гармоникам вдоль двух пространственных направлений, а
на поверхности и на дне слоя жидкости задаются граничные усло-
условия. При малых разностях температур Д7* жидкость неподвижна,
но при некотором критическом значении ДГ возникает конвектив-
конвективное, т.е. циркуляционное течение. Это движение называют конвек-
конвекцией Рэлея — Бенара.
Фазовое
пространство
F)
Рис. 3.1. а — Схематическое изображение конвективных валов в подогреваемой сни-
снизу жидкости; б — три неустойчивые сингулярные точки в фазовом пространстве
уравнений Лоренца C.2.3).
Обзор систем с хаотическими колебаниями 77
Лоренц [115] изучал разложения Фурье, в которых оставлено
всего три гармоники. Несколько раньше Зальцман [167] использо-
использовал ряды с пятью гармониками. При принятых упрощениях ско-
скорость жидкости (vx, vy) следующим образом выражается через
функцию тока ф:
дф дф
"* = a/ "' = "Л-
В модели Лоренца безразмерные функции тока и возмущенная тем-
температура записываются в виде (см. вывод в [110], с. 443—446)
ф = V2 x(t) sin 7raxsinTV, C.2.1)
в = у/2 у (х) cost ax sin т: у - z(t)sin2iry, C.2.2)
где толщина слоя жидкости принята равной единице. В результате
получаются следующие уравнения для (х, у, г):
х = а(у - х),
у = рх - у - xz, C.2.3)
z = -0z + ху.
Параметр а — безразмерное отношение коэффициентов вязкости
и теплопроводности (число Прандтля), р — безразмерный градиент
температуры (связанный с числом Рэлея), а /3 = 4A + о2) — гео-
геометрический множитель, причем а2 = 1/2.
При наборе параметров а = 10, р = 28 и 0 = 8/3 (использован-
(использованном Лоренцем) имеются три точки равновесия, и все они неустой-
неустойчивы (рис. 3.1, б). В начале координат расположена седловая точ-
точка, а две другие — неустойчивые фокусы, т.е. спиральные точки
равновесия (см. рис. 1.24). Тем не менее можно показать, что дви-
движение глобально ограничено. Поэтому траекториям не остается ни-
ничего другого, кроме как оставаться внутри эллипсоидальной обла-
области в фазовом пространстве. Пример таких блуждающих траекто-
траекторий, полученный при численных расчетах, показан на рис. 1.25.
МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ МУРА И ШПИГЕЛЯ
Часто случается, что важные открытия делаются не одним ис-
исследователем — несколько человек в разных местах примерно од-
одновременно обнаруживают новое явление. Так случилось и с моде-
моделями динамики тепловой конвекции, имеющими небольшое число
степеней свободы. Выше мы обсудили ныне знаменитые уравнения
Лоренца [115] C.2.3), которые через некоторое время после их по-
78 Глава 3
лучения вызвали громадный интерес математиков. Но примерно в
то же время Мур и Шпигель [147], сотрудники соответственно Ин-
Института им. Годдарда и Нью-йоркского университета, предложили
модель неустойчивых колебаний жидкости, которая вращается, со-
содержит магнитное поле или является сжимаемой и в которой при-
присутствует тепловая диссипация. Как и уравнения Лоренца, получен-
полученные в их статье уравнения эквивалентны трем дифференциальным
уравнениям первого порядка. Пусть через z обозначено вертикаль-
вертикальное смещение массы сжимаемой жидкости в горизонтально страти-
стратифицированной среде (рис. 3.2, а). Силами, восстанавливающими ис-
исходное состояние, являются упругость пружины и сила плавучести,
которая возникает благодаря тяготению. Кроме того, жидкий эле-
элемент может обмениваться теплом с окружающей средой. Таким
образом, динамика модели описывается связанными уравнением
второго порядка (закон Ньютона) и уравнением переноса тепла,
имеющим первый порядок. В результате возникает уравнение
третьего порядка. В безразмерном виде оно записывается как
Z + * + (Г - R + Rz*)z + Tz = 0, C.2.4)
где использовано предположение о нелинейном профиле температу-
температуры вида
В уравнении C.2.4) Т и R — безразмерные комплексы, имеющие
следующий физический смысл:
_ _ . Время тепловой релаксации \г
Период свободных колебаний/
Периодические
движения
////////////А
Непериодические
движения
М (б)
Рис. 3.2. а — Система из пружины и массы (аналог модели тепловой конвекции Му-
Мура и Шпигеля [147]); б — область непериодических движений в пространстве безраз-
безразмерных параметров модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147], уравнение
C.2.4).
Обзор систем с хаотическими колебаниями 79
_ /Время тепловой релаксацииЧг
\ Время свободного падения /
При численном исследовании этого уравнения Мур и Шпигель
обнаружили целую область апериодического движения, показанную
на рис. 3.2, б. В последовавшей затем статье Бейкер и др. [6] иссле-
исследовали устойчивость периодических решений в апериодическом ре-
режиме.
Этими авторами показано, что уравнение C.2.4) можно приве-
привести к виду
S = -A-«>5 +в,
в = -R-i/2e + A - ss2)s.
Предел Л — оо соответствует случаю нулевой диссипации. Как по-
показали Бейкер и др., в этом предельном случае больших/? периоди-
периодические решения C.2.5) в области периодических движений становят-
становятся локально неустойчивыми. Это сочетание глобальной устойчиво-
устойчивости и локальной неустойчивости, по-видимому, характерно для хао-
хаотических дифференциальных уравнений. В более поздней работе
[126] изучен более общий класс уравнений третьего порядка вида
х = У,
у = -— ецу, C.2.6)
dx
X = -е[Х +
где V(x, X) имеет смысл потенциальной энергии. Здесь показано,
что как уравнения осциллятора Мура — Шпигеля C.2.4), так и си-
система Лоренца C.2.3) (после замены переменных) могут быть при-
приведены к виду C.2.6). Для частных случаев системы C.2.6) числен-
численно найдены решения со странным аттрактором.
Приведенная система уравнений описывает также осциллятор
второго порядка с управляющей обратной связью (параметр X).
Историков науки ждет интересная задача понять, почему систе-
системе Лоренца посвящено так много исследований, а модель Мура —
Шпигеля практически игнорируется математиками. В обеих рабо-
работах моделируется конвекция. Лоренц опубликовал свою статью в
Journal of Atmospheric Sciences, а Мур и Шпигель — в Astrophysical
Journal.
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Кобаяши [93] на год раньше Лоренца провел исследование, об-
обнаружившее хаотические колебания с помощью аналитических ме-
80
Глава 3
тодов и аналогового моделирования. В этой работе рассмотрены
колебания изогнутой пластины, по одну сторону которой поддер-
поддерживается сверхзвуковой поток. Это явление, известное как «флат-
«флаттер пластины», было важно не только для сверхзвуковой авиации,
но и для появлявшейся тогда ракетной техники. Кобаяши разложил
изгиб пластины, поддерживаемой простой подвеской, в ряд Фурье
и рассмотрел движение, которое определяется комбинацией двух
связанных гармоник. Если обозначить безразмерные амплитуды
этих мод через л* и .у, то уравнения, исследованные на аналоговом
компьютере, имеют вид
x + &x + [l-q+x2 + 4у2]х - Qy = О,
у + 6у + 4[4 - q + х2 + Ay*\y + Qx = 0,
где q — мера напряжений в плоскости пластины (которые могут
превышать порог изгиба), a Q пропорционально динамическому
давлению сверхзвукового потока перед пластиной. В аннотации к
статье 1962 г. Кобаяши заключает: «Кроме того, получены следую-
следующие необычные результаты, а) В некоторой неустойчивой области
наблюдаются только нерегулярные колебания умеренно выгнутой
пластины» (курсив мой. — Ф.М.). Он также упоминает более ран-
ранние эксперименты 1957 г., проведенные в Соединенных Штатах
агентством НАКА, которое было .предшественником НАСА в до-
спутниковую эпоху (см. также [39]).
При чтении некоторых из этих ранних статей становится ясно,
что хаотические колебания наблюдались в прошлом, но в то время
для их анализа не было подходящих моделей.
ЗАДАЧИ С СОУДАРЕНИЯМИ
Задачи с соударениями приводят непосредственно к разностным
уравнениям или отображениям, которые при определенном выборе
параметров часто обнаруживают хаотические колебания. Классиче-
Классическое отображение такого типа описывает движение частицы между
Двумя стенками. Если одна из стенок неподвижна, а другая колеб-
колеблется (рис. 3.3, о), то задача называется моделью Ферми ускорения
космических лучей и описывает поведение заряженных частиц в
Движущихся магнитных полях. Эта модель очень подробно обсуж-
обсуждается Лихтенбергом и Либерманом [110] в их доступно написан-
написанной монографии о стохастическом движении. Исследовано несколь-
несколько систем разностных уравнений, описывающих эту модель. Одна
из таких систем, в которой колеблющаяся стенка передает им-
пУльс, не меняя положение частицы, имеет вид
Обзор систем с хаотическими колебаниями
-ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧУчЧ
81
м
Рис. 3.3. а — Модель динамики частицы, отскакивающей от периодически колеблю-
колеблющейся стенки; 6 — отображение Пуанкаре; vn как функция сЛл(т<хJт) для задачи с
соударениями, показанной на рис. 3.3, а и описываемой уравнениями C.2.8).
"п-н = Ч +
C.2.8)
'п + 1 ='„
2А
где vn — скорость после соударения, t — момент соударения, Уо —
82 Глава 3
импульс на единицу массы, который может передать стенка, а Д -~
расстояние между стенками.
Численные исследования этой и аналогичных задач обнаружива
ют существование решений стохастического типа, в которых тыся
чи итераций отображения C.2.8) заполняют области фазового про
странства (vn,tn), как показано на рис. 3.3, б. В некоторых случаях
траектории не попадают в определенные «острова» на плоскости
(и„, /„). Внутри этих островов находятся регулярные орбиты. По-
Подобные системы часто можно анализировать с помощью классичес-
классической динамики Гамильтона. Они типичны для хаоса в задачах со
слабой диссипацией или вовсе без диссипации. Если диссипация
умеренна или сильна, то хаотическое отображение Пуанкаре кон-
концентрируется в структуру с фрактальными свойствами, подобную
показанной на рис. 2.11, б, в. Но в задачах со слабой диссипацией
отображение Пуанкаре заполняет обширные области фазового про-
пространства, не обнаруживая фрактальной структуры.
Модель ускорения Ферми аналогична модели одного из механи
ческих устройств с зазором, показанного на рис. 3.4. Некоторая
масса свободно скользит с трением вдоль оси, пока не наталкивает-
наталкивается на жесткие пружины, расположенные по обе стороны (см. [172,
п
D
i
Рис. 3.4. Модель эксперимента с колебаниями массы
с фазами отключения восстанавливающей силы.
173]). Более близкий физический смысл имеет другая математиче-
математическая модель, в которой шарик подскакивает на колеблющейся по-
поверхности (рис. 3.5). Эта задача изучалась Холмсом [73]. Сделав
некоторое предположение о потерях энергии при каждом соударе-
соударении, можно получить следующие разностные уравнения:
C.2.5,
vj + l = a Vj; - у COS @у + и,).
Здесь Ф — обезразмеренный момент времени соударения, аи -
скорость после него. Как явствует из рис. 3.5, а, стационарное си-
синусоидальное движение стола может привести к непериодическому
движению шарика. Хаотическая орбита этого отображения, имею-
имеющая вид фрактального множества, показана на рис. 3.5, б.
В работе [196] описаны эксперименты с хаотически подскакива-
подскакивающим шариком; другие исследования соударений или билинейного
осциллятора можно найти в [88, 191, 192].
Обзор систем с хаотическими колебаниями
83
о
i
Движение шарика
h A
Л/7 V
л./
Движение стола
Время
М
0 I 2 3 4
Фаза внешнего воздействия, wt
(б)
Рис. 3.5. а — Хаотическая эволюция движения шарика, подскакивающего на перио-
периодически колеблющемся столе [75]; б — отображение Пуанкаре для движения, пока-
показанного на рисунке «в»: скорость при ударе как функция момента времени (mod2r).
ЗАДАЧИ С ПОТЕНЦИАЛОМ В ВИДЕ ДВОЙНОЙ ЯМЫ
Модель вынужденных колебаннй изогнутого стержня была по-
построена Холмсом [73] на основе уравнения типа Дуффинга. С по-
помощью аналогового моделирования им доказана возможность хао-
хаотических колебаний этой системы. В безразмерном виде полученное
84
Глава 3
Колебания на "стритом" аттракторе в
пар» потенциальных ям
Эксгмримент с
(гннтоупругим CTtpm
> - ОЛЮ* I « 0.0». - « 0.»
Время
Аналоговый компьютер
, «0,045.Г-0Я..-0«4
Рис. 3.6. Хаотические колебания периодически возбуждаемого изогнутого стерж-
стержня — сравнение аналоговых численных расчетов и экспериментальных данных [141].
Холмсом уравнение таково:
1
х + ух - _дгA - х*) =/0cos wt,
C.2.10)
гдедг — поперечное смещение стержня, который описывается про-
простой одномодовой моделью. Это уравнение может также служить
моделью частицы в потенциале из двух ям (см. рис. 1.3). Эта мо-
модель использовалась и при исследовании плазменных колебаний
(см., например, [122]). Аналоговые хаотические решения показаны
на рис. З.б. Экспериментальная реализация этой модели обсужда-
обсуждалась в гл. 2. Фурье-преобразования решений этого уравнения (см.
рис. 2.7) имеют непрерывный спектр частот, что характерно для
хаотического движения. На рис. 3.7 показано отображение Пуанка-
Пуанкаре соответствующего странного аттрактора. Фрактальные размер-
размерности хаотических решений обсуждаются в последующих главах.
Результаты численных исследований задач с двумя потенциальны-
потенциальными ямами опубликованы также в работах [31, 143, 144, 201].
К этим примерам близка задача о провале арки с шарниром,
вызванном колебаниями (рис. 3.8) [23]. Это явление описывается
уравнением
ту + уу + 2* [l - ^ +!уI/2] У = /osin«/. C.2.11)
Если сохранить только кубичные нелинейности, то это уравнение
принимает вид C,2.10), характерный для осциллятора Дуффинга с
двумя потенциальными ямами.
Обзор систем с хаотическими колебаниями
85
Рис. 3.7. Отображение Пуанкаре для хаотического решення уравнения C.2.10), опи-
описывающего вынужденные колебания в двух потенциальных ямах; на рисунке 15 000
точек.
Рис. 3.8. Схема арки с шарниром. Вынужденные колебания, сопровождающиеся про-
провалами арки, могут происходить в хаотическом режиме B3].
Хаотические движения упруго-пластичной арки исследованы в
работе [155].
ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА
Движение частицы в силовых полях, которые периодичны как в
пространстве, так и во времени, служит моделью ряда процессов в
физических системах. Среди них классический маятник, заряженная
86
Глава 3
частица в движущемся электрическом поле, синхронные роторы и
переход Джозефсона. Например, нелинейная динамика частицы,
движущейся в бегущем электрическом поле, описывается уравнени-
уравнением (см., например, [214])
х + 6х + asin х = g(kx - wt), C.2.12)
где g — периодическая функция. Изучение вынужденных колебаний
маятника, описываемых уравнением
х + 8х + asin х = fcoswt C.2.13)
также выявило сложные динамические процессы и хаотические ко-
колебания (см. [58, 72]).
Параметрическими колебаниями называют колебания системы
при периодических изменениях во времени одного из нескольких па-
параметров системы. Например, стержень на простой подвеске, на
который действует осевое доизгибное сжатие, в одномодовом
приближении описывается уравнением
C.2.14)
Это линейное дифференциальное уравиение в обыкновенных произ-
производных является хорошо известным уравнением Матье. При опре-
определенных значениях «g, 0 и О это уравнение имеет неустойчивые ко-
колебательные решения. Влияние нелинейностей превращает эти ко-
колебания в предельный цикл. Аналогичный пример — маятник с ко-
колеблющейся точкой подвеса (рис. 3.9). Численное исследование хао-
хаотических колебаний в этой задаче проведено в [104, 120]. Математи-
Математическое описание такого маятника приводит к уравнению
х + «g(l + (8 cos 00 х = 0.
в + 0в + A + A cos 0/) sinfl = 0.
C.2.15)
В этих численных решениях наблюдаются удвоения периода, и для
A cos«l
Рис. 3.9. Маятник с параметрическим
возбуждением.
Обзор систем с хаотическими колебаниями
87
шестой субгармонической бифуркации оценка числа Фейгенбаума
дала 6 = 4,74.
Хаотическое движение двойного маятника исследовалось Рихте-
Рихтером и Шольцем [160].
СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Сложиые динамические процессы в сферическом маятнике с дву-
двумя степенями свободы проанализированы Майлсом [132]. В числен-
численных экспериментах им найдены хаотические решения этой задачи,
возникающие, когда точка подвеса совершает вынужденные перио-
периодические движения (рис. 3.9). Уравнения движения можно получить
из лагранжиана, имеющего вид
г2)_т«_(/ -z),
C.2.16)
L -_m(x2+y . _ ^
где/ — длина маятника, а координаты (pc,y,z) подчиняются связи
(* - XnJ + у2 + z2 = /2.
Координата точки подвеса есть д^, = е/ cos «/, а тяготение действу-
действует вдоль оси z.
Майлс использует методы теории возмущений и преобразует
полученные уравнения движения с помощью соотношений
х = [/>,(т) cos в + 0,(т) sin в] / е|/3,
.V = 1/>2(т) cos в + ?2 <т> sin fll /?'/3« C.2.17)
1
где в = и/ и т = - ^wt. В результате получается следующая си-
система четырех уравнений первого порядка для (/?,, р2, qv q2), в ко-
которую добавлено слабое затухание (описываемое коэффициен-
коэффициентом а):
d
dl
-рг
Ях
Рг
~Р\
Ях
Рг
Яг
о-
1
0
1
C.2,18)
-а -0 -6 О"
0 -а 0-5
5 0 -а -0
0 5 0 -а
где а, 0 и 5 зависят от переменных (р,, q,, p2, q2). Определение
этих коэффициентов читатель может найти в [132]. Дивергенция
этого потока в четырехмерном фазовом пространстве имеет вид
V-f = -4а. Точки равновесия системы уравнений C.2.18) соот-
соответствуют периодическим плоским либо пространственным движе-
88
Глава 3
ниям. Численное решение этой системы уравнений обнаруживает
переход от замкнутых орбит и дискретных спектров к сложным ор-
орбитам и широким спектрам, характерным для хаотического движе-
движения.
ПОДТАЛКИВАЕМЫЙ РОТАТОР
Как мы убедились в гл. 1 на примере отображения «подкова»
(см. рис. 1.21) или логистического уравнения A.3.6), хаотическая
природа динамических процессов лучше всего выявляется с по-
помощью сечения Пуанкаре непрерывного временного потока в фазо-
фазовом пространстве. Однако большинство дифференциальных уравне-
уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитиче-
аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульс-
импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуж-
обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инер-
инерции J и затуханием с, на который действует как постоянный кру-
крутящий момент си0, так и периодическая серия импульсных толчков
(см. также [169]). Уравнение движения, описывающее изменение
углового момента ротатора, имеет вид
Jw + си = сш0 + Г@) ? 6(/ - пт), где ш = в. C.2.19)
п— —ов
Выражение 6(t - пт) обозначает дельта-фуикцию, которая рав-
равна нулю повсюду, кроме значений t = пт, и площадь под которой
равна единице. Таким образом, в промежутки времени пт — е < t <
< пт + е, где е < 1, изменение углового момента описывается со-
соотношением
До»+ - от) = Т(в(пт)). C.2.20)
Если, например, ротатор подталкивается вертикальной силой, как
показано на рис. 3.10, то импульсный крутящий момент пропорци-
пропорционален Т{в) = Fo sin в.
При Т(в) = 0 уравнение C.2.19) имеет стационарное решение
ш — ы0, в = о,/.
Демпфер
Рис. 3.10. Ротатор с вязким затуханием
и периодическим крутящим моментом,
исследованный Заславским [213].
Обзор систем с хаотическими колебаниями 89
Чтобы получить отображение Пуанкаре, выберем сечение непо-
непосредственно перед каждым импульсом. Итак, определим в„ =
s Bit - пт - е), е - + 0. Чтобы связать F„, ц,) с @я + 1, ыя + 1), не-
необходимо решить линейное дифференциальное уравиение для пери-
периода между импульсами и использовать условие скачка углового мо-
момента C.2.20) в момент импульса. Между импульсами скорость
вращения ведет себя следующим образом:
ш = ш0 + ае ~сШ.
С помощью этой процедуры можно получить следующее точное
отображение Пуанкаре для рассматриваемой системы C.2.19):
ст с 1
и ,, = ojn + u — — (в . — в ) + — Т(Й Л
~J " J п+| " J "
C.2.21)
= о»0т + в„ + _ A -
Эти уравнения были впервые получены советским физиком За-
Заславским [213] при изучении нелинейного взаимодействия двух ос-
осцилляторов. В рассматриваемом механическом аналоге этой задачи
величина ш0 аналогична частоте отдельного осциллятора (см. также
вывод уравнений в [151]).
Это двумерное отображение часто обезразмеривают посредст-
посредством соотношений
в
х„ = ;?- (mod 1),
v _
Тогда при Г@) = Fo sin в и е = F0/Ju>q уравнения C.2.21) принима-
принимают вид
Уя+1 = е-г(У„ + е sin 2тдгя), C.2.22)
)Уп + тA " e~T) sin 2жХп}'
5F° ~ е'Т)
где фигурные скобки [. . .) обозначают, что берется только дробная
часть выражения (т.е. mod 1 или 0 < $ < 2т). Кроме того, здесь
введены обозначения К = еО/2т, Г = ст/J и О = с^т. Величиной у„
90
Глава 3
0,002
0
-0,002
0.5
Рис. 3.11. Странный аттрактор
отображения Заславского C.2.22) для
подталкиваемого ротатора, изобра-
изображенного на рис. 3.10; х — нормиро-
нормированный угол поворота, .v — угловая
скорость.
измеряется отклонение скорости вращения от иевозмущенного рав-
равновесного значения и = и0. Отметим, что это отображение сжима-
сжимает площади при Г > 0 и сохраняет их при Г = 0.
Можно показать, что при малых е эта система двух разностных
уравнений имеет хаотические решения только при выполнении сле-
следующих условий:
1 <
- О-Г
C.2.23)
На рис. 3.11 показано типичное решение, полученное для значе-
значений параметров Г = 5, К = 9, О = 100 и е = 0,3.
Задача о подталкиваемом двойном ротаторе, системе с двумя
степенями свободы, была рассмотрена в [94, 95].
ОТОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА СЕБЯ
Упрощенный вариант отображения Заславского для двух связан-
связанных осцилляторов получается, когда затухание выбрано более
сильным, Г > 1. В этом предельном случае можно пренебречь из-
изменениями и turn у (отметим, что на рис. 3.11 Ау мало). Это при-
приводит к одномерному отображению, известному как отображение
окружности на себя
х.,, =
2i + Г
)¦
C.2.24)
Это уравнение было подробно исследовано, например, в [159].
ДРУГИЕ ЗАДАЧИ С ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ
Трехмерные хаотические движения твердого тела исследовались
в работах [103, 185, 207] с помощью уравнений Эйлера D.2.4). В по-
Обзор систем с хаотическими колебаниями
91
слепней из перечисленных статей предсказано хаотическое вращение
Гипериона, спутника Юпитера.
Другой класс задач с твердыми телами касается динамики ко-
корабля под действием волн [149, 206].
АЭРОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
Примером хаоса в автономной механической системе являются
колебания (флаттер), вызванные течением жидкости над упругой
пластиной. Это явление известно как «флаттер пластины»; более
подробное обсуждение механики этой системы можно найти в кни-
книге [28]. Такие колебания наблюдались во время первых полетов во
внешних оболочках ракетоносителей «Сатурн», которые доставили
человека на Луну в начале семидесятых годов. В работах Кобаяши
[93] и Фунга [39], опубликованных до этих полетов, были обнару-
обнаружены непериодические движения. В одной серии задач, рассмотрен-
рассмотренных ими, анализировалось совместное действие сжатия в плоскости
пластины и течения жидкости. Более поздние численные результа-
результаты показаны на рис. 3.12, где видны устойчивые траектории в фа-
фазовом пространстве при одних параметрах потока жидкости и сжи-
сжимающей нагрузки и хаотические колебания при других условиях
-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 -1,0 -.75 -,50 -.25 О ,25 ,50 ,75 1,0 1,25
Рис. 3.12. Течение над изгибающейся упругой пластиной. Слева — периодические
аэроупругие колебания; справа — хаотические колебания пластины [29].
92 Глава 3
(см. также статью Дауэлла [29]). Этот пример иллюстрирует еще
один тип отображения Пуанкаре. Поскольку в задаче отсутствует
собственное время, приходится выбирать в фазовом пространстве
гиперплоскость и следить за точками, в которых траектория прохо-
проходит сквозь эту плоскость. Применив этот прием в задаче о колеба-
колебаниях пластины, Дауэлл показал, что отображения Пуанкаре имеют
вид, типичный для странного аттрактора.
Air. 3.13. Отображение Пуанкаре хаотических колебаний цепи с нелинейной индук-
индуктивностью, построенное по результатам аналоговых численных расчетов [197J.
Обзор систем с хаотическими колебаниями 93
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Один из первых примеров хаоса в электрических цепях был от-
открыт Уэдой [197] в цепи с нелинейным индуктивным элементом.
Цепь с нелинейной индуктивностью и линейным сопротивлением,
роэбуждаемая гармонической электродвижущей силой, описывается
уравнением
х + кх + х3 = В cos t, C.2.25)
которое является еще одним частным случаем уравнения Дуффин-
га. С помощью аналогового и численного моделирования Уэда, со-
сотрудник университета Киото в Японии, получил изящные изобра-
изображения отображений Пуанкаре, описывающие хаотическую динами-
динамику этого уравнения (рис. 3.13).
Еще одна модель, изученная Уэдой, — генератор колебаний с
отрицательным сопротивлением, показанный на рис. 3.14. Эта си-
система описывается модифицированным уравнением Ван дер Поля
х + (х2 - 1)х + дг3 = В cos at. C.2.26)
Интересно отметить, что и уравнение Дуффинга, и уравнение
Ван дер Поля изучаются уже несколько десятков лет, и тем не ме-
менее ни в одном из распространенных изданий по нелинейным коле-
колебаниям не упоминается об их хаотических решениях. В следующем
разделе мы рассмотрим другие нелинейные хаотические цепи.
МАГНИТОМЕХАНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Значительный интерес вызвала физическая модель, состоящая из
диска, который вращается в магнитном поле. Такая система пред-
представляет интерес для геофизиков как возможная модель обращений
магнитного поля Земли. Это дисковое динамо показано на
рис. 3.15. Угловая скорость вращения й и токи/, и/2 подчиняются
уравнениям
Л) = -ktl - м2/,(/, + /2) + Т,
I, /, = -Л, /, - Л3 h + М,0 Л. C.2.27)
L2I2 = -R2I2 + M2Q/,,
где Т — это приложенный постоянный крутящий момент (см.
[161]). Временные развертки, приведенные на рис. 3.15, показыва-
показывают, что ток (и следовательно, магнитное поле) могут вполне беспо-
беспорядочно менять направление.
94
Глава 3
L Я
2-
Puc. 3.14. Отображение Пуанкаре вынужденных хаотических колебаний в цепи типа
Ван дер Поля по результатам аналоговых численных расчетов [199].
Обзор систем с хаотическими колебаниями
Крутящий момент Г
95
Магнитные линии
Рис. 3.15. Вверху — модель дискового генератора постоянного тока, предложенная
Роббинсом [161] для объяснения обращений магнитного поля Земли; внизу — хаоти-
хаотические обращения тока по численному решению уравнений дискового генератора по-
постоянного тока C.2.27).
ХАОС В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим механическое устройство с нелинейной силой, вос-
восстанавливающей равновесие, и предположим, что в системе дейст-
действует также управляющая сила, которая переводит систему из одно-
одного положения равновесия в другое в соответствии с некоторым за-
заданным опорным сигналомдг,if). Моделью такого устройства слу-
служит следующая система уравнений третьего порядка:
тх + 8х + F(x) = -z,
C.2.28)
г + аг = Gt[x - xr(t)] + G2x.
Здесь г описывает силу, создаваемую петлей обратной связи, a G, и
G2 — соответственно коэффициенты усиления обратной связи по
положению и скорости. Этой системе уравнений можно сопоста-
96
Глава 3
р—
Нелинейная
система
• + «
Рис. 3.16. Система управленш
с обратной связью — нелиней-
нелинейное устройство с линейной
цепью обратной связи.
(Обратная связь
по положению)
(Обратная связь
по скорости)
Периодическое
движение
Частота
Периодический
отклик
Хаотический
отклик
Рис. 3.17. Вверху — изменение границы области хаоса в зависимости от коэффици-
коэффициента усиления обратной связи и частоты сигнала на входе; внизу — траектории пе-
периодического и хаотического динамического движения массы с петлей обратной свя-
связи и нелинейной восстанавливающей силой с фазами отключения (см. рис. 3.4).
Обзор систем с хаотическими колебаниями 97
з блок-схему рис. 3.16 с нелинейным механическим устройством
я линейным законом обратной связи.
На примере такой системы можно исследовать два типа задач о
хаотических колебаниях. В задачах первого типа, если система ав-
автономна, т.е. если опорный сигнал равен нулю, xr(t) = О, имеет
смысл изучить пространство коэффициентов усиления (G,, С2) в
поисках областей покоя и периодических или хаотических колеба-
колебаний. В задачах второго типа сигнал xr(i) периодичен. Иначе говоря,
мы будем вновь и вновь перемещать массу по заданной траекто-
траектории, как в автоматическом станке. Тогда можно искать те значения
частоты и коэффициента усиления, при которых система ведет себя
по периодическому закону или же хаотично (рис. 3.17).
Хаотические колебания автономной системы вида C.2.28) были
исследованы Холмсом и Муном [79] и Холмсом [77]. К примеру,
при/•"(*) = х (х2 - \)(хг — В) эта механическая система имеет три
положения устойчивого равновесия. Было показано, что в ней воз-
возможны как периодические колебания на предельном цикле, так и
хаотическое движение.
Система с обратной связью под действием внешнего возбужде-
возбуждения рассматривалась в работе [45]. Кроме того, хаотические коле-
колебания изучались в системе с кусочно-линейной функцией обратной
связи [177]. Имеется еще ряд работ, где исследуются подобные
примеры [5, 15].
3.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ХАОТИЧЕСКИМИ
СИСТЕМАМИ
ПЕРВЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Раньше исследователи электрических и механических колебаний
редко упоминали о незатухающих непериодических колебаниях, ес-
если не считать задач о турбулентности в жидкости. Это не значит,
что хаотических движений не было. Дело в том, что эксперимента-
экспериментаторы не были готовы увидеть их. Под влиянием теоретиков" инже-
инженера или физика-экспериментатора учили искать в физическом экс-
эксперименте резонансы и периодические колебания, а все остальные
движения обозначались словом «шум».
Рассуждая о причинах явной близорукости экспериментаторов
прошлого века по отношению к хаотическим явлениям, Джо Кел-
11 Вернее было бы сказать, «сообразно общему уровню развития науки». —
Прим перев.
7—161
98 Глава 3
лер, математик из Станфордского университета, отмечает, что
полнота и изящество теории линейных дифференциальных уравне
ний объясняют преобладание связанных с ними представлений в об
учении большинства ученых и инженеров.
Тем не менее в литературе можно найти примеры наблюдения
непериодических колебаний. Здесь мы упомянем три таких приме
ра. Во-первых, Ван дер Поль и Ван дер Марк [203] в конце статьи
колебаниях в цепи с электронной лампой делают следующее заме
чание: «Часто перед скачком частоты в телефонном приемнике
слышен нерегулярный шум». Объяснение этому явлению предложе-
предложено не было, и в классических исследованиях осциллятора Ван дер
Поля больше не упоминалось о «нерегулярных шумах».
Еще об одном наблюдении нестационарных колебаний сообща-
сообщалось Эвснсоном [34] в техническом докладе НАСА о колебаниях
оболочек. Хотя основной целью его исследования вначале были не-
нелинейные колебания упругих цилиндрических оболочек, и аналого-
аналоговое моделирование и эксперимент обнаружили, что при достаточно
сильном возбуждении возникают нестационарные колебания. Веро-
Вероятно это наблюдение не единственно и в литературе можно найти
еще много примеров хаоса, описанных парой строчек, погребенных
в статьях о периодических колебаниях.
В более поздней работе [195] рассматриваются нелинейные коле-
колебания изогнутого стержня. Этот стержень был жестко закреплен
обоих концов и сжимался до изгиба. Возникала арочная структура.
Когда затем стержень заставляли колебаться поперек своей длины
и сила воздействия увеличивалась, происходил его резкий прогиб. В
этом режиме наблюдался субгармонический отклик, а также пере-
перемежаемые колебания. Впрочем, в статье рассматривались только
периодические колебания.
Многие читатели, возможно, вспомнят примеры похожих явле-
явлений из собственных экспериментов или инженерной практики. Хао-
Хаотический шум всегда присутствовал в промышленных или экспери-
экспериментальных установках, но до недавнего времени мы не располага-
располагали моделями и математическими методами его описания и анализа.
СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Маятник представляет собой настолько утвердившийся символ
классической динамики, что было бы любопытно выяснить, не
может ли этот образец детерминированного поведения совершать
хаотические колебания. Чтобы ответить на этот вопрос автор дан-
данной книги и его сотрудники [146] сделали магнитный дипольный
ротатор с восстанавливающим крутящим моментом, который ме-
Обзор систем с хаотическими колебаниями
99
Bjti
Рис. 3.18. Схема магнитного дипольного
ротатора в скрещенных статическом и
переменном магнитных полях — «маг-
«магнитный маятник».
няется пропорционально синусу угла между осью диполя и нало-
наложенным магнитным полем (рис. 3.18). Восстанавливающий мо-
момент, периодически меняющийся со временем, создавался синусои-
синусоидальным напряжением, приложенным к двум полюсам поперек ста-
статического магнитного поля. Математическая модель вынужденных
колебаний этого магнитного маятника описывается уравнением
J6 + ев + MBS sin в = MBd cos в cos Of, C.3.1)
где J — момент инерции ротатора, с — постоянная вязкого затуха-
затухания, М — магнитный момент ротатора-диполя, a Bs и Bd — соот-
соответственно индукция статического и переменного магнитного поля.
На рис. 3.19 сравниваются угловые скорости ротатора при перио-
периодическом возбуждении в периодическом и хаотическом режимах.
Рис. 3.19. Вверху — периодическое движение магнитного ротатора (рис. 3.18); вни-
внизу — хаотическое движение магнитного ротатора.
100
Глава 3
Дальнейшее обсуждение этого эксперимента можно найти в гл. 4 и
б. Теория хаоса использовалась также для возбуждения непериоди-
непериодических колебаний в движущейся скульптуре с набором маятников
[205].
МАГНИТНАЯ СТРЕЛКА КОМПАСА
Еще один пример магнитомеханического устройства со стоха-
стохастической динамикой — стрелка компаса в колебательном или вра-
вращающемся магнитном поле (рис. 3.20). Вращающееся магнитное
поле можно создать с помощью двух катушек Гельмгольца, в кото-
которых поддерживаются синусоидальные токи, сдвинутые по фазе.
Эксперименты с этим устройством были проведены Крокетом и
Пуату [25], которые описали динамику системы уравнением
J9 = -ц [sin (в - ut) + sin (в + ut)] - ув C.3.2)
и обнаружили бифуркации удвоения периода. В этой модели зату-
затухание очень слабо (y/Jos * 10~2). Такая система является примером
систем с почти нулевой диссипацией G = 0), которые называются
гамшгьтоновыми системами. Как мы говорили при обсуждении
ускорения Ферми, хаос в системах без диссипации часто называют
стохастичностью. Отображения Пуанкаре таких систем заполня-
заполняют некоторые области фазового пространства, в то время как для
диссипативных систем со странными аттракторами характерна
структура канторовского множества.
УСТРОЙСТВА НА МАГНИТНОЙ ПОДУШКЕ
Системы подвески наземных транспортных средств должны со-
создавать вертикальную и боковую восстанавливающие силы, когда
машина отклоняется от прямой траектории. Как традиционные си-
Рис. 3.20. Дипольный магнитный рота-
ротатор во вращающемся магнитном поле.
Обзор систем с хаотическими колебаниями
101
(темы подвески типа пневматических шин или стальных колес и
рельсов, так и перспективные системы на воздушной или магнит-
вой подушке содержат элементы нелинейной жесткости и затуха-
затухания, и поэтому в них могут поддерживаться хаотические колеба-
колебания. В качестве примера мы опишем некоторые опыты с устройст-
устройством на магнитной подушке, проведенные в Корнеллском универ-
университете. (См. книгу Муна [138], в которой описана механика транс-
транспортных средств на магнитной подушке.)
В этих опытах на жесткой платформе устанавливаются постоян-
постоянные магниты, а под платформой непрерывно движутся алюминие-
алюминиевые направляющие в форме буквы L, прикрепленные к ободу вра-
вращающегося колеса диаметром 1,2 м (рис. 3.21). Вихревые токи, ин-
индуцируемые в алюминиевых направляющих, взаимодействуют с
магнитным полем постоянных магнитов, создавая подъемную си-
силу, торможение и боковые направляющие силы. Магнитная сила
торможения неконсервативна и может перекачивать энергию в ко-
колебания модели. Таким образом, при определенных условиях мо-
модель может совершать колебания на предельном цикле. По мере
увеличения скорости затухающие колебания сменяются растущими
(нижняя часть рис. 3.21). Нелинейность сил, создаваемых подвес-
Магниты
Направляющая
Рис. 3.21. Вверху — схема модели на
магнитной подушке над вращающи-
вращающимися алюминиевыми направляющи-
направляющими; внизу — бифуркация предельно-
предельного цикла для модели на подушке.
Отрицательное
затухание рыскания
•- Момент закрутки
102 Глава 3
кой, ограничивает колебания и возникает предельный цикл. (Эта
смена устойчивого состояния известна математикам как бифурка-
бифуркация Хопфа (гл. 1). Механики называют такие колебания флатте-
флаттером.)
Помимо флаттера или колебаний на предельном дикле в модели
на магнитной подвеске возможны статические бифуркации. Так,
при определенных скоростях вертикальное состояние равновесия
может смениться парой устойчивых наклонных состояний, показан-
показанных на рис. 3.21. Эта неустойчивость известна в динамике лета-
летательных аппаратов как расхождение колебаний; она аналогична вы-
выпучиванию упругой колонны. В наших экспериментах хаотические
колебания обнаруживались, когда система была подвержена рас-
расхождению колебаний (множественности состояний равновесия) и
флаттеру одновременно. Флаттер обеспечивает перебрасывание мо-
модели с одной стороны направляющих на другую, как это происходит
и в задаче с изогнутым стержнем, обсуждавшейся в гл. 2. Но мате-
математическая модель этой неустойчивости имеет две степени свободы.
Динамические свойства боковых и продольных движений изучались с
помощью киносъемки хаотических колебаний (рис. 3.22). Эти коле-
колебания довольно сильны, и если бы они происходили на настоящей
машине, движущейся со скоростью 400—500 км/ч, она бы, вероят-
вероятно, сошла с рельсов и разрушилась.
ХАОС В УПРУГИХ НЕПРЕРЫВНЫХ СРЕДАХ
Автором этой книги и его сотрудниками было проведено много
экспериментов с хаотическими колебаниями упругих стержней (см.,
например, [136, 137, 141, 142, 145]). Исследованы проблемы двух
типов. В задачах одного класса уравнение в частных производных,
описывающее движение стержня, линейно, но нелинейны массовые
силы или граничные условия. В других задачах движения достаточ-
достаточно сильны, чтобы в уравнениях движения стали существенными не-
нелинейные члены.
При малых изгибах и отклонениях уравнение движения упругого
Странный аттрактор при магнитной подвеске Боковое движение
Скорость вращения 600 об/мин
Рис. 3.22. Хаотические боковые движения модели на магнитной подушке.
Обзор систем с хаотическими колебаниями
103
стержня имеет вид
nd4v
D-—r + m
где v — поперечное смещение стержня, D — коэффициент упругой
лсесткости, am— масса на единицу длины. Правая часть уравне-
вяя описывает распределенные массовые силы или внутреннее зату-
затухание. Во многих опытах, проведенных в Корнеллском университе-
университете, для создания нелинейных массовых сил использовались посто-
постоянные магниты.
Когда смещение и наклон оси стержня велики, горизонтальное и
вертикальное смещение и наклон характеризуются переменными
(и, v, в), связанными соотношениями
A + и'J + (i/ J = 1, tg в - г, C.3.4)
где ()' = д/ds, as — длина, измеряемая вдоль деформированного
стержня (рис. 3.23). Тогда уравнения сохранения импульса приобре-
приобретают вид
mv =,
тй =
+"'.
C.3.5)
где
G = DP A + и') - Tv' ,
Н = DPV + Т(\ + и').
В этих уравнениях (/и, fv) — компоненты массовой силы, а Т —
осевая сила, создающая напряжения в стержне. Нелинейные члены
отличаются от характерных для механики жидкостей тем, что сю-
сюда не входят переносные, или кинематические, нелинейности. Кро-
Кроме того, локальная зависимость напряжений от деформации линей-
линейна. Нелинейные члены возникают из-за изменения геометрической
формы и называются геометрическими нелинейностями. (См. об-
обсуждение нелинейной теории стержней в [117].)
Плоский упругий элемент
Рис. 3.23. Плоская деформация упругого
стержня.
104
Глава 3
Магнитоупругий изогнутый стержень. В этом примере упругий
стержень, закрепленный с одной стороны, изгибается магнитами
которые помещены вблизи его свободного конца (см. гл. 2 и 4 и
[136, 137, 139, 141]). Магнитные силы делают неустойчивым пря
мое, неизогнутое состояние стержня и создают несколько положе
ний равновесия, одно из которых показано на рис. 3.24а. В наших
экспериментах с помощью четырех магнитов создавалось до четы,
рех положений устойчивого равновесия. После того как такой из*
гиб создан, система аналогична частице в потенциале из двух или
более ям (см. рис. 1.2, б). Все устройство помещается на вибро-
вибростенд и колеблется с постоянной амплитудой и частотой. При сла-
слабых колебаниях стержень остается вблизи одного из положений
равновесия. Однако с ростом амплитуды стержень может выско-
выскочить из потенциальной ямы и начинаются хаотические движения,
при которых стержень переходит из одной ямы в другую (см.
рис. 3.6). Отображение Пуанкаре для этого процесса показано на
рис. 3.246. (Мы называем это отображение «цветком Пуанкаре».)
Для описания этой системы используется многомодовое прибли-
приближение уравнения C.3.3), в котором учтены нелинейные магнитные
силы, действующие на свободный конец стержня.
Для стержня с затуханием, закрепленного с одной стороны, хо-
хорошие результаты дает одномодовое приближение. Соответствую-
Соответствующее уравнение можно записать в виде системы трех уравнений пер-
первого порядка. Обратите внимание, что здесь переменная х является
безразмерной амплитудой гармоники, а не расстоянием вдоль
стержня:
х = У,
у = -ух + Х{1 -х2) -A0u2cosz, C.3.6)
Z = W.
Эта задача аналогична задаче о частице в паре потенциальных ям
) = -{х2 - х4/2)/4. Этот эксперимент мы будем обсуждать на
• Ао COS (If
-Сталь 18,8 см
1,59см
N \
Магниты
/г
Сталь
Рис. 3.24а. Упругий стальной стержень,
изогнутый магнитными массовыми си-
силами и прикрепленный к периодичест
движущемуся основанию.
A/c. 5.2^6. Полученное в эксперименте отображение Пуанкаре для хаотического
движения стержня, продольно изогнутого магнитными силами («цветок Пуанкаре»).
106 Глава 3
протяжении всей книги. Отображение Пуанкаре (рис. 3.246) имеет
вид, характерный для двумерных точечных отображений. В типич-
типичных случаях эксперименты не обнаружили удвоений периода перед
переходом к хаотическому движению. Предвестниками хаоса часто
оказывались нечетные субгармоники.
Видоизменением этого эксперимента является перевернутый ма-
маятник с пружиной, о котором сообщает из Китайской Народной
Республики Зу [215], сотрудник Пекинского университета. Если пружи-
пружина слабая, то, как и в задачах с двумя потенциальными ямами, пере-
перевернутый маятник имеет два положения устойчивого равновесия.
Изогнутый стержень с двумя степенями свободы. Чтобы изу-
изучить роль дополнительных степеней свободы, мы создали упругий
аналог сферического маятника (см. рис. 3.9), в котором использо-
использован стержень кругового сечения [137]. Для изгибания стержня по-
прежнему использовались магниты, но теперь его конец мог дви-
двигаться в двух направлениях. В результате появились несоизмери-
несоизмеримые естественные частоты и квазипериодические колебания, кото-
которые в конце концов превратились в хаотические (рис. 3.25).
Эта экспериментальная модель описывается уравнениями для
двух связанных осцилляторов:
1
х + ух - -ХA - х*) + рхуг = /2> C.3.7а)
у + 8у + аA + еу2)у + 0х2у = /О + /, cos ut. C.3.76)
Члены /0 и /2 описывают действие тяготения, если начальное поло-
положение стержня не вертикально, а члены, связывающие эти уравне-
уравнения, потенциальны. Если связь слаба, можно решить уравнение
C.3.7,6) относительно y(t), и уравнение для x(t) приобретает вид
уравнения параметрических колебаний.
Майлс [133] провел численные эксперименты с парой осциллято-
осцилляторов с затуханием и квадратичной связью, обнаружив области хао-
хаотического движения, вызванного синусоидальным возбуждением.
Он рассмотрел частный случай, когда линейные собственные часто-
частоты ш, и «2 связаны соотношением ш2 = 2ш,.
Упругий стержень с нелинейными граничными условиями. Для
того чтобы получить хаотические колебания в механической систе-
системе, не обязательно иметь несколько положений равновесия. Любая
сильная нелинейность также, скорее всего, вызовет хаотический
шум при периодическом внешнем воздействии. Одним из примеров
системы с одним положением равновесия является упругий стер-
-4
ш
И
¦Ч
J
ij
(a)
рис. 5.25. в — Схема упругого прута, со-
совершающего трехмерные движения в паре
потенциальных ям, созданных двумя маг-
магнитами; б — наложенные друг на друга
траектория движения в фазовом про-
пространстве и отображение Пуанкаре для
квазипериодического движения (вверху);
отображение Пуанкаре для хаотического
движения (внизу).
т
V
V
)
1 1
16)
Vo COS wt •
>-Сталь 18.8 см
Стопор
Данные эксперимента
Рис. 3.26. Хаотические колебания
упругого стержня с нелинейным
граничным условием.
108
Глава 3
жень с нелинейными граничными условиями A43]. Нелинейными
называются такие граничные условия, которые зависят от движе-
движения. Например, предположим, что конец стержня может свободно
двигаться в одном направлении, а движение в другом направлении
запрещено. Хаотическое поведение такого стержня показано на
рис. 3.26. Модификацией этого примера является двустороннее
ограничение с зазором, при котором изгиб стержня может происхо-
происходить в трех различных режимах. Эксперименты, проведенные в на-
нашей лаборатории, обнаружили хаос и при таких нелинейных гра-
граничных условиях. Шоу [172] провел анализ этих механических коле-
колебаний в присутствии зазора или мертвой зоны.
ТРЕХМЕРНЫЕ УПРУГИЕ СТЕРЖНИ И СТРУНЫ
При определенных условиях вынужденное плоское движение не-
нелинейного упругого стержня (балки, полоски) описываемое уравне-
уравнением C.3.5), становится неустойчивым и возникают трехмерные
движения. Похожее явление известно и для плоского движения на-
натянутой струны [133]. В Корнеллском университете мы провели не-
несколько экспериментов с толщиномерами — очень тонкими, гибки-
гибкими, упругими стальными стержнями прямоугольного сечения (на-
(например, 0,25 мм х 10 мм х 20 см) (рис. 3.27). Их слабое боковое
движение (по отношению к неизогнутому стержню) почти невоз-
невозможно без продольного изгиба или перекоса локальных поперечных
сечений. Однако при сильном изгибе в «разрешенном» направлении
становятся возможными и боковые смещения, сопровождающиеся
перекосом поперечных сечений. Мы показали, что плоские колеба-
колебания стержня в «разрешенном» направлении на частоте, близкой к
Плоское
возбуждение
Рис. 3.27. Схема упругой структуры, со-
совершающей движения как в плоскости
вынуждающего колебания, так и в орто-
ортогональном направлении.
Обзор систем с хаотическими колебаниями
109
1 I
Возбуждение
Гц
Упругий стержень
Гц
25
Рис. 3.28. Фурье-спектры вынужденных колебаний тонкого упругого стержня. Широ-
Широкополосный хаотический спектр является следствием трехмерности колебаний.
одной из многих собственных частот, становятся не только неу-
неустойчивыми, но и хаотическими. Это видно нз рис. 3.28, где в
спектре мощности полученном быстрым преобразованием Фурье,
см. гл. 4) присутствует широкий диапазон частот, в то время как
внешнее возбуждение происходит на одной частоте. Похожие явле-
явления происходят с очень тонкими листками бумаги. По сути дела,
мы показали, что хаотические движения очень тонких листков бу-
бумаги вызывают широкополосный акустический шум в окружающем
их воздухе.
ХАОС В МАТРИЧНОМ ПЕЧАТАЮЩЕМ УСТРОЙСТВЕ
Задачи с соударениями составляют целый класс наглядных при-
примеров хаотических колебаний в механике. Подпрыгивающий шарик
C.2.9), модель ускорения Ферми C.2.8) и стержень с нелинейными
граничными условиями принадлежат к этому классу. Практической
реализацией вызванных соударениями хаотических колебаний явля-
является эксперимент с бойками (иглами) печатающего устройства, по-
поставленный Хендриксом [67] (рис. 3.29). В таком печатающем уст-
устройстве молоточек ускоряется магнитной силой, и его кинетическая
энергия расходуется на перенос краски с ленты на бумагу. Хендрикс
использует эмпирическую зависимость возникающей при ударе си-
силы от относительного смещения после удара; переменная и равна
по
Глава 3
Красящая лента
Электромагнит
Рис. 3.29. Схема действия иглы
матричного печатающего устрой
ства.
отношению смещения к суммарной толщине ленты и бумаги:
F = -АЕри*-\ и > О,
= -АЕр(Зи",й < О,
C.3.8)
где А — площадь контакта бойка и ленты, Ер выступает в роли
жесткости ленты и бумаги, а /3 — постоянная, которая зависит от
максимального смещения. Важно отметить, что эта сила в высшей
степени нелинейна.
Если боек возбуждается периодическим напряжением, он и дви-
движется по периодическому закону, пока частота тока невелика. Но с
ростом частоты бойку не хватает времени, чтобы успокоиться, и
удары становятся хаотичными (рис. 3.30). Таким образом, хаотиче-
хаотические колебания ограничивают скорость работы печатающего уст-
2300 Гц
"Время
526,3 Гц
Рис. 3.30. Смещение иглы матричного печатающего устройства как функция време-
времени при различных частотах инициирующего сигнала. Заметно, как отклик становит-
становится непредсказуемым [67] (International Business Machines Corporation, © 1983).
Обзор систем с хаотическими колебаниями
111
пойства. Один из выходов из этой ситуации, который сейчас иссле-
исследуется, состоит в добавлении обратной связи, которая подавит хаос.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
Цепи с периодическим возбуждением: хаос в цепи с диодом.
Идеальный диод — это элемент цепи, который либо проводит ток,
либо нет. Такое поведение с резким отключением представляет со-
собой сильную нелинейность. Ряд экспериментов по хаотическим ко-
колебаниям был проведен с помощью конкретного диодного элемен-
элемента, называемого варикапным диодом [113, 162, 189]; использован-
использованные электрические цепи подобны показанной на рис. 3.31. Сообща-
Сообщалось как об удвоениях периода, так и о хаотическом поведении та-
такой системы. Возможность удвоений периода указывает, что явле-
явление математически описывается одномерным отображеннем, кото-
которое связывает абсолютные значения максимального тока в цепи во
время (л + 1)- и л-го циклов:
4*J«+i = П\1Ж\Я). C.3.9)
Один из интересных вопросов, связанных с этой системой, —
это физическая природа нелинейности. В первой работе [113] пред-
предлагалось моделировать диод сильно нелинейной емкостью, что
дает
с = соA - аУ)~у,
-c(V)V =
at
C.3.10)
dl
L— = -RI - V + Vo sinwf,
где у = 0,44. Однако позже была предложена совершенно другая
модель [162], в которой рассматриваемая цепь эквивалентна одной
Рис. 3.31. а — Схема цепи с варикап-
варикапным диодом; б — вид элемента цепи в
фазе проводимости диода; в — вид
элемента цепи, когда диод заперт [162]
(The American Physical Society, ©
1982).
V(t)
(a)
F) (e)
112
Глава 3
из двух линейных цепей, показанных на рис. 3.31, б, в. Каждый
цикл состоит из проводящей и непроводящей стадий. Нелинейность
возникает из-за условий перехода от проводящей цепи с напряжени-
напряжением смещения V, к непроводящей с постоянной емкостью. Момент
перехода зависит от максимального тока l/maxl. В этой модели на
каждой стадии известны точные решения дифференциальных урав-
уравнений, описывающих цепь; неизвестные постоянные определяются
из условий непрерывности тока и напряжения в момент смены ста-
стадий. Этот метод использован в работе [162] для численного расчета
функции, определяющей отображение и показанной • на рис. 3.32.
Дальнейшие эксперименты показали, что эта модель лучше описы-
описывает физику протекающих процессов, чем модель с нелинейной ем-
емкостью.
Эта ситуация служит примером известной проблемы в нелиней-
нелинейной динамике. Стремление немедленно объяснить хаотичность ди-
динамики нелинейной системы вызывает соблазн построить матема-
математическую модель, которая повторяет классические парадигмы хаоса
в гораздо большей степени, чем сама физика системы. Это было
простительно во время первых открытий и исследований. Но со
взрослением нелинейной динамики следует больше внимание обра-
обращать на математические и физические основы изучаемых явлений
Новые объяснения хаотических явлений могут быть приняты толь-
только в том случае, если они проясняют связь физических законов (на-
(например, законов Ньютона и уравнений Максвелла) и математиче-
математических моделей.
I I I I I Г
I I I I I I I I I
0.0 0.2 0,4 06 0,8
'•„«?„ (МА)
(а)
5 0.4 -
1.0
-I i i I i i i I \~
Рис. 3.32. Сравнение рассчитанного (а) и полученного в эксперименте (б) одномер
ных отображений для цепи с варикапным диодом, показанной на рис. 3.31 A62) (The
American Physical Society, © 1982).
Обзор систем с хаотическими колебаниями 113
Итак, мы обсудили нелинейную цепь с варикапным диодом и
несколько экспериментальных работ, в которых сообщалось о хао-
хаосе в этой цепи. Теперь мы расскажем еще об одном эксперименте
М9] с последовательно включенными диодом, индуктивностью и
сопротивлением, которые находятся под действием сунусоидально-
до напряжения. Соответствующая математическая модель имеет
вид
dl
L + Rl +/(/, \Idt) = V0cos ы1, C.3.11)
at
где свойства нелинейного диода /(/) уже обсуждались выше. Авто-
Авторы этого эксперимента изучили плоскость параметров (Уо, ы) и вы-
выделили области субгармонического и хаотического отклика. Эти ре-
результаты показаны на рис. 3.33. На рис. 3.33, а частота возбужде-
возбуждения меняется в диапазоне 0,5 < ш/2т < 2,0 МГц. Как видно из
этих данных, можно подобрать такую траекторию в пространстве
параметров, вдоль которой реализуется переход к хаосу через удво-
удвоения периода. Но можно выбрать и другие траектории, вдоль кото-
которых, очевидно, не происходят удвоения периода. На рис. 3.33, а
также видны острова хаотичности; после увеличения, показанного
на рис. 3.33, б, внутри них обнаруживаются более мелкие такие же
острова. Этот пример показывает, что, когда модель описывается
тремя дифференциальными уравнениями C.3.11), отображение Пу-
Пуанкаре, которое характеризует динамику системы, является двумер-
двумерным и в такой системе не обязательно проявляются удвоения пери-
периода, характерные для одномерных отображений.
Однако при определенных законах вариации параметров двумер-
двумерное отображение может вести себя как одномерное и соответствен-
соответственно система, скорее всего, будет описываться одномерным необра-
необратимым отображением. Для экспериментатора из этого вытекает
следующая мораль: если физическая задача существенно характери-
характеризуется более чем одной безразмерной комбинацией параметров, то
следует исследовать соответствующее пространство параметров,
чтобы выявить весь диапазон возможных нелинейных динамиче-
динамических режимов.
Нелинейная индуктивность. Брайант и Джеффрис [18] исследо-
исследовали цепь с отрицательным сопротивлением и нелинейной индук-
индуктивностью с гистерезисом, возбуждаемую синусоидальным сиг-
сигналом. В этой работе исследовались соединенные параллельно че-
четыре элемента — источник напряжения, отрицательное сопротив-
сопротивление, конденсатор и катушка, намотанная на тороидальный маг-
магнитный сердечник. Характерные значения параметров таковы:
«—lei
114
Глава 3
\ \ \
\ \ \
ч 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Частота возбуждения (МГц)
м ^
1
- |\
" \
X
1
1
1
2;
|
I l
4
1 1
1 1
1
Хаос
—
| |
< 2
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Частота возбуждения (МГц)
F)
Рис. 3.33. а — Области субгармонических и хаотических колебаний в цепи с последо-
последовательно соединенными индуктивностью, сопротивлением и диодом, показанные на
плоскости напряжение — частота возбуждающего сигнала; б — увеличенная часть
рисунка «о» [19] (Elsevier Science Publishers, © 1984).
С « 7,5 мкФ, R = —500 Ом, а частота возбуждающего сигнала —
200 Гц и выше. Отрицательное сопротивление создавалось операци-
операционным усилителем. Если N — число витков в индуктивности, А —
эффективная площадь сечения сердечника, / — длина магнитного
пути, то плотность магнитного потока В в сердечнике описывается
уравнением
NA I
NACS + -В + -Н(В) = IV),
К 7V
C.3.12)
где Н(В) — нелинейное соотношение магнитного поля и магнит-
115
Обзор систем с хаотическими колебаниями
25
20
< 15
5 10
5
0
М
рис, 3.34. Цепь с туннельным диодом, в которой возможны автономные хаотиче-
аок колебания [44] (Plenum Publishing Corp., © 1980).
вой индукции в материале сердечника. В описываемом эксперимен-
эксперименте было N = 100 витков, А ¦» 1,5-10~5 м2 и / * 0,1 м.
В такой цепи наблюдаются квазипериодические колебания, бло-
Яфовки фазы движений, удвоение периода и хаотические колеба-
Автономные нелинейные цепи. Автономные хаотические коле-
колебания обнаружены в цепи с туннельным диодом, показанной на
рис. 3.34, а [44].
Нелинейными элементами этой цепи являются два туннельных
диода. Вольт-амперная характеристика, показанная на рис. 3.34, б,
явно нелинейна, и при циклических изменениях тока ID возникает
петля гистерезиса. Авторы этой работы с помощью возвратных
отображений построили отображения Пуанкаре на псевдофазовой
плоскости. Другими словами, они составили выборку измерений
тока
h2С
Лт)>
C.3.13)
где л -- целое, и построили зависимость лгл отдг„ + 1. Выборка про-
производилась в те моменты времени, когда напряжение ИО| проходи-
проходило, убывая, значение 0,42 В. Кроме того были построены спектры
Фурье и вычислены показатели Ляпунова, характеризующие ско-
скорость разбегания близких траекторий.
Как мы уже упоминали в разделе, посвященном математиче-
математическим моделям, Уэда [197] исследовал хаос в цепи с отрицательным
сопротивлением. Отрицательные сопротивления создаются в экспе-
эксперименте новым методом с использованием операционных усилите-
усилителей. Эксперименты Мацумото и др. [128, 129] и Брайанта и Джеф-
116
Глава 3
я.-i/c A
С, 4=
c,=J=
Активный
элемент
(б)
Рис. 3.35. Цепь с грилинейным активным элементом, в которой возможны авто-
автономные хаотические колебания [129] (Institute of Electrical and Electronic Engineers,
198S).
фриса [17,18] также являются примерами исследований хаотических
колебаний в нелинейных цепях, использующих эту методику.
Цепь, исследованная Мацумото и др., показана на рис. 3.33,
Она состоит из трех связанных петель с нелинейным сопротивлени
ем. Эта цепь автономна, т.е. в ней нет источников стороннего на-
напряжения. Поэтому в этой системе колебания возможны только в
случае, если нелинейное сопротивление отрицательно в некотором
диапазоне напряжений. В модели Мацумото и др. используется
трилинейная вольт-амперная характеристика, показанная на рис.
3.35, б, которая описывается выражением
g(Vx) = т0 Г, + - (т - то)\ К, + Ь\ + - (т0 - ml)\Vl - 61.
C.3.14)
Уравнения, моделирующие эту цепь, получаются с помощью сум-
суммирования токов в узлах А и В на рис. 3.3S, а и напряжений в ле-
левой петле:
С,»", =
C.3.15)
Li = -V2,
где К, и Vг — напряжения на конденсаторах С, и С2, а/ — ток в
индукционной катушке. Трилинейное сопротивление C.3.14) получе-
получено с помошьгс операционного усилителя на диодах (детали см. в
гл. 4). При малых напряжениях нелинейное сопротивление отрица-
отрицательно, положение равновесия (И,, Vv I) = @, 0, 0) неустойчиво и
возбуждаются колебания. Хаотические колебания были обнаружены
Обзор систем с хаотическими колебаниями
117
A v.
fuc. 3.36. Хаотическая траектория цепи с трилинейным сопротивлением (см. рис.
J.J5). полученная численным моделированием. Этот аттрактор, возникающий в цс-
т, которая показана на рис. 3.3S. называется двойным свитком [129] (Institute of
Electrical and Electronic Engineers, © 1985).
при следующих значениях параметров: 1/С, = 9, \/С2 - 1, 1/L =
= 7, G = 0,7.
= —0,5, /я, = —0,8 и b = 1 в согласованной
системе единиц. Хаотическая эволюция системы иллюстрируется
рис. 3.36, который аналогичен картине аттрактора Лоренца
(см. рис. 1.25).
ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА В ЖИДКОСТЯХ
Основная тема этой книги — механические и электрические си-
системы низкого порядка, но новые взгляды на динамику сыграли та-
такую существенную роль в динамике жидкостей, что мы не можем
не упомянуть по крайней мере некоторые эксперименты с хаотиче-
хаотическими движениями в жидкостях. Вспомним гл. 1, где говорилось,
что главная нелинейность в задачах о жидкости связана с перенос-
переносным ускорением (v • V) v, которое присутствует в уравнении дви-
движения A.1.3). Впрочем, определенную роль могут играть и другие
118 Глава 3
нелинейности, например условия на свободных поверхностях или
поверхностях раздела и неньютоновские вязкие эффекты. Можно
выделить пять типов экспериментов с жидкостями, в которых наб
людались хаотические движения:
1) системы с замкнутыми течениями: конвекция Рэлея—Бенара
течение Тейлора—Куэтта между цилиндрами;
2) открытые течения: течение в трубе, пограничные слои, струи
3) жидкие частицы: протекающий кран;
4) волны на поверхности жидкости: гравитационные поверх
ностные волны;
5) реагирующие жидкости: перемешиваемый резервуар химиче
ского реактора.
Одна из причин неослабевающего интереса к хаотической дина
мике в жидкостях — возможность раскрыть на этом пути секреты
турбулентности. (См., например, обзор [181] и сборник статей о
хаосе в жидкостях [187].) Некоторые считают, что это слишком
много для теории, основанной на нескольких уравнениях в обыкно
венных производных и отображениях. Полагают также, что теория
динамических систем приведет к работоспособной модели перехода
к турбулентности (которую иногда называют «слабосильной»), но
для решения более трудной проблемы турбулентности, полностью
развитой в пространстве и времени (сильной турбулентности), по
требуются принципиально новые Достижения. Каким бы ни был
путь дальнейшего развития, нелинейная динамика прибавила новые
методы в экспериментальную механику жидкости.
Системы с замкнутыми течениями — тепловая конвекция
Рэлея—Бенара. Как мы помним по гл. 1, градиент температуры в
жидкости, находящейся в поле тяготения, создает силу плавучести,
которая вызывает вихревую неустойчивость и приводит к хаотиче-
хаотическим и турбулентным движениям. Системой, экспериментально
изученной лучше других, в настоящее время является тепловая кон-
конвекция жидкости в замкнутом прямоугольном объеме. Именно эту
систему пытался моделировать Лоренц своими знаменитыми урав-
уравнениями C.2.3).
Экспериментальные исследования тепловой конвекции Рэ-
Рэлея—Бенара в замкнутом объеме обнаружили, что предвестниками
хаотического состояния являются последовательности удвоения пе-
периода. Эти эксперименты проводились с гелием, водой и ртутью
для широкого диапазона значений безразмерных чисел Прандтля я
Рэлея. Время проведения этих опытов приходится на конец 70-х го-
годов. Например, Либхабер и Маурер [108] наблюдали колебания с
удвоением периода при конвекции гелия. Ряд экспериментальных
статей опубликовала группа из Французской национальной лабора-
Обзор систем с хаотическими колебаниями
119
тории в Сакле, Франция ([9—11], см. также [32]). Этот эксперимент
подобен изображенному на рис. 3.1 с силиконовым маслом в пря-
прямоугольной ячейке размером 2 см х 2,4 см х 4 см. В этих экспери-
экспериментах обнаружены как переход к хаосу через квазипериодические
колебания [150], так и перемежаемый хаос. В первом случае по ме-
мере повышения градиента температуры наблюдалась следующая по-
последовательность динамических явлений:
Статиче-
Статическое состоя-
состояние
— Одночастотное
движение
Градиент
— Двупериодическое
или квазипериодиче-
квазипериодическое движение
температуры —
— Хаотическое
движение
Частоты, наблюдаемые в этих экспериментах, очень низки (на-
(например, 9—30-10 Гц. Французская группа одной из первых полу-
получила отображения Пуанкаре в опытах с жидкостями. Этому спо-
способствовало то, что они обнаружили в жидкости области, где пре-
преобладала одна частота, т. е. один осциллятор. Эту частоту можно
было использовать для временной привязки отображений Пуанка-
Пуанкаре. Два таких отображения показаны на рис. 2.18. Первое квазипе-
риодично, и отношение частот близко к 3. Второе содержит 1500
точек отображения и показывает разрушение тороидального ат-
аттрактора перед установлением хаоса. Для измерения параметров
течения использовались лазерный доплеровский анемометр и метод
дифференциальной интерферометрии. Захват мод н хаос в конвек-
конвекции исследуются также в более поздней работе [62].
Течение Тейлора-Куэтта между цилиндрами. Классической гид-
гидромеханической системой, в которой обнаруживается предтурбу-
лентный хаос, является течение между двумя вращающимися ци-
Рис. 3.37. Схематическое изображение течения
между двумя вращающимися цилиндрами, из-
известного как течение Тейлора — Куэтта.
120 Глава 3
линдрами (называемое течением Тейлора-Куэтта), изображенное на
рис. 3.37. Этой системе посвящено множество работ (см., напри,
мер, обзор [181]). Свойства этого течения определяются числом
Рейнольдса R - (Ь - a) aQ/v и отношениями Ь/а, ty/fl, (отноше-
(отношением скоростей вращения внешнего и внутреннего цилиндров), а
также граничными условиями на торцах. В этой системе перед
установлением широкополосного хаотического шума наблюдаются
квазипериодические колебания. Течению Тейлора—Куэтта посвяще-
посвящена также работа [13].
Замкнутый термосифон. Как ни странно, при всем внимании к
аттрактору Лоренца как парадигме хаоса в конвективном течении
было сделано немного попыток поставить эксперимент, который
повторил бы все предположения модели Лоренца. Таким экспери-
экспериментом, вплотную приближающимся к модели Лоренца, является
опыт с течением жидкости в кольцевой трубке в поле силы тяже-
тяжести. Связь этого эксперимента с моделью Лоренца была замечена
Хартом [61]. Конвективные течения представляют интерес как моде-
модели геофизических течений, подобных теплым восходящим потокам
или течению подземных вод сквозь проницаемые слои земной коры;
важны также приложения к системам нагрева с помощью солнечной
энергии или к системам охлаждения активной зоны реакторов.
Первые опыты проводились с термосифоном с трубкой прямо-
прямоугольного сечения [7]. В этой работе получены уравнения, описыва-
описывающие течение в замкнутой круговой трубке с силой тяготения, ле-
лежащей в плоскости петли, как показано на рис. 3.38. По сути дела,
все переменные предполагаются не зависящими от радиальной ко-
координаты. Основными зависимыми переменными являются окруж-
окружная скорость v(t) и температура Т(в,1). Рассматривается действие
на жидкость вязких напряжений на стенках. Задается температура
стенки TwF), и предполагается линейный закон охлаждения со ско-
скоростью, пропорциональной Т — Т .
Рис. 3.38. Тепловая конвекция в вертикальной
одномерной замкнутой трубке с жидкостью —
это модель термосифона.
Обзор систем с хаотическими колебаниями 121
Основными уравнениями являются закон сохранения углового
момента элемента объема жидкости и уравнение в частных произ-
производных, описывающее сохранение энергии или перенос тепла.
Выталкивающая сила или ее момент вводятся в предположении,
что плотность жидкости зависит от температуры по закону
Р = Ро [1 - /3(Г - Го)], C.3.16)
так что суммарный крутящий момент, действующий на жидкость,
пропорционален
7@) cos (в + a)d6, C.3.17)
где определение угла в показано на рис. 3.38.
Так же как при получении уравнений Лоренца C.2.3), температу-
температура раскладывается в ряд Фурье. При этом уравнение в частных
производных переноса тепла сводится к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Следуя работе [61], запишем
Т(в) = ?СЯ(/) cosпв + Sn (/) sin пв. C.3.18)
Можно показать, что динамика определяется только гармоникой
температуры с п = 1. После переобозначения переменных х = и,
у = С, и z = S, + Ra, где Ra — аналог числа Рейнольдса, получа-
получаются следующие связанные уравнения первого порядка:
х = Pr[-F(x) + у cos а - (z - Ra) sin a],
у = -xz -у +Rax, C.3.19)
z = ху - z,
гае F (х) — нелинейный закон трения. Эти уравнения сводятся к
уравнениям Лоренца, когда а = 0 uF(x) - Cx. Такой предельный
случай соответствует нагреву, несимметричному относительно вер-
вертикали. В экспериментах Бау и Торранса [7] исследовалась устойчи-
устойчивость течения, но не рассматривался хаотический режим. Ввиду
близкого соответствия уравнений C.3.19) и уравнений Лоренца
C.2.3) было бы естественным попытаться исследовать на опыте
хаотические режимы в термосифоне. О другом примере анализа
связи уравнений Лоренца и жидкости в подогреваемой петле см. в
[212].
После первых экспериментов с конвективной петлей [24] о хао-
хаотических движениях не сообщалось. Однако более поздние опыты
[46] воспроизвели некоторые признаки аттрактора Лоренца. Рабо-
122 Глава 3
чей жидкостью в этих опытах была вода, а установка состояла из
стеклянной (пирекс) трубки диаметром 2,5 см, согнутой в петлю
диаметром 75 см. Нижняя половина петли нагревалась с помощью
ленты с высоким электрическим сопротивлением, а верхняя часть
находилась в термостате при постоянной температуре.
Хаос течения в трубке. Хотя основное внимание теория дина-
динамических систем уделяет течениям с замкнутыми линиями тока, в
инженерных разработках важное место занимают открытые тече-
течения. Среди них течения над воздушным крылом, пограничные
слои, струи и течения в трубках. Недавно на приложения теории
нелинейной динамики к проблемам перехода от ламинарного к тур-
турбулентному течению в открытых течениях стали обращать больше
внимания. Один из примеров — опыт Сринивасана [179] из Йель-
ского университета по исследованию перемежаемости течения в
трубе. В этой задаче течение ламинарно и стационарно при малой
скорости, но становится турбулентным при достаточно больших
средних скоростях. Переход от ламинарного к турбулентному тече-
течению, происходящий при определенной критической скорости, по-
видимому, осуществляется через перемежаемые вспышки турбу-
турбулентности. По мере увеличения скорости увеличивается доля време-
времени, которое система проводит в хаотическом состоянии до тех пор,
пока течение не турбулнзуется полностью. Некоторые наблюдения
этого явления восходят к Рейнольдсу A883 г.). Основной предмет
исследований сейчас состоит в попытке связать параметры этой пе-
перемежаемости, например распределение длительности вспышек, с
динамическими теориями перемежаемости (см., например, [157]).
Хаос капель жидкости. Простая система, с помощью которой
читатель может пронаблюдать хаотическую динамику у себя
дома, — это протекающий кран. Этот опыт описан Р. Шоу из Ка-
Калифорнийского университета в Санта-Крус в монографии о хаосе и
теории информации [171]. Эксперимент и пример результатов изме-
измерений показаны на рис. 3.39. С помощью источника света и фото-
фотоэлемента измеряются интервалы времени между каплями, а управ-
управляющий параметр — это скорость вытекания воды из крана. В сво-
своем эксперименте Шоу фиксировал последовательность моментов
времени [Тп, 7"я + 1, 7"п + 2), но не измерял размер капель и другие их
параметры, например форму. Ему и его студентам удалось полу-
получить периодическое движение, явления удвоения периода, а также
хаотическое движение. При разных скоростях вытекания получают-
получаются разные отображения 7"n + ,G"n). Отображение, показанное на
рис. 3.39, имеет вид классического одномерного квадратичного ото-
Обзор систем с хаотическими колебаниями
123
Приемник света
Тп (Измерение времени)
0,180
0,193
(б)
Рис. 5.5Р. Одномерное отображение, полученное в эксперименте по измерениям ин-
интервалов времени между каплями, которые падают из протекающего крана [171]
(Ariel Press, © 1984).
бражения, подобного логистическому отображению Фейгенбаума
[37]. Наблюдалось также более сложное отображение, которое луч-
лучше всего может быть представлено в трехмерном пространстве как
зависимость Тп от Тп +, иГл + 2. Этот пример использования дис-
дискретных измерений для составления псевдофазового пространства,
который подсказывает, что следовало бы измерять еще одну дина-
динамическую переменную (например, размер капли) (см. гл. 4).
Хаос поверхностных волн. Хорошо известно, что по поверхно-
поверхности раздела двух несмешивающихся текучих сред (пример — воздух
над водой) в поле тяготения могут распространяться волны. Такие
волны можно возбудить, потряхивая жидкость в вертикальном на-
направлении так же, как при возбуждении параметрических колебаний
маятника. Субгармоническое возбуждение волн на мелкой воде бы-
было получено еще Фарадеем в 1831 г. Анализ этого явления с точки
зрения удвоений периода был проведен группой, работающей на
линейном ускорителе Калифорнийского университета [91]. В этих
экспериментах исследовались волны на соленой воде в кольце сред-
124 Глава 3
него радиуса 4,8 см, сечение которого составляло 0,8 х 2,5 см. Си-
Система возбуждалась в вертикальном направлении с помощью поме-
помещаемого под ней акустического громкоговорителя. Измерения зави-
зависимости высоты волн от времени в нескольких местах в кольце по-
позволили зарегистрировать перед установлением хаотического режи-
режима последовательность субгармоник, которая не подчиняется клас-
классическому закону удвоения периода. Наблюдались, например, резо-
резонансные частоты pf/m, где/ — частота возбуждения, а т = 1,2,
4, 12, 14, 16, 18, 20, 24, 28, 36; эта последовательность не совпадает
с последовательностью 2", типичной для логистического уравнения.
В другом исследовании вынужденных поверхностных волн наб-
наблюдался цилиндрический объем воды радиусом 6,35 см и глубиной
около 1 см [22]. Для изучения областей периодического и хаотиче-
хаотического изменения высоты волн также использовалось возбуждение
громкоговорителем. Например, хаотическое волновое движение
было получено при частоте возбуждения около 16 Гц и амплитуде
вертикальных возбуждающих колебаний около 0,15 мм. Авторы
этой работы попытались объяснить свои результаты в рамках тео-
теории нелинейного взаимодействия двух линейных пространственных
мод. Теоретический анализ этой задачи проведен Холмсом [78].
Хаос в химических реакциях. Ресслер [163, 164] и Хадсон и др.
[81] наблюдали хаотическую динамику в небольшом диффузионном
химическом реакторе. Кроме того, Шрибер и др. [168] обнаружили
аналогичные процессы в паре связанных реакторов с перемешива-
перемешиванием. Если {xvyx) — концентрации химических компонентов в од-
одном реакторе, а {хг,у2) — в другом, то динамическое поведение си-
системы описывается следующими уравнениями:
х{ = А - (В + \)хх + х]ух + Dx{x2- хх),
yx=Bxxx-x\yx+D2(y2-yx),
х2 = А - (В + \)х2 + х\у2 - Dl(xl - х2),
у2 = Вх2 - х\у2 + D2{y1 - у2).
Классическим примером химического хаоса теперь стала реак-
реакция Белоусова—Жаботинского в реакторе с перемешиванием. Здесь
наблюдались субгармонические колебания и удвоение периода [175].
При постоянных концентрациях компонентов на входе реактора
концентрация бромид-иона, одного из реагирующих компонентов,
обнаруживает сложное субгармоническое поведение, зависящее от
скорости потока через реактор.
Обзор систем с хаотическими колебаниями 125
Хаос световых волн. В физической литературе опубликовано
множество работ, посвященных хаотическому поведению лазерных
систем, а также хаотическому распространению света в нелинейных
оптических устройствах. Подробный обзор хаоса в оптических си-
системах сделали Харрисон и Бисвас [60]. Причиной нелинейности в
простейшей лазерной системе является ее попеременное нахождение
на одном из по меньшей мере двух энергетических уровней. Самая
простая математическая модель подобной системы состоит из трех
уравнений первого порядка для электрического поля в активной об-
области, степени неравновесности заселенности уровней и индуциро-
индуцированной атомной поляризации. Структура этих уравнений, называе-
называемых уравнениями Максвелла—Блоха, подобна структуре уравнений
Лоренца C.2.3), обсуждавшихся в гл. 1 и 3. Хаотические явления в
лазерах наблюдались как в автономном режиме, так и при внешней
модуляции.
В упомянутом выше обзоре [60] обсуждается еще один класс за-
задач, связанных с пассивной нелинейной оптикой. В этом случае ко-
коэффициент преломления (скорость света в среде) зависит от интен-
интенсивности света, например, благодаря эффекту Керра.
Биологический хаос. Новые математические модели нелинейной
динамики обладают заманчивым свойством — они имеют широкие
приложения во многих разнообразных областях науки. Неудиви-
Неудивительно поэтому, что динамические явления в биологических систе-
системах, обнаруживающих периодические и хаотические движения, объ-
объясняются с помощью тех же уравнений, которые справедливы для
электрических и механических систем. Здесь мы упомянем лишь два
примера.
Хаотическое биение сердца. Гласе и др. [40] поставили экс-
эксперименты по динамике спонтанных биений групп клеток из сердца
эмбрионов цыплят. В отсутствие стороннего стимулирования пери-
период этих колебаний заключен между 0,4 и 1,3 с. Однако, когда в эти
группы клеток с помощью микроэлектродов посылались периоди-
периодические импульсы тока, наблюдались захват мод, квазипериодич-
квазипериодичность и хаотические движения.
Обсуждение связи нелинейной динамики и хаотических моделей
со свертыванием крови в венах можно найти в недавней работе
[41]. Там же приведен ряд ссылок по динамике сердца.
Нервные клетки. В похожем эксперименте признаки хаотиче-
хаотического поведения появлялись при синусоидальной стимуляции ги-
гигантского нейрона морского моллюска [64].
4. Экспериментальные
методы изучения
хаотических колебаний
Совершенная логика и безошибоч-
безошибочные рассуждения составляют привлека-
привлекательную теоретическую структуру, но
она может быть и неверной: только экс-
экспериментатор решает это, и он всегда
прав.
Л. Бриллюэн, Научная неопределен-
неопределенность и информация, 1964.
4.1. ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ ЭКСПЕРИМЕНТА
В гл. 3 был приведен обзор физических систем, обнаруживаю-
обнаруживающих хаотические колебания. В настоящей главе мы обсудим неко-
некоторые методы эксперимента, успешно применявшиеся для наблю-
наблюдения и описания хаотических колебаний и странных аттракторов.
Эти методы в большой степени определяются конкретным физиче-
физическим объектом, на котором ставится эксперимент, — является ли
он, например, твердым телом, упругой средой, жидкостью или реа-
реагирующей смесью. Впрочем, многие типы измерений, характерные
для исследования хаотических явлений, такие, как определение ото-
отображений Пуанкаре или показателей Ляпунова, применимы к широ-
широкому классу задач.
На рис. 4.1 показана схема основных частей экспериментальной
установки. В показанном примере колеблющимся объектом являет-
является упругий стержень с нелинейными граничными условиями или не-
несколькими положениями равновесия. Кроме того, присутствует ис-
источник колебаний — электромагнитный вибростенд. В случае авто-
автономной системы типа конвективной ячейки Рэлея—Бенара источни-
источником неустойчивости является разность температур, поддерживае-
поддерживаемая в сечении ячейки, а нелинейности заключены в переносной ча-
части ускорения элементов жидкости.
В числе других важных деталей установки — преобразователи,
превращающие физические переменные в электрические напряже-
напряжения, система обработки и хранения данных, система графического
представления данных (например, осциллограф и компьютер для
их анализа).
Техника эксперимента, которую необходимо освоить для изуче-
изучения хаотических колебаний, до некоторой степени зависит от целей
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний
127
\J \J
Возбуждающая
сила
Физическая
система
Г\п Г\п 1.
1 V\J \IU г
Фильтр
выходного
сигнала
Дифференци-
Дифференцирующее
устройство
Цифровое
вычислительное
устройство
или осциллоскоп
—• •—
Фильтр сигнала.
связанного с
движением
на входе
Л Г
Генератор
импульсов для
отображения
Пуанкаре
V J
4—У
Аналоговый
запоминающий
_ф ОСЦИЛЛОСКОП ф_
[ [
1 1
t
Внешний
триггер/источник
модуляции по оси г
Рис. 4.1. На схеме показаны компоненты экспериментальной установки, предназна-
предназначенной для получения отображения Пуанкаре для хаотической физической системы.
работы. Такими целями могут быть:
1) обнаружение хаотических колебаний в данной физической си-
системе;
2) определение критических значений бифуркационных парамет-
параметров;
3) установление критериев хаоса;
4) выделение различных хаотических режимов;
5) построение качественных характеристик хаотического аттрак-
аттрактора, например отображения Пуанкаре;
6) измерение количественных свойств аттрактора, например
спектра Фурье, показателя Ляпунова, распределения плотно-
плотности вероятности, фрактальной размерности.
128 Глава 4
4.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Если система линейна, в ней невозможны хаотические колеба-
колебательные явления. Поэтому при проведении опытов по хаотической
динамике следует понять природу нелинейностей в изучаемой си-
системе. Чтобы освежить память читателя, напомним, что линейны
те системы, в которых выполняется принцип суперпозции. Так, ес-
если а,(О их2(О — два допустимых движения некоторой системы, то
она линейна, если сумма с, *,(/) + с2 x2(t) также является допусти-
допустимым движением. Другую формулировку принципа суперпозиции
легче дать на математическом языке. Предположим, что динамика
некоторой физической системы моделируется системой дифферен-
дифференциальных или интегральных уравнений вида
L [X] = f(O, D.2.1)
где X = (дг,,дс2 xk(t), . . .,*„) — набор независимых динами-
динамических переменных, описывающих систему. Допустим, что на входе
системы действуют две различные функции возбуждения f,(f) и
f,(O. которые вызывают отклики Х,(/) и Х2(О- Если система ли-
линейна, то нетрудно найти отклик на два одновременно действую-
действующих входных сигнала:
L[c,X, + с^) = c,f,(/) + c2f2(t). D.2.2)
Единственная возможность реализации этого свойства возникает,
когда все члены дифференциального уравнения D.2.1) содержат
только первые степени X, или X, и других аналогичных членов, —
отсюда и возникает термин «линейная система». В нелинейных си-
системах неизвестные функции фигурируют в других видах помимо
первой степени, напримерх2,х3, sinх,х°, 1/(х2 + Ь) или же в по-
подобных комбинациях для их производных или интегралов типах2,
[\xdt\\
Источником нелинейностей в эксперименте могут быть многие
эффекты, в том числе и довольно тонкие. В механических и элек-
электромагнитных системах нелинейности могут принимать следующие
формы:
а) нелинейные материальные соотношения, или функции состоя-
состояния (зависимости напряжений от деформации, напряжения от
тока);
б) нелинейные ускорения или кинематические эффекты (напри-
(например, центростремительное или кориолисово ускорения);
в) нелинейные массовые силы;
г) геометрические нелинейности.
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний 129
НЕЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ СОСТОЯНИЯ
Среди примеров нелинейных материальных соотношений в ме-
механических и электрических системах можно назвать следующие.
Твердые тела. Нелинейные зависимости напряжений от дефор-
деформации: 1) упругой (например, в резине) и 2) неупругой (например, в
стали за порогом текучести, пластичиось, ползучесть).
Магнитные материалы. Нелинейная зависимость плотности
магнитного потока В от напряженности магнитного поля Н:
В = f(H)
(например, в ферромагнитных веществах — железе, никеле, кобаль-
кобальте с присущим им гистерезисом).
Диэлектрические материалы. Нелинейность электрической ин-
индукции D как функции напряженности электрического поля Е:
D = f(E)
(например, в сегнетоэлектрических веществах).
Элементы электрических цепей. Нелинейные вольт-амперные
характеристики:
V =/(/)
(например, в стабилитронах и туннельных диодах, нелинейных
сопротивлениях, полевых транзисторах, структурах ме-
металл—оксид—полупроводник). Нелинейные зависимости напряже-
напряжения от заряда:
V =g(Q)
(например, в конденсаторах). В числе других примеров нелинейных
функций состояния — нелинейность оптических материалов (напри-
(например, в лазерах), зависимости потока тепла от градиента температу-
температуры, нелинейная вязкость в жидкостях, вольт-амперные характери-
характеристики электрических дуг и сухое трение.
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Этот тип нелинейности характерен для механики жидкостей, где
уравнение Навье—Стокса содержит ускорение с нелинейным опера-
оператором, зависящим от скорости:
8v
v ——, или (Y-V) V,
ох
которое описывает переносные эффекты.
9—161
130 Глава 4
В динамике частиц для описания движения относительно неког
торой инерциальной системы отсчета часто используют локальные
системы координат. Когда такая локальная система вращается с
угловой скоростью П но отношению к исходной, абсолютное уско-
ускорение приобретает вил
А = а + А0 + П хр+П хПхр +20 xv, D.2.3)
где Ао — ускорение начала координат относительно инерциальной,
системы отсчета, а р и v — соответственно локальные радиус-
вектор и скорость частицы. Два последних члена называются цент-
ростремительным и кориолисовым ускорениями. Последние трн
члена нелинейны по переменным р, V, й.
При чисто вращательном движении твердого тела нелинейные
члены содержатся в уравнениях Эйлера, описывающих динамику
вращения:
D.2.4)
г uit у х
где (Мх, Му, Мг) — момент приложенных сил, a Ix, Iy, Iz — глав-
главные вторые моменты распределения массы относительно центра
масс.
НЕЛИНЕЙНЫЕ МАССОВЫЕ СИЛЫ
Электромагнитные силы включают следующие разновидности:
токовые F = а/,.::. или /3/5;
намагничивания F = (M-V) В,
сила Лоренца F = </V x В
(здесь / — ток, В — магнитная индукция, М — магнитный мо-
момент, q — заряд, a v — скорость движущегося заряда).
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
В механике геометрические нелинейности связаны с системами,
в которых напряженн-t и деформации связаны линейным соотноше-
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний
131
///////////S//////////SS/
Рис. 4.2. Примеры механических систем с геометрическими нелинейностями.
нием, но геометрия которых меняется в зависимости от деформа-
деформации. Один из примеров показан на рис. 4.2, где ограничение на сме-
смешение свободного конца консольной балки зависит от ее прогиба.
Другой классический пример — контакт двух гладких упругих
тел (называемый контактом Герца). Для искривленных поверхно-
поверхностей сила зависит от смещения по нелинейному степенному закону
F = сб3'2,
где 6 — относительное сближение двух тел.
Еще один классический пример геометрической нелинейности —
упругие тела, изображенные на рис. 4.3. В этом случае вещество
V
Рис. 4.3. Примеры геометрических нелинейностей в упругих структурах.
132 Глава 4
лииейно-упруго, но сильные деформации приводят к нелинейным
соотношениям между силой и смещением или моментом и углом
М = Ак,
и"
к = —
+ (и'J]3/2'
где М — изгибающий момент, к — кривизна нейтральной оси
стержня, а и (к) — его поперечное смещение. Этот пример интере-
интересен для изучения хаотических колебаний потому, что такие упругие
структуры могут иметь несколько положений равновесия (см.
гл. 2). Цилиндрические и сферические оболочки также обнаружива-
обнаруживают геометрические упругие нелинейности (см., например, [34]).
4.3. ЭКСПЕРИМЕНТ. НАСТРОЙКА И УПРАВЛЕНИЕ
Прежде всего — и это самое главное — при постановке экспери-
эксперимента по хаотическим колебаниям необходимо держать под кон-
контролем шумы — как механические, так и электронные. Если экспе
риментатор намерен доказать хаотичность поведения детерминиро
ванной системы, то шум на входе системы должен быть сведен к
минимуму.
К примеру, при механических экспериментах, как в задачах о ко-
колебаниях структур или автономной конвекции в жидкости, установ-
установки должны быть защищены от внешних (лабораторных или улич-
уличных) вибраций. Этого можно достичь, применяя массивный стол с
низкочастотными воздушными демпферами. Недорогим решением
является ночная работа, когда вибрации здания минимальны.
Далее, следует предусмотреть возможность управления сущест-
существенными физическими параметрами эксперимента, такими, как ам-
амплитуда возбуждения или градиент температуры. Это особенно
важно, если предстоит наблюдение последовательностей бифурка-
бифуркаций типа явлений удвоения периода. Если это возможно, необходи-
необходимо использовать элементы непрерывной регулировки и избегать
устройств с шаговым изменением параметров. В некоторых зада-
задачах при одних и тех же значениях параметров возможно более чем
одно динамическое движение. Поэтому может оказаться существен-
существенным контроль над начальным состоянием.
Еще одна забота — о контроле над числом степеней свободы.
Например, если предстоит наблюдение низкочастотных колебаний
какой-либо структуры, то следует позаботиться о том, чтобы не
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний 133
-Осуждались другие гармоники колебаний. Лишние колебательные
могут проникнуть в эксперимент из-за граничных условий на
или зажиме структуры. Это может потребовать прикрепле-
0% структуры к массивному основанию.
Еше один фактор — число значимых цифр, необходимое для
точного измерения. Например, при построении отображений Пуан-
дое по цифровым регистрациям данных 8-битовое представление
дожег оказаться недостаточно тонким, и придется перейти на элек-
электронику с 12 или большим числом разрядов. В некоторых наших
?спериментах с отображениями Пуанкаре мы получили лучшие ре-
результаты с помощью аналоговых приборов, подобных хорошему
далоговому запоминающему осциллографу, чем с 8-разрядным ци-
цифровым осциллографом; это особенно касается разрешения тонкой
структуры отображений.
ШИРИНА ПОЛОСЫ ЧАСТОТ
В большинстве экспериментов с жидкостями, твердыми телами
I реагирующими смесями результаты измерений можно рассматри-
ить как бесконечномерные непрерывные множества. Однако для
объяснения основных особенностей хаотических или турбулентных
ряжений системы часто пытаются получить математическую мо-
модель с небольшим числом степеней свободы. Обычно это делают,
проводя измерения лишь в нескольких местах объема, занятого не-
непрерывной средой, или ограничивая полосу частот, в которой ис-
исследуется хаос. Это особенно важно, когда данные о скорости, не-
необходимые для построений в фазовом пространстве, должны быть
долечены из наблюдения эволюции поля деформаций. При этом
мектронное дифференцирование усиливает высокочастотные сигна-
сигналы, которые не могут представлять интерес в данном эксперимен-
эксперименте. Поэтому часто возникает необходимость в электронных фильт-
фильтрах очень высокого качества, особенно таких, которые в рассмат-
рассматриваемом диапазоне частот создают малый (или нулевой) сдвиг
фаз.
4.4. ИЗМЕРЕНИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Мы отмечали в гл. 2, что хаотические динамические процессы
легче всего распознать и изучить, наблюдая за ними в фазовом
пространстве. В динамике частиц это пространство, координатами
которого являются положение и скорость для каждой независимой
степени свободы. В задачах с внешним возбуждением еще одним
134 Глава 4
измерением фазового пространства становится время. Так, при пе-
периодическом возбуждении осциллятора с двумя степенями свобо-
свободы, обобщенные координаты которого (qx(t), q2(t)), фазовое про-
пространство представляет собой набор переменных (я x,q vq г,A г, «/),
где w — частота возбуждения.
Если проводятся измерения только перемещения q if), возникает
необходимость в дифференцирующем устройстве. Если измеряется
скорость, то фазовое пространство строится как совокупность
(i/, \vdt), требующая использования интегрирующего устройства
Уже отмечалось, что при изготовлении интегратора или дифферен-
дифференцирующей цепи следует позаботиться, чтобы в рассматриваемом
диапазоне частот не искажались ни фаза, ни амплитуда.
В задачах с электронными или электрическими цепями перемен-
переменными, описывающими состояние, могут быть ток и напряжение. В
задачах о конвекции жидкости существенными переменными явля-
являются температура и скорость.
ИЗМЕРЕНИЯ В ПСЕВДОФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Во многих экспериментах удается измерить только одну пере-
переменную \x(tx),x(t^), . . .), где/, иB — моменты времени измере-
измерений (не следует путать их с итерациями отображения Пуанкаре
Когда приращение времени постоянно, т.е. t2 = t x + г и т.д., по
строения в псевдофазовом пространстве можно провести, пользу-
пользуясь значениями х (t) и измерениями в прошедший (или последую-
последующий) момент времени:
(x(t),x(t — т)) или (x(t),x(t + т)) — двумерное фазовое про-
пространство,
(x(t), x(t - т), x(t — 2т)) — трехмерное фазовое пространство.
Можно показать, что если траектория замкнута в фазовом про-
пространстве переменных (х,х), то она будет замкнутой и в перемен-
переменных (x(t),x(t - т)) (при цифровой регистрации переменных следу-
следует соединять последовательно получаемые точки), как показано на
рис. 4.4. Аналогично и траектории, хаотические в пространстве (•*,
х), сохраняют это свойство в переменных (x(t),x(t - т)). Построе-
Построения в псевдофазовом пространстве можно провести либо после экс-
эксперимента, используя компьютер, либо в ходе эксперимента, ис-
используя цепь опроса и задержки.
Одна из сложностей возникает при построении сечения Пуанка-
Пуанкаре в псевдофазовом пространстве. Если, например, в системе при-
присутствует естественный масштаб времени, как при вынужденном
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний 135
Рис. 4.4. Периодическая траектория
динамической системы третьего по-
порядка, изображенная в псевдофазовом *<') \ / Периодическая
пространстве. Ч_-/ траектория
периодическом движении с частотой ш, то интервал времени между
измерениями г обычно выбирается намного меньшим периода воз-
возбуждения, т.е. т ¦< 2т/а> з Т. Если т не является целой долей Т, то
отображения Пуанкаре могут потерять часть своей тонкой фрак-
фрактальной структуры.
4.5. БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ
Как обсуждалось в гл. 2, одним из признаков приближения ди-
динамической системы к хаотическому режиму является серия измере-
измерений характера периодического движения по мере изменения некото-
некоторого параметра. В типичном случае осциллятора с одной степенью
свободы, при приближении управляющего параметра к значению,
критическому для хаотического движения, возникают субгармони-
субгармонические колебания. В «логистическом уравнении», ставшем теперь
классическим примером, возникают ряды колебаний с периодом 2
(см. A.3.6)). Явление внезапной перестройки движения при измене-
изменении параметра называется бифуркацией. На рис. 4.5 приведен при-
пример экспериментальной бифуркационной диаграммы. Такие диа-
диаграммы получаются в эксперименте с помощью временной выбор-
выборки измерений движения, как при построении отображения Пуанка-
Пуанкаре, и отображения этой выборки на осциллографе, как показано на
рис. 4.5. Здесь по горизонтальной оси откладывается величина
управляющего параметра, например амплитуда или частота воз-
возбуждения, а по вертикальной — значения координаты из временной
выборки. По сути дела эта диаграмма описывает целую серию экс-
экспериментов, каждый из которых проводится при определенном
значении управляющего параметра. Такую диаграмму можно полу-
получить довольно быстро, если есть возможность автоматического из-
изменения управляющего параметра, например с помощью компью-
компьютера и преобразователя цифрового сигнала в аналоговый. Необхо-
136
Глава 4
Периодический
режим
v
Периодический
режим
l| Хаотический режим
Амплитуда возбуждения
Рис. 4.5. Экспериментальная бифуркационная диаграмма колебаний продольно изо-
изогнутого стержня — выборки Пуанкаре иэгнбного смешения как функция амплитуды
возбуждающего колебания.
димо, однако, проявить достаточную осторожность и убедиться,
что после каждого изменения управляющего параметра успевают
затухнуть переходные процессы.
На бифуркационной диаграмме рис. 4.5 непрерывные горизон-
горизонтальные линии соответствуют периодическому движению различ-
различных субгармоник. Значения внутри областей, очерченных штрихо-
штриховыми линиями, соответствуют хаотическим режимам. На этой диа-
диаграмме ясно видна граница между хаотическим и периодическим
движениями.
При автоматизации таких измерений иужио позаботиться, что-
чтобы не принять квазипериодическое движение за хаотическое. Ото-
Отображения Пуанкаре остаются очень полезным инструментом отде-
отделен и ч квазипериодических и хаотических движений.
4 е>. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ
Построение отображения Пуанкаре — один из основных мето-
методов выявления хаотических колебаний в системах с небольшим чис-
числом степеней свободы (см. табл. 2.2). Напомним, что динамика
вынужденных колебаний механического осциллятора или LRC-цепи
с одной степенью свободы может быть описана в трехмерном фа-
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний
137
Входной
сигнал
\У\У
Сечение
Пуанкаре
Рис. 4.6. Вверху — моменты регистрации данных для отображения Пуанкаре прихо-
приходятся на постоянную фазу возбуждающего сигнала; внизу — геометрическая интер-
интерпретация сечений Пуанкаре в трехмерном фазовом пространстве.
зовом пространстве. Таким образом, если* (/) — смещение, то (х,
х, of) представляет собой точку в фазовом пространстве с цилин-
цилиндрической системой координат, где ф = wt есть фаза периодическо-
периодического возбуждения. Отображение Пуанкаре такой системы состоит из
цифровой выборки точек в трехмерном пространстве, например
(x(tn),x (tn), wtn = 2irw). Как обсуждалось в гл. 2, это отображе-
отображение можно рассматривать как разрез тора (рис. 4.6).
Есть несколько способов таких построений в эксперименте. Если
используется запоминающий осциллограф, то отображения Пуан-
Пуанкаре получаются посредством повышения яркости изображения на
экране при определенных значениях фазы напряжения возбуждаю-
возбуждающего сигнала (иногда этот метод называется модуляцией по оси z)
(рис. 4.1). В нашей лаборатории удавалось генерировать импульсы
напряжения амплитудой 5—10 В и длительностью 1—2 мке в те
моменты, когда возбуждающий сигнал проходил определенные
значения фазы, а именно:
O)tn = ф0 + 2*77. D.6.1)
Затем эти импульсы использовались для повышения яркости
изображения на фазовой плоскости (х (t), x(t)) с помощью пары
Усилителей по вертикали, что позволило получить рис. 4.7.
138
Глава 4
Рис. 4.7. Пример экспериментального отображе-
отображения Пуанкаре при периодическом возбуждении
изогнутого стержня.
Можно также применить цифровой осциллограф в режиме
внешнего определения частоты опроса с помощью того же узкого
импульсного сигнала, который использовался в аналоговом осцил-
осциллографе. Подобный метод можно использовать, применяя преоб-
преобразователь аналогового сигнала в цифровой и храня результаты из-
измерений в памяти компьютера для их отображения на более по
зднем этапе. При этом важно, чтобы сигнал включения опроса был
в точности сфазирован с возбуждающим сигналом.
Отображения Пуанкаре: изменение фазы. Мы уже говорили в
гл. 2, что хаотические траектории в фазовом пространстве частот
можно распутать с помощью отображения Пуанкаре, строя набор
изображений при разных фазах ф0 в соотношении D.6.1) (рис. 4.8.)
Это равносильно повороту плоскости Пуанкаре на рис. 4.6. Хотя
для обнаружения фрактальной структуры аттрактора можно обой-
обойтись и одним отображением Пуанкаре, для получения полной ха-
характеристики аттрактора, на котором происходит движение, иног-
иногда приходится получать полный набор отображений с фазой ф0, из-
изменяющейся от 0 до 2т.
Серия изображений различных сечений хаотического движения
на разрушенном торе в трехмерном фазовом пространстве показа-
показана на рис. 4.8. Обратите внимание на симметрию отображений, по-
полученных в частном случае изогнутого стержня (см. рис. 4.5) для
фаз ф = 0 и 180°.
Отображения Пуанкаре: эффекты затухания. Если затухание в
системе недостаточно сильно, точки хаотического аттрактора бу-
будут стремиться однородно заполнить некоторую область фазового
пространства и структура канторовского множества, характерная
для странного аттрактора, не проявится. На рис. 2.11 показан при-
пример такой ситуации при колебаниях изогнутого стержня. Сравнение
отображений Пуанкаре, полученных при слабом и сильном затуха-
затухании, показывает, что иногда усиление затухания может вызвать по
явление фрактальной структуры.
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний
139
-48°
-90*
138»
Рис. 4.8. Отображения Пуанкаре на хаотическом аттракторе изогнутого стержня
при разных фазах возбуждающего сигнала.
В то же время если затухание слишком сильно, слои канторов-
ского множества могут оказаться стягивающимися в линию. Влия-
Влияние затухания на отображения Пуанкаре и фрактальную размер-
размерность обсуждается в гл. 6.
Отображения Пуанкаре: квазипериодические колебания. Часто
то, что кажется хаотичным, вполне может быть просто суперпози-
суперпозицией двух гармонических движений с несоизмеримыми частотами,
например
x{t) = A cos (о>, / + фх) + В cos (w2t + Ф2), D.6.2)
140
Глава 4
Рациональное ы, /ь>2
Иррациональное ы, /ы2
/>uc. 4.9. Отображение Пуанкаре для движения, состоящего из двух гармонических
колебаний с разными частотами.
где ш,/ш2 — иррациональное число. Выборка для построения ото-
отображения Пуанкаре может быть задана по одной из этих частот,
например ш,/„ = 2vti. Тогда точки фазового пространства (*('„),
x(tn)) заполнят замкнутую линию эллиптической формы (рис. 4.9).
Если отношение ы,/ш2 рационально, то отображение Пуанкаре бу-
будет иметь вид конечного набора точек. Случай иррационального
w,/w2 можно рассматривать как движение на торе, т.е. фигуре в
форме бублика в трехмерном фазовом пространстве.
Если в движении присутствуют три или более несоизмеримых
частоты, то мы можем не увидеть аккуратной замкнутой кривой
отображения Пуанкаре, и следует обратиться к спектру Фурье. С
помощью фурье-спектра сигнала можно также обнаружить разницу
между хаотическим и квазипериодическим движениями. Квазипери-
Квазипериодическому движению будет соответствовать несколько хорошо
выраженных пиков, подобных показанным на рис. 4.10. Хаотиче-
Рядом с пиками указаны тип
Рис. 4.10. Спектр Фурье электрического сигнала, полученного в эксперименте с
цепью с нелинейной индуктивностью [18] (The American Physical Society, © 1984).
Частотные компоненты представляют собой линейные комбинации двух частот.
Экспериментальные методы изучения хаотических холебаний 141
ские сигналы часто имеют широкий спектр фурье-компонент, пока-
показанный на рис. 2.7.
ОТОБРАЖЕНИЯ ПУАНКАРЕ. ПОСТРОЕННЫЕ ПО ПОЛОЖЕНИЯМ
Когда экспериментатор не располагает естественными часами
системы, подобными периодическому возбуждению, для получения
отображения Пуанкаре приходится применять более сложные мето-
методы (см. также [69]).
Пусть движение представлено траекторией в трехмерном про-
пространстве с координатами (x,y,z). Для построения отображения
Пуанкаре мы пересекаем траекторию плоскостью, уравнение кото-
которой имеет вид
ах + by + cz = d, D.6.3)
как показано на рис. 4.11. Отображение Пуанкаре состоит из тех
точек этой плоскости, в которых траектория проходит сквозь нее с
определенной стороны (т.е. если мы определим лицевую и заднюю
стороны плоскости D.6.3), то следует фиксировать только те точки
траектории, в которых она проходит с лица на обратную сторону,
или наоборот, но не в обоих направлениях).
В эксперименте это можно сделать с помощью механического
или электронного индикатора уровня. Примеры отображений Пу-
Пуанкаре, построенных по положению, обсуждаются ниже.
В случае осциллятора с соударениями, изображенного на рис. 4.12,
имеются три удобные переменные, описывающие его состояние:
координата х, скорость v, а также фаза возбуждающего сигнала
ф = at. Если измерения проводятся в том положении, когда масса
наталкивается на упругий ограничитель, то отображение Пуанкаре
составляется набором значений (и*, ш /„), где и* — скорости до или
Рис. 4.11. Сечение Пуанкаре общего / \^*''^*<"^ Плоскость
положения для движения динамичес- S Пуанкаре
хой системы третьего порядка.
142
Глава 4
Упругий
ограничитель
Тензодатчик для
отображения Пуанкаре
Рис. 4.12. Схематическое изображение экспериментальной установки для построения
сечения Пуанкаре по положению.
после соударения, а /л — момент времени соударения. В этом слу-
случае точки отображения можно откладывать в цилиндрическом про-
пространстве с 0 < atn < 2т.
На рис. 4.12 показан пример экспериментальной установки для
получения отображения Пуанкаре для (уп, фп). Когда масса натал-
наталкивается на ограничитель движения, тензодатчик или акселерометр
выдают резкий сигнал. Этот сигнал можно использовать для вклю-
включения устройства запоминания данных (подобного запоминающему
или цифровому осциллографу), которое запоминает значение скоро-
скорости тела. (В случае, показанном на рис. 4.12, для измерения поло-
положения используется линейный дифференциальный трансформатор,
• v,-&v
Puc. 4.13. Отображение Пуанкаре, по-
построенное по положению осциллирую-
осциллирующей массы с упругими ограничителями
движения (см. рис. 4.12).
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний
143
0 его сигнал дифференцируется электронным устройством для по-
получения скорости.) Для определения фазы ф„, изменяющейся между
О и 2т, мы генерировали периодический пилообразный сигнал, на-
находящийся в фазе с сигналом возбуждения, причем минимальное
нулевое значение соответствовало ф = 0, а максимальное напряже-
напряжение — Ф = 2т. Генерируемый столкновением резкий импульс на-
напряжения используется для включения запоминающего устройства,
которое фиксирует значение пилообразного напряжения, а также
величину скорости до или после удара. Отображение Пуанкаре для
массы, отскакивающей от двух упругих стенок, которое получено с
помощью техники (vn, фп), показано на рис. 4.13.
Еще один пример установки такого же типа для построения
отображения Пуанкаре хаотических вибраций двигателя показан на
рис. 4.14. В этом примере двигатель характеризуется нелинейным
Цифровой
осциллоскоп
Генератор
пилообразного
напряжения
Щель в пластине
Генератор
синусоидального
сигнала
Шаговый
двигатель с
4 катушками
возбуждения
Рис. 4.14. Схема экспериментальной установки для получения отображений Пуанка-
Пуанкаре по положению для периодически возбуждаемого ротора с нелинейным соотноше-
соотношением крутящего момента и угла поворота.
144
Глава 4
соотношением крутящего момента и угла поворота, которое созда-
создается постоянным током в одном из полюсов статора, а ротор с по-
постоянным магнитом вращается благодаря синусоидальному момен-
моменту, который создается переменным током в соседней катушке. Это
устройство описывается уравнением
J9 + ув + х sin в = Fo cos 0 cos oat. D.6.4.)
Для получения отображения Пуанкаре мы выбрали плоскость в
трехмерном пространстве (в, в, ш(), на которой в = О (рис. 4.14).
Экспериментально это осуществляется с помощью щели в тонком
диске, насаженном на ось ротора, и светодиода с детектором, ко-
которые генерируют импульс напряжения каждый раз, когда ротор
пересекает плоскость 0 = 0 (см. рис. 4.14). Затем этот импульс ис-
используется для регистрации скорости и фиксирования времени. По-
Полученные данные можно вывести непосредственно на запоминаю-
запоминающий осциллограф или же с помощью компьтютера их можно пере-
перевести в полярные координаты, как показано на рис. 4.1S.
Рис. 4. IS. Отображение Пуанкаре, построенное по положению для хаотического ре-
режима нелинейного ротатора (см. рис. 4.14).
Экспериментальные методы изучения хаотических холебаний
¦oft
Нелинейная
индуктивность
V,
Rt Измеритель
тока
о Заземление
Линейный вибратор
(а)
145
С
\
/|
(б) Ч 1в) ч_
Рис. 4.16. Отображения Пуанкаре, построенные по максимуму магнитного потока
для электрической цепи с нелинейной индуктивностью A8] (The American Physical
Society, © 1984).
Другой вариант метода сечения Пуанкаре заключается в регист-
регистрации данных в те моменты, когда какая-либо переменная достига-
достигает максимального значения. Этот способ применяли Брайант и
Джеффрис [18] из Калифорнийского университета в Беркли. Они
изучали динамику показанной на рнс. 4.16 цепи с нелинейной индук-
индуктивностью, железный сердечник которой обнаруживал гистерезис.
(Нелинейные свойства создаются ферромагнитным материалом ин-
индуктивности.) Ток через индуктивность /L(t) и возбуждающее на-
напряжение Vs(t) измерялись в те моменты, когда VL = 0. Это рав-
равносильно измерению пикового значения потока <р через катушку ин-
индуктивности. Действительно, VL = —ф, где <р — магнитный поток
в индуктивности, а у = <р(Г), так что при ф = 0 поток максимален
или минимален. Тогда отображение Пуанкаре составляется из на-
набора пар точек (VSn, ILn), который можно вывести на запоминаю-
запоминающий или цифровой осциллограф.
ПОСТРОЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ АТТРАКТОРОВ
В ряде экспериментальных и численных примеров притягиваю-
притягивающее множество имеет вид набора слоев в некотором трехмерном
10-151
146
Глава 4
Притягивающая
поверхность
Плоскость
Пуанкаре
Траектория
Рис. 4.17. Построение одномерного возвратного отображения в трехмерном фазо-
фазовом пространстве.
фазовом пространстве, как изображено на рис. 4.17. (Одним из та-
таких примеров являются уравнения Лоренца A.3.9).) Часто это озна-
означает, что отображение Пуанкаре, получаемое путем регистрации
последовательности точек, в которых траектория проходит сквозь
некоторую плоскость поперек аттрактора, будет иметь вид набора
точек, располагающихся вдоль некоторой линии. Поэтому если
удастся параметризовать эти лежащие на линии точки с помощью
некоторой переменной х, то, возможно, окажется, что существует
функция, которая связывает хп +, с хп :
*„ + , =/(*„)•
Эту функцию (называемую возвратным отображением) можно най-
найти без труда, откладывая хп + 1 в зависимости отх„. Пример такого
построения можно найти в опытах Шоу [171] с протекающим кра-
краном (см. рис. 3.39) или в опытах с нелинейной цепью, показанной
на рис. 3.32 (см. также [175]). Существование такой функции/(х)
указывает, что такие математические свойства одномерных ото-
отображений, как удвоение периода и автомодельность Фейгенбаума,
иногда могут использоваться для объяснения, предсказания и по-
постановки экспериментальных наблюдений более сложных физиче-
физических систем.
В некоторых случаях график функции/ (х), когда она существу-
существует, оказывается самопересекающейся или довольно запутанной ли-
линией. Это может указывать на то, что функцию этого отображения
можно упростить, описывая динамику в объемлющем пространстве
большего числа измерений с использованием трех последователь-
Экспериментальные методы изучения хаотических холебаннй 147
яых измерений на сечении Пуанкаре, [* (/„),*(/„ + ,),* ('n + 2)J- Трех-
Трехмерную структуру искомого соотношения иногда можно выявить,
изменяя угол проекции трехмерной кривой на плоскость экрана
компьютера. Может оказаться подходящим частный случай дву-
двумерного отображения вида
Хп+2 = J (Х
ИЛИ
Такое отображение подобно отображению Энона A.3.8). Этот ме-
метод успешно использовался при изучении цепей с р — л-переходом
[202] и цепи с варикапным диодом, сопротивлением н индуктивно-
индуктивностью, возбуждаемой синусоидальным сигналом [16].
ДВОЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ
До сих пор мы говорили об отображениях Пуанкаре только для
систем третьего порядка, например с одной степенью свободы и
внешним возбуждением. Какими же свойствами обладают системы
более высокого порядка, движение которых происходит в четырех-
или пятимерном фазовом пространстве? Примером может служить
автономная аэроупругая система с двумя степенями свободы, дви-
движение которой описывается в четырехмерном фазовом пространст-
пространстве (лг,, vvx2, v2) или, полагая л-, к х, в пространстве (x{t),x (/ —
- т), х (t - 2т), х (t - Зт)). Отображение Пуанкаре, полученное за-
заданием одной из переменных состояния, представляется совокуп-
совокупностью точек в трехмерном пространстве. Фрактальные свойства
такого отображения — если они присутствуют — могут не прояв-
проявляться явным образом в трех измерениях и наверняка не будут за-
заметны в проекции этого трехмерного отображения на плоскость
вдоль одной из оставшихся переменных.
В нашей лаборатории разработан метод обнаружения фракталь-
фрактальных свойств трехмерных отображений Пуанкаре, который мы на-
называем двойным сечением Пуанкаре (рис. 4.18). Этот метод позво-
позволяет выделить в трехмерном отображении слой конечной толщины
с тем, чтобы выявить фрактальные свойства аттрактора и тем са-
самым понять, является ли он «странным» (см. [142]).
Поясним этот метод на примере вынужденного движения изо-
изогнутого стержня. Для этого рассмотрим систему с двумя возбужда-
возбуждающими воздействиями на несоизмеримых частотах. Соответствую-
148
д*г
А /
У \У
Ал А 1
/Vvv
fix JK
V/ x <
\/ \f \J t
D.6.5)
Рис. 4.18. Вверху — простое отображение Пуанкаре динамической системы (показа*
но сечение конечной толщины для второго сечения Пуанкаре); внизу — напряжения
для построеиия отображения Пуанкаре осциллятора второго порядка, возбуждаемо-
возбуждаемого двумя гармоническими сигналами.
щая математическая модель1* имеет вид
х = у,
У = ~УУ + F(x) +/,cos0, +/2cos @2 - <р(),
0, = «,,
02 = «2.
Экспериментальная установка для получения двойного отобра-
отображения Пуанкаре показана на рис. 4.19. Возбуждающие сигналы со-
'• Одним из важных путей к хаосу в многомерных динамических системах, по-
подобных термогидродинамическим, является возникновение колебаний на двух пре-
предельных циклах бифуркация Хопфа), которое приводит к квазипериодическому дви-
движению. Этот процесс обсуждался в гл. 2. Динамика такого движения моделируется
течением на торе, и возникающие сечения Пуанкаре имеют вид замкнутых круговых
дуг. Несмотря на важность квазипериодических колебаний для хаотической динами-
динамики, они мало исследованы в других системах, кроме гидродинамических. Именно по
этой причине мы решили изучить квазипериодические колебания в такой нелинейной
структуре, как изогнутый стержень.
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний
149
1-й
осциллятор |Л
Суммирующее
V/ устройство
2-й
осциллятор
—LJ-tU—
X
Усилитель
Вибростенд f
мощности
п
1 Г L
= А+В
Генераторы
прямоугольных
импульсов
№•2
"LT
Магниты
Бесселевы Дифференцирующее
фильтры устройство Мост
№2
| тензодатчи!
Осциллоскоп ¦ Усилитель
Цепь прямоугольных
импульсов
т z
Рис. 4.19. Схема экспериментальной установки для получения отображения Пуанка-
Пуанкаре осциллятора с двумя возбуждающими частотами [142] (Eisevier Science Publishers,
© 1985). 1 — тензодатчики, 2 — стальной стержень.
здавались одинаковыми генераторами и складывались электрон-
электронным устройством. Результирующий квазипериодический сигнал за-
затем подавался на усилитель мощности, подключенный к электро-
электромагнитному вибростенду.
Первое отображение Пуанкаре генерировалось с помощью запу-
запускающего импульса длительностью 1 мкс, синхронизованного с од-
одним из гармонических сигналов. Как видно на рис. 4.20, а, отобра-
отображение Пуанкаре (х„, vn), полученное с помощью одного триггера,
имеет размытый вид без какой-либо структуры. Для получения
второго сечения Пуанкаре мы включали регистрирующие устройст-
устройства синхронно с фазой второго возбуждающего сигнала. Однако ес-
если ширина импульса слишком мала, то очень низка вероятность
совпадения с точками, выделенными первой последовательностью
импульсов. Поэтому мы установили длительность второго импуль-
импульса в 1000 раз большей, чем первого, т.е. 1 мс. Длительность этого
импульса составляет менее 1% периода второго возбуждающего
колебания. Значения (х, v) запоминались, только когда первый им-
импульс совпадал со вторым, как показано на рис. 4.18. Это делалось
Рис. 4.20а. Обычное отображение Пуанкаре нелинейного осшшлятора с двумя возбуждающими частотами.
о
Положение
Рис. 4.206. Двойное отображение Пуанкаре, которое обнаруживает фрактальную структуру, характерна
для странного аттрактора.
152 Глава 4
с помощью цифрового устройства с логическим элементом НЕ—
И. Из-за редкости совпадений этих событий на получение отобра-
отображений из 4000 точек уходило более чем по 10 ч, в то время как для
получения обычного отображения Пуанкаре хватало 8—10 мин, ес-
если частота возбуждения не превышала 10 Гц.
Экспериментальные результаты, полученные этим методом,
приведены на рис. 4.20, где сравниваются простое и двойное ото-
отображения Пуанкаре для задачи с двумя возбуждающими частота-
частотами. Простое отображение размыто, а двойное сечение выявляет
структуру, подобную фрактальной, характерной для странного ат-
аттрактора.
Конечно, этот метод можно обобщить на задачи с фазовым
пространством с пятью и большим числом измерений. Однако ве-
вероятность совпадения трех или более событий будет очень мала, и
они будут редки, если только частоты не превышают по порядку
величины 1—10 Гц. Такие отображения высоких порядков могут
быть полезны в задачах с нелинейными электрическими цепями.
Описанный метод можно использовать и при численном моде-
моделировании, как это сделал Лоренц [116] для исследования странно-
странного аттрактора в системе обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений четвертого порядка. С помощью этого метода также изучалась
динамика подталкиваемого двойного ротора [94], где ои назывался
методом «сечения Лоренца» (см. также [95]).
4.7. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕРЫ ХАОТИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ
Если можно получить отображения Пуанкаре и фазовые портре-
портреты, они часто дают наглядные свидетельства хаотического пове-
поведения и фрактальной структуры странных аттракторов. Однако
также важны количественные меры хаотической динамики, и во
многих случаях только они дают твердые указания на хаос. Это
особенно справедливо для систем с сверхвысокими частотами
106—109 Гц (например, лазерных систем), где получить отображе-
отображения Пуанкаре бывает трудно или невозможно. Кроме того, сущест-
существуют системы с множеством степеней свободы, для которых ото-
отображение Пуанкаре не обнаружит фрактальную структуру аттрак-
аттрактора на двойном или множественном сечении, или системы со
столь слабым затуханием, что отображение Пуанкаре не имеет вы«
раженной структуры, а представляется аморфным облаком точек.
На настоящем этапе развития этой области в нашем распоряже-
распоряжении имеются три основные меры хаоса, а четвертая только приоб»
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний 153
летает существенное значение:
а) распределение частот в фурье-спектрах;
б) фрактальная размерность хаотического аттрактора;
в) показатели Ляпунова;
г) инвариантное распределение вероятности на аттракторе.
Необходимо отметить, что фазовые портреты и отображения
Пуанкаре можно получать непосредственно на лабораторных элек-
электронных устройствах, в то время как перечисленные меры хаоса —
за исключением, возможно, измерений частотных спектров — тре-
требуют численного анализа результатов измерений. Имеются и элек-
электронные анализаторы спектров, но они обычно дороги, и, вероят-
вероятно, лучше вложить деньги в лабораторный микро- или мини-ком-
мини-компьютер, который поможет осуществить и другие процедуры обра-
обработки данных, помимо преобразования Фурье.
Если вы намерены предпринять цифровую обработку измерений
хаотического движения, то, скорее всего, потребуется преобразова-
преобразователь аналогового сигнала в цифровой, а также какие-нибудь
средства хранения данных. Например, отцифрованные данные мо-
могут храниться в буфере аналого-цифрового устройства, а затем пе-
передаваться на компьютер непосредственно или по телефонным ли-
линям. Другая возможность — цифровой осциллограф, который
щюизводит аналого-цифровое преобразование, графически отобра-
отображает данные на осциллографе и запоминает их на гибком диске.
Последняя возможность часто ограничивается возможностью запи-
записи только восьми 4000-битовых массивов.
И наконец, если вам хватает средств, можно запоминать резуль-
результат аналого-цифрового преобразования непосредственно на жест-
жестком диске и прямо передавать его в лабораторный компьютер.
ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ — БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
До сих пор этот метод распространен наиболее широко, по-
поскольку идея разложения непериодического сигнала в набор синусо-
синусоидальных, или гармонических, сигналов широко известна среди уче-
ученых и инженеров. В этом методе делается предположение, что пе-
периодический или непериодический сигнал можно представить в виде
комбинации синусоидальных или косинусоидальных колебаний:
/(О = ^-\F{a)e'-Va, D.7.1)
гдее'и/ = cos at + i sin wt.
Поскольку функция F («) часто оказывается комплексной, в гра-
134
Глава 4
фических представлениях часто используется ее абсолютная величи-
величина \F(w)\. Практически для вычисления IF(o>)l по результатам экс-
эксперимента в ходе изменения какого-либо экспериментального пара-
параметра (см. гл. 2) используется некоторое электронное устройство
или компьютер. Когда движение периодично или квазипериодично,
функция \F(u)\ имеет ряд узких пиков или спектральных линий,
указывающих, что сигнал можно представить дискретным набором
гармонических функций (е**') с к = 1, 2, .... Однако при приб-
приближении к хаотическому режиму появляется непрерывное распреде-
распределение частот, подобное показанному на рис. 4.21, в, а в полностью
развитом хаотическом режиме непрерывный спектр может преоб-
преобладать над дискретными пиками.
В общем случае F(w) является комплексной функцией ш, и для
спектрального разложения определенных классов сигналов/(/) ин-
интегрирование в D.7.1) следует проводить вдоль некоторых путей Г
на плоскости комплексного ш. Даже на быстродействующем
компьютере численное вычисление/7 (ш) по данному/(/) часто зани-
занимает много времени. Впрочем, большинство современных спектр»
анализаторов используют дискретный аналог соотношения D.7.1) в
сочетании с эффективным алгоритмом, называемым быстрым пре-
преобразованием Фурье (БПФ). Если задан набор измерений, снятых в
Спектр мощности
-СО
U)
-100,
Частота
la)
100 Гц
1 1
Автокорреляционна;
к
функц
yv/N/
ЛЯ
0 Время корреляции 1 с
(б)
Рис. 4.21. а — Фурье-спектр хаотического сигнала; б — автокорреляционная функ-
функция хаотического сигнала.
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний 155
дискретные равномерно распределенные интервалы времени
tf(tk) =/0./i./j Л fn]> то бпф в дискретном времени
определяется как
N
T(J) = ? /(/)e-2«(/-ix^-i)/N D.7.2)
где/ и J — целые числа.
Следует сделать несколько замечаний, которые могут показать-
показаться очевидными. Во-первых, измерения/(О проводятся через фикси-
фиксированный интервал времени т0, поэтому теряется информация о ча-
частотах, превышающих 1/2т0. Во-вторых, в расчетах используется
только конечный набор точек, обычно ЛГ = 2я, и некоторые встро-
встроенные схемы БПФ учитывают массивы только cN = S12 или 1028
элементами. Поэтому теряется информация об очень низких часто-
частотах ниже \/Nr0. И наконец, представление D.7.2) не включает ин-
информацию о значениях/(/) до момента/ = /0 и после/ = tN, и, по
сути дела, функция/(О воспринимается как периодическая. В об-
общем случае это неверно, и, поскольку/(/„) *f(tN), при преобразо-
преобразовании Фурье эта непериодичность воспринимается как разрыв, при-
привнося в F (и) фиктивные особенности. Они называются ошибками
обрезания, и существуют методы минимизации их вклада bF(u).
Однако читатель, использующий БПФ, должен помнить об этом
при интерпретации спектров Фурье непериодических сигналов, и
ему следует подробнее познакомиться с БПФ по руководствам по
обработке данных.
Автокорреляционная функция. Другим методом обработки сиг-
сигнала, связанным с преобразованием Фурье, является получение ав-
автокорреляционной функции, определяемой как
А(Т) = \ x(t)x(t + T)dt.
о
Когда сигнал хаотичен, информация о его истории теряется. Это
означает, чтоЛ (т) — 0 при т — да, т.е. сигнал обнаруживает кор-
корреляцию только со своим недавним прошлым. Рис. 4.21, б поясня-
поясняет это на примере хаотических колебаний изогнутого стержня.
Спектр Фурье обнаруживает широкую полосу частот, а автокорре-
автокорреляционная функция тем временем имеет максимум в начале коорди-
координат т = 0 и быстро затухает со временем.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Я не буду вдаваться в излишние подробности о фрактальных
размерностях, поскольку гл. 6 полностью посвящена этой теме.
156 Глава 4
Скажу только, что основная идея — это оценить степень «странно,
сти» хаотического аттрактора. Если взглянуть на отображение Пу
анкаре типичного странного аттрактора малой размерности типа
изображенного на рис. 4.8, мы увидим множество точек, располо.
женных вдоль параллельных линий. Эта структура сохраняется, ее.
ли увеличить малую область аттрактора. Как упоминалось в гл. 2,
такая структура странного аттрактора отличается от картины, ха.
рактерной для периодических движений (просто конечный набор
точек Пуанкаре) или квазипериодических колебаний, когда отобра-
жение Пуанкаре представляется замкнутой кривой. Характеризуя
такие отображения Пуанкаре, можно сказать, что размерность пе-
периодического отображения равна нулю, а размерность квазиперио-
квазипериодического отображения — единице. Идея расчета фрактальной раз-
размерности заключается в приписывании некоторой размерностнов
меры канторовским множествам точек, составляющим странный
аттрактор. Если бы эти точки равномерно заполняли некоторую
область на плоскости, мы могли бы сказать, что размерность этой
области равна двум. Поскольку хаотическое отображение на
рис. 4.8 имеет бесконечный набор пустых интервалов, его размер*
ность заключена между единицей и двойкой — отсюда и термин
«фрактальная», т.е. дробная размерность.
В общем случае множество точек Пуанкаре на странном аттрак-
аттракторе не покрывает подпространство целой размерности (иа рис. 4.8
это подпространство — плоскость).
Другим применением фрактальной размерности является оценка
наименьшей размерности фазового пространства, в котором можно
описать данное движение. Например, для некоторых предтурбу-
лентных конвективных течений в ячейке Рэлея — Бенара (см.
рис. 3.1) фрактальную размерность хаотического аттрактора мож-
можно найти как некую меру движения [х (tn) s хп] (см. [123]). Из по-
последовательности [хп] можно составить псевдофазовые пространст-
пространства разных размерностей (см. разд. 4.4). Численные расчеты пока-
показывают, что фрактальная размерностью/ приближается к асимпто-
асимптотическому значению d — 3,5, если размерность псевдофазового
пространства равна по меньшей мере четырем. Это указывает на
то, что приближения низкого порядка в уравнении Навье — Стокса
нельзя использовать для моделирования такого движения.
Дальнейшие детали читатель найдет в гл. 6. Возможности вы-
вычисления фрактальных размерностей аттракторов, превышающих
четыре или пять, вызывают вопросы, но в применении к маломер-
маломерным хаотическим аттракторам эта методика приобретает все боль-
большую популярность у экспериментаторов. Если эта тенденция про-
продолжится, то, возможно, в будущем можно будет приобрести элек-
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний 157
^ вычислительные устройства, которые будут автоматиче-
автоматически находить фрактальные размерности, подобно тому как это де-
делается сейчас с БПФ.
ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА
Хаос в динамике означает чувствительность результата динами-
динамической эволюции к изменениям начальных условий. Если предста-
представить себе набор начальных условий, заполняющий в фазовом про-
пространстве сферу радиуса е, то траектории хаотического движения,
начинающиеся в этой сфере, отобразят ее на эллипсоид, большая
полуось которого растет как</ = cev, где постоянная X > 0 из-
известна как показатель Ляпунова. [Ляпунов A857—1918) был вели-
великим русским математиком и механиком.]
Ряд экспериментаторов, имеющих дело с хаотической динами-
динамикой, разработали алгоритмы вычисления показателя Ляпунова X.
Для регулярных движений X < 0, но в хаотических режимах X > 0.
Таким образом, знак X является критерием хаоса. Измерение пока-
показателя Ляпунова требует обработки данных с помощью компьюте-
компьютера. Были разработаны алгоритмы вычисления X по измерениям од-
одной динамической переменнойх(()с помощью построения псевдо-
фаэового пространства (см., например, [208]).
Более точное определение показателей Ляпунова и методов их
измерения приводится в гл. 5.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ, ИЛИ ИНВАРИАНТНЫЕ, РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если нелинейная динамическая система находится в хаотическом
состоянии, становится невозможным точное предсказание ее вре-
временной эволюции, поскольку малые неопределенности в начальных
условиях оборачиваются сильным расхождением орбит в фазовом
пространстве. Если присутствует затухание, то мы знаем, что хао-
хаотическая орбита лежит где-то на странном аттракторе. Когда от-
отсутствует точное знание положения орбиты, повышается интерес к
нахождению вероятности пребывания орбиты в определенной части
аттрактора. Напрашивается мысль определить в фазовом про-
пространстве плотность вероятности как статистическую меру хаоти-
хаотической динамики. Имеются некоторые математические и экспери-
экспериментальные указания на то, что такое распределение вероятности
существует и что оно не меняется со временем.
Чтобы получить эту функцию распределения, надо создать вре-
временную выборку измерений движения, которая достаточно велика,
чтобы считать, что хаотическая траектория уже прошла через
158
Глава 4
большую часть аттрактора. Этот минимальный размер выборку
можно оценить, наблюдая за отображением Пуанкаре и убеждаясь,
что аттрактор уже сформировался, а точки отображения заполнили
все его части. Затем фазовое пространство разбивается на ячейки в
с помощью компьютера подсчитывается число точек-измерений в
каждой ячейке.
32 ~
2000 измерений
Ofl
Ofl
Скорость
2000 измерений
Смещение
Рис. 4.22. Найденные в эхспернменте фунхции распределения вероятностей при хао-
хаотических колебаниях изогнутого стержня, усредненные по интервалу времени в не-
несколько тысяч периодов возбуждающего сигнала. Вверху — распределение скоростей
конца стержня; внизу — распределение положений конца стержня.
Экспериментальные методы изучения хаотических колебаний 159
На рис. 4.22 показан пример распределения плотности вероятно-
вероятности для хаотических колебаний изогнутого стержня. Здесь мы по-
построили проекции этого распределения на оси смешения и скоро-
скорости.
Распределение скоростей имеет форму, подобную классической
(досовской колоколообразной кривой (рис. 4.22, а). Распределение
смешений, напротив, обнаруживает два максимума вблизи двух по-
потенциальных ям (рис. 4.22, б). Это распределение подобно харак-
характерному для случайно возбуждаемого осциллятора с двумя потен-
потенциальными ямами [176]. Это указывает на вероятную возможность
расчета распределений плотности вероятности для детерминиро-
детерминированных хаотических систем методами теории случайных колебаний.
Распределения вероятностей играют в описании хаотических ко-
колебаний столь же полезную роль, что и для случайных колебаний
(см., например, [176] или [112]). Если удалось определить распреде-
распределение вероятностей хаотической системы, то можно найти средне-
среднеквадратичную амплитуду, среднее время между пересечениями нуля
я вероятности того, что смещение, электрическое или механическое
напряжение превысят некое критическое значение. Однако в этой
области многое еще предстоит сделать как с математической, так и
с экспериментальной стороны.
Вероятностные методы анализа хаотических колебаний разраба-
разрабатывали Хсу и его сотрудники из Калифорнийского университета в
Беркли [83—85, 96] (автор последней работы сейчас работает в
Штуттгарте). Этот метод, предполагающий деление фазового про-
пространства на множество ячеек, использует некоторые идеи теории
марковских процессов. Вероятностные методы, по-видимому, ока-
окажутся к месту в наступающем веке суперкомпьютеров, и их попу-
популярность может стать шире, если реализовать их в схеме парал-
параллельных численных расчетов.
5. Критерии возникновения
хаотических колебаний
Но вы спросите, хахим образом од-
однородный хаос мог сгуститься, сначала
нерегулярно, в неоднородные жилы или
массы, дабы образовать холмы.— Ука-
Укажите мне причины этого, и ответ, воз-
возможно, послужит для хаоса.
Исаак Ньютон. О Сотворении (из
письма, написанного охоло 1681 г.).
5.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы исследуем, каким образом параметры динами*
ческой системы определяют, будет ли ее движение хаотическим или
регулярным. Задача нахождения критических значений параметров,
при которых происходит смена режимов движения, аналогична на-
нахождению критической скорости вязкого течения жидкостей, выше
которой ламинарное течение переходит в турбулентное. Эта ско-
скорость, нормированная умножением на характерную длину и делени-
делением на кинематическую вязкость жидкости, известна под названием
числа Рейнольдса Re. Инженерам и физикам более столетия не уда-
удавалось получить надежное теоретическое значение Re, и для многих
задач гидромеханики (Re)KpHT приходится определять эксперимен-
экспериментально. Точно так же, экспериментально или с помощью численно-
численного моделирования, устанавливают критерии возникновения хаоса ¦
механических и электрических системах. Для таких систем поисж
критических парамеров возннкновення детерминированного хаоса
требует усилий как экспериментаторов, так и теоретиков.
Хотя экспериментально подтверждаемых теорий возникновения
хаотических колебаний существует не так много, все же теоретикам
удалось добиться некоторых значительных успехов и наметить не-
несколько общих направлений дальнейших исследований.
Критерии возникновения хаоса в физических системах подразде-
подразделяются на два типа: на прогностические правила, позволяющие
предсказывать возникновение хаоса, и на диагностические средства,
позволяющие устанавливать наличие или отсутствие хаоса.
Прогностическим правилом для предсказания возникновения ха-
хаотических колебаний мы называем такой критерий, который опре-
определяет совокупность входных или управляющих параметров, при-
приводящую к хаосу. Способность предсказывать возникновение хаоса
Критерия возникновения хаотических колебаний 161
в физической системе означает, что мы располагаем либо прибли-
приближенной математической моделью системы, из которой может быть
выведен критерий, либо экспериментальными данными, получен-
полученными на основе многочисленных испытаний.
Диагностическим критерием возникновения хаотических колеба-
колебаний мы называем тест, который по результатам измерений или об-
обработки данных позволяет определить, находилась или находится
ЛИ конкретная исследуемая система в состоянии хаотической дина-
динамики.
Мы начнем с обзора экспериментально установленных критери-
критериев для конкретных физических систем и математических моделей, в
которых возникают хаотические колебаний (разд. S.2). Эти крите-
критерии были установлены с помощью физических, и численных экспе-
экспериментов. Мы рассматриваем такие случаи по двум причинам. Во-
первых, для того, кто делает первые шагн в излучении хаотических
колебаний, полезно ознакомиться с несколькими системами, допу-
допускающими хаотическое поведение, и выяснить, при каких условиях
возникает хаос. Такие простые случаи позволяют разобраться в ус-
условиях возникновения хаоса в более сложных системах. Во-вторых,
при разработке теоретических критериев важно иметь некий тест
для сравнения теории с экспериментом.
В разд. 5.3 мы дадим обзор основных прогностических моделей,
позволяющих предсказывать возникновение хаоса. К их числу отно-
относится критерий удвоения периода, критерий существования гомо-
клинической траектории и критерий Чирикова перекрытия резонан-
сов для консервативного хаоса, а также критерии перемежаемости
и переходного хаоса. Кроме того, мы перечислим несколько част-
частных критериев, которые были разработаны для определенных клас-
классов задач.
Наконец, в разд. 5.4 мы рассмотрим одну важную диагностиче-
диагностическую характеристику, а именно показатель Ляпунова. Другую диа-
диагностическую характеристику — фрактальную размерность — мы
опишем в гл. 6.
5.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ХАОСА
Во многих вводных лекциях по хаосу, которые довелось прочи-
прочитать автору этой книги, время от времени всплывал вопрос: следу-
следует ли считать хаотические движения исключительными случаями
в реальных физических задачах или они встречаются в широком
диапазоне значений параметров! Для инженеров этот вопрос очень
важен. При проектировании машины илн сооружения необходимо
и-161
162 Глава 5
уметь предсказывать поведение системы. Выбрав параметры, при
которых возникает хаотический режим, инженер лишается возмож-
возможности предсказывать поведение системы. В прошлом многие строи-
строительные сооружения, электрические цепи и управляющие системы
проектировались с таким расчетом, чтобы рабочие значения пара,
метров оставались всецело в области линейной динамики. Но по*
требности современных технологий привели к тому, что рабочие
значения параметров переместились в область нелинейных режимов
(например, в область больших деформаций и отклонений в строи-
строительной механике), что увеличило возможность возникновения яв-
явлений хаотической динамики.
Чтобы ответить на вопрос, являются ли хаотические режимы
особыми случаями поведения реальных систем, мы рассмотрим
диапазон изменения параметров, в котором хаос возникает в не-
нескольких различных задачах. Беглый просмотр кривых, прилагае-
прилагаемых к каждому примеру, позволяет прийти к заключению о том,
что хаотическая динамика не является каким-то особым или исклю-
исключительным классом движений и что хаотические колебания возни-
возникают во многих нелинейных системах в широком диапазоне значе-
значений параметров.
Мы рассмотрим критические параметры возникновения хаоса в
следующих случаях:
а) цепь с нелинейной индуктивностью: уравнение Дуффинга;
б) частица в потенциале с двумя ямами или продольный изгиб
упругой балки: уравнение Дуффинга;
в) модель конвективной турбулентности малой размерности:
уравнения Лоренца;
г) колебания нелинейных связанных осцилляторов;
д) вращающийся магнитный диполь: уравнение маятника;
е) цепь с нелинейной емкостью;
ж) поверхностные волны в жидкости.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ:
УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА
В гл. 3 (рис. 3.13) мы ознакомились с хаотической динамикой
цепи с нелинейной индуктивностью. Обширная работа по аналого-
аналоговому и цифровому моделированию этой системы была проведена
И. Уэдой [197, 198] из университета в Киото. В безразмерном виде
уравнение может быть записано как
х + кх + х3 = В cost, E.2.1)
где х — ток в индуктивности. Время обезразмерено вынуждающей
Критерии возникновения хаотических колебаний
163
I—IV Периодические движения ЕЗ Tonw<o хаос
m/л Субгармонические движения Е—J Хаос и периодические движения
0.8
0.6
I I I 1 II I М
] I Г I I I I I I J I I I I
х + кх + х3 = в cos t
0 4/3
5. /. Диаграмма, показываюшаа области хаотических и периодических движений
да нелинейной цепи как функции безразмерного коэффициента затухания н ампли-
амплитуды вынуждающего напряжения [198].
частотой, поэтому вся динамика определяется двумя параметрами
к и В и начальными условиями ( лг(О), х@)). Здесь к — мера сопро-
сопротивления цепи, В — мера вынуждающего напряжения. Уэда обна-
обнаружил, что, варьируя эти два параметра, можно получить множе-
множество самых различных периодических, субгармонических, ультра-
ультрасубгармонических и хаотических движений. Области хаотического
поведения на плоскости ( к, В) показаны на рис. 5.1. Области суб-
субгармонического и гармонического движений имеют очень сложную
конфигурацию и на рис. 3.1 показаны далеко не все. Области, за-
заштрихованные двумя различными способами, соответствуют либо
чистому хаосу, либо таким значениям параметров, при которых в
зависимости от начальных условий возможен как хаос, так и перио-
периодическое движение. Теоретический критерий возникновения хаоса
для этого относительно простого уравнения пока не найден.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЕ
С ДВУМЯ ЯМАМИ: УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА
Этот пример был очень подробно рассмотрен в гл. 2 и 3. Впер-
Впервые он был исследован в работе Холмса [73] и в последующей се-
164
Глава 5
рии работ автора этой книги и сотрудников. С математической
точки зрения речь идет об уравнении вынужденного движения ча-
частицы между двумя состояними равновесия — минимумами потен-
потенциала с двумя ямами:
х + 6х - -х(\ - х2) = /cosat.
E.2.2)
Это уравнение может описывать движение частицы в плазме,
дефекта в твердом теле или, в большем масштабе, динамику про-
продольного изгиба балки (см. гл. 3). Динамикой управляют три без-
безразмерных параметра (б, /, ш), где д — безразмерный коэффициент
затухания, а ш — вынуждающая частота, обезразмеренная с по-
помощью частоты собственных малых колебаний системы в одной из
потенциальных ям.
Области хаоса, полученные двумя группами исследователей
представлены на рис. S.2 и 5.3. На рис. 5.2 представлены экспери
ментальные данные для продольно изогнутой консольной балки
(см. гл. 2). Ломаная граница соответствует экспериментальным
данным, гладкая — теоретическому критерию (см. разд. 5.3). Не-
Недавно была экспериментально установлена верхняя граница, за ко-
которой движение снова становится периодическим. Эксперименталь
ный критерий определялся по отображениям Пуанкаре для движе-
движения (см. гл. 2 и 4).
Результаты численного моделирования уравнения (S.2.2) пред-
Коэффициент затухания у = 0,0033
Стрела продольного изгиба
Частота вынуждающей силы ы (Гц)
Рис. 5.2. Области хаоса на диаграмме, построенной ло данным эксперимента — ко-
колебаниям продольно изогнутой балки при различных амплитудах н частотах вынуж-
вынуждающей силы [137]. Воспроизводится с разрешения из сб.: New Approaches
Nonlinear Problems in Dynamics, ed. by P. S. Holmes, © 1980 by SIAM.)
Критерии возникновения хаотических колебаний
163
°Д
||
а 3
Г
0-1
0,0
? Периодическое движение
D Хаотическое движение
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
Безразмерная частота
рис. 5.3. Диаграмма, показывающая области хаоса для колебаний материальной
течки в потенциале с двумя ямами (уравнение Дуффинга E.2.2)]. Гладкая граница
соответствует критерию гомоклннической траектории (разд. 5.3.).
ставлены на рис. 5.3. Диагностическим средством для определения
носа был выбран показатель Ляпунова, вычисляемый с помощью
алгоритма^ разработанного Вулфом и др. [209] (см. разд. 5.4). Из
рк. 5.3 видно, что на плоскости (/, о>) при заданном коэффициенте
затухания д существуют области хаотических колебаний очень
сложной конфигурации. Можно ожидать, что при очень большой
шнуждающей силе / > 1 динамический режим будет конкуриро-
конкурировать с режимом, который наблюдал Уэда.
Теоретическую границу, полученную Холмсом [73], мы обсудим
¦ следующем разделе. Она имеет особое значение, так как ниже ее
предсказуемы периодические движения, в то время как выше пред-
предсказать, на какую из многих периодических или хаотических мод
выйдем движение, становится невозможно. Выше теоретического
критерия (основанного на существовании гомоклинических орбит)
движение, даже если оно периодическое, очень чувствительно к вы-
выбору начальных данных.
КОНВЕКЦИЯ РЭЛЕЯ — БЕНАРА: УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА
Если не считать логистического уравнения, то модель Лоренца
конвективной турбулентности (см. гл. 1 и 3), по-видимому, являет-
является наиболее исследованной системой уравнений, допускающей хао-
хаотические решения. Тем не менее большинство математиков сосре-
сосредоточили свои усилия на очень ограниченном множестве значений
Ираметров. Система Лоренца имеет вид
х = о((у - х),
у = гх - у - xz, E.2.3)
z = ху - bz.
166
Глава 5
Рис. 5.4. Диаграмма, показывающая об*
• ласти хаоса для динамики тепловой ков-
ь . * векции [уравнения Лоренца E.2.3)].
Спарроу [178] в своей книге об аттракторе Лоренца анализирует
систему E.2.3) при значениях параметров а = 10, Ь — 8/3, г > 14
Однако он строит умозрительные заключения о диапазонах значе-
значений параметров, в которых могли существовать устойчивые хаоти-
хаотические движения (рис. S.2). На рис. 5.4 область, заштрихованная
вертикальными линиями, соответствует устойчивому хаотическому
движению, а ниже ее располагается предтурбулентная область, в
которой могут существовать переходные хаотические движения
Эта область ограничена снизу кривой, вычисляемой на основе кри-
критерия, использующего существование гомоклинических траекторий
(см. следующий раздел). Над хаотической областью располагается
область удвоений периода.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ
В качестве обобщения движения частицы с одной степенью сво-
свободы в потенциале с двумя ямами автор провел эксперимент, схема
которого представлена на рис. 5.5.
Моделью задачи могут служить два связанных нелинейных ос-
осциллятора C.3.7):
дх
. 3V
У + У У + -г- = /cosu/,
ду
E.2.4)
Критерии возникновения хаотических колебаний
167
Движение, периодическое
относительно
¦Хаос
Движение,
периодическое
относительно
одного магнит*
J I
I
5 6 7 8 9 10
Вынуждающая частота (Гц)
Рис. 5.5. Области хаотических и периодических движений для двумерной динамики
материальной точки в потенциале с двумя ямами на плоскости амплитуда — часто-
частота вынуждающей силы [137]. (Воспроизводится с разрешения из сб.: New Approaches
to Nonlinear Problems in Dynamics, ed. by P. S. Holmes, © 1980 by SIAM.)
где V( x, у) — потенциал для магнитов и постоянной жесткости.
Хаотические области на плоскости амплитуд — частота вынужда-
вынуждающей силы показана на рис. 5.5. Сравнивая этот режим с режи-
режимом, представленным либо на рис. 5.2, либо на рис. 5.3, мы ви-
видим, что включение дополнительной степени свободы уменьшает
протяженность хаотической области по крайней мере в окрестности
частоты собственных колебаний материальной точки в одной из
потенциальных ям.
ВЫНУЖДЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИПОЛЯ
В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ: УРАВНЕНИЕ МАЯТНИКА
В этом эксперименте ротор из постоянного магнита возбужда-
возбуждается скрещенными магнитными полями — постоянным и гармони-
гармонически изменяющимся со временем [146], как было показано на
рис. 3.18. Безразмерное уравнение движения для угла поворота в
напоминает уравнение движения маятника в гравитационном по-
потенциале:
в + ув + sinff = /cosflcosuf. E.2.5)
Области хаотического вращения на плоскости (/, «¦>) при фикси-
фиксированном коэффициенте затухания представлены на рис. 5.6. Это
одни из немногих опубликованных примеров, когда с теоретиче-
168
Глава 5
20
I'5
ю
s
т
Численное моделирование
О при возрастающей f
а Численное моделирование
при возрастающей ы
Границы экспериментальных
точек
Метод
Мельникова
(Т = ОД)
0.5
1.0 1.5
Частота (ы)
2.0
2.5
Рис. 5.6. Области хаотических н периодических движений на экспериментальной два»
грамме для вынужденных движений ротора с нелинейной зависимостью крутящий
момент — угол поворота. Для сравнения на диаграмму нанесена кривая, вычислен»
ная на основе критерия существования гомоклинической траектории по методу
Мельникова (разд. 5.3.) [146]. (North-Holland, © 1987).
ским критерием хаоса сравниваются и экспериментальные данные,
и результаты численного моделирования. Соответствующая теория
основана на критерии существования гомоклинической траектории.
Она изложена в разд. 3.4. Как и в случае потенциала с двумя яма-
ямами, хаотические движения встречаются в окрестности собственной
частоты при малых колебаниях (на рис. 5.6 ы = 1,0).
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В /КС-ЦЕПИ
Ряд экспериментальных исследований хаотических колебаний
был проведен на нелинейных цепях (см., например, гл. 3). Один из
таких экспериментов был поставлен на RLC-иепи с диодом. На
рис. 3.7 показаны области субгармонических и хаотических режи-
режимов на плоскости вынуждающее напряжение — частота [92]. В
этом примере области удвоения периода предшествуют хаотиче-
хаотическим движениям. Однако внутри заштрихованной области хаотиче-
хаотического режима наблюдалась субгармоника с периодом 5. Периодиче-
Периодические «островки» в хаотических областях характерны для многих
экспериментов по хаотическим колебаниям (см., например, анало-
аналогичное исследование Буко и др. [19], а также рис. 3.33).
Критерии возникновения хаотических колебаний
169
§4
>
I
,5 1,0 1,5 2,0
Вынуждающая частота (МГц)
2.5
3,0
Рис. 5.7. Экспериментальная диаграмма, на которой показаны области хаоса, для
RLC-цепи с внешним возбуждением и варакторным диодом, действующим как нели-
яейнал емкость. Заштрихованные области соответствуют хаотическим движениям, а
числа указывают порядок субгармоники. Прерывистой линией показан гистерезис-
яый переход [92]. (North-Holland, © 1984).
ГАРМОНИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
В ЖИДКОСТИ, НАЛИТОЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ СОСУД
В качестве последнего примера приведем экспериментально
установленные гармонические и хаотические области в пространст-
пространстве параметров амплитуда — частота для поверхностных волн на
воде, налитой в цилиндрический сосуд, из работы Чилиберто и
Голлуба [22]. Слой воды глубиной 1 см, налитой в цилиндрический
сосуд с внутренним диаметром 12,7 см, подвергался воздействию
гармонической вынуждающей силы в диффузоре громкоговорителя
(рис. S.8). Амплитуда поперечных колебаний относительно плоской
поверхности невозмущенной жидкости модулирована функциями
Бесселя, т. е. форма линейных мод определяется выражением
"шт =
+ dnm).
На рис. 5.8 показана плоскость амплитуда — частота вынуждаю-
вынуждающей силы в той области, где две моды могут взаимодействовать:
(я, т) = D, 3) и G, 2). Ниже нижней границы поверхность жидко-
жидкости остается плоской. Небольшие области хаотических режимов пе-
пересекаются. По-видимому, существуют другие хаотические режи-
режимы, возникающие при взаимодействии других мод.
Подведем итоги. Эти примеры показывают, что при воздейст-
воздействии на физическую систему данной периодической вынуждающей
силы, существуют и, по-видимому, могут быть предсказаны с по-
170
Глава 5
50
I
I
15,6 15,8 16,0 16,2
/о (Гц)
Рис. 5.8. Экспериментальная диаграмма, на которой показаны хаотические области
для поверхностных волн в цилиндре, наполненном водой. На диаграмме видно, где
взаимодействуют две линейные моды из работы [22].
мошью классических методов нелинейного анализа большие обла-
области периодических или субгармонических движений. Но те же при-
примеры показывают, что хаос — отнюдь не какое-то особенное или
исключительное состояние, т. е. он может существовать в доста-
достаточно широком диапазоне значений параметров задачи. Кроме то-
того (и это, возможно, самое важное), в некоторых областях перио-
периодические и хаотические движения могут сосуществовать, и характер
возникающего движения становится непредсказуемым.
5.3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
Поиск теоретических критериев для определения того, при ка-
каком наборе условий данная динамическая система войдет в хаотиче-
хаотический режим, до сих пор велись лишь в каждом конкретном случае
отдельно. Это означает, что теоретики в основном придерживались
следующей стратегии: они находили критерии для конкретных ма-
математических моделей и затем, используя эти модели в качестве
аналогов или парадигм, пытались сделать какие-то выводы относи-
относительно того, когда более общие или более сложные физические си-
системы становятся непредсказуемыми. Примером такого рода мо-
может служить последовательность бифуркаций удвоения периода,
Критерии возникновения хаотических колебаний 171
рассмотренная Мэем [130] и Фейгенбаумом [37] для квадратичного
отображения (см., например, гл. 1). Хотя эти результаты были
обобщены для более широкого класса одномерных отображений с
помощью так называемой ренормгрупповой теории, критерий уд-
удвоения периода не всегда выполняется для отображений более вы-
высокой размерности. В случае механических и электрических колеба-
колебаний сечение Пуанкаре решения в фазовом пространстве часто при-
приводит к отображениям в пространстве двух и большего числа изме-
измерений. Тем не менее сценарий удвоения периода является одним из
возможных путей перехода к хаосу. В более сложных физических
системах понимание модели Мэя — Фейгенбаума может оказаться
очень полезным при определении того, когда и почему встречаются
хаотические движения.
В этом разделе мы кратко рассмотрим несколько основных тео-
теорий хаоса и исследуем, как они приводят к критериям, которые мо-
могут оказаться полезными для предсказания или диагностики хаоти-
хаотического поведения в реальных системах. Эти теории включают в се-
себя следующее:
а) удвоение периода;
б) гомоклинические траектории и отображения типа подковы;
в) перемежаемость и переходный хаос;
г) критерии перекрытия резонансов для консервативного хаоса;
д) частные теории для задач с потенциалом, имеющим несколь-
несколько ям.
КРИТЕРИЙ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА
Этот критерий применим к динамическим системам, поведение
которых точно или приближенно может быть описано разностным
уравнением первого порядка, известным на новом жаргоне как од-
одномерное отображение:
*л+1 = Ь*„0 " *„>• E3.1)
Динамика этого уравнения была исследована Мэем ] 130], Фей-
Фейгенбаумом [37, 38] и другими авторами. Ими были открыты реше-
решения, период которых при изменении параметра X удваивается (пе-
(периодом в данном случае называется целое число р, при котором
Хп+Р совпадает с хп). Одно из важных свойств уравнения C.3.1), от-
открытое Фейгенбаумом, состояло в том, что последовательность
критических значений параметра (Xmj, при которых происходит уд-
удвоение периода траектории, удовлетворяет соотношению
ton V' 7 Х<" = Т. 5 = 4,6692... E.3.2)
172
Глава 5
Это важное открытие дало в руки экспериментаторов конкрет-
конкретный критерий, позволяющий определять, что система находится на
пороге хаотического режима, просто путем наблюдения предхаоти-
ческого режима. Критерий Фейгенбаума был применен к различ-
различным физическим системам, в том числе к гидродинамическим,
электрическим и лазерным экспериментам. Хотя эти задачи часто
моделируются математически с помощью «континуальных» диф-
дифференциальных уравнений, отображение Пуанкаре позволяет свести
их динамику к системе разностных уравнений. Более того, для мно-
многих физических задач наиболее существенную динамику удается мо-
моделировать с помощью одномерного отображения
*я+1
= /(*„)•
E.3.3)
Важность работы Фейгенбаума состояла в том, что он показал
типичность удвоения периода для всех одномерных отображений с
одним «горбом», или с одной горизонтальной касательной, как на
рис. 3.9 [такие отображения необратимы: существуют два значе-
значения хп, которые, если их подставить в /(хп), дадут одно и то же
значение хп+1]. Фейгенбаум также показал, что если задающая ото-
отображение функция / зависит от некоторого параметра Л, т. е.
Рис. 5.9. Необратимые разностные уравнения (отображения), задаваемые функцией
с одним «горбом», в которых происходит удвоенне периода.
Критерии возникновения хаотических колебаний 173
/(хп; Л), то последовательность критических значений этого пара-
параметра (Лт), при которых происходит удвоение периода, удовлетво-
удовлетворяет тому же соотношению C.3.2), что и квадратичное отображе-
отображение. Именно поэтому удвоение периода получило название универ-
универсального явления, а б была названа универсальной постоянной (те-
(теперь Ь принято называть постоянной Фейгенбаума).
Здесь автор считает своим долгом предупредить читателя о не-
необходимости соблюдать осторожность. Термин «универсальный»
используется применительно к одномерным отображениям (S.3.3).
Существует много хаотических явлений, которые описываются дву-
двумерными отображениями или отображениями более высокой раз-
размерности (см., например, задачу о продольно изогнутом стержне в
гл. 2). В такого рода случаях удвоение периода может быть одним
из возможных путей к хаосу, но существует и много других после-
последовательностей бифуркаций, приводящих к хаосу другими путями,
минуя удвоение периода (см., например, работу Холмса [76]).
Читателю, интересующемуся очень подробным математическим
изложением квадратичного отображения и удвоения периода, мы
рекомендуем обратиться к монографиям Лихтенберга и Либермана
[110] или Гукенхеймера и Холмса [37]. Ниже мы излагаем в крат-
кратком пересказе рафинированный вариант теории Лихтенберга и Ли-
Либермана, особенно в части, касающейся критического параметра
Х^, при котором движение становится хаотическим, для тех чита-
читателей, кто хотел бы ощутить вкус математики удвоения периода.
Перенормировка и критерий удвоения периода. Две идеи игра-
играют важную роль в понимании явления удвоения периода: первая —
понятие бифуркации решений, вторая — идея перенормировки. На-
Наглядное представление о том, что такое бифуркация, дает рис. 3.10.
Термин «бифуркация» используется для обозначения внезапного ка-
качественного изменения поведения системы при изменении некоторо-
некоторого параметра. Например, на рис. 3.12 стационарное периодическое
решение х0 становится неустойчивым при некотором значении па-
параметра X, и амплитуда начинает осциллировать между двумя зна-
значениями х? и х^, совершая полный цикл за вдвое большее время,
чем до потери устойчивости. При дальнейшем изменении парамет-
параметра X амплитуды х$ и х^ также теряют устойчивость, и решение пре-
претерпевает ветвление, переходя в новый цикл периода 4. В случае
квадратичного отображения C.3.1) также бифуркации решения про-
продолжаются неограниченно при возрастании (или убывании) ХГ Од-
Однако критические значения параметра X стремятся к точке накопле-
накопления, т. е. lim IXJ = 1Хв1 < оо, при переходе через которую систе-
система допускает хаотическое непериодическое решение. Таким обра-
174
Глава 5
3fl к 4,0
Рис. 5.10. Бифуркационная диаграмма для квадратичного отображения E.3.3). Удво-
Удвоение периода наблюдается в зависимости «стационарный режим как функция упра»
ляюшего параметра».
зом, если X — некоторая безразмерная функция физических пере-
переменных (как, например, число Рейнольдса в гидромеханике), то
\ = Х. становится удобным критерием для предсказания того, ког-
когда наиболее вероятно возникновение хаоса.
Доступное изложение метода ренормгруппы применительно к
удвоению периода можно найти у Фенгенбаума [38]. В основе этого
метода лежит осознание того, что существует каскад бифуркаций в
что каждую бифуркацию можно отобразить в предыдущую с по-
помощью изменения масштаба физической переменной х и преобразо-
преобразования управляющего параметра. Чтобы продемонстрировать ме-
метод ренормгруппы в действии, наметим его приближенную схему
для квадратичного отображения (см. также [НО]).
Квадратичное отображение представимо в виде
где /(х) = \ х{\ - х). Циклы периода 1 — это просто постоянные
значения переменного х, задаваемые неподвижными точками ото-
Критерии возникновения хаотич
[колебаний
175
бражения, т. е. хп = /(лг„), или
- *o)» E.3.4)
откуда x0 = 0, x0 = (X - 1)A. Неподвижная точка, или точка рав-
равновесия, может быть устойчивой и неустойчивой. Иначе говоря,
итерации точки х могут и приближаться к х0, и удаляться от Xq.
Устойчивость отображения зависит от наклона кривой /(х) в точке
х0. Критерии следующие:
\df( ль)|
df( x0)
dx
< 1 — отображение устойчиво,
> 1 — отображение неустойчиво.
E.3.5)
Так как тангенс угла наклона к кривой /' = ХA - 2 х) зависит
от X, неподвижная точка х0 становится неустойчивой при X, =
= ±1/11 - 2 Xq\. При X > X, устойчивое периодическое движение
имеет период 2. Неподвижные точки, в окрестности которых воз-
возникают циклы с периодом 2, определяются уравнением
8 = Д/(дг2)), или
- ДГ2)[1 - XJCjA - Af2)J.
E.3.6)
График функции /(/( лг)) показан на рис. 5.11.
Устойчивая
неподвижная '
точка /
Цикл
Рис. 5.11. Функции, задающие первую и вторую итерации квадратичного отображе-
отображения E.3.3) (см. также уравнение E.3.6)).
176
Глава 5
Рис. 5.12. Две ветви на бифуркационной
диаграмме вблизи точки удвоения пери-
М *г ода.
И снова решения подразделяются на устойчивые и неустойчи-
неустойчивые. Предположим, что решение х0 претерпевает бифуркацию и на-
начинает совершать колебания между х+ и х~, как показано на
рис. S.12. Тогда
E.3.7)
х+ = Х*-A - х~)и х- = \х+(\ - х+).
Чтобы найти следующее критическое значение X = Х^ при ко-
котором возникает траектория с периодом 4, произведем замену пе-
переменных
Хп = Х
Подставляя E.3.8) в E.3.7), получаем
1»я+1 ж Xi»n[(l -
= Х,и+1[A-2дг
- „„],
E-3-Э)
Выразим 71я+2 через чи, сохраняя лишь члены порядка не выше
ri2n. У нас получится приближенное соотношение
E.3.10)
где А и В зависят от х+, х~ и X. Подвергнем_переменную i? преоб*
разованию подобия и введем новый параметр X с помощью соотно-
соотношений
х = jcnj, X =_Х^/4, а == В/А,
хп+г = ^ -*пО — хп).
Последнее соотношение имеет такой же вид, как наше исходное
уравнение E.3.2). Следовательно, когда решение претерпевает при
X = Xj бифуркацию и переходит в периодическое решение_с перио-
периодом 4, критическое значение параметра X равно X, (т. е. X = X,).
Так мы приходим к соотношению
X, = ЦА(\2). E.3.11)
Если начать с точки х0 = 0, то существует последовательность би-
бифуркаций при X < 0. В этом случае, как показали Лихтенберг и Ли-
Критерии возникновения хаотических колебаний 177
берман, соотношение E.3.11) имеет вид
\, = -Ц + 2\2 + 4. E.3.12)
Можно показать, что \, = -1, поэтому \ = A - V6) =
е-1,4494... . Если принять достаточно смелое предположение о
том, что рекуррентное соотношение (S.3.12) выполняется и для би-
бифуркаций высшего порядка, то
\„= -Х>+| + 2\„+1 + 4. E.3.13)
В критической точке для хаоса мы имеем
К = -Ч, + 2Х, + 4,
откуда
\а = A - VT7)/2 = -1,562. E.3.14)
Можно также показать, что при X > 0 возникает другая последова-
последовательность бифуркаций (рис. 5.10) с критическим значением
X = Х^ = 2 - X. = 3,56... . E.3.15)
Точное значение X,,, близко к К^ = 3,56994. Мы видим, таким об-
образом, что аппроксимационная схема с перенормировкой не так уж
ялоха.
Ренормгрупповой аналаз приводит, помимо прочего, к соотно-
соотношению
\ * \а + ад~к E.3.16)
возникающему из закона подобия E.3.2). Оно позволяет по двум
последовательным бифуркационным значениям получать оценку
критерия хаоса Х^:
K ] E-317)
Одно слово в заключение этого раздела: параметр X может пре-
превышать критическое значение AX1 > IX^I), но это еще не означа-
означает, что решения непременно должны быть хаотическими. Хаотиче-
Хаотические решения возможны, но при 1X1 > 1X^1 существуют много пе-
периодических окон, равно как и хаотических решений.
Из-за недостатка места мы не в состоянии воздать должное все-
всему богатому разнообразию сложностей, характерных для динамики
квадратичного отображения. Оно, несомненно, является одной из
главных парадигм в понимании хаоса, и заинтересованный чита-
читатель сможет найти недостающие детали в упоминавшихся выше
работах. (См. также приложение Б, где приведены результаты чис-
численных экспериментов.)
12-161
178 Глава 5
ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ ТИПА ПОДКОВЫ
Один из теоретических методов, который привел к созданию
частных критериев хаотических колебаний, основан на поиске ото-
отображений типа подковы и гомоклинических траекторий в матема-
математических моделях динамических систем. Такая стратегия и матема-
математическая процедура, известная под названием метода Мельникова
привели к критериям хаоса типа числа Рейнольдса, связывающим
параметры системы. В двух случаях эти критерии были проверены
с помощью численных и физических экспериментов. Действуя в ду-
духе этой книги, мы не будем выводить формулы или чрезмерно вда-
вдаваться в математическую теорию метода, а вместо этого попыта-
попытаемся изложить наиболее важные идеи и отошлем тех читателей,
кого заинтересуют более тонкие детали, к литературе. Метод
Мельникова мы продемонстриуем на двух приложениях: на колеба-
колебаниях продольно изонутой балки и вращательной динамике магнит-
ного дипольного двигателя.
Критерий гомоклинической траектории является математиче-
математическим приемом получения прогностического соотношения между
безразмерными группами переменных физической системы. Он да»
ет необходимое, но недостаточное условие возникновения хаоса.
Критерий гомоклинической траектории может также порождать
необходимое и достаточное условие предсказуемости поведения ди-
динамической системы (см. разд. 6.3 — «Фрактальные границы обла-
области притяжения»). Если отбросить его сложную, несколько таинст-
таинственную математическую инфраструктуру, то по существу речь идет
о методе, позволяющем определить, обладает ли модель в форме
обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных свойствами отображения
типа подковы или преобразования пекаря.
В случае отображения типа подковы (см. также гл. 1) основное
внимание сосредоточивается на множестве начальных условий для
траекторий, заполняющем некоторый шар в фазовом пространст-
пространстве. Если система ведет себя как отображение типа подковы, то
этот начальный объем в фазовом пространстве под действием ди-
динамики системы принимает новую форму: первоначальный шар вы-
вытягивается и складывается (рис. 5.13). После многих итераций эти
складывания и растяжения порождают фракталоподобную структу-
структуру, и точная информация о начальных условиях траектории утрачи-
утрачивается. Для установления соответствия между начальным и после-
последующим состояниями системы требуется все большая точность.
При конечной точности постановки задачи (в большинстве случаев
речь идет о численных или лабораторных экспериментах) предска-
предсказание становится невозможным.
Критерии возникновения хаотических колебаний
179
рис. 5.13. Эволюция сферы
начальных условий во вре-
времени.
Один из путей к пониманию критерия гомоклинической траекто-
траектории (см. блок-схему на рис. 3.14) состоит в том, чтобы попытаться
ответить на следующие вопросы:
1. Что такое гомоклинические орбиты?
2. Как возникают гомоклинические орбиты в математических
моделях физических систем?
3. Как они связаны с отображениями типа подковы?
4. Наконец, как метод Мельникова приводит к критерию воз-
возникновения хаоса?
Гомоклинические /траектории. Подробное обсуждение гомокли-
нических траекторий можно найти в книгах Лихтенберга и Либер-
мана [ПО] и Гукенхеймера и Холмса [37]. Мы уже знаем, что, хотя
решения многих динамических задач представимы в виде непрерыв-
непрерывной кривой в фазовом пространстве (с координатами х и v = х)
или в пространстве решений (с координатами х и /), загадки нели-
нелинейной динамики и хаоса часто удается разгадать, глядя на дис-
дискретную численную выборку из движения, известную под названи-
названием сечения Пуанкаре. Мы видели также, что в сечении Пуанкаре
точки, хотя в действительности они образают последовательность
точек в я-мерном пространстве, могут располагаться вдоль некото-
некоторых непрерывных кривых. Эти кривые называются многообразия-
многообразиями. Говоря далее о гомоклинических траекториях, мы имеем в виду
последовательность точек. Эта последовательность называется
траекторией. Например, если речь идет о периодической траекто-
траектории с периодом 3, то последовательность точек поочередно посеща-
посещает три состояния на фазовой плоскости (рис. 5.15, а). С другой сто-
стороны, квазипериодическая траектория соответствует последова-
последовательности точек, перемещающихся по некоторой замкнутой кривой
(рис. 5.15, б). Квазипериодические колебания часто встречаются
среди движений двух связанных осцилляторов с двумя несоизмери-
несоизмеримыми частотами.
180
Глава 5
4*1
М
16)
Рис. 5.14. Блок-схема, показывающая взаимен Рис. 5.15. а — Периодическая
связь между гомоклиннческими орбитами, траектория в сечении Пуанкаре;
отображениями типа подковы и хаосом в физи- б — квазипериодическая траегго-
ческих системах. рия; в — гомоклиническая траек-
траектория.
В динамике отображений встречаются особые точки, при про-
прохождении через которые траектории по одним направлениям дви-
движутся от них, а по другим направлениям — к ним. Примером
может служить седло. У этой особой точки существуют две кри-
кривые — многообразия, вдоль которых траектории приближаются к
ней, и две кривые — многообразия, вдоль которых последователь-
последовательность точек Пуанкаре удаляется от седла, как показано на рис.
5.15. Такая точка напоминает особую точку типа «седло» нелиней-
нелинейных дифференциальных уравнений.
Что такое гомоклиническая траектория, мы продемонстрируем
на динамике маятника, колеблющегося с затуханием под действием
вынуждающей силы. Прежде всего напомним, что для маятника,
колеблющегося с затуханием в отсутствие вынуждающей силы неу-
неустойчивые многообразия седловой точки закручиваются вокруг осо-
особой точки на фазовой плоскости @, в) наподобие вихря, как показа-
показано на рис. 5.16.
Критерии возникновения хаотических колебаний
i в it)
181
Рис. 5.16. Устойчивое (W3) и неустойчивое ((К4) многообразия для движения маят-
маятника с затуханием в отсутствие вынуждающей силы.
Хотя это не очевидно, отображение Пуанкаре, сихнронизован-
ное с частотой вынуждающей силы, также имеет седловую особую
точку в окрестности в = ±пх (я — нечетное число), как показано
на рис. 5.17 для случая маятника, колеблющегося под действием
вынуждающей силы. При достаточно малой амплитуде вынуждаю-
вынуждающей силы устойчивое и неустойчивое многообразия седла не каса-
Рис. 5.17. Общий вид устойчивого (W) и неустойчивого (IVй) миогообразий ото-
отображения Пуанкаре для маятника с затуханием под действием вынуждающей силы,
гармонически зависящей от времени.
182
Глава 5
ются друг друга. Но при возрастании вынуждающей силы эти два
многообразия пересекаются. Можно показать, что если они Пересе*
каются хотя бы один раз, то они пересекутся бесконечно много
раз. Точки пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий
называются гомоклиническими точками. Точка Пуанкаре вблизи
одной из этих точек отображается на окрестности всех остальных
точек пересечения. Совокупность таких точек Пуанкаре называется
гомоклинической траекторией (рис. 5.15, в). Почему гомоклиниче-
ские траектории столь важны для хаоса?
Пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий при
отображении Пуанкаре порождает в окрестности каждой гомокли-
гомоклинической точки отображение типа подковы. Как было показано в
гл. 1, отображения типа подковы приводят к непредсказуемости, а
непредсказуемость или чувствительная зависимость от начальных
условий — отличительный признак хаоса.
Почему гомоклинические траектории порождают отображения
типа подковы, станет ясно, если мы вспомним, что в случае дисси-
пативной системы площади отображаются в меньшие площади. Но
вблизи неустойчивого многообразия площади растягиваются. Так
как общая площадь должна убывать, площадь должна сжиматься
быстрее, чем она растягивается. В результате площадь вблизи го-
моклинических точек складывается, как показано на рис. 5.18.
Динамическую систему можно рассматривать как преобразова-
Устойчивое
многообразие
Седло 4 3
(или гиперболическая
точка)
Рис. 5.18. Развитие во времени отображения типа подковы для точек в окрестности
гомоклиннческой траектории.
Критерии возникновения хаотических колебаний 183
gee фазового пространства, т. е. объем точек, представляющих
различные возможные начальные условия, преобразуется со време-
временем в какой-то деформированный объем. Регулярный поток в фазо-
фазовом пространстве возникает, когда трансформированный объем
имеет достаточно гладкие очертания. Хаотический поток возника-
возникает, когда первоначальный объем растягивается, сжимается и скла-
складывается, как при преобразовании пекаря или отображении типа
подковы.
Метод Мельникова. Функция Мельникова используется как ме-
мера расстояния между неустойчивым и устойчивым многообразия-
многообразиями, когда это расстояние мало (математически строгое изложение
метода Мельникова см. в книге Гукенхеймера и Холмса [57]). Этот
метод был применен к задачам, в которых диссипация мала и урав-
уравнения для многообразий в задачах с нулевой диссипацией известны.
Например, предположим, что мы рассматриваем вынужденное дви-
движение нелинейного осциллятора, где (q, р) — сопряженные пере-
переменные (обобщенная координата и обобщенный импульс). Будем
считать, что затухание и вынуждающая сила малы, и запишем
уравнения движения в виде
4 = ? + е**> E-зл8)
др
дН
Р = --г- + eg2,
dq
где д = д( р, q, t) = ( g,, g2), e — малый параметр, H(q, p) — га-
гамильтониан для задач без затухания и в отсутствие вынуждающей
силы (е = 0). Кроме того, мы предполагаем, что вектор-функция
д( 0 периодическая, т. е.
g(f + Т) = д(/), E.3.19)
и что движение происходит в трехмерном фазовом пространстве
(q, p, o)t), где o)t — фаза периодической вынуждающей силы и бе-
берется по модулю периода Т.
Во многих нелинейных задачах седловая особая точка существу-
существует при невозмущенном гамильтониане [при е = ft в уравнениях
E.3.18)]. К числу таких задач относится, например, задача о коле-
колебаниях частицы в потенциале с двумя ямами [уравнение Дуффинга
E.2.2)]. При е Ф 0 можно провести сечение Пуанкаре трехмерного
тороидального потока, синхронизованное с фазой со Л Показано
(см. книгу Гукенхеймера и Холмса [57]), что в таком сечении Пуан-
Пуанкаре также существует седло с устойчивым и неустойчивым много-
многообразиями W5 и W" (рис. 5.19).
184
Глава 5
Сечение Пуанкаре
/
Неустойчивое
многообразие
Траектория
в фазовом
пространстве
Устойчивое
многообразие
Рис. 5.19. Седло в сеченни Пуанкаре и связанные с ним устойчивое и неустойчивое
многообразие до формирования гомоклинической траектории.
Функция Мельникова задает меру отклонения W5 от IVй как
функцию от фазы отображения Пуанкаре. Эта функция определяет
ся интегралом
E.3.20)
где g* = g(<7*. p*, t + t0); q*( /) и p*(t) — решения, соответству-
соответствующие невозмущенной гомоклинической траектории, начинающейся
в седловой точке гамильтоновых уравнений. Переменная /0 есть ме-
мера расстояния, измеряемого вдоль первоначальной невозмущенной
гомоклиническоП траектории на фазовой плоскости. Рассмотрим,
два примера.
Магнитный маятник. Удобной экспериментальной моделью
маятника может служить вращательная динамика магнитного ди-
диполя в скрещенных магнитных полях — стационарном и периодиче-
периодическом, как на рис. 3.18 (см. также работу Муна и др. [146]).
Уравнение движения при надлежащей нормировке имеет вид
E.3.21)
О + ув + sinS = /,cos0coscof + /o.
Член sine порожден стационарным магнитным полем, а член с /,—
периодическим полем. Уравнение E.3.21) учитывает также линей*
ное затухание и постоянный крутящий момент /0. Следуя предпо-
Критерии возникновения хаотических колебаний 183
ложениям теории, мы полагаем? = еу, /0 = е/0 и /, = е/,, где
О * е < 1, а величины у, f0 и /, порядка 1.
Гамилыониан для задачи без затухания и в отсутствие вынуж-
вынуждающей силы имеет вид
Я = i v2 + A - cos0),
где q s 9 и р s у = 0. На гомоклинической траектории, выходя-
шей из седла (ff = v = 0), энергия Я постоянна (Я = 2). Невозму-
Невозмущенная гомоклиническая траектория определяется выражениями
9* = 2arctg(sh/), E.3.22)
v* = 2sech/.
В возмущенных гамильтоновых уравнениях E.3.18) g, = 0 и g2 =
= /о + /,cos0cosco/. Необходимое интегрирование может быть
проведено точно с помощью контурного интеграла (см., например,
[57], где рассмотрен аналогичный случай). Интегрируя, получаем
Л/(/о) = -87 + 2т/0 + гт/^есп^г^совсо/,,. E.3.23)
Два возмущенных многообразия имеют простое касание, когда
М( /0) имеет простой нуль, или когда
— h
ж
ch(*co/2)
E.3.24)
где множители е опущены. При /0 = 0 критическое значение вы-
вынуждающего крутящего момента определяется выражением
График этой функции представлен на рис. 5.6 вместе с результата-
результатами физических и численных экспериментов. Критерий E.3.25) дает
очень точную нижнюю границу областей хаоса на плоскости
амплитуда—частота вынуждающей силы.
Движение частицы в потенциале с двумя ямами. Задача о вы-
вынужденном движении частицы в потенциале с двумя ямами находит
многочисленные приложения, такие как, например, поведение про-
продольно изогнутой упругой балки после выпучивания [141] или неко-
некоторые задачи динамики плазмы [122]. Затухающие колебания под
действием периодической вынуждающей силы можно описать с по-
помощью уравнения типа Дуффинга
х + ух - х + х3 = /cosco/. E.3.26)
186 Глава 5
Гамильтониан для невоэмущенной задачи записывается в этом слу.
чае следующим образом:
Ж х, v) = 1 (v2 - х2 + i *<).
При Н = 0 две гомоклинические траектории начинаются и оканчи-
оканчиваются в седле, расположенном в начале координат. Переменные
х* и v* принимают значения, соответствующие кривой в правой
полуплоскости, задаваемой уравнениями
х* = V2sech/, v* = -V2sech/th/.
В этой задаче #, = 0 и g2 = /cos wf - >t;, где у = ey и f = ef,
как в предыдущем примере. Функция Мельникова E.3.20) принима-
принимает поэтому следующий вид:
Л/( /0) = -V2/ j sech/thrcos«( / + /0) dt - 2у \ seen2tttftdt;
она может быть точно проинтегрирована методом контурных ин-
интегралов. Такое решение было первоначально найдено Холмсом
G3], но в его работу вкралась ошибка. Правильный анализ провели
Гукенхеймер и Холмс [57] и получили следующий результат:
Л/( /0) = -*1 - V2/xcosech №\sin со/0. E.3.27)
Для того чтобы выражение E.3.27) имело простой нуль, должно
выполняться неравенство
3 \2жш
Эта нижняя граница хаотической области в пространстве
(/, со, у) была проведена экспериментально Муном [136] (см. также
рис. 5.2 и 5.3).
ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ И ПЕРЕХОДНЫЙ ХАОС
До сих пор мы обсуждали то, что можно было бы назвать
«стационарными» хаотическими колебаниями. Двумя другими фор-
формами непредсказуемых, нерегулярных движений являются переме-
перемежаемость и переходный хаос. В случае перемежаемости всплески
хаотического движения, или шума, чередуются с периодами регу-
регулярного движения (рис. 5.20). Такое поведение наблюдал еще Рей-
Критерии возникновения хаотических колебаний
187
Время
Хаотические
всплески
рис. 5.20. Перемежающееся хаотическое движение.
вольдс в своих экспериментах по изучению предтурбулентного ре-
режима в трубах A883 г.) (см. работу Сринивасана [169]). Переход-
вый хаос наблюдается также в некоторых системах как предвест-
предвестник стационарного хаоса. При определенных начальных условиях
система может вести себя квазислучайным образом, т. е. ее траек-
траектории могут двигаться в фазовом пространстве, как если бы они
находились на странном аттракторе, но через некоторое время дви-
движение выходит на регулярный аттрактор, как в случае периодиче-
периодических колебаний. Иногда для экспериментального определения кри-
критического параметра для перемежаемости и переходного хаоса ис-
используются свойства подобия нелинейного движения. В случае пе-
перемежаемости, когда поведение системы близко к периодическому
движению, но время от времени претерпевает короткие всплески
переходного хаоса, объяснение такого поведения в терминах одно-
одномерных отображений, или разностных уравнений, была дано Ман-
вевилем и Помо [123].
Как показали численные эксперименты с отображениями, сред-
средняя продолжительность периодического движения <т> между двумя
последовательными хаотическими всплесками составляет величину
E-3-29)
где X — управляющий параметр (например, скорость жидкости,
амплитуда вынуждающей силы или вынуждающее напряжение),
\ — критическое значение параметра X, при котором возникает ха-
хаотическое движение. С увеличением отстройки X — Хс продолжи-
продолжительность хаотического интервала увеличивается, а продолжитель-
продолжительность периодического интервала сокращается. Такое явление мож-
можно было бы назвать ползучим хаосом.
Для экспериментального определения параметра Хс необходимо
измерить два средних времени, <г>, и <т>2, при соответствующих
значениях управляющего параметра X, и \. Это позволит опреде-
определить коэффициент пропорциональности в соотношении (S.3.29), а
188 Глава 5
также величину Хс. Но, установив «кандидата» в Хс, необходимо за-
затем измерить другие значения «т>, X), чтобы подтвердить закон
подобия E.3.29).
Случай переходного хаоса был исследован Гребоги и др. [49, 50,
52] из Университета штата Мэриленд в серии работ по численным
экспериментам с двумерными отображениями. В работах [49, 50]
эти авторы рассмотрели двумерное обобщение одномерного ква-
квадратичного разностного уравнения, получившего название «отобра-
«отображение Энона» (см. также разд. 1.3):
где J — определитель якобиана, служащий коэффициентом сжатия
площадей при отображении. В исследованиях мэрилендской группы
коэффициент J был выбран равным —0,3, а параметр а варьиро-
варьировался в определенных пределах. Например, при а > <% =
= 1,062371838 наблюдалось рождение из траекторий с периодом б,
состоящего из 6 отдельных частей странного аттрактора, который
существует в диапазоне
о,, < а < аг = 1,080744879.
При а > ас траектория при итерациях отображения Энона блужда-
блуждает вокруг «призрака» странного аттрактора на плоскости (иногда
на протяжении более чем 103 итераций); после чего в системе уста-
устанавливается периодический режим с периодом 4.
Гребоги и др. обнаружили, что средняя продолжительность <т>
переходного хаоса удовлетворяет закону подобия
<т> ~ (а - ас>-1/2. E.3.30)
Среднее было найдено путем выбора 102 начальных условий при
каждом выборе а. Начальные условия выбирались в первоначаль-
первоначальной области притяжения прекратившего существование странного
аттрактора. Продолжительность таких переходных хаотических ре-
режимов может быть очень велика. Например, в случае отображения
Энона Гребоги и его сотрудники обнаружили, что <т> = 104 при
« - aL = 51О~7 и <т> * 103 при а - «С = 10~5.
Та же группа исследователей обнаружила отображения, порож-
порождающие суперпереходный хаос, в котором продолжительность пе-
переходного периода удовлетворяет закону подобия [53]
<т> ^ Аг,ехр[А:2(а - oc)/2J. E.3.31)
Эти результаты позволяют предположить, что время жизни неко-
некоторых переходных хаотических режимов может превосходить про-
Критерии возникновения хаотических колебаний 189
должительность любого эксперимента. Математика, затрагиваемая
а этих исследованиях, связана с гомоклиническими точками пересе-
пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий при отображени-
отображениях. Возникновение гомоклинических точек пересечения мэриленд-
ская группа называет кризисами. Подробное обсуждение математи-
математических тонкостей и проблем, связанных с переходными хаотически-
хаотическими режимами, выходит за рамки этой книги. Интересующиеся чи-
читатели могут почерпнуть Необходимые сведения из упоминавшихся
выше оригинальных работ мэрилендской группы.
К сожалению, до сих пор известно лишь очень немного физиче-
физических примеров или экспериментов, связанных с исследованием пере-
переходного хаоса. Однако нет никакого сомнения в том, что переход-
переходный хаос представляет собой благодатную почву для будущих ис-
исследований.
КРИТЕРИЙ ЧИРИКОВА ПЕРЕКРЫТИЯ РЕЗОНАНСОВ
ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОГО ХАОСА
Исследования хаотических движений в консервативных (без за-
затухания) системах имеют более давнюю историю, чем привлекаю-
привлекающие ныне всеобщий интерес исследования хаотических режимов в
дяссипативных системах. Но поскольку практическое приложение
консервативных динамических систем ограничено такими областя-
областями, как небесная механика, физика плазмы и физика ускорителей,
инженеры берут на вооружение успехи, достигнутые в динамике
консервативных систем, не с такой готовностью, как успехи, до-
достигнутые в других областях нелинейной динамики.
В этом разделе мы сосредоточим внимание на хаосе, возникаю-
возникающем при движении прыгающего шарика, упруго отражающегося от
горизонтальной плоскости. С таким движением мы уже встреча-
встречались в гл. 3 (рис. 3.5). Но возникающие разностные уравнения опи-
описывают также поведение связанных нелинейных осцилляторов (см.,
например, книгу Лихтенберга и Либермана [110]) и поведение элек-
электронов в электромагнитном поле. Уравнения C.2.9) удара гравити-
рующей массы о поверхность колеблющегося при замене перемен-
переменной принимают вид
"л+i = Ч, + Ksin?,,,
E.3.32)
где vn — скорость перед ударом, а <рп — момент времени, когда
происходит удар, нормированный на частоту колебаний стола (т. е.
9 в wf (mod 2т)). Величина К пропорциональна амплитуде колеб-
190
Глава 5
лющегося стола на рис. 3.S. Уравнения (S.3.32) отличаются от
уравнений C.2.9) в силу предположения о том, что при ударе ве
происходит потери энергии. Из него следует, что области началь»
ных условий в фазовом пространстве (и, ф) сохраняют свою пло-
площадь при повторных итерациях отображений (S.3.32).
На рис. S.21 показаны траектории на плоскости (t/, ф) при двух
различных значениях К.
Рассмотрим случай К = 0,6. Точки при v = 0,2т соответству.
ют траекториям с периодом 1, т. е.
«, = !/, + Ksin<f>v
Решение этой системы уравнений имеет вид р, = 0, т; vx = о
(и ч>у, и у, берутся по mod2r). Решение вблизи <р = г устойчиво
при 12 - КI < 2. Но решение вблизи <р = 0, 2т неустойчиво прн
B ч- А"I < 2 и может соответствовать седловым точкам отобра-
отображения.
Вблизи v = * можно видеть траекторию с периодом 2, задавав'
мую решением системы уравнений
A'sinp,,
v2.
.•V J .>
—"•
Яке. 5.2У а. Отображение Пуанкаре для движения шарика, упруго подпрыгивающего
на колеблющемся столе (стандартное отображение) при К = 0,6 в уравнения
E.3.32). Видны периодические и квазипериодические траектории.
Критерии возникновения хаотических колебаний
191
'-' ''"'''' "'"] ^¦¦^г-?Щ*Ш:-".,''
ft/c. 5.2/ б. То же при К = 1,2. Видно, что появились стохастические траектории.
И в этом случае можно показать, что существуют и устойчивые, и
неустойчивые точки периода 2. Можно также показать, что устой-
устойчивые точки существуют при условии К < 2.
Остальные траектории, кажущиеся на рис. 5.21 непрерывными,
соответствуют квазипериодическим решениям, когда частота со-
соударений шарика о стол несоизмерима с частотой колебаний стола.
Наконец, на рис. 5.21, б (К = 1,2) представлены движения третье-
третьего типа: вблизи тех мест, где при меньших значениях параметра К
существовали седла и сепаратрисы, идущие из седла в седло, мы
видим облако точек. Это облако точек соответствует консерватив-
консервативному хаосу. При К < 1 оно локализовано в окрестности седловых
точек. Но при К « 1 блуждающая траектория становится глобаль-
глобальной — «размазывается» по всему фазовому пространству.
Как нетрудно заметить, на рис. 5.21, а (К = 0,6) все типы дви-
движения можно получить, просто выбирая различные начальные ус-
условия (так как нет затухания, нет аттракторов).
Критерий глобального хаоса в этой системе был предложен со-
советским физиком Чириковым [21]. Он заметил, что при увеличении
параметра К расстояние по вертикали между сепаратрисами, свя-
связанными с периодическими движениями периода 1 и периода 2,
убывает. Если бы не вмешательство хаоса, то сепаратрисы пере-
перекрылись бы (рис. 5.22), отсюда название — критерий перекрытия.
Разложив стандартное разложение E.3.32) вблизи одного из та-
таких периодических резонансов по малым К, мы получим, что раз-
192
Глава 5
Рис. 5.22. Схематическое изображение
траекторий с периодом 1 и периодом 2 и
сопутствующих квазипериодических тра-
траекторий для стандартного отображение,
используемого при выводе критерия Чи-
рикова.
мер области, ограничиваемой соответствующей сепаратрисой, со-
ставляет величину
Д, = 4К1'2,
Дг = К. E.3.33)
В каждом из разложений не учитываются влияние остальных резо-
нансов. Условие перекрытия состоит в том, что Д, + Д2 = 2т, или
4К1/С2 + Кс = 2т. E.3.34)
Из уравнения E.3.34) находим: Кс = 1,46. Это значение является
оценкой сверху критического значения К = Кс для глобального хао-
хаоса, которое численно равно Кс * 1,0. Остальные подробности от-
относительно критерия перекрытия читатель найдет в книге Лихтен-
берга и Либермана [ПО].
Читатель с более практическим складом ума может задать себе
вопрос: а что произойдет, если ввести слабое затухание? В этом
случае некоторые из мультипериодических субгармоник станут
аттракторами, а овалы, окружающие эти аттракторы, перейдут в
спирали, ограничивающие периодические движения. Что произой-
произойдет при этом с консервативным хаосом? Из начальных условий в
тех областях, где был консервативный хаос, развиваются долгопе-
риодические переходные траектории, которые сначала блуждают
по фазовому пространству и лишь затем выходят на периодическое
движение. А как обстоит дело с реальными хаотическими движе-
движениями? При наличии затухания для возникновения их необходимо
гораздо большая сила (А" > 6), при которой появляется фракталс-
подобный странный аттрактор (рис. 3.5). Таким образом, рассмот-
рассмотренный в этом разделе критерий перекрытия полезен только для
строго консервативных гамильтоновых систем.
Критерии возникновения xaoiw
колебаний
193
КРИТЕРИИ ДЛЯ ДВИЖЕНИЙ В ПОТЕНЦИАЛАХ С МНОГИМИ ЯМАМИ
В этом разделе мы опишем частный критерий для хаотических
колебаний в задачах с потенциалом, имеющим много ям. К числу
таких задач относится продольный изгиб балки (гл. 2) и магнитный
дипольный двигатель с многими полюсами. В физике твердого те-
тела междоузельный атом, внедренный в регулярную решетку, мо-
может иметь несколько положений равновесия. Нередко силы, дейст-
действие которых приводит к такого рода движениям, являются потен-
потенциальными. Пусть [qt] — набор обобщенных координат, a V{qt) —
потенциал, связанный с консервативной частью силы, такой, что
-bV/bqt есть обобщенная сила, соответствующая ;-й степени сво-
свободы (координате ?,). Для одной степени свободы частный случай
уравнений движения имеет вид
BV
Я + УЯ +j- = /cosco/
E.3.35)
(учтены линейное затухание и периодическая вынуждающая сила).
Как показано на рис. 5.23, потенциал V{qt) имеет много локальных
минимумов, соответствующих устойчивым положениям равнове-
равновесия. При малых вынуждающих силах система совершает периоди-
периодические колебания в одной из потенциальных ям. При большей вы-
вынуждающей силе движение «расплескивается» и «заполняет» другие
ямы, отчего нередко возникает хаос. Критерий, о котором сейчас
идет речь, позволяет определить, при какой амплитуде вынуждаю-
V(q)
Рис. 5.23. Потенциал с многими
ямами н соответствующее ему
разбиение фазовой плоскости.
13-161
194 Глава 5
щей силы периодическое движение в одной потенциальной яме за-
хватывает другую яму.
Для иллюстрации этого критерия рассмотрим частицу в сим-
симметричном потенциале с двумя ямами (например, задачу о про-
продольном изгибе балки из гл. 2):
Я + 1Я ~ | «7A - Я2) = /cos«/. E.3.36)
Так как нас интересует критерий перехода от периодического дви-
движения к хаотическому, воспользуемся стандартной теорией возму-
возмущений и выведем соотношение между амплитудой вынужденного
движения < q2 > « > означает усреднение по времени) и параметра»
ми у, f и со, а затем попытаемся найти критическое значение
<<72> е= Ас, не зависящее от вынуждающей амплитуды, т. е.
<<72> = gG, w, /) = Ac(w). E.3.37)
Левая часть соотношения (S.3.37) получена с помощью классичес-
классической теории возмущений, а правая основана на эвристическом посту-
постулате.
Чтобы реализовать эту программу для потенциала с двумя яма»-
ми, запишем уравнение E.3.36) в координатах, центрированных от-,
носительно одного нз положений равновесия:
V = Я - 1.
Чтобы получить параметр возмущения, запишем у\ = цХ. Тогда
уравнение движения примет следующий вид:
X + уХ + Х(\ + 1 цХ + - ц2Х2) = -cos(wf + ф0). E.3.38)
Фазовый угол ф0 выбран так, что в первом порядке теории возму-
возмущения движение X было пропорционально cos со л Результирующее
периодическое движение при малых / имеет вид
X = C0cosw/ + м(С, + C2cosco0 + ii2Xy(t). E.3.39)
Используя либо метод Дуффинга, либо метод возмущений Линд-
штедта (см., например, [180]), получаем соотношение между ам-
амплитудой вынуждающей силы и другими параметрами задачи:
0*С0J[[A - „2) - 2 (^СоЯ* + Т2) = Л E-3.40)
Опираясь на результаты численных экспериментов, мы постули-
постулируем существование критической скорости. Мы предполагаем, что
хаос близок, когда максимальная скорость движения близка к мак-
Критерии возникновения хаотических колебаний
195
свмальной скорости на сепаратрисе в фазовом пространстве (на фа-
фазовой плоскости) незатухающего осциллятора в отсутствие вынуж-
вынуждающей силы. В исходных переменных этот критерий (см.
ряс. 5.24) имеет вид соотношения
a
E.3.41)
где а — величина, близкая к единице. Подставляя соотношение
E.3.41) в E.3.40), получаем нижнюю границу на основе критерия
хаотических колебаний:
E-3-42)
Это выражение было экспериментально проверено автором той
книги [136] и, как видно из рис. 5.2, а = 0,86, по-видимому, дает
превосходное согласие с экспериментальными границами хаоса.
При слабом затухании этот критерий дает гораздо лучшую грани-
границу, чем критерий с гомоклинической траекторией, использующий
функцию Мельникова.
Как показано на рис. 5.24, этот критерий аналогичен критерию
крекрытия, предложенному Чириковым, а именно: хаос возника-
возникает, когда регулярное движение становится слишком интенсивным.
Метод, кратко изложенный в этом разделе, был также исполь-
использован при решении задачи с потенциалом, имевшим три ямы, и
был успешно подтвержден в экспериментах с колеблющейся бал-
балкой, имевшей три положения равновесия [106].
Дауелл и Пезешки [31] предложили другой эвристический крите-
критерий для задач о потенциале с двумя ямами E.3.36). Вместо того
Рис. 5.24, Критерий перекрытия реэо-
нансов для задачи с потенциалом, имею-
имеющим много ям, на основе полуклассиче-
полуклассических методов анализа.
196
Глава 5
-0.6 h
-0.8
-1,6 -1,2 -0.8
0.8
1,2
-0,4 0 0.4
Перемещение
w = Mq = 0,1974 периода
7 = 0,168
Рис. 5.25. Области притяжения для различных начальных условий в задаче об осцил-
осцилляторе в потенциале с двумя ямами [31] (American Society of Mechanical Engineer, ©
1985).
чтобы сравнивать размеры периодических траектории с размерам!
траекторий в задаче без затухания и в отсутствие вынуждающей
силы, зги авторы сравнили размеры предхаотических, периодиче-
периодических субгармонических траекторий для осциллятора под действием
вынуждающей силы с размерами границы области притяжения для
задачи с затуханием, но без вынуждающей силы (рис. S.2S). Эта
граница представляет собой множество начальных условий (А@),
Л@)), при которых траектории идут к левому или к правому поло-
положению равновесия, не пересекая геометрического места точек
А = 0. Дауэлл и Пезешки, используя численное моделирование, за-
заметили также, что вынужденное движение становится хаотическим,
когда амплитуда /0 вынуждающей силы больше того значения, при
котором периодическая орбита касается границы области притяже-
притяжения. (Более подробно о границах областей притяжения см. гл. б.)
Критерии, полученные на основе классического анализа возму-
возмущений. У тех, кто делает первые шаги в области нелинейной дина-
динамики, под влиянием сложившихся сейчас направлений в исследова-
исследованиях может создаться неверное представление о том, что до от-
открытия детерминированного хаоса эта область пребывала в состоя-
состоянии глубокой спячки. Однако существует обширная литература,
описывающая математические методы теории возмущений для вы-
вычисленных первичных и субгармонических резонансов, а также ха-
Критерии возникновения хаотических колебаний 197
рактеристик устойчивости решений нелинейных систем (см., напри-
например, монографию Найфаха и Мука [148]). Неудивительно поэтому,
до стали появляться работы, авторы которых пытаются исполь-
использовать для нахождения критериев хаотического движения более
классические методы анализа. Например, Найфах и Хдейр [149] ис-
используют теорию возмущений для предсказания бифуркаций удвое-
удвоения и утроения периода как предвестников хаотических колебаний
морских судов на регулярном волнении.
В другой работе Шемплинска — Ступницка и Байковский [186]
исследовали осциллятор Дуффинга, с которым проводил экспери-
эксперименты Уэда C.2.25). Используя теорию возмущений, эти авторы
нашли субгармонические решения и с помощью классического ана-
анализа устойчивости установили связь между возникновением хаоса и
потерей устойчивости субгармониками. Свои выводы эти авторы
проверили на численном эксперименте. По их мнению, в аттракто-
аттракторе Дуффинга — Уэды C.2.35) хаотическое движение является пере-
переходной зоной между субгармоническими и резонансными гармони-
гармоническими решениями.
Хотя автор настоящей книги глубоко убежден в том, что хаоти-
хаотическое движение по самой своей природе более тесно связано с та-
такими математическими образами, как отображения типа подковы,
фракталами и гомоклиническими траекториями, использование по-
полуклассических методов теории возмущений может давать для не-
некоторых классов нелинейных систем более удобные с практической
точки зрения аналитические критерии хаоса.
5.4. ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА
До сих пор мы рассматривали в основном прогностические кри-
критерии хаоса. В этом разделе мы опишем способ, позволяющий диа-
гносцировать, находится ли исследуемая система в хаотическом со-
состоянии или нет. Хаос в детерминированных системах подразуме-
подразумевает чувствительную зависимость от начальных условий. Это озна-
означает, что две траектории, близкие друг к другу в фазовом про-
пространстве в некоторый начальный момент времени, экспоненциаль-
экспоненциально расходятся за малое в среднем время. Если d0 — мера начально-
начального расстояния между двумя исходными точками, то, спустя малое
время t, расстояние между траекториями, выходящими из этих то-
точек, становится равным
</(/) = 4,2х'. E.4.1)
Если система описывается разностными уравнениями или отобра-
198
жекием, то
Глава 5
dn =
E.4.2)
[Основание 2 выбрано в соотношениях E.4.]), E.4.2) из соображе-
соображений удобства, а в остальном произвольно.] Величины X и Л называ-
называются показателями Ляпунова^.
Превосходный обзор по показателям Ляпунова и их использова-
использованию в экспериментах для диагностики хаотического движения опуб.
ликованы Вулфом и др. [209]. В этом же обзоре помещены две по-
полезные компьютерные программы для вычисления показателей Ля-
Ляпунова.
Экспоненциальная расходимость хаотических траекторий может
быть только локальной, так как если система ограниченна (а боль-
большинство физических экспериментов ограниченно), то d(t) не может
возрастать до бесконечности. Следовательно, для того чтобы опре-
определить меру расходимости траекторий, необходимо усреднить экс*
поненциальный рост по многим точкам вдоль траектории, как по-
показано на рис. 5.26. Вычисление показателя Ляпунова начинается q
выбора реперной траектории [Вулф и др. [209] называют ее опор-
опорной траекторией], точки на соседней траектории и измерения вели-
величины d( t)/d0. Когда расстояние d( t) становится слишком боль-
большим (т. е. рост его отклоняется от экспоненциального поведения),
экспериментатор находит новую «соседнюю» траекторию и опреде-
определяет новое начальное расстояние do( /). Показатель Ляпунова мож-
Рис. 5.26. Обший ход изменения расстояния между двумя соседними траекториями,
используемый для определения наибольшего показателя Ляпунова.
11 Обозначения для показателей и чисел Ляпунова не унифицированы. Например,
Лнхтенберг и Либерман [110] обозначают показатель Ляпунова через а, Шустер [169]
(так же, как Вулф и др. {209]) — через \. Гукенхеймер и Холмс [57] обозначают по-
показатель Ляпунова через ц, а Фармер и др. [36] обозначают через X число Ляпунова.
А. М. Ляпунов A857—1918) — русский математик, который ввел понятие показате-
показателя в своих исследованиях по обшей теории устойчивости в конце прошлого столе-
столетня.
Критерии возникновения хаотических колебания 199
но задать выражением
N
E.4.3)
Критерий хаоса в терминах показателя Ляпунова принимает следу-
следующий вид:
X > 0 — хаотическое движение,
E.4.4)
X < О — регулярное движение.
Должно быть, читатель уже понял, что без компьютера при вы-
вычислении показателя Ляпунова не обойтись ни в том случае, когда
данные берутся из численного моделирования, ни в том, когда их
источником служит физический эксперимент.
Вычислить X в явном виде удается лишь в очень немногочислен-
немногочисленных учебных примерах. Рассмотрим один из них, связанный с обо-
обобщением понятия «показатель Ляпунова» на одномерные отобра-
отображения:
*„+,=/(*„)• E.4.5)
Там, где функция /(х) гладкая и дифференцируемая, расстояние
между соседними траекториями измеряется величиной \df/dx\.
Чтобы убедиться в этом, введем два начальных условия: х0 и
х0 + е. Тогда в соотношении E.4.2)
d0 = ?,
е. E.4.6)
Следуя соотношению E.4.3), определить показатель Ляпунова
(или характеристический показатель) как
N
E.4.7)
В качестве иллюстративного примера воспользуемся отображе-
отображением Бернулли
хп+1 = 2хп (modi) E.4.8)
(рис. 5.27). Здесь (mod 1) означает дробную часть, т. е.
jf(modl) = х — целая часть ( х).
200
Глава 5
'.«i
0,5 1,0 I.
Рис. 5.27. Хаотическая траектория при отображении Бернулли xH+J = 2xn(modl).
Это отображение многозначно и, как известно, рождает хаос. За
исключением разрыва в точке х = 1/2, всюду в остальных точках
I/' I = 2. Из определения E.4.7) получаем Л = 1. Следовательно,
в среднем расстояние между соседними точками растет как
Единицами измерения показателя Ляпунова Л служат биты на
одну итерацию. Одна из интерпретаций Л состоит в том, что при
каждой итерации отображения теряется Л битов информации о на-
начальном состоянии. Чтобы убедиться в этом, запишем хп в двоич-
двоичной системе. Например, хп = A/2 + 1/4 + 1/16 + 1/128) =
= 0,1101001, a *(modl) означает l,101001(modl) = 0,101001. Таким
образом, отображение 2 хп (mod 1) сдвигает запятую на один знак
вправо и отбрасывает целую часть. Следовательно, если мы начи-
начинаем с т значащих знаков после запятой, то при каждой итерации
теряем по одному, т. е. теряем по одному биту информации.
После т итераций мы полностью утрачиваем информацию о
начальном состоянии системы.
Ранее в этой главе мы узнали, что логистическое, или квадра-
квадратичное, отображение становится хаотическим, когда управляющий
параметр а > 3,57:
= ахA -х„).
E.4.9)
Критерии возникновения хаотнч
1,0
iколебаний
201
3,8 *fi
Параметр а
рис. 5.28. Показатель Ляпунова как функция управляющего параметра а для логи-
логистического отображения E.4.9).
В этом можно убедиться, вычисляя показатель Ляпунова как функ-
функцию параметра а (рис. 5.28). При а > 3,57 показатель Ляпунова
становится отрицательным в окнах периодичности 3,57 < а < 4.
При а = 4, как было показано, X = In2 (см., например, Шустер
A691).
Другой пример отображения, для которого показатель Ляпуно-
Ляпунова удается вычислить в явном виде аналитически, — отображение
«домик»:
при х. < 1/2
— 2гхя при хп ^ 1/2
Как и в случае отображения Бернулли E.4.8) I/' (дгI = 2г есть
постоянная величина, и показатель Ляпунова оказывается равным
[110, с. 416—417]
X =
Мы видим, что X > 0 при 2г > 1, и движение становится хаотиче-
хаотическим, но X < 0 при 2г < 1, и траектории регулярны; все точки
О < х < 1 притягиваются к х = 0 [169, с. 22].
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА
Для каждого динамического процесса, будь то траектория, не-
непрерывно зависящая от времени или дискретная эволюция во вре-
времени, существует спектр показателей Ляпунова, или характеристи-
характеристических показателей, который говорит нам, как меняются в фазовом
пространстве длины, площади и объемы. Представление о спектре
202 Глава 5
таких чисел мы обсудим в следующем разделе. Что же касается
критерия хаоса, то для этого необходимо вычислить только наи-
наибольший показатель Ляпунова, который говорит, расходятся ли
(X > 0) или сходятся (X < 0) в среднем соседние траектории. До
сих пор никем не создан аналоговый компьютер для измерения по-
показателя Ляпунова, хотя не исключено, что какой-нибудь хитроум»
ный инженер изобретет нечто такое, коль скоро эта мера хаотиче-
хаотического движения по-прежнему будет считаться полезной. А пока вы-
вычисления показателей Ляпунова приходится проводить с помощью
цифровых ЭВМ, предпочтительно лабораторных компьютеров
средних масштабов, таких, как Micro Vax фирмы Digital Equipment
Corporation или аналогичных компьютеров. В нескольких работах
сообщались результаты, полученные с помощью быстродействую.
щего персонального компьютера PC.
Существуют два общих метода вычисления показаталей Ляпу,
нова: один для данных, порожденных известной системой диффе-
дифференциальных или разностных уравнений (потоков или каскадов),
второй — для данных из экспериментальных временных рядов. В
работе Вулфа и др. [209] обсуждаются оба эти метода, но, как по-
показывает наш собственный опыт, создание надежного алгоритма
для определения показателя Ляпунова по экспериментальным дан-
данным требует проведения дополнительных исследований. Мы крас-
красно рассмотрим метод вычисления показателя Ляпунова для систе-
системы дифференциальных уравнений вида
х = f(x; с), E.4.10)
где х — набор из п переменных состояния, ас — набор из п пара-
параметров. Более полное изложение этих методов можно найти в ра-
работе Симады и Нагасимы [174], в серии работ Беннетина и др.
(полная библиография которых приведена в работе [8]) и в работе
Уэды [197].
Основная идея вычислений, использующих соотношение E.4.3),
состоит в определении отношения расстояний между траекториями
d(tk)/d(tk_i). Один из методов состоит в численном интегрирова-
интегрировании системы уравнений E.4.10) с тем, чтобы получить опорное ре-
решение x*(t; Xg), где Хд — начальное условие. Затем на каждом вре-
временном шаге tk система E.4.10) интегрируется снова с какой-нибудь
соседней точкой х*(/А.) + ц в качестве начального условия. Но бо-
более прямой метод состоит в использовании уравнений E.4.10) для
нахождения вариации траекторий в окрестности выделенной (опор-
(опорной) траектории х*(Г). При таком подходе мы на каждом времен-
временном шаге tk решаем уравнения в вариациях
т, = А-,, E.4.11)
Критерии возникновения хаотических колебаний 203
где А — матрица частных производных Vf(x*(tk)). Подчеркнем,
что элементы матрицы А, вообще говоря, зависят от времени. Но
если бы матрица А была постоянной, то решение »/(/) в интервале
tk < t < lk+l зависело бы от начального условия. Если это началь-
начальное условие выбрано случайным образом, то q(/) с ненулевой веро-
вероятностью имеет составляющую в направлении наибольшего поло-
положительного собственного значения матрицы А. Изменение расстоя-
расстояний между соседними траекториями в этом направлении и есть то,
что характеризует наибольший показатель Ляпунова.
Схема вычислений выглядит следующим образом. Интегрируя
уравнение E.4.10), находим х*(/). Чтобы избавиться от всякого ро-
рода переходных процессов, мы выжидаем некоторое время и лишь
затем вычисляем d(t) (ведь по предположению, мы находимся на
устойчивом аттракторе). Когда все переходные процессы по наше-
нашему мнению затухают и становятся малыми, мы приступаем к инте-
интегрированию уравнений E.4.11), чтобы найти »/(/). Можно выбрать
1»/@I = 1, но произвольное начальное направление. Затем мы чис-
численно интегрируем уравнения ij = А(х*(О)*>/> учитывая изменения
в А из-за X*(t). [На практике уравнения E.4.10) и E.4.11) можно ин-
интегрировать одновременно.] По истечении заданного интервала
времени tk+l — tk = т мы получаем
d«k + i) = U(r; tk)\
= E 4 j2)
d(tk) li,@; tk)\ '
Чтобы начать новый шаг в E.4.3), выберем за новое начальное
условие направление вектора j/(t; tk), т. е. положим
'@; *¦¦>" &• EА|3)
где начальное расстояние нормировано на единицу.
Пример такого рода вычислений показан на рис. 5.29, где ре-
результаты численного интегрирования уравнения Дуффинга A.2.4) в
хаотическом состоянии представлены как функция времени, про-
прошедшего с начала счета (числа циклов). Интегрируемые уравнения
имели вид
х - у,
у = -ку - х3 + Bcosz, E.4.14)
z = 1.
Вычисляем матрицу производных правых частей
А =
Toil о
L-Зд:2 - к] - Bsinz
0 0 0
E.4.15)
204
Глава 5
0.2001
0.167
0.133
<" 0.100
0.067
0.033
0.000
0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0 300.0 350.0 400.0
Циклы
Рис. 5.29. Наибольший показатель Ляпунова для хаотического движения в потенциа-
потенциале с двумя ямами F.3.26) как функция времени (В = 10; к = 0,1).
Так как в действительности мы имеем дело с осциллятором, на
который действует периодическая вынуждающая сила, изменения
расстояний между траекториями в фазовом пространстве вдоль оси
z = t равны нулю, что находит свое выражение в строке нулей
матрицы А. Следовательно, для того чтобы найти в этой задаче
наибольший показатель Ляпунова, можно работать в проекции фа-
фазового пространства (х, у, z) на фазовую плоскость (х, у), исполь-
используя матрицу, стоящую в прямых скобках в левом верхнем углу мат-
матрицы А в E.4.15).
Для данных, приведенных на рис. 5.29, шаг по времени при чис-
численном интегрировании выбирался равным At = 0,01, а число ша*
гов по времени при интегрировании i}{t) — равным 10, или г = 0,1.
Внутренняя матрица в А E.4.15) вычислялась заново на каждом
временном шаге Д/ метода Рунге — Кутта.
Из рис. 5.29 видно, что X — статистическое свойство движения»
т. е. для получения надежного значения X необходимо усреднять из-
изменения расстояний между траекториями в течение длительного
времени. Кроме того, необходимо с большой осторожностью вы*
бирать и шаг по времени At при интегрировании уравнений по ме-
методу Рунге — Кутта, и шаг т для показателя Ляпунова.
Сравнение показателей Ляпунова при различных значениях пара-
параметров в уравнении Дуффинга проведено в табл. 5.1. Изложенный
Критерии возникновения хаотических колебаний 205
Таблица 5.1. Сравнение вычисленных значений показателя Ляпунова для уравнения
дуффинга х + кх + х3 = В cos t при различных значениях к и В
к
0,1
0,1
0.1
0.1
0,1
0,1
В
9,9
10
11
12
13
13,3
Шаг по времени при
которое выбираются
- 800т.
(Эта книга)
X,
0,012
0,094
0,114
0,143
0,167
0.174
интегрировании по
Уэда [197]
X.
0,065
0,102
0,114
0,149
0,182
0,183
методу Рунге — Кутта Д/ = 0,01;
новые начальные данные — 10Д/; полное время счета
Х2
-0,166
-0,202
-0,214
-0,249
-0,282
-0,284
время, через
— 400 циклов
выше алгоритм вычисления показателей Ляпунова оказался весьма
полезным при построении эмпирических критериев хаоса и диа-
диаграмм. Имея доступ к быстродействующим компьютерам (так на-
называемым суперкомпьютерам), можно вычислить X как функцию
параметров задачи [вектора С в E.4.10)]. Например, можно вы-
выбрать с = (к, В) в уравнении Дуффинга и найти X для 100х 100 пар
значений к я В. Если X > 0, то компьютер печатает какой-нибудь
условный символ, если X < 0 — оставляет пробел. Такие численно
построенные диаграммы полезны при поиске возможных областей
в пространстве параметров, в которых могут существовать хаоти-
хаотические движения (см. рис. 5.3). Но с учетом всякого рода «капри-
«капризов» численных методов при установлении хаотического характера
той или иной области не следует целиком полагаться на изложен-
изложенную выше процедуру. Для подтверждения хаотического характера
движений в исследуемой области следует привлекать и другие ме-
методы: спектральный анализ, отображения Пуанкаре, вычисление
фрактальной размерности.
Показатели Ляпунова и функции распределения. Вычисление по-
показателя Ляпунова E.4.3) можно рассматривать как усреднение по
времени, или итерацию, отображения E.4.5). Если известна функ-
функция плотности вероятности, позволяющая находить вероятность
того, что определенные траектории окажутся в заданной области
фазового пространства, то усреднение по времени можно заменить
усреднением по пространству (в фазовом пространстве). Эту идею
использовали несколько исследователей: Эверсон [35]; Хсу [84]. По-
Покажем, в чем здесь дело, на примере двумерного отображения (сле-
ДУя работе Эверсона [35]).
206 Глава 5
Напомним, что, когда система хаотична, по крайней мере один
показатель Ляпунова у нее больше нуля. Начнем с расстояния меж-
между соседними траекториями хл и ул. Это расстояние определяется
величиной dn = 1хя — уя1, и показатель Ляпунова равен
EАЛ6)
Если существует инвариантная функция распределения вероятности
р(х), то показатель Л может быть вычислен по формуле
Л = [ f iog^tip(«, v) dudv, E.4.17)
где фазовое пространство предполагается двумерным с х = (и, v).
Функция плотности вероятности удовлетворяет условию норми-
нормировки
\\р(и, v) dudv = 1,
где интеграл берется по всему фазовому пространству.
Эверсон применяет подход, основанный на использовании
функции плотности вероятности, к отображению, связанному с
задачей о прыгающем шарике C.2.9) и со стандартным отображе-
отображением E.3.32)
8«+i = К + BVH (mod2x),
E.4.18)
v«+i = eVn + A + e)(l + sinOn + 1).
Эта задача аналогична задаче, рассмотренной Холмсом [75], где
0 < е < 1 учитывает диссипацию, a BVn соответствует скорости
шарика, отскакивающего от платформы после п-то соударения (см.
рис. 3.5, а).
Эверсон использует два обстоятельства, лля того чтобы приме-
применив к отображению E.4.18) определение показателя E.4.17), вычис-
вычислить наибольший показатель Ляпунова. Во-первых, он замечает,
что, судя по данным численного экперимента, инвариантная функ-
функция распределения не зависит от фазы в, поэтому в полярных коор-
координатах
EA19)
Критерии возникновения хаотических колебаний
207
Во-вторых, ему удается вывести приближенное выражение для
отношения dn+1/d , показав, что при
e)cosfll,
E.4.20)
т. е. не зависит от скорсти. С помощью соотношений E.4.19) и
E.4.20) Эверсон вычисляет
Л = log
В{\ + е)
E.4.21)
что дает очень хорошее согласие с результатами численных расче-
расчетов.
Используя тот же подход в другой задаче, Хсу [84] исходит из
определения E.4.17), но находит функцию плотности вероятности
численно с помощью так называемого отображения ячейки в ячейку
(см. работы Хсу [83, 84] и Крейцера [96]). Дальнейшее развитие ме-
методов построения инвариантных функций распределения вероятно-
вероятности, возможно, приведет к более широкому применению их для на-
нахождения показателей Ляпунова.
СПЕКТР ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА
До сих пор мы говорили только о растяжении расстояния меж-
между траекториями в хаотическом процессе. Однако в случае трех и
большего числа измерений, как известно, области фазового про-
пространства могут не только растягиваться, но и сокращаться в ходе
динамического процесса. В частности, в случае диссипативных си-
систем малый объем начальных условий отображается на еще мень-
меньший объем в более поздний момент времени. Схематически это по-
показано на рис. 5.30, где малая сфера начальных условий радиуса 6
отображается при t > t0 в эллипсоид с главными осями Qi,
Рис. 5.30. Расходимость траекторий, выходящих из малой сферы начальных усло-
условий, прн хаотическом движении.
208
Глава 5
/*??). Таким образом, для каждой динамической системы существу*
ет спектр показателей, или чисел, Ляпунова (X,), X, = log/*,-
С вычислительной точки зрения этот спектр может быть найдеа
по траектории в фазовом пространстве, если мы будем знать, как
эволюционируют в ходе динамического процесса длины, площади,
объемы и гиперобъемы. Вулф и др. [209], используя эту идею, разра-
разработали алгоритм для вычисления (X,). Если X, упорядочены так, что
X, > Xj > ... > Х„, то, как показали Вулф и др., длины (расстояния
между траекториями) изменяются по закону d(t) * </02V, площади
(треугольников, одна вершина которых находится на опорной трае*.
тории, а две другие в соседних с траекторией точках) — по закону
А( t) « i4p2"[Xl+X2)', малые объемы— по закону V(t)
ж у Фч+h+h) I и т# д.
Фармер и др. [36] дают аналитическое определение полного-
спектра показателей Ляпунова и приводят пример, когда спектр [ХД
может быть вычислен явно. Оставшуюся часть этой главы мы по-
посвятим краткому изложению схемы вычисления показателей Ляпу-
Ляпунова для двумерного отображения. Многие из деталей мы опуска-
опускаем. Те из читателей, для которых эти подробности представляют
интерес, могут найти их в статье Фармера и др. [36]. Начнем с рас-
рассмотрения общего /V-мерного отображения
х„+1 = Р(х„), E.4.22)
где Хц — вектор в /V-мерном фазовом пространстве. Изменение
формы малой гиперсферы зависит от производных функции F(x,)
по различным компонентам вектора хл. Соответствующая матрица
называется матрицей Якоби. Например, если
то
= (Л*. У, z), g(x, у, г), h(x, у, z)),
df df df
дх ду dz
J =
g
дх ду dz
. дх
djh ЪИ_
~ду dz.
(VF].
E.4.23)
После п итераций отображения локальная форма исходной гипер-
гиперсферы зависит от
UJ = [VF(xFI)][VF(xn_,)]...[VF(x1)].
E.4.24)
Критерии возникновения хаотических колебаний
209
0 общем случае можно найти собственные значения матрицы «1Я и
расположить их в порядке у,(я) ^ j2(n) ^ ... ^ jN(n), где jk(n) —
абсолютные величины собственных значений. Тогда показатели Ля-
Ляпунова определяются с помощью предельного перехода
х< = Д15й
E.4.25)
Это определение Фармер и др. проиллюстрировали на примере
двумерного отображения, известного под названием «преобразова-
«преобразование пекаря» (рис. 5.31) (такое название связано с тем, что операции,
производимые над квадратом при этом отображении, напоминают
ie, которые производит пекарь, раскатывая кусок теста). Преоб-
Преобразование пекаря аналогично описанному в гл. 1 отображению типа
«подкова». Преобразование пекаря задается следующими формула-
формулами: у
г * при у <
1/2,
при у > 1/2,
E.4.26)
Рис. 5.31. Преобразование пекаря.
210 Глава 5
при у < 1/2,
¦
v . i =
— — ) при у > 1/2.
Преобразование пекаря можно рассматривать как обобщение ото-
отображения Бернулли E.4.8), с которым мы познакомились в преды,
душем разделе. Для преобразования пекаря матрица Якоби имеет
следующий вид:
¦'-'oil' E427>
где S, = Хв при у < 1/2 и S, = \ при у > 1/2.
При итерациях отображения собственные значения переходят в
у,(л) = 2я, у2(я) = Х*Х'6, к + I = п,
где к — число итераций в левой полуплоскости, а / — число итера-
итераций в правой полуплоскости. По определению показателя Ляпунова
E.4.25),
.. I.
Здесь мы используем предположение о том, что после многих ите-
итераций траектория проводит в левой полуплоскости столько же вре-
времени, сколько в правой полуплоскости, или
* = I L = -
п 2' п ~ 2'
поэтому
Зная эти два показателя Ляпунова, можно вычислить для преобра-
преобразования пекаря фрактальную размерность. Связь между показате-
показателями Ляпунова и фрактальными размерностями была исследована
Фармером и др. [36] и кратко обсуждается в гл. 6.
Спектры показателей Ляпунова для некоторых динамических
потоков и отображений представлены в табл. 5.2, заимствованной
из работы Вулфа и др. [209].
В качестве заключительного замечения о критериях хаоса автору
Критерии возникновения хаотических колебаний
5.2. Показатели Ляпунова для динамических моделей [209]
211
Система
Система Энона
л+1 = 1 -ах1+у.
*+¦ = **•
Хаос Ресслера
X = - 0- + г)
f = х + ay
l*b + z(x - с)
Система Лоренца
t=o(y- x)
f*x(r-z)-y
i^xy-bz
Пшерхаос Ресслера
jr= -0- + г)
jfs x + ay + w
t= ft + xz
* = ctf - «ft
Значения
параметров
в = 1,4
Ь = 0,3
в = 0,15
ft = 0,20
с = 10,0
а = 16,0
Л = 45,92
6 = 4,0
в = 0,25
ft = 3,0
с = 0,05
rf = 0,5
Спектр
показателей
Ляпунова (бит/с)
X, = 0,603
\г = -2,36
(бит/итерация)
X, = 0,13
Х2 = 0,00
Хз = -14.1
X, = 2,16
Х2 = 0,00
Хз = -32,4
Xi = 0,16
Х2 = 0,03
Хз = 0,00
Х« = -39,0
Размерность
Ляпунова
(см. гл. б)
1,26
2.01
2,07
3,005
хотелось бы привести следующее стихотворение итальянского поэ-
поэта Ф. Луна:
УДВОЕННЫЙ ВЕСТЕРН
Фейгенбаум, ковбой,
Мчался с ранчо домой,
Велоконь был весь в мыле, и вдруг
Что-то где-то стряслось в городке или в мире
И колес у коня стало целых четыре,
И всего стало вдвое вокруг.
Смейл*, шериф, неулыбчив и строг:
«Раз период удвоил, отправляйся в острог!»
Холмс, судья, воплощеньем был рвенья,
Мигом штраф наложил он за удвоение
И спросил у ковбоя: «Вы вполне ли здоровы?
Вижу, конь у вас есть, ну а где же подковы?»
... Славный городишко тот
Хаосом народ зовет.
'' Стивен Смейл — математик, который в 1962—1963 гг. продолжил работу, на-
начатую Пуанкаре и Биркгофом, и доказал теоремы, связывающие отображения типа
подковы с гомоклиническими траекториями и хаосом (более подробно о работе
Смейла см. в книге Гукенхеймера и Холмса [57]).
6. Фрактальные понятия
в нелинейной динамике
Видите, мои братья и сестры?
Это ие хаос, не смерть —
это порядок, единство, план —
это вечная жизнь, это Счастье.
Уолт Уитмен. Листья травы
6.1. ВВЕДЕНИЕ
Для описания непериодических движений, напоминающих по
сложности случайные (а именно таким движениям посвящена наша
книга), мы использовали термины «хаотический» и «странный»
аттрактор. Называя аттрактор хаотическим, мы подчеркиваем по-
потерю информации или предсказуемости. Называя аттрактор стран
ным, мы прежде всего стремимся подчеркнуть необычность гео-
геометрической структуры, по которой движется траектория в фазо
вом пространстве. В гл. 5, используя показатели Ляпунова, мы
описали количественную меру хаотичности, или потери информа-
информации. В этой главе мы опишем количественную меру странности
аттрактора. Эта мера называется фрактальной размерностью. Но
прежде чем мы займемся фрактальной размерностью, нам необхо-
необходимо ввести понятие фрактала в таком виде, чтобы его было удоб-
удобно использовать для наших целей.
Выяснилось, что фрактальные понятия применимы не только в
описанию структуры динамического аттрактора: в ходе исследова-
исследований хаоса было установлено, что и другие геометрические объекты,
такие, как граница между хаотическими и периодическими движе-
движениями в пространстве начальных условий или параметров, также
обладают фрактальными свойствами. Учитывая это, мы посвятили
специальный раздел фрактальным границам области притяжения.
В начале этой книги мы отмечали, что революция в нелинейной
динамике была вызвана введением новых геометрических аналити-
аналитических и топологических идей, вооруживших экспериментаторов (к
числу которых мы относим не только тех, кто проводит физиче-
физические эксперименты, но и тех, кто занимается численным экспери-
11 Уитмен У. Листья травы. — М.: Художественная литература, 1982, с. 9>.
Песня о себе. Пер. К. И. Чуковского.
214 Глава б
Рис. 6.1. Фрагмент построения фрактальной кривой Кох.
(рис. 6.1). Таким образом, мы остаемся с 4 звеньями длиной 1/3
каждое, поэтому общая длина ломаной составляет 4/3. Чтобы по-
построить фрактальную кривую, повторим этот процесс на каждом
звене ломаной еще и еще раз. После многих повторений ломаная
станет очень извилистой. В пределе при бесконечно большом числе
шагов мы получаем непрерывную, нигде не дифференцируемую
кривую. В некотором смысле эта кривая напоминает «каракули»
которыми маленький ребенок покрывает лист бумаги, если дать
ему карандаш. Перед нами парадокс: непрерывная кривая с ненуле
вой «площадью». Не удивительно поэтому, что для такой кривой
можно определить фрактальную размерность, и эта величина ока-
оказывается заключенной в интервале от 1 до 2.
КАНТОРОВСКОЕ МНОЖЕСТВО
Канторовское множество было названо в честь Георга Кантора
A845—1918), открывшего его в 1883 г. Это понятие играет очень
важную роль в современной нелинейной динамике. Построение кри-
кривой Кох можно рассматривать как процесс добавления к первона-
первоначальному отрезку все более мелких деталей (отрезков). Построение
канторовского множества сводится к дополнительной операции —
выбрасыванию из первоначального отрезка все более мелких отре-
отрезков.
Построение, как и в предыдущем примере, начинается с отрезка
длины 1, который подразделяется на 3 равные части (рис. 6.2). Од-
Однако вместо того, чтобы добавлять 2 новых подотрезка, как в кри-
кривой Кох, необходимо отбросить среднюю часть, после чего число
отрезков возрастает до 2, а полная длина их понизится до 2/3. За-
Затем процесс повторяется на каждом из оставшихся отрезков и т. д.
На каждом этапе отбрасывание средней трети удваивает число от-
отрезков, но уменьшает обшую длину отрезков до 2/3 ее величины
перед отбрасыванием. В пределе полная длина канторовского мно-
множества стремится к нулю, хотя его размерность, как мы увидим
ниже, заключена между 0 и 1.
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
215
Г
о
I
т
I
— - — -I
рис. 6.2. Сверху вниз: последователь-
последовательные этапы построения канторовского
множества.
О 0.5 1.0
Рис. 6.3. Функция «чертова лестница».
ЧЕРТОВА ЛЕСТНИЦА
Разрывное фрактальное канторовское множество можно исполь-
использовать для построения непрерывной фрактальной функции, инте-
интегрируя заданную на канторовском множестве подходящую функ-
функцию распределения. Предположим, например, что мы каким-то об-
образом распределили на интервале 0 < х < 1 единичную (в каких-то
единицах) массу. Если эту массу перераспределять на остающихся
интервалах, то на каждом этапе предельного перехода плотность
массы возрастает на убывающих по длине канторовских отрезках,
но полная масса остается равной 1. На я-м этапе число интервалов
длиной A/3)" равно 2я, поэтому плотность равна C/2)". Интегри-
Интегрируя плотность массы, получаем массу как функцию координаты х:
Мп(х)= \pH(x)dx,
где рп = C/2)" на канторовских отрезках и рп = 0 на дополнении к
ним. В пределе при л — оо мы получаем функцию, которая называ-
называется чертовой лестницей — с бесконечно большим числом ступе-
ступеней. На рис. 6.3 показана одна из промежуточных функций Мп(х);
в пределе М(х) = lim Mix). Выражение dM(x)/dx есть не что
п—оо "
иное, как бесконечный набор дельта-функций.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Мы успели ознакомиться с 2 примерами фрактальных мно-
множеств, но не располагаем пока ни одним критерием для того, что-
чтобы определять, фрактально ли то или иное точечное множество.
Для классификации природы отображения Пуанкаре некоторых не-
216
Глава б
линейных систем нам также необходима какая-то количественная
мера фрактальной природы аттрактора.
Размерность точечного множества можно определить многими
способами. Мы опишем весьма наглядное, или геометрическое,
определение размерности, называемой емкостью. Другие определе»
ния, связанные с более глубокими математическими тонкостями»
читатель может найти у Мандельброта') [124], Фармера и др. [36]
или в следующем разделе. Начнем с размерности множества точек,
расположенных вдоль некоторой линии или распределенных по
какой-то части плоскости.
Прежде всего рассмотрим равномерное распределение No точек
вдоль некоторой линии, или одномерного многообразия в трехмер-
трехмерном пространстве (рис. 6.4). Спросим себя, каким образом можно
покрыть это множество точек малыми кубами с ребром длиной е.
(Вместо кубов можно взять сферы радиуса е.)
Если говорить точнее, то мы хотим вычислить минимальное
число таких кубов N(e), покрывающих наше множество
(N(e) < No). Если число No велико, то число кубов, покрывающих
линию, будет изменяться в зависимости от е как
N(e) * - .
е
Аналогично, если точки распределить равномерно по двумерной
поверхности в трехмерном пространстве, то минимальное число ку-
Рис. 6.4. Покрытие для линейного и
плоского распределения точек.
" Бенуа Мандельброт — математик, работающий в фирме IBM (г. Йорктаун-
Хайтс, шт. Нью-Йорк).
218 Глава б
Одна из возможных интерпретаций фрактальной размерности кри.
вой Кох сводится к утверждению о том, что распределение точек
покрывает больше чем линию, но меньше чем двумерную фигуру.
Двумя другими примерами множеств, для которых удается точ-
точно вычислить фрактальную размерность, служат множества, воз*
никающие при отображении «подкова» и преобразовании пекаря.
Отображение типа подковы было подробно рассмотрено в гл. 1
и 5. Наглядно оно представлено на рис. 6.5. По-видимому, это про-
простейший пример итеративного динамического процесса на плоско-
плоскости, который ведет к потере информации и фрактальным свойст-
свойствам.
Вычисление емкостной фрактальной размерности для отображе-
отображения типа подковы производится по аналогии с тем, как это было
сделано в случае канторовского множества, за исключением того,
что вертикальное направление дает вклад в размерность, равный 1.
Используя определение F.1.2), можно показать, что
dc = r^f-r + 1, F.1.5)
' log lei
где e — параметр сжатия и 0 < e < 1/2; см. работу Берже и др.
[11], где подробно обсуждается этот пример.
Другим примером, в котором фрактальные свойства удается
рассчитать аналитически, служит двумерное отображение, извест-
известное под названием преобразование пекаря. Описание его можно
найти у Фармера и др. [36]. Это отображение аналогично отобра-
отображению типа подковы (рис. 6.5). Свое название двумерное отобра-
отображение, о котором идет речь, получило потому, что оно напоминает
операции, производимые пекарем с куском теста: раскатывание,
растягивание, разрезание и перекладывание (рис. 6.6). В этом при-
примере удается выписать в явном виде разностное уравнение, связы-
связывающее старое положение (хп, уп) «куска теста» с его новым поло-
положением через одну итерацию:
Кхп "Ри Уп < «•
=
при у„ > а,
F.1.6)
,/а при уп < а,
1
1-а
(у„-а) при .у, > а,
где 0 ^ х„ ^ 1 и 0 s? у„ ^ 1.
У1
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
у
219
Рис. 6.5. Отображение «подкова».
Статья Фармера и др. [36] на-
написана весьма доступно, и поэтому
мы не будем входить здесь в дета-
детали, а ограничимся изложением ре-
результатов. Фармер и его соавторы
воспользовались задачей, чтобы
продемонстрировать различия
между несколькими определениями
фрактальной размерности. Они
ввели следующую функцию:
Н(а) = a log - +
а
+ A - a) log
1-а
F.1.7)
Используя определение емкости
множества, показали, что
dc = 1 + dc, F.1.8)
где dc удовлетворяет трансцен-
трансцендентному уравнению
F.1.9)
О А.
/¦tic. 5.6. Преобразование (или
отображение) пекаря.
при Хо ss \ь = X имеем
log 1X1
F.1.10)
220 Глава б
Величина dc не зависит от а и совпадает с аналогичной размернос-
размерностью для отображения типа подковы F.1.S).
Художники, по-видимому, интуитивно понимают природу фрак-
фрактальных множеств. Это в особенности относится к импрессиони-
импрессионистам, которые с помощью цветных мазков-точек создают различ-
различные эффекты заполнения евклидова пространства. Можно привести
и более свежий пример: фрактальные свойства отчетливо видны на
рекламном рисунке ткани для кимоно работы одного японского ху-
художника, помешенном в популярном журнале (рис. 1.26).
6.2. МЕРЫ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Существуют два возражения против использования емкости в
качестве меры фрактальной размерности странных аттракторов —
одно теоретическое и одно вычислительное. Во-первых, емкостная
размерность — геометрическая мера, т. е. она не учитывает часто-
частоту, с которой траектория посещает элемент покрытия (куб или
шар). Во-вторых, подсчет гиперкубов, образующих покрытие мно-
множества в фазовом пространстве, требует очень больших затрат вы-
вычислительного времени. В этом разделе мы рассмотрим три аль-
альтернативных определения фрактальной размерности, которые вос-
восполняют недостатки емкости. Следует отметить, однако, что для
многих странных аттракторов эти различные размерности дают
примерно одно и то же значение.
ПОТОЧЕЧНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Рассмотрим какую-нибудь траекторию в фазовом пространстве
на протяжении продолжительного интервала времени (рис. 6.7).
Произведем, во-первых, некоторую выборку точек с тем, чтобы
получить на траектории достаточно большое число представляю-
представляющих точек. Во-вторых, опишем вокруг какой-нибудь точки на тра-
траектории сферу радиуса г (или куб с ребром г) и подсчитаем число
выборочных точек N(r), попавших внутрь сферы. Вероятность то-
того, что выборочная точка окажется внутри сферы, мы получим,
разделив N(r) на полное число выборочных точек на траектории:
Р(г) = *!?1 . F.2.1)
Для одномерной орбиты, например для замкнутой периодической
орбиты, вероятность Р{ г) линейна по г при г — 0, No — оо;
Р( г) = Ьг. Если бы траектория была квазипериодической и, на-
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
у
221
Траектория
в фазовом
пространстве
Выборочные точки
Рис. 6.7. Траектория движения в фазовом пространстве за большой промежуток вре-
времени с выборочными точками и сферой, внутри которой производится подсчет вы-
выборочных точек.
пример, лежала бы на некоторой двумерной тороидальной поверх-
поверхности в трехмерном фазовом пространстве, то вероятность найти
точку траектории в малом кубе или сфере радиуса г составляла бы
величину Р( г) * br2. Это наводит на мысль об определении раз-
размерности траектории в точке х,- (где х,. — вектор в фазовом про-
пространстве) путем измерения доли времени, проводимого траектори-
траекторией внутри малой сферы, т. е.
г-0
log г
F.2.2)
Для некоторых аттракторов это определение не зависит от точки
х,. Но для многих других аттракторов dp зависит от х,, и поэтому
лучше пользоваться усредненной поточечной размерностью. Кроме
того, для некоторых множеств, таких, как канторовское множе-
множество, в распределении точек имеются щели, или пробелы, поэтому
и Р( г) при г — 0 перестает быть непрерывной функцией от г
(вспомним хотя бы дьявольскую лестницу, изображенную на
рис. 6.3).
Чтобы получить усредненную поточечную размерность, выби-
выбирают случайным образом множество точек М < No и в каждой его
точке вычисляют </я(х{). После того как это сделано, усредненная
поточечная размерность вычисляется по формуле
В качестве альтернативы можно усреднять вероятности Р( г; х().
Для этого мы выбираем случайное подмножество из М точек, рас-
222 Глава 6
положенных вокруг аттрактора (Л/ <s NQ), и предполагаем, что
м
lim ' ? Р{г; х,) = аг*р,
или
= lim .
" г _ 0 lOg Г
На практике No * 10*—10* точек, поэтому М * 10~2—10*.
Другой метод вычисления фрактальной размерности состоит в
усреднении по радиусам сфер (или размерам кубов) в фазовом про-
пространстве, содержащих одно и то же число точек (например, N то-
точек). Выбирая различные точки отсчета (х() (центры сфер или ку-
кубов), вычисляют r,GV) и берут среднее по л точкам отсчета:
? (N)
Предполагается, что для фракталов выполняется закон подобия
N = с?1.
Этот метод исследовали Термониа и Александрович [188].
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Этот вариант фрактальной размерности успешно использовали
экспериментаторы (например, Мальрезон и др. [123], Суинни [182],
Чилиберто и Голлуб [22], Мун и Ли [143]). Между поточечной раз-
размерностью и корреляционной размерностью существует определен-
определенная связь. Обширное исследование этого варианта размерности бы-
было проведено Грассбергером и Прокачча [47].
Как и при определении поточечной размерности, непрерывная
траектория дискретизируется — заменяется множеством из N то-
точек [х,] в фазовом пространстве. (Можно также создать псевдофа-
псевдофазовое пространство; см. гл. 4 и следующий раздел). Затем вычисля-
вычисляют расстояния между парами точек s0 = Ix,. - ху1, используя либо
обычную евклидову меру расстояния (квадратный корень из суммы
квадратов компонент), либо какую-нибудь эквивалентную меру (на-
(например, сумму абсолютных величин компонент вектора). Корреля-
Корреляционная' функция определяется как
Г( . 1 / число пар (/, у), \
~ yv™ Tfl \ДЛЯ которых расстояние Sy < rh F-2-4)
Фрактальные понятия в нелинейной динамике 223
Для многих аттракторов эта функция зависит от г при г — 0 по
степенному закону, т. е.
lim С( г) = а^,
г-О
поэтому фрактальную, или корреляционную, размерность можно
определить по наклону прямой на графике (In С, In r):
dG = lim l08C(r) . F.2.5)
г-о 1о8г
Выяснилось, однако, что С( г) можно вычислить более эффектив-
эффективно, описав в фазовом пространстве сферу (или куб) вокруг каждой
точки х( и подсчитав число точек в каждой сфере, т. е.
C(r)= lim -L ? ? Н(г- 1х, - ху1), F.2.6)
N-00 N i = 1 j = 1
где H(s) = 1 при s > 0 и Н(s) = 0 при s < 0. Эта величина от-
отличается от поточечной размерности тем, что суммирование прово-
проводится вокруг каждой точки.
ИНФОРМАЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Многие исследователи предлагали другое определение фракталь-
фрактальной размерности, аналогичное емкости F.1.2), но учитывающее в
той или иной форме частоту, с которой траектория попадает в эле-
элемент разбиения — сферу или куб. Как и в случае емкости, устраи-
устраивают покрытие множества точек, размерность которого требуется
определить, N кубами с ребром длины е. В свою очередь множе-
множество точек рассматривается как равномерная дискретизация непре-
непрерывной траектории. (Предполагается, что траектория выбрана до-
достаточно длинная и что она эффективно покрывает аттрактор, раз-
размерность которого подлежит измерению. Например, если движение
квазипериодическое, то траекторию следует рассматривать на до-
достаточно продолжительном временном интервале, чтобы она успе-
успела «посетить» все области на тороидальной поверхности аттракто-
аттрактора.)
Для вычисления информационной размерности мы находим чис-
число точек Nj в каждой из N ячеек покрытия и оцениваем вероят-
вероятность Р; найти точку в /-й ячейке:
Р,: - ?? , Е Р, = 1, F-2.7)
224 Глава б
где Л'о — общее число точек в множестве. Подчеркнем, что
No * N.
Информационная энтропия определяется выражением
/(«)= - ? P,logP,. F.2.8)
/ = i
[Если логарифм берется по основанию 2, то /(е) измеряется в
единицах, которые называются битами.) Известно, что при малых
е информационная энтропия ведет себя как
/ * d,\og{\/e),
поэтому при малых е информационную размерность можно опре-
определить как
j ¦• А«) г ЕР, log Р. ,,,„.
di ~ hm 1—ТГГ\ ~ hm {?29)
e—0 ev ' e—0 '"б"
Информационная размерность связана с емкостью. Убедиться в
этом мы можем, заметив, что если бы вероятности Pf. были равны
для всех ячеек, т. е. если бы выполнялось соотношение
р. = !?. «. -L , F.2.1(9
No N
то
/ = Е Pj log Pj = — N • — log — = log N
и dj- dc. Можно показать [36], что в общем случае
d, ^ dc. F.2.11)
Более подробный анализ понятия информационной размерности
можно найти в работах Фармера и др. [36], Грассбергера и Прокач-
ча [4"] и Шоу [171].
Мерой непредсказуемости в системе служит информационная
энтропия. Иначе говоря, в случае, когда все ячейки равновероятны,
или \ = 1/N, величина / максимальна. Если же все точки сосредо-
сосредоточены в одной ячейке (максимальная предсказуемость), то / = 0.
В этом нетрудно убедиться с помощью вычислений. Действитель-
Действительно,
если Р(. = 1/N, то / = log N-,
если Р, = 1, р. = 0 при / Ф 1,
то / = 1 • log 1 = 0.
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
225
Определение F.2.8) и обозначение /(е) приводят к путанице в
литературе. Шоу [171] использует символ Н для обозначения энт-
энтропии и символ / для обозначения негэнтропии (— Н), или инфор-
информации. По Шоу, более предсказуемая система (с более «острым» —
менее расплывшимся — распределением вероятности />,) обладает
большей информацией.
СВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ОПРЕДЕЛЕНИЯМИ РАЗМЕРНОСТИ
И ПОКАЗАТЕЛЯМИ ЛЯПУНОВА
Итак, мы ввели определения следующих фрактальных размерно-
размерностей:
емкости dc F.1.2),
поточечной размерности dp F.2.2),
корреляционной размерности dG F.2.S),
информационной размерности d, F.2.9).
Грассбергер и Прокачча [47] показали, что информационная раз-
размерность и корреляционная размерность ограничивают емкость
снизу, т. е.
dG < d, < dc. F.2.12)
Однако для многих стандартных странных аттракторов все три
размерности очень близки (см. табл. 61).
ТЪблица 6.1. Фрактальные размерности некоторых динамических систем
Нвзмшк
астмы
Отображение Энона
A.3.8) (а = 1,4;
ft = 0.3)
Логистическое отобра-
отображение A.3.6)
(X = 3,5699456)
Система Лоренца
A3.9)
Потенциал с двумя
ямами F.3.7)
(Г =0.16;
ш = 0,8333)
Цепь Чуа
Веютяш
размерности
1,26
U1 ± 0,001
0,538
0,500 ± 0,005
2,06 ± 0,01
2,05 ± 0,01
2.14
G = 0,15)
2,61
G = 0,06)
2,82
Тип
размерности
Емкость
Корреляционная
размерность
Емкость
Корреляционная
размерность
Емкость
Корреляционная
размерность
Корреляционная
размерность
Показатель Ля-
Ляпунова
Источник
данных
Грассбергер н Прокач-
Прокачча [47]
Грассбергер и Прокач-
Прокачча D7)
Грассбергер и Прокач-
Прокачча [47]
Мун н Ли [143]
Мацумото и др. [129]
15-161
226 Глава б
Те же авторы отметили связь между емкостью, корреляционной
функцией и информационной энтропией. В статистической механике
и в теории информации можно определить серию мер информаци-
информационной энтропии, называемых информацией порядка q [48]:
_ 1 "
где /> — вероятность найти точки в множестве N накрывающих
кубов. Если ? — длина ребра накрывающих кубов, то можно опре-
определить размерности порядка q:
При q = 0, 1, 2 можно связать соответствующую размерность d с
емкостью, информационной и корреляционной размерностями.
При q = О
/0 = 1°8 ? P? = logN.
При q = 1 (полагая q — 1 + ij и устремляя i; — 0) получаем
/, = lim - log E PjFf = - Е #> log P,.
При 9 = 2
h = ~ 'О8 Е Р} = 1"П 'Об 2 ЛГ0 С(?).
,• = ] yvo-o
Таким образом, емкостная размерность не учитывает распреде-
распределения точек между покрывающими множество ячейками, в то вре-
время как информационно-энтропийная размерность порядка 1 измеря-
измеряет вероятность найти точки в ячейке. Наконец, корреляционная
размерность учитывает вероятность найти в одной и той же ячейке
две точки.
Еще одно соотношение между фрактальной размерностью, ин-
информационной энтропией и показателями Ляпунова была установ-
установлена Каштаном и Йорке [90]. Напомним (см. гл. 5), что показатели
Ляпунова характеризуют для траекторий на аттракторе скорость
их разбегания друг от друга, а для траекторий вне аттрактора —
скорость их приближения к аттрактору (см., например, рис. 5.30).
Сказанному можно придать наглядный смысл. Малая сфера на-
начальных условий, описанная вокруг некоторой точки на аттракторе
в фазовом пространстве со временем под действием динамического
Фрактальные понятия в нелинейной динамике 227
процесса деформируется в эллипсоид. Например, в случае двумер-
двумерного хаотического отображения
хл+1=/(Хл) F.2.15)
окружность начальных условий (радиуса е) через М итераций де-
деформируется в эллипс с большой и малой полуосями, равными со-
соответственно Lffe и /,?%. Величины 1, и L2, усредненные по всему
дттрактору, называются числами Ляпунова, а величины
X. = log L/ — показателями Ляпунова.
Каплан и Йорке [90] (см. также работу Фармера и др. [36]")
предложили способ вычисления размерности аттрактора по показа-
показателям Ляпунова. Для двумерного отображения такая размерность
определяется по формуле
dL = 1 + lof,^ = 1 - Ь . F.2.16)
log A/L2) Xj
Для отображений более высокой размерности в TV-мерном фазо-
юм пространстве связь между числами Ляпунова и размерностью
Ляпунова более сложная. Прежде всего необходимо упорядочить
вела Ляпунова, т. е. расположить их в убывающую последова-
последовательность
L,>?2...> Lk> LN, F.2.17)
I затем найти Lk, такое, что
Тогда ляпуновской размерностью по определению называется вели-
величина
\og(LxL2...Lk)
L log(l/I)
Каплан и Йорке [90] высказали предположение о том, что dL явля-
является нижней границей для емкостной размерности, т. е. что
dL ^ dc. F.2.19)
В качестве примера рассмотрим трехмерное множество точек,
порожденное отображением Пуанкаре системы четырех дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка с диссипацией. Если аттрак-
аттрактор странный, то
L, > 1, L2 - 1, ?3 < 1.
11 Следует иметь в виду, что в этой работе X означает число, а не показатель
Ляпунова.
228 Глава б
Это означает, что одна главная ось эллипсоида начальных условий
растягивается, другая остается неизменной, а третья ось сжимает-
сжимается. Кроме того, так как система диссипативная, объем эллипсоида
должен быть меньше объема исходной сферы начальных условий, в
силу чего L, L2L3 < 1. Это заставляет нас выбрать в соотношении
F.2.18) к = 2, после чего мы получаем
Полезность этой формулы для обработки экспериментальных
данных пока остается неясной из-за трудности получения числа Ля
пунова L3, характеризующего сжатие (см., например, работу Вулфа
и др. [209]).
Сравнение различных определений фрактальной размерности
для преобразования пекаря F.1.6) было произведено Фармером и
др. [36]. Преобразование пекаря — одна из немногих динамических
систем, для которых свойства хаотической динамики удается вы-
вычислить аналитически.
Используя определение E.4.13), Фармер и др. показали, что ля-
пуновская размерность F.2.20) равна информационной размерности
F.2.9) и определяется выражением
* * = ! + (б221)
+ fi log „
где 0 = 1 - а. Если \ = \ь, то, как можно показать,
"¦ - * -'+ шк ¦ F)
Кроме того, если а = 1/2, то Н(а) = log 2 и
d, = dL = dc.
Мы видим, что а и \/\ некоторым образом характеризуют неод-
неоднородность отображения. При а = 1/2 и \/\ = 1 отображение
похоже на подкову или канторовское множество, и все определения
размерности d,, dL, de совпадают. Из сказанного следует, что раз-
различные определения фрактальной размерности, по-видимому, мо-
могут приводить к различным результатам, когда динамический про-
процесс приводит к «неоднородному» отображению Пуанкаре.
НАСКОЛЬКО ПОЛЕЗНА ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
ДЛЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ?
Практическое использование всех введенных выше размерностей
для количественной и качественной характеристик хаотических ко-
Фрактальные понятия в нелинейной динамике 229
пока все еще остается делом будущего. Во многих случаях
оказывается достаточным установить, что размерность — нецелое
дело и что аттрактор действительно странный. Однако фракталь-
до размерность некоторых аттракторов близка к целому числу
(например, для аттрактора Лоренца A.3.9) d * 2,06], поэтому
фрактальная размерность сама по себе еще не свидетельствует о
хаотической природе движения. Как отмечалось в гл. 2, в динами-
динамических экспериментах лучше не полагаться на какой-нибудь один
фитерий хаоса, а использовать для большей надежности два, три и
f, д. признака, например отображение Пуанкаре, спектр Фурье, по-
показатели Ляпунова или фрактальную размерность, прежде чем про-
провозглашать систему хаотической или странной.
В следующем разделе мы обсудим использование фрактальной
размерности для характеристики странных аттракторов.
6.3. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ СТРАННЫХ
АТТРАКТОРОВ
Фрактальная математика применяется в нелинейной динамике
главным образом для двух целей: характеристики странных аттрак-
аттракторов и измерения фрактальных границ в пространствах начальных
данных и параметров. В этом разделе мы обсудим использование
фрактальной размерности в численных экспериментах и физических
измерениях движений, связанных со странными аттракторами.
Пока еще не существует приборов, электронных или каких-
обудь других, которые давали бы на выходе сигнал, пропорцио-
пропорциональный фрактальной размерности, хотя в будущем электрооптиче-
электрооптические методы, возможно, позволят построить такой прибор (см.
разд. 6.5). Ныне и в численных, и в физических экспериментах
фрактальную размерность и показатели Ляпунова находят, дискре-
тизируя сигналы последовательностью равноотстоящих (по време-
времени) точек и обрабатывая полученные данные на компьютере. Су-
Существует 3 основных метода:
а) временные дискретизации переменных в фазовом пространст-
пространстве;
б) вычисление фрактальной размерности отображений Пуанка-
Пуанкаре;
в) построение псевдофазового пространства по измерениям од-
одной переменной (иногда называемой методом вложения про-
пространства).
В первом и третьем методах переменные измеряются через оди-
одинаковые интервалы времени (х( t0 + пт)}, где я — целые числа, и
230 Глава 6
записываются. Временной интервал г выбирается с таким расче-
расчетом, чтобы он составлял определенную долю периода вынуждаю-
вынуждающей силы или характерного времени траектории. Если сечение Пу-
Пуанкаре в методе «б» проводится по временной переменной, то
г — период траектории. Если же сечение Пуанкаре проводится по
каким-нибудь другим переменным в фазовом пространстве, то со-
собранные данные соответствуют различным моментам времена в
зависимости от конкретного типа выбранного сечения Пуанкаре
(см. гл. 4).
Существуют основные определения фрактальной размерности
используемых сейчас: усредненная поточечная размерность, корре-
корреляционная размерность и ляпуновская размерность. В большинстве
современных работ, где реально вычисляется фрактальная размер-
размерность, используется от 2000 до 20 000 точек, хотя некоторые авто-
авторы утверждают, что обладают надежными алгоритмами, позволя
ющими вычислять размерность по 500 точкам (см., например, ра-
работу Абрахама и др. [2]). Прямые алгоритмы дня вычисления
фрактальной размерности по No точкам обычно содержат A/J опе-
операций и требуют для реализации использования супермини-
компьютеров или крупных компьютеров. Но при более рациональ-
рациональном использовании возможностей, заложенных в компьютерах
число операций удается понизить до No In No и тем существенно
ускорить вычисления (см. [47]).
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Предположим, что мы знаем (или подозреваем) о существова-
существовании у хаотической системы аттрактора в трехмерном фазовом про-
пространстве с физическими переменными [*(/), y(t), z(t)}. Напри-
Например, в случае вынужденного движения балки или частицы в потен-
потенциале с двумя ямами (см. гл. 2) х — положение, v = х — скорость,
z = wt — фаза периодической вынуждающей силы. При дискрети-
дискретизации речь идет о выборке временных значений {х( /), у{ /), z(t)
через интервал, который должен быть меньше периода вынуждай*
щей силы. Каждому интервалу времени соответствует точка
х„ = \х(пт), у(пт), z(m)) в фазовом пространстве.
Для вычисления усредненной поточечной размерности выбира-
выбирают случайным образом несколько точек хл. Для каждой выбранной
точки вычисляют расстояния до ближайших окружающих точек Х„.
(Обращаем внимание читателей на то, что речь идет о точках, бли-
ближайших во времени, а не в пространстве.) Использовать евклидову
меру расстояния не обязательно. Например, можно воспользовать*
ся суммой абсолютных величин компонент вектора (хл — хт), т. е.
Фрактальные понятия в нелинейной динамике 231
snm= \х(пт) - х(тт)\ + \у(пт) - у(тт)\ + \г(пт) - г(пгт)\. F.3.1)
Затем подсчитывают число точек в шаре, кубе или другом геомет-
геометрическом теле (или фигуре) размера е и находят вероятность как
функцию параметра е:
Р„(е) = ± Е Н(е - snm), F.3.2)
"О m=l
где No — общее число точек в выборке, Н — функция Хевисайда
(Н( г) = 1 при г > 0, Н(г) = 0 при г < 0). Усредненная поточеч-
поточечная размерность по определению F.2.3) есть величина
dn = lim 1O8P"(?), F.3.3)
«-о |о«?
1 м
где предел в формуле для dn существует. Для некоторых аттракто-
аттракторов вероятность Рп зависит от е не по степенному закону, а раз-
разрывно или имеет изломы. В этих случаях можно вычислять моди-
модифицированную поточечную размерность, предварительно усредняя
(«сглаживая») Рп. Например, можно выбрать
и F.3.4)
Эта размерность аналогична корреляционной размерности, кото-
которую мы рассматривали в предыдущем разделе.
На рис. 6.8 а, б представлена зависимость корреляционной раз-
размерности от ? на примере потенциала с двумя ямами C.2.2). Раз-
Размерность определялась по результатам численного эксперимента с
уравнениями к = у, у = - sy + A/2) jcA - х2) + fcosz, z = w,
значения 6, / и со были выбраны в хаотической области. На рис.
6.8а показана зависимость логарифма корреляционной функции, а
на рис. 6.8 6 — локального углового коэффициента от логарифма
поперечника элемента покрытия. При средних значениях ? локаль-
локальный угловой коэффициент колеблется вблизи значения 23. Это со-
согласуется с тем, что аттрактор существует в трехмерном про-
пространстве (х, у, z).
232
Глава б
-2Л -
-4Л -
-ел -
-ел -
-юл -
-«л -*х> -зл -гя -1.0 ол 1Л гл зл
Рис. 6.8Ь. log С как функция от loge для хаотического движения в потенциале с дву-
двумя ямами C.3.6). Данные получены при численном ивтегрировашга.
2.6- т\->
0.5
0.0
-5,0 -4.0 -3.0 -2.0 -1,0
1.0 2.0
Рис. 6.8.6. Локальный угловой коэффициент кривой рис. 6.8а обнаруживает фрак-
фрактальную размерность в окрестности значения 2,5.
Фрактальные понятия в нелинейной динамике 233
На практике No * 3 • 103 - 3 ¦ 10* точек, М * 0,20 No. Число
подбирают опытным путем, начиная с какого-нибудь малого значе-
значения и постепенно увеличивая его до тех пор, пока d не достигает
предела.
Выбор с также требует известной осмотрительности. Верхний
предел значений с гораздо меньше максимальной величины аттрак-
аттрактора, но достаточно велик, чтобы «ухватить» крупномасштабную
структуру в окрестности точки х„. Наименьшее значение с должно
быть таким, чтобы сфера радиуса е или куб с ребром ? содержали
по крайней мере одну выборочную точку. Например, в трехмерном
фазовом пространстве, если средний глобальный масштаб аттрак-
аттрактора равен L, то средняя плотность точек составляет величину
No • 6
поэтому объем, связанный с масштабом е, должен быть больше,
• > JW' ¦ <6-35)
чем р"!, или
Другим ограничением на минимальную величину е является уро-
уровень «реального шума», или неопределенность в измерениях пере-
переменных состояния (х, у, z). В любом реальном эксперименте су-
существует сфера неопределенности, окружающая каждую измерен-
измеренную точку в фазовом пространстве. Когда е становится радиусом
этой сферы, рассмотренная выше теория фрактальной размерно-
размерности, строго говоря, становится неприменимой, так как при мень-
меньших е нельзя ожидать самоподобной структуры.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ ПУАНКАРЕ
В системах с периодическим внешним воздействием, таких, как
странный аттрактор Дуффинга—Узды C.2.25) или странный ат-
аттрактор в задаче о движении в потенциале с двумя ямами C.3.6),
время, или фаза ф = at, становится естественной переменной в фа-
фазовом пространстве. В большинстве случаев эта временная пере-
переменная лежит в том подпространстве, которое содержит аттрак-
аттрактор, и время можно рассматривать как одну из составляющих раз-
размерности аттрактора. В случае нелинейного осциллятора второго
порядка с периодической вынуждающей силой отображение Пуан-
Пуанкаре, состоящее из периодической выборки временных точек, по-
порождает некоторое распределение точек на плоскости. Для вычис-
234 Глава 6
лсния фрактальной размерности полного аттрактора иногда удобно
сначала вычислить фрактальную размерность отображения Пуанка-
Пуанкаре 0 <?>< 2. Если D не зависит от фазы отображения Пуанкаре
(напомним, что 0 < wt < 2т), то размерность полного аттрактора
есть просто
d = 1 + D. F.3.6)
В качестве примера мы рассмотрим данные численного и физи-
физического эксперимента для потенциала с двумя ямами или аттракто-
аттрактора Дуффинга—Холмса (гл. 2):
х + ух - 1 хA - х2) = /cos at. F.3.7)
В этом примере нас интересуют два вопроса:
1. Изменяется ли фрактальная размерность странного аттракто-
аттрактора в зависимости от фазы отображения Пуанкаре?
2. Как изменяется фрактальная размерность в зависимости от
коэффициента затухания у?
Фрактальная размерность была вычислена для нескольких экспе-
экспериментальных сечений Пуанкаре. Результаты вычислений представ-
представлены в табл. 6.2. Из этой таблицы видно, что вблизи аттрактора
размерность D почти постоянна, поэтому приближение d = 1 + D
F.3.6) представляется достаточно хорошим.
Результаты численного моделирования движения частицы в по-
потенциале с двумя ямами под действием периодической вынуждаю-
Таблица. 6.2. Размерность экспериментально построенного отображения
Пуанкаре как функция фазы для колебаний продольно изогнутой
балки0
О
45
90
135
180
1,741
1,751
1,742
1,748
1,730
1,628
1,627
1,638
1,637
1,637
" Безразмерный коэффициент затухания у - 0,013; частота вынуждающей си-
силы 8,5 Гц; собственная частота колебаний относительно изогнутого состо-
состояния 9,3 Гц; из работы Муна и Ли [143].
2) По четырем точкам при самых малых log r на графике log С как функция
log г.
" По се* .и точкам при самых малых log r на графике log С как функция log r.
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
235
-2.0
Яыс. 6.9. Фрактальное распределение точек в сечении Пуанкаре в задаче о движении
частицы в потенциале с двумя ямамн C.2.10). По тем же данным, которые пред-
представлены на рис. 6.8.
шей силы показаны на рис. 6.9. Зависимость корреляционной функ-
функции С(е) от е представлена в дважды логарифмическом масштабе
на рис. б. 10а. Как и предполагает теория, зависимость оказывается
линейной.
На рис. 6.10 использованы те же данные, что и на рис. 6.8. Из
рис. 6.106 видно, что D « 1,5, или d = 2,5, что согласуется с раз-
размерностью, вычисленной непосредственно для полного аттрактора
в фазовом пространстве (х, х, wt) (рис. 6.8).
Влияние затухания на фрактальную размерность аттрактора в
задаче о потенциале с двумя ямами определялось с помощью чис-
численного моделирования по методу Рунге—Кутта. Полученная зави-
зависимость показана на рис. 6.11. Мы видим, что при слабом затуха-
затухании аттрактор заполняет фазовое пространство (D = 2, d = 3),
как гамильтонова система (с нулевым затуханием). Но при увеличе-
увеличении затухания отображение Пуанкаре становится одномерным, и
размерность аттрактора убывает до d = 2, как в уравнениях Ло-
Лоренца.
-8.0
-4.0
Рис 6.10л. Зависимость log С от loge для
ных на рис. 6.9.
2,0 0.0 2,0
в сеченвн Пуанкаре, представлен-
-8.0
-9J0
-«.О
Рис. 6.106. Локальный угловой коэффициент
мерность линейного участка близка к 1,5.
-2,0 0,0
рис. б. 10а. Фрактальная раз-
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
237
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
1.4
А = 0,23
„ = 0,8333
Затухание Размерность
у = 0,190 0=1,08
0,150 1.14
0,115 1,32
0,085 1,54
0,060 1,61
I
I
I
I
I
-2,0 -1,8 -
1,6 -1,4 -1,2 -1,0
log»
-0,8
о о
1 I
I
I I I I I I
I
0,04 0,06 0Д8 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 ОДО 0,22
Коэффициент затухания у
Рис. 6.11. Зависимость фрактальной размерности от затухания для частицы, колеб-
колеблющейся в потенциале с двумя ямами C.2.10).
Фрактальная размерность хаотической цепи (диод, индуктив-
индуктивность и сопротивление, соединенные последовательно, возбужда-
возбуждаются генератором) была измерена Линсеем [113], построившим
отображение Пуанкаре. Линсей измерял ток в выборочные момен-
моменты времени через интервалы, равные периоду генератора, и по-
построил псевдофазовое пространство (/( О. /( ' + *"), А ' + 2г))
(см. следующий раздел). Полученная фрактальная размерность ото-
отображения Пуанкаре оказалась равной D = 1,58, поэтому размер-
размерность аттрактора равна 2,58.
238 Глава 6
ВЫЧИСЛЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ ПО ОДНОРАЗОВОМУ
ИЗМЕРЕНИЮ ВРЕМЕННОГО РЯДА
Методы, которые мы обсуждаем до сих пор, предполагают A)
известной размерность пространства, в котором лежит аттрактор,
и B) возможным измерение всех переменных состояния. Однако во
многих экспериментах удается проследить или измерить временную
эволюцию только одной переменной состояния. Кроме того, в не-
непрерывных системах, содержащих жидкие или твердотельные сре-
среды, число степеней свободы или минимальное число «значащих»
мод, дающих вклад в хаотическую динамику, может быть априори
не известно. Одно из важных приложений фрактальной математики
как раз и состоит в том, что она позволяет определить наименьшее
число дифференциальных уравнений первого порядка, позволяющих
передать качественные особенности динамики непрерывных систем.
На этом пути удалось добиться некоторых успехов в задачах тер-
термогидродинамики, например в конвекции Рэлея—Бенара (см. [123]).
В первых теориях турбулентности (например, в теории Ландау
[98]) считалось, что хаотический порок возникает в результате вза-
взаимодействия в жидкости очень большого или бесконечного мно-
множества мод или степеней свободы. Согласно современным пред-
представлениям, хаос, связанный с переходом к турбулентности, может
быть моделирован конечной системой обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений.
Предположим, что число дифференциальных уравнений первого
порядка, необходимых для моделирования динамики некоторой
диссипативной системы, равно N. Тогда фрактальная размерность
аттрактора должна удовлетворять неравенству d < N. Следова-
Следовательно, определив каким-то способом величину d, мы тем самым
определили бы минимум для N.
Не располагая числом N, мы не можем знать, сколько физиче-
физических переменных (x(t), y(t), z(t)) подлежат измерению. Вместо
этого мы строим псевдофазовое пространство, или пространство
вложения, используя значения какой-нибудь одной физической пере-
переменной, взятые со сдвижкой по времени, например (x(t),
х(( + т), x(t + 2т),...) (см. гл. 4 и работу Паккарда и др. [152]).
Например, векторы трехмерного псевдофазового пространства мы
вычисляем, используя три последовательные компоненты дискрети-
зированной величины x(t) (рис. 6.12), т. е.
х„ = t*( 'о + ят>« x(to + (п + 1)т), х( t0 + (п + 2) г). F.3.8)
Располагая этими радиус-векторами, можно воспользоваться кор-
корреляционной функцией F.2.4) или усредненной вероятностью F.2.3)
и вычислить фрактальную размерность.
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
239
рис. 6.12. Общий вид траектории в
трехмерном псевдофазовом про-
пространстве, реконструированной по
одноразовому измерению временно-
временного ряда.
(Х,.Х2.Х3)
Чтобы определить минимальное N, мы строим псевдофазовые
пространства все более высокой размерности, используя для этого
выборочные измерения x(t), до тех пор пока фрактальная размер-
размерность не достигнет своего асимптотического значения d = М + ц,
где ц < 1. Тогда минимальную размерность фазового пространст-
пространства для исследуемого хаотического аттрактора можно принять рав-
равной N= M + 1.
При реконструкции динамического аттрактора по хронологиче-
хронологически упорядоченным измерениям одной переменной возникает во-
вопрос: какой размерности должно быть пространство вложения для
того, чтобы ухватить все топологические особенности исходного
аттрактора? Ответ на этот вопрос дают теоремы, сформулирован-
сформулированные и доказанные математиком Такенсом. Если исходный аттрак-
аттрактор «живет» в TV-мерном фазовом пространстве, то при рекон-
реконструкции нам придется построить пространство вложения (наше
псевдофазовое пространство) размерности 2 N + 1.
Для иллюстрации этих идей применим метод пространства вло-
вложения для нахождения размерности аттрактора в задаче о движе-
движении в потенциале с двумя ямами (или о колебаниях продольно изо-
изогнутой балки) C.2.2). Ранее мы видели, что этот аттрактор «жи-
«живет» в трехмерном фазовом пространстве (х, х, со/) и имеет фрак-
фрактальную размерность d = 2,5 (рис. 6.8). По тем же данным мы
можем теперь вычислить фрактальную размерность d из отобра-
отображения Пуанкаре (рис. 6.9, 6.10). По тем же численным данным, ин-
интегрируя по методу Рунге—Кутта, мы можем восстановить движе-
движение в псевдофазовом пространстве, используя дискретизованное
значение х( t) и выбирая пространства вложения размерности
m = 2 - 8. Графики на рис. 6.13а, б показывают корреляционную
функцию и вычисленную размерность аттрактора в каждом про-
пространстве вложения.
На рис. 6.136 видно, что размерность достигает асимптотиче-
асимптотического значения d — 2,5 после m ~ 4—5, что согласуется с теоре-
теоремой Такенса.
240
Глава б
0.0-
-2.0-
-4.0-
-6.0-
-8.0-
-10.0-
Рис. 6.13а. log С как функция от loge для задачи о движении в потенциале с двумя
ямами при различных размерностях пространства вложения. Хронологическая по-
последовательность данных соответствует хронологической последовательности точек
на рнс. 6.8 и 6.10.
2.6
2.4
2.2
2.0
-
-
-
i i i i . i i ; . .
______.*_ 1
1 . , i , ' . ,1 ¦
2.0 3.0
4.0
0.0 6.0
7.С
Рис. 6.136. Фрактальная размерность аттрактора как функция раэмерностн про-
пространства вложения.
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
241
В качестве примера использования экспериментальных данных
мы приведем работу, выполненную группой при французской
научно-исследовательской лаборатории в Сакле (см., например, ра-
работы Мальрезона и др. [123], Берже и др. [11]). Члены этой группы
произвели измерение фрактальной размерности конвективной ячей-
ячейки в жидкости под действием градиента температуры (конвекция
рэлея—Бенара, см. гл. 3). Они вычислили фрактальную размер-
размерность, используя усредненную поточечную размерность F.2.3) для
псевдофазовых пространств различной размерности. Как показано
на рис. 6.14, фрактальная размерность достигает насыщения при
значении d = 2,8, когда размерность фазового пространства вложе-
вложения становится равной 5 и больше. Французские исследователи ис-
использовали 15 000 точек и усредняли Р„(е) по 100 случайным точкам.
Исследователи обнаружили также и области хаотического тече-
течения, в которых зависимость С(е) от log e не имела четко выражен-
выраженного наклона.
Об аналогичных результатах для течения между двумя цилин-
цилиндрами (течения Тейлора—Куэтта) сообщила группа исследователей
из Советского Союза (Львов и др. [118]). По их утверждению, нм
удалось измерить информационную размерность. На рис. 6.15 по-
показан угловой коэффициент зависимости log C(e) от log e как функ-
функция параметра е. Изображенная на рис. 6.15 ситуация характерна
для таких измерений. При малых ? значения углового коэффициен-
коэффициента отражают инструментальный шум, при больших ? размеры по-
покрывающих кубов или гиперсфер достигают масштаба аттрактора.
8 -
б -
4 -
•
о
а
j
Белый шум
Рэлей-Бенар
ЭГД
/
А
Л -о —-у—
й
i i
т
-4
i
I 1
т
1
10
Рис. 6.14. Фрактальная размерность как функция размерности псевдофазового про-
пространства вложения для измерений электрогидродннамического течения жидкости
(ЭГД), течения Рэлея — Бенара (гл. 3) и белого шума [123J.
242
Глава б
о
f
* 2
>s
S
?
« ¦
¦J I 1 I
¦ » / /
о т = 3
о m = 4
« ш = 5
¦ /л = 6
» ш = 8
Яис. 6.15. Вычисление фрактальной размерности для хаотического течения жидкоств
между двумя вращающимися цилиндрами — течения Тейлора — Куэтта (см. гл. 3)
[118] (Elsevier Science Publishers, © 1981).
Такой подход позволяет определить, как изменяется фракталь-
фрактальная размерность при вариации в ходе эксперимента какого-нибудь
управляющего параметра. Например, в случае течения Тейлора—
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
243
4 -
3 -
1
-
1
1
v"
1
1
•
1
1
—
1
10
12
14
16
18
20
Рис. б. 16. Зависимость информационной размерности от числа Рейнольдса для пото-
потока в системе Тейлора — Куэтта [182] (Elsevier Science Publishers, © 1985).
Куэтта (см. рис. 3.37) Суинни и его сотрудники [182] измерили из-
изменения фрактальной размерности d как функшш числа Рейнольдса
(рис. 6.16).
В другом гидродинамическом эксперименте Чилиберто и Голлуб
[22] исследовали хаотическое возбуждение поверхностных волн в
жидкости. Хаотические поверхностные волны возбуждались на ча-
частоте 16 Гц (вертикальные колебания); для выборки было отобрано
2048 точек с интервалом 1,5 с (около 300 траекторий). Используя
метод пространства вложения, Чилиберто и Голлуб измерили кор-
корреляционную размерность (dc = 2,20 ± 0,04) и информационную
размерность df = 2,22 ± 0,04. Обе размерности достигают асимп-
асимптотических значений, когда размерность пространства вложения
становится равной 4 или больше (см. также рис. 5.8).
Хольцфусс и Майер-Кресс [80] исследовали возможные ошибки
при оценивании размерностей по временным рядам данных. Были
изучены три метода: вычисление корреляционной размерности, ус-
усредненной поточечной размерности и метод усредненного радиуса
Термониа и Александровича [188]. Хольцфусс и Майер-Кресс прове-
проверили каждый из трех методов на выборке из 20 000 точек, взятых
из траекторий квазипериодического движения по 5 торам, порож-
порожденного 5 несоизмеримыми частотами. Используя метод псевдофа-
псевдофазового пространства с размерностями вложения от 2 до 20, Хольц-
Хольцфусс и Майер-Кресс обнаружили, что усредненная поточечная раз-
размерность имеет наименьшее стандартное отклонение из всех трех
исследуемых характеристик. Усреднение производилось по 20% вы-
выборочных точек, и кривые, не обнаруживавшие свойств самоподо-
самоподобия в значительном диапазоне значений параметра г, отбрасыва-
отбрасывались.
244
Глава б
6.4. ОПТИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ
РАЗМЕРНОСТИ
Все рассмотренные выше методы вычисления фрактальной раз
мерности странных аттракторов требуют использования мощны*
цифровых микро- или мини-компьютеров. Однако с точки зрения
экспериментатора естественно спросить, нельзя ли измерять фрак-
фрактальные размерности динамических систем непосредственно, ис-
используя аналоговые устройства так же, как мы измеряем другие
динамические свойства, например скорость и ускорение. В общем
случае для динамической системы с многими степенями свободы
ответ неизвестен; но в некоторых простых задачах фрактальная
размерность двумерного отображения Пуанкаре может быть изме-
измерена оптическими методами (см. [102]). В основе такого подхода
лежит оптическая интерпретация корреляционной функции F.2.5)*
Схема, иллюстрирующая этот подход, представлена иа рис.
6.17. Напомним, что вычисление корреляционной функции включа-
включает подсчет числа точек в кубе или сфере, описанных вокруг каждой
точки фрактального множества. Оптический метод использует па-
параллельную обработку информации, позволяющий находить число
точек в окрестности всех точек фрактального множества сразу.
Свет, идущий от одной пленки, создает на другой пленке освещен
ный кружок. Если каждая пленка представляет собой точную ко-
копию сечения Пуанкаре странного аттрактора, то полный световой
поток, испускаемый второй пленкой, пропорционален корреляцион-
корреляционной функции. Изменяя расстояние между пленками на рис. 6.17, мы
Конус света от
одной точки
Пуанкаре
Множественные
конусы лучей света
Система линз
Источник
света
- Черная пленка
с светлыми
точками Пуанкаре
Рис. 6.17. Схема, иллюстрирующая основной принцип параллельного оптического
измерения корреляционной функции и фрактальной размерности плоского распреде-
распределения точек.
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
245
тем самым изменяем радиусы небольших кругов и получаем воз-
возможность определить зависимость корреляционной функции от ра-
радиуса г. График зависимости log C( г) от log r позволяет найти
фрактальную размерность D отображения Пуанкаре.
Если исследуемое отображение есть отображение Пуанкаре с
временем в качестве параметра, то размерность аттрактора равна
1 + D.
ОПТИЧЕСКИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕССОР
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Принципиальная схема экспериментальной установки, приведен-
приведенная на рнс. 6.18, показывает, какой путь проделывает свет. Пред-
Предлагаемый метод использует две особенности классической оптики.
Во-первых, если свет проходит через малое отверстие диаметра D
и выполняется условие дифракции Фраунгофера (D > X, где X —
длина волны света), то на плоскости, расположенной на расстоя-
расстоянии L за отверстием, свет образует круглое пятно («зайчик»)
радиусом г. Величина радиуса г определяется из соотношения
г— 1,22LX/D. В описываемом нами методе отверстием служит
светлое пятнышко («точка») на негативе плоского отображения Пу-
Пуанкаре, и небольшой кружок света падает на точную копию негати-
негатива, расположенную на расстоянии L от первого негатива
(рис. 6.18). Во-вторых, для некогерентного излучения количество
света, испускаемого вторым негативом, пропорционально числу
светлых точек, или пятнышек, оказавшихся внутри кружка света.
Источник Преры- ДисЫЬу-
Н— L —Ч-ФиксированноеН
расстояние
Усилитель с
синхронизацией
Световой
поток
Рис. б. 18. Схема экспериментальной установки для оптического измерения фракталь-
фрактальной размерности [102] (Elsevier Science Publishers, © 1986).
246 Глава б
Таким образом, общее количество света, проходящего через обе
пленки, пропорционально корреляционной функции С( г). Чтобы
вычислить С( г) или проварьировать г, мы просто измеряем или
варьируем L — расстояние между двумя негативами.
В более точной форме наши утверждения сводятся к следующе-
следующему. Пусть Ф(х, г) — световой поток за 2-м негативом, обусловлен-
обусловленный потоком Ф/л(х), проходящим через круглое отверстие в точке дг
на 1-м негативе:
Ф(Х, г) = л(Х, г) A Sbl?i , F.4.1)
¦кг2
где л(х, г) = ? Н(г - 1х — Xyl) есть число отверстий в круге све-
j
та, создаваемом потоком, проходящим через отверстие в точке х,
А — площадь светлой «точки» на 1-й пленке. Нетрудно видеть,
что Ф в явном виде зависит от л и г. Однако мы хотим измерить
только п. Используя линейное соотношение между г и L, опреде-
определим приведенный световой поток Ф* = ( г/го?Ф, где г — радиус ос-
освещенной площадки при L = L0(L0 — расстояние, выбранное за
эталонное). Суммируя по всем точкам на 1-й пленке, получаем
Е Ф*(х, г) = ( - V ЕФ (х, г) = А Еф.л (х) п ( г). F.4.2)
*= 1 \г0/ ЖГ0
Если интенсивность падающего света распределена по 1-й плен-
пленке равномерно, то
= Е п(г) = С(г). F.4.3)
*= 1
Отображения Пуанкаре могут быть получены либо с помощью
численного решения системы трех уравнений, либо из эксперимен-
экспериментальных данных. Свет, проходящий через 2-ю пленку, фокусируется
на фотоэлементе для измерения светового потока. Свет от источ-
источника проходит через светофильтр (янтарно-оранжевого цвета), что
позволяет оптимизировать отклик фотоэлемента на волну в окрест-
окрестности 6328 Л. Размеры светлых точек на негативе не превышают
0,2 мм, поэтому D/\ » 300, и условие дифракции Фраунгофера вы-
выполнено.
Выходное напряженне от фотоэлемента содержит немало шума.
Чтобы выделить сигнал на фоне шума, в схеме предусмотрен меха-
механический прерыватель света и усилитель с синхронизацией. Преры-
Прерыватель работает на частоте около 100 Гц, чтобы исключить шум в
линиях спектра мощности.
р,
Т V Е
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
247
1,80 2,00
2,20
3,20 3,40
2,40 2,60 2,80 3,00
In (расстояние - L [см] )
Рис. 6.19. Световой поток как функция расстояния между двумя негативами отобра-
отображения Пуанкаре в дважды логарифмическом масштабе по данным о колебаниях про-
продольно изогнутой балки [102] (Elsevier Science Publishers, © 1986).
Световой поток за 2-м негативом измеряли с помощью фотоэле-
фотоэлемента как функцию расстояния между негативами, и график зависи-
зависимости приведенного светового потока F.4.2) от расстояния L в
дважды логарифмическом масштабе представлен на рис. 6.19. Тео-
Теоретически угловой коэффициент этой линии должен давать фрак-
фрактальную размерность F.2.5).
Вычисления фрактальных размерностей с использованием корре-
корреляционной функции С( г) показали, что для измерения углового
коэффициента существует оптимальный диапазон значений радиуса
г. При малых г мы сталкиваемся с погрешностью, обусловленной
шумом, которым сопровождается порождение отображения (эта
погрешность приводит к увеличению углового коэффициента). При
больших г мы достигаем размера самого аттрактора, и поэтому
С(г) выходит на насыщение (что приводит к уменьшению углового
коэффициента). График зависимости углового коэффициента от г
представлен на рнс. 6.20. Нетрудно видеть, что в некотором диапа-
диапазоне значений г, или расстояний L между негативами, кривая вы-
выходит на плато. Значение, соответствующее этому плато, было вы-
выбрано за фрактальную размерность. Данные были получены путем
моделирования по схеме Рунге—Кутта уравнения F.3.7) вынужден-
вынужденного движения в потенциале с двумя ямами; 4000 точек были полу-
248
Глава б
OfO 1,20 1,60
3,60 4,00
2J0O 2,40 2?0 3,20
In (расстояние = L[cm] )
Рис. 6.20. Угловой коэффициент как функция расстояния L между негативами или
радиуса г по данным, аналогичным тем, которые приведены на рис. 6.19 [102] (В-
sevier Science Publishers, © 1986).
чены путем построения сечения Пуанкаре, синхронного с частотой
вынуждающей силы. Приведенный световой поток на выходе изме-
измерялся примерно при 200 значениях L. На рис. 6.19 представлен
только линейный участок зависимости log C(r) от log L. Угловые
коэффициенты на рис. 6.20 получены на основе усреднения локаль-
локальных угловых коэффициентов кривой log С (г) по 30 точкам.
Сравнение оптически измеренной фрактальной размерности с
размерностью, вычисленной по результатам численных эксперимен-
экспериментов Муна и Ли [143], проведено в табл. 6.3 при нескольких значени-
значениях коэффициента затухания. Согласие, как мы видим, исключитель-
исключительно хорошее.
В той же таблице проведено сравнение оптического и численно-
численного методов для отображений Пуанкаре, построенных по экспери-
экспериментальным данным для колебаний продольно изогнутой балки.
В этой серии экспериментов фаза проведения сечения Пуанкаре из-
изменялась. Оптическое измерение фрактальной размерности под-
подтверждает результаты численных расчетов, а именно независи-
независимость размерности от фазы отображения Пуанкаре. Отсюда следу-
следует, что размерность самого странного аттрактора равна 1 + D, где
D — размерность плоского отображения.
Фрактальные понятия в нелинейной динамике 249
Таблица 6.3. Оптически измеренная фрактальная размерность для отображений Пувя-
аре, построенных по результатам численного моделирования и по экспериментальным
данным
Отображение Пуанкаре, построенное по результатам численного моделирования [урав-
[уравнение F.3.7)]
Коэффициент затушим Вычисленная размерность" Измеренная размерность
0,075 1.5652> 1,558
0.105 1,393 1,417
0,135 1,202 1,162
Отображение Пуанкаре, построенное по экспериментальным данным
Фазовый угол Вычисленная размерность0 Измеренная размерность
0е
45е
90е
135е
180°
¦> Муа в Лв
2> На основе
"На основе
1.741»
1,751
1,742
1,748
1,730
A43].
зависимости log С (г) от log г при
эавасвмоств tog С (г) от log г при
1,628 J)
1,627
1,638
1,637
1,637
1,678
1,671
1,631
1,676
1,635
четырех наименьших log л
семи наименьших
log г.
6.5. ГРАНИЦЫ ФРАКТАЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ.
ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ
В большинстве физических линейных систем при данном воздей-
воздействии на входе существует только один режим движения. Напри-
Например, откликом линейной системы масса — пружина — демпфер на
начальный импульс силы служит затухающее движение, в результа-
результате которого масса приходит в состояние покоя. У такой системы
всего лишь один аттрактор, а именно точка равновесия. Однако у
нелинейных систем может быть несколько положений равновесия
или, как в случае некоторых самовозбуждающихся систем, может
существовать несколько периодических или непериодических движе-
движений.
Положения равновесия и периодические движения, или движения
по предельным циклам, называются в математической теории ди-
динамических систем аттракторами. Диапазон значений входных
или управляющих параметров, при которых движение стремится к
250
Глава б
Аттрактор
Граница области
притяжения
Рис. 6.21. Схематическое изображение двух
аттракторов в фазовом пространстве и гра-
границы между их областями притяжения в про.
странстве начальных условий.
данному аттрактору, называется его областью притяжения в про-
странстве параметров. Если существуют два или более аттракто-
аттракторов, то переход нз одной области притяжения в другую называется
границей области притяжения (рис. 6.21). Принято считать, что в
классических задачах граница области притяжения представляет со*
бой гладкую непрерывную линию или поверхность, как на рис.
6.21. Это означает, что, когда входные параметры далеки от гра.
ницы, небольшие отклонения в их значениях не влияют сколько-
нибудь существенно на характер движения. Выяснилось, однако,
что во многих нелинейных системах граница областей притяжения
негладкая. Более того, она фрактальная. Отсюда и термин — фрак-
фрактальная граница области притяжения. Существование фракталь-
фрактальных границ областей притяжения сказывается, причем весьма ощу-
ощутимо, на поведении динамических систем: при наличии фракталь-
фрактальных границ небольшие вариации начальных условий или других пак
раметров системы могут приводить к значительным изменениям в
ее поведении. Тем самым поведение систем с фрактальными грани-
границами областей притяжения становится не всегда предсказуемым
[50, 52, 55].
ЧУВСТВИТЕЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ:
ПЕРЕХОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ
Прежде чем мы займемся изучением задачи с фрактальной гра-
границей области притяжения, полезно рассмотреть случай, когда гра-
граница области гладкая, но движение чувствительно к выбору началь-
начальных условий. С такой ситуацией мы встречаемся, например, в пере-
переходной динамике частицы с затуханием. Этот одномерный пример
служит простой моделью поведения упругой балки после выпучива-
выпучивания или частицы в потенциале с двумя ямами. Уравнение движения
в этом случае имеет вид:
х + ух — —лгA - а-2) = 0.
F.5.1)
В отличие от аналогичной задачи с периодической вынуждаю-
Фрактальные понятия в нелинейной дннамнке
251
шей силой полная динамика может быть опнсана на двумерной ба-
базовой плоскости (х, у = х). Перемещение и время можно отнорми-
ровать так, чтобы два устойчивых положения равновесия распола-
располагались на фазовой плоскости в точках (± 1, 0), а собственная часто-
частота в отсутствие затухания составляла 1 рад/с. Управляющими па-
параметрами служат коэффициент затухания 7 и начальные условия
дг(О) = х0, х@) = у0. Хотя всего существуют три положения равно-
равновесия (при х = 0, ± 1), устойчивы только два последних, поэтому
мы имеем в данном случае две конкурирующие области притяже-
притяжения.
Дауэлл и Пезешки [31] исследовали области притяжения в рас-
рассматриваемой нами задаче (рис. 5.25 и 6.22). Эти авторы классифи-
классифицировали области притяжения по тому, сколько раз траектория ча-
частицы пересекает ось х = 0, прежде чем устремится к х — ± 1. Не-
Нетрудно видеть, что при достаточно «больших» начальных условиях
существуют чередующиеся полосы, из которых траектория направ-
направляется в конце концов к левому (или к правому) аттрактору. Хотя
границы полос остаются гладкими, их ширина стремится к нулю,
когда коэффициент затухания 7 — 0- Таким образом, если началь-
О,*
0,72
0,48
л 0,24
I •
J
-0,24
-0,48
-0,72
-0,%
-1,8 -1,2 1,6 0 0,6
Перемещение, у = 0,0168
1,2
Рис. 6.22. Области притяжения для движения частицы в потенциале с двумя ямами с
затуханием в отсутствие вынуждающей силы [31]. Числа показывают, сколько раз
траектории пересекают ось х = 0 до того, как приходят к одному нз двух положе-
положений равновесия х = ± 1.
252 Глава б
ные условия заданы с конечной погрешностью (на рис. 6.22 им со-
соответствует окружность радиуса е), то мы не можем с определен»
ностью предсказать, к какому из аттракторов устремится траекто-
траектория частицы при ? > ео(у), где lim ?0 — 0 при 7 — 0. При отличном
от нуля коэффициенте затухания мы можем с определенностью
предсказать конечное состояние только в том случае, если распола-
располагаем точной информацией относительно начального состояния.
В следующем примере мы продемонстрируем фрактальную гра-
границу области притяжения. Конечное состояние в этом случае всегда
неопределенно независимо от того, сколь мал радиус е, т. е.
е0 = 0.
ФРАКТАЛЬНАЯ ГРАНИЦА ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ:
ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ
В этом разделе мы рассмотрим движение частицы в потенциале
с двумя ямами под действием периодической вынуждающей силы;
х = у,
У=-УУ=\ хA - х2) + /0 cos со t. F.5.2)
Как уже говорилось в предыдущих главах, динамика частицы
может быть описана в трехмерном фазовом пространстве (х, у,
г = at). Но ранее мы сосредоточивали свое внимание на хаотиче-
хаотических движениях такой системы. Теперь же нас интересуют только
движения, периодические относительно либо левого, либо правого
положения равновесия (х = ± 1). Таким образом, в качестве ат-
аттракторов в этой задаче можно рассматривать предельные циклы.
[Взяв отображение Пуанкаре асимптотического движения, мы по-
получим конечное множество точек вблизи одного из положений рав-
равновесия (± 1,0).] Здесь мы не отличаем субгармоники с периодом 1
от субгармоники с периодом 3. Мы предполагаем, что вынуждаю-
вынуждающая сила /0 достаточно мала и не вызывает хаотических колебаний
и длиннопериодических субгармоник.
В нашем примере мы зафиксируем у, /0 я ш и будем изменять
начальные условия. Результаты представлены на рис. 6.23—6.25 и
получены при численном моделировании с помощью алгоритма ин-
интегрирования Рунге—Кутта четвертого порядка (подробности см. в
работе Муна и Ли [144]).
Результаты, представленные на рис. 6.23, показывают, что при
достаточно малой амплитуде вынуждающей силы /0 граница обла-
области гладкая, но когда /0 превосходит некоторое критическое значе-
Рис. 6.23. Гладкая граница области притяжения для частицы, совершающей колеба-
колебания в потенциале с двумя ямами под действием вынуждающей силы малой амплиту-
амплитуды. Аттракторами служат периодические орбиты вокруг правого и левого положе-
положения равновесия [144] (The American Physical Society, © 1985).
Рис. 6.24. Фракталоподобные области притяжения для движения частицы в потенци-
потенциале с двумя ямами в случае, когда амплитуда вынуждающей силы превосходит кри-
критерии Мельникова E.3.28) [144] (The American Physical Society, © 1985).
254
Глава 6
Рис. 6.25. Увеличенное нзображенне небольшой прямоугольной области пространст-
пространства начальных условий на рис. 6.23 показывает фракталоподобную структуру в более
мелком масштабе [144] (The American Physical Society, © 198S).
ние, граница становится фракталоподобной, как показано на рис.
6.24. (Этот рисунок построен по результатам интегрирования
160-103 начальных условий.) Нам было необходимо удостовериться
в том, что граница области притяжения фрактальна. Для этого мы
выбрали небольшой участок пространства начальных условий и
увеличили его. Результат этой операции представлен на рис. 6.25.
Мы видим, то при переходе ко все более мелкому масштабу мы об-
обнаруживаем все признаки фрактальной структуры. Эти результаты
имеют важное значение для классической динамики в части, касаю-
касающейся предсказуемости движения.
ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ: КРИТЕРИЙ ФРАКТАЛЬНОСТИ
ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ
Наша книга посвящена в основном хаотической динамике, но,
как следует из предыдущего раздела, некоторые характерные осо-
особенности хаотической динамики, а именно чувствительность к из-
изменениям параметров и непредсказуемость поведения, иногда мо-
Фрактальные понятия в нелинейной динамике 255
гут быть присуши и нехаотическим движениям. Такая перспектива
повергает в ужас инженеров, занимающихся численным моделиро-
моделированием нелинейных систем на компьютерах. Их чувства вполне по-
понятны: в подобного рода системах конечный результат вычислений
может оказаться чувствительным к малым изменениям перемен-
переменных, таких, как начальные данные, управляющие параметры
ошибки округления и выбор шага по времени в численном алгорит-
алгоритме. Такого рода отсутствие «жесткости» может встречаться даже в
том случае, когда речь идет о переходном или периодическом режи-
режиме на выходе системы.
Для численного анализа весьма важно располагать критерием,
позволяющим распознавать, обладает ли данная конкретная нели-
нелинейная система чувствительностью к небольшим вариациям пара-
параметров или не обладает. Пока нет общего критерия предсказуемо-
предсказуемости в нелинейной динамике, но, как показывает динамика в задаче
о движении частицы в потенциале с двумя ямами, кое-какие сооб-
соображения уже имеются.
Во-первых, мы ожидаем, что системы, наиболее восприимчивые
к поведению фрактальной границы области притяжения, обладают
неоднозначностью конечных режимов: у них существует несколько
состояний равновесия или периодических движений. Например, в
задачах об ударе упруго-пластической арки (см. [155, 184]) или о пе-
периодическом воздействии на ротор или маятник существуют по
крайней мере два возможных конечных режима. В случае арки
упруго-пластическая балка в конечном состоянии может быть обра-
обращена выпуклостью вверх или вниз. В случае ротора вращение мо-
может происходить как по часовой стрелке, так и против нее.
Второе соображение относительно возможности существования
фрактальных границ областей притяжения более тонкое и требует
более изощренной математической интуиции. В гл. 1 и 5 было по-
показано, что нелинейные системы, определенным образом растяги-
растягивающие и складывающие некоторые области фазового пространст-
пространства, порождая так называемое отображение типа подковы, в
какой-то мере обладают чувствительностью к начальным данным
и допускают множество субгармонических решений. Как было по-
показано в гл. 5, свойства, присущие отображению типа подковы,
возникают, когда у диссипативных нелинейных систем отображе-
отображение Пуанкаре, индуцируемое потоком в фазовом пространстве, по-
порождает гомоклинические точки. Холмс, используя метод Мельни-
Мельникова (см. уравнение E.3.20)), предложил критерий (см. [57]). В слу-
случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами
этот критерий служит очень надежным признаком существования
фрактальных границ областей притяжения даже в тех случаях, ког-
256
Глава б
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
ПП4
_
—
^^ Хаотическая область
\
Фрактальная "«^^^^^ ^,-*'
граница ' .
О
•
—sC0 °"
Критерий
Хаотические
непредсказуемые
движения /
/Перис
V
ф
* •
дичее кие .
у' непредсказуемые
^ . движения
—о
"б* О
О
Пепиодические
Хопмса-Мельниковв предскаэуемьч!
Гладкая
граница
1 1 1 1
движения
о
III.
0.6
0.7
0.3
0.9
Рис. 6.26. Критерий гомоклинической траектории E.3.28) для задачи о движении ча-
частицы в потенциале с двумя ямами при фракталоподобной и гладкой границе обла-
области притяжения. По данным численных экспериментов [144] (The American Physical
Society, © 198S).
да движение не хаотично. Для уравнения движения F.5.2) этот
критерий сводится к соотношению
F.5.3)
Данные, подтверждающие правильность критерия F.5.3), приведе-
приведены на рис. 6.26 (см., например, работу Муна и Ли [144]). Они
включают в себя результаты многих расчетов границ областей при
тяжения, аналогичных представленным на рис. 6.23—6.25. Ниже
кривой, соответствующей критерию Холмса—Мельникова, найден-
найденные численными методами границы областей представления глад-
гладкие, выше — фрактальные (по крайней мере, если судить по внеш-
внешнему виду).
Связь между гомоклиническими траекториями и фрактальными
границами областей притяжения не столь загадочна, в особенности
если взглянуть на рис. 6.27. На этом рисунке мы наложили друг на
друга результаты двух вычислений. Во-первых, вычислили границу
областей притяжения для движения в потенциале с двумя ямами,
когда амплитуда вынуждающей силы чуть ниже кривой
Холмса—Мельникова. Сравнив полученную границу с изображен-
изображенной на рис. 6.23 (которая соответствует меньшей вынуждающей си-
силе), мы обнаружили, что на границе образовался длинный выступ
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
257
Рис. 6.27. Области притяжения в задаче о движении частицы в потенциале с двумя
щами с наложенными на них устойчивым и неустойчивым многообразиями в сече-
сечении Пуанкаре при критической амплитуде вынуждающей силы E.3.28) [144] (The
American Physical Society, © 1985).
(«палец»). Во-вторых, вычислили и нанесли на рис. 6.27 устойчивые
я неустойчивые многообразия, выходящие нз седловой точки вбли-
вблизи начала координат. Первое, что бросается в глаза, — это совпа-
совпадение границы области притяжения с устойчивым многообразием
отображения Пуанкаре. Второе, что привлекает внимание, — не-
неустойчивые многообразия, показанные штриховыми линиями,
только касаются устойчивых многообразий. Этого следовало ожи-
ожидать, так как, согласно критерию, устойчивое и неустойчивое мно-
многообразия касаются и порождают гомоклинические точки. По тео-
теории, выходящей за рамки критерия Холмса—Мельникова, устойчи-
устойчивое н неустойчивое многообразия должны касаться отображения
Пуанкаре бесконечно много раз, что приводит к бесконечно многим
складкам устойчивого многообразия, а тем самым и к бесконечно
многим складкам границы области притяжения и, как
следствие, — к фрактальным свойствам. Эти результаты пока еще
не получили подтверждения для других, систем, но такого рода
258 Глава б
идеи находятся сейчас в стадии проверки (см., например, работу
Макдональда и др. [119]).
Резюмируя, мы можем утверждать, что, судя по некоторым до
статочно веским соображениям, для многих динамических систем
множественность решений и существование гомоклиническнх траек.
торий или свойств, аналогичных свойствам отображения типа под.
ковы, могут служить критерием фрактальности границ областей
притяжения и предсказуемости поведения нелинейных систем.
РАЗМЕРНОСТЬ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ
И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
Йорке и его сотрудники из Мэрилендского университета пред-
предприняли численное исследование границ областей притяжения,
фракталов и хаоса. В одной из своих работ они показали, что доля
ф неопределенных начальных условий в фазовом пространстве как
функция радиуса неопределенности ? связана с фрактальной размер-
размерностью границы области притяжения (см., например, работу Мак-
Макдональда и др. [119]) соотношением
ф * е*>-о,
где D — размерность фазового пространства, a d — емкостная
фрактальная размерность границы области притяжения. Если гра-
граница гладкая, то d = D — 1, или
ф * ?.
Например, если относительная неопределенность в начальных
условиях составляет ? = 0,05, то неопределенность в конечном со*
стоянии как доля всех начальных условий достигает ф = 22% при
d = 1,5 uD = 2.
Метод вычисления размерности d для границ областей притяже-
притяжения описан в серии работ мэрилендской группы. Их метод отлича-
отличается от метода вычисления d для траектории, так как граничные
точки не заданы, а формируются из множества точек, не принадле-
принадлежащих ни одному из притягивающих множеств. Такие фракталь-
фрактальные множества получили название жирных фракталов. (Подробно-
(Подробности о жирных фракталах и их приложениях к вычислениям гранил
областей притяжения см. в работе Гребоги и др. [54].)
ВРЕМЕНА ПЕРЕХОДА: ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
К НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ
В предыдущих разделах мы описали, каким образом развитие
фрактальной границы области притяжения приводит к неопреде-
Рис. 6.28. Фракталополооные отображения со сдвигом по времени в задаче о движении частицы в по-
потенциале с двумя ямамн пол действием вынуждающей силы. Каждый способ штриховки соответствует
другому периоду движения, выходящего на стационарную периодическую орбиту [154J.
260 Глава б
ленности относительно того, к какому аттрактору стремится систе-
система при t —¦ оо. Однако нас может интересовать и время, за которое
траектория выходит на аттрактор. Дауэлл и Пезешки [154] вычис-
вычислили длительность перехода от начальных условий к аттрактору
для движения частицы в потенциале с двумя ямами. Результаты их
вычислений представлены на рис. 6.28. На этой схеме с помощью
цвета или штриховки показаны времена, необходимые для перехода
от данной точки к периодической траектории вокруг либо правой,
либо левой потенциальной ямы. К какой из ям переходит
траектория — безразлично: учитывается только время перехода.
Когда амплитуда вынуждающей силы превысила порог, задавае-
задаваемый критерием гомоклинической траектории F.5.3), Дауэлл и Пе-
Пезешки наблюдали возникновение картины, напоминающей по своей
структуре фракталы. Это означает, что при некоторой неопреде-
неопределенности в начальных условиях время перехода и конечный аттрак-
аттрактор в определенных нелинейных задачах становятся непредсказуе-
непредсказуемыми.
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
В гл. 3 мы рассматривали динамику ротора, подталкиваемого
отдельными импульсами C.2.19). Костелих и др. [95] исследовали
динамику двойного ротатора, подталкиваемого отдельными импуль-
импульсами. В этой задаче с двумя степенями свободы (рис. 6.29, а) дви-
движение между периодическими импульсами линейно, и задача в про-
промежутках между толчками может быть проинтегрирована. Исполь-
Используя это обстоятельство, Костелих и др. построили четырехмерное
отображение и нашли области притяжения двух периодических ат-
аттракторов. При некоторых амплитудах вынуждающего импульса
область начальных условий F,@) = 0, 02(О) = 0) на плоскости
@,, 02) имеет «весьма фрактальный» вид (рис. 6.29, б).
В других работах Янсити и др. [86] и Гуинн и Вестерфельт [58]
использовали уравнение маятника с периодической вынуждающей
силой для моделирования электронного устройства, основанного на
одном явлении, известном под названием джозефсоновского пере-
перехода. Эти авторы также получили при различных начальных усло-
условиях границу области притяжения, выглядящую как фрактальная.
В докторской диссертации [106], защищенной в Корнеллском
университете в 1987 г., Ли исследовал динамику системы с двумя
степенями свободы в потенциале с четырьмя ямами под действием
периодической вынуждающей силы. Эта задача аналогична задаче
C.3.7), рассмотренной нами в гл. 3, но с четырьмя потенциальны-
потенциальными ямами вместо двух. При малых амплитудах вынуждающей си-
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
261
Fit)
(a)
Рис. 6.29. а — Схема двузвенного ротатора с импульсной вынуждающей силоП; 6 —
фрактальные области притяжения для двузвенного ротатора, находящегося под дей-
действием периодической импульсной вынуждающей силы. Двумя аттракторами слу-
служат периодическое движение (с периодом 4) и состояние равновесия [95] (Elsevier
Science Publishers, © 1986).
лы вокруг одного из четырех положений равновесия возникает дол-
гопериодическое движение. При нулевых начальных скоростях каж-
каждое начальное положение (дг,(О), х2@)) было окрашено в одни из че-
четырех цветов или отмечено одной из четырех различных штрихо-
штриховок. Ли показал, что граница между четырьмя областями притяже-
262
Глава 6
Рис. 6.30. Границы с фрактальной структурой областей притяжения четырех перио-
периодических аттракторов. Данные получены путем численного моделирования плоского
движения частицы в потенциале с четырьмя ямами под действием периодической
внешней силы. Начальные скорости равны нулю. (Из докторской диссертации Дж.
К. Ли, защищенной в Корнсллском университете в 1987 г.) Оси соответствуют на-
начальным положениям иа плоскости.
ния может становиться фрактальной, когда амплитуда вынуждаю-
вынуждающей силы приближается к критическому уровню, задаваемому кри-
критерием гомоклинической траектории (рис. 6.30).
ФРАКТАЛЬНЫГ- ГРАНИЦЫ ХАОСА
В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ
Как мы уже убедились, небольшие изменения в начальных усло-
условиях могут существенно изменить характер поведения динамичес-
динамической системы. Естественно задать вопрос: существует ли аналогич-
аналогичная чувствительность к другим параметрам, управляющим динами-
Фрактальные понятия в нелинейной динамике
263
кой, таким, как амплитуда или частота вынуждающей силы, коэф-
коэффициент затухания или сопротивления в цепи. Мы рассмотрим
здесь один пример: построенную по экспериментальным данным
фрактальную границу между хаотическими и периодическими вы-
вынужденными колебаниями системы с одной степенью свободы.
Если система допускает несколько (не менее двух) типов движе-
движения, то обычно определяют диапазон значений параметров, в кото-
котором существует тот или другой тип движения. В случае вынужден-
вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами (см. гл. 2 и 5)
было бы весьма интересно заранее знать, какое — хаотическое или
периодическое — движение установится под действием периодичес-
периодической вынуждающей силы. Уравнение, описывающее такие колеба-
колебания, уже известно читателю, — это уравнение F.5.2). В этой задаче
для исключения всех параметров, кроме трех (у, /, «), мы использо-
использовали метод обезразмеривания. Как упоминалось в гл. 5, и Холмс
[73], и Мун [136] вывели критерии, связывающие параметры (у, /, ы)
соотношениями для случая, когда возникает хаотическое движение.
Эти соотношения, E.3.28) и E.3.42), имеют вид неравенств
f>F(w,y).
F.5.4)
Если безразмерный коэффициент затухания у фиксирован, то оба
критерия задают гладкие кривые на плоскости if, «), как показано
на рис. 6.31. Однако при сравнении этих критериев с эксперимен-
13
I9
I 5
Хаотические
движения
Уравнение E 3.42)
Эксперимент
Периодические движения
4 5 6 7 8 9 10
Частота |Ги)
Рис. 6.31. Фракталоподобиая фаница между хаотическими и периодическими движе-
движениями на плоскости амплитуда — частота вынуждающей силы. Экспериментальные
данные взяты из работы по изучению колебаний продольно изогнутой балки [139]
(The American Physical Society, © 1984).
264 Глава 6
тальными данными (Мун [139]) становятся заметными два отли-
отличия. Во-первых, теоретические критерии задают нижние границы
данных и, во-вторых, экспериментальный критерий дает часто ко-
колеблющуюся нерегулярную кривую, которая вполне может ока«
заться фрактальной.
Эксперименты были выполнены на уже хорошо знакомой нам
продольно изогнутой консоли, помещенной между двумя постояв-
нымн магнитами (рис. 2.2, б). Упругая балка (стержень), магниты
и опора помещались на электромагнитный качающийся вибратор,
воздействовавший на систему с вынуждающей силой заданной ам-
амплитуды А 0 и частотой ш. Безразмерная сила в уравнении F.5.2)
связана с амплитудой А 0 соотношением
При выполнении эксперимента мы фиксировали частоту вынуж-
вынуждающей силы и медленно увеличивали амплитуду колебаний вибра-
вибратора. Если балка совершала первоначально периодические колеба-
колебания вокруг одного из положений равновесия в продольно изогну»
том состоянии, то амплитуда возрастала до тех пор, пока «верхуш-
«верхушка» былки не выскакивала из потенциальной ямы.
Для определения характера движения (хаотическое оно или пе-
периодическое) было использовано отображение Пуанкаре. Движение
измерялось датчиками деформации, прикрепленных к защемленно-
защемленному концу балки, а в качестве фазовой плоскости была выбрана пло-
плоскость деформация — скорость деформации. Отображение Пуанка-
Пуанкаре таких сигналов были синхронизованы с частотой вынуждающей
силы. Наступление хаоса определялось по тому, что конечное мно-
множество точек в сечении Пуанкаре (за которым можно наблюдать <
помощью осциллоскопа; см. гл. 4) становилось неустойчивым и на
экране возникала картина, напоминающая по виду канторовское
множество.
При различных вариантах расположения магнитов и балки (длин-
(длинной пластины) испытанию подвергались по крайней мере пять на-
наборов данных, соответствующих хаотическим границам, и во всех
случаях было обнаружено негладкое поведение. В данных, приве-
приведенных на рис. 6.31, использовано около 70 частот в диапазоне от 4
до 9 Гц.
Чтобы определить, фрактальна ли граница между хаотическими
и периодическими движениями, нами была измерена фрактальная
размерность множества экспериментальных точек. Для этого мы,
во-первых, соединили точки отрезками прямых. Во-вторых, придав
определенный раствор циркулю, принялись измерять длину грани-
границы как функцию раствора циркуля. Именно такой метод по описа-
описанию Мандельброта [124] был применен для измерения фрактальной
Фрактальные понятия в нелинейное динамике
265
размерности береговой линии различных стран. Итак, мы аппрок-
аппроксимируем экспериментальную границу N прямолинейными отрезка-
отрезками длиной е. При уменьшении раствора циркуля е число отрезков,
необходимых для того, чтобы аппроксимировать кривую, возрас-
возрастает. Общая длина аппроксимирующей ломаной равна
L =N(e)e.
-1
F.5.5)
Для нефрактальной кривой N = в, или N = Х/е, поэтому X ста-
становится мерой длины границы. Но для фрактальных кривых, та-
таких, как кривая Кох, N = \e~D, где параметр е мал, a D — не це-
целое число. Следовательно, измеряя зависимость L от е, мы получа-
получаем
L = Ле'-°
и, измеряя угловой коэффициент log
фрактальную размерность
F.5.6)
как функции loge, находим
Можно показать, что такой способ вычисления фрактальной раз-
размерности эквивалентен покрытию множества точек малыми ква-
квадратами, т. е. способу, которы мы обсуждали, когда вводили опре-
определение емкостной фрактальной размерности F.1.2).
Результаты этой серии измерений представлены на рис. 6.32 для
двух групп данных. Мы видим, что длина граничных кривых воз-
возрастает с уменьшением раствора циркуля и что фрактальная раз-
размерность заключена в интервале от 1,24 до 1,28. Следовательно,
имеются достаточно веские основания считать, что граница между
периодическими и хаотическими режимами в пространстве пара-
параметров (/, ш) фрактальна. Следует заметить, однако, что, хотя
Данные из работы Муна [136]
^ D=1.24
Данные из работы Муна [139]
D = 1.24
log.
Рис. 6.32. Вычисление фрактальной размерности границы хаотической области на
рис. 6.31.
266 Глава б
приведенное выше одномодовое описание хаотических колебаний
упругой балки F.S.2) дает очень хорошее согласие с эксперимен-
экспериментальными данными, если судить по отображениям Пуанкаре, ре-
реальный эксперимент затрагивает бесконечно много степений свобо-
свободы, которые, как мы надеемся, не влияют на низкочастотное пове-
поведение. Однако вполне может быть, что высшие моды влияют (и
даже существенно) на фрактальную природу границы на рис. 6.31.
Чтобы со всей определенностью ответить на вопрос о том, влияют
ли (и на что именно) высшие моды на низкочастотные режимы, не-
необходимы дальнейшие исследования.
Во всяком случае, приведенные выше результаты показывают,
что четкий критерий хаоса, возможно, и не существует. Явно фрак-
фрактальная природа границы, устанавливаемой критерием, может
быть присуща многим системам. Возникновение фрактальной гра-
границы моно рассматривать как верхнюю и нижнюю границы су-
существования хаотических режимов.
6.6. КОМПЛЕКСНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
И МНОЖЕСТВА МАНДЕЛЬБРОТА
Многим читателям, вероятно, уже приходилось видеть красивые
цветные картины, построенные и связываемые с названием «мно-
«множество Мандельброта», которые появились в августовском номере
журнала Scientific American за 198S г. и в некоторых других публи-
публикациях (см., например, книгу Пейтгена и Рихтера [153]). Эти карти-
картины являются примерами фрактальных границ областей притяжения
аттракторов в фазовом пространстве и фрактальных границ в про-
пространстве параметров и основаны на двумерном отображении ком-
комплексного переменного z = х + ;>:
z2n + c, F.6.1)
где С = а + ib — комплексная постоянная. В вещественных пере-
переменных это отображение примет вид
2x v + h lo.o.z;
В отличие от теории, излагаемой в книге Пейнтгена и Рихтера,
наши отображения Пуанкаре представимы в виде
хп+\ =/(¦*„. У„), F63)
Уп + 1 = 8(Х„, У„),
но / + ig не является аналитической функцией в смысле теории
функций комплексного переменного. Мандельброт [124] и другие
авторы (см., например, книгу Пейтгена и Рихтера [153]) исследова-
исследовали комплексную плоскость С при таких значениях, что многократ-
Фрактальные понятия в нелинейное динамике
267
Рис. 6.33. Фрактальная область притяжения комплексных параметров комплексного
отображения F.6.1) для ограниченных траекторий — множество Мандельброта (с
разрешения Джона Хаббарда из Корнеллского университета).
ные итерации отображения F.6.1) остаются ограниченными при
п — оо. Множество точек С, при которых Zn остаются ограничен-
ограниченными, изображено нарис. 6.33 черным цветом. Показано, что гра-
граница этого множества обладает фрактальными свойствами.
Можно исследовать также точки равновесия, или /V-периодичес-
кие точки отображения, такие, что
При заданной постоянной С можно исследовать область притя-
притяжения начальных значений (х, у), приводящих к тому или иному
поведению системы. Показано, что граница этой области притяже-
притяжения также обладает фрактальными свойствами.
Результаты исследования нелинейных разностных уравнений
(например, уравнения F.6.1)) или нелинейных дифференциальных
уравнений (например, уравнения F.5.2), показывают, что динамиче-
динамическое поведение системы чувствительно не только к начальным ус-
условиям, но и к небольшим изменениям или погрешностям в пара-
параметрах задачи.
Приложение А
Словарь терминов
по хаотическим
и нелинейным колебаниям
Аттрактор Множество точек или подпространство в фазовом
пространстве, к которому приближается траектория после затуха-
затухания переходных процессов. Классическими примерами аттракторов
в динамике могут служить точки равновесия или неподвижные точ-
точки отображений, предельные циклы или поверхности торов для
квазипериодических движений.
Бифуркация Изменение характера движения динамической си-
системы на большом временном интервале при изменении одного или
нескольких параметров. Например, при сжатии стержня происхо-
происходит выпучивание, и одно состояние равновесия, потеряв устойчи-
устойчивость, сменяется двумя новыми устойчивыми состояниями равнове-
равновесия.
Бифуркация Хопфа" Рождение предельного цикла из состоя-
состояния равновесия при изменении некоторого названия. Свое название
эта бифуркация получила в честь математика, сформулировавшего
точные условия ее существования у динамической системы.
Гамильтонова механика Формально метод, позволяющий
записывать уравнения движения динамической системы с N степе-
степенями свободы в виде 2N дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка [Гамильтон A805—1865)]. На прак-
практике под гамильтоновой механикой часто понимают теорию недис-
сипативных систем с потенциальными силами.
Гетероклиническая траектория Траектория, возникающая
при пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий раз-
различных седловых точек отображения.
Глобальные/локальные движения Под локальными дви-
движениями принято понимать траектории динамических систем, не
11 В отечественной литературе принято название «бифуркация Андронова —
Хопфа». — Прим. перев.
Словарь терминов по хаотическим и нелинейным колебаниям 269
уходящие далеко от точек равновесия. Под глобальными движения-
движениями обычно понимают движения в промежутках между точками
равновесия или от одной точки равновесия до другой, а также тра-
траектории, не остающиеся в какой-нибудь малой области фазового
пространства.
Гомоклиническая траектория Траектория, возникающая
при пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий одной
седловой точки.
Детерминированная система Динамическая система, урав-
уравнения движения, параметры и начальные условия которой известны
и не являются стохастическими или случайными. Некоторые дви-
движения детерминированных систем могут казаться случайными.
Емкость Одна из многих фрактальных размерностей множест-
множества точек. Основная идея емкостной размерности состоит в подсчете
минимального числа кубов с ребром е, необходимых для покрытия
данного множества точек. Если это число при г — 0 ведет себя как
e~d, то показатель d называется емкостной фрактальной размер-
размерностью.
Инвариантная мера Функция распределения, описывающая
вероятность при / — оо, найти траекторию системы в данной обла-
области фазового пространства.
Канторовское множество Формально множество точек,
остающееся после выбрасывания из единичного интервала средней
трети и неоднократного повторения этой операции над остающи-
остающимися интервалами. В пределе такая операция приводит к фракталь-
фрактальному множеству точек на прямой с размерностью, заключенной
между 0 и 1 Aп2/1пЗ).
Квазипериодические колебания Колебания с двумя или бо-
более несоизмеримыми частотами.
Комбинационные тоны (см. также Квазипериодические
колебания) В теории колебаний и акустике, частоты, представи-
мые в виде суммы или разности двух основных частот; более об-
общо, частоты вида п и, + т ш2, где пит — целые положительные
или отрицательные числа, со, и ш2 — основные частоты.
Конвекция Рэлея — Бенара Циркуляционное движение жид-
жидкости, возникающее под действием градиента температур н грави-
гравитационных сил. Модель хаотического движения Лоренца была
предложена для моделирования некоторых особенностей динамики
тепловой конвекции.
Линейный оператор Любая математическая операция (на-
(например, дифференцирование, умножение на константу), действие
которой на сумму двух функций совпадает с суммой ее действий на
270 Приложение А
каждую из функций слагаемых. Линейный оператор тесно связан с
принципом суперпозиции.
Многообразие Подпространство фазового пространства, в ко-
котором остаются под действием дифференциальных или разностных
уравнений их решения, если начальные условия были выбраны в
данном подпространстве.
Множество Мандельброта. Еслиг — комплексное перемен-
переменное, то квадратичное отображение z — z2 + с имеет более чем
один аттрактор. Фиксируя начальные условия и изменяя комплекс-
комплексный параметр с, можно определить область притяжения как функ-
функцию параметра с. Возникающая при этом граница области притя-
притяжения оказывается фрактальной, а сама область известна под на-
названием множества Мандельброта в честь математика, работающе-
работающего ныие в фирме IBM.
Нелинейность Свойство системы с входом и выходом или ма-
математической операции, у которых сигнал на выходе (результат
операции) не пропорционален сигналу на входе. Например, опера-
операции^ = схп (я Ф 1) или .У = xdx/dt, или .у = с (dx/dfji2 нелинейны.
Неподвижная точка см. Точка равновесия.
Область притяжения Множество начальных условий в фазо-
фазовом пространстве, из которых траектории выходят на какое-нибудь
конкретное движение или аттрактор. Обычно это множество точек
связано и образует непрерывное подпространство в фазовом про-
пространстве. Но граница между различными областями притяжения
может быть, а может и не быть гладкой.
Отображение Математическое правило, ставящее в соответст-
соответствие одному множеству точек в некотором л -мерном пространстве
другое множество точек. При итерации такого правила отображе-
отображение аналогично системе разностных уравнений.
Отображение окружности на себя Отображение или раз-
разностное уравнение, ставящее в соответствие точкам окружности
точки той же окружности. В теории двух связанных осцилляторов
некоторые траектории в фазовом пространстве можно рассматри-
рассматривать как движение по поверхности тора. Сечение Пуанкаре, прохо-
проходящее по меридиану (меньшему диаметру) тока, порождает отобра-
отображение окружности на себя.
Отображение пекаря Преобразование плоскости (отображе-
(отображение плоскости на плоскости), которое растягивает прямоугольную
площадку в одном направлении, сжимает ее в поперечном направ-
направлении, разрезает пополам и помещает одну половину поверх дру-
другой.
Аналогично преобразованию типа подковы. Повторные итера-
итерации отображения пекаря превращают исходное множество точек во
Словарь терминов по хаотическим и нелинейным колебаниям 271
фрактальную структуру. Названо по сходству с операциями, произ-
производимыми пекарем, месящим кусок теста.
Отображение Пуанкаре см. Сечение Пуан-
Пуанкаре.
Отображение типа подковы Отображение плоскости на
плоскость, сводящееся к следующему. Нижняя половина прямо-
прямоугольной области растягивается в одном направлении, сжимается в
поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску
в некоторой части левой полуплоскости, а верхняя половина той же
прямоугольной площадки растягивается в одном направлении, сжи-
сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную
полоску в правой полуплоскости. Весь процесс напоминает преоб-
преобразование исходной прямоугольной площадки в подковообразное
множество, отсюда и название. По своим свойствам отображение
типа подковы аналогично отображению пекаря. Повторные итера-
итерации отображения типа подковы могут порождать фракталоподоб-
ные множества точек.
Отображение Энона Система двух связанных разностных
уравнений с одним квадратичным нелинейным членом. Если пара-
параметр отображения Энона положить равным нулю, то уравнения
напоминают логическое, или квадратичное, отображение. Названо
в честь французского астронома Энона.
Перемежаемость Тип хаотического движения, при котором
длительные временные интервалы регулярного, периодического или
стационарного движения сменяются короткими всплесками движе-
движения, напоминающими по своим свойствам случайное движение.
Временные интервалы между хаотическими всплесками не фиксиро-
фиксированы, а непредсказуемы.
Перенормировка (метод ренормгруппы) Математическая тео-
теория из области функционального анализа, в которой свойства неко-
некоторой системы уравнений в одном масштабе могут быть с по-
помощью подходящей замены переменных связаны со свойствами
этой системы уравнений в другом масштабе. Разработана лауреа-
лауреатом Нобелевской премии физиком К. Вильсоном (Корнеллский уни-
университет). Используется в теории квадратичных отображений при
выводе чисел Фейгенбаума.
Перестройка (смена устойчивости, выход на новый устойчи-
устойчивый режим) Термин математической теории устойчивости, описы-
описывающий серию задач, близких к одной идеализированной задаче,
возникающий при введении малой асимметрии в задачу с симмет-
симметрией или слабого затухания в недиссипативную динамическую си-
систему. Изменение устойчивости или динамических свойств идеали-
идеализированной задачи при введении в нее некоторых неидеализирован-
неидеализированных членов и называется перестройкой.
272 Приложение А
Переходный хаос Движение, которое на конечном временном
интервале выглядит как хаотическое, т. е. траектория как бы дви-
движется по странному аттрактору, но затем выходит на периодиче-
периодическое или квазипериодическое движение.
Показатели Ляпунова Числа, служащие мерой экспоненци-
экспоненциального сближения или разбегания со временем двух соседних тра-
траекторий в фазовом пространстве с различными начальными услови-
условиями. Положительный показатель Ляпунова свидетельствует о су-
существовании хаотического движения в динамической системе с
ограниченными траекториями. Названы в честь русского матема-
математика Ляпунова A857—1918).
Положение равновесия В непрерывной динамической систе-
системе точка в фазовом пространстве, к которой приближается траек-
траектория после затухания переходных режимов (при/ — »). В механи-
механических системах под положением равновесия обычно имеют в виду
состояние с нулевым ускорением и нулевой скоростью. В отображе-
отображениях положениями равновесия могут быть конечные множества:
при итерациях отображения или разностного уравнения система по-
последовательно переходит от одной точки такого множества к дру-
другой. (Положение равновесия называется также неподвижной точ-
точкой.)
Почти периодическая траектория Траектория, временная
зависимость которой состоит из нескольких дискретных несоизме-
несоизмеримых частот.
Предельный цикл В технической литературе периодическое
движение, возникающее в самовозбуждающейся или автономной
системе (например, аэроупругий флаттер или электрические автоко-
автоколебания). В литературе по динамическим системам предельный
цикл относится и к вынужденным периодическим движениям.
Размерность Хаусдорфа Математическое определение фрак-
фрактальных свойств, связанных с емкостной размерностью.
Самоподобие (автомодельность) Свойство множества то-
точек, геометрическая структура которого в одном масштабе подобна
его геометрической структуре в другом масштабе. (См. также
Фрактал, Перенормировка.)
Седло (седловая точка) В геометрической теории обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений точка равновесия с вещественны-
вещественными собственными значениями, из которых по крайней мере одно
положительно и одно отрицательно.
Сечение см. Сечение Пуанкаре.
Сечение (отображение) Пуанкаре Последовательность то-
точек в фазовом пространстве, порождаемая пересечением непрерыв-
непрерывной траекторией с поверхностью общего вида или плоскостью в
Словарь терминов по хаотическим и нелинейным колебаниям 273
пространстве. Для нелинейного осциллятора с периодической вы-
вынуждающей силой, задаваемого обыкновенным-дифференциальным
уравнением второго порядка, отображение Пуанкаре может быть
получено стробоскопированием положения и скорости в определен-
определенной фазе вынуждающей силы [А. Пуанкаре A854—1912)].
Символическая динамика Динамическая модель, в которой
дискретизовано не только время, но и переменные состояния при-
принимают только конечное множество значений, например (—1,0, 1).
Так как допустимое множество значений, конечно, можно сопоста-
сопоставить им любой набор символов, например (L, С, R). Тогда дина-
динамической траектории будет соответствовать некоторая последова-
последовательность символов. Методы символической динамики использу-
используются также в теории клеточных автоматов.
Стохастический процесс Тип хаотического движения, встре-
встречающийся в консервативных, или недиссипативных, динамических
системах.
Странный аттрактор Притягивающее множество в фазовом
пространстве, по которому движутся хаотические траектории. Лю-
Любой аттрактор, который не является положением равновесия, пре-
предельным циклом или квазипериодическим аттрактором. Аттрактор
в фазовом пространстве с фрактальной размерностью.
Теория КАМ Теория существования периодических или квази-
квазипериодических движений в нелинейных гамильтоновых системах
(т. е. в системах без диссипации с потенциальными силами), разви-
развитая Колмогоровым, Арнольдом и Мозером. Теория КАМ утверж-
утверждает, что при добавлении к линейной системе небольших нелиней-
ностей регулярные движения продолжают существовать.
Теория катастроф Во многих физических системах положе-
положения равновесия находят исходя из потенциала: приравнивая нулю
производные потенциала по обобщенным координатам. Теория ка-
катастроф занимается изучением зависимости числа положений рав-
равновесия от параметров задачи, например от нагрузок в упругих си-
системах. Теория катастроф предсказывает, что вблизи некоторых
критических значений таких параметров число положений равнове-
равновесия изменяется заранее известным образом и что эти изменения но-
носят универсальный характер для некоторых классов потенциалов.
Основателем теории катастроф принято считать французского ма-
математика Рене Тома. В строительной механике независимо разви-
развивался свой частный вариант теории катастроф, занимавшийся изу-
изучением чувствительности критических нагрузок с дефектами струк-
структуры.
Течение Тейлора — Куэтта Течение жидкости между двумя
вращающимися концентрическими цилиндрами.
18—16!
274 Приложение А
Тор (инвариантный) Движение двух связанных осцилляторов
без затухания в воображаемом конфигурационном пространстве,
происходит по поверхности тора. Круговое движение по окружно-
окружности меньшего радиуса (меридиану) соответствует колебаниям одно-
одного осциллятора, круговое движение по окружности большего ради-
радиуса (параллели) — колебаниям другого осциллятора. Если движе-
движение периодическое, то траектория на поверхности тора после не-
нескольких витков замыкается. Если движение квазипериодическое,
то траектория проходит сколь угодно близко от любой точки на
торе.
Удвоение периода Обычно имеется в виду последователь-
последовательность периодических колебаний, в которой при изменении некото-
некоторого параметра происходит удвоение периода. В классической мо-
модели бифуркации удвоения периода (половинной частоты) происхо-
происходят через монотонно уменьшающиеся интервалы управляющего па-
параметра. После прохождения критического значения параметра
(точки накопления) возникают хаотические колебания. Такой сцена-
сценарий перехода к хаосу наблюдался во многих физических системах,
но не является единственным маршрутом, ведущим к хаосу. (См.
Число Фейгенбаума.)
Универсальное свойство (универсальность) Свойство
динамической системы, остающееся неизменным в пределах неко-
некоторого класса нелинейных задач. Например, число Фейгенбаума
для последовательности бифуркационных параметров при удвоении
периода является одним и тем же для некоторого класса нелиней-
нелинейных необратимых одномерных отображений.
Уравнение Ван дер Поля Обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка с линейной восстанавливающей силой и
нелинейным затуханием, обладающее предельным циклом. Класси-
Классическая математическая модель автоколебаний. [Названо в честь
Б. Ван дер Поля (около 1927 г.).]
Уравнение Дуффинга Обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение с кубической нелинейностью и гармонической вынуждающей
силой: х + сх + Ьх + ах3 = /Ocos wt. (Названо в честь г. Дуффинга
(около 1918 г.).)
Уравнения Лоренца Система трех автономных дифференци-
дифференциальных уравнений, обладающая хаотическими решениями. Выведе-
Выведена и исследована Э. Н. Лоренцем в 1963 г. как модель конвекции в
атмосфере. Эта система уравнений — одна из основных моделей
хаотической динамики.
Уравнения Навье—Стокса Система трех дифференциальных
уравнений в частных производных, описывающая поле скоростей в
Словарь терминов по хаотическим и нелинейным колебаниям 275
потоке несжимаемой линейной вязкой жидкости [Навье
A785—1836), Стоке A819—1903)].
Фазовое пространство В механике фазовое пространство —
абстрактное математическое пространство, в котором координата-
координатами служат обобщенные координаты и обобщенные импульсы. В
динамических системах, задаваемых системой эволюционных урав-
уравнений первого порядка, координатами служат переменные состоя-
состояния, или компоненты вектора состояния.
Фрактал Геометрическое свойство множества точек в л-мер-
л-мерном пространстве, обладающего самоподобием при различных мас-
масштабах и нецелой фрактальной размерностью, меньшей чем п.
Фрактальная размерность Количественная характеристика
множества точек в п- мерном пространстве, показывающая, на-
насколько плотно точки заполняют подпространство, когда их число
становится очень большим, (см. Емкость.)
Функция Мельникова Одна из теорий хаотического движения
сосредоточивает внимание на седловых точках отображений Пуан-
Пуанкаре, порождаемых непрерывными потоками в фазовом про-
пространстве. Вблизи таких точек имеются подпространства, по кото-
которым траектории сходятся к седловой точке (устойчивые многообра-
многообразия), и подпространства, по которым траектории расходятся от
седловой точки (неустойчивые многообразия). Функция Мельникова
задает меру расстояния между такими устойчивыми и неустойчи-
неустойчивыми многообразиями. Теория, о которой идет речь, считает, что
хаос возникает, когда устойчивое и неустойчивое многообразия пе-
пересекаются или когда функция Мельникова имеет простой нуль.
[Функция названа в честь советского математика (около 1962 г.).]
Хаотическое движение Тип движения, чувствительный к из-
изменениям начальных данных. Движение, при котором траектории,
задаваемые незначительно отличающимися начальными данными,
экспоненциально расходятся. Движение с положительным показате-
показателем Ляпунова.
Центральное многообразие В теории динамических систем
движения в окрестности положения равновесия допускают класси-
классификацию по собственным значениям и подразделяются на устойчи-
устойчивые, неустойчивые и колебательные, или осцилляторные. Подпро-
Подпространство фазового пространства, образуемое чисто осциллятор-
ными решениями, иногда называют центральным многообразием.
Число вращений Если система содержит два осциллятора с
частотами «, и ы2, то число вращений на основе частоты и, есть
среднее число траекторий с частотой wj, приходящихся на одну
траекторию с частотой «,.
276 Приложение А
Число Рейнольдса Безразмерная комбинация параметров в
гидромеханике, пропорциональная скорости течения и характерной
длине и обратно пропорциональная кинематической вязкости. Пе-
Переход от ламинарного течения к турбулентному во многих задачах
гидромеханики происходит при критическом значении числа Рей-
Рейнольдса [О. Рейнольде A842—1912)].
Число Фейгенбаума Свойство динамической системы, свя-
связанное с последовательностью удвоения периода. Отношение после-
последовательных разностей параметров бифуркации удвоения периода
стремится к числу 4,669. . . . Это свойство и число Фейгенбаума
были обнаружены во многих физических системах на стадии, пред-
предшествующей хаосу.
Шум В экспериментах под шумом обычно понимают небольшие
случайные возмущения (фон) механического, теплового или элект-
электрического происхождения.
Эргодическая теория Раздел гамильтоновой механи-
механики, который изучает движения, по свойствам напоминающие слу-
случайные, связанных нелинейных систем частиц и эволюцию коллек-
коллективных свойств системы в целом.
Языки Арнольда Колебания связанных нелинейных осцилля-
осцилляторов при некоторых значениях частот оказываются захваченными
некоторым значением p/q (p, q — целые числа). Области синхрони-
синхронизации в пространстве параметров имеют форму выступов, или язы-
языков. Свое название такие языки получили в честь открывшего их
советского математика В. И. Арнольда.
Приложение Б
Численные эксперименты
по хаосу
В этой книге мы придерживались эмпирического подхода к хао-
хаотическим колебаниям и изложили целую серию различных физиче-
физических явлений, в которых хаотическая динамика играет важную
роль. Разумеется, не все читатели имеют доступ к лаборатории
или обладают склонностью к экспериментированию, хотя боль-
большинство из них могут воспользоваться цифровыми компьютерами.
Учитывая это, мы приводим в настоящем приложении ряд числен-
численных экспериментов, осуществимых либо на персональном компью-
компьютере, либо на микрокомпьютере, в надежде, что они помогут чита-
читателю исследовать динамику ставших ныне классическими моделей
хаоса.
Б.1. ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ: УДВОЕНИЕ ПЕРИОДА
Одной из простейших задач, с которой следовало бы начинать
знакомство с новой динамикой, должно быть, является модель рос-
роста популяции, или логистическое уравнение
*„ + 1 = Ч, 0 -*„)•
Явления, связанные с удвоением периода, наблюдались различ-
различными исследователями (см., например, работу Мэя [130]) и, разу-
разумеется, Фейгенбаумом [37], который открыл знаменитые законы
подобия параметров (см. гл. 1 и 5). Персональный компьютер по-
позволяет необычайно легко воспроизвести два численных экспери-
эксперимента.
В первом эксперименте мы имеем график зависимости хп +, от
хп в диапазоне 0 < х ^ 1. Режим удвоения периода наблюдается
при значениях X ниже X = 3,57. Начав с X < 3,0, вы сможете уви-
увидеть траекторию с периодом 1. Чтобы увидеть более длинные тра-
278 Приложение Б
ектории, пометьте первые 30—50 итераций точками, а последую-
последующие итерации — другим символом. Разумеется, построив график
зависимости хп от я, вы сможете наблюдать переходные и стацио-
стационарные режимы. Хаотические траектории можно обнаружить при
3,57 < X < 4,0. В окрестности X = 3,83 можно обнаружить траек-
траекторию с периодом 3 [130].
Следующий численный эксперимент связан с построением би-
бифуркационной диаграммы. Для этого следует построить график за-
зависимости*,, при большихл от управляющего параметра. Выбери-
Выберите какое-нибудь начальное условие (например, х0 = 0,1) и проделай-
проделайте 100 итераций отображения. Затем отложите значения хп, полу-
полученные в результате следующих 50 итераций по вертикальной оси,
а соответствующее значение X по горизонтальной оси (или наобо-
наоборот). Шаг по X выберите около 0,01 и пройдите диапазон 2,5 <
< X < 4,0. На диаграмме в точках удвоения периода должны полу-
получиться классические бифуркации типа вил. Можете ли вы по дан-
данным численного эксперимента определить число Фейгенбаума?
Мэй [130] приводит также перечень численных экспериментов с
другими одномерными отображениями, например с отображением
*я+1 =х« ехр[гA -*„)].
Он описывает это отображение как модель роста популяции одного
вида, регулируемого эпидемической болезнью. Исследуйте область
2,0 < г < 4,0. Точка накопления удвоений периода и начало хаоса
соответствуют г = 2,6824 [130]. В статье Мэя содержатся также
данные по некоторым другим численным экспериментам.
Б.2. УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА
Замечательный численный эксперимент, несомненно, заслужива-
заслуживающий повторения, содержится в оригинальной работе Лоренца
[115]. Лоренц упростил уравнения, выведенные Зальцманом [167] на
основе уравнений тепловой конвекции в жидкости (см. гл. 3). Прио-
Приоритет в открытии непериодических решений уравнений конвекции,
по признанию Лоренца, принадлежит Зальцману. Для исследования
хаотических движений Лоренц выбрал ставшие ныне классическими
значения параметров а = 10, Ь = 8/3, г = 28 в уравнениях
х = а{у - х),
у = ГХ - у - XZ,
z = -bz + ху.
Численные эксперименты по хаосу 279
Данные, приведенные на рис. 1 и 2 статьи Лоренца [115], можно
воспроизвести, выбрав начальные условия (x,y,z) = @, 1, 0) и шаг
по времени At = 0,01 и спроектировав решение либо на плоскость
(z,x), либо на плоскость (z,y).
Чтобы получить одномерное отображение, индуцируемое этим
потоком, Лоренц рассмотрел последовательные максимумы пере-
переменной z, которые ои обозначил Mrf График зависимости Мп + , от
Мп показал, что в данном случае отображение задается кривой, на-
напоминающей по форме крышу домика. Затем Лоренц исследовал
упрощенный вариант этого отображения, получившего название
«отображение типа домика», — билинейную разновидность логи-
логистического уравнения
если Мп > 1/2.
Б.З. ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ И УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА
С наглядным примером перемежаемости можно познакомиться,
численно интегрируя с помощью компьютера уравнения Лоренца:
х = а{у - х),
у = -xz + гх - у,
г = ху - Ьг
с параметрами а = 10, Ъ = 8/3 и 166 < г < 167 по методу
Рунге—Кутта. При г = 166 вы получите периодическую траекто-
траекторию г (О» но при г = 166,1 и больше появятся «всплески», или хао-
хаотические шумы (см. работу Манневиля и Помо [125]). Измеряя
среднее число N периодических циклов между всплесками (ламинар-
(ламинарная фаза), вы должны получить закон подобия
гдег, = 166,07.
Б.4. АТТРАКТОР ЭНОНА
Обобщение квадратичного отображения на прямой для двумер-
двумерного случая (на плоскости) было предложено французским астроно-
280 Приложение Б
мом Эноном:
1 +У„ -0*1
При Ь = 0 отображение Энона сводится к логистическому ото-
отображению, исследованному Мэем и Фейгенбаумом. К значениям а
и Ь, при которых возникает странный аттрактор, относятся, в
частности, а = 1,4 и Ь = 0,3. Постройте график этого отображения
на плоскости {х,у)г ограничив его прямоугольником — 2 < х < 2 и
-0,5 ^у < 0,5. Получив аттрактор, сосредоточьте свое внимание
на каком-нибудь малом его участке и увеличьте этот участок с по-
помощью преобразования подобия. Проследите за существенно боль-
большим числом итераций отображений и попытайтесь выявить мелко-
мелкомасштабную фрактальную структуру. Если у вас хватит терпения
или у вас под рукой окажется быстродействующий компьютер, то
произведите еще одно преобразование подобия и повторите все сна-
сначала для еще меньшего участка аттрактора (см. рис. 1.20, 1.22).
Если у вас имеется программа для вычисления показателей Ля-
Ляпунова, то полезно иметь в виду, что в литературе приводится зна-
значение показателя Ляпунова X, = 0,2, а фрактальная размерность
аттрактора в отображении Энона равна dt = 1,264. Варьируя пара-
параметры в нЬ, можно попытаться определить область тех значений,
при которых аттрактор существует, и найти область удвоения пе-
периода на плоскости (а,Ь) [57, с. 268; 151].
Б.5. УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА: АТТРАКТОР УЭДЫ
Эта модель электрической цепи с нелинейной индуктивностью
была рассмотрена в гл. 3. Уравнения этой модели, записанные в
виде системы уравнений первого порядка, имеют вид
х =у,
у = -ку - хг + В cost.
Хаотические колебания в этой модели были весьма подробно ис-
исследованы Уэдой [197]. Воспользуйтесь каким-нибудь стандартным
алгоритмом численного интегрирования, например схемой
Рунге—Кутта четвертого порядка, и рассмотрите случай к = 0, 1;
9,8 ^ В ^ 13,4. При В = 9,8 у вас должна получиться периодиче-
периодическая траектория с периодом 3. (Сечение Пуанкаре проводите прн
t = 2vn,n = 1, 2, . . ..) В окрестности значения В - 10 траектория
Численные эксперименты по хаосу 281
с периодом 3 должна после бифуркации переходить в хаотическое
движение. При В > 13,3 периодичность снова восстанавливается с
переходным хаотическим режимом (см. рис. 3.13).
Сравните фрактальную природу аттрактора при убывании зату-
затухания, полагая В = 12,0 и к = 0,2; 0,1 и 0,05. Обратите внимание,
что при к = 0,3 остается только небольшая часть аттрактора, а
при к — 0,32 движение становится периодическим.
Б.6. УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА С ДВУМЯ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ЯМАМИ: АТТРАКТОР ХОЛМСА
Этот пример был рассмотрен в нашей книге. Несколько числен-
численных экспериментов заслуживают того, чтобы их повторить. Без-
Безразмерные уравнения имеют в этом случае вид
х = У,
у = -ду + X(i _ х2) +/ cos wt.
(Полагая z = wt и вводя дополнительное уравнение z = ы, их мож-
можно записать в виде автономной системы третьего порядка.) Мно-
Множитель 1/2 делает собственную частоту малых колебаний в каждой
потенциальной яме равной единице. Критерий хаоса при фиксиро-
фиксированном коэффициенте затухания 6 = 0,15 и переменных/, и был
рассмотрен нами в гл. 5. Областью, представляющей интерес для
исследования, является ш = 0,8; 0,1 </ < 0,3. В этой области дол-
должен наблюдаться переход от периодического режима к хаотическо-
хаотическому, периодические окна в хаотическом режиме и выход из хаотиче-
хаотического режима при / = 0,3. Имеется и другая интересная область:
5 = 0,15; и = 0,3 и/ > 0,2. Во всех исследованиях мы настоятель-
настоятельно рекомендуем читателю пользоваться отображением Пуанкаре.
При использовании персонального компьютера высокой скорости
обработки информации можно достичь за счет специальных ухищ-
ухищрений при составлении программы (см. рис. 5.3).
Еще один интересный численный эксперимент состоит в том,
чтобы зафиксировать параметры, например положить / = 0,16;
и = 0,833 и б = 0,15, и варьировать фазу отображения Пуанкаре,
т. е. наносить точки (х, у) при tn = Bчг/ш) п + <р0, изменяя <р0 от 0
до ж. Обратите внимание на обращение отображения при <р0 = 0 и
v?c = ж. Связано ли это с симметрией уравнения? (См. рис. 4.8.)
19-161
282 Приложение Б
Б.7. КУБИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (ХОЛМСА)
Многие понятия теории хаотических колебаний мы проиллюст-
проиллюстрировали на примере аттрактора в модели с двумя потенциальны-
потенциальными ямами. Динамика такой модели описывается обыкновенным не-
нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка (см. гл.
2 и 3), но явная формула для отображения Пуанкаре такого аттрак-
аттрактора неизвестна. Холмс [73J предложил двумерное кубическое ото-
отображение, которое обладает некоторыми свойствами осциллятора
Дуффинга с отрицательной жесткостью:
Хп+I
~У-
Хаотический аттрактор может быть найден вблизи значений пара-
параметров Ь » 0,2 и d = 2,77.
Б.8. ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЫГАЮЩЕГО ШАРИКА
(СТАНДАРТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ)
(См. статью Холмса [75] и книгу Лихтенберга и Либермана
[ПО].) Как отмечалось в гл. 3, отображение Пуанкаре для шарика»
прыгающего на вибрирующем столе, может быть точно записано в
терминах безразмерной скорости соударения vn шарика о стол и фа-
зы <рп = uitn (mod 2т) движения стола
= A - e)vn + К sin *>„, у>„ (mod 2т),
где с — потеря энергии при соударении.
Случай 1: е = 0 (консервативный хаос). Этот случай исследован
в книге Лихтенберга и Либермана [110] как модель ускорения элек-
электронов в электромагнитных полях. Проитерировав отображение,
нанесите полученные точки на плоскость (vn, <pn). Для вычисления
y(mod 2т) воспользуйтесь выражением
— - ABS l±-
27Г
в усовершенствованном варианте БЕйсика. Чтобы добиться хоро-
хорошей картины, вам придется варьировать начальные условия. На-
Например, выберите <р = 0,1 и проследите за несколькими сотнями
итераций отображения при различных v из интервала - ж < v < т.
Численные эксперименты по хаосу 283
Интересные случаи вы обнаружите при 0 < К < 1,5. При К «* 1
можно наблюдать квазипериодические замкнутые траектории во-
вокруг периодических неподвижных точек отображения. При К = 1
должны появиться области консервативного хаоса вблизи точек се-
сепаратрис (см. рис. 5.21).
Случай 2: 0 < с < 1. Этот случай соответствует диссипативно-
му отображению, когда энергия теряется при каждом соударении
шарика и стола. Начните с К = 1,2 и ? » 0,1. Обратите внимание
на то, что, хотя первые итерации выглядят хаотическими, как в
случае 1, движение выходит на периодический режим. Чтобы полу-
получить фракталоподобный хаос, значения К необходимо повысить до
~5,8—6,9. Странный аттрактор, еще более напоминающий фрак-
фрактал, вы получите, полагая е = 0,3—0,4 и К « 6,0.
Б.9. ОТОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА СЕБЯ:
СИНХРОНИЗАЦИЯ ЧИСЛА ВРАЩЕНИЙ И ДЕРЕВЬЯ ФЭРИ
Точка, движущаяся по поверхности тора, может служить
абстрактно-математической моделью динамики двух связанных ос-
осцилляторов. Амплитуды движения осцилляторов служат малым и
большим радиусами тора и часто предполагаются фиксированны-
фиксированными. Фазы осцилляторов соответствуют двум углам, задающим по-
положение точки вдоль малой окружности (меридиана) и большой
окружности (параллели) на поверхности тора. Сечение Пуанкаре
вдоль малых окружностей тора порождает одномерное разностное
уравнение, называемое отображением окружности на себя:
где/(у>) — периодическая функция.
Каждая итерация этого отображения соответствует траектории
одного осциллятора вдоль большой окружности тора. Популярным
объектом исследования является так называемое стандартное ото-
отображение окружности (нормированное на 2т)
is
xn + i = хп + п - ^: sin 2тгхл (mod 1).
Возможные движения, наблюдаемые при этом отображении, яв-
являются: периодические, квазипериодические и хаотические режимы.
Чтобы увидеть периодические циклы, постройте точки на окружно-
окружности с прямоугольными координатамиип = eos 2жхп, vn = sin 2-кх„.
При К = 0 параметр Q есть не что иное, как число вращений —
284 Приложение Б
отношение двух частот несвязанных осцилляторов. При К Ф 0 ото-
отображение может быть периодическим и когда Q — иррациональное
число. В этом случае говорят, что осцилляторы синхронизованы
или что произошло затягивание мод. При 0 < К < 1 можно наб-
наблюдать синхронизованные или периодические движения в областях
0<пк^п^пк + ]<\ конечной ширины вдоль оси Q, которые,
разумеется, содержат иррациональные значения параметра ft. На-
Например, при К = 0,8 цикл с периодом 2 может быть найден в ин-
интервале 0,48 < П < 0,52, а цикл с периодом 3 — в интервале
0,65 < ft < 0,66. Чтобы найти эти интервалы при 0,7 < К < 1,
вычислите число вращений W как функцию параметра ft при 0 ^
^0^1. Число вращений мы вычислим, если отбросим действие
сравнения по mod 1 и перейдем к пределу
у ^ у
W = lim ^Ц^-°-
На практике, чтобы получить число вращений с достаточной
точностью, нужно взять N > 500. Построив график зависимости W
от ft, вы увидите серию плато, соответствующих областям синхро-
синхронизации. Чтобы увидеть больше областей синхронизации, следует,
выбрать малую область Aft и построить W для большого числа то-
точек в этой малой области.
Каждое плато синхронизации на графике W(fl) соответствует
рациональному числур/^ — отношению/' циклов одного осцилля-
осциллятора к q циклам другого осциллятора. Отношения p/q упорядоче-
упорядочены в последовательность, известную под названием дерева Фэри1).
Если заданы две области синхронизации модг/s ир/q при значени-
значениях параметров Q, и П2, то между ними в интервале О, < П < П2 за-
заведомо найдется еще одна область синхронизации с числом враще-
вращений
Начав с 0/1 при 0 = 0 и 1/1 при П = 1, можно построить всю бе-
бесконечную последовательность областей синхронизации. Большин-
Большинство из них очень узкие. Обратите внимание на то, что ширина АО
" Эта последовательность возникает в задаче об упорядочении рациональных
чисел. В отличие от многих других способов упорядочения дерево Фэри (или, в более
архаичной транскрипции, Фарея) дает только несократимые рациональные числа.
Названа в честь геолога Джона Фэри, обнаружившего естественнонаучные приложе-
приложения последовательности. Дереву (или числам) Фэри посвяшена обширная литерату-
литература. — Прим. перев.
Численные эксперименты по хаосу 285
этих областей стремится к нулю приЛ" — 0 и становится больше
приЛ" — 1. Области синхронизации в плоскости (АГ, О) имеют фор-
форму длинных выступов, и иногда их называют языками Арнольда.
Б. 10. АТТРАКТОР РЁССЛЕРА: ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ,
ОДНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ
СИСТЕМ
Каждая из основных областей классической физики создала
свою модель хаотической динамики: гидромеханика — уравнения
Лоренца, строительная механика — аттрактор Дуффинга—Холмса
с двумя потенциальными ямами, электротехника — аттрактор
Дуффинга—Уэды. Еще одна простая модель возникла в динамике
химических реакций, протекающих в некоторой емкости с переме-
перемешиванием. Предложил ее Ресслер [163]:
х = -(у +z),
У = Х + С0\
г = а + z (х - ц).
Эти уравнения часто исследовались при а = 1/5. Периодичес-
Периодические движения с периодами 1, 2 и 4 могут быть обнаружены при
ц = 2,6; 3,5 и 4,1. При ц > 4,23 могут встретиться хаотические
движения.
Модель Ресслера обладает свойствами линейного осциллятора с
отрицательным коэффициентом затухания и обратной связью
у - ау + у = -г.
Она служит примером многомерных систем, динамика которых до-
допускает аппроксимацию одномерным отображением. Проведите се-
сечение Пуанкаре при .у = 0 и постройте на плоскости (x,z) одномер-
одномерное отображение из точек хп, т. е. постройте график зависимости
хп + 1 от хп. Обратите внимание на сходство полученной кривой с
квадратичным, или логистическим, отображением. Неудивительно,
что в модели Рбсслера наблюдается удвоение периода.
Б.11. ФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ:
ОТОБРАЖЕНИЕ КАПЛАНА—ЙОРКЕ
Пример двумерного отображения с фрактальной границей обла-
области притяжения был исследован Каштаном и Йорке [90] и Макдо-
286 Приложение Б
нальдом и др. [119]:
= Кх„ (mod D.
где \ — целое число. При \ = 2 и I X>, I < 1 это отображение об-
обладает странным аттрактором, который читатель может исследо-
исследовать с помощью компьютера. [Известно [166], что при \^ = 0,2
фрактальная размерность этого аттрактора равна 1,43.]
В качестве простого численного эксперимента с границами обла-
областей притяжения попробуйте рассмотреть случай \. = 3, Х>, = 1,5.
При этих значениях \ и Ку существуют два аттрактора .у = ±».
Выберите подходящий масштаб для прямоугольника 0 ^ х ^ 1,
- 2,0 ^ у !* 2,0. Чтобы достичь границы, задайте какое-нибудь на-
начальное значение х и перебирайте одно за другим начальные значе-
значения .v. При каждой паре начальных значений х0 иу0 итерируйте
отображение до тех пор, пока \у I не превзойдет 10 или какое-
нибудь другое большое значение. Если .к — + «, в точке <^0» -^о)
оставьте пробел; если .у — — оо, поставьте точку. Если при считы-
считывании v0 снизу вы добрались до верхней границы прямоугольника, а
величина \у I не превзошла установленного порядка, то дальнейшее
продвижение по .у можно прекратить и перейти к другому х0.
Рассматриваемый нами пример — один из немногих, в которых
удается получить явную формулу для границы:
У = - ? Ъ?1 со* &жЦ-1х)
(см. [119]).
Макдональд и др. [119] получили также емкостную размерность
этой границыd = 2 — (In \/\) = 1, 63. ... Граница области при-
притяжения непрерывна, имеет бесконечную длину и нигде не диффе-
дифференцируема.
Б. 12. ОТОБРАЖЕНИЯ ТОРА
Движение связанных нелинейных осцилляторов иногда удобно
представлять на поверхности тора. Когда число осцилляторов рав-
равно двум, сечение Пуанкаре тора порождает отображение окружно-
окружности. Но когда число осцилляторов равно трем, динамическое взаи-
взаимодействие фаз осцилляторов происходит на поверхности абст-
абстрактного — трехмерного — тора. Сечение Пуанкаре этого трехмер-
Численные эксперименты по хаосу 287
иого тора порождает двумерное отображение на двумерном торе.
Гребоги и др. [32] исследовали такие отображения и получили кра-
красивые картины хаотических аттракторов. Система уравнений, зада-
задающих двумерное отображение, принимает вид
(mod 1),
«2 + ^Рг®п> t)] (mod 1).
ФункцииР1 иР2 — периодические функции, задаваемые выраже-
выражениями
P.V* *> = ? А>:1 sin
г, s
где а = 1,2, и пара (r,s) принимает значения A, 0), @, 1), A, 1) и
A, -1). Значения коэффициентов/!/1,),^,.®,^/1) иВ& Гребоги и др.
[52] выбирали случайно. Подробности приведены в табл. 1, поме-
помещенной в их работе. Итерации отображения порождают красочные
картины странного аттрактора на торе. При достаточно сильном
разрешении такие картины вполне заслуживают того, чтобы их за-
заключить в раму (см. рис. 7, 9—11 в работе [32]).
Отображения такого рода встречаются также в теории Ньюхау-
са—Рюэля—Такенса квазипериодического пути к хаосу.
Приложение В
Игрушечные модели
с хаотическим поведением
На многочисленных лекциях о хаосе, с которыми мне довелось
выступать в различных аудиториях, я демонстрировал хаотические
колебания с помощью простой и недорогой модели колеблющейся
балки. И эта игрушка неоднократно превращала Фому неверующе-
неверующего в ревностного сторонника теории хаотических колебаний и слу-
служила вполне убедительным обоснованием необходимости изучения
подчас достаточно сложной математической теории, лежащей в ос-
основе хаотических явлений. В этом приложении я опишу несколько
игрушечных моделей или общедоступных экспериментов, не требу-
требующих особых затрат или сложного оборудования, и приведу для
специалистов, склонных к более серьезному экспериментированию,
некоторые существенные подробности эксперимента с хаотически-
хаотическими колебаниями продольно изогнутого стержня (о котором неодно-
неоднократно упоминалось в нашей книге). На одной из лекций один из
слушателей с невинным видом предложил назвать мою эксперимен-
экспериментальную установку chaotic Moon beam1'. Этот эксперимент имел
большой успех, позволив проверить и качественно, и количественно
многие теоретические идеи относительно хаоса.
Другая игрушечная модель с хаотическим поведением представ-
представляет собой вариант маятника, на который действует вынуждающая
сила. Иногда ее можно встретить в игрушечных отделах магази-
магазинов, продающих игрушки для взрослых, под названием «космиче-
«космический шарик». Описание такой игрушки также приводится ниже.
Наконец, я привожу краткое описание простой цепи с неоновой
лампой, дающей хаотические вспышки света. Тем, кого заинтересу-
заинтересует простая схема, позволяющая наблюдать удвоение периода, я ре-
рекомендую электрическую цепь из работы Мацумото и др. [129]. Из-
света».
" (Англ.) — игра слов: «хаотическая балка Муна» и «хаотический луч лунного
а».
Игрушечные модели с хаотическим поведением
289
вестная под названием «аттрактор в виде двойного свитка», она
была изобретена Л. Чуа из Калифорнийского университета в Бер-
Беркли. Эта цепь описана в гл. 3.
В.1. ХАОТИЧЕСКАЯ УПРУГАЯ ЛИНИЯ (ЭЛАСТИКА):
НАСТОЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ХАОТИЧЕСКИМ
КОЛЕБАНИЯМ
Эта механическая игрушка стоит очень дешево и позволяет де-
демонстрировать три различных хаотических явления:
1) аттрактор в случае потенциала с двумя ямами (или колебания
продольно изогнутого стержня);
2) билинейный осциллятор;
3) неплоские хаотические колебания тонкого стержня.
Схема устройства игрушечной модели, о которой идет речь, по-
показана на рис. В.1 для задачи о продольно изогнутом стержне. Мо-
Модель состоит из небольшого игрушечного моторчика, работающего
от батарейки, с эксцентрическим грузиком, создющим вынужден-
Рис. В.1. Игрушка, позволяющая наблюдать хаотическую эластику в разобранном
виде. 1 — Опора из поликарбоната; 2 — маховичок с эксцентрическим отверстием;
3 — игрушечный электромоторчик постоянного тока; 4 — алюминиевая пластина
(толщина 1,1 мм, длина 7,0 см); 5 — стальная пластина (толщина 0,38 мм, длина
21 см); б — гаечки для регулировки частот; 7 — магниты из редких земель; 8 —
стальная пластина (державка для магнитов); 9 — основа из поликарбоната.
290
Приложение В
ные колебания, и тонкой стальной консольной «балки» с двумя
магнитами у свободного конца, создающими нелинейные изгибаю-
изгибающие силы. К балке прикреплены две массы, позволяющие регули-
регулировать частоту вынуждающей силы D—8 Гц) так, чтобы она со-
совпадала с частотой одного или двух собственных колебаний балки.
Прочная пластина из поликарбоната служит опорой, а основание
можно закрепить на столе липкой лентой или прижать чем-нибудь
тяжелым. Все устройство легко разбирается, и перевозить его мож-
можно в плоской коробке, умещающейся в портфель.
Действует устройство следующим образом. Если приложить к
моторчику низкое напряжение от двух или трех батареек постоян-
постоянного тока через потенциометр, то алюминиевая балочка в верхней
части модели возбуждается эксцентрическим грузиком, приводи-
приводимым во вращение моторчиком. В нижней части на основании за-
закреплены два магнита из редких земель, и стальная балочка совер-
совершает периодические колебания относительно одного из двух устой-
устойчивых положений равновесия (разумеется, можно взять и более
двух магнитов). С двумя прикрепленными к ней массами (гаечками)
стальная балочка резонирует в окрестности второй моды, и сво-
свободный конец ее сильно отклоняется от положения равновесия.
При увеличении скорости вращения моторчика стальная балка скач-
скачком переходит из одного положения равновесия к другому. При
надлежащих условиях (расположении магнитов, скорости вращения
моторчика, расположении масс), на поиск которых обычно уходит
около 5 мин, стальная балка совершает хаотические колебания.
Чтобы достичь еще большего эффекта, приклеил на свободный
конец стальной балки небольшое зеркальце и проектировал отра-
отраженный от него лазерный луч на стену или на потолок. При пере-
переходе от периодического движения к хаотическому зрелище было
впечатляющее!
Если магниты заменить каналом из тонкого металла, как пока-
показано на рис. В.2, то это позволит демонстрировать хаотические ко-
Рис. В.2. Эластика и граничные условия для хаоса в билинейной балке.
Игрушечные модели с хаотическим поведением
291
лебания балки с нелинейными граничными условиями (см. гл. 3).
Если металлический ограничитель свободного конца стальной бал-
балки сделать очень тонким, то аудитория сможет услышать неперио-
непериодическое или периодическое постукивание балки по ограничителю.
В.2. БАЛКА МУНА, ИЛИ ЭКСПЕРИМЕНТ
С ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ
ПРОДОЛЬНО ИЗОГНУТОЙ БАЛКИ
Как уже сообщалось в гл. 2—4, вынужденные колебания изогну-
изогнутой консольной балки в поле двух сильных магнитов допускают со-
совершенно адекватное описание с помощью нелинейного дифферен-
дифференциального уравнения типа уравнения Дуффинга
х + х - ах + 0х3 =/cos u>t.
Успешные эксперименты с хаотическими колебаниями могут
быть проведены с двумя различными балками, если подвергнуть
тряске защемление балки и магниты с помощью касающегося элек-
электромагнитного вибратора, как показано на рис. В.З. Стандартные
Рис. В.З. Схема экспериментальной установки для исследования хаотической эласти-
эластики балки с помощью электромагнитного качающегося вибратора. 1 — Импульсный
генератор; 2 — генератор сигнала н усилитель; 3 — качающийся вибратор; 4 — маг-
магниты из редких земель; 5 — датчики деформации; 6 — мостик датчика деформации
и усилитель; 7 — аналоговое дифференцирующее устройство; 8 — аналоговое зало-
минашее устройство или цифровой осциллоскоп; 9 — запуск отображения Пуанкаре.
292
Приложение В
электромагнитные вибраторы (по ценам 1986 г.) стоят от 2000 до
4000 долларов, но изобретальный экспериментатор вполне может
собрать самодельный вибратор, воспользовавшись магнитом и си-
силовой обмоткой от громкоговорителя за 200 долларов.
Список характеристик двух упругих балок-стержией приведен в
табл. В.1. В качестве магнитов лучше всего брать круглые постоян-
постоянные магниты из редких земель диаметром 2,5 см.
Располагая такой установкой, можно получать отображения
Пуанкаре хаотических движений (гл. 4), измерять критическую силу
для хаотического движения как функцию частоты (гл. 5) или фрак-
фрактальную размерность движения по экспериментальным временным
рядам (гл. 6).
Таблица В.1. Параметры для экспериментов с хаотическими колебаииями продольно
изогнутых балок*'
Модель А
Модель В
Размеры упругого стального стержня
Длина
Ширина
Толщина
Толщина поглощающего слоя
(для затухания)
Частота собственных колебаний
Консоль без магнитов
Коисоль с магнитами
Затухание
Без поглощающего слоя
Со стальной нашлепкой и поглощающим
слоем
из липкой ленты и фольги с двух сторон
балки
Отклонение свободного конца с магнитами
Диапазон частот в эксперименте
Диапазон амплитуд вынуждающей силы
Магниты из редких земель диаметром 2,5 см;
0,2 Тл с одной стороны
18,8
9,5!
0,23
см
мм
мм
12,4 см
2,17 мм
0,38 мм
0,05 мм
4,6; 26,6;
73,6 Гц
9,3 Гц
0,0033
0,017
±20 мм
б—12 Гц
±2—5 мм
0,025 м»
18 Гц
38 Гц
±15 мм
21-35 Гц
±5 мм
'' См. также статью Муна [136].
Игрушечные модели с хаотическим поведением 293
Чтобы получать электрические сигналы, пропорциональные от-
отклонению от равновесия, мы использовали два датчика деформа-
деформаций, приклеенных вблизи защемленного конца балки: с каждой сто-
стороны по одному датчику, соединенные через два резистора с двумя
плечами мостика Уитстона.
Сигнал, получаемый на выходе мостика, усиливался и подавался
на электрический фильтр. Нетрудно сконструировать недорогую
схему, которая позволяла бы дифференцировать отфильтрованный
сигнал. В обоих устройствах следует следить за тем, чтобы до-
достичь минимального искажения и по амплитуде и по фазе на часто-
частотах, по крайней мере вдвое превышающих частоту собственных ко-
колебаний балки вблизи одного из двух магнитов.
Затухание имеет решающее значение для описываемого экспери-
эксперимента. Большинство металлов обладает низким затуханием, и ото-
отображение Пуанкаре свидетельствует скорее о гамильтоновом, или
консервативном, чем о фрактальном, или диссипативном, хаосе. В
нашем эксперименте для усиления затухания мы вводили специаль-
специальный поглощающий слой. Проще всего это сделать, обклеив колеб-
колеблющуюся балку липкой с двух сторон целлофановой лентой и по-
покрыв ее сверху металлической лентой (толщиной 0,1 мм). Если та-
такие покрытия нанести с двух сторон балки, то можно добиться су-
существенного усиления затухания и получить очень красивые ото-
отображения Пуанкаре, напоминающие по виду фракталы.
Остальные подробности относительно экспериментов с хаотиче-
хаотическими колебаниями читатель может почерпнуть из гл. 4.
В.З. ХАОТИЧЕСКИЙ ДВОЙНОЙ МАЯТНИК,
ИЛИ «КОСМИЧЕСКИЙ ШАРИК»
Эта игрушка существует в нескольких вариациях, две из кото-
которых показаны на рис. В.4. Коммерческие варианты (тайваньского
производства) изготовлены очень тщательно, но мне не удалось об-
обнаружить на игрушках ни фамилии изготовителя, ни каких-либо
данных о патентах. Действие игрушки основано на вынужденных
колебаниях маятника, взаимодействующего с магнитной цепью, ко-
которая скрыта в подставке. С первым маятником скреплено еще од-
одно вращающееся плечо. Как показано на рис. В.4, возможно не-
несколько конфигураций. Во всех конфигурациях на ось второго плеча
действует вынуждающая сила со стороны первого маятника. В не-
некоторых вариантах этой игрушки небольшие магниты, закреплен-
закрепленные на первичном и вторичном маятниках, взаимодействуют, когда
вторичное плечо проходит вблизи рамки первичного маятника.
294
Магниты
Приложение В
Транзистор
Подвижный
магнит
Следящая
катушка
Силовая
катушка
SB
Рис. В.5. Цепь для создания им-
импульсного вращательного момента в
хаотическом маятнике.
Магниты
Рис. В.4. Игрушки для демонстрации хаотических режимов: двойной маятник и
«космический шарик».
Для подачи импульсов тока в силовой магнит используется про-
простая, но остроумная цепь, схема которой приведена на рис. В.5.
Когда нижний маятник колеблется, магнитное поле в притягиваю-
притягивающем магните создает напряжение в обмотке, входящей в состав це-
цепи, скрытой в подставке. Это напряжение приложено к транзисто-
транзистору, который начинает проводить, когда индуцированное движением
напряжение достигает критического значения. За время проводящей
фазы ток из батареи напряжением 9 В течет по второй обмотке
магнита, создавая действующий на маятник импульсный враща-
вращательный момент. В большинстве случаев колебания первичного ма-
маятника почти периодические, тогда как вторичный маятник совер-
совершает хаотические колебания. Профессор Алан Вулф из Куперовско-
го объединения, Нью-Йорк, и его коллеги проанализировали дей-
действие этой игрушки и показали, что движение вторичного маятника
действительно хаотично (к сожалению, их работа не была опубли-
опубликована к тому времени, когда была написана эта книга).
Игрушечные модели с хаотическим поведением
295
В.4. ИГРУШКА С НЕОНОВОЙ ЛАМПОЙ,
ДЕМОНСТРИРУЮЩАЯ ХАОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
Мой последний пример предназначается тем читателям, кото-
которые питают склонность к электротехнике. Он описан в 1977 г.
Рольфом Ландауэром из отделения фирмы ИБМ в г. Йорктаун-
Хайтс в отчете под названием «Хаос бедняка». Аналогичное иссле-
исследование было опубликовано Голлубом, Браннером и Данли [43].
Цепь, о которой идет речь, изображена на рис. В.б и состоит из
двух цепей с неоновыми лампами, связанных между собой. В каж-
каждой цепи в отдельности могут происходить релаксационные колеба-
колебания (см., например, Минорский [135]). В связанных между собой це-
цепях динамика может быть стационарной, периодической или хаоти-
хаотической, и наблюдатель может следить за ней по характеру вспышек
неоновых ламп. В работе Голлуба и др. [43] вместо неоновых ламп
использованы туннельные диоды, и в цепи дополнительно включе-
включены индуктивности.
Рис. В.6. Цепь из экспери-
эксперимента с неоновой лампой
[99].
¦ WV-
т
*!> X
1*2
Ландауэр построил эту игрушку по воспоминаниям об аналогич-
аналогичном упражнении, которое ему довелось выполнять в 1945 г. на кур-
курсах по подготовке технических специалистов среднего звена по элек-
электронике для ВМС США. Это еще раз подтверждает высказанную
мною гипотезу о том, что хаотические колебания наблюдались и в
прошлом, но как своего рода курьез, так как не было теоретиче-
теоретических основ для их серьезного изучения.
Литература
1. Abraham, R. H., and Shaw, С. D. A983). Dynamics: The Geometry of Behaviour,
Aerial Press, Santa Cruz, CA.
2. Abraham, N. В., Albano, A. M., Das, В., DeGuzman, G., Yang, S., Gioggia, R. S.,
Pucckmi, G. P., and Tredicce, J. R. A986). "Calculating the Dimension of Attractors
From Small Data Sets." Phys. Lett. 114AE), 217—221.
3. Arnold, V. I. A978). Ordinary Differential Equations, MIT Press, Cambridge, MA.
4. Babitsky, V. I., Landa, P. S., Ol'khovoi. A. F., and Perminov, S. M. A982).
"Stochastic Behavior of Auto-Oscillating Systems with Inertial Self-Excitation," Z.
angew. Math. Mech. Щ2), 73—81.
5. BaiUieul. J.. and Brockett. R. W., and Washburn, R. B. A980). "Chaotic Motion in
Nonlinear Feedback Systems," IEEE Trans, on Circuits and Systems CAS-27, A1),
990-997.
6. Baker, N. H., Moore, P. W., and Spiegel, E. A. A971). "Aperiodic Behavior of a
Nonlinear Oscillator," Q. J. Mech. Appl. Math. 24D), 391—422.
7. Bau, H. H., and Torrance, К. Е. A981). "On the Stability and Flow Reversal of an
Asymmetrically Heated Open Convection Loop," J. Fluid Mech. 106, 412—433.
8. Benettin, G., Galgani, L., GiogiUi, A., and Strdcyn, J. M. A980). "Lyapunov
Characteristic Exponents for Smooth Dynamical Systems and for Hamiltonian
Systems; A Method for Computing All of Them. Part 2: Numerical Application,"
Meccanica 15. 21—30.
9. Berge, P. A982). "Study of the Phase Space Diagrams Through Experimental Poin-
care Sections in Prechaotic and Chaotic Regimes," Phys. Scr. Tl, 71—72.
10. Berge, P., Dubois, M., Manneville, P., and Pomeau, P. A980). "Intermittency in
Rayleigh-Benard Convection," J. Phys. (Paris) Lett. 41A5), L341-L345.
11. Berge, P.. Pomeau, Y., and Vidal, Ch. A985). L'Ordre dans le Chaos, Hermann.
Paris.
12. Brandstater, A., Swift, J., Swinney, H. L., Wolf, A., Farmer, J. O., Jen, E.. and
Crutchfidd, J. P. A983). "Low-Dimensional Chaos in a Hydrodynamics System,"
Phys. Rev. Lett. 51F), 1442—1445.
13. Brandstater, A., Swift, J., Swinney, H. L., and Wolf, A. A984). "AStrange Attractor
in a Coueite-Taylor Experiment," in Turbulence and Chaotic Phenomena in Fluids,
Proceedings of the IUTAM Symposium (Kyoto), T. Tatsumi (ed.), North-Holland,
Amsterdam.
14. Brillouin, L. A964). Scientific Uncertainty and Information, Academic Press, N.Y.
15. Brockett, L. A982). "On Conditions Leading to Chaos in Feedback Systems," IEEE
Proc. 21st Conf. Decision Control, 932—936.
Литература 297
16. Brorson, S. D., Dewey, D., and Linsay, P. S. A983). "The Self-Replicating Attractor
of a Driven Semiconductor Oscillator," Phys. Rev. A. Rapid Comm.
17. Bryant, P., and Jeffries, C. A984a). "Bifurcations of a Forced Magnetic Oscillator
Near Points of Resonance," Phys. Rev. Lett. 53C). 250-253.
18. Bryant, P., and Jeffries, C. A984b). "Experimental Study of Driven Nonlinear
Oscillator Exhibiting Hopf Bifurcations, Strong Resonances, Homoclinic Bifurcations
and Chaotic Behavior," Lawrence Berkeley Laboratory report, LBL-16949, January.
19. Bucko, M. F., Douglass, D. H., and Frutch, H. H. A984). "Bounded Regions of
Chaotic Behavior in the Control Parameter Space of a Driven Non-linear Resonator,"
Phys. Lett. 104(8). 388-390.
20. Campbell, D. K., and Rose, H. A. (eds.) A982). "Order in Chaos," Proceedings of a
Conference Held at Los Alamos National Lab, May, North-Holland, Amsterdam.
21. Chirikov, B. V. A979). "A Universal Instability of Many-Dimensional Oscillator
Systems," Phys. Rep. 52, 265.
22. Ciliberto, S., and GoIIub, J. P. A985). "Chaotic Mode Competition in Parametrically
Forced Surface Waves." J. Fluid Mech. 158, 381-398.
23. Clemens, H., and Wauer, J. A981). "Free and Forced Vibrations of a Snap-Through
Oscillator," Report of the Institute far Technische Mechanik, Universitat Karlsruhe.
24. Creveling. H. F.. dePaz, J. F., Baladi, J. Y., and Schoenhals. R. J. A975). "Stability
Characteristics of a Single-Phase Free Convection Loop," J. Fluid Mech. 67, 65-84.
25. Croquette. V., and Poitou, C. A981). "Cascade of Period Doubling Bifurcations and
Large Stochasticity in the Motions of a Compass," J. Phys. (Paris) Lett. 42,
L537-LS39.
26. Crutchfield, J. P., and Packard. N. H. A982). "Symbolic Dynamics of One-
Dimensional Maps: Entropies, Finite Precursor, and Noise," Int. J. Theor. Phys.
21F/7), 433-465.
27. Cvitanovic, P., and Predrag. P. A984). Universality in Chaos, Heyden. Philadelphia,
PA.
28. DoweU, E. H. A975). Aeroelasticity of Plates and Shells, Noordhoff International,
Gromngen.
29. DoweU. E. H. A982). "Flutter of a Buckled Plate as an Example of Chaotic Motion of
a Deterministic Autonomous System," J. Sound Vib. 85C), 333-344.
30. DoweU, E. H. A984). "Observation and Evolution of Chaos for an Autonomous
System," J. Appl. Mech., paper no. 84-WA/APM-15.
31. DoweU, E. H.,and Pezeshki, С A986). "On the Understanding of Chaos in Duffing's
Equation Including a Comparison with Experiment," J. Appl. Mech. 53A), 5-9.
32. Dubois, M., Berge, P., and Croquette, V. A982). "Study of Nonsteady Convective
Regimes Using Poincare Sections," J. Phys. (Paris) Lett. 43, L295-L298.
33. Eckmann, J. P. A981). "Roads to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems,"
Rev. Mod. Phys. 53D), part 1, 643-654.
34. Evenson, D. A. A967). Nonlinear Flexural Vibrations of Thin-Walled Circular
Cylinders. NASA Technical Note, NASA TN D-4090, August.
35. Everson, R. M. A986). "Chaotic Dynamics of a Bouncing Ball," Physica 19D,
355-383.
36. Farmer, J. D., Ott, E., and Vorke, J. A. A983). "The Dimension of Chaotic Attrac-
tors," Physica 7D, 153-170.
37. Feigenbaum, M. J. A978). "Qualitative Universality for a Class of Nonlinear
Transformations," J. Stat. Phys. 19A), 25-52.
38. Feigenbaum, M. J. A980). "Universal Behavior in Nonlinear Systems," Los Alamos
Sci. (Summer), 4-27.
39. Fung, V. С A958). "On Two-dimensional Panel Flutter," J. Aero/Space Sci. 25C),
145-159.
20—161
298 Литература
40. Glass, L., Guevau, X., and Shrier, A. A983). "Bifurction and Chaos in Periodically
Stimulated Cardiac OsdUator," Physica 7D A983), 89-101.
41. Goldberger, A. L.. Bhargava, V., West, B. J., and Mandell, A. J. A986). "Some
Observations on the Question: Is Ventricular Fibrillation 'Chaos'?," Physica 19D,
282-289.
42. Gollub, J. P., and Benson, S. V. A980). "Many Routes to Turbulent Convection," J.
Fluid Mech. 100C), 449-470.
43. Gollub, J. P., Brunner, T. O., and Danly, B. G. A978). "Periodicity and Chaos in
Coupled Nonlinear Oscillators," Science 200, 48-50.
44. Gollub, J. P.. Romer, E. J., and Socalar, J. E. A980). "Trajectory Divergence for
Coupled Relaxation Oscillators: Measurements and Models," J. Stat. Phys. 23C),
321-333.
45. Golnaraghi, M., and Moon, F. C. A985). "Chaotic Dynamics of a Nonlinear Servo
Device," 24th IEEE Conf. on Decision and Control, December 1985, Cornell Univer-
University Report, Department of Theoretical and Applied Mechanics, July 1985.
46. Gorman, M., Widmann, P. J., and Robbins, K. A. A984). "Chaotic Flow Regimes in
a Convection Loop," Phys. Rev. Lett. 52B5), 2241-2244.
47. Grassberger, P., and Proccacia, I. A983). "Characterization of Strange Attractors,"
Phys. Rev. Lett. SO, 346-349.
48. Grassberger, P. and Proccacia, I. A984). "Dimensions and Entropies of Strange At-
Attractors from a Fluctating Dynamics Approach," Physica 13D, 34-54.
49. Grebogi, C, Ott, E., and Yorke, J. A. A983a). "Crises, Sudden Changes in Chaotic
Attractors and Transient Chaos," Physica 7D, 181-200.
50. Grebogi, C, Ott. E., and Yorke, J. A. A983b). "Fractal Basin Boundaries, Long
Lived Chaotic Transients and Unstable-Unstable Pair Bifurcation," Phys. Rev. Lett.
50A3), 935-938.
51. Grebogi, C, Ott, E., Pelikan, S., and Yorke, J. A. A984). "Strange Attractors that
Are Not Chaotic." Physica 13D, 261-268.
52. Grebogi, C, Ott, E., and Yorke, J. A. A985a). "Attractors on an JV-Torus:
Quasiperiodkity Venus Chaos," Physica 15D, 354-373.
53. Grebogi, C, Ott, E., and Yorke, J. A. A985b). "Superpersistent Chaotic Transients,"
Ergod. Theor. Dynam. Syst. 5, 341-372.
54. Grebogi, C, McDonald, S. W., Ott., E., and Yorke. J. A. A985c). "Exterior Dimen-
Dimension of Fat Fractals." Phys. Lett. 110A(l), J-4.
55. Grebogi, C, Ott, E., and Yorke, J. A. A986). "Metamorphoses of Basin Boundaries
in Nonlinear Dynamical Systems," Phys. Rev. Lett. 56A0), 1011-1014.
56. Guckenheimer, J. A982). "Noise in Chaotic Systems," Nature 298, 358.
57. Guckenheimer, J., and Holmes, P. J. A983). Nonlinear Oscillations, Dynamical
Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, New York.
58. Gwinn, E. G., and Westervd, R. M. A985). "Intermittent Chaos and Low-Frequency
Noise in the Driven Damped Pendulum," Phys. Rev. Lett. 54A5), 1613-1616.
59. Hao, B.-L. A984). Chaos, World Scientific Publishers, Singapore.
60. Harrison, R. G. and Biswas, D. J. A986). "Chaos in Light," Nature 321, 22, May,
394-401.
61. Hart, J. E. A984). "A New Analysis of the Closed Loop Thermosyphon," Int. J. Heat
Mass Transfer 11A), 125-136.
62. Haucke, H. and Ecke, R. E. A987). "Mode-Locking and Chaos in Rayleigh-Benard
Convection," Physica D (in press), Los Alamos National Lab. Report LA-UR-86-
1257.
63. Hayashi, С A953). Forced Oscillations in Nonlinear Systems, Nippon Printing and
Publishing Co., Osaka, Japan.
64. Hayashi, H., Ishizuka, S., Ohta, M., and Hirakawa, J. A982). "Chaotic Behavior in
Литература 299
the 'Onchidium' Giant Neuron under Sinusoidal Stimulation," Phys. Lett. 88A(8), 3
April, 435-438.
65. HeUeman, R. H. G. A980a). "Self-Generated Chaotic Behavior in Nonlinear
Mechanics," Fund. Probl. Slat. Mech. 5, 165-233.
66. HeUeman, R. H. G. (ed.) A980b). "Nonlinear Dynamics," Ann. N. Y. Acad. Sci. 357.
67. Hendriks, F. A983). "Bounce and Chaotic Motion in Print Hammers," IBMJ. Res.
Dev. 27C). 273-280.
68. Henon, M. A976). "A Two-Dimensional Map with a Strange Attractor," Commun.
Math. Phys. 50, 69.
69. Henon, M. A982). "On the Numerical Computation of Poincare Map," Physica 5D,
412-414.
70. Henon, M., and Heiles, C. A964). "The Applicability of the Third Integral of Motion:
Some Numerical Experiments," Astron. J 69A), 73-79.
71. Henon, M., and Wisdom. J. A983). "The Benettin-Strelcyn Oval Billiard Revisited,"
Physica SD, 157-169.
72. Hockett, K., and Holmes, P. J. A985). "Josephson Junction, Annulus Maps,
Birkhoff Attractors, Horseshoes and Rotation Sets," Center for Applied Math Report
Cornell University.
73. Holmes, P. J. A979). "A Nonlinear Oscillator With a Strange Attractor," Philos.
Trans. R. Soc. London A 292. 419-448.
74. Holmes, P. J. (ed.) A981). New Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics,
SIAM. Philadelphia, PA.
75. Holmes, P. J. A982). "The Dynamics of Repeated Impacts With a Sinusoidally
Vibrating Table," J. Sound Vib. 84,173-189.
76. Holmes, P. J. A984b). "Bifurcation Sequences in Horseshoe Maps: Infinitely Many
Routes to Chaos." Phys. Lett. A 104F.7). 299-302.
77. Holmes, P. J. A985). "Dynamics of a Nonlinear Oscillator with Feedback Control."
J. of Dynamics Systems, Measurements and Control 107.159-165.
78. Holmes. P. J. A986). "Chaotic Motions in a Weakly Nonlinear Model for Surface
Waves." J. Лик! Mech. 162. 365-388.
79. Holmes, P. J., and Moon. F. С A983). "Strange Attractors and Chaos in Nonlinear
Mechanics," J. Appi. Mech. 50, 1021-1032.
80. Holzfuss, J. and Mayer-Kress, G. A986). "An Approach to Error-Estimation in the
Application of Dimension Algorithms," Dimensions and Entropies in Chaotic
Systems, G. Mayer-Kress (ed.), Springer-Verlag, Berlin.
81. Hudson, J. L., Mankin, J. C, and Rossler, О. Е. A984). "Chaos in Continuous Stir-
Stirred Chemical Reaction," in Stochastic Phenomena and Chaotic Behavior in Complex
Systems, P. Schuster (ed.), Springer-Verlag, Berlin, pp. 98-105.
82. Hunt, E.R., and Rollins, R.W. A984). "Exactly Solvable Model of a Physical System
Exhibiting Multidimensional Chaotic Behavior," Phys. Rev. A 29B), 1000-1002.
83. Hsu, С S. A981). "A Generalized Theory of Cell-to-CeU Mapping for Nonlinear
Dynamical Systems," J. Appl. Mech. 48, 634-642.
84. Hsu, С S. A987). Cell to Cell Mapping, Springer-Verlag.
85. Hsu, С S., and Kim, M. C. A985). "Statistics for Strange Attractors by Generalized
Cell Mapping," J. Stat. Phys.
86. Iansiti, M., Hu. Q., Westervelt, R. M., and Tinkham, M. A985). "Noise and Chaos in
a Fractal Basin Boundary Regime of a Josephson Junction," Phys. Rev. Lett. 55G),
August 12, 746-749.
87. Iooss, G., and Joseph, D. D. A980). "Elementary Stability and Bifurcation Theory,
Springer-Verlag, New York.
88. Isomaki, H. M., von Boehm, J., and Raty, R. A985). "Devil's Attractors and Chaos
of a Driven Impact Oscillator," Phys. Lett. 107A(8), 343-346.
300 Литература
89. Kadanoff, L. P. A983). "Roads to Chaos," Phys. Today (Dec.). 46—53.
90. Kaplan, J., and Yorfce, J. A. A978). Springer Lecture Notes in Mathematics, No. 730,
p. 228.
91. Keolian, R., Turkevich, L. A., Putterman, S. J., Rudnkk, I., and Rudnick, J. A.
A981). "Subharmonic Sequences in the Faraday Experiment: Departures from Period
Doubling," Phys. Rev. Lett. 47A6), 1133—1511.
92. Klinker, Т., Meyer-Use, X., and Lauterborn, W. A984). "Period Doubling and
Chaotic Behavior in a Driven Toda Oscillator," Phys. Lett. A 101(8), 371—375.
93. Kobayashi, S. A962). "Two-dimensional Panel Flutter 1. Simply Supported Panel,"
Trans. Japan Society Aeronautical Space Sciences 5(8), 90—102.
94. Kostelich, E. J., and Yorke, J. A. A985). "Lorenz Стою Sections and Dimension of
the Double Rotor Attractor," Dimensions and Entropies in Chaotic Systems, G.
Mayer-Kress (ed.), Springer-Verlag, Berlin, pp. 62—66.
95. Kostelich, E. J., Grebogi, C. Ott, E., and Yorke, J. A. A987). "The Double Rotor
Chaotic Attractor," to appear in Physica D.
96. Kreuzer, E. J. A985). "Analysis of Chaotic Systems Using the Cell Mapping Ap-
Approach." Ingenieur-Archiv 55. 285—294.
97. Kuhn, T. A962). The Structure of Scientific Revolutions, The University of Chicago
Press. Chicago.
98. Landau, L. D. A944). "On the Problem of Turbulence." Akad. Nauk, Doklady 44.
339, Russian original reprinted in Chaos Hao, Bai-Lin (ed.) 107, World Scientific
Publishers. Singapore.
99. Landauer.R. A977). "Poor Man's Chaos," Internal Memo. IBM Corp.
100. Lauterborn, W. A981). "Sebharmonic Route to Chaos in Acoustic," Phys. Rev. Lett.
47B0), 1445—1448.
101. Lauterborn, W., and Cramer, E. A981). "Subharmonic Route to Chaos Observed in
Acoustics." Phys. Rev. Lett. 47B0), 1145.
102. Lee, C.-K., and Moon. F. С A986). "An Optical Technique for Measuring Fractal
Dimensions of Planar Poincart Maps," Phys. Lett. A 114E), 222—226.
103. Ldpnik, R. B. and Newton, T. A. A981). "Double Strange Attractors in Rigid Body
Motion with Linear Feedback Control." Phys. Lett. Щ2), 2, November, 63-67.
104. Levin, P. W., andKoch, B. P. A981). "Chaotic Behavior of a ParametricaUy Excited
Damped Pendulum." Phys. Lett. A 86B), 71—74.
105. Li, G. X. A984). Chaotic Vibrations of a Nonlinear System with Five Equilibrium
States, M.S. Thesis, Cornell University, Ithaca, N.Y., August.
106. Li, G. X. A987). Doctoral dissertation, Department of Theoretical and Applied
Mechanics, Cornell University, Ithaca, NY.
107. Libchaber, A. A982). "Convections and Turbulence in Liquid Helium I," Physica 109
& HOB, 1583—1589.
108. Libchaber, A. and Maurer A978). J. Phys. Lett.. 39, 369.
109. Libchaber, A.. Fauve, S., and Laroche, С A982). "Two-Parameter Study of the
Routes to Chaos," in Order in Chaos, X. Campbell and X. Rose (eds.), North-
Holland, Amsterdam.
110. Lichtenberg, A. J., and Lieberman, M. A. A983). Regular and Stochastic Motion,
Springer-Verlag, New York. [Имеется перевод: Лихтенберг А., Либерман М.
Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984..]
111. Lieberman, M. A., and Tsang, К. Y. A985). "Transient Chaos in Dissipatively Per-
Perturbed Near-Integrable Hamiltonian Systems," Phys. Rev. Lett. 55(9), 26, August,
908—911.
112. Lin, Y. K. A976). Probabilistic Theory of Structural Dynamics, Krieger, Huntington,
NY.
113. Linsay, P. A. A981). "Period Doubling and Chaotic Behavior in a Driven, Anhar-
monic Oscillator," Phys. Rev. Lett. 47A9), 1349—1352.
Литература 301
114. Linsay, P. S. A985). The Structure of Chaotic Behavior in a PN Junction Oscillator,
MIT, Department of Physics Report.
115. Lorenz, E. N. A963). "Deterministic Non-Periodic Flow," /. Aimos. Set. 20,130-141.
116. Lorenz, E. N. A984). The Local Structure of a Chaotic Attractor in Four Dimen-
Dimensions," Physica 13D. 90-104.
117. Love, A. E. H. A922). A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th Ed.,
Dover, New York.
118. L'vov, V. S., Predtechensky, A. A., and Chernykh, A. I. A981). "Bifurcation and
chaos in a system of Taylor vortices: a natural and numerical experiment," Soviet
Physics JETP 53, 562.
119. McDonald, S. W., Grebogi, C, Ott, E., and Yorke, J. A. A985). "Fractal Basin
Boundaries," Physica 17D, 125-153.
120. McLaughlin, J. B. A981). "Period-Doubling Bifurcations and Chaotic Motion for a
Parametrically Forced Pendulum," /. Stat. Phys. 24B), 375-388.
121. Maganza, С Causse, and Laloe, F. A986). "Bifurcations, Period Doubling and
Chaos in Clarinetlike Systems," Europhys. Lett. 1F), 295-302.
122. Mahaffey, R. A. A976). Phys. Fluids 19 1387-1391
123. Malraison, C, Atten, P., Berge, P., and Dubois, M. A983). "Dimension of Strange
Attractors: An Experimental Determination of the Chaotic Regime of Two Convec-
tive Systems," J. Phys. Lett. 44, 897-902.
124. Mandelbrot, B. B. A977). Fractals, Form, Chance, and Dimension, W. H. Freeman,
San Francisco, CA.
125. Manneville, P., and Pomeau, Y. A980). "Different Ways to Turbulence in Dissipative
Dynamical Systems," Physica ID, 219-226.
126. Marzec, С J., and Spiegel, E. A. A980). "Ordinary Differential Equations with
Strange Attractors," StAM J. Appl. Math. 3§C), 403-421.
127. Mauiimoto, T. A984). "A Chaotic Attractor from Chua's Circuit," IEEE. Thins. Cir-
Circuits Syst. CA8-3K12), 1035-1038.
128. Matsumoto, Т., Chua, I. O., and Tanaka, S. A984). "Simplest Chaotic
Nonautonomous Circuit," Phys. Rev. A. 30B), 1155-1157.
129. Matsumoto, Т., Chua, L. O., and Komuro, M. A985). "The Double Scroll," IEEE
Trans. Circuits Syst. CAS-32(8), 798-818.
130. May, R. M. A976). "Simple Mathematical Models with Very Complicated
Dynamics,'' Nature 261,459-467.
131. Mayer-Kress, G. A985). "Introductory Remarks," in Dimensions and Entropies in
Chaotic Systems, G. Mayer-Kress (ed.), Springer-Verlag, Berlin.
132. Miles, J. A984a). "Resonant Motion of Spherical Pendulum," Physica 11D, 309-323.
133. Miles, J. A984b). "Resonantly Forced Motion of Two Quadratically Coupled
Oscillators." Physica 13D, 247-260.
134. Miles, J. A984c). "Resonant, Nonplanar Motion of a Stretched String," J. Acoust.
Soc. Am. 75E), 1505-1510.
135. Minorsky, N. A962). Nonlinear Oscillations, Van Nostrand, Princeton, NJ.
136. Moon, F. С. A980а). "Experiments on Chaotic Motions of a Forced Nonlinear
Oscillator: Strange Auractors," ASME J. Appl. Mech. 47, 638-644.
137. Moon, F. С A980b). "Experimental Models for Strange Attractor Vibration in
Elastic Systems," in New Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics, P. J.
Holmes (ed.), pp. 487-495.
138. Moon, F. С. A984а). Magneto Solid Mechanics, Wiley, New York.
139. Moon, F. С A984b). "Fractal Boundary for Chaos in a Two State Mechanical
Oscillator," Phys. Rev. Lett. 53F0), 962-964.
140. Moon, F. C. A986). "New Research Directions for Chaotic Phenomena in Solid
Mechanics," in Perspectives in Nonlinear Dynamics, R. Cawley and M. Shlesinger
(eds.). World Scientific Publishers, Singapore.
302 Литература
141. Moon, F. С, and Holmes, P. J. A979). "A Magnetoelastic Strange Attractor," J.
Sound Vib. 65B), 275-296; "A Magnetoelastic Strange Attractor," J. Sound Vib.
6X2), 339.
142. Moon, F. C, and Holmes, W. T. A985). "Double Poincare Sections of a Quasi-
Periodically Forced, Chaotic Attractor," Phys. Lett. A 111D), 157-160.
143. Moon, F. C, and Li, G.-X. A985a). "the Fractal pimension of the Two-Well Poten-
Potential Strange Attractor," Physica 17D, 99-108.
144. Moon, F. C, and Li, G.-X. A985b). "Fractal Basin Boundaries and Homoclinic Or-
Orbits for Periodic Motion in a Two-Well Potential," Phys. Rev. Lett. 55A4),
1439-1442.
145. Moon, F. C, and Shaw, S. W. A983). "Chaotic Vibration of a Beam with Nonlinear
Boundary Conditions," J. Nonlinear Mech. 18, 465-477.
146. Moon, F. C, Cusumano, J., and Holmes, P. J. A987). "Evidence for Homoclinic Or-
Orbits as a Precursor to Chaos in a Magnetic Pendulum," Physica D (in press).
147. Moore, D. W., and Spiegel, E. A. A966). "A Thermally Excited Non-linear
Oscillator," Astrophys. J. 143C), 871-887.
148. Nayfeh, A. H., and Mook, D. T. A979). Nonlinear Oscillations, Wiley, New York.
149. Nayfeh, A. H. and Khdeir, A. A. A986). "Nonlinear Rolling of Ships in Regular
Beam Seas," Int. Shipbuilding Prog. 33, No. 379,40-49.
150. Newhouse, S., Ruelle, D., and Takens, F. A978). "Occurrence of Strange Axiom A
Attractors Near Quasiperiodic Flows on Tm, m ? 3," Commun. Math. Phys. 64,
35-40.
151. Ott, E. A981). "Strange Attractors and Chaotic Motions of Dynamical Systems,"
Rev. Mod. Phys. 53D), Part 1, 655-671.
152. Packard, N. H., Crutchfield, J. P., Farmer, J. D., and Shaw, R. S. A980).
"Geometry from a Time Series," Phys. Rev. Lett. 45, 712.
153. Peitgen, H.-O., and Richter, P. H. A986). The Beauty of Fractals, Springer-Verlag,
Berlin.
154. Pezeshki, C, and Dowdl, E. H. A987). "An Examination of Initial Condition Maps
for the Sinusoidally Excited Buckled Beam Modeled by Dufflng's Equation," J.
Sound and Vibration (in press).
155. Poddar, В., Moon, F. C, and Mukberjee, S. A986). "Chaotic Motion of an Elastic-
Plastic Beam," J. Am*. Mech. (in press).
156. Poincare, H. A921). The Foundation of Science: Science and Method, English
Translation, The Science Press, N.Y.
157. Pomeau, Y., and Manneville, P. A980). "Intermittent Transition to Turbulence in
Dissipative Dynamical Systems," Commun. Math. Phys. 74,189-197.
158. Prigogine, I. and Stengers, I. A984). Order Out of Chaos, Bantam Books, Toronto.
159. Rand, D., Ostlund, S., Sethna, J., and Siggia, E. D. A982). "Universal Transition
From Quasiperiodicity to Chaos in Dissipative Systems," Phys. Rev. Lett. 49B),
387-390.
160. Richter, P. H., and Scholz, H.-J. A984). "Chaos in Classical Mechanics: The Double
Pendulum," in Stochastic Phenomena and Chaotic Behavior in Complex Systems, P.
Schuster (ed.), Springer-Verlag, Berlin, pp. 86-97.
161. Robbins, K. A. A977). "A New Approach to Subcritical Instability and Turbulent
Transitions in a Simple Dynamo," Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 82, 309-325.
162. Rollins, R. W., and Hunt, E. R. A982). "Exactly Solvable Model of a Physical System
Exhibition Universal Chaotic Behavior," Phys. Rev. Lett. 49A8), 1295-1298.
163. Rossler, О. Е. A976a). "Chemical Turbulence: Chaos in a Small Reaction-Diffusion
System," Z. Naturforsch. a 31, 1168-1172.
164. Rossler, О. Е. A976b). "An Equation for Continuous Chaos," Phys. Lett. A 57, 397.
165. Roux, Т. С Simoyi, R. H., and Swinney, H. L. A983). "Observation of a Strange
Attractor," Physica 8D, 257-266.
Литература 303
166. Russel, D. A., Hanson, J. D., and Ott, E. A980). "Dimension of Strange Attractors,"
Phys. Rev. Lett. 45A4), 1175-1178.
167. Saltzman, B. A962). "Finite Amplitude Free Convection as an Initial Value Pro-
Problem—I," J. Amos. Set. 19, 329-341.
168. Schreiber, I.. Kubicek, M., and Магак, М. A980). "On Coupled Cells," in New Ap-
Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics, P. J. Holmes (ed.), SI AM,
Philadelphia, PA, pp. 496-508.
169. Schuster, H. С A984). Deterministic Chaos, Physik-Verlag GmbH, Weinheim
(F.R.O).
170. Shaw, R. A981). "Strange Attractors, Chaotic Behavior and Information Flow," Z.
Naturforsch. A 36, 80-112.
171. Shaw, R. A984). The Dripping Faucet as a Model Chaotic System, Aerial Press, Santa
Cruz, CA.
172. Shaw, S. W. A985). "The Dynamics of a Harmonically Excited System Having Rigid
Amplitude Constraints, Parts 1, 2," J. Applied Mechanics 52B), 453-464.
173. Shaw, S., and Holmes, P. J. A983). "A Periodically Forced Piecewise Linear
Oscillator." J. Sound Vib. 90A), 129-155.
174. Shimada, I., and Nagasbima, T. A979). "A Numerical Approach to Ergodic Problem
of Dissipative Dynamical Systems," Prog, of Theoretical Phys. 61F), 1605-1616.
175. Simoyi, R. H., Wolf, A., and Swinney, H. L. A982). "One-Dimensional Dynamics in
a Multi-Component Reaction," Phys. Rev. Lett. 49, 245.
176. Soong, Т. Т. A973). Random Differential Equations in Science and Engineering,
Academic press, New York.
177. Sparrow, C. T. A981). "Chaos in a Three-Dimensional Single Loop Feedback System
With a Piecewise Linear Feedback Function," J. Math. Anal. Appl. S3,275-291.
178. Sparrow, С A982). The Loma Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attrac-
Attractors, Springer-Veriag, New York.
179. Sreenivasan, K. R. A986). "Chaos in Open Flow Systems," in Dimension and En-
Entropies, in Chaotic Systems, G. Mayer-Kress (ed.), Springer-Verlag, New York.
180. Stoker, J. J. A950). Nonlinear Vibrations, Interscience, New York.
181. Swinney, H. L. A983). "Observations of Order and Chaos in Nonlinear Systems," in
Order and Chaos, Campbell and Rose (eds.), North-Holland, Amsterdam, pp. 3-15.
182. Swinney, H. L. A98S). "Observations of Complex Dynamics and Chaos," in Fun-
Fundamental Problems in Statistical Mechanics VI, E. G. D. Cohen (ed.), Elsevier Science
Publishers, New York, pp. 253-289.
183. Swinney, H. L., and Gollub, J. P. A978). "The Transition of Turbulence," Physics
Today 31(8), 41 (August).
184. Symonds, P. S., and Yu, T. X. A985). "Counterintuitive Behavoir in a Problem or
Elastic-Plastic Beam Dynamics." J. Appl. Mech. 52, 517-522.
185. Szczygielski, W., and Schweitzer, G. A985). "Dynamics of a High-Speed Rotor
Touching a Boundary," IlfTAM/IFT^fM Symposium on the Dynamics of
Multibody Systems, CISM, Udine, Italy.
186. Szemplinska-Stupnicka, W., and Bajkowski, J. A986). "The Vi subharmonic
Resonance and its Transition to Chaotic Motion in a Non-Linear Oscillator," Int. J.
Non-Linear Mechanics (in press).
187. Tatsumi, Т., (ed.) A984). Turbulence and Chaotic Phenomena in Fluids, North-
Holland, Amsterdam.
188. Termonia, Y., and Alexandrowicz, Z. A983). Phys. Rev. Lett. 51A4), 1265.
189. Testa, J., Perez, J., and Jeffries, С A982). "Evidence for Universal Chaotic Behavior
in a Driven Nonlinear Oscillator," Phys. Rev. Lett. 48, 714.
190. Thomson, W. T. A965). Vibration Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey.
191. Thompson, J. M. T. A983). "Complex Dynamics of Compliant Off-Shore
Structures," Proc. R. Soc. Land. A387, 407-427.
304 Литература
192. Thompson, J. M. Т., and Ghaffari, R. A982). "Chaos After Period-Doubling Bifur-
Bifurcations in the Resonance of an Impact Oscillator," Phys. Lett. A 91A), 5-8.
193. Thompson, J. M. Т., and Stewart, H. B. A986). Nonlinear Dynamics and Chaos,
Wiley, Chichester.
194. Tousi, S., and Bajaj, A. K. A985). "Period-Doubling Bifurcations and Modulated
Motions in Forced Mechanical Systems," J. Appt. Mech. 52B), 446-452.
195. "bong, W.-Y., and Dugundji, J. A971). "Nonlinear Vibrations of a Buckled Beam
Under Harmonic Excitation," J. Appl. Mech. 38, 467-476.
196. Tufillaro, N. B. and Albano, A. M. A986). "Chaotic Dynamics of a Bouncing Ball,"
Am. J. Phys. 54A0). 939-944.
197. Ueda, Y. A979). "Randomly Transitional Phenomena in the System Governed by
Duffing's Equation," J. Slat. Phys. 20, 181—196.
198. Ueda, Y. A980). "Steady Motions Exhibited By Duffing's Equation: a Picture Book
of Regular and Chaotic Motions," New Approaches to Nonlinear Problems in
Dynamics, P. J. Holmes (ed.) SIAM, Philadelphia, PA.
199. Ueda, Y., and Akamatsu, N. A981). "Chaotically Transitional Phenomena in the
Forced Negative Resistance Oscillator," Proc. IEEE ISCA8 '80. Also IEEE Trans.
Circuits Syst CAS-280), March.
200. Ueda, Y., Doumoto, H., and Nobumoto, K. A978). "An Example of Random
Oscillations in Three-Order Self-Restoring System," Proceedings of the Electric and
Electronic Communication Joint Meeting, Kansai District, Japan, October.
201. Ueda, Y.. Nakajima, H., Hikihara, Т., and Stewart, H. B. A986). Forced Two-Well
Potential Duffing Oscillator.
202. Van Buskirk, R., and Jeffries, С A983a). "Observation of Chaotic Dynamics of
Coupled Nonlinear Oscillators," Phys. Rev. A 31E), 3332—3357.
203. Van der Pol, В., and Van der Mark, J. A927). "Frequency Demultiplication," Nature
120C019), 363-364.
204. Van Dyke, M. A982). An Album of Fluid Motion, Parabolic Press, City. [Имеется
перевод: Альбом течений жидкости / Составитель и автор текста М. Ван-Дайк.
- М.: Мир, 1986.]
205. Viet, О., Westfreid, X., and Guyon, E. A983). "Art cinetique et chaos mechanique,"
Eur. J. Phys. 4, 74-76.
206. Virgin, L. N. A986). "The Nonlinear Rolling Response of a Vessel Including Chaotic
Motions Leading to Capsize in Regular Seas," Applied Ocean Research.
207. Wisdom, J., Peale, S. J. and Mignard, F. A984). "The Chaotic Rotation of
Hyperion," Irarus, 58, 137—152.
208. Wolf, A. A984). "Quantifying Chaos with Lyapunov Exponents," Nonlinear Sci.
Theory Appl. Ed. A. V. Holden, Manchester Univ. Press.
209. Wolf, A., Swift, J. В., Swinney, H. L., and Vasano, J. A. A985). "Determining
Lyapunov Exponents from a Time Series," Physica 16D, 285—317.
210. Wolfram, S. A984). '-Universality and Complexity in Cellular Automata" Physica
10D, 1-35.
211. Wolfram, S. A986). Theory and Applications of Cellular Automata, World Scientific
Publ., Singapore.
212. Yorke, J. A., Yorke, E. D.. and Maller-Paret, J. A985). "Lorenz-like Chaos in Partial
Differential Equations for a Heated Fluid Loop," University of Maryland Report.
213. Zaslavsky, G. M. A978). "The Simplest Case of a Strange Attractor," Phys. Utt. A
69C), 145-147.
214. Zaslavskty, G. M., and Chirikov, B. V. A972). "Stochastic Instability of Nonlinear
Oscillations," Sov. Phys. Usp. 14E), 549—672.
215. Zhu, Z.-X. A983). "Experiment on the Chaotic Phenomena of an Upside Down Pen-
Pendulum," Report of Laboratory of General Mechanics, Beijing University.
Предметный указатель
Автомодельность (самоподобие) 272
Арка упруго-пластичная 85
Аттрактор 32, 268
— «двойной свиток» 117
-Дуффинга —Холмса 281
— Лоренца 74
— Ресслера 7Я$
— странные 32, 59, 63, 73, 229, 273
-Узды2ЯО
Бифуркация 30, 173. 268
— типа «вал» 30
— Хопфа 30, 66. 102,268
сопротивлением 93, 116
Граница области притяжения 249
в потенциале с двумя ямами
253,254
с четырьмя ямами 260,
261
двойного ротатора 261
отображения Кап/мне — Йорке
285
фрактальная размерность 258
Границы фрактальные в пространстве
параметров 262
Движение глобальное 268
— локальное 27
— хаотическое 12, 13, 73, 275
Дерево Фзри 284
Диаграммы бифуркационные экспери-
экспериментальные 136
квадратичного отображения 174
Динамика Гамильтона 70, 82, 100, 269
— корабля 91
— символическая 32, 273
Диод варикапный 64, 111, 147
— туннельный 115
Индикатор уровня 141
Индуктивность нелинейная ИЗ, 162,
280
Информация 224
— порядка q 226
Колебания квазипериошпескне 26, 58,
67, 269
— комбинационные (тоны) 26, 269
— параметрические 86, 106
"Но.
-границ, выделенные курсивом,
относятся к «Словарю терминов» (приложение
А).
— релаксационные 25
— самовозбуждающиеся 22, 23, 61
— случайные 12, 49, 159
— субгармонические 22
Конвекция 40, 41, 76
— Рмея — Бенара 76, 118, 165. 269
фрактальная размерность 238
— тепловая 76, 77
Контакт Герца 131
Кривая Кох 213, 217
Кризис 69
Критерии хаоса 160
диагностические 161
для потенциала с многими ямами
193, 195
Мельникова для границ области
притяжения 255
перекрытие резонансов Чирикова
189
прогностические 160, 170
существование гомоклинической
траектории 166, 256, 262
удвоение периода 171
эмпирические 161
Лампа электронная 98
Лестница чертова 215
306
Предметный указатель
Материалы диэлектрические 129
— магнитные 129
Маятник 99, 167
— двойной 293
— магнитный 99, 184
— сферический 87
— фрактальная граница области притя-
притяжения 260
— ФрудаТА
Мера инвариантная 269
Метод Дуффинга 194
— Линдштедта 194
— Мельникова 40, 183
Многообразие 183, 270
— центральное 275
Множество канторовское 59, 138, 214,
217, 269
— Мандельброта 266, 270
Модели магнитомеханнческие 93, 100,
167
— хаотические 288
упругая линия 289
электрическая схема для маятника
294
Модель Ферми 80
Нелинейность 16, 47, 128
— геометрическая 130
— кинематическая 129
Непредсказуемость (потеря информа-
информации) 37, 224, 254
Область притяжения 249, 270
в потенциале с двумя ямами
251-254,256
с четырьмя ямами 261, 262
фрактальные границы 254
Оболочка цилиндрическая 98
Окна периодические 177
Оператор линейный 269
Отображение 32, 270
— Берну/ми 199, 200
— двумерное 57, 89
— для подталкиваемого ротатора 88
— для прыгающего шарика 82, 83,
189 — 191, 282
— «домик» 279
— Заславского 89
— Каплана — Йорке 285
— квадратичное 174
— комплексное 266
— кубическое 282
— одномерное 63, 65, 145, 171
— окружности само на себя 90, 270,
283
— пекаря 209, 270
— «подкова» 37, 38, 72, 178, 180, 255,
271
— Пуанкаре 33, 56, 156
двойное сечение 147, 149
для автономных систем 61
для аттрактора Узды 92
для колебаний вынужденных 57
квазипериодических 140
с соударениями 142
для магнитного ротатора 144
для нелинейной индуктивности
145
для осциллятора Ван дер Поля 94
изменение фазы 138
полученное в эксперименте 59, 67,
85, 105
построенное по положению 141
фрактальная размерность 233
эффекты затухания 138
— стандартное 282
— тора 286
— Энона 37 — 39, 188, 271, 280
— ячейки в ячейку 207
Парадигма 74
Переброс 22
Перемежаемость 47, 68, 186, 271, 279
Перенормировка 173, 271
Переход джозефсоновский 86, 260
Плоскость, фазовая 51
Подушка магнитная 100, 101
Показатель Ляпунова 14, 71, 157, 197,
272
движения в потенциале с двумя
ямами 204
отображения «домик» 201
логистического 201
одномерного 199
пекаря 210
стандартного 206
— Энона 280
уравнения Дуффинга 204
Портрет фазовый 29
Потенциал с двумя ямами 13, 163, 185
243, 260, 281
Потоки 32
Преобразование Фурье быстрое 153
Принцип суперпозиции 128
Пространство псевдофазовое 53, 115,
134, 238
— фазовое 133, 275
Процесс стохастический 100, 273
Размерность фрактальная 71, 155, 215,
275
в гидродинамических эксперимен-
экспериментах 241 — 243
в потенциале с двумя ямами как
функция затухания 237
для отображения пекаря 218, 228
«подкова» 218
Пуанкаре 245
емкостная 217, 269
информационная 223
Предметный указатель
307
канторовского множества 217
корреляционная 222
Ляпунова 227
оптическое измерение 244, 24S,
249
порядка q 226
поточечная 220
усредненная 221, 230
пространства вложения 239 — 241
параметров 265
связь с показателями Ляпунова
2Z1
точность оценки 243
Хаусдорфа 272
Распределение плотности вероятности
157
Реакции химические 124, 285
Резонанс в линейных системах 20, 21
— в нелинейных системах 22
Ротатор двойной 260, 261
подталкиваемый 88, 90
— магнитный 98 —100, 167
Сечение Лоренца 152
— Пуанкаре см. Отображение Пуанкаре
Силы массовые нелинейные 130
Система детерминированная 269
—лазерная 125
— электромагнитная 48, 129, 130
Сопротивление нелинейное 116
Соударения 80, 142, 190
Спектр показателей Ляпунова 207
ЛГ-мерного отображения 208
— Фурье 14, 45, 54, 56, 153
для квазипериодического движе-
движения 140
Стержень плоский изогнутый 84, 98,
104
(балка) Муна 291
с двумя степенями свободы 106
экспериментальные данные 104,
289,291
Структуры упругие 18, 102
нелинейные граничные условия
106
трехмерные 106, 108, 131
фурье-спектр хаотических колеба-
колебаний 109
Теория возмущений 194
— геометрическая 27
— КАМ273
— катастроф 273
— эргодическая 276
Термосифон 120
Течение в трубке 122
— Тейлора — Куэтта 68, 119, 273
фрактальная размерность 241
Тор (инвариантный) 274
Точка неподвижная 33, 270
— (положение) равновесия 28
— седловая 29, 272
Траектория в фазовом пространстве 31,
54, 55. 181
— гетероклиннческая 268
— гомоклиническая 166, 178, 182, 269
Турбулентность 11, 12, 16, 17, 118, 238
Удвоение периода 35, 64, 86, 111, 122,
173, 274, 277
Универсальность 36, 274
Уравнение Ван дер Поля 25, 93, 274
-Дуффинга 22, 30. 43, 83, 93. 162.
163, 197, 274, 281
для траектории на фазовой плос-
плоскости 31
— логистическое 34, 277
— МатьеМ
— разностное 57
Уравнения Лоренца 40, 74, 121, 165,
274, 278, 279
¦ для траектории 42
— Навье — Стока 17, 76, 274
— Эйлера 130
Устойчивость 29
Флаттер 79, 91, 102
Фрактал 15, 32, 47, 151, 212, 275
Функции состояния 129
Функция автокорреляционная 155
— корреляционная, оптическое измере-
измерение 245
— Мельникова 184, 275
Хаос биологический 125
— в жидкостях 117
— в системах управления 95
с туннельным диодом 295
— консервативный 70, 282, 289
— переходный 47, 69, 186, 272
— поверхностных волн 123, 243
— суперпереходиый 188
— эксперименты 97, 126
Цветок Пуанкаре 105
Цикл предельный 24, 51, 272
Частоты несоизмеримые 58
Число вращений 275, 283
— ПранЪтпя 40, 77
— Рейнольдса 161, 276
— Рэлея 40, 77
— Фейгенбаума 35, 64, 171, 276
Ширина полосы частот 133
Шум 97, 132, 276
Эксперименты численные 277
Энтропия 14
Языки Арнольда 276, 285
Оглавление
От редакции 5
Предисловие б
1. ВВЕДЕНИЕ. ВТОРОЕ ДЫХАНИЕ ДИНАМИКИ 10
1.1. Что такое хаотическая динамика? 10
Зачем хаотическая динамика инженерам? 15
Источники хаоса в физике непрерывных сред 16
Где наблюдаются хаотические колебания? 18
1.2. Классическая теория нелинейных колебаний. Краткий обзор 19
Теория линейных колебаний 19
Теория нелинейных колебаний 21
Локальная геометрическая теория динамики 27
Бифуркации 30
1.3. Отображения н потоки 32
Три образа хаоса 34
Отображения Энона и «подкова» 37
Аттрактор Лоренца и хаос в жидкости 40
Заключительные замечания 43
2. КАК ОБНАРУЖИТЬ ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 45
Нелинейные элементы 47
Случайные внешние воздействия 49
Наблюдение временной эволюции 50
Эволюция на фазовой плоскости 51
Спектр Фурье 54
Отображение Пуанкаре 56
Пути к хаосу 64
Кризис 69
Переходный хаос 69
Консервативный хаос 70
Показатели Ляпунова и фрактальные размерности 71
3. ОБЗОР СИСТЕМ С ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ 74
3.1. Новые парадигмы динамики 74
3.2. Математические модели хаотических физических систем 75
Тепловая конвекция в жидкости 76
Модель тепловой конвекции Мура и Шпигеля 77
Предметный указатель 309
Колебания пластины в сверхзвуковом потоке 79
Задачи с соударениями 80
Задачи с потенциалом в виде двойной ямы 83
Хаотические колебания маятника 85
Сферический маятник 87
Подталкиваемый ротатор 88
Отображение окружности на себя 90
Другие задачи с твердыми телами 90
Аэроупругие колебания 91
Нелинейные электрические цепи 93
Магнитамеханические модели 93
Хаос в системах управления 95
3.3. Физические эксперименты с хаотическими системами 97
Первые наблюдения хаотических колебаний 97
Системы твердых тел 98
Магнитная стрелка компаса 100
Устройства на магнитной подушке 100
Хаос в упругих непрерывных средах 102
Трехмерные упругие стержни и струны „ 108
Хаос в матричном печатающем устройстве 109
Нелинейные цепи - 111
Хаотическая динамика в жидкостях - 117
4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ
ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 126
4.1. Введение, Цели эксперимента 126
4.2. Нелинейные элементы динамических систем 128
Нелинейные функции состояния 129
Кинематические нелинейности 129
Нелинейные массовые силы 130
Геометрические нелинейности 130
4.3. Эксперимент, настройка и управление 132
Ширина полосы частот .133
4.4. Измерения в фазовом пространстве 133
Измерения в псевдофазовом пространстве 134
4.5. Бифуркационные диаграммы 135
4.6. Экспериментальное отображение Пуанкаре 136
Отображения Пуанкаре, построенные по положениям 141
Построение одномерных отображений для многомерных
аттракторов 145
Двойное отображение Пуанкаре 147
4.7. Количественные меры хаотических колебаний 152
Частотные спектры — быстрое преобразование Фурье 153
Фрактальная размерность 155
Показатели Ляпунова 157
Вероятностные, или инвариантные, распределения 157
5. КРИТЕРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 160
5.1. Введение 160
5.2. Экспериментальные критерии хаоса 161
310 Оглавление
Вынужденные колебания нелинейной индуктивности:
уравнение Дуффинга 162
Вынужденные колебания частицы
в потенциале с двумя ямами: уравнение Дуффинга 162
Конвекция Рзлея — Бенара: уравнения Лоренца 165
Вынужденные колебания осциллятора с двумя
степенями свободы в потенциале с двумя ямами 166
Вынужденные движения вращающегося диполя
в магнитных полях: уравнение маятника 167
Вынужденные колебания в RLC-аят 168
Гармонически возбуждаемые поверхностные волны
в жидкости, налитой в цилиндрический сосуд 169
5.3. Теоретические прогностические критерии 170
Критерий удвоения периода 171
Гомоклинические траектории и отображения
типа подковы 178
Перемежаемость и переходный хаос 186
Критерий Чирикова перекрытия резонансов
для консервативного хаоса 189
Критерии для движений в потенциалах с многими ямами 193
5.4. Показатели Ляпунова 197
Вычисление наибольшего показателя Ляпунова 201
Спектр показателей Ляпунова 207
6. ФРАКТАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКЕ 212
6.1. Введение 212
Кривая Кох 213
Канторовское множество 214
Чертова лестница 215
Фрактальная размерность 215
6.2. Меры фрактальной размерности 220
Поточечная размерность 220
Корреляционная размерность 222
Информационная размерность 223
Связь между различными определениями
размерности и показателями Ляпунова 225
Насколько полезна фрактальная размерность
для задач теории колебаний? 228
6.3. Фрактальная размерность странных аттракторов 229
Дискретизация переменных в фазовом пространстве 230
Фрактальная размерность отображений Пуанкаре 233
Вычисление размерности по одноразовому
измерению временного ряда 238
6.4. Оптическое измерение фрактальной размерности 244
Оптический параллельный процессор для вычисления
корреляционной функции 245
6.5. Границы фрактальных областей притяжения.
Области притяжения 249
Чувствительная зависимость от начальных условий:
переходное движение в потенциале с двумя ямами 250
Фрактальная граница области притяжения:
вынужденное движение в потенциале с двумя ямами 252
Предметный указатель 311
ГЪмокашшческие траекторию критерий фрактальности
границ областей притяжения 254
Размерность границ областей притяжения
и неопределенность 258
Времена перехода: чувствительность к начальным условиям 258
Другие приложения 260
фрактальные границы хаоса в пространстве параметров 262
6.6. Комплексные отображения н множества Мандельброта 265
ПРИЛОЖЕНИЕ А. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ ПО ХАОТИЧЕСКИМ
И НЕЛИНЕЙНЫМ КОЛЕБАНИЯМ 268
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ХАОСУ 276
Б.1. Логистическое уравнение: удвоение периода 276
Б.2. Уравнения Лоренца 278
Б.З. Перемежаемость и уравнения Лоренца 279
Б.4. Аттрактор Энона 279
Б.5. Уравнение Дуффннга: аттрактор Уэды 280
Б.6. Уравнение Дуффинга с двумя потенциальными
ямами: аттрактор Холмса 281
Б.7. Кубическое отображение (Холмса) 282
Б.8. Отображение прыгающего шарика
(стандартное отображение) 282
Б.9. Отображение окружности на себя: синхронизация
числа вращений и деревья Фэри 283
Б. 10. Аттрактор Ресслера: химические реакции,
многомерных систем 285
Б.11. Фрактальные границы области притяжения:
отображение Каплана—Йорке 285
Б.12. Отображения тора 286
ПРИЛОЖЕНИЕ & ИГРУШЕЧНЫЕ МОДЕЛИ
С ХАОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ 288
8.1. Хаотическая упругая линия (эластика):
настольный эксперимент
по хаотическим колебаниям 289
8.2. Балка Муна, или эксперимент
с хаотическими колебаниями продольно
изогнутого стержня 291
8.3. Хаотический двойной маятник,
или «космический шарик» 293
8.4. Игрушка с неоновой лампой, демонстрирующая
хаотическое поведение 295
ЛИТЕРАТУРА 296
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 305