Посвящается моей жене
#Τ· ^Т^ ^ϊ^ ^ϊ^ ^ϊ^ *J^ ^ΐ^ ^wl·
Що в сиянье л^ны белеют колонны развалин,
Храма врата, в которые встарь устрашающий, тайный
Дух беспокойства вступил, что в ЩЪи у земли и у смертных
Лышет и злобствует, неоЬолим, покоритель исконный,
Жто fcopoba, как я&нят потрошит, что на пристрп оЬнажЬы
ЗВрал и <©лимп, что в feopax не спит и о&онь извергает,
Темные своЬит леса и стремится за океаны,
J& море крошит корабли,—и все же преЬвечныи поряЬок
Твои» о npupoba, ту не смутить, со скрижалей законов
Щрквы оЬнои не стереть: веЬь и он — твои сын, о npupoba,
С Ьрхом покоя оЬним материнским чревом рожЬенныи.
ЗГельЬерлин «Досра»
^Τ^ ^ϊ^ ^ϊ^ ^Т^ ^ш? ^ш? ^^^ ^Ж^

RAUMZEITMATERIE
VORLESUNGEN ÜBER
ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE
VON
HERMANN WEYL
FÜNFTE, UMGEARBEITETE AUFLAGE
MIT 23 TEXTFIGUREN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1923

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Институт истории естествознания и техники им. С. И. Вавилова
^Герман 93
еиль
ПРОСТРАНСТВО
ВРЕМЯ
МАТЕРИЯ
Лекции по общей теории относительности
Перевод с пятого переработанного
немецкого издания (1923)
В. П. Визгина
Издание второе, исправленное
^
урсс москва Янус-К

ББК22.313я44
Редакционная коллегия:
В. П. Визгин, Г. М. Идлис, А. В. Берков, К. А. Томилин
Вейль Герман
Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности:
Пер. с нем. Изд. 2-е, испр. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 456 с.
ISBN 5-354-00861-1
Настоящее издание является первым русским переводом одного из
шедевров релятивистской классики — лекций выдающегося немецкого математика
Г. Вейля по общей теории относительности. Перевод осуществлен с последнего,
пятого издания 1923 г. Эта книга до сих пор является одним из лучших и
наиболее глубоких изложений теории относительности. В ней органично сочетаются
понятийный анализ оснований физики, строгий математический подход и
нетривиальная философско-методологическая разработка проблемы пространства
и времени. Книга Вейля — также ценнейший источник по истории и философии
теоретической физики XX в.
Книга рассчитана не только на математиков и физиков, но и на широкий
круг читателей, интересующихся проблемами истории и философии точного
естествознания, в том числе на студентов, аспирантов, учителей.
Оригинал-макет изготовлен в издательстве «Янус-К»
В. Н. Балаболиным и В. Л. Платоновым
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Лицензия ИД №05175 от 25.06.2001 г. Подписано к печати 07 07.2004 г.
Формат 60x90/16. Тираж 1000 экз. Печ. л. 28,5. Зак. № 3-1450/624
Отпечатано в типографии ООО «РОХОС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9
© В. П. Визгин, перевод,
примечания, послесловие, 2004
© Г. М. Идлис, К. А. Томилин,
перевод и составление
приложений, 2004
© Янус-К, 2004
© Едиториал УРСС, 2004
2692 ID 22993
9*17 8 5 3 5 4 »0 0 8 6 1 2 И>
ISBN 5-354-00861-1
ИЗДАТЕЛЬСТВО УРСС
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий
в Internet: http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (095) 135-42-16
Тел /факс: 7 (095) 135-42-46

нига Г.Вейля «Пространство, время, материя» вышла в 1918 г.,
примерно через два с половиной года после завершения Эйнштейном основ
общей теории относительности. Книга получила весьма высокую оценку
А.Эйнштейна, Д.Гильберта, А.Эддингтона, В.Паули и др. (См. Послесловия,
а также рецензию Эйнштейна, включенную нами в Приложение). В течение
последующих пяти лет появилось еще четыре ее издания. Существенные
изменения были внесены автором в третье, четвертое и пятое (последнее)
издания книги (см. включенные в Приложения предисловия Вейля к
первому, третьему и четвертому изданиям). С 4-го издания были сделаны
переводы на французский и английский языки. Настоящий русский перевод
осуществлен с пятого издания, опубликованного в 1923 г. Все, что было
включено автором в это издание, переведено и включено в данную книгу.
Наше издание содержит также достаточно обширные Приложения,
включающие упомянутые Предисловия Вейля (переведенные с
английского), в том числе Предисловие к первому американскому изданию 1952 г.;
рецензию Эйнштейна на первое издание книги Вейля; лекцию Нобелевского
ж

лауреата Ч.Янга о вкладе Вейля в физику на юбилейной конференции,
посвященной 100-летию со дня его рождения; Послесловие, посвященное
книге и ее значению; Примечания (номера которых отмечены в тексте
квадратными скобками); Библиографию научных трудов Вейля, включая
список русских переводов. Добавим, что Предметный указатель является
переводом того указателя, который имеется в оригинале, а Именной
указатель составлен нами (в нем перечислены имена ученых, упоминаемые в
основном тексте книги).
Мы стремились, по возможности, приблизить перевод к тексту
оригинала. В процессе перевода мы столкнулись с определенными трудностями.
Во-первых, было необходимо найти разумный баланс между близостью к
оригинальному тексту с характерными для автора стилевыми особенностями
и разного рода архаизмами, с одной стороны, и стремлением к простоте и
ясности перевода, а также неизбежной модернизацией текста, с другой
стороны. Конечно, сказанное касается и научной терминологии. Удалось ли достичь
этого баланса, судить читателям. Вторую трудность представляла философская
насыщенность книги. В наибольшей степени это относится к Введению, гуссер-
лианские фрагменты которого помог нам откорректировать А.П.Огурцов. И,
наконец, для современного читателя в книге достаточна сложна и непривычна
система обозначений. Следуя одобренному Вейлем английскому переводу, мы
решили отказаться от использования готического шрифта и заменить его на
жирный латинский шрифт, несмотря на потерю красоты некоторых формул.
При составлении примечаний мы не стремились к полноте, стараясь
объяснить и прокомментировать только самое необходимое и не превысить
при этом объем примечаний самого Вейля. Это в полной мере относится и к
Послесловию, которое в основном посвящено именно книге и лишь отчасти
затрагивает творчество Вейля в целом и его биографию. При этом мы
учитывали, что сравнительно недавно были изданы по-русски две книги
трудов Вейля, содержащие соответствующий материал (см. Библиографию).
Перевод книги осуществлен В.П.Визгиным, который является также
автором Послесловия и Примечаний. Перевод вейлевских предисловий и
доклада Янга сделал Г.М.Идлис. Библиография трудов заимствована из
книги: Hermann Weyl. 1885—1985. Centenary Lectures at the ΕΤΗ Zürich.
Ed. by K.Chandrasekharan. Berlin, Springer-Verlag, 1986. Список русских
переводов Вейля составлен К. А. Томи л иным, который провел большую
работу по составлению Предметного и Именного указателей, а также
подготовке всего текста к изданию. Редакторская работа проводилась всеми
четырьмя членами редколлегии. Портрет Вейля заимствован из названного
юбилейного сборника. Мы благодарны его издателям за возможность
использования в первом русском переводе книги Вейля некоторых материалов
из этого сборника.
Надеемся, что первый русский перевод знаменитой книги, несмотря на
некоторые вполне вероятные неточности, будет существенным дополнением
к уже опубликованным книгам и статьям Г.Вейля.
Редколлегия

СоЬержание
Предисловие к пятому изданию 9
Введение 11
ГЛАВА I. Евклидово пространство: его математическая
формализация и роль в физике
§1. Вывод элементарных понятий пространства
из понятия равенства 21
§2. Основания аффинной геометрии 26
§3. Идея п-мерной геометрии. Линейная алгебра.
Квадратичные формы 33
§4.' Основания метрической геометрии 38
§5. Тензоры 45
§6. Тензорная алгебра. Примеры 55
§7. Свойства симметрии тензоров 66
§8. Тензорный анализ. Напряжения 71
§9. Стационарное электромагнитное поле 78
ГЛАВА IL Метрический континуум
§10. Обзор неевклидовой геометрии 95
§11. Риманова геометрия 102
§12. Параллельный перенос и кривизна 115
§13. Проблема однородности. Сущностно-абсолютное и
переменно-случайное в структуре пространства 127
§14. Тензоры и тензорные плотности на произвольном
многообразии 133
§15. Многообразие аффинной связности 144
§16. Кривизна 150
§17. Метрическое пространство 154
§18. Примеры применения тензорного исчисления.
Кратчайшие линии в римановом пространстве 163
§19. Теоретико-групповое понимание метрики пространства 174
ГЛАВА III. Относительность пространства и времени
§20. Галилеевский принцип относительности 181
§21. Электродинамика зависящих от времени полей.
Теорема относительности Лоренца 191
§22. Эйнштейновский принцип относительности 201
§23. Анализ принципа относительности. Расщепление
мира на пространственную и временную проекции 210
§24. Релятивистская геометрия, кинематика и оптика 221
§25. Электродинамика движущихся тел 231
§26. Основной закон механики. Принцип Гамильтона 240
§27. Импульс, энергия и масса 249
§28. Теория Ми 264

8
ГЛАВА IV. Общая теория относительности
§29. Относительность движения, метрическое поле
и гравитация 275
§30. Основной Закон тяготения Эйнштейна 287
§31. Статическое гравитационное поле. Связь с опытом 301
§32. Гравитационные волны 310
§33. Статическое центрально-симметричное поле в пустом
пространстве 315
§34. Световые лучи и планеты в гравитационном поле Солнца 325
§35. Другие строгие решения статической гравитационной
задачи 331
§36. Компас и вращение 337
§37. Энергия гравитационного поля. Тяжелая масса и масса,
порождающая гравитационное пале 341
§38. Основные механические законы. Поле и материя 349
§39. О крупномасштабной структуре мира (космология) 361
§40. Электромагнитное поле как составная часть
метрического поля 374
§41. Свойства инвариантности и дифференциальные
законы сохранения 387
Приложение I. Инварианты римановой геометрии 399
Приложение II. Геодезическая прецессия 401
Приложение III. Красное смещение и космология 404
Приложение IV. Геометрические расширения
теории Эйнштейна 406
Литература 408
Предметный указатель 415
ПРИЛОЖЕНИЯ РЕДКОЛЛЕГИИ
Из предисловия автора к первому изданию 423
Предисловие к третьему изданию 424
Предисловие к четвертому изданию 425
Предисловие к первому американскому изданию 426
А.Эйнштейн. Рецензия на книгу Г.Вейля 4Пространство,
время, материя* 428
В.П.Визгин. Послесловие 430
В.П.Визгин. Примечания 438
Библиография научных работ Г.Вейля 444
Именной указатель 456

ЙреЬисловие к пятому изЬанию
Эйнштейновская теория относительности подняла человеческую мысль
о космосе на новую ступень. Будто рухнула стена, отделявшая нас от истины,
и перед нашим познавательным взором открылись такие дали и глубины, о
которых мы даже не догадывались. В понимании разума, присущего
явлениям физического мира, мы сделали огромный шаг вперед.
Эта книга возникла из лекций, которые я читал в летнем семестре 1917 г.
в Цюрихской высшей технической школе, и впервые появилась весной 1918
г. Меня привлекла возможность на примере этой большой темы показать
взаимное проникновение философских, математических и физических идей.
Тогда теория относительности была известна лишь внутри цеха, в обиходе
которого были интегралы и напряженности поля. С тех пор она приобрела
популярность, редкую для научной теории, и стала предметом страстных,
не всегда вытекающих из существа дела, дискуссий, сравнимых только с
партийными разногласиями. Несмотря на отнюдь не лучшие черты, которые
обнаружились в этом явлении, и не обсуждая вопроса о том, как далеко
продвинулось действительное понимание теории относительности «в
общественном мнении», в целом однако мне кажется исключительно отрадным тот
факт, что глубокая познавательная проблема смогла возбудить у наших
современников, вовсе не пользующихся доброй славой, такой живой интерес.
Теории не повредили ни ее популярность, ни критика; и то, и другое
приводили лишь к тому, что ее идейная конструкция становилась все проще
и четче. Литература по теории относительности за последние годы выросла
необозримо. В хороших изложениях всех уровней физико-математической
подготовленности сейчас нет недостатка. Из работ на немецком языке я
упомяну здесь только обращенную к более широкому кругу читателей
великолепную книгу Борна «Эйнштейновская теория относительности и ее
физические основания», появившуюся третьим изданием в 1922 г. в
издательстве Юлиуса Шпрингера) и мастерскую статью В.Паули в
«Энциклопедии математических наук» (V, 19). Все же, я надеюсь, что настоящее
изложение сохранит свое значение для дальнейшего систематического
изучения и найдет своего читателя, хотя перед тем как насладиться плодами
познания, он изойдет потом тензорного исчисления.
В новом издании расположение материала осталось прежним. Если бы
однако в мое намерение входило не только дать изложение теории
относительности, но и развернуть проблему пространства и времени в целом, как
она была развита в истории математики и физики, то и в этом случае
математика бы предшествовала физике. Именно поэтому вторую главу
нельзя рассматривать как подготовительную, более того она занимает

10
центральное место в книге. Кроме того, в ней содержится все необходимые
средства, чтобы на каждом шагу от общих идей перейти к абстрактному
строгому пониманию теории и к конкретному применению ее к частным
задачам. Несмотря на это мы не отказываемся и от философской точки
зрения. Дело доводится до концептуального анализа (gedankliche Analyse),
причем физика доставляет экспериментальные основы, а
математика—острое оружие. В новом издании эта тенденция еще более усилена: завитки
спекуляций были обрезаны, а основополагающие идеи разработаны и
расчленены нагляднее, тщательнее и полнее. Так, я упомяну здесь новый §12 о
параллельном переносе и кривизне, а также уточненный анализ основ
специальной и общей теории относительности в §§23 и 29. Прежде всего, это
отразилось на изложении механики §§27, 37, 38. Наконец, я попытался
достичь такой ясности в проблеме движения, насколько это позволяет
сделать сегодняшнее состояние наших знаний. Мне кажется, обычно
упускают возможность с самого начала неразрывно связывать общую теорию
относительности с космологией, которая делает мировые массы
ответственными за происхождение инерции. Сказанное объясняется гипотетичностью
последнего утверждения, справедливость которого еще не доказана. Также
не всегда достаточное внимание обращают на то, что с точки зрения общей
относительности понятие относительного движения двух тел по отношению
друг к другу не менее бессмысленно, чем абсолютное движение одного тела.
Собственно физическое содержание эйнштейновской теории я мог бы
сформулировать так: движение тела осуществляется динамически через борьбу
между силой и ведением (Führung). Поле «ведения» (или лучше сказать
ведущее поле) —это находящаяся во взаимодействии с материей реальность;
гравитация является «ведением», а не силой. Я также более последовательно,
чем в 4-м издании, противопоставил теории поля Ми свое понимание
взаимоотношений между полем и материей, которые являются предметом
исследования квантово-статистической физики. Использование «фиктивных
полей,» заполняющих области, в которых находятся материальные частицы,
оказалось полезным и эффективным методом (§38). Теоретико-групповое
исследование структуры пространства затрагивается лишь мимоходом во 2-й
главе; в связи с этим я отсылаю читателя к дополнению к моим испанским
лекциям о «Математическом анализе проблемы пространства», которые
были изданы Каталонским исследовательским институтом в Барселоне (они,
по-видимому, появятся также и на немецком языке).
С 4-го издания этой книги были сделаны французский и английский
переводы. Первый, правда, настолько «свободен», что я вынужден
отказаться от какой-либо ответственности за его содержание [1].
Щюрих, осень 1922 &. ЗГ.ЗВгйлъ.

ЗВвеЬение
/JjYbi привыкли рассматривать время и пространство как формы
^^существования реального мира, а материю как его
субстанцию. Некоторая определенная часть материи занимает в
некоторый определенный момент времени некоторую определенную часть
пространства. В представлении о движении, вытекающем отсюда, эти
три основных понятия вступают в теснейшую взаимосвязь. Декартом
было выдвинуто в качестве программы точного естествознания
описание всех явлений на основе этих понятий и тем самым их сведения
к движению. С начала своего пробуждения человеческий дух,
устремленный к свободе, непрестанно чувствовал глубокую
загадочность присущей ему способности сознавать время
(Zeitbewußtseins), временного хода мировых процессов, становления.
Здесь кроется одна из тех фундаментальных метафизических
проблем, над разъяснением и решением которых философия билась на
протяжении всей своей истории. Понятие пространства, ставшее
благодаря грекам предметом науки, достигло высшей степени ясности
и надежности. На его основе расцвела в античной культуре идея
чистой науки. Геометрия стала одним из наиболее ярких проявлений
принципа суверенности духа, принципа, воодушевившего эту
культуру. Когда рушилось церковно-авторитарное мировоззрение
средних веков и волны скептицизма грозили смести все, что казалось
твердо установленным, вера в истину, как за скалу, уцепилась за
геометрию. Высшим идеалом науки стала геометрия, что выражалось
в стремлении разрабатывать каждую ее область «more geometrico»
[2]. Наконец, в вопросе о материи, считалось известным, что в
основе всякого изменения должна лежать некоторая субстанция,
именно материя, и каждая часть материи может быть количественно
измерена и что ее субстанциальный характер находит свое выражение
в законе сохранения количества материи, остающегося постоянным
при всех изменениях. Эти дошедшие до нас представления о
пространстве и материи, рассматриваемые философией зачастую как
априорное знание неограниченной общности и необходимости, ныне
заметно поколеблены. После того как физика в лице Фарадея и
Максвелла противопоставила материи в качестве реальности другого
рода поле, после того как математика, с другой стороны, с помощью
логического подкопа незаметно в течение прошлого столетия

12
подорвала доверие к очевидности евклидовой геометрии, в наши дни
начался революционный штурм, опрокинувший те представления о
пространстве, времени и материи, которые до сих пор считались
надежнейшими опорами естествознания, но только для того, чтобы
освободить место для более свободного и глубокого взгляда на вещи.
Это преобразование было осуществлено фактически мыслью одного
человека, Альберта Эйнштейна [3]. Можно сказать, что
сегодня развитие его основных идей в известном смысле завершено.
Но независимо от того, столкнулись ли мы уже с новым положением
дел или еще нет, —во всяком случае нам нужно разобраться с тем
новым, что здесь появилось. Нет также и пути назад; развитие
научной мысли может вновь нас вывести за пределы уже
достигнутого, но возврат к старой узкой и жесткой схеме исключен.
В проблемах, которые здесь ставятся, имеют свою долю
философия, математика и физика. Мы, однако, будем заниматься прежде
всего физико-математической стороной этих проблем. Философскую
сторону я буду затрагивать лишь мимоходом по той простой причине,
что здесь до сих пор сколько-нибудь сложившейся точки зрения не
достигнуто, и сам я также не в состоянии на соответствующие
теоретико-познавательные вопросы дать законченные ответы, за
которые я был бы совершенно спокоен перед своей познавательной
совестью (Erkenntnisgewissen). Идеи, разрабатываемые в этой книге,
не являются следствием спекулятивного погружения в основания
физического знания, но выросли на основе изучения конкретных
физических проблем бурно развивающейся науки, которой стали
тесны её старые одежды. Пересмотр принципов осуществляется, как
правило, вслед за этим и лишь настолько, чтобы охватить вновь
возникшие идеи. Что касается нынешнего положения вещей, то для
отдельных наук не остается ничего иного, как вести себя в этом
смысле догматично, то есть уверенно идти по тому пути, на который
их вывели разумные мотивы, сформулировавшиеся в рамках их
собственных методов. Философское уяснение остается важной
задачей совершенно иного рода, чем та, о которой идет речь в отдельных
науках. Философ обременен цепями трудностей, присущих этой
задаче, но при этом не должен препятствовать прогрессу конкретных
областей науки.
Тем не менее я начну с некоторых философских замечаний.
Будучи людьми, обладающими натуралистической установкой,
которой мы руководствуемся в нашей обыденной жизни, мы в своих актах
противопоставляем восприятие действительным физическим вещам.
Мы приписываем им реальное существование и принимаем их в
основном так устроенными, так оформленными, так окрашенными и

Введение
13
т.д., как они нам являются в нашем восприятии (в принципе, т.е.
исключая возможные обманы чувств, миражи, сны, галлюцинации и
т.п.). Эти вещи окружены и пронизаны неопределенным
расплывающимся многообразием аналогичных реальностей, которые
соединяются в один-единственный извечно существующий в пространстве
мир, к которому отношусь и я сам со своим собственным телом. Речь
идет здесь только об этих физических вещах, но вовсе не о
предметности иного рода, которые мы как естественные человеческие
существа также противопоставляем себе: живые организмы, личности,
предметы потребления, ценности, такие сущности как государство,
право, язык и т.п. Пожалуй, у каждого теоретически настроенного
человека философское самосознание возникает с того момента, когда
он начинает сомневаться в этом мировоззрении наивного реализма,
которое я здесь кратко описал. Очевидно, такое качество, как
например «зеленый», существует лишь как коррелят ощущения
«зеленый», связанного с предметом, который дан нам в восприятии;
но существует это качество так, что бессмысленно его приписывать
как некоторое свойство само по себе вещам самим по себе. Это
осознание субъективности чувственных качеств {Sinnesqualitäten)
вступает при Галилее (а также при Декарте и Гоббсе) в теснейшую
связь с принципом математико-конструктивного метода нашей
современной бескачественной физики, согласно которой цвета «в
действительности»—это эфирные колебания, т.е. движения. Кант
первым в области философии с полной ясностью сделал дальнейший
шаг к осознанию того, что не только чувственные качества, но также
и само пространство и его характерные черты не имеют объективного
значения в абсолютном смысле и что пространство также есть форма
нашего созерцания (Anschauung). В области физики, вероятно
впервые благодаря теории относительности стало совершенно ясно, что
из данных нам в созерцании сущностей пространства и времени ни
одна не входит в математически конструируемый физический мир.
Цвета, таким образом, «в действительности» даже не эфирные
колебания, а математические характеристики функции четырех
независимых переменных, соответствующих трем пространственным и
одному временному измерениям.
Формулируя эту мысль в виде общего принципа, можно сказать,
что реальный мир, каждая из его составных частей со всеми
присущими им характеристиками даны и могут быть даны лишь как
интенциональные объекты актов сознания. Непосредственно данное
суть события сознания, которые я имею —в той форме, в какой я их
имею. Они однако никоим образом не состоят, как часто утверждают
позитивисты, из одних лишь ощущений. Напротив, на самом деле в

14
моем восприятии, например, живо возникает некоторый предмет,
который вполне определенным известным каждому образом (не
описываемом однако более детально) связан с некоторым
переживанием (Erlebnis). Я воспользуюсь выражением Брентано «интенцио-
нальный объект* для обозначения такого рода предметов. Когда я
воспринимаю что-либо, например смотрю на стул, я полностью
сосредоточен на нем. Я «имею* восприятие, но лишь тогда, когда я
сам это восприятие вновь превращаю в интенциональный объект
нового внутреннего восприятия, для чего я должен быть в состоянии
свободного акта размышления. Я «знаю* о нем (об этом
восприятии—В. В.), а не только о стуле, что-либо и устанавливаю то же
самое, что я уже сказал выше. В этом втором акте интенциональный
объект имманентен, то есть, как и сам акт, является реальной
составной частью моего потока переживаний (Erlebnisstromes), в то
время как в первичном акте восприятия объект трансцендентен,
иначе говоря дан в некотором акте переживания сознания
(Bewußtseinerlebnis), но не есть его реальная составная часть. Имманентное
абсолютно, то есть это в точности то же самое, как если бы я здесь
имел его и мог бы его, его сущность при желании путем актов
размышления свести к данности (Gegebenheit). Напротив,
трансцендентные предметы им$ют только феноменальное бытие, они суть
являющееся —в многообразных способах проявления и «оттенках».
Один и тот же лист выглядит так или таким большим, кажется таким
или так окрашен в зависимости от моего положения или освещения;
ни один из этих способов проявления не может претендовать на то,
чтобы представить лист «сам по себе». В основе каждого восприятия
лежит, несомненно, тезис о действительности являющегося в ней
объекта, как часть и содержательное развитие общего тезиса
действительного. Но, при переходе от натуралистической к философской
установке, размышляя о восприятии, мы больше не разделяем этот
тезис; мы смело констатируем, что в нем что-либо как действительное
«мнится». Смысл и правомерность такой постановки вопроса ведет
нас теперь к проблеме, которая должна найти свое решение на основе
данных сознанию (Bewunvtseins-Gegebenen). Я нисколько не думаю,
что понимание мировых явлений как игры сознания некоторого «Я»
содержит более высокую истину, чем наивный реализм. Напротив,
речь идет лишь о том, чтобы понять, что исходным пунктом для
абсолютного постижения смысла и правомерности полагания
действительности о реальности являются данные сознания. Аналогичная
ситуация имеет место в области логики. Суждение, которое я
выношу, говорит о некотором положении вещей; это положение вещей
устанавливается как истинное. Здесь также возникает философский

Введение
15
вопрос о смысле и правомерности этого утверждения истины. И тут
я не отрицаю идею объективной истины, но она ведет к проблеме,
которую я могу понять лишь на основе абсолютно данного. «Чистое
сознание» есть местонахождение философского априори. Напротив,
философское уяснение тезиса действительности должно привести и
приведет к выводу, что ни один из таких актов опыта, как
восприятие, воспоминание и т.д., посредством которых я познаю
действительность, не дает решающего права приписывать воспринимаемым
предметам существование и свойство быть воспринимаемыми.
Уверенность в этом каждый раз может быть поколеблена другими
восприятиями. Природа реальных вещей такова, что они являются
неисчерпаемыми по своему содержанию, к которому мы только
можем путем все новых, иногда противоречивых опытов и их
упорядочения неограниченно приближаться. В этом смысле реальная
вещь —это предельная идея (Grenzidee). На этом основан
эмпирический характер всякого познания действительности [4].
Время является первичной формой, или праформой (Urform)
потока сознания (Bewußtseinsstromes). Бесспорным, хотя темным и
загадочным для нашего разума, является факт, что содержание
сознания не дается нам как просто существующее (seiend) (подобно
понятиям, числам и т.д.), но дается как существующее —теперь
(jetzt-seiend), наполняя форму длящегося «теперь» изменчивым
содержанием. Сказанное не означает, что можно говорить: это есть,
но означает, что следует говорить: это есть теперь, и не более, чем
теперь. Если мы мысленно вырвем себя из этого потока и
противопоставим себя его содержанию как некоторый объект, то оно
предстанет перед нами погруженным в поток времени (zeitlichen Ablauf),
отдельные стадии которого находятся между собой в отношении
раньше и позже.
Можно с полным правом утверждать, что, подобно тому, как
время есть форма потока сознания, пространство есть форма
материальной действительности. Все характеристики материальных тел,
как они даются нам в актах внешнего восприятия, например, цвет,
сами по себе обладают пространственным протяжением. Но лишь при
конструировании из всего многообразия нашего опыта единого
связного реального мира пространственные протяжения, данные в
каждом восприятии, становятся частями одного пространства, которое
охватывает все вещи. Это пространство есть форма внешнего мира.
Иначе говоря, каждая материальная вещь, не изменяя своего
содержания, может занимать любое другое положение в пространстве.
Сказанным одновременно определяется однородность пространства, и в
этом корень понятия конгруэнтности.

16
Если бы теперь мир сознания и трансцендентная
действительность были полностью отделены друг от друга или, напротив, были
связаны между собой лишь мостками спокойных созерцательных
актов восприятия, то дело обстояло бы так, как я его уже описал
выше: с одной стороны меняющееся в форме длящегося «теперь», но
внепространственное сознание, с другой стороны, пространственно
протяженная, но вневременная действительность, причем первое
содержит только изменчивый феномен. Но более первичны в нас,
чем всякое восприятие, — переживания усилия и сопротивления,
действия и страдания живущему. Человеку, живущему в естественной
активности, восприятие служит прежде всего для того, чтобы в его
сознании ясно и наглядно возникло представление о точке
приложения задуманного им действия и источнике сопротивления этому
действию. В переживаниях действия и страдания (или состояниях
активности и пассивности —β.β.) я становлюсь отдельным
индивидуумом психической реальности, связанным с телом, которое
занимает свое место в пространстве среди материальных вещей внешнего
мира и посредством которого я вступаю в связь с подобными мне
другими индивидуумами. При этом сознание, не лишаясь своей
имманентности, становится частью действительности, тем отдельным
человеком, то есть мною, который был рожден и который умрет. Но,
с другой стороны, сознание распространяет свою форму — время — и
на действительность. Поэтому в ней самой существуют изменение,
движение, процесс, становление и прехождение. Подобно тому, как
моя воля через посредство моего тела вторгается как движущая сила
в реальный мир, так и он сам оказывается действующим (wirkende)
(что находит свое выражение в немецком слове «Wirklichkeit»,
означающем действительность) [5], а явления внешнего мира
вступают друг с другом во всеохватывающую причинную связь.
Фактически в физике обнаруживается, что космическое время и
причинность неотделимы друг от друга. Новый способ, с помощью которого
теория относительности решает проблему объединения пространства
и времени в действительность, дает вместе с тем и новый взгляд на
взаимодействие (Wirkungszusammemhang) в мире.
Последовательность нашего изложения тем самым ясно
определена. То, что можно сказать о времени самом по себе {Zeit für sich)
и его математико-концептуальном понимании, будет сказано в этом
введении. В дальнейшем мы должны будем более обстоятельно
изучать пространство. Первая глава посвящена евклидовому
пространству и его математической конструкции. Во второй главе будет
развита идея, которая выходит за рамки евклидовой схемы и находит
свое завершение в общем понятии метрического континуума

Введение
17
(риманово понятие пространства). На этой основе станет возможным
в третьей главе обсудить упомянутую выше проблему объединения
пространства и времени в мир. Здесь будут играть важную роль
сами механика и физика, так как эта проблема по своей сути, как
уже подчеркивалось, связана с пониманием мира как действующего.
Синтез идей, содержащихся во второй и третьей главах, приведет
нас затем к общей теории относительности Эйнштейна,
составляющей содержание четвертой главы и являющейся, с физической
точки зрения, новой теорией тяготения, а также к некоторому ее
расширению, которое, наряду с гравитацией, охватывает и
электромагнитные явления. Переворот, который при этом испытывают наши
представления о пространстве и времени, неизбежно затронет и
понятие материи. Поэтому то, что можно будет об этом сказать,
найдет соответствующее место в третьей и четвертой главах.
Чтобы иметь возможность привлечь математический аппарат к
понятию времени, мы должны исходить из идеальной возможности
фиксировать во времени с произвольной точностью некоторое
точечное «теперь* как точку времени. Из двух различных временных
точек, далее, одна всегда будет раньше, а другая — позже. Из этого
«отношения порядка» (Ordnungsbeziehung) следует правило: если
А раньше В к В раньше С, то А раньше С. Каждые две временнь/е
точки А и В, из которых А раньше, выделяют интервал времени,
внутрь него попадают все точки, которые позже А, но раньше J5. То,
что время есть форма потока переживаний, находит свое выражение
в идее равенства: содержание переживаний, которое заполняет
интервал времени AB, может быть само по себе отнесено к любому
другому интервалу времени без какого-либо изменения; но этот
интервал должен быть равен интервалу AB. В физике отсюда
вытекает, при использовании принципа причинности, для равенства
интервалов объективного времени следующий объективный
критерий. Если полностью изолированная (т.е. не подверженная никаким
внешним воздействиям) физическая система возвращается в то же
самое состояние, в котором она уже находилась в некоторый
предшествующий момент времени, то начиная с этого момента, та же
самая последовательность состояний будет повторяться, и процесс
окажется циклическим. Такую систему в общем мы будем называть
часами. Каждый период их имеет одинаковую временную
длительность.
На этих двух отношениях, раньше-позже и равенства, основано
математическое понимание времени посредством измерения.
Рассмотрим вкратце сущность процесса измерения. Время однородно, то есть
некоторый отдельный момент времени может быть указан лишь

18
посредством его индивидуализации. Не существует никакого
подходящего свойства, связанного с общей природой времени, которое
можно было бы приписать одному моменту времени, но нельзя было
бы приписать другому; другими словами, каждое свойство,
определяемое чисто логически на основе двух упомянутых исходных
соотношений, относится либо ко всем временнь/м точкам, либо ни к
одной. Точно так же обстоит дело с временнь/ми интервалами или
парами точек. Исключена такая ситуация, когда некоторое свойство,
определенное на основе этих двух соотношений, не относилось бы к
каждой паре AB (А раньше J5), если им обладает хотя бы одна пара.
Но иначе будет обстоять дело, если мы перейдем к трем временным
точкам. Если даны какие-нибудь две временные точки О и £, из
которых О раньше £, то остальные временнь/е точки Ρ теоретически
(auf begriffliche Weise) можно фиксировать посредством
соответствия их с единичным интервалом ОЕ. Это достигается тем, что чисто
логически из двух исходных соотношений конструируется некоторое
отношение t между тремя точками, для которых выполняется
следующее условие: для каждых двух точек О и Е, из которых О раньше,
существует одна и только одна точка Ρ такая, что между О, £ и Ρ
выполняется отношение t, т.е. формула:
OP=t- ОЕ.
(ОР = 2 · ОЕ, например, означает, что ОЕ = ЕР). Число есть не что
иное, как сжатое символическое изображение для такого отношения
как t и его логического определения на основе исходных
соотношений. Ρ есть «временная точка с абсциссой t в системе координат
(относительно единичного интервала) 0£». Два различных числа t,
t всегда приводят в одной и той же системе координат к двум
различным точкам. Напротив, вследствие однородности континуума
всех временных интервалов, свойство, выраженное соотношением:
t · AB = t* · AB
и отнесенное к интервалу AB = ОЕ, относилось бы к каждому
интервалу, и, следовательно, уравнения
АС = t · AB и АС = f* · AB
выражали бы одно и то же отношение, что означило бы равенство
t = t*. Числа позволяют нам из временного континуума выделить
относительно единичного интервала ОЕ отдельные временнь/е точки
теоретическим и потому объективным и совершенно точным
способом. Но эта объективация (Objektivierung), достигнутая путем
исключения «Я» и непосредственной жизни его созерцания, не вполне
удовлетворительна. Неизбежным остатком этого исключения «Я»

Введение
19
остается координатная система, фиксируемая лишь посредством
индивидуального акта (и только приближенно).
Такого рода формулировка принципов измерения, по-моему,
позволяет ясно увидеть, каким образом математика приобретает свое
значение в точном естествознании. Для измерения существенно
различие между «данностью» (Geben) некоторого предмета
посредством его индивидуальной фиксации, с одной стороны, и
понятийным (auf begriffliche Wege) способом —с другой. Последнее же
возможно лишь для предметов, которые должны фиксироваться
непосредственно. Вот почему с измерением всегда связана некоторая
теория относительности. Проблема относительности для любой
предметной области в общем ставится так: 1) Что следует знать,
чтобы иметь возможность из соответствующей непрерывно
протяженной области предметов выделить теоретическим путем с любой
заданной точностью произвольный предмет Р? Задаваемое здесь
называется координатной системой, а теоретическое определение —
координатой (или абсциссой) Ρ в этой координатной системе. Две
различных координатных системы объективно полностью
равноправны, не существует никакого теоретически фиксируемого свойства,
которое бы можно было приписать одной системе, но нельзя было
бы приписать другой, так как в противном случае было бы задано
непосредственно слишком много. 2) В чем состоит закономерная
связь между координатами одного и того же произвольного предмета
Ρ в двух различных координатных системах?
Ответ на первый вопрос в области временных точек заключается
в том, что координатная система состоит из временного интервала
ОЕ (начало координат и единица измерения). Ответ на второй вопрос
дается формулой преобразования:
t = at' + b (а> 0),
в которой а и b постоянны, t и f — координаты одной и той же
произвольной точки Ρ соответственно в первой, «нештрихованной»,
и второй,«штрихованной», координатных системах. Для
всевозможных пар координатных систем характеристические числа
преобразования, а и Ь, могут принимать всевозможные действительные значения,
лишь с тем ограничением, что а должно быть строго положительным.
Совокупность этих преобразований образует, по сути дело, группу, т.е.
1) «тождество» («тождественное преобразование») t = ?
содержится в ней;
2) с каждым преобразованием в группе связано обратное ему,
т.е. такое, которое устраняет результат первого. Обратным данному
преобразованию (а, Ь):

20
t = at' + b
является преобразование (—, - —):
3) вместе с двумя преобразованиями в группе всегда содержится
также такое, которое является результатом последовательного
выполнения этих двух преобразований. Действительно,
последовательное выполнение обоих преобразований
t = at' + b, t' = a't" + b'
дает преобразование
t = at" + b\
где
а* = а · a\ b* = (ab*) + b
и если а и а' положительны, то и их произведение положительно.
Теория относительности, обсуждаемая в главах III и IV,
поднимает проблему относительности не только для временнь/х точек, но
и для всего физического мира. Оказывается однако, что эта проблема
решается, как только она находит свое решение для двух форм этого
мира, пространства и времени. На основе понятия координатной
системы для пространства и времени становился возможным также
фиксировать физически реальное в мире во всей его определенности
теоретически, посредством чисел.
Всякое начало является темным. Именно математику, который
строгим и формальным образом оперирует понятиями своей развитой
науки, следует время от времени напоминать о том, что
первопричины вещей лежат в более темных глубинах, чем те, которые он в
состоянии постичь своими методами. Задача постижения остается за
пределами отдельных наук. Несмотря на обескураживающую
чехарду философских систем, мы не можем отказаться от ее решения, если
не хотим, чтобы знание превратилось в бессмысленный хаос.

Глава I
Евклидово пространство: его математическая
формализация и роль в физике
§1
Вывод элементарных понятий пространства
из понятия равенства
^р^одобно тому, как во времени фиксировалось точечное «теперь»,
д)Хв непрерывной пространственной протяженности, также
бесконечно делимой, мы устанавливаем фиксируемый с произвольной
точностью простейший элемент «здесь», являющийся точкой
пространства. Пространство, в отличие от времени, не является
одномерным континуумом. Этот тип непрерывной протяженности нельзя
свести к простому отношению «раньше-позже». Остается открытым
вопрос, посредством каких отношений можно теоретически
осмыслить эту непрерывность, С другой стороны, пространство, как и
время, есть «форма» явлений, и этим определяется идея равенства:
тождественное себе содержание, одна и та же в точности вещь,
которая остается тем, что она есть, может с равным успехом
находиться в любом другом месте пространства, как и в том, в котором
она действительно находится. Тогда занимаемая этой вещью часть
пространства S' равна, или конгруэнтна части S, которую
упомянутая вещь действительно занимает. Каждой точке Ρ из S соответствует
некоторая определенная гомологичная точка F в S', которая после
ее смещения в новое положение была бы связана с той частью данного
содержания, с которой в действительности связана точка Р. Это
«отображение», посредством которого каждой точке Ρ ставится в
соответствие точка Р', я буду называть конгруэнтным отображением.
При выполнении определенных субъективных условий некоторый
объект после своего перемещения представился бы нам точно таким
же, как он фактически задан. Вполне оправдана вера в то, что
некоторое пробное твердое тело, когда мы его помещаем
последовательно в два положения, реализует эту идею равенства двух частей
пространства. Под твердым телом понимается такое тело, которое
представляется нам всегда в точности тем же.самым, каким оно было
до всевозможных движений и прочих операций, которым мы его
подвергли, если при этом мы сами занимаем по отношению к нему
подходящее положение. Наряду с понятием равенства, я положу

22 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
в основу построения геометрии сложное для анализа понятие
непрерывной связности (Zusammenhangs) и в набросанном мимоходом
эскизе покажу, как можно свести к ним все основные геометрические
понятия. При этом мне кажется разумным из всех отображений выделить
переносы (Translationen) и лишь затем на основе этого понятия
разработать строгое аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
Прежде всего, прямая линия\ Ее особенность в том, что она
определена двумя своими точками. Любая другая линия даже при
фиксации двух ее точек посредством конгруэнтного отображения
может быть переведена в некоторое другое положение (испытание на
прямолинейность). Итак, если Л и J5—две различные точки, то
прямой линии д = AB принадлежит каждая точка, которая
переходит в себя при всех конгруэнтных отображениях, переводящих в себя
точки А и В (прямая линия «не уклоняется ни в какую сторону»).
Выражаясь кинематически, это приводит к тому, что мы понимаем
прямую линию как ось вращения. Она являет собой однородный и
линейный континуум, как и время: произвольной принадлежащей ей
точкой А она разбивается на две части, две «полупрямых». Если
точка В принадлежит одной из этих частей, а точка С—другой, то
говорят, что А лежит между В и С. Точки одной части лежат справа
от А, а точки другой — слева от А (при этом, совершенно безразлично,
какую половину называть прямой, в какую— левой). Простейшие
фундаментальные факты, которые подразумеваются этим понятием
«между», можно точно сформулировать с такой полнотой, которая
необходима для дедуктивного построения геометрии. Поэтому мы
попытаемся все понятия непрерывности в геометрии свести к
понятию «между», отношению «Л принадлежит прямой ВС и лежит
между В и С» (искажая при этом реальные интуитивные
соотношения). Пусть Л' —точка, лежащая справа от Л. Этой точкой А' прямая
g равным образом разбивается на две. Назовем ту часть, которой
принадлежит Л, левой. Если, наоборот, А1 лежит слева от Л, то
ситуация обратная. При этом условии аналогичные соотношения
оказываются справедливыми не только для точек Л и Л', но и для
всяких двух точек прямой линии. С помощью понятий правого и
левого точки прямой упорядочиваются точно так же, как временное
точки посредством понятий раньше и позже.
Правое и левое равноправны. Существует конгруэнтное
отображение, которое, оставляя точку Л фиксированной, меняет местами
обе половины, на которые прямая разбивается этой точкой Л.
Каждый отрезок прямой AB может быть отображен на себя с
обращением (т.е. так, что Л совпадает с J5, а В —с Л). Напротив,
конгруэнтное отображение, переводящее Л в Л и все точки справа от

§1 Вывод элементарных понятий пространства из понятия равенства 23
Л— в точки справа от Л, а все точки слева от Л— в точки слева от Л,
каждую точку прямой оставляет на месте. Однородность прямой
линии выражается в том, что каждую прямую можно так наложить
на себя, чтобы одна из ее точек А перешла в какую-нибудь другую
ее точку Л', правая от Л половина ее —в правую половину от Л', а
левая таким же образом —в левую, (перенос прямой). Если мы
введем для точек прямой равенство AB = А'В', имея ввиду, что AB
путем переноса прямой переходит в А'В', то мы получим такое же
положение вещей для этого понятия, каким оно было для времени.
Это позволяет ввести числа и с их помощью точно фиксировать точки
на прямой, приняв в качестве единичного отрезок ОЕ.
Рассмотрим группу конгруэнтных отображений, которые
оставляют фиксированной прямую д (т.е. преобразований, переводящих
каждую точку прямой д в некоторую точку д). Из них мы выделим
вращения как такие преобразования, которые оставляют на месте не
только прямую д в целом, но и каждую ее точку в отдельности. Как
можно отличить в этой группе переносы от винтовых движений? Я
здесь пойду по тому пути, который основан на «вращательном
понимании» не только прямой, но также и плоскости.
Две полупрямые, исходящие из одной точки О, образуют угол.
Каждый угол можно поворотом совместить с самим собой, так чтобы
одна его сторона совместилась с другой его стороной и обратно.
Прямой угол конгруэнтен со
гч своим смежным. Если, таким
/ \ образом, А —некоторая пря-
/ _ А д% мая, которая перпендикуляр-
Г | на прямой д в точке Л, то
—"Т °а* 1 ^ найдется такое вращение во-
I I круг д (инверсия, ), которое
\Е*1 поменяет местами обе полуп-
\ I рямые, на которые А разби-
^ вается точкой Л. Совокуп-
Рис. 1 ность прямых, проведенных
в точке Л перпендикулярно д,
образуют плоскость Е, проходящую через точку Л перпендикулярно
к д. Каждая пара таких перпендикулярных прямых может быть
получена из любой другой прямой посредством ее вращения вокруг
д. Если д накладывается на себя так, что А переходит в Л, но
соответствующие полупрямые, на которые Л разбивает д,
обмениваются местами, то при этом плоскость Ε с необходимостью
совмещается сама с собою. Плоскость также можно интерпретировать на
основе этого свойства в сочетании с условием вращательной симметрии.

24 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
Два конгруэнтных симметричных относительно вращения стола
являются плоскими, если, накладывая один из них посредством его
отражения относительно вертикальной оси на другой, я совмещаю
поверхности обоих столов. Плоскость однородна. Точка Л на
плоскости £, которая здесь выглядит как «центр», никоим образом не
выделена из множества остальных точек. Через каждую из них,
например Л', проходит некоторая прямая д\ такая, что Е, из всех
прямых, проходящих через Л', перпендикулярна лишь д'. Прямые д\
проходящие через все точки плоскости Ε перпендикулярно к ней,
образуют семейство параллельных прямых. Прямая д в этом
семействе, из которой мы исходим, ни в коей мере не является выделенной.
Прямые этого семейства заполняют все пространство, так что через
каждую точку пространства проходит одна и только одна прямая из
семейства. Оно не зависит от того, в каком месте А прямой д
выполнена вышеописанная конструкция. Если Л* —некоторая точка
д, то нормальная к д плоскость в точке Л* пересекает не только д,
но и все другие прямые семейства и перпендикулярна им. Эти
нормальные плоскости Е*, построенные во всех точках Л* прямой
д, образуют семейство параллельных плоскостей. Они также
непрерывно и однозначно заполняют пространство. Осталось теперь
сделать только еще один небольшой шаг, чтобы от построенных таким
образом «пространственных лесов» (Raumgerüst) перейти к
прямоугольной системе координат. Мы используем здесь это построение,
однако, чтобы установить понятие пространственного переноса.
Перенос—это конгруэнтное отображение, которое переводит в себя не
только д, но и каждую прямую из семейства прямых, параллельных
д. Имеется один и только один перенос, который произвольную точку
Л прямой переводит в произвольную точку А* этой же прямой.
Я укажу еще и второй путь к понятию переноса. Главная
отличительная черта переноса заключается в том, что все точки в нем
равноправны, что о поведении некоторой точки при переносе нельзя
сказать ничего объективного, что не выполнялось бы для любой
другой точки (так что при заданном переносе точки пространства
можно отличить друг от друга только посредством их
индивидуализации [«эта здесь»], в то время как, например при вращении точки
оси отличаются от всех остальных тем свойством, что они остаются
на своем месте). Принимая эту характерную черту за основу, мы
получаем следующее истолкование переноса, которое совершенно
независимо от понятия вращения. Пусть при конгруэнтном
отображении / произвольная точка Ρ переходит в точку Р'; назовем РР'
парой взаимосвязанных точек. Если второе конгруэнтное отображение

§1 Вывод элементарных понятий пространства из понятия равенства 25
// обладает тем свойством, что каждую пару взаимосвязанных точек
снова переводит в другую такую же пару, то его следует назвать
переставимым с первым. Конгруэнтное отображение называется
переносом, если имеется переставимое с ним конгруэнтное
отображение, которое произвольную точку Л переводит в произвольную точку
В. То, что два конгруэнтных отображения I и II переставимы друг
с другом, означает, как можно тотчас же удостовериться на основе
приведенных определений, что конгруэнтное отображение,
возникающее в результате последовательного выполнения отображений / и
//, тождественно с тем, которое является результатом
последовательного выполнения этих отображений // и /, взятых в обратном
порядке. Итак, существует перенос (и, как будет показано, только
один), который переводит произвольную точку Л в произвольную
точку В. Более того, если перенос обозначить Т, а А и В — какие-
нибудь две точки, то не только (согласно нашему определению)
существует вообще некоторое конгруэнтное переставимое с Τ
отображение, переводящее Л в J5, но требуемым свойством обладает именно
перенос, который переводит А в 5. Перенос поэтому переставим со
всеми другими переносами, и конгруэнтное отображение, которое
переставимо со всеми переносами, само с необходимостью является
переносом. Отсюда следует, что то конгруэнтное отображение,
которое возникает в результате последовательного выполнения двух
переносов, а также отображение, «обратное» переносу (т.е. такое
отображение, которое сводит на нет результат переноса) сами
являются переносами. Иначе говоря, переносы образуют «группу». Не
существует никакого переноса, переводящего точку Л в Л, за
исключением тождественного, который оставляет каждую точку
неподвижной. Так как, если бы такой перенос переводил Ρ в Р'9 то, согласно
нашему определению, должно было бы существовать конгруэнтное
отображение, переводящее Л в Ρ и, одновременно, Л в Р1,
следовательно Ρ и Р1 должны быть тождественны. Поэтому также не может
существовать двух различных переносов, которые переводили бы Л
в некоторую другую точку В.
Если, таким образом, понятие переноса обосновано независимо
от вращения, то можно обычному вращательному пониманию прямой
и плоскости противопоставить трансляционное их понимание. Пусть
а —некоторый перенос, который переводит точку Л0 в Лг Тот же
самый перенос будет переводить Л^ в некоторую точку Л2, Л2 в Л3 и
т.д., а Л0 получается из Л_1, Л_1 из Л_2 и т.д. Тем самым, мы получаем
не только прямую, но и последовательность эквидистантных точек
на ней. Вместе с тем, если η — натуральное число, то существует
некоторый перенос —, который при я-кратном повторении дает а.

26 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
Если теперь мы используем —, начиная с точки Л0, таким же образом,
как а, мы получим в η раз более плотное точечное заполнение
конструируемой прямой. Принимая для η всевозможные целые
числа, мы будем получать это заполнение тем более густым, чем
больше будет я, и все точки, которые мы получим, сольются в
линейный континуум, в который они, лишившись своего
самостоятельного существования, будут вложены (я аппелирую здесь к интуиции
непрерывности). Прямая линия, можем мы теперь сказать, получается
из некоторой точки повторным выполнением одного и того же
бесконечно малого переноса и обратного ему. Но плоскость получается
посредством переноса одной прямой д вдоль другой прямой А. Если
д и А —две различные прямые, проходящие через точку Л0, то на д
влияют все переносы, которые переводят в себя А. Таким образом
построенные из д прямые образуют плоскость, общую д и А.
Порядок в логической Структуре геометрии достигается только
при условии сужения общего понятия конгруэнтного отображения до
понятия переноса и последующего использования его в качестве
краеугольного камня аксиоматического фундамента (§§2, 3).
Однако, таким образом мы приходим лишь к чисто трансляционной,
«аффинной» геометрии, в рамках которой затем снова необходимо
ввести общее понятие конгруэнтности (§4). После того как интуиция
снабдила нас необходимым фундаментом [6] мы можем вступить в
следующих параграфах в область дедуктивной математики.
§2
Основания аффинной геометрии
еренос, или смещение (Verschiebung), а пространства мы в
дальнейшем будем обозначать вектором] позднее, правда, мы
будем связывать с ним более общее представление. То, что при
смещении а точка Ρ переходит в ζ), будет выражаться также
следующим образом: Q — конечная точка исходящего из Ρ вектора
а. Если Ρ и Q — какие-нибудь две точки, то существует один и только
один перенос а, который переводит Ρ в Q. Будем называть его
вектором, определяемым точками Ρ и Q, и обозначать PQ.
Перенос С, являющийся результатом последовательного
выполнения двух переносов а и Ь, будет обозначаться как сумма а и Ь:
С = а + Ь. Из определения суммы получается: 1) смысл умножения
(повторения, Wiederholung) и деления вектора на целое число; 2)
смысл операции «-», которая превращает вектор а в
противоположный ему - а; 3) что следует понимать под вектором 0, а именно
«тождественное преобразование», оставляющее все точки неподвижными.
ш

§2 Основания аффинной геометрии
27
Выполняются равенства а + О = а, а + (- а) = О. Далее отсюда сле-
дует смысл символа ± — = ла, в котором т и η — какие-нибудь два
натуральных числа, а λ—дробь ± —. Требованием непрерывности
устанавливается также то, что следует понимать под вектором Ха,
когда λ—произвольное действительное число. Мы устанавливаем
следующую простую систему аксиом аффинной геометрии [7].
/· Векторы
Каждые два вектора а и Ь определяют однозначно вектор
а + Ь как их 4сумму>; число λ и вектор а определяют однозначно
вектор λβ, «К-кратный а» {умножение). Эти операции
удовлетворяют следующим законам:
а) Сложение
1. а + Ь = Ь + а {коммутативный закон).
2. (а + Ь) + с = а + (Ь + с) {ассоциативный закон).
3. Если а и о —какие-нибудь два вектора, то существует один
ц только один вектор х, для которого выполняется уравнение
а + χ = с. Он называется разностью с - а векторов с и а
{возможность вычитания).
β) Умножение
1. (λ + ц)а = (Ха) + (ца). {первый дистрибутивный закон)
2. Х(ца) = (λμ)β {ассоциативный закон).
3. 1 · а = а.
4. Х(а + Ь) = (Ха) + (Xb) {второй дистрибутивный закон).
Законы β) для рациональных множителей λ, μ следуют из
аксиомы сложения, если умножение на такие множители
объясняется с помощью сложения. Согласно принципу непрерывности мы
распространяем их также на произвольные действительные числа.
Но они сформулированы отчетливо в виде аксиом, так как их нельзя
вывести с этой степенью общности чисто логически из аксиом
сложения. Отказываясь от сведения умножения к сложению, мы
оказываемся в состоянии полностью исключить из логической
структуры геометрии трудно определимое понятие непрерывности.
Аксиома 4 охватывает теоремы подобия.
γ) «Аксиома размерности*, которая находит свое место в
системе аксиом, будет сформулирована ниже.
11. Точки и векторы
1. Каждая пара точек А и В определяет вектор а,
обозначаемый ÄB = а. Если А —некоторая точка, г —некоторый вектор, то
имеется одна и только одна точка В, для которой Ал = а.

28 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
2. Если Ab = а, ВЬ = Ь, то Ab = а + Ь.
В этих аксиомах фигурируют две основные категории объектов,
точки и вектора, и три основных соотношения, которые выражаются
символически в виде:
а + Ь = с, Ь = Ха, Л& = а (1)
Все понятия, которые могут быть определены с одной лишь их
помощью чисто логически, относятся к аффинной геометрии.
Совокупность всех теорем, которые можно вывести чисто логически из
этих аксиом, образует систему аффинной геометрии. Эта система,
таким образом, может быть дедуктивно построена на изложенном
здесь аксиоматическом базисе. Впрочем, наши аксиомы не все
логически независимы друг от друга. В частности, аксиомы сложения для
векторов (/а, 2. и 3.) следуют из тех аксиом (//), которые
определяют соотношение между точками и векторами. Дело, однако,
заключалось в том, чтобы векторных аксиом / самих по себе было уже
достаточно для выведения из них всех фактов, относящихся только
к векторам (а не к отношениям между точками и векторами).
Из аксиом сложения /а можно заключить, что существует
определенный вектор О, который для всякого вектора а
удовлетворяет уравнению: а + О = а. Из аксиом // следует далее, что ÄB тогда
и только тогда равен вектору О, когда точки А и В совпадают.
Если О —некоторая точка, в —отличный от О вектор, то
конечная точка Ρ всех векторов ОР вида ξβ (ξ —произвольное
действительное число) образуют прямую. С помощью этого истолкования
трансляционное понимание прямой приобретает форму точного
определения, опирающегося только на основные понятия аффинной
системы аксиом. Те точки Р, абсциссы которых ξ положительны,
образуют одну половину прямой, проходящей через точку О; а те,
для которых ξ отрицательны, —другую половину этой прямой. Если
мы запишем et вместо е и обозначим е2 другой вектор, не имеющий
форму ξβ^ то конечные точки Ρ всех векторов ÖP вида ξ1β1 + ξ2β2
образуют плоскость (трансляционное происхождение плоскости
посредством переноса одной прямой по другой). Если теперь, наконец,
будем перемещать плоскость Ε вдоль прямой, проходящей через О,
но не лежащей в Е, то она заметет все пространство. Если поэтому
е3 — вектор, не представим в виде ξ^ + ξ2β2, то всякий вектор может
быть представлен одним и только одним способом — в виде линейной
комбинации векторов et, е2, е3
ξ1β1 + ξ2β2 + ξ3β3.

§2 Основания аффинной геометрии
29
Тем самым, естественно, получаются следующие определения.
Конечное число векторов et, β2 βΛ называются линейно
независимыми, если
ξιβι + ^2в2+·· +^ЛвЛ (2)
равно нулю только тогда, когда все коэффициенты ξ исчезают. При
этом предположении все векторы вида (2) образуют так называемое
h-мерное линейное векторное многообразие, «натянутое» на
векторы et, е2 ..., 6Л. Α-мерное линейное векторное многообразие Μ может
быть, независимо от конкретизации «базиса» et·, охарактеризовано
следующим образом:
1. обе основные операции — сложение двух векторов и умножение
векторов на число —не выводят за пределы многообразия, т.е. сумма
двух векторов, принадлежащих к М, как и произведение
принадлежащего к Μ вектора на произвольное действительное число, лежит
всегда снова в М;
2. в Μ имеется А линейно независимых векторов, но всякие
Л + 1 векторов линейно зависят друг от друга.
Из второго свойства (которое следует из нашего
первоначального определения с помощью простейших теорем о линейных
уравнениях) мы можем заключить, что число измерений А является
характеристикой многообразия, не зависящей от специального векторного
базиса, на который мы «натягиваем» это многообразие.
Аксиома размерности, пропущенная нами в приведенном ранее
списке аксиом, может быть теперь сформулирована следующим
образом:
Имеются η линейно независимых векторов, но всякие η + 1
векторов линейно зависимы друг от друга.
Иначе векторы образуют я-мерное линейное многообразие. Это
ведет для η = 3 к аффинной геометрии пространства, для η = 2 к
аффинной геометрии плоскости, для η = 1— к аффинной геометрии
прямой. При дедуктивном построении геометрии, однако,
целесообразно оставить значение η неопределенным и так разрабатывать
«w-мерную геометрию», чтобы геометрии прямой, плоскости и
пространства содержались в ней как частные случаи при η = 1, 2, 3.
Таким образом, мы видим (здесь для аффинной геометрии, а затем —
для любой геометрии), что в математической структуре пространства
нет ничего такого, что вынуждало бы нас сохранять размерность 3.
Напротив, согласно математически выраженным в наших аксиомах
закономерностям пространства, его характерная размерность 3
является случайностью, которую в систематической дедуктивной теории

30 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
следует игнорировать. К развитой здесь идее w-мерной геометрии мы
еще вернемся в последующих параграфах . Но сначала мы должны
дополнить начатое нами построение аффинной геометрии.
Если О — произвольная точка, то все конечные точки Ρ векторов,
проведенных из О, принадлежащих к Α-мерному линейному
векторному многообразию Μ и выражаемых соотношением (2), образуют
h-мерную линейную точечную оболочку (Punktgebilde). Можно
сказать, что она натянута на векторы е^, е2 еЛ, исходящие из
точки О. (Одномерная оболочка называется прямой, двумерная —
плоскостью). Точка О в этой линейной оболочке не играет
исключительной роли. Если О' —некоторая другая точка этой оболочки, то
О'Ρ пробегает то же самое векторное многообразие М, при условии,
что в качестве Ρ берутся всевозможные точки линейной оболочки.
Проведя из точки О всевозможные векторы многообразия М, а
затем —из любой другой точки О', мы получим две линейных
точечных оболочки, которые будем называть параллельными друг другу.
С этим согласуются, в частности, определения параллельных прямых
и плоскостей. Та часть Л-мерной линейной оболочки, образованной
откладыванием всех векторов (2) из точки О, которая получается,
если наложить на ξ ограничение:
0<ξ,<1, О ^ ξ2 < 1 0<ξΛ^1,
называется Л-мерным параллелепипедом, натянутым на векторы et,
е2 eh исходящие из точки О. (Одномерный параллелепипед
называется отрезком, двумерный —параллелограммом. Ни одно из
этих понятий не ограничено наглядным для нас случаем η = 3).
Точку О вместе с η линейно независимыми векторами et, е2,
..., еп мы будем называть координатной системой (С). Каждый
вектор χ можно одним и только одним образом представить в форме
χ = ξ1β1+ξ2β2 + ...ξ„β„. (3)
Числа ξ^ будем называть его компонентами в координатной
системе (С). Если Р—произвольная точка и вектор ÖP равен вектору
(3), то ξ —называют также координатами Р. Все координатные
системы в аффинной геометрии равноправны; не существует
никакого аффинно-геометрического свойства, с помощью которого можно
было отличать одну систему от другой. Если
0'\ б'|, в'2, ..., е'п
— вторая система координат, то справедливы уравнения

§2 Основания аффинной геометрии
31
я
*=1
в которых <xki образуют систему чисел, обладающую вследствие
линейной независимости е\ отличным от 0 детерминантом. Если
ξ—компоненты вектора χ в первой координатной системе, а ξ^· — во
второй, то выполняется соотношение
я
*=1
Это легко показать, если подставить выражение (4) в уравнение
Σ sa = Σ w-
г г
Пусть ctj, α2, ..., ая —координаты О' в первой координатной
системе. Если л^· —координаты произвольной точки в первой системе,
х\ — во второй, то справедливы уравнения:
я
хг = Σ aikx'k + αΓ (6)
*=1
Поэтому xi - с^· — компоненты вектора
С?Р = (?Р~бЬ'
в первой системе координат, а х\—во второй. Формулы
преобразования (6) для координат, таким образом, линейны.
Трансформационные формулы для компонент вектора (5) получаются из первых
простым вычеркиванием постоянных at·, не зависящих от переменных
Xl. Аффинная геометрия допускает чисто аналитическое
рассмотрение, при котором всякий вектор представляется своими
компонентами, а каждая точка —своими координатами. Геометрические
соотношения между точками и векторами выражаются тогда такими
взаимосвязями между их компонентами и, соответственно, координатами,
которые не разрушаются произвольным линейным преобразованием.
Формулы (5), (6) допускают еще одно толкование: их можно
понимать как представление аффинного отображения в
определенной координатной системе. Отображение, т.е. закон, который
каждому вектору X сопоставляет его «образ» х', каждой точке Р—ее

32 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
«образ» Р', называется линейным, или аффинным, если оно не
разрушает основных аффинных соотношений, иначе говоря, если
существование (1) влечет за собой такие же соотношения для
векторов-образов и точек-образов:
а' + Ь' = С, Ьг = Ха', аЬ' = а' - Ь'
и если, кроме того, никакой вектор, отличный от О, не преобразуется
в О. Другими словами, это означает, что две точки преобразуются в
одну и ту же точку только тогда, когда они сами тождественны. Две
фигуры, которые переходят одна в другую посредством аффинного
отображения, называются аффинными. Они, с точки зрения
аффинной геометрии, полностью тождественны. Нельзя указать ни одного
аффинного свойства, которое можно было бы приписать одной
фигуре и нельзя было бы приписать другой. Понятие линейного
отображения, таким образом, играет в аффинной геометрии такую
же роль, как понятие конгруенции в геометрии вообще, тем самым
оно приобретает принципиальное значение. Аффинное отображение
переводит линейно независимые векторы снова в линейно
независимые векторы, Α-мерный линейный образ —в точно такой же образ,
параллельные — в параллельные, координатную систему О | et, e2,
..., еп в новую систему О' \ e't, е'2 е'п. Пусть числа aki, α, имеют
описанный выше смысл. Вектор (3) преобразуется аффинным
отображением в
Χ' = ξ1β'1+ξ2β'2 + -+^βν
Подставив сюда выражения для e't- и использовав для
представления аффинного отображения первоначальную координатную
систему О | et, e2 ew, понимая при этом под ξ; компоненты
некоторого вектора, а под ξ^· — компоненты его образа, получим:
я
ξ'ί = Σ «fl&- <5f)
Если точка Ρ переходит в Ρ', то вектор ОР переходит в О'Р.
Отсюда следует: если д^· — координаты Р, а xti — координаты Р', то
η
x'i = Σ aikxk + «,- (60
k = \
В аналитической геометрии линейные оболочки обычно
характеризуют линейными уравнениями для координат «текущей точки».
Подробнее об этом мы будем говорить в следующих параграфах.

§3 Идея «-мерной геометрии. Линейная алгебра. Квадратичные формы 33
Здесь же упомянем еще только о фундаментальном понятии
«линейной формы», на котором основано это представление. Функция
L(x), аргумент которой X пробегает все векторы, но значения
которой—действительные числа, называется линейной формой, если она
обладает следующими функциональными свойствами:
Да + Ь) = L(a) + L(b); ЦХа) = λ · L(a).
В координатной системе et, е2 еп каждая из η компонент
вектора ξ^, как функция от X, образует такую линейную форму. Если
X определяется выражением (3), то для произвольной линейной
формы L справедливо:
L(x) = ^I(et) + ξ2Ι(β2) + ... + ξ„Ι(β„).
Обозначив теперь L(e{) = ait мы получим линейную форму,
выраженную через компоненты вектора, в виде:
а&\+а2*>2+ ~'+ап$п
ait при этом,—ее постоянные коэффициенты. Обратно, каждое
выражение такого вида задает некоторую линейную форму. Несколько
линейных форм являются линейно независимыми, если не
существует таких постоянных λ^, за исключением случая, когда все λ^ = 0, для
которых тождественно по X удовлетворяется уравнение
XjLj(x) + λ2Ι2(χ) + ... + ^ALA(x) = О
η + 1 линейная форма всегда линейно зависимы.
§з
Идея я-мерной геометрии. Линейная алгебра.
Квадратичные формы
тобы изучить законы пространства во всей их математической
гармонии, мы должны абстрагироваться от частного случая
размерности η = 3. Не только в геометрии, но еще более
поразительным образом и в физике становится все более очевидным, что,
как только мы глубоко постигаем законы природы, управляющие
действительностью, они представляются, с математической точки
зрения, в прозрачнейшей простоте и совершеннейшей гармонии. Мне
кажется, что главной задачей математического преподавания
является выработка понимания этой простоты и этой гармонии, которые мы
не можем игнорировать в современной теоретической физике. Они
для нас —источник глубокого познавательного удовлетворения.
Аналитическая геометрия, изложенная в той сжатой и принципиальной
форме, как это я пытался здесь сделать, дает первое, но еще
ч

34 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
недостаточное представление об этом. Однако, не только ради этой
цели мы должны будем превысить размерность η = 3, но также
потому, что в дальнейшем для решения конкретных физических
проблем, связанных с теорией относительности, в которой время
добавляется к пространству, нам потребуется четырехмерная геометрия.
Нет никакой нужды прибегать к советам мистических учений
спиритов, чтобы сделать более наглядными идеи многомерной
геометрии. Рассмотрим, например, однородную смесь газов, состоящую
из водорода, кислорода, азота и углекислого газа. Произвольное
количество такой смеси характеризуется указанием того, сколько
граммов каждого газа содержится в ней. Назовем каждое такое
количество вектором (назвать мы можем так, как захотим) и будем
понимать под сложением объединение двух количеств газа в обычном
смысле этого слова. Тогда будут выполняться все аксиомы / нашей
системы, относящиеся к векторам в пространстве размерности η = 4,
если мы позволим себе говорить об отрицательных количествах газа.
1 г. чистого водорода, 1 г. кислорода, 1 г. азота и 1 г. углекислого
газа—четыре независимых друг от друга «вектора», из которых все
остальные могут быть линейно составлены; они, тем самым, образуют
координатную систему. Или другой пример. На каждом из пяти
параллельных стержней установлен перемещаемый вдоль этого
стержня шарик. Определенное состояние этой примитивной «счетной
машины» задано, если известно место нахождения каждого из пяти
шариков на своем стержне. Если назвать каждое такое состояние
«точкой», а каждое одновременное смещение всех пяти шариков —
«вектором», то все наши аксиомы будут выполнены для размерности
η = 5. Уже отсюда видно, что можно конструировать разнообразные
наглядные образы, которые при подходящем наименовании
удовлетворяют нашим аксиомам. Значительно важнее, однако, чем эти
шуточные примеры, то обстоятельство, что наши аксиомы
характеризуют базис операций (Operationbasis) для теории линейных
уравнений. Если af- и α — некоторые заданные числа, то, как известно,
равенство
otjXj + a2^2 + ... + &пхп = 0 (7)
называют однородным, а равенство
atxt + а2х2 + ··· апхп ~ а ^
— неоднородным линейным уравнением относительно неизвестного х{.
При рассмотрении теории линейных однородных уравнений удобно
иметь для системы значений переменных xi краткое обозначение; мы

§3 Идея «-мерной геометрии. Линейная алгебра. Квадратичные формы 35
будем называть ее «вектором». Вычисления с помощью этих векторов
будут выполняться так, чтобы под суммой двух векторов
(ß\, <*2 ап)и(Ь\> Ь2 Ьп>
понимался вектор
(ах +bt, а2+Ь2 ап + Ъп)
и под произведением вектора (öt, я2 ап) на число λ—вектор
(λαν λο2 λαη).
Тогда аксиомы / о векторах выполняются для размерности п.
Совокупность
et = (1, 0, 0, ...0),
е2 = (0, 1, 0, ...0),
еп = (0, 0, 0, ... 1)
образует систему независимых векторов. Компоненты произвольного
вектора (xt, х2 хп) в этой координатной системе—сами эти числа
xt·. Основная теорема о решении однородных линейных уравнений
может быть теперь сформулирована так: если L^K), L2(X)
LjfiK)—h линейно независимых линейных форм, то решения X
уравнений
Lt(X) = 0, L2(x) = 0 L/2(x) = 0
образуют (я - й)-мерное линейное векторное многообразие.
В теории линейных неоднородных уравнений нам удобнее будет
обозначить совокупность значений переменной xi как «точку». Если
xi и x't—две системы решений уравнения (8), то их разность
х'\ ~ XV χ,2 ~ х2 х'п " хп
есть решение соответствующего однородного уравнения (7). Мы
будем называть эту разность двух систем значений переменной xi
«вектором», а именно вектором, определенным двумя «точками»
(х,·) и (x'j·), и оставим в силе прежние соглашения о сложении
векторов и умножении их на число. Тогда будут справедливы все
аксиомы. В той специальной координатной системе, которая
образована указанными выше векторами в,- и «начальной точкой»
О = (0, 0, 0, ... 0), координатами точки (х·) являются сами эти числа
xt·. Основная теорема о линейных уравнениях гласит: те точки,

36 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
которые удовлетворяют Л независимым линейным уравнениям,
образуют (п - Л)-мерную линейную точечную оболочку (Punktgebilde).
Это должно естественнейшим образом без использования
геометрии и на основе лишь теории линейных уравнений привести не только
к нашим аксиомам, но также к формированию новых понятий,
связанных с ними. С другой стороны, было бы даже в известном
смысле целесообразно (как то показывает, например, формулировка
теоремы об однородных уравнениях) развить теорию линейных
уравнений на такой аксиоматической основе, чтобы поставить во
главу угла аксиомы, полученные здесь геометрическим путем.
Соответствующая теория была бы тогда справедлива для той области
операций, где выполняются эти аксиомы, а не только для «системы
значений η переменных». Конечно, переход от такой более
концептуальной теории к обычной более формальной теории, оперирующей
с самого начала с числами х-, может быть осуществлен просто
постулированием определенной координатной системы и заменой
векторов и точек их компонентами и координатами.
Таким образом, аффинная геометрия вообще говорит о
пространстве только то (и это будет достаточно ясно без дополнительных
пояснений), что оно — трехмерная линейная область величин. Все
отдельные наглядные факты, упоминавшиеся в §1, — лишь
маскировка этой простой истины. Если теперь, с одной стороны, весьма
отрадно, что мы можем указать общую теоретическую основу для
различных высказываний о пространстве, пространственных образах
и пространственных отношениях, то, с другой стороны, следует
подчеркнуть, что из сказанного отчетливо видно, как мало
математика может претендовать на понимание наглядной сущности
пространства. Геометрия не содержит ничего из того, что связано с
наглядным пространством, каковым оно является по своей сути и
чего оно не разделяет с «состоянием счетной машины», «газовыми
смесями» и «системами решений линейных уравнений». Сделать это
«понятным» или показать, почему и в каком смысле это не может
быть понято —дело метафизики. Мы, математики, можем гордиться
удивительной прозрачностью достигнутого нами знания о
пространстве, но в то же время нам следует быть очень скромными, так как
наши концептуальные теории в состоянии постичь только одну
сторону природы пространства, являющуюся к тому же наиболее
поверхностной и формальной.
Чтобы перейти от аффинной к метрической геометрии, нам
необходимо из области линейной алгебры еще несколько понятий и
фактов, относящихся к билинейным и квадратичным формам. Функция
Q(X, у) двух произвольных векторов X и у называется билинейной

§3 Идея я-мериой геометрии. Линейная алгебра. Квадратичные формы 37
формой, если она линейна как по X, так и по у. Если при
использовании некоторой координатной системы ξ; — компоненты X, а т^· —
компоненты у, то справедливо выражение
η
0(*,7) = Σαί&Αΐ"
i,k = \
где aik — постоянные коэффициенты. Будем называть форму
«невырожденной*, если она обращается в нуль тождественно по у только
тогда, когда X = 0. Это справедливо в том и только в том случае,
когда система однородных уравнений
Σ «<А = о
i = 1
имеет единственное решение ξ,- = 0, или когда детерминант \aik\ * 0.
Отсюда следует, что это условие неисчезновения детерминанта
сохраняется при любом линейном преобразовании. Билинейная форма
называется симметричной, если Q(y, x) = Q(x, у); на
коэффициентах формы это отражается в присущем им свойстве симметрии
aki = aik- Всякая билинейная форма Q(x, у) порождает
квадратичную форму, зависящую только от одной векторной переменной X
η
ς>(χ) = ς)(χχ) = Σ^ξ^.
i, k = 1
Таким образом, каждая квадратичная форма возникает из одной
и только одной симметричной билинейной формы. Полученная этим
способом квадратичная форма Q(x) может быть также образована
отождествлением х и у в симметричной форме:
^|0(ху) + С)(ух)}.
Чтобы доказать, что одна и та же квадратичная форма не может
получиться из двух различных симметричных билинейных форм,
необходимо показать, что симметричная билинейная форма ζ)(χ, у),
которая тождественно по X удовлетворяет уравнению Q(X, X) = 0,
сама должна обращаться в нуль тождественно. Но это следует из
соотношения, справедливого для всякой симметричной билинейной формы
0(х + у, X + у) = 0(Х, X) + 2Q(X, у) + 0(У, у). (9)
Заметим, чтобы не упоминать об этом в каждом отдельном
случае, что, если обозначить ζ)(χ) любую квадратичную форму, то
Q(x, у) должно обозначать такую симметричную билинейную форму,
которой порождается Q(x). Невырожденность квадратичной формы

38 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
означает, что соответствующая симметричная билинейная форма
невырождена. Квадратичная форма Q(x) —
положительно-определенная, если для каждого Χ * О она удовлетворяет неравенству
ζ)(χ) > 0. Такая форма, конечно, невырождена. Действительно, ни
для какого вектора χ * 0 Q(x, у) в этом случае нельзя сделать
тождественно по у равной нулю, так как при у = X она становится
положительной.
Основания метрической геометрии
тобы перейти от аффинной к метрической геометрии, мы
должны еще раз обратиться к источнику наглядности (Born der
Anschauung). На этом пути мы получим (для трехмерного
пространства) толкование величины, которая называется скалярным
произведением двух векторов а и Ь. После выбора определенного
единичного вектора мы измерим длину а и длину (взятую с
правильным знаком) ортогональной проекции Ь на а и перемножим эти два
числа друг на друга. При этом мы можем сравнивать длины не только
отрезков параллельных прямых (как в аффинной геометрии), но так
же и прямых, произвольно наклоненных друг по отношению к другу.
Для скалярного произведения выполняются следующие правила:
Ха · Ь = Я(а · Ь), (а + а') · Ь = (а · Ь) + (а' · Ь),
и аналогично для второго множителя. Кроме того, выполняется и
коммутативный закон а · b = b · а. Скалярное произведение а с
самим собой, т.е. а а = а , всегда положительно, за исключением
случая, когда а = О, и равно квадрату длины а. Эти законы означают,
что скалярное произведение двух произвольных векторов X · у
является симметричной билинейной формой, и связанная с ней
квадратичная форма положительно определена. Таким образом, не длина,
а квадрат длины вектора зависит простым рациональным образом от
самого вектора, и эта зависимость выражается квадратичной формой.
В этом заключается действительное содержание теоремы Пифагора.
Скалярное произведение есть не что иное, как симметричная
билинейная форма, которая порождает эту квадратичную форму.
Согласно этому может быть сформулирована следующая
метрическая аксиома: После выбора отличного от 0
единичного вектора е каждые два вектора χ и у однозначно определяют
число (х · у) = Q(xy), являющееся билинейной симметричной
формой этих векторов. Связанная с ней квадратичная форма
(х · х) = Q(x) положительно определена, Q(e) = 1.
ч

§4 Основания метрической геометрии
39
Будем называть Q фундаментальной метрической формой.
Тогда получаем следующее утверждение: Аффинное
отображение, переводящее вектор χ в х\ является конгруэнтным, если оно
оставляет инвариантной фундаментальную метрическую форму:
Q(x') = Q(x); (ίο)
две фигуры, которые могут быть переведены одна в другую
конгруэнтным отображением, конгруэнтны . Именно этим
определяется в нашем аксиоматическом построении понятие конгруенции.
Если имеется некоторая область операций, в которой выполняются
аксиомы §2, то мы можем выбрать в ней любую положительно-
определенную квадратичную форму, «назначить» ее
фундаментальной метрической формой и на ее основе определить понятие
конгруэнции так, как это было сделано выше. Тогда с помощью этой формы
в аффинное пространство оказывается введенной некоторая метрика
и становится справедливой евклидово геометрия во всей ее полноте.
Это построение —опять таки не связано с определенной
размерностью. Из (10) с помощью соотношения (9) §3 следует, что для
конгруэнтного отображения справедливо более общее соотношение
Q(x', у') = 0(х, у).
Так как понятие конгруэнции определяется фундаментальной
метрической формой, то не удивительно, что она входит во все
формулы, которые относятся к измерению геометрических величин.
Два вектора а и а' конгруэнтны тогда и только тогда, когда
0(а) = Q(a').
Мы могли бы, согласно этому, ввести Q(a) как численную меру
вектора а. Но вместо этого мы будем использовать положительный
квадратный корень из Q(a) и называть его длиной вектора а (считая
это определением), так чтобы выполнялось еще одно условие: длина
суммы двух параллельных и одинаково направленных векторов
равна сумме длин этих векторов. Если а и Ь, а также а' и Ь' — две
пары векторов единичной длины, то фигура, образованная двумя
первыми векторами, тогда и только тогда конгруэнтна фигуре,
составленной из двух последних векторов, когда
Q(a, Ь) = Q(a\ Ь').
*)Мы игнорируем здесь различие между обычной и зеркальной копгруэнциями.
Оно имеется и для аффинных отображений как в трехмерном, так и в многомерном
пространствах.

40 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль и физике
Но и здесь мы в качестве меры угла вводим не само это число
£)(а, Ь), а число Θ, связанное с ним посредством трансцендентной
функции cos:
cos θ = Q(a, Ь),
в согласии с теоретическим утверждением, что при сложении двух
углов в одной и той же плоскости их численные меры складываются.
Угол Θ, образованный двумя любыми векторами а и Ь( Φ 0)
вычисляется тогда по формуле
cos6 0(а,Ь)
VQ(aa). 0(ЬЬ) UI/
В частности, два вектора а, Ь называются перпендикулярными
друг другу, если Q(a, Ь) = 0. Достаточно этого напоминания о
простейших метрических формулах аналитической геометрии.
То, что угол между двумя векторами, определенный формулой
(11), —всегда действительная величина, основано на неравенстве,
справедливом для всякой квадратичной формы, которая £ 0 при всех
значенияхаргумента
02(а, Ь) < 0(а) · 0(Ь). <«)
Оно легко может быть получено, если записать
0(λ3 + цЬ) = Х20(а) + 2Хц0(аЬ) + ц2£(Ь) > 0.
Так как выписанная здесь квадратичная форма по λ и μ не может
принимать значения обоих знаков, ее «дискриминант» Q (ab) -
- Q(a) · Q(b) не может быть положительным.
η независимых векторов ei образуют декартову координатную
систему, если для всякого вектора
χ = ххех + х2е2 + ... + хпеп (13)
Q(x) = *5 + *2 + - + *;;
т.е. если
«-■·*>-{ Л:«.
Все декартовы системы координат с точки зрения метрической
геометрии равноправны. Теснейшим образом связанное с нашей
геометрической интуицией доказательство того, что такие системы
существуют, мы дадим не только для «определенной» [8], но и для
любой невырожденной квадратичной формы, так как в дальнейшем
в теории относительности мы столкнемся как раз с чрезвычайно
важным «неопределенным» случаем. Мы утверждаем: с невырожденной

§4 Основания метрической геометрии
41
квадратичной формой Q можно связать такую систему
координат, что будет выполняться
0(х) = β,χ? + г2х22 + ... + г„4 (ε,- = ± 1). (14)
Доказательство. Выберем произвольный вектор et, для которого
Q(et) φ 0. Умножив его на подходящую положительную константу, мы
получим Q(et) = ± 1. Назовем вектор х, для которого Q(etx) = 0,
ортогональным к et. Если х* —вектор, ортогональный к et, xt
—произвольное число, то для вектора
к = *,·,+ж* (15)
справедлива «теорема Пифагора»:
0(х) = я*(Хшх) + 2xt0(·^·) + Q(x*) = ±х] + 0(х*).
Векторы, ортогональные к et, образуют линейное (и - 1)-мерное
многообразие, в котором Q(x) — невырожденная квадратичная
форма. Так как наша теорема для размерности η = 1 очевидна, то мы
вправе принять, что она справедлива для (п - 1) измерений (вывод
по индукции от (п - 1) к я). Поэтому существуют η - 1 векторов е2,
..., ея, ортогональных к et, таких, что для
х* = х2е2 + ...+х„е„,
выполняется формула
СКк*) = ±д^±...±4
и отсюда мы получаем для Q(x) требуемое представление. При этом
CK·») = ε,·, CK·,·, e*) = 0 (i * Л).
Линейная независимость всех е(- и представимость каждого
вектора χ в виде (13) являются следствием этих соотношений. Они дают
х{ = εΓ 0<β{9 χ). (16)
Для знако-неопределенного случая необходимо одно важное
дополнение: Числа г и s соответственно положительных и
отрицательных значений zi однозначно определяются квадратичной
формой. Я мог бы сказать, что она имеет г положительных и s
отрицательных измерений, (s можно назвать индексом инерции
квадратичной формы, а сформулированная выше теорема известна
под названием «закона инерции». На нем основана, например,

42 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
классификация поверхностей второго порядка). Числа г и s можно
инвариантно характеризовать следующим образом. Имеется г
взаимно ортогональных векторов е, для которых Q(e) > 0. Но для
отличного от 0 вектора х, ортогонального им, с необходимостью
следует, что Q(x) < 0. Таким образом, больше, чем г, таких
векторов быть не может. Аналогичное утверждение справедливо и
для 5.
г векторов требуемого вида задаются теми г базисными векторами
координатной системы, лежащими в основе представления (14),
которые соответствуют положительным значениям Et·. Соответствующие
компоненты xi (г - 1, 2, ..., г) являются определенными линейными
формами χ [сравн. (16)]: х{ = Lfii). Если теперь е^ (г = 1, 2, ..., г) —
некоторая система векторов, которые взаимно ортогональны между
собой, и если выполняется условие Q(ef- )> 0, а х—вектор,
ортогональный к этим е^, то мы можем определить линейную комбинацию
у = λ1β1 + λ2β2 + ... Xrer + μχ
с не обращающимися одновременно в нуль коэффициентами, которая
удовлетворяет г однородным уравнениям
1,(у) = 0, .... 1Ду) = 0.
Тогда Q(y), как это следует из нормального представления
(Normaldarstellung), оказывается отрицательной, пока у = 0. Это
следует из формулы
Q(y) - {X?0(et) + ... + λ^Ο(βΓ)} = μ20(χ)
Для случая у = 0; λ1 = λ2 = Хз = ... λΓ = 0; Q(x) < 0. Но тогда, в
силу предположения, что μ Φ 0, X должен быть равен 0.
В теории относительности важен случай случай квадратичной
формы с одним отрицательным и η - 1 положительными
измерениями. В трехмерном пространстве при использовании аффинных
координат имеем уравнение
2 2 2
-Х\ + *2 + х3 = °'
представляющее уравнение конуса с вершиной в начале координат,
состоящего из двух поверхностей, отличающихся знаком хх и
связанных между собой только в начале координат. Это разделение на
две поверхности обеспечивает в теории относительности
противопоставление прошлого и будущего. Попытаемся описать это
элементарным аналитическим методом, не привлекая соображений непрерывности.

§4 Основания метрической геометрии
43
Пусть Q — невырожденная квадратичная форма только одного
отрицательного измерения. Выберем вектор в, для которого Q(e) = -1.
Отличные от 0 векторы х, для которых Q(x) < 0, можно назвать
«отрицательнымивекторами».Согласнопроведенномувышедоказа-
тельству закона инерции, никакой отрицательный вектор не может
удовлетворять уравнению Q(ex) = 0. Они (т.е. отрицательные
векторы—В. В.) разделяются поэтому на два класса или «конуса»,
соответственно случаям: Q(ex) < 0 или > 0; сами е принадлежат к
первому конусу, -е —ко второму. Отрицательный вектор X лежит
«внутри» или «на поверхности» своего конуса в зависимости от того
Q(x) < 0 или Q(X) = 0. Чтобы показать независимость обоих конусов
от выбора вектора е, нужно доказать, что из Q(e) = Q(e') = -1,
Q(e'x)
Q(x) < 0следует равенство знаков-- и - Q(ee').
Q(ex)
Каждый вектор X можно представить в виде суммы двух слагаемых
χ = хе + х*
такого вида, чтобы первое было пропорционально е, а второе, х*,
ортогонально е. Для этого следует только принять χ = - Q(ex), тогда
будем иметь
0(х) = -х2 + 0(х*).
Q(x*), как мы знаем, всегда > 0, введем для нее обозначение Q*.
Тогда выражение
О* = х2 + 0(х) = 02(вх) + 0(х)
показывает, что Q*—это квадратичная (вырожденная) форма х,
которая удовлетворяет неравенству Q*(X) > 0. Имеем теперь
0(х) = -х2 + 0*(х) < 0, Q(e') = -*'2 + Q\e') < 0
{x = -Q(ex)} {e> = -Q(ee')}.
Из неравенства (12), примененного к Q*, следует, что
{QVx)}2 ^ Q*(e')Q*(x) < β'2*2,
следовательно
-Q(e'x) = е'х - Q\e'x)
имеет тот же знак, что первое слагаемое е'х.
Вернемся теперь к интересующему нас случаю положительно
определенной метрической формы. Если мы используем для

44 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
представления конгруэнтного отображения декартову систему
координат, то коэффициенты преобразования aik в формуле (5') §2
должны быть такими, чтобы уравнение
ξ1'2 + ξ2'2+...+ξ„'2 = ξ2 + ξ2+...+ξ^
удовлетворилось тождественно по ξ. Это дает «условия ортогональности»
г= 1 L
Они означают, что при переходе к обратному отображению
коэффициенты а^, превращаются в aki:
η
ξ.- = Σ «*&'·
k= 1
Отсюда также следует, что детерминант Δ = |α^| некоторого
конгруэнтного отображения совпадает с детерминантом обратного
ему отображения, и так как их произведение должно быть = 1, то
Δ =± 1. (Тот или иной знак выбирается в зависимости от того, о
собственной или зеркальной конгруэнции идет речь).
Для аналитического обсуждения метрической геометрии
имеются две возможности. Либо на используемую аффинную систему
координат не накладывают никакого ограничения; тогда
разрабатывается теория инвариантности относительно произвольных линейных
преобразований, в которой, однако, в отличие от аффинной
геометрии имеется в качестве абсолюта раз и навсегда определенная
инвариантная квадратичная форма, а именно фундаментальная
метрическая форма
η
Либо с самого начала используются только декартовы системы
координат; тогда речь идет о теории инвариантности относительно
ортогональных преобразований, т.е. таких линейных
преобразований, коэффициенты которых удовлетворяют добавочным условиям
(17). Мы должны здесь пойти по первому пути, чтобы иметь
возможность перейти к дальнейшим обобщениям, выходящим за
пределы евклидовой геометрии. Он представляется также более
простым с алгебраической точки зрения, так как легче получить
обзор тех выражений, которые остаются неизменными при всех

§5 Тензоры
45
линейных преобразованиях, чем тех, которые инвариантны
относительно только ортогональных преобразований (класс
преобразований, которые ограничены посредством трудно определимых
дополнительных условий). Мы разовьем здесь теорию инвариантов как
«тензорное исчисление» таким образом, чтобы она давала
возможность получить надлежащую математическую формулировку не
только геометрических, но и всех физических законов .
Д
§5
Тензоры
ва линейных преобразования
ξ|Β-Σ°*5* (ΚΙ*0)* (18)
k
k
переменных ξ и η, в переменные соответственно ξ и η называются
контрагредиентными друг другу, если при этом билинейная
единичная форма ^Г η^ξ1 переходит в себя:
t
Σ,.^'-Σϋ.·? (19)
t
Отношение контрагредиентности поэтому взаимно обратимо.
Если переменные ξ, η первой парой контрагредиентных
преобразований А, А переводятся в ξ, η, а затем другой парой В> В переводятся
в ξ, η, то из равенства
Σ^-Ση,ί-ΣπΙ1.
i i i
следует, что два последовательных преобразования, которые ξ
переводят непосредственно в ξ, а η —в η, также контрагредиентны друг
другу. Коэффициенты двух контрагредиентных преобразований
удовлетворяют условиям:
Σ«Α = »Μί ?вЙ (20)
^ г г г 10 (i*k).
г ^
Если в левую часть равенства (19) подставить вместо переменной
ξ ее выражение ξ, полученное из (18), то становится очевидным, что
уравнения (180 получаются разрешением уравнений

46 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
ч,-= Σ ^V (21)
k
Каждому линейному преобразованию можно сопоставить одно и
только одно контрагредиентное преобразование. Точно так же, как
(21), получается и соотношение
V = Σ &*·
k
Подстановка этого соотношения и выражения (21) в (19)
показывает, что коэффициенты а, помимо (20), удовлетворяют также
условиям и
Σα& = δί· (200
г
Ортогональное преобразование —это такое преобразование,
которое контрагредиентно самому себе. Если линейную форму
переменных ξ1 подвергнуть произвольному линейному преобразованию,
то коэффициенты преобразуются контрагредиентно переменным,
или, как принято говорить, ведут себя контравариантно по
отношению к ним.
До сих пор смещение X по отношению к аффинной системе
координат О; e1f e2, ... ея, мы характеризовали такими однозначно
определенными компонентами ξ1, которые даются уравнением
χ = ξ1β1+ξ2β2 + ...ξ"β„.
Если перейти к другой аффинной системе координат О; в|, вя,
..., βη, где
•ι = Σ aieh
k
то, как это следует из уравнения
ί ι
компоненты χ преобразуются как
^=Σ<4ξ*·
k
Они, таким образом, преобразуются контрагредиентно единичным
векторам координатной системы, т.е. ведут себя контравариантно по
отношению к ним и потому могут быть более точно названы контра-

§5 Тензоры
47
вариантными компонентами вектора х. Но в метрическом
пространстве смещение относительно координатной системы можно
описать значением скалярных произведений его с единичными
векторами этой координатной системы:
ξ; = (X · β,·).
При переходе к другой системе координат эти величины, как это
непосредственно следует из их определения, преобразуются, как
сами единичные векторы, т.е. «когредиентно» к ним, иначе говоря
по формулам
ξ<-Σ«&·
k
Они ведут себя «ковариантно», и мы будем называть их
ковариантными компонентами смещения. Связь между ковариантными
и контравариантными компонентами определяется формулами
k k
или обратными им (которые получаются из них разрешением ξ
относительно ξ^):
ξ' = ΣΛ· (220
k
В декартовой системе координат ковариантные компоненты
совпадают с контравариантными. Следовало бы еще раз подчеркнуть,
что в аффинном пространстве мы располагаем только
контравариантными компонентами и поэтому всюду, где будет идти речь о
компонентах смещения без уточнения, каких именно, мы будем иметь
в виду, как и раньше, контравариантные компоненты.
До сих пор обсуждались линейные формы одного или двух
произвольных смещений. От двух переменных мы можем перейти к
трем и более переменным. Возьмем, например, трилинейную форму
A(xyz). Если два смещения X, у в некоторой произвольной
координатной системе представить их контравариантными, а ζ —его
ковариантными компонентами, ξ1, η1 и ζ;, то А алгебраически выражается
как трилинейная форма этих трех рядов переменных с
определенными числовыми коэффициентами:
Σ a'k^%- (23)
ikl

48 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
Аналогичное представление будет иметь место в другой,
штрихованной, системе координат:
Σ 4#Л- (230
ikl
Между этими двумя алгебраическими трилинейными формами
(23) и (230 имеется тогда соотношение, которое переводит одну
форму в другую, если два ряда переменных ξ, η преобразуются
контрагредиентно, а ряд переменных ζ—когредиентно единичным
векторам. На основе этого соотношения можно вычислить
коэффициенты aik формы А в штрихованной системе координат, если
известны коэффициенты aik (в нештрихованной системе—В.В.) и
коэффициенты преобразования а,- одной системы координат в
другую. Таким образом мы переходим к понятию «r-кратно ковариан-
тного, s-кратно контравариантного тензора (г + s)-zo ранга». Это
понятие не ограничено рамками метрической геометрии; требуется
лишь, чтобы пространство было аффинным. Дадим теперь
абстрактное истолкование этого тензора. Для упрощения нашего способа
рассуждений, мы конкретизируем числа г и s как это было сделано
в приведенном выше примере: r = 2,s=l,r + s = 3.
Зависящая от координатной системы трилинейная форма
трех рядов переменных называется двукратно ковариантным и
однократно контравариантным тензором 3-го ранга, если
указанная зависимость такова, что выражения линейной формы в
некоторых двух системах координат:
переходят друг в друга, когда два ряда переменных (а именно
первые два ξ, η) преобразуются контреградиентно, а третий—
когредиентно единичным векторам координатной системы.
Коэффициенты линейной формы называются компонентами тензора в
рассматриваемой системе координат; а именно мы назовем их
ковариантными по индексам i, k, которые связаны с
контрагредиентно преобразующимися переменными, и контравариантными —
по остальным (в данном случае по индексу I).
Терминология оправдывается тем, что коэффициенты
однолинейной формы ведут себя ковариантно, если переменные
преобразуются контрагредиентно, и контравариантно, если они преобразуются
когредиентно. Ковариантные индексы приписываются к
коэффициентам всегда внизу, а контравариантные —вверху. Переменные с
нижними индексами должны преобразовываться всегда когредиентно,

§5 Тензоры
49
а с верхними индексами — контрагредиентно единичным векторам
координатной системы. Тензор полностью известен, если заданы его
компоненты в некоторой системе координат (предполагается,
конечно, что задана и сама координатная система). Но эти компоненты
могут быть приписаны тензору произвольно. Задача тензорного
исчисления состоит в том, чтобы установить свойства тензоров и
соотношения между ними, которые не зависят от координатной
системы.
Мы будем называть геометрическую или физическую величину
тензором в переносном смысле слова, если она однозначно и без
произвола определяет некоторую алгебраическую линейную форму,
зависящую описанным выше образом от координатной системы и
полностью характеризующую саму эту величину. Так например,
мы называли выше функцию трех смещений, однородную и
линейную по каждому из своих аргументов, тензором 3-го ранга, а именно
дважды ковариантным и однократно контравариантным тензором.
Это возможно в метрическом пространстве, так как в нем в нашей
власти представить эту величину как нуль-кратно, однократно,
дважды или трижды ковариантный тензор. В аффинном пространстве,
однако, мы можем представить эту величину только в последней
форме, т.е. как ковариантный тензор 3-го ранга.
Проиллюстрируем это общее рассуждение, придерживаясь чисто
аффинной точки зрения.
1) Если представить смещение а в произвольной координатной
системе его (контравариантными) компонентами а1 относительно
этой координатной системы и определить линейную форму
переменных ξέ
то получится контравариантный тензор 1-го ранга. Отныне мы
больше не нуждаемся в слове «вектор* как синониме «смещения»,
но будем использовать его как синоним «тензора 1-го ранга», т.е.
будем говорить: смещение есть контраваиантный вектор. То же
самое относится к понятию скорости движущейся точки, так как она
получится, если бесконечно малое смещение, которое испытывает
движущаяся точка в течение промежутка времени dt, разделить на
dt (и перейти к пределу при dt = 0).
Это применение слова вектор согласуется с его значением,
включающим в себя не только смещение, но и всякую величину,
которая (после выбора масштаба) может быть однозначно и без
произвола обозначена смещением.

50 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
2) Обычно принято считать, что сила имеет геометрический
характер, так как она может быть соответствующим образом
представлена. Этому представлению силы противостоит, однако, другое,
лучше обоснованное с физической точки зрения, потому что оно
опирается на понятие работы, которое в новейшей физике все более
явно вместо силы выходит на передний план как решающее и
первичное понятие. Введем в качестве компонент силы в
координатной системе О; ei такие числа р., которые указывают, как велика
работа силы на каждом из виртуальных перемещений е- ее точки
приложения. Числа р{ полностью определяют силу; работа этой силы
при произвольном смещении
χ = ξ1βί+ξ2β2 + ...+ξ"β„
ее точки приложения тогда равна V р£. Отсюда следует, что в двух
различных координатных системах справедливо равенство
если переменные ξ1, соответственно их верхним индексам
преобразуются контрагредиентно координатной системе. Согласно этому,
сила — ковариантный вектор. Речь о связи этого представления с
обычной формулировкой с помощью смещения может идти в том
случае, когда от принятой здесь аффинной точки зрения переходят
к метрической. Компоненты ковариантного вектора преобразуются
при переходе к новой системе координат когредиентно единичным
векторам.
Дополнительные замечания. Так как преобразование компонент
ai ковариантного вектора и Ъх — контравариантного вектора контраг-
редиентны друг другу, ]Г aft есть число, определенное этими двумя
t
векторами и не зависящее от системы координат. Здесь перед нами
первый пример инвариантной тензорной операции. Числа, или
скаляры, включаются в систему тензоров как тензоры нулевого ранга.
Раньше мы уже объяснили, в каких случаях билинейную форму
двух рядов переменных называют симметричной и при каких
условиях симметричная билинейная форма невырождена. Билинейная
форма /*Χξη) кососимметрична, если перестановка двух рядов
переменных делает меняет ее знак:
^(ηξ) = -^(ξη).

§5 Тензоры
51
Для ее коэффициентов это выражается соотношением aki = - aik.
Эти свойства сохраняются, когда оба ряда переменных подвергаются
одним и тем же линейным преобразованиям. Таким образом, свойство
ковариантного или контравариантного тензора 2-го ранга быть косо-
симметричным, симметричным или (и) невырожденным является не
зависящим от системы координат.
Так как билинейная единичная форма переходит в себя при
контрагредиентном преобразовании двух рядов переменных, среди
смешанных тензоров 2-го ранга (т.е. один раз ковариантных, один
раз контравариантных) имеется один, «единичный тензор*, который
в каждой координатной системе имеет компоненты
8*sl (* = *)
f 0 (i*k).
3) Лежащая в основе евклидова пространства метрика каждым
двум смещениям
t ί
сопоставляет некоторое не зависящее от координатной системы
число, являющееся их скалярным произведением:
ik
Стоящая справа билинейная форма поэтому так зависит от
координатной системы, что ей задается некоторый ковариантный
тензор 2-го ранга, а именно фундаментальный метрический тензор.
Метрика полностью определяется им. Он симметричен и
невырожден.
4) «Линейное векторное отображение» каждому смещению х
ставит в соответствие смещение х' линейным образом, т.е. так, чтобы
сумме χ + у соответствовала сумма х' + у*, произведению λχ
—произведение λχ\ Такие линейные векторные отображения для
краткости мы будем называть матрицами. Если единичные векторы в; одной
координатной системы отобразить в векторы
•'.• = 1*?·*.
k
то при этом произвольное смещение χ = ^Γ ξ'β^ в общем случае
ί
преобразуется в

52 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
* = Σ ξ'·1.· = Σ <&V (24)
г ik
Мы можем поэтому матрицу отображения описать в некоторой
определенной системе координат с помощью билинейной формы
Σ * V
ik
Из (24) следует, что для двух координатных систем (при
использовании прежних обозначений) справедливо соотношение
ik ik
если
t i
таким образом
ΣΑ-Σ^ν
ik ik
если η^ преобразуются когредиентно, а ξ1 — контрагредиентно
единичным векторам (этр дополнительное замечание о преобразовании
переменных очевидно, поэтому в дальнейшем в аналогичных случаях
мы его будем просто опускать). Таким образом, матрицы
представляются смешанными тензорами 2-го ранга. В частности, «единичной
матрице», сопоставляющей любое смещение X самому себе,
соответствует единичный тензор.
Как показывают примеры силы и метрики, как правило, имеет
место ситуация, когда представление геометрических или
физических величин посредством тензоров оказывается возможным лишь
после того, как выбрана единица измерения, причем этот выбор
может быть сделан определенной фиксацией ее в каждом отдельном
случае. При изменении единицы измерения соответствующие
тензоры умножаются на универсальную постоянную, а именно на
отношение этих единиц измерения. Еще одним критерием того, что линейная
форма есть тензор, является, очевидно, следующее утверждение.
Линейная форма нескольких рядов переменных, зависящая от
системы координат, есть тензор, если она принимает значения, не
зависящие от системы координат всякий раз, когда вместо каждого
ряда контрагредиентных переменных подставляются компоненты
произвольного контраваиантного вектора, а вместо ряда когредиент-
ных переменных компоненты произвольного ковариантного вектора.

§5 Тензоры
53
Если мы вернемся теперь от аффинной к метрической
геометрии, то, как показывают рассуждения, приведенные в начале
параграфа, различие между ковариантностью и контравариантностыо,
которое в аффинной геометрии касалось самих тензоров, сведется
лишь к различию в способе представления. Вместо ковариантных,
смешанных и контравариантных тензоров здесь, таким образом,
лучше говорить только о ковариантных, смешанных и
контравариантных компонентах тензора. В соответствии со сказанным
перехода между тензорами, отличающимися типом ковариантности, можно
сформулировать просто следующим образом. Если в тензоре
контрагредиентные переменные истолковать как контравариантные
компоненты некоторого произвольного смещения, а когредиент-
ные переменные —как ковариантные компоненты произвольного
смещения, то этот тензор превратится в независимую от
координатной системы линейную форму нескольких произвольных смещений.
Представив аргументы по своему усмотрению их ковариантными или
контравариантными компонентами, мы перейдем к другим
представлениям того же самого тензора. Чисто алгебраически превращение
ковариантного индекса в контравариантный осуществляется тем, что
соответствующие переменные ξ1 в линейной форме заменяются ξ|.
согласно (22). Инвариантная природа этого процесса основана на
том обстоятельстве, что это преобразование контрагредиентные
переменные переводит в когредиентные. Обратный процесс
выполняется в соответствии с обращенными соотношениями (220. Сами
компоненты при этом (из-за симметрии gik) из контравариантных
превращаются в ковариантные, т.е. происходит «опускание
индекса», всегда по следующей схеме:
аг заменяется ai = ]Г д^\
г
независимо от того, имеют ли числа аг другие индексы или нет.
Поднятие индекса производится с помощью обратных соотношений.
Если, в частности, мы применим сказанное к фундаментальному
метрическому тензору, то получим
Σ^*-Σζ4-Σζ*η*-ΣΑη*·
ik i k ik
Таким образом, смешанные компоненты этого тензора—δ^, в его
контравариантные компоненты—коэффициенты дг соотношений (22),
обратных соотношениям (220. Из симметрии тензора вытекает, что
ik ki ik
д , так же как и gik, удовлетворяет условию симметрии д = д .

54 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
Что касается обозначений, то договоримся, что ковариантные,
смешанные и контравариантные компоненты тензора мы будем
обозначать одинаковыми буквами и ставить индекс вверху или внизу, в
зависимости от того, являются ли компоненты относительно этого
индекса контра- или ковариантными, как это показывает следующий
пример тензора 2-го ранга:
Σ *и&\к - Σ «V = Σ &\=Σ Λ,η*
ik ik ik ik
(переменные с верхними и нижними индексами связываются в пары
посредством (22)).
В метрическом пространстве, согласно сказанному, различие
между ковариантным и контравариантным вектором исчезает. В этом
случае мы можем силу, которая в нашем понимании по своей природе
является ковариантным вектором, представить также как контрава-
риантный вектор, т.е. как смещение. Поэтому, если раньше мы
представляли ее линейной формой £ р£г с контрагредиентными
i
переменными ξ1, то теперь мы можем превратить ее с помощью (220
в форму с когредиентными переменными ξ^: V ριξ^ Тогда будет
i
справедливо равенство
ΣΛ = Σ^*-Σ**Λ*'-Σ^·
ί ik ik i
Таким образом, соответствующее смещение ρ определяется тем,
что работа, которую совершает сила при произвольном смещении X
равна скалярному произведению смещений ρ и X.
В декартовой системе координат, где фундаментальный тензор
имеет компоненты
fl (i = *)
^* [0 (i*k)
уравнения связи (22) выглядят просто как ξ^ = ξ1. Если ограничиться
использованием декартовых систем координат, то исчезает разница
не только между ко- и контравариантными тензорами, но и между
соответствующими компонентами тензора. Следует, однако,
упомянуть, что обсуждаемые до сих пор понятия, касающиеся
фундаментального тензора gik, предполагали его симметричность и
невырожденность, в то время как введение декартовой системы координат
требует выполнения еще одного условия, а именно, что
соответствующая квадратичная форма —положительно определенная. Это

§6 Тензорная алгебра. Примеры
55
существенное дополнение. В теории относительности к трем
пространственным координатам добавляется в качестве четвертой
равноправной переменной координата времени, и мероопределение, которое
связано с этим четырехмерным многообразием, основано не на
знакоопределенной, а на знаконеопределенной форме (Гл.III). В
этом многообразии, следовательно, если ограничиться вещественными
координатами, мы уже не сможем ввести декартову систему
координат; развитые здесь представления, однако, при конкретизации числа
измерений (п = 4) сохраняют свою полную применимость. Кроме
того, алгебраическая простота этого формализма делает
нежелательным, как уже упоминалось в конце §4, исключительное
использование декартовых систем координат. Наконец, и это главное, для
дальнейших расширений евклидовой геометрии очень важно, чтобы
уже теперь аффинная точка зрения выглядела вполне
самостоятельной и независимой от метрического подхода.
Геометрические и физические величины — это скаляры,
векторы и тензоры: в этом выражается математическая природа
пространства, в котором эти величины существуют.
Обусловленная этим математическая симметрия никоим образом не ограничена
геометрией. Более того, в полной мере она реализуется лишь в
физике. Так как явления природы разыгрываются в метрическом
пространстве, тензорное исчисление является естественным
математическим инструментом для выражения закономерностей, лежащих
в основе этих явлений.
Тензорная алгебра. Примеры
Сложение тензоров. В результате умножения линейной,
билинейной или трилинейной формы... на число, а также сложения двух
линейных или двух билинейных форм... всегда возникает форма
того же вида. Векторы и тензоры можно поэтому умножать на число
(скаляр), а два или несколько тензоров одного ранга можно
складывать. Эти операции выполняются посредством умножения компонент
тензора на упомянутое число и, соответственно, посредством их
сложения. В множестве тензоров каждого ранга имеется один
исключительный тензор 0, все компоненты которого равны нулю. Будучи
добавленным к любому тензору того же ранга, он не изменяет этого
тензора. Состояние физической системы описывается указанием
значений известных скаляров и тензоров. То, что некоторый тензор,
образованный из них инвариантным способом (т.е. зависящий только
от них, но не зависящий от выбора системы координат) равен 0, в
общем случае есть выражение определенного закона природы.

56 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
Примеры. Движение точки аналитически определяется
указанием положения движущейся точки, т.е. ее координат xi как функций
dxi
времени t. Производные ~тг являются контравариантными
компонентами и1 вектора «скорости*. Умножением его на массу движущейся
точки w, являющуюся скаляром и выражающую инертность материи,
получают «импульс* (или «количество движения*). Складывая
импульсы всех тех материальных точек, из которых, как
предполагается в механике, составлено твердое тело, получают полный
импульс системы точек или твердого тела. При непрерывном
распределении масс сумму следует заменить интегралом.
Основной закон движения, если G1 — контравариантные компоненты
импульса материальной точки, а р1 — соответствующие компоненты
силы, гласит:
^~ = р\ & = ти\ (25)
Так как, согласно нашему пониманию, сила по своей природе
ковариантный вектор, этот основной закон возможен лишь в
метрическом, но не чисто аффинном пространстве. Этот же закон
справедлив для полного импульса твердого тела и полной действующей на
него силы.
Умножение тензоров. Перемножая две линейные формы
переменных ξ и η ]Γ ο,-ξ1, ]Г Ь-ц\ получают билинейную форму
ί ί
Σ «АЛ*
ik
и, следовательно, из двух векторов а и Ъ—тензор 2-го ранга с:
axbk = cik. (26)
Уравнение (26) выражает инвариантное соотношение между
векторами а и Ь и тензором с, т.е. при переходе к новой системе
координат для (штрихованных) компонент этих величин в этой
системе выполняются в точности те же самые уравнения
Точно так же можно, например, перемножить тензор 1-го ранга
с тензором 2-го (или, более общо, тензор любого ранга с тензором
любого ранга).
Умножая

§6 Тензорная алгебра. Примеры
57
Σ ag на Σ bU%kt
i ik
(при этом греческие буквы обозначают переменные,
преобразующиеся контрагредиентно или когредиентно, смотря по тому, верхние
или нижние индексы они имеют), получают трилинейную форму
Σ аА^%
ikl
и, таким образом, умножение двух тензоров 1-го и 2-го рангов дает
тензор 3-го ранга
ai' b'k = 4
Для компонент это умножение, очевидно, сводится к тому^чтб^
каждая компонента одного тензора перемножается с каждой
компонентой другого. Индексы при этом должны оставаться полностью
раздельными. Следует также заметить, что ковариантные
компоненты (относительно, например, индекса /) образованного таким
образом тензора 3-го ранга
определяются посредством
cikl = aibkl·
В этих формулах умножения, таким образом, непосредственно
допускается в обеих частях уравнения переносить некоторый индекс
снизу вверх или сверху вниз.
Примеры кососимметричных и симметричных тензоров. Из
двух векторов с контравариантными компонентами а\Ьг в результате
их перемножения сначала в одном порядке, а потом в другом и
последующего вычитания (одного произведения из другого)
получается кососимметричный тензор 2-го ранга с с контравариантными
компонентами
Ak Aik Jiti
с = а о - а о .
В обычном векторном исчислении этот тензор фигурирует как
«векторное произведение» двух векторов а и Ь. Если в трехмерном
пространстве выделить определенную ориентацию, то оказывается
возможным установить взаимно-однозначное соответствие между
этими тензорами и векторами, которое позволяет тензор с
представить посредством вектора. (В четырехмерном пространстве это уже
исключено, потому что там кососимметрический тензор 2-го ранга
имеет 6 независимых компонент, а вектор только 4; точно так же

fl1
bx
ξ1
а2
b2
e
а3
b3
?
58 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
обстоит дело в пространствах более высоких размерностей).
Вышеупомянутое представление для размерности 3 основано на
следующих соображениях. Если использовать только декартовы системы
координат и ввести, наряду саиб, еще один, произвольный вектор
(смещение) ξ, то при переходе от одной декартовой системы к другой
определитель
I«1 а2 а3\
»Л'+е^ + Л3
перемножается с определителем, составленным из коэффициентов
преобразования. Но для ортогонального преобразования этот
определитель = ±1. Если мы ограничимся «собственными»
ортогональными преобразованиями, для которых этот определитель =+1, то
линейная форма переменных ξ остается, таким образом, неизменной.
В соответствии с этим, формулами
С = С 4, С = Cjt С = £q
с кососимметричным тензором с связан некоторый вектор с*,
инвариантный относительно собственных ортогональных
преобразований. Вектор с* перпендикулярен к обоим векторам а и 6 и его
величина (согласно элементарным формулам аналитической
геометрии) равна площади параллелограмма, натянутого на векторы а и
Ь. Замена кососимметрических тензоров векторами в обычном
векторном исчислении оправдана соображениями экономии
обозначений. Но эта замена в некотором отношении затемняет существо дел
и в электродинамике, например, дает повод к пресловутому правилу
пловца [9], которое никоим образом не означает, что в том
пространстве, где развертываются электродинамические процессы,
существует некоторая выделенная ориентация. Это правило необходимо
только потому, что напряженность магнитного поля рассматривается как
вектор, в то время как она в действительности (будучи так
называемым векторным произведением двух векторов) является кососиммет-
рическим тензором. Если бы нам было даровано еще одно
пространственное измерение, то такая ошибка никогда бы не случилась.
В механике кососимметрическое тензорное произведение двух
векторов фигурирует, во-первых, как вращательный импульс
{момент импульса) относительно точки О. Если материальная точка
находится в точке Ρ и ξ , ξ , ξ —компоненты вектора ÖP, далее
χι — (контравариантные) компоненты скорости этой материальной

§6 Тензорная алгебра. Примеры
59
точки в рассматриваемый момент времени, т — ее масса, то момент
импульса определяется формулой
Lik = m(u%k - Д').
Момент импульса твердого тела относительно точки О есть
сумма моментов импульса, относящихся к отдельным материальным
точкам тела. Это кососимметричное тензорное произведение
выступает, во-вторых, как момент силы. Если эта сила приложена в точке
Ρ и ρ1 — ее контравариантные компоненты, то момент силы
определяется формулой
Момент некоторой системы сил получается отсюда сложением
отдельных моментов этой системы. Для материальной точки, а также
для свободно подвижного твердого тела, наряду с (25), выполняется
закон
^-"* <27>
Для случая вращения твердого тела вокруг закрепленной точки
О справедлив только один «вращательный» закон (27).
Еще один пример кососимметричного тензора —это скорость
вращения твердого тела вокруг закрепленной точки О. Если при
вращении вокруг точки О некоторая точка Ρ переходит в точку Р\
то вектор ÖP, а также вектор РР возникают из вектора ОР'
посредством некоторого линейного отображения. Если ξ1 —
компоненты ÖP, δξ* — компоненты РР, г^ — компоненты этого линейного
отображения (матрицы), то справедливо соотношение
δξ^Σ^ξ*· (28)
k
Мы рассматриваем здесь только бесконечно малые вращения.
Среди бесконечно малых матриц они выделяются тем свойством, что
тождественно по ξ
откуда
Σξ,·δξ'' = °·
ι
Подставив сюда выражение (28), получим

60 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
Σ Шк - Σ »«ή* = о.
ik ik
Это должно выполняться тождественно по ξ1, и поэтому
Таким образом, тензор с ковариантными компонентами ν^ косо-
симметричен. При движении твердое тело за бесконечное малое
время δί испытывает бесконечно малое вращение. Мы должны
образованный выше бесконечно малый тензор вращения ν только
разделить на 5tt чтобы (в пределе при 8t = 0) получить кососиммет-
ричный тензор «угловой скорости», для которой мы сохраним
обозначение ν. Формулы (28) перейдут при этом, если иг — контравари-
антные, а и^ — ковариантные компоненты скорости точки Р, в
основную формулу кинематики твердого тела
«, = χ щ£. (29)
k
Существование «мгновенной оси вращения» следует из того
обстоятельства, что система линейных уравнений
Σ »»**=<>
k
с кососимметричными коэффициентами vik в случае η = 3 всегда
имеет решения, отличные от тривиального (ξ = ξ = ξ =0).
Угловую скорость также имеют обыкновение представлять вектором.
Наконец, фигурирующий при вращении тела момент инерции
дает простой пример симметричного тензора 2-го ранга. Если в точке
Р, в которую из точки О проведен вектор Ор с компонентами ξ1,
находится материальная точка с массой т, то симметрический
тензор, контравариантные компоненты которого даются
соотношением /Ηξιξ (умножение!), мы будем называть «инерцией вращения»
(или «тензором инерции»— J3.J3.) материальной точки
(относительно точки вращения О). Инерция вращения (или тензор инерции)
некоторой системы точек или тела Tik определяется как сумма этих
тензоров, образованных для отдельных точек этой системы (или
тела). Это определение отличается от общепринятого, но оно
правильно, если скорость вращения всерьез рассматривать как кососим-
метричный тензор, а не как вектор (как мы скоро увидим). Для
вращения вокруг точки О тензор Tik играет ту же роль, что скаляр
т для трансляционного движения.

§6 Тензорная алгебра. Примеры
61
Свертка. Если ci —смешанные компоненты тензора 2-го ранга,
то У с\ — инвариант. Если, таким образом, сг· —смешанные
κόμποι
ненты того же самого тензора в новой системе координат, то
Σ4 = Σ3·
ί i
Доказательство: Переменные ξ1, г\- билинейной формы
Σ<&4
ik
следует подвергнуть контрагредиентным преобразованиям
k k
чтобы перевести ее в форму
ik
Отсюда
^ = Σ^Α·
ik
Σ^=Σί<?Σ<4«Λ
Γ ift( Г J
и вследствие (20') это равно
Σ 4
ι
Инвариант ^ cj, образованный из компонент ci некоторой мат-
i
рицы, называется следом (Spur) матрицы. Мы можем из этой
теоремы тотчас же получить для тензоров некоторую общую
операцию, «свертку», которая выступает как вторая, вслед за умножением.
Отождествляя в смешанных компонентах тензора определенные
верхние индексы с определенными нижними индексами и затем
суммируя эти компоненты, мы получаем из данного тензора новый
тензор, с рангом на две единицы меньшим, чем у исходного тензора,
например из компонент ahik тензора 5-го ранга получаем компоненты
Σ alL· - 4 (зо)

62 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
некоторого тензора 3-го ранга. Соотношение, выражаемое формулой
(30), инвариантно, т.е. выглядит точно так же при переходе к новой
системе координат
Σ и-4- «о
г
Чтобы убедиться в этом, нам понадобится помощь только двух
произвольных контравариантных векторов ξ1, η1 и одного ковариан-
тного вектора ζ^. Посредством этих векторов мы образуем компоненты
hil
смешанного тензора 2-го ранга и применим к ним доказанную выше
теорему
Σ/Μ£·
г г
Тогда, если определить с соотношением (30), а с —соотношением
(31), получается формула
hil hil
Действительно, таким образом, chi —это компоненты того же
самого тензора 3-го ранга в новой системе координат, компоненты
которого в старой системе равны chi.
Примеры этой операции свертки в изобилии встречались нам уже
раньше. Всякий раз, когда производилось суммирование по
некоторым индексам, индекс суммирования в общем члене суммы выступал
дважды, один раз внизу и один раз вверху; каждое такое
суммирование и есть выполнение операции свертки. Так например, в формуле
(29) из vik и ξ1 можно умножением образовать тензор 3-го ранга
vik\ ; отождествив затем k и / и произведя суммирование по Л,
получим свернутый тензор 1-го ранга щ. Если матрица А переводит
произвольное смещение χ в х' = А(х), другая матрица J5 это смещение
х' в х" = 5(х'), то из этих двух матриц возникает результирующая
матрица В А, которая X непосредственно переводит в х" = ВА(х).
Если а\ — компоненты Л, bi —компоненты В, то компоненты
результирующей матрицы В А равны:

§6 Тензорная алгебра. Примеры
63
Здесь также речь идет об умножении с последующей сверткой.
Процесс свертки можно осуществить одновременно для нескольких
пар индексов. Из тензоров 1-го, 2-го, 3-го,... рангов с ковариантными
компонентами^·, aik, aikt, ... можно получить, в частности,
инвариантны:
Σαία%> Yaaika%k> lLaikla%kl> -
i ik ikl
Если, как принимаем мы здесь, квадратичная форма,
соответствующая фундаментальному метрическому тензору, положительно
определена, то все эти инварианты положительны. Поэтому в
декартовой системе координат они выражаются непосредственно как
суммы квадратов компонент. Квадратные корни из этих инвариантов
можно, как и в простейшем и случае векторов, рассматривать как
модули или величины тензоров 1-го, 2-го, 3-го, ... рангов.
Договоримся раз и навсегда: если в снабженном индексами члене
формулы, выражающей компоненты тензора, некоторый индекс
встречается дважды, один раз вверху и один раз внизу, то это всегда
будет означать, что по этому индексу должно выполняться
суммирование, мы в этих случаях не будет считать необходимым использовать
знак суммы.
Операции сложения, умножения и свертки предполагают
справедливость лишь аффинной геометрии; они не опираются на понятие
«фундаментального метрического тензора». Он необходим лишь для
перехода от ковариантных к контравариантным компонентам и обратно.
Эйлеровские уравнения волчка. В качестве упражнения по
тензорному исчислению выведем эйлеровские уравнения свободного
движения твердого тела вокруг закрепленной точки О. В аффинной
системе координат, связанной с началом координат О и
базисными векторами et, е2 ея, образуем «векторное произведение»
[*Рь\ = е^. Для двух различных индексов г и k 6^—такой кососим-
метричный контравариантный тензор 2-го ранга, у которого
компоненты ξ1 = 1, ξ г = -1, а все остальные равны 0; но если г = k, то
eik, исчезает, и все его компоненты равны 0. Момент импульса
нашего твердого тела есть тензор
Если Η1 равен сумме по всем материальным точкам
Hik = ^ ти\к, Lik = Я·'* - Я*\

64 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
то можно также записать
L = Hikeik.
Механический закон сохранения момента импульса гласит, что
этот момент импульса L постоянен во времени, т.е. что его
компоненты V не изменяются с течением времени в пространственно
фиксированной (raumfesten) системе координат е^. Но если теперь
вместо нее использовать систему координат, связанную с
вращающимся телом et-, то закон сохранения момента импульса гласит:
ik
db _ dH]
dt dt
е* + Я * dt -°·
(32)
Для производной eik по времени, которая теперь больше не
обращается в нуль, мы получаем выражение
de.
ik
dt
df··*
dek
9i'~dT
Если
de{
~dt = V*"
το ν\—смешанные компоненты угловой скорости, ковариантные
компоненты которой g^i = vki кососимметричны. Таким образом, мы
получаем
Я1
ik
de,
4k
dt
= #"
der
•-β*
+ Я*
e
'*' dt
(33)
= (НГЦ + Hirv^)eik.
Соединяющий материальную точку Р с началом координат
вектор öl»- X = ξιβζ· имеет в системе координат, связанной с телом,
постоянные компоненты ξ1. Поэтому скорость точки Ρ равна
и мы имеем
гЛ
J-rrk
^* = ϋ'ΓχΜξΓξΑ = ^*,
(34)

§6 Тензорная алгебра. Примеры
65
\^rk + (wirk\eik = 0. (35)
где Т1 —компоненты тензора инерции (в координатной системе,
связанной с телом). С учетом этого выражения получается, что в
соотношении (33) второе слагаемое исчезает; поэтому
Hisvks = υ*μζΤ"
симметричен по г и k, так как Trs симметричен по г и s; в результате
это дает
\dv\
При этом (üü) означает тензор с компонентами
(оо)1 = о1Д;
его ковариантные компоненты симметричны:
(vv)ik = Oisjfk = - vsivsk = - gsp\i?k.
Если представить соотношение (35) покомпонентно, то получим,
наконец, уравнения
{#+<к}^-{^г+<то<} ^ = 0·
Как известно, можно ввести декартову систему координат,
образованную «главными осями инерции» так чтобы в ней выполнялось
Если затем записать Τχ вместо Τ и аналогично для остальных
индексов и не делать при этом различия между верхними и нижними
индексами, которое теперь совершенно излишне, то наши уравнения
примут в этой системе координат простую форму
Это дифференциальные уравнения для компонент Vik
неизвестной угловой скорости, которые, как известно, можно решить с
помощью эллиптических функций от t. Входящие в эти уравнения
главные моменты инерции 7^· связаны с общепринятыми
выражениями для этих величин Т\ соотношением

66 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
Приведенное рассмотрение задачи о вращении можно, в отличие
от общепринятого, слово в слово перенести с трехмерного на
многомерный случай. Это, конечно, не имеет никакого практического
значения. Но только освобождение от ограничения определенным
числом измерений и возможность такой формулировки законов
природы, в которой размерность фигурирует как нечто случайное,
убеждают нас в том, что достигнуто их полное математическое
понимание.
Изучение тензорного исчисления —не принимая в расчет страх
перед индексами, который нужно преодолеть, —имеет, конечно, свои
концептуальные трудности. Формально, однако, методика
вычислений здесь крайне проста, много проще, чем, например, аппарат
элементарного векторного исчисления. Две основные операции
тензорного исчисления, умножение и свертка, сводятся одна к
последовательной записи компонент двух тензоров с совершенно различными
индексами, другая —к этой записи и последующему отождествлению
верхних и нижних индексов и (подразумеваемому) суммированию
по ним.
Неоднократно предпринимались попытки создать такой
инвариантный способ обозначений, который позволял бы работать с самими
тензорами, а не с их компонентами, как это осуществляется в
векторном исчислении. Но то, что уместно там, оказывается крайне
нецелесообразным для значительно более сложной системы
тензорного исчисления. Необходимо такое множество названий,
обозначений и такой сложный вычислительный аппарат (если не хотят
каждый раз возвращаться к компонентам), что связанные с этим
недостатки существенно превосходят соответствующие достоинства.
Следует энергично возражать против этого разгула формализма,
затрагивающего ныне даже инженеров.
§7
Свойства симметрии тензоров
з примеров, рассмотренных в предыдущих параграфах, со всей
отчетливостью вытекает, что симметричные и кососимметрич-
ные тензоры 2-го ранга, независимо от того, где они
применяются, представляют совершенно различные виды величин. Согласно
этому, характер величины в общем недостаточно полно описывается
указанием на то, что она является тензором определенного ранга.
Необходимо еще добавить характеристику симметрии этого тензора.
Линейная форма нескольких переменных называется
симметричной, если она не изменяется при перестановке каждой пары
переменных, и кососимметричной — если оно в результате этой
ш

§7 Свойства симметрии тензоров
67
операции меняет знак. Симметричная линейная форма не
изменяется, если переменные подвергнуть любой перестановке; кососиммет-
ричная форма не изменяется, если переменные подвергнуть четной
перестановке, и она меняет знак при любой нечетной перестановке
переменных. Коэффициенты aikt симметричной трилинейной формы
(число 3 снова выбирается в качестве примера) удовлетворяют
условиям
ахЫ = 4li = alik = 4il = alki = ailk'
Из коэффициентов кососимметричной линейной формы только
те отличны от нуля, которые имеют три различных индекса, и они
удовлетворяют уравнениям:
aikl =4li = alik = ~аШ = ~alki = ~ailk-
Следовательно, в я-мерной области не может существовать
(отличной от нуля) кососимметричной формы более, чем η переменных.
Как симметричную билинейную форму можно заменить
квадратичной формой, которая получается из нее отождествлением обеих
переменных, так и симметричная трилинейная форма однозначно
определяется кубической формой одного переменного с
коэффициентами а^р которая возникает с помощью такой же процедуры из
трилинейной формы. Если в кососимметричной трилинейной форме
р = Σ «*ДW
ikl
выполнить 3! перестановок переменных ξ, η, ζ, приписывая каждой
из получившихся форм знак плюс или минус, в зависимости от того,
является ли соответствующая перестановка четной или нечетной, то
получится шесть форм, аналогичных исходной. Если сложить их все,
то первоначальную форму можно представить в виде:
F = Έ Σ fl,
3! ^ ikl
ξί ξ*
_f k
η η
С ζ*
ξ'
/
η
ζ'
(36)
Свойство линейной формы быть симметричной или
кососимметричной сохранится, если каждую переменную подвергнуть одному и
тому же линейному преобразованию. Поэтому имеет смысл говорить
о симметричных и кососимметричных ковариантных или контра-
вариантных тензорах. Но для смешанных тензоров эти выражения
не имеют смысла. Симметричные тензоры не дают повода для
дальнейших разъяснений, но кососимметричные ковариантные
тензоры мы должны обсудить несколько подробнее, так как они играют
совершенно особую роль.

68 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
Компоненты ξ* некоторого смещения определяют направление
прямой как по величине, так и по знаку. Если два линейно
независимых друг от друга смещения ξ1, η1 отложить от произвольной точки
О, то они определяют плоскость. Отношения величин
ξ η -ςη =ς
задают «положение» этой плоскости («ориентацию поверхности»)
точно так же, как отношения ξ* определяют направление прямой
(«линейную ориентацию»). Тогда и только тогда все ξ* равны О,
когда оба смещения ξ1, η* линейно зависимы и, таким образом, не
образуют двумерного многообразия. С двумя линейно независимыми
смещениями ξ и η связано некоторое направление вращения в
плоскости, натянутой на них, а именно такое направление вращения
вокруг точки О, при котором направление ξ поворотом на угол
меньший 180° переводится в направление η. С векторами ξ и η
связана также определенная числовая мера (величина), а именно
площадь параллелограмма, натянутого на эти векторы. Если два
смещения ξ и η отложить от произвольной точки О, а два смещения
ξ* и Л* — °т произвольной точки Оф, то положение соответствующих
плоскостей, направления вращений и их величины тогда и только
тогда оказываются тождественными, когда ς одной и другой пары
совпадают:
ξ1»,^ Κ^1' £!~£ С^1
η - ς η = ς*η* - ς*η*·
Таким образом, как ξ1 определяют направление прямой по знаку
и величине, точно так же ς определяют положение плоскости вместе
с характерными для нее направлением обхода и величиной; полная
аналогия здесь очевидна.
Чтобы адекватным образом выразить ее, мы могли бы назвать
первую конфигурацию одномерным элементом пространства, а
вторую конфигурацию — двумерным элементом пространства. Так
же, как квадрат величины одномерного элемента дается инвариантом
У'= ?*&* = о©,
квадрат величины двумерного элемента определяется, согласно
формулам аналитической геометрии посредством
2^ ^ik>
для которого можно записать также

§7 Свойства симметрии тензоров
69
et' *
ξ,η^ξΥ - ξ*η') = (Φ (r\\) - (ξ,η1) (ξ\)
= Ο(ξ) * Ο(η) - Ο'(ξη)·
В таком же смысле определители, составляемые из трех
независимых смещений ξ, η, ζ
pikl _
ξ* ξ'
И'
m η η
Ι ζ'' ζ* ζ'
являются компонентами трехмерного элемента пространства,
величина которого определяется квадратным корнем из инварианта
3[s ς,·*/·
В трехмерном пространстве этот инвариант
-t.rf°,-».WVa.
и так как ξ1 = ± ξ в зависимости от того, является ли ikl четной
или нечетной перестановкой 1 2 3, он получает значение
9 ■ (ξ123)2,
где д—определитель, составленный из коэффициентов
фундаментальной метрической формы gik. Объем параллелепипеда тем самым
равен
= V<7 · abs.
ξ1 ξ2 ξ3
[ίο].
η η η
Ι ζ1 ζ2 ζ3
Это согласуется с элементарными формулами аналитической
геометрии. В пространстве с размерностью, большей 3, мы сможем
затем перейти к четырехмерным элементам пространства и т.д.
Подобно тому, как ковариантный тензор 1-го ранга каждому
одномерному элементу пространства (каждому смещению)
сопоставляет линейно и независимо от системы координат некоторое число,
так и кососимметричный ковариантный тензор 2-го ранга
сопоставляет число каждому двумерному элементу пространства, а
кососимметричный тензор 3-го ранга сопоставляет число каждому
трехмерному элементу пространства и т.д.; это непосредственно следует из
соотношения (36). По этой причине вполне оправдано называть
кососимметричные ковариантные тензоры просто линейными
тензорами. Среди операций в области линейных тензоров мы упомянем
следующие две:

70 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
aibk - ЧЬх = cik> (37)
aibkl + ЧЬ\х + aPxk = cikt (38)
Первая операция из двух линейных тензоров 1-го ранга
производит линейный тензор 2-го ранга, а вторая из линейных тензоров
1-го и 2-го рангов — линейный тензор 3-го ранга.
Иногда условия симметрии более сложны, чем те, которые были
рассмотрены до сих пор. Так, в области квадрилинейных форм
Ffä η ξ' η') особую роль играют те формы, которые удовлетворяют
условиям:
FOl ξ ξ' η') = Fß η η' ξ') = - Fß η ξ' η'); (39ι)
Fß' η' ξ η) = Fft η ξ' η'); (392)
Fß η ξ' η') + Fß ξ' η' η) + Fß η' ηξ') = 0. (39з)
Выделение именно этих тензоров определяется тем, что каждой
квадратичной форме произвольного двумерного элемента пространства
ξ*-ξ4|*-ξν
соответствует одна и только одна квадри линейная форма F,
удовлетворяющая этим условиям, из которой посредством отождествления
второй пары переменных ξ', η' с первой парой переменных ξ, η
получается эта квадратичная форма. Ковариантные тензоры 4-го
ранга со свойствами симметрии (39) могут поэтому использоваться
для выражения функций, квадратично зависящих от элемента
поверхности.
Наиболее общая форма условия симметрии для тензора F,
например 5-го ранга, первая, вторая и четвертая переменные
которого преобразуются контрагредиентно, а третья и пятая — когредиент-
но, такова
5
где 5 означает все перестановки пяти переменных, при которых
контрагредиентные переменные переходят друг друга, а
когредиентные—в когредиентные; F^—это форма, в которую переходит F в
результате перестановки 5, е$ -система определенных чисел,
соответствующих перестановкам S. Суммирование проводится по всем
перестановкам S. Характер симметрии определенного типа тензоров
выражается одним или большим числом таких условий симметрии.

§8 Тензорный анализ. Напряжения
71
§8
Тензорный анализ. Напряжения
Величины, которые описывают изменяющееся от точки к точке
состояние пространственно протяженной физической системы,
характеризуются не значением вообще, а лишь значением «в точке»;
они, выражаясь математически, являются «функциями точки». В
зависимости от того, идет ли речь о скаляре, векторе или тензоре,
мы будем говорить о скалярном, векторном или тензорном поле.
Такое поле считается заданным, если каждой точке пространства или
определенной области пространства сопоставляется некоторый
скаляр, вектор или тензор соответствующего вида. Если использовать
определенную систему координат, то значение скалярной величины
или значения компонент вектора или тензора в этой системе
оказываются функциями координат произвольной точки соответствующей
области пространства.
Тензорный анализ изучает, каким образом с помощью
дифференцирования тензорного поля по пространственным координатам
можно получить новое тензорное поле, причем так, чтобы оно не
зависело от выбора координатной системы. Он, как и тензорная
алгебра, крайне прост: в нем имеется лишь одна операция,
дифференцирование.
Пусть
Ф = Дх1,х2-^) = Дх)
— некоторое скалярное поле. Тогда изменение φ, соответствующее
бесконечно малому смещению точки аргумента, при котором ее
координаты х- испытывают приращение dx-v задается полным
дифференциалом
df=£/x>+£-/x>+---+§-ndx»·
Эта формула означает, что если Δχ^ рассматривать как
компоненты конечного приращения, а Δ/*— как соответствующее изменение
/*, то разница между
ι г
стремится к нулю не только при стремлении к нулю компонент
приращения Axit но также при стремлении к нулю 0 величины
приращения, измеряемой суммой \Δχ^\ + |Δτ2Ι + ··· + |A*J. Поставим

72 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
в соответствие этому дифференциалу линейную форму
переменных ξ1:
ι г
Если то же самое сделать в некоторой другой, «штрихованной»,
системе координат, то, согласно смыслу дифференциала, первая
линейная форма перейдет во вторую при преобразовании
переменных ξ1, контрагредиентном преобразованию единичных векторов.
Поэтому
дХу9 дХ2 ' дхп
— ковариантные компоненты вектора, который образован из
скалярного поля φ не зависящим от координатной системы способом. В
обычном векторном исчислении этот вектор известен как градиетп
и обозначается символом grad φ. Так как линейный элемент PF't
который переводит некоторую точку Ρ с координатами х- в
бесконечно близкую точку Р' с координатами х- + dxit является вектором с
контравариантными компонентами dxit то, следуя нашему
соглашению о месте индексов, мы часто будем обозначения dxi заменять
символом (dxf.
Эту операцию можно непосредственно перенести со скалярного
на произвольное тензорное поле. Пусть, например, /^(.г)-компоненты
тензорного поля 3-го ранга, ковариантные относительно индексов i
и k и контравариантные относительно индекса Л. Тогда
— инвариант, если под ξΛ понимать компоненты произвольного, но
постоянного, т.е. не зависящего от х, ковариантного вектора, а под
η1, ζ1 — компоненты таких же контравариантных векторов. Изменение
этого инварианта, соответствующее бесконечно малому смещению
компонент (dx)\ определяется выражением
— ξΑη ζ (dx),
и, следовательно,

§8 Тензорный анализ. Напряжения
73
dfik
&1= дх,
— компоненты тензорного поля 4-го ранга, которое получено из
данного поля способом, не зависящим от выбора системы координат.
Это и есть процесс дифференцирования; в результате этого
процесса, очевидно, ранг тензора повышается на 1. Следует также заметить,
что из-за независимости фундаментального метрического тензора от
точки χ контравариантные, например, относительно индекса k
компоненты образованного только что тензора получают переносом
вверх индекса k под знаком дифференцирования. Операции перехода
от ковариантного тензора к контравариантному и дифференцирования
переставимы. Дифференцирование чисто формально можно
выполнить так, как если бы соответствующий тензор умножался на вектор
с ковариантными компонентами:
iL JL ... JL (40)
дхх' дх{ ' дхп'
при этом производная -г1- рассматривается как символическое про-
изведение f на —. Символический вектор (40) чаще встречается в
дх{
литературе под таинственным названием вектор «набла» [11].
Примеры. Из вектора с ковариантными компонентами и-
получади,·
ется тензор 2-го ранга -— = uik. Из него можно образовать, в
дху
(41)
частности,
дх{ dxk
Эти величины — ковариантные компоненты линейного тензора
2-го ранга. В обычном векторном исчислении он известен как ротор
(Rotation) (rot или curl). Напротив, величины
2 {дхк + дх{)
— ковариантные компоненты симметричного тензора 2-го ранга. Если
вектор и обозначает скорость непрерывно распределенной
движущейся материи как функцию положения, то обращение в нуль этого
тензора в точке означает, что окрестность указанной точки движется

74 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
как твердое тело. Поэтому он заслуживает названия «тензора
деформации» (Verzerrungs-Tensor). Наконец, посредством свертки
тензора и\ получается скаляр
дщ
известный в векторном исчислении как дивергенция (div) [12].
Из тензора 2-го ранга со смешанными компонентами Si
возникает путем дифференцирования и свертки вектор
dSk{
dxk
Если vik — компоненты некоторого линейного тензорного поля
2-го ранга, то, согласно формуле (38), в которой Ь заменено υ, а
а —символическим вектором «дифференцирования», из него
получается линейный тензор 3-го ранга с компонентами
dvkl dvH dvik
+
dxi dxk dxl
(42)
Тензор (41), rot, исчезает, если м —градиент некоторого
скалярного поля; тензор (42) исчезает, если vik — ротор некоторого
вектора и{.
Напряжения. Важным примером тензорного поля являются
напряжения в упругом теле. Благодаря этому примеру тензоры
получили свое название [ 13]. В упругом теле, к поверхности которого
приложены силы растяжения или сжатия, а внутри, кроме того,
действуют приложенные к отдельным частям тела «объемные силы»
(например, силы тяжести), устанавливается состояние равновесия, в
котором силы сцепления частиц материи, вызванные деформацией,
уравновешиваются приложенными силами. Если мы вырежем
мысленно из тела любую его часть У, заставим ее «отвердеть» (erstarren)
и удалим остальную материю, то объемные силы, возникшие в теле,
не будут сами по себе уравновешиваться. Равновесие, однако, будет
достигнуто благодаря силам давления, действующим на поверхности
Ω вырезанной части /, которые вызываются удаленной частью тела.
Действительно, мы можем не входя в детали атомистической
структуры материи, вообразить, что силы сцепления имеют значение лишь
при непосредственном контакте. Поэтому влияние удаленной части
материи на / допустимо заменить такими поверхностными силами
давления. В самом деле, если Sdo — сила давления, действующая на

§8 Тензорный анализ. Напряжения
75
элемент поверхности do, и S, таким образом, —давление (отнесенное
к единице поверхности), то S может зависеть только от
местонахождения элемента поверхности do и от нормали η к этому элементу,
проведенной внутрь J (которая характеризует «положение» do).
Вместо S мы будем писать Sw, чтобы подчеркнуть эту зависимость
S от и. Если нормаль, проведенную в противоположном к η
направлении обозначить - и, то из условия равновесия для малого
бесконечно тонкого диска следует, что
S-„ = -S„ (43)
Будем использовать декартовы координаты xv х2, х3. Силы
давления, отнесенные к единице поверхности в некоторой точке,
которые действуют на элемент поверхности в этой точке с внутренней
нормалью, ориентированной в положительном направлении осей Xj,
%2 и *3> будем обозначать St, S2 и S3, соответственно. Выберем теперь
три положительных числа av а2, а3 и одно положительное число ε,
которое стремится к 0, в то время как а- остаются постоянными. Из
рассматриваемой точки О проведем в положительном направлении
координатных осей отрезки
ΟΡί = ζαχ, ОР2 = вя2, ОР3 = га3
и рассмотрим бесконечно малый тетраэдр ΟΡχΡ2Ρ3 со «стенами»
ОР2Р3, ОР3Р2, ΟΡχΡ2 и «крышей» Р\Р2Р3- Если /'—площадь
поверхности крыши и ctj, α2, α3~ направляющие косинусы ее внутренней
нормали я, то площади поверхности стен будут равны
1 2
- f' <*t(= ψ α2α3), - /α2, - /ctg.
Сумма давлений на стены и крышу при бесконечно малом ε
будет, таким образом, равна
f{Sn - (atSt + ct2S2 + (X3S3)}.
f имеет порядок ε , а объемная сила, действующая на тетраэдр, имеет
о
порядок только ε . Поэтому, вследствие условия равновесия, должно
выполняться соотношение
Sn = a1S1 + ct2S2 + (X3S3.
С помощью (43) эта формула непосредственно переносится на
случай, когда тетраэдр расположен в одном из семи остальных
октантов. Обозначив компоненты Sf- относительно координатных

76 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
осей Siv Sl2, Sl3, а компоненты двух произвольных смещений
единичной длины ξ1 и η1, мы представим η-компоненту силы давления,
отнесенной к элементу поверхности с внутренней нормалью ξ в виде
Σ*οή*. (44)
ik
Билинейная форма (44), таким образом, имеет значение, не
зависящее от системы координат, и Sik являются компонентами
тензорного поля «напряжений». Мы будем и дальше оперировать с
прямоугольными системами координат, что позволит нам не делать
различия между ковариантными и контравариантными величинами.
Образуем вектор St·' с компонентами 5"^·, 5^, ^3ί· Проекция St·'
на направление внутренней нормали элемента поверхности η будет
равна тогда xt-компоненте Sn. χχ-компонента полной силы давления,
которая действует на поверхность Ω, охватывающую часть тела /,
равна, следовательно, поверхностному интегралу от нормальной
составляющей St\ который, согласно теореме Гаусса, сводится к
объемному интегралу
- JdivS/.fifV
J
и то же самое—для х2' и *з*компонент· Мы можем» таким образом,
записать вектор ρ с компонентами
asf
(это, как мы знаем, инвариантный способ образования величин).
Сила давления S тогда равна объемной силе, направление и
интенсивность которой определяется величиной р, отнесенной к единице
объема в том смысле, что для каждой вырезанной части тела J
выполняется равенство:
JS„ do = JprfV. (45)
Ω J
Первое условие равновесия для рассматриваемой вырезанной
части тела гласит
J(p + k)rfV = 0,
/

§8 Тензорный анализ. Напряжения
77
где к —внешняя сила, отнесенная κ единице объема, и, так как это
верно для любой части /,
ρ + к = 0. (46)
Выбрав произвольную начальную точку О и обозначив г радиус-
вектор точки Р, ÖP, а квадратными скобками—«векторное»
произведение, мы представим второе условие равновесия в форме закона
сохранения момента количества движения:
i[r,Sn]do + j[r,p]dV = 0,
Ω У
и, в силу (46) и (45), мы должны иметь также
J[rfSJdo-J[rfp]</V.
Ω J
хх— компонента [г, Sn] равна компоненте л^з' "" *3^2'' взят°й в
направлении п. Следовательно, согласно теоремы Гаусса, Х\-
компонента левой части равна
J
В результате, получим уравнение
div (x2S3' - x3S2') = ~ (*2Рз ~ хзР2>-
Но левая часть
= (х2 div S3' - χ3 ^iv *г') + (S3# ' 8ra(* x2 ~ ty · grad X3)
= - (X2P3 - *3?2> + (523 * 532>-
Таким образом, если проделать соответствующие вычисления
также для х2- и ^з*компонент' получатся соотношения:
^23 = ^32' ^31 = ^13' ^12 = ^21'
т.е. симметрия тензора напряжения 5. Для произвольного смещения
с компонентами ξ*
Σ si&k
— проекция силы давления, отнесенной к единице поверхности, на
направление ξ, которая действует на элемент поверхности,
расположенный перпендикулярно к этому направлению (здесь можно снова

78 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
вернуться к использованию произвольной аффинной системы
координат). Напряжения в точности равны объемной силе, плотность
которой вычисляется согласно инвариантному соотношению:
-O-dA (47)
В случае давления р, одинакового во всех направлениях
*?-!■■«?. *-$
Только на этой основе понятие напряжения получает свою
точную формулировку и адекватное математическое представление.
Для установления основных законов теории упругости необходимо
далее найти зависимость напряжения от деформации тела, вызванной
внешними силами. Мы не имеем возможности обсуждать здесь этот
вопрос более подробно.
§9
Стационарное электромагнитное поле
^Псюду до сих пор, где речь шла о механике или физике, это
ДЩ-Jделалось прежде всего для того, чтобы показать, как
проявляется их пространственная природа, т.е. продемонстрировать
инвариантно-тензорный характер законов природы. Но это давало
нам также повод осмыслить тензорное исчисление на конкретных
примерах и подготовить основу для дальнейших рассмотрений, с
которыми более глубоко нам придется иметь дело в физических
теориях —как ради них самих, так и вследствие их значения для
проблемы времени. В этом отношении теория электромагнитного
поля, которая, как мы теперь знаем, является совершеннейшей
областью физики, имеет особенно большое значение. Здесь мы
рассмотрим ее лишь постольку, поскольку можно пренебречь ролью
времени, т.е. ограничимся неизменными во времени, стационарными
соотношениями.
Кулоновский закон электростатики можно сформулировать
следующим образом: если электрические заряды распределены в
пространстве с плотностью р, то они действуют на точечный заряд е с
силой
К = е · Е, (48)
где
J 4πΤ

§9 Стационарное электромагнитное поле
79
Здесь г означает вектор ÖP. соединяющий точку О, в которой
определяется Е, с точками аргумента, или «источниками» Р, по
которым производится интегрирование; г—его длина, dV — элемент
объема. Сила, таким образом, составляется из двух сомножителей:
заряда е малого пробного тела, который определяется только самим
этим телом, и «напряженности поля» Е, которая, в
противоположность этому, целиком зависит от заданного распределения заряда в
пространстве. Но даже тогда, когда мы не наблюдаем силу,
действующую на пробное тело, мы представляем себе, что существует
«электрическое поле», вызванное распределенными в пространстве
зарядами. Это поле описывается вектором Е; действие поля на
внесенный в него точечный заряд е выражается силой (48). Ε можно
связать с потенциалом согласно формулам:
Ε = - grad φ, 4πφ = j^dV. (50)
Отсюда следует, во-первых, что Е — безвихревой вектор, и,
во-вторых, что поток Ε через некоторую замкнутую поверхность
равен сумме зарядов, охваченных этой поверхностью, или что
электричество является источником электрического поля. Это
записывается в виде
rot Ε = 0, divE = p. (51)
Обратно, из этих простых дифференциальных законов снова
получается закон Кулона при добавлении условия, что поле Ε
исчезает на бесконечности. Действительно, если из первого
уравнения (51) следует, что Z:=-grad(p, то из второго уравнения мы
получаем для определения потенциала уравнение Пуассона
Δ φ = -ρ, решение которого дается соотношением (50).
Кулоновский закон — это закон дальнодействия. Согласно ему,
напряженность поля в данной точке определяется зарядами во всех
других точках пространства, как ближайших, так и наиболее
удаленных. В противоположность этому, значительно более простые
формулы (51) являются выражением законов близкодействия. Так как
для определения производной функции в некоторой точке достаточно
знать поведение самой этой функции в сколь угодно малой
окрестности этой точки, то уравнениями (51) связываются друг с другом
значениями ρ и Ε в некоторой точке и окружающей ее окрестности.
Эти законы близкодействия мы понимаем как истинное выражение
существующих в природе взаимодействий, в то время как (49)
рассматриваем лишь как вытекающее из них математическое
следствие. Мы верим, что на основе законов (51), которые имеют столь

80 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
простой наглядный смысл, можно понять природу закона Кулона.
Как известно, мы следуем здесь, прежде всего, определенному
теоретико-познавательному правилу. Уже Лейбниц сформулировал
требование непрерывности, близкодействия как некоторый общий
принцип, который не позволяет примириться и с ньютоновским
гравитационным законом дальнодействия, вполне аналогичным кулоновс-
кому закону [14]. Кроме того, следует учесть математическую
ясность и простой наглядный смысл законов (51). Мы снова
убеждаемся на опыте, что, коль скоро нам удается глубоко проникнуть в
закономерность определенной области явлений, то в формулах эта
закономерность выражается с совершенной математической
гармонией. Наконец, последующее развитие максвелловской теории и с
точки зрения физики постоянно свидетельствует о том, насколько
велика была плодотворность перехода от старого представления о
дальнодействии к современной концепции близкодействия.
Поле действует на заряды, создающие его, с силой, объемная
плотность которой дается формулой
ρ = рЕ, (52)
которая является строгим выражением уравнения (48). Если в поле
внести заряженное пробное тело, то его заряд тоже будет находиться
в числе зарядов, создающих поле. Формула (48) при этом только
тогда может быть использована для правильного определения
напряженности поля Е, существующего до внесения в него пробного тела,
когда пробный заряд е настолько мал, что он лишь незначительно
может изменить поле. Здесь имеется трудность, проходящая через
всю экспериментальную физику: наличие измерительных приборов
возмущает первоначальные соотношения, подлежащие измерению. С
этим связан основной источник ошибок, для устранения которых
экспериментатор проявляет так много остроумия.
Основной закон механики: масса χ ускорение = сила
определяет, каково движение масс под действием заданных сил (при данных
начальных скоростях) [15]. Механика, однако, не изучает, что такое
сила; об этом мы узнаем из физики. Основной закон механики
—открытая схема, получающая конкретное воплощение лишь в том
случае, когда фигурирующее в ней понятие силы заполняется с
помощью физики. Неудачные попытки развить механику как
замкнутую в себе область знания, поэтому никогда не могли привести ни
к чему лучшему, чем прибегнуть к словесному объяснению основного
закона: сила означает массу, умноженную на ускорение.
Но теперь, в электростатике, мы для определенного класса
физических явлений узнаем, что такое сила и как она закономерно

§9 Стационарное электромагнитное поле
81
определяется с помощью (52) на основе параметров состояния
(Zustandgrößen), каковыми являются заряд и поле. Если считать
заряды заданными, то полевые уравнения (51) устанавливают
соотношение, с помощью которого заряды определяют созданное ими
поле. Но в отношении зарядов известно, что они неотделимы от
вещества. Современная электронная теория показала, что это следует
понимать в совершенно строгом смысле слова. Материя состоит из
элементарных квантов (Elementarquanten), электронов, обладающих
вполне определенной неизменной массой, а также вполне
определенным неизменным зарядом. Всякий раз, когда мы наблюдаем
появление новых зарядов, это связано лишь с тем, что положительные и
отрицательные заряды, которые сначала находились так близко друг
к другу, что их действие на расстоянии полностью компенсировалось,
оказываются разделенными. В таких процессах поэтому
положительное и отрицательное электричество «возникает» всегда в равных
количествах. Рассматриваемые законы образуют, таким образом,
некоторый цикл. Распределения элементарных квантов материи, раз
и навсегда снабженных постоянными зарядами, и (как следует
добавить в случае нестационарных условий) их скорости определяют
поле; поле действует на заряженное вещество с пондеромоторной
силой (52); сила определяет, согласно основному закону механики,
ускорение и, тем самым, распределение и скорость вещества в
следующий момент времени. Только это полная теоретическая
схема доступна экспериментальной проверке, если мы принимаем,
что движение вещества —единственное, что мы в состоянии
непосредственно наблюдать (последнее, впрочем, также может быть допущено
лишь условно). Но этого нельзя сделать для какого-либо одного
отдельного закона, выхваченного из этой теоретической структуры!
Связь между непосредственным опытом и тем, что разум стремится
концептуально оформить в теорию как стоящее за этим опытом нечто
объективное, не является настолько простой, чтобы каждое
отдельное утверждение теории само по себе имело бы смысл, доступный
проверке непосредственно в созерцании. В дальнейшем мы еще более
отчетливо увидим, что геометрия, механика и физика образуют в
этом смысле неразделимое теоретическое единство, нечто такое, что
всегда должно рассматриваться как целое, когда задается вопрос о
том, истолковывают ли эти науки рационально трансцендентную
сознанию действительность, проявляющуюся во всех субъективных
фактах сознания, иначе говоря, истина образует систему. Впрочем,
набросанная здесь предварительно физическая картина мира
характеризуется дуализмом вещества и поля, которые взаимодействуют

82 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
между собой. В дальнейшем мы должны будем исследовать вопрос
о том, можно ли преодолеть этот дуализм и как это сделать.
Пондеромоторная сила в электрическом поле была сведена к
напряжениям уже Фарадеем. В прямоугольной системе координат
х\> х2> х3> в К0Т0Р°й Е\> Е2> £з~"компоненты напРяженН0СТИ
электрического поля, pi — компонента плотности силы равна
Рг = Р£| = Ег
(дЕ\
дх.
дЕо
щл
δχΊ οχ?
Μ иЛ2 ихЪ}
Простым вычислением, с учетом безвихревого характера Е,
можно получить, что компоненты плотности силы pi выводятся по
формулам (47) из некоторого тензора напряжений с компонентами
Sik, образующими следующую квадратичную схему
1
2<££ + £|-£ί),
- ΕχΕν
-E2EV
E3EV
^E\ + Ε] - E22)t
~E\E3
E2E3
- E3E2,
\{E\ + e\-E§
[16]. (53)
Условие симметрии Ski = Sik, как мы видим, выполняется. Но
особенно важно, что компоненты тензора напряжений в некоторой
точке зависят только от напряженностей поля в этой же точке. (Они
зависят к тому же только от поля, а не от заряда). Всякий раз, когда
сила ρ может быть сведена, согласно (47), к напряжениям 5,
образующим симметричный тензор 2-го ранга, который зависит
только от значений параметров состояния, описывающих физическое
состояние в соответствующем месте, мы должны рассматривать эти
напряжения как первичные, а силовые действия как их следствия.
Математически эта точка зрения оправдывается тем, что сила ρ
получается из напряжения путем дифференцирования. Напряжения,
таким образом, по сравнению с силами находятся, так сказать, на
следующей более низкой ступени дифференцирования и, несмотря
на это, зависят не от поведения параметров состояния в целом, как
это было бы в случае произвольного интеграла, а только от их
значений в рассматриваемом месте. Физически такое представление
существенно, прежде всего, потому, что благодаря ему становится
очевидным обращение в нуль как суммарной силы, так и полного
момента сил, с которыми система заряженных масс действует на себя,
г-ая компонента полной силы К^ равна потоку вектора

§9 Стационарное электромагнитное поле
83
через некоторую замкнутую поверхность Ω, охватывающую систему
тел. Так как в пространстве, свободном от зарядов, div St-, исчезает,
то этот поток, согласно теореме Гаусса, не зависит от того, как будет
выбрана эта поверхность. Если в качестве Ω выбрать сферу
бесконечно большого радиуса, то оказывается, что К^ = 0. При вычислении
суммарного момента сил вектор St-, следует заменить его векторным
произведением с «плечом силы», т.е. вектором г = О Я, соединяющим
точку вращения О с точкой приложения силы Я, [rS,·]. Оба
полученные таким образом «закона сохранения» утверждают, что
замкнутая система заряженных масс, которая в начальный момент
времени покоится, не может сама по себе как целое прийти в
трансляционное или вращательное Движение.
Если поверхность Ω провести так, чтобы она отделяла одну часть
заряженных масс М' от остальных М", то потоки S,·, соответственно
[г, SJ, через Ω дают силу, соотственно момент силы, описывающие
действие М' на М". Опять-таки, результат вычисления не зависит от
формы Ω, лишь бы эта поверхность отделяла М' от М". Эти
рассуждения показывают, что сила, соответственно момент силы,
приложенные к Μ со стороны М", в точности равны по величине и
противоположны по знаку той силе и соответственно моменту силы,
с которыми часть Μ действует на М". В этом проявляется принцип
равенства действия и противодействия. Более того, отсюда следует,
что, если распределение заряженных масс М* и М" изменяется так,
что находящееся между ними электрическое поле остается
неизменным, то не меняется и сила, с которой М' действует на М"\ то же
самое относится и к моменту силы*
Тензор (53), конечно, не зависит от выбора координатной
системы. Если ввести квадрат величины напряженности поля
|£|2 = Е{Е\
то можно записать
Sik = 2giaE\2-EiEk·
Sik являются ковариантными компонентами напряжения не только в
декартовой, но также и в произвольной аффинной системе
координат, если Е{ — ковариантные компоненты напряженности поля.
Отсюда вытекает простой наглядный смысл напряжений. Если в некоторой

84 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
точке ввести прямоугольные координаты так, чтобы ось xv была
направлена вдоль вектора Ε
Ех = |£|, Е2 = О, Е3 = 0,
то мы получим, что они составлены из некоторого растяжения,
равного τζ \Е\ и направленного вдоль силовых линий, и некоторого
давления той же интенсивности, направленного перпендикулярно
силовым линиям.
Основные законы электростатики можно теперь
резюмировать в инвариантной тензорной форме следующим образом:
dEk дЕ{ Οφ
(I) —— - -— = 0 , соответственно £"· = - т*- ;
дх{ dxk l dxi
HD f = P; <54>
(III) Sik=-f\E\'-E{Ek
Некоторой системе точечных зарядов ev е2, ез> ··· можно ПРИ*
писать потенциальную энергию
где rik — расстояние между двумя зарядами ei и ek. Это означает, что
виртуальная работа, которую при бесконечно малом сдвиге
совершают силы, приложенные к каждой из точек (и порожденные зарядами
остальных точек), равна полному дифференциалу, а именно 5С/. Для
непрерывного распределения зарядов эта формула переходит в
u = jjS(El£(ndVdV>i
JJ 8nrPp,
где оба объемных интеграла берутся по всему пространству, Грр» —
расстояние между точками Ρ и Р. Используя понятие потенциала,
можно записать
Подинтегральное выражение равно φ · div E. Вследствие
соотношения

§9 Стационарное электромагнитное поле
85
div (<рЕ) = φ · div Ε + Ε gradφ
и теоремы Гаусса, согласно которой интеграл от div (<pE) по всему
пространству равен 0, получается:
Jp<p dV = - J(E · grad φ) dV = J|£|2 dV\
U = \\\E\2 dV. (55)
Этот результат можно получить и без использования формул
дальнодействия. Если к существующим зарядам, которые создают
поле с потенциалом φ, в некоторый элемент объекта добавить
бесконечно малый заряд Ъе и притом так, чтобы он был доставлен из
бесконечности в указанный элемент объема, то в результате
совершается работа φ · 8е. Чтобы осуществить бесконечно малое изменение
распределения зарядов, при котором плотность ρ получает прирост
δρ, необходимо затратить работу
3U = /φδρ · dV,
δ(/, тем самым, дает прирост энергии, обусловленный этим
изменением. Но
δρ = 6(div E) = div (δΕ),
где δΕ означает соответствующее изменение поля; далее
div (φδΕ) = φ · div(öE) + grad φ · δΕ = φ · δρ - Ε · δΕ.
Так как пространственный интеграл от дивергенции исчезает,
получается
δ[/= |(Ε·δΕ)</ν.
Это, в действительности, не что иное, как вариация интеграла
(55).
Вновь полученная таким образом формула (55) делает
очевидным тот факт, что энергия есть величина положительная. Если силы
мы сводим к напряжениям, то эти напряжения (как и напряжения
упругого тела) следует представлять себе связанными всегда с
положительной потенциальной энергией. Место сосредоточения
энергии, таким образом, следует искать в поле. Это обстоятельство
хорошо отражается в формуле (55). Она показывает, что энергия,
связанная с напряжением и отнесенная к единице объема, равна
1 2
•ΑΕΙ и, таким образом, в точности равна растяжению и давлению,
направленным вдоль и перпендикулярно силовым линиям. Решающим

86 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
фактором, обеспечивающим возможность этой точки зрения, опять-
таки является то, что плотность энергии зависит только от величины
Εу характеризующей состояние поля в соответствующей точке.
Определенное количество потенциальной энергии J d£| d V
приписывается не только всему полю, но и каждой его части. В статике
играет роль только полная энергия. Лишь после того, как мы
перейдем к рассмотрению переменных полей, мы сможем получить
неоспоримые подтверждения правильности этой точки зрения.
На проводниках, помещенных в статическое поле, заряды
собираются на их поверхности, и внутри проводников поле отсутствует.
Уравнений (51) достаточно, чтобы определить электрическое поле в
пустом пространстве, в «эфире». Но если в поле находятся
непроводники, диэлектрики, то следует учитывать явление поляризации
диэлектриков. Два заряда +е и -£, находящихся в точках Ρχ и Р2»
«пара источников» (Quellpaar), как мы для краткости будем
говорить, создают поле, которое порождается потенциалом
где rt и г2 означают расстояние точек Р^ и Р2 Д° начала координат.
Произведение е и вектора Р^Р\ называется моментом «пары
источников». Представим теперь, что оба заряда сближаются друг с другом
в определенном направлении в точке Р, а величина их одновременно
увеличивается так, чтобы момент Ρ оставался постоянным. Тогда в
пределе возникает «двойной источник» (Doppelquelle) с моментом Р,
потенциал которого задается соотношением
Р α ί
^grad*V
В диэлектрике электрическое поле приводит к тому, что в
отдельных элементах объема возникают такого рода «двойные
источники». Этот процесс называется поляризацией. Если
Р—электрический момент двойных источников в единице объема, то для
потенциала, вместо (50), справедлива формула
4πφ= JßrfV+Jp.gradp^.dV. (56)
Это явление легко понять на основе электронной теории.
Представим себе, что атом состоит из неподвижного положительного
заряженного «ядра», вокруг которого по круговой орбите движется
противоположно заряженный электрон. Положение электрона,

§9 Стационарное электромагнитное поле
87
усредненное по периоду его обращения, будет совпадать с
положением ядра, и атом будет вести себя в результате как совершенно
нейтральная частица. Но если все это происходит в электрическом
поле, то оно действует на электрон с силой, приводящей к
эксцентричности его орбиты, которая становится эллипсом с фокусом в ядре
атома. Тогда в среднем для таких промежутков времени, которые
велики по сравнению с периодом обращения электрона, атом ведет
себя как неподвижная пара источников. Если же рассматривать
материю как непрерывную среду, то следует говорить о непрерывном
распределении двойных источников. Даже до более точной
атомистической разработки этой идеи мы можем сказать, что, по крайней
мере в первом приближении, момент Р, отнесенный к единице
объема, т.е. «поляризация», должен быть пропорционален
напряженности возбуждающего электрического поля: Ρ = аеЕ, где ае —
постоянная, зависящая от химических свойств вещества, а именно от
строения его атомов и молекул. Так как
л- (*) » jl divP
divH = Pgrad- + -^-,
то (56) можно заменить выражением
. f ρ - div P JTr
4πφ = J - d V.
Для напряженности поля Ε = - grad φ, отсюда следует
div Ε = ρ - div Р.
Если ввести понятие «электрического смещения»
D = Ε + Ρ,
то основные уравнения приобретут вид
rot Ε = 0, div D = р. (57)
Они соответствуют уравнениям (51); но теперь в одно из них
входит напряженность поля Е, а в другое —электрическое смещение
D. Заряды же являются источником именно электрического смещения.
Если ввести, с учетом вышеупомянутого соотношения: Ρ = аеЕ,
постоянную, присущую веществу, так называемую диэлектрическую
постоянную ε = 1 + ае, то получится еще одно соотношение,
характерное для вещества
D = εΕ. (58)
Эти законы великолепно подтверждаются опытом. Влияние
промежуточной среды, экспериментально доказанное Фарадеем,
которое отражено в этих законах, имеет, как известно, большое значение

88 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
для разработки теории близкодействия. От соответствующего
обобщения формул для напряжений, энергии и силы мы вынуждены здесь
отказаться.
Основные уравнения для диэлектриков могут быть получены без
обращения к концепции дальнодействия, согласно Г.А.Лоренцу,
следующим образом. Будем отличать существующее в
действительности «микроскопическое» поле от наблюдаемого
«макроскопического» поля, получающегося из первого усреднением по
пространственной области, достаточно большой по сравнению с нерегулярными
атомами неоднородностями микроскопического поля, но при
фактическом измерении физических величин не допускающей больше
дальнейшего разделения на качественно различные части. Если Ε
напряженность макроскопического поля, а р —макроскопическая
плотность заряда, то усреднением из уравнений (51) получается
rot Ε = 0, div Ε = р.
Фактически заряды состоят, с одной стороны, из свободных
электронов, с другой стороны, из поляризованных атомов.
Усредненная плотность заряда, порожденного свободными электронами,
ρ— это плотность, которую мы наблюдаем макроскопически как
действительный заряд: Jp dV—сумма зарядов свободных электро-
V
нов в объеме V. Определим теперь сумму зарядов, порожденных
поляризованными атомами в объеме V. Если 1 —вектор,
соединяющий отрицательный -е и положительный +е заряды в атомном
диполе, то е\ — его момент и Ρ = Nel, где Ν —число поляризованных
атомов в единице объема,— поляризация. Рассмотрим
(макроскопический) элемент do поверхности Ω, ограничивающий объем V. Пусть
вектор 1 вблизи этого элемента направлен наружу. Если бы объем
V содержал одновременно источники и стоки (Senke) каждого
диполя, то искомая сумма зарядов была бы равна 0. Но поверхность
Ω определенные диполи разрезает так, что одни их заряды попадают
внутрь, а другие наружу Ω. Разрезанные элементом do диполи —это
такие диполи, положительные заряды которых лежат в цилиндре с
основанием do и образующей I. Его объем равен do · \п (1п — проекция
1 на внешнюю нормаль к поверхности Ω в рассматриваемом месте),
число положительных дипольных зарядов в нем Ndo · 1я, сумма
самих этих зарядов Nelndo = fndo. Сумма таких зарядов снаружи
Ω, каждый из которых сдвоен в диполь с противоположным

§9 Стационарное электромагнитное поле
89
зарядом внутри Ω, т.е. зарядов, «высовывающихся» из V, поэтому
равна J Pn do, и полный заряд области, порожденный диполями:
Ω
«-Jp„do«-JdivP.dV. (59)
Ω V
Если поляризация распределена в области неравномерно, то в
общем она дает ненулевой вклад. Мы снова получаем тогда
div Ε = ρ - div Р.
Из этого вывода ясно, что (57), (58) не являются совершенно
строгими законами, так как они относятся лишь к средним значениям
и выведены для областей пространства, содержащих много атомов,
а также для промежутков времени, больших по сравнению с
периодами обращения электронов в атоме. J5 качестве точных законов мы
будем по-прежнему рассматривать уравнения (51). Наша цель
здесь и в дальнейшем — прежде всего, установление точных законов
природы. Но если мы исходим из явлений, то такие «
феноменологические» законы как (57), (58) оказываются необходимыми
стадиями в переходе от того, что считается непосредственно наблюдаемым,
к точной теории. В общем, такую теорию можно разработать только
указанным путем. Справедливость ее можно считать тогда
доказанной, когда с помощью определенных представлений об
атомистической структуре материи, используя процесс усреднения, мы снова
можем получить феноменологические законы. При этом получаются
также используемые в этих законах постоянные, характеризующие
вещество (Materialkonstanten) (в формулировки точных законов
природы такие константы не входят). Законы, характеризующие
свойства вещества, например (58), и учитывающие влияние этого
вещества лишь целиком, в процессах, не безразличных к более
тонкой структуре вещества, оказываются не справедливыми.
Поэтому атомистическая теория описанного типа должна также указывать
границы применимости феноменологической теории, а также те
законы, которые должны ее заменить по ту сторону границы.
Больших успехов, с этой точки зрения, достигла электронная теория, хотя
и она из-за трудностей, связанных с выяснением более тонкой
структуры атома и внутриатомных процессов, еще далека от своего
завершения.
Магнетизм в первых опытах с постоянными магнитами кажется
лишь повторением электричества: здесь также выполняется кулонов-
ский закон! Вместе с тем, имеется одно характерное отличие:
положительный и отрицательный магнетизм нельзя отделить друг от

90 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
друга. Существуют не источники, но только двойные источники
(Doppelquellen) магнитного поля. Магнит состоит из бесконечно
малых элементарных магнитов, каждый из которых несет в себе
положительный и отрицательный магнетизм. Количество магнетизма
в каждой частице материи де факто равно 0, и это означает, что в
действительности никакого магнетизма вовсе не существует.
Объяснение этому обстоятельству принесло открытие магнитного действия
электрического тока, сделанное Эрстедом. Точная количественная
формулировка этого действия, лежащая в основе закона Био-
Савара, ведет, как и кулоновский закон, к двум простым законам
взаимодействия. Если плотность электрического тока обозначить S,
напряженность магнитного поля Н, то справедливы уравнения
rot Η = - S, div Η = 0. (60)
Во втором уравнении утверждается несуществование
(NichtExistenz) источников магнитного поля. Уравнения (60) оказываются
точным аналогом уравнений (51), если в них поменять местами div
и rot. Обе эти операции векторного анализа находятся в таком же
соотношении, как скалярное и векторное умножение в векторной
алгебре (div соответствует скалярному, rot — векторному умножению
с символическим вектором «дифференцирования»). Исчезающее на
бесконечности решение уравнений (60) при заданном распределении
тока получается поэтому в точности таким же, как (49):
MdV, <6»
■-J
471Г3
что совпадает с законом Био-Савара. Это решение можно вывести из
«векторного потенциала» f по формулам
Η = rot f, 4πί = ί- dV.
J γ
Наконец, формула для плотности силы магнитного поля
выглядит вполне аналогично (52):
ρ = [sH]. (62)
Несомненно, что эти законы дают правильное описание
магнетизма. Они являются не повторением, но точным аналогом
электрических законов. Они соответствуют им так же, как векторное
произведение соответствует скалярному. На их основе можно
математически доказать, что малый круговой ток действует точно так же, как
малый элементарный магнит, ориентированный перпендикулярно
плоскости кругового тока. По величине магнитный момент такого
кругового тока задается произведением силы тока на площадь

§9 Стационарное электромагнитное поле
91
элемента поверхности, ограниченной этим током, а направление его
совпадает с нормалью к этому элементу поверхности. Следуя
Амперу, мы можем, таким образом, представить, что магнитное действие
магнитных тел основано на молекулярных токах, которые, в
соответствии с электронной теорией, определяются вращающимися в атоме
электронами.
Сила ρ магнитного поля может быть также сведена к
напряжениям, а именно компоненты напряжения оказываются точно такими
же, как в электростатическом поле: нужно только заменить Ε на Н.
Тем самым, для плотности потенциальной энергии, содержащейся в
поле, мы будем иметь аналогичное выражение -г-Н ; оно находит свое
полное оправдание лишь в теории меняющихся во времени полей.
Из (60) следует, что распределение тока не имеет источников
(quellenfrei): div S = 0. Токовое поле (Ströemungsfeld) можно
разложить поэтому лишь на замыкающиеся на себя токовые трубки. Через
каждое поперечное сечение отдельной трубки течет один и тот же
полный ток (Gesamtström). Из законов стационарного поля никоим
образом не следует и в них никак не учитывается, что этот ток
является электрическим током в буквальном смысле слова, т.е. что
он представляет собой движущееся электричество, хотя это
несомненно и имеет место. С учетом этого факта закон div S = 0 утверждает,
что электричество не возникает и не уничтожается. Из-за того, что
поток вектора тока S через замкнутую поверхность равен нулю,
плотность электричества всюду остается неизменной — речь идет
исключительно о стационарных полях —, так что электричество не
возникает и не исчезает. Введенный выше векторный потенциал f
также удовлетворяет уравнению div f = 0.
Электрический ток S является, несомненно, вектором в точном
смысле этого слова. Из закона Био-Савара, однако, вытекает, что
Η является не вектором, а линейным тензором 2-го ранга,
компоненты которого в некоторой системе координат (декартовой или
даже только аффинной) можно обозначить Н^. Векторный
потенциал f является обыкновенным вектором. Пусть φ—его ковариантные
компоненты, а sl — контравариантные компоненты плотности тока
(ток, как и скорость, —контравариантный вектор по своему
происхождению). Тогда следующая таблица содержит окончательное
(независимое от размерности пространства) представление законов
магнитного поля стационарного электрического тока:

92 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
дх{
дч
♦-5Г-··
dtfk i
Hik =
^k
'**i
II* _^ (63,1)
(63, II)
Напряжения определяются из
5? = я1у-15?|я|2, (63·ΙΠ)
где \Н\ — абсолютная величина напряженности магнитного поля:
\H\2 = ±HikHik.
Тензор напряжений симметричен, так как
НггН1 = H\Hkr = АА·
Компоненты плотности силы равны
Pi = Hiks\ (63, IV)
плотность энергии
-к
Это — законы, которые выполняются для поля в пустом
пространстве. Как и в случае электрического поля, мы будем рассматривать их
в качестве точных законов природы, справедливых в самой общей
ситуации. Для феноменологической теории, однако, следует снова
принять во внимание явление намагниченности, аналогичное
диэлектрической поляризации. Тогда, наряду с напряженностью поля Н,
появляется «магнитная индукция» В, так же, как в электростатике,
кроме Е, фигурирует еще и D. В результате, справедливы полевые
законы:
rot Η = s, divB = О,
и соотношение, характеризующее вещество (Materialgesetz)
В = μΗ. (64)
Постоянная, характеризующая вещество, μ называется
магнитной проницаемостью. Впрочем В, а не Η следует отождествлять со
средним значением напряженности микроскопического магнитного
поля. Магнитная индукция таким образом, —физически более

§9 Стационарное электромагнитное поле
93
простая величина, чем макроскопическая напряженность поля Н, так
как, согласно формуле Η = В - М, она складывается из В и
«намагниченности» М, т.е. магнитного момента в единице объема. Средняя
плотность всех имеющихся токов состоит таким образом из двух
частей: к плотности макроскопического наблюдаемого тока следует
добавить молекулярные круговые токи, т.е. член rot M.
Доказательство проводится вполне аналогично выводу формулы (59) для
дипольных зарядов. Вместо дипольных зарядов в части объема V
здесь должны рассматриваться молекулярные токи, которые
пронизывают часть поверхности, ограничивающей этот объем. Так же как
в электростатике неисчезающий вклад обеспечивали только те
диполи, которые пересекались ограничивающей поверхностью, так
и здесь следует учитывать только те молекулярные токи, которые
охватываются ограничивающей кривой. Нужно отметить одно
важное различие. В то время как отдельный атом поляризуется
(превращаясь в двойной источник) лишь под действием электрического поля,
а именно по направлению этого поля, из-за находящихся в атоме
вращающихся электронов он с самого начала является элементарным
магнитом. Но действие этих элементарных магнитов взаимно
уничтожается до тех пор, пока они не упорядочены и каждое положение
круговой орбиты электрона встречается в среднем одинаково часто.
Внешняя магнитная сила здесь выполняет лишь функцию
ориентации существующих двойных источников. В какой мере это ей
удается, зависит от интенсивности теплового движения молекул, которое
все время стремится восстановить молекулярный беспорядок. С
этим, очевидно, связано то обстоятельство, что магнитная
проницаемость зависит от температуры и область справедливости уравнения
(64) много уже, чем область применимости соответствующего
уравнения (58). Прежде всего, ему не подчиняются постоянные магниты
и ферромагнитные вещества (железо, никель, кобальт).Впрочем
подчеркнутое различие не столь резко, как мы его здесь представили.
В действительности у диамагнитных веществ основная часть
намагничения осуществляется за счет того, что поле делает магнитами
немагнитные сначала атомы (т.е. атомы, электронные токи которых
дают нулевую сумму моментов). И наоборот, при поляризации
диэлектриков решающую роль играют готовые диполи и квадруполи,
которые лишь ориентируются с помощью поля, а не создаются им,
наряду с электрическим моментом, создаваемым этим полем.
К упомянутым уже законам феноменологической теории следует
добавить также закон Ома
S = σΕ (σ = проводимость).

94 Евклидово пространство: его математическая формализация и роль в физике
Он утверждает, что ток вызывается разностью потенциалов и
для заданного проводника пропорционален ей. В атомистической
теории закону Ома соответствует основной закон механики, согласно
которому электрическая и магнитная силы, действующие на
свободные электроны, определяют их движение и, таким образом, создают
электрический ток. Из-за столкновений с молекулами электроны не
могут непрерывно ускоряться, а (точно так же, как тяжелые
падающие тела вследствие сопротивления воздуха) достигают средней
предельной скорости, которая, по крайней мере в первом
приближении, пропорциональна ускоряющей электрической силе Е. Такова
природа закона Ома.
Если ток производится гальваническим элементом или
аккумулятором, то между концами проводника с помощью химического
процесса поддерживается постоянная разность потенциалов,
«электродвижущая сила». Если процессы, происходящие в генераторе тока,
можно понять, очевидно, лишь на основе атомистической теории, то
с феноменологической точки зрения проще всего описать это,
разрезав контур там, где потенциал испытывает скачок, равный
электродвижущей силе.
Этого краткого обзора максвелловской теории стационарного
поля нам достаточно для дальнейшего. Естественно, мы не можем
позволить себе входить здесь в детали и описывать конкретные
применения.

ЗГлава 2
Метрический континуум
Обзор неевклидовой геометрии
Сомнения в справедливости евклидовой геометрии возникли, по-
видимому, столь же давно, как и она сама, и вовсе не являются,
вопреки мнению большинства наших философов, плодом
современной критической тенденции в математике [17]. Эти сомнения
издавна были связаны с пятым постулатом Евклида. Суть его
заключается в том, что на плоскости, содержащей некоторую прямую
g и не лежащую на ней точку Р, существует только одна прямая,
которая проходит через точку Ρ и не пересекается с д\ она называется
прямой, параллельной д. В то время как остальные аксиомы Евклида
всегда принимались как самоочевидные утверждения, уже
древнейшие комментаторы Евклида стремились доказать пятый постулат на
основе этих аксиом. В наши дни, когда известно, что эта цель
недостижима, эти попытки мы должны считать первоначалами
«неевклидовой» геометрии, то есть такой геометрической системы,
которая в качестве своих логических оснований принимает все аксиомы
Евклида за исключением постулата о параллельных. Нам известно
свидетельство Прокла (5 в.н.э.) о такого рода попытках. Прокл
настойчиво предостерегает от злоупотреблений ссылками на
очевидность (можно без устали повторять это предостережение, но при этом
не следует забывать, что, несмотря на эти злоупотребления,
очевидность является последней опорой всякого знания, включая
эмпирическое) и настаивает на возможности существования «асимптотических
прямых».
Мы можем обрисовать это следующим образом (см. рис.2).
Пусть на плоскости заданы фиксированная прямая д, не лежащая на
ней точка Ρ и проходящая через Ρ прямая S, которую можно вращать
вокруг этой точки Р. Будем считать, что в своем исходном положении
S перпендикулярна д. Если теперь вращать 5, то точка пересечения
s и д будет скользить вдоль д, например вправо, и наступит такой
момент, когда точка пересечения исчезнет как раз в бесконечности:
именно в этом случае s займет положение «асимптотической» прямой.
Если продолжить это вращение, то, согласно Евклиду, в тот же
самый момент точка пересечения д к s появится и слева. Прокл же,
вопреки этому, указывает на возможность существования некоторого

96
Метрический континуум
Рис. 2
определенного угла, на который следует повернуть s', чтобы точка
пересечения появилась на левой стороне s". В этом случае мы имели
две «асимптотических» прямых, одну, уходящую вправо ?, и
другую—влево s". Если прямая s, проходящая через точку Р, занимает
промежуточное положение
между s" и s* (при описанном
выше вращении), то она
пересекает д\ если она лежит между
S' и s", то она ее не пересекает.
Должна существовать по
крайней мере одна не пересекающая
д прямая; это следует из
остальных аксиом (т.е. за
исключением пятого постулата) Евклида. Я
напомню хорошо известный из
элементарного курса геометрии
рисунок, изображающий прямую h и две прямые д и д\
пересекающие h в точках А и А под одинаковыми углами, д и д' точками
пересечения с h разделяются на правую и левую половины. Если бы
теперь д и д' имели точку пересечения с А, например 5, с правой
стороны от А, то, так как фигура ВАА'В' конгруэнтна С А АС (см.
рис.3), то такая же точка пересечения S* оказалась бы и с левой
стороны. Но это невозможно, так как через две точки 5 и 5* можно
провести только одну прямую.
Попытки доказать постулат
Евклида предпринимались затем арабскими и
западноевропейскими математиками
Средневековья. Мы назовем только,
перескакивая сразу же в Новое время,
имена последних наиболее
значительных предшественников неевклидовой
геометрии: иезуитского патера Саккери
(начало 18 в.), математиков Ламберта
и Лежандра. Саккери знал, что вопрос
о справедливости постулата о параллельных эквивалентен другому
вопросу о том, равна ли сумма углов треугольника 180° или меньше
180°. Если эта сумма равна 180° в каком-нибудь одном треугольнике,
то это же будет верно для каждого треугольника, и тогда справедлива
евклидова геометрия. Если же она в каком-нибудь треугольнике
меньше 180°, то она будет меньше 180° в каждом треугольнике. То,
что она может быть меньше 180°, исключается по той же самой
причине, которая позволила нам заключить, что не все прямые,
Рис. 3

§10 Обзор неевклидовой геометрии
97
проходящие через Р, пересекают фиксированную прямую д. Ламберт
обнаружил, что при условии, что сумма углов треугольника 180°, в
геометрии существует выделенная длина. Это тесно связано с
замечанием, сделанным уже Валлисом, что в неевклидовой геометрии не
существует подобных фигур различной величины (точно так же, как
в геометрии на поверхности сферы). Если существует такое понятие
как форма (Gestalt) независимо от величины, то справедлива
евклидова геометрия. Кроме того, Ламберт вывел формулу для площади
треугольника, из которой следует, что она в неевклидовой геометрии
не может превысить некоторого значения. По-видимому, благодаря
исследованиям этих ученых, был постепенно в широких
математических кругах проложен путь к вере в недоказуемость постулата о
параллельных. Проблема пятого постулата занимала в то время
многие умы [18]; Даламбер квалифицировал создавшееся положение
в геометрии, которая так и не пришла к решению этой проблемы,
как скандальное. Даже авторитет Канта, философская система
которого расценивала евклидову геометрию как априорное знание,
адекватно представляющее содержание чистого созерцания пространства,
не мог надолго подавить эти сомнения.
Гаусс вначале также пытался доказать аксиому о параллельных,
но вскоре убедился в невозможности этого и разработал принципы
неевклидовой геометрии, в которой эта аксиома не выполнялась, до
такой степени, что отталкиваясь них, можно было с такой же
легкостью, как в евклидовой геометрии, осуществить ее
последовательное построение. Но он ничего не сообщил о своих исследованиях;
как Гаусс писал впоследствии в одном частном письме, он боялся
«криков беотийцев», потому что лишь очень немногие люди были
способны понять сущность этих идей. Независимо от Гаусса полного
понимания соотношений неевклидовой геометрии достиг профессор
юриспруденции Швейкарт, как об этом можно судить из краткой
заметки, направленной Гауссу. Подобно Гауссу, он никоим образом
не считал самоочевидным и окончательно установленным, что в
нашем действительном пространстве справедлива евклидова
геометрия. Его племянник Тауринус, которого он побудил к занятиям этой
проблемой, был, в отличие от Швейкарта, приверженцем Евклида.
Тем не менее, именно ему мы обязаны открытием того факта, что
формулы сферической тригонометрии имеют реальный смысл и на
сфере с мнимым радиусом "^Т и что на этой основе можно построить
геометрическую систему, которая удовлетворяет всем аксиомам
Евклида, за исключением пятого постулата.
Славу публичного открытия и создания неевклидовой
геометрии разделяют русский ученый Николай Иванович Лобачевский
(1793 — 1856), профессор математики в Казани [19], и венгерский

98
Метрический континуум
математик Янош Болъяи (1802—1860), офицер австрийской армии.
Оба решились выступить со своими идеями в 1826 г. Главные
сочинения обоих, в которых сообщалось об их открытии и которые
содержали обоснование новой геометрии в стиле Евклида, появились
в 1830—1831 гг. Изложение Больяи особенно прозрачно, потому что
он развивает свою систему так далеко, насколько это возможно, не
прибегая к предположению о справедливости или несправедливости
пятого постулата, и лишь в заключительной части из теорем этой
своей «абсолютной» геометрии выводит теоремы евклидовой или
неевклидовой геометрии, в зависимости от того, делается ли выбор
в пользу Евклида или против него.
Хотя здание новой геометрии было таким образом воздвигнуто,
все еще не было определенно установлено, можно ли в абсолютной
геометрии получить как следствие аксиому о параллельных. Строгое
доказательство непротиворечивости неевклидовой геометрии еще
отсутствовало. Оно появилось в результате дальнейшего развития
неевклидовой геометрии как бы само собой. Простейший путь к этому
доказательству, правда, был найден не сразу. Его нашел Клейн лишь
в 1870 г., и основан он был на построении евклидовой модели
неевклидовой геометрии . Ограничимся рассмотрением на
плоскости. На евклидовой плоскости с прямоугольными координатами х, у
построим окружность U единичного радиуса 1 с центром в начале
координат. Если ввести однородные координаты
х\ х2
х =—, у = —
х3 х3
(так, чтобы положение точки характеризовалось отношением трех
чисел χχ : л:2 : х%), то уравнение окружности можно записать в виде:
-Х\ - ^2 + х\ = 0.
Обозначим квадратичную форму, стоящую в левой части Ω(χ),
соответствующую билинейную форму двух систем переменных xit
х^ — СЦхх*). Отображение, сопоставляющее каждой точке χ
некоторую точку-образ х* посредством линейных формул
3
χί = Σ °ίΛ (Μ * °)
k= 1
называется, как известно, коллинеацией (аффинные отображения—
частный случай коллинеаций). Оно переводит каждую прямую
(точку за точкой) снова в некоторую прямую и оставляет неизменным

§10 Обзор неевклидовой геометрии
99
двойное отношение четырех точек на прямой. Составим теперь
словарь, с помощью которого понятия евклидовой геометрии
переводятся на новый, «неевклидовый», язык, слова которого мы будем
обозначать в кавычках. Этот словарь состоит только из трех слов.
«Точкой* называют каждую точку внутри круга U.
«Прямой* называется отрезок прямой, заключенный внутри U.
Среди коллинеаций, которые переводит в себя окружность Ϊ/,
имеются преобразования двух различных типов: такие, которые не
изменяют направление обхода [7, и такие, которые, наоборот,
изменяют его. Коллинеаций первого типа будем называть
«конгруэнтными» отображениями, и две фигуры, состоящие из «точек», —
«конгруэнтными* > если они могут быть переведены друг в друга таким
отображением. Для этих «точек» и «прямых» и для этого понятия
« конгруэнтности » выполняются
все аксиомы Евклида, за
исключением постулата о параллельных.
На рис.4 изображен целый пучок
«прямых», проходящих через
«точку» и не пересекающих
некоторую прямую д.
Непротиворечивость неевклидовой геометрии,
тем самым, доказана, так как
установлены объекты и отношения,
для которых при подходящем их
наименовании выполняются все
теоремы этой геометрии. Перенос 2
клейновской модели может быть, Рис· 4
очевидно, непосредственно
обобщен из случая пространства.
Определим далее в этой модели неевклидово расстояние между
двумя «точками»
А = Crt : х2 : х$ и А* = (хх* : х2' : xj)·
Прямая АА' пересекает окружность U в двух точках В^ и В2.
Однородные координаты yi каждой из этих двух точек можно
записать в форме
vi = λχ{ + λ*χ{
и соответствующее отношение параметров λ : λ' определяется из
уравнения Ω(#) = 0:

100
Метрический континуум
λ _ -Ω(χχ') ± №(χχ') - Ω(χ)Ω(^)
λ' ~ Ω(χ)
Двойное отношение четырех точек A4' В^В2 поэтому равно
[ΑΑΊ = СХхх') + №(хх?)-Ш)Ш)
Ω(χχ?) - №(хх') - Ω(χ)Ω(χ')'
Эта величина, зависящая от двух произвольных «точек» Л, А,
не изменяется при «конгруэнтном» отображении. Если Л, А', Л"—три
любые «точки», лежащие на одной «прямой» в указанном порядке,
то
[A4"] = [АА] · [А'А"].
Величина
~ lg [АА] = АА = г
обладает, таким образом, функциональным свойством
АА + АА7 = АА7.
Так кдк она, кроме того, имеет одинаковое значение для
«конгруэнтных» отрезков A4', то ее следует рассматривать как
неевклидово расстояние между двумя точками A4'. Если мы будем понимать
под lg натуральный логарифм, то, в согласии с результатом
Ламберта, получим абсолютную меру длины. Соответствующую формулу
для расстояния можно записать в более простой форме:
Ωίχχ?} * ι
Cos г = , ^Гтт (C°s = гиперболический косинус 0. (1)
Это мероопределение если взять за основу произвольное
действительное или мнимое коническое сечение Ω(χ) = 0, до Клейна
использовалось уже Кэли кдк «проективное мероопределение» , но
только Клейн понял, что для действительного конического сечения
оно ведет к неевклидовой геометрии.
Не надо думать, что модель Клейна демонстрирует конечность
неевклидовой плоскости. Более того, используя неевклидову
метрику, я могу один и тот же отрезок «прямой» откладывать
последовательно один за другим бесконечное число раз. Лишь в евклидовой
модели расстояния между полученными таким образом
«эквидистантными» точками, измеренные на основе евклидовой метрики,
становятся все меньше и меньше. На неевклидовой плоскости предель-
*)Вейль обозначает гиперболический косинус готическими буквами; современное
обозначение гиперболического косинуса — ch — прим. перев.

§10 Обзор неевклидовой геометрии
101
ная окружность U оказывается недостижимым, бесконечно
удаленным объектом.
Мероопределение Кэли для мнимого конического сечения ведет
к обычной сферической геометрии, которая справедлива на
поверхности сферы в евклидовом пространстве. Большие круги при этом
играют роль прямых линий, но каждая пара точек, состоящая из двух
диаметрально противоположных точек, должна рассматриваться как
отдельная «точка», так чтобы две «прямых» пересекались только в
одной «точке». Спроектируем точки сферы посредством
прямолинейных лучей, исходящих из ее центра, на касательную плоскость,
проведенную в южном полюсе сферы. Тогда каждые две
диаметрально противоположные точки сферы в результате этого преобразования
отобразятся в одну точку плоскости. Но, как и в проективной
геометрии, мы должны дополнить плоскость бесконечно удаленной
прямой, в которую преобразуется экваториальная окружность.
Назовем теперь две фигуры на этой плоскости «конгруэнтными» если
их отображения посредством центральной проекции сферы
конгруэнтны в обычном евклидовском смысле. При использовании этого
понятия «конгруэнтности» на плоскости тогда оказывается
справедливой такая неевклидова геометрия, в которой выполняются все
аксиомы Евклида, за исключением пятого постулата. Его заменяет
здесь тот факт, что любые две прямые, без исключения, пересекаются
и, в согласии с этим, сумма углов в треугольнике > 180°. Это, как
будто, противоречит упомянутому ранее евклидовскому
доказательству. Кажущееся противоречие разрешается тем, что в
рассматриваемой «сферической» геометрии прямая является замкнутой линией,
в то время как Евклид, не формулируя это в виде аксиомы,
молчаливо предполагал, что прямая незамкнута, то есть что каждой из
своих точек она разделяется на две половины. Только при этом
предположении становится неизбежным полученный в его
доказательстве вывод, что гипотетическая точка пересечения 5,
расположенная «справа» отлична от соответствующей точки 5*, находящейся
на «слева».
Введем в пространстве декартову систему координат xv х2, х$,
начало которой находится в центре сферы, ось х^ совпадает с линией
полюсов, а в качестве единицы длины выбран радиус сферы. Если χχ,
х2* *з~"К00Рдинаты некоторой точки сферы:
Ω(χ)^χ] + χ] + χΙ= 1,

102
Метрический континуум
Х\ х2
то —, первая и вторая координаты отображенной точки на нашей
х3 х3
плоскости χ3 = 1'» х\ '· х2 : х3 таким образом, есть отношение
однородных координат этой точки. Конгруэнтные отображения сферы —
это линейные преобразования, которые оставляют инвариантной
квадратичную форму Ω(χ). «Конгруэнтные» отображения плоскости
в смысле нашей «сферической» геометрии задаются, тем самым,
такими линейными преобразованиями однородных координат,
которые переводят в себя уравнения мнимого конического сечения
Ω(χ) = 0. В результате, наше утверждение о связи сферической
геометрии с проективным мероопределением Кэли доказано. С этим
согласуется формула для расстояния г между двумя точками А и А'
cos г = , ==. vz'
№(χ)Ω(χ')
Одновременно мы подтвердили открытие Тауринуса, что
неевклидова геометрия тождественна сферической геометрии на сфере
радиуса V-Γ. На сфере радиуса а тогда г в уравнений (2) следует
заменить отношением —, для а = ^ГТ модифицированное таким
образом уравнение (2) перейдет в уравнение (1). То, что знаки
квадратичной формы Ω в (1) и (2) различны, несущественно; это
означает лишь, что на сфере радиуса ^Т те точки мы должны
рассматривать как «действительные», для которых координаты χν
х2 являются чисто мнимыми, а х^—действительной.
Евклидова геометрия занимает промежуточное положение
между геометрией Больяи-Лобачевского и сферической геометрией.
Действительно, если мы будем переходить от действительного
конического сечения через вырожденное к мнимому, то плоскость, снабженная
соответствующим мероопределением Кэли, будет сначала плоскостью
Больяи-Лобачевского, затем—евклидовой и, наконец, сферической.
§11
Римаиова геометрия
дргоследующее развитие неевклидовой геометрии, представляющее
ЧП^для нас наибольший интерес, оказалось, благодаря Риману,
связанными с основаниями инфинитезимальной геометрией, в
частности, с теорией поверхностей в той форме, как она была
разработана Гауссом в его «Disquisitiones circa superficies curvas».
Наиболее фундаментальным (ursprünglichste) свойством
пространства является то, что его точки образуют трехмерное

§11 Риманова геометрия
103
многообразие. Как следует понимать это утверждение? Мы говорим,
например, что эллипсы (по их величине и форме, т.е. если
рассматривать конгруэнтные эллипсы как одинаковые, а неконгруэнтные как
различные) образуют двумерное многообразие, так как каждый
отдельный эллипс может быть выделен в этом многообразии
посредством двух чисел, а именно значений длин большой и малой
полуосей. Состояния равновесия идеального газа, которые
характеризуются двумя независимыми переменными—давлением и температурой,
образуют двумерное многообразие, так же как точки на сфере или
системе простых тонов (по интенсивности и частоте). В соответствии
с физиологической теорией, согласно которой ощущение цвета
определяется комбинацией трех химических процессов в сетчатке глаза
(черно-белого, красно-зеленого и желто-голубого), каждый из
которых может протекать в определенном направлении с определенной
интенсивностью, сами цвета образуют трехмерное многообразие в
отношении их качества и интенсивности, хотя цветовые качества
образуют только двумерное многообразие. Это находит
подтверждение в известной максвелловской конструкции цветового
треугольника (Farbdreiecks) [21]. Возможные положения твердого тела
образуют шестимерное многообразие, возможные положения механической
системы с η степенями свободы в общем случае — я-мерное
многообразие. Для n-мерного многообразия характерно, что каждый его
элемент (в наших примерах п — отдельные точки или состояния,
цвета или тоны) можно фиксировать указанием числовых значений
η величин, <координат>, которые являются непрерывными
функциями на этом многообразии. Сказанное не означает однако, что
многообразие в целом со всеми своими элементами представляется
(взаимно однозначной и непрерывной) системой значений η
координат (это невозможно, например, в случае сферы, η = 2). Это означает
лишь то, что, если Р—произвольный элемент многообразия, то
известная окрестность точки Ρ может быть отображена взаимно
однозначным и непрерывным образом на систему значений η
координат. Если X}—система η координат, х\ — некоторая другая система,
то значения координат *,· и х* одного и того же элемента связываются
друг с другом в общем соотношениями
*i~fi<*\*2'"*Ü (i = 1.2,~,n) (3)
которые разрешимы относительно i|hb которых fi означают
непрерывные функции их аргументов. До тех пор, пока мы ничего больше
не знаем о многообразии, мы не в состоянии выделить из множества

104
Метрический континуум
всевозможных систем координат какую-нибудь одну. Для
аналитического рассмотрения произвольных непрерывных многообразий
необходима, таким образом, теория инвариантности относительно
произвольных преобразований координат (3), в то время как в
предыдущей главе для разработки аффинной геометрии мы опирались на
существенно более узкую теорию инвариантности относительно
линейных преобразований.
Инфинитезимальная геометрия занимается изучением кривых и
поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, в которое
введена декартова система координат х, у, ζ. Кривая, вообще говоря,
является одномерным точечным многообразием; отдельные ее точки
можно отличить друг от друга посредством значений некоторого
параметра и. Если точка кривой и имеет в пространстве координаты
х, у, ζ, то эти координаты х, у, ζ будут определенными
непрерывными функциями и:
x = x(u)t y = y(u), z = z(u), (4)
и выражение (4) является «параметрическим представлением»
кривой. Если и интерпретировать как время, то уравнения (4) являются
выражением закона движения точки по заданной кривой. Но кривая
сама по себе не определяет однозначно параметрическое
представление (4), более того, параметр и можно подвергнуть произвольному
непрерывному преобразованию.
Двумерное точечное многообразие называется поверхностью; ее
точки фиксируются значениями двух параметров ut и и2, и, таким
образом, она имеет параметрическое представление вида:
x = x(u^u2)t y=y(UiU2), z = z(u]u2). (5)
Параметры и^ и и2 также можно подвергнуть произвольному
непрерывному преобразованию^ не изменяя при этом
представленную таким образом поверхности. Мы будем предполагать, что
функции (5) не только непрерывны, но также и непрерывно
дифференцируемы. Именно из этого представления (5) произвольной
поверхности исходит Гаусс в своей общей теории. Параметры и^ к и2
поэтому называют гауссовыми (или криволинейными) координатами
на поверхности. Если, например, спроектировать, как в предыдущем
параграфе, точки единичной сферы из центра (совпадающего с
началом координатной системы) на касательную плоскость в южном
полюсе ζ = 1, считая при этом х, у, г координатами произвольной
точки сферы, а uv u2 х- и ^-координатами проекции этой точки на
упомянутую плоскость, то будут справедливы соотношения

§11 Риманова геометрия
105
U\ и2 1 ,,ч
х = ι и =j, у = , .} =ζ, ζ = ι η =у. IW
Vi + и\ + г/2 Vi + г/f + г/2 Vi + u\ + ^
Это — параметрическое представление сферы. Оно охватывает,
однако, не всю сферу, но лишь определенную область вокруг южного
полюса, а именно южное полушарие до экватора, но за исключением
его самого. Другое параметрическое представление сферы, равным
образом пригодное для всей южной полусферы, мы получим, если
спроектируем произвольную точку сферы на экваториальную плоскость
и используем в качестве гауссовых координат xv х2 точки сферы
декартовы координаты ее проекции. Тогда мы будем иметь просто
* = *,, у = х2, * = Vl-*f-^. (60
Третье параметрическое представление дают географические
координаты долгота и широта.
В термодинамике мы используем в качестве географического
представления плоскость с прямоугольными координатами, на
которой состояние газа, задаваемое давлением ρ и температурой Θ, мы
представляем точкой с декартовыми координатами ρ, Θ. Мы можем
использовать здесь тот же самый способ: точке ихи2 на поверхности
сопоставим на «изображающей плоскости» (Bildebene) ее проекцию
с прямоугольными координатами uv и2. Формулы (5) представляют
тогда не только поверхность, но одновременно определенное
непрерывное отображение этой поверхности на и^-плоскость.
Примерами таких плоских отображений искривленных частей поверхности,
как известно, являются географические карты. Кривая на поверхности
математически задается с помощью параметрического представления
и\ = ttj(0» u2 = u2(t), (7)
часть поверхности же задается «математической областью» задания
переменных, которая характеризуется неравенствами, включающими
их и и2, т.е. посредством изображающей кривой, соответственно
изображающей области на и ^-плоскости. Если изображающую
плоскость покрыть координатной сеткой вроде миллиметровой
бумаги, то посредством отображения она перенесется на искривленную
поверхность в виде сети, состоящей из маленьких параллелограммов
и образованной двумя семействами «координатных линий»
их = const и«2 = const. Если ячейки этой сетки сделать достаточно
малыми, то любую заданную на изображающей плоскости фигуру
можно будет перенести на искривленную поверхность.

106
Метрический континуум
Расстояние ds между двумя бесконечно близкими точками на
поверхности:
(ии и2) и (их + duv u2 + du·})
определяется выражением
ds2 = dx2 + dy2 + dz2.
Подставим в него соотношение
dx = -— du* + -— du-y (8)
дих 1 ди2 2 v '
и аналогичные выражения для dy и dz. Тогда ds оказывается равным
квадратичной дифференциальной форме
2
ds2 = Σ 9ikduiduk (9ki = 9ik>> (9)
коэффициенты которой
_дх_дх_ ду_ду_ dz dz
tk ди{ duk ди{ duk ди{ duk
в общем случае являются не постоянными, но функциями uv и2. Для
параметрического представления сферы (6) получается, например,
2 _ (1 + и2 + и]) (du2 + du]) - (uxdux + u2du2)2 (10)
(1 + и2 + и2)2 '
Для параметрического представления (60 мы получаем, ввиду
соотношения
х\ + х\ + ζ = 1,
вытекающего из уравнения сферы
хх dxx + x2 dx2 + z dz = 0,
следующее выражение линейного элемента на сфере
2
ds2 = dx} + rfjtj + dz2 = dx} + dx\ + ** *1+2*2 *2 , или
ds2~dx\ + dx\^XxdXx\X2df. (100
\-x\-xl2
Обе квадратичные дифференциальные формы (10) и (100
переходят одна в другую с помощью такого преобразования координат,
которое связывает между собой обе гауссовы системы координат на
сфере uv u2, и xv x2, а именно:

§11 Риманова геометрия
107
или обратного ему:
Гаусс понимал, что метрическая фундаментальная форма играет
определенную роль в описании геометрии на поверхности. Длины
кривых линий, угловые величины и размеры заданных областей на
поверхности зависят только от нее. Геометрия на двух различных
поверхностях, таким образом, одна и та же, если при подходящем
параметрическом представлении коэффициенты gik метрической
фундаментальной формы обеих поверхностей совпадают.
Доказательство этого следующее. Длина некоторой произвольной кривой
на поверхности, заданной уравнением (7), определяется интегралом
ik
Если фиксировать определенную точку Р° = (их°, и2°) на
поверхности и использовать в ее окрестности относительные координаты:
и{ - и° = du(, χ - х° = dx, у - у0 = dy, ζ - ζ° = dz,
то уравнение (8), в которое следует подставить значения
производных в точке Р°, будет тем точнее, чем меньше duv du^ Мы говорим
при этом, что оно справедливо для «бесконечно-малых» значений
dux и du2. Если мы добавим аналогичные уравнения для dy, dz, то
они будут означать, что окрестность Р° — плоскость, а dux, du7—аф-
*)
финные координаты на ней Соответственно этому, мы можем в
*) При этом мы предполагаем, что определители второго порядка, которые
можно составить из коэффициентов этих уравнений
I дх ду dz I
\ди\ ди\ ди\\
дх ду dz
dü2 ди2 ди2
не обращаются в нуль одновременно. Это условие для регулярных точек
поверхности, в которых существуют касательные плоскости, выполняется.
Три определителя тогда и только тогда обращаются в нуль 0, если
поверхность вырождается в кривую, а именно, если функции х, у, ζ от щ и иг в
действительности зависят только от одного параметра, функции и\ и U2-

108
Метрический континуум
окрестности Р° использовать формулы аффинной геометрии. Мы
найдем для угла θ между двумя линейными элементами, или инфи-
нитезимальными смещениями, с компонентами du^ du^
соответственно bü\y δι/2> если симметричную билинейную форму
Σ 9ik dui5uk>
ik
соответствующую выражению (9), обозначить Q(dS)t следующее
соотношение:
η , <***>
Площадь бесконечно малого параллелограмма, натянутого на эти
смещения, будет равна
<9
ащ du2
8wj 8w2
где # означает детерминант gik. Площадь части искривленной
поверхности, согласно этому, определяется интегралом по
соответствующей области изображающей плоскости
/к
du\ du^
Тем самым утверждение Гаусса доказано. Значения полученных
выражений, конечно, не зависят от выбора параметрического
представления. Эту инвариантность относительно произвольных
преобразований параметра можно без труда подтвердить аналитическим
путем. Все геометрические соотношения на поверхности мы можем
рассмотреть и на «изображающей плоскости». Геометрия на этой
плоскости совпадает с геометрией на искривленной поверхности,
если под расстоянием ds между двумя бесконечно близкими точками
понимать не выражение, которое дается теоремой Пифагора
9 9 9
ds = du\ + du^,
а выражение (9).
Геометрия на поверхности имеет дело с внутренними
метрическими соотношениями поверхности, справедливыми независимо от
того, каким образом она вложена в пространство. Это как раз те
соотношения, которые могут быть установлены посредством
измерений на самой поверхности. Гаусс в своих исследованиях по теории
поверхностей исходил из практики геодезических измерений в
Ганноверском королевстве. То, что Земля не является плоскостью,
можно обнаружить с помощью измерений достаточно больших
участков ее поверхности. Даже если каждый отдельный треугольник

§11 Риманова геометрия
109
триангуляционной сети принимается настолько малым, что
отклонение в его пределах от плоскости можно не принимать во внимание,
тем не менее, отдельные треугольники нельзя объединить в плоскую
сеть, как это можно было бы сделать на плоской поверхности. Чтобы
показать это несколько более отчетливо, построим на сфере
единичного радиуса (земной сфере) окружность к с центром в точке этой
сферы Р. Проведем затем радиусы этой окружности, т.е. дуги
больших кругов, исходящие из Ρ и заканчивающие на периферии
круга (предполагается, что они < —). Производя измерения на сфере,
я могу теперь установить следующее. Эти радиусы, проведенные по
всем направлениям, являются линиями наименьшей длины, которые
соединяют точку Ρ с кривой к. Все они имеют одинаковую длину г,
а длина замкнутой кривой равна s. Если бы указанные построения
проводились на плоскости, то отсюда следовало бы, что «радиусы» —
прямые линии, кривая к, таким образом,— окружность, и должно
выполняться 5 = 2яг. Вместо этого, однако, находят, что s меньше,
чем это соответствует указанной формуле, а именно s = 2π sin г. Тем
самым, с помощью измерений на сфере устанавливают, что она не
является плоскостью. Наоборот, если я возьму лист бумаги, на
котором нарисую некоторые фигуры, и затем сверну этот лист в
трубку, то, измеряя эти фигуры на свернутом листе, я получу те же
самые значения, как и прежде, если это свертывание не было связано
с какими-либо деформациями. На свернутом листе справедлива в
точности та же самая геометрия, что и на плоскости. Используя
геодезические измерения, я не в состоянии установить, что этот лист
искривлен. Таким образом, на двух поверхностях, которые
переходят одна в другую посредством изгибания без деформации,
оказывается в общем случае справедлива одна и та же геометрия.
То обстоятельство, что на сфере не выполняется геометрия
плоскости, можно аналитически выразить следующим образом:
квадратичную дифференциальную форму (10) нельзя некоторым
преобразованием
их = щ(и\и*2)
и2 = и2(и[ и*2)
и\ = и\(ихи2)
и\ = и2{ихи2)
привести к виду
(du\)2 + (dutf.
Хотя мы знаем, что в каждой точке можно достичь этого с
помощью линейного преобразования дифференциалов:
du* = аг1 dux + αl2 du2 (г = 1, 2) (11)

110
Метрический континуум
не существует такого преобразования дифференциалов в каждой
точке, которое превращало бы выражения (11) для du^ du2 и в
полные дифференциалы.
Криволинейные координаты используются не только в теории
поверхностей, но также и при рассмотрении пространственных
задач, в частности, в математической физике, где часто возникает
необходимость приспособить координатную систему к заданным
телам. В связи с этим я напомню о цилиндрических, сферических и
эллиптических координатах. Квадрат расстояния ds между двумя
бесконечно близкими точками в пространстве выражается при
использовании произвольных координат xv x2t x$ квадратичной
дифференциальной формой
3
!LVikdxidxk· (12>
ι, k = 1
Если мы придерживаемся евклидовой геометрии, то мы убеждены,
что это форма посредством некоторого преобразования может быть
приведена к такому виду, что ее коэффициенты будут постоянными.
После этих подготовительных замечаний мы в состоянии понять
сущность идей Римана, которые в законченной форме были развиты
им в его докладе при вступлении в должность (Habilitationsvortrag)
«О гипотезах, лежащих в основании геометрии» . Из результатов
первой главы следует, что в трехмерном линейном точечном
многообразии, рассматриваемом в четырехмерном евклидовом
пространстве, справедлива евклидова геометрия. Но совсем другое —это
искривленные трехмерные пространства, которые существуют в
четырехмерном пространстве точно так же, как искривленные поверхности
в трехмерном пространстве. Возможно ли, чтобы наше трехмерное
пространство было искривленным? Конечно, хотя оно не вложено в
некоторое четырехмерное пространство, но, возможно, его
внутренние метрические соотношения как раз таковы, что их нельзя связать
с «плоским» пространством. Вполне допустимо, что тщательные
геодезические измерения нашего пространства точно так же, как
геодезические измерения земной поверхности, привели бы к выводу,
что оно не является плоским. Мы по-прежнему будем считать, что
наше пространство —трехмерное многообразие, и предполагать, что
бесконечно малые линейные элементы можно сравнивать друг с
другом по длине независимо от их положения и направления и что
квадраты их длин, т.е. расстояний между двумя бесконечно близкими
точками, при использовании произвольных координат х·, даются

§11 Риманова геометрия
111
квадратичной дифференциальной формой (12). (Это предположение
фактически может быть хорошо обосновано; действительно, так как
каждое преобразование одной координатной системы в другую
влечет за собой линейные трансформационные формулы для
дифференциалов координат, то при этом некоторая квадратичная
дифференциальная форма всегда переходит снова в такую же форму). Но мы
больше не предполагаем, что эти координаты можно выбрать, в
частности, «линейными», так, чтобы коэффициенты gik
фундаментальной формы были постоянными.
Переход от евклидовой геометрии к римановой основан по своей
сути на той же идее, которая привела к физике близкодействия. В
результате наблюдений мы устанавливаем, например, что ток,
текущий в проводнике, пропорционален разности потенциалов на его
концах (закон Ома). Но мы убеждены, что этот результат при его
распространении на случай длинных проводников не является
точным и общим законом природы. Такой закон можно получить,
применяя закон Ома к бесконечно малой части проводника. Тогда
мы придем к той формулировке, которая положена в основу макс-
велловой теории (Глава 1, стр.92 —93). Обратно, из
дифференциального закона, предполагая, что физические соотношения всюду
одинаковы (однородность), математическим путем можно получить
интегральный закон, который устанавливается непосредственным
наблюдением. То же самое и здесь. Основной факт евклидовой
геометрии заключается в том, что квадрат расстояния между двумя
точками есть квадратичная форма относительных координат этих
точек (теорема Пифагора). Но если этот закон считать
выполняющимся строго только в том случае, когда эти две точки
бесконечно близки, то мы придем к римановой геометрии. Одновременно
это избавляет нас от необходимости более точного установления
понятия координат, потому что сформулированный так закон
Пифагора инвариантен относительно произвольных преобразований.
Переход от евклидовой «дально»-геометрии («Fern»-Geometrie) к
римановой «близко»-геометрии («Nahe»-Geometrie) соответствует
переходу от физики дальнодействия к физике близкодействия.
Риманова геометрия—это евклидова геометрия, переформулированная в
духе концепции непрерывности; она принимает, благодаря такой
формулировке, существенно более общий характер. Евклидова даль-
но-геометрия предназначена для исследования прямой и плоскости,
на эти проблемы она и ориентирована. Но как только переходят к
инфинитезимальной геометрии, наиболее естественно и разумно
положить в основу инфинитезимальный подход Римана. Он не приводит
ни к каким осложнениям и делает излишними дально-геометрические
представления. В римановом пространстве поверхность задается

112
Метрический континуум
тоже как двумерное многообразие с помощью параметрического
представления х{ = x^üf и2). Если следующие отсюда выражения для
дифференциалов
дх{ Ъх±
dx: = τ— du* + —- du7
подставить в формулу метрической фундаментальной формы рима-
нова пространства (12), то для квадрата расстояния между двумя
бесконечно близкими точками на поверхности получится
квадратичная дифференциальная форма дифференциалов du^ и du2, (как и в
евклидовом пространстве). Метрика трехмерного риманова
пространства непосредственно переносится на любую поверхность,
расположенную в нем, и, таким образом, превращает эту поверхность в
двумерное риманово пространство. В то время как с евклидовскои
точки зрения пространство с самого начала принимается существенно
более специальной природы, чем мыслимые в нем поверхности, а
именно пространство принимается плоским, риманово понятие
пространства имеет в точности ту самую степень общности, которая
необходима для полного устранения этого несоответствия. Принцип
понимания внешнего мира на основе его поведения в бесконечно
малом —ведущий теоретико-познавательный мотив как физики близ-
кодействия, так и римановой геометрии, а также ведущий мотив в
главном грандиозном деле жизни Римана, направленном, прежде
всего, на развитие теории функций комплексного переменного.
Вопрос о справедливости «пятого постулата», с которого началось
историческое развитие, восходящее к «Началам» Евклида, в
настоящее время представляется нам только как до некоторой степени
случайное и побочное обстоятельство. Истинная сущность геометрии,
выходящая за пределы евклидовой точки зрения, как мы полагаем,
была открыта для нас Риманом.
Мы должны еще убедиться в том, что геометрия Больяи-
Лобачевского так же, как и евклидова и сферическая геометрии
(именно Риман впервые указал на сферическую геометрию как на
возможный случай неевклидовой геометрии), получаются как
частные случаи римановой геометрии. Действительно, если использовать
в качестве координат точки на плоскости Больяи-Лобачевского
прямоугольные координаты wt, u2 соответствующей ей точки в модели
Клейна, то для расстояния ds между двумя бесконечно близкими
точками с томощью (10) получится:
2 (-1 + и] + и]) (du] + du]) - (щ dux + и2 du2)2 (13)
(-1 + U] + U$)2

§11 Риманова геометрия
113
Сравнение этой формулы с выражением (10) вновь подтверждает
справедливость теоремы Тауринуса. Метрическая фундаментальная
форма трехмерного неевклидова пространства записывается вполне
аналогично.
Если бы в евклидовом пространстве можно было построить
кривую поверхность, для которой при использовании подходящих
гауссовых координат щ, и2 была бы справедлива формула (13), то
на ней выполнялась бы геометрия Больяи-Лобачевского. Такие
поверхности действительно существуют; простейшая из них
—поверхность вращения трактрисы. Трактриса — плоская
кривая, имеющая форму, изображенную на рис.5,
с одной вершиной и одной асимптотой. Она
геометрически характеризуется тем, что отрезок
касательной к ней от точки касания до точки пересечения с
асимптотой есть величина постоянная. На
поверхности вращения этой кривой вокруг ее асимптоты
оказывается справедливой неевклидова геометрия.
Эта исключительная по своей наглядности
евклидова модель была впервые указана Бельтрами . Она,
правда, обладает известными недостатками. Во-
первых, столь наглядная форма ее ограничена
двумерной геометрией и, во-вторых, каждая из двух
частей поверхности вращения, на которые оно разделяется острым
круглым ребром, реализует только часть неевклидовой плоскости.
Гильберт строго доказал, что в евклидовом пространстве вообще не
существует свободной от сингулярностей поверхности, на которой
реализуется вся плоскость Лобачевского . Обоих этих недостатков
лишена элементарно-геометрическая клейновская модель.
До сих пор мы рассуждали чисто умозрительно и оставались
целиком в области математики. Существенно отличен от проблемы
непротиворечивости неевклидовой геометрии вопрос о том,
евклидова или неевклидова геометрия справедлива в реальном
пространстве. Уже Гаусс для ответа на этот вопрос занимался тщательными
измерениями углов треугольника, образованного горными
вершинами Инзельберг, Брокен и Высокий Хаген (вблизи Геттингена), но
отклонение суммы углов треугольника от 180° находилось в пределах
ошибок измерения. Лобачевский из весьма малых величин звездных
параллаксов заключил, что отклонение геометрии реального
пространства от евклидовой должно быть незначительным. Философами
была выдвинута точка зрения, что посредством эмпирических
наблюдений нельзя доказать справедливость или несправедливость
евклидовой геометрии. И действительно во всех таких наблюдениях играет

114
Метрический континуум
роль существенно физические предположения, например, то, что луч
света —это прямая линия, и подобные этому допущения. Это еще раз
подтверждает уже сделанное выше замечание, что эмпирической
проверке доступна лишь целостная система: геометрия плюс физика.
Решающие эксперименты поэтому возможны лишь тогда, когда не
только геометрия, но также и физика формулируется в евклидовом
и в общем римановом пространстве. Мы скоро увидим, что
физические законы, например, законы электромагнитного поля, которые
первоначально были установлены в предположении лишь
евклидовой геометрии, весьма простым и лишенным произвола образом
можно перенести на риманово пространство. Но если это так, то
опыт, пожалуй, в состоянии решить вопрос о том, оправдывается ли
специальная евклидова точка зрения или мы должны перейти к более
общей римановой геометрии [22]. Однако обсуждение этого вопроса
пока еще преждевременно.
В заключение еще раз вкратце сформулируем основы римановой
геометрии, не ограничиваясь себя частным случаем η = 3.
n-мерное риманово пространство есть n-мерное многообразие, но
не произвольное, а такое, в котором мероопределение основано на
положительно определенной квадратичной дифференциальной форме.
Основные законы, посредством которых эта форма определяет
метрические величины, таковы (xi означают некоторые координаты).
1. Если д — определитель, составленный из коэффициентов
фундаментальной формы, то объем некоторой части пространства дается
интегралом
JV<7 dxx dx2 -dxn, (14)
который берется по области переменных, соответствующей этой части
пространства.
2. Если Q(db)—симметричная билинейная форма,
соответствующая фундаментальной квадратичной форме и образованная двумя
линейными элементами d и δ, расположенными в одной и той же
точке, т.е. Q(dS) есть скалярное произведение d и δ, то угол Θ,
образованный ими, вычисляется по формуле
cos9= ■ ψ* . 05)
-iQidd) · 0(δδ)
3. m-мерное многообразие Rm, лежащее в «-мерном пространстве
R (1 <*т < п), задается посредством параметрического представления:
χ. = x<ttttt2 - ит) (г = 1, 2, ..., п),

§12 Параллельный перенос и кривизна
115
сопоставляющего каждой точке (и) из RM точку (х) в пространстве
R. Подставляя дифференциалы
дх{ дх{ dxi
dXi = -г— du. + -— du0 + ... + -— dum
1 дих 1 ди2 2 дит т
в фундаментальную метрическую форму пространства, мы получаем
фундаментальную метрическую форму этого m-мерного
многообразия. Оно, таким образом, само является m-мерным римановым
пространством, и величина некоторой части его определяется
формулой (14). Точно так же могут быть вычислены длины дуг кривых
(т = 1) и площади кусков поверхностей (т = 2).
§12
Параллельный перенос и кривизна
С целью дальнейшего развития римановой геометрии, мы вернемся
сначала к теории поверхностей в евклидовом пространстве.
Пусть рассматриваемая поверхность задана параметрическим
представлением Г = τ(χχ, д:2), сопоставляющим каждой точке
поверхности (jCj, x2) B качестве ее места в пространстве такую точку Я, в
которую из закрепленной в пространстве начальной точки О
проведен вектор ÖP = г. В некоторой произвольной точке поверхности мы
проведем касательную плоскость, натянутую на два вектора
дг дт
1 дхх 2 дх2'
Будем называть поверхностными векторами (Flächenvektoren)
в точке Ρ векторы, лежащие в этой касательной плоскости и
выходящие из точки Р. Некоторый поверхностный вектор, таким образом,
можно однозначно представить в виде
X = ξ1β1 + ξ2β2,
1 2
где ξ и ξ —его контравариантные компоненты в используемой
системе координат. С координатами (χχ, х2), K которым отнесена
поверхность, в точке Ρ естественно связывается определенная
система координат et, e2, порождающая линейное многообразие
поверхностных векторов в Р. Ковариантные компоненты (X · et) = ξ^
связаны с контравариантными компонентами соотношением
ξ,· = 9i&k-

116
Метрический континуум
Перенесем поверхностный вектор X в Ρ = (jct, х2) параллельно
самому себе в пространстве в точку Р* = (х^ + dx^, х2 + dx2)
бесконечно близкую к Р. В результате в точке Р* мы будем иметь вектор
X, не являющийся в общем случае касательным к поверхности. Но
его можно однозначно разложить на составляющую, касательную к
поверхности, и бесконечно малую составляющую, нормальную к
поверхности, X = X + Хп. Согласно Леви-Чивите , можно сказать о
поверхностном векторе X в точке Р\ что он является результатом
«параллельного переноса на поверхности» поверхностного вектора
X в точке Р. Важность этого понятия основана, прежде всего, на
следующих двух фактах:
I. При бесконечно малом параллельном переносе на поверхности
длины векторов и углы между ними неизменными. Параллельный
перенос обеспечивает конгруэнтное перенесение векторной
конфигурации из точки Ρ в точку Р. Так как приращение dx поверхностного
вектора X, по определению, нормально к поверхности, то для
скалярного произведения любых двух поверхностных векторов X и у в Ρ будет
справедливо:
d(x · у) = (dx · у + (х · dy) = 0.
И. Процесс переноса зависит только от фундаментальной
метрической формы на поверхности. Только она определяет, в какой вектор
перейдет в результате параллельного переноса из точки Ρ в бесконечно
близкую точку F поверхностный вектор с компонентами ξ1.
Доказательство. Обозначим чертой сверху тангенциальные
составляющие вектора в точке поверхности Р. Бесконечно малый
параллельный перенос вектора в точке Ρ на поверхности
характеризуется тем, что 1) вектор остается при этом поверхностным и 2)
Ήχ =0. Учтя первое из этих условий X = ξ'β^, мы получим на основе
второго
ί/ξ1 здесь означают приращения компонент ξ1 вектора при
параллельном переносе на поверхности из Ρ = (rf·) вР' = (xi + dx{), а d%{ —
разность векторов ei в двух бесконечно близких друг от друга точках
Ρ и F. Если, таким образом, мы обозначим производную по xi с
помощью расположенного внизу индекса, то получим
в,- = г,·, de,- = rikdxk, Щ = r7kdxk.
Записав в виде:

§12 Параллельный перенос и кривизна
117
Tik = rikT\ + TikT2>
получим, согласно (16):
Γ^ξ1 = - ξα<7β^ = - ξαϊ^6?Χρ = - Γ^ρξ^Χρ · rf, и, следовательно,
(17)
d\l = - ^(dxt
Этой формулой полностью описывается процесс параллельного
переноса. Она означает, что приращения компонент вектора ξ1 при
бесконечно малом параллельном переносе на поверхности зависят
линейно как от переносимого вектора (ξ1), так и от соответствующего
смещения с компонентами (dx)\ Возникающие при этом
коэффициенты Ггап удовлетворяют, кроме того условию симметрии
Г1 - Г1
1 ßa ~ l aß*
Чтобы найти тангенциальную составляющую а пространственно-
— 1 2
го вектора а = α et + а е2 в точке поверхности Р, мы должны
записать условие, что вектор а - а нормален к поверхности. Это дает
два уравнения
(a.et.) = (a.et.) (i = 1,2).
откуда следует, что
g{]J = (а · е{).
Если, в частности, применить это правило к вектору гар и
записать
(Γαβ * Γί) = Γί, αβ>
то получится формула
#ι/Γαβ = Γι\ αβ> (18)
которая позволяет нам вычислять коэффициенты Г^о, входящие в
(17), из уравнения поверхности r = r(xt, x2)· Чтобы показать, что
они действительно зависят только от gik, продифференцируем
исходное соотношение
9ik = <г« · г*>
ПО Xf.
59ik
дх,
= (Γι7·ΓΛ) + (ΓΓΓΛ/) = Γ,· w + rÄii/. (19)

118
Метрический континуум
Запишем еще два уравнения, которые получаются из ( 19 ) с
помощью циклической перестановки трех индексов i, k, I:
ί^-г +г
dXk-hik + ri,ik-
Складывая первое и третье уравнения и вычитая из этой суммы
второе, получим, что все члены справа, ввиду симметрии по двум
последним индексам, исчезают, за исключением двух
ri, kl+ rt\ lk = 2rt\ kl·
откуда получается
\(d9ik д9ц dgkft
4 kl"
(20)
дх( dxk дх{)
В литературе величины, определенные формулой (20), чаще
, а соответству-
всего встречаются в обозначениях Кристоффеля
ющие величины Г^, полученные из них посредством (18), обознача-
ются < . Η 23]. Они называются трехиндексными символами
Кристоффеля. Мы только иногда будем использовать эти скобочные
символы, так как они противоречат нашему соглашению о
положении индексов.
Напомним еще одно, третье свойство нашего понятия
параллельного переноса.
III. С каждой точкой Ρ на поверхности связана одна
покрывающая окрестность Ρ система координат (х^)» в которой все
величины rfk в Ρ исчезают. В такой, «геодезической», системе
координат при параллельном переносе произвольного вектора в Ρ по
поверхности в произвольную точку Р', бесконечно близкую к точке
Р, выполняется простое уравнение άζι = 0. С геометрической точки
зрения геодезическую систему координат проще всего получить с
помощью следующего построения. Проведем в точке Ρ к поверхности
касательную плоскость Ε и спроектируем на нее поверхность. В
определенной окрестности точки Ρ эта проекция дает взаимно
однозначное соответствие между поверхностью и касательной плоскостью.
Будем использовать на плоскости Ε прямоугольные системы коорди-

§12 Параллельный перенос и кривизна
119
нат jfj, χ2 с точкой Ρ в качестве начала координат, а координатами
Xj, :г2 произвольной точки Ρ поверхности будем считать координаты
χχ, χ2 точек ее следа из плоскости Е. Чтобы убедиться в
геодезической природе этих поверхностных координат, можно использовать
декартовы координаты в пространстве, которые на плоскости Ε
совпадают с χχ, х2- Параметрическое представление поверхности
оказывается следующим
x = xv У = х2, z = z(x{x2)
и вследствие этого компоненты Tih = ——— получают значения:
tR dx{dxk
xik = 0, yik = 0, zik.
В точке Ρ вектор г^, таким образом, оказывается нормальным
к поверхности, г^ = 0и, тем самым, Г^ = 0. Выбор геодезической
системы координат для коэффициентов фундаментальной
метрической формы приводит к тому, что они в соответствующей точке
принимают стационарные значения, так как уравнения Г^ = 0
приводят, согласно (19), к обращению в нуль производных ——
ÖXi
Интерпретация Леви-Чивиты делает непосредственно
очевидным, что параллельный перенос на поверхности не зависит от
используемой на ней системы координат (д^, дг2)· Она вообще делает
ненужным применение координатной системы. Рассуждения,
ведущие к формулам (17), (18) и (20), показывают, что понятие
параллельного переноса зависит от метрики поверхности, но не от того
способа, каким она вложена в трехмерное евклидово пространство.
Чтобы совсем освободить это понятие от евклидовского пространства
вложения, следует, наоборот, определить его уравнениями (17), (18)
и (20), не прибегая к использованию пространства вложения. Тогда
возникает задача доказать, что это понятие имеет инвариантное
значение, т.е., что эта интерпретация не зависит от используемой
координатной системы. Это удается сделать с помощью несколько
более утомительного вычисления, связанного с выполнением
преобразованием одной системы координат (х^х2) в любую другую. Но этот
способ, который состоит из одних лишь вычислений, очевидно, мало
удовлетворителен. За формулами, однако, стоит более простое и
естественное понятие, с помощью которого удается так упростить
рассуждение, что ни в пространстве вложения, ни в специальных
системах координат не возникает необходимости. Но мы не можем

120
Метрический континуум
этого сделать до тех пор, пока не освободим понятие вектора от
использования пространства вложения.
Здесь, очевидно, речь идет о вспомогательном геометрическом
понятии, которое должно выразить тот факт, что бесконечно малая
окрестность точки Ρ в произвольном непрерывном двумерном
многообразии может считаться совпадающей с тем, что дает для такой
бесконечно малой области аффинно-линейная геометрия. Линейные
элементы в Ρ заменяют при этом векторами, чтобы не оперировать
постоянно с бесконечно малыми величинами. С этой точки зрения
несущественно, что рассматриваемая поверхность и ее касательная
плоскость вложены в трехмерное евклидово пространство. Для нас,
например, не имеет значения, пересекаются ли поверхность и
касательная к ней в точке Ρ и в других, удаленных от Ρ точках
пространства. Касательная плоскость — это двумерное линейное
пространство с центром О в смысле главы 1. Центр О при этом совпадает
с точкой поверхности Р, и бесконечно малая окрестность О в
касательной плоскости совпадает с бесконечно малой окрестностью
точки Р. Представим себе, что касательная плоскость проектируется
на поверхность и накладывается на нее; затем центр О касательной
плоскости отождествим с точкой Ρ и укажем отношение, или
отображение, посредством которого окрестность О на касательной
плоскости перейдет в окрестность Ρ поверхности. Это отображение
оказывается аффинно-линейным. Так мы приходим к следующему не
зависящему от пространства вложения определению, которое не
связано с конкретной размерностью пространства, например,
равной 2:
Векторное тело (векторное пространство), отнесенное к
точке Ρ данного n-мерного многообразия, является n-мерным
линейным векторным многообразием (или, что то же самое, п·мерным
линейным пространством с центром О), в котором окрестность
центра посредством аффинно-линейного преобразования
переходит в окрестность точки Ρ многообразия; при этом точки О и Ρ
совпадают. Вследствие этого преобразования каждой системе
координат χ», покрывающей окрестность точки Ρ сопоставляется в
многообразии определенный линейный состоящий из η векторов
координатный репер et, e2 ... еп, обладающий тем свойством, что
произвольный линейный элемент, исходящий из точки Ρ = (х-) и ведущий
в точку Р' = (xi + dx$ совпадает в векторном пространстве с
бесконечно малым вектором ^ dx{ · β,·. Короче говоря, координатная
t
система в многообразии индуцирует координатную систему в
векторном пространстве. Все это еще не зависит от того, введена ли в это
многообразие риманова метрика или нет. Метрика в точке Ρ

§12 Параллельный перенос и кривизна
121
однозначно переносится на векторное пространство таким образом,
что отображение бесконечно малых окрестностей точек Ρ и О
соответственно оказывается конгруэнтным отображением. Если
gik(dx)\dx) —фундаментальная метрическая форма в точке Р, то
^ξ'η —скалярное произведение двух векторов с компонентами ξ1,
η1 в соответствующем векторном пространстве.
Чтобы перейти теперь к независимой интерпретации бесконечно
малого параллельного переноса векторов, который формально
определяется уравнением (17) и (19), мы должны задать себе два вопроса.
1) Какой смысл имеет то, что этот процесс, посредством которого
векторное тело в Ρ переводится определенным образом в векторное
тело, относящееся к точке Р', выражается уравнением типа (17)?
Иначе говоря, в чем смысл того, что приращения dt? компонент ξ*
некоторого вектора зависят линейно от самих этих компонент и от
соответствующего смещения с коэффициентами пропорциональности
Г^о, которые симметричны по α и β? 2) Что означает то, что
коэффициенты Г связаны с коэффициентами gik фундаментальной
метрической формы соотношениями (19)? Ответы таковы : 1) Это
только другое выражение для указанного выше утверждения III, это
в точке Ρ имеется геодезическая система координат, и 2) Это
означает, что при бесконечно малом параллельном переносе длины
векторов остаются неизменными. Точные доказательства этому мы
дадим ниже, в §§15 и 17. Положение вещей, таким образом,
следующее. Мы не имеем априори повода отдавать предпочтение какой-
либо одной системе координат перед другими. Каждой координатной
системе, покрывающей окрестность точки Р, соответствует некоторое
возможное понятие параллельного переноса векторного тела во все
соседние точки Р\ бесконечно близкие к Р, т.е. переноса векторов
без изменения их компонент. Если наше многообразие, будучи
римановым, снабжено мероопределением, то среди упомянутых
выше, возможных самих по себе и конкурирующих друг с другом
понятий параллельного переноса, метрика выделяет единственное
посредством требования, чтобы процесс переноса оставлял
неизменными длины векторов. Я рассматриваю этот факт как основное
положение инфинитезимальной геометрии. Полученная в
результате независимая интерпретация позволяет обрисовать
принципиальное значение нашего понятия много лучше, чем первоначальная
интерпретация Леви-Чивиты, основанная на использовании
пространства вложения. Лишь теперь мы видим, несколько естественно
это понятие и что оно по праву носит название бесконечно малого

122
Метрический континуум
параллельного переноса. Многообразие, природа которого
однозначно определяет процесс бесконечно малого параллельного переноса,
я буду называть многообразием аффинной связности. Риманово
пространство, таким образом, —многообразие аффинной связности.
Но, как в линейной геометрии оказывается целесообразным, наряду
с метрической, самостоятельно разрабатывать аффинную геометрию,
так и в инфинитезимальной геометрии мы сначала рассмотрим более
общую теорию аффинно-связного многообразия, а затем —более
специальную геометрию метрического риманова пространства.
К понятию бесконечно малого параллельного переноса
примыкает ряд связанных с ним понятий. Это касается, прежде всего,
понятия прямой (геодезической) линии. Прямой мы будем называть
линию, направление которой не меняется, иначе говоря, касательная
к которой при переходе от точки к точке вдоль кривой испытывает
бесконечно малое параллельное смещение. В более общей ситуации
можно говорить о таком смещении заданного в точке Ρ вектора вдоль
произвольной исходящей из этой точки Ρ кривой, при котором он
при переходе от точки к точке испытывает бесконечно малое
параллельное перенос, и, таким образом, вектор из точки Ρ параллельно
переносится в произвольную точку Р* многообразия вдоль
некоторого пути, соединяющего точки Ρ и Р*. Но здесь тотчас же встает
вопрос: не зависит ли этот процесс от пути переноса? Удалось бы
нам, если бы мы некоторый вектор из точки Ρ перенесли в точку
Ρ по двум различным путям, в общем случае получить один и тот
же конечный вектор? Этот вопрос, очевидно, эквивалентен
следующему: если некоторый вектор так переносить вдоль замкнутой
кривой, что он в каждой точке испытывает бесконечно малый
параллельный перенос, то возвратится ли этот вектор в свое исходное
положение или нет? Вместо одного отдельного вектора мы можем
рассматривать целое векторное тело. Если вместе с движущейся в
многообразии произвольной точкой Ρ передвигать также связанное с ней
векторное тело Тр, так чтобы оно в каждый момент движения
испытывало бесконечно малый параллельный перенос, то Ίρ можно
рассматривать как своеобразный компас (Kompaßkörper).
Возвратится ли этот компас, после его переноса по замкнутому контуру, в свое
прежнее положение? Так как параллельный перенос — это
конгруэнтный перенос векторного тела, то априори ясно, что начальное и
конечное положения могут быть переведены друг в друга
посредством вращения компаса. Мы хотели бы сразу же на простом примере
показать, что такой компас при его обносе по замкнутому контуру в
общем случае не возвращается в свое исходное положение.

§12 Параллельный перенос и кривизна
123
На сфере радиуса а (в трехмерном евклидовом пространстве)
большие круги являются геодезическими линиями. При движении по
большому кругу изменение d\ касательного вектора t единичной
длины нормально самой касательной. Из равенства (t · t) = 1 следует
поэтому, что (t · dt) = 0. Кроме того, dt лежит в плоскости,
проходящей через центр сферы. Таким образом, t совпадает с
направлением нормали к сфере, т.е. t испытывает при движении вдоль кривой
параллельное перенесение на поверхности. Рассмотрим на сфере
треугольник ABC, состоящий
из дуг больших кругов, и
определим поворот, который
испытывает «компас», после
того как его центр обегает
контур треугольника (см. рис.6).
Пусть α, β, γ—внешние углы
треугольника. Проведем в
точке А касательный к линии
AB вектор X. При параллель- Д
ном переносе его вдоль AB он
остается касательным
вектором, так как
AB—геодезическая линия. В конечной точке Рис· 6
В он, таким образом, образует
со стороной ВС угол β. Введем в точке J5 еще один вектор у,
направленный вдоль стороны ВС. При параллельном переносе ВС
вдоль этот вектор у остается касательным, а угол между χ и
у—постоянным. Достигнув С, вектор X будет образовывать со
стороной ВС все еще угол β, а со стороной CA — угол β + γ. Перемещая,
наконец, его из С в Л вдоль стороны СЛ, на основе аналогичных
рассуждений, мы получим, что вектор χ придет в Л, будучи
направленным по отношению к линии AB под углом
α + β + γ или (α + β + γ) - 2π.
На этот угол следует повернуть конечное положение вектора в
А чтобы перевести его снова в начальное положение. Направление
поворота при этом выбирается так, чтобы полный обход по
геодезическому треугольнику проводился в положительном направлении.
Угол, из который следует повернуть «компас» в его начальном
положении в точке Л, чтобы перевести его в конечное положение,
составляет, таким образом, 2π - (α + β + γ) т.е. равный площади
треугольника, деленной на а .

124
Метрический континуум
На поверхности, или, как мы будем говорить, в двумерном
римановом многообразии угол Aco(G), на который поворачивается
«компас» при его обходе по границе области G, аддитивно зависит
от области G. Иначе говоря, если G разбить на какие-нибудь две
части Gt + G2, то будет выполняться соотношение
Δω(σ1 + G2) = Aco(Gt) + Δω(σ2).
Отсюда следует, что Aco(G) можно представить с помощью
известной функции К точки в форме интеграла
Δω(β) = JKdo (21)
rfo — элемент поверхности, интеграл берется по области G. Величина
К определяется как отношение бесконечно малого угла Δω, на
который поворачивается «компас» после обхода по контуру,
ограничивающему элемент поверхности Δσ в рассматриваемой точке Р, к
площади этого элемента . (В действительности, речь, конечно, идет
о пределе этого отношения, когда Δσ стягивается в точку Р. При этом
безразлично, какое направление вращения в Ρ считать
положительным, если мы только элемент Δσ обходим в том же направлении, в
котором вращение рассматривается как положительное). По
определению, «кривизна* К, очевидно должна вычисляться посредством
дифференцирования трехиндексных символов коэффициентов Г^,
определяющих бесконечно малый параллельный перенос. Это будет
выполнено обстоятельно в §16. Соответствующие инварианты
фундаментальной метрической формы — прежде всего инвариантно
связанный с метрическим полем скаляр К — были открыты впервые
Гауссом. Обобщение на я-мерное риманово многообразие
непосредственно следует из наших предшествующих рассмотрений. Однако,
аналитическое изложение сложней, потому что в случае трех и
большего числа измерений, во-первых, вращение не определяется
больше единственным углом поворота и, во-вторых, в некоторой
точке у элемента поверхности существует бесконечно много
различных положений.
Согласно приведенному выше примеру со сферическим
треугольником, гауссова кривизна К сферы радиуса а в каждой точке этой
2
сферы равна \/а . Вследствие однородности сферы, с самого начала
ясно, что кривизна всюду на сфере есть величина постоянная. В
соответствии с формулой (21), отсюда следует для каждой области G
на сфере, что
(\Л
Aco(G) = —τ · (площадь поверхности G).
W)

§12 Параллельный перепое и кривизна
125
Полезно в качестве упражнения проиллюстрировать это
соотношение для другой простой ограниченной области сферы, например,
шарового сегмента. В этом случае мы очень быстро достигаем цели
с помощью следующего рассуждения. Построим конус, который
касается сферы по окружности С, ограничивающей шаровой сегмент
(на рис. 7 слева показано меридианальное сечение). Согласно
интерпретации Леви-Чивиты, безразлично, осуществлять ли параллельное
перенесение векторного пространства вдоль окружности С на сфере
или на касательном конусе. Но конус мы можем без изменения его
метрической структуры и поэтому также без изменения его аффинной
Рис. 7
связности развернуть на плоскость, разрезав его по образующей. В
развертке окружность С и параллельно Переносимый вдоль нее
вектор χ имеют вид, показанный на рис.7. Справа: вектор χ остается
при этом параллельным самому себе в плоскости развертки.
Представим себе, что на неразрезанном конусе касательные в конечной
точке J5 совпадают с касательной в начальной точке А. Тогда
оказывается, что угол, обозначенный на рис.7 Δω, будет Как раз
углом, на который поворачивается векторное пространство при его
параллельном переносе вдоль С
Отсюда тотчас же следует
Δω = 2π(1 - cos α) = -τ · (площадь шарового сегмента).
а
Путь, по которому первоначально шел Гаусс при введении
понятия кривизны в теорию поверхностей, совершенно иной, чем
примененный здесь. На этом пути он использовал трехмерное
евклидово пространство, в которое вкладывались рассматриваемые
поверхности. Об этом можно узнать из учебников по теории
поверхностей . Геометрическое истолкование, найденное Риманом и
связанное лишь с метрическими соотношениями поверхности, которое он

126
Метрический континуум
изложил в цитированном выше диссертационном докладе
(Habilitationsvortrag), более сложно и менее естественно. Мы имеем здесь
дело с теорией кривых поверхностей лишь постольку, поскольку
хотели извлечь из нее, следуя ходу исторического развития,
независимые от нее понятия, касающиеся римановых многообразий. Как
только эти независимые понятия получены, следует, систематически
двигаясь вперед, начинать с теории отдельного (не вложенного в
какое-нибудь пространство) многообразия как простейшего и
фундаментального объекта, а теорию пространств меньших размерностей,
которые вкладываются в определенные риманово или евклидово
пространства, отодвинуть на второй план. Этот второй круг
вопросов—исследование двух многообразий с точки зрения вложимости
их друг в друга —выходит за рамки нашей темы .
Как мы видим в римановой геометрии, в отличие от евклидовой,
непосредственное сравнение векторов, удаленных друг от друга, то
есть векторов, находящихся в различных точках пространства,
невозможно. Вместо этого вводится процедура бесконечно малого
параллельного переноса вдоль некоторого пути. Но в римановой
геометрии все еще сохраняется возможность непосредственного
сравнения длин векторов, находящихся в различных местах. Первая
основная гипотеза, которую выдвигает Риман, заключается в том,
что любой из двух линейных элементов, находящихся в одном и том
же месте или разных местах, можно использовать для измерения
другого. В этом содержится, очевидно, некоторая
непоследовательность. В чистой близко-геометрии (in einer reinen Nahegeometrie)
возможность такого сравнения на расстоянии (Fernvergleich) столь
же мало оправдана для длин векторов, отрезков (Strecken), как и
для самих векторов [24]. В ней должен быть допустим только такой
принцип, который позволяет переносить некоторый масштабный
отрезок из одной точки Ρ бесконечно близкую к ней соседнюю точку
Р*. Следует также иметь ввиду, что в такой геометрии перенос одного
и того же масштабного отрезка двумя различными путями в
некоторую удаленную точку ведет к различным конечным отрезкам. Я
думаю, однако, что риманова геометрия достигает идеала чистой
инфинитезимальной геометрии лишь наполовину. Необходимо
устранить этот последний элемент «геометрического дальнодействия»
(ferngeometrische Element), который остался в геометрии от ее
евклидового прошлого . Еще одно обобщение, о котором бегло
упоминалось в гл. 1, связано с четырехмерным миром, объединяющим
пространство и время. В этом случае мы должны допустить, что
фундаментальная метрическая форма индефинитна. Но мы всегда
*) В дальнейшем Вейль использует для такой геометрии выражение «reine
Infinitesimalgeometrie», т.е. «чистая инфинитезимальная геометрия» — примеч. пер.

§13 Проблема однородности.
127
будем предполагать, что она невырождена и что число ее
положительных и отрицательных измерений всюду остается одним и тем же.
Второе предположение, впрочем, следует из непрерывности
коэффициентов д^ фундаментальной метрической формы и того
обстоятельства, что определитель gik нигде не обращается в нуль.
§13
Проблема однородности. Сущностно-абсолютное и
изменчиво-случайное в структуре пространства.
(ет никакого сомнения в том, что риманова геометрия, план
которой был эскизно изложен выше, обещает стать прекрасной
математической теорией. Но можно ли серьезно надеяться на
то, что эта теория будет иметь отношение к реальному
пространству? Пространство — форма явления, и поскольку это так, оно-
должно быть однородным. Но общее риманово пространство никоим
образом не является однородной метрической структурой.
Однородным метрическим полем обладают лишь три введенные уже в §10
геометрии: евклидова, сферическая и геометрия Больяи-
Лобачевского. Для того, чтобы более детально разобраться в этом
вопросе, мы откажемся от обоих обобщений, введенных в последнем
абзаце предыдущего параграфа, и будем придерживаться собственно
римановой геометрии с положительно определенной квадратичной
дифференциальной формой, а также иметь перед глазами прежде
всего наименьшую размерность пространства η = 2 (случай η = 1 не
представляет интереса). Природа метрики во всех точках Ρ
пространства одинакова. Какова бы не была точка Р, я могу всегда, вводя
собственную систему координат, достичь того, чтобы
фундаментальная метрическая форма в Ρ имела вид: dx^ + dx^. Равным образом
и аффинная связность точки Ρ с точками ее окрестности имеет
одинаковую природу во всех точках пространства, так как где бы ни
находилась точка Р, мы можем всегда ее окрестность охватить такой
системой координат, что для любого вектора (ξ1) в Ρ при его
параллельном переносе в соседние бесконечно близкие к точки
выполняется уравнение άζι = 0. Таким образом, многообразие
оказывается априори однородным в двояком смысле. Метрика в
некотором месте определяется значениями gik, аффинная связность
—значениями их первых производных в той же точке. Поэтому можно
сказать, что однородность имеет нулевой и первый порядок
дифференцирования. Однородность более высокого порядка, начиная со
второго, не существует. Кривизна, которая возникает посредством
дифференцирования из аффинной связности, в общем меняется на

128 Метрический континуум
поверхности от места к месту. Но если многообразие метрически
однородно, то недопустимо, чтобы можно было сделать в одном месте
какое-либо метрическое высказывание, которое было бы
несправедливым во всяком другом месте. Поэтому кривизна должна быть
постоянной (λ). Но двумерное риманово многообразие постоянной
кривизны λ имеет, как можно показать, следующую
фундаментальную метрическую форму (при подходящем выборе системы
координат х^х2):
Цхх dxx + х2 dx2)2
(dxi + dxz2) + 2 , .
1 - λ{χ\ + дф
Этот результат распространяется и на большее число измерений.
Если закон, согласно которому элемент поверхности определяет
вращение, испытываемое 4компасом» при его обносе вокруг этого
элемента поверхности, не должен зависеть от места и положения
элемента поверхности, то фундаментальная метрическая форма п-
мерного риманового многообразия, в собственной системе координат,
имеет следующее выражение:
где λ—постоянная, (г, у) — сокращенная запись для суммы
Х\У\ + *2#2 + ·· + хпУп- С-ЛУ421" λ = 0 дает евклидову геометрию,
λ > 0 —сферическую, λ < 0 —геометрию Больяи. В этих
обстоятельствах не только линейный элемент не зависит от положения и
направления, но также и произвольная конечно протяженная фигура
может конгруэнтно, без изменения своих метрических соотношений
переноситься в произвольное место и устанавливаться в
произвольном направлении. Тем самым мы возвращаемся к понятию
конгруэнтного отображения, с которого началось в §1 наше изучение
пространства. Легко указать группу Οχ всех конгруэнтных отображений
риманова пространства с фундаментальной метрической формой
(22). Это —группа всех преобразований, оставляющих форму (22)
инвариантной. Среди трех указанных случаев евклидова геометрия
характеризуется тем, что из ее группы конгруэнтных отображений
выделяется группа переносов с особыми, разъясненными в §1,
свойствами. Сформулированный только что «закон однородности»
обсуждался уже Риманом в его диссертационном докладе и более
обстоятельно был обоснован Бельтрами, Липшицем, Ф.Шуром .
С более глубокой, теоретико-групповой точки зрения проблема
однородности была поставлена первоначально Гельмгольцем .

§13 Проблема однородности.
129
Гельмгольц, предполагает справедливость теоремы Пифагора в
бесконечно малом и даже измеримость линейного элемента, он говорит
лишь о действительно фундаментальном понятии геометрии, группе
конгруэнтных отображений пространства G. Однородность мест, по
Гельмгольцу, выражается в том, что к группе G должно
принадлежать отображение, которое точку Ρ переводит в любую другую
заданную точку Р*. Равноправие всех исходящих из точки Ρ
направлений далее находит свое выражение в том, что среди конгруэнтных
отображений, оставляющих неподвижной точку Р, существует такое,
которое переводит некоторое исходящее из Ρ направление в любое
другое заданное направление. От «элементов направления» нулевого
и первого порядков (точка и линейное направление) можно перейти
к элементам направления более высокого порядка (поверхностное
направление и т.д.). Тем самым мы приходим к следующей
формулировке постулата об однородности я-мерного пространства:
существует отображение, принадлежащее группе G, которое переводит
некоторую систему Σ инцидентных (inzidenter) элементов
направления от нулевого до (п - 1)-го Σ порядка в эквивалентную ей
произвольно заданную систему Σ'. Среди отображений группы G должно
существовать единственное, которое переводит эту систему Σ в себя;
это—единица группы. Замечательное теоретико-групповое
утверждение, доказанное Гельмгольцем и затем более общим и строгим
образом —С.Ли , заключается в том, что единственными группами
G, удовлетворяющими выше сформулированному условию,
являются группы Gx. Другими словами, группы описанного вида с
необходимостью оставляет инвариантной известную положительно-
определенную квадратичную дифференциальную форму ds
которой, подходящим выбором координат можно придать вид (22).
Может показаться, таким образом, что из всего множества
возможных геометрий, которые охватываются римановым понятием,
следовало бы с самого начала рассматривать только те, которые
определяются фундаментельной метрической формой (22), а все
остальные отвергнуть как не имеющие смысла (из-за
неопределенности постоянной получается три качественно различных геометрии,
соответствующих значениям λ = О, +1, -1). Согласно исследованию
Гельмгольца, переход к этим геометриям через общую риманову
геометрию выглядит, как обходной путь, который не требуется
существом дела. Сам Риман думал об этом иначе. Совершенно иная
концепция предстает перед нами в его общей инфинитезимальной
геометрии с характерным для нее неоднородным метрическим полем.
Об этом говорят заключительные слова его доклада. Современники
Римана едва ли могли понять его мысли во всем их значении, и эти
слова остались неуслышанными (только в некоторых статьях

130
Метрический континуум
В.К.Клиффорда доносится до нас одинокое эхо) [25]. Только теперь,
когда Эйнштейн открыл нам глаза своей теорией тяготения, мы
можем понять, что собственно скрывается за ними. Для лучшего
понимания Римана я замечу сразу, что в конце своего доклада он
противопоставляет непрерывному многообразию дискретное
многообразие, состоящее из отдельных изолированных элементов. Мера
каждой части такого многообразия дается числом принадлежащих
этой части элементов. Поэтому дискретное многообразие содержит
принцип своего мероопределения, как говорит Риман, в себе самом
априори. Вот собственные слова Римана:
«Вопрос о том, справедливы ли допущения геометрии в
бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине
возникновения метрических отношений в пространстве. Этот вопрос,
конечно, также относится к области учения о пространстве, и при
рассмотрении его следует принять во внимание сделанное выше замечание о
том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических
отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия,
тогда как в случае непрерывного многообразия его следует искать
где-то в другом месте. Отсюда следует, что или то реальное, что
создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или
же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений
чем-то внешним—силами связи, действующими на это реальное.
Решение этих вопросов можно найти лишь в том случае, если,
исходя из ныне существующей и проверенной опытом концепции,
основа которой положена Ньютоном, станем постепенно ее
совершенствовать, руководствуясь фактами, которые ею объяснены быть не
могут; такие же исследования, как произведенное в настоящей
работе, именно, имеющие исходным пунктом общие понятия, служит
лишь для того, чтобы движению вперед и успехам в познании связи
вещей не препятствовали ограниченность понятий и укоренившиеся
предрассудки.
Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой
науке —физике, и переступить его не дает нам повода сегодняшний
день» [26].
Если отказаться от первой возможности («то реальное, что лежит
в основе пространства, образует дискретное многообразие»), —хотя
нельзя поклясться, особенно сегодня, перед лицом квантовой теории,
в том, что именно на этом пути не будет найдено окончательное
решение проблемы пространства,—то Риман отрицает, таким
образом то, что до сих пор принималось всеми а именно, что метрика
пространства с самого начала не зависит от физических процессов,
ареной для которых оно служит и что реальность в этом метрическом
пространстве как бы снимает для себя готовое помещение. Более
того, он утверждает, что пространство само по себе—лишь

§13 Проблема однородности.
131
бесформенное (formlose) трехмерное многообразие и что лишь
материальное содержание, заполняющее его, оформляет его и
определяет его метрические соотношения. Остается задача выяснить,
по каким законам это происходит, но, во всяком случае,
фундаментальная метрическая форма изменяется во времени, как изменяется
и материя. Возможность перемещения тела в пространстве без
изменения метрических соотношений осуществляется, если тело в своем
движении увлекает за собой созданное им метрическое поле (которое
определяется фундаментальной метрической формой). Гибкий лист
жести, идеально облегающий заданную поверхность, не может,
вообще говоря, двигаться по ней так, чтобы он на всем своем
протяжении продолжал облегать эту поверхность. Но свободная подвижность
этого жестяного покрытия появляется, если поверхность не
закрепляется, а может двигаться, увлекая в своем движении и это покрытие.
Так же происходит и в случае, когда в роли поверхности выступает
метрическое пространство. Или возьмем другой пример: некоторая
масса, которая под действием силового поля, созданного ею самой,
принимает некоторую равновесную форму, должна
деформироваться, когда силовое поле удерживается» а масса перемещается в другое
место. Но в действительности эта масса при достаточно медленном
движении сохраняет свою форму, так как она увлекает за собой
созданное ею силовое поле.
В римановом пространстве фундаментальной метрической форме
можно в произвольной точке Ρ путем подходящего выбора координат
придать евклидово-пифагорейский вид:
2 2 2
dx\+ dx2 + ... + dx .
В этом проявляется то обстоятельство, что метрика всюду имеет
одинаковую природу. Но система координат, в которой эта
нормальная форма устанавливается, как мы будем говорить, характеризует
ориентацию (Orientierung) метрики. Метрики в различных точках
различаются не своей природой, а только их ориентацией друг
относительно друга. Аналогичная терминология служит нам в
евклидовой геометрии на плоскости с характерными для нее декартовыми
системами координат, когда мы говорим: все квадраты имеют
одинаковую природу, так как при подходящем выборе декартовых
координат, заданный квадрат можно всегда представить одними и теми
же неравенствами
0<*<1, 0<*/<1. (23)
Эти квадраты различаются, однако, своей ориентацией.
Координатная система, в которой квадрат имеет нормальное представление
(23), меняется при переходе от квадрата к квадрату. С помощью
этого различия между природой и ориентацией мы можем так
описать суть нового понимания Римана. Природа метрики характеризует

132
Метрический континуум
априорную сущность пространства в метрическом отношении. Она
поэтому абсолютно определенная характеристика и не влияет на ту
неискоренимую неопределенность, которая связана со структурой
риманова пространства. Взаимная ориентация метрик в различных
точках пространства определяется не сущностью пространства, а
апостериорным, т.е. случайным (zufällig) образом. Действительно,
взаимная ориентация метрик находится в причинной зависимости от
материи и, будучи сама по себе неопределенной, как и другие
непрерывно изменяющиеся величины, никогда не может быть точно
установлена рациональным образом без непосредственных
наглядных ссылок на реальность. Таким образом, риманова концепция не
отрицает существования априорных элементов в структуре
пространства; только граница между положениями априори и апостериори
сдвигается. Для физики отсюда следуют две проблемы. Первая
—исследовать законы, в соответствии с которыми метрическое поле
воздействует на материю (такое влияние, несомненно, существует,
так как мы используем именно физически поведение твердых тел и
световых сигналов, чтобы по нему определить метрическое поле; их
поведение поэтому должно существенным образом обуславливаться
метрическим полем). Вторая проблема состоит в том, чтобы
выяснить, позволяют ли наблюдаемые явления вследствие их взаимосвязи
с метрическим полем определить изменения этого метрического поля
и, если позволяют, то установить законы, которые управляют этими
изменениями в зависимости от материи. Выполнив эту программу,
Эйнштейн триумфально завершил развитие идеи Римана (не испытав
при этом непосредственного влияния со стороны Римана). Его новая
фундаментальная концепция, существенно развивающая идеи
Римана, заключалась в том, что в явлениях гравитации проявляется
изменение метрического поля. Но ретроспективно, с точки зрения
Эйнштейна мы знаем, что удовлетворительная теория на основе идей
Римана могла возникнуть лишь после того, как к трем
пространственным измерениям было добавлено в качестве четвертого измерения
время таким способом, как этого требует так называемая специальная
теория относительности. Развитию Эйнштейном специальной и
общей теории относительности посвящены III и IV главы этой книги.
Но и для математики риманова концепция ведет к новому пониманию
проблемы пространства. До тех пор, пока метрическая структура
считалась чем-то уникальным, абсолютным, естественно было
пытаться рационально, на основе принципиальных требований постичь
метрическую структуру действительного пространства. Я думаю,
каждый согласится, что эта задача вполне удовлетворительно
решается теорией Гельмгольца —Ли и ничего лучшего желать и нельзя.
Но если мы встанем на точку зрения Римана —Эйнштейна, то,
конечно, не может быть больше речи о том, чтобы рационально

§14 Тензоры и тензорные плотности
133
понять метрическое поле в его случайном количественном изменении.
Только для всюду одинаковой пифагорейской природы метрики,
можно еще поставить эту задачу. Требование однородности Гельм-
гольца, связанное со старым пониманием сущности метрики
пространства и разрушающееся вместе с ним, должно быть заменено
совершенно иным постулатом. Новая проблема пространства,
возникающая здесь, сформулирована и решена автором; к ней мы вернемся
в конце этой главы.
Концептуальные основы теперь заложены и мы можем, не медля,
начать систематическое построение «чистой инфинитезимальной
геометрии», которая естественным образом располагается на трех
этажах : от любого подходящего определения континуума через
многообразие аффинной связности к метрическому пространству.
Эта теория длительное развитие идей, в которой, как мне кажется,
достигает своей цели и результаты этого развития получают свою
окончательную форму, является подлинной геометрией, учением о
самом пространстве, в отличие от одной лишь геометрии Евклида
и почти всего того, чем обычно занимались, назьгоая это геометрией, то
есть учения о возможных в пространстве образах. Параллельно с
развитием геометрии мы должны разрабатывать и тензорное исчисление.
§14
Тензоры и тензорные плотности на произвольном многообразии
n-мерное многообразие. Согласно описанному выше эскизному
построению будем предполагать сначала, что пространство — лишь
w-мерный континуум. Оно может быть задано поэтому η
координатами xlf %2 хп, каждая из которых в каждой точке многообразия
обладает численным значением; различным точкам соответствует
различные совокупности значений координат. Если ~х[, ~х^, ... Тп —
некоторая вторая система координат, то между координатами χ и χ
одной и той же произвольной точки имеются соотношения
xx = ffi\>*2' -*я) 0 = *> 2> ··> ")> (24)
которые выражаются известными функциями Д·. Мы предполагаем,
что эти функции не только непрерывны, но и имеют непрерывные
производные
<** =
dxk9
причем определитель |а^| не обращается в нуль. Последнее условие
необходимо и достаточно, чтобы в бесконечно малом выполнялась
аффинная геометрия, а именно, чтобы между дифференциалами
координат в обеих системах имели место обратимые линейные соотношения:

134
Метрический континуум
k
Мы, таким образом, в нашем многообразии не в состоянии
отличить прямую линию от кривой, но существует различие между
«гладкими» кривыми с непрерывно изменяющейся касательной и
«бесконечно кудрявыми» кривыми, не имеющими касательных,
вроде кривой, построенной впервые Вейерштрассом. Наглядный
смысл нашего предположения заключается поэтому, в том, что
многообразие должно быть не только непрерывным, но также и
«гладким» (не бесконечно кудрявым). Существование непрерывных
высших производных мы будем допускать там, где это понадобится
в ходе исследования. Понятие непрерывной и непрерывно
дифференцируемой функции точки, возможно, также 2-го, 3-го и более
высоких порядков дифференцируемости имеет в каждом случае
инвариантный, не зависимый от координатной системы смысл. Сами
координаты являются такими функциями.
Понятие тензора. Относительные координаты dx{ некоторой
точки F = (xi + dx{), бесконечно близкой к точке Ρ = (χ.) являются
компонентади линейного элемента в Р, или бесконечно малого
смещения РР' из точки Ρ в точку Р'. При переходе к другой системе
координат для этих компонент справедливы формулы (25), в
которых а^ —это значения производных в точке Р. Бесконечно малые
смещения будут играть в тензорном исчислении такую же роль, как
смещения в гл.1. Но следует обратить внимание на то, что здесь
смещение существенно связано с точкой Р, что нет никакого смысла
говорить о бесконечно малых смещениях двух различных точек,
независимо от того, одинаковы они или нет. Можно было бы,
конечно, принять соглашение называть бесконечно малые смещения
двух точек равными, если они имеют одинаковые компоненты. Но
из того факта, что сс^ в (25) не являются постоянными, следует, что,
если это верно в одной системе координат, то это не выполняется в
некоторой другой системе. Мы можем, в силу этого, говорить о
бесконечно малом смещении только одной точки, а не всего
пространства, как в гл.1, и поэтому не о векторе или тензоре вообще, а о
векторе или тензоре в одной точке Р. Тензор в Р—это некоторая
зависящая от координатной системы линейная форма нескольких
переменных (система координат при этом включает окрестность
точки Р), если эта зависимость следующего рода: выражения
линейной формы в каких-нибудь двух системах координат хих переходят
друг в друга, когда переменные с верхними индексами преобразуются

§14 Тензоры и тензорные плотности
135
когредиентно, в переменные с нижними индексами — контрагредиент-
но дифференциалам dxit первые, таким образом, согласно уравнению
k
вторые—согласно уравнению
ς«Σ«&*· (26)
k
Под а^ при этом понимаются значения этих производных в точке
Р. Коэффициенты линейной формы называются компонентами
тензора в соответствующей системе координат. Они ковариантны по тем
индексам, которые относятся к переменным с верхними индексами,
и контравариантны по остальным индексам. Возможность введения
понятия тензора основана на том обстоятельстве, что для
дифференциалов переход от одной системы координат к другой выражается
линейным преобразованием. Здесь используется одна из наиболее
плодотворных математических идей — линеаризация задачи
посредством редукции к бесконечно малым. Всю тензорную алгебру,
операциями которой связываются друг с другом тензоры, заданные
лишь в одной и той же точке Р, можно теперь в полностью
неизменном виде заимствовать из гл.1. Также и здесь мы будем
называть тензоры 1-го ранга векторами. Имеются ковариантные и
контравариантные векторы. Там, где используется слово вектор без
дальнейшей детализации, мы будем иметь ввиду всегда контравариан-
тный вектор. Это соответствует тому, что с геометрической точки
зрения, описание которой было дано на стр.120, вектор естественно
связывается именно с этим общим понятием тензорного исчисления.
Единичные векторы, связанные с системой координат в точке Ρ
обозначаются е,·. Каждый вектор χ в точке Ρ можно представить как
линейную комбинацию этих единичных векторов. Поэтому, если ξ1 —
компоненты вектора, то
χ = ξ1β1+ξ2β2 + ... + ξ"β„.
Единичные векторы ei другой координатной системы χ
получаются из ei по формуле:
•«· = Σ°ΐ·*·
k
Возможность перехода от ковариантных к контравариантным
компонентам тензора здесь, конечно, не подвергается обсуждению.
Каждые два линейных элемента (линейно независимые друг от

136
Метрический континуум
друга) с компонентами (dx)\ (8х)г образуют натянутый на них
элемент поверхности с компонентами
(dxf (8x)k - (dx)k (δχΫ = (Axf,
каждые три таких линейных элемента — элемент трехмерного
пространства и т.д. Инвариантные дифференциальные формы, которые
линейно зависят от произвольного линейного элемента,
соответственно элемента поверхности, —это «линейные тензоры» (или, что то же,
ковариантные кососимметричные тензоры, см. §7). Старое правило
об опускании знака суммы сохраняется.
Понятие кривой. Если каждому значению некоторого параметра
5 сопоставить непрерывным образом точку Ρ = P(s) и S придать
смысл времени, то этим будет задано «движение». Мы будем
использовать это название за неимением другого, чисто математического,
выражения также и тогда, когда мы не имеем в виду такого смысла
параметра s. В определенной системе координат мы получаем
выражение движения
х{ = x{(s). (27)
— через η непрерывных функций х,(5), которые мы принимаем не
только непрерывными, но и непрерывно дифференцируемыми. При
переходе от значения параметра s к значению параметра s + ds
соответствующая точка Ρ испытывает бесконечно малое смещение с
компонентами dx{. Разделим этот вектор в точке Ρ на ds и получим
dx{
тогда «скорость*, вектор в точке Ρ с компонентами -т- = иг.
Соотношение (27) одновременно является параметрической формой
записи траектории движения. Два движения тогда и только тогда
описывают одну и ту же кривую, когда одно движение переходит в
другое при таком преобразования s = ω(5) параметра s, которое дается
непрерывной (и непрерывно дифференцируемой) монотонной
функцией ω. Для кривой в точке определены не сами компоненты скорости,
а только их отношения (характеризующие направление кривой).
III. Тензорный анализ. Тензорное поле определенного рода
задано в некоторой области пространства, если каждой точке Ρ этой
области поставлен в соответствие тензор соответствующего рода в
Р. По отношению к системе координат компоненты тензорного поля
ведут себя как определенные функции координат «бегущей» точки Р.
Мы предполагаем их непрерывными и непрерывно
дифференцируемыми. Тензорный анализ, развитый в §8 гл.1, нельзя без изменений
перенести на произвольный континуум. При построении процесса

§14 Тензоры и тензорные плотности
137
fi dxj
дифференцирования мы использовали там ковариантные и контра-
вариантные векторы, компоненты которых были независимы от
места. Это условие инвариантно относительно лишь линейных, но
не произвольных преобразований, так как при таких
преобразованиях а^ не являются постоянными. В произвольном многообразии
вследствие этого, как мы теперь покажем, можно обосновать лишь
анализ линейных тензорных полей. Скалярное поле /"так же и здесь
порождает посредством дифференцирования, независимо от
координатной системы, некоторое линейное тензорное поле с компонентами
iL (28)
Ч
линейное тензорное поле 1-го ранга /^—соответствующее поле 2-го
ранга:
t sfÜ*_.?!L. (29)
iik ас,- dxk'
аналогичное поле 2-го ранга fik—линейное тензорное поле 3-го ранга:
, dfkl dfli dfik (30)
Если φ—заданное скалярное поле в пространстве, а xi и 3^—
какие-нибудь две системы координат, то скалярное поле в каждой из
этих систем выражается некоторой функцией xi и 3^ соответственно:
φ = f{xxx2...xn) =J(x^...lQ.
Образуем приращение φ при бесконечно малом смещении точки
аргумента, тогда получим
dq> = У "Г^ ох,- = У ·ζ= (Щ-
ι ι ι г
Отсюда следует, что -~ образуют компоненты ковариантного
тензорного поля 1-го ранга, которое возникает из скалярного поля
φ независимо от системы координат. Здесь мы имеем простой пример
понятия векторного поля. Одновременно атим показано, что
операция «grad» носит инвариантный характер не только относительно
линейных преобразований, но и относительно произвольных
преобразований координат, как мы уже утверждали.

138
Метрический континуум
Чтобы получить (29), мы проделаем следующее построение. Из
точки Ρ = Ρ00 проведем два линейных элемента с компонентами
dx{ и δχ{ соответственно в две бесконечно близкие к Ρ точки Р10 и
Pq v Сдвинем (проварьируем) линейный элемент dx так, чтобы его
начальная точка описывала отрезок ί\)θΛ)1' a его конечная точка
перешла в точку, определяемую вектором PqqPq\· Этот процесс мы
обозначим как смещение δ. Компоненты dxi принимают при этом
приращения δ dxv так что можно записать
δ dx{ = {xtiPu) - χ{(Ροχ)) - Ц(Р10) - х{(Р00)}.
Переставим теперь операции d и δ. С помощью аналогичного
смещения d линейного элемента δχ вдоль отрезка Pqo^IO пРи котоРом
он переходит в положение Р^Р'^. Компоненты линейного элемента
получают приращения
δ dx{ = {х{(Р'и) - χ.(Ρ01)} - {xf<P01) - χ{(Ρ00)}.
Отсюда следует
^,.-δΛτ,· = *,</>,,')-*,·(/>,,). (31)
Тогда и только тогда, когда точки Рх х и Р\ t совпадают, т.е. когда
оба линейных элемента dx и Ьх при их смещениях δ и d соответственно
заметают бесконечно малый параллелограмм, получается
соотношение
dbx{ - bdx{ = 0. (32)
Если теперь задано ковариантное векторное поле с компонентами
Д·, то можно образовать приращения инварианта df=fidxi при
смещении δ
bdf^tfidXi+ffidXi.
Если поменять местами d и δ и вычесть из последнего первое, то
получится:
Af = (db - bd)f = {dffix{ - δ/; dx{) + ffßbxt - δ dx},
и, если оба смещения образуют один и тот же бесконечно малый
параллелограмм, получается, в частности,
&(=а(кЬхк-ЬЬах{ =
(df. dfA {(dfk dfA у
1 lk ltxdxfixk = f-± -Ai/a^«*
dx{ dxi
дХ; дхь
kJ (33)

§14 Тензоры и тензорные плотности
139
При желании, можно избежать, вероятно, слишком рискованных
операций с бесконечно малыми величинами, заменив
дифференциалы производными. Так как бесконечно малый элемент поверхности
можно считать только частью (или точнее: пределом части)
произвольно малой, но конечно протяженной области поверхности;
обоснование этой точки зрения выглядит следующим образом.
Сопоставим каждой паре значений двух параметров s и t (в определенной
окрестности 5 = 0, t = 0) некоторую точку (st) нашего многообразия.
Пусть функции х- = xfot), которые представляют «двумерное
движение» (происходящее на поверхности) в некоторой координатной
системе xit дважды непрерывно дифференцируемы. В каждой точке
с1х{ dx{
(st) существуют два вектора скорости с компонентами —г- и -тт*.
Можно так выбрать параметры, чтобы заданной точке Ρ = (0 0)
соответствовали их значения 5 = 0 и ί = 0 и чтобы оба вектора
скорости совпадали с двумя произвольно заданными векторами иг,
Vх (для этого достаточно xi считать линейными функциями s и t).
Пусть знак дифференцирования d соответствует взятию производной
по -т-, а δ—дифференцированию по —. Тогда можно записать
dx{ dfi dx{ dxk d2x{
Переставляя операции δ и d и вычитая из первого результата
второй, получим
Шк dfAdx{dxk
&f=dbf-bdf =
дх{ дхк)
ds dt '
(330
Подставив сюда значения параметров s = 0 и t = 0, мы получим
инвариант в точке Р, зависящий от двух произвольных векторов и,
ν в точке
Связь с инфинитезимальными рассмотрением состоит в том, что
оно проводится здесь в строгой форме для бесконечно малых
параллелограммов, в которых поверхность х» = xfot) разделена
координатными линиями 5 = const и t = const.

140
Метрический континуум
Вспомним в этой связи теорему Стокса. Инвариантный
линейный дифференциал Д· dx± называется интегрируемым, если интеграл
от него по любому замкнутому контуру, «интегральный вихрь»,
равен нулю (что, как известно, возможно лишь для полного
дифференциала). Пусть произвольная поверхность, заданная
параметрически xi = xfat), лежит внутри замкнутого контура. Разделим ее
координатными линиями на бесконечно малые параллелограммы.
Вихрь, взятый по контуру всей поверхности, можно затем свести к
отдельным вихрям по этим малым петлям, значения которых для
каждой петли даются нашим выражением (330 (умноженным на
ds dt). Так получается дифференциальное разложение
интегрального вихря, и тензор (29) —есть мера «интенсивности вихря» в каждой
точке.
Аналогичным образом можно перейти к следующему рангу (30).
Вместо бесконечно малых параллелограммов теперь используются
трехмерные параллелепипеды, построенные на трех линейных
элементах d, δ, d. Сокращая вычисления, получаем
dfik
d(fik dXi8xk) = — dxfixkAxt + fik(A dx{ · bxk + d8xk · dxx). (34)
Вследствие того, что fki = -fik, второе слагаемое справа
оказывается равным
fik(d dx{ · bxk - άδχ( · dxk). (340
Сделав в (34) три циклические перестановки d, δ, d и сложив
полученные результаты, мы получим что в силу условий симметрии
(32) шесть членов, возникших на основе (340, попарно взаимно
уничтожаются.
Понятие тензорной плотности. Если J W dx, в котором dx
представляет собой краткую запись элемента интегрирования, dx^
dx*} ... dxn> есть некоторый интегральный инвариант, то W есть
величина, зависящая от системы координат, таким образом, что при
переходе от одной системы к другой она умножается на абсолютную
величину функционального определителя. Если мы будем понимать
этот интеграл как меру некоторого количества субстанции,
заполняющей область интегрирования, то W будет иметь смысл плотности
этой субстанции. Величину описанного типа естественно поэтому
назвать скалярной плотностью. Это —важное понятие, оно
равнозначно с понятием скаляре и не может быть сведено к нему. Точно
также можно говорить и о тензорной плотности. Линейная форма
нескольких переменных, зависящая от координатной системы
(переменные при этом могут иметь и нижние, и верхние индексы) называется

§14 Тензоры и тензорные плотности
141
тензорной плотностью в точке Р, если при переходе от одной системы
координат к любой другой выражение этой формы умножается на
абсолютную величину функционального определителя
Δ = abs |α£|
преобразование переменных при этом происходит в соответствии со
старой схемой (26). Такие выражения, как компоненты, ковариант-
ный, контравариантный, симметричный, кососимметричный, поле и
др. используются здесь точно так же, как и для тензоров.
Противопоставляя тензоры тензорным плоскостям, как мне кажется, удается
строго описать различие между количеством (Quantität) и
интенсивностью (Intensität), которое имеют важный физический смысл:
тензоры —это величины, характеризующие интенсивность, а
тензорные плотности —количественные величины [27]. Как и среди
тензоров играют важную роль ковариантные кососимметричные
тензоры, так и среди тензорных плотностей выделяются своим
значением контравариантные кососимметричные тензорные плотности,
которые мы будем называть для краткости линейными тензорными
плотностями.
Алгебра тензорных плотностей. Как и в области тензоров мы
имеем здесь следующие операции:
1. Сложение тензорных плотностей одного вида, умножение их
на числа.
2. Свертка.
3. Умножение тензора на тензорную плотность (но не умножение
двух тензорных плотностей друг на друга). Это объясняется тем, что
при умножении двух скалярных плотностей, например, результат,
будет уже на скалярной плотностью, а величиной, которая при
переходе от одной координатной системы к другой умножается на
квадрат функционального определителя. Умножение же тензора на
тензорную плотность всегда дает тензорную плотность (ранг которой
равен сумме рангов сомножителей). Так например, при умножении
контравариантного вектора f на ковариантную тензорную плотность
Wt-£ мы независимым от системы координат образом получаем
смешанную тензорную плотность 3-го ранга с компонентами fv*kl.
Анализ тензорных плотностей на произвольном многообразии
можно разработать лишь для линейных полей. Он ведет к следующим
дивергентноподобным операциям:
ψ- = w, (35)
oxi

142
Метрический континуум
dwik
dxk
= w\ (36)
Путем операции (35) из поля линейной тензорной плотности
первого ранга w1 получается поле скалярной плотности W,
посредством (36) из линейного поля 2-го ранга (w г = -W1 ) получается
соответствующая плотность 1-го ранга. Обе операции независимы от
системы координат. Дивергенция (35) поля 1-го ранга W1, которая
получается из поля 2-го ранга w1 , согласно (36), равна нулю.
Аналогичный результат верен и для плотностей высших рангов. Для
доказательства инвариантности операции (35) мы используем
известные результаты теории движения непрерывно протяженных
масс.
Если ξ1 —заданное векторное поле, то выражение
*· = *,· + ξ1 · δί (37)
является бесконечно малым смещением точки нашего континуума,
при котором точка с координатами xi переходит в точку с
координатами 3^. Пусть постоянный бесконечно малый множитель δί означает
элемент времени, в течение которого происходит эта деформация.
Отклонение определителя этого отображения
от 1 равно
5ΞΤ
dxk
«. f.
дх{
Пусть посредством смещения некоторая часть континуума G,
которое соответствует в координатном представлении xi
математическая область X, переходит в область континуума G, бесконечно мало
отличающуюся от G. Если S —поле скалярной плотности, которую
мы будем понимать как плотность субстанции, заполняющей
континуум, то количество субстанции, существующее в G,
равно J %(х) dxt
Χ
а количество субстанции, заполняющей G,

§14 Тензоры и тензорные плотности
143
равно Js(r) dx = Js(r)A dx.
Χ
где вместо Т{ следует подставить его выражение через S (37). (Здесь
смещается пространственная область относительно субстанции;
можно было бы, конечно, вместо этого, рассматривать поток
субстанции через эту область пространства; в этом случае величина
представляла бы силу тока βξ1.). Прибавление количества
субстанции, которое получает посредством смещения область G, оказывается
равным интегралу по области X переменных xi от
s(r) · А - s(r),
Подинтегральное выражение преобразуется следующим образом
( Αΐ ^ Λ
s(5)(A - 1) + {s(x) - $(*)} = Ц
£ + |ц«ш«.«йй
V дхг дх>
дх{
Следовательно формулой
дх^
устанавливается инвариантная взаимосвязь между двумя
скалярными плотностями s и w контравариантным векторным полем ξ1. Так
как каждую векторную плотность W1 можно представить в форме
εξ1—действительно, если в определенной системе координат
скалярную плотность S и векторное поле ξ взять равными S = 1, ξ1 = W1, то
выражение W = βξ1 будет верно в любой координатной системе —,
доказательство формулы (35) можно считать законченным.
В связи с этим обсуждением мы сформулируем принцип
интегрирования по частям, который впоследствии будем часто
использовать. Если функции исчезают на границе области G, то интеграл
βδΙ<
Это объясняется тем, что этот интеграл, умноженный на δί,
означает изменение, которое испытывает «объем» этой области
при бесконечно малой деформации, компоненты которой равны
δί · W*.
Инвариантность операции дивергенции (35) позволяет нам без
труда перейти к аналогичным операциям более высокого ранга,

144
Метрический континуум
прежде всего, к (36). Мы прибегаем к помощи некоторого ковари-
антного векторного поля fc, которое посредством
дифференцирования можно связать с «потенциалом» /*: /J = ■—-. Затем мы образуем
линейную тензорную плотность первого ранга w1 f{ и ее дивергенцию
ас***/·) Ык
dxk { dxk*
Замечание, что /*· может принимать произвольные наперед
заданные значения в точке Р, завершает доказательство. Аналогичным
образом можно перейти к тензорной плотности 3-го ранга и т.д.
§15
Многообразие аффинной связности
уд*онятие аффинной связности. Точка Ρ многообразия аффинно
^ЧП^связана со своей окрестностью, если каждый вектор в точке Ρ
переходит в некоторый вектор в точке Ρ посредством
параллельного переноса из Ρ в Р. При этом Р' означает произвольную
бесконечно близкую к Ρ точку. От этого понятия мы требуем не
больше и не меньше, чем то, что требовалось от него в аффинной
геометрии гл.1. Иначе говоря, мы постулируем: существует такая
система координат (для окрестности точки Р), в которой
компоненты любого вектора в Ρ не изменяются при бесконечно малом
параллельном переносе. Это требование характеризует
параллельный перенос как такое преобразование, о котором с полным правом
можно сказать, что оно оставляет векторы неизменными. Такую
систему координат называют геодезической в точке Р. Что следует
из этого для произвольной системы координат х{7 Пусть в ней точка
Ρ имеет координаты х-, Р' — координаты х- + dxit ξ1 — компоненты
некоторого произвольного вектора в Ρ, ξ1 + di? компоненты вектора,
полученного из него в результате параллельного переноса из точки
Ρ в точку Р'. Так как, во-первых, при параллельном смещении из
Ρ в Р' все векторы в Ρ отображаются во все векторы в Ρ линейно,
или аффинно, άξι должен линейно зависеть от ξ1:
<# = -<*#'. (38)
Во-вторых, из поставленного во главу угла требования, что
аугг~ это линейные формы дифференциалов dxit оказывается:

§15 Многообразие аффинной связности
145
Ф*и**у> (38°
причем числовые коэффициенты Г, так называемые «компоненты
аффинной связности», удовлетворяют условию симметрии:
Г* = Г!' (38")
х sr х rs*
Чтобы доказать это, предположим, что х{ в Р—геодезическая
система координат; тогда справедливы трансформированные
формулы (24) и (25). Из геодезической природы координатной системы
Щ следует, что при параллельном переносе
d^ = d(a!^) = d4-f. <39>
Если ξ1 мы будем понимать как компоненты некоторого
линейного элемента в Р, то должно выполняться соотношение:
(значения вторых производных должны быть, конечно, взяты в точке
Р). Отсюда следует наше утверждение. А именно, симметричная
билинейная форма
-T\fixrdxt (40)
определяется из выражения _ Ьхг dx~s преобразованием (25).
oxroxs
Этим исчерпываются и все необходимые следствия. Если Tlrs —
произвольные заданные числа, которые удовлетворяют условием
симметрии (38"), и если мы определим аффинную связность формулами
(38) и (380, то получим понятие параллельного переноса в смысле
§12. Это дает формулы преобразования
0 - — _ i-r1
xi xi " xi 2 rs* Iх*
и координатную систему Tit в которой определенный таким образом
процесс параллельного переноса описывается уравнениями </ξ = 0.
Действительно, это преобразование в Ρ дает:
δ2/·
Т{ = 0, dx^ άχ{(α\ = δι), щщ = -Г1,,
вследствие чего в Ρ имеет место соотношение (40), и нам только
остается обратить наши рассуждения, чтобы из них получить формулу

146
Метрический континуум
(39) или равенство </ξ* = 0. Обещанное еще в §12 доказательство
того, что уравнения (38), (380, (38") эквивалентны существованию
геодезической системы координат, тем самым закончено.
Формулы преобразования компонент аффинной связности Г^
при переходе от одной системы координат к другой легко получается
из предыдущего обсуждения. Но мы не будем использовать эти
формулы и поэтому здесь их не выводим. Во всяком случае, Г не
являются компонентами тензора (контравариантного по индексу г и
ковариантного по индексам г и 5) в точке Р. Они все-таки обладают
тензорными свойствами относительно линейных преобразований и
теряют их при произвольных преобразованиях, так как они
полностью исчезают в геодезической системе координат. Но любое
возможное изменение аффинной связности [Г^], независимо от того,
конечно оно или бесконечно мало, есть тензор, так как разность двух
векторов, которые возникают в результате параллельного переноса
в соответствии с каждой из двух связностей вектора ξ из точки Ρ в
Р\ равна
Параллельный перенос ковариантного вектора ξ1 из точки Ρ в
точку Р\ бесконечно близкую к Р, однозначно определяется
требованием, чтобы при одновременном параллельном переносе этого
вектора ξ1 и произвольного контравариантного вектора ξ^η1
оставалось неизменным их скалярное произведение:
dßiV) = №,· · у\Ь + Mlr) = (<£,· - dy%X = 0,
откуда
^· = Σ<^· (41)
г
Контравариантное векторное поле ξ1 мы будем называть
стационарным в точке Р, если в бесконечно близких к Ρ точках Ρ векторы
получаются из вектора в точке Ρ посредством их параллельного
переноса, т.е., если, таким образом, в Ρ выполняется уравнения в
полных дифференциалах
( до« А
</ξ'+ </у# = 0 или-^ + Г^О.
I xs )
Всегда имеется, очевидно, такое стационарное векторное поле,
которое в точке Ρ имеет произвольные наперед заданные компоненты
(это замечание будет использовано в последующих рассуждениях).

§15 Многообразие аффинной связности
147
Аналогичным образом можно говорить и о стационарном ковариан-
тном векторном поле.
Отныне мы будем иметь дело с аффинными многообразиями, в
которых каждая точка Ρ связывается со своей окрестностью
посредством аффинной связности. В определенной системе
координат компоненты аффинной связности Ггг$ являются непрерывными
функциями координат х^ Подходящим выбором системы координат
можно в каждой отдельной точке Ρ сделать Г*5 равными нулю. Но в
общем случае этого нельзя достичь одновременно во всех точках
многообразия. Среди различных точек многообразия в отношении
природы их аффинной связности с окрестностями не существует
никакого различия. В этом отношении многообразие однородно. Не
существует также различных типов многообразий, отличающихся
природой присущих им аффинных связностей. Требование,
выдвигаемое нами на первый план, допускает лишь одну определенную
природу аффинной связности.
Геодезические линии. Если точка при своем движении увлекает
за собой некоторый (произвольный) переменный вектор, то мы
получаем, что каждому значению временного параметра s
соответствует не только точка многообразия
P = (s): x{ = *·($),
но также и вектор в этой точке с зависимыми от s компонентами
v% = v\s). Вектор в момент s остается стационарным, если он
удовлетворяет уравнению
(Теперь вздохнут облегченно те, кому всегда казались
сомнительными операции с дифференциалами; здесь они счастливым
образом превращаются в производные). При произвольном законе
увлечения вектора левая часть Vх (42) состоит из компонент вектора
в (5), инвариантно связанного с движением и указывающего, в какой
степени в этом месте изменяется вектор Vх в единицу времени.
Действительно, при переходе от точки Ρ = (s) к точке Ρ = (s + ds)
вектор ν' в Ρ переходит в вектор
. dT)i а
ν + -г- ds.
ds
в точке Р. Если, однако, мы сместим вектор ν1 из точки Ρ в точку
Р', оставляя его неизменным, то мы получим в Р'

148
Метрический континуум
v% + d'v1 = ν1 - Γ^ροα б?хр.
Таким образом, разность между этими двумя векторами в Р\
равная изменению за время ds, имеет компоненты
^Г" ds - d'o1' = V' rfj.
Если V обращается в нуль для всех s, то вектор ν при движении
вместе с точкой Ρ скользит вдоль траектории, оставаясь неизменным.
Каждое движение увлекает за собой вектор своей скорости
dxi
и1 = -τ—. В этом особом случае вектор V
U ~ ds + Γ«Ρ"«"Ρ " ds2 + Γ«β Λ <fc
есть ускорение, которое измеряется изменением скорости в единицу
времени. Движение, во время которого скорость остается
неизменной, называют трансляцией. Траектория трансляции, т.е. кривая,
сохраняющая неизменным свое направление, есть прямая, или
геодезическая линия. Согласно трансляционной точке зрения (см. гл. 1,
§1), в этом заключается сущность прямой линии.
Анализ тензоров и тензорных плотностей можно развить на
аффинном многообразии так же просто и полно, как и в линейной
геометрии гл.1. Если, например, ц — ковариантные по г и контрава-
риантные по k компоненты тензорного поля 2-го ранга, то мы возьмем
в точке Ρ два вспомогательных произвольных вектора —контравари-
антный вектор ξ и ковариантный вектор η — и образуем инвариант
/ft4
и рассмотрим его изменение при бесконечно малом сдвиге d точки
аргумента Р, при котором векторы ξ и η будут смещаться
параллельно самим себе. Тогда мы получим
<*№\) = ^ ξ'η* dx, - /ίπ* dtf + fg dyX,
а также
тензорное поле 3-го ранга, ковариантное по двум индексам И и
контравариантное по индексу к, сконструированное независимо от

§15 Многообразие аффинной связности
149
системы координат из данного тензорного поля 2-го ранга. Здесь
весьма характерны дополнительные члены, которые содержат
компоненты аффинной связности и в которых впоследствии вместе с
Эйнштейном мы узнаем воздействие гравитационного поля [28]. Этот
метод позволяет нам во всяком случае ввести операцию
дифференцирования для тензоров.
Точно так же, как в тензорном анализе играет фундаментальную
роль операция «V», из которой выводятся все остальные операции,
в основе анализа тензорных плотностей лежит определенная
посредством (35) операция «div». Если мы хотим, например, образовать
дивергенцию смешанной тензорной плотности ш- второго ранга, то
нам следует воспользоваться стационарным в Ρ векторным полем
ξ1 и сконструировать с его помощью дивергенцию тензорной
плотности ξ'ΐΑΓ?
дхк дхк ' ζ дхк ς ■* ' д*к
Эта величина—скалярная плотность и поэтому, так как
компоненты стационарного в Ρ векторного поля могут принимать
произвольные значения,
^üL^w5 (43)
дхк 1*Жг
есть ковариантная тензорная плотность 1-го ранга, которая
получается из wt- независимым от координатной системы образом.
Но можно не только спускаться от тензорной плотности одного
ранга к плотности на 1 меньшего ранга, с помощью образования
дивергенции, но и посредством дифференцирования из нее
образовать тензорную плотность на 1 большего ранга, чем ранг исходной
плотности. Пусть S скалярдая плотность, снова возьмем
стационарное в Ρ векторное поле ξ* и образуем с его помощью дивергенцию
силы тока 8ξ!:
<*&) д* j,_%' fas r)j
дх{ ах** дх, a*, »Ης
откуда получается, что
компоненты ковариантной векторной плотности.

150
Метрический континуум
Чтобы распространить операцию дифференцирования со
скалярной плотности на произвольную тензорную плотность, например, на
смешанную тензорную плотность W? 2-го ранга, нужно уже
привычным образом воспользоваться помощью двух стационарных в Ρ
векторных полей ξ1 и т^·, из которых одно ковариантно, а другое
контравариантно, и продифференцировать скалярную плотность
W^riß. Свертка полученной в результате дифференцирования
тензорной плотности по индексу дифференцирования и одному из
контравариантных индексов снова дает нам дивергенцию.
§16
Кривизна
(фсли Ρ и Р*—две связанные некоторой кривой точки, в первой из
Х^которых задан некоторый вектор, то можно перенести его
параллельно самому себе вдоль этой кривой из точки Ρ в точку Р*.
Уравнения (42) для компонент все время подвергающегося
параллельному смещению вектора υ1 допускают при заданных начальных
значениях υ1 одно и только одно решение. Осуществленный таким
образом перенос векторов в общем, однако, не интегрируем. Иначе
говоря, вектор, который мы получаем в Р* зависит от пути его
переноса. Только в частном случае, когда интегрируемость имеет
место, можно говорить об одном и том же векторе в двух различных
точках Ρ и Ρ . Под таким вектором следует понимать два вектора,
которые переходят друг в друга. Назовем такое многообразие
евклидово-аффинным. Если подвергнуть все точки такого
многообразия бесконечно малому смещению, но таким образом, чтобы это
смещение в каждом случае представлялось посредством «одного и
того жеъ бесконечно малого вектора, то можно сказать, что
пространство испытывает трансляцию в целом. С ее помощью можно,
согласно ходу мысли гл.1 (мы отказываемся здесь от того, чтобы
провести строгое доказательство), построить специальную,
«линейную» систему координат, которая выделена из других систем тем,
что в ней одинаковые векторы в различных точках имеют одинаковые
компоненты. В некоторой линейной системе координат компоненты
аффинной связности обращаются в нуль тождественно. Каждые две
такие системы связаны друг с другом линейными преобразованиями.
Многообразие тогда оказывается аффинным в смысле гл.1:
интегрируемость переноса векторов —это такое инфинитезимально-

§16 Кривизна
151
геометрическое свойство, которым среди пространства аффинной
связности выделяются «линейные» пространства.
Вновь теперь обратим внимание на общий случай, так как не
следует ожидать, что вектор, обнесенный с помощью параллельного
смещения по замкнутому контуру, вернется в свое исходное
положение. Как и при доказательстве теоремы Стокса, мы рассмотрим
поверхность, ограниченную замкнутой кривой,и разложим ее
параметрическими линиями на бесконечно малые параллелограммы.
Изменение произвольного вектора при переносе по контуру,
окружающему поверхность, сводится к изменению его при переноса вокруг
каждого из бесконечно малых параллелограммов, натянутых на два
линейных элемента dx{ и 5xi в точке Р. Определим теперь это
изменение. Мы констатируем, что приращение ΔΧ = (Δξ1), которое
испытывает при этом вектор X = (ξ1) получается из вектора χ
посредством линейного отображения, матрицы А¥:
AX = -AF(X); Δξα = -/^·ξΡ. (44)
Если А¥ = 0, то многообразие плоское в точке Ρ и в
поверхностном направлении, определяемом нашим элементом поверхности.
Если это верно для всех элементов конечного куска поверхности, то
каждый вектор, который параллельно переносится вдоль контура
поверхности, возвращается в свое исходное положение. Величина
AF зависит линейно от элемента поверхности:
AF = Fl.,rfxi5^ = iF,.,(W* (F„ = -F.,). (45)
Возникшая здесь дифференциальная форма характеризует
кривизну, то есть меру отклонения многообразия в точке Ρ от плоского
характера во всевозможных поверхностных направлениях. Так как
ее коэффициенты не числа, а матрицы, мы должны говорить о
«линейном матричном тензоре 2-го ранга», и это действительно
лучше всего характеризовало бы количественную природу кривизны.
Если, однако, от матриц вернуться к их компонентам — /7?^ считая
их компонентами F·^, или также коэффициентами формы
*П - Fi* d*Pk " (46)
то получается, если ei — единичные векторы координатной системы
в точке Р, формула

152
Метрический континуум
Отсюда следует, что F^ik — контравариантный по индексу α и
ковариантный по индексам ß, i, k тензор 4-го ранга. Его выражение
через компоненты Ггг5 аффинной связности выглядит так:
^βί* =
'*% я£
dxi dxk
+vT» - w
(48)
Он удовлетворяет, сообразно с этим, условиям «косой» и
«циклической» симметрии:
η*—η» ^VW0· (49)
Обращение кривизны в нуль —это инвариантный
дифференциальный закон, с помощью которого евклидовы пространства
выделяются среди аффинных пространств с точки зрения общей инфините-
зимальной геометрии.
Для доказательства этих утверждений мы используем тот же
способ двойного «заметания» бесконечно малого параллелограмма,
который был применен нами на стр. 140 при выводе вихревого тензора
[29]. Мы сохраним здесь прежние обозначения. В точке Pqq зададим
вектор х = x(Pqq) с компонентами ξ1. В конечной точке Р10 линейного
элемента dx мы проведем тот вектор X(Pto)» К0Т0Рый получается из
вектора параллельным переносом его вдоль линейного элемента.
Обозначив его компоненты ξ1 + </ξ\ получим
d? = - </γ«ξ0 = - Γ£ξ0 dx.
Пусть при смещении δ линейного элемента dx, которое никоим
образом не обязано быть параллельным смещением вектор в конечной
точке останется связанным с вектором в начальной точке указанным
условием. Тогда δξα при смещении получают приращение
δ «/ξ« = -δΓ«. dxg - ψ dxg - dtf?.
Если, в частности, вектор в начальной точке линейного элемента
остается во время смещения параллельным самому себе, то δξΓ можно
заменить на δγηξΡ. В конечном положении Р^Рj j линейного элемента
мы получаем затем в точке Р01 вектор Х(Р01), который получается из
Х(Р00) параллельным смещением его вдоль Роомн» а в точке
бивектор Х(Рц), в который при своем параллельном смещении вдоль
Λ)ΐ^\ΐ пеРех°Дит вектор x(Pqi) 0ТКУДа получается для

§16 Кривизна
153
ξμ·
Щ* = {ξν,,) - ξ"(Ρο,)} - №ο>" №00}·
Если обозначить вектор, полученный из х(Р10) его параллельным
переносом вдоль P\qP\\ х»(Яц), то можно получить перестановкой
и аналогичное выражение для d и δ
</δξα = {tftPu) - ξα(Ρ10)} - {ξα(Ρ0ΐ) " №<χ))}·
Вычитая из второго выражения первое, получаем
Δξα = άδζα - δ</ξα =
Так как ί/δχ,- = δ rfxj, два последних члена правой части взаимно
уничтожаются, и остается
Δξα = -Δ^·ξβ·
При этом Δξα —компоненты вектора Δχ в Plt, являющегося
разностью двух векторов χ и х„ в одной и той же точке:
Δξα = ξ?(Λι)-ξα(Ρ„)·
Так как в пределе Plt совпадает с Ρ = Pqq, сделанные выше
утверждения становятся доказанными.
Инфинитезимальное рассмотрение превращается здесь в строгое
доказательство, как только мы, как и раньше, перейдем от
дифференциалов d и δ к производным — и -тт. Чтобы проследить судьбу
вектора χ в процессе инфинитезимального смещения, используем
следующую конструкцию. Каждой паре значений s, t поставим в
соответствие не только точку Ρ = (st), но также некоторый ковари-
антный вектор в этой точке с компонентами f^st). Если ξ1
—произвольный вектор в Р, то под d(ffi) мы будем понимать такое значение
dW
——, которое получается, если ξ при переходе от точки (st) к точке
(5 + ds, t) увлекается неизменным. d(f£) является вновь выражением
от формы /£*, только теперь вместо f- стоят другие функции {( от
s и t. Мы можем, поэтому, снова подвергнуть Δξ1 тому же самому

154
Метрический континуум
процессу, или ввести аналогичную операцию δ. Если мы сделаем
последнее, повторим весь процесс в обратном порядке и затем вычтем
одно из другого, то получим
ыф = щ · ξ1' + dffi + δμϊ + fpdt;
и отсюда, в силу
d2fi d2f{
При этом Δξ1 — в точности найденное выше выражение.
Полученный инвариант в точке Ρ = (0 0) равен
Он зависит от произвольного ковариантного вектора с
компонентами f- в точке и от трех контравариантных векторов ξ, и, ν, тем
самым F%-k — компоненты тензора 4-го ранга.
§17
Метрическое пространство [30]
уГЧонятие метрического многообразия. Многообразие снабжено в
^^точке Ρ мероопределением, если линейные элементы в Ρ можно
сравнивать по их длине. При этом, в бесконечно малом
предполагается выполнение пифагорейско-евклидовых законов. Каждый
вектор х определяет тогда отрезок в Р\ существует также
невырожденная квадратичная форма χ (с определенным числом
положительных ρ и определенным числом отрицательных q,
ρ + q = η), такого вида, что два вектора χ и у тогда и только тогда
определяют один и тот же отрезок, когда χ =у . Этим требованием
квадратичная форма определяется только с точностью до отличного
от нуля коэффициента пропорциональности. Установив его, мы
осуществим калибровку многообразия в точке Р. Число X мы
назовем тогда мерой вектора X, или, так как она зависит только от
отрезка, соответствующего х,—мерой I этого отрезка. Неравные
отрезки имеют различные меры. Отрезки поэтому образуют в точке
Ρ одномерную совокупность. Если мы одну калибровку заменим
другой, то новая мера Τ будет получаться из старой / умножением ее
на постоянный не зависящий от отрезка множитель λ Φ 0, таким
образом Τ = λ/. Отношение мер отрезков от калибровки не зависит.

§17 Метрическое пространство
155
Как характеристика вектора в Ρ через систему чисел (его компонент)
зависит от выбора системы координат, так и выделение отрезка
посредством некоторого числа зависит от калибровки. И так же, как
компоненты вектора при переходе от одной координатной системы к
другой испытывают линейное однородное преобразование, так и мера
произвольного отрезка испытывает такое же преобразование при
переходе к другой калибровке. Два вектора X и у в Я, для которых
соответствующая X симметричная билинейная форма χ · у исчезает,
мы назовем взаимно перпендикулярными. Это взаимное отношение
не зависит от калибровочного множителя. Предположение, что
форма X знакоопределенная, не играет существенной роли для
наших последующих математических рассуждений. Тем не менее, в
дальнейшем мы в первую очередь всегда будем иметь ввиду именно
этот случай. Чтобы выразить тот факт, что форма имеет ρ
положительных и q отрицательных измерений, мы будем, для краткости,
говорить, что многообразие в соответствующей точке (р + д)-мерно.
Если ρ * q, как мы будем принимать в дальнейшем, то калибровочное
отношение λ должно быть положительным; при этом числа ρ и q
остаются неизменными и не меняются местами друг с другом. После
выбора определенной системы координат и фиксации калибровочного
множителя предположим, что для каждого вектора X (с компонентами
ξ1) выполняется соотношение:
*2 = Σ^* (9и = 9а). (50)
ik
Будем счмтать теперь, что наше многообразие в каждой точке
снабжено мероопределением. Числа ρ и q при этом должны быть
всюду одинаковы. Если мы в каждой точке многообразия введем
калибровку, а также некоторую систему η координат xi —это
необходимо сделать, чтобы все величины выразить числами, —то gik в
(50) будут вполне определенными функциями координат х-. Мы
предположим также, что они непрерывны и непрерывно
дифференцируемы.
Чтобы многообразие было метрическим пространством,
недостаточно, чтобы оно в каждой точке было снабжено мероопределением.
Необходимо также, чтобы каждая точка многообразия была
метрически связана со своей окрестностью. Понятие метрической
связности аналогично понятию аффинной связности. Если первое из них
касается векторов, то второе — отрезков. Точка Ρ связана со своей
окрестностью метрически, если для каждого отрезка в точке Ρ
установлено, какой отрезок получится из него при конгруэнтном

156
Метрический континуум
перенесении из Ρ в бесконечно близкую к ней точку Р\ Единственное
требование, которое мы предъявляем к этому понятию
(одновременно наиболее далеко идущее из тех, которые вообще возможны),
состоит в следующем: окрестность Ρ можно калибровать так, чтобы
мера каждого отрезка в точке Ρ оставалась неизменной при
конгруэнтном переносе в точки, бесконечно близкие к Р. Такая калибровка
называется геодезической в точке Р. Но если многообразие
калибровано некоторым образом, далее / — мера произвольного отрезка в Р,
1 + dl— мера отрезка в Р', полученного конгруэнтным переносом
первого из точки Ρ в бесконечно близкую к ней точку Р', то с
необходимостью выполняется уравнение
dl = -ldq>, (51)
где бесконечно малый множитель άφ не зависит от переносимого
отрезка; поэтому такой перенос вызывает отображение подобия
отрезков в Ρ на отрезки в Ρ', άφ соответствует dylr в форме векторного
переноса (38). Если калибровка в Ρ и точках ее окрестности
изменяется, согласно формуле 7= λ/ (калибровочное отношение λ при
этом —положительная функция точки Р), то мы получим вместо (51)
dl = -7 </φ,
где
άφ = άφ- f. <52>
Необходимое и достаточное условие того, чтобы άφ при
подходящем выборе λ можно было в точке Ρ тождественно по отношению
к бесконечно малому смещению РР' = (dx^ обратить в нуль,
очевидно, заключается в том, что άφ —есть линейная дифференциальная
форма:
άφ = φ{(άχ)\ (510
Формулами (51)и(5Г) исчерпываются следствия
поставленного во главу угла требования. (Действительно, <р; в точке
Р—определенные числа. Если точка Ρ имеет координаты xi = 0, то необходимо
лишь принять, что lg φ равен линейной функции £ φ^· чтобы
показать, что άφ обращается там в нуль: άφ = 0) Все точки
многообразия полностью тождественны друг другу в отношении имеющегося
в них мероопределения и природы их метрической связности со
своими окрестностями. Однако имеется, смотря по тому, является ли
η . η + 1
число η четным или нечетным, -г + 1 или соответственно —г—

§17 Метрическое пространство
157
различных типов метрических многообразий, которые отличаются
друг от друга индексом инерции фундаментальной метрической
формы. Тот вил индекса инерции, с которым мы будем по
преимуществу иметь дело в этой книге, соответствует случаю: ρ = я, q = О
(или ρ = 0, q = п)\ Наряду с ним возможны и другие комбинации:
ρ = η - 1, q = 1 (или р= ί, q = п- ί); р = п-2, q = 2 (или ρ = 2,
<7 = η - 2) и т.д.
Подведем итоги. Метрика многообразия относительно
некоторой системы отсчета ( = система координат + калибровка)
характеризуется двумя фундаментальными формами:
квадратичной дифференциальной формой Q = ]Г gik(dx)\dx) и линейной диф-
ik
ференциальной формой άφ = V φ{(άχ)ι\ они ведут себя инвариантно
г
при переходе к некоторой новой системе координат; при изменении
калибровки первая форма получает множитель λ, который
является положительной непрерывно дифференцируемой функцией
положения, вторая уменьшается на дифференциал от lg λ . Во все
величины и соотношения, которые аналитически выражают
метрические отношения, следует, сообразно с этим, так вводить функции
gik и φ- чтобы выполнялась инвариантность, во-первых, относительно
произвольных преобразований координат) «координатная
инвариантность») и, во-вторых, относительно замены gik и (pt- выражениями
« 1 8λ
λ'9*> Ъ~хЦ
в последнем случае не важно, какая именно положительная
функция координат λ будет использоваться («калибровочная
инвариантность»).
Как и в §16 мы определяли изменение вектора, который,
оставаясь параллельным самому себе, переносится вокруг
параллелограмма, натянутого на линейные элементы dxi и 8xit так мы и здесь
вычислим изменение меры Δ/ некоторого отрезка / в аналогичном
процессе и найдем для этого на основе dl = - / αφ следующее:
δ dl = -δ/ άφ - /δ άφ = /δφ άφ - /δ άφ,
и, таким образом,
Δ/ = dbl - δ dl = - /Δφ, (53)
где
., δφ,, δφ:

158
Метрический континуум
Линейный тензор 2-го ранга с компонентами f-k можно, по
аналогии с «векторной кривизной* аффинного пространства в §16,
назвать «масштабной кривизной* («Streckenkrümmung»)
метрического пространства. Уравнение (52) дает аналитическое выражение
тому факту, что тензор не зависит от калибровки. Он удовлетворяет
инвариантным уравнениям:
%l 8fli 8Uk п
дх{ dxk oxl
Его обращение в нуль—необходимое и достаточное условие,
чтобы каждый отрезок можно было переносить из его начального
положения независимо от пути переноса во все точки
пространства. Это —как раз тот единственный случай, который рассматривал
Риман. Если метрическое пространство риманово, то имеет смысл
говорить о равных отрезках или об одном и том же отрезке в
различных точках пространства. Многообразие тогда можно
калибровать так, что αφ тождественно исчезает («нормальная
калибровка»). (Действительно, из уравнения fik = 0 следует, что б?<р — полный
дифференциал, именно равный дифференциалу функции lg λ;
поэтому специальным выбором калибровочного отношения λ можно
αφ сделать всюду равным нулю). При нормальной калибровке
фундаментальная метрическая форма Q риманова пространства
определяется с точностью до произвольного постоянного множителя,
который можно фиксировать выбором единицы длины в
произвольном месте; нормальный метр можно перенести в любую точку.
Аффинная связность метрического пространства. Теперь мы
подходим к тому, что я называл ранее основным фактом инфините-
зимальной геометрии и который приводит построение геометрии к
удивительно гармоничному финалу. В метрическом пространстве
понятие бесконечно малого параллельного переноса может быть
установлено одним и только одним таким образом, что, помимо
нашего прежнего требования, должно еще выполняться следующее
требование: при параллельном смещении вектора отрезок,
определенный этим вектором, должен также оставаться неизменным.
Лежащий в основе метрической геометрии принцип инфинитезималь-
ного переноса отрезка, или длины, без каких-либо дополнений
приводит к инфинитезимальному переносу направления;
метрическое пространство, таким образом, оказывается наделенным
естественной аффинной связностью.
Доказательство. Введем некоторую систему отсчета. Для всех
величин ait которые имеют один верхний индекс г, определим
операцию опускания индекса уравнениями:

§17 Метрическое пространство
159
ai = Σ 9\f*
i
и обратный процесс поднятия индекса с помощью уравнений,
обратных этим. Если вектор ξ в точке Ρ = (х-) должен перейти в вектор
ξ1 + άξι в Ρ' в результате параллельного переноса Р' = (х{ + dxj),
который нам еще предстоит объяснить
<#=-</&*. dyi=rir(dxf,
то при этом для меры вектора
' - 9&к.
согласно выдвинутому требованию, должно выполняться
уравнение
dl = - /rfcp
и это дает
2ξ,·<ίξι' + ξίξ*ί/^ = -(ί7ίΛξ,'ξ*)^φ·
Первый член левой части
= - 2ξ,·ξ* dy\ = - 2ξ'ξ* dyik = - ξ'ξ*^ + dyki).
Таким образом, получается
аУгк + dyki = dgik + gik άφ
или
Ь.кг + тк.ь~Ъ£ + 9и*г (54)
Если в этом уравнении сделать три циклических перестановки
индексов ikr, сложить два последних уравнения и вычесть из суммы
первое, то, с учетом симметрии Г по двум последним индексам,
получим следующий результат
l(d9ik d9kr d9ik) i, ч /сгч
Г'. * = Щ + Ίζ " Ίζ) + 2^ + ^ΐ " ΛΛ>· (55)
Отсюда Frik определяется уравнением
Г -п Г5 (56)
1 г, ik - 9rsl ik>
или явным образом

160
Метрический континуум
Эти компоненты аффинной связности удовлетворяют всем
выдвинутым требованиям. Таким образом, метрическое пространство
наделено естественной аффинной связностью, и это позволяет
перенести на него весь анализ тензоров и тензорных плотностей вместе
со всеми развитыми ранее понятиями геодезической линии, кривизны
и т.д. Если кривизна пространства исчезает тождественно, то
пространство становится метрически-евклидовым в смысле гл. 1.
Одновременно мы выполнили и второе, данное в §12, обещание: формулы
(19), или более общие формулы (54), как показали мы, являются
выражением того, что параллельное перенесение векторов сохраняет
их длину.
Дополнения. 1) Для «векторной кривизны» мы можем вывести
здесь еще одно важное свойство — аддитивное разложение, с
помощью которого 4масштабная кривизна» будет получена как ее
составная часть. При переходе вектора (ξ1) в вектор (ξ1 + Δξ1) в
результате обхода по контуру элемента поверхности мера вектора
/ = (ξ,ξ1) испытывает изменение
Δ/ = - / Δφ. (53)
При этом переходе меняется и местоположение, и направление
вектора, и мы получаем
Δ/ = Δ^ξ'ξ*) = 9ϋ$ ■ ξ* + 9и£ ■ Δξ* = 2ξ,·Δξί
и уравнение (53) ведет тогда к следующему результату. Если для
вектора X = (ξ1) мы запишем
ΔΧ = *ΔΧ - X · -Δφ,
то Δχ окажется разложенным на две компоненты: перпендикулярную
к χ и параллельную х, а именно, на Δχ и -х · — Δφ соответственно.
Это приводит и к аналогичному разложению тензора кривизны
Первую составляющую здесь называют «кривизной
направления» («Richungskrümmung») *F. Она определяется соотношением.
Перпендикулярность Δχ κ Χ выражается формулой

§17 Метрическое пространство
161
Система чисел ^αβ,·β, таким образом, кососимметрична не
только индексам г и k, но и по индексам α и β. Из этого следует, в
частности, что
*К* = о-
2) Если система координат и калибровка в окрестности точки
Ρ выбраны так, что они являются геодезическими в этой точке, то
тогда выполняются соотношения <pt· = 0, Trik = 0, или эквивалентные
им, согласно (54) и (55):
„-0, — = 0,
то-есть, при этом исчезает линейная форма άφ в точке Р, а
коэффициенты фундаментальной метрической формы оказываются
постоянными. Другими словами, в точке Ρ выполняются условия, которые
справедливы в евклидовом пространстве в основной системе отсчета
для всех точек одновременно. Отсюда вытекает также следующее
очевидное толкование параллельного переноса вектора в
метрическом пространстве. Геодезическая система отсчета в точке Ρ
определяется тем, что относительно нее φ^ в Ρ исчезают, а gik принимают
постоянные значения. Вектор из точки Ρ в бесконечно близкую к ней
точку Р' переносится параллельно самому себе так, что его
компоненты остаются неизменными в геодезической системе отсчета,
относящейся к Р. Геодезические системы отсчета существуют всегда;
произвол в выборе такой системы не влияет на понятие
параллельного переноса.
. dx{
3) Так как при трансляции xi = x^s) вектор скорости и = -г—
перемещается параллельно самому себе, то в метрической геометрии
он удовлетворяет уравнению:
d{UAl%) . /с-х
-^- + (^)(φΙ.«ι)-0. (57>
Если в некоторый момент времени иг имеют такие значения, что
и-и1 = 0 (этот случай может иметь место, когда фундаментальная
квадратичная форма Q индефинитная), то это уравнение остается в
силе на протяжении всего трансляционного движения. Траектории
такой трансляции мы будем называть нулевой геодезической линией.
Нулевые геодезические линии, как показывает несложное
вычисление, не изменяются, если при сохранении мероопределения в каждой
точке метрическая связность многообразия изменяется.

162
Метрический континуум
4) При переходе к обоим указанным нами расширениям рима-
новой геометрии (фундаментальная метрическая форма не является
положительно-определенной, перенесение отрезков неинтегрируемо)
возможность оперирования с метрическими величинами,
относящимися к частям линий, поверхностей и объемов, теряется. А именно,
индефинитный характер фундаментальной метрической формы
делает неприменимой указанную в конце §11 п.2 формулу (15) для
определения угла, кроме того, оказывается несправедливым
указанный в п.З принцип, утверждающий, что многообразие Rw меньшей
размерности, вложенное в наше метрическое пространство, вновь
оказывается метрическим пространством. Это объясняется тем, что
фундаментальная метрическая форма Rm, полученная в результате
вложения, может в некоторых местах или всюду в Rw оказаться
вырожденной. Неинтегрируемость перенесения отрезков разрушает
определенное в указанном месте п.1 измерение объемов, так как
интеграл (14) оказывается калибровочно неинвариантным. Эту
потерю, которую каждый геометр должен воспринять болезненно,
мы компенсируем в гл.IV: место геометрии, оперирующей с
площадями и объемами, займет физика поля, а место
объема—интегральный инвариант «действия».
Тензорное исчисление. В понятие тензора включается, в
частности, и то, что его компоненты зависят только от системы координат,
а не от калибровки. Но в переносном и обобщенном смысле мы будем
говорить о тензоре также и тогда, когда линейная форма зависит и
от калибровки, т.е. когда она при переходе от одной системы
координат к другой преобразуется обычным образом, а при
изменении калибровки получает множитель Xе (λ—калибровочное
отношение). В этом случае мы будем говорить о тензоре веса е. Так, gik,
компоненты симметричного ковариантного тензора 2-го ранга имеют
вес 1. Там, где будет идти речь о тензорах без более детальных
указаний, мы будем считать, что они имеют вес 0. Соотношения,
обсуждаемые в тензорном анализе, —это соотношения, которые
зависят от системы координат и калибровки, соотношения между
тензорами и тензорными плотностями в этом собственном смысле.
Обобщенное понятие тензора, как и аналогичное понятие тензорной
плотности веса мы будем использовать лишь как вспомогательные,
которые мы будем применять только для удобства вычислений. Это
удобство, однако, основано на следующих обстоятельствах: 1).
Только в этой расширенной области возможно «жонглирование индекса-
ми>\ посредством опускания одного контравариантного индекса в
компонентах тензора веса е мы получаем ковариантные относительно

§18 Примеры применения тензорного исчисления.
163
этого индекса компоненты тензора веса е + 1 и обратно. 2). Пусть
д—определитель gik, со знаком плюс или минус в зависимости от
того, является ли число q отрицательных измерений четным или
нечетным, и пусть V^—положительный корень из этого
положительного числа д. Тогда из каждого тензора умножением его на V#
получают тензорную плотность с весом на -ζ большим, чем вес
этого тензора. Из некоторого тензора веса -"^L в частности,
получается при этом тензорная плотность в собственном смысле.
Доказательство этого основано на том непосредственно очевидном факте,
что величина *fg сама скалярная плотность веса —. Умножение на
У<7 мы будем всегда обозначать тем, что латинские буквы,
используемые для обозначения величин, будем превращать в соответствующие
готические. Так как в римановой геометрии фундаментальная
квадратичная форма Q при нормальной калибровке полностью
определена (внизу о произвольном постоянном множителе в дальнейшем мы
уже не будем упоминать), то различие в весах тензоров здесь
исчезает, так как в этом случае каждая величина, представляемая
тензором, может быть представлена также и тензорной плотностью,
которая получается из этого тензора умножением его на Чд. Различие
между тензорами и тензорными плотностями (как и между контра-
вариантными и ковариантными величинами), в римановой геометрии
таким образом, стирается. Это делает понятным то обстоятельство,
что в течение долгого времени понятие тензорной плотности не было
столь же полноправным, как понятие тензора.
§18
Примеры применения тензорного исчисления.
Кратчайшие линии в римановой пространстве
Тензорным исчислением в геометрии мы пользуемся, в основном,
для целей внутренней геометрии, т.е. для построения полей,
которые возникают из метрики инвариантным образом.
Приведем два примера, иллюстрирующие это, которые в дальнейшем будут
весьма существенны. Из тензора кривизны посредством его свертки
получим прежде всего тензор
Kik = Tik-
*) В настоящем переводе и здесь готические буквы были заменены жирным
латинским шрифтом — примеч. пер.

164
Метрический континуум
Соответствующая форма —J^(Ax) указывает, как изменяется
объем V некоторого параллелепипеда в точке Ρ при переносе его
вокруг элементов поверхности с компонентами (Ад:)1
Под объемом параллелепипеда здесь мы будем понимать
определитель, составленный из компонент η векторов, на которых построен
этот параллелепипед. В метрическом пространстве, как это было
указано на стр.157 и как это, впрочем, достаточно очевидно,
Tik = о" * fik и в Римановом пространстве JJ^ = 0. Другой тип свертки
дает тензор 2-го ранга:
Fik = Hak-
Повторной сверткой
F = 9%k
получается скаляр с калибровочным весом -1. В некоторой области,
где F φ О например F > О, можно поэтому уравнением F = const
установить некоторую единицу длины: отрезки в точке Ρ можно
измерять с помощью «радиуса кривизны» многообразия в Р. Этот
факт достоин внимания, так как он находится в определенном
противоречии с первоначальным пониманием перенесения отрезков
в общем метрическом пространстве, согласно которому
непосредственное сравнение длин в различных удаленных друг от друга точках
многообразия невозможно. Существование такой выделенной
единственной калибровки в сущности, столь же удивительно, как и
возможность введения в некотором римановом пространстве
определенной на основе метрики выделенной системы координат. «Объем»,
измеренный с помощью такой единицы длины, выражается
инвариантным интегралом
В четырехмерном пространстве линейная тензорная плотность .
fik, возникающая из тензора масштабной кривизны
!** = >£·/*
имеет нулевой вес, и поэтому

§18 Примеры применения тензорного исчисления.
165
»-V* (59)
это простейшая скалярная плотность в собственном смысле, которую
можно образовать из метрического поля, а j 1 dx—простейший ин-
тегральный инвариант. Из Г мы можем получить с помощью
операции дивергенции векторную плотность силы тока
— = f1
dxk
В римановом пространстве, если применить нормальную
калибровку (ψ; = 0), gik выступают как единственные фундаментальные
величины. Введя здесь трехиндексные символы Кристоффеля, мы
выпишем полезные для последующих вычислений формулы:
'^-{г} = 0·
(60)
i^-tfHiHy-0· (60")
Они справедливы, так как V^—скалярная, а уд · дг —тензорная
плотности, и поэтому, согласно правилам анализа тензорных
плотностей, левые части этих уравнений, умноженные на *Jg, также
тензорные плотности. Но, если использовать геодезическую в точке
Ρ систему координат | --— = 01, то выписанные выражения обраща-
{dxr j
ются в нуль, и, следовательно, эти уравнения, ввиду их
инвариантного характера, оказываются справедливыми в любой системе
координат. Далее
f -/*.. ^-5»"** <61)
Это объясняется тем, что полный дифференциал определителя
из η независимых переменных элементов gik равен G1 dgik, где
G — соответствующий элементу gik минор определителя. Если t1
(= t ') — некоторая симметричная система чисел, то всегда
выполняется

166
Метрический континуум
tkdgik-tikd9* (62)
так как из
следует
9ij d(/k = - </k d9iJ.
Если умножить эти уравнения на t^ (это обозначение имеет
смысл, так как
то отсюда получится наше утверждение. В частности, вместо (61),
можно записать
& = -9ikd9*. (610
Ковариантные компоненты тензора кривизны /?αα,·β
удовлетворяют в римановом пространстве, в котором мы применяли букву R
вместо Ft следующим условиям симметрии
Ra$ki = " Кф& Rpaik = " Ra№> Rafiik + Raikfi + Rakpi = °'
(так как «масштабная кривизна» исчезает). Легко показать, что из
этих условий симметрии следует еще одно
Rikafi = Rapik·
Эти условия, согласно замечанию, сделанному на стр.70,
показывают, что тензор кривизны можно полностью охарактеризовать
зависящей от произвольного элемента поверхности (Ах)г
квадратичной формой
±Ram(Axf\Axf.
4 aßt*
Если разделить ее на квадрат площади элемента поверхности, то
полученное частное будет зависеть только от отношения (Ад:)1 , т.е.
от положения элемента поверхности. Это число Риман называет
кривизной пространства в точке Ρ в соответствующем направлении
на поверхности. Она имеет простой геометрический смысл.
Рассмотрим вращение, которое испытывает «компас» при переносе его
вокруг элемента поверхности Δσ с компонентами (Ах)г , но элемента,
который обходится лишь в некоторой плоскости. Это значит, что
мы рассматриваем двумерную «плоскость» Ε «компаса», которая

§18 Примеры применения тензорного исчисления.
167
состоит из всех лежащих в плоскости элемента Δσ векторов X. Если
какой-нибудь из этих векторов X испытывает при параллельном
переносе вокруг Δσ изменение Δχ, то мы разложим это Δχ на
компоненты, принадлежащую £, и нормальную к ней
ΔΧ = Δχ + Δ„Χ и затем забудем про последнюю. Переход
χ -> χ + Δχ есть бесконечно малое вращение плоскости Е. Обозначив
соответствующий угол поворота Δω, получим риманову кривизну
равной частному от деления Δω на площадь элемента поверхности
Δσ. В эйнштейновской теории тяготения особую важность
приобретает свернутый тензор 2-го ранга:
*"«* = %- (62")
который в римановом пространстве симметричен. Его компоненты
равны
Лишь для второго члена правой части симметрия в отношении
индексов г и к не является непосредственно очевидной, но он,
согласно (60), равен
ι &{lgg)
2 дхрх^ '
Скалярная кривизна F общего метрического пространства с
двумя фундаментальными формами
gik(dx)\dx)k, %{άχ){
выражается через скалярную кривизну R риманова пространства с
фундаментальными формами
gik{dx)\dx)k, О
следующим образом
Γ = Κ_(η_^&2ή_("-Ιψ-2)(φ^ (64)
Это можно получить в результате простого вычисления, проводя
его шаг за шагом.
Общий тензорный анализ уже в евклидовой геометрии приносит
огромную пользу, если вычисления нужно проводить не в декартовой
или аффинной, а в криволинейной системе координат, как это часто
требуется в математической физике. Чтобы проиллюстрировать
применение тензорного анализа, запишем здесь основные уравнения

168
Метрический континуум
электростатического поля и магнитного поля стационарных токов
в произвольных криволинейных координатах.
Пусть, прежде всего, ^ — компоненты напряженности
электрического поля в некоторой декартовой системе координат. Записав
независимые от выбора декартовой системы координат Х\Х2х^ кваД~
ратичную и линейную формы
ds2 = dx2 + dx\ + dx2, Εχ dxx + E2 dx2 + E3 dx%
в произвольных криволинейных координатах (обозначая их xf.)f мы
получим
ds = gik dx{ dxk и Ei dx{.
Тогда Ej —компоненты одного и того же ковариантного
векторного поля в произвольной системе координат. Образуем из него
векторную плотность с компонентами
Потенциал φ мы будем рассматривать как скаляр в новых
координатах; но плотность электричества ρ мы определим с помощью
требования, чтобы электрический заряд в некоторой области
пространства был равен j p dxx dx2 dx$ откуда следует, что р —не скаляр,
а скалярная плотность. Упомянутые законы электричества и
магнетизма таковы:
Ε; = - τ2*-, соответственно —— - —- = 0 ,
дх^ dxi dxk
dt (65)
дхГР]
и sf^E*-^, где % = Ер.
это компоненты смешанной тензорной плотности 2-го ранга,
называемой натяжением. Для доказательства достаточно заметить, что эти
уравнения, в том виде, как они выписаны здесь, носят совершенно
инвариантный характер, но в декартовой системе координат
переходят в установленные ранее основные уравнения.
Магнитное поле стационарных токов в декартовой системе
координат характеризуются инвариантной кососимметричнои билинейной

§18 Примеры применения тензорного исчисления.
169
формой Hik dx{bxk. Переходя к произвольным криволинейным
координатам, мы получим Hik — ковариантные относительно
произвольных преобразований координат компоненты линейного
тензорного поля 2-го ранга, именно «магнитного поляр. Аналогично, мы
обнаружим, что компоненты векторного потенциала <pt· образуют
ковариантное в произвольной криволинейной системе координат
векторное поле. Кроме того, мы введем линейную тензорную
плотность 2-го ранга с помощью уравнений
** = <9 ■ </У Ρ"„β·
Законы, описывающие магнитное поле стационарных токов,
принимают тогда следующую форму
ар* ар,- днш дНц шл
Н:Ь = — — , соответственно —— + —— + —— = 0 ,
* дх{ дхк дх{ dxk dxt
mik { (бб)
sJ = Ht>H*'-±5fs, S = ^H'*
S —компоненты векторной плотности, именно «электрического
тока». Натяжения S? имеют те же свойства инвариантности, что и в
электрическом поле. Эти формулы можно непосредственно
конкретизировать, например, для случая сферических и цилиндрических
координат. Это не требует дополнительных вычислений, если извес-
тно выражение для ds , т.е. квадрата расстояния между двумя
бесконечно близкими точками, в этих координатах, которое нетрудно
определить на основе простого инфинитезимально-геометрического
рассмотрения.
Более фундаментальное значение имеет то обстоятельство, что
основные законы стационарного электромагнитного поля в форме
(65) и (66) были бы пригодны и тогда, когда мы в случае
необходимости захотели бы отказаться от евклидовой геометрии как геометрии
физического пространства и заменить ее римановой геометрией с
другой фундаментальной метрической формой. Среди таких более
общих геометрических соотношений наши уравнения выделяются,
ввиду их инвариантной природы, тем, что они являются
«объективными» [31], не зависящими от координатной системы утверждениями
о закономерной взаимосвязи зарядов, токов и полей. То, что они
являются естественным перенесением справедливых в евклидовом

170
Метрический континуум
пространстве законов стационарного электромагнитного поля, не
вызывает никакого сомнения. Но удивительно то, насколько просто
и непринужденно достигается это перенесение с помощью общего
тензорного исчисления. Вопрос о том, является ли пространство
евклидовым или нет, совершенно не связан с законами
электромагнитного поля. «Евклидовость» выражается в общей инвариантной
форме дифференциальными уравнениями 2-го порядка относительно
gik (исчезновение кривизны), а в эти законы входят только gik и их
первые производные. Но весьма замечательно, что перенесение
такого рода возможно лишь для законов близкодействия. Получение
дальнодеиствующих законов, соответствующих законам Кулона и
Био-Савара, из этих законов близкодействия—чисто математическая
задача, которая, в сущности, сводится к следующей: заменить обычное
уравнение для потенциала Δφ = 0 его инвариантным обобщением —
см. (65)
$1*0···
т.е. линейным дифференциальным уравнением, коэффициенты
которого, однако, не являются больше постоянными. Из него можно
получить «фундаментальное решение», стремящееся к бесконечности
в произвольной заданной точке, соответствующее фундаментальному
решению — уравнения для потенциала. Нахождение этого решения —
г
трудная математическая задача, которая обсуждается в теории
линейных дифференциальных уравнений с частными производными.
Та же самая задача возникает уже при ограничении евклидовой
геометрией, когда вместо процессов в пустом пространстве
приходится исследовать процессы в некоторой неоднородной среде, например,
в среде с изменяющейся в пространстве диэлектрической постоянной.
Перенос законов электромагнетизма на метрическое нериманово
пространство, как будет показано позднее, лишен интереса, так как
метрическое поле такого пространства уже содержит в себе
электромагнитное поле [32].
Кратчайшие линии в римановом пространстве. В метрическом
пространстве для двух векторов ξ1, η1 при параллельном переносе
справедливо
d6,V) + (ξ,η') dV = о.
В римановом пространстве второе слагаемое исчезает. Отсюда
следует, что в римановом пространстве параллельный перенос

§18 Примеры применения тензорного исчисления.
171
контравариантного вектора с компонентами ξ выражается точно так
же, как параллельный перенос ковариантного вектора с компонента-
ми St = 9ik^·
*-И
dxaL· = 0 или ά\{ -
dxj = 0.
Для трансляции, согласно этому, будем иметь
ds 2 дх;
так как, ввиду (19),
«а«р = 0
dXi
и =—г-
ds
ui = d9iku
(67)
Фар
dxi
и поэтому для какой-либо симметричной системы чисел №
1 Фор
2 Ох,
. taß =
(68)
Так как мера вектора скорости во время трансляции остается
неизменной, справедливо равенство
dXi dxb
= им1 = const. (69)
9* ds
ds
Предположим ради простоты, что фундаментальная метрическая
форма положительноопределена. Тогда каждой кривой
Xj = Xj(s) [а й s <, Ь] можно сопоставить (некоторую независимую от
параметрического представления) длину:
l<Qds \Q = gik
dx; άχΛ
ds ds
Если использовать саму длину как параметр, то Q = 1.
Уравнение (69) означает, что при трансляции тела его траектория —
геодезическая линия, соответствующая постоянной скорости тела, что
временной параметр S пропорционален длине дуги. Геодезическая
линия в римановом пространстве обладает не только
дифференциальным свойством сохранять свое направление неизменным, но также
и интегральным свойством, утверждающим, что каждая часть ее
есть кратчайшая линия, которая соединяет начальную и конечную
точки. Однако, это высказывание следует понимать не совсем

172
Метрический континуум
буквально, а, скорее, в том смысле, как в механике, когда мы
говорим, что в состоянии равновесия потенциальная энергия имеет
минимум, или, когда мы говорим, что функция двух переменных
f(xy) имеет минимум там, где ее дифференциал
df^dx^dy
1 дх ду *
исчезает тождественно по dx и dy, в то время как в действительности
это должно означать, что эти величины принимают «стационарные»
значения, которое может быть как минимумом, так и максимумом
или даже «седловой точкой». Геодезическая линия —не обязательно
кратчайшая кривая, но, скорее, кривая стационарной длины. На
сфере, например, дуги больших кругов — геодезические линии; если
взять на такой окружности две точки А и 5, то меньшая из двух дуг
Aß—действительно кратчайшая линия, соединяющая А и ß. Но
другая дуга тоже геодезическая линия, соединяющая А и β, она имеет
не кратчайшую, а стационарную длину. Воспользуемся этим
поводом, чтобы изложить здесь в строгой форме принцип бесконечно
малой вариации.
Пусть произвольная кривая задана с помощью параметрического
представления
*i = *,<*), (a<s<> b).
Назовем эту кривую «исходной кривой». Чтобы сравнить ее с
соседними кривыми, рассмотрим далее однопараметрическое
множество кривых
х{ = x{(s; ε) (α <s< b).
Параметр ε изменяется в некотором интервале около ε = 0;
*i(s; ε)—такие функции, которые при ε = 0 сводятся к x{(s). Так как
все кривые множества связывают общие для них начальную и
конечную точки, то х£а\ ε) и х£Ь; г) не зависят от ε. Длина такой
кривой выражается в форме
6
Де)= JVg ds.
а
Примем также, что s обозначает для исходной кривой длину ее
дуги так, что Q = 1 для ε = 0. Компоненты вектора направления
dx{
-j- исходной кривой (ε = 0) обозначим и\ Положим, далее
(dxi\
ναεΛ = ο

§18 Примеры применения тензорного исчисления.
173
Это—компоненты «бесконечно малого» смещения, которое
переводит исходную кривую в «варьированную» соседнюю кривую,
соответствующую бесконечно малому значению ε. Они обращаются
в нуль на концах кривых.
4L-*
—соответствующая вариация длины. δΖ, = 0—условие того, чтобы
исходная кривая в указанном множестве кривых имела стационарную
длину. Если использовать символ 3Q в том же смысле, то можно
записать
о о
(70)
а а
так как для исходной кривой Q = 1. Справедливо соотношение
Η* Я-v А<* Не Не + Qik Не
dz дх{ dz ds ds *lk ds dzds
и, таким образом во втором слагаемом символы «вариации» и
«дифференцирования», т.е. операции дифференцирования по ε и 5,
переставимы, и тогда
Если мы подставим это выражение в (70) и преобразуем второе
слагаемое с помощью интегрирования по частям, обратив внимание
на то обстоятельство, что ξ* на концах интервала интегрирования
обращается в нуль, то получим
\(\ да„а . „ duÄ
яг ίΠί^&αβ dui\^iHe
а
2 дх; ds
\
Условие bL = 0, согласно этому, тогда и только тогда
удовлетворяется для каждого произвольного множества кривых, когда
справедливо (67). Действительно, если бы для некоторого значения
5 = 50, лежащего между а и Ь, какое-нибудь из этих выражений,
например первое, т.е. для (г = 1), отличалось от нуля, было бы
например > 0, то можно было бы s0 включить в такой достаточно
малый интервал, чтобы указанное выражение на нем было > 0. При

174
Метрический континуум
выборе в качестве ξ некоторой неотрицательной функции, которая
обращается в нуль вне этого интервала, и при условии, что все
остальные ξ1 обращаются в нуль, мы придем к противоречию с
уравнением bL = 0.
Из этого доказательства также следует, что среди всех движений,
которые происходят в течение одного и того же времени а < s < b и
имеют общие начало и конец, трансляция выделена тем, что интеграл
Ъ
J Q ds принимает стационарное значение.
а
Несмотря на добросовестное старание автора достичь ясности и
наглядности, многие из читателей ужаснутся тому безбрежному
потоку формул и индексов, который, как будто, захлестнул здесь
основную идею инфинитезимальной геометрии. Конечно,
прискорбно, что нам пришлось так детально входить в чисто формальную
сторону вопроса и, в результате, уделить ей достаточно много места,
но этого избежать было нельзя. Точно так же, как тот, кто хочет ясно
выражать свои мысли, должен затратить известные усилия на
изучение языка и письма, так и здесь единственный путь освободиться
от груза формул —это так овладеть орудием тензорного анализа,
чтобы, используя этот формализм, беспрепятственно обратиться к
подлинным проблемам, которые нас интересуют: постижению
сущности пространства, времени и материи в той мере, в какой они
проявляют себя в структуре объективной действительности. Тому,
перед кем стоит такая цель, должно быть ясно, что математическое
(das Mathematische) понимается всегда само собой [33]. Теперь,
прежде чем после длительных приготовлений и окончания
снаряжения пуститься в путешествие по стране физического знания, по
путям, проложенным гением Эйнштейна, мы займемся еще более
глубоким исследованием проблемы метрики пространства. Речь пойдет
о том, чтобы понять внутреннюю необходимость и единственность той
метрической структуры, которая выражается теоремой Пифагора.
§19
Теоретико-групповое понимание метрики пространства
то время как природа аффинной связности не является для нас
больше загадкой—требование, предъявленное на стр.144 к
понятию параллельного переноса, которое характеризует его как
некоторую форму неизменного перенесения, однозначно и полностью
определяет эту природу, —в отношении метрики мы еще не достигли
аналогичного, не связанного с опытом понимания. То
обстоятельство, что метрика пространства описывается именно квадратичной
щ

§19 Теоретико-групповое понимание метрики пространства 175
дифференциальной формой, обычно принималось как факт, но не
находило своего объяснения. Уже Риман указывал на то, что в
качестве фундаментальной метрической формы можно было бы с тем
же основанием принять однородную по отношению к дифференциалам
функцию четвертого порядка или какую-нибудь иначе сконструированную
функцию, которая не обязательно рационально зависит от
дифференциалов. Но мы должны пойти дальше. Исходным и общим
основанием для определения метрики в некоторой точке Ρ является
группа вращения. Метрическая природа многообразия в точке Ρ
известна, если известно, какие среди линейных отображений
векторного пространства, т.е. совокупности всех векторов в точке Р,
являются их конгруэнтными отображениями в себя. Существует
столько различных типов мероопределений, сколько имеется
существенно различных групп линейных преобразований, т.е. таких групп,
которые различаются не только вследствие различного выбора
системы координат. Для единственной изучавшейся до сих пор
пифагоровой метрики соответствующая ей группа вращения состоит из всех
линейных преобразований, которые переводят в себя
фундаментальную квадратичную форму. Но группа вращения сама по себе вообще
не нуждается ни в каких инвариантах, т.е. функциях, зависящих от
единственного произвольного вектора, которые остаются неизменными.
Подумаем, что было бы естественно потребовать от понятия
вращения. В некоторой точке, до тех пор пока многообразие не
наделено мероопределением, по величине можно сравнивать между
собой только я-мерные параллелепипеды. Если af- (i=l, 2
η) — произвольные векторы, которые следующим образом
выражаются через единичные векторы ei
at = efeÄ,
то определитель из at·, который, согласно Грассману, целесообразно
обозначить
[ata2...aj
[e,e2...e„]
по определению дает объем параллелепипеда, построенного на этих
η векторах а^. При выборе другой системы единичных векторов е£
все объемы умножаются на один и тот же постоянный множитель,
как это следует из «теоремы об умножении определителей»:
tala2-aJ _ [·ι»2···«ηΙ ^-5Π
[е,е2...е„] [β,β2...βη] ' [β,β^.β,,]'

176
Метрический континуум
Объемы, таким образом, после выбора единицы измерения,
определяются однозначно и независимо от координатной системы.
Вращение должно быть, очевидно, отображением, сохраняющим
объем, так как оно должно оставлять «неизменным» векторное
пространство. Вращение, которое переводит вектор χ = (ξ1) в вектор
X = (ξ ), выражается формулами
в: = а\ek или ξ1' = 41*·
Определитель матрицы вращения (alk) оказывается равным 1.
Если это требование касается отдельного вращения, то от
совокупности вращений мы должны потребовать, чтобы они образовывали
группу. Речь идет при этом о непрерывной группу, т.е. вращения
должны быть элементами многомерного непрерывного многообразия.
Если в представлении некоторого линейного векторного
отображения матрицей А = (alk) перейти от одной координатной системы
(ef) к другой (в]) посредством уравнений
и:ё{ = и*ек, (71)
то Л превращается в UALF (1Г означает преобразование, обратное
Ut U LT и LT U равно тождественному преобразованию Е).
Следовательно, в данной матричной группе 6 подходящим выбором
координатной системы можно каждую матрицу G перевести в матрицу
UGLT , в результате чего из группы G мы получим группу С/ОLT
(матрицы U одинаковы для всех G). Относительно этой группы
можно сказать, что она должна быть того же вида, что группа О, или
отличаться от нее своей ориентацией. Если О —группа матриц
вращения в точке Ρ многообразия, а [70LT1 тождественна с ней (это
никоим образом не означает, что каждая отдельная матрица G
операцией UGLT снова переводится в себя, а лишь то, что вместе с
G матрица UGU~X всегда принадлежит группе О), то метрика в двух
координатных системах, связанных между собой преобразованием
U (71), выражается одинаково. U является таким отображением
векторного пространства на самого себя, которое оставляет
неизменным все метрические отношения. Оно называется отображением
подобия. G содержится как подгруппа в группе всех отображений
подобия G .
От метрики в отдельной точке мы перейдем теперь к
«метрической связности*. Метрическая связность точки Р0 с непосредственной

§19 Теоретико-групповое понимание метрики пространства |77
ее окрестностью известна, если мы знаем, что линейное отображение
векторного пространства в точке Р0 = (х{) на векторное пространство
в некоторой бесконечно близкой к Р0 точке Ρ = (х^ + dx$ есть
конгруэнтное перенесение. Если групповые свойства распространить и
на метрическую связность, то они сведутся к следующим требованиям.
1) Для конгруэнтного переноса из точки Р0 в некоторую
бесконечно близкую к ней точку Ρ оказывается справедливым следующее
утверждение. Каждый такой перенос А может быть получен из
какого-нибудь одного из них А0 добавлением к нему G0 в Р0
некоторого вращения G0: А = AqGq, где G0 принадлежит к группе
О0 в точке Pq. Если теперь рассмотреть векторное пространство с
центром в точке Р0 в двух конгруэнтных друг другу положениях, то
конгруэнтное перенос Л0 будет переводить их также в два
конгруэнтных положения в точке Р. Поэтому группа вращения О в Ρ будет
эквивалентна группе AqGqAq . Метрическая связность, таким
образом, приводит к тому, что группа вращения в Ρ отличается от группы
вращения в Р$ только своей ориентацией. И если мы непрерывным
образом из точки Р0 будем переходить к произвольным точкам
многообразия, то мы получим отсюда, что группы вращения во всех
точках многообразия будут одного и того же рода. В этом отношении,
таким образом, многообразие является однородным.
2) Для метрической связности точки Р0 со всеми точками ее
окрестности справедливо следующее. Если произвести одно за
другим два бесконечно малых конгруэнтных переноса: сначала
посредством смещения dxi (т.е. из точки Р0 = (х·) в точку Ρ = (х^ + dx{)) и
затем посредством δ^·, то полученный конгруэнтный бесконечно
малый перенос будет результатом суммарного смещения dxi + δ^·.
Некоторый конгруэнтный перенос будет бесконечно малым, если
приращения c/ξ1 компонент ξ* произвольного вектора являются
бесконечно малыми величинами того же порядка, что и компоненты
dxi смещения центра. Если, таким образом,
k
— некоторое произвольное бесконечно малое конгруэнтное перене-
/ 0 0 0\
сение вдоль первой координатной оси в точку ух^ + ε, х2» ···» хп'> а

178
Метрический континуум
Л^2 , ··, Alkn имеют аналогичный смысл для соответствующих
операций вдоль второй, ..., w-й осей (ε—бесконечно малый параметр),
то формула
<# = £äUW (72)
kr
дает «систему бесконечно малых конгруэнтных переносов» из точки
Pq во все точки ее окрестности.
Наконец, я напоминаю о том, что, согласно §12, с каждой
координатной системой можно связать понятие бесконечно малого
параллельного смещения и некоторой системы параллельных
смещений векторного пространства в точке Pq во все бесконечно близкие
к ней соседние точки.
До сих пор мы занимались лишь своеобразным анализом
понятий, истолкованием того, что заключено в понятиях метрики,
метрической связности, и параллельного смещения как таковых . Я
перехожу теперь к «синтетической» части в кантовском смысле [34].
Среди различных типов метрических пространств мы с помощью
простых внутренне присущих им свойств выделили тот, к которому,
согласно Пифагору и Риману, относится реальное пространство.
Независимость группы вращения от точки многообразия
характеризует метрическую природу пространства. Природой пространства,
однако, не определяется метрическая связность между точками
многообразия и тем самым взаимная ориентация групп вращения в
различных его точках. Скорее она зависит от материального
содержания, но сама по себе она свободна и допускает любые возможные
изменения. Наше первое требование звучит так (постулат свободы):
I. природа пространства допускает любую возможную
метрическую связность. Это означает, что при заданной группе вращения
в Pq всегда можно найти такую метрическую связность между точкой
Р0 и точками Ρ ее окрестности, что формула (72) будет представлять
систему конгруэнтных перенесений в точки окрестности для любых
заданных чисел Alkr.
Второе выдвигаемое нами требование, выходящее за рамки лишь
концептуального анализа, касается отношения, которое существует
между конгруэнтным переносом и параллельным смещением. Оно
тождественно тому, которое мы формулировали ранее с помощью
основной теоремы инфинитезимальной геометрии, и говорит о том,
*)Хотя она также, как будет показано, всюду одного и того же типа.

§19 Теоретико-групповое понимание метрики пространства 179
какова количественная определенность самой по себе свободной,
согласно требованию 1, метрической связности, если она однажды
зафиксирована. Именно, утверждается, что среди возможных
систем параллельных смещений имеется единственная, которая
одновременно является системой конгруэнтных переносов. Среди
бесконечно малых конгруэнтных перенесений векторного
пространства в Р0 в произвольную соседнюю точку Ρ выделяется таким
образом одно, трансляция, которое совпадает с единицей, если
Ρ = Р0. Коротко это требование можно выразить следующим образом:
II. метрическая связность однозначно определяет аффинную
связность. Наши требования имеют инвариантный, не зависящий от
системы координат характер высказываний о системе бесконечно
малых вращений в точке Р0. Можно доказать, что из этих требований
следует существование невырожденной квадратичной формы,
которая остается неизменной при бесконечно малых вращениях. Мне
удалось доказать эту теоретико-групповую теорему. В
справедливости этой теоремы я вижу подтверждение выдвинутого здесь подхода
к проблеме пространства, основанного на логике. Но
воспроизведение здесь этого очень сложного доказательства увело бы нас далеко
в сторону .
Я охотнее в заключение остановлюсь еще на двух моментах.
Во-первых, аксиома I никоим образом не вступает в противоречие с
тем, что, согласно аксиоме II, не только метрика, но также и
метрическая связность —одного и того же типа в каждой точке
многообразия, а именно простейшего из возможных: в каждой точке
существует такая геодезическая система координат, что в ней перенос
всех векторов из одной точки в некоторую соседнюю с измененными
компонентами есть конгруэнтное перенесение. Во-вторых, если наш
анализ верен, то выделенный характер пифагоровой метрики
становится понятным лишь благодаря тому, что ориентацию,
количественную определенность и связность метрик мы представляем себе
свободно меняющимися, а не предполагаем с самого начала какую-
нибудь одну связность раз и навсегда заданной, что как раз
характерно для евклидовой геометрии, «геометрии дальнодействия»
(Ferngeometrie). «Природа» и «ориентация» при этом разделяются
между собой так, что срг· и gik являются свободно меняющимися с тем
лишь ограничением, что квадратичная форма с коэффициентами
gik невырождена и имеет индекс инерции, предписанный природой
пространства.
Исследование проблемы пространства, проведенное в гл.II,
кажется мне хорошим примером сущностного анализа (Wesenanalyse),

180
Метрический континуум
к которому стремится феноменологическая философия Гуссерля,
именно примером, типичным для тех случаев, когда речь идет о
неимманентных сущностях. На примере исторического развития
проблемы пространства мы видим, как трудно нам, людям,
скованным узами действительности постигать нечто решающе важное.
Потребовались долгое развитие математики, широкое развертывание
геометрических исследований от Евклида до Римана, проникновение
в физическую сущность природы и ее законы со времени Галилея,
поддерживаемое все новыми эмпирическими импульсами, наконец,
гений отдельных великих мыслителей, —Ньютона, Гаусса, Римана,
Эйнштейна, чтобы вырваться из плена внешних, случайных,
несущественных признаков, от которых мы поначалу находимся в
зависимости. Конечно, если однажды достигнута верная точка зрения, то
разум осеняется светом, и он познает и признает само по себе
понятное (aus-sich-selbst-Vertändliche). Тем не менее, если даже
разум на протяжении всего развития проблемы как бы «был при
этом», он не в состоянии одним ударом постичь ее сущность. Это
противостоит нетерпению философов, которые полагают, что
сущность можно адекватно описать на основе единственного акта
некоторого рода представления (exemplarischer Vergegerwärtigung). В
принципе они правы, но ошибаются с человеческой точки зрения.
Пример пространства одновременно очень поучителен в связи с тем
вопросом феноменологии, который кажется мне действительно
решающим: в какой мере граница, очерчивающая сущности,
открывающиеся сознанию, выражает структуру царства самих данностей и в
какой мере в этом участвуют наши соглашения [35].

Относительность пространства и времени
§20
Галилеевский принцип относительности
лр|же во Введении обсуждалось, каким образом с помощью часов
jE^Mbi измеряем время и как, выбрав произвольное начало отсчета
^ во времени и единицу времени, можно описывать каждый момент
времени посредством некоторого числа t. Новые трудные проблемы
возникают, однако, в связи с объединением пространства и времени,
что составляет предмет теории относительности. Их решение одно из
величайших свершений в интеллектуальной истории человечества и
связано, прежде всего, с именами Коперника и Эйнштейна [36].
Для времени начало отсчета и единица измерения могут быть
выбраны произвольно. Если изменять их, то временная координата
t произвольной точки времени изменится, согласно формулам
t = V + а и, соответственно t = at' {а и а —постоянные, а > 0).(1)
В этой главе мы будем предполагать, что пространство
евклидово. Тогда в пространстве можно произвольно выбрать начальную
точку, единицу длины и ориентацию декартовой системы координат.
При изменении каждого из этих параметров пространственные
координаты xv jfy *з произвольной точки пространства испытывают
преобразования
xi = χ/ + a{t x{ = ух/ (1)
и, соответственно, однородное линейное преобразование
νΣ¥*. (1)
k
2 2 2
которые оставляют инвариантной квадратичную форму Х\ + х2 + *3'
(я,·, <хг-£, γ—постоянные, γ > 0). Если не думать о связи пространства
и времени и обсуждать каждое из них отдельно, то координатная
система, предназначенная для численной локализации событий в
пространстве и времени, или для численного фиксирования их места
в пространстве и времени, состоит из вышеперечисленных элементов.
Но каждые две такие системы координат равноправны, т.е. не
различимы по своим внутренним свойствам. Вследствие этого законы
природы в их математической формулировке, в которой пространственные

182
Относительность пространства и времени
и временная координаты выступают как независимые переменные,
инвариантны относительно приведенных выше преобразований, а
также всех тех преобразований, которые можно из них
скомбинировать. Эти преобразования образуют то, что мы будем называть
элементарной группой в пространстве и времени.
В графическом представлении мы будем игнорировать одну
пространственную координату и ограничимся, таким образом,
процессами, которые протекают на плоскости. Выберем определенную
систему координат в пространстве и времени xt, x2» t- Графический
образ будет заключаться в том, что в пространстве отображения с
прямоугольными осями будет указываться пространственно-
временная точка, или, коротко говоря, мировая точка, которая будет
задаваться с помощью следующего описания:
«положение—точка пространства с координатами х^х^ время — t »,
т.е. точка с координатами x]t x2, t в пространстве отображения.
Временную ось будем считать вертикальной. Мы можем, тогда
построить «графики» движения всех материальных точек. Движение
каждой из них будет представляться «мировой линией», направление
которой должно всегда иметь положительную составляющую вдоль
оси t. Мировая линия покоящейся материальной точки —прямая,
параллельная оси t. Мировая линия точки, движущейся равномерно
и прямолинейно, —прямая, наклонная к оси t. Положение всех
материальных точек в некоторый момент времени t определяется
сечением t = const. Два тела встречаются, если их мировые линии
пересекаются. Одновременные события находятся в мировых точках,
которые расположены на одной и той же горизонтальной плоскости.
Координаты х^\ х2\ V каждой мировой точки в некоторой другой
допустимой системе координат в пространстве и времени совпадают
с координатами отображенной точки относительно аффинной
системы координат в пространстве отображения, которая возникает из
начальной, когда 1) смещается начало координат, 2) декартова
система координат в горизонтальной плоскости заменяется некоторой
другой и 3) изменяется масштаб временной оси при условии, однако,
сохранения его направления. Таким образом, пространство
отображения дает, очевидно, аффинный образ мира, но его метрическая
структура при этом передается неправильно. В качестве равноправных
в пространстве отображения выступают не все декартовы системы
координат, а все аффинные системы координат, которые переходят
друг в друга посредством описанных выше преобразований.
Если однажды усвоить этот графический прием и представлять
себе события не «в пространстве» и «не во времени», а «в мире», в

§20 Галилеевский принцип относительности
183
4:пространстве-времени», то вскоре становится ясно, что развитое
объединение пространства и времени основано на одном
принципиальном предположении. Оно заключается в следующем: имеет смысл
говорить о двух событиях (и это связано с объективной структурой
Рис. 8
мира), если они происходят в одном и том же месте пространства,
но в различные моменты времени или если они происходят в один и
тот же момент времени, но в различных точках пространства. Каждое
строго пространственно-временное локализованное событие, как
например вспышка тотчас же гаснущей искры, происходит в некоторой
пространственно-временной точке, или мировой точке:
здесь—теперь. Лишь совпадение или, соседство двух событий в пространстве-
времени имеет достаточно очевидный смысл, но вовсе не временное
совпадение двух событий в различных местах или пространственное
совпадение двух событий в различные моменты времени. С помощью
часов непосредственно устанавливаются только временные
отношения таких событий, которые происходят там же, где находятся часы.
Только идея абсолютной одновременности позволяет нам
распространить это время на весь мир. Пространственные координаты мы
можем устанавливать относительно постоянно существующей
прямоугольной системы координат, например, угла здания. Но выбор
этой системы в некоторый момент времени определяет ее для всех
последующих моментов времени только тогда, когда есть
объективный смысл в требовании ее покоя. Упомянутое предположение,
благодаря которому мир наделяется структурой, представляемой в
нашем изображении множеством параллельных горизонтальных
плоскостей и множеством вертикальных прямых — я мог бы сравнить
ее с совокупностью слоев, пронизанных текущими поперек них
волокнами, —мы будем называть гипотезой об абсолютном време-

184
Относительность пространства и времени
ни и абсолютном пространстве. Относительно этой гипотезы можно
выдвинуть три различных точки зрения.
Первая точка зрения, которую разделяют большинство людей,
состоит в том, чтобы вообще не обращать внимания на то, что это
особая, далеко не самоочевидная гипотеза. Вторая —это точка зрения
ньютоновской механики: существование этой абсолютной структуры
задано априори. Но тогда возникает задача отыскания практически
применимых критериев для одновременности и пространственного
совпадения (Gleichartigkeit) событий. Ньютон придерживался
концепции абсолютного пространства, хотя, согласно законам его
механики, оказалось, что эта задача неразрешима, что нельзя указать
никакого механического критерия, с помощью которого можно было
отличить покой от равномерного и прямолинейного движения.
Третья же точка зрения заключается в том, чтобы, отказавшись от
предубеждений, проверить, сказывается ли в явлениях мировая
структура, которая допускает разделение пространства и времени, и,
если сказывается, то каким образом. Именно эту точку зрения мы
здесь и рассмотрим.
Нет сомнения, что вера в объективную одновременность с
самого начала основана на том, что каждый без всяких сомнений
погружает вещи, которые он видит, во временные точки своего
собственного восприятия. Так, я распространяю свое время на весь
мир, который предстает перед моим взором. Теперь, если даже это
наивное воззрение в результате открытия конечной скорости
распространения света лишается основы, то остается еще достаточно
оснований, чтобы придерживаться концепции объективной
одновременности. Горизонтальная плоскость в нашем графическом
представлении, проходящая через мировую точку О, разделяет в этой точке
будущее и прошлое. В чем смысл этого утверждения? Если из точки
О во всех направлениях выстрелить пулями со всевозможными
скоростями, то они достигнут всех мировых точек, которые позже,
чем О; но в прошлое выстрелить нельзя. Равным образом, событие,
происходящее в О, может влиять только на то, что происходит в
последующих за ней мировых точках, в то время как в прошлом
«ничего больше изменить нельзя». Этим объясняется объективное
значение указанной горизонтальной плоскости для понимания
взаимосвязанности (Wirkungszusammerhang) мира. Мгновенная
передача сигнала между точками А и В возможна, например,
посредством абсолютно твердого стержня, мгновенно передающего толчок
из Л в ß. Другой метод передачи сигнала времени таков: я посылаю
кого-нибудь с карманными часами из А в В. Оба способа приводят
к одному и тому же результату, если ход часов не зависит от пути,

§20 Галилеевский принцип относительности
185
т.е. если два человека с двумя правильно и одинаково идущими
карманными часами, которые сравнивались в мировой точке Л, после
их прибытия в мировую точку В находят показания своих часов
совпадающими. Опыт повседневной жизни и физических измерений
с огромной точностью подтверждает, что все происходит именно так.
Поэтому мы не хотим сразу опровергнуть тезис об объективной
одновременности [37]. Действительно, он никем до Эйнштейна не
ставился под сомнение. До него он даже вообще никем не осознавался
как особое предположение.
Совершенно иначе обстоит дело с верой в объективный смысл
покоя. Требуется лишь небольшое размышление, чтобы понять, что
это предположение лишено основания . Когда я договариваюсь с
кем-нибудь о встрече, например, мы хотим встретиться завтра на том
же месте, где и сегодня, то это значит, что имеется ввиду то же самое
материальное окружение, около того же самого здания на той же
улице которые, согласно Копернику, завтра будут находиться совсем
в другом месте мирового пространства. Это имеет определенный
смысл, благодаря тому счастливому обстоятельству, что мы живем в
весьма устойчивом окружающем нас мире, в котором всякое
изменение присоединяется к существенно более обширному состоянию,
обладающему свойством оставаться неизменным или почти
неизменным. Дома стоят спокойно, корабль идет с определенной скоростью.
Все это в повседневной жизни мы всегда понимаем по отношению к
«прочной земной опере». Вновь будем рассматривать процессы
только на плоскости. Одна часть этой плоскости пусть будет твердой
пластиной, другая, оставшаяся — пустым пространством. Пометим
пластину в разных местах качественно отличными друг от друга
знаками. Указание места некоторого события на пластине будет тогда
соответствовать указанию определенной метки. Это
непосредственное указание мест мы можем с выгодой для себя заменить более
косвенным способом задания места с помощью чисел. Тогда
необходимо только вместо множества меток нацарапать на пластине
координатные оси и ввести некоторый твердый масштабный стержень,
который даст нам единицу длины. Кроме того, этот способ позволяет
мысленно маркировать также и пустое пространство. Но нам все еще
необходимо иметь в качестве базиса твердое тело. Движение масс
имеет объективное значение только относительно такого тела отсчета.
Взаимосвязь координат одних и тех же произвольных мировых точек
относительно каждого из двух таких тел отсчета все еще обеспечивается
*) Это было вполне ясно уже Аристотелю, когда он ввел понятие «места»
(τόποζ) как отношения некоторого тела к другим телам, его окружающим.

186
Относительность пространства и времени
нашими старыми формулами (1). Только теперь ai могут быть
произвольными непрерывными функциями временной координаты t,
α^ —также произвольными непрерывными функциями t, которые
тождественно по t удовлетворяют условиям ортогональности, γ
однако, должна оставаться постоянной. Твердый масштаб сохраняется:
если он в некоторый момент был выбран как единичный отрезок, то
тем самым установлена единица длины на все времена. Описанную
существенно более широкую группу преобразований
пространственно-временных координат мы будем называть кинематической
группой. Если мы в нашем графическом представлении построим
поверхности V = const, а также х^ = const и х^ = const, то
поверхности первого множества вновь окажутся плоскостями, которые
совпадают с плоскостями t = const, в то время как поверхности двух
других множеств — кривыми поверхностями. Формулы
преобразования, таким образом, больше не являются линейными.
Ввиду этих обстоятельств при исследовании движения системы
материальных точек, например, планет, можно говорить лишь о
таком выборе системы координат, чтобы функции xft),
представляющие зависимость пространственных координат материальной точки
от времени, были бы по возможности простыми или удовлетворяли
возможно более простым законам. Открытием Коперника,
замечательно углубленным Кеплером, был тот факт, что в действительности
существует система координат, в которой законы движения планет
принимают неизмеримо более простую и ясную форму, чем в том
случае, когда это движение относится к Земле. Коперниковский
переворот в мировоззрении заключался, прежде всего, в том, что он
освободился от веры в абсолютное значение Земли. Его
представления так же, как и Кеплера, имели чисто кинематическую природу.
Ньютон завершил их дело, найдя истинную основу для
кинематических кеплеровских законов в основном динамическом законе
механики и законе всемирного тяготения. Известно, как блистательно
утвердилась эта ньютоновская механика на небе и земле. Но так как
законы механики, как мы убеждены, универсальные, не
ограниченные областью планетной системы, никоим образом не инвариантны
относительно кинематической группы, то с помощью этих законов
возможно абсолютное, независимое от каких-либо ссылок на
конкретные объекты, более полное установление координатной
системы, чем на основе чисто кинематического понимания,
ведущего к кинематической группе.
Одним из главных принципов механики является галилеевский
принцип инерции: свободная материальная точка, т.е. точка, которая
не находится под действием внешних сил, движется равномерно и

§20 Галилеевский принцип относительности
187
прямолинейно. Ее мировая линия, таким образом,—прямая линия,
т.е. пространственные координаты х- материальной точки —
линейные функции времени t. Твердое тело отсчета, по отношению к
которому выполняется этот принцип, мы будем называть допустимым
телом отсчета. Связанные с некоторым данным допустимым телом
отсчета системы координат (состоящие из нанесенных на этом теле
прямоугольных координатных осей, начального отсчета времени,
единиц длины и времени) переводятся друг в друга
преобразованиями элементарной группы. Два каких-нибудь равноправных тела
отсчета К, К', однако, не обязаны покоиться друг относительно
друга, но могут также двигаться один относительно другого
равномерно и прямолинейно. Действительно, если х- и ^' — основанные на
К и К' пространственные координаты, то они во всяком случае
должны быть связаны между собой некоторым преобразованием из
кинематической группы. Но, кроме того, х- должны переходить в
линейные функции от t, если вместо х^ подставить линейные
функции от t. Отсюда следует, что aik должны быть постоянными, а
ai — линейными функциями от t. К преобразованиям элементарной
группы добавляются, таким образом, лишь преобразования вида:
jri = jr/ + ß1.ff t = t\ (l)
Постоянные ßt- здесь — компоненты скорости равномерного и
прямолинейного движения К' относительно К. Элементарную
группу, дополненную преобразованиями (1), назовем группой Галилея
[38]. В нашем графическом изображении, xf, V = t — координаты,
отнесенные к прямоугольным осям, причем оси х{ совпадают с осями
xit а новая ось V имеет измененное направление.
Обнаруживается теперь и обратное: если принцип инерции и
ньютоновская механика справедливы на К (т.е. под «движением»
понимается движение относительно К), то они справедливы также и
на К'. Действительно, никогда еще не наблюдалось явление, которое
бы в равномерно и прямолинейно движущейся системе тел
происходило иначе, чем в аналогичной системе покоящихся тел. Все
процессы в железнодорожном поезде, движущемся равномерно и
прямолинейно г протекают точно так же, как в покоящемся поезде. Законы
физики должны быть, таким образом, инвариантны относительно
группы Галилея. Масса в ньютоновской механике является
независящим от тела отсчета скаляром. Далее, ввиду получающихся из (1)
трансформационных формул

188
Относительность пространства и времени
dx{ dx( d2x{ d2x{
не скорость, а ускорение оказывается не зависящим от тела отсчета
вектором. Соответственно этому, основной закон —«масса,
умноженная на ускорение, равна силе», — имеет инвариантный характер, если
сила также является не зависящим от тела отсчета вектором. Иначе
говоря, силы, с которыми тела действуют друг на друга, не
изменяются, если этим телам придать равномерное и прямолинейное
движение. Ньютоновская механика требует для наполнения этого
понятия силы конкретным содержанием определенной физики. Сила
тяготения, согласно ньютоновскому закону всемирного тяготения,
действительно является силой требуемого вида.
Согласно ньютоновской механике, центр тяжести каждой
замкнутой, не находящейся под действием внешних сил системы масс,
движется равномерно и прямолинейно. Если мы будем,
рассматривать Солнце и планеты как такую систему, то никакого смысла не
будет иметь вопрос, покоится ли ее центр тяжести или находится в
равномерном и прямолинейном движении. Когда астрономы,
несмотря на это, утверждают, что Солнце будто бы движется в направлении
некоторой точки в созвездии Геркулеса, это их утверждение
опирается на статистические наблюдения, что звезды в некоторой области
кажутся в среднем удаляющимися из некоторого известного центра —
подобно тому, как расходится группа деревьев, когда к ней
приближаешься. Отсюда следует их вывод, что звезды в среднем находятся
в покое, т.е. что центр тяжести звездного неба покоится. Речь идет,
таким образом, о движении центра тяжести Солнечной системы
относительно звездного неба системы неподвижных звезд.
В соответствии с этим, среди множества равноправных, с точки
зрения механики, систем отсчета, каждые две из которых связаны
между собой преобразованием из группы Галилея, нельзя, без
указания на их индивидуальные особенности, одну какую-нибудь
систему предпочесть другой (галилей-ньютоновский принцип
относительности). Эта группа определяет геометрию четырехмерного
мира в таком же смысле, как группа преобразований, связывающих
декартовы системы координат, определяет евклидову геометрию
трехмерного пространства. Взаимосвязь между мировыми точками
тогда и только тогда имеет объективное значение, когда она
определяется такими арифметическими соотношениями между
координатами точек, которые инвариантны относительно преобразований
группы Галилея. О пространстве говорят, что оно однородно во всех
точках и в каждой точке однородно во всех направлениях [39]. Но
эти утверждения—только часть утверждения о полной однородности,

§20 Галилеевский принцип относительности
189
заключающегося в том, что все декартовы системы координат
равноправны. Равным образом принцип относительности устанавливает
точный смысл однородности мира, т.е. пространства-времени как
формы явлений, а не их «случайного», неоднородного материального
содержания.
Из свойств преобразований группы Галилея мы подчеркивали
только их линейность, означающую, что мир—это четырехмерное
аффинное пространство. С целью систематического развития
соответствующей геометрии мы, наряду с мировыми точками, будем
использовать мировые векторы или смещения Р. «Смещение
мира» —это отображение, которое каждой мировой точке Ρ ставит в
соответствие мировую точку Р. Но это — отображение особого рода,
а именно такое, которое выражается в некоторой допустимой
координатной системе с помощью уравнений:
х{ = х{ + а{ (г = 0, 1, 2, 3)
при этом х{ означают четыре пространственно-временных
координаты точки Ρ (х0 здесь означает t), xf — координаты точки Ρ' в этой
же системе координат, α—некоторые постоянные. Это понятие не
зависит от выбора допустимой системы координат. Смещение,
которое переводит Ρ в Р', обозначается РР\ Для мировых точек и
мировых смещений справедлива полная система аксиом аффинной
геометрии пространства размерности я = 4. Галилеевский принцип
инерции— это аффинный закон. Он указывает, какими движениями
реализуются прямые линии нашего четырехмерного аффинного
пространства, т.е. «мира», а именно свободно движущимися
материальными точками.
От аффинной точки зрения мы перейдем к метрической. Из
нашего графического представления, которое (с сокращением одной
координаты) дает аффинный образ мира, мы можем понять
существенно метрическую структуру мира, которая совершенно иная, чем
у евклидова пространства. Мир — «слоистая» конструкция. Плоскости
t = const в нем имеют абсолютное значение, напротив,
«волокнистость» устраняется принципом относительности. После выбора
временного масштаба каждым двум мировым точкам А и J5
сопоставляется определенный временной интервал, временная компонента
вектора Аа = х. Она, как и всякая компонента вектора в аффинной
системе координат, является линейной формой t(x) произвольного
вектора X. Вектор X направлен в прошлое или в будущее, смотря по
тому, отрицательна или положительна форма X. Из двух мировых точек
А и В А раньше 5, одновременна с ней или позже, чем В, в
зависимости от того, какое из следующих трех соотношений
выполняется:

190
Относительность пространства и времени
> 0, =0 или < 0.
Но в каждом «слое» справедлива евклидова геометрия. Она
основана на определенной квадратичной форме, которая, однако,
определяется здесь только для тех мировых векторов X, которые
лежат в некотором слое, где выполняется условие £(х) = 0 (поэтому
имеет смысл говорить о расстоянии только между одновременными
положениями двух материальных точек). В то время как в основе
евклидовой метрики лежит положительно определенная
квадратичная форма, галилеевская метрика основана:
1. на линейной форме t(x) произвольного вектора χ
(«длительности» смещения х), и
2. на некоторой положительно-определенной квадратичной
форме хх, определенной только на трехмерном линейном
многообразии всех векторов х, удовлетворяющих уравнению t(K) = 0 (эта
квадратичная форма (хх) является квадратом «длины» х).
Если в некоторой точке О, однородной среды способной к
колебаниям, возбудить периодический процесс, то он приведет к
возникновению волнового движения, и волны будут
распространяться в этой среде концентрическими сферами во все стороны с
постоянной скоростью. Скорость распространения определяется природой
среды и, кроме того, может, смотря по обстоятельствам, зависеть от
частоты колебаний. Особую важность для нас представляет
распространение света. Скорость света, которая не зависит от частоты в
пустом пространстве мы будем, как принято, обозначать с. В нашем
графическом представлении (рис.8) распространение светового
сигнала, исходящего из мировой точки О, изображается прямым
круговым конусом, который задается уравнением
А2 - (х2{ + дф = 0 (2)
Каждая плоскость t = const пересекается с конусом по
окружности, до точек которой в момент t доходит световой сигнал.
Уравнению (2) (с добавлением условия t > 0) удовлетворяют все те и
только те мировые точки, в которые прибывает световой сигнал.
Вновь встает вопрос о том, какое тело отсчета лежит в основе этого
описания процесса.
Аберрация неподвижных звезд показывает, что Земля движется
относительно этого тела отсчета в согласии с ньютоновской теорией,
т.е. что оно совпадает с допустимым телом отсчета в ньютоновской
механике. Но распространение волн концентрическими сферами, как
известно, неинвариантно относительно галилеевских
преобразований, так как проведенная косо на рис.8 ось V пересекает плоскость
t = const в точках, расположенных эксцентрично по отношению к

§21 Электродинамика зависящих от времени полей.
191
кругам распространения сигнала. Тем не менее это не является
аргументом против галилеевского принципа относительности, так
как, согласно представлениям, которые долгое время господствовали
в физике, распространение света происходит в некоторой
материальной среде, световом эфире, отдельные частицы которой подвижны
друг относительно друга. Свет ведет себя в этом случае точно так же,
как концентрические круговые волны на поверхности воды, которые
возбуждаются брошенным в нее камнем. Это явление, как известно,
не может служить доводом против галилеевского принципа
относительности по отношению к уравнениям гидродинамики. Так как сама
среда, например вода или соответственно эфир, частицы которой
покоятся друг относительно друга, если пренебречь относительно
малыми колебаниями, дает нам то же самое тело отсчета, к которому
относится утверждение о концентрическом распространении волн.
С целью дальнейшего обсуждения этого вопроса мы введем
оптику в рамки той теоретической концепции, с которой она
нерасторжимо связана со времени Максвелла—теории зависящих от
времени электромагнитных полей.
§21
Электродинамика зависящих от времени полей.
Теорема относительности Лоренца
ереход от стационарных электромагнитных полей (§9) к полям,
меняющимся во времени, учит нас следующему:
1. Так называемый электрический ток представляет собой,
фактически, движущееся электричество: вращающееся заряженное
проволочное кольцо создает магнитное поле в соответствии с законом
Био-Савара. Если р —плотность заряда, V—его скорость, то
плотность этого конвекционного тока S равна, очевидно, pv. Однако,
чтобы закон Био-Савара выполнялся в точности в старой форме,
плотность следует измерять в другой системе единиц. Поэтому мы
pv
должны использовать выражение S = —, где с — универсальная
постоянная, имеющая размерность скорости. Эксперимент, проведенный
уже Вебером и Кольраушем и позднее повторенный Роуландом и
Эйхенвальдом, дал для с значение, совпадающее в пределах ошибок
наблюдения со скоростью света . Введем *- = р' как
электромагнитную меру плотности заряда и, чтобы плотность электрической силы
в электромагнитной системе единиц была равна р'Е', в качестве
электромагнитной меры напряженности поля Е' = сЕ.
2. В однородном проводнике переменное магнитное поле
индуцирует ток. Его можно определить на основе закона, описывающего
ш

192
Относительность пространства и времени
свойства вещества s = σΕ и фарадеевского закона индукции, который
утверждает, что индуцированная электродвижущая сила равна
уменьшению во времени потока магнитной индукции, пересекаемого
проводником, то есть
j*dx = -ftJBndo (3)
(слева стоит криволинейный интеграл по замкнутому контуру,
справа—поверхностный интеграл от нормальной компоненты магнитной
индукции В; берущийся по поверхности, стягиваемой этим
контуром). Поток индукции определяется проводящим контуром
однозначно, так как
div В = О (40
(это означает, что не существует истинного магнетизма). Теорема
Стокса дает из формулы (3) дифференциальный закон
rotE + if = 0. (4)
Справедливое в статическом случае уравнение rot Ε = 0
расширяется, таким образом, за счет добавления в левой части уравнения
член — —, представляющего собой производную по времени. На нем
с ос
основана вся наша электротехника, и поэтому необходимость его
введения лучше всего обоснована экспериментом и практикой.
3. С другой стороны, член, которым Максвелл дополнил
основное уравнение магнетизма
rot Η = $ (5)
был во время Максвелла чисто гипотетическим. В меняющемся со
временем поле, например при зарядке конденсатора, уравнение
div S = 0 оказывается уже несправедливо и должно быть заменено
«уравнением непрерывности»
^ + divs = 0, (6)
с dt
в котором находит свое выражение тот факт, что ток состоит из
движущегося электричества. Так как ρ = div D, то не S, а s + — —
с dt
должен быть вектором с нулевой дивергенцией, и отсюда
непосредственно следует, что уравнение (5) в случае меняющегося со
временем поля должно быть заменено уравнением:
rotH-- —= S. U)
с dt

§21 Электродинамика зависящих от времени полей. 193
Кроме того, как и прежде, верно соотношение:
div D = р. (70
Обратно, из уравнений (7) и (70 следует теперь уравнение
непрерывности (6). На члене, содержащем производную по времени
-—- (максвелловском «токе смещения»), основан тот факт, что
с dt
электромагнитные возбуждения распространяются в эфире с
конечной скоростью с. Он является, таким образом, основой
электромагнитной теории света, которая столь замечательным образом
истолковывает оптические явления и находит в знаменитых опытах Герца и
современных исследованиях по беспроволочной телеграфии свое
прямое экспериментальное подтверждение (и техническое
использование). Отсюда также ясно, что эти законы лежат в основе той
системы отсчета, в которой выполняется закон концентрического
распространения света, т.е. системы «неподвижного» светового
эфира. К максвелловским полевым уравнениям (4) и (40, (7) и (70
следует добавить также соотношения, характеризующие свойства
вещества .
Но мы будем рассматривать здесь только процессы в эфире. Там
D = Ε, Η = В
и уравнения Максвелла выглядят следующим образом
1 dB
rotE + - — = 0 , divB = 0 ; (8<)
с dt x
rot В-- — = s, divE = p. (82)
Согласно атомистической теории электронов, эти уравнения —
общие и точные законы природы. Она, кроме того, содержит выра-
жение S = —, где V означает скорость материи, с которой связан
электрический заряд.
Сила, действующая на массы, состоит из двух составляющих,
порожденных электрическим и магнитным полем. Ее плотность равна
ρ = рЕ + [$В]. (9)
Так как вектор S параллелен вектору V, для работы, совершаемой
электронами в единицу времени и в единице объема, оказывается
справедливым соотношение
ρ ν = ρΕ ν = c(sE) = s · Ε'.
Оно применяется для увеличения кинетической энергии
электронов, которая частично передается нейтральным молекулам вследствие

194
Относительность пространства и времени
столкновений. Это усиленное молекулярное движение внутри
проводника феноменологически выражается как явление джоулева
тепла. Действительно, эксперимент показывает нам, что $ · Е' — это
количество теплоты, создаваемое током в единицу времени и в
единице объема. Этот расход энергии должен покрываться
источником тока. Если уравнение (81) умножить на - В, а уравнение (82) — на
Ε и сложить их после этого, то получится
-cdiv[EB]-|(|E2 + iB2) = c(sE).
[ЕВ] = S, |е + ^В2 = W
Введем
и проинтегрируем это соотношение по некоторому объему V. Тогда
яе
d_
dt
получим уравнение
- ^ J W dV + с\Sn do = Jc(sE) dV.
V ω V
Второй член левой части есть интеграл по поверхности Ω,
ограничивающей объем У, от нормальной компоненты Sn величины
S, направленной по внутренней нормали к поверхности. Справа здесь
стоит работа, совершаемая в объеме V в единицу времени. Она
компенсируется уменьшением энергии поля, содержащейся в объеме
У, J W dV и энергией, втекающей в замкнутую часть пространства
извне. Наше уравнение, таким образом, является выражением закона
сохранения энергии. Он окончательно подтверждает сделанное
нами ранее предположение о плотности полевой энергии W; отсюда
следует далее, что cS, так называемый вектор Пойнтинга,
представляет собой поток энергии.
Уравнения поля (8) были проинтегрированы Лоренцом в
предположении, что известно распределение зарядов и токов, следующим
образом. Уравнение div В = 0 удовлетворяется при подстановке
B=rotf (10)
(f— векторный потенциал). Подставляя это выражение в первое
уравнение, получаем тогда, что Ε +— ——безвихревой вектор, и,
с ot
таким образом, можно записать
Е + - —= -grad9 (И)

§21 Электродинамика зависящих от времени полей. 195
(φ—скалярный потенциал). Произвол, с которым связано
определение f, мы можем использовать для наложения дополнительного
условия
^ + divf = 0
с dt
которое здесь вполне уместно (в то время как для стационарного поля
мы принимаем условие div f = 0). Если ввести потенциал в оба
последних уравнения, то простое вычисление дает
--о—о + ΔΦ = ~ Р» (12)
С dt1
--~^ + Af = -s. (120
с2 dt2
Уравнение, имеющее форму (12), указывает на распространение
волны со скоростью с. Действительно, как уравнение Пуассона
Δ<ρ = -ρ
имеет решение
4πφ = J£ dVt
так и уравнение (12) имеет решение вида:
4πφ = J
ρμ-;
dV.
г
Слева здесь стоит значение потенциала φ в некоторой точке О в
момент времени t, г—расстояние от источников в точках Р, по
которым производится интегрирование, до точки О и под знаком
интеграла находится значение ρ в точке Ρ в момент времени t - —.
Вполне аналогично решение (120
-;]
dV.
4πί= J
г
Поле в некоторой точке, таким образом, зависит от
распределения зарядов и токов не в тот же самый момент времени, а в момент
времени, различный для каждого места и запаздывающий на
интервал времени
- , который необходим для того, чтобы действие,
распространяющееся со скоростью с, дошло от источника до этой
точки.

196
Относительность пространства и времени
Как выражение для потенциала (в декартовых координатах)
(ГФ СГФ СГФ
дх\ Ъх\ дх\
инвариантно относительно линейных преобразований переменных
х\> х2> х3> К0Т0Рые переводят в себя квадратичную форму
2 2 2
хх + х2 + х$,
так и занимающее его место при переходе от статического к
меняющемуся во времени полю выражение
_J»^JP ^_Ф iLiP iLiP
с2 dt2 дх\ дх\ + дх\
инвариантно относительно таких линейных преобразований четырех
координат tt Яр х^ х$, так называемых преобразований Лоренца,
которые переводят в себя индефинитную форму
-c2t2 + x2 + x22 + x2. (13)
Лоренц и Эйнштейн поняли, что не только уравнения (12), но и
вся система электромагнитных законов для эфира обладает этим
свойством инвариантности, что она как раз и выражается
инвариантными отношениями между тензорами в четырехмерном
аффинном пространстве с координатами t, xt, х2» хз> в которое формой
(13) введена (индефинитная) метрика. Это утверждение составляет
содержание теоремы относительности Лоренца-Эйнштейна.
Для ее доказательства мы изменим единицу времени, положив
et = х0. Коэффициенты фундаментальной метрической формы
примут тогда вид
gik = 0 {i*k)\ gü=si9
где ε0 = -1, 8t = ε2 = ε3 = +1. При переходе от ковариантных
относительно индекса г компонент тензора к соответствующим контравари-
антным компонентам i-е компоненты умножаются, таким образом,
лишь на символ Et·. Уравнение непрерывности электричества (6)
получит желаемую инвариантную форму
Ы-о,
дх{
t = 0 г
если мы введем

§21 Электродинамика зависящих от времени полей. 197
О 1 2 3
s = р; 5 , s , s равные компонентам s
как четыре контравариантные компоненты вектора в этом
четырехмерном пространстве, так называемого «4-тока». Одновременно с
этим—ср. уравнения (12) и (120 — мы должны объединить величины
φ и компоненты f: φ , φ , φ рассматривая их как контравариантные
компоненты некоторого четырехмерного вектора, который мы будем
называть электромагнитным потенциалом. Из его ковариантных
компонент нулевая <р0 = - φ, три других <pj, <P2» <Рз равны
компонентам f. Тогда уравнения (10), (11), дающие выражения полевых
величин В и Ε через потенциалы, можно записать в инвариантной
форме
*±_*LmF (14)
дх{ dxk tkt
где
Е = (F10> F20> F30)> B = (F23> F31> F\2)'
Таким образом напряженности электрического и магнитного
полей связываются в единственный линейный тензор 2-го ранга,
называемый «полем» [40]. Из (14) получаются инвариантные уравнения
^ + ^ + ^£* = 0 (15)
dxi dxk dxt
которые образуют первую систему максвелловских уравнений (8t).
Обходной путь через лоренцево решение с помощью потенциалов
был избран лишь для того, чтобы естественным образом прийти к
правильному типу взаимосвязи трехмерных величин с
четырехмерными векторами и тензорами. При переходе к контравариантным
компонентам получаем
Z = (F0\F02,F°\ B = (F23(F3,1F12).
Вторая система максвелловских уравнений выглядит теперь в
инвариантной четырехмерной тензорной записи следующим образом:
?ik
= s\ (16)
k ~Λ*
Если ввести четырехмерный вектор с ковариантными компонентами
Pi'Fi/ (17)
и аналогично —с контравариантными компонентами
γΕΕΙ-J

198
Относительность пространства и времени
(согласно принятой ранее договоренности мы можем опустить знак
суммы), то ρ будет «плотностью мощности», т.е. работой в единице
объема и в единицу времени: ρ = (sE) (единица времени приспособ-
лена здесь к новой мере времени xQ = et), а р , ρ , ρ—компоненты
плотности силы.
Тем самым лоренцева теорема относительности полностью
доказана. Но одновременно мы заметим, что полученные законы
выглядят точно так же, как законы стационарного магнитного поля [§9,
(63)], только трехмерное пространство заменено четырехмерным.
Нет никакого сомнения в том, что в четырехмерной тензорной
формулировке эти законы обнаруживают свою истинную
математическую гармонию, которая едва ли может быть более совершенной.
Отсюда следует далее, что точно так же, как и в трехмерном
случае, мы можем получить «четырех-силу» р,- из четырехмерного
симметричного «тензора напряжений» S
dSi i dSik (ig)
-^ = ^или-р=—,
Sk^FirFkr-^2. (18°
Квадрат абсолютной величины поля (здесь не обязательно
положительный) равен
Покажем справедливость формулы (18) непосредственным
вычислением. Мы имеем
dA = F.^+FkrdJ±_±FkrdIkr
dxk tr dxk dxk 2 дх{ *
Первый член справа оказывается равным
-Fi/ = -Pi>
второй член, если коэффициент перед F записать в кососимметрич-
ной форме, будет равен
\f>
\ckidFir dFik\
dxk dxrJ
2
и, будучи скомбинирован с третьим членом, дает

§21 Электродинамика зависящих от времени полей. 199
- χτ Ι -τ— + -ζ— +
2 [дхг дх{ dxkj
Это трехмерное выражение, стоящее в скобках, согласно (15),
обращается в нуль.
Теперь \F\ = В - Ε . Рассмотрим, что означают отдельные
компоненты 51 , отделяя при этом индекс 0 от остальных индексов 1,
2, 3, в соответствии с разделением «мира» на пространство и время.
S00-плотность энергии W = -г(Е2 + В2),
S г — компоненты вектора S = [ЕВ], (г, к = 1, 2, 3)
S1 —компоненты максвелловского тензора напряжений,
который состоит из электрической и магнитной составляющих,
указанных в §9. В соответствии с этим, нулевое уравнение (18) содержит
закон сохранения энергии. 1-ое, 2-ое и 3-е уравнения имеют вполне
аналогичную форму. Если мы на время обозначим компоненты
вектора —S как G , G и G и будем понимать под г1* вектор с
компонентами
то будем иметь
Sü,Si2,Si3,
-p< = ^ + divt® <i = 1,2,3)
(19)
Сила, которая действует на находящиеся в области пространства
V электроны, производит равное ей самой увеличение во времени
импульса этих электронов. Это увеличение компенсируется
соответствующим (19) уменьшением импульса поля, распределенного в
S
пространстве с плотностью — и притоком полевого импульса извне.
Поток i-той компоненты импульса дается величиной поток
импульса, сообразно с этим, есть не что иное, как тензор максвел-
ловских напряжений. Закон сохранения энергии, таким образом, —
только одна, временная компонента инвариантного относительно
лоренцевых преобразований закона, пространственные
компоненты которого дают закон сохранения импульса. Полная энергия так
же, как и полный импульс, остаются неизменными. Они только
перетекают из одной части поля в другую и превращаются из полевой
формы энергии и импульса в кинетическую энергию и механический
импульс материи и обратно. В этом заключается простой и наглядный
смысл формул (18). В соответствии с этим, в будущем мы будем
говорить о тензоре S как о тензоре энергии-импульса, или, еще

200
Относительность пространства и времени
короче, тензоре энергии. Из симметрии этого тензора вытекает, что
плотность импульса =-тх поток энергии. Импульс поля, таким
с
образом, очень незначителен, но, тем не менее, его существование
можно доказать демонстрацией светового давления на отражающую
поверхность [41].
Лоренцево преобразование линейно, оно поэтому оно приводит
к введению другой аффинной системы координат. Рассмотрим (если
мы в нашем графическом представлении вновь опустим одну
пространственную координату), как будут ориентированы единичные
векторы е0', в|', е2' новой системы координат по отношению к
единичным векторам е0, et, е2 старой системы, т.е. к единичным векторам
осей Xq (или i), X\ и х2. Так как для вектора
= χθΡ(\ "^ *^1®1 "^ ^2 2 = "^0 0 "^ Х\ 1 "^ Х1 2
ДОЛЖНО ВЫПОЛНЯТЬСЯ
- χ1+ х\+ 4 = - хо2 + х\2 + хЛ = скх)],
то мы получим Q(e0') = -1. Вектор е0', (т.е. ось ?), проведенный из
точки О, лежит внутри конуса распространения света. Параллельные
плоскости V = const расположены так, что они вырезают из конуса
эллипсы, средние точки которых лежат на оси V (см.рис.8). Оси
х^ и х2' направлены по сопряженным диаметрам эллиптических
сечений, так что уравнение каждого из них таково
2 2
Х\ + х2 = const·
До тех пор пока придерживались представления о материальном,
способном к колебаниям эфире, в лоренцевой теореме
относительности можно было видеть лишь замечательное математическое
свойство преобразований максвелловских уравнений. Действительно
(физически —В. В.) справедливой продолжала оставаться га л и лей-
ньютоновская теорема относительности. Возникает, однако, задача
истолкования не только оптических явлений, но и всей
электродинамики и ее законов как следствия эфирной механики, основанной на
галилеевском принципе относительности. Чтобы достичь этого,
необходимо полевые величины привести в определенную взаимосвязь
с плотностью и скоростью эфира. До максвелловской
электромагнитной теории света эту задачу, как известно, пытались решить для
оптических явлений, но попытки эти достигали своей цели только
частично и никогда не приводили к окончательному успеху. Для
обширной области, в которую, согласно Максвеллу, укладываются
и оптические явления, эти попытки едва ли достигали большего.

§22 Эйнштейновский принцип относительности
201
Более того, начала постепенно одерживать верх концепция поля,
существующего в пустом пространстве и не нуждающегося в
носителе. Уже Фарадей ясно сформулировал идею, что не поле
следует сводить к материи, а, наоборот, материя —не что иное, как
места в поле, имеющие особый сингулярный характер
(сингулярности поля—В. В.).
§22
Эйнштейновский принцип относительности
ак удалось измерить скорость света? Представим себе, что на
твердой пластине мы отметили две точки Л и 5. Чтобы измерить
время, которое необходимо свету для прохождения пути от Л к
В мы должны, прежде всего, уметь передавать сигнал времени из
точки А в точку В. В §20 мы указывали для выполнения этого
различные методы. Один из них, который заключался в том, чтобы
из точки А бросить в точку В тела со всевозможными скоростями,
практически неприемлем, поскольку еще никому не удавалось
сообщить телу скорость, большую скорости света; этот метод оказывается
настолько неточным, что он не позволяет отличить с от бесконечности
оо. С другими способами передачи действия дело обстоит не лучше.
«Метод часов» (двое часов синхронизируются в точке Л, одни
остаются в Л, а другие переносятся в J5) также не удается реализовать
с такой точностью, которая позволила бы отличить с от оо. Ремер
(1675) открыл конечность скорости света и измерил значение с из
кажущейся нерегулярности во времени обращения спутника
Юпитера, которая имела в точности годичный период. Абсурдным казалось
учитывать взаимодействия между Землей и спутником Юпитера,
которое могло бы рассматриваться как возмущение огромной
величины, меняющееся с периодом вращения Земли и воздействующее
на спутник Юпитера. Метод Физо для прямого земного измерения
скорости света основан на простой идее совмещения приемника с
передатчиком Л и возврате светового сигнала, посланного из Л в Д,
и обратно — с помощью отражения. Оказалось, что время τ,
прошедшее между моментами отправления и прибытия светового сигнала в
Л , пропорционально расстоянию \АВ | с коэффициентом
пропорциональности с, где с— скоростьсвета
τ = 1ΐΜ (20)
с
Мы получаем, таким образом, теперь способ регулировки часов,
который значительно точнее обсуждавшихся ранее методов. В
мгновение, когда находящиеся в Л часы показывают время t, мы посылаем
световой сигнал в J5 и устанавливаем там часы так, чтобы они в
ж

202
Относительность пространства и времени
+ М.
момент прибытия сигнала показывали время t + . Таким образом,
с
с помощью световых сигналов или сигналов беспроволочного
телеграфа, посылаемых из центра Л, мы можем переносить значение
времени из Л во все остальные места нашей пластины. Представим
себе, что пластина усеяна звонящими колокольнями, на которых
имеются такие часы. Тогда мы можем, после регулировки часов из
центральной колокольни, назвать место и время любого события с
указанием того, возле какой колокольни оно происходит и какое
время показывали часы, находящиеся в месте этого события.
Будем пока придерживаться эфирных представлений!
Описанную выше регулировку можно провести, если нашу систему отсчета
считать покоящейся относительно светового эфира. В случае же ее
движения относительно эфира необходимо другое рассуждение. Во
всяком случае, по-видимому, возможно зарегистрировать движение
некоторого тела, например Земли, относительно покоящегося эфира.
Но аберрация не имеет отношения к этому вопросу, так как она лишь
демонстрирует изменение относительного движения в течение года.
Пусть Л|, О, Л2—три фиксированных точки на поверхности Земли,
которые принимают участие в ее движении. Допустим, что они лежат
на одной прямой, а именно на прямой, направленной по линии
движения Земли, и расположены одна за другой на равном
расстоянии так, что ΑχΟ = (λ42 = /. Пусть, далее, г;—скорость движения
Земли в эфире; — = q, очевидно, очень мало. Световой сигнал,
посланный из О, прибудет в Л2 через промежуток времени , а
в Лj— через . К сожалению это различие нельзя обнаружить
из-за трудностей, связанных с непосредственной передачей времени.
На помощь нам приходит идея Физо: в Л^ и Л2 мы помещаем
маленькие зеркала, которые отражают световые лучи по
направлению к О. Если в момент времени 0 в точке О испускается световой
сигнал, то, отразившись от зеркала в Л2, он снова прибудет в Л2 через
время
I I = 21с
с - ν с + ν с2 - ν2
Такое же время сигнал затратит на прохождение пути до О и
последующее возвращение в Ау
I I ^ 21с
c + v c-v с2 -ν2'

§22 Эйнштейновский принцип относительности
203
В результате, никакого различия между интервалами времени
не существует. Возьмем теперь на Земле третью точку Л,
участвующую в трансляционном
движении через эфир так, чтобы
О А было равно /, но
направление ОА составляло
некоторый угол θ с направлением
движения Земли. На рис.9
точки О, О', О"
—последовательные положения точки О в
момент времени 0, когда
посылается световой сигнал, в
мгновение t\ когда он
отражается в точке Л' от
находящегося там зеркала Л, и,
наконец, в момент времени V + t" когда он снова прибывает в О. Из рисунка
непосредственно вытекает пропорция
ОА' : Ο'Ά' = ОО : Ο'Ό1,
откуда следует равенство друг другу обоих углов при Л'. Поэтому
отражающее зеркало, как и в случае покоя, должно быть расположено
перпендикулярно фиксированной прямой ОА, чтобы обеспечить
возврат луча в точку О . Элементарный тригонометрический расчет дает
для кажущейся скорости рас- а*
пространения в направлении
θ значение
2/
ν
Наблюдатель
■\А
Источник
света
_ ___=. (21)
f + t" W - г/ sin2G
Она, таким образом,
является не постоянной, как в
случае неподвижной Земли, а
зависит от угла Θ. Измеряя ее, мы
смогли бы определить
направление и величину скорости
движения Земли ν.
Проведение таких измерений и составляет суть знаменитого
опыта Майкельсона . На расстояниях / и /* от точки О помещаются
Рис. 10
*) Это не совсем точно, так как для движущегося зеркала обычный закон
отражения не выполняется строго; но отклонение угла от прямого имеет порядок лишь
q2 (где q = -.

204
Относительность пространства и времени
два зеркала, соответственно Л и Л*, жестко связанные с О, одно из
которых помещается на линии движения, а
другое—перпендикулярно к ней. Вся установка может быть повернута вокруг точки О.
Полупрозрачной посеребренной стеклянной пластинкой, делящей
пополам прямой угол в точке О, световой луч в О расщепляется на
два, один из которых приходит в Л, а другой в Л*. Там они
отражаются и в точке О с помощью полупрозрачной пластинки снова
объединяются в один луч. Из-за разности хода
2/ 21*
определяемой с помощью формулы (21), возникает интерференция
(/ и /* считаются приближенно равными). Если теперь медленно
поворачивать всю установку на 90°, пока точка Л* не попадет на
направление движения, то эта разность хода непрерывно перейдет в
выражение
2/ 21*
В результате уменьшение разности хода окажется равным
2(1 + Г) ί-Ц - -j-Ц.) (I + Г) «2.
Это должно вызвать сдвиг интерференционных полос. Хотя
количественные соотношения были таковы, что даже 1%
ожидаемого смещения полос не ускользнул бы от наблюдателя, проведение
эксперимента не обнаружило никаких следов этого.
Ритц и другие пытались избежать этой дилеммы с помощью
гипотезы, что скорость света, испущенного движущимся источником
в направлении движения, равна с + ν, в противоположном
направлении с - υ, а в общем случае, в направлении, определяемом
пространственным единичным вектором е, равна величине с + (βν). Такое
поведение света было бы аналогично поведению снарядов,
выстреливаемых орудием во все стороны и обладающих относительно него
скоростью с. Наоборот, с представлением о волновом
распространении в среде, природа которой определяет скорость распространения,
такое поведение не согласуется. Гипотеза Ритца, которая,
естественно, объясняет отрицательный результат опыта Майкельсона,
вступает в противоречие не только с нашими теоретическими
представлениями об оптических явлениях, но и с результатами наблюдения самих
этих явлений. Все это делает весьма правдоподобным следующий

§22 Эйнштейновский принцип относительности
205
принцип, который мы будем называть принципом постоянства
скорости света: скорость света не зависит от состояния движения
источника света. Иначе спектр света оказался бы двумерным: кроме
различия по частоте существовало бы независимо от этого еще и
различие по скорости распространения. Но никакие из известных
оптических явлений не обнаруживают того, что качественно
различный свет может иметь одинаковую частоту. Более того, частота
однозначно устанавливает все свойства света (его поведение при
преломлении, интерференции и т.д.). Никогда не удавалось свет
определенной частоты снова расщепить на еще более простые,
качественно отличные друг от друга составные части. Важное значение
имели наблюдения двойных звезд, проведенные де Ситтером.
Изменение скорости распространения света, испущенного звездой-
спутником при ее вращении, привело бы к искажению ее орбиты по
сравнению с наблюдаемой . В результате этих наблюдений он
пришел к выводу, что изменение скорости света, вызванное движе-
нием источника со скоростью ν, должно быть меньше 10 Ό.
Лоренц пытался объяснить результат Майкельсона смелой
гипотезой, согласно которой твердое тело при его движении относительно
эфира испытывает сокращение в 1/Vl ~ q раз в направлении
движения. Действительно, это бы объяснило отрицательный результат
опыта Майкельсона, так как тогда в первом положении отрезок ОА
на самом деле имел бы длину / \1 - q , а ОА* —длину /*, а во втором
положении отрезок ОА имел бы длину /, ОА*—длину /vi - q и
поэтому в обоих случаях разность хода оказалась бы одинаковой и
. 2(1 - /*) π
равной , м. При вращении жестко связанного с О зеркала
Vi - q
кажущаяся скорость распространения света Ус - ν при любой
ориентации установки была бы одной и той же и никакой зависимости
от направления, в отличие от формулы (21), не было бы. Тем не
менее, теоретически еще оставалась бы возможность обнаружить
уменьшение кажущейся скорости с до vc - ν . Но если эфир сжимает
масштабные стержни в раз в направлении движения, то он
вынужден и замедлить ход часов в том же направлении, чтобы
уничтожить этот эффект. Фактически, не только опыт
Майкельсона, но также целый ряд других опытов, имеющих целью установить
влияние движения Земли на комбинированные электромагнитно-
механические явления, дал отрицательный результат . Эфирная
механика должна, таким образом, объяснить не только максвеллов-
ские законы, но и это странное воздействие эфира на материю,

206
Относительность пространства и времени
которое проявляется так, как будто бы эфир раз и навсегда решил:
проклятые физики, вам не одолеть меня!
Но единственно разумный ответ на вопрос о том, почему
движение относительно эфира неотличимо от покоя, был дан Эйнштейном:
«Потому что эфира не существует).* (Эфир всегда оставался
весьма шаткой гипотезой, которая оправдывалась так плохо,
насколько это вообще возможно). Но тогда возникает следующая
ситуация: в механике оказывается справедливой галилеевская
теорема относительности, а в электродинамике —лоренцева теорема
относительности. Если это действительно так, то действие обеих этих
теорем как бы взаимно уничтожается и тем самым определяется
некоторая абсолютная система отсчета, в которой механические
законы имеют ньютоновскую форму, а электродинамические
законы — максвелловскую. Трудность объяснения отрицательных
результатов всех экспериментов, предназначенных для того, чтобы
отличить равномерное и прямолинейное движение (Translation) от покоя,
преодолевается лишь тогда, когда для всей совокупности явлений
природы признается справедливым лишь один из двух принципов
относительности. Галилеевский принцип следует из лоренцева при
устремлении постоянной с к оо; в этом легко усмотреть
геометрическую конструкцию, изложенную в конце §21. Электродинамика,
таким образом, могла бы согласовываться с галилеевским принципом
относительности только при том условии, чтобы постоянная с в ее
законах переходила в бесконечность. Иначе говоря, при этом не
могла бы вообще идти речь о существовании явлений
электромагнитной индукции, света, беспроволочной телеграфии и даже о
магнитных силах взаимодействия между электрическими токами.
Лоренцева же гипотеза сокращения позволяет предположить, что
ньютоновскую механику можно модифицировать таким образом, чтобы она
удовлетворяла теореме относительности Лоренца-Эйнштейна. Пол-
учающиеся при этом отклонения имеют лишь порядок \
и потому
для всех земных и планетных скоростей ν лежат далеко от границ
возможностей наблюдений. Наши механические эксперименты
недостаточно точны, чтобы можно было отличить с от бесконечности.
Существующая в электродинамике магнитная сила, с которой
действуют друг на друга два движущихся (со скоростями νχ и ν2) заряда,
так же мала по сравнению с электростатическими силами и имеет
νχυ2
порядок —~—. Однако, скорости электронов и суммарные магнитные
с
силы, с которыми они действуют друг на друга, оказываются
таковыми, что модификация, обусловленная конечностью с, приводит к
весьма ощутимым и ярко выраженным явлениям.

§22 Эйнштейновский принцип относительности
207
Решение Энштейна , которое одним ударом разрешало все
трудности, заключалось в следующем. Мир—это четырехмерное
аффинное пространство, в которое вложено мероопределение
посредством индефинитной квадратичной формы:
О» = (")
с одним отрицательным и тремя положительными измерениями.
Простой конкретный смысл формы Q(x) состоит в том, что некоторый
световой сигнал, испущенный из мировой точки О, достигает всех
тех и только тех точек А, для которых вектор χ = ОА принадлежит
одной из двух боковых поверхностей конуса, определяемого
уравнением Q(x) = 0 (см.§4). При этом, один из двух конусов, именно тот,
который «открыт в будущее» объективно отличается от другого,
«открытого в прошлое» Q(x) < 0. Введя подходящую «нормальную*
систему координат, состоящую из нулевой точки О и базисных
векторов et·, мы можем форму Q(x) привести к нормальному виду
(ОА, С&) = -*q + х\ + х\ + *з
Cr,· — координаты точки А). При этом базисный вектор е0 должен
принадлежать конусу, открытому в будущее. Среди этих
нормальных систем координат нельзя объективным способом сделать более
узкий выбор, так как все они равноправны. Если мы выберем одну
из этих систем, то в ней следует рассматривать х0 как время, а х^,
Jt2, £3, как декартовы пространственные координаты, и все обычные
выражения, относящиеся к пространству и времени должны
функционировать в этой системе отсчета общепринятым образом.
Адекватная математическая формулировка эйнштейновского открытия
была дана впрочем, лишь Минковским . Именно ему мы обязаны
представлением о четырехмерной мировой геометрии, которая здесь
с самого начала была положена в основу.
Математически эйнштейновский принцип относительности
отличается существенно большей простотой и ясностью, нежели галиле-
евский принцип. Мировая геометрия, благодаря Эйнштейну и Мин-
ковскому, более тесно сблизилась с евклидовой геометрией
пространства. В физическом отношении мы можем теперь отбросить веру
в объективное значение одновременности. Освобождение от этой
догмы является великим теоретико-познавательным достижением
Эйнштейна, имя которого должно стоять рядом с именем Коперника
[42]. Из графического изображения пространства-времени, данного
в конце предыдущего параграфа, ясно видно, что плоскости
Xq = const не совпадают больше с плоскостями х0 = const. Каждая

208
Относительность пространства и времени
плоскость Xq = const наделена, вследствие царящей в мире метрики,
основанной на Q(x), таким мероопределением, что эллипсы, по
которым эти плоскости пересекают «световой конус», оказываются
кругами и для них справедлива евклидова геометрия. Точки
пересечения плоскостей с осью х0' являются центральными точками
эллипсов. Так, посредством концентрических кругов изображается
распространение света в штрихованных системах отсчета. Подходящим
выбором нормальной системы координат можно каждую плоскость,
проходящую через О превратить в плоскость xQ или t = const.
Поэтому из эйнштейновского принципа относительности с
необходимостью следует, что никакой сигнал, посланный из О, не может
достичь мировой точки Л, которая лежит вне конуса, открытого в
будущее. Другими словами, с—это верхний предел скоростей
движения материальных тел и распространения всех физических
взаимодействий. В этом наиболее ярко проявляется абсолютное значение
скорости света с. Фактически можно наблюдать электроны,
движущиеся со скоростями, которые лишь на 1% отличаются от скорости
света. И, тем не менее, они никогда ее не превосходят! Более того»
было замечено, что при приближении скорости тела к скорости света
инерция тела стремится к бесконечности.
Теперь мы можем легко устранить трудности, возникшие перед
нашей интуицией, нашим внутренним переживанием пространства и
времени после переворота, произведенного Эйнштейном в понятии
времени! Световой конус, исходящий из точки О, берет на себя роль,
которую, в соответствии с галилеевским принципом относительности,
играла плоскость t = 0 и которая заключалась в отделении прошлого
и будущего друг от друга. Мировые линии всех брошенных из точки
О тел должны быть направлены внутрь переднего конуса ,
открытого в будущее (точно так же, как и мировая линия моего
собственного тела, моя «линия жизни», когда я нахожусь в точке О). То, что
происходит в точке О, может оказывать воздействие только на те
события, мировые точки которых лежат внутри этого переднего
конуса. Границы его определяются процессом распространения света
в пустоте. Если я нахожусь в О, то эта точка разделяет мою линию
жизни на прошлое и будущее. Это ничего не меняет. Но, что касается
моего отношения к миру, то в переднем конусе лежат все те мировые
точки, на которые распространяется влияние моих действий в точке
О. Вне же этого конуса лежат все завершенные события, в которых
«теперь ничего больше нельзя изменить». Поверхность переднего
*)В релятивистской литературе на русском языке за этими конусами закрепились
названия: за передним (vordere) —верхний, а за задним (hintere) - нижний — Прим.
пер.

§22 Эйнштейновский принцип относительности
209
Рис. 11
конуса отделяет мое активное будущее от моего активного
прошлого. Наоборот, внутренность заднего конуса содержит все
события, в которых или я сам принимал участие непосредственно (либо
как наблюдатель), или о
которых я мог получить
некоторую информацию, и
только эти события могли
повлиять на меня. Снаружи
заднего конуса лежит все то, что
я еще буду переживать или
мог бы пережить, если бы
моя жизнь была
неограниченной и мой взор мог
проникнуть всюду.
Поверхность заднего конуса
отделяет мое пассивное прошлое
от моего пассивного
будущего. На поверхности же конуса лежит все то, что я мгновенно вижу
или мог бы увидеть. Она, таким образом, дает картину моего
пространственного окружения. Абстрактная схема одновременности
заменяется конкретной связью через взаимодействие
(Wirkungzusammenhang), и все трудности, связанные с наглядностью, исчезают!
В утверждении о необходимости различать активное и пассивное
прошлое и будущее (в указанном выше смысле) заключается
основное непосредственное значение эйнштейновского принципа
относительности. Как на основе мировой структуры, выражающейся в
световых конусах и определяющей связь через взаимодействие, дать
наиболее целесообразное координатное представление мирового
континуума и какие формулы преобразования между различными
равноправными системами координат должны при этом выполняться, —эти
вопросы являются более техническими и имеют второстепенный интерес.
Чтобы наглядно понять эйнштейновскую точку зрения на лорен-
цево сокращение, вообразим себе следующий процесс на плоскости.
В некоторой нормальной системе координат t, Jtj, x2 (игнорируется
одна пространственная координата), к которой будут относиться в
дальнейшем используемые пространственно-временные выражения,
покоится какой-нибудь лист бумаги (с прямоугольными
координатами Х| и х2), на котором изображена замкнутая кривая С. Пусть,
кроме того, имеется круглая пластина со стрелкой, которая
прикреплена в центре этой пластины и может вращаться вокруг него так, что
острие стрелки при ее медленном вращении движется по краю
пластины. Траектория острия является, таким образом,
окружностью. Пусть теперь пластина движется равномерно и прямолинейно
по листу бумаги. Если стрелка по-прежнему вращается медленно, то

210
Относительность пространства и времени
ее острие будет все время двигаться по краю пластины. В этом смысле
пластина и в равномерном движении остается круглой шайбой. Пусть
в некоторый момент край шайбы в точности совпадает с кривой С.
Измерив С покоящимся
масштабом, мы обнаружим, что
С является не кругом, а
эллипсом. Рис.12 наглядно
иллюстрирует описанный
пример. Введем еще такую
систему координат ?, Х|', х2', в
которой шайба покоится.
Пересечение плоскости
V = const со световым
конусом является в этой системе
отсчета «мгновенно»
существующим кругом. Цилиндр,
построенный на этом круге
параллельно оси ί', изображает круг, покоящийся в этой системе
отсчета, ограничивая, согласно сказанному, мировую область,
которую зачеркивает наша шайба. Сечение этого цилиндра плоскостью
t = 0 является не кругом, а эллипсом. Прямой цилиндр, построенный
на нем параллельно оси ί, изображает существующую во времени
кривую, начерченную на листе бумаги. Лоренцево сокращение, таким
образом, является выражением своеобразной «скоростной
перспективы* («Geschwindigkeits-Perspektive»). Подобно тому как круглая
шайба кажется нам эллипсом, когда мы смотрим на нее издали под
острым углом, точно так же эта шайба представляется эллипсом,
когда она проходит мимо наблюдателя. Истинной формой мы
считаем при этом «форму покоя», которая определяется измерениями в
такой нормальной системе координат, в которой шайба покоится. Ησ,
согласно Эйнштейну, так же неправомерно говорить, что круглая
шайба сокращается вследствие относительного движения по
отношению к наблюдателю, как нельзя сказать, что она сплющивается в
эллипс, когда луч зрения наблюдателя образует острый угол с
плоскостью шайбы. Наблюдаемая форма тела зависит не только от
самого тела, но и от его отношения, в особенности его состояния
движения относительно наблюдателя.
§23
Анализ принципа относительности. Расщепление мира
на пространственную и временную проекции
ы попытаемся со всей тщательностью рассмотреть вопрос о тех
предположениях и фактах, на которых основан эйнштейновский
принцип относительности. Опыт Майкельсона показывает, что
м

§23 Анализ принципа относительности.
211
в произвольной системе отсчета К, движущейся равномерно и
прямолинейно (которую мы снова будем представлять как плоскую
пластину), справедливо соотношение пропорциональности (20) с
постоянной с. Пусть А и В—две точки на К, тогда часы в В идут
синхронно с часами в Л, если световой сигнал, посланный в
некоторый момент времени t из Л, приходит в В в момент времени
t + ^-^. Это и есть определение «синхронности». Опыт
свидетельствует о том, что в этом случае верно и обратное — часы в А идут
синхронно с часами в В или, короче говоря, А «равноходны»
(gleichgeht) с В. Но теперь мы должны установит^, что, если точка
В синхронизирована с Л, а С с J3, то С синхронизирована с А. Что
это означает? Представим себе, что в А установлено двое часов.
Поставим часы в В с помощью светового сигнала синхронно с
первыми часами в Л, а часы в С—синхронно с часами в В, наконец,
вторые часы в Л—синхронно с часами в С. Тогда можно утверждать,
что оба комплекта часов в Л показывают всегда одно и то же время.
Но согласно определению, вторые часы в Л показывают время
t + —, когда световой сигнал, который посылается из Л в момент
с
времени t по первым часам в Л и проходит путь ABC А длины L,
снова приходит в Л. Наше утверждение, таким образом, означает,
что время, которое протекает между моментами передачи и приема
этого сигнала в Л, равно —. Разумно принять этот факт не только
для «двуугольника» ΑΒΑ, треугольника ABCAt но и для любого
многоугольного пути. Мы, таким образом, в качестве первого
опытного факта формулируем следующее положение.
Пусть β равномерно и прямолинейно движущейся системе
отсчета К свет распространяется по замкнутому многоугольнику
длиной L. Тогда между моментами отправления и прибытия светового
сигнала проходит время τ, которое пропорционально L, т.е. τ = —.
Вследствие этого, оказывается возможным всюду в системе
отсчета ввести время t = Xq. Часы, которые его показывают, идут
везде синхронно. Их можно поставить по центральным часам с
помощью световых сигналов. Эта регулировка не зависит от
выбранного центра. Подчеркнем, что при этом следует применять источник
света, который покоится в К. Мы имеем теперь возможность связать
друг с другом единицы длины и времени так, чтобы с была равна 1.
После принятой регулировки часов прием в некотором месте данного
светового сигнала естественно ведет к результату, что он распространяется

212
Относительность пространства и времени
во все стороны со скоростью 1. Две координатные системы,
относящиеся к одной и той же системе отсчета К связаны друг с другом
преобразованием, которое составляется из операций
i/ = X| + ef i = (0, 1,2,3) (22)
х{ = axi [α > 0] (23)
и ортогональных преобразований пространственных координат Х\,
х2, *з ПРИ неизменном времени х0 (ai и а—постоянные). Слегка
модифицируя использованную ранее терминологию, назовем группу
этих преобразований элементарной группой. Каждое
преобразование этой группы переводит какую-нибудь одну координатную
систему, связанную с К, в другую, равноправную с ней. В частности, это
справедливо и для операции (22).
Второй опытный факт —это галилеевский принцип инерции,
согласно которому свободно движущаяся материальная точка
описывает в К прямую линию с постоянной скоростью. В более точной
и наглядной формулировке это означает следующее. Путь
материальной точки, не подверженной влиянию других тел, есть прямая
линия в К. Отметим на ней ряд эквидистантных точек Αν Α2, Л3,
... и будем считывать показания часов tit находящихся в Л,·. В эти
моменты времени it· материальная точка будет проходить положения
Л^. Тогда tv t2, t%, ... окажутся эквидистантными значениями
времени. Оба наших высказывания надо понимать, собственно, так,
что они выделяют «допустимую» систему отсчета, движущуюся
равномерно и прямолинейно. Сформулированное утверждение
означает, что физические явления можно относить к такого рода телу,
которое не обязательно должно существовать в действительности, но
которое можно построить абстрактным образом из реальных тел.
Задача теперь заключается в том, чтобы для двух допустимых
систем отсчета К и К' и двух связанных с ними координатных систем
xit x( найти закономерную связь между координатами. Чтобы решить
эту задачу физически наглядным образом, дополним, прежде всего,
формулировку галилеевского принципа инерции. Представим себе,
что со свободно движущейся материальной точкой т связаны
некоторые часы, которые движутся вместе с этой точкой. Мы утверждаем
тогда, что «собственное время» s, считываемое с этих часов при
прохождении отрезков равной длины, будет одинаково. Поскольку
отображение Т{ = х% + Aait в котором Aai означают относительные
координаты двух точек на мировой линии т, переводит нашу систему
координат xit связанную с К, в равноправную с ней, а рассматриваемый

§23 Анализ принципа относительности.
213
процесс —в самого себя, то временные интервалы, считываемые с
движущихся вместе с частицей часов, должны совпадать для тех
частей процесса, которые переходят друг в друга при этом
отображении. Это —очевидное «соображение однородности». Мы можем,
таким образом, сказать, что при рассматриваемом движении четыре
мировых координаты х± являются линейными функциями
собственного времени 5.
Вследствие этого координаты xf, относящиеся к одной из других
допустимых систем отсчета, должны быть так связаны с х-, чтобы
они переходили в линейные функции от s при подстановке вместо
xi их линейных зависимостей от 5. Но отсюда немедленно следует,
что формулы преобразования линейны и при исключении
преобразования (22) выглядят так:
3
*ί' = ΣαιΛ (* = 0,1,2,3). (24)
k = o
Это означает, что система К* сама движется равномерно и
прямолинейно относительно К. Еще один фундаментальный факт,
который мы должны теперь использовать, — этр «принцип
постоянства скорости света». В нем утверждается, что мировые точки,
которые проходит посланный из О световой сигнал, определяются,
независимо от состояния движения источника света, только этой
точкой О. Световой сигнал, испущенный из точки О (х- = 0)
покоящимся в К источником, проходит все те и только те мировые точки,
которые удовлетворяют уравнению
-Xq + (х\ + х\ + ;ф = 0, х0 > 0
Сигнал же, посланный из той же точки О (х/ = 0) источником,
покоящимся в системе К', проходит все те и только те точки, для
которых выполняется уравнение
-х0'2 + (х{2 + х2'2 + х3'2) = °> х0 > °-
Согласно сформулированному выше принципу, оба эти конуса
совпадают. Это будет иметь место в том и только том случае, когда
преобразование (24) содержит лишь преобразование подобия (23) и
преобразование Лоренца, т.е. такое преобразование (24), которое
оставляет инвариантной квадратичную форму
-х\ + (х] + х\ + дф <25>

214
Относительность пространства и времени
и в котором коэффициент (Xqq > 0. Относительно дополнительного
неравенства можно заметить, что вследствие инвариантности формы (25)
αω-(α?0 + α20 + α3θ)=1>
откуда ccqq > 1, и, следовательно я00 φ 0. Группа всех
преобразований, составленных из операций (22), (23) и преобразований
Лоренца, мы будем называть лоренц-эйнштейновской группой.
Наконец, получаем еще одну наиболее непосредственную
формулировку принципа относительности. Каждая система К\ которая
движется относительно допустимой системы отсчета К
равномерно и прямолинейно, также является допустимой системой
отсчета. Все явления природы разыгрываются относительно К'
точно таким же образом, как и по отношению к К. Отсюда следует,
что, установив группу Лоренца, мы решили нашу задачу и что
никаких больше дополнительных условий при этом не требуется.
Поэтому операции элементарной группы —это только те
преобразования лоренц-эйнштейновской группы, которые оставляют
фиксированной временную ось.
На этой экспериментальной почве эйнштейновский принцип
относительности вырастает с необходимостью. Но в полученной
таким образом формулировке принцип еще связан с высказываниями
о поведении твердых тел и часов, которые сами по себе ничего не
прибавляют к нему. Попытаемся теперь освободить обе составные
части принципа от переплетения с этими понятиями. Наши
рассуждения уже показали, что для выделения нормальных координатных
систем из множества всех остальных необходимо лишь
распространение света и свободное движение часов. А именно, система
координат нормальная, если поверхность конуса, содержащая все мировые
точки xf, которых достигает световой сигнал, посланный из точки
О = (xf)t описывается соотношением
-(*0 ~ *0>2 + <*1 - XV + (*2 ~ Х2? + (*3 - Х3>2 = °' Х0 ~ х0 > ° (26)
и если мировые координаты х- при протекании второго процесса
являются линейными функциями собственного времени. Мы
показали выше, что две системы координат, которые нормальны в этом
смысле, связаны между собой преобразованием из
лоренц-эйнштейновской группы. Жесткие масштабы, тем самым, уже исключены. К
этой уловке —связать со свободно движущейся материальной точкой
некоторые часы —мы прибегли, однако, только для того, чтобы сделать
наши рассуждения по возможности более простыми и наглядными. В

§23 Анализ принципа относительности.
215
сущности часы также оказываются излишними. Назовем конус,
содержащий все точки, которые проходит световой сигнал,
испущенный из О, исходящим из О нулевым конусом, мировую линию
некоторой материальной точки, не подверженной воздействию
других тел, — времениподобной прямой. Введя координаты х{, отобразим
действительный мир на четырехмерное числовое пространство, т.е.
но континуум всевозможных четверок действительных чисел
(XqX^x^^)- ß числовом пространстве под нулевым конусом,
исходящим из точки (xj)t мы будем понимать образ, определяемый
соотношением (26); под «времениподобной примой» — такой одномерный
континуум, который получается, когда х- рассматриваются как
линейные функции некоторого параметра s:
xi = *? + V'
с коэффициентами γ^, которые удовлетворяют неравенству
-Уо + <Т? + ή + Уз) < °-
Мы используем здесь, наконец, еще один опытный факт: можно
так ввести в мир четыре координаты xi и так отобразить его на
четырехмерное числовое пространство, что нулевой конус
перейдет в нулевой конус, а времениподобные прямые—во временипо-
добные прямые. Каждая система координат, которая получается из
такой координатной системы преобразованием Лоренца,
удовлетворяет таким же условиям. Но это уже чисто математический факт, что
этими условиями полностью устанавливаются координаты х± с
точностью до преобразований Лоренца. На основе так называемой
фундаментальной теоремы проективной геометрии можно показать,
что единственными отображениями четырехмерного числового
пространства в себя, которые переводят нулевой конус в нулевой конус,
а времениподобные Прямые— во времениподобные прямые, являются
преобразования лоренц-эйнштейновской группы . При этом
отображение, смотря по обстоятельствам, следует понимать так, что оно
должно относиться только к ограниченной области мира, и
соответственно числового пространства; не обязательно иметь дело с миром
в целом. Таким образом, чтобы отличить Координатные системы от
всех остальных систем, достаточно уже следующих двух законов
природы:
1. «Свет распространяется концентрическими сферами со
скоростью 1»;

216
Относительность пространства и времени
2. «Тело, не подверженное действию сил, описывает
прямолинейную траекторию с постоянной скоростью».
Но из этих систем больше нельзя выбрать какие-либо системы,
основанные на других законах природы: все законы природы
одинаковы во всех нормальных системах координат.
В результате мы приходим к мировой геометрии
(Weltgeometrie): мир—это четырехмерное аффинное многообразие в смысле
гл.1, наделенное метрикой, которая основана на фундаментальной
квадратичной форме (х · х) с тремя положительными и одним
отрицательным квадратами. Сама фундаментальная форма зависит еще
от произвольного выбора единиц. Но объективное значение имеет
равенство отрезков двух мировых векторов χ и у, которое
выражается уравнением
(х · х) = (у · у)
и перпендикулярность двух векторов X и у, или их направлений,
выражающаяся в условии обращения в нуль симметричной
билинейной формы, соответствующей фундаментальной квадратичной
форме:
(х · У) = 0.
Векторы, для которых (X · х) положительно, мы будем называть
пространственноподобными, а те векторы, для которых (х · х)
отрицательно, — времениподобными.
Отрезок в некоторой допустимой системе отсчета описывает в
мире полосу, ограниченную времениподобными параллельными
прямыми. Длина этого отрезка / является шириной этой полосы:
/2 * (X · X),
где х —вектор, перпендикулярный к направлению полосы и
соединяющий ее края. Два равных отрезка в однрй и той же системе отсчета
описывают две параллельные ограниченные полосы равной ширины.
Ранее мы сравнивали отрезки друг с другом лишь в одной и той же
системе отсчета; мы сравнивали покоящиеся масштабы друг с
другом в системе К так же, как покоящиеся масштабы в другой
системе К*, движущейся равномерно и прямолинейно относительно
К. Но мы не задавались вопросом, что произойдет с твердым
масштабом, если перенести его из К в К'. Теперь же легко ответить
на этот вопрос: его «длина покоя*, т.е. ширина мировой полосы,
которую он описывает, после этого переноса остается той же, что
и прежде. Отношение λ между длинами покоя до и после переноса
может зависеть только от относительной скорости ν системы отсчета
К' по отношению к К: λ = λ(ν). Но если затем снова перенести

§23 Анализ принципа относительности.
217
масштаб из К1 в К, то длины покоя опять-таки изменятся в λ(ϋ) раз,
так как скорость К относительно К' также равна ν (как будет
непосредственно вычислено в следующих параграфах). Таким
образом, отношение длины покоящегося в К масштаба, возвращенного
туда из системы К' к его первоначальной длине равно λ (ν). Но
переносом масштаба из одного места системы отсчета К в другое ее место,
который можно выполнить с помощью «саней» К\ определяется
физически равенство отрезков в К. Поэтому λ (ν) = 1 и,
следовательно, Мр) = 1. Тем самым мы практически в достаточной мере
установили, как реагируют твердые тела на мировую метрику.
Понятие твердого тела в эйнштейновской теории
относительности обременено известными трудностями. Покоящемуся
первоначально твердому телу сообщим толчок в один и тот же момент времени,
но в разных его местах. Тогда все эти места придут в движение. Но
так как физическое действие может распространяться со скоростью,
не превышающей скорость света, вся остальная часть тела будет лишь
постепенно вовлекаться в движение. До тех пор пока шаровые волны,
распространяющиеся со скоростью света от отдельных точек
возбуждения, не начнут перекрываться, окрестности этих точек будут
двигаться совершенно независимо друг от друга. Отсюда следует, что
твердое тело в старом смысле слова, с точки зрения теории
относительности, вообще не может существовать. Иначе говоря, не
существует таких тел, которые, будучи подверженными всевозможным
воздействиям, объективно всюду остаются неизменными. Но тогда
как же, вопреки этому, мы можем применять наши масштабы для
пространственных измерений? Я воспользуюсь следующим
наглядным примером. Будем адиабатически нагревать заключенный в
некоторый изолированный сосуд и находящийся в равновесии газ,
язычками пламени одновременно, но приложенными в различных
местах. В результате мы получим ряд сложных состояний,
обнаруживающих расхождение с термодинамическими законами
равновесия. Но, в конце концов, возникает новое состояние равновесия,
которое будет соответствовать возросшему вследствие подогрева
значению энергии. Точно так же мы можем сказать о твердом
масштабе: каждый раз, когда он в некоторой допустимой системе
отсчета достигает состояния покоя, или когда он достаточно долго
пребывает в состоянии равномерного и прямолинейного движения,
он обладает одной и той же «длиной покоя», описываемой
соответствующей мировой полосой постоянной ширины. О том, что
происходит с ним во время его перехода от одного состояния движения в
другое такое состояние, мы можем не думать. Всякий раз, когда мы

218
Относительность пространства и времени
(в выше приведенном примере) достаточно медленно, строго говоря
бесконечно медленно, нагреваем газ, он проходит через ряд
термодинамических состояний равновесия. Если мы не перемещаем
масштабы слишком резко, они в каждое мгновение имеют
соответствующую длину покоя. Диапазон ускорений, внутри которого это
предположение не приводит к заметным ошибкам, очевидно,
достаточно широк. Окончательные и точные выводы об этом, однако,
можно сделать лишь на основе физических и механических законов
динамики твердого тела.
Часы при равномерном и прямолинейном движении описывают
времениподобную прямую. Если мировой вектор выражает путь,
пройденный ими в течение одного периода, то положительное число
τ, определяемое по формуле
τ2 = -(к · х)
дает значение собственного периода часов τ. Во всех допустимых
системах отсчета в состоянии покоя часы всегда обладают одним
и тем же собственным периодом. На этом основано их
использование для измерения времени. Для особенно просто устроенных
эйнштейновских «световых часов», состоящих из двух установленных
напротив друг друга маленьких зеркал, жестко связанных между
собой, между которыми «бегает» туда и обратно световой луч,
справедливость предыдущего утверждения следует, очевидно, из
описанного выше поведения твердых тел (и независимости скорости
света от состояния движения тел, которые излучают или отражают
свет). Но то же самое должно выполняться и для всяких часов,
поведение которых в состоянии покоя при равномерном и
прямолинейном движении обусловлено лишь их конструкцией, а не их
предысторией. С особенно большой уверенностью это можно сказать
об «атомных часах», периоды которых определяются частотами
излученного атомами света. Два атома водорода, например, которые
покоятся друг относительно друга с огромной резкостью
демонстрируют одни и те же спектральные линии, какой бы различной ни была
их предыстория.
При наглядном рассмотрении физических соотношений мы
можем обойтись без расщепления мира на пространство и время,
которое определяется выбором той или иной допустимой системы
отсчета. Все точки системы отсчета описывают в мире параллельные
друг по отношению к другу прямые. Такое расщепление зависит
лишь от направления β этих прямых. Мировые точки, которые лежат
на одной и той же прямой, направленной параллельно е,
соответствуют одной и той же точке пространства. Геометрически говоря, речь

§23 Анализ принципа относительности.
219
здесь, таким образом, идет не о чем ином, как о процессе параллельной
проекции. Операционально-измерительной формулировке я
предпошлю некоторое геометрическое введение, которое касается
произвольного я-мерного аффинного пространства, названного «миром».
В интересах наглядности остановимся, прежде всего, на случае
η = 3. Рассмотрим в мире множество прямых, параллельных вектору
е( * 0). Если кто-нибудь заглянет в этом направлении в мир, ему
покажутся совпавшими все те мировые точки, которые лежат на
такой прямой одна за другой. При этом совершенно не обязательно
указывать плоскость, на которую производится проекция.
Сформулируем теперь следующее определение.
Пусть дан отличный от нуля вектор е. О двух мировых точках
А и Л\ для которых АА* кратен в, будем говорить, что они сливаются
в одну точку А определяемого вектором е пространства. Мы можем
точку А представить прямой, параллельной вектору в, на которой
лежат все эти совпадающие в пространстве мировые точки Л, А\ ....
Так как каждый сдвиг мира X переводит одну, параллельную в,
прямую в некоторую другую прямую такого же рода, то этот вектор
X вызывает определенное смещение пространства. Но каждые два
смещения мира X и X' совпадают в пространстве, если они кратны
е. Точки и смещения при переходе к пространству, «проекции в
направлении е» будем отмечать жирным шрифтом . В проекции
λχ, χ + у. Äh переходят в λχ. x + v. Äh,
т.е. проекция имеет аффинный характер, и в пространстве
справедлива аффинная геометрия с числом измерения на 1 меньшим, чем в
мире.
Если мир является метрическим в евклидовом смысле, т.е. в
основе его лежит в качестве фундаментальной метрической формы
некоторая невырожденная квадратичная форма (хх)—для
наглядности, прежде всего, будем придерживаться случая
положительно-определенной формы (но справедлива и более общая ситуация) —то двум
точкам «пространства», которые можно представить двумя
параллельными вектору е, если именно в этом направлении е мы
заглядываем в мир, мы можем приписать, очевидно, расстояние, равное
отрезку перпендикуляра к этим прямым, заключенному между ними.
Сформулируем это аналитически. Предположим, что (ее) = е * 0.
Каждое смещение X можно однозначно определенным образом
разложить на два слагаемых:
*) Поскольку в настоящем издании жирный шрифт уже использован (вместо
готического шрифта, примененного в оригинале), эти «проекции» будем обозначать
чертой сверху—Примеч. пер.

220
Относительность пространства и времени
χ = ξβ + χ*, (27)
Первое слагаемое пропорционально, а второе—ортогонально е
(х*е) = 0, ξ = ^χβ). (28)
Назовем ξ «временной длительностью* смещения X
(выражающей различие во времени для точек А и J5, если X Справедливо
соотношение:
(жх) = βξ2 + (xV). (29)
X можно полностью охарактеризовать указанием его временной
длительности ξ и смещения х, вызванного смещением X в
пространстве. Запишем это так
χ = ξ{κ·
Мир 4расщепляется» на время и пространство, «разница в
положении» X двух точек в мире — на разницу во времени ξ и разницу
положений х. Имеет смысл не только утверждение о совпадении двух
точек в мире, но также и следующее высказывание: две точки
совпадают в пространстве, или соответственно рассматриваются в
один и тот же момент времени. Каждое смещение пространства χ
порождается одним и только одним мировым смещением х*,
ортогональным е. Отношение между х* и χ взаимно-однозначно и аффинно.
С помощью определяющего соотношения
(й) = (х V)
мы наделяем пространство метрикой, основанной на
фундаментальной форме (хх). Тогда соотношение (29) переходит в теорему Пифагора
(XX) = βξ2 + (хх), (3°)
которую можно непосредственно обобщить таким образом:
(ху) = βξη + (Sy). (300
В реальном мире в качестве е мы можем взять направленный в
будущее времениподобный вектор, который целесообразно
нормировать условием (ее) = -1. Таким образом, в наших формулах следует
положить е = -1 . Разница во времени и пространственное
расстояние между двумя событиями, как показывает описанное расщеп ленце
мира на пространство и время, совпадает с результатами измерения
с помощью масштабов и синхронно отрегулированных часов в
известной допустимой системе отсчета. Речь идет о такой системе отсчета
*) Если ввести традиционную систему единиц CGS, то условие (ее) =
нить условием (ее) = -с2, и тогда следует принять е = -с
= -1 нужно

§24 Релятивистская геометрия, кинематика и оптика 221
К, различные точки которой описывают прямые, параллельные е и
которая покоится в пространстве Re, порожденном проекцией,
параллельной е.
Завершив точный анализ идейных основ специальной теории
относительности, мы перейдем теперь к рассмотрению самой теории
и ее важнейших физических следствий.
§24
Релятивистская геометрия, кинематика и оптика
иже нам придется сопоставлять различные расщепления мира
в терминах векторов в, е\ .... При этом в (с индексом или без
индекса) будет обозначать некоторый времениподобный
мировой вектор, направленный в будущее и удовлетворяющий
нормировочному условию (ее) = -1.
Пусть К — некоторое тело, покоящееся в Re, а К' — тело,
покоящееся в Rg,. К' движется в R^ равномерно и прямолинейно. Если в
Re, т.е. при расщеплении, соответствующем вектору е
e' = A|Av, (31)
то К1 в Re за интервал времени А испытывает пространственное
перемещение Αν. Поэтому ν—скорость К' в Re, или относительная
скорость К' по отношению к К. Ее абсолютная величина ν опреде-
ляется из уравнения ν = (νν). Согласно (28)
А = -(е'е), (32)
с другой стороны, в соответствии с (30), выполняется
1 = -(е'е') = А2 ~ A2(vv) = А2(1 - Д
отсюда
A=-7=W (33)
Vi -ν2
Если система К* между двумя мгновениями своего движения
испытывает мировое смещение As · е', то из (31) следует, что
А · Δ5 = Δί есть временная длительность этого смещения в Re. Между
собственным временем Δί и временной длительностью Δί смещения
в Re существует, соответственно этому, соотношение
Δ5 = AiVl -ν2. (34>
Так как выражение (32) симметрично относительно е и е', то,
как показывает формула (33), абсолютная величина относительной
скорости К' по отношению к К равна скорости К относительно
К'. Векторные относительные скорости нельзя сравнивать между
*

222
Относительность пространства и времени
собой, так как они лежат в разных пространствах, одна— в Re, а
другая —в Rg,. На языке обычной геометрии это можно сказать так:
если в качестве меры «наклона»
(«Neigung») одного направления в' по
отношению к другому в взять отношение катетов
треугольника, изображенного на рис.13,
ν = *г, то наклон в' по отношению к е будет
равен наклону е относительно в'.
Рассмотрим три различных
расщепления, соответствующих векторам в, et, е2.
Пусть Κχ и К2 будут двумя телами,
которые покоятся в R. hR.. Пусть в R„ выполняются соотношения
et = hx I hxv\, hx = ^—T
1
Рис. 13
e2 = h2 | A2v2,
Ä2=vr^·
Тогда
-<ete2) = hxh2{\ - (v^)}.
Таким образом, если Vt и V2 имеют скорости соответственно
Κχ и К2 в Re, абсолютные величины которых равны νχ и ν2, и угол,
образованный ими, равен Θ, а скорость К2 относительно Кх (и
наоборот) по абсолютной величине равна νχ2 = ^21» то спРавеДлива
формула
l-P|P2cog9 = 1 (35)
Vi - ό\ Vi - vj ~ Vi - v\2'
согласно которой определяется относительная скорость двух тел,
если известны скорости этих тел в Re. На языке обычной геометрии
это означает, что, зная наклоны υχ и υ2 векторов et и е2 по отношению
к вектору е и угол θ между плоскостями [ete] и [е2е], мы определяем
наклон et и е2, по отношению друг к другу. Речь идет, таким образом,
о тригонометрических формулах для трехстороннего угла. Из-за
индефинитного характера фундаментальной метрической формы,
однако, для лучей, исходящих из некоторой точки, здесь
оказывается справедливой не сферическая тригонометрия, а тригонометрия

§24 Релятивистская геометрия, кинематика и оптика 223
Больяи-Лобачевского. Действительно, если использовать
гиперболические функции и вместо каждой скорости θ (θ < 1) подставить
соответствующий гиперболический тангенс:
ν-Ίζ и,
то вместо (35) мы получим «теорему косинусов»
Cosut Cos//2 - Sin ux Sin u2 cos θ = Cos uxl.
Наряду с соотношением (34) между временем и собственным
временем существует аналогичное соотношение между длиной и
длиной покоя. Положим в основу пространство отсчета Re.
Предположим, что отдельные материальные точки тела К* в некоторый
определенный момент находятся в мировых точках О, Д .... Точки
пространства О, Д ... в которых они расположены, образую! в Re
фигуру, которую можно было бы наделить
длительностью, если бы тело оставляло после
себя в рассматриваемые моменты времени
«оттиски» («Abdrücke) в пространстве Re,
как это было проиллюстрировано на
наглядном примере в конце предыдущего
параграфа. Если, с другой стороны, мировые точки
О, Д ... совпадают в пространстве R^, в
котором К* покоится, с пространственными
точками О ', А\ ..., то эти последние
образуют форму покоя К' (см. рис.14, на котором
«ортогональные» мировые направления
изображены как взаимно перпендикулярные).
Между той частью Re, которую занимает оттиск, и фигурой
покоя тела в R^, имеется некоторое отображение, посредством
которого точки А, А', ... упорядочены друг относительно друга; оно,
очевидно, аффинное (фактически, речь идет не о чем ином, как об
ортогональной проекции).
Так как мировые точки О, А одновременны при расщеплении,
соответствующем вектору в, то
С?А = х = 0 | χ в Re, χ = όΧ.
Согласно основной формуле (30),
*)Жирным шрифтом (в оригинале-+ готическим) здесь обозначены
гиперболические тригонометрические функции (а именно th, ch, sh) — Примеч. пер.

224
Относительность пространства и времени
ÖÄ2 = (XX) + (ЖЖ),
(УА!2 = («) + (же')2.
Определим теперь, согласно (30'), (же') в Re. Тогда получим
(же') = Λ(χν).
Отсюда получаем
σΡ = (») + -®
\-υτ
Введем в Re декартову систему координат Х\, х2, х$ с точкой О
в начале координат, ось х^ которой совпадает с направлением
скорости V. Пусть Х\, х2, #з~"К00РДинаты точки А. В этом случае мы
будем иметь
ÖA2 = х2 + х% +х2'
*?
(36)
О'А'2 = —Ц + х\ + х\ = х{2 + х2'2 + х3'2>
1 - Ό
если положить
х\ - J, _ 2' χ2' = *2> хз' ~ х3·
Сопоставив в Re каждой точке с координатами (xt, #2, *3) Т0ЧКУ
с координатами (xt\ х2, *3'), определяемыми из (36), мы получили
растяжение «оттиска» в направлении движения в отношении
1/VT - Ό . Наши формулы утверждают, что таким образом «оттиск»
перейдет в фигуру, конгруэнтную форме покоя тела. Это и есть
лоренцево сокращение. В частности, между объемом V который
занимает тело К' в определенное мгновение в пространстве Re, и его
объемом покоя Vq существует соотношение
V = V0Vl -ν2.
Все оптические измерения углов устанавливают значения углов
между световыми лучами в такой системе отсчета, в которой
оптический прибор (сделанный из твердых тел) покоится. Если
оптический прибор заменить глазом, то можно сказать, что это будут
как раз те углы, которые определяют визуальную форму
предметов, находящихся в поле зрения наблюдателя. Для установления
связи между геометрией и наблюдением геометрических величин нам
придется коснуться оптических вопросов.

§24 Релятивистская геометрия, кинематика и оптика 225
Соответствующие световому лучу решения максвелловских
уравнений как в эфире, так и в однородной среде, которая покоится в
допустимой системе отсчета, таковы, что все компоненты величин
состояния можно записать в комплексной форме:
= const β2***')
где Θ = Θ(Ρ)— «фаза», определяемая с точностью до аддитивной
постоянной и являющаяся функцией мировой точки,
рассматриваемой как аргумент. После выполнения некоторого линейного
преобразования мировых координат компоненты этих величин в новой
системе координат принимают вновь тот же самый вид, с той же
самой фазовой функцией Θ. Фаза, таким образом, —инвариант. Для
плоской волны она является линейной и, при отсутствии поглощения
в среде, действительной функцией мировых координат Р, поэтому
разность фаз в двух произвольных точках 0(ß) - Θ(Λ), является
линейной формой произвольного смещения χ и, таким образом,
ковариантным мировым вектором. Представим эту разность с
помощью соответствующего смещения 1 (которое мы будем для
краткости называть «световым Лучом 1»). Тогда можно записать:
0(ß) - Θ(Α) = (lx).
Геометрически весь процесс лучше всего изобразить с помощью
множества параллельных друг другу «фазовых плоскостей»
0 = 0, ±1, ±2, ....
Произведем расщепление мира на пространство и время,
соответствующее вектору в, и положим
1 = ν | ^а (37)
так чтобы пространственный вектор а в Re имел длину 1:
X = Μ | X.
Тогда разность фаз будет равна
f(ax)
Я
Отсюда следует, что ν означает рис 15
частоту, q — скорость распространения
и а —направление светового луча в
пространстве Re. q одновременно имеет смысл меры наклона вектора
β к фазовой плоскости Е. При этом под «наклоном» (Neigung) мы
снова будем понимать отношение катетов τ (см. рис.15, α iE, Ь

226
Относительность пространства и времени
лежит в Е). В эфире, как это следует из уравнений Максвелла,
скорость распространения q равна 1, или
(И) = 0.
Расщепим теперь мир на пространство и время сначала с
помощью вектора в, а затем— с помощью вектора в'. Если при этом
величины, относящиеся ко второму расщеплению, обозначать
штрихованными буквами, то вследствие инвариантности (11), мы тотчас
же получаем закон
-1
= ν
,21
<\
\0
,2
-1.
(38)
Для двух лучей I, и 12 с частотами ν, и ν2 и скоростями
распространения <7f и ^2 будем иметь
|(ä,ä2)
(1,Ι2) = ν,ν2·
ЬЯ2
-1
Тогда оказывается справедливым соотношение
(cos ω .1 . .icosoe'
v*v
-1
(39)
где ω—угол между рассматриваемыми лучами. Для эфира эти
уравнения выглядят следующим образом:
2 ω
q = q\ = 1), vtv2 sin -г = V]'v2' s
.7 ω'
51ΙΓ—.
(40)
2 -ι\2 — 2
Чтобы, наконец, получить взаимосвязь частот ν и ν', мы
предположим, что некоторое тело покоится в Re,. Пусть оно в
пространстве Re имеет скорость V, так чтобы, как и ранее, выполнялось
соотношение:
e' = A|AvBRe. (31)
Из (31) и (37) следует
ν' = -(1е') = ν« 1 -®1
Обозначив угол между направлением светового луча в Re и
скоростью тела Θ, получим
_ У COS θ
ν- = * " а (41)
ν Vi-г;2
Формула (41) выражает собой принцип Доплера. Рассмотрим,
например, молекулу натрия, которая покоится в некоторой системе

§24 Релятивистская геометрия, кинематика и оптика 227
отсчета. Поскольку она всегда остается объективно неизменной,
между частотой ν', наблюдаемой в покоящемся спектроскопе, и
частотой ν движущейся со скоростью ν молекулы натрия будет
выполняться это соотношение (т.е. формула (41)). Θ —это угол,
между направлением движения молекулы и световым лучом,
входящим в спектроскоп. Так как система отсчета, движущаяся вместе со
второй молекулой натрия, имеет скорость ν в исходном пространстве
покоя, то сама эта молекула имеет частоту ν в пространстве покоя и
ν'—в сопутствующем пространстве. Подставив (41) в (38), получим
уравнение, связывающее q и q'. Оно Позволяет по скорости света q'
в покоящейся среде, например воде, вычислить скорость света в
движущейся среде, ν в этом случае означает скорость потока воды,
Θ—угол между лучом света и направлением потока воды. На языке
обычной геометрии речь здесь идет о плоскости Е, именно фазовой
плоскости и двух векторах в, в', исходящих из некоторой точки на
этой плоскости (рис. 16). Дано
положение вектора е* по отношению к
плоскости Е, которая дает
вертикальную проекцию е на Ε , т.е. угол
Θ, который образует плоскость
[е'е] с Е, и наклон θ вектора е' по
отношению к вектору в. Требуется
по наклону q' вектора в' к
плоскости Ε определить наклон q вектора
β к плоскости £. Возникает, таким
образом, задача, несколько отличная от задачи о сложении
скоростей. Только в том случае, когда бие' лежат в одной плоскости Е,
перпендикулярной Е, говорится о той же самой фигуре, как при
сложении одинаково направленных скоростей. В этом случае, как,
впрочем, показывает и расчет, мы получаем формулу
д' + ν
Я~ 1 +q'v'
или, пренебрегая высшими степенями ν (которая в практически
важных случаях очень мала по сравнению со скоростью света),
q = q' + υ(ί - q'\
Таким образом, скорость среды ν прибавляется к скорости
распространения не целиком, а только ее частью, зависящей от
коэффициента преломления η = —, а именно с коэффициентом
<7'
Рис. 16

228
Относительность пространства и времени
1 ψ Этот «коэффициент увлечения» 1 —~ 3ЗД°лго до теории
η η
относительности был экспериментально установлен Физо,
наблюдавшего интерференцию двух лучей света от одного и того же источника,
один из которых пересекал покоящуюся массу воды, а другой — поток
движущейся воды . То, что теория относительности объясняет этот
замечательный результат, означает, что она справедлива для оптики
и электродинамики движущихся сред (и что, таким образом, в этих
случаях принцип относительности, который получается из лоренц-
эйнштейновского принципа заменой с на q и о справедливости
которого можно было бы предполагать не основании волнового
уравнения, имеющего силу в движущихся средах, этот принцип не
выполняется). Формулу (39), наконец, мы можем для эфира
(q = q' = 1) переписать в виде (ср. с (40)):
2 ω (1 - ν cos 9t) (1 - ν cos θ^ 2 ω<
sin — = ~ sin Τ·
2 1 - ν2 2
Возьмем в качестве системы отсчета Re систему, которую обычно
используют в небесной механике (ив которой покоится центр масс
солнечной системы), в качестве движущегося тела —Землю (на
которой находится измерительный прибор) и будем считать ν ее
скоростью в Re, ω —таким углом в Re, который образуют лучи,
проведенные от двух бесконечно удаленных звезд к Солнечной
системе; 0t и θ2—углами, которые образуют эти лучи с направлением
движения Земли в Re. Тогда угол ω', под которым звезды видны с
Земли, определяется с помощью приведенной формулы. Угол ω мы,
конечно, не можем измерить, но можем наблюдать годичные
изменения ω', связанные с изменениями 9t и θ2 в течение года (аберрация).
Формулы, связывающие время и собственное время, объем и
покоящийся объем (Ruhvolumen), справедливы и для
неравномерного движения. Обозначив через dx бесконечно малое перемещение,
которое испытывает в мире некоторая движущаяся материальная
точка в течение бесконечно малого промежутка времени, получим
для собственного времени ds и мирового направления 11 этого
перемещения:
dx = ds-ut (uu) = -l, ds>0.
Интеграл
jds= /V-(öfx, </x),
взятый по некоторой дуге мировой линии, дает «собственное
время», соответствующее движению по этой дуге. Оно не зависит

§24 Релятивистская геометрия, кинематика и оптика 229
от расщепления мира на пространство и время и при не слишком
больших ускорениях его будут показывать часы, связанные с
движущейся материальной точкой. Если ввести в мире некоторые линейные
координаты Jtt·, а собственное время s рассматривать как параметр
аналитического представления мировой линии (точно так же, как в
трехмерной геометрии мы использовали длину дуги), то величины
dx{
являются контравариантными компонентами U, и ]£ и-и1 = -1. При
г
расщеплении мира по вектору е мы получим
1
U =
Vi -ü2
ΊΤΞ7Β*-
где V—скорость материальной точки. При этом между временем dt
в Re, соответствующим смещению dx, и собственным временем ds
получается соотношение
ds = dt Vi -о2. (42>
Если две мировые точки Л и В так расположены друг
относительно друга, что ÄB — времениподобный вектор, ориентированный
в будущее, то Л и J5 можно связать мировыми линиями, направление
которых всюду времениподобно. Иначе говоря, речь идет о
материальных точках, покидающих Л и прибывающих в 5. Собственное
время, необходимое им для этого, зависит от мировой линии (поэтому
нельзя с помощью транспортировки часов из одной точки во все
остальные установить всюду единое время, независимо от пути
переноса часов). Наибольшим оно будет для материальной точки,
движущейся между Л и J5 равномерно и прямолинейно. Поэтому при
таком расщеплении мира на пространство и время, когда Л и J5
находятся в одной и той же пространственной точке, движение
переходит в покой, и мы получаем формулу (42), согласно которой
собственное время s отстает от времени t. Жизненные процессы в
человеческом организме вполне можно сравнить с часами. Пусть из
двух близнецов, разделенных в некоторой мировой точке Л, один
остается дома (т.е. покоится в течение длительного времени в
некоторой допустимой системе отсчета), а другой предпринимает
путешествие, в котором он движется со скоростью (относительно
«дома»), близкой к скорости света. Тогда путешественник после

230
Относительность пространства и времени
своего возвращения домой окажется заметно более молодым по
сравнению с братом-домоседом [43].
Элемент массы dm (некоторого непрерывно протяженного тела),
который движется со скоростью ν, занимает в определенный момент
времени объем d V, который связан с его объемом покоя dV0 формулой
dV = dVQ^li -о2.
п dm dm
Для плотности -— = μ и плотности покоя -ртт- = μ0, согласно
и ν и V η
этому, оказывается справедливым соотношение
μ0 = μ Vl-ίΛ
μ0 —инвариант, а μ0ϋ с компонентами μ0η\ таким образом, —контра-
вариантный вектор, определяемый движением массы независимо от
системы координат, так называемый «поток массы» (materielle
Strom). Он удовлетворяет уравнению непрерывности
aüw6
Σ-±—ο·
ι
Эх
оказы-
Аналогичные соображения вполне применимы и к
электричеству. Если электрический заряд связать с массой так, чтобы элемент
массы dm был наделен электрическим зарядом de, то между плот-
de de
ностью покоя заряда р0 = -тг^- и плотностью заряда ρ = -777
вается справедливым соотношение
Ро = Ρ Vi - ν2
и
sl = ρ0ιι·
контравариантные компоненты «электрического (четырехмерного)
тока». Это, в частности, соответствует результатам §21. В
феноменологической максвелловской теории электричества скрытое
движение электронов не рассматривается как движение материи, т.е.
электричество не связывается с материей. Поэтому то обстоятельство,
что некоторой части материи соответствует заряд, можно объяснись
только тем, что этот заряд находится в то же самое время в той части
пространства, которую в рассматриваемый момент занимает эта часть
материи. Отсюда следует, что заряд здесь, в отличие от электронной
теории, не является инвариантом, определяемым частью материи, а
зависит от расщепления мира на пространство и время.

§25 Электродинамика движущихся тел
231
§25
Электродинамика движущихся тел
С расщеплением мира на пространство и время связано
расщепление всех тензоров. Прежде всего, как это обычно делается, мы
исследуем вопрос с чисто математической точки зрения и лишь
затем применим полученные результаты к выводу основных
уравнений электродинамики движущихся тел. Рассмотрим я-мерное
метрическое пространство, которое будем называть «миром», с
фундаментальной метрической формой (хх). Пусть е — некоторый вектор в нем,
удовлетворяющий условию (ее) = е * 0. Расщепим известным
образом посредством этого вектора мир на время и пространство Re. Пусть
ej, е2, ..., еп _ j — некоторая координатная система в пространстве
Re и et, е2, ..., вп _ t —такие ортогональные к е = е0 смещения мира,
которые определяются et, e2,
,е
я-1
в Re. В координатной системе
ef· (г = 0, 1, 2, ..., η - 1), «принадлежащей к Re» для мира схема
ковариантных компонент фундаментального метрического тензора
имеет вид
\е 0 0|
0 9\\ 9\2\ (я = 3).
|° #21 9221
Рассмотрим в качестве примера тензор 2-го ранга, который в этой
системе координат имеет компоненты Tib. Мы утверждаем, что его
расщепление определяется только вектором е в соответствии со
следующей схемой
7оо
По
720
7öi 7o2
Τη 7Ί2
Τι\ Τη
При этом он расщепляется на один скаляр, два вектора и тензор
2-го ранга в Re, которые определяются своими компонентами в
системе координат ef· (i = 1, 2, ..., η - 1).
Поэтому, если произвольное мировое смещение X расщепить с
помощью вектора е
χ = ξ | х,
и если его разложить на сумму двух векторов, один из которых
пропорционален е, а другой ортогонален е

232
Относительность пространства и времени
X = ξβ + X*,
мы получим
я - 1 /1-1 /2-1
ί = 0 i = 1 i = 1
где х имеет компоненты ξ1. Таким образом, разложение тензора
можно представить без использования координатной системы
следующим образом. Если χ и у —два произвольных мировых смещения
и если мы положим
χ = ξβ + х*, у = ηβ + у*, (43)
так чтобы х* и у* были ортогональны в, то билинейную форму,
соответствующую тензору 2-го ранга можно записать следующим
образом
ПХУ) = ξηΤΧββ) + ηΓ(Χ*β) + ξΤΧχγ*) + Г(хУ).
Понимая под х* и у* произвольные мировые смещения,
ортогональные 6, которые вызывают два произвольных смещения χ и у
пространства, мы получим:
1. один скаляр Две) = / = J,
2. две линейные формы (векторы) в пространстве Re,
определяемые формулами
Цх) = Г(х*е), L'(x) = Г(ех*),
3. одну билинейную форму (тензор) в пространстве Re,
определяемую соотношением
Τ(ху) = Г(хУ).
Считая χ и у произвольными мировыми смещениями, которые
вызывают в Re смещения χ и у, то с учетом определений мы должны,
согласно (43), х* и у* заменить на χ - ξβ, у - ηβ, где
ξ = -^хе), η = -^ye).
Введя обозначения
Дхв) = Дх), Дех) = 1/(х),
мы получим, наконец,

§25 Электродинамика движущихся тел
233
Цх) = Цх)-^(хв), L'(x) = L4x)-^(m);
Т(^ = Дху)-т(уе)1(х)-^же)1Чу) + 4(хе)(Уе)·
е
(44)
е т е
Стоящие слева линейные и билинейные формы в R^ (векторы и
тензоры) можно, таким образом, представить однозначно
определенными мировыми векторами и тензорами, находящимися в правых
частях этих уравнений. В обычном координатном представлении
отсюда получается, что, например,
|7\
Т =
π
7-21
представляется мировым тензором
|0 О
О Τ
О Г
11
12
Г22
12
21 '22
Отсюда непосредственно видно, что пространственные тензоры
во всех вычислениях можно заменить представляющими их
мировыми тензорами. Но мы будем использовать здесь это только для
случая, когда пространственный тензор λ-кратен некоторому
другому, и что, таким образом, верно и для представляющего его мирового
тензора.
Если мы положим в основу наших вычислений компонент
некоторую произвольную систему координат, в которой
е^Ле1,...,^-1),
то величины
/ = Tikele ие = е1е{
будут инвариантна. Оба вектора и тензор в 1^, однако, имеют,
согласно (44), своих представителей в мире в виде векторов и тензора
с компонентами
L:I,.-4„ £, = Г,/,
Τ: Tik -
ekLj + eiLk J
e + ?·Α·

234
Относительность пространства И времени
В случае кососцдеметричного тензора
формулы сводятся тогда к следующим
У - 0 и L = -L. Наши
UL^Tike
eiLk -
euL;
Т:^+ е
Таким образом, линейный мировой тензор 2-го ранга, расщепляется
в пространстве на один вектор и один пространственный линейный
тензор 2-го ранга.
Максвелловские уравнения поля для покоящихся тел были
установлены в §21. Г. Герц первым попытался распространить их в
общем вполне законным путем на движущиеся тела [44]. Фарадеев-
ский закон индукции гласит: скорость уменьшения потока индукции
через поверхность, ограниченную проводником, равна
индуцированной электродвижущей силе
-7TjBndo=i*dr.
(45)
Если проводник движется, то интеграл слева должен браться по
поверхности, натянутой на этот проводник и движущейся вместе с
ним. Так как фарадеевский закон индукции был проверен
экспериментально как раз для таких случаев, когда изменение во времени
потока индукции, охватываемого проводником, вызывается
движением этого проводника, Герц не сомневался в том, что этот закон
следует постулировать и в случае движущегося проводника.
Уравнение div В = 0 при этом остается в силе. Из векторного анализа мы
знаем, что с учетом этого уравнения закон индукции (45) можно
представить в дифференциальной форме
(46)
1 ЗВ 1 , _.
rotE = -7 — + 7rot[vB],
с dt с
dB
Рис. 17
где -—- означает производную В по времени в
dt
некоторой фиксированной точке
пространства, а V—скорость материи.
Уравнение (46) имеет замечательные
следствия. Представим, что между двумя
пластинами конденсатора находится
однородный диэлектрик, который движется с
постоянной скоростью V между этими пластинами
(опыт Вильсона). Пусть также обе пластины
соединены между собой проводником и

§25 Электродинамика движущихся тел
235
имеется однородное магнитное поле #, параллельное пластинам и
перпендикулярное направлению движения диэлектрика. Вообразим,
что диэлектрик отделен от пластин тонким пустым промежутком,
толщину которого в пределе мы считаем равной нулю. Из (46)
вытекает, что в пространстве между пластинами выражение
Ε - —[vB] выводимо из некоторого потенциала, но так как пластины
с
связаны между собой, это выражение должно быть равно 0, и,
следовательно,
Ε = -[vB].
с
Таким образом, между пластинами возникает нормальное к ним
однородное электрическое поле с абсолютным значением напряженности
— магнитная проницаемость),
с
Следовательно, на пластинах должен возникать статический
заряд с поверхностной плотностью
—диэлектрическая постоянная).
Если диэлектрик —газ, то этот эффект должен иметь место
независимо от степени разряжения газа, так как εμ по мере
разрежения сходится не к 0, а к 1. Это означает только то, что, если мы
верим в эфир, то эффект возникает, когда эфир в пространстве между
пластинами движется относительно них и эфира, покоящегося вне
пространства между пластинами. Для объяснения индукции
приходится, однако, предположить, что эфир увлекается контуром при его
движении . Вместе с тем эксперименты, опыт Физо по
распространению света в текущей воде и опыт Вильсона , свидетельствуют о
неправильности этого предположения. Так же, как в опыте Физо
появляется коэффициент увлечения 1 —~> в опыте Вильсона мы
η
наблюдаем величину заряда, равную
с
которая исчезает при εμ = 1. Кажется, что это вступает в
неразрешимое противоречие с фактом индукции в движущихся проводниках.
*)ив (46) означает не скорость материи, а скорость эфира, но относительно
чего?

236
Относительность пространства и времени
Теорця относительности дает полное объяснение этому. Положив,
как в §21, et = х0 и образовав из Ε и В поле F, а из D и Н—косо-
симметричный тензор 2-го ранга Я, перепишем уравнения поля в виде:
= 0,
(47)
dFkl dFa
дх{ dxk
kdxk
дх1
Они справедливы, если Fik мы будем понимать как ковариант-
ные, а Н1 —как контравариантные компоненты некоторых тензоров
2-го ранга, sl — как контравариантные компоненты некоторого
вектора в четырехмерном мире из-за их инвариантного характера в
произвольной линейной системе координат. Но законы,
описывающие среду
D = εΕ, В = μΗ, S = σΕ
означают, что, если мы так расщепи^ мир на пространство и время,
что среда покоится, а F при этом расщепляется на Ε | В, Η на D | Н,
а s на ρ | S, то справедливы Эти соотношения. Если теперь взять
произвольную систему координат и в ней мировое направление
движения материи и\ то эти соотношения можно сформулировать, в
соответствии с приведенными выше рассуждениями, следующим
образом
Я* = eFj, (48, ε)
где F* = Fikuk, H* = Hihuk
pik - («Л - чЪ - »w» - <«Ä - »tf» ш' ·μ)
и
s{ + Ui(shuk) = aF*. (48. σ>
Это — инвариантная форма обсуждаемых законов. Для удобства
вычислений целесообразно соотношение (48', μ) заменить
непосредственно следующими из него уравнениями
FkPi + FUuk + Fikul = №klui + Hliuk + Hikul)· <48> f>
Эти уравнения, в соответствии с их формой, справедливы лишь
для материи, движущейся равномерно и прямолинейно. Мы можем,
однако, считать их справедливыми и для отдельного тела,
находящегося в равномерном и прямолинейном движении, если
рассматривать это тело отделенным пустым пространством от других тел,

§25 Электродинамика движущихся тел
237
*)
движущихся с различными скоростями . Наконец, эти уравнения
можно считать верными и для произвольно движущейся материи,
если скорость этого движения не изменяется слишком быстро во
времени и пространстве.
Полученное таким образом инвариантное представление мы
можем теперь расщепить с помощью произвольного вектора е.
Предположим, что измерительные приборы, предназначенные для
измерения пондеромоторных действий, покоятся в Re. Используем
связанную с Re систему координат и положим таким образом
(f 10» f20> ^3θ) = ^1» Е2' Ез) = Е
(f23> F3\> F\t) = (В23' В31> В12) = В
(Я10,Я20,Язо) = (01,02,03) =D
(Я23, #3i > Я12) = (Н23, Н31, Ht2) = Η
5° = ρ; (s\s2,s3) = (s\J,!?) = s
В результате мы снова получаем максвелловские уравнения поля
в форме, справедливой не только для покоящейся, но и для
движущейся материи. Но не вступает ли это в резкое противоречие с
наблюдениями индукционных явлений, которые, как будто, требуют
введения дополнительного члена, как в уравнении (46)? На этот
вопрос следует ответить отрицательно, так как этими наблюдениями
в действительности определяется не напряженность поля Е, а
электрический ток в проводнике. Но взаимосвязь между ними для
движущихся тел дается другим уравнением, а именно уравнением (48, σ).
Выписав те из уравнений (48, ε и σ), которые соответствуют
компонентам с индексами г= 1, 2, 3 и те из уравнения (48, μ),
которые соответствуют наборам индексов
(ikl) = (230), (310), (120)
(остальные излишни) получим, как легко видеть, следующее. Положим
*)Это—важный пункт многих приложений. Применяя максвелловские законы к
области, состоящей из тела К и окружающего его пустого пространства, в той системе
отсчета, в которой К покоится, мы не обнаружим в пустом пространстве никаких
расхождений при переходе к системам отсчета, связанным с другими телами и
движущимися относительно К, ввиду справедливости в пустом пространстве
принципа относительности.

238
Относительность пространства и времени
Ε + [vB] = E*. D + [ΫΗ] = D*,
I - [vE] = Β*, Η - [vD] = H*
тогда будем иметь
D* = ЕЁ*, В* = μΗ*.
Если, кроме того, разложить $ на «конвекционный ток* С и «ток
проводимости» $ :
S = С + **,
С = рЧ P*=£^ = p-(V?),
то для будем иметь
i-v2
_* _ σΕ*
Теперь все становится ясно: ток состоит из конвекционного тока,
который своим происхождением обязан движению заряженной
материи, и из тока проводимости, который определяется проводимостью
вещества σ. Ток проводимости вычисляется из закона Ома, если
электродвижущая сила определяется с помощью криволинейного
интеграла не от Е, а от Е*. Но для Е* справедливо уравнение, в
точности аналогичное (46) __
rot Ё* = - ^ + rot [vB J
dt
(мы теперь всюду принимаем с = 1), или, переписывая в
интегральной форме, подобно уравнению (45),
Это полностью объясняет фарадеевскую индукцию в
движущихся проводниках. Что_же касается опыта Вильсона, то, согласно
развитой теории, rot Ε = 0, и поэтому Ε = 0 между пластинами. Но
отсюда получаются постоянные значения отдельных векторов
(электрический при этом перпендикулярен пластинам, магнитный
параллелен пластинам и перпендикулярен к скорости):
Ε* = νΒ* = νμΗ* = μν(Η + vD)
D = D* - vH = гЕ* - vH.

§25 Электродинамика движущихся тел
239
Если подставить во второе уравнение выражение для Е* из
первого уравнения, то получим
D = ν{(εμ - \)Н + ζμνΏ},
1 - εμν
Это—значение поверхностной плотности заряда, которая
возникает на пластинах конденсатора. Этот результат совпадает с
наблюдениями, так как из-за малости ν знаменатель в нашей формуле
чрезвычайно мало отличается от 1.
Граничные условия на поверхности, разделяющей материю и
эфир, оказываются следствием того требования, чтобы полевые
величины F и Η не испытывали скачкообразного изменения, если
двигаться вместе с материей. Но, в общем, они испытывают в
некоторой фиксированной точке пространства, расположенной в
эфире, определенный скачок в момент прохождения материи через
эту точку. Если 5—это собственное время элемента материи, то
производная
dFik ZFik ,
ds дх{
должна всюду оставаться конечной. Используя соотношение
дх1
дх{ дхь
мы видим, что это выражение равно
dxk дх{
Ε , следовательно, не может иметь отличную от нуля поверхностную
циркуляцию (а В—поверхностную дивергенцию).
Основные уравнения электродинамики движущихся тел в
изложенной здесь форме, фактически, были получены уже Лоренцем на
основе электронной теории накануне открытия теории
относительности. Это не удивительно, однако, поскольку уравнения Максвелла
для эфира удовлетворяют принципу относительности, а уравнения
электронной теории для материальной среды получаются из них
посредством процедуры усреднения. Опыты Физо. Вильсона, а
также аналогичный им опыт Рентгена-Эйхенвальда доказывают,
что электромагнитное поведение материи согласуется с принципом
относительности. Именно проблемы электродинамики движущихся

240 Относительность пространства и времени
тел привели Эйнштейна к этому принципу. Минковскому же мы
обязаны уяснением того обстоятельства, что основные уравнения
электродинамики движущихся тел однозначно определяются
принципом относительности, если максвелловская теория для
покоящейся среды считается известной. Именно им была дана окончательная
формулировка обсуждаемой теории [45].
В следующем параграфе речь, наконец, пойдет о механике,
которая в своей классической форме не удовлетворяет
эйнштейновскому принципу относительности, об ее преобразовании на основе
этого принципа и сопоставлении соответствующих модификаций с
опытом.
§26
Основной закон механики. Принцип Гамильтона
качестве меры пондеромоторного действия электромагнитного
поля мы приняли в электронной теории мировой вектор р,
ковариантные компоненты которого выражаются следующим
образом
Рг = FikS = Ρ Fiku ·
Он, следовательно, удовлетворяет уравнению
р{и{ = (ри) = 0 <49)
и —мировое направление движения материи. Если расщепить U и
ρ — на пространственные и временные проекции
и = А | Αν (50)
Ρ = λ Ι ρ ,
το ρ окажется плотностью силы, а λ, как это следует из (49), или из
Α{λ - (ρν)} = 0
— плотностью мощности.
Основной закон механики, согласующийся с эйнштейновским
принципом относительности, мы получим тем же методом, каким
были получены уравнения электродинамики движущихся тел в
предыдущих параграфах; мы предположим, что ньютоновский закон
сохраняет свою справедливость в той системе отсчета, в которой
материя покоится. Рассмотрим материальную частицу /и, которая
находится в определенной мировой точке О, и расщепим ее мировое
направление на пространство и время; w, таким образом, мгновенно
покоится в 1^. Пусть Цф в Ru будет плотностью материи в точке О.
Предположим, что по прошествии бесконечно малого интервала
Ρ

§26 Основной закон механики. Принцип Гамильтона 241
времени ds мировое направление частицы т будет 11 + du. Из
уравнения
(uu) = -1
следует, что
(и · du) = О
Расщепление относительно U при этом дает:
u = 1 | 0, du s 0 | dv, ρ = 0 | р.
Из выражения
u + du = 1 | dv
вытекает, что dv здесь является приращением относительной
скорости частицы т (в R^) за время ds. Основной закон механики,
очевидно, можно записать в виде:
dv -
Но отсюда тотчас же следует не зависящая от расщепления,
инвариантная форма этого закона
и,£-Р. <5»
здесь μ0—плотность массы покоя, ds —интервал собственного
времени, соответствующий бесконечно малому перемещению частицы,
при котором ее мировое направление получает приращение du.
Расщепление относительно U таково,что оно изменяется во время
движения частицы. Но если теперь произвести расщепление на
пространство и время относительно некоторого фиксированного вре-
мениподобиого вектора е, направленного в будущее и
нормированного посредством соотношения (ее) = -1, то уравнение (51)
распадется, согласно (50), на
AI 1 *
Vi -г/
d( ν >
= λ,
(52)
Пусть при выбранном расщеплении t означает время, dV — объем
и dVQ—объем покоя частицы в некоторый определенный момент
времени; масса частицы при этом равна т « μ0 dV0. Обозначим
также силу, действующую на частицу, и соответствующую мощность
следующим образом:

242
Относительность пространства и времени
р dV = Ρ, λ dV = Λ.
Тогда, умножив уравнения (52) на dV и приняв во внимание, что
,Т7 d π Τ d d
rü ds ds dt
и что масса т во время движения остается постоянной, получим:
т
dt\
\
d'
dt
mv
7Г7
μ Λ, (53ο)
(53)
Эти уравнения и являются уравнениями механики материальной
точки. Уравнение для импульса (53) отличается от ньютоновского
только тем, что импульс материальной точки равен не mv , а
mv
Уравнение для энергии (530) кажется, на первый взгляд,
странным. Но, разложив его по степеням ν, получим выражение
т тг?
■ s т + -г— + ....
Пренебрегая высшими степенями ν, а также постоянными
членами в этом разложении, мы возвращаемся к классическому выра-
ттг
жению для кинетической энергии —у-.
Таким образом, отклонения от ньютоновской механики, как мы
и предполагали, являются величинами второго порядка относительно
скорости материальной точки, измеренной в долях скорости света.
Поэтому при малых скоростях, с которыми обычно имеют дело в
механике, эти отклонения нельзя обнаружить экспериментально.
Они становятся заметными лишь при скоростях, приближающихся
к скорости света. При этом инертное сопротивление ускоряющей силе
увеличивается таким образом, что скорость света оказывается
недостижимой. Свободные электроны, образующие катодные лучи и
ß-излучение, испускаемое радиоактивными веществами, являются
как раз такими частицами, скорость которых сравнима со скоростью
света. В опытах Кауфмана, Бухерера, Ратновского, Гупки и др. с
такими электронами было экспериментально подтверждено
требуемое теорией относительности поведение этих частиц при продольном
ускорении электрическим полем и при поперечном ускорении

§26 Основной закон механики. Принцип Гамильтона 243
магнитным полем. Еще одно подтверждение, которое касается
движения электронов в атоме, в последнее время было получено при
исследовании тонкой структуры спектральных линий излучения
атомов .
Только после того, как систему основных уравнений электронной
теории, которая была приведена в §21 в инвариантной форме,
согласующейся с принципом относительности, мы дополним
уравнением s% = р0иг (т.е. утверждением, что электричество связано с
материей), а также основными уравнениями механики, мы получим
замкнутую систему взаимосвязанных законов, дающую описание
действительного хода физических явлений, независимо от принятых
обозначений. Таким образом, лишь теперь мы, собственно говоря,
можем считать доказанной справедливость принципа
относительности для электромагнитных явлений.
Из физического определения различных величин, в частности
напряженностей поля, становится теперь ясной их формулировка в
терминах четырехмерных векторов и тензоров; эвристический
подход, использованный в §21, не был свободен от произвола. Теперь
мы поступаем следующим образом. Каждой частице материи
приписывается определенная неизменная масса т независимо от выбора
системы координат и вместе с ней вектор энергии-импульса с
компонентами Ji = rnu^ Его производная по собственному времени
iL-ρ (54)
ds ~ Ъ
является 4-силой. При заданном поле она зависит только от заряда
и скорости частицы, причем линейно, в соответствии с формулой
Р{ = Fik · euk (55)
/ k k
(«ток» s = ей не зависит от поля, в то время как «полевые
компоненты» Fik не зависят от характеристик частицы). Тождество
(Ρ;*/1) = 0, следующее из определения (54), т.е., в силу (55),
соотношение:
FttiAi*«0
позволяет сделать вывод о кососимметричности тензора Fik. При
расщеплении мира на пространство и время мы получим
(/,·) = ι Ш 2> J mV 2 I = (£' J) (энергия и импульс}

244
Относительность пространства и времени
(Л)=
Г л ρ Ϊ ,.
[ίϊ^'^7) {Л иощно
(Fik) = (Ё, Н).
формул (54) и (55) следует
ft=V, P = e(E + [vH])
-сила}
При этом Р —пондеромоторная сила, Е—сила, действующая на
единицу покоящегося заряда, или напряженность электрического
поля, Н —сила, которая действует на ток βν, или напряженность
магнитного поля. Утверждение, что напряженности электрического
и магнитного полей образуют в четырехмерном мире кососимметрич-
ный тензор, не содержит в себе какого-либо произвола, напротив,
оно согласуется с физическим определением этих величин при
расщеплении мира на пространство и время. Электромагнитное поле
Fik характеризуется не только своим действием на заряд и ток, но
и тем, что оно порождается ими в соответствии с максвелловскими
законами, которые нет необходимости еще раз выписывать в
четырехмерной форме.
Всю эту систему уравнений мы можем свести к единственному
вариационному принципу, именно принципу Гамильтона .
Материя, движущаяся субстанция может рассматриваться как
своеобразный трехмерный континуум, не состоящий, конечно, из одного
монолитного куска. Континуум элементов субстанции, таким
образом, можно поставить в непрерывное соответствие системе трех
координат αβγ. Представим эту субстанцию разложенной на
бесконечно малые элементы. Каждому такому элементу припишем затем
определенную неизменную положительную массу dm и неизменный
электрический заряд de, а также имеющую определенное
направление мировую линию (как выражение его истории), или, лучше
сказать, бесконечно тонкую «мировую нить». Разобьем эту нить на
бесконечно малые отрезки и обозначим длину (собственное время)
такого отрезка
ds = ^-gikdx{dxkt
а соответствующий бесконечно малый четырехмерный объем dco
άω = Vg dx0 dx^ dx2 dx^t
где g — определитель матрицы gik. Тогда с помощью инвариантного
уравнения

§26 Основной закон механики. Принцип Гамильтона 245
dm ds = μ0 dco (56)
можно ввести пространственно-временную функцию плотности
массы покоя μ0. Интеграл
jμ0 άω = \dm ds = \{dm \^-gikdXidxk)
χ
по некоторой мировой области X я буду называть субстанциальным
действием массы (Substanzwirkung der Masse). В последнем
интеграле внутреннее интегрирование производится по той части мировой
линии произвольного элемента субстанции dm, которая находится в
области X, а внешнее интегрирование — по всем элементам
субстанции. С математической точки зрения, эта операция представляет
собой переход от интегралов по собственному времени субстанции к
обычным пространственно-временным интегралам.
«Субстанциальную плотность» массы ν мы вводим посредством соотношения:
dm = v da rfß dy
(относительно произвольных преобразований координат субстанции
αβγ она ведет себя как скалярная плотность ν). На каждой мировой
линии, связанной с точкой субстанции (αβγ), мы будем отсчитывать
собственное время s от некоторой определенной начальной точки
(которая, однако, должна быть непрерывно варьируемой от одного
места субстанции к другому). Тогда координаты мировой точки xi9
в которой находится элемент субстанции (αβγ) в момент s своего
движения по истечении собственного времени s, являются
непрерывными функциями αβγ$, функциональный определитель которых
Ö(XqX |#2*з)
по абсолютной величине равен Δ.
Уравнение (56) тогда дает
Аналогичным образом можно ввести плотность покоя
электрического заряда р0. Электромагнитное поле мы характеризуем
потенциалом <pt·. Только четыре компоненты потенциала φ{ мы рассматри-.
ваем как независимые и свободно варьируемые величины состояния.
Само поле Fik мы определяем уравнениями

246
Относительность пространства и времени
ik дх{ dxk
Субстанциальным действием электричества мы назовем
величину:
- \(de J<pf dx{),
где внешнее интегрирование снова производится по всем элементам
субстанции, а внутреннее — по той части мировой линии элемента
субстанции с зарядом de, которая проходит внутри мировой области
X. Это выражение можно также переписать в следующей форме:
\de ds · (PjV = j Ρο^ψ,- d® = J s'ip,- d®,
dx{
где и = -г——компоненты мирового направления, а s = р0и —
компоненты 4-тока (исключительно тока конвекции). Наконец, помимо
субстанциального действия введем также полевое действие
электричества, которое согласно максвелловской теории, равно
{ί V* <*»·
Принцип Гамильтона, охватывающий максвелл-лоренцевские
законы, звучит тогда следующим образом: полное действие, т.е. сумма
полевого и субстанциального действия электричества, а также
субстанциального действия массы, не испытывает никакого
изменения при произвольной бесконечно малой вариации состояния поля
φί и пространственно-временных координат, исчезающей вне
некоторой конечной области, и при таком же
пространственно-временном смещении мировых линий, связанных с отдельными точками
субстанции [46].
Если мы произведем бесконечно малое изменение потенциала
(pt·, где δφ^ —непрерывные и непрерывно дифференцируемые
функции мировых координат, которые исчезают вне некоторой конечной
области X, то для полевого действия электричества получим
и затем, интегрируя по частям (стр.143), будем иметь:
8\jFikF d<ö=-jF — dco = J—-δφ,··«/«).

§26 Основной закон механики. Принцип Гамильтона 247
Далее, изменение субстанциального действия электричества
будет равно
- J (de J δφ^· · dx{) = - j (s'&p,) · άω.
Χ
Итак, варьирование потенциала q>f· дает
dxk
δφζ· · da> = О,
(57)
и поэтому должно выполняться уравнение
= sl = Ро"1
5Fik i <
dxk
Действительно, если бы, например, в каком-нибудь месте
оказалось, что
dpOk
-τ— -s*0, например > 0,
dxk
то эту точку можно было бы заключить в некоторую окрестность, в
которой эта разность была бы всюду положительной. Тогда, выбрав
в качестве δφ0 некоторую неотрицательную функцию, исчезающую
вне этой окрестности, при условии,что δφ^ = δφ2 = δφ3 = 0, придем к
противоречию с соотношением (57).
Если же зафиксировать φ^ и варьировать мировые линии
элементов субстанции, то после перестановки операций
дифференцирования и варьирования и интегрирования по частям (так же, как это
было сделано в §18 при определении кратчайшей линии), получим:
δ \φ{ dx{ = |(δφ· dx{ + <pt· dbx{) = /(δφ· dx{ - Ъх{ </φ·) =
-/
—-— &Ci -dx{.
[dxk дх{) k '
δ*,· при этом—компоненты бесконечно малого смещения, которое
испытывают отдельные точки мировой линии. Поэтому
- δ J (de ]φ{ dx{) = \deds- Fikulbxk = \p0Fikut8xk · </ω.
Если точно так же проварьировать субстанциальное действие
массы (соответствующее вычисление в более общей ситуации, именно
для переменных gik уже было проведено в §18), то получатся
механические уравнения, которые добавляются к уравнениям поля:

248
Относительность пространства и времени
ui k k
Бросается в глаза, что в сформулированном принципе действия
наряду с субстанциальным действием массы отсутствует
соответствующее полевое действие, которое имеется в случае электричества. Этот
пробел будет заполнен в следующей главе, в которой появится
гравитационное поле, связанное с массой точно так же, как
электромагнитное поле — сэлектрическимзарядом.
В электромагнитном поле пондеромоторный вектор pi выводится
из тензора Sik, зависящего только от локальных значений величин
состояния по формулам
8Ski
Л~5Г
Левая часть механических уравнений
du{
также может быть непосредственно выведена из «кинетического»
тензора энергии-импульса:
Uik = Wiuk-
Действительно,
δΐή 3(μ0Μ*) .Ott,-
Первый член правой части обращается в нуль вследствие урав-
du{
нения непрерывности для материи, второй член равен Цо~Г" ВВИДУ
соотношения
k ди{ ди{ dxk du%
dxk ~ dxk ds ds'
Поэтому механические уравнения означают, что полный
тензор энергии-импульса
Tik = Uik + Sik,
представляющий собой сумму кинетического тензора U и
потенциального тензора 5, удовлетворяет законам сохранения:

§27 Импульс, энергия и масса
249
§27
Импульс, энергия и масса
До сих пор мы представляли себе, что тела состоят из некоторой
субстанции. В понятии субстанции существенны два
обстоятельства. Во-первых, имеет смысл говорить об одних и тех же
положениях субстанции в различные моменты времени, иначе говоря,
принципиально возможно узнать одни и те же положения субстанции
в процессе происходящего в мире движения субстанции. События в
мире представляются таким образом, что четырехмерный континуум
мировых точек расслаивается на трехмерный континуум мировых
линий, описываемых отдельными элементами субстанции. Во-
вторых, каждая часть субстанции, расположенной в трехмерном
пространстве, имеет некоторую количественную меру (количество
субстанции —это масса). Это представление в своей основе было
преодолено уже Галилеем, для которого масса была не количеством
субстанции, а динамическим коэффициентом пропорциональности,
связывающим силу удара, «импетус», импульс со скоростью
летящего тела. Если взять тела, которые слипаются после соударения, то
два тела имеют одинаковые массы, если ни одно из них не
захватывает другое, при условии, что они движутся навстречу друг другу с
равными и противоположно направленными скоростями. Чтобы
изучить характер зависимости импульса от скорости, проверим, с какой
скоростью должно двигаться одно тело с массой 1, чтобы после
соударения с другим телом, имеющим массу 2 единицы и скорость ν,
оба тела остановились. Опыт показывает, что скорость первого тела
должна быть равна 2υ. Таким образом, импульс оказывается
пропорциональным скорости, и мы приходим к формуле
I (импульс) = mv (произведение массы на скорость).
Понятие импульса представляется здесь более первичным, чем
понятие массы.
Точно так же,как невозможность создания вечного
двигателя,основанная на опыте, привела к принципу сохранения энергии,
невозможность приведения покоящейся системы тел в движение только за
счет внутренних сил, ведет к принципу сохранения импульса. Он
может быть сформулирован следующим образом: если каждому телу
приписать вектор импульса I, совпадающий по направлению с
вектором скорости ν, то при взаимодействии нескольких тел друг
с другом сумма их импульсов до взаимодействия и после него
одинакова. Если определить массу т как коэффициент
пропорциональности в формуле I = mv, то вышеупомянутые рассуждения
показывают, как на основе закона сохранения импульса можно

250
Относительность пространства и времени
измерить массы тел друг относительно друга приводя их в
соударение. Механика изучает такие тела, которые способны изменять свою
скорость, не меняя своего внутреннего состояния, фиксируемого
наблюдателем, движущимся вместе с телом. Для такого тела,
внутреннее состояние которого неизменно, массовый множитель т может
быть лишь функцией абсолютной величины скорости ν: τη = m(v). Но
очевидно, что т либо не зависит от ν, либо функция m(v) остается
неизменной при изменении внутреннего состояния тела, например
вследствие нагревания или протекания внутри тела химических
реакций. Это может быть установлено с помощью принципа
относительности. Снова рассмотрим описанный выше процесс
объединения двух полностью одинаковых тел kv &2 с одинаковыми и
противоположно направленными скоростями ±v в одно обязательно
покоящееся тело k . Но рассмотрим теперь этот процесс с точки зрения
системы отсчета К, движущейся относительно тела k со скоростью Ü.
Пусть ν' и ν" будут относительными скоростями тел fet, k2
относительно К до их объединения. Закон сохранения импульса в К требует
тогда, чтобы вектор
т(1)')У' + m(i/')v"
был параллелен вектору и.
Будем считать истинной сначала галилееву кинематику. Тогда
V' + V" = 2и будет параллелен и и вследствие этого должно
выполняться равенство m{ü) = m(v"), т.е. m(v) не зависит от ν.
Постоянную m(v) = т, зависящую только от внутреннего состояния тела,
будем называть массой этого тела. Исследуем теперь произвольный
процесс столкновения тел. Пусть во взаимодействие вступают
несколько тел с различными массами и скоростями, т и ν, и после
взаимодействия имеются другие тела с другими массами т и другими
скоростями V. Тогда закон сохранения импульса утверждает, что
Yjnv = Yjn ν. (58)
Но относительно системы К закон сохранения импульса
записывается следующим образом
]Tm(u + ν) = ]Tm(u + ν).
В этом соотношении, наряду с законом сохранения импульса
(58), содержится также закон сохранения массы:
*) Вместо этого можно также представить, что k\ и &2 одновременно вторгаются
в некоторую покоящуюся сопротивляющуюся среду, в которой они тормозятся.

§27 Импульс, энергия и масса
251
Σ> = Σ™> (59)
или утверждение о том, что полная масса системы тел при
взаимодействиях внутри этой системы остается неизменной. Но принцип
сохранения энергии здесь не удается использовать. Действительно,
в своей «чисто механической» форме
Στην2 _ πΤήν2 (60)
2 ~L 2
для рассматриваемых нами процессов, которые не исключают
тепловые и химические процессы, он не выполняется.
Возьмем теперь за основу эйнштейновскую кинематику. Тогда сум-
ν' ν" —
ма (при с = 1) ■ » + ι 2> будет параллельна вектору U, и
вследствие этого теперь выполняется соотношение
где т означает некоторый коэффициент пропорциональности,
определяемый только внутренним состояние тела и не зависящий от
скорости ν. В литературе отсутствует единообразие в отношении того,
что следует называть массой тела — т (ν) или этот постоянный
множитель т. Мы сделаем выбор в пользу последнего. В случаях
как галилеевой, так и эйнштейновской кинематики оказывается, что
m(v) представляет собой произведение коэффициента w, не
зависящего от скорости, и некоторой универсальной функции скорости
( , . , 1
<№)
φ(ν) = 1, ι я соответственно . Это означает, что галилеев-
Vi - ν2 I
\ У
ский критерий равенства масс τηχ(ν) = m2(a) не зависит от скорости
рассматриваемых тел. Если состояние движения некоторого тела
характеризовать не скоростью V, а вектором е, направленным вдоль
его мировой линии и нормированным посредством соотношения
(ее) = -1, то закон сохранения импульса для любого процесса
столкновения утверждает, что пространственные компоненты мирового
вектора
α = Σ^β~Σ^®
исчезают, т.е. что d параллелен временной оси. Так как закон
сохранения импульса должен быть справедлив в любой допустимой
системе отсчета, то отсюда следует, если мы произведем
пространственно-временные расщепления относительно двух независимых друг от

252
Относительность пространства и времени
друга времениподобных направлений, что d вообще равен нулю. К
закону сохранения импульса
mv
= Σ·
την
(580
добавляется, в качестве временной компоненты закон сохранения
энергии
т
т
VT17 ^λ/ΓΊ?·
(61)
т
При этом существенно, что энергия здесь выражается величиной
Г 2 N
Vi-»'
или величиной
тс
vn?
если пространственно-временные
единицы не нормировать условием с=1. Для рассмотренного
выше частного случая, когда два тела с массой т и противоположно
направленными скоростями ν объединяются в одно покоящееся тело
с массой т, наш закон сохранения энергии дает
2т
т =
VT^/
7'
Таким образом, после объединения масса становится больше
суммы масс сталкивающихся тел на величину
( ι ^
Am = т - 2т = 2т\
<п?
-1
Если представить себе, что обе сталкивающиеся массы возникли
посредством разрезания одного тела k с массой 2т, то мы будем иметь
своеобразный круговой процесс, переводящий k в k. Но внутреннее
состояние k при этом меняется: тело нагревается. Поэтому не
удивительно, что его масса становится другой! Так как масса тела
определятся только его внутренним состоянием, независимо от его
предыстории, то это нагревание, как бы оно ни осуществилось, всегда
должно быть связано с эквивалентным изменением массы Am.
Следовательно, Am является энергетической мерой для любого
теплового изменения состояния. Это рассмотрение приводит нас к выводу,
что в уравнении (61) содержится не только феноменологический
закон сохранения энергии для любых столкновений тел друг с другом,
но также еще следующее дополнительное утверждение: инертная
масса тела изменяется, если к нему подводится или от него
отбирается энергия, а именно прирост массы прямо пропорционален
энергии, подводимой к покоящемуся телу или, (при использовании

§27 Импульс, энергия и масса
253
системы единиц CGS, прирост массы равен подводимой энергии,
деленной на с ). Эту новую и поразительную связь двух
фундаментальных физических понятий мы вместе с Эйнштейном будем
называть законом инертности энергии.
Разъясним содержание этого закона еще более детально.
Феноменологический закон сохранения энергии связан со следующим
обстоятельством. Чтобы в некоторой системе тел k произвести какое-
нибудь изменение V, k в общем случае нужно заставить эту систему
взаимодействовать с другой системой тел &0, в которой после
взаимодействия также произойдет определенное изменение VQ. Тогда мы
скажем, что изменение VQ порождает изменение V. Но процесс всегда
можно провести так, чтобы VQ было кратно «изменению единиц»,
зафиксированному определенным образом. Если, например, в
качестве единичного изменения мы возьмем нагревание «1г. воды» (при
этом определенное количество воды рассматривается в определенном
покоящемся состоянии) на 1°С, то V0 должно состоять в том, что
«и г. воды» испытывают это или противоположное изменение
состояния. +я или - η является тогда энергетической характеристикой
изменения V. Принцип сохранения энергии утверждает: каким бы
промежуточным путем V ни порождало VQt равное ±я-кратному
единичному изменению, всегда возникает одно и то же VQ. Если
единицу массы нормировать так, чтобы изменение массы «1г. воды»
при нагревании на 1°С было равна 1, то из уравнения (61),
примененного к системе, составленной из тел k и kQy следует, что разность
Zm ,
. и соответствующая лишь системе я, , до и после
Vi - ν
изменения V равна разности масс водяного калориметра до и после
изменения Vq, т.е. = ± п. Оказывается, таким образом, что принцип
сохранения энергии в своей феноменологической формулировке
действительно содержится в нашем уравнении (61), а именно
энергетическая характеристика некоторого изменения равна приросту
величины состояния Σ ~7===7, К0Т0РУЮ поэтому мы будем
называть энергией состояния. Из принципа сохранения энергии в связи
со сказанным можно извлечь следующие два вывода. Во-первых,
энергия, по своей сути, характеризует не изменение состояния, а
само состояние, причем таким образом, что значение энергии,
соответствующее этому изменению, равно разности энергий
начального и конечного состояний. Уже раньше мы были вынуждены ввести

254
Относительность пространства и времени
понятие энергии электромагнитного поля и имели дело не только с
выражением для прироста энергии, соответствующим изменению
поля, но и с формулами для абсолютных значений энергии. Этот
подход распространяется здесь и на «весомые» тела. Во-вторых,
энергия тела с массой т движущегося со скоростью и, равна
Σ / ν Эта формула дает универсальное соотношение между
Vi - ν
массой и энергией. Из нее, в частности, можно получить также
выражение для кинетической энергии, т.е. значение энергии
перехода тела из состояния покоя в состояние движения со скоростью ν без
изменения его внутреннего состояния: кинетическая энергия =
( 1 ^
т\
- 1
4VTV ,
Важным видом взаимодействия тел является так называемый
упругий удар, который характеризуется тем, что все тела после
соударения сохраняют свое внутреннее состояние. К уравнениям
сохранения энергии и импульса (61) и (580 в случае упругого удара
добавляются, таким образом, уравнения
т^=щ9 w2 = m^, .... (62)
В галилей-ньютоновской механике соотношения теории удара
менее наглядны. Одно из уравнений (62) там, в силу упомянутого
закона сохранения массы (59), оказывается излишним. Вместо него
добавляется закон сохранения кинетической энергии в форме (60).
Как возникает этот закон, лучше всего понять, если рассмотреть
предельный переход в уравнениях эйнштейновской механики при
с = оо. При упругом ударе двух тел массы тел и их скорости до удара
однозначно определяют скорости тел после удара, если известен
«диаметр удара», т.е. если в пространстве задано направление х,
такое, что компоненты импульсов
каждого из двух тел, перпендикулярные к
этому направлению, остаются
неизменными, другими словами, если обмен
импульсом происходит только вдоль
направления х. Если абстрагироваться от
пространственного направления,
нормального к х, то мы будем иметь дело
только с двумерным миром. Рис.18
показывает, как найти по двум векторам
энергии-импульса АС =1 и Ca = 2_ до
удара векторы энергии-импульса 1, 2

§27 Импульс, энергия и масса
255
после удара. При этом вектор 1 (в смысле геометрии Минковского)
имеет ту же самую длину, что и вектор 1 (т[ = /wt), а вектор 2
одинаковую длину с вектором 2 (т^ = /w2), или треугольник ABC
конгруэнтен треугольнику ABC .
Данное в этом параграфе обоснование механики, независимое от
электродинамики, связано, в соответствии с историей возникновения
механики, с принципом сохранения импульса. Аналогичным образом
можно, как это сделал весьма элегантным способом Ланжевен в
нескольких докладах, состоявшихся в Цюрихе весной 1922 г.,
обосновать механику лишь на основе принципов относительности и
сохранения энергии. Ланжевеновский метод, по-видимому, более
предпочтителен из-за большего значения принципа сохранения
энергии для физики в целом и ввиду его более широкой
экспериментальной базы. Впрочем, и подход, использованный здесь, развит под
непосредственным влиянием докладов Ланжевена.
В феноменологической электродинамике плотность силы р- не
удовлетворяет уравнению (р^и1) = 0, так как в ней электричество не
связано неразрывно с материей. Это приводит к тому, что при
наличии некоторого покоящегося проводника с массой mQt по
которому течет стационарный ток, совершается работа, хотя
результирующая сила, действующая на него, равна нулю. Работа здесь
появляется как джоулево тепло. Если возникающее количество теплоты в
единицу времени обозначить Aq, то в системе отсчета, относительно
которой проводник движется со скоростью V, мы будем иметь
мощность Λ = Aq и силу Ρ = Λ0ν.
Несмотря на эту силу, действующую на проводник, он сохраняет
свою скорость. Уравнение движения
m0v ^
= Р
поэтому несовместимо с постоянством массы т0, более того, оно ведет
к соотношению
dm,
dt0
0 л
где f0 — время в покоящейся системе отсчета. Этот пример также
поучителен в там отношении, что он демонстрирует увеличение
инертной массы тела, вызванное его нагреванием.
До сих пор мы изучали столкновения между телами в
предположении, что при этом не возникает излучения. Но максвелловская

256
Относительность пространства и времени
теория показала, что поле излучения также имеет энергию и импульс
и при учете этого обстоятельства законы сохранения остаются в силе.
Так, тело,которое излучает в некотором направлении свет,
испытывает отдачу; оно получает импульс, равный по величине и
противоположный по направлению импульсу испущенного луча света. Точно
так же при отражении света от зеркала возникает разница между
импульсами падающей и отраженной волн, равная механическому
импульсу зеркала, т.е. световое давление. Определим, прежде всего,
энергию и импульс некоторого состояния излучения, ограниченного
в пространстве и распространяющегося со скоростью света. Для этого
нам понадобятся некоторые дополнительные математические средства.
Пусть в четырехмерном аффинном пространстве задана вектор-
ная плотность s , дивергенция которой —- тождественно исчезает, в
дхг
то время как сама она за пределами некоторого определенного
четырехмерного канала равна нулю. Пусть координаты xi будут
таковы, что любая трехмерная «плоскость» Xq = const пересекает
канал некоторой конечной областью. Интеграл
е = js dx^dx2dx3t
взятый по этому трехмерному сечению, является лишь функцией
Xq = t. Обращение упомянутой дивергенции в нуль после проведения
интегрирования приводит к соотношению
Таким образом, е в действительности оказывается не зависящей
от t постоянной. По теореме Гаусса е можно вычислить как поток
векторной плотности S1 через какую-нибудь трехмерную
поверхность, пересекающую упомянутый канал (теорема Гаусса может быть
применена к части канала, ограниченной плоскостью х0 = const и
этой поверхностью). Соответственно этому, е оказывается
инвариантом, не зависящим от выбора координатной системы х-.
Это рассуждение пригодится нам позднее для того, чтобы ввести
понятие заряда замкнутой системы. Аналогичное построение, такое
же как и для векторной плотности s\ можно провести и для
произвольной тензорной плотности Si , дивергенция которой

§27 Импульс, энергия и масса
257
в то время как сама она исчезает вне некоторого канала. Возьмем
теперь произвольный вектор с постоянными компонентами ξ1 и
образуем векторную плотность
%к = Sf ξ1'.
Для нее справедливы результаты, полученные выше для
векторной плотности sl. Образуем интеграл, взятый по произвольной
пересекающей канал плоскости xQ = const:
J{ = Js? dxx dx2 dx3.
Тогда величины также будут независимы от х0
кроме того, величина J£l будет скаляром, не зависящим от системы
координат, а Jit таким образом, ковариантным вектором, не
зависящим от точки пространства.
Важной характеристикой электромагнитного поля в пустом
пространстве является симметричный тензор энергии S1 . При
использовании некоторой нормальной системы координат плотность
энергии S положительна всюду, где вообще существует поле. Наши
рассуждения применимы к соответствующей тензорной плотности
St- в произвольной нормальной системе координат, если поле не
простирается в бесконечность. Мы приходим к выводу, что оно
обладает постоянной энергией /0 и постоянным импульсом (/t, /2> ^з^'
которые образуют ковариантный не зависящий от системы координат
мировой вектор. Правда, этот вектор не может быть пространственно-
подобным. В противном случае существовала бы такая нормальная
система координат, в которой /0 исчезала бы. Но, ввиду
положительности плотности энергии, это могло бы произойти лишь при
полном исчезновении поля. Поэтому всегда должно выполняться
неравенство
(//)<0.
Предельный случай (равенство нулю) соответствует
ограниченному участку единственной однородной плоской волны. В общем же
случае строгого неравенства мир можно так расщепить на
пространство и время, что импульс будет равен нулю.

258
Относительность пространства и времени
Пусть теперь некоторое покоящееся тело k излучает световую
волну, импульс которой равен нулю, а энергия равна EQt например,
сферическую волну или два луча с равными интенсивностями,
направленных в противоположные стороны. Тогда в соответствии с
полученным выше результатом, согласно которому энергия Ε и
импульс I световой волны образуют независимый от системы отсчета
мировой вектор, по отношению к системе отсчета, в которой тело k
обладает скоростью V, будут справедливы следующие формулы
Ε = , м, I=
Vi - ν2' Vi -ν2'
Но энергия и импульс тела k в этой системе отсчета равны
т την
ι η , ι * , соответственно.
Vi - ν2 Vi - ν2
Так как скорость тела при излучении не изменяется, из этих
формул следует, что масса т должна испытывать изменение Am,
равное излученной энергии. Именно на этом примере Эйнштейн
первоначально открыл закон инертности энергии .
Интересно также рассмотреть предельный случай единственной
плоской волны, когда импульс света ни в одной из допустимых
систем отсчета не исчезает. Если Е — снова энергия излученного
света, то его импульс в направлении распространения волны также
равен Е. Пусть т — масса покоящегося тела перед излучением, т' —
его масса и ν — его скорость после излучения. Тогда мы будем иметь
т! г m'v г
^Г? = т~Е' νΠΓ7 = £·
Отдача придает телу, согласно этим формулам, скорость
сЕ
ν =
с т - Ε
Из симметрии тензора энергии следуют дополнительные законы
сохранения. Прежде всего, как известно, остаются постоянными три
компоненты момента импульса L,
L\ =J(X2S0 ~ *3S0> dx\ dx2 dx3> LV L3'
Вследствие равноправия временной координаты xQ с
пространственными координатами, к ним добавляются три величины
М\ = Ι(·*0δ0 " x\Sb dx\ dx2 d4> M2> M3>

§27 Импульс, энергия и масса
259
являющиеся компонентами некоторого пространственного вектора
М. Точку в пространстве с координатами xi = ait которые
определяются соотношением
Js^· dxx dx2 dx3 = a{ J Sq dxx dx2 dx3, (i = 1, 2, 3)
будем называть центром энергии или «центром тяжести» поля
00
излучения. Ввиду положительности S , он находится всегда внутри
пространства, заполненного излучением или, точнее, внутри любой
выпуклой замкнутой области поверхности, содержащей в себе
пространство, запо л ненное_из лучением. Если V—скорость «центра тя-
dM Л
жести», то уравнение —τ- = 0 тождественно с уравнением
ϊ = £ν, (63)
где Е—энергия излучения, а I —его импульс. Здесь, таким образом,
импульс также параллелен скорости, если под скоростью излучения
понимать скорость его центра энергии. Ε зависит от системы отсчета,
но если |ν| = ν < 1 и не равен 1, то величина £0, вводимая посредством
уравнения Ε = , », является скаляром, не зависящим от системы
координат. Этот скаляр можно рассматривать, очевидно, как массу
поля излучения. Тогда для энергии и импульса излучения
справедливы в точности те же самые формулы, что и для весомых тел
[47].
Также и при описании взаимодействий между весомыми
телами, если мы хотим следить за отдельными событиями, нельзя
ограничиться использованием полных энергии и импульса;
напротив, мы должны иметь такую характеристику энергии и импульса,
которая давала бы значения этих величин в каждый момент
времени и в каждой точке пространства. Так мы приходим к
понятиям плотности энергии, плотности импульса, потока
энергии и потока импульса. Это становится особенно ясным на
примере динамических и тепловых процессов в газах и упругих телах
[48]. Упомянутые величины образуют тензорную плотность Ί- ,
которая удовлетворяет уравнениям, имеющим вид обращающейся в
нуль дивергенции:
^Lo (64)
dxk

260
Относительность пространства и времени
Предположим далее, что соответствующий тензор Т1
симметричен и его компонента 'П в каждой допустимой системе отсчета
положительна, (т.е. Т^1ек > 0 для произвольного времениподобного
вектора е1). Тогда отсюда следуют все до сих пор обсуждавшиеся
законы: сохранения энергии и импульса; тот факт, что энергия и
импульс образуют не зависящий от системы отсчета мировой вектор,
который никогда не является пространственноподобным; закон
сохранения момента импульса; формула (63), в которой ν означает
скорость центра энергии; тот факт, что эта точка лежит внутри
минимальной выпуклой оболочки, кото-
t = const Рая заключает в себе физическую систе-
му, и неравенство |v| < 1. При выводе
законов сохранения, в частности, можно
было бы попытаться сделать так, чтобы
системы, взаимодействующие друг с
другом рассматривались как единая систе-
—nst- ма. На рис.19 изображен случай двух
систем. В незаштрихованной мировой
области тензор энергии, исчезает. Два
сечения t = consto3Ha4aiOT моменты
времени до и после взаимодействия. Как до,
так и после взаимодействия вектор
энергии-импульса полной системы равен сумме соответствующих
векторов энергии-импульса каждой из двух систем в отдельности. Но
для массы гп, которая связана с энергией Ε и импульсом I
квадратичным соотношением
m2 = £2-(IJ),
этот простой закон аддитивности не выполняется! Механика в более
узком смысле относится только к таким телам, для которых в каждый
момент можно ввести допустимую систему отсчета, в которой их
состояние не меняется. Только в этом случае возможно
фундаментальное в механике различение между внутренним состоянием и
состоянием движения. Мы видим, однако, что основные законы
механики имеют более общее значение. Под скоростью тела при этом,
вообще говоря, следует понимать скорость его центра энергии. Только
для малых тел это уточнение смысла ν является излишним. Для малого
тела, помимо формулы (63), выполняется еще уравнение
L=[FJ],

§27 Импульс, энергия и масса
261
которое дает выражение момента импульса L через векторное
произведение «плеча» г и импульса J.
В результате, мы приходим к новому, чисто динамическому
пониманию материи, которое, собственно, уже давно подсказывалось
галилеевскими принципами механики . Ранее нам пришлось
освободиться от веры в то, что мы можем распознать одну и ту же точку
пространства в различные моменты времени, так же теперь нет
больше никакого смысла говорить об «одном и том же»
местонахождении материи в разные моменты времени. Электрон, который
прежде представляли обычно как некий элемент субстанции в
окружающем его и лишенным субстанции электромагнитном поле, мы
понимаем теперь как маленький шарик, который не имеет резко
очерченной границы с полем и в котором полевые величины и
плотность электричества, как предполагается, достигают огромных
значений. Такой «сгусток энергии» (или «узел энергии» —
«Energieknoten» )распространяетсячерезпустоепространствонеиначе, как
волна на поверхности моря; при таком понимании не существует
«одной и той же субстанции», из которой постоянно состоит
электрон. Не поле для своего существования нуждается в материи как
носителе, а, наоборот, материя является порождением поля.
Атомные ядра и электроны—это не последние неизменные элементы, на
которые только извне действуют силы природы, смещая их в
пространстве. Напротив, они сами непрерывно распространяются и в своих
мельчайших частях подвергаются тонким, плавным изменениям.
Задачей именно теории поля является объяснение того, почему поле
имеет такую зернистую структуру и почему эти сгустки энергии в
перетоках энергии и импульса из одного места в другое сохраняются
если и не вечно, то, все-таки, на протяжении чрезвычайно долгого
времени. Именно в этом состоит проблема материи [49]. Законы
поля, очевидно, таковы, что они допускают только одно состояние
равновесия сгустков или несколько таких состояний, не связанных
друг с другом посредством непрерывного перехода. Единственное
такое состояние, известное нам, представлено электроном. Поэтому
все электроны одинаковы, имеют неизменные заряд и массу. Поэтому
энергию, или инертную массу, некоторого тела мы представляем себе
составленной из неделимых порций энергии, которой обладают
последние элементарные составляющие материи, и непрерывно
меняющейся энергии связи между ними. Для решения проблемы мате-
*)Уже Кант учил в «Метафизических началах естествознания», что материя
заполняет пространство не только вследствие лишь своего существования, но и в
результате действия сил отталкивания во всех ее частях.

262
Относительность пространства и времени
рии, следует попытаться либо модифицировать максвелловскую
теорию поля, либо расширить ее добавлением новых величин
состояния. Отрицательный заряд, сосредоточенный в электроне и
стремящийся разлететься из-за кулоновского отталкивания, взорвался бы,
если бы он не стягивался какими-то дополнительными силами.
Согласно «субстанциальному пониманию» это стягивание
обусловлено тем, что электрон рассматривается как жесткий субстанциальный
шарик с распределенным на его поверхности отрицательным
зарядом. Согласно же новому пониманию, упомянутое стягивание может
осуществляться лишь динамически, посредством
противодействующих сил.
Во всяком случае мы можем предположить, что с полем связана
некоторая тензорная плотность Tt- , именно тензорная плотность
энергии, удовлетворяющая уравнениям дивергенции (64).Эти
уравнения образуют в полевой теории материи основу для получения
интегральных законов сохранения, которые, в свою очередь, если
Tt выражаются через исходные величины состояния поля, являются
соотношениями между полевыми величинами. Основные
механические законы оказываются, таким образом, ввиду полевой природы
материи, следствиями законов поля. Для любого ограниченного
объема V поля справедливы уравнения
где
J{ = Jt? dxx dx2 dx3 (i = 0, 1,2,3)
— энергия и импульс области Vi и К^ — 4-сила, действующая на эту
область. По теореме Гаусса Ki равна потоку векторной плотности
(Тг, Tf, Τ?) через поверхность Ω, ограничивающую область V. Сила,
таким образом, не зависит от состояния поля внутри Ω. В этом
более общем случае, когда Ω расположена не в свободном от поля
пространстве, /t, вообще говоря, не являются компонентами
мирового вектора, не зависящего от системы отсчета.
Величины Tf· находятся в непосредственной связи с тем, о ч'ем
нам, сообщают наши органы чувств. Если я возьму кусок льда, то в
месте соприкосновения между этим телом и моими органами осязания
поток энергии я почувствую как тепло, а поток импульса как
давление. Оптический поток энергии, падающий на поверхность
сетчатки моего глаза, определяет оптические ощущения, которые я

§27 Импульс, энергия и масса
263
получаю. Но за этой непосредственно открывающейся нашим
органам, чувств «материей» скрывается поле. Максвелловская теория
является только многообещающим началом в раскрытии
закономерностей поля и законов, которым определяются энергетические
соотношения.
Еще накануне открытия теории относительности инерцию
электрона определили, вычисляя энергию связанного с ним
электромагнитного поля . Энергия электростатического поля, описываемого
е
потенциалом -—, в пространстве, окружающем шарик радиуса а
Апг
равна
±]dsdrmA
8π J r4 8тш
а
Если электрон считать шариком с радиусом а и зарядом е и
принимать во внимание только энергию внешнего поля, то к
наблюдаемой инертной массе электрона можно прийти при условии, что
а определяется по формуле
т = -^. (65)
8nacz
Это дает для радиуса электрона значение порядка 10 см.
В тех феноменологических теориях, в которых не принимается
во внимание атомистическая структура материи, мы считаем
энергию, содержащуюся в электронах и атомах, непрерывно
распределенной в объеме рассматриваемого тела. Мы описываем ее в тензоре
энергии-импульса с помощью введенного в §26 «кинетического»
члена (Дди'и , содержащего плотность массы покоя μ^. Но это
утверждение справедливо лишь приближенно, когда объемом электронов
и атомов можно пренебречь. В системе отсчета, в которой материя
покоится, этот тензор состоит из единственной компоненты
ι = μ0, в то время как все остальные компоненты исчезают. Так, в
гидродинамике, в случае адиабатических процессов мы можем
положить
"Mo
0
0
0
0
Ρ
0
0
0
0
Ρ
0
0
о
0
Ρ

264 Относительность пространства и времени
здесь р—давление, одинаковое во всех направлениях; поток энергии
при адиабатических процессах равен нулю. Чтобы переписать
компоненты этого тензора в произвольной системе отсчета, положим еще
μ0 = μ* - р. Тогда получатся инвариантные соотношения
Tj-μν + ί*? <66)
или
Tik = t\uk + Ρ · 9ik·
Плотность массы покоя равна
Tikuluk = μ* - ρ = μ0,
и именно она, а не μ* должна быть постоянной для несжимаемых
жидкостей. Если на жидкость не действует никаких сил, то
уравнения гидродинамики дают
дТк
dxk
Аналогичным образом, точно так же, как это было сделано в
случае гидродинамики, можно и теории упругости придать форму,
соответствующую принципу относительности . Наконец, остается
еще согласовать с эйнштейновским принципом относительности
закон тяготения, который в своей ньютоновской форме связан с
галилей-ньютоновским принципом относительности. Но гравитация
скрывает в себе особую загадку, о решении которой мы будем
говорить в последней главе.
§28
Теория Ми
/fjflfa попытался разработать полевую теорию материи, не выходя
Т[д!|за рамки известных электромагнитных величин состояния
[50]. Рассмотрим здесь вкратце основы его теории как пример
физической теории, полностью согласующейся с новыми идеями о
материи, пример, который еще пригодится нам впоследствии.
Одновременно это позволит нам более точно сформулировать проблему
материи.
Будем считать величинами состояния: 1) четырехмерную
векторную плотность тока s, «электричество», и 2) линейный тензор 2-го
ранга F, «поле». Их свойства характеризуются следующими
уравнениями:

§28 Теория Ми
265
J> ^ = о
dx{ '
2) ^ä + Eä + ^ii = Q
dxi dxk dxl
Уравнения 2) выполняются, если F выводится из некоторого
вектора <рг· по формулам
3) ρ ^ϊ^^ί
ik дх{ dxk'
И, обратно, из 2) следует, что должен существовать вектор φ
такой, что оказываются справедливыми соотношения 3). Равным
образом 1) выполняется, если $1 выражается через некоторую
линейную тензорную плотность Η следующим образом:
4) s«" = ^-.
дхк
Обратно, из 1) следует, что тензорная плотность Η1 ,
удовлетворяющая этим соотношениям, должна обязательно существовать.
Уравнения 4) формально совпадает со второй системой максвеллов-
ских уравнений. Лоренц предполагал, что вообще, не только в эфире,
но также и внутри электронов, Η = F . Введем теперь, согласно
Ми, более общее предположение, что Η имеет не только формально-
вычислительное, но и реальное, физическое значение и ее
компоненты поэтому являются универсальными функциями исходных величин
состояния s и F. Но тогда логично сделать такое же предположение
и относительно φ. Составим таблицу величин,
Φ | F
которая в первой строке содержит интенсивностные величины,
связанные друг с другом дифференциальными уравнениями 3). Во-
второй строке этой таблицы записаны экстенсивностные величины,
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям 4). Расщепление
мира на пространство и время и использование соотношений §21
приводит нас к хорошо известным уравнениям

266
Относительность пространства и времени
О (div В = 0),
- Ε (rot Τ = В),
4> ^-rotH = -s divD = p.
dt
Если нам известны универсальные функции, которые дают
выражение φ и Η через $ и i7, то, исключая уравнения в скобках и
вычисляя каждую компоненту в отдельности, мы будем иметь 10
«главных уравнений», посредством которых производные 10
величин состояния по времени выражаются через них самих и их
производные по пространству. Иначе говоря, мы имеем такую форму
физического закона, которая требуется принципом причинности. Но
принцип относительности, который здесь вступает в определенный
конфликт с принципом причинности, требует, чтобы главным
уравнениям сопутствовали «вспомогательные уравнения», не содержащие
членов с производными по времени. Разрешение этого противоречия
заключается в том, что вспомогательные уравнения являются
лишними. Из главных уравнений 2) и 3) следует
|<В - rotf) = 0,
а из уравнений 1) и 4)
Сравнение основных уравнений теории Ми с лоренцевскими
уравнениями электронной теории оказывается весьма поучительным.
К числу лоренцевских уравнений относятся уравнения 1), 2) и 4), а
также закон, который дает выражение Η через исходные величины
состояния, описывается простыми соотношениями D = Ε, Η = В. В
теории же Ми потенциалы φ и f определяются решением уравнения
3), и закон, устанавливающий зависимость этих потенциалов от
величин состояния поля и электричества, отсутствует. Его место
занимают выражения для плотности пондеромоторной силы и
механический закон движения электрона под действием этой силы. Но
так как, согласно нашей новой концепции, механический закон
движения должен быть* следствием полевых уравнений, необходимо
дополнение, которое Ми нашел в гипотезе, что φ и f имеют реальное
физическое значение в указанном выше смысле. Уравнение 3) теории
Ми в полностью аналогичной форме мы можем интерпретировать как
2) 5В 4.Ϊ
Δ) —- + rot Ε =
dt
3) £?
dt
+ grad φ =

§28 Теория Ми
267
основной закон механики. Фигурирующей там пондеромоторной
силе мы сопоставляем здесь «электрическую силур Е. В статическом
случае уравнение 3) утверждает, что
E + grad(p = 0 (67)
т.е., что электрическая сила Ε уравновешивается некоторым
«электрическим давлением* —φ в эфире. Но в общем случае возникает
некоторая суммарная сила, которая, в согласии с уравнением 3)
соответствует величине f как своеобразному «электрическому
импульсу*. Мы с удивлением замечаем, как основное уравнение
электростатики (67), находящееся у истоков учения об электричестве, в
теории Ми вдруг приобретает значительно более наглядный смысл,
благодаря тому что потенциал рассматривается как электрическое
давление; это и есть искомое давление сил сцепления, удерживающих
электрон от распада.
Изложенное до сих пор дает лишь голую схему, которая должна
быть заполнена путем установления еще неизвестных универсальных
функций, связывающих экстенсивнностные и интенсивностные
величины. Эта связь, до некоторой степени чисто умозрительно, может
быть определена на основе требования, чтобы тензорная плотность
энергии удовлетворяла закону сохранения энергии (64). Это, как
известно, необходимое условие того, чтобы теорию можно было
согласовать с опытом. Закон сохранения энергии должен иметь
форму
^♦Ari-0.
dt
где W— плотность энергии, а S —поток энергии. Умножая 2) на Н,
а 4) —на Ε и складывая результаты, получаем, как это обычно
делается в теории Максвелла:
-SB -ÖD ,. r—. -- (68)
H¥ + E¥ + dlv[EH] = -(E5)·
В этом соотношении в правой части стоит работа, которая
затрачивается на увеличение кинетической энергии электронов, или,
согласно нашему теперешнему пониманию, на увеличение
потенциальной энергии поля электронов. Она, таким образом, складывается
из слагаемого, представляющего производную по времени, и
слагаемого, являющегося дивергенцией. Если теперь с уравнениями 1) и
3) мы поступим так же,как с уравнениями 2) и 4), т.е. умножим 1)
на φ, а 3) на s и сложим, то получим

268
Относительность пространства и времени
cpf + *f + div(<pS) = -(Es). (69)
Вычитая (68) из (69), приходим к закону сохранения энергии.
В результате, для потока энергий находим следующее выражение
S = IEHb<pS,
а соотношение
-φδρ - ίδΤ + Ηδ5 + E5D = W
оказывается полным дифференциалом плотности энергии. Ясно,
почему к члену [Ε Η], характерному для эфира, ну^сно добавить еще
член φί, пропорциональный S. Это объясняется тем, что вместе с
движущимся электроном, порождающим конвекционный ток,
переносится его энергия. В эфире преобладаетjiacTb потока энергии S,
выражающаяся векторным произведением [Ε Η], а в электроне имеет
преимущество вторая компонента <ps. В формуле для полного
дифференциала плотности энергии как_независимо варьируемые
выступают величины состояния ρ, Ϊ, В, D. Естественно вместо величин_р
и D ввести в качестве независимых переменных соответственно φ и Е,
чем достигается возможность рассмотрения всех интенсивностных
величин как независимых переменных. Построим теперь выражение
L = W - Ё D + ρφ. (70)
Тогда будет выполняться соотношения
5L = (ΗδΒ - ΒδΕ) + (ρδφ - ϊδΐ).
Если L известна как функция интенсивностных величин, то с
помощью этого уравнения экстенсивностные величины выражаются
как функции интенсивностных величин. Вместо десяти
неизвестных универсальных функций мы имеем теперь только одну такую
функцию, L. Это достигнуто благодаря принципу сохранения
энергии.
Вернувшись к четырехмерной записи, получим для 5L:
ÖL^H^-sV (70
Отсюда следует, что 5L, как и L, является инвариантной
скалярной плотностью. Простейшие инварианты, которые можно
образовать посредством возведения в квадрат компонент вектора φ^ и
линейного тензора 2-го ранга Fik, даются выражениями
для вектора φ1: φ^φ1,

§28 Теория Ми
269
для тензора Fik: 2L° = ^FikFtky
для линейного тензора 4-го ранга с компонентами V ± FikFim
(суммирование по 24 перестановкам индексов iklm\ для четных
перестановок берется верхний знак, для нечетных —нижний); и,
наконец,
для вектора F^cp —аналогичная величина.
Как в трехмерной геометрии важнейшая теорема о
конгруэнтности устанавливает, что пара векторов а, Б в отношении конгруэнции
полностью характеризуется инвариантами а , а Б, Б , так и в
четырехмерной геометрии можно было бы легко показать, что
указанными выше инвариантами полностью определяются в смысле
конгруэнции все конструкции, образованные вектором φ и линейным
тензором 2-го ранга F. Каждый инвариант, в частности гамильтонова
функция L (L — скаляр, соответствующий скалярной плотности L,
L = LV9), должен, следовательно, алгебраически выражаться через
эти четыре величины. К определению этого выражения и сводится
проблема материи в теории Ми. Максвелловская теория эфира,
которая, конечно, исключает возможность существования
электронов, содержится в_теории Ми как частный случай при L = L . Если
W и компоненты S переписать в четырехмерной форме, то
окажется, что они соответствуют отрицательной или нулевой строке в
выражении
Tf = FfrH*r-9fs*-L6f. (72)
Величины Tj- , таким образом, являются компонентами
плотности энергии-импульса, которая, согласно нашим вычислениям,
удовлетворяет закону сохранения (64) для г = 0 и, соответственно этому,
также для г = 1, 2, 3. Доказательство того, что контравариантные
компоненты соответствующего тензора удовлетворяют условию
симметрии γ1* = Г1 , будет дано в следующей главе.
Полевые законы можно свести к одному очень простому
вариационному принципу, а именно принципу Гамильтона. Рассмотрим в
качестве независимых величин состояния снова лишь потенциал с
компонентами φ^ и определим поле соотношением
ik дх{ dxk

270
Относительность пространства и времени
В эти законы входит инвариантная гамильтонова функция L,
которая зависит от потенциала и поля. Определим плотность тока
S1 и линейную тензорную плотность Н1 с помощью соотношения
(71).
Инвариантный интеграл, взятый по некоторой мировой области,
j L dx {dx = dx0 dxx dx2 dx$
называется величиной действия, содержащейся в рассматриваемой
области. Принцип Гамильтона утверждает, что изменение полной
величины действия при любой бесконечно малой вариации состояния
поля, которая исчезает за пределами некоторой конечной области,
равно нулю:
δ \l*dx = J8Ldx=0. (73)
Интеграл берется здесь по всему миру, или, что то же самое, по
некоторой конечной области, вне которой вариация состояния
исчезает. Эта вариация выражается через бесконечно малые приращения
компонент потенциала δφζ· и связанные с ним бесконечно малые
изменения поля
'* Ъх{ dxk
Использовав здесь выражение (71) для 5L, получим
..дгёФ,·)
dxk
соответственно этому,
δ \hdx= J
8Hik f
s
dxk
δφί · dx.
Таким образом, принцип Гамильтона дает полевые уравнения 4),
в то время как 3) даются определением; уравнения 1) и 2) следуют
из уравнений 3) и 4).
Итак, электродинамика Ми сводится к простому принципу
действия (73), точно так же, как развитие, механики достигает своей
высшей точки в принципе действия. Но, в то время как в механике
каждой данной механической системе соответствует некоторая
определенная функция действия L, зависящая от структуры системы, в
электродинамике Ми мы имеем дело с единственной системой,
миром. Действительная проблема материи начинается тогда, когда

§28 Теория Ми
271
встает вопрос об определении функции действия L, отвечающей
миру, т.е. «мировой функции». Здесь мы пока еще беспомощны.
Если мы с некоторым произволом выберем функцию L, то получим
«возможный» мир, связанный с этой функцией действия, в котором
мы (если только наш математический анализ не даст осечки)
прекрасно ориентируемся, лучше, чем в действительном мире. Но,
конечно, было бы важно среди всех этих возможных миров найти
единственный действительно существующий. Прежде всего, наши
представления о физических законах подсказывают нам, что
соответствующая действительному миру функция L выделяется
простыми математическими свойствами. Кажется, физика, в наши дни
это—физика поля, снова встает на путь сведения всей совокупности
физических явлений к единственному закону природы; к
достижению этой цели физика, казалось, уже приблизилась однажды, когда
механическая физика материальных точек, основанная на
ньютоновских «Началах», праздновала свой триумф. Однако, приходится
заботиться о том, чтобы наши построения не перешли разумного
предела. Пока мы не знаем, достаточно ли нам для описания материи
тех величин состояния, которые лежат в основе теории Ми, имеет ли
она (материя), фактически, чисто «электрическую» природу. Но,
главное, темные тучи всех тех явлений, которые мы с переменным
успехом пытаемся объяснить с помощью кванта действия, бросают
свою тень на обширную область физического знания, которой,
возможно, угрожают новые революционные потрясения.
Попробуем выбрать для мировой функции L следующую
конструкцию
L = ^FikFik + a>(V- <P,V) (74)
(w означает функцию одной переменной), которая является
простейшим выражением, выходящим за пределы теории Максвелла. При
этом, пока мы не имеем никаких оснований предполагать, что
мировая функция в действительности является именно таковой.
Ограничимся рассмотрением статических решений, для которых
В = Н = 0, S = T=0.
Тогда
Ε = - grad φ, div D = ρ
D = E, ρ = -α>'(φ),
штрих здесь означает производную. Отличие от обычной
электростатики в эфире здесь в том, что плотность электрического заряда ρ
оказывается универсальной функцией потенциала, т.е. электрического

272
Относительность пространства и времени
давления φ. Аналогом «уравнения Пуассона» в данном случае
является уравнение
Δφ = α>'(φ). (75)
Если ζν(φ) является нечетной функцией φ, то это уравнение не
сохраняется неизменным при переходе от φ κ - φ; это обстоятельство
сделало бы понятным различие в сущности положительного и
отрицательного электричества. Для нестатических полей, правда,
здесь возникает определенная трудность. Если имеются заряды
противоположных знаков, то квадратный корень в формуле (74) в
различных точках поля должен иметь разные знаки. Поэтому
должны существовать точки, в которых φ^φ1 обращается в нуль. Но в
окрестности таких точек выражение φ^φ1 должно с необходимостью
принимать как положительные, так и отрицательные значения этот
вывод не верен в статическом, случае, так как минимум функции
<р0, достигается при <р0 = 0. Таким образом, решения наших полевых
уравнений должны были бы принимать мнимые значения. Трудно
сказать, что, означало бы такое разбиение поля на отдельные части,
соответствующие зарядам лишь определенного знака и отделенные
друг от друга областями, где поле становится мнимым.
Решение уравнения (75), исчезающее на бесконечности
реализует возможное состояние электрического равновесия, возможную
частицу, способную к самостоятельному существованию. Построим теперь
такое решение. Равновесие может быть устойчивым только в том
случае, если решение обладает сферической симметрией. При этом
условии уравнение (75) принимает следующий вид:
Если это уравнение (76) имеет регулярное при г = оо решение
φ = — + — + . (77;
г γ2·
то подстановкой этого степенного разложения в левую часть
уравнения находят, что соответствующее разложение w'(<q) начинается со
степени г" или еще более высоких отрицательных степеней и *ίτο
поэтому w(x) для χ = 0 должна быть нулем по меньшей мере 5-го
порядка. Но при этом предположении уравнение имеет оо регулярных
решений при г = 0 и такое же множество оо решений при г = оо.
Можно ожидать (в «общем» случае), что оба эти одномерные

§28 Теория Ми
273
множества решении включенные в двумерное семейство всех
решений, имеют некоторое конечное или, по крайней мере, дискретное
число решений. Эти решения и представляли ли бы возможные
частицы (электроны и элементы атомного ядра?). Но, конечно, ни
электрон, ни атомное ядро не существуют в мире отдельно, сами по
себе. Правда, расстояния между ними, по сравнению с их
собственными размерами, так велики, что конфигурация поля внутри
отдельных электронов или атомных ядер существенно не меняется в
результате взаимодействия между этими частицами. Пусть φ
—решение (77) уравнения (76), описывающее одну из таких частиц. Тогда
ее полный заряд равен
00
- 4π j a>'(<p)r dr = 4π · Г -ρ
о
= 4πβ0
Г = оо υ
Но ее масса выражается интегралом от плотности энергии W,
которая определяется из формулы (70):
00
Масса = 4π J {^(grad φ) + α>(φ) + φα>'(φ)} r dr
О
= 4π J {α<φ) + "5Φ^'(φ)} r2 dr.
Мы можем, таким образом, на основе законов природы
рассчитать массу и заряд электрона, атомные веса и атомные заряды
существующих элементов, в то время как до сих пор эти последние
кирпичи материи и их количественные характеристики считались
заданными. Все это, впрочем, остается только программой, до тех
пор, пока мы не знаем, какова мировая функция L. Гипотеза (74),
положенная в основу нашего рассмотрения, служит лишь для того,
чтобы ясно показать, какое глубокое и фундаментальное, основанное
на законах природы, понимание материи и ее строения открыло бы
нам обнаружение функции действия. Обсуждение такого рода
произвольных гипотез не может, правда, привести к прогрессу.
Необходимы новые физические воззрения и принципы, чтобы найти
правильный путь для определения гамильтоновой функции [51].
Выдающийся научный результат, к которому мы пришли в этой
главе, состоит в том, что арена, на которой разыгрываются реальные
события, — не трехмерное евклидово пространство, а четырехмерный
мир, в котором неразрывным образом объединены пространство и
время. Несмотря на глубокую пропасть, существующую между
нашими интуитивными представления о пространстве, с одной стороны,

274
Относительность пространства и времени
и времени, с другой, ничто из этого качественного различия не входит
в тот объективный мир, который физика силится вылущить из
непосредственного опыта. Он является четырехмерным континуумом
и не сводится при этом ни к «пространству», ни к «времени». Это
только наше сознание, путешествующее в некоторой части этого
мира, переживает ту полосу событий, которая встречается ему и затем
остается позади него, переживает ее как историю, как некоторый
процесс, протекающий во времени и разыгрывающийся в
пространстве.
Этот четырехмерный мир, как и евклидово пространство,
является метрическим, но квадратичная форма, которая определяет
метрику, уже не положительно определенная и обладает одним
отрицательным измерением. Это обстоятельство, не существенное, с
математической точки зрения, имеет глубокий физический смысл.
Столь простую в математическом отношении идею четырехмерного
метрического мира необходимо осмыслить не только на уровне
изолированной абстракции, но и в связи с вытекающими из нее
важнейшими физическими следствиями. Только в этом случае можно
достичь подлинного живого понимания всего ее содержания и
значения. Именно к этому стремились мы в нашем по
необходимости кратком изложении. Весьма примечательно, что трехмерная
геометрия статического мира, которая уже Евклидом была приведена
в законченную аксиматическую систему, представляется нам вполне
очевидной, в то время как четырехмерной геометрией мы способны
овладеть лишь в жестокой борьбе и лишь в связи с огромным
физико-эмпирическим материалом. Только в теории относительности
наше познание факта движения, изменения в мире достигает ясности
и полноты.

Общая теория относительности
Относительность движения, метрическое поле и гравитация
йнштейновский принцип относительности, изложенный нами в
предыдущей главе, даже в своей законченной форме, несмотря
на согласованность с полученными на основе опыта законами
природы, уточняющими взаимосвязь явлений физического мира,
содержит в себе одну существенную трудность, делающую этот
принцип не вполне удовлетворительным. Мы ясно понимаем, что
речь может идти только о движении одного тела только
относительно некоторого другого тела. Не существует никакого абсолютного
различия между различными возможными состояниями движения
твердого тела. Вернемся еще раз к началу предыдущей главы и снова
отзлечемся на мгновение от относительности одновременности. Две
последовательности физических состояний объективно неотличимы
одна от другой, если функции пространственно-временных
координат, выражающие величины состояния для одной
последовательности, переводятся в функции, представляющие другую
последовательность одним из преобразований кинематической группы. Правда,
соотношения динамики, как будто, вступают в противоречие с этим
требованием, и именно поэтому со времени Ньютона абсолютное
значение приходилось приписывают не прямолинейному движению,
а вращению. И все-таки нашему здравому смыслу никогда не
удавалось согласовать это запутанное положение вещей с реальностью,
(несмотря на многочисленные попытки философского обоснования
ситуации, см., например, «Метафизические начала естествознания»
Канта), и проблема центробежных сил каждый раз возрождалась как
неразгаданная загадка . Рассмотрим эту проблему несколько более
подробно.
Галилеевский принцип инерции свидетельствует о том, что в
мире существует своего рода принудительное управление, которое
предписывает некоторому телу, выпущенному в определенном
мировом направлении, вполне определенное естественное движение,
которое может быть изменено только под действием внешних сил. А
именно, это осуществляется посредством действующей инфинитези-
мально, от точки к точке, инерциальной тенденции Ρ
(Beharrungstendenz), которая переносит мировое направление тела χ в произвольной
3)

276 Общая теория относительности
точке Ρ «параллельно самому себе» в ту бесконечно близкую к Ρ
точку Р\ которая лежит в направлении χ от точки Р. Закон инерции
позволяет предположить, что «поле управления*, или «ведущее
поле» (Führungsfeld) определяет не только бесконечно малый
параллельный перенос самого направления, но также и параллельный
перенос векторов заданных в точке Ρ во все другие точки, бесконечно
близкие к точке Р. Тем самым, мы получаем способ построения
инфинитезимальной геометрии, изложенной во II главе. Ведущее
поле в точности совпадает с тем, что я называл там, математическим
термином «аффинная связность». Мировая линия некоторой
предоставленной самой себе материальной точки является геодезической.
Если для математического представления сказанного отнести
четырехмерный континуум соответствующим образом, к четырем
координатам jCj, то геодезическая линия при надлежащем выборе параметра
5, отделяющего друг от друга различные стадии движения
(«собственное время»), удовлетворяет уравнениям
ds2 +1«P ds ds ~υ>
Будем считать xi пространственно-временными координатами,
отнесенными к находящейся в произвольном движении системе
отсчета таким образом, что координаты х^, д^» хз фиксируют место
в этой системе. Единственное требование, которое мы предъявляли
к понятию бесконечно малого параллельного переноса векторов,
состояло в том, чтобы компоненты векторов в некоторой
геодезической системе координат связанной с мировой точкой Р, при этом
переносе не изменялись, или чтобы все Ггап исчезали. В нашей
теперешней терминологии это означает, что в окрестности некоторой
мировой точки можно так выбрать систему отсчета, чтобы свободная
материальная точка, проходящая через упомянутую мировую точку,
двигалась относительно этой системы прямолинейно с постоянной
скоростью, или, короче, чтобы соответствующее ведущее поле было
галилеевым. Опыты, лежащие в основе галилеевского закона
инерции, со всей несомненностью показывают, что это требование для
ведущего поля выполняется. Но если использовать произвольную
систему отсчета (например, Землю), произвольную систему
координат, то по отношению к ней движение, соответствующее галилеевс-
кому закону инерции, уже не имеет места; наоборот, тело движется
*)Именно этот, последний перевод вейлевского термина « Führungsfeld * мы будем
использовать в дальнейшем. — примеч. пер.

§29 Относительность движения, метрическое поле и гравитация 277
так, как если бы от своего прямолинейного и равномерного характера
оно отклонялось под действием некоторой силы. Из уравнения (1)
мы находим компоненты этой «силы инерции», отнесенной к единице
массы. Они равны
- г*ар<М
где вектор χι = -τ— задает мировое направление материальной точки.
Сила инерции, действующая на тело (центробежная сила, сила
Кориолиса), очевидно, пропорциональна массе этого тела. Кроме
того, наша формула указывает на ее зависимость от скорости.
Фактическое движение тела осуществляется в результате борьбы
двух тенденций: ведущего поля, переносящего мировое направление
тела от одного момента к другому, и силы, которая отклоняет тело
от его естественного движения. Почему, например, при столкновении
поездов именно они разрушаются, а не колокольня, мимо которой
проезжает один из них, хотя она по отношению к этому поезду
испытывает столь же резкое изменение движения, как и поезд
относительно этой колокольни? Вполне простой ответ на этот вопрос
состоит в том, что именно поезд выводится из своего естественного
движения, определяемого ведущим полем, возникающими при
столкновении молекулярными силами, а не колокольня. Это можно
разъяснить более детально. Противоречие между принципом
относительности движения и существованием сил инерции имеет место
только тогда, когда мир рассматривается как многообразие,
лишенное структуры. Но, как только мы обращаем внимание на то, что это
многообразие снабжено некоторым ведущим полем, некоторой
аффинной связностью, трудность исчезает. Или, скорее, мы открываем
ее настоящее ядро. Если управляющее поле обнаруживается в
механических процессах как находящаяся в противоборстве с силами
потенция, порою чрезвычайно эффективная, то мы должны считать
это поле чем-то реальным. Его уже нельзя, как в ньютоновской
механике и специальной теории относительности, рассматривать как
чисто формальное, просто заданное свойство мира, независимо от
заполняющей этот мир материи и состояний ее движения. Напротив,
это поле, в свою очередь, должно испытывать воздействие со
стороны материи, определяться материей и изменяться вместе с
изменением ее состояний, подобно тому как электрическое поле
порождается зарядами и изменяется при их изменении. Так мы
приходим с необходимостью к динамической концепции Римана.
Но существуют ли в природе какие-либо указания на то, что
ведущее поле меняется от места к месту и что оно зависит от материи?

278
Общая теория относительности
Для «сил инерции», возникающих по отношению к определенной
системе отсчета в некоторой определенной системе координат,
характерны два тесно связанных друг с другом обстоятельства. Во-первых,
эти силы пропорциональны инертной массе движущегося тела. Во-
вторых, их можно «оттрансформировать», т.е. обратить в нуль в
некоторой специально подобранной системе координат. Оба эти
обстоятельства, как показывает опыт, имеют значение и для силы
тяготения. Именно в том, что данное гравитационное поле,
независимо от массы сообщает телу любой массы, внесенному в это поле,
одинаковое ускорение, заключена главная загадка тяготения. В
электростатическом поле на слабо заряженное пробное тело
действует сила е · Е, где электрический заряд е зависит только от пробного
тела, а напряженность поля Е—только от самого поля. Если на тело
больше никаких других сил не действует, то эта сила сообщает
пробному телу с инертной массой т ускорение Ь, которое
определяется основным уравнением механики тЪ = eL. В случае
гравитационного поля имеется почти полная аналогия. Сила, действующая на
пробное тело, равна #G, где д, «гравитационный заряд», зависит
только от пробного тела, а G—только от поля. Ускорение здесь также
определяется уравнением тЪ = ^G. Но теперь возникает одно
замечательное обстоятельство: оказывается, что «гравитационный
заряд», или «тяжелая масса» д, равна «инертной массе» т.
Наиболее точно эмпирическая справедливость этого закона в
новейшее время была подтверждена Этвешем . Центробежная сила,
сообщаемая телу на земной поверхности вращением Земли,
пропорциональна инертной массе, а вес этого тела —его тяжелой массе. Сумма
этих сил, которую можно рассматривать как кажущуюся силу
тяжести, для различных тел должна была бы иметь различное
направление, если бы пропорциональность между тяжелой и инертной
массами вовсе не имела места. Но именно отсутствие такого различия в
направлении упомянутых сил установил Этвеш с помощью
чувствительнейшего прибора, крутильных весов. Инертная масса тела при
этом измеряется с той же точностью, с какой мы определяем вес тела
прецизионными весами. Пропорциональность между тяжелой и
инертной массами справедлива также в тех случаях, когда
уменьшение массы происходит не путем отделения части вещества в обычном
понимании этой процедуры, но также и за счет радиоактивного
излучения. Гравитационные силы удовлетворяют также и второму
требованию, согласно которому их можно обратить в нуль введением
некоторой системы координат. Наглядным примером такой системы
отсчета является лифт, трос которого оборван и который без трения
падает в поле тяжести Земли. Все свободно падающие тела в таком

§29 Относительность движения, метрическое поле и гравитация 279
лифте кажутся покоящимися, а физические процессы, несмотря на
действие силы тяжести, протекают относительно лифта в точности
так, как если бы он покоился и никакого поля тяжести вовсе не
существовало («принцип эквивалентности*).
Из этих примеров становится ясно, что движение тела в
гравитационном поле не дает никакого физического основания для
различения между гравитацией и инерцией, или ведущим полем. Мы
приходим, таким образом, к предположению, что гравитация, наряду
с инерцией, вносит свой вклад в тенденцию к сохранению ведущего
поля, что гравитацию следует рассматривать не как силу в выше
указанном смысле, т.е. как силу, которая отклоняет тело от его
естественного движения, определяемого ведущим полем. Введение
некоторой особой силы тяжести, наряду с инерцей, оказывается
излишним для объяснения физических явлений. Эта идея одним
ударом разрешает загадку тяготения, позволяя нам понять, почему
тяжелая масса равна инертной массе, и одновременно удовлетворяет
сформулированному выше требованию, чтобы ведущее поле было
изменчивым и взаимодействовало с материей, что и
обнаруживается в гравитационных явлениях. В этом заключается ядро новой
эйнштейновской теории тяготения. Ее смысл станет, возможно, еще
понятнее, если прибегнуть к одной замечательной исторической
аналогии. Согласно воззрениям древних, пространство имело
абсолютное направление: верх-низ. Действительное направление падения
тел складывается при таком понимании из этого абсолютного
нормального направления и некоторого отклонения, обусловленного
воздействием материи (например, столкновения атомов у
Демокрита). Мы же знаем теперь, что направление падения тел следует
рассматривать как целиком обусловленное силой притяжения Земли,
и считаем, что в пространстве, самом по себе, все направления
равноправны. Точно так же обстоит дело и в нашем случае. Согласно
Галилею и Ньютону, мы имеем однородное «галилеевское ведущее
поле», которое является формально-геометрической структурой,
заданной априори, и отклонения от него, называемые гравитацией,
которая только и обусловлена материальными факторами. Согласно
же Эйнштейну, оба эти аспекта образуют неразрывное единство. В
мире, самом по себе, оказываются равноправными все состояния
движения. Но эта точка зрения для своего проведения требует,
очевидно, того, чтобы материей определялись не только небольшие
отклонения ведущего поля, известные как тяготение, но и ведущее
поле в целом. Это означает, что законы взаимодействия между этим
полем, с одной стороны, и материей и соответствующими
материальными процессами, с другой стороны, должны быть независимыми от

280
Общая теория относительности
выбора системы координат. Иначе говоря, они должны быть
инвариантны относительно произвольных непрерывных преобразований
мировых координат («общий принцип относительности)».
Это, возможно, побуждает нас истолковывать независимость от
состояния движения системы отсчета как независимость от
произвольно выбранной координатной системы. Но преобразования
кинематической группы в общем нелинейны, во всяком случае, по
временной координате; фигурирующие в этих преобразованиях
функции времени являются произвольными непрерывными функциями.
Специальная теория относительности лишила координату времени ее
исключительной роли и равным образом подорвала представление о
твердом теле с ограниченным числом степеней свободы. Поэтому,
очевидно, не остается ничего другого, как допустить произвольные
непрерывные преобразования четырех мировых координат. Тем
самым, утрачивает какой-либо смысл существование геометрии, не
зависящей от физики, т.е. геометрии в старом смысле этого слова.
«Жесткая система отсчета» вообще оказывается костылем, который
можно отбросить после того, как мы поняли, что структура мира
выражается не посредством выделения некоторой системы
координат, а с помощью некоторых полей состояния (аффинной связности,
метрического поля). Измерению подлежат не координаты, а
значения физических величин состояния. Координаты, сопоставляемые
(априори произвольным образом) мировым точкам, используются,
скорее, для представления величин состояния математическими
функциями четырех независимых переменных. Таким образом,
можно утверждать, что лишь точка зрения общей относительности,
принятая нами теперь, позволяет нам с полным правом считать
пространство и время противостоящими материальному содержанию
мира как формы явлений.
Известные нам полевые законы, прежде всего, теория
Максвелла, не помогают в отыскании закона, в соответствии с которым
материя определяет ведущее поле и который в эйнштейновской
теории должен заменить ньютоновский закон притяжения. Несмотря
на это, Эйнштейну удалось вполне определенным образом решить
эту проблему и показать, что периоды планетных движений
объясняются на основе нового закона так же хорошо, как и на основе
старого ньютоновского закона, и что даже единственное, не
объясненное до сих пор удовлетворительно расхождение ньютоновской
теории с наблюдениями, а именно, опережение положения перигелия
орбиты Меркурия, составляющее примерно 43" в столетие, находит
правильное количественное объяснение в новой теории тяготения.

§29 Относительность движения, метрическое поле и гравитация 281
В прежние времена неоднократно обсуждался вопрос о том,
являются ли центробежные силы реальными или только
кажущимися, имеющими лишь чисто вычислительное значение. Объединив,
согласно Эйнштейновской точке зрения, гравитацию с силами
инерции, мы получим следующий ответ: они кажущиеся, поскольку в
отдельной мировой точке всегда можно ввести такую систему
координат, по отношению к которой ведущее поле будет галилеевым, но
они и реальны, так как в общем для протяженной мировой области
такую систему координат указать нельзя. Например, с точки зрения
наблюдателя, находящегося в падающем лифте, поле тяготения
отсутствует в месте, где он находится, но оно не исчезает, скажем, у
антиподов.
Мы изложили здесь основные идеи эйнштейновской теории
тяготения, не принимая во внимание то, что ведущее поле
управления, аффинная связность основана на более глубоком свойстве мира,
его метрике. Масштабы и часы говорят нам о существовании
некоторого метрического поля. Одинаковые часы с бесконечно малым
периодом, которые проходят через мировую точку О, в течение этого
периода отсчитывают от точки О времениподобные мировые отрезки
ОР = (dx^, которые конгруэнтны друг другу. Примем, в согласии
со специальной теорией относительности, что все эти мировые
отрезки удовлетворяют уравнению
ds = gik dx{ dxk = const,
в левой части которого стоит невырожденная квадратичная форма с
одним положительным и тремя отрицательными измерениями .
Фундаментальная метрическая форма определяется этим
соотношением только с точностью до произвольного положительного
множителя. Но рассмотрим теперь такой опыт. Пусть двое часов —скажем,
атомных часов, периоды которых определяются спектральными
линиями—имеют при прохождении точки О одинаковые частоты.
Совместим теперь эти часы в некоторой другой точке О', заставив их
при этом пройти различные пути. Опыт показывает, что и в точке
О' они будут иметь одинаковые частоты. Таким образом, единица
масштаба переносится из точки О в точку О' независимо от пути,
иначе говоря, геометрия мира, получаемая посредством измерений,
оказывается римановой [52].
*) По сравнению с предыдущей главой здесь имеется изменение в том, что
фундаментальная метрическая форма используется с противоположными знаками.
Прежний способ записи был более удобен при рассмотрении расщепления мира на
пространство и время, но для общей теории более целесообразной оказывается система
обозначений, принятая здесь.

282
Общая теория относительности
Чтобы установить взаимоотношение между метрическим и
ведущим полями на физической основе, представим себе, что с некоторой
свободно движущейся материальной точкой связаны часы
(идеализация, уже использованная нами в предыдущей главе). Галилеевский
закон инерции мы дополним предположением, что, в то время как
материальная точка описывает прямую линию, удовлетворяющую
уравнению (1), связанные с ней часы показывают значения
параметра 5, входящего в это уравнение. Или лучше сформулировать
наоборот: процесс параллельного переноса вектора физически мы
определяем с помощью часов, предоставленных самим себе. В течение
собственного времени ds, показываемого часами, они проходят
расстояние, соответствующее линейному элементу (dxi ), исходящему
i dxi
из мировой точки Ρ; ξ =—г-—вектор «мировой скорости» этих
часов. С ними переносится этот вектор из точки Ρ = (х$ в соседнюю
бесконечно близкую точку Р' = (*· + dx$ в направлении своего
перемещения. Мировая скорость часов в точке Р' должна иметь
компоненты ξ* + </ξι. В точке Ρ можно выбрать такую систему координат,
в которой этот процесс для каждого направления движения,
исходящего из Р, характеризуется уравнением άξι = 0. Поэтому его
выражение в произвольной координатной системе согласно §15 будет
иметь вид
«/?' = - Γ^ξΡ ds (Г^Г^р).
Тем самым, независимый от выбора системы координат
бесконечно малый параллельный перенос произвольного вектора (ξ1) из
произвольной точки Ρ в точку Ρ = (xi + dxf·), расположенную
бесконечно близко к точке Я, определяется формулой
а*=- iyw. (2)
Итак, часы, предоставленные самим себе, устанавливают
аффинную связность. Мировые отрезки, которые проходят часы во время
каждого бесконечно малого периода, по определению конгруэнтны
друг другу, иначе говоря, при бесконечно малом параллельном
переносе времениподобного вектора ξ* параллельно самому себе из
точки Ρ в ту соседнюю точку Р', которая лежит в направлении
вектора (ξ1) проведенного из Р, остается неизменной его числовая
мера

§29 Относительность движения, метрическое поле и гравитация 283
Если, таким образом, ввести еще такую аффинную связность
Γ^β как вспомогательную математическую конструкцию, которая, в
соответствии с §17, однозначно определяется метрикой мира, то
процесс бесконечно малого параллельного переноса некоторого вре-
мениподобного вектора, ассоциированный с Г, совпадет с переносом
(2), когда перенесение осуществляется в направлении самого
вектора, т.е. для каждого времениподобного вектора ξ в точке Ρ будет
выполняться
ϊναξβ - 4βξαξβ,
и поэтому, вследствие симметрии индексов α и β, вообще справедливо
равенство
1 αβ - ι αβ *
Аффинная связность, т.е. ведущее поле мира, связана с
метрическим полем мира так, как это было установлено во II главе.
Проведенные выше рассуждения позволяют ясно понять, какой
физический смысл имеет осуществленный Эйнштейном синтез
измерительной (Maßgeometrie) геометрии и гравитации, на первый
взгляд, столь чуждых друг другу [53]. Это гениальное объединение
двух областей знания, которые в своем историческом развитии были
полностью разделены, мы можем представить в виде схемы:
Пифагор Ньютон
Эйнштейн
Нетрудно увидеть также параллельность взаимосвязи
физических понятий с развитой во II главе взаимосвязью математических
понятий .
На простом наглядном примере поясним, как при движении
искажаются геометрические соотношения. Приведем в равномерное
вращение плоский диск. Если в системе отсчета, относительно
которой рассматривается равномерное вращение, справедлива евклидова
геометрия, то на вращающемся диске, при условии, что измерения
на нем производятся движущимся вместе с ним масштабом,
евклидовы соотношения уже не выполняются. Действительно, рассмотрим
на диске круг, описанный около центра вращения. Его радиус имеет
одно и тоже значение, не зависимо от того, измеряем ли мы его
покоящимся масштабом или масштабом, движущимся вместе с
диском. Это объясняется тем, что направление движения
перпендикулярно направлению откладываемого по радиусу масштаба. Наоборот,
при измерении длины окружности движущимся масштабом из-за

284
Общая теория относительности
лоренцева сокращения, которое он испытывает, получается большее
значение. Таким образом, на вращающемся диске евклидово
соотношение, согласно которому длина окружности равна 2π, умноженным
на радиус, больше не выполняется .
Уравнения
bfr + gtfi-^. О)
посредством которых метрика определяет аффинную связность,
показывают, что метрическое поле является потенциалом ведущего
поля. Одна особенность ньютоновского закона притяжения здесь,
таким образом, уже присутствует: как, согласно Ньютону, сила
тяжести обладает потенциалом, так и ведущее поле выводится из
некоторого потенциала, метрического поля. Выражение для 4-силы,
с которой ведущее поле действует на движущуюся массу т
- т · Г^рЛА (4)
(м1 —мировая скорость тел), полностью аналогично выражению для
силы, с которой, электромагнитное поле действует на заряд ,
- · · Fi/-
В то время как электромагнитная сила содержит скорость
линейно, сила (4) зависит от скорости квадратично. Но с самого начала
следовало ожидать, что в близкодействующей теории тяготения
должна появиться, как и в электродинамике, поправка, зависящая
от скорости (в электродинамике это — лоренцева сила β[νΗ], с
которой магнитное поле Η действует на движущийся заряд).
Эйнштейновская теория приводит, в частности, к квадратичной зависимости
этой поправки от скорости. Это обусловлено тем, что ведущее, или
гравитационное поле, Г^« обладает не только тремя или, при
добавлении времени как четвертой мировой координаты, четырьмя
компонентами, а 4 · —у- = 40 компонентами. Характер зависимости силы
от скорости хорошо согласуется со следующим обстоятельством.
Потенциал, из которого выводится электромагнитное поле
tk dx{ dxk'
*)Изменение знака связано с изменением знаков в фундаментальной метрической
форме.

§29 Относительность движения, метрическое поле и гравитация 285
имеет четыре компоненты φ^, являющиеся коэффициентами линейной
инвариантной дифференциальной формы φ{(άχ)\ в то время как
компоненты потенциала ведущего поля оказываются
коэффициентами дифференциальной квадратичной формы
ds2 = 9ik(dx)\dx)k. (6)
Электродинамика. Вторая система уравнений Максвелла в
эфире, вместе с уравнением (5), записывается следующим образом
?^ = 0 (7)
dxk
и, таким образом, имеет требуемую общековариантную форму.
Взаимосвязь между величинами Fik и F1 , в соответствии с принятыми
обозначениями, дается формулой
Максвелловское действие
j \FikTik dx (dx = dx0 dxx dx2 dx$ (8)
является интегральным инвариантом относительно произвольных
преобразований координат. В теории Лоренца материя выступает как
субстанция. Поскольку целесообразно экстенсивностные величины
представить с помощью скалярных и тензорных плотностей, мы
определим плотности массы μ и заряда ρ уравнениями
dm ds = μ dx, de ds = ρ dx
[вместо выражений, даваемых формулой (56), §26], а собственное
время вдоль мировой линии определяется из (6). Лоренц учитывает
материю тем, что он заменяет однородные уравнения (7)
неоднородными уравнениями
dt^_ = $i (9)
dxk
в правой части которых стоит плотность 4-тока S1, а также записывая
для плотности тока следующее соотношение
( ■ <1χλ
·' = рм'
ν ds
Ясно, таким образом, как без особых усилий перенести законы
электромагнитного поля из специальной теории относительности в
общую теорию относительности (ср., впрочем, с §18).

286
Общая теория относительности
Рис. 20
Геодезические линии с времениподобными направлениями,
исходящие из мировой точки О, заполняют некоторый «двойной конус»
с вершиной в точке О, который разделяется этой точкой О на два
простых конуса: один, обращенный в будущее, и другой, открытый
в прошлое. Первый содержит все мировые точки, которые относятся
к «активному будущему» точки О, второй —все мировые точки,
составляющие «пассивное прошлое* точки О. Боковая поверхность
конуса образована нулевыми геодезическими линиями. На половине,
обращенной в будущее, лежат все
те мировые точки, в которые
прибывает световой сигнал,
испущенный из точки О, или, более обще,
«точки точного прибытия»
некоторого воздействия, порожденного в
точке О. Фундаментальная
метрическая форма, тем самым, вообще
определяет, какие мировые точки
находятся во взаимодействии друг
с другом. Метрическое поле можно
оцределять также, не прибегая к
помощи масштабов и часов, а
наблюдая за световыми сигналами и движением свободных
материальных точек. Если dxi — относительные координаты точки О',
бесконечно близкой к точке О', то световой сигнал, посланный из точки
О, тогда и только тогда проходит через точку 0\ когда выполняется
уравнение gik dx{ dxk = 0. Наблюдая за прибытием световых
сигналов в точки, соседние с точкой О, мы можем, таким образом, найти
отношения gik в точке О и точно так же в любой другой точке. Но
большего из изучения процесса распространения света извлечь не
удается, потому что, как это следует из одного замечания на стр.162,
нулевые геодезические линии зависят только от отношения gik.
Оптическая картина направлений, которую имеет наблюдатель ( для
простоты будем считать его «точечным глазом») в некоторое
мгновение, например, картина звездного неба, конструируется
следующим образом. В мировой точке О, в которой расположен
наблюдатель, на конусе, обращенном в прошлое, строится пучок таких
нулевых геодезических (световых) линий, которые пересекаются с
мировыми линиями звезд. Направление каждой световой линии в
О раскладывается далее на компоненту, направленную по мировой
линии наблюдателя е, и компоненту, перпендикулярную первой
S («перпендикулярность» здесь устанавливается посредством

§30 Основной закон тяготения Эйнштейна
287
мировой метрики, см. стр.155; $ —пространственное направление
светового сигнала). В трехмерном линейном многообразии линейных
элементов в точке О, перпендикулярных е, ds положительно-
определенная квадратичная форма. Углы между пространственными
направлениями S световых лучей, которые вычисляются с помощью
фундаментальной метрической формы по формулам (15) §11,
определяют положения звезд по отношению друг к другу,
воспринимаемые наблюдателем. Закону непрерывности подчиняется не только
взаимодействие физических вещей, но и психофизическое
взаимодействие: направление, в котором мы воспринимаем предметы,
определяется не только их положением, но также и направлением
световых лучей, поступающих от них на сетчатку глаза. Иначе
говоря, состоянием оптических полей при их непосредственном
контакте с телом той загадочной реальности, в природе которого
заключена та замечательная особенность, что предметный мир
«является» ей в фактах сознания.
Коэффициент пропорциональности, позволяющий вычислить
gik, не может быть выведен из анализа процессов распространения
света, но его можно определить, исследуя движение материальных
точек. При этом вовсе не обязательно связывать с материальной
точкой некоторые часы .
§30
Основной закон тяготения Эйнштейна
ньютоновской теории состояние материи характеризуется одним
скаляром, плотностью масс μ, а гравитационный потенциал —
также одним скаляром Ф; при этом справедливо уравнение
Пуассона
ΔΦ = 4π£μ (Δ = div grad; k — гравитационная постоянная). (10)
Это закон, который определяет гравитационное поле в
зависимости от материи. Но, согласно теории относительности, материю в
строгом смысле слова можно описывать только симметричным
тензором второго ранга Tik или, еще лучше, соответствующей смешанной
тензорной плотностью Т^ . В соответствии с этим потенциал
гравитационного поля также состоит из десяти компонент симметричного
тензора gik. Следует ожидать, таким образом, что в
эйнштейновской теории, вместо одного уравнения (10), будет фигурировать
система уравнений, левые части которых являются
дифференциальными выражениями второго порядка по gik> а правые части —
компонентами плотности энергии Т. Эта система, конечно, должна
ß

288
Общая теория относительности
быть инвариантна относительно произвольных непрерывных
преобразований координат. Для отыскания закона тяготения лучше всего
прибегнуть к сформулированному в §26 принципу Гамильтона. Там
действие состояло из трех частей: субстанциального действия
электричества, полевого действия электричества и субстанциального
действия массы, или гравитации. В этом выражении отсутствует
четвертый член: полевое действие гравитации, которое нам теперь надлежит
отыскать. Но прежде чем сделать это, мы рассчитаем вариацию
суммы уже известных трех членов, когда потенциал
электромагнитного поля φί и мировые линии элементов материи остаются
неизменными, а варьированию δ подвергаются потенциалы метрического
поля gik. Эта возможность имеется лишь в общей теории
относительности.
Субстанциальное действие электричества при этом не
испытывает никакого изменения; изменение же подинтегрального выражения,
входящего в полевое действие
равно
\{^t*FikFik) + (FikFik)5^).
Первое слагаемое в фигурных скобках равно TrsSFrs и поэтому,
ввиду
Frs = grigskFik,
тотчас же получается значение
2<g-FitFrkbgik.
Второе слагаемое, согласно формуле (6Г), §18, равно
- Sgik5gik.
Для вариации полевого действия получается, таким образом,
следующее выражение
-\\sikbgikdx=\\s4gikdx
[сравн. с формулой (62), §18], где
Sf = ^-FiJ" (И)

§30 Основной закон тяготения Эйнштейна
289
— компоненты плотности энергии электромагнитного поля .
Неожиданно нам становится ясно (но лишь здесь, где имеет смысл говорить
о вариации метрики), откуда, собственно, возникает столь сложное
выражение (11) для плотности энергии-импульса электромагнитного
поля. Для субстанциального действия массы мы получаем
следующий результат
1 dxi dxk b9ik 1 , i k*
δ 1gik dx{ dxk = 2 js = 2 ds u%u b9ik*
и, таким образом,
δ \(dm jylg^dXidXf) = J^ V>ulukbgik dx.
Полное изменение уже известной нам величины действия при
вариации метрического поля поэтому равно
где Tv —тензорная плотность полной энергии.
Еще отсутствующая, четвертая, составляющая действия, а
именно полевое действие гравитации, должна быть инвариантным
интегралом J G dx, подинтегральное выражение которого G является
функцией потенциалов gik и напряженностей гравитационного поля
\ik\ ( . „ d9ik v
< >, (т.е. функцией gik и их первых производных —— = gik^ r).
По-видимому, только при этих условиях в качестве закона тяготения
мы будем иметь дифференциальные уравнения не выше второго
порядка. Если полный дифференциал этой функции
δΟ = ^0%ik + ^O*· r5gikf r (Gki - O* 0* r = Ou· r), <13)
то для бесконечно малой вариации 6gik\ которая обращается в нуль
за пределами некоторой конечной области, в результате
интегрирования по частям получается
δ \Gdx^lkG]%ikdx, (14)
*)Противоположный знак в этой формуле по сравнению с III главой получается
из-за изменения знака фундаментальной метрической формы.

290
Общая теория относительности
где «лагранжевы производные» [О] , которые симметричны по
индексам г и k, вычисляются по формуле
Гравитационные уравнения, таким образом, действительно,
примут форму, которая предполагалась нами с самого начала
[О]?«-!}. (150
Не следует теперь также удивляться тому, что компоненты
энергии-импульса возникают при варьировании gik в первых трех
составных частях действия, в согласии с соотношением (12). Но, к
сожалению, такой скалярной плотности G, которая нам нужна,
вообще не существует, так как в любой заданной точке подходящим
[?}■
выбором координатной системы можно обратить в нуль все
Римановская скалярная кривизна /?, впрочем, является таким
инвариантом, который содержит вторые производные gik только линейно;
можно даже показать, что она является единственным инвариантом
такого рода . Вследствие этой линейности, в инвариантном
интеграле J -~Ryg dx посредством интегрирования по частям можно
исключить производные второго порядка. Мы получим тогда
\^R<g dx = Jg dx
плюс некоторый интеграл от дивергенции, т.е. интеграл, подинтег-
ральное выражение которого имеет вид ——. Теперь G зависит только
oXj
от gik и их первых производных. Для вариаций bgik> которые
исчезают вне некоторой конечной области, поэтому
δ \^R<g dx = b JQdx,
так как, согласно правилу интегрирования по частям,
dxt
*) Соответствующее доказательство проведено в Приложении 1.

§30 Основной закон тяготения Эйнштейна
291
Но не сам J G dx является инвариантом, а только его вариация
δ J 6 dx, и в этом заключается важная особенность принципа
Гамильтона. Мы, следовательно, не должны более сомневаться в
возможности принятия J G dx в качестве действия гравитационного поля,
и это—единственная такая возможность. Нам остается еще только
умножить 6 на некоторую универсальную постоянную, а именно на
1 -
—, так как G не имеет той же самой размерности, что и другие
компоненты плотности действия. Координаты, которые вводятся в
мир произвольно, следует рассматривать как безразмерные числа.
Но при установлении ds принимают некоторую произвольно
выбираемую единицу измерения, длину (/). ds тогда имеет ту же самую
9
размерность г, что и коэффициенты gik этой формы. В качестве
второй единицы измерения берут массу (т). Первые три компоненты
действия (напр., dm ds) имеют поэтому размерность ml, в то время
как R^lg, очевидно, имеет размерность / . Постоянная ае,
следовательно, имеет размерность 1т . Ее значение в [см] и [г] мы
определим в следующем параграфе. Там же будет установлено, что
ае положительна, потому что гравитирующие массы притягиваются,
а не отталкиваются. Однозначно определенные уравнения
гравитации (150, к которым мы пришли с такой логической неизбежностью,
запишем теперь с учетом множителя ае в форме
[G]f = -al} . <15>
Из них следует, что каждый вид энергии порождает
гравитационное поле, не только энергия сосредоточенная в электронах и
атомах, т.е. материи в более узком смысле этого слова, но и
распределенная в пространстве энергия поля (поскольку Tf· —компоненты
полной энергии).
Но, прежде чем провести необходимые вычисления для того,
чтобы выписать гравитационные уравнения в явной форме,
проверим, получатся ли аналогичные результаты в случае теории Ми.
Интеграл действия в этой теории J L dx является инвариантом не
только относительно линейных преобразований, но также и относительно
произвольных преобразований, поскольку L чисто алгебраически
(без применения операции тензорного анализа) складывается из
компонент ковариантного вектора <pt· (электромагнитного потенциала),

292
Общая теория относительности
компонент линейного тензора второго ранга Fik ( напряженностей
электромагнитного поля) и компонент фундаментального
метрического тензора gik. Возьмем полный дифференциал этой функции
5L = ±T%^ + 50L,
80ьЛн^~зЧ. de)
<Т* = *'*, nki = - н'*)
и назовем тензорную плотность Т,- энергией или массой. Тем самым,
мы снова приходим к выводу, что метрическое поле (с потенциалами
gik) так же относится к массе (Т1 ), как электромагнитное поле (с
потенциалом q>t·) — к электрическому току (S1). Но теперь нам остается
доказать, что изложенное здесь истолкование ведет к точно таким же
выражениям энергии и импульса, которые даются формулой (72)
§28. Одновременно это даст доказательство симметрии тензора
энергии, опущенное выше. С этой целью мы воспользуемся не
непосредственным вычислением, как это было сделано в частном случае
максвелловской теории, а следующим прекрасным рассуждением,
основу которого можно найти у Лагранжа, но которое в своей
законченной форме было разработано Ф.Клейном [54].
Подвергнем мировой континуум бесконечно малой деформации,
которая переводит произвольную точку (х^ в точку (др:
Т{ = х{ + ε · ξι(χ0*ι*2*3) (17)
(ε—постоянный бесконечно малый параметр, высшими степенями
которого при вычислениях можно пренебречь). Представим себе, что
величины состояния ср{ испытывают такое изменение при указанной
деформации континуума cpf, что инвариантными остаются линейная
дифференциальная форма
φ,<χ) dx{ = ^(x) dxi9 (18)
а также симметричные и кососимметричные билинейные
дифференциальные формы с коэффициентами gik, соответственно, Fik.
Изменения φ^(χ) ~ φ,(χ), которые испытывают величины cpf. в некоторой
фиксированной точке (х{), будем обозначать δφζ·; аналогичный смысл
имеют bgik и bFik. Если мы функцию L выразим в новых переменных

§30 Основной закон тяготения Эйнштейна
293
<р^ порожденных деформацией континуума φ^, то она перейдет в
функцию L, равную L + 5L; 5L при этом дается формулами (16).
Пусть, далее, X—произвольная мировая область, которая переходит
при деформации в область X.
Величина действия J L dx при такой деформации испытывает
X
изменение δ' J L dx, равное разности интеграла L по области X и
X
интеграла L по X. Инвариантность действия выражается в уравнении
δ' \bdx = Q. (19)
Χ
Эту разность мы естественным образом разложим на две части:
1) разность интегралов от L и L по области X и 2) разность интегралов
от L по областям X и X. Поскольку X отличается от X лишь на
бесконечно малую величину, то первую часть можно записать в
форме
δ jLdx= \$Ldx.
Χ Χ
Вторая часть определяется вычислением, приведенным на стр.143
J дх·
X 1
Чтобы провести вычисления, мы должны, в первую очередь,
определить вариации δφ^, 5gik, 5Fik. Если вместо φ^(5) - φ£χ) будем
писать δ'φ^, то ввиду (18), получим:
δ'φ{ · dx{ + εφΓ άξτ = 0.
Таким образом,
δψ^-ε.φ,-,
и так как
δφ, = δ'φ,- - {φ,® - φ^χ)} = δ'φ,- - ε · — ξ ,
опуская само собой разумеющийся множитель ε, будем иметь

294
Общая теория относительности
Точно также вычисляются вариации
xk Угкдх{ дхг
-Ъ-ьк^Ъ*
-^»-^♦^♦^т«'· (20")
dxk rR дх{ дхг
dyk 5φζ·
В силу соотношения Fik = — —, получим также
tk dx{ dxk
Вследствие инвариантности первого соотношения, из него следует
Щх) Яр,<г)
и, таким образом,
Подставляя эти вариации в формулу (16), получаем
-*-<* + *'*-*>£ + [&·% + *}■
Исключив с помощью интегрирования по частям производные
от ξ1 и введя сокращенное обозначение
V* = Tf + FirH*r-9is*-5fL(
получим следующую формулу:
- δ' JL dx = ί^ψ^- dx + Ι (ig) dx = 0. <22>
Χ χ xk χ
Теперь, если подходящим образом выбрать ξ1, а именно так,
чтобы они исчезали вне некоторой конечной области, которую мы
отождествим с областью X, то уже известным образом получим в
каждой точке
t.^ 0. (23)
Поэтому и первое слагаемое в (22) оказывается равным нулю.
Полученное таким образом тождество справедливо для любой конечной

§30 Основной закон тяготения Эйнштейна
295
области интегрирования X и для произвольных величин ξ1. Поэтому,
так как интеграл от некоторой непрерывной функции по каждой
области исчезает только тогда, когда сама функция обращается в
нуль, оказывается справедливым соотношение
дХи
г dxk дхк
Поскольку величины ξ1 и —- могут в одной и той же точке
dxk
принимать произвольные значения, справедливы соотношения
dxi
= 0
В итоге мы получаем желаемый результат:
Это рассуждение дает нам одновременно законы сохранения
энергии и импульса, которые были найдены нами в §28
непосредственным вычислением. Они содержатся в уравнениях (23). Изменение
действия, отнесенного к миру в целом, при бесконечно малой
деформации мира, исчезающей за пределами некоторой конечной области,
определяется по формуле:
\ЬЬ dx = jWk8gik dx + J50L dx = 0.
(24)
Здесь, вследствие уравнений (21) и справедливости принципа
Гамильтона,
(25)
f 50L dx = 0
(уравнения Максвелла), второе слагаемое выпадает. Первое же
слагаемое, как уже было вычислено ранее, равно
-ί(τ*3ΐ + l&ft1ofc<)(/ x=i
1 ' дХу 2 дХ: ζ \Х i
Μ
1 ^aß.
дхь 2 &r,
LJ«P
$dx.
Таким образом механические уравнения
(26)
dxk 2 дх{
оказываются следствием законов электромагнитного поля.

296
Общая теория относительности
(Из-за дополнительного члена, обусловленного гравитацией,
эти уравнения в общей теории относительности не могут больше
рассматриваться как законы сохранения. Вопрос о том, можно ли в
этом случае установить настоящие законы сохранения, будет
обсуждаться только в §37).
Из принципа Гамильтона, дополненного действием
гравитационного поля,
δ J(a>L + G)d;t = 0, (27)
в котором состояния электромагнитного и гравитационного полей
могут подвергаться бесконечно малым виртуальным изменениям
независимо друг от друга, наряду с электромагнитными законами,
выводятся также гравитационные уравнения (15). Если
рассуждение, приведшее нас, к формуле (26), применить к О вместо L, (для
вариации §, вызванной бесконечно малой деформацией мирового
континуума, исчезающей вне некоторой конечной области,
справедливо также соотношение
δ \<*αχ=δ №ΐϊύ} dx = 0),
то из него получатся математические тождества, аналогичные
математическим соотношениям (26)
![M_i^[O]«ß = 0. (260
dxk 2 δχ·
То обстоятельство, что G, кроме gik, содержит также и их
производные, при этом не играет роли. Механические уравнения
(26) поэтому также являются следствием гравитационных
уравнений (15), как и электромагнитных полевых законов.
Замечательные соотношения, полученные здесь, независимо от
вопроса о справедливости электродинамики Ми, можно
сформулировать следующим образом. Состояние физической системы
описывается по отношению к некоторой системе координат известными
переменными в пространстве-времени величинами состояния φ (в
нашем случае это (pt). Помимо этих величин, следует учесть
метрическое поле, описываемое его потенциалами gik, в которое вложена
физическая система. Физические процессы в системе описываются
интегральным инвариантом J L dx\ скалярная плотность L при этом
является функцией φ и его производных 1-го, а при случае и более
высокого порядка, а также самих gik, но не их производных.

§30 Основной закон тяготения Эйнштейна
297
Образуем полный дифференциал функции L, причем в явной форме
выпишем только ту часть, которая содержит дифференциалы 8gik:
5L = ±A^ + 50L.
Тогда Т^ —тензорная плотность энергии, связанная с
физическим состоянием системы. Определение ее компонент сводится, таким
образом, к установлению раз и навсегда заданной гамильтоновой
функции L. Только общая теория относительности, которая
допускает изменение мировой метрики, ведет к правильному
определению энергии. Законы состояния [55] вытекают из «частного»
принципа действия (25), в котором варьируются только величины
состояния φ. Отсюда получается как раз столько уравнений, сколько
существует величин φ. Если этот «частный» вариационный принцип
расширить до полного принципа действия (27), в котором варьируются
также gik, то для десяти потенциалов получается десять
гравитационных уравнений (15). Механические уравнения (26) оказываются
следствием как законов состояния, так и гравитационных законов.
Их можно было бы считать подлежащими исключению из этих
законов. В системе законов, описывающих гравитацию и состояние
системы, связываемое с величинами gik, содержится, тем самым
четыре лишних уравнения. Действительно, общее решение должно
содержать четыре произвольных функции, так как уравнения,
вследствие их инвариантной природы, должны оставлять систему
координат xi полностью неопределенной и поскольку, тем самым, из одного
решения произвольным непрерывным преобразованием координат
мы снова получим решение системы уравнений (которое, однако,
объективно представляет тот же самый мировой процесс). Прежнее
разделение на геометрию, механику и физику в эйнштейновской
теории заменяется противопоставлением физического состояния и
метрического, или гравитационного, поля.
Полноты ради вернемся еще раз к принципу Гамильтона теории
Максвелла-Лоренца. Вариация φ^ приводит к электромагнитным, а
вариация g^ — κ гравитационным уравнениям. Ввиду
инвариантности действия, его бесконечно малое изменение, вызванное бесконечно
малой деформацией мирового континуума, оказывается равным
нулю. Изменению при этом подвергаются как гравитационное и
электромагнитное поля, так и мировые линии элементов субстанции.
Это изменение действия состоит из трех слагаемых, связанных с
варьированием электромагнитного поля, гравитационного поля и

298
Общая теория относительности
траекторий субстанции. Оба первых слагаемых обращаются в нуль
вследствие уравнений электромагнитного и гравитационного полей.
Поэтому и третье слагаемое также исчезает, и таким образом
механические уравнения оказываются следствием двух выше
названных групп уравнений. Повторяя наши прежние вычисления, мы
можем получить этот результат следующим путем. Из
гравитационных уравнений следуют уравнения (26), или
μΐ^· + и{М =
^i 1 fyxßgctß
dxk 2 дх{
(28)
где S^ —тензорная плотность энергии электромагнитного поля,
тт dui 1 5£χβ α β
и М—левая часть уравнения непрерывности материи:
М =
дх{
Вследствие максвелловских уравнений, правая часть в (28)
равна
Pi = -Fiksk (sl' = PKl).
Умножив (28) на χι и просуммировав полученное выражение по
f, получим Μ = 0. Таким образом, мы приходим к обычной форме
уравнения непрерывности материи и механических уравнений.
Чтобы получить полное представление о том, как
эйнштейновские законы гравитации систематизируют остальные физические
законы, мы должны еще, наконец, решить задачу о получении явного
выражения для [в],· . Вариация компонент аффинной связности
«*-·{?}-/.
как мы знаем (стр.145), образуют тензор. Если в некоторой точке
мы введем геодезическую систему координат, то из формулы для.
Rik l§18, (63)] непосредственно следует
№tk~Wr'Wk·

§30 Основной закон тяготения Эйнштейна
299
g^R^g^-f^.
у гк у дхг υ дхг
Если положить
Л*-Ли-«'.
то получается, таким образом,
или соотношение, справедливое в произвольной системе координат,
поскольку wl является контравариантным вектором,
«-**»♦£«*=*.
При интегрировании дивергентный член Rik исчезает, и,
следовательно, так как, по определению, должно выполняться соотношение:
δ JR^ dx = J[0]%tt dx = - J [G]iß5/ rf*
и так как Rik в римановом пространстве симметричный тензор, мы
получим следующие выражения:
= ШыЛ - Ä.J
Wtt-^lfPtt""·"!*
- 2^«*R ~ *»'*'
Уравнения гравитационного поля, таким образом,
записываются следующим образом
Rf-J6fR = aeT?.
(29)
С математической точки зрения существенно заметить, что
точные гравитационные уравнения нелинейны. Несмотря на то, что они
\ik)
линейны относительно производных напряженностей поля < V, они
остаются нелинейными относительно самих напряженностей. Произведем
свертку уравнений (29), т.е. положим k = г и просуммируем полученное
выражение по г. Тогда получим - В = авТ = авТ|. Поэтому уравнения
(29) можно также переписать в виде
Е? = а<Т?-·^*!). (30)

300
Общая теория относительности
В первой работе, в которой Эйнштейн установил уравнения
гравитации, не руководствуясь принципом Гамильтона, отсутствовал
второй член справа - — Лишь спустя некоторое время он понял,
9)
что этот член требуется законом сохранения энергии-импульса .
Соотношения, основанные на принципе Гамильтона и с единой точки
зрения изложенные здесь, впервые были установлены в последующих
работах Г.А.Лоренца, Гильберта, Эйнштейна, Клейна и автора [56].
Для дальнейшего желательно также вычислить величину G. Чтобы
интегрированием по частям (исключение дивергенции) превратить
\R<g dx bl\(kdxy
положим
и, следовательно,
2в - $ if^ - {?} гИ*+Ш ~ Ш)* 9*
Согласно формулам (60'), (60"), §18, однако, оба первых члена
справа с точностью до множителя V# выражаются через символы
Кристоффеля, и мы получаем
откуда, наконец, получается
Этим заканчивается изложение основ эйнштейновской теории
тяготения. Теперь спрашивается, подтверждается ли опытом эта
теория, созданная чисто умозрительным путем, может ли она, прежде

§31 Статическое гравитационное поле. Связь с опытом 301
всего объяснить движение планет так же хорошо или даже еще
лучше, чем ньютоновская теория тяготения. В §§31—35 обсуждается
решение уравнений гравитации. К дальнейшему развитию общей
теории мы вернемся в §36.
§31
Статическое гравитационное поле. Связь с опытом
тобы установить связь эйнштейновских законов тяготения с
наблюдениями за движением планет, рассмотрим частный
случай этих законов, соответствующий статическому
гравитационному полю . Он характеризуется тем, что при использовании
подходящих координат, именно «статических координат», мир
расщепляется на пространство и время таким образом, что для
фундаментальной метрической формы
3
ds2 = f2dt2-da2, do2= £ 4ikdx{dxk
i,k=\
выполняются следующие соотношения:
000 = f2> 9oi = 9i0 = °. 9ik = ~Угк (*\ * = 1, 2, 3)
и что при этом коэффициенты f и yik зависят только от пространст-
венных переменных х^ х2, х%, но не от времени t = x0. da
—положительно-определенная дифференциальная квадратичная форма,
определяющая метрику пространства с координатами х^, д:2, х% · f,
очевидно, если координата t выбирается как мера времени, есть
скорость света. За исключением особых случаев, статическая
координата t устанавливается сформулированными требованиями с
точностью до линейного преобразования. Произвольными остаются,
таким образом, лишь начальная точка отсчета времени и единица
измерения времени, а статические пространственные координаты
определяются с точностью до произвольного непрерывного
преобразования этих трех координат друг в друга. В статическом поле мировая
метрика, помимо мероопределения пространства, порождает еще
некоторое скалярное поле f в пространстве. Это находится в согласии
с принципами так называемой абсолютной системы мер: мы имеем
одну единицу, [см], для измерения ds или da и одну единицу, [сек.],
для измерения t.
Если трехиндексные символы Кристоффеля, относящиеся к
тернарной форме da , снабдить символом и индексам i, k, l
придавать лишь значения 1, 2, 3, то непосредственно из определения
легко получается:
ж

302
Общая теория относительности
{?Ь ДО-0·
Я-·
Здеы, fi.jL коМриа„т„ые компоненты трехмерного гралиен-
1
та, /* = γ1 /^ — соответствующие контравариантные компоненты;
vy /* = fl — компоненты соответствующей векторной плотности в
пространстве. Для определителя γ матрицы yik справедливо соотношение
^9 = f ^У · Положим далее
ъ
4 = щ"
Щ' f - -iL _ ЭГ Ж.
[rj lr~dxtdxk \r] дхг
(индексы суммирования г также пробегает только три значения 1, 2, 3) и
Тогда между компонентами Rik и Р^ компонентами тензора
кривизны 2-го ранга, которые связаны с фундаментальными
квадратичными формами ds , и, соответственно, da2, после несложного
вычисления получаются соотношения:
Ri0 = R0i = °>
*00 = Λ^ (*2 = Δ/).
Τ
Для покоящейся несвязанной материи (т.е. материи, внутри
которой отсутствуют напряжения) Т0 = μ —единственная отличная от
нуля компонента тензорной плотности энергии; поэтому и Τ = μ.
Покоящаяся материя порождает статическое гравитационное поле.
Из гравитационных уравнений (30) нас, в первую очередь, интере-
сует L· — уравнение:

§31 Статическое гравитационное поле. Связь с опытом 303
ΔΦξ—Г- + —Г- + —тг^-жи, (10)
~г1 Яг± Яг£ 2
Δ/·=|*μ. (32)
Предположим, что при подходящем выборе пространственных
координат Xj, x2» хз> ^s бесконечно мало отличается от
с2 dt2 - {dx\ + dx\ + ώ§) (33)
(для этого массы, порождающие гравитационное поле, должны быть
бесконечно малы). Отсюда, если положить
f-сЛ (34)
' С
(где Φ бесконечно мало), получается:
^Ф ^Ф ^Ф 1
дх2 дх\ дх\
где μ—с-кратная плотность массы в обычных единицах. Фактически
это предположение согласуется со всеми нашими геометрическими
измерениями внутри Солнечной системы с большой степенью точности.
Так как массы планет очень малы по сравнению с порождающей
поле массой Солнца, которое можно считать покоящимся, мы можем
рассматривать планеты как «пробные тела», находящиеся в
гравитационном поле Солнца. Движение любой из них, если пренебречь
взаимными возмущениями планет, тогда определяется геодезической
мировой линией в этом статическом поле тяготения. Она
удовлетворяет вариационному принципу
δ \ds = 0,
причем концы соответствующего отрезка мировой линии остаются
фиксированными. В статическом случае это дает
δ\ψ-ν2 dt = 0,
где
,2 =
ч2 3
(da) ^ dx(dxk
dt dt
i,k = \
— квадрат скорости. Это вариационный принцип того же типа, что
и принцип действия в классической механике. В качестве «функции
Лагранжа» при этом выступает величина
Если мы используем то же самое приближение, которое было
сделано выше, и заметим еще, что в бесконечно слабом гравитационном

304
Общая теория относительности
поле скорости тел, находящихся в нем, бесконечно малы, по
сравнению ее, мы получим
ψ - ν1 = Vc2 + 2Ф - ν1 = с + ^-(Ф- ψ\
и так как теперь можно положить
i=1v J χ
мы придем к вариационному принципу
Иначе говоря, планета с массой m движется по законам
классической механики, если принять, что на нее действует сила,
отвечающая потенциалу тФ. Тем самым, достигнуто полное соответствие
с ньютоновской теорией: Ф—ньютоновский потенциал, удовлетво-
ряющий уравнению Пуассона (10), к = с ae/δπ — ньютоновская
гравитационная постоянная. Численное значение постоянной ае
получается из известного соответствующего значения ньютоновской
постоянной к
ае = —у = 1,87 -10 см · г .
с
Отклонение фундаментальной метрической формы от «евклидово-
го» вида (33) все же достаточно велико, чтобы геодезические мировые
линии в масштабе Солнечной системы отличались от мировых линий,
соответствующих прямолинейному равномерному движению, хотя
2
геометрия пространства, основанная на de , только очень
незначительно отличается от евклидовой (сумма углов геодезического
треугольника со сторонами порядка планетных расстояний только очень
немного отличается от 180°). Это объясняется тем, что радиуо земной
орбиты составляет примерно 8 световых минут, в то время как время
полного обращения Земли вокруг Солнца равно целому году!
Рассмотрим теперь точную теорию движения материальной
точки и световых лучей в статическом поле тяготения . Геодезические
мировые линии можно, согласно §18, охарактеризовать двумя
вариационными принципами
г г— г dXi dxb , ν
б]л/д</5 = 0или 5}Qds = 0, £ = 0ί*-^7^7· (35)

§31 Статическое гравитационное поле. Связь с опытом 305
Второй принцип предполагает, что параметр s выбран
подходящим образом. Только второй вариационный принцип учитывает
«нулевые линии», которые удовлетворяют условию Q = 0 и
определяют распространение световых сигналов. Варьирование должно при
этом проводиться так, чтобы концы рассматриваемого отрезка
мировой линии оставались неизменными. Если варьированию подвергнуть
только координату х0 = t, то в статическом поле будет выполняться
соотношение
dxn | г d
ΦΛβ\2?-ϊ78χο -2ί£
ds
Отсюда следует равенство
ds
δ*0 ds. (36)
Α dxo
f —τ- = const.
Рассмотрим сначала случай световых лучей. Тогда подходящим
выбором единицы измерения для параметра 5 (с точностью до выбора
единиц параметр s нормируется самим вариационным принципом)
мы можем постоянную, входящую в правую часть, сделать равной 1.
Если теперь рассмотреть более общий способ варьирования, при
котором изменяются пространственные траектории лучей, а их концы
остаются неизменными, но отбрасывается дополнительное условие,
наложенное на временную координату и состоящее в том, что на
концах вариация δχ0 = 0, то вариационный принцип, как это следует
из (36), можно записать в виде
δ |θ^ = 2[δί] = 2δ ldt.
Если варьированная траектория, как и неварьированная,
пробегается со скоростью света, то для варьированной траектории
оказываются справедливыми соотношения
0 = 0, do = fdt,
и мы получаем тогда
de
8Jrfis8J2£s(,.
(37)
Этим уравнением определяются только пространственные пути
световых лучей. Это —не что иное, как принцип кратчайшего
времени Ферма. В последней его формулировке время оказывается
совершенно исключенным. Эта формулировка справедлива для любого
отрезка пути светового луча, если он при фиксированных концах
изменяет свой путь бесконечно малыми порциями.

306
Общая теория относительности
Если для некоторого статического поля тяготения применить
какую-нибудь систему пространственных координат Х\, х2, хз*то ими
можно воспользоваться для графического представления некоторого
евклидова изображающего пространства, представив точку с
координатами Xj, х2, *з некотоР°й изображающей точкой с декартовыми
координатами xt, х2, *з· Об°значим в этом изображающем
пространстве положения двух покоящихся звезд Sj, 52 и некоторого
покоящегося наблюдателя J3. Тогда угол, под которым наблюдатель видит
звезды, не будет равен углу между прямыми BSX и J3S2. Точку В
следует связать с точками 5t, 52 кривыми линиями кратчайшего
времени, определяемыми уравнением (37), и угол, который они
образуют друг с другом в точке 5, с помощью вспомогательной
конструкции преобразовать из евлидовой фигуры в риманову, осно-
ванную на фундаментальной метрической форме da [сравн. с §11,
(15)]. Вычисленные таким образом углы —это как раз те углы,
которые определяют действительно наблюдаемые положения звезд
относительно друг друга и которые считываются с делительного
круга измерительного инструмента. В то время как точки ß, St, 52
остаются несмещенными, угол 51J552 может измениться, если вблизи
траектории луча окажутся тела с большой массой. Это утверждение
в свете выше сказанного надо понимать так, что световые лучи
искривляются гравитационным полем. В частности, это искривление
имеет место в гравитационном поле Солнца. Используем для
графического представления координаты х^, х2, х^ для которых на
бесконечности справедлива евклидова формула
da = dxx + dx$ + dx\.
Тогда для светового луча, проходящего непосредственно у края
Солнца, вычисление приводит к отклонению, равному Г'.74 (см.
§34). Это ведет к измеримому смещению положения звезд,
находящихся в непосредственной близости к Солнцу. Конечно, такие
положения звезд могут наблюдаться только во время полных
солнечных затмений. Звезды, используемые для наблюдения, должны быть
достаточно яркими, по возможности, многочисленными и настолько
близкими к Солнцу, чтобы эффект был достаточно велик, но, вместе
с тем, и достаточна удаленными от края Солнца, чтобы не быть
засвеченными солнечной короной. Наиболее благоприятным днем
для этого является 29 мая, и, к счастью, 29 мая 1919 года состоялось
полное солнечное затмение. В зону полного затмения для проверки

§31 Статическое гравитационное поле. Связь с опытом 307
эйнштейновского отклонения света были посланы две английских
экспедиции: одна в Собраль в северной Бразилии, а другая на остров
Принсипе в Гвинейском заливе. Наблюдения подтвердили
предсказанную величину отклонения; окончательные результаты измерений
оказались для Собраля Г,98±0",12, для Принсипе rt61±0"f30r3>.
Другой оптический эффект в статическом поле, требуемый
эйнштейновской теорией тяготения, и при благоприятных условиях,
по-видимому, доступный непосредственному наблюдению, основан
на взаимосвязи, которая в фиксированной точке пространства
имеется между космическим временем dt и собственным временем ds:
ds = fdt.
Если два покоящихся атома натрия объективно эквивалентны
друг другу, то при излучении оптических волн, отвечающих D-
линии, частота этих волн, измеренная с помощью собственного
времени, должна быть одинаковой для обоих атомов. Таким образом
мы вообще физически определяем одинаковые интервалы
собственного времени. Поэтому если /*в соответствующих местах, где
находятся атомы, имеет значения /*t, f2 между частотами vt, v2,
измеренными с помощью космического времени, возникает следующая
взаимосвязь:
Λ=/2*
С другой стороны, максвелловские уравнения в статическом
метрическом поле имеют решение, зависимость от времени которого
выражается множителем ее произвольной постоянной частотой
ν. Естественно поэтому частоту рассматривать как характерную
величину для процесса распространения волн, порожденных
покоящимся источником света в статическом поле. Это замечание было
справедливым уже в специальной теории относительности, где оно
привело к принципу Доплера, согласующемуся с опытом. В
соответствии с этим, световые волны, испущенные покоящимся атомом,
всюду в пространстве имеют одинаковую частоту, если последняя
измеряется с помощью космического времени t. Сравнивая в одном
и том же спектроскопе D-линии натрия земного источника с
соответствующими линиями света, пришедшего от звезды большой массы,
мы должны обнаружить небольшое смещение этих последних к
красному концу спектра, так как f вблизи больших масс обладает
несколько меньшим значением, чем вдали от них. Это уменьшение
частоты определяется, согласно нашей приближенной формуле (34),

308
Общая теория относительности
аж0
множителем 1- , где г—расстояние от массы т0 до места
измерения. На поверхности Солнца это приводит к смещению 0,008А
для голубой лцнии с длиной волны 4000Ä. Это лежит на границе
возможностей наблюдения. К тому же, ряд дополнительных
факторов осложняют дело: смещение линий за счет эффекта Доплера,
некоторая ненадежность материала, используемого в земных
источниках, а также известные нерегулярно меняющиеся смещения
солнечных линий, причины которых выяснены только частично;
наконец, наруЩение картины смещения из-за наложения густо
расположенных солнечных линий, вследствие их большой интенсивности
(при некоторых обстоятельствах две линии могут слиться в одну, с
одним максимумом интенсивности). Если все это принять во
внимание, то, по-видимому< имеющийся в нашем распоряжении материал
в обшем подтверждает предсказываемые значения красного
смещения . Но этот вопрос нельзя еще считать вполне разрешенным.
Имеется и третья возможность для опытной проверки теории
Эйнштейна. Согласно Эйнштейну, ньютоновская небесная механика
является лишь первым приближением. Возникает вопрос, достаточно
ли велики отклонения ее от строгой эйнштейновской теории, чтобы
их обнаружить с помощью наших современных приборов.
Наилучшие шансы в этом отношении имеет ближайшая к Солнцу планета,
а именно Меркурий. Действительно, Эйнштейн, рассчитавший
следующее за ньютоновским приближение, и Шварцшильд ,
получивший строгое решение для сферически-симметричного
гравитационного поля, порожденного покоящейся массой, и определивший
траекторию бесконечно малой массы в этом поле, обнаружили, что
эллиптическая орбита Меркурия (помимо возмущений, вызванных
остальными планетами) должна испытывать медленное вращение в
направлении движения планеты, причем скорость этого вращения
равна 43" в столетие. Еще Леверье установил именно это значение
для еекулярного вращения перигелия Меркурия, которое не могла
объяснить теория возмущений. Было выдвинуто множество гипотез
с целью устранения такого расхождения между теорией и
наблюдениями .К строгому решению, данному Шварцшильдом, мы
вернемся в §§33, 34.
Мы видим, таким образом, насколько радикально то
преобразование, которому подверглись наши представления о пространстве и
времени, благодаря эйнштейновской теории тяготения, и насколько
незначительны, вместе с тем, ее фактические отклонения от старой
теории, которые доступны экспериментальной проверке. Тем не
менее, все проведенные до сих пор проверки подтверждают теорию

§31 Статическое гравитационное поле. Связь с опытом 309
Эйнштейна. Но, главная опора теории, несомненно, не столько в
опыте, сколько в присущей ей внутренней согласованности, которой
она значительно превосходит классическую механику, а также в том,
как она в высшей степени удовлетворительным для нашего разума
образом одним ударом решает загадку гравитации и относительности
движения.
Тем же самым методом, который мы использовали для световых
лучей, можно и для движения материальной точки в статическом
поле установить принцип минимума, соответствующий только
пространственным траекториям и, таким образом, аналогичный принципу
кратчайшего времени Ферма. Если параметр s означает собственное
время,то
0=1 и/^ = const=4: (38)
^ ' ds E
является интегралом энергии. Теперь мы применим первый из двух
вариационных принципов (35) и обобщим его, как и выше, таким
образом, чтобы пространственные траектории варьировались при
фиксированных концах, а xQ = t вполне произвольным образом.
Тогда мы получаем
δ|νθώ = Γ4δί1=:δ/^ (39)
Чтобы исключить собственное время, мы разделим первое из
уравнений (38) на второе соотношение, возведенное в квадрат. Это
дает
2
где
dö = f4ü dt,
(40)
Уравнение (40) дает закон изменения скорости, в соответствии
с которым материальная точка проходит свой путь. Если, в
частности, мы будем варьировать так, чтобы варьированные траектории
пробегались точкой в соответствии с тем же законом и с той же самой
постоянной Е, то из принципа (39) мы получим:
,dh
т.е.

310
Общая теория относительности
δ jf2U dt = 0
Наконец, выразив dt через элемент пространственной дуги do и тем
самым полностью исключив время, получим
δ j<U do = 0.
Определив траекторию материальной точки, мы найдем также из
уравнения (40) время происходящего по этой траектории движения:
При Ε = 0 мы придем к законам распространения световых
лучей.
§32
Гравитационные волны
>ргредположив, что поле энергии Т^ является бесконечно слабым,
3ί>& Эйнштейн сумел проинтегрировать гравитационные
уравнения в общем случае. При этих условиях и при подходящем
выборе координат gik будут отличаться от постоянных значений
§ik только бесконечно малыми добавками γ^. Будем считать теперь
мир «евклидовым» с фундаментальной метрической формой
§ikdXidxk (40
а yik рассматривать как компоненты некоторого симметричного
тензорного поля 2-го ранга в этом мире. Операции, выполняемые в
дальнейшем, всегда будут опираться на фундаментальную
метрическую форму (41). На некоторое время вернемся опять на почву
специальной теории относительности и припишем влиянию материи
только бесконечно малое отклонение yik, от однородного фона §ik
метрического поля. Выбранную нами координатную систему будем
считать «нормальной», т.е. такой, чтобы §ik = 0 для г * kn
здесь Xq — время, jct, x2, х$ —декартовы пространственные
координаты; скорость света принята равной 1.
Введем величины
Ψ? = γ?-γδ? (у = к)

§32 Гравитационные волны
311
и заметим, прежде всего, что без ограничения общности можно
положить
^Ln (42)
dxk
= 0.
Если это условие не выполняется с самого начала, бесконечно
малым преобразованием мы можем так изменить систему координат,
чтобы соотношение (42) оказалось справедливым. Формулы
преобразования х, ведущие к новой координатной системе,
х% = хг + ζ (х0> х\ >х2> х$
содержат неизвестные функции ξ1, которые являются бесконечно
малыми того же порядка, что и величины γ. Мы получим новые
коэффициенты д^, для которых, согласно полученным ранее
формулам,
/ ч —/ ч <*И д£_ d9ik »г
и, таким образом,
В результате, приходим к соотношениям
dxk dxk l дх(* дх{ дх{ дх{'
Символ D, примененный к произвольной функции /*, означает
дифференциальный оператор:
1 Ч tok) дх20
дх\ дх\ дх\
Выдвинутое выше условие, таким образом, в новой системе
координат выполняется в том случае, если ξ* определяются уравнениями
^ dxk
которые можно решить методом запаздывающих потенциалов (сравн.
с гл.III, стр.195). Тем самым, координатная система, если не
принимать во внимание лоренцевы преобразования, определяется не только
с точностью до бесконечно малых первого порядка, но также и

312
Общая теория относительности
второго порядка. Весьма примечательно, что такая инвариантная
нормировка оказывается возможной.
Теперь вычислим компоненты кривизны Rik. Так как полевые
величины \ [ являются бесконечно малыми, то, ограничиваясь
членами 1-го порядка, получим:
д
*'* = a*
\ik\ JL iir)
1ΓΓ **αΙΊ
Теперь,
и, следовательно,
ik] 1
fair + Ъкг dfik)
дхь дх: дхг
tf tfk *Λ
+ τζ-$
дхь дхл
дх.
С учетом уравнений (42),
или
дхь дх4
1,
получаем:
Α Μ = -
дхг [г] дх{дхк 2
Точно так же получим
д [ir\ <τγ
**—&*
дхк \г\ дх±дхк
В результате находим
Rik = - |оу*
Следовательно, R = - Оу и
/г* - i δ?Λ - - iDvf.
Уравнения гравитации, следовательно, сводятся к следующим
уравнениям:
Ь^.-а^, (43)

§32 Гравитационные волны
313
которые можно тотчас же проинтегрировать методом
запаздывающих потенциалов (сравн. стр.195); используем здесь те же самые
обозначения:
Таким образом, любое изменение распределения материи
вызывает гравитационное действие, которое распространяется в
пространстве со скоростью света. Колеблющиеся массы порождают
гравитационные волны. Правда, нигде в окружающей нас природе
не происходят столь значительные колебания масс, которые бы
вызывали гравитационные волны, доступные наблюдению.
Уравнения (43) полностью соответствуют электромагнитным
уравнениям:
Dcp'W,
и, точно так же, как потенциалы φ1 электрического поля должны
удовлетворять дополнительному условию -^ = 0, ввиду того, что
дх{
аналогичное соотношение выполняется для тока sl:
ь
гравитационные потенциалы \\fi должны удовлетворять
дополнительному условию (42), потому что соответствующее условие
справедливо для тензора материи:
dxk
В пространстве, свободном от материи, могут распространяться
плоские гравитационные волны. Мы получаем их с помощью
подхода, аналогичного тому, который используется в оптике:
ψ* = а\ · е(аЛ + Vi + °Л + аЛ> ^
Здесь ai и а—постоянные; последние удовлетворяют условию
atal = 0. а0 —частота колебания, а^ + а2х2 + аз*з~~плоскости
постоянной фазы. Дифференциальные уравнения D\\fi = 0
удовлетворяются тождественно. Дополнительные условия (42) приводят к
соотношению
afak = 0. (44)

314
Общая теория относительности
Если ось хх является направлением распространения волны, то
а2 = а3 = 0, - ctt = а0 = ν,
и уравнения (44) сводятся к следующим
а{ = а\ или a0i = - аи. W5)
Поэтому достаточно определить пространственную часть
постоянного симметричного тензора а:
\\а\\ а\2 а\ъ\\
\\а2\ αΎΙ α23
||α31 аЪ1 аЪу\
так как а с нулевыми индексами определяются соотношениями (45).
Сама же эта пространственная часть не ограничена никакими
условиями. Ее можно разложить на три слагаемых относительно
направления распространения волны:
hi
0
0
о о|
0 0
0 0
+
В соответствии с этим, тензорное колебание можно разложить
на три составные части, независимые друг от друга: продольно-
продольную, продольно-поперечную и поперечно-поперечную
волны.
Методом приближенного интегрирования уравнений гравитации
Г.Тирринг получил два интересных результата . Во-первых, он
исследовал влияние вращения большой тяжелой сферы на движение
материальных точек вблизи центра сферы и, как и следовало
ожидать, установил возникновение сил, подобных центробежным силам.
Но, наряду с ними, возникает еще сила, которая по тому же самому
закону стремится ввести тело в экваториальную плоскость вращения,
подобно тому, как центробежная сила стремится отбросить тело от
оси вращения. Во-вторых, он вместе с И.Лензе изучил влияние
собственного вращения центрального тела на движение планет или
спутников. При этом, для пятого спутника Юпитера получается
возмущение, вызванное вращением Юпитера, которое, по-видимому,
допускает наблюдательную проверку.
Рассмотрев в §§31, 32 некоторые случаи приближенного
интегрирования гравитационных уравнений, когда мы ограничивались
использованием только линейных членов, перейдем теперь к
изучению возможных строгих решений. Но при этом сосредоточим наше
внимание только на гравистатике.
М2 "13
*21
О
О
О
о
0
0
0
0
ö22
α32
0
α23
α33

§33 Статическое центрально-симметричное поле в пустом пространстве 315
А
§33
Статическое центрально-симметричное поле
в пустом пространстве*9*
ля статического гравитационного поля мы имеем
.2 _ /2 ,2 ,2
dsf = Г dxZQ - dol
где da — положительно-определенная квадратичная форма трех
пространственных переменных jct, х2, x$\ скорость света /"также зависит
только от этих переменных. Поле центрально-симметрично, если
пространственные переменные можно выбрать так (при условии, что
реальное пространство допускает отображение на декартово
пространство с фиксированным центром О), что 1) /является функцией
расстояния от точки, в которой вычисляется поле до центра,
измеренного в пространстве отображения
г = VxJ + х\ + Х%,
~ч „ do
и 2) линейное отношение приращении ——, т.е. отношение длины
doQ
некоторого линейного элемента do к длине doQ соответствующего
линейного элемента в декартовом пространстве отображения
(dal = dx\ + dx\ +</дф,
имеет определенное значение для всех радиально расположенных
линейных элементов */σ0 в этом пространстве, которые находятся от
центра на одинаковом удалении г, и то же самое верно для всех
тангенциальных расположенных перпендикулярно радиусу
линейных элементов do§ на этом же удалении от центра. Отсюда следует,
что do имеет вид
k(dx\ + dx\ + dx%) + 1(χχ άχχ + χ2 dx2 + x3 dxj)2, №)
где k и /—функции только г. Указанную зависимость радиального
(||) и тангенциального (1_) отношений приращений от расстояния г
определяют с помощью соотношений для функций k и /
(до
(до"
Подходящим выбором шкалы расстояний г можно, очевидно,
добиться того, чтобы, например, тангенциальное отношение и тем
самым k было равно 1. Аналитически это означает, что, сохраняя

316
Общая теория относительности
нормальную форму (46), мы можем пространственные координаты
xi подвергнуть преобразованию
4-'-х, <47)
г г г
в котором г* — произвольная монотонная функция г. Подходящим
выбором этой функции можно получить новые координаты х*, для
которых тангенциальное отношение приращений будет равно 1. Для
этого следует только принять г* = \dHk. Именно эту нормировку
мы положим в основу наших вычислений. Тогда будем иметь:
ds2 = f\r) dt2 - do2t
da1 = {dx] + dxj + dxj) + l{f){xx dxx + x2 dx2 + x3 dx$2 (48>
или, с учетом обозначений §31
yik = -9ik=*ik + lxixk (i,*= 1.2,3).
Если радиальное отношение обозначить А, то получается
Л2 = 1 + /г2.
Это центрально-симметричное поле должно быть теперь
определено так, чтобы оно удовлетворяло однородным гравитационным
уравнениям, которые справедливы всюду, где обращается в нуль
плотность энергии Т^. Эти уравнения содержатся в вариационном
принципе
δ jGdx = 0.
Так мы найдем гравитационное поле вокруг покоящихся масс,
центрально-симметрично распределенных вокруг центра.
Используем сначала вариационный принцип лишь частично, предположив,
что при варьировании сохраняет свой вид положенная в основу
нормальная форма ds (48). Вместо того, чтобы варьировать все 10
компонент gik независимо друг от друга, мы дадим приращения
только величинам /*и /, причем бесконечно малые и зависящие только
от г. При таком ограниченном применении вариационного принципа
достаточно вычислить интеграл J 6 dx для этой нормальной формы.
Если штрихом обозначить производную по г, то мы получим

§33 Статическое центрально-симметричное поле в пустом пространстве 317
и поэтому
а
Так как из
= ± *jVx{xk + lbikxa (i, k, α = 1, 2, 3).
β=1
как нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, следует
ха = —χ
мы получим в итоге
ik) 1 х« l'xixk + 2lr*ik
W=2 r
Достаточно вычислить G в точке х^ =г, х2 = 0, х3 = 0. В этой
точке вычисленные выше трехиндексные символы равны
1 Л _ К. /2 21 _ /3 31 _ 1г_
Μ"*' 14 1ЧА2'
все оставшиеся равны нулю. Трехиндексные символы, содержащие
нуль в качестве одного из индексов, в соответствии с §31, равны
iiolioiW iool_£
°J ~\°1~Γ \4~h2·
остальные равны нулю. Величины gik, стоящие на главной диагонали
(г = k)t равны
А -Л2, -1,-1,
остальные компоненты (г * k) оказываются равными нулю. Для д ,
стоящих на главной диагонали, следует поэтому взять следующие
значения
1 -± -ι -ι
Z2 А2
остальные равны нулю. Формула (31) для О дает поэтому
f2
тшш
00
1

318
Общая теория относительности
- 1
-1
»Ην»
10
о
V V]
Члены, стоящие в первой и второй строчках, дают вместе
Но в этом произведении второй множитель равен нулю. Так как,
согласно уравнению [(60) §18],
г = 0l J
сумма членов, стоящих в третьей и четвертой строчках, оказывается
равной
_2/г Δ:
h2 Δ*
Если мировой интеграл G берется по некоторому
фиксированному интервалу времени х0 и по пространственной оболочке,
заключенной между двумя сферами, то, поскольку элемент интегрирования
равен dx = dxQ · dil · г dr, где dil—пространственный угол,
искомое вариацианное уравнение будет
δ JWd^O.
Таким образом, положив
/г3 /г3
1 +/Г2
1 --^|г = а>,
получим
δ \wö! rfr = 0.
Здесь мы должны рассматривать Δ и ω как независимо варьируемые
функции.
Варьируя w, получаем
Δ' = 0, Δ = const;
при надлежащем выборе единицы времени получается, таким образом

§33 Статическое центрально-симметричное поле в пустом пространстве 319
Δ = Λ/·=1.
Интегрирование по частям дает
j wA' dr = [wA] - J Aw' dr.
Поэтому при варьировании Δ мы получаем
w' = О, w = const = 2m.
Согласно определению w и полагая А = 1, находим теперь
(49)
,2 , 2т ,2 1
f-i-^. *=^>·
Г
Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что
найденное таким образом поле удовлетворяет уравнениям
гравитации. Но и без вычислений следующее рассуждение убеждает нас в
том, что свободное варьирование всех 10 компонент gik не ведет к
новым уравнениям. Прежде всего, тензор кривизны Rik, входящий,
согласно §31, в выражение
имеет также статическую форму: Ri0 = 0 для г = 1, 2, 3 и все его
компоненты не зависят от времени xQ = t. Во-вторых, из
инвариантности тензорного поля gik (i, k = 1, 2, 3) относительно евклидовских
вращений пространства отображения вокруг точки О следует
аналогичное свойство инвариантности для тензорного поля Rik,
однозначно определяемого полем gik, т.е.
Rik = Щк + Lx{xk (г, k = 1, 2,3),
и Rqq, К, L зависят только от г. Вследствие этого, достаточно
варьировать /*, k, l входящие в нормальную форму (46). Если
пространство отображения подвергнуть такой бесконечно малой
деформации, чтобы точки сферы радиуса г переходили в точки сферы
радиуса г + 5г, (5г является лишь функцией г), то нормальная форма
(46) не изменится. Известные изменения б/, δ/г, δ/, зависящие от Ьг
испытывают лишь функции /", k, /. Но в этом случае, если вариация
8г отлична от нуля только в некотором конечном интервале
изменения радиуса г, всегда выполняется
δ JGdx = £ JR<gdx = 0.

320
Общая теория относительности
так как R — инвариант. Вследствие этого достаточно варьировать при
ограничении 5k = 0.
Наша задача, таким образом, полностью решена. Единица
времени выбрана так, чтобы скорость света на бесконечности была
равна 1. Величину /и, имеющую размерность длины, мы назовем
гравитационным радиусом масс, порождающих поле. Она служит
мерой интенсивности возмущения метрического поля, вызванного
этими массами. Если в качестве единиц пространства и времени мы
выберем [см] и [сек.], то скорость света вдали от возмущающих масс
будет равна не 1, а с\ поэтому в наших формулах нам придется
заменить /*на cf. На расстояниях г, достаточно больших по сравнению
с т, будут выполняться соотношения
о
' с г
С величиной М, входящей в характерное для ньютоновского
закона выражение потенциала
Μ
ф = -—
г
2
наша величина т связана, поэтому, уравнением Μ = с т.
Наблюдения за движением звезд позволяет говорить только о значении этой
«массы, генерирующей гравитационное поле», Μ или т. Для
Солнца, например, т приближенно равна 1,47 км, а для Земли
т = 5 мм. Но чтобы удовлетворить принципу, согласно которому
сила притяжения первого тела вторым равна силе притяжения
второго тела первым (равенство действия и противодействия), Ньютон
предположил, что величина Μ пропорциональна инертной массе.
Взаимосвязь между гравитационной и инертной массами в рамках
эйнштейновской теории будет установлена нами в §37. Так как f не
может быть отрицательной величиной, из наших формул вытекает,
что при использовании введенных здесь координат для
пространственной области, свободной от материи, всюду должно выполняться
неравенство г > 2т.
Вместо положенной выше в основу нормировки пространства
отображения посредством условия: тангенциальное отношение
приращений равно 1, иногда целесообразно использовать другие
нормировки. Особенно проста нормировка / = 0: в этом случае реальное
пространство оказывается конформным декартову пространству
отображения, а тангенциальное отношение приращений — равным
радиальному отношению. При «перенормировке» (47), очевидно,
выполняются соотношения

§33 Статическое центрально-симметричное поле в пустом пространстве 321
\da*0\
dr_
dr*'
\da*0
)L
Если х- пространство соответствует нашей старой нормировке
da*
= Kr),
то к конформному декартову пространству отображения с
координатами х* мы придем, при условии выполнения равенства
dr г
Это приводит, с учетом уравнения (49), к дифференциальному
уравнению
dr _ dr*
Mr - 2т) ~ r* '
Его интегрирование дает следующий результат
г- т
т
U * !
АГ +
*
аг
Таким образом, отношение приращений на бесконечности
остается равным 1, если в качестве постоянной а (т.е. в качестве единицы
для измерения нового расстояния г*) мы выберем величину — и
т
получим
* т г Л яЛ
г = г + т + —-, — = 1 + —-
4г* г* I 2г*
2 г -2т
Г-
г - т/2
I/ + W/2J
2
Тем самым в новой системе координат, если опустить звездочку,
выполняются соотношения:
2
линейное отношение
- и dö (а т>\
приращении h - — ^1 +^j , ^
- 1 - m/2r
скорость света / = *-— .
^ ' 1 + w/2r

322
Общая теория относительности
Если некоторый бесконечно малый твердый масштабный
стержень помещать в различные точки гравитационного поля,
окружающего наш центр масс, то он всегда будет принимать одинаковую
длину do. Таким образом, мы определили метрику физически,
согласно Эйнштейну, с помощью линеек и часов. Величина da — это
ширина мировой полосы, которую описывает покоящийся масштаб,
измеренный с помощью фундаментальной метрической формы ds
перпендикулярно направлению полосы. «Естественная геометрия»,
основанная на непосредственных данных измерения твердых
стержней не является евклидовой в окрестности массы, напротив, она,
как показывают наши формулы, отклоняется от таковой. Правда, эту
ситуацию можно охарактеризовать следующим образом. В самом
деле справедлива евклидова геометрия, но гравитационное поле, на
самом деле так действует на масштабы, что радиально
расположенный стержень, который находится на расстоянии г от центра
притяжения, испытывает сокращение в пропорции
Г
в то время как тангенциальный масштаб, расположенный
перпендикулярно к радиусу, не испытывает изменения длины под действием
гравитационного поля. Поэтому не da, а da0 в соответствии с нашей
первой нормировкой является истинной длиной стержня, и, тем
самым, после учета поправки, обусловленной сокращением,
оказывается справедливой евклидова геометрия.
Будем производить измерение расстояний на неравномерно
нагретой пластине, которая находится в стационарном температурном
состоянии, с помощью покоящихся масштабов, которые в каждой
точке пластины при достижении теплового равновесия приняли
имеющуюся в этих точках температуру. В этом случае, как и в
гравитационном поле, мы зафиксируем подобные, но гораздо более
значительные, отклонения «естественной геометрии» от евклидовой.
Несмотря на это, никто не утверждает, что на пластине
несправедлива евклидова геометрия; указанные же отклонения приписывают
тепловому расширению используемых масштабов. Не проще и не
разумнее ли так же и в случае гравитационного поля сохранить
евклидову геометрию и принять, что в гравитационном поле
масштабы сокращаются? Такое описание положения дел, как известно,
вполне возможно. Но, несмотря на то, что на неравномерно нагретой
пластине сокращение зависит от материала, из которого сделаны
стержни, а в гравитационном поле это не имеет места, существует
еще более важное различие. В гравитационном поле мы можем, в

§33 Статическое центрально-симметричное ноле в пустом пространстве 323
соответствии с нашей второй нормировкой, спасти евклидову
геометрию, приняв, что все масштабы, расположенные как тангенциально,
так и радиально, испытывают на расстоянии г от центра притяжения
сокращение (1 + т/2г) . Здесь, таким образом, имеется, очевидно,
бесконечно много равновозможных и равноправных предписаний для
корректирования длин, непосредственно считываемых с
масштабных стержней, каждое из которых ведет к евклидовой геометрии,
принимаемой в качестве истинной геометрии. Не существует
никакого основания для выбора какого-либо одного предписания как
единственно правильного, в противоположность всем остальным. Было
бы актом чистого произвола допущение такого выбора.
Эйнштейновская концепция избегает внесения такого произвольного и
одновременно излишнего элемента в описание конкретных явлений. Совсем
иначе обстоит дело в случае температурного поля: здесь мы имеем
единственное физически выделенное корректировочное
предписание, связанное со сведением к постоянной температуре.
Чтобы отклонения от евклидовой геометрии вблизи центра масс
сделать наглядными, достаточно представить себе проходящую через
этот центр плоскость. Мы построим некоторую поверхность
вращения в евклидовом пространстве, на которой, как и на такой
плоскости, имеют место одинаковые метрические отношения. Пусть х^, х2»
х^—декартовы координаты в евклидовом пространстве, ось г —это
ось вращения искомой поверхности вращения, г—расстояние
произвольной точки от оси ζ и ζ = F(r)—уравнение этой поверхности. Если
с помощью ортогональной проекции мы отобразим ее на плоскость
xt x2, то тангенциальное отношение приращений будет равным 1, а
радиальное отношение определится из формулы
Чтобы добиться совпадения с (49), нам следует для F(r) принять, что
äz = F( ^[Г^
dr r-2m'
Это, дает
ζ = F(r) = yl8m(r-2m).
Таким образом, на этой плоскости реализуется такая же
геометрия, как и в евклидовом пространстве на поверхности
вращения параболы
ζ = V8m(r - 2т).

324
Общая теория относительности
Перейдем теперь к случаю, когда массы, распределенные
центрально-симметрично вокруг центра О, электрически заряжены;
конечно, распределение заряда должно быть также центрально-
симметрично.
Заряженный шар порождает, помимо центрально-
симметричного гравитационного поля такое же электростатическое
поле. Так как оба поля влияют друг на друга, их можно определять
только одновременно '. В области, свободной от масс и зарядов,
интеграл действия, который в состоянии равновесия принимает
стационарное значение, равен
Обозначения здесь те же самые, что и выше, φ
—электростатический потенциал. В качестве функции действия электрического
поля, в соответствии с классической теорией, принимается квадрат
напряженности поля. Варьирование w так же, как и при отсутствии
зарядов, дает
Д' = 0, A = const = l.
Варьирование потенциала φ, однако, дает
dr\ Δ
О
и отсюда
г
е (50)
Поэтому, для электростатического потенциала остается в силе та
же самая формула, которая была получена при отсутствии
гравитации. Постоянная 4пе — это электрический заряд, порождающий поле.
Варьирование Δ, наконец, приводит к уравнению
*~2 V = 0·
откуда получается
- ев е \ д А 2т & е ί(-Λλ
w = 2m--—, -~ - Г = 1 + -й"о- (50)
2 г fr2 г 2 г2
Постоянная т снова означает гравитационный радиус
центрального тела. Дополнительное электрическое слагаемое, входящее в эту
формулу, вызвано гравитирующим действием энергии
электрического поля.

§34 Световые лучи и планеты в гравитационном поле Солнца 325
§34
Световые лучи и планеты в гравитационном поле Солнца
дргрименим наши формулы (49), или (49*), в частности, к грави-
Щ1тационному полю Солнца. Чтобы рассчитать отклонение
световых лучей, проходящих около Солнца, наиболее целесообразно
положить в основу формулу (49*), связанную с конформным
отображением на декартово пространство отображения. Тогда путь света
характеризуется тем, что при интегрировании по нему интеграл
Jy = jndoQt
где
η = у = (1 + т/2г)3 : (1 - т/2г),
получает стационарное значение.
Сообразно с этим, гравитационное поле действует на
световые лучи точно так же, как некоторая окружающая Солнце
преломляющая среда, коэффициент преломления которой η
изменяется с расстоянием до Солнца г в соответствии с указанной
выше формулой. Так как на всех участках траектории светового луча
расстояние г до центра Солнца очень велико по сравнению с т, мы
можем с достаточным приближением записать
2т о л 4т
η = 1 + —, η = 1 + —.
г г
Эффект отклонения, как видно, наполовину определяется
влиянием гравитирующего центра на скорость света, или статический
потенциал тяготения /*, наполовину — влиянием гравитации на
пространственную геометрию (т.е. на А). Если вычислить траекторию луча
света по формулам ньютоновской теории с учетом притяжения света,
а именно как путь некоторого тела, имеющего на бесконечности
скорость, равную скорости света с, то получится только первая часть
эффекта. Поэтому ньютоновский закон тяготения дает только
половину эйнштейновского отклонения. Принцип действия для тела,
движущегося под влиянием потенциала Φ и имеющего на
бесконечности, где Φ исчезает, скорость, равную скорости света с,
записывается в ньютоновской механике в виде
8jVT^.rfa0-0.
с2
Этот интеграл, снова имеющий форму jndoQt должен быть
экстремальным; только на этот раз

326
Общая теория относительности
2 4 2Ф . 2т
η = 1 - —г- = 1 + —.
с2 г
Если эйнштейновское значение подтверждается на опыте, то это
свидетельство того, что гравитационная масса именно так, как это
установил Эйнштейн, действует на метрическое поле окружающего
ее пространства.
Чтобы определить теперь путь света, положим на мгновение
do = η döQ. При этом речь идет о геодезической линии, соответству-
*)*)>)
ющей квадратичной форме da = η da0. Ее дифференциальные
уравнения таковы
_d_
da
f dx>
2 "*ι
или
( dxi
don
da,
V
\_drf_
2 dx:
dx{
dn
dr
Отсюда известным образом получаются три уравнения, которые
содержат «закон площадей»
f άχΊ
..., η
Xxd*]-X*
dx^
da.
о;
= const.
Из него следует, что луч света лежит в плоскости, в качестве
которой можно выбрать координатную плоскость х$ = 0. Если в нее
ввести полярные координаты г, φ, то уравнение площадей примет
вид
п?^ =
do*
const = R
или
\_(dr_
r4U<P
— = -
r2~ R
2 ·
Если вместо г использовать обратное расстояние ρ = —, то получится
(dp)2 2 η2
(51)
Так как на бесконечности η = 1, R означает расстояние от обеих
асимптот светового луча до центра Солнца или «кажущееся
расстояние» света, посланного звездой, до точки О (для произвольной

§34 Световые лучи и планеты в гравитационном поле Солнца 327
кривой расстояние асимптот до начала координат определяется
значением -р при ρ = 0). Следующие соотношения согласно ньюто-
ар
новской теории выполняются строго, а согласно эйнштейновской
теории —с достаточной точностью:
η = 1 + ар; а = 2т (Ньютон), а = im (Эйнштейн).
В соответствии с формулой (51) свет при указанных
обстоятельствах распространяется по гиперболе, и для угла отклонения легко
получается значение —. Это значение, таким образом, обратно
пропорционально расстоянию от видимого положения звезды до центра
Солнца R и, согласно Эйнштейну, вдвое больше ньютоновской
величины. Наблюдения в Собрале и на острове Принсипе
недвусмысленно решают вопрос в пользу Эйнштейна.
Чтобы рассчитать движение планеты в гравитационном поле, мы
используем первую нормировку и связанные с ней обозначения §33.
Планета описывает геодезическую мировую линию. Из четырех
уравнений геодезической линии
d2x,
dx„ dx.
d xi + ία ßl dxa
ds2 [i } ds
ds
ß_
= 0
уравнение, соответствующее индексу i = 0, дает в статическом поле
тяготения, как мы видели, интеграл энергии
2 dx0
г —г- = const,
' ds
или, так как
/х0) (da
f-d7\ =x+\Ts
f
1 +
(da
\ds
= const.
Уравнения, отвечающие индексам i = 1,2, 3 дают для
центрально-симметричного поля, как это непосредственно видно из
выписанных в §33 значений трехиндексных символов, следующую пропорцию
d2x
d Χι
1 . ц *2
ds2 ' ds2
d2
*3
'Ί?
= Xi
и, тем самым, закон площадей

328
Общая теория относительности
d%2 dxx
-'*! "dl* "*2 "d7 = Const·
Этот закон в ньютоновской теории отличается от
сформулированного только тем, что в последнем дифференцирование
производится не по космическому времени, а по собственному времени планет
s. Вследствие закона площадей их движение происходит в плоскости,
в качестве которой мы можем выбрать координатную плоскость
#3 = 0. Если на этой плоскости ввести полярные координаты:
jct = r cos φ, χ2 = г sin φ,
то интеграл площадей запишется в виде
г2 &■ = const = Ь. (52)
ds
Но интеграл энергии, ввиду соотношения
da2 = h2 dr2 + г2 </<р2,
можно переписать в следующей форме
( 2 2 ч
'Иг ♦·*
ff) - const
Вследствие равенства fh = 1, подстановкой, значения для f ,
получаем
-*?+$+«-*>$--*-«*. <*>
Это уравнение отличается от уравнения энергии в ньютоновской
теории только тем, что в последнем слагаемом слева множитель г
заменяется множителем г - 2т.
Дальнейшее рассмотрение вопроса такое же, как в ньютоновской
теории. Подставим значение -р из (52) в (53):
dfrf _ 2т Ь\г - Zm)
ds] ~ г ~L r3 ·
или, используя вместо г обратное расстояние ρ = —,
( ή λ2
,-^fi-1 = 2mp - Ε - fa2p2(l - 2mp).
[p2 Ь

§34 Световые лучи и планеты в гравитационном поле Солнца 329
Если мы хотим определить траекторию планеты, то нам следует
исключить собственное время из этого уравнения, что достигается
делением его на возведенное в квадрат соотношение (52):
(d£\ 2m jE 2 о Л
(d<f) b2 b2
В ньютоновской теории последнее слагаемое справа отсутствует.
Принимая во внимание численные соотношения, для случая планет,
мы найдем, что полином 3-й степени по р, стоящий в правой части,
имеет три положительных корня р0 > pj > р2 и, таким образом, равен
2/и(р0 - р) (pt - ρ) (ρ - р2).
Будем считать, что ρ изменяется в промежутке между pj и р2.
Корень р0 очень велик по сравнению с двумя другими корнями. Как
и в ньютоновской теории, положим
— = а{\ - е), — = ö(l + e)
Pl Р2
и назовем а большой полуосью, а в —эксцентриситетом. Тогда
получим
2
Pl + Р2 = — Г-
а(\ - er)
2
Сравнив коэффициенты при ρ друг с другом, мы найдем, что
1
р0 + Р| + р2 = —.
Величина φ выражается через ρ с помощью эллиптического интеграла
1-го рода и поэтому р, наоборот, является эллиптической функцией
φ. Движение планеты оказывается похожим на движение
сферического маятника. Чтобы найти приближенные формулы, описывающие
это движение, сделаем такую же подстановку, которая используется в
ньютоновской теории для определения кеплеровских эллипсов:
Pl +Р2 Pl "Р2 Λ
ρ - —5— = —о— C0S
Тогда φ оказывается равным
φ = f , dQ (54)
λ/Γ/ ρι + Ρ2 Ρι - Ρ2.... я
V2»i(p0 г »— cos θ

330
Общая теория относительности
Перигелий характеризуется значениями θ = 0, 2τί, ...;
приращение азимута φ за один полный оборот от перигелия к перигелию
дается, таким образом, написанным выше интегралом, который
берется в пределах от 0 до 2π. С достаточной точностью это
приращение оказывается равным
2π
4,
2т\
Pl +P2
Ро~—о—
Разложив подинтегральное выражение в ряд по степеням малой
величины
(pt - р2) cos θ
2ρ0-(Ρι +Ρ2)'
мы получим при интегрировании, ввиду равенства
2π
Jcos θ · dQ = 0,
0
обращение в нуль коэффициента при первой степени. Мы найдем,
однако, что
pt + р2 3 13
ρο--Τ- = (ρο + Ρ. + Ρ2)-2<Ρι+Ρ2) = 2^-^7^·
Следовательно, приращение азимута равно
2π f1+ 3m 1
Vi- 6ffl 1 a(i-e2)\
α(ί - e2)
и опережающий сдвиг перигелия за один оборот пути равен
6я/я
а(1 - е2)'
Гравитационный радиус Солнца т, согласно третьему закону
Кеплера, можно выразить через период вращения планеты Г и
большую полуось орбиты а:
4п2а3
с2Т2

§35 Другие строгие решения статической гравитационной задачи 331
Результаты наблюдения с помощью прецизионных
астрономических инструментов дают надежное значение прецессии перигелия
только для ближайшей к Солнцу планеты, а именно Меркурия .
Из формулы (54) можно также, конечно, заново рассчитать и
отклонение света.
§35
Другие строгие решения статической гравитационной задачи
Гравитационное поле, существующее внутри массивного тела,
определено, согласно эйнштейновской теории, лишь в том
случае, когда полностью известно динамическое строение тела. В
гравитационных уравнениях содержатся механические уравнения,
следовательно, в статическом случае, —условия равновесия.
Простейшие соотношения, которые мы можем учесть, легко выписать,
если тело состоит из однородной несжимаемой жидкости. Тензор
энергии жидкости, на которую не действуют объемные силы, равен,
согласно §27,
Tik = v\*k-P9ik'
Здесь щ — ковариантные компоненты мирового направления
материи и-и1 = 1, скаляр р—давление, а μ* определяется как сумма
постоянной плотности μ0 и давления ρ: μ* = μ0 + р. Введем величину
μ\ = щ
как независимую переменную и положим
Тогда, если мы будем варьировать только дг , но не vit получим
Следовательно, гравитационные уравнения можно охватить
одной формулой, относящейся к этому классу вариаций
δ J(a>L + О) dx = 0.
Следует, однако, заметить, что этот принцип, если в нем vi
варьируются как независимые переменные, не дает правильных
уравнений гидродинамики (вместо них получились бы уравнения

332
Общая теория относительности
ι = 0, которые вовсе ни к чему не ведут). Но эти уравнения,
Ίν-ϋ1
фактически законы сохранения энергии и импульса, уже содержатся
в уравнениях гравитации.
В статическом случае νχ = α2 = ^з = ^ и все величины не зависят
от времени; положим vQ = ν и используем символ вариации δ в том
же смысле, что и в §30 для изменения величин, которое вызывается
бесконечно малой деформацией пространства-времени. При этом
ограничимся, однако, рассмотрением чисто пространственного
смещения. Тогда
причем δυ означает не что иное, как разность ν в двух точках
пространства, которые переходят друг в друга при бесконечно малом
смещении. Вернувшись теперь к выводу, с помощью которого был
получен в §30 закон сохранения энергии-импульса, мы из
справедливости этого закона, т.е.
\?kb9ik-dx = 0,
и уравнения, которое выражает инвариантную природу мирового
интеграла от L
J8L · dx = 0
получим, что δυ = 0. Это означает, что в некоторой односвязной
пространственной области, заполненной жидкостью, υ имеет
постоянное значение. Этим фактом наиболее просто выражается закон
сохранения импульса, а закон сохранения энергии выполняется
тождественно.
Единичная масса жидкости, находящаяся в равновесии, обладает
центральной симметрией как в отношении распределения масс, так
и в отношении связанного с ней гравитационного прля. В этом
частном случае мы должны сделать то же самое предположение
относительно ds , содержащей три неизвестных функции kt /, /*что
и в начале §33. Если с самого начала положить k = 1, то уравнение,
возникающее вследствие варьирования kt исключается из
рассмотрения. Это уравнение вполне можно заменить уравнением, которое
является выражением инвариантности действия при бесконечно
малом переносе в радиальном направлении, т.е. законом сохранения
импульса ν = const. Вариационная задача, которую мы будем теперь
решать, выглядит следующим образом:

§35 Другие строгие решения статической гравитационной задачи 333
δ )\/S!w + авГЦоА - &r2v1rt dr = О,
при этом Δ и А следуют подвергнуть варьированию, а
w =
1 -
1
Начнем с варьирования переменной Δ. Это приводит к уравнению
w' - аец0Г = О,
откуда
айо^з
w = ■
т.е.
1
= 1 -
®М0
λ
(55)
Пусть сферическая масса жидкости имеет радиус г = г0. Очевидно,
он должен быть меньше, чем
Верхним пределом размеров для водного шара, например, является
значение радиуса 4 · 10 км = 22 световым минутам. За пределами
шара оказываются справедливыми наши прежние формулы, в
частности
1 1 _ 2т
h2 Г
Δ= 1.
Граничные условия требуют, чтобы Л и /"непрерывно изменялись при
пересечении сферической поверхности, а давление ρ исчезало. Из
непрерывности Л следует, прежде всего, значение для
гравитационного радиуса сферической массы т жидкости
т = '
(56)
Из неравенства, связывающего г0 и μ$, вытекает, что радиус г0
должен быть больше 2т. Двигаясь, таким образом, из бесконечности,
мы, прежде чем дойти до упомянутой выше сингулярной сферы
г = 2ту натолкнемся на жидкость, внутри которой действуют другие
законы. Так как
ILA
h

334
Общая теория относительности
— константа и принимает значение — на поверхности сферы, где
"О
А0 является значением Л, определяемым из формулы (55), всюду
внутри
(57)
Варьирование величины h дает
2Δ
+ &rv = 0.
Так как из (55) следует
мы тотчас же получаем
Δ = τ— h + const.
2Й0
Используя далее значение постоянной ν, следующее из формулы
(57), и определив значение постоянной интегрирования с помощью
граничного условия на поверхности сферы Δ = 1, мы получим
ЗЛ - ЛЛ
Δ=·
2Лп
/* =
ЗЛ - Л0
2ЛЛЛ
Наконец, из (57), вытекает теперь, что
Тем самым определена фундаментальная метрическая форма
пространства
Л _ ,jj . а Л . л-А . (*l dx\+x2 dx2 +х3 ^ (58)
des* = (dx\ + dx\ + dx§ +
?Г7
гравитационный потенциал, или скорость света, /*, и скалярное поле
давления р.
Введем в пространстве некоторую дополнительную координату
Тогда выполняется соотношение
Л
+ JC? + ,
х\ + *2 + х3 + г ö »
(59)

§35 Другие строгие решения статической гравитационной задачи 335
и поэтому равенство
хх dxx + x2 dx2 + x3 dx3 + 2 dz = 0,
и, вследствие этого, (58) переходит в
do2 = dx2 +dx% +dx\ + dz2.
Всюду внутри жидкой сферы справедлива сферическая
пространственная геометрия, а именно такая геометрия, которая
реализуется на «сфере* (59) в четырехмерном евклидовом
пространстве с декартовыми координатами xt, х2, хз> ζ· Жидкость
покрывает некоторый шаровой сегмент этой сферы.
Давление в ней является дробно-линейной функцией «верти-
V ζ ~" ^0
кальной высоты» ζ на сфере: -*- = . Из формулы вытекает
μ0 özQ - ζ
также, что, ввиду невозможности перехода давления ρ от
положительных значений через бесконечность к отрицательным на сфере с
высотой ζ = const должно выполняться неравенство 3zQ > а и
установленное выше предельное значение для радиуса жидкой сферы
2а<2
уменьшается соответственно до —~—.
Эти результаты для жидкой сферы были получены сперва
Шварцшильдом . После того как важнейшие случаи центрально-
симметричного статического поля тяготения были исследованы,
автору удалось решить более общую задачу о статическом поле,
обладающем вращательной цилиндрической симметрией . Как
следует из гравитационных уравнений, фундаментальная
метрическая форма в этом случае, при введении известных пространственных
координат г, θ, ζ, именно канонических цилиндрических координат,
принимает следующий вид:
ds2 = f2 dt2 - do2t de2 = Afyr2 +dz2) + !-ψ-.
Здесь θ—угол, который устанавливается с точностью до 2π;
иначе говоря, значения, которые отличаются друг от друга на целое
число 2π, соответствует одной и той же точке. На оси вращения
г = 0; h и /"являются функциями гиг. Отобразим реальное
пространство на евклидово пространство, в котором г, Θ, г —цилиндрические
координаты. Каноническая система координат однозначно
определена с точностью до сдвига вдоль оси вращения: ζ* = ζ + const. Если
h = f = 1, то der совпадает с фундаментальной метрической формой

336
Общая теория относительности
евклидова пространства отображения. Задача может быть решена так
же просто, как и в ньютоновской теории, если известно
распределение масс в канонической системе координат. А именно, перенесем
массы в наше пространство отображения, т.е. рассмотрим в нем такое
распределение масс, чтобы масса, содержащаяся в некоторой части
реального пространства, была равна массе соответствующей части
пространства отображения. Если затем Ф—ньютоновский потенциал
этого распределения масс в евклидовом пространстве отображения,
то оказывается справедливым простое соотношение lg /* = φ. Другая
неизвестная функция Л = еу определяется, согласно Леви-Чивите ,
из дифференциала
который, ввиду справедливости уравнения для потенциала ΔΦ = О,
является полным дифференциалом. Но с самого начала ясно, что
некоторые тела, распределенные симметрично вокруг оси, не остаются,
вследствие гравитационного притяжения, в покое, если они не
удерживаются возникающими напряжениями. Некоторая осесимметричная
система напряжений состоит из азимутального главного напряжения
и двух нормальных к нему главных напряжений в меридианальной
плоскости, которые не зависят от азимута θ. Если же, несмотря на
имеющиеся напряжения, существуют канонические цилиндрические
координаты, то оба главных напряжения в меридианальной
плоскости должны быть равны и противоположны по направлению. Мне
удалось доказать следующее утверждение: каковыми бы ни были в
остальном эти напряжения, они всегда препятствуют телам следовать
под действием силы гравитационного притяжения К по направлению
к оси; эту силу К, которая определяется потоком поля напряжений
через поверхность, разделяющую тела, можно поэтому назвать силой
гравитации лишь на том физическом основании, что под ее
действием тела притягиваются. Вычисления Р.Баха дают значение
этой силы для двух точечных масс с гравитационными радиусами
т и т\ разделенных в каноническом пространстве отображения
расстоянием 2б?,
к 2с2п j (d + m) (d + m')
« g d(d + m + m*) '
Если тит' малы по сравнению с d, то приходят, как и следовало
ожидать, в первом приближении к ньютоновской силе

§36 Компас и вращение
337
8пс2 тт'
* ' (2df
Не следует преувеличивать физическое значение этого
результата. Для решения реальной задачи двух тел, т. е. для определения
движения двух притягивающихся друг к другу тяжелых масс, это
ничего не дает.
Ряд последующих прекрасных исследований по статической
гравитационной проблеме был выполнен Леви-Чивитой . Его
ученики, наряду со статическим случаем, более точно исследовали также
«стационарный» случай, который характеризуется тем, что все gik
не зависят от временной координаты х0, а «боковые» коэффициенты
gQV д02, <7оЗ не обязаны обращаться в нуль . Но наиболее
интересной в этом направлении мне представляется одна работа господина
Баха , в которой он вычисляет поле в окрестности медленно
вращающегося шарообразного тела произвольной массы. Решение
содержит две существенных константы, которые можно
рассматривать как массу т и момент импульса Θ. Господин Бах рассматривает
Θ как бесконечно малую величину и получает решение только с
точностью до членов порядка Θ включительно. Разложение Θ на два
множителя: момент инерции и угловую скорость нельзя произвести
на основе окружающего гравитационного поля.
Снова, как и в конце §32, мы противопоставим вращающееся
тело покоящемуся и дополним это вычислениями. Сделаем еще
несколько замечаний о том, чем объясняется и какой смысл имеет
это противопоставление.
§36
Компас и вращение
режде всего, мы подчеркнем, что понятие относительного
движения двух тел друг относительно друга в общей теории
относительности имеет столь же мало смысла, как и понятие
абсолютного движения одного тела. До тех пор пока в нашем
распоряжении имелись жесткие системы отсчета и можно было
верить в объективность одновременности, оставалась возможность
стоять на точке зрения Маха и, опираясь на существование
«кинематической группы», говорить об относительном движении. Но в
общей теории относительности координатные системы
«размягчаются» так, что об этом больше не может быть и речи. Как могут
двигаться два тела, если я введением подходящей системы координат
всегда могу преобразовать движение каждого из них к покою?
я

338
Общая теория относительности
Уже на примере процесса столкновения мы дали простое
истолкование этой ситуации: вместо различия между покоем и движением
в абсолютном пространстве у Ньютона, вместо различия между
равномерным и прямолинейным движением и ускоренными
движениями в специальной теории относительности, здесь выступает на
первый план различие между движением, которое порождается
ведущим полем, и такими движениями, которые отклоняются от
этого «естественного пути». Если, таким образом, мы говорим о
вращении некоторого тела вокруг точки О, мы имеем в виду вращение
относительно так называемого «инерциального компаса»,
движущегося вместе с точкой О. Этот инерциальный компас был введен нами
уже в §12 главы II под названием компаса (Kompaßörper). Опишем
конструкцию этого компаса более точно. Пусть точка О описывает
мировую линию. В каждой точке Ρ этой линии построим
соответствующую «бесконечно малую пространственную окрестность» Rp,
натянутую на линейные элементы, выходящие из точки Ρ и
направленные перпендикулярно времениподобному направлению х(Р)
мировой линии в точке Р. Если каждый принадлежащий Rp вектор
посредством бесконечно малого параллельного переноса переместить
в бесконечно близкую к Ρ точку Р' на мировой линии, то, в общем,
там он уже не будет ортогональным к мировой линии. Следуя
Леви-Чивите, разложим этот вектор в точке Р' на две компоненты:
ориентированную вдоль направления Х(Р') и ортогональную к ней.
Сохранив только последнюю, мы получим некоторое конгруэнтное
отображение Rp на Rp,. Таким образом, этим переносом мы
определяем инерциальный компас. Его реализациями являются плоскости
маятника Фуко и гироскопического компаса. В соответствии с этим
принципом, можно, например, вместе с господином Фоккером
рассчитать слабое прецессионное движение, которое совершает
земная ось под действием гравитационного поля Солнца (см.
Приложение II).
В качестве конкретного примера рассмотрим случай
вращающейся жидкой сферы. Никакого сомнения нет в том, как решать эту
задачу, если даже мы не можем проинтегрировать соответствующие
уравнения столь же элементарным способом, как это сделал Швар-
цшильд в случае задачи о покоящейся жидкой сфере. Ясно, что
решения той и другой задач не эквивалентны: их нельзя перевести
друг в друга некоторым преобразованием координат, В одном случае
сфера покоится относительно инерциального компаса, связанного со
своей средней точкой О, в другом случае вращается вокруг него.
Это можно выразить также следующим образом. Пусть точка О

§36 Компас и вращение
339
описывает некоторую геодезическую мировую линию. В некоторой
точке этой мировой линии Р0 построим пространство Rp и проведем
через его точки геодезические линии ортогонально к Rp . Эти линии
о
образуют тонкую трубку. В одном случае эти линии являются
мировыми линиями частей жидкой сферы, соседних с точкой О, в
другом случае эти частицы описывают мировые линии, которые
винтообразно наматываются на трубку. Точно так же упомянутое в
конце §32 исследование Тирринга о большом тяжелом полом шаре К,
в середине которого находится маленький шарик k, показывает, что
имеется большая разница между случаями, когда К покоится, а
вращается к, и, наоборот, когда К вращается, а k покоится. «Покой»
и «вращение» там понимались в нашем смысле. В том же самом
смысле вращается Земля, а не небо неподвижных звезд.
Мировоззрение, за которое боролся Галилей, не подрывается общей теорией
относительности, а, наоборот, становится более конкретным.
Старейший компас —это звездное небо. Скорости звезд не могут
быть больше скорости света. Поэтому мы в состоянии с помощью
наблюдения бесконечно удаленных звезд точно фиксировать
направление в пространстве. Впрочем, было бы неправомерно
говорить, что Земля вращается относительно неподвижных звезд. Но она
вращается относительно того тела, которое образовано световыми
лучами, испущенными неподвижными звездами и сходящимися в
точке О. Это —существенное различие, так как световые лучи зависят
от метрического поля, которое существует между Землей и
неподвижными звездами. Опишем этот звездный компас более подробно.
В двух данных мировых точках О, О' построим открытые в прошлое
световые конусы К(О), К(О'). Пусть О' принадлежит к активному
будущему точки О. Возьмем на образующей 1 конуса К(О) некоторую
точку Р, которая достаточно удалена от точки О и которую в пределе
мы можем сдвинуть в бесконечность. Некоторая звезда, проходящая
через точку Р, впоследствии может находиться только в тех мировых
точках ,_которые лежат внутри построенного в точке Ρ светового
конуса К(Р), открытого в будущее. ЩР) касается К(О) по 1. Та часть
конуса К(0'), которая лежит внутри ЩР), ограничена частью боковой
поверхности конуса. Учитывая соотношения специальной теории
относительности и сводя число измерений к 3 мы получим
коническую полость, ограниченную некоторым эллипсом Ер. Если точка Ρ
пробегает образующую 1, то Ер пробегает множество эллипсов на
ЩО'), которые касаются друг с другом в той точке А, в которой
продолженная из точки О образующая 1 пересекается с поверхностью
конуса К(О') (см. рис.21). Эллипсы этого множества при
перемещении точки Ρ по 1 в бесконечность сами передвигаются в определенном

340
Общая теория относительности
К(О')
Рис. 21
направлении в бесконечность, становясь все более вытянутыми, а
именно в направлении образующей 1' на К(О'), параллельной 1. 1\
таким образом, является
единственной образующей на К(0'),
точка пересечения которой с
эллипсом Ер передвигается в
бесконечность по мере
соответствующего перемещения точки Р. В
случае общей теории
относительности качественно картина
оказывается той же самой: Ер
теперь являются эллипсоподобны-
ми кривыми, которые
соприкасаются между собой в точке А.
Ер включает в себя Ер, если
Pf на 1 удалена дальше от точки О, чем точка Р. Если метрическое
поле на бесконечности асимптотически приближается к состоянию,
описываемому специальной теорией относительности, то имеется
единственная нулевая геодезическая 1' на К(0'), пересекающая Ер в
некоторой точке Ер, которая перемещается в бесконечность вместе с
точкой Р. (Во всяком случае имеется по крайней мере одна такая
линия; если пытаются сформулировать инвариантным образом, что
на бесконечности состояние метрического поля асимптотически
приближается к псевдоевклидовому, то непосредственно приходят к
требованию единственности такой линии 1' как существенной части
этого утверждения). Таким образом, каждой образующей 1 на К(0)
соответствует некоторая образующая 1" на К(О'). Хотя при
увеличении числа измерений до 4 исчезает наглядность изображения,
существо дел при этом не изменяется. Если в точке О нам задано еще
некоторое времениподобное направление г, то направление каждой
нулевой линии в этой точке О мы можем разложить на компоненту,
параллельную г, и компоненту, ортогональную г и лежащую, тем
самым, в Rq. Проделав то же самое в точке О', мы получим
соответствие между направлениями в RQ и в Rq, Этот принцип
переноса направления, который, очевидно, использует лишь понятие
метрического поля, и есть принцип небесного компаса. Впрочем, этот
принцип дает способ непосредственного сравнения направлений на
расстоянии, т.е. в точках О и О'. Недостаток этого способа
заключается в том, что угол, образованный двумя направлениями в точке
О, в общем не равен углу, который образуют соответствующие
направления в О': компас не остается конгруэнтным самому себе.

§37 Энергия гравитационного поля.
341
Метрическое поле, находящееся между наблюдателем и звездами,
искажает картину направлений звездного неба. (Общая теория
относительности учит, что эти «искаженные» картины, полученные в
различных мировых точках О, можно свести к единственной
«истинной» картине).
На примере инерциального и небесного компасов можно хорошо
проиллюстрировать различие между сохранением (Beharrung) и
установлением (Einstellung). Инерциальные компасы, такие, как
маятник Фуко и волчок, переносят направление посредством
тенденции к сохранению, действующей от мгновения к мгновению. Но их
начальное направление может быть задано произвольно, оно ни в
коей мере не определяется устройством компаса. В
противоположность этому небесный компас устанавливается на приходящие от
звезд световые лучи, а магнитная стрелка—в соответствии с
существующим магнитным полем. Направление магнитной стрелки не
произвольно. В каждое мгновение оно определяется независимо от ее
состояния в предшествующие моменты времени тем полем, в котором
она находится. Перенос направления установочным компасом
(Einstellungskompaß), очевидно, не зависит от пути этого переноса. Иначе
обстоит дело с инерциальным компасом (Beharrungskompaß).
Относительно переноса, который осуществляется действующей инфини-
тезимально тенденцией к сохранению, нет никакого основания
предполагать априори, что он интегрируем. Но то же самое имело бы
место, например, в случае перемещения оси вращения волчка в
евклидовом пространстве. Если запустить из одной и той же точки
два волчка с одинаковой установкой оси и спустя весьма большой
промежуток времени снова совместить их, то при этом, вообще
говоря, обнаружится расхождение в ориентации осей, так как волчки
нельзя полностью изолировать от внешних воздействий. Это
различие между «сохранением» и «установлением» может быть
распространено не только на перенос направления, но так же и на перенос
длины. К этому мы еще вернемся.
Наши рассуждения все время относились к комплексу: материя
+ ведущее поле; динамическое соотношение этих частей нуждается в
дальнейшем анализе, если мы хотим реализовать принцип, согласно
которому материя порождает ведущее поле и вместе с тем однозначно
определяет его. Лишь после прояснения этого обстоятельства можно
будет говорить о решении проблемы движения.
§37
Энергия гравитационного поля. Тяжелая масса и масса,
порождающая гравитационное поле
екоторая изолированная система в ходе своей эволюции
вырезает в четырехмерном континууме «мировой канал». Предположим,
Щ

342
Общая теория относительности
что вне этого канала плотность тока S1 исчезает если и не полностью,
то достаточно быстро для того, чтобы выполнялись последующие
рассуждения. Из уравнения непрерывности
Ü = 0 (»>

исследует, что поток векторной плотности sl через каждую трехмерную
поверхность, пересекающую канал, имеет одно и то же значение е0.
Чтобы фиксировать знак eQt условимся считать, что канал направлен
из прошлого в будущее. Инвариант е0 является зарядом нашей
системы. Если координатная система удовлетворяет условиям, что
каждая «плоскость» Xq = с о nst пересекает канал по некоторой
конечной области и что эти плоскости, упорядочиваясь в соответствии с
ростом xQt следуют одна за другой в направлении из прошлого в
будущее, то заряд eQ мы можем рассчитать с помощью интеграла:
J S dxx dx2 dx3 = eQt
причем интегрирование проводится по одной из плоскостей семейства
Xq = const. Этот интеграл £0, как непосредственно следует из формулы
(60) после интегрирования по «пространственным координатам» х^,
х2, *з» оказывается, таким образом, не зависящим от «времени» *0.
Сказанное справедливо лишь для уравнения непрерывности (60). При
этом совершенно не обязательно субстанциальное представление о токе,
характерное для теории Лоренца, а именно соотношение S1 = pwl.
Справедлив ли аналогичный закон сохранения для энергии и
импульса? Уравнение (26), §30, во всяком случае, не дает
возможность сделать этот вывод из-за дополнительного члена, характерного
для теории тяготения. Однако этот дополнительный член также
удается записать в виде дивергенции. Положим в основу некоторую
определенную систему координат и произведем бесконечно малый
сдвиг мирового континуума в собственном смысле этого слова, т.е.
взяв в качестве компонент сдвига ξ1 (см. §30) некоторые постоянные.
Тогда, очевидно для некоторой конечной области X
δ' JGdx = 0
Χ
(это справедливо для любой функции gik и ее производных,
независимо от ее свойств инвариантности; δ', как и в § 30, означает
вариацию, вызванную упамянутым выше сдвигом континуума). Этот
сдвиг, таким образом, приводит к следующему результату:

§37 Энергия гравитационного поля.
343
Х дхк χ
Положив, согласно предыдущему,
получим путем интегрирования по частям
2 J* dx - f^'V rfx + J[e]«P6,ap Л.
ж ж а**
Возьмем теперь в качестве Ъда^
ч
«Р
fraß
дХ:
ξ',
где ξ — постоянные. Введя величины
G5!
* _ 1о«Р. * ^£ = t*
dx.
перепишем полученное выше соотношение в виде
&А 2
3jct.
ξ1 dx = 0.
Так как это верно для произвольной области X, подинтегральное
выражение должно обращаться в нуль, ξ1 в нем являются
произвольными постоянными числами; таким образом, мы получаем четыре
тождества:
*«* а,
3?<Ф
а?
dxh
(61)
В соответствии с гравитационными уравнениями, левая часть
соотношения (61) равна
2 &,· '
и механические уравнения (26'), вследствие этого, переходят в
уравнения
Ш
1**
^ = 0,гдеи?=Т? + ^;.
(62)

344 Общая теория относительности
Оказывается, таким образом, что, если величины —tf· ,
зависящие только от гравитационных потенциалов и напряженностей
гравитационного поля, считать компонентами плотности энергии
гравитационного поля, для полной энергии, связанной с «физическим
состоянием» и «гравитацией», мы получим чисто дивергентные уравнения.
Все же, с физической точки зрения, кажется бессмысленным
и
рассматривать £· как компоненты энергии гравитационного, поля,
поскольку эти величины не образуют тензор и не являются
симметричными. Действительно, подходящим выбором системы
координат мы можем обратить в нуль в некоторой точке все компоненты
it- . Для этого достаточно выбрать геодезическую систему координат.
С другой стороны, в «евклидовом», лишенном гравитации мире при
использовании некоторой криволинейной координатной системы мы
получаем £,· , отличные от нуля. Но ясно, однако, что в этом случае
не может быть и речи о существовании гравитационной энергии.
Хотя, таким образом, дифференциальные соотношения (62) лишены
реального физического значения, из них интегрированием по
области, соответствующей некоторой изолированной системе,
получается некоторый инвариантный закон сохранения [57].
Некоторая изолированная система вместе со своим
гравитационным полем во время своего движения вырезает в мире канал. За
пределами канала, в пустом пространстве, окружающем систему,
обращается в нуль, как мы предположим, тензорная плотность Т? и
само гравитационное поле. Тогда мы можем ввести такие координаты
х0 = ί, Х|, х2> хз> чт°бы фундаментальная метрическая форма там
имела постоянные коэффициенты, в частности, принимала вид
dt2 - {dx\ + dx\ + Лф.
При этом координаты вне канала устанавливаются с точностью
до линейного (лоренцева) преобразования, и величины t там также
исчезают. Предположим, что каждая из «плоскостей» t = const
пересекается с каналом по конечной области. Интегрирование уравнений
(62) по х^2^з и по так°й «плоскости» приводит к тому, что величину
^«Jlljdx,^«/*, <63)
dj{
не зависят от времени, т.е. -тг = 0. Назовем /0 энергией, а /(/^З-
компонентами импульса системы.

§37 Энергия гравитационного поля.
345
Эти величины имеют значение, не зависящее от системы
координат. Прежде всего, я утверждаю, что они сохраняют свое значение,
когда координатная система изменяется некоторым образом внутри
канала. Пусть 3^—новые координаты, совпадающие со старыми вне
канала. Возьмем две «поверхности»
х0 = const = а, ~х^ = const = 5 (а ф а),
которые не пересекаются в канале (для этого, очевидно, а к а
достаточно выбрать существенно отличными друг от друга). Тогда
мы можем сконструировать третью координатную систему x^t
которая в окрестности первой поверхности совпадает сх^ав окрестности
второй поверхности—с 3^, вне же канала совпадает с обеими. Если
теперь записать, что компоненты энергии-импульса /* в этой системе
принимают для Xq = а и Xq = а одинаковые значения, то отсюда
непосредственно получается сформулированный результат Ji = J{.
Следовательно, достаточно исследовать поведение Ji только для
случая линейных преобразований координат. Это было сделано нами
на стр.257. Наш результат заключается в следующем. Четыре числа
Ji являются компонентами некоторого постоянного ковариантного
вектора в «евклидовом» мире, окружающем систему.
Уравнение (62), как это следует из (26) и (61), является
математическим тождеством, если U,- определить соотношением
üf = - [О]? + ή = Н? - ^δ?Β + tf (Μ)
При этом в уравнение (63) нужно добавить слева множитель ае.
J5 статическом случае Jx = /2 = /3 = 0 и ае/0 равна
пространственному интегралу от
Когда мы в §30, стр.300 посредством интегрирования по частям
преобразовывали интеграл от —R в интеграл от G, мы представляли
разность этих величин в виде некоторой дивергенции:
Кроме того, согласно §31, в статическом случае

346
Общая теория относительности
»0_ д(г
Поэтому аэ/0, в соотношениях §31 и §33, равна потоку
пространственной векторной плотности, не имеющей физического
смысла ввиду ее неинвариантности
m' = \rf
„«ß
ί"ρ}-^{ν})
(taß = 1,2,3).
Если, к тому же, поле центрально-симметрично, то при
использовании нормальной формы (48) в точке д:, = г, х2 = х% = 0 :
m = пг
О и
ш1 = ψ
(\
h
2/r 1
(.2 h
Λή Λ lr
-Α·7
Согласно этому, ml равна радиальному потоку интенсивности
й
1 -
1
В гравитационном поле незаряженного центрального тела это дает
1 - f2 2m
и поток, таким образом, оказывается независящим от г и равным
8пт. Итак, гравитационный радиус т центрального тела, или его
«масса, порождающая гравитационное поле*, пропорциональна его
энергосодержанию или его инертной массе /0 = Щ-
(65)
8пт = ае/0.
Масса— (тяжелая, или пассивная), не только точка приложения
гравитационного поля, но и причина его возникновения; наряду с
законом тождества инертной и тяжелой масс, существует также
и другой закон, закон пропорциональности активной и пассивной
масс. Он выполняется строго как в ньютоновской, так и в
эйнштейновской теории. Например, инертная масса т0 жидкой сферы,
исследованной в §35, равна, поскольку ее гравитационный радиус
дается формулой (56),
4пг30
Второй множитель—это объем жидкой сферы, измеренный в
каноническом пространстве отображения и отличный от ее «естественного»

§37 Энергия гравитационного ноля.
347
объема. Только теперь мы получаем способ точного определения
постоянной Цо .
Так как гравитационное поле, порожденное некоторой
изолированной системой, всегда обладает сферической симметрией на
расстояниях, больших по сравнению с линейными размерами системы,
взаимосвязь между инертной и гравитационной массами имеет
универсальное значение.
Если центральное тело заряжено, то интенсивность радиального
потока Ш1 равна
1 - f _ 2т <в е2
г = μ " 2 г3·
Поэтому сфера радиуса г заключает в себе энергию
9
8пт 2пе
ае ~ г '
В соответствии с формулой (65), полная инертная масса снова
оказывается равной т0 = 8тш/ае. Однако, смысл дополнительного
члена вполне ясен: 2пе /г—это электростатическая полевая энергия,
ie2
находящаяся вне сферы г и распределенная с плотностью «- —т\
оо 9 Ί
г
То обстоятельство, что, наряду с электрической энергией, здесь
не фигурирует гравитационная энергия, обусловлено, конечно,
только выбором координатной системы. При использовании
«конформного » декартова пространства отображения энергия, содержащаяся
внутри сферы с центром в незаряженной материальной точке и
радиусом г, была бы равна не постоянной величине 8ят/ае, а
определялась бы формулой
Это соответствует плотности энергии гравитационного поля,
приближенно равной Зт /аег4. Поскольку векторная плотность энергии
Ш1 не имеет реального физического значения, понятие энергии в
строгом смысле этого слова определено только для замкнутой системы.
Это может показаться недостатком по сравнению с однозначной
локализуемостью энергии в максвелловских электромагнитных по-

348
Общая теория относительности
лях. Но, может быть, как раз в этом пункте эйнштейновская теория
ближе к истине. Возможно, следует попытаться перенести этот
произвол локализации энергии, посредством модификации максвел-
ловской теории, также и на электромагнитные поля. Мы и теперь не
считаем абсолютно точным максвелловское понимание локализации
энергии. Так, при фотоэффекте имеет место концентрация энергии
в отдельных точках волнового фронта, что необходимо для
вырывания электронов, хотя энергетический баланс в целом, безусловно,
остается в силе. Сделаем в связи с этим одно историческое замечание.
Непосредственный перенос электростатических полевых законов
на гравитацию ведет к отрицательной плотности энергии —
I 2
•у (grad Φ) , потому что одноименные массы притягиваются, а
одноименные заряды отталкиваются. Во всех попытках построения
теории тяготения по образцу теории электромагнитного поля,
предпринятых до Эйнштейна, этот отрицательный знак был главным камнем
преткновения. Эйнштейн же принцип одназначной локализации для
гравитационной энергии оставил на произвол судьбы.
Применим полевую формулу для заряженного центрального
тела, в частности, к электрону. Чтобы не иметь дела с бесконечной
полной энергией, электростатического поля порожденного
электроном, и, тем самым, с бесконечно большой инертной массой, припишем
электрону конечный радиус. Но в нашей полевой формуле
фигурирует конечная гравитационная масса т, совершенно независимо от
того, до каких значений г мы считаем эту формулу справедливой.
Этот парадокс разрешается, если массу выразить через поток энергии
поля. По аналогии с фарадеевским определением заряда электрона
как потока электрического поля через окружающую его поверхность
Ω, мы можем определить и массу, независимо от гипотетического
состояния поля внутри электрона. Лишь таким способом мы в
состоянии обосновать механику, не прибегая к использованию
гипотез о внутреннем строении материи, а опираясь только на известные
полевые законы, справедливые вне ее. Это позволяет нам, как и в
рассматриваемом случае, определить массу и тогда, когда
экстраполяция внешнего поля вовнутрь ведет к сингулярности и
пространственные интегралы по внутренней области в результате источника
теряют свой смысл. Физическое значение радиуса электрона
ае е
2 т
состоит лишь в том, что на расстояниях г порядка η следует
учитывать гравитирующее действие электрического поля, наряду с

§38 Основные механические законы. Поле и материя 349
гравитацией основной массы т. Если считать допустимой только
положительную плотность энергии, то при изменении г от оо до 0 на
расстояниях, начиная с г = η, классическую теорию следует
модифицировать. Но, конечно, при учете гравитации необходимость в
принятии гипотезы о положительной плотности энергии отпадает.
Очень странным представляется численное соотношение
электричества и гравитации для электрона. Гравитационный радиус,
отвечающий его массе т приблизительно в 10 раз меньше его радиуса η.
Иначе говоря, электрическое отталкивание двух электронов в 10
раз сильнее их гравитационного притяжения. Для любой попытки
вывести строение электрона из общих законов поля эта диспропорция
является серьезным вызовом.
§38
Основные механические законы. Поле и материя
З^шрежде всего, мы хотим теперь вывести основные механические
^р^законы, не прибегая к гипотетическим полям внутри
материальных элементарных частиц. При этом в основу будут
положены полевые законы Максвелла и Эйнштейна:
дч (66)
Мы знаем, что они справедливы вне материи, т.е. вне известной
узкой трубки, пронизывающей мир и бесконечно протяженной в
одном измерении.
Начнем с определения заряда и с закона сохранения заряда.
Потенциальное поле φ^, существующее во внешней области, мы
некоторым непрерывным регулярным образом продолжим чисто
фиктивно внутрь трубки и образуем затем фиктивное поле
d(fk 9φζ·
Fik = -г — и фиктивную плотность тока
ох{ dxk
s1 = —. (67)
dxk
Внутри канала, вообще говоря, она не исчезает; но, согласно
ее определению, для нее тождественно выполняется уравнение
дивергенции (60). Если теперь систему координат фиксировать так, чтобы

350
Общая теория относительности
каждая плоскость xQ = t = const пересекала канал по некоторой
конечной области, ограниченной оболочкой Ω, то, как и в
предыдущих параграфах, мы придем к выводу, что интеграл по этой области
eQ = J$° dxx dx2dx3,
во-первых, является константой, т.е. не зависит от времени t и,
во-вторых, не зависит от выбора координатной системы. Но мы
утверждаем далее, что этот интеграл не зависит также от
введенного выше фиктивного поля. Это объясняется тем, что, по
определению, в0 равен потоку пространственной векторной
плотности
/jpOl ^02 рОЗч
через поверхность Ω и на самой этой поверхности Ω фиктивное поле
совпадает с реальным полем. Заполнение трубки фиктивным полем —
только математический прием, использованный для того, чтобы
показать, что этот поток е0 имеет одинаковые значения в двух
сечениях трубки t = const и, кроме того, является инвариантом.
Таким образом, на основе полевых законов строго доказано
следующее утверждение. Каждое тело обладает определенным
инвариантным зарядом е0. При взаимодействии нескольких тел друг с
другом, мировые трубки которых смыкаются между собой и
разделяются, суммы зарядов взаимодействующих тел до и после
взаимодействия одинаковы. Полевая плотность тока sl — фикция, но
заряд —это реальность.
Аналогичным образом можно получить закон сохранения
энергии-импульса для некоторой изолированной системы, которая
плывет (Schwimmt) в однородном евклидовом окружающем
пространстве, в котором отсутствуют поля. Снова внутренность канала
заполняется некоторым фиктивным метрическим полем gik при
сохранении условия непрерывности и регулярности продолжения поля
извне вовнутрь. Затем, согласно (64) конструируются величины
U^ и из них интеграл
а/.= №dxxdx2dx3, (69>
который берется по сечению канала xQ = t = const. Интегрированием
тождественно выполняющихся дивергентных соотношений (62)
доказывается постоянство во времени энергии /0 и импульса (/t, /2, /3):

§38 Основные механические законы. Поле и материя 351
dJi
-тг = 0. При этом вообще не возникает необходимости в использовании
уравнений поля. Доказательство независимости компонент
энергии-импульса системы в целом от фиктивного заполнения
достигается тем же путем, что и доказательство независимости от
выбора координатной системы. Если U и U' два некоторых
фиктивных заполнения, то всегда можно сконструировать еще одно третье
U*, которое в окрестности сечения xQ = const = а совпадает с U, а в
окрестности сечения xQ = const = а\ далеко отстоящего от первого,
совпадает с U'. Будем различать величины энергии и импульса,
определенные различными заполнениями, посредством тех же самых
индексов, соответствующих этим заполнениям. Тогда для заполнения
U* справедлив закон сохранения:
dj\
dx0
откуда /,V) = /*(я), т.е. //(в') = Ца).
Но /,(х0) для всех х0 постоянная величина, равная J-, а //(χ0)
постоянна и равна /t·'; отсюда следует, что Ji = /t·'.
Это соответствует нашему теперешнему подходу, согласно
которому внутреннее состояние некоторого тела характеризуется
состоянием окружающего его поля. Простейшим из мыслимых тел
является такое тело, гравитационное поле которого (при
соответствующем выборе координат) является статическим центрально-
симметричным полем, определенным в §33. Электрическое поле при
этом вообще отсутствует. Такое тело мы будем называть нейтральной
материальной точкой и соответствующую координатную систему —
его системой покоя. В теории планетного движения мы
принимаем, что Солнце является материальной точкой именно в этом
смысле. Конечно, наше предположение в данном случае
справедливо лишь при определении поля на достаточно больших
расстояниях г от центра. Чтобы определить энергию и импульс
материальной точки, окружим ее замкнутой поверхностью Ω на
таком расстоянии и введем внутри Ω фиктивное статическое поле,
непрерывно переходящее в наружную область. Тогда, как и выше,
мы получим
/1=/2 = /3 = о(

352
Общая теория относительности
г 8пт
J0 = т0 = IT-
Линейным преобразованием мы получим отсюда формулы для
энергии и импульса материальной точки, когда она движется в
некотором произвольном однородном поле тяготения отвечающем
метрике:
ds = gik(dx)\dx) (gik - постоянные).
Вследствие свойств инвариантности компонент энергии-
импульса мы получаем тогда
h = m0ui> (70)
где иг определяет постоянное мировое направление тела (нормировка
игщ =1). Если, в частности, внешнее поле в используемых
координатах статическое, т.е.
ds2 = f2 dt2 - dö2t da2 = у^ах)\ах)к (i, k = 1, 2, 3),
dXb
dt
и если обозначить ковариантный вектор скорости yik
v{ = - ttj, - u2, - u£t a ν —квадрат его абсолютной величины
{уц^и ), ковариантные пространственные компоненты вектора
импульса (- /|, - /2. ~ J^—J> энергию Jq — E, то справедливы
следующие формулы
"о/3 °У (70.)
Зависимость энергии и импульса некоторого тела от его скорости
ν подробно обсуждалась в §27 III главы. В соответствии с ее
физическим значением, если тела, движущиеся с различными
скоростями, взаимодействуют друг с другом, то в зависимости,
выражающейся в формулах (70'), проявляется и зависимость от
существующего гравитационного поля (f, yik), при условии, что
взаимодействующие тела находятся на различных «уровнях гравитации». Пусть
ландшафт гравитационного поля представляет собой сочетание двух
плоскостей нижней и верхней (плоскостью здесь мы называем:
gik = const), связанных между собою склоном (Abhang). Пусть также
на каждой из этих плоскостей находится тело. После того как тела
провзаимодействовали, или прошли по склону, оба они должны
снова оказаться на своих плоскостях. Тогда сумма энергий тел до и
после взаимодействия одинакова (при этом предполагается, что

§38 Основные механические законы. Поле и материя 353
гравитационное поле остается неизменным после взаимодействия).
То же самое относится к сумме импульсов. Если скаляр, на который
надо умножить ν, чтобы получить J, назвать инертной массой, то
формулы (70') для покоящегося тела дают:
энергия = Wq/, инертная масса = -т*.
Если некоторое тело перевести на более низкий уровень
гравитационного потенциала (если его, например, положить со стола на
пол), то его энергия уменьшается, а инертная масса, наоборот,
увеличивается [58].
При наличии электричества простейшим телом является такое,
которое в подходящим образом выбранной системе координат
порождает поле, уменьшающееся с ростом г в пустом евклидовом
пространстве, в соответствии с уравнениями (50) §33 (заряженная материальная
точка). Следует добавить также, что заряд eQ не зависит от скорости
заряженной материальной точки и от однородного гравитационного
поля и что при взаимодействии тел сумма их зарядов не изменяется.
Хотя «заряженная материальная точка» и является простейшим
заряженным телом, это никоим образом не единственно возможный
тип такого рода тел. Другой тип, например, это тело, которое
проявляет себя снаружи как статический диполь или как излучатель
Герца. Все же именно заряженные материальные точки являются,
по-видимому у последними элементарными составными частями
материи, в частности, таковыми являются электроны.
Принципы сохранения заряда, энергии и импульса тел,
погруженных в пустое евклидово пространство, как показывают наши
рассуждения, еще вполне независимы от каких-либо законов поля.
Это находится в соответствии с фундаментальным значением этих
принципов. Я еще раз выпишу здесь все уравнения, с помощью
которых при этом определяются понятия заряда и энергии-импульса:
ί ' dfk
s!=— , eQ^]t°dxxdx2dx3i
U^-^R + tJ; mJi = Jü? dxx dx2 dx3 .
Иначе обстоит дело, если рассматриваются тела, связанные
между собой некоторым полем. Прежде всего, что касается
электричества, то максвелловские уравнения S = 0 означают, что в
пространстве между элементарными частицами материи отсутствуют заряды и
поэтому, без каких-либо ограничений, справедлив принцип сохране-

354
Общая теория относительности
ния суммы зарядов взаимодействующих тел, как было доказано нами
в начале этого параграфа. Но с энергией и импульсом положение
другое: в общем случае поле всегда содержит энергию. Из
гравитационных уравнений вовсе не следует, что 1^ исчезают. Постоянство
энергии и импульса заменяется механическими законами движения.
К предшествующим понятиям добавляются еще два: работа и сила.
Интегрированием уравнений (62) по сечению канала х0 =
= t = const, ограниченному замкнутой поверхностью Ω (при этом
величины Ut· снова следует сконструировать с помощью фиктивного
поля, заполняющего канал), получается
dJi_ K (71)
&Ki здесь равна потоку пространственной векторной плотности
(ϋί,ϋ?,ϋ?).
через поверхность Ω. Согласно этому определению, величины Kit
компоненты 4-силы, не зависят от фиктивного заполнения. В
соответствии с нашим прежним рассуждением, то же самое мы получаем
и для 4-импульса /f.. Если снова ввести три фиктивных поля U, U',
U*, то получается
а
J{W-J№=\Kidt
Ji(a') - Ца) = J*(a') - J]{a) = \к{ dt
а'
откуда следует /До) = J^a).
Все эти результаты получаются достаточно строго и без
использования уравнений поля. Но дальнейшая конкретизация общей
схемы механических уравнений (71) возможна лишь в известном
приближении и при использовании полевых законов. Действительно,
очевидно, что при наличии частиц, погруженных в поле, всегда
приходится заключать соглашение о положении поверхности Ω,
которая должна отделять энергию частиц от энергии внешнего поля.
Обратимся, например, к электрону. Примем, что в некоторый момент
времени он связан с «координатной системой покоя», в которой

§38 Основные механические законы. Поле и материя 355
д^-поле так переходит во внешнее д^-поле, как это определяется
формулами Шварцшильда для материальной точки. А именно, эти
асимптотические формулы должны выполняться как для потенциа-
\ik\
лов gik, так и для напряженностеи поля < к возникающих из них
посредством однократного дифференцирования по координатам. Эта
координатная система является, таким образом, геодезической для
внешнего поля. Расстояния г, на которых справедливо
асимптотическое представление поля (так называемая «инерциальная зона»
«Auslaufzone»), как следует из формулы (50), велики по сравнению с
радиусом электрона η. С другой стороны, наше предположение
только тогда не находится в противоречии с уравнениями тяготения,
когда величина —^ велика по сравнению с плотностью энергии W
существующего электрического доля. Нам следует, таким образом,
е2
предположить, что эта плотность энергии мала по сравнению с —т.
η
Тогда инерциальная зона характеризуется условиями
г » η, &Wr3 <£ m.
Именно в ней следует проводить поверхность Ω. Тем самым, с
точностью, вполне достаточной для практики, установлена граница
разделения энергии между полем и частицами. Внутреннюю область,
ограниченную поверхностью Ω, мы заполним некоторым фиктивным
статическим полем gik и затем получим известным образом, что в
системе покоя импульс исчезает, а энергия оказывается равной
Wq = δπ/w/ae.
Во-вторых, необходимо выяснить свойства инвариантности /·.
Отобразим мир с помощью каких-нибудь координат на некоторое
четырехмерное аффинное пространство. Если х·' — некоторая система
координат, которая получается из xi линейным преобразованием, то
мы можем считать эти х{ аффинными координатами в самом
пространстве отображения. Пусть J = (/f) и Г = (Jf) 4-импульсы,
относящиеся к этим двум координатным системам, импульсы данного
мирового канала в двух точках х0 = а и Xq = а'. Тогда, согласно
рассуждениям §37, разность этих век торов в аффинном пространстве
отображения (один из них характеризуется своими компонентами
Ji в системе координат xi9 другой —своими ^-'-компонентами /f.')
выражается интегралом по оболочке, охватывающей канал и заклю-

356
Общая теория относительности
ченной между двумя его поперечными сечениями Xq = а и х0' = а'.
Из этого выражения в нашем случае следует, что с точностью, с
которой вообще определяется интеграл при неопределенности
положения Ω, величина J не изменяется, если при этом координатная
система покоя заменяется такой системой, которая получается из нее
некоторым линейным преобразованием. В каждой такой системе
координат выполняются, таким образом, уравнения (70). Но нам
этого недостаточно. Мы должны доказать их справедливость также
и в некоторой негеодезической системе координат, в которой имеется
инерциальную зону, так как мы уже знаем, что J- остаются
неизменными при произвольном изменении координатной системы внутри
Ω, если только остается в силе условие регулярности продолжения.
Здесь следует иметь ввиду, что деформация системы координат—это
частный случай изменения внутреннего поля). Из строения величин
И,- , отдельные члены которых содержат полевые компоненты либо
квадратично, но при этом не содержат их производных, либо
линейно, но тогда в форме их производных, следует, что наложение
некоторого внешнего поля не оказывает заметного влияния на
значения /j·. Но это справедливо при двух условиях. Во-первых, разность
значений полевых компонент внешнего гравитационного поля в
т
инерциальнои зоне существенно меньше, чем -~ т-е- меньше, чем
г
разность значений внутреннего поля, и, во-вторых, квадрат полевых
компонент должен быть мал по сравнению с величиной -о. Последнее
Г
условие всегда выполняется в природе с исключительна высокой
степенью точности. Первое же условие, которое необходимо уже для
того, чтобы оказалось возможным введение системы покоя и
инерциальнои зоны, может показаться трудно выполнимым, потому
что гравитационный радиус т чрезвычайно мал по сравнению с
радиусом электрона; все же и оно реализуется в природе в
достаточной мере.
Предположим теперь, что мир можно отнести к координатной
системе х-, в которой всюду вдоль канала гравитационное и
электрическое поля удовлетворяют сформулированным выше условиям.
Тогда справедливо соотношение

§38 Основные механические законы. Поле и материя 357
Л('2>-да=-К^> (72)
и Ji можно всюду с достаточным приближением считать равным
т^щ. Смысл понятия скорости при этом вполне ясен. Если положить
и1 = dxi/ds, то дифференциалы следует считать «физически беско-
нечно малыми» величинами, порядка диаметра оболочки Ω, а ds —
квадратичной формой, соответствующей внешнему метрическому
полю. С учетом выше упомянутых ограничений интегральное
уравнение (72) но можно заменить дифференциальным уравнением
~dt~ = -Ki'
Приступим к вычислению величины К^ На поверхности канала
выполняются гравитационные уравнения, и там, таким образом,
справедливо соотношение
*U? = Цк? - F^r) + t* .
Снова в точке t = £0 введем координатную систему покоя. В ней
(на поверхности Ω гравитационную часть tf можно считать равной
нулю, а в выражении для максвелловского тензора энергии-импульса
Sf gik можно заменить постоянными gik. Тогда остается лишь
четырехмерный импульс, который можно вычислить по максвеллов-
ским формулам, используя интегрирование по замкнутой
поверхности Ω. Разложим электромагнитное поле в инерциальной зоне на две
составляющих: внешнее поле Fik и fik собственное поле точечного
заряда, являющееся статическим и описываемое потенциалом -. При
этом первое из них в рассматриваемой области изменяется
существенно слабее, чем второе, и поэтому может считаться постоянным.
Тогда максвелловский поток энергии-импульса, согласно
формуле, справедливой для любого квадрата суммы, распадется на три
слагаемых:
(F +/)2 = F2 + 2F/4 Д
Первое из них не дает никакого вклада в поток через замкнутую
поверхность Ω, ввиду его постоянства. Также не дает вклада и
последнее слагаемое, что вытекает из основ максвелловской теории

358
Общая теория относительности
и может быть легко подтверждено вычислениями. Вклад от среднего
слагаемого мы найдем с помощью математического приема,
использованного ранее, согласно которому внутренность Ω заполняется
фиктивным статическим собственным полем
Считая Fik, gik соответствующими константами, можно
интеграл по замкнутой поверхности с помощью теоремы Гаусса
преобразовать в объемный интеграл по области, ограниченной этой
поверхностью Ω
^{¥рГ^ - Fif - hrFkr) dxi d*2 dx3-
Здесь можно суммирование по k распространить и на k = 0, так
как все необходимые величины не зависят от *0, если Fik означают
не компоненты внешнего поля, возможно, зависящие от времени, но
являются постоянными, которые совпадают с этими компонентами
в рассматриваемое мгновение. Подинтегральное выражение, в
соответствии с расчетом, приведенном на стр. 198, переходит в выражение
дхг а*,· дхЛ irdxk trdxk t0dxk'
2r
Теперь снова можно вернуться к поверхностному интегралу и
получить произведение F|0 на поток собственного поля
(Λ/°2.Λ
через поверхность Ω. Этот поток равен заряду eQ = Ane. В результате
К« = «Λ
Нулевое из полученных таким образом уравнений
ST = e°F* (73)
dm0
приводит к постоянству массы покоя: ~~7Г= О· Уравнения (73)
справедливы в момент времени t = t , если система координат, к
которой отнесен мир, является для электрона координатной системой
покоя в мгновение t . Но в произвольной системе координат они
переходят в

§38 Основные механические законы. Поле и материя 359
~ΊΓ~ 2~д^т»и и -eo-FkP- (74)
Соотношения (74), таким образом, инвариантны относительно
преобразований координат и совпадают в нормальной системе
координат с уравнениями (73). Тем самым, мы получили механические
уравнения в их классической форме. При этом становятся явными
связанные с ними предпосылки. Они появляются как необходимые
условия того, чтобы собственное поле, порожденное материальной
точкой, вне мирового канала изменялось по законам (66). Это
понимание основных механических законов согласуется с
концепцией Ми, развитой им в третьей части «Сила и инерция» его
основополагающего труда «Основания теории материи» .
Формулы для собственного поля содержат две постоянных,
характеризующих частицы, е и т, т.е. «заряд» и «массу»:
Полевые законы требуют, чтобы е и т были постоянны и чтобы
мировое направление и1 изменялось в соответствии с уравнением
laß
*- и ир
= f-Fk/. (740
Согласно этим «механическим уравнениям»,
«гравитационная* , т.е. «порождающая гравитационное поле», масса т
одновременно является инертной и тяжелой массой, а «генерирующий поле*
заряд е, или даже пропорциональная ему величина &е/2,
—одновременно точкой приложения силы электрического поля. Так мы теперь
понимаем столь же фундаментальное равенство инертной и
гравитационной масс. Масса, по сути, является длиной. Основные
единицы, которые мы можем выбрать, —это единицы длины и заряда. В
этой СЕ-системе ([см] и электростатическая единица [эл];
фактически, теперь нет никакого основания предпочитать хевисайдовский
выбор единиц, связанный с добавлением множителя Απ) значение
постоянной ае равно:
«=1,49- 10"28см2эл"2.
Наши предположения означают, что имеет место случай
квазистационарного движения, т.е. что отклонение измеряемое некоторым
углом) от пути, определяемого ведущим полем, за время, которое
необходимо свету (движущемуся с нормальной скоростью с), чтобы
пробежать расстояние, равного диаметру электрона, очень мало.

360
Общая теория относительности
Только в этом случае можно говорить об образовании электрического
поля вокруг электрона. В специальной теории относительности
существует формула Льенара-Вихерта, которая позволяет вычислить
собственное поле произвольно ускоренного электрона. Она
утверждает, что на световом конусе, открытом в будущее, с вершиной в
точке О мировой линии электрона
еиг
% = г»
(иг.Ахг)
где и1 — мировое направление электрона в точке О и Ar1 —вектор,
соединяющий точку О с точкой Р, лежащей на световом конусе. Она
позволяет рассчитать излучение для ускоренного электрона и
находится в противоречии с фактами атомистики. В настоящее время
господствующим среди физиков является мнение, что эта формула
является необходимым следствием уравнений Максвелла. Но,
возможно, что это и не так, поскольку в ней имеется одно выделенное
направление времени, ориентированное в будущее светового конуса;
формула дает излучение, и не дает описания противоположного
процесса, максвелловские же уравнения, напротив, такого
выделенного направления времени не имеют [59].
Мы не видим целиком тонкие и глубокие борозды, которые
оставляют пути электронов на метрическом лике мира; наш взгляд
скользит только по их краю. Нам не известно, какую глубину
скрывают эти борозды. Возможно, как предположил Ми, что они
целиком заполнены полем, качественно подобным внешнему полю,
но не исключено также, что пропасть бездонна. Концепция Ми
растворяет материю в поле; есть и другой подход, который, так
сказать, отодвигает поле на второй план. Согласно этому подходу,
материя — фактор, определяющий поле, фактор, который сам
лишен пространственного, экстенсивного аспекта, оказываясь
лишь погружен} ым в определенное пространственное окружение и
являясь исходным пунктом полевого действия. Мы не можем сказать:
«Здесь находится заряд». Мы можем только сказать: «Эта
поверхность заключает в себе заряд». Согласно концепции Ми, состояние
поля, включая материю, в некоторое мгновение, т.е. в некотором
трехмерном сечении мира должно быть произвольным; законы
природы при этом лишь определяют дальнейшее или предшествующее
закономерное развитие событий. Наш опыт, однако, с большей
отчетливостью говорит в пользу представления о том, что материя
порождает поле и однозначно определяет его. Наши действия всегда
ориентированы, прежде всего, на материю, и только через ее
посредство мы в состоянии изменить поле. Фактически, мы имеем два вида

§38 Основные механические законы. Поле и материя 361
законов, необходимых для объяснения явлений природы: во-первых,
полевые законы, известные соотношения внутренней
дифференциальной взаимосвязи возможных состояний поля, управляющие лишь
распространением полевого действия, и, во-вторых, законы, по
которым материя порождает поле. Наше описание поля, которое
окружает электрон, —это лишь первый намек на формулировку
законов такого типа. Именно здесь находится арена действия
современной физики материи, к которой, в первую очередь, относятся
факты и загадки кванта действия. Принцип причинности,
понимаемый в том смысле, что состояние мира в некотором сечении
Xq = const детерминирует прошлое и будущее, как об этом
свидетельствует новейшая физика, —и это следует подчеркнуть без
обиняков,—оказался теперь лишенным доказательной силы.
Закономерности, в соответствии с которыми материя проявляет себя, насколько
мы можем судить в настоящее время, можно описать только
статистически. Совокупность фактов, связанных с порождением поля
материей, описывается лучше, при условии, что мы, в отличие от
Ми, считаем материю реальностью существенно иного рода, чем
поле. Термин «материя» мы используем потому, что рассматриваем
ее как причину состояний поля, такой экстенсивной среды, которая
связывает воедино все отличающиеся друг от друга материальные
индивидуумы, образуя целостное многообразие внешнего мира. По
своей внутренней природе, таковы же по-видимому, понятия жизни
и воли33'.
Если бы концепция Ми была правильна, нам пришлось бы в
поле видеть всю объективную реальность. В этом случае, цель
физики, заключающаяся в постижении физического мира, материи,
сил природы, не казалась бы уже столь далекой от идеала
однозначного описания явлений природы. Но мы должны пока отказаться от
столь смелых надежд. Преимущество же концепции материи
заключается не столько в том, что она наряду со строгими
функциональными законами поля оставляет место для квантовой статистики,
сколько в том, что она дает надежду объяснить выделенное
направление течения времени: из прошлого в будущее. Эти
фундаментальные факты, которые, очевидно, теснейшим образом связаны с идеей
причинности, не могут найти объяснения внутри полевой физики
из-за инвариантности уравнений поля относительно отражения
времени. В эфире возможны в принципе как расходящиеся, так и
сходящиеся электромагнитные сферические волны. Но только
первый процесс может порождаться атомом, находящимся в центре
излучения, атомом, который теряет энергию при боровском
перескоке электрона с одной орбиты на другую [60].

362
Общая теория относительности
§39
О крупномасштабной структуре мира [61]
же в электростатике и ньютоновской теории тяготения законы
близкодействия, суммированные в уравнении Пуассона
Δφ = - ρ не могут объяснить факты, если не добавить граничные
условия на бесконечности. Это объясняется тем, что в противном
случае при заданной плотности материи ρ мы должны добавить к
правильной потенциальной функции
произвольную гармоническую функцию, являющуюся решением
однородного уравнения Δφ = 0. При ограничении центрально-
симметричными полями это обстоятельство, правда, затемняется тем,
что однородное потенциальное уравнение не имеет никаких других
центрально-симметричных решений, кроме постоянного. В
эйнштейновской теории тяготения имеют место вполне аналогичные
соотношения. При чтении §33, правда, могло показаться, что полевые
законы с необходимостью приводят на больших расстояниях от
центра масс к невозмущенному метрическому полю специальной
теории относительности. Но как только мы рассмотрим две
материальные точки в том же самом пространстве, у нас будет столь же
мало оснований считать, что в их инерциальной зоне скорость света
должна совпадать с с, как и считать, что должны совпадать их
характеристические постоянные т. Причиной возникновения общего
почти однородного метрического поля, в которое погружены все тела,
являются, очевидно не эти тела, не близкие окрестности их полей, а
бесконечно удаленная окраина (Saum). Именно оттуда приходит
успокоительное воздействие огромной силы на мировые события.
Это не противоречит принципам общей теории относительности,
но, пожалуй, расходится с требованием, согласно которому только
материя является причиной возникновения поля. Чтобы
удовлетворить этому требованию, приходится считать, что пространство
должно быть замкнутым и не может быть открытым,
простирающимся в бесконечность. На открытой плоскости потенциальное
уравнение имеет бесконечно много решений, в то время как на
замкнутой поверхности шара, напротив, его единственным реще-
нием является постоянная. Общая теория относительности
позволяет заменить открытое пространство замкнутым.
Фактически, она оставляет открытым вопрос о том, можно ли
мировые точки взаимно однозначным и непрерывным образом
представить четырьмя координатами *·. Она исходит лишь из предпо-

§39 О крупномасштабной структуре мира
363
ложения, что окрестность любой мировой точки допускает взаимно
однозначное и непрерывное отображение на область четырехмерного
«числового пространства» (при этом, под «точкой четырехмерного
числового пространства» понимается любая четверка чисел). О
связности мира в целом с самого начала не делается никаких
предположений. Если в теории поверхностей исходить из
параметрического представления исследуемых поверхностей, то и здесь
сказанное выше относится всегда только к куску поверхности, а не
к поверхности в целом, которую в общем нельзя однозначным и
непрерывным образом отобразить на евклидову плоскость или
плоскую область. Те свойства поверхностей, которые сохраняются при
любых взаимно однозначных и непрерывных отображениях, изучает
Analysis Situs. Замкнутость, например, как раз является свойством
такого рода. Каждая поверхность, которая получается из сферы
непрерывной деформацией, с точки зрения Analysis situst не
отличается от сферы, но, пожалуй, отлична от тора. Действительно, на торе
имеются замкнутые линии, которые не разделяют тор на несколько
областей. На сфере же таких линий не существует. Из геометрии на
сфере такая «сферическая геометрия», которую мы вместе с Риманом
противопоставляли в §10 геометрии Больяи-Лобачевского,
получается тем, что мы, каждые две диаметрально противоположные точки
сферы отождествляем друг с другом. Поверхность F построенная
таким образом, точно так же отличается, с точки зрения Analysis
situs, от сферы, а именно тем свойством, которое принято называть
односторонностью. Представим себе на поверхности маленькое
колесико, которое движется по ней, все время вращаясь в одном и
том же направлении. Пусть при этом центр колесика описывает
замкнутую кривую. Тогда следует ожидать, что при возвращении
колесика в исходную точку оно будет вращаться в том же
направлении, что ж в начале движения. Если именно этот случай имеет место,
то поверхность называется двусторонней; в других случаях она
называется односторонней. То, что односторонние поверхности
существуют, впервые было замечено Мёбиусом. Вышеупомянутая
поверхность F является односторонней, в то время как сфера
—поверхность двусторонняя. Когда центр колесика пробегает большой круг,
при движении его по сфере он проходит целый круг, пока его путь
не замкнется; при движении же его по поверхности F оно проходит
только половину пути. Существенно различными топологическими
свойствами могут обладать и четырехмерные многообразия. Но в
каждом четырехмерном многообразии окрестность некоторой точки
можно, конечно, непрерывным образом представить четырьмя
координатами так чтобы различным точкам этой окрестности всегда
соответствовали различные четверки координат. Именно в этом
смысле следует понимать использование мировых координат.

364
Общая теория относительности
Трудности, связанные с бесконечной протяженностью
пространства часто обсуждались и раньше. Если массы в пространстве
распределены в среднем с одинаковой плотностью, то, согласно Ньютону,
в каждой точке существует бесконечно большой гравитационный
потенциал. Это означает, что основной вклад в гравитационный
потенциал в этом случае вносят не ближайшие большие массы,
например, массы Земли, Луны, Солнца, а как раз наиболее удаленные
массы. По тем же причинам небо должно было бы оказаться
бесконечно ярким. Но представление о том, что только ограниченная
окрестность пространства имеет заметную плотность материи, т.е.
представление о звездном острове является, без сомнения, весьма
неудовлетворительным. Разрешением этой /ш леммы являются
модификации ньютоновского закона тяготения . С точки зрения
теории близкодействия, наиболее простым решением представляется
замена потенциального уравнения ΔΦ = 0 для гравитационного
потенциала Φ уравнением ΔΦ - λΦ = О, в котором λ является
положительной постоянной. Его основным решением, соответствующим
основному решению потенциального уравнения ΔΦ = 0, является, как
известно, функция е~ /г. Экспоненциальное уменьшение
потенциала с расстоянием г обусловлено действием весьма удаленных масс.
Эйнштейн перенес эту идею в свою теорию тяготения \ В §30
при выводе гравитационных уравнений мы совершили, фактически,
один небольшой грех. На самом деле R не является единственным
инвариантом, зависящим от gik, их первых и вторых производных
(причем, от последних линейно). Наиболее общий инвариант такого
рода должен иметь вид olR + β, где α и β—числовые постоянные.
Поэтому в качестве величины действия гравитационного поля мы
должны взять интеграл от 6 + X^fg. При этом, было бы неправомерно
с самого начала считать постоянную λ равной нулю. Если теперь мы
сохраним член с λ, то гравитационные уравнения (при условии, что
мы не принимаем во внимание электричество, которое в
космологических масштабах, по-видимому, не играет роли) выглядят
следующим образом
(*й - ψα& - λ9α = о- (75)
*)В другом направлении разрабатываются попытки, основанные на идее
Ламберта и заключающиеся в том, чтобы преодолеть указанные трудности на основе
предположения об иерархической структуре мира, т.е. о существовании иерархии
систем неограниченно возрастающего порядка; в новейшее время эта идея получила
развитие в работах К.В.Л.Шарлье (см. Ark. för Mat. Astr. och Fys. Bd.16 [1922],
Nr.22).

§39 О крупномасштабной структуре мира
365
Они, таким образом, содержат дополнительный член, вполне
аналогичный тому, который мы хотели добавить в левую часть
потенциального уравнения в ньютоновской теории.
Будем искать, как и в §33, формула (48), его статическое
центрально-симметричное решение, относящееся к центру О.
Соответствующий вариационный принцип с учетом использованных там
соотношений записывается так:
δ J(wA' + AAr2)öfr = 0.
Варьирование переменной w дает, как и ранее, Δ = 1, а
варьирование Δ уравнение:
w' = Хг2.
Если потребовать регулярность при г = О, то отсюда получится
«-¥■
h2 ' а2 ( У
Если мы предположим, что λ > 0, то, фактически, мы придем к
замкнутому пространству, do — это фундаментальная метрическая
форма трехмерного шара, сферы, в четырехмерном евклидовом
пространстве:
χ2\ + х2 + 4 + ζ* = fl2' d°2 = dx\ + dx2 + dx3 + dz2' (?6)
Точку О мы называем полюсом, ζ = 0 —экватором пространства.
От полюса до экватора скорость света уменьшается по закону
f=z/a (760
от 1 до 0. Фундаментальная метрическая форма, таким образом,
сингулярна на экваторе. Эйнштейн заключил отсюда, что, если
принять «космологические» уравнения гравитации (75) с
положительным λ, то в мире неизбежно должны существовать массы.
Фактически, при этом принимается, что известное равномерное
распределение материи в пространстве находится в статическом
равновесии. Заменим массы, состоящие из не связанных друг с
другом частиц (звезд), переходя к космическим масштабам,
непрерывной жидкостью постоянной плотности μ0 и найдем, в частности,
решение, при котором давление ρ тождественно исчезает.
Вариационный принцип в точности такой же, как в §35, стр.333; только
величину аец0 следует заменить величиной аец0 + λ. Поэтому снова

366
Общая теория относительности
получаются сферическое пространство, радиус которого Ь
определяется по формуле
аец0 + λ
а также уравнения
(μ0 + p)f = υ = const (закон сохранения импульса)
, 3&v const
' ~ 2(«μ0 + λ) + Λ
Если мы требуем, чтобы ρ было равно нулю, то тогда /"должно
быть постоянной. Это можно понять, и не прибегая к вычислениям,
так как в противном случае материя под действием гравитационного
потенциала пришла бы в движение. Положив /*= 1, мы получим
Заег; = 2(«μ0 + λ), т.е. аец0 = 2λ.
Если вычислять полную массу Μ как произведение μ^ на
естественный объем сферы радиуса Ь = Ι/Vx, то получим для
гравитационного радиуса Μ следующее значение
*Μ = -^·2λ = ^, (77)
λ3/2 ™
величину того же порядка, что и радиус мировой сферы. Эта
огромная масса, согласно эйнштейновской космологии, берет на себя
роль, которую до сих пор играл бесконечно удаленный горизонт: она
порождает однородный фон ведущего поля. Она, например,
направляет плоскость колебаний маятника Фуко так, чтобы она следовала
за вращением звездного неба.
Некоторое замкнутое пространство, заполненное в общем
покоящимися и равномерно распределенными звездами, являет
собой, таким образом, идеальное состояние равновесия, к которому
приближается состояние реального мира. Именно в этом
статистическом смысле он подобен газу, заключенному в некоторый
неподвижный сосуд и находящемуся почти всегда в состоянии
термодинамического равновесия, при котором его молекулы равномерно
заполняют объем, в среднем покоясь в каждой точке и обнаруживая п£>и
этом известное максвелловское распределение скоростей. Тем самым
одновременно мы должны получить объяснение того, почему
относительные скорости звезд малы по сравнению со скоростью света и
почему наша система звезд не рассеивается в пространстве.
Трудность, заключающуюся в том, что полная масса мира, имеющая

§39 О крупномасштабной структуре мира
367
случайное значение, должна находиться в точно определенном
соотношении с постоянной λ, входящей в закон тяготения, можно
устранить, предположив, что значение этой постоянной λ не
устанавливается законами природы. В этом случае закон тяготения
целесообразно сформулировать так: для каждой бесконечно малой вариации
метрического поля, исчезающей за пределами некоторой конечной
области и такой, что она оставляет неизменным объем
δ J Jg dx = 0, справедлив вариационный принцип δ J О dx = О
(вариационный принцип вместе с граничным условием). Остается,
впрочем, открытым вопрос, является ли «сфера» взаимно однозначным
отображением реального пространства, или на ней следует
отождествить каждые две диаметрально противоположные точки с одной и
той же точкой пространства.
Если к тому же сосредоточить массы в окрестности
пространственного экватора, то, при условии, что сингулярность метрического
поля должна быть на этом экваторе устранена, получим полную
массу, которая не может превзойти значения, рассчитанного по
формуле (77), и имеет тот же порядок . Одновременно это
находится в хорошем согласии с исследованием Тирринга о влиянии
тяжелого вращающегося полого шара на массы, находящиеся вблизи
его центра. Сила, действующая на такую массу, вполне аналогична
центробежной силе; только она должна быть умножена на малый по
величине множитель, являющийся отношением гравитационного
радиуса массы полой сферы к геометрическому радиусу этой сферы.
Для мировой сферы этот множитель достигает значения, близкого к
1: иначе говоря, гравитационный радиус массы мира оказывается так
же велик, как его геометрический радиус. Статическое центрально-
симметричное гравитационное поле находящегося в точке О
нейтрального или заряженного центрального тела с учетом
космологического члена λ может быть рассчитано точно так же, как и ранее; при
этом как раз и выявляется необходимость введения горизонта масс,
описываемого формулой (77).
Вселенная, отвечающая эйнштейновской космологии, могла бы
показаться весьма заманчивой, если бы на ее пути не возникли
некоторые значительные трудности. Прежде всего, факты. Данные
астрономических наблюдений позволяют приписать звездам
некоторый возраст, но это вовсе не означает, что звездная система не будет
рассеиваться, как облако дыма. Просто она в данный момент времени
может оказаться достаточно молодой, чтобы это уже могло
произойти. Все данные наблюдений относительно распределения звезд в
пространстве показывают, что современное состояние звездного

368
Общая теория относительности
неба не имеет ничего общего с «конечным статистическим
состоянием» . Небольшие скорости звезд связаны, скорее, с общим их
происхождением, чем с некоторым выравниванием этих скоростей.
Впрочем, кажется установленным факт, что чем дальше находятся
звездные образования, тем большие в среднем скорости они имеют.
Таким образом, астрономические факты приводят к тому, что, вместо
равномерного распределения масс, имеют место существенные
неравномерности, связанные с существованием отдельных звездных
туманностей в далеких просторах Вселенной.
Во-вторых, эйнштейновские космологические уравнения
гравитации имеют, согласно одному замечанию де Ситтера , некоторое
очень простое регулярное решение, с которым вполне согласуется
представление о мире, лишенном материи, но являющемся, вместе
с тем, метрически однородным пространством неисчезающей
кривизны. Пусть Ω(χ) —некоторая невырожденная квадратичная форма
пяти переменных xt ... х5 с постоянными коэффициентами. Тогда
«коническое сечение» Ω(χ) = а в пятимерном евклидовом простран-
стве с фундаментальной метрической формой ds = - Q(dx) является
метрически однородным четырехмерным римановым многообразием.
Если оно обладает одним положительным и тремя отрицательными
измерениями, то для Ω следует принять четыре положительных и
одно отрицательное измерения. Таким образом,
Ω(τ) = х\ + х\ + *з + х\ - х\.
Соответствующий тензор кривизны 4-го ранга записывается
тогда следующим образом:
Поэтому
Rik = RL· = "" iPik* R = R\ = ~ "I'
а а
и уравнения (75) выполняются при λ = 3/а . Это решение мы
противопоставляем эйнштейновскому «цилиндрическому миру»
(который дается цилиндром, построенным на трехмерной сфере в
пятимерном евклидовом пространстве с координатами £j, x2» *3' *'
t в направлении t-оси) как гиперболический мир де Ситтера.
*) Так обозначенные косинус и синус (в оригинале они обозначены готическим
шрифтом) являются гиперболическим косинусом и синусом, соответственно (в
современных обозначениях ch— и sh— ) — Примеч. пер.

§39 О крупномасштабной структуре мира 369
С «цилиндрическим решением» (76), (760 он находится в
теснейшей взаимосвязи. А именно, если положить
хА = 2 · Cos-, Xc = 2 · Sin- (78)
4 а ъ а
то получится
Ω(χ) = χ2 + х\ + *з + 22 = я2,
- ds2 = Q(dx) = (ufjcf + dx\ + rf*§ + ufz2) - F] di2,
что в точности совпадает с
формулами (76), (760. Однако
введенные таким образом статические
координаты х^ х2» хз> * пРеДстав~
ляют только клинообразный
сектор хА- х$> 0 деситтеровского
гиперболоида. Положение вещей
можно сделать более наглядным,
если опустить две
пространственные координаты (xv x2) (см.
рис.22). Острие клина (т.е. когда
хА = 0, и х5 = 0) — это ось χ3·
Проходящие через это острие
плоскости х±/х$ = const пересекаются с гиперболоидом по линиям,
которые на цилиндре переходят в линии t = const. В частности, края
клина х4 - х$ = 0 и х4 + х5 = 0 переходят в бесконечно удаленные
сечения цилиндра t = ± оо. Две же точки пересечения острия клина
с гиперболоидом (х4 = х5 = 0, х% = ±а) растягиваются в две
образующих цилиндра. Впрочем, перед применением подстановки (78) мы
можем координаты х^ ... х$ подвергнуть некоторому линейному
однородному преобразованию, которое оставляет форму Ω(χ)
инвариантной. В данном случае имеется, таким образом, бесконечно много
различных систем статических координат. Конечно, каждая из них
представляет отличный от других клинообразный сектор полного
геометрического образа.
Деситтеровское решение, которое в целом не является
статическим, заставляет нас отказаться от одностороннего статического
подхода и подумать, что, собственно, означает требование
пространственной замкнутости с точки зрения Analysis situs четырехмерного

370
Общая теория относительности
мира. В то время как четырехмерное числовое пространство имеет
единственную связную бесконечно удаленную окрестность,
требование замкнутости четырехмерного мира ведет к тому, что мир
имеет две отделенные друг от друга окраины: бесконечно удаленное
прошлое (- оо) и бесконечно удаленное будущее (+ оо). Как цилиндр,
так и гиперболоид обладают именно этим свойством. Таким образом,
не только метрической структурой, но и Analysis situs-свойством
мира определяется его особенность, заключающаяся в том, что он
простирается из вечности в вечность. В мире, имеющем связность
четырехмерного числового пространства, нетрудно так построить
метрическое поле, чтобы конус пассивного прошлого, исходящий из
точки О, при достаточном продолжении его назад, охватил своей
внутренностью и саму точку О. При этом возникли бы весьма
неприятные возможности появления двойников и самопересечений
или встреч объектов с самими собой. Но, если мир имеет две окраины,
то мы можем с помощью простого постулата, согласно которому все
нулевые геодезические линии проходят в одном и том же
направлении (из окрестности - оо в окрестность + со) воспрепятствовать этому
и, в результате, прийти к положению, при котором каждая такая
линия, (а также каждая линия, имеющая всегда времениподобное
направление) была наделена однозначно определенным
направлением (из - оо в + со). По две окраины прошлого и будущего имеют и
цилиндр, и гиперболоид. Но в цилиндрическом мире, заполненном
массами, (в котором f=\), конус прошлого, продолженный назад,
бесконечно часто перевертывается (сам он ограничен, если опустить
два пространственных измерения, двумя винтовыми линиями на
цилиндре, которые пересекают образующие под углом ±45°).
Поэтому может произойти то, что мы от одной и той же звезды увидим на
небе несколько изображений, соответствующих ее состоянию в
различные эпохи, отделенные друг от друга огромными интервалами
времени, в течение которых свет обегает вокруг всего пространства.
В таком мире нас окружали бы «призраки» далекого прошлого. Если
же принять, что свет на своем пути рассеивается так сильно, что эти
«призраки» оказываются ненаблюдаемыми, то это рассеяние должно
привести к тому, что звезды в среднем поглощают столько же света,
сколько они его излучают. В этом случае должно было бы
установиться равновесное состояние излучения, как и в некоторой полости,
заполненной черным излучением. Иначе обстоит дело на
гиперболоиде, на котором нулевой конус образован прямолинейными образу-
*) Иначе говоря, мир наделен не только метрической, но и топологической
структурой — Прим. перев.

§39 О крупномасштабной структуре мира
371
ющими, проходящими через точку О. Гиперболический мир де
Ситтера объединяет друг с другом следующие две вещи: он имеет
двойную окраину прошлого и будущего, но не приводит к
самопересечению нулевых конусов. В нем значительно больше места, чем в
цилиндрическом мире. С этим связана еще одна удивительная черта
гиперболоида. Его геодезические линии вырезаются плоскостями,
проходящими через нулевую точку (мы снова опускаем две
пространственных координаты Xj, x2 используя, таким образом,
трехмерное евклидово пространство с фундаментальной метрической
формой—
- ds = dx\ + dx\ - dx\\ времени-
подобные среди этих линий
являются ветвями гиперболы, которые
простираются из - оо в + оо.
Открытые в будущее нулевые конуса
с вершинами в точках на
геодезической линии 1 такого типа
покрывают только часть гиперболоида,
которая ограничена двумя
параллельными друг другу
прямолинейными образующими. По мере
продвижения вниз по
направлению к (- оо) эта область по
сравнению с полной поверхностью
гиперболоида становится бесконечно узкой, а по мере продвижения
вверх охватывает почти всю поверхность. (На рис.23 дано
изображение гиперболоида; 1 лежит в плоскости изображения). Эта «об-
о
ласть действия» содержит вместе с 1 с оо других геодезических
линий, которые образуют пучок, расходящийся по направлению к
будущему и сходящийся по направлению к прошлому. Существуют
3
оо таких пучков, отличающихся друг от друга направлением
схождения (подобно тому, как в обычном четырехмерном пространстве
имеется оо пучков параллельных друг другу прямых). При этом во
взаимодействии с самого начала могут находиться только такие
элементы материи, мировые линии которых принадлежат к одному
и тому же пучку. Различные системы такого рода могут в ходе своей
истории причинно связываться друг с другом. Естественно
предположить, что все известные нам небесные тела принадлежат к одной,
единственной такой системе. (Это сделало бы понятным небольшие
скорости звезд как следствие их общего происхождения. Об одном

372
Общая теория относительности
интересном астрономическом следствии этой космологии см.
Приложение III.)
В то время как решение де Ситтера позволяет отказаться от
необходимости заполнения мира массами, эйнштейновскую
космологию можно подвергнуть критике в этом пункте, и, возможно, именно
здесь ей можно предъявить серьезнейшее возражение. Основой того
обстоятельства, что некоторое покоящееся заряженное тело окружено
е
статическим полем с потенциалом —, является вовсе не граничное
условие на пространственной бесконечности. Следует также
освободиться от одностороннего «статического» подхода. Если некоторая
система зарядов двигалась некоторым образом в пустом пространстве
в течение часа, но затем оставалась в покое, то кулоновское поле
будет окружать систему в области с размерами порядка «одного
светового часа, равного примерно 10 км». Равновесие никоим
образом не устанавливается лишь после того, как статическое
состояние поля, распространяющееся со скоростью света, достигнет
пространственного горизонта, заполнив тем самым всю сферу
пространства. Вместо вопроса, почему статический потенциал имеет
пространственное граничное значение, равное нулю, встает другой,
откуда возникает выделенное направление времени,
обнаруживающееся в запаздывающих потенциалах. Рассмотрим следующий
процесс. От некоторого нейтрального тела отделяется некоторый заряд
и удаляется от материнского тела; затем он возвращается таким же
образом назад. То, что с помощью этого процесса формируется и
излучается поле, описываемое запаздывающими потенциалами,
вытекает из полевых законов, если добавить предположение, что до
начала процесса пространство было свободно от поля; из самих же
полевых законов следует, что при этом возбуждение поля никогда не
должно прекратиться. Если бы, наоборот, мы предположили, что
пространство сьободно от поля после окончания процесса, то поле
бы поглощалось и исчезало. Применим теперь это описание к
макроскопическим наблюдаемым телам (например, к передающей
станции, работающей в течение некоторого интервала времени и затем
прекращающей свою работу), но не к электрону, полевозбуждающее
действие которого не имеет начала во времени. Отсюда с
уверенностью можно заключить, что соотношение, о котором шла речь,
обусловлено не пространственной бесконечностью, а бесконечно
удаленным во времени прошлым, лежащим позади нас, в мировой
окраине - оо. Так как это положение вещей сохраняется и в
эйнштейновской космологии, точка зрения, что свойство инерции тел
обусловлено большими далекими массами, мне представляется ошибочной.

§39 О крупномасштабной структуре мира
373
Принцип, согласно которому материя порождает метрическое
поле, нельзя провести в том смысле, что «вдали от материи, или
когда материя вообще отсутствует, ведущее поле исчезает», т.е. поле
не определено. Было бы вполне логичным принять этот подход и для
электромагнитного поля. Но мы знаем, исчезновение материи ведет
к обращению в нуль и поля, Однако уравнения <pt· = 0 не означают,
что «электромагнитного поля вообще нет». Скорее, они описывают
некоторое определенное, исключительное, «состояние покоя» поля,
которое непрерывным образом связано со всеми другими
возможными состояниями поля. Состояние покоя метрического поля —это
однородная метрика, существующая, в частности, на гиперболоиде
де Ситтера. Таким образом, в согласии с наблюдениями, я могу
предположить, что вдали от материи существует это однородное
состояние. (Введенная в §29 аналогия, использованная для
обсуждения вопроса о наличии абсолютного направления в пространстве
«верх-низ», в одном существенном пункте не обоснована. В связи с
этим можно говорить о реабилитации старого понятия эфира. Но
теперь он выходит на первый план не как субстанциальная среда, а
имеет лишь тот смысл, что под состоянием эфира следует понимать
существующие метрическое и электромагнитное поля ). Отношение
между материей и эфиром не является отношением порождения, т.е.
в том смысле, что материя порождает эфир. Подобно кораблю на
гладкой поверхности моря, материя лишь возбуждает эфир, который
по своей природе находится в состоянии покоя. На деситтеровском
гиперболоиде по мере приближения к окрестности бесконечного
прошлого - оо область, в которой эфир находится в своем состоянии
покоя, т.е. состоянии однородности, становится все обширнее, а
изолированные участки возмущения, по сравнению с ней, становятся
все менее протяженными. По мере же приближения к бесконечному
будущему все эти участки возмущения увеличиваются,
накладываются друг на друга и заполняют вселенную. В гиперболическом мире
мы можем то понимание, которое было развито выше для
возникающих во времени возмущений электрического поля, распространить и
на идущее из вечности полевое возбуждение, вызванное последними
составными элементарными частями материи. Мир рожден из
вечного покоя, но возбужденный «духом неспокойствия», который живет
в материи, он никогда не вернется к покою. Прошлое закрыто для
нас, никому не избежать его неумолимого воздействия. Но в будущем
+ оо мир открыт и непредсказуем для нас. Было бы самонадеянным
накладывать на него там граничные условия.
С физической точки зрения мы в настоящее время еще не можем
сделать выбор в пользу эйнштейновской или деситтеровской
космологии. Как только в эйнштейновский мир помещается материальная
точка, отдельное центральное тело, оно начинает притягивать сосед-

374
Общая теория относительности
ние мировые массы. Трудно найти правильное феноменологическое
объяснение тому сопротивлению, которое возникает при движении
масс к центральному телу и препятствует этому движению. Вычисления
показывают, что введение некоторого противодавления, подобного
тому, которое возникает в несжимаемой жидкости, недостаточно для
этого. Но и в мире де Ситтера соответствующие материальной точке
решения которые с исчезновением массы должны были бы перейти
в однородный гиперболоид до сих пор еще не известны. В физике
поэтому мы должны всюду перейти к пределу при λ = 0. Тем не
менее, все эти вопросы следует обсуждать, так как они теснейшим
образом связаны с фундаментальной проблемой происхождения
галилеевского ведущего поля. На вопрос, почему инерциальный и
небесный компасы почти точно сходятся в своих показаниях, я не
знаю никакого другого ответа, кроме одного. Он заключается в том,
что материя в состоянии нарушить покой «первичного эфира»
(«Vaters Äther») только в незначительной степени. Чем меньше в
пространстве материи, тем точнее это совпадение. Все-таки, не исключена
возможность, что интенсивность, с которой некоторое тело
сопротивляется отклоняющим его силам, его коэффициент инерции -— зависит
от остальных масс. Вполне возможно также, что как значение ае не
обусловлено свойствами эфира, так и гравитационный радиус
электрона т не определяется лишь природой самого электрона.
Напротив, оба этих числа могли бы зависеть от случайного числа
электронов, существующих в мире. Допуская возможность такой мысли для
объяснения загадочного числового соотношения для электрона, о
котором упоминалось ранее, приходится все-таки признать ее
спекулятивный характер.
§40
Электромагнитное поле как составная
часть метрического поля [62]
Если до сих пор мы вместе с Эйнштейном определяли
мероопределение в эфире с помощью масштабов и часов, то это удавалось
лишь благодаря предшествующему обращению к опыту, так же как,
например, определение напряженности электрического поля через
пондеромоторную силу, действующую на единицу заряда.
Необходимо теперь замкнуть круг. После того, как уже установлены
физические законы действия, следует доказать, что заряженные тела (в
рассматриваемом примере) под влиянием электромагнитного поля
или масштабы (в нашем случае) под влиянием метрического поля
обнаруживают в соответствии с этими законами действия такое
поведение, которое мы использовали вначале для физического
определения полевых величин. В настоящее время мы уверены в том, что

§40 Электромагнитное поле как составная часть метрического поля 375
для этого нам необходимы законы квантовой теории. Из боровской
теории атома следует, что радиусы круговых траекторий, которые
описывают электроны, и частоты излученного света определяются с
учетом строения атома, исходя из планковского кванта действия, а
также зарядов и масс электронов и атомного ядра. Точно так же
обстоит дело с периодом решетки в кристаллической среде и, следо-
рательно, с размером данного жесткого масштабного стержня.
Новейшее развитие атомной физики сделало весьма вероятным такое
представление о строении материи, что она состоит из электронов и
водородных атомных ядер, причем все электроны обладают
одинаковыми зарядами и массами, как и все атомные ядра водорода. Отсюда
со всей очевидностью следует, что атомные массы, периоды часов и
длины масштабов ведут себя не в соответствии с некоторой
«инерциальной тенденцией*. Напротив, речь здесь идет о некотором
состоянии равновесия, зависящем от структуры объекта, т.е. часов,
масштабов, которое, так сказать, устанавливается в этом объекте в
каждое мгновение заново. Это объясняет следующий
фундаментальный факт, из которого мы исходили при определении метрического
поля, его лучше сформулировать не на геометрическом языке
радиусов атомных орбит, а на языке атомных масс, которые, с физической
точки зрения, более первичны. Отношения масс атомов водорода и
кислорода, находящихся в некоторой точке поля Р, равно
1,008:16,000. Пусть они двигаются в мире в течение длительного
времени независимо друг от друга и спустя некоторое время вновь
встречаются в мировой точке Р'. В результате мы получим в
точности то же сакое отношение масс, как и в точке Р. Это
отношение масс устанавливается не в Р\ так как оно было таковым
уже в точке Ρ и так как оно определяется строением атомов водорода
и кислорода. Сохранение этого отношения масс должно быть
основано таким образом на том, что каждая атомная масса в отдельности
настраивается на определенное отношение к значению известной
полевой величины в соответствующей точке, имеющей размерность
длины (= массы).
Если спросить теперь, какой смысл имеет эта полевая величина,
то ответ на этот вопрос позволяет дать эйнштейновская теория в ее
последнем космологическом понимании: эта величина имеет смысл
радиуса кривизны поля. Из общих уравнений поля
(»* - ^4») - *№ - *sl. «Ι = & - FkXr
следует в результате свертки
| R = - 4λ = const Ι
Но это ведет теперь к устранению оснований для введения в
физику римановой геометрии в качестве мировой геометрии. И в

376
Общая теория относительности
общей метрической инфинитезимальной геометрии мы располагаем
скалярной кривизной F. Нам теперь нужно принять только, что тела,
применяемые для измерения, настраиваются на эту полевую
величину, чтобы согласовываться с вновь подчеркнутым
фундаментальным опытным фактом. Лишь при таком подходе мы получаем
описание ситуации, в котором понятия располагаются в их естественном
порядке. Если исходная структура эфира имеет метрическую природу,
то инерциальная тенденция по отношению к «мировым
направлениям», проявляющаяся в свободном движении тела, должна следовать
из инерциальной тенденции по отношению к отрезкам. Но если с
изолированной материальной точкой мы свяжем некоторые часы, то
они, по-видимому, будут фиксировать параллельный перенос
направления, а не длины, так как этот перенос «фальсифицируется»
показаниями часов, а именно заменяется настройкой на мировую
кривизну. Таким образом, имеется различие между исходной
геометрией эфира и геометрией, конструируемой по показаниям
измерительных приборов, так называемой «естественной геометрией». Эта
геометрия возникает из первой в результате того, что инфинитези-
мальный конгруэнтный перенос отрезков заменяется посредством их
настройки на кривизну.
Таким образом, мы приходим к последнему синтезу . Для
количественного описания физического состояния мира в некоторой
точке следует не только отнести окрестность этой точки к
определенной системе координат, но, кроме того, еще и фиксировать известным
образом единицы измерения. Речь идет о том, чтобы в принципе
достичь такой же точки зрения в отношении второго пункта, т.е.
произвольности выбора единиц измерения, которая была развита в
рамках изложенной выше эйнштейновской теории применительно к
первому пункту, т.е. произвольности выбора системы координат. Именно
эта идея, примененная к геометрии и понятию отрезка во второй главе,
после того, как был сделан шаг от евклидовой геометрии к римановой,
ведет к завершающему прорыву к чистой инфинитезимальной геометрии.
К этому нас вынуждает принцип относительности величины, так же как
к первому шагу т.е. переходу к римановой геометрии принцип
относительности движения. Таким образом, мы получаем теперь, наряду с
квадратичной, еще и линейную дифференциальную форму φ^άχ)1 в
качестве характеристики метрического поля. Помимо координатной
инвариантности законов поля, связанных с четырьмя произвольными
функциями, возникает еще и пятая, калибровочная инвариантность
(Eichinvarianz): законы должны оставаться неизменными, если
функции <рг- и gik заменить на функции
1 дх

§40 Электромагнитное поле как составная часть метрического поля 377
где τ —произвольная положительная функция мировой точки. Мы
уже знаем насколько тесно связаны между собой координатная
инвариантность и дифференциальные законы сохранения энергии и
импульса. Можно ожидать, таким образом, что и калибровочная
инвариантность связана с пятым законом сохранения, законом
сохранения электрического заряда.
Чтобы связать новую точку зрения с прежними результатами мы
возьмем в качестве действия W «естественно измеренный» объем. О
нем уже говорилось на стр.164. Предположив, что кривизна
метрического поля отрицательна, запишем F = - 4λ; тогда для действия
будут справедливы соотношения:
W = /λ2^ dx, 5W = /|2λδ(λ^) - λ2δ^"| dx. (79)
Хотя мы нормировали описание поля с помощью условия
λ = const, виртуальное изменение, однако, остается произвольным и
не должно быть связано с этим условием. Разделив под интегральное
выражение на постоянную -λ, получим под знаком интеграла
Х8<д - δ(2λ>/<7).
Под знаком вариации во втором слагаемом мы, согласно формуле
(64), §18, будем иметь
о л, Αδν1')
Опуская дивергентное выражение в форме ——, так как оно
дхг
при интегрировании дает нуль, мы приходим к следующему
принципу действия
δ Jv dx = 0,
где
ν = 0 + λ^-|<φι.φ1)^'.
Здесь λ означает уже неварьируемую постоянную. Варьирование
по потенциалам φί дает уравнение:
<р. = 0; (80)
варьирование gik дает космологические уравнения гравитации,
которые содержатся в
δ \{Ъ + Х<д)ах = 0.
Теперь не удивительно и даже очевидно, что они возвращают нас
к уравнению

378
Общая теория относительности
R = - 4λ = const.
При калибровочно-инвариантной формулировке это
соотношение можно объединить, впрочем, с уравнением (80)
|^-λφ. = 0. (81)
Уравнение (81) означает, что перенос отрезка посредством
конгруэнтного переноса в соответствии с законами действия происходит
в точности так же, как и посредством установления на радиус
кривизны. Так мы возвращаемся к прежним законам действия. Но
получаем их на пути, который лучше выражает истинное положение
вещей и следует из более простого и однозначно сконструированного
принципа действия (79). Кроме того, мы вынуждены теперь ввести
космологический член, который в эйнштейновскую теорию
включается как гипотеза, не вытекающая из требований самой теории.
Наряду с гравитационным полем, в природе существует еще
только электромагнитное поле. Четыре его компоненты потенциала
образуют коэффициенты инвариантной линейной
дифференциальной формы. Так как общая инфинитезимальная геометрия, кроме
квадратичной, предоставляет в наше распоряжение такую
линейную дифференциальную форму φ^άχ)1, то естественно и
заманчиво, отождествить ее с электромагнитным потенциалом.
Масштабная кривизна
tik дх{ dxk
дает нам тогда электромагнитное поле. Линейная фундаментальная
форма обладает, как и электромагнитный потенциал, тем свойством,
что она определена с точностью до аддитивного полного дифференциала
произвольной функции. Первая система максвелловских уравнений
dUk dfkl dfli Λ /о9ч
—- + —- + —- = 0, yoZ)
дхх дх{ oxk
если наше понимание электромагнитного поля соответствует
действительности, —это такой закон, справедливость которого совершенно
не зависит от того, по каким законам в действительности изменяются
состояния физических величин. Но максвелловское действие, из
которого получается вторая система максвелловских уравнений,
выражается интегралом
ildx^lfufdx, (83)

§40 Электромагнитное поле как составная часть метрического поля 379
который на четырехмерном многообразии является действительно
простейшим интегральным инвариантом метрического поля из тех,
которые вообще существуют! В многообразиях другой размерности
инварианты такого рода отсутствуют. В общей метрической
геометрии некоторая величина, сконструированная по определенному
физическому закону и являющаяся скалярной плотностью при одном
числе измерений, утрачивает этот характер для других размерностей
из-за требования, связанного с калибровочной инвариантностью и
состоящего в том, что калибровочный вес должен быть равен нулю.
Таким образом, эта теория впервые дает понимание выделенности
размерности 4, соответствующей реальному миру \
Если наша гипотеза соответствует действительности, то мы будем
иметь дело не с двумя внутренне не связанными друг с другом
полями, а с эфиром, который связывает посредством некоторого
единого действия две различные материальные сущности и
который является (3 + 1)-мерной экстенсивной средой метрической
структуры. Противоположность между понятиями «физического
состояния» и «гравитации», которая была установлена в §30 и
содержалась во всех последующих рассуждениях, преодолевается
теперь, благодаря новому пониманию, в результате чего достигается
полностью единая и логически замкнутая точка зрения. Мечта
Декарта о чисто геометрической физике получает, как будто, свое
воплощение удивительным и, конечно, вовсе не предусмотренным им
образом, по крайней мере в той области физики, которая касается
непрерывной среды, т.е. поля. Но при этом существует четкое
разделение физических величин на интенсивностные и экстенсивнос-
тные. Единственное однородное четырехмерное метричесное
пространство, как можно доказать (ср. с §13) —это коническое сечение в
пятимерном евклидовом пространстве. Это — «состояние покоя»
(«Ruh-Zustand») эфира, которое, как мы предполагаем, существует
вдали от материи. Оно дается элементом ds де Ситтера вместе с
уравнениями <pt· = 0.
Калибровочная инвариантность максвелловских уравнений в
эфире была отмечена уже раньше, в рамках специальной теории
относительности . Мы вернемся к этой теории, если координаты и
калибровка будут выбраны так, что элемент интервала окажется
равным:
ds = dxl - (dx\ + doc^ + dx§
Пусть xi и х]—две системы координат, в которых имеет место
эта нормальная форма ds . Тогда переход от xi к xi есть конформное
преобразование, т.е.

380
Общая теория относительности
О 0 9 О
άχ0 - (dx^ + dx2 + </*з) с точностыо до некоторого коэффициента
пропорциональности = dx0 - (dx^ + rfx2 + 0ГХ3).
Конформные преобразования четырехмерного мира Минковско-
го совпадают с шаровым родством , т.е. с теми отображениями,
которые каждый «шар» мира превращают снова в некоторый шар.
Шар представляется линейным однородным уравнением,
записанным в однородных «гексасферических» координатах
(хх) + 1 (хх) - 1
«0 : и\ : и2 : и3 : и\ : "5 = Ч : х\ : х2 : х3 : 2 : 2 '
где
[(хх) = х\ - {х\ + ^ + дф],
На координаты наложено также условие
2 2 2 2 2 2
и0- их- и2- и3 -и\ + и\ = 0.
Шаровые преобразования выражаются поэтому как линейные
однородные преобразования координат и-, которые оставляют
инвариантным это условие. Максвелловские уравнения в эфире, как они
фигурируют в специальной теории относительности, инвариантны,
таким образом, не только относительно 10-параметрической группы
линейных преобразований Лоренца, но также и относительно более
широкой 15-параметрической группы шаровых преобразований.
При этом возникает, очевидно, новая точка зрения на связь с
прежними полевыми законами, если в качестве действия W взять
линейную комбинацию «естественно измеренного» объема и максвел-
ловского интегрального инварианта (83):
W= \{У?<д -a\)dxy
где а—числовая постоянная. Используя нормировку λ = const = —
можно этот принцип действия заменить некоторым другим, подин-
тегральное выражение которого записывается так
V = (G + αϊ) + ^д[\ - 3(<ргУ)}.
Наша нормировка означает, что мы измеряем космическими
масштабами. Выберем также координаты xi так, чтобы мировые
точки, координаты которых отличаются между собой по модулю на
величины первого порядка, были удалены друг от друга на
космические расстояния. Тогда можно будет принять, что gik и q>t являются
также величинами первого порядка малости. Подстановкой

§40 Электромагнитное поле как составная часть метрического поля 381
xi = 2zx( введем координаты обычно используемого порядка
величин, именно порядка размеров человеческого тела, ε здесь —очень
малая постоянная. gik не изменяются при этом преобразовании в том
случае, если мы при этом произведем такую перекалибровку, в
результате которой ds умножится на 1/4ε . В новой системе отсчета
тогда будет
9'ik = 9ik> Φ'ΐ = 2ε<Ρί' λ' = ~ ε2·
1
—, соответственно этому, есть радиус кривизны мира в «человечес-
ε
ком» масштабе. Сохраним за д^, <pt· их прежнее значение, но теперь
под xi будем понимать координаты xt·'. Тогда действие запишется в
виде
V = (G + αϊ) + z2<q{\ - 3(<рУ*)}. <84>
Пренебрегая незначительными членами космологического ха-
рактера, имеющими порядок ε , мы получаем в итоге в точности
классическую максвелл-эйнштейновскую теорию электричества и
тяготения. С той же точностью мы получим и механические
уравнения, из которых в согласии с опытом следует пондеромоторное
действие электромагнитного поля. Наконец, подтверждается и тот
факт, что при естественной калибровке сохраняются длины
масштабных стержней и частоты атомных часов, действительно настраиваясь
при этом на радиус кривизны. При выводе механических уравнений
членами космологического характера пренебрегают не только из-за
их малости, но и из-за того, что масса тела вообще определяется
только с такой точностью, с которой окружающее поле может
рассматриваться как евклидово. То обстоятельство, что движение
тела и перенос периода часов, протекающие согласно законам
природы, не следуют аффинной связности эфира, вытекает, впрочем,
уже чисто формальным образом из сравнения величины действия с
компонентами аффинной связности
г<* = {?}+ ΧβίΦ*+ δ*φ« - wrt- (85)
Действительно, законы природы, возникающие из принципа
действия, остаются без изменения при переходе от φ κ - φ, в то время
как аффинная связность в эфире при таком преобразовании, как это
видно из (85), изменяется.
Таким образом, наша теория, в частности и прежде всего
неожиданное и элегантное истолкование <pt· как электромагнитных
потенциалов, оправдывается в следующем смысле. Расширение мировой

382
Общая теория относительности
геометрии, вызванное принципом калибровочной инвариантности,
ведет при использовании принципа действия, построенного
простым и разумным образом из величин состояния метрического
поля, к следствиям, которые согласуются с опытом и делают
излишним принимаемое до сих пор, помимо метрики, в качестве
электромагнитного еще одно физическое поле. Точно так же обстоит
дело с эйнштейновским принципом общей координатной
ковариантности, к принятию которого нас понуждает относительность движения.
Его физическое оправдание лежит единственно в том и только в том,
что простой общековариантный принцип действия для свободной
материальной точки, не подверженной никаким воздействиям сил,
приводит к такому движению, которое подтверждается
наблюдениями планет, и при этом не нужно прибегать к введению особого
гравитационного поля, наряду с метрическим.
И все же мы испытываем здесь некоторую неудовлетворенность.
У Эйнштейна взаимосвязь сохраняющей направление инерции и
гравитации можно наглядно и непосредственно выразить с помощью
равенства инертной и тяжелой масс, или «принципа
эквивалентности». Имеется ли соответствующая наглядная основа для
сформулированной здесь связи между конгруэнтным перенесением и
электромагнитным полем? Принято считать, что такой наглядной основы
нет. Но мы можем, по крайней мере, объяснить, почему она должна
отсутствовать. Во-первых, если не принимать во внимание
геометрическое облачение теории, ее физическое ядро можно выразить так:
физическое состояние мира определяется не гравитационным потен-
циалом ds = gik dxi dxk и не электромагнитным потенциалом
άφ =φί dxit а величинами τ · ds и άφ - — (где τ — произвольная
положительная функция мировой точки). Из полевых величин fik
эта произвольная функция τ, однако, полностью выпадает, так что
пондеромоторнсе действие электромагнитного поля на заряженные
тела оказывается никак не связанным с калибровкой. Во-вторых,
соответствующий вид силы поля обусловлен, естественно, тем, что в
используемое нами действие входят существенным образом не
преобразующиеся величины кривизны fik (откуда следует
противоположность «инерции» и «силы»). Если бы в эйнштейновской теории
тяготения мы приняли действие, которое содержит не только первые
производные gik, но также и кривизну (например, JR^ dx), то,
наряду с гравитацией, в теории появились бы не пропорциональные
массе силы, связь которых с ведущим полем нельзя было бы сделать
убедительной с помощью принципа эквивалентности. Электричество не
является аналогом гравитации в том смысле, что оно демонстрирует

§40 Электромагнитное поле как составная часть метрического поля 383
переменность метрической связности в мире подобно тому, как
переменность аффинной связности проявляется как гравитационное
поле. В плотности действия V (формула (84)) есть этот аналог
гравитации космологический член G. Его проявления характеризу-
ются вторым порядком величин по ε и поэтому не могут быть
проверены опытом. Электричество 1 —это сопутствующее явление
(•соответствующее высшим порядкам производных), подобного
которому при аффинной связности, вследствие особого строения
действия, не существует. Поэтому электромагнетизм выступает в мире
как единственная фундаментальная сила, противостоящая ведущему
полю. В-третьих, при нормировке λ = const потенциалы <pf· (они,
впрочем, удовлетворяют вследствие калибровочной нормировки, как
мы увидим, условию Лоренца ^ J = 0) характеризуют различие
между конгруэнтным переносом и установкой (настройкой —
Einstellung) на радиус кривизны, а также между эфирной и материальной
геометриями (Körpergeometrie). На масштабное поведение тел и их
движение они, таким образом, не оказывают никакого влияния.
Единственным видоизменением, которое дает наша теория,
является то, что при наличии электромагнитных потенциалов
эйнштейновский космологический член ε V# заменяется выражением
ε2^{1 - 3(<рг<р1)}.
Для выяснения его смысла выпишем, прежде всего, в явной
форме уравнения полей. Варьирование <рг- дает
?- + — <ргУ? = 0. (86)
dxk α ψ у
Варьирование gik приводит к уравнениям:
R* - \*ή = α(1δ? - fir&) + ε2^{(1 - 3φ,φ')δ? + 6φ/}. (87)
Из электромагнитных уравнений (86) следует, что потенциалы
φ,- удовлетворяют нормировочному условию
<%^) = 0 (88)
Это условие, впрочем, двояким образом вытекает из полевых
уравнений. Его можно получить и из гравитационных уравнений
(87). Сворачивая их, мы получаем:

384
Общая теория относительности
-R- 4ε2(1 - |<р,У) = 0. (89)
Но, вследствие калибровочной нормировки
-F = -/? + 6s.1L^^ + 6sV) = 4s2.
ig дх{ νψ'τ
Поэтому соотношение (89) эквивалентно условию (88).
В §37 мы видели, что в поле заряженного покоящегося
центрально-симметричного тела поток векторной плотности
гравитации Ш1 через сферу радиуса г зависит от этого радиуса г. Отношение
этого потока для двух значений г равно электромагнитной энергии,
заключенной между двумя соответствующими сферами умноженной
на 1/ае. Это означает пропорциональность между массой
(генерирующей гравитационное поле) и энергией с коэффициентом ае. Тело,
которое излучает энергию, теряет эквивалентное количество массы.
Излучаемая энергия при этом вычисляется посредством
интегрирования по времени потока энергии, который пересекает окружающую
тело поверхность Ω. В противоположность этому поток
электрической векторной плотности (f°\ г02, г03) в поле заряженного
покоящегося тела не зависит от радиуса: поле соленоидально (ladurgsfrei).
В обсуждаемой здесь теории появляются определенные поправки,
которые, правда, имеют порядок ε , т.е. космического порядка
малости. Но благодаря этому заряд ведет себя полностью
аналогично массе: существует эквивалентность между зарядами и
потенциалом с точностью до коэффициента пропорциональнос-
3ε2 и
ти . Из-за того, что тело излучает «потенциал», его заряд
уменьшается на соответствующую величину. Излучаемый потенциал
вычисляется интегрированием по времени потока пространственного
векторного потенциала
(φ1^, <p2V0, <p3V#),
проходящего через поверхность Ω. (Как с потерей массы тела,
вызванной излучением энергии, связано незначительное уменьшение
массы его последних материальных элементарных составляющих
частиц, так же мало сказывается на аналогичной потере заряда этих
частиц при излучении потенциала).
Потенциальная форма qfidx)1, которая характеризует
конгруэнтный перенос, не зависит от произвольного выбора единицы
измерения. Таким образом, в нашей теории имеется некоторая абсолютная

§40 Электромагнитное поле как составная часть метрического ноля 385
единица электрического заряда. Точно так же посредством
калибровочной нормировки λ = 1 вводится некоторая абсолютная единица
длины. (Тем самым, у поля имеется возможность настраивать
электрон на определенные заряд и массу). Но обе единицы —
космического порядка, и мы их не знаем. Мы можем сказать только, что, если
абсолютная единица длины в [см] равна —, то абсолютная единица
ε
заряда в электростатических единицах равна —, так чтобы выполня-
ε
2
лось соотношение е = ct/ае. Многозначительным является также то
обстоятельство, что действие в нашей теории является
безразмерной величиной. В случае предельного перехода при ε = 0 не
существует не только абсолютной единицы длины, но и абсолютной
единицы электрического заряда. Численное значение α весьма
незначительно, его влияние на физические процессы в силу сказанного имеет
лишь космический порядок малости. Так как, с формальной точки
зрения, не удовлетворительно, что наше действие состоит из двух
слагаемых, одно из которых содержит числовую постоянную, удобно
принять,—и мы, тем самым, подхватываем идею, неиспользованную
в конце §39 —что значение α определяется не закономерностями
поля, а, скорее, всей содержащейся в мире материей, например,
числом электронов. Универсальный закон действия мы, сообразно с
этим, формулируем так. При каждом виртуальном изменении
метрического поля, исчезающем вне некоторой конечной области,
которое оставляет неизменным естественно измеренный полный
объем:
δ \\2<g dx = Q,
также остается неизменным максвелловское действие
δ Jl dx = 0.
Возможно следует добавить, что, если виртуальное изменение
увеличивает или уменьшает обьем, то оно увеличивает или,
соответственно, уменьшает и максвелловское действие. Это дополнение
позволяет заключить, что α должна быть положительной величиной.
Имеется статический случай, когда система координат и
калибровка могут быть выбраны так, что фундаментальная линейная
форма будет равна φ dxQ, а квадратичная форма равна
f2 dx] - 6?σ2,
причем функции φ и f не зависят от времени ί0, а зависят только от
пространственных координат xt, х2» *3' ^σ является положительно
определенной дифференциальной квадратичной формой трех

386
Общая теория относительности
пространственных переменных. Этот характерный вид
фундаментальной формы (за исключением совсем уж частных случаев)
сохраняется при координатных и калибровочных преобразованиях только
тогда, когда х0 испытывает некоторое линейное преобразование, а
пространственные координаты также переходят в пространственные
же координаты, и при этом калибровочное отношение остается
постоянным. В статическом случае мы имеем, таким образом,
трехмерное риманово пространство с фундаментальной метрической
φόρο . 2
мои ασ и два скалярных поля в нем: электростатический потенциал
φ и гравитационный потенциал, или скорость света /*. Поэтому
статический мир калиброван естественным образом. Спрашивается,
допустима ли здесь калибровка λ = const. Ответ утвердительный. А
именно, если калибровать статический мир посредством λ = 1 и
обозначить соответствующие величины чертой над ними, то получится
где
φ. = .
■i = Т~ (*
' дх{
h
λ'
= 1,
и, таким образом,
и уравнение (88) дает
2,3),
gik = Xgik,gik = ^, ^ = λ2^,
γ^ = ο
^ дх{
Отсюда следует, что λ = const
Оказывается, таким образом, что полевые законы имеют
статические центрально-симметричные решения, которые остаются
регулярными на «экваторе пространства», при этом располагать там
горизонт масс нет необходимости. Можно также сделать примечательные
2
качественные утверждения о виде решения, например, что φ
*) Этот вывод правомерен только тогда, когда пространство замкнуто. Имея в
виду сингулярности материи, в окрестности одной из них можно рассматривать λ как
потенциальную функцию вида а + —. Но здесь постоянная 6 = 0 должна быть равна
нулю, так как в противном случае заряд частицы (сингулярности) уменьшается
пропорционально Ъ и потоку векторной плотности (Х'У^) через поверхность,
окружающую частицу. Но заряд сохраняется посредством настройки. Добавляя это
требование, лежащее в природе элементарных частиц, приходят в результате к уравнению
λ = const.

§41 Свойства инвариантности и дифференциальные законы сохранения 387
является убывающей функцией г. Предельным переходом при ε = О
из них получаются решения (50), которые характерны для
заряженной материальной точки в бесконечном пространстве. С точки зрения
эйнштейновской космологии это означало бы, что наши законы поля
позволяют существовать телам с произвольными зарядами и массами.
С точки же зрения космологии де Ситтера проблему, конечно,
пришлось бы ставить иначе.
Теория не дает никакого объяснения неравноценности
положительного и отрицательного электричества. Но это нельзя считать
изъяном теории, так как это неравноправие основано без сомнения
на том, что из двух основных частиц материи, электрона и атомного
ядра водорода, положительно заряженная частица связана с одной
массой, а отрицательно заряженная с другой. Эта разница связана
скорее с природой материи, чем с полем.
Если охватить мысленным взором совершенное логически
необходимое и замкнутое здание «чистой» инфинитезимальной
геометрии, прежде всего, благодаря ее теоретико-групповому обоснованию,
обсужденному в §19, то можно, пожалуй, утверждать, что здесь
изложены теоретически весьма удовлетворительная сводка и
интерпретация всей нашей полевой физики, которая дополняется
самосогласованными и убедительными космологическими соображениями.
§41
Свойства инвариантности и дифференциальные
законы сохранения
Связь между координатной инвариантностью и
дифференциальными законами сохранения энергии-импульса обнаруживается в
своей простейшей форме в случае приближенного
интегрирования эйнштейновских полевых уравнений, изложенных в §32.
Свобода в выборе координат влечет за собой тот факт, что на гравитаци-
ь
онные потенциалы ψ^, как и на компоненты энергии-импульса,
можно наложить условие (42). Уже там мы ссылались на аналогию
с электромагнитными уравнениями: используя калибровочную
инвариантность, можно так подействовать на электромагнитные
потенциалы, что они, как и электрический ток, будут удовлетворять
дополнительному условию -^- = 0. Калибровочная инвариантность
дхг
находится, сообразно с этим, в совершенно аналогичном отношении
к закону сохранения электрического заряда, как координатная
инвариантность к закону сохранения энергии-импульса.
В основном, здесь идет речь о чисто математическом
соотношении, которое существует для каждого интегрального инварианта

388
Общая теория относительности
J W dx метрического поля. С этой степенью общности мы хотим
получить указанные соотношения на основе уже примененного в §30
клейновского метода, который только теперь находит свое полное
выражение. Для наглядности мы ограничимся случаем, когда W—
выражение 2-го порядка, т.е., с одной стороны, построено из gik и
их производных до 2-го порядка включительно, а, с другой стороны,
из φί и их первых производных. Простейший пример — максвеллов-
ская плотность действия 1.
I. Дадим величинам <р^, gik, описывающим метрику относительно
некоторой системы отсчета, произвольные бесконечно малые
приращения δφζ·, 5gik и обозначим некоторую конечную мировую область
X. Тогда, вследствие интегрирования по частям, интеграл от
соответствующего приращения 8W величины W по области X разобьется на
две части: интеграл от дивергенции некоторого выражения и
интеграл, подинтегральное выражение которого является лишь линейной
комбинацией δφ^ и 8gik:
f 8W dx = J^f^ dx + /(ΐ^δφ. + \viikbgik) dx, (90)
X X dXk χ l
причем VTki = Wik.
Здесь wl —компоненты контравариантной плотности, a Wf- —
компоненты смешанной тензорной плотности второго ранга.
Величины δν* — линейные комбинации
Чх' 4ιβ и δ0αβ, ν Где
выразим сказанное формулой:
δν* = (*α)δφα + (&χβ)δ0αρ + (kia№gap f.
Величина δν* однозначно определяется уравнением (90) только
при добавлении нормировочного условия, согласно которому
коэффициенты Шеф) симметричны по индексам k и г. При этой норми-
ровке δν оказываются компонентами векторной плотности, когда
под ö<pt· понимают ковариантный вектор веса 0, а под δ^ компоненты
тензора веса 1. (Конечно, ничто не препятствует нам использовать
вместо этой нормировки некоторую другую, инвариантную в том
же смысле).
^αβ, ι
дХ;

§41 Свойства инвариантности и дифференциальные законы сохранения 389
Прежде всего, заметим, что J W dx~ калибровочный инвариант
X
и, таким образом, не изменяется при бесконечно малом изменении
калибровки мира. Если калибровочное отношение между измененной
и первоначальной калибровкой τ = 1 + π, то π —бесконечно малое
скалярное поле, которое характеризует переход от одной калибровки
к другой и может быть задано произвольно. При этом переходе
основные величины получают следующие приращения:
δΛ*-π0ί*· δφ' = ~^ (91>
Подставив зти значения в δν , получим выражение
sk(n) = n-sk + p--hka. (92)
дха
Эти величины образуют линейную дифференциальную
векторную плотность, зависящую от скалярного поля π. Отсюда следует
дп
также, так как ковариантное векторное поле, возникающее из
дха
k %-ka.
скалярного поля, что s —векторная плотность, η —контравариан-
тная тензорная плотность второго ранга. Вариация (90) интеграла
действия из-за его калибровочной инвариантности для вариаций (91)
должна обращаться в нуль
Если первый член второго интеграла преобразовать с помощью
интегрирования по частям, то это выражение можно записать
следующим образом:
d(ß\n) - itw*) (-Л ' λ
3w! lw«
dx = 0. (93)
Отсюда теперь следует, прежде всего, тождество:
~^WS = 0 (94)
посредством процедуры, известной из вариационного исчисления.
Если бы функция, стоящая в левой части этого уравнения, хотя бы
в одной точке (х^ была бы отлична от нуля, например положительна,

390
Общая теория относительности
то можно было бы взять настолько малую окрестность X этой точки,
в которой эта функция оставалась бы положительной. Тогда, взяв в
качестве X в формуле (95) эту область, а в качестве π исчезающую
вне X функцию, которая положительна внутри X, обратим в нуль
первый интеграл, а второй окажется положительным, что ведет к
противоречию с уравнением (93). Таким образом, (93) дает уравнение:
га»*»)-***)
dxk
dx = 0.
Оно справедливо для заданного скалярного поля π и любой
конечной области X. Поэтому должно выполняться уравнение:
α(«*(π) - itw*) = 0 (95)
dxk
Подставим сюда (92) и обратим внимание на то, что значения
дп д π ^
71» Т"""» "5—ä— в некоторой точке можно задать произвольно. Тогда
oxi охрхъ
эта одна формула распадается на следующие тождества:
d*k _dwk
dxk dxk'
лисп"
f* + ?- = wi, (95,, 2.3)
дха
haß + Ъ^ = 0.
Согласно третьему из них h' —линейная тензорная плотность
второго ранга. В виду антисимметричности h, первое уравнение
может рассматриваться как следствие второго, так как
Л«*
дхадхр
= 0.
И. Рассмотрим теперь бесконечно-малую деформацию мирового
континуума, при которой отдельная точка испытывает сдвиг с
компонентами ξ1. Метрика же остается неизменной при этом. Обозначим
δ изменение соответствующей величины, вызванное указанной
деформацией, если эта величина рассматривается в той же самой
пространственновременной точке, и δ' —ее изменение, если
учитывается смещение пространственно-временной точки. Тогда, согласно
(20), (200, (91). получаем:

§41 Свойства инвариантности и дифференциальные законы сохранения 391
-δφ.· =
-«fc*s
%
дХ:
♦£'Ί
дХ;
\firdxk+9krdxi+ dxr §J
" Щк
(96)
π здесь означает бесконечно малое скалярное поле, которое можно
еще считать произвольным, в соответствии с нашими
предположениями. Инвариантность действия относительно преобразования
координат и изменения калибровки выражается в формуле для его
вариации:
δ' /Wrfx=f
dCWL·^)
dxb
+ 5W
\dx = 0.
(97)
Если мы захотим ограничиться только координатной
инвариантностью, то следует положить π = 0. Но используемые здесь
формулы (96) для вариаций не имеют инвариантного характера. В
действительности, это предположение означает, что при указанной
деформации обе фундаментальные формы должны изменяться так, чтобы
мера линейного элемента I оставалась неизменной: 57 = 0. Но тогда
не это уравнение выражает процесс конгруэнтного перенесения
отрезка, а уравнение
δ'/ = - /(<ρ,·δ'*έ) = - /(ср£<).
Соответственно этому, в (96) мы должны подставить не π = 0, а
π = - (Φίξ1)» в результате чего получаются инвариантные формулы:
-δφ,-&ξΓ.
\9\r
~ Ъ9гк =
^ + 9кг^\ + Щ + 9гкЪ\¥·
dXi
(98)
Представленное этими формулами изменение обеих
фундаментальных форм как раз таково, что метрика оказывается неизменной
при деформации, а каждый линейный элемент конгруэнтно
перенесенным. Легко показать и аналитически инвариантный характер этих
формул (98). В частности, если ввести смешанный тензор
то второе уравнение (98) запишется в виде

392
Общая теория относительности
" Ъ9гк = ξ,* + hv
После того, как в пункте 1 была использована калибровочная
инвариантность, мы можем ограничиться в формуле (96), с точки
зрения требований инвариантности, лишь единственно возможным
выбором функции π.
Пусть для вариаций (98) будет выполняться
* (ξ) — линейная дифференциальная векторная плотность, зависящая
от произвольной векторного поля ξ1. Выпишем ее явно
дха ' 2 -' дхадхр
(Последний коэффициент, естественно, симметричен по
индексам α, β). В том обстоятельстве, что S (ξ)—векторная плотность,
зависящая от векторного поля ξ1, находят свое простейшее и наиболее
полное выражение свойства инвариантости входящих в S (ξ)
коэффициентов. В частности, отсюда следует, что S{· не является
смешанной тензорной плотностью 2-го ранга. Мы будем называть такие
величины «псевдотензорной плотностью». Если ввести в (97)
выражения (90) и (98), то получится некоторый интеграл, подинтеграль-
ное выражение которого оказывается равным
38*(ξ)
дх,.
V
/*У
д9аЬ
дХ;
+ 9ай%
w«·1!
-w*3L.
дхь
В виду
и симметрии
~fa~ + 9atfVi ~ Γα, ßi + Γβ, αϊ
оказывается верным соотношение
ах,
£+
9*№
lifOtß - Г 1АГ°Ф - Г0· ИГР
w " А α, ßiw ~ х ßiwa
Преобразовав последнее слагаемое нашего подинтегрального
выражения с помощью интегрирования по частям, получим в
результате

§41 Свойства инвариантности и дифференциальные законы сохранения 393
,a(Sfe(4)-w^') (
дх dX+j[...]^dX = 0.
ж dxk χ
В соответствии с использованным ранее методом, отсюда
получаются тождества
[..],, т.е.
--r?nwP
дх. -<Р «
+ />" = о
<xs*ß)-wfc)
(99)
(100)
ÖXl
= 0.
Это последнее уравнение распадается на следующие четыре:
asf 5wf
dxk дх,
k
ан?р
sf +
Wf
(1001,2,3,4)
(Hfß + Hfa) + -^- = 0; Η?βγ + Η?γα + ΗΤαΡ = 0.
Заменяя в (IOO3) уравнении, согласно (1004),
Hjf"15 на - Η?Ργ - НИ ,
получим, что
ан?Ру
кососимметричная величина по индексам α и β. Введем теперь
вместо Н?р. Тогда уравнения (1003) и (1004) будут лишь
выражением свойств симметрии, а уравнение (1002) перейдет в уравнение
s? + ^-L-+-5-4-=w«
дха дхадхр
(101)
Отсюда получается (100,), так как, ввиду условий симметрии
d2„aß
dxadXfi
= 0,
£3Ηαβγ
дхадхрдху
= 0.

394
Общая теория относительности
Пример. Для максвелловской плотности действия справедливо,
как непосредственно видно
δν* = ί*δφ.,
вследствие этого
S1' = 0, h1'* = f \ Sf = Kj - fiatkat величины Η = 0.
Наши тождества дают, таким образом
W* = S*
dxk 2 дх{
/ ^ Λ
С обеими формулами, стоящими в последней строке, мы уже
встречались, с первой на стр.288, со второй на стр.198. Последняя
служила тогда выражением связи между максвелловской тензорной
плотностью энергии поля S? и пондеромоторной силой.
Уравнения поля и законы сохранения. Если в формуле (90) в
качестве δ взять произвольную вариацию, которая исчезает вне
некоторой конечной области, и под X понимать весь мир или такую
область, за пределами которой δ = 0, то получится
JöW dx = J(wl'ö<p. + ^Hikbgik) dx.
Поскольку JW dx—действие, из принципа Гамильтона следуют
инвариантные законы:
W1' = 0, wf = 0,
первый из которых мы должны назвать уравнениями
электромагнитного поля, а второй —уравнениями гравитационного поля. Между
левыми частями этих уравнений имеется пять тождеств, которые
даются (94) и (99). Таким образом, в числе полевых уравнений
содержится пять лишних, соответственно переходу от одной системы
отсчета к любой другой, зависящему от пяти произвольных функций.
В соответствии с (952), уравнения электромагнитного поля, в
согласии с теорией Максвелла, имеют следующий вид

§41 Свойства инвариантности и дифференциальные законы сохранения 395
В частном случае, когда W = 1, как это и должно быть,
hl = f , Sl = 0. Как sl образуют четырехвекторную плотность
электрического тока, точно так же совокупность S? должна
рассматриваться как псевдотензорная плотность энергии. В простейшем случае,
когда W = 1, это истолкование приводит к с максвелловским
выражениям. В общем случае, в силу (95t) и (100t), оказываются
справедливыми законы сохранения
дх{ dxk
В результате законы сохранения двояким образом следуют из
уравнений поля. А именно, оказываются справедливыми не только
öS1 3w*' 1.^
дх{ дх{ 2 г
asf δνή .
— не только Ξ — , но и Ξ r?pW£ - /^w*.
Вид уравнений гравитационного поля определяется уравнениями
(101). Уравнения поля и связанные с ними законы сохранения
наглядно резюмируются уравнениями
Μξ> = 0, ^(ξ) - ο.
dxi ' дх{
Для случая, обсужденного в предыдущих параграфах и, по-
видимому, реализующегося в природе, характерно
противопоставление «инерции* и «силы», которое только тогда находит выражение,
когда при нормированной калибровке λ = const часть плотности
действия λ ^g представляют в виде:
G + ε2^"{1 -3(срУ)}.
В этом случае оно построено лишь из величин, которым локально
при использовании подходящей системы координат можно придать
раз и навсегда фиксированные значения
ί 0 (i*k) dgik
^ = {гг. = ±1(г = ^^; = 0» <Р; = 0·
Не преобразующиеся величины кривизны входят только в
оставшуюся часть плотности действия 1, и лишь она способна поэтому

396
Общая теория относительности
привести к противостоящей инерции, не пропорциональной массе
силе. Произвол, который в общем случае, в соответствии со
сделанным выше замечанием, содержится в определении δν , здесь
устраняется, так как вторые производные gik больше не входят в плотность
действия W . Из-за этого она, правда, утрачивает и калибровочную,
и координатную инвариантность. Несмотря на это, общие
соображения, в основном, остаются в силе, пока ограничиваются
членами низшего порядка s (π) и S (ξ), а именно «током» s и
«энергией поля» St· .
Уравнения (86) показывают, что следует положить
Действительно, соответствующий дифференциальный закон
сохранения (88), как мы установили в предыдущих параграфах, может
быть получен двояким способом: не только из электромагнитных
уравнений W1 = О посредством образования дивергенции, но также и
из гравитационных уравнений Wt= 0 с помощью операции свертки.
Уравнение
δ' Jw dx = О
справедливо для вариации, которая порождается смещением в
собственном смысле этого слова [формулы (96) с ξι = const, π = 0],
совершенно независимо от каких-либо свойств инвариантности. Оно
дает уравнение:
д^'^.р (102)
dxk
где
1 1 2 дХ: ОХ;
Этот способ мы применяли в §37 для получения тензорной
плотности энергии гравитационного поля. Мы видим здесь, что для
электромагнитной составляющей он не дает правильного
выражения для энергии. В действительности, мы должны, согласпо нашим
общий соображениям, чтобы прийти к этой величине, записать
максвелловские уравнения в форме

§41 Свойства инвариантности и дифференциальные законы сохранения 397
dxk
дхг
(здесь надо положить π = - (φ,ξ*)), умножить эти уравнения на α и
сложить их с уравнением (102). Тогда получается как раз уравнение
а»*
И в Si входят: максвелловская плотность энергии
электромагнитного поля
гравитационная энергия
1 2 дх{
и дополнительные слагаемые космологического характера. Лишь
таким путем мы получаем правильное выражение для энергии.
Виртуальная деформация мирового континуума, которая ведет к
этому, должна оставлять неизменными (в нашем, а не в
эйнштейновском смысле) метрику и линейный элемент.
Из всего этого следует, правда, что в поле существует несколько
различных «дифференциальных законов сохранения». Закон
сохранения энергии в собственном смысле этого слова физически
выделяется среди них своей связью с основными механическими
уравнениями движения частиц. Зта связь основана на своеобразии величин
энергии поля и исходного вариационного принципа.
Все рациональные интегральные инварианты второго порядка,
т.е. все такие инварианты, подинтегральные выражения которых
представляют собой целые рациональные комбинации gik и их
производных до второго порядка срг· и их первых производных,
умноженные на V!?, были определены Р.Вайценбеком . Их оказалось
шесть, знаки двух из них. правда, зависят от принятой в мире
ориентации. Р.Бах показал , что вариации этих двух инвариантов
тождественно исчезают. То же самое получается для известных
комбинаций четырех остальных. Соответственно этому, наряду с
использованными до сих пор инвариантами в принципе действия,
следует учесть еще одну возможность. В противоположность
высказанному ранее мнению, я теперь почти уверен в том, что она не играет
никакой роли в природе. Эта возможность заключается в использовании

398
Общая теория относительности
полевых уравнений четвертого порядка. Статическое центрально-
симметричное решение этих уравнений содержит (если мы
предполагаем, что электромагнитное поле отсутствует, и не принимаем во
внимание космологические члены, хотя и выбираем определенную
единицу длины), согласно исследованию Паули * не одну
произвольную постоянную, массу, а две таких постоянных. Однако, на
основе соответствующего принципа действия, оказывается,
невозможно прийти к уравнениям движения и к той взаимосвязи, которая
существует между фундаментальной квадратичной формой ds и
поведением масштабов и часов. Мне не известны истинные причины
того, почему природа пренебрегла использованием третьего
инварианта. Необходимость же ограничения вторым порядком
производных, —очевидно, слишком формальная точка зрения для того, чтобы
можно было усмотреть в ней основное внутреннее побуждение для
выбора функции действия.
В Приложении IV добавлен краткий обзор геометрической
теории поля, вкратце намеченной Эддингтоном , но до сих пор не
связанной с опытом. В качестве первичной структуры эфира она
использует не метрику, а аффинную связность. Указаны также и
другие попытки, предпринятые в этом направлении Бахом, самим
Эйнштейном и Калуцей.
Мы достигли того пункта, где вынуждены теперь остановиться,
если не хотим совершенно затеряться в тумане спекуляций. При этом
мы не нанесем ущерба тем ценным результатам, которые мы
получили. В итоге выяснена роль, которую пространство и время, эта
обширная среда внешнего мира и ее структура, играют в построении
действительности. Кто оглянется на пройденный путь, который
привел нас от евклидовой метрики к переменному зависящему от
материи метрическому полю и включающему в себя полевые явления
гравитации и электромагнетизма, кто попытается единым взглядом
охватить все то, что можно было бы представить лишь как
последовательность отдельных событий, тот будет покорен ощущением
достигнутой свободы — прочная клетка, в которой до сих пор билась
наша мысль, ныне разрушена. До наших ушей донеслись несколько
мощных аккордов той гармонии сфер, о которой мечтали Пифагор
и Кеплер. Мы не могли провести наш анализ пространства и времени,
не затрагивая одновременно детали строения материи. Но здесь мы
останавливаемся перед загадкой, решение которой нельзя ожидать
от физики поля. Во тьме, которой еще окутана проблема материи,
первым лучом восходящего солнца является, быть может, квантовая
теория.

приложение 3
(к стр.290)
Инварианты римановой геометрии.
Доказательство теоремы о том, что в римановом пространстве R
является единственным инвариантом, который содержит производные
g\k только до второго порядка и притом производные второго порядка
линейно.
Инвариант /, согласно предположению следующим образом составлен
из вторых производных
d*gik Т ^. .
здесь λ являются выражениями, содержащими gik и их первые производные,
они удовлетворяют условиям симметрии:
λ/н, rs — Λ-ik, rst λι'/ί, sr = λί/ί, rs-
В точке О, в которой рассматривается инвариант, мы введем некоторую
ортогональную геодезическую систему координат. Тогда в этой точке мы
получим
gik = о,, — = υ.
дхг
λ при подстановке этих значений становятся абсолютными постоянными.
Характер системы координат сохраняется
1) при линейном ортогональном пребразовании;
2) при преобразовании
Χι = Х{ + -ToitnXk'Xr'Xs,
которое не содержит квадратичных членов и в котором коэффициенты α
симметричны по индексам k, r, s, являясь в остальном произвольными.
Рассмотрим теперь в некотором евклидово-декартовом пространстве, в
котором допустимы произвольные линейные ортогональные преобразования
биквадратичную форму, зависящую от двух векторов χ = (jci), у = (до)
G = gik, rsXiXkyrys,
с произвольными коэффициентами gik, rs симметричными как по индексам
tj/ikt так и по индексам ms. Тогда
О Uk, rsgik, rs
должно быть инвариантом этого же вида. Далеедак как при преобразовании
2) производные gik, rs, как нетрудно показать, преобразуются по закону
gik, rs = gik, rs + τ (airs + afrs),
для каждой системы чисел α, симметричной по трем индексам k, г, 5, должно
выполняться соотношение
2) λ,*, rsoirs = 0.
Будем проводить наше дальнейшее рассмотрение в евклидово-
декартовом пространстве; (ху) означает скалярное произведение

400
Приложения
х\у\ + X2tf2 + ... + хпуп. В качестве G достаточно использовать некоторую
форму следующего специального вида:
G = (ах)2(Ьу)2,
где а и Ь—два произвольных вектора. Если мы теперь вместо χ и у снова
подставим а и Ь, то 1) приводит к тому, что выражение
Г) Л = Л* = £ λ,*, rsXiXkyrys
является ортогональным инвариантом двух векторов х, у. В формуле 2)
достаточно выбрать
aJU = *i · укуф.
Тогда это условие можно переформулировать следующим образом:
форма AXt полученная из заменой χ на у, тождественно исчезает, т.е.
2*) \у = £λι*, rsXiykyrys
(Она получается из Αχ посредством построения такой симметричной
билинейной формы Αχχ* по χ и д:', квадратично зависящей от у, которая при
отождествлении переменных х' с χ переходит в АХ} и после этого х' заменяют
на у). Тогда из Г) следует, что Л имеет вид
A = a(xx)(yy)-ß(xy)2, «>
а из 2*):
α = β. (II)
Тем самым доказательство закончено, так как теперь мы получаем
/ = и(ди, kk - gik, ik) + λ,
или, поскольку в ортогонально-геодезической системе координат скаляр
римановой кривизны равен
R = gik, ik - да, kk
инвариант оказывается равным
/ = - аД + λ. (*)
Доказательство (I). Введем так декартову систему координат, чтобы
χ совпала с координатной осью 1, а у—с координатной плоскостью 1,2:
х = (хи 0, 0 0), у = (у\, у2, 0 0),
Л = х\ау] + 2Ъу\у2 + су\).
При этом ориентация координатной оси 2 может быть выбрана еще
произвольно. Так как Л не может зависеть от этого выбора, коэффициент
Ь должен обращаться в нуль, и тогда:
Л = сх?(#? + у\) + (а - с) (х\у\? = с(хх) (уу) + (а - с) (ху)2.
Доказательство (II). Из равенства Л = Ах, определяемого формулой
(I), получаются формы:
Αχχ' = α(**') (уу) - Р(ху) (х'у),
Αν = (α - β) (ху) (уу).
Если Ау тождественно исчезает, то должно выполняться равенство
α = β.
Мы молчаливо предполагали при этом,что фундаментальная
метрическая форма риманова пространства положительно-определенна. В случае

Приложения 40[
какого-либо другого индекса инерции «доказательство (I)» требует лишь
незначительной модификации.
Чтобы в объемном интеграле от J исключить вторые производные путем
интегрирования по частям, необходимо, чтобы Xik, rs зависели только от
gik, а не от их производных; в нашем доказательстве мы, однако, обошлись
без использования этого факта.
О физическом смысле возможности добавления к члену с R, согласно
(*) некоторой универсальной постоянной λ мы говорили в §39. Относительно
доказанных здесь теорем —см. Vermeil, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. zu
Göttingen, 1917, S.334-344.
Точно так же можно доказать, что gik, Rgik, Rik— это единственные
тензоры 2-го ранга, которые содержат производные gik только до второго
порядка и притом вторые производные линейно.
приложение Ш
(К стр.338)
Геодезическая прецессия
Пусть с некоторой материальной точкой, которая движется в
статическом гравитационном поле Солнца, описываемом формулами (48), (49),
связан при ее движении по мировой линии некоторый мировой вектор (ξ1),
который в каждое мгновение испытывает параллельный перенос. Если,
например, (ξ1) в некоторый момент времени нормален к мировому
направлению материальной точки, то это отношение сохраняется на протяжении
всего движения. Такой вектор повторяет, согласно нашему предположению,
судьбу оси вращения некоторого волчка. При этом естественно
предположить, что волчок можно считать точечным, а его массу — распределенной
смметрично вокруг оси. Ограничимся рассмотрением случая,когда волчок
движется по окружности. Если применить наш результат к Земле, то мы
можем, таким образом, пренебречь как размерами Земли, так и
эксцентриситетом земной орбиты.
Пусть г, φ—полярные координаты на плоскости х\Х2, на которой
происходит движение материальной точки с постоянной угловой скоростью.
В момент, когда азимут φ Земли равен 0, ее мировое направление
характеризуется компонентами:
dxo = dt, dx\ = 0, dxi = г </φ, dx3 = О,
и выражения, приведенные на стр.252 для трехиндексных символов, дают
следующие формулы для бесконечно малого параллельного переноса в этом
направлении
</ξ° = - 4 ξ1 dt, d^ = - Щ^ dt - Kg </φ, </ξ2 = 0, dt = 0.
f h2 h2
1 2
Вместо ξ и ξ мы введем радиальную и тангенциальную составляющие
12 1 2
ζ и ζ , которые при φ = 0 совпадают с ξ и, соответственно, с ξ . Для
1 2
дифференциалов </ζ и </ζ мы получаем таким образом:

402 Приложения
ί/ζ1 = d^ + ξ2 </φ и </ζ2 = </ξ2 - ξ1 </φ.
Если постоянную угловую скорость — обозначить ω и для
единообразия обозначений подставить ξ = ζ , ξ = ζ , то мы будем иметь:
45°.-Ar' ^ = Jr2_J/> ^.И ^ = o ($)
</φ ω/" ' </φ Α2 ωΑ2 <*Ψ ' έ/φ '
Теперь эти уравнения будут справедливы не только при φ = 0, но и для
всей орбиты.
Используем их, чтобы определить ω. Наши уравнения должны,в
частности, выполняться для касательного вектора (ξ) к мировой геодезической
линии, которую описывает Земля, т.е. для постоянных величин
ζ°=1, ζ'-Ο, ζ2 = τω, ζ3 = 0.
Отсюда следует соотношение
τω
ω
Для круговой планетной орбиты, таким образом, в точности справедлив
третий закон Кеплера, если мы определяем радиусы орбит и периоды
обращения с помощью канонических координат, использованных в нашем
вычислении.
Векторы, исходящие из некоторой мировой точки Земли и нормальные
к направлению х ее мировой линии, образуют ^пространство Земли*, в
центре которого находится Земля. Если мы находимся в точке φ = 0 пути,
то условия ортогональности записываются следующим образом
Д° dt - Γξ2 </φ = 0, ξ° : ξ2 = m : f.
Если ввести, наряду с /", величину е с помощью уравнения
то три вектора
2 а , ч2 α 3wi
Г = Г - {ту = 1 - —,
ei = (0, /*, 0, 0),
■■■[%■·■■
е2 = |^Г, 0,£, 0
ез = (0, 0, 0, 1)
будут образовывать декартову систему координат в пространстве Земли.
Действительно, они оказываются ортогональными друг по отношению к другу
и к х, а также нормированными таким образом, что их собственные длины,
определяемые из фундаментальной метрической формы, становятся равными
1. Так как вектор ез перпендикулярен плоскости эклиптики, то
координатную плоскость [eie2] следует рассматривать как плоскость эклиптики'в
пространстве Земли; лежащая в этой плооскости ось ei направлена к Солнцу.
Когда мы будем говорить о «пространстве Земли, ориентированном на Солнце»,
мы будем иметь в виду отнесение событий, наблюдаемых с Земли, именно к
этой системе координат. Если направление земной оси ν задано уравнением
ν = η^ι + η2β2 + η3<53,

Приложения 403
то мы имеем
им.
ς°
τω 2 r\
=7?η· ζ
= /V.
<4
Ι2. £
Введем в уравнения (*) вместо ζ новые величинь
Тогда первое и третье уравнения совпадут, и мы
άφ ' αφ ' dq>
Их решение можно тотчас же выписать:
η'
= cos (ecp),
η2 = -
- sin (βφ),
η3 =
'3 „3
η, пропорциональные
получим
= 0.
= const
и дать ему следующую наглядную интерпретацию.
В пространстве Земли, ориентированном на Солнце, земная ось,
двигаясь равномерно, описывает периодически некоторый прямой круговой
конус с вершиной, лежащей в плоскости эклиптики, и высотой,
перпендикулярной к этой плоскости. Это периодическое движение выражается, как
известно, в изменении времен года. Период этого движения — «тропический
год», в то время как «сидерический год»—это время, за которое Земля
проходит свою круговую траекторию. За один сидерический год поэтому φ
возрастает на 2π, за один же тропический год на 2π увеличивается величина
eq>, а φ, таким образом, на —: иначе говоря, тропический год равен
сидерическому году, умноженному на -. По истечении сидерического года
земная ось еще не возвращается в свое исходное положение. Ее проекция на
плоскость эклиптики оказывается повернутой в том же направлении на угол
2π(1 - ё) = 0",019 (в угловых секундах).
Наглядно сидерический год характеризуется возвращением Солнца в
то же самое положение по отношению к неподвижным звездам. Если мы
откажемся от учета собственных движений неподвижных звезд, то
сидерическому году можно приписать совершенно ясный смысл, поскольку по
истечении одного сидерического года земному наблюдателю небо
неподвижных звезд предстает в том же самом виде. Вследствие этого вычисленную
прецессию можно непосредственно истолковать как смещение полярной оси
относительно неподвижных звезд. Это же положение вещей можно также
охарактеризовать тем, что «точка весеннего равноденствия» (в которой
находится Земля, когда η = 0, η =1) после каждого поворота сдвигается
вперед на круговой орбите Земли на угол 2
<И
Рассчитанный здесь эффект из-за остальных возмущений,
воздействующих на земную ось, оказывается недоступным для наблюдения и поэтому
пока не может быть проверен эпирическим путем. Обычная прецессия,
связанная с вращательным моментом, который порождает воздействие
Солнца и Луны на имеющую эллипсоидальную форму Землю, в две-три тысячи
раз больше и к тому же зависит от неизвестного в точности распределения
массы по объему Земли.

404 Приложения
Приложение 333
(К стр.307 и 371.)
Красное смещение и космология.
Указанное на стр.307 правило, согласно которому в статическом
гравитационном поле световая волна, излученная некоторым покоящимся атомом,
имеет при использовании «статического времени» постоянную частоту, носит
чисто формальный характер и, кроме того, представляется неоднозначным,
так как в зависимости от обстоятельств (например, в случае пустого
гиперболического мира) имеются различные статические времена, которые нельзя
связать друг с другом посредством линейных преобразований. Но за этим
правилом кроется, как я хотел бы здесь дополнительно заметить, следующий
простой физический факт, не ограниченный, впрочем, случаем статического
поля. Для точечного источника света трехмерные поверхности постоянной
фазы являются в мире нулевыми конусами, открытыми в будущее, с
вершинами в различных точках на мировой линии источника света . Ритм
изменения фазы на этой линии позволяет получить ход изменения фазы,
воспринимаемый соответствующим наблюдателем, если обращать внимание
на то, каким образом мировая линия этого наблюдателя пересекает
последовательные фазовые поверхности. Пусть s—собственное время источника
света, σ — собственное время наблюдателя. Каждой точке s на мировой линии
источника света соответствует некоторая точка σ на мировой линии
наблюдателя: σ =σ($), точка пересечения с исходящим из s передним нулевым
конусом. Если процесс, порожденный источником света в месте нахождения
самого источника, чисто периодический, в частности характеризуется
бесконечно малым периодом, то изменение фазы, фиксируемое наблюдателем,
является также периодическим. Но этот период увеличивается по сравнению
с первым в отношении α = -τ- (каждый из этих периодов, очевидно,
измеряется в единицах собственного времени соответствующих мировых
линий). Свяжем с наблюдателем некоторый световой источник, обладающий
такими же физическими свойствами, что и наблюдаемый источник. Тогда
каждой спектральной линии частоты ν источника, связанного с
наблюдателем, соответствуй некоторая спектральная линия удаленного источника
света частоты ν/α; одни линии, таким образом,оказываются смещенными по
отношению к другим.
В таком виде наш принцип позволает нам сделать некоторые
утверждения о спектральных линиях света, испущенного удаленными объектами, в
том случае, когда мир является гиперболоидом де Ситтера. Предположим,
что мы имеем дело с единственным миром взаимодействующих объектов,
связанных общим происхождением, и что плотность распределения масс
*) Такого же рода замечанием заканчивается критика, которой я подверг
упомянутое правило в своем докладе на заседании по теории относительности в
Наугейме см. также [Jahresber. D. Math.-Vereining. 1922, S.54; см. также Physik.
Zeitschr. Bd. 22 (1921), S.478].

Приложения
405
настолько мала, что мы можем пренебречь в целом гравитирующим
действием отдельных звезд. Тогда мировые линии звезд принадлежат к единст-
венному расходящемуся «пучку» оо геодезических линий. Их расхождение
в будущем свидетельствует о существовании некоторого универсального
взаимного отталкивания, присущего материи, которое находит свое
выражение в космологическом члене, входящем в соответствующий принцип
действия. Это дает нам возможность описанное (только слегка нарушенное
гравитацией) нормальное состояние сопоставить с нормальным состоянием,
которое реализует элементарная космология и которое описывается
бесконечным евклидовым пространством, бесконечно малой плотностью
распределения покоящихся масс и миррвыми линиями звезд, принадлежащими к
пучку оо параллельных прямых мировых линий. Аналогичное
сопоставление можно провести и с нормальныы состоянием, характерным для
эйнштейновской космологии, описываемой замкнутым пространством с
равномерным распределением масс с такой плотностью, что гравитирующее действие
масс компенсирует универсальные силы отталкивания, связанные с
космологическим членом, а также мировыми линиями звезд, принадлежащими к
пучку оо таких линий, которые характеризуются постоянством статических
пространственных координат.
В нашем гиперболическом мире наблюдатель, обладающий бесконечной
длительностью жизни и живущий на одной из звезд системы, видит из
материального космоса, т.е. той половины мира, которая покрывает область
возмущений, вызванных материальной системой, только такой
клинообразный сектор, который, согласно Эйнштейну,можно отнести к статическим
координатам. Именно «для него» мир является статическим, и поэтому ясно,
что, с его точки зрения, следует понимать под пространством и временем.
Пространственые расстояния от остальных звезд до него все время
увеличиваются, а именно все эти звезды удаляются от него в радиальных
направлениях. Это описание не зависит от того, какую из звезд системы принять за
место нахождения наблюдателя. Кроме того, спектральные линии светил
обнаруживают красные смещения, которые тем больше, чем более удалены
они от наблюдателя. Наш принцип позволяет без труда провести
необходимые вычисления. В результате получается, что частота ν снижается до
значения ν/α, где
α = 1 + tg £ ,
где г—расстояние, отделяющее звезду в момент ее наблюдения от
наблюдателя в соответствующем статическом пространстве, а — постоянный радиус
кривизны мира.
Действительно, спектральные линии спиральных туманностей (а они,
по-видимому, являются единственными надежными небесными телами,
которые не находятся под влиянием Млечного пути), обнаруживают, как
правило, сильные красные смещения, соответствующие радиальным
скоростям порядка 1000 км/сек Уже де Ситтер пытался выяснить
космологическое значение этого факта. Примечательно,что ни элементарная,ни
эйнштейновская космологии не приводят к такого рода красному смещению.

406
Приложения
В настоящее время, конечно, еще нельзя утверждать, что наше объяснение
правильно, тем более, что взгяды на природу и удаленность спиральных
туманностей должны еще приобрести достаточную ясность. Если принять во
внимание, что расстояния до наиболее крупных спиральных туманностей,
согласно последним гипотетическим определениям параллакса туманности
Андромеды (Лундмарк и др.), составляют от 1 до 10 млн. световых лет, то
о
для радиуса мира а получается значение порядка 10 световых лет. Следует
заметить, что отношение оцененного таким образом радиуса мира к радиусу
электрона имеет тот же порядок (104 ), что и отношение радиуса электрона
к гравитационному радиусу его массы. Это наводит на мысль, что огромное
Значение постоянной ае связано с разницей в размерах электрона и Вселенной
или, в конечном счете, с большим числом существующих электронов.
Приложение 3V
(К стр.398.)
Геометрические расширения теории Эйнштейна
Эддингтон исходит из мысли, что неизменность малого масштабного
стержня основана на процессе установления не только при его переносе в
другое место, а также и при его вращении в одном и том же месте вокруг
начальной точки. Подобно тому, как в изложенном варианте теории
скалярное уравнение F = const является уравнением, определяющим такую
калибровочную нормировку, которая обеспечивается твердыми масштабами, в
уравнениях Fik = tyik (с постоянным значением λ) Эддингтон хотел бы
видеть определение метрических величин g%k для всех направлений. В
космологии эта пропорциональность между тензором кривизны 2-го ранга и
метрическим тензором gik выполняется, если пренебречь электромагнитным
полем. Соответственно этому, в качестве первичного свойства мирового
эфира Эддингтон рассматривает аффинную связность, т.е. ведущее поле
Г&. Из него возникает некоторый тензор кривизны 2-го ранга Fik, выражение
которого в геодезической системе координат выглядит так:
Fik = -г— - т—, где γ,· = Πα·
дха dxk
Его можно разложить на симметричную и кососимметричесную части:
дГ%
дха
Первое выражение Эддингтон отождествляет с метрическим полем,
второе —с электромагнитным. Помимо того, что мы, таким образом, из
аффинной связности получили некоторый симметричный и некоторый
кососимметрычный тензоры, причем второй из них получается точно так же,
как компоненты электромагнитного поля из потенциала, какая-либо более
тесная связь с опытом, однако, отсутствует. Чтобы ее обеспечить, безусловно
необходимо так сконструировать основные уравнения механики, чтобы из
них следовало равенство инертной и гравитационной масс. Но Эддингтон на
Χα 2\dxk dXi) 2\dxi dxk)

Приложения 407
время вообще отказывается от установления полевых уравнений.
Соотношение между тензором кривизны 2-го ранга и gik имеет силу, впрочем, лишь
тогда, когда электромагнитное поле отсутствует. Иначе добавляется
тензорная плотность энергии максвелловского поля, и этот специфический
дополнительный член, до некоторой степени обусловленный опытом, должен в
теории снова где-нибудь обнаружиться. Каждая теория, в которой gik
выводятся из других, первичных функций состояния, сталкивается с
необходимостью объяснить невырожденность и постоянство индекса инерции
фундаментальной квадратичной формы, образованной из gik. С нашей точки
зрения, то, что это требование лежит в основе метрики, доказывается
теоретико-групповым рассмотрением, согласно которому метрики, одна из
которых связана с вырожденнай формой, другая — с невырожденной,
несмотря на их формальную аналогию, разделяет пропасть. Отказавшись от
первичности метрики, мы, как мне кажется, теряем какую-либо
экспериментальную основу для того, чтобы приписывать миру аффинную связность.
Движение по инерции опирается лишь на «проективное свойство», связанное
с процессом бесконечно малого параллельного переноса направления самого
по себе. Основная мысль Эддингтона утрачивает, пожалуй, свою
физическую убедительность, когда полагают, что те материальные величины
размерности длины, которые, очевидно, определяются первоначально посредством
установления — это лишенные направления масса и масштаб. (Простейшая
физическая модель равенства длин в различных направлениях — это
круговая орбита электрона в атоме). По всем этим причинам, как мне
представляется, до тех пор пока не предложена более точная формулировка, теорию
Эддингтона нет смысла обсуждать.
Бах и Эйнштейн исследовали вопрос о том, можно ли при отказе от
метрической связности и, тем самым, от соответствующего объяснения
электромагнетизма на этой основе, обойтись лишь конформным свойством
мира и соответствующей ему эффективной связностью, которые полностью
описываются уравнением: gik(dx)\dx) = 0. Господин Бах, в частности,
рассчитал следствия единственно возможного при этом принципа действия.
Этот подход согласуется с нашей теорией метрического поля, поскольку
нужно искать действие метрического поля, инвариантное относительно
произвольных координатных и калибровочных преобразований и не
содержащее потенциалов ψί. Такого действия, при ограничении производными до
второго порядка, в действительности не существует; оно должно включать
в себя прежний интегральный инвариант Вайценбека и, тем самым, она
также оказывается осужденной.
Наконец, следует упомянуть попытку Калуцы , который взял за основу
пятимерное риманово пространство и отождествил введенные при этом
коэффициенты
004, 014, 024, 034
с электромагнитными потенциалами. Для объяснения «бездействия»
(Unwirksamkeit) 044 требуются специальные предположения.

Литературе
(За номером каждого литературного примечания жирным шрифтом указана
страница книги, к которой оно относится )
Введение и Глава I
1) 15. Точное понимание этой мысли теснейшим образом связано с работой
Э.Гуссерля 4Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии»
(E.Husserl. 4Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen
Philosophie».—Jahrbuch f. Philos. u. phänomenol. Forschung. Bd.l, Halle, 1913).
2) 30. Систематическое изложение аффинной геометрии, не ограничивающееся
трехмерным случаем, как и вообще обширная область геометрического исчисления,
содержится в пионерском труде Гроссмана «Линейное учение о протяжении»
(H.G.Grassmann. «Lineale Ausdehnungslehre». Leipzig, 1844;. В разработке понятия
более чем трехмерного многогообразия Грассман, как и Риман, находились под
влиянием философских идей Гербарта.
3) 45. Систематическая форма излагаемого здесь тензорного исчисления по
существу опирается на работу Риччи и Леви — Чцвиты (G.Ricci, T.Levi — Civita:
Methodes decalcul differentiel absolu et leurs applications. —Math. Ann., Bd. 54, 1901).
Глава II
1) 95. Для более точной ориентировки сошлемся на появившуюся в Тойбнеров-
ской серии «Наука и гипотеза» (Том 4) книгу Бонолы и Либмана (R.Bonola,
H.Liebman. Die Nicht-Euklidische Geometrie»)
2) 98. F.Klein. Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. —Math. Ann.,
Bd.4, 1871, S.573. Сравн. также с его последующими работами в Math. Ann., Bd.6
(1873), S.112 и Bd.37 (1890), S.544.
3) 100. Sixth Memoir upon Quantics-Philosophical Transactions, t.149 (1859).
4) 110. Mathematische Werke (2. Aufl., Leipzig 1892), Nr. XIII, S.272. Отметим
прокомментированное автором издание (2. Aufl., Springer, 1920).
5) 113. Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, Giorn. di Matern.
t.VI (1868), S.204; Opere Matern. (Hopli 1902), t.I, S.374.
6) 113. Grundlagen der Geometrie (3. Aufl., Leipzig 1909), Anhang V.
7) 116. Nozione di parallelismo in una varieta qualunque..., Rend. del Circ. Mat.
di Palermo, t.42 (1917).
8) 121. В такой форме ответ дан автором: «Reine Infinitesimalgeometrie», Math.
Zeitschr., Bd.2 (1918); третье издание этой книги (1920). Сравн. также с работой:
Hessenberg, Vektorielle Begründung der Differentialgeometrie, Mathem. Annalen, Bd.
78 (1917) и J.A.Schouten. Die direkte Analysis zur neueren Relativitätstheorie, Verh. d.
Akad. v. Wetensch. te Amsterdam, 1919.
9) 124. Такое понимание кривизны развито в цитированных выше (см.
примечания 7 и 8) рабе ι ах. Уже Гаусс на основе установленных им выражениях для
кривизны смог показать, что полная кривизна некоторого геодезического треугольника
равна его сферическому эксцессу (избытку). О.Бонне обобщил этот результат на
произвольную замкнутую кривую (сравн. с изложением в книге: Blaschke. Vorlesungen
über Differentialgeometrie I, Berlin, 1921, S.108). Весьма примечательны
кинематические рассмотрения в знаменитом сочинении Томсона и Тэта: W.Thomson, P.G.Tait,
Treatise on Natural Philosophy, Part I, sect.135 —137, S. 105 —109 кембриджского
издания 1912 г., которые по существу уже содержат полную теорию параллельного
перенесения на поверхности и соответственно кривизны. Сравн. далее: E.Cartan,
Comptes rendus 'Paris, 174 (1922), S.437.
10) 125. См., например, цитированные в примеч. 9 «Лекции» Бляшке. Наглядное
доказательство «theorema egregium» Гаусса, которая утверждает, что гауссова кривизна
зависит только от геометрии на поверхности, см. также «Трактат» Томсона и Тэта.
И) 126. Принятая здесь точка зрения развита в работе автора: H.Weyl,
/?-dimensionale Fläche im я-dimensionale Raum, Math. Zeitschr., 12 (1922), S.154.
Сравн. также: Schouten и. Struik, Rend. Circ. Mat. Palermo 46 (1922) и Ak. v.

Литература 409
Wetensch. Amsterdam 24 (1922); Struik, Grundzüge der mehrdimensionalen
Differentialgeometrie (Springer 1922).
12) 126. Это расширение было осуществлено автором: «Гравитация и
электричество*— Sitzungsber. der. Preuss. Akad. d. Wissensch., 1918, S.465; «Reine
Infinitesimalgeometrie*— Math. Zeitschr., Bd.2 (1918); настоящая книга, 3-е издание (1920).
13) 128. Beltrami. Ann. di Matern. 7, S.203; Lipschitz, Crelles Journal 72, S.l;
F.Schur, Math. Ann. 27, S.537. Более простое доказательство имеется в моем
комментарии к пробной лекции Римана (HabilitationsVortrag, цитируется в примеч. 4), S.39
и,в примечании автора: Nachr. d.Ges. d.Wissensch. Göttingen 1921, S.109— 110. Сравн.
также с обстоятельным изложением этой теоремы и теоретико-групповых
исследований Гельмгольца—Ли в цитированных во Введении лекциях автора 4Математический
анализ проблемы пространства* (Барселона).
14) 126. 4Über die Tatsachen, welche der Geometrie zugrunde liegen*, Nachr. d.
Ges. d. Wissensch. zu Göttingen 1868.
15) 129. Исследованиями суммированы и широко развиты в большом сочинении:
Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppen, Bd. 3, Abt.5. Теоретико-
множественным рассмотрением исходных предположений для двумерного случая
ограничился Гильберт: D.Hilbert: Grundlagen der Geometrie (3. Aufl., Leipzig, 1909),
Aufang IV.
16) 133. К этому близко примыкает цитированная в примеч. 8 работа автора.
17) 166. Hessenberg, цитир. соч. 8), S.190.
18) 178. С этой точки зрения, которая мне представляется правильной и которая
оправдывается нашим исследованием, излагаемым в этой книге, я не могу считать
важным для анализа проблемы пространства насыщенную формальными
обобщениями работу Схоутена: Schouten, Mathem. Zeitschr., 13, (1922), S.56; как раз
существование фундаментального метрического тензора, которое Схоутен просто
постулирует, для меня является проблемой. Более примечательными представляются
мне работы Картана: E.Cartan. Comptes rendus, Paris, 174, (1922), S.593, 734, 875,
1104 и Виртингера: Wirtinger. Transactions of the Cambridge Philos. Soc. Vol.22
(1922), Nr.23.
19) 179. Weiß. Die Einzigartigkeit der Pythagoreischen Maßbestimmung. Math.
Zeitschr., 12, (1922), S.l 14. Теоретико-групповая формулировка проблемы и ее
решение в одном простом частном случае детально рассмотрены в моих двух последних
испанских лекциях.
Глава III
1) 181. Основополагающие работы по теории относительности можно найти в
сборнике «Принцип относительности*: «Das Relativitätsprinzip* (hrsg. v. Blumenthal,
4. Aufl., Teubner, 1921). Для расширения списка литературы сошлемся на всюду
полезную энциклопедическую статью В.Паули по теории относительности:
«Relativitätstheorie* (Enzykl. d. Math. Wissensch., V, 19), выпущенную также отдельной книгой
в издательстве «Teubner*.
2) 191. См., например, Eichenwald. Ann. d. Phys. 11 (1903), S.l.
3) 193. Лоренцевский ход рассуждений при установлении законов, справедливых
при наличии материи (ср. §9), приобрел в работе В.Делленбаха (W.Dällenbach.
Dissert. Zürich. 1918; Ann. d. Phys., 58, 1919, S.523) четырехмерный характер, в
полном согласии с теорией относительности.
4) 203. A.A.Michelson. American Journ. of Science 22 (1881), S.120. Michelson и
Morley, там же 34 (1887), S.333. Morley и Miller. Philos. Mag. Bd.8 (1904), S.753 и
Bd.9 (1905), S.680. H.A.Lorentz. Arch. Werl. Bd.21 (1887), S.103 или Ges.
Abhandlungen. Bd.l, S.341. Co времени создания Эйнштейном теории относительности опыт
Майкельсона обсуждался неоднократно. Критику, которой А.Риги недавно подверг
его (Comptes rendus Paris. Paris 28. April 1919 и и 28. Juni 1920), я считаю
неправомерной.
5) 204. W.Ritz, Ges. Werke, S.317, 427, 447. Та же самая идея была выдвинута
Толченом, Кунцем, Комштоком; она впоследствии нередко противопоставлялась
теории относительности дилетантами.

410 Литература ___
6) 205. Phys. Zeitschr. 14 (1913), S.429 и 1267; см. также P.Guthnik, Astronom.
Nachr. 195 (1913), Nr.4670 и W.Zurhellen, Astronom. Nachr. 198 (1914),
S.l.-Независимость скорости света от частоты, согласно Х.Шепли (Bulletin 763 Гарвадской
обсерватории), подтверждается с такой точностью, что разница в скоростях желтого
и фиолетового света составляет самое большее (10 j от скорости света.
7) 203. F.T.Trouton, H.R.Noble, London Philos. Transact. A.202 (1903), S.165;
Lord Rayleigh, Philos. Mag. 4 (1902), S.678. D.B.Brace, Philos. Mag. 7 (1904), S.317;
10 (1905), S.71; Boltzmann-Festschrift 1907, S.567. F.T.Trouton, Λ.Ο.Rankine, Proc.
Roy. Soc. 8 (1908), S.420. B.Straßcr, Ann. d. Phys. 24 (1907), S.137. Сравн. с
обстоятельным обзором И.Лауба об экспериментальных основах принципа
относительности (Jahrb. f. Radioakt. u. Elektr. 7 (1910), S.405). Гипотеза лоренцева
сокращения была независимо от Лоренца выдвинута Фитцджеральдом.
8) 207. Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Ann. d. Phys. 17 (1905), S.891. К
ней близко примыкают две почти одновременно появившиеся работы Лоренца и
Пуанкаре, которые, впрочем, не отличаются ясностью и полнотой изложения
принципиальных вопросов, характерных для работы Эйнштейна'. H.A.Lorentz. Versl. Ak. v.
Wetensch. Amsterdam 12 (1904), S.986; H.Poincare. Comptes rendus Paris 140, (1905),
S.1504 и Rend. Circ. Matern, di Palermo 21 (1906), S.129. В качестве их
предшественника можно назвать Дж.Лармора: J.J.Larmor. Aethcr and matter. Cambridge 1900,
S.167-177.
9) 207. H.Minkowski, Die Grundglcichungen für die elektromagnetischen Vorgänge
in bewegten Körpern, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. Göttingen 1908, S.53 или Ges.
Abhandig. Bd.II, S.352.
10) 215. См. также об этом первую и третью из моих испанских лекций.
11) 228. При учете дисперсии следует принять во внимание, что ^'—скорость
распространения в покоящейся воде для частоты ν', а не для частоты ν (вне
воды). — Тщательное экспериментальное подтверждение результата основано на
работе Майкельсона и Морли: Michclson, Morley, Amer. J. of Science 31 (1886), S.377;
Zeeman, Versl. d.K.Akad. v.Wetensch. Amsterdam 23 (1914), S.245; 24 (1915), S.18.
Подобен опыту Физо и новый интерференционный опыт Зеемана: Zeeman, Versl.
Akad. v. Wetensch. Amsterdam 28 (1919), S.1451; Zeeman, Snethlage, там же, S.1462.
Об интерференционном опыте на вращающихся телах см.: Laue, Annal. d.Phys. 62
(1920), S.448.
12) 235. Wilson, Philos. Trans. (A) Bd.204 (1904), S.121.
13) 239. Röntgen, Sitzungsber. d. Berliner Akademie 1885, S.195; Wied. Annalen
Bd.35 (1888), S.264 и Bd.40 (1890), S.93. Eichenwald, Annalend.PhysikBd.il (1903), S.421.
14) 240. Minkowski, цит. соч. 9).
15) 243. W.Kaufmann, Nachr. d.K.Ges. der Wissensch. zu Göttingen 1902, S.291;
Ann. d.Phys. Bd.19 (1906), S.487 и Bd.20 (1906), S.639. A.H.Bucherer, Ann. d.Phys.
Bd.28, (1909), S.513 и Bd.29 (1909), S.1063. S.Ratnowsky, Determination experimen-
tale de la Variation d'inertie des corpuscules cathodiques en fonetion de la vitesse,
Dissertation, Genf \9\\. E.Hupka, Ann. d.Phys. BdJ/ (1910), S.169. G.Neumann, Ann.
d.Phys. Bd.45, 1914, S.529, с дополнением Шефера C.Schaefer, ibid. Bd.49, S.934.-
06 атомной теории —см.: K.Glitscher, Spektroskopischcr Vergleich zwischen den
Theorien des starren und des deformierbaren Elektrons, Ann. d.Phys. Bd.52 (1917), S.608.
16) 244. Schwarzschild, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. Göttingen 1903, S.125.
Poincare, цит. соч. 8) (Rend. Palermo). Born, Ann. d. Phys. 28, 1909, S.571. Weyl,
Ann. d. Phys. 54, 1917, S.l 18.
17) 255. Льюис и Толмен дали обоснование эйнштейновской динамике,
рассмотрев упругое соударение на основе законов сохранения энергии и импульса: Lewis,
Tolman, Phil. Mag. 18, 1909, S.510. Обстоятельно этот вопрос обсуждался Ютнером:
Jüttner. Zeitschr. f. Mathem. u. Physik 62 (1914), S.410.
18) 258. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? Ann. d.
Phys. 17, 1905, S.639; см. также: Ann. d. Phys. 20, 1906, S.627 и там же: 23, 1907,
S.371. Далее: H.A.Lorentz. Versl. Akad. ν. Wetensch. Amsterdam 20, 1911, S.87. В
своей основополагающей работе о динамике движущихся систем Планк имеет в виду
такое «тело», которое образовано чернотсльным излучением, находящимся в тепловом

Литература 411
равновесии: Ann. d. Phys. 76, 1908, S.l. См. также Κ. ν. Mosengeil. Ann. d. Phys. 22,
1907, S.867 и M.Abraham, Theorie der Elektrizität. Bd.II, 2. Aufl., S.44.
19) 259. Перечисленные здесь законы сохранения для поля излучения являются
следствием того, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований
Лоренца. Фактически они инвариантны, как мы покажем в §40, относительно более
широкой «конформной группы*. Законы сохранения, вытекающие из этого, были
установлены Э.Бессель-Хагеном: E.Bessel-Hagen, Mathem. Ann. 84, 1921, S.258. Они
имеют однако весьма ограниченное физическое значение, потому что не выполняются
при учете взаимодействия между веществом и полем.
20) 263. M.Abraham, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. Göttingen 1902, S.20 и Ann.
d. Phys. 10, 1903, S.105.
21) 264. Herglotz, Ann. d. Phys. 36, 1911, S.453. О гидродинамике см. также:
Ignatowsky, Physik. Zeitschr. 12, 1911, S.441; Lamla, Ann. d. Phys. 37, 1912, S.772 и
примечание Паули на S.693 его энциклопедической статьи (см. примеч. 1 к этой главе);
о термодинамике—см. Planck, работа, цитир. в примеч. 18.
22) 264. Ann. d. Phys. 37, 39, 40 (1912/13).
Глава IV
1) 275. По этим параграфам, как и ко всей главе в целом вплоть до §39 см. след.
литературу: A.Einstein, Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie (Leipzig,
Joh. Ambr. Barth, 1916): Ober die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie
(gemeinverständlich; Sammlung Vieweg, 10. Aufl., 1920). —Из остальной обширной
литературы по теории относительности на немецком языке упомянем: М.Вогп, Die
Relativitätstheorie Einsteins und ihre physikalischen Grundlagen, Springer 1920. H.Thir-
nng, Die Idee der Relativitätstheorie, Springer 1921. E.R.Neumann, Vorlesungen zur
Einführung in die Relativitätstheorie, Jena 1922. M.Laue, Die Relativitätstheorie, Bd.l
и 2, Vieweg 1921. Энциклопедическая статья Паули-младшего—M.Schlick, Raum und
Zeit in der gegenwärtigen Physik. Springer 1920. E.Cassirer, Zur Einsteinschen
Relativitätstheorie, Berlin 1921. R.Carnap, Der Raum (Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre),
Kant-Studien Nr.56 (1922).— Einstein, Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie,
Ann. d. Phys. 55, 1918, S.241. Он же, Äther und Relativitätstheorie, Springer 1920.
Vorträge und Diskussionen über Relativitätstheorie auf der Naturforscherversammlung in
Nauheeim 1920, Physik. Zeitschr. 21, 1920, S.649 —675. К последней ссылке добавим
также: Weyl, Die Relativitätstheorie auf der Naturforscherversammlung in Bad Nauheim,
Jahresber. d. Deutsch, d. Deutsch. Math.-Vereinig. 1922. Nature, Vol. 106, 1921 (17.
Febr.), Spezialnummer über Relativität. —Из критиков теории относительности
особенно обратили на себя внимание: P.Lenard, Über Relativitätsprinzip, Äther, Gravitation,
Leipzig 1921. P.Painleve, Comptes Rendus Paris, mehrere Noten 1921/1922.
2) 275. Трудность ощущалась уже основоположниками классической механики;
она обсуждалась Ньютоном, Лейбницем, Гюйгенсом, Эйлером и др.; наиболее
выразительно в новейшее время она была сформулирована Э.Махом. См. также L.Lange,
Die geschichtliche Entwicklung des Bewegungsbegriffes, 1886 и подробные
литературные ссылки у А.Фосса: A.Voss, Die Prinzipien der rationellen Mechanik, in: der
Mathematischen Enzyklopädie, Bd.IV, Art.l, Abs. 13—17 (phoronomische
Grundbegriffe).
3) 278. Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn VIII
(1890), S.65.
4) 283. Другие попытки (Абрагам, Ми, Нордстрем) согласовать теорию
тяготения с ситуацией, возникшей после создания специальной теории относительности,
обстоятельно рассматриваются Абрагамом: M.Abraham, Neuere Gravitationstheorien,
Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, Bd.XI (1915), S.470. См. также Laue, там
же, Bd.XIV (1917), S.263 и Einstein, Fokker, Ann. d. Phys. 44, 1914, S.321.
5) 284. О деформации движущихся тел см.: H.A.Lorcntz, Nature 106,1921, S.793;
о пространственно-временных измерениях во вращающейся системе отсчета см.:
F.Kottier, Phys. Zeitschr. 22, 1921, S.274, 480.
6) 287. Сравн. с третьей лекцией моих испанских 4Vorlesungen», а также с моей
статьей: Weyl. Nachr. d. Ges. d. Wissensch. zu Göttingen 1921, S.100.

412
Литература
7) 292. F.Klein, Ober die Differentialgesetze für die Erhaltung von Impuls und
Energie in der Einsteinschen Gravitationstheorie, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. Göttingen
1918. Общие формулировки даны Э.Нетер: E.Nocthcr, Invariante Variationsprobleme,
там же.
8) 298. В соответствии с работой Палатини: A.Palatini, Deduzione invariantiva
della equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton, Rend. del Circ. Matern, di
Palermo t.43 (1919), S.203/212.
9) 300. Einstein, Zur allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsber. d. Preuss. Akad.
d. Wissensch. 1915, 44, S.778, S.799. Он же, Die Feldgleichungen der Gravitation, там же,
1915, S.844.
10) 300. H.A.Lorentz, Het beginsel van Hamilton in Einsteins theorie der zwaar-
tekracht, Versl. d. Akad. v. Wetensch. te Amsterdam, XXIII, S.1073; Over Einsteins
theorie der zwaartekracht I, II, III, ibid. XXIV, S.1389, 1759; XXV, S.468. Tresling,
ibid., Nov. 1916; Fokker, ibid., Jan. 1917, S.1067. Hubert, Die Grundlagen der Physik,
1. Mitteilung, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. zu Göttingen 1915, 2. Mitteilung 1917. В
1-ом сообщении Гильберт одновременно с Эйнштейном и независимо от него
установил инвариантные уравнения гравитационного поля, опираясь, впрочем, на
гипотетическую теорию материи Ми. Einstein, Hamiltonsches Prinzip und allgemeine
Relativitätstheorie, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1916, 42, S.llll. Klein,
Zu Huberts erster Note über die Grundlagen der Physik, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. zu
Göttingen, 1918 и цитированную в примеч. 7) работу. WeyU Zur Gravitationstheorie, Ann.
d. Physik Bd.54 (1917), S. 117.
11) 301. Levi-Civita, Statica Einsteiniana, Rend. della R. Accad. dei Lincei, vol.
XXVI, ser. 5a, Г sem. pag. 458.
12) 304. См.: Levi-Civita, La teoria di Einstein e il principio di Fermat, Nuovo
Cimento, Ser. VI, vol. 16 (1918), S.105-114.
13) 307. F.W.Dyson, A.S.Eddington, C.Davidson, Α Determination of the
Deflation of Light by the Sun's Gravitational Field, from Observations made at the Total
Eclipse of May 29, 1919; Philos. Trans, of the Royal Society of London, Ser. A, Vol.220
(1920), S.291—333. См. также Е.Freundlich, Die Naturwissenschaften 1920, S.667-
673. Полное солнечное затмение, которое должно состояться 21 сентября 1922 г., дает
повод к новым наблюдениям.
14) 308. Schwarzschild, Sitzungsber. d.Preuß. Akad.d.Wissensch. 1914, S.1201.
Ch.E.St.John, Astrophys. Journal. 46 (1917), S.249 (см. также цитированные там
работы Хальма и Адамса). Evershed, Royds, Kodaik. Obs. Bull. 39. L.Grebe,
A.Bacliem, Verhandl. d. Deutsch. Physik. Ges. 21 (1919), S.454; Zeitschr. f. Phys. 1
(1920), S.51. L.Grebe, Zeitschr. f. Phys. 4 (1921), S.105. A.Perot, Comptes Rendus
Paris 170 (1920), S.988 und 171 (1920), S.229. St.John, The Observatory 43 (1920),
Nr.551; Physik. Zeitschr. 23 (1922), S.197. Fabry, Buisson, Comptes Rendus Paris 172
(1921), S.1020. Perot, Journ. d. Physique et le Radium, Ser.6, Bd.3 (1922), S.101.
E.Freundlich, Physik. Zeitschr. 20 (1919), S.561.
15) 308. Einstein, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1915, S.831.
Schwarzschild, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1916, S.189.
16) 308. Наибольшее внимание привлекла гипотеза Г.Зеелигера: H.Sccliger, Das
Zodiakallicht und die empirischen Glieder in der Bewegung der inneren Planeten, Munch.
Akad. Ber. 36 (1906). См. также E.Freundlich, Astr. Nachr. Bd.201 (Juni 1915),
S.48. —40 критике значения 42", полученного С.Нъюкомом см.: Grossmann, Astr.
Nachr. 214, S.41. (Сокращенное изложение: Zeitschr. f. Phys. 5 (1922), S.280); о новом
определении всех постоянных внутренних планет на основе эйнштейновской теории
см.: J.Bauschinger, Enzyklopädie d. Math. Wissensch. VI 2, 17; S.887; Kienle, Die
Naturwissenschaften 1922, S.217 и 246.
17) 310. Einstein, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1916, S.688; а также
дополнение к этой статье: Über Gravitationswellcn, там же, 1918, S.154. Далее Hilbert,
цит. в прим. 10), 2. Mitteilung.
18) 314. Phys. Zeitschr. Bd.19 (1918), S.33, S.156; Bd.22 (1921), S.29. См. также:
de Sitter, Planetary motion and the motion of the moon aecording to Einstcin's theory,
Amsterdam Proc. Bd.19, 1916. —О дальнейших исследованиях по приближенному
интегрированию здесь следовало бы еще упомянуть о работе В.Александрова по

Литература 413
электродинамике в слабых полях тяготения: W.Alexandrow, Ann. d. Phys. 65 (1921),
S.675, и Physik. Zeitschr. 22 (1921), S.593.
19) 315. См. также: Schwarzschild, цит. в прим. 14); Hubert, цит. в прим. 10),
2.Mitt.; J.Droste, Versl. К. Akad. v. Wetensch. Amsterdam Bd. 25 (1916), S.163.
20) 324. H.Reißner, Ann. d. Phys. 50 (1916), S.106. Wcyl, цит. в прим. 10).
G.Nordström, On the Energy of the Gravitation Field in Einstein's Theory, Versl. d. K.
Akad. v. Wetensch. Amsterdam Bd.20, Nr.9, 10 (26. Jan. 1918). C.Longo, Legge
elettrostaticaelementare nella teoriadi Einstein, Nuovo Cimento, Ser. VI, Vol. 15 (1918),
S.191.
21) 331. См. также: A.S.Eddington, Report on the Relativity Theory of Gravitation
(London, Fleetway Press, 1919), §§29, 30; L.Flamm, Physik. Zeitschr. 17 (1916), S.448.
Vom «-Körper-Problem handelt J.Droste, Versl. K< Akad. v. Wetensch. Amsterdam 25
(1916), S.460.
22) 335. Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1916, 18, S.424. Далее:
H.Bauer, Kugelsymmetrische Lösungssysteme der Einsteinschen Feldgleichungen der
Gravitation für eine ruhende, gravitierende Flüssigkeit mit linearer Zustandsgieichung.
Sitzungsber. d. Akad. d. Wissensch. in Wien, math.-naturw. Kl., Abt. IIa, Bd.127 (1918).
23) 335. Weyl, цит. в прим. 10), §§5, 6. См. также прим. в Ann. d. Phys. Bd.59
(1919) и дополнение о статистической задаче двух тел к работе Р.Баха: R.Bach,
Explizite Aufstellung statischer axialsymmetrischer Felder, Math. Zeitschr. 13 (1922),
S.134-145.
24) 336, 337. Lcvi-Civita: ds2 einsteiniani in campi newtoniani, Rend. Acc. dei
Lincei, 1917/19.
25) 336, 337. См. работу, цит. в примеч. 10); далее: R.Bach, Das Feld in der
Umgebung eines langsam rotierenden kugel ahn liehen Körpers von beliebiger Masse in 1.
und 2. Annäherung, Math. Zeitschr. 13 (1922), S.119.
26) 337. A.De-Zuani, Equilibrio rclativo ed equazioni gravitazionali di Einstein nel
caso stazionaro, Nuovo Cimento, Ser. VI, Vol. 18 (1919), S.5. A.Palatini, Moti
Einsteiniani stazionari, Atti del R. Istit. Veneto di scienze, lett. ed arti, t.78 (2) (1919),
S.589.
27) 338. Versl. K. Akad. v. Wetensch. Amsterdam 29, S.611. См. также J.A.Schouten, там
же, S.1150.
28) 344. Einstein. Grundlagen (цит. в примеч. 1), S.49. Приведенное здесь
доказательство принадлежит Ф.Клейну —см. прим. 7). Обсуждение физического
смысла этих уравнений-см.: Schrödinger, Phys. Zeitschr. Bd.t9 (1918), S.4; Η.Bauer,
там же, S.163; Einstein, там же, S.115, и наконец работа Эйнштейна: Einstein, Der
Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d.
Wissensch. 1918, S.448, которая принесла полное объяснение и которой мы здесь
следуем. См. далее F.Klein, Über die Integralform der Erhaltungssätze und die Theorie
der räumlich-geschlossenen Welt, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. zu Göttingen 1918.
29) 347. См. также G.Nordström, On the mass of a material System aecording to
the Theory of Einstein, Akad. v. Wetensch. Amsterdam, Bd.20, Nr.7 (29. Dez. 1917).
См. также J.A.Schouten, там же, S.1150.
30) 353. Это уместно сравнить с работой Г.Яффе, которая должна вскоре
появиться в Phys. Zeitschr.: «Ruhmasse» und «Masse der Bewegung» im statischen
Gravitationsfelde; г-н Яффе под инертной массой понимает не скаляр "rf=f, а
трехмерный (пространственный) тензор ,., 'f ...
V/" - ν
31) 359. Ann. d. Phys. Bd.39 (1913).
32) 360. В доказательстве Озена (Physik. Zeitschr. 16, 1915, S.395) важны как
постулированные граничные условия, так и максвелловские уравнения. См. также
G.Mie, Physik. Zeitschr. 21, 1920, S.657; и S.R.Milner, Phil. Mag. 41, 1921, S.405.
33) 361. Wcyl, Ober das Verhältnis der kausalen zur statistischen Betrachtungsweise
in der Physik, Schweiz. Medizin. Wochenschrift 1920, Nr. 34; он же, Feld und Materie,
Ann. d. Physik 65, 1921, S.541; W.Schottky, Das Kausalproblem der Quantentheorie als

414 Литература
eine Grundfrage der modernen Naturforschung überhaupt, Die Naturwissenschaften 9,
1921; W.Nernst, Zum Gültigkeitsbereich der Naturgesetze, там же Bd.10, 1922.
34) 364. Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1917, S.142.
35) 367. Wcyl, Physik. Zeitschr. 20, 1919, S.31.
36) 367. A.S.Eddington, Stellar Movements and the Structure of the Universe,
Macmillan & Co. 1914.
37) 368. On the Relativity of Inertia, Versl. d. Akad. v. Wetensch. Amsterdam 19
(1917); On the curvature of Space, там же, 20 (1918); On Einsteins Theory of Gravitation
and its Astronomical Consequances, Third paper, Monthly Notices of the R. Astronom.
Soc. London, Nov. 1917. См. также F.Klein, примеч. 7.
38) 373. Einstein, Äther und Relativitätstheorie (Leidener Vorlesung), Springer
1920. Относительно «превосходства эфира* см. работы Э.Вихерта: Der Äther im
Weltbild der Physik, Nachr. d. Ges. d. Wissensch. zu Göttingen 1921, S.29 и Viertel-
jahrsschr. d. Astron. Gesellsch. 56 (1921), S.171.
39) 374. См. например: А.Зоммерфельд, Atombau und Spektrall in ien, 3. Aufl.,
Braunschweig 1922.
40) 376. Содержащаяся в двух следующих параграфах теория была развита
автором в статье: «Gravitation und Elektrizität». Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d.
Wissensch. 1918, S.465. См. также Weyl. Eine neue Erweiterung der Relativitätstheorie,
Ann. d. Physik Bd.59 (1919). Аналогичная тенденция, как мне кажется, проявляется
в теории Э.Райхенбахера (в существенных пунктах, впрочем, оставшейся мне
непонятной): E.Reichenbächer. Grundzüge zu einer Theorie der Elektrizität und Gravitation,
Ann. d. Physik Bd.52 (1917), S.135; далее: Ann. d. Physik Bd.63 (1920), S.93-144.
Относительно других попытка связать воедино электричество и гравитацию-см.
цитир. в примеч. 4) статью Абрагама; далее: G.Nordstrom, Physik. Zeitschr. 15 (1914),
S.504; E.Wiechert, Die Gravitation als elektrodynamische Erscheinung, Ann. d. Physik
Bd.63 (1920), S.301.
41) 379. См. также Р.Ehrenfest, Welche Rolle spielt die Dreidimensionalität des
Raumes in den Grundgesetzen der Physik? Ann. d. Phys. 61 (1920), S.440.
42) 379. E.Cunningham, Proc. of the London Mathem. Society, (2) vol.8 (1910),
S.77-98; H.Bateman, там же, S.223-264.
43) 380. Эта теорема была доказана Лиувиллем: Liouville. Раздел VI в
приложении к книге Г.Монжа: G.Monge, Application de l'analyse ä la giomötrie (1850),
S.609.
44) 380. См. также W.Pauli, Zur Theorie der Gravitation und der Elektrizität von
H.Weyl, Physik. Zeitschr. Bd.20 (1919), S.457-467; Weyl, Über die physikalischen
Grundlagen der erweiterten Relativitätstheorie, Physik. Zeitschr. 22 (1921), S.473.
Отчасти к подобным выводам приходит Эйнштейн на основе еще одной модификации
своих уравнений гравитации в работе: A.Einstein. Spielen Gravitationsfelder im Aufbau
der materiellen Elementarteilchen eine wesentliche Rolle? Sitzungsber. d.Preuß. Akad.
d.Wissensch. 1919, S.349-356.
45) 397. О функции действия в физике Вейля см.: Sitzungsber. d.Akad.
d.Wissensch. in Wien, Adt. IIa, 129 und 130 (1920/1921); далее: К. Akad. ν. Wetensch.
Amsterdam 25 (27. Mai 1922).
46) 397. Math. Zeitschr. 9 (1921), S.110-135, insbesondere S.125 und 128.
47) 398. Verhandl. d. Deutsch. Phys. Ges. 21 (1919), S.742.
48) 398. Proc. of the Royal Society, A, 99 (1919), S.104-122.
49) 407. R.Bach, цит. в прим. 46), S.128-135. A.Einstein, Sitzungsber. d. Preuß.
Akad. d. Wissensch. 1921, S.261-264.
50) 407. Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1921, S.966.

ЦреЬметнъш указатель
Analysis situs 363
Аберрация 190, 228
Абсолютная величина тензора 62
Абсцисса 18
Аксиомы аффинной геометрии 27
метрической геометрии
(евклидовой) 38;
(инфинитезимальной) 178
Активное прошлое и будущее 208, 286
Асимптотическая прямая 95
Ассоциативный закон 27
Атом (по Бору) 374
Атомные часы 218, 375
Аффинная геометрия
(линейно-евклидовая) 62;
(инфинитезимальная) §15
Аффинная связность (понятие) 144;
(метрического пространства) 158;
(мира) 283
Аффинное отображение 32
— многообразие 147
Билинейная форма 36
Био-Савара закон 90, 191
Боровская модель атома 374
Больяи геометрия §10
Будущее, активное и пассивное 208, 286
Ведущее поле 276, 284
Вертикальный 24,40;
(общий случай) 155
Вес тензоров и тензорных
плотностей 162
Вильсона опыт 234
Волчок 62;
(как компас) 338;
прецессия — Приложение II
Восприимчивость, магнитная 90
Вращающееся тело 313, 336, 339
(См. также Волчок)
Вращение (вообще) 138;
(в геометрическом смысле) 24, 175;
(в кинематическом смысле) 59;
(волчка) 62,401;
(относительность вращения) 338
Вращения, группа 175
Времениподооный вектор 217
Время 16, 184, 209, 219
Вычитание векторов 27
Гексасферические координаты 302
Галилеевская группа 187
Галилеевский принцип
относител ьности 189
принцип инерции 186, 212, 275
Гамильтона принцип, (в рамках
специальной теории относительности:
1. по Максвеллу-Лоренцу) 246;
(2. по Ми ) 269;
(в рамках общей теории
относительности) 295, 380, 394
Гамильтона функция 268
Гауссова кривизна 124
Гексасферические координаты 380
Геодезическая система отсчета 161
— калибровка 156
— система координат 145
— линия (в общем случае) 116,
(в римановых пространствах) 148;
(в мире) 171
— нулевая линия 162, 286
Геометрия, аффинная §2
—, на поверхности 107, §12
—, евклидова §§1—4
— »инфинитезимальная §§14—17
—, «-мерная 34
—, неевкидова
(Больяи-Лобачевского) §10
-, риманова §11; 159, 165, 170
—, сферическая 101, 123, 128
Гидродинамика 264, 331, 347
Гидростатическое давление 264, 335
Гиперболический
мир 368, Приложение III
Гомологичный 21
Гравитационная (генерирующая
гравитацию) масса 320, 347
Гравитационная постоянная 288, 292,
304, 320, 347, 359
Гравитационная сила 336
Гравитационная энергия 344, 348
Гравитационное поле 279;
(материальной точки) 318, 324
Гравитационные волны 313
Гравитационный закон,
— эйнштейновский 299;
(модифицированный) 366,376;
(общая форма) 383, 393;
(ньютоновский) 288
Гравитационный потенциал 284;
(статический) 315
Гравитационный радиус 320, 324
Градиент 70;

416
Предметный указатель
(а общем случае) 138
Группа 20
—, вращений 175
—, галилеевская 187
— »кинематическая 186
—, конгруэнтных отображений 128
—, лоренц-эйнштейновская 214
—, переносов 25
— »элементарная 181,212
Давление (одинаковое во всех
направлениях) 76
—, гидростатическое 264, 335
Движение (в чисто математическом
смысле) 137;
(его относительность) 185, 214,
275, 338;
(в динамическом отношении) 186, 212,
241, §27, 276, §38
Двусторонняя 364
Действия величина 246, 270, 285,
289,292,366,377,381,394
Действия принцип (см. Гамильтона
принцип)
Действия квант 271, 361, 374, 398
Декартова система координат 40
Деформации (искажения —
Verzerrungstensor) тензор 72
Джоулево тепло 194, 255
Дивергенция (div) 73;
(более общее понятие) 143, 150
Дистрибутивный закон 27
Дифференцирование тензоров и
тензорных плотностей 72, 138, 143, 149
Диэлектрик 84
Диэлектрическая постоянная 85
Доплера принцип 227, 307
Евклидова геометрия §§1—4
Евклидова группа вращения 44, 175
Евклидово многообразие. Гл.1
(с точки зрения
инфинитезимальной геометрии) 151
Единицы измерения 52;
(их относительность) 376
—, электростатические и
электромагнитные 191
Единичный тензор 51
Закон сохранения энергии и импульса
(его отношение к
пространственно-временной
инвариантности) §41
(сравн. далее Энергии-импульса закон)
Закон сохранения момента
импульса 259
— массы 251
Закон Био-Савара 90, 191
—, Кулона 78
-,Ома 93,238
—, Стокса 140
Запаздывающий потенциал 195, 312,
361,373
Заряд 77;
(в субстанциональном смысле) 245;
(в общем смысле) 343, 350, 359
Звездный компас 339
Измерение (пространства) 30, 102;
(число измерений, или
размерность, мира) 379
положительное и отрицательное
квадратичной формы 39
Импульс 55, 242, 249, 345, 353
Импульс поля 199, 259
Импульса плотность 199, 259
(сравн. Энергии плотность)
Импульса момент 58, 259
Импульса поток 199, 259
(сравн. Энергии плотность)
Инвариантный, инварианты 44, 102,
196, 269, 280, 399
Инвариантности свойства и законы
сохранения §41
Индукции закон 192, 234, 238
Индукция, магнитная 90
Интегральные инварианты 292, 388, 396
Интегрирование по частям 144
Интегрируемый 140, 151
Интенсивные величины
(Intensitatsgrossen) 141
Инфинитезимальная геометрия § 14 — 17
Инфинитезимальное смещение 135, 151
— вектора 116, 145
Искривление световых лучей в
гравитационном поле 306, 325
Калибровка (Eichung) 155
—, геодезическая 156
Катодные лучи 242
Квадратичная форма 38
Квантовая теория 271, 361, 374, 398
Кинематика 59, 221, 226
Кинетическая энергия 242, 254
Кинетический тензор
энергии-импульса 248
Ковариантные тензоры 47;
общековариантные тензоры 135
Когредиентное преобразование 46
Количество движения (импульс) 55,
242, 249, 345, 353, 357
Коммутативный закон 27
Компас 122,338,374
Компоненты, ковариантные и
контрвариантные, смещения 46
аффинной связности 145
вектора 31
тензора (на линейном
многообразии) 48;
(в общем случае) 135
Конвекционный ток 191, 237
Конгруэнтное отображение 39,175
распространение 156, 176

Предметный указатель
417
Конгруэнтный 22, 132, 175
Континуум 102, 134, 363
Контравариантные тензоры 47;
(в общем случае) 135
Контрагредиентное преобразование 45
Координатная система 20,31,102
—, декартова 40
— »геодезическая 145
—, нормальная 207
—, покоя 352
Координаты (в линейном
многообразии) 31
(в общем случае) 102
(геодезические) 145;
(гексасферические) 379
Космология §39; 376, 383;
Приложение III.
Кососимметричный 50, 66
Красное смещение
спектральных линий 307, 404
Кривая 104, 137
Кривизна, гауссова 124
векторная кривизна 153
кривизна направления
(Richtungskrummung) 161
масштабная кривизна 159
риманова 126
скалярная 165, 167
Кристоффеля трех индексные
символы 118, 165
Кулона закон 78
Кэли мероопределение 100
Линейная независимость 29
Линейная тензорная плотность 141
Линейная точечная оболочка 30
Линейная форма 33
Линейное векторное многообразие 29
Линейное векторное отображение 51
Линейное уравнение 34
Линейный тензор 69, 137
Линейный элемент (в евклидовой
геометрии) 69;
(в общем случае) 134
Линия, прямая (в евклидовой
геометрии) 22, 28;
(в общем случае — геодезическая
линия) 149, 171
(см. также: Кривая)
Лобачевского геометрия §10
Лоренц-эйнштейновская теорема
относител ьности 196
Лоренца преобразование 196, 200, 214
Лоренцево сокращение 204, 209
Магнетизм 88
Магнитная восприимчивость 90
Магнитная индукция 90
Майкельсона, опыт 203
Максвелловская теория
(стационарный случай) §9;
(общий случай) §21;
(в движущихся телах) §25;
(перенос стационарных уравнений на
римаиово пространство) 167;
(в рамках общей теории
относительности) 285;
(соответствующий вариационный
принцип действия) 246;
(вывод из мировой метрики) 378,
381,394
—, плотность действия 285, 378, 393
Максвелловские натяжения 81,89,198
Масса 249,251,260,353
—, электрона 263, 349
—, генерирующая гравитационное
поле 320, 347
—, инертная и тяжелая 278, 359
Массы уравнение
непрерывности 230, 298
Масштабная кривизна J 59
Материальная точка 352, 353
Материя 248, 262, 274, 361, 373
Матрица 51
Между 22
Мероопределение (в точке) 155, 175
-,Кэли 100
Метрика 39;
(в общем случае) 155, 175
Метрическая фундаментальная
форма 39, 106, 113, 157
— .связность 155,176
Метрический фундаментальный
тензор 51, 106, ИЗ, 157
Метрическое поле 132, 281, 321, 374
Механика §§26, 27, 37, 38
Механики, основной закон
(ньютоновский) 55, 78;
(в специальной теории
относительности) 241, 263;
(в общей теории
относительности) 359
Ми, теория §28; 291
Минковского, геометрия 207, 216
Мир (=Пространство-время) 182
Мировая геометрия 189, 207, 216,
281,371
Мировая точка 182
Многообразие 102
Многообразие, аффинно-связное §15
—, метрическое §17
Момент количества движения
(импульса) 58, 259
Момент силы 58
Мощность 241, 243
Намагничение 90
Напряжения, упругие 73
—, максвелловские 81, 89, 198
Напряженность магнитного
поля 88, 243

418
Предметный указатель
Напряженность электрического
поля 77, 243
Невырожденная билинейная и
квадратичная форма 36
Неевклидова геометрия §10
Неоднородные линейные уравнения 35
Непрерывная связность 102, 134
Нормальная калибровка риманова
пространства 159
Нормальная система координат 207
Нулевые линии, геодезические 162, 286
Ньютоновский закон тяготения 287
Объем 68, 113, 164, 165, 175
Одновременность 184, 208
Однородность пространства 16, 127
—, мира 189
Однородные линейные уравнения 35
Однородный линейный
метрический континуум 127, 379
Односторонняя поверхность 364
Ома закон 93, 238
Определенный (defenit) 38
Опыт Майкельсона 203
-, Этвеша 278
Ориентация (ориентированность) 132
Ось вращения 59
Относительная скорость 207
Относительность величины 376
Относительность движения 185, 275,
338, 373
Отношения связности многообразия в
целом 363
- мира 367, 370, 405
Отображение, аффинное 32
—, конгруэнтное 22, 39, 175
—, линейное векторное 51
—, подобия 176
Отрезок (в евклидовой геометрии) 31;
(в общем случае) 155
Отрицательное и положительное
электричество 271,387
Параллелограм 30
Параллельное смещение,
инфинитезимальнос 116, 121, 145
Параллельные 24, 30
Параллепипед 30
Пассивное прошлое и будущее 209, 286
Перенос (Verpflanzung),
конгруэнтный 156, 176
Перигелия Меркурия
движение 308, 330
Пифагора теорема 38, 111
Пифагорово мероопределение 175, 283
Планетные движения 326
Плоский 151
Плоскость (в евклидовом
пространстве) 23, 28
—, неевклидова: модель
Бельтрами ИЗ;
модель Клейна 98;
—, метрическая фундаментальная
форма 112
Плотность (общее понятие) 142;
(электричества и массы, на основе
субстанциального
представления) 245, 285
Плотность энергии (в электрическом
поле) 83;
(в магнитном поле) 195, 289;
(в гравитационном поле) 344;
(в общем случае) 259, 297, 394, 396
Поверхности элемент (в евклидовой
геометрии) 67;
(в общем случае) 137
Поверхность 104
Позже и раньше 17, 208, 286
Пойнтинга вектор 195
Покой 185
(См. также Относительность
движения)
Покоя длина 217, 224
—, координаты 352
—, объем 224
—, плотность 230, 245, 285
Поле (общее понятие) 69, 138;
(отношение к материи) 262, 361;
—, электромагнитное 77, 88, 197,
285, 378
—, ведущее или
гравитационное 276, 283
—, метрическое 132, 281
Полевое действие электричества 246
— гравитации 290
Положительно-определенный 38
Положительное и отрицательное
электричество 271,387
Поля импульс 200, 259
сила поля (в противоположность
инерции) 276, 383, 395
энергия поля (см. Плотность энергии)
Поляризация 84
Пондемоторная сила 94
—, электрического, магнитного и
электромагнитного поля 77, 89, 193, 284
—, гравитационного поля 284, 336
Постоянство скорости света 204, 213
Постулат о параллельных 95
Потенциал, электромагнитный 197, 378
—, электростатический 77
—, гравитационного поля 284;
(статического) 315
—, запаздывающий 195, 312, 361, 373
-, векторный 89
Потенциальной энергии-импульса
тензор 248
Принцип эквивалентности 278, 382
Причинности принцип 266, 361
Проводимость 91, 236
Произведение, скалярное 38
—, тензора на число 55
—, тензоров 56

Предметный указатель
419
—, тензорной плотности на число 142
—, тензорной плотности на тензор 142
—, вектора на число 28
—, векторное 57
Проекция 219
Пространственно-подобный вектор 217
Пространственный элемент 68, 137, 175
Пространство (как форма
существования явлении) 16;
(как проекция мира) 219, 287, 301, 338
—, евклидово §§1—4
—, метрическое §17
—, «-мерное 35
—, риманово 113, 165
Прямая линия (в евклидовой
геометрии) 22, 28;
(в общем случае: см. геодезическая
линия)
Прямой угол 23, 155
Работа 50, 354
Равенство (векторов) 151;
(временных интервалов) 17
Радиус мира 366, 405
—, электрона 263, 349
Ранг тензоров 47
Раньше и позже 17, 208, 286
Распространение электромагнитных
возмущений 195
— гравитационных возмущений 312
- света 190, 204, 212, 225, 285
Расщепление векторов 219
—, тензоров на пространственную и
временную части 231
Расщепление мира на пространство и
время 219, 287, 301
Риманова геометрия §11; 159, 165, 170
-, кривизна 126, 166
Риманово пространство 113,165
Световой эфир 191
Световой луч 225, 287;
(искривление в
гравитационном поле) 306, 325
Световые часы 218
Связность, аффинная 145, 159;
(мира) 283
-.метрическая 156,176
—, непрерывная 102, 134
Сила 50, 67, 263, 354
Сила поля (в противопоставлении
с инерцией) 276, 383
Сила пондемоторная
(электромагнитного
поля) 77, 89, 193, 284;
(ведущего поля) 284
-, гравитационная 336
Симметричный 37, 66
Система отсчета 157, 185
Система отсчета геодезическая 161
Скаляр 50
Скалярная плотность 142
Скалярное поле 69
Скалярное произведение 38
Скорость 48, 137
Скорость вращения 59
Скорость распространения
гравитации 312
— света 201, 204, 228,301
След матрицы 61
Сложение тензоров 55
— тензорных плотностей 142
— векторов 28
Смещение пространственное 24, 151
—, электрическое 85
—, инфинитезимальное, точки 135
—, вектора 110, 145
Смещения ток 193
Собственное время 218, 221, 229, 285
Сокращение (Лоренца) 205, 210;
(в гравитационном поле) 321
Сохранение и установление
(Beharrung und Einstellung) 341, 374
Статическое гравитационное
поле — §31; 385
Стационарное поле
(электромагнитное) §9;
(гравитационное) 336
Стационарные орбиты в атоме 374
Стационарный вектор 148
Стокса закон 140
Субстанциальное действие
электричества и гравитации 245, 246
Субстанция 245, 249
Сумма векторов 27
—, тензоров 54
—, тензорных плотностей 142
Сфера 335, 366
Сферическая геометрия 101,123,128;
(в жидкой сфере) 335;
(в мире) 266
Твердое тело 217
Теперь 17, 184, 209
Теория света (электромагнитная) 193
Ток электрический 88, 191, 237, 350
(ток проводимости) 237
Точечная оболочка, линейная 31
Трехиндексный символ 118,165
Тяжелая масса 278, 347
Угол 24;
(измерение углов) 40, 115, 229, 287
—, прямой 23, 155
Умножение тензора на число 54
—, тензоров 55
—, тензорной плотности на число 142
—, тензорной плотности на тензор 142
—, вектора на число 28
Упругость 73
Ускорение 149

420
Предметный указатель
Установление и сохранение
(Einstellung und Beharrung) 342, 374
Фарадесвский закон электромагнитной
индукции 192, 234, 238
Фаза 225, 404
Ферма принцип 305
Фиктивные поля 349
Форма, билинейная 36
—, линейная 33
—, квадратичная 36
Френеля коэффициент увлечения 228
Фундаментальный тензор, метрический
(сравн. Фундаментальная форма) 51
Фундаментальная форма, метрическая
(линейного многообразия) 39;
(поверхности) 106;
(в общем случае) 114,157;
(мира) 207, 281
Центрально-симметричное
гравитационное поле 315
Цилиндрический мир 268
Четырех-сила 298, 243
Четырех-ток 197, 230, 243
Число 18
Числовая мера отрезка 155
Шаровое родство (сферическая
аффинность) (Kugelverwandschaf't) 379
Эйнштейновский закон тяготения 299:
модифицированный 366, 37ь
Эйнштейновский принцип
относительности, специальный §§22, 23;
общий 280
Эквивалентности принцип 278, 382
Экстенсивные величины
(Quantitatsgrossen) 141
Электрический заряд 78;
(как субстанция) 245;
(как поток силовых
линий) 343, 350, 359
Электрический ток 88, 191, 237, 350
Электрическое смещение 85
Электричества закон сохранения
(дифференциальная
формулировка) 192, 265, 341, 394;
(интегральная) 343,350;
(отношение к калибровочной
инвариантности) §41
Электричества уравнение
непрерывности 192, 265, 341, 394
Электромагнитное поле 197;
(как следствие мировой метрики) 378
Электромагнитная и
электростатическая система единиц 191
Электромагнитный потенциал 197, 378
Электрон 81, 242, 262, 263,
348, 354, 361
Электростатический потенциал 77
Элементарная группа 182, 212
Элементарные частицы материи
(см. также электрон) 353, 374
Энергии-импульса закон
(в рамках специальной теории
относительности:
1. дифференциальный) 199, 248,
260, 269;
(2. интегральный) 249, 258;
(в рамках общей теории
относительности:
1. дифференциальный) 295, 344, 394;
(2. интегральный) 345, 350, 353, 394
Энергии-импульса тензор, 199
(сравн. Энергии плотность)
—, несжимаемой жидкости 263, 331
—, в случае кинетической и
потенциальной энергии 248
Энергии поток 194, 199, 259
Энергии принцип сохранения 252
Энергия 252,353;
(световой волны) 258;
(инерция энергии) 253
(гравитирующее действие) 291
(полная энергия системы) 344
Энергия поля (см. Плотность энергии)
Этвеша опыт 278
Эфир (как субстанциальная
среда) 191,206;
(в более широком смысле) 373, 379
Эфирная геометрия 383

Приложения реоколле&ии

Эта страница пуста

НреЬисловия ЗГ.ЗВеиля 1
Из предисловия автора к первому изданию
Теория относительности Эйнштейна подняла наши представления о
строении космоса на новую ступень. Будто рухнула стена, отделявшая нас
от Истины, и перед нашим познавательным взором открылись такие дали и
глубины, о которых мы даже не догадывались. Это подвело нас намного
ближе к пониманию плана, который лежит в основании всех физических
событий.
Хотя совсем недавно появилась целая серия более или менее
популярных введений в общую теорию относительности, ее систематическое
изложение отсутствует. Поэтому я счел нужным опубликовать следующие лекции,
которые я читал в летнем семестре 1917 г. в Цюрихской высшей технической
школе. В то же время я хотел показать на примере этой большой темы
взаимное проникновение философской, математической и физической
мысли, что дорого моему сердцу. Это могло быть сделано только при
систематическом построении теории, начиная с основ, и при сосредоточении
внимания лишь на принципах. Но я не смог выполнить этого: математик
возобладал над философом.
Теоретический багаж, требуемый от читателя вначале, минимален. Не
только специальная теория относительности, представленная
исчерпывающе, но даже теория Максвелла и аналитическая геометрия, развиты в своих
главных частях. Это было частью общей схемы. Введение в тензорный
анализ, с помощью которого только и возможно адекватно выразить
рассматриваемое физическое знание, занимает относительно много места.
Поэтому есть надежда, что книгу найдут приемлемой для того, чтобы лучше
ознакомить физиков с этим математическим инструментом, и что она
послужит учебником для студентов и сделает их восприимчивыми к новым идеям.
фибншлц в Шекленбурае
Яасха, 1918
ЗГерман 5$еилъ
1) Предисловия Г.Вейля к первому, третьему и четвертому изданиям сделаны по
первому американскому изданию книги, просмотренному Г.Вейлем: H.Weyl, Space-
Time-Materie, Dover Publ., N. Υ., 1952.

ЯреЬисловие к третьему изЬанию
Хотя эта книга предлагает плоды знания в весьма «тугоплавкой»
оболочке, мне было приятно узнать, что для некоторых она стала источником
утешения в трудные времена. Взглянуть на звезды из руин нашей тяжелой
жизни — значит признать неразрушимый мир законов, укрепить веру в
разум, осознать «мировую гармонию», которая охватывает все явления и
которая никогда не была и никогда не будет нарушена.
В этом третьем издании книги я попытался раскрыть более точный
смысл этой гармонии. Тогда как второе издание было перепечаткой первого,
теперь я предпринял основательную переработку книги, которая в
наибольшей степени затронула главы II и IV. Открытие Леви-Чивитой (Levi-Civita)
в 1917 г. концепции бесконечно малого параллельного переноса побудило
заново перестроить математические основания римановой геометрии.
Развитие чистой инфинитезимальной геометрии в главе II, в которой каждый шаг
следует вполне естественно, ясно и необходимо из предыдущего, как я
полагаю, является по существу конечным результатом этого исследования.
Несколько недостатков, которые содержались в моем первом изложении этой
геометрии в Mathematische Zeitschrift (Bd.2, 1918), теперь устранены. Глава
IV, посвященная в основном эйнштейновской теории гравитации, в связи с
появлением в настоящее время ряда важных работ, в особенности тех,
которые относятся к закону сохранения энергии-импульса, была подвергнута
очень тщательному пересмотру. Более того, эта глава была дополнена новой
теорией автора, которая приводит к физическим выводам, последовательно
вытекающим из расширения основ геометрии, выходящих за пределы
римановой геометрии так, как это показано в главе II, и представляет собой
попытку вывести из мировой геометрии не только гравитационные, но и
электромагнитные явления. Даже если считать, что эта теория находится
пока только в младенческом состоянии, она как я убежден, она содержит в
себе не меньше истины, чем эйнштейновская теория гравитации,
справедливость которой абсолютна или, что более вероятно, ограничена квантовой
теорией.
Я хочу поблагодарить г-на Вайнштейна (Weinstein) за его помощь в
чтении корректур.
Герман ЗВейлъ
Зкла Яоццоли, вблизи СамеЬана (Швейцария)
Зворст 1919

ЯреЬисловие к четвертому изЬанию
В этом издании книга в целом сохранила свою общую форму, но имеется
некоторое число небольших изменений и дополнений, наиболее важными из
которых являются: (1) Параграф, добавленный к главе II, в котором
проблема пространства сформулирована с точки зрения теории групп; мы
пытаемся прийти к пониманию внутренней необходимости и единственности
пифагорейской пространственной метрики, основанной на квадратичной
дифференциальной форме. (2) Мы показываем, что причиной того, что
Эйнштейн с неизбежностью приходит к однозначно определенным
гравитационным уравнениям, является то, что скаляр кривизны — единственный
инвариант, имеющий определенный характер в римановом пространстве. (3)
В главе IV рассматриваются новейшие экспериментальные исследования,
связанные с общей теорией относительности, в частности, отклонение
световых лучей гравитационным полем Солнца, подтвержденное во время
солнечного затмения 29 мая 1919 г.; эти результаты вызвали большой и
всесторонний интерес к теории. (4) Со взглядом Ми (Mie) на материю контрастирует
другой (см., в частности, §32 и §36), в соответствии с которым материя есть
предельная сингулярность поля, но заряды и массы суть силовые потоки в
поле. Это вызывает новое и более осторожное отношение ко всей проблеме
материи.
Должен поблагодарить разных известных и неизвестных читателей за
указание желательных изменений в тексте, а также профессора Нильсена
(Nielsen) (в Бреслау) за то, что он любезно прочитал корректуру книги.
Щюрих, ноябрь 1920.
Герман ЗВеиль

ЯреЬисловие к первому американскому изЬанию
Это перевод 4-го издания «Raum, Zeit, Materie», опубликованного в
1921 г. Теория относительности, как она изложена в этой книге, имеет дело
с пространственно-временным аспектом классической физики. Таким
образом, на содержание книги сравнительно мало повлияло бурное развитие
квантовой физики за последние три десятилетия. Этот факт, помимо
читательского спроса, может оправдать ее переиздание после того, как прошло
столько времени. Конечно, если бы автор должен был переписать эту книгу
сегодня, он бы принял во внимание определенные события, изменившие
ситуацию за прошедшие годы. Я отмечу три таких пункта.
(1) Принцип общей относительности вылился в итоге в новую теорию
гравитационного поля. Хотя с этим принципом нетрудно было согласовать
также максвелловские уравнения электромагнитного поля, этого оказалось
недостаточно для достижения главной цели классической полевой физики:
единой теории поля, в которой все силы природы выводились бы из одной
общей структуры мира и одного однозначно определенного закона действия.
В последних двух из 36 разделов моей книги описывается попытка достичь
этой цели с помощью нового принципа, который я назвал калибровочной
инвариантностью (Eichinvarianz, gauge invariance). Эта попытка не удалась.
Как мы знаем теперь, принцип калибровочной инвариантности реализуется
в природе; однако он связывает электромагнитные потенциалы Гни не с
эйнштейновскими гравитационными потенциалами gtk, как я предполагал, а
с четырьмя компонентами волнового поля ψ, посредством которого Шредин-
гер и Дирак научили нас представлять электрон. Об этом для сравнения
можно прочитать в моей книге «Gruppentheorie und quantenmechanik»
(Leipzig, 1928, 2-е издание 1931), статье «Electron und Gravitation» (Ze-
itschr. f. Physik, 1929, 56, р.ЗЗО) и моей Роузболловской лекции «Geometry
and Physics» (Naturwissenschaften, 1931, 19, pp.49 —58) . Конечно, никто
не мог этого предполагать до того, как «электронное поле» ψ было открыто
квантовой механикой! После этого, однако, единая теория поля, как мне
кажется, должна была бы включить в себя как минимум эти три поля:
электромагнитное, гравитационное и электронное. В конечном счете
волновые поля других элементарных частиц предстоит также включить в эту
теорию — если только квантовая физика не преуспеет в интерпретации их
всех как различных квантовых состояний одной частицы.
(2) Между тем уже возникло некоторое количество единых теорий поля.
Все они основаны на математических умозрениях, и, насколько я могу
судить, ни одна из них не имела заметного успеха. Пятимерная теория
1 )Русский перевод этих работ см.: Г.Вейль. Теория групп и квантовая механика,
пер. с англ. изд. 1931 г. Б.И.Галаева и С.Г.Шеховцова, под ред. Д.П.Желобснко, М.,
Наука, 1986 (Б-ка теор. физики); Электрон и гравитация, пер. С.П.Демушкина, в
кн.: Г.Вейль. Математика. Теоретическая физика. Избранные труды, М., Наука, 1984,
(Классики науки), с. 198-218; Геометрия и физика, пер. Ю.А.Данилова, в кн.:
Г.Вейль, Математическое мышление, сб. работ, М., Наука, 1989, с.194 —212.

Предисловие к первому американскому изданию 427
Калуцы (Kaluza), в частности в форме проективной теории относительности,
была исследована и развита несколькими авторами. В самых последних
работах Шредингер и Эйнштейн пытаются сочетать идею Эддингтона об
аффинной теории поля с понижением требования симметрии по отношению
к метрическому тензору gik и компонентам П*/ аффинной связности. Из
обширной литературы я отмечу здесь только: Е. Schrödinger, «The Final
Affine Field Laws» [Proc. Roy. Irish Ас. (А) 51, pp.163-171, 205-216; 52,
pp.l—9 (1947/48)]; A. Einstein, «The meaning of relativity», 3-rd ed.,
Princeton, N.J., 1949, Appendix II; анонсированную Макмилланом книгу
Шредингера «Space-time strukture» и мою лекцию «50 Jahre
Relativitätstheorie» на первом послевоенном собрании Gessellschaft deutscher Naturforscher
und Aerzte (Мюнхен, октябрь 1950, вскоре должно быть опубликовано) .
Еще одно неспекулятивное направление заслуживает упоминания — это
эйнштейновский смешанный аффинно-метрический подход, при котором как
gik, так и Tiki рассматриваются как независимо варьируемые величины:
Einstein, Sitzungsber. Preuß. Akad. Wissensch. 1925, p.414 —419; H. Weyl,
Phys. Review, 1950, 77, pp.699-7012).
(3) Новый этап в развитии теории относительности начался после 1925
г. и был связан с ее проникновением в квантовую физику. Первым большим
успехом были открытые Дираком квантово-механические уравнения
электрона, с которыми в наши физические теории вошли, кроме векторов и
тензоров, спиноры, являющиеся новым типом величин. См. книгу Дирака
4The principles of quantum mechanics», 3-rd ed., Oxford, Clarendon Press,
1947 . Общерелятивистская формулировка этих уравнений не
представляла серьезных трудностей. Значительно более серьезные трудности возникли
тогда, когда перешли от одного электрона или протона к взаимодействию
между неопределенным количеством таких частиц. Несмотря на несколько
крупных достижений, окончательного решения этой проблемы еще не видно,
и она вполне может потребовать глубокого изменения основ квантовой
механики, которое объяснит таким же фундаментальным образом
элементарный электрический заряд еу как теория относительности и ныне
существующая квантовая механика объясняют с и Н.
Sftopux, октябрь 1950. Герман ЗВейль
1)См. русский перевод этих работ: А.Эйнштейн, Обобщение теории
относительности. Приложение II к четвертому изданию работы «Сущность теории
относительности», в кн.: Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов. В четырех томах. Т.Н.
М.: Наука, 1966. С.762-796 (Классики науки). Э. Шредингер, Структура
пространства-времени, пер. с англ. А.В.Радюшкина, в кн.: Э. Шредингер,
Пространственно-временная структура Вселенной, М.: Наука, 1986, с.9—132 (Б-ка
теорет. физики).
2) Русский перевод см.: А.Эйнштейн, Единая полевая теория тяготения и
электричества, в кн.: Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов. В четырех
томах. Т.Н. М.: Наука, 1966. С.171-177 (Классики науки).
3*)Я.А.М.Дирак, Принципы квантовой механики; пер. с 4-го англ. изд.
Ю.Н.Демкова и Г.Ф.Друкарсва под ред. В.А.Фока, М.: Физматгиз, 1960; 2-е изд.,
М.: Наука, 1979 (Б-ка теорет. физики).

Альберт Эйнштейн
рецензия на кни&р Германа ЗБгйля «Йространство, время, материя»*'
Отдельные части этой книги невольно хочется перечитывать вновь и
вновь, ибо каждая ее страница написана необычайно уверенной рукой
мастера, досконально изучившего свое дело. Замечательно, что новой
областью науки занялся столь выдающийся математик. Он сумел слить воедино
математическую строгость и наглядность. Физик сможет ознакомиться по
его книге с основами геометрии и теории инвариантов, а математик—с
основами теории электричества и гравитации.
Автор исходит из аффинной геометрии, основанной на понятии
параллельного переноса. Именно из этого понятия выросли понятия вектора и
тензора. Вводя фундаментальное понятие метрики (скалярного
произведения двух векторов), он приходит к евклидовой геометрии. Тензорное
исчисление очень удачно излагается на примерах механики и максвелловс-
кой электродинамики, причем последняя излагается особенно изящно и
систематично (первая глава).
Вторая глава представляет собой введение в абсолютное
дифференциальное исчисление, т.е. в риманову геометрию. Здесь особенно поражает то,
как в руках Вейля самые сложные вещи становятся простыми и понятными.
Сначала рассматриваются обе «неевклидовы* геометрии, а затем—гауссова
теория поверхностей и ее обобщение данное Риманом на случай многомерных
многообразий, которое и составляет формальный базис общей теории
относительности. При этом особо отмечаются успехи, достигнутые в последнее
время, которыми мы обязаны исследованиям Леви-Чивиты, Вейля и Гессен-
берга римановского тензора кривизны.
После того, как читатель полностью овладел формальным аппаратом,
излагается специальная (в третьей главе) и общая (в четвертой главе) теория
относительности, причем специальная на 59, а общая—на 54 страницах.
Здесь особенно наглядно видно, что Вейль не только мастерски владеет
математической формой, но и способен глубоко проникать в физическое
существо задачи.
Особые заслуги Вейля связаны с интегрированием уравнений
гравитационного поля. Содержание последних параграфов показывает, насколько
ясно и просто может решать задачу прирожденный математик. Каждому, кто
*)Besprechung: Hennann Weiß. Raum—Zeit—Ma tene. Vorlesungen über
allgemeinen Relativitätstheorie. Berlin, Julius Springer, 1918. Naturwiss., 1918, 6. Jahrgang, 373.
Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов. В четырех томах. Т.IV. М.: Наука,
1967. С.42-43.

429
пожелает сам поработать в этой области, рецензируемая книга окажет
неоценимую услугу, не говоря уже о той радости, которую доставит ее
изучение.
Для полноты следует упомянуть, что я не совсем согласен с точкой
зрения автора по породу смысла закона сохранения энергии, а также по
вопросу о соотношении между утверждениями теоретической физики и
действительностью. Кроме того, я хотел бы, чтобы во втором издании был
более отчетливо показан физический смысл расстояния между двумя
точками (как непосредственного результата измерения с помощью масштабных
линеек и часов). Это позволило бы достичь большей полноты изложения с
точки зрения физика. Книга предполагает у читателя способность к точному
мышлению, но не предполагает никакой особой подготовки. Труд,
затраченный на прочтение этой книги, окупится с лихвой, и вряд ли найдется
кто-нибудь, кто не почерпнет для себя из нее хоть что-нибудь новое.

В.П.Визгни
Яошсловие
1. Шедевр научной литературы
Именно так оценил настоящую книгу современный японский физик-
теоретик Р.Утияма, сделавший немало для развития концепции
калибровочных полей, у истоков которой стоял один из ее основоположников Г.Вейль .
Со времени выхода в свет 1-го ее издания прошло без малого 80 лет, но она
и по сей день в арсенале теоретиков вообще и специалистов по теории
относительности и гравитации в особенности. Наряду с итоговыми трудами
по теории относительности, принадлежащими А.Эйнштейну, В.Паули,
А.С.Эддингтону и написанными по горячим следам ее драматического
завершения, эта книга Вейля относится бесспорно к подлинной
«релятивистской классике» и, вместе с тем, является, по-видимому, наиболее блестящей
и знаменитой в ряду его многочисленных книг (в том числе и переведенных
на русский язык — см. библиографию работ Г.Вейля). Так что отсутствие
«Пространства, времени, материи» на русском языке — значительный и
досадный пробел, особенно на фоне переводной релятивистской классики
(к которой, кроме названных трудов Эйнштейна, Паули, Эддингтона, можно
отнести более поздние книги Р.Толмена, К.Мёллера, Э.Шредингера,
П.Бергмана и др.).
Уникальность и замечательное своеобразие вейлевского трактата в том,
что его автору удалось весьма гармонично соединить в нем систематичность
учебного изложения с оригинальностью, насыщенностью новыми научными
результатами и нацеленностью на обсуждение трудностей только что
возникшей сложнейшей теории. Поразительным образом в книге сфокусировались
глубокий анализ анализ физических основ теории, достаточно полная и
строгая разработка ее математических аспектов и пристальное внимание к
философско-методологической проблематике. Сам Вейль считал, что этот
синтез не удался ему: в предисловии к 1-му изданию он написал о том, что
в нем в этой книге «математик возобладал над философом». Добавим к тому
же, что «Пространство, время, материя» в свернутой и
концептуализированной форме содержит историю релятивистских идей, соединяя в себе черты
классического источника и, одновременно, одного из первых глубоких
анализов исторических и философских аспектов релятивизма.
За пять лет, с 1918 г. по 1923 г. книга Вейля выдержала пять изданий
и заслужила репутацию научного бестселлера [2, с. 193], что свидетельствует
об ее выдающихся литературных достоинствах. Ниже приводится рецензия
*) «Глубоко содержательную, прекрасно написанную, всемирно известную книгу
Вейля по достоинству можно назвать шедевром» [1, с.98—99].

Приложения редколлегии 431
Эйнштейна на 1-е издание книги. Оценка основоположника теории
относительности чрезвычайно высока. Другой классик релятивизма, А.С.Эддинг-
тон, всегда подчеркивал то огромное влияние, которое оказала на него книга
Вейля [3, с. 10]; ее, кстати говоря, он считал «самым полным трактатом по
математической теории» относительности [4, с.200].
В знаменитой книге В.Паули по теории относительности [5] содержится
около 30 ссылок на трактат «Пространство, время, материя». В середине
60-х гг. известный специалист по теории относительности и гравитации
Дж. Андерсон так писал о книге Вейля: «Эта книга до сих пор является одной
из фундаментальнейших монографий в области математической физики и
содержит исключительно глубокий анализ теории относительности и
геометрии, несмотря на то, что 1-е ее издание появилось в 1918 г.» [6, с. 106].
В.Гейзенберг вспоминал, что книга Вейля сильно повлияла на его
«физико-математический выбор», хотя математик Ф. фон Линдеман, узнав
об этом, сказал ему, что он уже «погиб для математики» [7, с. 149—150] \
Немало восхищенных и добрых слов о Вейле и его книге было сказано и
отечественными релятивистами В.К.Фредериксом, А.А.Фридманом,
В.А.Фоком и др.
Вместе с тем, некоторые разделы книги вызывали критику
релятивистов-современников. В наибольшей степени это касалось единой
теории поля Вейля, которая была включена в книгу, начиная с третьего
издания. Эйнштейн в упомянутой рецензии отмечал свое частичное
несогласие с вейлевским пониманием соотношения физики и реальности, с его
трактовкой законов сохранения энергии-импульса в общей теории
относительности; считал недостаточным операционально-измерительное
обоснование римановой метрики. В последующих изданиях Вейль частично или
полностью устранил эти недостатки, Последний вариант своей единой
теории Вейля (1923 г.), существенно улучшенный по сравнению с вариантом
1918 г., сыграв важную роль в эволюции единых теорий поля, так и не
приобрел статуса полноценной физической теории. При этом теория Вейля
имела существенное значение в генезисе калибровочной концепции поля (см.
об этом помещенную ниже статью Ч.Н.Янга, а также книгу автора послесловия
[8].
Перечисленные достоинства вейлевской книги не означают, что все в
ней просто и прозрачно. «В ней... встречаются трудные для понимания
места, — писал Утияма. — Даже такой великий физик, как Гейзенберг...,
говорил, что, когда он в старших классах школы читал книгу Вейля, ее
непонятные места сильнее всего врезались ему в память». «Пусть это
воспоминание Гейзенберга, — заключал японский теоретик, — послужит
утешением читателю, если он обнаружит, что понял в книге Вейля от силы
половину» [1, с. 100].
*)Спустя некоторое время Паули разъяснил Гейзенбергу столь странный вывод
математика: «Линдеман-фанатик математической строгости. Все естествознание,
включая математическую физику, для него туманная болтовня. Вейль действительно что-то
понимает в теории относительности, а потому автоматически выбывает для Линдемана
из рядов серьезных математиков» [7, с. 158].

432
В.П.Визгин. Послесловие
2. Г.Вейль: геттингенская традиция математической физики
и встречи с философией
Вейль был питомцем Гетгингенского университета, который он закончил в
1908 г. В этом же году он под руководством Д.Гильберта защитил
докторскую диссертацию по сингулярным интегральным уравнениям и затем
в течение ряда лет (до 1913 г.) он преподавал там в качестве приват-доцента.
Таким образом, как исследователь и преподаватель Вейль сформировался в
Геттингене под сильным влиянием его математических лидеров Ф.Клейна,
Д.Гильберта, Г. Минковского и др. Именно это тройка в первом десятилетии
XX в. олицетворяла знаменитую геттингенскую традицию математической
физики, восходящую к К.Ф.Гауссу, Б.Риману и П.Г.Лежену Дирихле
[9-11].
Главной особенностью этой традиции был глубокий интерес к
основаниям физических теорий и уверенность в плодотворности подключения к их
исследованию новейших методов и структур чистой математики. Как было
ранее отмечено Л.Пайнсоном, ключевым на этом пути было понятие
предустановленной гармонии между мирами физической реальности и
математических структур [9]. Об этом так или иначе и не раз писали в 1900— 1920-е
гг. и Минковский, и Ф.Клейн, и Гильберт, внесшие основополагающий
вклад в реализацию этой гармонии в области специальной и общей теории
относительности, а также квантовой механики [9, 11, 12, 13] .
Геттингенской традиции математической физики были свойственны
пристальное внимание не только к математическим структурам
фундаментальной физики, но и к проблемам аксиоматики физических теорий,
повышения их строгости и обоснованности, построения единой теории поля. Забегая
несколько вперед, подчеркнем, что увлеченность и теорией относительности,
и проблемой построения единой теории поля Вейль унаследовал от главного
из своих учителей Д.Гильберта. В этой связи особого внимания заслуживает
мнение учителя о книге ученика. Поводом высказать это мнение публично
стало выдвижение в 1926 г. геометрических работ и книги Вейля на премию
им. Н.И.Лобачевского. Конкурсная комиссия, в которую входили прежде
всего казанские геометры, обратилась к Гильберту за отзывом, и он дал его.
*)Об основных фактах биографии Г. Вейля и обзор его научного творчества —
см. [11, 17, 18].
**И спустя 25 лет Вейль продолжал придерживаться этой терминологии, отмечая
поразительное совпадение структуры квантово-механической реальности с теорией
операторов в гильбертовом пространстве: 4И вот произошло одно из тех событий,
непредсказуемых даже самым смелым воображением, которое могло бы вызвать
искушение поверить в предустановленную гармонию между физической природой и
математическим образом мышления (between physical nature and mathematical mind):
через 20 лет после исследований Гильберта (по спектральной теории операторов —
В.В.) квантовая механика обнаружила, что наблюдаемые величины физической
системы могут быть представлены линейными симметричными операторами в
гильбертовом пространстве и что собственные значения и собственные векторы того
оператора, который представляет собой энергию, являются энергетическими уровнями
и соответствующими стационарными квантовыми состояниями системы* [15, с.29].

Приложения редколлегии 433
Вот что говорилось в нем в частности: « Книга Вей ля "Пространство, время,
материя" (5-е изд) является значительным, выдающимся исследованием по
эйнштейновской теории гравитации, а именно исследования Вейля
примыкают к тому направлению эйнштейновской теории гравитации, которое было
развито мною на пути объединения теории тяготения Эйнштейна с
электродинамикой Ми» [31, с.66]. И хотя вопросы экспериментального
подтверждения и физической интерпретации теорий отходили у геттингенцев на
"второй план, упомянутые выше устремления способствовали их вовлечению
в эпистемологическую проблематику. Неслучайно в Геттингене работали и
были весьма популярны среди математиков и физиков основоположник
феноменологической философии Э.Гуссерль и неокантианец Л.Нельсон [11].
Активный интерес к философии и философии науки особенно был
поэтому весьма характерен для геттингенцев как старшего (Гильберт, Э.Ви-
херт, В.Фогт и др.), так младшего (Г.Вейль, М.Борн, Р.Курант и др.)
поколений. Рассказывая впоследствии о своей философской эволюции,
Вейль отмечал основные вехи на этом пути: сначала Кант, затем Мах и
Пуанкаре и после них переход к Гуссерлю [14]. Увлечение Гуссерлем
совпало по времени с увлечением теорией относительности, которой
интенсивно занимались Гильберт, Клейн и некоторые другие геттингенцы и после
смерти Минковского. Создание теории относительности и связанное с ней
учение о пространстве и времени Вейль считал образцом
феноменологического постижения сущности. Влияние Гуссерля весьма заметно и в книге
Вейля.**
К началу 20-х гг. его все больше привлекает «метафизический
идеализм» Фихте, «к которому в то время начала робко нащупывать пути
феноменология» и математико-философский интуиционизм Л.Брауэра,
которому в анализе оснований математики противостояла формально-
аксиоматическая концепция Гильберта. Следы фихтевского критицизма и
конструктивизма, а также интуиционистских идей об «исключении
чрезмерно произвольных элементов» и о континууме «как непрерывной среде
становления» [16, с.32, 78] можно увидеть и в «Пространстве, времени,
материи», особенно в той ее части, которая посвящена ключевому для единой
теории поля Вейля переходу от риманрвой к «чистой инфинитезимальной
геометрии» (см. §40 настоящей книги) [8].
3.Вклад в теорию относительности
Вторым (после Геттингена) центром жизни и творчества Вейля был
Цюрих, куда он переехал в 1913 г., приняв приглашение заведовать
кафедрой в Цюрихском политехническом институте. Там он встретился с
Эйнштейном, который вместе с М.Гроссманом разрабатывал основы общей теории
относительности. Непосредственное общение с творцом теории относительности
*) Стойкое увлечение Гуссерлем было связано и с женитьбой Вейля на ученице
Гуссерля Елене Джозеф (1913 г.): 4Вскоре я женился на студентке философского
факультета, которая была ученицей основателя феноменологии Эдмунда Гуссерля,
преподававшего в ту пору в Геттингене. Поэтому именно Гуссерль освободил меня от
позитивизма и возвратил к более широкому взгляду на мир* [14, с.46].

В.П.Визгин. Послесловие
434
и последующие дружба и переписка с ним (весной 1914 г. Эйнштейн переехал
в Берлин) послужили дополнительным импульсом к занятиям Вейля теорией
относительности. Отслужив в течение года в армии (в качестве солдата
гарнизонной службы), он вернулся в мае 1916 г. в Цюрих, где начал
разрабатывать и читать курс теории относительности, который и лег в основу
настоящей книги. Первый цикл исследований в области релятивистской
теории гравитации, результаты которых он включил в свои лекции,
суммирован в статье «К теории тяготения», поступившей в редакцию «Annalen der
Physik» в августе 1917 г. [19].
С этого времени вплоть до 1930 г. Вейль весьма интенсивно занимался
общей теорией относительности и ее обобщением и опубликовал более 20
научных работ в этой области. Большая часть полученных им (до 1923 г.)
результатов была включена в различные издания монографии
«Пространство, время, материя». Вполне в духе геттингенской традиции математической
физики Вейль тщательно изучал математическую структуру теории, особое
внимание уделял ее геометрической специфике, вариационной
формулировке, выводу уравнений движения и проблеме законов сохранения. Им было
получено точное решение уравнений гравитационного поля в статическом
аксиально-симметричном случае («решение Вейля»).
Вслед за Гильбертом он сделал попытку построить единую теорию
гравитационного и электромагнитного полей на более широкой, чем рима-
нова геометрия, геометрической основе — геометрии «подобной связности»
(«геометрии Вейля»). Эта модель стала своего рода образцом для всех
последующих попыток реализации «полевого идеала единства» (выражение
Гильберта). И хотя ни теория Вейля, ни все более поздние модели (Т.Ка-
луцы, Эддингтона, Эйнштейна и др.) не увенчались успехом, на этом пути
возник ряд понятий и формализмов, весьма важных для современной теории
поля (прежде всего, калибровочная симметрия и калибровочная концепция
поля). Об этом прекрасно сказано в публикуемой нами в Приложении статье
Янга (см. также [8, 1, 11]).
Подчеркнем, что приверженность Вейля геттингенской математической
традиции и то обстоятельство, что математик в нем конечно же преобладал
над физиком, никоим образом не означали пренебрежения его вопросами
физической интерпретации и концептуального анализа теории. Ю.Ю.Элерс,
обсуждая вклад Вейля в общую теорию относительности, справедливо
отмечает: «Кроме Эйнштейна, никто не сделал больше для концептуального
прояснения (conceptual clarification) общей теории относительности, чем
Герман Вейль» [20, р.84 —85] .
*)Мы здесь не ставим перед собой задачу подробно рассмотреть и оценить вклад
Вейля в общую теорию относительности. Частично эта задача решена в цитированной
работе Элерса, который выделяет в качестве главнейших следующие его достижения:
1. концептуальный анализ геометрической структуры теории и использование понятия
бесконечно малого параллельного переноса вектора как основы для построения как
римановой геометрии, так и геометрии Вейля; 2. теория измерений и операционально-
измерительное обоснование метрики; 3. обсуждение проблемы уравнений движения;
4. получение точных статических аксиально-симметричных решений уравнений
гравитации [20].

Приложения редколлегии 435
А.Зоммерфельд в предисловии к книге В.Паули по теории
относительности, сравнивая ее с книгой Вейля, не отрицал концептуально-физической
насыщенности последней, но считал, что она (книга Вейля) в большей
степени выражает взгляды самого Вейля, иногда не совпадающие с
эйнштейновскими, и что по «полноте анализа экспериментальных данных»
заметно уступает книге Паули [5, с.8]. Сам же Паули широко использовал
трактат Вейля, считая его примыкающим к релятивистской классике. Около
30 ссылок на него условно можно разбить на три группы: 1) математический
формализм общей теории относительности; 2) концептуальные, физические
аспекты теории; 3) вейлевское расширение римановой геометрии и единая
теория поля Вейля.
Большая часть ссылок относится к первой группе. Систематическое
развитие аппарата тензорных плотностей; бивекторов, тривекторов и
подобных им тензоров; концепции параллельного переноса векторов, аффинной
связности и применение этих концепций для определения геодезических
линий и развития теории кривизны; использование римановых нормальных
координат для определения основных тензорных величин; упрощение и
геометрическое истолкование ряда теорем тензорного анализа (например,
интегральных теорем Гаусса и Стокса; введение «свободных векторов» и
«аффинных тензоров» и т.п.) и др.
Также значительная часть ссылок касается концептуальных,
физических аспектов общей теории относительности. Это, прежде всего, проблема
измерения интервала и метрики посредством исследования лишь свойств
световых лучей; придание принципу общей ковариантности физического
смысла с помощью принципа эквивалентности; развитие вариационной
техники в простой и корректной форме для получения уравнений
гравитации, их точных решений (прежде всего шварцшильдовского) и законов
сохранения; упрощение получения ряда точных решений (для несжимаемого
жидкого шара, для заряженного шара); «решение Вейля» — для
статического аксиально-симметричного поля ; анализ решений де Ситтера для
пустого пространства и доказательство того, что оно представляет мир с
поверхностным распределением материи и т.д.
Наконец, это — круг вопросов, связанных с единой теорией гравитации
и электромагнетизма, основанной на геометрии Вейля. К нему примыкает и
общековариантная формулировка нелинейной электромагнитно-полевой
теории Ми, и введение тензора конформной кривизны (тензор Вейля), и
анализ принципа действия с квадратичной по этому тензору скалярной
плотностью и, соответственно, по левых уравнений 4-го порядка и т.д.
Таким образом, результаты, отнесенные здесь к первой и второй группе,
вошли в общерелятивистскую классику. Что касается вейлевской единой
теории поля, то ее постигла участь основных проектов геометро-полевого
синтеза физики. Несмотря на математическую глубину и развитие в рамках
*)М.Ньюмен отмечал также, что «нигде больше нельзя найти такого
досконального и точного описания центральных орбит, завершающегося строгими неравенствами
для наибольших и наименьших расстояний» [7, с.246], столь важного для разработки
общсрслятивисткой небесной механики.

436
В.П.Визгин. Послесловие
этих теорий отдельных перспективных физических концепций (например,
калибровочной идеологии), сами эти проекты так и не превратились в
нормальные теории. Сам Вейль в 1930 г. говорил, имея в виду все это
направление, начало которому было положено его единой теорией: «Все эти
геометрические выкрутасы (Lüftsprünge) оказались преждевременными...»
[21,с.208].
В этом, весьма беглом, анализе замечательной книги следовало бы
также хотя бы кратко рассмотреть ряд вопросов, имеющих к ней прямое
отношение. Мы здесь ограничимся только их перечислением и указанием
некоторых ссылок. Прежде всего, мы не коснулись вклада Вейля в
релятивистскую космологию, в частности в ее связь с физикой микромира на основе
факта «совпадения больших чисел», впервые отмеченного Вейлем [22].
Конечно, большего внимания заслуживал анализ философских
аспектов вейлевской книги в более широком контексте работ Вейля по философии
науки, особенно философских проблем теории относительности [23—27,
30]. На первом месте здесь стоит вопрос о влиянии гуссерлианской
феноменологии на исследования ученого [23, 24]. Новый материал для его изучения
дают недавно опубликованные четыре письма Гуссерля Вейлю [25, 26].
Отмечены нетривиальные параллели и пересечения эпистемологических
взглядов Вейля и Г.Райхенбаха на проблемы пространства, времени и теории
относительности [27].
Обычно историками математики подчеркиваются некоторые
результаты, содержащиеся в книге и относящиеся собственно к математике. Таким
хрестоматийным фрагментом ее является разработанная Вейлем
аксиоматика «-мерного евклидова пространства, в которой неопределимыми понятиями
являются «векторы» и «точки» [28]. К.Райх отметила значение книги Вейля
в систематическом развитии геометрии пространств аффинной связности,
римановой геометрии и тензорного исчисления [29].
В книге «Пространство, время, материя» Вейль в наибольшей мере
реализовал свою «страстную веру в единство знания» [30, р.375.],
добившись гармоничного сочетания в этой учебной монографии по теории
относительности концептуального рассмотрения оснований физики с точным и
элегантным математическим подходом и нетривиальным философским
взглядом. Кроме того, в книге воедино связаны достоинства
систематического учебника и блестящей научной прозы; ее можно считать и
концептуализированной историей релятивизма, а пять ее изданий (с 1918 по 1923 гг.)
— сами обозначают важный фрагмент истории общей теории
относительности и единых геометрических теорий поля.
Список литературы к послесловию
1. Р.Утияма. К чему пришла физика (от теории относительности к теории
калибровочных полей). М., 1986.
2. К.Рид. Гильберт. М., 1977,
3. А.С.Эддингтон. Пространство, время и тяготение. Одесса, 1923.
4. А.С.Эддингтон. Теория относительности. М.—Л., 1934.
5. В.Паули. Теория относительности. М., 1983 (1-е издание - 1947 г.).

Приложения редколлегии 437
6. Дж.Андерсон Риманова геометрия // Гравитация и теория относительности. Под
ред. Х.Цзю и В.Гоффмана. М., 1965, с.73-106.
7. В.Гейзенберг. Физика и философия. Часть и целое. М., 1989.
8. В.П.Визгин. Единые теории поля в 1-й трети XX в. М., 1985.
9. L.R.Pyenson. The young Einstein: the advent of relativity. Bristol etc. 1985.
10. D.E.Row. Klein, Hubert and the Göttingen mathematical tradition // Osiris, 1989,
v.2, N2, p.186-213.
11. S.Sigurdsson. Hermann Weyl, mathematics and physics, 1900—1927. Harvard
Ph.D.Dissertation. 1991.
12. В.П.Визгин. Эрлангенская программа и физика. Μ., 1975.
13. В.П.Визгин. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование, 1900 —
1915 гг.). М., 1981.
14. Г.Вейль. Познание и осмысление (воспоминания о пережитом) // Г.Вейль.
Математическое мышление. М., 1989, с.41—54.
15. Г.Вейль. Полвека математики. М., 1969.
16. Г.Вейль. О философии математики. М.—Л., 1934.
17. М.Ньюмен. Герман Вейль // Успехи матем. наук, 1976. т.31, в.4, с.239 —250.
18. К.Шевалле, А.Вейль. Герман Вейль // Г.Вейль. Избранные труды. Математика.
Теоретическая физика. М., 1984, с.413—433.
19. H.Weyl Zur Gravitationstheorie. // Ann. d.Rhys., 1917, Bd. 54, S. 117-145 (см.
также: Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1—4. Berlin etc. Spinger. 1968, Abh.29).
20J.Ehlers. Hermann Weyl's contributions to the general theory of relativity // Exact
sciences and their philosophical foundations. (Vorträge des Internationalen Hermann-
Weyl-Kongresses, Kiel, 1985). Ed. by W.Deppert, K.Hübner, A.Oberschelp, V.Wi-
edemann. Frankfurt am Main. Bern etc., 1988, p.83—105.
21. Г.Вейль. Геометрия и физика // Г.Вейль. Математическое мышление. М., 1989,
с.194-215.
22. Г.Е.Горелик. Совпадение больших чисел в космологии XX в. / / Там же,
с.378-385.
23. R.Hentschel. Interpretationen und Fehlinterpretationen der speziellen und
allgemeinen Relativitätstheorien durch Zeitgenossen Albert Einsteins. Basel etc. Birkhäuser,
1990.
24. A.Pester. Zur Entwicklung des methodologischen Bewusstseins in der Mathematik zu
Beginn des 20. Jahrhunderts (am Beispiel des Wirkens von H.Weyl)
Ph.D.Dissertation. Technische Universität Dresden. 1984.
25. D. van Dalen. Four letters from E.Husserl to H.Weyl // Husserl Studies, 1984,
v.l,p.l-12.
26. T. Tonietti. Four letters from E.Husserl to H.Weyl // Exact sciences and their
philosophical foundations... 1988, p.343—384.
27. T.A.Rykman. Weyl, Reichenbach and the epistemology of geometry // Stud. Hist.
Phil. Sei., 1994, v.25, N 6, p.831-870.
28. Б.А.Розенфельд, История неевклидовой геометрии, М., 1976.
29. K.Reich. Die Entwicklung des Tensorkalküls: vom absoluten Differentialkalkül zur
Relativitätstheorie. Basel etc. Birkhäuser, 1994.
30. J.A.Wheeler. H.Weyl and the unity of knowledge. // Amer. Scientist, 1986, v.74,
p.366-375.
31. D.Hilbert. Referat über die geometrischen Schriften und Abhandlungen H.Weyl's,
erstattet der Physiko-Mathematischen Gesellschaft an der Universität Kasan. //
Изв. физ.-мат. общества при Казан, ун-те, 1927, т.11, сер.З, с.66 —70.
JB.ß.JBmfcuH

В.П.Визгин
Примечания
Примечания к преЬисловию и ввеЬению
1 (на с. 10) (К предисловию в целом) Острота и интенсивность дискуссий по теории
относительности в начале 20-х гг. были беспрецедентны. Примерами таковых были
обсуждение теории, организованное «Рабочим объединением немецких
естествоиспытателей» в Берлине 24 августа 1920 г., и специальное заседание, посвященное теории в
рамках Бад-Наугеймской недели «Общества немецких естествоиспытателей и любителей
искусств» (19-25 сентября 1920 г.). На последнем состоялся весьма резкий обмен
мнениями между Эйнштейном и Ф.Ленардом, допустившим антисемитские выпады.
(См.: А.Пайс. Научная деятельность и жизнь А.Эйнштейна. М. 1989, §16.4). О
чрезвычайно обширной релятивистской литературе можно судить по весьма подробной
библиографии работ по теории относительности М.Лека, опубликованной через год после
выхода в свет книги Вейля (см.: M.Lecat. Bibliographie de la Relativitö. Brüssels, 1924).
Книги М.Борна и В.Паули, специально отмеченные Вейлем как лучшие, имеются в
русском переводе (М.Борн. Эйнштейновская теория относительности. М., 1964,
В.Паули. Теория относительности. М.—Л., 1947; дополненное издание—1983). Лекции
«Математический анализ проблемы пространства*· были изданы вначале на испанском
языке, а затем и по-немецки (H.Weyl. Mathematische Analyse des Raumproblems. Berlin,
1923). Оригинальная вейлевская концепция «ведущего поля», важность которой
подчеркнута в предисловии, особенно последовательно проводится в этом издании.
(на с. 11) «Моге geometrico* — выражение Декарта, означающее представление
той или иной области знания на аксиоматической основе, подобно тому, как это со
времени Евклида было сделано в геметрии (см., например: P.Weingartner. The ideal
of the mathematization of all sciences and of «more geometrico* in Descartes and Leibniz
// Nature mathematized. Ed. by W.Shea. Dordrecht etc., 1983, p.151-195.
(на с. 12) Конечно, Эйнштейн был лидером релятивистской революции, но
полностью (оговорка «фактически* не спасает положения) сводить все дело к «мысли
Эйнштейна* было бы явным преувеличением. Основополагающий вклад в эту
революцию внесли десятки экспериментаторов и теоретиков, среди которых Г.Герц, Х.А.Лоренц,
Дж.Лармор, О.Хевисайд, А.Майкельсон, А.Пуанкаре, Г.Минковский, М.Планк,
Л.Этвеш, Э.Мах, Д.Гильберт, Ф.Клейн, А.Эддингтон (да и сам Г.Вейль) и другие.
4 (на с. 15) (к прим. Вейля) Вейль ссылается здесь на одну из основных работ
Э.Гуссерля «Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии*
(«Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie*, 1913;
Husserliana, Gesammelte Werke, B.I, Haag, 1950, c.139 и дальше), принимая
решающие принципы феноменологии, а именно: конституирование предметов в сознании,
особенно теоретическом, различия натуралистической и натурфилософских
установок, неприемлемость эмпиристской теории абстракции, введение т.н. идеирующей
абстракции (усмотрение идеальной сущности), введение предельных идей (Grenzidee)
как некоторых идеалов, выполняющих определенную регулятивную функцию
(примечание А.П.Огурцова).
( на с. 16) Русское слово «действительность* также происходит от глагола
«действовать*.
Примечания к йлаве I
(на с.26). В соответствие с интуиционистским подходом к основаниям
математики, который начинает с конца 10-х гг. все больше захватывать Вейля, формально-
аксиоматические построения должны опираться на фундамент математической
интуиции (см., например, : Б.В.Бирюков. «Свет не вне меня, а во мне* //В кн.
Г.Вейль. Математическое мышление. М., 1989, с.338—359).
7 (на с.27). Здесь излагается знаменитая вейлевская аксиоматика «-мерных
аффинного и евклидового пространств геометрии, которая считается важным геомет-

В.П.Визгин. Примечания
439
рическим результатом Вейля (см.: Б.А.Розенфельд. История неевклидовой геометрии.
М., 1976, с.244-246).
(на с.40). Имеется в виду знако-определенность формы,
(на с.58). Согласно А.Зоммерфельду, «часто употребляемые в учебниках
4правило пловца» и «правило большого пальца» являются ненужной
специализированной формой общего «правила винта», связывающего направление нормали к
поверхности с направление обхода по контуру, ограничивающему эту поверхность»
(А.Зоммерфельд. Электродинамика. М., 1958, с.32—33).
10 (на с.69) abs—означает здесь символ абсолютной величины.
11 (на с.73). Символ V был введен В.Р.Гамильтоном в 1846 г., а его название
«набла», что означает остов ассирийской арфы, похожий по форме на V, было
придумано Р.Смитом, другом Дж.Максвелла и П.Тэта, которые использовали его в
60-е —70-е гг. в разговорах и переписке (см. Н.В.Александрова. Из истории
векторного исчисления. М., 1992, с.53).
12 (на с.74) Об истории возникновения терминов rot, curl, div и т.д.—см.
цитированную выше книгу Н.В.Александровой, а также: Crowe M.A. Ahistoryofvektor
analysis. London, 1967.
13 (к с.82) Введение понятия тензора В.Фойггом (1898) было связано с его
кристаллографическими исследованиями—см.: UReich. Die Entwicklung des Tensorkalküls: vom absoluten
Differentialkalkül zur Relativitätstheorie. Basel, Boston, Berlin. Birkhäuser Verlag, 1994, §42.
14 (na c.59) О принципе непрерывности Лейбница—см.: Б.А.Розенфельд.
Аналитический принцип непрерывности // Истор. - матем. исслед. 1965, вып. 16,
с.273-274.
(на с.80). В начальные условия в механике входят не только начальные
скорости материальных точек, но и их начальные положения.
(на с.82). Матрицу, которой является эта «квадратичная схема», принято
обозначать круглыми скобками, в отличие от ее определителя: det(fl,*) = |од|.
Примечания к Ълш 33
(на с.95). Об истории неевклидовой геометрии—см.: Б.А.Розенфельд.
История неевклидовой геометрии. М., 1976 (исправленное и дополненное издание этой
книги на английском языке было опубликовано издательством «Springer» в 1988 г.:
В. А. Rosenfeld. Α history of non-eueidean geometry. N. Υ. etc., 1988).
18 (на с.97). Т.е. в конце XVIII-начале XIX вв.
(на с.98). Правильная дата рождения Н.И.Лобачевского—1 декабря 1792 г.,
была обоснована академиком А.А.Андроновым в 1956 г. (см. А.А.Андронов. Где и
когда родился Н.И.Лобачевский // Истор.-матем. исслед., 1956, вып.IX, с.9 —48).
(на с. 102) Используемый здесь Вейлем термин «инфинитезимальная*
эквивалентен более современному термину «дифференциальная».
1 (на с. 103). О максвелловской конструкции цветового треугольника и максвел-
ловской теории цветов —см.: Е.И.Погребысская. Теория цветов в исследованиях
Максвелла // Дж.К.Максвелл. Статьи и речи. М., 1968, с.387-391.
(на с.114). Точка зрения Вейля в вопросе о возможности экспериментальной
проверки геометрической структуры физического пространства близка к позиции
Эйнштейна (см., например: А.Эйнштейн. Замечания к статьям // Собр. научн.,
трудов. М., 1967, T.IV, с.304-305).
23 \hl]
(на с.118). Впервые обозначения Г}»/ для символов Кристоффеля < .
зовал Эйнштейн в своих работах по общей теории относительности 1915—1916 гг., а
обозначение Π,/ι/ для \ ввел сам Вейль в 1-м издании настоящей книги, (см. :
K.Reich, цитир. выше книгу, с.232).
4 (на с. 128). Буквальный перевод вейлевской «reine Nahegeometrie» — «чистая
близко (или ближне) — геометрия» достаточно косноязычен. Существо дела вполне
исполь-

440 Приложения редколлегии
схватывалось бы выражением 4полностью инфинитезимальная геометрия», который
также использовался Вейлем («reine Infinitesimalgeometrie»—см. ниже). Кстати
говоря, концовка этого параграфа содержит, фактически, концептуальное обоснование
перехода от римановой геометрии к геометрии подобной связности, лежащей в основе
вейлевской единой теории гравитации и электромагнетизма (см. §40). По Вейлю, именно
геометоия подобной связности и есть «полностью инфинитезимальная геометрия».
' (на с. 129). Так, среди пророческих высказываний Клиффорда имеется
следующее: «... Изменение кривизны пространства и есть то, что реально происходит
в явлении, которое мы называем движением материи, будь она весомая или эфирная
и т.д.» (см. В.К.Клиффорд. О пространственной теории материи (резюме). //В
кн.: А.Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. М., 1979, с.36—37).
Цитированная работа относится к 1876 г. Вейль далее разъясняет глубокое родство идеи
Римана и Клиффорда с геометрической концепцией гравитации Эйнштейна.
(на с. 130). Цитированный отрывок из доклада Римана дан в переводе
В.Л.Гончарова —см.: Б.Риман. О гипотезах, лежащих в основании геометрии //В
кн.: Б.Риман. Сочинения. М.-Л., 1948, с.291 — 292 (см. также, Сб. «Об основаниях
геометрии». М., 1956, с.323—324). Вейлю же принадлежит весьма глубокий
комментарий к этому докладу Римана (см. Б.Риман. Сочинения..., с.510—526;
«Обоснованиях геометрии...», с.325 —341). Этот комментарий был написан Вейлем в 1919 г. и
заключал знаменитый мемуар Римана, выпущенный отдельным изданием в 1919 г. и
затем —вторым изданием в 1923 г.
7 (на с.141). Разделение величин на интенсивностные, «силовые»
(«Intensitätsgrößen») и экстенсивностные, «количественные» («Quantitätsgrößen») восходит к
Г.Ми. Согласно А.Зоммерфельду, который придавал важное значение этому
разделению, «первые имеют характер силы и могут рассматриваться как причина
происшедшего события; вторые являются количествами, описывающими действие первых»
(А.Зоммерфельд. Понятие функции в физике. В кн.: А.Зоммерфельд. Пути познания
в физике. М., 1973, с. 125; см. также: А.Зоммерфельд. Электродинамика. М., 1958,
с.29). Идея связать интенсивностные величины с тензорами, а экстенсивностные—с
тензорными плотностями, принадлежит Г.Вейлю.
(на с.149). Об этом см. главу IV. Имея в виду компоненты аффинной связности
Γμν, Эйнштейн писал в своей первой обобщающей работе по общей теории относительности
(1916): «... эти величины обусловливают отклонение движения от прямолинейного и
равномерного. Они являются компонентами гравитационного поля» (см. —А.Эйнштейн.
Основы общей теории относительности // Собр. научн. трудов, т.1, с.485).
(на с. 152). Здесь доказывается, фактически, что поворот вектора при его
параллельном переносе по некоторому замкнутому контуру определяется тензором
кривизны, и указывается способ вычисления этого тензора через компоненты
аффинной связности Γ$μ и их производные по х*. Аналогичное, но несколько упрощенное
изложение имеется, например в книге: А.В.Берков, Е.Д.Жижин, И.Ю.Кобзарев.
Теория тяготения Эйнштейна и ее экспериментальные следствия. М., 1981, §10.
(на с. 154). В этом параграфе Вейль систематически излагает геометрию
подобной связности, которая была им развита первоначально в 1918 г. с целью
геометрического объединения гравитационного и электромагнитного полей (см. §40).
(на с. 169) Недаром Вейль здесь слово «объективные» ставит в кавычки. Строго
говоря, с философской точки зрения, и инвариантные, и зависящие от системы
координат физические величины в равной степени объективны. Но инвариантные
величины в значительно большей степени выражают сущностные характеристики
физических систем и в этом смысле именно они в наибольшей степени относятся к
понятию «физическая реальность» (о соотношении этих понятий-см.: М.Борн.
Физическая реальность //В кн.: М.Борн. Физика в жизни моего поколения. М., 1963,
с.267 —284; см. также: И.С.Алексеев. Симметрия, инвариантность, реальность //В
кн.: Принцип симметрии. Отв. ред. Б.М.Кедров, Н.Ф.Овчинников. М., 1978, с.47—88).

В.П.Визгин. Примечания 44J[
32 (на с. 170) В этом, как мы увидим (см. §40), заключается основной смысл
единой теории поля Вейля.
(на с. 174) Идея самоочевидности математического, находящаяся на стыке
гуссерлианской феноменологической философии и брауэровского интуиционизма,
была на рубеже 20-х гг. весьма близка Вейлю (см. прим.6).
(на с. 178) Весь круг вопросов, имеющих отношение к физической реальности,
принадлежит, согласно Канту, в понимании Вейля, к сфере синтетических суждений.
«Математическая геометрия,— писал Р.Карнап, —априорна (и, добавим, в основном
аналитична-В.Ю, физическая геометрия синтетична» (Р.Карнап. Философские
основания физики. М., 1971, с.247).
35 (на с. 180) Этот, последний, абзац Вейль считал кратким и точным выражением
гуссерлианского, феноменологического взгляда на проблему физического
пространства. Он его включил в свой знаменитый лозанский доклад 1954 г. (см. Г.Вейль.
Познание и осмысление (воспоминание о пережитом) //В кн.: Г.Вейль.
Математическое мышление. М., 1989, с.47). Цитату из своей книги он заключил следующими
словами: «Такого же взгляда на соотношение познания и осмысления я
придерживаюсь, по сути дела, и теперь (т.е. в 1954 г.— В.В.). Одним из наиболее убедительных
и величественных подтверждений его правильности является создание Эйнштейном —с
помощью метода, сочетающего опыт, основанный на эксперименте, сущностный анализ
и математическую конструкцию,—общей теории относительности и т.д.* (там же).
Примечания к олаве 333
36 (на с. 181) Этим сопоставлением (Эйнштейна с Коперником) примерно десятью
годами ранее был задан масштаб релятивистской революции. До Вейля это сравнение
использовали М.Планк, В.Оствальд, М.Лауэ, лидеры российского физического
общества Н.А.Умов, О.Д.Хвольсон и др.
37 (на с. 185) Более употребительным является выражение «абсолютная
одновременность» (см., например, Г.Рейхенбах. Философия пространства и времени. М., 1985, §20).
(на с. 187) В настоящее время чаще эта группа называется группой Галилея —
Ньютона.
(на с. 188) Это свойство принято называть изотропностью пространства.
40 (на с. 197) Тензор Fik в современной литературе обычно называют тензором
электромагнитного поля.
(на с.200) Экспериментально давление света обнаружил и измерил
П.Н.Лебедев: на твердые тела— в 1899 г., на газы —в 1907 г. Это явление не только стало
важнейшим опытным подтверждением максвелловской теории поля, но и оказалось
ключевым экспериментальным фактом в релятивистском учении об энергии.
4 (на с.207) О сравнении Эйнштейна с Коперником—см. прим.36.
(на с.230) Здесь речь идет о знаменитом «парадоксе близнецов». История и
современное обсуждение парадокса содержится в книгах: A.Miller. A.Einstein's Special
Theory of Relativity: Emergence (1905) and Early Interpretations (1905 — 1911). London etc.
1981; Д.И.Скобельцын. Парадокс близнецов в теории относительности. М., 1966 и др.
(на с.286) Электродинамика движущихся тел Герца основана на
предположении о полном увлечении эфира телами. Уравнения этой теории инвариантны
относительно преобразований Галилея, но «сам характер постановки вопроса у Герца
...предвосхищает его постановку в теории относительности». (Л.И.Мандельштам.
Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М., 1972, с. 106).
В этих лекциях содержится точное и ясное обсуждение теории Герца.
4 (на с.240) Различные аспекты истории электродинамики движущихся тел и
сравнительный анализ вкладов в нее Герца, Лоренца, Пуанкаре, Эйнштейна, Минков-
ского и др., а также обсуждение упомянутых Вейлем опытов Φ изо, Вильсона,
Рентгена, Эйхенвальда и им родственных содержится в цитированных выше лекциях
Л.И.Мандельштама (см. иримеч.44), а также в книгах А.Миллера (см. примеч.43) и
В.Паули. Теория относительности, М., 1983.

442 Приложения редколлегии
46 (на с.246) Соответствующее действие в современных стандартных
обозначениях (см., например, в кн.: Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теория поля, М., 1973, §27):
S--Л\ meto-bllMdi-^lF^dtL
(на с.259) Конформная инвариантность уравнений Максвелла и идея
конформной теории относительности были установлены и развиты Г.Бэйтменом и Э.Каннин-
гхемом в 1909 г. История конформной симметрии в физике и проблемы ее физической
интерпретации рассмотрены в статье: В.П.Визгин. Из истории конформной симметрии
в физике // Истор.-матем. исслед., 1974, вып.XIX, с. 188—219.
4 (на с.259) Основы учения о локализации и движении энергии,
предвосхитившие широко известные работы Дж.Пойнтинга, О.Хевисайда и др. о движении энергии
в теории электромагнитного поля, были впервые созданы в 1874 г. Н.А.Умовым в его
труде «Уравнения движения энергии в телах*. Все это направление сыграло роль
важной предпосылки релятивистских представлений об энергии (см., например,
Д.Д.Гило. Николай Алексеевич Умов. М., 1971, с. 119 —180).
(на с.261) Здесь излагается полевая концепция материи, согласно которой
вещество, ассоциируемое с элементарными частицами, обладающими массой покоя,
являются «порождениями поля*. Об истории «полевого идеала единства физики*
(выражение Гильберта)—см.: В.П.Визгин. Единые теории поля в 1-й трети XX в. М.,
1985. В этом контексте «материю* следует понимать как «вещество*.
(на с.264) Современниками, особенно в Геттингене—Д.Гильбертом, М.Борном
и др., теория материи Ми оценивалась очень высоко. Вейлевское изложение теории
полезно сравнить с рассмотрением этой теории В.Паули (В.Паули. Теория
относительности, М., 1983, §64) и М. - А. Тоннел а (М. -А. Тоннела. Основы электромагнетизма
и теории относительности. М., 1962, гл.9, §9).
1 (на с.273) Наиболее весомый аргумент против теории Ми принадлежал самому Ми
и заключался в том, что частицы, например электрон, в этой теории, в принципе калибровочно
неинвариантной, должны были бы «расплываться* даже в постоянном
электростатическом поле (см., например, В.Паули. Теория относительности, М., 1983, с.267).
Примечания к &лаве Ш
(на с.281) В оригинале использован термин «Maßgeometrie*, т.е.
измерительная геометрия, и выделенное курсивом фундаментальное положение общей теории
относительности в буквальном переводе звучит так: «Измерительная геометрия мира-
риманова*.
(на с.283) См. предыдущее примечание.
54 (на с.292) Речь идет о знаменитых теоремах Э.Нетер «об инвариантных
вариационных задачах*, связывающих симметрию физических систем с присущими
им законами сохранения. В рамках классической механики эта связь впервые была
установлена Лагран^кем (еще раньше Лейбниц выводил закон сохранения количества
движения из однородности пространства). В общей теории относительности проблема
взаимосвязи законов сохранения с симметриями была разработана в Геттингене
Д.Гильбертом и Ф.Клейном и получила строгое и общее решение в цитированной
Вейлем работе Э.Нетер. История развития взаимосвязи принципов симметрии с
законами сохранения и установления теорем Нетер изложена в книге: В.П.Визгин.
Развитие взаимосвязи принципов симметрии с законами сохранения в классической
физике. М., 1972.
55 (на с.297) Под «законами состояния* Вейль понимает здесь уравнения
движения физических систем (в данном случае имеются в виду уравнения
электромагнитного поля), за исключением уравнений гравитационного поля, описывающих
одновременно геометрию пространства —времени.
(на с.300) История открытия уравнений гравитационного поля Эйнштейном
и Гильбертом изложена в монографиях: В.П.Визгин. Релятивистская теория тяготения
(истоки и формирование, 1900-1915 гг.). М., 1981; А.Пайс. Научная деятельность

В.П.Визгин. Примечания 443
и жизнь А.Эйнштейна. М., 1989. О развитии вариационного формализма в общей теории
относительности и его применения к решению проблемы законов сохранения в этой
теории—см.: В.П.Визгин. Развитие взаимосвязи принципов симметрии с законами
сохранения в классической физике. М., 1972, а также цитированные выше книги.
(на с.344) Здесь изложена точка зрения Эйнштейна на проблему энергии в
общей теории относительности, развитая им в 1918 г. и связанная с введением так
называемого «псевдотензора энергии гравитационного поля*. Вейль ясно сознает
принципиальные недостатки этого подхода, но, вместе с тем, отмечает его
достаточность для расчета энергии изолированных систем.
(на с.353) Упомянутая в вейлевском примечании 30) статья Яффе была
опубликована в 1922 г.: G.Jaffe. «Ruhmasse* und «Masse der Bewegung* im statischen
Gravitationsfelde // Phys. Zeitschr., 1922, Bd.23, S.337-340.
(на с.360) Обсуждение этой проблемы уже в 40-е гг. привело Р.Фейнмана и
Дж.Уилера к нак называемой «поглотительной теории излучения*, тесно связанной
с альтернативной формулировкой классической электродинамики как теории прямого
межчастичного взаимодействия (см. об этом: Ю.С.Владимиров, А.Ю.Турыгин.
Теория прямого межчастичного взаимодействия. М., 1986).
(на с.361) Концовка этого параграфа свидетельствует о том, что Вейль уже в
этот период (1922 — 1923 гг.), т.е. до создания квантовой механики, испытывал
серьезные сомнения в полевой детерминистической программе синтеза физики, к
которой примыкала его единая теория поля (см. §40). Критическое отношение к
классическому детерминизму среди немецких физиков и математиков в это время, как
отметил П.Формен, было весьма типичным и может рассматриваться как своеобразное
приспособление ученых к ситуации, сложившейся в интеллектуальной атмосфере
веймарской Германии на рубеже 20-х гг. и связанной с разочарованием общества в
идеалах рационализма, научности, точного знания. Это обстоятельство, по Формену,
облегчило восприятие квантовой механики с характерной для нее вероятностной
причинностью (см. об этом: P.Forman. Weimar culture, causality and quantum theory,
1918—1927: adaptation by german physicists and mathematicians to a hostile intellectual
environment // Historical Studies in the Phys. Sciences, 1971, v.3, p.1 — 115).
(на с.361) Мы ограничимся единственным кратким примечанием ко всему
космологическому параграфу, который отражает ранний, дофридмановский уровень
релятивистской космологии, связанный с обсуждением «цилиндрического* и
«сферического* миров Эйнштейна и В. де Ситтера. По мнению Вейля наблюдения не
позволяли сделать выбор в пользу одного из этих миров. О ранней истории
релятивистской космологии—см. P.Kerszberg. The Einstein-de Sitter controversy of 1916 —
1917 and the rise of relativistic cosmology // In: Einstein and the history of general
relativity. Ed. by D.Howard, J.Stachel. Boston etc. 1989, p.325-366; G.Ellis. The
expanding universe: a history of cosmology from 1917 to 1960 // Ibid, p.367—431.
(на с.374) В §40 изложена знаменитая единая теория гравитационного и
электромагнитного полей, известная как теория Вейля, причем в форме, весьма
далекой от ее первоначальной формулировки в 1918 г. {Г. Вейль. Гравитация и
электричество (1918) // В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М., 1979,
с.513—527. К статье было приложено краткое дополнение, написанное Эйнштейном
и содержавшее серьезное возражение против теории Вейля. Ответ последнего, также
приложенный к этой статье, не удовлетворил самого Вейля, который продолжал
совершенствовать свою теорию вплоть до выхода в свет настоящей книги, содержащей
последний вариант теории Вейля, развитый им самим. Об истории теории Вейля —
см. книгу: В.П.Визгин. Единые теории поля в 1-й трети XX в. М., 1985. Подчеркнем,
что теория Вейля послужила своего рода образцом для всей программы
геометрического нолевого синтеза физики, на позиции которой вступил вскоре и сам Эйнштейн
и которую он безуспешно пытался реализовать на протяжении более 30 лет до своей
кончины. Теория Вейля сыграла важную роль в формировании калибровочной
концепции поля (см. об этом, помимо цитированной выше книги, также приложенную
к настоящему изданию статью Ч.Янга). Сам Вейль вскоре после создания квантовой
механики разочаровался в полевой геометрической программе (см., например, его
доклад в Кембридже в мае 1930 г.: Г.Вейль. Геометрия и физика // В кн.: Г.Вейль.
Математическое мышление, М, 1989, с.194 —212).

библиография научных работ ЗГ.Цеиля
книги, статьи, лекции, переводы на русский язык
Жни&и
Die Idee der Riemannschen Fläche
B.G.Teubner, Leipzig, 1913
2. Auflage, B.G.Teubner, Leipzig, 1923
Nachdruck, Chelsea Co. N. Y, 1951
3. Auflage, verändert, B.G.Teubner, Leipzig, 1955
Das Kontinuum
Veit ά Co., Leipzig, 1918
2. Auflage, de Gruyter ά Co., Berlin, 1932
Континуум. Критические исследования по основаниям анализа.
Пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.93-168].
Raum, Zeit, Materie
J. Springer, Berlin 1918
3. Auflage, wesentlich verändert, J. Springer, Berlin, 1920
4. Auflage, wesentlich verändert, J. Springer, Berlin, 1921
5. Auflage, verändert, J. Springer, Berlin, 1923
6. Auflage (Hrsg Ehlers) 1977
Temps, espace, mauere (de la 4е edition allemande), A.Blanchard, Paris, 1922
Space, Time, Matter, Methuen, London, 1922.
Space, Time, Matter (repr. of the 4-th ed.), Dover Publ., N.Y., 1952.
Пространство, время, материя, пер. с 5-го изд. В.П.Визгина, М.: Янус, 1996.
Kommentar zu Riemanns «Ober die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen»
2. Auflage, J. Springer, Berlin, 1919
3. Auflage, J. Springer, Berlin, 1923
Комментарии к речи Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии»,
пер. В.Л.Гончарова, в кн.: Б.Риман, Сочинения, Гостехиздат, 1948, с.510—526;
в кн.: 06 основаниях геометрии, Гостехиздат, 1956, с.325—341.
Mathematische Analyse des Raumproblems
J.Springer, Berlin, 1923
Was ist Materie?
J.Springer, Berlin, 1924
Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft
KOldenbourg, München, 1926
Neue Auflage, Leibniz Verlag, München, 1950
Переведена часть: Философия математики, пер. А.П.Юшкевича, в кн.: [I, с.34-91].
Gruppentheorie und Quantenmechanik
SHirzel, Leipzig, 1928
2. Auflage, umgearbeitet, SHirzel, Leipzig, 1931
The theory of groups and quantum mechanics, Button, New York, 1932
Nachdruck, Dover Publications, New York, 1949
Теория групп и квантовая механика, пер. с англ. изд. 1931 г. Б.И.Галаева и С.Г.Шехов-
цова, под ред. Д.П.Желобенко, М., Наука, 1986, 496 с. (Б-ка тсор. физики)
Die Stufen des Unendlichen
G.Fischer, Jena, 1931
The open world
Yale University Press; H.Milford, London, 1932
Mind and nature
University of Pennsylvania Press, Philadelphia; Oxford University Press, London, 1934
Переведена одна из лекций: Относительность, пер. Г.Е.Горелика, в кн.:
Эйнштейновский сб. 1978-79, М., Наука, 1983, с.92-108.
The classical groups, their invariants and representations
Princeton University Press; Oxford University Press; H.Milford, London, 1939
2. Auflage, Princeton University Press; Oxford University Press; H.Milford, London, 1946

Библиография работ Г.Вейля 445
Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ. Д.А.Райкова,
М., ИЛ, 1947,408 с.
Algebraic theory of numbers
Princeton University Press, 1940
Алгебраическая теория чисел, пер. с англ. Л.И.Копсйкиной, М., ИЛ, 1947, 227 с.
Meromorphic functions and analytic curves
Princeton University Press, 1943
Philosophy of mathematics and natural Science
Princeton University Press, 1949
2. Auflage, Princeton University Press, 1950.
На русский язык переведены приложения:
Приложение А. Структура математики, пер. А:Н.Паршина, УМН, 31(4), с.220 —
238 (1976).
Приложение В. Искусство комбинаторики, пер. О.А.Глебова, в кн.: Прикладная
комбинаторная математика, М., Мир, 1968, с.309—326.
Приложение С. Квантовая физика и причинность, пер. О.А.Глебова, там же, с.326—339.
Приложение D. Химическая валентность и иерархия структур, пер. О.А.Глебова,
там же, с.339—350.
Приложение Е. Физика и биология, пер. О.А.Глебова, там же, с.350—360.
Приложение F. Основные черты физического мира. Форма и эволюция. Пер.
А.П.Василевича, в кн.: [И, с.345—360].
Symmetry
Princeton University Press, 1952
Symmetrie, Birkhäuser Verlag, Basel/Stuttgart, 1955
Симметрия, пер. с англ. Б.В.Бирюкова и Ю.А.Данилова под ред. Б.А.Розен-
фельда, М., Наука, 1968, 192 с.
Selecta Hermann Weyl
Birkhäuser, 1955
Gesammelte Abhaldlungen, Bd: 1—IV
Springer-Verlag, 1968
На русский язык были переведены 7 книг Г.Вейля, а также фрагменты из 3 книг.
В конце 1960-х гг. в издательстве «Мир* готовился перевод книги «Философия
математики и естественных наук», но были опубликованы только приложения. Кроме
книг было переведено 47 статей, опубликованных в журнале «Успехи математических
наук» и трех отдельных сборниках:
I. О философии математики, пер. А.П.Юшкевича, М.-Л., Гостехтеориздат, 1934,
128 с. /GA:41,67/
II. Математика. Теоретическая физика. Избранные труды, М., Наука, 1984, 512 с.
(Классики науки) /GA: 22, 23, 32, 68, 85, 88, 97, 102, 105, 116, 118, 121, 127,
138, 146, 150/
III. Математическое мышление, пер. с англ. и нем. Ю.А.Данилова, под ред.
Б.В.Бирюкова и А.Н.Паршина, М., Наука, 1989, 400с. /GA: 15, 65, 88, 93. 95.
102, 119, 132, 137, 138, 147, 156, 157, 161, 165, 166, 167/
Статьи
В скобках указаны номера переведенных статей по 4-х-томному собранию трудов:
H.Weyl, Gesammelte Abhandlungen, Bd.I —IV, Springer-Verlag, 1968. Ниже
приводится библиография статей Г.Вейля, включенных в его собрание трудов, с указанием тома
и страниц по Gesammelte Abhandlungen, а также имеющихся русских переводов.
(Gesammelte Abhandlungen, I—IV)
Том 3
1. Singulare Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen
Integraltheorems 1
Dissertation Göttingen (1908)
2. Über die Konvergenz von Reihen, die nach periodischen Funktionen fortschreiten (FJerosch und
H.Weyl) 88

446 Приложения редколлегии
Mathematische Annalen 66, 67—80 (1908)
3. Singulare Integralgleichungen 102
Mathematische Annalen 66, 273—324 (1908)
4. Über die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten 154
Mathematische Annalen 67, 225—245 (1909)
5. Über beschränkte quadratische Formen, deren Differenz vollstetig ist 175
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 27, 373—392 (1909)
6. Über gewöhnliche lineare Differentialgleichungen mit singulären Stellen und
ihre Eigenfunktionen 195
Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Mathematisch-physikalische Klasse 37—63 (1909)
7. Über gewöhnliche lineare Differentialgleichungen mit singulären Stellen und
ihre Eigenfunktionen (2. Note) 222
Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Mathematisch-physikalische Klasse 442—467 (1910)
8. Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen
Entwicklungen willkürlicher Funktionen 248
Mathematische Annalen 68, 220—269 (1910)
9. Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe 298
Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter 7, 93—95 und 109—113 (1910)
10. Die Gibbssche Erscheinung in der Theorie der Kugelfunktionen 305
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 29, 308—323 (1910)
11. Über die Gibbssche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene 321
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 30, 377—407(1910)
12. Zwei Bemerkungen über das Fouriersche Integraltheorem 354
Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung 20, 129—141 (1911)
Berichtigung zu meinem Aufsatz: Zwei Bemerkungen über
das Fouriersche Integraltheorem
Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung 20, 339 (1911)
13. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte 368
Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Mathematisch-physikalische Klasse, 110—117(1911)
14. Konvergenzcharakter der Laplaceschen Reihe in der Umgebung eines Windungspunktes 376
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 32, 118—131 (1911)
15. Henri Poincare 390
Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter 9,161—163 (1912)
Анри Пуанкаре, пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.270 —273].
16. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller
Differentialgleichungen (mit e'ner Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung) 393
Mathematische Annalen 71, 441—479 (1912)
17. Über die Abhängigkeit der Eigenschwingungen einer Membran von deren Begrenzung 431
Journal für die reine und angewandte Mathematik 141, 1—11 (1912)
18. Über das Spektrum der Hohlraumstrahlung 442
Journal für die reine und angewandte Mathematik 141, 163—181 (1912)
19. Über die Randwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotische Spektralgesetze 461
Journal fur die reine und angewandte Mathematik 143, 177—202 (1913)
20. Über ein Problem aus dem Gebiete der diophantischen Approximationen 487
Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Mathematisch-physikalische Klasse, 234—244 (1914)
21. Sur une application de la the^orie des nombres ä la mocanique statistique et la
theOrie des perturbations 498
L'Enseignementmathematique 16, 455—467(1914)

Библиография работ Г.Вейля 447
22. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingungen eines beliebig gestalteten
elastischen Körpers 511
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 39, 1—50 (1915)
Асимптотический закон распределения частот собственных колебаний упругих
тел произвольной формы, пер. М.И.Зеликина, в кн.: [II, с.9 — 57].
23. Ober die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins 563
Mathematische Annalen 77, 313-352 (1916)
О равномерном распределении чисел по модулю один, пер. С.П.Демушкина, в
кн.: [И, с.58-93].
24. Strenge Begründung der Charakteristikentheorie auf zweiseitigen Flächen 600
Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung 25, 265—278 (1916)
25. Über die Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement 614
Vierteljahresschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich 61, 40—72 (1916)
Об определении замкнутой выпуклой поверхности ее линейным элементом,
УМН, 3, вып. 2, с.159-190 (1948).
26. Le probleme de Г analysis situs 645
L'Enseignement mathematique 19, 95—96(1917)
27. Über die Starrheit der Elflächen und konvexer Polyeder 646
Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin,
250-266(1917)
28. Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung 663
Vierteljahresschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich 62, 296—302 (1917)
29. Zur Gravitationstheorie 670
Annalen der Physik 54. 117-145 (1917)
Tom 33
30. Reine Infinitesimalgeometrie I
Mathematische Zeitschrift 2, 384—411 (1918)
31. Gravitation und Elektrizität 29
Sitzungsberichte der Kööniglich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin,
465-480(1918)
Гравитация и электричество, в кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации,
М., Мир, 1979, с.513-527.
32. Der circulus vitiosus in der heutigen Begründung der Analysis 43
Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung 28, 85—92 (1919)
Порочный круг в современном обосновании анализа (фрагмент письма Г.Вейля
к О.Гёльдеру), пер. З.А.Кузичевой, в кн.: [II, с.94—99].
33. Ober die statischen kugelsymmetrischen Lösungen von Einsteins «kosmologischen»
Gravitationsgleichungen 51
Physikalische Zeitschrift 20, 31—34 (1919)
34. Eine neue Erweiterung der Relativitätstheorie 55
Annalen der Physik 59, 101-133 (1919)
35. Bemerkung über die axialsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungeft8
Annalen der Physik 59,185—188 (1919)
36. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen über einem ebenen Leiter 92
Annalen der Physik 60. 481-500(1919)
37. Erwiderung auf Herrn Sommerfelds Bemerkungen über die Ausbreitung der Wellen in der
drahtlosen Telegraphie 110
Annalen der Physik 62, 482-484 (1920)
38. Das Verhältnis der kausalen zur statistischen Betrachtungsweise in der Physik 113
Schweizerische Medizinische Wochenschrift, 10 p, (1920)
39. Die Einsteinsche Relativitätstheorie 123
Schweizerland (1920)
Schweizerische Bauzeitung (1921)

448 Приложения редколлегии
40. Elektrizität und Gravitation 141
Physikalische Zeitschrift 21, 649-650(1920)
41. Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik 143
Mathematische Zeitschrift 10,19—79 (1921)
О новом кризисе основ математики, пер. А.П.Юшкевича, в кн.: [I, с.92 —128]
42. Zur Abschätzung von ζ( 1 + //) 181
Mathematische Zeitschrift 10, 88—101 (1921)
43. Zur Infinitesimalgeometrie: Einordnung der projektiven und konformen Auffassung 195
achrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-
physikalische Klasse, 99—112 (1921)
44. Bemerkung über die Hardy-Littlewoodschen Untersuchungen zum Waringschen Problem 208
Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-
physikalische Klasse, 189—192 (1921)
45. Das Raumproblem 212
Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung 30, 92—93 (1921)
46. Über die physikalischen Grundlagen der erweiterten Relativitätstheorie 229
Physikalische Zeitschrift 22, 473—480 (1921)
47. Feld und Materie 237
Annalen der Physik 65, 541—563 (1921)
48. Electricity and gravitation 260
Nature 106, 800-Я02 (1921)
49. Die Einzigartigkeit der Pythagoreischen Maßbestimmung 263
Mathematische Zeitschrift 12, 114—146 (1922)
50. Zur Infinitesimalgeometrie: /?-dimensionale Fläche im и-dimensionalen Raum 296
Mathematische Zeitschrift 12, 154—160 (1922)
51. Neue Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen 303
Mathematische Zeitschrift 13, 134—145 (1922)
52. Die Relativitätstheorie auf der Naturforschungsversammlung 315
Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung 31, 51—63 (1922)
53. Das Raumproblem 328
Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung 31, 205—221 (1922)
54. Zur Charakterisierung der Drehungsgruppe 345
Mathematische Zeitschrift 17, 293—320 (1923)
55. Entgegnung auf die Bemerkung von Herrn Lanczos über die de Sittersche Welt 373
Physikalische Zeitschrift 24, 130-131 (1923)
56. Zur allgemeinen Relativitätstheorie 375
Physikalische Zeitschrift 24, 230-232 (1923)
57. Repartition de corriente en una red conductora. (Introduction al anolisi combinatorio) 378
Revista Matemätica Hispano-Americana 5, 153—164 (1923)
Английский перевод: George Washington University Logistics Research Project (1951)
58. Anälisis situs combinatorio 390
Revista Maiemäiica Hispano-Americana 5, 43p. (1923)
59. Anälisi situs combinatorio (continuation) 416
Revista Matemätica Hispano-Americana 6, 1—9 and 33—41 (1924)
60. Randbemerkungen zu Hauptprobierriemen der Mathematik 433
Mathematische Zeitschrift 20, 131—150 (1924)
61. Zur Theorie der Darstellung der einfachen kontinuierlichen Gruppen.
(Aus einem Schreiben an Herrn I.Schur) 453
Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 338—345 (1924)
62. Das gruppentheoretische Fundament der Tensorrechnung 461
Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Mathematischphysikalische Klasse, 218-224 (1924)

Библиография работ Г.Вейля 449
63. Über die Symmetrie der Tensoren und die Tragweite der symbolischen Methode
in der Invariantentheorie 468
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 48, 29—36 (1924)
64. Observations on the Note of Dr. L.Silberstein: Determination of the Curvature
Invariant of Space-Time 476
The London, Edinburgh, and Dublin philosophical Magazine
and Journal of Science 48, 348—349 (1924)
65. Massenträgheit und Kosmos. Ein Dialog 478
Die Naturwissenschaften 12, 197—204 (1924)
Инерция и космос. Диалог. Пер. Ю.А.Данилова, в кн.: (III, с.170—182].
66. Was ist Materie? 486
Die Naturwissenschaften 12, 561-568, 585-593 und 604—611 (1924)
67. Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik 511
Symposium 1, 1—32 (1925)
Современное состояние проблемы познания в математике,
пер. А.П.Юшкевича, в кн.: [I, с.9—33].
68. Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare
Transformationen. I, II, III und Nachtrag 543
/: Mathematische Zeitschrift 23, 271—309 (1925)
II: Mathematische Zeitschrift 24, 328—376 (1926)
III: Mathematische Zeitschrift 24, 377—395 (1926)
Nachtrag: Mathematische Zeitschrift 24, 789—791 (1926)
Теория представлений непрерывных полупростых групп при помощи линейных
преобразований, УМН, 4, с.201 -246 (1938); пер. С.П.Демушкина, в кн.: [II, с.100-197].
Том 311
69. Zur Darstellungstheorie und Invariantenabzahlung, der projektiven der Komplex
und der Drehungsgruppe 1
Acta Mathematica 48, 255—278 (1926)
70. Elementare Sätze über die Komplex- und die Drehungsgruppe 25
Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Mathematischphysikalische Klasse, 235—243 (1926)
71. Beweis des Fundamentalsatzes in der Theorie der fastperiodischen Funktionen 34
Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 211—214 (1926)
72. Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen 38
Mathematische Annalen 97, 338—356 (1927)
73. Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen
Gruppe (F.Peter und H.Weyl) 58
Mathematische Annalen 97, 737—755(1927)
О полноте примитивных представлений компактной непрерывной группы
(совместное Ф.Петером), пер. Д.Л.Кучера, УМН, 2, 144-160 (1936).
74. Sur la representation des groupes Continus 76
L Enseignement mathematique 26, 226—239 (1927)
75. Quantenmechanik und Gruppentheorie 90
Zeitschrift für Physik 46, 1-46(1927)
76. Strahlbildung nach der Kontinuitätsmethode behandelt 136
Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Mathematisch-physikalische Klasse, 227—237(1927)
11. Diskussionsbemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen
der Mathematik 147
Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität 6,
86-88(1928)
78. Consistency in mathematics 150

450 Приложения редколлегии
The Rice Institute Pamphlet 16, 245—265 (1929)
79. Der Zusammenhang zwischen der symmetrischen und der linearen Gruppe 170
Annals of Mathematics 30, 499—516 (1929)
80. Kontinuierliche Gruppen und ihre Darstellungen durch lineare Transformationen 189
Atti del Congresso internazionale dei Matematici Bologna 1, 233—246 (1919)
81. On a problem in the theory of groups arising in the foundations of infinitesimal geometry
(RP.Robertson and H.Weyl) 203
Bulletin of the American Mathematical Society 35, 686—690 (1929)
82. On the foundations of infinitesimal geometry 207
Bulletin of the American Mathematical Society 35, 716—725 (1929)
83. Gravitation and the electron 217
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 15,
323-334 (1929)
84. Gravitation and the electron 229
The Rice Institute Pamphlet 16, 280—295 (1929)
85. Elektron und Gravitation 245
Zeitschrift fur Physik 56, 330-352 (1929)
Электрон и гравитация, пер. С.П.Демушкина, в кн.: [II, с. 198—218].
86. The spherical symmetry of atoms 268
The Rice Institute Pamphlet 16, 266—279 (1929)
87. The problem of symmetry in quantum mechanics 282
Journal of the Franklin Institute 207, 509—518 (1929)
88. Felix Kleins Stellung in der mathematischen Gegenwart 292
Die Naturwissenschaften 18, 4—11 (1930)
Феликс Клейн и современная математика, пер. З.А.Кузичевой,
в кн.: [II, с.383-395];
Феликс Клейн и его место в математической современности,
пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.256-270].
89. Redshift and relativistic cosmology 300
The London, Edinburgh, and Dublin philosophical Magazine and
Journal of Science 9, 936—943 (1930)
90. Zur quantentheoretischen Berechnung molekularer Bindungsenergien 308
Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Mathematisch-physikalische Klasse, 285—294 (1930)
91. Zur quantentheoretischen Berechnung molekularer Bindungsenergien II 318
Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Mathematisch-physikalische Klasse, 33—39 (1931)
92. Über das Hurwitzsche Problem der Bestimmung der Anzahl Riemannscher
Flächen von gegebener Verzweigungsart 325
Commentarii mathematici Helvetia 3,103—113 (1931)
93. Geometrie und Physik 336
Die Naturwissenschaften 19, 49—58 (1931)
Геометрия и физика, пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.194-212].
94. Zu David Huberts siebzigstem Geburtstag 346
Die Naturwissenschaften 20, 57—58 (1932)
95. Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verständnisses 348
Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften 38, 177—188 (1932)
Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике,
пер. Ю.А.Данилова в кн.: [III, с.24—41].
96. Über Algebren, die mit der Komplexgruppe in Zusammenhang stehen,
und ihre Darstellungen 359
Mathematische Zeitschrift 35, 300—320 (1932)

Библиография работ Г.Вейля
451
97. Eine für die Valenztheorie geeignete Basis der binären Vektorinvarianten
(G.Rumer, E.Teller und H.Weyl) 380
Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Mathematisch-physikalische Klasse, 499—504 (1932)
Базис бинарных векторных инвариантов, применяемый в теории
валентности (совместно с Ю.Румером и Э.Теллером),
пер. С.П.Демушкина, в кн.: [II, с.219 —223].
98. Harmonics on homogeneous manifolds 386
Annals of Mathematics 35, 486-499 (1934)
99. On generalized Riemann matrices 400
Annals of Mathematics 35, 714—729(1934)
100. Observations on Hubert's independence theorem and Born's quantization of field
equations 416
The Physical Review 46, 505-508 (1934)
101. Universum und Atom 420
Die Naturwissenschaften 22, 145—149 (1934)
102. Emmy Noether 425
Scripta mathematica 3, 201—220 (1935)
Эмми Нётер, пер. А.П.Василевича, в кн.: [II, с.395 —412] (с купюрами);
полный перевод Ю.А.Данилова в кн.: [III, с.274 —292].
103. Über das Pick-Nevanlinnasche Interpolationsproblem und sein infinitesimales Analogon 445
Annals of Mathematics 36, 230—254 (1935)
104. Geodesic fields in the calculus of variation for multiple integrals 470
Annals of Mathematics 36, 607—629 (1935)
105. Spinors in η dimensions (R.Brauer and H.Weyl) 493
American Journal of Mathematics 57, 425—449 (1935)
Спиноры размерности п (совместно с Р.Брауэром), пер. Ф.А.Богомолова,
в кн.: [II, с.224-245].
106. Elementare Theorie der konvexen Polyeder 517
Commentarii mathematici Helvetia 7, 290—306 (1935)
Английский перевод в кн.: Contnbutions to the theory of games /,
Annals of Matliematics Studies, Pnnceton University Press 24, 3—18 (1950)
107. Generalized Riemann Matrices and factor sets 534
Annals of Mathematics 37, 709—745(1936)
108. Riemannsche Matrizen und Faktorensysteme 5 71
Comptes Rendusdu Congres International des Mathomaticiens, Oslo 2,3 (1937)
109. Note on matric algebras 572
Annals of Mathematics 38, 477—483 (1937)
110. Commutator algebra of a finite group of coll ineations 579
Duke Mathematical Journal 3, 200—212 (1937)
111. Symmetry
Journal of the Washington Academy of Sciences 28, 253—271 (1938)
112. Meromorphic curves (H.Weyl and J.Weyl) 611
Annals of Mathematics 39, 516—538 (1938)
113. Mean motion 634
American Journal of Mathematics 60, 889—896 (1938)
Среднее движение, пер. А.Н.Паршина, УМН, 31(4), с.213-219 (1976).
114. Mean motion II 642
American Journal of Mathematics 61, 143—148 (1939)
115. On unitary metrics in projective space 648
Annals of Mathematics 40, 141—148(1939)
Addition to my note: On unitary metrics in projective space657
Annals of Mathematics 40, 634—635 (1939)

452 Приложения редколлегии
116. On the vol ume of tubes 65 8
American Journal of Mathematics 61, 461—472 (1939)
Об объеме труб, пер. Ф.А.Богомолова, в кн.: [II, с.246—255].
117. Invariants 670
Duke Mathematical Journal 5, 489—502 (1939)
118. The Ghost of Modality 684
Philosophical Essays in Memory of Edmund Husserl, Cambridge (Mass.), 278—303 (1940)
Призрак модальности, пер. З.А.Кузичевой, в кн.: [II, с.256-274].
119. The mathematical way of thinking 710
Science 92,437—446 (1940)
Pennsylvania University Bicentennial Conference, Studies in the History of Science,
Philadelphia, 103-123 (1941)
Математический способ мышления, пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.6 —24].
120. Theory of reduction for arithmetical equivalence 719
Transactions of the American Mathematical Society 48, 126—164 (1940)
121. The method of orthogonal projection in potential theory 758
Duke Mathematical Journal 7, 411—444 (1940)
Метод ортогональной проекции в теории потенциала,
пер. А.Г.Кушниренко, в кн.: [II, с.275 —307].
Том Ш
122. On the use of indeterminates in the theory of the orthogonal and symplectic groups 1
American Journal of Mathematics 63, 777—784 (1941)
123. Concerning the differential equations of some boundary layer problems 9
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 27,
578-583(1941)
124. Concerning the differential equations of some boundary layer problems. II 15
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 28,
100-102 (1942)
125. On the differential equations of the simplest boundary-layer problems 18
Annals of Mathematics 43, 381—407 (1942)
126. Theory of reduction for arithmetical equivalence. II 46
Transactions of the American Mathematical Society 51, 203—231 (1942)
127. On geometry of numbers 75
Proceedings of the London Mathematical Society 47, 268—269 (1942)
О геометрии чисел, пер. А.Н.Паршина, в кн.: [II, с.308—327].
128. Elementary note on prime number problems of Vinogradoffs type
(R.D.James and H. Weyl) 97
American Journal of Mathematics 64, 539—552 (1942)
129. On the theory of analytic curves (H.Weyl and J.Weyl) 111
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States
of America 28, 417—421 (1942)
130. On Hodge's theory of harmonic integrals 115
Annals of Mathematics 44, 1—6(1943)
131. Obituary: David Hubert 1862—1943 121
Obituary Notices of Fellows of the Royal Society 4, 547—553 (1944)
American Philosophical Society Year Book 387—395 (1944)
132. David Hubert and his mathematical work 130
Bulletin of the American Mathematical Society 50, 612—654 (1944)
Португальский перевод: Boletin da Sociedade de Matematica de Sao
Paulo 1, 76-104 (1946), und 2, 37-60 (1947)
Давид Гильберт и его математические труды, пер. И.В.Долгачева,
в кн.: Рид К. Гильберт, М., Наука, 1977, с.308-360.

Библиография работ Г.Вейля 453
Давид Гильберт и его математическое творчество, полный пер. Ю.А.Данилова,
в кн.: [III, с.214-256].
133. Concerning a classical problem in the theory of singular points of ordinary
differential equations 173
Actos de la Academia Nationale de Ciencias Exactas, Fisicas у Naturales de
Lima 7, 21-60 (1944)
134. Comparison of a degenerate form of Einstein 's with Btrkhoff s theory of gravitation 213
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of
America 30, 205-210 (1944)
135. How far can one get with a linear field theory of gravitation in flat space-time? 218
American Journal of Mathematics 66, 591—604 (1944)
136. Fundamental domains for lattice groups in division algebras. I, II 232
/: Festschrift zum 60. Geburtstag von Prof Dr. Α. Speiser, Orell Füssli Zürich,
218-232(1945)
II: Commentarii mathematici Helvetia 17, 283—306 (1944/45)
137. Encomium (Wolfgang Pauli) 265
Science 103, 216-218 (1946)
Панегирик (Вольфганг Паули), пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.292 — 297].
138. Mathematics and logic. A brief survey serving as a preface to a review of
«The Philosophy of Bertrand Rüssel» 268
The American Mathematical Monthly 53, 2—13 (1946)
Математика и логика. Краткий обзор, служащий в качестве предисловия к
рецензии на книгу «Философия Вертрана Рассела», пер. З.А.Кузичевой, в кн.:
[II, с.328-340]; пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.78-92].
139. Comment on a paper by Levinson 280
American Journal of Mathematics 68. 7—12 (1946)
140. A remark on the coupling pf gravitation and electron 286
Adas de la Academia Motional de Ciencias Exactas, Fisicas у Naturales de
Lima 11, 1 — 17 (1948) (в публикации имеется ряд опечаток)
141. A remark on the coupling of gravitation and electron 286
The Physical Review 77, 699—701 (1950) (сокращенный вариант статьи 140)
142. Wissenschaft als symbolische Konstruktion des Menschen 289
Eranos-Jahrbuch 1948, 375—431 (1949)
143. Elementary algebraic treatment of the quantum mechanical symmetry problem 346
Canadian Journal of Mathematics 1, 57—68 (1949)
144. Supplementary note (к статье: S.Minakshisundaram: A generalization
of Epstein zeta functions) 36Ö
Canadian Journal of Mathematics 1, 326—327(1949)
145. Almost periodic invariant vector sets in a metric vector space 362
American Journal of Mathematics 71,178—205 (1949)
146. Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a linear transformation 390
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States
of America 35, 408-411 (1949)
Неравенства между двумя видами собственных чисел линейного
преобразования, пер. А.Г.Кушниренко, в кн.: [II, с,341 -344].
147. Relativity theory as a stimulus in mathematical research 394
Proceedings of the American Philosophical Society 93, 535—541 (1949)
Теория относительности как стимул математического исследования,
пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.182-194).
148. Shock waves in arbitrary fluids 401
Communications on Pure and Applied Mathematics 2, 103—122 (1949)
149.50 Jahre Relativitätstheorie 421
Die Naturwissenschaften 38, 73—83 (1950)

454 Приложения редколлегии
150. Ramifications, old and new, of the eigenvalue problem 432
Bulletin of the American Mathematical Society 56, 115—139 (1950)
Старые и новые аспекты теории собственных значений,
пер. А.Г.Кушниренко, в кн.: [II, с.361 -382].
151. Elementary proof of a minimax theorem due to von Neumann 457
Contributions to the theory of games I, Annals of Mathematics Studies,
Princeton University Press 24, 19—25 (1950)
152. A ha! f-century of mathematics 464
The American Mathematical Monthly 58, 523—553 (1951)
Полвека математики, пер. З.А.Кузичевой, М.: Знание, 4Новое в жизни, науке,
технике*, сер. 2 «Математика, кибернетика*, 1969, 47 с.
153. Radiation capacity 495
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States
of America 37, 832—836 (1951)
154. Kapazität von Strahlungsfeldern 500
Mathematische Zeitschrift 55, 187—198(1952)
155. Die natürlichen Randwertaufgaben im Außenraum für Strahlungsfelder
beliebiger Dimension und beliebigen Ranges 512
Mathematische Zeitschrift 56, 105—119(1952)
156. Ober den Symbolismus der Mathematik und mathematischen Physik 527
Studium generale 6, 219—228 (1953)
О символизме математики и математической физики, пер. Ю.А.Данилова,
в кн.: [III, с.55-69].
157. Universities and Science in Germany 537
The Mathematics Student (Madras, India) 21, Nos. 1 und 2, 1—26 (March—June 1953)
Университеты и наука в Германии, пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.306—326].
158. A simple example for the legitimate passage from complex numbers to
numbers of an arbitrary field 563
Scientific papers presented to Max Born, Hafner Publishing Co. Inc.
New York, 75-79 (1953)
159. Ober die kombinatorische und kontinuumsmäßige Definition der Überschneidungszahl
zweier geschlossener Kurven auf einer Fläche 568
Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik 4, 471—492 (1953)
160. Bauer on Theory of Groups 590
Bulletin of the American Mathematical Society 40, 515—516 (1934)
161. Cartan on Groups and Differential Geometry 592
Bulletin of the American Mathematical Society 44, 598—601 (1938)
Картам о группах и дифференциальной геометрии, пер. Ю.А.Данилова,
в кн.: [III, с.297-302].
162. Courant and Hubert on Partial Differential Equations 596
Bulletin of the American Mathematical Society 44, 602—604 (1938)
163. Review: The philosophy of Bertrand Rüssel 599
The American Mathematical Monthly 53, 208—214 (1946)
164. Address of the President of the Fields Medal Committee 1954 609
Proceedings of the International Congress of Mathematicians (1954)
165. Address on the Unity of knowledge delivered at the Bicentennial Conference of Columbia
University 623
Columbia University in the City of New York. Bicentennial Celebration, 1954
Единство знания, пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.70 —78].
166. Erkenntnis und Besinnung (Ein Lebensrückblick) 631
Studia Philosophica, Jahrbuch der Schweizerischen Philosophischen Gesellschaft,
Annuaire de la Sociötö Suisse de Philosophie (1954)

Библиография работ Г.Вейля 455
Познание и осмысление (воспоминание о пережитом), пер. А.В.Ахутина, в кн.:
Проблема объекта в современной науке, М., 1980, с.144—167;
пер. Ю.А.Данилова, в кн.: [III, с.41— 55].
167. Rückblick auf Zürich aus dem Jahr 1930 650
Schweizerische Hochschuheitung 28, 180-189(1955)
Оглядываясь назад: Цюрих в 30-е годы, пер. Ю.А.Данилова,
в кн.: [III, с.302-306].
[Кроме статей, включенных в собрание трудов, существует примечание Г.Вейля
об общей теории относительности, опубликованное в итальянском переводе книги
Августа Копфа <Grundzüge der Einsteinschen Relativitätstheorie, I Fondamenti
della Relativität: Einsteiniana, 1923]
Записи лекций
(В библиотеке Institute for Advanced Study, Princeton, N.J., USA)
Kombinatorische Analysis Situs, Zürich 1922,65 pp.
German Version of the Spanish lectures.
Riemann's geometrische Ideen, ihre Auswirkung und ihre Verknüpfung mit
Gruppentheorie, (статья, написанная в 1925 г. для издания трудов Н.И.Лобачевского в СССР).
Русский перевод: Геометрические идеи Римана, их влияние и связи с теорией групп,
пер. Б.А.Розенфельда, А.С.Солодовникова, прим. М.И.Монастырского, Историко-
матем. исследования, XXXII-XXXIII, М., Наука, 1990, с.250-289.
Axiomatik. Göttingen, Wintersemester 1930/31
Topologie, Wintersemester 1932/33, Göttingen, ausgearbeitet von H.Heesch und FJohn, 122 pp.
Spinors in л-dimensions, (Veblen-von Neumann seminar, 1934—35).
Handwritten notes by H. Weyl and R. Brauer, 35 pp.
The Structure and representations of continuous groups, mimeographed Notes, 1934—35.
I. Notes by N.Jacobson of lectures delivered Jan.—April 1934, 124 pp.
II. Lectures given in the academic year 1934—35. Notes by R.Brauer, with one section on
discrete groups generated by reflections by H.S.MCoxeter. 210pp.
Elementary theory of Invariants, Notes by H.Weyl and L.M.Blumenthal, 1935—36, 160 pp.
Theory of Invariants, Lectures by H.Weyl, Fall term 1936. Outline by A.H.ClifTord, 36 pp.
Theory of groups, 1945—46,60 pp.
Seminaron geometry of numbers (Weyl-Siegel-Mahler), Spring term 1949.90pp.+2pp.

Именной указатель
Ампер А. 91
Аристотель 185
Бах Р. 336, 337, 397, 398, 407
Бельтрами Э. 113,128
Био Ж.Б. 90, 91. 170, 191
Больяи Я. 98,102,112,113,127,128,223,363
БорН. 361,374
Борн М. 9
Брентано 14
Бухерер А. 242
Вайценбек Р. 397, 407
Валлис Дж. 97
Вебер В. 191
Вейсрштрасс К. 134
Вильсон Ч. 234, 235, 238,239
Вихерт Э. 359
Галилей Г. 13, 180, 186-189, 191,
206,249, 279, 339, 374
Гамильтон У. 244, 246, 269, 270,
288.291,295-297,300,394
Гаусс К.Ф. 76,77,83, 85,97,103,104,
106-108,113,124,125,180,256,262,358,448
Гельмгольц Г. 128, 129, 132, 133
Герц Г. 193, 234, 353
Гильберт Д. 113,300
Гоббс Т. 13
Грассман Г.Г. 175
Гупка Э. 242
Гуссерль Э. 180
Даламбер Ж.Л. 97
Декарт Р. 11, 13, 379
Демокрит 279
Джоуль Дж. 194, 255
Доплер X. 227, 307, 308
Евклид 95-98, 101, 111, 133, 180, 274
Калуца Т. 398, 407
Кант И. 13,97, 178,261, 275
Кауфман В. 242
Кеплер И. 186, 330, 398, 402
Клейн Ф. 98.100.112.113.292.300,308
Клиффорд В.К. 129
Кольрауш Р. 191
Коперник Н. 181. 185. 186, 207
Кориолис Г. 277
Кристоффель Э.Б. 118. 165, 300, 301
Кулон ЙГ. 78. 79, 170, 262
КэлиА. 101-102
Лагранж Ж.Л. 292
Ламберт И.Г. 96, 97. 100, 364
Ланжевен П. 255
Леверье У.Ж. 308
Лейбниц Г. 80
Лензе И. 314
Леви-Чивита Т. 116.119.121,125.336-338
Лежандр А.М. 96
Ли С. 129, 132
Льенар А. 359
Липшиц Р.О.С. 128
Лобачевский Н.И. 97, 102. 112, ИЗ.
127. 223, 363
Лоренц Г.А. 88,194,196,200,205,206,213
-215,239,265,285,297.300.342.380. 383
Лундмарк К. 406
Майкельсон А. 203-205. 210
Максвелл Дж.К. И, 103,191-193, 200,
226,234, 237 23ft 263,267.269, 271, 280,
285. 295, 297, 349, 360, 394
Мах Э. 337
Мёбиус А.Ф. 363
МиГ. 10,264-267.269-271,
291,296,359-361
Минковский Г. 207, 240, 255, 380
Ньютон И. 130, 180, 184, 186,240,
271, 279, 283, 284,320, 327, 338, 363
Ом Г. 93,94,111,238
Паули В. 9, 398, 407
Пифагор 38.108,111,128, 174,
178,283,398
Прокл 95
Пойнтинг Дж. 194
Пуассон С.Д. 79,195,272, 287, 304,361
Ратновский С. 242
Рентген В.К. 239
Рёмер О. 201
Риман Б. 102, 110-112, 125, 126,
128-132, 158, 166, 175, 178, 180, 277,363
Ритц В. 204
Роуланд Г. 191
СаварФ. 90,91, 170, 191
Саккери Дж. Дж. 96
Ситтер В. де 205, 368-373, 379,
387, 405, 406
Стоке Дж. 140, 151, 192
Тауринус Ф.А. 97, 102, 112
Тирринг Г. 314, 339, 367
Фарадей М. И, 82, 87, 88, 192,200,
234, 238, 348
Ферма П. 305, 309
Физо И. 201, 202, 228, 235, 239
Фоккер А. 338
Фуко Ж. 338,341,366
Хевисайд 359
Шарлье К.В.Л. 364
Швейкарт Ф.К. 97
Шварцшильд К. 308, 335, 338, 355
Шпрингер Ю. 9
Шур Ф. 128
Эддинггон А. 398, 406, 407
Эйлер Л. 63
Эйнштейн А. 9. 12, 17, 129, 132,
149, 174, 180-182, 185, 196,201,
206-210, 214, 215, 240, 251, 253.
254, 258, 279, 280, 283. 284. 287, 300,
308-310, 322, 323, 326, 327, 348, 349,
364. 365, 374, 382, 398, 405-407
Эйхенвальд A.A. 191, 239
Эрстед X. 90
Этвеш Р. 278

Герман Клаус Хуго
ВЕЙЛЬ
(1885-1955)
Выдающийся немецкий математик и физик. Родился
в Эльмсхорне (Германия). Окончил Геттингенский
университет в 1908 г., тогда же защитил диссертацию
и получил степень доктора философии. С 1908 до
1913 гг. читал лекции в Геттингенском университете.
С 1913 по 1930 гг. — профессор Цюрихского
политехнического института. В 1930-1933 гг. работал в
Геттингенском университете, а с 1933 по 1955 гг. —
в Принстонском институте перспективных
исследований (США).
Герман Вейль — автор многочисленных исследований
в области теории групп, дифференциальной
геометрии, теории интегральных и дифференциальных
уравнений, математической логики, оснований
математики, квантовой механики, теории
относительности. Наиболее значительные работы Г. Вейля относятся
к теории непрерывных групп и их представлений
с применениями к проблемам геометрии и физики.
В 1927 г. он был удостоен Международной премии
имени Н. И. Лобачевского за цикл работ по геометрии
и теории линейных представлений групп.