Т^олебания линейной системы с одной степенью свободы. (Вариант 10
Дано:
пн =5 кг; г = 0,1м
с3 = 147 Н м/рад
Д4 = 210 н-с/м
M(t)=Mosinpt
Мо=9 Нм; р= Юра д/с
Начальные условия:
t = 0
q(0) = q0 = 0,06 рад
д(О) = 9о = -6рад/с
Получить дифференциальное уравнение движения механической системы и решить его.
Определить период установившихся вынужденных колебаний т« и добротность системы Д.
При малом сопротивлении определить также условный период затухающих колебаний ть
логарифмический декремент колебаний б и постоянную времени для затухающих колебании т .
Второй этап - амплитуда вынужденных колебаний возрастает в два раза.
Третий этап - нет вынужденных колебаний.
Исследовать амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики.
Решение.
Вынужденные колебания с сопротивлением. Способ возмущения динамический -
парой сил с моментом M(t)^ приложенной к кривошипу ОС.
Данная механическая система имеет одну степень свободы.
Она состоит из катка 1, кривошипа ОС, пружины 3 и демпфера 4.
Кинематические соотношения.
Каток 1 - плоское движение.
Обобщенная координата qi (в дальнейшем (р ) - определяет положение катка 1.
Угловая скорость плоского движения катка CDj — (/)
Так как каток катится без скольжения, точка Р] - МЦС катка 1, тогда
= СО, • СР, = гф скорость центра масс катка 1
Кривошип ОС - вращательное движение.
СКОРОСТЬ ТОЧКИ С Vq = 69qC • ОС = 1/7 • ( R + Г )
Получаем Vc = гф = ( R + Г )ф = Згф, отсюда имеем
2
ф Зу/, следовательно ф — Зу/, uiu у/ — —ф угол поворота кривошипа ОС
Силы .механической системы.
^4 ~ МД* с сила линейно-вязкого сопротивления демпфера
момент спиральной пружины 3.
М упр	С 3 • Л
деформация пружины.
Дифференциальное уравнение движения механической системы получим, используя
уравнение Лагранжа 2-го рода для обобщенной координаты (р.
dt дф дф
Кинетическая энергия механической системы Т = Ti
'“Г'	2	т 2
Tl=-m,vc+-ICzcol
кинетическая энергия плоского движения катка 1.
mtr2
момент инерции катка относительно оси C(z)
2
a^-nur
= 1,5-5 -0,01=0,1075кглГ
Обобщенный коэффициент инерции а =0 ,075 кем'
дТ . d .дТ,	.. дТ п
^ = а(Р- ~J.CC = a(P’ 7~ = 0
дф at дф дф
Обобщенная сила Q — Qn+
дП
Обобщенная потенциальная сила О. ~~ —
дф
Потенциальная энергия механической системы П — Пу + Пj
П = —пуз • (ОС — ОС cos у/) потенциальная энергия силы тяжести груза 1
_сз mtgr _ 147 5 -9,8 -0,1
С~~9~ 3 ~~9 Т
= 14,7 Нм
Обобщенный коэффициент жесткости с = 14,7 Нм
Ф
Обобщенная диссипативная сила (J =-----------
O(j)
1	1	2 • 2 _	1 • 2
Диссипативная функция Рэлея Ф — — /Л4Vq —— (р ——0(р
ь = ц4г2 =210-0,12 =2,1 Нем
Обобщенный коэффициент сопротивления b = 2.1 Нем
8Ф
дф
- -Ьф
Обобщенная возмущающая ста
<5ip	8ср j —у sin pt = Н sin pt
Qe(t) = Н sin pt, где H = ^2L = 3hv
Амплитуда обобщенной возмущающей силы Н - 3 Нм
Получаем дифференциальное уравнение движения механической системы
а(р = -сер - Ьф + Н s\x\ рр или
аф + вф + сер = Н sin pt
I азделив на а, получим канонический вид дифференциального уравнения
(p + 2n(p-lrk~(p = /?sin/?f (1)
к/ 2,1	рад
п -	~ ~~~' = / 4 ---- коэффициент затухания колебаний
I/ 1. э	с
/ без учета сопротивления /
собственная круговая частота колебаний
а
3
0.075
= 40 рад/с2
п — к	>\чаи критичёен	ти&ления
Решение неоднородного дифференциального уравнения (1) ищем в виде: ср = cpj + ерз
ср 1 - общее решение однородного дифференциального уравнения
Характеристическое уравнение Л~ +	4- к “ = О
Корни характеристического уравнения
Л/ > =-п± yjn2 — к2 = —п один действительный корень
Для одного действительного корня вид общего решения однородного уравнения
<Pj =e~"'(cl +c2t)
Частное решение неоднородного уравнения ф; — Ds\n( pt е)

Амплитуда вынужденных колебаний
y/(k2 -р2)2 + 4п2 р2 ^(142 -102)2 + 4  142 • 102
С двиг фаз между фазой момента М(1) и фазой вынужденных колебаний (отставание
фазы вынужденных колебаний от фазы момента М(0)
2пр	2^14*10
£ = arctg-- K =arctg—---------- = 1.2405 рад
k-р2 142-102
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения
(p = e~ftl (с, + c2t) + Ds'm(pt -s)
Ф = -не nt (сj + c2t) + с2е~т + Z)pcos(pr - е)
Начальные условия :t = 0с ф(0)=(ро=0.06 рад ф(О)=фо=-6 рад/с
ср0 =Cj +r>sin(-£) , с, =p0 + Ds\ne = 0,06 + 0.1351 *0.9459 = 0.1878 рад
ф0=-п*с1 + с2 + £>pcos(-6r)
с2 = Фо + И • cI - Dpcose = -6 + 14 • 0.1878 - 0.1351 * 10 * 0.3243 = -3.8086 рад/с
Кинематическое уравнение движения механической системы
(р =ё14,(0,1878 - 3,8086t)+0,1351sin(10t-1,2405)	(м)
добротность системы Д = — = — = 0,5
2п 20
R „ 2тг 6,2832
период установившихся вынужденных колебании Тв =--=--------= U,o/o с
р 10
время переходного процесса к установившимся вынужденным колебаниям
t* »- + 2г = — + 2-0,628 = 1,471с
п “ 14
Для конца первого этапа имеем:
(р(1‘ ) = е~”‘ (с, + с2С )+ Dsin(pt" -е)
<p(t" ) = e~nt [-n-(c, + c2f ) + c2] + Dpcos(pt’ -e)
(p(t = t’) =	(0,1878-3,80861’) + 0,135lsin( 10t’ -1,2405) = 0,10612pad
(p(t =t‘) = e'NC [-14 (0,1878-3.80861') -3,8086] + l,35lcos( 10t’ -1,2405) = 0.8367pad/c
6
Второй этап движения механической системы.
Начало второго этапа t = f = 1,471 с (ti = t-t =0). Для времени ti = t - f
амплитуда вынужденных колебаний возрастает в два раза D =2 D = 0,2702рад.
Начальные условия второго этапа: при t = t = 1,471 с (tj - О)
Начальные условия:
t2=0 (t = t')c; (p(t = t' ) = (р01 =0,10612 рад; ф(С )-ф01 = 0,8367 рад/с
(p0I ~ci2 + D* sin(-s) , cJ2 =(p0J + D' sins = 0,10612+ 0,2702-0,946 =0,3618 рад
Фо1 ~ ~n * с12 +с22* D*pcos(-s )
с22 -Фо1 + n’cj2 - D'pcos8 = 0,8367 + 14-0,3616 - 2,703 -0,3243 = 5,0251 рад/с
<p(tf)= e~14tl (0,3618+5,0251ti)+0,2703sin(10t1 -1,2405) (рад)
Окончание второго этапа ti = t (t=26)
(p(t1 =D) = e~14t' (0,3618 + 5,025It *) + 0,2703 sin( 106 -1,2405) = 0,21223 pad
<p(tt =t* ) = e~14t' [-14(0,3618 + 5,025It* ) + 5,0251] + 2,703cosflOC -1,2405 ) = 1,67339 pad/с
Третий этап движения механической системы.
Начало третьего этапа ti = t = 1,471 с (t2=ti -t* =t-2t =0). Для времени t2 = ti - t
вынужденные колебания прекращаются. Имеем собственные колебания с
сопротивлением. Амплитуда вынужденных колебаний равна нулю.
(p(t2)~e 2 (с и + c23t2 )
ф(12) = с 2 [—n(Cj3 + c23t2) + с23]
Начальные условия: при ti =t', или t =2 Г = 2,942 с (t2 = о)
(p(t2 = о)= срО2 =0,21223 рад; ф (t2 = о) = ф02 = 1,67339 рад/с
^Ро2 ~ с1з ' с1з ~ Ф02 ~ 0,21223 рад
ф(12 =0) = -п-с13+с23
с23 = Ф02 + п' с13 = 1^7339 +14 - 0,21223 = 4,6446 рад/с
ср (t2)= e~14t2 (0,21223+4,6446t2)	(рад)
Строим график cp(t) для интервала времени 0<t<3t*
Исследование установившихся вынужденных колебаний.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
D	h
Д =---- , г()е [) =	--- амплитуда вынужденных колебании
В ст	[(к ‘	)' ТйГ
при переменной частоте возмущения р
Dcm=D(p = O) = ~
к
к2
/I — —Г--	-	--- = Я(п)
4(к2 - р2)2 + 4п2 р2
Обозначим:
. 2п 28 э
« — — - — — 2 безразмерный коэффициент сопротивления
К 1 ч
z - ~ коэффициент расстройки, где р - частота возмущения, она
к
переменная (0< р<6к); к = 14 собственная частота колебании
с
2
при z = 0 Л = 1
так как d > 42, то Лтя.. = 1 при z = 0
при z = 1 (р = к, резонанс) Л = Д = 0,5
при z —> <х> Л —> 1
Строим график Л( Z) для 0 < Z < 3
Фазочастотная характеристика (ФЧХ)
2пр	d-z
e(p) = arctg^2 — или s{z) = arctg
при Z = 0 8 = 0
при z = l (резонанс к = р) £ = Л/2 = Ра&
при z —> со е —> л
Строим график Е(z) для 0 < Z 3


Г V • 		J							Д;	;	; Вариант № 10 •	,		
0,27 : 1 1 	J							/	i	* /	I	1 I	(	*	/	1	1	1 I	1	«	1 r	1	1	*		:	:		 A :	'.		'
0.21 : 1 1 	J			-J			/	4	1 /	• ।	1 /	11	* .../.	l.L	I..	II’	1 1 1	* 1 1	1	I'A	:	:	:	Г \	'	'	I	1
0.14<V / V 6Ж: 1 I 1 I 1	.	 -V- 	..J.	I.		jl  	/ 1	1»	'1	1	i	1 1 P	il	i	/	\ i	ft [	;..l	d.	;	t		1 \ 		:	;
				H 1	11	11 ll	1 1 Il	J	1 I	)	1 1	1	1		\ 	Г	{	 \ 1	'	I	1
i 0.36; 1 1	1 1	1 .L.J.	J	\0.72i ...L		1 1.1\ 		, 1.Д к		1.8! 12.2:/ 2.51 2.9: 1 1	II	A	T 1 1 1	ij	II	/ 1		з.з: 3.6:	4: 4.з: lilt IIII
<0.068: 1 1 	J		.Art...			...\z		i	1	i? 1	i 1	1	J i I 	J....1	1...	И	1 1 1 1	1 1 I	/ 1 i 1	Ji 	i_l	1	lilt IIII IIII IIII
-0.14 : 1 1 		J							1 I ? 1	1	I* 1	1	i1 1	1	/1 	j	j... Ja...	'll1	1	*	'	1 'if'	1		i	। i	L	r	i	।	।	।	। ।	I	/	i	i	i	i	i	
-0.21 : 1 1 1				1 I 11 1	1	j	1 1	i	/	1 1	к	/	1 । ।	i I J i	i	i	i	i till	i	i	i	i i	i /	i	i	i	i	i 1	\ /	1	1	1	।	i i	i	i	i	i	i	
				। ।	iiii	
6/90 :				। । । ।	2.4	i	•	;	; 1	1	1	1	1 1	1	1	JF	1	1	
6.83 \				। । । ।	2.1 :	: x	: 1	1	jT 1	I	1 1	1	./	1	1	•	
0.71 :				। । । ।	1.8 :	:/	:	:	' 1	/	1	'	' 1	/1	1	1	1	
0.59 !				। । । ।	i.5	•	/	:	:	:	: 1	/	1	1	1	' 1	/	1	1	1	'	
0.47 :				। । । ।	i 6	17	•	•	•	• 1 i u	। /	।	i	i	' if	i	i	•	' A	I	।	•		J		
0.36 :				। । । ।	6.89/:	:	:	: j 1	1	1	1 /	1	1	'	'	 '		
0.24 :				। _ । “-i__	1	6.0 :	:	:	:	: / ;	:	:  :	•		
					P i		•	i	I i < '	»	1	;	- —	
0.12 :						
0.51	1		1.5 2.1		2.6 II	0.51	1 1-5 2.1 2.6