Г. А. ЗИСМАН и О. М. ТОДЕС
КУРС
ОБШЕЙ ФИЗИКИ
ТОМ II
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
и
МАГНЕТИЗМ
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в "качестве учебного пособия
для студентов высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972

530.1
364
УДК 530

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 6
Предисловие к первому изданию 7
ЧАСТЬ I
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Глава I. Электрические заряды и электрическое поле 9
§ 1. Взаимодействие электрических зарядов. Единицы измерении
заряда 9
§ 2. Электрическое поле. Вектор напряженности электрического
поля 15
§ 3. Элементарные электрические заряды 22
§ 4. Электрическое поле в диэлектрике. Свободные и связанные
заряды 28
Глава П. Расчет электростатических полей 32
§ 5. Вектор электростатической индукции. Поток индукции . . 3?
§ 6. Теорема Гаусса 39
§ 7. Примеры применения теоремы Гаусса 42
§ 8. Потенциал электростатического поля 49
Глава III. Проводники и диэлектрики 60
§ 9. Проводники в электростатическом поле г 60
§ 10. Диэлектрики в электростатическом поле 64
§11. Поле в неоднородной среде и на границах раздела диэлек-
диэлектриков 72
§ 12. Электрическая емкость проводников 76
§ 13. Энергия электрического поля , 84
часть и
электрический ток
Глава IV Законы постоянного тока 91
§ 14. Электрический ток. Ток проводимости 91
§ 15. Закон Ома для участка цепи Сопротивление проводников. 93
§ 16. Закон Ома для замкнутой цепи 98
§ 17. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа 102
§ 18. Работа, мощность и тепловое действие тока 109
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Основы электронной теории металлов 114
§ 19. Свободные электроны в металлах 114
§ 20. Закон Ома с точки зрения электронной теории металлов • 117
§ 21. Основы современной теории металлов 122
§ 22. Контактные явления и термоэлектродвижущая сила .... 132
§ 23. Термоэлектронная эмиссия. Электронные лампы 140
Глава VI. Электрический ток в электролитах, диэлектриках и полу-
полупроводниках М9
§ 24. Закон Ома для электролитов 149
§ 25. Проводимость газов. Несамостоятельный разряд 154
§ 26. Типы газовых разрядов 159
§ 27. Пробой диэлектриков 169
§ 28. Полупроводники 173
ЧАСТЬ III
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Глава VII. Магнитное поле токов 187
§ 29. Развитие представлений о природе магнетизма 187
§ 30. Магнитное поле тока 193
§ 31. Действие магнитного поля на ток. Взаимодействие парал-
параллельных токов 201
§ 32. Системы единиц. Единицы измерения тока, магнитной индук-
индукции и напряженности магнитного поля 205
§ 33. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля. Маг-
Магнитное поле соленоида 211
§ 34. Поток вектора магнитной индукции. Магнитные цепи . . .217
§ 35. Работа по перемещению проводника с током в магнитном
поле 223
Глава VIII. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле 226
§ 36. Движение зарядов в магнитном поле 226
§ 37. Удельный заряд и масса электрона. Масс-спектроскопия . . 234
§ 38 Электронно-лучевые приборы Электронный микроскоп . . 238
§ 39. Поле одиночного движущегося заряда. Взаимодействие дви-
движущихся зарядов 244
Глава IX. Электромагнитная индукция 249
§ 40. Открытие явления электромагнитной индукции 249
§ 41. Природа и величина электродвижущей силы индукции . . 251
§ 42. Вращение рамки в магнитном поле 262
§ 43. Взаимная индукция. Трансформаторы 255
§ 44. Самоиндукция. Вихревые токи 271
§ 45. Энергия магнитного поля 278
Глава X. Магнитное поле в веществе 282
§ 46. Природа магнитных свойств тел. Диамагнетизм и парамаг-
парамагнетизм 282
§ 47. Вектор намагничения 289
§ 48. Ферромагнетизм 295

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава XI. Электрические колебания и электромагнитные волны . . . 306
§ 49. Ток смещения. Взаимосвязь электрического и магнитного
полей 306
§ 50. Скорость распространения электромагнитных полей .... 311
§ 51. Колебательный контур 317
§ 52. Возбуждение электрических колебаний 328
§ 53. Электромагнитные волны 335
§ 54. Радиосвязь 345
Приложение I. Единицы измерения электрических и магнитных
величин в разных системах, их размерности, переводные мно-
множители 350
Приложение II. Электроизмерительные приборы 353
Предметный указатель 362

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании сделан ряд небольших улучшений, имею-
имеющих целью оттенить физическую сущность изучаемых явлений.
Изложение ведется в международной системе единиц СИ и в
абсолютной гауссовой. Особое внимание уделяется тому, чтобы
научить читателя легко и свободно пользоваться выбранной им
системой единиц и в случае необходимости без затруднения пере-
переходить от одной системы единиц к другой.
Г. А. Зисман,
О. М. Тодес
Октябрь 1964 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее пособие представляет собой второй том курса общей
физики, написанного нами в соответствии с ныне принятой програм-
программой для втузов.
Общая установка, которой придерживались авторы, была изло-
изложена в предисловии к первому тому и остается неизменной.
Второй том содержит учение об электричестве. Часть I посвя-
посвящена электростатике, часть II—электрическому токуй часть Ш —
электромагнетизму.
Секция физики Ленинградского дома ученых организовала
широкое рецензирование рукописи настоящего тома специальными
кафедрами ряда высших учебных заведений Ленинграда, что суще-
существенно помогло авторам в окончательной его доработке. Авторы
выражают свою искреннюю признательность Секции физики ЛДУ
и всем лицам, взявшим на себя труд прочтения и обсуждения
рукописи.
Во втором томе курса §§ 1, 2} 5—27, 52—54 и Приложение II
написаны О. М. Тодесом, §§ 3, 4 и 28—51 и Приложение I напи-
написаны Г. А. Зисманом.
Авторы будут благодарны всем кафедрам физики и отдельным
лицам, которые поделятся с нами соображениями, направленными
иа улучшение курса,
Г. А. Зисман,
О. М. Тодес
Февраль 1959 г.

ЧАСТЬ I
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
ГЛАВА I
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
§ 1. Взаимодействие электрических зарядов.
Единицы измерения заряда
Издревле человечеством наблюдалось мощное проявление атмо-
атмосферного электричества — молния. Свыше двух тысяч лет известна
и другая группа электрических явлений—электризация при трении
тел: потертый янтарь и некоторые другие вещества приобретают
свойство притягивать легкие предметы. Однако изучение электри-
электрических (от греческого слова «электрон» — янтарь) явлений началось
лишь в XVII веке.
Первый крупный научный успех в выяснении природы электри-
электричества был достигнут в середине XVIII века. В 1752—1753 гг. Ломо-
Ломоносов и Рихман в России и Франклин в Америке экспериментально
доказали общность атмосферного электричества и электризации при
трении. Мощная молния и слабые искорки, наблюдаемые в темной
комнате при расчесывании волос гребнем, оказались одним и тем
же электрическим разрядом в воздухе, различающимся лишь мас-
масштабом явления.
Для количественного изучения электричества Рихман сконстру-
сконструировал первый электроскоп, состоявший из металлической линейки
с прикрепленной к ней тонкой нитью. При'электризации нить, от-
отталкиваясь от линейки, отклонялась на некоторый угол, измеряв-
измерявшийся транспортиром.
Ломоносов создал первую теорию атмосферного электричества.
Согласно этой теории атмосферный воздух находится в состоянии
непрерывного движения. Лучи Солнца нагревают поверхность Земли,
которая в свою очередь нагревает прилегающие к ней слои воздуха.
Нагретый воздух поднимается кверху, а на его место опускается
более тяжелый холодный воздух из верхних слоев атмосферы.
Движущиеся друг относительно друга массы воздуха при трении
заряжаются, и это в большом масштабе воспроизводит электризацию
при трении небольших предметов.

10 Ч. Г. ЭЛРКТРОСТАТИКА [ГЛ. I
Уже первые попытки объяснить природу электрических явлений
повлекли за собой важные практические применения. Для защиты
от атмосферных электрических разрядов Франклин предложил мол-
молниеотвод— высокий металлический шест, отводящий молнию в землю
мимо защищаемого им сооружения.
Исходя из простых и изящных опытов, Франклин выдвинул тео-
теорию существования двух разнородных электрических жидкостей
и предложил современную терминологию. Электрический заряд,
скапливающийся на потертой кожей стеклянной палочке, был назван
«положительным», а заряд, скапливающийся на потертом мехом
куске смолы, — «отрицательным».
На основании опытов можно заключить, что одноименные заряды
отталкиваются друг от друга; разноименные заряды притягиваются
друг к другу, а при соединении в равных количествах—нейтрали-
количествах—нейтрализуются.
Силы, возникающие между заряженными телами, действуют
на все электрически заряженные частицы, входящие в состав за-
заряженных тел, в том числе и на те, чей некомпенсированный
заряд обусловливает наблюдаемый заряд тела. Если эти~варяды тесно
связаны с телом, то последнее начнет перемещаться вместе с ними, и по
силе, действующей на тело, можно судить о величине электрических
взаимодействий. При определенных условиях заряды могут переходить
с одного тела на другое или уходить из тела через его поверх-
поверхность.
Процессы движения электрических зарядов и сопутствующие им
явления будут разобраны в двух последующих разделах этого тома
(часть II «Электрический ток» и часть III «Электромагнетизм»).
В этом же разделе мы рассмотрим статические, т. е. непо-
неподвижные, з а р~?1,"ы1<"*с* т этические, не меняющйеся"со^вр_еменем^
электрические по л_д,. Будем считать, что перемещения зарядов
отсутствуют и силы, действующие на заряды, целиком определяются
взаимным расположением зарядов. Взаимные перемещения зарядов
нам придется учитывать лишь при выводе соотношений для работы
и энергии Эти перемещения мы здесь будем считать бесконечно
медленными, т. е. настолько'"медленными, чтобы силы 'взаимодей-
'взаимодействия можно былв предполагать практически не зависящими от
скорости движения зарядов"" -——___——.
Рассмотрение электростатических взаимодействий заря-
заряженных тел мы начнем с простейшего случая взаимодействия т,р>
'ч я ч н ы х зарядов, играющих в учении об электричестве такую
же роль," как материальные точки в механике, 'точечным зарядом
q называется наэлектризованное тело, размеры которого пре-
пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заря-
заряженных тел, с которыми оно взаимодействует. В случае про-
тяженных зарядов, размерами которых пренебрегать нельзя, следует

§ 11 ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ 11
мысленно расчленить их на^достаточно ^^^
из которых может рассматриваться как точечный заряд.
Количественное изучение взаимодействия точечных зарядов, осу-
осуществленное французским физиком Кулоном в 1785 г , проводилось
с помощью чувствительных крутильных весов. На тонкой кварцевой
нити был подвешен горизонтальный стержень с маленьким заряжен-
заряженным шариком на конце. Второй заряженный шарик подносился
к первому на некоторое расстояние в той же горизонтальной пло-
плоскости. В результате электростатических сил притяжения или
отталкивания (в зависимости от знаков обоих зарядов) упругая
нить закручивалась на некоторый угол а
(см. рис. 1.1), тем больший, чем больше была
сила взаимодействия между зарядами. Пред-
Предварительно была определена зависимость угла
закручивания нити от приложенной к шарику
силы. Радиусы заряженных шариков были малы
по сравнению с расстояниями между ними,
так что заряды можно было считать точеч-
ними. Величнну заряда каждого шарика можно
было уменьшать в известное число раз, приводя
его в соприкосновение с одним или несколь-
кими такими же шариками. ^
Обозначим величины взаимодействующих Рис
зарядов через qt и qt и расстояние между
ними через rltS. Из опытов Колона следовало, что^сила взаимодей-
взаимодействия между_ за?ядами /^^роЪо"рцйональна каждому щ „з,адядо.в
и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними;
F **.№¦. A.1)
U
В опытах Кулона электрические заряды находились в воздухе.
Дальнейшие опыты показали, что наличие вещества вокруг jsapsmoi
влияет на величину* силы их взашо"дёйствия.
Если при прочих равных условиях (величинах зарядов и их
взаимном расстоянии) пространство заполнить однородной непро-
непроводящей средой (воздухом, керосином, маслом, стеклом и т. п ),
то сила взаимодействия между зарядами уменьшится. Природа этого
явления будет рассмотрена ниже, в §§ 4 и 10. Влияние той или
иной среды на величину электрического взаимодействия между згь
рядами можно оценить, если сравнить силы между зарядами в от-
отсутствие среды "(FJ'vC при ёТТПш^чии" (F)"' """***" ~ "* -—*—-т=*-
—-Назпвей ОТноШ?ни*ё~ "aaTTTJF" ди э л е к„т?И~~_е_с?ой пр о ни^
цаемостью среды и обозначим эту"вёличину через е:

\2 ч. i. этектростатика Ггл. i
Из A.2) следует, что е есть безразмерная величина. Таким
ооразом, при наличии ^н"ёпроводящёй^"среды, в которую помещены
заряды, закон Кулона принимает вид
A.3)
ег.
Для пустоты е=1, для керосина е=2, у сухой бумаги е=2-г-2,5,
у воды е = 80, а для воздуха при атмосферном давлении е= 1,0006,
т. е. практически евозД=1.
Единицы измерения силы и расстояния были введены в т. 1
в разделе механики. Здесь мы встречаемся с новой величиной —
количеством электричества или электрическим зарядом q, единицу
измерения которой можно выбрать различным образом. Исторически
использовались различные системы единиц: электростатичес!ШГ
(?Е?Эк. электромагнитная (СГСМ), сис_тема_Гаусса (СИЛ или~ про-
просто СГС), практическая* (МКСА)— рационализованная и нерациона-
лизованная. L, 1УБ4 г. ввадёТТа~междуна"рЪ*дна*я"система СИГ'С'бщая
сводка систем и переводные коэффициенты приведены в Приложе-
Приложении I в конце тома. Мы во всем дальнейшем изложении будем
использовать лишь две системы — СГС и СИ.
Абсолютная гауссова система единиц базируется на системе СГС
(сантиметр, грамм массы, секунда). Сила измеряется в производных
единицах-—динах A дин = 1 г-см\сек\ основанных на выборе коэф-
коэффициента пропорциональности во втором законе Ньютона равным
единице. Положим аналогично равным единице и коэффициент про-
пропорциональности в законе Кулона, т.__ е. напишем
Тогда этот закон определит СГС единицу заряда. При е=1, т. е.
в вакууме, и при rlj2=l заряды q1=qi=\ должны быть выбраны
так, чтобы /г,), = 1. Следовательно, СГС единица заряда есть такое
количество^ электричества, которое действует на равный ему
заряду помещенный в вакууме на расстоянии 1 см, с силой, pqg-
ной \_JhiH (об*а~*з"аряда точечные). Отсюда сл"ёдует размерность
заряда~в системе Гаусса
[q] = [Fyi* [г*]Ч* = гЧ*смЧ*еек-\ A.5)
В системе СИ для измерения электрических ^личин вводится
не производная, а независимая четвертая единица. В качестве
основной электрическ?Й единицы выбрана практическая единица
тока — a Mn^ejp 1а57~точное определение которой будет приведешь
в § 527 Единицей заряда в системе СИ является ку_лон (к^т. е.

§ 11 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ 13
количество электричества, протекающее за 1 сек че?ез поперечное.
сечЖиё проводника при" токе™в'цётГ," равном i a:"
\к = \а селг=2,998-10°(«3-10°)СГС ед. заряда. A6)
При введении независимой единицы заряда закон Кулона A 4)
должен содержать коэффициент п^тэщи^а^ыюсги, имеющий
определенную величину и размерность. Мы запишем этот коэффи-
коэффициент в виде отношения двух величин k0 и е0, т. е. положим
F = ^° -Mi. A 7)
Величина в„ носит название электрической посто я н hjdjB,
а множитель kn — коэффици е н т р а пион а л и з а ци "я". Поверх-
Поверхность шТрТ*^^^лгг~"и"полны*й"~тёлесн*ый угол равен 4я. Поэтому
в системе СИ для так называемой _p__ajjjjjo н а л и з а ци и записи
формул во все соотношения, описывающие сферически симметричные
взаимодействия, вводится дополнительный "множитель рационализа-
рационализации ko — j~. Этот множитель вводится и в закон Кулона, запись
которого в системе СИ принимает вид
р __
A-8)
Произведение
еое=еа A.9)
носит название абсолютной диэлектрической проницаемости данной
среды. Величины e^nj^ в системе СИ являются размерными. Из
A.8) следует, что
где, как известно, 1 н= 1 кг-м\секг = 105 дин— единица силы в
системе СИ (ньютон).
Для определения величины е0 рассмотрим пример взаимодействия
двух точечных зарядов в 1 к каждый, помещенных в пустоте на
расстоянии \м друг от друга. Согласно A.4) и A.6) сила взаимо-
взаимодействия между ними равна
= 9.10й Лш = 9-109 н.
Сопоставляя это с A.8), имеем
9 10" «=¦

14 Ч. Г. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 1ГЛ. I
откуда
g ПС 1 1\ — И * /1 1 Т\
A.12)
Для того чтобы записать закон KyflOHF в форме, пригодной
для обеих систем единиц, можно воспользоваться соотношением
A.7), учитывая, что
в системе Гаусса Ао=1 и ео = 1, } A.13)
а в системе СИ k.=J- и е.=8,86-10-12-^ . 1
тЯ Н* М J
В системе Гаусса рационализация не применяется и fto=l.
Формула A.7) определяет величину сил взаимодействия между
зарядами. Поскольку сила есть векторная величина, надо еще
охарактеризовать и ее направление. Для
F -•-—-о ¦ ¦' що +-Е, этого введем радиус-вектор r1)S, прове-
% 9j ?1а %g денный от первого заряда 0, ко вто-
второму qt (рис. 1.2). Если заряды одно-
¦ *-2- именны, то сила Flit, испытываемая заря-
зарядом qt со стороны заряда д, (сила отталки-
отталкивания), будет совпадать по направлению с г, , Введем единичный
вектор направления r1)jr1>t, где г1г—величина радиус-вектора.
Тогда закон Кулона в векторной форме примет вид
F ^о 4i4t _м *о lilt п 1 д\
Силу, испытываемую зарядом qx со стороны заряда дг, получим
простой перестановкой в A.14) индексов 1 и 2.
F k« foffi r л in
где
Г,,г=-Гиж A.16)
представляет собой радиус-вектор, проведенный от второго заряда
к первому. Из формул A.14)—A.16) следует, что
р = F
1 S,l * 1,*>
т. е. взаимодействие электрических зарядов удовлетворяет третьему
закону Ньютона.
Формулы A.14) и A.15) остаются справедливыми и в случае
разноименных зарядов. Произведение дхд2 в последнем случае отри-
отрицательно, и обе силы меняют свое направление—отталкивание
заменяется притяжением.

§ 2] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОР НАПРЯЖРННОСТИ 15
§ 2. Электрическое поле. Вектор напряженности
электрического поля
Удаленные друг от друга точечные электрические заряды взаи-
взаимодействуют по закону A.14). _Воз1Ш«ет вопрос: каким образом
асществляется это взаимодействие^ при отсутствии^вещества^ между,
^зарядами, т. е. каков материальный" носитель взаимодействия?
Этим носителем является связанное "с зарядами э л е к т р!Гч"е с к о е
поле. ""¦ ~
" Неподвижный заряд q, расположенный в какой-либо точке про-
пространства, неразрывно связан с электростатическим полем в окру-
окружающем пространстве. Это поле заполняет все пространство и,
в частности, проявляется в виде силы F, с которой оно воздей-
воздействует на помещаемый в различные точки поля _п_?с>Ан_ый
за_р я д q'.
Нет_существует электростатических полей, не связанных
снарядами, как не" существует «голых»"—не окруженных полем_—
электрических зарядов. В последующих разделах мы увидим, что
нестатические, переменные электрические поля могут существовать
совместно с переменными магнитными полями в отрыве от электри-
электрических зарядов. В настоящем разделе мы рассматриваем неподвиж-
неподвижные заряды и соответственно не меняющиеся в пространстве и
времени статические электрические поля. Для краткости подобные
электростатические поля мы будем называть просто электрическими**
во JLCJLK??L_CJ1-Oi?e таЗ где эт0 не может Bbi3gajb путаницы.
Возвращаясь к 'рассматриваемому случаю взаимодействия двух
точечных зарядов q и q* (рис. 1.3), мы можем теперь толковать
возникновение механических сил ^ F
между ними следующим образом. С за- /» Е F
рядом q связано окружающее его элек- % *^/ * *
трическое поле. Это поле действует на
помещаемый в него второй заряд q' с не- Рис 1 3
которой силой F, определяемой харак-
характером поля в той точке, где находится заряд q'. Поскольку
поле, связанное с зарядом q, зависит от положения этого за-
заряда в пространстве, то сила F зависит от расположения проб-
пробного заряда q' по отношению к q, т. е. от радиус-вектора г,
проведенного от q к q'. В свою очередь с зарядом q' связано
собственное электрическое поле, которое по закону A.14) дей-
действует на заряд q с силой —F, зависящей от тогЪ, в какую
точку поля он помещен.
В случае статических полей электрические поля, создаваемые
зарядами q и q', не взаимодействуют друг с другом и каждое из
них не оказывает воздействия на «собственный» заряд, создающий

1С) Ч. !. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [гЛ. I
данное поле. Электрическое поле, связанное с зарядом q, сущест-
существует независимо от наличия или отсутствия других зарядов. Однако
обнаружить его мы можем лишь с помощью сил, испытываемых
каким-либо другим пробным зарядом q', помещенным в это поле.
Этим обстоятельством и пользуются для количественной характе-
характеристики электрического поля.
Будем рассматривать заряд q как «источник» электрического
поля, в которое на расстоянии г помещен пробный заряд q'. Со-
Согласно закону Кулона A.14) на последний будет действовать сила
F=k l?r = q'M-r B.1)
Отсюда видно, что сила, действующая на пробный заряд, помещен-
помещенный в данную точку поля, зависит от величины этого заряда q' и
прямо пропорциональна последней. С другой стороны, множитель
км ,
пропорциональности, т. е. величина —-—,г, не зависит от q и опре-
опреем/' ^
деляется только величиной заряда q, свойствами среды е и поло-
положением в пространстве той точки, в которой изучается поле,—
значением радиус-вектора г. Эгу величину и можно принять для
количественной характеристики электрического поля:
Е=*!?-г = 4. B.2)
80ел»и д' v '
Вектор Е носит название вектора напряженности элек-
электрического поля. С помощью его можно переписать выраже-
выражение B.1) для механической силы, действующей на пробный заряду',
в виде
F=q'E. B.3)
Следовательно, Е—F при д'=-\-\, и вектор напряженности
электрического поля численно равен силе, действующей в дан-
ной точке на помещенный в нее пробный единичный положитель-
положительный точечный заряд.
Формула B.2) определяет вектор напряженности электрического
поля точечного заряда q. Величина этого вектора
убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника.
В системе Гаусса в„=1г ?п=1 и -
| ?"т я = ^г СГС ед. напряженности поля. B.4а)
Используя A.5), можно определить размерность этой единицы:
I СГС ед. напряженности поля=1 г'Ь-см~'Ь-сек
'1

§ 21
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОР НАПРЯЖЕННОСТИ
17
В системе СИ Уго =
B.46)
Если электрическое поле создается не одним, а несколькими
точечными зарядами qv qt, ..., qn (рис. 1.4), то это поле будет
действовать на пробный заряд q', помещенный в некоторой точке,,
поля, с результирующей силой F. Опыт показывает, что силы,
возникающие в результате электри-
электрического взаимодействия, складываются
по тем же законам, как и силы в ме-
механике, т. е. вектор F равен геомет- \+„г
рической сумме сил F,-, создаваемых *Я/Г
электрическими полями каждого заря-
заряда и определяемых по закону Кулона:
B.5)
Рис. 1.4.
где г(- — радиус-вектор, проведенный из точки /-го заряда в точку
поля, куда помещен пробный заряд q'.
Складывая эти силы и вынося общий множитель q\ получим{
где
(=1
i = n
— V4 '
— x '
1 = 1
B.7)
представляет собой вектор напряженности электрического поля,
создаваемого всей системой зарядов. Из B.7) следует, что вектор
напряженности электрического поля системы зарядов равен гео-
геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в дан-
данной точке каждым из зарядов в отдельности. ^
Это соотношение носит название принципа' наложения,
(суперпозиции) электрических полей. С его помощью можно
в общем виде рассчитывать электрические поля любых сколь угодно
сложных систем электрических зарядов.
Графически поле характеризуют с помощью так называемых
линий напряженности, или силовых линий. Эти линии
проводятся так, чтобы касательные к ним в каждой точке простран-
пространства совпадали по направлению с вектором Е в той же самой точке
(см/ рис. 1.5). Таким образом, силовая линия указывает направле-
направление вектора напряженности элйктрического поля в каждой точке,
через которую она проходит.

18
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[ГЛ. I
Рис. 1.5.
Линии напряженности характеризуют поле весьма иеполно. Элек-
Электрическое поле есть непрерывный материальный объект, линии
же напряженности могут быть проведены с любой, но все же ко-
конечной густотой.
Чтобы с помощью линий напряженности охарактеризовать не
только направление, но и величину вектора Е, условно принимают,
что число линий, проходящих
через единичную площадку, ори-
ориентированную перпендикулярно
этим линиям, должно равнять-
равняться численной величине Е в дан-
данной области поля. Таким обра-
образом, величина напряженности
поля характеризуется густотой,
линий напряженности; в тех об-
областях, где величина Е больше,
линии напряженности проходят
гуще, и наоборот.
В случае поля точечного за-
заряда, согласно B.2), Е||г и ли-
линии напряженности направлены
по радиусам, проведенным из заряда. Для положительного заряда
(9>0) эти линии исходят из заряда и уходят в бесконечность
(рис. 1.6, а). Для отрицательного заряда (<7<0) вектор Е направ-
направлен против радиус-вектора г, а линии напряженности идут из
бесконечности и сходятся в точке нахождения заряда (рис. 1.6,E).
Согласно B.4) Е~ 1[/-!, так что густота линий напряженности
должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния от
заряда. Так как площадь поверх-
поверхности сферы, через которую про-
проходят эти линии, сама возрастает
пропорционально квадрату рассто-
расстояния, то общее число линий будет
оставаться постоянным на любом
расстоянии от заряда. Как мы уви-
увидим ниже, то свойство линий на-
напряженности, что они могут на-
начинаться или кончаться только на
электрических зарядах, но нигде
в пространстве между ними (или уходить в бесконечность), со-
сохраняется и для полей, создаваемых любой системой электриче.
ских зарядов.
В качестве примера принципа наложения электрических полей
рассмотрим поле так называемого постоянного электрического
диполя, который будет часто встречаться в дальнейшем изложе-
1.6.

§ 2] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОР НАПРЯЖЕННОСТИ 19
нии. Диполем называется совокупность двух одинаковых по абсо-
лютной величине разноименных зарядов -\-q и —q, расположенных
на расстоянии / друг от друга. Мы ограничимся случаями, когда
расстояние / мало по сравнению с расстоянием г от центра диполя О
до точки М, в которой определяется напряженность электрического
поля диполя Е (рис. 1.7). При этом условии B<^г) зависимость
Е от радиус-вектора г и угла 9 между г и единичным вектором п,
направленным вдоль оси диполя от отрицательного заряда к поло-
положительному, будет выражаться, как мы покажем, сравнительно
Рис. 1.7.
просто. В непосредственной же близости от зарядов (г«/) поле
имеет значительно более сложный характер.
Соединим точку наблюдения М с обоими зарядами радиус-век-
радиус-векторами г, и г2, проведенными из последних. Тогда вектор напря-
напряженности электрического поля Е,, создаваемого зарядом —q
в точке М, будет направлен против радиус-вектора г,, а вектор
напряженности электрического поля Ег, создаваемого зарядом -\-q
в точке М, будет направлен по радиус-вектору г„ как это изобра-
изображено на рис. 1.7. Векторы Е, и Е, определяются по формуле B.2),
а полный вектор напряженности электрического поля в точке М
равен их геометрической сумме:
^ ±J,. B.8)
Из треугольника OLM на рис. 1.7 видно, что вектор г является
геометрической суммой вектора гг и вектора OL=~n. Отсюда
г2 = г—уП и аналогично гх —r-f-jn. B.9)

20 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [ГЛ. I
Опуская из точки L перпендикуляр на радиус-вектор г, мы видим,
что величина последнего равна сумме двух отрезков:
r=ON + NM=-j cos 8 -f NM.
Используя условие /<^г, мы можем считать в прямоугольном тре-
треугольнике LNM катет NM с точностью до величин второго порядка
малости (~~ 1г) равным гипотенузе гг; тогда
ггтг s-cos9 и аналогично г, «г-J--^-cos 8. B.10)
Подставляя B.10) в B.8), получаем
тп г+тп
B.11)
Раскрывая скобки в знаменателях по формуле бинома Ньютона и
отбрасывая члены, содержащие малые порядков I* и /*, имеем
-|-cos9=rsfl ±-|cos9) •
Воспользуемся известным правилом приближенного деления, согласно
которому при б <^ 1 с точностью до членов второго порядка
' _ IT 6 -ITS
1 ±б~ 1-бг ~ ' -г°-
Тогда
1 1 I?—cose
Подставляя B.12) в B.11) и раскрывая все скобки, получим окон-
окончательно
() B.13)
Отсюда видно, что напряженность поля диполя определяется
не в отдельности величиной зарядов q и расстоянием между ними /,
а произведением
p=qlt B.14)
которое называется электрическим моментом диполя, или
просто дипольным моментом. Поскольку ось диполя имеет
вполне определенную ориентацию в пространстве, то дипольный
момент является вектором. Этот вектор р направлен вдоль оси ди-

§ 2]
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОР НАПРЯЖЕННОСТИ
21
поля от отрицательного заряда к положительному, т. е. по направ-
направлению введенного нами выше единичного вектора п. Следовательно,
Подставляя B.14) и B.15) в B.13), получаем
Зр —¦ cos 0 — р
B.15)
B-16)
Таким образом, напряженность электрического поля диполя Е
прямо пропорциональна величине дипольного момента р и в любом
направлении (для любых значений 9) убывает с ростом г как I//,
Л
Z
Рис. 1.8.
т. е. быстрее, чем поле одиночного заряда (убывающее ~~ l/rz).
Происходит это потому, что заряды диполя имеют разные знаки и
их поля частично погашаются.
Рассмотрим точку N, лежащую справа от заряда -\-q на про-
продолжении оси диполя (рис. 1.8). Для этой точки 9 = 0, cos 9 = 1,
r=rn и
Р.. Ь Р Пп «\ и ЛРП U _Р /О 1 7\
Это соотношение остается справедливым и для точек, лежащих на
оси диполя слева от последнего, где 9=я, cos6 = — I, но г=—т.
Для точки М, лежащей на перпендикуляре к оси диполя,
6=я/2, cos6 = 0 и
ELoca = -kt-K. B.18)

22
4. f. ЭЛЕКТРОСТАТИКА.
[ГЛ. I
Величина напряженности поля в точке М в два раза меньше, чем
в точке N на оси диполя (при том же значении г), а направление
вектора Е противоположно направлению момента диполя.
В общем случае произвольного 6, возводя выражение B.16)
в квадрат и принимая во внимание, что скалярное произведение (гя)
равно г cos 6, можно легко вычислить
величину вектора Е:
B.19)
Устремляя / к нулю, a q к бесконеч-
бесконечности так, чтобы их произведение ql**=p
оставалось неизменным, получаем так на-
Рис 1.9. зываемый точечный диполь (/=0),
поле которого изображено на рис. 1.9.
В случае точечного диполя соотношение /<^г остается верным при
всех значениях г, следовательно, формулы B.16)—B.19) верны без
ограничений.
§ 3. Элементарные электрические заряды
При электризации трением оба трущихся тела заряжаются
разноименно — одно положительно, а другое отрицательно. При этом
абсолютные величины зарядов обоих тел (т. е. без учета их знаков)
оказываются равными, и при соприкосновении они могут вновь
нейтрализовать друг друга.
Это объясняется тем, что при трении происходит не возникно-
возникновение электричества, а лишь разделение положительных и отрица-
отрицательных зарядов, поровну существующих в нейтральных телах.
Рассмотрим замкнутую систему, через поверхность которой
заряды не переходят. Обозначим через ql(i=\, 2, 3, ...) величины
отдельных зарядов, находящихся в системе; для положительных
зарядов ql > 0, а для отрицательных <7,-<0. Тогда, как показы-
показывает опыт, при всех процессах электризации и нейтрализации заря-
.дов внутри системы (замкнутой!) выполняется закон сохране-
сохранения электрического заряда
, = const
C.1)
— алгебраическая сумма электрических зарядов в замкнутой
системе остается постоянной.
Изучая явления электролиза, Фарадей в начале XIX века устано-
установил прямую пропорциональность между количеством электричества,
прошедшим через раствор электролита, и количеством вещества,
выделившимся на электродах. Этот факт указывал на тесную связь
электрической субстанции с веществом. Представления об атомисти-

§ 3] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ 23
ческом строении вещества приводили тогда к предположению
о том, что и электрическая субстанция не является непрерывной,
а существует в природе в виде совершенно определенных «диск-
«дискретных» порций: с каждым ионом (заряженным атомом) вещества
связана определенная порция электричества. Из законов Фарадея
для электролиза (подробнее см. § 24) следует, что с каждым
атомом любого одновалентного химического элемента, выделяю-
выделяющимся на электроде, связана одна и та же порция электрического
заряда, с каждым двухвалентным атомом—ровно вдвое большая
порция и т. д.
Однако вплоть до начала XX века само существование атомов
и молекул оспаривалось многими учеными. Кроме того, законы
электролиза были установлены для макроскопических количеств
вещества, и могло возникать сомнение: может быть пропорцио-
пропорциональность Между количествами прошедшего электричества и выде-
выделившегося вещества соблюдается лишь в среднем для большого
количества атомов, каждый из которых переносит с собой несколько
различные порции заряда. Поэтому гипотеза о дискретной («атом-
(«атомной») природе электричества требовала прямого экспериментального
доказательства.
В 20-х годах XIX века была установлена связь между электри-
электрическими и магнитными явлениями, и центр тяжести интересов физи-
физиков переместился в область изучения свойств электромагнитного
поля, создаваемого зарядами. В теоретических работах Фарадея и
Максвелла была установлена возможность распространения электро-
электромагнитных полей независимо от создающих эти поля движущихся
электрических зарядов. Опытами Герца и Попова было подтверж-
подтверждено существование электромагнитных волн, и последние получили
широкое применение в технике.
То обстоятельство, что электрические заряды всегда окружены
полем, а поле может существовать и изменяться независимо от
зарядов, приводило к представлению о первичности поля и вто-
ричности зарядов. В наши дни с открытием новых взаимодействий
(ядерного, «слабого», связанного с нейтрино,— см. т. III, ч. III) про-
проблема еще более усложнилась и, по-видимому, далека от решения.
Ее рассмотрение выходит далеко за пределы нашего курса.
Изучение катодных лучей, открытых в разрядной трубке Крук-
сом в 1870 г., привело к заключению, что мельчайшие заряженные
частицы, вырываемые из атомов вещества, обладают отрицатель-
отрицательными зарядами. Эти частицы были названы электронами. Из-
Измеряя радиус кривизны траектории пучка электронов, заворачи-
заворачиваемых в магнитном поле, можно было определить удельный заряд
электрона е/т, т. е. отношение его заряда е к массе да (подроб-
(подробнее см. часть III, гл. VIII, § 38). Многочисленные опыты показали,
что (при скоростях электронов, много меньших скорости света)

24 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [ГЛ. I
величина удельного заряда е\т для всех электронов одинакова.
Это указывало на тождественность всех электронов, вырываемых
из атомов различных веществ, на одинаковость их заряда г и
массы (покоящейся) т.
Величина ejm для электрона оказалась в 1836 раз больше, чем
ejM для положительного иона водорода Н+, т. е. для атома водо-
водорода, от которого оторван один электрон. Таким образом, физики
пришли к заключению, что атомы вещества содержат «тяжелые»
положительно заряженные частицы и «легкие» отрицательно заря-
заряженные частицы—электроны. Сообщая телу добавочное число элек-
электронов, мы заряжаем его отрицательным электричеством. Отнимая
от тела часть электронов, мы заряжаем его положительно.
При обычных макроскопических процессах число участвующих
в них электронов столь велико, что дискретность заряда может
не учитываться в такой же мере, как несущественно при отмерива-
отмеривании порции жидкости то обстоятельство, что эта порция должна
содержать целое число молекул. Однако для понимания механизма
электрических явлений знание природы элементарных носителей
электрического заряда совершенно необходимо. Для установления
количественных закономерностей многих процессов существенной
является и абсолютная величина элементарного заря-
заряда е.
Экспериментальное определение величины е и тем самым прямое
доказательство дискретности электрического заряда было впервые
осуществлено в 1909 г. Милликеном. Идея опытов Милликена со-
состоит в следующем.
Представим себе микроскопическую капельку какой-нибудь не-
нелетучей жидкости (например, минерального масла), помещенную
между двумя строго горизонтальными пластинами, заряженными
электричеством противоположного знака (плоский конденсатор).
Меняя с помощью батареи и реостата заряд пластин, можно созда-
создавать в пространстве между пластинами вертикально направленное
электрическое поле Е различной напряженности.
Под воздействием радиоактивных излучений, рентгеновых или
ультрафиолетовых лучей воздух между пластинами конденсатора
ионизуется и в нем появляются отрицательно и положительно заря-
заряженные ионы, т. е. молекулы с избытком или недостатком элек-
электронов. Эти ионы оседают на капельке масла и заряжают ее. Обо-
Обозначим полный заряд, приобретенный капелькой к данному моменту,
через q. Тогда можно, изменяя величину и направление электриче-
электрического поля Е в конденсаторе, подобрать его таким, чтобы элек-
электрическая сила /\,л, действующая на капельку (/7ЭЛ=^?), в точ-
точности уравновесила вес последней mg (m — масса капельки):
qE=mg. C.2)

§ 31 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ 25
При этом капелька повиснет в воздухе и будет оставаться непо-
неподвижной, как это изображено на рис. 1.10. Если масса капельки т
известна, то легко определить несомШ ею заряд:
<7=-g- . \°-°)
с
Определение массы капельки ничтожных размеров является наи-
наиболее трудной частью опыта. Крошечные капельки масла Милликен
получал, разбрызгивая с помощью пульверизатора масло над верхней
пластиной конденсатора. Некоторые из этих микроскопических ка-
капелек, оседая, проникали в пространство между пластинами через
Рис. 1.10.
небольшое отверстие в верхней пластине. Как правило, вследствие
трения при разбрызгивании эти капельки приобрет ли некоторый
первоначальный заряд.
В отсутствие электрического поля (?«=0) капелька под дей-
действием силы тяжести начинала ускоренно падать. По мере возраста-
возрастания скорости падения на нее действовала все большая сила трения
о воздух FTP, направленная против силы тяжести и уменьшающая
ускорение капельки. Микроскопические капельки масла под дей-
действием сил поверхностного натяжения принимают строго сфериче-
сферическую форму, и силу трения для них можно рассчитывать по закону
Стокса:
C.4)
где т] — вязкость воздуха, г — радиус капли и v — скорость ее па-
падения.
Зная плотность масла 6, можно выразить массу капли да и ее
вес mg через ее радиус:
Спустя весьма короткий промежуток времени сила трения срав-
сравнивается с силой тяжести и капля начинает падать равномерно с

26 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [ГЛ. I
постоянной скоростью tf0 такой, что
^ C.6)
Наблюдая за падающей каплей в отсчетный микроскоп (см. рис. 1.11),
можно определить ее перемещение за определенный промежуток
времени и тем самым найти
величину vr Из C.6) тогда
находится радиус капли
Рис. 1.11.
Подбирая напряженность электрического поля Д,, каплю можно
остановить и определить находящийся на ней заряд qi=mgjEl.
Затем включается облучение воздушного промежутка до тех пор,
пока капля не приобретет дополнительный положительный или
отрицательный заряд и ее равновесие нарушится. Изменяя напря-
напряженность электрического поля до некоторого значения Ег, вновь
добиваются равновесия капли и определяют ее новый заряд
q2=mgjEt. Затем вновь включают облучение воздушного проме-
промежутка и т. д.
Получив ряд последовательных значений заряда капли qt, qt,
qv ..., Милликен установил, что как сами величины qh так и их
последовательные разности являются целыми кратными некоторого
элементарного заряда е, т. е.
ц{ = ±п{е, C.9)
где ni—всегда целое число.
Опыты Милликена многократно повторялись, видоизменялись и
уточнялись. В результате использования несколько неточных данных
о вязкости воздуха и вследствие других мелких погрешностей зна-
значение е, полученное Милликеном, оказалось заниженным примерно
на 0,6"/,,. Это было установлено окончательно лишь в 30-е годы и
повлекло за собой необходимость пересмотра численных значений
многих других важнейших физических постоянных. Современное
уточненное значение величины элементарного заряда равно
е~D,802±0,002).10-"'СГС ед. заряда=
= A,601 ±0,001). 10"" к. C.10)
Определение числа Авогадро Ма, произведенное Перреном
в 1916 г., дало возможность вычислить величину элементарного
заряда е другим путем, используя установленные Фарадеем законы

§ 3] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ 27
электролиза. При выделении на электродах одного килограмм-атома,
т. е. ЛГ0 атомов, одновалентного вещества через раствор проходит
вполне определенное количество электричества F. Отношение
jf = e C.11)
представляет собой заряд, переносимый одним одновалентным ионом.
Измерения дали значение F=96,5 • 10" к, число Авогадро No =
=6,02-10" молекул в килограмм-молекуле. Отсюда для е получает-
получается то же значение C.10).
Изучение строения атомов показало, что атомы состоят из поло-
положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена почти вся
масса атома, и движущихся вокруг ядра отрицательно заряженных
электронов. Электроны во всех атомах одинаковы и имеют массу
покоя ие=9,1Ы0-" г и заряд е=— 4,80- Ю0 СГС ед. за-
ряда=—1,6-10~1!1 л:. Ядра различных атомов имеют разную массу,
а нх положительный заряд является целым кратным заряду электро-
электрона. Наиболее легкое ядро атома водорода, частица, называемая про-
протоном, имеет массу /»р= 1,67-10-" г и заряд е=+4,80-10-10 СГС
ед. заряда = -т* 1,6-10"lS к.
Атом в целом электрически нейтрален, суммарный заряд всех
его электронов равен по величине и обратен по знаку заряду
ядра. Если от атома оторвать один или несколько электронов, то
возникает положительно заряженный ион. Если к атому присоеди-
присоединяется один или несколько лишних электронов, то возникает отри-
отрицательно заряженный ион. Процессы переноса электронов или ионов
с одного тела на другое обусловливают электризацию или нейтра-
нейтрализацию этих тел.
Закон сохранения заряда C.1) представлялся ранее простым следствием
неуничтожимое™ элементарных заряженных частиц—электронов и протонов.
Положение, однако, усложнилось в 30-х годах нашего века, когда были
открыты новые элементарные частицы — н ейтрон и позитрон. Нейтрон
является частицей с массой, близкой к массе протона, /nn^mp, и зарядом,
равным нулю. Позитрон же представляет собой положительный электрон,
т. е. имеет массу те = 9,11 ¦ 10~28 г и заряд е= +4,80-Ю-10 СГС ед. за-
заряда = + 1,6' 109 к. Одновременно с открытием этих частиц было обнару-
обнаружено, что все известные частицы способны к взаимным превращениям.
Так, например, при встрече позитрона (е+) с электроном (е~) обе ча-
частицы превращаются в два нейтральных фотона жестких у-лучей:
е++е"-*2у. C.12)
Нейтрон (п), находящийся в свободном состоянии, в среднем через 12 минут
распадается на 3 частицы: положительно заряженный протон (р+), отрица-
отрицательно заряженный электрон и нейтральную частицу малой массы, получив-
получившую название антинейтрино (v):
n~>p++e~+v C.13)
Указанные процессы превращения одних элементарных частиц в другие
могут протекать и в обратном направлении. Например, достаточно жесткий

28 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [ГЛ. I
электрически нейтральный уквант вблизи тяжелого ядра может превра-
превращаться в пару противоположно заряженных частиц—электрон и позитрон:
Y-+e-+e+. C.14)
Ядра атомов состоят из протонов и нейтронов, которые способны при опре-
определенных условиях превращаться друг в друга как по реакции C 13), так и
в противоположном направлении, по реакции
p+-*n+e+ + v, C.15)
где v — нейтрино, причем тяжелые частицы остаются внутри ядра, а
легкие (электрон, позитрон, нейтрино и антинейтрино) вылетают за пре-
пределы атома.
Наконец, наряду с относительно тяжелыми ядерными частицами (ней-
(нейтрон, протои) и легкими (электрон, позитрон, нейтрино, антинейтрино)
в последние годы был обнаружен целый ряд неустойчивых частиц с раз-
различными массами, как промежуточными между массой электрона и массой
протона (мезоны), так и с массами больше массы протона (гипероны).
Существуют положительные, отрицательные и нейтральные мезоны и гипе-
гипероны, причем электрически заряженные мезоны и гипероны имеют заряд,
в точности равный элементарному заряду е= ± 4,80-10~10 СГС ед. заряда.
При взаимных превращениях различных элементарных частиц,
примерами которых являются написанные выше реакции C.12) —
C.15), происходит возникновение и исчезновение отдельных элемен-
элементарных зарядов. Однако и в этих случаях, как при макроскопиче-
макроскопических процессах разделения зарядов, алгебраическая сумма зарядов
исчезающих частиц равна алгебраической сумме зарядов возни-
возникающих частиц.
Таким образом, закон сохранения электрического заряда
является совершенно универсальным, справедливым при всех мак-
макроскопических и микроскопических процессах. Сам же электриче-
электрический заряд является одним из свойств элементарных частиц, у кото-
которых он может принимать лишь одно из трех значений:
+ 4,80-Ю-10 СГС ед. заряда,
е = { 0, C.16)
— 4,80- Ю-10 СГС ед. заряда.
§ 4. Электрическое поле в диэлектрике.
Свободные и связанные заряды
Рассмотрим причины того, что наличие непроводящего вещества
между электрическими зарядами уменьшает их взаимодействие, т. е.
что напряженность электрического поля в среде оказывается мень-
меньшей, чем в вакууме.
Все тела (твердые, жидкие и газообразные) состоят из атомов
и молекул. Последние представляют сложные системы электрических
зарядов, хотя в целом электрически нейтральны. В некоторых телах
часть микроскопических зарядов может свободно перемещаться

§ 4] ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ 29
через все тело. Такие тела способны проводить электрический ток
и называются проводниками электричества. В других телах
свободные заряды отсутствуют, и все микроскопические заряды
тесно связаны друг с другом и движутся вполне определенным
образом. Такие тела не проводят электрического тока и называются
диэлектриками, или изоляторами.
Подробнее к вопросу о свойствах проводников и диэлектриков
и количественным закономерностям электрического поля в различ-
различных телах мы обратимся в следующих параграфах. Здесь же оста-
остановимся лишь на некоторых общих понятиях и явлениях.
Элементарные микроскопические заряды имеют величину
е=4,8-10"и СГС ед. заряда= 1,6- 10~1а к. При размерах атома
г ~ 10~10 м напряженность электрического поля внутри атома
в соответствии с B.4а) имеет огромную величину, порядка
во много раз превышающую достижимые в технике макроскопиче-
макроскопические поля, имеющие порядок 10' в\м.
Однако в целом диэлектрик нейтрален. В любом макроскопиче-
макроскопическом объеме, большом по сравнению с атомными размерами, сум-
суммарные величины всех положительных и отрицательных элементар-
элементарных зарядов равны друг другу и их электрические поля в значи-
значительной степени взаимно компенсируются, весьма быстро убывая
за пределами вещества.
Строго говоря, в точной микроскопической теории любое ней-
нейтральное вещество представляет собой огромное множество заря-
заряженных частиц, движущихся в вакууме. Истинное электрическое
поле Еист, создаваемое этими зарядами, весьма резко меняется от
точки к точке и быстро колеблется с течением времени вследствие
их движения.
Если поместить внутрь диэлектрика макроскопически малое (но
большое по сравнению с атомными размерами) заряженное тело,
то суммарная действующая на него сила будет определяться сред-
средним значением Еист по всей макроскопически малой области, зани-
занимаемой телом. Благодаря большой (по сравнению с электронами и
атомами) инертности макроскопически малого заряда очень быстрые
колебания истинного поля не будут успевать сказываться на движе-
движении последнего. Воздействие поля на этот заряд будет опреде-
определяться средним значением Еист за макроскопически малый проме-
промежуток времени, достаточно большой по сравнению с периодами
колебаний микроскопических зарядов.
Следовательно, макроскопическое поле Е', действующее на
макроскопически малый заряд q'', есть среднее от истинного

30
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[ГЛ. I
микроскопнческого поля Е
'ист-
D.1)
-
-
-
-
©
t
+
*
+
При отсутствии внешнего поля Евст=0.
Внешнее поле Ео вызывает смещение микроскопических зарядов
и появление поля ЁЯС1==Е\ Следовательно, заряд в диэлектрике
будет находиться под действием поля Е=Е0+-Е', отличного от
поля Ео. Это обстоятельство и учитывается введением диэлектриче-
диэлектрической проницаемости в закон Кулона.
Поместим пластину из диэлектрика во внешнее однородное
электрическое поле Ео=const, перпендикулярное к пластине, как
это изображено на рис. 1.12. Вы-
Выделим мысленно макроскопически
малый объем v внутри пластины.
Под действием внешнего поля Ео
микроскопические заряды в объе-
_ __ ме v начнут смещаться: положи-
положило ~1^_^—J+" тельные по полю, а отрицатель-
отрицательные— против поля (см. рис. 1.12).
Микроскопические заряды, состав-
составляющие диэлектрик, связаны и
удерживаются друг около друга
весьма большими внутренними силами, величина которых, как
подсчитывалось выше, во много раз превышает внешнее поле Ел.
Поэтому смещение зарядов внутри диэлектрика (так называемая
поляризация диэлектрика) будет невелико, но тем зна-
значительнее, чем больше приложенное внешнее поле Ео.
При равномерном смещении всех зарядов суммарный заряд
любого макроскопически малого элемента объема диэлектрика не
изменится, т. е. останется равным нулю.
Подобная компенсация, однако, не будет иметь места на гра-
границах диэлектрика. Как видно из рис. 1.12, на правой границе
диэлектрика возникает избыток положительного, а на левой гра-
границе—избыток отрицательного заряда. Эти поверхностные заряды
создают внутри диэлектрика дополнительное макроскопическое
поле Е', линии которого направлены от плюса к минусу, т. е.
против линий внешнего поля Ео. Таким образом, результирую-
результирующее электрическое поле внутри диэлектрика Е по величине будет
равно разности
' D.2)
которое было бы
Е=Еа-Е'<Е0
и уменьшается по сравнению с тем полем а
в данном месте в отсутствие диэлектрика.
Количественные закономерности, связывающие Е' и Е с Е^
будут разобраны ниже, в § 10. Здесь же ограничимся простыми

§ 41 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ 31
качественными соображениями. Очевидно, чем сильнее внешнее
поле ?0, тем сильнее будут смещаться микроскопические заряды
внутри диэлектрика и тем больше избыточных связанных зарядов
появится на обеих поверхностях диэлектрической пластины. Будем
считать, что величина этих зарядов пропорциональна полю ?0. По-
Поскольку создаваемое ими дополнительное поле Е' в свою очередь
пропорционально величине этих зарядов (как это видно из разобран-
разобранных выше примеров B.2) и B.13)), то должна соблюдаться про-
пропорциональность
?'~?, и Е=Еа—Е'^Еа. D.3)
Вводя соответствующий коэффициент пропорциональности, можно
последнее соотношение записать в виде равенства
?=!*-, D.4)
откуда, учитывая D.2), заключаем, что величина в должна быть
больше единицы.
Именно это ослабленное поле и будет действовать на пробный
заряд q', помещенный в данную точку диэлектрика. Согласно B.6)
E=F при ?'=+1, т. е. вектор напряженности электрического
поля в данной точке численно равен силе, действующей на единич-
единичный пробный точечный положительный заряд, помещаем, й в эту
точку. Слово «точечный» при этом следует понимать макроскопи-
макроскопически: пробный заряд должен быть мал по сравнению с расстоя-
расстояниями до других макроскопических зарядов, создающих внешнее
поле Ео, но, с другой стороны, должен быть достаточно велик по
сравнению с атомными размерами, так чтобы на него оказывало
воздействие не истинное резко меняющееся микроскопическое
поле Еист, а усредненное макроскопическое поле Е'.
Таким образом, диэлектрик в электрическом поле поляризуется
и создает дополнительное поле Е', источниками которого являются
связанные с диэлектриком микроскопические заряды разных знаков,
смещенные в разные стороны и, следовательно, частично разде-
разделенные. В приведенном выше примере диэлектрической пластины
в однородном внешнем поле связанные заряды концентрируются
на ее границах. В более общем случае неоднородных полей и
диэлектриков сложной конфигурации поляризация соседних объемов
диэлектрика будет различной и связанные заряды будут распреде-
распределяться не только по поверхности, но и по объему диэлектрика.

ГЛАВА II
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
§ 5. Вектор электростатической индукции.
Поток индукции
Основной прикладной задачей электростатики является расчет
электрических полей, создаваемых в различных приборах и аппара-
аппаратах (конденсаторы, кабели, электровакуумные приборы и т. д.).
В общем виде эта задача решается с помощью закона Кулона и
принципа наложения при использовании формул B.2) и B.7). Однако
уже разобранный в § 2 простейший пример поля двух точечных
зарядов (постоянный диполь) иллюстрирует сложность вычисления
этим путем распределения значений вектора Е в пространстве. При
наличии большого числа точечных или пространственно распреде-
распределенных зарядов эта задача сводится к сложному суммированию
или интегрированию.
Еще ббльшие трудности вызывает расчет электрических полей
при наличии в пространстве диэлектриков или проводников, внутри
которых под действием внешнего поля Ео происходит смещение и
перераспределение микроскопических зарядов, создающих свое
дополнительное поле Е'.
Поэтому для практического решения основных задач электро-
электростатики был разработан целый ряд вспомогательных методов и
приемов, использующих подчас весьма сложный математический
аппарат. Мы рассмотрим лишь один из простейших методов, осно-
основанный на применении теоремы Остроградского — Гаусса (называе-
(называемой в электротехнике просто теоремой Гаусса). Для вывода ее
придется предварительно ввести ряд важных вспомогательных поня-
понятий, таких как вектор электростатической индукции и поток этого
вектора. Существенную роль для понимания физических свойств
поля играют вводимые в данной главе понятия потенциальной энер-
энергии и электрического потенциала поля.
В местах появления положительных связанных зарядов -будут
возникать новые линии суммарного вектора напряженности электри-

§ 5]
ВЕКТОР ИНДУКЦИИ. ПОТОК ИНДУКЦИИ
83
ческого поля Е, а в местах появления отрицательных связанных
зарядов эти линии будут исчезать. Вследствие этого при переходе
через границу диэлектрика напряженность электрического почя Е
и характеризующая ее густота линий поля изменяются скачком.
Еще сложнее будет выглядеть картина линий поля в случае, когда
связанные заряды распределены в диэлектрике непрерывно (что
будет иметь место в неоднородном поле и в случае -диэлектрика
произвольной формы).
Рассмотрим простейший пример. На рис. 1.13 кзображен слу-
случай, когда точечный заряд q помещен в центре сферической по-
полости внутри безграничного диэлектри-
диэлектрика. Внутри полости вакуум, е=1 и
f —Ml
В диэлектрике е>>1 и
E.1)
E.2)
Л.
\-
\ -<"
а/
7^
1
_^
Т
/X
/Л
N Г
i.
Рис 1 13
На границе полости с диэлектриком кон-
концентрируются связанные отрицательные
заряды, напряженность поля уменьшается
в 8 раз и соответственно скачком умень-
уменьшается густота силовых линий.
Скачкообразное изменение вектора напряженности электриче-
электрического поля и числа линий напряженности на границах диэлектриков
создает ряд неудобств при расчете электрических полей. Поэтому
вводят вспомогательное векторное поле ¦
[ E.3)
\ Р=ваЕ=
[
Вектор D, равный произведению вектора напряженности электри-
электрического поля на абсолютную диэлектрическую проницаемость среды
в данной точке, носит название вектора электростатиче-
с кой индукции^ (иногда — в е ктора э л е кт р и ч е с к or q
с м е щ е н и я). *~*
' В гауссовой системе единиц ео=1 и D и Е имеют одинаковые
размерности. Для вакуума D=E. В системе СИ размерности D и Е
различны, в вакууме D и Е не совпадают. Это обстоятельство
является существенным недостатком системы единиц СИ, обуслов-
обусловленным введением отличной от единицы и размерной^ величины в^.
Подставляя E.1) и E.2) в E.3), легко убедиться, что в рас-
рассмотренном выше примере вектор электростатической индукции
точечного заряда и в полости, и в диэлектрике выражается одной
и той же формулой: q г
2 Г. А. Зисман и О. М Тодес

34
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[ГЛ. II
В системе Гаусса абсолютная диэлектрическая проницаемость
ея есть величина безразмерная (ео= 1 и ва=е) и вектор D согласно
E.3) имеет ту же размерность, что и Е, а в пустоте (е=1) оба
эти вектора тождественно равны друг другу. В этой системе &0 = 1
и вектор электростатической индукции точечного заряда равен
ед. индукции.
E.4а)
В системе СИ и численные значения, и размерности векторов
D и Е различны (даже в пустоте, что является большим не-
неудобством системы СИ). Размерность вектора D в этой системе
будет
В системе СИ Ао—1/4я и вектор электростатической индукции
точечного заряда равен
JL*. E.46)
Из определения E.3) и равенства B.7) следует, что для поля
вектора D имеет место принцип суперпозиции, как н для поля Е:
D=2d,-, E.5)
т. е. вектор электростатической индукции, создаваемый в данной
точке поля системой электрических за-
зарядов, равен геометрической сумме век-
векторов индукции, создаваемых в той же
точке каждым из зарядов в отдельности.
Поле D графически изображается ли-
линиями индукции точно так же, как и
поле Е. Линии индукции проводят так,
чтобы в каждой точке их направление
совпадало с направлением вектора D в этой
же точке, а число линий, проходящих
через единичную площадку, перпенди-
перпендикулярную к ним, равнялось бы числен-
численному значению D в данном месте.
Общая картина поля D оказывается
более простой, чем поля Е. Для рас-
рассмотренного выше (рис. 1.13) примера заряда в центре поло-
полости, согласно E.4) линии вектора D пойдут непрерывно, как это
изображено на рис. 1.14. Сопоставляя рис. 1.13 ирис. 1.14, можно
видеть основное различие между полями Е и D. Линии вектора Е
начинаются (и кончаются) на любых как свободных, так и связан-
\
V
\
—-грг-
/
W
Г
/
1 /
f
\ j.
Рис. 1.14.

§ 5]
ВЕКТОР ИНДУКЦИИ. ПОТОК ИНДУКЦИИ
35
ных зарядах, и поэтому на границе диэлектрика густота этих линий
изменяется скачком. В отличие от этого, линии вектора D начи-
начинаются (и кончаются) только на свободных зарядах, и па границе
диэлектрика их густота оста-
остается неизменной.
Если бы в рассмотренном
примере диэлектрик вовсе от-
отсутствовал, то для точечного
заряда в пустоте (s= 1) на-
напряженность электрического
поля была бы равна
Сопоставляя E.4) с
видим, что
т. е. при наличии диэлектри-
диэлектрика вектор D с точностью до
постоянного множителя е0 (за-
(зависящего от выбора системы
единиц) совпадает с вектором
напряженности электрического
Рис. 1.15.
поля Ео в отсутствие диэлектрика. Правда, соотношение E.7) выпол-
выполняется лишь в самых простейших случаях. В общем случае диэлект-
диэлектрика произвольной формы характер распределения линий вектора

36
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА.
[ГЛ. II
D может весьма существенно отличаться от картины поля Ео. На
рис. 1.14 было показано сферически симметричное поле Ео точечного
заряда -f-<7 B вакууме. Поместим в это поле диэлектрик А произ-
произвольной формы. Тогда на поверхности диэлектрика, ближайшей к
заряду q, сконцентрируются отрицательные связанные заряды,а на
противоположной границе — положительные заряды, как это изобра-
изображено на рис. 1.15, а. Эти заряды создадут дополнительное доволь-
довольно сложное поле Е', линии которого показаны пунктиром. Полное
поле Е=Е0 + Е' будет отличаться от поля Ео особенно сильно внут-
внутри диэлектрика, но и вне диэлектрика линии Е перестанут быть сфе-
сферически симметричными и примут вид, изображенный на рис. 1.15, б.
Умножая вектор Е на еа,,мы получим вектор D, линии которого
изображены на рис. 1.15, в. Вне диэлектрика еа==е0=1 (в си-
системе Гаусса) и линии D пойдут так же, как и линии Е на рис. 1.15, б.
Внутри диэлектрика е=ев>>1, линии D направлены так же, как
и Е, но густота их возрастает так, что на границах диэлектрика
количество линий индукции не изменяется. Сопоставляя рис. 1.15, в
и а, мы видим, что в этом случае линии вектора D существенно
отличаются от линий вектора Ео, т. е. D^^E,,.
Непрерывность линий индукции значительно облегчает вычисле-
вычисление вектора D при заданном распределении свободных зарядов.
После того же, как будет найдено распределение значений вспомо-
вспомогательного вектора D во всех точках пространства, можно найти
искомые величины вектора напряженности электрического поля
с помощью простого деления
на соответствующие значения
диэлектрической проницаемо-
проницаемости:
г. 1
E.8)
Для вывода основного урав-
уравнения, связывающего поле
вектора D с распределением
свободных зарядов (см. ниже,
§ 6), введем предварительно
еще одну вспомогательную
величину—поток вектораО че-
через поверхность.
Рассмотрим простейший случай однородного поля, в кото-
котором D —const, т. е. вектор_индукции повсюду одинаков и по вели-
величине, и по направлению. В этом случае все линии индукции прямые
и идут параллельно на одинаковом расстоянии друг от друга (см.
рис. 1.16). Построим площадку 5 произвольной формы, перпенди-
перпендикулярную линиям вектора D, и определим поток индукции через
Рис. 1.16.

§ 5]
ВЕКТОР ИНДУКЦИИ. ПОТОК ИНДУКЦИИ
37
нее как произведение D на S:
N=DS. E.9)
Поскольку через единицу площади проходят D линий индукции,
то величина N численно равна полному числу линий индукции,
пронизывающих эту площадку. Проведем теперь площадку 5 на-
наклонно к линиям индукции (см. рис. 1.17). Ориентация площадки
в пространстве характеризуется перпендикулярным к ней вектором
нормали п. При этом сто-
сторона площадки, из которой
выходит нормаль п, назы-
называется положительной, а
противоположная сторона—
отрицательной*). Угол а
между направлением век-
вектора индукции и нормалью
п к площадке может из-
изменяться от 0 до 180е. Для
нахождения числа /V линий
индукции, проходящих че-
через эту площадку, спроек-
спроектируем последнюю на пло-
плоскость, ¦ перпендикулярную
вектору D. Из рис. 1.17
видно, что через площадку 5 и ее проекцию Snp проходит одина-
одинаковое число линий индукции, равное
N=DSnv = DScosa=DnS, E.10)
где Dn=D cosa—проекция вектора индукции на направление нор-
нормали к площадке.
Величина N, определяемая формулой E.10), называется пото-
к о м в ектора электростатической индукции (или
потоком вектора электрического смещения) через площадку S.
Термин поток заимствован из гидродинамики: определяемый ана-
аналогично E.10) поток вектора скорости численно равен объему жид-
жидкости, протекающей за единицу времени через данную площадку.
Поток индукции есть скаляр, который в зависимости от вели-
величины угла а может быть как положительным, так и отрицательным.
При а<90° линии индукции направлены по отношению к пло-
площадке в ту же сторону, как и вектор п, выходят из ее поло-
положительной стороны, и, следовательно, N>0 (см. рис. 1.18, а).
\п
Рис. 1.17.
*) Выбор положительного направления нормали условен. Если площадка
ограничивает некоторый объем, то нормаль п направляют обычно наружу
по отношению к этому объему.

38
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[ГЛ. И
При «5>909 линии индукции входят в положительную сторону
площадки и ЛГ<0 (см. рис. 1.18, б). Наконец, при а = 90° cosa = 0
и ЛУ—О, так как линии индукции в этом случае скользят вдоль
площадки и не пересекают последнюю (см. рис. 1.18, в).
ч
/
Лас
\
л
\
ч
/
/
л
a) N>0
б) N<0 < ^ N=0
Рис. 1.18.
В общем случае неоднородного поля (D^ const) и произвольной
неплоской поверхности 5 (n^= const) для нахождения полного потока
вектора электростатической индукции N через площадку ее следует
мысленно разбить на отдельные бесконечно малые площадки IS.S
(см. рис. 1.19). Считая
каждую такую площадку
практически плоской и
поле в ее пределах
практически постоянным,
можно по формуле E.10)
вычислить поток линий
индукции, проходящих
через эту площадку:
Рис. 1.19.
=DnAS. E.11)
Суммируя элементарные потоки AN, проходящие через каждый
участок поверхности AS, по всем таким элементарным участкам, мы
найдем полное число линий индукции Л^, пронизывающих поверх-
поверхность S: v
(S) V ' '
В пределе эта сумма заменится соответствующим интегралом по по-
поверхности:
N= ^ D cos a dS= J DndS. E.13)
F) (S)

§ 6]
ТЕОРЕМА ГАУССА
39
Из E.12) и E.4) следует, что поток вектора электростатической
индукции N имеет размерность электрического заряда и в системе
единиц СИ измеряется в кулонах.
Если поле создается системой электрических зарядов qi (г=1,
2, 3, ...), то по принципу наложения E.5) вектор электростати-
электростатической индукции D в любой точке поля равен геометрической сумме
векторов D,, создаваемых каждым /-м зарядом в этой точке. Проек-
Проекция геометрической суммы векторов на любое направление (в том
числе и на направление нормали к площадке п) равна алгебраической
сумме проекций всех этих векторов на то же направление. Со-
Согласно E.12) поток N пропорционален величинам Dn. Поэтому для
произвольной поверхности S поток вектора электростатической
индукции N, создаваемый системой электрических зарядов, равен
алгебраической сумме потоков индукции N;, создаваемых каждым
зарядом в отдельности:
N = 2Ni. E.14)
§ 6. Теорема Гаусса
Закон Кулона в форме B.2) и правило наложения электрических
полей B.7) в принципе позволяют рассчитать поле, создаваемое любой
системой точечных зарядов. В случае
непрерывного распределения заряда
в пространстве суммирование в B.7)
следует заменить соответствующим
интегрированием. Практически, однако,
вычисление соответствующих сумм
и интегралов часто представляет собой
весьма трудоемкую математическую
задачу. Поэтому был разработан целый
ряд вспомогательных методов и при-
приемов, упрощающих вычисление. Одним
из таких практически важных и про-
простых методов является применение
теоремы Гаусса, краткий вывод кото-
которой мы приведем ниже. Эта теорема
позволяет найти поток вектора электростатической индукции через
замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические
заряды.
Рассмотрим сначала один точечный заряд q, помещенный в центре
сферы произвольного радиуса г (см. рис. 1.20), и вычислим- пол-
полный поток индукции N, проходящий через всю поверхность этой
сферы наружу. Из E.4) следует, что в этом случае численное
значение вектора D на всей сфере 5 (г=const) одинаково
Рис. 1.20.

40
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[ГЛ. 11
и равно
F.1)
Кроме того, направление вектора D при этом в каждой точке сов-
совпадает с направлением внешней нормали к сфере. Тогда входящий
в формулу E.12) cosa = cosO°=: 1. Поэтому полный поток индукции
через нашу сферу равен
~ F.2)
= V4n?, J
так как полная поверхность сферы S=4nr2.
Из F.2) следует, что поток индукции, создаваемый точечным
зарядом, для сферы любого радиуса с центром в источнике поля
одинаков и численно равен А0-4л#. Проведя две такие концентри-
концентрические сферы радиусами гх и гг (см. рис. 1.21), мы видим, что
число линий индукции N, прони-
пронизывающих обе сферы, одинаково.
Между этими сферами линии
индукции идут непрерывно, нигде
не заканчиваясь и не возникая
вновь. Поэтому, если мы про-
проведем между этими двумя сфе-
сферами замкнутую поверх-
поверхность 5, произвольной формы,
тоже охватывающую наш
точечный заряд gt то полное
число линий индукции N через
эту поверхность будет также
равно ka-4nq.
При вычислении потока через
замкнутую поверхность, так же
как и в случае сферы, вектор
нормали п следует считать направленным по отношению к поверх-
поверхности наружу. Линии индукции, выходящие из объема, ограничен-
ограниченного данной поверхностью, создают положительный поток, линии же,
входящие в объем,— отрицательный поток.
Если между нашими сферами с произвольными радиусами рас-
расположить замкнутую поверхность St, не охватывающую
заряда q, то, как видно из рис. 1.21, каждая линия индукции будет
пересекать эту поверхность дважды, один раз с положительной
стороны (войдет в поверхность), а другой__раз с отрнцатедьнлй
стороны (выйдет из поверхности). Поэтому алгебраическая сумма
линий индукции, проходящих через замкнутую"поверхность Stl т^е.
полный поток индукции У~чёрез эту поверхность, будет равна
нулю.
Рис. 1.21.

§ 61
ТЕОРЕМА ГАУССА
41
Таким образом, для одного точечного заряда q полный поток
индукции через любую замкнутую поверхность S будет равен
N==kfs-4nq, если заряд расположен внутри
замкнутой поверхности;
N=0, если заряд расположен вне замк-
замкнутой поверхности,
F.3)
и результат этот от формы поверхности не зависит.
В соответствии с E.14) в общем случае электрического поля,
создаваемого произвольной системой точечных зарядов (см. рис, 1.22),
полный поток индукции, про-
проходящий через замкнутую по-
поверхность S, равен
где окончательное суммирова-
суммирование распространяется только
на заряды, расположенные
внутри этой поверхности.
Отсюда получается оконча-
окончательная формулировка теоре-
теоремы Гаусса: поток вектора
электростатической индук-
индукции через любую замкнутую Рис. 1.22.
поверхность численно равен
алгебраической сумме находящихся внутри этой поверхности
зарядов, умноженной на 4nk0.
В гауссовой системе е„= Г,
теоремы Гаусса принимаетвид:
= 1 и математическая запись
В системе СИ &„=1/4я и"
F.4а)
F.46)
Теорема Гаусса может быть применена не только к векторному
полю D, но и к полю Е„, создаваемому только свободными заря-
зарядами. Действительно, если убрать из прля все диэлектрики, то
DBaK = e0E0.| F.5)
Подставляя. F.5) в F.4) и вводя понятие потока вектора напряжен-
напряженности электрического поля '

42 ч- '• электростатика [гл. и
получаем
Л'0=^4л?<7;. F.7)
Теорему Гаусса можно было бы вывести также для полного макроско-
макроскопического поля Е, если учитывать все его источники —как свободные,
так и связанные заряды Поскольку, однако, распределение связанных заря-
зарядов само зависит от Е, то пользоваться подобным соотношением неудобно,
и иа практике оно не применяется.
Как будет показано в следующем параграфе, теорема Гаусса F.4)
позволяет сравнительно просто рассчитывать электрические поля
при симметричных распределениях зарядов и окру-
окружающих их диэлектриков. В более общем случае целесооб-
целесообразно, применяя теорему Гаусса к любому макроскопически малому
объему, перейти от интегрального соотношения F.4) к эквивалент-
эквивалентным ему дифференциальным. Эти дифференциальные уравнения
в частных производных рассматриваются и решаются в теоретической
электродинамике (уравнения Максвелла).
§ 7. Примеры применения теоремы Гаусса
Разберем несколько примеров применения теоремы Гаусса к ра-
расчету электрических полей в простейших практически важных случаях.
Пример 1. Поле равномерно заряженной сферы.
Сферу радиуса R, помещенную в среду с диэлектрической
проницаемостью в, зарядим так, чтобы весь ее заряд q равно-
равномерно распределился по поверхности (рис. 1.23, а). На каждой
единице площади поверхности шара будет тогда находиться заряд
Величина о называется поверхностной плотностью
электрического заряда (ее единицей является, например,
к\ мг).
Так как заряд расположен совершенно симметрично, то и соз-
создаваемое им электрическое поле также должно обладать сфериче-
сферической симметрией. Следовательно, линии вектора индукции D
должны быть направлены по радиусам, проведенным из центра
шара (рис. 1.23, а), а численное значение D может зависеть
только от расстояния г до центра шара. Вид этой зависимости
D = D(r) G.2)
мы найдем с помощью теоремы Гаусса.

§ 7]
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ГАУССА
43
Представим себе мысленно вспомогательную сферу S' произволь-
произвольного радиуса г>#, концентрически охватывающую наш шар. Эта
сфера изображена на рис. 1.23, а штрих-пунктиром. Вычислим поток
индукции через сферу 5'. Из E.12) и G.2) следует
N ^^DdS cos a=D (r) $ dS • \ = D(r)-inr\ G.3)
Так как /•>•/?, то суммарный заряд, заключенный внутри этой
сферы, равен полному заряду шара:
2 ?,•=?¦ <7-4)
Подставляя G.3) и G.4) соответственно в левую и правую части
Рис. 1.23.
формулировки теоремы Гаусса F.4), получаем D(r) • 4яг2 = &0.4зт<7,
откуда
и соответственно
F —D—b
'-вне шара — Г~г — «
.не шара — кй f%
D , q
G.5)
G.5а)
Для изображенной на рис. 1.23,а пунктиром сферы 5" радиуса
r<lR поток индукции выражается также формулой G.3). Однако
в этом случае внутри сферы 5" зарядов нет и
2 *,=<>.
G.6)
Подставляя G.3) и G.6) в F.4), получаем D(r) ¦ 4ягг = 0; следова-
следовательно,
D
внутри шара
= 0
GJ)

44
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[гл. и
^внутри шара — О- ('•")
Сравнивая G.5) с B.4), видим, что электрическое доле снаружи
шара, равномерно заряженного по поверхности, в точности такое же,
как если бы весь заряд шара <7.был сосредоточен в одной точке —
центре .шара. ВПутри~жё~шара поля, создаваемые зарядами, распо-
расположенными на отдельных участках его поверхности, взаимно ком-
компенсируются и суммарное поле равно нулю. График зависимости Е
от г вне и внутри шара изображен на рис. 1.23,6; видно, что на
границе шара напряженность электрического поля меняется не
непрерывно, а скачкообразно, возрастая от ?=0 внутри шара до
G.9)
сти.
на внешней его поверхнос1!
Пример_2. Поле равномерно заряженной плоскости.
Представим себе равномерно заряженную бесконечную плос-
плоскость (рис. 1.24) с постоянной поверхностной плотностью заряда
а. Линии индукции в этом случае, очевидно, должны быть направ-
направлены симметрично в обе стороны от плоскости и идти перпендику-
перпендикулярно ей. Из симметрии также следуедц-что абсолютная величина
вектора индукции Т5 может зависеть только от расстояния х до
плоскости.
Для нахождения вида зависимости D=D(x) мы применим тео-
теорему Гаусса к замкнутой цилиндрической поверхности, изображен-
изображенной на том же рис. 1.24. Ось цилиндра перпендикулярна заряженной
плоскости, и последняя делит высоту цилиндра 2х пополам. Оба
основания параллельны заряженной плоскости и имеют одинаковую
площадь S.
Поток индукции через цилиндрическую поверхность равен
N= 2 DAS cos a+ 2 2 DAS cos a. G.10)
бок. пов. основ

§ 7] ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ГАУССА 45
На боковой поверхности вектор D параллелен поверхности и
cosa = 0. На торцах цилиндра вектор D перпендикулярен поверх-
поверхности и cosa=l, а величина D одинакова на обоих основаниях;
следовательно,
N=1 2 D\S-\=2DS. G.11)
сенов
Проведенная цилиндрическая поверхность вырезает из плоскости
такую же площадку 6' с полным зарядом
2fc = oS. G.12)
Подставляя G.11) и G.12) соответственно в левую и правую части F.4),
получаем
откуда
Dns = ka ¦ 2яа = const G.13)
и соответственно
Еал = ка^. G.14)
В системе Гаусса 80 = 1, &o = J.,JL
G.14а)
В системе СИ еа = еов, А0=1/4я, и благодаря этому в окончатель-
окончательном выражении л —
G.146)
отсутствует множитель, содержащий 4л (поле не обладает сфери-
сферической симметрией).
Из G.13) следует, что по обе стороны плоскости вектор индук-
индукции D во всех точках одинаков по величине и направлению, т. е.
образует однородное поле (D = const).
Для отрицательно заряженной плоскости о<0и линии индукции
справа и слева входят в плоскость, кончаясь на отрицательных
зарядах. В случае равномерно заряженной плоскости с конечными
размерами L выражение G.13) будет справедливым для точек поля,
находящихся на расстоянии х от плоскости, достаточно малом по
сравнению с L, и не слишком близких к ее краям. У краев же
пластины и на расстояниях, сравнимых с размерами последней,
электрическое'поле перестает быть однородным.
Пример 3. Поле между двумя плоскостями, равномерно
с одинаковой плотностью заряженными разноименными зарядами
(плоский конденсатор).

46
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[ГЛ. II
р
создаваемые положительной
Рассмотрим систему двух бесконечных плоскостей (пластин), рас-
расположенных параллельно друг другу и равномерно заряженных заря-
зарядами противоположного знака с одинаковой поверхностной плот-
плотностью. Поверхностную плотность заряда на пластинах обозначим
соответственно через +о и —о (рис. 1.25). Линии индукции D+,
пластиной, идут в обе стороны от
пластины, как показано на рис. 1.25
простым пунктиром. Абсолютная вели-
величина вектора индукции равна ^»-2л,о.
Поле, создаваемое отрицательной пла-
пластиной, D_, также однородно и имеет
ту же абсолютную величину k-2iw,
но линии индукции его направлены
к пластине, как показано на том же
рисунке штрих-пунктиром.
Результирующее поле, создавае-
Рис. 1.25. мое обеими плоскостями, определится
по принципу наложения E.5). Как вид-
видно из чертежа, вне конденсатора линии индукции от обеих пластин
направлены противоположно друг другу и взаимно компенсируются,
т. е. поле отсутствует:
«—+,
—,
—.
.._
¦—-U И ?внешн — U.
Внутри же конденсатора оба поля направлены одинаково и
•4гат.
G.15)
р^ k • 2яа -f ka ¦ 2no=
G.16)
Отсюда напряженность поля в любой точке между пластинами
р
^-внутр — "
G.17)
где е — относительная диэлектрическая проницаемость среды, запол-
заполняющей пространство между пластинами. В пустоте напряженность
поля между пластинами равна
G.18)
Из G.15) и G.17) следует, что поле безгранично протяженного
плоского конденсатора целиком сосредоточено между его пластинами
и однородно. Полученный результат можно приближенно применять
и для конденсаторов конечных размеров, причем ошибка в расчете
внутреннего поля будет тем меньше, чем меньше расстояние между
пластинами d по сравнению с линейными размерами самих пластин.
На рис. 1.26 изображена примерная картина линий поля в реальном
плоском конденсаторе конечных размеров.

§ 7]
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ГАУССА
47
Суммарное поле ?Внутр действует на любой посторонний заряд qf,
помещенный между пластинами. На заряды же, расположенные на
каждой из пластин, действует вдвое меньшее поле G.14), созда-
создаваемое только другой пластиной конденсатора.
Поле положительной пластины направлено от нее
и действует на отрицательные заряды второй пла-
пластины с силой, направленной против поля, т. е.
с силой притяжения. Поскольку эти заряды связаны
О'пластиной, то на всю пластину площади 5 дейст-
действует суммарная сила притяжения
( г
I
Такая же сила притяжения действует и на положи-
положительную пластину; между пластинами конденсатора
возникает взаимное притяжение с силой на единицу
площади
¦fc ipSj;
Рис. 1.26.
Подобные механические силы, возникающие между заряженными
макроскопическими телами, носят название пондеромоторных
сил. Эти силы действуют на проводники и диэлектрики, помеща-
емые в электрическое поле, и заставляют их перемещаться в этом
поле и деформироваться. Общий метод вычисления пондеромо-
пондеромоторных сил будет указан ниже, в § 13. Измеряя пондеромотор-
ные силы, например, с помощью пружинных весов, мы получаем
возможность определения величин электрических зарядов и полей
механическим путем. На этом принципе работают так называемые
абсолютные электрометры.
Пример 4. Поле равномерно заряженного шара.
Сферу радиуса R, изображенную выше на рис. 1.23, а, заря-
зарядим равномерно по всему объему. Объемную плотность заряда
обозначим
е=т^-- G-2i)
Учитывая те же условия симметрии, как и в примере 1, можно
написать, что для сферы произвольного радиуса г с центром, сов-
совпадающим с центром нашего шара, поток вектора электростатиче-
электростатической индукции будет
N=D{rLar\ G.22)
При г>/? суммарный заряд, заключенный внутри сферы, равен
полному заряду шара q и на основании теоремы Гаусса, так же

48 ч. i. электростатика [гл. и
как и в примере 1,
_ * Q in оц\
?^вне шара—кч ггш \'¦^°)
При /¦<# суммарный заряд, заключенный внутри сферы, будет
4
Z4 , гг
равен
По теореме Гаусса
^-'внутри шара—- оз
Если внутри шара й==1, а вне шара
ности электрического поля имеем
р _*«<?,
'-внутри шара-—• рз '
(при
(при
G.24)
G.25)
то для напряжен-
G.26)
)¦/
В центре шара при г=0 напряженность электрического поля
равна нулю. С ростом г величина Е линейно возрастает до некоторого
^ максимального значения Етах—
= —^j на поверхности шара. На
границе с диэлектриком напря-
напряженность электрического поля из-
изменяется скачком и вне шара
постепенно убывает от значения
R
Рис. 1.27.
до нуля. График за-
зависимости Е от г вне и внутри
шара согласно G.26) при е=1,
т. е. в отсутствии скачка, изобра-
изображен на рис. 1.27.
Расчет напряженности электрического поля внутри шара можно
было провести и иным способом. Если разбить весь шар на элементар-
элементарные объемы dv, то каждый из них будет обладать зарядом Qdv и
создавать в некоторой точке М внутри шара, находящейся от
него на расстоянии х, элементарную напряженность поля
</Ел1=Зе^?.
G.27)
Суммируя эти поля от всех объемчиков, расположенных на различ-
различных расстояниях х от точки М, можно найти полное поле в этой точке
= \ dEM.
G.28)

§ 8]
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
49
Результат вычислений по формуле G.28) полностью совпадает
с расчетом ?ВНутри шара по формуле G.26).
При вычислении по формуле G.28) мы складываем поля от всех
элементарных зарядов qdv, в том числе и от заряда, расположен-
расположенного в точке М.
Рассмотренные в настоящем параграфе примеры демонстрируют
практическую важность использования теоремы Гаусса для вычисления
электрических полей, обладающих симметрией. __^
Применяя указанный метод, читатель сможет
сам рассчитать поле сферического или цилин-
цилиндрического конденсатора. Приведем без вывода
решение для последнего случая.
Пусть два коаксиальных бесконечно длинных
цилиндра радиусами Rx и Rtt>Rt (рис. 1.28)
равномерно заряжены по всей поверхности элект-
электричеством противоположных знаков. Поверх-
Поверхностная гЬтбтн6стъ~3?ряда на обоих цилиндрах,
чтобы на единицу высоты каждого цилиндра
приходился одинаковый по абсолютной величине
заряд qx, должна быть различной. Выбирая
замкнутые поверхности в виде коаксиальных цилиндров различных
радиусов г и применяя теорему Гаусса, можно доказать, что все
электрическое поле сосредоточено между цилиндрами, направлено
перпендикулярно" ИХ' поверхностям и убывает оСратнсГ"пропорцио-
оСратнсГ"пропорционально расстоянию г от их оси по формуле
Рис. 1.28.
-цил. конд.
°Eoer
G.29)
В радиолампах и ионизационных счетчиках радиоактивных излучений
противоположно заряженные электроды (катод и анод) выполняются обычно
в виде цилиндрической нити и коаксиального с ней внешнего цилиндра.
Такой же характер имеет электрическое поле в коаксиальном кабеле, где
полость между центральной жилой и цилиндрической броней заполняется
диэлектриком. При радиусе внешнего цилиндра, малом по сравнению с его
длиной, образованный обоими цилиндрами цилиндрический конденсатор мож-
можно считать практически бесконечно длинным и для расчета электрических
полей использовать полученный выше результат G.29).
§ 8. Потенциал электростатического поля
На точечный электрический заряд q', находящийся в электри-
электрическом поле Е, действует сила F = ^'E. При перемещении заряда
в поле эта сила совершает работу. Можно доказать для самощ.
общего случая, что величина работы по перемещению заряда q'
в электростатическом поле зависит лишь от его начального
и конечного положений и не зависит от пути движения.

50
4. t. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[ГЛ. II
Мы докажем это важное положение сначала для частного слу-
случая электрического поля точечного заряда, а затем обобщим
полученный результат на случай поля, отвечающего произвольному
распределению зарядов. На рис. 1.29 изображены линии поля,
создаваемого точечным зарядом q, и траектория перемещения проб-
пробного заряда q . Выделим бесконечно
малый отрезок этой траектории d\. При
перемещении заряда q' на отрезке d\
на него действует сила
и совершается элементарная работа
dA = Fdl cos
dt cos
Из чертежа видно, что величина
<2/cos(r, d\) есть проекция перемещения
d\ на направление радиус-вектора г и численно равна приращению
длины радиус-вектора:
r, d\) = dr.
Поэтому окончательно имеем
(8.1)
(8.2)
Для нахождения полной работы, совершаемой полем при пере-
перемещении пробного заряда q' из положения 1 в положение 2, сле-
следует выражение (8.2) для элементарной работы проинтегрировать
по всему пути:
j Из (8.3L г.лрдурт, что _то же выражение для работы получится
и "при перемещении пробного заряда между указанными двумя точками
и по любому другому пути, изображенному на рис. 1.29 пунктиром.
Таким образом, работа перемещения пробного заряда q' в поле,
создаваемом одиночным точечным зарядом q^ действительно не зави-
зависит от пути перехода из начального положения в конечное и является
фунвдн^В^^этгоЩЕЬш (fj) и конечного (г2) расстояний между заря-
зарядами q и q'. Силовое поле, обладающее таким свойством, назы-
называется потенциаль н~ьГм полем.

§ 8} ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 51
Введем следующую функцию расстояния г между зарядами:
*."ёг+^ (8.4)
где С—произвольная постоянная. Сопоставляя (8.4) и (8.3), видим,
что разность значений этой функции в положениях / и 2 дает
работу, производимую электрическими силами при перемещении
заряда q' из точки / в точку 2. Действительно,
1-1) (8.5,
AUX=*WX-W%. (8.6)
В рассматриваемом случае как выражение для работы Ах , так
и вид функции W(r) симметричны относительно обоих зарядов q
и q'. Эта симметрия характерна для точечных зарядов и связана
с тем, что вектор F представляет собой силу взаимодействия
доежду обоими зарядами.
Анализируя соотношение (8.6) и сопоставляя его с аналогичными
соотношениями в механике, мы приходим к заключению, что функ-
функция W(r) должна рассматриваться как потенциальная энер-
энергия взаимодействия точечных зарядов ди д', находящихся
на расстоянии г друг от друга. Формула (8.6) тогда означает, что
работа электрических сил при перемещении заряда q произведена
за счет уменьшения потенциальной энергии взаимодействия q и q'.
Поскольку q играет в данном случае роль источника поля, а движется.
в этом поле заряд q\ функцию W(r) можно называть потенциальной
энергией заряда q в данном электрическом поле, созданном зарядом ц.
Здесь, как и в механике, потенциальная энергия определяется
не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С. Это
связЩ°—? IS^xJiSP физический смысл имеет, собственно говоряг
лишь разность потенциальных энергий в двух точках простран-
пространства, в1ыражающая"р1ШтЗ^ТТрш13в"од'ш;1ую при переходе из одной
точки в другую. При нахождении же этой разности произвольная
постоянная исключается, как видно из (8.5).
В рассмотренном выше (рис. 1.29) примере будем перемещать
пробный заряд q' из точки / за пределы поля, т. е. в бесконеч-
бесконечность, где напряженность электрического поля Ет,3. равна нулю.
Такую бесконечно удаленную точку (гг = о6) можно выбрать за
начало отсчета потенциальной энергии и положить потенциальную
энергию в эгой-точке равной нулю:
1Г. = 0. (8.7)
Для этого необходимо в общем выражении (8.4) положить произ-
произвольную постоянную С—0.

52 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [ГЛ. II
Из формул (8.4) — (8.7) тогда следует:
и потенциальная энергия заряда q' в точке г, численно равна работе,
которую надо затратить, чтобы удалить q' из данной точки поля
в бесконечность. Для одноименных зарядов qq'^>D и Wt > 0, т. е.
энергия их взаимодействия положительна, и при раздвижении этих
зарядов на бесконечность силы отталкивания между ними могут
совершить положительную работу Л1-а>>0. Для разноименных
зарядов qq' <(), т. е. энергия взаимодействия отрицательна, и для
раздвижения этих зарядов на бесконечность придется затратить
внешнюю работу —AliX против электростатических сил.
Следует твердо помнить, что потенциальная энергия есть энер-
энергия взаимная, причем оба взаимодействующих заряда входят в выра-
выражение для потенциальной энергии их взаимодействия совершенно
симметрично. К выражению (8.8) для взаимной потенциальной энер-
энергии зарядов можно прийти, считая, что заряд q' находится в элек-
электрическом поле заряда q, либо что заряд q находится в электри-
электрическом поле заряда q'.
Перейдем теперь к общему случаю произвольного распределения
зарядов — «источников поля». Как было установлено выше (принцип
наложения), суммарное поле, создаваемое системой зарядов, равно
сумме полей точечных зарядов, образующих систему. Следовательно,
сила, действующая на пробный заряд q', равна геометрической
сумме сил, а работа при его перемещении в электрическом поле
всех зарядов системы равна алгебраической сумме работ перемеще-
перемещения в поле каждого из зарядов. Поскольку эта работа для каждого
из полей не зависит от фортга пути, то она не зависит от формы
пути для суммарного полТГ произвольной (статической) системы
зарядов. Следовательно, работа по перемещению пробного заряда
в произвольном электрическом поле выражается формулой
г г
A ,= f Fdl cos(F, d\) = q'^Edl cos (E^dl)=Wt— Wt, (8.9)
i i
аналогичной выражению (8.6). Здесь под W1 и W2 следует понимать
значения потенциальной энергии пробного заряда в точках 1 и 2
суммарного поля.
Функция Wb общем случае является суммой выражений типа (8.8)
с соответственными значениями расстояний rt от пробного заряда q'
до каждого из источников поля *).
*) Некоторые формальные затруднения с определением и нормировкой W
возникают в идеализированных примерах с бесконечно протяженными элек-

§ 8] ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 53
Из (8.9), далее, видно, что работа и энергия прямо пропорцио-
пропорциональны величине пробного заряда q . Отношение
^~—<р, (8.10)
зависящее от положения пробного заряда, но уже не зависящее от
численной величины последнего, характеризует свойства поля в дай-
дайной его точке и называется э л е к трическим потенциалом
или просто потенциалом этой точки.
Сохраняя введенное выше условие (8.7) для начала отсчета энер-
энергии, находим, что
<pe=?4- = 0, (8.11)
т. е. потенциал в бесконечно удаленных точках поля равен нулю.
Из (8.7), А$-8)_и.(8.|0], далее, следует, что "
«7,
е dl cos
(8.12)
г. е. потенциал электрического поля численно измеряется рабо-
работой, совершаемой полем при перемещении единичного положи-:
тельного пробного заряда (q'=-\-\) no любому пути из данной
точки в Оесконечность ").
Из (8.9) и (8.11) вытекает, что
Г | (8.13)
т. е. работа по перемещению заряда в электростатическом поле
измеряется произведением величины переносимого заряда на разность
потенциалов начальной и конечной точек пути и не зависит от
формы пути.
Размерность потенциала в гауссовой системе равна
I Л]
1ф1—гт= смЧз
Полагая в (8.13) #'=1СГС ед. заряда, Л12= 1з/?г, мы получим
ф1—фг=1 СГС ед. потенциала, иначе говоря, за единицу раз-
разности потенциалов в гауссовой системе принимается разность потен-
потенциалов между двумя такими точками поля, при перемещении между
трическими зарядами. Так, в рассмотренном в § 7 примере 2 безграничной
заряженной плоскости бесконечна удаленные точки, лежащие справа и слева
от плоскости и в самой плоскости, не равноценны друг другу. В подобных
случаях иногда бывает удобно выбирать иную нормировку константы в вы-
выражении для потенциальной энергии и полагать W = 0 в какой-нибудь услов-
условной точке поля.
*) Или в ту точку поля, для которой потенциал условно принят равные
нулю, как указывалось в предыдущей сноске.

54 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [ГЛ. II
которыми 1СГС единицы положительного заряда совершается
работа в \эрг. В системе СИ, аналогично полагая в (8.13)
q' = \ к и Л1г=1(?ж, получим ф,—Ф2=1 в, т. е. 1 вольт есть
разность потенциалов между такими двумя точками поля, при пере-
перемещении между которыми заряда в 1 кулон совершается работа
в 1джоуль. Так как \дж=\0'!эрг, а 1 к«3- 10'СГС ед.
заряда, то
1 дж 107 эрг 1 „„,,
1 в==—,— = о шз птъ ¦==o7^7i СГС ед. потенциала.
1 к 3-Ю9 СГСЭ ед. заряда 300
Потенциал ф является столь же важной характеристикой элек-
электрического поля, как и вектор напряженности Е.
Для графического изображения распределения потенциала вэлек-
тростатическом поле пользуются системой так называемых поверх-
поверхностей равного~потен'ц'йала^' ("эТЛПГп6 т е~н ц и а л ь н ы х поверх-
н о cj^eji)^ Каждая такаТ^вё^рхТ6ст1Гп"рТдставляет соб6ТТо?окуТГ-
ность всех "точек поля', "имеющих" бдно'и то'же "значение потенциала"
ф = const. (8.14)
Эти поверхности проводятся в пространстве так, чтобы численное
значение потенциала на двух соседних поверхностях отличалось
повсюду на одинаковую величину Дф (например, на 1 вольт).
В качестве примера рассмотрим потенциал поля точечного заряда q.
Выше мы установили (см. (8.8)), что помещенный в это поле на
расстоянии г от источника пробный заряд q' обладает потенциаль-
потенциальной энергией W—q'—— .
608Г
Разделив обе части этого равенства на q', мы получим искомое
выражение для потенциала точечного заряда:
^=Фтз =fto-~7- (8-15)
В системе Гаусса
фт з =— СГС ед. потенциала, (8.15а)
и в системе СИ
а
1
4Л8О8Г
ВОЛЬТ.
(8.156)
Этот потенциал убывает обратно пропорционально расстоянию г
от источника поля. Из (8.15) следует, что
фт.з. = const при г = const,

§ 8]
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
55
т. е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сфе-
сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих рас-
расстояниях друг от друга, как это
изображено на рис 1.30.
Проведем на том же рис. 1.30
линии напряженности поля. Соглас-
Согласно B.2) эти линии исходят из точеч-
точечного заряда и направлены вдоль
радиусов, т.е. перпендикулярны
к поверхностям равного потенциала.
Эта взаимная перпендикулярность
поверхностей остается справедли-
JSM и1дляГ,™ск"оль у г односложных
электростатических полей. Действи-
Действительно, проведем в произвольном Рис. 1.30.
поле поверхность равного потен-
потенциала ф = const и рассмотрим две ее бесконечно близкие точки 1
и 2 (см. рис. 1.31). Переместим из / в 2 вдоль поверхности проб-
пробный заряд q'. Тогда согласно (8.13)
т. е. работа перемещения пробного заряда вдоль поверхности
равного потенциала равна нулю~~ _——_——
С другой стороны, выразим ту же работу
через напряженность поля:
Altt= F dl cos (F^~dl) = q'E dl cos (еГ^1). (8.17)
Сравнивая (8.16) и (8.17), видим, что так как q'
и d\ произвольны и не равны нулю, то, следо-
следовательно,
cos(E'Trfl) = 0 (8.18)
— вектор напряженности поля Е перпендику-
перпендикулярен' к пов ерхности "равного Тют енциала
в тдчк^йЖ^гёРеТёЧёШШТ ™
Рис- 1'31- -"¦"ПЛТроведем теперь две бесконечно близкие
эквипотенциальные поверхности ф= const и
ф -)-й?ф = const (рис. 1.32). Как было доказано выше, вектор напря-
напряженности поля Е направлен по нормали п к поверхности ф. Эта
нормаль из точки / пересекает эквипотенциальную поверхность
ф 4- о?ф = const в точке 2. Отрезок 1 — 2 имеет длину dn и
представляет кратчайшее расстояние от точки / до второй экви-
потенциальной поверхности. При перемещении пробного заряда q' из
lp=const

Б6
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[гл. и
точки / перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности в точку
2 будет совершена работа dA, равная
q'Edn.
(8.19)
Выражая с помощью (8.13) ту же работу через потенциалы, получим
dA=q'[y—(ф-Мф)] = — q'dy. (8.20)
Сравнивая (8.19) с (8.20), получим окончательно:
(8.21)
dq>
Е=-
dcp
An
Величина -jf- , характеризующая быстроту изменения потенциала
в пространстве, носит название градиента потенциала.
Градиент есть вектор, направленный
по нормали к поверхности. Знак ми-
минус в формуле (8.21) показывает,
что вектор напряженности электри-
электрического поля численно равен градиенту
потенциала, но направлен в противо-
противоположную сторону, т, е. в сторону
падения потенциала.
Если мы проведем из точки 1
координатную ось, например ось х,
то ее направление составит с нор-
нормалью некоторый угол а; эта ось
в некоторой точке 2'. Вычисляя
Рис. 1.32.
пересечет поверхность
работу на перемещении dx, получим
q'Exdx = —q'dy,
,= ?'cosa — проекция вектора Е
где ?х
Отсюда
дх
(8.22)
на направление оси х.
(8.23)
Результат этот очень важен: выбранная нами ось jc может быть
повернута в любом направлении. Поэтому формула (8.23) может
читаться так: составляющая eetcjmopa напряженности электри-
электрического поля в данной точке по любому направлению равна произ-
производной от потенциала по этому направлению в той же точке,
взятой с отрицательным знаком.
Пользуясь (8.23), можно, зная потенциал поля ср, найти вектор напря-
напряженности поля Е, определив все три его составляющие Ех, ?у и Ег.

§ 81 ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Действительно, для составляющих поля ?у и Ег имеем
57
?,= —
Выразим вектор Е через его составляющие:
Подставляя сюда значения составляющих (8.24), имеем
~дг
(8 24)
(8 25)
(8 26)
Следовательно, электрическое поле можно описать~равным образом с по-
помощью вектора напряженности Е или скалярного потенциала <р, выражаю-
выражающихся друг через друга с помощью соотношений (8.12) и (8.26).
Из (8.21) следует, что в системе СИ единица напряженности
электрического поля имеет размерность вольт/метр. 1 в/л есть
напряженность такого электрического поля, потенциал которого
убывает на 1 вольт при перемещении на 1 метр перпендикулярно
эквипотенциальной поверхности:
СГС ед. напряженности.
Из (8.21) вытекает также, что в общем случае произвольного
поля в тех его точках, где напряженность Е больше, будут распо-
расположены гуще не только линии вектора Е, но и перпендикулярные
к ним эквипотенциальные поверхности. Действительно, вблизи этих
точек расстояния dn, на которых потенциал изменяется на одина-
одинаковую величину а!ф, будут соответственно меньше, чем в точках
Лр
с меньшими значениями отношения -f-.
an
Для рассмотренного в предыдущем параграфе шара, равномерно
заряженного по поверхности, поле вне шара имеет такое же значе-
значение, как у точечного заряда, сосредоточенного в центре шара. Отсюда
можно заключить, что потенциал вне шара будет также выражаться
формулой (8.15), справедливой для точечного заряда. Внутри же
шара Е—0, а следовательно, -jr- = O, и потенциал во всех этих
точках постоянен (ф = const) и равен потенциалу на поверхности
(при r = R). Таким образом, в этом случае
(8.27)
(8.28)

58
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[ГЛ. II
График изменения Е и <р вне и внутри подобной равномерно заря-
заряженной сферы изображен на рис. 1.33.
Если известна напряженность поля во всех точках, то распреде-
распределение потенциала ф можно найти интегрированием равенства (8.21).
Рассмотрим пример подобного
интегрирования.
Напряженность поля вне
бесконечного плоского кон-
конденсатора, изображенного схе-
схематически на рис. 1.26, равна
нулю. Следовательно, соглас-
согласно (8.21) электрические потен-
потенциалы справа и слева от плас-
пластин будут постоянными. Одна-
Однако численные значения этих
постоянных ф, и ф2 будут
различны из-за наличия вну-
внутри конденсатора электрического поля, определяемого формулой
G.17).
Проведем ось х перпендикулярно к пластинам вправо и начало
координат (х—0) поместим на левой положительно заряжённой
пластине. Перенесем пробный заряд q'=-{-\ вдоль оси от левой
Рис. 1.33.
1
©*_
т—
h
+
E
¦
- x
Рис. 1.34.
пластины с потенциалом фх на некоторое расстояние х внутрь кон-
конденсатора в точку, потенциал которой обозначим через ф{х). Со-
Согласно (8.9) и (8.12) работа по переносу этого заряда определит
разность потенциалов:
X X
, — ф (х)= J Ex dx=
(8.29)

§ 8] ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 59
и, следовательно, потенциал в точке х равен
Ф(*) = Ф,-?*=Ф,-^*. (8.30)
Обозначим толщину конденсатора через d. Тогда потенциал правой
обкладки будет равен
ф.=ф,-пгг* (8-31)
и разность потенциалов внутри конденсатора составит
П
В данном случае начало отсчета ф может быть выбрано в любом
месте, и для- упрощения расчета можно положить равным нулю
любое из значений <pt или ф2.
График изменения потенциала и напряженности электрического
поля вне и внутри плоского конденсатора изображен на рис. 1.34.

ГЛАВА III
ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ
§ 9. Проводники в электростатическом поле
Наэлектризуем какое-либо тело, т. е. сообщим ему некоторый
заряд q. Тогда, как показывает опыт, в зависимости от строения и
свойств тела этот заряд или перераспределится по телу, или же
останется в том месте, где произв"ёдён"а"эл:ё"ктризация. Те тела, в ico-
торых электрический~5аряд'"м"БжёТ""Своб'оДно перемещаться "по всему
телу, называются про во*д"*нй"кТмТ1~?лТк1рич~ёстваТ'Тела же, в ко-"
торых заряды "не" "могут "перемещаться из одной части в "друпщ
называются и з о л й Т*о^1Гм~й7"иЯ^дГй^эТГ^кТ^иТ? мТйТТТррвЪдни-"
ками"^вл^16ТсТП^'сТТй'ё^;иы7^~та1<же электролиты и ионизованные
газы. Такие вещества, как слюда, стекло, эбонит, фарфор, чистая
вода, являются диэлектриками.
Указанное деление является до некоторой степени условным и
зависит от длительности наблюдения. В быстропеременных полях (на-
(например, для рентгеновых лучей, в которых электрическое поле ме-
меняет свое направление на противоположное за период Г» 10~18—¦
10~20 сек) металлы будут вести себя, как диэлектрики, поскольку
заряд за время изменения электрического поля не успеет переме-
переместиться по телу на сколько-нибудь заметное расстояние. Известна,
далее, большая группа тел, обладающих способностью переносить
заряд, но значительно слабее, чем в металлах; эти тела назы-
называются полупроводниками. Наконец, даже в таком типичном
диэлектрике, как стекло, при достаточно длительном наблюдении
(месяцы, годы) можно обнаружить постепенное перераспределение
заряда по всему телу.
Огромная количественная разница в проводимости тел обуслов-
обусловливает резкие качественные различия в их поведении и оправдывает
введенное выше деление тел на проводники и диэлектрики в электро-
электростатике, т. е. для статических полей, практически не изменяющихся
в течение наблюдения. Кроме того, следует указать, что разница
в проводимости различных тел в свою очередь обусловлена качест-

§ 9]
ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
61
венной разницей в строении этих тел, в распределении и подвиж-
подвижности составляющих их микроскопических электрических зарядов
(электронов, ионов, атомных ядер).
Исторически деление тел на проводники и диэлектрики относится
ко времени начала изучения электризации тел при трении. Долгое
время считалось, что электризоваться при трении могут только тела,
в настоящее время называемые диэлектриками. Только в начале
прошлого века первым русским электротехником В. В. Петровым
была экспериментально показана возможность электризации металлов
трением («стеганием»). Трудность электризации металлических тел
трением, очевидно, была связана с тем, что заряд, выделявшийся
в местах натирания, распределялся по всему телу и соединенным
с ним телам, в частности и по телу экспериментатора.
Вопросы строения проводников и механизма перемещения зарядов
в них будут разбираться подробнее в следующем разделе, посвя-
посвященном законам электрического тока. Пока же мы определим про-
проводники как тела, в которых электрические заряды способны
перемещаться под действием сколь угодно слабого электроста-
электростатического поля. При электризации проводника сообщенный ему
заряд будет перераспределяться
до тех пор, пока в любой точке
внутри проводника напряженность
электрического поля, создавае-
создаваемого данным распределением за-
зарядов, не^ станет равной нулю; i/ _ \* Е
= 0. (9.1)
Из (8.21) тогда следует, что
Рис. 1.35.
(9.2)
т.е. электрический потенциал всех
точек внутри и на поверхности
проводника одинаков. Сообщен-
Сообщенный проводнику избыточный заряд вследствие взаимного отталки-
отталкивания составляющих его микрозарядов должен, очевидно, распре-
распределиться по поверхности проводника. Это распределение зависит
от формы проводника и. должно быть таким, чтобы создаваемое им
> _112__?ЙЛ.. ?М!ШРШ&СК°?Р поля в изоляторах, окружающих
проводник, "должны быть перпендикулярны к ^поверхности П?рвод-
ника, как это тжазансГна"рис." 1.35Т™
11остроив"Хри"с"Г05) бескбнТчно малый цилиндр, пересекающий
границу проводник—изолятор, и применив к этому цилиндру теорему

62 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Гаусса, можно показать, что на границе
4яа
[гл. ш
(9.3)
Рис. 1.36.
где а—поверхностная плотность заряда на проводнике.
В проводниках могут свободно перемещаться не только заряды,
поднесенные извне, но и микроскопические заряды, из которых
состоят атомы и молекулы про-
водника (электроны, ионы). По-
Поэтому при помещении незаря-
незаряженного проводника во внеш-
внешнее электрическое поле Ео
свободные микроскопические
заряды будут перемещаться
к его поверхности, положи-
положительные— по полю, а отрица-
отрицательные — против поля (см.
рис. 1.36, а). На одном конце проводника будет скапливаться из-
избыток положительного заряда, а на другом — избыток отрицатель-
отрицательного до тех пор, пока создаваемое этими зарядами дополнительное
поле Едоп не скомпенсирует внешнее поле Ёо во всех точках внутри
проводника. При""эТо^с7ммарноё"
"поле
Е = Е0+ЕДОИ (9.4)
внутри проводника и на его по-
поверхности будет удовлетворять
условиям (9.1) — (9.3), а вблизи
проводника будет заметно отли-
отличаться от своего первоначально-
первоначального значения Ео (рис. 1.36,6).
Заряды на противоположных
краях проводника называются
индуктированными, или
наведенными.
Линии суммарного поля Е и
вектора D будут частично кон-
кончаться на индуктированных от-
отрицательных зарядах и вновь начинаться (в таком же количестве)
на индуктированных положительных зарядах. Эквипотенциальные
поверхности ф = const будут огибать проводник, а одна из них,
потенциал которой равен потенциалу проводника, будет пересече-
пересечена последним (рис. 1.37).
Рис. 1-37.

§ 9]
ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
63
Следует помнить, что в электростатике поверхность любо_го_п?О-
воднТПса7Г^Г._?ДбД^1Т1дьВ'О|'..' и си9тfмы"""соёдйнешТых""проводников
образует ^дну эквипотенциальную поверхность.
Возникновение индуктированных "заря"дов"ТГа проводнике, поме-
помещенном в электрическое поле, используется для зарядки провод-
проводников при помощи так называемых электростатических индукци-
индукционных машин. Если отвести индуктированный заряд одного
Рис. 1.38.
знака на другой проводник (например, в землю) и отключить
последний, то первый проводник останется заряженным электри-
электричеством противоположного знака (рис. 1.38, а и б).
Отсутствие поля внутри проводника, помещенного в электри-
электрическое поле, широко применяется в технике для электростати-
электростатической защиты от внешних электрических полей (экрани-
(экранировки) различных электрических приборов и проводов.
Рис. 1.39
Очевидно, поскольку внутри проводника Е=0 и (p = const,
наличие полостей внутри проводника никак не скажется на распре-
распределении зарядов и значениях Е и ф. Следовательно, в замкнутой
полости внутри проводника (рис. 1.39) всегда Е = 0 и ф== const.
Если прибор должен быть защищен от воздействия вне его элек-
трического поля, то его можно поместить в подобной замкнутой

64
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[ГЛ. Ill
Рис. 1.40.
полости внутри проводника. Заметим, что, как правило, достаточ-
достаточной электростатической защитой являются не только сплошные
металлические стенки полости, но
и замкнутые экраны из густой метал-
металлической сетки.
Если поместить на внутреннюю
поверхность полого проводника
электрический заряд, то этот заряд
немедленно перейдет на наруж-
НУЮ поверхность проводника по-
вышая потенциал последнего. Этим
пользуются в электростатических
генераторах, применяемых в ядер-
ядерной технике. На рис. 1.40 изобра-
изображен схематический разрез генера-
генератора Ван-де-Граафа. Электрический
заряд передается бесконечной не-
непроводящей ленте, переносящей его внутрь большой металличе-
металлической сферы. Там заряд снимается и переходит на наружную по-
поверхность проводника. Таким образом удается постепенно сообщить
сфере очень большой заряд и достигнуть разности потенциалов в
несколько миллионов вольт.
§ 10. Диэлектрики в электростатическом поле
В идеальном диэлектрике нет, „свободных зарядов,, способных
под действием электрического поля перемещаться через весь ди-
ЭJ!eктpикГ^Gгolлы"T^iл^ek7л"ы"~дWл^к^rpFк'a>~coдёpжaт р"авныё "коли-
"количества положительных и отрицательных микроскопических зарядов
и в целом электрически нейтральны. Как указывалось выше, в § 4,
электрические поля, определяющие взаимодействие микроскопиче-
микроскопических зарядов, имеют внутри атомов величину порядка
10" н/к = 10" дж/к-л=10п в\м
и во много раз превышают величину максимальных достижимых
на практике макроскопических полей (~ 10' е/«и). Этим объясняется
высокая устойчивость атомов и молекул во внешних электрических
полях и относительно слабое воздействие этих полей на стацио-
стационарное распределение зарядов внутри атома.
Характер этого воздействия зависит от конкретного строения
тела. В зависимости от строения мы можем разделить все ди-
диэлектрические вещества на три большие группы.
1. К первой группе принадлежат диэлектрики, у которых «центры
тяжести» положительных и отрицательных" зарядов совпадают.
Таковы, например, парафин, бензол и ряд других"^углеводородов,

§ ioi
ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧРСКОМ ПОЛЕ
65
газообразные водород, азот и др. Молекулы таких диэлектриков
в отсутствие внешнего электрического поля не обладают дипольным
моментом (рис. 1.41, о). Во внешнем поле «центры тяжест», поло-
положительных и отрицательных зарядов молекулы смещаются в про-
противоположные стороны на некоторое расстояние /, малое по сравне-
сравнению с размерами молекулы (рис. 1.41. б). Каждая молекула при этом
приобретает дипольный электрический_шзм_ент
________ ^ ^
величина которого в первом приближении прямо пропорциональна
приложенному полю Е. При снятии внешнего поля
вращаются в первоначальное состояние и дипольный момент обра-
обращается в нуль. По'добныТ~диполи называются «упругими2-
?-0
Рнс 1 41.
2. Вторую группу диэлектриков составляют такие вещества, как
вода, нитробензол и др., молекулы которых имеют асимметричное,
"строение. При этом «центры тяжести»"положительных и отрица-
отрицательных зарядов молекулы не совпадают друг с другом и молекула
представляет собой «жесткий» диполь даже в отсутствие внешнего
поля.
Численная величина дипольного момента таких полярных молекул
обычно имеет порядок
лг-Ю0 м=М)-
или, что то же самое,
При отсутствии внешнего поля (Е = 0) дипольные моменты от-
отдельных молекул вследствие теплового движения в каждый данный
момент времени ориентированы в пространстве хаотично. Среднее
3 Г. А. Зисман ы О. М Тодес

66 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [ГЛ. Ш
значение проекции вектора р на любое направление при этом тож-
тождественно равно нулю (рх = 0), и диэлектрик в целом дипольным
моментом не обладает.
При помещении такого диэлектрика в однородное внешнее поле
на каждый жесткий диполь будут действовать электрические силы,
стремящиеся повернуть его вдоль поля. Вращательный момент воз-
возникающей пары сил (рис. 1.42) будет равен
MBp=Fh=qElsina=qlEsma=pEsin(p/E). A0.2)
С другой стороны, хаотическое тепловое движение препятствует
ориентации диполей по полю и вновь располагает жесткие диполи
_ под самыми различными углами ос к
направлению поля. В результате этих
противоположных воздействий среднее
значение проекции дипольного момен-
момента молекулы на направление поля
Ре= pcosa, станет не равным нулю.
-f" -<Г _ Величина рЕ будет в первом прибли-
JJL прямо пропорциональна]нап?я-
Рис !«42 З^еннйртч поля ? и обратно пропор-
_^ циональна абсолютной температуре
Т. Весь диэлектрик в целом будет обладать дипольным момен-
моментом, направленным вдоль внешнего поля Е.
3. К третьей группе относятся кристаллические диэлектрики,
имеющие ионное строение (хлористый натрий, хлористый_калий и дрД.
При ИНЬсении их в электрическое пшГё происходит некоторое не-
небольшое смещение положительных ионов кристаллической решетки
по полю, а отрицательных — против поля. Такой диэлектрик в целом
также будет обладать дипольным моментом, направленным вдоль
.вешнего поля и пропорциональным величине последнего.
Как мы видим, во всех перечисленных группах диэлектриков
при внесении их во внешнее электрическое поле происходит измене-
изменение состояния, называемое поляризацией диэлектрик а,
которое заключается в том, что весь объем диэлектрика приобре-
jaeT электрический момент.
Эта поляризация во всех_?л^чаях^пр^о^|ш;_к_у_меньшению напря-
напряженности поля, создаваемого внешними зарядами в диэлектрике.
Выше, в § 4, это ослабление ?лектрического~~пол5Г в диэлектрике
мы характеризовали величино|[шд^[э^ш<тр_ической_ проницаемости е.
Если сила взаимодействия между зарядами в пустоте равна Fo,
а в диэлектрической среде J7, то согласно закону Кулона

§ 101 ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 67
следовательно, напряженность поля в диэлектрике
?=§"• (Ю.З)
Очевидно, что значение величины е зависит от строения и свойств
молекул диэлектрика, а также от способности диэлектрика поляри-
поляризоваться во внешнем электрическом поле.
Для установления количественных закономерностей поляризации
мы рассмотрим случай простейшей геометрической конфигурации —
диэлектрическую пластинку, заполняющую плоский конденсатор и
находящуюся, следовательно, в практически однородном внешнем
электрическом поле Е„ (см. рис. 1.43). В результате поляризации
пластинка приобретет дипольный момент PDI являющийся суммой
дипольных моментов р, всех молекул диэлектрика в данном объеме:
Дипольный момент единицы объема, называемый вектором
поляризации, очевидно, будет равен ———_
где d—толщина пластинки, 5—площадь ее грани и V=Sd—ее
объем.
Вектор Р направлен вдоль электрического поля Е, в котором
находится диэлектрик. Для не слишком сильных полей в соответ-
соответствии с опытом можно принять, что величина вектора поляризации
пропорциональна величине напряженности поля, т. е.
Р~?. A0.6)
В системе единиц Гаусса вектор поляризации имеет размерность
Гзаряд1'[длина] [заряд]
1—, J , - = г——гз. совпадающую с размерностью напряжен-
[объем] [длина]21 J к р *
ности поля, и коэффициент пропорциональности безразмерен.
(ti \ /1С 1С М \
— и Р\—о= ; — | различны.
к j \мг н-м* к J
Поэтому соотношение A0.6) принято писать в виде
Р=хеаЕ, A0.7)
где безразмерный множитель и называется диэлектрической
восприимчивостью данного вещества и зависит от его
строения.
В результате возникновения объемной поляризации на гранях
диэлектрика, обращенных к пластинам конденсатора, концы моле-
молекулярных диполей окажутся некомпенсированными соседними
3*

68
Ч. 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[ГЛ. Ш
диполями, как это имеет место внутри диэлектрика. Поэтому, как
изображено на рис. 1.43, на право-грани, обращенной к отрицатель-
отрицательной пластине конденсатора, окажется избыток положительного заряда
с некоторой поверхностной плотностью +о'. На противоположной
грани диэлектрика, обращенной к положительной пластине конден-
конденсатора, окажется избыток отрицательного заряда с такой же по
абсолютной величине поверхностной плотностью —о'. Эти так на-
называемые поляризационные, илн
сЛ.яз а н н ы &*)л заряды не могут
бытьпереданы соприкосновением дру-
гому телу""бё*з "разрушения молекул ди-
диэлектрика, так как они обусловлены
самими поляризованными молекулами.
Образование поляризационных заря-
зарядов приводит к возникновению дополни-
дополнительного электрического поля Е'. Как
видно из рис. 1.43, внутри диэлектрика
это дополнительное поле Е' направлено
против внешнего поля Ео и ослабляет
последнее. Поэтому результирующее
электрическое поле Е внутри диэлект-
диэлектрика равно
Е=Ей — Е'. A0.8)
PflCi I43- Дополнительное поле ?" может быть
рассчитано как поле, созданное двумя
плоскими гранями диэлектрика, равномерно покрытыми поляриза-
поляризационными зарядами с поверхностной плотностью ± °'- Тогда
согласно G.18) ?'== —4яо' и
?=? — ^-4ла\ A0.9)
Для выяснения величины поверхностной плотности поляриза-
поляризационных зарядов а' свяжем последнюю с величиной вектора поляри-
поляризации Р. Согласно A0.5) полный дипольный момент пластинки
диэлектрика равен
Pv=PV=PSd. A0.10)
С другой стороны, тот же дипольный момент по определению D.7)
должен равняться произведению величины поляризационного заряда
каждой грани q'=:o'S на расстояние между зарядами, т. е. на
толщину пластинки d:
Pv = a'Sd. A0.11)
fcj <?l3> ?jB
— _
«=
*
- +
-«5
+
«:
-6__?'
- +
~ +
-6' +6'
*) Иногда их называют еще фиктивными.

§ 10] ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 69
Сравнивая A0.10) и A0.11), мы видим, что поверхностная.
плотность поляризационных зарядов а' численно равна величина.
вектора поляризации диэлектрика Р. Подставляя это значение о'
в A0.9) и используя соотношение A0.7), получим
Из A0.12) можно найти искомую величину результирующего
электрического поля Е внутри диэлектрика:
Сопоставляя A0.13) с A0.3), мы можем выразить относительную
диэлектрическую проницаемость среды через электрическую вос-
восприимчивость диэлектрика:
е = 1 -\-ka'4nn. A0.14)
В системе Гаусса &0=1, ео = 1 и
б = 1+4яигс. A0.14а)
В системе СИ &0=1/4яи «а»,
"Т в=1+ИсиГ| A0.146)
В_виду так называемой рационализацииГзаписи электростатических
формул в системе СИ численное значение диэлектрической воспри-
восприимчивости у. в ней будет в 4я раз больше, чем в системе СГС.
Из рассмотренного выше механизма поляризации диэлектриков
следует, что вектор поляризации Р всегда направлен вдоль реаль-
реального поля Е. Следовательно, электрическая восприимчивость и
всегда положительна (и>0) и е>1. В газах поляризация отдель-
отдельных молекул происходит независимо друг от друга и х прямо про-
пропорциональна плотности газа. У диэлектриков с жесткими диполями
ориеитационная поляризация и восприимчивость, как уже указы-
указывалось выше, обратно пропорциональны абсолютной температуре.
Осооую групгТу~диэлектриков~соТтав'ляют так называемые сег^
нетоэлектрики, нашедшие в последнее время широкое
практическое применение. Свое название они получили по имени
типичного представителя этой группы — сегнетовой соли
(двойной натриево-калиевой соли виннокаменной кислоты), поляри-
поляризационные характеристики которой были подробно изучены совет-
советскими физиками И. В. Курчатовым, П. П. Кобеко и др.
В кристаллах сегнетоэлектриков самопроизвольно возникают
макроскопические области, в которых дипольные моменты отдельных
молекул ориентированы одинаково и при отсутствии внешнего
электрического поля. При этом в каждой соседней области эта

70
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[гл. ш
Рис. 1.44.
ориентация различна, и кристалл в целом дипольным моментом
не обладает (рис. 1.44).
При внесении сегнетоэлектрика во внешнее электрическое поле
начинают ориентироваться по полю сразу целые поляризованные
области. Поэтому даже в слабых электрических полях такой ди-
диэлектрик обладает высокой диэлектриче-
1 ской проницаемостью б, достигающей не-
нескольких тысяч.
При нагревании сегнетоэлектрика об-
области самопроизвольной поляризации при
некоторой температуре разрушаются и ди-
диэлектрическая проницаемость б падает до
обычных значений порядка нескольких де-
десятков. У сегнетовой соли эта критическая
температура сравнительно низка, около
-f 25° С. От подобного недостатка свобо-
свободен изученный советским физиком Б. М. Ву-
лом новый сегнетоэлектрик — титанат
бария, обладающий высокой диэлектричес-
диэлектрической проницаемостью в широком интервале температур. Оказалось,
что титанат бария является представителем целой группы новых
сегнетоэлектриков, имеющих близкое строение и обладающих ря-
рядом технически важных свойств.
Деформация электронных орбит в атомах при помещении ди-
диэлектрика во внешнее электрическое поле, т. е. образование упругих
диполей, происходит во всех слу-
случаях. Однако благодаря большой
устойчивости внутриатомных движе-
движений эти деформации весьма малы,
не изменяют существенным обра-
образом строения всего диэлектрика,
а обусловленная ими электрическая
поляризация при наличии жестких
диполей является лишь небольшой
добавкой к ориентационной поля-
поляризации последних (повороту по
полю).
1 В некоторых твердых диэлект-
диэлектриках, построенных определенным
образом из полярных молекул (жестких диполей), было обнаружено
интересное явление, получившее название пьезоэлектриче-
пьезоэлектричества. Если кристалл такого вещества подвергнуть упругой дефор-
мадии, например растяжению (рис. 1.45, а) или сжатию (рис. 1.45,5),
то составляющие его молекулярные диполи могут определенным
образом поворачиваться и изменять поляризацию кристалла. При
*
\\~
T
a) 1
-
i i i i i i
1
\ 4
\\
PfN
_
6)
Рис. 1.45.

ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
71
этом на противоположных гранях кристалла появляются связанные
заряды, создающие электрическое поле и разность потенциалов
между этими гранями. При переходе от растяжения к сжатию
и обратно меняется знак поляризации и возникающей разности
потенциалов.
.В подобных кристаллах обязательно наблюдается и обратный
пьезоэлектрический эффект: если к кристаллу приложить
внешнюю разность потенциалов, то, "как, например, изображено на
рис. 1.46, вследствие поворота диполей будут наблюдаться дефор-
деформации "растяжения или сжатия.
Рис. I 46.
На рис. 1.45 и 1.46 изображены случаи, когда кристалл вырезан
так, что электрическое поле и деформация взаимно перпендику-
перпендикулярны. Можно создать такую ориентацию кристаллических осей,
что электрическое поле и деформация будут параллельны друг
другу. Кроме того, в третьей группе диэлектриков (стр. 66), имею-
имеющих ионное строение, есть такие, у которых положительные и
отрицательные ионы в электрическом поле решетки смещаются в
противоположных направлениях, создавая общую деформацию всего
кристалла.
Изменение размеров тел под действием внешнего электриче-
электрического поля в общем случае называется электрострикцией.
При взаимном смещении противоположно заряженных элементов'
тела во внешнем поле электрострикция будет происходить неза-
независимо от направления поля.
Пьезоэлектрические и электрострикционные свойства кристаллов
кварца, сегнетовой соли, титаната бария и некоторых других ди-
диэлектриков широко используются в так называемых электроакусти-
электроакустических приборах для преобразования механических (звуковых и

72 ч. I. электростатика [гл. ш
ультразвуковых) колебаний в электрические и обратно. Пьезоэлек-
Пьезоэлектрические датчики позволяют регистрировать деформации, толчки,
преобразовывая их в электрические импульсы, которые передаются
на большие расстояния к записывающим электрическим приборам.
Русский ученый Эпинус в 1757 г. обнаружил еще одно интересное
свойство некоторых твердых диэлектриков. Оказалось, что в кри-
сталле турмалина молекулярные диполи все направлены вдоль одной
из его кристаллографических осей. Такой кристалл в целом всегда
поляризован даже в отсутствие внешнего электрического поля, до
некоторой степени аналогично тому, как кусок
железа сохраняет свое намагничивание в отсут-
отсутствие внешнего магнитного поля.
Поляризационные заряды, находящиеся на про-
противоположных гранях кристалла турмалина, при-
притягивают находящиеся в воздухе в небольших
количествах заряженные пылинки и ионы. Прили-
Прилипая к граням кристалла (рис. 1.47), эти пылинки
и ионы постепенно нейтрализуют поляризацион-
поляризационные заряды и уничтожают поле поляризованного
кристалла.
~<ЭЭ © ® " Однако если такой кристалл нагреть, то вслед-
вследствие теплового расширения поляризация еди-
Рис. 1.47 ницы объема — вектор Р —уменьшится и компен-
компенсация поляризационного заряда адсорбирован-
адсорбированными ионами и пылинками нарушится. Это изменение поляризации
АР (Т) можно обнаружить по создаваемому им электрическому полю.
Подобное явление зависимости естественной поляризации кристал-
кристаллов от температуры называется пироэлектричеством.
Пироэлектрическими свойствами обладают лишь некоторые
вещества, кристаллизующиеся в так называемой триклинной кри-
кристаллографической системе, обладающей весьма низкой простран-
пространственной симметрией.
§ 11. Поле в неоднородной среде и на границах
раздела диэлектриков
В предыдущем параграфе мы рассмотрели пример плоскопарал-
плоскопараллельной пластины из диэлектрика, помещенной в однородное внеш-
внешнее поле Ео (см. рис. 1.43). Эта пластина поляризовалась и при-
приобретала дипольный момент единицы объема Р. Дополнительное
поле, создаваемое поляризованной пластиной, можно было рас-
рассчитывать, как поле плоского конденсатора с поверхностной плот-
плотностью заряда а' = ± Р.
В соответствии с G.15) и G.18) напряженность поля равна нулю
вне диэлектрической пластины, а внутри нее, учитывая направление

ПОЛЕ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
§ 11]
этого поля.
Полная напряженность поля в диэлектрике
73
(П.1)
A1.2)
Следует отметить, что выражение A1.2) для полной напряжен-
напряженности поля остается справедливым и в вакууме вне диэлектрика.
В этих точках пространства поляризация отсутствует (Р = 0) и авто-
автоматически Е=Е0.
При не слишком сильных полях в соответствии с A0.7) вектор
поляризации пропорционален напряженности поля и
Р = ке0Е. A1.3)
A1.2а)
Из A1.2) и A1.3) окончательно находим, что
По определению вектора электростатической индукции E.3)
имеем "
Сопоставляя A1.4) с A1.2), мы можем окончательно записать:
(П.5)
Вне диэлектрика
Определение вспом
^ 4лр|
80 /
= 0 и DBaK=e0E.
гательного вектора
(П.6)
0 (Н.б) является более
общим, чем E.3). При нелинейной зависимости Р от Е уравнение
A1.3) становится чисто формальным, так как тогда диэлектрическую
восприимчивость к и связанную с ней относительную диэлектри-
диэлектрическую проницаемость
б=1+Ав-4ях A1.7)
следует считать сложными функциями величины напряженности
поля Е. Соотношение же A1.5) остается справедливым при любом
сколь угодно сложном законе зависимости Р от Е.
Внесем в электрическое поле Ео, созданное внешними зарядами,
кусок диэлектрика не в виде плоскопараллельной пластинки, а
имеющий более сложную форму. Тогда дополнительное поле Е',
создаваемое диэлектриком, уже не будет сосредоточено внутри
jiero, как в случае плоскопараллельной пластинкй7*и выйдет наЬуису.

74
Суммарное поле
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[гл. in
A1.8)
Диэлектрик
/
вакуум
изменится не только внутри диэлектрика, но и снаружи его. Источ-
Источниками этого суммарного поля являются не только внешние, но
и поляризационные заряды. Поэтому линии вектора напряженности
поля будут начинаться и кончаться не только на внешних, но и на
поляризационных зарядах, а на границах диэлектрика, где сосредо-
сосредоточены последние, число линий
вектора Е будет скачкообразно
меняться.
Рассмотрим небольшой учас-
участок поверхности диэлектрика на
границе его с вакуумом. Вектор
поляризации диэлектрика на этом
9„§РДна,^им через Рт
плотность поля-
ризационных зарядо_в а будет
___pjj3Hai__kak_jL-B ??Учае пластинки,
величине Р. Расчленим, как пока-
зашг—ггаг рис. 1.48, суммарное
поле Е на поле Е', создаваемое
поверхностными поляризацион-
Рис. 1.48. ными зарядами, и поле Ей, созда-
создаваемое всеми остальными заря-
зарядами (как внешними, так и расположенными на противоположном
конце диэлектрика).
На расстояниях, малых от поверхности, можно считать ее плоской
и вычислять Е' для бесконечной плоскости, заряженной с поверх-
поверхностной плотностью о' = Р. Линии этого поля будут перпендику-
перпендикулярны к поверхности и по обе стороны от нее направлены в про-
противоположные стороны. В соответствии с G.14) справа, в вакууме,
?"=—•2ла' = ~ • 2яР, а слева, в диэлектрике, ?'== а--2пР.
Поэтому суммарное поле в диэлектрике Едиэл у самой границы
раздела будет меньше, чем суммарное поле в вакууме ?вак с про-
k
тивоположной стороны этой границы, на величину—4л/эдиэл, т. е.
A1.9)
Умножим обе части этого равенства на электрическую посто-
постоянную е0. Тогда получим:
,= sJE.
A1.10)

§ Щ
ПОЛЕ В НЕОДНОРОДНОЙ CPF1P
75
В вакууме поляризация отсутствует, ё —1 и в соответствии
с A1.5) и E.3)
В диэлектрике согласно A1.5)
П1-12)
Из A1.9) следует, что на границе диэлектрика, вследствие
наличия поляризационных зарядов,
но
(И.14)
При выводе соотношений A1.9) и A .14) мы предполагали, что
линии поля и направление вектора поляризации перпендикулярны
к границе раздела. В общем случае,
когда линии поля не перпендикулярны
к границе раздела, соотношение A1.14)
остается справедливым лишь для нор- ej
мальных составляющих вектора D.
A1.15)
п, диэл*
^J-<-
?»/
ег>е,
Рис. 1.49,
На границе двух диэлектриков с раз-
различными диэлектрическими проницаемос-
тями е, и ?г при наличии внешнего поля
возникают поляризационные заряды раз-
разного знака с различными поверхностными
плотностями 4-o"i и —а2 (см. рис. 1.49). •
Дополнительное поле, создаваемое этими
зарядами, перпендикулярно поверхности,
поэтому нормальные составляющие по-
полей Е, и Е, в обеих средах у границы
раздела различны, а касательные составляющие одинаковы, т. е.
Etl=Etl, A1.16)
как это изображено на чертеже.
Векторы электростатической индукции в обеих средах соответ-
соответственно равны
D = 6 6 Е и D = в g В A117^
Аналогично рассмотренному выше случаю границы диэлектрик —
вакуум нормальная составляющая вектора индукции на граница

76 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
двух диэлектриков остается непрерывной:
Из A1.17) и A1.18) следует, что
[гл. ш
A1.18)
A1.19)
На рис. 1.49 изображен случай, когда es> ег. При этом Епг<Епх
и линии вектора Е при переходе через границу раздела пре-
преломляются, отклоняясь от перпенди-
перпендикуляра к границе раздела.
Из A1.16). и A1.17) следует, что
On
Dn
e,
A1.20)
при es> e, и Dn>Dn. При переходе
через границу раздела из диэлектрика
с меньшим значением е в диэлектрик
с большим значением е нормальная
составляющая вектора D остается не-
неизменной, а касательная увеличи-
увеличивается, так что линии индукции
преломляются под таким же углом,
рис 1 5о как и линии напряженности поля
(см. рис. 1.50).
Таким образом, при переходе через границу раздела двух
диэлектриков изменяется не только вектор напряженности электри-
электрического поля Е, но и вектор электростатической индукции D.
Однако поток индукции через произвольную площадку AS на границе
раздела, равный по определению E.11)
AN=DnAS, (П.21)
с обеих сторон поверхности на основании A1.18) остается не-
неизменным. Следовательно, число линий индукции, переходящих
через границу, не меняется. Поэтому теорема Гаусса F.4) остается
справедливой для вектора D в самом общем случае при наличии
вполе диэлектриков любой формы и размеров"! ~"~
§ 12. Электрическая емкость проводников
Зарядим уединенный проводник, сообщив ему некоторый заряд q.
Этот заряд распределится по поверхности так, чтобы напряженность
поля внутри проводника равнялась нулю (см. § 9). Для нахождения
электрического поля, создаваемого заряженным проводником в про-

§ 12]
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ
77
извольной точке М вне его (см. рис. 1.51), применим принцип
наложения B.7). Тогда получим
A2.1)
9
т. е. вектор напряженности электрического поля в точке М равен
геометрической сумме полей, создаваемых в этой точке каждым
из элементарных точечных заря-
зарядов qh на которые можно разбить
весь заряд проводника.
Аналогичным образом вычис-
вычисляется и электрический потенциал
в точке М:
г=1>^> 02.2)
я*
т. е. как алгебраическая сумма по-
потенциалов, создаваемых каждым из Рис. 1.51.
элементарных точечных зарядов.
Поместим теперь на тот же проводник заряд q', в п раз боль-
больший первоначального, q' = nq. Чтобы поле внутри проводника
вновь равнялось нулю, заряд q' должен распределиться по поверх-
поверхности проводника подобно заряду q, т. е. все q't будут также в п
раз больше соответствующих величин qt.
Вычисляя потенциал в точке Ж, получим
т. е. потенциал jj_ каждой точке поля возрастает прямо пропор-
ционально заряду проводника. Это утверждение, конечно, справед"-
ливо и для всех точек внутри и на поверхности проводника, потен-
потенциал которых одинаков (см. § 9). Обозначая потенциал самого
проводника через ф, получим
<7-<р. A2.4)
Вводя соответствующий коэффициент пропорциональности, пере-
перепишем A2.4) в виде
A2.5)
или С=
=—
Коэффициент С называется электрической емкостью
проводника. Изменим заряд проводника на Д#. Тогда его потенциал

78 Ч, I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [ГЛ. Ill
возрастает на Дф, так что
9 + Д^==С(ф-1-Дф). A2.6)
Из A2.5) и A2.6) получаем, что
Д?=СДф, A2.7)
и, следовательно,
при Дф=1 C=Aq. A2.8)
Таким образом, электроемкость проводника численно равна
величине заряда, который нужно сообщить данному проводнику
для увеличения его потенциала на единицу.
Из формулы (Г2.5) можно определить размерность и установить
единицы измерения электроемкости. В системе СГС
ГП 1'1 г1*-см'1*-сек-1 „ „
т. е. электроемкость имеет размерность длины и измеряется в санти-
сантиметрах.
В системе СИ за единицу электроемкости принимают емкость
такого проводника, при сообщении которому заряда в 1 кулон его
потенциал изменяется на 1 вольт. Эта единица называется фара-
фарадой (ф или F):
j* \_к 3-10' СГС ед. заряда
5qq СГС ед. потенциала
= 9-10" СГС ед. емкости (см).}
Так как фарада представляет собой крупную единицу, то на прак-
практике обычно пользуются ее миллионной долей, называемой микро-
микрофарадой: \мкф—\у,? = 1Q~'F = 9- Ю'см,, или даже еще
в миллион раз меньшей единицей, называемой микромикрофарадой
или пикофарадой: \пф= \мкмкф= l(j,(j,F=lpF= 10~12F =
— 0,9 см. " ' ' *
Подсчитаем электроемкость уединенного сферического провод-
проводника. Из соображений симметрии очевидно, что сообщенный ему
заряд распределится равномерно по поверхности проводника.
Используя полученное для этого случая выше, в § 7 и § 8, решение,
можно на основании (8.28) написать выражение для потенциала шара:
ф=
A2.9)
где R—радиус шара, q—его заряд и е — диэлектрическая прони-
проницаемость окружающей проводник среды. Подставляя выражение

§ 12] ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ 79
A2.9) в общую формулу для электроемкости A2.5), получаем
СшаРа = ^. A2.10)
Электроемкость шара прямо пропорциональна его радиусу и ди-
диэлектрической проницаемости окружающей среды. В системе СГС
СшаРа=еЯ см. A2.10а)
В системе СИ 4 .— .
[ \ A2.106)
В формуле A2.106) радиус шара измеряется в метрах и, следо-
следовательно, диэлектрическая проницаемость г и е0 в этой системе
измеряется в ф/м — к/в-м=к'!дж-м~к'1н-м', что совпадает
с размерностью этой величины B.10).
Земной шар является уединенным сферическим проводником
с радиусом /?=6400 км. Диэлектрическая проницаемость окру-
окружающей среды практически равна единице. По формулам A2.10)
электроемкость Земли равна
С3 = 6,4-108 CM&70Q мкф.
Уединенные проводники имеют обычно электроемкость С значи-
значительно меньше электроемкости Земли. Сообщая проводнику заряд q,
мы повышаем его потенциал до значения ф.
Заземлим такой проводник, т. е. соединим его с Землей, потен-
потенциал которой будем условно считать равным нулю (ф3 —0). Вслед-
Вследствие разности потенциалов заряд с проводника будет перетекать
в Землю до тех пор, пока в обоих телах не установится один и
тот же потенциал:
Ф'=4=?, A2.11)
где q' — заряд, оставшийся на проводнике, a q" = q — q'— заряд,
отданный Земле.
Из A2.11) следует, что
Т^^Н1' Я'<Ч"*Ч и ф'^ф, A2.12)
т. е. при заземлении проводника малой емкости практически весь
его заряд перейдет в Землю, потенциал этого проводника будет
равен потенциалу Земли, а последний изменится на практически
ничтожную величину ф'. Таким образом, заземляя различные про-
проводники, мы приводим их к одному и тому же потенциалу Земли,
который условно принимаем за начало отсчета, т. е. фэ = 0.
Вопрос о том, каков же «на самом деле» потенциал Земли,
если за нуль считать потенциал точек, бесконечно удаленных от

80 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [гл. IU
поверхности Землн, ие является при этом существенным. Вследствие
непрерывно падающих на Землю потоков космических лучей
(в основном положительно заряженных протонов) и корпускулярного
излучения Солнца (в основном отрицательных электронов) суммар-
суммарный заряд Земли q3 может быть отличен от нуля и постепенно из-
изменяться со временем. Лишь систематические измерения электриче-
электрического поля за пределами атмосферы с помощью спутников Земли
смогут определить q3 и соответственно 4>3~qJC3. Кроме того,
существует определенная разность потенциалов между земным шаром
и окружающей его атмосферой, обеспечивающая напряженность поля
в непосредственной близости к поверхности Земли порядка 100 в/л.
Однако наличие практически постоянного или медленно изменяю-
изменяющегося земного электрического поля не дает возможности наблюда-
наблюдателю, находящемуся на земной поверхности, определить абсолютный
потенциал Земли (по отношению к бесконечно удаленным точкам).
Измеряя же лишь разности потенциалов, мы можем выбирать на-
начало отсчета <р произвольно и полагать, как указывалось выше,
условно Ф3—0.
Из приведенных соотношений и примеров следует, что электро-
электроемкость уединенного проводника зависит от его геометрических
размеров, формы и диэлектрических свойств окружающей среды
и не зависит от величины заряда проводника.
Если проводник не является уединенным, т. е. вблизи него нахо-
находятся другие проводники, то, заряжаясь, он будет наводить на по-
поверхности соседних проводников заряды обоих знаков (см. § 9).
Эти индуктированные заряды будут создавать дополнительное поле
и изменять потенциал заряжаемого проводника. В результате уве-
увеличение его потенциала Дф при сообщении некоторого заряда А^
будет зависеть от размеров и расположения окружающих проводни-
проводников. Отношение С=Л^/Дф для электроемкости проводника зависит,
следовательно, не только от фпрмм и рязмррпи -я.аря^дд.чпгг>
водиика, но и от его расположения относительно остальных
водников.
Как "ь7ло показано в §§ 9 и 10, дополнительные поля Б' индук-
индуктируемых и поляризационных зарядов всегда направлены против
поля источника Ео. Поэтому при внесении в среду, окружающую
заряженный проводник, других проводников и диэлектриков поле
рассматриваемого проводника ослабляется, а его потенциал падает.
В соответствии с A2.5) электроемкость проводника при этом возг
расщт^по сравнению с емкостью того же проводника в вакууме
в отсутствие других проводников и диэлектриков. Идя по этому
пути, можно создавать приборы большой емкости, называемые кон-
конденсаторами (накопителями заряда).
Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделен-
разделенных прослойкой диэлектрика. Приближая вторую обкладку к первой

§ 121
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ
и помещая мв^кду
с. ^ыспкпй n^g)JiPKTp""ffltifnft пропн
цаемостью е, можно создать конденсаторы большой емкости и
накапливать на их обкладках большие заряды при незначительной
разности потенциалов н малых объемах системы. Практически очень
важно, что электрическое поле конденсатора сосредоточивается почти
целиком в узком зазоре между его обкладками, так что его элек-
электроемкость не зависит от наличия других проводников и диэлектри-
диэлектриков вблизи конденсатора.
При приложении к конденсатору некоторой разности потенциалов
его обкладки заряжаются равными по величине зарядами противопо-,
д
его обкладки заряжаются равными по величине за
ложных,, знаков. Под электроемкостью конден-
конденсатора (X понимается отношение заряда одной
из его обкладок q к разности потенциалов
Ф, — (fl=U между обкладками:
+6
"фг — <Pi U
A2.13)
Рис. 1 52
Простейшей конструкцией конденсатора яв-
является плоский конденсатор, состоящий
из двух проводящих плоских пластин (см. рис.
1.52), пространство между которыми заполнено
диэлектриком с проницаемостью е.
Когда линейные размеры / пластин велики
по сравнению с расстоянием d между пластинами
(d<^l), можно пренебрегать краевыми эффектами
и считать электрическое поле Е внутри конден-
конденсатора практически однородным, а заряд q — распределенным
по пластинам равномерно с поверхностной плотностью
а = |-. A2.14)
В этом случае напряженность электрического поля между пла-
пластинами согласно G.17) равна
F— Ь ~—Ь 4лд A9 1^\
С другой стороны, пользуясь соотношением (8.21) между напряжен-
напряженностью поля и градиентом потенциала, для нашего случая однород-
однородного поля имеем
dn
A2.16)
Сравнивая оба эти выражения для напряженности поля, получим
— —ъ 4т?
d »eee-S

82
Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
[гл. in
или окончательно
В системе Гаусса ee=l, ko=\ и
В системе СИ feo=— и
A2.17)
A2.17а)
A2.176)
Как видно из A2.17), электроемкость плоского конденсатора
зависит от его геометрических размеров (площади пластин 5), от
взаимного расположения проводников, т. е. от расстояния до со-
соседней пластины d, и от диэлектрической проницаемости диэлек-
диэлектрика б. Для увеличения емкости конденсатора следует увеличивать
площадь пластин, уменьшать расстояние между ними и подбирать
диэлектрическую прослойку с мак-
максимальным значением е. Выбор
диэлектрика, однако, ограничивает
возможность уменьшения расстоя-
расстояния между пластинами d.
При сближении пластин конден-
конденсатора возрастает напряженность
электрического поля E=Ujd в ди-
диэлектрической прослойке. В очень
сильных полях (порядка 10' в\м)
диэлектрик перестает быть изоля-
изолятором. Для каждого диэлектрика
имеется определенное максимально
допустимое значение напряжен-
0
A
Нг
+Яз
Рис
и
с,
Q
И
II
Сз
. 1
0
~Чг
-ч»
.53.
ности электрического поля Е.
проб>
выше которого ток в диэлектрике
сразу достигает очень больших значений и вызывает его разруше-
разрушение, как говорят, пробой диэлектрика. Для предотвращения
пробоя расстояние между пластинами не следует делать меньше
некоторого минимального значения
-проб
A2.18)
а при постоянном расстоянии между пластинами к конденсатору
нельзя прикладывать разность потенциалов, превышающую неко-
некоторое максимальное значение
называемое пробивным напряжением данного конденсатора.

§ 121
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ
83
Для увеличения емкости конденсаторов С без сильного увели-
увеличения их линейных размеров конденсаторы соединяют параллельно
в батарею. Для расчета емкости батареи при параллельном
соединении конденсаторов рассмотрим схему такого сое-
соединения, изображенную на рис. 1.53. Пусть емкости соединяемых
конденсаторов равны С,, Сг,
Сп, а их заряды соответственно
Ч» ' • •, Чп- Разность потенциалов U, приложенная между точ-
точками А и В, одинакова для всех конденсаторов. Тогда, согласно
A2.13), заряд каждого конденсатора равен:
Яг = СЛ Чг — Сги,..., <?„=С„?Л A2.20)
Складывая эти равенства и замечая, что полный заряд системы
+ + ?„> получим
A2.21)
Полная электроемкость батареи конденсаторов Cg равна отношению
полного заряда системы q к приложенной разности потенциалов U:
A2.22)
При параллельном соединении конденсаторов емкость батареи
равна сумме емкостей включенных в батарею конденсаторов.
для предотвращения проооя
системы прибегают к последо-
последовательному соединению
конденсаторов (рис. 1.54).
Если к концам батареи прило-
приложить разность потенциалов U,
то крайние пластины системы за-
зарядятся разноименными зарядами
± Q- Вследствие электростатиче-
электростатической индукции на всех промежу-
точных пластинах наведутся за-
заряды, также численно равные
±i?, как это показано на схеме.
При этом полная разность потенциалов
Рис. 1.54.
/= У\У{ распределится
между конденсаторами соответственно их емкостям:
Складывая все эти равенства, получим
02.23)
?). A2.24)

84 Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА [ГЛ. Ill
Отношение Lf/q=\jC6 есть величина, обратная электроемкости всей
системы, и иногда называется ее потенциальным коэффи-
коэффициентом. И^ A2.24) следует, что
т. е. при последовательном соединении конденсаторов обрат-
обратная величина емкости всей батареи равна сумме обратных величин
емкостей соединенных в батарее конденсаторов. Легко также видеть,
что
1— при последовательном соединении конденсаторов электроем-
электроемкость батареи меньше электроемкости кажоого из конденса-
торов. .. .. .
Однако при этом падение потенциала на каждом из конденса-
конденсаторов Ul<C U, и можно, не опасаясь пробоя, соединять в батарею
конденсаторы с меньшими расстояниями d и большими емкостями.
§ 13. Энергия электрического поля
Сообщим уединенному проводнику некоторый заряд q. Тогда
вокруг него возникнет электрическое поле и потенциал проводника
примет значение (p — qjC. Чтобы увеличить заряд проводника на dq,
придется принести этот заряд из бесконечности к поверхности про-
проводника и затратить на это работу, равную
1
если считать фж = 0.
Эта работа совершается внешними силами, перемещающими заряд
против сил электрического по;}я проводника. При обратном пере-
перемещении заряда dq с поверхности проводника в бесконечно удален-
удаленную точку силы электрического поля совершат точно такую же по
величине работу dA. Следовательно, заряженный проводник обла-
дает потенциальной энергией W, за счет которой совершается ра-
работа его разрядки.
При увеличении заряда проводника на dq его потенциальная
энергия возрастает на величину dW, равную работе dA, совершен-
совершенной внешними силами
A3.2)
Потенциальную энергию незаряженного проводника (i?=0 и ф=0),
ие создающего вокруг себя электрического поля, будем считать

§ 13] ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 85
равной нулю. Тогда энергия W проводника, заряд которого достиг
некоторой величины q, может быть найдена интегрированием выра-
выражения A3.2):
w q q
\qdq = ±q~. A3.3)
0 0 О
Используя зависимость A2.5), связывающую заряд проводника
с его потенциалом, можно получить окончательное выражение для
энергии зар я.ж енного провод н и к а в виде
A3.4)
Как мы видели в § 9, внутри заряженного проводника элек-
электрическое поле отсутствует. В процессе зарядки проводника элек-
электрическое поле возникает в пространстве, окружающем проводник.
Поэтому мы будем считать, что электростатическая энергия заря-
заряженного проводника локализована в окружающем его электрическом
поле и распределена в последнем с различной объемной плотностью
в соответствии с различной величиной напряженности поля Е на раз-
разных расстояниях от проводника.
Для нахождения связи между объемной плотностью
энергии (энергией единицы объема) электрического поля
и его напряженностью рассмотрим простейший случай однородного;
поля между пластинами плоского конденсатора.
Процесс зарядки такого конденсатора можно представить как
последовательное перемещение бесконечно малых порций заряда dq
с одной пластины на другую, в результате чего одна из пластин
будет заряжаться положительно, а другая — отрицательно и между
ними будет возникать постепенно возрастающая разность потенциа-
потенциалов U=qjCK. Повторяя ход вывода, приведенного выше для уеди-
уединенного проводника, легко получить выражение для полной элек-
электростатической анергии заряженного конденсатора:
A3.5)
совершенно аналогичное выражению A3.4).
Подставляя в A3.5) значения электроемкости и разности потен-
потенциалов в плоском конденсаторе A2.17) и A2.16), после преобразова-
преобразований п
олу
чим
Здесь ?—напряженность электрического поля внутри конденсатора,
a V=Sd—его объем. Отсюда энергия единицы объема, или объемная

8fi
4, t. SJIFKTPOCTATHKA
Ггл. ш
плотность энергии электрического поля
_
V
'k9-8n '
A3.7)
оказывается прямо пропорциональной квадрату напряженности элек-
электрического поля.
В системе СГС
е Ег эрг
» 8л см3'
В системе СИ
ё Е2 дж
A3.7а)
A3.76)
Соотношение A3.7) выведено нами в простейшем случае одно-
однородного поля. Оно остается справедливым и для любых неодно-
родных полей, в которых напряженность поля Е и плотность энергии У„
меняются от точки к точке.
Согласно закону пропорциональности массы и энергии (т. 1,
гл. II, § 9), если электростатическое поле обладает энергией, то
каждый элемент его объема обладает массой. Масса единицы объема
электростатического поля равна
A3.8)
где c = 3-1010 см/сек—скорость распространения света в пустотр.
При напряженности электрического поля в 3000 в/см=\0 СГС ед.
напряженности из A3.7а) и A3.8) находим плотность массы такого
поля:
102
'8П.9-1020
4.10-"—,
Видно, что она очень мала даже по сравнению с плотностью весьма
разреженного газа (при р=10"в мм рт. ст. имеем дгада?к10~1г г/слг').
С другими свойствами электрического и магнитного полей, более
детально подтверждающими современные взгляды, что эти поля
представляют собой особую форму материи, непрерывно распределен-
распределенной в пространстве, мы познакомимся в дальнейших разделах курса.
Из выражения для энергии W системы заряженных тел можно
определить величину механических (пондеромоторных) сил F, дей-
действующих между этими телами. Пусть энергия системы заряженных
и поляризованных тел W зависит от какого-либо параметра х, на-
например от размеров или координат одного из тел. Изменим этот
параметр на величину dx, например, переместив данное тело. Тогда
действующая в системе сила Fx совершит работу
dA=Fxdx A3.9)

§ 13] ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 87
за счет уменьшения потенциальной энергии системы, т. е.
F
A3.10)
Рассмотрим конкретный пример плоского конденсатора с пло-
площадью пластин S и расстоянием между ними х. Энергия этого кон-
конденсатора согласно A3..5) и A2.17) равна
и при постоянных зарядах на пластинах (q— const) прямо пропорцио-
пропорциональна расстоянию между пластинами х. Подставляя в A3.10) зна-
значение W и производя дифференцирование, получим искомую силу
A3.12)
Знак минус указывает, что эта сила направлена против увеличения л;,
т. е. является силой притяжения. Таким образом, A3.11) приводит
к тому же выражению для силы притяжения на единицу площади
пластин f=FxlS, что и полученное ранее G.20).
Поскольку электростатическое поле неразрывно связано с электрическими
зарядами, то энергию поля W можно также рассматривать как энергию
взаимодействия зарядов. В случае двух точечных зарядов <?/ и <?/. находя-
находящихся в пустоте на расстоянии /¦;/ друг от друга, согласно (8.8) энергия их
взаимодействия равна
K
w ( )
1 Ч П/
Если в пространстве имеется N различных точечных зарядов ((, / = 1,
2, 3 N), то полная потенциальная энергия системы W будет равна сумме
взаимных энергий всех пар зарядов, входящих в систему!
W У W У^Ш A3 14)
Множитель '/2 в этом выражении нужен потому, что при суммировании
по всем ( и / от 1 до N каждое взаимодействие учитывается дважды. Напри-
Например, энергия взаимодействия зарядов q2 и q3 входит под знаком суммы в A3.14)
два раза: один раз как _°xl™ При г = 2 и / = 3 и второй раз как — ^2
при ( = 3 и j = 2. В каждом из членов значки i и ; разные (i ф /): члены
с i = i не учитываются, так как они соответствуют самодействию за-
зарядов, которое для принятых нами точечных зарядоь равно бесконечности
07/= 0).
Рассмотрим случаи, когда заряду распределен равномерно по поверхности
сферы радиуса R. Для вычисления энергии такой системы проще всего вос-
воспользоваться формулой A3.3). Поскольку электроемкость шара С численно
равна его радиусу R (в системе СГГЛ тп
«W=:S=4t- A3Л5)

Ч. I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
{гл. m
С другой стороны, согласно G.5а) напряженность электрического поля
вне заряженной сферы равна
По A3.7) находим плотность энергии в окружающем пространстве!
Разобьем это пространство на бесконечно тонкие сферические слои радиуса/-
и толщины dr. Поверхность такого слоя равна 4зтгг, а объем
A3.16)
Энергия электрического поля, заключенная в этом объеме, равна
'8лл4
Поскольку внутри сферы (л < R) поле отсутствует, для нахождения
полной энергии поля надо проинтегрировать A3 16) в пределах от r — R
до г = оо:
<Чг<0
Рис. 1.55.
Полученный результат, естественно,
совпадает с формулой A3.15), выве-
выведенной другим путем К тому же выра-
выражению мы бы пришли, если бы мыс-
мысленно разбили заряд q на бесконечно
малые порции и подсчитали полную
энергию парных взаимодействий по
формуле A3 14)
Если заряд qраспределен не толь-
только на поверхности, но и в объеме
сферы, то поле внутри нее уже ие рав-
равно нулю. Это вызывает увеличение
энергии системы сверх A3.15) Если
заряд q распределен равномерно по
всему объему шара радиуса R, то пол-
полная энергия системы равна (вычисле-
(вычислений _]
A3 17)
Используя выражения для энергии взаимодействия точечных зарядов
A3 13) и A3.14), можно проанализировать вопрос об устойчивости системы
неподвижных электрических зарядов Мы уже неоднократно отмечали то
обстоятельство, что любое вещество построено из электрически заряженных
частиц. Естественно возникает вопрос о том, возможны ли такие конфигу-
конфигурации неподвижных друг относительно друга заряженных частиц, которые
представляли бы собой атомы, молекулы и т. д. Подчеркнем, что речь
идет об устойчивости системы под действием одних только электростати-
электростатических сил Полученный результат будет справедлив для любого—дискрет-
любого—дискретного или непрерывного — распределения зарядов.

§ 13] ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 89
Неустойчивость системы из двух точечных зарядов очевидна Одноимен-
Одноименные заряды отталкиваются до бесконечности, а разноименные—притягиваются
до полного соприкосновения и нейтрализуются На рис. 1.55 изображен гра-
график зависимости потенциальной энергии этой системы от расстояния:
как для одноименных (qlq2 > 0), так и разноименных (q,q2<0) зарядов.
В обоих случаях взаимодействие стремится уменьшить потенциальную энер-
энергию системы Для одноименных заря-
зарядов У^ыяа = 0 при г= оо, а для разно- —чц +д —4д
именных №мии = —оо ПрИ г==о. ""*; л л г я""
Условием устойчивого равновесия °
любой системы является минимум <$
ее потенциальной энергии. Для рас- . _
смотренной системы двух точечных — 4д а -4д
зарядов этот минимум наступает —" V " 0
лишь при полном разрушении систе- А О В
мы (разведении одноименных зарядов б)
на бесконечность или полном слиянии
разноименных зарядов). .
Рассмотрим систему из трех то- [Ч +4 ^Ч
чечных зарядов. В этом случае воз- ""*: п~^ ?~"
можны конфигурации, при которых " Ох В
все три заряда находятся в равнове- С)
сии, однако это равновесие будет
неустойчивым. Подобное равновесие -fyq +g
будет возможным, если: 1) все заряды
не одного и того же знака, 2) заряды
расположены вдоль одной прямой,
3) величины зарядов находятся в оп- У
ределенном соотношении р . „
Проведем через положительный с> 1-°°-
заряд +q прямую линию и располо-
расположим на ней на равных расстояниях г по обе стороны заряда + q два одинако-
одинаковых отрицательных заряда —q'. Заряд q тогда будет находиться в равно-
равновесии. Чтобы заряд —q' также находился в равновесии, сила притяжения
его к заряду q должна уравновешиваться силой отталкивания другого заряаа
— q', т. е.
ЯЯ' . ЛЯ')"
г* ~Bг)г '
откуда q' = iq (см. рис. 1.56, а).
Полная энергия взаимодействия этих зарядов, находящихся в равно-
равновесии, будет равна
Wl = -7r- — = —- 2—-=0, A3.18)
т. е , как и следовало ожидать, не зависит от г.
Для выяснения, является ли данное положение равновесия устойчивым,
рассмотрим изменение величины W при различных смещениях составляющих
систему зарядов из равновесного положения.
Дадим центральному заряду +<? смещение у, перпендикулярное оси
системы (рис. 1 56, б) Полная энергия тогда будет равна

90 ч. I. электростатика [гл. ш
т. е. больше, чем в положении равновесия. На заряд -\-q будет действовать
сила, направленная к положению равновесия. По отношению к подобному
смещению исходное равновесие оказывается устойчивым.
Дадим теперь центральному заряду + q смещение х вдоль оси системы
(рис. 1.56, в) и подсчитаем полную энергию в этом случае:
8<?г W V _ V 8?У 8?У
wy> г r + х г — х г гг—хг г([г—хг)^
При таком смещении потенциальная энергия уменьшается ir по отношению
к нему исходное равновесие оказывается неустойчивым. На сместив-
сместившийся заряд в этом случае действует сила, стремящаяся еще более удалить
его от положения равновесия.
Оставим теперь центральный заряд + q на месте и дадим обоим отри-
отрицательным зарядам —4q одинаковые смещения Аг в разные стороны
(рис, 1.56, г). Поскольку U7, не зависит от г, то №(Д/-)=0, и при таком
смещении потенциальная энергия не изменяется вовсе. По отношению к по-
подобному перемещению равновесие системы оказывается безразличным.
Испытывая различные другие изменения конфигурации зарядов, можно
убедиться, что среди них имеются такие, при которых изменение1 потенциаль-
потенциальной энергии &W = W — Wy либо положительно, либо отрицательно, либо
равно нулю. Однако если хотя бы при каком-либо одном типе изменения
конфигурации потенциальная анергия ее уменьшается (а такой случай —
при х ф 0—мы уже разобрали), то это изменение будет возрастать и
исходное равновесие 9, целом, неустойчиво.
Анализируя выражение A3.14) в общем виде, можно доказать так назы-
называемую теорему И р н ш о у: устойчивое статическое распределение электри-
электрических зарядов невозможно^
Поскольку люоое пространственное распределение зарядов может быть
представлено в виде системы бесконечно большого числа бесконечно малых
зарядов, то все сказанное относится к любой статической системе. Следова-
Следовательно, устойчивая статическая система зарядов возможна лишь в том слу-
случае, если, кроме электрических сил, в ней действуют еще другие силы
неэлектрической природы.
В случае атомных систем между ^электрокгами w ядрами, кроме кулоно-
вых сил, действуют еще силы тяготения. Однако эти силы изменяются с рас-
расстоянием по такому же икону, а по абсолютной величине ничтожно малы
по сравнению с электростатическими.
Таким образом, электроны, входящие в атомы и молекулы, не могут
образовать устойчивые статические системы. Атомы и молекулы не
могут быть ие чем иным, как динамическими системами элек-
электрических зарядов. Этот факт является прекрасной иллюстрацией
положения диалектического материализма о невозможности существования
материи без движения.

ЧАСТЬ И
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
ГЛАВА IV
ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 14. Электрический ток. Ток проводимости
Электрическим током называется направленное движение
электрических зарядоТ. При этом возможны различные случаи.
Зарядим какое-либо тело, т. е. сообщим ему электрический за-
заряд, и будем перемещать это тело в пространстве. В этом случае
электрические заряды будут перемещать-
перемещаться вместе с макроскопическими тела-
телами, на которых они находятся (рис.2.1, а).
Такой ток называется конвекцион-
конвекционным (переносным) током.
Рассмотрим теперь проводник,
в котором создано и поддержи-
вается внешнее электрическое
поле Е. Находящиеся внутри провод-
проводника свободные электрические заряды
будут двигаться: положительные — по
полю, а отрицательные — против поля
(рис. 2.1,6). Случай, когда микроскопи-
ческие электрические заряды движутся
внутри неподвижного макроскопиче-
макроскопического тела (твердого, жидкого или газо-
газообразного), носит название тока про-
водимости.
б)
Рис- 2
Третьим случаем является так называемый ток в вакуум
когда микроскопические электрические заряды движутся в пустоте
независимо от макроскопических тел. Примером могут служить
потоки электронов в электронной лампе (рис. 2.1, в).
Изучение законов электрического тока мы начнем с наиболее
простого и технически наиболее важного случая тока проводи-
проводимости, идущего по проводнику. Введем сначала некоторые основ-
основные понятия.

92
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. iv
Заряженное тело А соединим проводником с землей (рис. 2.2).
Тело А будет разряжаться, и через проводник пойдет электриче-
электрический ток. За промежуток времени dt заряд тела А уменьшится
на некоторую величину dq. Отношение
dt
(H.I)
©—Н
называется током в проводнике. Термин «сила тока», как уста-
ревший и не соответствующий физическому смыслу описываемого
им понятия, ныне не употреб-
употребляется.
Если за равные промежутки
времени через любое сечение
проводника проходят одинако-
одинаковые количества электричества,
то ток
/=-з?=const
не будет зависеть от времени.
Такой ток принято называть
Рис 2.2. постоянным и обозначать
символом /. Если же ток
со временем меняется, т. е. dq\dt^= const, то он является пере-
переменным и обозначается буквой i*).
Величина тока в системе СИ измеряется в амперах, приче1ч
эта BeflH4jjfla_uojigejle/[geTCH как добавочная, четвертая единица
(см. § 32). Единица заряда — кулон определяется через ампер:~это
заряд, протекающий через сечение проводника за 1 сак, при токе
в нем 1 а:
1 л:=1 а> 1 сек «3-10* СГС ед. заряда.
В общем случае при прохождении тока в проводнике переме-
перемещаются заряды обоих знаков, движущиеся в противоположных
направлениях. В связи с этим понятие о направлении электрич?-
ского тока является до некоторой степени условным. Исторически
сложилось так, что за направление электрического тока услови-
условились считать направление движения положительных зарядов, или,
что то же самое, направление, обратное движению отрицательных
зарядов.
*) В электротехнике называют переменными и обозначают буквой 1
обычно только такие токи, величина которых меняется со временем по
чисто синусоидальному закону.

§ 15] ЗАКОН ОМА ДЛЯ УЧАСТКА ЦЕПИ 93
Возвращаясь к рис. 2.2, мы можем сказать, что уменьшение
заряда тела А на dq происходит как за счет уноса некоторого
количества положительных зарядов dq% вдоль направления тока по
проводнику в землю, так и за счет перехода некоторого количе-
количества отрицательных зарядов dq^_ из земли по проводнику к телу А
против направления тока. В общем случае dq будет представлять
собой арифметическую сумму двух количеств dq = dqX-\-dqz. и
A42)
dt
§ 15. Закон Ома для участка цепи.
Сопротивление проводников
Рассмотрим отрезок однородного цилиндрического проводника
длиной / (рис. 2.3). Для того чтобы в этом проводнике шел по-
постоянный ток /, необходимо внутри проводника поддерживать
постоянное электрическое поле Е. Так как напряженность электри-
электрического поли равна градиенту
потенциала, взятого с обрат-
обратным знаком (см. § 8), то
а —ф|
'— dl~ I ~ f,
где ф, и фа—электрические потенциалы в начальном и конечном
сечении проводника, а
у—у _ф A5.2)
— падение потенциала на выделенном нами участке элект-
электрической цепи /—2, называемое на пряже н и е_м, приложенным
к проводнику.^
При изменении напряжения U меняется и ток /, текущий в про-
проводнике. В 1826 г. Ом экспериментально установил прямую про-
пропорциональность между током и напряжением:
'Обозначим коэффициент пропорциональности, карактеризующий
электрическую проводимость проводника, через G; величина R,
обратная проводимости проводника, /?=1/0 называется его
электрическим сопротивлением; тогда
/=aU=-^U. A5.3)

94
Ч. Ч. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. iv
Сопротивления разных проводников численно различны. На
рис. 2.4 приведены экспериментальные графики / и 2 закона Ома
A5.3) для двух проводников с различными сопротивлениями. Урав-
Уравнение A5.3) определяет соотношение между током и напряжением
Для конечного участка цепи и поэтому иногда называется зако-
н ом Ома в интегральной форме: ток, идущий в провоЗ-
нике, численно равен отношению приложенного напряжения к
сопротивлению проводника.
Закон Ома в интегральной форме позволяет определить еди-
единицы сопротивления проводника: если U=\ и /=1, то /?=1.
В системе СИ единицей сопротивления является ом. dxQ—X.0WP-
тивление такого проводника, в котором при напряжении 1 в идет
ток в 1 а:
1
1 ом UL —
57й1 СГС ед. напряжения
la. 3.109СГС ед. тока
1
'9-Ю1
ед. сопротивления.
Сопротивление проводника R зависит от его геометрических
размеров и формы, а также материала, из которого сделан
проводник. Для цилиндрических проводников сопротивление
прямо пропорционально их длине /
и обратно пропорционально площади
поперечного сечения 5:
A5.4)
Рис. 2.4.
а напряжение [и]=-^=
Коэффициент пропорциональности
q называется удельным сопро-
сопротивлением вещества, из которого
сделан проводник. Из соотношения
RS
Q—-т- определяются размерность и
единицы измерения удельного сопро-
сопротивления.
В системе СГС ток имеет раз-
размерность [/]=Ш= г'^-cji1
"'. Отсюда размерность со-
удельное сопротивление
противления [/?]=!—1 = сек -см *,
\п] = [Югп—сек имеет ту же размерность, что и время.
ы 4-ч — —-—

§ 15)
ЗАКОН ОМА ДЛЯ УЧАСТКА ЦЕПИ
95
В системе СИ 1 ом=\ в/1 а — \ дж\к-а—\ дж\аг-сгк. Если R
измерять в ом, I—в м и 5—в м", то q измеряется в ом-мг\м —
= ом-м, следовательно, 1 ом-м есть удельное сопротивление
вещества, цилиндрик которого длиной 1 м и площадью попереч-
поперечного сечения 1 мг имеет сопротивление 1 ом.
Применяемые в технике проводники имеют обычно большую
длину и малое поперечное сечение. Поэтому длину проводов изме-
измеряют вл, а площадь поперечного сечения — в мм". Соответственно
этому удельное сопротивление измеряется в ом-мм"\м и численно
равно сойротивлению провода длиной в 1 м и площадью попереч-
поперечного сечения 1 ммг, сделанного из данного материала:
ом-мм2 1 сш-A0~* м)*
м \ м
1
-=10~в ом-м.
Наименьшими удельными сопротивлениями обладают серебро и
медь. На практике электрические провода обычно изготовляются
из меди:
6си=1Д-10~ ом-м-
или алюминия:
ом-мм*
Хотя при равном сопротивлении алюминиевый провод и будет
толще медного, но благодаря малому удельному весу алюминия
вес его погонного метра будет меньше соответствующего веса
медного провода того же сопротивления; поэтому при определен-
определенных условиях целесообразно применять алюминиевые провода.
Удельное сопротивление такого типичного изолятора, как
стекло, равно 5-Ю1* ом-м, т. е. примерно в 10" раз больше,
чем у меди.
Для сравнения в таблице приведены удельные сопротивления
некоторых металлов и сплавов при комнатной температуре.
Удельные сопротивления некоторых металлов и сплавов
Материал
Серебро ....
Медь
Золото ....
Алюминий . .
Вольфрам . . .
Цинк
Никель ....
Латунь ....
Q- 10е ом-м
0,016
0,017
0,023
0,029
0,056
0,060
0,070
0,080
Материал
Железо . . .
Платина . . .
Свинец ....
Никелин . . .
Манганин . .
Константан
Ртуть ....
Нихром . . .
Q- 10' ОМ-М
0,086
0,107
0,210
0,420
0,430
0,500
0,958
1,100

96 ч. и. электрический ток [гл. iv
Подставляя выражение A5.4) в A5.3), преобразуем закон Ома
I— *L — U1
R~ Ql
К виду
Величина
4=/ A5.6)
носит название плотности тока и ня практике измеряется
в а!ммг. В соответствии с A5.1) ?///=? есть напряженность элек-
трического поля в проводнике.
Величина, обратная удельному сопротивлению,
(
называется у д е л ь н о й проводимостью или электропро-
электропровод н о~с т ь ю данного вещества. При введенных обозначениях
соотношение A5.5) имеет
A5.8)
и носит название закона Ома в дифференциальной
форме. '
Для проводников переменного сечения (рис. 2.5) зависимость
сопротивления от геометрических размеров уже не будет выра-
выражаться столь простым соотноше-
соотношением, как A5.4). Здесь величина
тока / в любых двух сечениях про-
проводника будет одинаковой, так как*
в противном случае между этими
сечениями накапливался бы элект-
электрический заряд, изменялось элект-
Рис 2.5 рическое поле и ток перестал бы
быть постоянным. Плотность же
тока в различных сечениях и даже в разных точках одного и того же
сечения может быть различной и по величине и по направлению.
В этом случае внутри проводника будет неоднородным и электри-
электрическое поле, вектор напряженности которого Е будет изменять
свою величину и направление от точки к точке. Однако соотно-
соотношение A5.8) между j и Е" остается справедливым в любой точке
внутри проводника. Учитывая векторный характер величин j и Е,
закон Ома в дифференциальной форме (для каждого бесконечно
малого уча"стка в проводнике) должен быть записан в виде
j=YE. A5.9)

§ 15]
ЗАКОН ОМА ДЛЯ УЧАСТКА ЦЕПИ
Сопротивление данного проводника зависит от внешних усло-
условий и в первую очередь от температуры н давления. На механизме
температурной зависимости сопротивления мы остановимся несколько
подробнее в последующих главах при теоретическом выводе за-
закона Ома. Здесь же пока приведем некоторые экспериментальные
данные.
Опыт показывает, что в первом приближении сопротивление
металлических проводников линейно возрастает с температурой
по закону
/?*=/?, A+а/). A5.10)
Для чистых металлов температурный коэффициент сопротивле-
сопротивления а» 0?004=4-10~* град~г и близок к =5. На рис. 2.6 приве-
приведен примерный график зависимости сопротивления металла от
абсолютной температуры Т. Как
показывают теория (см. ниже,
§ 21) и опыт, при Г—>-0° К со-
сопротивление металла стремится
к нулю.
Для некоторых металлов и
сплавов вблизи абсолютного нуля
температуры наблюдается (при
некоторой характерной для каж-
каждого из иих температуре) скачко-
скачкообразное падение сопротивления
практически до нуля. Проводник ир_ i |_
О'обе
Рис. 2. л
при этом переходит в так назы-
называемое сверхпроводящее
состояние. Если в замкнутом
контуре из сверхпроводника создать электрический ток, то этот
ток будет неделями течь в сверхпроводнике, практически не
уменьшаясь по величине. Температуры перехода в сверхпроводя-
сверхпроводящее состояние для разных металлов различны и лежат в интервале
примерно от 2° К до 10° К.
Температурная зависимость сопротивления металлических про-
проводников широко используется в технике для создания термо-
термометров сопротивления. Помещая в печь спираль известного
сопротивления R9 и измеряя ее сопротивление Rt, можно согласно
A5.10) определить температуру t печи. С другой стороны, эта
температурная зависимость оказывает вредное влияние на работу
точных электроизмерительных приборов, меняя сопротивление по-
последних при изменении внешних условий. Так как разница темпе-
температур зимой и летом в данном месте может достигать 60°, то
величина аД< может доходить до %
4 Г. А. Зисман и О М. Тод

98 ч. и. электрический ток [гл. iv
Для предотвращения вредного влияния изменения сопротивле-
сопротивления с температурой приходится предусматривать специальные
компенсационные схемы или изготавливать провода из специальных
сплавов с низким температурным коэффициентом, как, например,
константана, у которого а л? 0,002-10"' град~\ т. е. примерно
в 2000 раз ниже, чем у меди.
Если к проводнику прикладывать значительные усилия, то он
деформируется и несколько изменяет свои геометрические размеры
и структуру. При этом в соответствии с A5.4) несколько изме-
изменяется его сопротивление. На этом принципе основаны электри-
электрические тензометры, позволяющие измерять значительные и
быстро меняющиеся давления.
§16. Закон Ома для замкнутой цепи
При наличии в проводнике электрических полей, создаваемых
электрическими зарядами, постоянный ток невозможен. Действи-
Действительно, соединим, например, проводником два тела, несущик заряды
противоположного знака -j-q и —q. В проводнике тогда возникнет
влектрическое поле и потечет ток. В процессе прохождения тока
оба тела будут разряжаться, разность потенциалов между ними
будет падать и ток уменьшится до нуля. Таким образом, электри-
электрическое поле может создать в проводнике лишь кратковременный
импульс тока.
Поскольку ток в проводнике нейтрализует помещенные на его
концах заряды, то для поддержания постоянных разности потен-
потенциалов и тока необходимо все время прикладывать так называемые
сторонние силы неэлектрической природы, непрерывно разде-
разделяющие электрические заряды и поддерживающие постоянство
имеющихся полей.
Природа таких сторонних сил может быть различна. В электро-
форной машине происходит непрерывное разделение положительных
и отрицательных зарядов за счет механической работы. В гальва-
гальваническом элементе происходит разделение зарядов за счет энергии
химической реакции. В фотоэлементе падающий свет вырывает из
поверхности металла отрицательно заряженные частички—электроны.
В генераторе на электростанции заряды разделяются действующими
на них силами магнитного поля.
Во всех перечисленных и в ряде других случаев на отдельных
участках цепи на электрические заряды действуют сторонние силы
FCTOp, перемещающие на этих участках„..заряды п р о т и в направле-
направления электрического поля Е. Обозначим через
F _

§ 16]
ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ ЦЕПИ
99
напряженность поля сторонних сил, т. е. силу, действующую на
единичный положительный заряд (q'=z-j-l) в проводнике. При на-
наличии сторонник полей закон Ома в дифференциальной форме A5.9)
примет более общий ви
т
A6.2)
Перейдем от дифференциальных соотношений к интегральным.
Рассмотрим замкнутую цепь, на участке /—2 которой включен
сторонний источник тока, например гальванический элемент, как
это показано на рис. 2.7. Выделим мысленно малый элемент тока
длиной dl так, чтобы на этом участке можно было счи-тать площадь
поперечного сечения проводника S
постоянной, а поля и плотность
тока—однородными и направленны-
направленными перпендикулярно поперечному
сечению проводника. Тогда A6.2)
перепишется в виде
eft
или _
"c*==Y\ — wf ' стор ) • \lo.o) Рис. 2.7
Умножим обе части равенства A6.3) на Qdl—dl[y получим*):
/ -?- = d<p-\-ECTOVdt,
и проинтегрируем по участку проводника от 1 до 2:
A6.4)
Величина QdlfS=dR представляет собой сопротивление беско-
бесконечно малого участка проводника, а
*) В общем случае нелинейных проводников и неоднородных полей
надо брать скалярное произведение (JQdl), в которое войдет еще косинус
угла между j и dl.

100
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл.
— полное сопротивление всего участка цепи. Разность q>,¦
ecfb падение потенциала на данном участке. Наконец,
A6.5)
носит название электродвижущей силы (э. д. с.) источника
тока, включенного на этом участке; этот интеграл численно равен
работе, совершаемой сторонними силами при переносе ими по цепи
единицы положительного зарядаТ "^
Таким образом, Aо'.4) выражает собой закон Ома в инте-
гральной формвг-д ля участка цепи, содержащего
э. д. с:
A6.6)
Если на данном участке источник тока отсутствует (& = 0), то
A6.6), естественно, переходит в обычный закон Ома A5.3).
Перемещая сечение 2 все дальше вдоль проводника, мы, нако-
наконец, достигнем такого положения, когда 2 совпадает с /. В этом
случае Ф2 = ф1 и ?/1>2 —фх—ф2 = 0, т. е. полное падение потен-
потенциала в замкнутой цепи равно нулю. При движении вдоль направ-
направления тока вне источника тока ?стор=0 и потенциал непрерывно
падает, а внутри источника ток течет против направления элек-
электрического поля Е и потенциал возрастает до своего исходного
значения, как это показано на рис. 2.8.
Для такой замкнутой цепи закон Ома A6.6)
примет вид
A6.7)
\
где Raona есть полное сопротивление всей
цепи, а э. д. с.
A6.8)
численно равна работе переноса единичного
Рис. 2.8. положительного заряда через всю цепь.
Практически могут наблюдаться случаи,
когда сторонние силы сосредоточены на сравнительно узких участ-
участках Цепи Д/, например в очень узком слое у электродов гальваниче-
гальванического элемента. На таком малом участке Д/ среднее значение
сторонней силы ?ГСТ0Р очень велико, так что произведение EZT09 Д/
имеет конечное значение и создает почти вертикальный «скачок»
потенциала, как это изображено на рис. 2.8.
Рассмотрим пример источника тока с э. д. с. S и внутренним
сопротивлением г, замкнутого на внешнюю цепь (потребителя)

§ 16]
ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ ЦЕПИ
101
с сопротивлением R. В цепь включены электроизмерительные при-
приборы: амперметр А, измеряющий ток /, и вольтметр V, измеряю-
измеряющий напряжение U у потребителя. В качестве последнего исполь-
используем реостат R переменного сопротивления с
(рис. 2.9). Полное сопротивление всей цепи
равно сумме сопротивления источника и сопротив-
сопротивления потребителя:
A6.9)
и закон Ома для всей цепи A6.7) примет вид
= &. A6.10)
Рис. 2.9.
Поэтому ток зависит от сопротивления, внешней цепи R по закону
A6.11)
Поскольку на участке внешней цепи э. д. с. отсутствует, то закон
Ома для этого участка A5.3) имеет вид
R
R+r
A6.12)
Формула A6.12) дает зависимость напряжения от сопротивления
нагрузки R.
В пределе, когда R—»-0, источник тока замкнут накоротко.
В этом случае ток максимален:
а напряжение во внешней цепи равно нулю:
U=0.
A6.11а)
A6.12а)
В противоположном предельном случае, R—>-оо, цепь разомкнута
и ток отсутствует:
/=*-?-=. о,
00 '
а напряжение максимально:
»+•=¦
A6.116)
A6.126)
и равно э. д. с. источника.
^3 A6.126) вытекает, что электродвижущая сила источника
численно равна напряжению на его зажимах при разомкнуто?
внешней цепи. ———

102
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[ГЛ. IV
§ 17. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа
В разветвленных электрических цепях вычисление токов, иду-
идущих по отдельным ветвям, представляет известные трудности. Для
упрощения этих вычислений удобно воспользоваться двумя прави-
правилами Кирхгофа.
Для вывода правил Кирхгофа рассмотрим изображенную на
рис. 2.10 произвольную разветвленную цепь, состоящую из ряда
соединенных друг с другом проводников с определенными сопро-
в тивлениями и ряда источников
7 э. д. с.
Назовемузлам и все точки,
в которых сходится не менее
трех проводников нашей цепи,
и обозначим их через A,B,C,D.
Обратим внимание на то, что
согласно приведенному опреде-
определению точки /, //, /// ие явля-
являются узлами. На всем участке
А/В между узлами Лий, состо-
состоящем из последовательно соеди-
соединенных проводников и источника
э. д. с, идет один и тот же ток.
Перенумеруем все участки на-
нашей цепи, расположенные между
узлами цепи, последовательными цифрами 1, 2, ..., 7. Суммарные
сопротивления проводников и источников тока на каждом участке
обозначим соответственно через Rt, /?2, ..., Rr Величины элек-
электродвижущих сил, включенных на некоторых участках цепи,
обозначим через ?,, &„, &ш.
При замыкании цепи через каждый участок пойдет определен-
определенный постоянный ток. Перенумеруем эти токи /,, /t, ..., /„ как и
сопротивления соответствующих участков. Задача состоит в том,
чтобы рассчитать величину и направление каждого из этих токов
по известным сопротивлениям участков и э. д. с. источников тока.
Подойдем к решению поставленной задачи алгебраически и
охарактеризуем направления идущих через участки цепи токов их
знаками. Поскольку до окончательного решения задачи эти знаки
заранее не известны, то отметим на рис. 2.10 направления всех
токов произвольно. Если при этом направление тока указано" пр?
вильно, то мы получим в ответе для него положительную величину.
Если же ответ окажется отрицательным, то, значит, ток течет
в направлении, обратном предположенному.
Договорившись об обозначениях н направлениях токов, присту-
приступим к выводу первого правила Кирхгофа. Рассмотрим какой-либо

§ 17) РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ. ПРАВИЛА КИРХГОФА 103
из узлов цепи, например узел А, изображенный отдельно на
рис. 2.11- Из чертежа видно, что токи /„ /, и /4 направлены
к узлу и за время dt приносят в этот узел суммарный заряд
(/, + /, + /4) dt. Ток /t направлен от узла и уносит за то же время
заряд lxdt. Полное увеличение заряда в узле А за произвольный
промежуток времени dt равно
В цепи постоянного тока потенциалы всех точек цепи, а значит
и узлов, должны оставаться неизменными. Следовательно, в 'этих
узлах не могут накапливаться электрические заряды ни положитель-
положительного, ни отрицательного знака. В частности,
для уэла А величина dQA должна равняться А,
нулю для любого промежутка времени dt, т. е.
Аналогичные уравнения можем выписать для
всех узлов цепи. Таким образом, мы получаем
систему уравнений, выражающих первое
J2J3 авило Кирхгофа:
алгебраическая сумма токов, сходящихся
в узле, равна нулю:
24=0. A7.2) Рис. 2.11.
При этом надо соблюдать следующее правило знаков: токи, при-
приходящие к узлу, считать положительными, а уходящие — отрица-
отрицательными.
Выпишем соответствующие уравнения для узлов В и С:
/.=0 A7.3)
Л=0. A7.4)
Сопоставляя их с A7.1), видим, что в уравнение A7.3) входят
величины токов У, и /„ не входившие в A7.1), а в уравнении A7.4)
участвует величина тока /„ не входившая в оба предыдущих
уравнения A7.1) и A7.3). Благодаря такой структуре эти три
уравнения являются независимыми друг от друга.
Если мы теперь захотим использовать аналогичное уравнение
для узла D:
—/4—/„ + /,=0, A7.5)
то обнаружим, что в этом уравнении нет ни одной новой величины
тока, которая бы уже не входила в какое-либо из предыдущих

104 ч. и. электрический ток {гл. iv
трех уравнений, и что A7.5) не является новым независимым
уравнением. Легко убедиться, что, складывая почленно все четыре
уравнения A7.1), A7.3), A7.4) и A7.5), мы получим просто тожде-
тождество: 0 = 0.
Число неизвестных токов равно числу участков цепи. Количе-
ство узлов цепи меньше числа участков. Число же независимых
уравнений, составленных по первому правилу Кирхгофа, меньше
числа узлов, а следовательно, и числа неизвестных токов. Поэтому
для определения всех неизвестных величин необходимо составить
ряд дополнительных уравнений. Для этого служит второе правило
Кирхгофа.
Рассмотрим произвольно выбранный замкнутый контур, напри-
мер, ABIA. Обозначим потенциалы узлов А я В (см. рис. 2.iO)
соответственно через ф^ и <рв и условимся о положительном на-
направлении обхода, например, по часовой стрелке. В ветви ВА ток /.
идет по направлению обхода и должен считаться положительным.
Э. д. с. §„ обусловливает ток в направлении обхода по контуру
и также должна считаться положительной. Падение потенциала UBA
на участке ВА равно разности потенциалов конечной и начальной
точек. Полное сопротивление всего участка (включая и внутреннее
сопротивление источника тока) обозначено через /?,. Согласно A6.6)
закон Ома для этого участка цепи, содержащего э. д. с, имеет
вид
Во второй ветви AIB ток /2 идет против направления обхода и
э. д. с. $, действует в том же направлении. Поэтому обе эти
величины должны учитываться с отрицательным знаком. Закон Ома
для участка цепи АВ имеет вид
Фв. A7.7)
Складывая почленно равенства A7.6) и A7.7), мы исключим
неизвестные потенциалы узлов и получим
—V?, +- /,Я,= — *, + *,,. A7.8)
Это уравнение выражает второе правило Кирхгофа для
замкнутого контура ABIA:
алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления
в ветвях замкнутого контура равна алгебраической сумме
э. д. с., встречающихся в этом контуре;
2JV?*=2**- A7.9)
При этом также следует строго придерживаться правила знаков:
токи, идущие вдоль выбранного нами направления обхода (в дан-

§ 17] РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ. ПРАВИЛА КИРХГОФА 105
ном случае по часовой стрелке), считаются положительными.
а идущие против направления "обхода-—отрицательными. Соответ-
Соответственно этому э. д. с, которые действуют по выбранному направ-
лению обхода в контуре, считаются положительными, а против
направленияоБ'хода—отрицатеЖнымйГ. Уравнение A7.^) является
обобщением закона Ома для замкнутоГцепи A6.7) и показывает,
что при обходе вокруг любого замкнутого контура мы возвра-
возвращаемся в ту же самую точку с тем же значением потенциала.
Пользуясь вторым правилом Кирхгофа, следует составить ана-
аналогичные уравнения для всех независимых замкнутых контуров,
входящих в разветвленную цепь. Говоря о независимых контурах,
мы имеем ввиду следующее: составим уравнение второго правила
Кирхгофа для контура ABDA:
-/,/?, -/,/?, +/Л = -§„¦ A7.10)
Этот контур содержит, по сравнению с предыдущим контуром ABIA,
два новых тока /4 и /в, и уравнение A7.10) является независимым
от A7.8).
Если, однако, мы теперь составим уравнение второго правила
Кирхгофа для контура AJBDA:
-/,/?,-У?,+ /,/?,=-?„ A7.11)
то увидим, что этот контур не включает ни одного нового эле-
элемента (тока или э. д. с), который бы не входил в предыдущие
два контура. Поэтому уравнение A7.11) не является новым, неза-
независимым от двух предыдущих — A7.8) и A7.10). Нетрудно убе-
убедиться, что оно автоматически получается, если почленно сл&жить
эти два уравнения: A7.8) + A7.10)=A7.11).
Поэтому при составлении уравнений для второго правила Кирх-
Кирхгофа (так же, как и для первого) следует внимательно следить,
чтобы каждый новый рассматриваемый контур содержал хотя бы
один элемент, который не содержится в предыдущих контурах.
Если это условие не будет соблюдено, ошибки не произойдет, но
вычисления усложнятся, так как мы получим лишние уравнения,
являющиеся простой комбинацией уже составленных^
Совокупность независимых уравнений, составленных по первому
правилу Кирхгофа для узлов и по второму — для контуров, оказы-
оказывается достаточной, чтобы найти все (или интересующие нас) токи
в разветвленной цепи. Задача сводится, таким образом, к реше-
решению системы линейных уравнений, общее число которых равно
числу неизвестных токов.
Применим правила Кирхгофа к цепи, состоящей из сопротивле-
сопротивлений /?,, Rt, ..., Rn, включенных параллельно друг другу (ряс. 2.12)
и замкнутых на общий источник тока с э. д. с. $ и внутренним
сопротивлением г.

106 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [гл. IV
Первое правило Кирхгофа в применении к узлу А дает
/—У, — /,— ...— /„=0, или /=2 4- A7.12)
Уравнение для узла В составлять нет необходимости, так как
к нему примыкают те же элементы кон-
I,
тура.
Для замкнутых контуров, проходящих
через каждое отдельное сопротивление
и э. д. с, согласно второму правилу
Кирхгофа имеем
/,/?,=*-//-,
A7.13)
Рис. 2.12.
Определяя отсюда токи /,, /,, ..., /„ и подставлйя их в A7.12),
получим
?=," 1
Решая полученное уравнение относительно тока /, находим
A7.14)
У —
Г*»
Как видно из A7.14), полное сопротивление всей цепи /?полн
является суммой сопротивления источника г и суммарного сопротив-
сопротивления включенной последовательно с ним системы из соединенных
параллельно друг другу проводников R. Последнее определяется
из соотношения
или^=Х^Г, A7Л5)
JL
показывающего, что при параллельном соединении проводников
величина, обратная сопротивлению всей системы (т. е. ее проводи-
проводимость), равна сумме проводимостей всех проводников.
Полное же сопротивление всей цепи находится по правилу сло-
сложения сопротивлений для последовательного соединения:
A7.16)

§
РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ. ПРАВИЛА КИРХГОФА
107
В качестве второго примера применения правил Кирхгофа рас-
рассмотрим схему так называемого измерительного мостика У ят^
стона. Четыре сопротивления /?,, Rv Rt и RA образуют его
"плечи. В одну диагональ АС моста включена батарея с з. д. с.
? и сопротивлением Re. В другую диагональ BD включен гальвано-
гальванометр с сопротивлением Rr (рис. 2.13).
Уравнения первого правила Кирхгофа для узлов А, В и С
имеют вид
/б-/,-/, =-0,
h-h—Ь -о,
К—/в—о.
Легко видеть, что уравнение для узла D ничего нового не дает.
Уравнения второго правила Кирхгофа для независимых конту-
контуров АВС$А, ABDA и BCDB имеют вид
A7.18)
/,/?, + /,/?Р-/,Я,=0,
'.Я,—/,/?4—/г «г =0.
Из шести уравнений A7.17) и A7.18)
можно определить шесть неизвестных.
Если заданы все сопротивления и э. д. с,
то такими неизвестными будут токи,
текущие в цепи. Если какое-либо из
сопротивлений, например RJt неизвест-
неизвестно, то на опыте измеряют ток /г , иду-
идущий через гальванометр, и из уравнений
A7.17) и A7.18) вычисляют остальные
пять неизвестных токов и величину
Rt. Такая схема носит название н е-
равновесного мостика Уитстона.
Изменяя известные сопротивления Rt, Rt или Rlt можно до-
добиться такого положения, чтобы ток через гальванометр обратился
в нуль (/„ =0). Тогда из уравнений A7.17) находим
Рис. 2.13.
а из уравнений A7.18) получим
Отсюда легко вывести, что
и /,/?,=
k-?. или
Rt Rt' л
A7.19)

108
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл.
Равенство A7.19) показывает, что для определения искомого со-
сопротивления R в случае равновесного моста достаточно знать
лишь величину сопротивления /?2 и отношение сопротивлений /?,//?„.
Э. д. с. батареи, питающей мост, и сопро-
сопротивления батареи и гальванометра сущест-
существенной роли для определения искомого
сопротивления /?, не играют.
В часто применяющемся на практи-
практике реохордном мостике Уитстона
(рис. 2.14) сопротивления Rt и Rt представ-
представляют собой одну калиброванную проволоку
(реохорд). Контакт гальванометра с реохор-
реохордом (точка D) делается подвижным, и е мо-
момент равновесия моста измеряется поло-
положение движка на шкале, расположенной
параллельно реохорду. В этом случае
отношение сопротивлений R,jRt равно отношению длин обоих
участков реохорда и
*,=*.;=;¦ U7.20)
В измерительной технике использу ется и неравновесный мостик Уитсто-
Уитстона. В конце § 15 упоминался электрический тензометр. В качестве таких
тензометров примевяются тонкие константановые проволочки с сопротивле-
сопротивлением 50—200 ом, наклеенные на изо-
изолирующую пленку (рис. 2.15). Для
компенсации внешних температурных
воздействий в плечи моста (рис. 2.13)
включаются два одинаковых тензометра
с равными сопротивлениями:
.Бумага
/?» = Л,«=л A7.21)
Один из тензометров наклеивается на
деформирующуюся деталь, а второй
остается свободным. Добиваются ра-
равенства тока в гальванометре нулю
в отсутствие деформации. Из условия
A7 19) для равновесного моста и A7.21)
находим, что
Ri=Ri=R. A7.22)
Выводы
Сварка и/ти
спайка
Рис. 2.15.
При деформации детали и приклеенного к ней тензометра сопротивление
последнего изменяется на некоторую величину Аг. Тогда
R^ = r.+ Ar и Rt = r. A7.23)
Подставляя значения сопротивлений A7.22) и A7.23) в уравнения A7.17)
и A7.18) и решая эту систему с точностью до малых второго порядка отно-
относительно Аг, после несложных, но громоздких преобразований находим
Аг.
A7.24)

§ 181 РАБОТА, МОЩНОСТЬ И ТЕПЛОВОЕ ДЕЙСТВИЕ ТОКА 109
Измеряя ток /г в диагонали неравновесного моста, можно найти абсолютное
(Дг) и относительное (Arjr) изменение сопротивления тензометра и отгра-
отградуировать /г непосредственно в единицах деформации детали или прило-
приложенного к ней напряжения.
Для измерения с помощью тензометров быстропеременных деформаций
и напряжений гальванометр в диагонали моста заменяют специальным запи-
записывающим электрическим прибором — шлейфовым осциллографом.
Ввиду малости возникающих в диагонали напряжений Uv=IrRr они
предварительно усиливаются,
§ 18. Работа, мощность и тепловое действие тока
Рассмотрим участок цепи, не содержащий э. д. с. (рис. 2.16, а).
На этом участке приложена разность потенциалов UXtZ и идет
ток /. За некоторый промежуток времени t через участок пройдет
заряд q—It. При этом силы электрического поля совершат работу
по переносу заряда q от точки с более
высоким к точке с более низким потен- j _?_ g
циалом: '?tj *¦ Г i »
А = ((р1 — <$t)q=:UlitIt. A8.1) » У^ р
В соответствии с законом Ома A5.3) эту * ' ^ ' "|7
работу можно выразить через сопротив- о
ление участка R: , ||_
A8.2)
Л
,,/
Если на участке цепи находится источ- Рис. 2.16.
ник тока (рис. 2.16, б), то при переносе
заряда q работу совершают как силы электрического поля, так
и сторонние силы:
А={ииг+Ъ)П. A8.3)
Используя закон Ома A6.6) для такого участка, можно привести
A8.3) к виду, аналогичному A8.2):
= /1/?||1*. A8.4)
В случае замкнутой цепи B.16, в) из двух слагаемых работы
первое обращается в нуль, так как полное падение потенциала
Ultt во всей цепи равно нулю. Поэтому
jlut, A8.5)
где Rnonu выражается формулой A6.7).

ПО ч. и. электрический ток [гл. iv
Интересно отметить, что полная работа электрических сил UlttIt
в замкнутой цепи равна нулю, так как в одной части цепи ток
течет по полю, а в другой части—против поля. Внутри источника
тока работают сторонние силы; они разделяют заряды, создают
электрическое поле и запасают энергию. Эта энергия расходуется
во внешней цепи на поддержание в ней электрического тока.
Поэтому в конечном счете в замкнутой цепи совершает работу
A8.5) только приложенная э. д. с.
Работа, совершаемая за единицу времени:
4 = Р, A8.6)
есть выделяемая мощность. Для участка цепи
A8.7)
Для всей цепи
Р„олн=/?. A8.8)
Наконец, мощность, выделяемая во внешней цепи,
PBH=/?/=n?=J?. A8.9)
В системе СГС работа измеряется в эргах, а мощность — в эрг\сек.
В системе СИ ток измеряется в амперах, напряжение — в вольтах,
работа
=3-10*СГС ед. тока«д^; СГС ед. потенциала-1 сек =»
= 10' эрг=1дж.
Соответственно мощность в этой системе измеряется в единицах
1
1
Для поддержания в цепи постоянного тока необходимо совершать
работу А; энергия электрического тока в проводнике непрерывно
расходуется и переходит в другие формы энергии. Действительно,
опыт показывает, что проводник, по которому течет ток, нагре-
нагревается и в нем выделяется некоторое количество тепла Q. Если
при этом не возникает никаких других форм энергии (например,
нет химических превращений, совершаемых током), то по закону
сохранения энергии
A=Q. A8.10)
Следовательно, во внешней цепи выделяется в форме тепловой
энергии
t = I*Rt=~t дж.'
к

§ 181 РАБОТА, МОЩНОСТЬ И ТЕПЛОВОЕ ДЕЙСТВИЕ ТОКА
Поскольку 1 дж=0,24 кал, то
B=0,24/*/?* кал,
или
или же
кал.
111
A8.11а)
A8.116)
A8.Ив)
Эти соотношения выражают закон Д ж оул я—Ленца. На рис. 2.17
изображена установка Ленца A844 г.). Перевернутый стакаи зак-
закрыт пробкой и заполнен спиртом. Через пробку введены толстые
проводники, подводящие ток к нахо-
находящейся внутри стакана спирали.
Сверху через специальное отверстие
вставлен термометр Т, измеряющий
температуру спирта.
При пропускании через спираль
в течение некоторого времени опре-
определенного тока / спирт нагревается
от начальной температуры Г, до тем-
температуры Tt. Зная теплоемкость
всей массы спирта С, можно опре-
определить количество тепла, приобре-
приобретенное спиртом:
Q=C(T,-Tt). A8.12)
Рис. 2.17.
Для компенсации теплообмена спир-
спирта с окружающей средой Ленц при-
применил исключительно остроумный и простой метод. Он наливал
в свой стакан-калориметр холодный спирт с температурой Г,, на
несколько градусов ниже температуры окружающей среды ТЛ. Про-
Пропуская ток и нагревая спирт, Ленц прекращал опыт в тот момент,
когда температура спирта Тг превышала температуру окружающей
среды ровно на столько градусов, на сколько она первоначально
была ниже, т. е. на
Таким образом, за первую половину опыта, пока спирт был
холоднее окружающей среды, он получал от последней некоторое
дополнительное количество тепла Q'. Но зато во вторую половину
опыта, когда спирт становился теплее окружающей среды, он от-
отдавал последней обратно ровно такое же количество тепла Q'.
Следовательно, измеренное Ленцем тепло Q в точности было равно
количеству тепла Q, выделенному электрическим током.

1]2 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. IV
В результате исключительно точных для своего времени опытов
Ленц доказал, что выделяющееся тепло Q прямо пропорционально
квадрату тока /.
Если соединить последовательно два проводника с различными
сопротивлениями, то по этим проводникам будет идти одинаковый
ток /. Тогда согласно A8.11а) в проводнике с ббльшим сопротив-
сопротивлением будет выделяться большее количество тепла.
Это следует учитывать при включении электронагревательных
приборов (электроплиток, утюгов, чайников и т. д.). Сопротивление
электропроводки Ro должно быть значительно меньше, чем сопро-
сопротивление прибора R. При соблюдении этого условия выделение
тепла в проводах будет очень мало, следовательно, опасность их
воспламенения будет исключена. Кроме того, напряжение сети ?/„
будет практически целиком приложено к прибору, так как падение
напряжения на электропроводке IR0 пренебрежимо мало. Следова-
Следовательно, для расчета теплоотдачи электроприбора следует пользо-
пользоваться формулой A8.11 в):
В рассмотренном случае Q~l//?, так что мощность электроплитки
увеличивается при уменьшении R, т. е. при укорочении
ее спирали. Отметим еще раз, что это справедливо до тех
пор, пока R остается большой величиной по сравнению с сопро-
сопротивлением электропроводки /?0.
Иначе обстоит дело, если в цепь включено очень малое по
сравнению с /?0 и R сопротивление AR. Падение напряжения на
таком сопротивлении ничтожно, и ток / в цепи определяется лишь
сопротивлением проводки Rt и приборов большого сопротивления R:
J=UlJ(R + Ro)^=OjR. Следовательно, для расчета количества
тепла, выделяемого иа AR, следует пользоваться формулой A8.11а):
AQ=1*AR дж.
В этом случае тепловая мощность AQ/t определяется только током
в цепи /.
Выполняя такое сопротивление из тонкой проволочки длины А/
и поперечного сечения S, мы видим, что
или
М ~l S *'
т. е. количество тепла, выделяющееся на единицу длины прово-
проволочки, т?м больше, чем меньше ее сечение. При некотором крити-

§ 18]
РАБОТА, МОЩНОСТЬ И ТЕПЛОВОЕ ДЕЙСТВИЕ ТОКА
113
ческом токе 1кр тепла в проволочке выделится так много, что она
расплавится и разомкнет последующую цепь. На этом принципе
основано действие плавких предохранителей, обычно называемых
«пробками», которые ограничивают ток в цепи. Если сечение про-
проволочки предохранителя будет взято слишком большим («жучок»),
то предохранитель будет пропускать, не расплавляясь, слишком
большие токи, опасные для всей проводки.
Если сопротивление R прибора неизвестно, то, определяя ток
через прибор / и напряжение на его контактах U (с помощью ам-
амперметра и вольтметра), находят Q по фор-
формуле A8.116).
При соединении ряда приборов необходимо
помнить следующее.
а) При параллельном соединении приборов
на зажимах всех приборов будет одинаковое
напряжение ?/0. Следовательно, наибольшую
мощность будет, согласно A8.Нв), отдавать
прибор с наименьшим сопротивле-
сопротивлением.
б) При последовательном соединении при-
приборов ток J, текущий через них, будет одним
н тем же A=Ц)/(Д1+Да + Д1 +.. .), где Rlt
R^ и т. д.— сопротивления первого, второго
и т. д. приборов). Наибольшую мощность будет отдавать, согласно
A8.11а), прибор с наибольшим сопротивлением.
При нагревании тел электрическим током до высокой темпе-
температуры часть выделяемой им энергии уходит с отдаваемым телом
излучением, например светом. Это используется в так называемых
электрических лампах накаливания. На рис. 2.18 изображена
первая лампа накаливания, изготовленная А. Н. Ладыгиным. В сте-
стеклянную колбу впаяны два толстых медных электрода малого
сопротивления, соединенных между собой угольным стерженьком.
При пропускании тока тепло выделяется главным образом в уголь-
угольном стерженьке, имеющем относительно высокое сопротивление;
стерженек накаливается и испускает свет. Часть угля при этом
сгорает до тех пор, пока не израсходуется имеющийся в баллоне
кислород воздуха. Впоследствии в лампах накаливания угольная
нить была заменена вольфрамовой, допускающей более высокую
температуру нагрева.
Рис. 2.18.

ГЛАВА V
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ
§19. Свободные электроны в металлах
В растворах электролитов находятся свободные ионы, и про-
прохождение электрического тока связано с одновременным переносом
вещества к электродам. Какого же рода свободные заряды нахо-
находятся в металлических проводниках и связаны ли эти заряды с ато-
атомами металла? Для ответа на этот вопрос и выяснения природы но-
носителей электрического тока в металлах был поставлен целый ряд
специальных опытов.
В опытах Рикке {1901 г.) цилиндры из различных металлов
с тщательно пришлифованными основаниями были прижаты друг
к другу и через них весьма длительное время пропускался элек-
электрический ток (рис. 2.19). По окончании опыта цилиндры были
разобраны и проанализированы на
взаимное проникновение металлов.
При этом были обнаружены лишь
следы взаимного проникновения, не
превышающие результатов обычной
диффузии атомов в твердых телах.
Таким образом, оказалось, что
перенос электрического заряда в
Рис. 2.19. металлах не связан с переносом
самого вещества металла. Носи-
Носители электрического тока не связаны с атомами и одинаковы во всех
металлах. В металлический проводник, по которому идет постоян-
постоянный ток, с одного конца входит такое же количество этих носи-
носителей тока, какое выходит с другого его конца, и заряд провод-
проводника при этом не изменяется.
Наличие в металле свободно перемещающихся зарядов должно
проявляться в ряде инерционных эффектов. Если трамвай резко
затормозить, то находящиеся внутри пассажиры будут двигаться
по инерции вперед и скопятся у передней площадки вагона. Ана-
Аналогично, если резко затормозить движущийся кусок металла, то
Си | А1 | Си

§ 19]
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛАХ
115
находящиеся в нем свободные заряды, двигаясь по инерции, будут
скапливаться у переднего конца его и между концами проводника
возникнет определенная разность потенциалов. Так можно опреде-
определить знак этих зарядов и их относительную подвижность.
Существование подобных злектроинерционных эффектов было
установлено в 1913 г. Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси
с помощью следующего опыта. Катушка, соединенная с телефоном,
приводилась в колебательное движение вокруг своей оси (рис. 2.20).
Для увеличения амплитуды частота возбуждаемых крутильных коле-
колебаний подбиралась совпадающей с собственной частотой упругого
¦\*ч\\\\\\\\\\\\\Ч
fczi©
Рис. 2.20.
Рис. 2.21.
подвеса. Благодаря инерции свободных зарядов на концах катушки
возникала переменная разность потенциалов, и телефон издавал звук.
Количественные измерения относительной инертности носителей
электрического тока в материалах были произведены в 1916 г.
Стюартом и Толмэном. В их опыте катушка из проводника при-
приводилась в быстрое вращательное движение вокруг своей оси
(рис. 2.21). Обозначим окружную скорость вращения катушки
¦через v. С той же скоростью v движутся совместно с катушкой и
свободные заряды в проводнике. Затем за сравнительно короткий
промежуток времени катушка резко тормозится. Двигаясь по инер-
инерции и собираясь на одном конце катушки, свободные носители тока
создают переменную разность потенциалов U. Катушка замкнута
на баллистический гальванометр, измеряющий импульсы тока, и
под действием возникшей э. д. с. в цепи начинает идти перемен-
переменный ток L По закону Ома
U=IR,
где R—полное сопротивление цепи. Возникшая при инерционном
разделении зарядов в катушке разность потенциалов создает в про-
проводнике электрическое поле E=UjL (L — полная длина провода

116 Ч. И. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [гл. V
в катушке), которое, тормозя движущиеся заряды, уменьшает их
количество движения mv (m—масса носителя тока) до нуля. Обо-
Обозначим заряд носителя тока через е. Мгновенная сила, действую-
действующая на этот заряд, равна f—eE. Импульс этой силы fdt за бес-
бесконечно малый промежуток времени равен изменению количества
движения заряда mdv.
Отсюда
где dq—idt— элементарное количество электричества, протекшее
через гальванометр за время dt (элементарный импульс тока).
Интегрируя полученное равенство по времени торможения катушки,
получим
где q — полный заряд, протекший через баллистический гальвано-
гальванометр и измеряемый по отбросу последнего. Выполняя указанное
интегрирование, получаем
т Rq v '
Таким образом из опытов Стюарта и Толмэна был определен удель-
удельный заряд ejm носителей электрического тока в металлах. Первые
измерения дали
СГСзара -1,6-10" к\кг. A9.2)
Незадолго до этого Милликен определил элементарный электри-
электрический заряд, который оказался равным е=±4,8-10~'° СГС ед.
заряда= 1,6-10~" к. Отсюда можно было оценить, что масса
носителей тока в металлах
тъ\0-"г=-[0-"кг A9.3)
и примерно в 2000 раз меньше массы самого легкого атома—атома
водорода.
Полученные значения удельного заряда и массы практически
совпали с соответствующими значениями, измеренными ранее для
электронов, движущихся в вакууме.
Таким образом, было окончательно установлено, что носите-
носителями электрического тока в металлах являются свободные
электроны.

§ 20}ЗАКОН ОМА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ 117
Рис. 2.22.
§ 20. Закон Ома с точки зрения электронной теории металлов
Целый ряд фактов и косвенных данных привел физиков к вы-
выводу о наличии в металлах свободных электронов еще к началу
XX века, задолго до того, как это было доказано прямыми опы-
опытами Стюарта и Толмэна. Перенеся на металлы некоторые пред-
представления и выводы кинетической теории газов, Лоренц и Друде
разработали стройную теорию металлов, объяснявшую и связывав-
связывавшую целый ряд свойств последних.
Вследствие сильного взаимодействия между атомами металла
при соединении последних в кристаллическое твердое тело, самые
внешние их электроны перестают быть свя-
связанными с отдельными атомами и легко
переходят от одного атома к соседнему
и далее через всю кристаллическую решетку.
В узлах кристаллической решетки распо-
располагаются положительные ионы металла,
а между ними хаотически движутся свобод-
свободные электроны, образуя своеобразный элект-
электронный газ (рис. 2.22).
Считая, что каждый атом одновалент-
одновалентного металла отдает по одному электрону,
а двухвалентного — по два, можно определить концентрацию сво-
свободных электронов в металлах. По порядку величины она оказы-
оказывается равной 10"-*-10" электрон\мг.
При столь большой концентрации электронов их взаимодейст-
взаимодействие между собой, как и с ионами кристаллической решетки
металла, весьма велико. Однако, поскольку средняя сила, дей-
действующая на электрон со стороны всех остальных электронов и
ионов, равна нулю, можно в первом приближении считать каждый
электрон свободным, а его взаимодействие с ионами решетки и
прочими электронами рассматривать как ряд последовательных
соударений. Системе электронов в этом приближении приписы-
приписывается лишь кинетическая энергия.
Вспомним теперь, что именно этим отличается описанный
в томе I (часть II) идеальный газ. Поэтому Лоренц и Друде попы-
попытались построить теорию металлов, исходя из представления о том,
что «электронный газ» в металлах есть идеальный газ, подчиняю-
подчиняющийся законам статистики Максвелла—Больцмана. Мы остановимся
весьма коротко иа результатах Лоренца и Друде, ибо, как это
будет показано ниже, последнее предположение оказалось совер-
совершенно неправильным.
В результате взаимодействия электронов и ионов металлической
решетки, обусловленного их столкновениями, обе системы частиц
должны приобрести одну и ту же температуру Т. Следовательно,

1T8 Ч- и. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. V
средняя энергия хаотического движения электронов должна равняться
^—|*Г. B0.1)
Отсюда средняя квадратичная скорость электронов равна
B0-2)
Подставляя значения fe=l,38-lO"" дж\град и ю—9,Ы0~" кг,
получаем, что икв при комнатной температуре, т. е. при Г=5=300оК,
равна икв=110 км/сек. Поскольку электрон пролетает расстояние,
равное длине свободного пробега /, с некоторой средней скоростью
и (близкой к икв), то время свободного пробега т равно
T=i-. B0.3)
Если создать внутри металла однородное электрическое поле на-
напряженностью Е, то свободные заряды в металле приобретут до-
дополнительную скорость v в направлении электрического поля (точ-
(точнее, против поля, так как заряд электрона e<Z0). Суммарная ско-
скорость заряда с складывается из хаотической и и направленной v
скоростей:
B0.4)
Хаотическая скорость направлена то по полю, то против поля,
и поэтому среднее значение вектора и равно нулю. Следовательно,
суммарная скорость с в среднем направлена по полю и равна
= v. B0.5)
Рассмотрим изображенный на рис. 2.23 отрезок проводника с
поперечным сечением S. Направим вектор напряженности электри-
с ческого поля Е вдоль проводника.
Каждый из свободных зарядов е
внутри проводника приобретает
направленную скорость v по полю.
, За промежуток времени dt через
к-даг-*1 площадку 5 пройдут все те заряды,
Рис. 2.23. которые находятся на расстоянии
от площадки S, не превышающем
величину v dt, т. е. все заряды, заключенные в объеме цилиндра
Sv dt. Если число свободных зарядов в единице объема обозначить
через я, то заряд dq, который пройдет за это время через попереч-
поперечное сечение проводника в направлении электрического поля, будет

§ 20] ЗАКОН ОМА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ 119
равен
dq—enSvdt. B0.6)
Отсюда величина тока, текущего в проводнике, равна
ft B0.7)
а плотность тока
А й B0.8)
Учитывая векторный характер скорости и плотности тока, можно
переписать B0.8) в виде
\=еп\. B0.9)
При выводе этих формул мы считали, что свободные заряды по-
положительны и движутся по полю. В случае свободных электронов
е <С 0, но и v <0, т. е. направлена против поля, знак же произ-
произведения ev остается положительным, и электрический ток, как это
было установлено в § 14, все равно идет в направлении электри-
электрического поля.
На основании B0.8) можно оценить порядок величины напра-
направленной скорости движения электронов. Возьмем, например, срав-
сравнительно сильный ток, плотность которого
Тогда для медного проводника, концентрация электронов в кото-
котором п=8.10" м~',
о=%п 1,6-10-'Ч.8-Ш°'и«-'^8-10 -"/се* = 0,8 ммрек.
Следовательно, даже при значительных токах
г^Ыкв, B0.10)
и наличие электрического тока не сказывается на соотношениях
B0.1)—B0.3).
Заряд е, помещенный в электрическом поле Е, испытывает
действие силы f=eE и приобретает ускорение w—flm=eE[m.
Поэтому направленная скорость заряда v в течение времени сво-
свободного пробега не остается постоянной, а линейно возрастает со
временем. Однако в конце свободного пробега электрон сталки-
сталкивается с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию,
и его дополнительная направленная скорость падает до нуля.

120
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[ГЛ.-V
На графике рис. 2.24 изображена зависимость направленной
скорости электрона v от времени t. За каждый период свободного
пробега v нарастает от нуля до своего максимального значения
еЕ
еЕ1
—=
ти
B0.11)
а затем сразу падает до нуля. В результате, хотя на1 каждом
отрезке свободного пробега электрон движется ускоренно, но
Рис. 2.24.
в среднем за много таких отрезков он перемещается в направле-
направлении поля практически равномерно со средней скоростью
„, "маке
+ 0
elE
2 2 2тп
Подставляя B0Л2) в B0.8), мы получаем
2ти
B0.12)
B0.13)
т. е. закон Ома в дифференциальной форме A5.8).
Таким образом, электронная теория объясняет механизм электро-
электропроводности металлов, предсказывает основную закономерность
явления—закон Ома-—и дает величину коэффициента пропорцио-
пропорциональности в этом законе, т. е. электропроводности:
пеЧ
~2тп
Для меди (в системе Гаусса)
1 3-10»
! 1,7-10
B0.14)
B0.14а)

§ 20] ЗАКОН ОМА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ 121
Подставляя в B0.14) вместо пни оцененные выше значения,
заряд е и массу электрона /», можно оценить длину свободного
пробега в медном проводнике: /=^2-10"' м, т. е. она имеет поря-
порядок нескольких десятков междуатомных расстояний.
Однако полученный результат не следует понимать как экспе-
экспериментальное подтверждение правильности всех предположений
Лоренца и Друде. Действительно, средняя длина свободного про-
пробега электрона получена здесь из эксперименталь-
экспериментального значения y. а не независимым образом из теории
(и сравнена с опытом). И хотя выведенная таким путем численная
величина / представляется разумной, обольщаться этим результатом
нельзя. Более того, как будет показано в следующем параграфе,
положения теории Лоренца—Друде привели к некоторым явным
противоречиям с опытом.
Тем не менее работы Лоренца и Друде сыграли большую роль
в развитии правильных представлений о природе металлов.В этих
работах впервые была сделана попытка выяснить механизм
явлений, происходящих в металлах. Так, например, электронная
теория позволяет понять механизм выделения тепла электрическим
током. Электрическое поле совершает работу и ускоряет электроны
в металлах. Накапливаемая ими энергия при столкновениях с ионами
передается решетке и нагревает металл. Отсюда можно вывести
теоретически выражение закона Джоуля—Ленца.
Приведем схематически этот вывод. Средняя кинетическая энер-
энергия электрона в начале свободного пробега равна тигJ, а в конце
пробега m(u + vUiKC)tj2. Приращение энергии за счет работы элек-
электрических сил
'"" = I о „_. t маис макс ,ол ...
2 2 2 М^максП 2/ ~2—". \20-15)
так как направление хаотической скорости а с одинаковой веро-
вероятностью может совпадать с направлением г>макс (дамакс>0) и
быть прямо противоположным (мг»иакс < 0).
Эта энергия Де, накапливаемая электроном при его свободном
пробеге, спустя время т отдается ионам решетки. Полная энергия,
выделяющаяся в единице объема проводника за единицу времени,
равна
„ «Л? пй^акс /ш т ME* ne\E* = yE\ B0.16)
Это соотношение представляет собой дифференциальную форму
закона Джоуля—Ленца. Для перехода к интегральным соотноше-
соотношениям выделим участок цилиндрического проводника длиной L и с
площадью поперечного сечения 5. Мощность, выделяемая в объеме

122 ч. и. электрический ток 1гл. v
V—SL этого участка, равна
где R=±qLJS есть полное сопротивление этого участка.
Нетрудно убедиться, что выражение B0.17) тождественно ранее
выведенному выражению A8.9) для закона Джоуля—Ленца.
§ 21. Основы современной теории металлов
Классическая электронная теория металлов, основы которой
изложены в предыдущем параграфе, предсказывает, кроме закона
Ома, и другие закономерности. Остановимся на некоторых из них.
Средняя энергия одного электрона
ё=*^кТ, B1.1)
и средняя энергия электронного газа в единице объема
W=ni = -jknT. B1.2)
Следовательно, теплоемкость единицы объема электронного газа
будет равна
?4
а теплоемкость, отнесенная к одному электрону,
Ce = ~k. B1.4)
Высокая концентрация электронного газа и большая подвиж-
подвижность свободных электронов обусловливают легкую передачу
заряда—высокую электропроводность металлов—и интенсивный
перенос энергии—высокую теплопроводность металлов—по срав-
сравнению с диэлектриками. Считая, что практически вся теплопровод-
теплопроводность металлов обусловлена свободными электронами, можно
рассчитать коэффициент теплопроводности электронного газа X мето-
методами кинетической теории газов. Используя формулы молекуляр-
молекулярной физики (том I, часть II), найдем
К=~1ппСе. B1.5)
Сопоставляя B1.5) с выражением для коэффициента электропро-
электропроводности
» Л»

§ 211 основы современной теории металлов 123
видим, что металлы различаются концентрацией свободных элек-
электронов п и длиной свободного пробега /. Металлы, у которых
произведение л/ больше, обладают одновременно и большей элек-
электропроводностью и большей теплопроводностью.
Составим отношение Я, к у! тогда величина nl сократится:
X 2тп*Се А7се ,91 j.
Подставляя вместо е и Сг их выражения согласно B1.1) и B1.4),
получим
И (Я7 <21-8>
Отношение теплопроводности, к электропроводности для всех
металлов должно быть одинаково и должно расти прямо про-
пропорционально абсолютной температуре. Это соотношение было
экспериментально установлено еще в XIX веке Видеманом и Фран-
Францем. Численный коэффициент в экспериментальном законе Видемана
и Франца оказался очень близким к теоретическому значению
в B1.8).
Однако это согласие теории с опытом вскоре оказалось нару-
нарушенным. Произведенные Лоренцем уточненные расчеты с учетом
распределения электронных скоростей по Максвеллу привели к за-
замене в теоретической формуле B1.8) множителя 3 на 2 и
к резкому увеличению расхождения теории с опытом.
Второе затруднение классической электронной теории возникло
при сопоставлении с опытом формул B1.3) и B1.4). Рассмотрим
1 киюграмм-атом одновалентного металла. Он состоит из Л/„ =
-=6,02-10" ионов, колеблющихся около своих положений равно-
равновесия, и No свободных электронов. Колебательная теплоемкость
твердого тела по закону Дюлонга и Пти равна
С.т = 3/? = 25 — s.
Теплоемкость электронного газа
Таким образом, по электронной теории теплоемкость одновалент-
одновалентных металлов должна составлять
/-> /-> \С 47 ^КОЖ
Однако опыт показывает, что теплоемкость металлов так же, как
теплоемкость твердых диэлектриков, в соответствии с законом Дю-
Дюлонга и Пти близка к 25 з . Таким образом обнаружилось

124 Ч. П. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. V
неожиданное и непонятное явление практического отсутствия теп-
теплоемкости у электронного газа.
Третьим затруднением классической электронной теории метал-
металлов явилась невозможность правильно объяснить с ее помощью
температурную зависимость сопротивления A5.10).
В знаменателе выражения B0.14) или B1.6) для электропровод-
электропроводности стоит средняя скорость и, которая в соответствии с B0.2)
должна быть пропорциональна корню квадратному из абсолютной
температуры. Для объяснения же зависимости A5.10) электропро-
электропроводность должна быть обратно пропорциональна абсолютной темпе-
температуре Т в первой степени, а не ]/Т.
Приведенные выше противоречия указывают на то, что класси-
классическая электронная теория, представлявшая электрон как мате-
материальную точку, подчинявшуюся законам классической механики,
не учитывала некоторых специфических свойств самого электрона,
которые еще не были известны к началу XX века. Эти свойства
были установлены позднее при изучении строения атома, и в 1924 г.
была создана новая, так называемая квантовая или волновая
механика движения электронов.
На основе квантовой механики советский физик Я. И. Френкель
и немецкий физик А. Зоммерфельд разработали современную элек-
электронную теорию металлов.
Мы не можем здесь оперировать законами квантовой механики.
Однако мы не связаны и с необходимостью производить точные
расчеты. Наша цель состоит в изложении правильных и наглядных
представлений о природе электрических процессов в металлах и
других твердых телах. Мы будем исходить из современных пред-
представлений о строении атома, частично знакомых читателю, на ко-
которых мы сейчас коротко остановимся.
Атом состоит из ядра, вокруг которого движутся электроны.
Орбиты электронов не произвольны, а строго определенны. Орбиты
подразделяются по слоям, причем энергии электронов, занимающих
орбиты одного слоя, сравнительно близки друг к другу. Энергии же
электронов, орбиты которых относятся к разным слоям, различаются
уже на весьма большие величины. На каждой орбите может одно-
одновременно находиться не более двух электронов. Однако и эти
электроны не тождественны в своих свойствах. Установлено, что
электроны обладают собственным, т. е. внутренне им присущим,
моментом количества движения—спином (от английского слова
«spin»—«веретено»). Электроны, движущиеся по одной орбите,
должны отличаться направлением спина, т. е. также находятся
в различных состояниях.
Таким образом, электроны, образующие электронную оболочку
атома, подчиняются следующему закону: никакие два электрона
не могут находиться в одном и том же состоянии. Этот закон,

§ 21Г основы современной теории металлов 125
получивший название принципа Паули, оказался совершенно
универсальным и применимым не только к электронам в атомах,
но и к любым системам электронов*).
Построим график энергий электронов для разных орбит какого-
либо сложного атома (рис. 2.25). Наличие на данной орбите элек-
электрона— одного или двух — будем отмечать условно точ-
точками (острие стрелки спина, направленной на нас) и крес-
крестиками (оперение стрелки, направленной от нас), как это
показано на рисунке.
Самым важным для дальнейшего является то обстоя-
обстоятельство, что качественно график уровней энергии си-
системы электронов твердого тела имеет такой же вид.
Согласно принципу Паули состояния электронов в любой
системе должны различаться (двух электронов в одном
и том же состоянии быть не может), а различным состо-
состояниям будут отвечать, вообще говоря, хоть сколько-ни-
сколько-нибудь различные энергии.
При образовании твердого тела из отдельных атомов
и молекул происходит следующее. Состояния электронов,
движущихся вокруг отдельных ядер на внутренних
электронных оболочках, практически не меняются. Что же
касается внешних электронных оболочек, то они
в результате сближения отдельных атомов и возникаю-
возникающего при этом сильного взаимодействия между электро-
электронами перестраиваются. В одних случаях электроны про-
продолжают удерживаться молекулами или ионами, которым
они принадлежали. В этом случае подвижность электро-
электронов ограничена, и вещество представляет собой твердый
диэлектрик, не способный проводить электрический ток,
а лишь поляризующийся в электрическом поле. В других
случаях электроны (валентные), как уже отмечалось выше,
освобождаются, приобретают подвижность в веществе. Рис 2.25.
В этом случае последнее представляет собой проводник —
металл (промежуточный случай—наличие большого числа слабо
связанных, почти свободных электронов — будет рассмотрен ниже,
в параграфе, посвященном полупроводникам).
Особенно простую и наглядную картину электрических свойств
твердых тел можно получить с помощью графиков энергии элек-
электронов в твердом теле, подобных графику энергий электронов
в атоме (рис. 2.25).
Как и в случае отдельных атомов, значения энергии электронов
в твердом теле образуют системы полос, в которых возможные
*) Принцип Паули применим ко многим элементарным частицам: прото-
протонам, нейтронам и некоторым другим, имеющим такой же спин, как и электрон.

126 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧР.СКИЙ ТОК [ГЛ. V
значения энергии составляют множество очень близко расположен-
расположенных уровней энергии, прерываемых полосами, в которых возможные
для электронов значения энергии отсутствуют (рис. 2.26). Энергия,
отвечающая переходу электрона с одного уровня на другой, со-
соседний, внутри полосы совершенно ничтожна, во всяком случае
много меньше средней кинетической энергии атомов kT при ком-
комнатной температуре. Поэтому изменение состояния
электрона внутри такой полосы можно было бы счи-
считать непрерывным, если бы не важное, отмеченное
уже выше, обстоятельство — принцип Паули. Число
различных состояний в случае их непрерывного изме-
: нения бесконечно велико. При ступенчатом же изме-
: нении состояний, т. е. при дискретной их после-
; q довательности, число состояний в каждой полосе конеч-
; но, а следовательно, в соответствии с принципом Паули
¦ и число электронов, способных находиться в этих
состояниях, также конечно. Если, например, в полосе
а В все состояния заняты (на каждом энергетическом
" уровне по два электрона с противоположными спинами),
то ни один электрон больше в эту полосу попасть
: не может.
: ? Согласно принятой терминологии мы будем назы-
: вать полосы, в которых заключены разрешенные уровни,
\ разрешенными зонами (на рис. 2.26 полосы
А, В, С); полосы же, в которых разрешенные уровни
отсутствуют (полосы а и р на рисунке), будем называть'
запрещенными зонами.
Подчеркнем, что наличие разрешенных энергети-
; ческих уровней и полос еще не означает наличия
электронов на них, как и в атоме наличие орбит—воз-
А можных путей движения электронов — не означает,
что на этих орбитах обязательно находятся электроны.
'. Рассмотрим случай, когда нижние разрешенные
зоны полностью укомплектованы электронами, ширина
Рис. 2.26. запрещенной зоны значительна (^>kT), а над нею рас-
расположена зона, в которой электронов нет (рис. 2.27).
Вещество, описываемое таким распределением электронов, есть
диэлектрик. Действительно, состояние системы электронов может
измениться только в том случае, если часть из них перейдет
из нижних разрешенных энергетических зон в верхнюю раз-
разрешенную, но не занятую электронами зону. Но для этого нужна
большая энергия, превышающая энергию теплового движения (-^кТ)
или энергию, которую электрон может приобрести во внешнем
поле (случай очень больших полей, когда наступает пробой диэлект-
диэлектрика, мы здесь не рассматриваем). Следовательно, состояния элект-

§ 21] ОСНОВЫ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ 127
ронов, ограниченные сверху широкой запрещенной зоной, меняться
не могут. В частности, электроны не могут приобрести под влияни-
влиянием слабого внешнего поля добавочную скорость (энергию), отвечаю-
отвечающую возникновению тока проводимости. Значит, вещество, пред-
представленное рассмотренным энергетическим графиком, есть изолятор.
Рассмотрим теперь случай, когда в верхней занятой зоне оста-
остаются незанятые энергетические уровни. Как мы увидим сейчас, этот
случай отвечает металлам. Будем называть верхнюю,
свободную от электронов часть разрешенной зоны з о-
ной проводимости. Переход электронов на уровни
этой части разрешенной зоны связан с приобретением i
ими добавочной энергии (скорости), обусловливающей
прохождение электрического тока. Начнем рассмотрение
со случая, когда вещество обладает температурой, рав-
равной абсолютному нулю. Соответствующее этому случаю
распределение электронов показано на рисунке 2.28, а:
все нижние энергетические уровни заняты парами элект-
электронов с противоположными спинами. При 7~=0°К энер-
энергия всей системы, в том числе и электронов, должна
быть наименьшей из всех возможных. Хотя электроны,
расположенные на верхних уровнях, и обладают срав-
сравнительно большой энергией, но перейти в состояние
с меньшей энергией они не могут: ведь эти состояния
уже заняты другими электронами. А появление двух или
нескольких электронов в одном и том же состоянии
невозможно (принцип Паули). Энергию электронов, зани-
занимающих самый высокий энергетический уровень (при
Г=0°К), мы будем обозначать емакс. Ее величина по по-
порядку равна 10"п эрг. Такого же порядка величины Рис- 2-27.
и средняя кинетическая энергия электро-
электронов при абсолютном нуле температуры. Для срав-
сравнения отметим, что средняя кинетическая энергия молекул одно-
одноатомного газа при комнатной температуре (Т«300°К) составляет
всего лишь 5-Ю* эрг. Следует твердо помнить, что огромная
кинетическая энергия электронного газа в металлах обусловлена
принципом Паули и имеет нетепловое происхождение.
Ее нельзя отнять за счет понижения температуры. Это читателю
уже известно: ведь движение электронов в атомах также не пре-
прекращается при приближении вещества к Г=0°К. В атомах элект-
электроны также не собираются все на нижнем энергетическом уровне
(в первом слое орбит). Следовательно, рассмотренный нами элект-
электронный газ в металлах при абсолютном нуле дает нам еще один
пример того, что материя без движения немыслима. Абсолютный
нуль для любых систем (диэлектриков, металлов и т. д.) означает
не полное отсутствие движения, но состояние с минимальной возмож-

128
Ч. И. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. v
Е
I
ной энергией, которую уже нельзя уменьшить за счет охлаждения.
С повышением температуры ко-
колеблющиеся ионы решетки начи-
начинают передавать электронам энер-
энергию и переводить часть электро-
электронов на более высокие энергетиче-
энергетические уровни. Однако даже при ком-
комнатных температурах средняя энер-
энергия теплового движения -*~kT мала
по сравнению со средней энергией
электронов при абсолютном нуле
~гт=ъ = &ъ, и эта порция энергии до-
достаточна лишь для перевода элект-
электрона на один из ближайших энер-
энергетических уровней. Рассматривая
электроны, движущиеся на низших
уровнях, мы видим, что все ближай-
ближайшие более высокие уровни пол-
полностью заняты электронными пара-
парами. Нижний электрон мог бы перейти
на более высокий энергетический
уровень, лишь перепрыгнув все
вышележащие, которые заняты.
Но для такого большого энергети-
энергетического скачка энергии порядка kT
недостаточно. Поэтому поглощать
тепловую энергию могут лишь элект-
электроны, находящиеся на наиболее
высоких уровнях, как это показано
на рис. 2.28, б, а таких электронов
в металле сравнительно мало. Таким
образом, подавляющая часть элект-
электронов «приморожена» к своим энер-
энергетическим уровням, и все они
не способны принимать добавочиую
энергию. В этом обстоятельстве
и состоит разгадка ничтожно малой
теплоемкости электронного газа.
При не слишком высоких температу-
температурах воспринимать добавочную энер-
энергию («нагреваться») могут лишь
Рис 2.28. а) очень немногие электроны, энерге-
энергетические уровни которых располо-
расположены в непосредственной близости от свободных уровней. Для их
перехода на более высокий свободный уровень нужна лишь

§ 2Ц
ОСНОВЫ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ МЕТА1ЛОВ
129
энергия "*-kT, и такой переход становится возможным. Но при
обычных температурах относительное число таких электронов столь
мало, что их доля в общей теплоемкости тела остается практичес-
практически незаметной.
Общий ход зависимости приходящейся на один электрон в ме-
металле средней энергии Ш(Т) с изменением абсолютной температуры Т
показан на рис. 2.29 (полная энергия электронного газа получается
умножением ё (Т) на число
электронов N, так что график
ее зависимости от темпера-
температуры имеет тот же вид).
Соображения Я. И. Френ-
Френкеля позволяют очень на-
наглядно показать общий харак- _
тер зависимости 1; от Т.
Действительно, при низких
температурах число возбуж- &
денных (перешедших на более
высокие энергетические уров-
уровни) электронов п' определяет-
определяется из условия, что добавочная энергия наиболее высоко подняв-
поднявшихся электронов имеет порядок средней энергии теплового
движения:
л'Де» kT,
где Ае—разность энергий соседних уровней. Отсюда
юооо°
Г, "К
Рис. 2.2Э.
" ~ Де'
а общая добавка к энергии электронного газа равна
n'kT tt .
Де
Следовательно, и добавка к средней энергии, приходящейся на один
электрон, возрастает пропорционально Тг. Обозначая коэффициент
пропорциональности через а, имеем
'ё=ео+аГ' (при обычных Г). B1.9)
При очень низких температурах
!&&0 = const, B1.9а)
и, следовательно, теплоемкость, отнесенная к одному электрону,
при обычных температурах
B1.10)
5 г А. Зисман и О. М. Тодес

130 Ч II ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. V
а при низких температурах
Се—*0. B1.10а)
При очень высоких температурах (порядка десятков тысяч гра-
градусов, недостижимых при обычных условиях для твердых метал-
металлов), kT становится столь большой величиной, что возбуждаются
электроны всех уровней, а не только верхних. Теперь число воз-
возбуждаемых электронов уже постоянно и равно полному их числу
и далее не меняется с ростом температуры. Принимаемая каждым
из них средняя энергия пропорциональна 7", и электронный газ
приобретает свойства классического газа:
~ё=-|йГ, Ce=-|-* = const.
Таким образом, кривая зависимости ? от 7", как это видно из
рис. 2.29, идет вначале как парабола второй степени, затем пере-
переходит в кривую, асимптотически стремящуюся к классической пря-
прямой: ~?клзсс~* j 2 *7\ Отметим еще раз, что при обычных условиях
этот участок кривой недостижим, так как металл обращается в пар
задолго до достижения указанных температур.
В теоретическую формулу подтвержденного опытом закона Ви-
демана — Франца B1.7) входит произведение ~гСе. По классической
электронной теории
1в=-|АГ, Се = |-й = const и ~гСе~Т.
По современным представлениям соотношения средней энергии и
теплоемкости получаются обратными:
"8«*e0 = const и Св=2а7"~Г.
В результате по-прежнему произведение ЪСе ~ Т. Точные вычисле-
вычисления дают Окончательное выражение:
)V. Pi.li»
отличающееся от B1.8) лишь численным множителем и еще лучше
согласующееся с опытом.
Из практического постоянства средней энергии е следует, что
и п == const. Поэтому температурная зависимость удельного сопро-
сопротивления
может определяться лишь длиной свободного пробега /. При абсо-
абсолютном нуле температуры электроны движутся сквозь весь кристдлл,

§ 21J
ОСНОВЫ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ
131
не испытывая столкновений. Следовательно, при Т—»-0°К
/—*оо и q—*0. B1.13)
Причиной этого также является волновая природа электрона. При
Г—0°К ионы металла образуют неподвижную кристаллическую
решетку, и электронные волны, огибая ионы, проходят через весь
кристалл, не отклоняясь в стороны.
С повышением температуры ионы металла приходят в тепловое
колебательное движение, нарушающее идеальную правильность кри-
кристаллической решетки. То сближаясь, то удаляясь друг от друга,
ионы создают «флуктуации» плотности, на которых происходит рас-
рассеивание электронных волн, соответствующее соударениям электро-
электронов с кристаллической решеткой. Чем выше температура,тем интенсив-
интенсивнее и чаще возникающие флуктуации кристаллической решетки и тем
короче длина свободного пробега электрона. Согласно вычислениям
l~ T-1 и Q~T, B1.14)
в полном соответствии с опытом.
Правильность изложенных представлений подтвер'ждается и дру-
другими фактами. Неоднородности в кристаллической решетке можно
создавать и другим путем,
например внедряя в металл
атомы примесей. И действи-
действительно, достаточно сравни-
сравнительно небольшого коли-
количества примесей к чистому
металлу, чтобы его сопро-
сопротивление резко возросло.
Известно, что серебро (Ag)
имеет сопротивление мень-
меньшее, чем алюминий (А1).
Однако если к чистому А1
добавлять Ag,то сопротив-
сопротивление будет не убывать,
а возрастать. При -- 90°/0
Ag сопротивление будет
примерно в 15 раз больше
сопротивления чистого А1
и в 30 раз больше, чем
у чистого серебра. Причина
состоит в том, что решетка, образующаяся из атомов двух сортов,
оказывается весьма нерегулярной, в силу чего и возрастает сопро-
сопротивление сплава. Лишь когда количество Ag в сплаве будет близ-
близким к 100°/0, сопротивление сплава начнет уменьшаться, как это
показано на рис. 2.30.
0,500-
ЮО'Ш
0%А1
Рис. 2.30.

132
Ч. И. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ГОК
[гл. v
Таким образом, современная теория металлов, учитывающая вол-
волновые свойства электрона, разъясняет противоречия, возникающие
в классической электронной теории, и правильно предсказывает
целый ряд новых фактов.
§ 22. Контактные явления и термоэлектродвижущая сила
Электроны в металле свободно перемещаются через весь кри-
кристалл, но не покидают его. Как только электрон выходит наружу,
весь кусок металла заряжается положительно и втягивает этот
электрон обратно. Между тем, обладая кинетической энергией,
_ _ электроны непрерывно «выска-
«выскакивают» из металла на расстоя-
расстояния, не превышающие атомных
размеров, и втягиваются об-
о) + + + - ! ратно. В результате решетка
из положительных ионов будет
снаружи обволакиваться тон-
тонким слоем отрицательных
электронов, и на всей поверх-
поверхности металла образуется
двойной электрический слой,
г как показано на рис. 2.31, а.
! Этот двойной слой является
о)
ер
Рис. 2.31
своеобразным конденсатором,
препятствующим новым элект-
электронам выходить изнутри ме-
металла наружу.
Обозначим разность потен-
потенциалов на обкладках этого
конденсатора через ф. Работа, необходимая для вырывания из металла
неподвижного, т. е. не обладающего кинетической энергией, элек-
электрона, равна еф. На эту величину потенциальная энергия электрона,
вышедшего из металла, будет превышать его потенциальную энер-
энергию внутри металла (рис. 2.31, б).
Но в металле неподвижных электронов нет, и подавляющая их
часть обладает большой кинетической энергией. Обозначим через емакс
наибольшую кинетическую энергию электрона в металле и отложим
эту величину на графике рис. 2.31, б. Для выхода из металла
электронов с кинетической энергией емакс должна быть произведена
работа
Л = еф-емакс, B2.1)
где А — наименьшая работа, необходимая для выхода электрона из
металла,— называется работой выхода электрона. Вели-

§ 221 КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И 'ТЕРМОЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА 133
чина А меньше еср, так как наиболее быстрые электроны за счет
своей кинетической энергии могут частично проникать в двойной
слой и для их выхода из металла достаточно преодолеть лишь
часть общей разности потенциалов <р (от точки К на рис. 2.31, б
до точек, находящихся снаружи металла), равную Р.
Величина Р определяется из соотношения
A = еР, или Р= —,
B2.2)
и носит название контактного потенциала данного металла.
Для различных металлов контактный потенциал меняется в преде-
пределах от 1 до 10 вольт. Для практических целей весьма важно иметь
в виду, что контактный потенциал и работа выхода существенно
зависят от чистоты ме-
а)
еР,
6)
еР,
1
талла и обработки его
поверхности.
Приведем в сопри-
соприкосновение два различ-
различных металла. До их кон-
контакта потенциал в воз-
воздухе ' между металлами
будет одинаков, как это
показано на рис. 2.32, а.
При этом полная энер-
энергия электронов верхнего
заполненного уровня
в первом металле: е<р,—
61,махс—еЛ1.0ТЛИчает-
ся от полной энергии '
соответствующих элект-
электронов во втором металле:
еф2 —е2 макс=<?Р4. При Рис. 2.32.
соприкосновении метал-
металлов электроны получат возможность переходить из одного металла
в другой. Немедленно начнется переход электронов из того металла,
где энергия верхнего заполненного уровня более высока, во второй
металл. Этот переход будет продолжаться до тех пор, пока верх-
верхние уровни в обоих металлах не сравняются. При этом установится
динамическое, подвижное равновесие.
В случае рис. 2.32, а видно, что часть электронов из первого
металла перейдет во второй (еР, <С.еРг). В результате потери части
электронов первый металл зарядится положительно, значит, потен-
потенциальная энергия электронов в нем уменьшится. Наоборот, вто-
второй металл, приобретший эти электроны, зарядится отрицательно,
и потенциальная энергия его электронов возрастет. Возникшая

134
Ч. II. Э1ЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл v
в результате контакта металлов добавочная разность потенциалов
обозначена через Р, 2, а добавочная разность энергий — через еР12;
из рис. 2.32, б видно, что
т. е.
— р р
B2.3)
Разность потенциалов, возникающая между двумя кусками ме-
металла при их соприкосновении, Р1J, носит название контактной
разности потенциалов, которая, как следует из B2.3), равна
разности контактных потенциалов этих металлов.
1
2
3
,)
Рис. 2.33.
Рис. 2.34
Контактная разность потенциалов не создает электрического
тока, так как потенциалы электронов, способных менять свое со-
состояние (электронов верхней занятой зоны, рядом с которой име-
имеются свободные зоны), в точности равны. Как показано на рис. 2.33,
величина Р12 есть разность потенциалов между поверхностями
обоих металлов в окружающем их пространстве, в котором при
этом создается электрическое поле. Поле это может быть весьма
заметным, поскольку величина Р1)8 может достигать нескольких
вольт. Это обстоятельство необходимо всегда учитывать при созда-
создании электроизмерительных приборов, электронных приборов и т. п.
Если соединены последовательно три металла (рис. 2.34), то
контактная разность потенциалов между концами цепи находится
по правилу
т. е, равна разности контактных потенциалов крайних металлов и
не зависит от прочих металлов, находящихся между ними.
Если составить из нескольких металлов замкнутую цепь, как
показано на рис. 2.35, то
ЗЯ.— Л-^-О, B2.5)
т. е. контактная разность потенциалов в замкнутой цепи равна нулю
и не вызывает тока.
Строго говоря, простая картина распределения потенциалов
и энергий электронов в металлах, изображенная на рис. 2.31 и

§ 22] КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ТЕРМОЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА 135
рис. 2.32, является точной лишь при абсолютном нуле температуры.
Как указывалось в § 21, при повышении температуры в металле
появляется небольшое количество электронов,
Рис. 2.35.
и т е р м о-
с энергиями, несколько превышающими величину емакс. Это приво-
приводит к небольшому уменьшению работы выхода электрона еР
и контактного потенциала Рх металла.
Вследствие различной структуры электрон-
электронных уровней указанные величины у раз-
различных металлов изменяются по-разному,
а значит, контактная разность потенциалов
Р — Р^ — Рх будет также несколько ме-
меняться с температурой.
При 7">0° К. становится возможным
целый ряд других так называемых термо-
термоэлектрических явлений в метал-
металлах. Остановимся здесь на имеющих важ-
важное практическое значение явлении Пельтье
электродвижущей силе (термоэдс).
Как мы видели в §§ 20 и 21, электронный газ в металле во
многом схож с идеальным газом, свойства которого мы рассматри-
рассматривали в томе 1, хотя и отличается от него закономерностями дви-
движения составляющих его частиц (волновые свойства электрона,
принцип Паули). В частности, высокая подвижность частиц должна
обусловливать существование в электронном газе различных кине-
кинетических процессов переноса, вызываемых
наличием градиентов концентрации, темпе-
температуры или электрического потенциала.
Одним из таких процессов является рассмот-
рассмотренная выше электропроводность металлов,
т. е. перенос заряда электронами, движу-
движущимися под действием электрического поля
?=—dcpjdx, приложенного к металлу.
При наличии электрического тока в ме-
металле поток направленно движущихся элект-
электронов переносит с собой определенную энер-
энергию, т. е. электрический ток сопровождается
пропорциональным ему потоком энергии.
Составим замкнутую цепь из двух метал-
металлов 1 а 2, спаянных в сечениях А и В,
и будем пропускать через эту цепь постоянный ток / от внешнего
источника (рис. 2.36). Тогда при равенстве токов в каждом из
металлов потоки энергии в обоих металлах будут несколько различ-
различными. Точная теория показывает, что это различие обусловлено

136 ч. и. элёктричнский ток Тгл. v
различным соотношением между энергией и скоростью у электро-
электронов, переброшенных тепловым движением на более высокие уровни
\п1 электронов в первом металле и пг во втором).
Если за время t через спай А пройдет количество электриче-
электричества q~It, то за то же время к спаю А из первого металла по-
подойдет поток энергии р,<7 и уйдет во второй металл §гц, где р,
и {$2— соответствующие коэффициенты пропорциональности между
током и энергией в обоих металлах. Если р, ;> Р4, то разность этих
потоков
<г„. = (Р,-Р.)« = П1„? = П1|1Л B2.6)
останется в месте спая и выделится в виде тепла.
В спае В будет иметь место противоположная ситуация: прихо-
приходящий из второго металла поток энергии будет меньше потока,
уходящего в первый металл, и в этом спае будет поглощаться та-
такое же количество тепла, т. е.
Q,,, = -Q.... B2.7)
Наблюдающееся, таким образом, при прохождении тока в цепи,
составленной из разнородных металлов, охлаждение одних спаев и
нагревание других носит название я в л е н и я Пельтье. Коэффи-
Коэффициент пропорциональное ли П1|2, характеризующий количество тепла,
выделяемое или поглощаемое при прохождении через спай единицы
заряда (^=^-1), называется коэффициентом Пельтье для
данной пары металлов
Кроме тепла Пельтье, в цепи выделяется и тепло по закону
Джоуля — Ленца, зависящее от сопротивления участков цепи.
В результате на участке, содержащем спай А, будет выделяться
мощность
^ %12/, B2.8)
а на участке, содержащем спай В,— мощность
QjL=RBr+Q*i = RBr-nii2I. B2.8')
Тепло, выделенное в единицу времени во всем контуре с полным
сопротивлением R=RA-± RB, будет равно
1 г
в)/2=Я/1 B2.9)
и подчиняется закону Джоуля—Ленца. Однако, сверх того, про-
происходит добавочный перенос тепла Q1>2 от одного из спаев кон-
контура к другому, причем при перемене направления тока на обрат-

§ 22] КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ТЕРМОЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА 137
ное тепло будет выделяться в спае В и поглощаться в спае Л. Это
явление нашло себе различные технические применения.
Так, в качестве электрического нагревателя выгоднее использо-
использовать вместо обычного омического сопротивления контур, схемати-
схематически изображенный на рис. 2.36, вынося охлаждающийся спай во
внешнюю среду. При этом нагреваемый объем получит не только
количество тепла по закону Джоуля — Ленца, но и добавочное
тепло Пельтье, которое будет отнято от внешней среды наружным
охлаждающимся спаем и выделится на втором спае внутри объема.
Заметим, однако, что такой добавочный поток тепла не означает
возможности «отапливания помещения только за счет дальнейшего
охлаждения наружного морозного воздуха», как об этом иногда
писали. В согласии со вторым началом термодинамики в данном
случае процесс переноса тепла от более холодного тела к более
горячему возможен лишь за счет необратимого преврзщения элек-
электрической энергии тока (упорядоченного движения электронов)
в тепловую на омическом сопротивлении. Охлаждение соответ-
соответствующих спаев при прохождении через них тока представляется,
в свою очередь, перспективным для создания удобных электрохоло-
электрохолодильных устройств, не содержащих движущихся элементов (мотор,
компрессор). Эга идея уже начинает реализоваться, но при замене
металлов полупроводниками, о которых будет идти речь ниже.
Из B2.8) видно, что джоулево тепло пропорционально /2, а
тепло Пельтье пропорционально /. Поэтому охлаждение одного из
спаев за счет явления Пельтье может стать заметным на фоне
общего разогрева лишь при сравнительно малых токах, когда
П,,2/>ЯВЛ или
/<^\ B2.10)
Однако чем меньше ток /, тем меньше и абсолютная величина
поглощаемого спаем тепла. Для увеличения эффекта следует под-
подбирать п&ры металлов с наибольшими значениями коэффициента
Пельтье П1>2. Для металлов при обычных температурах П1A да
да 5-10~* dywJK; для полупроводников же значение П1J может быть
на несколько порядков выше.
Эффект Пельтье можно обратить. Если прохождение тока
в замкнутой цепи вызывает нагревание одних и охлаждение других
спаев, то, наоборот, нагревание одних и охлаждение других кон-
контактов приводит к появлению тока в цепи (эффект Зеебека,
или термоэлектрический эффект) в отсутствие внешнего
источника.
Пусть температура Го во всех точках однородного металличе-
металлического стержня (рис. 2.37) одинакова; значит, повсюду одинаковы
концентрации, средние энергии и скорости свободных электронов.

138 ч. п. электрический ток [гл. v
При этом через любое сечение /—/ стержня за единицу времени про-
проходит одинаковый поток электронов слева направо и справа налево.
Нагреем один конец стержня и будем его поддерживать при
постоянной температуре Г>Г0. Противоположный же конец будем
непрерывно охлаждать так, чтобы его температура То оставалась
неизменной. Тогда в стержне установится градиент температуры, и
через него будет идти постоянный поток тепла. Перенос тепла
в металлах осуществляется в основном движением свободных элек-
электронов. При этом электроны, про- т j ^
ходящие через сеченне / — /из j
области с более высокой темпера-
турой, переносят с собой больше
a)
I
I
1
1
|
\
\
A
To
"H
' 1
и
v
> I
2
2
К
\
1
1
1 U'
Рис. 2.37. Рис. 2.38.
энергии, чем электроны, проходящие через то же сечение в про-
противоположном направлении. Вследствие различия скоростей электро-
электронов, находящихся в областях с различными температурами, окажется
различным и число электронов, проходящих через сечение / — I
в противоположных направлениях, и на концах стержня начнут
скапливаться заряды противоположного знака. Внутри стержня воз-
возникает электрическое поле, препятствующее дальнейшему разделе-
разделению зарядов и выравнивающее потоки электронов в противополож-
противоположных направлениях. Таким образом, в равновесном состоянии наличие
градиента температуры вдоль стержня создает постоянную разность
потенциалов на его концах, величина которой пропорциональна
градиенту температуры.
Если спаять в одном месте два разнородных металла / и 2 и
нагреть спай до некоторой температуры Г, превышающей темпера-
температуру обоих концов Го (рис. 2.38, а), то из-за различного падения
потенциала вдоль обоих металлов и их электронных концентраций
потенциалы свободных концов будут различны, и между металлами
возникнет постоянная разность потенциалов U. Если нагреть такой
спай до другой температуры V (рис. 2.38, б), то между свободными
концами установи гея другое значение разности потенциалов U'.
Соединяя свободные концы одинаковых металлов (как показано на
рис. 2.38 пунктиром), мы видим, что в замкнутой цепи из двух
разнородных металлов возникает электродвижущая сила
$ltl = U—U', B2.11)
если между спаями поддерживается постоянный перепад температур

§ 22] КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ТЕРМОЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА 139
ДГ=Г—Т. Эта величина называется термоэлектродвижу-
термоэлектродвижущей силой (термоэдс) и создает в замкнутой цепи (рис. 2.39)
постоянный электрический ток. Производная
we
B2.12)
»'» AT
характеризует возрастание термоэдс для данной пары металлов
при нагревании одного из спаев на Is и обычно весьма мала. Для
пар железо—медь, железо — константан, широко применяемых
в технике при измерениях температур, eltt имеет порядок
50 -мкв\град. Для высокотемпературной пары
платина—платинородиевый сплав этот
коэффициент примерно в 10 раз меньше.
Термодинамический расчет приводит к
весьма простому соотношению между коэф- f/j
фициентами Пельтье и термоэдс: "
П1,,= Г«1„ = Г^-1. B2.13)
Из B2.13) следует, что на данном участке Рис- -39-
коэффициент Пельтье П^, прямо пропор-
пропорционален абсолютной температуре. При абсолютном нуле термоэдс
и коэффициент Пельтье обращаются в нуль.
Измеряя величину термоэдс, можно определить разность темпе-
температур между спаями, помещенными в различные резервуары. Для
таких практических применений подбирают термопары, у ко-
которых коэффициент е1J в широком интервале температур остается
практически постоянным. В этом случае э. д.с. прямо пропорцио-
пропорциональна разности температур горячего и холодного спаев:
e.^const и 6ut = eut(T—Tt). B2.14)
Необходимо подчеркнуть принципиальную разницу между кон-
контактной разностью потенциалов и термоэлектрическими явлениями.
Контактные потенциалы имеют сравнительно большую величину
(порядка нескольких вольт) и характеризуют электрическое поле
вне проводников между наружными поверхностями последних.
Контактная разность потенциалов есть статический аффект, не исче-
исчезающий и при абсолютном нуле температуры. В противоположность
этому термоэлектрические явления представляют собой чисто кине-
кинетические эффекты, наблюдаемые при наличии потоков тепла или
заряда (т. е. тока). Возникающие при этом разности потенциалов
по абсолютной величине малы (доли милливольта). При абсолютном
нуле количество электронов п', обусловливающих эти эффекты, равно
нулю и все термоэлектрические явления исчезают.
Постоянство eut и линейная зависимость B2.14) соблюдаются
далеко не всегда и не во всем интервале температур, Для ряда

140
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. v
Рис. 2 40.
систем с повышением температуры горячего спая термоэдс изме-
изменяется не монотонно, сначала возрастает, а затем убывает и даже
переходит через нуль (точка инверсии). Кроме того, величина
термоэдс (и коэффициента Пельтье) чувст-
чувствительна к внешним механическим воздей-
воздействиям, искажающим структуру металла
и энергетические уровни электронов.
Поэтому применяемые в технике и для
научных исследований термопары всегда
нуждаются в тщательной индивидуаль-
индивидуальной градуировке.
В электрических схемах и приборах
всегда имеются-спаи или контакты раз-
различных по своему составу и обработке
проводников. При колебаниях температуры окружающей среды в этих
местах контактов возникают неконтролируемые блуждающие
термоэдс. Вследствие малости этих термоэдс они обычно не сказы-
сказываются на работе приборов, но при очень точных и тонких измерениях
необходимо учитывать и предотвращать возможность подобных
влияний.
С другой стороны, термоэдс имеет широкое полезное практическое
применение, как простой электрический метод измерения температур.
При подобных измерениях с помощью термопар или термоэлементов
один из спаев поддерживается при вполне определенной постоянной
температуре То (например, поме-
помещается в тающий лед) и измеряется
идущий в замкнутой цепи термоток
^=^- = е-^{Т-Тл) B2.15)
с помощью гальванометра, как это
изображено на рис. 2.40. В более гру-
грубых технических термопарах один
из спаев имеет просто температуру окружающей среды. Для повы-
повышения чувствительности термоэлементов их соединяют последова-
последовательно в термобатарею (рис. 2.41). При прецизионных измерениях
предпочтительнее измерять не термоток B2.15), а непосредственно
термоэдс, компенсируя ее известной электродвижущей силой.
§ 23. Термоэлектронная эмиссия. Электронные лампы
Вследствие хаотичности теплового движения отдельные элек-
электроны металла время от времени приобретают избыток кинетиче-
кинетической энергии, превышающий работу их выхода еР} и вылетают из
металла. Происходит своеобразное «испарение» электронов из ме-

§ 231 ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ. ЭЛЕКТРОННЫЕ ЛАМПЫ Hi
талла в окружающую среду, тем более интенсивное, чем выше его
температура.
Когда некоторая часть электронов выходит из металла, он за-
заряжается положительно и втягивает электроны — происходит «кон-
«конденсация» электронного пара обратно в металл. В результате этих
двух противоположных процессов устанавливается определенная
концентрация электронного пара над металлом, ничтожно малая
при обычных температурах и резко возрастающая при повышении
температуры. Испускание электронов нагретыми металлами носит
название термоэлектронной
эмиссии.
Для исследования явления термо-
термоэлектронной эмиссии составим схе-
схему, изображенную на рис. 2.42. В
стеклянный баллон впаяны два
электрода — катод К и анод
А. Катод представляет собой
металлическую спираль, нагрева-
нагреваемую протекающим в ней током /ц
от вспомогательной цепи накала.
Реостат накала RB позволяет регу-
регулировать величину этого тока, из-
измеряемого амперметром Аю и нагревать катод до различных
температур Г.
Между катодом и анодом прикладывается значительная разность
потенциалов Ua (до 100—200 в). Это напряжение снимается с анод-
анодной батареи Б через потенциометр и измеряется вольтметром Vv
Передвигая движок Д потенциометра /7, можно изменять величину
?/& от нуля до максимального значения, определяемого э. д. с.
батареи.
Под действием приложенной разности потенциалов ил элек-
электроны, испущенные накаленным катодом, движутся к положи-
положительному электроду, аноду и замыкают цепь. Чтобы эти элект-
электроны не отклонялись в стороны при столкновениях с газовыми
молекулами, баллон Л откачивается до вакуума. Ток /а в анод-
анодной цепи измеряется последовательно включенным миллиампер-
миллиамперметром тА.
На рис. 2.43 изображена примерная зависимость анодного тока /а
от анодного напряжения U&. Приложенное между электродами поле
будет перетягивать часть электронов из электронного «облачка»
вокруг накаленного катода на второй электрод и нарушит, равнове-
равновесие. Убыль электронов в «облачке» приведет к тому, что скорость
«конденсации» электронов станет меньше скорости их испускания
катодом, часть «испарившихся» из катода электронов уже не вер-
вернется обратно и отсосется электрическим полем к аноду. Чем выше

142 ч. и. элгктрический ток [гл. v
напряженность электрического поля между электродами, тем
ббльшая часть испущенных электронов увлекается полем и направ-
направляется к аноду и тем меньшая часть их захватывается катодом.
В слабых полях вследствие наличия значительного объемного
заряда электрическое поле вблизи катода сильно искажается. Это
приводит к тому, что зависимость анодного тока 7а от приложенной
разности потенциалов U& (вольт-амперная характеристи-
характеристика) имеет, даже в слабых полях нелинейный характер. По расчетам
Лэнгмюра и Богуславского
ia на этом участке пропор-
пропорционально L^ («закон
трех вторых»).
При больших разностях
потенциалов практически
все электроны, «испаря-
«испаряющиеся» с катода, уносятся
н-а анод и ток /а перестает
увеличиваться с ростам t/a.
Это максимальное значение
Рис. 2.43. 4 носит название тока
насыщения 7нас.
Если повысить температуру катода от Г, до Г2>7\, то испуска-
испускание электронов усилится д вся вольт-амперная характеристика пой-
пойдет выше (см. рис. 2.43).
Увеличится при этом и ток насыщения /нас. Точный теоретический
расчет с учетом волновых свойств электронов в металле приводит
к следующей зависимости плотности тока насыщения от температуры:
B3.1)
Здесь 5—площадь катода, Т—его абсолютная температура,
е=2,7182— основание натуральных логарифмов, а в показателе
стоит отношение работы выхода электрона из металла еР*) к сред-
средней энергии теплового движения kT. Для чистых металлов теоре-
теоретическое значение константы равно
4 = 120 см*.град'¦
При Р=3 8=0,01 СГС ед. потенциала и при комнатной тем-
температуре, Г=300°К,
еР 1,6.10-
*Г~1,38.10-я-300
на
~1 '
*) Здесь той же буквой е обозначен заряд электрона.

§ 231 ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ ЭЛЕКТРОННЫЕ ЛАМПЫ 143
Следовательно, ток насыщения
~= 120-3002-4.10-51да4-10-44—.,
о смг>
т. е. неизмеримо мал.
Однако с повышением температуры ток насыщения очень круто
возрастает. Согласно B3.1) при увеличении температуры на 5°
множитель Т" возрастает примерно на 2°/о, а множитель е~*^ —
почти в 3 раза. Зависимость B3.1),
изображенная на рис. 2.44, опреде- '
ляется главным образом экспоненциаль-
экспоненциальным (показательным) множителем, и при
температурах порядка 2000° термо-
термоэлектронный ток в вакууме достигает
вполне измеримых значений.
Для снижения температур накала,
при которых термоэлектронный ток
достигает заметной величины, необ-
необходимо уменьшать величину работы
выхода еР в показателе выражения ' *-1
B3.1) или контактный потенциал Р. Рис '2Л4.
Поскольку последний существенно за-
зависит от состояния поверхности металла (см. § 22), такого снижения
можно добиться с помощью добавления незначительных примесей
в поверхностный слой металла. Так, покрытие вольфрамовых нитей
одномолекулярным слоем тория резко снижает работу выхода и
дает возможность получать заметную термоэлектронную эмиссию
уже при температурах порядка 1000°С. Широкое применение имеют
так называемые оксидные катоды, поверхность которых
состоит из окисей металлов (бария и др.), частично разлагающихся
при накале.
Откачанный баллон Л с впаянными внутри него двумя электро-
электродами Л" и Л, изображенный на рис. 2.42, является простейшим
электровакуумным прибором — двухэлектродной электронной лам-
лампой, или диодом.
Если в описанном выше опыте изменить направление электриче-
электрического поля и присоединить накаливаемый электрод К не к минусу,
а к плюсу батареи, то поле будет прижимать электронное облачко
к электроду, электроны будут возвращаться обратно на нить и че-
через безвоздушный промежуток ток идти не будет. На атом прин-
принципе основано применение диодов для выпрямления переменного
тока. Будучи включенным в электрический контур, диод играет в
нем роль клапана, пропускающего ток лишь в одном направлении.
Как показано на рис. 2.45, в течение того полупериода, когда на

144
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. v
катоде минус, а на аноде—плюс, электрический ток проходит че-
через лампу. В течение же второго полупериода изменения внешнего
напряжения, когда на катоде плюс, а на аноде минус, лампа «за-
«заперта», цепь разорвана, и ток в обратном направлении не идет
(однополупериодное выпрямление).
Для использования обоих полупериодов переменного напряже-
напряжения можно применить электронную лампу с двумя впаянными в нее
анодами (двойной диод), включив ее по схеме, изображенной
на рис. 2.46. Внешний источник переменного тока создает во вто-
вторичной обмотке трансформатора Т переменную разность потенциа-
потенциалов. Средняя точка трансформатора выводится наружу и является
1=0
Рис. 2.45.
Рис. 2.46.
минусом для цепи выпрямленного тока. Крайние точки трансформа-
трансформатора подаются на аноды лампы Л. Для накала катода служит до-
дополнительный трансформатор 7\. Испускаемые из катода электроны
идут к тому из анодов, который в этот момент имеет положитель-
положительный потенциал, и замыкают цепь соответствующей половины транс-
трансформатора Т. Так как согласно § 14 направление тока / противо-
противоположно направлению движения отрицательных электронов, то вывод,
сделанный от катода, всегда является плюсом по отношению к сред-
средней точке трансформатора Т и через включенное между ними внеш-
внешнее сопротивление R течет ток постоянного направления от ка-
катода к аноду (двухполупериодное выпрямление).
Этот выпрямленный ток не является постоянным в полном смысле
этого слова. Он постоянен лишь по направлению, а не по величине.
На рис. 2.47, а показан график зависимости тока от времени во
внешней цепи без электронной лампы. Переменный ток i обычно
меняется по синусоидальному закону:
i = iosinatf. B3.2)
Выпрямляющий диод срезает отрицательную половину периода и дает
импульсы тока (рис. 2.47, б). Двойной же диод по схеме рис. 2.46
изменяет направление тока в отрицательном полупериоде на обрат-
обратное и создает выпрямленный пульсирующий ток (рис. 2.47,в).

§ 23]
ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ. ЭЛЕКТРОННЫЕ ЛАМПЫ
145
Мощные выпрямительные лампы для выпрямления значительных
токов носят название кенотронов. Кенотроны имеют большие
габариты и высокую эмиссию электронов. Для уменьшения влияния
объемного заряда возле катода приходится между анодом и като-
катодом прикладывать большие разности по-
потенциалов (порядка киловольт).
Другим способом ослабления действия
объемного заряда электронов, вылета-
вылетающих из катода, является заполнение
баллона небольшими количествами газа,
например ртутными парами. Возникаю-
Возникающие при столкновениях с быстрыми элект-
электронами положительные ионы газа дви-
движутся к катоду и нейтрализуют объем- ^
ный заряд отрицательных электронов.
Такие лампы, называемые газотро-
газотронами, могут работать как выпрямители
при значительно более низких напряже-
напряжениях, чем кенотроны.
При накале нити катода проходящим
через нее током вдоль нити получается
заметное падение потенциала, искажа-
искажающее электрическое поле между катодом
и анодом внутри лампы. Поэтому целесообразно накаливать катод
не непосредственно, а с помощью специального подогревающего
элемента, электрически с ним не контактирующего.
Включение в лампу третьего промежуточного управляющего элек-
электрода— «сетки» — делает возможным ее применение для усиления
переменных напряжений. На рис.2.48
приведена схема трехэлектродной
лампы — триода, работающей как
усилитель. Разность потенциалов Ua
создает внутри лампы электриче-
электрическое поле. При плоских электродах
поле можно считать однородным,
а его напряженность—равной
Рис. 2 47.
Рис. 2.48.
: = 4iL, B3.3)
где L — расстояние между катодом и анодом. Если поместить сетку
вблизи катода на расстоянии 1<^.L, то повышение потенциала
в месте расположения сетки:
B3.4)

146 Ч. II ЭЛИСТРИЧРСКИЙ ТОК [ГЛ V
будет еще незначительным. Прикладывая тогда между катодом и
сеткой сравнительно небольшую отрицательную разность потен-
потенциалов Uc, можно вернуть часть летящих электронов обратно
к катоду и сильно уменьшить анодный ток, а при | Uc\ > Ut — даже
полностью запереть лампу. Наоборот, при положительном UQ можно
сильно увеличить анодный ток.
Если в анодную цепь включено большое сопротивление R, то
падение напряжения на этом сопротивлении:
U=IdR, B3.5)
изменяется прямо пропорционально анодному току /а. Таким обра-
образом, небольшие изменения потенциала Uc на сетке могут созда-
создавать во много раз большие изменения потен-
потенциала U в анодной цепи.
Чтобы все электроны, испускаемые катодом,
попадали на анод, последний делают в виде
цилиндра, охватывающего накаленную нить К
со всех сторон. На рис. 2.49 приведен схемати-
схематический разрез через трехэлектродную лампу.
Нить, натянутая вдоль оси, является катодом К.
Вокруг этой нити с небольшим зазором намо-
намотана спираль, служащая сеткой С. Электроны,
испускаемые накаливаемой нитью, проходят в за-
зазоры между витками спирали и попадают на ци-
цилиндр, служащий анодом. Вся эта система поме-
помещается в откачанный баллон Л.
Линии поля в такой лампе направлены по ра-
радиусам, и поле неоднородно. Однако все качест-
качественные закономерности, рассмотренные в настоящем параграфе,
включая закон трех вторых, остаются справедливыми и при таком
расположении электродов.
В настоящее время электронные лампы от миниатюрных до
огромных, на самые различные мощности, широко используются
в электро- и радиотехнике, автоматике и телемеханике. В зависи-
зависимости от назначения лампы в нее может быть впаян ряд дополни-
дополнительных управляющих электродов.
Выход электронов из металла может происходить не только
при его нагревании, но и за счет других воздействий. Так, при
освещении поверхности металла электроны могут вырываться за
счет энергии падающего света. Основные закономерности такой
фотоэлектронной эмиссии будут разобраны в томе Ш
при рассмотрении фотоэлектрического эффекта.
При ударе о поверхность металла электрона, предварительно
разогнанного электрическим полем до очень большой скорости,
возможна вторичная электронная эмиссия. При этом за

§ 23] ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ. ЭЛЕКТРОННЫЕ ЛАМПЫ 147
счет энергии ударяющего электрона может быть вырван не один,
а несколько электронов. Это явление используется в различных
типах электронных умножителей. Принципиальная схема
электронного умножителя изображена на рис. 2.50. Электрон, вы-
вырванный из первого электрода (например, под действием света),
ж
si
T "
u. -
1— 1
Рис. 2.50.
попадает на второй электрод (дин од), пройдя ускоряющую раз-
разность потенциалов &. При этом из второго электрода выбиваются
б электронов. Эти электроны падают на третий электрод, пройдя
такую же разность потенциалов ?¦, и выбивают из него ба электро-
электронов и т. д. При л+1 электродах число электронов, вылетающих
из последнего электрода, в б" раз больше числа электронов, вы-
вырванных из первого электрода. При 6=1,35 (чистый металл) и
л = 20 полный коэффициент умножения б"
имеет порядок 400. Для кислородноце-
зиевых катодов величина б достигает
значений 5—10 и коэффициент умноже-
умножения б" может быть очень большим. Сум-
Суммарная разность потенциалов пЬ, прило-
приложенная ко всему умножителю, обычно
порядка 1000 в.
Если приложить между двумя метал-
металлическими пластинами очень большую
разность потенциалов, то электрическое
поле может вырывать свободные элект-
электроны из отрицательно заряженной плас-
пластины и затем переносить их к положи-
положительной. Подобная холодная (автоэлектронная) эмиссия электро-
электронов наблюдается лишь в очень высоких полях, напряженностью
порядка ХО'в/см. Для получения столь высоких напряженности
поля катод делают в виде маленького металлического шарика
радиуса г (точнее, закругленного острия проволочки с г «*10~7 м),
а анодом служит внутренняя поверхность большой колбы, в центре
которой располагается шарик (рис. 2.51). Как было найдено в § 7,
Рис. 2 51.

148 ч. и. электрический ток [гл. v
напряженность поля у поверхности заряженного шарика
и может быть сделана очень большой при достаточно малых г.
Это явление используется в электронном микропроек-
микропроекторе. Вырванные электроны ударяются с большой скоростью об
анод а при соответствующем подборе материала последнего вызы-
вызывают его свечение. Если на поверхности катода находится адсор-
адсорбированная молекула М, то в этом месте автоэлектронная эмиссия
затруднена и на аноде наблюдается тень М' от этой молекулы,
увеличенная в очень большое число {R[r) раз (/?—радиус анода).

ГЛАВА VI
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ЭЛЕКТРОЛИТАХ,
ДИЭЛЕКТРИКАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ
§ 24. Закон Ома для электролитов
Электролитами называются вещества, мояекулы которых состоят
из ионов противоположных знаков, удерживаемых друг около друга
кулоновскими силами притяжения. К электролитам относятся кислоты,
щелочи и соли. При растворении электролитов в воде значительная
часть молекул в растворе распадается на ионы. Вода имеет высокую
диэлектрическую проницаемость (е=81), в силу чего электрическое
взаимодействие между ионами сильно уменьшается. Сравнительно
небольшая кинетическая энергия молекул, обусловленная их тепло-
тепловым движением, достаточна при этом, чтобы вызвать их диссоциа-
диссоциацию. Это явление называется электролитической дис-
диссоциацией.
Таким образом, при растворении электролитов в воде или в
другой полярной жидкости в ней возникает значительное количество
свободных ионов обоего знака, тем большее, чем выше концентрация
растворенного электролита. Обозначим число свободных положи-
положительных ионов в единице объема раствора электролита через л+
и отрицательных ионов — через л_. Заряды ионов кратны элемен-
элементарному заряду е=4,8-10~10 СГС ед. заряда и зависят от валент-
валентностей ионов. Обозначим эти валентности соответственно через
г+ и z_. Так как раствор в целом нейтрален, то суммарные заряды
положительных и отрицательных ионов в единице объема по абсо-
абсолютной величине равны друг другу:
nJrzJre = n_z_e. B4.1)
Для упрощения дальнейшей записи введем сокращение
n+z+ — n_z_ = nz. B4.2)
При растворении в воде, например, серной кислоты H,,S04 по-
последняя диссоциирует на положительно заряженные ионы водорода

150 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. VI
и кислотный остаток, несущий двойной отрицательный заряд:
HaSO45=^ 2H+ -{-SO". Следовательно, в этом случае z+=\ и
z_ = 2, а число ионов водорода в растворе п+ соответственно
в два раза больше, чем число отрицательных ионов п_.
Высокая диэлектрическая проницаемость воды обусловлена тем,
что молекулы НгО представляют собой жесткие диполи, обладаю-
обладающие значительным электрическим дипольным моментом. Ближайшие
к иону электролита дипольные молекулы воды поворачиваются
к нему противоположно заряженными полюсами и притягиваются,
образуя вокруг иона своеобразное «облако», перемещающееся вместе
с ним. Это облако не вполне стабильно; в результате теплового
движения отдельные молекулы отрываются от иона, а на их место
приходят другие. При движении иона в раст-
растворе под радиусом иона следует понимать
радиус г его гидратной оболочки
(рис. 2.52).
Эта оболочка препятствует обратному сое-
соединению (рекомбинации) ионов в нейт-
нейтральные молекулы. Само притяжение к окру-
окружающим диполям и является тем фактором,
УЭ^ ^s который ослабляет внутримолекулярные связи
// " и обусловливает диссоциацию молекул на со-
составляющие их ионы.
Рис. 2.52. Если в растворе электролита создать элек-
электрическое поле напряженностью Е, то поло-
положительные ионы начнут двигаться по полю, а отрицательные —
против поля и возникнет электрический ток. Рассмотрим для при-
примера положительный ион с зарядом z+e. На этот ион в электри-
электрическом поле будет действовать сила
Fas = z+eE. B4.3)
Под ее действием ион начнет ускоренно двигаться вдоль поля,
и скорость его направленного движения v+ будет возрастать.
Вследствие большого радиуса гидратной оболочки движущийся
в растворе ион испытывает значительную силу трения FTp. Рассма-
Рассматривая ион вместе с оболочкой как твердый шарик радиуса г+,
движущийся в вязкой жидкости с коэффициентом внутреннего тре-
иия (вязкостью) г|, можно определить силу трения по закону Стокса:
FTP = — 6лт)г+у+. B4.4)
По мере увеличения скорости иона возрастает сила трения и
уменьшается его ускорение. Практически через очень короткий
промежуток времени сила трения станет равной по величине силе
электрического поля, и ион далее будет двигаться равномерно
с некоторой постоянной скоростью v+. При равномерном движении

§ 241 ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЭЛЕКТРОЛИТОВ 151
геометрическая сумма сил, действующих на ион, равна нулю:
или
Отсюда можно найти искомую скорость иона:
Коэффициент пропорциональности
k+ = ^~ B4.6)
называется подвижностью положительного иона. Он зависит
от заряда и размера иона и от вязкости раствора. Из B4.5) сле-
следует, что А+ = г»+ при ?=1. Иными словами, подвижность иона
численно равна скорости ere равномерного движения при напря-
напряженности электрического поля, равной единице.
Аналогичным образом мы получим для отрицательных ионов
где
А_ = ^^- B4.8)
— подвижность отрицательного иона. При комнатной температуре
подвижности ионов в воде имеют порядок
ejcM в/ж
С повышением температуры вязкость раствора резко падает и под-
подвижности ионов соответственно возрастают.
В § 20 предыдущей главы нами было выведено выражение для
плотности электрического тока при направленном движении одно-
однозарядных частичек одного знака:
] = nev. B4.9)
Эту формулу легко обобщить на растворы электролитов, содержа-
содержащие ионы обоих знаков:
j=«+*+ev++n_(— 2-*)v_. B4.9a)
Подставляя в B4.9а) вместо v+ и v_ их выражения B4.5) и B4.7)
и учитывая B4.2), получим
-k_)E, B4.10)

152
Ч. 1Г ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. vi
т. е. закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропор-
пропорциональности в этой формуле
B4.11)
есть электропроводность раствора электролита, которая зависит от
концентрации свободных ионов и от нх подвижностей. В противо-
противоположность металлам электропроводность растворов электролитов
возрастает с температурой благодаря увеличению подвижностей
ионов.
Около металлических электродов, опущенных в раствор элек-
электролита, картина процесса усложняется и возникает целый ряд по-
побочных явлений. Если внутри электролита ток переносится зарядами
обоего знака, то вблизи, напри-
например, отрицательного электрода —
катода — отрицательно заряженные
ионы уходят от него, их концентра-
концентрация л_ падает практически до нуля
и ток переносится только положи-
положительными ионами—катионами.
В противоположность этому к поло-
положительному электроду—аноду—
подходят только отрицательные
ионы—анионы (рис. 2.53). Поэ-
Поэтому вблизи электродов перестает
соблюдаться равенство B4.2) и
электрическое поле искажается.
Подходя к электродам, ионы
разряжаются и превращаются в
нейтральные атомы или радикалы. При этом анионы отдают свои
избыточные электроны металлическому аноду. Двигаясь по внешней
цепи, эти свободные электроны доходят до катода и переходят
оттуда на подошедшие катионы, разряжая последние, как это
схематически показано на рис. 2.53.
Нейтрализовавшиеся атомы оседают на электродах. Если они
химически активны, то у электродов протекают вторичные реакции,
приводящие в конечном счете к разложению воды. Так, например,
при разрядке иона Na+ на катоде выделяется атом Na, бурно
реагирующий с водой:
—*NaOH+H.
©—»- ©—*-
©—•>
Рис 2.53
В результате натрий обычно уходит в раствор, где он опять иони-
ионизуется, а на катоде выделяется газообразный водород. Выделение
на электродах первичных или вторичных продуктов разложения
раствора при прохождении через него электрического тока назы-
называется электролизом.

§ 24] ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЭЛГКТРОЛИТОВ 153
Электролиз слегка подкисленной воды с разложением ее на
водород и кислород впервые наблюдал в 1802 г. В. В. Петров.
В настоящее время электролиз воды применяется для получения
чистого водорода и для обогащения воды так называемой тяжелой
водой DjO. В обычной воде рек, морей и океанов всегда присутст-
присутствует в небольшом количестве тяжелая вода. В процессе электролиза
на катоде выделяется главным образом легкий водород, а остаток
обогащается дейтерием.
Количественные законы выделения вещества при электролизе
были экспериментально установлены в 1836 г. М. Фарадеем В от-
отличие от металлов перенос электрического заряда в растворах
электролитов связан с переносом вещества самого электролита
и выделением этого вещества на электродах. Если за некоторое
время t у электрода разрядятся N ионов валентности z, то они
перенесут с собой к электроду суммарный заряд
q=Nez. B4.12)
Разряжаясь у электрода, эти ионы оставляют на нем массу
M=Nm, B4.13)
где т— масса одного осаждающегося атома.
Разделим второе из этих равенств на первое. Тогда полученное
отношение
?«?-* B4ЛЗа)
есть постоянная величина, не зависящая от количества прошедших
через раствор ионов; она называется электрохимическим
эквивалентом данного вещества.
Отсюда мы получаем первый закон Фарадея-
M=Kq = KIt B4.14)
— количество М выделившегося на электроде вещества прямо
пропорционально протекшему через раствор количеству электри-
электричества q. Электрохимический эквивалент К численно равен массе
вещества М, выделившейся на электроде прн прохождении через
электролит единицы количества электричества (^=1). Для серебра
электрохимический эквивалент равен
K-A(?= 1,18.10-' кг/к.
Преобразуем выражение B4.13а) для К, умножив его числитель
и знаменатель на число Авогадро No. Тогда получим
„ т_ mNa 1 А
ег~ Ыйег ~~ WJ Т '
Здесь A=mNa—атомный вес вещества, А\г — так называемый

154 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. VI
химический эквивалент этого вещества, а
Nae=F B4.15)
— так называемая константа Фараде я. Отсюда получается
второй закон Фарадея:
*=7 7- B4-16)
—электрохимический эквивалент данного вещества К прямо
пропорционален его химическому эквиваленту А\г. Объединяя
оба закона, получим
4
Отсюда можно установить физический смысл постоянной Фарадея:
F=q при М=—,
т. е. постоянная Фарадея численно равна количеству электричества,
которое должно пройти через раствор для выделения на электроде
одного килограмм-эквивалента (кг-экв) данного вещества.
Измерения дают
F= 9,6487 -10' к\кг-экв.
Из B4.15) видно, что, измерив F и иайдя заряд электрона е, можно
определить третью универсальную постоянную — число Авогадро Nt.
Первым практическим применением электролиза был изобретен-
изобретенный в 1838 г. Б. С. Якоби метод гальванопластики. Про-
Пропуская длительное время ток через раствор медной соли, Якоби
получил на катоде медную пластинку однородной толщины, по-
повторявшую форму катода. В настоящее время электролитические
методы широко применяются для получения и очистки цветных ме-
металлов, для создания антикоррозийных покрытий и в ряде других
областей техники.
Таким образом, при прохождении электрического тока в элек-
электролитах его энергия расходуется на различные химические реакции.
Обратные процессы получения электрического тока за счет энергии
химических превращений, протекающие в гальванических элементах
и аккумуляторах, подробно разбираются в курсе общей химии.
§ 25. Проводимость газов. Несамостоятельный разряд
Молекулы газов нейтральны, и газы поэтому являются хоро-
хорошими электрическими изоляторами. Если разорвать цепь источника
тока и создать в ней воздушный промежуток, как показано на
рнс. 2.54, а, то гальванометр, включенный в цепь, покажет от-
отсутствие электрического тока.

§ 25]
ПРОВОДИМОСТЬ ГАЗОВ. НЕСАМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ РА1РЯД
155
Поднесем к воздушному промежутку пламя газовой горелки,
как показано на рис. 2.54, б. В пламени протекают интенсивные
химические реакции, за счет энергии которых отдельные атомы
могут возбуждаться и ионизоваться. Образующиеся в пламени го-
горелки ионы переходят в воздушный промежуток и под действием
приложенной к нему разности
потенциалов начинают двигаться
к электродам; в цепи появляется
ток.
Ионизация газа может про-
происходить под действием других
источников энергии,например при
облучении рентгеновыми лучами
(рис. 2.54, в). В качестве иониза-
ионизатора газа можно применять и
ультрафиолетовые лучи и у-лучи.
Обычно атмосферный воздух
всегда ионизован под действием
излучений радиоактивных эле-
элементов земной коры и приходя-
приходящих из мировых глубин так назы-
называемых космических лучей. Од-
Однако равновесная концентрация
ионов в воздухе не превышает
нескольких десятков пар ионов
в кубическом сантиметре, и, что-
чтобы воздух стал заметно прово-
проводить электрический ток, его надо
подвергнуть воздействию интен-
интенсивных, ионизаторов.
При ионизации газовых молекул под действием внешнего источ-
источника из молекулы обычно вырывается один электрон и остается
положительный молекулярный ион с зарядом -{-е. Вырвавшийся
электрон обычно присоединяется к какой-либо другой молекуле
и образует отрицательный молекулярный ион с зарядом —е. Оба
типа ионов одновалентны B=1), имеют одинаковую концентрацию
я, ио несколько различные подвижности k+ и k_. Под действием
внешнего электрического поля эти ионы начинают двигаться,
и возникает электрический ток.
Так же как и в случае электролитов, плотность тока /связана
с напряженностью электрического поля Е соотношением [см. B4.10I
Рис. 2.54.
+ E. B5.1)
Подвижность газовых ионов много больше подвижности ионов
в электролитах, определяемой зависимостями B4.6) и B4.8). Однако

156 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. VI
концентрация газовых ионов во много раз меньше соответствен-
соответственных концентраций для электролитов. Даже прн наличии сильного
ионизующего агента проводимость газов невелика по сравнению
с проводимостью электролитов.
Следует подчеркнуть еще одно важное обстоятельство, отличаю-
отличающее прохождение электрического тока в газах от явлений, проис-
происходящих в электролитах. Концентрации свободных ионов л+ и п_
в электролитах зависят от концентрации растворенного вещества
и взаимодействия с молекулами растворителя, определяющего
степень диссоциации. Вследствие относительно большой концен-
концентрации ионов, их малой скорости и длины свободного пробега
электрический ток может существенно изменить концентрации
ионов не во всем объеме, но лишь в непосредственной близости к
электродам.
В отличие от этого, концентрации ионов в газе малы, и наличие
тока, уносящего ионы к электродам, может нарушить баланс ионов
во всем объеме и изменить их концентрацию п. Поскольку л
оказывается функцией у, соотношение B5.1) только формально
похоже на закон Ома, а на самом деле прямой пропорциональ-
пропорциональности между у и ? может и не быть. Чтобы выяснить эту
зависимость, разберем подробнее ситуацию, изображенную на
рис. 2.54, в.
Обозначим площади электродов через S и расстояние между
ними через L. Облучение будем считать постоянным и однородным,
создающим в единице объема за единицу времени а пар ионов.
Наряду с ионизацией газа непрерывно происходит и обратный про-
процесс рекомбинации встречающихся ионов в нейтральные молекулы —
так называемой молизации газа. Концентрации ионов обоего
знака будем считать одинаковыми и обозначим через л. Тогда
число рекомбинирующих пар ионов в единице объема за единицу
времени будет пропорционально как концентрации положительных
ионов л, так и концентрации отрицательных ионов л, т. е. пг. Обо-
Обозначим число рекомбинирующих пар через рлг, где р— коэффициент
пропорциональности, зависящий от вероятности рекомбинации
ионов при их соударениях.
Общее число пар ионов в объеме между электродами равно nSL.
Изменение этого числа за единицу времени SL -? определяется
числом вновь возникающих во всем объеме пар aSL, числом исчезаю-
исчезающих при рекомбинации пар pn'SZ. и числом пар ионов, разряжаю-
разряжающихся за единицу времени на электродах. Это последнее в свою
очередь равно отношению заряда, приходящего за единицу времени
/ jS
к электродам, к величине заряда одного иона, т. е. равно —=—.
в в
Таким образом, баланс числа ионов, образующихся и исчезающих

§ 25] проводимость газов, несамостоятельный разряд 157
в газовом промежутке между электродами, будет выражаться урав-
уравнением
SI~ = aSL —pVSZ,—?
или
!-«-P»'-i. B5 2)
При равномерной ионизации а = const, и спустя короткий про-
промежуток времени устанавливается равновесие между числом воз-
возникающих и исчезающих ионов. С этого момента я= const и
-17=0, так что уравнение B5.2) принимает вид
a = pV+i- B5.3)
Исключая из B5.1) и B5.3) величину л, мы получим искомую
зависимость у от Е в виде квадратного уравнения. Не анализируя
детально общее решение этого уравнения, разберем наиболее инте-
интересные предельные случаи.
а) В слабых полях плотность тока незначительна и количество
ионов, разряжающихся на электродах, пренебрежимо мало по срав-
сравнению с числом ионов, рекомбинирующих в объеме газа, т. е.
B5.4)
При этом условии из B5.3) получаем
ct=pV, B5.5)
или
. в I ^ tJ С) I
р
Концентрация ионов в газе определяется отношением вероятностей
ионизации и рекомбинации и практически не зависит от плотности
тока. Подставляя B5.6) в B5.1), получаем
¦k_)E~E, B5.7)
т. е. в этом случае имеет место закон Ома с постоянной электро-
электропроводностью
_) = const. B5.8)
б) В противоположном предельном случае сильных полей плот-
плотность тока велика, и практически все образующиеся в объеме ионы

158 Ч. II. ЭЛЬКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. VI
уходят к электродам, не успевая рекомбинировать. В этом случае
i B5.9)
a=L. B5.10)
Отсюда находим
j=aeL=jHac = const, B5.11)
т. е. с дальнейшим повышением приложенного напряжения ток
перестанет расти и остается постоянным. Это максимальное зна-
значение тока
raac=jnacS=eaSL, B5.12)
при котором все образующиеся ионы уходят к электродам, носит
название тока насыщения.
На рис. 2.55 приведена полная зависимость j от Е. Начальный
линейный участок соответствует области применимости закона Ома.
В переходной области jjeL л; рл2 и зависимость j от Е определяется
полным уравнением
еЦк++к_)Е T/[y(ft++feJ?| ,
J~ 2$eL + V L 2BiZ J ~>
2$eL + V L 2BiZ J ~> В *
B5.13)
Наконец, на участке насыщения эта зависимость имеет вид гори-
горизонтальной прямой.
Интересно отметить, что в области насыщения согласно B5.1)
пЕ= const, B5.14)
т. е. на этом участке с ростом приложенного напряжения равно-
равновесная концентрация ионов и электропроводность y—ne(k+-{-k_)
падают обратно пропорционально напряжению U=EL, а сопро-
сопротивление /?=—к- растет прямо
пропорционально U. Таким образом,
/газовый промежуток, ионизуемый
посторонним источником энергии,
1 является- примером переменно-
переменного сопротивления, постоянного
при слабых полях и растущего
г пропорционально напряжению в
~~ сильных.
Рис. 2.55. При высоких напряжениях вольт-
амперная характеристика, изобра-
изображенная на рис. 2.55, вновь начинает загибаться кверху. Это
связано с тем, что положит^льные/ ионы теперь подходят к катоду

§ 261 типы газовых разрядов 159
с большой скоростью и энергией и выбивают из него дополнитель-
дополнительные электроны. Последние в свою очередь, проходя через раз-
разрядный промежуток к аноду, ускоряются настолько, что начинают
ионизовать встречные нейтральные молекулы (эта ударная ио-
ионизация подробнее будет рассмотрена в следующем параграфе).
В результате этих процессов в газе создаются дополнительные
ионы, равновесная концентрация последних п возрастает, плотность
тока ) увеличивается по сравнению с током насыщения.
Однако если убрать внешний источник, то прекратятся и пер-
первичные (а=0) и вторичные процессы ионизации и спустя короткий
промежуток времени (пока все имеющиеся и создающиеся ионы не
дойдут до электродов) ток уменьшится до нуля. Поэтому такай
разряд называется несамостоятельным.
§ 26. Типы газовых разрядов
Самостоятельным называется такой разряд, для поддер-
поддержания которого нет необходимости в постороннем источнике, не-
непрерывно ионизующем газ. В этом случае ток, проходящий через
разрядный промежуток, сам создает новые ионы, компенсирующие
непрерывную убыль ионов, разряжающихся на электродах. Про-
Процессы возникновения новых ионов как в самом газе, так и на
электродах весьма многообразны и недостаточно полно изучены
даже к настоящему времени. Наиболее важным из них является
процесс ударной ионизации нейтральных молекул газа ионами, уско-
ускоряемыми внешним электрическим полем в разрядном промежутке.
Обозначим напряжение, поданное на разрядный промежуток,
через U, а расстояние между электродами — через L. Тогда на-
напряженность электрического поля в газе равна
Е=^. B6.1)
На расстоянии, равном длине свободного пробега /, падение на-
напряжения
U. = EL=u\- B6.2)
составляет лишь некоторую долю полного падения напряжения U.
Кинетическая энергия, приобретенная ионом с зарядом е, на длине
свободного пробега равна
вмв=в?/, = ^. B6.3)
Абсолютные концентрации ионов в разрядном промежутке, как
правило, невелики и во много раз меньше концентрации ней-
нейтральных молекул. Поэтому в конце свободного пробега ион прак-
практически всегда сталкивается с нейтральной молекулой и передает

160 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. VI
ей часть накопленной им кинетической энергии екин. Пока величина
Ut не превышает примерно 1 вольта, соударения ионов с молеку-
молекулами являются упругими. Поскольку массы ионов в газе близки
к массам нейтральных молекул, то но законам соударения упругих
шаров (см. том I, глава II) почти вся кинетическая энергия B6.3)
иона передается им той молекуле, с которой он сталкивается. На
каждой следующей длине свободного пробега ион вновь ускоряется,
накапливает кинетическую энергию еКИн и отдает ее при столкно-
столкновении следующей молекуле газа. Нейтральные молекулы, получив-
получившие эту энергию, отдают ее при последующих столкновениях
другим молекулам, и газ при прохождении через него электри-
электрического тока нагревается.
С возрастанием величины Ut кинетическая энергия иона в конце
его свободного пробега становится достаточной для «деформации»
нейтральных молекул и перевода их в «возбужденное состояние».
Механизм возбуждения атомов и молекул состоит в том, что
какой-либо из внутренних электронов, получив добавочную энер-
энергию, переходит на новую орбиту, более удаленную от ядра. Обрат-
Обратный переход возбужденной молекулы в исходное состояние про-
происходит по большей части почти мгновенно, с уносом излишка
энергии, испускаемой световой частицей—фотоном. Следовательно,
часть кинетической энергии ионов будет превращаться в энергию
излучения, испускаемого газом. Таков механизм возникновения
свечения в газе, сквозь который проходит электрический ток
(газосветные трубки, полярные сияния и т. д.). Возбужденные мо-
молекулы могут также разрываться на атомы и радикалы, что дает
начало различным химическим реакциям, сопровождающим газовый
разряд (образование озона, окислов азота и т. д.).
При U( порядка 10 — 30 вольт (в зависимости от рода газа)
энергия иона в конце свободного пробега становится достаточной
для вырывания электронов из молекул, с которыми сталкивается
ион. При этом нейтральная молекула превращается в положитель-
положительный ион, а оторванный электрон может присоединиться к другой
нейтральной молекуле, образуя отрицательный ион. Эти новые ионы
и электроны в свою очередь также разгоняются электрическим
полем и могут производить дальнейшую ударную ионизацию ней-
нейтральных молекул.
В соударениях, сопровождающихся ионизацией или возбужде-
возбуждением молекул, часть кинетической энергии ударяющего иона пере-
переходит в энергию «деформации» молекул, и удар будет «неупругим».
Применяя законы сохранения количества движения и энергии (том I,
глава II) к такому удару, можно показать, что необходимая кине-
кинетическая энергия ударяющего иона еКИн должна в несколько раз
превышать минимальную энергию Аемин ионизации или (соответст-
(соответственно) возбуждения нейтральной молекулы.

§ 26]
ТИПЫ ГАЗОВЫХ РАЗРЯДОВ
161
Возвращаясь к соотношению B6.2), мы видим, что падение
потенциала на длине свободного пробега Ut зависит не только от
приложенного градиента потенциала U/L, но и от длины свободного
пробега / Последняя в свою очередь зависит от давления газа,р и,
как показано в томе I, глава VII (за исключением области, в ко-
которой /да I), обратно пропорциональна давлению:
/-х.1. B6.4)
Следовательно,
¦</.-?.
B6.5)
и условия возникновения ударной ионизации в газе облегчаются
при понижении давления, т..е. при разрежении газа.
Процессы возникновения новых ионов при разряде могут про-
происходить не только в объеме газа, но и на электродах. Электроны,
а в некоторых случаях и ионы могут вырываться из металличе-
металлических электродов в результате фотоэффекта, т. е. поглощения све-
световых частиц —фотонов, возникающих в газе при разряде, как
это описывалось выше. Вырывание электронов может происходить
и при ударе об электроды подходящих к ним достаточно быстрых
ионов или электронов (вторичная электронная эмиссия), вследствие
разогрева и т. п.
Для пояснения влияния перечисленных выше факторов на про-
прохождение электрического тока в газе рассмотрим результаты, по-
полученные А. Г. Столетовым
при изучении фотоэлектри-
фотоэлектрического эффекта—вырыва-
эффекта—вырывания светом электронов из
металла. Мы будем толко-
толковать результаты опытов
Столетова на основе совре-
современного представления о
механизме фотоэффекта.
Схема опыта Столетова
изображена на рис. 2.56.
Одно из оснований цилинд-
цилиндрической камеры было за-
закрыто прозрачной кварце-
кварцевой пластинкой. Через это
окошко пучок ультрафиоле-
ультрафиолетовых лучей освещал металлическую пластинку, служившую вторым
основанием, и вырывал из нее электроны. Пластинка К была присоеди-
присоединена к отрицательному полюсу батареи и являлась катодом. Анодом А
служила помещенная внутри камеры металлическая сетка с широ-
{К насосу
Рис. 2.56.
6 Г. А Зисман и О. М. Тодес

162
Ч. И. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл.
кими ячейками, пропускавшими свет. Под действием приложенной
разности потенциалов U электроны двигались от катода к аноду
через газ, заполнявший камеру. Гальванометр Г измерял ток i,
идущий в цепи. Через специальный отвод из камеры можно было
откачивать воздух и менять его давление р. Расстояние между
электродами L можно было варьировать с помощью микрометри-
микрометрического винта.
При постоянном значительном напряжении U Столетов наблюдал,
что с уменьшением давления в камере ток в цепи сначала возрас-
возрастал, достигал некоторого максимального значения /макс, а затем
снова падал до некоторой величины i0, постоянной при низких дав-
давлениях. На рис. 2.57 приведены некоторые из кривых зависимости
i от р при различных приложенных напряжениях (У, > ^2> ^Л-
Все эти кривые при низких давлениях сходились к тому же зна-
значению /0. Величина давления рМакс, при которой наступал максимум
тока, однако, была при этом различной. Меняя U и L, Столетов
установил, что
. U = const. B6.6)
Постоянство i0 связано с тем, что напряжения ?/,, ?/2 и U3 доста-
достаточно велики, чтобы в области вакуума все вырванные из пла-
пластинки К электроны достигали анода и устанавливался ток насы-
насыщения. При впуске в камеру небольшого количества газа ток воз-
возрастал. Эго показывает, что,
li(yai.ed) кроме вырванных из катода
электронов, при прохождении
*Ц=1ООв их через газ возникают новые
' ионы за счет ударной иони-
ионизации. При малых значениях
напряжения (У= Ut ударной
¦ ЦгбОд ионизаЦии ие происходит, так
• и,=20в как даже ПРИ прохождении
, полной разности потенциалов
5 6 7 8 р,атм энергия eU3, приобретаемая
электроном, недостаточна для
Рис. 2.57. такой ионизации молекул газа.
При больших напряжениях
ударная ионизация возможна, и с ростом давления число образую-
образующихся вторичных ионов возрастает (левый участок кривых рис. 2.57
до максимума).
Однако с увеличением давления уменьшается длина свободного
пробега электронов, падают накапливаемая на этом пути их кине-
кинетическая энергия и способность ионизовать газовые молекулы. При
некотором давлении кинетическая энергия электрона станет меньше
О
2 3

-*>U 0-
(\ I III 111 III 111 I 111 1Щ-
§ 26] ТИПЫ ГАЗОВЫХ РАЗРЯДОВ 163
предельного значения, при котором еще возможна ионизация мо-
молекул данного газа, и с дальнейшим ростом давления ток начнет
падать вследствие уменьшения подвижности первичных электронов
и возвращения части их обратно на катод.
Сопоставляя B6.6) с B6.5), мы видим, что максимум тока в опы-
опытах Столетова соответствует некоторому вполне определенному зна-
значению средней кинетической энергии, приобретаемой электроном на
длине свободного пробега в газе. Поскольку / есть средняя длина
свободного пробега, а отдельные электроны проходят без стол-
столкновения в газе несколько различные /,-, как меньшие, так и
ббльшие /, то после достижения /?макс при дальнейшем росте давле-
давления явление ударной ионизации в газе не прекратится сразу, и раз-
разрядный ток i будет уменьшаться постепенно. Таким образом, в опи-
описанном опыте Столетова выявились все основные процессы, наблю-
наблюдающиеся в газовом разряде:
вырывание заряженных частиц из
электродов, размножение ионов
при ударной ионизации и зави-
зависимость этих процессов от на-
напряженности поля и от давления.
Рассмотрим теперь, как про- '/'
текают эти явления в основных
типах газовых разрядов.
-а) Тлеющий разряд. Рис. 2.58.
Приложим между электродами,
впаянными в противоположные концы длинной стеклянной трубки
(рис. 2.58), разность потенциалов в несколько тысяч вольт и будем
откачивать воздух из этой трубки. При снижении давления до
величины порядка 1 мм рт. ст. падение потенциала на длине
свободного пробега возрастает настолько, что имеющиеся в неболь-
небольшом количестве в воздухе свободные ионы, двигаясь к электродам
и ударяясь о них, начнут выбивать новые электроны. Газовый
промежуток начнет слабо проводить электрический ток; энергия
ионов в конце свободного пробега будет еще недостаточной для
ударной ионизации в газе. Сталкиваясь с газовыми молекулами,
электроны и ионы будут лишь возбуждать их электроны на более
высокие уровни. Последние, возвращаясь затем в свои нормальные
состояния, излучат избыток энергии в виде света. В результате газ
начнет светиться, причем цвет свечения будет зависеть от хими-
химической природы газа.
Общее количество энергии, выделяющейся в газовом промежутке,
невелико, и светящийся газ остается холодным. Газосветные трубки,
наполненные разреженным гелием или неоном и светящиеся при
прохождении через них слабого тока при высоком напряжении,
широко применяются для различных уличных надписей и реклам.

164 Ч. П. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. VI
При дальнейшем понижении давления до величины порядка
0,01 мм рт ст. тлеющий разряд разбивается на отдельные светя-
светящиеся столбики — страты (рис. 2.58). В газе возникает ударная
ионизация, ток через газовый промежуток усиливается, но общее
число ионов все же недостаточно для пробоя.
При еще ббльших разрежениях, порядка 10~5—10"' мм рт. ст.,
ионы и электроны проходят через всю трубку, практически не
сталкиваясь с молекулами, ток падает и свечение газа прекращается.
Наблюдается лишь слабое зеленое свечение стенок стеклянной труб-
трубки в тех местах, где на нее попадает поток электронов.
б) Искровой разряд. При давлениях порядка атмосферного
и выше длина свободного пробега электронов и ионов слишком
мала и газы практически не проводят электрический ток. В них
возможен лишь несамостоятельный разряд, описанный в предыдущем
параграфе.
Однако при очень больших полях разность потенциалов Ut на
длине свободного пробега становится достаточной для начала удар-
ударной ионизации, которая осуществляется в основном электронами.
По причинам, которые будут выяснены в Ш томе, электроны в
газе имеют значительно ббльшую длину свободного пробега, чем
ионы. Следовательно, проходя при этом ббльшую разность потен-
потенциалов, электроны приобретают ббльшую энергию, чем ионы,
что и объясняет особую роль первых в механизме ударной иони-
ионизации.
Электрон с достаточно большой кинетической энергией при
встрече с нейтральной молекулой ионизует ее. В сильных электри-
электрических полях оба электрона (первичный и вторичный) вновь раз-
разгоняются, практически не прилипая к нейтральным молекулам и не
образуя тяжелых отрицательных ионов. Эти два электрона, при-
приобретая энергию в электрическом поле, ионизуют еще две встреч-
встречные молекулы и т. д. Таким образом, через газовый промежуток
к аноду будет двигаться со скоростью порядка 10* м\сгк все
нарастающая в числе «лавина» электронов. Остающиеся на ее пути
положительные ионы вследствие своей большой массы и относи-
относительно низкой подвижности практически не успевают заметно изме-
изменить своих положений и лишь образуют положительный объемный
заряд, искажающий поле между электродами.
Наличие электронной лавины само по себе еще не приводит
к пробою газа. Оно лишь является причиной возрастания тока
с увеличением напряженности поля и расстояния между электро-
электродами L (рис. 2.57). Для наступления пробоя каждая лавина должна
стать источником появления в газе новых электронов, являющихся
родоначальниками новых лавин. Эти новые электроны могут воз-
возникать за счет различных вторичных процессов в объеме газа или
должны вырываться из катода.

§ 261 ТИПЫ ГАЗОВЫХ РАЗРЯДОВ 165
Оставшиеся после прохождения электронной лавины положитель-
положительные ионы движутся к катоду, сталкиваясь с нейтральными молеку-
молекулами и ускоряясь электрическим полем. Подходя к катоду, эти
ионы разряжаются и тем самым замыкают ток во внешней цепи.
При достаточно большой напряженности поля положительные ионы,
ударяясь о катод, начинают вырывать из него свободные электроны,
становящиеся родоначальниками новых лавин. Исходя из этих пред-
представлений, Таунсенд и Роговский развили теорию электрического
разряда, позволившую довольно удовлетворительно оценить крити-
критическую напряженность электрического поля ?кр, необходимую для
наступления пробоя в газе.
По достижении критической напряженности ?кр картина проис-
происходящих в газе процессов усложняется и уже не поддается точному
расчету.
Объемные ионные заряды сильно искажают электрическое
поле и создают местные флуктуации его напряженности. При иони-
ионизации атомов может происходить вырывание электронов из глубоко
лежащих внутренних оболочек. При перескоке внешних электронов
атома на эти освободившиеся места испускаются ультрафиолетовые
и рентгеновы лучи, которые могут производить дополнительную
ионизацию в объеме газа и создавать новые электронные лавины.
В результате электронные лавины концентрируются в узком
канале сильно ионизованного газа, и этот канал, называемый стрим-
мером, начинает очень быстро, со скоростью порядка 10е м/сек,
продвигаться от анода, где концентрация электронных лавин наи-
наибольшая, к катоду. Доходя до катода, стриммер замыкает цепь,
и между электродами проскакивает искра.
Искра представляет собой тонкий ветвистый шнур сильно иони-
ионизованного газа. Благодаря высокой электропроводности канала искры
через него проходит очень сильный ток, обычно полностью раз-
разряжающий источник приложенного высокого напряжения. В этом
канале происходит интенсивное выделение энергии, получаемой
электронами и ионами от электрического поля, газ разогревается до
очень высоких температур и ярко светится. Резкое повышение
давления, сопровождающее разогрев газа, создает ударные и звуко-
звуковые волны. Таков, в частности, механизм образования атмосферных
разрядов — молнии и сопровождающего ее грома.
Для осуществления искрового разряда в воздухе при атмосфер-
атмосферном давлении и нормальной влажности необходимы электрические
поля напряженностью порядка 3000 кв\м. Попадая в область более
низких напряжений, электронная лавина перестает размножаться,
ионы разных знаков рекомбинируют друг с другом, и разряд за-
затухает. Такие условия осуществляются, например, у поверхности
острия, поддерживаемого при высоком потенциале. В непо-
непосредственной близости от острия, как это показаво на рис. 2.59,

166
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. vi
1—У//////ШЩЩ
„Корона"
-0 0—
Рис. 2 59.
напряженность электрического поля весьма велика и возникает
область ударной ионизации. По мере удаления от острия напряжен-
напряженность поля падает, и разряд не доходит до второго электрода. В
результате возбуждения молекул газа электронным ударом вокруг
острия возникает светящаяся «корона» (коронный разряд).
Высокая температура и давление обусловливают мощное механи-
механическое воздействие искрового разряда. С помощью искры можно,
например, проплавлять отверстия. На этом принципе основан
электроискровой метод обработки металлов. С помощью электри-
электрической искры можно в закаленной стали «сверлить» строго калибро-
калиброванные отверстия диаметром до 0,05 мм, обрабатывать сверх-
сверхтвердые сплавы, проделывать в металле винтовые каналы и т. д.
Мощный искровой разряд в воде поз-
позволяет дробить на мельчайшие частич-
частички самые твердые материалы.
При очень сильных токах в газе
или при весьма высокой температуре
значительная доля молекул газа
(вплоть до 100%) ионизуется и газ
превращается в систему быстро дви-
движущихся положительных ионов и элек-
электронов. Такое состояние газа назы-
называется плазмой. Электропровод-
Электропроводность плазмы чрезвычайно велика, так
как все частицы, входящие в плазму, заряжены (многие ионы —
многократно) и обладают подвижностью.
Недра звезд и в том числе Солнца, обладающие температурой
в десятки миллионов градусов, представляют собой плазму.
В настоящее время ученым удалось получить при мощном элек-
электрическом разряде плазму с температурой порядка нескольких мил-
миллионов градусов. Это исключительно высокая температура, в сотни
раз превышающая ту, которую удавалось до сих пор получить
в лабораторных условиях.Целью этих исследований является созда-
создание управляемой термоядерной реакции, достичь которой еще не
удалось. К этому мы вернемся еще в Ш томе.
в) Дуговой разряд. Создав огромную для своего времени
гальваническую батарею, В. В. Петров в 1802 г. обнаружил, что
при разведении друг от друга угольных электродов, через которые
шел ток, цепь не разрывалась и между электродами возникало
ослепительное пламя электрической дуги. В этом пламени
можно плавить металлы и использовать его для освещения.
Высокая температура в электрической дуге создает сильно
ионизованный воздушный промежуток, проводящий электрический
ток. Благодаря низкому сопротивлению этого промежутка величина
напряжения на дуге не превышает 50—80 в.

§ 26]
ТИПЫ ГАЗОВЫХ РАЗРЯДОВ
167
Угольный
электрод
Механизм процессов, протекающих в электрической дуге, очень
сложен. Лишь спустя сто лет, в 1902 г., В. Ф. Миткевич показал,
что образование и поддержание
дугового разряда обусловлено тер-
термоэлектронной эмиссией из раска-
раскаленного ударами ионов катода.
При прохождении дугового раз-
разряда угольные электроды сгорают
и на аноде образуется выгорев-
Муга
Рис. 2.61.
Рис. 2.60.
шая впадина — кратер (рис. 2.60). При атмосферном давлении тем-
температура кратера электрической дуги в воздухе имеет порядок 4000°,
а с повышением давления может быть доведена до 10 000°.
Электродная
проволока ¦
ffy/
угр
фЛЮООМ
Рис 2 62.
Идея Петрова об использовании электрической дуги для плавле-
плавления металлов была разработана в 1881 г. Н. Н. Бенардосом, соз-
создавшим электросварку (рис. 2.61). В 1890 г. Н. Г. Славянов
заменил угольный электрод металлическим, который создавал дугу
и сам плавился, сваривая металлические швы. Советский ученый
Е. О. Патон создал специальные электросварочные головки (рис. 2.62)

168
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. vi
и машины, автоматизировавшие процесс электросварки. Недавно
украинский ученый К. К. Хренов разработал методы электросварки
под водой. При высокой температуре дуги вода испаряется, и дуга
проходит в своеобразном газовом пузыре над свариваемой деталью
(рис. 2.63).
При пониженных давлениях ионизованный газ в дуге остается
холодным, как в случае тлеющего разряда. Такая холодная дуга
горит в парах ртути над поверхностью
жидкой ртути в ртутных выпрямителях
и кварцевых лампах.
Идея Петрова о применении дуги для
освещения была практически осуществлена
Облачко
Пузыри
газа
1 Вант
застывшего
метит
Рис. 2 63.
Рис. 2 64.
в 1876 г. П. Н. Яблочковым. Непрерывное сгорание угольных
электродов требовало создания специальных часовых механизмов
для безостановочного сближения углей. В свече Яблочкова,
изображенной на рис. 2.64, это затруднение преодолено исклю-
исключительно простым и остроумным способом. Угольные электроды
расположены параллельно друг другу и отделены легко пла-
плавящейся каолиновой прокладкой. Дуга, образующаяся между кон-
концами угольных стержней, по мере сгорания их выплавляет каоли-
каолиновую прокладку и обнажает следующий слой угля. Свеча Яблоч-
Яблочкова явилась первым электрическим источником света. В дальнейшем
ее вытеснила лампа накаливания. Однако в наиболее мощных
прожекторах в качестве источника света по-прежнему служит
электрическая дуга.

§ 27]
ПРОВОЙ ДИЭЛЕКТРИКОВ
169
Рис. 2.65
§ 27. Пробой диэлектриков
В обычных условиях твердые неметаллические тела являются
хорошими изоляторами, не проводят электрического тока и при
внесении в электрическое поле проявляют только диэлектрические
свойства — поляризуются. Так же как в чистых воде или воздухе,
в них практически нет свободных зарядов. Свободные ионы и
электроны возникают в твердых диэ-
диэлектриках лишь под действием внеш-
внешних источников, в частности, при
нагревании.
В ионных кристаллах типа NaCl
в узлах кристаллической решетки
расположены попеременно положи-
положительные и отрицательные ионы (на-
(например, Na+ и С1~ на рис. 2.65).
Однако эти ионы не являются сво-
свободными и лишь колеблются около
своих положений равновесия с ампли-
амплитудами, которые возрастают с повы-
повышением температуры. Вследствие хао-
хаотичности теплового движения ампли-
амплитуды колебаний ионов различны и по-
постоянно изменяются по величине. Время от времени тот или иной
из ионов (например, средний из ионов Na+ на рис. 2.65) случайно
приобретает от своих соседей очень большую кинетическую энер-
энергию, превышающую его энергию связи, и срывается из положения
равновесия, уходя в пространство между узлами кристаллической
решетки. В междоузлиях ион связан значительно слабее и может
перемещаться далее вдоль решетки. Оставшийся пустым узел обра-
образует «дырку», в которой не хватает положительного заряда, и,
значит, эта дырка как бы заряжена отрицательно. Аналогичная
«дырка», но уже положительная, образуется в узле при уходе из
него иона С1~.
На освободившееся место в узле может перескочить соседний
положительный ион, и тем самым дырка переместится иа один «шаг»
вдоль решетки. Возможные перемещения ионов в междоузловом
пространстве показаны на рис. 2.65 стрелками. Ионы и дырки
диффундируют в кристалле до тех пор, пока при встрече иона
с соответствующей дыркой они не рекомбинируют. Этот случай
показан на том же рис. 2.65 справа. В результате этих противо-
противоположных процессов — срыва ионов из своих положений равновесия
и рекомбинации их с дырками—в кристалле устанавливается равно-
равновесие. Как показал Я. И. Френкель, равновесная концентрация

170 Ч. П. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. VI
сорванных ионов и дырок выражается формулой *)
п+ = п_=пйе~'ьт^ B7.1)
где е+ — энергия срыва иона из положения равновесия в межДо-
узловое пространство. Эти концентрации равны нулю при абсолют-
абсолютном нуле (e~w—»-0) и очень резко возрастают с повышением тем-
температуры.
Если приложить к кристаллу внешнее электрическое поле, то
возникает направленное движение сорванных со своих нормальных
мест «свободных» положительных ионов по полю и свободных отри-
отрицательных дырок против поля. Аналогично будут вести себя и воз-
возникающие в кристалле свободные отрицательные ионы к соответ-
соответствующие им положительные дырки (рис. 2.65, внизу). В результате
всех этих процессов через кристалл пойдет слабый электрический
ток. Аналогично B4.10) и B4.12) плотность этого тока будет выра-
выражаться формулой
J=2nAe*|E, B7.2)
и электропроводность кристалла будет равна
Y = 2W*i- B7.3)
Здесь ni — концентрации, zi — валентности и ki — подвижности всех
имеющихся в кристалле «свободных» зарядов — сорванных ионов
разного знака и соответствующих дырок. Следует отметить, что
передвижение дырки в кристалле есть на самом деле последова-
последовательное перемещение ионов, перескакивающих на ее место. Таким
образом, прохождение электрического тока в ионных кристаллах
связано с переносом ионов, составляющих кристалл, и представляет
своеобразный электролиз в твердой фазе. Доходя до электродов
и разряжаясь, ионы превращаются в нейтральные атомы, выделяю-
выделяющиеся на электродах. И действительно, точные опыты, проведен-
проведенные при длительном пропускании тока через ионные кристаллы,
подтвердили приложимость законов Фарадея B4.17) к этому
случаю.
В случае неионных кристаллов носители электрического тока
имеют несколько иную природу. Тепловое движение ионизует от-
отдельные нейтральные атомы или молекулы и вырывает из них
электроны. Последние движутся вдоль решетки. Образовавшиеся
*) Эта формула выводится из общих статистических соображений
и является частным случаем распределения Больцмана (см. том I, фор-
формула B1.14)).

§ 27]
ПРОБОЙ ДИЭЛЕКТРИКОВ
171
при их отрыве положительные дырки также перемещаются вдоль
кристалла за счет перескока на их место электронов с соседних
атомов или молекул (рис. 2.66). При встрече свободные электроны
и дырки рекомбинируют, и их равновесная концентрация опреде-
определяется формулой, аналогичной B7.1). Соответственно и в этом
случае будут справедливы закон Ома B7.2) и выражение для
электропроводности B7.3).
Поскольку концентрации свободных зарядов ni и их подвиж-
подвижности kj в твердых диэлектриках резко возрастают с темпе-
температурой, то удельное сопротивление ди-
диэлектрика
B7.4)
очень резко убывает с температурой.
На рис. 2.67 сопоставлены зависимости j
удельного сопротивления металлов и
диэлектриков от температуры. Масштабы
на этом рисунке несколько искажены,
так как еДИЭл обычно в 1010—1015 раз
больше, чем днвт. Сопротивление метал-
металлов мало и в соответствии с A5.10) мед-
медленно линейно растет с температурой; в
противоположность этому, сопротив-
сопротивление изоляторов велико и круто, экспо-
экспоненциально падает с температурой.
Последнее обстоятельство обусловливает возможность так называ-
называемого теплового пробоя диэлектриков, теория которого бы-
была разработана Н. Н. Семеновым и В. А. Фоком.
Рис. 2.67.

172
Ч. И. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. vi
Пусть к изолятору приложена некоторая разность потенциа-
потенциалов U. Благодаря малой концентрации носителей тока сопротив-
сопротивление изолятора Ra при начальной температуре То очень велико
и -..-.. —. ~
деляет в диэлектрике тепло
через изолятор идет очень слабый ток Ia=(JjRl). Этот ток вы-
B7.5)
и разогревает диэлектрик до некоторой температуры Т> Та. При
этой температуре сопротивление изолятора RT уменьшается, ток
через него I=UjRT возрастает и увеличивается выделяемая мощ-
мощность
Сг = -ё-. B7.6)
В результате изолятор нагревается еще сильнее, еще более воз-
возрастает идущий через него ток и выделяющееся тепло и т. д.
Процессу прогрессирующего саморазогрева и увеличения тока
препятствует теплоотдача от нагретого изолятора в окружающую
среду. Скорость теплоотдачи Q~
пропорциональна разности темпера-
температур между изолятором и окружаю-
U$ щей средой, т. е.
Q- = а (Г—Г,). B7.7)
* На рис. 2.68 изображена пря-
прямая теплоотдачи B7.7) и кривые
скорости тепловыделения B7.6)
при различных приложенных на-
напряжениях 1/1<.иг<С Ub. При низ-
низком напряжении ?/, линии B7.6)
и B7.7) пересекаются в точке А
при температуре 71,, близкой
к начальной. Через диэлектрик
идет слабый ток, и он слегка ра-
разогревается до тех пор, пока
скорость теплоотдачи (Q") не срав-
сравняется со скоростью теплоприхода (Q+), после чего дальнейшее
повышение температуры прекращается. При высоком напряжении Ut
по мере разогрева теплоприход растет с температурой быстрее,
чем теплоотвод, и устойчивое равновесие становится невозможным.
Спустя короткое время после приложения напряжения температура
в центре диэлектрика повышается настолько, что он проплавляется,
Рис. 2.68.

§ 281
ПОЛУПРОВОДНИКИ
173
возникает хорошо проводящий канал между электродами (рис. 2.69),
через который проходит очень большой ток. Напряженность поля,
при которой наступает пробой диэлектрика, называется пробив-
пробивным напряжением. Величину пробивного напряжения Ut можно
найти из графика рис. 2.68 по условию касания
кривых теплоприхода и теплоотдачи.
Для типовых изоляционных материалов, приме-
применяемых в технике, пробивные напряжения имеют
порядок сотен кв/см. Для фарфора Eafo6 да 90 —
120 кв/см, для стекла Евро6«300 кв/см, для
слюды ?Про6» 500 кв/см. Тепловой пробой имеет
место и в таких жидких диэлектриках, как керо-
керосин или трансформаторное масло. Благодаря
текучести жидкости в этом случае пробоя не
остается проплавленного канала, как в твердых
изоляторах.
При низких температурах и хорошем 1еплоот-
воде тепловой пробой твердых диэлектриков за-
затруднен. В этом случае пробой наступает лишь Рис. 2.69.
в очень сильных электрических полях, порядка
10* —104 кв(см, и носит чисто электрический характер (ударная
ионизация электронами, срыв ионов из узлов решетки полем и т. п.).
§ 28. Полупроводники
Высокая концентрация свободных электронов в металлах обу-
обусловливает их хорошую проводимость и низкое удельное сопро-
сопротивление QMeT«10~e—10~* ом-м. В типичных изоляторах кон-
концентрация свободных зарядов ничтожно мала и удельное сопро-
сопротивление достигает величин порядка евзол^Ю"—101вол« м.
За последние десятилетия привлекли внимание физиков и все шире
внедряются в технику вещества с промежуточными свойствами —
так называемые полупроводники, имеющие удельное сопро-
сопротивление ПОрЯДКа (?полупров~1°~г—W" ОМ'М.
Необычайная чувствительность электропроводности полупровод-
полупроводников к ничтожным концентрациям различных примесей затрудня-
затрудняла исследование их свойств и потребовала разработки новой тех-
технологии изготовления веществ исключительно высокой чистоты.
С другой стороны, строго дозированная добавка малых количеств
примесей позволяет изготавливать полупроводники с практически
любыми наперед заданными свойствами. Добавляй разные примеси
в различные участки одного и того же кристалла, оказалось воз-
возможным получать полупроводники с внутренними контактными по-
потенциалами на границах этих участков, обусловливающими одно-
одностороннюю проводимость подобных контактов. Так были созданы

174 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. VI
полупроводниковые выпрямители и усилители, обладающие целым
рядом преимуществ по сравнению с электронными лампами (ма-
(малые габариты, ничтожная потребляемая мощность, прочность и
долговечность).
Для понимания особенностей полупроводников, резкого раз-
различия свойств диэлектриков, полупроводников и металлов необхо-
необходимо детальнее, чем это было сделано в § 21, разобраться в ме-
механизме возникновения зон, их возможных структурах и возможных
поведениях электронов в этих зонах.
При объединении атомов вещества в кристалл валентные элек-
электроны коллективизируются, образуя единую систему. Электриче-
Электрическое поле образовавшейся ионной решетки периодично, как и по-
положения ионов в ней. Как показывает теоретический анализ, от-
отдельные электроны движутся в строго периодическом поле пример-
примерно так же, как движутся свободные электроны, т. е. сохраняя
неизменной свою скорость (как уже указывалось, сопротивление
проводника обусловливается нарушениями периодичности решетки,
вызываемыми, в частности, тепловыми колебаниями ионов; о дру-
другой особенности движения электрона в периодическом поле, при-
приводящей к необходимости введения понятия «эффективной массы»,
будет сказано дальше). Энергетически возможные состояния элект-
электронов образуют разрешенные зоны, отделенные друг от дру-
друга запрещенными зонами, охватывающими состояния, которые в дан-
данных условиях невозможны.
Напомним, что электроны подчиняются принципу Паули, так что
каждое возможное состояние либо вакантно, либо занято одним и
только одним электроном.
При коллективизации валентных электронов могут иметь место
различные случаи:
1. В верхней из зон, в которой электроны имеются, все
уровни заняты. Ширина А? запрещенной зоны, расположен-
расположенной над этой занятой зоной, велика по сравнению с kT (рис. 2.70, а):
>&
В этом случае изменение состояний электронов при относи-
относительно малых воздействиях на ник невозможно: свободные разре-
разрешенные состояния слишком далеки. Под действием не слишком силь-
сильного электрического поля ток не возникнет. Это — диэлектрик.
2. В верхней зоне занята лишь часть уровней, при обычных
температурах — нижняя. Электроны, расположенные вблизи вакант-
вакантных уровней, могут легко переходить на них. Вещество прово-
проводит электрический ток. Это — металл.
Частично заполненная верхняя зона может образовываться
в двух случаях *).
*) Подробнее об этом см. т. III, конец гл. XV,

§ 28]
ПОЛУПРОВОДНИКИ
175
В простейшем случае число электронов, входящих в верхнюю
зону, меньше числа уровней в ней. Это имеет место, например,
для одновалентных металлов, у которых число возможных уровней
ровно вдвое больше числа заполняющих эти уровни электронов
(рис. 2.70, б). Совершенно иная картина имеет место для таких метал-
металлов, как кальций, кадмий, цинк. Подсчет показывает, что у этих ме-
металлов число электронов,
образующих верхнюю зону,
в точности равно числу
уровней в ней. Однако
у этих веществ верхняя
граница заполненной зоны
оказывается выше нижней
границы следующей за ней
разрешенной зоны. Щели
между заполненными и ва-
вакантными разрешенными со-
состояниями нет; более того,
зоны частично перекрыва-
перекрываются. Проводимость воз-
возможна, это — металлы
с перекрывающими-
перекрывающимися зонами. На рис.
2.70,в уровни «вакантной
зоны», перекрывающиеся
с уровнями заполненной,
показаны слева от оси Е.
Об особенностях проводи-
проводимости в этих случаях будет
сказано дальше.
3. Та же картина уров-
уровней, что и в диэлектрике, а) 6)
но при узкой запрещен- Рис. 2.70.
ной зоне. Это — полу-
полупроводник. Так, для
ЛЕ
I
как германий, Д Е—1,2-10~12 эрг (при Г=0°К),
таких типичных полупроводников,
эрг (при г=0°К), кремния —
Д ?== 1,9¦ 10~1г эрг (также Г=0°К). Эти величины превышают
kT (при 71~^-300°К) в несколько десятков раз.
При такой ширине запрещенной зоны уже при комнатной тем-
температуре некоторое, относительно очень небольшое число элект-
электронов переходит из заполненной зоны на уровни верхней, вакант-
вакантной. В этих условиях полупроводник уже будет проводить элект-
электрический ток. Естественно, что число электронов, носителей тока,
очень заметно зависит от температуры вещества, резко возрастал
с ростом Т.

176
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. vi
Свет
Рис. 2.71.
В металлах концентрация свободных электронов практически
постоянна, а их подвижность падает с ростом температуры, так
что электрическое сопротивление металлов при этом медленно по-
повышается (см. §§ 15 и 21). В полупроводниках же рост темпера-
температуры сопровождается быстрым увеличением числа электронов в
верхней зоне и, следовательно, сильным уменьшением электричес-
электрического сопротивления, аналогичным случаю диэлектриков (см. § 27
и рис. 2 67).
Сравнительно невысокое (по отношению к диэлектрикам) элек-
электрическое сопротивление полупроводников позволяет включать их
в электрическую цепь и использовать в качестве термосопротивле-
термосопротивлений в различных управляющих реле
и для создания весьма чувствитель-
чувствительных и малоинерционных электри-
электрических термометров. Определение
температуры при этом сводится
к измерению электрического сопро-
сопротивления маленького кристалла
полупроводника (или тока в цепи).
Линейные размеры применяемых
кристаллов составляют доли милли-
миллиметра, масса, а значит, и тепло-
теплоемкость кристалла малы, и поэтому
его температура весьма быстро сравнивается с температурой изме-
измеряемой среды. Точность таких измерений, достигающая тысячных
долей градуса, обусловлена тем, что у некоторых полупроводников
изменение температуры на 1°С приводит к изменению электриче-
электрического сопротивления на 2—3%, и, следовательно, ничтожное измене-
изменение температуры приводит к измеримому изменению сопротивления.
Благодаря сравнительно небольшой величине энергии А?, необ-
необходимой для выбрасывания электрона в зону проводимости, сопро-
сопротивление ряда полупроводников чувствительно к освещению види-
видимым светом. Если, как показано на рис. 2.71, направить свет на
один конец полупроводника, то выброшенные светом в зону про-
проводимости электроны будут диффундировать через весь кристалл,
и произойдет уменьшение удельного сопротивления во всех точках
полупроводника, а не только в том конце, который был освещен.
Включая в цепь последовательно батарею и гальванометр, мы ус-
установим резкое возрастание тока в цепи при освещении полупро-
полупроводника. Подобные фотосопротивления, электрическое со-
сопротивление которых зависит от их освещенности, теперь приме-
применяются в качестве фотореле в различных схемах автоматического
управления.
Существенным отличием от металлов, предопределяющим совер-
совершенно исключительные возможности технического использования

§ 28]
ПОЛУПРОВОДНИКИ
177
полупроводников, является двойственная природа носителей
заряда в полупроводниках. Выбрасывание электрона из валентной
зоны в зону проводимости означает не только появление электрона,
способного реализовать прохождение тока в веществе. Такой пе-
переход означает также появление дырки в ранее заполненной зоне,
т. е. вакантного места, на которое могут теперь переходить другие
электроны заполненной зоны. Недостаток в данном месте одного
элементарного электрического заряда эквивалентен наличию равного
Зона
электронной
проводимости
Запрещенная
зона
Заполненная
зона,
или зона
дирочной
лродвдилюсти
Рис. 2 72
по величине избыточного положительного заряда. При возникнове-
возникновении электрического поля в движение придут не только отрицательно
заряженные электроны зоны проводимости, но и дырки, которые
начнут перемещаться, как положительно заряженные частицы. Элек-
Электроны будут испытывать ускорение против поля, дырки—по полю.
В результате ток будет обеспечиваться движением как электронов
проводимости, так и дырок. Эти токи называются соответственно
электронным и дырочным.
На рисунке 2 72, а показан механизм возникновения проводимости
в полупроводнике. За счет энергии теплового движения ионной
решетки или энергии поглощенного излучения некоторое число элек-
электронов преодолевает запрещенную зону, переходя из заполненной
зоны в верхнюю разрешенную (пунктирные стрелки). Эти электроны
могут реализовать обычный для металлов электронный ток прово-
проводимости. Вот почему верхняя зона называется зоной элект-
электронной проводимости.
В нижней зоне, которая была прежде полностью укомплектова-
укомплектована (все состояния были заняты), теперь появились незанятые состо-
состояния — дырки, число которых в точности равно числу электронов,

178 ч. п. электрический ток [гл. vi
перешедших в верхнюю зону. Наличие дырок — вакантных состо-
состояний означает для других электронов зоны возможность менять
свое состояние, в конечном итоге — участвовать в механизме про-
проводимости. В соответствии с этим рассматриваемую зону можно
назвать зоной дырочной проводимости. Механизм дыроч-
дырочной проводимости столь существен, что нам хотелось бы, чтобы
читатель ясно представил себе его природу.
Мы говорили уже о том, что отсутствие отрицательного заряда —
дырку — можно формально описать как наличие добавочного по-
положительного заряда. Очевидно, однако, что движение дырки есть
результат коллективного движения электронов зоны дырочной про-
проводимости. Приведем простой механический
пример.
Заменим в сосуде с водой каплю воды,
поднятую вверх пузырьком воздуха (рис. 2.73).
Пузырек воздуха это «дырка» в распределении
капель воды ниже уровня поверхности жидкости.
В поле тяжести все капельки жидкости испы-
испытывают силу, направленную вниз. В рассмат-
рассматриваемом случае движение вниз (по полю)
реализуется в результате действия двух меха-
Рис. 2.73. низмов. Поднятая над поверхностью жидкости
капелька падает вниз (по полю!). Пузырек воз-
воздуха в жидкости движется вверх (против поля1). Но совершенно оче-
очевидно, чго движение пузырька вверх есть не что иное, как результат
коллективного движения капель жидкости вниз. Оба механизма
приводят к движению капель жидкести вниз. Но второй механизм
выглядит как движение пузырька, который может быть опи-
описан как особая капля, обладающая отрицательной массой — дви-
движущаяся против поля тяжести. Модель, конечно, груба, но должна
помочь воображению. Наличие вакансий в почти полностью запол-
заполненной зоне позволяет электронам этой зоны менять свои состояния,
приобрести некоторую «подвижность». При этом одни вакантные
состояния замещаются, другие—освобождаются: происходит пере-
перемещение дырки, которая может быть описана как квазичастица
с зарядом, обратным заряду электрона.
Время жизни носителей тока в полупроводниках—электронов и
дырок ограничено. Из зоны электронной проводимости электроны
могут возвращаться на вакантные уровни нижней зоны (переходы,
обратные по отношению к показанным на рис. 2.70, а). Такая ре-
рекомбинация электрона и дырки приводит к исчезновению обоих но-
носителей тока. Среднее время жизни свободных носителей тока за-
зависит от многих причин. При данных условиях постоянная концент-
концентрация носителей есть результат динамического равновесия: число
образующихся пар носителей равно числу рекомбинирующих пар.

§ 28} полупроводники 179
Ранее указывалось, что перемещение электрона в периодическом
поле решетки напоминает движение свободного электрона. Одно
из существенных отличий состоит в следующем. При движении сво-
свободного электрона его ускорение равно силе, деленной на массу.
Взаимодействие электрона с решеткой приводит к тому, что от-
отношения между силой и ускорением электрона меняются. Эффект
можно описать, считая, что масса электрона равна некоторой
«эффективной» массе. К сожалению, даже для данного вещества
нельзя точно ввести определенную эффективную массу электрона:
эта формально вводимая величина зависит не только от структуры
решетки, но и от кинетической энергии электрона. Этим, когда воз-
возможно, пренебрегают, вводя в рассмотрение среднее значение эф-
эффективной массы. Для германия эта величина составляет примерно
ljx от истинной массы электрона. Дырке также сопоставляется эф-
эффективная масса, которая, как и для электрона, может меняться в
широких пределах. Дырку можно также рассматривать как элект-
электрон с отрицательной эффективной массой.
Важной характеристикой электронов и дырок, как носите-
носителей тока, является их подвижность (см. также § 24) — сред-
средняя скорость перемещения, или скорость дрейфа, в электрическом
поле с единичной напряженностью (один вольт на метр). Эта вели-
величина составляет для электронов и дырок в германии соответственно
0,38 и 0,18 м?\в-сек. Для кремния соответственно 0,13 и
0,05 мг\в-сек.
До сих пор мы рассматривали полупроводники, образованные
одинаковыми атомами. Эти чистые полупроводники обладают, как
мы видели, всегда равным числом электронов в зоне электронной
проводимости и дырок. Обычно эти полупроводники называются
полупроводниками с собственной проводимостью или
собственными полупроводниками.
Особую роль в физике и технике играют, однако, так назы-
называемые примесные полупроводники. Ничтожные коли-
количества примесей резко меняют электрические свойства полупровод-
полупроводников. При этом примесью обычно для краткости называют не
только наличие атомов других элементов, нарушающих правиль-
правильность кристаллической решетки, но и любые ее нарушения: нали-
наличие атома того же элемента, находящегося не в узле, а в междоуз-
междоузлии решетки, либо отсутстие атома в узле. В дальнейшем для оп-
определенности мы будем рассматривать нарушения решетки, обус-
обусловленные наличием реальных примесей—атомов других элементов.
Наличие примесных атомов сказывается на поведении полупро-
полупроводника двояко. Если, например, в кристаллической решетке чисто-
чистого четырехвалентного полупроводника германия один из атомов
заместить атомом пятивалентной сурьмы, то последний легко от-
отдаст лишний пятый электрон. В той же решетке атом трехвалент-

180
Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
[гл. vi
ного индия, заместивший один из атомов германия, будет стре-
стремиться присоединить к себе четвертый электрон.
Примеси, отдающие электроны, называются донорными;
примеси, стремящиеся присоединить к себе электроны, — а кцеп т ор-
ными. Таким образом, атомы сурьмы в кристаллической решетке
германия являются донорами, атомы индия — акцепторами.
Следующим весьма важным обстоятельством является тот факт,
что наличие любых примесей с различной энергией связи валент-
валентных электронов (в том числе и про-
простых искажений решетки) ведет
к появлению отдельных разрешен-
разрешенных уровней в запрещенной зоне.
Новые разрешенные уровни доноров
и акцепторов могут располагаться
в различных участках запрещенной
зоны. Особенно резко меняются свой-
свойства полупроводника, если новые
донорные уровни оказываются вбли-
вблизи зоны проводимости (рис. 2. 72, б),
либо акцепторные уровни—вблизи
заполненной зоны (рис. 2.72, в). Рас-
Рассмотрим оба этих весьма важных
случая в отдельности.
Рис. 2.74.
При донорных уровнях вблизи зоны электронной проводимости
она обогащается электронами за счет атомов донора. Эти электроны
обеспечивают хорошую электронную проводимость полупроводника.
В то же время дырочная проводимость будет практически отсутст-
отсутствовать. Атом донора, отдав лишний (в Структуре решетки) элект-

§ 28] полупроводники 181
рон, становится положительным ионом. Но этот последний не спо-
способен перемещаться и не может участвовать в проводимости. Бо-
Более того, дырочная проводимость, которая имела бы место при от-
отсутствии доноров, снизится, поскольку избыточные электроны будут
частично рекомбннировать с дырками, уменьшая тем самым их число.
Таким образом, при наличии донорной примеси, которой отве-
отвечают добавочные разрешенные уровни вблизи зоны проводимости,
полупроводник приобретает в основном электронную проводимость.
Рассмотрим конкретный пример. На рис. 2.74, а изображена
плоская схема кристалла германия. Германий четырехвалентен. Это
значит, что во внешней оболочке его атомов имеются четыре сла-
слабо связанных электрона, которые осуществляют связь между данным
и соседними атомами. На схеме эти связи показаны пунктир-
пунктирными стрелками.
Заместим теперь один из атомов германия каким-нибудь пяти-
пятивалентным атомом (сурьма, мышьяк). Из пяти электронов внешней
оболочки атома примеси четыре будут вести себя, как электроны
атома германия. Пятый же электрон окажется свободным. Таким
образом, атом примеси превратится в положительный ион
(рис. 2.74, б). При отсутствии добавочных взаимодействий свобод-
свободный электрон будет удерживаться вблизи положительного иона.
Однако их связь будет слаба, и под действием уже небольшого
поля этот электрон сможет перемещаться против него, участвуя
тем самым в электронной проводимости кристалла.
Во втором из рассматриваемых случаев картина оказывается
обратной. На расположенные вблизи занятой зоны уровни акцеп-
акцепторов переходят электроны из заполненной зоны. Эти электроны,
присоединившись к атомам акцептора, превращают их в отрица-
отрицательные ионы. Таким образом, в этом случае «примерзают» к своим
местам отрицательные заряды, не способные теперь участвовать
в механизме проводимости тока. Но зато в заполненной зоне после
перехода части электронов на акцепторные уровни остаются дырки.
Ток в полупроводнике будет осуществляться главным образом за
счет передвижения этих дырок. Таким образом, при наличии акцеп-
акцепторных уровней вблизи занятой зоны полупроводник обладает
в основном дырочной проводимостью.
Пусть, например, в рассмотренную выше решетку германия вве-
введены атомы трехвалентного индия (рис. 2.74, в), во внешней обо-
оболочке которых имеются три электрона. Вследствие структуры
решетки, атом индия должен будет стремиться к захвату еще
одного электрона, которым может быть один из свободных элек-
электронов (по принятой выше терминологии — электрон из зоны элек-
электронной проводимости). Таким образом, электроны, которые при
отсутствии примеси были бы свободны, «оседают» на атомах акцеп-
акцептора и подвижностью будут обладать главным образом дырки.

182 ч. и. электрический ток [гл. vi
В зависимости от механизма проводимости мы будем называть
такие полупроводники электронными или дырочными и обозначать
соответственно буквами п (от слова «negativ», что означает отри-
отрицательный знак подвижного заряда) или р (от слова «positiv»—по-
«positiv»—положительный).
В § 36 (пример 3) описан эффект Холла, с помощью которого
можно определить экспериментально знак электрического заряда
носителей в проводнике.
Относительное количество свободных электронов и дырок в соб-
собственном полупроводнике при любых реальных условиях весьма
мало. Отсюда следует, что ничтожные примеси доноров или акцепто-
акцепторов (порядка миллионных долей) весьма сильно меняют электри-
электрические свойства полупроводников. Поэтому дозировка примесей
при изготовлении полупроводников имеет решающее значение. Есте-
Естественно, что дозировке должно предшествовать изготовление иде-
идеально чистых, лишенных примесей полупроводников. Обычными
химическими методами достижение необходимой степени чистоты
вещее iBa невозможно. В настоящее время с помощью ряда физи-
физических методов достигают такой степени чистоты, что атом при-
примеси приходится на Ю15 и даже 10'" атомов полупроводника.
Описание этих методов выходит за рамки нашего учебника.
Однако и при наличии активных примесей количество свободных
носителей заряда в полупроводниках много меньше (в 10"—105 раз),
чем в металлах. Поэтому электрическое сопротивление полупровод-
полупроводников значительно выше, чем металлов.
Перейдем теперь к рассмотрению свойств контактов полупровод-
полупроводников с различными механизмами проводимости, т. е. п- и р-полу-
проводникоа. Выше, в § 22, мы рассмотрели явления, происходя-
происходящие при контакте двух металлов. Различие в верхней границе
энергии электронов в металлах приводило к их перераспределе-
перераспределению. При контакте происходил переход части электронов из одного
металла в другой; потенциалы металлов менялись так, что верхний
уровень энергии электронов оказывался одинаковым в обоих метал-
металлах. При этом существенно, что из-за высокой концентрации
электронов необходимый скачок потенциала (контактная раз-
разность потенциалов) обеспечивается переходом малой части элект-
электронов через тончайший поверхностный слой соприкасающихся
металлов.
В полупроводниках концентрация свободных зарядов мала; воз-
возникающие в месте контакта поля проникают в полупроводники на
значительную глубину (до 10 см, т. е. в десятки раз большую,
чем в металлах) и существенным образом перераспределяют сво-
свободные носители заряда в области контакта. Рассмотрим практи-
практически важный случай, когда контактный потенциал дырочного
полупроводника выше, чем электронного. Это как раз имеет место

§ 28]
ПОЛУПРОВОДНИКИ
183
в случае контакта примесных полупроводников германий-(-индий
(р-кристалл) и германий-)-мышьяк или сурьма (п-кристалл).
Область контакта окажется обедненной подвижными зарядами,
например, в силу взаимного уничтожения встречающихся электро-
электронов и дырок. В области контакта в n-кристалле останутся ионы
атомов донора, заряженные положительно, а в р-кристалле — ионы
атомов акцептора, заряженные отрицательно. Эти объемные заряды
ионов создадут поле, скачок потенциала которого показан условно
батареей, нарисованной пунктиром (рис. 2.75). Поле в области кон-
контакта препятствует диффузии в нее
с одной стороны подвижных дырок,
а с другой — электронов.
Присоединим теперь к этому
кристаллу стороннюю э. д. с. так,
как это показано на рис. 2.76, а:
минус — к n-кристаллу и плюс —
Q,
Рис. 2.75.
Рис. 2.76.
к р-кристаллу. Внешнее поле будет уменьшать поле, созданное в
области контакта, т. е. облегчит передвижение свободных носителей
заряда в этой области. Ток через кристалл будет сравнительно
большим. Переменим теперь полюсы внешней э. д. с. (рис. 2.76, б).
В этом случае внешнее поле в области контакта действует так же,
как и внутреннее, т. е. обедняет ее подвижными носителями заряда.
Сопротивление этой области сильно возрастает, ток проводимости
резко уменьшается. При данном напряжении внешнего источника
э. д. с. прямой ток в десятки и сотни раз превышает обрат-
обратный ток.
Приложим к нашему кристаллу с п — р-переходом переменную
разность потенциалов U, меняющуюся со временем t по сину-
синусоидальному закону (рис. 2.77, а). Тогда в течение положитель-
положительного полупериода, когда напряжение достигает максимальней вели-
величины + ^макс, в иепи будет идти сильный ток с наибольшим зна-
значением /макс

184 Ч. II. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК [ГЛ. VI
В отрицательном же полупериоде при ?/=—UMaKC имеем
/=— /мин, где /мнн <^/макс B8.1)
В результате в цепи пойдет почти выпрямленный ток, как показано
на рис. 2.77, б, и полупроводник будет служить выпрямителем анало-
аналогично диоду (см. § 23).
При наличии контакта полупроводников различного типа друг с
другом или с проводником в цепи возникают такие же термоэлек-
термоэлектрические явления, как и при
контакте различных металлов
(см. § 22). Однако порядок
величины этих эффектов в
полупроводниках значительно
выше. Дело в том, что в полу-
полупроводнике движущийся элект-
электрон переносит и может пере-
передавать ионам решетки не толь-
только энергию своего теплового
движения, имеющую порядок
kT, но и во много раз боль-
большую энергию «диссоциации»
Рис. 2.77 Ае, которая может выделиться
при рекомбинации его с дыр-
дыркой. Поэтому коэффициент пропорциональности р\ между потоком
тепла и током зарядов в полупроводниках значительно выше,
чем в металлах. Отсюда вытекает, что коэффициенты Пельтье
ПI, = р1—§, и термоэдс ех,г — -?- У полупроводников значительно
больше, чем у металлов.
Полупроводниковые термоэлементы обладают в сотни раз брль-
шей чувствительностью, чем металлические термопары, и значительно
большим к. п. д. преобразования тепловой энергии в электрическую.
Составленные из них термобатареи могут стать весьма удобной
«машиной» для получения электричества за счет тепла, машиной,
отличающейся от других полным отсутствием движущихся частей.
Например, небольшие полупроводниковые термогенераторы, изго-
изготовленные в виде абажуров, дают за счет тепла керосиновой лам-
лампы ток для питания лампового радиоприемника.
В СССР впервые в мире построен электрический генератор
«Ромашка», который с помощью термоэлементов непосредственно
превращает тепло, выделяемое при реакции деления атомных ядер
(«атомную энергию»—см. т. III, ч. III) в электрическую энергию.
Особенно широкие перспективы применения полупроводников в
радиотехнике возникли после создания полупроводниковых усилите-
усилителей (транзисторов). Для уяснения принципа работы транзисторов

§ 28]
ПОЛУПРОВОДНИКИ
185
представим себе германиевый кристалл с двумя внутренними пе-
переходами р — п — р-типа. На рис. 2.78 изображена принципиальная
схема получения такого кристалла. На пластинку германия п-типа
помещают с двух сторон кусочки индия и нагревают до расплав-
расплавления последнего. При этом атомы индия диффундируют внутрь
пластинки, создавая с обеих ее сторон" области с проводимостью
р-типа. Центральная часть полученного кристалла называется о с-
нованием или базой транзистора.
Включим между основанием и обоими участками р-типа две
батареи в противоположных направлениях, как это показано на
Рис. 2.78.
Рис. 2.79.
рис. 2.79. Левая батарея включена в пропускном направлении
р—n-перехода, и от эмиттера к базе идет ток /, при сравни-
сравнительно низком сопротивлении гп. Правая батарея включена в за-
запорном направлении п—р-перехода, и от базы к коллектору
идет ток /к при высоком сопротивлении переходного участка
Увеличим теперь ток эмиттера на некоторую величину Д/9.
При этом из эмиттера в базу будет поступать дополнительное ко-
количество дырок. Диффундируя к коллектору, эти дырки подхва-
подхватываются полем батареи коллектора, и ток в цепи коллектора уве-
увеличивается на некоторую величину А/к, по порядку величины близ-
близкую к А/9. Изменения токов связаны с изменением напряжений по
закону Ома; отношение
называется к о эффици е нтом усиления транзистора по
напряжению. Как видно из B8.2), этот коэффициент может
быть достаточно большим, и, следовательно, небольшие изменения

186 Ч. II. ЭЛЬКТРИЧ!:СКИЙ ТОК [ГЛ. VI
напряжения в цепи эмиттера Д?/8 смогут вызывать большие изме-
изменения напряжения AUK в цепи коллектора, аналогично тому, как
это происходит в триоде (см. § 23). Роль управляющей сетки в
данном случае играет левый электрод—эмиттер.
По сравнению с электронными лампами кристаллические полу-
полупроводниковые выпрямители и усилители имеют ряд преимуществ.
Они малогабаритны, не имеют хрупких стеклянных частей и не
нуждаются в затрате электрической энергии на нагрев катода. Они
всегда готовы к работе, в отличие от электронных ламп, у кото-
которых предварительный разогрев требует нескольких минут. Не-
Недостатком транзисторов является сильная температурная зависимость
их электрических характеристик. При перегреве полупроводника в
нем возникает столь большое количество носителей электрического
тока (электронов и дырок), что полупроводник становится про-
проводником и теряет свои ценные свойства.

ЧАСТЬ III
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ГЛАВА VII
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ
§ 29. Развитие представлений о природе магнетизма
Магнитные свойства постоянных магнитов, их способность при-
притягивать железные предметы были известны еще древним грекам.
Земля также является магнитом, и явления земного магнетизма бы-
были использованы китайцами для создания компаса, т. е. свобод-
свободно вращающейся магнитной стрелки, указывающей ориентацию стран
света.
В пространстве, окружающем намагниченные тела, возникает
магнитное поле. Помещенная в это поле маленькая магнитная
стрелка устанавливается в каждой его точке вполне определенным
образом, указывая тем самым на-
направление поля Тот конец стрел-
стрелки, который в магнитном поле Земли
указывает на север, называется се-
северным, а противоположный конец—
южным. При отклонении стрелки
от направления магнитного поля на
стрелку действует механический
крутящий момент Мкр, пропорцио-
Ю
Рис. 3 1.
нальный синусу угла отклонения а
и стремящийся повернуть ее вдоль
указанного направления (рис. 3.1).
Как мы видим, взаимодействие
постоянных магнитов отличается от
взаимодействия электрических зарядов, но сходно с взаимодей-
взаимодействием электрических диполей, испытывающих в однородном элек-
электрическом поле результирующий м ом е н т сил, но не силу (гл. III,
§ 10). Подобно электрическому диполю, постоянный магнит в одно-
однородном магнитном поле стремится повернут'ься~Ъо полю, но не пе,-
ремёщаетсяТГ нем"!

188 ч. ш. электромагнетизм [гл. vii
Существенное отличие постоянных магнитов от электрических
диполей заключается в следующем. Электрический диполь всегда
состоит из зарядов, равных по величине и противоположных по
знаку. Эти заряды можно отделить друг от друга и расположить
на различных телах, например, разрезав диполь пополам по плос-
плоскости, перпендикулярной к оси диполя. Постоянный же магнит, бу-
будучи разрезан таким образом пополам, превращается, как показа-
показано на рис. 3.2, в два меньших магнита, каждый из которых имеет
и северный и южный полюсы. Никакое деление не дает возможности
получить отдельно источники северного и южного магнетизма—
Лагни_тные заряды. Причина этого состоит в том, что «магнитных
зарядов» (или, как иногда неточно
говорят, «магнитных масс») в при-
природе не существует.
Подводя итоги сведениям о маг-
магнетизме, накопленным к 1600 г.,
Гильберт высказал мнение, что, не-
несмотря на некоторое внешнее сход-
сходство, природа электрических и маг-
магнитных явлений различна. Все же
к середине XV11I века окрепло убеж-
Нис. д.г. дение о наличии тесной связи между
электрическими и магнитными явле-
явлениями. Однако природа этой связи тогда установлена быть
не могла из-за отсутствия достаточно мощных источников тока.
В 1820 г. Эрстед открыл явление отклонения магнитной стрел-
стрелки гальваническим током и тем самым сделал первый существен-
существенный шаг в выяснении Х?р^^ё^ПЕвя?и^;ГёТГтрй"ческих и магнТггных
явлений. Затем ГейЗТюссак и Араго наблюдали намагничение желе-
железа постоянным током, идущим в проводнике. Ампер обнаружил
притя-жение между проводами, по которым проходят параллельные
токи, и отталкивание между противоположно направленными тока-
токами. Им же была выдвинута гипотеза о том, что свойства постодн-
iiiiiL J!15?F ^iSE,"^?^1 ° в л е н ы цирк улТфующими в "их" толще постоянны-
ми кругбвыми""т'оками "(м о л е куля р н'ы~м~и"~токами). ™
Многочисленные последующие опыты показали, что магнитное
52^?_Й??Л?2_™*5?~.~ электрическим током. Электрический ток
порождает в пространстве вокруг себя магнитное поле, а проходя
в магнитном поле другого тока, испытывает со стороны последне-
последнего механические воздействия.
Поскольку электрический ток представляет собой поток движу-
движущихся заряженных частиц, то сказанное означает, что магнитное
поле порождается движущимися зарядами и что другие движу-
Щйе^'Ъа^ШыГптшпшают"в этом поле механические силы. Tfo-
коШциеся ГаТ5яда'"ТШ~аТшЩ11Гствуют по закону Кулона (Т.ТП). Это

§ 29]
РАЗВИТИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ МАГНЕТИЗМА
189
взаимодействие сохраняется и при любом движении зарядов. Но в
случае движения зарядов возникает дополнительное магнитное по-
поле, обусловливающее появление добавочного, магнитного взаимо-
взаимодействия.
Однако начинать изучение магнитного поля с рассмотрения
взаимодействия отдельных движущихся зарядов было бы слишком
сложно, Поле отдельно взятого движущегося заряда состоит из
электрического и магнитного полей, причем оба поля определяют-
определяются положением заряда в пространстве, а значит,— для движущего-
движущегося заряда — зависят от времени.
Значительно проще обстоит дело в случае электрических токов
в проводах. При прохождении постоянного тока в линейном про-
проводнике последний в целом остается нейтральным, так что элект-
электрическое поле вне проводников практически отсутствует, и мы имеем
возможность изучать магнитное поле в чистом виде. Кроме того,
это поле в случае постоянного тока не будет зависеть от
времени: каждый из движущихся в проводнике зарядов дает
свой переменный вклад в общее магнитное поле, но поток заря-
заряженных частиц в каждом участке проводника не меняется со
временем.
При этом, однако, возникает следующая трудность. Контур с
постоянным током всегда замкнут. Очевидно, что магнитное поле
контура с током зависит от его размеров и фо1>м'ьГ."~О1гэ?йх~~же
величин зависит и механическое воздействие, испытываемое
ом с током, помещенным во внешнее магнитное поле.
конту-
"элёктростатике "подобного рода трудность~~не имеет места;
любое распределение зарядов можно рассматривать как систему
точечных зарядов, взаимодействие кото-
которых легко может быть изучено. В случае
магнитного поля токов._,щ:ош—?делать_
не-л'ьзяТ~"реаш>но неосуществим беско-
иечно малый отрезок постоянного тока.
Для непосредственного измерения
механических воздействий в магнитном
поле пробный элементарный ток целе-
целесообразно выбрать не в виде отрезка про-
проводника с током, а в виде самостоятель-
самостоятельного замкнутого тока — плоской рамки Рис. 3.3.
площадью S, обтекаемой постоянным то-
током /. В качестве положительной нормали, или, для краткости,
просто нормали, к поверхности рамки выберем нормаль, связанную
с током / правилом правого винта. На рис. 3.3 изображена проб-
пробная рамка с током и единичный вектор нормали п. Как следует
из опыта, в однородном магнитном поле рамка с током не пере-
перемещается в пространстве, а лишь поворачивается, т. е. на нее

190
4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. vn
действует некоторый крутящий момент сил Мкр. Рамка находится
в равновесии (устойчивом), если направление ее нормали п совпа-
совпадает с направлением магнитной стрелки (от южного полюса к се-
северному), помещенной в то же место магнитного поля (см. рис. 3.4).
Магнитное поле будем характеризовать с помощью вектор а
МЛг н й~т н о й индукци"й"""В. Йа направление В в данной точке
примем в соответствии со сказанным выше направление вектора
нормали п к поверхности элементарного контура с током, устано-
установившегося в положении равновесия (устойчивого) в этой точке поля.
Как и в случае электрического поля, мы можем ввести для нагляд-
наглядности линии индукции магнитного поля. Эти линии, каса-
касательные к которым в каждой их точке совпадают ~<ЛГаправлениём
Рис. 3.4.
Рис. 3.5.
вектора магнитной индукции В в этой точке, изображены на том
же рис. 3.4.~"Т5 величине вектора магнитной индукции В мы
будем судить по величине крутящего момента, испы-
испытываемого пробной рамкой при ее повороте в магнитном поле, и
определим В как величину, прямо пропорциональную этому моменту:
В-Мкр. B9.1)
Опыт показывает, что в данной точке поля крутящий момент,
действующий на рамку, прямо пропорционален ее площади S
(независимо от формы рамки), току I и синусу угла а между
направлением вектора индукции В и нормалью к поверхности
рамки т
AfKp-v-/5sina. B9.2)
Вводя обычным образом коэффициент пропорциональности k',
численное значение которого определяется выбором системы единиц,
можно объединить соотношения B9.1) и B9.2) в одно:
MHp=k'ISBsin a. B9.3)
Крутящий момент есть вектор. Этот вектор Мкр перпендикуля-
перпендикулярен к плоскости вращения, проходящей через векторы п и В, как
показано на рис. 3.5, так что векторы п, В и Мкр образуют правую
систему координат. Так как абсолютная величина векторного

§ 29] РАЗВИТИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ МАГНЕТИЗМА 191
произведения [пхВ] равна | [их В] |= 1 -В sin (n, B)=«B sin а, то
соотношение B9.3) в векторной форме примет вид
р [[В]. B9.4)
Сопоставляя B9.3) и B9.4) с формулой A0.2), мы видим, что
величина ISn играет ту же роль, что и вектор момента электри-
электрического диполя в однородном электрическом поле. Обозначим эту
величину через рт и назовем ее по аналогии магнитным мо-
моментом контура с током:
pOT = fe75n=pffln. B9.5)
Тогда выражение B9.4) для крутящего момента, действующего на
контур с током в магнитном поле, примет вид
Мкр=[РиХВ], B9.6)
так что для модуля Жкр имеем
Мк^РтБ sin (рСв). B9.7)
Соотношение B9.6) позволяет определить величину вектора
магнитной индукции В в данной точке. Если поместить в эту
точку элементарную рамку с единичным магнитным моментом рт — 1
и повернуть ее плоскость вдоль линий поля так, чтобы угол (ря, В) =
= а=90° и stna=l, то В=Мкр.
Таким образом, располагая пробной рамкой с известным маг-
магнитным моментом рт, мы можем изучать различные магнитные
поля. Единственное условие состоит в
том, что поверхность рамки должна быть
настолько малой, чтобы поле в области
рамки было практически однородно, т. е.
вектор В был бы одинаковым во всех
точках на поверхности рамки.
Если контур с током достаточно
велик, то уже нельзя считать магнит-
магнитное поле внутри контура однород-
однородным и применять к нему формулы
B9.3)—B9.7). Для нахождения воз-
воздействия магнитного поля на такой кон- Рис. 3.6.
тур следует мысленно расчленить его
на совокупность большого числа бесконечно малых контуров с тем
же током /, как это показано на рис. 3.6. Как видно из рисунка,
токи на соприкасающихся границах выделенных внутренних конту-
контуров взаимно уничтожаются, так что суммарный ток не отличается от
исходного. Внутри каждого из этих элементарных контуров можно
считать магнитное поле практически однородным и вычислять Мкр

192 ч_ т. электромагнетизм [гл. vii
по приведенным выше формулам. Механическое действие магнитно-
магнитного поля на весь контур определится тогда сложением механических
воздействий на каждый из элементарных контуров.
Помимо макроскопических токов, идущих в проводниках, в любом
теле существуют микроскопические токи, создаваемые движением
электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические молеку-
молекулярные токи создают свое магнитное поле и могут поворачи-
поворачиваться в магнитных полях внешних токов. Если возле какого-либо
тела поместить проводник с током (макроток), создающий вокруг
себя магнитное поле, то под действием этого поля микроскопи-
микроскопические токи во всех атомах будут определенным образом поворачи-
поворачиваться и создадут в теле дополнительное поле. Таким образом,
вектор магнитной индукции В характеризует результирующее
магнитное поле, создаваемое"" вТЁПйГи макро- и~Тиикротоками. При
одном "и том же токе /ТГТГроводе и прочюс_Еав.ных^словиях_еелй-
чина вектора"ВЪ различных средах будет~иметь разные значения^
"Для характеристики магнитного поля, создаваемого самим макро-
макротоком, введем вспомогатеДьное"~пбняТйё в ё к т о р"аГ"н a ff p я ж е н-
ности магнитного пб"ля Я Г не зависящего от свойств среды.
В абсолютной гауссовой системе единиц при отсутствии намагни-
намагничивающихся тел, т. е. в вакууме *), вектор Н совпадает с вектором В:
Ввак = Н. B9.8)
В системе единиц СИ Ввак отличается от Н постоянным численным
и размерным множителем \х,а:
В.а»=Ф.Н._ B9.8а)
По аналогичному поводу (введение размерной электрической
постоянной е0) мы уже сделали ряд замечаний (см. § 5). Здесь
также следует отметить, что представление магнитного поля тока
в вакууме Ввак в виде двух зависимым образом определяемых
величин лишено физического смысла. Не оосуждая здесь вопроса
о том, окупается ли это более простой записью формул, мы при-
приводим эту систему как общепринятую.
В системе СИ величину ц0 принято называть магнитной
п о с ттнпттго~№.""В~ абсил1отной'~гаус1:оттпг~с'й'ст"еме единиц при на-
наличии среды
В = (Ш B9.9)
и безразмерная величина ц показывает, во сколько раз магнитное
поле макроскопических токов Н усилено за счет поля микротоков
*) Практически достаточно хорошим приближением часто является
замена вакуума воздухом, который вследствие невысокой плотности при
нормальном давлении обладает весьма слабо выраженными магнитными
свойствами.

§ 30] МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА 193
среды. Как мы видели, jx0 этого не отражает, поскольку Н в си-
системе СИ есть не физически наблюдаемая, а просто вспомогатель-
вспомогательная величина.
В системе СИ характеристикой среды является размерная вели-
величина \ia:
Эту величину, равную, как это следует из B9.10),
Ца^ЧЩ.. B9-11)
называют в системе СИ абсолютной магнитной проницаемостью, а
величину [х — магнитной проницаемостью данной среды.
Легко видеть, что можно"~для "общности написания формул
писать в них множитель |х0, помня, что в гауссовой системе
единиц величина [х„= 1 и безразмерна.
Мы начнем изучение магнитных полей с простейшего случая
магнитного поля линейных токов в вакууме, т. е. с изучения поля
вектора напряженности Н.
§ 30, Магнитное поле тока
—хЯкон 6vi0~Ce$o(pfta*ii<4*ftA „
Магнитное поле постоянных токов изучалось Био и Саваром,
окончательная формулировка найденного ими закона принадлежит
Лапласу. Поэтому закон, с помощью которого выражается магнит-
магнитное поле постоянных токов, носит название закона Био — Са-
в а р а — Л апласа.
Выше отмечалась основная трудность, связанная с формулиров-
формулировкой такого закона. Магнитное поле линейного тока зависит не
только от величины тока /, но и от формы контура с током.
В электростатике поле распределенных зарядов Е также зависит
от их расположения в пространстве. Однако там это поле можно
было представить как сумму полей точечных зарядов dE, причем
поле точечного заряда могло быть непосредственно выделено и
изучено. В случае постоянных токов мы также можем полагать,
что результирующее поле Н есть сумма полей <Ш, созданных
отдельными элементами тока. Но измерить и изучить поле одного
изолированного элемента постоянного тока невозможно: любой
постоянный ток течет по замкнутому контуру.
Единственный путь преодоления э^яй трудности состоит в сле-
следующем.
а) Предположим, что в любой точке пространства магнитное
гголе Н, создаваемое всем током в целом, складывается из полей <Ш,
создаваемых элементами этого тока в этой точке. Будем считать,
что для магнитных полей, как и для электрических, имеет место
1 Г. А Зисман и О. М Тодес

194
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
принцип суперпозиции (наложения), и полная напряженность маг-
магнитного поля Н дается векторной суммой (или интегралом) эле-
элементарных напряженностей:
(ЗОЛ)
б) На основании изученных
полей предположим математиче-
математическую формулу закона, дающего
выражение магнитного поля dH
мысленно выделенного элемента
тока. Если вычисленные на основе
б) и с учетом а) магнитные поля
для любых контуров будут
иметь значения, подтверждаю-
подтверждающиеся опытом, то высказанные
предположения можно считать
правильными.
Пространственное распределение токов в каждой точке характе-
характеризуется вектором плотности тока j. Выделим бесконечно малый
элемент объема dV в виде цилиндра, площадь основания которого
dS перпендикулярна к j, а высота dl направлена вдоль j (dlffj),
как показано на рис. 3.7. Элемент тока, создающий магнитное
поле, характеризуется величинами j и dV и равен
\dV=\dSdl=jdSdl=Idl, ' C0.2)
где I=jdS—полный ток, проходящий через площадку dS.
Для линейных проводников, толщина которых пренебрежимо
мала по сравнению с расстоянием от них г, на котором опреде-
определяется напряженность магнитного поля, мы будем пользоваться
выражением C0.2), где /—ток в проводнике, a dl—элемент длины
проводника. По закону Био—Савара—Лапласа магнитное поле
dH, создаваемое элементом тока Idl на расстоянии г от него,
обратно пропорционально квадрату расстояния и прямо про-
пропорционально величине элемента тока а синусу угла Р между
векторами Idl и г, т.
-,C0.3)
Как показано на рис. 3.8, вектор dH перпендикулярен к пло-
плоскости, проведенной через векторы Idl и г по направлению их
векторного произведения [Idl x г]. Поэтому в векторной форме
закон Био—Савара—Лапласа может быть записан в виде
C0.4)

§ 30]
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА
195
где г/г — единичный вектор, указывающий направление радиус-
вектора г. — — —
Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы
единиц расстояний, токов и полей и, следовательно, должен быть
связан с введенным выше по формуле B9.8а)
множителем ц0.
Закон ьио—Савара—Лапласа был пер-
воначально установлен для постоянного тока
в проводниках — тока проводимости. В даль-
дальнейшем справедливость этого закона была
подтверждена и для других форм движе-
движения электрических зарядов.
Для изучения магнитных полей кон-
конвекционных токов русский физик
А. А. Эйхенвальд в 1901 г. сконструировал
специальную установку, схема которой
изображена на рис. 3.9. Два соосных диска
А и В могут независимо вращаться с про-
произвольной угловой скоростью. Изнутри
диски по краю обклеены станиолем. Оба
станиолевых колечка заряжаются от противоположных полюсов
батареи и тем самым образуют плоский конденсатор. На каждой
из пластин конденсатора распреде-
распределен заряд J-; q, численно равный
q=CU, C0.5)
где С—электроемкость конденса-
конденсату _ тора, a U—приложенное напря-
~ жение.
Рис. 3 8.
Рис. 3.9.
Приведем во вращение, например, положительно заряженный
диск со скоростью п об/сек. Тогда через любое неподвижное
сечение, например показанное иа рис. 3.9 штрих-пунктиром, заряд q

196
Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
будет в единицу времени проходить п раз. Следовательно, конвек-
конвекционный ток через это сечение равен
/конв=<?л. C0.6)
Величина и направление магнитного поля Н, создаваемого этим
током в произвольной точке М, измерялись с помощью маленькой
магнитной стрелки, помещавшейся в эту точку. То же самое можно
было сделать и при вращении второго диска или обоих вместе.
Затем вращение дисков прекращалось, диски отключались от бата-
батареи, и через станиолевый электрод пропускался постоянный ток
проводимости. Для этого колечко включалось во внешнюю цепь,
как показано на рис. 3.10. Ток проводимости /измерялся гальвано-
гальванометром Г и регулировался реостатом R. Когда величина / стано-
становилась равной /конв, то магнитное поле в точке М оказывалось
точно таким же, как и в случае вращения пластины конденсатора.
Рис. 3.10.
Видоизменяя опыт, Эйхенвальд помещал между дисками А я В
пластинку из диэлектрика D. Эта пластинка поляризовалась, и на
внешних ее поверхностях появлялись связанные с диэлектриком
поляризационные заряды. Вращение одного диэлектрика создавало
в колечках два тока взаимно противоположных направлений, маг-
магнитные поля которых в точке М не полностью компенсировало
друг друга. Чтобы создать такой же ток проводимости, стороны
пластинки покрывались проволочными спиралями, ток по которым
шел в противоположных направлениях (рис. 3.11).
Во всех случаях Эйхенвальд наблюдал, что конвекционный ток,
возникающий при переносе свободных или связанных зарядов, соз-
создает точно такое же магнитное поле, как и ток проводимости той же
величины. Следовательно, магнитное поле конвекционных токов
может также рассчитываться по закону Био — Савара—Лапласа C0.4).
Наконец, в 1911 г. А. Ф. Иоффе проверил иа опыте справедли-
справедливость этого закона для пучка электронов, летящих в вакууме. Схема

§ 30]
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА
197
Рис. 3.12.
установки Иоффе изображена на рис. 3.12. Пучок электронов, выле-
вылетающий из накаленного катода, ускорялся электрическим полем и
выпускался через щель в аноде А. Двигаясь далее по инерции
в вакууме,электроны со-
собирались металлическим
цилиндром и отводились
в землю. Электронный
ток измерялся гальвано-
гальванометром Г. Напряжен-
Напряженность магнитного поля
определялась по углу за-
закручивания тонкой нити,
к которой были подвеше-
подвешены две магнитные стре-
стрелочки, как это показано
иа рисунке. После изме-
измерения электронная труб-
трубка заменялась прямым
проводом, по которому пропускался точно такой же ток проводи-
проводимости. Опыт подтвердил, что угол закручивания нити, а следо-
следовательно, и напряженность магнитного поля в обоих случаях оди-
одинаковы.
С помощью закона Био — Савара — Лапласа C0.4), применяя
принцип суперпозиции C0.1), можно вычислить магнитное поле
любых систем токов. В случае распре-
деленных по объему токов в этих
формулах, в Соответствии с соотно-
-т-ц-оч. шением C0.2), следует заменить выра-
| ' ^Ч<чч^/> жение для элемента тока /dl = \dSdl
-I >^ на \dV. Таким образом, закон Био —
a^s^^ Савара —Лапласа играет в учении о
0 _^s.ji/ магнетизме ту же роль, что и выра-
жение B.2) для напряженности элек-
электрического поля Точечного
dl
Рассмотрим два примера примене-
применения закона Био — Савара — Лапласа
для вычисления магнитных полей ли-
I/ нейных проводников с током.
* Вычислим с помощью C0.4) напря-
Рис. 3.13. женность поля Н, создаваемого беско-
бесконечным линейным током, в точке М,
находящейся на расстоянии R от этого тока (рис. 3.13). Как видно
из чертежа, направление <Ш в точке М остается одинаковым для
любых элементов тока I dl: dU перпендикулярно к плоскости, опре-
определяемой векторами dl и г (т. е. плоскости рисунка) и направлено

198
Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. vii
на нас, независимо от положения отрезка dl на линейном токе.
Следовательно, геометрическая сумма полей dH превращается в
алгебраическую, и, зная направление dH, а следовательно, и ре-
результирующего поля Н, нам достаточно определить лишь его вели-
величину. Закон Био—Савара—Лапласа дает согласно C0.3)
dH=kI-^-dl. C0.7)
Для интегрирования нужно переменные г, I, {$ выразить через одну
какую-либо из них. В качестве переменной интегрирования выберем
угол р. Имеем
- - *у |
C0.8)
C0.9)
ае~ sin'p *
Подставляя C0.8) в C0.7), находим
Интегрируя по всему интервалу О^Р^я, отвечающему области
проводника от /=—оо до / = +°°» находим
1 &[1AI* C°10)
,1
Таким образом, напряженность магнитного поля бесконечного линей-
линейного тока Ил т по величине про-
пропорциональна току и обратно про-
пропорциональна расстоянию от него.
Направление Н видно из рисунка.
Полученный результат оста-
останется неизменным, если вращать всю
плоскость, в которой лежат ток /
и точка М (т. е. радиус-вектор г),
вокруг оси, совпадающей с линией
тока. Отсюда следует, что линии
напряженности магнитного поля,
касательными к которым явля-
являются векторы Н, представляют
собой концентрические окруж-
окружности, изображенные на рисун-
рисунке 3.14.
Этот результат является хорошим приближением для поля линей-
линейного тока в точках, близких от проводника и далеких от его гранид.
Рис. 3.14.

§301
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА
199
Так как согласно C0.10) H~s\jR, то чем ближе к току, тем
гуще расположены линии напряженности. На оси тока (/?=())
напряженность поля должна быть бесконечно велика. Однако
бесконечно тонких проводов не бывает. Следует помнить, что
И
Рис 3 15
в соответствии с выводом C0.10) это выражение справедливо на
расстояниях R, больших по сравнению с диаметром провода Л.
Бесконечно длинных проводников также не бывает. Однако есля
длина проводника L достаточно велика ао сравнению с /?, го вы-
выражением C0.10) без большой погрешности можно пользоваться.
Таким образом, это выражение практически пригодно для расчета
магнитного поля тока, идущего по прямому проводу конечных
размеров, при условии
C0.11)
В качестве второго примера применения закона Био—Савара —
Лапласа вычислим напряженность магнитного поля на оси кругового
тока. Пусть окружность, обтекаемая током /, имеет радиус /?
(рис. 3.15). Определим напряженность магнитного поля Нв точке /И,
лежащей на оси окружности с гоком на расстояния г0 от ее центра.
Как видно из рисунка, d\ _j_r, следовательно, d?L по величине
равно
dH=k1-^-. C0.12)
При этом <Ш составляет с осью ОМ угол а. Заметим, что любо-
любому элементу d\ отвечает диаметрально противоположный элемент
dV, который дает такую же составляющую на ось ОМ'. л?Н[|=йНц,
а также перпендикулярную к ОМ составляющую dH^_= —dHj_.
Следовательно, при сложении всех составляющих dH± (интегриро-
(интегрировании по всему контуру) все они взаимно уничтожатся, в to время

200
Ч. III ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
как составляющие dHn будут складываться. Следовательно, резуль-
результирующее поле Н будет направлено по оси ОМ (что можно было,
впрочем, сразу сказать по условию симметрии задачи относительно
оси). Зная направление, мы можем теперь определить величину Н,
сложив составляющие dH\\ всех элементов контура. Имеем
= йН cosa = k
Id!
Следовательно,
/cosa
' = k
cos a.
2л/R cosa
C0.13)
C0.14)
Заменяя г2 его выражением через радиус тока R и расстояние точки
наблюдения поля от центра окружности г0:
и аналогично
получаем окончательное выражение для Н:
C0.15)
Магнитное поле Яц в центре окружности с током мы найдем,
положив в выражении (ЗОЛ 5^ г„ = 0:
"и-
C0.16)
На расстояниях ro$>> R величиной /?2 в знаменателе можно
пренебречь, и тогда~"~
2л://?3
C0.17)
Вспоминая, что величина /nR2 = /S есть магнитный дипольный
момент витка рт, можем переписать последнее выражение в виде
к_2р^
C0.18)
Таким образом, магнитное поле витка с магнитным моментом рт
на его оси меняется по такому же закону, как и электрическое
поле электрического диполя на его оси (с точностью до коэффи-
коэффициента k/k', определяемого выбором системы единиц). Точный расчет
показывает, что на больших расстояниях от витка вся структура

311
ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТОК
201
магнитного поля витка будет 1акой же, как и электрического поля
диполя:
C0.19)
Этим мы установили некоторую эквивалентность витка по отноше-
отношению к магнитному полю и диполя — к электрическому полю: 1) маг-
магнитное поле витка с током на большом расстоянии от него имеет
ту же структуру, что и электрическое поле диполя также на соот-
соответствующем расстоянии от него, и 2) механияеские силы, испыты-
испытываемые витком с током в магнитном поле, такие же, как для диполя
в электрическом поле.
Подчеркнем еще раз, что это не означает одинаковой природы
электрического и магнитного полей: электрическое поле обладает
источниками — электрическими зарядами; магнитное же поле такими
источниками не обладает — магнитных зарядов в природе нет. И если
механические силы, испытываемые электрическим диполем в поле Е
и витком с током в поле В, одинаковы, как одинакова структура
полей Е диполя и Н витка, то внутри диполя и витка с током вид
полей Е и Н совершенно различен. К этому вопросу мы вернемся
ниже (см. § 48).
§ 31. Действие магнитного поля на ток.
Взаимодействие параллельных токов
Крутящий момент, испытываемый рамкой с током в магнитном
поле, есть результат воздействия на отдельные элементы ра-мки I d\
механических сил dF. В предыдущем параграфе указывалось, что
нельзя наблюдать поле dt\, создаваемое одним элементом постоян-
постоянного тока I d\, так как этот элемент нельзя отделить от остального
участка цепи с током, создаю-
создающей результирующее магнит-
магнитное поле Н. В отличие от это-
этого механическое действие dF,
испытываемое отдельным эле-
элементом контура с током, поме-
помещенного во внешнее поле В,
может быть непосредственно
измерено.
На рис. 3.16 изображена
схема подобного опыта. Бата-
Батарея ^0 создает ток / в кон- рис. з.1б.
туре, одна из сторон кото-
которого длиною / сделана подвижной и может скользить (или катиться)
вдоль двух других, Если внести этот коитур во внешнее магнитное

202 4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ VII
поле В, то на подвижную сторону будет действовать механическая
сила F, величину которой можно измерить с помощью динамометра.
Опыт показывает, что величина этой силы может быть выражена
через вектор магнитной индукции В (см. B9,3)):
F=k'UB, C1.1)
где ft'— коэффициент пропорциональности, величина и размерность
которого, как все!да, определяются выбором системы единиц, а сама
сила F направлена перпендикулярно юку и линиям индукции, как
это показано на рис. 3.16.
В общем случае элемента тока 1 d\, расположенного под неко-
некоторым углом к линиям индукции В, выражение для величины механи-
механической силы d? дается законом Ампера:
C1.2)
или в векторной форме:
B]. (Si 3)
Направление вектора dF может быть найдено согласно C1.3)
по общим правилам векторного произведения или по различным
мнемоническим правилам. Приведем
i ДОтенив одно из них — правило левой
руки (рис. 3.17): если направить
указательный палец по полю, а сред-
средний—по направлению тока, то ото-
отогнутый большой палец левой руки бу-
будет показывать направление силы,
действующей на ток.
Можно установить, что из закона
Ампера C1.3) вытекает выражение
B9 4) для крутящего момента, дейст-
действующего на виток с током в магнитном
поле, и что, следовательно, эти два
Рис. 3 17. выражения эквивалентны. Покажем это
для простейшего случая рамки со сто-
сторонами I ц а, ориентированной в поле так, как это изображено на
рис. 3.18.
На рис. 3.18, а ось вращения- 00' прямоугольной рамки перпен-
перпендикулярна к вектору индукции однородного поля В. На рис. 3.18,6
та же рамка изображена «сверху» так, что ось 00' перпендику-
перпендикулярна к плоскости рисунка; видно, что силы, действующие на вер-
вертикальные стороны рамки, не проходят через ось ОО' и образуют
пару, момент которой Мкр, согласно C1.2), по модулю равен
~ pmBsina. C1.4)

§зп
ДЕЙСТВИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТОК
203
Под действием этой пары сил рамка стремится повернуться так,
чтобы ее нормаль п, а следовательно, и магнитный момент рт сов-
совпали по направлению с вектором индукции поля В.
Величина C1 4) крутящего момента и его направление для рамки
с магнитным моментом рот в поле В полностью совпадают с при-
приведенными ранее в формулах B9 3) и B9 7). Совершенно такрй же
результат, но много более сложным путем получаем для рамки
произвольной формы (плоской). Тем самым мы будем считать дока-
доказанным полную эквивалент-
эквивалентность данного в § 29 опреде-
определения действия магнитного
поли на элементарную рамку
с током и формулы Ампера.
На рис. 3.19 изображена
рамка с током, плоскость кото-
Рис 3 19
рой совмещена с плоскостью чертежа. Вектор В перпендикулярен
плоскости чертежа и направлен к нам (на рисунке это изображено
точками) Ток / в рамке идет по часовой стрелке; нормаль к рамке п
и ее магнитный момент рт направлены за плоскость чертежа (что
изображено крестиком). По закону Ампера C1 3) на каждый элемент
тока Id] действует сила dF в плоскости чертежа, перпендикуляр-
перпендикулярная к элементу тока и направленная внутрь рамки. Момент всех
этих сил относительно любой оси, лежащей в плоскости рамки, равен
нулю, так как линия действия каждой силы dF пересекает эту
ось. Поэтому полный вращающий момент Мкр рамки также равен
нулю. То же следует и из формулы B9 7), так как в данном слу-
случае векторы рт и В антипараллельны, a sin 180° = 0. В однородном
поле В== const геометрическая сумма элементарных сил dF будет
равна нулю, и рамка останется неподвижной Действующие по кон-
контуру элементарные силы лишь сжимают рамку со всех сторон.

204
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
j_LL
Легко видеть, что это равновесие рамки в поле (рда fj В) неустой-
неустойчиво. При малейшем повороте pw возникнет пара, которая будет
стремиться поворачивать рамку далее так, чтобы рт стало парал-
параллельно В. В дальнейшем, говоря о равно-
равновесии рамки в поле, мы будем иметь в виду
именно это устойчивое равновесие (рт || В),
которое изображено на рис. 3.20. Ток / в
этом случае идет против часовой стрелки, и
магнитный момент pm = k'ISn = k'Ialn парал-
параллелен вектору индукции В. Линии суммар-
суммарных сил, действующих на стороны рамки,
либо проходят через ось 00', либо парал-
параллельны ей и не дают крутящего момента,
а лишь растягивают рамку во все стороны.
^ Разберем важный случай применения
формулы Ампера для расчета механического
(иногда называемого «пондеромоторным»)
взаимодействия токов, позволяющий установить системы единиц. Рас-
Рассмотрим два практически бесконечных параллельных линейных тока It
и /а, расположенных иа расстоянии R друг от друга в однородной среде
¦¦!,
Рис..3.20.
Рис. 3.22.
с магнитной проницаемостью \i. Ток 1г создает вокруг себя магнит-
магнитное поле, линии напряженности которого представляют концентри-
концентрические окружности (рис. 3.21). Согласно C0.10) напряженность этого
поля в точках, где находится второй проводник, равна
1> 2
C1.5)
Вектор магнитной индукции в однородном веществе («м а г н е-
т и к е») равен
¦2/=А. C1.6)

§ 32] системы единиц 205
По закону Ампера сила, действующая со стороны этого магнитного
поля на элемент тока второго проводника, равна
CBlft) = fc'[i]itk^dl C1.7)
и направлена в сторону первого тока. Эта сила притяжения на еди-
единицу длины проводника составит
Выражение C1.8) симметрично относительно токов /, и /2, и,
следовательно, на единицу длины первого проводника со стороны
второго действует точно такая же сила притяжения ft,l=zJlti-
Если оба тока /, и /г идут в противоположных направлениях
(рис. 3.22), то между ними действуют силы отталкивания, величина
которых может быть вычислена по той же формуле C1.8).
§ 32. Системы единиц. Единицы измерения тока,
магнитной индукции и напряженности магнитного поля
Рассмотрим взаимодействие двух параллельных проводников
в вакууме (jx = l). Тогда согласно C1.8) сила взаимодействия на
единицу длины проводника равна
Мы уделим основное -внимание двум наиболее важным в наши
дни системам — СИ и абсолютной гауссовой, с которой, как более
простой, мы и начнем.
В гауссовой системе единиц (как и других абсолютных систе-
системах) jx0 = 1, так что C2.1) принимает вид:
Произведение коэффициентов kit', входящее в выражение C2.2),
подлежит опытному определению. Их численные значения и раз-
размерности зависят от выбора единиц измерения остальных входящих
в C2.1) механических и электрических величин.
Гауссова абсолютная система единиц. Напомним, что единица
заряда в системе СГС уже определена (см. § 1). Тем самым опре-
определена и единица тока: сила тока равна единице, если через
поперечное сечение проводника в I сек проходит единица заряда.
Как уже указывалось выше, при определении величины магнит-
магнитной индукции В по крутящему моменту рамки мы должны в общем
случае положить
Msp = k'/SBsina, B9.3)

206 ч. ш. электромагнетизм [гл. vu
что следует из закона Ампера
</F=*7[rflxB]. C1.3)
Для вычисления силы взаимодействия линейных токов в вакууме
мы должны применить закон Био — Савара — Лапласа
C0 4)
и закон Ампера C1.3) при В = Н
dF = k'I[d]xU]. C2.3)
Отсюда для силы, действующей на единицу длины одного из двух
параллельных токов. 1Х и /s, находящихся на расстоянии R, получим
C2.2):
иьЫл
dl~RK R •
В этой формуле определены единицы всех входящих в нее ве-
величин. Задача состоит, следовательно, в определении размерности
и величины произведения kk''. Сравнивая размерности левой к пра-
правой частей равенства
= [дд ] . C2.4)
J см х v '
—
сек2 см.
находим
№') см-г секг
C2.5)
т. е. размерность kk' равна размерности квадрата обратной вели-
величины скорости. Числ&нное значение этой величины может быть
определено только на пп^тй, Эксперимент дает
1 ' C2.6)
где ся^З-Ю" см/сек—скорость света в вакууме.
Соотношение (cS'^.b) оставляет произвол в выборе k и д'.
В абсолютной гауссовой системе единиц полагают:
«'=« = 1, C2.7)
Таким образом, выведенный выше основные законы приобретают
симметричный вид:
закон Био — Савара — Лапласа
4 C2.8)
закон Ампера
^[ C2.9)

§ 32] систрчы единиц 207
или, при наличии среды,
d? = L[dlxB]. C2.9а)
Выражение C2.2) в гауссовой системе примет вид
где F выражено в динах, dl и R—в сантиметрах, с—в см\сек и
/, и /г — в гауссовых единицах силы тока.
Магнитное поле бесконечного линейного тока C0.10) при ука-
указанном значении постоянной k примет вид
с
27 C2.11)
Отсюда определение единицы напряженности магнитного поля —
э р с т е д: эрстед есть напряженность магнитного поля веско-
печного линейного тока силой в с СГС ед. тока (=10 а) на
расстоянии 2 см от тока (учет двойки в числителе). ,
Размерности напряженности магнитного поля Н и индукции В
совпадают, так как а системе СГС В=цН, где \i — безразмерная
величина. В вакууме ц = 1 и В = Н.
Единица индукции В носит название гаусса (гс) (В гауссов =
—цН эрстед).
й электронике, физике атома и атомного ядра, физике элемен-
элементарных частиц величины е0 и ^0, как правило, не вводятся. Для
этих и ряда других разделов физики и техники абсолютная система
единиц Гаусса остается одной из наиболее удобных.
Остановимся кратко еще на двух абсолютных системах единиц— •
электростатической (СГСЭ) и электромагнитной (СГСМ). Обе эти
системы, как и система Гаусса (СГС), исходят из трех основных
единиц: массы (г), длины (см), времени (сек) и никаких добавоч-
добавочных произвольных единиц не вводят (отсюда и термин—пожалуй,
не совсем удачный — «абсолютные» системы, хотя в них, конечно,
три исходные единицы выбраны произвольно).
Система СГСЭ. Отличие системы СГСЭ от СГС состоит лишь
в том, что вместо C2.7) принимается
*'=!, * = -?• C2.7а)
В результате единицы всех электрических величин и тока ока-
оказываются такими же, как в гауссовой системе, магнитные же еди-
единицы отличаются, притом весьма неудобным образом (см. приложе-
приложение I), e и ц определяются, как и в СГС.
Система СГСМ практически удобнее и использовалась чаще,
чем СГСЭ. Ее отличие в ином определении производных единиц.

20S ч. ш. электромагнетизм [гл. vii
В качестве исходного берется уравнение C2.5), описывающее
взаимодействие токов, а не A.4), описывающее взаимо-
взаимодействие зарядов. В соответствии с этим коэффициент пропорцио-
пропорциональности kk' в C2.5) принимается равным единице:
kk' = \, C2.76)
и далее, из C2.5) определяется единичный ток:
Бесконечный линейный ток в 1 СГСМ ед. тока взаимодейст-
взаимодействует с параллельным и равным ему током, находящимся от него
на расстоянии в 2 см, так что отрезок тока в 1 см испыты-
испытывает силу в 1 дину. _____
Читатель легко проверит, чтсг 1 СГСМ ед. тока=10~а". 8 и -|х
определяются так же, как в системе СГС. Заметим, что удобная
единица силы тока — единственное, но часто решающее преимуще-
преимущество этой системы перед системой СГС, где единица тока, равная
10 ale, как правило, неудобна.
Единица заряда определяется в СГСМ через единицу тока:
при токе в 1 СГСМ через поперечное сечение проводника прохо-
проходит в 1 сек 1 СГСМ-ед. заряда A0 кулонов).
Сказанного достаточно, чтобы читатель мог при желании опре-
определить все интересующие его величины и писать формулы в этих
системах. Сводка единиц, их размерностей и переводных коэффи-
коэффициентов систем СГС, СГСЭ, СГСМ и СИ приведена в приложении I.
Ныне принятая международная система единиц СИ, оперирующая
практически удобными единицами, широко применяется в электро-
и радиотехнике и ряде других разделов техники. К определению
этой системы мы и переходим.
Международная система единиц СИ (Система Интернациональ-
Интернациональная). Три исходные единицы: масса (кг), длина (м) и время
(сек). Основной особенностью этой системы является введение
четве'ртой «независимой» единицы-—силы тока — ампера. Это удобно
практически, хотя введение добавочной единицы физически не
оправдано.
Ампер—сила неизменяющегося тока, который, проходя по
двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной
длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным
на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывал бы между
этими проводниками силу в 2-10~7 н\м.
Единица заряда, как и в СГСМ, определяется через единицу
силы тока и равна кулону.
В этой системе для «рационализации» записи формул принимают
4я '

§ 321 системы единиц 209
так что в единицах СИ формула C2.1) имеет вид
§~р.*Ыл. C2.12)
dl An R v '
В этом выражении все величины кроме ц0 определены в едини-
единицах СИ (ток /—в независимых единицах—амперах). Следова-
Следовательно, размерность цп определяется в этих же единицах из C2.12),
а величина — из опыта. Иными словами, в СИ величина |Л0 опреде-
определяется так, чтобы при /, выраженном в амперах, dluR—в метрах
сила F была выражена в ньютонах.
Чтобы получить значение [х0, перейдем в C2.12) к конечным
величинам, положив dl рсвным одному метру. Полагая далее
R=\ м, /,= /s=l а, получим, учитывая приведенное выше опре-
определение ампера:
2-10-' н = ^-2а2.
Отсюда размерность и величина [Ад:
Поскольку
= 4л- 1Q-7 н{а\\ C2.13а)
- в- сек- м~1,
можем переписать ц0 в более удобном для использования виде:
|io = 4JX-10-' в-сек-м-1-а'1. I C2.136)
Для читателя, не забывшего из школьного курса определение
единицы индуктивности генри (гн), приведем еще одно удобное
выражение для \ia, которое будет выведено нами далее, на стр. 270:
цв = 4я-10-7 гн-д-'.| C2.13b)
Таким образом, ft, ft' и ца определены. Закон Био — Савара —
Лапласа (при отсутствии среды) принимает вид
М~ЬЩЯ. C2.14)
что в соответствии с C0.10) для напряженности магнитного поля
бесконечного линейного тока дает
Отсюда получаем единицу напряженности магнитного поля а м-
пер на м е т р (а]м) — это напряженность поля бесконечного линей-
линейного тока в 1 а на расстоянии /? = — метров от него.

210 ч. ш. электромагнетизм [гл. vii
Соотношение между этой величиной и напряженностью магнит-
магнитного поля в гауссовой системе единиц — эрстедом найдем, сопостав-
сопоставляя C2.15) с соответствующей формулой в системе СГС C2.11):
П=~ э. C2.11а)
Подставляя сюда /==1 o=tq СГС ед. тока и R=-^-м в санти-
сантиметрах, получим //=1 а\м\
г
i-100
2я
или ^____
C2.17)
В соответствии с B9.8') в системе единиц СИ индукция в ваку-
вакууме Ввак отличается of H и равна
C2.18)
Единица индукции в системе СИ называется тесла (тл). Соотно-
Соотношение единиц индукции легко находим. Действительно, при
Но
индукция В численно равна ц0, т. е.
?=4л-10-' тл.
Но при Л/=1 aJM, как это следует из C2.16), индукция в вакууме
составляет 4я10~*гс. Следовательно, имеем
4л 10"' /гал=4я 10"' гс,
или
= \0~* тл.\ C2.19)
Закон Ампера в системе СИ принимает вид
dF=I[dl х Щ = у.\101[с11ХЩ- C2.20)
В случае вакуума jx == 1 и
d? = nJ[dl х Н]. C2.21)
Ряд формул, которые нам придется рассматривать в дальнейшем,
необходимо записать так, чтобы читатель мог пользоваться по соб-
собственному выбору как гауссовой системой единиц, так и едини-

§ 33] ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 211
цами СИ. Для этого следует сохранить при написании формул
величины (смысл которых следует хорошо понимать) Ао ^стр. 13, 14,
34), k (стр. 194, 195), к' (стр. 190, 202), е0 (стр. 14, 79) и ц0 (стр.
192, 209, 270), придавая им нужные значения в соответствии с вы-
выбранной системой единиц:
В гауссовой абсолютной системе единиц (СГС):
Ь 1 Ь ?>' в 1 it 1
Ко— *» К — ~? • к —~jT i so—*» Го—' "
В Международной системе единиц (СИ):
0 4л ' 4л • •
(ло = 4л 10"' м~1 сек а'1 в=гн-м~1 — 4п 10"' мкгсек'2 а
Обратим внимание читателя на то, что
еи 4л 10"' л сек*
еи= . п 1ла 4л 10 л сек = ,„ ,,,.—;—г» = -г.
оГо 4я9-109 C-108 м \секу с'
Таким образом, одна и та же величина 1/с2, что, естественно,
входит--в обе системы. Однако в абсолютной гауссовой системе она
делится на два равных множителя. В системе СИ выбор практиче-
практически удобной добавочной единицы силы тока приводит к разделению
величины 1/с2 на множители, различающиеся численно н по размер-
размерности.
Сводка электромагнитных физических величин, их размерностей
в системах СГС, СИ, СГСЭ и СГСМ, а также соотношений между
ними приведена в приложении 1.
§ 33. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля.
Магнитное поле соленоида
Теорема о циркуляции вектора Н, которая будет изложена в этом
параграфе, имеет в учении о магнитном поле такое же значение,
как^^еорема Гаусса в электростатике. В частности, подобно тому,
как при симметричном распределении зарядов теорема Гаусса позво-
ляла вычислить вектор Е, не прибегая к закону Кулона, теорема
о циркуляции ri позволит находить напряженность "магнитного поля
при наличиЯТИШатрии ТокОВ без" применения закона feio — Савара-—
Лапласа, что часто очень облегчает вычисления.
Мы докажем теорему о циркуляции Н в целях упрощения вы-
вычислений лишь для случая прямолинейного бесконечного тока. Как
показывает строгий расчет, тот же результат имеет место и в слу-
случае контуров произвольной формы, чем мы и воспользуемся без
строгого доказательства.

212
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНРТИЗМ
[гл. vii
Циркуляцией магнитного поля Н по заданному замкнутому кон-
контуру L называется интеграл следующего вида:
(ft H d\ = (ft H dl cos (tCdl) = 6 Htdl,
(L) (L) (L)
C3.1)
где направление обхода по контуру также должно быть задано.
Ht — составляющая Н в направлении касательной к контуру (с уче-
учетом выбранного направления обхода).
Рассмотрим контур L произвольной формы, лежащий в плоскости,
перпендикулярной к бесконечному линейному току / (рис. 3.23).
Ток перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас (крестик
на чертеже). Линии напряженности магнитного поля представляют
собой концентрические окруж-
окружности в плоскости рисунка, на-
направленные по часовой стрелке.
Выберем направление обхода
контура L также по часозой
стрелке. Рассмотрим отрезок кон-
контура dl. Вектор напряженности
магнитного поля направлен пер-
перпендикулярно к радиусу-вектору
г и составляет с отрезком dl
угол #. Таким образом,
Hdl=Hdtcosft. C3.2)
Проведем два бесконечно близ-
кй-х радиуса-вектора, проходящих
через начало и конец d) и составляющих друг с другом угол <йр,
и вектор d\a, перпендикулярный к этим радиусам-векторам. Из ри-
рисунка видно, что
flf/o=flf/cos# и dl^rdtp. C3.3)
Следовательно, dtzos® = rdy, а значит,
Н dl=Hdl cosdt= Hr d(f>. C3.4)
Подставляя сюда значение напряженноеш поля линейного тока
Н=к2±, C3.5)
C3.6)
Рис. 3 23.
находим
Циркуляцию по всему контуру L получим, интегрируя по
в пределах от 0 до 2я:
2Я
H,dl=k11\ й?ф = ?-4л/.
1 о
C3.7)

§ 33] ЦИРКУЛЯЦИЯ BFKTOPA НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОТЯ 213
В системе СИ, как уже указывалось, k= 1/4л и, следовательно,
В системе Гаусса й=1/с и
fH'dl=f'
C3.8)
C3.9)
Легко видеть, что_ полученный результат будет верен не только
для контура, лежащего в плоскости, перпендикулярной к току, но
и Б55
A
5_
(не плоскогбу~контура. Действи-
тельжэТНТёрейеща'н /пШой отрТ-
зок d\ контура из его плоскости
параллельно линии тока, мы не
меняем значения величины Н d\.
Таким образом, циркуляция,
напряженности магнитного
поля не зависит от формы кон-
контура. Как уже отмечалось, можно
строго доказать, что этот резуль-
результат верен не только для линей-
линейных токов, но для токов любой
формы.
В рассмотренном случае на-
направление обхода по контуру
и направление тока связаны правилом правого винта. При обратном
направлении обхода значение циркуляции, сохранив величину, изме-
изменит знак.
Если контур, расположенный в магнитном поле, не охватывает
тока, то циркуляция магнитного поля по этому контуру будет
равна нулю. Рассмотрим случай, аналогичный разобранному выше,
ио с током, вынесенным за пределы контура (рис. 3.24).
Вычисляя долю циркуляции по участку А—*-В—*С, будем иметь
Рис. 3.24.
J Htdl=k.2l\
Вторая часть интеграла циркуляции по участку С—>D—>-A будет
равна первой с обратным знаком, так как интегрирование по ф ве-
ведется между теми же пределами, но в обратном порядке:
С ->D -*¦ А
Htdl=k-2I \ dq>.

214
Следовательно,
Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
{<Pl
Ф1
dtp > = 0.
[ГЛ. VII
C3 10)
Этот результат, как и предыдущий, ?праведлив для контуров лю-
любой формы и для любых токов.
Возможны и более сложные случаи, когда контур несколько раз
охватывает ток. В этом случае величину / надо считать столько
раз, сколько раз контур обвивается вокруг тока с учетом направления
вращения и соответственно знака тока.
Так, на рис. 3.26, а контур охватывает
ток два раза, и
§tdl=k-\n ( + / + /)=&. 4л2/.
На рис. 3.25, б коитур также охваты-
охватывает ток два раза, ио в противополож-
противоположных направлениях, и
б) Если магнитное поле создано систе-
системой токов /,, /г, ..., /„, ..., /дг, то век-
вектор напряженности поля Н будет равен
геометрической сумме полей, создаваемых каждым током в отдель-
отдельности, а проекция Ht на любое направление будет равна алгеб-
алгебраической сумме проекций отдельных векторов. Циркуляция вектора
Н тогда будет равна сумме сла-
слагаемых типа C3.7) или C3.10).
Поэтому теорема о циркуляции мо-
может быть записана в виде
C3.11)
и читается так: циркуляция вектора
напряженности магнитного поля^
по замкнутому контуру численно
равнаЪ^^п, у множенному наалгеб- Рис. 3 26.
раическую сумму токов, охваты-
охватываемых этим контуром. Каждый ток считается столько^раз, сколько
раз он охватывается нашим контуром. Для системы токов, изображен-
изображенной на рис. 3.26,

§ 3S| ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 215
т. е. ток lt считается два раза, а ток /„ не охватываемый ни разу,
не считается вовсе.
В системе Гаусса соотношение C3.11) примет вид
В системе СИ
J- и
4л
C3.12)
C3.13)
Теорему о циркуляции C3.11) в электротехнике принято назы-
называть законом полного ток а. .Эта теорема в конечном счете
является прямым следствием закона Био— Савара—ЛапласГ
В качестве примера найдем с помощью теоремы о циркуляции
напряженность магнитного поля внутри соленоида. Соленоидом
называется совокупность одинаковых последовательно соединенных
витков, равномерно навитых на общий каркас или сердечник
Рис. 3 27
(рис. 3.27). По виткам проходит одинаковый ток /. Если полная
длина соленоида / и полное число витков w, то на единицу длины
соленоида приходится
*»„=- C3.14)
витков.
Магнитные поля, созданные каждым витком в отдельности,
складываются. Лиийи вектора Н, охватывающие токи, внутри соле-
соленоида расположены густо, а вне его — на больших расстояниях
друг от друга, как это показано на рис. 3.27, т. е. напряженность

216
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. vii
поля Н внутри соленоида велика, а вне его мала и стремится
к нулю для Ь'еск6»ечнго соленоида.
ксли длина соленоида во много раз больше диаметра его витков,
то соленоид можно практически считать бесконечно длинным.
Магнитное поле такого соленоида целиком сосредоточено внутри
него. Вне соленоида Н = 0, внутри же соленоида линии вектора Н,
очевидно, могут быть направлены только параллельно его оси,
Рис. 3.28
а величина И может зависеть лишь от расстояния до оси. Для на-
нахождения Н в этом случае выделим мысленно конечный участок
длины /, на котором расположены w витков, и проведем контур
12 3 4 1 (рис. 3.28).
Применяя теорему о циркуляции к этому контуру, получим
На участках 1 2 я 3 4 контур перпендикулярен к линиям поля
и Wj —0. На участке 4 1 вне соленоида Н=0, а значит, также
и /Zj = O. Поэтому из четырех интегралов остается один
Следовательно,
и окончательно.
C3.15)
Выражение C3.15) показывает, что во всех точках внутри бес-
бесконечно длинного прямого соленоида напряженность магнитного
поля одинакова по величине и направлению:
Н = const. C3.16)
Таким образом, магнитное поле соленоида однородно.

§ 34] ПОТОК ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ 217
В гауссовой системе ток выражается в СГС единицах, w0 —
числом витков на 1 см длины соленоида, И—в э, k=\jc и фор-
формула C3.15) принимает вид
"«.-т7*.- (ЗЗЛ7)
В системе СИ ток выражается в a, wa — в числе витков на 1 м длины
соленоида, Я—в а/л, ?=1/4я и формула C3.15) принимает вид
Н =Iw — C3.18)
"сол <>м
сол
Благодаря рационализации ( &=—J в системе СИ для одно-
однородного поля множитель 4я исчезает.
На практике предпочитают иногда измерять ток в амперах, а
величины wa и Н—в единицах СГС. Тогда формулу C3.15) можно
записать в виде
) = Q,4nIwt> ампер-витков на сантиметр. C3.19)
Формула C3.15) справедлива для достаточно длинного соленоида
* вдали от его краев. При приближении к концам соленоида
линии вектора Н начинают расходиться
и величина напряженности поля падает.
Подобный краевой эффект отсутствует
у соленоида, свитого в кольцо (гак называ-
называемого то рои да), показанного на рис.3.29.
При этом все магнитное поле сосредото-
сосредоточивается внутри соленоида и линии вектора
Н представляют собой замкнутые концен-
концентрические окружности. Выбирая одну из
таких окружностей за контур обхода и
применяя теорему о циркуляции, легко
доказать, что при том же условии D<^1
напряженность магнитного поля в тороиде Рис. 3 29
рассчитывается по прежней формуле C3.15).
Длину тороида / при этом следует считать по средней линии,
пренебрегая небольшим различием между длинами внутренней
и внешней окружностей кольца.
§ 34. Поток вектора магнитной индукция.
Магнитные цепи
Поток вектора магнитной индукции вводится так же, как и
поток вектора электростатической индукции (см. § 5).
В поле магнитной индукции В через площадку dS с единичной
нормалью п проходит поток магнитной индукции или просто

218 Ч. I». ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. Vlf
магнитный поток d<D, равный, по определению:
<*ф=(Вп) dS=В cos (n^3)dS C4.1)
/ч
(рис. 3.30). Замечая, что ficos(n. В) есть проекция вектора В на
направление нормали п, получим
d$>=BndS. C4.2)
Из C4.2) следует, что магнитный поток является скаляром. Счи-
Считая положительной стороной площадки ту, из которой выходит
вектор нормали п, мы видим, что если линии индукции выходят
ил зхой стороны площадки, то угол сх = (В, п) острый, cosu>-0
и магнитный поток п о лож и те лен (рис. 3.30, а). В противопо-
противоположном случае, когда линии индукции входят в положительную
/\
сторону площадки, угол « = (В, п) тупой, cosa<C0 и магнитный
поток отрицателен! рис. 3.30, б).
Так", если площадка dS перпендикулярна к линиям магнитной
индукции В, могут иметь место два случая: векторы ntfB, тогда
/\ /\
cos(n, B)=l и dO=BdS; векторы пНВ, тогда cos(n, В) = —1 и
й(Ф= — BdS. Что касается направления п, то в случае незамкну-
той поверхности оно связывается с выбранным направлением обхода
^^ правого винта.
На рис. 3.30 выбранное направление обхода показано пунктирными
стрелками.
Для вычисления магнитного потока, пронизывающего произ-
произвольную криволинейную поверхность 5 в неоднородном магнитном
поле, следует эту поверхность мысленно разбить на бесконечно
малые площадки dS, которые можно считать плоскими и в пределах
которых поле практически однородно. Для каждой из таких пло-
площадок элемен гарный магнитный поток о!Ф рассчитывается но фор-
формуле C4.2). Полный же магнитный поток Ф через всю поверх-
поверхность S равен алгебраической сумме элементарных потоков, т. е.

§ 34-1 поток вектора магнитной индукции
представляет собой интеграл по поверхности S:
219
Ф= ) BndS. C4.3)
s
Рассмотрим замкнутую поверхность (рис. 3.31). В этом
случае поверхность не имеет границы — контура, с направлением
обхода которого можно было бы связать направление нормали к точ-
точкам поверхности. Здесь можно исходить из другого критерия.
Рис. 3.31.
Рис 3.32
Если мы хотим, как и в электростатике, приписать потоку выхо-
выходящему (изнутри поверхности наружу) положительный знак,
а входящему — отрицательный, то следует (как и там) пользо-
пользоваться единичной внешней нормалью к рассматриваемой поверх-
поверхности (рис. 3.32). Поскольку линии магнитной индукции не имеют
источников и являются замкнутыми, число линий, входящих с одной
стороны поверхности, в точности равно числу линий, выходящих
с другой ее стороны, и сумма C4.3) равна нулю:
ndS=0, C4.4)
т. е. магнитный поток через замкнутую поверхность тождв'
ственно равен нулю.
Выделим в магнитном поле произвольный замкнутый контур П
и построим произвольную поверхность S, опирающуюся на этот
контур (рис. 3.32). Ее будет пронизывать магнитный поток. Но
на коитур П может опираться любая другая поверхность S', S"
и т. д. Легко видеть, что магнитный поток через любую из этих
поверхностей один и тот же — он равен магнитному потоку, про-
пронизывающему П.

220 Ч. 1П. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. VII
Формально это следует из того, что любая поверхность, на-
например S', образует вместе с 5 замкнутую поверхность, к ко-
которой применим результат C4.4). Для этого нужно только нор-
нормаль п' к поверхности S', определенную направлением обхода во-
вокруг П (показанному на рисунке), заменить обратной нормалью п,
показанной пунктиром, с тем чтобы эта нормаль, как и п, на
поверхности S была внешней к получившемуся замкнутому объему.
Разбивая C4.4) на два интеграла по S и S', имеем
(f Bnds= § BndSJr $ BndS=0.
S + S' S' (n) S(n)
Переходя в первом интеграле от нормали п к п', мы меняем тем
самым знак этого интеграла, откуда следует
J BndS= J BndS,
S(n) S'(n')
что и доказывает сделанное утверждение.
О линиях индукции (напряженности) или потоке индукции (напря-
(напряженности), пронизывающих произвольную поверхность S, натянутую
на контур П, мы будем говорить, что они сцеплены с кои-
туром П. Согласно сказанному выше поток индукции, сцепленный
с контуром П, не зависит от формы поверхности, натянутой на
этот контур и пронизываемой потоком.
Таким образом, любая замкнутая линия П в магнитном поле
сцеплена с вполне определенным магнитным потоком Ф. Величина
этого потока рассчитывается по формуле
Фп= ) BndS, C4.5)
где интегрирование производится по любой поверхности, опи-
опирающейся на контур П.
Из C4.1) определяются единицы магнитного потока: в гауссовой
системе такой единицей является мак с вел л (мкс):
1 мкс= 1 гс-\ см*,
в системе СИ—веб ер (вб)
1 мг = \ в-сек= 1 вб
связь между ними:
вб=10* гс-10* смг=\0° мкс._ C4.7)
Введение вектора магнитной индукции В и магнитного потока Ф
позволяет сравнительно просто рассчитывать магнитные цепи,

§ 341
ПОТОК ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
221
содержащие элементы с различными сечениями и магнитными про-
ницаемостями. Рассмотрим для примера простейшую магнитную цепь,
состоящую из кольцеобразного сердечника с узким воздушным за-
зазором (рис. 3.33). Магнитное поле создается током / в обмотке
сердечника, имеющей w витков. Проведем
показанную на рисунке штрих-пунктиром
замкнутую линию, охватывающую все токи.
Часть этой линии /с проходит внутри сер-
сердечника, а часть /в — в воздушном зазоре.
Тогда по закону полного тока C3 11)—
C3.13) '
(J) Hldl = k-4nlw. C4.8)
Обозначим магнитную проницаемость
материала сердечника через цс и магнитную
проницаемость воздуха через цв. Поле внут-
внутри сердечника и в воздушном зазоре будем
считать однородным, т. е. пренебрежем
некоторым рассеянием линий индукции.
Последние непрерывны, и величина В в сердечнике и зазоре прак-
практически одинакова. Напряженности же поЛя в сердечнике Яс и в за-
зазоре Нв различны и равны соответственно
Рис. 3.33.
Следовательно,
и из C4.8) и C4.10) имеем
Anlw
-—г
C4.9)
C4.10)
C4.11)
В отсутствие воздушного зазора, если его заполнить тем же
материалом, из которого сделан сердечник, магнитная индукция равна
C4.12)
Так как сердечники катушек делаются обычно из ферромагнит-
ферромагнитных материалов, у которых И-С>^в> т0 из сравнения C4.11)
и C4.12) видно, что В<В0, т. е. наличие воздушного зазора ос-
ослабляет магнитное поле во всей катушке. Чтобы этого не происхо-
происходило, длина воздушного промежутка должна быть очень мала по

222 ч. ш. электромагнетизм Ггл. vh
сравнению с длиной сердечника и должна удовлетворять неравенству
?<А т. е. /в<^/с</с. C4.13)
Умножив обе части равенства C4.11) на площадь поперечного
сечения сердечника S, можно привести его к виду
, C4.14)
где Ф — магнитный поток, пронизывающий сердечник и воздушный
зазор.
Равенство C4.14) по внешнему виду напоминает закон Ома для
постоянного тока /, идущего под действием электродвижущей силы ?
через цепь из двух линейных проводников с длинами /, и /г, удель-
удельными проводимостями у, и уг и сечением S:
YiY.
где к, = — j- и Кг = — ^—электрические сопротивления этих про-
проводников, a R = Ri-}-fit — полное сопротивление всей цепи. По
аналогии с C4.15) соотношение C4.14) называют законом Ома
для магнитной цепи.
$u, C4.16)
создающая магнитный поток Ф, называется намагничивающей или
магнитодвижущей силой. Величины
называются соответственно магнитными сопротивлениями
сердечника и воздушного зазора, а их сумма
Rn = Rk.c + R*.b C4.18)
¦—полным магнитным сопротивлением цепи при после-
последовательном соединении.
При- введенных обозначениях закон Ома для магнитной цепи
C4.14) принимает вид
1 . C4.19)
ъл. с + Км. в
Для расчета сложных разветвленных магнитных цепей приме-
применяются правила, аналогичные используемым для разветвленных

§35]
ПРОВОДНИК С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
223
электрических цепей правилам Кирхгофа. В узлах, где сходятся
несколько магнитопроводов, выполняется первое правило Кирхгофа
= 0 C4.20)
т. е. алгебраическая сумма магнитных потоков, сходящихся в узел,
равна нулю.
Для замкнутых участков магнитной цепи, содержащих несколько
магнитодвижущих сил $м. / =
противлений /?м,/= 4-< кото-
и несколько магнитных со-
сорые пронизываются соответству-
соответствующими магнитными потоками Ф,-,
выполняется второе правило
Кирхгофа
—алгебраическая сумма произ- +#
ведений магнитных потоков на Рис. 3.34.
магнитные сопротивления после-
последовательных участков замкнутого контура равна алгебраической сумме
магнитодвижущих сил в этом контуре.
Для примера на рис. 3.34 приведен разветвленный контур, со-
состоящий из электромагнита и якоря с воздушными зазорами.. Как
указывалось выше, при рассмотрении предыдущего примера, по
мере уменьшения воздушного зазора уменьшается магнитное со-
сопротивление цепи и возрастают магнитные потоки, магнитная ин-
индукция и намагниченность сердечника и якоря. Вследствие этого
по мере приближения якоря к электромагниту резко возрастают
силы притяжения между ними.
§ 35. Работа по перемещению проводника с током
в магнитном поле
Проводник с током, помещенный в магнитное поле, испытывает
пондеромоторную силу. При перемещении проводника с током поле
производит работу. Для вычисления этой работы рассмотрим ли-
линейный проводник длиной / с током /, перемещающийся в одно-
однородном магнитном поле В = const. Расположение деталей прибора
изображено на рис. 3.35, а; схема поля, тока, сил и перемещений
приведена на рис. 3.35, б. Вектор В перпендикулярен к плоскости
чертежа и направлен за эту плоскость, что изображено на чертеже
крестиками. На элемент тока//действует со стороны магнитного поля,

224 4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
согласно C1.2), сила
[ГЛ. VII
F=k'IlB, C5.1)
так как угол В между направлением тока__и_ линиями индукции ра-
р
ереместим провод параллельно самому себе на расстояние dx
по направлению действия силы F. При этом магнитное поле со-
совершит работу
dA = Fdx = k'lBl dx= k'JB dS = k'IdO,
так как ldx=dS есть площадь, очерчиваемая проводом при его
перемещении в магнитном поле, a BdS = d® — магнитный поток,
пронизывающий эту площадь.
-z
В
/7
Таким образом,
dA = k'Id<&, C5.2)
т. е. работа, совершаемая про-
проводником с током при пере-
перемещении его в магнитном
поле, численно равна произ-
произведению тока / на магнитный
поток й?ф, пересеченный_ дви-
движущимся проводником.
Формула C5.2) остается
справедливой и в случае, если
проводник движется не пер-
перпендикулярно к линиям маг-
магнитной индукции, а под не-
которым углом .к ,щш. В си-
у лц
стеме СГС ток / выражается в СГС ед. тока, магнитный поток
dQ)—в мкс и работа dA — в эрг. В системе СИ ток выражается
в а, магнитный поток — в в-сек (вб), k'=\ и работа получается в док.
\ Выведем теперь выражение для работы перемещения замкнутого
кОЯтура с током в магнитном поле. Для упрощения вычислений
рассмотрим прямоугольный контур с током 12 3 4 1, плоскость
которого перпендикулярна к линиям вектора магнитной индукции
В (рис. 3.36). Линии индукции направлены за плоскость чертежа.
Ток направлен по часовой стрелке, и магнитный поток Ф,, сцеп-
сцепленный с контуром, положителен.
Переместим этот контур параллельно самому себе в новое по-
положение /' 2' 3' 4' /'. Магнитное поле в общем случае может быть
неоднородным, и в новом положении с контуром будет сцеплен
магнитный поток Фг Проведем пунктирные линии 3 2' и 4 1\
вдо'ль которых двигались стороны контура. Эти линии выделяют
площадку 3 2' Г 4, расположенную между старым и новым

§ 35]
ПРОВОДНИК С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
225
положениями контура и пронизываемую некоторым магнитным
потоком Ф'.
Полная работа А по перемещению контура в магнитном поле
равна алгебраической сумме работ, совершенных магнитным полем
по перемещению каждой из четырех сторон:
4 +Л.1 • C5 3)
Величины Л2,з = Aitl = 0, так как соответствующие стороны при
своем перемещении очерчивают нулевую площадь и не перере-
перерезают магнитного потока. Сторона 3 4 пересекает поток Ф'+Ф2, и
Д3 4 =&7(Ф'+Ф2). C5.4)
Провод 1 2 пересекает поток ф,+Ф', но движется против сил
действия магнитного поля,
г *_„___? 4'
X X X >
Ali2=—Й'ДФ. + Ф'). C5.5)
Из C5.3) —C5.5) окоича-р
тельно находим
Ф,). C5.6)
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
А
X X
X X
X X X X
X Х^Х X
X X X X
X X X X
Рис. 3 36
Величина Ф2—Ф]==АФ
представляет собой и з м е-
н е н и е магнитного потока, сцепленного с контуром. Для элемен-
элементарного перемещения
dA = k'Id<$>, C5.7)
т. е. работа dA, совершаемая при перемещении замкнутого кон-
контура с током в магнитном поле, численно равна произведению ве-
величины тока / на изменение магнитного потока, сцепленного с кон-
туром. \Форы?лы C5.2) и C5.7) внешне тождественны, но физи-
физический смысл величин й?ф в них существенно различен.
Соотношение C5.7), выведенное нами для простейшего случая,
остается справедливым для контура любой формы в произвольном
магнитном полеТ~Еолее"того," если "контур неподвижен, а меняется
вектор магнитной индукции (в результате перемещения источ-
источников магнитной индукции или изменения токов в них), то при,
изменении магнитного потока в контуре на величину <2Ф магнит-
магнитное поле совершает работу dA, рассчитываемую по той же фор-
муле C5.7). —
8 Г. А. Зисман и О М Тодес

ГЛАВА VIII
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 36. Движение зарядов ,р магнитном поле
Сила, которую испытывает элемент тока, помещенный в магнит-
магнитное поле, есть результирующая всех сил, действующих на отдель-
отдельные заряды, движущиеся.* этом элементе. Это позволяет найти силу,
действующую на одиночный заряд, перемещающийся в магнитном
поле.
Элемент тока, изображенный на рис. 3.37, имеет длину dl и
конечную площадь поперечного сечения S. Для упрощения рассу-
рассуждений примем, что в проводнике имеет место ток зарядов одного
знака. Величину каждого заряда обозначим через е, число таких
зарядов в единице объема проводника—через п и среднюю ско-
скорость их направленно-
направленного движения в проводни-
проводнике—через v. Тогда ток /
равен
I = jS=nevS
Рис> 3'37- / dl=evnSdl=evN, C6.1)
где N=nS dl есть полное число движущихся зарядов в элементе
тока. Поскольку векторы d\ и ev параллельны друг другу (при
е>0 vftrf], при е<0 vfl^I, так что evft^l при любом знаке за-
заряда е), то
Id\=Ne\. C6.2)
В этой главе мы будем рассматривать движение заряженных час-
частиц в магнитных и в электрических полях. Как уже указывалось, для
расчета электромагнитных воздействий на отдельные заряженные

§ 36] ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 227
частицы удобно применять абсолютную гауссову систему единиц,
которой мы и будем пользоваться в этой главе.
Поместим рассматриваемый элемент тока в постоянное магнит-
магнитное поле. По закону Ампера C2.9) на этот элемент тока будет дей-
действовать сила
fifF = i-[/rflxB] = ^-e[vxB]. C6.3)
Отсюда сила, действующая на одиночный заряд е, движущийся со
скоростью v в магнитном поле В, будет равна
Величина этой силы равна
"~"~ C6.5)
Сила, действующая на одиночный электрический заряд в магнит-
магнитном поле,
[fxB], C6.6)
называется лоренцовой силой.
Поскольку в данной главе мы будем изучать движение заряжен-
заряженных частиц в вакууме или достаточно разреженном газе, а в абсо-
абсолютных системах Ввак = Н, то формулу C6.6) можно переписать
в виде v
f=|[vXH]. C6.7)
Здесь е измеряется в СГС ед. заряда, Н—в э, v и с—в си/сел?
и /—в дин*).
Взаимная ориентация векторов v, H и i показана для случая
положительных зарядов (е>0) на рис. 3.38, а и для случая отри-
отрицательных зарядов (е<.0) на рис. 3.38, б. Величина этой силы зави-
зависит от угла р между векторами v и Н и равна
-©# sin р. C6.8)
с
Отсюда видно, что магнитное поле не действует на заряжен-
ную частицу в двух случаях:?если v=0, т. е. частица неподвиж-
на,Т7или если sinp'=0 и у||Н, когда частица движется вдоль ли«
нии магнитного поля.
•) В системе СИ формулы C6.6) и C6 7) примут вид
8*

228
4. HI. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. viii
Обозначим массу движущейся частицы через т. Тогда по вто-
второму закону Ньютона частица получает ускорение w:
f C6.9)
И
и
т
Подставляя в C6.9) значение f из C6.7), получаем
w=^[vxHl. C6.10)
При произвольном движении вектор ускорения w имеет две
составляющие—касательное ускорение wK и нормальное wH. Ана-
Анализируя C6.10), мы видим,
что при движении заряда
в магнитном поле его уско-
ускорение w перпендикулярно
к скорости v, т. е. всегда
*и направлено по нормали
, к траектории. Это следует
из того, что вектор [vxH],
в соответствии с правила-
Рис. 3.38.
е-=0
б)
ми векторного умножения,
перпендикулярен к вектору
v (и, конечно, к вектору Н). Следовательно, в этом случае
C6.11)
Вспомним (том I, часть I), что изменение величины вектора ско-
скорости обусловлено составляющей ускорения tifK=-^, в то время
как составляющая ускорения wa изменяет направление вектора ско-
скорости, не меняя его величины. Следовательно, в нашем
случае имеем
-77- = 0, или v= const.
C6.12)
Значит, при движении заряженной частицы в постоянном магнитном
поле скорость ее движения v может изменяться лишь по
направлению. Абсолютная же величина скорости v остается
неизменной, а значит, не меняется и кинетическая энергия частицы:
C6.13)
mv*
т. е. постоянное магнитное поле не совершает работы над дви-
движущейся в нем заряженной частицей. Это может быть подучено
и из непосредственного рассмотрения выражения для силы f, дей-

§ 36] ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 229
ствующей на заряд, движущийся в магнитном поле. Согласно C6.7)
эт~а сила перпендикулярна к скорости, т. е. перпендикулярна irTTa-
правлению траектории частицы,' и поэтому работа силы равна нулю.
Следует подчеркнуть, что неизменность величины скорости и
кинетической энергии заряженной частицы в магни'тном поле
имеет место лишь в том случае, если это поле постоянно, не
зависит от времени. В главе IX будет показано, что перемен-
переменное магнитное поле ускоряет заряженные части-
частицы (точнее, меняет не только направление, но и величину скорости).
Нормальное ускорение wn всегда равно v*jr, где г есть радиус
кривизны траектории в данной точке (см. т. I, гл. I). Из C6.11)
тогда получаем соотношение
?-?"Л.1пр,"иля г-.^, C6.14)
позволяющее определить радиус кривизны во всех точках траек-
траектории частицы. Разберем два простейших примера.
Пример 1. Заряженная частица влетает в однородное магнит-
магнитное поле Н= const с начальной скоростью v, направленной пер-
перпендикулярно к вектору напряженности магнитного поля (vJ_H).
Поскольку f и w тоже перпендикулярны к Н, то в дальнейшем век-
вектор скорости будет оставаться перпендикулярным к Н, и вся тра-
траектория будет лежать в плоскости, перпендикулярной к вектору
напряженности магнитного поля. Тогда sin p = sin90°= 1, из
C6.14) получаем, что
г = ^-=т= const C6.15)
— радиус кривизны траектории остается постоянным, а сама тра-
траектория есть окружность радиуса г. Этот радиус для частиц дан-
данной природы (т. е. для данных значений т и е или для частиц
с данным отношением е]т) прямо пропорционален скорости части-
частицы v и обратно пропорционален напряженности магнианого по-
поля Н. Длина окружности
2n~j- C6.16)
также пропорциональна скорости частицы, а период обращения ее
в поле
г=4=2я^- <36-17)
зависит не от скорости у, а только от напряженности магнитногр
поля ti, заряда е и массы т частицы. Независимость периода обра-
щения Т от скорости v и кинетической энергии частицы играет
важную роль в практических приложениях (например, в ускорите-
ускорителе тяжелых частиц—циклотроне, см. стр. 231, 232).

230 4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. VIII
Пример 2. Частица влетает в однородное магнитное поле
Н=const, и направление вектора ее скорости v составляет с линиями
магнитного поля угол р, отличный от 90°. Мы можем разложить v
на две составляющие- перпендикулярную (vjj и параллельную (v,,)
полю, как показано на рис. 3.39.
~ " * Величины этих составляющих равны
^ '»«=«'cosp и v±=vsin{5. C6.18)
2=
_t—i—
Сила, действующая на частицу,
т * /= — Hv sin р = — nvi (ob.19)
" - - - лежит в плоскости, перпендикулярной
, рур
Рис. 3.39. к Н, определяется величиной вектора
vj_ и изменяет его направление.
Движение частицы при этом можно представлять как сумму двух
независимых движений. Одно из них происходит в направлении Н,
а другое—в плоскости, перпендикулярной к Н, в которой действует
сила f. Испытывая эту силу, частица будет вращаться по окруж-
окружности радиуса
mcv , mcv sin В
R—w = -r C6-2°)
в плоскости, перпендикулярной к вектору напряженности магнитного
поля, и будет совершать один оборот за время Т, определяемое
из C6.17).
С другой стороны, поскольку f J_ H и fJ_V||, то частица будет
двигаться вдоль линий магнитного поля с постоянной поступательной
скоростью V|| = const. Вследствие наложения этих двух движений —
поступательного вдоль линий поля и вращательного в перпендику-
перпендикулярной к ним плоскости—частица будет двигаться по винтовой
линии с шагом виита.
C6.21)
Рассмотренные простейшие примеры показывают, что заряженные
частицы, влетающие в постоянное магнитное поле, изменяют на-
направление своего движения и начинают «навиваться» на линии
вектора Н. Этим свойством пользуются в некоторых приборах,
чтобы удержать пучки заряженных частиц от расплывания. Если
частица движется точно вдоль линии Н, то магнитное поле не
оказывает на иее никакого воздействия (vjjH и f = 0). Если же
частица по каким-либо причинам получит составляющую скорости
Vj_, перпендикулярную к линиям поля, то она все равно не уйдет
далеко в сторону от заданной траектории и будет двигаться по
винтовой линии, навиваясь на эту траекторию.

§ 36|
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДОВ В МАГНИТНОМ ПОЛК
231
Из мирового пространства на Землю приходят потоки заряжен-
заряженных частиц большой энергии —космические лучи. Кроме того, на
Землю падает поток заряженных частиц, испускаемых Солнцем.
При приближении к земной поверхности эти частицы начинают испы-
испытывать действие магнитного поля Земли. На рис. 3.40 показано
изменение их траекторий Те из них, которые направляются к маг-
магнитным полюсам Земли, будут двигаться почти вдоль линий земного
магнитного поля и навиваться на"последние. Так как по мере при-
приближения к земной поверх-
поверхности напряженность маг-
магнитного поля h возрастает,
то согласно C6 20) радиус
окружности винтовой линии
будет уменьшаться.
Заряженные частицы,
подходящие к Земле вблизи
экваториальной плоскости,
направлены почти перпенди-
перпендикулярно к линиям магнитно-
магнитного поля и отклоняются в с го-
рону от своего первоначаль-
первоначального направления. Лишь
самые быстрые из них(/?~х/)
смогут дойти до поверх-
поверхности Земли Такова при-
причина так называемого ш и-
ротного эффе KT_dj
заключающегося в том, ч\о
интенсивность космических Рис 3 40
лучей, доходящих до Земли г
вблизи экватора, заметно меньше, чем в более высоких широтах. Этим
же обстоятельством объясняется и то, что свечение в верхних слоях'
атмосферы, вызываемое корпускулярным излучением Солнца, наблю-
наблюдается главным образом в полярных областях (полярные сияния).
Независимость периода обращения Т от скорости частицы в
однородном магнитном поле была использована в ускорителе заря-
женных частиц, названном циклотроном, применяемом для
исследований атомных ядер. Мощное, почтй~~однородное магнитное
поле создается между громадными полюсными наконечниками элек-
электромагнита, диаметр которых достигает иногда нескольких метров.
В этом поле помещается вакуумная камера, в которой ускоряемые
частицы могут двигаться, практически не испытывая столкновений
с молекулами воздуха. Важнейшей частью этой камеры являются
находящиеся в ней д у а н ты—-плоские металлические полукруглые
коробки, показанные на рис. 3.41. На дуанты подается переменное

232
4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. viu
Рис 3.41,
напряжение, так что в щели между ними возникает электрическое
поле, способное ускорять заряженные частицы.
Ускоряемые частицы — чаще всего протоны или другие ядра —
вводятся в циклотрон вблизи от центра прибора и, обладая малой
скоростью, описывают согласно C6.15) дугу окружности малого
радиуса. Проходя в электрическом поле между дуантами, они уско-
ускоряются и во второй поло-
половине дуантов проходят по
дуге большего радиуса,
но за то же самое время,
равное половине периода Т:
у=я^. C6.22)
f Если подобрать период по-
подаваемого на дуанты напря-
напряжения равным Т, то час-
частицы, проходя между ними,
будут в обоих полуперио-
полупериодах ускоряться. При этом радиусы полуокружностей, описыва-
описываемых в каждом дуанте, будут возрастать, но время совершения
оборота Т в дуантах будет оставаться постоянным, что позволяет
подавать на дуанты переменное напряжение постоянной частоты
(значение которой зависит только от ejm для ускоряемых частиц
и от напряженности магнитного поля Н).
Чтобы ускоряемые частицы оставались в центральной плоскости
прибора и не отклонялись к верхней или нижней стенкам дуантов,
применяется следующий спо-
способ. Полюсам элетромагнита
придается такая форма, что
зазор между ними увеличи-
увеличивается к краям (рнс. 3.42).
Если, например, заряженная / i г—i—г
частица приобретет вертикаль- ~ ¦—I—•
ную составляющую скорости 1—) j л> > 11.
и отклонится вверх, то, как
видно из рисунка, в несколько
неоднородном поле Н возни-
возникает вертикальная составляю-
составляющая силы, возвращающая час-
частицу обратно в экваториаль-
экваториальную плоскость прибора (скорость частицы v направлена от нас
перпендикулярно к плоскости рисунка, что показано крестиком).
Таким образом устраняется потеря частиц, неизбежная при отсутст-
отсутствии сил, удерживающих их в плоскости траектории. Доходя до
Рис. 3.42.

§ 36] ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 233
боковых стенок дуантов, ускоренные частицы с помощью специ-
специального приспособления выводятся из циклотрона н направляются
на мишень.
В результате многократного ускорения между дуантами частицы
приобретают энергию, которую они могли бы получить при одно-
однократном ускорении полем с разностью потенциалов до 10 миллио-
миллионов вольт. Частиц со значительно большими энергиями циклотрон
дать не может: с ростом скорости частиц увеличивается их масса
т=то1\/Г\—(f/c)a, а, значит, согласно C6.22), увеличивается пе-
период Т оборота частиц. В результате синхронность между враще-
вращением частицы и переменным ускоряющим напряжением нарушается
и дальнейшее ускорение Становится невозможным. Эта трудность
устраняется в более совер-
совершенных ускорителях час- I >- I-
тиц, в которых напрлжен-
ность магнитного поля и
х
Ч f
Н
частотапеременного элек-
трического поля в процес-
се ускорения меняются
Пример 3. Своеобраз-
Своеобразный эффект, обусловленный РиС- 43-
действием лоренцовой силы
на свободные заряды в проводнике и носящий название эффекта
Холла, позволяет суднгь о знаке этих зарядов.
Представим себе 'проводник в виде плоской ленты, расположен-
расположенный в магнитном поле. Линии напряженности магнитного поля
пересекают проводник перпендикулярно к его плоскости. По про-
проводнику течет ток, следовательно, подвижные заряды обладают
конечной дрейфовой скоростью v.
На рис. 3.43 проводящая лента изображена в плоскости листа,
магнитное поле направлено от нас, за лист, ток течет, как показано
стрелкой, слева направо. Пусть носителями тока являются электроны
(рис. 3.43,а). Тогда направление дрейфовой скорости электронов
будет справа налево. При таком направлении скорости в указанном
магнитном поле электроны будут испытывать действие лоренцовой
силы fл, направленной вверх. Верхний срез проводника будет за-
заряжаться отрицательно, нижний — положительно.
Из рис. 3.43, #видно, что при том же направлении тока, но положи-
положительном знаке подвижных зарядов (значит, в частности, при дырочной
проводимости), знаки зарядов на срезах проводника сверху и снизу
меняются: направление убудет тем же, но теперь вверх будут откло-
отклоняться положительные заряды. Это и позволяет экспериментально
определять знак электрического заряда носителей тока в проводнике.
Заметим, что и при равной концентрации носителей обоих заря-
зарядов холловская разность потенциалов возникает, если дрейфовая

234 ч. ш. электромагнетизм [гл. viu
скорость носителей заряда разных знаков различна, что, как пра-
правило, имеет место.
Подсчитаем величину холловской разности потенциалов Дф между
верхним и нижнам срезами проводника для простейшего случая
носителей тока одного знака заряда. Обозначим через ?х электри-
электрическое поле, обусловленное холловской разностью потенциалов Дф.
Обозначая через h ширину ленты — проводника, имеем
Дф=?хй. C6.23)
Перераспределение зарядов прекратится (а следовательно, уста-
установится значение Дф), когда электрическая сила, обусловленная
полем Ех, т. е. е?х, будет равна по величине и противоположна
по направлению лоренцовой силе fa. Имеем, следовательно,
или
?х = А&р. C6.24)
Вспомним теперь, что плотность тока j равна
/=¦§¦=nve,
где 5—поперечное сечение проводника, п — плотность носителей
тока, v—дрейфовая скорость. Определяя отсюда v и подставляя
найденное значение в C6.24), получаем
^5Г5^ <36-25>
Это дает в соответствии с C6.23)
<36-26>
Таким образом, холловская э.д.с. пропорциональна плотности
тока, ширине проводника и индукции магнитного поля.
Исследования проводимости металлов с помощью эффекта Холла
привели к удивительным выводам: металлы, как и полупроводники,
могут обладать проводимостью р-типа! Это относится к металлам
с перекрывающимися зонами (см. § 28), у которых дырочная про-
проводимость может превалировать над электронной. В таких металлах,
как цинк и кадмий, дырки в среднем более подвижны, чем электроны.
§ 37. Удельный заряд и масса электрона. Масс-спектроскодия
На заряд е, помещенный в электрическое поле напряженностью
Е, действует сила
*8д=еЕ. C7.1)

§ 37] УДЕЛЬНЫЙ ЗАРЯД И МАССА ЭЛЕКТРОНА. МАСС-СППКТРОСКОПИЯ 235
На тот же заряд, движущийся со скоростью v в магнитном
поле Н (в вакууме) согласно C6.7), действует сила
C7.2)
Полная лоренцова сила, действующая на движущийся заряд
при одновременном наличии электрического и магнитного полей,
равна
/ Г I, 11
C7.3)
Под действием этой силы частица с массой т получает ускорение
Уже один вид этого наиболее общего уравнения движения заря-
заряженной частицы в полях позволяет сделать очень важный вывод:
характер движения и траектория заряженной частицы (при одина-
одинаковой начальной скорости v0) зависят не от ее заряда или массы
в отдельности, а лишь от отношения е/да. Величина е/т носит на-
название удельного за-
заряда данной частицы Чем
меньше е[т (т. е чем мень-
меньше заряд и больше масса
частицы), тем меньше уско-
ускорение w и тем меньше изме-
изменяется и по величине ипо на-
направлению скорость v час-
частицы в данном поле.
Измеряя скорости и тра-
траектории частиц, движущих-
движущихся в электрических и маг-
магнитных полях, можно опре-
определить величину и знак их
удельного заряда. Таким
образом был впервые опре-
определен удельный заряд электрона. Если одна из этих величин изве-
известна, то по найденному отношению ejm можно определить и вто-
вторую. Приведем одну из схем экспериментального определения ejm.
На рис. 3.44 изображена схема электронно-лучевой трубки,
применяемой в этом опыте. Катод К накаливается током от специ-
специальной батареи до температуры Т= 1500 -г- 2000° С и испускает
электроны со средней кинетической энергией mv%\2 порядка 'j^kT.
Между катодом и анодом прикладывается разность потенциалов
U вольт, ускоряющая электроны. По закону сохранения энергии
Рис 3 44

236 Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. VI»
скорость v электронов, достигающих анода, определяется из
соотношения
mv* mv\ eU m «
Множитель 300 в знаменателе правой части этого равенства свя-
связан с тем, что 1 8=0™ СГС ед. напряжения. При U~ 10*ч-104в
<nvl ^ eU
-о— <=; ^я и с достаточной степенью точности
или
*=/!!• <37-7>
Анод А представляет собой металлический цилиндр с двумя
узкими отверстиями на противоположных торцах. Эти отверстия
выделяют тонкий пучок «монохроматических», т. е. обладающих
практически одинаковыми по величине и направлению скоростями,
электронов. Описанная часть прибора носит название электрон-
электронной пушки или электронного Прожектора.
Стеклянная колба электронно-лучевой трубки откачана до высо-
высокого вакуума, так что электроны, прошедшие через отверстия в
аноде, летят далее равномерно и прямолинейно, почти не испытывая
соударений с молекулами воздуха. Дно колбы покрыто изнутри
специальным составом, светящимся при бомбардировке электронами.
Электронный луч, падающий на этот экран Э, созд*ает на нем
маленькое светящееся пятнышко.
Поместим электронно-лучевую трубку в магнитное поле Н,
созданное соленоидом, перпендикулярным к чертежу. На рис. 3.44
сеченне этого соленоида показано пунктиром, а направление линий
магнитного поля, идущих за плоскость чертежа, отмечено крести-
крестиками. Измеряя ток / в соленоиде и зная число витков его w,
можно по формуле C3.18) определить величину Н. Электроны (е<0)
движутся в плоскости чертежа, т. е. v J_ H. Действующая на них
сила согласно C7.2) равна
fKarn = e~H C7.8)
и отклоняет электронный пучок вниз, как это показано на чертеже
пунктиром. Как было показано в примере 1 предыдущего параг-
параграфа, величина скорости электрона v в магнитном поле не меняется,
и в случае однородного поля Н = const электрон будет двигаться

§ 37] УДЕЛЬНЫЙ ЗАРЯД И МАССА ЭЛЕКТРОНА. МАСС-СПЕКТРОСКОПИЯ 237
по окружности постоянного радиуса г, так что согласно C6.14)
* = i-^. C7.9)
Измеряя радиус этой окружности и зная скорость электронов,
можно тогда из C7.9) определить величину ejm. Поскольку из
C7.7) величина v определяется в свою очередь лишь через е[т,
то, комбинируя C7.7) и C7.9), получим
ЧП7" _е гН
т 150 тс'
откуда окончательно
^ = 130,4- C7Л0>
Вместо изменения U можно к пластинам /7 конденсатора, рас-
расположенным на взаимном расстоянии б внутри трубки, приложить
дополнительную разность потенциалов U' и создать между ними
электрическое поле ?=3qqt, перпендикулярное к линиям магнит-
магнитного поля и направлению электронного луча. Изменяя U', можно
добиться того, чтобы сила/эл, действующая на электрон, пролетаю-
пролетающий в электрическом поле Е между пластинами /7, уравновесила
силу действия магнитного поля. Тогда траектория электронов снова
станет прямолинейной, о чем можно судить по возвращению элек-
электронного луча обратно в точку О экрана. В этом случае
еЕ=е^-Н. C7.11)
Сокращая е и комбинируя C7.9) с C7.11), получим
где г — радиус траектории электрона в отсутствие дополнительного
электрического поля.
В последнем случае можно не измерять г, а определять точно
ускоряющую разность потенциалов U в электронной пушке. Тогда,
комбинируя C7.7) с C7.11), получаем
Тщательные измерения дали для электронов значение
C7.14)
Величина заряда электрона известна из опытов Милликена (см. § 3)
и подобных ему и равна ее=—4,803-10~10 СГС ед. заряда.

238 Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. VIII
Следовательно, масса электрона равна
те=9,109- 10"г' г=у§зу массы атома водорода. C7.15)
Тщательные измерения е\т для электронов и ионов позволили
открыть много новых свойств микроскопических частиц. Было
обнаружено уменьшение ejm, вызванное возрастанием массы электро-
электрона со скоростью, и установлена зависимость массы от скорости:
1!—ш ¦ C7.16)
Здесь т0—масса покоящегося электрона (при v—-0), a m—его
масса при движении со скоростью г>. Объяснение зависимости т
от v было дано Эйнштейном в 1905 г.
В принципе теми же методами определяются массы атомов и
молекул. Соответствующие приборы для определения масс атомов
и молекул (точнее, их ионов) носят название масс-спектро-
масс-спектрографов. Необходимые ионы получаются с помощью газового
разряда Далее они ускоряются, и из пучка их с помощью электро-
электромагнитного ч<монохроматора» выделяются ионы одной скорости.
Затем ионы отклоняются электрическими и магнитными полями. По
величине отклонения определяется удельный заряд е\М, а отсюда и
масса ионов М.
Первые же измерения масс атомов обнаружили существование
изотопов. Пучок ионов одного химического элемента в масс-
спектрографе после отклонения в магнитном поле расщепился и дал
на фотопластинке несколько линий, соответствующих массам-раз-
массам-различных изотопов данного элемента, — своеобразный спектр масс.
В наши дни точность определения масс атомов с помощью масс-
спектрографов (правда, не в граммах, а по отношению к массе
эталонного атома) достигает 6 — 8 значащих цифр.
Масс-спектроскопические методы позволяют проводить количе-
количественный анализ нефти, состоящей из молекул различных углеводо-
углеводородов, трудно различимых обычными химическими способами. При
большой мощности ионного пучка этот метод позволил разделять
изотопы в заметных количествах.
§ 38. Электронно-лучевые приборы.
Электронный микроскоп
В настоящее время электронные приборы получили широкое
распространение. Это вызвано несколькими причинами—легкостью
управления электронным пучком («лучом»), практической безынер-
ционностыо пучка (заметим, что согласно C7.7) и C7.И) электрон,

§ 38] ЭЛЕКТРОННО-ЛУЧЕВЫИ ПРИБОРЫ. ЭЛЬКТРОННЫЙ МИКРОСКОП
239
будучи ускорен полем напряжением в ?/=1 в, приобретает скорость
594 км/сек и эта скорость растет для небольших напряжений,
как у U) и т. д. Среди электронных приборов, получивших самое
широкое применение, кроме рассмотренных в § 23 электронных
ламп, следует прежде всего назвать электронно-лучевую трубку,
применяемую в телевизорах, радиолокаторах, электронных осцилло-
осциллографах и множестве других устройств
Электронно-лучевая трубка состоит из электронного прожектора
(более совершенной конструкции, чем описанная в предыдущем
параграфе), системы отклонения электронного луча и экрана,
светящегося при падении на него электронов.
Конструкция электронного прожектора показана на рис 3 45 Источни-
Источником электронов является подогревный катод К—цилиндрик с донышком,
покрытым тонким слоем вещества, обладающего малой работой выхода Его
температуру можно рег>лировать, меняя ток в нити иакала катода Н. За
катодом располагается модулирующий электрод М(цилиндр Венель-
та). Потенциал) подаваемый на М, отрицателен по отношению к катоду Число
Рис 3.45.
электронов, проходящих через отверстие модулирующего электрода, сильно
зависит от его потенциала Варьируя последний, можно менять ток электрон-
электронного пучка и в конечном итоге—яркость пятнышка на экране трубки.
Этим пользуются в кинескопах телевизоров, подавая видеосигнал на модули-
модулирующий электрод
Далее следуют два анода А1 и Аг с положительными по отношению
к катоду потенциалами Ускоряющие электроны электрические поля, возни-
возникающие между М и Аи а также между А1 и Л2, показаны на рис 3 45
эквипотенциальными поверхностями Конфигурация электро-
электродов, а следовательно, форма эквипотенциальных поверхностей поля выби-
выбирается так, чтобы электроны не только ускорялись, но и фокусировались
в точку иа экране трубки
С помощью специально рассчитанных электрических и магнитных нолей
электронные пучки можно фокусировать так же, как лучи света фокусируются
с помощью линз Поля, обладающие свойством фокусировать электронные
пучки (например, между Ми Д, или между At и А2), называются э л е к-
т р онными линзами, электростатическими или магнитными в зависи-
мости от используемого для фокусировки поля Две электростатические

240
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. viii
Рис. .3.46.
линзы Лх и Л2 в электронной пушке позволяют фокусировать достаточно
мощный пучок электронов в пятнышко диаметром порядка десятых долей
миллиметра
Следующим элементом электронно-лучевой трубки является си-
система, управляющая отклонением электронного пучка Для этой цели
применяются магнитные или электрические поая. В последнем слу-
случае на пути пучка располагаются два конденсатора, плоскости кото-
которых повернуты друг к другу под углом 90° (рис. 3 46). Меняя
напряженность поля в конденсаторе Ct с вертикальными пластинами,
можно отклонять электронный пучок в горизонтальной плоскости;
конденсатор С2 позволяет
осуществлять отклонение
в вертикальной плоскости.
Скорость электронов
в электронно лучевой труб-
трубке составляет 10000—2000»
KMJce/c. Проходимый ими
путь от управляющего кон-
конденсатора до экрана не
превышает 20 — 30 см, а от
катода до экрана — не более 50 см. Поэтому прибор является
почти безынерционным, позволяя исследовать явления,протекающие
за миллионные доли секунды. Особенно удобным для такого рода
исследований является прибор, получивший название электро н-
н о г о осциллографа.
Основной частью электронного осциплографа является электрон-
электронно-лучевая трубка, на экран которой иногда для удобства нано-
наносят координатную сетку. В приборе имеется генератор электрических
колебаний, позволяющих подавать на вертикальные отклоняющие
пластины конденсатора переменное напряжение различной частоты.
С помощью этого приспособления можно исследовать электри-
электрические колебания в широком диапазоне частот, подавая изучаемую
периодическую э. д. с. на пластины гори-
горизонтального конденсатора и подбирая
частоту генератора осциллографа так,
чтобы на экране получались фигуры Лис-
сажу (см. т. I, гл. IV).
С помощью специальной схемы, на опи-
описании которой мы не останавливаемся,
на С1 можно подавать напряжение пило-
пилообразной формы (рис. 3.47). Под действием этого напряжения элект-
электронный луч будет перемещаться на экране по горизонтальной прямой
слева направо с постоянной линейной скоростью и, пробежав весь эк-
экран, практически мгновенно возвращаться обратно и повторять опять
весь путь. Такое движение электронного луча называется р а з в е р т-
Рис. 3.47.

§ 38] ЭЛЕКТРОННО-ЛУЧЕВЫЕ ПРИБОРЫ. ЭЛ1.КТРОННЫЙ МИКРОСКОП 241
кой. Подавая на Сгизучаемое переменное напряжение и подбирая час-
частоту развертки Сх так, чтобы эти частоты совпадали, можно получить
на экране осциллографа неподвижный график изучаемого процесса.
Переводить на «электрический язык» и изучать с помощью катодного осцил-
осциллографа можно самые различные процессы Приведем несколько примеров.
Можно исследовать деформацию деталей быстроходных машин в про-
процессе их работы, не нарушая при этом работы машин. Для этого на иссле-
исследуемую деталь наклеивают тонкую целлулоидную ленточку, на которой
нанесена полоска графита или приклеен тонкий проводник
см §§ 15 и 17) К тензометру через большое сопро-
сопротивление R подключается источник постоянного на- А
пряжения 0, так что в цепи идет ток / постоянной
величины I = UjR При деформации детали датчик
растягивается или сжимается, его сопротивление
меняется (в случае металлического проводника —
(тензометр,
Рис. 3.48.
пропорционально деформации), и вместе с тем меняется разность потенциа-
потенциалов AU на его концах (/= AUjA.R = const, при изменении &R меняется AU)
Переменная по величине э д с. Д{/, снимаемая с концов тензометра, усили-
усиливается и подается на конденсатор С2 осциллографа На экране получается
график деформации детали за период. С помощью специального изменения
напряжения развертки, подаваемого на С,, можно растянуть и просмотреть
в деталях любой участок изучаемой кривой
Весьма удобными—чувствительными и универсальными — датчиками
для решения самых различных задач являются диоды с подвижны ми
электродами. Две простейшие лампы такого типа пОКаЗаНЫ на рис8,
а и б В обеих лампах анод крепится с помощью герметической гибкой
металлической гофрированной трубки—сильфона. При колебаниях анода
ламп (рис 3 48, а) резко меняется анодный ток или анодное напряжение
(в зависимости от схемы установки, которую мы опускаем) С помощью
такой лампы легко осуществить микрометр любой чувствительности, иссле-
исследовать колебания с помощью катодного осциллографа и т д Особым пре-
преимуществом ламп с подвижными электродами как датчиков является то
обстоятельство, что они непосредственно дают напряжение, достаточное для
работы осциллографа, так что необходимость усиления сигналов датчика
отпадает Это позволяет с помощью многолучевого осциллографа, т е
осциллографа с несколькими одновременно развертываемыми и независимо
управляемыми электронными лучами, изучать колебания сразу несколь-
нескольких узлов машины, что очень важно, когда взаимосвязь таких колебании
представляет интерес (см резонанс и вынужденные колебания, т 1,гл. XIII).
Лампа, изображенная на рис. 3.48, б, может служить манометром (в част-
частности, барометром), электрические показания которого можно регистрировать
на любом расстоянии от датчика. В зависимости от характера измерений
созданы лампы с подвижными электродами самой различной конструкции.

242
Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ ГЛ. VIII
О применении электронно-лучевой трубки в радиолокации и
телевидении будет сказано в главе XI. Здесь же мы остановимся
на электронном микроскопе.
Важнейшей характеристикой микроскопа является не его увели-
увеличение, которое может быть сделано сколь угодно большим, а его
разрешаю ш а я способность/ характеризующая возможность
различения предельно мелких деталей изучаемого объекта. Если
изображения двух точек, находящихся на расстоянии 6 друг от
друга, неразличимы, т. е. сливаются в одно, то никакое увеличе-
увеличение не позволит увидеть их раздельно.
Уже отмечалось (т. I, гл. XIV), что волна рассеивается на пре-
преграде, если преграда соизмерима с длиной волни, или задер-
задерживается ею, если размеры преграды много больше длины волны.
Преграды, малые по сравнению
с длиной волны, почти не задер-
задерживают и не рассеивают волн.
Рис. 3.49.
Рис. 3.50.
Наименьшая длина волиы излучения, видимого глазом, состав"
ляет 0,38 мк. Частицы вещества с линейными размерами 0,1 мк
с помощью оптического микроскопа уже нельзя наблюдать.
Выше мы упоминали о волновых свойствах электрона. При уско-
ускорении электрическим полем с разностью потенциалов в десятки
тысяч вольт электронный пучок может рассматриваться как волна
с длиной порядка 10~10 см. В то же время с помощью электри-
электрических и магнитных линз электронными пучками можно управлять
так, как обычными световыми лучами управляют с помощью стек-
стеклянных линз. Это позволило создать электронный микроскоп.
Мы опишем коротко применяемый редко, но более простой электронный
микроскоп с электростатическими электронными линзами.
Заметим предварительно, что удовлетворительные результаты получа-
получаются при работе не с отраженным, а с проходящим сквозь объект электрон-
электронным лучом Поскольку же электроны, обладая зарядом, сильно взаимодей-
взаимодействуют с веществом, то для электронных лучей прозрачными могут быть

§ 38] ЭЛЕКТРОННО-ЛУЧЕВЫЕ ПРибОРЫ. ЭЛЕКТРОННЫЙ МИКРОСКОП 243
I
лишь очень тонкие объекты, толщина которых не превышает десятых долей
микрона При изучении бактерий, вирусов и т д. их наносят на поверхность
тончайшей коллодиевой пленки, получаемой при испарении капельки жид-
жидкого коллодия, растекшейся по поверхности воды.
Электронный прожектор в электронных микроскопах дает монохрома-
монохроматический пучок электронов, проходящих сквозь объект, т. е «на просвет».
Вследствие этого от слишком плотных или имеющих слишком большую тол-
толщину предметов может быть получено лишь теневое изображение (рис. 3.49).
Обычный диапазон ускоряющих напряжений, применяемых в электронных
микроскопах разных конструкций, лежит в области от 50 000 до 200 000 вольт.
Электростатическая электронная линза (рис 3 50) состоит обычно из
трех круглых диафрагм с центральными круглыми отверстиями. Крайние
диафрагмы имеют одинаковый потенциал (соединены друг с другом), средняя
Второе убвличенноя
изображрние
Рис. 3.51.
имеет больший либо меньший потенциал. Структура электрического поля
лиязы показана его эквипотенциальными поверхностями. Выпуклости этих
поверхностей в области отверстий диафрагм и образуют лнизу. На рисунке
показаны траектории электронов, идущих от дьух точек предмета; траектории
сходятся после прохождения линзы, и электроны создают изображение этих
точек предмета.
«Ход лучей» в электронном микроскопе показан на рисунке 3 51, а.
Для сравнения на рис. 3.51, б показан ход лучей в оптическом микроскопе.

244
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. via
§ 39. Поле одиночного движущегося заряда.
Взаимодействие движущихся зарядов
Как уже указывалось в § 36, реальный элемент тока имеет
длину и ширину и представляет собой совокупность одиночных
зарядов q, движущихся параллельно друг другу со скоростью v||dl
(см. рис. 3.52). Магнитное поле <Ш, создаваемое элементом тока
в точке М, представляет собой геометрическую сумму полей, созда-
создаваемых каждым из движу-
движущихся зарядов в отдель-
отдельности. На расстояниях г,
больших по сравнению с раз-
размерами элемента тока, мож-
можно считать, что радиус-век-
радиус-вектор г практически одинаков
для всех зарядов и каждый
одиночный движущийся за-
заряд создает в точке М пра-
практически одинаковое маг-
магнитное поле h. Тогда
<ffl = Mi, C9.1)
где (см. C6.1)) N=nS dl—
полное число зарядов,
движущихся в элементе длиной dl и площадью поперечного сече-
сечения S. С другой стороны (см. C6.2)),
Id\=Nq\. C9.2)
По закону Био — Савара — Лапласа напряженность магнитного
поля элемента тока в гауссовой системе равна
C9.3)
Рис- 3.52.
Из C9.1) и C9.3) находим напряженность ма1нитного поля, созда-
создаваемого одиночным зарядом:
Ь=ЯЩ?*У, C9.4)
величина h равна
с
t>sin(v, r)
C9.5)
т. е. напряженность магнитного поля, создаваемого одиночным дви-
движущимся зарядом, обратно пропорциональна квадрату расстояния г
*) В системе единиц СИ эта формула примет вид
¦,_„ Lv><r]

§ 39] ПОЛЕ ОДИНОЧНОГО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 245
от заряда до точки наблюдения М и прямо пропорциональна вели-
величине заряда q, скорости его движения v и синусу угла между напра-
направлением движения заряда v и радиус-вектором г. Направление век-
вектора h перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы v
и г, и ориентировано по правилу правого винта вокруг направ-
направления v. Линии магнитного поля представляют собой окруж-
окружности, центры которых расположены на прямой, вдоль которой дви-
движется заряд, как это показано на
рис. 3.53.
Неподвижный заряд е связан с
окружающим его электрическим по-
полем, напряженность которого равна q"
Ев=?. C9.6)
Если этот заряд движется со ско- Рис- 3-53-
ростью v, то с ним оказывается
связанным еще магнитное поле, которое в соответствии с только
что полученным результатом обладает напряженностью
|^ 139.7)
Точно такое же поле обнаружат приборы, двигаясь мимо непо-
неподвижного заряда со скоростью v: абсолютная скорость есть бес-
бессмысленное понятие — важна лишь относительная скорость v, в дан-
данном случае заряда и прибора — индикатора поля.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. С зарядами связаны поЛя Е
иН. Эти поля воздействуют на другие электрические заряды, движу-
движущиеся в окружающем пространстве, с силой f, определяющейся из
C7.3). В общем случае двух произвольно движущихся зарядов вза-
взаимодействие, осуществляемое через поля C9.6) и C9.7), очень слож-
сложно, и мы его рассматривать не будем. Ограничимся простейшим
частным случаем, позволяющим тем не менее сделать весьма важные
заключения о взаимосвязи электрических и магнитных полей.
Рассмотрим два одинаковых заряда е, находящихся на расстоя-
расстоянии г друг от друга и движущихся со скоростью v по направлению,
перпендикулярному к соединяющей их линии (рис. 3.54). Между
этими зарядами будут действовать электрические и магнитные силы.
Первые будут силами отталкиванля, равными по величине
Л = ?. C9.8)
Легко видеть, что, как в случае параллельных токов, магнитные
силы будут силами притяжения. Величину этих сил легко найти.
Магнитное поле, в котором движется, например, второй заряд,

246
Ч. [И. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VIII
создается первым зарядом, находящимся от него иа расстоянии г,
причем vj_r. Отсюда
#е =-_?;• C9.9)
Подставляя это значение в выражение C6.8), находим (учитывая,
что Н _j_v):
е ,, е2 v2 е v2 ,оп 1ПЧ
Заметим, что выделенный нами в окончательном выражении
множитель слева равен /е C9.8). Следовательно,
Таким образом, в то время как силы электрического отталкива-
отталкивания между зарядами, будучи независимыми-от о, остаются постоян-
¦
Лею
Рис. 3.54.
Рис. 3.55.
ными (поскольку r= const), силы магнитного притяжения возрастают
с увеличением о, стремясь к значению /е при практически недости-
недостижимой скорости v, равной скорости света.
Суммарная сила отталкивания зарядов / равна
/=/.-/-
C9.12)
Полученный результат кажется парадоксальным. Суммарная сила
взаимодействия C9.12) оказалась зависящей от v, в то время как
V есть скорость по отношению к произвольно выбранной системе от-
отсчета. Рассматривая те же заряды, но в системе отсчета, движу-
движущейся со скоростью "о (как это изображено на рис. 3.55), мы нашли
бы их неподвижными, и полная сила отталкивания была бы равна

§ 39] ПОЛЕ ОДИНОЧНОГО ДВИЖУЩЫХ)СЯ ЗАРЯДА 247
Наконец, можем ли мы считать магнитное поле объективно
существующим, если оно согласно C9.7) определяется скоростью' v,
зависящей от системы отсчета? Как показано на рис. 3. 55, наблюда-
наблюдатель, движущийся вместе с зарядами, не обнаружит ника-
никакого магнитного взаимодействия: по отношению к нему заряды
покоятся.
Конечно, взаимодействие электрических зарядов есть явление
объективное, не зависящее от существования и характера движении
наблюдателя. Приведенный выше «парадокс» возник потому, чго мы
до сих пор рассматривали электрическое и магнитное поля как
независимые и допустили некоторые неточности при вычислении
сил /е и /магн. В частности, неподвижный наблюдатель должен
учитывать, что при движении электрических зарядов изменяются и
их электрические поля, и эти изменения происходят не сразу во всех
точках пространства, а распространяются с конечной, хотя и очень
большой скоростью с = 3'101всл/свк. Не останавливаясь на всех
деталях получающейся весьма сложной картины, следует лишь ука-
указать, что на второй заряд, находящийся в данный момент в точке М,
действует электрическое поле, порожденное первым зарядом не
в тот же самый момент времени, а несколько раньше, когда он
еще находился в какой-то предыдущей точке своей траектории.
Следовательно, неподвижный наблюдатель по сравнению с движу-
движущимся обнаружит не только появление магнитного поля и силы/ма1К,
но н изменение электрического поля и силы /в.
Формально «парадокс» возник потому, что мы рассматривали
электрическое и магнитное поля как векторные.
Для векторов характерен определенный закон преобразования
при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
По этому закону преобразуется, например, такой «настоящий век-
вектор», как вектор скорости, и т. д.
Вектора электрического и лшгнитного полей преобразуются
по другому закону, и следовательно, строго говоря, эти поля
не векторные. В действительности все составляющие электриче-
электрического и магнитного полей (всего шесть составляющих) образуют
величину, называемую тензором второго ран а, компоненты кото-
которого преобразуются по иным законам, чем компоненты векторов.
Из законов преобразования тензоров непосредственно видно,
как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к дру-
другой наличие электрических составляющих поля приводит к появле-
появлению магнитных, и наоборот (например, в собственной системе
отсчета, по отношению к которой электрический заряд неподвижен,
есть лишь электрические составляющие поля; если перейти теперь
к системе отсчета, по отношению к которой заряд и связанное
с ним поле движутся, то в новой системе будут и магнитные
составляющие поля).

248 ч. т. эльктромагньтизч [гл. vitf
В рамках нашего учебника мы не можем пользоваться тензорами,
а следовательно, и строго указать границы корректности приня-
принятых представлений. Сказанное адресовано главным образом гем
читателям, которые в дальнейшем захотели бы расширить свои
представления о природе электромагнитного поля.
Вместе с тем уже здесь мы хотим подчеркнуть неразрывное
е д и"н"с тво злектричес "к~о го и магнитного полей.
Объективно существует единое электромагнит н ое
поле.
Разбиение этого поля на электрическое и магнитное является
условным и зависит от скорости движения зарядов в выбранной
системе отсчета. В следующих главах мы установим еще более
тесную взаимосвязь электрического и магнитного полей, чем это
было сделано в настоящей главе.
При сравнительно медленных движениях заряженных тел, пока
1)<^.с, можно не учитывать этой связи и пользоваться выведенными
ранее соотношениями для электрических и магнитных полей. Как
видно из формулы C9.12), для рассмотренного выше примера отно-
относительная неточность порядка Vsjс' очень мала для обычных скоро-
скоростей г>, малых по сравнению со скоростью света с.
Для движений со скоростями, приближающимися к скорости
света, пришлось пересмотреть не только представления о взаимной
независимости электрических и магнитных полей, но и отказаться
от еще более привычных представлений о взаимной независимости
пространства и времени и независимости их свойств от материи,
движущейся в пространстве—времени. Этот пересмотр был про-
произведен А. Эйнштейном, создавшим новую теорию пространства —
времени — теорию относительности, в которой наиболее последова-
последовательно введено единое электромагнитное поле.

ГЛАВА IX
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
§ 40. Открытие явления электромагнитной индукции
С момента открытия связи магнитного поля с током (Эрстед,
1820 г.) делались многочисленные попытки возбудить ток в контуре
с помощью магнитного поля. Задача эта была решена М. Фара-
деем, открывшим в 1831 г явление электромагнитной
индукции.
Явление это состоит в следующем. Если поток вектора индук-
индукции, пронизывающий замкнутый проводящий контур, меняется, то
в контуре возникает электрический
ток. При этом явление совершенно
не зависит от способа изменения \Ю С\—*-
потока индукции. В качестве иллюст-
иллюстрации приведем некоторые из клас-
классических опытов Фарадея. Если свитый
в катушку проводник замкнуть на галь-
гальванометр и вдвигать в нее постоянный ")
н
Рис. 3 56.
магнит (рис. 3.56, а), то гальванометр покажет возникновение кратко-
кратковременного импульса тока. При прекращении движения магнита
прекращается и ток. Если изменить направление движения магнита
и вытягивать его из катушки, то направление тока в контуре
изменяется на обратное. Такое же изменение направления тока

250
Ч. Ш. ЭЛККТРОМАГНЕТИЗМ
(гл. ж
происходит при перемене полюсов магнита. Для получения индукци-
индукционного тока можно держать магнит неподвижным, а двигать с той же
скоростью, но в обратном направлении катушку.
Точно такая же картина наблюдается и при замене постоянного
магнита электромагнитом. Если соленоид, ао которому пропускается
постоянный ток, перемещать относительно катушки (рис. 3.56, б),
то в последней также возникает индукционный ток.
Наконец, если обе катушки закрепить неподвижно, но менять
магнитное поле, создаваемое первой катушкой, включая или выключая
источник тока или изменяя
ток реостатом (рис. 3 56, е),
то во второй катушке воз-
возникает индукционный ток,
тем больший, чем быстрее
изменяется ток а первой
катушке.
Обобщая результаты
всех своих опытов. Фара-
дей пришел к выводу, что
индукционный ток возни-
возникает всегда, когда провод-
проводник пересекает линии
магнитной индукции и в
замкнутом контуре изме-
изменяется числоуохватывае-
мых им линий, т. е. изме-
Рис
няется сцепленный с ним
магнитный поток Ф. Переводя представления Фарадея на совре-
современный язык, мы можем сформулировать это так:
э. д. с индукции, возникающая в замкнутом контуре, зависит
от скорости изменения магнитного потока^ сцепленного с как~
туром, т. е. от d<$)\dt.
Для каждого случая индукции Фарадей указывал направление
индуктированного тока. Общее правило для нахождения направле-
направления этих токов было установлено в 1833 г. Э. X. Ленцем: «... если
металлический проводник передвигается вблизи гальванического
тока или вблизи магнита, то в нем возбуждается гальванический
ток такого направления, которое вызвало бы движение покоящегося
провода в направлении, прямо противоположном направлению дви-
движения, навязанному проводу извне ...».
Таким образом, изменяя магнитный поток Ф, сцепленный с дан-
данным контуром (например, перемещая проводник во внешнем маг-
магнитном поле), мы найдем, что индукционный ток имеет такое
направление, что создаваемое им дополнительное магнитное ноле
препятствует изменению начального магнитного потока Ф.

§ 41} ПРИРОДА И ВЕЛИЧИНА ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ 251
Если, например, приближать виток (с выбранным направлением
нормали п) к северному полюсу постоянного магнита и тем самым
увеличивать магнитный поток, пронизывающий виток (d(D/rfi>-0),
то в витке возникнет индукционный ток /инд такого направления
(рис. 3.57), что на ближайшей к магниту стороне витка образуется
тоже северный полюс, препятствующий дальнейшему приближению
витка. Ток в витке пойдет против часовой стрелки (®КНд<0). и
его собственное магнитное поле будет уменьшать магнитный
поток, сцепленный с контуром.
Если же виток на рис. 3.57 удалять от северного полюса постоян-
постоянного магнита, то магнитный поток в нем будет у б ы.в а т ь (dCD/Л << 0)
и индукционный ток пойдет по часовой стрелке ($инд> 0)так, что его
собственное магнитное поле увеличит магнитный поток.
В обоих случаях магнитное поле возникающего индукционного
тока стремится препятствовать вызвавшему его изменению
магнитного потока, ^то и есть формулировка правила Ленца.
§ 41. Природа и величина электродвижущей силы
индукции
При индуктировании тока в проводнике в последнем начинают
двигаться электрические заряды и возникает обусловленное их
движением магнитное поле. При этом в контуре накапливается
энергия, которая локализована в магнитном поле тока. Эта энергия
накапливается контуром (его полем) за счет работы внешних сил,
возбуждающих индуцированный ток, например, за счет механиче-^
ской работы перемеще-
перемещения магнитов или конту-
контуров. В свою очередь энер-
энергия индукционного тока
может переходить в дру-
тие формы энергии,
в частности в тепловую.
В результате контур бу-
будет нагреваться, а ток
в контуре—убывать.
В этих процессах
так же, как и при всех
механических, тепловых Рис. 3.58.
и электрических явле-
явлениях, строго соблюдается закон сохранения энергии. Поэтому
вывод количественного выражения для э. д. с. индукции проще
вСего сделать, исходя из закона сохранения энергии..
Рассмотрим плоский контур с подвижной стороной, изображен-
изображенный на рис. 3.58. Батарея с э. д. с. $а создает в этом контуре
U— dp —н

252 ч. ш. электромагнетизм [гл. ix
ток /в. За время dt через контур проходит заряд dq — I^dt, и ба-
батарея совершает работу buludt. Эта работа будет переходить
в тепло, и по закону Джоуля—Ленца
t, D1.1)
где R—полное сопротивление всего контура (включая и внутрен-
внутреннее сопротивление батареи). Отсюда в соответствии с законом Ома
имеем
'„ = !• D1.2)
Поместим теперь рассматриваемый контур в однородное маг-
магнитное поле с индукцией В. Для простоты положим, что вектор В
перпендикулярен к плоскости контура (см. рис. 3.58). Линии В
параллельны п, связанному с направлением тока в контуре прави-
правилом правого винта, и магнитный поток Ф. сцепленный с контуром,
положителен. Каждый элемент контура d\ испытывает механическую
силу dF. Подвижная сторона рамки будет испытывать результирую-
результирующую силу Fo.
Позволим теперь подвижному ребру рамки перемещаться вправо
с постоянной скоростью v:
v=jt = const. D1.3)
При этом в результате электромагнитной индукции ток в KojType
изменится и станет равным /. Изменится и сила, действующая
на подвижное ребро, которую мы обозначим теперь F.
Сила F за время dt произведет работу dA, равную (F||v):
dA = Fdx=Fvdt. D1.4)
Подставляя сюда значение пондеромоторной силы F, действующей
на проводник с током, мы придем к выражению для работы, уже
полученному в § 35 (см. C5.1), C5.2));
dA = k'Id(&. D1.5)
Как и в случае, когда все элементы рамки неподвижны, источ-
источником работы, производимой контуром, является подключенная
к нему батарея. Но при неподвижном контуре эта работа сводилась
только к выделению тепла согласно D1.1). В рассматриваемом слу-
случае тепло также будет выделяться, но в другом количестве, так как
ток в контуре изменился. Кроме того, контур за время dt совер-
совершает механическую работу dA в соответствии с выражением D1.5).
Таким образом, общая работа, совершаемая батареей с э. д. с.
ё0 за время dt, равна
D1.6)

§ 41] ПРИРОДА И ВЕЛИЧИНА ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ 253
Разделив это выражение на IRdt, находим
. D1.7)
R
Полученное соотношение мы вправе рассматривать как выраже-
выражение закона Ома для контура, в котором, кроме включенной в него
э. д. с. $0, имеется еще э. д. с. индукции:
где
? = ?„-*'|? = ?0 + gw D1.9)
Отсюда
или в системе СИ k'=\
Найденное выражение для э. д. с. индукции SBm является, как
это показали опыты Фарадея, совершенно универсальным и не за-
зависит от способа изменения Ф. Как указывалось в § 40, это
изменение может быть обусловлено движением магнитов, провод-
проводников с током, с которыми связано поле В, либо изменением тока
в них, движением или деформацией контуров и т. п.
Во всех этих случаях, в соответствии с D1.10), э. д. с. индук-
индукции ?инд в контуре равна скорости уменьшения потока индук-
индукции Ф, пронизывающего этот контур. Знак минус в D1.10)
(уменьшение Ф) выражает математически правило Ленца.
В системе СИ Ф выражается в в-сек и'~ггослё~'~дТгфференциро-
вания $инд получается непосредственно в в. Если же Ф и $инд
измерять в единицах, принадлежащих к разным системам, то
в формулу D1.10) войдет соответствующий переводный множитель.
Так,
В системе Гаусса &'==— и
С
g—-_-!_^ D1 11}
° с dt ' V".n,
где ? измеряется в СГС ед, потенциала.

254 ч. т. электромагнетизм [гл. ix
Для выяснения природы э. д. с. индукции рассмотрим деталь-
детальнее явления, происходящие в подвижной стороне контура. Для про-
простоты примем, что сторонняя э. д. с. $0 отсутствует. Ток в контуре
будет обусловлен только э. д. с. индукции. Эта э. д. с. не сосре-
сосредоточена, а действует вдоль всей подвижной стороны контура.
Другими словами, в этой стороне возникает вызванное индукцией
поле ?инд, которое в силу тождественности условий во всех точ-
точках движущегося проводника в них одинаково. Следовательно,
разность потенциалов на концах проводника, т. е. $ивд, равна
произведению ^„„д на длину проводника:
Подставляя значение $ннд в системе Гаусса, из D1.11) находим
в L^_ 1 Bldx
инд с dt с dt '
откуда
D1.13)
или, учитывая направление векторов В, Еинд и v,
=-J- lv X В]. D1.14)
В рассматриваемом случае величину Еи„д можно получить непо-
непосредственно из выражения лоренцовой силы. Действительно, на ча-
частицу с зарядом е, движущуюся вместе с подвижной стороной
контура со скоростью v, в поле В действует сила i, равная
f = -[vxB]. D1.15)
С
Такую же силу, действующую на заряд, дает электрическое поле
E'=f/e, равное
E'
Таким образом, величина силы, действующей на заряд, которая
получена с помощью выражения для лоренцовой силы, в точности
совпадает с результатом D1.14).
В рассматриваемом примере введение электрического поля
индукции Е' может показаться искусственным приемом. Движение
контура происходит в однородном магнитном поле В. Возникаю-
Возникающую в контуре э. д. с. индукции &тя (и ее поле Еинд) можно рас-
рассматривать как стороннюю э. д. с, обусловленную наличием
магнитного взаимодействия поля В и зарядов контура. При этом
не ставится вопрос о том, имеется ли в контуре реальное

§ 41] ПРИРОДА И ВЕЛИЧИНА ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ 255
электрическое поле Е' или величина Е' D1.16) введена лишь для
удобства написания выражения силы f, действующей на заряд е
(в виде f = eE'). Такая точка зрения допустима, однако она фор-
формальна и лишает возможности дальнейших важных обобщений,
подтверждаемых опытом и свидетельствующих о реальном
существовании поля Е'.
Для выяснения этого вопроса вернемся к задаче о поле одной
заряженной частицы. В § 39 было показано, что в системе коорди-
координат, покоящейся по отношению к заряженной частице, поле ча-
частицы будет проявляться как чисто электрическое. При движении
по отношению к частице (или частицы по отношению к выбранной
системе координат) поле частицы проявляется как поле электриче-
электрическое плюс поле магнитное.
Отсюда был сделан вывод, что в общем случае можно говорить
лишь об электромагнитном поле, представляющем некоторое^дин-
ство-*). Наличие тех или иных составляющих поля определяется
не только природой источников поля, но и характером движения
этих источников относительно выбранной системы отсчета.
Так, в системе отсчета, в которой точечный заряд е покоится,
его поле представлено лишь электрическими составляющими E=er/rs
(см. C9.6)), а магнитное поле равно нулю. В системе же отсчета,
относительно которой заряд движется со скоростью v, его поле
содержит и магнитные составляющие Н=— vx-j (см. C9.7)).
Совершенно аналогично в системе отсчета, в которой токи покоятся,
их поле представлено практически одними магнитными составляю-
составляющими В. В системе же отсчета, относительно которой эти токи,
а следовательно, и поле В движутся, оказываются отличными
от нуля и электрические составляющие поля.
Если мы хотим узнать, каковы силы, действующие на заряды
в данном элементе контура, движущегося в поле В, то естественно
рассмотреть их в системе отсчета, связанной с этим элементом.
Переходя к новой системе отсчета, в которой элемент контура
неподвижен, а поле В (вместе с токами, его порождающими) дви-
движется, мы найдем, что это поле характеризуется отличными от нуля
составляющими электрического поля Е'=ЕИИД, которые и были
определены раньше (см. D1.14) или D1.16)).
Таким образом, мы имеем две альтернативные точки зрения:
1. В системе отсчета, в которой покоится поле В и движется
элемент контура со скоростью v, мы можем принять, что силы,
*) Как уже указывалось в § 39, последовательно и строго такое описа-
описание поля осуществляется в теории относительности, где вводятся не два
независимых вектора Е и В, а одна величина—тензор—с шестью отличными
от нуля компонентами, которые отвечают трем составляющим для Б и трем
для В,

256 ч. ш. электромагнетизм [гл. ix
действующие на заряд е, обусловлены магнитным взаимодействием
и равны
fMarH = 7lVXB]- D1Л7>
2. В системе отсчета, в которой покоится данный элемент кон-
контура (vKOHT=0) и движется магнитное поле, на заряд действуют
не «магнитные силы», а чисто электрическое поле индукции Е'.
Сила, действующая на заряд в этом элементе контура,
fM=eE', D1.18)
а значение Е', которое дает то же значение силы, что и D1.17)
будет
i D1.14) —D1.16)
В рассматриваемом случае величина v есть скорость эле-
элемента контура относительно поля. Логичнее, однако,
здесь ввести скорость поля vB относи1ельно элемента контура,
считаемого неподвижным. Поскольку
v=-vB, D1.19)
последнее выражение для Е' следует переписать так:
Е'=— l[vB XB]. D1.20)
Мы можем толковать полученный результат следующим образом:
магнитное поле В, движущееся со скоростью vB, порождает
электрическое поле Е'. В § 50 будет показано, как важна установлен-
установленная с помощью соотношения D1.20) взаимосвязь полей В и Е'.
Здесь же для нас важно лишь то, что в каждом элементе контура,
движущегося в В, поле Е' следует считать реальным электрическим
полем. При этом для вычисления Е' удобнее пользоваться не за-
записью D1.20), а D1.14) — D1.16), так как различные элементы
контура могут двигаться с разными скоростями.
Таким образом, если исходить не из точки зрения стороннего
наблюдателя, неподвижного по отношению к полю В, а рассмат-
рассматривать силы, действующие в каждом элементе контура, в си-
системе отсчета, связанной с этим элементом кон-
контура, мы должны будем считать, что в контуре имеется реальное
электрическое поле индукции Е'. Суммарное действие этих снл
по всему контуру и приводит к возникновению в контуре §инд.
Электрическое поле индукции Е' не отличается от электроста-
электростатического поля Е электрических зарядов по своему действию
на электрический заряд в данной точке пространства. Но по своей

§ 41] ПРИРОДА И ВЕЛИЧИНА ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ 257
структуре, т. е. в целом, эти поля резко отличаются друг от друга.
Электростатическое поле имеет «источники поля»—электрические
зар"йдьГГ"Линии натТрИЖбТПТОстй ёТо не замкнуты: они начинаются
на положительных и кончаются на отрицательных зарядах. В этом
поле работа по перемещению заряда между двумя фиксированными
точками зависит только от положения этих точек, но не от формы
пути. Отсюда следует, что работа_по перемещен1Ш_^^ядд_пол1[О-
бому замкнутому конТгур^^равна_ну1ш. "Значит, и циркуляция
эл"ектростатичёскоТо поля по люВому замкнутому контуру (численно
равная работе по перемещению в этом контуре заряда q= -\-l)
равна нулю: ЭД "/г,Д/??У~
tdl==0. D1 21)
Именно это обстоятельство и позволило ввести новую характери-
характеристику электростатического поля — электрический потенциат <р
(см. § 8).
В отличие_от электростатического поля поле Е' не имеет ис-
источников. Линии напряженности этого поля зашшуты'~гюдбВно~
линиям магнитного поля. При перемещении заряда q= -\-1 по кон-
контуру, совпадающему с замкнутой линией Е', направление переме-
перемещения все время совпадает с направлением действия силы (или
все время — против нее). Знак элементарной работы dA все время
один и тот же. Следовательно,__р_абота, произведенная при обходе
всего контура, всегда бТлична от нуля: ~ ""*""
То же самое имеет место, вообще говоря, и для произвольного
замкнутого контура П:
р'^!ф0. D1.22)
Поля такой структуры в отличие от потенциальных полей (электро-
статиче1Пгб7о поля^ ттшш тягсГтШГйяТ носят название солено-
идальных. "" —¦—~
Интеграл D1.22) представляет собой работу, совершаемую индук-
индукционным электрическим полем Е' при переносе единичного заряда
вдоль замкнутого контура, т. е. он равен электродвижущей силе
индукции &няд> возникающей в этом контуре. В разобранном выше при-
примере контура (рис. 3.58)индукционное поле Е' — В— возникает лишь
С
в подвижной стороне контура KL, поскольку внешний участок
цепи LMK неподвижен относительно магнитного поля. Поэтому
интеграл D1.22) сводится лишь к интегралу по подвижной стороне
9 Г. А. Знсман н О М Тодес

258 ч ш. электромагнетизм [гл. ix
и равен, как было показано выше,
L
к
Это выражение остается, очевидно, справедливым, если все
элементы рамки будут перемещаться относительно поля, если
рамка будет произвольным образом деформироваться и т д
Оно останется также верным, если рамка будет оставаться
неподвижной, но в ней будет меняться поток магнитной ин-
индукции Ф
Необходимость такого обобщения можно представить себе
наглядно из следующих соображений. Линии поля индукции В
не имеют источников и всегда замкнуты Следовательно, если
число линий индукции, проходящих сквозь контур, увеличивается
(что отвечает росту потока Ф, проходящего сквозь контур), то
это значит, что линии индукции В «проникают» внутрь контура,
пересекая его Сила, действующая на электроны в контуре,
комечио, не будет зависеть от того, происходит ли пересечение
контура линиями индукции В в силу деформации контура в по-
постоянном поле В или оно обусловлено движением поля, пересекаю
щего контур при изменении потока Ф, проходящего через контур.
Таким образом, формулу D1.23) мы вправе рассматривать
как совершенно универсальное соотношение между циркуляцией
электрического поля индукции по любому заданному контуру П
(неизменному или деформируемому) и изменением магнитного
потока Ф, сцепленного с этим контуром.
— *'?. D1-24)
В гауссовой системе Единиц:
§ E'tdl= . D1 25а)
В системе еди1иц СИ ""•«—
Это выражение имеет смысл всегда, независимо от того,
реализован ли контур П в виде линейного проводника, диэлек-
диэлектрика или речь идет о мысленно выделенном контуре в вакууме.
Если контур имеет вид металлического, проводника с сопротив-
сопротивлением Ry то в нем возникает ток /ЯНд, равный
/„«==%• D1.26)

§ 4IJ ПРИРОДА И ВЕЛИЧИНА ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИПЫ ИНДУКЦИИ 259
Если контур сделан из диэлектрика, то каждый элемент его
поляризуется в соответствии с действующим в нем электрическим
полем Еняд.
Дели контур разомкдут. то электрический ток в нем возникнуть
не может. В результате действия Еияд в нем произойдет перерас^
пределение зарядов, так что на концах проводника скопятся сво-
свободные заряды. В системе единиц СИ разность потенциалов между
концами проводника I гц П будет равна
~~ и
«I п. янд = ^/.инд^ = -^, D127)
где йф — магнитный поток, пересекаемый проводником при его
движении за время dt.
Наконец, если заряд движется в вакууме по контуру П, то
при каждом обходе этого контура механическая энергия заряда -у-
возрастает на величину Л (—к-) у равную работе электрических
сил индукции в этом контуре.
f Щ dl = е$ям. D1 28)
На использовании Еивд в вакууме основан оригинальный ускори-
ускоритель электронов, получивший название бетатрона. В современ-
современных бетатронах электроны получают такую-унерГШи" которую они
могли бы набрать при прохождении поля с разностью потенциалов
в несколько сотен миллионов вольт. При этом их масса возрастает
за счет приобретенной кинетической энергии в несколько сот раз,
а скорость лишь незначительно отличается от скорости света.
Электроны больших энергий, получаемые с бетатронов, исполь-
используются для изучеш<д_ядеглшх Резкдий_д^ля.__Ш111уч.е_аия весьма
проникающего p~eliTreHojicKOjq_jH3J^4j!HHsiJ позводшеццего просве-
просвечивать детали гигантских машин толщиной в десятки санти-
сантиметров.
Бетатрон представляет собой электромагнит, между полюсными
наконечниками которого находится полое кольцо (тор), в котором
создан вакуум. Разрез бетатрона показан на рис. 3.59. Пучок
электронов, испускаемых накаленной нитью, впускается в тор и
движется по его осевой окружности С момента впуска электронов
ток в электромагните, а значит и поле Н между его наконечни-
наконечниками, возрастает. Следовательно, возрастает и поток индукции,
проходящий сквозь окружность —траекторию электронов. Возни-
Возникающее при этом вихревое электрическое поле ускоряет электроны.
9*

260
Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. ix
Вспомним теперь, что радиус траектории электронов равен
n_cmv
к~ еН •
Электроны будут продолжать двигаться по окружности постоян-
постоянного радиуса, не попадая на стенки тора, если по мере увеличе-
увеличения их скорости v и массы т магнитное поле растет так, чтобы
отношение mvjH оставалось постоянным. С другой стороны, уско-
ускорение электронов, т. е. увеличение v и т, обусловлено скоростью
роста Ф.
Рис. 3.59.
Следовательно, скорость возрастания потока индукции Ф через
орбиту электронов и скорость увеличения Н на самой орбите
должны быть строго согласованы. Именно с этой целью полюсным
наконечникам придается форма, показанная на рис. 3.59. При этом
напряженность поля на орбите примерно вдвое меньше, чем в цент-
центральных частях потока. Насколько точно оправдывается расчет,
исходящий, как указывалось, из факта увеличения не только ско-
скорости, но и массы электрона (притом в сотни раз), можно судить
по тому, что электроны не сбиваются со своей орбиты в течение
многих миллионов оборотов, во время которых происходит их
ускорение.
Рассмотрим теперь вопрос о превращении с помощью э. д. с.
индукции работы механических сил в работу электрических сил.
Для этого обратимся снова к рис. 3.58. Подвижную сторону будем счи-
считать металлической; силу, действующую на заряды в этом ребре,
будем согласно D1.15) считать лоренцовой силой*).
*) Как было уже показано, в системе отсчета, неподвижной по отно-
отношению к В, эта точка зрения возможна и явное введение Еивд не обязательно.

§ 41] ПРИРОДА И ВЕЛИЧИНА ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ИНДУКЦИИ 261
Лоренцова сила, возникающая при движении положительных
ионов в решетке металла подвижного ребра рамки, направлена
вверх (рис. 3.60). Эти ионы не способны перемещаться относительно
рамки. Таким образом, сила, действующая на них, всегда перпен-
перпендикулярна к их перемещениям и работы не совершает.
Электроны же под действием лоренцевой силы (направленной
на рис. 3.60 вниз) будут перемещаться вдоль рамки вниз. Сталки-
Сталкиваясь с ионами решетки и другими электронами и обмениваясь
с ними энергией, электроны
будут двигаться с некото- х х х х
рой средней скоростью и.
Мы не допустим погреш-
погрешности, приняв для простоты,
что истинная скорость эле- ;
ктронов вдоль рамки рав-
равна и. Таким образом, ско-
скорость электронов \зя скла-
складывается из двух взаимно
перпендикулярных состав- ¦.
ляющих: и и скорости пере-
перемещения рамки v.
v3jI = u + v. D1.29)
Лоренцова сила !8Л, х х X fl x
действующая на электрон, Рис. 3.60.
обладающий скоростью \зя,
будет перпендикулярна к v9J1. Поэтому, как было уже показано
в § 36, работа, совершаемая этой силой, всегда равна нулю:
dA = i3Jtv3ndt = 0. D1.30)
Разобьем теперь силу f9 на составляющие, одна из которых, f1(,
параллельна подвижному ребру рамки, а другая, fj_, перпендику-
перпендикулярна к нему. Тогда D1.30) можно представить в виде
— \\\ adt -I- fLv dt = 0.
D1.31)
Сила fj_ направлена против перемещения ребра рамки (т. е. про-
против v), и ее работа отрицательна.
Чтобы это ребро перемещалось с постоянной скоростью v вправо,
надо приложить к нему внешнюю силу FMex, которая, в пересчете
на каждый электрон подвижного ребра, будет равна по величине,
но противоположна по знаку fj_:
F -f1 D1.32)
'мех
N
(здесь N—число этектронов в подвижном ребре рамки).

262 4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. IX
Сила же 1ц гонит электроны вдоль контура, т. е. совершает
электрическую работу. Подставляя вместо f^ в D1.31) !мех,
согласно D1.32) получаем
или « |
\tuavdt=*tHndt. I D1.33)
Эта формула показывает, что механическая работа, произве-
произведенная над каждым электроном приложенной к рамке внешней
силой, отдается этим электроном обратно (и полностью) в виде
электрической работы в контуре.
Обратим внимание читатчгля^на следующее существенное об-
обстоятельство. В § 36 было показано,~что в постоянном магнитном
поле лоренцова сила не производит работы над движущейся в этом
поле заряженной частицей (см C6 12) и C6 13)). Здесь же мы
показали, что работа тока, вызванного э. д. с. индукции, в конеч-
конечном счете обусловлена действием лоренцовых сил на электроны
в контуре. Противоречие?
Никакого~противоречия нет. И в рассматриваемом случае ре-
результат § 36 (равенство нулю работы лоренцовой силы) учтен
формулой D1.30), принявшей теперь вид {41.33).
В данном случае равенство нулю полной PJj_6_ojrы. про-
производимой лоренцовой силой" над подвижными
электронами D1.30), D1.31), выражает здесь закон
сохранения энергии* механическая работа, произведенная
над контуром, превращается це/шком в работу электрических сил
в этом контуре. *"" ' "*""" """""" "~~ ~~
Из "«ЖЯзЮтаого ранее с очевидностью следует, что для получе-
получения электрической работы не обязательно механические силы
прилагать к самому контуру. Так, например, вместо деформации
контура с помощью внешней силы, как это имело место в рас-
рассмотренном примере, можно, оставляя контур неизменным, вталки-
вталкивать в него магнит (т. е. менять поток Ф через контур). При этом
работа, затраченная иа перемещение магнита, превратится в ра-
работу электрических ?ил в конхуре.
§ 42. Вращение рамки в магнитном поле
Явление электромагнитной индукции позволяет преобразовывать
энергию механического движения в энергию электрического тока
и уже около 100 лет широко используется в технике для этой
цели. Для выяснения основных принципов и закономерностей про-
промышленных методов генерирования электрического тока рассмот-

§ 42)
ВРАЩЕНИЕ РАМКИ R МАРИИТНОМ ПОЛЕ
263
рич простейший пример плоской рамки, вращающейся в однородном
магнитном поле, изображенной на рис. 3 61, а и б.
Обозначим площадь рамки через Sи угол между нормалью к рамке
п и линиями вектора В через а. Тогда магнитный поток, сцеплен-
сцепленный с рамкой, будет равен
О/
D2.1)
ф=
Начнем равномерно вра-
вращать рамку с угловой ско-
скоростью <в. Угол а будет расти
со временем линейно по закону
a=a>t. D2 2)
В рамке тогда будет возни-
возникать переменная э. д. с. ин-
индукции. В системе единиц СИ
§инд= —-rr—BS(i> Sin (uf =
=*,,,« em «of. D2.3)
Зависимость ?ннд от времени носит периодический (синусои-
(синусоидальный) характер и изображена на рис. 3.62. Величина
Рис. 3.61.
D2.4)
определяет максимальные значения, достигнутые колеблющейся
э д, с, и называется амплитудой электродвижущей силы или
амплитудой напряжения, создавае-
создаваемого подобной моделью генера-
генератора переменного тока
Как видно из D2 4), для увели-
увеличения напряжения % на зажимах
генератора следует увеличивать ве-
величины со, Н, \х и 5. Значительное
увеличение скорости вращения ге-
генератора (о приводит к сильному
возрастанию механических напря-
напряжений во вращающихся частях. Поэтому во многих странах, в том
числе и у нас, принята стандартная частота переменного тока
v=(o/2n=5O герц. В некоторых странах стандартная частота тока
v=60 герц.
Увеличение магнитной индукции поля В требует установки
мощных постоянных магнитов или значительного тока в случ-ае
электромагнитов. Поэтому помещают внутрь рамки и электромаг-
электромагнита сердечники из ферромагнитных материалов с большой маг-
магнитной проницаемостью ц..
Рис. 3.62.

264
Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. IX
ПАЛА ,
Рис. 3.63.
Наконец, для увеличения S в генераторе вращают не один
виток, а целый ряд витков, соединенных последовательно друг
с другом.
В результате использования всех этих возможностей современ-
современные генераторы переменного тока могут создавать напряжение в
несколько десятков тысяч вольт
при мощности до 500 000 кет
в одном агрегате *).
Переменное напряжение сни-
снимается с вращающегося витка с
помощью щеток Щ, схемати-
схематически изображенных на рис. 3.61.
Для получения постоянного тока
следует изменить схему комму-
коммутации. На рис. 3.63, а изобра-
изображена схема расположения ще-
щеток, при которой виток, повер-
повернувшись на 180°, соприкасает-
соприкасается с той же самой щеткой про-
противоположным концом.
На рис. 3.63, б изображена зависимость напряжения & на щет-
щетках от времени при такой коммутации. Видно, что ток получается
постоянным по направлению, но пульсирующим по величине.
Для сглаживания этих
пульсаций применяют
следующий способ. Вме-
Вместо одной рамки приме-
применяется несколько. Каж-
Каждая из них соединяется
со щетками в тот мо-
момент, когда индуктируе-
индуктируемая в ней э. д. с. оказы-
оказывается по величине наи-
наибольшей. На рис. 3.64, а
показан простейший
случай, когда вращаю-
вращающаяся часть генератора
состоит из двух рамок,
плоскости которых на-
находятся под углом в 90°.
На рис. 3.64, б показаны токи, снимаемые с каждой рамки, и
суммарный ток. Увеличение числа рамок приводит к еще большему
сглаживанию тока.
б)
Рис 3.64.
*) Проектируемые в СССР для ряда электростанций генераторы будут
иметь еще большую мощность.

§ 43]
ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ. ТРАНСФОРМАТОРЫ
265
Процесс превращения механической энергии в электрическую
можно обратить. Если через рамку, помещенную в магнитное поле,
пропускать электрический ток, то в соответствии с B9.3) на нее
будет действовать крутящий момент и рамка начнет вращаться.
В этом случае мы получим электрический мотор. Первый
электрический двигатель был сконструирован Б. С. Якоби и при-
приводился в действие током от батареи из 320 гальванических эле-
элементов. В 1839 г. по Неве стал плавать первый в мире электроход,
приводившийся в движение этим двигателем. В настоящее время
многочисленные электрические двигатели самой различной мощности
приводят в движение станки, электровозы, подводные лодки,
электротракторы и другие агрегаты. Схемы и конструкции раз-
различных электродвигателей и генераторов тока рассматриваются
в курсе электротехники.
§ 43. Взаимная индукция. Трансформаторы
Переменное магнитное поле, индуктирующее ток, само в свою
очередь может создаваться переменными токами, текущими по дру-
другим проводам или в том же контуре. В этих случаях мы го-
говорим о явлениях взаимной индукции и самоиндукции.
Рис. 3.65
Рассмотрим сначала взаимную индукцию двух токов. Контур /,
изображенный на рис. 3.65, присоединен к источнику тока $.
С помощью реостата R можно менять ток г, в этом контуре,
а ключом К можно этот ток полностью выключать или включать.
Ток /, создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции

266 Ч, Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. IX
которого пронизывают контур 2, расположенный на некотором
расстоянии от контура /. Вследствие этого с контуром 2 будет
сцеплен некоторый магнитный поток Фа,,. Если ток г, в контуре /
увеличить, например, вдвое, то во столько же раз возрастут ве-
величины Я и В во всех точках окружающего пространства, а сле-
следовательно, ровно во столько же раз увеличится и магнитный
поток Фа,,. Таким образом, магнитный поток Ф,,„ сцепленный
с контуром 2, прямо пропорционален создающему этот поток
току iv Вводя соответствующий коэффициент пропорционально-
пропорциональности Mtil, зависящий от размеров, формы и взаимного расположе-
расположения контуров, можно записать:
Фм = М„1г. D3.1а)
Величина Мг>± носит название коэффициента вза.им _н_рй
индукции, или_в эзи мной индуктив н_ос т и,,. обйнх_Ю^1у-
ров. Из (?ЗП7~следует7 что при *, = 1 Фа11=^г,1, т. е. взаимная^
индуктивность двух контуров равна магнитному потоку, сцеп^
ленному"Т6~"вторым "контуром, еслй""ток~в"первом 1сонтуре равен
единице'7 : " —— —~ — -
Единица взаимной индуктивности в системе СИ носит назва-
название генри (гн). Из D3.1) можно найти размерность этой единицы:
и определить ее величину. 1 гн есть взаимная индуктивность та-
таких двух контуров, если ток в 1 а, текущий в первом контуре,
создает во втором контуре магнитный поток в 1 в-сек.
В гауссовой системе единиц коэффициент взаимной индукции
вводится так:
ф.,.=т^...'.- <43лб>
Из размерностей входящих в D3.16) величин следует, что
размерность Ж2I в системе СГС есть размерность длины. Еди-
Единица индуктивности в системе СГС, согласно D3.16), есть такая
индуктивность, при которой ток, равный с СГС единиц тока
A0 а), образует во втором контуре магнитный поток в 1 максвелл
(мкс). Эта единица индуктивности носит название сантиметр (см).
Зная соотношение между всеми единицами, входящими в D3.1а)
и D3.16), легко определить и соотношение между единицами
индуктивности. Согласно D3.16)
\см =,ПГСГ1 Мт , D3 26)
1 СГС ед тока ' ч '
откуда, используя D3.2), находим
1 гн 1 в -сек 1 СГС ед. тока с-10* .._,
Тсм~С 1 мкс \а "с/Ж '

§ 43J ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ. ТРАНСФОРМАТОРЫ 267
т. е.
1 гк=10° см. D3 3)
Как и всюду прежде, мы можем записать эти формулы в виде
пригодном для обоих принятых нами систем единиц, вводя,
согласно § 32, •- коэффициент k' (в СГСА' = -^-, в СИ k'=l\.
Вместо D3.1а) и D3.16) будем писать
Если пропускать ток г, через второй контур, а наблюдать маг-
магнитное поле около первого контура, то с первым контуром ока-
окажется сцепленным магнитный поток Фьг, пропорциональный току i2:
Ф„. = *'*«,.,',• («4)
При вычислении коэффициентов /W1>t и Мгл надо сначала по
закону Био—Савара—Лапласа найти напряженность поля, созда-
создаваемого одним из токов в любой точке пространства. Для этого
придется вычислять линейный интеграл C0.1). По найденному Н
в соответствии с B9.10) находится В в любой точке пространства,
после чего с помощью C4.5) рассчитывается поверхностный интеграл
для Ф. Можно показать, что оба кратных интеграла Mitl и Mltt
равны друг другу и для обоих контуров существует лишь один
коэффициент взаимной индукции
Mttl=*Mut=M. D3.5)
Если ток /р текущий по первому контуру, будет изменяться,
то пропорционально ему будет изменяться магнитный поток Ф,< „
сцепленный со вторым контуром, и в последнем возникнет э. д. с.
взаимной индукции
в,,» и„д=--%'^ = _/г'|(/%'М1)=-/%'г/И^*). D3 6)
^^—|~ыдць—°"*~"iHiiTr^^-"r-iftf^ii.iitiiT'|gw^iin- *rw ОТ1пЩ|п nHiurTnmiBiniimamn.i _i run i in—L nu ii i ™ л. . j_jjjj m«'
Соотношение D3.6) позволяет дать второе, динамическое, опре-
определение величины М. Взаимная^ индуктивность двух контуров^
равна э. д. с. индукции возникающей в одном из этих контуров,
когда ток в другом ~конту~ре убывает'н"а1Ь~п за единицу времени,
Соответственно этому определению 1 гн есть взаимная индук-
индуктивность таких двух контуров, у которых при равномерном
*) Последнее равенство имеет место только для неподвижных и неде-
формируемых контуров, для которых Af=const В общем случае Фа1 = ^'М( и

268
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. IX
убывании тока в одном контуре на 1 а за каждую секунду в другом
контуре возникает э. д. с. индукции, равная""! в. Предлагаем чита-
телю определить аналогичным образом единицу индуктивности
СГС—1 см.
Следует особо выделить случай многосвязных контуров, напри-
например выполненных в виде ряда последовательно соединенных витков.
На рис. 3.66 изображены два таких контура. В первом слу-
случае (рис 3.66, а) первичный контур выполнен в виде катушки
с сердечником и подключен к источнику тока. Вторичный контур
состоит из двух витков, надетых на первичный и подключенных
к гальванометру Г. Через сердечник и любой виток проходит один
и тот же магнитный поток Ф. Этот же поток ф пронизывает и
каждый из витков вторичного контура. Поэтому полный поток
через вторичный контур Ч*1 равен
?в = 2Ф D3.7)
и взаимная индуктивность обоих контуров Ма в два раза больше,
чем в случае одного витка.
т
а)
Рис. 3.66.
В другом случае (рис. 3.66, б) оба витка вторичного контура
охватывают катушку в противоположных направлениях, следова-
следовательно, полный поток через этот контур
Уб=Ф —Ф=0, D3.8)
и взаимная индуктивность обоих контуров Мд равна нулю.
При включении тока в первичный контур в случае а гальвано-
гальванометр покажет отброс, вдвое больший, чем для одного отдельного
витка. В случае б) гальванометр не дает никакого отброса при
включении тока в первичном контуре: во вторичном контуре не
возникает э. д.с. индукции.

§
ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ. ТРАНСФОРМАТОРЫ
269
Это обстоятельство учитывается в так называемой бифиляр-
ной намотке проводов в тех случаях, когда необходимо избежать
возникновения в них паразитных индукционных токов. Провод скла-
складывается вдвое и в таком виде наматывается на катушку, как это
показано на рис. 3.67. Переменные магнитные поля, воздействую-
воздействующие на провод в каждой соседней паре витков, будут создавать
э. д. с. противоположных направлений, и полная э. д. с. во всем
проводе всегда будет равна нулю.
Рассчитаем очень важный для практики случай—взаимную
индуктивно сть двух к а т у щек, намотанных на
общий сердечник (рис. 3.68). Катушка из wl витков намо-
намотана на замкнутый сердечник или на его часть. Когда по катушке
Рис. 3.67.
идет ток i'j, в сердечнике возникает магнитное поле Н, магнитная
индукция. В и магнитный поток ф. Поскольку сердечник не разре-
разрезан, то в соответствии с C4.14)
D3.9)
где 5—площадь поперечного сечения сердечника, /—его длина
по средней линии и \i—магнитная проницаемость сердечника
в данном поле. Через вторичную обмотку, содержащую wt витков,
проходит полный магнитный поток
^ipSv D3.10)
Тогда по определению взаимная индуктивность этих двух катушек
равна (см. D3.4))
1^5. D3.11)
В системе СГС fe' = fe=— , цо= 1, величина ц безразмерна, числа
С
витков wl и wt тоже безразмерны, 5 измеряется в см* и /—в см

270
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. IX
и, следовательно,
сл (СГС ед_ индуктивности). D3.12)
В системе СИ &=т=, k'=l, \it = 4n.\0~1 гн\м, S измеря-
измеряется в мг, а /—в м и, следовательно,
D3.13)
Как установлено выше.Т г«=10" см индуктивности.
Подобные две катушки, "н'ас'ажёТШьТе на общий стальной сер-
сердечник, образуют трансформатор переменного тока. Транс-
Трансформатор был изобретен Ябло-
Яблочковым в 1876 г. для «дроб-
«дробления» света, т. е. для раз-
раздельного питания отдельных
электрических источников све-
света. Кроме первичной обмотки,
трансформатор Яблочкова со-
соде ржа л~*~?ЛТ1Жко" отдельных
катушек, сколько было неза-
независимых источников света.
Размыкание или замыкание
каждой из них практически не
сказывалось на остальных,-
Обозначим мгновенное значение магнитного потока, пронизы-
пронизывающего любое сечение сердечника, через Ф. К первичной обмотке
с числом витков w, (рис. 3.69) подключена переменная внешняя
э. д. с. ех. По закону Ома ток /, в этой цепи будет определяться алгеб-
алгебраической суммой внешней э. д. с. и э. д. с. индукции:
Рис. 3.69.
D3.14)
где г,, — сопротивление обмотки. Практически в трансформаторе па-
падение напряжения на сопротивлении //, при быстропеременных
полях малб по сравнению с каждой из двух э. д. с. и
dt "
Аналогично э. д. с. et, возникающая во вторичной обмотке,
4Ф
«.**Ч-зг-
Из D3.15) и D3.16) следует важный вывод;
^^гг = const.
D3.15)
D3.16)
D3.17)

§> 44] САМОИНДУКЦИЯ. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ 271
Отношение числа витков ^.. показывающее, во сколько раз
од,
э. д.с, во вторичной обмотке трансформатора больше, чем в пер-
первичной, называется коэффициентом трансформации.
Применяя закон сохранения энергии и пренебрегая потерями, мы
можем написать, что мощность тока во вторичной обмотке прак-
практически равна мощности в первичной:
«Л =«,*,. D3.18)
При -—-> 1 мы имеем повышающий трансформатор, увеличиваю-
увеличивающий напряжение и понижающий величину тока. Такое преобра-
преобразование параметров переменного тока необходимо для снижения
потерь в проводах при передаче электроэнергии на большие рас-
расстояния. Передаваемая мощность W=l$ (черта означает среднее
за период). Потери на джоулево тепло при данном сопротивлении
сети R составляют &W=R1*. Поэтому уменьшение потерь связано
с уменьшением тока 1 в сети, что при данном W возможно за счет
увеличения ?.
При электросварка в электрической дуге необходимо получать
большие токи при сравнительно низких напряжениях. Поэтому
электросварочные агрегаты подключают к сети с помощью пони-
W
жающих трансформаторов, у которых -*-<С1.
ю,
§ 44. Самоиндукция. Вихревые токи
Ток I в замкнутом контуре создает вокруг себя магнитное
поле, пропорциональное току. Поэтому магнитный поток Ф, сце-
сцепленный с контуром, тоже прямо пропорционален току /. Вводя
соответствующий коэффициент пропорциональности L, можно
записать
Ф = k'Li, D4.1)
где величина вносит название коэффициента самоиндук-
самоиндукции, или просто индуктивности контура. Из этого соотно-
соотношения следует, что индуктивность контура^?авна_^магнитному
потоку, сцепленному с контуроЖ, к~о?да~~~~ток, создающий этот
поток, равен единице. <
Единицы измерения L, естественно, те же, что и для М: в си-
системе СИ — гн, а в системе СГС—см.
Индуктивность соленоида с числом витков w может быть полу-
получена из следующих простых соображений. При изменении потока
вектора индукции через соленоид в нем возникает э. д.с. совер-
совершенно независимо от того, обусловлен этот поток электрическим
током в этом же соленоиде или же поток связан с другими токами.

272 ч. т. элрктромагнртизм [гл ix
Следовательно, действие соленоида на себя должно быть таким же,
как и действие на другой, вполне ему подобный и пронизываемый
тем же магнитным потоком соленоид.
Но эта задача уже была решена нами при рассмотрении взаим-
взаимной индуктивности двух обмоток трансформатора. Теперь нужно
лищь приравнять числа витков в обоих катушках. Полагая поэтому
в D3.11) wl = ws = w, находим
?^. D4.2)
При изменении тока i в контуре будет меняться связанный
с контуром магнитный поток и возникнет э. д.с. самоиндукции,
равная
»свМоинд= — * !Г~~~ Ш • *¦ '
Знак минус_ в этом выражении показывает, что наличие индуктив-
ност"н~(Г~фГо) приводит к замедлению изменения' тока в нем.
Действительно, если ток возрастает со временем, то
а значит,
©самоннд *С О,
т. е. Лсамоинд напр^авлено^против тока и тормозит e?g_возрастание,
обусловленное, внешним Уточником.
При уменьшений тока / со"временем
и, следовательно,
В этом случае §Самоиид тормозит уменьшение тока, вызванное сто-
сторонними причинами (в том числе и сопротивлением контура).
Таким образом, наличие индуктивности в электрическом контуре
приводит к тому, что контур приобретает своеобразную электри-
электрическую инертность, которая выражается в том, что любое измене-
ние_тока тормозится, притом тем сильнее, чем больше индуктив-
ность_контура L.
как следует из формулы D4.3), если в контуре течет постоянный
по величине ток, то индуктивность контура никак не проявляется
{dildt=O, следовательно, &самоинд=0).
Остановимся на нескольких важных для дальнейшего примерах,
в которых мы будем пользоваться, ваписью в системе единиц СИ.

§
САМОИНДУКЦИЯ ВИХРГВЫР ТОКИ
2/3
Рассмотрим коитур, состоящий из индуктивности ?, источника
9. д. с. &0 и ключа К, с помощью которого можно выключать
9. д. с, не разрывая цепи (рис 3.70), с общим сопротивлением
(включая внутреннее сопротивление источника) R. Пусть э. д.с.
включается в цепь в момент t = t0. Из-за наличия индуктивности
ток в контуре установится не сразу. При возрастании тока возник-
возникнет э. д. с. индукции, которая, согласно правилу Ленца, будет
направлена против тока, т. е. против включенной э. д. с. $г Сле-
Следовательно, по закону Ома
/7?= $Q -4- 8самОиил —
S/ di ... ч
« — LTt- <44-4>
Перепишем
виде
Представим
к. у ммы
/ -
так что
dt
dt
это уравнение
теперь /
¦% + '•.
di*
~W
в ви
D4
D4
в
де
6)
7)
Рис 3 70
Подставляя эти значения i и dijdt D4.5), находим, что t* удовле-
удовлетворяет уравнению
зг+х'••=<>• D4-8)
Разделяя переменные и интегрируя с учетом начальных условий
(/=0, т. е. г* = —&JR при * = *„), находим
откуда
или окончательно
D4.9)

274 «г. rrr.
Подставляя это значение /* в D4.6), находим i:
[гя. ix
D4.10)
При t, близком к *,, функция е близка к^ единице и
убывает с ростом t. Следовательно, функция \1—е Лрав
ная при t = t0 нулю, с ростом i увеличивается, а значит, и ток i
—у«-<о)
растет с t. При t—<-оо функция е —,.е~°е—0 и ток стре-
стремится к значению tJR, отвечающему закону Ома. График зави-
зависимости i от времени приве-
U ден на рис. 3.71.
Наличие индуктивности в
контуре, как уже отмечалось,
приводит к возникновению
электрической инерции:уста-
инерции:установившийся ток отвечает за-
закону Ома, но ток устанавли-
устанавливается не сразу, а постепен-
постепенно. На установившийся, uq,-
стоянный"~*по величине ток
не дей-
Рис. 3.71. ствуе"т: 37]"dt = 0, и э. дТ с.
индукции не возникает.
Закоротим теперь в момент t — t% контур, выключив из него
э. д.с. $в. Обозначим сопротивление контура без источника э. д.с.
через г. Ток начнет убывать, а возникающая при этом э. д. с. ин-
индукции, согласно правилу Ленца, будет направлена по току. Следо-
Следовательно, по закону Ома
rl=-L%. D4.11)
Разделяя переменные и интегрируя с учетом начальных условий
(i=r -Jj = /= const при t^.tx), имеем
i i
Jr*—rld/* D4Л2)
откуда
или окончательно
D4.13)

§ 44]
САМОИНДУКЦИЯ. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ
275
Таким образом, в момент выключения $t, при t — tv /==Д а затем
постепенно, с ростом t, убывает, стремясь к нулю. И в этом слу-
случае наличие L обусловливает инертность контура. График /(/) при-
веденТГа рис. 3.72. ~
ице"ним~~?корость установления тока {после включения или вы-
выключения). Через время после включения в контур э. д. с. т —< — tlt
равное
-|.
ток отличается от своего устано- 1~~?
вившегося значения в е~1==о~72
раза, а через 2 т—в е = ,2 72>,
раза. Таким образом, грубо гово- jl
ря, время установления тока мож-
можно принять равным по порядку
величины x = Ljfi.
Представим себе теперь, что
мы не закорачиваем, а размыка-
размыкаем контур, содержащий индук-
индуктивность, в котором в момент размыкания течет т<?к 1=&JR.
Для простоты положим, что сопротивление контура г стремится к
бесконечности (г = оо означает, что контур разомкнут). Тогда
D4.11) дает
-L-rA~rl—*¦-(- оо.
Рис. 3.72.
г
Так как г—»-оо, то ^—-—оо, т. е. ток будет убывать весьма
быстро. Но при этом возникающая в контуре
индукции
—L-гг будет достигать по абсолютной величине громадных зна-
чений, много больших, чем напряжение выключенной э. д. с. ?„.
ГТотггггавТгаг-зтптение i из ~D~4~;1В)~в D4.11), найдем, что
в контуре (при *>*,) равна
D4.14)
Таким образом, до выключения $„ э. д. с, действующая в контуре,
равна &„. В момент выключения при t-
время At=sL]r э. д. с. самоиндукции:
¦ t. появляется на короткое
D4.15)

27S
4. HI. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. IX
Рис. 3.73.
График э. д. с. в контуре до л после момента выключения &„ пока-
показан на ркс. 3.73.
Из сказанного следует важный практический вывод: контур,
содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать. Если он рас-
рассчитан на рабочее напряжение &„, то при резком размыкании
возникающие в нем боль-
4 шие ёсаноинд могут приве-
сти к пробою изоляции и
порче электроприборов. Со-
Сопротивление в такой контур
надо вводить постепенно, с
тем чтобы &Самоиид не пре-
превысила дозволенных значе-
значений. Опасным может быть и
резкое' включение &0, что
может вызвать на отдель-
отдельных участках контура не-
_t ДОПУСТИМО большие 1самоинд.
Ток в контуре после
выключения внешней э. д. с.
80, обусловленный самоин-
самоиндукцией контура, называется эк^с тратоком размыкания.
Его легко наблюдать в простой схеме с лампочкой (рис. 3.74).
Большая индуктивность с малым омическим сопротивлением вклю-
включена параллельно с электрической лампочкой большого сопротив-
сопротивления и низковольтной батареей. При замыкании ключа К лам-
лампочка не загорается, так как э. д. с. ?а мала. Но в индуктив-
индуктивности L устанавливается сильный ток. При
размыкании ключа индуктивность окажется
замкнутей на большое сопротивление, э. д. с.
индукции резко возрастет, и лампочка
вспыхнет.
До сих пор мы рассматривали индукци-
индукционные токи в линейных проводниках. Но
эти токи будут возникать и в толще сплош-
сплошных проводников при изменении в них по-
потока вектора индукции В. Они будут цир-
циркулировать в веществе проводника (напом-
(напомним, что линии напряженности Еинд замкнуты, так как поле Еиид
вихревое). Токи, вызванные полями индукции, носят название
вихревых токов или токов Фуко. Если в трансформато-
трансформаторе (рис. 3.69) сделать сердечник сплошным, то часть мощности,
подаваемой на первичную обмотку, будет расходоваться на вих-
вихревые токи, а в конечном счете — иа нагревание сердечника.
Мощность, снимаемая со вторичной обмотки трансформатора, ока-
Рис. 3.74.

§ 441
САМОИНДУКЦИЯ. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ
277
жется меньшей, а нагревание трансформатора может привести к
аварии.
Для борьбы с вредным влиянием вихревых токов сердечники
трансформаторов, электромагнитов, генераторов и электродвигате-
электродвигателей делают не сплошными, а набирают из отдельных листов
(рис. 3.69) или прутьев, изолированных друг от друга так, чтобы
сопротивление сердечника в направлении движения вихревых тиков
было максимальным, В последнее время для изготовления сердеч-
сердечников начинают широко применять новые материалы—'ферромаг-
материалы—'ферромагнитные полупроводники, называемые ферритами, с удельным
сопротивлением q» 10"* -г- 10s ом-м и достаточно большими
значениями ц.
Рис. 3.75.
Рис. 3.76
Вихревые токи имеют также и полезные применения. Приведем
два примера: на рис. 3.75 изображен медный маятник, прикреплен-
прикрепленный к стрелке какого-либо прибора. При колебаниях стрелки
маятник перерезает линии индукции между полюсами магнита, и
в маятнике возникают вихревые токи. Энергия этих токов берется
за счет уменьшения энергии механического движения маятника и
быстро переходит в тепло. Такая система часто применяется для
быстрого электромагнитного гашения (демпфирования) меха-
механических колебаний различных приборов.
Индукционные вихревые токи используются в специальных
электропечах, позволяющих вести плавку не только в отсутствие
посторонних веществ, способных загрязнить металл, но даже в ва-
вакууме. Этот способ плавки позволяет получать исключительно
чистые металлы и сплавы. Индукционная печь (рис. 3.76) пред-
представляет собой тигель, помещенный внутрь катушки, в кото-
которой пропускается ток высокой частоты. Вихревые токи возни-
возникают в самом веществе, предназначенном для плавки, и разогре-
разогревают его.

278 4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. IX
В проводах, по которым идут токи высокой частоты, также
возникают вихревые токи, существенно меняющие картину распре-
распределения плотности тока на различных расстояниях от оси провод-
проводника. При этом вихревые токи текут по оси проводника против
направления основного тока, на поверхности его — в том же направ-
направлении. Таким Ъбразом, результирующий ток по оси проводника
ослабляется, а на поверхности—усиливается. Чем больше частота
тока, тем меньше толщина поверхностного слоя, в котором текут
заметные токи. Это явление получило название скин-эффекта
(от английского слова skin — кожа, кожура). В силу скин-эффекта
проводники в высокочастотных схемах не имеет смысла делать
сплошными. Для уменьшения сопротивления нужно увеличивать их
поверхность, а не сечение, т. е. изготовлять проводники в виде
трубок. В электропечах этим обстоятельством пользуются, охлаждая
трубки катушки, по которым идет ток высокой частоты, с помощью
воды, циркулирующей внутри трубок.
В. П. Вологдин использовал токи высокой частоты для поверх-
поверхностной аакалки деталей машин. В мощном переменном поле по-
поверхностные слои металла разогреваются очень быстро, но основная
масса металла остается холодной Затем производится быстрое
охлаждение разогретой поверхности металла (погружением в воду
или в масло). Закаленная таким способом деталь имеет твердую
поверхность, но не становится хрупкой, так как металл под тонким
поверхностям слоем сохраняет свою вязкость. Достигнуть таких
результатов с помощью обычной закалки трудно. Меняя частоту
поля, можно производить закалку на любую необходимую глубину.
Этот метод закалки деталей ныне широко применяется в промыш-
промышленности.
§ 45. Энергия магнитного поля
Рассмотрим произвольный контур с индуктивностью L. В отсут-
отсутствие тока в окружающем пространстве нет магнитного поля, и
магнитный поток, сцепленный с контуром, равен нулю. Когда
через контур течет ток i, то с контуром сцеплен магнитный поток
®=k'Li. D5.1)
При изменении тока на di магнитный поток меняется на вели-
величину
d<b=k'Ldi. D5.2)
Как было показано в § 35, для изменения магнитного потока на йф
необходимо совершить работу
dA = k'id<&. D5.3)
Эта работа идет на увеличение запаса энергии W контура с током

§ 45} энергия магюггного поля 279
и при^ уменьшения тока может .быть получена обратно и преобра-
преобразована в другие формы энергии, например в механическую. Таким
образом, при возрастании тока в контуре на di энергия контура
увеличивается на
dW = k'idQ>=k'2Lidi. D5.4)
В отсутствие тока (i —0) его энергия равна нулю. При увеличении
тока до некоторого окончательного значения / энергия контура
с током становится равной
W I
Таким образом, контур с током / обладает запасом энергии
W^k"*^. D5.5)
Следовательно, в СИ W=1J. Lf, где W выражено в дж, L—в гн,
I /а
/—в а; в гауссовой системе \J7==i5-^-, где W выражено в эрг,
L — в см, а /—в СГС ед. тока — — а.
с
Выражение D5.5) очень напоминает выражение для кинетической
энергии движущегося тела -=- • Роль скорости v в D5.5) играет
ток /, характеризующий интенсивность движения электрических
зарядов, а роль массы играет индуктивность контура L. Как уже
указывалось выше, L характеризует электромагнитную 'инерцию
контура, так~"же~"как "масса го характеризует механическую инер-
цию тела. ~~ ~~ ~
Возникает вопрос о том, где локализована энергия W, Эта энер-
энергия остается постоянной, если не меняется ток в контуре, однако
ее нельзя непосредственно сопоставить с кинетической'энергией
движения электронов в контуре: контур с другой индуктивностью
при том же токе будет обладать другой энергией. Единственная
возможность — это приписать энергию W магнитному полю, связан-
связанному с током^. " " "
Энергия dW элемента объема поля dV равна
где W0{B) — плотность энергии магнитного поля, т. е. энергия
единицы объема магнитного поля В. Для вычисления последней
рассмотрим простейший случай, когда пеле контура однородно.

280
4. HI. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл.
Таким будет поле замкнутого соленоида, показанного на рис. 3.77.
(При большой длине и малом сечении тора его поле почти не от-
отличается от поля внутри длинной прямой катушки.) Согласно D4.2)
индуктивность этого соленоида равна
W*S
— ,
D5 6)
где w—число витков соленоида, /—его длина (в данном случав—
длина центральной окружности тора).
Напряженность Я магнитного поля соленоида, согласно C3.15),
равна
Отсюда
HI
" k-inw '
D5.7)
<45.8)
Подставляя эти значения L и / в выражение для W D5.5),
находим
W^SIH*. D5.9)
Ho Sl=V есть объем соленоида, Так как поле в нем однородно,
то из D5.9) следует, что плотность энер-
1/ гии W==WISl, т. е.
D5.Ю)
В системе СГС Н измеряется в эрсте-
эрстедах, k~k' и |л„=1,
ш
эрг
D5.11)
В системе СИ Н измеряется в а(м,
*
Рис. 3.77. Формула D5.10) выведена нами для
однородного поля, но остается справед-
ливой и для неоднородных полей. Объемная плотность энергии
магнитного"поля прямо пропорциональна квадрату напряжен-
ности магнитного поля в данном месте пространства.

§ 45] ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 281
В электростатике нами была выведена аналогичная формула
A3.2) для объемной плотности энергии электрического поля
где Е измерялась в СГС-ед. напряженности поля. В тех же едини-
единицах при наличии в пространстве и электрического и магнитного
полей объемная плотность энергии электромагнитного поля равна
Wo, эл.-магн — ^ —,i > D0.14)
или, учитывая, что еЯ=О и цН=В:
w», зд .магн = g^— . D5.15)

ГЛАВА X
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
§ 46. Природа магнитных свойств тел.
Диамагнетизм и парамагнетизм
В предыдущих главах мы чисто формально описывали магнитные
свойства различных тел введением магнитной проницаемости ц, по-
поскольку до рассмотрения законов электромагнитной индукции нель-
нельзя было детальнее разобраться в механизме этих явлений.
Магнитные свойства тел обусловлены магнитными евойствзми
составляющих Их частиц и в конечном счете движением электри-
электрических зарядов в атомах и молекулах. Разберем простейший случай
одного электрона с массой_ff g заря-'
дом е, движущегося с постоянной ско-
скоростью г» по круговой орбите радиуса г
вокруг неподвижного положительного
ядра (рис. 3.78).
Вследствие огромной скорости
вращения электрона по орбите,
~10и об\сек*), можно считать, что
весь его заряд и масса равномерно,
распределены по ороите, т. е. можно
з а мен итьИлектрон «кольцо"м»~р'адиус а
г с моментом инерции J=trux, равно-
равномерно вращающимся вокруг своей оси с
постоянной угловой скоростью (o=vjr.
Такое вращающееся «кольцо» обладает механическим моментом
количества движения (см. т. I, гл. III)
— Jo—тг1 у = mvr.
D6.1)
*) Эта, допустимая в нашем случае классическая картина не точна-
В действительности движение электрона в атоме отнюдь не похоже на вра-
вращение твердого шарика (см. т. III, ч. II). Рассматриваемая далее картина —
заряд и масса электрона «размазанные» по орбите—по существу ближе
к истинной картине движения электрона.

§ 46] ПРИРОДА МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ ТЕЛ - 283
Вектор LMej[ направлен по оси вращения по правилу правого винта
(рис. 3.78).
Поскольку вращающееся «кольцо» заряжено, оно представляет
собой замкнутый круговой ток. Один оборот «кольцо» совершает
за время
*«=*?• D6.2)
За это время через любое сечение «кольца» проходит весь заряд е.
Следовательно, ток
<463>
Так как электрон обладд&Х—атрицательным зарядом (е<0), этот
ток направлен против вращения электр^наТТ^ЯгШГПГай момент"
контура с током, выраженный в гауссовых единицах (гс-сй5), равен
Р«=:==Т/5==-7.7^лг — 5Г=5ГЮ \ D6.4)
и перпендикулярен к плоскости орбиты. Из рис. 3.78 видно, что рт
для электрона (е<0) направлен противоположно вектору LMex.
Для разных орбит в атоме о я г различны; различны, следова-
следовательно, рт и Аи^Г~Однако отиошён'ие магнитного и механического
орбитальных MOMeTrfblS алеТДроНЛ1 "otfaablH8fCfl " стрЬго постоянным
и Н ' —~г- —— '
2cmvr Чтс '
Отношение D6.5) является отрицательным (в<0). Это связано
с противоположным направлением LMex и рт для электрона.
Как мы увидим далее, в томе Ш, электроны в атомах могут
двигаться лишь по определенным стационарным орбитам, на кото-
которых момент их количества движения равен
/-мех,П = Я^г, D6.6)
где п—целое число, а Л=6,62-10~27 эрг-сек (постоянная
Планка). Следовательно, магнитный момент электрона в атоме
может быть лишь целым кратным элементарного магнитного момента,
равного
е h 4)82.10-".6>62-10'-S7
В соответствии с C0.18) напряженность магнитного поля на
оси орбиты равна
«в..^ D6.8)

284
1. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. х
и при радиусе орбиты порядка 0,5-\0~' см (атом водорода)
в центре орбиты достигает примерно 160 000 гс, но очень быстро
убывает с расстоянием.
Чтобы выяснить, как изменяется вращение электрона по орбите
и его магнитный момент во внешнем магнитном поле, произведем
следующий элементарный расчет. Представим себе, что заряженное
вращающееся «кольцо» помещено в однородное магнитное поле,
перпендикулярное к его плоскости,
и будем постепенно увеличивать на-
напряженность этого поля с некоторой
И
Рт
1
1
1
Рис. 3.79.
скоростью dHjdt от Я=0 до окончательного значения Н. Перво-
Первоначальное направление вращения и знак заряда для дальнейшего
вывода несущественны.
При изменении магнитного поля, пронизывающего «кольцо»,
как показано на рис. 3.79 и 3.80, в контуре возникает э. д. с.
индукции $внд, которая будет ускорять положительные заряды
в направлении, показанном стрелкой, и, по правилу Ленца, будет
создавать дополнительный M_aj н и т н ы й м о мент J^pm,
направленный протиУ вi'h е шн ejrq м агни т'нТГго п'оТя Н
независимо от величины и направления собственного магнитного
момента электрона на орбите.
Если обозначить напряженность индуцированного электрическвго
поля через Е и выразить ее в единицах СГС, то
1 С1Ф
ЯГ
-
dH
dt
D6.9)
Разобьем мысленно «кольцо» на элементы de. На каждый из
этих элементов будет действовать сила Е de и вращающий момент
Erde, а на весь заряд е—суммарный вращающий момент
dH
D6.10)
По второму закону Ньютона для вращательного движения этот
момент внешних сил равен произведению момента инерции обруча

§ 461 ПРИРОДА МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ ТЕЛ 285
j==mr2 на угловое ускорение dajdt, т. е.
Отсюда
е г2 dH 2Лй ...
-LdH, D6.12)
2mc ' ¦ х
и после интегрирования мы найдем изменение частоты вращения
заряда на орбите при внесении его во внешнее магнТГтное поле Н:
Знак минус показывает, что дополнительный магнитный момент Дрл
во внешнем магнитном поле Н направлен против этого поля. Его
величина &.рт определяется из D6.4): i
и в векторной форме —"
В соотношение D6.15) входит величина ег, которая всегда положи-
положительна. Поэтому антипараллельность Држ и Н не зависит от знака е
вращающегося заряда. Это свойство атомных электронов при вне-
сении во внешнее магнитное поле создавать дополнительный магнит-
магнитный thomhhi, НсЦфаилинНЩ^п р о т и_вполя, носит название д и а-
магнетизм а.
"**~б~атоме обычно имеется несколько электронов, движущихся по
разным орбитам с различными магнитными моментами pm<i, Как уже
упоминалось, электрон обладает, кроме орбитального, механического
и магнитного моментов, еще собственными (спиновыми) магнитным
и механическим моментами, словно электрон представляет собой
шарик с распределенным по объему зарядом и массой, вращающийся
вокруг собственной оси («spin» по-английски значит «веретено»).
Теоретический анализ и экспериментальные измерения показали,
что спиновый механический момент электрона вдвое меньше его
минимального (л=1) орбитального момента и равен ут-, а спи-
новый магнитный момент равен минимальному орбитальному
Поэтому их отношение ——- —
Рт, спин е
Аптс '
имех, спин
тс
D6.16)
вдвое больше, чем отношение D6.5) для орбитальных моментов

4. Ttt,- ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. X
Полный магнитный момент атома или молекулы равен геометри-
геометрической сумме орбитальных я спиновых моментов всех электронов:
<46Л7>
и также может быть в отсутствие поля Н лишь кратным элемен-
элементарного магнитного момента ehj4nmc или нулем.
Если полн^й_ма?нитный момент каждого атома в отсутствие
поля равен нулю: -——-——————-—
P».aT=0, D6.18)
то вещество, состоящее из таких атомов, называется д и а м а г-
н и т 1
Три внесении диамагнитного атома в магнитное поле Н про-
произойдет следующее. Орбитальный магнитный момент каждого элек-
трона, как бы этот электрон ни двигался,, приобретет
согласно D6.15) отрицательную по величине добавку. Следова-
Следовательно, суммарный магнитный момент атома станет отрицательным.
Все вещество в целом приобретает в поле магнитный момент,
всегда надавленный против поля. Диамагнитными "веществами
^Т^"ТШ"?7^т, ртуть, фосфор, cejpa^ золото, серебро,
медь, гелиитводаТГиодавлиющее ОиЛьшйнсгии органических соеди-
нений. " '•"*•—- -
Согласно D6.15) и D6.17) дополнительный магнитный момент
атома диамагнетика в магнитном поле Н равен
~~" ' D6.19)
Обозначая через N число атомов (или молекул) в единице объема
вещества, мы находим, что суммарный магнитный момент единицы
объема вещества
Л' " =хн D6.20)
прямо пропорционален напряженности магнитного поля. Коэффи-
циент пропорциональности %, который в данном случае отрицателен,
равен
и носит название м а г aji тной восприимчивости. Если
известно строение атома и рад~иусы г, всех его электронных орбит,
то величина / для данного вещества может быть рассчитана теоре-
теоретически. В случае газов концентрация частиц N, а следовательно,

§ +6] ПРИРОДА МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ ТЕЛ 287
и магнитная восприимчивость jc прямо пропорциональны давлению
газа. В вакууме iV=0 и
ХИак=0- D6.22)
У Ln а_ра м а г н и т н ых/ тел (щелочные, щелочноземельные
металлы, кислород и другие) магнитный момент каждого отдельного
атома отличен от нуля:
' (+6.23)
В отсутствие внешнего поля магнитные моменты отдельных
атомов расположены хаотически, так что магнитный момент единицы
ооъема в среднем равен нулю и тело в целом не намагничено.
При включении внешнего магнитного поля Н на магнитные моменты
отдельных атомов рдбудет_ действовать крутящий момент B9.6),
стремящийся повернуть"их и установить по направлению магнитного
поля. В противоположность этом> хаотическое _теплдв?етдвижение
будет стр.ёмит'ься"~дёАор|иентнровать "моменты рт. В результате
установится динамическое равновесие, при котором в теле окажется
в среднем больше ДТоМУрта^татмд^Ш^'апра^ленн'шГ'по полю,
чем прЦТк'6""пол*я7~~" * ~ " *~
Проекция магнитного момента атома на направление поля
D6.24)
у разных атомов в данный момент будет различной, а у каждого
отдельного атома непрерывно меняться. При наличии магнитного
поля среднее значение cos9 вследствие частичной ориентации уже
не будет равно нулю. Как показал П. Ланжевен, величина cos0
зависит от отношения потенциальной энергии атрмдрцых мдгнити-
ков ртН в поле к кинетической энергии хаотического jrenJiQB.oro
движени7~&Г и в не слишком" сильных полях" равна
D6.25)
Таким образом, магнитный момент единицы объема парамагнит-
парамагнитного тела
^/ D6.26)
оказывается прямо пропорциональным^напряженности поля Я и
обратно пропорциональным абсолютной температуре 77~с^от~момент
направлен по полю; в векторной форме
Pffl = X«- D6.27)

288 ч. ш. электромагнетизм [гл. х
Магнитная восприимчивость % в данном случае_положительна:
Y =^4. D6.28)
Конечно, и в парамагнитных телах тоже происходит деформация
алектррнных орбит и появляется диамагнетизм, иднако он пере-
крывается эффектом ориентации магнитных моментов атомов по
полю, и суммарная магнитная вос-
восприимчивость оказывается поло-
положительной.
Если расположить кусок пара-
парамагнитного вещества между по-
полюсами магнита, то он намагни-
намагнитится по полю, и возникший на
одном его конце северный полюс
окажется возле южного полюса
магнита и наоборот, как пока-
показано на рис. 3.81, а. Поскольку
Рис. 3.81. разноименные полюса магнитов
притягиваются, то парамагнитные
тела будут втягиваться в магнитное поле. Из аналогичного
рис. 3.81,6 видно, что диамагнитные тела, намагничиваясь против
поля, будут выталкиваться из магнитного поля.
Коротко о магнитных моментах атомных ядер. Эти моменты по
порядку величины равны
Это выражение отличается от рт< м тем, что в знаменателе его
вместо массы электрона т стоит масса протона М которая
в 1836 раз больше. Поэтому собственный магнитный момент про-
протона примерно в 2000 раз меньше собственного магнитного мо-
момента электрона. В ядрах магнитные моменты отдельных ядерных
частиц могут взаимно компенсироваться, частично или даже пол-
полностью, как это имеет место для симметричных ядер, таких, как
основные изотопы гелия, кислорода и др. Вследствие своей очень
малой абсолютной величины магнитные моменты ядер практически
не сказываются на магнитных свойствах тел, но их измерение
представляет большой интерес для изучения строения атомного
ядра.
Для тонких измерений магнитных моментов используют открытое
в 1944 г. Е. К. Завойским явление «парамагнитного резонанса».
Из D6.5) и D6.13) следует, что вращающийся электрический
заряд при внесении в постоянное магнитное поле напряженностью
Н получает добавочное вращательное движение вокруг оси,

?! 47] ВЕКТОР НАМАГНИЧЕНИЯ 289
параллельной полю, с частотой
Аа^-ра-Н. D6.30)
Частота этой так называемой «прецессии» магнитного момента,
например, в случае атомного ядра в поле напряженностью ~1000гс
составляет примерно 107 сек~1=10 мегагерц*).
Если через парамагнитное тело, помещенное в постоянное маг-
магнитное поле Н, пропускать радиоволны, то при совпадении частоты
волн с собственной частотой D6.30) наступит явление резонанса
и произойдет интенсивное поглощение энергии падающей волны.
Пропуская радиоволны с различными частотами и определяя частоту,
при которой поглощение максимально, можно определить Д<в, а
следовательно, и величину «гиромагнитного» отношения />„/?„«
для ядер.
§ 47. Вектор намагничения
Атомы и молекулы материальных тел представляют собой слож-
сложные системы стационарно движущихся электрических зарядов.
Такие движущиеся заряды, как показано в предыдущем параграфе,
можно рассматривать как микроскопические «молекулярные токи»,
каждый из которых обладает магнитным моментом рт и создает
вокруг себя магнитное поле. Поле одиночного молекулярного тока
довольно быстро уменьшается с расстоянием (~/эт/г5) и имеет замет-
заметную величину лишь на расстояниях порядка молекулярных размеров.
Геометрическая сумма магнитных моментов отдельных молекул
рт представляет собой магнитный момент всего тела:
D7.2)
Магнитный момент единицы объема
носит название вектора _н_а_м_а_г н и ч е.н и я.
В вакууме молекулярные токи отсутствуют и вектор намагни-
намагничения тождественно равен нулю
JBaK=0. D7.3)
В отличие от вакуума любое тело, имеющее молекулярное строе-
строение (твердое, жидкое или газообразное), может быть намагничено
так, что J=5^=0. Магнитные свойства тел в этом отношении ана-
аналогичны электрическим свойствам диэлектриков, и любое тело
может быть названо магнетиком.
*) 1 мегагерц = 10е герц.
10 Г. А. Зисман и О. М. Тодее

290 ч ш. электромагнетизм [гл. х
В отсутствие внешнего магнитного поля магнетик обычно не
намагничен:
J=0 при Н=0. D7.4)
В диамагнитных телах это дйшц)влено_ взаимной компенсацие й
орбитальных и спиновых моментов внутри каждоД отдельной моле-
кулы7"т'ак_чТд""Р^==О. В парамагнитных телах рт-^о, но вследствие
хаотичности теплового движения магнщ^ние._мом_енты отдельных
молекул ориентированы в самых различных направлениях. Вектор
намагниченй?~оказь1В*аё*тся при^это^гттаТным нулю лишь в среднем
для не слишком малых объемов и интервалов времени.
Создаваемые отдельными молекулярными токами магнитные
поля также будут непрерывно изменяться по величине и направле-
направлению и скомпенсируют друг друга. Их суммарное макроскопическое
поле Н' в среднем будет равно нулю в любой точке пространства.
При этом микроскопические магнитные поля внутри са_мих молекул
тела^могут быть, вообще говоря, отличными от нуля ""*
Поместим стержень из магнетика достаточно большой длины /
с площадью поперечного сечения S в однородное поле Н= const,
созданное внешними макроскопическими токами. Под действием
этого поля стержень намагнитится и приобретет магнитный момент
в расчете на единицу объема J. В не слишком сильных полях,
как 1был'6'показано в предыдущем параг-
параграфе, зависимость J от Н можно считать
практически линейной:
J=XH- D7.5)
ДЛЯ ПарамагНИТНЫХ тел Хпарамагн>°>
а для диамагнитных тел Хдиамаги <^0.
Значение |v. |<jSl и для разных веществ
лежит в пределах от 10 до 10"*.
г-— ' - -¦ г - ¦ -щавшт hi
ц однородном магнитном поле
Н = const, направленном вдоль оси стерж-
стержня, намагничение также будет однородным (J=const). Магнитные
моменты молекулярных токов (pw или ApJ будут ориентированы
вдоль оси стержня, а сами токи повернутся своими плоскостями
перпендикулярно к этой оси, как это показано на рис. 3.82. В резуль-
тате сложения магнитных поле^^м^л^екулярных ток&в надапшчен-
ный магнетик создает дополнительное макроскопическое магнитное
nqa&JHLi о'тличное от нуля.
Для вычислений tf" р1сскотрим поперечное сечение магнетика.
Поскольку J-Econst, то можно считать все круговые молекуляр-
молекулярные токи в этом сечении одинаковыми и имеющими одно и то же
направление. Как видно из рис. 3.82, в местах соприкосновения
отдельных молекулярных токов направления йТ"сй«д1Шх"элТГВгентов

§ 47] ВЕКТОР НАМАГНИЧЕНИЯ 291
тока противоположны. Поэтому магнитные поля, создаваемые всеми
элементами токТТвт'р'асположенными внутри магнетика, компенсируют
друг друга. В результате остается лишь магнитное поле^ создавае-
мое элементами токов, расположенными на внешней поверхности
стержня (отмече^н^ьш^на^^иС; 3.82 жирными стрелками) и образу-
образующими нёкоторыйреТультирующи1Г'1говерхно'^ньгй ток 1М.
Суммарный магнитный момент всего' стержня можно тогда рас-
рассматривать как момент макроскопического тока /м площадью по-
поперечного сечення 5. Следовательно,
Разделив обе части этого равенства на объем стержня V=St,
получим
J = ^v = k'^- = k'^f = k'rtv D7.7)
т. е. векюр намагничения; пропорционален току /пд1 обтекающему
единицу длины стержня.
'Гакой стержень, обтекаемый сплошным током /м, можно рас-
рассматривать как своеобразный соленоид, на единицу длины которого
приходится один виток с током, равным
Магнитное поле подобного тока можно рассчитать по формуле
C3.15) для соленоида, учитывая D7.7); тогда имеем
Я' = А.4п/ед = р-4яУ. D7.9)
Линии вектора Н' направлены вдоль оси стержня параллельно
вектору J. Следовательно, в векторной форме
H' = -?-4nJ. D7.10)
При наличии внешнего поля макроскопических токов полная
напряженность среднего макроскопического поля в магнетике будет
равна
D7.11)
В гауссовой системе единиц, как указывалось в § 29, это полное
поле представляет собой вектор магнитной индукции, т. е.
НПОЛЯ = В. В системе СИ вектор В отличается от Нп
размерным множителем у.о, отличным от единицы, так что
( |) D7.12)
10*

292
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. х
наблюдаемой макроскопической величиной
Непосредственно
является не Н, а В.
Поскольку В характеризует полное поле, созданное всеми токами,
как макроскопическими в проводниках, так и микроскопическими
в шгдетиках. то линии вектора магнитной индукции В не имеют
источников и являются замкнутыми.
Если попытаться определить В, используя, например, закон
Био — Савара—Лапласа, то для расчета необходимо полностью
знать распределение и направление всех макроскопических и микро-
микроскопических токов. Однако величина и ориентация микроскопи-
микроскопических токов, создающих поле Н', в свою очередь зависят от поля
внешних токов и свойств среды и не могут быть заданы заранее.
Поэтому при расчете магнитных полей в среде, содержащей маг-
магнетики, нельзя ограничиться одним вектором В, а приходится
вводить и вектор Н. Используя D7.12), мы определим вектор
напряженности магнитного поля как
4у
к
D7.13)
Определенный таким образом вектор Н в пустоте (где JBaK = 0),
с точностью до множителя ji0, зависящего от выбора системы
единиц, совпадает с В. В магнетиках для установления зависимости
между В и Н надо знать связь между J и Н, определяемую свой-
свойствами среды, например, по соотношению D7.5) для пара- и диа-
диамагнитных тел.
При наличии макроскопических токов /м в о д н о родной
среде Н может' быть вычислено ПТЗ закону ьио — иавара — лап-
ласа, а затем подставлено в выражение D7.13). Для поля Н
справедливы теорема о циркуляции или закон полного тока
C3.11).
Для раздельного экспериментального наблюдения В и Н (а
следовательно, для определения J) в магнетике, следует поступать
следующим образом. Вырежем в магнетике узкую плоскую щель
перпендикулярно к линиям В, как это показано на рис. 3.83.
Проводя те же рассуждения, как и в Случае рис. 3.82, можно по-
показать, что прн таком вырезе на обводе щели как бы появится

§ 47]
ВЕКТОР НАМАГНИЧЕНИЯ
293
нескомпенсироваиный круговой ток. Обратим внимание читателя
на то, что в соответствии с направлением молекулярных токов
поверхностные токи снаружи магнетика и в щели имеют различное
направление. Этот ток будет создавать внутри щели дополни-
дополнительное поле Н", искажающее поле В. Поскольку этот ток /м =
= —/ Д/=—-^-Д/ (см. рис. 3.83, а) очень мал, то в центре щели
радиуса R создаваемое им поле
k 2nJM
Н _______
D7.14)
рассчитанное по C0.16), при Л/<^/? будет пренебрежимо мало.
Следовательно, на пробную рамку с током, помещенную в такую
щель, будет действовать результирующее поле Вщ, практически
равное В в толще магнетика.
Рис. 3.84.
Вырежем теперь в магнетике длинную тонкую цилиндрическую
щель параллельно линиям поля, как показано на рис. 3.84, а.
Тогда в этой щели на единицу ее длины появится иескомпенси-
рованный ток /м//=/ед! и результирующее поле в этой щели
будет отличаться от полного поля в магнетике на Н"— р- 4nJ.
Следовательно,
D7.15)
Подставляя сюда вместо В его значение из D7.12), получим
D7Л6)
В гауссовой системе в этом случае ВЩ=Н.
Физически этот -результат совершенно прозрачен, В длинном
цилиндрическом соленоиде напряженность магнитного поля опре-
определяется только плотностью тока, обтекающего соленоид, и не
вависит от радиуса соленоида. В рассматриваемом случае поверх-
поверхностные токи на внешней поверхности магнетика и на поверхности
щели в нем имеют одинаковую плотность, но разное направление.
Эти поверхностные токи эквивалентны токам двух соленоидов,

294
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ПК X
вложенных один в другой. Плотность токов одна и та же, зна-
значит, и напряженность поля, порождаемого ими, одна и та же по
величине. Но направления токов, а значит, и полей противопо-
противоположны (см. направления токов на рис. 3.84, б). Поэтому внутри
меньшего «соленоида» эти поля (большего и меньшего «солено-
«соленоидов») в точности компенсируют друг друга. В этом случае внутри
щели может наблюдаться только поле, вызванное внешними по
отношению к магнетику источниками.
Следовательно, на пробную рамку с током, помещенную в
такую длинную цилиндрическую щель, будет действовать лишь
поле Н, созданное внешними источниками магнитного поля (макро-
(макроскопическими токами, другими магнитами и т. д.).
Для пара- и диамагнитных тел в не слишком сильных полях
Н'<^.И, и связь между J и Н практически описывается линейным
соотношением D7.5). Из D7.12). и D7.5) тогда следует, что
Сопоставляя D7.17) с B9.10У, мы видим, что величина
D7.17)
¦ ц D7.18)
является магнитной проницаемостью данного вещества. Она по-
показывает, во сколько раз магнитная индукция в среде возрастает,
а для диамагнитных тел — уменьшается
по сравнению с магнитной индукцией,
создаваемой теми же макроскопическими
точками в пустоте.
Для парамагнитных тел
Х>0 И linaj.ai.arH> 1,
для диамагнитных тел
Х<0 И ^диа
В гауссовой системе единиц
с " с
в системе СИ
D7.19)
D7.20)
D7.18а)
D7.186)
Отсюда видно, что значение магнитной
Рис. 3.85. восприимчивости в системе СИ благодаря
«рационализации» записи, вводимое в формулы для определения
магнитного поля токов Н, оказывается в 4Л раз больше, чем
в системе СГС:
Хси-4яхсгс. D7.21)

§ 48] ферромагнетизм 295
Из D7.17) и D7.18) вытекает связь между напряженностью
магнитного поля Н и вектором магнитной индукции В в среде:
цаН, D7.22)
которую мы обосновали в § 29.
В заключение следует отметить, что соотношение D7.10), ко-
которое определяет поле Н', создаваемое самим магнетиком, строго
справедливо лишь в случае бесконечно длинного стержня. Если
намагниченное тело имеет конечные размеры, то зависимость Н'
от J имеет более сложный характер и линии Н' выходят из маг-
магнетика наружу в вакуум, как это примерно изображено на рис. 3.85
для однородного намагниченного шара. В этом случае определе-
определение вспомогательного расчетного вектора Н по формуле D7.13)
является чисто формальной операцией, Н уже будет зависеть не
Только от внешних макроскопических токов, но и от намагниче-
намагничения магнетиков.
§ 48. Ферромагнетизм
Особняком от рассмотренных случаев стоит очень важная дл^
техники группа ферромагнитных тел. Свое название они по-
получили от латинекого наименования основного представителя этих
тел—железа (ferrum). К ферромагнитным веществам, кроме железа,
относятся кобальт, никель, гадолиний, некоторые сплавы и хими-
химические соединения^
Ферромагнитные тела сильно намагничиваются уже в сравни-
сравнительно слабых полях. Как показали опыты Э. X. Ленца и Б. С. Якоби,
произведенные еще в 1839 г., в таких полях Н'^>Н, но можно,
как и для парамагнетиков, считать, что J-^T\ и tS'^-H. Однако
коэффициенты пропорциональности % и ц у ферромагнетиков имеют
очень большие значения и достигают десятков тысяч.
Бурное развитие электротехники во второй половине XIX века
позволило получать большие токи и создавать сильные магнитные
поля. Широкое применение железных сердечников для концентрации
магнитных полей поставило перед физиками задачу детального
исследования намагничения железа в зависимости от внешнего маг-
магнитного поля. Эта задача была решена в~Т872 г. А. 1'. Столетовым.
Для измерения П и В он использовал замкнутое железное кольцо
прямоугольного поперечного сечения 5 с длиной по осевой линии /.
Первичная обмотка этого сердечника, состоявшая из те», витков,
замыкалась на батарею, и через нее проходил постоянный ток /.
При этом внутри сердечника, на который был намотан этот соленоид,
возникало магнитное поле, напряженность которого согласно C3.15)
равнялась
?? D8.1)

296 4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. X
При включении тока в первичной обмотке сердечник намагничивался,
и магнитный поток, пронизывающий сердечник, возрастал от нуля до
Фмакс = ^, D8.2)
где В—магнитная индукция в сердечнике. Этот магнитный поток
пронизывал витки вторичной обмотки, надетой на сердечник и со-
соединенной с гальванометром. При изменении магнитного потока
во вторичной обмотке иидуцировалась э. д. с, равная согласно D1.10)
&нд=-«\^, D8.3)
где w± — число витков в этой обмотке, и шел переменный ток
(R — полное сопротивление катушки и гальванометра)
Этот ток за время dt переносил через гальванометр заряд
dq = idt=—^d$>. D8.5)
Полный заряд q (импульс тока), проходивший через гальванометр,
q Ф макс
q=ldq=lidt~-^ | аФ=-*$-Фяшяя=-*?в D8.6)
о о
измерялся по первому отбросу гальванометра. Отсюда могла быть
рассчитана величина В:
В=—^. D8.7)
Зная В и Н, можно было согласно
D7.12) найти величину намагни-
намагничения J. Составив вторичную
обмотку из нескольких секций
_ „ с различным числом витков и ком-
Рис 3 86 бинируя их включение, Столетов
имел возможность пропускать
через первичную обмотку различные токи / и находить J при раз-
различных значениях Н.
В результате тщательных опытов Столетов установил, что зави-
зависимость J и Н для железа имеет вид, изображенный на рис. 3.86.
В слабых полях J круто нарастает с ростом Н, быстрее, чем по
линейному закону. Далее рост J замедляется и намагничение стре-
стремится к некоторому предельному значению 7нас, при котором

§ 48]
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
297
поворачиваются по полю все молекулярные магнитики. Поскольку
D8.8)
то зависимость В от Н имеет вид, изображенный на рис. 3.87.
В слабых полях В круто возрастает с ростом Н вследствие
быстрого роста J. В сильных полях второе слагаемое в D8.8)
остается практически постоянным (^ = ^яас) и & увеличивается
только за счет непосредственного
увеличения Н.
8
Рис. 3.87.
*-H
Рис. 3.
Если чисто формально распространить формулу D7.22) на фер-
ферромагнитные тела и определить магнитную проницаемость как
отношение
то (г в этом случае является сложной функцией //, примерный
характер которой изображен на ряс. 3.88.
Магнитная проницаемость для ферромагнетиков
= тДг=1+р-4я4- D8.10)
в слабых полях имеет очень большую величину (так как
и несколько возрастает с ростом Н. В сильных^ магнитны*
J= const = ¦/„„,. и с ростом Н отношение J/n-^+0, a \i —>-1.
Кривая зависимости В от Н, изображенная на рис. а.ы, носит
название основной кривой намагничения. Если намагни-
намагнитить ферромагнетик до некоторого состояния, соответствующего
точке А иа рис. 3.89, а зятрм_ нячять уменьшать напряженность
магнитного поля //, то установившиеся по полю молекулярные
магнитики начнут дезориентироваться не сразу и уменьшение В
будет происходить медленнее, чём увеличение этой величины с
ростом Н.

298
4. III. ЭЛРКТРОМАГНРТИЗМ
Ггл. х
При уменьшении Н до нуля часть
магнитиков
остается ориентированной по первоначальному направлению поля.
Таким образом, при снятии внешнего поля ферромагнитное тело.
остается намагниченным и представляет собой постоянный
м а-ГЛЙ I...?„.некоторым остаточ-
ным намагничением* ~J^T "несоот-
"несоответствующей остаточной индук-
индукцией и
Рис 3 89
Для полного размагничивания
образца необходимо, как видно
из рис. 3 89, приложить магнит-
магнитное поле обратного направления
и величины Ня. Величина Нк
надрывается коэрцитивной
(задерживающей) силой. В ре-
зультате при попеременном изме-
изменении направления намагничива-
ющего поля Н зависимость В от
И будет изображаться петлеобразной кривой, носящей название
п е тли г и с те ре з н с а (изменение Ь будет запаздывать по отно-
отношению к изменению Н), ^_——————————————— —
Для изготовления постоянных магнитов применяют ферромаг-
ферромагнитные вещества с большим остаточным намагничением и большой
коэрцитивной силой («жесткие» стали). Для изготовления__се?дечников
применяют «мягкие» магнитные материалы с малой коэрцитивной
силой н большой магнитной проницаемостью, т. е. с~ЗченТТ<ру"тъ1м
подъемом кривой зависимости Вот~7Т. ~*~
Вследствие гистерезиса понятие магнитной проницаемости можно
применять для ферромагнетиков лишь к основной кривой намаг-
намагничен и'я7~Щ^^и~ЖШГ~н^прШёр! видно, что для постоянного
магнита при выключении внешнего поля И—»¦ 0 имеется остаточное
намагничение В ФО. Из D8.9) тогда получилось бы, что
1 = -Й?Х—Оо.
J48.12)
Детальлое изучение свойств ферромагнитных тел показало, что
в последних отдельные микроскопические ооласти (д1Гё~нГы) на-
намагничены до насыщения даже в отсутствие внешнего поля.
Однако направление намагничения в каждой такой области (раз-
(размерами ^Ю си) различно, н в среднем магн*итныи*~мо'мент
макроскопического объема равен нулю. Посыпая поверхность фер-
ферромагнетика мельчайшими железными опнлочками, Н. С. Акулов
смог показать, что опилочки скапливаются у «полюсов» этих

§ 48}
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
299
областей » делают тем самым видимыми границы между доме-
доменами.
При внесении ферромагнетика во внешнее магнитное ноле на-
начинают поворачнв^ткя и прийнтирочдть^яТдо полю не магнитные.
моменты отдельных атомов, как в парамагнитны* телах, а сразу
целые обу1астй""~так называемоТ&"с^"о^Т1Гн"н"сГг~о""^самопроизволь-
нога) намагничения. Поэтому с роетом Н магнитная индукция
В возрастает очень быстро, и относительная магнитная прони-
проницаемость о~В[ц,дН имеет очень большие значения уже в сла-
слабых полях. Так как домены поворачиваются по полю скачком,
то основная кркаая намагничения
В=/(Я) на графике с достаточно
растянутой шкалой, или, образно
говоря, при рассматривании через
лупу, будет иметь ступенчатый вид
(рис. 3.90).
В достаточно _?ильных магнит-
магнитных полях все домены повёр~нутся
по полТо! и -ratty пи г магнитное
насыщение. При выключении внеш-
внешнего поля единственным фактором,
действующим на ориентацию доме-
иоа.,_останется_^тепловое движение,
будет
Рис 3 90
которое
домены, рднако вслёдТтвне значи-
тельноЯГэнергии, необходимой для поворота доменов, процесс р^?-
магнвдйв^и^зудет затруднен; этим и вызван гистерезис, показан-
показанный на рис. 3.89. * "* ""
Для определения природы носителей ферромагнетизма Эйнштейн
и де Гааз в 1915 г. поставили следующий опыт. Ферромагнитный
стерженек, подвешенный на кварцевой нити, был намагничен до
насыщения. При этом все элементарные магнитики устанавливались
по полю. Затем, изменяя направление тока в соленоиде, обвивав-
обвивавшем стержень, последний резко перемагничивали. При этом все
элементарные магнитики поворачивались на 180°. Поскольку маг-
магнитный момент каждого электрона, как указывалось выше, связан
с его механическим моментом, то стержень начинал вращаться.
Для усиления эффекта Эйнштейн и де Гааз перемагиичивали стер-
стержень с частотой, совпадающей с частотой собственных крутильных
колебаний стержня", т. е. достигали резонанса.
Измеряя полный магнитный и полный механический моменты
стержня, Эйнштейн и де Гааз обнаружили, что их отношение
равно
°"" е D8.13)

300 4 111. ЭЛЕКТРОМА1НЕТИЗМ [ГЛ. X
как и ожидалось. Однако этот результат оказался ошибочным. Ука-
Указанное отношение в действительности равно е/тс. Теоретически это
удалось объяснить лишь после открытия спнна электрона (см. § 46).
К тому же выводу пришли в 1917 г. А. Ф. Иоффе и П. Л. Капица.
В их опытах намагниченный железный стержень быстро нагревался.
Для кяжпого ферромагнетика существует своя определенная темпе-
температура, при которой области спонтанного намагничения разрушают-
разрушаются и ферромагнетик превращается в обычное парамагнитное" тело.
Эта температура носит название точки" кюри и для железа равна
примерно 753° С. По достижении точки Кюри стержень размагни-
размагничивался, магнитные и механические момёнтьТ~отдельных элементар-
ных магнетиков поворачивались хаотически во все стороны, и по
закону сохранения момента количества движения весь стержень
приходил во вращение.
При анализе направления вращения стержня в опытах Эйнштей-
Эйнштейна и де Гааза, Иоффе и Капицы следует учитывать, что вследствие
отрицательного заряда электрона векторы его магнитного и меха-
механического моментов направлены в противоположные стороны (см.
рис. 3.78).
В течение многих лет оставался невыясненным вопрос о приро-
природе сил, удерживающих параллельно друг другу спины электронов
внутри каждой области спонтанного намагничения (домена.) В 1928 г.
Гейзенберг и Я. И. Френкель показали, что эти силы носят
квантовый характер и обусловлены волновыми свойствами электро-
электронов. В те же годы Н. С. Акуловым были заложены основы совре-
современной теории технической кривой намагничения и установлена
тесная связь вида этой кривой с анизотропией магнитных свойств
ферромагнитных кристаллов, а также с изменением их размеров
при намагничении (так называемая магнитострикция).
Как мы видели выше, в ферромагнетиках вследствие гистерези-
гистерезиса при уменьшении внешнего магнитного поля Н до нуля намагни-
намагничение тела полностью не исчезает. Обозначим вектор намагничения
в таком постоянном магните через Jo. Возникает вопрос, как рас-
рассчитывать векторы В и Н, т. е. поле постоянного магнита, в от-
отсутствие внешних макроскопических токов. Решим эту задачу на
двух простых примерах.
Пример 1. Рассмотрим однородно намагниченный тороид,
лиаметр которого D = //n во много раз больше толщины S. Линии
вектора намагничения Jo представляют собой окружности, проходя-
проходящие в тороиде. Как мы видели (см. D7.12)), полное магнитное по-
поле В, создаваемое всеми молекулярными токами, может быть рас-
рассчитано как поле эквивалентного тока, обтекающего поверхность
тороида, и величина этого тока на единицу длины равна
Lt = l±~r D8.14)

§ 48] ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
301
Как указывалось в § 33, к тонкому тороиду применима фор-
формула C3.15) для соленоида:
^ 4Jt/ D8.15)
Подставляя это значение В в D7.13), мы найдем величину Н:
JJ В к . . л I AT (\ (&SK. 1 f\\
Поскольку снаружи тороида Уо, В и Я равны нулю тождественно,
то, таким образом, для намагниченного тороида повсюду
Н=0. D8.17)
Если обмотать тороид проволокой и пропускать по ее виткам
микроскопический ток /, то вектор Н уже не будет равен нулю
и определится величиной макроскопического внешнего тока / по
формуле C3.15). То обстоятельство, что при этом изменится вели-
величина вектора намагничения J, не изменит величины Н, поскольку,
как мы только что доказали, однородно намагниченный тороид
создает не поле Н, а только В.
Значит, в случае однородно намагничиваемого тороида век-
вектор Н определяется только внешними токами / и не зависит от J.
Как мы увидим в следующем примере, такая простая связь между
Ни/ сохраняется только для тороида или бесконечно длинного
прямого соленоида. Именно поэтому А. Г. Столетов после тща-
тщательного теоретического анализа выбрал для нахождения истинной
зависимости J от Н, в отличие от своих предшественников, схему
опыта, описанную в начале этого параграфа.
Пример 2. Рассмотрим изображенный на рис. 3.91 круглый стержень
длины / и площадью поперечного сечения S=nR2 с однородным намагни-
намагничением Jo = const, направленным вдоль оси стержня. Для нахождения пол-
полного макроскопического поля В поступим так же, как и в предыдущем при-
примере, и заменим намагниче-
намагничение Jo эквивалентным током
на единицу длины стержня
Jg/k' = 1ел. Поскольку в этом
случае нельзя применить фор-
формулу C3.15), справедливую
лишь для бесконечно длин-
длинного соленоида, то разобьем
поверхностные токи на ряд
бесконечно тонких колец тол-
толщиной dy каждое, находящихся
на расстоянии у от централь-
центральной плоскости. Ток, обтекаю-
щий кольцо, будет равен _ ~~
dI=^Ldy = Ieil. D8.18)
Ограничимся определением полного поля лишь для точек, расположен-
расположенных на осн. В точке М, находящейся на расстоянии к от центра соленоида

302 4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. X
и на расстоянии х—у от выделенного кольца с током dl, полное поле, соз-
создаваемое этим кольцом, согласно C0.15) равно
2nR4I 2л/ед Я2
dB k37- = Hofe rrty. D8.19)
Обозначим через # угол между осью стержня и прямой, направленной
из точки наблюдения М к кольцу с током dl. Тогда из рнс. 3.93 видно, что
X~tJ D8.20)
При переходе к следующему кольцу, т. е. при перемещении на dy (при
* = const и J? = const), cosd изменяется на
D8.21)
Знак минус в D8.21) связан с тем, что при перемещении вправо (dy>0)
угол О растет, а его косинус соответственно убывает (d.(co&d)<0). Сопо-
Сопоставляя D8.19) с D8.21), получим
D8.22)
Для нахождения Врси для намагниченного стержня выражение D8.22)
надо проинтегрировать в пределах от •&=^1, соответствующего прямой, на-
. . /л х + A/2) \ . .
правленной на левый край стержня f ens тт. = , '....- ], до «¦==#»,
V VR* + lx + lJW/
соответствующего углу прямой, направленной на правый край стержня
( ms д. = ' V Тогда получим
,—COS #s ,..„
^ ' • D8.23)
2
Для бесконечно длинного соленоида ^==0, cos'6'i = l, а ^2 = л,
cos#a= — 1 и В = цо/г-4зх/ед, как в предыдущем примере. Для конечного со-
соленоида В достигает максимума в центре соленоида при х^=0 и равно
D8.24)
Подставляя полученные значения В в D8.13), найдем значения Н на оси:
В , . , cosd,—cosd
— = Й4я/^
и
В , . , cosd,—cosd» . ,.._ v
стержня = — = Й-4я/ед ^ ' >0 D8.25а)
«внутри стержня = -^-^-4я/ед = /г.4Л/ед |cos^cosOt_1j| <() Dg
Для конечного намагниченного стержня (как это следует из
D8.25)) вспомогательный вектор Н отличен от нули как снаружи,
так и внутри стержня, даже в отсутствие внешних макроскопи-
макроскопических токов. Вне стержня Н направлен, так же как и В, в поло-
положительную сторону оси (см. D8.25, о), учитывая, что •&! < #2, а
cos fl1! > cos $2), В противоположность этому внутри стержня Н
направлен против В (см. D8.256)).

§ 481
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
303
На рис. 3.92, а показаны линии вектора В. Как всегда, эти
линии не имеют источников и замкнуты на себя. На рис. 3.92, б
показаны линии вектора Н. Этот вектор при переходе через гра-
границы стержня меняет свое направление на обратное, как будто
с.
с.
)
н -
на этих границах расположены «источники» вектора Н, на верх-
верхней—положительные, а на нижней—отрицательные («стоки»). По ана-
аналогии с электростатикой (рис. 3.92, в) можно сказать, что на границах
стержня расположены фиктивные «магнитные заряды» ± <]т, яв-
являющиеся концами микроскопических магнитных диполей, запол-
заполняющих стержень.
На этом же примере можно убедиться, что связь между фиктивными
магнитными зарядами qm и вектором Н определяется законом, анало-
аналогичным закону Кулона:
н==*7?7-- D826)
Действительно, представим себе круглую пластинку радиуса R, равко-
п п
мерно покрытую зарядами с плотностью om = ~ = -L§i. Будем искать
напряженность поля, создаваемую этой пластинкой на оси на некотором
расстоянии х от ее плоскости (см. рис. 3.93). Разобьем эту пластинку
мысленно на концентрические кольца переменного радиуса Q и ширины dQ
Площадь такого кольца будет 2яр, dQ и заряд dqm = om-2nQd§. В точке М
составляющие напряженности поля, перпендикулярные к оси, от противо-

304
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. X
положных участков этого кольца взаимно скомпенсируются, и суммарная
составляющая вдоль оси будет равна
D8.27)
Интегрируя поля, создаваемые отдельными кольцами, найдем поле всей
пластинки:
^оси = I
р=0
[1-у^] =
A-свдв). D8.28)
Намагниченный стержень, рассматривавшийся нами выше для рас-
расчета Носю можно заменить двумя пластинками с поверхностной плотностью
фиктивных магнитных зарядов ± ат (см. рис 3 92, б). Тогда согласно
D8.28) напряженность поля Н в некоторой точке на оси внутри стержни
будет равна
и, внутри стержня ==—k-2nOm A COSU1)
D8.29)
Сопоставляя D8 29) с D8.256), мы видим, что магнитное поле Н намаг-
намагниченного стержня может быть представлено как поле, создаваемое фиктив-
фиктивными магнитными зарядами (по-
(полюсами), расположенными на про-
противоположных границах стержня
с поверхностной плотностью
am = ±/ea=iJ0/fe' D8.30)
и полным магнитным зарядом
(«магнитной массой»)
JoSl Pm,v
JgSl
Чш — ста — ' ед ^ — -щ- —
Рис. 3.93.
D8.31)
Из D8 31) следует, что полный
магнитный момент всего стержня
Pmy=JaSl действительно равен
произведению величины противо-
противоположных магнитных зарядов i:qm
на расстоянии между ними /.
Исторически сложилось так, что постоянные магниты были из-"
вестны и их магнитные поля были изучены задолго до того, как
было открыто магнитное поле тока и вскрыт механизм магнитных
явлений. Поэтому долгое время вектор Н рассматривался как
основной и вся магнитостатика строилась аналогично электроста-
электростатике. Используя длинные тонкие намагниченные стержни с удален-
удаленными противоположными полюсами, Кулон экспериментально опре-
определил, что их взаимодействие определяется законом
D8.32)

§ 48] ферромагнетизм 305
аналогичным закону Кулона для электрических зарядов, Отсюда,
далее, был определен вектор напряженности магнитного поля
Н=-?- D8.33)
" т
как сила, действующая на единичный магнитный полюс.
Лишь после открытия Эрстеда начало выясняться, что эта ана-
аналогия с электростатикой является чисто внешней. Если такая ана-
аналогия до некоторой степени и допустима, то аналогом вектора Е
в магнетизме является вектор В, а не Н. Реальное электрическое
поле, действующее на электрические заряды, есть поле Е, а не
введенное для удобства расчетов поле D. Точно так же поле В
является реальным полем, действующим на токи, а поле Н вво-
вводится для удобства расчетов.
Возвращаясь к рис. 3.92, в, на котором приведено для срав-
сравнения поле цилиндрического диэлектрика с зарядами ± q на ос-
основаниях, мы можем констатировать, что в этом случае:
1) вне вещества поля В(=Н) и E(=D) по своей структуре
тождественны;
2) внутри вещества реальные поля В и Е совершенно различны,
в частности направлены в противоположные стороны;
3) структура реального поля Е совпадает со структурой вспо-
вспомогательного поля Н.
Подчеркнем, что реальные поля, действующие на заряды и
токи, есть поля Е и В, а поля D и Н являются вспомога-
вспомогательными, вводимыми для удобства расчетов. Следует помнить,
что вспомогательное поле D называется индукцией элек-
электрического поля и также индукцией магнитного поля В назы-
называется реальное магнитное поле.
В тоже время вспомогательное поле Н носит название
напряженность магнитного поля, как и напряженность
реального электрического поля Е.
Эта досадная неувязка терминологии возникла исторически и
связана со способом введения проницаемостей еа и |ia: D=eaE и
В = ц,аН (а следовало бы D=eaE и Н=каВ).

ГЛАВА XI
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 49. Ток смещения. Взаимосвязь электрического
и магнитного полей
В главе IX при рассмотрении явления электромагнитной индук-
индукции было показано, что движущееся или изменяющееся со временем
магнитное поле В порождает электрическое поле Е. Теперь нам
предстоит установить такую же связь между-переменным во вре-
времени полем Е и порождаемым этим полем магнитным полем В.
На наличие подобной связи указывает рассмотренное нами в § 39
поле движущегося заряда. В этом и пятидесятом параграфах, как
и в § 39, мы будем пользоваться гауссовой системой единиц.
Электрический заряд е, движущийся со скоростью v, создает
в точке М на расстоянии г электрическое поле
Е=р D9.1)
и магнитное поле (см. C9.7))
В последнем выражении величина в скобках справа есть не что
иное, как поле Е точечного заряда е D9.1). Это позволяет пере-
переписать D9.2) в виде
H=|[vxE], D9.3)
Прн движении заряда е связанное с ним электрическое поле Е
перемещается вместе с зарядом с той же скоростью
vE=v. D9.4)
Отвлекаясь от «источника поля» е и рассматривая лишь поле
в данной точке пространства М, мы на основании D9.3) приходим

§ 491
ТОК СМЕЩЕНИЯ
307
к заключению, справедливому и в общем случае (а не только для
поля, связанного с точечным зарядом е):
если в данной точке пространства имеется электрическое
поле Е, перемещающееся со скоростью Ve, то оно порождает
в той же точке магнитное поле Н, равное
= |fvE XE1.
D9.5)
Выражение D9.5) не является самым общим. Изменение Е со
временем может состоять не только в перемещении Е в простран-
стве, но, например, "й в изменении со временем величины Е
Э неподвижном поле,.
Для установления общей связи между изменяющимся электри-
электрическим полем и порождаемым этим изменением магнитным полем
проще всего рассмотреть случай
однородного электрического поля
между пластинами конденсатора,
изменяющегося со временем гЩй
разрядке конденсатора. Пусть пло-
площадь пластин равна 5. Заряды
пластин равны ±р поверхностная
плотность электрич ства на левой
(положительной) пластине
Пространство между пластинами заполнено диэлектриком. Электри-
Электрическое поле внутри конденсатора однородно, н вектор электри-
ческой индукции D равен
D=4no. D9.7)
Соединим обкладки конденсатора внешним проводником, как это
показано на рис. 3.94. Тогда по проводнику пойдет ток г", и вели-
величина зарядов на пластинах начнет уменьшаться. По определению
тока A4.1) имеем
1=ш- <49-8>
Так как ток идет против часовой стрелки, то мы должны считать
его величину отрицательной. Это в соотношении D9.8) учитывается
автоматически: так как при разряде конденсатора заряд его поло-
положительной (левой) пластины убывает, то зт<С0.
У границ пластин линии тока перпендикулярны к поверхности
и плотноеть тока равна
J~ S~~ S dt~dt\S)~d~f
D9.9)

308 Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. XI
Сопоставляя D9.9) с D9.7), можно написать
Вектор j направлен перпендикулярно к пластинам. Поскольку
при разряде конденсатора электрическое поле в нем ослабевает,
то вектор D убывает со временем, и его производная по времени
dDjdt направлена противоположно вектору D и параллельна j.
Соотношение D9.10) на границе проводник — диэлектрик можно
тогда записать в векторном виде
Левая часть этого равенства характеризует электрический ток
в проводнике — ток проводимости. Правая же часть показывает
скорость изменения электрического поля в диэлектрике. Равенство
D9.11) этих двух векторов на границе металл—диэлектрик пока-
1 do
зывает, что величина -г— -тг как бы продолжает линии тока через
диэлектрик и замыкает их. По предложению Максвелла эту вели-
чину принято называть плотностью тока смещения
JcMei4 — 4п dt ' " '
Указанное название не лишено физического смысла. Подставляя
в D9.12) вместо вектора D его значение из (П.5), получаем:
Второе слагаемое D9.13) объясняет происхождение термина «ток
смещения»: это—изменение поляризации диэлектрика со временем,
связанное со смещениями его зарядов при изменении поля Е.
Если поместить диэлектрик в переменное электрическое поле
высокой частоты, то составляющие диэлектрик электрические диполи,
поворачиваясь за меняющимся полем, при своем движении сталки-
сталкиваются с соседними атомами и молекулами и передают им свою
энергию — диэлектрик разогревается. В технике этим пользуются,
если хотят прогреть диэлектрик сразу по всей его толще.
Поскольку величина di*jdt представляет скорость смещения
реальных зарядов в диэлектрике, то ей соответствует возникающее
в окружающем пространстве магнитное поле, которое рассчиты-
рассчитывает по закону Био — Савара — Лапласа как поле, порождаемое
плотностью тока проводимости jnp0B
Однако величина dP]dt есть лишь часть полного тока смещения
D9.13), замыкающего переменный ток i ъ контуре. Более того,
в отсутствие диэлектрика, когда между пластинами конденсатора

§ 49]
ТОК СМЕЩЕНИЯ
309
находится вакуум, Р = 0 и dPjdt=O. Следовательно, в вакууме
плотность тока смещения равна
, 1 <2Е
]смещ. ЕакГ=г1}»Г • DУ.14)
Максвелл предположил, что этот ток смещения не есть чисто
формальное понятие, а что он создает вокруг себя магнитное
поле по тем же законам, как токи dPjdt и jnpoB. Многочисленные
опыты подтвердили это предположение. Действительно, любое пе-
переменное электрическое поле
порождает магнитное поле, ко-
которое может быть рассчитано из
D9.12) по закону Био — Савара —
•Лапласа.
Из рассмотренного примера
вытекает одно очень важное
следствие: конденсатор в цепи
переменного тока не разрывает
цепь; переменный ток^ иду-
щиЕ по гфоводам", проходит'
через конденсатор в виде то-
ка смещения, т. е. изменения электрического поля конденсатора.
Другими словами, конденсатор в цепи переменного тока не
прерывает его, так как на пластинах конденсатора меняются
заряды, а вместе с ними меняется и электрическое поле в кон-
конденсаторе. "~ — * — —*
Рассмотрим теперь общий случай неоднородного переменного
электрического поля. Выделим в той области пространства, где
нет движущихся свободных зарядов, произвольный замкнутый кон-
контур П. Для нахождения полного тока смещения, пронизывающего
этот контур, мы должны построить какую-либо поверхность S'
или 5, опирающуюся на контур П (рис. 3.95), и просуммировать
токи, текущие через отдельные элементарные площадки (через
S' — токи проводимости, через 5—токи смещения):
Рис. 3.95.
/смещ= J Лнещ dS= J ± *°f dS = ± ± С DJS. D9.1 5)
(S) (S) (S)
Интеграл
= J DndS
(S)
D9.16)
представляет собой поток вектора D чер^з поверхность 5 и кон-
контур П, Следовательно,
г-смещ = ±^. D9 17)
смещ . .. . \tw.i /)

310
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. xi
Для нахождения магнитного поля Н, создаваемого этим током
смещения, воспользуемся теоремой о циркуляции C3.11). Результат
этот не зависит от выбора между S' и S, т. е. учета токов про-
проводимости или смещения:
Это соотношение аналогично закон-у электромагнитной индук-
индукции D1.11), который может быть записан в виде
а)
Соотношение D9.19) утверждает, что при изменении вектора
магнитной индукции В и потока этого вектора Ф со временем
вокруг вектора dBjdt возникает вихревое электрическое поле Е,
линии которого направлены по
левому винту, как показа-
показано на рис. 3.96, а. Переменное
магнитное поле пораждает
электрическое поле.
Соотношение D9.18) утверж-
утверждает, что аналогичным образом
при изменении вектора электро-
электростатической индукции D и
потока этого вектора N со
временем вокруг вектора dDjdt
возникает вихревое магнитное
поле, линии которого направле-
направлены по правому винту, как показано на рис. 3.96,6. Пере-
Переменное электрическое поле порождает магнитное поле.
В силу этого переменные электромагнитные поля могут, взаимно
порождаясь, существовать независимо от зарядов и токов. Такими
полями, порожденными зарядами и токами, но распространяю-
распространяющимися затем в пространстве независимо от этих последних, явля-
являются радиоволны, свет, рентгеновы лучи, гамма-излучениеГатом-
ных ядер. ———-________-__«__________-_----—-
В "следующем параграфе мы рассмотрим законы распространения
таких свободных электромагнитных полей в вакууме, в отсутствие
зарядов и токов, и покажем, что скорость их распространения
равна входящей в формулы D9.18) и D9.19) постоянной с — ско-
скорости света в вакууме.
Рис. 3 96

§ 50) СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ 311
§ 50. Скорость распространения
электромагнитных полей
Рассматривавшиеся в предыдущих главах электромагнитные поля
были в основном связаны с их источниками. Эльктростатииеские
поля (главы 1 — III) были связаны с зарядами, магнитостатические
(главы VII, VIII, X) — с токами. Эти поля могли перемещаться
вместе со всеми источниками, не отрываясь от них. В главе IX и
в § 49 настоящей главы мы установили, чго с движущимся магнит-
магнитным полем связано электрическое поле, а с движущимся электри-
электрическим полем — магнитное поле. Уравнения, выражающие езлимо-
связь движущихся полей Е и В, представлены формулами D9.18)
и D9.19); однако для дальнейшего интегрально& выражение этой
взаимосвязи неудобно. Следует получить выражения, связывающие
поля Е и В и скорость их перемещения v в любой точке прост-
пространства.
Одно такое выражение мы исшучяли в § 41 ири выводе ин-
индуктированного электрического поля ?' из лоренцовой силы. Если
магнитное поле В движется со скоростью vB относительно непо-
неподвижного заряда, помещенного в данную точку, то оно создает
в этой точке индуктированное электрическое поле, равное согласно
D1.20)
E'=-}[vBxB]. E0.1)
Ограничимся сначала случаем распространения полей в вакууме,
т.е. положим е=ц=1, D=E и В = Н. Тогда
E' = —|[vHxH]. E0.2)
Далее, согласно D9.5) электрическое поле Е, движущееся со ско-
скоростью Ve, порождает в данной точке магнитное поле
H'=4lvEXE]. E0.3)
В соотношениях E0.2) и E0.3) источники полей присутствуют,
так сказать, косвенно: скорость vH поля Н есть скорость поро-
порождающих это поле токов, a vE есть скорость заряда—источника
поля Е.
Поставим теперь следующий вопрос. Не могут ли поля Е' и Н'
взаимно порождаться и, следовательно, существовать и двигаться
независимо от полей Е и Н, связанных с зарядами и токами?
Предположим, что такое электромагнитное поле возможно. Тогда
скорость перемещения обоих взаимосвязанных полей должна быть
одной и той же:
vE=vH = v. -E0.4)

312
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
1гл.
В уравнении E0.2) магнитное поле, связанное с токами, надо за-
заменить полем Н', а в E0.3) поле Е—полем Е'. Мы получим,
таким образом, два уравнения, связывающих взаимно порождаемые
поля Е' и Н':
E0.5)
E0.6)
=f [vxEf].
Поскольку вектор, выражаемый векторным произведением, всегда
перпендикулярен к обоим перемножаемым векторам, то из E0.5)
и E0.6) следует, что векторы Е' и Н' перпендикулярны друг к дру-
другу и к вектору v, указывающему направление распространения
этих полей. Далее, из знаков векторных произведений следует, что
все три вектора образуют правовинтовую систему в порядке рас-
расположения Е'—*-Н'—>-v, как это изображено на рис. 3.97.
Из взаимной перпендикулярности этих векторов следуют соот-
соотношения для синусов углов между ними:
sin(v, E')=sin(H', v)=sin-?-=
E0.7)
что дает для абсолютных значений векторов Е' и Н', определяемых
из E0.5) и E0.6), значения
Е E'=±H'v E0.8)
' = ~vEf.
с
E0.9)
Подставляя И' из E0.9) в E0.8)
и сокращая на ?', находим, что
5
Рис. 3.97.
v = c E0.10)
(направление v было уже опреде-
определено, см. рис. 3.97).
Таким образом, мы доказали, что величина скорости распро-
распространения свободного (не связанного с зарядами и токами) элек-
электромагнитного поля, называемого полем излучения, равна ско-
скорости света в вакууме с —3-Ю10 см\сек. Этот результат позво-
позволил Максвеллу высказать предположение о том, что свет есть част-
частный случай распространяющегося электромагнитного поля.

§ 50] СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ 313
Отметим еще две важные особенности поля излучения. Из
рис. 3.97 видно, что
E'lv и Н'J_v, E0.11)
т. е. векторы Е' и Н' всегда расположены поперек направления
распространения. Это значит, что электромагнитное поле излуче-
излучения поперечно.
Подставляя значение v в E0.8) или в E0.9) из E0.10), полу-
получаем
Е' = Н', E0.12)
т. в. в каждой точке поля излучения напряженности электри-
электрического и магнитного полей по величине равны друг другу. Есте-
Естественно, что это соотношение выполняется лишь в гауссовой системе
единиц, в которой размерности Е и Н одинаковы.
Для поля излучения, распространяющегося в однородном изо-
изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е и маг-
магнитной проницаемостью ц, скорость распространения излучения г>Л
будет иной и соотношения величин Е' и Н' E0.5) и E0.6) заме-
заменятся соответственно на
E0.13)
4t«- E0Л4)
Взаимная ориентация векторов Е'(D')( H'(В') и vs останется,
следовательно, такой же, как и в вакууме. Останется в силе и вы-
вывод о поперечности электромагнитного поля. Используя значения
синусов E0.11), получаем для величин векторов Е' и Н' из E0.13)
н E0.14)
Е' = ^И' E0.15)
С
#'=—?'. E0.16)
С
Подставляя значение Е' из E0.15) в E0.16) и сокращая на И',
находим
откуда
E0.17)

314 4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ IrJK XI
В диэлектриках величина е всегда больше единицы. Величина ц
в парамагнитных и ферромагнитных телах также больше единицы,
так что
ец>1; E0.18)
для диамагнитных тел величина \\, может быть меньше. единицы,
однако, настолько мало отличаясь от нее, что неравенство E0.18)
остается в силе. Таким образом, скорость распространения элек-
электромагнитного поля в веществе всегда меньше, чем в вакууме.
Подставляя выражение для скорости E0.17) в~E0.15) или E0.16),
находим, что при наличии среды соотношение между величинами
напряженности электрического и магнитного полей принимает вид
^ )
или \ E0.19)
J
Плотность энергии электромагнитного поля излучения, в соот-
соответствии с D5.14) и при учете E0.19), может быть представлена
одним из нескольких эквивалентных выражений:
Wo = Wo, 8Л + Wo, «агн = еЕ
_ eg" __ ц#" ^ У^Е'Н' эрг E0 20)
Перемещаясь в пространстве со скоростью va = c/VEn, электро-
электромагнитное поле переносит с собой эту энергию. Поток энергии
можно характеризовать введенным в томе I (гл. XV, § 61) векто-
вектором Умова
s=ftva, <5°-21>
величина которого, в соответствии с E0.20) и E0.17), равна
Н' с _ с F,H, эрг .-„ „„.
Вектор S (как и v) параллелен векторному произведению [Е'хН'].
Поскольку E'J_H', то
и окончательное выражение для вектора плотности потока энергии
примет вид
S=^[E'xH']. E0.23)
Это выражение для электромагнитного поля излучения было
выведено Пойнтингом.

§ &ЭД скорость распространения электромагнитных полей 315
Движущееся электромагнитное поле переносит с собой энергию,
плотность которой W9,9л.-магн определяется соотношением E0.20).
Согласно теории относительности это поле обладает массой, кото-
которая (см. т. I, § 9) распределена в пространстве с плотностью
е = Е° * E0.24)
v cs смг ч '
Наличие массы, а следовательно, и количества движения у элек-
электромагнитного поля проявляется, например, при «столкновении» его
с телами, т. е. при отражении и рассеянии излучений. Наличие
этих качеств у поля излучения приводит к существованию све-
светового давления, предсказанного впервые Максвеллом и
обнаруженного экспериментально Лебедевым.
В отличие от других форм материи поле излучения не может
находиться в состоянии покоя. Оно всегда движется, причем ско-
скорость его в пустоте может принимать по величине лишь одно зна-
значение, именно с. Эта скорость одна и та же во всех системах
отсчета, независимо от их относительного движения. Опытный
факт, показывающий, что к движению поля излучения закон сло-
сложения скоростей не применим, лежит в основе теории относитель-
относительности (см. т. Ill, гл. VIII).
В остальном полю излучения присущи такие же атрибуты, как
и другим видам материи: оно обладает энергией, массой, количе-
количеством движения. В этом томе мы рассматриваем его как непрв'
рытую материальную субстанцию. В томе 111 будет показано, что
такое рассмотрение является лишь приближением к истинной кар-
картине поля и что многие величины, характеризующие поле, меняются
не непрерывно, а скачкообразно (см. т. Ill, гл. X).
Следует отметить, что в соотношениях E0.13)—E0.20) вели-
величины е и |х можно принимать постоянными и равными их значениям
для статических полей Е и В лишь в тех случаях, когда поле
излучения медленно меняется со временем (в случае периодических
полей—для полей малой частоты). Действительно, е и ц характе-
характеризуют смещения зарядов (Р = хЕ) и ориентацию магнитных дипо-
диполей (J=)(H) вещества под действием внешнего поля. Эти процессы
происходят не мгновенно, но требуют некоторого времени для своего
установления. \
В переменных полях Е' и Н' вследствие инерции движущихся
зарядов изменения поляризации Р и намагничения 3 будут отставать
от изменения полей и степень этого отставания будет существенно
зависеть от частоты изменения Е' и Н'. Величины е и |А являются
довольно сложными функциями частоты электромагнитного поля
излучения. К этому вопросу мы еще вернемся в томе Ш при ана-
анализе взаимодействия света с веществом и, в частности, при

316 4. HI. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. XI
рассмотрении явления, называемого дисперсией света, т. е. зависи-
зависимости скорости его распространения f=c/|/ejl от частоты.
Переменное электромагнитное поле отражается от поверхности
металла. Если оно меняется во времени не слишком быстро, то под
его влиянием электроны на поверхности металла перемещаются так,
что напряженность электрического поля внутри металла оказывается
равной нулю. Но если внутри металла электрическое поле Е' рав-
равно нулю, то равно нулю и связанное с ним магнитное поле Н'.
Из закона сохранения энергии следует, что энергия падающего на
металл поля излучения не может исчезнуть. Часть энергии излучения
(обычно малая) переходит в джоулево тепло, которое выделяется
токами, вызванными на поверхности металла полем излучения.
Ббльшая же часть энергии излучения покидает поверхность металла
с отраженным излучением.
Формально мы можем рассматривать металл как диэлектрик,
в котором заряды могут смещаться сколь угодно далеко, т. е. как
диэлектрик с бесконечно большой поляризуемостью, и положить
8мет=со. E0.25)
Подставляя это значение е в выражение для скорости распростра-
распространения излучения в веществе E0.17), найдем
Л 0. E0.26)
Для распространения электромагнитного поля излучения внутри
металла следует сделать те же оговорки, что и для диэлектрика.
При очень большой частоте изменения поля, соответствующей частоте
колебаний рентгеновых лучей и у-лучей радиоактивных веществ,
свободные электроны не успеют сколько-нибудь заметно сместиться
за время, пока колеблющееся поле Е' изменит свое направление на
противоположное. Для таких частот даже в металле е—>-1, и такое
излучение должно распространяться в металле так же, как излу-
излучение более низкой частоты распространяется в диэлектрике. Дей-
Действительно, рентгеновы лучи пронизывают большие толщи диэлек-
диэлектриков и металлов, распространяясь в них со скоростью, близкой
к скорости с распространения света в вакууме.
Внутри замкнутой металлической полости электромагнитное поле
излучения может существовать в виде стоячих волн, наподобие
стоячих волн воздуха в акустических резонаторах (см. том I, § 59).
Как и акустические волны, стоячие электромагнитные волны могут
обладать дискретным спектром возможных частот (длин волн).
Наибольшая возможная длина волны (наименьшая возможная частота)
определяется из условия, чтобы между стенками полости резона-
резонатора укладывалась половина волны. Обозначая расстояние между

§ 51] КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР 317
стенками через /, имеем
v=-L = JL=° | E027)
Полые металлические резонаторы, в которых возбуждаются
стоячие электромагнитные волны (см. § 52), сейчас широко приме-
применяются в ультракоротковолновой (деци- и сантиметровой) радио-
радиотехнике (радиолокация, телевидение, радиоспектроскопия, ускори-
ускорители заряженных частиц и т. д.).
§ 51. Колебательный контур
Как мы видели в начале предыдущего параграфа, электромаг-
электромагнитное поле излучения Е' и Н' создается полями ЕиН, связанными
с движущимися зарядами и токами. Поля ЕиН очень быстро убы-
убывают с удалением от их источников, по крайней мере обратно про-
пропорционально квадрату расстояния (законы Кулона и Био—Савара —
Лапласа). Индуктированные же поля Е' и Н' и на больших расстоя-
расстояниях от источника взаимно порождаются и полностью отрываются
от первоначально породивших их зарядов и токов.
Таким образом, любой ускоренно движущийся заряд или изме-
изменяющийся ток порождает распространяющееся от него во все сто-
стороны электромагнитное поле излучения. Огромное значение и мно-
многочисленные практические применения этого излучения (радиоволны,
свет, рентгеновы лучи и т. д.) требуют создания таких излучающих
систем, в которых поддерживалось бы длительное переменное_дви-
жение зарядов и токов, а значит, длительное излучение- электро-
магнитных'волн. Простейшей такой системой является электрический
колебательный контур.
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно
соединенных конденсатора емкостью Си катушки индуктивностью L.
Пусть вначале цепь разомкнута, а на обкладках конденсатора
находятся заряды ±да. При этом контур будет обладать энергией W,
равной энергии заряженного конденсатора W3n (см. A3.5)):
W= W — E1 \\
которая локализована в электрическом поле конденсатора (рис.
3.98, а). Положим для простоты, что сопротивление контура пре-
пренебрежимо мало, так что можно считать /?ж0.
Замкнем контур ключом К. Конденсатор начнет разряжаться,
но ток в контуре будет нарастать лишь постепенно вследствие

818
4. lit. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. xi
«электрической инертности» катушки. По мере уменьшения заряда
на оокладках конденсатора его энергия будет убывать. Так как
R±=Q и других возможностей потери энергии здесь нет*), энергия
контура меняться не должна. Убыль энергии электрического поля
конденсатора в точности возмещается увеличением энергии возни-
возникающего и растущего магнитного поля катушки, (рис. 3.98, б).
В тот5 момент, когда конденсатор полностью разрядится, ток в
контуре будет максимальным. Вслед
за этим конденсатор начнет пере-
перезаряжаться, и ток начнет убывать,
но постепенно, в силу той же
инертности катушки.
Максимальный ток /макс легко
вычислить, исходя из закона со-
сохранения энергии. В тот момент,
когда #=0, энергия WaJl=0 и вся
сосредоточена б магнитном поле
катушки. Следовательно, согласно
D5.5)
!= 25", E1.2)
у
t-T
откуда
уш <51-3)
Когда ток прекратится, Wuara
обратится в нуль и №эд примет
прежнее значение — заряды на
обкладках конденсатора достигнут
прежней величины и лишь поме-
поменяются знаками. Затем возникнет
ток обратного направления, конден-
конденсатор снова перезарядится, и весь
процесс будет повторяться (рис.
3.98, в — д). Таким образом, в
контуре возникнут электрические колебания заряда—тока. По-
Поэтому цепь, представленную на рис. 3.98, называ1ох_&лл.?-ба_те л ь-
н ы м к о н т У j^cur ~ ~" "
~~Вле"ктричёские колебания в колебательном контуре можно сопо-
сопоставить с колебаниями материальной точки под действием квазиуп-
квазиупругой силы (см. рис. 3.98, справа). Как было показано в т. 1, § 52,
в этом случае происходит непрерывный переход потенциальной
шши
Рис. 3 98.
*) Вопрос о потере энергии, связанной с излучением, будет рассмотрен
в§ 53.

§ 511 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР 319
энергии материальной точки. Е^^=к-сЧ2*\. в.. К!гнетичес;.-ую,
?кия='яй»'д/2, и_об?атно. Сопоставление Walt=4\i1C и ?пот=гхдга2
и №иа/я=к"~п*12 с EKim = mv%l2, произведенное на рисунке 3.98,
наталкивает иа предположение, что и электрические колебания
в контуре: должны происходить по гармоническому закону. Убедимся
в правильности этого предположения, а заодно определчм частоту
колебаний заряда и тока в контуре с емкостью С и индуктив-
индуктивностью L.
В начальный момент времени, при ^=0, заряд на обкладках
конденсатора равен ±Я0; замыкание контура ключом приводит
к возникновению тока /, который вызовет в катушке э. д. с. ин-
индукции ?инд:
Um=-k'lLfr E14)
По второму правилу КиохгоФа (см. § 17) сумма падений напряжения
в любом замкнутом контуре равна сумме действующих в этом кон-
контуре э. д. с. В данном случае падение напряжения на сопротивлении
отсутствует, так как #=0, и остается лишь падение напряжения U
между обкладками конденсатора
U=±. E1.5)
Единственной э. д. с. в контуре будет |инд. Следовательно,
уравнение Кирхгофа для контура примет вид
У=«ивд. E1 6)
Подставляя E1.4) и E1.5) в E1.6), находим
С' ¦ ¦' '¦ " "" fC L* ~~j~l • IО 1 • I I
at
Но
i^% E1*)
следовательно,
Ф-=?3- E1 9)
Подставляя E1.9) в E1.7), получаем дифференциальное уравнение,
которому подчиняется изменение заряда q в колебательном контуре:
k"L%L + lrq = 0. E1.10)
*) Коэффициент жесткости здесь для избежания путаницы обозначен
не k, как вт. 1, а к.

320 4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. XI
Уравнение гармонических колебаний материальной точки массы т
под действием князиуппугой ^илы с коэффициентом жесткости й
(том I, формула E4.3)) имеет вид
т~ -Мх = 0. E1.11)
Сравнивая E1.10) и E1.11), видим, что эти уравнения имеют
одинаковый вид. Поэтому и решения этих уравнений должны сов-
совпадать по форме. Нужно лишь в известном решении уравнения
E1.11) заменить т на k' L, а я на -^г. Это означает, что если
материальная точка с массой т под действием квазиупругой силы
— ях совершает гармонические колебания, т. е. координата х точки
меняется со временем по синусоидальному закону с частотой
со0=}Л<//» (том 1, формула E1.6)), то и величина заряда q будет
меняться со временем по такому же закону с частотой
E1.12)
у R. LX> (С У i-O
и периодом *" ~ ——————^——
2л п_,_,лгтт. E1.13)
Решение уравнения E1.10) можно, следовательно, записать в
виде
f^ j E1.14)
что легко проверить пряной подстановкой E1.14) в E1.10). Внося
q в E1.8), находим, что ток в контуре также меняется по гармо-
гармоническому закону:
А/* Л E1.15)
& k' У LC U VLC
но отстает от заряда по фазе на -g-:
— sin {(i>ot -f cp) = cos [&ot + cp — y J,
так что E1.15) можно переписать в виде
Значения постоянных а и ф определяются из начальных усло-
условий. В нашем случае эти условия гласят: при / = 0 q = qu и i = 0;

§ 51]
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
321
полагая в E1.14) и E1.15) * = 0, получаем
<70 = a cos ф,
0 =
E1.17)
E1.18)
ft' VLC y'
Так как в=^0, то 81'пф = 0, откуда ф = 0 (одно из возможных
значений, так как ф определяется с точностью до величины, крат-
кратной 2л). Подставляя это значение ф в E1.17), находим a — qu.
Таким образом, при данных начальных условиях имеем
1 E1.19)
t it N
VLC 2 ) •
E1.20)
(Отметим, что амплитуда тока в E1.20) действительно совпадает
с полученной в E1.3) из закона сохранения энергии.)
Возвращаясь к уравнениям E1.10) и E1.11), заметим, что ин-
индуктивность L играет в рассматриваемой электрической системе
роль массы т колеблю,ще,^сп точки, я ирличиня, пбрятная емкости,
р удщ^ ^ , р ,
1/С—роль коэффициента жесткости %. То обстоятельство, что ик-
дуктивность в контуре сообщает ему «электрическую инертность»,
т. е. играет такую же роль, какую играет масса в механике, уже
обсуждалось. Аналогию % и 1/С также легко понять физически.
Рис. 3.99.
Чем больше я, тем больше меняется сила, действующая на мате-
материальную точку, при изменении ее координаты на Ад;. Аналогично,
чем больше 1/С, т. е. чем меньше емкость конденсатора, тем
больше меняется его «электрическая сила»—падение напряжения
на обкладках при изменении его заряда на Ад.
Итак, математическое решение задачи об электрических колеба-
колебаниях в контуре с емкостью и индуктивностью известно; рассмотрим
физически происходящие в контуре явления. Для этого удобно вос-
воспользоваться графиками функций q и i, показанными на рис. 3.99.
Г. А. Зисмзн и О. М. Тодео

322 Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. XI
Заметим, во-первых, что разность потенциалов между двумя
любыми точками колебательного контура равна нулю, гак как его
омическое сопротивление принято равным нулю. Это означает, что
э. д. с. индукции &инд между любыми двумя точками контура все
время по величине равна падению напряжения Uна обкладках кон-
конденсатора и противоположна ему по знаку. Но U обусловлено
наличием заряда q на обкладках конденсатора, в то время
как &ИНд катушки обусловлена изменением тока в контуре,
т. е. величиной di(dt.
В те моменты, когда конденсатор полностью разряжается, q = 0
и U=0, значит, должна обратиться в нуль и ?инд, т. е. dijdt. В эти
моменты ток / должен достигать экстремального значения — макси-
максимума или минимума. Это и имеет место, как видно из рис, 3.99
(при i = 4J, 'IJ, *\J и т. д.).
В начальный момент ^=0, q = q0 и г = 0. Величина U, а зна-
значит, и dijdt имеют максимальное значение. Ток начинает течь, и
заряд на пластинах уменьшается. В момент t = ljiT U=0, q~0,
а ток, будучи отрицательным по величине, достигает амплитудного
значения iuaKC=qJk' V~LC.
«Инертность» индуктивности мешает конденсатору разрядиться
мгновенно: ток возрастает постепенно, пока действует ускоряющая
«электрическая сила» U конденсатора. Та же инертность мешает
току прекратиться в тот момент, когда U становится равным
нулю.
Как видно из 3.99, после момента t=l[tT заряд q, а следова-
следовательно, и U меняют знаки. Ток, поддерживаемый индуктивностью,
идет теперь против тормозящего напряжения, все уменьшаясь
по модулю. К моменту t = х\гТ ток прекращается, a q (и U) достигает
наибольшего по величине отрицательного значения. Затем процесс
повторяется, но при обратных знаках всех величин: q, i, U, ?ннд;
полный цикл завершается к моменту t=T и повторяется снова.
Таким образом, в колебательном контуре, состоящем из индуктивно-
индуктивности L и емкости С, при отсутствии сопротивления, /?=0, будут про-
происходить гармонические (незатухающие) колебания заряда и тока с
круговой частотой ©0=l/&'J/TC и сдвигом фазы л/2.
Найдем баланс энергии колебательного контура. Энергия конден-
конденсатора емкостью С с зарядом q равна
Энергия катушки индуктивностью L с током i равна
^..««А'1^. D5.9)

§ 51] КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР 323
Подставляя сюда значения q и / из E1.19) и E1.20) я склады-
складывая, находим полную энергию контура и убеждаемся в ее постоянстве:
= §lcos2(V) + sina (oV)] = J= const. E1.21)
В моменты / = 0, л1гТ, Т, *j2T, ... вся энергия контура лока-
локализована в электрическом поле конденсатора. В моменты времени
t = ^jiT, 8/47\ *{ЛТ, ... вся энергия контура локализована в маг-
магнитном поле индуктивности.
Рассмотрим теперь реальный контур с конечным српротивле-
нием и.. Применяя правило Кирхгофа для этого случая, имеем
т + и=Ьшг E1.22)
Выражая все входящие в E1.22) величины через q, как это было
сделано раньше (см. E1.2) — E1.5)), получим
*^&+«2+т*~°- EL23)
Это уравнение вполне аналогично уравнению колебаний под дей-
действием квазиупругой силы и силы трения (т. I, формула E4.6)):
d'x , _dx , .... „ ,С1 п..ч
Роль коэффициента трения г играет здесь электрическое сопро-
сопротивление R. В результате трения в механической системе часть ее
энергии переходит в тепло, так что колебания затухают. Наличие
сопротивления R в контуре также приводит к тому, что электриче-
электрическая энергия тратится на выделение тепла (по закону Джоуля—¦
Ленца), в силу чего электрические колебания должны затухать.
Мы получим решение E1.23), заменив в решении уравнения E1.24)
(см. т. I, формулу E4.7)) т на k'*L, г на R и к на 1/С. Учитывая
начальные условия (при / = 0): q=q0 и г==;7Г —0> найдем
q=^fl§e %k'*L СОЗИ-Ф)> E1.25)
где
03 =
11*

324
Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. XI
что можно проверить прямой подстановкой в E1.23). Дифференци-
Дифференцируя E1.25) по t, находим ток в контуре
r _ г
'wsin Ш—с
' dt
k'*L /
Преобразуя с помощью известных тригонометрических формул
скобки в выражении для /, получаем
«>k'*LC
a>k'"LC
r t
k'*L cos(e>t—%¦) . E1.27)
Как и в случае механических колебаний, сопротивление R при-
приводит к затуханию электрических колебаний и к уменьшению их
частоты. Кроме того, меняется
на ф сдвиг фазы между током
и зарядом.
При малом сопротивлении R,
когда
1. е.
Рис 3.100
]/~. E1.28а)
изменения сдвига фазы и собственной частоты незначительны. При-
Приближенно
V '
rcY 24л
или
Этот случай изображен на рис. 3.100.
При
R 1
2k'2L k' VLC
E1.29)
E1.286)
частота ш стремится к нулю, а период собственных колебаний Г= 2я/ш
растягивается до бесконечности. При этом 1§ф—»-оо, а ф—*п\2.
Таким образом, при условии E1.286) сдвиг фазы между колеба-
колебаниями тока и заряда —п~ + ф стРемится к нулю.

§ 51]
Наконец, при
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
R
1
k' VIC
325
E1.28в)
частота ю становится мнимой и колебание—апериодическим, как
показано на рис. 3.101.
Рис. 3 101.
О
Рис 3 102.
Перейдем теперь к наиболее важному для приложений случаю,
когда в контур дополнительно включена сторонняя гармоническая
э. д. с. ?ст (рис. 3.102):
?CT = g0cosQ^. E1.30)
Уравнение колебаний заряда q будет отличаться от E1.23) нали-
наличием &'.
E1.31)
Сопоставляя его с уравнением движения материальной точки под
действием квазиупругой силы, силы трения и сторонней гармониче-
гармонической силы (т. I, формула E4.16)):
т
dbc_
dt*
dx
r Tt
= Fo cos
E1.32)
мы можем, как это уже делалось, воспользоваться готовым реше-
решением. Это решение будет состоять из решения однородного уравне-
уравнения #*во6 (при |0 = 0), которое уже бычо найдено (см. E1.25)), и
частного решения <?„„„ неоднородного уравнения E1.27), которое
может быть написано по аналогии с решением уравнения E1.32)
(см. т. I, формулу E4.18))-
E1.33)
, E1.34)
Соответственно
'вын
dt

326 Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ ГГЛ. XI
где амплитуда вынужденных колебаний тока в контуре
&а E1.35)
и сдвиг фазы между /выи и §Ст
Ф' = arctg 5-^ : E1.36)
Напомним, что произвольные постоянные, определяемые из на-
начальных условий, входят только в решение однородного уравнения,
соответствующего собственным колебаниям, и не содержатся в част-
частном решении неоднородного уравнения.
Так как собственные колебания из-за наличия сопротивления R
затухают, то через некоторое время в контуре установятся выну-
вынужденные колебания тока I, определяемые целиком приложенной
переменной э. д. с. &ст по соотношениям E1.34) — E1.36) и не зави-
зависящие от начальных условий.
Как и в случае механических колебаний, существует электри-
ч е с к hJJ^ резонанс. Амплитуда вынужденных колебаний тока i0
резко возрастает, когда Q—> ——jr= как следует из E1.35), ампли-
туда тока достигает максимального значения при
независимо от величины R. Таким образом, резонансная частота
внешней э.д. с. равна
п™=УТгс=^ E1'37)
т. е. совпадает с частотой собственных колебаний контура в отсут-
отсутствие сопротивления (оо== , ,— . Резонансная амплитуда
'о,рез=4° E1-38)
соответствует амплитуде колебаний напряжения $0 по закону Ома
и при R—>0 стремится к бесконечности.
График зависимости /0 от Q при разных значениях R приведен на
рис. 3.103. Для малых сопротивлений, удовлетворяющих неравенству E1.28а),
эти кривые имеют вид узких вытянутых пиков. Практически с достаточно
хорошим приближением можно считать, что в некотором узком интервале
частот внешней э. д. с. около частоты йH:
E1.39)

§ 51]
КОЛРБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
327
электрический ток в контуре имеет амплитуду, близкую к E1.38), а при
частотах Q, лежащих вне этого интервала:
Q<Q,
Q> Q2,
E1 40)
амплитуда 1„ практически равна нулю и ток в колебательном контуре не
возбуждается вовсе Для оценки
ширины этого интервала частот "
AQ = Q2—Q, E4.41)
положим, что при Q = Q, г ампли-
амплитуда тока 1а в 1^15 = 3,15 раза
меньше tope3 Тогда из E1.35)
следует
или
Отсюда
1 , 3RQ
Рис. 3.103.
Заменяя в правой части E1.42) Q приближенно на а>0 = I/ft' \^LC также
приближенно извлекая квадратный корень, как это было сделано при
выводе формулы E1,29), находим
3R
E1 43)
Аи-
R
k'2L"
E1 44)
Таким образом, если согласно E1 38) 10, рез с уменьшением R растет, то по-
полоса частот, которые возбуждают сильный ток в колебательном контуре,
с уменьшением R сжимается, как это видно из рис. 3.103 Смещение же
собственной частоты ш от йH при малых сопротивлениях R в контуре, как
видно из E1 29), незначительно, и величина со лежит всегда внутри интер-
интервала, между Q, я Q2. Эти обстоятельства играют важную роль в радиотех-
радиотехнике при настройке приемного контура на частоту передающей радиостанции,
При малых сопротивлениях основной величиной, характеризую-
характеризующей колебательный контур, является круговая частота собственных
колебания <в0 и обратный ей период собственных колебаний
E1 45)

328 Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. XI
— формула Томсона. Следовательно, в единицах СИ
r=2jtj/7c, E1.45а)
где Т выражается в секундах, L—в генри, С—в фарадах.
В гауссовых единицах
T=—VIC, E1.456)
С
где Т также выражается в секундах, L—в сантиметрах, С—в сан-
сантиметрах.
§ 62. Возбуждение электрических колебаний
Колебательный контур, схему действия которого мы разобрали
в предыдущем параграфе, является принципиальной основой совре-
современной радиотехники. Колебания электрического заряда и тока
в конгуре создают вокруг конгура периодически колеблющееся элек-
электромагнитное поле, порождающее электромагнитное излучение, ко-
которое распространяется во все стороны в виде электромагнитных
волн (см. § 53) и, доходя до какого-либо другого контура, воз-
возбуждает в последнем переменный ток той же частоты.
Полная электромагнитная энергия
переходящая из катушки самоиндукции в конденсатор и обратно,
в реальном контуре постепенно уменьшается. Часть этой энергия
затрачивается на преодоление омического сопротивления и перехо-
переходит в тепло. Другая часть энергии непрерывно расходуется на со-
создание электромагнитного излучения, уносящего эту энергию в про-
пространство.
Поэтому для создания и поддержания электрических колебаний
в контуре к нему надо непрерывно подводить энергию от внешнего
источника. Рассмотрим вкратце основные способы возбуждения ко-
колебаний электрического контура.
Вначале колебания контура возбуждались сравнительно редкими
толчками с помощью индукционной катушки (индуктора). Схема
такого способа возбуждения изображена на рис. 3.104. Индуктор И
представляет собой катушку с железным сердечником и двумя об-
обмотками. В первичной обмотке, обычно с помощью механического
прерывателя, создается пульсирующий ток. Частота разрывов тока
достигает 10"—10* раз в секунду. Благодаря большому числу вит-
витков во вторичной обмотке в ней индуктируется переменная э. д. с.
высокого напряжения, до ~ 10 000 в, и той же частоты. Эта э. д. с.
заряжает конденсатор С. Цепь самого колебательного контура, со-

§52]
ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
329
стоящего из емкости С и индуктивности L, разомкнута воздушным
промежутком S. В тот момент, когда напряжение на этом разряд-
разрядном промежутке достигает пробивного значения ?/про6, проскакивает
искра, образовавшийся при пробое столб ионизованного воздуха за-
замыкает цепь контура, и в нем возникают собственные колебания
высокой частоты. Эти колебания быстро затухают, и контур раз-
размыкается до следующей искры.
С
Нг
Рис. 3.104.
На рис. 3.105, а показано изменение э. д. с. вторичной катушки
индуктора со временем, а на рис. 3.105, б изображен ток/ в цепи
колебательного контура. Для наглядности на рис. 3.104 изображен
присоединенный к контуру осциллограф О, на экране которого вос-
воспроизводится кривая зависимости I от /.
Несмотря на все несовершенство такого метода возбуждения,
с его помощью Герц в 1886 г. впервые получил и изучил электро-
электромагнитные волны. Из формулы E1,45) следует, что частота собст-
собственных колебаний контура с достаточно малым омическим сопро-
сопротивлением связана с остальными параметрами контура соотношением
- ' ] E2.2)
Отсюда видно, что для увеличения собственной частоты колебаний
контура надо уменьшить его емкость С и индуктивность L. Идя по
этому пути, Герц оставил в контуре всего один виток, а затем стал
уменьшать площадь пластин конденсатора и раздвигать их друг от
друга, как показано на рис. 3.106, а — в.
В результате вибратор Герца получил форму,изображенную
на рис. 3.106, в,—двух стерженьков с разрядным промежутком
между ними, к которому подводились провода от индуктора.
Принципиально важным для увеличения интенсивности излучения
явилось то обстоятельство, что контур при этом стал открытым.

330
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. xi
Если в первоначальной форме контура переменное электрическое
поле было все заключено внутри конденсатора (рис. 3.106, а), то
в окончательной форме оно уже окружало вибратор снаружи
(рис. 3.106, в).
Используя такой вибратор, Герц получил электромагнитные вол-
волны с частотой v до Ю8 сек'1 A08 гц). Позже П. Н. Лебедев,
[\М
Рис. 3.106.
Рис. 3.107.
применив маленькие тоненькие платиновые стерженьки, сконструи-
сконструировал вибратор с еще большей частотой: ~ 10'° гц.
Частоты собственных колебаний электрических зарядов в атомах
и молекулах еще выше и достигают примерно 101г—Ю" гц.
Для получения близких к этим частотам электрических колебаиий макро-
макроскопических вибраторов А. А. Глаголева-Аркадьева в 1922 г. построила
прибор, названный ею массовым излучателем, В сосуд А (рис. 3.107)
наливается масло со взвешенными в нем мелкими металлическими опилками,
непрерывно перемешиваемое мешалкой М, Колесико К, вращающееся во-
вокруг горизонтальной оси, захватывает слой масла с опилками, покрывающий
его обод в виде тонкой пленки —своеобразной «шины». Сверху к этой шине
подводятся концы проводов от индуктора, возбуждающего электрические
колебания в опилках Благодаря непрерывной смене опилок при вращении
колесика К они не успевают сгорать от проскакивающих между ними искр.
Большое число одновременно возбуждаемых вибраторов обеспечивает доста-
достаточную для обнаружения интенсивность электромагнитных волн. Неоднород-
Неоднородность размеров и формы отдельных вибраторов вызывает в массовом излуча-
излучателе одновременные электрические колебания с различными частотами в ин-
интервале 1010—Ю12 гц, перекрывающем промежуток на шкале частот между
электрическими колебаниями атомов и макроскопических вибраторов.

§ 52]
ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
331
В своих опытах 1887—1891 гг. для регистрации электромаг-
электромагнитного поля, излучаемого вибратором, Герц использовал явление
электрического резонанса. Вибратор В, возбуждаемый индуктором //,
являлся источником электромагнитного поля определенной частоты
(рис. 3.108). Достигая второго контура с искровым промежутком,
являющегося в данном случае резонатором Р, переменное магнит-
магнитное поле возбуждало в нем электрические колебания той же час-
частоты. При достаточной ампли-
амплитуде последних через искровой
промежуток резонатора проска-
проскакивала искра, сигнализировавшая
о приходе электромагнитной волны.
Рис. 3.108,
Рис. 3.109.
Для получения максимальной амплитуды колебаний контура Р он
настраивался в резонанс с вибратором В.
В данном случае резонатор представляет собой контур, в кото-
котором возникают вынужденные электрические колебания. Периоди-
Периодическая э. д.с. возникает в нем под действием переменного элек-
электромагнитного поля первого вибратора.
Принцип электрического резонанса используется ив трансфор-
трансформаторе Тесла, схема которого проведена на рис. 3.109. В пер-
первичной обмотке этого трансформатора с помощью индуктора И воз-
возбуждаются электрические колебания высокой частоты Q = l/y ?,C,.
Значительная часть подаваемой в контур энергии при этом излу-
излучается в пространство в виде переменного электромагнитного поля.
Чтобы ббльшая часть этой энергии передавалась во вторичную об-
обмотку и возбуждала в ней электрические колебания значительной
амплитуды, частота собственных колебаний вторичного контура
со0 --= 1 \У LtCt должна совпадать с частотой вынуждающей силы Q.
Условие резонанса тогда примет вид
Для получения во вторичной обмотке очень высоких напряжений

332
Ч. Ш ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. XI
необходимо делать ее из большого числа витков и тем самым уве-
увеличивать ее индуктивность, так что L2^>Lv Для соблюдения усло-
условия резонанса E2.3) приходится соответственно сильно уменьшать
емкость вторичного контура: С2<^СЪ для чего его делают открытым.
С помощью трансформатора Тесла удается получать токи высокой
частоты, до 10егц, с напряжением около миллиона вольт. Концы
катушки L2 на воздухе искрят, а в помещенных поблизости разряд-
разрядных трубках с разреженными газами возникает свечение.
Для переменного тока технической частоты, 50 гц, потери на
излучение относительно малы. Поэтому в обычных технических
трансформаторах нет необходимости в строгом соблюдении условия
резонанса E2.3).
Во всех рассмотренных выше системах частота подвода энергии
от индуктора много меньше частоты собственных колебаний контура.
Вследствие потерь энергии на джоулево тепло и на излучение после
каждого «толчка» амплитуды колебаний заряда и тока в контуре
быстро убывают (см. рис.
3.105,6). Для техники особый
интерес представляет контур,
в котором и при потере энер-
энергии могли бы поддерживаться
незатухающие колебания. Та-
Такой контур способен испус-
испускать незатухающие электро-
электромагнитные волны. При нали-
наличии потерь незатухающие
колебания можно получать
только за счет постоянного
Рис. 3.110.
притока энергии в колеба-
колебательный контур. Создать та-
удалось лишь благодаря
кой устойчиво работающий контур
изобретению триода.
Рассмотрим простейший колебательный контур с триодом,
в котором незатухающие колебания поддерживаются за счет энер-
энергии источника постоянной э. д. с. (например, аккумулятора). Схема
такого генератора незатухающих электромагнитных колебаний по-
показана на рис. 3.110.
Задача состоит в том, чтобы, грубо говоря, включать и выклю-
выключать источник постоянного напряжения с частотой, равной частоте
колебаний контура V, так, чтобы при включениях э. д. с. источника
усиливала ток в контуре.
Основная идея всех автоколебательных систем (механи-
(механических и прочих, в том числе рассматриваемой) состоит в том, что
«клапан», открывающий доступ энергии в контур, управляется
самой колебательной частью прибора (в данном случае—колеба-

§ 52] ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 333
тельным контуром). Часть прибора, осуществляющая связь колеба-
колебательной части и клапана, носит название обратной связи.
При таком управлении работой клапана исключается возможность
включения и выключения источника энергии «не в такт».
В нашем примере источником энергии является батарея ?а,
в цепь которой включен колебательный контур. Клапаном же
является триод. Обратная связь реализуется следующим образом.
Как известно, небольшие изменения сеточного напряжения (по от«
ношению к катоду) сильно меняют сопротивления триода (см. § 23).
Между сеткой и катодом включается катушка L', которая связы-
связывается индуктивно с катушкой L колебательного контура. Катушка L
индуктирует в L' колебания, очевидно, той же самой частоты, что
и частота колебаний v в контуре. Таким образом, ток в анодной
цепи (анод—«-батарея Бл—>¦ колебательный контур—>-катод) моду-
модулируется с частотой v*). Таким образом, в колебательный контур
оказывается включенной сторонняя э. д. с. нужной частоты, пере-
передающая ему энергию.
Отвод необходимой энергии в антенну также можно осущест-
осуществить с помощью катушки L", индуктивно связанной с L. Если
частота контура L" близка к v, то передача энергии от L к L"
будет достаточно большой.
Описанный способ получения незатухающих электромагнитных
колебаний используется в современной радиотехнике в области ча-
частот от 10s гц (и, при желании, меньших) до 10' гц, что отвечает
диапазону длин волн от 3 км до 30 см.
Дальнейшее повышение частоты и переход к так называемому
сантиметровому диапазону электромагнитных волн с помощью
лампового генератора рассмотренной схемы наталкивается на два
существенных затруднения. Во-первых, в соответствии с E2.2) не-
обходимо уменьшать размеры самого контура, что, помимо прочих
трудностей, снижает мощность контура. Во-вторых, при этом будет
не успевать срабатывать «клапан», т. е. электронный поток в лампе.
Действительно, при частоте порядка 10" гц электроны, летящие
со скоростью порядка 10' см[сек, за время одного периода
Т»10~" сек пройдут расстояние всего лишь 10~2 см — 0,\ мм
и будут доходить до противоположного электрода, когда его по-
потенциал будет уже совсем не тот, что был в момент их вылета из
катода.
Радиоволны сантиметрового диапазона генерируются с помощью
клистронов и м агнетронов. Электромагнитные волны воз-
буждаются в клистроне приМйрнб 'гак, как возбуждаются звуковые
волны в органной трубе или свистке.
*) Батарея 5^ включена в цепь обратной связи для того, чтобы лампа
работала иа линейной части своей характеристики

334
4. 1IT. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл.
О.С.
Рис. 3.111
Клистрон состоит из двух полых резонаторов Р, и Рг (рис. 3.111),
настроенных в резонанс с помощью винтов настройки Я, и Нг.
Донышки резонаторов сделаны в виде сеток С,, Сг, Са, С4, С5,
сквозь которые может проходить пучок электроно.в. Электроны ис-
испускаются плоским подогревным катодом К, ускоряются между ним
и сеткой Cj и попадают через С2
в первый резонатор Рг. В зависи-
зависимости от фазы стоячей волны в
Pv т. е. направления вектора Е
fcjj ! ~л в области между С2 и С„ элек-
|0 I j J ! | I троны либо ускоряются в этом по-
Lwi '" '" "' ле, либо тормозятся.
Представим себе, что в на-
начальный момент электроны в Р%
тормозятся. Тогда, выходя в про-
пространство между резонаторами,
они будут двигаться медленнее, чем двигались раньше. Электроны,
попадающие в резонатор через время Г/2, будут ускоряться электри-
электрическим полем, так что их скорость возрастет. Расстояние между Са
и С4— пространство дрейфа — подобрано так, чтобы запоз-
запоздавшие на Г/2, но более быстрые электроны нагнали электроны,
которые движутся медленнее, вблизи С4. В дальнейшем эта же
картина будет повторяться с периодом Т.
Таким образом, в результате взаимодействия с полем первого
резонатора однородный пучок .электронов, проходящих через С,,
разбивается на ряд «сгустков», или пакетов, формирующихся перед
сеткой С4. Если фаза поля в резонаторе Рг такова, что пролетаю-
пролетающий сквозь него пакет электронов тормозится полем Р„ то это же
будет происходить и со всеми последующими пакетами. Это озна-
означает, что в Рг электроны будут терять свою энергию, передавая
ее электромагнитному полю, амплитуда которого будет возрастать.
Часть этого поля будет поступать через специальную полую
металлическую трубку в резонатор Рг, поддерживая колебания в нем.
Эта трубка играет роль обратной связи рассматриваемой автоколе-
автоколебательной системы; на рис. 3.111 она обозначена О. С. Часть энер-
энергии отводится от Рг с помощью другой металлической трубки —
волновода, оканчивающегося металлическим рупором, который
является излучателем электромагнитного поля.
Клистроны очень легки и удобны в обращении. Но значительно
ббльшую мощность излучения можно получить с помощью магне-
магнетрона. Магнетрон представляет собой диод с очень большим
анодным напряжением. Однако ток в нем весьма невелик, так как
внутри лампы имеется мощное магнитное поле Н, параллельное оси
диода. Электроны, вылетающие из катода и ускоряемые электри-
электрическим полем по направлению к аноду, отклоняются магнитным

§53]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
335
полем и описывают траектории, показанные на рис. 3.112. Двигаясь
ускоренно, электроны испускают электромагнитное излучение, кото-
которое выводится затем из магнетрона так же, как из клистрона.
Для вывода излучения высокой частоты в пространство в слу-
случае волновода можно использовать рупор, в прочих случаях — ан-
антенну, механизм действия которой
будет разобран в следующем пара-
параграфе.
Для передачи электромагнитно-
электромагнитного поля без излучения его в про-
Рис. 3.112.
Рис. 3.113,
странство можно пользоваться также коаксиальным кабелем,
состоящим из центрального провода и соосной с ним металлической
оболочки (рис. 3.113). Токи в этом кабеле идут по поверхности
внутреннего проводника и по внутренней поверхности проводника —
оболочки. Электромагнитное поле в таком кабеле целиком распро-
распространяется в пространстве между проводниками и вне проводника
всегда равно нулю. Поэтому коаксиальный кабель в отличие от
обычных «открытых» линий, состоящих из двух параллельных про-
проводников, ничего не излучает.
§ 53. Электромагнитные волны
В идеальном колебательном контуре (см. рис. 3.98) электри-
электрические заряды противоположного знака то разделяются на проти-
противоположных пластинах конденсатора, то компенсируют друг друга
в моменты максимума тока. Та же картина движения зарядов и то-
токов наблюдается в вибраторе Герца (рнс. 3.106, в) при возбужде-
возбуждении его индуктором и в антенне, возбуждаемой от лампового
генератора (рис. 3.110).
Для выяснения механизма образования электромагнитных волн
этими излучателями представим излучатель схематически в виде
колеблющегося электрического диполя. Такой простейший вибратор,
изображенный на рис. 3.114, состоит из двух зарядов -\-q и —q,
гармонически колеблющихся с некоторой частотой v вдоль верти-
вертикальной прямой в противоположные стороны. Амплитуда колебаний
обоих зарядов одинакова, а фазы противоположны. На рис. 3.114,

336
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[ГЛ. XI
а—ж изображены последовательные положения зарядов системы
и линии электрического поля Е.
В момент t = 0 оба заряда находятся в одной и той же началь-
начальной точке и электрическое поле отсутствует (рис. 3.114, а). На
рис. 3.114, б изображено положение этих зарядов спустя некоторый
промежуток времени i после начала движения. Заряды сместились
на некоторое расстояние от равновесных положений, и система
представляет собой электрический диполь, линии поля которого
выходят из заряда -\-q и входят в заряд —q. Однако на более
далеких расстояниях от диполя электрическое поле еще отсутствует.
в)
Ж) t>T
Рис. 3.114.
На рис. 3.114, в и г показаны положения обоих зарядов спустя
четверть периода (t = 1/iT) и несколько позже (^>1/471)- За это
время электрическое поле успевает распространиться на некоторое
расстояние от диполя. В момент t = 1/2T (рис. 3.114,C) оба заряда
проходят через положение равновесия и компенсируют друг друга.
Однако электрическое поле, созданное в окружающем пространстве
за предыдущее время, не исчезает, и линии этого поля, отрываясь
от зарядов, замыкаются сами на себя. В следующий момент,
t~>xl2T, заряды вновь расходятся (рис. 3.114, е) и начинают со-
создавать электрическое поле обратного направления. «Отшнуровав-
шиеся» же замкнутые линии вектора Е уходят от источника поля
со скоростью с. По истечении первого периода колебания (t=T)
от зарядов «отшнуруется» новая группа линий электрического поля,
как показано на рис. 3.114, ж, и т. д.

§ 53]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
337
Напомним еще раз, что линии напряженности электрического
поля являются не физической реальностью, а лишь графическим
способом описания структуры поля.
«Отшнуровывающееся» поле будет содержать не только элек-
электрическую составляющую. Как уже было показано, с движущимся
электрическим полем всегда связано магнитное поле. Часть элек-
электрического поля, отделившаяся от поля, связанного с зарядами,
будет двигаться в пространстве, и ей будет сопутствовать магниг-
ное поле Н', перпендикулярное к Е.
е) t >±T
Рис. 3.115.
m)t>T
Если провести из центра колеблющегося диполя произвольный
радиус-вектор (луч) г, то, как видно из рис. 3.114, ж, во всех
точках луча вектор Е перпендикулярен к лучу и лежит в плоскости,
проходящей через луч и ось диполя (плоскости рисунка). От точки
к точке луча вектор Е периодически колеблется, изменяя свое на-
направление на противоположное, но оставаясь в той же плоскости.
Но так как линии поля движутся вдоль луча, то Е будет периоди-
периодически изменяться не только в пространстве, но и во времени.
«Отшнуровывание» поля излучения происходит не только от
связанного с колеблющимися зарядами электрического поля, но и
от связанного с ними магнитного поля. На рис. 3.115, а — ж по-
показаны различные стадии движения линий вектора Н, создаваемых
движением зарядов, т. е. переменным током I. Проводя на рис.
3.115, ж луч г, мы видим, что вектор Н перпендикулярен к пло-
плоскости, содержащей луч и вектор Е рассмотренного выше поля,
12 Г. А. Зисман и О. М. Тодес

338 Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. XI
и также периодически колеблется в пространстве и во времени.
С этим магнитным полем Н будет связано электрическое поле Е',
обусловленное движением «отшнуровавшегося» поля Н.
Как видно, в непосредственной близости от источника возни-
возникающее поле носит очень сложный характер. Основными слагаю-
слагающими здесь являются электростатическое поле диполя, которое со-
согласно B.19) изменяется с расстоянием по закону
?,-*?. E3.1)
и магнитное поле тока, которое по закону Био—Савара—Лапласа
убывает с расстоянием по закону
где u = dxjdt — мгновенная скорость движущихся зарядов.
Эти поля взаимно перпендикулярны, и их колебания сдвинуты
по фазе на я/2, так же как сдвинуты по фазе колебания заряда
и тока в колебательном контуре (см. § 51).
Уже отмечалось, что переменное электрическое поле Е„ создает
вихревое магнитное поле, а переменное магнитное поле Нт создает
вихревое электрическое поле. Эти новые индукционные поля колео-
лются с той же частотой v, что и породившие их поля Ед и Нт,
и распространяются от источника со скоростью v, рассчитанной
, выше, в § 50.
В результате картина суммарного электромагнитного поля еще
более усложняется по сравнению с изображенной на рис. 3.114
и 3.115. Однако общая структура поля и взаимная перпендикуляр-
перпендикулярность векторов Е, Н и г остаются теми же. Изменяются лишь по-
постепенно фазовые соотношения между полями и напряженности их
с удалением от источника.
Остается также в силе и зависимость напряженности индукцион-
индукционных полей от угла Ф между током по оси диполя и направлением
радиус-вектора, даваемая законом Био — Савара—Лапласа:
?иВД. W.«~sln#. E3.3)
Точный расчет электромагнитного поля, излучаемого колеблю-
колеблющимся диполем, довольно сложен. Остановимся лишь на некоторых
основных характеристиках этого излучения, основываясь на резуль-
результатах, полученных в § 50.
В случае гармонических колебаний диполя
qx=qxa sin 2nvt E3.4)
и элемента тока
2nvqx tos2nvt E3.5)

§ 53] ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 339
индукционные поля
?иНд. "„„я LW ^-v2sin2jw* E3.6)
колеблются с той же частотой и распространяются в виде синусо-
синусоидальных волн. Зная скорость распространения волны в окружаю-
окружающей среде
k E3-7)
можно найти длину бегущей волны к из соотношения
k=vT=^ , E3.8)
справедливого для волн любого типа (см. т. 1, § 55).
В соответствии с E0.19) величины ^„„д и Ншя в каждой точке
поля пропорциональны друг другу. Следовательно, при периодиче-
периодических колебаниях EaaR и //инд одновременно достигают максимальных
значений и одновременно переходят через нуль, т. е. колеблются
в одинаковой фазе.
Распространяясь во все стороны от источника, электромагнитные
волны непрерывно уносят с собой энергию. При установившемся
процессе излучения через любую сферу поверхностью 4w*, окру-
окружающую источник, за единицу времени проходит одно и то же ко-
количество энергии, равное произведению плотности потока энер-
энергии E0.22) на площадь поверхности сферы:
^2 = const. ^ E3.9)
Отсюда и из E0.19) следует, что
"мня
т. е. индукционные поля убывают с расстоянием много медленнее,
чем ?д и Н7, и при г^>К, в так называемой волновой зоне,
электромагнитное поле сводится практически к индукционным полям.
Собирая результаты E3.3), E3.6) и E3.10), находим, что ампли-
амплитуды полей в электромагнитной волне
Наибольших значений Е и И достигают в экваториальной плоскости
(д=я/2), а вдоль оси диполя (д = 0 и ®=п) напряженность поли
равна нулю.
Вектор Умова — Пойнтннга
S-fK[ExH] E3.12)
12»

340
Ч. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. xi
в каждой точке волны направлен вдоль ее распространения
радиус-вектору г. Амплитуда потока энергии
о v4 sin2 #
•по
E3.13)
Зависимость потока излучаемой энергии от угла д изображена
па рис. 3.116 в виде так называемой полярной диаграммы
направленности. На этой
диаграмме длины отрезков, прове-
проведенных из центра диполя под раз-
различными углами й, прямо пропор-
Рис. 3.116.
Рис. 3.117.
циональны потоку энергии S, излучаемому в данном направлении.
Приведенная диаграмма направленности для излучения одиночного
вибратора показывает, что излучающая антенна на радиостанции
должна располагаться вертикально. При этом максимальное излу-
излучение энергии будет происходить в горизонтальной плоскости вдоль
поверхности Земли, а вертикально вверх энергия из-
излучаться не будет вовсе.
Если необходимо получить направленное излучение
в самой горизонтальной плоскости, то используют яв-
явление интерференции волн. На рис. 3.117 приведен
простейший пример двух антенн, колеблющихся в оди-
одинаковой фазе и расположенных на расстоянии \[2 друг
от друга,—п о л у во л н ов о г о диполя (вид сверху).
Рис.3. 118. В точки, лежащие на линии, соединяющей антенны, обе
волны будут приходить в противоположной фазе и гасить
друг друга. В перпендикулярном же направлении обе волны будут
приходить в одинаковой фазе и максимально усиливать друг друга.
Диаграмма направленности излучения подобной системы в гори-
горизонтальной плоскости будет иметь характерный вид «лепестка»,
как изображено на рис. 3.117.
Применяя более сложные системы излучателей, можно добиться
значительно более узкого лепестка диаграммы направленности
(рис. 3.118). Для получения практически параллельного пучка
в современных радиолокаторах используют свойство электромаг-
электромагнитных волн отражаться от металлических поверхностей и поме-

§ 53] ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 341
щают излучающий диполь в фокусе параболы металлического
зеркала. Этот способ применим для радиоизлучения с длиной волны,
не превышающей десятка сантиметров, так как размеры отражателей
должны быть много больше длины волны, чтобы не сказались
дифракционные явления (см. т. I, § 60).
Даже без такого отражения на больших расстояниях от излу-
излучающего диполя участок сферической волны можно считать прак-
практически плоским. «Моментальный снимок» структуры такой плоской
волны показан на рис, 3.119. Плоскости колебаний векторов Е и Н
взаимно перпендикулярны, и сами векторы перпендикулярны к напра-
направлению распространения v || S
(электромагнитные волны по-
поперечны).
Из E3.13) следует, что
интенсивность излучения про-
пропорциональна четвертой сте-
степени частоты колебаний виб-
ратора. Поэтому при рдсчете
линий переменного тока техни-
технической частоты (V—50 сек'1)
учитывают лишь потери на Рис. 3.119,
нагревание проводов (по за-
закону Джоуля—Ленца) и пренебрегают практически ничтожными
потерями на излучение. В противоположность этому для высокой
частоты (v -~ 10е сек*1 и выше) основную роль играют потери на
излучение. Эти потери настолько велики, что для поддержания
незатухающих колебаний вибратора необходимо подводить к нему
порции энергии от внешнего источника через каждый период, как
это и делается в ламповом генераторе. По этим же причинам пере-
передача токов сверхвысокой частоты по открытым проводам без боль-
больших потерь невозможна. В этих случаях используют полые метал-
металлические волноводы, в которых «заперто» электромагнитное поле.
Весьма часто для этих целей употребляют коаксиальные кабели.
Из полученного выше соотношения E3.6) видно, что частота
электромагнитного излучения пропорциональна ускорению движу-
движущихся зарядов du\dt. Излучать, следовательно, будет и одиночный
заряд, если он движется ускоренно с любым, положительным
или отрицательным, ускорением. По сравнению с колеблющимся
диполем различие будет состоять лишь в том, что в сл~учае про-
произвольного непериодически меняющегося ускорения заряд будет
излучать' 1Гё~~мо1юхроматическую волну одрепе.лен.но^ частоты, а
набор волн различных частот.
Примером «тормозного» излучения является сплошной спектр
рентгеновых лучей. В изображенной на рис. 3.120 рентгеновской
трубке поток электронов, испускаемых накаленным катодом К,

342 ч. ш. электромагнетизм [гл. xi
ускоряется, проходя разность потенциалов Uпорядка 20000—70000 в,
а затем резко тормозится при ударе о сплошной металлический
антикатод А. Вследствие огромного отрицательного ускорения при
торможении на очень коротком отрезке пути электроны испускают
электромагнитные волны с очень большой частотой, порядка 10"—
10го сек'1. Чем выше приложенное напряжение U, тем ббльшую
скорость имеют электроны в момент удара, тем резче они тор-
тормозятся и тем более высокую частоту (и соответственно более
короткую длину волны) имеют испускаемые ими рентгеновы
лучи.
Примером «ускоренного» излучения является испускание види-
видимого света свободными электронами при ускорении их в макро-
макроскопическом поле. Такое излу-
излучение возникает в бетатронах
(см. § 41), когда электроны
приобретают достаточно боль-
большую скорость (весьма близ-
близкую к с). Излучение в бетатро-
бетатроне обусловлено центростре-
центростремительным ускорением, свя-
Рис. 3.120 занным с круговым движением
электронного пучка. Предска-
Предсказание и расчет этого своеобразного явления «светящегося» элект-
электрона ?Р™|?Д^вжат Д. Д.Иваненко и И. flr Померанчуку.
Свечение свободных электронов в бетатроне легко наблюдать,
если часть тора, в котором происходит ускорение, сделать из
прозрачного материала. При достижении электронами достаточной
скорости (т. е. достаточного центростремительного ускорения)
появляется красноватое свечение. Дальнейшее увеличение скорости
вызывает изменение цвета излучения к голубоватому.
При движении электронов в полях меньшей напряженности,
чем в бетатронах, видимое излучение уже не наблюдается — чаще
всего оно лежит в радиодиапазоне. Так, по всей вероятности/
возникают некоторые радиоизлучения в Галактике, воспринимае-
воспринимаемые радиотелескопами.
Электрон, движущийся равномерно с постоянной скоростью
уэл = const, ие излучает, а лишь переносит с собой электрическое
и магнитное поля. Вследствие того, что изменения этого поля,
вызванные перемещением электрона, не охватывают мгновенно всего
пространства, а распространяются с конечной скоростью, поле
в данной точке будет определяться не расстоянием г до положе-
положения электрона в данный момент времени, а расстоянием до элек-
электрона в предыдущий момент времени:
*' = *-.f. E3.14)

§ 53]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
343
где vr— проекция скорости распространения электромагнитного
поля и—c/j/ец на направление радиус-вектора г. Пока
E3.15)
указанной незначительной поправкой можно пренебречь.
В вакууме всегда
vM<c. E3.16)
При движении же быстрого электрона в какой-либо диэлектрической
среде (например, воде) может иметь место случай, когда
E3.17)
V ец
т. е. когда движение электрона происходит со скоростью, пре-
превышающей скорость распространения электромагнитного поля в
Рис. 3.121.
данной среде (но, конечно, меньшей с). В этом случае, изображен-
изображенном на рис. 3.121, равномерно движущийся электрон будет опере-
опережать свое собственное поле.
На чертеже отмечен ряд последовательных положений движу-
движущегося электрона Mit Мг, Мг, Mt в моменты времени *1-О8<*,-<*4*

344 Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. XI
Чтобы изобразить область пространства, заполненную полем элект-
электрона в момент tA, поступим следующим образом. Из точки /И,
проведем сферу радиусом
rI=«M*4-*l). E3.18)
На поверхности этой сферы лежат те точки, до которых к мо-
моменту tt дошло поле, созданное электроном, находившимся в мо-
момент времени tx в точке М1. Аналогичные сферы радиусов г, =
— v{ti — tt), rt = v{ti—*а) и г4=г>(?4—tt) = 0 проведем из точек
ЛТ„ Мг и 7W4. Огибающая все эти сферы поверхность конуса будет
показывать положение фронта электромагнитного излучения элек-
электрона в момент tt. Пунктиром на том же рисунке показано поло-
положение фронта электромагнитного излучения в последующий момент
tt > tit когда электрон дошел до точки М6.
Таким образом, оказывается, что равномерно движущийся элек-
электрон' может излучать электромагнитные волны, когда его скорость
превышает скорость распространения этих волн в данной среде.
Это чрезвычайно интересное явление было обнаружено в 1934 г.
П. А. Черенковым в работе, выполненной под руководством
С. И. Вавилова.
Теория этого явления, получившего название черенков-
с к о г о излучения, была разработана Й. Е. Таимом^ yi
И. М. Франком, Не касаясь всех деталей теории, определим из
рис. 3.121 угол Ф между направлением этого излучения (лучом
MjN) и траекторией электрона:
Д- = °<**-'.)¦ .g.^-1-, E3.19)
где
п=У1ць>1 E3.20)
— так называемая оптическая плотность, или показатель прелом-
ления данной среды.
Черенковское излучение возникает при прохождении через
среду лишь очень быстрых частиц, скорость которых г>> —; оно
широко применяется в современной ядерной физике дТПГ~р"еТТГстра-
ции прохождения энергичных частиц через вещество. В «черен-
ковском» счетчике слабая световая вспышка попадает на фото-
фотоумножитель (см. рис. 2.50) и регистрируется специальными элек-
электронными схемами.
Применяя среды с различной оптической плотностью п, можно
с помощью таких счетчиков отбирать частицы с определенными
энергиями и подсчитывать их число.

§ 54] радиосвязь 345
§ 54. Радиосвязь
Длинные электромагнитные волны, которые были впервые ис-
использованы для нужд связи, называются радиоволнами.
В 1894 г. А. С, Попову удалось создать чувствительный и удоб-
удобный приемник для электромагнитных волн, основные принципиаль-
принципиальные особенности устройства которого сохранились в современной
радиоприемной аппаратуре. Во-первых, Попов применил высоко под-
поднятую приемную антенну, которая значительно увеличивает даль-
дальность приема. Во-вторых, Попов осуществил то, что называется
релейной схемой: ничтожная энергия приходящих электро-
электромагнитных волн принимается не непосредственно (как, например,
для возбуждения искры в опытах Герца), а для управления вклю-
включением местного источника энер-
энергии, который и питает регистри-
регистрирующий прибор. Схема первого
радиоприемника Попова изображена
на рис. 3.122. Когерер ^пред-
^представляет собой стеклянную трубку,
в которой помещены металлические
опилки; в оба конца трубки А и В
введены провода, соприкасающиеся
с опилками. Приходящая электро-
электромагнитная волна, создавая в коге-
когерере переменный ток высокой час-
частоты, вызывает проскакивание между
опилками мельчайших искр, которые
сваривают опилки друг с другом.
При этом сопротивление когерера резко уменьшается, и он замыкает
цепь батареи Б, питающей электромагнит Э,. Электромагнит при-
притягивает стальную пластинку /7, и с помощью контакта Е замы-
замыкает цепь второго электромагнита Эг. Последний притягивает
к себе стальную пластинку Пг, и соединенный с ней молоточек М
ударяет по звонку 3. Притянувшись к Эг, пластинка Пг размыкает
контакт и отсоединяет Эг от батареи. Тогда пружина возвращает
пластинку Пг в исходное положение, и молоточек М ударяет через
резиновый амортизатор по когереру. Когерер встряхивается, и кон-
контакты между опилками разрушаются. Вследствие этого сопротив-
сопротивление когерера вновь становится очень большим, цепь батареи
размыкается, и приемник вновь готов к работе.
В современных радиоприемниках когерер заменили электронные
лампы, но принцип реле остался в силе. Электронная лампа ра-
работает, как реле: слабые сигналы, подводимые иа сетку лампы,
управляют энергией местных источников тока, включенных в анод-
анодную цепь лампы. Схема лампового приемника изображена на

346
Ч. Ш. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
[гл. XI
Рис. 3.123.
рис. 3.123. Приходящая электромагнитная волна воспринимается
антенной А и создает слабые электрические колебания в контуре,
состоящем из катушки L и конденсатора переменной емкости С.
Варьируя емкость конденсатора, настраивают контур в резонанс
с частотой колебаний передающей радиостанции. Возникающее в
контуре переменное напряжение подается на сетку лампы Л и уп-
управляет прохождением значительно более сильного тока в анодной
цепи, создаваемого анодной батареей Б. С приемной лампы это
напряжение обычно посту-
поступает дальше на усилитель У
и в телефон Т.
Даже длинные радио-
радиоволны с К « 1—3 км име-
имеют частоту v=c/X > 10* гц,
лежащую значительно выше
области звуковых частот.
Поэтому непосредственное
преобразование приходя-
приходящих электромагнитных волн
в механические колебания
той же высокой частоты,
не воспринимаемые органа-
органами слуха, является нецелесообразным. Кроме того, чем выше час-
частота, тем труднее создать малоинерционную механическую систему,
которая успевала бы следовать за быстропеременными воздействиями
и регистрировать их.
Если обозначить несущую круговую частоту генератора на
передающей радиостанции через <в0, то для передачи сигналов
более низкой частоты Q необходимо изменять излучаемые электро-
электромагнитные волны с частотой сигнала, как говорят, модулиро-
модулировать их. Модулировать можно амплитуду (см. рис. 3.124, а),
частоту (см. рис. 3.124, б) или фазу испускаемого излучения.
Рассмотрим вкратце принцип амплитудного модулирования.
В отсутствие модуляции напряженности электрического и магнитного
полей излучения колеблются по гармоническому закону
AcoswJ. E4.1)
Пусть теперь на передающей станции напряжение микрофона,
колеблющееся со звуковой частотой Q, подается на сетку генера-
генераторной лампы. Амплитуда несущей волны А перестает быть посто-
постоянной и начинает сравнительно медленно меняться с частотой Q
по закону
A(t)=A9 + BcosQi. E4.2)
Подставляя E4.2) в E4.1) и производя несложные тригонометриче-

§ 54]
РАДИОСВЯЗЬ
ские преобразования, находим
?(или //) = (/
347
= Aa cos со/ + j cos (co0 — Q) t +1 cos (coo + Q) t. E4.3)
Таким образом, изображенное на рис. 3.124, а модулированное
колебание эквивалентно трем радиоволнам с близкими частотами:
о>0 —Q, соо и coo + Q.
В приемнике радиосигнал дает также модулированный по
амплитуде переменный ток, который усиливается в приемном кон-
контуре и выпрямляется в детекторе. Затем производится осво-
освобождение звукового сигнала от несущей волны; для этого выпрям-
выпрямленный радиосигнал пропускается через контур, состоящий из
индуктивности (дроссель) или емкости (конденсатор), соединен-
соединенных с сопротивлением. При этом инерционность контура, равная
| или
¦ RC,
E4.4)
должна быть велика по сравнению с периодом колебаний несущей
частоты ГНес =2л/оH, но мала по сравнению с периодом звуковых
колебаний Тзв —
2п
Q
чтобы не исказить последние. Полученн.))!
таким образом «огибающая» (рис. 3.124, а) поступает в катушку
телефона и вызывает колебания мембраны со звуковой частотой Q.

348 4. III. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ [ГЛ. XI
Если приемный контур имеет слишком «острую» настройку, то
он будет реагировать лишь на частоты, лежащие в интервале
соо ± Aw, где A<»<Q- Тогда, как было показано в § 51, из всего
излучения E4.3) он воспримет только первую составляющую
с постоянной амплитудой, и ток в нем окажется немодулирован-
ным по амплитуде, т. е. сигнал не будет принят.
В случае передачи музыки и речи радиоволны модулируются весьма
сложным набором частот и модулированная по амплитуде волна
будет представлять собой не сумму воли трех частот, как в рас-
рассмотренном выше примере, но целую полосу частот в интервале
ш0 —Qo<o)<cuo + Qo, E4.5)
где Qo — наивысшая частота передаваемых звуковых сигналов.
Чтобы звуковые сигналы могли передаваться без искажений,
колебательные контуры радиопередатчика и радиоприемника должны
пропускать одновременно всю полосу частот E4.5), т. е. обладать
не слишком «острой» настройкой.
Поэтому несущие частоты двух радиостанций не должны быть
близкими — иначе полосы частот, на которых они работают, будут
перекрываться, так что раздельный прием их окажется невозмож-
невозможным. В лучшем случае попытка отстроиться от одной из этих
станций приведет к отбрасыванию модулирующих наиболее высо-
высоких частот, т. е. к искажению принимаемых сигналов.
При телевизионных передачах частота модулирования значи-
значительно больше, чем при радиопередачах. Воспроизведение движу-
движущихся изображений требует передачи ежесекундно 25 кадров.
При этом каждый кадр для четкого воспроизведения должен быть
разбит на сотни тысяч последовательно передаваемых элементов.
Таким образом, число передаваемых сигналов (а значит, частота
модуляции) должно составлять несколько миллионов колебаний
в секунду, так что несущая частота должна по крайней мере иметь
порядок десятков миллионов герц. Одна из принятых в СССР не-
несущих частот телевещания равна 5-10' гц, что отвечает длине
волны в 6 метров.
К сожалению, возможность использования для телевидения лишь
коротких воли очень ограничивает дальность приема. В то время
как длинноволновое радиоизлучение, отражаясь от верхних иони-
ионизованных слоев атмосферы, способно огибать поверхность Земли,
коротковолновое излучение, не отражаясь от этих слоев, распро-
распространяется по прямой. Поэтому дальность приема коротких волн
ограничивается линией горизонта, и для увеличения радиуса теле-
телевещания необходимо поднимать антенны передающих и приемных
станций на большую высоту.
Важным применением радио является радиолокация — опреде-
определение положения самолетов, кораблей и т, п. с помощью радио-

§541
РАДИОСВЯЗЬ
349
волн. Способ определения расстояния до объектов основан на точ-
точном измерении времени прохождения радиосигнала от радиостан-
радиостанции к цели и обратно (отраженного сигнала). В радиолокации ис-
используется радиоизлучение с длиной волны от сантиметров и до
метров, обладающее высокой направленностью (см. § 53). Длитель-
Длительность сигнала (импульса электромагнитных волн) составляет мил-
миллионные доли секунды. Сигналы повторяются от нескольких сот до
тысяч раз в секунду (достаточно часто, но так,
чтобы одновременно «в пути» в пределах радиуса
обзора радиолокатора не оказались два сигнала).
На экране электронно-лучевой трубки радиоло-
радиолокатора луч развертывается с постоянной ско-
скоростью, причем частота развертки равна числу
сигналов, посылаемых в секунду станцией. В мо-
момент отправления очередного импульса подается
и импульс напряжения на пластины конденсатора,
управляющего вертикальным смещением луча.
На экране осциллографа возникает отметка, фик-
фиксирующая момент отправления сигнала О (рис. 3.125). После этого
антенна радиолокатора переключается на прием. Радиосигнал, дости-
достигая цели, рассеивается на ней и частично отражается обратно.
Отраженный сигнал принимается, усиливается и дает вторую вер-
вертикальную отметку на экране осциллографа. Положение первой
отметки, получаемой при отправлении сигнала, строго неподвижно.
Расстояние между обеими отметками пропорционально времени
прохождения сигнала от радиолокатора до цели:
* = %, E4.6)
и измерение этого времени по особой шкале на экране осцилло-
осциллографа позволяет определить расстояние до цели /.
Рис. 3.125.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ
ВЕЛИЧИН В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ, ИХ РАЗМЕРНОСТИ,
ПЕРЕВОДНЫЕ МНОЖИТЕЛИ
,В абсолютных системах единиц—Гаусса (СГС), электростатической
(СГСЭ) и электромагнитной (СГСМ) исходными являются единицы: массы —
грамм (г), длины—сантиметр (ел) и времени—секунда (сек).
В Международной системе единиц СИ исходными являются единицы:
массы—килограмм (кг), длины—метр (л), времени—секунда (сек)
и'силы тока—ампер (а). Последняя единица рассматривается как незави-
независимая (определение см. стр. 208).
Для введения производных электрических единиц в системах СГС и
СГСЭ исходят из взаимодействия зарядов, определяя из закона Кулона
единицу заряда (см. стр. 12).
В системах СИ и СГСМ исходят из взаимодействия токов.
В системе СГСМ закон взаимодействия токов используется для опреде-
определения единицы силы тока (стр. 208). В системе СИ единица гока введена
как независимая и закон взаимодействия токов используется для определе-
определения магнитной постоянной ц0 (стр. 209).
В большинстве разделов книги формулы записаны так, что их можно
читать как в абсолютной гауссовой системе, так и в системе единиц СИ. Для
этого нужно положить:
В системе СГС Ао= 1; *'¦=— , * = —, ео=1, цо=1.
С С
В системе СИ ka—-r- , k'= 1, k = -r-,
4я 4п
I -t 4 3
~1в = 4я-10""' м-кг-сек~аа™*,
В приводимой ниже таблице для краткости введены следующие обозначения
для величин, не имеющих наименований:
СГС-единица варяда^СГС (q),
СГСМ-едииица напряженности электрического поля s= СГСМ (?),
СГСЭ-единица индукции магнитного поля ss СГСЭ (В) и т. д.
Всюду принято приближение е=3-108лдас~1 = 3-1010емсек'1.

Фичическая
величина,
обозначение
Электрический
заряд q
Напряженность
электрического
поля Е
Индукция элект-
электрического поля D
Потенциал элект-
электрического поля
Ф. V
Электрическая
емкость С
Физические величины, их размерности
СИ
кулон (к)
[q\~a-ceK
ньютон вольт
кулон метр
[?] = м кг сек~'а~1
кулон
(метрJ
[О] = м~2сека
вольт (в)
IV] =
= м2кгсек га
фарада (ф)
[С] =
= м~* кг'1 сек*а*
сгс
Щ=см'1* гл1*сас~1
[?] =
— см ''' г''г сек :
[D] =
= сж '*> гЧ'сеК; '
^] =
= еж''» г1'2 сек
сантиметр (еж)
[С]=см
Соотношение единиц
СИ и СГС
1к = 3.109СГС(9)
! в
= з-ЛсГ*СГС(?)
1 к —
ж2
= 4лЗ-105СГС(О)
1 0 = 9-10" см
сгсэ
совпадает
с СГС
то же
t »
сгем
1 СГСМ(<?) =
= 10 кулон
[q] = cM,4* г'1*
1СГСМ(?) =
ГТГ СР>
з-ю1» ( ;
,!?] =
= СЛ1''2 г '2сек~2
1 СГСМ (О) =
=3-1010СГС(?>)
1 СГСМ (V) =
з-ю10 СГС(К)
^сл!3'1 г 'J сек 2
1СГСМ(С)==
= 9'Ю20 см
[С] = см'1 сек2

Продолжение SJJ
Физическая
величина,
обозначение
Электрический
ток /
Электрическое
сопротивление
R
Индукция маг-
магнитного поля В
Напряженность
магнитного по-
поля Я
Магнитный по-
поток Ф
Индуктивность
L
Физические величины, rfx размерности
СИ
ампер (а)
[/] = а
ОМ {ОМ)
= мгкгсек 'а 2
тесла (тл)
[В] = кгсек~* а
, ампер
метр
[Н]-м->а
вебер (вб)
а[Ф]='2 ,
= мг кг сек 2 а
генри (гн)
= м? кг сек г a s
сгс
[/] =
3/1/ „
= см '» г 1' сек *
[Щ = см~1сек
гаусс (гс)
= си "! г1''сеж
эрстед (э)
[Я] =
— ел '/' г'^2сек~1
максвелл (жяг)
. [Ф.] =
=см'Ь гЧ'секГ1
сантиметр (еж)
Соотношение единиц
СИ и СГС
1а = 3-109СГС(/)
1 аи =
9.10» UL<*>
1 1 ягл=10* гс
1 " -4я10-ээ
1 1вб=108 мке
1 гн = 10а ел
СГСЭ
» г
» »
1СГСЭ(В) =
= 3-10'вгс=
= 3-10'тл
[В] = см-31'г'1*
1СГСЭ(Я) =
= 3-101оз =
1 ЧяЗ-Ю' а/л1
[Я] =
= см '1ггЧ2сек~*
1СГСЭ(Ф) =
=3-1О1ОЛ1л;с=ЗО0вб
[Ф]-=сл1''г г'/г
1 СГСЭ (L) =
=9-1Огосл1=9-1О"
[Ц=см~1сек~*
СГСМ
1СГСМ(/) =
= 3-1О10СГС(/) =
= 10 а
[/]=сл</»г1''сек-1
1СГСМ(Й) =
СГССР^
9-Ю2» (W)
= 10-§ол1
[R] —см-сек~1
совпадает
с СГС
то же
» к
г »

Обозначения систем
электроизмерительных приборов
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
Для количественного измерения электрических (q, I, U, .,,) и магнит-
магнитных (В, Ф, L, ...) величин применяются различные электроизмерительные
приборы: гальванометры Г, амперметры А, вольтметры V и др., а также
комбинации этих приборов в различных измерительных схемах.
Измеряют электрические величины по различным их проявлениям и воз-
воздействиям: а) механическим; например, разность потенциалов между двумя
пластинами может быть измерена
по силе их взаимного притяжения;
б) химическим; например, количество
протекшего электричества может быть
измерено по весу выделившегося на
электродах вещества; в) тепловым—
по нагреву проводника и т. д. Изме-
Измерение одной величины можно часто
заменить измерением другой, с ней
связанной. Например, зная сопротив-
сопротивление участка цепи и измерив вольт-
вольтметром падение напряжения, можно
найти величину тока по закону Ома.
Измерение может быть абсолютным
(измерение q электрометром) или срав-
сравнительным (измерение R мостовой
схемой). Как правило, всцкое изме-
измерение в конечном счете сводят к изме-
измерению перемещения стрелки или луча
света («зайчика») по шкале.
Измерительная аппаратура раз-
разделяется на меру (эталоны сопро-
сопротивления, электродвижущей силы,
емкости и т. д.) и измеритель-
измерительный прибор, сравнивающий изме-
измеряемую величину с единицей ее изме-
измерения. Сам измеритель заключен
обычно в корпус, предохраняющий
его от механических повреждений. Вспомогательные детали могут нахо-
находиться вне корпуса.
Приборы разделяются: а) по характеру замера—на приборы с непосред-
непосредственным отсчетом и самозаписывающие; б) по условиям работы—на стацио-
стационарные, переносные и транспортные; в) по точности—на классы 0,2; 0,5;
1; 1,5; 2; цифра класса, наносимая на шкалу прибора, дает процент по-
погрешности от номинального предела измерения; г) по принципу работы—
Система
Магнитоэлектрическая
Электромагнитная
Электродинамическая
Тепловая
Условные
обозначе-
обозначения
G
Ф

354 ПРИЛОЖЕНИЕ
магнитоэлектрические, электромагнитные, тепловые, электродинамические
и т. д. Символ, указывающий принцип действия прибора, также наносится
на его шкалу (см. таблицу этих символов на стр. 353). На шкалу, кроме
того, наносятся и другие характеристики прибора: род тока — постоянный
(—) или переменный (с/з); установка прибора — вертикально ( ^ ), горизон-
горизонтально (»->•) или под углом {?_ 60°); пробивное напряжение изоляции
(
2 кв\ и
т. д.
1. Магнитоэлектрические приборы
В лабораториях наиболее употребительными являются магнитоэлектри-
магнитоэлектрические приборы, основанные на действии постоянного магнита на катушку,
через которую идет измеряемый ток. Основным магнитоэлектрическим при-
прибором является гальванометр—высокочувствительный прибор, служа-
служащий для измерения слабых токов и других электрических величин.
На1 рис. П. 1 изображена схема стрелочного гальванометра.
Катушка (рамка) К из тонкой проволоки может вращаться между полюсами
постоянного магнита. Для усиления
магнитного поля внутри расположен
железный сердечник Ср. При про-
,ш пускании тока через катушку она
стремится установиться по полю.
Вращающий момент /Ивр, действую-
действующий на катушку, прямо пропорциона-
пропорционален току /, т. е. Л1Вр = &]/, где коэф-
коэффициент ft, зависит от напряженности
поля, созданного магнитом, числа вит-
витков катушки, размеров и взаимного
расположения элементов прибора.
При повороте катушки и связанной
р rr i с нею стрелки на некоторый угол q>
спиральная пружина Я растягивается
и создает противодействующий мо-
момент /Иупр- Этот момент прямо пропорционален углу закручивания, т.- е.
Myilp = fe2<p, где коэффициент kk зависит от размеров и материала пружины.
Т1ри равновесии
т. е.
k.J=kttf и / ~ <р ~ я, (П. 1)
где п — число делений, отмечаемое стрелкой на пропорциональной шкале Ш.
Как видно из соотношения (П. 1), шкала магнитоэлектрического гальвано-
гальванометра равномерная.
Следовательно,
/ = С«, или n = SI.
Зависящий от параметров прибора коэффициент пропорциональности С
называется -постоянной прибора. Обратная ему величина S=l/C
называется чувствительностью прибора. Обычно постоянная гальва-
гальванометра имеет порядок величины Cs=10~7 а/дел.
Для увеличении чувствительности гальванометра облегчают его подвиж-
подвижную часть и заменяют спиральную пружину упругой закручивающейся
нитью, на которой подвешивают маленькую катушку, так называ-емую
рамку. Схема подобного зеркального гальванометра изобра-
изображена на рис. П. 2. Для регистрации угла закручивания нити <р к ней при-

ПРИЛОЖЕНИЕ
355
крепляют маленькое зеркальце 3. Луч света от источника И падает на зер-
зеркальце и, отражаясь, попадает на прозрачную шкалу, расположенную на
некотором расстоянии от прибора. При повороте зеркальца световой «зайчик»
перемещается иа соответствующее число делений по шкале. Деления обычно
измеряются в мм при расстоянии от шкалы до зеркальца в 1 м.
Рис. П. 2.
В соответствии с высокой
гальванометра достигает С
чувствительностью
10~"—г-. Если столь
постоянная зеркального
малый ток /= 10 " а
mmjm ¦
измерять электрохимически, то для выделения на электроде 1 мг серебра
пришлось бы ожидать около 3000 лет.
Прикрепляя к рамочке дополнительные грузики (рис. П. 3) и увеличи-
увеличивая тем самым ее момент инерции J, можно превратить зеркальный галь-
гальванометр в так называемый баллистический галь-
гальванометр и измерять с его помощью кратковременные
_импульсы тока. Если ток / проходит через рамку в течение
короткого""гГромежутка времени Ы, то прошедший заряд
q — l&t~MBpAt, т. е. пропорционален импульсу момента
сил, действующих при этом на рамку. Из законов механики
следует, что этот импульс равен приращению момента коли-
количества движения рамки, т. е.
где со—угловая скорость вращения, приобретенная рамкой
к концу этого промежутка. В результате толчка рамка при-
приобретает кинетическую энергию вращения Jaij2 и начинает
закручивать нить. При этом совершается работа против сил
упругости, и через некоторое время, обычно через 5—10 сек,
рамка останавливается, повернувшись на некоторый угол «р. Рис. П. 3.
В этот момент вся кинетическая энергия, ваиопленвая рам-
рамкой при толчке, перейдет в потенциальную энергию упругой деформации
нити, т. е,
¦/(О8 k<f
2 ~~2~'

356
ПРИЛОЖЕНИЕ
М
vnp
где &== коэффициент упругости нити. Отсюда <р~ш, и из последо-
последовательных соотношений
? = / Л( ~ Мвр М ~ а ~ <р ~ «макс
следует, что прошедший заряд q прямо пропорционален максимальному
отбросу «зайчика», т. е.
</ = <>макс- (П.2)
Величина Се носит название баллистической постоянной гальванометра
и обычно имеет порядок 10~* —т—.
MMjM
После остановки нить начнет раскручиваться, и рамка станет совершать
колебания, которые вследствие трения будут затухающими. Для успокоения
(демпфирования) колебаний рамку замыкают накоротко, и в ней возникают
индукционные токи, резко тормозящие ее движение.
Рис. П. 4.
Рис. П. 5.
Рамка гальванометра наматывается из тонкой проволоки, и через нее
нельзя пропускать большие токи. Поэтому гальванометр нельзя включать
в обычную цепь постоянного тока во избежание пережога рамки.
Для измерения тока / в цепи применяют амперметры, представляю-
представляющие собой соединение гальванометра с включенным параллельно ему малым
сопротивлением, так называемым шуитом, как показано на рис. П.4.
При разветвлении большая часть тока /ш течет через шунт и лишь неболь-
небольшая доля /г—через гальванометр. Так как гш<^.гг, то из соотношений
= /шгш = (/ — /г) г
полученных на основании законов Кирхгофа, следует!
гш +
(П-3)
Ток в гальванометре /г много меньше тока в цепи /, но прямо пропор-
пропорционален последнему. Пользуясь этой пропорциональностью, можно отгра-
отградуировать шкалу гальванометра непосредственно на значения тока в цепи.
При измерениях амперметр включается в цепь последовательно.
Во избежание пережога нельзя включать его накоротко с источниками тока.
Для уменьшения потерь мощности в амперметре его сопротивление /"д=>
t= rvrml(rr + гш) должно быть мало по сравнению с сопротивлением цепи гц.
В многошкальных амперметрах имеется набор шунтов, которые могут
переключаться в зависимости от величины измеряемых токов.

ПРИЛОЖЕНИЕ
357
Включая последовательно с гальванометром очень большое добавоч-
добавочное сопротивление гд^>гг, можно уменьшить проходящий через
прибор ток и использовать прибор как вольтметр. Вольтметр включается
параллельно участку цепи, на котором измеряется падение напряже-
напряжения U, как это показано на схеме рис. П.5. По закону Ома ток, идущий
через вольтметр (а значит, и через гальванометр):
/„ = — = <€ — , (П.4)
гв Гд + '-г 'г
прямо пропорционален падению напряжения U на участке цепи. Пользуясь
этой пропорциональностью, можно отградуировать шкалу гальванометра
непосредственно на значения U.
Чтобы включение вольтметра не искажало существенно распределения
потенциала в цепи, необходимо, чтобы сопротивление вольтметра во много
раз превышало сопротивление участка цепи, гв^>гп. Тогда суммарное со-
сопротивление при параллельном включении
'сумм -
'в + 'ц
практически ие меняется при включении вольтметра.
В многошкальных вольтметрах имеется набор сопротивлений, которые
могут переключаться в зависимости от измеряемых напряжений.
2. Другие системы электроизмерительных приборов
Приборы магнитоэлектрической системы обладают высокой чувстви-
чувствительностью, но пригодны лишь для измерения постоянных токов. В связи
с этим в измерительной технике применяется ряд других систем приборов,
пригодных для измерения как постоянных, так и переменных токов. Оста-
Остановимся на некоторых из них.
На рис. П.6 изображена схема прибора электромагнитной си-
системы. Когда через катушку К проходит ток /, то в ней возникает маг-
магнитное поле, которое втягивает в катушку желез-
железный сердечник С, подвешенный на пружине.
Рис. П. 6.
Рис. П. 7.
Чем больше ток, тем больше растяжение пружины и поворот связанной
с нею стрелки. Конструктивно эти'приборы обычно оформляются так: сер-
сердечник делается фигурным и поворачивается вместе со стрелкой вокруг
неподвижной оси, а пружина является спиральной, как в магнитоэлектри-
магнитоэлектрическом гальванометре.

358
ПРИЛОЖЕНИЕ
По катушке прибора могут непосредственно пропускаться большие
токи В зависимости от характера тока—постоянного или переменного—
градуировка шкалы будет различной.
На рис. П.7 изображена схема теплового прибора. Ток /, идущий
по проводнику, разогревает его, и проводник удлиняется. Через систему
«рычагов» это перемещение передается одному концу нити Н, намотанной
на ролик Р. При этом другой конец нити оттягивается пластинчатой пру-
пружиной, и катушка поворачивается, вращая вместе с собой стрелку. Так как
выделяющееся тепло и разогрев нити по закону Джоуля—Ленца пропор-
пропорциональны /8, то шкала теплового амперметра не является равномерной.
Приборы этой системы служат для грубых измерений, так как обладают
большой тепловой инерцией (проводник с током разогревается и охлаж-
охлаждается постепенно).
В приборах электродинамической системы используется
взаимодействие двух катушек, по которым идет ток. На рис. П.8 изображен
электродинамический ваттметр W. Первая большая катушка с малым
сопротивлением включена в цепь последовательно. По этой катушке идет
Рис. П. 8
такой же ток /, как в измеряемой цепи; он создает в катушке магнитное
поле с индукцией В, пропорциональной току /. Внутри этой катушки на
перпендикулярной к ней оси помещается вторая катушка с большим сопро-
сопротивлением, которая включается, как вольтметр.
Ток в этой катушке /, пропорционален падению напряжения U, Маг-
Магнитное поле первой катушки будет действовать на вторую катушку с кру-
крутящим моментом, пропорциональным магнитной индукции В и току во
второй катушке lv т. е. А1кр ~ В1г; так как В ~ I, а /, ~ U, то /Икр ~ IU.
Поворачиваясь, вторая катушка растягивает спиральную пружину,
и крутящий момент уравновешивается моментом упругих сил. Тогда угол
поворота катушки и связанной с нею стрелки:
ф~ МупР=Л1кр~Ш, (П.5)
оказывается пропорциональной произведению IU, т. е. мощности, выделя-
выделяемой током в цепи.
Существует ряд других, менее употребительных систем электроизмери-
электроизмерительных приборов, на которых мы не останавливаемся. Измерения некото-
некоторых величин требуют составления специальных измерительных схем,
содержащих, в частности, различные электронные лампы.

ПРИЛОЖЕНИЕ
3. Реостаты, потенциометры, мосты
359
Для изменения тока в цепи в нее включают последовательно
переменное сопротивление — так называемый реостат. Реостат представ-
представляет собой голый металлический провод определенного сечения, намотан-
намотанный на жесткий каркас. Параллельно этой катушке, как показано на
рис. П.9, расположен металлический пруток, по которому передвигается
Рис. П. 9.
Рис. П. 10.
скользящий контакт (так называемый движок Д). В зависимости от поло-
положения движка ток проходит через часть основного провода, сопротивление
которого пропорционально его длине.
Схема включения реостата в цепь показана на рис. П.10. На корпусе реос-
реостата указываются его полное сопротивление и максимальный допустимый ток.
Для подбора различных сопротивлений в широком интервале приме-
применяются так называемые магазины сопротивлений. На рис. П.11
Юом
5ом 2ом
г- 5+1=6ом
Рис. П. 11.
изображен штепсельный магазин сопротивлений, состоящий из толстых
медных пластин ничтожно малого сопротивления со сквозными прорезями.
Между прорезями включены катушки с точно подобранными сопротивле-
сопротивлениями. Вставляя в прорези специальные штепсели, можно закорачивать
эти катушки и выключать их из цепи. Сопротивление такого магазина
равно сумме сопротивлений иезакороченных катушек, т. е. определяется
тем, какие штепсели вынуты из своих гнезд.
В рычажных магазинах сопротивлений катушки соединяются по-
последовательно в группы одинаковых сопротивлений A ом, Юом, 100 ом
и т. д.), и от каждой катушки делается отдельный отвод. Передвигая рычаг
на каждой декаде, как показано на рис. П. 12, можно включить в цепь
необходимое суммарное сопротивление.
Для деления напряжения используются все три зажима реостата,
и последний включается по схеме потенциометра, изображенной на
рис. П. 13. Полное сопротивление потенциометра га включается последова-
последовательно с источником напряжения. Чтобы потенциометр не нагревался, по
нему должен идти слабый ток и его сопротивление должно быть много
больше внутреннего сопротивления источника г. Если, в цепи у потребителя
необходимо иметь ие полное напряжение источника Е, а некоторую его
долю 0, то цепь включают между одной из крайних точек и движком.

360
ПРИЛОЖЕНИЕ
Чтобы включение потребителя не искажало распределения падения напря-
напряжения на потенциометре, сопротивление цепи должно быть большим:
гк>гп>г. (П6)
Только при соблюдении этого условия напряжение у потребителя U будет
прямо пропорционально длине участка потенциометра до движка.
*tOM
R=30+2om=32om
Рис. П. 12
Для измерения сопротивлений проводников применяют различные
мостовые схемы. На рис П. 14 изображен простейший мостик
\1
U
Рис. П 13.
Унтстона с реохордом. Реохорд представляет собой калиброванную прово-
проволоку, сопротивление которой прямо пропорционально ее длине. Параллельно
реохорду включается измеряемое сопротивление гх и эталонное г0. В одну
из диагоналей моста включается источник тока ?, а в другую — гальвано-
гальванометр и движок. Перемещая движок вдоль реохорда, добиваются отсутствия
тока в гальванометре (/г = 0). В этом случае потенциалы точек А и В
схемы одинаковы и падения напряжения на последовательных участках
прямо пропорциональны их сопротивлениям:
Отсюда находится искомое сопротивление
_ /-!_/,
гх — г о у ~ Т о т •

ПРИЛОЖЕНИЕ
361
В магазинных мостиках сопротивления гх и гг остаются посто-
постоянными, а вместо сопротивления га включается магазин сопротивлений.
Рис П 14
•о ?
Рис. П. 15.
Схема магазинного мостика с указанием точек включения батареи, гальва-
гальванометра и искомого сопротивления приведена на рис. П. 15.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебательные системы 332
Ампер 12, 92, 208
Анионы 152
Антинейтрино 27
Бетатрон 259, 260
Вектор индукции на границе раздела
диэлектриков 75
— намагничения 289 и д.
— поляризации 67
— — на границе раздела диэлектри-
диэлектриков 75
— Умова—Пойнтинга 339
Вещества диамагнитные 286
— парамагнитные 268, 287
— ферромагнитные 295 и д.
, кривая намагничения 297
Вибратор Герца 329, 335
Волновод 334
Волны электромагнитные, модуляция
346, 347
— —, — амплитудная 347
— —, — частотная 347
— —, образование 335, 336
, скорость распространения 339
, структура 341
Вольт 51
Восприимчивость диэлектрическая 67
— магнитная 286
Выпрямление двухполупериодное 144,
145
— однополупериодное 144
Газотрон 145
Гальванометр 354
— баллистический 355
— зеркальный 354, 355
Гальванопластика 154
Гаусс 207
Генератор Ван-де-Граафа 64
— переменного тока 263
Генри 266
Германий 179, 180
Гистерезис 298
Градиент потенциала 56
Давление световое 315
Детектор 347
Диаграмма направленности 340
Диод 144, 147
— двойной 144
Диполи жесткие 65
— упругие 65
Диполь 18
— полуволновой 340
— точечный 22
Диссоциация электролитическая 149
Диэлектрик (изолятор) 29, 60
—, поляризация 30, 65
Диэлектрики, пробой 169 и д.
—, — тепловой 171
—, три группы 64—66
Домены 298
Дуга электрическая 167
— — холодная 168
Дырка 169
Единицы измерения 350—352
Емкость электрическая плоского кон-
конденсатора 81
— — проводников 76 и д.
Закон Ампера 202
— Био—Савара—Лапласа 193 и д.
— Видемана—Франца 130
— Джоуля—Ленца Ш
дифференциальная форма 121
— Кулона 12, 13
для магнитных полюсов 303
— Ома 93 и д.
, дифференциальная форма 95,
151
для замкнутой цепи 98—101

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
363
Закон Ома для магнитной цепи 222
участка цепи 93—97
электролитов 149 и д.
, интегральная форма 94
— полного тока 215
— сохранения электрического заряда
22
— «трех вторых» 142
— Фарадея'153,170
Заряд электрический 10 и д.
движущийся, магнитное поле
244 и д.
, поверхностная плотность 42
пробный 15
точечный 10 и д.
удельный 234, 235
элементарный 24
Заряды, движение в магнитном поле
226 и д.
— поляризационные, поверхностная
плотность 69
, связанные 68
— электрические индуктированные 62
точечные, энергия взаимодей-
взаимодействия 51
Зоны запрещенные 126
— разрешенные 126
Излучатель массовый 330
Излучение тормозное 341
— черенковское 344
Изотопы 238
Индуктивность 271
Индуктор 328
Индукция взаимная 265 и д.
— магнитная, вектор 190
, поток вектора 217 и д.
—, электродвижущая сила 251 ид.
—, электростатическая, ¦ вектор 33,
34
, поток вектора 37, 309
Ионизация газов 155
— ударная 159
Искра 164, !65
Кабель коаксиальный 335
Катионы 152
Катоды оксидные 143
Кенотрон 145
Клистрон 333, 334
Колебания электрические в контуре
318 н д.
Конденсатор 45, 81
— плоский 45
— —, емкость электрическая 81
, изменение потенциала 58, 59
Конденсатор плоский, энергия 85
Конденсаторы, соединение парал-
параллельное 82
—, — последовательное 83
Константа Фарадея 154
Контур колебательный 317 и д., 328
и д.
, апериодическое колебание 325
, затухающие колебании 324
— —, изменение заряда 321
, энергяя 322
— с током, магнитный момент 191
Корона 166
Космические лучи 231
Коэрцитивная сила 298
Коэффициент взаимной индукции 265
— Пельтье 136
— потенциальный 77
— рационализации 13
— Самоиндукции 271
— трансформации 271
Кулон 12
«Лавина» электронов 165
Лампа накаливания 113
Линза магнитная 242
— электростатическая 243
Линии силовые 17
Лоренцова сила 227, 261
Лучи рентгеновы 342
Магазины сопротивлений 359
Магнетики 289
Магнетрон 334
Магнит постоянный 298
Магнитная цепь 220, 221
Магнитный момент спиновый 285
Магнитодвижущая сила 222
Магнитострикция 300
Магниты, сопоставление с диполями
188
Максвелл 220
Масс-спектрограф 238
Металлы, двойной электрический
слой 132
—, потенциал контактный 133
—, работа выхода электрона 132
—, разность потенциалов контактная
133
—, электронная теория 114 и д.
Микропроектор электронный 148
Микроскоп электронный 242, 243
— —, разрешающая способность 242
Молизация газов 156
Момент диполя электрический 20
Мостик Уитстона 107, 108, 360

364
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Мотор электрический 265
Мощность тока 110
Намагничение спонтанное 299
Напряжение 93
— пробивное 82, 173
Напряженность магнитного поля 192
и д.
— электрического поля, вектор 16,
17
— — , скачкообразное измене-
изменение 33
, связь с потенциалом 55—57
Нейтрино 28
Нейтрон 27
Носители электрического тока 116
Оболочка гидратная 150
Обратная связь 333
Ом 94
Опыт Иоффе 196, 197
и Капицы 300
— Мандельштама и Папалекси 115
— Милликена 24, 25
— Рикке 114
— Столетова 161
— Стюарта н Толмэна 117
— Эйнштейна и де Гааза 299
— Знхенвальда 195, 196
Осциллограф электронный 240
Падение потенциала 93
Пироэлектричество 72
Плазма 166
Плотность тока 93
Поверхности равного потенциала 54,
55
Подвижность ионов 151
Позитрон 27
Поле магнитное 187, 188
, действие на ток 201 и д.
линейного тока 198
, лиини индукции 190
переменное 310
, перемещение проводника сто-
стоком 223 и д.
, связь с электрическим полем
188 и д.
— электрическое 10, 15
однородное 36
переменное 310
, связь с магнитным полем 257,
258, 310
— электромагнитное 248
излучения, поперечность 313
, масса 315
Поле электромагнитное, скорость
распространения 311 ид.
, в веществе 314
, пустоте 314
, структура 338
— электростатическое плоского кон-
конденсатора 45—47
, потенциал 49 и д.
равномерно заряженной плоско-
плоскости 44, 45
сферы 42, 43
Полупроводник как выпрямитель
184
Полупроводники 60, 165 и д.
— дырочные 181
—, зона проводимости 177
—, контакт 182
— примесные 179, 180
— собственные 179
—, сопротивление 173, 176
—, термоэлектричество 185, 186
—, ток дырочный 177
—, — электронный 177
— электронные 181
— .электропроводность 173
Постоянная магнитная 192, 209
— Планка 283
— электрическая 13
— электроизмерительного прибора
354
Потенциал Земли 79, 80
— электрического поля 49, 53
Потенциометр 359
Поток магнитный 217 и д.
через замкнутую поверхность
219
Правило Кирхгофа второе 104
для магнитных цепей 223
первое 103
— левой руки 202
— Ленца 250, 251
Примеси акцепторные 180, 181
— донорные 180, 181
Принцип Паули 125
— суперпозиции (наложения) 157
Пробой диэлектрика 82
Проводимость 93
— зонная 127
— удельная 96
Проводники 29, 60, 61
Проницаемость диэлектрическая сре-
среды И, 13
— — абсолютная 13
— магнитная среды 193
— — абсолютная 193
Пьезоэлектричество 70, 71

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Радиоволны 345 и д.
Радиолокация 349
Радиоприемник Попова 345
Разряд дуговой 166, 167
— искровой 164, 165
— коронный 166
— несамостоятельный 159
— самостоятельный 159, 160
— тлеющий 163, 164
Резонанс парамагнитный 288
— электрический 326, 327
Рекомбинация ионов 150
Реостаты 357, 358
Самоиндукция 265, 271 и д.
Сверхпроводники 97
Свеча Яблочкова 168
Сегнетоэлектрикн 69, 70
Силы пондеромоторные 47
— сторонние 93
Система единиц абсолютная гауссова
205—207
электромагнитная 207, 208
электростатическая 12, 207
¦ Гаусса 12
международная (СИ) 12, 208—211
МКСА 12
, рационализация 13
Скин-эффект 278
Соленоид, индуктивность 271
—, магнитное поле 215—217
Сопротивление добавочное 356
— магнитное 227
— электрическое 93
, зависимость от температуры
удельное 94, 95
Спин электрона 124, 205
Страты 164
Стриммер 165
Телевидение 348
Тензометр 98, 108
Теорема Гаусса 39, 41
— Ирншоу 90
Теория Лоренца и Друде 117, 121
— металлов Френкеля и Зоммер-
фельда 124
— относительности 248
— Семенова и Фока 171
Термобатарея 140
Термометр сопротивления 97
Термопара (термоэлемент) 139, 140
Термоэлектродвижущая сила 135, 139
Термоэлементы полупроводниковые
184
Ток 91 н д.
— в вакууме 91
Ток конвекционный 91, 195, 196
— круговой, магнитное поле 199
— насыщения 142, 158
— переменный 92
— постоянный 92
— проводимости 91, 308
— пульсирующий 144, 145
— смещения 308 и д.
—, тепловое действие ПО—113
Токи вихревые 276, 277
, практическое использование
277
— молекулярные 188
— Фуко см. Токи вихревые
Тороид, магнитное поле 217
Транзистор 184, 185
—, коэффициент усиления по напря-
напряжению 185
Трансформатор 270, 271
— повышающий 271
— понижающий 271
— Тесла 331
Трнод 145, 146
Трубка электронно-лучевая 235—238
Умножитель электронный 147
Усилители полупроводниковые 185
Фарада 78
Формула Томсона 327, 328
— Френкеля 162
Фотосопротивление 176
Фотоэффект 160, 162
Холла эффект 182, 233
Циклотрон 231, 232
Циркуляция напряженности магнит-
магнитного поля 211—215
Частицы заряженные, движение в маг-
магнитном поле Земли 231
, ускорение 231, 232
Шунг 356
Эквивалент электрохимический 153,
154
Экстраток размыкания 276
Электродвижущая сила 100
Электроизмерительные приборы те-
тепловые 358
, чувствительность 354
электродинамические 357

366
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЬЛЬ
Электроизмерительные приборы
электромагнитные 357
Электролиз 152, 153
Электролит 149
Электрометр абсолютный 47
Электрон 23, 237, 282
—, движущийся по круговой орбите
282
—, , магнитный момент 283
—, , механический момент
283
—, заряд 237
—, чиасса 238
— «светящийся» 342
—, удельный заряд 213
Электронная пушка (или прожектор)
236
Электронный газ 117
— микроскоп 243
— осциллограф 240
Электросварка 167, 168
Электрострикция 71
Эмиссия термоэлектронная 141
— фотоэлектронная 146
— электронная вторичная 146
Энергия заряженного проводника 85
— магнитного поля, объемная плот-
плотность 280
— электрического поля, объемная
плотность 85
, связь с массой 86
Эрстед 207
Эффект Зеебека 137
— пьезоэлектрический 70
обратный 71
— широтный 231
— Холла 182, 233
Явление Пельтье 135, 136, 138

Гирш Абрамович Зисман
и Оскар Мовшевич Тодес
Курс общей физики, т. II.
М., 1972 г., 368 стр. с илл.
Редактор Е. Б. Кузнецова
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректор А. С. Бакулоеа
Печать с матриц. Подписано к печати 13/1V
1972 г. Бумага 60х90/1б. Физ. печ. л 23
Условн. печ. л. 23 Уч.-нэд л. 21,54.
Тираж 200 000 экз. Цена книги 70 коп
Заказ № 2892
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспеьт, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Москва, М-54, Валовая, 28