НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.
В.Д. Бондарь
ЛЕКЦИИ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
I
КИНЕМАТИКА
НОВОСИБИРСК 1970

ишютЕгство выс1его i сркдшго спвршвого
0БРА80ВШЯ РСФСР
ювссютсШ госшютшшш! шикав
В.Л.БОНДАРЬ
1 I В Ц I I
по хюмпгаской пиши
ЧАСТЬ I.
пюодш
шяоошсж
1970

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . ¦ • 5
ВВЕДЕНИЕ
§ К Предмет теоретической механики и её меото в ряду
других наук .. .7
§ 2. Классическая механика и облаоть её применимости.......8
§ 3. Основные разделы теоретической механики 9
КИНШТИКА.
Глава I, Кинематика точки,
§ 4. Понятия пространства и времени 10
§ 5. Прямоугольная декартова оиотема координат... 12
§ б, Векторно-координатный способ опиоания движения точки.22
§ 7, Секторная скорость и секторное уокорение точпи.. 39
§ 8, Естественные оси линии 44
§ 9. Естественный способ описания движения точки 51
§ 10.Связь между координатным и естественным споообами
опиоания движения * 61
§ II. Ортогональна я криволинейная система координат 74
§ 12.Описание движения точки в криволинейных координатах,.81
Глава 2. Кинематика твёрдого тела.
§ 13.Уравнения движения твёрдого тела и его точек 89
§ U .Скорость точки тела ¦ 94
§ 15.Винтовые аксоиды , 105
§ 16.Ускорение точки тела 112
§ G,Мгновенные центр и ось ускорений тела 119
- 3 -

9 18. Поступательное движение твёрдого теда 122
J 19. Сферическое движение твердого теле 125
5 20. Вращение твердого тела вокруг неподвижно! оси 133
5 21. Плоское движение твердого тела 141
Глава 3. Сложное двигоние точки.
5 ZZ. Относительное, переносное и абсолютное движения 168
§ 23. Зависимость между уравнениями относительного,
переносного и абсолютного движений точки 173
§ 24. Зависимость между скоростями составляющих и
результирующего движений 178
§ 25. Зависимость между ускорениями составляющих и
результирующего движений 187
Глава ч. Сложное движение твёрдого талу.
§ 26. Относительное, переносное и абсолютное движения
тела 198
§ 27. Определение уравнений результирующего движения тела
по уравнениям составляющих движений 203
§ 28. Определение уравнений составляющего движения тала
по уравнение результирующего и другого
составляющего движений 209
S 29. Зависимость между угловыми скоростями тела в
составляющих и результирующем движениях 212
§ 30. Зависимость между угловыми ускорениями тала в
составляющих и результирующем движениях 217
5 31. Представление произвольного конечного перемещения
твердого тела 223
Литература 233
• k -

ПРЕДИСЛОВИЕ
Лекции по теоретической механике читались автором в течение
ряда лет студентам отделения прикладной математики и механики
математического факультета Новосибирского государственного
университета.
В "Лекции" рчлючены основные вопросы университетского курса
теоретической механики. Вначале налагается кинематике, а ватем-
динамика. Такое построение курса согласуется с действующими на
отделении программами по математическим дисциплинам.
Изучение механики на прикладном отделении начинается теорети
ческой механикой и продолжается затем в ряде общих курсов, по*
священных механике сплошных сред: введении в механику сплоиной
среды, гидро-газодинамике, теориях упругости у пластичности, В
соответствии с этим теоретическая механика трактуется как
механика простейших моделей реальных тел* Пр обсуждений методов
исследования и общих законоварностей теоретический механики
намечаются перспективы их развития в механике сплошных сред.
Другой особенностью изложения являетоя акцентирование
внимания на тех математических задачах, к которым приводятся решения
рассматриваемых механических проблем, поскольку исследование ала
логичных задач составляет важную часть и механики сплошных сред*
В курсе систематически используется индексное обозначение
однородных величин, что позволяет в компактной форме ваписывать
математические соотношения и делает обозримыми производимые
преобразования. Такие обозначения являются общепринятыми в современных
курсах теоретической механики и механики сп/ошиых с род.
Общий аспект изложения является общепринятым. Оригинальными
являются трактовка некоторых вопросов и доказательства ряда
теорем. "Лекции" состоят из нескольких частей. Первая часть посвя -
- 5 -

цена кинематике« Во вторую часть имеется в виду включить
динамику точки, систем точек и твёрдого тела. Последняя же
часть будет содержать аналитическую динамику.
Издание настоящих "Лекций" преследует цель дать студентам
першх курсов учебное пособие, находящееся в соответствии о
действующей на математическом факультете ппограмиой по
теоретической механике.
При подготовке рукописи к печати большую помощь автору
оказали В.К.Коэьменко и В.ССенкевич. Им автор выражает
овою искреннюю признательность.
В*Д.Бондарь.
- 6 -

ВВЕДЕНИЕ
§ I. Предмет теоретической механики и её место в рилу
других наук.
Среди явлений окружающей нас действительности весьма часто
встречаются изменения во взаимном положении материальных тел
или их частиц в пространстве, происходящие о течением времени.
Подобного рода изменения называют механическим движением.
Механическое движение ооаериают, например, люди и дельфины»
потоки воды м воздуха» ракеты и опутяики и т»д«
Наука, изучающая общие законы механичеокого движения и
взаимодействия материальных тел, называется механикой.
Вою совокупность нау, занимающихся исследованием явлений
природы, именуют естествознанием, к числу естественных наук
отнооятоя астрономия, биология, физика и др Естественной
наукой является и механика, которая по существу представляет оо-
бой один из развитых отделов физики.
Каждая наука изучает определённую форму движения материи»
С этой точки зрения рассматриваемое механикой механическое
движение является простейшей формой движения. Тем не менее
изучение этого движения весьма важно как в силу его
чрезвычайной распространимости в природе и в технике, так и в общепоз-
наватвлышх целях, ибо оно присутствует как элемент в каждой
ив более сложных форм движения материи.
Объектом исследования в механике являются материальные тела.
Материальные тела обладают многими разнообразными свойствами.
Чтобы двигэние тела можно было описать математически» в каждой
проблеме учитывают только главные его свойства, пренебрегая
всеми остальными. Так возникают модели реальных тел. Основны -
ми моделями, рассматриваемыми в механике, являются
материальная точка, абсолютно твёрдое тело г. сплошная среда. Каждой из
них соответствует представление о материальном теле, при иву -
чении движеии которого можно соответственно пренебречь или
его размерами, иди его деформацией, или же его атомно-молеку-
- 7 -

лярной структурой. Сплошные среды, в свою очередь,
подразделяется на упругие тела, пластические тела, жидкость, га: и т.д.
В теоретической механике изучается только сравнительно
простое движение материальных точек, систем точек и абсолютно
твёрдых тел. Более сложное движение тел, способных
деформироваться, изучается различными разделами меха! лки сплошных сред:
теориями упругости и пластичности, гидродинамикой,
газодинамикой и другими.
Таким образом, теоретическая механика являетоя первой
частью большого цикла механических дисциплин.
Хотя в теоретической механике пользуются простейшими
моделями тел, круг описываемых ею явлений чрезвычайно широк. Он
включает в себя, наряду с естественно-научными
проблемами«также многочисленные еедачи, выдвигаемые техникой. По этой
причине теоретическая механика является одной из научных основ
многих областей современной техники.
§ 2. Классическая механика и область е<3 применимости.
Основоположником теоретической механики как науки является
Исаак Ньютон. Основные законы механики были им сформулированы
в 1687 году в трактате "Математические принципы натуральной
философии". Впоследствии механику Ньютона стали называть
также классической механикой.
Законы классической механики обладают весьма высокой
общностью. Они применимы как к движениям тел на Земной
поверхности, так и в Мировом пространстве. Одно время казалось, что они
управляют любыми механическими движениями всех без исключения
-атональных тел. Однако развитие науки на рубеже нынешнего
века показало, что такие исключения все же существуют. Именно,
было установлено, что выводы классической механики теряют свою
силу в случаях, когда либо размеры движущегося тела сравнимы с
размерами атома, либо когда скорость движения тела становится
сравнимой со скоростью свети. Во всех этих случаях механика
нуждалась в дальнейшем развитии. Областью применимости
классической механики является, таким образом, движение
макроскопических материальных тел ( то есть тел, состоящих из весьма
большого числа молекул), совершаемое со скоростями, малыми по
сравнению со скоростью света. Движение же тел со скоростями
порядка скорости света рассматривается в релятивистской меха-
- 8 -

ннке, а движение микрочастиц изучается в квантовой механике*
Обе ~?и механические теории более общи, чем классическая
механика и включают последнюю в качестве некоторых предельных
случаев. Эти теории, однако, значительно сложнее классической
механики. В то же время поправки и изменения, вносимы ими в
законы классическое механики исчезайте малы в обычных
условиях и становятся заметными только для скоростей, близких к
световой, или для внутриатомных движений. Поэтому
классическая механика сохраняет свою несомненную ценность и в наше
время как могучее орудие научного исследования различных вопро -
сов естествознания и техники. Её законы дают высокую, вполне
достаточную для лрактики точность. В частности, все
разнообразные технические сооружения и расчёты, связанные с косми -
ческими полётами, построены на основе законов классической
механики и, как показывает опыт, с успехом выполняют своё
назначение.
§ 3. Основные раздели теоретической моханик".
По характеру решаемых задач теоретическую механику
разделяют на кинематику и динамику.
Кинематика изучает движение тел с геометрической точки
зрения вне зависимости от причин, вызывающих это движение* По
существу кинематика представляет собою геометрию двгчущихся
пространственных образов. С точки зрения механики в целом этот
раздел играет вспомогательную роль, являясь введением в
динамику. Однако результаты, полуденные в кинематике, имеют
непосредственное применение в технике. В частности, они сироко
попользуются в теории механизмов и машин.
Динамика изучает движение и равновесие тел под действием
приложенных к ним сил. Этот раздел составляв: основное
содержание теоретической механики. Именно здесь формулируются
законы и принципы механики и исследуются движения точек, оистем
точек и твёрдых тел.
Важную часть динамики составляет аналитическая динамика. В
ней рассматриваются наиболее общие методы исследования
механических систем, движение которых стеонено различного рода
ограничениями.
Раздел динамики, изучающий равновесие тел под дейотвием ом,
называют статикой.

КИНЕМАТИКА.
Глава I» Кинематика точки.
В этой главе вводятся основное кинематические понятия,
изучаются способы описания движения точки и рассматриваются
характерные свойотга этого движения.
§ **• Понятия пространства и времени.
Механическое движение тела или его частиц происходит в
пространстве с течением времени. Поэтому пространство и
время.наряду с телом и движением, относятся к числу основных понятий
механш.л. Эти понятия являются первичными.
Пространство и время являются объективной реальностью,
присущей движущейся материи. Представления о них основаны на
опыте и могут изменяться с развитием наших знаний об окружающем
мире.
В классической механике принимаемся, что свойства
пространства и времени не зависят от материи и состояния её движения.
Пространство считается трёхмерным евклидовым. Оно
безгранично и обладает одинаковыми свойствами в различных точках и по
различным направлениям в каждой точке, то есть однородно и
изотропно. Обнаружить перемещение тела в таком абсолютно
однородном пространстве невозможно. Поэтому можно говорить только о
движении данного тела по отношению к другому телу. Движения
тела относительно различных тел будут вообще различными. Таким
образом, механическое движение всегда относительно.
Для аналитического описания движения тела по отношению к
другому телу с этим последним связывается некоторая система
координат. Эта система определяет пространство как совокупность
геометрических точек, жёстко связанных с выбранным
материальным телом. Введение системы координат означает арифметизацию
пространства: каждой точке пространства сопоставляется тройка
-10 -

чисел-координат. Это сопоставление взаимно однозначно. За
единицу измерения длин в пространстве принимают метр, равный
одной Сирокамиллионной части Парижского меридиана.
Время не имеет ни начала, ни конца и изменяется непрерывно.
Время постигается и измеряется при помощи движения и в первую
очередь механичеокого движения. Измерение времени основано на
его арифметизащш, то есть на установлении соответствия между
последовательными моментами времени и множеством
действительных чисел. Графически время может быть изображено бесконечной
прямой, называемой осью времен. Отсчёт времени ведётся от
какого-либо условно выбранного события. Осуществляется измерение
времени при помощи часов в широком смысле этого слова, то есть
при помощи некоторого периодически повторяющегося процесса.За
единицу времени принимают секунду, равную 1/86400 части
средних солнечных суток.
Систему координат, снабжённую часами для определения
моментов времени, соответствующих определённым положениям
движущегося тела, называют системой отсчёта. В классической механике
принимают, что время течет в различных системах отсчёта
одинаково, поэтому его называют абсолютным временем.
Так как движения тела в различных, движущихся друг
относительно друга системах коордг шт различны, то иэгзневие
системы координат сопровождается соответствующим преобразованием
координат. Время же в различных системах отсчёта одинаково, то
есть не преобразуется. Следовательно, между пространством и
временем в классической механике существует принципиальное
различие.
Грёхмерное евклидово пространство и абсолютное время
приближённо отражают реальные свойства пространства и времени. Однако
это приближение даёт вполне достаточную для практики точность в
области применимос*к классической механики.
В современных механических теориях свойств? объективного
мира описывайся более полно. Так в квантовой механике учитывают
корпускулярные и волновые свойства материальных тел. В
релятивистской механике устанавливается тесная свя*ь между
пространством, временем и материей. Пространство считается неевклидовым,
его свойства зависят от распределения в нем материи. Время
теряет свой абсолютный характер и в каждой системе отсчёта
протекает по-своему. Лри переходе от одной системы отсчёта к другой
в описании движения тела, наряду с простр нственными координа-
- II -

т^ии,должно преобразовывать-я также и время. Таким образом, в
релятивистской механике пространство и время выступают как
равноправные категории.
§ 5. Прямоугольная декартова система координат.
В механике движение тела всегда рассматривается относительно
оистеиы отсчёта* связанной с другим телом. Все тела с
одинаковым ооноЕ'»ниом могут быть приняты за тела отсчёта, то есть с
точки зрения кинематики все ск>1 змы отечна равноправны. В
динамике будут сформулированы критерии, позволяющие предно -
честь одну систему отсчёта другой,
Систома координат
мсиет быть
произвольного зила. Возьмём
прямоугольную декартову
систему координат.
Обозначим в этой системе
через О начало
координат, а через xitxZtxs -
оси ксординат.
Использование для
обозначения однородных
величин одной букп с
различными индексами
весьма удобно, ибо
позволяет компактно запи-
-^ сывать различные выра-
"*• Фиг. I. жения и формулы. Бит
способ обозначений будет систематически применяться на
протяжении всего курса механике.
1°. Координатные плоскости и прямые.
В прямоугольной декартовой системе координат положение
злобой точки М задается с помощью тройки чисел-координат
м
(**19Л,5). E.1)
С геометрической точки зрения эти равенства представляют
собою уравнения трёх плоскостей, называемых координатными
- 12 -

плоскостями. Таким образом, .сложение точки в пространстве
определяется пересечением трёх координатных плоскостей (фмг.1).
Каждые две координатные плоскости пересекаются вдоль прямой
линии, называемой координатной прямей. Через каждую точку
пространства, очовидно, проходят три координатные прямые.
Прямоугольная декартова система координат обладает той
особенностью, что во всех точках пространства одноименные
координатные плоскости параллельны друг ддугу. Таким же свойством
обладают и одноименные координатные прямые» Кроме то?0, в
каждой точке как координатные плоскости, так и координатные
прямые взаимно ортогональны. При этом координатные прямые
ортогональны также одноименным координатным плоскостям. За
положительное направление координатной прямой принимают направление
соответствующей координатной оси.
2°. Координатный базис.
Обозначим через К^ единичный вектор-орт, идущий в
положительном направлении координатной прямой Х^ , проход..щей
через точку М . Легко видеть, что этот орт будет также
перпендикулярен к проходящей чег-з М координатное плоскости х^ и
направлен в сторону ь^зрастания этой координаты.
Таким образом, в каждой точке пространства определена
тройка независимых вокторов Kt , Kz , Кд , которую называют
координатным базисом. 6 аилу свойств системы координат единичные
базисные векторы ортогональны друг другу в точке М и имеют
одну и ту же ориентацию во всех точках пространства. Поэтому
координатный базис прямоугольной декартовой системы координат
является ортонормированным базисом, а его элементы-поотоянны-
ми векторами К^-сопй&*/,&*) Свойства ортонормированности
базиса могут быть выражены посредством равенств:
Данная последовательность равенств допускает компактную
запись в виде одного равенства о буквенными индексами:
i'^'ifi («>/> "¦*¦*>> E.2)
- 15 -

где f -объект еоть обычный символ Кронеккера
н
*, воли 4*? E.3)
о, если ccfifi.
Иа этого определения следует, что компоненты & -объекта
обладает овойством симметрии
Каждый вектор координатного базиса может быть представлен
в виде векторного произведения двух других базисных векторов
v?-*i- *>***-**> v*i-v <*>
Кроме того, очевидны следующие равенства
Вое эти соотношения можно записать в следующей компактной
форме
\ *«* - ? ет *, <Ч/ = '.**), E.0
где ? -объект определён формулами
Г /, если <*ру образуют чётную перестановку из 123
%Ч~ I "*'» всли«09у обраэуют нечётную перестановку из 123
{ 0, если среди осру есть равные индексы. E.5)
Заметим, что в силу определения все отличные от нуля
компоненты е -объекта должны иметь различные индексы. Если
поменять местами любые два индекса у компонента, то это изменит
тип перестановки и, следовательно, приведёт к смене его знака.
Таким образом, 6 -объект обладает свойством антисимметрии по
любой паре индексов
- н -

Веяная циклическая перестановка индексов вквивадеятна двум
последовательно выполненным перестановкам» прн каждой на которых
компонент наменяет овой внак. Следовательно, прн циклической
перестановке индакоов компонент сохраняет овой аначение:
Se*jr с*|* ci*p
Соотновеняя (*) можно предотави ь о помощь» ? -объекта
н в другой компактной форме, а именно
v* ? v***** (*"ла)- E-°
Формулы E.4) н E*6) явдяятоя обратными друг другу. Иа них
можно получить ооотновеяия, стмваодие между ообою компорентм
<f и ?- объектов. Действительно, подстановка E.6) в E*4)
приводит к равенству
Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости
равенотва
Сравнение двух последних ооотноненяй приводит к условиям
С другой стороны, вс« подставим E.4) в E.6), to будем иметь
Кроме того, нею, что
к
Иа этих равенств следует, что должно быть
*"fVr
^V^/гЛ (*'*°ш}
E.8)
- 15 -

Соотношения E.7) и E.8) и являются искомыми.
Базисные векторы допускают специальное представление.
Каждой точке М пространства можно сопоставить вектор,
начало которого совпадает с началом координат, а конец - с данной
точкой. Этот вектор обозначают через х и называют радиусом-
вектором точки: г-ОМ (фиг.1). Радиус-вектор точки
является функцией её координат: 1s^(^,,^t.xs). Вектор t можно
рассматривать как сумму его составляющих V V *з ва-ль
координатных осей: *-JC \ (правило параллелепипеда). Каждая из
составляющих связана с соответствующей координатой точки
посредством соотношения \ж^ *V • Для радиуса-вектора точки,
таким образом, справедливо представление
*е?****- E.D
Полученная формула даёт явное выражение для функциональной
зависимости г «Т ( xi% x%, хз) .
Дифференцирование этого равенства по х^ приводит к
выражению
*Ь Г дх* ' ^
Так как базисные векторы постоянны, а координаты точки
независимы друг от друга, имеют место соотношения
и, следовательно, предыдущее равенство представимо в виде
S-Zi.^=^ «¦ ?=" (U"A5) EЛО)
Таким образом, базисный вектор в точке М чдоль какой -
либо координатной прямой равен частной производной от
радиуса-вектора точки по соответствующей координате.
5 «Представление Виктора в декартовых координатах.
Пусть х» точке М приложен некоторый вектор а . Для
этого вснторо, кяк и для радиуса вектора точки, справедливо пред-
- .16 -

ставление
Формулу E.II) называют разложенном вектора в координатном
базисе прямоугольной декартовой системы координат. Величины
% (е=1&.*) в этом разложении называют компонентами
вектора в рассматриваемой координатной системе.
Для компонент вектора можно получить специальные выражения.
Для этого достаточно равенство E.II) околярно умножить на
орт ^ и воспользоваться условиями E*2) ортонормированнос-
ти базиса. В итоге получим
a^Ea-^^'LaA^'Ou. « «, »*V ia E.12)
Таким образом, компонент вектора вдоль какой-либо оси равеи
скалярному произведению самого вектора на орт этой оси.
Свойство разложения E.II) выражается следующей теоремой.
Теорема I. Разложение вектора в координатном базисе единст -
венно.
Доказательство. Допустим противное, а именно, что наряду о
E.II) имеется ещё другое разложение вектора:
а-? «Я, EЛЗ)
причём выполняете* хотя бы одно из неравенств
а'Фа (<r*ie,y. E.U)
Тогда почленным вычитанием E.II) и E.15) находим
Отсюда в силу независимости базисных векторов должно быть
а^-Лг ^r/,2,3j. Полученные равенств противоречат
допущению E.14). Это противоречие и доказывает теорему.
Итак, в фиксированном базисе вектор имеет единственный
набор компонент. С помощью компонент определяются модуль и
направление вектора. Действительно, квадрат модуля вектора
-17-

ражен скалярному ароважодеиио вектора на оамого себя:
и, следовательно, модуль вектора имеет значение
Для определения направления вектора обратимся к формулам
EЛ2). Раскрывая в них выражения скалярных произведений, по*
лучим
Отоюда косинусы углов, образуемых вектором и ооямн
координат, определяются выражениями
cps fa. it )
<*.*
а« (<**№). E.16)
4°. Представление в декартовых координатах сумм и
произведений векторов.
Рассмотрим выражения в прямоугольных декартовых .координатах
результатов алгебраических операций с векторами.
Линейная комбинация векторов.
Пусть (i-lLO^^ и 6~?&р*/> -некоторые векторы, аХн
ju -скалярные величины. Тогда линейная комбинация векторов
нредставима в форме
\aifil^А^а^^б^-IlfAa^t/u&J ? E.17)
Отсюда ясно, что эта комбинация есть вектор, компоненты
которого имеют вид
(Ла *^?)^ACLa+fU&u (<*=Ш)Р E.18)
т.е. компоненты линейкой комбинации векторов равны той же ком-
- 18 -

бинацяи компонент cootbotcti уюцих векторов*
Скалярное произведение векторов.
Составим скалярное произведение векторов 5 ¦ 2- ^ %,
и ^?^** - Учитывая условия ортонормнрованнооти
координатного базиса E.2), будем иметь:
т.е. в выражении скалярного произведения векторов учаотвует
?-объект. Если использовать значения E.3) компоненте
-объекта, то это выражение можно представить в ояедующем
окончательном виде:
*-*в?чЛ*^*вЛ*^4 • EЛ9)
Таким образом, скалярное произведение векторов есть скаляр,
равный сумме произведений их одноименных компонент.
Перемена порядка оомкожитедей не меняет окалярного
произведения:
следовательно,
t a *al E.20)
ftroww дриммиви ifBWW»
Образуем векторное произведение векторов 5 м 4 .
Используя представления векторов в координатном базмое и свойства
E.4) базисных ортов, получим соотношение
Отсюда видим, что векторное произведение векторов еоть оно-
ва вектор.Компоненты векторного произведения определяются
через компоненты перемножаемых векторов по формулам
'ЙДГ*4 'IteW ** *Р (fH'l E.22)
* - 19-

Таким образом, подобно тому, как в выражении скалярного
произведения векторов участвовал d - объект, в выражении
векторного произведения векторов участвует ? -объект. Ио -
пользуя значения E.5) компонент ? -объекта, нетрудно
установить, что в подробной записи формулы E.22) имеют вид
Если изменить порядок сомножителей, то векторное
произведение меняет знак:
следовательно,
Sxa --(ах!). E..*)
Смешанное произведение векторов.
__ Получим представление для смешанного произведения векторов
<Xt k и с . Взяв представление векторов в координатном базисе
и принимая во внимание формулы E.17) и E.20), найдём
a (bc)--?*j6*e)^Z V'/A^V^ C*> E-25)
т.е. смешанное произведение векторов есть скаляр.
Использование значений E.5) компонент ? -объекта позволяет
представить правую часть в следующем подробном виде
а7^}=аДV^>«/4^) + V*» 4*J- E*2б)
Если произвести в смешанном произведении циклическую
перестановку векторов, то получим выражение
совпадающее с E.25). Следовательно, при этой операции
смешанное произведение сохраняет своё значение, т.е.
d(lxc)= i-(cxa) *c-(axf). E.27)
- 20 -

Двойное векторное произведение векторов,
Рассмотрии двойное векторное произведение векторов а, &
и с. Возьмём представления векторов в координатном бааиое и
воспользуемся формулами E.21), тогда получим представление
иг которого следует, что двойное вектораое произведение
векторов есть вектор,
В силу соотношения E.7)
Те е = Те е =<Г 6 -$ с?
JT *fit **fi рГ *fi <rtfi р wr Vf *<r •
поэтому равенотво E.28) предотавимо в форме
Следовательно, окончательно имеем:
(ix(hc)'l(ac) - C(at). E.29)
Наряду о атнм равеяотвом возьмём ещё два других^
получающихся из него циклической перестановкой векторов а, ? i? :
ex(Q*t) ж ар J) - S(e-a) .
Складывая зги три равенства вместе получаем тождество,
которому удовлетворяют любые три вектора:
а*Aжс)+ё*(с*а) +ех(а*1) * а E.зо)
Из формулы E*29) находим следующие выражения для
компонент двойного векторного произведения
[ax(i*c)]^tjav-c^(a$) А<-де49 E.я)
- 21 -

иди в подробной форме:
§ 6. Рчкторно-координатиый способ описания движения точки.
Всякое материальное тело, движение которого нас
интересует, можно представить себе состоящим из весьма большого
числа материальных частиц ничтожно малых размеровмштериальных
точек. Поэтому естественно изучение движения тела начинать о
научения движения материальной точки.
В кинематике изучаются только геометрические свойства
движения, поэтому масса точки во внимание не принимается.
Другими словами, в кинематике материальная точка рассматривается
просто как геометрическая точка.
1°. Задачи кинематики точки.
Определить движение точки-это значит указать способ» по -
зволяющий находить её положение относительно выбранной
системы отсчёта в любой момент времени. Положение точки
относительно данной системы отсчёта определяется соответствующими
координатами, а движение-уравнениями, выражающими эти
координаты, как функции времени.
Установление тех способов, которые позволяют находить
уравнения движения точки, является одной из задач кинематики
точки. Основная же задача кинематики точки состоит в отыскании
по известным уравнениям движения точки её киныатических
характеристик: траектории, скорости, ускорения и др.
Рассмотрение методов описания движения точки начнём с век-
торно-коордииатного способа,
d°. Уравнения дви&ения и траектория точки.
Будем рассматривать движение точки М относительно пря-
- 22 -

i&i&L»
VC*«.*)»f
Фиг.2»
моугольной декартовой системы координат Охй хй ХА , связанной
о некоторым материальным телом.
Положение точки относительно системы j>t счёт а можно
определить с помощью её радиуса-вектора ** ом.
При движении точки её радиус-вектор изменяется о течением
времени. Следовательно, если иввеотна зависимость
то будет известно положение точки в каждый момент времени. По
этой причине уравнение (бЛ) называет векторным уравнением
движения точки.
Так как радиус-вектор точки предотавим в форме E*9):
*-?**? , F.2)
то в силу постоянства базисных ортов векторное уравнение F.1)
эквивалентно трём скалярным урашеииям
x^xji)
(**44#.
F.3)
Эти уравнения позволяют вычислить в любой момент времени
декартовы координаты точки и, следовательно, найти её
положение относительно системы отсчёта. В силу этого уравнении F.3)
называют координатными уравнениями движения точки.
По самой природе движения оно должно описываться достаточно
гладкими функциями. В дальнейшем относительно функций F.3)
- 23 -

будем предполагать, что они однозначны и дважды непрерывно
дифференцируемы.
Выясним кинематический смысл каждого из уравнений F,3).С
етой целью рассмотрим проекции MitMzt М5 точки М
соответственно на оси лЛвл%щлл. Из фиг.2 легко видеть, что ОМ****
(**1*,з) э и уравнение ^ -ot^(i) представляет собою
уравнение движения точки М+ вдоль оси ?± . Поэтому можно
считать, что при координатном способе исследуемое движение
разлагается по направлениям осей координат и представляется
как совокупность трёх движений вдоль этих взаимно ориогональ-»
них осей.
При движении точки она последовательно переходит из одного
положения в пространстве в другое. Геометрическое место
точек пространства, с которыми совпадает движущаяся точка,
называется траекторией этой точки. Если, например, в качестве
движущейся течки рассматривать реактивный самолёт, то след,
оставляемый самолётом при движении, и будет его траекторией.
Рассмотрим теперь некоторый переменный вектор, зависящий
от скалярного аргумента. Будем откладывать значения вертора
при каждом значении аргумента от одного и того же
неподвижного центра. Тогда получим некоторую кривую линию, как
геометрическое место концов вектора. Эту кривую называют годографом
вектора. Очевидно, что с этой точки зрения траектория точки
является годографом её радиуса-вектора.
Рассмотрим вопрос об определении уравнения
траектории.Уравнения движения точки F.3) можно рассматривать как
параметрические уравнения её траектории, в которых роль параметра
играет время. Чтобы получить явные уравнения траектории,
достаточно исключить И8 уравнений движения время. Для этого можно,
например, выразить из уравнения *t**%№ время, как функцию л^;
* = К*%) » и подставить его в два других уравнения
*/=*/#, ял=*3(И В итоге получим систему двух
уравнений
определяющих траекторию точки, как линию пересечения двух
цилиндрических поверхностей, образующие которых параллельны ооям
координат (фиг.Я).
- 24 -

Движение снаряда.
Фиг.З.
Рассмотрим в качестве
примера движение снаряда*
Пусть снаряд
выбрасывается из орудия о начальной
скоростью v0 под углом «с
к горизонту* Определим%
пренебрегая сопротивлением
воздуха,его движение
относительно системы отсчёта
тд fl**.*^. связанной о по-
*** верхяостью земли.Плоокооть
xtxb является горизонталь -
ной плоскостью, а ось *s
направлена вертикально вверх. Начальное положение снаряда со*
впадает с началом координат, а скорость % лежит в плоскости
Будем рассматривать снаряд как материальную точку. Движение
снаряда можно представить состоящим из двух движений: равно ~
мерного движения вдоль линии вылета 00* и одновременного
равноускоренного падения по вертикали бьз начальной скорости.
Такое представление можно рассматривать как опытно
установленный факт. Ему можно также дать теоретическое обоснование
из динамических соображений*
К моменту времени t в результате первого движения снаряд
будет находиться в точке М' на расстоянии ОМ* *<r9t от
точки вылета, а в результате второго движения он ^перейдёт в
положение М % опустившись не величину М'Мs^-
Опустим перпендикуляры из точки М на оси координат. Тогда
для координат точки имеем выражения (фиг.З):
хл=о
*ш=ОМж*ОМ'оом*1?1 ooU,
F.4)
gt*
X3:0/13 = MtM'-M'M = {?t *in* ~ *j-;
полученные зависимости и представляют собою уравнения движения
снаряда. Из этих уравнений следует, что траекторией снаряда
- 25 -

будет плоская кривая, принадлежащая плоскости Xtxj
Найдём уравнение траектории в явной форме. Для это*ч>
исключим время из уравнений FЛ). Из второго уравнения получим
г
ir0eoscL
подставляя это выражение в последнее уравнение, нейдём:
2 * Zv0*cosV
Как видим, траекторией снаряда является парабола, с осью,
параллельной оси Х3 , проходящая через начало координат.
Исследуем некоторые свойства рассматриваемого движения.
а) Найдём горизонтальную дальность полёта, т.е. отрезок
OAaS . Для этого определим точки пересечения траектории о
осы} OXz. Полагая я^*0, получим
ВУУ 2<r0*Co&'
Отсюда найдём две точки пересечения: 3**0, т.е.начале
координат, и
2 =S= ****** . F.6)
Это и будет горизонтальная дальность.
Очевидно, при заданной начальной скорости V9 она буде*
наибольшей, когда й SiVrJ&d'Jt т.е. при <*-**\ и иметь
значение Зтах - 4*- . Заметим*, что при угле бросания ******
снаряд будет иметь наибольшую горизонтальную дальность в
безвоздушном пространстве, в воздухе этот угол будет несколько
меньше.
Так как Sin Ы = Sin (fi^ 2u), то положив ¦*- ?* * ty,
найдём, что для угла fi=j--<< , Sin Z* _ Sin 2jb $
откуда видно, что при углах бросания <* и fb-у -<* горизонтал
нал дальность будет одинаковой. Другими словами, горизонтальна
дальность будет одинакова не зависимо от того, направить ли на
- гв-

чальную окорссть под углом <* и горизонту или к вертикали.
Соответствующие траектории снаряда называются настильной и
навесной (фиг.З).
в) Установим теперь наибольшую высоту подъёма снаряда при
угле бросания ы. , т.е. отрезок КВ'Н. Для этого надо
определить максимум а3 . Вычисляя производную ~?f- и
приравнивая её нулю, получим уравнение *
решая его и имв:: в виду, что вторая производная —-* х5—3^"
a mi dctl ii COM
найдём, что я, имеет максимум при Хк =% Q SfodCoiaL
и этот максимум равен
/^W-V<Js4^
Отсюда видно,что при данной начальной скорости *?
наибольшая высота подъёма будет при <*=#-> т.е когда начальная
скорость снаряда направлена вертикально вверх; в ^том случае
с) Определим время полёта снаряда» Подставив, во второе
уравнение F.4) вместо ^ величину горизонтальной дальности,
определяемую выражением F.6), получим для времени полёта Т
значение
Т* Iff ¦&>»<*
?
Эта формула доказывает, что наибольшее время полёта полу -
чается при вертикальной стрельбе: Т ~ 4г" ПРИ <*- т '
4) Найдём безопасную зову. Из предыдущего рассмотрения
видно, что при различных углах бросания и сдной и той же на -
чальной скорости получаем семейство парабол, лежащих в
некоторой области плоскости 3U*3 , примыкающей к началу координат.
Огибающая этого оемейства ограничит опасную зону-область,
куда снаряд мелет попасть при некотором угле бросания, от бе-
зонасной зоны-области, в которую снаряд je можот о ть ни
- 27 -

при каком угле бросания.
Л*?**<
ФИГ.4,
нения для нахождения огибающей кривой будут вида
Найдём эту кривую.
Для определени
огибающей однопараметрического
семейства кривых *=/#/#
нужно, как известно,
исключить параметр р ив
уравнений
z--J(y.p),
Для удобства вычислений
** примем л уравнении F.5)
эа параметр не угол и ,
a p*ty?x Тогда урав-
***Ът'и1*A+1>)-
а
9хлР
-о.
«'
Выражая из второго уравнения параметр.р- дх~ и полета!-
ляя его в параое уравненивдлолучим уравнение искомой огибаюадей
в виде:
Таким образом, огибающая будет параболой с осью
параллельной оси ;г3 (фиг.4). Эта парабола называется параболой
безопасности. Легко видеть, что он* проходит через точки наибольшая
дальности полёта и наибольшей высоты подъёма. Действительно,
при Л*о получим из F.7) ?^*&**хт ; полагая
%:0, найдём, что *,« а*"***/***. •
4°. СкдрШОрч.к,Е,
Важной величиной, характеризующей движение точки, является
скорость переиздания точки 9 пространстве.
Для определения этого понятия рассмотрим движение точки,
заданное векторным уравнением *шЪ({). пусть в ооседниа
- 28 -

моменты вреыени { и t'*t + At
траектории положения М и М1 ,
торами i*t(t) и
точка занимает на своей
определяемые радиуеами-век-
'ttf'J соответственно. Следовательно,
за промежутон времени
At «i'-t точка
получает
перемещение«приблизительно
характеризуемое величиной &%т t-t,
направленной по-хорде
HtflОтношение ffe<?
характеризует оредний темп
и направление движения
за время At и
называется средней скоростью
точки ее зтот промежуток.
Фиг.5. Так как а{ есть
скалярная величина, то средняя скорость точки есть вектор, на -
правленный по хорде в сторону движения.
Приближённость характеристики перемещения дТ ооотоит в
том, что перемещение вдоль дуги ЛЛ?' заменяется
перемещением вдоль хорды ММ\ Ясно, однако, что чег меньше промежуток
времени At , тем меньше, вибще говоря, различы между
хордой и дугой и тем точнее средняя скорость характеризует иотин-
ный темп и направление движения«Естественно поэтому за ско -
рость точки в данный момент V принять предел, к пторому
стремится средняя скорость при дг-*0, т.е.
ИЛИ
F.8)
Таким образом, скорость точки в данныЧ момент есть
векторная величина, равная первой производной от ра/иуоа-вектора
точки по вромени. Так как в пределе при At*О направление
вектора j^p совпадает о направлением касательной к
траектории, то скорость точки в данный момент направлена по
касательно» к её траектории (фиг.5).
Найдём выражение для компонент скорости в декартовых
координатах^ Используя для радиуоа-вектора точки выражение
"i-? яи#и и пользуясь определением F.вскорости, будем
- 29 -

иметь
С другой стороны, вектор скорости может быть предотавлев че -
pea свои компоненты в виде разложения
•Г * *
Сравнение двух полученных выражений приводит в силу теоремы
о единственности разложения вектора к равенствам
Ъ**л (**W), (б#9)
определяющим компоненты скорости точки по её уравнениям
движения. Эти равенства утверждают, что проекции скорости точки
на прямоугольные декартовы о*н координат равны первым
производным от координат точки по времени. Таким образом,
выясняется физический смысл требования о дифференцируемоотм
функций, выражающих уравнения движения* Оно эквивалентно
требованию о существовании определённого векторе окорости точки в
каждый момент времени.
Каждое из равенств ?*Л* * F*9) выражает скорость
движения проекции Л^ точку М вдоль оси х^ • Таким образом,
из формул F,9) следугт, что проекции скорости точки М на
координатные оои равны скоростям движения проекций этой точки
на те же оси. Этот результат придает физический смысл
формально введенному ранее способу разложения движения точки на три
составляющие движения вдоль координатных осей. Скорость
результирующего движения оказывается равной геометричеокой оумме око-
ростей составляющих движений.
По известным компонентам окорости её модуль и направление
определяются формулами
Рассмотрим теперь вспомоге* эльную оистему прямоугольных
декартовых координат, вдоль осей которой отсчитываютоя компо-
неты скорости точки. В этой координатной системе будем
откладывать вектор окорости от начала С . Тогда векторное
уравнение <r*ir{j) определяет некоторую кривую, называемую
- 30 -

годографом скорости (фиг.6)
Зависимости компонент
скорости от времени
можно рассматривать как
параметрическое уравнение го-
^ Фиг.6. дографа скорости, в котором
роль параметра играет время.
Для получения явного уравнения годографа окорооти,
достаточно исключить иа этих зависимостей время.
5°. Определение уравнений движения точки по её скорости
и начальному положению.
Пусть в любой момент времени известна скорость точки и,
кроме того, задано начальное положение точки. Это означает,
что известны функции ?r?7?J (**№.*) и величины ^а^Ю
D= 1&,5) , где U - начальный момент времени.
Интегрируя уравнения F.9)
at
в правых чаотях которых стоят известные функции, найдём
зависимости
ft^fv(i)di+C, (<*=Ш)Л
где • 1»Оч,*оянные величины. Эти постоянные могут быть
найдены с помощью заданных начальных условий. Для этого
достаточно в полученных зависимостях положить t*t0 f тогда получим
xjbyfaM *<U или л^ Р*'Ш).
U
Используя найденные значения постоянных,окончательно будем
иметь
U
*,&* wo***:
i+i&9. FЛ1)
Таким образом, формулы F.II) определяют уравнения дьиже -
или точки по известной скорости дочки и её начальному
положению. - 31 -

Годограф скорости снаряда.
Возьмём уравнения FЛ>
движения снаряда
и, продифференцировав их по времени,
найдём согласно F.9) компоненты
его скорости
ф°ш ^0сои* $*%&*'?. F.12)
Отсюда видно, что скорость лежит
в плоскости <?*? во всё время
движения.
Фиг.7. Первые два уравнения в F.12)
не содержат времени.В пространстве ОД<5 они представляют
собою плоскости, параллельные координатам плоскостям. Эти
плоскости пересекаются вдоль прямой J?/f,параллельной оои *?
и лежаъзй в плоскости *?(? . Расстояние между A^/V и осью
*? равно i^cosd . Прямая NnN и является годографом скорости
онаряда (фиг.7).
В ооответотвии о формулами FЛ0) модуль и направление око-
рооти'определяются выражениями
FЛЗ)
(**%?)*
$>М4
iifaAH€&**itf*
с«ш^ «*":?
Определим экстремальное значение модуля окорооти. Для
упрощения вычислении будем отыскивать экстремум квадрата скорости.
На уравнении
находим* что экстремум соответствует моменту времени
, d, St/kl
-32 -

rfV*
Так как 2* ~^?*>0' f0 в W0T иомент 0K°P°ctb снаряда
достигает минимума, которой согласно F.13) имеет значение
В момент t^ координаты снаряда имеют значения
*г<>%
*? =
4L*SMLt*U. . *_
*У
4%Ь.
7/<
f * ' ' if
следовательно,он находится в точке В на вермине параболы
(фиг.З). Таким образом, скорость снаряда имеет наименьшее
значение в наивысшей точке траектории, где она горизонтальная*
Этот результат наглядно иллюстрируется геометрически»
годографом скорости (фиг.7.)
7°. Условия попадания снаряда в самолёт*
Самолёт летит
прямолинейно о
постоянной окоростью и на
высоте Н над землёй
и в данный
момент.пролетает над венитным
орудием О . с какой
начальной скоростью *5
и под каким углом с*
к горизонту должен
вылететь снаряд, чтобы
попасть в самолёт?
Выберем начало ко*
ординат в точке стоя*
ния орудия. OcbJTj на-
а ось 4д -горизонтально, в направле-
Фиг.8.
правим вертикально вверх,
нии движенмя самолёта. Будем рассматривать снаряд и самолёт
как материальные точки М и Af'соответственно.Составим уравве
ния их движений. Согласно F.4) уравнения . вижеиия снарядаМ
имеют вид
яй'°9 XfHicos* , x4*Hi Sbtd- jftA.
- 33 -

Для оамолёта /l' известны проекции ?' скорости движения
и начальные координаты х^°:
<ГЧ %=и, <г'*о; х^о, х**о , &}*Н.
Интегрируя зависимости
получим
*,Ч, &Ul«Z . *з=Ъ,
где cJteAte3 -постоянные интегрирования. В начальный
момент при Ьо положение самолёта известно. Это позволит
определить постоянные eitc%to± а виде
0*<*i • 0*Ой9 Н*04.
Таким образому уравнейля движения самолёта имеет вид
Для попадания снаряда в самолёт требуется не только
пересечение их траекторий, но и одновременное присутствие обоих тел
в то<"(о пересечения. Следовательно, в момент встречи должны
совпадать координаты тел хи- aj (<л=/Л*). Отсюда следуют
условия
<r9{cosu=u{ , irJStnJ-jryi^zH,
которые после упрощений принимают вид
u=trocosdL , gt*-2<rJSind*2H =0 . F.14)
Решая квадратное уравнение, получим для времени.встречу два
значения , «
- 7Л -

Условием попадания является действительность этих корней,
т.е. неотрицательность дискриминанта
tJr*Sift*<t-2fH>0.
Совместное решение этого неравенства с первым уравнением в
FЛ4) приводит к следующим значениям для *? и, и:
iT9>iu^H , fot^V^*".,
Полученные формулы решают поставленную задачу* Легко
видеть, что при минимальных значениях начальной скорости и угла
бросания снаряда
и
Ъ-К„<пФ^н , ifd'tf**
моменты tt и tt совпсдают, т.е. траектория </* снаряда
касается траектории самолёта. При *?>*{
°mir\
cL>U„
ri . *ш>*1
и траектория /z снаряда дважды пересегает траекторию самолё
та. Бели же i?< *?
отOt
<*<<*»
то моменты tA и tA
становятся комплексными. Это означает, что траектории снаряда
и самолёта не пересекаются, снаряд не попадёт в самолёт. В
этом случае траектория /3 снаряда проходит ниже траектории
самолёта, не достигая её (фиг.8).
d°. Ускоренные точки.
При движении точки её скорость вообще изменяется как по
величине, так и по направлению. Введём величину, характеризующую
темп этого изменения.
. v - Рассмотрим два соседних иомен-
та времени г и г*т + дг.
Пусть точке занимает в эти
моменты положения Л и Л7 и ^шеет
соответственно скорости <г и V'
За промежуток времени At st'-t
вектор скорости точки_получает
приращен«е &V* ir'jz<r.
Вектор а< - jp-
характеризуем среднее изменение скорости за время д{ и на-
зы*«ется средним ускорением точки за этот промежуток. Вектора^
Фиг.9.

ньлравлен ив точки М в сторону вогнутости траектории (фиг.9)-
Предел среднего ускорения при At^O обозначается "врев а
и называется вектором ускорения точки в момент t:
а = й
/я
ЬЩ = djr # FЛ5)
Если учесть выражение F.8) скорости через радиус-вектор
точки, то ату формулу можно представить в виде
5=^ = ^. FЛ6)
Таким образом, ускорение точки есть векторная величина,
равная первой производной от вектора скорости или второй
производной от радиуса-вектора точки по времени. Вектор а
расположен с той же стороны от касательной к траектории в точке Л,
что и вектор 5^ . Следовательно, он всегда направлен в
сторону вогнутости траектории.
Вычислим компоненты уско?вния._Беря радиус-вектор и вектор
скорости в виде ^=2!^^, *Г2Д-*^УС и
дифференцируя эти равенства по времени, найдём в силу F.16):
*-?Н-?*Л-
С другой стороны, ускорение может быть представлено черев
свои компоненты посредством разложения
В силу единственности разложения вектора в координатном бал-*
се отсюда находим равенства
а^ * ? *х^ о** *.*.*), <6л7)
т.е.проекции ускорения точки т оси прямоугольной декартовой
системы координат равны первым производным по времени от
соответствующих проекций скорости или вторым производным по
времени от соответствующих координат точки.
Из предыдущего рассмотрения становится ясно, что физичео-
кий смысл требования двойной дифференцируемое™ функций
X *X*(t) (А:1*.$ состоит в существовании определён-
* - 36 -

ного вектора уокорения точки в каждый момент времени.
Каждое из уравнений F.17) можно рассматривать как выраже~
ние уокорения точки М* (проекции точки М на ооь х*. 1
вдоль этой оси. С этой точки зрения формулы (бЛ7) утверждают,
что проекции уокорения данной точки на координатные оон равны
уокорениям проекций этой точки на те же оон.
Модуль вектора ускорения и его направление определяются
череа проекции ускорения по формулам
a-l/L^-fZ^, <ы(а,Ъ)-%- j2±= <*.<*jj . FЛ8)
Эти формулы позволяют вычислить ускорение точки для любого
момента времени, еоли движение задано уравнениями движения в
координатной форме F.3).
9°. Определение скорости и уравнений движерря точки по
известному ускорению точки и её начальному состоянию.
Допустим, что в любой момент времени эадано уояорение
точки и,кроме того, известно пчельное ооотояниь точки,т.е. ев
положение и скорооть:
W«. C"S<C^ . <-*,<^ *"«**• FЛ9)
Покажем, что по этим данным можно определить окорость
точки в любой момент, а также её уравнения движения.
Интегрируя аавиоиыооти FЛ7);
dt
будем иметь
USl zct^Ct) (*>1*Ж
Подставив в эти соотнонения иа^пьные условия FЛ9),
найдём, что Вл =(?с . Таким образои
irji)--\Q.Ji)di+<? (+iM). F.20)
U
- 37 -

Эти формулы определяют скорооть точки в любой момент
времени. По известной же окорости и начальному положению точки
уравнения движения точки даются формулами F.II), следователь-
*/#= J AЬП)**№+& * *<# VW). F.21)
Поставленная задача, таким образом, полностью решена.
Задача об отыскании скорости и уравнений движения точки по
её ускорению и начальному состоянию является обратной по
отношению к задаче определения окорорти и ускорения точки по её
уравнениям движения.
10°. Движение свободно падающей точки.
Определим скорость и уравнения движения точки, которая
движется с постоянным вектором ускорения, совпадающим с
ускорением свободного падения § . В начальный момент точка находи -
лась в начале координат системы С*Х?хАэс3 и имела скорость *?,
проходящую в плоскости ядхз под углом cl я оси я*.
Согласно определению компонент ускорения имеем равенства
d-Ъ dik dfc
^-а,.о, jf-0,-0, rf-*,~9-
После их интегрирования получаем соотношения
Так как по условию iT^O, (?0=(ГосоМ , *5**<? Si**,
то 3t*0, d^^i^cos^, d3=q> Sin<< и предыдущие равенства
определяют скорость точки в виде
i'^/ni теперь проинтегрировать уравнения
ai -*f°-ЯГ •-№***> иГ
Я -*° ' W -W" > Ж =%'-*.«»*'р.

В силу начальных условий: t*c, &i*?i**s*o все постоянные
обращаются в нуль; с? тС^*еч *о щ предыдущие формулы
определяют уравнения движения точки
Легко видеть, что уравнения совпадают о уравнениями движения
снаряда F.4), брошенного из начала координат под углом аС
и горизонту. Следовательно, снаряд движется о .ускорением
свободного падения (без учёта сопротивления воздуха).
§ 7. Секторная скорость и секторное ускорение точки.
При движении точки её радиус-вектор, перемещаясь в
пространстве, описывает некоторую коническую поверхность, вершина
которой совпадает с началом координат, а направляющей служит
траектория точки, В ряде вопросов механики важное значение
имеет темп, с которым меняется площадь этой поверхности. Этот
темп характеризуется понятиями секторной окорости я секторного
ускорения. Рассмотрим эти понятия.
1°. Секторная скорость точки.
Рассмотрим различные
моменты времени: начальный t0f
текущий t и момент, близкий
к текущему t? mt + At. Пусть
в эти моменты движущаяся
точка занимает на траектории
положения M0f М и М', опреде-
г* ляемые соответственно радиу -
сами-векторамн х99 г и г'.
Фиг, 10. Обозначим черев <* величину
площади конической поверхности, ограниченной кривой Л9М и
радиусами-векторами г0,г (фигЛО). За время At*i'-t
приращение площади поверхности можно приближённо о точностью ^до
малых величин второго порядка представить в виде вектораjl^",^
модуль которого равен площади треугольника 0ММ':Аб*?Aхдг)
Отношение
- 39

называется средней секторной скоростью за промежуток
времени At-
Предел средней секторной скорости при At-o обозначают
через I ж называют секторной скоростью точки в момент i;
h*m. #--Л>* Utter.) "» $*sf'T(**V- G.1)
Векторное произведение ixtr называют моментом вектора око*
рости относительно начала О • Следовательно, формула G.1)
утверждает, что секторная скорость точки относительно
некоторого центра равна половине момента скорости точки
относительно того же центра.
Подучим выражение для компонент секторной скорости. Беря
для векторов, стояцих в разных частях равенства GЛ),
представления _
находим в силу единственности разложения вектора
Полученные формулы позволяют определить компоненты
секторной скорости точки по уравнениям её движения.
Модуль и направление S определяются выражениями
G.3)
2°. Секторная скорость точки, движуиейся по винтовой линии.
Пусть точка движется по винтовой линии, определяемой
уравнениями
x^Rcoscot , хг=$ Sinat , x5*h(t)} G.4)
где ?-const, (й-eo/tst , a A(i) произвольная гладкая функция
времени. Определим модуль секторной скорости в произвольный
ыоыент времени и вычислим,при каком законе ^Л7 он будет
постоянным. *
- 40 -

Фиг.II.
Компоненты оекторвой
скорости определяются формулами
(V,2). В подробно! аапиои они
имеют вид
$efabm*s*J> G.5)
Производные от координат
точки по времени имеют значения
4
Подотавив выражения координат и их производных в формулы
G*5) и произведя некоторые преобразования, получим для
величин 4 выражения
Согласно G.3) модул* секторной скорости будет равен
Легко видеть* что величина оекторвой скорости будет шютоята
при
Отсюда
/С****** «<•*«***/*.
G.6)
Разделяя дифференциалы и интегрируя, последовательно получим
* =t(tf; дедок ?-h *t±at , i r ea*4.
Беря от обеих частей равенства операцию синуса, окончательно
найдём . с j4
*я — SOifetat). G.7)
о;
41 -

Таким образом, чтобы ара движении по винтовой линии
секторах* скорость точки была по модул» постоянной, третья ко*
ордината точки должна меняться по аакону синуса.
3°. Со*Т9Г*9« 19И9ИН™ ?<"«¦-
При движении точки её секторная скорость вообще говоря из-
меияется как во величине, так и по направлению: $*3@. Темп
итого изменения характеризуется производной от J по времени•
Вта производная обозначается через Q и называется секторным
уокореиием точки:
о'Ж- ам
Вели воспользоваться выражением G.1) для секторной
скорости, то можно получить для секторного ускорения специальное
выражение. Действительно,
Так как дг"-?* jf -&> то первое слагаемое в правой части
обращается в ноль н секторное ускорение принимает значение
Оровзведенне гла. называют моментом ускорения относительно
начала О . Таким образом секторное ускорение точки относитель
но некоторого центра равно половине
ноентельно того же центра.
Аналогично тону, как это делалось для секторной скорое.
нетрудно установить, что компоненты секторного ускорения имею*
значения
Q^jZd^xAt IVM, G.Ю)
8 модуль и направление векторе Q определяется выражениям
/ т - - <i
Q'u.Qf . WQ.Ki) = 7==r (+txi). G.И)
» ' г Г. of
- чг -

*°. сети»! иютми тть аттйп и rnmtl urn-
одомотрвм точку, двааущуюоа во аавтово! ваааа (?•#).
Минводам её ооаторяоа уоворевае в веДО», ара вавом вида фуалсва
AU) оно будет поотояваым во модул».
Выравеввя G.9) два воиоовевт оевторворо уовораааа а вод -
робао! аапмоа вмеят ввд
Подотаввв овда шрававаа коордвват G*4) в ах второе вровевод-
ных по формулам
будем вметь
Следовательно, оевторвое уовораааа вараллельво влоовоств х, х^,
а его модуль амеат аяааевве
Этот модуль будет, очеввдио, поотоявяым, еслв фуввцв» Ш)
определить ва ураваеввв
ПодставоввоЯ А(О*и@+ ^j- of о ураваевае огэдвтол в
однородвому ураавевв* два фуввцва иA):
и tt**u*o .
После умножеимя ва й оно мятеграруетоа а првводвтоя я ваду
G.6). Действвтельво,
9
- 43

Следовательно, в силу G.7) имеем
Таким образом, Q-солЛ , если Ш) изменяется по закону
§ б. Естественные оси линии.
Естественный трёх;радник.
Рассмотрим некоторые
свойства линии.
Пусть относительно
системы отсчёта 0^^лл
задана линия / •
Выберем на ней некоторую
точку О за начало от*
счёта. Тогда положение
любой точки А! линии
можно определить длиной
ai w дуги s , отсчитываемой
ФигЛ2. от точки О до точки//
и считаемой положительной в одну сторону от точки О и
отрицательной в другую (фиг.12). Длина дуги S ^ взятая о над*
лежащим знаком, является дуговой координатой точы М .
Координату S называют расстоянием* Таким образом, радиус -
вектор точки линии можно рассматривать как функцию
скалярного аргумента S:
*M*L*t(*)**.
Рассмотрим первую и вторую производные от радиуоа-вектора Т
по расстоянию и выясним их геометрическое значение.
Обозначим
7r dx
r~ds
Г d*
Kl
(8.1)
Линия Л
является, очевидно, годографом радиуса-вектора г s
поэтому вектор Ъ направлен по касательной к / в сторону
возрастания J . Модуль % равен единице.
- W -

Действительно,
idll'/jptg.ldSI ш /?.,= i^/.
Следовательно, % есть единичный вектор касательной.
Рассмотрим вторую _п роивводную -^rfi . Обозначив черва К
её модуль, а через Т? -единичный вектор направления, получим
Выясним смысл сомножителей т% и ^Дифференцированием по
5 равенства V^ «/ о последующим использованием соотношений
(8.1) и (8.2) находим, что
dS __ dS
т.е. % и % перпендикулярны друг другу. Всякая прямая,
проходящая череа данную точку линии, перпендикулярно к её
касательной, называется нормалью линии в этой точке.
Нормаль,идущая в направлении ~т^ , называется главной нормалью.
Следовательно, rz есть единичный вектор главной нормали.
Установим теперь значение множителя i , Имеем;
\<Lt*\\ dfiktS/ ~ MSI9
где d0 -угол между касательным* л близких точках жмлпгМР)
К М'(**4Ц называемый углом вмевяеети, Отношение if угла
дмежяодМ * элементу дуги йвЯДОЯ! нрнШйОЙ лини* в данной
точке. Следовательно, d «of в ЩШМ ДйИкя / в точка M(S)
Величина р , atfpifMff ЦЖййЯНй, яатммся радмуоом
кривизны линии в точке Нч
Для ШЧИОМНИЛ КрйВЙЙНЫ умножим векторное равенотьо (8.2)
оквлярно оамо на оебя. Tow
<•¦?¦?¦ <-г'/Ш- <••»
«. 45 -

d4
Итак, производная -tj* равна кривизне по модулю и
направлена по главной нормали линии. Нормаль, перпендикулярную к
главной нормали, называют бинормалью. Обозначим через ^
единичный вектор бинормали.Этот вектор можно представить в виде
следующего векторного произведения;
\ ¦?,*??. _ _ (8.4)
Три взаимно перпендикулярных единичных вектора tti.%,%,
направленных по касательной, главной нормали и бинормали,
образуют в каждой точке линии её естественные оси, или естест -
венный трёхгранник. Естественные оси определяют три
координатные плоскости^ плоскость Ъ*1 называется соприкасающейся ,
плоскость %,% - нормальной, а плоскость %,*i - спрямляющей
(фаг.12).
2°. Формулы Френе.
Тройкаортов \s%%% естественных осей, подобно тройке
ортов ^,*i,<> осей прямоугольной декартовой системы координат,
образует правую систему. Однако, первые орты отличаются от
вторых тем обстоятельством, что они зависят от выбранной точки
линии, т.е. т^ТдСЛ (<*=LZ,z) . Следовательно, при переходе от
одной точки линии к другой естественный трёхгранник изменяет
свою ориентацию в пространстве. Рассмотрим производные jjr>
характеризующие темп этого изменения. Так как
величиныd%t/dfявляются векторами, то их можно представить в виде разложений в
естественном базисе
Элементы о -матрицы могут быть выражены через скалярные
произведения производных от базисных векторов на сами базисные
векторы. Для этого достаточно умножить обе части (8.5) на *? и
воспользоваться условиями ортонормированности естественного
базиса:
VV«W /Ar-«4 . (8.6)
- 46 -

_ В итоге будем иметь искомые выражения в виде
Дифференцированием no S условий (Ь.6) сразу находим, что
6 -матрица антисимметрична:
ISVV^0' W- %-% <*'"«>• (8.8)
Следовательно, диагональные элементы матрицы равны нулю:
ы* dS *
Эти условия означают, что производная от орта естественной оон
по скалярному переменному перпендикулярна самому орту. Среди
недиагональных элементов С - матрицы независимых только три,
например erit, б^ и <?м. Выясним геометрический смысл этих
последних величин. Изменение орта касательной характеризуется
величиной ^'/ds . В силу (8.1) и (8.2) эта величина имеет
значение — _
^?~ -- U% . (8.9)
С другой стороны, формула (8.5) при **( имеет вид
df, - -
На основании единствейности разложения вектора в координатном
базисе отсюда находил
Таким образом, компонент 6it совпадает с кривизной линия, а
<э31 равен нулю. Вычислим, далее, производную dT*/dS .
Дифференцированием по S условия %x<ttxT% находим:
dS dS * l d$
Первое слагаемое правой части в оилу (8.9) обращается в нуль
как векторное произведениеколлинеарных векторов, поэтому по -
лучаем d% - df.
d? ''*<**** <8Л0>
- ч7 -

dtj
Производная aJ ортогональна Ъ ; из полученного ра -
венстча следует, что она ортогональна также г, ,
следовательно, этот вектор направлен вдоль \ , тех что можно написать
2*--*%. (8.II)
Вместе о тем эта производная на основании (8.5) и условии
внач
вм=о имеет значение
Из этих соотношений следует, что должно быть
Заметим теперь, что для плоской линии бинормаль не меняет
своего направлен] я, поэтому % ^еолй. иа (8.П) следует, ч. о
в этом случае з.*о . Изменение направления т3 означает
отклонение данное линии от плоской линии. С этим изменением
связывают понятие кручения линии. Поэтому коэффициент л.
называют кручением линии в данной точке.
Заметим, что в отличие от кривизны, которая по определению
существенно положительна, кручение может быть и положительным,
и отрицательным.
Величина Г , обратная кручению, называется радиусом кру -
чеиия линии в данной точке: Т~ Ух.
Чтобы вычислить кручение, умножим (8,11) скалярно на '? и
воспользуемся равенством (8.10). Тогда после некоторых
преобразований будем иметь
*> ds г las XTr)-7''{*t* as J9
Ho \= ?j-> палее по формуле (8,2) ^ =/>?? * Следова-
тельно s
drA dp_ d*i U3^
dS = d$ dS* ff>dS* '
- <*8 -

Z dS
~yds* (as ds* ffds*J y (as* ds*)
На основании этих равенств и выражения (8.3) ддя кривизны
получаем окончательную формулу
dt /d't dJt )
dS '(<*** *dS*)
v 4r *M ds d^
dx+ а*хл d*xr
dS*
X=z-
(влг)
d*i d*t
Таким образом, 6 -матрица имеет вид
?w
1
'Л=|
1 °
у*
1 °
*
о
-*
°\\
X.
о II
(8ЛЗ)
Она имеет два независимых отличных от нудя элемента, имеюциг
смысл кривизны и кручения линии.
Используя выражение <?_ -матрицы и представление (8.5),
находим для производной <***/<# следующее выражение:
«*«
ГГ*"*'**"** -***+*%.
(8Л4)
Итак, производные от базисных векторов естественных осей
линии по дуге S определяются формулами
US dS * ds
*Ь>
(8Л5)
которые называют формулами Френе.
Легко видеть, что три формулы (8.15) допускают следующее
компактное представление:
*—*&*? (Л'1*Л)% Л-ж*й+*Тл. (вЛб)
С помощью формул Френе легко устанавливаются следующие
теоремы.
Теорема 2. Для того, чтобы линия была прямой, необходимо
- 49 -

и достаточно равенство нулю её кривизны.
Доказательство необходимости. Пусть линия прямая.Тог^а её
векторное уравнение имеет вид z=?s+%> f,tP^cortft ,
Отсюда в силу первого уравнения (8.15) получаем равенство нулю
кривизны:
Доказательство достаточности. Пусть кривизна линии
тождественно равна нулю: >(=о . Тогда из первой формулы (8.15)
следует, что линия прямая:
5-1 - ^Г/ - •? -о * *г*+Т0 , % Чс -const.
Теорема доказана.
Теорема 3. Для того, чтобы линия была плоской, необходимо и
достаточно равенство нулю её кручения.
Доказательство необходимости. Пусть линия плоская. Тогда
Т?,лг? и ^Lzicm л^ - ?% лежат в плоскости линии.
dS& &s+o лз *
Следовательно, в лиЗой точке линии её соприкасающаяся плоскость
совпадает с плоскость" линии. Но тогда орт бинормали,
перпендикулярный соприкасающейся плоскости, будет постоянным вектором:
<U3*eo<tst} и третья из формул (8.15) приводит к равенству
нулю кручения:
z dS
Доказательство достаточности. Пусть кручение линии
тождественно равно нулю: Xsо . Тог^.л из третьей формулы Френе
следует, что орт бинормали постоянен вдоль линии T3=tL* const.
Но так как % ортогонален 1Т? , то справедливо условие
ортогональности
Интегрируя его, находим
CLt=n*eo*st или аА+алял+%х3*п,
- 50 -

а это есть уравнение плоскости, в которой и должна лежать
линия. Теорема доказана.
§ 9. Естественный способ описания движения точки.
Существует другой способ исследования движения точки,
основанный на знании её траектории, а также характера движения
по ней точки. Этот способ также позволяет вычислить все
кинематические характеристики движения точки. В отличие от
координатного способа его называют естественным способом.
1°. Уравнение движения точки по траектории.
Пусть задана траектория JL точки М своими естественными
уравнениями
* = «(S) , *e*<4J. (9.1)
В предыдущем параграфе было выяснено, что положение точки
М на линии вполне.определяется расстоянием S ,
отсчитываемом вдоль линии от некоторой начальной точки О до данной
точк'.!. При движении точкм вдоль траектории расстояние S бу -
дет меняться со временем. Зависимость
называется уравнением движения точки по траектории. Функция
$(t) предполагается однозначной и дважды непрерывно
дифференцируемой.
Естественный способ задания дрчжения точки, таким образом,
состоит в задании её траектории и уравнения движения по тра -
ек-ории.
2°. Определение скорости точки в естественном способе.
При движении точки по траектории её радиуо-вектор есть
функция расстояния: ~-t(s). В силу уравнения движения (9.2)
расстояние зависит от времени, поэтому радиус- вектор точки
будет сложной функцией времени \*\[$(i)] .
Дифференцируя эту зависимость по времени и опираясь на
определение скорости, найдём
ir«4b_-4L* ,5. (9.з)
dt dt dt ' к '
- 51 -

Если теперь взять разложение скорости по осям
естественного трёхгранника Vs ?*?*Т< , где_через ?е обогтачена
проекция скорости на естественную ось *?, то сравнение с
предыдущей формулой приводит к следующим значениям для проекций
Отсела видно, что скорость направлена по касательной к
траектории ж оторону т? при 3>о и в противоположном на-
вравлении при 3<о; модуль so "корости совпадает с
абсолютной величиной Si
Если при движении s>of то очевидно, что V=s .
Существование производной у функций s(i) обусловливает, таким
образом^ существование вектора скорости точк".
3°. Определение уравнения дв:.лоиия точки вдоль траектории
по известной её скорости и начальному положению.
Пусть при заданной траектории точки не известно её
уравнение движения вдоль траектории, но взамен этому в любой момент
времени известна сгэрость движения t%e(t) , являющаяся
непрерывно дифференцируемой функцией. Кроме того, задано положение
точки на траектории в начальный момент, т.е. задано начальное
расстояние SQ . Сформулированные условия позволяют определит!
функцию sft) . Действительно, интегрированием равенства &*р;€с
учётом начального условия s@) = So находим
S*J?/(t)dtfS.f (9.6)
о
т.е. уравнение движения однозначно определяется. Функция *СО
в силу предположений о tr/(V будет дважды непрерывно дифферл
цируемой.
<*°. Определвнио ускорения точки в естественном способе.
Ускорение точки определяется как производная от её вектор!
скорости по времени. Поэтому,продифференцировав not выраженщ
(93) для скорости и используя первую формулу фреяе (8.15),
- ъг -

найдём
а/ а/ яг
С другой стороны, ускорение может быть представлено черев
свои проекции с? на естественные оси в виде разложения
5-J?af ?<. Из этих двух выражений для ускорения по теореме
I находим, что его проекции на естественные оси имеют
значения a?=s, */-*•**»
Если воспользоваться формула*
ми (8.3) и {ЭЛ)Ь то эти проегции
можно представить также в Виде
n'-d(rt< . И (э.9)
ФигЛЗ^ __
,€»а/»а/ ускорения вдоль естественных осей
называют соответственно касательным, нормальным и
бинормальным ускорениями* Для них справедливы формулы:
at z p z з
Таким образом, бинормальное ускорение равно нулю и,
следовательно, ускорение точки складывается из касательного и
нормального ускорений:
а = а/ +а*.
Выясним механичегчий смысл этих ускоре! ли.
Из смысла предыдущего вывода ясно, что появление в
разложении (9.7) касательного ускорения связано с изменением величины
снорооти, а нормального - с изменением направления скорости.
Следовательно, касательное ускорение характеризует изменение
скорости по величине, а нормальное ускорение - иаменеме
скорости по направлению.
На основании условий ортонормированности естественного
базиса F.6) квадрат ускорения имеет значение
- 53 -

и, следовательно, модуль ускорения равен
Определим направление ускорения. Так как бинормальное
ускорение равно нулю, то ускорение точки лежит в соприкасающейся
плоскости её траектории. Направление ускорения в этой
плоскости вполне характеризуется углом fi , который оно образует с
главной нормалью (фиг.13). Этот угол, отсчитываемый от
ускорения до главной нормали, определяется равенством
/ -3i - JL -SjL (9Л1)
и, очевидно, изменяется в предел?^ - -%-*М ^ j- •
Таким образом, формулы (9Л0) и (9.II) определяв модуль и
направление ускорепя относительно естественного триэдра, если
движение точки падано естественные способом. Из формулы (9.8)
видно, что касательное ускорение равно второй производной от
расстояния по времена. Следовательно, существование второй
производной у функции S(t) с механической точки-зрения
эквивалентно существованию ускорения точки.
5°. Определение скорости точки и уравнения движения по
траектории по заданному касательному ускорению л начальному
состоянию.
Пус.ь, наряду с траекторией точки, известно её касательное
ускорение (if {О , являющееся непрерывной функцией
времени.Кроме того, задано начальное состояние точки, т.е. в начальный
момент ко известны величины 4 и (/, Покажем, что этими
данными определяется скорость точки и уравнение её движения по
траектории.
Возьмём равенство qe = af(i)f определгощее касательное
ускорокие через скорость движения. Интегрированием его по
времени с учётом начального условия ^?г(о) *trf9l находим закон
изменения скорости '
о - 54 -

функция 1%€Ш будет непрерывной и дифференцируемой функцией.
По известной же скорости и начальному положению уравнение
движения точки по траектории находится согласно (9.6) в виде
t t t
О 0 0
Функция $(i) будет дважды непрерывно дифференцируемой
функцией.
6°. Частные случаи движении точки.
Рассмотрим несколько частных случаев движения точки.
Движение точки по траектории называют равномернымv если модуль
её скорости постоянен во все вредя движения. Так как
проекция скорости на касательную может отличаться от модуля
скорости только знаком, то при равномерном движении она также
постоянна: t^e-cc?/r/t . Следовательно, касатольное ускорение
равно нулю Cif'^e =ot нормальное же ускорение вообще
отлично от нуля: а? » tV*- +о и может изменяться при
движении точки за счёт изменения кривизны траектории.
Таким,образом, при равномерном движении точки по траектории её
ускорение вообще отлично от нуля и направлено по главной нормали;
a-th*o (Фиг.14).
авномерное движение Ускоренное движение Замедленное движо-
_ _ _ _ нив _ - , л
4Г-а=о 4г-а>о га<о
Фиг.14.
Из выражения (9.6) после интегрирования находим, что
уравнение равномерного движения имеет вмд
Движение точки по траектории называют ускоренным или
замедленным смотрл по тому, возрастает ипи убывает модупь её
скорости при движении. Очевидно, что движение ускоренно, если (Г^ и
#/ одного знака и замедленно, воли знани 4* и 0/
противоположны,_ Поэтому условием ускоренности движения будет
неравенство ir*a>ot а условием эамедленн сти движения - неравен-
- 35 -

ство V СЦО . Отсюда следует, что при ускоренном движении
ускорение точки отклоняется от главной нормали в сто, оиу
движения, а при замедленном движении - в сторону,
противоположную движению (фиг.14).
Движение точки по траектории называют равнопеременным,
если её касательное ускорение во bcJ время д ижения постоянно:
af'Cwt. Вычисляя интегралы в равенствах (9.12) и (9.13),
находим, что законы изменения скорости и расстояния в этом
движении имеют соответственно вид
4е.aft +vtl ,
*-1*?*л*у;*":
Движение точки называют прямолинейным, если её скорость
сохраняет неизменное направление во все время движения. При
лрямод шейном движении нормальное уско*ч>ние точки равно нулю;
О/** Y**o, следовательно, ~авка нулю кривизна траектории
4*0. Таким образом, траектория рассматриваемого движения
%сть прямая лини". В прямолинейном движении уокорение точки
направлено по касательной к траектории, т.о. вдоль прямой
движения; оно совпадает по направлению со скоростью при уско-
ptUHOM и противоположно ей дри замедленном движениях (фиг.15
Ы V Ъ м 2 7 *t а м 7 f
равномерное прямолиней- ускоренное прямоли- замедленное прш
ное движение нейное движение молинейное дви-
_ жение
Фиг. 15.
7°. Круговое движение точки.
Фиг.16.
К числу простейших движений точа
относится круговое движение.
Круговым движением точки называв
е. движение по окружности. Рьссмот -
>f? рим особенности э-эго движения.
Пусть окружность радиуса Л рас-
положена в плоскости Xt $z и имей
центр С в начале координат. За на ¦
чальную возьмём ту точку О окружне
ти, где её пересекает ось JCt,
- 56 -

Обозначим через М движущуюся точку. Доложен не точки на
окружности определяется р зстоянием SsOM . Естественные оси
окружности ? точке М ориентированы следующим образом:орт жа-
сательной Т? направлен перпендикулярно радиусу в сторону
возрастания расстояния, орт главной нормали \ направлен по
радиусу окружиости к ее центру, наконец, орт_бинориали сохраняет
постоянную ориентацию и совпадает с ортом ?л третьей
декартовой оси: Ts -tfj (фигЛб).
Положение радиуса СМ вполне определяется углом / ,
который он составляет с радиусом 60 . Этот угол, отсчитываемый
от С О к СМ в направлении против движения часовой отрелкнф
называют углом говорота радиуса вокруг оси Х5 . Зависимость
if = tf(i) называется уравнением вращения радиуоа.
Функцию (/(О в дальнейшем будем предполагать дважды непрерывно
дифференцируемой. Быстрота изменения угла характоривуетоя проив-
водной от угла по времени. Эта производная обозначается черев
dif •
со г —~-{р
dt *
и называется угловой скоростью радиуса. Если при dt>0^d*f>(\
TQU?>ot если же при dt>o, d<f<o, ?qu)<o. Следовательно,
угловая скорость «? - алгебраическая величина. Наряду о
темпом вращения, она характеризует также направление вращения.
Вектор & * *о itj называют вектором угловой скорости радиуса.
Вектор «> направлен по оси Х^ в сторону, откуда вращение
видно происходящим против стрелки часов.
Угловая скорость в общем случае изменяется оо временем.
Производная от её по времени,характеризующая темп этого
изменения, обозначается через € \ называется вектором углового
ускорения радиуса:
- dw - du> . ..
Вектор углового ускорения.как и угловая окорость, направлен
вдоль оси вращения. В силу свойств функции ifD) угловая
окорость и угловое ускорение существуют и непрерывны.
По заданному уравнению вращения угловая скорость и угловое
ускорение однозначно определяются. Рассмотрим теперь обратные
задачи.
Пусть угловая скорость задана как непрерывно днфференцируе-
- !>7

мая функция времени u>(i) и известен начальный угол поворота
f0. Тогда, интегрируя соотношение if*u> при начально!-
условии if(o)-tf0 , получим уравнение вращения радиуса
tf*$ to(t)di +ifot
j.e. угловой скоростью и неч&чьньт углом по эрота уравнение
рращения радиуса вполне определяется.
Если угловая скорость сохраняется постоянной, то вращение
называется равномерным. При O'coist интеграл в предыдущем
выражении сразу вычисляется и уравнение равномерного вращения
принимает вид
(f=oot +if0.
Зрощенио называют ускоренным или замедленным, смотря по
тому, возрастает или убывает модуль угловой скорости с тече -
нием времени. Если ^ и ? одного знака, т.е. при «7* 6>0%
вращении ускорено, а при и> и г разных знаков, т.е. при
D) • ? <о -замедленно.
Примем теперь, что угловое ускорение задано кьк непрерывная
функция времени. м.аряду с этим,в начальный момент t*o
заданы начальная скорость вращения с0о и угол поворота </>„ . Тогда
интегрированием равенства «*> = ? при заданном значении оОс
получаем закон изменения со временем угловой скоростк радиуса в
виде t
со; [s(t)dt +4.
о
По известной угловой скорости и начальному углу поворота, как
было установлено выше , определяется уравнение вращения в виде
t
/= j ( Uw<**)dt +<t+%
Таким образом, заданием углового ускорения радиуса и его
начального состояния угловая скорость и уравнение вращения
радиуса вполне определяются.
Если угловое ускорение сохраняется постоянным,вращение
называю* равнопеременным. В этом частном случае вагоны изменения
скорости и угла принимают соответственно вид
?jZ
и*
- 58 -

Рассмотрим теперь характеристики движения точки, Луга
окружности, как известно, определяется зависимостью •
Эта зависимость и представляет собою уравнение движения точки
по окружности. Проекция скорости «а касательную равна
произведению радиуса круга на угловую скорость вращения:
Вектор же скорости направлен по касательной к окружности и
может быть представлен через радиус-вектор точки и угловую
скорость вращения посредством формулы
V= V/T, =-&u)?sx*z*(u)«jK(-R;Tz)--w*fi9 ?-?^.(9.16)
Проекция ускорения на касательную равна произведению
радиуса на угловое ускорение:
ае -s *8ii *R&. (9.1?)
Вектор касательного ускорения &f направлен по касательной к
окружности. Его называют в этом движении вращательным
ускорением. Для вектора а* справедливо представление
af *<*fX *-&€* х?ж*(е1C)х(-/?тх)-?х]г. (эле)
Проекция ускорения на главную ^ормаль равна произведению
радиуса на квадртт угловой скорости. Действительно, для
окружности касательная перпендикулярна радиусу, поэтому угол
смежности d9- угол между близкими касатедышмм-равен углу
dff -углу между перпендикулярными им радиусами, поэтому
кривизна окружности е'ть величина, обратная её радиуоу:
Ks jd9[ Jd^ j_.
* Idit ' Rldfl " R '
следовательно
й? * itS* *Ra>* (9.19)
зектор нормального уокорення ^ направлен по главной нормали
- 59 -

окружности, т.е. по радиусу окружности к ее центру. Поэтому
его называют в этом движении центростремительным ускорением.
Вектор центростремительного ускорения выражается через
радиус-вектор точки в виде
0.'«*Ч **«>вт --*** (9.20)
Вектор полного ускорения точки в круговом движении имеет,
таким образом,выражение
a = af *а/ = e*R -co2R. (9.2I)
Модуль ускорения и угол, который оно образует с главной
нормалью, определяются формулами:
a-faf+af *Rje*+u)* , ^,^,1-. (9#22)
Из полученных формул следует, что для знания уравнения
движения точки по окружности, её скорости и ускорения
достаточно знать уравнение врзщения радиуса tf* tftt).
6°. Колебательное двияение точки.
С круговым движением тесно связано другое простейшее
движение точкм-прямолчнойное колебательное движение.
Прямолинейным колебательным называют такое движение точки
по прямой, при котором она nonepeujHrio отклоняется в обе
стороны от некоторого своего среднего положения.
Рассмотрим равномерное круговое движение точки А7 по
окружности радиуса R • Обозначим через М? её проекцию на оо
*2 (фкг.16). Тогда легко видеть, что уравнение движения М?
здол? оон */ , будет
T^Rcosy *R sin (т*?)-
Так как при равномерном вращении ^**к+ft> f то, полагая
о/г j> + tfCf придадим уравнению движения следующий
окончательный вид:
хй*И*<п (мЛы). (9.23
Движение точки М«описываемое этим уравнением, называют прямо
линейным гирмоническим колебанием. При атом движении координа
та отменяется в продолах от-ft до & ,т.с. точка М отклоняет
- 60 -

в обе стороны от точки <?,*# Величина # наибольшего от*
клоьгния называется амплитудой колебания. Аргумент синуса
cot ^ называется фазой колебаня. Параметр * называют
начальной фазой, а и) -круговой частотой колебания.
Проекции скорости и ускорения на ось движения
имеют*соответственно значения
vt«i? *a)Rcos(u>t+<*)t a^x^-ufRtinlirt+d) »-#/*, 9
т.выявляются периодическими функциями времени. В моменты
времени, в которые одна из величин i?lt t&l максимальна, другая
принимает минимальное значение. Ускорение пропорционально
отклонению точки от центра c(xg*o) и всегда направлено к
агаму центру.
Назовём периодом колебания наименьший промежуток времени
Г, спустя который точка приходит в прежнее положение о
прежней по величине и направлению скоростью. Следовательно,
период есть наименьший корень Г системы уравнений
или
$in[o>(i+T)+*(l * $in(at-h4, cos[a)(tiT)+*(]*cof(a>t+*).
Из этих уравнений следует, что произведение и>Т должно быть
наименьшим периодом одновременно и синуса и косинуса. Такой
период равен ***• Следовательно, сл>Т*&* и Т***/**-
§ 10. Связь между координатным и естественным способами
описаьля движения*
Каждый из способов опиоания движения точки, будь то
координатный или естественный опоеоб, позволяет полностью
вычислить все характеристики движения. Покажем теперь, что при
ведении движения одним способом можно перейти к другому и
наоборот, т.е что оба эти опособа эквивалентны друг другу»
1°. Переход от координатного способа к естественному
способу.
Пусть движение точки задано координатным способом, то есть
известны декартовы координаты точки как функции времени:
61 -

Х^Л^И) (ы*А2,3). Перейти к естественному способу задания
движения значит вычислить по этим уравнениям траекторию
точки и закон её движения по траектории.
Сами координатные уравнения движения представляют собою
параметрическое уравнения траектории, в которых роль
параметра играет время. Явные уравнения траектории получаются из
параметрических уравнений исключением времени. Траектория
точки, таким образом, определяется.
Чтобы определить уравнение движения точки по траектории,
воспользуемся выражением элемента дуги линии в декартовых
координатах
dS - ydx*+dx*+dx2A
Определим по заданным уравнениям движения дифференциалы
координат в виде dx^x^di (d*i,z,5). Подставляя затем эти
дифференциалы в предыдущее равенство и интегрируя по време -
ни, будем иметь
*' 11К*К*К di *s°- A0Л)
где Sp-произвольная постоянная. Значение этой постоянной
определяется выбором начальной точки на траектории*
Соотношение (ЮЛ) и определяет искомое уравнение
движения точки по траектории. Переход от координатного способа к
естественному способу, таким образом, осуществлён.
Обратив функцию (ЮЛ), найдём время как функцию
расстояния t-t(s) и тем самым можем получить параметрические
уравнения траектории с параметром S^X^'^fS) Ы~12,3). црм
таком задании-траектории все её характеристики,в том числе
кривизна и кручение, получаются с помощью дифференцирования
по формулам § 8. Кривизну траектории можно легко вычислить,
минуя операцию обращения функции (ЮЛ), воспользовавшись
формулой (9.9):
«s .Г" у , A0#г,
V*
так как по заданным координатным уравнениям движения просто
определяются все входящие сюда величины:
2
- 62
xi*z **з

2 . у -матрица и её свойства.
Для осуществления перехода от естеотвенного способа
задания движения точки к координатному способу потребуются
некоторые дополнительные соотношения* К установлению последних
теперь и переходим.
Базисные векторы естественных осей траектории
определяются в системе отсчёта разложениями
ъ
¦?г.
«HJ ЧГ •
ь
(df.iXS). <10'5>
Задание матрицы ?rtY«e4 « составленной из компонент этих
векторов, определяет ориентацию естественного трехгранника в
каждой точке траектории*
у -матрица обладает ряд^м интересных свойств*
Рассмотрим их, В оилу соотношения ^«т?*^ находим* что
компоненты этих ортов в системе отсчёта связаны соотношениями
\ы
z*.
Кг* Уз*
9@* tZf ДО
(«•IZJ).
В подробной записи эти зависимости имеют вид
UU»t»\'U\UJuJ'!alUJ»j
Точно так же, соотношения ?j*?j*^
к зависимостям:
и ?«Т,*1
to
Га I
Hi Ht
Ьз txl
III
?•¦
IS
Un h
и
Км U\
ы
If!» Ut
(ЮЛ)
приводят
и
ht If a J I ?ц Ки J
To есть* е>ли составить определитель
i hi hi Yu
In ti
n
jf -матрицы:
(Ю.5)
- 63 -

то каждый его элемент будет равен своему алгебраическому
дополнению. Таким образом, элементы у -матрицы не являются
независимыми величинами» Из условий (ЮЛ), например, следует,
что число независимых элементов не больше шести. В действи -
тельности их будет только три. В самом деле, условия ортонор-
мированности естественного базиса VS**^ «Р'4г-^
накладывают на элементы у следующие ограничения:
В A0.6) шесть независиных равенств:
2 ? * г 2 г 2 * z .j. ]
j (Ю.7]
следовательно, из девяти зломентов у независимыми будут
только три.
Разложив определитель A0.5) по элементам какой-ли^о
строки или столбца, например по первой строке, получаем как
следствие установленных свойств, что его величина равна единице:
Соотношения A0.7) позволяют выразить все элементы ]ле
через три из них, одновременно не входящие в одно из условий»
не содержащее, кроме них, других элементов. Возьмём в
качество независимых, например, элементы tibttn и f33. Тогда из
третьего уравнения находим следующее представление для jf I
ht ' ' 4f Vj '
Из двух знаков плюс и минус перед корнем взят первый. При
знаке минус получим другой набор формул для э: -шентов fce-
эквивалентный первому. Исключим, далее, из первого и шестого
равенств элемент jfi/t тогда для определения элемента jfi?
получаем квадратное уравнение

Беря второй корень уравнения* поручаем
Шестое уравнение позволяет теперь установить для элемента у
следующее выражение:
la" , *¦
Разрешим далее четвёртое и пятое уравнения относительно
У и / В результате получав зависимости
far ¦** ' ш ~ ~ """"^ •«
in fssr tu itt *** fa~ fa Ha
Простое вычисление позволяет выразить коэффициенты правых
частей этих равенств через независимые элементы* после чего
получаем f —- , —
Подстановка этих выражений во второе равенство приводит
к квадратному уравнению для у •'
Беря второй корень этого уравнения, оудем иметь
Формулы A0.8) доставляют теперь элементам у и у следу-

Поставленная задача» таким образом, решена: все элементы
у -матрицы выражены черев три независимых зло энта fo.foi'fo*
Более общим решением вопроса является способ, когда через
три независимых параметра выражаются все компоненты f
-матрицы. Условия A0,7) при этом удовлетворяются тождественно
(в противном случае параметры должны были бы удовлетворять
некоторым уравнениям и, с: эдовательно, не были бы
независимыми). За зги три параметра Эйлер предложил брать углы ^V^.V^,
носящие теперь его имя.
3°. Углы Эйлера.
Для определения
эйлеровых углов проведём из
некоторой точки М
траектории L, нарядусес-
тественными осями %.%.%,
также оси ^,^,tf, системы
отсчёта.
Линия пересечения ИМ
плоскости tfiJtz ла фиг Л 7
заштрихована
горизонтальными штрихами) с
соприкасающейся ПЛОСКОСТЬЮ ?it\
ФигЛ?» _ называется линией узлов.
Угол ^_ между осью Ht и линией узлов МЫ , лежащий в
плоокости йд/?>называется углом прецессии. Он получается
вращением естественного трёхгранника вокруг оси ^ и изменяется
в пределах : о* <ft < 2 $•
В соприкасающейся плоскости fi>Tit угол <? между линией
узлов и осью Tj называется углом собственного вращения. Этот
угол_получается при вращении трёхгранника вокруг бинормальной
оси ?3 м изменяется в интервале oKf^Z*
Проведём далее плоскость черз оси ^ и *з (на Фиг.1?
заштрихована вертикальными штрихами); эта плоскость
перпендикулярна линии узлов MN % так как последняя должна быть пе. лен-
дикулярна к оси *?3_и осм %• Угол» лежащий л этой плоскости,
между осями ~ИА и т3 обозначают через </? и ьазывают углом
нутации. Угол нутации получается при вращении трёхгранника
вокруг линии узлов МЫ и по определению изменятся в пределах
04 * * $
- 66 -

За положительные направлении отсчёта эйлеровых углов
принимав : направления вращения против стрел» часов вокруг
соответствующих осей (фиг.17)._
Перевести триэдр iit^. *j в триэдр W.\ ыожио с
помощью трёх следующих поворотов: на угол <ft вокруг оои 7„
иатем на ?гол ^ вокруг оси/W и, наконец, на угол ?
вокруг оси % (фигЛ8),
Фиг.18.
При первом повороте орты /^ переходят в ортн ?', овяваниые
с первым* преобразованием
Эти три формулы можно запиоать а виде одного равенства
если определить f' -матрицу в виде
IC9*fg UHitg О |
о о ( ||
При втором повороте орты % преобразуются в орты V по
формулам
или
- 67-

w
и-
Я i
о
о
CoStft
О
зспчг
Наконец, пр* третьем повороте орты v перейдут в орты U,
прячем будут справедлмвы формулы
где
\K(Ol
cosifh Si>rtf3 о
о о i
Таким образом,орты f^ и а?. связаны преобразованием
матраца которого равна произведению трёх предыдуцих матриц:
Ф6 pi ^P •А*'**
и, следовательно, может быть выражена черев эйлеровы углы;
IU-
со$ц 3in<j>s -Jinfi cojtfz cosif^ -Swfi Svnf5teoS$couft cos tfs Smtfc C0ftf3
Sin<tt Sinifi
-co
(Ю.9)
iintK, заданными углами Эйлера элементы % -матрицы
однозначно определяются. Возиикаот вопрос, можно ли, наоборот,по
данной i -иатрице определить эйлеровы углы? .'а формул A0.3)
6ft

ясно, что при задании у -матрицы определяется ориентация еоте-
сть иных осей в каждой точке траектории и тем самым эйлеровы
углы. Значения этих углов можно вычислит» следующим образом. В
силу формул A0.9) имеем соотношения
Отсюда находим, что в интервалах
углы Эйлера однозначно определяются выражениями
л>г/,= -г=7 . од «-=4-; ОД*-/*;
Та;<им образом, между элементами f -матрицы и эйлеровыми
углами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Рассмотрим теперь р матрицу, обратную Jf -матрице *-р *]('*.
Согласно определению элементы этих матриц связаны соотномениями
Отсюда и из соотношения A0.6) вытекает,%что должно быть
Следовательно, p*f* или /"'sJf*? т.е. у { -матрицы
обратная и транспонированная матрицы совпадают друг с другом. Это озна-
нает, ню f -матрица является ортогональной матрицей.
Элементам f -матрицы можно придать определённый геометрвчео-
кий смысл. Иэ формул A0.3) вытекает, что эти элементы совладают
с косинусами углов между естественными и неподвижными осями
- 69

Ориентация естественного трёхгранника траектории зависит от
ввятсД на ней точки, т.е. от расстояния S. Поэтому функциями
расстояния будут как углы Эйлера, так и элементы jr -матрицы:
Заметим в заключение, что наряду с разложением A0.3):
'it-Zllb *е } можно раосматрир^ть разложение ортов /?. в ее -
тественном базисе. Очевидно, оно осуществляется с помощью
обратной р -матрицы, т.е. имеет вид
Ц, - Т. Р6Ш V ? Ъ Ue №« *» - A° Л0>
СО сО
4°. Переход от естественного способа к координатному
способу.
Допустим теперь, что движение точки задано естественным
способом, т.е. наряду ^траекторией, определённой
естественными уравнениям it-*($), ?^2($)} задано ещё уравнение
движения по траектории S^stt). Для перехода к координатному
способу задания движения требуется по исходным данным найти
декартовы координаты точки как функции времени, т.е.
зависимости
^=с^({) (***.*.*).
Сформулированную задачу нередко называют интегрированием
естественных уравнений линии.
Векторное уравнение траектории имеет вид i-iCS). Если
использовать для радиуса-вектора точки траектории разложение
в системе отсчета г^?:?^ и, кроме того, равенства A0.8),
то для орта касательной можно получить следующие два
представления:
OLjC
Отсюда получаем в силу теоремы I три уравнения: jr"^
<<5-/2.3), которые в подробной записи, учитывающей выражение
элементов )f -матрицы, имеют вид:
- 70 -

**Ь * sen if? co$*rb ¦ wq л*? A* if5 f
dS " '> ' * " | (IO.II)
4s*
ds
Обратимся теперь к уравнениям Френе (8Л5). На основании
формул A0.8) они могут оыть записаны в форме
Так как из девяти элементов jf -матрицы независимы только
три, то в системе (I0.I2J имеется также только три
независимых уравнения. Возьмём в качестве этих последних по одному
уравнению из каждой группы, например, следующие:
dfa _^v dfa . rf&
Подставив сюда выражение элементов / -матрицы черев
эйлеровы углы по формулам A0.9), будем иметь:
со% *п*?^ * **Ь °°S*s Jf e ****** *****'
d<f* d<fr
«*$ *°*Г3—-*"ГЛ **% -jj =*<W? -Minify **fs ,
JtWfl Л»Я5? * «в ЮГ^^-^*"****"''6** w*^
Из этой системы уравнений могут быть определены
производные от эйлеровых углов по расстоянию» Действительно, умножив
первое ураввение системы на до у5, второе -на autft и выятя
результаты, получим
db
Л*Ъ d$ S **?"Ъ ~*COSfz *"fs '
- 71 -

откуда
Умножая,далее,первое уравнение системы на А*?, второе
на <*>*</3 и окладывая результаты, найдём
cosif—**eoSfgcows,
откуда
zXCOSfy
df*
Наконец, годотановка производной ~-~- в третье уравнение
системы даёт
d"
otty»
dS ' SinVt
Собирая шесте аолучеи :ue результаты, будем иметь оаедувцув
сиотему уравнений:
<*ft . *»в
dt
A0.12)
tfj
В дальнейшей рассмотрении будем опиратьоя на одчу теорему
из теории дифференциальных уравнений. Пусть ведана система
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка,
разрешенных относительно производных от входящих в систему иско-
- 11 -

пых функций **/,..., ил по аргументу х:
^-/«^ ^ "-<•-^A0ЛЗ)
в которой число уравнений предполагается совпадающим п числом
искомых функций. Система уравнений такого вида называется
нормальней. Пусть для системы A0.13) заданы так называемые
начальные условия:
при х*х0 у 11^B.) *и^ #«/,...,*;. A0.14)
Тогда имеет место следующая теорема существования и
единственности решения.
Теорема 4. Если задана нормальная система дифференциальных
уравнений A0.13), правые части которых суть непрерывные
функции по всем аргументам в некоторой окрестности начальных
значений A0.14) и имеют непрерывные частные производные по
переменным tlit...t&rt, в этой окрестности, то на некотором интервале,
содержащем точку и0 , .уществует одна и только одна система
функций *^#/,..., и„(х)%удовлетворяющая уравнениям системы и
начальным условиям.
Совокупность функций и-ь(х) Z^-.^удовлетворяющих
уравнениям A0Л3), называют решением этой системы. Задачу
отыскания решения системы A0.13), удовлетворяющего начальным
условиям A0.14), называют задачей Коши. Таким образом, теорема 4
утверждает существование и едино.венность решения задачи Коши
для системы A0.13) при специальных предположениях
относительно правых частей уравнений.
Рассмотрим теперь уравнения A0*11) и A0,12). Эти уравнения
образуют нормальную систему для функций <*/>*& (<*- 1г?,*)
аргумента S . Присоединим к ней следующие начальные условия:
при 3*3. , **(*•)*X* *?*(*•)**? <w-U3j;(io.I5)
8ти условия имеют простой геометрический смысл: координаты
Xj №*i,2.3) определяют начальную точку траектории М*> , а
9Йлеровы углы ч? в силу формул A0.8) и A0.9) определяют
ориентацию естественного трёхгранника в начальной точке.
На основании теоремы h приходим к следующей теореме:
Теорема 5. Если заданы кривизна и кручение как непрерывные
* Дифференцируемые функции расстояния, \ существует одна и
- 73 -

только одна линия с этими характеристиками, проходящая черев
произвольно заданную точку М9 и обладающая в этой точке
заданным трёхгранником Орене.
Действительно, при сформулированных предположениях условия
теоремы 4 выполнены. Следовательно, существует единственное
решение «*t-^f#»<& -&М ^Г/Д}), удовлетворяющее
начальным условиям A0.15). Уравнения же •***«?<# &я1ЪЗ)ъ
представляют собою параметрические уравнения траектория. Подставив,
наконец, в них заданную зависимость S*S(i)y приходим к
искомым координатным уравнениям движения точки:
Полученные формулы решают поставленную задачу.
Таким образом, если для перехода от координатного способа к
естественному способу потребовалось вычисли, де определённого
интеграла и обращение функции, то обратный переход связан с
интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений-
задач ей значительно более трудной.
§ II. Ортогональная криволинейная система координат.
Помимо прямолинейной декартовой системы координат для
определения движения точки относительно тела отсчёта может быть
использована произвольная криволинейная координатная система. В
классической механике обычно используются ортогональные
криволинейные системы координат. Рассмотрим особенности таких систем
1°. Координатные поверхности и линии.
Рассмотрим три
независимые величины %Чг,95,
обладающие тем свойством,
что через них выражаются
декартовы координаты точ-
ки*
ИЛИ
Относительно последних
функций предполагаем, что
- 74 -

они, будучи трижды непрерывно дифференцируемыми, однозначно
определены во всей пространстве при задании вещественных
переменных %.%> 9s в определённых пределах. Кроме того,
предполагаем также, что отличен от нуля следующий определитель
третьего порядка
j
дх,
Z>qt
VC*i
щ,
**t
V4Z
ЪЯц.
**s
1>9е.
t>Xi\
Щ
ъЯз\
»*j
щ\
\№{,*г,Хл)
ФО. (И.2)
Последнее условие означает, что «зависимости (IIЛ) могут
быть обращены, т.е. величины о можно выразить как функции
Ъ'Ъ'*"**'*')
(**М.З). (II.3)
Бадание тройки чисел 9б-=^г F*№*) означает в силу (II.1)
задание декартовых координат и тем самым фиксирование
некоторой точки пространства. Ооратно, каждой точке пространства
соответствует три декартовых координаты, а в силу (II.3) и три
числе 9i'?2'?j' Таким образом, между тройкой чисел(ft,(fSLtcts
и точкой пространства существует взаимно однозначное
соответствие, поэтому эти числа назы аются обобщёнными координатами
точки. Каждое из уравнений
геометрически представляет собою некоторую криволинейную
поверхность, называемую координатной поверхностью. Принято $г -
поверхностью называть координатную поверхность, на которой
координата Ц6 фиксирована, а две другие обобщённые координаты
могут быть произвольными. Уравнение ^ -поверхности имеет вид
Vs ^^6ti Ч 6*2)9 гдв индексы ограничены по модулю 3.
Пересечение трёх координатных поверхностей определяет в пространстве
точку М (фиг.19). Каждая пара координатных поверхностей
пересекается вдоль некоторой линии, называемой кгоирдииатной линиоП.
- 75 -

ьдоль координатной линии изменяется только одна координата,а
две другие фиксированы. Принято (fe. -линией называть *-у
координатную линию, вдоль которой координата fo изменяется.
Уравнение cf6 -линии будет % * Я (^). В точке М пространства
пересекаются три координатные линии (фигЛ 9).
Итак, в каждой точке простронса^а порессаются три
координатные поверхности и три координатные линии. В фиксированной
системе координат вид координатных поверхностей и линий
зависит, вообще говоря, от выбранной точки пространства.
В произвольной системе коорг'шзт координатные поверхности и
линии будут вообгде кривыми поверхностями и кривыми
линиями,поэтому такую систему называют криволинейной системой координат,
а координаты ^.tfo.^j ~ коаволинеиными координатами.
2°. Ортогональная криволикойная система и координатный
базис.
Криволинейная система называется ортогональной
криволинейной системой координат, если в каждой точке пространства
координатные линии взаимно ортогональны. Для этой системы
координатное поверхности в каждой точке также будут
ортогональными друг другу поверхностями.
Установим критерий ортогональности координатной системы.
Рассмотрим для это^о координатную линию (f^
Дифференцированием её векторного уравнения V =г(%) находим для вектора
элементарного перемещения вдоль лиаии следующее выражение
Вектор —^коллинеарный с вектором ais , направлен по ка-
оате. ьной к линии в рассматриваемой точке М в сторону
возрастания координаты <fc . Так как в каждой точке пространства
пересекаются три координатные линии, то в ней будет
определена тройка векторов |~> -~ * -Ц~ • Эти векторы не
компланарны. Действительно, составленное из них смешанное
произведение ввиду условия A1*2) отлично от нуля:
>9
- 76 -

следовательно уличен ot нуля обьём построенного la векторах
параллелепипеда, векторы м компланарны. Пооколыгу каждый жа
векгopoa Щ- *г*ОД) Met мм» касательной а
соответствующей координатной линии, то условна ортогональности
последних будет иметь вид
Таким образомf условие ортогональности координатной енотами
выражается посредством трёх равенств. Эти условия
ограничивают вид тех функций СИЛ), которыми определяется
криволинейная система коордимт. В дальнейиам ограничимся рассмотрением
только ортогональных криволинейных координатных систем* __
Введём теперь координатный базис» Рассмотрим вектор «г»
Обозначим через As его модуль, а через Ц?" адвиичяый
вектор направления. Тогда имеем представление
•?!-=А е (**Ш)> ШЛ)
*Ь * *
причём, очевидно,
I -т/ЖПЕ - л/у(**»\* (**1*.Ы (II.7)
Модули &t>fiZtA3 называет коэффициентами 1аве« Согласно (ИЛ)
и (II .7) они явл«*?гя яапрарылмо дифференцируемыми функциями
криволинейных координат : hw*hT (9^9ш.9*) fr* *?•*)•
Тройка некомпланараых векторов *йЛ%$$ образует орго-
нормированный координатный базис. Векторы atoro бааиоа
направлены по иаоательмкч и координатшы дяняга в огорожу воераота-
ния соответствующих криволинейных координат (?игЛ7), Условия
ортонорынро«аннооти имел вид
Коренное отличие криволинейных координат от
обычных^прямоугольных декартовых заключается в том, что векторы ^ есть
функции точки: е^ es Cfg.fa.lj) (**№) к,следовательно,
при перехода от одной точки пространства я другой они вообще
изменяют свои ориентации.
- 77 -

Заметим, что каждый из базисных векторов может быть
представлен в виде векторного произведения двух других ъ< гторов,
например, &i sezxe3 • Плоскость векторов **,е$
совпадает с касательной плоскостью к поверхности yL*const (фигЛ7),
следовательно, вектор ё? , перпендикулярен к этой
поверхности. Аналогичными свойствами обладают вектоп е& и *j •
Теним образом, каждый базисный вектор касается в данной точке
одноименной координатной линии и направлен по нормали к
одноименное координатной поверхности.
3°. Представление вектора в ортогональной криволинейной
системе.
Рассмотрим вектор dt элементарного перемещения точки
«Дифференцируя равенство г* С (fy.fafo) будем иметь
Полученное равенство представляет собою разложение вектора di
в базисе криволинейной системы координат. Величины d-b^^jfaji
(d'l,Z,b) называется физическими компонентами вектора эле -
ментарного перемещения. Перемножим скалярно вектор dt на
самого себя и воспользуемся условиями (II.8) ортонормир**-
ванности базиса, тогда получим выражение для квадрата
расстояния между близкими точками в виде
Это соотношение называют также основной квадратичной формой.
Подобно (U.9) можно рассматривать для любого вектора ?
равд женке в базисе et,ez,es:
Коэффициенты си (**1Л.Ъ) в этом разложении называются
физическими компонентами вектора. Бели умножить (II.II)
скалярно на ^ и воспользоваться условиями (II.8), то для
физических компонент получим представление в виде следующих
скалярных произведений^
с*=се^ Го(--/аз). (т.тл2)
- 78 -

Квадрат модуля вектора через физические компоненты
определяется выражением
и, следовательно, сам модуль равен
4°. Цилиндрическая система координат.
(ИЛЗ)
Фи1\20.
Криволинейные
координаты точки
называются
цилиндрическими, если они овязаны
с прямоугольными
декартовыми координатами:?/,
аж» 4j
соотношениями
XknpUn$t (И .14)
Эти функции являются
непрерывно
дифференцируемыми • Нетрудно
подсчитать, что
определитель J имеет значение
Л2ЪЛ.ау
*?
и, следовательно, отличен от нудя (аа исключением точек оси*,),
Поэтому вав: гимости (II.14) могут быть обращены:
Три условия ортогональности координатное системы (II.5)
выполнены. Действительно,
- 79

#Hi *9л ьр ьв ьр ьо ьр ьв
ф *9* ЬЬ ьв г>* *в ох ав а* *
Г&х& &х# _ 9Xj 9Xj gg? 9Хщ gcfj acg§
**»
поэтому цилиндрическая система координат являетоя
ортогональной криволинейно! оаотамо*.
У датядачаоао! оистеыы координатные поверхности одедую-
aaro tana (фаг.го)г
p*(*nftt A***/ • ***/f - цилиндричаоаае поверхности о
' * * осью #f3»
*»<»"/Л ^ «*a*tf * а - полуплоскости, ограниченные
1 ^* * осью я*,,
,*>*0*j/, Я.* се*А -плоскости; перпендикудярвие
оси охл •
Координатными линиями являются:
р -линии-лучи, перпендикулярны* оса о*3,
В -лвотв-окружвостм с центрами на оса 0Х3 9 плоскости
которых перпендикулярны это! оси,
Л -линии-прямые, параллельные оса вх3.
Базисные векторы обозначаются через *{яёр**ля?9. **'*}*
Расположение этих векторов в точна М показано аа фаг,20*
Ковффациенты Дале, определяемые формулами (П.7),
цшшдркческнх координатах
- 80 -

Расстояние между близкими точками определится теперь
согласно (НЛО) выражением
Физические компоненты вектора с в цилнндричеоких
координатах обозначают через cf*ty ьеА*е0 % С**С& и чааыва-
ют соответственно радиальным.трансвероальным и осевым
компонентом .
Разложение вектора в цилиндрическом бависе и его модуль
определяются соответственно формулами
?Л94**Л *<***' е*/с}+е0 +*/• 'плв)
§ 12. Описание движения точки в криволинейных координатах.
Получим уравнение движения точки в криволинейных
координатах и, отправляясь от i ix, укажем способы вычисления её
скорости и ускорения.
1°. Уравнения движения точки.
Положение точки М относительно криволинейной системы
координат определяется координатами 9i,?*, 9з ПРИ Движ*-
нии точки её координаты меняются. Зависимости
называются уравнениями движения точки в этих координатах.
В частности, в цилиндрической системе координат уравнения
движения будут вида
p*J>(i) , 9*0A) . *•*(*) <12-2>
Уравнения (II.19} дают параметрическое уравнение траектории
точки. Исключение иэ этих уравнений времени приводит к явному
заданию траектории.
2°. Вычисление скорости точки.
При рассмотрении движения точки ж криволинейных координатах
её радиус-вектор зависит от времени черев посредство этих
величин г- *1%D),<?ЛМ) , fad) J• Поэтому согласно
определению окоростн и формул (II.6) будем иметь:,
- 81 -

Вектор скорости можот быть представлен также через физические
компоненты в виде У = ^С\^ в^ , Ив этих двух
выражений следует, что физические компоненты скорости определяются
равенствами
Производные от обобщённых координат по врем*.»?и называются
обобщёнными*скоростями. Формулы A2.4L таким образом,
утверждают, что физические компоненты скорости пропорциональны
соответствующим обобщённым скоростям, причём коэффициентами
пропорциональности служат коэффициенты Ламе.
Модуль скорости определяется через физические компоненты
обяей формулой (IIЛЗ):
у-/Е(уУ*/1Х?!- A2-5)
Если криволинейная система координат совпадает с
прямоугольной декартовой, то hfi (<*<l.$) и формулы A2.4), (тр,5)'
совпадают соответстгенно с формулами F.9) и FЛ0).
В цилиндрических координатах радиальная, травстверсальвая
я осевая скорости соответственно ра*ян
Y,sVr/>- VV*V'- v*'y?'* <I2,6)
и, следовательно, модуль скорости имеет значение
3°.Определение уравнений движения точки по физическим
компонентам eg скорости и начальному положению.
Пусть известны физические комлонеты скорости точки как
непрерывно дифференцируемые функции времени : V^^ft) (<*'it,b)%
начальное положение точки, задаваемое её координатами в «га -
чальный момент времени t0: Ом^)*^ (<А*1*М.
- 82 -

В силу этих данных и формул A2*4 ) инеем нормальную
систему трёх обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка и начальные условия:
для определения трёх функций c^Cl) (<*=JA$). в силу
свойств функций V*tt) и Аи (qit qZi(f3)^^V)n^bUQ части этих
уравнений суть непрерывные функции t9 ^itQt, % и имеют
непрерывные частные производные по переменным %>9л>9з' По
теореме 4 существует одно и только одно решение
удовлетворяющее уравнениям системы и начальным условиям.
Таким образом, физическими компонентами скорости точки м
её начальным положением уравнения движения точки однозначно
определяются,
В частности, если обобщенные координаты совпадают о
обычными декартовыми координатами: %с? Я* №'12.$ >
коэффициенты Ламе обращаются в единицу h^= i (с(*12,3) и
система дифференциальных уравнений распадается на отдельные
уравнения, которые интегрируются независимо друг от друга, как это
проделано в § 6.
4°. Вычисление ускорения точкг.
Вектор ускорения в базисе криволинейной системы
определяется следующим разложением
Найдём выражения для его физических компонент. Согласно
(IT .12) и (II.6) инеем
Обратимся теперь к A2.3). Поскольку производная щ^
есть функция только обобщённых координат, то скорость будет
функцией обобщённых координат и скоростей: У*V#/,?? ^,?/,?2'%)
- 85

Гчфференцируя A2.3) по у получаем
dV ^ эг г>4 ^ г>Е * г>Г A2.9)
- Г — — - У" — ^ - — >
т.е. производная от вектора скорости по обобщённой скорости
равна производной от радиуса-вектора по соответствующей
обобщённой координате. у- , ^-
Вычислим теперь производные — и ~гг( )•
ZXfe dt \ t>(fe I
*Я**Т &9*д9* % *di *?* ~? *Ы*9* Ч*
сравнивая эти равенства, находим
ЗУ - A- AL (**Ш), A2.10)
т.е. дифференцирование радиуса-вектора точки по времени и по
обобщённой координате можно менять местами.
Возвращаясь к A2*8) и опираясь на зависимости A2.9) и
A2.10), вычислим значения выражений, входящих в квадратную
скобку; после очевидных преобразований будем иметь
у. Я--у- ^-- — AЩ - — Л
V ^L?L-v EX..2- vv - * / v*)
' dt г>9*' Щл'н* & ' *?* ( z I'
Таким образом, физячоскмэ компонент jcropma* получаются
в следующем окончательном вядо:
o*-L\A. *-(?)-±./If)] (+'¦*•& («.in
°* Aj di Эф/ г > tqj * Jj ^
- 84 -

Итак, для вычисления физических компонент ускорения в какой-
либо ортогональной произвольной оитеме координат требуетоя
анание выражений в этой оиотеме коэффициентов Ламе и квадрата
скорости.
Беря выражение квадрата скорости череа фиаические
компоненты по формуле A2.5) и выполняя указанные вA2Л1)
дифференцирования, найдём* что компоненты ускорения определяются черев
компоненты скорости равенствами
1 У /j& -V?V*- 2?*V*) ***). A2.12)
Lr\*l, As + *9+ W
По аналогии с обобщёнными скороотями вторые производные от
обобщённых координат по времени,т.е. величины: ^ , называются
обобщёнными ускорениями. Если взять представление для квадрата
скорости через обобщённые скорости по формуле A2,5) и
подставить в.A2*11), то после очевидных операций найдём явные
выражения физических компонент ускорения через обобщённые
ускорения
I ft
Из A2.12) и A2ЛЗ) видим, что зависимость между й^иУ^,
а также между <?_ и <f^ » криволинейных координатах более
сложная, чем между соответствующими величинами в декартовых
координатах.
иодуль ускорения в ортогональных криволинейных координатах
определяется выражением
В частном случае, когда система координат прямоугольна
декартова, ^Х^(^а,5),К^( (<t*l*.S) я формулм A2.I2)t(«,I3)
дают значения
совпадающие с ранее полученными выражениями A6.17).
- 85

В цилиндрически! координатах Я/Л^'А^*"'» Y */ *Р * ** •
Поэтому простое вычисление, проведённое о помощью формул
A2.II)» даёт для радиального, Треневереального и осевого
ускорений следующие значения
ар*а*шру91ь a *a**j>9'&j>*, aj*a**i. A2.1*)
Уодуль же ускорения будет равен
а . ]/(р реУ>(рЭ+2рд)* >!*• .
A2.16)
5°. Определение уравнении движения и скорости точки по
физическим компонентам её ускорения и начальному состоянию.
Пусть заданы физические компоненты ускорения точки в
криволинейных коорлииатах^,^.^, как непрерывные функции времени;
rtj^.-a^J Ы-iXi) и задчно начальное состояние точки,т.е.
в начальный моминт вриимш и остны обобщённые координаты и
обобщённее скорости:
при hO% Ъ<°)--%,%(°)^? (+№). <12-17)
Тогда равенства (!2—5), :т писанине в виде системы
*!Ь-А M*U*) (I2.18)
d{ -ч+ J
ирьдстпьлньгг собой нормальную систему шести дифференциальных
урз:тНини»; 01 носитолыю аести функций ?*»?* (^-12.5)
Правые ча-:ти лих урнвноний являются Функциями, непрерывными
но n<?puufriiiuM /, (fa 9<ftl Ы*12.Ь) и имеющими непрерывны*
!1|''2изн!1^ш;е по litptJMCHHUM fa > 9*с ^ i2.$) 9 (в атом лунк-
ie ii^iiibib^j'i;'; -%.н o;/iuei!TBCH'..iii(. непрерывных третьих производных
у 3*!bucuMu:;Ti!:i :ro Xo (ft .fa.%) (** i2 Ъ). )
Но т» fjjnjii'j '* суЫ1:'*тьуит единственное ришение сист<>иыA? 18)
9* 4Ji] • 'q+'-bju ы ¦"¦*>- (i2.i9)
>i. .ii^(;Tb.'}.rtiou;i»« начилышм условиям (IMV),
- 86 -

Первые три равенства реиения A2. Г9 ) представляют совою
уравнение движения точки, а последние три в оилу A2.4)
определяют физические компонеты ек рости.
Таким образом, ананио ускорения точки в любой момент
времени и ис на1. :Льиэго состояния позволяют найти скорость
точки и уравнения сё движения» дометим, что если эта задача в
декартовых координатах сводилась к крчдратурам, то её
ранение в криволинейных координатах требует интегрирования
системы уравнений.
6°. Движение? кораоля с постоянном углом пеленга.
Рассмотрим следующий пример.
Пусть корабль движется так, что
угол пелеяга-угол между
направлением скорости и направлением
на некоторый неподвижный центре*
сохраняется постоянным и равными
Определим в полярных коо[Ринатах
траекторию корабля, принимая его
эа материальную точку М .
Полюс О примем ее начало
координат. Считаем таиже, что при
9*о f РЛР. tor.a).
Пол-мим дифференциальное уравнение траектории корабля.из
фигуры 21 видно, что отношение радиальной м траиоверсальной
скоростей равно котангенсу угла у$:
Спираясь на представления компонент скорости в полярных
координатах и выражая угол р черев угол <* , получим
условии
с учётом которых предыдущее равенство принимает вид
- Я7 -

Это ооотношение и представляет собою дифференциальное
уравнение траектории корабря. Разделяя перененные и
интегрируя, последовательно получаем
^i-cta* d9 9 tnp х- OctjJL * hC,
где о «произвольная постоянная. Учитывая условиер/9л(> *рщ%
находим| что поотоянная имеет значение .с =ро.
Подстановка значения постоянной в предыдущее равенотво и
последующее потенцирование позволяют найти уравнение
траектории корябля в виде
-pefo«/
Траектория есть спираль. При 0<<*<'?**tyJ>o> р<рй
это-вакручивающаяся спираль; при %<<* <Я* ctyd<o,р>рй -
спираль раскручивающаяся, при л -g ,<Аа<1*о и р •Д
спираль вырождаетоя в окружность.
Разрешим теперь уравнение траектории относительно
полярного угла, получим
Отсюда видно, что при d-c или ***$ > taA'O
и 9 'Оу т.е.спираль вырождается в прямую, проходящую
через неподвижный полюс О .
Таким образом, при движении корабля о постоянным углом
пеленга траекторией олу&ит закручивающаяся или раскручиваю-*
шаяся спираль. При специальных значениях угла пеленга эта
спираль вырождается либо в окружность, либо в прямую линию»

rim Hi ктмпшintvm пн«
В яоатоящеД гдояе будут ряоояотроям урявяеяяя двяаеяяя
твёрдого тодо, яодояоям ояоообм оярмодояяя ояорооте! я уо-
яорояя* его точок, деяя реодячимо яредетявдеяяя нореяояеяяя
тодо я иоученя чеотяме одучоя ого дввяояяя*
5 13. УВМИШ МНИМ ШВЮГ9 ПИ1 1ГС И1И>
Шадоядм метода оярододеяяя яодояояяя одного твёрдого тодо
я ого точек отяооятедьяо тодо оточётя в яябой яояоят временя.
Ряоояотряя двяяояяо
твёрдого ТОЯЯ ОТЯООЯТОДМО ОЯО-
JttMtf ОТОЧёТЯ t*i***s « ВН~
яояям, яяяяо яодячяям я в
комом чяояе ядяо яядя»«ддя
оврододояяя водоюяяя тояя
отяооятедвяо ото! ояотош»
ВДярято яодячяям дм
оярододеяяя яодояечяя тодя
яояяо мяотммя овоообдмя* Во*
ябодее рдояроотрояёяям! яя
яях ооотоят в ояедуяяея*
свяжем о тОлом вовомогятояв-
ну© ярямдоодвяуя деяяртояу
ОЯОТОЯУ КООРДЯЯЯТ tyjfglj ,
вяяяеяме веятор JOMpef
О0ОЯЯЯЧЯМ ЧОРОО *4t*$t *>j *
Начало этой сястемы совпадает о яеяоторой точяой О тем,
яяяшяемо* яоямоо», я её ося вое время яроходят в тодо черте
одяя я то м точж* Сяотемя яооядяяят 0%4Чйи ДДяяотоя
о теяом, яяя9 яяя о* говорят, совутопуст тсау в ото
я поэтому её вяямяямг яодвяяяо! яяя сояутотвтое!
снсгемой. Подояеяяе тояя отяяоятяявяо ояртомя оточётя 0*4*ш*ъ
будет, очеяядяо,
8Т0Я СОСТОЯВ
дача рояаотоя сяодуяяяя обряяоя:
тедьяо сяотомя отсчёт* омаедяртогея ого яяя*
я оряеятаяяя тряоцря ih *t, *j в то! яе ояотояе
определяется угяеия ЭЯдера у*К&.$ , яяя это Омяо шяояояо в § 10.
- 89 -
¦яг, 22,
*Г'*1>*$

(ом.фиг«22). Таким образом, шесть параметров
определяют положение сопутствующей системы координат, а
следовательно, и самого твёрдого тела относительно системы
отсчёта. Эти .величины называют обобщёнными координатами
твёрдого тела* Обратно, если задано положение тела, то,как легко
видеть,его обобщённые координаты однозначно определяются.
Поэтому между положением тела и его обобщёнными
координатами существует взаимно однозначное соответствие.
Число независимых параметров, определяющих положение тела,
называется числом его степеней свободы. Из предыдущего ясно,
что твёрдое тзло обладает вообще шестью степенями свободы.
2°« Угвнения движения твёрдого тела.
При движении твёрдого тела его обобщённые координаты
меняются со временем:
С другой сторону, если эти функции известны, то положение
тела будет определено в любой момент времени. По этой
причине зависимости A3.2) называют уравнениями движения
твёрдого тела.
Относительно функций A3.2) будем предполагать, что они
дважды непрерывно дифференцируем*;. Смысл этого требования
для первой тройки функции состоит, как это было выяснено
ранее, в существовании скорости и ускорения полюса, а для
последней тройки функций будет выяснен в дальнейшем.
Уравнения Хи0^^/(О (<*=11.Ъ) определяют движение
полюса, а уравнения ^^@ Ы*12щ5) определяют
вращение тела вокруг полюса. Отсюда ясно, что произвольное
движение тела можно рассматривать как движение вместе с
полюсом и одновременное вращение вокруг полюса.
Полюс в теле выбирается произвольно. Если перейти от
точки 0( и точке О* , то уравнения движения полюса, вообще
говоря, изменятся, иио различные точки тела, движутся вообще
по-разному. Что касается вращений тела вокруг различных
полюсов, то оказывается, что они будут одинаковыми.
Именно,имеет место теорема:
- 90 -

вижным осям
Теооома б. Вращательная часть движения твёрдого тела не
зависит от выбора полюса.
Доказательство. Возьмём в
теле два полюса <?' и О0
Снабдим штрихом вое величины,
отнооящиеоя к полюоу О1 и9
анало ично,двумя штрихами -
величины, относящиеся к полю*
оу 0й . (фиг.23).
Оси </xJ также» как и ооирЧс'
проводятся параллельно келод-
и, следовательно, они всегда параллелыш
Друг другу: при любом t , о?** I о'л* (<**12.з)<
Что касается сопутствующих систем координат, то в
некоторый момент времени они могут направляться в геле произвольно*
во все же другие моменты их ориентировка зависит,от движения
тела. Пользуясь этим, в начальный момент времени направим
их параллельно друг другу:
при t-U &%'d go'fl (d*W).
Тогда, так как сопутствующие системы кеизменио связаны о
телом, они останутся параллельными друг другу, и в любой момент
времени:
при любой t О'С И 0% (с( - IZ.3).
Соответственно атому будут параллельны и линии узлов о'Н НОМ.
Такиы образом, одноименные углы Эйлера для разных полюсов
равны друг другу при любом t:
как углы с соответственно параллельными сторонами. Теорема,
таким образом, доказана*
3°. Уравнения движения точек тела.
Уравнения движения твёрдого тела позволяют установить
уравнения движения любой его точки.
Сопутствующая система координат неизменно связана с телом,
поэтому тело в этой системе покоится. Это значит, что
координаты fj^.fj любой точки М тела в системе °%Я9Ъ)
- 91 -

остаются неизменными во все
время движения. Задав тройку
чисел$itf2,f5, определяем
некоторую точку тела.
Таким образом, сопутствующая
система координат позволяет яе
только устанавливать положение
тела в пространстве» но и
определять, или, как говорят,
индивидуализировать точки деда.
Возьмём некоторую точку
М(ЪЛж,Ъз) мда и установим её
уравнения движения. Обозначим
через риг радиусы-векторы точки М в сопутствующей
системе и система отсчёта, а через t# -радиус- вектор полюса.
Тогда ив треугольника дом (фиг.24) будем иметь векторное
уравнение движения згой точки в виде
Для получения координатных уравнений движения точки,
представим вое входсщие в A3.3) векторы в базисе системы отсчёта»
имеем, очевидно,
ы. «* р
Вектор р представлен в базисе сопутствующей оистемы, так
как точка М задается координатами fi#J?t|, ъ **ой системе.
Чтобы получить разложение и этого вектора в системе отсчёта,
воспользуемся представлениями для базисных ортов «у* но
формулам A0.8):
в которых элементы у -матрицы выражаются через эйлеровы
углы формулами A0.9). Тогда будем иметь
Подставив полученные выражения для векторов в формулу A3.3) и
имея в виду, что равные векторы в одном и том же базисе имеют
- эг -

равные компоненты, найдём зависимости
Х* *XJ(i) + L *Д^ (*) &****) • (".5)
В силу уравнений движения тела A3,2) и формул A0.9)
величины Х^ и Хр^ (ot.jb'iz.i) суть заданные функции
времени. Поэтому для точки ff/,?а,?3) Фуикдии A3.5)
представляют собою координатные уравнения движения.
Е вышеприведенных рассуждениях координаты td, $z f3 могли
быть любыми величинами, поэтому формулы A3.5) представляют
собою уравнения движения любой точки тела.
Заметим» что в уравнениях A3.5) координаты fc/,^.^ входят
линейно. В этом факте отражается своеобразие твердого тела:
если бы тело было способно деформироваться, то как
показывается в механике сплошных срод, зависимость между коорднната-
ми Х1>х2>хз и ?i-?2<?j <5ш1а <*ы« вообще говоря, произвольной.
**°. Аналитическое доказательство теоремы 6.
В независимости функций fad) fc'lZ.V or выбора полюса
можно убедиться и аналитически. Будем в последующем
рассмотрении опираться ва уравнения движения точки тела.
Бели ва полюс взята точка О , то уравнения движения
любой точки Aftfjjj.fj) имеют, согласно A3.5), вид:
/ , Of О' •',
В частности, для «очки о (^ , tt , $s ) они будут вида
Возьмём теперь ва полюс центр о' и обозначим через Ъ> fa и
fliа соответствующие ему сопутствующие оси, эйлеровы углы и
f -матрицу. Тогда в соответствии с иолученяыми результатами
уравнения движения любой точки M(tp) аналогичны A3.ь),т.е.
*-*?*? *1*1+ <*•"¦*>- <13-8>
А
Получим зги же уравнения другим путём. Вычитанием равенств
A3.7) и A3.6) находим, что
*+•*;''?(Ь-9/)Уъ* <«lU)- A3-9)
'-93-

Примем* что в качестве сопутствующих осей О1^ ??' *3 взяты
оси, параллельные прежним ося*0МлЪА.ф Тогда на основании
формул преобразования координат ?/"$/'*}> (fi*l*,*)
и уравнения A3.9) можно представить в форме
*«*/¦? *,V r°"a3j * A3Л0)
Сравнение уравнений A3.8) и A3.10) показывает, что должно
быть
В предыдущих рассуждениях М была произвольной точкой
тела, следовательно, её координаты %р -произвольные величины.
Поэтому из полученных уравнений вытокает, что должны
равняться нулю коэффициенты при координатах, т.е.
Таким образом, f -матрица не изменяется при перемене полюса»
Но эйлеровы углы по f -матрице однозначно определяйся,
поэтому они также не зависят от выбора полюса
§ 1^. Скорость точки твёрдого тела.
Установим формулы, позволяющие по уравнениям движения
твёрдого тела определять вектор скорости любой его точки.
1°. Формулы Пуассона.
Рассмотрим базисные векторы сопутствующей системы
координат *Х'^2'**- и°ДУли их равны единице, но направление мс
мнется со временем за счёт вращения тела вокруг полюса.
Следовательно, эти векторы суть функции времени **-^ЛУ #ж4*.3/.
Установим выражения для скоростей изменения этих векторов.
Скорость изменения вектора ^, определяемая производной от
•вектора по времени -$*, есть снова вектор. Разлагая его в
сопутствующем базисе, будем иметь формулы
л
dt L{ *p /*
- Щ -

где через оО^ обозначены компоненты производного воктора.
Умно.лая скалярно обе части этого равенства на ?- и
пользуясь условиями ортонормированнос?и баэиоа; ^'V^r»
находим для коэффициентов с*)^ следующие выражения:
А
*" dt *
Нетрудно убедиться в тон, что коэффициенты A4.2) обрму-
ют антисикметрическу» метрику. Для этого достаточно
продифференцировать по времени равенстве ^'*^"<^г.
Выполняя дифференцирование, получаем требуемые ооотяоиевия»
Следовательно, у этой дфтршад только три независимых
ненулевых компонента ша , «^, и)и.
Рассмотрим вектор
компоненты которого совпадают с независимыми компонентами
со ~i -трицы. Вектор w называют угловой скоростью тела»
Угловая скорость характеризует темп вращения тела вокруг
полюса и является характеристикой движения тела в целом.
Согласно определению угловой скорости имеем зависимости
л л л * л л
<W ***** * ******
Эти три равенства могут бить представлены в виде одного оее*-
нояеиия, содержащего величин о буквенными индекса**
Обратными им будут зависимости
С помощью вектора со формулы (I*.I) можно представить в
компактной форме. Действительно, подставив выражение A4,5)
в A4Л), будем иметь
ж ? V •> hk °у ***¦*•
Р* - 95 - ^

С другой стороны, разложение элемента сопутствующего
базиса ** атом же базисе имеет вид:^ а^г Л <?^ ^т , следова -
тельно, компонентами вектора ^ будут величины <?? • Имея
это в виду, можем представить векторное произведение о7* Кх
в виде разложения
Сравнивая между собою полученное два равенства, находим, что
должно быть
А
Полученные формулы называют формулами Пуассона. Эти
формулы и определяют искомые скорости изменения базисных векторов
сопутствующее системы координат,
2°. Угловая скорость тела.
Рассмотрим теперь более подробно угловую скорость '"ала*
Установим вначале выражения её компонент в сопутствующей
системе координат.
Векторы сопутствуй!!"*го базиса и скорости их изменений
могут быть выражены в с.лу A0.8) через у -матрицу по
формулам л
* ъ — ¦• at д
Отсюда и из представлений A4.2) теперь находим, что элементы
и) -матрицы выражаются через произведение производной по
времени от у - матрицы на саму jf -матрицу в виде:
aL/f; JU Ъч мк' и* = ^ ?д У*т д* = L* Ь* L* •
В силу формул A4.ч) через указанное произведение матриц мо^ут
быть выражены и компоненты угловой скорости тела в
сопутствующей системе:
- 96 -

Производя перемножение матриц, находим после проотмх, но
несколько громоздких вычис ений, следующие значения компо -
нент:
Собирая вместе полученные результаты, будем иметь
<*t * <tt **% *** - h '*?, A4.8)
Полученные формулы называют кинематически л формулами
Эйлера. Они определяет компоненты угловой окорооти тела в
сопутствующих осях по заданным уравнениям вращения тала вокруг подюоа.
Так как функции ?rt' (*а1*.э) дважды непрерывно
дифференцируемы, то компоненты сЬ+ будут непрерывно
дифференцируемыми функциями времени.
Ранее было остановлено, что вращательная часть движения тела,
характеризуемая эйлеровыми углами» от выбора полюоа на аавиоит.
- 97

Так как в силу A4.8) угловая скорость тела определяется
эйлеровыми углами, то она также не зависит от выбора полюса.
Установим теперь важное представление угловой скорости
тела через угловые скорости прецессии, нутации и собственного
вращения. Подставив значения компонент A4.8) в формулу
A4.3), получим после очевидных преобразова:.я!1
соотношение
^/^#*^^ <г A^9)
Нетрудно убедиться в том, что коэффициентами гри ifi и tf?
стоят орты соответственно третьей неподвижно;; оси и линии
узлов. Действительно, в силу (IO.IO)
и подстановка сюда значений элементов jf6j (б*1Л,з) поA0.9)
позволяет найти для орта &3 выражение, которое совпадает с
коэффициентом при ift в A4,9):
* * Sin. if S07i/3 ti? * 3intf& C0Sif3 <, * ccX!t& aT4 ,
Обозначим,
далее»через л орт линии узлов
Off. Так как этот дехуор
принадлежит плоскости^,
то для него справвдмшо
разложение (фиг.25):
nzeotif^+eos^j+fy***
Это разложение
совпадает с коэффициентом при
% * A4.9).
Фиг.25. Таким образом,
угловую скорость тела можно представить в виде
а ш^73 ч?л *+s23 ' Z 2Л . (w.io)
- 98 -

Векторы ^""f/.,.^^ >'а>3я<%'*3 называются со-
ответ твенно угловыми скоростями прецессии, нутации и
собственного вращения. Эти векторы направлены вдоль осой, вокруг
которых изменяются соответствующие эйлеровы углы.
Таким образом, формула A4.10) утверждает, что угловая
скорость тала равна векторной сумме скоростей прецессии,
нутации и собственного,вращения (фиг.25).
Выражение A4.10) угловой скорости тела может быть
использовано для получении её проекций сОл на неподвижные оси.
Найдём для этого выражение ортов п и ^в неподвижных осях.
Вектор л принадлежит плоскости #,,^, поэтому
K^OStf^^COS^^l^-COSif^ tJtniftl^L% A4.11)
Для орта ^з имеем разложение A0.8):
*3*ZLy 2-sin^scnifjifCos^scnitiJit *я*?й<,. A*дг)
Из формул A4Л0)-A4.12) теперь находим
Но в системе отсчёта угловую скорость можно также предста -
вить в виде и) - Т* со^ /^ . Отсюда в силу единственности
разложения вектора в одной и том же коордииатном базисе
следуют формулы
^-?^?^? *?«*?,
^-%SinifAeosft^uSinifi4 (I4.I3)
дающие искомые выражения проекций угловой окорости на
неподвижные оси. Эти формулы, также как и формулы A4.8),именуют
кинематическими формулами Эйлера. Из A4.13) следует, что
компоненты *?<. , подобно компонентам «^, будут непрерывно
дифференцируемыми функциями времени.
- 99 -

С помощью кинематических формул A4.8) или A4,13) находим,
что модуль угловой скорости имеет значение
^ об
Что касается направления угловой спорости, ^о его можно
установить либо относительно подвижных, либо неподвижных осей
координат соответственно с помодью формул
А
cosfa^)* — , cos(cc.1l+) = ^- ***из). A4.15)
В заключение отметим, что угловую скорость можно вводить
только для абсолютно твёрдого тела. Бели же тело способно
деформироваться, то можно говорить только об угловой
скорости вращения малой окрестности каждой его точки. Для окрест -
нocfей различных точек эта скорость будет вообще различной*
3°. Определение вращения тела по заданной угловой
скорости и начальной ориентации.
Пусть угловая скорость тела задана как непрерывная функцъл
времени, напушер, твоими компонентами в неподвижных осях:
<&-<&М (**1Я.Ъ) и,кроме того, задана начальная ориентация
тела относительно иолюса начальными углами Эйлера: <?^г<&°
(d'i?,b) ь Покажем, что по этим данным уравнения враще ия
тела полностью восстанавливаются.
Разрешив формулы A4.13) относительно производных, найдём
зависимости
qfD-fafOtot-ilWHfi] cty% ,
cO/i)c?>ffd + 0t (t) Suift ^
[tq (t)Suiq - <*л (i) cor (ft ] torec tfz t
- 100 -
db
dt
di
db
di

которые можно рассматривать как нормальную омотеыу трёх
дифференциальных уравнений о*, юоителько функций f|/W,<|fW»^W>
Правые части этих уравнений суть непрерывные функции
переменных *></<.</л,</3 и по переменным <t.</t,tfs имеют непрерывные
частные производные Соотнонения ?^"<?* и*МЛ) по
отношению к этой системе являются начальными условиями• По
теореме Ч задача Коши для этой оистемы имеет ранение и оно
единственно. Это значит, что существует единственная тройка функций
^*<?rtJ ич.г.ь) > удовлетворяющих уравнениям оистемы и
начальным условиям.
Таким обрезом, заданием угловой скорости как непрерывной
функции времени ч начальной ориентации тела вращение тела
вокруг полюса полностью определяется.
4°. Скорость точки тела.
Обратимся теперь к задаче определения скорости любой точки
Ml$iW) тела. Дифференцируя по времени векторное уравнение
движения этой точки i - *•+/>, найдём
di ?(*,_ dp_
dt * di Г dt '
Согласно определению скорости первые два члена равенства
представляют собою скорости точек М и О тела:
dt ~ V dt ~V*
Что касается последнего члена, то с помощью формуй Пуассона
Aкб) он может быть представлен в виде
dt dt^***J L+^dt Tu
При выполнении дифференцирования учтено, что координаты^.fa^j
точки М в сопутствующей системе со временем не меняются.
Таким образом, подотавив значения проиаидных в исходную
формулу, найдём, что окорооть точки тела имеет следующее
окончательное значение: _
у/жур+и>хр. (U.I6)
- 101 -

Выясним механически! смысл
членов, стоячих в правой части
равенства. Первый вектор V#
представляет собою скорость полоса*
Разложим, далее, радиус-вектор^
точки на_две составляющие
РЛР+ ¦ # , *з которых рш
направлена параллельно угловой
сг>рости, а составляющая ? -
перпендикулярна ей. Тогда
второй вектор будет равен
Ц}лр»а>жр +a>xR - cbxR
Отсюда ясно, что он представляет собою скорость вращения
точки вокруг вектора угловой скорости, проведённого через полюс
(фиг.26). Скорс :ть и)*р иазывают скоростью вращения вокруг
полюса.
Таким образы, формула (H.I6) выражает результат,
составляющий содержание следующей теоремы.
Теорема 7. В произвольном движении твёрдого тела окорость
любой его точки равна векторной сумме скорости полюса и
скорости вращения вокруг полюса (фаг.26).
Установим теперь выражения проекчий скорости на подвижные
и неподвижные оси координат. Умножив обе части равенства(I*Л6)
иа орт ^, будем иметь
V «V*'Z> «> t. <*•**<*). (U.I7)
Эти формулы определяют проекции скорости на подвижные оси.
Входящие сюда величины ">9 определяются формулами A4.8), а
проекции окорости полюса-paвенетвами
Если примять во внимание соотношение />•*-** , то
вектор окорооти точки можно представить в форме
V - V* * (i *.) О*.19)
Отсма умножением обеих частей равенства на орт ^ получаем
- 102 -

проекции скорости на неподвижные оси в виде
<гт
По уравнениям движения тела прение части формул A4.17) и
A4.20) гполне определяются. Тем самим определяется скорость
каждой точки тела по её проекциям хибс иа подвижные, либо на
неподвижные оси.
Итак, в формуле для скорости точки твёрдого тела
содержатся два члона. В механике сплошной среды показывается, что для
деформируемого тела к этим двум члеяам прибавляется третий,
выражаюций собою скорость деформирования. Однако в последнем
случае эта формула применима не по воему телу, а к малой
окрестности ого точки, принятой за полюс.
5°. Свойства скоростей точек твёрдого тела.
Скорости точек твёрдого тела обладают рядом интересных
свойств. Эти свойства являются следствием того
обстоятельства, что расстояние между точками твёрдого тела не изменяются
при его движении. Они могут быть выражены в вьде следующих
теорем.
Теорема 8. В произвольном движении твёрдого тела проекции
скоростей любых двух точек тела яа ооелиняющую их прямую
равны друг другу.
Доказательство. Пусть А ш В
любые две точки твёрдого тела.
Обозначим черев УА и Va ix окоростн, а
через ? -орт прямой Ав (фиг.27).
Бе,я точку А за полюс, можем
получить для скорости точим 3 в
соответствии с формулой A4.16) следую-
"&иг.27. «ее представление:
Умножим скалярио обе части этого равенства на орт ? .
Тогда получим _ _ _ _ — ч
Поскольку векторы « и Л параллельны друг другу, смененное
произведение обривается в нуль, и формула прииимплт вид
Паленное ряя^нгтяо доказывает теорему.

,еорема 9. В произвольно* дважаааа твёрдого тала проекция
скоростей любых двух его точек иа направление угловой
серости тела равны друг другу«
Доказательство. Пусть А ж В любые два точки твёрдого
тела. Обозначив через УА и Ve их скорооти, а через 5*
-единичным вектор направления угловой сирости телп (фиг.27).
Тогда, вэпв точку А за полюс, можем записать для скорости точки
В выражение - - - —
Уё*Ущ +а)*АЬ.
Умножим скалпрно обо части отого ^авааства на орт ##; будем
иыет" 5>-у:^'Ул + &(**лв).
йо:;7орио>#к # коллинсарны гчуг другу, воэтому смеаанное про-
иззелокие и>9> (<ЬхАВ) равно аул»; скалярное же
произведение вектора иа орт равно проокщш этого воктора на направление
орта, так что в итога приходим ж соотношению
которое и доказывают теор«цу%
6°. Скольжонно» качен иа ж аадцгиме тела при Его движении
по повеыдос^а ДОТага *вла.
Пусть некоторое тверда* там* А движется по поверхности на-
подважмого твёрдого там 6 црваамольным образом» Рассмо-пмм
спеди&лыюе драдстпввамаа мшаикармого перемещали* тела за э*#-
меит времен* Л .
Возьмем в тала А аа оелюс ту
тачк? О , в которой оек> в данный
мамадт касается тала В . Тсгда
аа жромя dt перемещения любой
точки М(р) тела будет определят!
оя выражением
di-Vcti *V.cU + ctcUtp.
- - - - -, Пусть тела ограничены гладкими
/В Фиг. 28. ^^^ поверхностями. Обозначим чараа *
общую касательную плоскость к телам в точке О Очевидно» что
вектор V,d{ принадлежит этой плоскости. Разложим далее вектор
угловой скорости тала на два составляющие
-104

не которых вектор o>t принадлежат касательно! плоскости, а
вектор и)л -псрпомдикуля, jh к ней*(фиг«2в). Элементарному
перемещении точки ti можно тогда придать вид
di%dt *u>dtxp+riHdt*p. (Н-гЯ
Введем теперь для некоторых движений тела А специальные аа-
именования. Норемыаение тела пораллольноо касательной плоскосга
при неизменной ого ориентации в пространстве называет i (ольже ~
наем. Вращение тела вокруг оси * , принадлежащей касательно!
плоскости, называют кычением. Наконец, вращение тела вокруг оса *,
перпендикулярной касательной; плоскости, называют вершением.
Обращаясь к J-ормуло A4.23), видим^ что в выражении для
элементарного перомещения_точки вектор \di обусловлен
скольжением тела со скоростью V# ; вектор 2^(Илр -качением тела с
угловой скоростью и>я ;_наконец, вектор с#яШ жр -верчением тела с
угловой скоростью а)я.
Таким образом, произвольное перемещение одного тела при его
движении по поверхности другого в окреотности каждого момонта
времени складывается иэ скольжения, качения ж черчения.
Отметим, что рассмотренное представление элементарного поре*
мощония твердого тела играет важную роль в динамике твердого
тела при исследовании вопрос о различных видах г рання.
§ 15, Винтовые аксоилы.
В этом параграфе будет дала геометрическая трактовка проив -
вольному движеи в твёрдого тела,
1°. Винтовое движение.
Движение твёрдого тела называют винтовым, если оно
вращается вокруг некото! )| оси я одновременно окодьзвт вдоль этой оси.
Винтовое движение совершают буравчик, журуп н т.д.
Пусть о> -скорость вращения тала вокруг винтовое оси Lt
а и - скорость, скольжения вдоль оси L .При винтовом
движении тела скорость любой его точки М складывается на
скорости скольжения и вдоль оон L , одной и тей же для
воех точек, н скорости вращения вокруг оон а>*# , перле и дину -
л яркой юн /, н различной для различных точек, так что
- 105 -

а»
В
полная скорость точки
М равна (фиг.?9):
Бели направления
векторов со 1л и
совпадают (сои >о), то винт
называют правый винтом;
если же направления
Фиг,29. этих векторов
противогазы <0) f то-левым винтом (фиг,29).
Величина A=2f ^ называется шагом винте. При постоянных
я г*- шаг винта, очевидно, представляет собою перемещение
вдоль его оси за время одного оборота.
Рассматривают также величину р- ~г -параметр винта.Па-
фваютр винта связан с его шагом очевидным соотношением к- 2$Р-
&ся* скорость скодьжония вдоль оси I* отсутствует, т.е.
«*«*, вивтовуг ось называют осью вращения* Очевидно, ско-
рост всех точек оси вращения равны нулю,
2е* Мгновенная винтовая ось тела.
Рассмотрим произвольное
движение твёрдого тела.
Скорость любой его точки
•%i П/ N\l4» \ определяется выражением
V = V0+a>xp ._
Скорость полюса Vc и
угловая скорость тела со
вообще произвольно
ориентированы друг относительно
друга.
Определим
геометрическое место тех точек N ,
скорости которых
параллельны угловой скорости тела:
v */>*>.
Фиг.ЗО.
Моввачим через р радиус-вектор точки Af относительно
106

полюса О . Тогда для определения р инеем следующее
уравнение _ _
pa> = V0 + u>*p.
После векторного умножения обеих частей этого равенства на
вектор угловой скорости приходим к соотноиению
puxci =3xyo +и>х(Л>хр).
На основании известных векторных соотношений
pc5xci*ot Ях(йхр)жсд(а>/>)~ри>\
поэтому предыдущее равенство принимает вид
о* а>*\ + и>(и>р) -рей*.
Отсюда находим
_. A-^-rV5' A5Л)
сор w
W М=-?Г~ " произвольный скалярный параметр. Уравнение
A5Л) есть векторное уравнение прямой Л 9 проходящей чяреа
точку Р с радиусом-вектором А*—^» * направленна
вектора со (фигЛО),
Таким образом, точки тела, у которых окорооти параллельны
.угловой скорости тела, располагаются на прямой линии.
Уравнение этой прямой в системе отсчёта имеет вид
**!«,*/>* Ч0+ -— шхуо t/иЯ. U5.2)
Прямой U можно придать определённый кинематичеокий смысл.
Возьмем за полюс некоторую точку >^*оои /• . Тогда окорооть
любой точки М .ела будет определяться формулой
V*V* +а>хр\ A5.3)
~" it — / - *¦ "'
где V*-окорость точки 1^,а Р ШЫ^М.
Разложим вектор р' на составляющею R вдоль ози Ь и
составляющую ?, перпендикулярную Ь :р *$+?. Тогда
ейхр' »5>л Q и формула A5,3) принимает вид
- 107 -

Здесь вектор V направлен вдоль
оси L , а вектор ">* R
перпендикулярен к этой оси (фиг.31), т.е.
скорости точек тела в данный момент
времени такие же, как при винтовом
движении j осью Ь . По этой
причине ось L называют мгновенной
винтовой осью тела.
Таким образом, произвольное
движение твердого тела в окрестности
каждого момонта времени можно рассматривать как винтовое
движение вокпуг соответствующей мгновенной винтовой оси.
Скорость скольжения V* вдоль оси I» по тоореме 8 равна
проекции на направление со скорости любой точки тела,
например полюса о , так что
" A5Л>
Оиг.31,
и=У -Ч,.о>° «¦
Следовательно, параметр мгновенного винта имеет значение
' СО оОг
A5.5)
Заметим,, что прь У* -О, т.е. при отсутствии скольжения
вдоль 1>7 последняя вырождается в мгновенную ось вращеип.
Скорости точек этой оси будут равны нулю.
_ В выражении A5.3) для скорости любой точки тела векторы
V* ца>*1 -перпендикулярны друг другу1 поэтому
r*z
>/***/?/*
Отсюда видно, что при Я-о% V=Vmin =v , т.е. точки тела,
принадлежащие мгновенной зантовой оси,имеют минимальную
скорость. Это свойство мгновенной винтовой оси является
характеристическим, то есть егс можно положить в основу определения
этой оси. Действительно, определим мгновенную винтовую ось как
геометрическое место точек, скорости которых имеют минимальное
значение. Для тех же точек минимальное значение будет иметь и
квадрат скорости. Последний определяется выражением
_ -xz
уary.y :(yo +coxp)(V0+a>xp)=V0 +2V, (w*p)<(«>*Р)
- 108 -

Так как
то квадрат окорост* можно представить в виде
Координаты точек, в которых величина Vх достигает
экстремума, определяются из уравнений
— :г(уох0)+г»$-2№<»лА)?и*о
(WIZJ) A5,6)
"* р р р- -
и имеют значения
Л г-» A
Ь - "US" *Р"л Л - Л* ^
Если умножить каждое из этих равенств на орт ^ и
просуммировать по индексу «? , то получим радиусы-векторы
соответствующих точек в виде
Полученное геометрическое место точек представляет собою
прямую линию, совпадающую с м.новенной винтовой осью U5.I).
Покажем теперь, что в точках этой прямой Vе имеет минимум*
Для этого достаточно установить, что в этих точках
квадратичная форма
эауг
определённая положительная. В самом деле, дифференцированием
по %* выражения A5,6) находим
4.% *,,,.'

Следовательно,
up
В точках прямой A5.7) справедливы выражения
ау/Щ1\/л «У <?•*?./*\ ts&.s«\
поэтому квадратичная форма A5.8) в этих точках не
отрицательно ; _
8десь Vp * составляющая скорости полюса в направлении р*,
перпендикулярном вектору со . Таким образом, эквивалентно
двух определений мгновенной винтовой оси установлена.
3°. Винтовые аксоиды.
Рассмотрим уравнения A5.1) и A5*2) мгновенной вигтовой
оси L в подвижной и неподвижной системах координат:
p*p(t,ii)* -~1—Ш*\A) +JUrt(*)t (I5.9)
i*t a.ju) = *M) + -tffi Ш*\Ю+рй($. A5Ли)
Коэффициенты 2.. и> сихуо9 ц> в 8тих уравнениях являются
непрерывными функциями времени. Поэтому прямая L с течением
времени будет непрерывно перемещаться как по отношению к
подвижной системе координат HL ?г ?3 , так и относительно системы
отсчёта;*,хх Д^ , описывая некитрие линейчатые поверхности S$
и Sx , называемые соответственно подвижным и неподвижным винт -
вым аксоидоы. Формулы A5.9) и A5.10) дают векторные
уравнения этих аксоидов. Чтобы получить координатные уравнения по -
верхностей ^ и 6Лу достаточно спроектировать их векторные
уравнения на соответствующие оси координат. Гюнно,
проектируя уравнение A5.9) на оси 0^ получим три уравнения
1%(^а7М^е^Н)^т*^м , A5Л1>
представляющие собою параметрические уравнения подвижного
винтового лксоида. Аналогично, проектированием уравнения A5.10)
- ПО -

на оси ох^ находим тройку уравнений
дающих параметрические уравнении неподвижного винтового
аксон да.
С помощью вводонных винтовых аксоидов можно дать
геометрическую интерпретацию произвольному дх :жонию твёрдого тела.
Эта интерпретация выражается следующей теоремой.
Теорема 10. Произвольное движение твёрдого тела можно
осуществить перекатыванием подвижного винтового аксоида по
неподвижному винтовому аксоиду с одновременным окольжением
вдоль их общей образующей мгновенной винтовой оси.
Доказательство. Подвижный
винтовой аксоид, являясь
поверхностью в сопутствующей системе
координат, неизменно связан о
твердым телом и движется вместе
с ним. Поэтому движение этого
аксоида в окрестности каждого
момента временя предотавляет
собою вращение вокруг мгиовен-
Фиг.32, ной винтовой оси L я
одновременное скольжение вдоль неё.
Чтобы установить, что при своем вращении подвижный
винтовой аксоид перекатывается по неподвижному винтовому аксоиду,
достаточно показать, что эти две поверхности касаютоя друг
друга вдоль всей общей образующей - оси X .С этой целью
вообразим некоторую точку И , движущуюся по аксог.ду Sx тек,
что она в каждый момент времени находится на оси L и
описывает траекторию &х . Относительно подвижного аксоида ^ эта
точка опишет траекторию ?? . За вреая dt точка Ы
переместится вдоль Rx на величину ЫЧ . Это перемещение
вкладывается из перемещения d\t относительно 5^ и перемещения d\A
вдоль оси I вместе о •?; (фиг. 32):
dx*J\t+d\. ("•">
Отсюда следует, что векторы d*,dit и d*i лежат в одной и
той же плоскости 5. Но векторы dt N dt^ направлены по
касательным соответственно к Rx и Ь, поэтому они определяют
- III -

касательную плоскость к Sx ; следовательно эта плоскость
совпадает с плоскостью S . с другой стороны, векторы <&i
и d%t% направленные по касательным соответственно к #j иI,
определяют касательную плоскость к ^ 9 следовательно эта
плоскость также совпадает с S . Таким образом, винтовые
аксоиды касаются друг Друга в точке У винтовой оси* Так
как № есть произвольная т:чка винтовой оси, то касание ак-
соидов происходит вдоль всей этой оси* Умножив обе части
A5.13) на орт Д , лежащий ь касательной плоскости S и
перпендикулярный к оси I , получим равенство
*РРф di * */>/>. d4' t
утверждающее, что при перекатывании ?; по <?х скольжение
в направлении, перпендикулярном к винтовой оси, отсутствует.
Теорема доказана.
§ 16. Ускорение точки твёрдого тела*
Получим формулы, позволяющие по уравнениям движения твёрдо*
го тела определять ускорение любой его точки.
1°. Угловое ускорение твёрдого тела*
При движонии твердело тела вектор его угловой скорости во*
обще изменяется,то ес*ь является функцией времени: й'СО@ .
Эта функция непрерывно дифференцируемая, так как компоненты
угловой скорости в неподвижных или подвижных осях, даваемые
кинематическими формулами Эйлера, являются непрерывно
дифференцируемыми функциями. Введём величину, характеризующую темп
изменений ">(t).
Рассмотрим годограф угловой
скорости. Воэьмъм два близких момента
времени t и t'*t+At . в которые
точка, вычерчивающая годограф 5.
занимает положения Р и_ /v
Обозначим через ci>*w(t)t a) *oi(i$) -
значения угловых с ороотей в эти
моменты*
Следовательно, aa промежуток времени At = t'-t угловая око*
рость теля получает приращение Ао> s со-с*% направленное по
хорде РР' годогрзфа л> (фиг.33). Отношение ^**^* называют
средним угловым ускорением за промежуток времени At .Среднее
- 112 -

угловое ускорение является» очевмжво, векторов, «шрввяеявым
вдо.ь хорды РР9 . Оно характеризует средний теин мшемевня
угловой скорости в течении время * М * Ооаятво, что чем
меняв At , тем точнее вектор Si характеризует истинны! темя ма-
менения & . Поэтому за угловое ускорение тела в момент t
принимают продел, к -которому стремится среднее угловое
ускорение при At~>-0. Обозначая угловое ускорение через ?* будем
иметь по определению
Ё^ (cm ^ или I , *?- • A6Д)
At^o *i ut
Таким образом, угловое ускорение тола есть векторная
величина у разная производной от угловой скорости тела по времени.
Так кок при At-+o направление хорды РР' определяет
направленно касательной к годографу а> в точке Р , то угловое
ускорение тела направлено по касательной к годографу его угловой
скорости (фиг.33).
Ранее было показано, что вектор угловой скорости ъева ревем
векторной сумме угловых скоростей прецессии, вутацвв м
собственного вращения (формула A4.10):
Установим аналогичное представление для углового ускорявши
Дифференцированием во времвм соотношения A6*2) получаем
Векторы
называются соответственно угловыми ускорениями прецессии,
нутации и собственного вращения. Выясним смысл_двух последних
членов в A6.3). На основании яредставлвния H^costf^t M*fd \
и формул Пуассона A4,6) имеем:
поэтому _ . Я ----.-
^л«^^л^«^,^*5дг^-^*«4*5вв^. A6.5)
- из -

Подстановка A6Л) и A6,5) в формулу A6.3) приводят к
следующему выражению для углового ускорения тела
6 «^ *St t?3 +*>/*{ +^гх«>д +ЯЛ х а>3. A6.6)
Сравнение этой формулы с формулой A6,3) показывает, что
закон сложения угловых ускорений тели сложнее, чем закон
сложения ого угловых скоростей.
Получки теперь выражения для компонент углового ускорения
тела в подвижных и неподвижных осях. Бе^я представление
угловой скорости в подвижном базисе сО^Ца^ /^ и дифференцируя
его во времени, найдём в силу A6Л) и формул Пуассона A6,6)
ссэдяоаовпе*
С другоя стороны» ъ noxBiysHgn базисе для вектора ?
справедливо представление ?*^4<а?< . Из этиг двух выражений для
? ея*до*% что должно быть
?**«1ф0*тщя углового ускорения на сопутствующие оси равны
производит до времени от соответствующих проекций угловой
окорости «а те же оои.
Scan воспользоваться кинематическими формулами Эйлере
A4.8)» to (I6.7) позволяют получить представления компонент
<^ черва углы Эйлера и производные от них по времени в виде
Эти же формулы могут бытр получены и из A6.6) путём
скалярного умножения на орты ^ • 6** %с ? frflts) и
использования выражений элементов JT -матрицы.
Чтобы получить компонеты углового ускорения в системе
отсчёта» возьмём представление л> в этой системе: «З'^'&'С •
После дифференцирования этого равенства по времени получаем
- 114 -

Отоюда инэ представления углового ускорения в неподвижном
базисе ?*2^??*л вытекает, что компоненты ^ имеют
вначения:
$i **>* WA, A6,9)
то есть, подобно формулам A6.7), проекции углового
ускорения на неподвижные оси равны производным по времени о.
соответствующих проекций угловой скорости на те же оси.
Формулы A6.9) и кинематические формулы Эйлера A4ЛЗ)
позволяют получить для компонент 4б представления*
аналогичные A6.8):
^Si^Wf^j^ I A6.10)
Представления A?Л0) следуют тажже_ из '16,6^, если это
равенство умножить скалярнс на орты ^: 4tr4*'^ (*•*•*&)
и использовать затем выражения через углы Эйлера адемеятов
Y -матрицы*
Итак, воли задано врадение тела вокруг полюса функциями
?*?^ (***•*$% *о угловое ускорение тела определяется
либо формулам*» A6*8), либо A6.10). Из этих формул видно,
что требование существования непрерывных вторых производных
у функций 4^tt) означает существование непрерывного вектора
углового ускорения тела.
Используя формулу A6.6), найдём, что квадрат модуля
углового ускорения тела имеет значение
¦ ?! ***** Ъ 'Ъ * ** 4-*«ft*j «"?•
Направление вектора углового уокорения относительно
сопутствующей оистемы и системы отсчёта определяется
соответственно формулами.
- 115 -

Относительно углового ускорения следует MMtmv, что агоф
как а угловую скорость, можно вводить только два абсолютно
твёрдого тела. Вела тело деформируемое, то можно говорить
об угловом уокореним только малой окрестности точка тела»
ибо окрестности разных точег вращаются по-рагиому.
2°. Определение угловой скорости а уражиемай врааекаа
тола по угловому ускорению в н^альиощу состоннаа врчекяя.
Пусть задано угловое ускорение тела как непрерывная
функция времени, т.е. заданы непрерывные функции ^-^ГО H'ttf
и,кроме того, известно начальное состояние вращения тела,т.е.
ВеЛМ<ПШЫ:*&<*"?•&@) *?# eV-ОД/.
Покажеи, что по era данным можно установить угловую
скорость тала и уравнения его вращения. Запаяем соотношения
A6.9) в виде
После интегрирования при начальных условяях ^tPf40U (*91>№
яаходвм компоненты угловой скорости в виде
а^ш \еф (t)dt * а)/ Ы*И.*).
р
Завасамостм u^.ti^d) у дая&ъмые этими формулами .будут
непрерывно дяДОеротируемыми функциями. Ранее было показало
(§ 1%, **3), что по угловой скорости и начальным айлерожым
углам ittoj'fZ Ы'1*.*) уравнения вращения тела ^*1бЛ/
(d*l*.*) полиостью определяются.
Таким образок, заданном углового ускорения тала и
начального состояния его вращения угловая скорость и уравнения
вращения тела определяются однозначно.
3°. Тооремо Рк вальс а.
Рассмотрим твердое толо, совершающее произвольное
движение. Ьоиьисы в тело произвольную точку М «положение котором
относительно полюса о определяется радиусом-вокто ром р .
Скорость этой точки, кьк установлено выме, имоет зиочоние
Ч:Уф*ймр (Ib.I3)
- не -

Уокореме точке определили >ы проааводвм от еЯ отороо-
»¦ .о времени, поэтом? даФФоремрроммм во врамош A6.13)
¦аходвм
dV d% dS _ _ Up
dT'dT'dt*?****
Во
ctv d% - d& - dp - -
d7za'dtxa'*dT*€ 'dT:^'
поэтому предыдущее равенство принимает вид
Это равенство н определяет ускорение произвольной точки
твёрдого теле. Выясним механический смысл членов, входящих в
правую его час**.
а) 0 с)
' _ *щг. 54*
Перлы! члеа о* есть ускорение полюса О . Рассмотрим,
далее, второ! член j?*P_ Представим радиус-вектор в виде оуы-
мы двух векторов Рлр*Р?, на которых р' ортогонален, аД
оерадлелея угдовощу ускорена» тела» Тогда
?жр *ёж?'+ёх/>г *ёхр'.
Следовательно* втот член предстапяет собою вращательное
ускоренна точка М при её вращении вокруг вектора <?.
проведённого ив полиса (фат.М-а). Обратимся, наконец, к
последнему члену. Раскрывая двойное векторное произведение, будем
иметь _ й
?ж(€Лхр) - a>((bp) -p<* . A6Л5)
Введём в рассмотрение орт Я* вектора угловой скорости.Тогда
сам вектор угловой скорости и его скалярное произведение на
радиус-вектор можно представить слодущим образом оО*а> Э\
- 117 -

сОр = ^Ра)^ где через р^ обозначена проекция Р на
направление ей0 . Разложим твпорь вектор р на_состсдлящуюДгАг^'
вдоль угловой скорости и составляющую R , перпендикулярную
к ной; р^рсо + & С учётом этого разложения формула A6.15}
упрощается и принимает вид
Их (а)хр) = *>Р'[раГр] - ">ZR . {16Л6)
Отсюда аидни, что это ускорение представляет собою центре •
стремительное ускорение точки // при её вращении вечуг
вектора угловой скорости, проведенного из полюса. Оно
направлено от точки N к оси вращения (фиг.34-в), поэтому его
называют осостремительным ускорением.
Таким образом, формула A6.14) выражает содержание
следующей теоррчы Ривальса.
Too рема II* В произвольном движении твердого тела
ускорение любой его точки равно векторной сумме полюсного,
вращательного и освстретитсяъно 'о ускорений (фиг.34-е).
Рассмотрим теперь ироек \ии ускорения точки тела на
подвижные и н е по д.в клише ко орд,;. иные оси. Подставив A6,11 } в
A6.14), получим для ycKopt ..ия представление
а *ао +?хр + «)(*>р) -pcOZ. A6.17)
Проектируя его на о^гы а^ , С„дем иметь следующие
выражения для проекций на подвижные оси:
a*Q°+Il? ? ? t^ZI^f-f XAr (I6.I8)
Компоненты сО^ и ?^ определяются полученными ранее
формулами A4.8)t (I6.8), а компоненты aj имеют значение:
Для получения проекций ускорения на неподвижные^ оси
преобразуем формулу A6.17) с помощью ривенства р= ъ-ъ0 к виду
a*a0+?r(i-*.)+&[&•(*-и)]- (i-i,) «>z. -(I6.I9)
Проектируя её на орты ^ находим выражения проекций на
нмподвижные оси в виде
04
61
- не

?де компоненты о?. и ?s определяются формулами (Ik Л 3) и
A6 10).
Итак, но известному движению тола можно определить
ускорения его точек либо в сопутствук^и* осях (формулы 16Л8),
..ибо в осях системы отсчёта (формулы A6.20).
Б заключении отметим, что если учесть способность тела
деформироваться, то в формуле A6Л4) добавятся новые члены,
:пыражакм::ие собою ускорение деформирования. Эта формула,
однако, будет справедлива не для любой точки тела, а для малой
окрестности точки, взятой за полюс.
§ 17. Мгновенные центр и ось ускорений тела.
Рассмотрим некоторые свойства ускорений точек тела.
Предварительно дадим следующие два определения.
Точка тела, у которой ускорение в данный момент равно
нулю» называется мгновенным центром ускорений. Если мгновенным
центром ускорений является любая точка некоторой прямой, то
эта прямая называется мгновенной осью ускорений. Об условиях
существования мгновенных центра и оси ускороний говорят
следующие две теоремы.
Теорема 12* Если ври движении твёрдого тела в некоторый
момент времени его угловая скорость и угловое ускорение не
коллинеарны дрдгг одту, то в этот момент существует
единственный мгновенный цектр ускорений.
Доказательство. Пусть X -мгновенный центр ускорений.
Тогда о*** к формула A6Л7) даёт для определения радиуса-
вектора р этого «натра уравнение
^+?хр+* (*p)-pa>* *0 . (*?•*)
При с0*? фо векторыН^* я 5м? не компланарны. Поэтому
вектор р можно представит» в виде разложения по направлениям
этих векторов
где ct,f> и у -некоторые скалярные величины» Определим эти
величины иэ того условия, что р удовлетворяет уравнению
A7Л).
Подстановка A7.2) в A7Л).и приведение подобных членов
приводят к уравнению _
- 119 -

JTmaohii его скадярно последовательно на векторы а)9? и
#*-. В результате получим соотноаеяия
а, • (ml) -frtyu>*)/«>x?l?- of
на которых величины d9p и у однозначно определяются;
Радиус-вектор р определяется теперь согласно A7#2) в виде
ps-J^J]a0fixe)+ tAb-*}&<b*&-&•*№**}. tt?.3)
Вектор р в фиксированный момент времени определяет в
сопутствующей системе единственный мгновенный центр ускорений * •
Положение этого же_цгчтра в системе отсчёта определяется
радиусом-вектором t-^-tp. Теорема доказана*
В случае, когда угловая скорость и угловое ускорение тела
колдинеарны друг другу, имеет место другая'теорема.
Теорема 13» Если при движении твёрдого тела в некоторый
момент времени его угловая скорость и угловое ускорение
параллельны друг другу и оба эти вектора ортогональны ускоре-
ьию полюса, то в этот момент существует мгновенная ось
ускорений.
Доказательство* Условие коллинеарности векторов о) и ?
и ортогональность этих векторов ускорению полюса выражаютоя
соотношениями
д*л*99 i*/ui0 9 a,i**of /?*/«/. (пл)
Будем рассматривать случай, когда О) и ? не обращаются в
нуль одновременно. Зто означает, что не равны нулю
одновременно множители А и /U. Пусть К -мгновенный центр уско*
роиий. Тогда его радиус-вектор удовлетворяет уравнению A7Л),
Это уравнение в силу условий A7.4) преобразуется к виду
120 -

а01/а(Ьхр) + ^(ч°~р)<1* - л*р*о . A7.5;
В оилу условия cti'T'fiO три вектора:Т#, а* и ?•*#,„
ортогональна друг другу. Представим р в виде разложения по
направлениям этих векторов:
р = дч0+ха. +nQxa0. (I7.6)
Подстановка этого разложения в A7.5) приводит к
следующему уравнению для определения коэффициентов &, я,Я :
asju.jxj'xasrt'x (<i9xa9)] +?&**-$(№+xap+V? 'xaj - о.
Преобразуя здесь двойное векторное произведение по формуле
f°x(?exac) *?'(?, aj -а.
и произведя приведение подобных членов, будем иметь
(i-XZX-)U.V)CLu+<jU.&-h4fi9 хй.*о . A7.7)
Умножая это равенство ткалярно последовательно на
векторы а0 и Ч*xgl0 получим для определения z и V уравнения
1-А*Х-;и))*оу /и*-**-))= О',
коэффициент же & остаётся произвольным. Определитель этой
системы имеет значение -(tf+fit*) и,так как /? к /^
одновременно не равны нулю, он Лличен от нуля. Следовательно,
система имеет единственное решение
2^ .., .<, > V =
На основании равенств A7.4) полученные выражения могут быть
представлены в форме
*, <* , tfalll. (I7-8)
Окончательное выражение для радиуса-вектора р будет иметь
вид:
Так как ^ - п. )извольный параметр , то A7,9) есть
уравнение прямой линии Н f проходящей через течку Q % определя-
- 121 -

емую радиусом-вектором
в направлении вектора тв. Таким образом, геометрическое
место мгновенных центров уокороний представляет собою прямую
A?.9)-мрновенную ось ускорений, «равнение оси в системе
отсчёта будет г- 10 *ft • Теорема доказана,
За?лечанио. При со *? = о условие аоЪ°лО является
необходимым условием существования мгновенного центра ускорений.
Действительно, если мгновенный центр ускорений существуем,то
его радиус-вектор удовлетворяет уравнению A7.5). Умножив
это уравнение скалярно на вектор f * приходим к равенству
которое, кэнелегко видеть,_ эквивалентно условию &0-1**0,
При а>х? = о, но арТ°?о мгновенного центра
ускорений нет*
Знание мгновенного центра ускорений позволяет упростить
форму7У для зычислеиия ускорений точек тела. Действительно,
взяв за полюс мгновенный центр ускорений, будем иметь уоко-»
рение полюса равны: нулю и формула A6 .16) примет вид
а=гхр-4>*Д, (I7.U)
т.е. ускорение точки в этом* случае будет складываться только
из вращательного и осестремительного ускорений.
§ 18. Поступательное движение твёрдого тела.
В этом и трёх последующ!': параграфах будут рассмотрен!,
частные виды движений твёрдого тела: поступательное,
сферическое, вращательное и плоское к выяснены основные
особенности этих движений.
Движение твёрдого тэт*а называют поступательным, если любая
прямая, связанная с телом, остаётся параллельной оамой себе
во вое время движения.
Поступательное движение совершают, например, кузов вагона
и педаль велосипеда на прямолинейном участке пути, ступенька
экскалатора метрополитена и т.д. Это одно из простейших и
весьма распространённых движений твёрдого тела.
- 122 -

1°. Уравнения поступательного движения тела.
Пр! поступательном движении тела оси сопутствующей
системы координат ofifttj как прямые, связанные с телом,
остаются все время параллельными самим себе. Следовательно, углы
Эйлера при этом движении остаются постоянными величинали:
4?r? (<?=iz,5). Без ограничения общности можно
принять, что в начальный момент времени сопутствующие оси *ыли
параллельны соответствующим неподвижным осям. Тогда в
начальный момент эйлеровы углы равнялись нулю. Следовательно, они
будут нулями и в любой другой момент: с?- о (cC*Jt2.5).
Таким образом, уравнение поступательного движения твёрдого
тела имеет вид
Итак, поступательность движения тела означает
специализацию его вращения вокруг полюса (тело не вращается); сам же
полюс может совершать произвольное движение.
Поскольку в поступательном движении три из шести координат
тела фиксированы, тело в этом движении имеет только три
степени свободы.
2°. Свойства поступательного движения тела.
Поступательное движение тела обладает некоторыми
характерными свойствами. Эти свойства выражаются следующей теоремой.
Теорема U. Бели твёрдое тело движется поступательно, то
все его точки описывают конгруэнтные траектории и в каждый
момент времени г !вют равные друг другу скорости и равные друг
другу ускорения.
I ?< Доказательство. В
' поступательном
движения тела эйлеровы
углы тождественно равны
нулю <&•* f^'XMi
Из формулы A0.9)
тогда следует, что f -
матрица обращается в
единичную матрицу
Общие уравнения дви-
г знмя произвольной
точки A тела A3.5)
\Ьъ
Фиг. 35.
- 123 -

при этом упрощаются и принимают вид
Так как координаты $?, ^,J3 точки М не меняются со
временем, то отсюда видно, что траектория точки М получается
сдвигом траектории полюса О на постоянный вектор Р=?^^
(фиг.35), следовательно, траектории этих точек конгруэнтны.
Подставив значения углов Эйлера ?* о 0***Я.$ в
кинематические формулы A4.8) и A6.8), находим, что
компоненты угловой скорости и углового ускорения тела равны
нулю: со^-о , ?д=о (d*LZ,& Следовательно, в поступательном
движении равны нулю угловая скорость и угловое ускорение тела
0**0, ё*С>. A8.2)
Формулы A4.16) и A6.14) для скорости и ускорения точки
тела
У*У0тсЬхр , а*а.0+&хр+сдх(с0хр)
в рассматриваемом движении принимают вид
Таким образом, доказано, что при поступательном движении
траектория любой точки М тела конгруэнтна траектории
полюса, а скорость и ускорение этой точки совпадают со скорость»
и ускорением полюса (фиг.35). Но за полюс может быть взята в
телг любая точка, поэтому высказанные утверждения верны для
любых двух точек тела. Теорема доказана.
Из теоремы вытекает, что поступательное движение твердого
тела вполне определяется движением одной вэ его точек,
поэтому для изучения этого движения достаточно знания кинематики
точки. Следует иметь в виду, что в поступательном движении
траектории точек тела могут быть самыми разнообразными
конгруэнтными кривыми. $ид этих кривых полностью определяется
уравнениями движения полюса»
Равные у всех точек тела скорости и ускорения называют
соответственно скоростью и ускорением тела. Таким обреэом,
- 124 -

поступательное движение является единственним движением
твёрдого тела, в котором пожне говорить о скорости и ускорении
тела в целом,
Если скорость полюса постоянна по величине и направлению,
то все точки тела движутся прямолинейно и равномерно, Ч этом
случае ускорение любой точки тела равно нулю и движение тела
называют равномерным поступательным движением.
Поступатольное движение в окрестности каждого момента
времени можно рассматривать как предельный случай мгновенного
винтового движения, когда угловая скорость тела сбгащается
в нуль. Из уравнения мгновенной винтовой оси/=~г *А"*
видно, что в этом предельном случае её положение становится
неопределённым.
§ 19. Сферическое движение твёрдого тела»
Движение твёрдого тела называют дфорическим, если
расстояние любой его точки до некоторого неподвижного центра
остается неизменным во все впемя движения.
Сферическое движение совершает, например, волчок, гироскоп
в кордановом подвесе и вообще любое тело, закреплённое в
одной точке с помощью сферического шарнира•
1°. Уравнения сферического движения тела.
Без ограничения общности неподвижный центр о можем
считать точкой тела. Примем эту точку за начало неподвижной оио-
т?мы координат и одновременно за полюс в теле. Тогда
координаты полюса в система отсчёта будут равны нулю в любой момент.
вримени: xj=° и*1Я,Ъ) ($иг.36). Следовательно
уравнения сферического движения твёрдого тела имеют вид
*JS ° > & * ? Ю (****$. A9 л)
Отсюда пдно, что при оферическом движении отсутствует
движение полюса, тело в этом движении имеет лишь три степени
свободы.
2°. Уравнения движения и траектории течек тела при
сферическом движении,
Возьмём произвольную *очку М тела. Уравнения движения
зтой точки A3,Ь): _ i
Р
- 125 -

при сферическом движении
принимают вид
vlM* A9-2)
где у -матрица
определяется формулами A0.9).
Покажем, что траектория
точки есть сферическая
кривая. Составим для этого
сумму квадратов координат
точки:
Z &L (Z ъиЩ г,^?*л (%1~ у*)-
Элементы У -матрицы удовлетворяв соотношениям:
+т* Убое ][t+ * <& ¦
с помощью которых выражение дли суммы квадратов коордиват
может быть продставлоно в форме:
а „* * У tA A9.5)
Полученное равонство представляет собою, очевидно,уравнение
сферы (фиг.36L, радиус которой равен расстоянию точки М до
неподвижной точки О . Таким образом, координаты точки *1
удовлетворяют уравнению сферы, следовательно траектория
точки есть сферическая кривая. Но М -произвольная точка тела>.
поэтому в рассматриваемом движении траектории всех точек
тела являются сферическими кривыми. В силу этого
обстоятельства данное движение тела и называют сферическим движением.
3°. Скорости и ускорения точек тела в сферическом
движении.
Так как полюс О является неподвижной точкой тела,
находящейся в начале неподвижной системы координат, то Х9-0
и, следовательно,скорость " ускорение полюса равны нулю:
V - — 'О
- dzi. .
"•-IF*0
A9.*)
На основании этих соотношений общие формулы для скорости я
ускорения точки твёрдого тела A4.16) и A6.17):
- 126 -

упрощаются и принимают вид
у=сдхр % a'?.xp + cd(ci>p)-pc4>z # (I9.5)
Первая из этих формул утверждает, что скорость точки тела
в сферическом движении является вращательной скоросты
вокруг полюса. На основании второй формулы заключаем, что
ускорение точки тела в сферическом движении складывается только
из двух составляющих: вращательного и осестремительнэго
ускорений. Этот результат является частным случаем теоремы
Ривальса.
Проекции скорости и ускорения на сопутствующие оси
координат имеют соответственно вид
У^Цг со f ;a =Zk^ ? f +4?4^-?,?ч- <I9-6)
Заметим теперь, что л силу условия Ъ„*0>Ъ*10+/> *р%
т.е.радиусы-векторы точки тела в неподвижной и подвижной
системах координат совпадают друг с другом. По этой причине
формулы для скорости и ускорения можно представите также в форме
у=од*\ , 'сс^гхг + соСсдг)- \а>* A9.7)
Проектируя эти формулы на неподвижные оси, находим
значения компонент скорости и ускорения в системе ^х4хжхл в виде:
4°. Мгновенная ось вращения и акооиды в сферическом
движении.
Произвольное движение твёрдого тела в окрестности каждого
момента времени можно рассматривать как мгновенное винтовое
движение. Угловая скорость винта совпадает о угловой
скоростью тела, _а скорость скольжения вдоль оои винта имеет
значение U--"*J° (формула 15*4). В сферическом движении
Vp* о, поэтому скольжение вдоль оси винта отсутствует: и-о.
Следовательно, при сферическом движении мгновенная винтовая
ось вырождается в мгновенную ось вращенгя. Полагая в уравне-
- 127 -

нии мгновенной винтовой оси A5 Л):
-s**v.
а)л
t/ito
скорость полюса равной нулю: Vo=0,
мгновенной оси вращения в виде
получаем уравнение
A9.9)
Так как Рр--?*.—z0* то мгновенная ось вращения
представляет собою прямую L , проходящую через начало координат
в направлении угловой скорости тела (фиг.37).
Подвижный винтовой
аксон д S+ в сферическом
движении называют
подвижным аксоидом. Он
представляет собою некоторую
коническую поверхность с
вершиной в неподвижной точке 0,
уравнения которой имеют
вид
^juc^d) U*iA.b\
фиг.^7.
или, после исключения параметра jUч
к
A9.10)
Неподвижный винтовой аксоид 5Х в этом движении называют
неподвижным аксоидом. Он представляет собою некую другую ко*
ничеокую поверхность с вершиной также в точке О и
уравнениями
2*fit* ({) U*ИЗ).
Исключая параметр М, этим уравнениям можно придать вид
** --*« ¦ - -^ ¦ . A9.11)
сЛ/О *>ЯГ*) a>/i)
Поскольку скольжение вдоль мгновенной оси вращения
отсутствует, то в соответствии с общими представлениями сферическое
движение твёрдого тела можно осуществить перекатыванием без
- 128 -

окодьжения подвижного аксоида ^ по неподвижному акооиду
Sx <фиг.37).
5°. Мгновенные центр и ось покорений при оФоричеоком
движении.
Ранее было установлено, что если при движении тела его
угловая скорость и угловое .ускорение не параллельны друг
другу» то по. теореме 12 существует единственный мгновенный
центр ускорений, положение которого определяется формулой
Пусть теперь при сферическом движении сдхе+о. Тогда, так
как в атом движении 5,-0, радиус-вектор мгновенного
центра ускорений будет равен нулю:
У о . (И Л 2)
Следовательно,^ каждый момент времени лри сферическом
движении, когда л)*?фо, мгновенный центр ускорения совпадает с
неподвижной точкой о тела.
В другом случае движения тела, когда егр угловая окорость
и угловое ускорение коллинеарны друг другу и оба эти вектора
перпендикуляра* ускорению полюса, в силу теоремы 13 в теле
имеется мгновенная ось ускорений с уравнением A7,9):
Пусть, _далее, при сферическим движении тела реализуется
условие &*е =о. К тому же в силу равенства нулю ускорения
полюса: О.? 0условие аса>*о также выполнено. Тогда в теле
будет существовав мгновенная ось ускорений, уравнение
которой в этом движении будет вида
j5-*r* я jLg . A9Д3)
Легко видеть, что это уравнение совпадает с уравнением A9*9).
Таким образом, в_ каждый момент времени при сферическом
движении, когда И>*€*о ч существует мгновенная ось ускорений,
совпадающая о мгновенной осью вращения тела.
- 129 -

6, Регулярная прецессия волчка.
Регулярной прецессией волчка называют такое его дзижение
вокруг неподвижной точки, при котором угол прецессии и угол
собственного вращения изменяются пропорционально времени, а
угол нутации остаётся постоянным. В этом движении
«*«•¦"/'. ?<.«$-<<'
A9.14)
Рассмотрим основные характеристики вращения волчка при
регулярной прецессии* Легко ь.дать, что величины скоростей
прецессии и собственного вращения постоянны, а скорость
нутации равна нулю:
<4««ж<< <V?S"- «&-««<.
следовательно,векторы этих скоростей имеют значения
Угловая скорость тела согласноA4ЛО) будет равна
т.е. вектор угловой скорости тела направленно диагонали
параллелограмма, построенного на векторах и>к и я>, (хат%$$)
и имеет постоянный модуль, равный
Фиг. 38.
а)= /if+iifi&itf<>fc*ij?
Угловые ускорения предоедяц
нутации и собственного врцц»
ния будут равны нулю}
Следовательно, угловое
ускорение тела в соответствии с
формулой A6*6) будет иметь
значение
130 -

Вектор ? направлен вдоль линии увлов (фиг.38) и имеет по*
отоянный модуль, равный
Определим теперь вид акооидов волчка при регулярной прецео-
оии.
Проекции угловой скорости на подвижные оси в силу формул
A4.8) имеют значения
Поэтому уравнения подвижного акооида (I9Л0) будут жида
- 2— *Cf » *» f . #
Отсюда находим уравнения
Исключив переменны Л угол ^ 9 будем иметь
* g a ft
Таким образом, подвижный аксоид 5j является прямой круго»
вой конической поверхностью с вершине! в неподвижной точке
и осью, совпадающей с осью f3 (фиг.39).
Для нахождения неподвижного аксоида вычислим вначале про-
- 151 -

екдии угловой скорости на неподвижные оси«В соответствии о
формулами A4.13) получаем
0>z -~? S?«fz COS(fd t ?e toufg =: -?0°Mlf*COtt? ,
Обращаясь к уравнениям A9.II ) неподвижного аксоида, находим
Отсюда следуют уравнения
е-
oi>3 Sinfz
<4>a0COS<f°+a>*
xz^exseoffi .
Исключив из них переменный параметр i/? , получаем уравнение
неподвижного аксо.да в виде:
о г & г
Таким образом, неподвижный аксоид SXt подобно подвижному ак-
соиду, будет прямой круговой конической поверхностью с верни-
ной в точке О и осью, совпадающей с осью 23 (фиг.39)!
а ) прямая прецессия
Фиг.39. b ) ретроградная процессия
- 132 -

Регулярную прецессвю волчка можно осуществить
перекатывание! без скольжения конуса S^ по конуоу Зх.
В случае, когда угол между угловыми скоростями прецессии
и собственного вращения острый, прецессию называют прямой.
При этом подвижный и неподвижный аксоиды имеют внешнее
касание (фиг. 39-а). Если же угол между угловыми скоростями
прецессии и собственного вращения тупой, то прецессию называют
ретроградной» В этом случае имеет место внутреннее касание
аксоидов (фиг.39-6),
При регулярной прецессии волчка его угловая скорость и
угловое ускорение перпендикулярны друг другу:
поэтому и>*е*о и„ следовательно, существует
единственный мгновенный центр ускорений, который, очевидно,
совпадает с неподвижной точкой волчка.
§ 20. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Бели при движении твёрдого тела расстояние всех его точек
до двух неподвижных центров остаютоя неизменными, то движение
тела, называют вращением вокруг неподвижной оси, проходящей
через эти центры»
Вращение вокруг неподвижных осей совершают, например,
роторы турбины и электромотора, маятник часов, маховик
двигателя и т.д.
Легко видеть, что вращательное движение является частным
случаем сферичеокого движения и соответствует случ, в, когда
из трёх эйлеровых углов два имеют фиксированные значения.
Вращение тела вокруг неподвижной оси является весьма
распространённым движением. Наряду с поступательным движением,
оно относится к числу простейшее движений тела.
1°. Уравнение движения тела вокруг неподвижной оси.
Пусть при движении тела сохраняются неизменными расстояния
его точек до неподвижных центров О и А . Без ограничения
общности эти центры можем считать точками "ела. Возьмём
точку О за начало неподвижной системы координат */¦**«*! ,
направив ось 0Х5 по прямой ОА , а оси ОД и <ИГ?
-перпендикулярно к ОА и друг к другу так, чтобы получилась правая
- 133 -

система координат (#кг.*0)* Точку О возьмём также аа полюс
тела. Тогда полюс будот иококться в системе отсчёта #?/*в*ь
так что т *
3**0 (+ifi.*).m
Рассмотри, какой вид принимают в этом движении уравнения
враценкя тела вокруг полюса.
л» I Равенство нулю скорости точки/1;
*4~№ _ _ _
- VA-cuxpA-0
представляет собою условие
коллинеарности векторов СО и РА.
Вектор Рж направлен вдоль оси х.\
4fV *>«ь рАя */ *з » следовательно,
вектор со также должен иметь
направление вдоль этой оси:
^r*>j^j. 9*0 означает, что
проекции угловой скорости на другие
оси должны равняться нуль:
о .
Сд^О
и>л,
Фиг»40.
В силу этих условий и кинематических формул A4.13) эйлеровы
углы должны удовлетворять уравнениям
Решением этих уравнений являются нулевые значения скоростей
нутации и собственного вращения: 4t* ^ьк° •
Интегрируя эти зависимости, получаем: ?* co/t/t t ^ = const\ Если,
как обычно, принять, что в начальный момент времени подвижные
оси координат совпадают с осями неподвижной системы, то в этот
момент эйлеровы углы равны нулю: <?Р~ о Ы-Щ).
Следовательно, *?1*о % if^O в любой момент времени, угол же /у
монет быть произвольным (фиг.40).
Итак, уравнения движения твёрдого тела при его ьрацении
вокруг неподвижной оси имеют вид
Тг *0,
BC.I)

т.е. это движение описываете» одним уравнением,
представляющим собою закон изменении во временем угла поворота тела
вокруг неподвижной оси.
При вращении вокруг неподвижной оси тело ицеет одну
степень свободы.
2°. Уравнения движения и траектории точек вращающегося
тела.
В рассматриваемом вращательном движении из трёх эйлеровых
углов отличен от нуля только угол прецессии. Выражение A0.9)
jf -матрицы в этом случае существенно упрощается и принимает
вид
&щ scn<tL о
АОД л/Й о
Q О i
На основании B0*1) ft B0.2) общие уравнения движения
произвольной точки 4t($b|ttj) тела
li*h
B0.2)
vV*?u«
(*•№)
преобразуются к слодуащцу простому виду
B0.3)
v*.
Установим форму чршщют точки вращающегося тела. Прежде
всего из геомстричеешгдеображений ясно, что поскольку
расстояния точки М до и**Гров О и А остаются неизменными,
точка должна находить©* одновременно на поверхностях сфер,
центры которых находаю* в точках О и А , а радиусы равны
расстояниям ОМ и AM Очевидно, траекторией точки будет
линия пересечения этих сфер, т.е. окружность. Таким образом, при
вращательном движении твёрдого тела траекториями его точек
служат окружности. Из тех же геометрических сображений ясно, что
плоскости окружностей перпендикулярны к оои вращения, а их
центры лежат яа этой оси.
Все эти результаты, конечно, могут быть получены андлятя-
- 135 -

*еокк иа уравнений движения B0. 3 ) Для получения траектории
точки исключим иа первых двух уравнений параметр ift . С этой
целью каждое иа этих равенств возведем в квадрат и сложим
результаты. В итоге подучим соотношение, свободное от параметра.
Присоединяя к нему пооледнее уравнение, будем иметь #
Первое равенство представляет собою уравнение прямого
кругового цилиндра с осью х5 и радиусом Уъ?+$[ , а второе -
уравнение плоскости, перпендикулярной оси х3 . Траектория точки,
представляющая собою линию пересечения этих поверхностей,
является, очевидно, окружностью Ь с центром на оси вращения и
плоокосты, перпендикулярною этой оси. Радиус окружности
равен Yff+tf % т.е. совпадает с расстоянием точки до оси
вращения (фиг.40).
3°. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.
Угловая скорость тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,
как установлено выше, направлена вдоль этой оси и имеет
значение сО*и>3 а^ . Так как **г=%х° i T0 проекция этой
скорости на ось вращения определяется выражением
Таким образом, угловая скорость тела совпадает с угловой
скоростью прецессии (фиг. 41):
й = *>л*Ъ*5=Ъ23 # B0.5)
Рассмотрим угловое ускорение тела. Компоненты углового
ускорения в неподвижных осях определяются формулами A6.9) и в
рассматриваемом движении имеют значения
Слпдоьатбльни, угловое ускорение вращающегося тела направлено
моль оси нраиенмн и совпадает с угловым ускорениям прецессии
A»и»\4!.):
., \ 7>»; ..

Таким образом, в рассматриваете* ну*** угоавая скорость
и узловое ускорение тела параллельна* дцрр другу. Эти регуль-
таты об угловой скорости и углов w донодоип вращающегося
тела согласуются с введёнными в кругам* дмшт» точки (§ 9)
понятиями угловой скорости и угасшего jeiopmr радикса
точки.
Рассмотрим теперь скорость и уекдоию* вммгорт* точки
вращающегося тела. Так как вращатеяынм лмт*м* жваядеся
частным случаем сферического, то две огодаяя егждаедемва
формула
ys cOxp.
B0.7)
Покажем, что даваемое этой фореддей ввцкоюмме скорости
совладает с сё обычним значением щт «юугоаи* движении
точки.Представ им для этого радиус-вомиф vmm M в виде суммы двух
векторов
из которых первый нАдраваеш щ*т> м&м вращения, а второй-пер-
пендикулярен к вей (фиг**!)*
Шеодл» первого равенД,*/^/,
**%леометрически изображает рас-
етвдо между плоскостью траекто-
жив* точки и плоскостью wTj^Vimo-
ЖОХЬ же второго имеет значение
ft*ftf*$l у т.е. являемся раджу-
сен вращения точки.
С помощью этого представления
вырежоягю B0.7) для скорости
можно предать вид
Для представления скорости ж
окончательной форм*_жведвм ем*
^естественные оси </.*f.?j трми-
<*> н R могут бить записаны в
тории точки.
форме
Фмг.41*
Тогда векторы
R *-J?V
- 137 -

sm&tm чдоо скорость точки получает следующее окончательное
'^сюда видно, что модуль скорости равен произведению радиуса
вдшцеяия точки на угловую скорость тола
ш «го направление совпадает с направлением касательной к тра-
адгаюрмн» т.е. перпендикулярно радиусу враиюния (фиг.41).
Проекции скорости на подвижные и неподвижные оси координат
?Е9„6) и A9.8) при вращательном движении принимают следующие
«достав эгачения:
v>4v4^^,/,4^^^ B0.8)
УА*сОлхл-С1>лХж*0 . B0.9)
Обратимся теперь к рассмотрению ускорения произвольной
точки тваа, В соотвотствил с формул й A9.5) для ускорения при
сферичеоком движении оно равно сумме врвщательного и осестреыи-
тельного ускорений
а=?*р+*> E>f)-pai>z=e*R ~a)*R. B0.10)
"Поскольку d'Stfj х?гз, то вращательное ускорение будет равно
т.е. оно равно но модулю произведению радиуса вращения точки на
угловое ускорение тела
1?*р1 */?*$/=#?
и направлено но касательной к окружности.
Оиостреиит1:льнои ускорение совпадает с цеитрострпуительным
ускоренном точки: ¦ л)й$ -#4>*Т?>
- И* ~

т.е. оно равно по модулю произведению радиуса врацени* точки
на 'вадрат угловой скорости тела:
!-«>*? I* 2и*
и направлено по радиусу вращения по направлению к оои враще«
ния.
Таким образом, во вращательном движении вращательное и
осестремительное ускорения ортогональны друг другу. Полное
ускорение точки, согласно B0.10), изображаемся диагональю
прямоугольника, построенного на векторах?*Я и -<* ? • Его
модуль определяется выражением
a*Yii*ai*+iiJ8l*-як**** , (го.п)
т.е. он пропорционален расстоянию точки до оои вращения, а
угол /и , образуемый ускорением о радиуоом вращения, имеет
значение
4**1?
B0.12)
и, следовательно, не зависит от этого расстояния*
Проекции ускорения точки на подвижные и неподвижные оси,
даваемые формулами A9.6) и A9.8), при вращательном
движении тела упрощаются и принимают соответственно вид
а =<5 ? -<5 ? *о> /-**>? -f и) *tft -ft if
i
B0.13)
аггг^ -?3 хя*ъ Z ^xs-xt «Л - i *t -*,//
- 159 -
B0.1ft)

4 • Аксоиды аршааэдагоса тала»
i-ассмотрим теперь, «якой вид принимают подвижный и
неподвижный аксоиды тала при его яредеиши «округ неподвижной оси.
Уравнения мгновенно* оса .ьред^н** теле A9,9) в данном
движении в подвижных я нвподвйшшх осях «моют соответственно вид
p*fLU*flfu9l4% Г*р*>*р$^
B0.15)
Отсюда зшдш*, что эта ось сохраняет яеизиеиноо положение как
в самом тела, так и в иеподьашом пространств м совпадает
о осью вращения* Следовательно, при врацониа тала вокруг не-
лодзшшой оса ого аксоиды вурожда&тс*! в юса, «оторы«
совпадает с осы* ьрэдавия тола.Бракатсльиоо движение твердого тела,
с 4 а до ката." ы?о, также осуществляется вращением без скольжения
tea г^ - подёодкого аксоиде saupyr оси 0х3 -наяодй'ячкйро
акооида.
5°« Иги_°^и-{еа ^9Ь- Уморений .вра^аш'д^ося тола,
\'лихъ било установлено, что при вращении те,;а вокруг неяод-
ыжой оси вак^ори его углоиой скорости и углового ускорений,,
нареллелысы друг другу» следовательно сд*? -О Кроме того,
очевидно, что Ир-&-'0 При этих условиях в теле сушест-
ду*-,т мгновенная ось ускорений* Уравнение (IV.9) йтой ос-л в
д';*{'»оа движении будет иметь тот ко глд, что и уравнение
оси к рачения тела: . > а
рг ^ о) - 4-Я ^ . B0.16)
Я *, '
Следовательно, при вещательном движении твердого тела
еп:« ыпювоинан ось ускорений совпадает с неподвижной ось»
нранения тола.
**'°• 'йШ№rii.'М кв'Чуоа,, ^приводимого в движение падающим грузом,.
Рассмотрим для примера следующую
задачу. Па обод колеса радиуса R , vuie-
wuiero горизонтальную ось, намотана ни*©»
на конце которой подвешен груз Р , В
некоторый момент груз начинает падать
иа состоянии покоя с постоянным ускора
€«* иием а0 и при этом приводит во ироде-
н*о колесо. Найлем уснорпмие точки обо-
Ри«

да колоса в зависимости от высоты Л , на которую
опускается *'руз (фигЛ2).
Пусть М -та точка обода Koj.jca, с которой совпадал груз
при полностью намотанной нити. Тогда при опускании грузе на
величину А. колесо повернётся на уг^л if , определённый ив
условия равенства длин нити и дуги ОМ окружности в виде
tf- gr • Уравнение падения груза будет А - ¦§* Iх • Поэтому
закон вращения колеса имоет вид /sj>y ?* Отсюда следует, что
угловая скорость и угловое ускорение колеса имеют значения
Следовательно, ускорение точкг обода колеса будет равно
a*E*&-ife; а*Д/&**в*?/я\*Л*1. B0.17)
Оно отклоняется от радиуса точки в сторону вращения на угол
Al , имеющий аначение
Формулы B0.17) и B0.18) решают вадачу.
Из полученных формул следует, что с ростом высоты *
ускорение точки обода колеса неограниченно возрастает по
модулю, угол же его отклонения от радиуса вращения, напротив,
уменьшается, стремясь к нулю.
§ 21. Плоское движение ьела.
Движение твёрдого тела называют плоским, если расстояние
любой его точки до некоторой неподвижной плоскости
сохраняется неизменным во вое время движения.
Плоское движение совершают, например, колеса автомобиля
или вагона на прямолинейном пути, миогие детали механизмов
и машин и т.д.
1°. Уравнения плоского движения тела.
Пусть Л -та плоскоотв, расстояния до которой точек тела
сохраняются при движении. Возьмём в теле некоторую точку О
за полюс и проведём через неё плоскость У параллельно плос-
- 141

Фиг.43.
кости Л . Из определенш
плоского движения следуем*
что полюс О все время
будет двигаться в плосдоь-»
ти J . Если выбрать нвпвд*
5* *s вижную систему координа* vmH
L-~*"*"' чтобы оси ОХ, и 0^2 проходили ш
плоскости Я* чорез некоюДОв
её точку О , а ось Ъх$ фщ&
перпендикулярна к $ {ф№гЛ$Ьц
то уравнения движения пдеякА
будут вида
Установим юперь уравнения вращения тела вокруг потию&ч
Воспользуемся тем обстоятельством, что в рассматриваемо* дде*-
жении расстояние любой точки тела до плоскости /7 , а одм*м*-
вательно, и до плоскости $ , не моняется. Беря уравядом;
движения точки тела
X *Х°+
л л
4-U*
(<*'12J)
и полагая d*3 находим, что при любых fj.fAJ3 дмшяь
быть
Последнее возможно только в случае, когда постоянны
коэффициенты при },Л&,?3 , т.е.
Scnf Suaf * const, Simp со ftp *cottit9 cojtf ж cortd*
Из полученных равенств следует, что углы нутации и
собственного вращении при движении тола должны быть посг шнныыи:
«/t = const , i/3* const. Принимая, что в начальный момент
времени подвижные и неподвижные оси совпадали друг с другом,
получаои, что эти углы в любой момент должны равняться нулю
'/,0 , 1/Л*о 4 танки образом, уравнения вращения тела
и'Лфуг Ш)А\йОП будут ВИ.Л8
i'*i' -

Соо*рая вместо полученные результатыt устанавливаем, что
уравнения плоского движения тела им*ют вид:
х;*х;а)%*/.*;w, *;--*; мш^о.^о. <2i.i>
Следовательно, плоское движение т~ла описывается тремя
уравнениями, из которых первые два дают движение полюса в
плоскости $ , а последнее - вращение тела вокруг оси x/f
проходящей через полюс перпендикулярно к плоскости jf (фиг,
43). Таким образом, при плоском движении у тела три степени
свободы,
В частном случае при fyo получаем плоское
поступательное движение с уравнениями f/sx/COtXz-X^(i)t Я/*0.
В другом частном случае при я/****<> получаем вращение
тела вокруг неподвижной оси xs, уравнение которого имеет вид
(fi'Vid). Таким образом, в классе плоских движений тела
содержатся плоские поступательные движения и вращательныо
движения вокруг неподвижных ооей.
2°.Плоское движение тела как предельное сферическое
движение.
Покажем теперь, что плоское движение тела можно рассматрн
ват* как некоторый предельный случай его сферического движе-
Фиг.Н.
- U3 -

Рассмотрим сферическое движение тела вокруг неподвижного
центра *0- Если взять этот центр за полюс тела, то
уравнения сферического движения в системе отсчёта OxJxb xj
имеют вид
Величины ^ являются ушами Эйлера, определяющими
ориентацию сопутствующей системы координат 0$'pz f3
относительно системы отсчёта Sxjx&x3. (фигЛ4-а). Возьмём в теле на
оси &f/ некоторую точку о1 и обозначим через к её
расстояние до неподвижного центра: &0--R.. При движении тела
точка О* движется по сфере Р с радиусом Я и центром в
О. Пусть б" -часть сферы, заключённая внутри тела, а 0 -
точка пересечения сферы осью oxj. Введём_ещё подвижную и
неподвижную системы координат o'f/jt^fj и ох1хгх3
получающиеся наралт злышм сдвигом систем 6?/$?$/ и dx/x^xj
соответственно вдоль положительных направлений oceii д$* и
ох3* на величину радиуса R (фиг.44-а).
Рассмотрим теперь следующее преобразование параметров,
определяющих положение тела:
С * ")
x?'*RsoitflSLn(<f;-?y--Rsui^cos^ , i/^t/J .
Очевидно i величины xf,x° являются первыми двумя
координатами точки о* в системе отсчёта oxizzx*, a ift есть угол
поворота тела вокруг оси 0'f/ • Поскольку эйлеровы углы <?;
выражаются через параметры •**/'> ^*. tfi по формулам
то от и параметры можно рассматривать в качестве координат
г ела.
Совершим теперь в соотношениях (* ) в фиксированный
момент времени елодующий предельный переход;
: vo ^ннчиет, что нкпилмижный центр О удаляется на беско-
н.."шиггь, а ^гол ^ у.-гремлиется к нулю, причём так, что
.; и\я ,:.'. :-и (Уб fi::.!f. -or., ,,pyru офоры Р остается при :»том
| у% i, ..

неизменной (фиг.Н-а).
UmRSuof' -- fa*. (rJ > **&L). U
и соотношения ( * ) прикипают следующие предельные значения:
Здесь через 0 обозначено предельное положение точки 0» В
силу произвольности сферического движения точке 0* может
рассматриваться как любая точка сферы Р • Нетрудно
убедиться в том, что при данном предельном переходе ^**&
Действительно, , %' ,
Таким образом, при предельном переходе офера Р переходит
в плоскость #, а сечение 5 - в плоскую фжгуад ?L, оисте-
ма координат 0'tfj?fj - в систему ^^ (фигура Н-в).
В силу исходных уравнений #J*?^rf) у реши ин и я (** )
превращаются в уравнения плоского движении
Итак, плоское движение тела можно реооматрнвать как такое
сферическое движение,неподвижный центр 8 котором находится
на оееконечности.
3°. Уравнения движения точек тела 1 плоском движении.
В плоском движет.! углы нутации и ооботвенного вращения
равны нулю, поэтому J -матрица (Ю»9) имеет вид
II earfi *mib °\
II о о
•.¦"ели с её видом при вращательном движении тела. Поато-
у^ьнииия движения точки М (f/^fj тела:
- Ш -

будут в рассматриваемой движении записываться тая:
Рассмотрим форму траектории точки М. Первые два уравнения
движения имеют вид xt*X/t), x^x^U) , Исключив из них
время, получим зависимость J(X? ,тя)=о, которая представляет
собою уравнение некоторой цилиндрической поверхности с
образующими, параллельными оси Х3 # Последнее же уравнение: 23*%3
есть уравнение плоскости, перпендикулярной оси х3 ,
Следовательно, траектория точки есть плоская линия, получающаяся при
сечении цилиндра плоскостью (фигЛ5). Так как М - любая
точка тела, то траектории всех его точек будут плоскими линиями*
6 силу этого свойства траекторий и само рассматриваемое
движение тола было незвано плоским движением»
Наряду с точкой А7#/.?*.У f рассмотрим точку М ($л,$к90)9
являющуюся её проекцией на ллоскость $ . Радиусы-векторы
р ш Я этих точек имеют значения
(а .2)
- не -

и связаны друг с другой соотношением (фигЛ5):
/'*¦*,?. B1.3)
Легко видеть, что первые два уравнения движения точки М
будут те же, что и у точки М , а третье уравнение имеет
вид лл*о т
Это значит, что М* совершает движение в плоскости яа*0
точно такое же» как и точка М в плоскости tff'Fj-
Отсюда следует, что все точки тела, лежащие на одном
перпендикуляре к плоскости V , движутся одинаково и именно так, как
движется точка М* . Теперь легко видеть, что движение всего
тела <4удет установлено, если будет известно движение в
плоскости $ плоской фигуры Z* % представляющей собою проекцию
тела на эту плоскость (фигЛ5). По этой причине при
рассмотрении плоского движения тола ограничиваются рассмотрением
движения фигуры ? в плоскости $* . С этой точки зрения
уравнения движения тела B1 Л) можно рассматривать как
уравнения движения фигуры X : первые два уравнения: */«*/#Л
Х°* *г*&) суть уравнения движения полюоа в плоскости Я , а
третье>уравнение ift *<ftd) есть уравнение вращения фигуры
вокруг полюса в этой плоскости*
4°. Скорости и ускорения точек тела в плоском движении.
В плоском движении тела углы нутации и собственного
вращения равны нулю: </лх?3*°> поэтому будут равны нулю угловые
скорости и угловые ускорения соответствующих вращений:
Общие формулы A4ДО) и A6.6) для угловой окорости и
углового ускорения тела в рассматриваемом движении упрощаются и
принимают с этветственно вид
Таким образом, в плоском движении угловая окорость и
угловое ускорение параллельны друг другу и направлены
перпендикулярно к плоское и движения фигуры XL •
Рассмотрим скорость точки тела. С учёт и формул B1.5) и
B1.4) общее выражение для скорости принимает вид
- IV? -

Y= V0 +6MJP - У0 ¦*• *>*# . B1.5)
Это соотношение выражает то свойство, что скорость точки М
тела совпадает со скоростью точки М' плоской фигуры Л .
Последняя же складывается из скорости полюса V», _общей
для всех точек фигуры JZ э и зращетельной скорости й>х?,
происходящей вследствие вращения фигуры вокруг полюса.
Установим теперь выражения для проекций скорости на раз -
личные координатные оси.
Проекции скорости на оси $4,ЪлЛ3 определяются
соотношениями A4.17):
Л Л А Л А А^ J\ А л Л Л л
V/v<4Ht W*"**-*^. 3-ХГ*"Л-*Л.
Поскольку компоненты окорооти полюса и угловой скорости
тела в подвижных осях при плоском движении определяются
выражениями
40*0-2-0, (д~а)-**<>, Oi>-=c0rt*i/j9 {21.7)
I * Я ш о 3
то проекции скорости любой точки тела на подвижные
координатные оси будут равны
Рассмотрим проекции скорости на оси Я/,**.*^. В произ -
вольном движении тела они определяются формулами A4Л9):
В неподвижных осях компоненты скорости полюса и угловой
скорости тела при плоском движении имеют значения
- 148 -
B1.6)

поэ'иму в этом движении проекции скорости точки тела на
неподвижные оси имеют выражения
Формулы B1.8) (или 21 ДО) показывают, что скорость точки
лежит в плоскости её движения.
Рассмотрим теперь ускорения точек тела. Общая формула для
ускорения A6*17) при плоском движении принимает вид
a'a^axp^u(^fiycotp^Ro'tsx'R--cd%R. B1.11)
Отсюда следует, что ускорение точек М и М' совпадают друг
с другом. Вектор 5#_ есть ускорение полюса фигуры Z , а
векторы ?*? и -со*# суть касательное и нормальное
ускорения точки М* при вращении фигуры вокруг полюоа. Формула
B1.II) утверждает, tBi.ii образом, что ускорение точки
плоской фигуры равно ускорению полюса, сложенного с касательным
и нормальным ускорениями при её вращении вокруг полюоа.
Выясним, как упрощаются общие выражения для проекций
ускорения на различные координатные оси при плоском движении.
Проекции ускорения на оси ^\Л5 в общем случае
имеют значения A6.18):
л
В плоском движении величины ^ определяются ооотноиония-
ми B1.7), величины же ?* и °? определяются выражениями
- 149 -

С учётом всех этих зависимостей проекции ускорения точки
теле на подвижные координатные оси при плоском движении
будут иметь значения
Обратимся далее к формулам A6.19):
а,=&' *ел гх3 - хл*)-?л fc;-*?M w-fi-1.) -Cxt -x;) a>\
дающий компоненты ускорения точки :ела в осях X{,Xt,*t »
произвольном движении. В рассматриваемом движении
'__" * __* * _ _ .. (гх.ш
величины и\ имеют значенья B1.9), На основании атях
соотношений формулы для проекций ускорения точки тела на непод -
витые оси в плоском движении будут вида
а3*о.
В силу формул B1.12) (или 21.13) заключаем, что
ускорение точки тела, подобно скорости, лежит в плоскости её
движения.
- 150 -

5°. Аксоиды и центроиды в плоском движении.
Рассмотрим винтовые аксоиды в плоском движении тела. Ив*
вестно, что вращение тола вокруг винтовой оси происходит о
его угловой скоростью, а скольжение вдоль оси осуществляется
со скоростью и. , величина которой определяется выражением
и* -^j— • В плоском движении векторы V* и и> ортогональны
друг другу, поэтому скорость скольжения равна нулю: и*~} .
Следовательно, в плоском движении мгновенная винтовая ось
вырождается в мгновенную ось вращения. Уравнение этой оои
имеет вид A5Л):
4>*У0
+JUC&.
щх
ФИГ« 46,
Отсюда следует, что ось
L проходит через точку
Р плоскости Я" ,
определяемую оадиуоом
вектором
B1Л7)
и имеет_ направление
вектора сд , т.е. идёт
перпендикулярно
плоскости Я (фиг.46).В силу
отсутствия скольжения вдоль винтовой оси подвижный и непод -
вижный винтовой аксоиды порождаются в подвижный и
неподвижный аксоиды.
Подстановка в уравнения подвижного винтового акоонда A5Л)
значений B1.7) компонент угловой скорости тела при плоском
движении приводит к следующим уравьлмям подвижного аксоида
в этом движении;
А
V
к
г,
\*щ*
B1.18)
- 151 -

о • •
Величины Vit\? и ^ являются функциями времени, поэтому
правые части в B1.16) содержат дьа параметра: i и
/^.Следовательно, B1.18) являются параметрическими уравнениями
подвижного аксоида. Исключение параметров приводит к явному
уравнению этого аксоида у (tl9$JsO . Поскольку
координата f3 в уравнение не входит, подвижный аксоид
представляет собою цилиндрическую поверхность S^t образующие которой
параллельны оси о$3 (фигЛб).
Чтобы получить уравнение неподвижного аксоида, достаточно
подставить в уравнения неподвижного винтового аксоида A5.2):
значения B1*9) компонент угловой скорости тела и скорости
полюса в неподвижных осях координат при плоском движении. ?
итоге получаем параметрические уравнения этого аксоида в
виде:
*Г*Уу^ ****** ^> *3*Mi- (PI.I9)
Уравнения B1Л9) содержат параметры /ч и t , последний
входит в них через величины Х+ , я? и <?? . После
исключения Параметров приходим к явному уравнению неподвижного
аксоида МЯцХ,)-0 • Очевидно, неподвижный аксоид пт>ед-
ста. ляет собою цилиндрическую поверхность Sx, образующие
которой параллельны оси 0ХА (фигЛб).
Подвижный и неподвижный аксоиды касаются друг друга вдоль
мгновенной -оси вращения. В соответствии с общей
геометрической трактовкой движения тела его плоское движение можно
осуществить перекатыванием без скольжения подвижного аксоида*?'
по неподвижному аксоиду Sx .
Выше было отмечено, что плоское движение тела вполне
характеризуется движением фигуры 21 в плоскости ОН . Рассмотрим
Геометрическое представление движения этой фигуры. С этой
целью введём ряд понятий.
- 152 -

точна Р пересечения мгновенной оси вращения L тела о
пДоогостью ft называете, мгновенным центром врацения
фигуры ? (или мгновенным центром скоростей). Радиус-вектор
•того центра относительно помоса О определяется формулой
B1.17)* На фориулы_следует, что направление Rp попутается
поворотом вектора Ч вокруг полюса 9 на 90° а направлении
врацения фигуры, а его модула имеет значение йр- -у* ' От»
нооитедьно неподвижного центра $ положение -мгновенном
центра врацения даётся радиусом-вектором V **# +Ёр,
Линия 4f пересечения подвижного аксоида $} о плоокоотм»
f,tA (плоскостью Я ) называется подвижной цеитроидой» Оче •
видно, ата центроида представляет содою геометрическое маото
мгновенных центров врсвенвя Р на связанной о фигурой 71
плоскости fj?2. Параиат^шеокими уравнениями ПОДВИЖНОЙ
центроиды будут первые два уравнения подвижного аксоида Bt«18)t
Иоключив из них время, получим явное уравнение линии if *
Линия 4Х пересечения неподвижного акооида Зл 0 плоокоо-
тью zt*t (плоскостью я ) называется неподвижной центров -
дой. Последняя представляет ообою геометричеоное MOOtO мгно •
венных центров врацения на неподвижной плоскости *,*А •
Уравнениями неподвижной центроиды в гараметричеокой форма будут
два первых уравнения неподвижного акооида BI.I9)i
Явное уравнение линии Sx найдётов исключением времени иа
атих уравне тй и <&дат иметь жид А(х,,хй)чО.
Обратимся теперь к рассмотрению движения фигуры ? • При
перекатывании беа скольжения аксоида ^ по аксоиду Зх цент*
роида Jf , очевидно, катится бее окольжения по центроида J&
Таким обравом, перемецение фигуры Z в ллосхооти Я* можно
ооуцеотвить перекатыванием беа оиольжения подвижной центроиды
по неподвижной центроиде.
- 153 -

Ранее отмечалось, что скорости точек тела, принадлежащих
мгновенной оси вращения, равны нуль. Следовательно, будет
равна нулю окорость точки фигуры, совпадающей с мгновенным
центром вращения Р'Ур*о . Беря точку Р за полюс
фигуры Z! , можем представить общее выражение B1.5) для
скорости любой её точки в виде
V~cOx# , R =РМ, B1.22)
т.е. в каждый момент времени скорость любой точки, плоокой
фигуры еоть скорость вращения вокруг мгновенного центра
вращения. Таким образом, знание мгновенного центра вращения
плоской фигуры позволяет упростить вычисление скоростей её точек*
6°. Мгновенные ось и центр ускорений в плоском движении.
При плоском движении тела его угловая скорость и угловое
ускорение параллельны друг другу* Следовательно, в этом
движении выполняется условие сд*?*0 . Кроме того, угловая
окорость фигуры ортогональна ускорению полюса : а.ф<*>=о. На
ооновияии теоремы 12 в этом случае в теле существует
мгновенная ось ускорений Н , уравнение которой даётся формулой
A7.9):
Р*^[*% +№****] + **'
В рассматриваемом движении *0я*3 , ? ж?з*$ ? поэтому
(e-t9) т° х а0 * F • ?J) isxa^ * е ха0
и уравнение мгновенной оси ускорений Н принимает вид .
Р Л+гж& п . BIe23)
Из уравнения следует, что ось Н проходит через точку О
плоскости 4~ , определяемую радиусом-вектором
ъ _ *ГЯ.*А, t
и идёт в направлении, перпендикулярном плоскости X' (фмг.%7)
- 154 -

Точка Q пересечения мгновенной оси уокорений о
плоскостью J называется мгновенным центром ускорения фигуры Д.
Проектируя равенотво B1,24)
на направления ^ , получим
координаты мгновенного центра
ускорений в подвижных осях в
* а^виде
*•
*<»:
е*+а>'
B1.25)
J + 9
* ti>4Lk +?Q\
?*ta>«
Отсюда легко видеть, что мгновенный центр ускорения
плоской фигуры отстоит от её полюоа на расстоянии
vrt^t?1
ь.
а направление вектора #Q образует о направлении ускорения
о)
полюоа а, угол cL 9 для которого
а»«в а,?в ?*^
По отношению к неподвижному центру ? мгновении! центр
ускорений определяется радиуоом-вектором
Y^
VV*« "\*
CUQ..+&XOL,
а его Hoopj, .нвты в неподвижных осях имеют еыачеиия
о 0 <fa*-sal
X ~ ? +
*ь **д
(а.26)
B1.27)
?**4д*
Поскольку правые части равенств B1.25) и B1.27) зависят
ит времени, то координаты мгновенного центра уокорений
меняются со временем как в подвижной, так и i неподвижной
системе координат. То есть этот центг перемещается со временем
155 -

как относительно плоской фигуры, так и на неподвижной плоскости.
Геометрические места мгновенных центров ускорений
относительно подвижной (fif fг) и неподвижной (ЛА% хл) плоскостей
называют соответственно подвижной и неподвижной центроидой ускоре -
ний. Уравнениями цептроид ускорений будут равенства B1.25) и
B1.27).
Пусть мгновенный центр ускорений Q известен. Тогда, взяв
его за полюс фигуры, будем иметь ?в*0, и общее выражение
B1.II) для ускорения произвольной точки М фигуры будет
а*бх$*-*>*?' , $'--QM. B1.28)
Следовательно, в каждый момент времени ускорение любой точки
фигуры складывается из вращательного и центростремительного
ускорений, т.е. ускорения точек фигуры таковы, как будто фигура в
окрестности данного момента времени вращается вокруг
мгновенного центра ускорений.
Таким образом, знание мгновенного центра ускорений позволяет
упростить вычисление ускорений точек плоской фигуры.
7°. Некоторые свойства мгновенных центров скоростей и
ускорений.
Мгновенный центр скоростей (вращения) и мгновенный центр
ускорений являются вообще различными точками. Это легко усмотреть
из выражений B1.17) и B1.24) для их радиусов-векторов. С те -
чением времени оба зги центра перемещаются как по отношению я
плоской фигуре так и на неподвижной плоскости. Поэтому мпюмж
ные центры скоростей и ускорений не являются фиксировавшим!
точками ни плоской фигуры, ни неподвижной плоскости. Тем* ъ$»
разом, следует отличать мгновенные центры скоростей и уеиеунмшШ
от тех точек фигуры и неподвижной плоскости, с которыми они »
данный момент совпадают.
Рассмотрим кинематические характеристики тех точек плоской
фигуры Р и Q:
5 ЛЩ. , ?0= *У««- , B1.29)
с которыми в данный момент совпадают мгновенные центры скоростей
и ускорений, а также установим связи между ними.
- 156-

Скорость точки Р фигуры, совпадающей о мгновенным
центров окоростей, очевидно» равна нулю: Ур*0 # Уокоренне
же згой точки* вычисляемое по общей формуле
имеет эначевме
V*» * Ч^ш * 5Х^ • <2*«30)
Таким образом, уокоренне точки фигуры, совпадающей о
мгновенным центром скоростей, вообще отлично от нуля.
Рассмотрим теперь точку Q фигуры9 совпадающую о
мгновенным центром ускорений. Ее скорость определяется выражением
и,как показывают простые вычисления,имеет значение
j»*^-^
B1.31)
Таким образом, скорость точки фигуры, совпадающей о
мгновенным центром скоростей, вообще не равна нулю. Уокоренне же
точив О Фигуры, очевидно, нулевое: 2в *о •
Можно установитьjipocwe ооотноиения, связывающие между
собой величины Uf и Чл. Обращаясь к формуле B1.30) и полагая
ложа* 0 еовоадающим о мгновенным центром уокорений Q , полу-
чшт тушшт йр через VQ в виде
Обратная зависимость VQ от ар может быть получена из
B1 .31), е-лн здесь выбрать полюс О , совпадающим о
мгновенным центром скоростей Р . Эта последняя имеет вид
4 *****
- 157

Лолученные формулы показывают, что если одна иа величин
&р*Уо равна нулю, то равна нулю и другая, т.е. эти величины
обращаются в нуль одновременно.
Рассмотрим теперь движение самого мгновенного центра
скоростей. Вычиодим скорость этого центра и докажем, что черев
неё могут быть выражены как ар, так и VQ.
Мгновенный центр скоростей Р при овоем движении по
неподвижной плоскости описывает неподвижную центроиду ix.
Обозначим через Тй окорость Р в атом движении. Эту ^корооть
можно вычислить, дифференцируя по времени радиус-вектор
мгновенного центра вращения относительно неподвижного начала О ;
V**»* &Р Выполняя дифференцирование, найдём
Если учесть, что в плоском движении й>*и>3*?3 , 2*?3*13 ,
то последний член в квадратной скобке может быть преобразован
к виду
&(&?)atxV0*?id%Ji3xV9 =?cO*dxVPf
после чего окорость принимает значение
Вектор Ур направлен по каоательной к неподвижной центроиде
4 Проекции скорости на неподвижные оси имеют вид
По заданным уравнениям движения плоской фигуры~скорость Vf
этими формулами вполне определяется»
Величину скорости "V^ можно вычислить иа чьото
геометрических соображений. В соответствии а естественным способом
нахождения скорости имеем
db dS* dif, _ dSx
УР~ dt " d<ft dt ~ dfA '
ISH

где tft - угод поворота плоско!
фигуры.
Рассмотрен два смежных положе-
вак плоской фвгуры (фиг.48), со-
ответотвущих момевтам времена
t я t'*t +dt 9 npa которых
подважвая цеятровда касается не-
подвяжвой цеятроядн в точках Р
в РА ¦ Обоаяачам черва с% жся
центры кряввавн центроид ^ а 4Л%
Д я рл - их радиусы кривизны,
df% ¦ ^ff -УГЯ1 ЧР»м (углы
смежности). В результате
поворота плоской фвгуры дияия4? поверяувяась яа угод dfi9
перейдёт в положение ^Рл\ тогда как С^Р ваймёт положение (?//>'•
Легко видеть, что при ввеяием хасаявя дентроид (указанном яа
фиг,48) будем иметь
Фиг. 48.
Поскольку при качении подвяжвой центроида по неподвижной
окодьжеиие отоутотват, то d$% *dt.
X t
следовательно,
ч-^ti'i)-
Если имеет место случай внутреннего яасаяия центроид, то-
Таким образом, модуль окорости V, имеет значение
Установим теперь выражение Sf через Ур . Полагая вB1.54)
полно О еоападаяцим с мгновенным центром окороотей Р,
найдём
г;--
-159

Отсиди* после векторного умножения равенства на Д>, устеиав-
лвваем, что
fra^o
В оилу ортогональности векторов cb и 5^
предыдущая формула даёт искомое выражение в вида
(«•*)
Скорость % направлена во ва-
сательвой к центроида 4Ль т%е,
лежит в плоскости *Г .
Угловая хе скорость фигуры
перпендикулярна к * . Формула
B1.35), следовательно,
утверждает, что ускорение Вр
направлено до нормали к 6Л> Но
Фиг«49.
в точке Р ode центроиды *f и Sx касаются друг др>л,
следовательно, у них нормаль общая. Таким обрезом, приходим к
выводу, что ускорение точки фигуры, совпадающей с мгновенным
центром окороотей,иаправлеио вдоль общей нормали центроид
(фиг. 49 ). Величина уокорания о, будет равна произведению
величин Тр ш &) или с учётом B1.35) - выражению
ар *Vpa) *Ла*.
B1.3?)
Таким обравом, имеет место следующее любопытное свойотво:
ускорение точки плоской фигуры, играющей в данный момент роль
мгновенного центра скоростей, не аавноит от углового ускорения
фигуры, а только от мгновенного значения угловой окоростй
фигуры и кривизны центроид. Получим, далее, представление %
черев Ур.
Обращаяоь снова к формуле B1.34) и полагая полюс фигура.
совпадающим о мгновенным центром ускорений, получим
V«V - г*ув .
V У4* 1
- 160 -

?*¦«¦ ыь jp*M«rae wmo*tt.:M» f^. Дли «того достаточно
умножить его векторно на ?•'
jr,_:_r. i ГГ...Т.Г-.1 гг. . г 7
i^,ixve -~4ix<ix},4''?% + Ь**
и подставить в правую часть ввятое на исходного равенства
выражение
?'Уа**УУв-Гр).
Тогда окончательно будем иметь
- с*?Ур+<о*(ё*Ур)
B1.38)
Формулы (а.36) и B1.38) решают поставленную задачу.
8°. Круг перегибов в плоском движении.
Рассмотрим ещё ряд интересных свойств плоского движения.
Определим геометрические
места точек, в которых про-
екции ускорения на
касательную или нормаль к траектории
равны нулю.
Примем за полюс мгновен-
$^ ный центр скоростей. Тогда
" обозначая через р радиус
вектор произвольной точки М
фигуры по отношению к
полюсу Р , адя ускорения этой
точки будем иметь выражение
Фиг.50. а*ар+?хр-**р.
Пусть в рассматриваемый момент подвижная ось $?
направлена по нормали к центроидам и в - тот угол, который образует
с атой осью вектор р •
Заметим ещё, что поскольку скорость точки ортогональна к
радиусу р вращения вокруг центре Р , касательная к её
траектории в атом положении будет также ортогональна Р; что
касается нормали к траектории, то она будет параллельна р
- Ш -

(?*1гЛ9). Проектируя теперь ускорение на касательную и
нормаль и учитывая B1*5?), будем иметь:
CL^CL SCn.9'tp% CL^I-GL COSe+afpl* ufl-AcOSB* pi #
Геометрическое место точек с равный нули нормальным
ускорением определитоя на условия ап-0 в виде
p*kcos9 . BI-39)
Это соотношение представляет собою уравнение окружности <?,
в полдрных координатах. Окружность имеет диаметр к и центр
0А , лежащий на оси $it и проходит через полюс Р . Поскольку
у точек окружности С1 скорости отличны от нуля (исключая
точку ? )i а нормальные ускорения их равны нулю, то кри -
визна траекторий этих точек будет равна нулю, т.е.
траектории точек плоской фигуры, расположенных на окружности С? 9
имеют в этом положении точку перегиба. Кривую Ct называют
кругом перегибов. Отметим, что диаметр круга перегиоов и его
расположение связаны только с геометрическими
характеристиками движения фигуры и но зависят от скоростей и ускорений.Из
опроделения круга перегибов вытекает также, что все лежащие
на нем точки имеют ускорения, направленные по касательным к
их траекториям.
Рассмотрим теперь геометрическое место точек с нулевыми
касательными ускорениями. Определяя его из условия Я»****
находим, 4vo это будет окружность Ct с уравнением в полярных
координатах
pz-j-Stn9. B1,40)
Эта окружность имеет центр Ог , расположенный на оси ?я и
также проходит через полюс Р . Окружности С? и Cz
пересекаются в полюсе под прямым углом. Линия Cz разграничивав
точки плоской фигуры, движущиеся в данный момент ускорено, от
точек, движущихся замедленно. Окружность ^ , как это
следует из ее уравнения, зависит как от геометрических, так и от
кинэиатических характеристик движения фигуры.
Точке # пересечения окружностей &t и <?г (отличная от
полиса) имеют ривыыо нулю и касательное и нормальное
ускорение. Слодряктелыю, она является мгновенным центром ускорений
- 162 -

Располо: зние окружностей и центроид показано на фиг.50.
S0. Карданово движение плоской Фигуры.
3 качестве примера плоо-
кого движения рассмотрим
карданово движение.
Кардановым называют
такое движение плоской
фигуры, при котором две её
точки перемещаются по двум
взаимно перпендикулярным
прямым.
Примем эти прямые за оси
Ътк и ЪХ} системы отсчёте
(фиг.51). Пусть точка А
движется по оси bxt t а
точка В - по осе йхА .
Неизменное раоотоянио между
точками А и В обозначим
Фиг.51. через Zl .
Примем за полюс фигуры Z середину О отрезка АЬ я
направим оси 0$d ,0$z сопутствующей системы координат порпен-
дикулярно к этому отрезку и вдоль него. Тогда уравнения
движения фигуры будут иметь вид
X?*lSintft , xZ*lcosift , %*</>/{), B1.41)
где if^i) - произвольная функция вромени. Отсюда видно, что
из трёх функций xfd)^X^(i), <ft(i), определяющих плоское
движение фигуры, независима только одна. Следовательно, кор-
даново движение фигуры обладает только одной степенью овободы.
Рассмотрим движение произвольной точки Mf$i# f?) фигуры
и установим вид её траектории. Общие уравнения движения точки
фигуры B1.2) принимают в данном движении вид
- 165 -

Для получения явного уравнзния траектории точки достаточно
исключить из этих уравнений параметр % . С этой целью
разрешим вначале уравнения относительно Лл^ и cos<fti
а затем исключим <? с помощью тождества Sin (f^+vos (ft=li
[%*i-ft*v*fti*,-<t-tM>*J*-(fr W- B1Л2)
Полученное уравнение можно представить в форме
Axt*tBx*-2Cxtxz =S5,
где положено
Отсюда видно, что траекторией точки служит кривая второго
порядка. Для определения её вида составим дискриминант
уравнения; имеем
СЛ-АВ *-(?*?-Iя)* .
Для точек фигуры, не лежащих на окружности С : ? * ?Л -I ,
дискриминант отрицателен, следовательно траекторией точки
является эллипс. Центр этого эллипса находится в начале
координат, поскольку уравнение траектории не содержит членов первой
степени относительно Xt и ^,а оси симметрии эллипса
повернуты на некоторый угод относительно координатных осей, гак
как Сфо ¦
Рассмотренное карданово движение имеет приложение в
эллипсе графе-приборе, служащем для вычерчивания эллипсов.
В частной случае, когда точка М принадлежит отрезку Л8,
?у *° и уравнение эллипса принимает вид
\\v\)} очивичко, можно представить в форме
- 16* -

отку*.* **дно, что осями симметрии эллипса являются
координатные оди В другом частном случае, когда точка М лежит на
окружности С* , уравнение траектории B1Л2) будет
Это уравнение распадается на уравнения двух совпадающих
прямых* проходящих через начало &'•
Действительно, из уравнения окружности С* находим
Подстановка этого значения $? в уравнения прямых приводит
каждое »з них к виду
Таким ©бравом, точки «fotrypu, принадлежащие кругу С ,
описывают прямые линии, проходящие через начало координат.
Рассмотрим теперь вид центроид в кардановом движении.
Уравнения подвижное центроиды B1*20) о учётом выражений компонент
скорости полюса в сопутствующих осях B1.6) имеют вид:
Подставив в эти равенства значения компонент скорости полюса,
вычисленные по уравнениям движения фигуры B1.41):
будем иметь:
Исключая, наконец, из этих равенств параметр fg , приходим
к соотношению
(О' ¦а//-/*. B1.45)
- 165

Это и еоть уравнение подвижной центроиды ^ . Таким образом,
подвижная центроида в кардановом движении представляет собою
окружность радиуса I , центр которой находится в полосе О ¦
Очевидно, центроида Ц совпадает о окружностью С* % точки
которой движутся по прямым линиям, проходящим черва начало
координат.
Найдём теперь уравнение гзподвижной центроиды. Общие
уравнения этой центроиды B1 .Л):
р » 4° ~* ~° &
х = tz —— » % - %« + ——
в рассматриваемом движении принимает вид
После исключения параметра ft отсюда находим следующее
уравнение неподвижной центроиды Sx:
Таким образом, неподвижная центроида представляет собою
окружность радиуса 21 с центром в начале координат ? •
Итак, в кардановом движении обе г.ентроиды суть окружности.
Подвижная центроида имеет радиус в два раза меньше радиуса
неподвижной центроиды и лежит внутри неё (фиг.52).
В соответствии с общей геометрической трактовкой плоского
движения карданово движение можно осуществить перекатыванием
без скольжения окружности St по окружности S? . Качение
подвижной центроиды по неподвижной можно осуществить, заменив,
например, окружности Sf и Sx подвижным и неподвижным зубча-
тыии колесами и покатив первое по второму с помощью рукоятки
оо (фиг, 52).
Рассмотрим, наконец, круг перегибов CL в кардановом
движении.- При вращении фигуры в направлении против стрелки чассп
её угловая скорость <л направлена вдоль полол..тельного
направления оси хз . Мгновенный центр скоростей Р при этом
движется по окружности $л jio управлению часовой стрелки. Поэтому
векторы 5, Уи и ap'''V?xa> будут иметь направление, иэаб-
раже иные на фиг. 5?..
- !ь6 -

Возьмём теперь начало
сопутствующей системы
координат в центре Р и напра-
bhj ось ft вдоль вектора 2р,
а ось ^ - перпендикулярно
к нему. Тогда в полярных
¦»* координатах р, 9 уравнение
кр>/а перегибов имеет вид
i B1.39):
р* h cos В .
В кардановом движении
центроиды суть окружности,
радиусы которых равны:
Рл-н . P4-i.
Эти окружности гаомхкя друг друга внутренний образом,
поэтому величин» к. «мм* значение
Фиг.52.
4-
P.Pf
= ге.
Следовательно* круг перегибов С? представляет собою окружность
радиуса I , проходящую через полюс Р, с центром на оси Pfy.
Легко видеть, что wo окружность совпадает с подвижной центро-
идой. Это еотествеюю было ожидать, так как все точки круга ^
движутся прямолинейно, вое же другие точки плоской фигуры
описывая* илшшш-иршш^ше имеющие точек перегиба.
Что касается круга <J, на котором обращаются в нуль каоа -
телыте ускорения, то ого уравнение имеет вид B1.40):
Р*—— SinB
и, следовательно,радиус круга будет зависеть от вида закона
вращения фигуры вокруг полюса. В частнооти при равномерном
вращении 6-0 ш ntpjr Сг превращается в ось Pf? -
- 167 -

Глава 3. Сложное движение точки.
Если рассматриваемое движение точки является достаточно
сложным! то естественным является стремление представать «го
через другие более простые движения» т.е. рассматривать
данное движение как результирующее некоторых других
одновременно происходящих движений. Так возникает задача сложения
движений. В других случаях сложное движение удается представить
как одно из составляющих движений и определять его яо более
простым результирующему и другому составляющему движхажям.
Эту задачу, обратную первой, называют задачей разложения
движения на составляющие. Рассмотрим эти вопросы подробнее.
Фиг.53.
§ 22» Относительное, переносное и абсолютное
1°. Основные понятия.
Пусть точка А/ лмтетоа
относительно некоторой
неизменяемой среды 5 ,т* есть
относительно неизменно
связанной со рредою скотомы
координат о\й $я jf#. Среда Sf
в свою очередь, движется по
отношению к неподвижной
системы отсчёта "Me-tj ,
обязанной о телом оточёта
<фиг« 53).
Движение точки по отношению к неподвижной системе координат
бх?хА%5 называют абсолютным, а движение её по отношению и
подвижной координатной системе °$жК?з ~ относительным.
Движение самой подвижной системы о^ ?2 ^ относительно основ
ной системы отсчёта Яаг,^*, называют переносным. Относи -
тельное и переносное движения называют ещё составляющими
движениями, а абсолютное движение - результирующим движением.
Рассмотрим в качестве примере сложного движения точки
движение лодки по реке. Роль точки в атом случае играет лодка, а
роль среды-вода. Лодка движется и относительно воды и вместе
с воюю относительно берегов. Свяжем с берегами неподвижную
систему координат, а « ъодокъподвидиую систему. Тогда движение
- US -

лодки относительно воды (собственное движение лодке) будет
относительным; движение ло^ки вместе с водою (снос лодки
течением) - переносным^наконец, движение лодки относительно
берегов - абсолютным.
Рассмотрим теперь характеристики различных движение точки.
Предварительно введём важные понятия об относительной и
абсолютной производных от вектора.
2°. Относительная и абсолютная производима от вектора.
Всякий переменный вектор S ? явдяюцийоя функцией времени,
может быть разложен по ортам либо неподвижной, либо подвижной
оистеш координа . В первом случае от времени будут зависеть
только его компоненты, во втором-как компоненты* так и бгзис-
вые орты:
Изменение одного и того же вектора по отношению к
различным системам координат происходит вообще по ра&..ичвым еаяонгч.
Различными будут и производные, характеризующие темпы этих
изменений. Таким путём приходим к представлению о производных
вектора в равных смыслах.
Изменение вектора С относительно подвижных ооей
характеризуется так называемой относительной производной:
^ Г^Р . B2.2)
dt ~ir dt *
Ори вычислении этой произве эой дифференцируются только
компоненты вектора в подвижных осях, базисные же орты этих
осей считаются постоянными. Темп изменения вектора б а
неподвижной системе отсчёта даётся обычной или абсолютной про*
изводвой:
*?. = Г *$Li. B2.3)
dt *sr dt. л
Установим теперь связь между отва нтельной и абсолютной
производными. Для этого вычислим абсолютную производную
вектора, заданного разложением в подвижном базисе.^Выполняя
дифференцирование и учитывая переменность ортов ^ b яепод-
-169 -

ьлжвой системе отсчёта, будеи ииеть:
dT'Ldt "*¦ i? •* dt '
Первая сумиа правой части является относительной производной;
преобразуя вторую сушу с помощью формул Пуггсона A4.6)!
находим
л
Следовательно, искомая связь производных имеет вид
at cut _
т.е.абсолютная производная вектора С ^складывается из его
относительной производной и члена сдхс , характеризующего
вращение подвижных осей.
В заключение отметим, что относительное дифференцирование
введено только для вектора, т.е. при дифференцировании по ~
времени скалярной величины различия между символами-4т- и ~-
нет.
3°. Характеристгщ относительного движения точки.
Рассмотрим относительное движение точки, т.е. её двминие
относительно системы 0^?2?3- При изучении относительного
движения отвлекаются от движения самой координатной системы
°$Лг$з г считая её неподвижной, поэтому базисные орты ^
должны считаться постоянными величинами.
Положение точки относительно подвижной системы координа.
определяется координатами ^ , ?л, f3 . Зависимости
называются уравнениями относительного движения. Эти три
скалярные уравнения эквивалент , векторному уравнению относи -
тельного движения
Откладывал вектор р от начала О f получим его годограф
Lx - относительную траекторию точки.
- 170 -

Скорость и ускорение точки по отношению к подвижной сио-
теие координат обозначают врез Vt и at и называют соот -
ветотвеннэ относительной скоростью и относительным ускорением.
Легко видеть, что относительная скорость определяется как
относительная производная от радиуса-вектора точки:
K-JT-Z-tc^, B2.7)
а относительное ускорение - как относительная производная пС
времени от относительной скорости или как вторая относительная
производная от радиуса вектора:
Таким образом, все характеристики относительного движения
точки определяются по обычным правилам кинематики точки,ибо в
последней на выбор координатной системы не накладывалось никаких
ограничений.
4°. Характеристики переносного движения точки.
Для задания переносного движения-движе. ия среды S иди овя-
занной с нею подвижной системы координат требуемся знание
уравнений движения полюса О в системе &3jftXj ¦ уравнений ври*
ценив системы вокруг полюса. Эти последние имеют вид
где Ч/ - эйлеровы углы, определяющие ориентацию подвижных
осей координат относительно неподвижной системы отсчёта.
В результате относительного движения точка М оовпадает о
различными точкам среды S , последние же движутся, вообще
говоря, по-разному. Поэтому переносными уравнениями движения,
переносной окоростью и переносным ускорением точки М
называют уравнения движения, скорость я ускорение той точки ородм, о
которой точка М в данный момент совпадает.
Так как неизменяемая ореда? дв1ж*тсв подобно твердому телу,
то все характеристики её движения определяются так же, как
соответствующие характеристики твёрдого тела. Именно, уравнения
- 171 -

.вижения точки М среды находятся по уравнениям B2,9) в
виде
где у* -матрица определяется через эйлеровы углы if?
формулами A0.9). Зти скаляраые уравнения экврпонтны векторному
уравнению
»¦ v/"Z <(i)*+ *? *> K(i) • B2,II)
Поскольку ъ переноском двигзнии точку М "переносят на себе"
различные точки среды, то говорить о её переносной
траектории смысла не имеет._
Обозначим через Ye и ^ переносную скорость и
переносное ускорение точки. Эти величины определяются, очевидно,
выражениями
VVo>€*/> , а^а.+б^'р+^хЩ*})* B2.12)
где ч*рез сос и ?е обозначены угловая скорость а угловое у. -
корение среды •? , a V9 и й, -скорость и ускорение полюоа
О . По уравнениям движения среды^ B2.9) все эти величины
полностью определи зтея: величины V. и а9 - выражениями
a rit и <?с - по кинематическим формулам A4,13) i (I6.I0) о
заменой углов tt на углы ?*.
5°. Характеристики абсолютного движения точки.
Абсолютное движение точки М определяется её уравнениям!
движения относительно неподвижной системы координат Xj*h*j
Z^Xjt) Ы*1.*.ъ) «и %ЛИ) . B2.13)
Эти уравнения определяют траекторию L точки в
неподвижной системе, называемую абсолютной траекторией.
Скорость и ускорение точки по отношению к неподвижной
системе координат обозначается, как обычно, через V и Л я
называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.
- 172 -

Абсолютная скорость равна абсолютно! производной по
времени от радиуса-вектора тогги
^г?*Л, дал)
а абсолютное ускорение определяется абсолютной производной по
времени от абсолютной скорости или второй абсолютной
производной по времени от радиуса-вектора:
a-^L^f = Г $ I (га-»)
at <и* т * л'
§ 23. Зависимость между уравнениями относительного и
рбсо^ютнргр W*$m Т9ч«Е-
1°. Определение уравнений абсолютного движения по
уравнениям относительного и переносного движений.
Дусть известны относительное я переносное движения точки,
т.е. заданы уравнения движения точки относительно среда S
B2.5) и уравнения движения самой среды B^.9). Тогда, беря
уравнения переносного движения в рассматриваемый момент
времени B2.10):
vV'tf ¦?*,?*> *****
и поставляя в ни., уравнения относительного движения точки
*S*jM+Lt/*)fc(*> ^^«. B3J)
Полученные уравнения позволяют определить положение точки
относительно неподвижной системы координат в любой момент
времени, поэтому они являются уравнениями её абсолютного
движения. Уравнения абсолютного движения B2.16) аашюаиы в ко*
ординатной форме, векторная их форма t tear вид:
«с * и р р р
B3.2)
- 173

Таким образом, знание уравнений относительного и
переносного движений точки позволяет установить уравнения её
абсолютного движения.
2°. Движение точки обода колеса автомобиля.
В к честве примера на
сложение движений
рассмотрим движение точки обода
колоса автомобиля на
прямолинейном участке пути.
Свяжем с поверхностью
земли неподвижную систему
/ / ////////Г/// / > / п * 1* координат охлхл*л у а с
Фиг#5А-. кЪрпусом автомобиля -
подвижную систему °Ь$р}з (фиг.54). Тогда движение точки
обода колеса по отношению к корпусу автомобиля будет
относительным, а её движение относительно поверхности земли-абсо-
люткьш. Движение самого автс :обиля будет переносным. Таким
обизом, довольно сложное абсолютное движение точки обода
колеса можно представить как результирующее двух простых её
дзижокий: вращательного относительного к поступательного
переносного.
Пусть заданы уравнения движения точки обода колеоа
относительно корпусе автомобиля
R
h-°>
B3.3)
где u*const -скорость автомобиля, а
уравнения движения сапог корпуса:
¦°.-ut -•— -е
-радиус колеса,
*/
**.
*;*о;
if?-*, <?'0,if.o
Установим вид уравнений ее абсолютного движения. Так как
i?*o (d'12.3) 7 то Iе -матрица вырождается в
единичную матрицу: ^ ~^*fi fdm'P ****) и уравнения B2Лб)
абсолютного движения принимают вид
X -X +%
(сС^АЗ).
- 174 -

Подставив сюда выражения для относительных координат точки и
координат полюса, подучим окончательные формулы
x*e(i~cosf) , xz*#(jf~toj), *г°> B3.*)
определяющие абсолютное движение точки.
Заметим, что относительное движение в рассматриваемом
случае является равномерным круговым движением. Исключив из
уравнений B2,18) время, находим, что относительной траекторией/^
будет окружность, совпадающая с ободом колеса (фиг. 54)i
$* ¦*/¦** > h'° •
Переносное же движенье являе*оя равномерным покупательным
движением. Траектория каждой точки корпуса автомобиля есть
пряная« параллельная оси хА •
Обращаясь к уравнениям B3.4)' абсолютного движения и
исключая из них время, получим абсолютную траекторию Ь в виде
Эта кривая называется циклоидой. Чаще, однако, уравнение
циклоиды берут в параметрической форме B3Л) ¦ Движение точки
по циклоиде называют циклоидальным.
Таким образом, при сложении раиомерного кругового движения
и равномерного прямолинейного поступательного движения
результирующим будет циклоидальное движение (фиг.54).
3°. Определение уравнений относительного движения но
уравнениям ^Чоолютиого и переносного движение*
В ряде сл*чаев приходится решать обратную задачу* по иэвеот-
ным сравнительно простым* абсолютному и переносному движениям
определять более сложное относительное движение.
Итак, пусть заданы уравнения абсолютного и перенооиого
движений точки:
- 175 -

Установи уравнения её относительного движения.
Уравнения абсолютного движения точки можно преде авить
через составляющие движения в форде B2.16). Запишем эти
уравнения в виде
$*>с
Умножим теперь обе части этих равенств на величины /^ и
просуммируем по индексу <* полученные результаты. Тогда
получим соотношения
По свойству / -матрицы 21 Y* Y,? Х<?Я(Г . поэтому
№&с-1г - -----~
и продыдущие соотношения имеют вид
L-Z
е
у- &-*:)
(*1&*). B3.5)
Правые части полученных уравнений суть известнее функции
времени, поэтому с их помощью можно определить положение точка
относительно подвижной системы координат з любой момент
времени. Следовательно, эти уравнения и будут уравнениями
относительного движения. Векторная форма этих уравнений имеет вид:
гЕ \wk<>'T.^<>\-'v&- ш • «*•«
tip w "•" ' *
Таким образом, знание уравнений абсолютного и переносного
движений точки позволяет установить уравнение её
относительного движения.
4°. Движение резца по поверхности обрабатываемого вала.
Определение
относительного движения по
абсолютному и переносному движениям
проиллюстрируем на примере
движения резца по
поверхности обрабатываемого цн -
диндрического вала*
Пусть неподвижная систе-
Фиг. 55.
-176

ма координат oxtxuxs связана с корпусом станка, а
подвижная система 0fcfa?3 - о .ращаюцнмся валом (фиг.55). Будем
рассматривать резец как точку. Тогда движение резца по
поверхности вала будет относительным, вращение лада-перенооным, а
движение резца по отношению к корпусу станка-абоолюгги.
Пусть уравнения абсолютного и переносного движений имеют
соответственно вид:
*Г<>, х^И , x^ut;
л/г х^ х$° *о, tf«tfft, iff*o , 15е- оч
B3.7)
где и и а> -постоянные величины. Это вначит, что абсолютное
движение резца представляет собою равномерное прямолинейное
движение со скоростью и по прямой /• , параллельной оси
вала. Прямая U и является абсолютной траекторией резца. Что
каоается переносного движения, то оно представляет собою
равномерное вращение со скоростью и) вокруг неподвижной оси oXj
По заданным эйлеровым углам ?е , |е -матрица определяется
в виде \\ 4 а
cat (Л Si* а)с о
г-
- sinuit
court
B3.8)
На основании уравнений B2, ?2) и B2.23) уравнения относи
тельного движения резца B2.20) принимают жид:
B3.9)
- 177

Полученные уравнения есть уравнения винтовой линии Lx .
Следовательно, при движении по обрабатываемойу валу относи*
тельной траекторией резца будет винтовая линия (фиг,55).
Таким образом равномерное прямолинейное движение точки
раскладывается на равномерное вращение и винтовое движение.
5°. Неопределимость уравнений переносного движения по
уравнениям относительного и абсолютного движений.
Уравнения абсолютного, относительного и переносного
движения точки связаны соотношениями B2.16):
* р pit*
Эти три соотношения позволяли находить три уравнения
абсолютного (относительного) движения по заданным переносному и
относительному (абсолютному) движениям. Определить же перенос-
рое движение по абсолютному я относительному движению одкой
только точка, вообще говоря, *евогкожно, так как положение
неизменяемой, среды определяется шестью независимыми
параметрами zf следовательно,, движение задпется шестью функциями
времени, а уравнений B2*?А) для их определения всего три.
О 2*1 • Зависимости ме^#?у ско.ррст.к1/.и ?> tсостоялящих
рва ультирукжюм двизеоииих.
1°. Теорема сложения скоростей
Если точка одновременно участвует в дв^х движениях:
относительном и переносном, тг между скоростью реаультируодлч;-
абсолютвого движения и скоростями слагаешь движений
существует определённое соотношение. Эта связь устанавливается-сле-
душей теоремой сложения скоростей.
Теорема 15, Если точка совершает сложное движение, то ь
каждый момент времени её абсолютная скорость рздза векторной
сумма переносной и относительной скоростей: V* \? + Уг *
Доказательство. Возьмём уравнение абсолютного движения
точки в форме
- 178 -

Беря абсолютную производную по времени от этого равенотва,
находим
dt
dt,
dt
1*.?*1*Л
Так как
где через Q обозначена угловая скорость подвижной системы
координат, то предыдущее равенство может быть представлено в
форме
ЦЧ^^Ц*
B4 Л)
В § 22 было установлено, что первые два вектора правой
части составляют переносную скорость точки, а пооледний
вектор-относительную скорость (формулы B2.7) и B2Л2)):
Следовательно, приходим к требуемому результату
Теорема доказана.
B4.2)
Полученное равенство
геометрически означает; что абсолютная скорость
является замыкающей ломаной линии...
звеньями которой являются переносная
и относительная окоростм (правило
треугольника скоростей, фиг.56).
Из этого представления следует,что
для определения модулей скоростей и углов между ними можно
пользоваться тригонометрическими методами. В частности, если
известны модули переносной и относительной окоростеЬ и угол
if между ними, то модуль абсолютной скорости определяется
но теореме косинусов в виде
Фиг.56.
V*»v/0? +2V4V€costf
B4.3)
- 179 -

Для аналитического вычисления абсолютной скорости
достаточно определить её компоненты в подвижных или неподвижных
осях координат. Компоненты скорости в осях^Е^ получаются
скалярным умножением выражения B4.1) на орты д^. этих осей
и имеют вид
Аналогично, скалярным умножением B4.1) на орты Л^ непод -
вижных осей получаем компонента скорости в неподвижной
координатной системе в форме
U <* jj *** г * т' ^ V «г*
Из формул B4,4) или B4.5) следует, что при известном
относительном и переносном движениях абсолютная скорость полно -
стью определяется*
Рассмотрим теперь-случай, корда точка одновременно_участ-
вует в я. движениях со скоростями соответственно ^^,...,Уа#
Последовательным сложением этих движений: первого с вторым,
затем результирующего с третьим и т.д. находим, что скорость
суммарного движения будет равна векторной сумме скоростей
слагаемых движениГ, т.е.
Геометрически равенство B4.6) означает, что скорость V
является замыкающей ломаной линии, звеньями которой служат
скорости слагаемых движений (правило многоугольника скоростей).
2°. Вычисление скорости в дилчидричоских координатах.
Мл вычисления скорости точки в цилиндрических координатах
мохно применить теорию сложного движения. Именно, движение
точки в неподвнжьой системе к«*даинат охЛзях} можно рассматривать
как результирующее следующих трёх, движений:радиального -
движения вдоль радиуса f , трансверсахьиого-движвнм* вдоль
окружности p*ro*tt и 3[sconjt и, наконец, осевого-движевия вдоль
оси Л . Скорости в слагаемых движениях имеют следующие зна -
ченик. Поскольку радиальное и осевое движения прямолинейны ,
- 180 -

*° V*» Ъ *^ » *Рвйовероель-
вое че движение круговое,
поэтому У$тР* . По теореме олове-
и*, окороотей роаультирувщая
окорооть рвваа векторвой оумме
слагаемых скоростей:
*РР*у№*&. B4.7)
Легко видеть, что замыкающая ло-
Фиг.57. мамой:, построенной на скоростях
слагаемых дввжеввй,совпадает о диагональю прямого
прямоугольного параллелепипеда, построенного ва тех ве скоростях век ва
ребрах (фиг.57)« Следовательно её величина имеет значение
У, J
J*"
Иг'—
X
ч*.
к-*¦
i5*
х^
д
XL i
*«
Vrfvf'ty Vj* * llp**jb%+& . B4.8)
Полученные формулы ооападают о соответствующими формулами $12»
где они выведены из других соображений.
з°. iwmmn дирвдаашиь.
Применим теорему сложения скоростей в нахождению траекто -
ркй преследования. Рассмотрим простойную ситуацию. Пусть ве -
которая цель, например, оамодёт летит раввомерво до прямой
линии со скоростью и . Цель преследует самонаводящаяся ракета
которая движется раввомерво оо омороотьм V в притом тая, что
её скорость ж каждый момент времевв направлена в точку
нахождения цедя. Относительную" я абсолютную траектории ракеты
навивают траекториям» преследования. Определим их.
Будем рассматривать
ракету в цель как
точки М в
М'соответственно. Примем за
начальное то подовевве
ракеты» в котором её
скорость
перпендикулярна к траектории
пади. Обозначим черев
А расстояние между
-Ш -

ракетой и целью в этом положении.
Ь силу особенностей задачи движение обеих точек будет
происходить в плоскости, проходящей через траекторию цели и
начальное положение ракеты. Возьмём на этой плоскости
неподвижную систему координат OxA$z так, чтобы её начало совпадало
о точкой М0 . Ось хл направим параллельно траектории цели
в сторону её движения, а ось хя -перпендикулярно к ней
таким образом, чтобы Oxt2z была правой системой отсчёта
(фиг.58).
Свяжем с целью М поступательно движущуюся систему
координат М tj it, оси которой направлены противоположно
соответствующим осям неподвижной системы. Тогда абсолютное движение
ракеты в системе #*/?я будет складываться иэ относительного
движения п отношению к системе #'^?А и переносного
движения вместе с этой системой.
Перейдём теперь к определению траекторий ракеты. Установим
вначале вид относительной траектории 1^ . Согласно теореме
сложения скоростей относительная скорость ракеты равна
разности её абсолютной и переносной скоростей:
Проектируя это векторное равенство на напрвления р и
^полярных осей подвижной системы координат (см.фиг.58) и
используя выражения компонент скорости в этих координатах, будем
иметь
V*y=-V + ucof09 V^pB^asCnG. B4.9)
Поделив почленно эти равенства, находим
dp coW ,n l d9 . U
Р StnO * Sin9 V
Интегрируя это уравнение, получим:
bip ~- Ы /Sen 91 * -? tn/ty j-ft tnC
или, освобождаясь от логарифмов,
°*9жт
р--~~ • B4.10)
' Sin9
.- \90 _

Произвольную постоянную интегрирования С определяем по
начальным данным: при tmO,p*l , &*v\ откуда
с* Л. Подставляя это значение « B4Л0), находим уравнение
относительной траектории 1t ракеты в полярных координатах
в виде
*9 t А ^ %
г>Л z 2^—. . B4.11)
J Sine z eoiHrt
Проанализируем полученный результат* Заметим, что по
смыслу задачи полярный угол может изменяться в пределах
Oi 9*90°. Из B4Л1) тогда легко видеть, что j>*0
только при 0-0 и при условии, что **{ , это означает,
что ракета попадёт в цель точно сзади и только в случае,
когда её скорость выше скорости цели (фиг.57).
Бели скорости ракеты и цели одинаковы» то tf«/ и из фор»
иуяы B4 Л1) вытекает, что предельное расстоянию пойду ними
при 0- вдвое меньше начального расстояния;
Если же скорость ракеты меньше скорости цели, то *>t
\\ из B4 JI) следует, что
Ьтр*\-Ь* а/ & ш~, B4ЛЗ)
0-0 * 0-0 SCn * f СО/ * §
т.о. в этом случае, вам и слрдовало ожидать, реостояиие между
ракетой и целью неограниченно увеличивается, ранета ие до го -
нит цел*.
Траекторию L% видит наблюдатель, находящийся в подвижной
системе отсчёта. Определим теперь, какую кривую опииет
ракета относительно неподвижного наблюдателя» Другими словами,
установим вид её абсолютной траектории.
Компоненты скорости ракеты в неподвижной сиетеие координат
определяется выражениями
- 185 -

Из фиг. 58 легко видеть» что косинусы углов, образуемые
скоростью ракеты с осями координат, имеют значения
поэтому предыдущим равенствам можно придать вид
at мм1 dt Mrt *
B4.14)
Поделив почленно последние соотношения, находим
dxt ui-xt
4*л ~ It-**
Обозначим через S дугу MJ4 . Вследствие равномерности ,
движения ракеты S-vi . Исключая отсюда и из
равенства B4.14) время t , получаем соотношение
„ dxt
в котором через 6 обозначено отношение скоростей у .
Продифференцируем обе части этого уравнения по переменной Xt9
в результате получим
Входящую в правую часть уравнения производную jj
можно выразить через производную ^f' . Действительно? беря
известное выражение элемента дугл кривой dS* ± faxf +dz*'
и замечая, что с ростом координаты хА дуга 3 также
возрастает, т.е. при ctxz>o, d$>0, находим
dS J/dZi\* j*
dxt ПЛ*
- 18* -

Полетами» vrj вроиводцг» в цчждущм гремите ¦ прошэ-
водо очевидные преобразования, бухом шоп
7$ dX* Ы*л
ШР
А-*л
Полученное соотношение интегрируется в монетарных фунн-
цнях. Выполняя интегрирование, получаем
где С? -произвольная пас тонкая. В точке Мф выполняются
условвя: при z^o * *~± « о ¦ Этими условиям*
постоянная внтегрвроваищя определяется в виде: *, **tnk ¦ Сле-
довательно^предадущее равенство может бить предотаввово в
форма
Приравняв друг ДЯГОГ обратные величины в произведя
очевидные преобразования, найдём, что
-^Щ^-(?)'-
1а двух последних уравнений одедует, о одвой стороны, что
B4.15)
а с друго!, что
^ ЧТО
Уравнение B4.15) ораву интегрвруетоя:
- 185

пр. <-i, z^-b(ifpbu*f.
Определяя постоянные интегрирования ив того условия, что
х^О при *,»<?, находим <?г *-**>*/(?-?*), CL*4*> •
Следовательно» уравнения абсолютных траекторий ракеты
получаются в следующей окончате. ьной форме:
Заметим ещё, что расстояние между ракетой и целью,ввиду
формулы B4,14) равно ^ г
я ~
с учётом зависимости B4.16) ему можно придать вид
Из соотношений B4Л7)-B4.19) следует» что когда tfW,
ось Д"л-Л служит асимптотой траектории. При этом, как и
при анализе относительной траектории, легко устанавливается,
что для ?>i расстояние между ракетой и целью беспредельно
возрастает с приближением х& .к ^ , а для ^-/ оно стре-
мится к пределу &/Z . Когда № I f траектории ранеты и
цели пересекаются в точкеМ^д,** JuL. , х&* *к\ и эдеоь
ракета настигает цель. '""*
- 186 -

§ 25. Зависимость между ускорениями составляющих и
результирующего движений.
1°. Теорема сложения ускорений.
При сложном движении точки между ускорением абсолютного
движения и ускорениями относительного и переносного движений,
так же, как и между скоростями тех *j движений, существует
определённая зависимость. Эта зависимость устанавливается
следующей теоремой сложения ускорений (теоремой Кориолиса),
Теорема 16. Если точка совершает сложное движение, то в
каждый момент времени её абсолютное ускорение равно векторной
сумме переносного, относительного и добавочного ускорений:
Доказательство. Возьмём абсолютную производную от выраже -
ншв B*.2) для результирующей скорости, тогда будем иметь
ъЖМ\*Ь. B5.1)
d* dt dt
Рассмотри выражения дед каждого.„слагаемого правой чаотн.
Абсолютная производная от перевоонош скорости равяа
dt
Так как А
то эта производная представила в форме
Но первые три слагаемых правой части представляют собою
переносное ускорение точки (формула B2.12$, следовательно
e^,3?xVt. B5.2)
- 187 -

Таким образом, изменение оо временем переносной скорости
характеризуется двумя векторами: о^ и <*€*\ . В атом
находит своё отражение то обстоятельство, что изменение
переносной скорости обусловлено двумя факторами. Во-первых,
изменяется со временем скорость той точки среды, с которой
движущаяся течка М в данный момент совпадает. Эта часть
изменения характеризуется вектором 5* . Во-вторых, совпадая за
счёт относительного перемещения с различными точками среды,
точка М меняет свою переносную скорость, ибо разные точки
среды имеют разные скорости. Эта_ вторая часть изменения Ул
и характеризуется вектором &ел\ •
Рассмотрим теперь абсолютную производную от относительной
окорости. Имеем:
Первая сумма правой части равенства в силу формулы B2.8)
представляет собою относительное ускорение точки, вторую же
оумму можно представить в виде векторного произведения
переносной угловой скорости на относительную скорость:
Следовательно, рассматриваемая производная равна
dVt - - -
— =<\+с*ш*Уг. B5.3)
Таким образом, как и в случае с переносной скоростью,
изменение оо временем относительной скорости характеризуется двумя
векторами лг и а>ехУг * изменение относительной скорости
также обусловлено действием двух факторов. С одной стороны,
скорость Vt меняется по отношению к подвижной системе
координат за счёт относительного движения. Эта часть изменения
характеризуется вектором at . С другой стороны,вектор V*
изменяется за счет изменения ориентации подвижной системы]
это изменение, следовательно, обусловлено переносным вращением.
Количественно второе изменение выражается членом <4x^t«
Подстановка выражений B5.2) и B5.3) в формулу B5.1)
приводит к следующему окончательному выражению для абсолютного
- 188 -

ускорения:
которое и доказывает теорему*
Итак, правило сложения ускорений более сложное, чем
правило сложения скоростей* Согласно теореме, для получения
абсолютного ускорения требуется к сумме относительного и
переносного ускорений добавить ещё одни вектор аА , называемый
добавочным или кориолисовым ускорением, из предыдущего
рассмотрения следует, что воавккновеяяе «того ускорения связало с
изменением переносной скорости аа счёт относительного движения
и с изменением относительной скорости аа счёт переносного
движения. Замечательным является то обстоятельство, что влияние
обоих этих факторов одинаково. На формулы для добавочного
ускорения вытекает, что оно обращается в нуль либо когда ско -
рость относительного движения параллельна угловой окорооти
переносного движения, либо когда обращается в нуль одна на
этих величия. Равенство нулю Yt означает, что точка покоится
относительно среды* Если же равна нулю угловая скорость среды
Ц t *о переносное движение поступательно* Во всех этих
случаях правило сложения ускорений упрощается и принимает такой
же вид, как и прешло сложения окоростей, т.е.
a*\HL%. B5.5)
Если подвижная система координат движется поступательно,
равномерно ж прямолинейно, то й,» °, З^о , ?т-о я,
как видно из B2.12) н B*Л0), \'0 ш &л*о, т.е. в
атом случае относительное и абсолютное ускорения совпадают
Подвижные еиотеш координат, движущиеся указанным образом,
называют инерциальнымн системами; они играют важную роль в
динамике.
Обратимся ояова к общей формуле B5.4) • Эта формула
геометрически означает, что абсолютное ускорение является замыкающей
ломаной линии, звеньями которой служат относительное, переноо-
ное и добавочное ускорения.
Чтобы аналитически определить абсолютное уокореяие точки,
189 -

уотановмм выражения его компонент ж декартовых координатах.
Подстгвжв значения ооставлящих ускорений в формулу B5Л),
будем иметь
a*a.4v*4^#-J4"* \+****\ •
B5.6)
Проектируя это равенство на подвижные оси, получим компоненты
абсолютного ускорения в этих осях в виде
B5.7)
РД«
Заменяя дал.е в B5.6) р по формуле />¦*-*. и
проектируя равенство на неподвижные оси, получим следующие выражения
для компонент ьбсолютного ускорения в этих осях:
где
<«*/«*>,
По заданным относительному и переносному движениям правые
части в B5, 7 ) и B5. 8 ) определяются, тем самым
определяются проекции абсолютного ускорения как на подвижные, так и на
неподвижные оси.
2°. Вычисление ускорения точки в цилиндрических координатах
Вычислим ускорение точки
в. цилиндрических координатах,
опираясь на теорию сложной,
движения.
Рассмотрим вначале
движение точки в плоскости
Х*солА. это движоние
представим как относительное
/•видение вдоль радиуса оАМ
- 1*0 -

и переносное вращение вокруг оси о* вмаотв о радиуос*.
Относительная скорость и относительно* уокореиве вмввт авачвввя
м направлены вдоль радиуса <J/tf (ф*г.5Э). Поскольку авреиоо-
ное движение является вращательным дважешмм вокруг
неподвижной оси,переносное ускорение будет с этот в» врииггплпото
и центростремительного ускорений:
Модули этих ускорений имеют аваченжв
а сами ускорения направлены следующим обрааом: ввжтор с?
направлен вдоль радиуса 4 Л а вектор й* -перпендикулярно
к ному, по касательной к окружноотв /• • Наковещ, добавочное
ускорение й^&^х \ будет равно во медов
и направлено по касательной к JL (tar.59)»
Итак, при движении в плоскости ***o*rf уовормгв* то«-
ки Й# определяется выражением
Обратимся теперь к рассмотрению произвольного у.В1»рви
течки в пространстве. Это движение можно представить как слоевое
движение, которое состоит из относительного движения в плос -
кости Л-conft и переносного пх>тунательного движения
вместе с плоскостью вдоль оси ? . Тогда по теореме сложения
ускорений абсолютное уойорение точки будет равно
Легко видеть? что
191 -

Такт образом, ускорение точки будет иметь значение (фаг.
а*(р-рёя)р'+(рЬ'*ерё)9'*2х\ B5.9»
Следовательно,
B5.10)
аш*('р-РелГ<(рЭ+ф)л*Г .
Эти формулы и определяют ускорение точки в цилиндрических
координатах. Они совпадают с соответствующими формулами § 12,
полученными из других соображений»
3°. Движение точки по меридиану вращающейся Земли.
Пуоть точка М движется по земной поверхности заданным
образом. Определим кинематические характеристики движения
точки в неподвижной геоцентрической системе координат Я*,*ж?,»
одна из ооей которой совпадает с осью земного вращение, а две
другие перпендикулярны к ней и друг к другу и ориентированы
на неподвижные звёзды.
Для решения поставленной задачи применим теорию сложного
движения точки. Наряду с неподвижной системой отсчёта% введём
связанную с Землёю сопутствующую прямоугольную декартову
систему координат ofjj . Начало координат и ось $3 этой
последней совместим с соответствующими элементами неподвижной
координатной системы; ось f, проведём в плоскости нулевого мери*
диана, а ось ?? направим перпендикулярно к плоскости этого
меридиана (фиг.бО-а). Тогда абсолютное движение точки в
системе ftr,;^ будет складываться из относительного движения
в системе °$JZ$ и переносного движения вместе о этой
системой.
Определим вначале уравнения и траекторию абсолютного
движения точки. Рассмотрим предварительно её составляющие движев.л.
Относительным движением является движение точки по
поверхности земли. Пусть уравнения этого движения заданы и имеют вид
- 192 -

где р обозначает радиус Землиг а в -полярный угол (фиг.60-
а). Полагаем, что функция 9(t) монотонно вовраотает со
временем по заданному закону.
Исключив из этих уршлений переменный параметр 9 ,
получим уравнения двух поверхностей ?*0 (i*lz)f
переселение которых определяет относительную траекторию At точки:
Очевидно, относительной траекторией является окружнооть радиу*
са р -земной меридиан (фиг.бО-л).
Переносным движением точки служит вращение Земли вокруг
о^ей оси. Оно описывается следующими уравнениями:
где черев Л обозначена угловая скорость вращения Земли. В
силу этих jравнений /' -матрица принимает значение;
II cos Sit Sen Sit 0
*« г - SinQt cos Sit О *
9 о о i I
Следовательно, общие уравнения абсолютного движения B3Л) в
данном случае будут вида
-193 -

Исключив из этих уравнений время Ь % получим уравнения
двух поверхностей fco (i^tz) , пересечение которых
и определяет абсолютную траекторию / точки;
Абсолютной траекторией является спиралевидная линия,
расположенная на поверхности сферы радиуса fi (фиг*60-в).
Определим теперь абсолютную споре^ть точки. Эта скорость
равна векторной сумме отвось «альмой п переносной скорости.
<*) Фнг.61. Ф
Компоненты относительной скорости в водмяных осях имеют
согласно B2*7) значения
Поэтому, вектор относительной скорости будет определяться
выражением
- 19% -

Легко видеть, что хй яДшетоя ортом касательной а меридм-
ану в точке М . Следовательно, относительная ояороо**
точка равна по величине V/f и ааараваеаа ао каоательаой а
меридиану к югу (фиг.61«а)*
Переносная скорооть в об*ем оаучае опредедйетоя вырь-лни-
ем % * У0 * \ *р. В данном оаучае %*о, *?«?,/*&< +$?
и это выражение принимает вид
где ^ -бинормаль меридиана в точке М% ^ совпадает о ортом
касательной к параллели. Следовательно, переносная скорость
равна по модул» Ц*йрз*п9 я направлена по касательной
к параллели, пересекаемой точкой в данный момент, к востоку
(фиг.61-а).
Абсолютная скорооть, будет теперь равна
У*уш+7г*р9**е?м+Sipscno*x-p9s<n г^ .
Отсюда видим, что модуль абсолютной скороотя равен
v */>/**¦ й*аЛ,
а углы, обравуе ше этой скоростью о осями оопутотвущей оно-
темы координат, определяются выражениями
- a 9cos9 - л QSi*9 ~*. - 6***
Установим, наконец, абсолютное ускорение точки. Это
ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и
добавочного ускорений. Компоненты относительного ускорения в
подвижных осях имеют значения
dy^'pficoj&p *#н09 %'1*о, ?^*-p9Sin9-pbkcos9 щ
195 -

Следовательно, вектор относительного ускорения будет
определяться формулой
где \ -главная нормаль меридиана в точке М , направленная
по радиусу к центру Земли. Таким образом, относительное
ускорение имеет касательную и нормальную составляющие: й^р&Ъ,
а*=р92ТА . Модуль относительного ускорения равен
а его направление составляет с земным
радиусом УГОЛ ei , ДЛЯ КОТОРОГО tpcL - -jpf (фИГ«61-В).
Переносное ускорение в общем случае движения имеет вид
VWP42* • Так как SfO^-o, i±*u9 &*ъ*?9
то оно будет равно
Следовательно, переносное ускорение имеет модуль й^йрХкВ
и направлено по радиусу параллели по направлению к её центру
(фнг.бх-в)*
Вычислим теперь добавочное ускорение . В соответствии с
общей формулой &4~<?*4*У«. оно в данном случае будет вида
а^2Лр9^(€от9^ -Л«9*3):2П/^0^=2арОмх9Г?
Следовательно модуль добелгочяого ускорения имеет значение
^-?ujp?</*Rr?/ » Что касается его направления, то легко
видеть, что при p^jS *«*• в северном полушарии, оно
направлено по касательной к паралпли к востоку, а при ?-<#<*,
т.е. а южном полушарии, оно направлено по касательной к
параллели, к западу. Таким образом, при переходе через экватор
добавочное ускорение меняет своё направление на прямопроти-
вололожное. На самом же экваторе оно равно нулю (фиг,61-в).
Суммируя полученные выражения для составляющих ускорений
найдём, что абсолютное ускорение будет равным
a* a?+ax+a^ol9cot9-(9*+jf)Sirf .
Ha основании этого представления модуль абсолютного ускорения
и углы, которые оно образует с подвижными осями, будут опре -
- 196 -

делиться формулами.
«x(a,xt)*?[ecos&-(e +A)s**]~cc>sfat&---^-—>
ы(ь.*ё)*
Таким образом, кинематические характеристик* абсолютного
движения точки установлены»
Из выражений лля абсолютной скорости и абсолютного
ускорения следует, что ни скорость» ни уокореямв никогда на
обращаются в нуль при любом законе изменения полярного угла»
исключая не интересные случаи, когда точка вое время мажо -
дится на одной из полюсов. Оба эти вектора меняют оо
временен как свои модули, так и направления.
В частном случае, когда скорость возрастания полярного
угла постоянна: д * «*jc , т.е.когда точка равномерно
движется по меридиану, формулы для её абсолютной скорооти я
абсолютного ускорения упрощаются и принимают пд
V*P**i . Лл./4***аА>1 , **J
cos(v^)^> е«GГц*42?9 лг^^—г
AL &t л*
- 197 -

Глава 4. Сложное? движение твёрдого тела»
В ряде случаев движение твердого тела удобно представить
как результирующее нескольких одновременно происходящих
движений. Такое предстазлоние позволяет» как и при сложной
движении точки, решать задачи о сложении и разложении движений
твёрдого тела, а также устанавливать зависимости между
характеристиками этих движений. Рассмотрению всех этих вопросов и
посвящается настоящая глава.
§ 26. Относительноеv переносное и аосолютное движения тела.
1°. ООце понятия. _.
иусть твердое тело Т
движется относительно
некоторой неизменяемой среды S,
а эта последняя, в свою
очередь, перемещается
относительно неподвижной системы
отсчёта OXjXstxsm
Следовательно, тело также будет
перемещаться относительно
неподвижной системы.
Свяжем с телом и со ере -
до*> сопутствующие системы
Оиг. 62. координат ^$2?3 и*Ч*Л
соответственно (фкг.62). /ужения тела в различных системах
отсчёта носят специальные названия.
Относительный называют движение тела по отношению к среде,
т.е. движение системы ксо^инат #^?3?3 по отношению к ко-
ормнатшгё системе Cfli4zrt5 •
движение же среда в неподвижной системе отсчёта, т.е.
движение евстежн координат с^^гП^ ле отношению к
координатной системе Ъх^ц^ t называют переносным движением тела.
Наконец, абсолютным движэ«ием тела называют его движение
относительно неподвижной системы отсчёта, или что то же,
движение скстсын °%*$Z4S относительно системы координат &?**^й
Относительное и переносное движения называют ещё
составляющем, а абсолютяое-результирующим движениями.
В качестве примера сложного движения тела рассмотрим
движение самолета относительно поверхности земли в ветренную
- 198 -

погоду. В этом случае телом Т будет самолёт, средою S -
воздух, а неподвижною оис.люй отсчёта-снстема, связанная
с земною поверхностью. Самолёт движется и относительно
воздуха и вместе с воздухом относительно поверхности
земли«Движение самолёта относительно воздуха (собственное движегте
самолёта) будет относительным; движение самолёта вместе о
воздухом (снос самолёта ветром) - переносным; наконец,
движение оамодёта относительно земли-абоолютным.
Рассмотрим теперь уравнения и некоторые характеристики
составляющих и результирующего движений*
2°. Относителтмое движение тела.
Рассмотрим относительное движение тела, т.е. его движение
относительно системы координат с1<Чй4$ • При изучении это*
го движения отвлекаются от движения самый координатный
системы ^^з' считая её неподвижной. Для задания
относительного движения тела требуетоя задать шесть функций, опредедящих
в любой момент времени положение его полюса О и ориентацию
осей о%^ относительно осей ty«r
Ч **Ч° &. *%*?Ю (*ШК B6.1)
Функции B6.1) называются уравнениями относительного
движения. Угловую скорость и угловое^ускорение тела в
относительном движении обозначают через а>% и 6г и называют
соответственно его относительной угловой окороотью и относительным
угловым ускорение. л
Обозначим, как обычно, чере* ? _орты осей ^ , а через
? - орты осей о^ф Тогда вектор 5t можно представить в
виде разложений
Существенное различие этих разложений состоит в том, что в
рассматриваемом движении орты ^ будут переменными, а орты
?- постоянными. Компоненты «? и 2>? угловой скорости
определяются через эйлеровы углы ?*- по обычным кинематичооким
формулам A4.8) и A4.13):
л* .» 4 м B6*3)
4**,w*i'1*
- 199 -

Легко видеть, что относительной угловое ускороние тела
определяется как относительная производная по времени от
относительной угловой скорости
1 dt L* di * 4- «" *
Следовательно, ого компонент!; <?*• и <5. в координатных осях
^ и *fy равны производным по времени от соответствующих
компонент относительной угловой скорости:
gs*fr »W) . ?%*?. 0*М> . B6.6)
«* dt р dt
Используя формулы B6.3) и B6Л) и выполняя
дифференцирование, установим, что компоненты относительного углового
ускорения будут выражены через -*ами эйлеровы углы tf1 и
первые и вторые производные от них по времени.
Таким образом, заданном уравнений относительного движете
тела его относительная угловая скорость и относительное
углевое ускорение формулами B5.3),.B5.4) к B5.6) полноотыо
евро деляютс я.
2°« Переносное движение тела.
Рассмотрим теперь перекосное движение тела - двдаеяв*
неизменяемой среды $ , Движение среды определяется дшвншем
сопутствующей системы координат c1iflx43 » поэтому уравнениями
переноеного дъижения тела JyAyT зависимости
*J**lfi)> tf*€Ci) &'*2>»' С26.7)
Первые три из них определяют в любой момент времени
положение полюса С в систем, отсчёта OXi^»^4 , а последние
три-ориентацию осей е*!* относительно осей ох^ .
Угловую скорость и угловое ускорение среды S обозначают
через Ц, и ?е и* называют соответственно переносной угловой
скоростью и переносным угловым ускорением тела Г ,
Разложим вектор а>е в Оазисо 2^ сопутствующей системы
- 200 -

*~%1Л и Б базисе ^ системы отсчёта &t*»*j.
Соответствующие формулы будут имет вид
B6.9)
B6.10)
•г «АД
Базис_*? меняется со временем за счёт движения среды. Базис
же ^ -постоянен. Выражения компонент ф* и *^f через углы
?е определяются кинематическими формулами A4.8) и A4.13)
в виде:
<?*%«*? + %.
Переносное угловое ускорение- тела, очевидно, равно абсо -
лютной производной по времени от его переносной угловой
скорости
Отсюда следует, что компоненты ?j и е? ускорения в
координатных осях Cif^ и ох^ равны производным по времени от
компонент переносной угловой скорости в соответствующих осях,
т.е.
* cLt * at
Из формул B5.12) и B5.9), B5ДО) вытекает, что
компоненты переносного yi .ового ускорения могут быть выражены через
углы Эйлер* iff- и первые и вторые производные от них по
времени. Следовательно, по уравнениям перенооного движения тела
можно определить его переносную угловую qkouoctb к переносное
угловое ускорение о ломоцью формул B6.9); B6.10) и B6.12).
- ?01 -

4°. Абсолютное движение тела.
Абсолютное движение тела определяется движением
сопутствующей системы координат 0f*fAt3 п& отношению к неподвижной
системе отсчёта &х?ХлхлФ Уравнения абсолютного движения тела
имеют вид
X**X*(i) , 4>*<fjt) (<L*IZJ). C26.I3)
Первые три величины представляют собою координаты полюса
О в системуЪхлхххАр. три вторые - эйлеровы углы между
осями о^ и О*}.
Угловую окорость и угловое ускорение тела в абсолютном
движении обо качают через сО и & и называют
соответственно его абсолютной угловой скоростью и абсолютным угловым
ускорением.
Если предотавить абсолютную угловую скорость в виде
разложений по сопутствующему или неподвижному базису:
*>с ? «3 1 - Г^ *> Z , B6.14)
то компоненты этих разложений будут определяться известными
кинематическими фог*улают A4.8) и A4.13);
л # . B6.16)
Абсолютное угловое ускорив тела определяется как
абсолютная производная по времени от его абсолютной угловой скорости
- ^ ~*D- у defy 2 B6.17)
A Отсюда легко видеть, что компснентами вектора 6 в базисах
а^ и а^ будут величины 6^ и ?р f совпадающие с произ -
во дньши по зремони от соответствующих компонент абсолютной
угловой скорости:
- 202 -

i*$* (U-W)' v^r (А'шк Bб-18>
Полученнме формулы с учётои выражений B5.15) и B5.16)
позволяют представить компоненты абсолютного углового око-
рения тела через эйлеровы углы ? и производные ? и ^.
Таким образом, по уравнениям абсолютного движения тела
его абсолютная угловая скорость и абсолютное угловое
ускорение вычисляются по формулам B6.15), B6.16) и B6.18).
§ 27. Определение уравнений результирующего движения тела
по уравнениям его составляющих движений.
В настоящем параграфе будет рассмотрена задача сложения
движений тела.
1°. Определение абсолютных координат тела по его относи*»
тельным, координатам и координатам среды.
Пусть известны относительное и перенооное движение тела
т.е. уравнения B6.1):
движения тела относительно среды и уравнения движения самой
среды B6.7):
*?•'!?<*> > €"?«> «'<*'>• B7.2)
Выразим абсолютные координаты тела через эти величины.
Введём предварительно некоторые обозначения. Будем
обозначать радиусы-векторы какой-либо точки М относительно
центров 0,с а о следующим образом:
ОМ*р, <Гм Л , ОМ *Я.
Рассмотрим теперь в качестве исходного ооотношеиче между
радиусами-векторами точек О и ? . Имеем (фиг.62):
- 203 -

ГГаждый из входящих сюда векторов представим в виде разложений
в базисе неподвижной системы отсчёаа:
Подстановка этих величин в B7.3) позво^тет получить ра -
венство
из которого находим для абсолютных координат полюса О
следующие выражения;
Чтобы получить уравнения абсолютного вращения тела вокруг
полюса 0, рассмотрим различные представления для ортов ti^.
Разлагая эти векторы в базисе неподвижной системы, находим
С другой стороны, эти же разложения можно получить другим
путём, а именно
ЩСЛ* v?>?V Щи*А'
Из полученных двух выражоний для it следует, что должно
«4
быть
т.е. / -матрица абсолютного вращения тела равна произведению
соответствующих матриц, определяющих его относительное и пе -
реносное вращения.
В § 10 было установлено, ч^о между элементами jf -матрицы
и здоровыми углами имеется взаимно-однозначное соответствие.
Следовательно, соотношениями B7.5) определяются эйлеровы
угля абсолютного движения тела, например, в виде
- 204 -

Другими словами, знание ^ -матрицы вполне определяет
вра отельную часть движения тела.
Итак, формулы B7Д)-B7.6) г определяют абсолютные
координаты тела по его относительным координатам и координатам
неизменяемой среды. Иначе говоря, по уравнениям
относительного и переносного движений тела определяются уравнения его
абсолютного движения.
Заметим, что еоли поменять ролями относительное и
переносное движения, то получим, вообще говоря, другие уравнения
абсолютного движения. Следовательно, при рассмотрении сложного
движения тола существенным является то обстоятельство, какое
из составляющих движений считать относительным, а какое -
перенос шли
Рассмотренную задачу называют задачей оложения движений
тела. В качестве примеров рассмотрим сложение некоторых
простых движений.
2°« Сложение поступательных движений тела.
Рассмотрим случай, когда оба слагаемые движения тела: и
относительное,* переносное поступательны. Это означает, что
уравнения B7.1) и B7.2) этих движений имеют соответственно
вид
На оснований выражения A0.9) у -матрицы составляющих
движений будут единичными матрицами
Но тогда в оияу формулы B7.5) единичной будет и f
-матрица результирующего движения:
Полученный результат означает, что орты подвижных осей,
связанных с телом, совпадают по направлению о ортами
неподвижной системы отсчёта в любой момент времени:
U ? Ode- <r e 46* в- сС
- 205 -

а это значит, что абсолютное движете тела поступательно.
Таким образом, при сложении поступательных движений
получаем в качестве результирующего снова поступательное
движение.
Для описания поступательного движения достаточно знать
движение одной точки* Уравнения абсолютного движения полюса
тела согласно B7Л) будут вида
Эти уравнения позволяют находить все кинематические
характеристики абсолютного движения тела.
Отметим, что в данном частном случае слагаемые движения
равноправно представлены в уравнениях результирующего
движения. Поэтому относительное и переносное движения в этом
случае можно ьинять ролями.
3°. Сложение сферических движений тола.
Пусть относительное и переносное движения тела яв,. лютея
произвольными сферическими движениями. Выясним вид
абсолютного движения тела.
Положим, что относ .тельное сферическое движение происходит
вокруг центра О неизменяемой ~реды, так что уравнения этого
движения имеют вид
Переносное же сферическое движение происходит вокруг
неподвижного центра ? , вообще не совпадающего с центром 0; его
уравнениями движения будут зависимости
xj* rorftt , g * ?(t) (**U3).
На основании этих соотношений абсолютные уравнения движ лот
тела согласно B7,4) и B7.5) будут иметь вид
Следовательно, если центры О ц С но совпадают друг с
другом, то раеультируюиим сферических движений будет движение
- 206 -

общего вида.
аоомотрим теперь специальный оду чай, когда центры 0 и
С совпадают друг о другом. Тог/«\ f?*0 (fi*W) и
зависимости B7.3) принимают следующую форму:
Полученные уравнения суть уравнения сферического движения
вокруг неподвижного центра С, .
Таким образом, при сложении сферических движений,
происходящих вокруг одного и того же центра результирующим будет
снова сферическое движение, происходящее вокруг того же центра.
В другом специальном случае, когда матрицы у*~ и уе обрат-
ны друг другу: ][%я([€L, абсолютное движение будет
поступательным. Действительно, в атом случае f -матрица абсолютного
движения становится единичной:
следовательно абсолютное вращение тела вокруг полюоа будет
отсутствовать. Уравнения реаультируэдего поступательного
движения будут иметь вид
4°. Сложение сферического и поступательного движений тела.
Пусть относительное движение тела поступательно и
описывается уравнениями
f = if(i) , ifx*o (*-1Л5).
Переносное же движение возьмём сферическим с неподвижным
центром С . Тогда его уравнения движения будут вида
- 207 -

В силу этих уравнений и формулы A0.9) у1 будет
единичное -матрицей, а /' «-матрицей общего вида:
На основании вышеприведённых соотношений уравнения B7Л)
абсолютного движения полюсг становятся вида
"fit 'ft*
Из формулы B7.5), далее, вытекает, что абсолютная и
переносная / -матрицы совпадают друг с другом:
следовательно, будут совпадать и эйлеровы углы в этих
движениях
if --(/'({) Ы*Ш).
Подученные результаты означают, что при сложении
поступательного относительного и сферического переносного движений
результирующим будет ~вижоние общего вида.
Рассмотрим теперь .;ругую сиг'ацию, когда сферическим
является относительное движение, а поступательным-переносное.
Эти движения описываются соответственно уравнениями
7°*<W 9 ?*?#); *****(*)> *?*о WAS).
Тогда легко видеть, что
и уравнения абсолютного движения тела будут вида
Сдодовательно, результирующим сферического относительного и
поступательного поройясного движений будет движение общего
вида, отличное, однако, от предыдущего результирующего
движения.
- 208 -

Заметим, что поскольку среда ршжатоя поступательно» за
позыс С с равным успехом можно веять любую её точку. Зозь-
мём его совпадавшим с точкой О . Тогда ч^ш° &Ш*Х*) м
уравнения абсолютного движения тела примут вид
Ко это суть обычные уравнения произвольного движения тела в
системе отсчёта dxtxSLxs . Таким образом, произвольное
движение тела иожно рассматривать как результирующее поступи -
тельного движения вместе о полюсом и сферического движения
вокруг полюса.
§ 28* Определение уравнений составляющего движения тела
во уравнениям результирующего и другого составляю-
цеуо движений.
Рассмотрим теперь несколько задач на разложение движений.
1°« Оанааедеиие относительного движения по абсолютному
у переносному движениям.
Пусть задави уравнения абсолютного и переносного движений
тела» т»г. соотновения
Шмютк, чем ж* этим данным могут быть ©предельны
уравнения отяоекшыюго движенмя тела.
Будм исходить из векторного соотноненяя B7.3), запиоанно
го в форме:
\*8ф-2щ* <28«2>
Векторы, входящие в зто соотноиение, определяются следующими
разложениями!
- 209 -

Представим их в виде_ разложений в базисе /^ , связанном
оо зредот. Поокольку ^Х^^{Д » то соответствующие
представления будут вида
Полученные выражения и форгула B8*2) приводят к равеяотву
?«¦??*№ •
не которого получаем следующие уравнения для относительного
движения полюса 0 :
Для подучен, я уравнений относительного врецения тела вокруг
полюса О воспользуемся тем же приёмом»что и при
определении абсолютного вращения. А именно, представим разложения
ортов ^ в базисе ? двумя различными способами:
В силу единственности разложения вектора в фиксированном
базисе отсюда оледуют зависимости
у1 nXLf (tifW WAV, B8.4)
т.е. у - матрица относительного вращения равна
произведению f -матрицы абсолютного вращения на матрицу, обратную
у -матрице переносного вращения.
По )'г- матрице определяются и относительные эйлеровы
углы
? « ? «J р-/,«'Л B8.5)
Уравнения B8.3) и B8.5) и определяют относительные
координаты тела.
Таким образом, уравнениями -абсолютного движения тела а
уравнениями движения среды однозначно определяются уравнения
его относительного движения.
- 210 -

2°. Определение переносного движения по абсолютному и
относительному движениям.
Рассмотрим теперь случай, когда заданы абсолютное и
относительное движения тела» Покажем, что в атом случае переноо-
ное движение тела-движение неизменной среды - может быть
также установлено*
Пусть уравнения абсолютного и общительного движений тела
имеют соответственно вид
з?<?#), fcfjt); {'-«VO.gV** (****)* B8,6)
Рассмотрим снова соотношение между радиусами-векторами точек
о и с (фиг.62)» взятое в следующей форме:
Представим все векторы в базисе неподвижной системы
отсчёта. Тогда будем иметь разложения
Зти формулы позволяют придать векторному соотношению следую -
щую форму
Отсюда следуют уравнения движения полюса С ореды:
в которых f€ - матрица остаётся пока неопределённой. Ддя
определения этой матрице рассмотрим представления ортов ^ в
базисе неподвижной системе координат, полученные различными
опособами. Последние имеют вид
-211

Из сравнения этих двух представлений находим, что должно
быт?
К* *ZV1 (i)Y (О r«.J>-W) . B8.8)
Следовательно, / -матрица переносного движения равна
произведению матрицы, обратной jf «матрице относительного
движения, на f -матрицу абсолютного движения* Матрица же у*
определяет эйлеровы углы среды в виде функций вреиеви:
B8,9)
Итак, формулы B8*7) - B8.9) решают вопрос об определения
уравнений переносного движения тела - движения неизменяемой
среды - по уравнениям абсолютного и относительного движения
тела.
Подводя итог предыдущему рассмотрению, можем заметить, что
если из трёх .движений тела: относительного, переносного а
абсолютного какие-либо два движения заданы, то третье движение
определяется ими вполне однозначно.
§ 29. Зависимость м»*ду угловыми скоростями тела в
составляющем и розультирующом движениях.
1°. Теорема сложения угловых скоростей.
При рассмотрении сложного движения точки было установлено,
что между её относительной, переносной и абсолютной
скоростями имеется определённая зависимость, выражаемая теоремой
сложения скоростей. Оказывается, что при сложном движении
твёрдого тела аналогичная зависимость существует и между угловыми
скоростями тела в составляющих и результирующем движениях.
Именно, имеет место следующая теорема, называемая теоремой
сложения угловых скоростей тела.
Теорема 17. Если твёрдое тело совершает сложное движение,
то в каждый момент времени его абсолютная угловая скорость
равна векторной сумме переносной и относительной угловых
скоростей: _ _
Ъ*\+й% . B9.1
- 212 -

Доказательство.
Рассмотрю! произвольную точку М
тела. Прк сложном двнженнн
твёрдого тела эта точка
также оовержает сложное двнже-
вне. По теореме сложения око-
вестей её абсолютная скорость
складывается «в относительной
я переяоояой скоростей:
V*V€+Yb.
B9.2)
Фиг. 63.
Согласно определению каждый на этих векторов определяется
формулой:
v-WP'Wo*'*-» W**V'
B9.J)
Между радиусамм-явнторюя точи М отвоспвлио раалппп
центров сдоопует смжуацм .шпоююог» (фаг.63):
с помощью которой переноонуя скорость точки можно представить
ъ форме
\'V<i*va**ft-
B9.*)
и;.А-.«1»в* шршшшя otopootel no фориуаш B9.3) ¦ B9.4)
» формулу B9.2), волгни ооогаомшш.
V**p\+V*A+&s\)*p<
B9.5)
Это соотношение может бить упрощено. Действительно, если
воспользоваться теоремой сложения скоростей для пояюоа б:
v-v *7%
о *е ох.
и учесть, что его переносная скорость имеет вначение
213 -

то придём к равенству
О 0% С « •
В силу атого равенства часть членов в B9.4) взаимно
уничтожаются, а оставшиеся могут быть представлены в виде:
[*-(»л*аг)]яр'0.
Так как М была любой точкой тела, то её радиус-вектор/)
может быть произвольным вектором. Вектор же яМ6^*^ в
данный момент имеет фиксированное значение, одно и то же для
всех точек тела.Но тогда для справедливости полученного
соотношения необходимо должен равняться нулю вектор, стоящий в
квадратных скобках, то есть должно быть
е. % •
Подученное равенство и доказывает теорему.
Ив теоремы следует, что угловые скорости относительного
и переносного вращений входят в выражение абсолютной угловой
скорости симметрично, поэтому с точки зрения результирующей
угловой скорости тела является безразличным, какое из
слагаемых движений считать относительным, а какое - переносным.
Теорема сложения угловых око -
ростьЛ с геометрической точки
зрения означает, что абсолютная
угловая скорость тела является
замыкающей ломаной линии, звеньями
которой являются его переносная и от-
Фиг.64. носительная угловые скорости
(правило треугольника угловых скоростей.(фиг.64)).
Геометрическое представление позволяет устанавливать
зависимости между модулями угловых скоростей и углами, которые
они образуют_#руг с другом* Например, если угол между
векторами 0)л и и>± равен */> , то квадрат модули абсолютной
угловой скорости может быть определён по теореме косинусов в
е % л г т
Для аналитического вычисления абсолютной угловой скорости
т^ла достаточно наИти ео проекции на подвижные или
неподвижные декартовы оси координат. Представим, например, векторы
- 214 -

угловых скоростей в базисе нслодвижной системы Ъх х X
Тоггя ' » J'
и формула (?9.1) принимает вид
Отсюда следует, что проекции абсолютной угловой скорости тела
на неподвижные оси координат Х^Х^Х^ будут равны
^*^4?^V (+И$ . B9.6)
Представим теперь угловые скорости в сопутствующем базисе
системы oft f связанной о телбм:
<*. * * е (ь fi fi dp **ft ft ** г и * *
Подстановка этих выражений в B9Л) приводит к соотношению
из которого проекции абсолютной угловой скорости тела на
подвижные оси координат ? , ? , ? следуют в виде
i Z 3
* Р '*/ /> *
Наконец» представление угловых скоростей в базисе
подвижной системы ^7/7*7,1 связанной со средою:
приводит к формуле
L«o* *L(*i+<?)*.,
позволяющей получить выражения для проекций абсолютной угло -
вой скорости тела на оси у ,7 ,7, ¦ следующем виде:
- 215

а^+сд* D-iAb). B9.8)
ai * *.
Итак, для определения абсолютной угловой скорости тела
получены три группы формул B9.6)-B9.8). В формулах J29.6),
B9.7) компоненты со выражаются через компоненты и)с и <St %
f -матрицу одного jia составляющих движений. В формулах^ же
B9.8) компоненты о) выражены только через компоненты <?
и o>t , поэтому в сравнении о предыдущими формулами
они имеют наиболее простую структуру.
Если относительное и переносное движения тела известны, то
будут известны проекции абсолютной угловой скорости на любые
не рассмотренных осей.
Конечно, угловая скорость абсолютного движения может быть
вычислена через / -матрицу этого движения* Формулы B9.6)*
B9.8), однагэ, позволяют определять эту скорость, минуя
предварительное нахождение абсолютной f -матрицы»
Рассмотрим теперь случай, когда твёрдое тело одновременно
участвует в /t движениях, имея в каждом из них угловую скорость
соответственно ^,о^,..., <*>л • Тогда в результате
последовательного сложения этих движений: первого со вторым, затем
результирующего с третьим и т.д. установим, что угловая скорость
суммарного движения тела будет равна векторной сумме угловых
скоростей всех слагаемых движений, т.е.
Cd-Z. СО . B9.9)
Равенство B9.9) геометрически означает, что абсолютная
угловая скорость тела будет замыкающей ломаной линии, звеньями
которой являются угловые скорости слагаемых движений (правило
многоугольника угловых скоростей тела).
2°. Выражение угловой скорости тела через угловые скорости
прецессии, нутации и собственного вращения.
Произвольное движение твёрдого тела, описываемое
уравнениями
хй-a It) , if--tf(l) №M3)9
•С оС л «с
можно рассматривать как результирующее следующих шести
одновременно происходящих движений: трёх поступательных движений вдоль
- 216 -

координатных осей системы отсчёта Охлхлл$ ш трёх вращений
вокруг осей прецессии, ну!< дии и собственного вращения. Угловые
скорости в поступательное движениях равны нулю, а во вращатерь-
ных_- имеют значения: Ч* ? ^j ~ скорость^ прецессии,
л^= ^ /1 - скорость нутации, наконец, а^ «? ? -
скорость собственного вращения*
На основании формулы B9*9) угловая окорооть тела будет
равна векторной сумме угловых скоростей всех этих движений,т.о,
^«й>*5*5 **?+<? ?¦*> <, . B9.10)
Полученная формула для угловой окорооти тола совпадает о
формулой A4.9) для той же скорости, но полученной ив других
соображений.
§ 30. Зависимость между угловыми ускорениями тела в
составляющих и результирующем двкюйшрС.
1°. Теорема сложения угловых ускорений тела»
При сложном движении твёрдого тела между его абсолютным
угловым усконением и угловыми ускорениями относительного и
переносного движений, как и между угловыми скоростями тех же
движений, существует определённая зависимость. Эта зависимость
устанавливается теоремой сложения угловых уохорений твёрдого
те*а.
Теорома 18. Бели твёрдое Тило совершает оложное движение,
то в каждый момент времени его абсолютное угловое ускорение
равно векторной сумме переносного, относительного и
добавочного угловых ускорений:
Доказательство. Возьмём абсолютную производную по времени
от выражения B9.1) абсолютной угловЛ скорооти тела. Тогда,
опираясь на определение углового ускорения тела, будем иметь
- J5 d^ dO± .
- а? -

Установим выражение для каждой из производных, стоящих в
правой части равенства* Абсолютная производная по времени от
переносной угловой скорости в силу B6Л1) равна переносному
угловому ускорению:
dai d г* е- г-» dot -, -
- = У СО АГ =) -тг-^ *60 • C0.3)
dt dt T * * trdt * *
Этот результат, другими словами, означает, что относительное
движение тела не влияет на его переносную угловую скорость.
Рассмотрим, далее, абсолютную производную по времени от
относительной угловой скорости тела. Дифференцируя
представление вектор* и>^ в координатном базисе, связанном со средою,
будем иметь:
^sJLr2*iZ=Y ^2 + Гаг&. (зол)
dt dt 4г « * Т dt * *? * di
На основании формулы B6.5) первая из сумм правой части
этого равенства представляет с^бою относительное угловое ус -
коренче тела
Что касается второй суммы, то входящие в неё производные
определяются формулами Пуассона
^5 г а) *И <+'**)
dt * +
и, следовательно, сама сумма может быть представлена в виде
выражения
Итак, производная C0.4) определяется равенством
if«-= г + й,»ц . (зо.5)
Таким образом, изменение со временем относительной угловой
скорости тела характеризуется двумя векторами. Каждый из них_
отражает влияние определённого фактора на изменение вектора b>t.
- 216 -

Дело в том, что относительная угловая скорость тела изменяется
со временем как за счёт отаосительного движения тела по отно -
шению к системе координат. ^Ч€\Ч% • так и за счёт вращения
этой системы ^относительно неподвижной системы отсчёта.
Изменение вектора &>t, обусловленное первым фактором,учитываемся
вектором ?г _, а_изменение o>t,обусловленное вторым фактором -
вектором (ut*ti^
С помощью формул C0.3) и C0.5) выражению для абсолютного
углового ускорения тела C0.2) можно придать следующий
окончательный вид
?=6 +? *5 хед . C0.61
е % ё г v '
Это выражение и доказывает теорему.
Легко видеть, что доказанная теорема аналогична теореме
Кориолиса.
Заметим, что правило сложения угловых ускорений тела слож -
нее; чем правило сложения его угловых скоростей: для получения
абсолютного углового ускорения к сумме относительного и пере -
носного угловых ускорений следует добавить ещё один вектор
«5* й>* о) C0.7)
I « t »
называемый добавочным угловым ускорением тела* Из
доказательства теоремы ясно, что возникновение этого члена обусловлено
влиянием переносного вращения тела на его относительное вращение .
Добавочное gr-говое ускорение обращается в нуль либо когда
векторы и)е и *^ параллельны руг другу» либо когда обращается
в нуль один из них. В первом случае относительное и переносное
вращения происходят вокруг параллельных осей, которые могут
вообще менять свою с риентацию в неподвижном пространстве* Второй
и третий случаи реализуются, например, при смене направлений
вращения вокруг неподвижных в соответствующих движениях осей.
В перечисленных случаях правило оложения угловых ускорений
принимает тот же вид, что и правило оложения угловых скоростей:
?*?е*1г. C0.8)
- 219 -

Если одно из слагаемых движений, например переносное,
поступательно, то ?е *?, = о и формула C0.6) принимает
вид ё-2
т.е. при поступательном переносном движении абсолютное
угловое ускорение тела совпадает с его относительным угловым
ускорением. Аналогичный результат будет иметь место, если
поступательным является относительное движение тела.
Отметим ещё один интересный частный случай. Пусть переносная
и .относительная угловые скорости суть постоянные векторы:
fflr'-o* 2F^r(? • Тог,Да легко видеть, что переносное и
относительное угловые ускорения будут равны нулю: ?е*о, ?^« о ь а
абсолютное угловое ускорение будет отлично от нуля и равно
добавочному угловому ускорению:
?=? ~ ей ход
С е. t •
Обратимся снова к обшей формуле E0.0- Из неё видно, что
характеристики переносного и относительного крацений входят не
си^хт^ачио. Следовательно, при вычислении абсолютного углового
ускорения тела уже существенно, какое из слагаемых движений
считать относительны..;, 'а какое - переносным.
Формула C0,6) геометрически означает, что абсолютное угло -
jiOij ускорение тога будет замокающей ломаной линии, звеньями
которое пзляится переносное-, относительное и добавочное угловые
ускорения.
По;;учи!.: геперь -.up зк скин для проекций абсолютного углового
ускг:!иния тола на неподвижные оси координат. _
Проектируя рззеистзо C0.6) _иа направление ортов <?, , получим
•ч^р:лу ц для проекций вектора <5 на ноподвижнне оси яА*2Хз в
виде
? ?e+aL+T-+? С0еа)^ WHU), E0.9)
^ ** и GZ °?* G *
где компоненты «? и dj" определяются формулами B6.10) и
B6.12); компоненты ке е*>тг и ?^ могут быть выражены чврв8
величины сд\ и ?% , определяемые формулами B6.4) и B6.6), и
элементы уе -матрицы в виде
- 220 -

оЛ^-tf =?*)*/* 6%*?-Ч*?б*у*- , C0%Ю)
Спроектируем, далее, равенство C0.6) на напрвления ортов /^.
Тогда будем иметь компоненты 6 в системе 0^ % в
следующем виде:
Здесь компоненты сО{ и^ ^ определяются формулами B6.3) и
B6.6), а компоненты aj? и <?^ могут быть выражены через
величины со* ?* ч определяемые формулами B6.9) и B6Л2), и
^-матрицу посредством зависимостей
&?•№' Z'ZCPA *•*"¦<»•">
Наконец, проектирование C0.б) на сопутствующие оси ^а\Чл>
связанные со средою, позволяет получить компоненты углового
ускорения в этих осях в виде
<?*€*¦?+?* й* сд% №*М). C0.13)
Проекции характеристик переносного и относительного движений
тела в осях Оч^Л* определяются формулами B6.4), B6.6) и
B6.9), B6.12).
Таким образом, подобно абсолютной угловой скорости,
абсолютное угловое ускорение можно определять его компонентами в
неподвижной системе гоордииат или в одной из подвижных систем по
формулам C0.9), C0.11), C0ЛЗ#\ Преимущество этих формул в том,
что они позволяют вычислять абсолютное.угловое ускорение тела
по характеристикам относительного и переносного движений, минуя
вычисление абсоли ной Ц -матрицы. Первые две группы формул
C0.9) и C0.11), наряду я компонентами векторов угловых
скоростей и ускорений, содержат также f - матрицу одного из
составляющих движений. Последние же формулы C0.13), не содержат jf -
матриц и, следовательно, имеют наиболее проотую структуру.
- 221 -

2 . Выражение углового ускорения тела через угловые
ускорения прецессии, нутации и собственного вращения _
Применим теорию сложного движения тела к решению вопроса о
представлении углового ускорения твёрдого тела через угловые
ускорения прецессии, нутации и собственного вращения.
Как уже отмечалось, произвольное движение твёрдого тела
можно разложить на поступательное движение с полюсом и
сферическое движение вокруг полюса. Сферическое движение, в свою
очередь, можно рассматривать как результирующее трех
вращательных движений: прецессионного, мутационного и собственного
вращения. Определим угловое ускорение тела в сферическом движении.
Для этого вначале сложим два последних вращения. Введём
неизменяемую среду 3t , с которое связана система отсчёта 07л*?л*1ъ*
Примем, что относительным движением тела является его собствен»
ное вращение вокруг оси o?L , неподвижной относительно среда
5 .При этом векторы *>. и 6 будут равны
- . Л _ .. Л _
ч Ъ з з • г 1з $ з
В качестве переносного движения возьмём нутационное врзшт*,,
т.е. вращение среды ^ вокруг неподвижной оси оН отнооотоаь*
но системы отсчёта ^??д?* * Тогда
Результирующим указанных относительного и переносного дои**
ний будет движение тела в системе 0$л ?Л? . По теоремам 0*0-
жения угловых скоростей и угловых ускорений находим для ре*?ль-
т: руютй угловой скорости я>* и результирующего углового
ускорения ?4 следующие значения
а) *Ъ *5 , 6 *? +ka +\*\ . E0.14)
Сложим теперь полученное результирующее движение с третьим
вращением. Рассмотрим среду Sz , с которой связана
упоминавшаяся выше система координат flfc?*^ • Тогда найденное
результирующее движение будет относительным по отношению к среде
- 222 -

?. При атом, очевидно,
t * » t * *
В качестве переносного движения возьмём прецессионное
вращение, т.е. вращение среды SA вокруг неподвижной оси Ле/ в не -
подвижной системе отсчёта Олйй^х т Тогда будем иметь
Используя снова теоремы оложения угловых скоростей и ускорений,
находим
Если теперь воспользоваться формулами C0.14), то будем
окончательно иметь
а>««&+5 *5а, ?*?¦? ¦1*5*5*5*5\+7),*5 . (зо.15)
Эти формулы определяют угловые скорооть к ускорение сферической
части движения тела. Поскольку переносное движение тела вместе
с полюсом поступательно, то угловые скорость в ускорение тела
будут совпадать с соответствующими величинами при его
относительном сферическом движении вокруг полюса. Следовательно C0.15)
дают характеристики вращения тела.
Легко видать, что выражение C0.15) для углового ускорения
тела совпадает с выражением A6 6), полученным из других
соображений.
§ 31. Представление произвольного конечного пвремеяения
твёрдого тела.
Ранее было выяснено, что произвольное перемещение твёрдого
тела за любой промежуток времени ноже41 быть осуществлено о помощью
двух более простых перемещений, а именно: путём поступательного
перемещения вместе ч полюсом и сферического перемещения вокруг
полюса. Такое пре„, .авление перемещения тела, однако, не являет-
оя единственно вог чным. В настоящем параграфе бедет показано,
- 223 -

что произвольное перемещение твёрдого тела за любое время
можно осуществить одним винтовым перемещением.
1°. Винтовое перемещение тела.
Рассмотрим винтовое перемещение
твёрдого тела за конечный промежуток
времени At -t-t0 , где t -
заданный, a ta -начальный моменты
времени. Пусть за это время тело
повернулось на .угол if вокруг винто -
вой оси L* и переместилось на
расстояние И вдоль этой' оси.
Установим формулы для конечных координат
любой точки тела при этом
перемещений.
Будем рассматривать перемещение
тола относительно неподвижной
системы отсчёта ?$^?? э третья ось
которой направлена вдоль винтовой оси
(фиг, 65)*
й> за полюс и свяжем с ним сопутстзу-
^1flfitL43 • Прккем, что в начальный
иоБьыюи и теле точл;
ищую систему координат
момент системы о тс ;ёта
^<V<727j и c*j$*Sj совпадала
друг с другом. Тггда конечные координаты произвольной точки
Mfyd*%*Vj) тел8 при данном перемещении будут определяться
формулами типа A3.5);
fc-C'^fcA
f / Т<Г
(<г*/ЛЗ),
C1Л )
я
где координаты ^. имеют значения:
C1.2)
а ь -матрица определяется через угол поворота f в виде
II cos if 3(mf о I
I a J/z l-Stncf Coif О
\ О О I
C1.3)
- 22^ -

Формулы C1,1) определяет винтовое перемещение тела,
2°. Представление произвольного перемещения твёрдого
тела в виде винтового перемещения.
Рассмотрим произвольное движение твёрдого тела относительно
неподвижной системы отсчёта 0Х4*А*3 . Пусть уравнения
движения тела заданы и имеют вид
*'«*>.
Ъ*К1)
t+шх C1 л)
где &Л -координаты точки О тела, принятой за полюо, а ? -
зйщеровы углы, которые образуют оси овязанной о телом сопутст -
Bjiomett системы координат 0?ЛЛ?, с осями неподвижной сиотемы
®Х1*Л ^ез ограничения общности можно принять, что а
начальный момент t0 сопутствующая система координат совпадала в
неподвижной системой*
Обозначим через t произвольный момент времени, отличный рт
начального. За промежуток времени At*t-t0 тело совершает
некоторое перемещение в пространстве. При этом координаты любой
точки М (?у.?г,$утела в момент t соглгсно A3*5) будут имоть
значения
X =*' +Z ? * <*'Ш), C1.5)
где функции ^J заданы уравненный C1 Л), а /-матрица
определяется через заданные }глы %• формулами A0,9) и ,
следовательно, также известна. \ i? [Ц>
Положение тела
в момент *0
Положение тела
в момент t
225

Покажем, что данное перемещение тела можно осуществить
винтовым перемещением, т.е. поворотом тела на угол / вокпуг
некоторой оси /* и его смещением на расстояние И вдоль этой
оси.
Пусть ^ -искомая винтовая ось и ? - та точка* в которой
она пересекает плоскость хл?*. Чтобы определить положение оси
/* в системе отсчета $хлхАл$9 поступим следующим образом.
Отождествим ось J** с осью??, системы координат &;?? .
Положение же системы &*ЛКЛ*>$ относительно системы отсчёта
to,д^, можно задать координатами точки С:
*/*а, xl*b , х3 --о C1.6)
и эйлеровыми углами ^,которые образуют оси ^^^ с осями
*/4^ (фиг.66):
Тогда, для доказательства возможности лредставленир
произвольного перемещения тела винтовым перемещением с осью X* достат ч-
но показать, что по заданным уравнениям движения тела C1.4)
можно определить несть величин <1>&.Н*Ф*8, f • Для решения згой
задачи установим ввизаде связь между координатами f и Х^ 9
даваемую формулами C1*5), другим способом.
Пусть искомому винтовому перемещению соответствует преобра -
зованне координат C1 Л):
в котором координаты ^ i f r вычисляются в системах координат
€***$ж*Ь и *b*kf* » изображенных на фиг.66. Проведём черев
центры 9 н О оси Ф&4> н «^V/t/, параллельные
соответствующим оснм ?&*?? *&&%*> (<v«66). Тогда легко
ввдоть, что имеют место следующие формулы преобразования коор -
динат
где «? -матрица определяется углами C1.7) но формулам A0.9)
ш виде
- 226 -

ftj? Jbtf 0
-ItiifCosB tofiru/e Si* 9
S(ny $tti& -tof SOt$ Cot&
' C3I.9)
Отсюда видно, что зависимость между к ординатами &0 и Сг
можно представить в форме
V^^HHm **1 * Е ***** (*•***).{* ЛО)
Заметим теперь, что взаимная ориентация ocett#?/p?? fy^^T,
и 0$t%z$s в момент ?_ точнс такая же, как и ориентация осей
*$Vj» *&W » ОхА*%%ь в момент *# (см.фиг.66). В
силу этого обстоятельства формулы, связываание координаты^
и Ч- будут иметь вид, аналогичный C1ЛО):
причём ?. г^ (}*{АЛ) . Разрешая зги зависимости отно -
оительно величин % , будем иметь
Из формул E1.8), E1.10) и (Я .II) теперь находим, что овязь
между координатами ? и а. может быть представлена в виде
Полученные выражения и являются искомыми. Сравнивая теперь
формулы C1.5) и C1.12) и имея в виду, что они должны выполняться
для любой точки тела, т.е. для произвольных величин {^t ¦
устанавливаем, что должно быть
-227.

Последним зависимостям с помощью условий C1.13) можно
придать форму
* д A Act) 9 * со 6 V <гя)
Итак, получено две группы равенств : C1.13) и C1Д4).
Первую группу можно рассматривать как систему уравнений для
нахождения углов у, 9 и ^ , а вторую - для определения
величин GL, Ь и Ит Рассмотри вначале систему C1 13). В
подробной записи уравнения системы имеют вид
у zCos fCos if + SuizyCoS*9Cos iffSin&yScn'Of
hi
v *Jmp eosfSin'9eoftf+CosQ$crnf-Sinif/CospSut*$\
у -CvsifSmBSinf-SinySuiOCosBCosy fSinfSinBCosB;
У ^SCtt iy CoSiySinZ0 CoSif- COSBSinif- Sin<t>CoStf>Sinu9p
v = Sinzu/ cosif+cos%cosz9 cr ti/ -> Cos2f sin*9r
Ш C1.15)
Y - SuifScnBSinff Cosif SinBCosB coS*f-CoSfSuxBCos9'}
v = -CoSySinBSinf - Sinif SinBcosOCosif+Sinf Sin9 cos9f
v - -St*j>Si*9 Sen tfiCosy Sen 9 Cos 6 CuSf-Co&fSin 9*os99
v * Sen* Qcostf +mZ9 .
Заметим, что d и fi -матрицы являются ортогональными
матрицами. Легко видеть, что ортогональной бу^ет и у
-матрица, определяемая ими по формуле C1.13). В силу свойств
ортогональной матрицы: 2, fAu) jf^^ « с/ (A,/i*JAS) из девяти
её элементов независимы только три. Следовательно, в системе
C1.15) Судет только три независимых уравнения. Возьмём в
качестве независимых следующие три комбичации уравнений системы;

А ш. *„
C1.16)
/ - eostf*(t*cosf)cos 9 .
3b
Отсюда находим
Таким образом, решением системы C1.15) являются следующие shs-
ченая углов:
(ff-arc cos
C1.17)
т.е. по заданному движению тела углы if 9 и у определяются.
Тем самым становятся известными d и fb -матрицы.
Обратимся теперь к рассмотрению равенств C1Л4). В пол -
робиой записи они имеют вид
C1Л8)
Эти равенства представляют собою систему трох линейных
алгебраических уравнений для определения величин О-Л и //«
Обозначим через А определитель этой системы:
Л ~
31
и *зг
т
S3
- 229 ^

Для вычисления определителя разложим его по элементам
последнего столбца и используем то свойство, что каждый
элемент jf -матрицы равен своему алгебраичоокому дополнению.
Тогда получим
A*cL (Y +/ >^ (Г +Г )taL (ltY -Y -Г )ф
si1 h$ Ы зг hi Ы' зз Ы hi **г'
Если теперь воспользоваться выражениями элементов d
-матрицы через элементы у -матр.ды, то найдём для определителя
следующее значение
*Ф<%ъ-м<'%-г»-г*
)
C1Л 9)
Отсюда видно, что этот определитель вообще отличен от нуля.
Следовательно, систему C1,18) можно разремить относительно
величин а,? и Н« Решение системы даётся следующими
формулами Крамера
C1.20)
»=*
*i -in <*»
э? i-tn d.it
*; -г» л»
.*¦*
i- in *? 4,
-U К J*
-h x; oGi
и-±\
f Кг -& П
Таким образом, по заданным уравнениям движения твёрдого тела
величины а,I и Н также определяются.
Итак, доказано, что задание уравнений движения тела
определяет как положение винтовой оси /* , так и
характеристики винтового перемещения. Установленный результат составляв.
содержание следующей теоремы Шаля.
Теорема 19. Всякое перемещение свободного твёрдого тела
из одного положения в другое может быть осуществлено однгч
винтовым движением около винтовой оси / ; г сложение оси и
характеристики винтового перемещения определяются формулами
C1.17) и CI.2C).
- 230-

3 . Представление произвольного сферического перемещения
твёрдого тела в виде врадения.
Рассмотрим теперь частный случай когда перемещение
твёрдого тела являетоя сферическим с неподвижным центром О . Тогда
общие уравнения движения тела C1.4) принимают вид
*J*°* «,-tf/^ (+Ш) . C1.21)
Согласно формулам C1.20) в этом случае будем иметь
а*о, 1*о, Н*о, C1.22)
т.е. ось U соответствующего винтового движения будет пр^хо -
дить через центр О , причём перемещение вдоль этой оси будет
отсутствовать. Это означает, что ось L* конечного винтового
перемещения вырождается в этом случае в ось конечного вращения.
Что касаетоя ориентации оса А* и угла поворота тела вокруг неё,
то соответствующие величины определяются формулами C1.17).Этот
частный случай теоремы Шаля известен под названием теоремы Да-
ламбера:
Теорема 20. Всякое сферическое перемещение твёрдого тела о
неподвижным центром О из одного положения в другое мо^ет быть
осуществлено одних вращением вокруг оси I* , проходящей через
неподвижный центр; ориентация этой оси и угол поворота вокруг
неё определяются формулами C1.17).
4°. Представление произвольного плоского перемещения
твёрдого тела в виде вращения.
Рассмотрим другой частный случай, когда твёрдое тело
совершает плоское перемещение, параллельное плоскости Ъх,^. Уравнения
CI.V) движения тела в этом одучае имеют вид
<«*<W,<¦<«>,*/**; «J'lJ^'?•$¦* • E1'г5>
«231

В силу 8тих уравнений у -матрица принимает следующую
спициальную форму
'U =
costfi Sin if t o
Sirttf
0OSi/?
C1.2*0
Ориентация винтовой оси I* и элементы винтового перемещения
определяются в эхом олучае формулами C1 Л?) и C1.20) в виде
у«| f 9-0> v*yd ,
Н = о
а__*?агжъ)-*1**ъ ^ ^ xla-*°*<ti)+2i'sin<ti CI.25)
Следовательно> винтовая ось L* в плоском движении, как и в
случав сферического движения, вырождается в ось вращения.
Эта ось перпендикуляра к плоскости движения тела и
пересекает её в точке С(а,6,0), координаты которой определяются
формулами C1.25), Что касается угла поворота тела вокруг оси X*
то он равен углу <? .
Данный частный олучай теоремы Шаля называют теоремой Бер -
нулли:
Тоорома 21. Любое плоское перемещение твёрдого тела,
параллельное плоскости ^/,#> из одного положения в другое может
быть осуществлено одним вращением вокруг оси JL* 9 перпен -
дикулярной этой плоскости; координаты точки пересечения оси о
плоскостью и угол поворота вокруг оси определяются формулами
C1.25).
- 232 -

ЛИТЕРАТУРА
Основная
I. Бере.зкин Е.Н./Лекции по теоретической механике" I и П.
йзд/4осковского университета, чЛ- I967 г.,
ч.В-1966 т.
2» Гантыахер Ф.Р.,"Лекции по аналитической механике", Фиемат-
г* Л960г.
Дополнительная
1. Аллель П., Теоретическая механика т.1 и 11 перев.с франц.
Фмаматпгс, I960 г»
2. Валле Rycce*? I.I. Леицнв по теоретической механике перев.
о франц., Издативлит, чЛ, 1948; Т.ПД949.
3* Годдстейн Г.» Классическая механика» перев.с англ.
Гостехкэдат, 1957 г.
4. Сусло» Г.К* Теоретическая механика, Гостехиэдат 19*»* г.
5. Ландау Л.Д., Лифпщ ЕЛ., Механика, Фиэматгиа 1958 г.
6. Лурье А.И., Аналитическая механика 1МФМЛ, I96T г.
233 -

?% Одысовокш! Н.Н.Дуро гаорагячаояой мехаяякя джя фяэяяов.
Иад.Иа?яа 1970 г.
8. Нева падав В.ГпТаоратячасяая мвхаяява, Фяаматгяв, 1959 г.
9. Наймаря ОЛК.Фуфаав Н.1.,Дяиаиява нягоаоношшх сястея,
¦яаяатгя?, 19€? т.
IO.JUi Д.У.. Кдяооячасяа иаханяка,и%1961 г*
11. Дувовокя! НЛ»» Творятячаоявя нахаяяка, яад,?, 1952.
12. Чашшпш CJU, ёахаяяяя сяотят, 1923-192*, а гакж*
в еобраяяя оочяяаяя!, ?Л7, 1949 г»
13. Вабстар ^., Махвяяяа ватарявлыгах точая, твёрдо,
japjnu я яядяях тва, яврав.о ааглЛЭЗЗг.
1%. Увттаквр в%т.% дваднтяавояая дянаяаяя, вар,о авг*Д937 г,
15. Бухголц НЛ., Ooaoaaot яуро таоратячяаяо! иахаяяжя,
чаотя 1 ill,, "Иауда*, I967-19C9.

Б о i д а р » Ваошш! Даяаоогач
ДВЩИИ ПО TKOFETITOROB ИШЯИКВ
Яаоть I, Кавакатшга*
Опиапмш! ta mnyoi В.К. Коаъиавко,
Ведом** v па tiara * (* *?'• 1Ш ItOlt
Бумага 60 х 84, I/I6. 0<NIm Н,75 п.л.
Тараж 600. Заказ *6W. Цена ^ коп.
Ротапринт НГУ,
Новосибярок,90.