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La première partie de l'enseignement est consacrée à l'introduction des concepts généraux de la mécanique des milieux continus. On présente d'abord la description et la modélisation géomé- triques du milieu continu puis la modélisation des efforts et l'introduction des contraintes. Des compléments mathématiques relatifs au calcul tensoriel sont disponibles. Sommaire Modélisation géométrique Chapitre I. Le milieu continu : une modélisation Chapitre II. Étude des déformations du milieu continu Chapitre III. Cinématique du milieu continu Modélisation des efforts Chapitre IV. Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts Chapitre V. Modélisation des efforts pour le milieu continu Chapitre VI. Étude des contraintes Compléments mathématiques Annexe I. Éléments de calcul tensoriel Annexe II. Opérateurs différentiels : formules essentielles Glossaire Bibliographie Index alphabétique Mécanique des milieux continus. Tome I - Concepts généraux
Chapitre I Le milieu continu : une modélisation MOTS CLÉS Échelle. Modélisation. Validation. Référentiel. Repère. Con guration. Lagrange. Euler.Vitesse. Continuité. Domaine matériel. Tr a jectoire. Ligne de courant. Ligne d émission. 9
Chapitre I Le milieu continu : une modélisation 11 En bref Le concept de milieu continu est une modélisation physique macrosco- pique issue de l expérience courante, dont la pertinence est avérée selon les problèmes abordés et en fonctiondel échelle des phénomènes mis en jeu (section 1). Dans la formulation mathématique classique de ceconcept,unsystème mécanique est représenté par un volume constitué, au niveau différentiel, de particules .L ét a tgéo métrique de ces particules, de façon semblable àc eluid un point matériel, est caractérisé par la seule connaissance de leur position. La perception intuitive de la continuité se réfère à l évolu- tion du système : au cours de celle-ci, des particules initialement voisines demeurent voisines (section 2). Pour préciser cette modélisation la description lagrangienne identi e les particules par leur position dans une con guration du système prise comme référence ,e tdéc ritlem o u vement en dé nissant la position de chaque particule, ainsi indexée, au cours de l évolution, c est-à-dire en se donnant sa trajectoire et son horaire de parcours. La continuité du milieu s exprime par la continuité spatiale et temporelle de la correspondance entre la position initiale de la particule et sa position actuelle. Des condi- tions de continue différentiabilité sont de plus imposées. Toutes les gran- deurs physiques sont dé nies de cette façon. La validation expérimentale du modèle montre qu il y a lieu d affaiblir les hypothèses de régularité en ne les imposant que par morceaux (section 3). En adoptant le point de vue incrémental, la description eulérienne dé- nit le mouvement du système par la donnée, à chaque instant, du champ des vitesses des particules. Elle se place sur la con guration actuelle et les variables spatiales qui y apparaissent ont une signi cation purement géométrique. La notion de continuité dans la description eulérienne corres- pond auxc ontinuité et continue différentiabilité spatiales et temporelles, par morceaux, du champ des vitesses. Toutes les grandeurs physiques sont dé nies de cette façon à chaque instant sur la con guration actuelle en fonction des coordonnées des particules. Les descriptions lagrangienne et eulérienne sont équivalentes. (section 4).
12 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation Principales notations Notation Signi cation 1ère formule X vecteur-position dans κ0 (2.1) x vecteur-position dans κt (2.1) φ(X ,t) bijection de Ω0 sur Ωt (3.1) B valeur d une grandeur (3.2) B(X ,t) grandeur attachée à une particule (3.2) en description lagrangienne ψ(x,t) bijection réciproque de Ωt sur Ω0 (3.4) J(X,t) jacobien de la transformation (3.5) dΩ0 élément de volume dans κ0 (3.8) dΩt élément de volume dans κt (3.8) U(X ,t) vitesse en description lagrangienne (3.10) a(X ,t) accélération en description lagrangienne (3.11) U t(x,t) vitesse en description eulérienne (4.1) b(x,t) grandeur en un point géométrique (4.2) en description eulérienne
Chapitre I Le milieu continu : une modélisation 13 1É chelle,modélisation, validation .............. 15 2L es concepts et leur formulation .............. 16 2.1L idée directrice ...................... 16 2.2R éférentiel,repère. .................... 17 2.3C o n gurations du système ................. 18 2.4O bjectivité . ........................ 19 3D escription lagrangienne ................... 20 3.1D é nition .......................... 20 3.2H ypothèsesdecontinuité ................. 21 3.3 Pertinence du modèle : affaiblissement des hypothèses de continuité .......................... 23 3.4 Interprétation physique de la description lagrangienne : trajectoires . ........................ 24 3.5L ignesd émission ...................... 24 3.6V itesse d une particule. . ................. 25 3.7C o n gurationderéférence abstraite. . ......... 25 4D escription eulérienne .................... 26 4.1D é nition .......................... 26 4.2D étermination destrajectoires. ............. 27 4.3L ignesdecourant . .................... 28 4.4M ouvementsstationnaires (oupermanents) . ...... 29 4.5M ouvementssemi-permanents ............... 30 4.6N otations pour la vitesse ................. 30 5C o mmentaires ......................... 31 Récapitulatifdes formules essentielles ............. 35 Exercices .............................. 36
1 Échelle,modélisation, validation 15 Le milieu continu : une modélisation 1É chelle, modélisation, validation Figure 1 Extrusion d un tube. (Document communiqué par M. Sauve, CEA) Figure 2 Matriçage d un lopin en alliage d aluminium. (Le Douaron, Thèse 1977, CEMEF) C est de l observation de la déformation d un solide, par exemple au cours d une opération de formage à froid ou à chaud ( gures 1 et 2), de l écoulement d un liquide, de la détente ou de la compression d un gaz, que la notion de milieu continu déformable tire son origine. Elle signi e que l observateur retire de ces expériences l idée que certains problèmes peuventêtretraitésàune échelle macroscopique en assimilant cette matière à un milieu continu , sans contredire les modélisations de la physique microscopique. La notion d échelle pertinente pour un problème est ainsi introduite : liée évi- demment aux phénomènes mis en jeu, elle dépend de façon essentielle de la nature des questions que l on se pose à leur propos. Un exemple tiré de la pratique journalière de certains ingénieurs permet d en fournir une illustration. Les ingénieurs du génie civil construisant des ouvrages tels que fondations, bâti- ments, soutènements, barrages, ... ,do ntladim e n sion caractéristique va du mètre àlacentaine de mètres, sont confrontés à des problèmes de stabilité de massifs de sols sableux, matériaux grenus dont la dimension caractéristique des grains est de l ordre du millimètre ou du dixième de millimètre. Pour ce type de problème et ce type d application Stabilité ou instabilité de l ouvrage ? ils se réfèrent fréquem- ment au modèle classique de la mécanique des milieux continus bien que, à l évidence,
16 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation la terminologie de continue soit peu appropriée à lan atu r edec e smatériaux. La pertinence de cette attitude ne saurait être affirmée a priori ; elle est attestée par l expérience. Il s agit là d une démarche habituelle : la modélisation physique puis ma- thématique d un problème est induite par l expérience ;elle doit ensuite être validée par la confrontation des résultats auxquels elle conduit du point de vue des applications concernées avec des résultats expérimentaux signi catifs. Le rôle de l ex- périence (expériences faites ou expérience acquise) dans l induction de la modélisation est primordial même s il passe souvent inaperçu : c est ainsi, pour reprendre l exemple du sable, matériau grenu, que son tamisage n appellerait naturellement pas une mo- délisation de milieu continu. On peut aussi être conduit, dans un même problème, à faire usage de modélisa- tions qui se situent à des niveaux différents (on peut ainsi parler de modèles à échelles multiples). Le calcul des structures en fournitunexemple:onyfaitclassiquement ap- pelàla théorie des milieux curvilignes (cf. chapitres XI et XII) pour la détermination des efforts intérieurs sous forme de torseurs, puis à la modélisation du milieu continu tridimensionnel. À cette démarche sont apparentées diverses approches actuellement très courantes en mécanique des milieux continus : passage micro-macro , voire micro-meso-macro , homogénéisation, ... On se propose dans le présent chapitre de cerner, puis de formuler mathématique- ment, le concept de continuité évoqué ci-dessus. On présentera ainsi la modélisation du milieu continu classique tridimensionnel(1),dontle sapplications concernent tant la mécanique des solides déformables que la mécanique des uides (cette distinction, traditionnelle, devient d ailleurs, dans certains cas, bien difficile à faire : déformation ou écoulement de polymères par exemple). 2L e s c o n c epts et leur formulation 2.1 L idée directrice Dans la démarche expérimentale usuelle, que ce soit pour suivre l écoulement d un uide ou les déformations d un solide, l observateur est conduit à procéder au mar- quage d éléments matériels constitutifs du système étudié à un instant donné et à repérer ensuite leur évolution géométrique ( gures 1, 2, 6 à 8, 11 à 14). Il est évident que le marquage d un tel élément, aussi n soit-il, concerne un petit domaine ma- tériel , qui sera réputé in nitésimal à l échelle macroscopique du mécanicien, mais qui se situe au-dessus de l échelle microscopique du physicien. Le concept intuitif de continuité se réfèreàl évolution des positions géométriques de ces éléments marqués au cours du temps:de sélém e ntsm atériels voisins à un instant donné demeurent voisins au cours du temps et leurs évolutions sont compa- (1)La transposition pour dé nir le concept de milieu continu bidimensionnel dans un espace euclidien bidimensionnel est immédiate. Voir aussi, ultérieurement, la notion de problèmes plans dans l annexe III consacrée à l élasticité plane.
2 Lesconcepts et leur formulation 17 rables. À l évidence, la validité de ce concept sera prioritairement dépendante de la possibilité réelle d identi er les petits domaines matériels pertinents. La modélisation mathématique du concept physique de continuité sera donc d abord géométrique. Du point de vue géométrique la modélisation du milieu continu classique part de l idée que le système mécanique considéré S est représenté par un volume Ω dont les dΩ représentent les constituants élémentaires appelés particules . L état géométrique de ces particules est caractérisé uniquement par leur position : le mouve- ment est entièrement dé ni par un champ de vitesse. Ceci explique la terminologie de pointsm atériels employée aussi pour désigner les particules qui signi e qu elles sont représentées géométriquement par un point ; on doit bien entendre qu il s agit en quelque sorte de points matériels dilués , c est-à-dire que les grandeurs physiques extensives qui sont introduites relativementausystèmepour en dé nir certaines carac- téristiques apparaissent comme des intégrales de densités volumiques (et non comme des sommes discrètes). Le concept de continuité étant lié à l observation de l évolution du système,on souhaite assurer au cours de celle-ci pour des particules voisines : • la conservation de la proximité géométrique, • l évolution comparable des propriétés physiques. 2.2 Référentiel, repère La formulation mathématique des idées précédentes nécessite que l on procède à la description et au repérage du système étudié tout au long de son évolution au cours du temps. On introduit d abord la notion de référentiel, liée à celle d observateur :le référentiel est pour ainsi dire l espace euclidien entraîné par l observateur . Pour en donner une dé nition plus mathématique : 1 on suppose choisie, une fois pour toutes, la chronologie,c est-à-dire l échelle du temps (mécanique classique) valable pour tous les observateurs ; 2 on appelle alors référentiel l ensemble des points de l espace euclidien animés du mouvement de corps rigide (isométrie directe fonction du temps) de l observateur. Le référentiel, noté R,estditlié à l observateur. Une telle dé nition ne permet, en fait, que de dé nir un référentiel par rapport à un autre. On sait, et on y reviendra au chapitre IV ( 1.1), que la mécanique classique postule l existence d un référentiel absolu, ou galiléen, doté de certaines propriétés. Pour repérer les positions spatiales des particules du système dans un référentiel R, on peut utiliser un repère R (souvent orthonormé, sans que cela soit une nécessité), d origine O.Cerepère, animé du mouvement de corps rigide du référentiel R,peutêtre considéré comme matérialisant R.Dansunréférentiel R,changer le repère R pour le repère R consiste à effectuer à chaque instant la même transformation de coordonnées
18 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation sur les composantes des êtres intrinsèques (vecteurs ou tenseurs)quel on introduira pour représenter les grandeurs physiques dans ce référentiel ( gure 3). Figure 3 Changement de repère dans le référentiel R Le changement de référentiel, c est-à-dire le changement d observateur, peut être matérialisé en choisissant dans le référentiel R un repère R et dans le référentiel R∗ un repère R∗ qui soient en coïncidence àu nin sta nt donné : ces repères sont distincts et la correspondance entre eux évolue au cours du temps en suivant le mouvement d entraînement (de corps rigide) d un référentiel par rapport à l autre ( gure 4). Figure 4 Changement de référentiel (R et R∗) 2.3 Con gurations du système L état du système S à l instant t dans un référentiel R est appelé con guration de ce système. On désignedefaçon générique par κt la con guration actuelle (instant courant t). La con guration géométrique de S est décrite par l ensemble des positions, repérées dans le référentiel R,desesparticules. Ce repérage de la con guration géo- métrique dans R se fait au moyen du vecteur-position OM ,notéaussi x,quiprécise la position de chaque particule de S à l instant t àpartirdel origine O d un repère R dans R.Onpe utdé nir x par ses coordonnées (x, y, z) ou xi(i =1, 2, 3) dans R. Le volume occupé par S dans cette con guration est Ωt de frontière ∂Ωt. On introduit aussi la notion de con guration de référence :c e stla con gu- ration particulière κt0 ,dusystèm eàu nin sta ntt0 xé.Sa ufm e ntion explicite du contraire, on posera t0 =0(et la con guration deréférence pourra aussi être appelée con guration initiale). Conformément aux idées intuitives sur la continuité exposées
2 Lesconcepts et leur formulation 19 au paragraphe 2.1 et qui seront exprimées mathématiquement au paragraphe 3.2, S occupe aussi dans κ0 un volume Ω0 de frontière ∂Ω0 ( gure 5). Les coordonnées des vecteurs-positions OM 0 de κ0 dans le repère R de R seront systématiquement notées (X, Y, Z) ou encore X i(i =1, 2, 3).Levecteur OM 0 sera aussi noté X. Ainsi: OM = xde coordonnées(x,y,z)ou xi dans κt OM0 =X de coordonnées(X,Y,Z)ou Xi dans κ0 . (2.1) Figure 5 Con gurations du système 2.4 Objectivité Le caractère intrinsèque vis-à-vis du changement de référentiel est appelé, en mécanique, l objectivité d une grandeur, d une équation, ou d une loi. Pour une grandeur scalaire, l ob- jectivité signi e que deux observateurs obtiennent la même valeur de cette grandeur dans leurs référentiels respectifs à l instant t. Pour une grandeur vectorielle,ile stc o mmode de se référer à la gure 4. La véri cation de l objectivité consiste à s assurer que les expressions, dans les repères R et R∗ respectivement, des valeurs de la grandeur mesurées par chaque observateur dans son référentiel sont liées par la formule de changement de repère qui exprime la correspondance entre les repères R et R∗ à l instant t ,c e st-à-dire le mouvement rigidi ant du référentiel R∗ par rapport au référentiel R.Àtitred exemple, le vecteur joignant les positions géométriques à l instant t de deux particules est objectif. En revanche, la vitesse à l instant t d une particule n est pas une grandeur objective : deux observateurs mesurent, dans leurs référentiels respectifs R et R∗ des vecteurs vitesses qui ne sont pas liés par la formule de changement de repère ( gure 6). Plus généralement on doit considérer des grandeurs tensorielles d ordre et de variance quel- conques (annexe I) qui, de plus, sont éventuellement rattachées à des observations effectuées àdivers instants, par exemple à l instant initial de référence t0 et à l instant actuel t.L ob- jectivité d une telle grandeur signi e que les expressions obtenues par deux observateurs, qui sont relativesa u xr epères Rt0 et Rt pour l un, R∗ t0etR∗ t pour l autre, sont liées par les formules de changement de repères correspondantes : Rt0 en R∗ t0,RtenR∗ t .Onrencontrera des exemples de telles grandeurs dans les chapitres suivants (cf. chapitre II, 4.6). L objectivité de l équation exprimant une loi physique s analyse de façon analogue : l écriture d une telle équation ne permet pas à deux observateurs de discerner leurs référentiels respec- tifs à partir des mesures qu ils y effectuent. Cela signi e aussi que les équations exprimant
20 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation Figure 6 Changement de référentiel : exemples de poinçonnements d un massif pul- vérulent bidimensionnel ; la pose courte permet de visualiser les champs de vitesse dans : a) le référentiel lié au massif, b) le référentiel lié à la fondation. (D après Bonnet et Morio, 1972, Laboratoire Central des Ponts et Chaussées) la loi physique pour deux observateurs sont liées par les formules de changement de repères correspondantes. Toute loi physique ne possède évidemment pas cette propriété. La loi fon- damentale de la dynamique (cf. chapitre IV, section 1) est l exemple d une loi non-objective puisqu elle n est valable qu en référentiel galiléen. En revanche on verra (cf. chapitre VII) que l on impose aux lois de comportement des matériaux de satisfaire le principe d objectivité ; celui-ci se réduit dans certains cas au principe d isotropie de l espace qui affirme que l es- pace ne possède pas de direction privilégiée (cf. chapitre VI, 4.2 et chapitre VII, 4.1). Il convient de remarquer que le fait pour une équation de ne faire intervenir que des grandeurs objectives n est pas une condition suffisante d objectivité. 3D e s c r iption lagrangienne 3.1 Dé nition On se propose maintenant de donner une formulation mathématique précise des idées intuitives et des concepts présentés dans les sections précédentes. Dans cet esprit, en se référant au marquage despetitsdomaines matériels évoqué au paragraphe 2.1, la description lagrangienne(2) consiste à : • identi er les particules constitutives dusystèm epa rle u rpo sition géométrique dans une con guration de celui-ci prise comme référence et notée κ0,c est-à-dire par la variable vectorielle X, • exprimer la valeur de toute grandeur physique dans la con guration actuelle en fonction de la particule à laquelle elle est attachée et de l instant actuel, c est-à-dire en fonction des variables X et t. Ainsi le vecteur-position OM = x de la particule située initialement en M0 dans κ0 est donné par x = φ(X,t) (3.1) (2)L. Lagrange (1736-1813).
3 Description lagrangienne 21 et la valeur d une grandeur physique attachée à cette particule, soit B est : B=B(X,t). (3.2) Dans la formule (3.1) φ est une fonction vectorielle dé nie sur Ω0, ∀t,etquivéri e évidemment : φ(X,0)=X, (3.3) tandis que, suivant la nature de la grandeur physique concernée, B est une fonction scalaire, vectorielle, ou tensorielle d ordre quelconque, qui véri e la formule homologue de (3.3). La fonction φ décrit ainsi la correspondance géométrique entre les con gurations (spatiales) κ0 et κt.Enfonctiondet c est toute l évolution géométrique du système S,c est-à-dire son mouvement (cf. 3.4), qui est ainsi donnée. 3.2 Hypothèses de continuité On va naturellement examiner maintenant les conditions mathématiques sur φ qui permettent de rendre compte convenablement du concept intuitif de continuité dégagé au paragraphe 2.1. On propose les hypothèses suivantes : • φ est une bijection de Ω0 sur Ωt dont on désigne par ψ la bijection réciproque(3) : ∀t,∀M0 ∈Ω0 ∀t,∀M ∈Ωt ⇐⇒ x = φ(X,t) X = ψ(x,t) (3.4) • φ et ψ sont continues par rapport à l ensemble des variables d espace et de temps. • φ et ψ sont en règle générale supposées de classe C1 voire C2 . En ce qui concerne la grandeur physique typique B,lafo n ctio nB est supposée continue et, en règle générale, de classe C1 ou C2 par rapport à l ensemble des variables Xett. Ces hypothèses ont les conséquences classiques suivantes qui permettent d exami- ner la validité de cette modélisation par comparaison avec l expérience. 1◦)De u xpa rticules qui occupent dans κ0 des positions in niment voisines , restent in niment voisines dans toute con guration. (3)ψ sera occasionnellement notée aussi φ-1 .
22 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation 2◦)De spa rtic ules qui occupent dans κ0 un domaine connexe, occupent dans κt un domaine connexe de même ordre (volume, surface, courbe). Ceci permet la dé ni- tion mathématique du concept de domaine matériel :domaine transporté par le mouvement c est-à-dire qu il s agit à chaque instant du domaine géométrique occupé par le même ensemble de particules. 3◦)Lesparticules qui se trouvent dans κ0,àl intérieur d une surface fermée, restent àtoutinstantt à l intérieur de la surface transportée. Ainsi la frontière d un volume matériel est une surface matérielle. 4◦)Enparticulier, la frontière de S est une surface matérielle ce qui signi e qu elle est toujours constituée des mêmes particules. 5◦)Enc onséquence des hypothèses de continue différentiabilité : soit J(X ,t) le déterminant jacobien de φ à l instant t en (X 1,X2,X3),c e st-à-dire le déterminant de la matrice jacobienne des dérivées premières des xi par rapport aux X i : J(X,t)= D(x1,x2,x3) D(X1,X2,X3) . (3.5) φ étant continue et continûment dérivable de même que ψ,onendéduit que J(X ,t) est continu par rapport à X et t.Deplusilnepeutêtreni nul ni in ni, puisque les matrices jacobiennes de φ et de ψ doivent être inversibles. Il conserve donc un signe constant sur Ω0 et au cours du mouvement. Il résulte alors de (3.3) où l on a : J(X,0)=1 ∀M0∈Ω0, (3.6) que J(X,t) est positif et ni ∀M0 ∈ Ω0 , ∀t : 0 <J(X,t) < +∞ (3.7) Anticipant sur des résultats qui seront développés au chapitre II ( 2.3 et 4.2) on peut d ores et déjà donner l interprétation physique de J(X ,t).SoitdΩ0 le volume d un domaine matériel élémentaire au point M0 dans la con guration κ0 et dΩt le volume du domaine transporté en M dans la con guration κt ; J(X,t) s interprète comme la dilatation volumique dans le mouvement entre les con gurations κ0 et κt,ensuiv antlaparticule de M0 à M : dΩt = J(X,t)dΩ0 (4) . (3.8)On peut donc traduire sous forme imagée le résultat (3.7) : le volume de la particule conserve son signe, et ne peut devenir ni nul, ni in ni. (4)Ce résultat se rattache à des théorèmes classiques d analyse. L image de la mesure J(X,t)dX 1dX 2dX 3 par l application φ est la mesure dx1dx2dx3 .Siler epèr eR est orthonormé la mesure dx1dx2dx3 (ou dX1dX2dX3)e stlam e sure de volume. On en déduit que, pour un do- mainein nitésimal qui converge vers le point M0 ,danslacon guration κ0 et pour son image par φ en M,le sv olu me sdΩ0 et dΩt sont liés par la formule (3.8). Le résultat est conservé si R n est pas orthonormé car la mesure dx1dx2dx3 est alors proportionnelle à la mesure de volume.
3 Description lagrangienne 23 3.3 Pertinence du modèle : affaiblissement des hypothèses de continuité Les conséquences énoncées ci-dessus apparaissent conformes à l intuition de la continuité qui est à l origine même de la modélisation. On est toutefois amené à nuancer quelque peu les hypothèses mathématiques de façon à être en mesure de traiter plus commodément certains phénomènes observés. Figure 7 Poinçonnement asymétrique d un bloc de plasticine (application à la tecto- nique de l est de l Asie). (D après Peltzer, Thèse, 1983, Institut de Physique du Globe) Il s agit, par exemple, des ssures rencontrées en mécanique de la rupture, des surfaces de rupture, des surfaces de glissement, de la localisation de la déformation en mécanique des solides ( gure 7), des surfaces de jet en mécanique des uides ( gure 8). Pour celles-ci la conservation de la proximité de deux points initialement voisins au cours de l évolution est trop contraignante : il convient de permettre des discontinuités de φ au franchissement de certaines surfaces. Dans le cas des ondes de choc (cf. chapitre III, 4.4 et 5.1) φ demeure conti- nue mais ses dérivées spatiales et temporelle doiventadmettre des discontinuités au franchissement de la surface d onde. Pour ces raisons on convient d affaiblir les hypothèses de continuité en n imposant plus que la continuité et la continue différentiabilité de φ par morcea ux :des discontinuités de la fonction φ et/ou de ses dérivées sont permises au franchissement d une in nité dénombrable de surfaces dans R3.
24 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation Figure 8 Écoulement autour d une plaque plane. (Document communiqué par l ONERA) 3.4 Interprétation physique de la description lagrangienne : trajectoires La description lagrangienne est la formulation mathématique d une réalité expé- rimentale simple. En effet (cf. 3.1) la formule (3.1) décrit le mouvement de chaque particule du système : si l on considère la particule identi ée par X,(3.1) fournit la description de sa trajectoire, paramétrée en fonction dutemps,dansleréférentiel R : x=φ(X,t) où X est xé. Pour cette raison on dit aussi que la description lagrangienne est une description partrajectoires . Concrètement, la visualisation de la trajectoire d une particule à partir d un ins- tant t0,s obtient en marquant une particule à l instant donné t0 , puis en faisant une prise de vue en pose du mouvement du système à partir de l instant t0.Cetype d expériences est réalisé couramment en mécanique des solides et en mécanique des uides. 3.5 Lignes d émission La prise d une vue en instantané conduit à introduire un autre type de courbes géométriques, les lignes d émission,dé nies comme suit ( gure 9). En un point géométrique P dans R,decoordonnées xiP ,etàpartir de l instant t0,o nm a rqu echaque particule passant par P ;o nobserve, à l instant T>t 0,le s positions de ces particules dans R :lacourbe géométrique correspondante est la ligne d émission du point P observée à l instant T . L équation, paramétrée en t ,dec ette courbe s obtient à partir de (3.1) et (3.4)
3 Description lagrangienne 25 en suivant la particule X qui, passant à l instant t en P ,aétémarquée et se trouve en x à l instant T sur la ligne d émission : x=φ(ψ(xP,t ),T) t0≤t ≤T. (3.9) Ces expériences sont couramment réalisées en mécanique des uides ( gures 11 à 13). Figure 9 Ligne d émission (en pointillé, la trajectoire de la particule X) 3.6 Vitesse d une particule La vitesse, dans le référentiel R,delaparticule identi ée par sa position X dans κ0 s obtient immédiatement à partir de (3.1). C est le vecteur : U(X ,t)= ∂φ(X,t) ∂t. (3.10) Le vecteur vitesse U(X ,t) dans R est évidemment tangent à la trajectoire de la particule dans R au point x = φ(X,t). De même l accélération de laparticule s écrit : a(X ,t)= ∂2φ(X ,t) ∂t2 . (3.11) 3.7 Con guration de référence abstraite La description lagrangienne du mouvement donnée ci-dessus, identi e chaque par- ticule par sa position dans R,danslacon guration κ0. On peut bâtir le même type de description en introduisant, pour indexer chaque particule, un jeu de trois paramètres ai(i =1, 2, 3) qui sont appelés coordonnées de la particule dans la con gu ration abstraite de référence κa .Lemouvementestalors dé ni de façon analogue à (3.1) par la donnée de la fonction vectorielle φ : x = φ(a1 ,a2,a3,t)( a1,a2,a3) ∈Da (3.12)
26 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation où Da désigne le domaine occupé par le système dans κa ;ona,pourlacon guration κ0: X = φ(a1,a2,a3, 0) . (3.13) φ doit encore être bijective, continue et continûment différentiable par morceaux de même que sa bijection réciproque ψ. Le jacobien J(a1,a2,a3,t)= D(x1 ,x2 ,x3) D(a1,a2,a3) est continu par rapport aux variables a1,a2,a3 et t,etn epeut être ni nul ni in ni (inversibilité de la matrice jacobienne). Il conserve donc un signe constant sur Da et au cours du mouvement ,maisiln estplus nécessairement positif. La dilatation volumique entre deux con gurations κ0 et κt pour la particule indexée par (a1,a2,a3), s obtient évidemment par : dΩt = J(a1,a2,a3,t) J(a1,a2,a3, 0)dΩ0 . (3.14) Pour citer un exemple simple d une telle représentation lagrangienne à partir d une con guration abstraite : si l on indexe chaque particule par les coordonnées cylin- driques R, Θ et Z de sa position M0 dans κ0 ,lesparamètres R, Θ et Z constituent un jeu de coordonnées lagrangiennes abstraites, le domaine Da étant dé ni dans l espace (R, Θ, Z).Enpartic ulier, si la position dans la con guration actuelle est, elle aussi, repérée par les coordonnées cylindriques (r, θ, z) on a, pour la dilatation volumique, la formule : dΩt=r R D(r,θ,z) D(R,Θ,Z)dΩ0 . (3.15) 4D e s c r iption eulérienne 4.1 Dé nition En se référant à l interprétation physique de la description lagrangienne à partir de la prise de vues en poses longues, on peut introduire la description eulérienne(6) par l idée intuitive suivante exposée sur l aspect géométrique : le cliché obtenu en pose peut être reconstitué par la superposition d une succession de prises de vues instantanées. Dans une formulation plus mathématique, la description eulérienne de l évolution consiste à prendre à chaque instant la con guration actuelle comme con guration de référence pour décrire l évolution in nitésimale entre t et (t +dt). Ainsi pour l aspect géométrique la description eulérienne dé nit le mouvement du système par la donnée, à chaque instant t,delavitesse U t de la particule située au (6)L. Euler (1707-1783).
4 Description eulérienne 27 point géométrique M dans κt : ∀t,∀M ∈Ωt ,U = Ut(x,t). (4.1)On retrouve bien encore la donnée d une fonction vectorielle de 4 variables scalaires mais, à la différence de (3.1),lesvariablesspatialesx1,x2 ,x3 sont relatives à la con - guration actuelle et non plus à une con guration de référence : elles n identi ent donc plus les particules au cours du temps. To u t e gr a ndeur physique est, de même, dé nie sur κt sous la forme : ∀t,∀M∈Ωt , B=b(x,t). (4.2)En règle générale on convient, pour permettre un décodage des formules à vue , de désigner par des lettres minuscules (comme x)lesfonctionsrelatives à la descrip- tion eulérienne, et par des lettres majuscules (comme X)le sfo n ctio n sr elatives à la description lagrangienne. La vitesse est ici l exception qui con rme la règle ; on y reviendra dans la suite ( 4.6). 4.2 Détermination des trajectoires Il est clair que la description eulérienne de l évolution d un système S s obtient de façon immédiate dès que l on en connaît la description lagrangienne. En effet en égalant les deux expressions de la vitesse de la particule X dans R à l instant t , puis les deux expressions de la grandeur B pour la particule X à l instant t il vient : U t(x,t)=U(X,t)=U(ψ(x,t),t) b(x,t)=B(X ,t)=B(ψ(x,t),t) . (4.3) On remarque que U t est alors continue et continûment différentiable par morceaux (si φ est C2 par morceaux). Inversement il convient de véri er que la description eulérienne, introduite de façon intuitive au paragraphe précédent, est bien équivalente à la description lagrangienne. Pour cela il suffit de véri er que (4.1) permet effectivement de reconstituer la fonction φ de la formule (3.1), c est-à-dire qu il faut résoudre le problème : déterminer la fonction vectorielle φ solution de ∂φ(X,t) ∂t = U t(φ(X,t),t) φ(X , 0) = X , condition initiale . (4.4) Il s agit en fait (cf. 3.4) de déterminer la trajectoire de toute particule avec son horaire de parcours. Ce problème peut aussi s écrire sous la forme différentielle : dx = U t(x,t)dt x|t=0 = X , condition initiale (4.5)
28 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation qui représente un système de 3 équations différentielles pour les 3 fonctions scalaires inconnues x1,x2 ,x3 ,delav ariablet. Sous réserve de conditions de régularité sur la fonction U t,onpeutendéterminer la solution unique pour chaque condition initiale, qui se met ainsi sous la forme cherchée : x =φ(X,t), ce qui achève la détermination des trajectoires. L ensemble des trajectoires dans R de toutes les particules constitue une famille de courbes à 3 paramètres (coordonnées X i de M0). L expression lagrangienne (3.2) de la valeur d une grandeur physique B attachée à la particule située en x à l instant t s obtient alors de façon évidente à partir de (4.2), formule inverse de (4.3) : B = B(X ,t)=b(φ(X ,t),t) . 4.3 Lignes de courant Il est utile, pour certaines applications, d introduire une troisième famille de courbes géométriques issues de la dé nition du mouvement d un milieu continu. Àu ninstant donné T ,o nappelle lignes de courant du mouvement dans le référentiel R,leslignes enveloppes du champ des vecteurs vitesses U t(x,T) . Ces lignes sont donc dé nies dans R par le système différentiel : dx1 U1 t (x,T) = dx2 U2 t (x,T) = dx3 U3 t (x,T) ; (4.6) c est un système différentiel de 2 équations en x1 ,x2,x3 .Leslignes de courant dans R à l instant T constituent une famille de courbes géométriques à 2 paramètres. Figure 10 Lignes de courant à l instant T (enpointillé : trajectoires de deux particules)
4 Description eulérienne 29 Aucune confusion n est à faire entre ces lignes et les trajectoires dé nies au pa- ragraphe 3.4 et retrouvées au paragraphe 4.2 car la différence designi cation est évidente du point de vue physique, et les systèmes différentiels (4.5) et (4.6) sont fon- damentalement différents : variable temps dans le premier, temps xé dans le second ( gure 10). Du point de vue expérimental, la construction des lignes de courant à l instant T nécessite l obtention du champ des vitesses dans le référentiel R à cet instant. Pour poursuivre dans le registre des références photographiques utilisées aux paragraphes 3.4et4.1, celui-ci résulte d une prise de vue en pose courte à l instant T ( gure 14), ce qui manifeste clairement la différenceentrelignes de courant et trajectoires. 4.4 Mouvements stationnaires (ou permanents) Le mouvement est dit stationnaire (ou permanent) dans un référentiel R si, dans sa description eulérienne, U t(x,t) est indépendante de t et n est fonction que des coordonnées du point géométrique M .Ilenrésultelespropriétés suivantes. • Dans la recherche des trajectoires et de leurs horaires de parcours par le système différentiel (4.5) le problème se découple en un problème purement géométrique et un problème d horaire de parcours. En effet, puisque : Ut(x,t) ≡ U(x) (4.7) on tire de (4.5) le système : dx1 U1(x) = dx2 U2(x) = dx3 U3(x) ; (4.8) celui-ci est identique à celui qui, à chaque instant T ,permetdedéterminer les lignes de courant (4.6), lui aussi indépendant de T . Ainsi les trajectoires forment alors une famille de courbes géométriques à2paramètres,identiqueàlafamilledes lignes de courant qui deviennent, dans ce cas, indépendantes du temps. • On peut alors déterminer l horaire de parcours de ces courbes par les particules. En effet on obtient à partir de (4.5) et (4.7) : dx = U(x)dt (4.9) qui montre, le problème géométrique étant résolu, que le mouvement est invariant par translation dans le temps. Cela signi e que la position M à l instant t de la particule qui se trouvait en M à l instant t ne dépend que de M et de la différence (t - t ) : x = φ(x ,t- t ) . (4.10)
30 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation Cette formule donne, en fonction du paramètre τ = t - t , l équation de la trajec- toire passant par M . On en déduit que les fonctions φ et ψ de (3.4) possèdent, dans le cas d un mouve- ment stationnaire, la propriété fonctionnelle : φ(ψ(x ,t ),t) = φ(x ,t- t ) . (4.11) • Compte tenu de (4.11) on voit que l équation (3.9) donnant, paramétrée en t , la ligne d émission observée à l instant T ,dupointP ,s écrit : x =φ(ψ(xP,t ),T)≡φ(xP,T-t ) t0≤t ≤T. (4.12) Ceci montre, par comparaison avec (4.10), que la ligne d émission de P est identique à la partie aval de la trajectoire passant par P ,c equirés ult e directement du fait que toutes les particules passant par P suivent la même trajectoire. Il en résulte pratiquement, une méthode commode de visualisation des trajectoires dans le cas des mouvements stationnaires. 4.5 Mouvements semi-permanents On introduit parfois aussi la notion de mouvementsemi-permanent dans un référentiel, dé nie par la propriété caractéristique : U t(x,t)=λ(t)U (x) . (4.13) On véri era que dans ce typedemou v ement: • les lignes de courant sont indépendantes du temps ; • les trajectoires forment encore une famille de courbes géométriques à 2 paramètres, iden- tique à celle des lignes de courant ; • la ligne d émission d un point P est identique à la partie avaldelatr ajectoire passant par ce point : en effet, en introduisant une fonction θ(t) primitive de λ(t),onmontreque les fonctions φ et ψ véri ent encore une relation analogue à (4.11). 4.6 Notations pour la vitesse L usage courant est que l on adopte pour la fonction décrivant la vitesse sur la con guration κt en représentation eulérienne la notation U ,ide ntique à la notation lagrangienne sur la con guration κ0 ;autrementdit on écrit, à la place de la formule (4.1) : ∀t,∀M ∈Ωt ,U=U(x,t). (4.14) Cette convention sera adoptée dans toute la suite. Elle n est que très rarement susceptible d engendrer des confusions car les conven- tions d écriture sur les variables spatiales (X et x) et sur les opérateurs différentiels (cf. chapitre II, 5.3) suffisent le plus souvent à lever l ambiguïté. En cas de nécessité on peut toujours avoir recoursàlanotation précise (4.1).
5 Commentaires 31 5C o mmentaires Cette présentation de la modélisation milieu continu dans sa forme classique appelle, pour conclure, quelques commentaires. Ceux-ci sont suggérés par les techniques expérimen- tales d observation telles qu elles apparaissent sur les gures 11 à 14 par exemple ou dans les nombreux lms disponibles sur le sujet. On y voit que le marquage d une particule n est évidemment qu abstraction : l opération concerne toujours un domaine, volume de matière, souhaité aussi petit que possible, voisin du point considéré. Quelles sont alors la signi cation physique et la pertinence de la notion de particule intro- duite comme base de la modélisation ? Une réponse à cette question pourra être formulée comme suit. Conçue pour la prédiction,lam odélisation doit revêtir une forme mathématique, pour la- quelle on recherche la simplicité maximale compatible avec une représentation convenable des phénomènes observés. La modélisation milieu continu présentée ci-dessus attache au point matériel, repéré par sa position géométrique dans κt par exemple, des grandeurs qui caractérisent l évolution physique de la matière autour de ce point. C est dire que ce point matériel ou particule recèle physiquement une microstructure , dont on cherche à décrire au mieux l évolution. Dans la modélisation classique on considère que le champ de vitesse U suffit à décrire conve- nablement la cinématique de la microstructure attachée à la particule. Dans certains cas on devra sortir de ce cadre. Ainsi par exemple on pourra introduire, outre le champ U de vitesse de la particule, un champ de vecteur-rotation, indépendant de U ,qui chercheraàtraduire la rotation propre de la microstructure : un tel type de milieu continu tridimensionnel, non classique, sera examiné au chapitre V (section 5), tandis que le chapitre XI (section 3), traitant des milieux curvilignes, en fournira un exemple unidimensionnel dont les applications pratiques sont quotidiennes.
32 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation Figure 11 Visualisations des écoulements aérodynamiques par analogie hydraulique en tunnel hydrodynamique avec émission de traceurs colorés. Ci-dessus : écou- lement autour d une maquette du Concorde en con guration d atterrissage (extrados). Ci-dessous : écoulement autour d une maquette de motrice à grande vitesse. (Documents communiqués par l ONERA)
5 Commentaires 33 Figure 12 Visualisation des écoulements en tunnel hydrodynamique par émission de traceurs colorés : tourbillons alternés du sillage d une plaque mince sans incidence. (Document communiqué par l ONERA) Figure 13 Visualisation en tunnel hydrodynamique par émission de traceurs colorés : tourbillon marginal à l extrémité d une aile rectangulaire. (Document com- muniqué par l ONERA)
34 Chapitre I Le milieu continu : une modélisation Figure 14 Visualisation en tunnel hydrodynamique ; méthode du plan de lumière pour la visualisation à l aide de bulles d air : écoulement à basse vitesse sur une maquette du Concorde en con guration d atterrissage (coupe transversale arrière). (Document communiqué par l ONERA)
Récapitulatif des formules essentielles 35 Récapitulatif des formules essentielles • Lagrange x = φ(X,t) (trajectoires) X = ψ(x,t)=φ-1(x,t) J(X,t)= D(x1,x2,x3) D(X 1,X2,X3) 0 <J(X,t) < ∞ dΩt = J(X ,t)dΩ0 U(X,t)= ∂φ(X ,t) ∂t • Euler U = Ut(x,t) trajectoires : dx dt = U t(x,t) x|t=0 = X lignes de courant à l instant t ; dx1 U1 t (x,t) = dx2 U2 t (x,t) = dx3 U3 t (x,t)
36 Chapitre I - Le milieu continu : une modélisation Exercices I.1 - Dans un repère cartésien orthonormé R d un référentiel R on étudie le mouve- ment dé ni pour t>0 par : x1 =X1(1+αt),x 2=X2,x 3=X3,α>0. Déterminer la vitesse et les trajectoires. Donner la représentation eulérienne du mou- vement, déterminer les lignes de courant à l instant T>0. Éléments de réponse : On véri e que J(X ,t)=1+αt est bien positif. U1 = αX1 ,U2 =0,U3 =0. Tr a jectoires : droites parallèles à e1 . U1 = αx1/(1 + αt) ,U2 =0,U3 =0. Mouvement semi-permanent : lignes de courant identiques aux trajectoires. Commentaire. Il s agit du mouvement d extension simple. I.2 - R étant un repère cartésien orthonormé dans le référentiel R,o nc o n sidèr ele mouvement dé ni pour t>0 par : x1=X1+αtX2,x 2=X2+αtX1,x 3=X3,α>0. Sur quel intervalle de temps ce mouvement est-il dé ni ? Déterminer les trajectoires. Donner la représentation eulérienne de ce mouvement. Éléments de réponse : J(X ,t)=1- α2t2 :lemou v ementn estdé ni que pour t<1/α. Tr a jectoires : droites parallèles au plan (e1 ,e2) si X1 ou X2 est différent de 0. U1 = α(x2 - αtx1)/(1 - α2t2) ,U2 = α(x1 - αtx2)/(1 - α2t2) ,U3 =0. I.3 - Soit R un repère cartésien orthonormédansu nréférentiel R.Onc o n sidèr ele mouvement dé ni par : U1=αx2,U2=αx1,U3=0,α>0. Déterminer les lignes de courant à l instant T .Donner la représentation lagrangienne du mouvement. Éléments de réponse : • Mouvement plan stationnaire. Les lignes de courant sont identiques aux trajectoires et sont indépendantes du temps ; hyperboles : x2 1-x2 2=X2 1 -X2 2 x3=X3.
Exercices 37 • Représentation lagrangienne. Par intégration du système dx1 = αx2 dt, dx2 = αx1 dt, dx3 =0,a v e cles conditions initiales xi = Xi pour t =0,o nobtie nt: x1 =X1chαt+X2 shαt x2=X1shαt+X2chαt x3=X3 (paramétrage en t des hyperbolesci-de ssus). I.4 - Houle trochoïdale . R étant un repère cartésien orthonormé dans le référentiel R,onétudie le mouvement dé ni, à partir d une con guration de référence abstraite, par la représentation lagrangienne : x1 = a1 + R(a2)cos(ωt + λ(a1)) x2 = a2 - R(a2)sin(ωt + λ(a1)) x3=a3 a2<0. Déterminer les fonctions R(a2) et λ(a1) pour que ces équations représentent un mou- vement sans variationdev olu m e .Déte r min er les trajectoires des particules dans le référentiel R et interpréter les coordonnées lagrangiennes abstraites ai .Préciser les conditions pour que le mouvement soit effectivement dé ni ∀(a1 ,a2 < 0,a3).Mon- trer que ce mouvement est stationnaire dans le référentiel R∗ animé par rapport à R d une vitesse de translation uniforme parallèle à e1 que l on déterminera. Montrer que les lignes de courant dans R∗ sont dé nies par les équations lagrangiennes : a2 = Constante = α2 ,a 3=Constante=α3. Éléments de réponse : • J(a1,a2,a3,t)=1-( dλ da1 R(a2)+ dR da2)sin(ωt+λ(a1))+ dλ da1 dR da2 R doit être indépendant de t. D où, k, α et R0 étant des constantes arbitraires : λ= -ka1+α,R=R0exp(ka2). (On fait α =0 par changement d origine des temps). • La trajectoire de la particule de coordonnées abstraites a1 ,a2 ,a3 ,estlecercle : (x1 -a1)2+(x2 -a2)2 = R2 0 exp(2ka2) ,x 3 = a3 qui est décrit avec l angle horaire (ωt-ka1). a1 ,a2 ,a3 sont les coordonnées du centre du cercle trajectoire. • J(a1,a2,a3,t)=1- k2R2 0 exp(2ka2) doit conserver un signe constant et demeurer ni sur Da ,dé niicipara2 < 0 ;d où:k>0 et R0 < 1/k (on convientdechoisir R0 > 0). • On considère R∗ animé, par rapport à R,delavitesse e1 ω/k ;onprend dans R∗ le repère R∗ coïncidant avec R pour t =0.Lavite sse U ∗ dans R∗ s écrit dans R∗ : U∗ 1 = -ωR0( exp(ka2)) sin(ωt - ka1) - ω/k U∗ 2 = -ωR0( exp(ka2)) cos(ωt - ka1) U∗ 3=0 tandis que x∗ = φ∗(a1 ,a2 ,a3 ,t) s écrit : x∗ 1=a1-ωt k + R0( exp(ka2)) cos(ωt - ka1) x∗ 2 = a2 - R0( exp(ka2)) sin(ωt - ka1) x∗ 3=x3=X3=a3.
38 Chapitre I - Le milieu continu : une modélisation Ces dernières équations montrent que (ka2) et (ωt- ka1) ne sont fonctions que de x∗ 1etx∗ 2. On en déduit que la représentation eulérienne du mouvement par rapport à R∗ sera de la forme U ∗ = U ∗(x∗), indépendante de t. • À l instant T,(a2 = α2 ,a3 = α3) dé nissent dans R∗ la courbe paramétrée en a1 ,d équa- tions x∗ 1=a1-ωt k + R0( exp(ka2)) cos(ωT - ka1) x∗ 2 = a2 - R0( exp(ka2)) sin(ωT - ka1) x∗ 3=a3 et on véri e que U ∗(x∗) est tangente à cette courbe au point x∗ . Commentaire. Ces lignes de courant dans R∗ ,ide ntiques aux trajectoires, sont des trochoïdes. Une telle courbe est engendrée par un point géométrique P situé à la distance R0 exp(kα2) du centre d un cercle de rayon 1/k qui roule sans glisser sous l horizontale d ordonnée à l origine α2 +1/k (composition du mouvement par rapport à R et du mouvement d entraînement de R par rapport à R∗ avec la vitesse U ∗ e = -e1 ω/k).
Chapitre II Étude des déformations du milieu continu MOTS CLÉS Tr a n s p ort convectif. Tr a n sformation. Gradient de la transformation. Tr a n sformation homogène tangente. Tr a n sformation rigidi ante. Isométrie. Dilatations. Déformations. Déplacement. Compatibilité géométrique. Tr ansformation in nitésimale. 39
Chapitre II Étude des déformations du milieu continu 41 En bref Dans une représentation lagrangienne, la comparaison entre la con gu- ration actuelle et la con guration initiale, sans aucune référenceàl histoire intermédiaire du système considéré, introduit au plan géométrique deux concepts essentiels : le transport et la déformation. Le transport convectif,do n tl exemple le plus simple est relatif à la particule ou point matériel, exprime la correspondance entre les positions actuelle et initiale des éléments matériels. La déformation dégage, locale- ment, en quoi la transformation subie par le système d une con guration à l autre diffère d une isométrie directe :elle mesure le changement de forme local (section 1). L étude du cas particulier où le système subit une transformation homogène,c e s t - à -dire identique en tout point, permet de se dégager d abord du caractère local. La transformation est une application linéaire. Les formules de transport d un point, d un vecteur, d une surface ou d un volume matériels, font intervenir le tenseur euclidien associé à cette application linéaire (section 2). La déformation, qui se réfère à la métrique, introduit pour cela le ten- seur des dilatations et le tenseur des déformations qui permettent d ex- primer les variations de longueurs et les variations angulaires. On met en évidence que la transformation du système se compose de deux contribu- tions : la déformation pure qui est une affinité selon les trois directions principales orthogonales de la déformation, et une rotation (section 3). Le cas général où la transformation du système est quelconque fait ap- pel à la notion de transformation homogène tangente ;c elle - cie st dé nie par le tenseur gradient de la fonction vectorielle qui exprime le transport convectif de la particule : c est le gradient de la transformation.L idée directrice est que, localement, la transformation subie par l élément in ni- tésimal est, en chaque point, quasi homogène : on dé nit, pour les éléments in nitésimaux de longueur, de surface ou de volume, les mêmes concepts qu en transformation homogène pour lesélém e nts nis, avec lesfo r m ule s homologues (section 4). Lorsque la transformation est in nitésimale les formules se simpli ent par linéarisation (section 5).
42 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu Concrètes et mesurables, les déformations sont, pour le mécanicien, la voie d accès à l analyse des structures et à l identi cation des caractéris- tiques des matériaux (section 7). Lesdéformations sont engendrées par des sollicitations extérieures mé- caniques, thermiques, hygrométriques, par des évolutions chimiques et des réorganisations structurelles, etc. Le problème de leur compatibilité géo- métrique se pose alors : savoir si ces déformations sont compatibles avec la continuité du milieu et avec les conditions éventuellement imposées sur les déplacements au contour du système étudié. Lorsque les déformations im- posées ne sont pas compatibles, elles induisent des efforts intérieurs qui, s ils sont excessifs, peuvent entraîner des désordres, voire des ruptures (section 6).
Chapitre II Étude des déformations du milieu continu 43 Principales notations Notation Signi cation 1ère formule F (X ,t) gradient de la transformation (4.7) dM 0, ds0 vecteur élémentaire dans κ0 , ds0 = | dM 0 | (4.8) dM,ds vecteur élémentaire dans κt , ds = | dM | (4.8) dA = N dA vecteur-aire élémentaire dans κ0 (4.13) da = n da vecteur-aire élémentaire dans κt (4.13) C(X,t) tenseur des dilatations (4.14) e(X ,t) tenseur des déformations de Green-Lagrange (4.15) ξ(X ,t) déplacement (4.16) ε(X ,t) tenseur des déformations linéarisé (5.2) gradient dans κ0 (5.11) grad gradient dans κt (5.11)
44 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu 1T ransport,transformation, déformation .......... 45 2T r a n s p o rt convectif en transformation homogène . . . . 46 2.1T ransformationhomogène ................. 46 2.2V ecteur matériel,transport convectif. . ......... 47 2.3T ransport d un volume,dilatation volumique ...... 48 2.4T ransport d une surfaceorientée ............. 50 3D éformation en transformation homogène ........ 51 3.1T enseur desdilatations. . ................. 51 3.2 Utilisation du tenseur des dilatations . . . . . ...... 53 3.3T enseur desdéformationsdeGreen-Lagrange ...... 55 3.4D écomposition polaire. . ................. 57 4D éformation d un milieu continu : cas général ...... 58 4.1T ransformationhomogène tangente ............ 58 4.2F ormulesdetransport ................... 60 4.3D éformations ........................ 61 4.4D éplacement ........................ 61 4.5 Décomposition polaire et transformation rigidi ante . .62 4.6O bjectivité . ........................ 63 5T ransformation in nitésimale ................ 63 5.1D é nition .......................... 63 5.2T enseur desdéformations linéarisé ............ 64 5.3 Gradient d un champ de tenseurs sur la con guration actuelle ........................... 65 6C ompatibilité géométrique d un champ de déformation linéarisée ............................. 66 6.1P ositionduproblème .................... 66 6.2 Conditions de compatibilité . . . ............. 66 6.3C o mmentaires ....................... 69 6.4A pplication. ........................ 70 7R emarques nales. ...................... 71 7.1T ransformationetdéformation . ............. 71 7.2 Utilisation d un paramétrage lagrangien relatif à une con gurationabstraite ................... 72 7.3É t ude pratique desdéformations ............. 72 Récapitulatifdes formules essentielles ............. 76 Exercices .............................. 79
1 Transport, transformation, déformation 45 Étude des déformations du milieu continu 1T r a n s p o rt, transformation, déformation La gure 1 montre, pour le processus de matriçage déjà présenté sur la gure 2 du chapitre I, deux étapes de l évolution du bloc soumis à cette mise en forme : • dans l état initial (con guration κ0)lebloce str ectangulaire, marqué d un qua- drillage carré, • dans l état actuel (con guration κt) l enfoncement de la matrice a provoqué le refoulement du matériau à la base et en partie supérieure nécessaire au formage ; le quadrillage est déformé. Figure 1 Matriçage d un bloc de plasticine. (Le Douaron, Thèse 1977, CEMEF) C est typiquement à la comparaison géométrique entre deux tels clichés, indépen- damment des positions intermédiaires, qu est consacré ce chapitre : trois concepts peuvent d ores et déjà être dégagés. Le transport convectif ou transport par le mouvement, déjà introduit au cha- pitre I (section 3), qui exprime que la positiond une même particule dans le référentiel R est différente dans les con gurations κ0 et κt.Lafo n ctio nv ectorielle φ,àX et t xés, explicite le transport convectif de la particule X entre κ0 et κt : x = φ(X,t); (1.1) c est la notion de point matériel .Ons attachera à formuler le transport convectif pour d autres éléments matériels simples.
46 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu La transformation subie par le système étudié (c est-à-dire le bloc), ou par une partie de celui-ci, entre κ0 et κt,estdé nie du point de vue géométrique par la fonction φ à t xé, X parcourant le volume Ω0 occupé par le système S dans κ0. La déformation entre κ0 et κt retient, dans la transformation, le changement de forme c est-à-dire en quoi la transformation géométrique subie par le système entre κ0 et κt diffère d une isométrie directe. Il est essentiel de retenir que c est bien de la comparaison géométrique entre deux clichés, l un choisi comme référence κ0, l autre choisi comme transformé κt,qu il s agit sans aucunement faire appel à la connaissance du processus intermédiaire. L argument t dans (1.1) ou dans κt est un paramètre et non une variable. On a choisi, pour les formules apparaissant dans cet ouvrage, de mettre en valeur l expression intrinsèque faisant intervenir les êtres vectoriels, tensoriels, ... eu- clidiens (on rappelle que les notations correspondantes sont dé nies dans l annexe I, section 5). 2T r a n s p o rt convectif en transformation homogène 2.1 Transformation homogène Il apparaît, sur l exemple de la gure 1, que la déformation du marquage quadrillé entre les con gurations κ0 et κt n est pas identique en tout point : étirement vertical au voisinage de l axe, aplatissement près des bords. Il en résulte, intuitivement, que l étude proposée ci-dessus du transport, delatr a n sfo rmation et de la déformation aura, en général, de façon naturelle un caractère local. On se propose, dans une première approche, de s intéresser au cas simple de la transformation homogène ,danslaquelle tous les éléments du marquage sont dé- formés de façon identique ( gure 2). Figure 2 Transformation homogène entre κ0 et κt
2 Transport convectif en transformation homogène 47 A n de formuler mathématiquement cette notion, on choisit un repère R quel- conque (O, e1,e2,e3) du référentiel R dans lequel sont observées les con gurations κ0 et κt.Lesnotations M 0 ,M,Xi,X,xi ,x,ayantlesmêmes signi cations qu au chapitre I( 2.3)latransformation homogène entre κ0 et κt est dé nie par le fait que φ dans (1.1) s explicite comme une correspondance affine entre les coordonnées X j et xi : xi =Fij(t)Xj +ci(t) i=1,2,3(1) . (2.1) Considérant alors l application linéaire de l espace euclidien (référentiel R)s u r lui-même dé nie par les F ij(t) dans le repère R,letenseur euclidien du second ordre qui lui est associé s écrit : F(t)=F ij(t)ei ⊗ ej (2.2) et la formule (2.1) prend la forme intrinsèque x = F(t).X+c(t) (2.3) où c(t) désigne le vecteur ci(t) ei . La fonction φ ainsi dé nie par (2.3) véri e évidemment les conditions de continuité et différentiabilité par rapport à X souhaitées au chapitre I ( 3.2). Elle doit de plus satisfaire la condition : 0 <J(X ,t)= D(x1 ,x2,x3) D(X1,X2,X3) < ∞ . Ici il apparaît que : J(X ,t)=detF (t) (2.4) d ou la condition 0<detF(t)<∞ (2.5) qui assure, en fait, la bijectivité de l application φ. 2.2 Vecteur matériel, transport convectif On considère ( gure 3) l ensemble des particules occupant dans la con guration de référence un segment M0M 0.Enr ais o nduc aractère affine de la relation (2.3), ces particules occupent à l instant t,unsegmentMM .Onpeutdoncparler, au sens introduit au paragraphe 3.2 du chapitre I, de vecteur matériel :levecteur M0M 0, dans son transport par le mouvement entre les con gurations κ0 et κt,de m eure un vecteur. En désignant par V un vecteur M0M 0 de κ0,parv le vecteur correspondant MM de κt,letransport par le mouvement reliant v à V s écrit à partir de (2.3) : v = F(t).V (2.6)
48 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu Figure 3 Transformation homogène : transport convectif d un vecteur qui exprime le transport convectif d un vecteur dans une transformation homo- gène. Il peut se révéler commode de choisir dans R ,po u rdécomposer V dans κ0 et v dans κt ,desbasesdifférentes : eJ (J = I, II, III) pour V et ei (i =1, 2, 3) pour v .La formule intrinsèque (2.6) est évidemment inchangée ; elle s explicite sous la forme : V =VJeJ ,v=viei F(t)=FiJ(t)ei ⊗ eJ . (2.7) Certains auteurs recommandent l usage systématique de cette écriture, même lorsque les bases pour V dans κ0 et pour v dans κt sont identiques, a n de mieux distinguer les con gurations concernées. 2.3 Transport d un volume, dilatation volumique Le caractère affine de la relation (2.3) implique que toute variété linéaire dans κ0,est,danssontransport par le mouvement, transformée en une variété linéaire du même ordre dans κt. Considérons ( gure 4) un parallélépipède de κ0 dé ni par un sommet M0,e t trois vecteurs indépendants A ,B,C.Sonhomologue dans la con guration κt,parle transport convectif est le parallélépipède de sommet M ,dé ni par les vecteurs a ,b,c déduits de A ,B,Cpar le transport convectif (2.6). On se propose d établir la relation entre les volumes Ω0 et Ωt de ces deux paral- lélépipèdes. On introduit pour cela les tenseurs du second ordre (2) FA=A⊗e1+B⊗e2+C⊗e3 Fa =a⊗e1+b⊗e2+c⊗e3 (1)Convention de sommation sur les indices répétés. (2)L interprétation géométrique de ces tenseurs est évidente : leurs applications linéaires associées transforment le trièdre de base e1 ,e 2,e 3 respectivement en les trièdres A ,B,Cet a ,b,c .
2 Transport convectif en transformation homogène 49 Figure 4 Transformation homogène : transport convectif d un volume qui, compte tenu de (2.6), sont liés par la relation : Fa =F(t).FA . (2.8)On en déduit que : detFa =detF(t)×detFA . (2.9)Il est alors commode de choisir pour e1,e2,e3 une base orthonormée. Dans ce cas on reconnaît en det F a et det F A les produits mixtes (a,b,c) et (A,B,C),égaux aux volumesalgébriques Ωt et Ω0 des parallélépipèdes dans κt et κ0(3) detFa =Ωt detFA=Ω0. (2.10) On obtient ainsi, en regroupant (2.9) et (2.10) la relation entrelesdeux volumes homologues par le transport convectif dans une transformation homogène : Ωt =Ω0detF(t). (2.11) Le résultat ainsi établi s étend évidemment au cas d un volume Ω0 de forme quelconque dans κ0 puisque la transformation est homogène. J(t)=detF (t) est la dilatation volumique dans la transformation homogène entre les con gurations initiale et actuelle.(4)(5) On retrouve bien l interprétation donnée au chapitre I ( 3.2) de la condition (2.5) imposée à J(X ,t)=detF (t) :conserv ation de l orientation du volume entre κ0 et κt et dilatation volumique ni nulle, ni in nie. (3)Si la base n est pas orthonormée ces deux déterminants sont proportionnels à Ω0 et Ωt . (4)Bien noter que la dilatation volumique désigne le rapport volume actuel/volume initial et non le rapport variation de volume/volume initial . (5)Si F (t) est décomposé selon (2.7), le calcul de detF (t) nécessite évidemment d exprimer l une des bases {ei} ou {eJ } en fonction de l autre : ei = αK i eK .Onaalors : detF (t)=det[αK i FiJ(t)]. On peut remarquer que si les deux bases sont orthonormées et de même orientation on a toujours detF (t)=det[F iJ (t)] .Cerésultatestvalable defaçon générale si {ei} et {eJ } se correspondent par une rotation.L utilisation de la formule (3.5) du paragraphe 3.1 pourra aussi se révéler commode dans certains cas.
50 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu 2.4 Transport d une surface orientée On examine maintenant le transport convectif d un élément matériel bidimension- nel : particules occupant une surface plane d aire A dans κ0.Cette surface, par le transport convectif, devient une surface plane d aire a dans κt.Ilya,danscetrans- port, variation de l aire et variation de l orientation de la surface dans le référentiel R :c estcequel on souhaite expliciter. Figure 5 Transformation homogène : transport d un vecteur-aire Soit N le vecteur unitaire normal à la surface A dans κ0.Onpose: A=AN (2.12) qui est appelé le vecteur-aire de cette surface dans la con guration κ0. V étant un vecteur quelconque dans κ0,onconsidèrele volume cylindrique engen- dré par la surface A comme base et le vecteur V ( gure 5). Sa mesure est donnée par la formule : Ω0(A, N ,V)=A .V . (2.13) Le volume homologue de celui-ci par le transport convectif dans la con guration κt est dé ni par la surface transportée a et le vecteur transporté v.Enchoisissant l orientation de n,vecteur unitaire normal à a,detelle sorte que les produits scalaires N.Vetn.vaientlemêmesigne(6)ona: Ωt(a, n,v)=a .v (2.14) où l on a posé a=an. (2.15) Parailleurs la formule (2.11) donne la relation entre les volumes Ω0 et Ωt,homo- logues dans le transport convectif : Ωt(a, n,v)=detF (t) Ω0(A, N ,V) . (2.16) (6)Ce choix est indépendant de V .Ilsigni e que l on conserve l orientation transversale de la surface : une courbe fermée, tracée sur A,orientéeautourdeN ,esttransportée sur a en une courbe fermée ayant lamêmeorientation autour de n ( gure 5).
3 Déformation en transformation homogène 51 En regroupant alors les formules (2.6), (2.13), (2.14) et (2.16), il vient : ∀V ,a.F(t) .V =(detF (t)) A .V (2.17) d où : a =(detF (t)) tF -1(t) .A (2.18) qui exprime le transport d une surface orientée dans une transformation homogène. 3D é f o r m a t i on en transformation homogène 3.1 Tenseur des dilatations On se propose d étudier les déformationssubies par la géométrie du système dans la transformation homogène entre la con guration κ0 et la con guration κt.Intuiti- vement la notion de déformation s oppose à celle d isométrie, et plus précisément d isométrie directe (produit dans R3 de translations et de rotations) : il n y a pas de déformation du système dans la transformation de κ0 et κt si les distances entre les positions géométriques des points matériels dans ces deux con gurations sont in- variantes et si l orientation est conservée. Cette idée sera exploitée dans la suite,n otamment au paragraphe 3.4 où l on verra par la décomposition polaire , qu un domaine entourant M0 dans κ0 subit, dans son transport convectif dans κt,o utr elatr a n slation amenant M0 en M ,de u x transformations de natures différentes : une déformation pure et une rotation. A n de mettre en évidence l aspect déformation du système entre κ0 et κt, qui se réfère à la métrique, on va s intéresser à l évolution du produit scalaire de deux vecteurs matériels quelconques considérés dans les con gurations κ0 et κt . Figure 6 Transformation homogène : tenseur des dilatations Soient V et W deux vecteurs dans κ0 en M0 ( gure 6) ; v et w les vecteurs trans- portés convectivement en M dans κt (vecteurs matériels) : v = F(t).V ,w= F(t).W .
52 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu Le produit scalaire des vecteurs v et w s écrit : v .w=(F(t).V).(F(t).W), soit (cf. annexe I, 5.7) : v .w=(V . tF(t)).(F(t).W)= V .(tF(t).F(t)).W . (3.1)Cette formule met en évidence le tenseur du deuxième ordre C(t)=tF (t) .F(t) (3.2) qui est appelé tenseur des dilatations entre les con gurations κ0 et κt ,o ue n - core tenseur de Cauchy (7).Ilpermetd exprimerleproduit scalaire des vecteurs transportés en fonction des vecteurs initiaux : v.w=V.C(t).W. (3.3)Le tenseur C(t) apparaît ainsi sur κ0,pourleproduit scalaire des vecteurs trans- portés dans κt,comme l homologue du tenseur métrique 1l qui permet, lui, d exprimer le produit scalaire des vecteurs initiaux (cf. annexe I, (5.50)) : V.W=V.1l.W. (3.4)C(t) est symétrique, comme on le véri e sur (3.2) : la forme bilinéaire (3.3) est symétrique. La forme quadratique qui lui est associée est dé nie positive puisque φ donnée par (2.3) est bijective : ∀V ,V.C(t).V =|v|2 ≥ 0;V .C(t).V =0 ⇔ V =0. On a de plus, à partir de (3.2) et compte tenu de (2.5) qui assure la bijectivité de (2.3) : 0 < detC(t)=(detF(t))2 < ∞ . (3.5)Si la base e1 ,e 2,e 3 est orthonormée (cf. annexe I, 5.9) on a : C(t)=Cij(t) ei ⊗ ej avec Cij(t)=Fki(t)Fkj(t) . En base quelconque, la représentation la plus naturelle de C(t) àpartirdelaformulede dé nition (3.3) est la représentation deux fois covariante : C(t)=Cij(t) ei ⊗ ej ; en explicitant la formule (3.2) avec la représentation naturelle de F (t) donnée par (2.2) il vient : Cijei⊗ej=(Fkiei⊗ek).(F je ⊗ej) d où Cij =(ek .e )F kiF j Cij =gk FkiF j . Si,comme évoqué au paragraphe 2.2, on utilise des bases différentes dans κ0 et κt la formule (3.2) s explicite en : C(t)=(FkI eI ⊗ek).(F J e ⊗eJ) soit encore C(t)=CIJ(t) eI ⊗ eJ avec CIJ =(ek .e )FkIF J . (7)A. Cauchy (1789-1857).
3 Déformation en transformation homogène 53 3.2 Utilisation du tenseur des dilatations Le tenseur des dilatations recèle toutes les informations concernant la différence de métrique entre κ0 et κt. Dilatation dans une direction Il s agit de comparer la longueur d un vecteur V dans la con guration initiale κ0 et la longueur de son transporté dans la con guration κt,c o mme cela est courant dans la pratique expérimentale (cf. gure12). En faisant dans (3.3), V = W ,onobtient: |v|2 = V .C(t).V . On appelle dilatation dans la direction V le rapport : λ(V )= |v| |V | = (V .C(t) .V)1/2 |V| . (3.6) λ(V ) représente le rapport de la longueur du vecteur transporté v à celle du vecteur V dans la con guration initiale κ0,(lasigni cation donnée ici au mot dilatation est bien cohérente avec celle du paragraphe 2.3). λ(V ) est strictement positif et ni. L allongement unitaire dans la direction V est dé ni par : δ(V)=(|v|-|V|)/|V|=λ(V)-1. (3.7) Àn ote rqu esiV est dirigé selon le vecteur unitaire e1,d une base quelconque ona: λ(V )= C11 . Glissement dans un couple de directions orthogonales La variation de la métrique induit évidemment des variations angulaires. On s in- téresse en particulier à la variation de l angle de deux vecteurs matériels initialement orthogonaux (cf. gure 14 pour une transformation quelconque). V et W étant deux vecteurs dans κ0,orthogonaux entre eux en M0 ( gure 7), on dé nit le glissement θ de ce couple de directions orthogonales dans la transformation entre κ0 et κt comme l opposé de la variation de l angle qu elles forment : θ = |(V ,W)|-|(v,w)| , |(v,w)| = π/2 - θ. (3.8) On a alors par (3.3) : sinθ= V .C(t) .W (V .C(t) .V)1/2(W .C(t) .W)1/2 . (3.9) Cette formule peut avantageusement être écrite en composantes en choisissant une base dont les vecteurs unitaires e1 et e2 sont dirigés selon V et W orthogonaux.
54 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu Figure 7 Transformation homogène : glissement θ dans κt,po u ru nc o uple dedir ec- tions orthogonales dans κ0 Il vient : sinθ= C12 √C11C22 . (3.10) Directions principales, dilatations principales Les directions principales de C(t),tenseureuclidien symétrique réel, sont dé nies comme indiqué dans l annexe I ( 5.10). Ce sont les directions propres de l application linéaire associée à C(t).Ils agit donc de trois directions orthogonales entre elles dans la con guration κ0 . En choisissant alors une base orthonormée e1 ,e 2,e 3 dirigée selon les direc- tions principales et en désignant par Ci(i =1, 2, 3) les valeurs principales de C(t), on obtient l expression simple (toutes les représentations de C(t) coïncident) : C(t)=C1e1⊗e1+C2e2⊗e2+C3e3⊗e3; (3.11) dans cette base la matrice ˜ C(t) de C(t) est diagonale (8). Les valeurs principales de C(t) sont toutes trois strictement positives car la forme quadratique V .C(t) .V = |v|2 est dé nie positive. On convient de poser : Ci=λ2 i ,λi>0( i=1,2,3) (3.12) où l on voit par (3.6) que : λi =λ(ei), c est-à-dire que λi représente la dilatation dans la direction principale ei.Pourcette raison les λi sont appelées dilatations principales . (8)La méthode générale de détermination des directions principales consiste à rechercher les di- rections propres de C(t) sur une représentation mixte, par exemple contravariante-covariante. En pratique, il sera souvent plus avantageux de choisir une base orthonormée quelconque, (dans laquelle toutes les représentations coïncident), et de chercher à diagonaliser ˜ C (t).
3 Déformation en transformation homogène 55 En appliquant la formule (3.10) aux directions principales prises deux à deux on met en évidence leur propriété géométrique essentielle. En effet, en conséquence de la diagonalisation de ˜ C (t) manifestée par (3.11), on trouve que pour tout couple de directions principales de C (t) on a : sin θ =0.Autr e m e ntdit, il n y a pas de glissement dans le transport convectif entre κ0 et κt pour les directions principales de C (t) .Deplu s ,c o mpte tenu de la positivité de det F (t) ,letrièdre trirectangle des directions transportées dans κt a même orientation que le trièdre initial des directions principales dans κ0 . Réciproquement, tout trièdre de directions orthogonales dans κ0 qui demeure orthogonal (et de même orientation) dans le transport convectif entre κ0 et κt est un trièdre de directions principales pour C (t).Eneffet,e nchoisissant une base ortho- normée dans κ0 selon les directions considérées, on trouve par (3.10) que la matrice ˜ C (t) dans cette base est diagonale. La propriété est donc caractéristique des directions principales. Elle fournit un moyen commode pour leur détermination expérimentale ( gure 14) ou géométrique. Les directions principales de C(t) dans la con guration κ0 sont transportées convectivement dans κt selon des directions orthogonales. On a évidemment : det C(t)=λ2 1λ2 2λ3 3, d où, en application de (2.5) et (3.5), le résultat det F (t)=λ1 λ2 λ3 qui est immédiat géométriquement si l on considère le transport convectif du cube (e1 ,e2 ,e3) et la formule (2.11). 3.3 Tenseur des déformations de Green-Lagrange Dé nition Les formules (3.6) et (3.4) mettent en évidence la parenté existant entre les ten- seurs C(t) et 1l pour l expression des produits scalaires des vecteurs transportés et initiaux. Aussi, de même que l on a introduit en (3.7), à partir de la dilatation dans une direction, l allongement unitaire dans cette direction, on compare maintenant le produit scalaire v .w de (3.1) à sa valeur dans la con guration de référence, en formant la différence : v .w-V .W= V .(tF(t).F(t)-1l).W. On dé nit alors un nouveau tenseur symétrique,notée(t),par: e(t)= 1 2(tF(t).F(t) - 1l) . (3.13)
56 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu Ce tenseur est appelé : tenseur des déformations de Green-Lagrange (9) et l on retiendra la formule ( gure 8) : v.w-V.W=2V.e(t).W. (3.14) Figure 8 Te n s e u r d es déformations de Green-Lagrange Propriétés Le tenseur des déformations de Green-Lagrange a évidemment mêmes directions principales que C(t).Lesv aleu rsprincipales ei sont appelées déformations princi- pales et sont reliées de façon évidente à celles de C(t) : ei=1 2 (λ2 i -1). Les formules (3.6) à (3.10) donnant la dilatation, l allongement unitaire et le glissement s expriment en fonction de e(t) en se référant à la dé nition (3.13). On obtient notamment, àpartirde(3.10) : sinθ= 2 e12 (1+2e11)(1+2e22). On prendra garde au fait que l allongement unitaire dé ni par (3.7) n est pas relié linéairement àe(t)! Il est commode, pour certaines applications, de connaître l expression de det F (t) en fonction des invariants (annexe I, 5.7), notés ici I i ,dee : I 1=tre,I 2=1 2tr(e.e)=1 2tre2,I 3=1 3 tr(e .e.e)= 1 3tre3; ona: det C(t)=( det F(t))2 = λ2 1λ2 2λ2 3 =1+2I 1 +2(I 1)2 - 4I 2 + 4 3(I 1)3 - 8 I 1I 2 +8I 3 ; de même : λ2 1λ2 2+λ2 2λ2 3+λ2 3λ2 1 =3+4I 1 +2(I 1)2 - 4I 2 et: λ2 1+λ2 2+λ2 3 =3+2I 1 . (9)G. Green (1793-1841).
3 Déformation en transformation homogène 57 Te n s e u r d e G reen-Lagrange et transformation rigidi ante Dans une transformation rigidi ante entre κ0 et κt,isométriedirecte, on a : ∀V,∀W,v.w=V.W d où, pour le tenseur des dilatations C(t)=tF (t) .F(t)=1l (l application linéaire associée à F (t) est une rotation). Le tenseur des déformations de Green-Lagrange est alors nul : e(t)=0. (3.15) C est la raison même de l introduction de ce tenseur car il facilite notamment l écri- ture linéarisée des formules pour les petites déformations ( e 1):cf.parexemple au chapitre VII (section 5) la linéarisation de la loi de comportement thermoélastique. On peut, par ailleurs, examiner le problème inverse de la proposition précédente pour savoir si la propriété : ∀M0 ∈ Ω0 ,e(t)=0 (3.16) implique que le système subit entre κ0 et κt une transformation rigidi ante, est vraie. La démonstration n en est pas immédiate car il n est pas acquis, a priori, que (3.16) implique l homogénéité de la transformation. On se reportera à ce propos aux para- graphes 4.5, 6.3 et 7.1. 3.4 Décomposition polaire On considère ( gure 9) les directions principales de C(t) dans κ0 et les directions homologues de celles-ci par le transport convectif dans κt .Co mme on l a dit ( 3.2) les orientations des trièdres trirectangles ainsi obtenus dans les deux con gurations sont identiques en con- séquence de la positivité de det F (t). Soit alors la rotation de l espace euclidien amenant en coïncidence les directions du trièdre dans la con guration κ0 sur celles du trièdre dans la con guration κt.Ondésigne par R(t) le tenseur associé. On pose : F (t)=R(t) .S(t) (3.17) qui dé nit le tenseur S(t) : S(t)=R-1(t) .F(t) . (3.18) Pour étudier l application linéaire associée à S(t),o nc o n sidèr eun vecteur V de κ0 dirigé suivant une direction principale de C(t) et on forme : S(t) .V = R-1(t) .F(t) .V ; on voit que : • le vecteur F (t) .V dans κt est dirigé selon la direction déduite dans κt de la direction principale initiale dans κ0 par le transport convectif
58 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu Figure 9 Directions principales de C(t) dans κ0 et directions homologues par le trans- port convectif dans κt • en lui appliquant la rotation R-1(t) ,inversedecelle du trièdre des directions principales dans le transport convectif, on obtient le vecteur R-1(t) F (t) .V qui est dirigé comme le vecteur initial V et dont la longueur est |F(t).V|= λ(V)|V |. Autrement dit : S(t).V =λ(V)V ,λ(V)>0. (3.19) Les directions principales de C(t) sont directions propres pour l application linéaire associée à S(t) et les valeurs propres correspondantes sont positives. On a ainsi mis en évidence la décomposition polaire de F (t) exprimée par la formule (3.17) : la transformation du système est constituée d une rotation composée avec une application linéaire admettant les directions principales de C(t) pour directions propres avec des valeurs propres positives. Cette dernière s appelle la déformation pure du système. Dans la base orthonormée des directions principales de C(t) ,S(t) s écrit d après (3.19) : S(t)=λ1e1⊗e1+λ2e2⊗e2+λ3e3⊗e3 . Le tenseur S(t) est symétrique et l on a : C(t)=tF (t) .F(t)=S(t) .S(t)=(S(t))2 . (3.20) La décomposition polaire peut aussi se faire dans l ordre inverse sous la forme : F (t)=S (t) .R(t) et l on trouve que S (t) est lié à S(t) par : S (t)=R(t) .S(t) .R-1(t) . Cette décomposition est plus particulièrement rattachée à la con guration κt et à d autres tenseurs de déformation (tenseur d Almansi,...). 4D éformation d un milieu continu : cas général 4.1 Transformation homogène tangente On se propose maintenant de reprendre l étude du transport et des déformations dans le cas général où le milieu continu subit une transformation quelconque entre
4 Déformation d un milieu continu : cas général 59 κ0 et κt.Lafonctionvectorielle φ dans la formule : x = φ(X,t) (4.1) est donc supposée quelconque sous les conditions de continuité et continue différen- tiabilité imposées au chapitre I ( 3.2) ; en particulier on a : 0 <J(X,t)= D (x1,x2,x3) D (X1,X2,X3) < ∞ . (4.2) Le principe fondamental sur lequel s appuie toute cette étude consiste à remplacer localement ,enchaquepointM0 dans κ0,latransformation par une transformation homogène, fonction de M0,quiluisoittangente .Enappliquant à cette dernière les résultats des sections 2 et 3 ci-dessus on obtient les formules dé nissant le transport et les déformations entre κ0 et κt pour la transformation quelconque au point M0. C est ce que représente symboliquement la gure 10. Figure 10 Transformation homogène tangente en M0 Les hypothèses de continue différentiabilité sur φ dans (4.1) permettent d écrire, àpartirdupointM0 et pour un point courant M 0 dans κ0,lesformules (i =1, 2, 3) : x i = (∂φi(X,t) ∂Xj X j)+(xi - ∂φi(X,t) ∂Xj Xj) + |M0M 0 |o(M0,M 0) (4.3) avec lim M 0 →M0 o (M0 ,M 0)=0. (4.4) Les deux parenthèses dans ces formules dé nissent une correspondance affine entre les coordonnées X j et x i d une particule dans κ0 et κt.Cette correspondance est tangente àlacorrespondance (4.1) au voisinage de M0 (en raison de(4.4)). Reprenant alors les notations de (2.1) et (2.4) pour cette transformation homogène tangente en M0 àlatransformationquelconque donnéepar(4.1)ona: F ij(X,t)= ∂φi(X,t) ∂Xj (4.5)
60 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu et F (X,t)= ∂φi(X,t) ∂Xj ei⊗ej. (4.6) F (X ,t) apparaît comme le gradient du champ de vecteur φ(X ,t) à l instant t dans κ0 (annexe I, 6.2) : F (X ,t)= φ(X ,t) . (4.7) Il est appelé gradient de la transformation en M0. 4.2 Formules de transport Ce sont, au changement de notations près (dépendance en X), les formules des paragraphes 2.2, 2.3 et 2.4. S agissant de la transformation homogène tangente en M0,o nac o utume, a n de rappeler que ces formules ne sont valables que localement au voisinage de M0,de les écrire sous forme différentielle en introduisant des vecteurs élémentaires , volumesélémentaires , etc.(10) Transport d un vecteur dM = F(X,t).dM0 . (4.8) Cette formule n est autre que la différentiation de (4.1) : dx = φ(X,t).dX . (4.9) Du point de vue pratique, elle se révèle bien souvent la plus commode pour le calcul du gradient de la transformation F (X ,t) ,enparticulier lorsque l on utilise, comme indiqué au paragraphe 2.2, des bases différentes eJ (J = I, II, III) et ei (i =1, 2, 3) enM0etenM. On écrit dxi ei = φ(X,t).(dXJ eJ) (4.10) et l on procède à l identi cation des termes pour obtenir F(X,t)=FiJ(X,t)ei ⊗eJ . (4.11) Transport d un volume dΩt =dΩ0 det(F (X,t)) (10)Du point de vue mathématique, latransformation homogène tangente concerne les éléments des espaces vectoriels tangents en M0 et M aux con gurations géométriques du système dans κ0 et dans κt .
4 Déformation d un milieu continu : cas général 61 soit, compte tenu de (4.5) : dΩt = J(X ,t)dΩ0 (4.12) En particulier, s il y a invariance du volume en M0 dans la transformation entre κ0 et κt ,ona: det(F (X,t)) =1. Transport d une surface orientée da = J(X,t)tF -1(X,t). dA . (4.13) 4.3 Déformations Tenseur des dilatations dM .dM =dM0 .C(X,t).dM 0 C(X ,t)=tF (X ,t) .F(X ,t) (4.14) Te n s e u r d es déformations de Green-Lagrange e(X ,t)= 1 2(tF(X,t).F(X,t) - 1l) . (4.15) En coordonnées cartésiennes orthonormées : eij(X ,t)= 1 2(∂φk(X,t) ∂Xi ∂φk(X,t) ∂Xj -δij). Il est d usage de désigner par ds0 la longueur du vecteur élémentaire dM 0 dans la con guration κ0 et par ds celle de son transporté dM : ds0 =|dM0|, ds =|dM|. On a alors, en application immédiate des formules ci-dessus : ds2 - ds2 0 =2dM0 .e(X,t).dM0 , formule dite du ds2,quis écrit en composantes, en repère cartésien orthornormé : ds2 - ds2 0 =2eij(X ,t)dXidXj . 4.4 Déplacement Il est commode d introduire dans un référentiel R,ledéplacement ξ(X ,t) de la particule située en M0 dans κ0,entrelescon gurations κ0 et κt.Cevecteur s obtient par : ξ(X,t)=M0M=x-X. (4.16)
62 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu Figure 11 Déplacement de la particule entre κ0 et κt On a ainsi, à chaque instant t,da n sR et dépendant évidemment du choix de R (car on compare des positions à des instants différents, 0 et t), un champ de vecteurs dé ni sur κ0 .Onaalors, de façon immédiate, en conséquence de (4.16) : F (X,t)= φ(X ,t)=1l + ξ(X ,t) (4.17) où ξ(X,t) est le gradient du champ de déplacement à l instant t en X . On en déduit les expressions de C(X,t) et e(X,t) ;ainsi: e(X ,t)= 1 2 ( ξ(X ,t)+t ξ(X ,t)+t ξ(X,t) . ξ(X,t)) (4.18) et en composantes, en coordonnées cartésiennes orthonormées : Fij(X,t)=δij + ∂ξi(X,t) ∂Xj eij=1 2( ∂ξi ∂Xj + ∂ξj ∂Xi + ∂ξk ∂Xi ∂ξk ∂Xj). Cette formule met en évidence la non-linéarité de la relation entre le champ de déplacement et le champ de déformation de Green-Lagrange. 4.5 Décomposition polaire et transformation rigidi ante Décomposition polaire Comme dans le cas de la transformation homogène explicité au paragraphe 3.4, on peut effectuer sur F (X ,t) la décomposition polaire : F (X ,t)=R(X ,t) .S(X ,t) . (4.19) Le tenseur S(X ,t),symétrique, admet pour directions principales les directions principales de C(X ,t) dans κ0 avec, pour valeurs principales, les dilatations principales λi(X ,t) .Letenseur R(X ,t) est le tenseur euclidien associé à la rotation amenant les directions principales de C(X ,t) dans κ0 sur leurs transportées dans κt .
5 Transformation in nitésimale 63 Transformation rigidi ante La réciproque de la propriété énoncée au paragraphe 3.3 sur la transformation rigidi ante suppose que, à l instant t : e(X,t)=0 ∀M0 ∈ Ω0 . On en déduit par (4.15) et (4.19) puisque S(X ,t) as e sv ale u r spropres positives et puisque detF(X,t) > 0 : S(X ,t)=1l et F (X ,t)=R(X ,t) avec det R(X ,t)=+1 ∀M0 ∈ Ω0 . (4.20) Pour démontrer que la transformation du système entre κ0 et κt est bien rigidi ante il reste maintenant à démontrer que R(X ,t) est indépendant de X .Lerés ultate stintuitivement évident si l on imagine le système dans κ0 décomposé en volumes in nitésimaux, parallélé- pipédiques pour xer les idées : chacun d eux est indéformé dans κt , puisque S(X ,t)=1l et ne subit que la rotation associée à R(X ,t) entre κ0 et κt ;maistous constituent dans κt un système continu, comme dans κ0 ,c est-à-dire qu ils demeurent jointifs. La réponse immédiate est que R(X ,t) doit être le même pour chaque élément, c est-à-dire indépendant de X ,auquel cas le système ne subit lui aussi que cette même rotation. Cette approche intuitive dégage l idée de la démonstration mathématique : elle se réfère à la continuité du milieu. Conformément à la dé nition de F (X ,t) donnée par (4.7) on exprime que F (X ,t)=R(X ,t) doit être le gradient d une fonction vectorielle φ(X ,t).Po u rcela on peut rappeler l expression générale de la matrice ˜ R(X ,t) en repère orthonormé (au moyen des angles d Euler) : ˜ R(X,t)= cosφcosψ- cosθsinφsinψ -cosφsinψ- cosθsinφcosψ sinφsinθ sinφcosψ+cosθcosφsinψ -sinφsinψ+cosθcosφcosψ -cosφsinθ sinθsinψ sinθcosψ cosθ En écrivant l égalité des dérivées secondes croisées de φ(X ,t) on démontre que les angles φ, ψet θ sont indépendants de X . 4.6 Objectivité Reprenant la dé nition donnée au chapitre I ( 2.2 et 2.4) on voit que F (X ,t)= φ(X ,t) est objectif. On peut le démontrer en procédant explicitement à la véri cation indiquée au chapitre I ( 2.4) pour les grandeurs tensorielles, ou en remarquant que celle-ci résulte immédiatement de la formule dM = F (X ,t) . dM 0 où dM et dM 0 sont eux-mêmesobjectifs. Le tenseur des dilatations C(X ,t) et le tenseur des déformations e(X ,t) sont également objectifs, comme le montre l objectivité du scalaire dM . dM =dM 0 .C(X ,t) . dM 0 . 5T ransformation in nitésimale 5.1 Dé nition La transformation du milieu entre les con gurations κ0 et κt dans le référentiel R est dite in nitésimale si elle est telle que : ξ(X,t) 1 ∀M0 ∈ Ω0 . (5.1) ξ(X ,t) sera alors pris comme in niment petit principal.
64 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu 5.2 Tenseur des déformations linéarisé Dans cette hypothèse (5.1),letenseurdes déformations de Green-Lagrange donné par (4.18) se réduit, au premier ordre(11),a ut e n s e u rdes déformations linéarisé ε(X,t) : ε(X,t)= 1 2 ( ξ(X ,t)+t ξ(X,t)) (5.2) Celui-ci apparaît comme la partie symétrique du gradient du déplacement. Ses composantes s écrivent, dans le cas de coordonnées cartésiennes orthonormées : εij(X,t)= 1 2( ∂ξi(X ,t) ∂Xj + ∂ξj(X,t) ∂Xi ). Les valeurs principales de ε(X ,t),quis o ntnotées εi (i =1, 2, 3),s o ntr eliées, àl ordre d approximation adopté,àc elles de C(X,t) ou, plus exactement, de S(X,t) par : εi λi-1. (5.3)De même on obtientpo u rl allongement unitaire d un vecteur dM 0 l expression linéarisée : δ(dM 0)= ds - ds0 ds0 dM0 .ε(X,t).dM0 |dM0|2 (5.4) soit, si dM 0 ,estdirigésuivant le vecteur unitaire e1 d une base quelconque : (ds - ds0)/ds0 ε11(X ,t) . (5.5)Le glissement pour deux vecteurs matérielsdirigés suivant les vecteurs unitaires e1 et e2 d une base orthonormée s écrit sous la forme linéarisée de (3.10) : θ 2ε12(X,t). (5.6)Au même ordre d approximation on a alors pour : J(X,t)=det(1l + ξ(X ,t)) l expression linéarisée J(X,t) 1+tr ξ(X ,t)=1+divξ(X ,t)=1+tr ε(X ,t) . (5.7)On en déduit : (dΩt - dΩ0)/dΩ0 tr ε(X,t)=divξ(X ,t) . (5.8) On peut aussi, dans cette même hypothèse de la transformation in nitésimale, examiner la décomposition polaire. On trouve, à partir de (3.20), les relations : S(X,t) 1l + ε(X,t) d où R(X,t) 1l + 1 2( ξ(X,t) - t ξ(X,t)) . (11)Ànoterquesi ξ(X ,t) est antisymétrique on a, en transformation quelconque : e(X,t)=1 2 t ξ(X,t). ξ(X,t) et J(X,t)=1+ tr e(X,t).
5 Transformation in nitésimale 65 5.3 Gradient d un champ de tenseurs sur la con guration actuelle On considère un champ quelconque (scalaire, vectoriel, ou tensoriel de manière générale), dé ni sur κ0,àl instant t,soitT (X,t).Onpeutdé nir sur κt,àl instant t un champ de même nature, noté T t(x,t),quiprend la même valeur que le champ T à l instant t au point géométrique homologue par la bijection φ du transport convectif entre κ0 et κt,c est-à-dire(12) : T t(x,t)=T (ψ(x,t),t) (5.9a) que l on écrira aussi : T t(x,t)=T (X ,t) (5.9b) avec : x = φ(X,t)=X + ξ(X,t) . (5.10) On conviendra de noter grad T (x,t) le gradient du champ T dans la con guration actuelle κt(13). On a alors, entre les gradients des deux champs pris en des points homologues dans les con gurations κ0 et κt,larelation: T (X ,t)=grad T (x,t) . φ(X ,t) (5.11) soit, par (4.17) : T (X,t)=grad T (x,t)+grad T (x,t) . ξ(X ,t) . Il en résulte que, dans l hypothèse de la transformation in nitésimale, on peut confondre, au premier ordre en ξ(X,t) ,le sde u xopérateurs gra- dients en des points homologues de κ0 et κt.Enparticulier pour le déplacement lui-même, on confondra : ξ(X,t) et grad ξ(x,t) , notamment dans l écriture (5.2) de ε(X ,t) : ε(X,t) 1 2(grad ξ(x,t)+tgrad ξ(x,t)) où x = φ(X ,t) . (5.12) (12) On rappelle (cf. chapitre I, 3.1) que ψ désigne la bijection réciproque de φ,a u ssi notée φ-1. L ordre du tenseur considéré peut être quelconque : on a choisi T pour xer les idées. (13) Le changement de la notation pour le gradient permet ainsi, sans ambiguïté, de supprimer l indice t pour le champ dé ni en (5.9a) ; cf. chapitre I ( 4.6).
66 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu 6C ompatibilité géométrique d un champ de déformation linéarisée 6.1 Position du problème La formule (4.18) indique comment à partir du champ de déplacement ξ(X ,t) entre les con gurations κ0 et κt dans un référentiel R,o nc o n str uitle champ de déformation de Green-Lagrange e(X ,t). On peut aussi se poser le problème inverse : étant donné un champ de tenseurs du second ordre symétriques dé ni sur κ0,àquelles conditions ce champ est-il un champ de déformation de milieu continu, c est-à-dire existe-t-il un champ de déplacement ξ(X ,t) dont il dérive au sens de la formule (4.18) ? Ce problème général, dit de la compatibilité géométrique d un champ de déformation , correspond du point de vue physique au fait que la continuité du milieu ,ausensindiqué dans le chapitre I, doit être conservée par ce champ. On y reviendra au paragraphe 6.4. On a déjàétéconfrontéàunproblème de cette nature au paragraphe 4.5 pour le champ F (X,t) àpr opo sdelatr a n sformation rigidi ante : en effet c est en écrivant la compatibilité géométrique du champ de tenseurs F (X ,t),c est-à-dire en exprimant qu il est le champ de gradient d une fonction vectorielle φ(X,t),oudefaçon équiva- lente qu il dérive d un champ de déplacement ξ(X ,t) de milieu continu par (4.17), que l on démontre que R(X,t) dans (4.20) est indépendant de X . Il est clair, du point de vue mathématique, que des conditions de compatibilité doivent nécessairement exister pour qu un champ de déformation à six composantes indépendantes dérive effectivement par (4.18) d un champ de déplacement à trois composantes (milieu continu tridimensionnel). Ces conditions peuvent être établies dans le cas général des déformations nies. Dans la suite on ne rencontrera ce problème que pour des déformations linéarisées du type (5.2) : ce sera notamment le cas au chapitre VIII (section 6) dans larés olutio ndes problèmes d élasticité linéarisés. On sera aussi confronté au même problème mathématique à propos de la compatibilité d un champ de taux de déformation eulérien au chapitre III ( 3.7). On établira ici les conditions de compatibilité pour un champ linéarisé ε(X ,t) donné par ses composantes εij , l espace étant rapporté à un repère cartésien or- thonormé . 6.2 Conditions de compatibilité Principe du raisonnement L espace est rapporté à un repère cartésien orthonormé. Le principe du raisonne- ment s inspire des constatations suivantes. ξ(X,t) étant le gradient d un champ de vecteurs, chacun des vecteurs-lignes de
6 Compatibilité géométrique d un champ de déformation linéarisée 67 sa matrice ˜ ξ(X ,t) apparaît comme le gradient d une fonction scalaire (la compo- sante de ξ correspondante). De même, chaque vecteur-colonne de t ˜ ξ(X,t) apparaît aussi comme le gradient d une fonction scalaire (composante de ξ). La condition né- cessaire et suffisante pour qu un champ de vecteurs soit un champ de gradient (de fonction scalaire) sur un domaine simplement connexe étant classique, rotationnel nul ,e ns appuyant sur celle-là on établira les conditions nécessaires et suffisantes de compatibilité d un champ de déformation. Établissement des conditions de compatibilité On établit souvent ces conditions en introduisant les notations suivantes. Soit T (X ,t) un champ de tenseurs euclidiens du second ordre ; on dé nit en chaque point X les matrices ˜ rotg(˜ T)et ˜ rotd( ˜ T ) (14) par les formules donnant leurs coefficients : ˜ rotg(˜ T) Rg ij = δi m ∂Tmj ∂X ˜ rotd( ˜ T) Rd ij = δj m ∂Tim ∂X (6.1) dans lesquelles(15) : δijk = i,j,k∈(1,2,3) 0 si ijk comprend deux indices identiques 1 si ijk permutation paire -1 si ijk permutationimpair e autrement dit, ˜ rotd( ˜ T) apo u rv ecteurs-lignes les rotationnels des vecteurs-lignes de ˜ T ,et ˜ rotg(˜ T) apou rv ecteurs-colonnes les rotationnels des vecteurs-colonnes de ˜ T. Avec ces notations il est clair que la condition nécessaire et suffisante pour que chaque vecteur-ligne de ˜ T soit le gradient d une fonction scalaire s écrit : ˜ rotd( ˜ T )=0 (6.2) ou aussi de façon équivalente : ˜ rotg(t˜ T )=0. (6.3) On en déduit, à partir de (5.2), la condition nécessaire de compatibilité pour le champ ε(X ,t) : ˜ rotg( ˜ rotd(˜ ε)) =0= ˜ rotd( ˜ rotg(˜ ε))(16) . (6.4) Cette condition matricielle s explicite sous la forme de 6 équations concernant les dérivées secondes des coefficients de ˜ ε car la symétrie de ˜ ε implique celle de ˜ rotg( ˜ rotd(˜ ε)) : δmki δphj εij,hk =0 ou encore : (14) Pour alléger les formules on ne fait plus apparaître la dépendance en X ,t. (15) Dans la littérature (notamment anglo-saxonne) on rencontre souvent les symboles ε ou e .Le choix de δ s explique ici par les notations adoptées pour les composantes de la déformation. (16) On a en effet, par (6.2), ˜ rotd( ˜ ξ)=0qui s écrit, en introduisant w dé ni par (6.6) : ˜ rotd(˜ ε)+ ˜ rotd(˜ w)=0.Or ˜ rotd(˜ w)=- 1 2t˜ (rot ξ), d où ˜ rotg(˜ ε)= 1 2˜ (rot ξ) et, par (6.2) : ˜ rotd( ˜ rotg(˜ ε)) =0.
68 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu 2 ε23,23 = ε33,22 + ε22,33 +perm utation circulaire (6.5) ε13,23 - ε12,33 - ε33,21 + ε32,31 =0 +perm utation circulaire où les indices situés après lavirgule indiquent les dérivations spatiales. Méthode pratique d intégration du champ ε(X,t) Les conditions de compatibilité (6.5) peuvent être établies explicitement par une méthode directe dont la réciproque fournitlepr o cédé pratique d intégration d un champ ε(X,t) compatible. Pour cela on introduit le tenseur euclidien w(X,t),p a r t i ea n t i s ymétrique de ξ(X ,t) : w(X ,t)= 1 2( ξ(X,t) - t ξ(X,t)) (6.6) dont les composantes dans le repère cartésien orthonormé sont : wij(X ,t)= 1 2(∂ξi(X,t) ∂Xj - ∂ξj(X,t) ∂Xi ). On remarque, à partir de (5.2) et (6.6),qu ele sdérivées des composantes de w sont reliées à celles de ε par : wij,k = εki,j - εjk,i . (6.7) On en déduit les conditions nécessaires de compatibilité du champ ε(X,t) en écrivant que : ∀i,j,k, =1,2,3 wij,k = wij, k (6.8) On obtient ainsi des équations de la forme : εij,k + εk ,ij - εik,j - εj ,ik =0 où i, j, k,et sont quelconques égaux à 1, 2, 3,c est-à-dire les six équations (6.5). Réciproqu ement ,lechamp de tenseurs ε(X,t) symétriques étant connu et sup- posé satisfaire (6.5), ces conditions assurent l intégrabilité des formes différentielles : dwij = wij,k dXk (6.9) où les wij,k ,antisymétriques sur les indices i et j,sontdé nis par (6.7). Elles permet- tent donc de construire un champ de tenseurs antisymétriques w(X ,t) si le domaine de dé nition est simplement connexe.
6 Compatibilité géométrique d un champ de déformation linéarisée 69 On véri e ensuite que, en conséquence évidente de (6.7), les conditions d intégra- bilité des formes différentielles : dξi =(εij + wij)dXj (6.10) sont identiquement véri ées, ce qui permet de construire un champ vectoriel ξ(X ,t) si le domaine de dé nition est simplement connexe. Compte tenu de l antisymétrie de w(X,t),ε(X ,t) apparaît bien comme la partie symétrique du gradient du champ ainsi construit. 6.3 Commentaires • Les conditions (6.5) sont donc nécessaires et suffisantes pour qu un champ de tenseurs euclidiens, du second ordre, symétriques, ε soit la partie symétrique du gradient d un champ vectoriel ξ,dansl hypothèse d un domaine de dé nition simplement connexe. Ces conditions ont été établies par Saint Venant (17) ; la première démonstration rigoureuse dele u rc a r actère suffisant serait due à Beltrami. • Si le domaine est multiplement connexe, des conditions supplémentaires doi- vent être adjointesàc elles-là, dites conditions de fermeture,quia ssurent l uniformité de la fonction vectorielle φ c est-à-dire son caractère bijectif. • Il peut sembler étonnant d aboutir à 6 conditions de compatibilité alors que le champ ε correspond à 6 composantes indépendantes et le champ ξ dont il dérive, à 3. En fait on peut montrerqu ele ssix équations (6.5) ne sont pas indépendantes entre elles : ces équations seront toutes véri ées dans un domaine Ω0 pour peu que l on s assure que trois d entre elles sont véri ées dans ce domaine et les trois autres au contour. • On remarque que les conditions (6.5) portent sur les dérivées secondes des composantes εij en coordonnées cartésiennes orthonormées. Il s ensuit en particulier que tout champ ε dont les composantes εij sont des fonctions affines des Xk est intégrable . • On retiendra que dans la pratique l intégration d un champ de déformation géométriquement compatible pour obtenir le champ de déplacement correspon- dant s effectue en s appuyant sur (6.7), (6.9) et (6.10). Le champ ξ(X ,t) est déterminé, dans le respect de l hypothèse de la transformation in nitésimale, àu nchamp de déplacement rigidi ant additif près .Cecha mpe ste n effet introduit par les constantes qui apparaissent dans les deux intégrations successives : un tenseur antisymétrique constant dans l intégration de (6.9), dé- nissant une rotation in nitésimale ,unvecteur constant dans l intégration de (6.10) dé nissant une translation . • Ce résultat ne doit pas surprendre. En effet, dans l hypothèse de la transformation in ni- tésimale qui permet la linéarisation des formules, l addition d un champ de déplacement rigidi ant (dont la rotation est in nitésimale) n induit aucune déformation du système. Il (17) A. Barré de Saint Venant (1797 1886) ; E. Beltrami (1835-1900).
70 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu est donc logique que la donnée d un champ ε géométriquement compatible ne permette de déterminer le champ ξ que sous la réserve d un champ de déplacement rigidi ant in nitésimal arbitraire. On peut aussi y apporter un complément. Comme on l a vu par exemple au paragraphe 4.5, une transformation rigidi ante composée avec une transformation quelconque n induit aucune modi cation du champ de déformation e.Ilenrésultequ encomposant une transfor- mation rigidi ante quelconque avec un champ de déplacement ξ déterminé, en transformation in nitésimale, à partir du champ ε,onobtientune transformation nie dans laquelle le champ de déformation e est égal au champ ε linéarisé du champ original ξ.C e stpa re xemple le cas lorsque l on s intéresse, dans un référentiel R∗ ,a ucha mpde déplacement associé à une transformation in nitésimale dans le référentiel R. • Le champ de déplacement ξ doit aussi satisfaire des conditions en déplacements imposées au contour du domaine de dé nition de ε.Onr e n contre alors typi- quement l une ou l autre des deux circonstances suivantes. Ou bien la forme obtenue pour ξ,etn ota mment le champ rigidi ant indéterminé introduit par les constantes d intégration, permet d assurer la compatibilité du champ ξ avec les données du contour : ceci peut éventuellement déterminer complètement le champdedéplacement rigidi ant in nitésimal demeuré arbitraire. Ou bien les conditions imposées au déplacement auc o nto u rdu domaine ne peuvent être satisfaites par aucun champ ξ résultant de l intégration de ε et il y a donc incompatibilité avec ces données. • L application de la méthode d intégration du paragraphe 6.2 dans le cas où le champ donné est ε(X ,t)=0 ∀M0 ∈ Ω0 (6.11) permet de véri er immédiatement que, en transformation in nitésimale , la condition (6.11) caractérise les transformations rigidi antes entre κ0 et κt pour le domaine Ω0. 6.4 Application On peut donner, en anticipant de façon élémentaire et intuitive sur certains concepts introduits dans la suite (chapitres V et VIII), un exemple d application des conditions de compatibilité géométrique énoncées plus haut : celui des déformations thermiques. Le champ de température, ou plus exactement de variation de température τ(X) dans un solide, induit dans celui-ci, le plus souvent par une correspondance linéaire, un champ de déformation ετ (X) . Si ce champ ετ (X) est géométriquement compatible, il existe un champ de dépla- cement ξτ (X) déterminé à un déplacement rigidi antprès,quirespecte la continuité du milieu et dont dérivent les déformations thermiques. Si aucune condition n est imposée au contour du solide du point de vuedesdéplacements ou si, plus générale- ment, les conditions en déplacements imposées au contour du solide sont satisfaites par un champ ξτ (X),onpeutconclure que la transformation du solide due aux écarts de température peut se produire sans faire naître, dans celui-ci, des efforts intérieurs (contraintes).
7 Remarques nales 71 Dans les cas contraires, c est-à-dire si le champ ετ (X) n est pas géométriquement compatible ou si, étant compatible, aucun champ ξτ (X) correspondant ne permet de satisfaire les conditions en déplacements imposées au contour du solide, des efforts intérieurs apparaissent nécessairement dans le solide pour que la continuité du milieu soit conservée. Ils engendrent eux aussi un champ de déformation ε(X) et sont tels que le champ de déformation total ετ (X)+ε(X) soit géométriquement compatible et qu un champ ξτ (X) qui résulte de son intégration permette de satisfaire les conditions en déplacements imposées au contour. Si ces efforts intérieurs, nécessaires au maintien de la continuité géométrique du milieu, sont trop importants vis-à-vis des capacités de résistance du matériau, ils ne peuvent s instaurer : une autre solution géométriquement compatible par morceaux se met alors en place avec ruptures localisées dans le solide (phénomène bien connu avec des matériaux fragiles). 7R e m a r q u es nales 7.1 Transformation et déformation Homogénéité Les formules de la décomposition polaire (3.17, 3.20, 4.19) mettent bien en évi- dence que seule une partie de la transformation induit la déformation du milieu. En conséquence, s il est évident que l homogénéité de la transformation, c est-à-dire l in- dépendance de F (X,t) par rapport à X ,implique celle de la déformation e(X ,t),on peut s interroger sur le problème inverse : l homogénéité de la déformation e implique- t-elle celle de la transformation ? C est en particulier la question qui a été posée au paragraphe 3.3 à propos de la caractérisation des transformations rigidi antes par la formule (3.16). La réponse découle encore de la compatibilité géométrique (cf. 6.1) comme in- diqué au paragraphe 4.5 : en exprimant(18) que F (X,t) doit être le gradient d une fonction vectorielle φ(X ,t),o nvéri eque le champ e(X,t)=e(t) est effectivement compatible et que la transformation correspondante est homogène (19).(Cette véri- cation est immédiate lorsque l on est dans l hypothèse de la transformation in nité- simale, en appliquant la méthode d intégration donnée au paragraphe 6.2). Caractère in nitésimal Il est clair que l hypothèse de la transformation in nitésimale implique que la déformation l est aussi. La réciproque de cette proposition est évidemment fausse comme suffit à le montrer le contre-exemple des transformations rigidi antes. (18) Avec les notations (6.1) lacondition sur le champ F s écrit : rotd( ˜ F )=0. (19) Le résultat est intuitivement évident si l on imagine, comme au paragraphe 4.5, le système dans κ0 ,découpé en volumes in nitésimaux cubiques selon les directions principales de C(t) ;lesvolumes transformés, parallélépipèdes rectangles identiques, doivent être jointifs pour respecter la continuité du milieu : ils subissent donc tous la même rotation.
72 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu On peut néanmoins remarquer que l hypothèse de la déformation in nitésimale, caractérisée par e 1,suffitàassurer la validité des formules homologues de (5.5) à(5.7) avec les composantes de e sous la forme : (ds - ds0)/ds0 e11(X ,t) θ 2 e12(X,t) (dΩt - dΩ0)/dΩ0 tr e(X ,t) . (7.1) 7.2 Utilisation d un paramétrage lagrangien relatif à une con guration abstraite To u t le présent chapitre, traitant des déformations, se rattache à une con guration initiale de référence du système, par rapport à laquelle on mesure les déformations. Aussi utilise-t-on pour repérer les particules, les coordonnées X de leurs positions dans cette con guration κ0 . On peut aussi être amené, pour ce repérage, à utiliser des paramètres lagrangiens relatifs à une con guration de référence abstraite κa (chapitre I, 3.7), la description du mouvement étant mise sous la forme : x = φ(a1,a2,a3,t) . (7.2) L étude des déformations quant à elle n a évidemment de sens que par rapport à une con - guration réellement occupée par le système, soit κ0 .Endésignant par X les coordonnées de la position d une particule dans cette con guration (t =0) X = φ(a1,a2,a3,0). (7.3) on sera ramené à l étude précédemment faite (sections 2 à 6) en substituant à la fonction φ(X ,t) qui y apparaît la fonction Φ(X ,t) dé nie par : x = Φ(X,t)=φ(·, ·, ·,t) ◦ φ-1(X, 0) ; (7.4) toutes les formules précédemment données demeurent alors valables : c est ainsi en particulier que l on obtient, à partir de (4.12) le résultat déjà donné au chapitre I : dΩt =dΩ0 D(x1 ,x2 ,x3) D(a1 ,a2 ,a3) /D(X1 ,X2 ,X3) D(a1 ,a2 ,a3) . 7.3 Étude pratique des déformations L étude des déformations est un aspect essentiel dans la modélisation des milieux continus, principalement pour ses applications à la mécanique des solides déformables. On retiendra le caractère tensoriel des grandeurs introduites : C(X,t),e(X,t), ε(X,t) , ... Cette propriété, outre l intérêt mathématique qui apparaîtra notamment dans la formulation des lois de comportement (par exemple en élasticité), présente des consé- quences pratiques importantes : aussi bien pour les déformations nies (Green-Lagrange) que pour les déformations linéarisées, on procèdera souvent en premier lieu à la détermination des directions principales et au calcul des dilatations et des déformations principales ;
7 Remarques nales 73 les formules de changement de base (annexe I, 3.2 et 5.9) permettent ensuite de calculer de façon systématique les composantes des tenseurs dans les bases les plus appropriées : notamment le passage d un repère principal à un repère commode pour le calcul par (3.6) et (3.7) de la dilatation ou de l allongement unitaire dans une direction donnée. Du point de vue physique on retiendra que les dilatations et les déformations sont des grandeurs sans dimensions . La détermination expérimentale des tenseurs correspondants s appuie sur des me- sures de dilatation et d allongement unitaire et sur les formules (3.6) ou (3.7). Elle nécessite donc la comparaison, à l échelle locale lorsque la transformation n est pas homogène (cas général), des longueurs d un vecteur matériel dans la con guration initiale de référence et dans la con guration actuelle. Les techniques expérimentales employées sont nombreuses. • Extensomètres à l résistant (jauges électriques de déformation) : le principe de la méthode consiste à faire subir à un l la même extension que celle du maté- riau dans une direction donnée, et àmesurer la variation de résistance électrique correspondante (l effet est ampli é en repliant le l plusieurs fois sur lui-même). Ces extensomètres, collés à la surface du solide étudié, sont groupés en rosettes (3 jauges), de façon à recueillir suffisamment d information pour la détermination de la déformation dans le plan tangent à la surface du solide ( gure 12). • Méthode du moiré : ils agit d une technique de marquage de la surface du so- lide par un réseau de traits ns et rapprochés (gravure, ou procédés d impres- sion divers). On compare le réseau déformé au réseau initial par observation et dépouillement des réseaux de franges de moiré ( gure 13). • Méthodes optiques diverses : holographie, moiré interférométrique, méthode de granularité, stéréophotogrammétrie. • Marquage : à la surface d unsolide, par de petits cercles (∅ =quelques millimètres) et observation des ellipses obtenues après déformation ( gure 14), à l intérieur d un solide par un réseau (cf. chapitre I, gures 1 et 2) ou par des inclusions. • Ve r nis c r a q u elants et substances analogues déposées à la surface d un solide. Les dernières méthodes citées ci-dessus sont surtout qualitatives. En n il est bon de connaître quelques ordres de grandeur de déformations typiques pour les solides : l allongement unitaire pour une éprouvette d acier en traction, à sa limite d élas- ticité initiale est de l ordre de 10-3 ; l allongement unitaire pour une éprouvette d acier doux à l issue de son palier plastique est de l ordre de 10-2 ; l allongement unitaire d une éprouvette de béton en compression sous charge de courte durée avant ruine est de l ordre de 10-3 ; l allongement unitaire local dans une expérience de striction en traction d une éprouvette métallique est de l ordre de 1 ; pour les polymères les ordres de grandeur des déformations sont beaucoup plus élevés.
74 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu Figure 12 Jauge extensométrique unidirectionnelle et rosettes de jauges bi- et tri- directionnelles (photos : J. Salençon). a) principe b) exemple de franges observées Figure 13 Méthode du moiré (Laboratoire Central des Ponts et Chaussées)
7 Remarques nales 75 Figure 14 Marquage à la surface d un solide (CETIM)
76 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu Récapitulatif des formules essentielles • Tra n sformation quelconque x = φ(X,t) 0 <J(X,t)= D (x1,x2,x3) D (X1,X2,X3) < +∞ Gradient de la transformation : F (X,t)= φ(X ,t) dM = F(X,t).dM0 Transport : dΩt =dΩ0 det (F (X ,t)) = J(X,t)dΩ0 da = J(X,t)tF -1(X,t). dA Dilatations déformations : dM .dM =dM0 .C(X,t).dM 0 C(X ,t)=tF (X ,t) .F(X ,t) e(X,t)= 1 2(C(X,t) - 1l) ds2 - ds2 0 =2dM0 .e(X,t).dM0 Déplacement : ξ(X ,t)=φ(X ,t) - X e(X,t)= 1 2( ξ(X,t)+t ξ(X,t)+t ξ(X ,t) . ξ(X ,t))
Récapitulatif des formules essentielles 77 • Tra n sformation in nitésimale : ξ(X,t) 1 ε(X,t)= 1 2 ( ξ(X ,t)+t ξ(X,t)) ε(X,t) 1 2 (grad ξ(x,t)+tgrad ξ(x,t)) ,x = φ(X ,t) (dΩt - dΩ0)/dΩ0 tr ε(X ,t)=divξ(X ,t) (ds - ds0)/ds0 ε11(X,t) θ 2 ε12(X,t) Conditions de compatibilité géométrique : (en coordonnées cartésiennes orthonormées) εij,k + εk ,ij - εik,j - εj ,ik =0 Composantes de ε en coordonnées cylindriques (cf. annexe II) ξ=ξrer+ξθeθ+ξzez εrr = ∂ξr ∂r εθθ=1 r ∂ξθ ∂θ+ξr r εzz = ∂ξz ∂z εrθ=1 2 ∂ξθ ∂r -ξθ r+1 r ∂ξr ∂θ εθz=1 2 1 r ∂ξz ∂θ+∂ξθ ∂z ξzr=1 2 ∂ξr ∂z+∂ξz ∂r trε=∂ξr ∂r+1 r ∂ξθ ∂θ+ξr r+∂ξz ∂z
78 Chapitre II Étude des déformations du milieu continu Composantes de ε en coordonnées sphériques (cf. annexe II) ξ=ξrer+ξθeθ+ξφeφ εrr = ∂ξr ∂r εθθ=1 r ∂ξθ ∂θ+ξr r εφφ= 1 r sinθ∂ξφ ∂φ+ξθ r cotθ+ξr r εrθ=1 2 1 r ∂ξr ∂θ+∂ξθ ∂r -ξθ r εθφ=1 2 1 r ∂ξφ ∂θ+ 1 rsinθ∂ξθ ∂φ - cotθ r ξφ εφr=1 2 1 rsinθ∂ξr ∂φ+∂ξφ ∂r -ξφ r trε=∂ξr ∂r+1 r ∂ξθ ∂θ+ 1 rsinθ∂ξφ ∂φ+ξθ r cotθ+2ξr r
Exercices 79 Exercices II.1 - Extension simple. R étant un repère cartésien orthonormé dans le référentiel R,onconsidère la transformation homogène dé nie, à l instant t>0,par: x1 =X1(1+αt),x 2=X2,x 3=X3,α>0. Déterminer le tenseur F (t) de la transformation. Étudier le transport d un vecteur, d un volume, d un vecteur aire. Calculer le tenseur des dilatations et le tenseur des déformations de Green-Lagrange. Déterminer leurs directions principales. Préciser l hypothèse de la transformation in nitésimale ; donner les expressions linéarisées cor- respondantes. Éléments de réponse. • F(t)=(1+αt)e1⊗e1+e2⊗e2+e3⊗e3 v =(1+αt)V1e1+V2e2+V3e3 Ωt =(1+αt)Ω0 (cf. Ex.I.1) n= 1 N2 1 +(1+αt)2(N 2 2+N2 3 ) (N1 e1 +(1+αt)(N2 e2 + N3 e3)) a=A N2 1 +(1+αt)2(N 2 2+N2 3). • C(t)=(1+αt)2e1⊗e1+e2⊗e2+e3⊗e3 e(t)=(αt + α2t2/2) e1 ⊗ e1 . Directions principales de C(t) et e dans κ0 : e1 et toute direction orthogonale à e1 . Dilatations principales : λ1 =1+αt , λ2 = λ3 =1; déformations principales : e11 = αt + α2 t2/2 ,e 22=e33=0. • ξ 1 ⇔| αt| 1 ε=αte1⊗e1,trε=αt. II.2 - Glissement simple. Soit R =(O, e1,e2 ,e3) un repère cartésien orthonormé dans le référentiel R.Onc onsidère la transformation homogène dé nie à l instant t par : ξ =2αtX2 e1 . Calculer F (t),C(t) ;déterminer les dilatations principales et les directions principales de C(t). Étudier le cas de la transformation in nitésimale. Éléments de réponse. • F(t)=e1⊗e1+2αte1⊗e2+e2⊗e2+e3⊗e3 . det F (t)=1:pasdev ariation de volume. C(t)=1l +2e(t)=1l +2αt (e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1)+4α2t2 e2 ⊗ e2 .
80 Chapitre II - Études des déformations du milieu continu • Les valeurs principales de C(t) et ses directions principales dans κ0 s obtiennent im- médiatement par le calcul à partir de l expression ci-dessus, puisque la base (e1 ,e2 ,e3) est orthonormée ; on détermine les directions propres et valeurs propres de l application linéaire associée à C(t) : λ2 1 =1+2αt√1+α2 t2 +2α2 t2 d où λ1 =(√1+α2 t2 + αt) , λ2 2 =1- 2αt√1+α2 t2 +2α2 t2 d où λ2 =(√1+α2 t2 - αt) , λ2 3 =1d où λ3 =1. On véri e que λ1λ2λ3 =1. Les directions principales correspondantes sont, dans κ0 : eV = e1cosφ+e2sinφ,eW = -e1sinφ+e2cosφ,e3, avec tanφ = λ1 =1/λ2,(tan2φ = -1/αt). Le transport convectif des vecteurs eV ,eW ,e3 donne respectivement les vecteurs λ1(e1 sin φ + e2 cos φ),λ2(-e1 cos φ + e2 sin φ),ete3 dont on véri e l orthogonalité. En posant ev = e1 sin φ + e2 cos φ et ew = -e1 cos φ + e2 sin φ,ladécomposition polaire F (t)=R(t) .S(t) s explicite en : S(t)=λ1ev⊗eV +λ2ew⊗eW+λ3e3⊗e3 , R(t)=ev⊗eV +ew⊗eW+e3⊗e3 ou encore R(t)=sin2φ(e1 ⊗e1 +e2 ⊗e2)+cos2φ(e2 ⊗e1 - e1 ⊗e2)+e3 ⊗e3 qui représente la rotation d angle (π/2 - 2φ) autour de e3 . Ces résultats peuvent aussi s obtenir géométriquement en remarquant que le losange de κ0 ,constr uit sur les vecteurs unitaires OA0 = e1 et OB0 =(-αt e1 + e2)/√1+α2 t2 se transforme à l instant t en le losange de κt construit sur les vecteurs unitaires OA = e1 et OB =(αt e1 + e2)/√1+α2 t2 .Dansκ0 , (OA0 ,OB0)=2φ ;lesvecteurs eV et eW sont dirigés selon les bissectrices intérieure et extérieure de cet angle parallèles aux diagonales du losange. Elles sont transportées convectivement à l instant t selon les bissectrices in- térieure et extérieure de l angle (OA,OB)=(π - 2φ) dans κt dont ev et ew sont les vecteurs unitaires. • Tr ansformation in nitésimale. ξ 1 ⇔| αt | 1: ε(t)=αt(e1 ⊗e2 +e2 ⊗e1),w(t)=αt(e1 ⊗e2 - e2 ⊗e1) ε1(t)=αt , ε2(t)=-αt , ε3(t)=0. Directions principales de ε(t) : eV =(e1 + e2)√2/2 ,e W =(e2 - e1)√2/2 ,e 3=0 ε(t)=αt(eV ⊗eV - eW ⊗eW); les directions principalessontlesbissectrices de (e1 ,e2) et e3 ,etlesdéformations princi- pales εi dans le plan (e1 ,e2) sont égales en valeur absolue et de signes opposés (tr ε =0: absence de variation de volume). II.3 - Double glissement . R est un repère cartésien orthonormé dans le référentiel R.Onconsidère la transformation homogène dé nie à l instant t>0 par : ξ=αt(X2e1+X1e2),α>0. Calculer la dilatation volumique dans ce mouvement, le tenseur des dilatations et le tenseur des déformations de Green-Lagrange. Déterminer les directions principales de ces tenseurs et les expressions de ceux-ci dans le repère principal orthonormé. Préciser l hypothèse de la transformation in nitésimale et donner les expressions linéarisées correspondantes.
Exercices 81 Éléments de réponse • Dilatation volumique = det F (t)=1- α2 t2 (|αt|< 1 cf. Ex.I.2) C(t)=1l +2αt (e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1)+α2t2(e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2)=1l +2e(t) . • Trièdre principal de C(t) et e(t) dans κ0 : eV =(e1 + e2)/√2 ,e W =(e2 - e1)/√2 ,e 3. C(t)=(1+αt)2eV ⊗eV +(1- αt)2eW ⊗eW +e3 ⊗e3 e(t)=(αt + α2t2/2)eV ⊗ eV +(-αt + α2t2/2)eW ⊗ eW . • ξ 1 ⇔| αt | 1 ε(t)=αt(e1⊗e2+e2⊗e1)=αt(eV ⊗eV -eW⊗eW) det F(t) 1+tr ε =1. Commentaire. En transformation nie le double glissement induit une variation de volume ; les direc- tions principales de la déformation sont dirigées selon les bissectrices de e1,e2 . En transfor- mation in nitésimale le double glissement s effectue sans variation de volume ; du point de vue de la déformation le double glissement est équivalent au glissement simple (Ex.lI.2). II.4 - R =(O, e1,e2,e3) est un repère cartésien normé dans lequel e3 est orthogonal à e1 et e2.Étudier la transformation homogène dé nie à l instant t par : ξ = αt(X2e1 +X1e2) α>0 . Éléments de réponse : • ξ=αt(e1⊗e2+e2⊗e1),F(t)=1l+ ξ dilatation volumique = det F (t)=1- α2t2 (⇒ αt < 1) . • C(t)=1l+2αt(e2⊗e1+e1⊗e2+g12(e2⊗e2+e1⊗e1)) +(αt)2(e2⊗e2+e1⊗e1+g12(e2⊗e1+e1⊗e2)) avec gij = ei .ej • En regroupant les termes : C(t)=1l +2αt((e1 + g12 e2) ⊗ e2 +(e2 + g21 e1) ⊗ e1) +(αt)2((e1 + g12 e2) ⊗ e1 +(e2+g21e1)⊗e2) d où la représentation mixte de C(t) C(t)=1l+(αt)2(e1 ⊗e1 +e2 ⊗e2)+2αt(e1 ⊗e2 +e2 ⊗e1). On en déduit les directions principales de C(t) dans κ0 ,comme dans Ex.II.3 : eV =(e1 + e2)/ 2(1 + g12) ,e W =(e1 - e2)/ 2(1 - g12) ,e 3 avec lesdilatations principales(1+αt),(1-αt), 1. C(t)=(1+αt)2eV ⊗eV +(1- αt)2eW ⊗eW +e3 ⊗e3 . Commentaire. Il s agit du double glissement en coordonnées obliques, identique à celui traité en coor- données orthogonales (Ex.II.3).
82 Chapitre II - Études des déformations du milieu continu II.5 - Ellipsoïde des dilatations. On considère, à l instant t,latr a n sfo rmation homogène qui laisse invariante l origine O et qui est caractérisée par le tenseur gradient F (t).Déterminer le domaine Ω0 dont le transporté par le mouvement est, à l instant t, une sphère de centre O et de rayon R.Déterminer le domaine Ω t transporté par le mouvement, à l instant t,d une sphère Ω 0 de centre O et de rayon R0 dans κ0. Éléments de réponse : • Le domaine Ωt transporté de Ω0 apo u réqu ation x2 = R2 .D oùl équation de Ω0 : X .C(t) .X = R2 qui s écrit dans les axes principaux de C(t) dans κ0 : (λ1X1)2 +(λ2X2)2 +(λ3X3)2 = R2 . Ω0 est l ellipsoïde de demi-axes R/λ1 ,R/λ2 et R/λ3 selon les directions principales de C(t) dans κ0. • L équation de Ω 0 est X2 = R2 0 ,d oùpou rΩ t : x.(F .tF(t))-1 .x=R2 0. Ω t est l ellipsoïde dont les axes sont obtenus par le transport convectif dans κt des directions principales de C(t) dans κ0 .Demi-axes : λ1R0 ,λ2R0 ,λ3R0 . L équation de Ω t dans la base orthonormée correspondante (e 1 ,e 2 ,e 3), principale pour F (t) . tF (t):(x 1/λ1)2 +(x 2/λ2)2 +(x 3/λ3)2 = R2 0. Commentaire. Pour R =1,Ω 0 estappelé ellipsoïde réciproque des déformations . Ω t ,pou rR0 =1,est l ellipsoïde des déformations . II.6 - Tourbillon ponctuel . On considère le mouvement plan dé ni en coor- données cylindriques, pour r =0,par: U(r,θ,z,t)= Γ 2πr eθ où Γ est une constante réelle. Déterminer les trajectoires et donner la représentation lagrangienne de ce mouvement. Calculer le gradient de la transformation entre M0,dec o o rdonnées (R, Θ, Z) dans la con guration κ0(t =0)et M de coordonnées (r, θ, z) dans κt,etlete n seur des dilatations C ;c o mpa r e ra v e cle srésultats de Ex.II.2 et commenter : en déduire les directions principales de C en M0 et la rotation de ce trièdre dans le transport convectif de M0 à M .Étudier le cas de la transformation in nitésimale après en avoir explicité les hypothèses.
Exercices 83 Éléments de réponse. • En coordonnées cylindriques U=erdr dt +eθrdθ dt +ezdz dt d où ici, pour la particule située en M0 dans κ0 : r(R,Θ,Z,t)=R, θ(R,Θ,Z,t)=Θ+ Γ 2πR2t=Θ+α(R)t, z(R,Θ,Z,t)=Z. Les trajectoires sont des cercles d axe Oz. • On calcule F par : dM =F(X,t).dM0 . dM0 = eRdR + eΘRdΘ + eZdZ dans (eR,eΘ,eZ) base locale orthonormée en M0 ; dM = er dR + eθ(RdΘ - 2α(R)t dR)+ezdZ dans (er ,eθ ,ez) base locale orthonormée enM; d où:F(R,Θ,Z,t)=er⊗eR-2α(R)teθ⊗eR+eθ⊗eΘ+ez⊗eZ. •OncalculeCparC=tF.F: C(R,Θ,Z,t)=1l-2α(R)t(eR ⊗eΘ +eΘ ⊗eR)+4α2(R)t2eR ⊗eR . On peut aussi,pou ru ncalcul direct de C,utiliser la formule du ds2 quidonne : 4α2(R)t2(dR)2 - 4α(R)tRdΘ dR =2dM 0 .e(R, Θ, Z, t) . dM 0. • La comparaison de l expression obtenue pour C avec les résultats de Ex.II.2 montre que la déformation est localement assimilable à celle correspondant au glissement simple dé ni dans Ex.II.2 où le trièdre (-eΘ ,eR ,eZ ) jouerait en M0 le rôle du trièdre (e1 ,e2 ,e3) et α(R) remplaçant α. Plus précisément, en introduisant : U(R, t)=er ⊗ eR + eθ ⊗ eΘ + ez ⊗ eZ on a : F(R,Θ,Z,t)=U(R,t).(1l - 2α(R)teΘ ⊗ eR) qui montre que la transformation homogène tangente en M0 est le produit du glissement de Ex.II.2 dé ni avec α(R) dans les axes (-eΘ ,eR ,eZ) suivi de la rotation d angle α(R)t autour de eZ qui correspond à U(R, t). On en déduit également que : det F (R, Θ, Z, t)=1;il n y a pas de variation de volume. • Les directions principales de C(R, Θ, Z, t) en M0 sont, d après les résultats de Ex.II.2, les bissectrices intérieure et extérieure de l angle (-eΘ ,eR + α(R)teΘ). La décomposition polaire de F (R, Θ, Z, t) montre que, dans le transport convectif de M0 à M,c etrièdre subit, autour de eZ la rotation d angle ω(R, t)=-Arctan (α(R)t) cor- respondant au glissement simple, puis la rotation d angle α(R)t correspondant à U(R, t) ; soit, au total, la rotation autour de eZ ,d a ngle : β(R, t)=α(R)t - Arctan (α(R)t) dans la décomposition polaire de F (R, Θ, Z, t). • Tr ansformation in nitésimale. ξ 1 ⇔|α(R)t | 1 c est-à-dire | θ - Θ | 1. Les directions principales de ε sont les bissectrices de (-eΘ ,eR) et eZ ,avecpourv aleurs principales εi correspondantes : α(R)t, -α(R)t, 0. La rotation β(R, t) est nulle au 1er ordre (elle est du 3ème ordre en α(R)t). Commentaire. Le mouvement étudié ici correspond à un modèle classique pour un uide incompressible. Il sera repris dans Ex.III.3 du point de vue cinématique, justi ant la terminologie de tour- billon ponctuel .
84 Chapitre II - Études des déformations du milieu continu Le lien mis en évidence avec le glissement simple ne doit pas surprendre puisque le mou- vement s effectue par rotation autour de Oz de couches cylindriques concentriques dont la vitesse angulaire croît au fur et à mesure que l on se rapproche de l axe. On remarque que la transformation in nitésimale est ici liée à la valeur de l angle α(R)t =(OM 0 ,OM) dont ato u r nélaparticule, qui doit demeurer faible : elle correspond à des durées d autant plus brèves que la particule est plus proche de l axe. II.7 - Cercle deMohrde sdéfo rmations. On se place dans l hypothèse de la transformation in nitésimale. R =(O, ex ,ey ,ez) est orthonormé. La déformation est plane parallèlement à (ex ,ey) c est-à-dire que εxz = εyz = εzz =0.Onétudie le tenseur ε(X,t) en un point X donné à l instant t.Ondésigne par (e1 ,e2,e3 ≡ ez) la base orthonormée de ses directions principales et par ε1,ε2,ε3 =0les valeurs principales correspondantes. On introduit les variables Θ = ε1 + ε2 ,r=(ε1 - ε2)/2 ,φ=(ex,e1). Exprimer les composantes de ε(X ,t) dans R en fonction de Θ, r, φ.Endéduire les directions du plan (e1,e2) pour lesquelles l allongement unitaire est extrémal, ainsi que celles pour lesquelles le glissement est maximal lorsque ε(X,t) est donné. Éléments de réponse ; • Par les formules de changement de repères : εxx = Θ/2+r cos 2φ, εyy = Θ/2-r cos 2φ, εxy = εyx = r sin 2φ, autres εij nuls dans R. • On xe e1 ,e2 ,Θ et r.Onsuppose ε1 >ε2 .Enfaisantv arierφ on étudie par εxx = δ(ex) et 2εxy ,le sv a riatio n sde l allongement unitaire et du glissement : allongement unitaire maximal pour φ =0,εxx = ε1 = Θ/2+r ;minimal pour φ = π/2 ,ε xx =ε2=Θ/2-r. Glissement maximal pour φ = π/4 , 2εxy =2r = ε1 - ε2 . Commentaire. On rapprochera cet exercice de la représentation de Mohr pour les contraintes exposée au chapitre VI section 3. II.8 - Extensométrie. On se place dans l hypothèse de la transformation in ni- tésimale. On suppose que la déformation est plane perpendiculairement à la direction du vecteur normé e3 .Onétudie le tenseur ε(X ,t) en un point X donné, à l instant t. A n de déterminer expérimentalement ce tenseur, on dispose selon les directions de trois vecteurs normés ea ,eb,ec orthogonaux à e3,de sjauges extensométriques don- nant les allongements unitaires : δ(ea)=δa ,δ(eb)=δb,δ(ec)=δc .Onsuppose, selon la pratique courante, que eb est la bissectrice de l angle (ea ,ec)=2α. Donner l expression de ε(X ,t) dans la base normée (ea ,ec ,e3).Déterminer les directions principales et les valeurs principales de ε(X,t) dans les deux cas classiques pour les applications pratiques : α = π/4 et α = π/3.
Exercices 85 Éléments de réponse : • εaa = δ(ea)=δa ,ε cc = δ(ec)=δc eb =(ea + ec)/2cosα ⇒ εac = εca =2δb cos2 α - (δa + δc)/2 ε(X,t)=εaaea⊗ea+εacea⊗ec+εcaec⊗ea+εccec⊗ec • On pose φ =(ea ,e1),e1 ,e2 ,e3 directions principales de ε(X ,t).Av e cle sn otations et les résultats de Ex.II.7 δa =Θ/2+rcos2φ, δb =Θ/2+rcos2(φ-α),δ c =Θ/2+rcos2(φ-2α). • α=π/4 Θ=δa+δc , r cos 2φ =(δa - δc)/2 ,rsin 2φ =(2δb - δa - δc)/2 d où ε1 ,ε2 ,φ,(ε3 =0). • α=π/3 Θ=2(δa+δb+δc)/3 r cos 2φ =(2δa - δb - δc)/3 ,rsin 2φ = √3(δb - δc)/3 d où ε1 ,ε2 ,φ,(ε3 =0). II.9 - Compatibilité des déformations thermiques. On se place dans l hypo- thèse de la transformation in nitésimale. On considère un solide homogène, constitué d un matériau isotrope, que l on soumet à un champ d écart de température τ(X) à partir du champ detempérature T0(X) dans la con guration de référence. On suppose que les déformations thermiques correspondantes, par rapport à la con guration de référence sont linéaires et de la forme : ετ(X)=ατ(X)1l , où α est la constante thermique caractéristique de ce matériau isotrope. Quelle doit être la forme du champ τ pour que ces déformations thermiques soient géométrique- ment compatibles horsdeto utec o ndition sur les déplacements imposée au contour du solide ? Montrer que la condition trouvéeestsuffisante même si le solide étudié est multiplement connexe. Éléments de réponse : • Àpartirdes conditions écrites sur les εij,k il vient : τ,22 + τ,33 =0,τ ,11 + τ,22 =0,τ ,11 + τ,33 =0,τ ,21 =0,τ ,23 =0,τ ,31 =0. Le champ τ doit être une fonction affine des coordonnées cartésiennes (orthonormées ou non).
86 Chapitre II - Études des déformations du milieu continu • On pose ατ = a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 + b, en coordonnées cartésiennes orthornormées. L intégration de ετ donne le champ ξτ de composantes : ξ1=a1 2 (X2 1 -X2 2 -X2 3)+a2X1X2 + a3X1X3 + bX1 - rX2 + qX3 + λ1 ξ2=a2 2 (X2 2 -X2 1 -X2 3)+a1X2X1 + a3X2X3 + bX2 - pX3 + rX1 + λ2 ξ3=a3 2 (X2 3 -X2 1 -X2 2)+a1X3X1 + a2X3X2 + bX3 - qX1 + pX2 + λ3 où (p, q, r) sont les composantes du vecteur rotation et (λ1 ,λ2 ,λ3) celles du vecteur translation d un mouvement rigidi ant arbitraire. Une fois ces constantes déterminées, le champ ξτ est une fonction univoque de X :le s c o nditions de fermeture à véri er dans le cas d un domaine multiplement connexe sont donc automatiquement véri ées. II.10 - Déformations thermiques. On se place dans l hypothèse de la transforma- tion in nitésimale. Une plaque de section circulaire, d axe OX3,derayonR,d épais- seur uniforme, repose sur le plan X3 =0le point O étant xé. Sa température initiale est uniforme égale à T0 dans la con guration de référence. On porte la face supérieure de la plaque (X3 = h) àlatempérature uniforme T <T0,cequi induit dans la plaque un champ d écart de température τ(X) par rapport à T0 qui est supposé fonction linéaire de la cote X3.Onsuppose que les déformations thermiquessontdelaforme ετ (X)=ατ(X)1l.Calculerles déplacements des points de la plaque dus à cet écart de température. Comment se transforment les plans d équations X3 = Constante feuillets de la plaque ? Éléments de réponse : • En appliquant les résultats de Ex.II.9 on obtient pour ξτ (X) : ξ1 =a3X1X3-rX2+qX3+λ1 ξ2 =a3X2X3-pX3+rX1+λ2 ξ3=a3 2 (X2 3 -X2 1 -X2 2)-qX1+pX2+λ3 avec a3 = α(T -T0)/h. λ1 = λ2 = λ3 =0. On peut prendre p = q = r =0(rotation d ensemble nulle). Le feuillet X3 = constante = c se transforme en : x1 =X1(1+a3c),x 2 = X2(1+a3c),x 3=c(1+a3 2c)-a3 2( x2 1 (1+a3c)2+ x2 2 (1+a3c)2). On remarque que a3 c = α(T - T0)c/h 1.L équation du transformé du feuillet X3 = c peut donc être simpli ée en : x3 = c - a3 2 (x2 1+x2 2),pa r aboloïde de révolution de som- met (0, 0,c),d a x ee3 et de rayon de courbure au sommet -1/a3 = -h/α(T - T0). Commentaire. Le problème traité se place en fait dans le cadre de l hypothèse des petits déplacements qui sera exposée au chapitre VIII ( 2.1). On peut alors assimiler les surfaces transformées des feuillets de la plaque à des calottes sphériques parallèles, de rayon -h/α(T - T0). C est au chapitre X que seront énoncés et démontrés les théorèmes d unicité pour la solution d un problème d équilibre thermoélastique linéarisé qui fournissent la pleine justi cation des résultats trouvés ici.
Chapitre III Cinématique du milieu continu MOTS CLÉS Ta u x de déformation. Ta u x de déformation volumique. Ta ux de rotation. Vecteur tourbillon. Dérivée particulaire. Te r m e de c o n v ection. Conservation de la masse. Équation de continuité. 87
Chapitre III Cinématique du milieu continu 89 En bref Le point de vue incrémental pour la description de l évolution d un système peut être abordé en description lagrangienne ou en description eulérienne. Dans la description lagrangienne, ladériv ation par rapport au temps s identi e à la dérivée particulaire qui suit l évolution d une grandeur at- tachée à une particule, à un ensemble discret de particules ou, plus géné- ralement, à un domaine matériel (sections 2 et 4). Au plan géométrique, la cinématique du milieu continu se déduit directement de l étude du trans- port convectif, de la transformation et de la déformation entre une con - guration initiale de référence et la con guration actuelle. Ainsi apparaissent naturellement les notions de taux lagrangiens d ex- tension, de dilatation volumique, de déformation, qui désignent les dérivées temporelles des grandeurs correspondantes dé nies dans la comparaison de la con guration actuelle avec la con guration de référence. Ils présentent toutefois l inconvénient de caractériser l évolution in nitésimale à venir à l instant actuel en se référant à l instant initial (section 2). C est dans la description eulérienne, dont il est le fondement, que le point de vue incrémental trouve sa pleine cohérence. À chaque instant l évolution in nitésimale à venir y est dé nie sur la con guration actuelle. Au plan géométrique, le mouvement étant donné par le champ des vi- tesses, c est le gradient de ce champ sur la con guration actuelle qui dé nit localement la transformation in nitésimale. Le tenseur taux de déforma- tion (eulérien), partie symétrique de ce gradient, y caractérise l évolution de la déformation, rapportée à la con guration actuelle qui joue ainsi, à chaque instant, le rôle de con guration de référence. La partie antisymé- trique du gradient du champ de vitesse est le taux de rotation .Ildé nit localement le mouvement in nitésimal de rotation de la matière, auquel s ajoute le mouvement in nitésimal de déformation pure, dé ni par le ten- seur taux de déformation (section 3). La description eulérienne, dé nissant les grandeurs sur la con guration actuelle en fonction des variables géométriques et du temps, n identi e pas les éléments matériels. La dérivation particulaire doit alors y être effec- tuée comme la dérivation par rapport au temps en suivant la particule ou
90 Chapitre III Cinématique du milieu continu l élément matériel concerné .Ce cie xplique la structure des formules cor- respondantes où l on trouve de façon systématique un terme qui exprime la dérivation partielle par rapport au temps les variables géométriques étant maintenues constantes (point ou domaine géométrique gé ), auquel s ajoute un terme de convection .Celui-ciestlacontribution due au trans- port convectif de lapa rtic uleo udu domaine matériel auquel est attachée la grandeur considérée (section 4). Une attention particulière est apportéeàladériv ation particulaire des intégrales de volume en raison du rôle privilégié qui leur revient pour dé - nir les grandeurs physiques relativesàunsystème dans la modélisation du milieu continu. Ainsi la masse d un système s exprime-t-elle comme l inté- grale desamasse volumique. La loi de conservation de la masse se traduit parlan ullité de la dérivée particulaire de cette intégrale. L exploitation de cette équation globale conduit, au plan local, à l équation de continuité qui s exprime, en description eulérienne, par une équation différentielle et l équation de saut associée (section 5).
Chapitre III Cinématique du milieu continu 91 Principales notations Notation Signi cation 1ère formule U(X ,t) gradient lagrangien du champ de vitesse (2.7) grad U(x,t) gradient eulérien du champ de vitesse (3.4) d(x,t) taux de déformation (eulérien) (3.9) ˙θ taux de glissement (3.18) Ω(x,t) taux de rotation (3.21) Ω(x,t) vecteur tourbillon (3.22) d dtou˙ symboles de la dérivation particulaire (2.2) a(x,t) accélération en représentation eulérienne (4.16) W vitesse de propagation (4.30) [[ ]] symbole du saut ou discontinuité (4.32) ρ(x,t) masse volumique dans κt (5.1) ρ0(X) masse volumique dans κ0 (5.8)
92 Chapitre III Cinématique du milieu continu 1P résentation .......................... 93 2C inématique lagrangienne du milieu continu ....... 93 2.1T ransport convectifetdérivationparticulaire ...... 93 2.2T auxdedéformation lagrangien . ............. 95 3C inématique eulérienne du milieu continu ........ 96 3.1P roblématique ....................... 96 3.2D érivée particulaire d un vecteur ............. 96 3.3T auxdedéformation (eulérien) . ............. 97 3.4 Utilisation du tenseur taux de déformation . ...... 98 3.5 Taux de rotation. Taux de déformation volumique . . . 100 3.6 Comparaison avec la déformation linéarisée en transfor- mation in nitésimale . . . ................. 103 3.7 Compatibilité d un champ de taux de déformation . . . 104 3.8M ouvement rigidi ant ................... 105 3.9 Formulation faible de la compatibilité géométrique . . . 106 3.10 Hypothèsedelatransformationin nitésimale ...... 106 3.11 Objectivité. ........................ 107 4D érivées particulaires .....................107 4.1 Dérivées particulaires en description lagrangienne . . . . 107 4.2 Dérivées particulaires en description eulérienne . . . . . 108 4.3D érivée particulaire d une fonction de point....... 109 4.4D érivée particulaire d une intégraledevolume ...... 1 10 4.5D érivationparticulaired une circulation ......... 119 4.6D érivationparticulaired un ux ............. 121 5C onservationdelam a sse ...................122 5.1É quationdecontinuité. . ................. 122 5.2F orme intégrale ....................... 124 5.3 Dérivée particulaire de l intégrale d une densité massique en descriptioneulérienne . ................. 125 Récapitulatifdes formules essentielles .............126 Exercices ..............................130
1 Présentation 93 Cinématique du milieu continu 1P r é s e n t a t i o n Au chapitre précédent on s est attaché à la comparaison entre la con guration de référence et la con guration actuelle, essentiellement au plan géométrique, sans considération de l histoire intermédiaire du système étudié. Comme on l a dit alors, l argument t intervenait dans les diverses expressions comme le paramètre indexant la con guration actuelle. On se propose maintenant de suivre l évolution du système en fonction de la variable temps. On s intéressera d abord à l aspect purement géométrique de cette évolution : c est l étude de la cinématique du milieu continu tridimensionnel. À partir de celle- ci on examinera d autres aspects de cette évolution, notamment en considérant les grandeurs physiques attachées au système ou à ses éléments constitutifs, dans leurs représentations lagrangiennes ou eulériennes, et les dérivations temporelles de ces grandeurs. Sous une forme suggestive, qui se réfère au propos initial concernant le chapitre II, on pourrait décrire l objet du présent chapitre comme le suivi du lm de l évolution du système par la comparaison de ses images vue par vue . 2C inématique lagrangienne du milieu continu 2.1 Transport convectif et dérivation particulaire Dans un référentiel R ,ladescription lagrangienne (chapitre I, section 3) repose sur la donnée de la correspondance qui dé nit, à chaque instant t ,laposition géométrique x de la particule identi ée par sa position X dans la con guration de référence κ0 : x =φ(X,t). (2.1) La fonction φ ,do nto nado nné les conditions de régularité spatiales et tempo- relles (chapitre I, 3.3), explicite le transport convectif de la particule X entre la con guration κ0 et la con guration κt .Danstoute la suite de cette section, on sup- pose que la fonction φ est continueetcontinûment différentiable (C2) sur le domaine considéré au cours de l évolution. La vitesse de la particule X à l instant t est obtenue par dérivation de l équation
94 Chapitre III Cinématique du milieu continu (2.1) par rapport au temps : ˙ x = U (X,t)=∂φ(X,t) ∂t. (2.2) Dans cette formule apparaît la notation générique ˙ a , qui sera utilisée dans toute la suite pour désigner la dérivée par rapport au temps de la grandeur a attachée àu nélém e ntmatériel, en suivant cet élément matériel dans son mouvement. Ici la grandeur a est le vecteur-position x attaché à la particule X .Cette dérivée est appelée dérivée particulaire de la grandeur a .Elle sera également notée da dt. En description lagrangienne la dérivée particulaire s identi e évidemment à la simple dérivée partielle par rapport à la variable temps puisque les variables spatiales yrepèrent l élément matériel concerné. Au chapitre II ( 4.2) a été dé ni le transport convectif d un vecteur élémentaire dM 0 attaché à la particule X dans une transformation quelconque entre κ0 et κt .Le tenseur gradient de la transformation entre les con gurations κ0 et κt : F (X ,t)= φ (X ,t) (2.3) fournit l expression de ce transport convectif dM = F(X,t).dM0 (2.4) qui signi e, du point de vue physique, que les particules matérielles qui constituent le vecteur élémentaire, c est-à-dire in nitésimal, dM 0 en X sont transportées dans κt sur le vecteur in nitésimal dM en x .Ensuivantletransport convectif de ce vecteur entre les instants t et (t +dt) on dé nit la dérivée particulaire ˙ ˜ dM dont l expression résulte immédiatement de (2.4) : ˙ ˜ dM = ˙F(X,t).dM0 . (2.5) Compte tenu de (2.3) on a : ˙F (X,t)= ∂ ∂t ( φ (X,t)) (2.6) qui n est autre que le gradient du champ de vitesse U sur la con guration κ0 : ˙F (X ,t)= U (X ,t) . (2.7) Pour un volume matériel élémentaire dΩ0 dans κ0 ,attaché à la particule X ,le transport convectif dans κt s exprime par : dΩt = J(X,t)dΩ0 J(X,t)=det(F (X ,t)) . (2.8)
2 Cinématique lagrangienne du milieu continu 95 La dérivée particulaire ˙ ˉ dΩt est donc : ˙ ˉ dΩt= ˙ J (X,t)dΩ0 (2.9) où ˙ J (X,t)= ˙ ˆ det (F (X ,t))(1) (2.10) On peut aussi s intéresser au transport d une surface élémentaire : da = J(X,t)tF-1(X,t).dA (2.11) qui fournit l expression de la dérivée particulaire du vecteur aire élémentaire ˙ Ù da= ˙ J(X,t)tF-1(X,t).dA+J(X,t) ˙ ˉ tF-1(X,t).dA (2.12) avec ˙ ˉ tF -1(X,t)= ∂ ∂t(tF -1(X,t)) . 2.2 Taux de déformation lagrangien La formule (2.9) donne l expression du taux de dilatation volumique lagran- gien : ˙ ˉ dΩt dΩ0= ˙ J (X,t) . (2.13) L évolution de la métrique attachée à la particule X dans le transport convectif est mesurée par la dérivée du produit scalaire de deux vecteurs matériels élémentaires attachés à cette particule. De dM .dM =dM0 .(1l+2e(X,t)).dM 0 (2.14) et dM .dM =dM0 .(t φ(X,t). φ(X,t)).dM 0 (2.15) il résulte, par dérivation : d dt(dM .dM )=2dM0 . ˙e(X,t).dM 0 (2.16) avec ˙ e(X,t)=1 2(t U (X,t). φ(X,t)+t φ(X,t). U (X,t)) . (2.17) Le taux de déformation lagrangien ˙ e (X,t) fournit l expression de la déri- vée particulaire du produit scalaire de deux vecteurs matériels élémentaires, forme bilinéaire symétrique sur la con guration de référence κ0 . (1)qui n est pas égal à det ( U(X,t)) !
96 Chapitre III Cinématique du milieu continu Remarques • L argument essentiel dans tous les raisonnements qui précèdent est que, par dé - nition même de la description lagrangienne, la dérivée particulaire s identi e à la dérivée partielle parrapportau temps. • Du point de vue physique, on retiendra que les taux de dilatation et de déformation ontladimension de l inverse d un temps. 3C inématique eulérienne du milieu continu 3.1 Problématique Si l on se réfère à l objet du présent chapitre tel que décrit de façon schématique dans la section 1, l approche ci-dessus de la cinématique n est que partiellement sa- tisfaisante : on s y intéresse aux dérivées particulaires à l instant t de divers éléments matériels, comparant ainsi deux con gurations in niment voisines κt et κt+dt mais on exprime le résultat de cette comparaison sur la con guration de référence κ0. Un point de vue incrémental pur nécessite que ces dérivations soient exprimées sur la con guration actuelle. Ceci conduit à considérer la description eulérienne (chapitre I, section 4). On rappelle que la dé nition eulérienne d un mouvement (chapitre I, 4.1) consiste en la donnée, à chaque instant t,delavitesse U en fonction des coordonnées spa- tiales dans la con guration actuelle κt : U = Ut(x,t) . (3.1)Dans toute la suite de cette section la fonction U t est supposée continue et conti- nûment différentiable. 3.2 Dérivée particulaire d un vecteur Dans le cadre de la description eulérienne, l objectif est ici d exprimer la dérivée particulaire ˙ ˜ dM ,dé nie au paragraphe 2.1, sous forme purement eulérienne. En rapprochant les expressions(2.4) et (2.5, 2.7) pour dM et ˙ ˜ dM respectivement, il vient ˙ ˜ dM = U(X.t).(F-1(X,t)).dM . (3.2)Cette formule, qui conserve les variables lagrangiennes n apparaît pas encore constituer l expression cherchée. Il faut alors rappeler la relation entre les descriptions lagrangienne et eulérienne du champ de vitesse U : U (X ,t)=U t (x,t) avec x =φ(X,t). (3.3)
3 Cinématique eulérienne du milieu continu 97 En notant, comme indiqué au chapitre II ( 5.3), par grad U (x,t) le gradient de la fonction U t par rapport à lav ariablex sur κt ,c est-à-dire le gradient eulérien du champ de vitesse ,ondéduit de (3.3) : ∀dX∈κ0, dU = U (X,t).dX =gradU (x,t).dx =gradU (x,t). φ(X,t).dX (3.4) d où U (X,t) .F-1 (X ,t)=grad U (x,t) avec x =φ(X,t). (3.5) Il en résulte que (3.2) se met dans la forme purement eulérienne : ˙ ˜ dM =gradU (x,t) . dM (3.6) Une démonstration plus intuitive de cette formule essentielle peut être donnée en remarquant que, comme indiqué du chapitre I ( 4.1), la description eulérienne peut être envisagée à chaque instant comme une description lagrangienne qui prend la con guration actuelle gée comme con gurationderéférence. La formule lagran- gienne (2.5, 2.7) fournit alors le résultateulériencherché (3.6) en substituant à dM 0 et U (X,t) respectivement dM et grad U (x,t) . 3.3 Taux de déformation (eulérien) Àpartirdelaformule (3.6) il est aisé d exprimer la dérivée particulaire du produit scalaire dM . dM introduite au paragraphe 2.2 : d dt (dM . dM )=dM . (grad U (x,t)+tgrad U (x,t)) . dM (3.7) que l on met sous la forme d dt (dM . dM )=2dM .d(x,t) . dM (3.8) en introduisant le tenseur symétrique d (x,t) d (x,t)= 1 2 (grad U (x,t)+tgrad U (x,t)) . (3.9) Le tenseur d (x,t) est le taux de déformation (eulérien)(2).Onv oits u rla formule (3.9) que ce tenseur n est autre que la partie symétrique du gradient (2)En l absence de précision, l expression taux de déformation désigne le tenseur d (x,t) .
98 Chapitre III Cinématique du milieu continu eulérien du champ de vitesse U .Dansunrepère cartésien orthonormé ses com- posantes ont la forme simple : dij=1 2 ∂Ui ∂xj + ∂Uj ∂xi également notées dij = 1 2(Ui,j + Uj,i) . (3.10) Les expressions des composantes de d (x,t) en coordonnées cylindriques ou sphé- riques sont données dans le formulaire à la n du présent chapitre. Le tenseur taux de déformation d (x,t) fournit, par (3.8), l expression de la dérivée particulaire du produit scalaire de deux vecteurs matériels élémentaires, forme bili- néaire symétrique sur la con guration actuelle κt .Cette expression est l homologue de (2.16) ; on ne manquera pas de remarquer que les expressions de ˙ e(X,t) et d(x,t) en fonction de U (X ,t) et grad U (x,t) ne sont pas semblables. Il est utile pour cer- taines applications (cf. chapitre V, 4.1) d établir la relation entre ˙e (X ,t) et d (x,t) : en rapprochant (2.16) et (3.8) compte tenu de (2.4) on obtient d(x,t)=tF -1 (X,t). ˙ e(X,t).F-1 (X,t) oùx =φ(X,t). (3.11) 3.4 Utilisation du tenseur taux de déformation En exploitant la présentation de la description eulérienne comme une description lagrangienne à l instant t sur la con guration actuelle gée , on pressent que l uti- lisation du tenseur taux de déformation d (x,t) sera, dans le mouvement in nitésimal entre les instants t et (t +dt) ,s e mblableàcelle du tenseur des dilatations C (X ,t) entre les con gurations κ0 et κt . Plus précisément on dé nit, à partir du tenseur taux de déformation, le taux d extension et le taux de glissement. Ta u x d extension On considère un vecteur élémentaire dM orienté selon le vecteur unitaire e1 d une base quelconque au point M dans κt .Ondésigne,comme au chapitre II ( 4.3), par ds la longueur de ce vecteur : dM=e1ds (3.12) ds2 =dM.dM . (3.13) Dans le mouvement in nitésimal entre κt et κt+dt au point M ,lev ecteur dM est transporté sur le vecteur (dM + ˙ ˜ dM dt) de longueur (ds + ˙ i ds dt) .Pardérivation de (3.13) d une part, et en appliquant (3.8) compte tenu de (3.12) d autre part, on obtient ds˙ i ds =(ds)2 e1 .d(x,t) .e1 (3.14)
3 Cinématique eulérienne du milieu continu 99 d où l expression du taux d extension ou taux d allongement unitaire selon la di- rection e1 au point M de κt : ˙ i ds ds = d11 (x,t) (3.15) (on rappelle que d11 (x,t)=e1 .d(x,t) .e1) . Ta u x de glissement Figure 1 Ta ux de glissement de deux directions orthogonales dans κt On considère deux vecteurs élémentaires dM 1 et dM 2 orientés selon deux direc- tions orthogonales au point M dans κt .Le sv ecteurs unitaires e1 et e2 dé nissent les orientations de ces vecteurs ( gure 1). Dans le mouvement in nitésimal entre κt et κt+dt au point M , ces vecteurs sont transportés respectivement sur les vecteurs (dM1+ ˙ ˜ dM1dt)et(dM2+ ˙ ˜ dM 2 dt) qui font entre eux l angle (π/2 - ˙θ dt).Pardéri- vation de dM1 .dM2 =(e1 ds1).(e2 ds2) (3.16) et en appliquant (3.8), il vient : d dt (dM 1 . dM 2)=ds1ds2 ˙θ =2ds1ds2 e1 .d(x,t) .e2 . (3.17) D où l expression du taux de glissement ˙θ desdeux directions orthogonales selon les vecteurs unitaires e1 et e2 au point M de κt : ˙θ =2d12 (x,t); (3.18) on rappelle que d12 (x,t)=e1 .d(x,t) .e2 .
100 Chapitre III Cinématique du milieu continu Directions principales Le taux de déformation d (x,t) ,tenseureuclidien symétrique réel admet dans κt un trièdreorthogonal de directions principales (cf. annexe I, 5.10). Dans la base orthonormée de ses directions principales, d (x,t) s écrit : d(x,t)=d1(x,t)e1 ⊗e1 +d2(x,t)e2 ⊗e2 +d3(x,t)e3 ⊗e3 (3.19) où d1 (x,t) ,d 2 (x,t) et d3 (x,t) sont les taux d extension dans les trois directions principales. Il résulte immédiatement de l application de la formule (3.18) que pour chaque couple de directions principales au point M on a ˙θ =0.Autrement dit : un trièdre de vecteurs matériels élémentaires attachés au point M ,colinéaires à trois directions principales orthogonales de d (x,t) ,demeure orthogonal dans la transformation in - nitésimal entre les instants t et (t +dt) ;sonorientation est évidemment conservée. La réciproque de cette propriété découle directement de(3.18) (comme au chapitre II, 3.2). Il s agit d une propriété caractéristique des directions principales du taux de déformation. Dans le mouvement à l instant t dé ni par le champ de vitesse U = U t(x,t) sur κt ,letrièdr eorthogonal des directions principales de d (x,t) en M demeure orthogonal. En outre, si l on considère en M un vecteur dM (i) de κt dirigé selon une direction principale de d(x,t),parexemple la direction ei ,onaévidemment à partir de (3.19) : d(x,t) . dM (i) = di(x,t)dM (i) (3.20) qui rappelle que les directions principales de d (x,t) en M sont les directions propres de l application linéaire qui lui est associée ( gure 2). 3.5 Taux de rotation. Taux de déformation volumique Ta u x de rotation La formule (3.9) montre que la partie symétrique du gradient du champ de vi- tesse est le taux de déformation en M .Ilestnatureld introduire, pour compléter la décomposition de grad U (x,t) ,lapartieantisymétrique de ce tenseur : Ω (x,t)= 1 2 (grad U (x,t) - tgrad U (x,t)) . (3.21)
3 Cinématique eulérienne du milieu continu 101 Ce tenseur antisymétrique est appelé taux de rotation en M (la terminologie sera justi ée dans la suite). Illuiestassocié le vecteur Ω (x,t) ,appelévecteur tourbillon du champ de vitesse en M ,dé ni par : ∀dM ∈ κt ,Ω(x,t).dM =Ω(x,t)∧dM (3) (3.22) On véri e, par exemple en calculant les composantes de Ω (x,t) dans un repère orthonormé, que : Ω (x,t)= 1 2rotU(x,t). (3.23) Avec cette décomposition, la formule de dérivation particulaire d un vecteur (3.6) devient : ˙ ˜ dM =d(x,t).dM +Ω(x,t)∧dM . (3.24) En particulier, si l on considère un vecteur élémentaire dM (i) colinéaire à une direction principale ei du taux de déformation d (x,t) au point M on a, en application de (3.20) ˙ ˜ dM(i) = di(x,t)dM(i) +Ω(x,t)∧ dM(i) . (3.25) L interprétation physique du vecteur tourbillon et la justi cation de la terminologie tauxderotation découlent directement de l équation (3.25). En effet, considérant un trièdre de vecteurs matériels élémentaires dM 1 , dM 2 , dM 3 attachés à M , colinéaires à trois directions principales orthogonales (e1 ,e 2,e 3) de d (x,t) ,onaen application de (3.25) : ˙ ˜ dM1 = d1(x,t)dM1 +Ω(x,t)∧ dM1 ˙ ˜ dM2 = d2(x,t)dM2 +Ω(x,t)∧ dM2 ˙ ˜ dM3 =d3(x,t)dM3+Ω(x,t)∧dM3 . (3.26) Ces trois équations montrent que, dans la transformation in nitésimale entre les instants t et (t +dt) ,letrièdre de vecteurs matériels ,qui demeureo rthogonal comme on l a déjà démontré, subit la rotation in nitésimale dé nie par le vecteur Ω (x,t)dt tandis que chacun des vecteurs matériels considérés subit l allongement unitaire di (x,t)dt .Autrement dit : Ω(x,t) est le vecteur vitesse de rotation instantanée du trièdre des directions principales de d(x,t),àl instant t dans le transport par le mouvement. (3)Dans toute base orthonormée directe (e1 ,e2 ,e3) la relation entre Ω (x,t) et Ω (x,t) s explicite sous la forme : Ω=pe1+qe2+re3 ,Ω= -(p(e2⊗e3-e3⊗e2)+q(e3⊗e1-e1⊗e3)+r(e1⊗e2-e2⊗e1)) ouΩ= -(Ω23e1+Ω31e2+Ω12e3).
102 Chapitre III Cinématique du milieu continu On peut aussi introduire la notion de mouvement moyen de la matière en M à l instant t : c est le mouvement rigidi ant dans lequel le torseur des quantités de mouvement (cf. chapitre IV, 7.2) d un petit volume sphérique δΩt ,decentre M et de diamètre δ est identique à celui du même petit volume dans le mouvement réel à l instant t. P désignant le point courant de δΩt et αi les coordonnées de MP selon les directions principales de d(x,t) de vecteurs unitaires ei ,ona(aupremierordreenδ): U(P, t)=U(x,t)+Ω(x,t) ∧ MP + i αidi(x,t) ei ; on en déduit que le mouvement rigidi ant moyen en M à l instant t est dé ni par le champ de vitesse : U(P, t)=U(x,t)+Ω(x,t) ∧ MP . Le vecteurtourbillon Ω(x,t) apparaît alors comme le vecteur vitesse de rotation moyenne instantanée delam atièr ee nM . Ω(x,t) peut être mis en évidence expérimentalement au moyen du vorticimètre, petit équipage ottant à la surface d un écoulement de uide dont la rotation permet de visualiser le vecteur tourbillon. La dé nition (3.22, 3.23) adoptée ici pour le vecteur tourbillon est classique. On dé nit aussi le vecteur vorticité (vorticity vector dans la terminologie anglo-saxonne), égal au rotationnel de U ,do ntl usage tend actuellement à se substituer à celui du vecteur tourbillon. Ta u x de dilatation volumique Figure 2 Trièd r e d evecteurs matériels colinéaires aux directions principales de d (x,t) Des équations (3.26) résulte également l expression du taux de dilatation volu- mique. Le volume dΩt du parallélépipède construit, en M ,s u rle smêm es vecteurs matériels dM 1 , dM 2, dM 3 dans κt ( gure 2) est le produit mixte (4) : dΩt =(dM1,dM2,dM3) (3.27) d où ˙ ˆ dΩt=(˙ ˜ dM1,dM2,dM3)+(dM1, ˙ ˜ dM2,dM3)+(dM1,dM2, ˙ ˜ dM3). (3.28) (4)L ordre des trois vecteurs est choisi de manière à constituer un trièdre direct.
3 Cinématique eulérienne du milieu continu 103 Compte tenu de (3.26), en simpli ant les notations, (3.28) se transforme en : ˙ ˆ dΩt =(d1+d2+d3)(dM1 , dM2 , dM3)+(Ω∧dM1 , dM2 , dM3) +(dM1 ,Ω∧ dM2 , dM3)+(dM1 , dM2 ,Ω∧ dM3) (3.29) Les trois derniers termes de (3.29) sont nuls puisque les vecteurs dM 1 , dM 2 et dM 3 sont mutuellement orthogonaux ; d où l expression du taux de dilatation volu- mique : ˙ ˉ dΩt dΩt = tr (d (x,t)) =divU (x,t) (3.30) Une conséquence immédiateetimpo rta ntedec erés ultate stqu u nm o u v e m e nt dans lequel il n y a pas de variation de volume à l instant t au point M (mouve- ment isochore en M à l instant t)estcaractérisé par la condition div U (x,t)=0. (3.31) Ce sera le cas, en particulier, des écoulements de uides (modélisés comme) in- compressibles et des évolutions de solides, tels que le caoutchouc, soumises à la liaison interne d incompressibilité (cf. chapitre VII, 4.3), pour lesquels on écrira : ∀x∈ Ωt , divU(x,t)=0. (3.32) En rapprochant l expression (3.30) du taux (eulérien) de dilatation volumique et le résultat (2.13) obtenu par le taux lagrangien, on obtient entre ces deux grandeurs la relation : tr d (x,t)= ˙ J(X,t)J-1 (X,t) oùx=φ(X,t) (5). (3.33) Remarque Les résultats qui précèdent concernant la vitesse de rotation du trièdre des directions princi- pales matérialisées et le taux de dilatation volumique con rment la signi cation géométrique des terminologies rotationnel et divergence . On prendra garde toutefois au facteur 1/2 dans la dé nition (3.23) du vecteur tourbillon. 3.6 Comparaison avec la déformation linéarisée en transformation in nitésimale La comparaison ( gure 3) des formules (3.8, 3.9, 3.15, 3.18, 3.21 et 3.30) avec les formules linéarisées écrites, dans l hypothèse de la transformation in nitésimale, au chapitre II (section 5) s impose. La similitude est évidente. (5)On peut rapprocher ce résultat de l expression (3.5) de grad U (x,t) .Ainsiona: grad U (x,t)=( ∂ ∂t φ(X,t)).( φ(X,t))-1 et div U (x,t)=( ∂ ∂t det φ(X,t))/det φ(X,t) .
104 Chapitre III Cinématique du milieu continu Cette constatation ne doit pas surprendre. En effet, l opération de dérivation à laquelle il est procédé ici correspond à une transformation in nitésimale à partir de la con guration actuelle prise comme référence. Mais il convient de bien noter que la validité des formules relatives à ε est liée à l hypothèse ξ 1 de la transformation in nitésimale. Ceci précise la signi cation du taux de glissement ˙θ vis-à-vis du glissement θ introduit au chapitre II ( 3.2). Ta u x de déformation Déformation linéarisée d =(grad U +tgrad U)/2 ε =( ξ +t ξ)/2 Ω =(grad U -tgrad U)/2 w =( ξ -t ξ)/2 ˙ ¸ dM .dM =2dM .d.dM dM.dM -dM0 .dM 0 2dM0 .ε.dM 0 ˙ Ù ds/ds = d11 (ds - ds0)/ds0 ε11 ˙ i dΩt/dΩt =divU (dΩt - dΩ0)/dΩ0 div ξ ˙θ =2d12 θ 2ε12 Figure 3 Ta u x de déformation et déformation linéarisée 3.7 Compatibilité d un champ de taux de déformation Le problème posé est analogue à celui examiné au chapitre II (section 6). Étant donné un champ de tenseurs du second ordre symétriques dé ni sur la con guration κt ,àquelles conditions ce champ constitue-t-il véritablement un champ de taux de déformation, c est-à-dire dérive-t-il d un champ de vitesse U(x,t) par les formules (3.9) ? Comme on l a signalé ci-dessus, la formule (3.9) reliant d(x,t) à U(x,t) est iden- tique à la formule (5.2) du chapitre II reliant, dans l hypothèse de la transformation in nitésimale, la déformation linéarisée ε(X,t) au déplacement ξ(X ,t).Leproblème de la compatibilité d un champ de taux de déformation se trouve donc résolu par simple changement de notations à partir des résultats du chapitre II (section 6). L espace étant rapporté à un repère cartésien orthonormé, les conditions néces- saires et suffisantes (si le domaine d étude est simplement connexe) pour la compati- bilité d un champ de taux de déformation s écrivent : dij,k +dk ,ij -dik,j -dj ,ik =0 i,j,k, =1,2,3 (3.34)
3 Cinématique eulérienne du milieu continu 105 ou encore : 2 d23,23 = d33,22 + d22,33 et permutation circulaire , d13,23 - d12,33 - d33,21 + d32,31 =0et permutation circulaire . (3.35) On insistera à nouveausu rlefait que ces formules concernent, en toute géné- ralité ,letenseurtaux (eulérien) de déformation. Elles diffèrent en cela des résultats homologues énoncés au chapitre II qui nesontvalables que dans le cadre de la trans- formation in nitésimale pour la déformation linéarisée. L intégration d un champ de taux de déformation compatible d(x,t) pour construire les champs de vitesse U(x,t) dont il dérive se fait par la méthode indi- quée au chapitre II ( 6.2) pour l intégration d un champ de déformation linéarisée ε(X,t) ;lete n s e u rta ux de rotation Ω(x,t) joue ici, vis-à-vis de d(x,t),lerôlede w(X,t) vis-à-vis de ε(X,t). Le champ U(x,t) est déterminé à un champ de vitesse rigidi ant près. 3.8 Mouvement rigidi ant On suppose ici que le mouvement dé ni à l instant t par le champ de vitesse U sur Ωt est rigidi ant sur une partie Ω t de Ωt ,c est-à-dire que, sur Ω t ,U(x,t) est de la forme U (x,t)=U 0 (t)+ω (t) ∧ OM (3.36) ou encore, en introduisant ω (t) ,lete n s e u rdu second ordre, antisymétrique, associé au vecteur ω (t) (cf. 3.5) : ∀x ∈ Ωt ,U(x,t)=U0(t)+ω(t).OM . (3.37) Il résulte de façon évidente de (3.37) que ∀x∈Ω t⊂Ωt, grad U (x,t)=ω (t) d (x,t)=0,Ω(x ,t)=ω (t) . (3.38) En d autres termes si le mouvement de Ω t à l instant est rigidi ant, le champ de taux de déformation sur Ω t est nul. (On remarque qu en conséquence de (3.11) le champ de taux lagrangien de déformation ˙ e est également nul sur Ω 0.) Pour la réciproque on suppose qu à l instant t ,s u run domaine Ω t le champ de taux de déformation d est connu, identiquement nul : ∀x∈Ω t,d (x,t)=0. (3.39) Alors, en appliquant à ce champ d sur Ω t la méthode d intégration rappelée au paragraphe précédent, on constate que le champ est évidemment compatible, et dé- rive du champ de vitesse nulàu nm o uvement rigidi ant près, c est-à-dire que le mouvement de Ω t àl instant t est un mouvement rigidi ant .
106 Chapitre III Cinématique du milieu continu 3.9 Formulation faible de la compatibilité géométrique On a vu au chapitre II ( 6.2) comment les formules exprimant la compatibilité d un champ de déformation linéarisée ε,ouicid un champ de taux de déformation d,sonthomologues de la condition rotationnel nul pour qu un champ de vecteurs soit un champ de gradient. La formulationfaiblede cette dernière condition est connue en analyse fonctionnelle. Sous réserve que les espaces fonctionnels sur lesquels on opère soient convenablement dé nis, on établit la condition nécessaire et suffisante suivante pour qu un champ de vecteur u dé ni sur un volume Ω de R3 soit un champ degradient: ∀v àsupport compact sur R3 , div v =0sur Ω, v(x) .n(x)=0sur ∂Ω (n(x): normale extérieure au point courant de ∂Ω) . Ω v(x) .u(x) dΩ =0. (3.40) La formulation faible des conditions (3.34) pour la compatibilité d un champ de tenseurs symétriques d(x,t) dé ni à l instant t sur le volume Ωt dans la con guration κt est analogue : le champ d est compatible, c est-à-dire dérive par (3.9) d un champ de vecteur U dé ni sur κt ,sietseulementsi ∀σ symétrique , àsupport compact sur R3 , divσ=0surΩt, σ(x) .n(x)=0sur ∂Ωt (n(x): normale extérieure au point courant de ∂Ωt) . Ωt σ(x):d(x,t) dΩt =0. (3.41) L interprétation mécanique des champs σ qui permettent, dans cette formulation, de carac- tériser par dualité les champs d compatibles, apparaîtra au chapitre V ( 3.13) à travers la modélisation des efforts intérieurs par les contraintes de Cauchy. Dans le même ordre d idées on peut remarquer qu en conséquence directe de (3.40) on écrira la formulation faible de la condition de compatibilité d un champ de tenseurs F (X ,t) dé ni à l instant t sur un volume Ω0 dans la con guration κ0 ,c e st-à-dire la condition nécessaire et suffisante pour que F (X ,t) soit le gradient d une fonction vectorielle φ(X ,t) (cf. chapitre II, 6.1) : ∀B àsupport compact sur R3 , divB=0surΩ0 , B(X) .N(X)=0sur ∂Ω0 (N (X): normale extérieure au point courant de ∂Ω0) . Ω0 tB(X):F (X ,t) dΩ0 =0. (3.42) L interprétation mécanique des champs B considérés ci-dessus apparaîtra également au cha- pitre V ( 4.2). 3.10 Hypothèse de la transformation in nitésimale Dans l hypothèse de la transformation in nitésimale on a montré (chapitre II, 5.3) qu en ne conservant que les termes du premier ordre on peut confondre les gradients pris sur les con gurations initiale et actuelle en des points homologues. On peut alors, au premier ordre :
4 Dérivées particulaires 107 • d une part assimiler d(x,t) à ( U(X ,t)+t U(X ,t))/2= ˙ ε(X,t) avec x = φ(X,t), • d autre part, à partir de (2.15) dans laquelle φ(X ,t)=1l + ξ(X ,t), assimiler ˙ e(X ,t) à ( U(X ,t)+t U(X ,t))/2. On peut donc, dans cette hypothèse, confondre au premier ordre les taux de déforma- tion lagrangien et eulérien en des points homologues de κ0 et κt . 3.11 Objectivité Comme on l a dit au chapitre I ( 2.4), la vitesse U n est pas une grandeur objective. En effet les vitesses U(x,t) et U ∗(x∗ ,t) observées pour une même particule à l instant t située en x dans R et en x∗ dans R∗ (x et x∗ points géométriquement coïncidants de R et de R∗ à l instant t)sontliéesparlaformule de composition des vitesses : U(x,t)=U ∗(x∗ ,t)+U e(x∗ ,t) (3.43) où U e(x∗ ,t) est la vitesse du point x∗ de R∗ par rapport au point x de R dé nie par le mouvement rigidi ant de R∗ par rapport à R à l instant t. L objectivité du tenseur taux de déformation résulte de l objectivité du scalaire d dt(dM .dM ) qui exprime le taux de variation du produits c a l a ire dM.dM àt r a v e rs la formule d dt (dM .dM )=2dM .d(x,t) . dM où dM et dM sont eux-mêmesobjectifs. En revanche le gradient du champ de vitesse et le taux de rotation ne sont pas objectifs : ob- servés dans les référentiels R et R∗ à l instant t les gradients sont respectivement grad U(x,t) et grad U ∗(x∗ ,t) liés par la relation (3.44) conséquence de (3.43) : grad U(x,t)=grad U ∗(x∗ ,t)+Ωe(t) (3.44) où Ωe(t) désigne le tenseur antisymétrique associé au vecteur Ωe(t),rotation instantanée de R∗ par rapport à R à l instant t.Demême: Ω(x,t)=Ω∗(x∗ ,t)+Ωe(t) . (3.45) Cesrésultats sont conformes à l intuition : ˙ Ù ds est objectif mais ˙ ˆ dM ne l est pas en raison de la rotation relative de R∗ par rapport à R à l instant t. 4D é r ivées particulaires 4.1 Dérivées particulaires en description lagrangienne On a introduit au paragraphe 2.1 la notion de dérivée particulaire d une gran- deur attachée à une particule matérielle, ou à un élément matériel (ligne, surface, volume). Du point de vue lagrangien, une telle grandeur, quelle qu en soit la nature (scalaire, vectorielle, tensorielle), est dé nie en fonction de la particule ou de l ensemble de particules concerné et du temps (chapitre I, 3.1).
108 Chapitre III Cinématique du milieu continu Lorsque la grandeur est attachée à une particule ou à un nombre discret de par- ticules, il s agit d une fonction : B = B(X,t) (4.1) ou B = B(Xα,Xβ,... ,t) (4.2) où X désigne le vecteur-position de la particule dans κ0 (resp. X α ,Xβ ,... pour les particules en nombre discret). Pour une grandeur attachée à un système matériel, on doit considérer l intégrale de volume, de surface ou de ligne prise sur le domaine (Ω0 ,Σ0 ou L0)occupé par le système dans la con guration κ0,d une fonction B0(X,t) qui est la densité volumique, surfacique ou linéique de la grandeur concernée dans la con guration de référence : I = I(Ω0 ,t)= Ω0 B0(X,t)dΩ0 (4.3) ou I = I(Σ0 ,t)= Σ0 B0(X,t)dΣ0 (4.4) ou I = I(L0,t)= L0 B0(X ,t)dL0 (4.5) La dérivée particulaire s obtient alors, dans tous les cas, par simple dérivation partielle par rapport au temps. (B(X ,t) et B0(X,t) sont supposées continues et continûment différentiables par rapport à t). ˙ B=∂B ∂t (4.6) ˙I=∂I ∂t = ∂B0 ∂t. (4.7) 4.2 Dérivées particulaires en description eulérienne Le calcul des dérivées particulaires en description eulérienne n est évidemment pas aussi simple. Les grandeurs sont en effet dé nies en fonction des positions géo- métriques dans la con guration κt,etdute mpst (chapitre I, 4.1) : fonctions de point (ou de points), intégrales de densités volumiques, surfaciques ou linéiques dans la con guration actuelle. On a ainsi : B = b(x,t) (4.8)
4 Dérivées particulaires 109 ou B = b(xα ,xβ ,... ,t); (4.9) et aussi : I = i(Ωt,t)= Ωt b(x,t)dΩt (4.10) I = i(Σt,t)= Σt b(x,t)dΣt (4.11) I = i(Lt,t)= Lt b(x,t)dLt (4.12) On doit alors dériver ces fonctions ou ces intégrales par rapport au temps en suivant la particule ou l ensemble de particules concerné. Plusieurs méthodes peuvent être employées pour procéder au calcul de ˙ Bou ˙I àpa rtirde sfo r m ules de dé nition (4.8) à (4.12) : on doit procéder à la dérivation totale par rapport au temps en considérant que les variables x ou (xα ,xβ ,...) dans (4.8, 4.9), et les domaines Ωt ,Σt,Lt dans (4.10 à 4.12) dépendent du temps par les formules du transport convectif. Une méthode sûre (mais parfois assez lourde) pour ce type de calculs consiste à se ramener en description lagrangienne où l on applique les résultats du paragraphe 4.1, et à repasser ensuite en description eulérienne pour obtenir la forme eulérienne cherchée. Les paragraphes suivants sont consacrés à la dérivationpa rtic ulaire, en description eulérienne, pour des grandeurs dé nies par (4.8, 4.10 à 4.12). 4.3 Dérivée particulaire d une fonction de point La grandeur B,dé nie par (4.8) en description eulérienne, s écrit aussi en descrip- tion lagrangienne : B = b (x,t)=b(φ(X ,t),t) = B(X,t) (4.13) d où, en application de (4.6) avec les hypothèses de continuité et différentiabilité sur betφ: ˙ B=∂b ∂t +(grad b) . ∂φ ∂t soit encore pour ˙ B également notée db dt:
110 Chapitre III Cinématique du milieu continu ˙ B = db(x,t) dt = ∂b(x,t) ∂t +(grad b(x,t)) .U(x,t) (6) (4.14) (formule valable quel que soit l ordre de la grandeur tensorielle B). La formule (4.14) s écrit aussi en introduisant la dérivée de b selon le vecteur U (cf. annexe I, 6.2) : ˙ B = db(x,t) dt = ∂b(x,t) ∂t +DUb(x,t). (4.15) La structure des formules (4.14) et (4.15) met en évidence que la dérivée par- ticulaire de la grandeur B en description eulérienne est la somme de deux contri- butions. Le premier terme ∂b(x,t) ∂t correspond à la variation de b au point géomé- trique x en fonction du temps : il correspond à la seule cause de variation de B si la particule est immobile à l instant t dans le référentiel considéré. Le second terme, DU b (x,t)=( grad b (x,t)) .U(x,t) correspond à la variation de la grandeur B due au mouvement de la particule dans le référentiel, c est-à-dire à son transport convectif : il constitue la seule cause dev ariation de B si le champ b est stationnaire à l instant t .Cesecond terme, appelé terme de convection ,dépend linéairement de U (x,t) . La formule (4.14) permet notamment de calculer l accélération d une particule en description eulérienne : a (x,t)= dU(x,t) dt = ∂U(x,t) ∂t +gradU(x,t) .U(x,t) (7) (4.16) soit, en coordonnées cartésiennes orthonormées : ai=∂Ui ∂t +∂Ui ∂xjUj=∂Ui ∂t +Ui,jUj . 4.4 Dérivée particulaire d une intégrale de volume Soit I dé nie par (4.10) en description eulérienne. En appliquant les résultats des chapitres I et II, on peut ramener l intégration sur le volume Ω0 occupé par les particules dans la con guration de référence κ0 : I = i (Ωt ,t)=I(Ω0,t)= Ω0 b(φ(X ,t),t)J(X,t)dΩ0 (4.17) (6)On rappelle que ∂φ(X ,t) ∂t = U(X ,t)=U t(x,t) noté U(x,t),oùx = φ(X ,t). (7)On véri era que l on peut aussi transformer cette expression en : a(x,t)= ∂U ∂t +grad U 2 2 + (rot U) ∧ U ,particulièrement utile en mécanique des uides.
4 Dérivées particulaires 111 qui est formellement identique à (4.3) avec pour densité volumique à l instant t dans la con gurationderéférence κ0 : B0(X ,t)=B(X ,t)J(X,t) où B(X,t) est dé nie par (4.13). Cas classique : fonctions continues et continûment différentiables. On suppose la continuité et la continue différentiabilité des fonctions B et φ sur Ω0,d oùcelles de b et U sur Ωt. Approche lagrangienne On obtient par dérivation sous le signe somme de la formule (4.17) : ˙I = Ω0 ∂B(X ,t) ∂t J(X,t)dΩ0 + Ω0 B(X,t) ˙ J(X,t)dΩ0 . Cette formule peut maintenant être écrite enreprésentationeulérienne (intégrale sur Ωt)comptetenudeceque,par(2.9)et(3.30) : ˙ J(X ,t)dΩ0 = ˙ ˉ dΩt =divU(x,t)dΩt ; (4.18) on obtient ainsi avec (4.14) en allégeant les notations : ˙I=d dt Ωt bdΩt = Ωt db dt+bdivU dΩt (4.19) ou encore : ˙I = Ωt ∂b ∂t +(gradb).U+b div U dΩt . (4.20) Les formules ci-dessus sont valables quel que soit l ordre de la grandeur tensorielle B. Elles mettent en évidence que, formellement, la dérivée particulaire de I s obtient en effectuant la dérivation particulaire ,s ouslesigne somme de l intégrale eulérienne, de la mesure b dΩt : I=d dt Ωt bdΩt = Ωt ˙ ˘ b dΩt (4.21) avec ˙ ˘ bdΩt = db dtdΩt+b ˙ ˉ dΩt = db dt+bdivU dΩt . (4.22) On peut aussi remarquer que, dans le cas où B est une grandeur scalaire, on sait que : div(bU)=(gradb) .U + b div U ; (4.23)
112 Chapitre III Cinématique du milieu continu cette formule se généralise sans peine (par exemple en explicitant les opérations) au cas d une grandeur B vectorielle ou tensorielle d ordre quelconque sous la forme : div(b ⊗ U)=(gradb).U + b div U . (4.24) En transformant (4.20) on obtient pour ˙I la nouvelle forme : ˙I = Ωt ∂b ∂t +div(b ⊗ U) dΩt (8) (4.25) d où, en application de la formule de la divergence, (annexe I, 6.3) ˙I=d dt Ωt bdΩt = Ωt ∂b ∂t dΩt + ∂Ωt(b⊗U).da (4.26) où da = n da désigne le vecteur-aire élémentaire dans κt. On retrouve, dans la formule (4.26), la structure mise en évidence, dans le cas d une grandeur B dé nie par une fonction, sur les formules (4.14) et (4.15). La dérivée particulaire ˙I est, en effet, à nouveau la somme de deux contributions. Le premier terme Ωt ∂b(x,t) ∂t dΩt correspond à la variation de l intégrale I = i(Ωt ,t) en fonction du temps sur le volume Ωt considéré comme gé : seule cause de variation de I en l absence de variation du domaine Ωt ,c est-à-dire si le domaine Ωt est stationnaire à l instant t .Les econd terme ∂Ωt (b (x,t) ⊗ U (x,t)) da correspond à la variation de l intégrale I = i (Ωt,t) due au transport convectif du domaine Ωt :c est,notamment la seule cause de variation de I si le champ b est stationnaire sur Ωt à l instant t . Ce terme, appelé encore terme dec o n v e ction ,dépend linéairement du champ U . On remarque que c est bien le transport convectif du domaine Ωt qui engendre ce terme : en particulier, le terme de convection peut être nul sans que le champ U soit nul sur Ωt à l instant t . ˙I=d dt i(Ωt,t)= ∂ ∂t i (Ωt,t)+∂Ωt i (Ωt,t) (4.27) dérivée particulaire = dérivée sur Ωt gé + terme de convection Approche eulérienne L analyse, qui vient d être faite, de la structure de la formule (4.26) et la remarque nale révèlent la démarche eulérienne et guident la démonstration directe illustrée sur la gure 4. L idée en est, en suivant le volume matériel entre les instants in niment voisins t et (t +Δt),defaire le bilan de l intégrale attachée à ce volume. Celui-ci se compose, au premier ordre en Δt (> 0),dedeuxtermes additifs dus : (8)On rappelle que si b est un scalaire, (b ⊗ U) n est autre que le produit bU.
4 Dérivées particulaires 113 Figure 4 Dérivée particulaire d une intégrale de volume • pour les points géométriques situés à la fois dans Ωt et Ωt+Δt,àlav a riation de la grandeur intégrée en fonction du temps (à x xé), • pour les points géométriques situés dans Ωt et qui n appartiennent plus à Ωt+Δt, et pour les points géométriques situés dans Ωt+Δt et qui n appartenaient pas à Ωt ,àla perte ouau gain correspondant sur la grandeur intégrée. Au premiero rdre en Δt,lepr e mie rdeces deux termes fournit la contribution égale à : ΔI1 =Δt Ωt ∂b ∂t dΩt (4.28) dans la variation de l intégrale I,etles e c o nd,quic oncerne le volume algébrique balayé par la frontière ∂Ωt,fournitla contribution : ΔI2 =Δt ∂Ωt b(U .n)da =Δt ∂Ωt(b ⊗ U). da . (4.29) Par passage à la limite sur ΔI1+ΔI2 Δt quand Δt 0,onretrouvelaformule (4.26) pour ˙I. Cas où b et U sont continues et continûment différentiables, par morceaux. Les formules précédentes ont été établiesdans les hypothèses de continuité et de continue différentiabilité des fonctions B et φ sur Ω0, b et U sur Ωt.Enpa rticulier le passage de (4.25) à (4.26) utilise la formule de la divergence en supposant (b ⊗ U) continue et différentiable. On se propose maintenant d examiner le cas où les fonctions B sur Ω0 , b et/ou U sur Ωt sont continues et continûment différentiables par morceaux , φ demeurant continue.
114 Chapitre III Cinématique du milieu continu Approche eulérienne La méthode de démonstration précédente en représentation eulérienne permet d aborder ce problème en restant proche de l intuition physique. Figure 5 Dérivée particulaire d une intégrale de volume dans le cas de discontinuité : le terme de saut Pour cela on désigne par Σt une surface géométrique au franchissement de laquelle, dans la con guration κt,b(x,t) et/ou U(x,t) sont discontinues ( gure 5). En chaque point M de Σt on dé nit la vitesse de propagation de la surface géométrique Σt,s oitW (x,t),pa rlafo r m ule (4.30) où MΔ désigne lepointsitués u rlas u rfa c e géométrique Σt+Δt,àl intersection de celle-ci avec la normale en M à Σt : W (x,t)= lim Δt→0(MMΔ/Δt) , (Δt>0) ; (4.30) W (x,t) est donc, par dé nition, normale à Σt en M : W (x,t)=W (x,t) n(x,t) (4.31) où n(x,t) désigne un vecteur normal unitaire à Σt au point M . On convient de repérer par les indices inférieurs 1 et 2 les régions situées de part et d autre de Σt franchie dans le sens de n(x,t) ; ces mêmes indices sont aussi utilisés pour distinguer les valeurs de b et de U de part et d autre de Σt.Lesymbole[[ ]] désigne la discontinuité de la grandeur concernée au franchissement de Σt dans le sens de n(x,t).Ainsi: ∀x ∈ Σt , [[ b(x,t)]]= b2(x,t) - b1(x,t) (4.32) et de même pour [[ U]](9). (9)To u t e s le s fo r mules sont algébriques. L orientation transversale de Σt est quelconque, c est-à-dire que n(x,t) et W (x,t) peuvent ne pas être de même sens. Bien noter que la dé nition du saut [[ ]] est liée à l orientation de n et non à celle de W .Enpa rticulier, si W>0, [[ b ]] est égale à la différence (valeur aval - valeur amont) et est l opposé du saut ressenti en un point géométrique au franchissement de la surface de discontinuité : c est l explication du signe moins dans la formule (4.34).
4 Dérivées particulaires 115 On reprend la méthode du bilan de l intégrale attachée au volume matériel. On doit alors, dans le calcul de la variation ΔI,examineravecattention les points géométriques situés àlafoisdansΩt et dans Ωt+Δt.Eneffet,parmiceux-ci il en est qui, situés en aval de la surface de discontinuité Σt (à l instant t), voient passer cette surface pendant l intervalle de temps Δt,etsetrouventsitués en amont de la surface Σt+Δt (à l instant t +Δt).Cespointsgéométriques, qui correspondent au volume balayé par la surface de discontinuité ( gure 5) entre les instants t et (t +Δt), introduisent un nouveau terme additif dans la variation de l intégrale : pour chacun d eux il y a un gain (algébrique) de la grandeur intégrée égal à valeur amont moins valeur aval =b1-b2 = -[[b]]. La contribution correspondante, à ajouter à ΔI1 et ΔI2 toujours données par (4.28) et (4.29), est ainsi, au premier ordre en Δt,égale à : ΔI3 =Δt Σt(b1 - b2)W .ndΣt = -Δt Σt[[ b]] W dΣt . (4.33) Par passage à la limite sur ΔI1+ΔI2+ΔI3 Δt quand Δt 0,o nobtie ntla nouvelle formule pour ˙I : ˙I=d dt Ωt b dΩt = Ωt ∂b ∂t dΩt - Σt[[b]]W dΣt + ∂Ωt(b⊗U).da (4.34) On retrouve dans cette formule la structure de (4.14) et de (4.26) qui est apparente dans la démonstration : les deux premiers termes de ˙I sont issus de (ΔI1 +ΔI3) : ils correspondent à la variation de l intégrale sur le volume géométrique gé. Le troisième terme est le terme de convection : c est le seul terme qui manifeste la dépendance de ˙I par rapport au champ U ;ile stide ntiqu eàcelui obtenu dans (4.26) et dépend linéairement du champ U sur ∂Ωt. Il est possible de transformer (4.34) en utilisant la formule de la divergence géné- ralisée au cas d une fonction tensorielle f continue et continûmentdifférentiable par morceaux qui s écrit(10) Ωt div f dΩt + Σt[[ f ]] .n dΣt = ∂Ωt f.da . (4.35) On obtient ainsi à partir de (4.34), avec f = b ⊗ U dans (4.35) et en regroupant les termes : ˙I=d dt Ωt bdΩt = Ωt (∂b ∂t +div(b ⊗ U))dΩt + Σt[[ b ⊗(U - W)]].ndΣt . (4.36) (10) Cette formule se démontre en appliquant la formule de la divergence classique séparément sur les volumes découpés dans Ωt par Σt et en rassemblant les résultats obtenus. Elle peut aussi être interprétée dans le cadre de la théorie des distributions .Lepr e mie rmembre de (4.35) n est autre que l intégrale Ωt div f prise au sens des distributions, où la distribution div f s explicite en : div f = {div f} +[[f ]] .nδΣt , avec {div f} la distribution dé nie par la fonction div f ,etδΣt la distribution de Dirac sur Σt .Cette même méthode fournit immédiatement l écriture de (4.14) si b est continue et continûment différentiable par morceaux.
116 Chapitre III Cinématique du milieu continu Approche lagrangienne Il est évidemment possible d établir la formule (4.36) en suivant la démarche adoptée pré- cédemment, c est-à-dire en se ramenant en représentation lagrangienne. Ceci nécessite au préalable d introduire quelques concepts et notations de portée générale. Vitesses de propagation, célérités. On désigne par Σ0 la position géométrique de la surface de discontinuité à l instant de référence t =0,da n slac on guration κ0 .Onn oteX 0 le vecteur-position du point courant M0 de Σ0. Figure 6 Surfaces de discontinuité dans les con gurations initiale et actuelle Σt peut être décrite à partir de Σ0 en introduisant un homéomorphisme, fonction de t,qui exprime le transport géométrique de Σ0 sur Σt ,soitx = δ(X 0 ,t) , dé ni sur Σ0 en écrivant qu à chaque instant t la vitesse de propagation de Σt ,introduite en (4.30) est : W (x,t)= ∂δ(X 0 ,t) ∂t ,∀M0∈Σ0 (4.37) avec la condition initiale évidente δ(X 0 , 0) = X 0 , ∀M0 ∈ Σ0 . Parailleurs l homéomorphisme de la description lagrangienne du mouvement permet de dé - nir, pour chaque instant t,lasurfacegéométrique Σ0t dans κ0 dont les points sont transportés sur Σt dans κt dans le transport convectif entre les instants 0 et t ( gure 6). Pour le point courantMdeΣt on adoncàlafois : x =δ(X0,t) et x=φ(X0t,t)oùX0tdésignele vecteur-position du point M0t ,antécédent de M dans κ0 par φ. On en déduit la correspondance qui relie, dans κ0 ,lespointsM0 et M0t associés à un même point géométrique M de Σt par le transport géométrique et par le transport convectif : φ(X0t,t)=x = δ(X0,t) (4.38) ou encore X 0t = φ-1(δ(X 0 ,t),t) . La surface géométrique Σ0t n est, en général, pas xe dans la con guration κ0 .Onpe ute n dé nir la vitesse de propagation dans κ0 de manière analogue à W par (4.30) : V 0(X0t ,t)=V0(X0t ,t) N 0t avec V0(X0t,t)=N 0t . ∂X0t(X0,t) ∂t . V 0 n est autre que la célérité de la surfacededis c o n tinuité, ou onde ,pa rr apport à la matière dans l état de référence. La célérité de l onde par rapport à la matière dans l état actuel est : V (x,t)=(W (x,t) - U(x,t) .n) n (4.39) où U(x,t)= ∂φ(X 0t ,t) ∂t.
4 Dérivées particulaires 117 En dérivant la correspondance (4.38) par rapport à t et compte tenu de (4.37) on obtient : W (x,t) - U(x,t)= φ(X 0t ,t) . ∂X0t(X 0 ,t) ∂t . Cette formule peut être transformée en introduisant les vecteurs-aires élémentaires da sur Σt et dAt sur Σ0t (cf. chapitre II, formule (4.13)) et il vient : J(X0t,t)V 0(X0t,t).dAt = V(x,t).da . (4.40) On remarque que si δ est identique à φ ou, plus généralement, si ∂X0t ∂t=d dt φ-1(δ(X 0 ,t),t) est tangente à Σ0t ,iln y apas propagation de Σ0t dans κ0 ,etΣt suit la matière dans κt : V0=0et V=0. Discontinuités. Relations cinématiques de compatibilité. En écrivant la formule (4.40) sur Σ0t on doit évidemment préciser le côté de la surface qui est considéré : U peut, par hypothèse, y être discontinu (et donc V )etc ette discontinuité implique celles de φ et de J comme on l expliquera plus loin. On écrira donc sur Σ0t ,de partetd autre : J1V0.dAt =(W-U1).da J2V0.dAt =(W-U2).da . (4.41) On doit alors remarquer que, φ étant supposée continue sur Ω0 et par rapport au temps, les discontinuités de ses dérivées sur Σ0t ne sont pas indépendantes : il y a continuité des dérivées de φ selon les directions tangentes à Σ0t dans l espace-temps {X 0t × t}.Celasigni e que lorsque l on suit Σ0t dans sa propagation dans κ0 ,c e st-à-dire pour des accroissements dX et dt liés par la seule relation (en M0t ,àl instant t): N0t.dX=V0dt qui assure que le point géométrique de vecteur-position (X 0t + dX) se trouve sur Σ0,t+dt, ona: [[ φ(X 0t ,t)]]. dX +ïï ∂φ(X 0t ,t) ∂t òòdt =0. On en déduit la forme nécessaire de [[ φ(X 0t ,t)]] et de [[ U ]] : [[ φ(X0t,t)]]=λ ⊗ N0t [[ U ]] =ïï∂φ(X0t,t) ∂t òò= -λV0 (4.42) où λ est un vecteur arbitraire, ou la relation équivalente si V0 =0 : [[ φ(X0t,t)]]= - 1 V0[[U]]⊗N0t siV0 =0. Une conséquence importante des relations (4.42) vaut d être signalée ici : V0 =0 (etdoncV1 =0etV2 =0)⇒[[U]]=0 ; ce résultat signi e qu une onde de discontinuité de vitesse n est compatible avec l hypo- thèse dec o ntin uité(φ continue sur Ω0) que si sa célérité par rapport à la matière est non nulle (résultat physiquement évident(11) ;cf.aussi 5.1). Le raisonnement mis en œuvre ci-dessus pour établir les formules (4.42), qui exploite la conti- nuité d une fonction (ici φ)aufranchissement d une surface de discontinuité de ses dérivées, (11) Si la discontinuité devite sse était stationnaire, elle concernerait toujours les mêmes particules, induisant ainsi un saut de φ,contradictoire avec l hypothèse.
118 Chapitre III Cinématique du milieu continu est dû à Hadamard(12) .Le sr elatio n sc orrespondantes (4.42) sont souvent appelées : rela- tions cinématiques de compatibilité d Hadamard .One nr e n contrera d autres exemples (cf. chapitre VIII). Dérivée particulaire d'une intégrale de volume. On reprend l intégrale I dé nie par la formule (4.10), que l on ramène en représentation lagrangienne, comme indiqué par (4.17), sous la forme : I = Ω0t1 B(X ,t)J(X ,t)dΩ0 + Ω0t2 B(X ,t)J(X ,t)dΩ0 où Ω0 est séparé en Ω0t1 et Ω0t2 par la surface Σ0t ,àlatr a v e r séedelaquelle B ou J sont discontinues à l instant t. Le calcul de la dérivée de I par rapport au temps doit tenir compte du fait que les domaines Ω0t1 et Ω0t2 évoluent en raison de la propagation de Σ0t dans κ0 àlavitesse V 0 .Onobtient ainsi : ˙I = Ω0t1 ∂ ∂t(BJ)dΩ0 + Ω0t2 ∂ ∂t(BJ)dΩ0 + + Σ0t B1(X,t) J1(X,t) V 0(X,t) . dAt - Σ0t B2(X,t)J2(X,t)V 0(X,t).dAt . (4.43) Le passage en représentation eulérienne se fait sans difficulté en utilisant la formule (4.41). On retrouve ainsi lafor m ule(4.36) : ˙I=d dt Ωt b dΩt = Ωt (∂b ∂t +div(b⊗U))dΩt + Σt[[b⊗(U -W)]].da . Formules de bilan Même si l on s est référé au point de vue lagrangien pour asseoir quelques démons- trations, c est évidemment le point de vue eulérien qui se révèle le mieux adapté et le plus fécond en cinématique. La méthode du bilan utilisée plus haut en est un exemple. Du point de vue mathématique, le problème posé par le calcul de la dérivée parti- culaire d une intégrale de volume en description eulérienne est celui de la dérivation par rapport au temps de l intégrale d une fonction des variables d espace et de temps sur un volume d intégration qui dépend lui-même du temps (le problème est classique pour une intégrale simple). Les formules (4.26) et (4.34) mettent en évidence que le caractère variable du volume d intégration se traduit dans cette dérivée par un terme additif de ux, qui correspond au volume balayé par la frontière du volume d intégra- tion et qui dépend linéairement du champ de vitesse sur cette frontière. C est, dans (4.26) et (4.34) le terme : ∂Ωt(b ⊗ U). da. Les démonstrations données dans l approche eulérienne pour les formules (4.26) et (4.34) par la méthode du bilan ne font pas explicitement référence au fait que le champ de vecteurs U sur κt est le champ de vitesse (réel) des particules du système : il s agit purement et simplement d une comptabilité qui compare les intégrales sur deux volumes géométriques aux instants in niment voisins t et (t +Δt).C e stain si que la description eulérienne permet l extension des résultats établis pour les dérivées particulaires. (12)J. Hadamard (1865-1963).
4 Dérivées particulaires 119 Considérant une grandeur b dé nie en description eulérienne, c est-à-dire par la donnée de b(x,t),o ns epropose de calculer à l instant t la dérivée par rapport au temps de l intégrale de b prise sur un volume Ωt fonction du temps dont la variation à l instant t est dé nie par un champ de vecteurs u continu et continûment différentiable par morceaux sur ∂Ωt .En désignant cette dérivée par δI δt u ,onaenreprenant (4.34) : δI δt u = Ωt ∂b ∂t dΩt - Σt[[b]]W dΣt + ∂Ωt(b ⊗u).da . (4.44) Ainsi, en choisissant le champ u =0, δI δt 0 n esta utre queladérivée de l intégrale prise suru nv olume géométrique xe (c est le volume gé des démonstrations précédentes) : δI δt 0 = Ωt ∂b ∂tdΩt - Σt[[b]]W dΣt ; (4.45) en choisissant u = U ,onretrou v eladérivée particulaire δI δt U = ˙I = δI δt 0 + ∂Ωt(b ⊗U).da . (4.46) Il est commode de poser, par analogie avec (4.14, 4.15) ∀u , ∂Ωt(b⊗u).da =DuI , (4.47) et l on obtient la formule générale : δI δt u = δI δt 0+DuI. (4.48) Il est fait usage de cette formule en mécanique des uides car elle permet de choisir la surface de contrôle (frontière de Ωt et champ u)lamieuxadaptée au problème étudié. La dé nition de la dérivation δ δt u et les raisonnements correspondants sont possibles en description lagrangienne, avec une certaine lourdeur ; ils reposent fondamentalement sur le fait que les dérivées par rapport au temps qui interviennent sont toujours des dérivées à droite et que l on peut donc, à l instant t,choisir ∂φ ∂t indépendamment de la connaissance de φ. 4.5 Dérivation particulaire d une circulation Circulation d une quantité vectorielle La grandeur considérée ici est la circulation d une fonction vectorielle b(x,t) sur une courbe Ltdeκt: I = i(Lt ,t)= Lt b(x,t) .τ(x)dLt (4.49) où τ (x) est le vecteur unitaire tangent au point M de Lt . La dérivée particulaire de I s intéresse à l évolution de I dans le transport convectif de la courbe Lt ,domaine matériel. Sur cette courbe matérielle, τ (x)dLt n est autre que le vecteur matériel élémentaire dM et l on peut écrire : I = i(Lt ,t)= Lt b(x,t) . dM . (4.50)
120 Chapitre III Cinématique du milieu continu Le calcul direct de l expression eulérienne de la dérivée particulaire ˙I = di dt correspond à la dérivation formelle sous le signe somme (cf. (4.21) pour l intégrale de volume) : ˙I=d dt Lt b . dM = Lt ˙ ˘ b.dM = Lt db dt .dM+ Ltb. ˙ ˆ dM (13) . (4.51) Compte tenu de l expression (3.6) de ˙ ˆ dM ,ilvientainsi: ˙I=d dt Lt b.τdLt = Lt(db dt +b.grad U).τdLt . (4.52) Cette équation se développe aussi en ˙I = Lt ∂b ∂t .τdLt + Lt((grad b).U+b.grad U).τdLt (4.53) dont la deuxième intégrale représente le terme de convection. Circulation d une quantité tensorielle Si I est donnée comme la circulation d une fonction tensorielle quelconque, par exemple : I = Lt b(x,t) .τ dLt (4.54) on montre aisément, comme au paragraphe 4.5, et en s appuyant sur (4.53), que l on a : ˙I=d dt Lt b .τ dLt = Lt(∂b ∂t +gradb.U+b.grad U).τdLt . (4.55) Remarque Les raisonnements qui précèdent sont liés à la forme particulière de l intégrale de ligne i(Lt ,t) dont on cherche la dérivée particulaire : s agissant de la circulation d une quantité, on a pu reconnaître que l élément d intégration sur Lt n est autre que le vecteur matériel élémentaire. Comme on l a expliqué à propos de la dérivée particulaire d une intégrale de volume, le résultat établi ci-dessus peut aussi être appliqué en substituant, dans (4.52, .. . ,4.56),a u champ de vitesse U un champ de vecteur u continu et continûment différentiablequelconque dé ni sur Lt .Ilfou r nitalors l expression de la dérivée δI δt u homologue de (4.44). (13)Cette équation s explicite en description lagrangienne : ˙I = L0 ∂B(X ,t) ∂t .F(X,t). dM0 + L0 B(X ,t) . ˙ F(X,t).dM0 où B(X ,t)=b(x,t) avec x = φ(X ,t) ;etl on rappelle que ˙ F (X ,t) .F-1(X ,t)=grad U(x,t).
4 Dérivées particulaires 121 4.6 Dérivation particulaire d un ux Flux d une quantité vectorielle La grandeur considérée est le ux d une fonction vectorielle b(x,t) àtr a v e rs une surface Σt deκt: I = i(Ωt ,t)= Σt b(x,t) .n(x)dΣt . (4.56) Dans le transport convectif de la surface Σt ,domaine matériel d intégration, n(x)dΣt n est autre que le vecteur-aire élémentaire da : I = i(Ωt ,t)= Σt b(x,t) . da . (4.57) La dérivée particulaire ˙I s obtient par dérivation formelle sous le signe somme : ˙I=d dt Σt b . da = Σt ˙ ˉ b.da = Σt db dt .da+ Σtb. ˙ Ù da, (4.58) et nécessite le calcul de la dérivée particulaire ˙ Ù da du vecteur-aire da. Le raisonnement est semblable à celui mis en œuvre au chapitre II ( 2.4) pour établir la formule de transport du vecteur-aire. On a, ∀ dM ∈ κt , d dt (dM . da)= ˙ ˜ dΩt =(divU)dM . da et d dt(dM .da)=(gradU .dM).da +dM . ˙ Ù da. D où l expression de ˙ Ù da: ˙ Ù da =dadivU-tgradU.da . (4.59) On en déduit l expression de la dérivée particulaire ˙I : ˙I=d dt Σt b .ndΣt = Σt(db dt +bdivU-b.tgrad U).ndΣt (14) . (4.60) En explicitant la dérivée particulaire db dt on obtient : ˙I = Σt ∂b ∂t .ndΣt + Σt ((grad b).U - (grad U).b+ b div U).ndΣt (4.61) dont la deuxième intégrale représente le terme de convection. (14) L explicitation de ce raisonnement en description lagrangienne est sans surprise. Comme au paragraphe 4.5, c estlaforme particulière de l intégrale de surface considérée ( ux d une quantité) qui permet de reconnaître le vecteur-aire élémentaire comme élément d intégration.
122 Chapitre III Cinématique du milieu continu Flux d une quantité tensorielle L intégrale I est donnée sous la forme du ux d une fonction tensorielle ; par exemple : I = Σt b(x,t) .ndΣt . (4.62) En décomposantlete n se u rb(x,t) on aura : I = ei ⊗ Σt bij(x,t)ej .ndΣt . La dérivée particulaire de chacune des intégrales (indice i)secalculecomme ci-dessus et l on obtient : ˙I=d dt Σt b .ndΣt = Σt(∂b ∂t +gradb.U-b.tgrad U +bdivU).ndΣt (4.63) Remarque La même remarque qu au paragraphe (4.5) concernant le calcul de la dérivée ( δI δt )u en sub- stituant à U dans (4.60, ... ,4.63) un champ continu, continûment différentiable quelconque dé ni sur Σt ,v autégalement ici. 5C o n s e r v a t i o ndelam asse 5.1 Équation de continuité La conservation de la masse de tout système matériel au cours des transformations qu il subit est un principe fondamental de la mécanique classique. La notion de milieu continu tridimensionnel implique que la masse d un système matériel occupant un volume Ωt dans la con guration κt s obtient comme l intégrale d une densité volumique nie, appelée masse volumique dans la con guration κt : M = m(Ωt ,t)= Ωt ρ(x,t)dΩt . (5.1) ρ(x,t) joue dans cette intégrale le rôle de b(x,t) dans la formule (4.10). L homologue de B(X,t) dé nie par la formule (4.13) est alors P (X ,t) obtenue par : P (X,t)=ρ(φ(X,t),t) (5.2) en sorte que : M = m(Ωt ,t)=M(Ω0 ,t)= Ω0 P (X ,t)J(X,t)dΩ0 . (5.3) Le principe de la conservation de la masse implique que pour tout système matériel la dérivée particulaire des intégrales (5.1) ou (5.3) soit nulle.
5 Conserv ation de la masse 123 Cas où ρ et U sont continues et continûment différentiables La conservation de la masse s exprime alors, conformément aux résultats du paragraphe 4.4, par : ∀Ωt, ˙ M=dm dt = Ωt(∂ρ ∂t + div ρU)dΩt =0 (5.4) d où, compte tenu de ce que Ωt est arbitraire : ∂ρ ∂t +div ρU =0 (5.5) et les formules équivalentes : dρ dt+ρdivU=0 (5.6) ou ∂ρ ∂t +(gradρ).U+ρdiv U =0. (5.7) Chacune de ces équations, qui traduit la conservation de la masse, est aussi appelée équation de continuité. On remarque que la nullité de la dérivée particulaire ˙ M,signi e que l intégrale (5.3) ne dépend pas du temps t,autrement ditqueP (X ,t)J(X,t),quijoue le rôle de B0(X ,t) dans (4.3), est indépendant de t et est donc égal à la masse volumique ρ0(X) au point courant M0 à l instant t =0quand le système occupe la con guration κ0 : P (X,t)J(X ,t)=ρ0(X) . (5.8)C est l équation de continuité endescription lagrangienne. On notera ainsi : dm = ρ0(X)dΩ0 = ρ(x,t)dΩt (5.9) la masse du même volume matériel élémentaire. On peut aussi écrire l équation (5.8) sous la forme : ρ(x,t)=ρ0(X)/J(X ,t) . (5.10) Cas des ondes de choc : ρ et U continues et continûment différentiables par morceaux La conservation de la masse s exprime alors à partir de la formule (4.36) : ∀Ωt, ˙ M=dm dt = Ωt(∂ρ ∂t +divρU)dΩt + Σt[[ ρ(U - W)]].ndΣt . (5.11)
124 Chapitre III Cinématique du milieu continu En exploitant le caractère arbitraire de Ωt on en déduit, outre l équation (5.5), ou (5.6), valable hors des surfaces de discontinuité Σt, l équation (5.12) à satisfaire sur Σt: [[ ρ(U - W)]].n=0 sur Σt (5.12) qui signi e que le débit en masse de matière à travers la surface géométrique Σt se conserve. Cette formule montre aussi qu un saut de vitesse [[ U ]] au franchissement de Σt, s il n est pas tangentiel à Σt,implique un saut [[ ρ ]] non nul de la masse volumique et inversement. On est alors en présence d une onde de choc(15). 5.2 Forme intégrale En utilisant la formule (4.26), ou (4.34) pour inclure l éventualité d ondes de choc, la conservation de la masse s écrit aussi : ∀Ωt, ˙ M=dm dt = Ωt ∂ρ ∂t dΩt - Σt[[ρ]]W dΣt + ∂Ωt ρU .da =0, (5.13) qui met en évidence le terme de convection : ux de masse sortant à travers ∂Ωt. Figure 7 Tube de courant Il est souvent utile en mécanique des uides d appliquer cette formule à des volumes Ωt de forme particulière. Ces volumes, appelés tubes de courant ( gure 7), sont limités latéra- lement par les lignes de courant à l instant t s appuyant sur une courbe fermée C,eta u x extrémités par deux sections S1 et S2 . On obtient alors : Ωt ∂ρ ∂t dΩt - Σt[[ ρ]] W dΣt + S1 ρU .nda + S2 ρU .nda =0. (5.14) (15)On rappelle (cf. 4.4) que pour respecter l hypothèse de continuité (φ continue sur Ω0 et par rapport au temps), une surface de discontinuité de vitesse ([[ U ]] =0)ne peut être stationnaire par rapport à la matière : (U1 - W).n =0,(U2 - W).n =0; ceci implique que ρ1 et ρ2 ne sont ni nuls ni in nis dans (5.12). Plus généralement, si l on se place dans le cadre de l hypothèse plus faible φ continue et continûment différentiable, par m orceaux (cf.chapitre I, 3.3), les surfaces de discontinuité de φ sont nécessairement stationnaires par rapport à la matière, car leur propagation induirait au passage, pour les particules concernées, des vitesses en δ (Dir ac).Une discontinuitédevite sse [[ U ]] stationnaire est alors possible au franchissement d une telle surface : elle est nécessairement tangentielle ; l équation (5.12) est trivialement véri ée.
5 Conserv ation de la masse 125 Si l on s intéresse par exemple à un écoulement de uide incompressible homogène, ou à un écoulement stationnaire de uide quelconque, les deux premiers termes de l équation (5.14) sont nuls. Considérant alors un tube de courant in niment n limité par des sections droites élémentaires, S1 à l amont et S2 à l aval, la formule (5.14) signi e, compte tenu des orientations opposées des normales sur S1 et S2 ,que: ρ1U1S1 = ρ2U2S2 (5.15) (où U désigne le module de la vitesse U):ilyaalors conservation du débit de masse le long d une ligne de courant. 5.3 Dérivée particulaire de l intégrale d une densité massique en description eulérienne On considère une intégrale de volume I telle que (4.10) dé nie maintenant par une densité massique et non plus volumique, c est-à-dire que l on a, avec (5.9) : I = i(Ωt,t)= Ωt b(x,t)dm. (5.16) On véri e alors sans difficulté, par exemple en passant en représentation lagran- gienne, que ˙I s exprime sous la forme : ˙I=d dt Ωt bdm = Ωt db dt dm (16) (5.17) Cette formule, valable quelle que soit la nature (scalaire, vectorielle, tensorielle) de la grandeur B,estparticulièrement commode ; aussi cherchera-t-on, chaque fois que cela sera possible lorsque l on devra calculer la dérivée particulaire d une intégrale de volume, à exprimer cette dernière au moyen de la mesure dm. (16) Par dérivation formelle sous le signe somme : ˙I=d dt Ωt b dm = Ωt ˙ ˉ b dm = Ωt db dt dm puisque ˙ ˆ dm =0.
126 Chapitre III Cinématique du milieu continu Récapitulatif des formules essentielles • Description eulérienne : U = U(x,t) ˙ ˜ dM = grad U(x,t). dM taux de dilatation volumique ˙ ˆ dΩt = div U(x,t)dΩt taux de déformation : d dt(dM . dM )=2dM .d(x,t) . dM d(x,t)= 1 2(grad U(x,t)+t grad U(x,t)) ˙ i ds ds = d11(x,t) ˙θ =2d12(x,t) taux de rotation : Ω(x,t)= 1 2(grad U(x,t) -t grad U(x,t)) tourbillon : Ω(x,t)= 1 2 rot U(x,t) Ω(x,t).dM =Ω(x,t)∧dM , ∀dM compatibilité d un champ de taux de déformation : dij,k +dk ,ij -dik,j -dj ,ik =0 i,j,k, =1,2,3 • Ta u x de déformation eulérien et lagrangien : d(x,t)=tF -1(X ,t) . ˙e(X ,t) .F-1(X,t) ,x= φ (X ,t)
Récapitulatif des formules essentielles 127 • Dérivées particulaires en représentation eulérienne : (B :grandeur tensorielle d ordre quelconque) •B = b(x,t) ˙ B=db dt=∂b ∂t + grad b.U •I = Ωt b(x,t)dΩt ˙I = Ωt(db dt+bdivU)dΩt ˙I = Ωt ∂b ∂t dΩt + ∂Ωt(b ⊗ U).da = Ωt (∂b ∂t+ div(b⊗U))dΩt •I = Ωt b(x,t)dΩt ,bet/ou U discontinues sur Σt ˙I = Ωt ∂b ∂t dΩt - Σt[[b]]W dΣt + ∂Ωt(b⊗U).da ˙I = Ωt (∂b ∂t + div(b⊗U))dΩt + Σt[[b⊗(U -W)]].ndΣt •I = Σt b(x,t) . da ˙I = Σt( ˙ B+bdivU-b.tgradU).da •I = Lt b(x,t) .τ(x)dLt ˙I = Lt( ˙ B +b.grad U).τdLt • Conservation de la masse, équation de continuité • dm = ρ(x,t)dΩt = ρ0(X)dΩ0 dρ dt+ρdivU=0 ⇔ ∂ρ ∂t+divρU=0 [[ ρ(U - W)]].n=0 sur Σt Ωt ∂ρ ∂t dΩt - Σt[[ρ]]W dΣt + ∂Ωt ρU .da =0 •I = Ωt b(x,t)dm ˙I = Ωt db dt dm
128 Chapitre III Cinématique du milieu continu Fo r m u les explicites dans les systèmes de coordonnées visuelles (cf. Annexe II) • Coordonnées cartésiennes orthonormées U=Uxex+Uyey+Uzez gradU = ∂Ui ∂xj ei⊗ej d=dijei⊗ej dij=1 2(∂Ui ∂xj + ∂Uj ∂xi ) divU=∂Ui ∂xi = ∂Ux ∂x+∂Uy ∂y +∂Uz ∂z ˙ B=db dt=∂b ∂t+∂b ∂xi Ui (B scalaire ou tensorielle d ordre quelconque) • Coordonnées cylindriques U=Urer+Uθeθ+Uzez grad U est donné dans l annexe II drr = ∂Ur ∂r dθθ=1 r ∂Uθ ∂θ+Ur r dzz =∂Uz ∂z drθ=1 2(∂Uθ ∂r -Uθ r+1 r ∂Ur ∂θ) dθz=1 2(1 r ∂Uz ∂θ+∂Uθ ∂z)dzr=1 2(∂Ur ∂z +∂Uz ∂r) divU=∂Ur ∂r +Ur r+1 r ∂Uθ ∂θ+∂Uz ∂z ˙ B=db dt=∂b ∂t+∂b ∂rUr + ∂b ∂θ Uθ r +∂b ∂z Uz (B scalaire) B=brer+bθeθ+bzez ˙B=db dt = (dbr dt - bθUθ r )er+(dbθ dt + brUθ r )eθ+dbz dt ez (B vectorielle) a=dU dt = (dUr dt -U2 θ r )er +(dUθ dt + UrUθ r )eθ+dUz dt ez
Récapitulatif des formules essentielles 129 • Coordonnées sphériques U=Urer+Uθeθ+Uφeφ grad U est donné dans l annexe II drr = ∂Ur ∂r dθθ=1 r ∂Uθ ∂θ+Ur rdφφ=1 rsinθ∂Uφ ∂φ+Uθ r cotθ+Ur r drθ=1 2(1 r ∂Ur ∂θ+∂Uθ ∂r -Uθ r) dθφ=1 2(1 r ∂Uφ ∂θ+ 1 rsinθ∂Uθ ∂φ - cotθ r Uφ) dφr=1 2(1 rsinθ∂Ur ∂φ+∂Uφ ∂r -Uφ r) divU=∂Ur ∂r+1 r ∂Uθ ∂θ+ 1 rsinθ∂Uφ ∂φ+Uθ r cotθ+2Ur r ˙ B=db dt=∂b ∂t+∂b ∂rUr + ∂b ∂θ Uθ r+∂b ∂φ Uφ r sin θ (B scalaire) B=brer+bθeθ+bφeφ (Bvectorielle) ˙B=db dt = (dbr dt -bθUθ+bφUφ r )er +(dbθ dt + brUθ r - cotθbφUφ r )eθ +( dbφ dt +cotθ bθUφ r +brUφ r )eφ a=dU dt = (dUr dt -U2 θ+U2 φ r )er +(dUθ dt +UrUθ-U2 φ cotθ r )eθ +( dUφ dt + UrUφ+UθUφ cotθ r )eφ
130 Chapitre III - Cinématique du milieu continu Exercices III.1 - R =(O, e1,e2,e3) est un repère cartésien orthonormé dans le référentiel R. On considère le mouvement dé ni par : U1(x,t)=φ1(x2 ,t) ,U2(x,t)=φ2(x1 ,t) ,U3(x,t)=0, où φ1 et φ2 sont des fonctions continues et continûment différentiables. Calculer le tenseur taux de déformation ; déterminer ses directions principales et ses valeurs prin- cipales. Calculer le taux de dilatation volumique dans ce mouvement. Déterminer le tenseur taux de rotation et le vecteur tourbillon ; à quelle condition le mouvement étudié est-il irrotationnel ? Éléments de réponse : d(x,t)= 1 2 ∂φ1 ∂x2 + ∂φ2 ∂x1 (e1⊗e2+e2⊗e1); directions principales : bissectrices de (e1 ,e2),ete3 ; valeurs principales : 1 2 ∂φ1 ∂x2 + ∂φ2 ∂x1 , -1 2 ∂φ1 ∂x2 + ∂φ2 ∂x1 , 0. ˙ ˜ dΩt/dΩt = div U(x,t)=0. Ω(x,t)= 1 2 ∂φ1 ∂x2 - ∂φ2 ∂x1 (e1 ⊗ e2 - e2 ⊗ e1) ,Ω(x,t)=1 2 ∂φ2 ∂x1 - ∂φ1 ∂x2 e3 . Mouvement irrotationnel : Ω(x,t) ≡ 0 si et seulement si φ1(x2 ,t)=α(t)x2 + a1(t) ,φ2(x1 ,t)=α(t)x1 + a2(t) . Commentaire. Àr approcher de Ex. II.3. III.2 - Source ponctuelle. Dans un système de coordonnées cylindriques (O, r, θ, z) on considère le champ de vitesse dé ni pour r =0,par: Ur(x,t)=β(t)/r , Uθ(x,t)=0,Uz(x,t)=0. Déterminer le tenseur taux dedéfo r m ation et calculer le taux de déformation volu- mique. Calculer le vecteur tourbillon. Éléments de réponse : grad U(x,t)=d(x,t)=- β(t) r2(er⊗er -eθ⊗eθ) er ,eθ ,ez sont les directions principales de d(x,t) . ˙ ˜ dΩt/dΩt = tr d(x,t)=0 Ω(x,t)=0:mou v ementirrotationnel. Commentaire. Le mouvement plan dé ni pour r =0par Ur(x,t)=β(t)/r uides incompressibles : mouve- ment induit par une source (ou un puits) ponctuel en O de débit 2πβ(t).
Exercices 131 III.3 - Tourbillon ponctuel. On considère le mouvement plan dé ni en coordonnées cylindriques, pour r =0,par: U(x,t)=U(r, θ, z, t)= Γ 2πr eθ où Γ est une constante réelle . Calculer le tenseur taux de déformation d(x,t),leta u xdedilatation volumique, le tenseur taux de rotation et le vecteur tourbillon Ω(x,t),lacir c ulation du vecteur vitesse U(x,t) sur une courbe fermée entourant Oz. Éléments de réponse : • Le mouvement est stationnaire grad U(x)=- Γ 2πr2(er⊗eθ+eθ⊗er)≡d(x); directions principales de d(x) :bissectrices de (er ,eθ) et ez ; valeurs principales : - Γ 2πr2,Γ 2πr2 , 0. ˙ ˜ dΩt/dΩt = tr d(x)=0. • Ω(x)=0,Ω(x)=0: L étant une courbe fermée entourant Oz : L U(x) .τ(x)dL = Γ . Commentaire. Il s agit de l aspect cinématique du mouvement étudié dans Ex. II.6. Les résultats obtenus icir ejoignent ceux obtenus dans Ex. II.6 pour la transformation in nitésimale (cf. 4.4) : notamment Ω(x)=0correspond à β(R, t)=0démontré alors dans ce cas. rot U(x)=2Ω(x) est nul et la circulation de U(x) sur toute courbe entourant l axe Oz est égale à Γ : ceci n est pas contradictoire avec la formule de Stokes puisque l axe Oz(r =0)ne fait pas partie du domaine de dé nition du mouvement. On peut l y inclure en considérant que rot U est, en tout point de Oz, une mesure de Dirac ponctuelle d intensité Γ dirigée selon ez :d où la terminologie de tourbillon ponctuel . III.4 - Mouvements irrotationnels sans variation de volume. Dans un ré- férentiel R on considère un domaine Dt simplement connexe dans la con guration κt.Donner la forme générale des champs de vitesse U pour lesquels le vecteur tour- billon est nul en tout point de Dt à l instant t.Àqu elle condition ces mouvements irrotationnels correspondent-ils à un taux de dilatation volumique nul ? Éléments de réponse : • U(x,t)=grad φ(x,t), φ,deuxfoiscontinûment différentiable quelconque, est appelée potentiel des vitesses. • Δφ(x,t)=0. (Gradient et laplacien par rapport aux variables d espace). III.5 - Équations de Geiringer. R =(O, ex ,ey ,ez) étant un repère cartésien orthonormé dans le référentiel R,o nc o n sidèr eun domaine D du plan (ex ,ey).On donne dans D deux familles de courbes continues et à tangente continue, dites familles αetβ,o rthogonales entre elles, telles qu en tout point de D passe une courbe et une seule de chaque famille ; on désigne par eα et eβ les vecteurs normés tangents à ces courbes au point courant, orientés de façon que (eα ,eβ)=+π/2,etpa rRα et Rβ les rayons de courbure algébriques correspondants (cf. annexe I, 6.4). On
132 Chapitre III - Cinématique du milieu continu considère les champs de vitesse en déformation plane parallèlement au plan (ex ,ey), que l on dé nit par la donnée de leurs composantes en chaque point de D dans la base (eα ,eβ ,ez):Uα(x,t),Uβ(x,t) indépendants de z, Uz(x,t)=0.Donner les expressions de grad U(x,t) et de d(x,t).Montrerquetout champ de vitesse en déformation plane ainsi dé ni, qui satisfait les équations différentielles (1) Deα Uα(x,t) - Uβ(x,t)/Rα(x)=0 le long des lignes α , (2) Deβ Uβ(x,t)+Uα(x,t)/Rβ(x)=0 le long des lignes β , correspond à un taux de dilatation volumique nul ; déterminer alors les directions principales de d(x,t) et les valeurs principales correspondantes ; interpréter les lignes α et β.Étudier le cas particulier où les lignes α sont des droites issues de O et les lignes β les cercles de centre O :donner alors la forme générale des champs de vitesse satisfaisant (1) et (2) ; déterminer, parmi ces mouvements, ceux qui sont irrotationnels. Éléments de réponse : •On s appuie surlaformulegradU.w=DwU quel on appliqueàw = eα,w= eβ,w= ez, comme dans l annexe I ( 6.4). Noter que Deα et Deβ s écrivent aussi couramment ∂ ∂sαet∂ ∂sβ .Onremarqueque:Deα eα = eβ/Rα , Deαeβ = -eα/Rα , Deβeα = eβ/Rβ , Deβeβ = -eα/Rβ . D où : grad U(x,t)=(Deα Uα - Uβ/Rα) eα ⊗ eα +(Deα Uβ + Uα/Rα) eβ ⊗ eα+ +(DeβUα -Uβ/Rβ)eα ⊗eβ +(DeβUβ +Uα/Rβ)eβ ⊗eβ div U(x,t)=Deα Uα - Uβ/Rα + Deβ Uβ + Uα/Rβ est nulle si (1) et (2) sont satisfaites. Alors : d(x,t)= 1 2(DeαUβ +Uα/Rα+DeβUα -Uβ/Rβ)(eα⊗eβ +eβ ⊗eα). Les directions principales de d(x,t) sont les bissectrices de (eα ,eβ) et ez ;le slignes α et β sont les enveloppes des directions pour lesquelles le taux de glissement est maximal. • Dans le cas particulierindiqué on retrouve : gradU=∂Ur ∂r er⊗er+∂Uθ ∂r eθ⊗er+(1 r ∂Ur ∂θ-Uθ r)er⊗eθ+(1 r ∂Uθ ∂θ+Ur r)eθ⊗eθ. (1) et (2) imposent : Ur = -∂f(θ, t)/∂θ Uθ = f(θ, t)+g(r, t) . On a :Ω(x,t)=1 2(g +f /r+(f+g)/r)(eθ⊗er -er⊗eθ). Mouvement irrotationnel si et seulement si : Ur(x,t)=α(t)cosθ + β(t)sinθ, Uθ(x,t)=-α(t)sinθ + β(t)cosθ + γ(t)/r . Commentaire. Cet exercice se rattache à la théorie de la plasticité en déformation plane pour les matériaux de Tresca ou de von Mises : les équations (1) et (2) sont les équations de Geiringer. Si le champ de vitesse est connu sur un arc de courbe (ni α ni β), les équations (1) et (2) permettent,
Exercices 133 par intégration, de le calculer dans tout un domaine (lignes caractéristiques et domaine de détermination pour un système d équations aux dérivées partielles hyperbolique linéaire). Dans le cas particulier, les deuxpr e mie r stermes dé nissent un mouvement de translation uniforme U(x,t)=α(t)ex + β(t)ey (solution banale), le troisième correspond au mouvement étudié dans Ex. III.3. III.6 - Soit v un champ de vecteurs différentiable, dé ni à chaque instant t sur la con guration κt .Ondésigne par O un point xe dans le référentiel R,parM le point courant dans un domaine Dt de volume Ωt dans κt.Établir les formules : Ωt ρ˙ v dΩt = Ωt ∂ ∂t(ρv)dΩt + ∂Ωt (ρv) U .n da ΩtOM∧ρ˙ vdΩt= ΩtOM∧∂ ∂t(ρv)dΩt + ∂Ωt OM ∧ ((ρv)U .n)da - Ωt U ∧ ρv dΩt . Examiner le cas particulier où le champ v est le champ de vitesse U . Éléments de réponse : On applique les formules de la dérivation particulaire aux intégrales Ωt ρv dΩt et Ωt OM ∧ ρv dΩt. Commentaire. Dans le cas particulier, le résultat établi sera utilisé au chapitre IV section 7 : il indique que le torseur des quantités d accélération est égal à la dérivée particulaire du torseur des quantités de mouvement, et il exprime cette dernière au moyen de densités volumique et surfacique. III.7 - Théorème deKelvin;théorème de Helmholtz. On considère, dans un référentiel R,unmouvement dont le champ des accélérations en représentation eulé- rienne dérive à chaque instant d un potentiel uniforme. On désigne par Lt une courbe fermée dans la con guration κt,etparΓ la circulation du vecteur vitesse U(x,t) sur cette courbe Lt.Onsuppose que Lt ne rencontre aucune surface de discontinuité de vitesse. Démontrer que la dérivée particulaire de Γ est nulle. On désigne par Σt une portion de surface dans la con guration κt,supposée ne rencontrer aucune surface de discontinuité de la vitesse, et par φ le ux du vecteur tourbillon Ω(x,t) àtravers Σt : évaluer la dérivée particulaire de φ.Ondé nit à chaque instant t,dansκt,leslignes- tourbillons : lignes enveloppes du champ des vecteurs tourbillons qui constituent une famille à deux paramètres ; on dé nit aussi les surfaces-tourbillons : surfaces engen- drées par les lignes-tourbillons s appuyant sur une courbe donnée arbitraire. Démon- trer que les surfaces-tourbillons et les lignes-tourbillons sont des éléments matériels. Calculer la dérivée particulaire du vecteur Ω(x,t)/ρ(x,t). Éléments de réponse : •˙ Γ = Lt(˙ U+U.grad U).dM = Lt a .dM + Lt(grad(U2 2 )) . dM d après (4.52) , d où ˙ Γ =0sous les hypothèses indiquées. LtdésignantlafrontièredeΣt on a2φ=Γ d où:2˙φ= ˙ Γ =0. • Less urfaces-tourbillons sont caractérisées par le fait que le long de toute courbe fermée, réductibleàun point, tracée sur une surface-tourbillon, la circulation de la vitesse est nulle. Le transport convectif d une surface-tourbillon à l instant t conserve cette propriété puisque
134 Chapitre III - Cinématique du milieu continu ˙ Γ =0:lasurface transportée demeure donc une surface-tourbillon. En considérant une ligne- tourbillon comme l intersection de deux surfaces-tourbillons on démontre le résultat relatif aux lignes-tourbillons. • On écrit que, pour un vecteur-aire quelconque da : ˙ Ù dφ= ˙ ˝ Ω(x,t) . da =0; en appliquant la formule (4.59) qui donne la dérivée particulaire du vecteur-aire on obtient : ˙ Ω= -ΩdivU+(gradU).Ω et,puisquedivU= - ˙ρ/ρ,ilvient: ˙ ˘ (Ω/ρ) =(grad U) . (Ω/ρ). Commentaire. L existence d un potentiel des accélérations uniforme se démontre en mécanique des uides lorsque les forces de masse dérivent elles-mêmes d un potentiel uniforme et si le uide consi- déré est barotrope . Le résultat établi, concernant la conservation de la circulation de la vitesse dans les conditions indiquées, est le théorème de Kelvin. Le caractère matériel des lignes et surfaces-tourbillons est l objet du théorème de Helmholtz. Le dernier résultat établi montre que lev ecteur Ω(x,t)/ρ(x,t) subit un simple transport convectif, c est-à-dire évolue comme le vecteur matériel dM .
Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts MOTS CLÉS Système. Sous-systèmes. Efforts extérieurs. Efforts intérieurs. Quantités d accélération. Référentiel galiléen. Loi fondamentale. Loi des actions mutuelles. Dualisation. Principe des puissances virtuelles. Vitesses virtuelles. Mouvement virtuel. Mouvement virtuel rigidi ant. Distributeurs. Torseurs. Quantités de mouvement. Théorème d Euler. Théorème de l énergie cinétique. 135
Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 137 En bref La modélisation des efforts suppose, en préalable, la modélisation géo- métrique du système étudié et doit être cohérente avec elle. C est ainsi que le concept de force (concentrée) est lié à celui de point matériel pour lequel la position suffit à décrire l état géométrique, et la vitesse le mouvement. Sur cet exemple il apparaît que la loi fondamentale de la dynamique est équivalente à une formulation mathématique dualisée qui exprime l égalité du produit scalaire de cette force par un vecteur quelconque et du produit scalaire de la quantité d accélération du point matériel par ce même vec- teur : on dit qu il y a égalité des puissances virtuelles de la force appliquée et de la quantité d accélération dans toute vitesse virtuelle du point ma- tériel (sections 1 et 2). Cette idée est le fondement de l approche par les puissances virtuelles. L exemple d un système de points matériels met en évidence la notion de sous-systèmes d un système donné et la distinction à établir entre efforts extérieurs et efforts intérieurs au système ou à un sous-système. Les vitesses virtuelles de chacun des points matériels constitutifs du système (ou d un sous-système) engendrent les mouvements virtuels de ce système (ou sous-système). Les efforts extérieurs, intérieurs et les quantités d accélération dé nis- sent pour le système ou le sous-système des formes linéaires sur l espace vectoriel de ses mouvements virtuels. La formulation dualisée de la loi fon- damentale de la dynamique apparaît sur l espace vectoriel des mouvements virtuels : la somme des puissances virtuelles des efforts extérieurs et des efforts intérieurs est égale à la puissance virtuelle des quantités d accélé- ration en repère galiléen, dans tout mouvement virtueldusystème (ou du sous-système). La dualisation de la loi desa ctio n sm utu elles se réfère aux mouvements virtuels rigidi ants :lapuissance virtuelle des efforts intérieurs au système (ou au sous-système) est nulle dans tout mouvement rigidi ant le système (ou le sous-système) (sections 1 et 2). Ces deux énoncés des puissances virtuelles sont alors posés en prin- cipe .Ilsconstituent le fondement de la méthode des puissances virtuelles :
138 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts àpa rtirdel intuition issue de l expérience , • cerner les concepts que l on souhaiteformaliser dans cette modélisation, sur cette base • dé nir la modélisation géométrique du système et notamment ses mou- vementsréels, • dé nir l espace vectoriel des mouvements virtuels, et les formes linéaires sur cet espace qui expriment les puissances virtuelles des efforts exté- rieurs, des efforts intérieurs et des quantités d accélération, par application du principe des puissances virtuelles • affiner, si nécessaire, ces expressions pour assurer la cohérence du modèle, • déduire la formulation, dans le cadre de la modélisation construite, de la loi des actions mutuelles et de la loi fondamentale de la dynamique (sections 3 et 4). Le rôle essentiel joué par les mouvements virtuels rigidi ants conduit à leur étude particulière. On introduit ainsi la notion de distributeur .Pa r dualité apparaît la notion de torseur (section 5). On met alors en évidence des résultats généraux, valables pour toute modélisation mécaniquement cohérente, qui expriment la loi fondamentale de la dynamique et la loi des actions mutuelles en termes de torseurs (section 6). Si l on s intéresse plus particulièrement aux milieux continus classiques, sans précisions supplémentaires sur la modélisation des efforts, la loi fonda- mentale de la dynamique prend aussi la forme des théorèmes de la quantité de mouvement en termes de torseurs, et conduit au théorème de l énergie cinétique (section 7).
Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 139 Principales notations Notation Signi cation 1ère formule R référentiel galiléen (1.1) S système (1.2) S sous-système de S (1.5) ˆ U vitesse virtuelle (2.1) P(e), P (e) puissance virtuelle des efforts extérieurs (2.6)(2.8) pourSetS 44 P(i), P (i) puissance virtuelle des efforts intérieurs (2.6)(2.8) pourSetS 45 A, A puissance virtuelle des quantités (2.6)(2.8) d accélération pour S et S 43 ˆ U mouvement virtuel 42 {ˆ D} distributeur (5.2) [F] torseur (5.7) [F].{ˆ D} produit de dualité torseur-distributeur (5.8) [Fe] , [F e] torseur des efforts extérieurs à S et S (6.1) [Fi] , [F i] torseur des efforts intérieurs à S et S (6.1) [MA] , [MA ] torseur des quantités d accélération de S et S (6.1) [MU] , [MU ] torseur des quantités de mouvement de S et S (7.6) K(U) ,K (U) énergie cinétique de S et S (7.25)
140 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 1P roblématique de la modélisationdes efforts .......143 1.1 Modélisation des efforts pour un système de points ma- tériels ............................ 143 1.2L améthode des puissances virtuelles. .......... 148 2D u a lisation et puissances virtuelles pour un système de points matériels. . ......................148 2.1S ystème constituéd unpoint matériel . ......... 148 2.2S ystème de points matériels ................ 149 2.3 Vitesses virtuelles, mouvements virtuels, puissances vir- tuelles ............................ 151 2.4É noncédes puissances virtuelles ............. 153 2.5 Modélisation des efforts et mouvements virtuels . . . . . 153 3M é t h o de des puissances virtuelles pour un système de points matériels. . ......................154 3.1 Présentation de la méthode des puissances virtuelles . . 154 3.2E xemple de mise en œuvre ................ 154 3.3 Commentaires sur cette application de la méthode des puissances virtuelles .................... 157 3.4 Compatibilité géométrique des ˆ ˙δij .Systèm e sdeba rres articulées .......................... 158 4L améthode des puissances virtuelles ............160 4.1P résentationgénéraledelaméthode ........... 160 4.2 Récapitulatif de la méthode des puissances virtuelles . . 162 4.3C o mmentaires ....................... 163 4.4C hangementderéférentiel.Objectivité . ......... 163 5M o u v e m e n t s r i g idi ants ; distributeurs, torseurs . . . . . 164 5.1D istributeurs ........................ 164 5.2T orseurs ........................... 165 5.3 Restriction d une forme linéaire dé nie sur un espace de mouvements virtuels aux mouvements virtuels rigidi ants 166 5.4T orseur d un systèmedeforces. ............. 166 5.5 Champs de distributeurs et de torseurs ; dérivation . . . 167 6R ésultats généraux ......................169 6.1 Dé nition du système et des mouvements considérés . . 169 6.2P uissances virtuelles .................... 170 6.3 Loi des actions mutuelles et loi fondamentale de la dy- namique ........................... 170 6.4C o mmentaires ....................... 171 7T h é o r è m es de la quantité de mouvement et de l énergie cinétique .............................172 7.1 Dé nition du système et des mouvements considérés . . 172 7.2 Torseur des quantités d accélération ; torseur des quan- titésdemouvement .................... 172 7.3C onservationdelaquantitédemouvement . ...... 173 7.4T héorèmed Euler . .................... 174
Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 141 7.5T héorèmedel énergie cinétique. ............. 176 7.6 Champ de vitesse réel discontinu : ondes de choc . . . . 177 8E t m a i n t enant ... .......................181 Récapitulatifdes formules essentielles .............182 Exercices ..............................184
1 Problématique de la modélisation des efforts 143 Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 1P roblématique de la modélisation des efforts Les trois chapitres précédents ont été consacrés à la modélisation géométrique du milieu continu déformable àpartir de l intuition expérimentale. A n d en établir la modélisation mécanique il est maintenant nécessaire d introduire, pour le milieu continu, le concept d efforts et d établir les lois qui régissent le mouvement et l équilibre d un système dans cette modélisation. 1.1 Modélisation des efforts pour un système de points matériels Point matériel Pour la mécanique du point matériel de masse m,laloi fondamentale de la dynamique postule l existence d un référentiel galiléen R dans lequel on énonce : en référentiel galiléen R ,F =ma. (1.1) La modélisation des efforts est fondée sur la notion de force représentée par le vecteur F de R3,ta ndis que a est l accélération de la masse ponctuelle considérée dans le référentiel R.Leproduit ma est la quantité d accélération de la masse m. Système de points matériels On considère maintenant un ensemble de n points matériels dans sa con guration κt à l instant t.Po u rchaqu epoint matériel (j) de masse mj l effort à introduire au premier membre de la loi fondamentale (1.1) résulte de la composition vectorielle de la force F j exercée sur (j) par le monde extérieur à l ensemble des n points matériels considérés, et des efforts exercés sur (j) par les autres points matériels (i) de l ensemble (i = j, i =1, 2,... ,n).Ens upposant que ces efforts correspondent uniquement à des interactions binaires découplées, on désigne par F ij la force exercée par le point matériel (i) sur le point matériel (j), (i = j, i =1, 2,... ,n). L ensemble des n points matériels ci-dessus constitue un système mécanique S pour lequel on vient de procéder à une modélisation des efforts qui met en évidence les efforts extérieurs F j et les efforts intérieurs F ij ( gure 1). Pour ce système les lois de la mécanique s expriment par les lois de Newton de la façon suivante.
144 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts Figure 1 Système demasses ponctuelles : efforts extérieurs et efforts intérieurs D une part, l écriture de la loi fondamentale de la dynamique (1.1) pour chaque pointmatérieldusystèmeS : en référentiel galiléen R , ∀(j) ∈S,Fj + (i)∈S i =j Fij = mjaj (1) (1.2) où l on reconnaît la structure Force extérieure sur (j) + Forces intérieures sur (j) = Quantité d accélération de (j) (1.3) D autre part, l écriture du principe de l action et de la réaction qui régit les forces d interaction pour chaque couple de points matériels et exprime que la force exercée par (i) sur (j) forme avec la force exercée par (j) sur (i) un système de forces équivalent à zéro : en référentiel galiléen R , ∀(i) ∈S, ∀(j) =(i) ∈S, Fij+Fji=0 OMi∧Fji+OMj∧Fij=0. (1.4) où O désigne un point géométrique arbitraire dans κt . Sous-système En considérant une partie du système précédent on dé nit un sous-système S de S.Pourcesous-système la distinction entre effortsextérieursetintérieurs se réfère à S etnonplusàS. (1)Dans ce chapitre la convention de sommation sur les indices répétés ne sera pas utilisée :toutes les sommations seront explicitées.
1 Problématique de la modélisation des efforts 145 Figure 2 Système demasses ponctuelles : principe de l action et de la réaction Compte tenu des hypothèses faites danslade s c riptio nde seffo rtspo u rc equi concerne les forces d interaction entre les points matériels, la force extérieure F j sur un point matériel (j) de S est déterminée de façon évidente à partir des efforts FjetFij: ∀S ⊂S, ∀(j) ∈S , F j=Fj+ (i)/∈S F ij . (1.5) Les efforts intérieurs sur le point matériel (j) de S se réduisent à ceux exercés par les autres points matériels de S : F ij , (i) ∈S ,i = j. Figure 3 Sous-système S :effortsextérieurseteffortsintérieurs Il en résulte que la loi fondamentale de la dynamique (1.2) peut aussi être mise sous la forme : en référentiel galiléen R , ∀(j) ∈S ⊂S, F j+ (i)∈S i =j Fij = mjaj (1.6)
146 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts qui a,vis-à-vis de S ,lamêmestructure que (1.2) vis-à-vis de S Force extérieure /S sur (j) + Forces intérieures /S sur (j) = Quantité d accélération de (j) (1.7) Parailleurs le principe de l action et de la réaction écrit en (1.4) pour les forces d interaction pour chaque couple de points matériels de S contient notamment l écri- ture de ce même principe pour chaque couple de points matériels de S . Loi des actions mutuelles Figure 4 Système demasses ponctuelles : loi des actions mutuelles On peut aussi remarquer que le principe de l action et de la réaction (1.4) est équivalent à l énoncé (1.8) qui considère, au lieu des couples de points matériels, l en- semble des points matériels d un sous-système quelconque S de S (dont S lui-même). Cet énoncé est celui de la loi des actions mutuelles .Ilexprimeque les efforts in- térieurs à un sous-système quelconque forment un système de forces équivalent à zéro c est-à-dire de résultante et de moment résultant nuls (2) : en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, (j)∈S (i)∈S i =j Fij =0 (j)∈S (i)∈S i =j OMj∧Fij=0 (1.8) En résumé... Pour un système de points matériels on a vu que la description des efforts extérieurs et intérieurs donnée pour le système S permet de déterminer les efforts correspondant (2)Cf. 5.4.
1 Problématique de la modélisation des efforts 147 àto uts ous-système S de S.Le slois de la mécanique s expriment par la loi fonda- mentale de la dynamique et la loi des actions mutuelles, sous la même forme, pour le système S et pour tout sous-système S de S. Référentiels non galiléens Les énoncés de la loi fondamentale (1.1, 1.2, 1.6) et de la loi des actions mutuelles (1.4) qui dé nissent la modélisation des efforts sont relatifs à un référentiel galiléen. La question se pose alors d en déduire la modélisation dans un autre référentiel. Pour cela on rappelle les formules (cf. chapitre III, 3.11) exprimant la com- position des vitesses et des accélérations lors d un changement de référentiel . Le référentiel R∗ étant animé, par rapport au référentiel R,dumouvementd entraî- nement dé ni par le champ de vitesse rigidi ant U e dont la vitesse instantanée de rotation est ωe ,ona: U(x)=U ∗(x∗)+U e(x∗) (1.9) a(x)=a∗(x∗)+ae(x∗)+2ωe ∧ U ∗(x∗) , (1.10) dans lesquelles U(x) et U ∗(x∗) d une part, a(x) et a∗(x∗) d autre part, désignent respectivement la vitesse et l accélération du point matériel en x par rapport au référentiel R et x∗ par rapport au référentiel R∗ ,ae(x∗) est l accélération en x∗ du point géométrique lié à R∗ dans le mouvement d entraînement par rapport à R et 2 ωe ∧ U ∗(x∗)=ac(x∗) est l accélération complémentaire (ou de Coriolis(3)). Un changement de référentiel galiléen est caractérisé par le fait que U e ,est un champ de vitesse de translation indépendant du temps (ωe =0,ae =0).One n déduit que la modélisation établie dans un référentiel galiléen demeure identique dans tout autre référentiel de ce type. Dans le cas d un changement de référentiel quelconque la loi des actions mutuelles conserve la même expression (1.8) avec la mêmereprésentation des efforts intérieurs (la précision en référentiel galiléen est ainsi inutile dans cet énoncé). En revanche, en appliquant la formule de composition des accélérations (1.10) à la loi fondamentale (1.2) écrite dans le référentiel galiléen R on obtient l expression de la loi fondamentale en référentiel non galiléen : dans le référentiel R∗ , ∀(j) ∈S,Fj + (i)∈S i =j Fij -mj(ae)j -2mjωe∧U∗j = mja∗j , (1.11) et la formule homologue à partir de (1.6). On peut interpréter cette formule en disant que la loi fondamentale conserve la même forme que (1.2) en référentiel non galiléen àc o nditio nd ajo ute r ,àlar eprésentation des efforts extérieurs établie en référen- tiel galiléen, les forces ctivesd inertie d entraînement -mj(ae)j et les forces ctives complémentaires -2 mj ωe ∧ U ∗j . (3)G. Coriolis (1792-1843).
148 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 1.2 La méthode des puissances virtuelles Le problème de la modélisation des efforts pour le milieu continu concerne la représentation des efforts extérieurs et intérieurs pour tout système S dé ni dans le cadre de la modélisation géométrique établie dans les chapitres précédents, et pour tout sous-système S de S,ain siqu el écriture des équations exprimant la loi fondamentale de la dynamique et la loi des actions mutuelles ,ho m ologues de (1.2), (1.6) et (1.4). Diverses approches peuvent être employées pour cette construction. On a choisi la méthode des puissances virtuelles qui présente l avantage de mettre en relief la cohérence entre la modélisation géométrique et la modélisation des efforts et qui a une portée générale : suivant l intuition issue de l expérience elle permet, à partir de la description géométrique adoptée, la construction de représentations des efforts cohérentes et l obtention des équations correspondantes. La méthode sera appliquée à plusieurs reprises, pour le milieu continu tridimensionnel au chapitre V et pour les mi- lieux curvilignes au chapitre XI : on pourra ainsi remarquer le caractère systématique de la démarche en même temps que la structure commune des équations obtenues. Les sections suivantes (2 et 3) ont pour objet d introduire le concept de puissances virtuelles et la méthode correspondante en partant du modèle connu examiné ci- dessus, celui des systèmes discrets constitués de points matériels. 2D ualisation et puissances virtuelles pour un système de points matériels 2.1 Système constitué d un point matériel La dualisation de la loi fondamentale pour un point matériel s opère de façon évidente. En désignant par ˆ U un vecteur quelconque de R3, l équation (1.1) est équi- valente à l énoncé : en référentiel galiléen R , ∀ˆ U∈R3 F.ˆ U=ma. ˆ U. (2.1) En dé nissant sur R3 les formes linéaires P et A par P(ˆ U)=F. ˆ U A(ˆ U)=ma . ˆ U, (2.2) on aboutit à la formulation duale de (1.1) en référentiel galiléen R , ∀ˆ U∈R3,P(ˆ U)=A(ˆ U). (2.3)
2 Dualisation et puissances virtuelles pour un système de points matériels 149 2.2 Système de points matériels On considère à nouveau le système S représenté sur la gure 1, constitué de n masses ponctuelles mj affectées aux points matériels (j) situés en Mj à l instant t dans la con guration κt. Dualisation de la loi fondamentale de la dynamique Pour le système S Pour chaque point matériel (j) de S,ladualisation de la loi fondamentale de la dynamique (1.2) nécessite, comme ci-dessus, l introduction d un vecteur arbitraire ˆ Uj de R3.Onobtientainsi l énoncé dual, équivalent à (1.2) : en référentiel galiléen R , ∀(j)∈S, ∀ˆ Uj∈R3, Fj. ˆ Uj+ (i)∈S i =j Fij. ˆ Uj=mjaj. ˆ Uj. (2.4) Il est évident, compte tenu du caractère arbitraire de chacun des n vecteurs ˆ Uj, que l énoncé précédent est équivalent à l énoncé global : en référentiel galiléen R , ∀ˆ U1,... , ˆ Un∈R3×...×R3, (j)∈SFj . ˆ Uj+ (j)∈S (i)∈S i =j Fij. ˆ Uj= (j)∈Smjaj . ˆ Uj. (2.5) En dé nissant sur R3 × ... × R3 les trois formes linéaires P(e)( ˆ U1,... , ˆ Un)= (j)∈SFj . ˆ Uj P(i)( ˆ U1,... , ˆ Un)= (j)∈S (i)∈S i =j Fij. ˆ Uj A(ˆ U1,... , ˆ Un)= (j)∈Smjaj . ˆ Uj (2.6) on aboutit à la formulation duale de la loi fondamentale de la dynamique pour le système S : en référentiel galiléen R , ∀ˆ U1,... , ˆ Un∈R3×...×R3 P(e)( ˆ U1,... , ˆ U n)+P(i)( ˆ U1,... , ˆ U n)=A( ˆ U1,... , ˆ Un). (2.7) Pour un sous-système S Pour un sous-système quelconque S de S,ladémarchededualisation est identique àpartirdel équation (1.6) qui ne concerne que les points matériels de S .Onassocie
150 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts un vecteur arbitraire ˆ Uj de R3 àchacu ndeces points et la partition, explicitée par (1.5) et (1.7), entre forces extérieures et intérieures relativement à S conduit à dé nir pour S les formes linéaires suivantes sur R3 × ...× R3 : S =( ),... ,(p) , ∀ˆ U ,... , ˆ Up∈R3×...×R3, P (e)( ˆ U ,... , ˆ Up)= (j)∈S F j . ˆ Uj P (i)( ˆ U ,... , ˆ Up)= (j)∈S (i)∈S i =j Fij. ˆ Uj A ( ˆ U ,... , ˆ Up)= (j)∈S mjaj . ˆ Uj. (2.8) L expression dualisée de la loi fondamentale de la dynamique pour le sous-système S s exprime alors par la formule (2.9) homologue évidente de (2.7) : en référentiel galiléen R , S =( ),... ,(p) ⊂S, ∀ˆ U ,... , ˆ Up∈R3×...×R3, P (e)( ˆ U ,... , ˆ U p)+P (i)( ˆ U ,... , ˆ U p)=A ( ˆ U ,... , ˆ Up) . (2.9) Dualisation de la loi des actions mutuelles La loi des actions mutuelles est exprimée par la formule (1.8) qui représente un système de deux équations vectorielles pour chaque sous-système S de S,ycompris S lui-même. La dualisation de chaque tel système de deux équations se fait en intro- duisant deux vecteurs arbitraires de R3,s oie ntˆ U0etˆ ω0.Ain si(1.8) est équivalente à: en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, ∀ˆ U0∈R3,∀ˆ ω0∈R3, ( (j)∈S (i)∈S i =j Fij). ˆ U0+( (j)∈S (i)∈S i =j OMj ∧Fij). ˆ ω0 =0. (2.10) On peut alors poser : ∀ˆ U0∈R3,∀ˆ ω0∈R3, ∀(j) ∈S , ˆ Uj= ˆ U0 +ˆ ω0∧OMj, (2.11) ce qui permet de mettre (2.10) sous la forme : en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, ∀ˆ U0∈R3,∀ˆ ω0∈R3, (j)∈S (i)∈S i =j Fij. ˆ Uj =0 si (2.11). (2.12)
2 Dualisation et puissances virtuelles pour un système de points matériels 151 On reconnaît dans (2.12) la forme linéaire P (i) dé nie en (2.8). D oùlaformulation duale de la loi des actions mutuelles (1.8) : en référentiel galiléen , ∀S =( ),... ,(p) ⊂S, ∀ˆ U0∈R3,∀ˆ ω0∈R3, P (i)( ˆ U ,... , ˆ U p)=0 si (2.11) . (2.13) On peut remarquerquelesvecteurs ˆ U j astreints à satisfaire (2.11) sont tels que : ∀(i) ∈S , ∀(j) ∈S MiMj .(ˆ Uj- ˆ U i)=0 si (2.11) , (2.14) c est-à-dire que si les points géométriques Mj , (j) ∈S ,dansκt étaient animés, dans le référentiel R,desvitesses ˆ U j dé nies par (2.11) à partir de ˆ U0etˆ ω0 leurs distances respectives (|MiMj|)s e r aient conservées. Le mouvement instantané correspondant n est autre que le mouvement rigidi ant dé ni dans R par les vecteurs arbitraires ˆ U 0,(vitesse du point O)et ˆ ω0 (vitesse de rotation). Cette remarque sera mise à pro t dans la suite. 2.3 Vitesses virtuelles, mouvements virtuels, puissances virtuelles Point matériel Dans le cas d un point matériel, pour lequel l effort est modélisé par une force F appliquée au point M dans κt à l instant t,leproduit scalaire F . ˆ U qui apparaît dans (2.1) associe à tout vecteur ˆ U de R3 la puissance de la force F dans le mouvement du point matériel considéré qui serait animé dans le référentiel R de la vitesse ˆ Uà l instant t. A n d insister sur le caractère arbitraire du vecteur ˆ U de R3 dans (2.1), qui im- plique notamment que ˆ U n a rien à connaître des restrictions éventuelles imposées à la vitesse du point matériel en M dans son mouvement réel, la terminologie choisie est la suivante. ˆ U est la vitesse virtuelle du point matériel en M dans le référentiel R ;elle dé nit, dans R,unmouvement virtuel de ce point matériel. P(ˆ U)=F. ˆ U est la puissance virtuelle de la force F dans ce mouvement virtuel. A(ˆ U)=ma . ˆ U est, par assimilation, la puissance virtuelle de la quantité d accélération ma du point matériel dans cemouvementvirtuel. Système de points matériels Les mêmes arguments peuvent être repris pour un système S de plusieurs points matériels.
152 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts L ensemble des vecteurs ˆ U1,... , ˆ U n arbitraires dans R3 introduits dans (2.5) est une distribution de vitesses virtuelles dans κt pour les pointsm atériels (j) de S dans le référentiel R.Ildé nit, dans ce référentiel, un mouvement virtuel (m.v.) du système S. P(e)( ˆ U1,... , ˆ Un)= (j)∈SFj. ˆ U j est, pour S,lapuissance virtuelle des efforts extérieurs dans ce mouvement virtuel ; P(i)( ˆ U1,... , ˆ Un)= (j)∈S (i)∈S i =j Fij. ˆ U j est, pour S,lapuissance virtuelle des efforts intérieurs ; A(ˆ U1,... , ˆ Un)= (j)∈Smjaj . ˆ U j est la puissance virtuelle des quantités d ac- célération . De même pour un sous-système ( ),... ,(p)=S ,lemouvement virtuel de S est dé ni dans R par ˆ U ,... , ˆ U p et les puissances virtuelles, homologues des précédentes sont P (e)( ˆ U ,... , ˆ Up), P (i)(ˆ U ,... , ˆ Up) et A (ˆ U ,... , ˆ U p) dé nies par (2.8). Il est clair que, pour le système S ou pour un sous-système S quelconque, l en- semble des mouvements virtuels à une structure d espace vectoriel. Parmi ces mouvements virtuels, la dualisation de la loi des actions mutuelles ne porte que sur les distributions de vitesses virtuelles ˆ U j qui satisfont sur S ou sur le sous-système S considéré la condition (2.11). Mettant à pro t la remarque faite au paragraphe 2.2 à partir de la formule (2.14) il est naturel d adopter pour cette classe de mouvements virtuels la terminologie de mouvement virtuel rigidi ant (m.v.r.) le système S ou le sous-système considéré. Changement de référentiel Les vecteurs ˆ U j introduits aux paragraphes 2.1 et 2.2 sont les instruments mathématiques de la dualisation de la loi fondamentale et de la loi des actions mutuelles écrites dans le référentiel R.Ce sv ecteurs quelconques de R3 sont dé nis à l instant t sur la con guration actuelle du système étudié, et ne sont en rien concernés par le concept de changement de référentiel. En revanche, l interprétation, qui vient d être donnée, de chacun de ces vecteurs ˆ U j comme la vitesse virtuelle de la masse ponctuelle en M dans le référentiel R,etdel ensemble de ces vecteurs comme dé nissant un mouvement initial dans R du système de masses ponctuelles (j) ou de ses sous-systèmes, introduit pour ces m ouvements virtuels le concept fécond de changement de référentiel. Il s agit, considérant deux référentiels R et R∗ quelconques, d énoncer que deux distributions de vecteurs ˆ Ujetˆ U ∗j dé nissent, dans R et R∗ respective- ment, le même mouvement virtuel si elles sont liées par la relation (1.9) valable pour les mouvements réels, soit ici : ˆ Uj= ˆ U∗j +(U∗ e)j. On remarque alors qu un changement de référentiel quelconque est sans effet sur la valeur de la puissance virtuelle des efforts intérieurs. En effet on a, par exemple pour S , (j)∈S (i)∈S i =j Fij. ˆ Uj = P (i)(ˆ U ,... , ˆ Up)=P (i)(ˆ U∗ ,... ,ˆ U∗ p)+P (i)((U e) , ... ,(U e)p) (2.15)
2 Dualisation et puissances virtuelles pour un système de points matériels 153 dont le dernier terme est nul puisque les (U e)j correspondent à un mouvement rigidi ant. On peut ainsi énoncer, avec la dé nition précédente, que la puissance virtuelle des efforts intérieurs au système ou à un de ses sous-systèmes est indépendante du référentiel dans lequel est observé le mouvement virtuel considéré. On reviendra sur cette question au paragraphe 4.4. 2.4 Énoncé des puissances virtuelles En conclusion, pour le système de points matériels étudié avec la modélisation des efforts présentée dans la section 1, on a montré l équivalence entre les lois de la mécanique (lois de Newton) et l énoncé suivant dit des puissances virtuelles , avec les dé nitions données plus haut : en référentiel galiléen , ∀S =( ),... ,(p) ⊂S , (2.16) ∀ˆ U ,... , ˆ Upm.v.deS , P (e)( ˆ U ,... , ˆ U p)+P (i)( ˆ U ,... , ˆ U p)=A ( ˆ U ,... , ˆ Up), (2.17) ∀ˆ U ,... , ˆ Up m.v.r. de S , P (i)( ˆ U ,... , ˆ U p)=0 (2.18) dont la première proposition(2.16, 2.17) dualise la loi fondamentale de la dynamique, et la seconde (2.16, 2.18) la loi des actions mutuelles. 2.5 Modélisation des efforts et mouvements virtuels L objectif annoncé de cette présentation était, à partir d une modélisation connue desefforts et des énoncés correspondants des lois de la mécanique, de dégager les principes de la dualisation ainsi que des énoncés qui pourraient être posés, dans la suite, comme principes fondamentaux (cf. section 3). Dans cette démarche, les espaces sur lesquels est effectuée la dualisation pour un système ou pour ses sous-systèmes sont évidemment directement déterminés par la connaissance préalable que l on a de la modélisation : les efforts étant modélisés par des forces, c est-à-dire des vecteurs de R3 ,ladualité à travers le produit scalaire euclidien introduit les vecteurs arbitraires ˆ Uj de R3. On pourrait imaginer de partir d une autre modélisation des efforts où, abandon- nant le concept de masses ponctuelles, interviendraient en Mj ,outredes forces F j et F ij comme dans le cas précédent, des couples Γ j et Γ ij .Ladualisation introduirait alors, outre les vecteurs ˆ U j ,unautrejeudevecteurs arbitraires ˆ rj de R3.Cesˆ rj ,as- sociés à des couples dans le produit scalaire, prendraient la signi cation de vitesses de rotation virtuelles en chaque point Mj ,etde spr oduitsdutypeΓ. ˆ r vien- draient compléter les expressions de P(e)( ˆ U1,... , ˆ Un, ˆ r1,... ,ˆ rn), P (e), P(i), P (i)... Un mouvement virtuel de S serait alors dé ni, dans un référentiel R,p a r (ˆ U1,... , ˆ Un, ˆ r1,... ,ˆ rn).Lesmouvements virtuels rigidi ant S ,surlesquels P (i) se-
154 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts rait nulle, seraient dé nis par (2.11) pour ˆ U ,... , ˆ Up avec, de plus : ˆ r = ...=ˆ rp= ...=ˆ ω0. (2.19) On reviendra sur cette idée au chapitre V (section 5) et au chapitre XI mais on doit déjà insister sur le lien existant entre les mouvements virtuels considérés dans la dualisation et la modélisation mêmedesefforts à laquelle on aboutit. 3M éthode des puissances virtuelles pour un système de points matériels 3.1 Présentation de la méthode des puissances virtuelles L idée directrice de la méthode des puissances virtuelles consiste à aborder le problème de la modélisation des efforts par dualité en s appuyant sur le principe des puissances virtuelles(2.16 à 2.18) posé aprio ricomme fondamental. Après la dé nition géométrique du système étudié qui implique celle de ses mou- vements réels, la démarche impose de commencer par dé nir les mouvements vir- tuels qui vont être considérés pour le système et pour ses sous-systèmes et qui doivent constituer des espaces vectoriels. Puis, en se donnant les expressions des formes linéaires P(e), P (e), P(i), P (i), A, A sur ces espaces vectoriels, on va esquisser laformedelamodélisation des efforts que l on souhaite construire : les cofacteurs introduits par ces formes traduisent la repré- sentation des efforts extérieurs et intérieurs. L exploitation du principe des puissances virtuelles permettra d achever la modé- lisation en aboutissant aux équations de la dynamique pour le système étudié. Le choix des espaces vectoriels des mouvements virtuels, instruments mathéma- tiques de la construction par dualisation, est, à la fois, totalement libre et essentiel. Les mouvements virtuels n ont rien à connaître des limitations éventuelles imposées aux mouvements réels du système considéréda n ss on évolution mécanique particu- lière, mais ils doivent évidemment, pour que la construction faite ait une quelconque utilité pratique, inclure tous ces mouvements réels. 3.2 Exemple de mise en œuvre On se propose, sans entrer dans les détails de démonstration ni répéter l argumen- tation de dualisation de la section 2, de montrer comment la modélisation des efforts qui a servi de point de départ dans la section 1 peut être construite par la méthode des puissances virtuelles. Modélisation géométrique ; mouvements réels Le système S est décrit comme constitué de n points matériels (j) de masse mj , qui occupent dans la con guration κt,lespositionsgéométriques Mj .Unsous-système
3 Méthode des puissances virtuelles pour un système de points matériels 155 S est une partie de S constituée des points matériels ( ),... ,(p).S agissant de points matériels la con guration géométrique du système est dé nie par la donnée des seules positions géométriques des points Mj à cet instant. Les mouvements réels du système S sont dé nis sur κt,parlesvitesses U j de ces points. Espaces vectoriels des mouvements virtuels Dans le but de décrire un système dans lequel les efforts sont modélisés par des forces l espace vectoriel choisi pour les mouvements virtuels du système S est engendré par n vitesses virtuelles ˆ U j (vecteurs de R3)affectées aux points Mj .Lesmouvements virtuels d un sous-système S sont dé nis de la même manière. Ces espaces vectoriels contiennent évidemment les mouvements réels du système S (ou dusous-système S ) et les mouvements rigidi ant S (ou S ). Écriture des formes linéaires P(e) et P (e) Ces choix étant faits, l écriture la plus générale de P(e),formelinéaire sur l espace vectoriel engendré par les ˆ Ujest: P(e)( ˆ U1,... , ˆ Un)= (j)∈SFj . ˆ Uj (3.1) où les F j sont des cofacteurs arbitraires. De même pour P (e) relative à S : P (e)( ˆ U ,... , ˆ Up)= (j)∈S F j . ˆ Uj (3.2) où les F j cofacteurs affectés à Mj dépendent a priori du sous-système S considéré auquel appartient le point matériel (j). Les F j et les F j modélisent les efforts extérieurs à S et à S respectivement. Écriture des formes linéaires A et A Les mouvements réels du système dé nissent les accélérations aj des points ma- tériels, d où les quantités d accélération mj aj .Lapuissance virtuelle des quantités d accélération s écrit donc : A(ˆ U1,... , ˆ Un)= (j)∈S mjaj. ˆ Uj pourS, (3.3) A ( ˆ U ,... , ˆ Up)= (j)∈S mjaj. ˆ Uj pourS . (3.4) Écriture des formes linéaires P(i) et P (i) Comme pour P(e) l écriture la plus générale de P(i) est P(i)( ˆ U1,... , ˆ Un)= (j)∈SΦj . ˆ Uj, (3.5)
156 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts et pour S P (i)( ˆ U ,... , ˆ Up)= (j)∈S Φ j . ˆ Uj, (3.6) où les Φ j dépendent du sous-système S considéré contenant le point matériel (j). On fait l hypothèse (de découplage) portant sur les cofacteurs Φj et Φ j ,s elo n laquelle pour tout sous-système S ,ycomprisS lui-même, on a : P (i)( ˆ U ,... , ˆ Up)= (j)∈S (i)∈S i =j Fij. ˆ Uj (3.7) où les F ij ,aprio riarbitraires, sont indépendants du sous-système considéré, et sont donc dé nis commodément à partir des sous-systèmes constitués de deux éléments. Cette hypothèse signi e que la puissance virtuelle des efforts intérieurs pour le système S (ou pour uns o u s - système S )da n su nm ouvement virtuel ( ˆ U1,... , ˆ Un) quelconque est la somme des puissances virtuelles des efforts intérieurs, dans ce mou- vement virtuel, pour tous les sous-systèmes de deux éléments identi ables dans S (ou dans S ). Application du principe des puissances virtuelles Énoncé dual de la loi des actions mutuelles On considère les sous-systèmes S constitués de deux points matériels quelconques (i) et (j),po u rle squ els la proposition (2.16, 2.18) du principe des puissances virtuelles s écrit : P (i)(ˆ Ui, ˆ U j)=0dans tout mouvement virtuel rigidi ant S .Onr etr o u v eévidemment, par le raisonnement du paragraphe 2.2, le principe de l action et de la réaction : (en référentiel galiléen R) , Fij+Fji =0 OMi∧Fji+OMj∧Fij=0, (3.8) et l expression (3.7) de P (i) pour le sous-système considéré devient alors : P (i)( ˆ Ui, ˆ Uj)=Fij .(ˆ Uj- ˆ Ui). (3.9) Avec les notations eij = MiMj/|MiMj| (vecteur unitaire) , (3.10) Fij= -Fijeij, (3.11) ˆ ˙δij =(ˆ Uj- ˆ Ui).eij , (3.12) l expression (3.9) de P (i) pour le sous-système de deux points matériels devient : P (i)(ˆ Ui, ˆ Uj)=-Fijˆ ˙δij . (3.13) Dans cette formule ˆ ˙δij désigne le taux d allongement virtuel de la longueur |MiMj| dû aux vitesses virtuelles ˆ Uietˆ U j des points géométriques Mi et Mj ,terminologie qui rappelle que
3 Méthode des puissances virtuelles pour un système de points matériels 157 la formule (3.12) est identique à celle qui donne le taux d allongement réel ˙δij de |MiMj| pour des vitesses réelles U i et U j ; Fij est positive si la force F ij est attractive. Pour un sous-système S quelconque, y compris S lui-même, on aura alors l expression transformée de (3.7) : P (i)( ˆ U ,... , ˆ Up)=- (j)∈S (i)∈S i>j Fij ˆ ˙δij . (3.14) Lesformules (3.13) et (3.14) illustrent bien l interprétation donnée plus haut pour l écri- ture (3.7) de P (i)(ˆ U ,... , ˆ U p).Eneffe t ,(3.13) permet d identi er clairement les termes de l expression (3.14) pour un sous-système quelconque S :cha c u nd eux correspond à un sous-système constitué de deux éléments et ne fait intervenir que le taux de déformation virtuelle de ce sous-système binaire. Ainsi (3.13) dé nit en quelque sorte une densité discrète de puissance virtuelle des efforts intérieurs ,leniv e a uélémentaire correspon- dant étant représenté par les sous-systèmes binaires : le calcul de P(i) ou P (i) se fait par sommation de cette densité sur le système ou le sous-système quelconque considéré. Ceci achève de préciser la forme de la modélisationdesefforts intérieurs : ils sont représentés par un jeu de n(n - 1)/2 scalaires indépendants Fij . Énoncé dual de la loi fondamentale On applique la proposition (2.16, 2.17) du principe des puissances virtuelles au système S. Par le raisonnement du paragraphe 2.2 on retrouve immédiatement la loi fondamentale sous la forme (en référentiel galiléen R) , ∀(j) ∈S,Fj + (i)∈S i =j Fij=mjaj. (3.15) De même, l application de (2.16, 2.17) à un sous-système ( ), ... ,(p)=S quelconque de S fournit l énoncé : (en référentiel galiléen R) , ∀(j) ∈S ,F j + (i)∈S i =j Fij=mjaj. (3.16) En identi ant (3.15) et (3.16) on obtient la formule (3.17) qui explicite les efforts extérieurs à S exercés sur (j) ∈S : ∀(j)∈S ,F j =Fj+ (i)/∈S Fij . (3.17) 3.3 Commentaires sur cette application de la méthode des puissances virtuelles La mise en œuvre de la méthode des puissances virtuelles a donc permis, à partir d un choix d hypothèses, guidée par l expérience et par le type de modélisation auquel on souhaite aboutir, qui porte sur les espaces vectoriels des mouvements virtuels et sur l écriture des formes linéaires exprimant les diverses puissances virtuelles sur ces espaces, d assurer la cohérence mécanique delac o n str u ctio neffectuée et d obtenir, sans ambiguïté, toutes les équations qui régissent le système.
158 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts On remarque en particulier que, malgré la similitude des notations, il y a une différence de point de vue essentielle entre l écriture de (2.16, 2.17) pour le système S et pour un sous-système S quelconque autre que S :danslepremiercas, les forces extérieures F j sont connues, elles font en quelque sorte partie des données , dans le second cas les forces extérieures F j font partie des inconnues et sont explicitées, à l issue de la construction de la modélisation, par la formule (3.17). 3.4 Compatibilité géométrique des ˆ ˙δij .Systèm e sdeba rres articulées Compatibilité géométrique Considérantle spo sitio n sgéométriques des n points M1 , ... ,Mn on peut se poser le pro- blèmedec ompatibilité géométrique suivant : étant donné un jeu de taux d allongement virtuels ˆ ˙δij ,àquelle condition ceux-ci dérivent-ils, au sens de (3.12), d un mouvement virtuel (ˆ U1,... , ˆ Un) dans R ?Larépo n s eàcette question peut évidemment s obtenir directement àpa rtirde séquations de dé nition (3.12) en y éliminant les ˆ Ui.Un ea utr eméthode, que l on va exposer ci-dessous, résulte de l application du principe des puissances virtuelles, la modélisation des efforts pour le système étant maintenant acquise . Pour cela, on considère toutes les distributions d efforts intérieurs F ij qui satisfont la loi des actions mutuelles (3.8) et la loi fondamentale (3.15) avec des efforts extérieurs F j et des quantités d accélération mj aj nuls : ∀(i) ∈S, ∀(j) ∈S, Fij = -Fijeij ,Fij = -Fji ; ∀(j) ∈S , (i)∈S i =j Fij =0. (3.18) Une telle distribution d efforts intérieurs est dite autoéquilibrée pour le système S.L e n - semble de ces distributions autoéquilibrées constitue un espace vectoriel noté A.Ondéduit alors de (2.16, 2.17) et (3.14) : ∀(Fij,i =j =1,2,... ,n)∈ A , ∀(ˆ U1,... , ˆ Un) m.v. pour S , - n j=1 i>jFij ˆ ˙δij =0. (3.19) Cette formule fournit, sous forme dualisée, les conditions nécessaires(4) de compatibilité géo- métrique des taux d allongement virtuels ˆ ˙δij pour que ceux-ci dérivent de n vitesses virtuelles ˆ U j .Onpe utvéri er que cette condition d orthogonalité des taux d allongement virtuels géométriquement compatibles aux efforts intérieurs autoéquilibrés est suffisante. Système de barres articulées L intérêt de ce résultat géométrique n est guère apparent sur le système considéré ici d un ensemble de particules ponctuelles. En revanche on peut remarquer que la description donnée (4)Dans R3 la dimension de A est égale à 0 pour n ≤ 4,età(n - 3)(n - 4)/2 pour n ≥ 5.Ile n résultequepour n≤4les ˆ ˙δij n onta ucune condition de compatibilité à satisfaire, tandis que pour n ≥ 5 la formule (3.19) laisse (3n - 6) degrés de liberté aux ˆ ˙δij qui sont au nombre de n(n - 1)/2.
3 Méthode des puissances virtuelles pour un système de points matériels 159 au paragraphe 3.2 est également adaptée à l étude de la statique d un système de barres, non chargées entre leurs extrémités, assemblées entre elles en des nœuds articulés ( gure 5) où sont appliqués les efforts extérieurs au système. Les points géométriques Mj représentent les nœuds de la structure : ils correspondent à des points matériels de masses nulles. Tous les nœuds de la structure ne sont pas nécessairement reliés entre eux par une barre : deux nœuds M et Mm qui ne sont pas ainsi reliés n exercent, l un sur l autre, aucun effort et F m =0. Figure 5 Système de barres articulées Pour un telsystème les équations de la statique (équations d équilibre) sont identiques aux équations (1.2) et (1.4) où mj aj =0,etleprin cipede spuissances virtuelles s exprime par (2.16 à 2.18) avec les expressions explicitées ci-dessus pour les diverses puissances virtuelles où mj aj =0dans (3.3) ou (3.4). Homologue du problème posé aux chapitres II ( 6.2) et III ( 3.7) pour le milieu continu, le problème de la compatibilité géométrique des taux d extension des barres constitutives du système vise à déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur les ˆ ˙δij correspondants pour que la continuité géométrique du système de barres soit maintenue : en d autres termes, les barres soumises aux taux d extension ˆ ˙δij doivent demeurer assemblées en tous les nœuds, ceux-ci étant alors animés de vitesses ˆ Ui,...,ˆ Uj. Lesc o nditionsdec ompatibilité sont données par (3.19) en y imposant la nullité des F m associées aux nœuds M et Mm non reliés entre eux par des barres : les ˆ ˙δij dans les barres du système sont orthogonaux au sous-espace de A dont les F m sont xées à zéro pour ces nœuds. Si l on désigne par k(5) la dimension du sous-espace vectoriel de A lorsque ces F m sont xées à zéro, deux circonstances sont possibles : • k =0,les o u s - e spa ce vectoriel en question se réduit à la seule distribution des efforts intérieurs nuls (∀i, j, Fij =0);(3.19) n impose aucune restriction aux ˆ ˙δij donnés, c est-à- dire qu il n y a pas de condition de compatibilité géométrique à satisfaire par ces ˆ ˙δij ; • k ≥ 1,et(3.19) est la formulation dualisée de k conditionsdecompatibilité géométrique à satisfaire par les ˆ ˙δij donnés. Le point de vue développé dans ce paragraphe est évidemment à rapprocher de ce qui a été dita uchapitre III ( 3.9) àproposdelaformulation faible de la compatibilité géométrique et sera repris au chapitre V ( 3.13 et 4.2). (5)k est appelé degré d hyperstaticité (cf. chapitre X, 6.1, et chapitre XI, 4.5).
160 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 4L améthode des puissances virtuelles 4.1 Présentation générale de la méthode La section précédente a développé, sur l exemple d un système de points maté- riels, l application de la méthode des puissances virtuelles dont l esprit a été présenté au paragraphe 3.1. Comme on l avait annoncé cette analyse n avait pour but que d acclimater la méthode des puissances virtuelles, par une présentation induc- tive, l objectif poursuivi étant la formulation d une méthode générale, à caractère systématique, pour la construction de la modélisation des efforts. On se propose désormais de retenir l énoncé des puissances virtuelles ,telqu il aété dégagé au paragraphe 2.4 dans le cas des systèmes discrets constitués de points matériels, comme principe fondamental d une méthode de modélisation des efforts en ygénéralisant la signi cation des notions de vitesses virtuelles, mouvements virtuels et puissances virtuelles introduites sur l exemple au paragraphe 2.3. Le choix des espaces vectoriels des mouvements virtuels pour le système et ses sous-systèmes, après la modélisation géométrique qui implique la dé nition des mouvements réels, est l étape primordiale de la méthode. C est vis-à-vis des mouve- ments virtuels, qui jouent en quelque sorte lerôledes fonctions-tests de certaines théories mathématiques, que sont dé nies lesreprésentation sdeseffortscon str uites. Ils en délimitent donc le domaine de validité. Pour cette raison il est essentiel que l es- pace vectoriel des mouvements virtuels du système contienne les mouvements réels de celui-ci, faute de quoi la modélisation des efforts construite n aurait pas de pertinence pratique(6).Ilc on vie nticid in sister sur la signi cation de la terminologie mouve- ments réels : il s agit, une fois posée la modélisation géométrique du système, des mouvements qui sont pris en compte dans les évolutions réelles du système dans le cadre de cette modélisation ; on trouvera au chapitre XII ( 2.1 et 2.5), à propos des milieux curvilignes, une illustration de cette discussion. Àpartirdecechoix essentiel on exprime, par des formes linéaires continues sur l espace vectoriel des mouvements virtuels, les puissances virtuelles des efforts extérieurs, des efforts intérieurs et des quantités d accélération pour le système. On procède de même pour les sous-systèmes, dont les mouvements virtuels sont dé nis par restriction sur la géométrie correspondante à partir des mouvements virtuels du système. L application du principe des puissances virtuelles permet alors : • d abord, par l énoncé dual de la loi des actions mutuelles, de contrôler a priori la conformité des expressions proposées pour la puissance virtuelle des efforts (6)Les choses sont, en fait, un peu plus subtiles et les mouvements réels ont, dans l espace vectoriel des mouvements virtuels, un statut particulier dont l explicitation nécessiterait des développe- ments mathématiques hors de propos ici faute de disposer d exemples permettant de les illustrer. Une manifestation de ce particularisme apparaîtra dans le cas du milieu continu tridimensionnel lorsque lechampde vitesse réel est discontinu (onde de choc) aux paragraphes 7.6 de ce chapitre et 3.11 du chapitre V : on y verra notamment comment sont alors dé nies les formes linéaires A(U ) et P(i)(U) exprimant la puissance réelle des quantités d accélération et la puissance réelle des efforts intérieurs.
4 Laméthode des puissances virtuelles 161 intérieurs pour le système et pour ses sous-systèmes ; éventuellement, de préciser ces expressions de façon à ce que cet énoncé soit satisfait ; • par l énoncé dual de la loi fondamentale, si les expressions proposées pour les diverses puissances sont cohérentes entreelles du point de vue mathématique (co- hérence des hypothèses physiques sous-jacentes), d obtenir les équations de la dy- namique qui correspondent à la modélisation construite pour le système et pour tout sous-système, et aussi d expliciter les efforts extérieurs sur un sous-système quelconque. Le caractère systématique et structuré de la méthode est mis en évidence dans le tableau récapitulatif donné au paragraphe 4.2. Il doit néanmoins demeurer clair qu il ne s agit pas d une méthode axiomatique ! Les divers choix auxquels on doit procéder soulignent que des hypothèses, guidées par l expérience, par l intuition et par le type de modèle mathématique de la réalité physique auquel on veut aboutir, sont introduites. La validation du modèle obtenu par une telle construction est, bien entendu, l étape ultime. Il convient d ajouter que la méthode des puissances virtuelles n est pas la seule façon de construire les modélisations qui seront présentées dans la suite. Aussi bien pour le milieu continu (chapitre V) que pour les milieux curvilignes (chapitre XI) on dispose d autres approches qui seront évoquées le moment venu, complétant utilement la présentation par les puissances virtuelles pour la bonne compréhension des modèles. L intérêt essentiel de cette méthode réside dans son caractère unitaire et systématique qui permet notamment la construction cohérente de modélisations plus originales.
162 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 4.2 Récapitulatif de la méthode des puissances virtuelles 1 On procède à la dé nition géométrique du système S et de ses sous- systèmes S et à la description de ses mouvements réels dans le cadre de cette modélisation géométrique ,dan ssacon guration actuelle . 2 On choisit l espace vectoriel des mouvements virtuels (m.v.) que l on va considérer pour la modélisation mécanique du système. Cet espace vectoriel doit contenir les mouvements rigidi ant le système, et ses mou- vementsréels. Les mouvements virtuels d un sous-système quelconque sont les restric- tions à ce sous-système des mouvements virtuels du système. (Un mouvement virtuel est, dans la suite, représenté symboliquement par ˆ U.) 3 Sur cet espace vectoriel on écrit lesformeslinéaires continues A( ˆ U) et A ( ˆ U) qui expriment la puissance virtuelle des quantités d accélé- ration du système S ou d un sous-système quelconque S .Lescofacteurs sont les quantités d accélération. 4 On postule les expressions des formes linéaires continues P(e)( ˆ U) et P (e)( ˆ U) pour la puissance virtuelle deseffo rtse xtérie u r sau sys- tème S ou à un sous-système quelconque S .Le scofacteurs introduits constituent la représentation des efforts extérieurs correspondants. 5 On postule les expressions des formes linéaires continues P(i)( ˆ U) et P (i)( ˆ U) pour la puissance virtuelle deseffo rtsintérie u r sau sys- tème S ou à un sous-système quelconque S .Le scofacteurs introduits fournissent la modélisation correspondante des efforts intérieurs. 6 On écrit le principe des puissances virtuelles : en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, ∀ˆ U m.v.r. S , P (i)( ˆ U)=0 (4.1) ∀ˆ Um.v., P (e)( ˆ U)+P (i)( ˆ U)=A ( ˆ U) (4.2) 7 En exploitant les énoncés (4.1) puis (4.2), o nc o n t rôle la conformité des expressions proposées pour P(i)( ˆ U) et P (i)( ˆ U),quel on précise éventuellement ; o n véri e la c ohérence des expressions retenues pour P(e)( ˆ U), P (e)( ˆ U) et P(i)( ˆ U), P (i)( ˆ U); o ndéduit les équations de la dynamique pour le système S et pour tout sous-système S ; o ne xplicite la représentation des efforts.
4 Laméthode des puissances virtuelles 163 4.3 Commentaires L écriture des formes linéaires continues A( ˆ U)etA (ˆ U) ne pose guère de problème puisque, les mouvements réels du système et de ses sous-systèmes étant connus à partir de la modélisation géométrique, les quantités d accélération le sont également (7). La similitude des notations adoptées pour les formes linéaires relatives au système S lui-même et à ses sous-systèmes permet une écriture commune des équations du principe des puissances virtuelles, (4.1) et (4.2), pour S .Ceci ne doit pas occulter la différence essentielle entre le système S,quel on peut appréhender concrètement et sur lequel on peut expérimenter, et ses sous-systèmes qui sont découpés par la pensée . Cette différence se manifeste notamment lors de l écriture des formes linéaires P(e)( ˆ U) et P (e)(ˆ U) : l expérience guide couramment l écriture de P(e)( ˆ U) (comme on en verra des exemples aux chapitres V et XI) ; les effortsextérieurscorrespondants, cofacteurs dans P(e)( ˆ U),ont,enquelque sorte, le statut de données . En revanche, pour un sous-système S ,lesefforts extérieurs du moins ceux exercés par (S-S ) sur S ne béné cient pas d un tel support expérimental et l écriture de P (e)( ˆ U) repose sur des hypothèses et des intuitions ; ces efforts extérieurs, cofacteurs dans P (e)( ˆ U), ont quant à eux le statut d inconnues . L écriture des formes linéaires continues P(i)( ˆ U) et P (i)(ˆ U),a str einte sàvéri e r (4.1), découle également d hypothèses qui doivent être cohérentes avec celles faites pour P(e)( ˆ U) et P (e)(ˆ U). 4.4 Changement de référentiel. Objectivité Il est utile de reprendre ici, au plan général, les considérations évoquées au paragraphe 2.3 sur l exemple du système discret constitué de points matériels. Un mouvement virtuel du sys- tème S ou d un sous-système quelconque S est dé ni dans le référentiel R.Le spuissances virtuelles sont des formes linéaires sur le champ de vitesses virtuelles (de déplacement, de rotation) qui décrit ce mouvement virtuel dans R.Obs e r védans un autre référentiel quel- conque R∗ ,lemêmemou v ementvirtuelest décrit par un autre champ de vitesses virtuelles (de déplacement, de rotation) lié au précédent par la relation (1.9). On peut alors remarquer que la forme linéaire continue qui exprime la puissance virtuelle des efforts intérieurs prend la même valeur pour le champ de vitesses qui décrit le mouvement virtuel dans R et pour celui qui le décrit dans R∗ .Onaeneffet, par la linéarité de P (i) : ∀S ⊂S, P (i)(ˆ U)=P (i)( ˆ U∗)+P (i)(U e) (4.3) où P (i)(U e) est nulle en application de (4.1) puisque U e est le champ de vitesse du mouve- ment rigidi ant d entraînement de R∗ par rapport à R. Le résultat s applique en particulier si ˆ Uetˆ U∗ représentent un même mouvement réel du système observé dans deux référentiels R et R∗ :lafo r m ule(4.3) exprime alors, selon la dé nition donnée au paragraphe 2.4 du chapitre I, l objectivité de la puissance des efforts intérieurs. On dira de même que, dans le cas général, (4.3) exprime l objectivité de la puis- sance virtuelle des efforts intérieurs . (7)Seule, la dé nition de ces formes lorsque le champ de vitesse réel présente des discontinuités et que l on choisit pour champ de vitesse virtuel ce même champ de vitesse réel nécessite une écriture particulière, explicitée au paragraphe 7.6 dans le cas du milieu continu classique.
164 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 5M o u v e m e n t s r igidi ants ; distributeurs, torseurs 5.1 Distributeurs Les développements précédents mettent en évidence le rôle essentiel joué par les mouvements virtuels rigidi ants qu illustre notamment l énoncé du principe des puis- sances virtuelles relatif à la puissance virtuelle des efforts intérieurs. Le champ de vitesse virtuel pour un tel mouvement est, comme on l a rappelé au paragraphe 2.2, dé ni par une formule telle que : ˆ U(x)= ˆ U0 +ˆ ω0∧OM (5.1) oùˆ U(x) est la vitesse au point courant M, O est un point géométrique donné, ˆ U0 etˆ ω0 sont deux vecteurs arbitraires de R3 qui représentent respectivement la vitesse virtuelle au point O et la vitesse de rotation virtuelle en ce point. On ditqu eO, ˆ U0, ˆ ω0 ,dé nissent le distributeur de vitesse du champ ˆ U .Ce distributeur sera noté : { ˆ D}={O, ˆ U0, ˆ ω0}, (5.2) ˆ U0etˆ ω0 étant ses éléments de réduction au point O. Ces formules mettent en évidence la dépendance linéaire des champs de vitesse ˆ U des mouvements virtuels rigidi ants de l espace euclidien R3 en fonction des vecteurs ˆ U0etˆ ω0 qui les dé nissent par rapport à un même point géométrique O. L ensemble de ces champs de vitesse, identi able à l ensemble des distributeurs, est un espace vectoriel de dimension 6. Un même champ de vitesse virtuel rigidi ant ˆ U peut évidemment être dé ni en se référant à un autre point O .Enappliquant la formule (5.1) il vient : ˆ U0 =ˆ U0 +ˆ ω0∧OO ˆ U(x)= ˆ U0 +ˆ ω0∧O M qui con rment que le distributeur { ˆ D} est (naturellement) dé ni en O par ˆ U0 et ˆ ω0 =ˆ ω0: {ˆ D}={O, ˆ U0, ˆ ω0}={O ,(ˆ U0 +ˆ ω0∧OO ), ˆ ω0}. (5.3)Il est commode, pour certaines applications, d introduire le tenseur du second ordre antisymétrique ˆ ω0 dé ni, à partir du vecteur ˆ ω0 quelconque, par la formule : ∀v∈R3, ˆ ω0∧v=ˆ ω0.v (8). (5.4) Le champ de vitesse ˆ U est alors également décrit par laform ule(5.5) équivalente à (5.1) : ˆ U(x)= ˆ U0 +ˆ ω0.OM. (5.5) (8)Dans une base orhonormée directe (e1 ,e2 ,e3) la relation entre ˆ ω0etˆ ω0 =ˆ pe1 +ˆ qe2 +ˆ re3 s écrit : ˆ ω0=-(ˆ p(e2⊗e3-e3⊗e2)+ˆ q(e3⊗e1-e1⊗e3)+ˆ r(e1⊗e2-e2⊗e1)).
5 Mouvementsrigidi ants ; distributeurs, torseurs 165 5.2 Torseurs L énoncé du principe des puissances virtuelles incite, pour connaître l expression des puissances des divers efforts dans les mouvements virtuels rigidi ants, à étudier les formes linéaires sur l espace vectoriel des champs de vitesse virtuels correspon- dants. Soit F une forme linéaire quelconque sur l espace vectoriel des mouvements virtuels rigidi ants. Considérant un distributeur { ˆ D}={O, ˆ U0, ˆ ω0 } et le champ de vitesse virtuel rigidi ant ˆ U qu il dé nit, F( ˆ U) est nécessairement de la forme : F(ˆ U)=F0 . ˆ U0+C0. ˆ ω0, (5.6) forme linéaire de ˆ U0etˆ ω0 qui est dé nie, par rapport au point O,pa rle sv ecteurs F0 et C0. On ditqueF 0 et C0 sont les éléments de réduction en O du torseur noté [F] : [F]=[O, F0 ,C0 ] . (5.7)Le torseur [F] est une forme linéaire sur l espace vectoriel des distributeurs, et l on note par : [F].{ˆ D}=[O,F0 ,C0].{O, ˆ U0, ˆ ω0}=F0. ˆ U0+C0. ˆ ω0 (5.8) le produit de dualité correspondant. Les torseurs ainsi dé nis par dualité sur l espace vectoriel des distributeurs dé- pendent linéairement de leurs éléments de réduction en O et constituent un espace vectoriel de dimension 6. La dé nition du même torseur [F] par rapport à un autre point O s obtient à partir de (5.3) et (5.8) en écrivant l invariance du produit de dualité : ∀{ˆ D} [F].{ˆ D}=F0.(ˆ U0 -ˆ ω0∧OO )+C0. ˆ ω0 =F0. ˆ U0 +(C0+O O∧F0). ˆ ω0 qui montre que les éléments de réduction de [F] en O sont F 0 = F 0 et C0 = C0+O O∧F0 : [F]=[O,F0 ,C0]=[O ,F0 ,C0+O O∧F0] (9) . (5.9)En introduisant le tenseur du second ordre antisymétrique C0 dé ni à partir de C0 comme ˆ ω0 àpartirde ˆ ω0 par la formule (5.4), on véri e que le produit de dualité s exprime aussi sous la forme : [F].{ˆ D}=F0. ˆ U0-1 2C0:ˆ ω0. (5.10) (9)La comparaison des formules (5.3) et (5.9) montre que les règles opératoires pour les éléments de réduction du distributeur { ˆ D}={O, ˆ U0, ˆ ω0 } sont les mêmes que celles qui seraient appliquées aux éléments de réduction d un torseur [ ˆ D]dé ni par[ˆ D]=[O, ˆ ω0, ˆ U 0 ].Certainsauteurs, après avoir introduit la notion de torseur pour un système de vecteurs (forces ; cf. 5.4), tirent avantage de cette remarque pour dé nir les mouvements rigidi ants par des torseurs du type de [ ˆ D] ci-dessus.
166 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 5.3 Restriction d une forme linéaire dé nie sur un espace de mouvements virtuels aux mouvements virtuels rigidi ants Pour tout système S ou sous-système S on a vu (cf. section 4) que l espace vec- toriel des mouvements virtuels introduit dans la modélisation pour l application de la méthode des puissances virtuelles, quel qu il soit, contient toujours l espace vectoriel des mouvements rigidi ant le système ou le sous-système concerné. Cet espace est toujours identi able à l espace R6 des distributeurs { ˆ D}. Il en résulte qu une forme linéaire P dé nie sur l espace des mouvements virtuels dé nit toujours, par sa restriction à l espace des mouvements rigidi ants, un torseur [F]. L identi cation de ce torseur se fait en explicitant le produit de dualité correspon- dant : ∀{ˆ D}, [F].{ˆ D}=P(ˆ U) pour S (5.11) (et formule homologue pour un sous-système S )où ˆ U est la restriction à S (ou à S ) du champ de vitesse engendré par { ˆ D} dans R3. 5.4 Torseur d un système de forces L étude du cas particulier des systèmes de forces permet de concrétiser la notion de torseur introduite au paragraphe (5.2). On considère par exemple un système S pour lequel certains efforts sont représentés par un système de forces et de couples, concentrés et répartis : • des forces ponctuelles F i et des couples concentrés Ci en des points Mi , • des densités de forces et de couples, linéiques F L(x) et CL(x) sur des lignes L, surfaciques F Σ(x) et CΣ(x) sur des surfaces Σ,volumiques F Ω(x) et CΩ(x) sur des volumes Ω. On désigne par P la forme linéaire qui exprime la puissance de ces efforts dans un mouvement virtuel quelconque de S. La restriction de P aux mouvements virtuels rigidi ants engendrés par les distri- buteurs { ˆ D}={O, ˆ U0, ˆ ω0 } selon la formule (5.1) s écrit : P(ˆ U)= Fi . ˆ U(xi)+ Ci . ˆ ω0 + L(F L(x). ˆ U(x)+CL(x). ˆ ω0)dL + Σ + Ω qui permet d identi er selon (5.11) le torseur [F]=[O, F0 ,C0 ],appelétorseur
5 Mouvementsrigidi ants ; distributeurs, torseurs 167 du système de forces .Ontrouvepourleséléments de réduction : F0 = Fi + LFL(x)dL+ Σ FΣ(x)da+ ΩFΩ(x)dΩ (5.12a) C0 = OMi ∧Fi + LOM ∧FL(x)dL+ ΣOM ∧FΣ(x)da+ ΩOM ∧FΩ(x)dΩ (5.12b) + Ci + L CL(x)dL + Σ CΣ(x)da + Ω CΩ(x)dΩ c est-à-dire que F 0 est la résultante du système de forces considéré et C0 son moment par rapport à O. 5.5 Champs de distributeurs et de torseurs ; dérivation On rencontrera, dans la suite, des champs de distributeurs et des champs de torseurs, dé nis sur l espace euclidien tridimensionnel (chapitre V, section 5) ou sur une variété unidimension- nelle dans cet espace (chapitre XI). D autres exemples apparaissent aussi dans la modélisation des plaques, des coques, etc. Dé nition Prenant, pour xer les idées, le cas de champs dé nis sur l espace tridimensionnel on désigne par{ˆ D(x)} et [F(x)] les valeurs deschampsnotés{ ˆ D} et [F],aupointcourant M(OM = x). En règle générale la dé nition de ces champs est donnée, de façon naturelle, par les champs de vecteurs ˆ Uetˆ ω pour{ˆ D} ,Fet C pour [F] qui déterminent les éléments de réduction du distributeur { ˆ D(x)} ou du torseur [F(x)] au point courant M : {ˆ D(x)}={M, ˆ U(x), ˆ ω(x) } (5.13) [F(x)] = [ M,F(x) ,C(x)]. (5.14) Dérivée d un champ de distributeurs En supposant la dérivabilité des champs ˆ Uetˆ ω,ladérivée en M du champ de distributeur {ˆ D} selon la direction w est le distributeur dé ni par le passage à la limite : Dw{ ˆ D(x)} = lim λ→0{ˆ D(x + λw)}-{ˆ D(x)} λ . (5.15) Le calcul des éléments de réduction de ce distributeur en M nécessite d expliciter cette formule après avoir transporté les éléments de réduction de { ˆ D(x + λw)} au point M par application de (5.3). On a ainsi : {ˆ D(x+λw)}={M, ˆ U(x+λw)- ˆ ω(x+λw)∧λw , ˆ ω(x+λw)} (5.16) et, en effectuant le passage à la limite : Dw{ ˆ D(x)} = { M,(grad ˆ U(x)).w- ˆ ω(x)∧w ,(grad ˆ ω(x)) .w} . (5.17) En particulier, si w est un vecteur ei d une base en M ,lafo r m ule(5.17) donne la dérivée partielle : ∂ ∂xi{ˆ D(x)} = M, ∂ ˆ U(x) ∂xi +ei∧ˆ ω(x), ∂ˆ ω(x) ∂xiTM. (5.18)
168 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts Dans le cas d un champ de distributeurs dé ni sur une courbe de R3 en fonction de l abscisse curviligne s du point courant M sur cette courbe, on obtient la dérivée d ds{ˆ D(s)} par un calcul analogue au précédent. La formule, semblable à (5.18), s écrit : d ds{ˆ D(s)} = M, dˆ U(s) ds +t(s)∧ˆ ω(s) , dˆ ω(s) dsTM (5.19) où t(s) désigne le vecteur unitaire tangent en M àlacou rbe,(cf.chapitre XI). Gradient d un champ de distributeurs La formule (5.17) met en évidence la linéarité de Dw{ ˆ D(x)} par rapport à w.Ondé nit ainsi le gradient en M du champ de distributeur { ˆ D}notégrad{ˆ D(x)} ;c est le distributeur tensoriel : grad{ˆ D(x)} = {M,grad ˆ U(x)- ˆ ω(x) , grad ˆ ω(x)} (5.20) oùˆ ω est dé ni par (5.4). La formule grad { ˆ D(x)}.w = Dw{ˆ D(x)} est explicitée par (5.17) qui donne aussi, pour le transport des éléments de réduction du distributeur tensoriel grad{ˆ D(x)},le smêmes règles opératoires que pour { ˆ D(x)}. Dérivée d un champ de torseurs Les raisonnements précédents peuvent être repris avec les aménagements nécessaires dans le cas des champs de torseurs, en se référant en particulier à la formule (5.9) pour le transport des éléments de réduction. On obtient letorseurDw[F(x)],dérivée en M du champ [F] selon le vecteur w : Dw[F(x)] = [M,(grad F(x)).w , (grad C(x)).w+ w ∧ F(x)] (5.21) et la dérivée partielle : ∂ ∂xi [F(x)] = M, ∂F(x) ∂xi , ∂C(x) ∂xi +ei ∧F(x) . (5.22) Le gradient du champ de torseurs [F] en M est le torseur tensoriel grad [F(x)] = [M,grad F(x) , grad C(x) - F (x)] (5.23) pour lequel la formule (5.21) explicite le produit grad [F(x)] .w = Dw[F(x)] et fournit les règles de transport des éléments de réduction. Dans le cas d un champ de torseurs dé ni sur une courbe de R3 ,onobtientla dérivée : d ds[F(s)] = M, dF(s) ds , dC(s) ds + t(s)∧ F(s) (5.24) où t(s) est le vecteur unitaire tangent à la courbe en M d abscisse curviligne s,(cf.chapitre XI). Commentaires Les formules de dérivation démontrées ci-dessus véri ent évidemment la formule de dérivation du produit de dualité : Dw([F].{ˆ D})=Dw[F].{ ˆ D}+[F].Dw{ˆ D}
6 Résultats généraux 169 ou, pour des champs dé nis sur une courbe : d ds([F(s)].{ˆ D(s)})= d ds[F(s)].{ˆ D(s)} +[F(s)] . d ds{ˆ D(s)} (5.25) quiserautilisée au chapitre XI. Comme cela est apparent sur les formules de dérivation ci-dessus, la constance d un champ de distributeurs { ˆ D} ou d un champ de torseurs [F] n implique pas, sauf cas particulier, la constance des champs ˆ Uetˆ ω ou F et C qui le dé nissent par (5.13) ou (5.14). On sera ainsia mené, dans l utilisation qui sera faite ultérieurement de ces concepts mathématiques, àrechercher où se situe la pertinence physique c est-à-dire par exemple quel(s) champ(s), de [F] ou de F et C,correspond(ent) à un concept mécanique du point de vue du matériau ou du système étudié. (Cf. chapitre XI, 3.7 et 3.11, et chapitre XII, 2.1). 6R é s u l tats généraux Le chapitre V sera consacré à la modélisation des efforts pour le milieu continu classique (essentiellement), par la méthode des puissances virtuelles. Cette méthode permet d ores et déjà de dégager des résultats généraux immédiatement accessibles, c est-à-dire sans qu il soit besoin de préciser les espaces vectoriels des mouvements considérés dans la modélisation ni les formes linéaires construites sur ces espaces, et qui sont valables pour toute modélisation . 6.1 Dé nition du système et des mouvements considérés Figure 6 Dé nition du système et des sous-systèmes S et S désignent respectivement le système considéré et un sous-système quel- conque dont la gure 6 fournit une représentation schématique. Les espaces vectoriels de mouvements réels et virtuels considérés satisfont aux conditions indiquées à la section 4 : l espace vectoriel des mouvements virtuels contient l espace vectoriel des mouvements réels, et contient les mouvements rigidi ants pour S (ou S ).
170 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 6.2 Puissances virtuelles On conserve pour les puissances virtuelles des divers types d efforts et des quantités d accélération les notations génériques de la section4:c es ont des formes linéaires sur l espace vectoriel des mouvements virtuels. Leurs restrictions aux sous-espaces vectoriels des mouvements rigidi ants dé nis- sent, comme indiqué au paragraphe 5.3, des torseurs .Ainsiondé nit et on identi e pour S ou pour S quelconque : le torseur des efforts extérieurs [Fe] ou [F e], le torseur des efforts intérieurs [Fi] ou [F i] , le torseur des quantités d accélération [MA] ou [MA ] par les formules, pour S : ∀{ˆ D} [Fe].{ˆ D}= P(e)(ˆ U), [Fi].{ˆ D}= P(i)(ˆ U), [MA].{ˆ D}=A(ˆ U), (6.1) et les formules homologues pour S ,où ˆ U désigne la restriction à S (ou à S )duchamp de vitesse du mouvement virtuel rigidi ant dé ni par { ˆ D}. 6.3 Loi des actions mutuelles et loi fondamentale de la dynamique L application du principe des puissances virtuelles impose à ces torseurs des condi- tions nécessaires. L énoncé (4.1) implique immédiatement : pour S [Fi]= 0 ∀S [F i]= 0 . (6.2) Autrement dit : pou r S et pour tout sous-système S , le torseurde sefforts inté- rieurs est nul. C est la formulation de la loi des actions mutuelles. L énoncé (4.2), appliqué aux mouvements rigidi ants, implique ensuite, compte tenu de (6.2) en référentiel galiléen R , pour S [Fe]=[MA] ∀S [F e]=[MA ] . (6.3)
6 Résultats généraux 171 Autrement dit : en référentiel galiléen, pour S et pour tout sous-système S , le torseur des efforts extérieurs est égal au torseur des quantités d accélération. C est l énoncé de la loi fondamentale de la dynamique pour S ou un sous- système quelconque S . 6.4 Commentaires Il est essentiel de prendre garde à une interprétation erronée de ces résultats qui consisterait à croire que leur validité est restreinte aux seuls systèmes ou sous- systèmes indéformables ou encore aux systèmes ou sous-systèmes indéformés dans le mouvement réel. Il s agit là d une confusionentremouvements virtuels et mouvements réels : le fait d exploiter le principe des puissances virtuelles sur le sous-espace des mou- vements virtuels rigidi ant S (resp. S )n aau c une relation avec une quelconque indéformabilité du système dans son mouvement réel associé aux efforts considérés. Bien au contraire,lesénoncés (6.2) et (6.3) sont les résultats les plus généraux que l on peut obtenir sans aucune hypothèse sur le choix de l espace vectoriel des mouvements virtuels (étape 2 de la méthode, 4.2), ni sur la modélisation des ef- forts construits sur cet espace (étapes 3 à 5 ). Il s agit d énoncés à caractère global exprimés en termes de torseurs, qui s imposent à toute modélisation des efforts méca- niquement cohérente. Ceci sera illustré dans la suite (chapitre V, 2.6 et 3.4 ; chapitre XI, 2.6 et 3.7). Si l on applique la loi fondamentale (6.3) à un système en équilibre dans un réfé- rentiel galiléen R on a, dans ce référentiel : pour S [Fe]=0 ∀S [F e]=0 ; (6.4) on dit que (6.4) traduit l équilibre global du système S ou du sous-système S considéré : c est la loi fondamentale de la statique . On véri era sans difficulté que la formulation (6.3)delaloifondamentale permet de démontrer le résultat suivant : si l on considère deux sous-systèmes disjoints S 1 et S 2 de S on a, avec des notations évidentes, [F21]+[F12]=0 (6.5) qui exprime le principe de l action et de la réaction pour les deux sous-systèmes S 1 et S 2.
172 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts 7T h é o r è m es de la quantité de mouvement et de l énergie cinétique 7.1 Dé nition du système et des mouvements considérés On particularise maintenant l analyse au cas du milieu continu classique dont la modélisation a été faite au chapitre I. La géométrie étant celle représentée à la gure 6, les mouvements réelssontdé nis par les champs de vitesse U(x,t),supposés continus et différentiables(10),de spa rtic ules constitutives du système dans la con guration actuelle. L espace vectoriel des mouvements virtuels est l espace des champs de vecteurs ˆ U dé nis sur Ωt dont on précisera la continuité et la dérivabilité. 7.2 Torseur des quantités d accélération ; torseur des quantités de mouvement Cette description précise la forme de la puissance virtuelle des quantités d accélé- ration. ρ(x,t) désigne la masse volumique du milieu au point géométrique M dans la con guration actuelle ; a(x,t)= dU(x,t) dt est l accélération en ce point. La quantité d accélération de l élément de matière dm = ρ(x,t)dΩt est par dé nition : a(x,t)dm = ρ(x,t)a(x,t)dΩt =dm dU(x,t) dt, (7.1) ce qui précise les formes linéaires A( ˆ U) et A (ˆ U);pourS : A(ˆ U)= Ωt ρ(x,t)a(x,t) . ˆ U(x)dΩt (7.2) et formule homologue pour A ( ˆ U). Le torseur des quantités d accélération dé ni par (6.1) s explicite alors comme indiqué au paragraphe 5.4 (torseur d un système de forces) ; ainsi pour S : [MA]=[O, A,δ0 ] (7.3) avec A = Ωt ρ(x,t)a(x,t)dΩt = Ωt a(x,t)dm δ0 = Ωt OM ∧ ρ(x,t)a(x,t)dΩt = Ωt OM ∧ a(x,t)dm (7.4) (10)Le cas où U est continu et différentiable, par m orceaux ,e ste n vis agé au paragraphe 7.6 de ce chapitre et au chapitre V ( 3.9 et 3.11).
7 Théorèmes de la quantité de mouvement et de l énergie cinétique 173 et formules homologues pour S ,sous-système quelconque. On peut aussi dé nir la quantité de mouvement de l élément de matière dm : U(x,t)dm = ρ(x,t)U(x,t)dΩt (7.5) dont la quantité d accélération est la dérivéeparticulaire. Ce champ de vecteurs dé nit lui aussi un torseur par la formule (5.12), appelé torseur des quantités de mouvement, noté [MU] pour S et [MU ] pour S quelconque, et dont les éléments de réduction sont : [MU]=[O, Ωt U(x,t)dm, Ωt OM ∧ U(x,t)dm ] . (7.6) On démontre alors l identité, pour S : [MA]= d dt[MU] (7.7) (formule homologue pour S sous-système quelconque), où d dt [MU] est le torseur, dérivée particulaire de [MU].Cetorseurs explicite en effet sous la forme : d dt [MU]=[O, d dt Ωt U(x,t)dm, d dt Ωt OM ∧ U(x,t)dm] (7.8) où l on voit que : d dt Ωt U(x,t)dm = Ωt a(x,t)dm = A (7.9) et d dt Ωt OM ∧ U(x,t)dm = Ωt (U(x,t) ∧ U(x,t)+OM ∧ a(x,t))dm = δ0 , (7.10) ce qui démontre l identité annoncée. 7.3 Conservation de la quantité de mouvement L identité (7.7) signi e que le torseur des dérivées particulaires des quantités de mouvement des éléments du système S,c e st-à-dire [MA],e stégal à la dérivée particulaire du torseur des quantités de mouvement des éléments du système S. On obtient ainsi une nouvelle expression de la loi fondamentale de la dynamique (6.3) : en référentiel galiléen R , pour S [Fe]= d dt[MU] ∀S [F e]= d dt [MU ] (7.11)
174 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts En particulier, si le système S est isolé,c est-à-dire n est soumis à aucune action extérieure, on a l énoncé : en référentiel galiléen le torseur des quantités de mouvement d un système isolé se conserve. Théorème du centre d inertie Considérant un sous-système S quelconque de S on désigne par G son centre d inertie dans la con guration κt ,c e st-à-dire le point géométrique dont le vecteur-position dans κt est dé ni par : xG =1 M Ω t xdm (7.12) où M = Ω t dm désigne lamasse de S . L évolution de ce point géométrique dans le mouvement réel du système permet d en dé nir la vitesse U G et l accélération aG .Ilvientimmédiatement : UG = dxG dt=1 M Ω t U(x,t)dm (7.13) et aG = dUG dt=1 M Ω t a(x,t)dm, (7.14) c est-à-dire, en se reportant à (7.6) et (7.4) que : • la résultante du torseur [MU ] des quantités de mouvement de S ,cou ramment appelée quantité de mouvement du sous-système S ,estégale à la quantité de mouvement de la masse M de S animée du mouvement du point géométrique G , centre d inertie de ce sous-système ; • de même la résultante A de [MA ], quantité d accélération du sous-système S ,e st égale à la quantité d accélération de la masse M de S dans le mouvement du point géométrique G , centre d inertie de S . Ceci permet de déduire de la loi fondamentale sous ses formes (6.3) ou (7.11) un énoncé, homologue de (1.1), pour le mouvement du point géométrique, centre d inertie de tout sous- système S de S. F e désignant la résultante de [F e] on obtient ainsi : en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, F e =M aG = d dt(M UG ) . (7.15) 7.4 Théorème d Euler En supposant le champ de vitesse réel U continu et différentiable, on peut pour- suivre la transformation de la formule (7.8) au moyen des expressions générales de la dérivée particulaire d une intégrale devolume(chapitre III, formule (4.34)).
7 Théorèmes de la quantité de mouvement et de l énergie cinétique 175 OnaainsipourA: A = Ωt ∂(ρU) ∂t dΩt + ∂Ωt(ρU ⊗ U). da (7.16) où da désigne le vecteur-aire élémentaire au contour ∂Ωt de Ωt . Pour δ0 on obtient : δ0 = Ωt ∂(OM ∧ ρU) ∂t dΩt + ∂Ωt(OM ∧ ρU)U .da ; (7.17) or, dans la première intégrale on a : ∂ ∂t(OM ∧ ρU)=OM ∧ ∂(ρU) ∂t car ∂(OM) ∂t =0(dérivée partielle par rapport à t, O et M étant xés); d où : δ0 = Ωt OM ∧ ∂(ρU) ∂t dΩt+ ∂ΩtOM ∧(ρU)U.da . (7.18) Ainsi, par les formules (7.16) et (7.18), A et δ0 apparaissent comme les éléments de réduction en O (résultante et moment) du torseur constitué par : la densité volumique de forces ∂(ρU) ∂t dans Ωt (7.19) et la densité surfacique de forces(11) (ρU)U.n=ρ(U⊗U).n sur∂Ωt . (7.20) Figure 7 Théorème d Euler (11) Il s agit bien de forces volumiques et surfaciques du point de vue des équations aux dimensions.
176 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts On obtient donc une nouvelle expression de la loi fondamentale pour S (énoncé homologue pour S ,sous-système quelconque de S): en référentiel galiléen R , le torseur des efforts extérieurs [Fe] est égal à la somme du torseur des forces ∂(ρU) ∂t dΩt réparties dans le volume Ωt , et du torseur des forces ρ(U ⊗ U) . da réparties au contour ∂Ωt . (7.21) Ce résultat constitue le théorème d Euler où l on remarque que ρ(U ⊗ U) . da représente le ux sortant de quantité de mouvement à travers l aire élémentaire da qui est toujours dirigé vers l extérieur(12). 7.5 Théorème de l énergie cinétique Comme on l a vu, les mouvements réels du système étudié appartiennent à l espace vectoriel des mouvements virtuels considérés. En appliquant la proposition (4.1) du principe des puissances virtuelles au système S (ou à un sous-système S quelconque) avec un mouvement réel U on obtient : en référentiel galiléen R , P(e)(U)+P(i)(U)=A(U) , (7.22) formule danslaquelle P(e)(U) et P(i)(U) représentent donc les puissances des efforts extérieurs et intérieurs au système S dans le mouvement réel U ,etoùA(U ) s écrit, compte tenu de (7.2) : A(U)= Ωt ρ(x,t)a(x,t) .U(x,t)dΩt (7.23) soit encore A(U)= Ωt U(x,t) . dU(x,t) dt dm. (7.24) En désignant par K(U) l énergie cinétique du système S dans le mouvement réelU: K(U)=1 2 Ωt U 2(x,t)dm, (7.25) on reconnaît dans (7.24) la dérivée particulaire de K(U) : A(U)= d dtK(U) (7.26) (12)On a en effet: n.ρ(U⊗U).n=ρ(U.n)2≥0.
7 Théorèmes de la quantité de mouvement et de l énergie cinétique 177 (formule homologue pour S ,sous-système quelconque). On obtient donc alors, à partir de (7.22), l expression du théorème de l énergie cinétique : en référentiel galiléen R , pour SP (e)(U)+P(i)(U)= d dtK(U) ∀S P (e)(U)+P (i)(U)= d dtK (U) (7.27) autrement dit : en référentiel galiléen, la dérivée particulaire de l énergie ciné- tique de tout sous-système S dans le mouvement réel est égale à la somme des puissances de tous les efforts, extérieurs et inté- rieurs à S , dans ce même mouvement. 7.6 Champ de vitesse réel discontinu : ondes de choc Puissances virtuelles des quantités de mouvement et des quantités d accélération On peut, de manière analogue à la puissance virtuelle des quantités d accélération A( ˆ U) donnée par (7.2), dé nir la puissance virtuelle des quantités de mouvement soit : V(ˆ U)= Ωt ρ(x,t)U (x,t) . ˆ U dΩt (7.28) (et formule homologue pour V ( ˆ U) relative à S ,so u s-système quelconque de S). Supposant d abord le champ de vitesse virtuel ˆ U continu et continûment différentiable, on remarque que, lorsque le champ de vitesse U est continu et continûment différentiable, A( ˆ U) apparaît formellement comme la dérivée particulaire, calculée à l instant t,deV(ˆ u)oùle champ ˆ u est une fonction de x et de t astreinte à satisfaire à l instant t : ˆ u(x,t)= ˆ U(x) dˆ u(x,t) dt =0 (7.29) c est-à-dire que le champ ˆ u est engendré par le champ virtuel ˆ U entraîné par le mouvement ; en effet on a, compte tenu de (7.29) A(ˆ U )= Ωt dU(x,t) dt.ˆ U(x)ρ(x,t)dΩt = Ωt d(U(x,t) . ˆ u(x,t)) dt ρ(x,t)dΩt , soit : A(ˆ U)= d dt Ωt ρ(x,t)U (x,t) . ˆ u(x,t)dΩt = d dt V(ˆ u). (7.30) Lorsque le champ de vitesse virtuel ˆ U est continu et continûment différentiable par morceaux, on véri e, en appliquant la formule (4.36) du chapitre III pour le calcul de d dt V(ˆ u) que l équation (7.30) demeure valable en raison des conditions (7.29) imposées au champ ˆ u: celles-ci impliquent en effet qu à l instant t la surface de discontinuité du champ ˆ u suit le mouvement de la matière.
178 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts Expression de la puissance virtuelle des quantités d accélération dans le cas des ondes de choc Dans le cas où le champ de vitesse U est discontinu, la dé nition de A( ˆ U ) par la formule (7.2) est incomplète : des termes correspondant à la contribution de la discontinuité [[ U ]] au franchissement des surfaces de discontinuité Σt doivent en effet y intervenir en plus des termes réguliers (13) . En revanche, la dé nition (7.28) de V( ˆ U) n est aucunement affectée par l existence éventuelle de discontinuités de U ,po u r v uqu aucune des surfaces de discontinuité du champ virtuel ˆ U ne coïncide avec celles du champ réel U .L idée est alors d obtenir l expression complète de A(ˆ U) àpa rtirdeV( ˆ U) en appliquant la formule (7.30), associée à (7.29), prise ainsi comme dé nition pour ces champs ˆ U. Partant de (7.30) on doit effectuer le calcul de la dérivée particulaire. En se référant à la formule (4.36) du chapitre III, il vient, compte tenu de (7.29) et en simpli ant les notations : A(ˆ U)= Ωt (d(ρU) dt.ˆ U+(ρU. ˆ U) div U)dΩt + Σt[[ρU . ˆ U (U - W )]].ndΣt (7.31) oùˆ U est supposé continu au franchissement des surfaces de discontinuité Σt de U . En tenant compte de la conservation de la masse (formules (5.5) et (5.12) du chapitre III), il vient : A(ˆ U)= Ωt ρdU dt. ˆ U dΩt + Σt ρ[[U]]. ˆ U(U-W).ndΣt . On reconnaît dans cette expression de A( ˆ U ) le terme régulier de la formule (7.2) auquel s ajoute le terme de discontinuité sur Σt qui est non nul dans le cas des ondes de choc (discontinuités de vitesse non stationnaires) : A(ˆ U)= Ωt ρa. ˆ U dΩt + Σt ρ[[U]]. ˆ U(U -W).ndΣt (7.32) (formule homologue pour A ( ˆ U))où ˆ U est supposé continu sur Σt). Conservation de la quantité de mouvement La relation entre le torseur des quantités d accélération et le torseur des quantités de mou- vement se déduit directement des formules (7.30) et (7.29). En considérant un mouvement virtuel rigidi ant ˆ U dé ni par{ˆ D} quelconque on a : [MA].{ˆ D}= d dt([MU].{ˆ d}) (7.33) où le distributeur { ˆ d}, fonction de t est astreintàsatisfaire vis-à-vis de { ˆ D} les conditions homologues de (7.29) : à l instant t, {ˆ d}={ˆ D} d dt{ˆ d} =0 (7.34) d où en explicitant (7.33) : ∀{ˆ D}, [MA].{ˆ D}= d dt[MU].{ˆ D}. (13)On rappelle que Σt désigne de façon générique les surfaces de discontinuité de U et que W est la vitesse de propagation de Σt : W est normale à Σt (cf. chapitre III, 4.4).
7 Théorèmes de la quantité de mouvement et de l énergie cinétique 179 On retrouve l identité (7.7), établie maintenant en présence d onde de choc : [MA]= d dt[MU] (énoncé homologue pour S ,so u s-système quelconque de S), dont on déduit le théorème de la conservation de la quantité de mouvement sous la forme (7.11). Théorème d Euler La formule (7.31) s écrit aussi : A(ˆ U)= Ωt (∂(ρU) ∂t + div(ρU⊗U)). ˆ U dΩt + Σt[[ ˆ U.ρU⊗U]].ndΣt - Σt[[ρU]]. ˆ UWdΣt. (7.35) On peut alors identi er le torseur des quantités d accélération en examinant l expression de A(ˆ U ) pour les mouvements virtuels rigidi ants (cf. 5.3). Pour celaonrappelle l identité : ˆ U. div(ρU⊗U)≡ div(ˆ U .(ρU ⊗U))-tgrad ˆ U:(ρU⊗U) dont le dernier terme est nul lorsque ˆ U est rigidi ant dé ni par { ˆ D}={O, ˆ U0, ˆ ω0 },c a r alors grad ˆ U=ˆ ω0 est antisymétrique. On obtient ainsi, à partir de (7.35) : ∀{ˆ D}, [MA].{ˆ D} = Ωt ∂(ρU ) ∂t.ˆ U dΩt + Ωt div (ˆ U .(ρU ⊗U))dΩt + Σt [[ ˆ U .ρU⊗ U]] .ndΣt - Σt[[ ρU ]] . ˆ UWdΣt. Dans cette formule, le terme entre crochets se transforme par application de la formule de la divergence pour les fonctions continues et continûment différentiables par m orceaux (cf. chapitre III, formule (4.35)) ; il vient : ∀{ˆ D}, [MA].{ˆ D} = Ωt ∂(ρU) ∂t.ˆ U dΩt + ∂Ωt ˆ U.(ρU⊗U).da- Σt ˆ U.[[ρU]]WdΣt . (7.36) II en résulte que le torseur [MA] des quantités d accélération est dé ni par le système de forces suivant : la densité volumique de forces : ∂(ρU) ∂t dans Ωt , (7.37) la densité surfacique de forces ρ(U ⊗U).n sur ∂Ωt , (7.38) et la densité surfacique de forces -[[ρU]]W surΣt (7.39)
180 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts (énoncé homologue pour S ,sous-système quelconque de S). L énoncé du théorème d Euler doit donc être complété en présence d ondes de choc par l addition dans la formule (7.21) du terme (7.39) qui représente les forces surfaciques sur les surfaces d onde, dues à la discontinuité de U . Théorème de l énergie cinétique La formule (7.32) ne permet évidemment pas le calcul de la puissance des quantités d accé- lération dans le champ de vitesse réel puisqu elle suppose le champ ˆ U continu sur Σt .Le s expressions de A(U ) et A (U) s obtiennent alors en partant de la formule (7.26) prise comme dé nition : A(U)= d dt K(U)= d dt Ωt 1 2 ρ(x,t)U 2(x,t)dΩt (7.40) (formule homologue pour A (U)). En explicitant la dérivée particulaire ci-dessus par la formule (4.36) du chapitre III on obtient A(U )= Ωt ρa .UdΩt + Σt ρ[[ U2]] 2 (U -W).ndΣt (7.41) (formule homologue pour A (U))oùl on reconnaît, en plus du terme régulier de la formule (7.23), le terme de discontinuité sur Σt qui est non nul dans le cas des ondes de choc. On peut aussi remarquer que l expression (7.41) de A(U) s obtient formellement à partir de (7.32) pour A( ˆ U) en y remplaçant, sur Σt, ˆ U par la moyenne(U1 +U2)/2 des valeurs de U de part et d autre de Σt . Compte tenu de la dé nition (7.40) ainsi adoptée pour A(U) àpa rtirdeK(U) le théorème de l énergie cinétique apparaît comme la formulation de l énoncé des puissances virtuelles appliqué au mouvement réel, sous réserve que les formes linéaires exprimant les puissances virtuelles des efforts extérieurs et des efforts intérieurs soient dé nies sur le mouvement réel ; en fait on verra au chapitre V ( 3.11) que c est àtr a v e rs le théorème de l énergie cinétique que l on obtient alors l expression de la puissance des efforts intérieurs dans le champ de vitesse réel. Remarque On rencontre ici une manifestation du particularisme des mouvements réels annoncé dans la section 4, à propos de l écriture de la forme linéaire exprimant la puissance virtuelle des quantités d accélération. Lorsque le champ de vitesse réel U est continu et continûment différentiable, A( ˆ U ) est dé nie par (7.30) pour tous les champs ˆ U continus et continûment différentiables, par morceaux, ce qui comprend le champ U lui-même. En revanche, lorsque le champ de vitesse réel U est discontinu, cette dé nition explicitée par (7.31) ou (7.32) n est valable que pour les champs de vitesse virtuels ˆ U dont les surfaces de discontinuité sont distinctes de celles de U ,c equie x clut notamment de choisir pour ˆ U le champ U lui-même. La dé nition de A(U ) procède alors de la dérivation particulaire de l énergie cinétique explicitée par (7.41). Le résultat ainsi obtenu permet ensuite, par linéarité, de calculer la puissance virtuelle des quantités d accélération pour les champs ˆ U dont des surfaces de discontinuité coïncident avec celles de U . On doit évidemment se poser la question de la cohérence de ces dé nitions avec la continuité de la forme linéaire A.D une façon générale cette cohérence est assurée par la formulation suivante.
8 Etmaintenant ... 181 La puissance virtuelle des quantités de mouvement, V( ˆ U),e st une forme bilinéaire continue sur l espace produit des champs de vitesse réels et des champs de vitesse virtuels(14) : V(ˆ U)=K(U, ˆ U) (7.42) (formule homologue pour V ( ˆ U)), dont la forme quadratique associée est supposée dé nie positive. L énergie cinétique du système dans le mouvement réel est : K(U)= 1 2K(U,U). (7.43) La puissance virtuelle des quantités d accélération est dé nie par (7.29 et 7.30), d où : A(ˆ U)= d dtK(U, ˆ u) sous (7.29) (7.44) lorsque les champs virtuels ˆ U sont continus au franchissement des surfaces de discontinuité de U ;etlapuissance des quantités d accélération dans le mouvement réel est dé nie par (7.40), d où : A(U)=1 2 d dtK(U,U). (7.45) 8E t m a i n t enant ... La méthode des puissances virtuelles sera utilisée dans la suite pour la construction de diverses modélisations des efforts : au chapitre V, où l on s intéressera au milieu continu classique avec un clin d œil vers les milieux micropolaires ; au chapitre XI, pour les milieux curvilignes, où après l étude des ls, variété unidi- mensionnelle de milieu continu classique, on modélisera les poutres, variété concrète de milieux micropolaires. Pour le mécanicien l intérêt de l approche puissances virtuelles ne se limite pas àcetyped application ! En effet une fois la modélisation des efforts écrite et acquise, le principe des puissances virtuelles est l instrument privilégié pour la dualisation des équations, fondement des méthodes variationnelles de résolution, comme on le verra au chapitre X dans le cas de l élasticité. (14) Cf. Mécanique ,tomeI,chapitre III,par Paul Germain, Ellipses, 1986.
182 Chapitre IV Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts Récapitulatif des formules essentielles • Principe des puissances virtuelles en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, ∀ˆ U m.v.r. pour S P (i)( ˆ U)=0. ∀ˆ U m.v. P (e)(ˆ U)+P (i)( ˆ U)=A ( ˆ U) • Distributeursetto r s e u r s {ˆ D}={O, ˆ U0, ˆ ω0}={O , ˆ U0 +ˆ ω0∧OO , ˆ ω0} [F]=[O,F0 ,C0]=[O ,F0 ,C0+O O∧F0] [F].{ˆ D}=F0. ˆ U0+C0. ˆ ω0 ∂ ∂xi{ˆ D(x)} = M, ∂ ˆ U(x) ∂xi +ei∧ˆ ω(x), ∂ˆ ω(x) ∂xi ∂ ∂xi [F(x)] =ïM, ∂F(x) ∂xi , ∂C(x) ∂xi +ei∧F(x)ò • Résultats généraux loi fondamentale : en référentiel galiléen R , [F e]=[MA ] loi des actions mutuelles : [F i]=0 • Conservation de la quantité de mouvement en référentiel galiléen R , [F e]= d dt [MU ]
Récapitulatif des formules essentielles 183 • Théorème d Euler en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, [F e]= ∂(ρU) ∂t dΩt sur Ω t , ρ(U⊗U).da sur∂Ω t , -[[ρU]]WdΣt surΣ t siondede choc • Théorème de l énergie cinétique K (U)=1 2 Ω t ρ(x,t)U 2(x,t)dΩt en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, P (e)(U)+P (i)(U)= d dtK (U) . • Changement de référentiel U(x)=U ∗(x∗)+U e(x∗) a(x)=a∗(x∗)+ae(x∗)+2ωe ∧ U ∗(x∗)
184 Chapitre IV - Les puissances virtuelles et la modélisation des efforts Exercices IV.1 - Statique des ls : chapitre XI, section 2. IV.2 - Dynamique des uides parfaits : chapitre V, section 2. IV.3 - Statique des poutres : chapitre XI, section 3. IV.4 - Dynamique des milieux continus : chapitre V, section 3. IV.5 - Théorème d Euler : Ex.V.7, Ex.V.8. IV.6 - Conditions de compatibilité géométrique : Ex. XI.4, Ex. XI. 9, Ex. XI.13. IV.7 - Calcul à la rupture : Ex.VI.12, Ex.VI.13, Ex. XI.11 à 13.
Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu MOTS CLÉS Fo r ces volumiques. Forces surfaciques. Pression. Fluide parfait. Fluide visqueux. Statique des uides. Tenseur des contraintes de Cauchy. Actions de contact. Vecteur-contrainte.Facette. Équations de ladynamique. Te n s e u r des contraintes de Piola-Kirchhoff. 185
Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu 187 En bref La construction de la modélisation des efforts en mécanique des milieux continus classique part delam odélisation géométrique : les mouvements réels d un système sont dé nis, en description eulérienne, par le champ des vitesses des particules donné sur la con guration actuelle. Pour l application de la méthode des puissances virtuelles on choisit, comme espace vectoriel des mouvements virtuels, l ensemble des champs de vecteurs (vitessesv ir t u e lles) continus et continûment différentiables dé nis sur la con guration actuelle du système et on élargit ensuite cet espace aux champs de vecteurs continus et continûment différentiables par morceaux . Les efforts extérieurs au système étudié sont modélisés, à travers l ex- pression de leur puissance virtuelle, par des densités de forces, volumiques à l intérieur du système, et surfaciques às o nc o n t our. Pour un sous- système quelconque, on fait l hypothèse que les efforts extérieurs (au sous- système) se décomposent de la même façon. On suppose, de plus, que les particules du système n exercent aucun effort à distance les unes sur les autres. On postule que la puissance virtuelle des efforts intérieurs se met sous la forme d une densité volumique ,indépendante du sous-système considéré, qui est une forme linéaire des valeurs locales du champ de vitesse virtuel et de son gradient. La mise en œuvre duprincipedes puissances virtuelles précise d abord l expression de cette densité de façon à satisfaire la loi des actions mutuelles. On véri e ensuite que les hypothèses faites dans l écri- ture des formes linéaires, qui expriment les diverses puissances virtuelles, sont cohérentes entre elles : on obtient les équations de la dynamique pour le système et pour un sous-système quelconque et on montre que les ef- forts intérieurs ainsi modélisés correspondent effectivement à des actions de contact entre les particules du système (sections 2 et 3). Dans une première approche les effortsintérieurssontmodélisés par le champ d un scalaire qui est, dans la densité de puissance virtuelle corres- pondante, la variable duale du taux virtuel de dilatation volumique. Les équations de la dynamique déterminent le gradient de ce champ scalaire et dé nissent les équations au contourdusystèm eo ud un sous-système
188 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu quelconque. L interprétation mécanique conduite à partir de ces équations identi e le concept de pression .Les conditions de compatibilité sur les don- nées imposées par les équations de la dynamique, notamment la condition de normalité des efforts surfaciques auc o nto u rdu système, montrent les limitations de ce modèle dont le domaine depertinence couvre néanmoins les uides parfaits et la statique des uides en général (section 2). L approche la plus générale dans le cadre xé par le choix de l espace vectoriel des mouvements virtuels modélise les efforts intérieurs par le champ d un tenseur du deuxième ordre, nécessairement symétrique pour respecter la loi des actions mutuelles. Ce tenseur est, dans la densité de puissance virtuelle des efforts intérieurs, la variable duale du taux de défor- mation virtuel (au signe près). Les équations de la dynamique fournissent, pour ce champ tensoriel symétrique, trois équations aux dérivées partielles du premier ordre et trois équations au contour du système ou d un sous- système quelconque. L interprétation mécanique de la modélisation montre que les efforts intérieurs, réduits à des actions de contact entre les particules du système, sont schématisés de la façon suivante : les particules situées de part et d autre d un élément géométrique plan à l intérieur du système, in niment près de celui-ci, exercent les unes sur les autres des efforts représentés par des forces surfaciques distribuées sur cet élément appelé aussi facette . La densité surfacique correspondante est le vecteur-contrainte s u rla facette. Le champ tensoriel symétrique delamodélisation est le champ des tenseurs des contraintes de Cauchy (section 3). La modélisation des efforts intérieurs est naturellement faite sur la con guration actuelle. Le transport,s u rl ac o n guration initiale de ré- férence, de l intégrale donnant la puissance des efforts intérieurs fait appa- raître que le taux de déformation lagrangien y est associé par dualité à un tenseur symétrique qui est, de ce point de vue, l homologue du tenseur des contraintes de Cauchy : c est le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff (section 4). Le concept de contrainte, caractéristique de la mécanique des milieux continus classique, se révèle pertinent pour un très grand nombre de pro- blèmes, associé à des matériaux divers ( uides et solides, homogènes ou composites) et à des échelles variées, bien que les phénomènes physiques microscopiques qu il modélise ainsi à travers la notion d efforts intérieurs puissent être de natures différentes (section 5).
Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu 189 Principales notations Notation Signi cation 1ère formule F (x,t) force massique (2.4) T Ω(x,t) force surfacique au contour de S (2.5) dfΩ force de surface élémentaire au contour de S (2.5) T Ω (x,t) force surfacique au contour de S (2.8) dfΩ force de surface élémentaire au contour de S (2.8) p(x,t) pression (2.14) σ(x,t) tenseur des contraintes de Cauchy (3.8) T (x,t,n(x)) vecteur-contrainte (3.18) π(X,t) tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff (4.10) B(X ,t) tenseur des contraintes de Piola-Lagrange (4.19)
190 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu 1P ositionduproblème .....................191 2M o d é lisation des efforts intérieurs par un champ sca- laire:la pression ........................192 2.1 Mouvements virtuels. Puissance virtuelle des quantités d accélération ........................ 192 2.2P uissancevirtuelle deseffortsextérieurs ......... 193 2.3P uissancevirtuelle deseffortsintérieurs ......... 196 2.4É quations de la dynamique ................ 197 2.5P ertinencedumodèle:champdepression ........ 200 2.6L oi fondamentaledeladynamique ............ 201 2.7C hamp de vitesse virtueldiscontinu. . ......... 201 3M o d é lisation des efforts intérieurs par un champ ten- soriel:les contraintes.....................203 3.1 Mouvements virtuels. Puissances virtuelles des quantités d accélération et deseffortsextérieurs. ......... 203 3.2P uissancevirtuelle deseffortsintérieurs ......... 204 3.3É quations de la dynamique ................ 206 3.4C o mmentaires ....................... 207 3.5 Tenseur des contraintes de Cauchy. Vecteur-contrainte . 210 3.6 Modélisation des efforts intérieurs à un milieu continu à partir du conceptdevecteur-contrainte ......... 213 3.7 Expressions explicites des équations de la dynamique . . 216 3.8C hamp de vitesse virtueldiscontinu. . ......... 217 3.9D iscontinuitésduchamp de contrainte . ......... 219 3.10 Théorème d Euler. .................... 223 3.11 Théorème de l énergie cinétique. ............. 225 3.12 Puissancededéformation ................. 226 3.13 Retour sur la compatibilité géométrique : formulationfaible. . .................... 226 3.14 Formulation faible des équations de la dynamique . . . 227 3.15 Objectivité du tenseur des contraintes de Cauchy . . . . 227 4L es contraintese ndescription lagrangienne ........227 4.1T enseur descontraintes de Piola-Kirchhoff. . ...... 2 27 4.2 Tenseur des contraintes de Piola-Lagrange. Équations de la dynamique ........................ 231 5B ilanetperspectives .....................233 5.1 Mécaniciens et Physiciens ... . ............. 233 5.2T ableau récapitulatif .................... 234 5.3 Milieux micropolaires . . ................. 235 Récapitulatifdes formules essentielles .............239 Exercices ..............................241
1 Position du problème 191 Modélisation des efforts pour le milieu continu 1P o s i t ion du problème La mise en œuvre de la méthode des puissances virtuelles a permis dans la section 6duchapitreprécédent de dégager des énoncés généraux, exprimés en termes de torseurs, qui s imposent à toute modélisation : • La loi des actions mutuelles, équivalente à l énoncé (4.1 du chapitre IV) qui exprime la nullité de la puissance virtuelle des efforts intérieurs dans tout mouvement rigidi ant, pour S [Fi]=0 ∀S [F i]=0, (1.1) • la loi fondamentale de la dynamique, en référentiel galiléen R , pour S [Fe]=[MA] ∀S [F e]=[MA ] . (1.2) On s est ensuite intéressé au milieu continu, dans la modélisation géométrique qui en a été introduite au chapitre I, obtenant ainsi les théorèmes de la quantité de mouvement et de l énergie cinétique. On se propose maintenant, en précisant les expressions des formes linéaires P(e) et P (e), P(i) et P (i),d aboutir à travers la méthode des puissances virtuelles, à la modé- lisation des efforts extérieurs et intérieurs pour le milieu continu. Les choix successifs qui seront faits ici permettront de dégager deux modèles emboîtés , distincts pour la modélisation des efforts intérieurs : d abord, la représentation des efforts intérieurs par un champ scalaire identi able àlapression ,modélisation adaptée aux uides parfaits et à la statique des uides en général, puis la représentation par un champ tensoriel d ordre deux, appelé champ de contrainte ,qui est la modélisation générale pour la mécanique des milieux conti- nus tridimensionnels classique.
192 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu On a, au chapitre IV (section 4), donné une démarche très systématique pour l application de la méthode des puissances virtuelles, dans laquelle les expressions des puissances virtuelles des quantités d accélération, des efforts extérieurs et des efforts intérieurs sont écrites préalablement à (et indépendamment de) toute application des énoncés (4.1) et (4.2). Il va de soi que cette formulation ne visait qu à une présentation claire et n a rien de contraignant : il sera souvent avantageux de tenir compte de l énoncé (4.1), ou de la loi des actions mutuelles qui lui est équivalente (1.1), par exemple dès l expression de la puissance des efforts intérieurs, de façon à ne pas introduire des termes a priori inutiles. C est de cette façon que l on appliquera la méthode dans la suite. En n, on rappelle que l énoncé (4.2) du principe des puissances virtuelles se réfère àu nréférentiel galiléen (ou absolu) ; cette condition ne sera plus mentionnée dans toute la suite mais sera sous-entendue à chaque application de la méthode : toutes les équations obtenues (équations de la dynamique) supposeront que le mouvement du système est observé dans unréférentiel galiléen. 2M odélisation des efforts intérieurs par un champ scalaire : la pression Le système considéré est décrit comme au chapitre IV (section 7) dans la con - guration actuelle κt par le volume Ωt ,occupé par ses particules ; ∂Ωt en désigne la frontière. De même pour un sous-système : Ω t ,∂Ω t. Les mouvements réels, qui correspondent à la modélisation géométrique du milieu continu telle qu elle a été construite au chapitre I, sont décrits par l évolution des positions géométriques des particules du système à chaque instant, avec les conditions de continuité et de régularité qui ont été exposées alors. Ainsi, du point de vue des champs de vitesse réels à l instant t sur la con guration κt,(indépendamment de conditions supplémentaires qui pourraient être dues au comportement spéci que du matériau constitutif), on a vu que la modélisation du milieu continu considère les champs U continus et continûment différentiables par morceaux . 2.1 Mouvements virtuels. Puissance virtuelle des quantités d accélération Mouvements virtuels Les mouvements virtuels considérés dans les constructions auxquelles on va pro- céder sont dé nis par les champs de vecteurs ˆ U ,vite sses virtuelles, dé nis sur κt, auxquels on impose d abord les conditions de continuité et de continue différen- tiabilité sur Ωt .Unmouvementvirtuelseradésormaisdésignépar ˆ U. On montrera ensuite, pour chacune des deux modélisations présentées, sa mise en œuvre sur l espace vectoriel des mouvements virtuels dé nis par des champs de vitesse virtuels ˆ U continus et continûment différentiables par morceaux ( 2.7 et 3.8).
2 Modélisation des efforts intérieurs par unchampscalaire : la pression 193 Puissance virtuelle des quantités d accélération On reprend ici les arguments du chapitre IV ( 7.2) compte tenu de la forme des mouvements réels. En supposant le champ de vitesse réel continu et continûment différentiable sur Ωt(1),laquantité d accélération de l élément dm = ρ(x,t)dΩt est : a(x,t)dm = ρ(x,t)a(x,t)dΩt . (2.1) La puissance virtuelle des quantités d accélération s écrit pour S : A(ˆ U)= Ωt a(x,t) . ˆ U(x,t)dm = Ωt ρ(x,t)a(x,t) . ˆ U(x)dΩt , (2.2) et formule homologue pour A ( ˆ U) relative à S ,sous-système quelconque de S. On rappelle que l on a introduit au chapitre IV (section 6), le torseur [MA] des quantités d accélération pour S : [MA]=[O, A,δ0 ] , dont les éléments de réduction pour une origine O quelconque sont (chapitre IV, 7.2) : A = Ωt a(x,t)dmδ 0 = Ωt OM ∧ a(x,t)dm ; (2.3) et formule homologue pour [MA ] relativement à S . 2.2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs Comme on l a vu au chapitre IV l écriture même de la forme linéaire exprimant la puissance virtuelle des efforts extérieurstraduit directement les hypothèses faites quant à la modélisation adoptée pour ces efforts. Système S On fait ici l hypothèse que les efforts extérieurs agissant à chaque instant t sur S sont de deux types ( gure 1). • D une part, des forces de volume dé nies par une densité massique F (x,t). Sur l élément de volume dΩt en M la force de volume élémentaire est donc : F (x,t)dm = ρ(x,t)F (x,t)dΩt . (2.4) (1)Le cas où le champ réel U est continu et continûment différentiable par m orceaux sera traité au paragraphe 3.9.
194 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu Figure 1 Efforts extérieurs agissant sur le système • D autre part, des forces de surface exercées au contour ∂Ωt de S.Ce sfo rces sont dé nies en chaque point de ∂Ωt par une densité surfacique T Ω(x,t) :laforce de surface élémentaire agissant sur l élément de surface da de ∂Ωt en M est égale à : dfΩ = T Ω(x,t)da. (2.5) La puissance virtuelle des efforts extérieurs s écrit alors pour S : P(e)( ˆ U)= Ωt ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ωt T Ω(x,t). ˆ U(x)da. (2.6) Sous-système S de S Figure 2 Efforts extérieurs sur un sous-système Pour un sous-système S quelconque de S on supposequ ele seffo rtse xtérie u r s , c est-à-dire exercés sur S par l extérieur de S ,yc o mpris(S-S ),s o ntdemêm e nature ( gure 2).
2 Modélisation des efforts intérieurs par unchampscalaire : la pression 195 • Les forces de volume sont dé nies en chaque point M de Ω t,pa rlade nsité massique F Ω (x,t). On construit ici la modélisation en faisant l hypothèse que ∀S ⊂S,FΩ (x,t) ≡ F(x,t) , (2.7) c est-à-dire que la densité massique defo r ces de volume est indépendante de la partition de S.Dupointdev u ephysique cela signi e que cette modélisation se place dans l hypothèse où les actions à distance entre les particules de S sont nulles(2). • Les forces de surface exercées au contour ∂Ω t de S sont, quant à elles, dé nies en chaque point par la densité surfacique T Ω (x,t),donnant ainsi la force de surface élémentaire agissant sur l élément de surface da de ∂Ω t en M : dfΩ = T Ω (x,t)da. (2.8) La puissance virtuelle des efforts extérieurs s écrit ainsi, pour un sous-système S quelconque de S : P (e)( ˆ U)= Ω t ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ω t TΩ (x,t). ˆ U(x)da. (2.9) Remarque Il importe ici d insister (cf. chapitre IV, 4.3) sur la différence des points de vue que traduisent les notions de système et de sous-systèmes, qui peut être occultée par la similitude des notations dans (2.6) et (2.9). Pour le système S,lesefforts extérieurs dé nis par les champs F sur Ωt ,TΩ sur ∂Ωt sont des données .Pourunsous-système S quelconque de S,s u rle spo rtions de sa frontière ∂Ω t qui ne sont pas communes avec ∂Ωt,lecha mpT Ω des forces extérieures surfaciques sera déterminé par la modélisation quand sa construction sera achevée (cf. les formules (2.23) et (3.15)). On peut aussi préciser que, sur ces portions de ∂Ω t , T Ω représente la densité surfacique des forces exercées par (S-S ) sur S ,etnecomprendaucune contribution due à l extérieur de S.Eneffetune telle contribution, lorsqu elle doit être prise en compte, apparaît également dans l expression de P(e)( ˆ U ) pour le système S lui-même où elle fait l objet d une intégrale séparée semblable à la première intégrale de (2.9) (cf. 3.9 à propos de l équation (3.39)). (2)La modélisation classique ainsi construite n est donc valable que pour des systèmes où ce type d interaction entre les particules est effectivement négligeable vis-à-vis des autres actions qui entrent en jeu. Il s agit d un choix de présentation habituel, simpli cateur, qui se révèle pertinent pour la grande majorité des applications pratiques. Il n est pas limitatif quant à l emploi de la méthode des puissances virtuelles comme le montre d ailleurs l exemple choisi au chapitre IV (sections 1 à 3) pour a c climater les puissances virtuelles. La méthode des puissances virtuelles se révèle très sûre pour la construction des modélisations homologues de celles présentées dans les sections 2 et 3 de ce chapitre,horsdel hypothèse (2.7).
196 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu To r s e u rs des efforts extérieurs Les efforts extérieurs étant ainsi décrits par (2.6) et (2.9) pour S et pour tout sous-système S , l identi cation du torseur des efforts extérieurs par ses éléments de réduction par rapport à une origine O quelconque est immédiate. On pose : pour S [Fe]=[O, Fe ,C0 ] ∀S [F e]=[O, F e ,C 0 ] (2.10) et l on a, en pro tant de la similitude des notations, pour S ⊂S : F e = Ω t F (x,t)ρ(x,t)dΩt + ∂Ω t T Ω (x,t)da C 0 = Ω t OM ∧ F (x,t)ρ(x,t)dΩt + ∂Ω t OM ∧ T Ω (x,t)da. (2.11) 2.3 Puissance virtuelle des efforts intérieurs On fait l hypothèse que la forme linéaire continue, fonctionnelle du champ ˆ U ,qui exprime la puissance virtuelle des efforts intérieurs pour S ou pour tout sous-système S ,s obtient par intégration surlevolumedeS ou de S ,d une densité volumique p(i)( ˆ U), indépendante de S ,fonctionlinéaire des valeurs locales du champ ˆ Uetde ses gradients : ˆ U(x), grad ˆ U(x), ... On écrit ainsi : ∀S ⊂S, P (i)( ˆ U)= Ω t p(i)( ˆ U)dΩt . (2.12) Modélisation des efforts intérieurs par un champ scalaire Si l on retient pour p(i) ( ˆ U) une expression linéaire en fonction des valeurs locales deˆ U et de son premier gradient, celle-ci est nécessairement de la forme p(i)(ˆ U)=A(x,t). ˆ U (x) - t (x,t):gr adˆ U (x,t) (2.13) où A (x,t) désigne un vecteur et t (x,t) un tenseur euclidien du second ordre(3). L étude de cette modélisation dans sa forme la plus générale (2.13) fera l objet de la section 3 et on examinera ici, d abord, le cas particulier où A (x,t)=0et t (x,t)=-p (x,t) 1l , ∀x ∈ Ωt ,soit: p(i)(ˆ U)=p (x,t) tr (grad ˆ U (x)) = p (x,t)div ˆ U (x) (2.14) et ∀S ⊂S, P (i)(ˆ U)= Ω t p(x,t) div ˆ U(x)dΩt . (2.15) (3)Le signe moins dans cette formule est cohérent avec l expression classique des équations de la dynamique ( 3.3) et la convention de signe sur les contraintes (chapitre VI, 2.3).
2 Modélisation des efforts intérieurs par unchampscalaire : la pression 197 Cette expression de la puissance virtuelle des efforts intérieurs véri e la loi des actions mutuelles : ∀S ⊂S, ∀ˆ U m.v.r. pour S , P (i)(ˆ U)=0 (2.16) puisque ˆ Um.v.r.⇒divˆ U(x)≡0. Dans cette modélisation les efforts intérieurs sont donc modélisés par le champ scalaire p sur Ωt. 2.4 Équations de la dynamique Il reste à examiner les implications de l autre proposition contenue dans le principe des puissances virtuelles : ∀S ⊂S, ∀ˆ U m.v. , P (e)(ˆ U)+P (i)( ˆ U)=A ( ˆ U), (2.17) qui s écrit ici : ∀S ⊂S, ∀ˆ Um.v., Ω t ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ω t TΩ (x,t). ˆ U(x)da + Ω t p(x,t) div ˆ U(x)dΩt = Ω t ρ(x,t)a(x,t) . ˆ U(x)dΩt . (2.18) En supposant la continuité, et la continue différentiabilité par morceaux, du champ scalaire p et compte tenu de la continuité et de la continue différentiabilité du champ ˆ U ,ona: p(x,t) div ˆ U(x)=div (p(x,t) ˆ U(x)) - ˆ U(x) . grad p(x,t) (2.19) que l on peut substituer dans (2.18) où, par application du théorème de la divergence, ilvient: ∀S ⊂S, ∀ˆ Um.v., Ω t ( - grad p(x,t)+ρ(x,t)(F (x,t) - a(x,t))) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ω t (T Ω (x,t)+p(x,t)n(x)) . ˆ U(x)da =0. (2.20) Cette dernière formule est d exploitation commode selon la démarche de duali- sation exposée au chapitre IV. Elle se compose d une intégrale de volume et d une intégrale au contour où chacun des intégrandes apparaît comme le produit scalaire d un cofacteur vectoriel par ˆ U(x).Lechamp ˆ U yestarbitraire continu etcontinûment différentiable sur Ωt . Considérant l équation (2.20) écrite pour le système S on s appuie sur le caractère arbitraire du champ ˆ U continu et continûment différentiable. On démontre d abord
198 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu quesurΩtona: ∀x∈Ωt -grad p(x,t)+ρ(x,t)(F (x,t) - a(x,t)) =0 (2.21) puis, compte tenu de (2.21), on a sur ∂Ωt : ∀x∈∂Ωt p(x,t)n(x)=-T Ω(x,t) (2.22) en supposant ici et dans toute la suite la régularité des frontières ∂Ωt et ∂Ω t (la régularité par morceaux estégalement acceptable). Considérant ensuite S ,sous-système quelconque de S,onobtient par les mêmes arguments, sur ∂Ω t(4) : ∀Ω t ,∀x∈∂Ω t T Ω (x,t)=-p(x,t) n(x) (2.23) Ce sont les équations de ladyn a miqu epour un système dont les efforts inté- rieurs sont modélisés par un champ scalaire p selon la formule (2.15). Cohérence du modèle et interprétation physique Équations de champ L équation (2.21) représente trois équations de champ ,équationsaux dérivées partielles du premier ordre, pour le champ scalaire p sur Ωt. Elle montre que la modélisation des efforts intérieurs par un champ scalaire selon (2.15) est mécaniquement cohérente avec les efforts extérieurs donnés dans S sous la forme de densité massique (ou volumique), à la condition que le champ ρ(F - a) soit irrotationnel : rot(ρ(F - a)) =0sur Ωt . (2.24) Condition aux limites L équation au contour (2.22) fournit la condition aux limites pour le champ scalaire p sur le bord ∂Ωt du système S. (4)La mise en œuvre sur Ω t du même raisonnement que sur Ωt n apporte aucune information sup- plémentaire. Ceci est évidemment lié aux hypothèses cohérentes concernant les densités volumiques de forces extérieures et de puissance virtuelle des efforts intérieurs qui sont supposées indépendantes de S .
2 Modélisation des efforts intérieurs par unchampscalaire : la pression 199 Elle montre que la modélisation des efforts intérieurs par le champ scalaire p selon (2.15) est mécaniquement cohérente avec des efforts extérieurs donnés sur la frontière de S par une densité surfacique de forces, à la condition que cette densité soit normale au contour ∂Ωt :lafo r c eextérieure élémentaire exercée sur l élément de surface da de normale (sortante) n(x) au point M de ∂Ωt doit donc être de la forme dfΩ = TΩ(x,t) n(x)da = TΩ(x,t)da (2.25) qui xe la condition aux limites pour le champ p sur ∂Ωt : p(x,t)=-TΩ(x,t) sur ∂Ωt . (2.26) On remarque de plus que les équations(2.21) et (2.26) impliquent que, sur ∂Ωt, l équation (2.27) de compatibilité des données au contour avec les équations de champ soit satisfaite : ∀P ∈ ∂Ωt , ∀Q ∈ ∂Ωt ,TΩ(Q)- TΩ(P)+ ˆ PQρ(F - a).dM =0 (2.27) où˜ PQ est un arc quelconque joignant P à Q,tracédans Ωt ou sur ∂Ωt. Efforts extérieurs surfaciques sur un sous-système La signi cation de l équation au contour (2.23) est différente. Cette équation dé- termine, sur le bord ∂Ω t d un sous-système S quelconque, la densité surfacique de forces extérieures T Ω (x,t) : celle-ci est obtenue à partir du champ des efforts inté- rieurs dans S (et elle s identi e évidemment à T Ω(x,t) sur les éventuelles parties de ∂Ω t en coïncidence avec ∂Ωt). Elle révèle la cohérence entre les formes choisies a priori(5) pour les efforts exté- rieurs à S et les efforts intérieurs à S,maiselle a, en outre, des conséquences physiques importantes. Elle montre que T Ω (x,t) est normal à ∂Ω t au point x. Elle montre surtout que T Ω (x,t) ne dépend que du point x sur ∂Ω t et de la normale n(x) en ce point à ∂Ω t.Celasigni e que T Ω (x,t) ne dépend de Ω t qu à travers sa normale n(x) et l on écrira ainsi : T Ω (x,t)=T (x,t,n(x)) sur ∂Ω t . (2.28) En conséquence la force extérieure élémentaire exercée sur l élément de surface da de normale n(x) au point x de ∂Ω t,quie stdf Ω donnée par (2.8), se révèle indé- pendante du sous-système S considéré tangent à da avec n(x) normale extérieure : df Ω =df = T (x,t,n(x)) da = -p(x,t)da . (2.29) L interprétation physique de ce résultat est que la force de surface élémentaire df ne dépend de S et de (S-S ) que localement à travers x, da et n(x).Elle correspond (5)Il faut se garder d une fausse naïveté. Comme on l a dit, la structuration stricte du tableau du chapitre IV (section 4) a un objectif didactique : les choix des formes des puissances virtuelles des efforts extérieurs et intérieurs ne sont pas effectués en aveugle.
200 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu àlam odélisation d actions exercées localement par l extérieur sur S ,c e st-à-dire d actions de contact exercées par (S-S ) sur S . En conclusion, les particules du système S n exercent les unes sur les autres que des actions de contact : ce sont les efforts intérieurs au système S .Lesefforts extérieurs surfaciques au contour d un sous-système S quelconque sont le résultat de ces actions de contact exercées, sur ∂Ω t ,parlesparticules de (S-S ) sur les particules de S . Ceci conduit à l interprétation physique du champ p lui-même : le champ p qui modélise les efforts intérieurs traduit les actions de contact entre les particules de S. 2.5 Pertinence du modèle : champ de pression Figure 3 Efforts extérieurs au contour d un sous-système in nitésimal On peut poursuivre l identi cation physique du modèle en s appuyant sur la for- mule (2.23). On y voit que tout sous-système S de S est, dans le cadre de ce modèle, soumis à son contour à une densité surfacique d efforts extérieurs purement normale . Si l on imagine que S correspond à un volume in nitésimal entourant un point M , la valeur algébrique de cette densité est, en première approximation constante sur le contour ∂Ω t et égale à -p(x,t) ( gure 3). On reconnaît là la notion de pression dont la présentation classique part de la formule (2.23) posée comme principe. La gure 4 rappelle schématiquement la démonstration des équations de la dy- namique (2.21) dans cette présentation : en utilisant des coordonnées cartésiennes orthonormées par exemple, on écrit la loi fondamentale de la dynamique (1.2) pour un volume parallélépipédique in nitésimal orienté suivant les axes. Ceci correspond au raisonnement analytique fondé sur la continuité, appliqué à la première intégrale de (2.20) pour obtenir (2.21) par la méthode des puissances virtuelles. Du point de vue physique, cette modélisation des efforts intérieurs par un champ de pression se révèle pertinente pour l étude des uides parfaits ,c est-à-dire dé- pourvus de viscosité. Pour les uides visqueux ,elle est valable pour l étude des problèmes d équilibre : les équations (2.21 avec a(x,t) ≡ 0) ,(2.22) et (2.23) sont ainsi les équations de la statique des uides .
2 Modélisation des efforts intérieurs par unchampscalaire : la pression 201 Parcontre elle ne permet pas l étude générale des milieux continus (cf. 3.1). Figure 4 Schéma de la démonstration classique des équations de la dynamique 2.6 Loi fondamentale de la dynamique La modélisation mécaniquement cohérente construite ici véri e évidemment la loi fondamen- tale de la dynamique (1.2) comme on l a établi au chapitre IV ( 6.3). On peut d ailleurs s en assurer directement à partir des expressions (2.3) et (2.11) des éléments de réduction de [MA ] et [F e] ;e npr océdant aux intégrations compte tenu de (2.21), (2.22) ou (2.23) et en remarquant que Ω t -grad p(x,t)dΩt = Ω t - div (p(x,t)1l) dΩt = ∂Ω t -p(x,t)n(x)da (2.30) on retrouve bien : F e = A et C 0 =δ 0. 2.7 Champ de vitesse virtuel discontinu L application de la méthode des puissances virtuelles au système S et à tout sous-système S , en considérant les mouvements virtuels dé nis par des champs de vitesse virtuels continus et continûment différentiables, a permis d établir les équations (2.21) à (2.23) à partir de l écriture (2.18) pour la formule fondamentale (2.17) : ∀S ⊂S, ∀ˆ U m.v. P (e)(ˆ U)+P (i)(ˆ U)=A (ˆ U). Àpa rtirde srés ultats ainsi acquis concernant la modélisation des efforts intérieurs par un champ scalaire p,onseproposed étendre l écriture du principe des puissances virtuelles au cas où l on considère des mouvements virtuels dé nis par des champs de vitesse virtuels conti- nus et continûment différentiables par m orceaux en supposant la continuité ,etlacontinue dérivabilité par morceaux, du champ p. Soit, à titre d exemple, un champ de vitesse virtuel ˆ U ,contin uetcontinûment différentiable sur deux volumes Ω 1 et Ω 2 complémentairesdansΩt ,etdiscontinu au franchissement de la surface Σ ˆ U frontière entre Ω 1 et Ω 2 ( gure 5). Le principe des puissances virtuelles peut être appliqué séparément sur chacun des deux sous-systèmes S 1 et S 2 de volumes respectifs Ω 1 et Ω 2 . • Ainsi pour S 1 ,ondécompose la frontière, ∂Ω 1 de Ω 1 en deux parties complémentaires : d une part, Σ 1 ,identique à la surface Σ ˆ U ,etorientéetransversalement par la normale sortante n1àΩ 1; d autre part, ∂Ω t1 partie commune aux frontières ∂Ω 1 de Ω 1 et ∂Ωt de Ωt .
202 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu Figure 5 Champ de vitesse virtuel discontinu au franchissement de Σ ˆ U La formule (2.17) s explicite alors en : Ω 1 ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ω t1 TΩ 1(x,t). ˆ U(x)da + Σ ˆ U TΩ 1(x,t). ˆ U 1(x)da + Ω 1 p(x,t)div ˆ U(x)dΩt = Ω 1 ρ(x,t)a(x,t) . ˆ U(x)dΩt (2.31) oùˆ U 1(x) désigne la vitesse virtuelle au point M de Σ ˆ U considéré comme appartenant à S 1 . • On procède de la même manière pour S 2 ,enremarquant que, en un même point M de Σ ˆ U, ona: n2(x)=-n1(x) on obtient : Ω 2 ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ω t2 TΩ 2(x,t). ˆ U(x)da + Σ ˆ U TΩ 2(x,t). ˆ U 2(x)da + Ω 2 p(x,t)div ˆ U(x)dΩt = Ω 2 ρ(x,t)a(x,t) . ˆ U(x)dΩt . (2.32) • En appliquant l équation (2.23) sur Σ ˆ Uona: T Ω 1 (x,t)=-T Ω 2 (x,t)=-p(x,t)n1(x) . La même équation (2.23) montre que sur ∂Ω t1 on a T Ω 1 (x,t)=T Ω(x,t) et sur ∂Ω t2 on a T Ω 2 (x,t)=T Ω(x,t) . • On obtient alors, en additionnant (2.31) et (2.32), la formule : Ωt ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ωt T Ω(x,t). ˆ U(x)da + Ωt p(x,t)div ˆ U(x)dΩt + Σ ˆ U p(x,t)[[ ˆ U(x)]].n(x)da = Ωt ρ(x,t)a(x,t) . ˆ U(x)dΩt (2.33) dans laquelle, pour l intégrale sur Σ ˆ U,o ndésigne par n(x) une normale à Σ ˆ UenMetpar [[ˆ U(x)]] la discontinuité de ˆ U(x) en M ,aufranchissement de Σ ˆ Udansle sensde n(x): [[ˆ U(x)]]= ˆ U2(x)- ˆ U1(x) . (2.34)
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 203 Cette démonstration, qui a évidemment une portée générale pour un champ ˆ U continu et continûment différentiable par m orceaux quelconque, a ainsi permis d établir le résultat sui- vant. Pour un milieu continu dont les efforts intérieurs sont modélisés par un champ scalaire p (pression), dans le cas d un mouvement virtuel dé ni par un champ de vitesse virtuel ˆ U continu et continûment différentiable par morceaux les deux énoncés du principe des puis- sances virtuelles sont conservés mais le calcul de la puissance virtuelle des efforts intérieurs doit prendre en compte les discontinuités éventuelles de ˆ U :lapuissance virtuelle des efforts intérieurs est obtenue par intégration, sur le volume du système (ou d un sous-système), de la densité volumique p(x,t)div ˆ U(x) et par intégration, sur les surfaces de discontinuité Σ ˆ U deˆ U intérieures au volume dusystèm e(o ud u ns o u s - systèm e),deladensité surfacique égale à : p(x,t)[[ ˆ U(x)]].n(x) (2.35) c est-à-dire que l on a pour S,etpou rtout sous-système S : P (i)(ˆ U)= Ω t p(x,t)div ˆ U(x)dΩt + Σ ˆ U ∩Ω t p(x,t)[[ ˆ U(x)]].n(x)da (2.36) On remarquera que la formule (2.36) s interprète dans le cadre de la théorie des distribu- tions ,c o mme l intégrale de la densité volumique (2.15) où la divergence du champ ˆ U est prise au sens des distributions (cf. chapitre III, formule (4.35)). On rappelle que la démonstration ci-dessus et le résultat correspondant exprimé par (2.36) supposent la continuité du champ de pression p sur les surfaces Σ ˆ U (cf. 3.9). 3M odélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : les contraintes 3.1 Mouvements virtuels. Puissances virtuelles des quantités d accélération et des efforts extérieurs La modélisation des efforts intérieurs construite dans la sectionprécédente se ré- vèle, on l a dit, insuffisante pour l étude de la dynamique des milieux continus hormis les uides parfaits ou la statique des uides. Un exemple simple suffit à illustrer ce propos : celui de l équilibre d un solide de forme cylindrique, reposant par sa base sur une surface plane horizontale, soumis à la seule action de la pesanteur et de la pres- sion atmosphérique, et aux réactions de son appui ( gure 6). En effet, l intégration de l équation de champ (2.21) à partir de la condition aux limites (2.22) écrite sur la face supérieure (z =0)conduit à la distribution dite hydrostatique de p dans le solide, p = pa - ρgz,quiestévidemment incompatible avec la condition aux limites (2.22) écrite sur la surface latérale du cylindre ; ceci illustre le fait que la condition (2.27) n est pas véri ée par les données.
204 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu Figure 6 Équilibre d un solide pesant L objet de la présente section est, considérant le même espace de mouvements virtuels et la même modélisation des efforts extérieurs à travers leur puissance virtuelle que ceux utilisés aux paragraphes 2.1 et 2.2, par le choix d une forme plus élaborée pour la puissance virtuelle des efforts intérieurs, d aboutir à une modélisation de ceux- ci qui présente plus de degrés de liberté pour permettre l étude générale des milieux continus classiques . Cette modélisation devra inclure, comme cas particulier, celle présentée dans la section 2, dont la pertinence est avérée dans certains cas. L espace vectoriel des mouvements virtuels est donc encore dé ni par les champs de vitesse virtuels ˆ U continus et continûment différentiables. L expression (2.2) de la puissance virtuelle des quantités d accélérationest conser- vée. Les effortse x térie u r ss o n te n c o r em odélisés par la densité massique de forces F (x,t),s upposée indépendante de la partition de S selon (2.7), et par les densités surfaciques de forces T Ω(x,t) sur ∂Ωt pour S et T Ω (x,t) sur ∂Ω t pour S .Lapuis- sance virtuelle des efforts extérieurs conserve les expressions (2.6) pour P(e)( ˆ U) et (2.9) pour P (e)( ˆ U). 3.2 Puissance virtuelle des efforts intérieurs Poursuivant l idée mise en œuvre au paragraphe 2.3 on fait l hypothèse que la forme linéaire continue, fonctionnelle de ˆ U ,quie xprime la puissance virtuelle des efforts intérieurs pour un sous-système quelconque S de S se met sous la forme (2.12), intégrale d une densité volumique p(i)( ˆ U) indépendante de S .Co mme annoncé alors on écrit maintenant p(i)( ˆ U) ,sousforme linéaire en ˆ Uetgradˆ U(x) ,de la façon la plus générale soit : p(i)( ˆ U)=A(x, t). ˆ U(x) - t(x,t):grad ˆ U(x) . (3.1) En adoptant les notations du chapitre III (formules (3.9) et (3.21)), et la termi- nologie correspondante pour le champ de vitesse virtuel ˆ U,o nintr oduit les parties
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 205 symétrique et antisymétrique de grad ˆ U(x) : ˆd(x)= 1 2 (grad ˆ U(x)+t grad ˆ U(x)) (3.2) ˆ Ω(x)= 1 2 (grad ˆ U(x) -tgrad ˆ U(x)) (3.3) que l on appellera respectivement taux de déformation et taux de rotation vir- tuels au point M dans le champ ˆ U .Ladensitép(i)( ˆ U) s explicite alors sous la forme : p(i)( ˆ U)=A(x,t) . ˆ U(x) - α(x,t): ˆ Ω(x) - σ(x,t):ˆd(x) (3.4) où α(x,t) et σ(x,t) désignent respectivement les parties antisymétrique et symétrique de t(x,t). La loi des actions mutuelles (1.1) impose depréciser cette expression. Pour cela il convient d identi er, pour un sous-système S quelconque de S,letorseur des efforts intérieurs [F i] qui correspond à la densité p(i)( ˆ U) donnée par (3.1)o u(3.4). On procède, comme on l a indiqué au chapitre IV ( 6.2), en considérant l espace vectoriel des mouvements rigidi ants dé nis par les distributeurs { ˆ D}={O, ˆ U0, ˆ ω0} arbitraires. Dans un tel mouvement on a, sur Ωt : ˆd(x)=0, ˆ Ω(x)= ˆ ω0,∀x∈Ωt,oùˆ ω0 est le tenseur antisymétrique associé au vecteur ˆ ω0(6).Ile nrés ulte ,pa r(2.12) et (3.4), pour identi er [F i], l équation : ∀Ω t⊂Ωt,∀{ˆ D} (3.5) [F i].{ˆ D}= ˆ U 0 . Ωt A(x,t)dΩt +ˆ ω0 : Ωt(x ⊗A(x,t)- α(x,t))dΩt . La loi des actions mutuelles impose alors que : ∀Ω t ⊂Ωt , Ω t A(x,t)dΩt =0, (3.6) d où la nullité du champ A sur Ωt puis, α(x,t) étant antisymétrique, ∀Ω t ⊂Ωt , Ω t α(x,t)dΩt =0 (3.7) c est-à-dire la nullité du champ α sur Ωt .Letenseu rt(x,t) est donc nécessairement symétrique . L expression la plus générale de p(i)( ˆ U) comme forme linéaire de ˆ U(x) et grad ˆ U(x) respectant le principe des puissances virtuelles s écrit : p(i)( ˆ U)=-σ(x,t):grad ˆ U(x) σ(x,t) symétrique (3.8) (6)Cf. chapitre III, 3.5.
206 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu égale aussi à : p(i)( ˆ U)=-σ(x,t):ˆd(x) . (3.9) Les effortsintérie u r ss o ntm odélisés par un champ de tenseurs euclidiens du deuxième ordre, symétriques (7). 3.3 Équations de la dynamique La forme (3.8) ayant été adoptée pour la densité de puissance virtuelle des efforts intérieurs, on se propose maintenant d exploiter la proposition (2.17) du principe des puissances virtuelles qui devient : ∀S ⊂S, ∀ˆ Um.v., Ω t ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ω t T Ω (x,t). ˆ U(x)da + Ω t -σ(x,t):grad ˆ U(x)dΩt = Ω t ρ(x,t)a(x,t) . ˆ U (x)dΩt . (3.10) Le raisonnement mis en œuvre est analogue à celui du paragraphe 2.4 ; il nécessite d abord la transformation de la troisième intégrale de (3.10). Pour cela on remarque que, le champ σ étant supposé continu, et continûment différentiable par morceaux, on a l identité(8) : -σ(x,t):grad ˆ U(x)= ˆ U(x). div tσ(x,t) - div (σ(x,t) . ˆ U(x)) , (3.11) que l on peut substituer dans (3.10) où, par application du théorème de la divergence, ilvient: ∀S ⊂S, ∀ˆ Um.v., Ω t ( div tσ(x,t)+ρ(x,t)(F (x,t) - a(x,t)) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ω t (T Ω (x,t) - n(x) .σ(x,t)) . ˆ U(x)da =0. (3.12) Cette équation a une structure comparable à l équation (2.20), qui permet de tirer parti du caractère arbitraire du champ ˆ U continu et continûment différentiable sur Ωt en se plaçant du point de vue de la dualité. On rappelle que ∂Ωt et ∂Ω t sont supposées régulières ( 2.4). (7)Cette représentation contient évidemment celle de la section 2 à laquelle correspond le champ σ isotrope dé ni par : σ(x,t)=-p(x,t) 1l sur Ωt . (8)Ona:grad(σ. ˆ U)=σ . grad ˆ U+ˆ U.gradtσd où:div(σ. ˆ U)=σ :grad ˆ U+ˆ U.div tσ.
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 207 Considérant le système S on démontre d abord que sur Ωt on a, compte tenu de la symétrie de σ : ∀x∈Ωt, div σ(x,t)+ρ(x,t)(F (x,t) - a(x,t)) =0 (3.13) puis, compte tenu de (3.13) et de la symétrie de σ ,onasur∂Ωt : ∀x∈∂Ωt, σ(x,t) .n(x)=T Ω(x,t) (3.14) Considérant ensuite S ,s o u s - système quelconque de S,o nobtie ntde même, sur ∂Ω t(9) : ∀Ω t,∀x∈∂Ω t, T Ω (x,t)=σ(x,t) .n(x) (3.15) Ce sont les équations de ladyn a miqu epour un système dont les efforts inté- rieurs sont modélisés par un champ tensoriel du deuxième ordre σ selon la formule (3.8). 3.4 Commentaires Ces équations appellent évidemment des commentaires, dont certains sont proches de ceux déjà faits au paragraphe 2.4 : ils ne seront alors que brièvement repris. Équations de champ Les équations de champ pour cette modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel sont constituées : • de l équation(3.8) où est imposée la symétrie de σ(x,t), • des trois équations aux dérivées partielles du premier ordre représentées par l équa- tion (3.13), pour les six fonctions scalaires, composantes indépendantes du champ tensoriel symétrique σ. On remarque que la situation est très différente de celle correspondant à (2.21) où l on avait obtenu trois équations aux dérivées partielles pour la seule fonction scalaire p. (9)Même remarque qu au paragraphe 2.4 à propos de l exploitation de l équation (2.20).
208 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu Il apparaît aussi que la modélisation des efforts intérieurs par le champ tensoriel σ est cohérente avec des efforts extérieurs donnés par une densité massique, sans aucune restriction sur les champs de forces de masse et de forces d inertie. Conditions aux limites L équation au contour (3.14) fournit les conditions aux limites pour le champ tensoriel symétrique σ sur la frontière ∂Ωt du système S. On y voit la cohérence de la modélisation avec des efforts extérieurs donnés au contour de S par une densité surfacique de forces, sans aucune restriction sur ces données : T Ω(x,t) peut être quelconque sur ∂Ωt. La compatibilité des données au contour avec les équations de champ s exprime par la loi fondamentale de la dynamique pour S établie au chapitre IV ( 6.3) : [Fe]= [MA]. Efforts extérieurs surfaciques sur un sous-système C est l équation au contour (3.15) qui détermine la densité surfacique de forces extérieures T Ω (x,t) au bord d un sous-système quelconque S de S,àpa r tir du champ des efforts intérieurs dans S.Onyr etr o u v equ eT Ω (x,t) ne dépend de Ω t qu à travers la normale n(x) et l on écrira ainsi, à nouveau : T Ω (x,t)=T (x,t,n(x)) . (3.16) La force extérieure élémentaire sur l élément de surface da de normale sortante n(x) au point x de ∂Ω t est indépendante du sous-système considéré ( gure 7) : df Ω =df = T (x,t,n(x)) da = σ(x,t) .n(x)da = σ(x,t) . da . (3.17) L interprétation physique de ce résultat est identique à celle donnée au paragraphe 2.4 : df correspond à la modélisation d actions exercées localement par l extérieur sur S ,c est-à-dire à la modélisation des actions de contact exercées par (S-S ) sur S . Ainsi, les particules de S n exercent les unes sur les autres que des actions de contact : ce sont les effortsintérie u r sa usystèm eS .Auc o nto u rd un sous-système S quelconque, les efforts extérieurs surfaciques sont le résultatdeces actions de contact exercées sur les particules in niment voisines de ∂Ω t à l intérieur de S par les particules in niment voisines de ∂Ω t à l extérieur de S . Le champ tensoriel symétrique σ qui modélise les efforts intérieurs, traduit les actionsde contact entre les particules de S. Loi fondamentale de la dynamique La modélisation qui vient ainsi d être établie en s appuyant sur le principe des puissances virtuelles véri e par construction la loi fondamentale de la dynamique (1.2), comme cela aétédémontréde façon générale au chapitre IV ( 6.3). La véri cation directe de ce résultat peut aussi être faite en calculant les éléments de réduction de [F e] et [MA ] àpa rtirde s expressions (2.3) et (2.11) : en procédant aux intégrations correspondantes compte tenu de
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 209 (3.13) et (3.15) on retrouve aisément, en appliquant la formule de la divergence, que F e = A ; la véri cation de C 0 = δ 0 se révèle plus laborieuse : une méthode élégante, souvent utilisée, consiste à véri er que ∀ˆ ω0onaˆ ω0 .C 0 =ˆ ω0 .δ 0 ce quifacilite l application de la formule de la divergence (on rejoint ainsi, en fait, la démonstration générale donnée au chapitre IV ( 6.3)). Un bilan ... Ainsi, dans le même esprit qui avait conduit à la notion de pression, on a construit une modélisation des efforts intérieurs dont les degrés de liberté permettent de lever les restrictions qui rendaient la modélisation pression insuffisante pour l étude générale des milieux continus classiques. Ceci est bien conforme à l objectif que l on s était xé initialement. Il est clair que cette libération de la modélisation est apportée par le caractère tensoriel de σ (cf. 3.5). ... et quelques remarques. On a véri é ci-dessus la cohérence de la modélisation avec des efforts extérieurs donnés sous forme de forces volumiques (ou plus couramment, massiques) sur Ωt et de forces surfaciques sur ∂Ωt.Onv e rra au paragraphe 3.9 qu elle permet également d envisager des densités surfaciques de forces extérieures données à l intérieur de Ωt et l on établira les équations correspondantes. Par contre elle n est pas directement compatible avec la donnée d efforts extérieurs sous la forme de densités de forces linéiques ou ponctuelles : il est alors nécessaire d introduire des singularités du champ σ. Ce contrôle (annoncé au chapitre IV, 4.1 et 4.2) de la cohérence mathématique des écri- tures proposées pour les formes linéaires P(e)( ˆ U), P (e)(ˆ U), P(i)(ˆ U) et P (i)(ˆ U ) ,c est-à-dire, en fait, de la cohérence physique des modélisations proposées pour les efforts extérieurs et intérieurs pour le système et pour ses sous-systèmes, est rendu nécessaire par le mode de présentation adopté ici. On a souhaité en effet mettre en évidence les rôles de l intuition physique dans la mise en œuvre de la méthode des puissances virtuelles. Cela a conduit à l introduction d hypothèses surabondantes du point de vue mathématique, qui doivent se révéler redondantes, c est-à-dire physiquement cohérentes. Il est clair, a posteriori, qu il suffirait par exemple de poser, de façon axiomatique, l écri- ture intégrale (2.12) pour la puissance virtuelle des efforts intérieurs, qui postule l existence d une densité volumique de puissance virtuelle des efforts intérieurs indépendante du sous- système considéré ,a v e cl expression (3.4) pour cette densité. Le principe des puissances virtuelles impose d abord la forme (3.9) qui détermine la modélisation des efforts intérieurs. Ensuite, par les raisonnements du paragraphe 3.3, il permet de montrer que la seule modéli- sation des efforts extérieurs, compatible avec la modélisation posée pour les efforts intérieurs, est constituée d une densité de forces volumiques indépendante du sous-système considéré (il n y a donc pas d interaction à distance entre les particules du système : conséquence directe de (2.12)), et d une densité de forces surfaciques sur la frontière de S .Pourunsous-système S quelconque, le principe des puissances virtuelles fait en n apparaître, outre les forces vo- lumiques, des forces surfaciques au contour qui résultent des seules actions locales de contact de (S-S ) sur S et qui ne dépendent que des éléments différentiels du premier ordre de la frontière de S c est-à-dire de da = n(x)da (en particulier, elles ne dépendent pas de la courbure, 3.5).
210 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu 3.5 Tenseur des contraintes de Cauchy. Vecteur-contrainte Tenseur des contraintes Le champ tensoriel du deuxième ordre, nécessairement symétrique, introduit ici pour modéliser les efforts intérieurs, est appelé champ des tenseurs des contraintes de Cauchy .Ilest,comme tout ce qui a été mis en œuvre jusqu ici dans l application du principe des puissances virtuelles, dé ni sur la con guration actuelle κt.La section 4 examinera les possibilités de représentations lagrangiennes. On voit que cette modélisation tensorielle est celle qui est naturellement associée à la description qui a été donnée auchapitre III pour la cinématique des dé- formations réelles du milieu continu tridimensionnel, à partir du gradient du champ de vitesse : le principe des puissances virtuelles, qui impose la symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy, met en évidence que seul le tenseur taux de déforma- tion virtuel , doit intervenir dans l expression de la puissance virtuelle des efforts intérieurs. On peut revenir sur l interprétation physique du modèle à partir de la formule (3.15) déjà abordée auparagraphe précédent. Ve c t e u r-contrainte Figure 7 Efforts extérieurs au contour d un sous-système. Dé nition du vecteur- contrainte En chaque point M intérieur audomaine Ωt ,laformule(3.17) détermine la force élémentaire df qui s exerce sur l élément d aire da orienté transversalement par la normale n(x):df = σ(x,t) .n(x)da.Cette force df ,quir eprésente les actions locales de contact en M sur n importe quel sous-système S qui y admet n(x) pour normale sortante, est exercée sur les particules de S in niment voisines de da du côté intérieur parlesparticules de S in niment voisines de da du côté extérieur . Ainsi, du point de vue des efforts extérieurs surfaciques le concept de sous-système n a plus qu un caractère local et il est pertinent de ne se référer qu à l élément d aire orienté transversalement, qui reçoit le nom de facette orientée par la normale n(x) en M ( gure 7).
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 211 Sur cette facette, la densité surfacique d efforts extérieurs est donnée par le vecteur T (x,t,n(x)) = σ(x,t) .n(x) (3.18) qui est appelé vecteur-contrainte en M sur la facette de normale n(x) . L équation (3.18) exprime que le vecteur-contrainte en M sur une facette dépend linéairement de l orientation de celle-ci : le tenseurdesc ontr aintes de Cauchy explicite cette dépendance . Interprétation physique de la modélisation Comme on l a expliqué plus haut ( 3.4), les efforts extérieurs surfaciques sur S sont le résultat sur ∂Ω t des effortsintérieursausystèmeS .Ainsi,levecteur-contrainte (de Cauchy) T (x,t, n(x)) apparaît comme la vision physique concrète de la modélisation construite pour les efforts intérieurs. En chaque point M de S les efforts intérieurs ne résultent que d actions de contact entre les particules. Ils y sont décrits par l ensemble des vecteurs-contraintes T (x,t, n(x)) agissant sur toutes les facettes passant par M .Enraisondelalinéarité manifestée par(3.18), ils sont décrits en M par le tenseur des contraintes de Cauchy σ(x,t) symétrique, c est-à-dire par six composantes scalaires. Vecteur-contrainte au contour de S La dé nition (3.18) du vecteur-contrainte en un point M intérieur à Ωt s applique aussi sur la frontière ∂Ωt :àpartirde la connaissance de σ(x,t) au point M de ∂Ωt on dé nit, pour toute orientation n(x) ,lev ecteur T (x,t,n(x)) par cette même formule (3.18). Figure 8 Vecteur-contrainte au contour de S La condition aux limites fournie par l équation au contour (3.14) s écrit alors T (x,t,n(x)) = T Ω(x,t) sur ∂Ωt , (3.19) c est-à-dire que, sur ∂Ωt,levecteur-contrainte est égal à la densité de forces surfaciques extérieures exercées sur le système. Àtitred interprétation physique de ce résultat ( gure 8), on peut remarquer que (3.19) s écrit aussi : T Ω(x,t)+T (x,t,-n(x)) = 0 .L élément d aire da est en équilibre
212 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu sous l action d une part de la densité de forces surfaciques extérieures et d autre part de la densité surfacique des efforts intérieurs de contact exercés sur la facette de normale -n(x) . Interprétation des composantes du tenseur des contraintes Poursuivant l interprétation physique de la modélisation des efforts intérieurs au moyen du champ de tenseur des contraintes de Cauchy, on recherche maintenant la signi cation des composantes de σ(x,t) .Celle-ci apparaît à partir de la dé nition du vecteur-contrainte (3.18). Figure 9 Interprétation des composantes du tenseur des contraintes en repère ortho- normé Si l on choisit ( gure 9) pour représenter σ(x,t) et n(x) en M une base ortho- normée ,laformule(3.18) donne : T (x,t,n(x)) = σij(x,t)nj(x) ei = Ti(x,t,n(x)) ei (3.20) et l on retiendra : Ti = σijnj (3.21) On en déduit que dans ce cas : la composante σij(= σji) du tenseur des contraintes de Cauchy re- présente la composante selon la direction ei du vecteur-contrainte sur la facette de normale ej . Ce résultat illustre l apport de la modélisation tensorielle des efforts intérieurs par rapport à la modélisation scalaire de la pression dans la section 2 : le tenseur des contraintes(10) σ(x,t) donne à T ((x,t,n(x)) les degrés de liberté qui lui faisaient défaut dans la modélisation pression (cf. 3.1). C est ce que schématise la comparaison représentée sur la gure 10 qui met en évidence les six degrés de liberté de σ(x,t) symétrique vis-à-vis de l unique degré de liberté p (x,t) . (10)Les contraintes étaient autrefois appelées tensions : c est l origine du mot tenseur .
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 213 Figure 10 Composantes des vecteurs-contraintes agissant sur trois plans mutuellement orthogonaux quelconques : champ de contrainte et champ de pression 3.6 Modélisation des efforts intérieurs à un milieu continu à partir du concept de vecteur-contrainte On trouve dans le livre célèbre de A.E.H. Love(11) Atreatiseonthe mathematical theory of elasticity une remarquable introduction historique dont sont extraits les passages suivants. By the Autumn of 1822 Cauchy had discovered most of the elements of the pure theory of elasticity. He had introduced the notion of stress at a point determined by the tractions peru nitofa r e aa c r o s sallplane elements through the point. For this purpose he had generalized the notion of hydrostatic pressure, and he had shown that the stress is expressible bym e a n sofsixc omponent stresses, and also by means of three purely normal tractions across a certain triad of planes which cut each other at right angles the principal planes of stress . Figure 11 Efforts intérieurs de contact modélisés par le vecteur-contrainte On se propose ici de dégager les grandes lignes de la construction de la modélisation des efforts intérieurs à partir du concept de vecteur-contrainte dans l esprit développé par Cauchy. La gure 11 xe le point de départ de la méthode : on postule qu en un point M quelconque intérieur au volume Ωt de S,àtraversune surface élémentaire da de normale n(x),lesseuls efforts intérieurs entre les particules du système sont des efforts de contact ; les efforts exercés (11) A.E.H. Love (1863-1940).
214 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu par les particules in niment voisines de da du côté ⊕ surles particules in niment voisines de da du côté sont supposés modélisables par une force élémentaire T da appliquée en M (en première approximation). On démontre alors la dépendance linéaire de T en fonction de n(x) par le raisonnement dit du petit tétraèdre ( gure 12). Figure 12 Raisonnement du petit tétraèdre • En base orthonormée on écrit la loi fondamentale (1.2) pour un tétraèdre in nitési- mal d arêtes MA1 ,MA2 ,MA3 dirigées suivant les vecteurs de base, et de longueurs dx1 , dx2 , dx3 quelconques. Au deuxième ordre en dxi ,le sfo r ces de volume et les quan- tités d accélérations n interviennent pas(12) et l on doit seulement écrire l équilibre, du point de vue de la résultante globale, des efforts au contour c est-à-dire sur les facettes MA1A2,MA2A3,MA3A1 et A1A2A3. • Pour cela on introduit les 9 composantes σij des densités surfaciques sur les facettes de normales respectives e1 ,e2 ,e3 (opposées aux normales sortant du tétraèdre) MA2A3 σ11 ,σ21 ,σ31 MA3A1 σ12 ,σ22 ,σ32 MA1A2 σ13 ,σ23 ,σ33 . En appliquant la loi des actions mutuelles ( action-réaction ) et en écrivant l équilibre de la résultante en projection sur chacun des axes, on obtient, pour les composantes de la densité surfacique sur A1A2A3 ,lafo r m ule: Ti = σijnj i,j=1,2,3 où les nj désignent les composantes du vecteur normal à A1A2A3 (sortant du tétraèdre). On démontre ensuite la symétrie des composantes σij ,etleséquations de la dynamique (3.13) par le raisonnement dit du petit parallélépipède ( gure 13). (12)Elles sont du troisième ordre en dxi .
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 215 Figure 13 Raisonnement du petit parallélépipède • On considère un parallélépipède in nitésimal, dont les côtés sont parallèles aux vecteurs d un repère orthonormé, et de longueurs respectives dx1 , dx2 , dx3 ;onécrit la loi fonda- mentale (1.2). • Dans l équilibre des moments autour des axes, les premiers termes à prendre en compte sont du troisième ordre en dxj et ne concernent que les efforts sur les faces du parallélé- pipède non adjacentes à M ;onendéduit les relations de symétrie σij = σji i,j=1,2,3. • Du pointdev ue de la résultante globale des efforts et des quantités d accélération, le raisonnement est analogue à celui du paragraphe 2.5 ( gure 4), et les premiers termes signi catifs sont du troisième ordre en dxi ;àtitre d exemple, selon l axe Ox1 on écrit : (σ11 + ∂σ11 ∂x1 dx1)dx2dx3 - σ11 dx2dx3 +(σ12 + ∂σ12 ∂x2 dx2)dx1dx3 - σ12dx1dx3 +(σ13 + ∂σ13 ∂x3 dx3)dx1dx2 - σ13 dx1dx2 + ρ(x,t)(F1 - a1)dx1dx2dx3 =0 d où la formule : ∂σ11 ∂x1 + ∂σ12 ∂x2 + ∂σ13 ∂x3 + ρ(x,t)(F1 - a1)=0 qui exprime, en coordonnées cartésiennes orthonormées, la composante d indice 1 de (3.13). Le même raisonnement, appliqué à un volume in nitésimal délimité par des surfaces- coordonnées, permet de retrouver commodément l écriture explicite des formules (3.13) pour les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques par exemple. Ces formules sont don- nées au paragraphe suivant. On ne donnera pas plus de détails sur cette approche ; le lecteur intéressé pourra notamment se reporter aux ouvrages cités en bibliographie. On remarquera que le raisonnement du petit tétraèdre correspond au raisonnement analytique de continuité sur l intégrale de surface dans (3.12), ce qui apparaît notamment par le fait qu y interviennent les termes d ordre 2 en dxi ;leraisonnement du petit parallélépipède est, lui, associé au raisonnement analytique de continuité sur l intégrale de volume dans (3.12) (terme d ordre 3 en dxi).
216 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu 3.7 Expressions explicites des équations de la dynamique On trouvera ci-dessous, en raison de leur utilité fréquente, les formules explicitant les équations (3.13) dans les cas suivants : coordonnées cartésiennes orthonormées, coordonnées cylindriques, coordonnées sphériques ; ces trois cas correspondent à des bases locales orthonormées . Coordonnées cartésiennes orthonormées ∂σxx ∂x + ∂σxy ∂y + ∂σxz ∂z + ρ(Fx - ax)=0 ∂σyx ∂x + ∂σyy ∂y + ∂σyz ∂z + ρ(Fy - ay)=0 ∂σzx ∂x + ∂σzy ∂y + ∂σzz ∂z + ρ(Fz - az)=0 (3.22) Coordonnées cylindriques ∂σrr ∂r +1 r ∂σrθ ∂θ + ∂σrz ∂z +σrr-σθθ r +ρ(Fr -ar)=0 ∂σθr ∂r +1 r ∂σθθ ∂θ + ∂σθz ∂z +2σrθ r +ρ(Fθ-aθ)=0 ∂σzr ∂r +1 r ∂σzθ ∂θ + ∂σzz ∂z +σzr r +ρ(Fz -az)=0 (3.23) Figure 14 Élément de volume en coordonnées cylindriques
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 217 Coordonnées sphériques ∂σrr ∂r +1r∂σrθ ∂θ+1 rsinθ∂σrφ ∂φ + 1r(2σrr - σθθ - σφφ + σrθ cot θ)+ρ(Fr - ar)=0 ∂σθr ∂r +1r∂σθθ ∂θ+1 rsinθ∂σθφ ∂φ + 1r((σθθ - σφφ)cot θ +3σrθ) + ρ(Fθ - aθ)=0 ∂σφr ∂r +1r∂σφθ ∂θ+1 rsinθ∂σφφ ∂φ + 1r (3σφr +2σφθ cot θ)+ρ(Fφ - aφ)=0 3.8 Champ de vitesse virtuel discontinu On a considéré, pour la construction de la modélisation par la méthode des puis- sances virtuelles, l espace vectoriel des mouvements virtuels dé nis par des champs de vitesse continus et continûment différentiables. La puissance virtuelle des efforts intérieurs étant alors dé nie par la densité volumique (3.8) on a obtenu les formules (3.13) à (3.15) qui établissent la modélisation des efforts intérieurs dans un milieu continu tridimensionnel au moyen du champ de tenseur des contraintes de Cauchy σ . Ces résultats étant acquis, on se propose, comme au paragraphe 2.7, d exami- ner l écriture à donner à la puissance virtuelle des efforts intérieurs dans le cas d un mouvement virtuel dé ni par un champ de vitesse virtuel continu et continûment dif- férentiable par morceaux ,ensupposant que le champ σ est continu ,etcontinûment différentiable par morceaux. Le raisonnement est analogue à celui du paragraphe 2.7 ; les notations et la gure 15 sont identiques. On considère encore à titre d exemple un champ de vitesse virtuel ˆ U,c o ntin uet continûment différentiable sur deux volumes Ω 1 et Ω 2 complémentairesdansΩt ,etdiscontinu au franchissement de la surface Σ ˆ U frontière entre Ω 1 et Ω 2 . Figure 15 Champ de vitesse virtuel discontinu au franchissement de Σ ˆ U
218 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu En appliquant le principe des puissances virtuelles sous sa forme (3.10) séparément aux deux sous-systèmes S 1 et S 2 de volumes respectifs Ω 1 et Ω 2 on obtient les équations : Ω 1 ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ω t1 TΩ 1(x,t). ˆ U(x)da + Σ ˆ U TΩ 1(x,t). ˆ U 1(x)da + Ω 1 -σ(x,t):ˆd(x)dΩt = Ω 1 ρ(x,t)a(x,t) . ˆ U(x)dΩt , (3.24) (3.25) identique à (3.24) en changeant l indice 1 en 2. Le champ σ étant supposé continu sur Σ ˆ U on a, par la formule (3.15) : T Ω 1 (x,t)=σ(x,t) .n1(x) (3.26) T Ω 2 (x,t)=σ(x,t) .n2(x) , (3.27) et compte tenu de ce que n1(x)=-n2(x) , on obtient immédiatement, par addition de (3.24) et (3.25) l expression valable pour le système S globalement : Ωt ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ωt T Ω(x,t). ˆ U(x)da + Ωt -σ(x,t):ˆd(x)dΩt + + Σ ˆ U -[[ ˆ U(x)]].σ(x,t) .n(x)da = Ωt ρ(x,t)a(x,t) . ˆ U(x)dΩt , (3.28) dans laquelle, pour l intégrale sur Σ ˆ U,o ndésigne par n(x) une normale à Σ ˆ UenMetpar [[ˆ U(x)]]la discontinuité de ˆ U(x) en M ,aufranchissement de Σ ˆ U dans le sens de n(x)=n1(x) : [[ˆ U(x)]]= ˆ U2(x)- ˆ U1(x) . La démonstration ci-dessus, qui a évidemment une portée générale pour un champ ˆ U continu et continûment différentiable par m orceaux quelconque, établit ainsi le résultat suivant. Pour un milieu continu dont les efforts intérieurs sont modélisés par le champ tensoriel du deuxième ordre σ des contraintes de Cauchy, dans le cas d un mouvement virtuel dé ni par un champ de vitesse virtuel ˆ U continu et continûment différentiable par morceau x ,lesdeux énoncés du principe des puissances virtuelles sont conservés mais le calcul de la puissance virtuelle des efforts intérieurs doit prendre en compte les discontinuités éventuelles de ˆ U. La puissance virtuelle des efforts intérieurs est obtenue par intégration, sur le volume du système (ou d un sous-système), de la densité volumique : -σ(x,t):ˆd(x)=-σ(x,t):grad ˆ U(x) (3.29) et par intégration, sur les surfaces de discontinuité Σ ˆ Udeˆ U intérieures au volume du système (ou d un sous-système) d une densité surfacique égale à : -[[ ˆ U(x)]].σ(x,t) .n(x)
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 219 c est-à-dire que l on a pour S et pour tout sous-système S P (i)( ˆ U)= Ω t -σ(x,t):ˆd(x)dΩt + Σ ˆ U ∩Ω t -[[ ˆ U(x)]].σ(x,t) .n(x)dΣ ˆ U (3.30) où le champ σ est supposé continu, et continûment différentiable par morceaux. On verra au paragraphe 3.9 que la validité de cette formule s étend au cas où σ est continu et continûment différentiable, par morceaux, en l absence d onde de choc sur Σ ˆ Uce qui assure la continuité du vecteur-contrainte σ .n au franchissement de Σ ˆ U. La formule (3.30) peut être interprétée dans le cadre de la théorie des distributions. L expres- sion de P (i)( ˆ U ) n esta utre que l intégrale Ωt -σ :grad ˆ U prise au sens des distributions, où la distribution grad ˆ U s explicite en grad ˆ U={grad ˆ U}+[[ˆ U]]⊗nδΣˆ U avec {grad ˆ U} la distribution dé nie par la fonction grad ˆ UetδΣˆ U la distribution de Dirac sur Σ ˆ U (cf. aussi les formules (4.35) du chapitre III et (3.33) du présent chapitre). 3.9 Discontinuités du champ de contrainte Les équations de la dynamique des milieux continus, (3.13) à (3.15) ont été éta- blies en supposant le champ de contrainte σ continu, et continûment différentiable par morceaux. On se propose maintenant d affaiblir cette hypothèse en supposant σ continu et continûment différentiable par morceaux . La question posée est de savoir si des discontinuités de σ sont possibles dans le cadre de la modélisation et, dans l affirmative, quelles équations elles doivent véri er. Àtitred exemple on suppose que σ est discontinu au franchissement d une sur- face Σσ .Ondésigne par Ω 1 et Ω 2 les deux volumes complémentaires délimités par Σσ dans le volume Ωt du système S,o uda n slev olu m eΩ t d un sous-système S quelconque de S ( gure 16). Champ de vitesse réel continu et continûment différentiablesu rΩt La formule initiale (3.10) à partir de laquelle ont été établies les équations de la dynamique est inchangée. En revanche la suite du raisonnement du paragraphe 3.3 ne peut être menée qu en considérant séparément les volumes Ω 1 et Ω 2 sur lesquels l équation (3.11) et le théorème de la divergence sont applicables sous leurs formes classiques qui concernent les fonctions continues et continûment différentiables. On obtient ainsi, sans difficulté, sur le volume Ωt de S,o us u rlevolume Ω t d un sous-
220 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu Figure 16 Champ de contraintediscontinu sur Ωt au franchissement de Σσ système S , l équation : ∀S ⊂S, ∀ˆ Um.v., Ω t ( div tσ(x,t)+ρ(x,t)(F (x,t) - a(x,t))) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ω t (T Ω (x,t) - n(x) .σ(x,t)) . ˆ U(x)da + Σσ∩Ω t -(n1(x) .σ1(x,t)+n2(x) .σ2(x,t)) . ˆ U(x)dΣσ =0. (3.31) Cette équation, qui remplace l équation (3.12), est valable quel que soit ˆ U continu et continûment différentiable sur Ω t .So ne xploitation compte tenu de la symétrie deσ,e nc o n sidérant d abord le système S, puis un sous-système S quelconque, et en s appuyant sur le caractère arbitraire du champ ˆ U ,conduit aux mêmes équations (3.13) à (3.15) qui correspondent à l annulation des cofacteurs de ˆ U(x) dans la pre- mière et la deuxième intégrale. Mais, de plus, on obtient par le même raisonnement la nullité du cofacteur de ˆ U(x) dans la troisième intégrale, c est-à-dire, sur Σσ : σ1(x,t) .n1(x)+σ2(x,t) .n2(x)=0. Compte tenu de ce que les vecteurs normaux extérieurs à Ω 1 et Ω 2 en M sont opposés, et en posant : [[ σ(x,t)]]= σ2(x,t) - σ1(x,t) (3.32) on écrira : ∀M∈Σσ [[ σ(x,t)]].n(x)=0 (3.33)
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 221 où n(x) désigne la normale à la surface de discontinuité du champ de contrainte en un point M de celle-ci, et [[ σ(x,t)]] la discontinuité de ce champ lorsque l on franchit la surface Σσ en M dans le sens de n(x). Le résultat qui vient d être obtenu est aussi important que l équation (3.13) qu il complète dans le cas, fréquemment rencontré, d un champ de contrainte continu et continûment différentiable par morceaux (par exemple : système constitué de maté- riaux à comportements différents). En rappelant la dé nition (3.18) du vecteur-contrainte sur une facette on voit que (3.33) peut aussi s énoncer : au franchissement d une surface de discontinuité du champ de contrainte, il y ac o ntin uitéduv ecteur-contrainte sur la facette tangente à cette surface. La continuité ainsi démontrée du vecteur-contrainte au franchissement de Σσ montre que la validité de la formule (3.30) établie au paragraphe précédent s étend au cas où le champ de contrainte σ est discontinu au franchissement de Σ ˆ Uen l absence d onde de choc sur Σ ˆ U. On peut remarquerquelacondition (3.33) implique dans le cas de la modélisation des efforts par un champ de pression où σ(x,t)=-p(x,t) 1l,qu ec edernier est nécessairement continu : [[ p(x,t)]]= 0 . (3.34) • Il est utile de donner une démonstration imagée de l équation (3.33), schématisée sur la gure 17, dans l esprit des démonstrations du petit tétraèdre et du petit parallélépipède représentées sur les gures 12 et 13. Figure 17 Discontinuité du champ de contrainte La surface de discontinuité Σσ est dédoublée en deux surfaces parallèles Σ1 et Σ2 in niment voisines (distance λ), situées de part et d autre dans les volumes Ω 1 et Ω 2 res-
222 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu pectivement. On considère un petit volume parallélépipédique, in niment plat selon Σσ , limité par ces deux surfaces. La loi fondamentale (1.2) appliquée à ce volume implique, à l ordre zéro en λ, l équilibre des efforts exercés sur ses faces Σ2 et Σ1 respectivement par les sous-systèmes Ω 2 et Ω 1 .Ile nrés ulte ,àpa rtir de la formule (3.17) qui exprime la force élémentaire sur un élément de surface, et compte tenu des orientations opposées des normales à considérer sur Σ2 et Σ1 , l équation : σ2(x,t) .n(x)da - σ1(x,t) .n(x)da =0 (3.35) (les forces de masse et les forces d inertie sont du premier ordre en λ). Ce raisonnement est formellement identique à celui donné au paragraphe 3.5 ( gure 8) à propos du vecteur-contrainte au contour de S. • Du point de vue mathématique on peut aussi obtenir l équation (3.33) en reprenant le raisonnement du paragraphe 3.3 directement sur S (ou sur S ), sans se référer à la parti- tion (Ω 1 ,Ω 2), en se plaçant dans le cadre de la théorie des distributions. Les distributions div(tσ) et div(σ . ˆ U) sont dé nies, et la formule de la divergence est appliquée, comme indiqué au chapitre III, formule (4.35)(13) . Ondes de choc Le raisonnement décrit sur la gure 13 permet de pressentir que l équation (3.33) n est pas valable si Σσ est une surface de discontinuité Σt du champ de vitesse telle que déjà rencontrée au chapitre III ( 4.4 et 5.1) et au chapitre IV ( 7.6). On a vualorsquelapuissance virtuelle des quantités d accélération A( ˆ U ) comporte dans ce cas un terme intégré sur Σt qui manifeste la contribution de la discontinuité [[ U ]] ,etestnon nul dans le cas des ondes de choc : A(ˆ U)= Ωt ρa. ˆ U dΩt + Σt ρ[[U]]. ˆ U(U -W).ndΣt (3.36) où le champ ˆ U est supposé continu au franchissement de Σt (formule homologue pour A ( ˆ U)). • Physiquement ce termes interprète comme une densité surfacique dequ a ntitéd accé- lération sur Σt ,quifournit donc un terme d ordre zéro en λ ( gure 17), pour l équation (3.35). On obtient ainsi, au lieu de (3.33) : ∀M∈Σt [[ σ(x,t)]].n(x)=ρ(x,t)[[ U(x,t)]](U(x,t) - W (x,t)) .n(x) (3.37) On rappelle qu il n y a pas d ambiguïté dans le calcul des intégrales de (3.36) et (3.37) en raison de l équation de conservation de la masse au franchissement de Σt (chapitre III, 5.1) : [[ ρ(x,t)(U(x,t) - W (x,t)) ]] .n(x)=0. • La démonstration par le principe des puissances virtuelles con rme évidemment ce ré- sultat. Avec l expression (3.36) pour A( ˆ U) ou A (ˆ U) la formule (3.31) est modi ée dans son dernier terme qui devient : ...+ Σt(([[σ]]-ρ[[U]]⊗(U -W)).n). ˆ U dΣt =0. (3.38) On en déduit, à la place de (3.33), l équation (3.37) sur Σt par le raisonnement maintenant habituel. (13)D une façon générale on a, avec les notations déjà explicitées, les distributions : grad( )={grad( )}+[[ ]]⊗nδΣ et div( )={div( )}+[[ ]].nδΣ (qui en résulte), d où la formule de la divergence : Ω div ( ) = ∂Ω() .nda.
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 223 Le résultat ainsi établi s énonce alors : le passage d une onde decho c(discontinuité de vitesse non station- naire) implique une discontinuité du vecteur-contrainte. En particulier, dans le cas de la modélisation des efforts intérieurs par le champ de pression où σ(x,t)=-p(x,t) 1l,ona: -[[ p(x,t)]]n(x)=ρ(x,t)[[ U(x,t)]](U(x,t) - W (x,t)) .n(x) , qui implique que le saut devitesse est normal à Σt . Densité surfacique de forces extérieures à l intérieur du système Les raisonnements ci-dessus, aussi bien sur la gure 17 que par la méthode des puissances virtuelles, sont immédiatement transposables au cas où les efforts extérieurs appliqués au système S et à ses sous-systèmes comportent, en plus des forces volumiques et surfaciques décrites par les équations (2.5) à (2.9), des forces extérieures exercées à l intérieur de S, dé nies par une densité surfacique F Σ(x,t) sur une surface Σ intérieure à Ωt .Lapuissance virtuelle des efforts extérieurs comporte alors, pour S,leter mecomplémentaire : Σ FΣ(x,t). ˆ U(x)dΣ, et l on obtient, par l un ou l autre raisonnement, l équation pour la discontinuité du champ σ au franchissement de Σ(14) : ∀M ∈ Σ [[ σ(x,t)]].n(x)+F Σ(x,t)=0. (3.39) 3.10 Théorème d Euler Conservation de la quantité de mouvement Le théorème de la conservation de la quantité de mouvement a été énoncé au chapitre IV ( 7.3) : en référentiel galiléen R , pour S [Fe]= d dt[MU] ∀S [F e]= d dt[MU ] . (3.40) Il est maintenant précisé par la connaissance de la modélisation des efforts exté- rieurs qui permet notamment d expliciter les torseurs [Fe] et [F e] par la formule (2.11). De plus les équations (3.14) et (3.15) expriment T Ω(x,t) et T Ω (x,t) en fonction du champ des efforts intérieurs σ.Onobtientalors le théorème de la conservation de la (14) Cf. chapitre VIII ( 4.2).
224 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu quantité de mouvement dans le cadre de cette modélisation sous la forme (notations simpli ées) : en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, d dt [MU ]=[O, Ω tρF dΩt , Ω tOM∧ρFdΩt] +[O, ∂Ω t σ.da , ∂Ω tOM∧σ.da]. (3.41) Théorème d Euler De même le théorème d Euler (chapitre IV, 7.4), dans le cas où le champ de vitesse réel U est continu et continûment différentiable sur Ωt,s explicite maintenant sous la forme : en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, le torseur des forces (ρF - ∂(ρU) ∂t ) dΩt réparties dans le volume Ω t , (σ - ρ(U ⊗ U)). da réparties au contour ∂Ω t , est nul. Dans le cas où le champ de vitesse U est discontinu (onde de choc) et/ou en présence de forces extérieures surfaciques à l intérieur de Ωt ,onseréfère aux formules (7.37) à (7.39) du chapitre IV et le théorème s énonce : en référentiel galiléen R , ∀S ⊂S, le torseur des forces (ρF - ∂(ρU) ∂t )dΩt réparties dans le volume Ω t , (σ - ρ(U ⊗ U)). da réparties au contour ∂Ω t , [[ ρU ]]W dΣt réparties sur Σt,FΣ dΣ réparties sur Σ, est nul. Remarque sur la terminologie loi de conservation Le terme loi de conservation appliqué à l équation (3.41) s entend de la façon suivante. Cette équation exprime que le taux de variation (dérivée particulaire) du torseur des quan- tités de mouvement relatif au système S (ou à un sous-système quelconque S )e stégal au torseur des efforts extérieurs. Celui-ci représente la source de variation de la quantité de mouvement : il est constitué de deux termes, volumique et surfacique, dus respectivement
3 Modélisation des efforts intérieurs par un champ tensoriel : lescontraintes 225 aux forces de masse et aux vecteurs-contraintes T (n)=σ .n dé nis par (3.18). Il convient de signaler que la conservation de la quantité de mouvement sert de point de départ à une méthode alternative pour la construction de la modélisation des efforts. On pose aprioriquelesefforts exercés sur unsous-système S par (S-S )traduisent des actions de contact sous la forme de forces surfaciques qui ne dépendent que de l orientation de l élément de surface concerné ; l exploitation de (3.40) posée comme principe permet alors de construire la modélisation par le tenseur des contraintes de Cauchy. 3.11 Théorème de l énergie cinétique Le théorème de l énergie cinétique a été énoncé au chapitre IV (7.5). Il est mainte- nant précisé par la connaissance de la modélisation des efforts extérieurs et intérieurs. Si le champ de vitesse réel est continu et continûment différentiable les expressions de A(U), P(e)(U) et P(i)(U) s obtiennent immédiatement à partir des équations (2.2), (2.6) et (3.8) respectivement en y substituant U à ˆ U .Onaainsil énoncé, pour S : en référentiel galiléen , Ωt ρF .UdΩt + ∂Ωt TΩ .Uda - Ωt σ :gradU dΩt =d dt Ωt ρU2 2 dΩt = Ωt ρa .UdΩt , (3.42) (énoncé homologue pour S ,quelconque). Lorsque le champ de vitesse réel est discontinu (onde de choc au franchissement de Σt dont la vitesse de propagation est W ), on a vu que la puissance des quantités d accélération dans le champ de vitesse réel s écrit (formule (7.41) du chapitre IV) : A(U)= d dt Ωt ρU2 2 dΩt = Ωt ρa .U dΩt + Σt ρ[[ U2]] 2 (U-W).ndΣt . (3.43) Il apparaît maintenant que la dé nition de la puissance des efforts extérieurs dans le champ de vitesse réel s obtient sans difficulté particulière à partir de (2.6) en y substituant U à ˆ U puisqu il n y a pas de densité surfacique de forces extérieures répartie sur Σt . Par contre, l expression de la puissance des efforts intérieurs dans le champ de vitesse réel ne peut être obtenue à partir de (3.8) puisque le champ U est discontinu. Elle ne peut l être non plus à partir de (3.30) car cette formule suppose la continuité du vecteur-contrainte sur la surface de discontinuité du champ de vitesse virtuel considéré, alors que l on a établi l équation de saut (3.37) pour le champ σ au franchissement de l onde de choc Σt.Da n sc e cas, c est l écriture du théorème de l énergie cinétique qui permet d obtenir l expression de la puissance des efforts intérieurs dans le champ de vitesse réel. Pour cela on écrit le théorème de l énergie cinétique sous la forme (3.42) applicable sépa- rément à chacun des sous-systèmes S 1 et S 2 de volumes Ω 1 et Ω 2 séparés dans Ωt par Σt (comme sur la gure 16) ; en additionnant les deux équations correspondantes il vient : en référentiel galiléen, Ωt ρF .UdΩt + ∂Ωt TΩ .Uda + Σt n .(σ1 .U1 - σ2 .U2)dΣt - Ωt σ :gradU dΩt = Ωt ρa .UdΩt . (3.44)
226 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu Parailleurs le théorème de l énergie cinétique pour le système S avec l expression de P(i)(U) cherchée, et A(U ) donnée par (3.43), s écrit : en référentiel galiléen, Ωt ρF .UdΩt + ∂Ωt TΩ .Uda + P(i)(U)= Ωt ρa .UdΩt + Σt ρ[[ U2]] 2 (U-W).ndΣt . (3.45) En rappelant que, par (3.37), [[σ]].n= σ2.n-σ1.n=ρ[[U]](U-W).n, et en rapprochant les équations (3.44) et (3.45), on obtient l expression de P(i)(U) : P(i)(U)=- Ωt σ :gradU dΩt - Σt[[ U ]] . σ1+σ2 2 .ndΣt . (3.46) On peut remarquer que, formellement, cette expression de P(i)(U ) s obtient à partir de (3.30) pour P(i)( ˆ U ) en y remplaçant, sur Σt ,σpar la moyenne (σ1 + σ2)/2 de ses valeurs de part et d autre de Σt. On retrouve là une nouvelle manifestation du particularisme des mouvements réels annoncé au chapitre IV (section 4). 3.12 Puissance de déformation On désigne souvent sous le nom de puissance de déformation d un champ de contrainte σ dans un champ de vitesse virtuel ˆ U , l opposée de la puissance virtuelle des efforts intérieurs correspondant à ces deux champs. 3.13 Retour sur la compatibilité géométrique : formulation faible On a vu au chapitre III ( 3.9) que la condition de compatibilité géométrique d un champ de tau xdedéformation s exprime par la formulationfaiblesuivante. Soit d(x,t) un champdetenseurs symétriques, dé ni à l instant t sur Ωt .Cecha mpe stla partie symétrique du gradient d un champ de vecteurs dé ni sur Ωt ,sietseulementsi ∀σ symétrique, àsupport compact sur R3 , divσ=0surΩt, σ(x) .n(x)=0sur ∂Ωt , (3.47) ona: Ωt σ(x):d(x,t)dΩt =0. (3.48) Il est maintenant possible d interpréter mécaniquement cet énoncé (et de justi er, a posteriori ,lan otation adoptée). On remarque que (3.47) et (3.48) font intervenir, sur Ωt , les champs de contrainte de Cauchy qui sont en équilibre c est-à-dire que le champ a est nul dans (3.13) avec des efforts extérieurs nuls sur Ωt et ∂Ωt : ces champs sont appelés champs d autocontrainte sur Ωt .Lacondition (3.48) exprime donc que la puissance de tout champ d autocontrainte sur Ωt dans le champ d donné est nulle. Ce résultat est évidemment l homologue de celui énoncé au chapitre IV ( 3.4) à propos des systèmes de points matériels.
4 Lescontraintes en description lagrangienne 227 3.14 Formulation faible des équations de la dynamique Dans le même ordre d idées que ci-dessus, en se plaçant cette fois du point de vue des contraintes, on peut remarquer que l écriture même du principe des puissances virtuelles fournit la formulation faible, dualisée, des équations de la dynamique. En rassemblant les arguments et les résultats développés jusqu ici on peut énoncer la formulation suivante. Soit σ un champ de tenseurs symétriques, continu et continûment différentiable par morceaux, dé ni sur Ωt .Cechampsatisfait les équations de la dynamique avec(15) des champs F ,a sur Ωt ,TΩ sur ∂Ωt ;c est-à-dire satisfait les équations locales : div σ(x,t)+ρ(x,t)(F (x,t) - a(x,t)) =0dans Ωt [[ σ(x,t)]].n(x)=0sur Σσ σ(x,t) .n(x)=T Ω(x,t) sur ∂Ωt (3.49) si et seulement si, ∀ ˆ U continu et continûment différentiable, on a : Ωt σ(x,t):ˆd(x)dΩt = Ωt ρ(x,t)(F (x,t) - a(x,t)) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ωt T Ω(x,t) . ˆ U(x)da. (3.50) Le caractère nécessaire de (3.50) se démontre à partir de (3.49), le caractère suffisant résulte de la construction même à laquelle il a été procédé dans la présente section. En présence d onde de choc on adjoint (3.37) sur Σt (surface d onde) à la deuxième équation de (3.49) ; la formulation faible comporte, au deuxième membre de (3.50), le terme additionnel (cf. (3.36)) : - Σt ρ(x,t)[[ U(x,t)]]. ˆ U(x)(U(x,t) - W (x,t)) .n(x)dΣt . Il faut remarquer que l existence d un tel champ σ en équilibre avec les champs F ,a sur Ωt ,TΩ sur ∂Ωt ,([[ U ]] sur Σt s il y a lieu) implique que ces données satisfont l égalité de la loi fondamentale ou de la conservationdelaqu a ntitédemou v ement: [Fe]=[MA]= d dt[MU] (cf. le paragraphe 3.10 ci-dessus pour l explicitation du torseur du troisième membre). 3.15 Objectivité du tenseur des contraintes de Cauchy On se réfère ici à l extension du concept d objectivité aux mouvements virtuels qui a été expliquée au chapitre IV ( 4.4). On a alors démontré la propriété générale d objectivité de la puissance virtuelle des efforts intérieurs. Ceci implique, dans le cas présent, l objectivité de la densité volumique de puissance virtuelle des efforts intérieurs : p(i)( ˆ U )=-σ(x,t):ˆd(x) est objective. Il en résulte, compte tenu de l objectivité du taux de déformation virtuel ˆd(x), l objectivité du tenseur des contraintes de Cauchy σ(x,t). 4L e s c o n t r a intes en description lagrangienne 4.1 Tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff To utes les analyses présentées dans les sections précédentes, fondées sur la méthode des puissances virtuelles se placent du point de vue eulérien : la modélisation des (15) On dira aussi : est en équilibre avec ... .
228 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu efforts intérieurs par le champ des tenseurs des contraintes de Cauchy est dé nie sur la con guration actuelle κt. On se propose maintenant d examiner la description des efforts intérieurs sur la con guration initiale de référence. Puissance des efforts intérieurs dans le mouvement réel Dans ce but on considère l expression de la puissance des efforts intérieurs décrits par le champ σ sur κt,pourlesystèmeS ou pour un sous-système S quelconque, dans le mouvement réel à l instant t dé ni par le champ de vitesse U supposé continu et continûment différentiable : ∀S ⊂S P (i)(U)= Ω t -σ(x,t):d(x,t)dΩt , (4.1) qu il est commode d écrire en introduisant l élément d intégration dm = ρ(x,t)dΩt : P (i)(U)= Ω t - σ(x,t) ρ(x,t) : d(x,t)dm. (4.2) Il est aisé alors de transporter cette intégration sur la con guration initiale de référence κ0 en utilisant le transport convectif dé ni par : x =φ(X,t), (4.3) où la conservation de la masse s écrit (chapitre III, 5.1) dm = ρ0(X)dΩ0 = ρ(x,t)dΩt . (4.4) En rappelant la correspondance établie au chapitre III ( 3.3) entre les taux de déformation eulérien etlagrangien en des points homologues par (4.3) : d(x,t)=tF -1(X ,t) . ˙ e(X ,t) .F-1(X ,t) , (4.5) on obtient P (i)(U) sous la forme d une intégrale sur le volume Ω 0 du sous-système S dans κ0 : P (i)(U)= Ω 0 - σ(x,t) ρ(x,t) : (tF -1(X,t) . ˙ e(X ,t) .F-1(X,t)) dm (4.6) où x = φ(X,t) . Le résultat, établi dans l annexe I ( 5.7), (A .B):C =(C .A):B =(B .C):A (4.7) permet de modi er l écriture des produits contractés qui apparaissent dans (4.6) : P (i)(U)= Ω 0 -(F -1(X ,t) . σ(x,t) ρ(x,t) . tF -1(X ,t)) :˙ e(X,t)dm, (4.8)
4 Lescontraintes en description lagrangienne 229 ou encore P (i)(U)= Ω 0 -( ρ0(X) ρ(x,t) F -1(X,t) .σ(x,t) . tF -1(X,t)) :˙ e(X,t)dΩ0 . (4.9) Cette équation met en évidence comme cofacteur du taux de déformation lagran- gien ˙ e(X ,t),ho m ologue de σ(x,t) cofacteur de d(x,t) dans (4.1), le tenseur noté π(X ,t) dé ni par : π(X,t)= ρ0(X) ρ(x,t) F -1(X,t) .σ(x,t) . tF -1(X,t) x = φ(X,t) (4.10) (on rappelle que ρ0(X)/ρ(x,t)=J(X ,t)=detF (X,t)). Il est commode de retenir la dé nition de π sous la forme (notations simpli ées) : π ρ0 =F-1. σ ρ.tF-1. (4.11) On démontre immédiatement, compte tenu de la symétrie de σ,quecetenseur π est symétrique . Le champ tensoriel π est appelé champ des tenseurs des contraintes de Piola- Kirchhoff (16) et l on a : ∀S ⊂S, pour le mouvement réel U , P (i)(U)= Ω 0 -π(X ,t): ˙ e(X,t)dΩ0 = Ω 0 - π(X ,t) ρ0(X) :˙ e(X,t)dm. (4.12) Les formules (4.5) et (4.11) expriment respectivement le transport convectif pour les taux de déformation et pour les contraintes. On constate qu elles ont la même structure sans être semblables. Ceci s explique en rapprochant les expressions (4.2) et (4.12) de P (i)(U) : Ω t σ(x,t) ρ(x,t) : d(x,t)dm = Ω 0 π(X ,t) ρ0(X) :˙ e(X ,t)dm. π(X ,t) est ainsi, comme ˙ e(X ,t) un tenseur purement lagrangien . On dit que (4.5) exprime le transport convectif 2 fois covariant de d et (4.11) le transport convectif 2 fois contravariant de π ρ0 (cf. chapitre VI, 5.2). Expression lagrangienne de la puissance virtuelle des efforts intérieurs Pour un mouvement virtuel quelconque ˆ U la puissance virtuelle des efforts inté- rieurs s écrit sur la con guration actuelle P (i)( ˆ U)= Ω t -σ(x,t):ˆd(x)dΩt . (4.13) (16) G. Piola (1791-1850) ; G. Kirchhoff (1824-1887).
230 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu Cette intégration peut être transportée sur la con guration initiale, comme on l a fait pour obtenir (4.6) à partir de (4.1), en tenant compte de la dé nition (4.10) du tenseur π(X ,t).Ilvientainsi,enpermutant à nouveau l ordre des produits contractés par applicationde(4.7) : P (i)( ˆ U)= Ω 0 -π(X ,t):(tF (X,t) . ˆd(x) .F(X ,t)) dΩ0 . (4.14) Il apparaît alors naturel d adopter, pour la dé nition du taux de déformation virtuel lagrangien ˆ ˙e(X ,t) la formule(4.5) où ˆd(x) est substitué à d(x,t) d où : ˆ ˙e(X ,t)=tF (X,t) . ˆd(x) .F(X ,t) ,x= φ(X ,t) (4.15) Avec cette dé nition de ˆ ˙ e(X,t) l expression lagrangienne de la puissance virtuelle des efforts intérieurs est le prolongement sur les mouvements virtuels de la formule (4.12) établie pour lesmouvements réels : ∀S ⊂S, ∀ˆ Um.v., P (i)( ˆ U)= Ω 0 -π(X,t):ˆ ˙ e(X ,t)dΩ0 . (4.16) Interprétation du tenseur des contraintes dePiola-Kirchhoff Il est naturel d essayer d interpréter le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff, comme on l a fait pour le tenseur des contraintes de Cauchy, en se référant au concept de vecteur-contrainte qui a été dé ni sur la con guration actuelle ( 3.5). Figure 18 Vecteur-contrainte de Piola-Kirchhoff et transport convectif des forces élé- mentaires Sur l élément de surface orienté transversalement da,lafo rc eexercée est d après (3.17) : df = σ(x,t).da . Soit alors dA l élément de surface orienté dans la con guration κ0 transporté sur da dans κt (chapitre II, 4.2) : da = J(X,t)tF -1(X,t). dA . (4.17)
4 Lescontraintes en description lagrangienne 231 En explicitant le produit π(X,t) . dA compte tenu de (4.10) et (4.17) on obtient : π(X,t).dA = F-1(X,t).σ(x,t).da ou encore π(X,t).dA = F-1(X,t).df . (4.18) On voit ainsi que le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff correspond au transport convectif de la force sur un élément de surface orienté comme si cette force était un vecteur matériel ( gure 18). 4.2 Tenseur des contraintes de Piola-Lagrange. Équations de ladyn a miqu e La formule (4.18) montre que, si l on introduit le tenseur B(X ,t) dé ni par B(X ,t)=F (X ,t) .π(X ,t) (4.19) on a évidemment B(X,t).dA = σ(x,t).da =df . (4.20) Le tenseur B(X ,t) est appelé tenseur des contraintes de Piola-Lagrange ou tenseur des contraintes de Boussinesq (17) .Ils écrit aussi, en simpli ant les notations : B=ρ0 ρ σ.tF-1 ouencore: B ρ0= σ ρ .tF-1 . (4.21) Le tenseur des contraintes de Piola-Lagrange correspond au transport parallèle de la force sur un élément de surface orienté. Il n est pas symétrique .L introduction du tenseur des contraintes de Piola-Lagrange permet aussi d écrire les équations de la dynamique en descrip- tion lagrangienne (équations de champ). En effet la transformation effectuée au paragraphe 4.1 sur l expression de P (i)( ˆ U) ape r misd obtenir une forme purement lagrangienne de la puissance virtuelle des efforts intérieurs dans laquelle ˆ ˙ e(X ,t) correspond au transport paral- lèle du champ ˆ U sur la con guration κ0 : sur κ0 ˆ U(X,t)= ˆ U(φ(X,t)) sur κt . Cette forme (4.16) ne permet pas l application du théorème de la divergence comme au paragraphe 3.3. Aussi, compte tenu de ce que la dé nition de ˆ U(X ,t) implique (chapitre II, 5.3) que : grad ˆ U(x,t)= ˆ U(X,t) .F-1(X,t) (4.22) on effectue sur l expression de P (i)( ˆ U) les transformations suivantes : P (i)(ˆ U)= Ω t -σ(x,t):grad ˆ U(x)dΩt = Ω 0 -J(X ,t) σ(x,t):( ˆ U(X ,t) .F-1(X ,t)) dΩ0 = Ω 0 -J(X,t) (F -1(X,t) .σ(x,t)) : ˆ U(X ,t)dΩ0 (17) J. Boussinesq (1842-1929).
232 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu soit : P (i)(ˆ U)= Ω 0 -tB(X ,t): ˆ U(X ,t)dΩ0 (4.23) On en déduit (cf. 3.3) : P (i)(ˆ U)= Ω 0 ((div B) . ˆ U-div(tB. ˆ U))dΩ0 (4.24) où les divergences sont prises dans la con guration κ0 . La puissance virtuelle des quantités d accélération (2.2) se met sous la forme : A (ˆ U)= Ω 0 ρ0(X) a(φ(X,t)) . ˆ U(X ,t)dΩ0 (4.25) et la puissance virtuelle des efforts extérieurs s écrit, avec des notations évidentes : P (e)(ˆ U)= Ω 0 ρ0(X) F(φ(X,t)) . ˆ U(X ,t)dΩ0 + ∂Ω 0 ˆ U(X,t). df(φ(X,t)) . (4.26) On obtient alors,pa rapplication du théorème de la divergence à div (tB . ˆ U) dans (4.24) et par le même raisonnement qu au paragraphe 3.3, les équations de champ en description lagrangienne : div B(X ,t)+ρ0(X)(F (φ(X ,t)) - a(φ(X ,t))) =0 (4.27) tandis que l on retrouve que : df(φ(X,t)) = B(X,t). dA c est-à-dire (4.20). Ainsi, en description lagrangienne, les équations de la dynamique, homologues de (3.13) et (3.15) font intervenir le tenseur des contraintes de Piola-Lagrange. On peut ici encore revenir sur la condition de compatibilité géométrique d un champ de tenseurs F (X ,t) dé ni à l instant t sur Ω0 dans κ0 (cf. chapitre III, 3.9). On rappelle que l on a la formulation faible suivante. Le champ F est le gradient d un champ de vecteur dé ni sur Ω0 ,sietseulementsi: ∀B àsupport compact sur R3 , divB=0surΩ0, B(X) .N(X)=0sur ∂Ω0 , (4.28) ona: Ω0 tB(X):F (X ,t)dΩ0 =0. (4.29) On remarque que (4.28) et (4.29) font intervenir les champs de contrainte de Piola-Lagrange quis onte néquilibre avec des efforts extérieurs nuls selon les formules (4.20) et (4.27) : ces champs sont les champs d autocontrainte sur Ω0 en description lagrangienne. La condi- tion (4.29) exprime donc que la puissance de tout champ d autocontrainte en description lagrangienne dans le champ F donné est nulle.
5 Bilanetperspectives 233 5B ilan et perspectives 5.1 Mécaniciens et Physiciens ... Tr ois a p plications de la méthode des puissances virtuelles à l étude de la dyna- mique du milieu continu tridimensionnel ont jusqu ici été présentées : chapitre IV sections 6 et 7, et ci-dessus sections 2 et 3. Le tableau du paragraphe 5.2 récapitule les résultats correspondants. Le caractère systématique des démarches qui ont conduit aux modélisations suc- cessivement présentées, fondées sur la méthode des puissances virtuelles, est séduisant et sécurisant. La mise en œuvre de la méthode nécessite, comme on l a vu, de partir d idées a priori, issues de l expérience dans tous ses aspects, sur la forme de la mo- délisation que l on veut construire en adéquation avec la nature des problèmes qui sont à traiter. La méthode des puissances virtuelles est ainsi, en quelque sorte, essen- tiellement un instrument de mise en forme. Par sa clarté, elle peut conduire à une meilleure compréhension nale des modélisations construites et donc en permettre une exploitation plus profonde. (On en fera à nouveau usage au chapitre XI lors de l étude de la statique des milieux curvilignes.) La modélisation développée dans la section 3, qui aboutit à la notion de contrainte, est la base de la mécanique des milieux continus classique adaptée à l étude d une vaste classe de problèmes tant pour les solides que pour les uides. On ne doit toutefois pas perdre de vue que les efforts intérieurs ainsi représentés traduisent, au niveau micro- scopique de la physique, des interactions entre les particules constitutives du milieu continu ; l unicité du formalisme, l unicité de la procédure mathématique qui a per- mis de construire cette modélisation, n impliquent en rien l identité des phénomènes physiques sous-jacents. C est ainsi que la contrainte, concept macroscopique du mé- canicien, recouvre des phénomènes physiques bien différents au niveau microscopique selon que le milieu continu considéré modélise un solide cristallin, un polymère ou un uide, et selon les sollicitations qu il subit. La vision du mécanicien se révèle complé- mentaire de celle du physicien, et féconde, en dégageant les structures communes qui permettent le traitement mathématique des problèmes au niveau macroscopique.
ˆ U A ( ˆ U) P (e)( ˆ U) P (i)( ˆ U) Équations de ladyn a miqu e Commentaires m.v.r. ∀S ⊂S {ˆ D} [MA ].{ˆ D} [F e].{ˆ D} 0 (1) [F e]=[MA ] (1) ⇒ Théorème d'Euler (2) [F i]=0 (3) ∀M∈Ωt -gradp+ρ(F -a)=0 Ω t pdiv ˆ UdΩt (4) ∀M∈∂Ωt pn= -TΩ (3)+(4)ou(5)⇒(1)et(2) (5) ∀S ⊂S, ∀M ∈∂Ω t TΩ = -pn Ω t ρF. ˆ U dΩt ˆ U C1 Ω t ρa. ˆ U dΩt + ∂Ω t TΩ . ˆ Uda (6) ∀M ∈Ωt div σ+ρ(F-a)=0 Ω t -σ:ˆ ddΩt (7) ∀M ∈∂Ωt σ.n=TΩ (6)+(7)ou(8)⇒(1)+(2) (8) ∀S ⊂S, ∀M ∈ ∂Ω t TΩ =σ.n
5 Bilanetperspectives 235 5.3 Milieux micropolaires Àtitre d ouverture sur les théories de milieux continus non classiques on donnera ci-après une présentation succincte de la statique des milieux micropolaires ,milieux continus tridi- mensionnels pour lesquels chaque particule ou point matériel du système considéré représente en fait une microstructure (cf. chapitre I, section 5). L esprit de cette présentation et l arti- culation des raisonnements sont identiques à ceux que l on retrouvera au chapitre XI (section 3) pour les milieux curvilignes, milieux continus unidimensionnels pour lesquels la notion de microstructure est par ailleurs plus facile à appréhender physiquement et qui peuvent, de ce fait, fournir un support plus concret à la notion de milieux micropolaires tridimensionnels. Description géométrique. Mouvements réels La description du système demeure tridimensionnelle : le système S est dé ni par l ensemble des particulesquioccupent le volume Ωt de contour ∂Ωt dans la con guration κt .(Demême pour S :v olu meΩ t ,contou r∂Ω t .) L évolution du système est décrite par l évolution de la position géométrique de chaque particule du système, et par l évolution de l orientation d une microstructure associée à cette particule. Les mouvements réels du système sont dé nis sur Ωt par deux champs vectoriels : U ,vitesse de la particule, et r,vite sse de rotation de la microstructure associée. Mouvements virtuels Les mouvements virtuels sont dé nis sur Ωt par deux champs vectoriels ˆ Uetˆ r continus et continûment différentiables, ou encore par le champ de distributeur {ˆ U}: ∀M∈Ωt,{ˆ U(x)} = {M, ˆ U(x), ˆ r(x)} . (5.1) Un mouvement virtuel sera noté ˆ U. Puissance virtuelle des efforts extérieurs D une manière générale on pose : ∀S ⊂S, ∀ˆ Um.v., (5.2) P (e)(ˆ U)= Ω t (ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)+ρ(x,t)G(x,t) . ˆ r(x)) dΩt + ∂Ω t (T Ω (x,t) . ˆ U(x)+CΩ (x,t) . ˆ r(x)) da. On introduit ainsi des forces de masse F et des couples dem a sse G,le sunes et les autres indépendants du sous-système considéré, et des forces surfaciques T Ω (x,t) et des couples surfaciques CΩ (x,t) avec la différence de signi cation déjà signalée ( 2.2) entre les données au contour de S et les efforts exercés au contour de S . On écrira aussi : P (e)(ˆ U)= Ω t ρ[F(x,t)] . {ˆ U(x)}dΩt + ∂Ω t [TΩ (x,t)] . {ˆ U(x)}da, (5.3) où [F(x,t)] désigne le torseur deseffo rtsdemasse : ∀M ∈ Ωt , [F(x,t)] = [M, F(x,t) ,G(x,t)] , (5.4) et [TΩ (x,t)] le torseurde sefforts surfaciques sur S : ∀M ∈ ∂Ω t , [TΩ (x,t)] = [M, TΩ (x,t) ,CΩ (x,t)] . (5.5)
236 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu Puissance virtuelle des efforts intérieurs La densité de puissance virtuelle des efforts intérieurs, p(i)(ˆ U),s upposée indépendante du sous-système considéré est postulée comme une forme linéaire des valeurs locales des champs ˆ Uetˆ r et de leurs gradients. De façon équivalente, en se référant à la formule (5.20) du chapitre IV qui dé nit le gradient du champ de distributeur {ˆ U} au point M ,distributeur tensoriel égal à : grad {ˆ U(x)} = {M,grad ˆ U(x)- ˆ r(x) , grad ˆ r(x)} (5.6) oùˆ r(x) est le tenseur antisymétrique associé à ˆ r(x),o npe utdir equ ep(i)(ˆ U) est postulée comme une forme linéaire des distributeurs {ˆ U(x)} et grad {ˆ U(x)}.Onécrit : p(i)(ˆ U)=-[a(x,t)] . {ˆ U(x)}-[tt(x,t)] : grad {ˆ U(x)} (5.7) où [a] désigne un champ de torseurs, et [t] un champ de torseurs tensoriels : [t(x,t)] = [M, t(x,t) ,c(x,t)] (5.8) [tt(x,t)] : grad{ˆ U(x)} =t t(x,t):(grad ˆ U(x)- ˆ r(x)) + tc(x,t):grad ˆ r(x) (5.9) (l introduction des transposés se révèle commode pour l écriture des équations d équilibre et l interprétation de la modélisation). La loi des actions mutuelles (1.1) impose la nullité du champ de torseur [a],etlafo r m ela plus générale permise pour p(i)(ˆ U) àpartirde(5.7) s écrit : p(i)(ˆ U)=-[tt(x,t)]:grad{ˆ U(x)} (5.10) que l on peut expliciter en décomposant t(x,t) et grad ˆ U(x) en leurs parties symétriques et antisymétriques : t(x,t)=σ(x,t)+α(x,t) , grad ˆ U(x)=ˆd(x)+ ˆ Ω(x) , p(i)(ˆ U)=-σ(x,t):ˆd(x) - α(x,t):(ˆ r(x)- ˆ Ω(x)) - tc(x,t):grad ˆ r(x) . (5.11) Équations d équilibre Leséquations d équilibre (puissance virtuelle des forces d inertie nulle) s obtiennent en ex- ploitant l énoncé du principe des puissances virtuelles : ∀S ⊂S, ∀ˆ Um.v., Ω t ρ[F(x,t)] . {ˆ U(x)}dΩt + ∂Ω t [TΩ (x,t)] . {ˆ U(x)}da - Ω t [tt(x,t)] : grad{ˆ U(x)}dΩt =0. (5.12) L écriture compacte de cette équation en termes de distributeurs et torseurs vectoriels et tensoriels montre que sa structure est identique à celle de l équation (3.10) du paragraphe (3.3). On en déduit par application du théorème de la divergence : les équations de champ pour [t] ∀M ∈ Ωt , div [t(x,t)] + ρ[F(x,t)] = 0 , (5.13) les équations au contour de S (conditions aux limites) ∀M∈∂Ωt, [t(x,t)] .n(x)=[TΩ(x,t)] , (5.14)
5 Bilanetperspectives 237 les équations au contour de S ,sous-système quelconque : ∀S ⊂S,∀M∈∂Ωt, [TΩ (x,t)] = [t(x,t)] .n(x) . (5.15) Ces équations présentent évidemment la même structure que les formules (3.13) à (3.15) établies pour la modélisation classique (cf. aussi, au chapitre XI, section 3, les équations de la statique des milieux curvilignes). L explicitation des équations (5.13) à (5.15), ou leur établissement direct à partir de (5.2) et (5.3), donne : pour les équationsdechamp ∀M∈Ωt, div t(x,t)+ρ(x,t)F (x,t)=0 (5.16) div c(x,t)+2α(x,t)+ρ(x,t)G(x,t)=0 (5.17) où α(x,t) désigne le vecteur associé au tenseur antisymétrique α(x,t) ; pour les conditions aux limites àlafrontière de S ∀M∈∂Ωt, t(x,t) .n(x)=T Ω(x,t) (5.18) c(x,t) .n(x)=CΩ(x,t); (5.19) pour les efforts extérieurs au contour de S ∀S ⊂S,∀M∈∂Ω t, T Ω (x,t)=t(x,t) .n(x) (5.20) CΩ (x,t)=c(x,t) .n(x) . (5.21) Interprétation du modèle. Pertinence • On observe sur (5.15) l indépendance du torseur des efforts surfaciques [TΩ (x,t)] vis-à- vis du sous-système S considéré : il s agit d actions de contact entre les particules du système, purement locales. D où les notations uniques : T (x,t,n(x)) ,C(x,t,n(x)) , [T(x,t,n(x))]. • La représentation des efforts intérieurs dans cette modélisation est constituée des deux champs de tenseurs t et c. Lesformules (5.20) et (5.21) en donnent l interprétation physique : T (x,t,n(x)) étant le vecteur-contrainte sur la facette de normale sortante n(x) et C(x,t,n(x)) le couple- contrainte sur cette même facette, on obtient pour t(x,t) et c(x,t) l homologue de la présentation àla Cauchy pour le milieu continu tridimensionnel classique. t(x,t) est le tenseur des contraintes et c(x,t) le tenseur des couples-contraintes . On peut aussi dire que les efforts intérieurs sont représentés par le champ de torseur tensoriel [t]. • Du point de vue physique cette modélisation recouvre trois cas typiques selon les charge- ments imposés (présence ou non de couples de masse) et les caractéristiques du matériau modélisé (tolérance ou non de couples surfaciques).
238 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu a) Le milieu continu tridimensionnel classique, pour lequel il n y a ni couples de masse ni couples surfaciques. Les champs c et α sont nuls et t est symétrique. b) Lesmilieux soumis à des couples de masse (d origine électrostatique ou magnétique par exemple), sans couples surfaciques. Le champ c est nul et l on a : α(x,t)=- ρ(x,t) 2 G(x,t) (5.22) d où t(x,t)=σ(x,t) - ρ(x,t) 2 G(x,t) (5.23) G(x,t) étant le tenseur antisymétrique associé à G(x,t).Letenseurdes contraintes n est pas symétrique. Sa partie antisymétrique est déterminée. La partie symétrique σ(x,t) est régiepar les équations (5.16) à (5.21) qui se ramènent au cas du milieu continu tridi- mensionnel classique en y modi ant les forces de masse et les forces surfaciques. C est le modèle à employer pour l étude des phénomènes d électrostriction ou de magnétostriction par exemple. c) Lesmilieux micropolaires proprement dits ou continus de Cosserat (18) ,dansles- quels il y a des couples surfaciques avec ou sans couples de masse. Ce cas est entièrement distinct du milieu continu classique. Parmi les applications de ce modèle on cite l étude des cristaux liquides ; on peut aussi penser à la modélisation, à travers la méthode d ho- mogénéisation, de certains matériaux composites renforcés par des inclusions raides . (18)E. Cosserat (1866-1931), F. Cosserat (1852-1914).
Récapitulatif des formules essentielles 239 Récapitulatif des formules essentielles A ( ˆ U)= Ω t ρ(x,t)a(x,t) . ˆ U(x)dΩt P (e)( ˆ U)= Ω t ρ(x,t)F (x,t) . ˆ U(x)dΩt + ∂Ω t TΩ (x,t). ˆ U(x)da • Champ scalaire p (pression) P (i)( ˆ U)= Ω t p(x,t)div ˆ U(x)dΩt + Σ ˆ U ∩Ω t p(x,t)[[ ˆ U(x)]].n(x)da -grad p(x,t)+ρ(x,t)(F (x,t) - a(x,t)) =0 sur Ωt -p(x,t) n(x)=T Ω(x,t) sur Ωt T Ω (x,t)=-p(x,t)n(x) sur ∂Ω t • Champ tensoriel σ (contrainte de Cauchy) P (i)( ˆ U)= Ω t -σ(x,t):ˆd(x)dΩt + Σ ˆ U ∩Ω t -[[ ˆ U(x)]].σ(x,t) .n(x)da σ(x,t) symétrique div σ(x,t)+ρ(x,t)(F (x,t) - a(x,t)) =0 sur Ωt [[ σ(x,t)]].n(x)=0 (sauf onde de choc) [[ σ(x,t)]].n(x)=ρ(x,t)[[U(x,t)]](U(x,t) - W (x,t)) .n(x) (si onde de choc) vecteur-contrainte : T (x,t,n(x)) = σ(x,t) .n(x) df = σ(x,t).da Ti = σijnj T (x,t,n(x)) = T Ω(x,t) sur ∂Ωt , T Ω (x,t)=T (x,t,n(x)) sur ∂Ω t .
240 Chapitre V Modélisation des efforts pour le milieu continu • Champ tensoriel π (contrainte de Piola-Kirchhoff) P (i)( ˆ U)= Ω 0 -π(X,t):ˆ ˙e(X ,t)dΩ0 π ρ0=F-1.σ ρ.tF-1 π(X ,t) est symétrique • Équations de la dynamique (expressions explicites) coordonnées cartésiennes orthonormées ∂σxx ∂x + ∂σxy ∂y + ∂σxz ∂z + ρ(Fx - ax)=0 ∂σyx ∂x + ∂σyy ∂y + ∂σyz ∂z + ρ(Fy - ay)=0 ∂σzx ∂x + ∂σzy ∂y + ∂σzz ∂z + ρ(Fz - az)=0 coordonnées cylindriques ∂σrr ∂r +1 r ∂σrθ ∂θ + ∂σrz ∂z +σrr-σθθ r +ρ(Fr -ar)=0 ∂σθr ∂r +1 r ∂σθθ ∂θ + ∂σθz ∂z +2σrθ r +ρ(Fθ-aθ)=0 ∂σzr ∂r +1 r ∂σzθ ∂θ + ∂σzz ∂z +σrz r +ρ(Fz -az)=0 coordonnées sphériques ∂σrr ∂r +1 r ∂σrθ ∂θ+1 r sinθ∂σrφ ∂φ +1 r (2σrr - σθθ - σφφ + σrθ cot θ)+ρ(Fr - ar)=0 ∂σθr ∂r +1 r ∂σθθ ∂θ+1 rsinθ∂σθφ ∂φ +1 r ((σθθ - σφφ)cotθ +3σrθ) + ρ(Fθ - aθ)=0 ∂σφr ∂r +1 r ∂σφθ ∂θ+1 r sinθ∂σφφ ∂φ +1 r (3σφr +2σφθ cot θ)+ρ(Fφ - aφ)=0
Exercices 241 Exercices V.1 - Un uide incompressible homogène (c est-à-dire que ρ est constant) est supposé en équilibre (U =0,a=0)sous l action d un champ de force de masse F dans un référentiel R.Déterminer les surfaces isobares (surfaces d égale pression). Étudier le cas où, R étant galiléen, les forces de masse se réduisent aux forces de pesanteur dont l accélération g est supposée constante. Étudier le cas où le uide pesant est en équilibre par rapport à un référentiel animé d un mouvement de rotation uniforme autour d un axe vertical xe par rapport au référentiel galiléen ( vase tournant ) avec la vitesse ω = ωez . Éléments de réponse : • Le champ F doit être irrotationnel : F (x)=- grad V(x).Le ss u rfa ces isobares sont les équipotentielles de V . • Les surfaces isobares sont des plans horizontaux. p ne dépend que de z : p = -ρg z + K où la constante K est déterminée à partir des conditions aux limites (surface libre par exemple). • Le référentiel par rapport auquel le uide est en équilibre n est plus galiléen : les forces de masse comprennent, outre les forces de pesanteur, les forces d inertie d entraînement (les forces d inertie complémentaires sont nulles puisque le uide est immobile dans le référentiel tournant ). On véri e que ces forces de masse dérivent bien d un potentiel : le problème est donc possible ; on trouve, en coordonnées polaires autour de l axe de rotation vertical : V(x)=gz - ω2 r2/2. Les surfaces isobares sont des paraboloïdes de révolution autour de l axe de rotation ; en particulier la surface libre du uide est une telle surface, ce qui détermine la constante dans la formule exprimant la distribution de la pression dans le uide : p(x)=ρω2 r2/2 - ρgz+ c. Commentaire. L exemple nal est typiquement celui de la centrifugeuse. On traiterait tout aussi facilement le cas de l équilibre relatif d un uide incompressible dans un référentiel en mouvement de translation uniformément accéléré par rapport au référentiel galiléen. V.2 - On considère un uide incompressible homogène pesant en équilibre dans un référentiel galiléen. On suppose que ce uide baigne une face d une paroi plane inclinée à l angle i sur la verticale. Déterminer les efforts ainsi exercés par le uide sur une surface S de cette paroi. Éléments de réponse : ez dirigé vers le bas ; z0 cote de la surface libre p = pa ;o rigin echoisie telle que pa = ρg z0 . Distribution de pression : p = ρg z. Effort sur la surface élémentaire dS en un point M de S : df = -ρgzndS dont la composante verticale df .ez = ρgzcos i dS est égale au poids du cylindre ( ctif) de uide situé au-dessus de l élément de surface dS jusqu à lac otez =0. Le torseur des efforts exercés sur la surface S apourrésultanteR = -ρgzGSn où zG est la cote du centre de gravité de la surface S,dirigée selon -n et dont la composante verticale est égale au poids du cylindre uide surmontant S jusqu à z =0.
242 Chapitre V - Modélisation des efforts pour le milieu continu Le point d application de R sur S est la projection verticale du centre de gravité de ce cy- lindre de uide. Commentaire. Le résultat concernant la composante verticale de R et sa ligne d action s obtient immédiate- ment en appliquant la loi fondamentale de la dynamique (1.2), avec [MA ]=0,a ucylindre de uide introduit ci-dessus. V.3 - Théorème d Archimède. Soit un uide incompressible homogène en équilibre dans un référentiel R,s o u misàu nchamp defo r c ede masse F irrotationnel. On considère un corps C de volume V et de surface S immergé dans le uide et maintenu immobile par rapport à celui-ci. Déterminer le torseur des actions exercées par le uide sur ce corps. Éléments de réponse : Action exercée en M de S de normale extérieure nv sur l élément dS de S :df = -pnv dS. Le champ de pression satisfait l équation de champ grad p(x)=ρF (x) dans le domaine occupé par le uide. Ce champ, déterminé à partir des conditions au bord, est identique à celui quis établirait si le uide, en équilibre, occupait aussi le domaine V du corps C. On démontre alors en appliquant la loi fondamentale (1.2) au sous-domaine Ω t ≡ V ,a v e c [MA ]=0,que: le torseur des efforts df = -pnv dS exercés sur S est l opposé du torseur des forces de volume ρF exercées dans V . V.4 - Équilibre d un uide compressible dans un champ de force de masse dérivant du potentiel V :r e che r cher les surfaces isobares et les surfaces d égale valeur de la masse volumique ρ(x).Cas particulier du uide pesant en équilibre dans un repère galiléen. Éléments de réponse : • À l équilibre : grad p(x)=ρ(x)F (x)=-ρ(x)gradV(x). Les surfaces isobares sont les équipotentielles de V : p ne dépend de x qu à travers V ; donc ρ ne dépend de x qu à travers V et les surfaces d égale valeur de ρ(x) sont les équipotentielles de V . De façon plus détaillée : à l équilibre on a rot (ρF )=ρ rot F +gradρ ∧ F =0.Ile n résulte, puisque rot F =0,quegrad ρ(x) est colinéaire à F (x)=-grad V(x).
Exercices 243 • p et ρ ne sont fonctions que de z,m ais dp dz = -ρ(z)g ne permet pas de déterminer les fonctions p(z) et ρ(z) àpartirdesconditions aux limites ; il faut introduire une équation de comportement du uide. V.5 - On étudie l équilibre d un uide compressible pesant dans un référentiel galiléen. On suppose que l équation d état du uide est celle du gaz idéal, p/ρ = rT où r = R/M (R constante universelle des gaz parfaits =8, 314 J/K ; M masse molaire), et que la répartition de température est connue, fonction uniquement de la cote z, T(z). Déterminer la loi de répartition de la pression. Cas particulier de l équilibre isotherme. Éléments de réponse : • ÀpartirdeEx.V.4: dp p=-g r dz T(z) , d où : ln p p0 = -g r z 0 dz T(z) (p=p0pourz=0). • ln(p/p0)=-gz/rT0 . Commentaire. Ces formules sont appliquées au nivellement barométrique. V.6 - On étudie l équilibre d un uide compressible pesant dans un référentiel galiléen. On suppose que l équilibre est établi en respectant la relation p = kργ(γ =1, 4). Déterminer les distributions de ρ, p et T en fonction de z ;onintroduira en particulier la hauteur de l atmosphère dé nie dans ce modèle par p(H)=0. Éléments de réponse : ÀpartirdeEx .V.4etcompteten udep=kργ on a :kγργ-2dρ= -gdz, d où:ρ=ρ0 1- z H 1 γ-1 ,p=p0 1- z H 1 γ-1 avecp=p0,ρ=ρ0,pourz=0,etH= p0 ρ0g γ γ-1. L équation d état du gaz idéal donne : T/T0 =1- z/H. Commentaire. Cette analyse, appliquée à l atmosphère terrestre, conduirait à une hauteur approximative de 27 km et à un gradient de température de -0, 01 K/m. V.7 - On considère l écoulementstationnaire d un uide incompressible homogène, non visqueux, dans une conduite de section constante S.Ondésigne par μ le débit- masse dans cet écoulement et par U le module de la vitesse du uide supposée constante dans chaque section : μ = ρS U .Lac o nduite présente un coude à angle droit dont les sections amont et aval sont respectivement notées S1 et S2,etoùla pression du uide est égale à p1 (resp. p2). Déterminer le torseur des efforts exercés par le uide sur le coude. Éléments de réponse : On applique le théorème d Euler au volume limité par la paroi du coude et les sections amont et aval de celui-ci. Les efforts extérieurs sur ce sous-système uide se composent desactions du coude sur le uide (transmises par la paroi),
244 Chapitre V - Modélisation des efforts pour le milieu continu desforces de pesanteur, des forces de pression exercées dans S1 et S2 par le reste du uide sur le sous-système. On trouve ainsi que le torseur des actions du uide sur le coude est égal au torseur delaforce-μU (e1 + e2) passant par O, delaforce-(p1 e1 + p2 e2)S passant par O, delarés ulta nte des forces de pesanteur dans ce volume de uide, exercée au centre de gravité du volume. V.8 - Un jet horizontal cylindrique de section S d un uide incompressible homogène, non visqueux, dont la masse volumique est ρ agit sur une paroi plane inclinée à l angle α sur la verticale. Le mouvement eststationnaire. On désigne par U le moduledela vitesse du uide dans le jet, supposée uniforme dans la section courante du jet non perturbé par la présence de la paroi. La pression dans le jet est également supposée constante, égale à la pression atmosphérique (hypothèse justi ée en mécanique des uides). On néglige les forces de pesanteur ; on admet que la vitesse du uide après écrasement du jet sur la paroi est parallèle à celle-ci. Déterminer le torseur des actions du jet sur la paroi pour un débit-masse égal à μ = ρS U . Éléments de réponse : Les actions du uide non visqueux sur la paroi sont normales à celle-ci. On applique le théo- rème d Euler à un volume limité par une section courante du jet cylindrique non perturbé, la paroi, et une large surface de contrôle cylindrique d axe normal à la paroi. Les efforts extérieurs à ce sous-système se composent desactions de la paroi sur le uide dirigées selon n, des forces de pression, parallèles à la paroi, exercées sur la surface de contrôle cylindrique, delarésultante des forces de pression, dirigée selon l axe du jet, exercées sur la section courante du jet, de sfo r ces de pression atmosphérique sur toute la surface libre du uide dans le volume considéré. Les vecteurs de débit sortant de quantité de mouvement relatifs à la surface de contrôle cylindrique sont parallèles à la paroi ; pour la section courante du jet, ils sont parallèles à la section de celui-ci. Par projection sur n on obtient : le torseur des actions du jet sur la paroi est équivalent à la force -μU n cos α appliquée au point de rencontre de l axe du jet avec la paroi, ajoutée à l action de la pression atmosphérique sur la face amont de la paroi. V.9-Théorème de Bernoulli. Dans un référentiel R,onconsidèreun uide non- visqueux qui évolue dans un champ de force de masse dérivant d un potentiel indé-
Exercices 245 pendant du temps : V(x).L écoulement du uide est supposé stationnaire : p, ρ et U sont indépendants du temps en représentation eulérienne. Démontrer la relation : ˙p ρ+˙V+d dt(U2/2)= 0 . Éléments de réponse : En application de la formule de dérivation particulaire (4.14) du chapitre III on a : ˙p ρ+˙V+d dt(U2/2) = 1 ρ(∂p ∂t +gradp.U)+(∂V ∂t +gradV .U)+ d dt(U 2/2) Puisque l écoulement est stationnaire, il vient : ˙p ρ+˙V+d dt(U2/2) =(1 ρgradp+gradV +a).U qui est nul en application de (2.21). Commentaire. Dans le cas d un uide incompressible (ρ constant) ou, plus généralement, d un uide en évolution barotrope (ρ = h(p)) on obtient en introduisant une primitive de 1/h(p) : dp h(p)+V+U2 2 = Constante le long de toute ligne de courant. C estlethéorèmedeBernoulli. V.10 - Un tube cylindrique de rayons intérieur et extérieur a et b et de hauteur h est soumis aux conditions au contour en contraintes suivantes (coordonnées cylindriques) : z=0:Tr =Tθ=0,Tz = -σ; z=h:Tr =Tθ=0,Tz =σ; r=a:Tr=p,Tθ=Tz=0 ;r=b:Tr= -p,Tθ=Tz=0. Il n y a pas de force de masse. Déterminer le champ de contrainte σ en équi- libre avec ces données, dont l expression dans la base orthonormée des coordonnées cylindriques est identique en tout point.
246 Chapitre V - Modélisation des efforts pour le milieu continu Éléments de réponse : Àpartirdesconditions au contour et des équations (3.23) : σ = -p(er⊗er+eθ⊗eθ)+σez⊗ez. Ce champ est homogène dans le cylindre : σ = -p1l+(σ+p)ez⊗ez. V.11 - Équations de la dynamique en coordonnées cartésiennes quel- conques. Expliciter les équations de la dynamique (3.13) et la formule (3.18) dé nis- sant le vecteur-contrainte dans un système de coordonnées cartésiennes quelconques. Interpréter σij . Éléments de réponse : • e1 ,e2 ,e3 trièdre cartésien. σ=σijei⊗ej,gradσ=∂σij ∂xk ei⊗ej⊗ek,divσ=∂σij ∂xj ei. F =Fiei ,a= aiei. • Équations de la dynamique (3.13) : ∂σij ∂xj +ρ(Fi - ai)=0. • Vecteur-contrainte : n = nj ej ,T(n)=T i ei = σij nj ei . • Interprétation de σij : 1 |ej | σij est la composante, selon la direction ei ,duv ecteur- contrainte sur la facette dé nie par les deux vecteurs de base complémentaires de ej . V.12 - On étudie l équilibre d un demi-espace tridimensionnel, constitué d un maté- riau homogène pesant, limité par une surface libre plane inclinée à l angle β sur l hori- zontale. On utilise le repère cartésien Oxyz dé ni comme suit : Ox horizontal dans la surface libre, Oy ligne de pente de la surface libre, Oz verticale ascendante. Compte tenu des données de ce problème on chercheàdéterminerle champ de contrainte σ dans le massif de milieu continu comme une fonction continûment différentiable de la seule coordonnée z.Qu elle est la forme d un tel champ σ ?Déterminer alors le vecteur-contrainte sur une facette parallèle à la surface libre à la cote z = -h<0. Éléments de réponse : • σ=σijei⊗ej. Leséquations d équilibre (3.13) se réduisent à (cf. Ex.V.11) : dσxz dz =0 dσyz dz =0 dσzz dz =ρg. Les équations au contour (3.14) permettent d écrire les conditions à la surface libre : n = ez cosβ,T= σ.n=0pour z =0d où: σxz = σyz = σzz =0pour z =0. Cela détermine, dans tout le massif : σxz =σzx≡0,σ yz =σzy≡0,σ zz =ρgzpour z<0; les autres composantes de σ demeurent des fonctions indéterminées de z<0. • Pour la facette parallèle à la surface libre à la cote z = -h<0 on a : n = ez cosβ,σzz = -ρghd où T = -ρghez cosβet df= -ρghez cosβda. Commentaire. Le problème étudié est en particulier celui de l équilibre d un massif de sol (mécanique des sols). Il est compréhensible (cf. 3.4) que les équations de la dynamique ne permettent pas,
Exercices 247 àelles seules, de déterminer le champ σ,mêm ea v e cl hypothèse ap rio risur la dépen- dance en z uniquement ; mais on remarque que, cette hypothèse une fois admise, le vecteur contrainte sur toute facette paral lèle à la surface libre est déterminé : l effort élémentaire df est vertical, compressif , égal au poids de la colonne de matériau située au-dessus de cette facette. Le calcul des composantes du champ σ laissées indéterminées par la statique nécessite la connaissance de la loi de comportement du matériau et, en général, de l histoire du chargement subi. V.13 - Le tenseur de contrainte de Cauchy en un point étant supposé être un tenseur de pression isotrope, déterminer le tenseur de contrainte de Piola-Kirchhoff ; exami- ner en particulier le cas où la transformation du milieu est une dilatation isotrope composée avec une rotation, et celui où c est une extension simple. Éléments de réponse : •σ=-p1l π=-pρ0 ρ C-1 (C =tF.F). •F=λα avec tα.α=1l, detα =+1,λ>1: π = -λp1l. • e1 ,e2 ,e3 orthonormé F=λe1⊗e1+e2⊗e2+e3⊗e3 ,λ>1 (cf.Ex.II.1): π = -p(λ-1e1⊗e1+λe2⊗e2+λe3⊗e3). V.14 - Oxyz est un repère orthonormé. Soit, dans la con guration initiale, un échan- tillon cylindrique de révolution d axe Oz,delo ngueur 0 et de rayon r0 .Da n sla con guration actuelle cet échantillon est un cylindre de révolution d axe Oz de lon- gueur et de rayon r ;onsuppose que la transformation entre les deux con gurations est homogène, et que les vecteurs matériels colinéaires à ex ou ey le restent dans la transformation. Le champ de contrainte de Cauchy y est également supposé homo- gène, induit par les seuls efforts suivants appliqués au contour : deu xforces axiales (selon Oz), opposées, d intensité Q (en traction) appliquées sur les bases, une pression normale uniforme d intensité p appliquée sur la surface latérale. Déterminer les tenseurs de contrainte de Cauchy et de Piola-Kirchhoff. Éléments de réponse : • σ= -p(ex⊗ex+ey⊗ey)+Q πr2 ez⊗ez F=r r0(ex⊗ex+ey⊗ey)+ 0 ez⊗ez detF = r r0 2 0 π=-p 0(ex⊗ex+ey⊗ey)+Q πr2 0 0 ez⊗ez Commentaire. Le résultat peut aussi s obtenir de façon plus artisanale en s appuyant sur la formule : π.dA=F-1.σ.da.
Chapitre VI Étude des contraintes MOTS CLÉS Contrainte normale. Contrainte tangentielle. Réciprocité des contraintes. Contraintes principales. Invariants. Contrainte moyenne. Déviateur. Plan de Mohr.Cercles de Mohr. Domaine d élasticité. Fonction de charge. Symétries de la matière. Isotropie. Critère de Tresca.Critère de von Mises. 249
Chapitre VI Étude des contraintes 251 En bref Le tenseur des contraintes de Cauchy en un point dé nit l application linéaire qui détermine le vecteur-contrainte pour toute facette passant par ce point. Il permet notamment de calculer la contrainte normale et la contrainte tangentielle sur cette facette (section 2). Dans le cas général, pour un état de contrainte donné, ile xistetr ois facettes sur lesquelles le vecteur-contrainte est normal. Ces facettes sont orthogonales aux directions principales des contraintes ; les contraintes correspondantes sont les contraintes principales (section 2). Pour un état de contrainte donné, dé ni par le tenseur des contraintes de Cauchy, il se révèle utile du point de vue des applications pratiques de suivre la variation du vecteur-contrainte agissant sur une facette lorsque celle-ci pivote autour du point considéré. La représentation géométrique de Mohr repère cette évolution par rapport à la normale à la facette, dans un diagramme où sont reportées la contrainte normale et la contrainte tangentielle. On y met en évidence le domaine parcouru par l extrémité du vecteur-contrainte : ile stdélimité par trois cercles (section 3). Du point de vue du comportement des matériaux, le tenseur des contraintes apparaît comme le chargement de l élément de matière. La fonction de charge fournit une mesure scalaire de ce chargement pour dé- limiter le domaine de pertinence du modèle de comportement élastique avant l apparition des déformations irréversibles de la plasticité : critère de limite d élasticité,o udeplasticité (section 4). La dérivation temporelle du tenseurde sc o ntr ainte spose lepr oblèm e du choix d un référentiel pertinent pour l étude du comportement d un matériau (section 5).
252 Chapitre VI Étude des contraintes Principales notations Notation Signi cation 1ère formule σ contrainte normale (2.5) τ contrainte tangentielle (2.7) σ1,σ2 ,σ3 contraintes principales (2.15) I1 ,I2,I3 invariants de σ (2.16à2.18) σm contrainte moyenne (2.22) s déviateur de σ (2.23) J2,J3 invariants de s (2.26) σeq contrainte équivalente (de von Mises) (4.11)
Chapitre VI Étude des contraintes 253 1L amisee nœ uvre du concept ................255 2N otions pratiques. . .....................255 2.1D imensions, unités..................... 255 2.2C ontraintenormale et contrainte tangentielle ...... 256 2.3S igne descontraintes .................... 258 2.4R éciprocité descontraintes ................ 258 2.5C hangementdebase .................... 260 2.6D irectionsprincipales,contraintes principales ...... 261 2.7 Invariants du tenseur des contraintes. Théorème de re- présentation . ........................ 262 2.8T enseur déviateurdes contraintes ............. 264 3R eprésentationdeMohr ...................265 3.1R eprésentationdeMohr.................. 265 3.2C ercles de Mohr ...................... 266 3.3D escription descercles principaux ............ 268 3.4Q uelquesconséquencespratiques ............. 269 3.5É tats de contrainte remarquables ............. 269 4C r i t è res de limite d élasticité pour les matériaux isotropes272 4.1P résentation ........................ 272 4.2P rincipes généraux . .................... 273 4.3C ritère de Tr esca ...................... 274 4.4C ritère de vonMises .................... 276 5D é r i v a t ion temporelle du tenseur des contraintes . . . . 277 5.1D érivée particulaire .................... 277 5.2D érivée intrinsèque(dérivéedeTruesdell) ........ 278 5.3D érivée corotationnelle (dérivée de Jaumann) ...... 279 Récapitulatifdes formules essentielles .............280 Exercices ..............................281
1 Lamiseenœuvredu concept 255 Étude des contraintes 1L a m i s e e n œ u v re du concept L objet du chapitre V était, par la méthode des puissances virtuelles, de mettre en place la représentation des efforts intérieurs pour le milieu continu tridimension- nel classique. On a ainsi abouti à une représentation par un champ de tenseurs du deuxième ordre symétriques, dé ni sur la con guration actuelle κt : le champ des tenseurs de contrainte de Cauchy . Le présent chapitre se veut essentiellement pratique. Il est consacré à la mise en œuvre de ce concept, notamment par l étude du tenseur des contraintes en un point, pour acclimater sa manipulation, examiner et commenter ses propriétés. Aucune confusion n étant possible puisque seules les propriétés en un point seront examinées, on allégera les notations en supprimant dans toutes les formules la variable x qui indiquait jusqu ici la valeur locale d un champ et l instant t,autrem ent dit, le tenseur des contraintes deCauchyseradésigné par σ,levecteur contrainte par T (n) etc. 2N o t i o ns pratiques 2.1 Dimensions, unités Figure 1 Vecteur-contrainte sur une facette et force élémentaire sur une surface On rappelle la formule essentielle liant le tenseur des contraintes de Cauchy σ au vecteur-contrainte T (n) sur la facette de normale sortante n (cf. chapitre V, 3.5) : T (n)=σ .n (2.1)
256 Chapitre VI Étude des contraintes d où la force élémentaire df s exerçant sur une surface da de normale n ( gure 1) : df=σ.nda=σ.da. (2.2) Pour les composantes dans une base orthonormée la formule (2.1) conduit au résultat déjà énoncé Ti = σijnj (2.3) et à l interprétation des composantes σij du tenseur σ dont l utilité pratique est constante : la composante σij du tenseur des contraintes de Cauchy repré- sente la composante selon la direction ei du vecteur-contrainte sur la facette de normale ej . Figure 2 Interprétation des composantes de σ en base orthonormée Dans la formule (2.2), df représente une force et da une aire. On en déduit que le tenseur des contraintes σ (en fait ses composantes) a les dimensions d une force par unité de surface c est-à-dire d une pression. Il en va de même pour le vecteur- contrainte T . L unité de pression S.I. est le Pascal : 1Pa = 1 N/m2.Onde v r as o uvent pour les applications pratiques utiliser des multiples : 1kPa = 103Pa , 1MPa = 106Pa , 1GPa = 109Pa. 2.2 Contrainte normale et contrainte tangentielle Considérant une facette telle que celle représentée sur la gure 1 on dé nit de façon naturelle la contrainte normalesurcette facette comme la composante de T (n) selon la direction de la normale n soit : T(n).n= n .σ.n (2.4)
2 Notionspratiques 257 Diverses notations sont adoptées pour désigner cette contrainte normale. La plus courante, notamment pour les applications dans la théorie des cercles de Mohr (cf. section 3), choisit σ comme terme générique de la contrainte normale sur une facette quelconque mais on trouvera aussi : Tn ,n,. . ..Onécrira : σ=n.σ.n (2.5) d où, en base orthonormée, σ = σijninj . (2.6) Figure 3 Contrainte normale, contrainte tangentielle On dé nit la contrainte tangentielle τ comme la composante vectorielle de T (n) dans le plan de la facette, de sorte que : T (n)=σn+ τ . (2.7) La contrainte tangentielle est également appelée contrainte de cisaillement (1) (ou cission). Dans le cas général elle estsimplement mesurée par son module(2) : |τ|=((σ .n)2 -(n .σ.n)2)1/2 . (2.8)On peut en n remarquer que, si l on choisit une base orthonormée constituée de la normale n àlafacette considérée et de deux vecteurs t1 et t2 situés dans la facette ( gure 4), la contrainte normale sur la facette n est autre que : σ = σnn(3) (2.9) et l on dispose des deux composantes tangentielles algébriques : τ1=σt1n,τ 2=σt2n (2.10) avec évidemment|τ|2 = τ2 1+τ2 2 . L utilisation de ces composantes algébriques s im- pose lorsque l on étudie des matériaux anisotropes. (1)Parfoisencore cisaillement : cette terminologie plus concise peut prêter confusion entre les concepts d effort et déformation. (2)On verra dans la section 3 qu il est possible de dé nir une mesure algébrique de la contrainte tangentielle dans le cas de certaines facettes en adoptant une convention d orientation continue, cohérente avec la théorie des cercles de Mohr. (3)Cette notation est souvent la plus claire.
258 Chapitre VI Étude des contraintes Figure 4 Contrainte normale et composantes tangentielles 2.3 Signe des contraintes D après la dé nition (2.4), la contrainte normale σ sur une facette est positive lorsque la projection orthogonale de T (n) sur n est dirigée suivant n.Enseréférant à l interprétation physique du modèle (chapitre V, 3.5, gure 7) rappelée sur la gure 1onvoitque,n étant la normale sortante àlafacettec est-à-dire la normale sortante au sous-système S sur lequel la force élémentaire df est exercée, la contrainte normale σ est positive lorsque la composante normale de df est une traction . On dira que σ est positive en traction (4).Lescontraintes σ négatives sont dites de compression . Cette convention des tractions positives pour les contraintes normales est aussi appelée convention de signe des mécaniciens pour les contraintes. Dans certaines applications pratiques (mécanique des sols, calcul des structures en béton, ... )a nde ne pas manipuler en permanence des quantités négatives, les ingénieurs préfèrent parfois adopter la convention de la normale rentrante à la facette : les contraintes normales sont alors positives en compression. On doit prendre garde que dans ce cas, si l on conserve la même dé nition des taux de déformations d et ˆd, l expression de la densité de puissance virtuelle des efforts intérieurs devra être changée de signe par rapport à celle utilisée dans le chapitre précédent. En tout état de cause il est conseillé, lorsqu une ambiguïté sur ce sujet est susceptible de se présenter, compte tenu du public des lecteurs, de préciser dès le départ la convention adoptée; lors de l utilisation d un logiciel de calcul, on s assurera de la convention choisie par les auteurs (de plus en plus souvent on rencontrera celle des mécaniciens ). 2.4 Réciprocité des contraintes L interprétation des composantes de σ en base orthonormée rappelée au para- graphe 2.1 ( gure 2) et la symétrie de σ,pe r m ettent d énoncer la propriété connue sous le nom de réciprocitédes c ontr aintesta ngentielles . On considère deux facettes orthogonales quelconques de normales respectives n et n ; ces normales et la direction de l intersection de ces facettes dé nissent un trièdre (4)On rappelle la terminologie de tensions utilisée autrefois pour les contraintes.
2 Notionspratiques 259 Figure 5 Réciprocité des contraintes trirectangle sur lequel on peut construire une base orthonormée (n,n ,k) comme re- présentée sur la gure 5. La symétrie de σ implique notamment pour les composantes de σ dans cette base de relation : σnn = σn n . (2.11) Ainsi : la composante selon n de la contrainte tangentielle sur la facette de normale n est égale à la composante selon n de la contrainte tangentielle sur la facette de normale n . On retiendra la gure 5 en remarquant que (2.11) exprime une égalité entre des composantes algébriques des contraintes tangentielles sur les deux facettes, et que les vecteurs associés à ces composantes qui sont portés par n et n sont, soit tous deux convergents vers l intersection des facettes, soit tous deux divergents à partir de cette intersection. Plus généralement, on peut énoncer le théorème de réciprocitédescontraintes pour deux facettes non nécessairement orthogonales entre elles, de normales respec- tives n et n .Enapplication de (2.1) on a en effet T (n)=σ .n et T (n )=σ .n d où, en raison de la symétrie de σ, T(n).n = n .σ.n= T(n ).n (2.12) qui signi e que : la projection sur n du vecteur-contrainte s exerçant sur la facette de normale n,e stégaleàla projection sur n du vecteur-contrainte s exerçant sur la facette de normale n . Il en résulte en particulier que si le vecteur-contrainte sur la facette de normale n est contenu dans la facette de normale n ,alorsle vecteur-contrainte sur la facette de normale n est contenu dans la facette de normale n :lesdeux facettes sont alors dites conjuguées(5). (5)Ces résultats de réciprocité doivent être rapprochés du raisonnement du petit parallélépi- pède donné au chapitre V ( 3.6) : ils traduisent, sur un parallélépipède rectangle pour (2.11), et sur un parallélépipède quelconque pour (2.12), l équilibre des moments dans la loi fondamentale de la dynamique.
260 Chapitre VI Étude des contraintes 2.5 Changement de base Le caractère tensoriel de σ permet, par simple application des formules données dans l annexe I, de procéder à des changements de base et de connaître les nouvelles composantes de σ en fonction des anciennes. Dans la circonstance, très fréquente, d un changement de base orthonormée (par exemple : passage des coordonnées cartésiennes orthonormées aux coordonnées cy- lindriques) les formules systématiques font appel aux cosinus directeurs αik de la nouvelle base {e i} par rapport à l ancienne {ek} et s écrivent ( gure 6) : e i=αikek,α ik=e i.ek σ ij = αi αjmσ m (2.13) Figure 6 Cosinus directeurs En fait et bien que cette démarche soit évidemment strictement équivalente à l application de (2.13), il est souvent plus commode dans la pratique de substituer les expressions des vecteurs de base ek en fonction des vecteurs e i dans l écriture explicite de σ et d identi er les composantes : σ=σk ek⊗e =σ ije i⊗e j. (2.14) Cette méthode, qui évite tout effort de mémoire, permet de tenir compte de la forme particulière du tenseur σ en cause dans chaque cas. C est aussi la méthode la plus simple dans le cas de changement de bases non orthonormées (on rappelle qu il est alors nécessaire de préciser les représentations choisies pour le tenseur euclidien σ). La gure 7 présente les formules de changement de base orthonormée telles qu elles furent établiesparCauchy(6). (6)D après Exercices de Mathématiques (1829), Œuvres complètes d Augustin Cauchy, 2ème édi- tion, IIe série, tome IX, Gauthier-Villars, Paris 1891.
2 Notionspratiques 261 Figure 7 Formules de Cauchy pour les contraintes 2.6 Directions principales, contraintes principales Les directions principales de σ ,te n s e u reuclidien symétrique réel, sont dé nies comme indiqué dans l annexe I ( 5.10). Ce sont les directions propres de l application linéaire associée à σ.Ellessont orthogonales entre elles. Les valeurs principales de σ sont appelées contraintes principales et notées : σ1,σ2,σ3 . Dans une base orthonormée dirigée selon les directions principales des contraintes de Cauchy, la matrice ˜ σ est diagonale et σ s écrit : σ=σ1e1⊗e1+σ2e2⊗e2+σ3e3⊗e3. (2.15) En se référant à la notion de vecteur-contrainte on énonce la propriété caractéris- tique des directions principales de σ .
262 Chapitre VI Étude des contraintes Sur une facette orientée perpendiculairement à une direction principale de σ,lev e cte ur- c ontrainte est purement normal (il n y apa sde contrainte de cisaillement sur la facette) et sa mesure est égale à la contrainte principale correspondante . Figure 8 Vecteurs-contraintes sur les facettes normales aux directions principales de σ La gure 8 reprend la gure 2 lorsque les facettes concernées sont normales aux directions principales des contraintes. La comparaison avec la gure 10 du chapitre V rappelle que le concept de contrainte pour la modélisation des efforts intérieurs inclut, comme cas particulier, ce- lui de pression : les trois contraintes principales sont alors égales (σ1 = σ2 = σ3 = -p) et toutes les facettes sont principales. Malgré la simpli cation apportée par la symétrie de σ,lar eprés e ntation géomé- trique du tenseur des contraintes au moyen de six composantes, telle que celle donnée sur la gure 2, demeure difficile à appréhender. La représentation de la gure 8 est plus suggestive : elle montre que les six degrés de liberté sur σ correspondent à trois paramètres d orientation (des directions principales) et trois paramètres d intensité (des contraintes principales). Ce mode de représentation est souvent adopté pour les champs de contrainte obtenus par calculs numériques (cf. chapitre X) ou par l expé- rience (par exemple : photoélasticimétrie). 2.7 Invariants du tenseur des contraintes. Théorème de représentation σ étant un tenseur euclidien du second ordre sur l espace tridimensionnel, on sait que les trois polynômes I1 ,I2 ,I3,dedegré1à3pa rr apport aux composantes de σ ,dé nis par contractions totales de produits tensoriels (annexe I, 5.7) sont des
2 Notionspratiques 263 scalaires invariants dans tout changement de base : I1=trσ (2.16) I2=1 2tr (σ .σ)=1 2tr (σ2) (2.17) I3 = 13tr(σ .σ.σ)=13tr(σ3). (2.18) On rappelle que le calcul de I1 ,I2 ,I3,s effectue sur une représentation mixte du tenseur euclidien σ (cette précision est inutile en base orthonormée) : I1 = σii ,I2 =(σijσji)/2 ,I3 =(σijσjkσki)/3 (2.19) I1 ,I2,I3 s expriment évidemment sans difficulté en fonction des contraintes prin- cipales. Ce sont des fonctions symétriques des contraintes principales : elles sont invariantes par permutation circulaire sur σ1 ,σ2,σ3 . I1=σ1+σ2+σ3 I2 =((σ1)2 +(σ2)2 +(σ3)2)/2 I3 =((σ1)3 +(σ2))3 +(σ3)3)/3 . (2.20) Les invariants I1 ,I2 ,I3 ont été introduits (annexe I, 4.6 et 5.7) en substitution au jeu d invariants polynomiaux constitués par les coefficients du polynôme caractéristique en λ,det(σ - λ 1l).Ce sin v a ria n t sII ,III,IIII étanta u ssi utilisés dans certaines formules, on en donne ici les expressions : II =σii=σ1+σ2+σ3 (≡I1) III=1 2(σiiσjj - σijσji)=σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 (≡ I2 1/2 - I2) IIII =detσ = σ1σ2σ3 . (2.21) L utilité d introduire les invariants apparaîtra notamment au paragraphe 4.2 où l on fera appel au théorème de représentation (cf. annexe I, 5.7), que l on peut énoncer comme suit à propos de σ. Soit f une fonction scalaire isotrope de σ,c e st-à-dire que la valeur de cette fonction, qui est nécessairement calculée en se reférant aux composantes de σ dans une base, est invariante si l on effectue sur cette base une isométrie quelconque ; on dit aussi que cette fonction f est une fonction du seul tenseur σ pour signi er qu elle ne dépend d aucun argument spéci ant des directions privilégiées dans l espace. Cette dé nition implique, en choisissant pour base une base orthonormée selon les directions principales, que la fonction f est une fonction symétrique des contraintes principales σ1,σ2 ,σ3.Mais ,plus précisément, σ étant symétrique ,o ndispo s edu théorème de représentation suivant, qui ne suppose pas que la fonction considérée soit polynomiale (annexe I, 5.7).
264 Chapitre VI Étude des contraintes Toute fonction isotrope,àv aleurscalaire ,deσ s exprime comme une fonction symétrique des contraintes principales σ1,σ2 ,σ3,o ue n c o r e, de façon équiva- lente, comme une fonction des invariants I1 ,I2 ,I3 ou II ,III,IIII.(7) 2.8 Tenseur déviateur des contraintes Il est courant de décomposer σ en ses parties dites sphérique et déviato- rique . Pour cela on dé nit la contrainte moyenne σm : σm =(tr σ)/3=I1/3 . (2.22) La partie sphérique de σ est, par dé nition, le tenseur isotrope σm 1l dont les trois valeurs principales sont égales à σm (toutes les directions de l espace étant principales pour ce tenseur isotrope). On a évidemment : tr (σm 1l)=I1 . La partie déviatorique de σ ,appelée aussi déviateur de σ,estletenseurs dé ni par : s=σ-σm1l (2.23) qui est de trace nulle :trs =0. On peut résumer l ensemble de ces dé nitions par les formules : σ =σm1l+s (2.24) trs=0 Le tenseur déviateur s amêmes directions principales que σ.Sesvaleursprincipales si sont liées aux valeurs principales de σ par : si=σi-σm c est-à-dire explicitement : si =(2σi - σj - σk)/3 (2.25) où (i, j, k) est une permutation quelconque de (1,2,3). Le premier invariant de s est, par dé nition, nul : J1 = tr s =0;les deux autres sont désignés par J2 et J3 : J2 = tr(s2)/2 J3 = tr(s3)/3 . (2.26) (7)Pour aider à la compréhension de ce théorème : son équivalent dans le cas d une fonction scalaire isotrope d un vecteur v énonce qu une telle fonction s exprime nécessairement en fonction de | v | seulement.
3 Représentation de Mohr 265 Les invariants I2 et I3 de σ s expriment en fonction de I1 ,J2,J3 par les formules suivantes : I2 =J2+I2 1/6 I3 = J3 +2I1J2/3+I3 1/27 ; (2.27) ainsi toute fonction scalaire isotrope du (seul) tenseur σ s écrira comme fonction de I1 et des invariants J2 et J3 de s. On donne parfois une interprétation des invariants I1 et J2 .e nr e m a rquant que, sur une facette dite octaédrale dont la normale a pour composantes (√3/3, √3/3, √3/3,)da n s le repère des directions principales de σ ( gure 9), la contrainte normale et la contrainte tangentielle sont respectivement égales à : σoct = I1/3=σm , |τoct|= 2J2/3 . (2.28) σm = σoct et | τ oct| sont ainsi appelées respectivement contrainte octaédrale et cission octaédrale . Figure 9 Facette octaédrale 3R e p r é s e n t a t ion de Mohr 3.1 Représentation de Mohr La représentation étudiée dans cette section s intéresse fondamentalement au vecteur- contrainte. T (n),v ecteur-contrainte sur la facette de normale n,éta ntdé ni par (2.1), on va mettre en évidence, à partir de la connaissance de σ au point considéré, certaines propriétés concernant la variation de T (n) en fonction de n.L idée essentielle consiste à utiliser une représentation de T (n) dans un plan lié à la facette que l on va maintenant préciser. Soit une facette quelconque de normale n et T (n) le vecteur-contrainte correspondant. On considère le plan dé ni par n et T (n),quic o ntie nt évidemment la contrainte tangentielle τ ( gure 10). On désigne par t un vecteur unitaire orthogonal à n dans ce plan : on a ainsi τ=τt,a v e cτ algébrique de module donné par (2.8). On oriente transversalement le plan (n,T(n)) de façon à ce que (n,t)=+π/2.
266 Chapitre VI Étude des contraintes On introduit alors un plan auxiliaire xe, dé ni par des axes Oσ et Oτ orthogonaux avec (Oσ,Oτ)=+π/2,danslequelonreportepour chaque vecteur T (n),sescomposantes σ et τ ce qui dé nit un point T .Ceplanestappelé le plan de Mohr ( gure 10). Figure 10 Représentation de Mohr : facette et plan de Mohr La construction du point T de coordonnées (σ, τ ) dans le plan de Mohr, correspond donc au repérage du vecteur-contrainte T (n) dans la base (n,t) qui tourne autour du point M considéré en suivant n dans le plan dé ni par n et T (n).Cette interprétation est rappelée sur la représentation de Mohr( gure 10) par la schématisation d une facette dont Oσ est la normale sortante, qui sera conservée dans toute la suite. Le signe de τ dans le plan de Mohr sur la gure 10 dépend naturellement du choix initialement fait pour le vecteur t :selo nl orientation de ce vecteur unitaire, le vecteur-contrainte sur la facette de normale n sera représenté, dans le plan de Mohr, par le vecteur OT comme sur la gure 10 ou par son symétrique par rapport à l axe Oσ.Po u rc ette raison, la théorie de la représentation de Mohr est souvent présentée en se limitant au demi-plan de Mohr dé ni par σ en abscisse et |τ | en ordonnée. Malgré cette ambiguïté on continuera, pour la représentation de Mohr, à donner un caractère algébrique à τ .Eneffet,s il n est pas possible de dé nir une règle continue d orientation du vecteur t ,quiseraitvalable pour toutes les orientations de la facette autour du point courant et lèverait ainsi, de manière générale, l indétermination sur le signe de τ , une telle règle se révèle possible lorsque l on considère les facettes qui pivotent autour des axes principaux qui seront envisagées dans l étude du paragraphe 3.2 mettant alors en évidence les cercles (et non les demi-cercles) principaux ou cercles de Mohr. 3.2 Cercles de Mohr Connaissant le tenseur σ on se propose de déterminer le domaine engendré par l extrémité du vecteur-contrainte dans le plan de Mohr ,lo r squ en varie. Il est commode, pour cette étude, de prendre une base orthonormée e1,e2 ,e3 ,dirigée suivant les directions principales de σ.Onaalors les relations suivantes : • pour les composantes de n, n2 1+n2 2+n2 3=1 (3.1) n2 1≥0,n 2 2≥0,n 2 3≥0; (3.2) • pour le vecteur-contrainte, T1 = σ1n1,T 2 = σ2n2,T 3=σ3n3; (3.3) • pour la contrainte normale, σ=σ1n2 1+σ2n2 2+σ3n2 3; (3.4) • pour la contrainte tangentielle, τ2+σ2=σ2 1n2 1+σ2 2n2 2+σ2 3n2 3. (3.5)
3 Représentation de Mohr 267 L ensemble des équations 3.1, 3.4 et 3.5 constitue un système de trois équations linéaires pour les variables n2 1 ,n2 2 ,n2 3 ,dontlescoefficients sont fonctions de σ1 ,σ2 ,σ3 ,σ et τ .Larésolution de ce système donne : n2 1=τ2+(σ-σ2)(σ-σ3) (σ1 - σ2)(σ1 - σ3) (3.6) n2 2=τ2+(σ-σ1)(σ-σ3) (σ2 - σ1)(σ2 - σ3) (3.7) n2 3=τ2+(σ-σ1)(σ-σ2) (σ3 - σ1)(σ3 - σ2) (3.8) dans l hypothèse où les contraintes principales sont distinctes. Les formules (3.6) à (3.8) permettent de délimiter le domaine parcouru par l extrémité du vecteur-contrainte en tenant compte des conditions de positivité (3.2). Pour simpli er la discussion on supposera les trois contraintes principales ordonnées suivant : σI ≥ σII ≥ σIII où (σI ,σII,σIII)=(σi ,i =1, 2, 3) . (3.9) La positivité de n2 I ,n2 II,n2 III fournit les inégalités : τ2+(σ -σII)(σ -σIII)≥0 (3.10) τ2+(σ -σI)(σ -σIII)≤0 (3.11) τ2+(σ-σI)(σ-σII)≥0 (3.12) dont l interprétation dans le plan de Mohr est aisée. On remarque, par exemple, que (3.10) s écrit aussi : σ- σII+σIII 2 2+τ2≥ σII-σIII 2 2 (3.13) ce qui montre que le point T est, dans le plan de Mohr, extérieur au cercle, centré sur Oσ au point d abscisse (σII + σIII)/2,etder ayo n(σII - σIII)/2.L inégalité (3.12) conduit à un résultat analogue avec σI et σII.L inégalité (3.11), quant à elle, montre que T est intérieur au cercle centré sur Oσ au point d abscisse (σI + σIII)/2 et de rayon (σI - σIII)/2. Autrement dit ( gure 11), après avoir marqué sur Oσ les pointsd abs cisses σIII,σII,σI ,o n trace les cercles de diamètres, σI σII,σ IIσIII et σI σIII.Lerés ultatobtenu ci-dessus montre que : pour toute facette l extrémité T du vecteur-contrainte se trouve àl e xtérieur des deux plus petits cercles (diamètres σI σII et σIIσIII)etàl intérieur du grand (diamètre σI σIII). Les frontières de ces cercles sont atteintes, respectivement pour nIII =0,nI =0,nII =0. Les cercles de la gure 11 sont appelés cercles principaux ou cerclesdeMohr .Plu sspé- ci quement le grand cercle est appelé le cercle de Mohr. Figure 11 Cercles principaux ou cercles de Mohr Il reste à examiner la réciproque : savoir si tout point du domaine délimité par les cercles de Mohr est atteint au cours de la variation de n.Lerés ultatdécoule des équations (3.1, 3.2, 3.4 et 3.5).
268 Chapitre VI Étude des contraintes En effet σ et τ étant donnés véri ant (3.10 à 3.12), les formules (3.6 à 3.8) déterminent toujours, par n2 1 ,n2 2etn2 3 ,lesvecteurs n tels que σ et |τ | prennent les valeurs prescrites. Ces formules conduisent, dans le cas général où n1 n2 n3 =0,àhuito rientations distinctes pour le vecteur n,oppo sées deux-à-deux, et symétriques deux-à-deux par rapport aux facettes principales(8).Enparticulier chaque cercle principal est lui-même entièrement décrit lorsque la facette tourne autour de la direction de la contrainte principale qui ne le concerne pas, à condition que l on prenne soin de dé nir de façon continue l orientation du vecteur t au cours de la rotation de la facette. La continuité d orientation du vecteur t ne peut, par contre, être assurée lorsque n prend toutes les orientations dans R3 ;c e stc equ em a nife stel existence des deux zones symétriques délimitées par les cercles de Mohr qui sont ainsi atteintes. 3.3 Description des cercles principaux Figure 12 Description du (grand) cercle de Mohr Àtitred exemple, compte tenu de son intérêt pratique, on va étudier la description du (grand) cercle de Mohr. (Les résultats obtenus seront transposables aux autres cercles principaux). Les facettes concernées sont parallèles à la direction de la contrainte principale intermédiaire σII.Onc o n stitu ea v e cles directions I,III,II un trièdre direct ; la normale n évolue dans le plan (I,III) et on dé nit l angle θ ( gure 12) : θ =(I,n); (3.14) l expression de n dans la base eI ,eIII,eII est donc : n = eI cos θ + eIII sin θ. Il résulte de (2.3) que le vecteur contrainte T (n) est contenu dans le plan (I,III) où évolue n avec pour composantes dans la même base : TI = σI cosθ,TIII = σIIIsinθ,TII =0. (3.15) Ceci permet de donner une règle d orientation continue du vecteur t pour les facettes considérées, a n de compter algébriquement les contraintes tangentielles : t est construit de sorte que le trièdre (n,t, II) soit direct . (3.16) Le calcul des composantes σ et τ est immédiat par projection de T (n) donné par (3.15) sur les axes n,t.Onpeutaussi utiliser les formules tensorielles de changement de base (2.13) qui donnent : σ =σnn =σIcos2θ+σIIIsin2θ τ = σtn = -σIcosθsinθ+σIIIcosθsinθ σtt =σIsin2θ+σIIIcos2θ (8)Fa cettes orthogonales aux directions principales.
3 Représentation de Mohr 269 soit encore : σ= σnn = σI+σIII 2 +σI-σIII 2 cos2θ τ= σtn= -σI-σIII 2 sin2θ σtt = σI+σIII 2 -σI-σIII 2 cos2θ (3.17) Les deux premières équations de (3.17) montrent que le point T ,e x t r é mit édu vecteur- contrainte, décrit le cercle de diamètre σIIIσI comme on l avait indiqué au paragraphe précé- dent. On retrouve aussi que pour θ =0 on a σ = σI et τ =0,etpo u rθ=π/2onaσ=σIII et τ =0,cequicorrespond aux deux facettes principales normales aux directions I et III. Au cours de la variation de n,lecercle de diamètre σIIIσI est entièrement décrit. Géométriquement, en désignant par le centre du cercle de Mohr, les formules (3.17) mon- trent que le rayon-vecteur T fait un angle égal à -2θ avec l axe Oσ.Ondéduit de cette propriété la règle suivante. Lorsque la facette tourne autour de la direction de la contrainte principale σII d un angle donné, l extrémité du vecteur-contrainte (point représentatif de la facette) tourne sur le cercle de Mohr d un angle double dans le sens opposé (autour du centre du cercle). En conséquence on voit que, sur deux facettes symétriques par rapport aux directions prin- cipales, s exercent des contraintes normales égales et des contraintes tangentielles opposées. Comme on l a dit au début de ce paragraphe, le cas du (grand) cercle de Mohr n a été choisi ici qu à titre d exemple, et les mêmes résultats sont valables pour les deux autres cercles principaux ; on prendra soin dans chaque cas, de dé nir l orientation de t par : (n,t)=+π/2 cet angle étant compté positivement selon la même conventionquel angle de rotation de la facette dans l espace. 3.4 Quelques conséquences pratiques On déduit immédiatement de la représentation de Mohr les résultats suivants : 1. La contrainte normale maximale est égale à σI .Elle s exerce sur la facette normale à la direction principale I. 2. La contrainte normale minimale est égale à σIII.Elle s exerce sur la facette normale à la direction principale III. 3. La contrainte tangentielle maximale en valeur absolue est égale à (σI - σIII)/2.Elle s exerce sur les facettes parallèles à la direction principale II et inclinées à ±π/4 sur les directions principales I et III. 3.5 États de contrainte remarquables Sur la gure 11 on a donné la représentation de Mohr de l état de contrainte en un point dans le cas général. On va maintenant examiner quelques cas particuliers. Te n s e u r d es contraintes en un point d une surface libre de contrainte On suppose que le point M considéré est situé sur la frontière ∂Ωt d un système, et qu en ce point la surface ∂Ωt est libre de contrainte c est-à-dire que le vecteur-contrainte sur cette surface est imposé nul ( gure 13) : T (n)=σ .n =0. (3.18)
270 Chapitre VI Étude des contraintes Figure 13 État de contrainte en un point d une surface libre Sur cette facette la contrainte tangentielle estdo n cn ulle ,c equisigni e que la direction normale à la surface libre est direction principale ( 2.6) ; la contrainte normale sur cette facette étant également nulle, on en déduit que la contrainte principale correspondante est nulle. Dans le plan de Mohr on a donc nécessairement l un des trois diagrammes de la gure 13 (si les trois contraintes principales sont distinctes). Tr a c t i o n ou compression simple ; état de contrainte uniaxial C est l état de contrainte que l on tente de réaliser en tout point d une éprouvette lors d une expérience de traction simple ou de compression simple . Deux contraintes principales sont nulles : σ2=σ3=0 (3.19) σ1 est positive ou négative (traction ou compression). Le tenseur des contraintes est dit uniaxial . Le vecteur-contrainte, sur toute facette, est dirigé selon la direction principale 1; en effet dans une base orthonormée e1 ,e2 ,e3 prise selon des directions principales, on a : T1=σ1n1,T2=T3=0. (3.20) De plus on voit que le vecteur-contrainte est nul pour les facettes parallèles à la direction principale 1(n1 =0). Figure 14 État de contrainte uniaxial La théorie des cercles principaux faite au paragraphe 3.2 dans le cas où les contraintes prin- cipales sont distinctes, est ici complétée. On a par (3.4) et (3.5) : σ=σ1n2 1 τ2+σ2=σ2 1n2 1 d où : (σ - σ1/2)2+τ2 =(σ1/2)2 . (3.21)
3 Représentation de Mohr 271 On en déduit que le domaine engendré par l extrémité du vecteur-contrainte dans le plan de Mohr se réduit au seul cercle de diamètre Oσ1 ( gure 14). On note que ces resultats procèdent de celui obtenu au paragraphe précédent, si xant σ1 =0 et σ3 =0,o nfaittendre σ2 vers σ3 :lecercle de diamètre σ3 σ2 tend vers le cercle point σ2 = σ3 =0,ta ndis que le cercle σ2 σ1 tend vers le cercle σ3 σ1 ,etledo m aine engendré sur la gure 11 se trouve réduit à ce même cercle. Cission simple Une contrainte principale est nulle, σII =0,etlesdeux autres sont opposées : σI = -σIII > 0. Dans le plan de Mohr, on a la représentation de la gure 15. On remarque sur cette gure que la contrainte de cisaillement (cission) maximale en valeur absolue s exerce, comme indiqué au paragraphe 3.4, sur les facettes parallèles à la direction II de la contrainte principale nulle, et inclinées à π/4 sur les directions des contraintes principales I et III. Sur ces facettes la contrainte normaleestn ulle (points situés sur l axe des τ dans la représentation de Mohr) et la cission est égale à : τ = σI pour la facette dont la normale α est inclinée à -π/4 sur la direction I, τ = -σI pour la facette dont la normale β est inclinée à +π/4 sur la direction I. On en déduit que, le tenseur σ qui s écrit dans la base (eI ,eIII,eII) : σ =σI(eI⊗eI-eIII⊗eIII) (3.22) a, dans la base (eα ,eβ ,eII) déduite de la précédente par rotation de -π/4 autour de eII, l expression : σ =σI(eα⊗eβ+eβ⊗eα). (3.23) Figure 15 Cission simple État de contrainte triaxial de révolution C est l état de contrainte que l on tente de réaliser en tout point d une éprouvette dans l essai à l appareil dit triaxial en mécanique des sols par exemple. Il généralise l essai de traction ou de compression simple : les deux contraintes principales σ2 et σ3 sont égales entre elles, mais non nulles : σ2 = σ3 .Ondits o u v e n tque le tenseur σ est cylindrique , toutes lesdirections orthogonales à la direction 1 étant principales. La représentation de Mohr est semblable à celle de la gure 14 : • un cercle point σ2 = σ3, • deux cercles principaux confondus de diamètres σ3 σ1 et σ2 σ1 , • le domaine engendré par l extrémité du vecteur-contrainte se réduit au seul cercle de dia- mètre σ3 σ1 ( gure 16).
272 Chapitre VI Étude des contraintes Figure 16 État de contrainte triaxial de révolution Traction ou compression triple ou isotrope Figure 17 Traction isotrope Le tenseur des contraintes est sphérique . Les trois contraintes principales sont égales entre elles et toutes les directions sont principales. On a σ=σm1l,T(n)=σmn ∀n. (3.24) La représentation de Mohr correspond à trois cercles points situés à l abscisse σm ( gure 17). Commentaires De même que d autres notions introduites précédemment, telles que le déviateur au para- graphe 2.8, la représentation de Mohr n est pas spéci que au tenseur des contraintes σ :elle peut être utilisée pour tout tenseur euclidien du second ordre, symétrique, par exemple pour les tenseurs d ou ε.Onretiendra en particulier les formules 3.17, souvent utiles. 4C ritères de limite d élasticité pour les matériaux isotropes 4.1 Présentation On étudiera ultérieurement (chapitre VII) le comportement élastique des maté- riaux. Il s agit d une modélisation du comportement réel, dont les limites de validité sont expérimentalement xées par l intensité de la sollicitation subie par l élément de matière. Plus précisément, l expérience montre que l on peut déterminer un domaine d élasticité initial du matériau tel que, si le tenseur des contraintes σ reste à l in- térieur de ce domaine, le comportement du matériau sous la sollicitation caractérisée par σ demeure élastique.
4 Critères de limite d élasticité pour les matériaux isotropes 273 La dé nition du domaine d élasticité initial dans l espace R9 (ou R6 compte tenu de la symétrie de σ)sefaitaumoyen d une fonction scalaire f du tenseur σ,appelée fonction de charge ,oucritère de limite d élasticité : la fonction de charge sert, en quelque sorte, à mesurer l intensité de la sollicitation subie ; elle est choisie de façon que : f<0 ⇔ comportement élastique f =0 ⇔ limite d élasticité initiale du matériau. (4.1) On se propose de présenter ici, en application des résultats énoncés et des no- tions introduites dans les sections précédentes, quelques critères de limite d élasticité adoptés pour les matériaux isotropes . 4.2 Principes généraux Principe d isotropie de l espace La fonction de charge, fonction scalaire de σ,estcalculée à partir des composantes du tenseur σ dans une base. En supposant, pour xer les idées et simpli er les nota- tions, que cette base est la base orthonormée d un repère R , l expression explicite de la fonction de charge sera notée : fR (˜ σ )où˜ σ désigne la matrice de σ dans R . (4.2) La fonction de charge est une caractéristique physique intrinsèque de l élément de matière ; il est donc naturel de considérer de façon particulière son expression dans un repère R qui possède une signi cation physique liée à l élément de matière et permette par exemple d en xer l orientation dans l espace : fR(˜ σ)( ˜ σ matricede σdansR). (4.3) Le principe de l isotropie de l espace po s equ ec ette expression 4.3 est indé- pendante de l orientation de l élément de matière dans l espace et est bien intrinsèque au matériau. L expression de fR dans un repère quelconque R se déduit de fR par la relation : fR (˜ σ )=fR(˜ σ)=fR(t ˜ α.˜ σ . ˜ α) (4.4) où˜ α désigne la matrice de changement de repère orthonormé entre R et R. Principe de respect des symétries de la matière Par sa constitution microscopique(9) le matériau possède des symétries qui dé - nissent un groupe d isométries, appelé groupe des symétries matérielles, soit G.La (9)Échelle microscopique du point de vue de la modélisation réputée macroscopique . Les considérations exposées ici ne sont qu une première approche qui nécessiterait d être affinée, en particulier les propriétés de symétrie matérielle sont relatives à une con guration qui doit être mieux précisée.
274 Chapitre VI Étude des contraintes fonction de charge f ,caractéristique physique du matériau, doit rendre compte de ces symétries : c est le principe du respect des symétries delam atièr e. Ainsi, dans le repère physique R précisé ci-dessus, deux sollicitations ˜ σet˜ σ∗ liées l une à l autre par une isométrie de G sont équivalentes pour la fonction de charge : ∀˜ σ,∀˜ α∗ ∈G fR(˜ σ)=fR(t ˜ α∗. ˜ σ.˜ α∗) . (4.5) Matériau isotrope Le matériau isotrope correspond au cas où G est le groupe de toutes les isomé- tries.Ona ainsi: ∀˜ σ,∀˜ α∗ telque t˜ α∗. ˜ α∗=˜ 1l, fR(˜ σ)=fR(t ˜ α∗. ˜ σ.˜ α∗) , (4.6) qui, compte tenu de l équation (4.4), implique pour fR la même propriété dans un repère R quelconque. Ces formules traduisent bien la perception physique du concept d isotropie : le ma- tériau étant isotrope la valeur de la fonction de charge f ne dépend pas de l orientation du tenseur σ dans R,etdonc,par(4.4) dans R quelconque. Du point de vue mathématique on retrouve alors la notion de fonction scalaire (isotrope) du (seul) tenseur σ rappelée au paragraphe 2.7(10). Pour le matériau isotrope, en application du théorème de représentation énoncé au paragraphe 2.7, la fonction de charge f s exprime donc en fonction de σ,defaçons équivalentes : • soit comme une fonction symétrique des contraintes principales, • soit comme une fonction des invariants de σ, • soit, compte tenu des relations (2.27) entre les invariants de σ et ceux de s,comme une fonction de I1 et des invariants J2 et J3 de s. 4.3 Critère de Tresca Ce critère fut introduit par Tresca(11) en 1864 à la suite d expériences sur le plomb. La fonction de charge correspondante s écrit : f(σ)=sup{σi - σj - σ0|i,j =1,2,3} (4.7) dans laquelle les σi désignant les contraintes principales, et où σ0 est une constante caractéristique du matériau qui a les dimensions d une contrainte. On remarque que cette fonction de charge est bien mise sous la forme d une fonc- tion symétrique des contraintes principales. Elle pourrait aussi s exprimer en fonction (10)L écriture classique f(σ) pour la fonction de charge est, dans ce cas, pleinement justi ée du point de vue mathématique. (11)H. Tr esca (1814-1885).
4 Critères de limite d élasticité pour les matériaux isotropes 275 des invariants de σ (ou plus précisément ici, de s seulement), mais cette expression ne saurait êtrepolynomiale(12). En considérant certains des états de contrainte remarquables examinés au para- graphe 3.5 on voit sans difficulté que : • la limite d élasticité en traction simple est égale à σ0, • la limite d élasticité en compression simple est égale à -σ0, • la limite d élasticité en cission simple est égale à σ0/2. L étude de l expression (4.7) met en évidence les propriétés suivantes. a) Supposant σ décomposé selon (2.24) en sa partie sphérique σm 1l et son dévia- teur s,onvoitquelafonction de charge de Tresca prend la même valeur pour tous les états de contrainte σ qui correspondent au même déviateur s. Ainsi f est indépendante de σm (ou de I1)etn edépend que de s,déviateur des contraintes. Cette propriété mathématiquerendcomptedeobserv ations expérimentales effec- tuées sur de nombreux matériaux (métaux, argile saturée, ... )surune large gamme de sollicitations. b) Si l on ordonne les contraintes principales suivant (3.9), f(σ) s écrit : f(σ)=σI - σIII - σ0 (4.8) sur laquelle on voit que la fonction de charge de Tresca est indépendante de la contrainte principale intermédiaire (σII),etnefaitdoncintervenirquelesdeux contraintes principales extrêmes. Figure 18 Critère de Tresca : représentation de Mohr c) L interprétation de (4.8) dans la représentation de Mohr est immédiate ( gure 18) : le comportement du matériau demeure élastique tant que le (grand) cercle de Mohr a son (12) L expression (4J 3 2 -27J2 3 -9σ2 0J2 2 +6σ4 0J2-σ6 0)proposéepar certains auteurs n e s t pa s équi- valente à (4.7).
276 Chapitre VI Étude des contraintes diamètre inférieur à σ0 ,c e st-à-dire demeure compris dans la bande délimitée dans le plan de Mohr par les deux droites d équations |τ | = σ0/2. Physiquement (cf. 3.4) cela signi e que le comportement du matériau demeure élastique tant quelacontraintedecisaillement sur une facette d orientation quelconque ne dépasse pas la valeur σ0/2. Ceci explique le nom de critère de cission maximale donné au critère de Tresca. 4.4 Critère de von Mises Ce critère fut proposé indépendamment par Beltrami (1903), Huber (1904), von Mises (1913) et Hencky (1924). La fonction de charge correspondante rend compte de la même propriété a) énoncée pour le critère de Tresca : f ne dépend que du déviateur des contraintes s.Expriméen termes d invariants ceci implique que f ne dépend que des invariants de s c est-à-dire J2 et J3 dé nis par (2.26),àl exclusion de I1. La fonction de charge de von Mises est une expression très simple satisfaisant cette propriété : f(σ)= J2 - k (4.9) où k est une constante caractéristique du matériau, qui a les dimensions d une contrainte. f peut évidemment s écrire sous la forme d une fonction symétrique des contraintes principales σ1,σ2 ,σ3 : f(σ)= 16 [(σ1 - σ2)2 +(σ2 - σ3)2 +(σ3 - σ1)2]TM1/2 -k. (4.10) En considérant les mêmes états de contrainte qu au paragraphe précédent, on voit que : • la limite d élasticité en traction simple est égale à k√3, • la limite d élasticité en compression simple est égale à -k√3, • la limite d élasticité en cission simple est égale à k . Les résultats d expériences effectuées surle sméta u x ,par exemple en traction- compression et torsion, indiquent que le critère de limite d élasticité initiale pour ces matériaux est plus proche du critère de von Mises que de celui de Tresca : en particulier le rapport des limites d élasticité en traction simple et en cission simple est plus proche de √3 que de 2. La fonction de charge de von Mises est aussi le fondement de la notion de contrainte équivalente (de von Mises) à un état de contrainte quelconque donné. Il s agit de la quantité σeq = 3J2 , (4.11) qui correspond à la contrainte de traction simple qui donne la même valeur à la fonction de charge f(σ) du critère de von Mises que l état de contrainte complexe
5 Dériv ation temporelle du tenseur des contraintes 277 considéré. La contrainte équivalente est très utilisée dans les applications pratiques, notamment pour visualiser les résultats de calculs (ou de mesures) de contraintes et repérerles zones les plus sollicitées dans une pièce ou dans une structure (13). 5D érivation temporelle du tenseur des contraintes 5.1 Dérivée particulaire Le tenseur des contraintes de Cauchy étant naturellement dé ni sur la con guration actuelle κt on se retrouve en ce qui le concerne, en présence d une description eulérienne. Le calcul de sa dérivée particulaire ˙ σ relève donc de l application de la formule (4.14) du chapitre III. Il vient ainsi (en simpli ant les notations par la suppression des arguments x et t): ˙ σ=dσ dt=∂σ ∂t +gradσ .U (5.1) dans laquelle le dernier terme grad σ .U est le terme dec o n v e ction . Il est intéressant d effectuer ce même calcul en passant en description lagrangienne, à partir de la dé nition du tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff : σ(x,t)= 1 J(X,t) F(X,t).π(X,t). tF(X,t) avec x = φ(X ,t) et J(X ,t)=ρ0(X)/ρ(x,t) . (5.2) On en déduit (en sous-entendant à nouveau les arguments) : ˙ σ=- ˙ JJ-2F .π. tF + J-1(˙ F.π.tF+F.π.t˙ F)+J-1F . ˙ π.tF; (5.3) compte tenu des relations démontrées au chapitre III ˙ F .F-1 =gradU et ˙ JJ-1 =divU cette formule s écrit aussi : ˙ σ = -σdivU+gradU.σ+σ.tgradU+J-1F. ˙ π.tF. (5.4) Par identi cation des termes dans les expression (5.1) et (5.4) de ˙ σ,comptetenudelarelation, issue de l identité (4.24) du chapitre III div(σ ⊗ U)=σ div U +gradσ .U , on obtient notamment l expression de la dérivée partielle de σ par rapport au temps qui sera reprise dans les paragraphes suivants : ∂σ ∂t = -div(σ⊗U)+gradU.σ+σ.tgradU+J-1F. ˙ π.tF. (5.5) L examen de l expression (5.4) de ˙ σ montre que, bien que le tenseur des contraintes de Cauchy σ soit objectif (chapitre V, 3.15), sa dérivée particulaire ˙ σ n est pas unegr a nde u r objective en raison du terme (grad U .σ + σ . tgrad U)(cf.chapitre III, 3.11). On y voit aussi que ˙ σ résulte de l addition de deux contributions : d une part trois termes linéaires en grad U ,d a utr epart un terme linéaire en ˙ π.Ile nrésulte en particulier que la nullité de ˙ π n implique pas celle de ˙ σ si σ =0et grad U =0.Onreviendra sur les conséquences pratiques de ce résultat au paragraphe suivant. (13) Compte tenu de l interprétation de J2 rapportée à la facette octaédrale par la formule (2.28), le critère de von Mises est aussi appelé critère de cission octaédrale et on a σeq =3|τoct|/√2.Il s interprète aussi, à partir de résultats établis au chapitre VII ( 5.4), comme un critère de limitation de l énergie élastique de distorsion.
278 Chapitre VI Étude des contraintes 5.2 Dérivée intrinsèque (dérivée de Truesdell) L idée directrice dans la dé nition de cette dérivée du tenseur σ par rapport au temps est de la construire à partir de la dérivée temporelle ˙ π du tenseur des contraintes de Piola- Kirchhoff, par la même correspondance (5.2) qui lie σ et π.Ondé nit ainsi la dérivée intrinsèque ,icidérivéedeTr uesdell du tenseur σ : Dσ Dt T =J-1F. ˙ π.tF (5.6) où l on reconnaît le terme linéaire en ˙ π de (5.4). Elle est évidemment objective .Soncalculen description eulérienne est immédiat à partir de (5.5) : Dσ Dt T =∂σ ∂t+div(σ⊗U)-gradU.σ-σ.tgradU; (5.7) l équation (5.4) fournit la correspondance entre dérivée particulaire et dérivée intrinsèque : Dσ Dt T =˙ σ+σdivU-gradU.σ-σ.tgradU. (5.8) On remarque évidemment que, par construction : Dσ Dt T =0⇔˙ π=0 ⇔ π=Cte. (5.9) Il en résulte que, dans cec a s,lete n seur sur κt ρ0 ρσ=F.π.tF conserve des composantes constantes dans toute base constituée de vecteurs matériels , c est-à-dire dans toute base transportée convectivement(14) . L application de ce résultat au cas particulier où le mouvement en M à l instant t est rigidi- ant met en valeur l intérêt de l introduction de cette dérivée. On a alors : grad U = ω antisymétrique , Dσ Dt T =˙ σ-ω.σ-σ.tω, (5.10) et Dσ Dt T =0signi e que le tenseurdescontraintes σ subit à l instant t la même rotation que l élément de matière en M c est-à-dire que les contraintes principales demeurent constantes tandis que le trièdre des directions principales de σ tourne comme l élément de matière. Àtitre d illustration physique de cette propriété on peut considérer l exemple d une éprou- vette soumise à un effort de traction (cf. chapitre VII, 2.2). Une modi cation de l orientation de cette éprouvette et de son chargement dans la con guration actuelle modi e évidemment l orientation de σ de la même façon, mais correspond à Dσ Dt T =0.Dupointdev u edu comportement du matériau on conçoit aisément que cette modi cation d orientation dans le référentiel de l observateur extérieur n a aucune importance : c est le principe de l isotropie de l espace , déjà évoqué au paragraphe 4.2. En conséquence, l intervention de la dérivée intrinsèque Dσ Dt T dans une loi de comportement apparaît alors naturelle . (14)On véri e en effet, par exemple en décomposant F ,que:∀a , ∀b on a F . (a ⊗ b) .t F =(F .a) ⊗ (F .b). Soit alors {eK}, (K =1, 2, 3) une base dans κ0,ona:π = πIJeI ⊗eJ et ρ0 ρσ=πIJF.(eI⊗ eJ). tF = πIJ(F .eI)⊗(F .eJ),c equidémontre le résultat annoncé. (Cf. aussi la terminologie de transport convectif 2-contravariant évoquée au chapitre V, 4.1).
5 Dériv ation temporelle du tenseur des contraintes 279 5.3 Dérivée corotationnelle (dérivée de Jaumann) L idée qui préside à la construction de cette dérivée du tenseur σ par rapport au temps procède de la remarque précédente à propos de la dérivée intrinsèque, et de la formule (5.10). On se propose, à partir de ˙ σ ,dedé nir et de calculer une dérivée de σ par rapport au temps, dont la nullité caractérise le fait que le tenseur σ suit un mouvement rigidi ant signi catif pour la matière en M ,dé ni même lorsque le mouvement réel en M n est pas lui-même rigidi ant. Comme tel mouvement il est naturel de choisir le mouvement rigidi ant du trièdre des direc- tions principales du tenseur taux de déformation d,m atérialisé dans κt comme expliqué au chapitre III ( 3.5). On rappelle que ce mouvement, dont le taux de rotation est déterminé par le vecteur tourbillon Ω ou par le tenseur antisymétrique Ω,tauxderotation en M ,estaussi le mouvement rigidi ant moyen de la matière M : ceci justi e son caractère signi catif . On dé nit alors la dérivée corotationnelle ou dérivée de Jaumann par la formule : Dσ Dt J =˙ σ-Ω.σ-σ.tΩ. (5.11) Cette dé nition correspond bien à l objectif poursuivi. En effet Dσ Dt J =0⇔˙ σ =Ω.σ+σ.tΩ (5.12) et cette dernière équation implique que σ conserve des composantes constantes dans tout re- père animé du mouvement rigidi ant de vitesse de rotation Ω autour de M (15) .Onremarque évidemment que si le mouvement réel est rigidi ant les dérivées intrinsèque (de Truesdell) et corotationnelle (de Jaumann) sont identiques (formules 5.10 et 5.11) et que, dans le cas général, elles sont liées par : Dσ Dt T = Dσ Dt J -d.σ-σ.d+σ(trd) (5.13) où le gradient du champ de vitesse n intervient que par le taux de déformation d et qui met bien en évidence l objectivité de la dérivée corotationnelle. Lesdérivées intrinsèque et corotationnelle sont l une et l autre utilisées dans l écriture des lois de comportement, ainsi que d autres dérivées objectives du tenseur des contraintes (dérivées d Oldroyd, de Cotter-Rivlin). (15) Par exemple dans le repère orthonormé des directions principales de d on a σ = σij ei ⊗ ej ,dont la dérivation par rapport au temps donne : ˙ σ=˙ σijei⊗ej+σij(˙ ei⊗ej+ei⊗˙ ej)où˙ ek=Ω.ek; d où ˙ σ=˙ σij ei ⊗ ej + Ω .σ+ σ . tΩ.L équation (5.12) implique donc ˙ σij =0(i, j =1, 2, 3).
280 Chapitre VI Étude des contraintes Récapitulatif des formules essentielles Vec t eur-contrainte T (n)=σ .n Ti = σijnj Contrainte normale : σ = n.σ.n= σijninj Contrainte tangentielle : τ =T(n)-σn |τ|=((σ .n)2 -(n .σ.n)2)1 2 Invariants : I1 =trσ=σ1+σ2+σ3 I2 = tr (σ2)/2=((σ1)2 +(σ2)2 +(σ3)2))/2 I3 = tr (σ3)/3=((σ1)3 +(σ2)3 +(σ3)3)/3 Déviateur : σm = I1/3 s =σ-σm1l J1 =0,J2 = tr(s2)/2 ,J 3 = tr(σ3)/3 Critère de Tresca : f(σ)=sup{σi - σj - σ0|i,j =1,2,3}≤0 Critère de von Mises : f(σ)=√J2-k ≤0 f(σ)= 16[(σ1 - σ2)2 +(σ2 - σ3)2 +(σ3 - σ1)2]TM1 2 -k≤0 σeq = √3J2 (contrainte équivalente)
Exercices 281 Exercices VI.1 - Exprimer la densité volumique de puissance virtuelle des efforts intérieurs pour un milieu continu en séparant les contributions déviatorique et sphérique. Éléments de réponse. Déviateur du taux de déformation virtuel : ˆd = ˆd - 1 3 (tr ˆd)1l p(i)( ˆ U)=-s : ˆd -σm(tr ˆd)=-s : ˆd -σmdiv ˆ U. VI.2 - On considère une enveloppe sphérique de rayons intérieur et extérieur ri et re respectivement, soumise à une pression extérieure pe xée et à une pression intérieure variable pi ≥ pe .Iln yapasdeforcedemasse.Cette enveloppe est constituée d un matériau homogène dont la résistance estdé nie par le critère de Tresca. Détermi- ner la forme générale des champs virtuels de vitesse radiale fonctions uniquement de r (coordonnées sphériques), ˆ U=ˆ Ur(r) er ,pou rqu eletaux de dilatation volumique virtuel correspondant soit nul. En déduire que l équilibre de l enveloppe sphérique sous les pressions pe et pi ne peut être réalisé sans violer en aucun point le critère de Tr e s ca, lorsque pi dépasse une certaine valeur. Déterminer pour pi = pe +2σ0 ln(re/ri) un champ de contrainte en équilibre avec ces données et qui ne viole pas le critère de Tr e s ca. Démontrer l unicité de ce champ. Éléments de réponse. •ˆ Ur = α/r2 ,α constante arbitraire. • Le principe des puissances virtuelles appliqué à la sphère montre que tout champ d efforts intérieurs en équilibre avec les efforts extérieurs doit véri er : ∀ˆ U m.v . P(e)(ˆ U)+P(i)(ˆ U)=0. D où, avec ˆ U=(α/r2)er ,pi-pe = - 1 4π 2σrr -σθθ-σφφ r sinθdθdφdr. La condition de résistance de Tresca doit être respectée en tout point par les efforts in- térieurs. La représentation de Mohr permet de voir que cette condition impose que : -2σ0≤2σrr -σθθ-σφφ≤2σ0. Les bornes sont atteintes pour σθθ = σφφ ,σ rr - σθθ = σ0 (borne inférieure) ou σrr - σθθ = -σ0 (borne supérieure), autres σij nulles. Ainsi, si pi >pe +2σ0 ln(re/ri),iln est pas possible d assurer l équilibre de l enveloppe en respectant le critère de Tresca. • Le champ cherché doit admettre er ,eθ ,eφ pour directions principales, véri er σθθ = σφφ et σrr - σθθ = σ0 ou -σ0 en tout point, autres σij nulles, (conséquences de l analyse précédente). Les équations d équilibre montrent que ce champ ne dépend que de r,etse réduisent à : dσrr dr +2σrr - σθθ r =0.
282 Chapitre VI - Études des contraintes La solution satisfaisant lesc onditions aux limites avec pi >pe est unique, correspond à σrr-σθθ= -σ0ets écrit: σrr = -pe+2σ0ln r re ,σ θθ = σφφ = σrr +σ0 ,autresσij =0. Commentaire. Le résultat est à rapprocher de celui donné au chapitre IX ( 6.4) pour la limite d élasticité de l enveloppe sphérique. La valeur trouvée ici est la pression limite applicable à l enveloppe lorsque celle-ci est constituée d un matériau élastique-parfaitement plastique : elle correspond àlaplasti cation totale de l enveloppe. VI.3 - Pour un matériau dont le critère de limite d élasticité est le critère de Tresca déterminer le domaine d élasticité pour une sollicitation dé nie, dans un repère or- thonormé ex ,ey ,ez ,pa r:σ = τ(ex⊗ey+ey⊗ex)+σez⊗ez , τ etσétantdes paramètres.Mêmequestionpour : σ = σex⊗ex+τ(ex⊗ey+ey⊗ex). Éléments de réponse. • Contraintes principales : σ1 = τ, σ2 = -τ, σ3 = σ ; domaine d élasticité dé ni par : sup{|2τ|, |σ - τ|, |σ + τ|} ≤ σ0 (domaine hexagonal dans le plan σ, τ). • Contraintes principales : σ1(resp. σ2)=σ±√σ2+4τ2 2 ,σ 3 =0toujours intermédiaire ; domaine d élasticité dé ni par : σ2+4τ2≤σ2 0 (domaine elliptique dans le plan σ, τ ). Commentaire. Les frontières des deux domaines construits ci-dessus passent évidemment par les points (σ = ±σ0 ,τ =0)et(σ =0, |τ | = σ0/2)quicorrespondent aux limites d élasticité en traction et compression simples et en cission simple. Les états de contrainte complexes envisagés sont réalisés expérimentalement de façon plus ou moins pure dans des éprouvettes soumises à certains essais pour la détermination et l étude du comportement des matériaux en mécanique des solides. VI.4 - Mêmes questions que dans Ex.VI.3 pour un matériau dont le critère de limite d élasticité est le critère de von Mises. Éléments de réponse. Àpartirdeséléments donnés pour Ex.VI.3 on trouve dans les deux cas que le domaine d élas- ticité est dé ni par : σ2+3τ2≤3k2 . Commentaire. La frontière passe par les points (σ = ±k√3,τ =0)et (σ =0, |τ | = k) correspondant aux limites d élasticité en traction et compression simples etencission simple. On remarque que, si l on se réfère à la limite d élasticité en traction simple prise comme donnée expérimentale, le domaine d élasticité dé ni pour le deuxième état de contrainte à partir du critère de von Mises est plus grand que celui dé ni à partir du critère de Tresca. VI.5 - σi(i =1 , 2, 3) désignant les contraintes principales de σ quelconque, on convient de représenter cet état de contrainte par le point Σ dont les coordonnées sont (σ1 ,σ2,σ3) dans un repère orthonormé xe. Déterminer le domaine d élasticité délimité dans cet espace par le critère de Tresca.
Exercices 283 Éléments de réponse. Prisme parallèle à l axe (√3/3, √3/3, √3/3)etdont la section est un hexagone régulier. VI.6 - L état de contrainte σ quelconque étant représenté par le point Σ dé- ni en Ex.VI.5, on appelle plan déviateur passant par Σ le plan normal à l axe (√3/3, √3/3, √3/3)etondésigne par P le point d intersection de ce plan avec l axe ci-dessus. Interpréter OP et PΣ,etendéduire la forme du domaine délimité dans cet espace par le critère de von Mises. Éléments de réponse. •OP=σm√3; en désignant par S le point représentatif de s déviateur de σ : PΣ = OS et PΣ = √2J2 . • cylindre circulaire d axe (√3/3, √3/3, √3/3)etderayonk√2. Commentaire. Le plan déviatorique passant par O est aussi appelé plan π VI.7 - Déterminer, dans la représentation de Mohr, le lieu des extrémités des vecteurs- contraintes sur les facettesdontlecosinus directeur nI a une valeur donnée α. Éléments de réponse. On s appuie sur la formule (3.6) qui se transforme en τ2+(σ- σII+σIII 2 )2=(σ-σII-σIII 2 )2 + α2(σI - σII)(σI - σIII), équation d un cercle, de même centre que le cercle de Mohr relatif à nI =0,etdontilconvient de ne retenir que les arcs délimités par les autres cercles de Mohr. Commentaire. Il n est pas possible de rendre compatibles l orientation continue de t lorsque l on décrit com- plètement le grand cercle de Mohr et une orientation continue de t lorsque n tourne autour de l axe I en respectant nI = α ;c onserver la première continuité conduit à introduire une discontinuité dans le deuxième cas : deux points correspondent à (nI = α, nIII =0)permet- tant de sauter d un arc sur l autre. Les arcs de cercles se construisent aisément car ils sont limités sur les deux cercles de Mohr par les rayons-vecteurs correspondant à nI = α, nII ou nIII =0,nIII ou nII = ±(1 - α2)1/2 . Le résultat appliqué aussi à nII xé ou à nIII xé permet de construire le vecteur-contrainte correspondant à un vecteur n quelconque sur le diagramme de Mohr (on a représenté, comme exemple, le cas de la facette octaédrale).
284 Chapitre VI - Études des contraintes VI.8 - Équations de Hencky. Oxyz est un repère orthonormé. On considère un champ dec o ntr ainte σ continu et continûment différentiable, indépendant de z,et pour lequel ez est direction principale en tout point. σ1 et σ2 sont les contraintes principales dans le plan Oxy.Aupointcourant, e1 et e2 sont les vecteurs unitaires des directions principales du plan Oxy tels que e1,e2 ,e3 soit un trièdre direct, et l on introduit les vecteurs eα =(e1 - e2)/√2 et eβ =(e1 + e2)/√2 ;le slignes (α) et (β) sont, dans le plan Oxy,le slignes enveloppes de eα et eβ .Onpo s e:p = -(σ1 + σ2)/2,R =(σ1 - σ2)/2,ω =(ex ,e1). Déterminer les composantes de σ dans la base eα ,eβ ,ez .Expliciter les équations différentielles de la dynamique dans le système de coordonnées curvilignes dé nies par les lignes (α) et (β) en substituant aux composantes de σ les inconnues p, R et ω.Étudier en particulier l équilibre d un matériau homogène, incompressible (ρ constant), dans un champ de force de masse dérivant d un potentiel ρV ,ensupposant que le champ σ atteint en tout point la limite d élasticité du matériau dé nie par le critère de Tresca et que σz est contrainte principale intermédiaire. Éléments de réponse. • par les formules (3.17) : σ = -p(eα⊗eα+eβ⊗eβ)+R(eα⊗eβ+eβ⊗eα)+σ3ez⊗ez . • On calcule grad σ àpa rtirdeDw σ =gr adσ .w appliquée pour w = eα ,eβ et ez avec Dez σ =0. On remarqueque :gradeα =eβ⊗gradω et gradeβ= -eα⊗gradω. D où : gradσ = -(eα⊗eα+eβ⊗eβ)⊗gradp+(eα⊗eβ+eβ⊗eα)⊗gradR +2R(-eα⊗eα+eβ⊗eβ)⊗gradω. • Équations de la dynamique : -gradp+eαDeβR+eβDeαR- 2ReαDeαω +2ReβDeβω +ρ(F - a)=0. • R = σ0/2 constant ,a =0,F = - grad V ,ρconstant. Équationsd équilibre : -grad(p+ρV)- σ0 eαDeαω+σ0 eβDeβω =0; avec les notations courantes ∂ ∂sα(p+ρV+σ0ω)=0, ∂ ∂sβ (p + ρV-σ0 ω)=0. ou encore p + ρV + σ0 ω = cte lelongdelaligne(α) ,p+ ρV-σ0 ω = cte lelongdelaligne(β) .
Exercices 285 Commentaire. Les équations de la dynamique peuvent être obtenues de façon artisanale en considérant, dans le plan Oxy,unpetitélément limité par des arcs de lignes (α) et (β) in niment voisines. Lesdernières équationsé tablies interviennent dans la théorie des équilibres limites plans pour les matériaux régis par les critères de Tresca ou de von Mises. Ce sont les équations de Hencky ; elles impliquent notamment des propriétés angulaires pour le réseau des lignes (α) et (β). Elles permettent la détermination du champ de contrainte, par intégration, à partir des conditions au contour (problème hyperbolique, méthode des caractéristiques). La même méthode s applique dans le cas de matériau non homogène si la variation de σ0 en fonction de x et y estconnue;e n n la méthode peut aussi être utilisée pour le dépouillement d essais en photoélasticité dans lesquels R =(σ1 - σ2)/2 est déterminé expérimentalement. VI.9 - Critère de Coulomb. Le critère de résistance de certains matériaux est dé ni par la condition suivante : au point courant les contraintes normale et tangentielle sur une facette quelconque doiventrespecter la limitation |τ|≤-σ tan φ + C où C ≥ 0 et 0 ≤ φ<π/2 sont des constantes caractéristiques du matériau. Interpréter cette condition en utilisant la représentation de Mohr pour les contraintes, et donner son expression en fonction des contraintes principales σi (i =1, 2, 3).Danslecasoù l état de contrainte atteint la limite de résistance, déterminer les facettes sur lesquelles la condition |τ| = -σ tan φ + C est véri ée. Éléments de réponse • Le (grand) cercle de Mohr doit être intérieur ou tangent au domaine délimité par les deux demi-droites |τ|= -σtanφ+C. • sup i=1,2,3 j=1,2,3{σi(1 + sin φ) - σj(1 - sin φ) - 2C cos φ}≤0 ou σI(1+sinφ)-σIII(1+sinφ)-2Ccosφ≤0. • Fa c e ttes parallèles à la direction principale II et inclinées à ±(π/4+φ/2) sur la direction I. Le vecteur-contrainte sur une telle facette est alors parallèle à l autre (cf. Ex.VI.10). Commentaire. Le critère de résistance considéré ici est appelé critère de Coulomb ; C et φ sont respectivement la cohésion et l angle de frottement du matériau. Pour φ =0on retrouve le critère de Tresca. Le critère de Coulomb est indépendant de la contrainte principale intermédiaire σII mais il est sensible à la contrainte moyenne σm . VI.10 - Soient eα ,eβ ,e3 trois vecteurs normés tels que e3 soit normal à eα et eβ et que (eα ,eβ)=π/2+φ,(0 ≤|φ| <π/2).Déterminer le tenseur des contraintes de
286 Chapitre VI - Études des contraintes Cauchy σ dé ni par les conditions suivantes : sur une facette de normale eα/|eα| : T = Sαeα sur une facette de normale eβ/|eβ| : T = Sβeβ sur une facette de normale e3 : T=S3e3. Déterminer les directions principales de σ et les contraintes principales correspon- dantes dans le cas où Sα = Sβ = -p cos φ,etétudier la représentation de Mohr de σ (on examinera en particulier les points représentatifs des facettes de normales unitaires eα/|eα| et eβ/|eβ| dans l hypothèse p>0). Éléments de réponse • σ=σijei⊗ej,σij=σji,(i,j=α,β,3). Les conditions données imposent les relations : cos φ(σαα eα + σβαeβ + σ3α e3)=Sαeα cos φ(σαβ eα + σββeβ + σ3β e3)=Sβeβ σα3eα + σβ3eβ + σ33e3 = S3e3 d où: σ =(Sα/cosφ)eα⊗eα+(Sβ/cosφ)eβ⊗eβ+S3e3⊗e3. • La représentation mixte de σ s obtient aisément à partir de : eα =eα-eβsinφ,eβ=eβ-eαsinφ,e3=e3. σ=Sα cosφeα⊗eα -Sαtanφeα⊗eβ-Sβtanφeβ⊗eα+ Sβ cosφeβ⊗eβ+S3e3⊗e3. Les directions principales de σ sont les directions propres de l application linéaire as- sociée à lar eprés e ntatio nmixte .Av e cSα = Sβ = -p cos φ on trouve pour directions principales : e1 =(eα + eβ)/2cos(π/4+φ/2) ,σ1 = -p(1 - sin φ) e2 =(eβ + eα)/2sin(π/4+φ/2) ,σ2 = -p(1 + sin φ) e3 ,σ 3=S3. • Cercle de Mohr pour les facettes parallèles à e3 :abscisse du centre = -p,rayon= p sin φ . Commentaire. Ce type d état de contrainte avec Sα = Sβ = -p cos φ<0 et -p(1 + sin φ) <S3 < -p(1 - sin φ) se rencontre en mécanique des sols, dans l étude des équilibres limites des sols pulvérulents en déformation plane . Les facettes conjuguées de normales unitaires eα/|eα| et eβ/|eβ| sont alors les facettes sur lesquelles le vecteur-contrainte est à l obliquité maximale sur la normale, égale à φ (condition de résistance de Coulomb pour le sol). VI.11 - Équations de Kötter. Oxyz est un repère orthonormé. On considère un champ decontrainte σ continu et continûment différentiable, indépendant de z ,etpour lequel ez est direction principale en tout point. σ1 et σ2 sont les contraintes principales dans le plan Oxy et e1 et e2 sont les vecteurs unitaires desdirections correspondantes au point courant ; en ce point on dé nit les vecteurs unitaires eα et eβ dans Oxy tels que e1 soit bissectrice intérieure de l angle (eα ,eβ)=π/2+φ (φ constant) et l on
Exercices 287 désignepa r(α) et (β) les lignes enveloppes de eα et eβ .ω est l angle (ex ,e1).On suppose que le champ σ est tel que, en tout point, on ait : sur une facette de normale eα/|eα| : T = -peα cos φ sur une facette de normale eβ/|eβ| : T = -peβ cos φ. Expliciter les équations différentielles de la dynamique dans le système de coordonnées curvilignes dé nies par les lignes (α) et (β). (β) pcosφ pcosφ (α) eα eβ Éléments de réponse • D après Ex.VI.10, σ s écrit en tout point : σ = -p(eα⊗eα+eβ⊗eβ)+σ3ez⊗ez; Le calcul de grad σ s appuie sur : gradeα = 1 cosφ(eβ+eα sinφ)⊗gradω,grad eβ = 1 cosφ(eα+eβsinφ)⊗gradω d où, puisque σ est indépendant de z : gradσ = -(eα⊗eα+eβ⊗eβ)⊗gradp-2ptanφ(eα⊗eα -eβ⊗eβ)⊗gradω. • Équations de la dynamique -eαDeαp - eβDeβp - 2ptanφ(eαDαω - eβDeβω)+ρ(F - a)=0 soit, avec les notations courantes où ∂ ∂sαet∂ ∂sβ désignent les dérivées le long des lignes (α) et (β)par rapportàl abscisse curviligne : ∂p ∂sα +2ptan φ ∂ω ∂sα -ρ(Fα - aα)=0, ∂p ∂sβ-2ptanφ∂ω ∂sβ -ρ(Fβ - aβ)=0. Commentaire. On notera que ces équations, dans lesquelles les positions des indices pourraient surprendre, sont relatives aux lignes (α) et (β) particulières introduites, qui correspondent en chaque point à la base dans laquelle la matrice des composantes 2-contravariantes de σ est diagonale is otr opee nα, β . Connues sous le nom d équations de Kötter, elles interviennent dans la théorie des équilibres limites plans des matériaux régis par le critère de résistance de Cou- lomb (avec l hypothèse σ2 ≤ σ3 ≤ σ1) :s ols, matériaux grenus,... Elles permettent, comme celle établies dans Ex.VI.8, de déterminer le champ de contrainte par intégration à partir des conditions au contour (problème hyperbolique, méthode des caractéristiques). Elles peuvent être établies de façon artisanale en considérant un petit élément plan limité par des arcs de lignes (α) et (β) in niment voisines.
288 Chapitre VI - Études des contraintes Lesproblèmes pratiques abordés dans le cadre de la théorie des équilibres limites plans (avec les équations de Hencky ou de Kötter, ou par d autres méthodes) concernent notamment le formage des métaux (extrusion, poinçonnement,...), la mécanique des sols (capacité portante de fondations, stabilités d ouvrages,...). VI.12 - Champd a u t o c o n t r ain t e .Pour un système S donné on considère les champs de contrainte σ en équilibre (a(x)=0sur Ω) avec des forces de masse nulles sur Ω et des forces surfaciques nulles sur ∂Ω.Mo ntr e rqu epo u ru ntelchamp de contrainte on a : Ω σ(x)dΩ =0. Montrer que, saufpo u rlecha mpσ =0,ile xisteto ujo u r spour un tel champ de contrainte, en certains points du système, des facettes soumises à des contraintes normales de traction (resp. compression). Éléments de réponse • On applique le principe des puissances virtuelles avec le champ ˆ v dé ni par : ˆ v(x)=α .x où α est un tenseur symétrique arbitraire. Il vient : ∀α symétrique, α : Ω σ(x)dΩ =0; d où, puisque σ est symétrique Ω σ(x)dΩ =0. • Avec le champ ˆ v dé ni par : α = 1l,soitˆ v(x)=x, on obtient par le principe des puissances virtuelles : Ω tr σ(x)dΩ =0. D où, si σ =0:tr σ(x)=σ1(x)+σ2(x)+σ3(x) (contraintes principales) ne conserve pas un signe constant sur Ω ;enparticulier une des contraintes principales au moins doit être strictement positive en certains points de Ω ce qui permet de démontrer le résultat annoncé du point de vue de la traction (et raisonnement homologue pour la compression). Commentaire. Les champs étudiés sont des champs d autocontrainte .Lerésultatdémontré indique que tout tel champ d autocontrainte, à part le champ nul, induit nécessairement des tractions dans le système (en particulier les champs d autocontrainte engendrés par une incompatibilité de déformations thermiques (cf. chapitre II, 6.4)). Il prouve aussi que pour un système constitué en chacun de ses points d un matériau sans résistance à la traction le seul champ d autocontrainte possible est le champ nul (de même pour un matériau sans résistance à la compression). VI.13 - Limite de résistance d un anneau en rotation. On considère dans sa con guration actuelle κt ,unsolide qui a la forme d un anneau cylindrique d axe Oz, de rayons intérieur a et extérieur b,d épaisseur h selon Oz.Cetanneau est animé, dans le référentiel galiléen de l observateur, d une vitesse de rotation uniforme autour de son axe Oz, ω = ωez .Lesbordsintérieur (r = a) et extérieur (r = b) de l anneau sont libres de tout effort extérieur de même que les surfaces inférieure (z =0)et supérieure (z = h).Onc o n vie ntdenégliger les forces de pesanteur. Le matériau constitutif de l anneau est supposé homogène dans la con guration κt.Ondésigne par ρ sa masse volumique et on suppose que sa résistance est dé nie par la condition de Tresca. max{|σ1 - σ2|,|σ2 - σ3|,|σ3 - σ1|}≤σ0
Exercices 289 où σ1 ,σ2 et σ3 désignent les contraintes principales et σ0 est la caractéristique de résistance du matériau. On considère le champ de vitesse virtuel ˆ Udé nipar: ˆ U(r, θ, z)= ˆ α rer,ˆ α>0, constant. En appliquant le principe des puissances virtuelles à un champ de contrainte quelconque satisfaisant les équations de la dynamique pour le problème et au champ de vitesse virtuel ˆ U ci-dessus, montrer que pour que la condition de résistance du matériau soit respectée en tout point du disque, la vitesse ω doit demeurer inférieure à une valeur maximale ωd que l on déterminera. On se propose de déterminerlechampde contrainte σ qui satisfait les équations de la dynamique dans l anneau, en faisant les hypothèses suivantes : σ est continu et continûment différentiable, les composantes de σ(r, θ, z) en coordonnées cylindriques sont indépendantes de θ et de z, σθθ(r) ≡ σ0 dans tout l anneau. Montrer qu un tel champ existe pour une valeur particulière ωc de vitesse de la rotation ω que l on déterminera et expliciter complètement ce champ σc .Véri er que le champ σc respecte la condition de résistance de Tresca en tout point de l anneau. Déduire de ce qui précède que, si ω<ω c,o npe utc o n str uir ed une façon simple à partir de σc un champ de contrainte σ satisfaisant les équations de la dynamique et respectant la condition de résistance de Tresca en tout point de l anneau et expliciter ce champ. Comparer les résultats obtenus pour ωd et ωc . Éléments de réponse • Toutes les forces extérieures sont données nulles. Le champ d accélération est a(r, θ, z)=-ω2 rer . On a, pour le champ ˆ U considéré : ˆd(r, θ, z)= ˆ α r2 (eθ ⊗ eθ - er ⊗ er);on remarque que tr ˆd =divˆ U =0. Pour les champs indiqués le principe des puissances virtuelles s écrit P(i)( ˆ U)=A(ˆ U) avec : A(ˆ U)=- Ω ˆ αρω2rdrdθdz = -2πhˆ αρω2b2-a2 2 P(i)(ˆ U)=- Ω ˆ α r2 σθθ(r, θ, z) - σrr(r, θ, z) r dr dθ, dz, d où:ρω2= 2 2 πh(b2 - a2) Ω σθθ(r, θ, z) - σrr(r, θ, z) dr r dθdz. La condition de résistance de Tresca implique, en tout point du disque, la majoration : σθθ(r, θ, z) - σrr(r, θ, z) ≤ σ0 . D où, tous calculs faits, la condition sur ω : ω2≤ 2σ0/ρ b2-a2lnb a =(ωd)2 . Enposantλ=b/a on a(ωd)2 = 2σ0 ρa2 lnλ λ2-1,λ > 1. La méthode des équa- tions aux dimensions montre que le second membre ci-dessus a pour dimensions : (ML-1 T -2)/(ML-3) × L2 = T -2 qui est bien la dimension de (ωd)2 .Lac r oissance de la borne supérieure (ωd) proportionnellement à √σ0 lorsque les paramètres géomé- triques a et λ sont xés est conforme à l intuition. Il en va de même de la décroissance
290 Chapitre VI - Études des contraintes de ωd en fonction du rayon intérieur a lorsque λ = b/a est constant, et en fonction de λ (c est-à-dire de b)lorsquea est constant. • Les équations de la dynamique s écrivent ∂σrr ∂r +1 r ∂σrθ ∂θ + ∂σrz ∂z +σrr-σθθ r +ρω2r=0 ∂σθr ∂r +1 r ∂σθθ ∂θ + ∂σθz ∂z +2 σrθ r=0 ∂σzr ∂r +1 r ∂σzθ ∂θ + ∂σzz ∂z +σzr r=0 avec les conditions aux limites σrr =0,σ rθ =0,σ rz =0 r=a, 0≤z≤h, σrr =0,σ rθ =0,σ rz =0 r=b, 0≤z≤h, σzr =0,σ zθ =0,σ zz =0 a≤r≤b, z=0, σzr =0,σ zθ =0,σ zz =0 a≤r≤b, z=h. Les conditions aux limites sur les surfaces intérieure et extérieure (r = a et r = b), qui portent sur les composantes σrr ,σrθ ,σrz ,sontindépendantes de z et de θ.Lesconditions aux limites sur les surfaces inférieure et supérieure (z =0et z = h), qui portent sur les composantes σzr ,σzθ,σzz ,sontindépendantes de θ et identiques pour la même valeur de r (a<r<b).L ensemble des conditions aux limites est donc compatible avec l hypothèse faite d indépendance des composantes de σ en coordonnées cylindriques vis-à-vis de θ et z. Il en résulte que σzr(r)=0,σ zθ(r)=0,σ zz(r)=0, (a ≤ r ≤ b):Oz est direction principale de σ en tout point de l anneau et correspondàune contrainte principale nulle. σ(r, θ, z) se réduit à σ(r, θ)=σrr(r) er ⊗ er + σrθ(r)(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er)+σθθ(r) eθ ⊗ eθ , auquel les conditionsa u xlimites imposent σrr(a)=0,σ rθ(a)=0,σ rr(b)=0,σ rθ(b)=0. La troisième équation de champ est automatiquement satisfaite. La seconde se réduit à dσθr dr +2σrθ r =0dont l intégration, compte tenu des conditions aux limites ci-dessus sur σrθ ,donne : σrθ(r)=0 (a≤r ≤b). La première équation de champ se réduit à dσrr dr + σrr(r) - σθθ r + ρω2r =0. En tenant compte de la dernière hypothèse sur le champ σ cherché, σθθ(r)=σ0 (a ≤ r ≤ b), on obtient σrr sous la formegénérale : σrr=A r -ρω2 3 r2 + σ0 , (A constante à déterminer) qui doit satisfaire les conditions aux limites pour r = a et r = b : σrr(a)= A a-ρω2 3 a2+σ0 =0,σ rr(b)= A b -ρω2 3 b2+σ0=0. On en déduit la valeur particulière ωc de ω pour laquelle ces équations sont compatibles et la valeur de la constante A.D oùl expression de σrr : σrr(r) σ0 =1-1 r ab(a + b) a2+ab+b2 pour(ωc)2 =3σ0 ρ 1 a2+ab+b2 , et le champ de contrainte s écrit : σc(r, θ)=σ0 er ⊗ er 1 - 1 r ab(a + b) a2+ab+b2 - r2 a2+ab+b2 +σ0eθ⊗eθ . • Puisque σθθ = σ0 et σzz =0,ler e spect de la condition de résistance de Tresca impose de véri erque0≤σrr(r)≤σ0,a≤r≤b.
Exercices 291 On constate que σrr ,n ullepourr=aetr=b,e stm a ximale pour r3 = ab(a + b)/2 et vaut σrr σ0 =1- 3 ab(a + b)/2 2/3/(b2 + ab + a2) qui satisfait bien la condition de résistance. • Le champ de contrainte σc qui satisfait les équations de la dynamique avec ωc respecte la condition de résistance de Tresca en tout point de l anneau. Cette condition est d ailleurs partout saturée c est-à-dire que l on a σθθ(r) - σzz = σ0 en tout point de l anneau. Pour ω<ω c il suffit alors de considérer le champ de contrainte déduit de σc pa r homothétie : σ = σc ω ωc 2 . On véri e que ce champ satisfait les équations de la dynamique avec ω.Ilr e specte la condition de résistance de Tresca en tout point de l anneau sous la forme σθθ(r) - σzz = σ0 ω ωc 2 <σ0 , puisque ω<ωc . • On a déterminé ωd qui dé nit une condition nécessaire ω2 ≤ (ωd)2 pour l existence d un champ de contrainte σ satisfaisant les équations de la dynamique et respectant la condition de résistance de Tresca. On vient de démontrer que la valeur ωc dé nit une condition suffisante ω2 ≤ (ωc)2 pour l existence d un tel champ. Ces résultats sont cohérents. On a, avec le paramétrage indiqué (ωc)2 = 3σ0 ρa2 1 λ2+λ+1≤2σ0 ρa2 lnλ λ2 - 1 =(ωd)2 Cette formule fournit un encadrement de la vitesse de rotation maximale permise pour l anneau par le respect de la condition de résistance de Tresca en tout point. Commentaire La borne supérieure pourrait être améliorée en considérant des champs de vitesse ˆ U plus raf- nés du point de vue de la dépendance vis-à-vis des coordonnées r et z,quidoivent toujours être choisis à divergence nulle. De même on améliorera la borne inférieure en construisant des champs de contrainte plus élaborés. Le choix optimal de ces champs, qui permettrait de dé- terminer exactement la valeur limite cherchée, dépend notamment du paramètre géométrique h/a caractérisant l épaisseur de l anneau. Ainsi pour h/√ab → 0,(a nneau d épaisseur très faible), la valeur limite de ω tend vers ωc comme on peut le démontrer en reprenant le raisonnement initial avec le champ de vitesse virtuel ˆ U(r, θ, z)= ˆ α(er-z-h/2 r ez),ˆ α>0 constant. On aboutit alors en effet à la condition nécessaire : ω2 <ω2 c 1+ h2 48ab . On doit ajouter que la signi cation mécanique complète de la vitesse de rotation limite ainsi déterminée nécessite, pour être précisée, que l on connaisse complètement le comportement du matériau (ductilité, ... ).
Annexe I Éléments de calcul tensoriel MOTS CLÉS Fo rmemultilinéaire. Tenseur. Variance. Produit tensoriel. Décomposition. Contraction. Produit contracté. Invariants. Tenseurs euclidiens. Champ de tenseurs. Gradient. Divergence. Coordonnées curvilignes. 293
295 En bref Étant donné un espace vectoriel E et son espace dual E∗ ,lan otio nde tenseur est liée à l étude des formes multilinéaires sur un espace F produit de E et de E∗ de degré n quelconque (section 1). Une méthode évidente pour produire de telles formes consiste à consi- dérer les formes dont la valeur est donnée par le produit des valeurs prises par n formes linéaires sur E ou sur E∗ .Un efo r m en-linéaire sur F ainsi obtenue est appelée tenseur décomposé d ordre n,etonlanoteparlesym- bole ⊗ entre chacune des formes sur E ou sur E∗ ,quisontelles-mêmes des éléments de E∗ ou de E respectivement, qui la constituent (section 2). Ce mode de construction ne suffit pasp o u re n g e ndrer tout l espace des formes n-linéaires sur F .Pa rc o ntr eilpermet, par exemple à partir d une base de E et de la base duale dans E∗ ,dep r oduire une base de l espace vectoriel des formes n-linéaires sur F .Touteslesformes cherchées, appelées tenseurs (d ordre n)s u rF ,s o nte nge ndrées à partir d une telle base (section 3). L espace vectoriel correspondant est identi é à un produit tensorield ordre n de E et de E∗ . On dé nit sur les tenseurs deux opérations fondamentales. D une part le produit tensoriel,n oté⊗,quipe r m et,àpartir de deux tenseurs d ordres p et q dé nis sur des espaces Fp et Fq ,dec o n stitu e ru n tenseur d ordre (p + q) sur l espace F produit de Fp par Fq (ou inversement) en généralisant la procédure de construction des tenseurs décomposés à partir des éléments de E∗ et de E (section 2). D autre part la contraction qui permet, sous certaines conditions, à partir d un tenseur d ordre n sur F ,d obtenir des tenseurs d ordre (n - 2), (n - 4), ... sur des espaces Fn-2,... (section 3). Ces opérations peuvent être combinées : on obtient le produit contracté de deux tenseurs, dont la mécanique fait grand usage (section 4). On sait que pour un espace E muni d une structure euclidienne, on met en évidence un isomorphisme dit canonique qui permet d identi er E et son dual E∗ en substituant au produit de dualité le produit scalaire dans E.Cetis o m orphisme permet aussi de montrer que les espaces pro-
296 Annexe I Éléments de calcul tensoriel duits de E et de E∗ de degré n quelconque sont isomorphes entre eux. Il en résulte l isomorphisme des espaces de tenseurs sur ces espaces. De la même façon que l on identi e une forme linéaire sur E,élém e ntdeE∗ ,à son vecteur associé, élément de E,par l isomorphisme canonique, intro- duisant ainsi la notion de vecteur euclidien, on identi era les 2n tenseurs d ordre n quis ec orrespondent par l isomorphisme à celui d entre eux qui est élément du produit tensoriel d ordre n de E par lui-même : c est le tenseur euclidien correspondant. Les deux opérations fondamentales in- troduites auparavant sont transportées de façon cohérente sur les tenseurs euclidiens. La contraction est alors toujours possible ; les règles opératoires en sont simpli ées et s expriment toutes au moyen du produit scalaire dans E (section 5). Une application importante du calcul tensoriel apparaît dans la pos- sibilité de généraliser à des ordres supérieurs les notions de gradient et de divergence. Pour un champ de tenseurs d ordre n,dé ni sur un espace affine dont E est l espace vectoriel associé, le gradient en un point est le tenseur d ordre (n+1) dont le produit contracté parunvecteur élémentaire de E (élément différentiel) donne la variation différentielle correspondante du champ de tenseurs en ce point. La divergence est obtenue par contrac- tion du tenseur gradient : c est un tenseur d ordre (n - 1).Laformule de la divergence transformant une intégrale de surface de type ux en intégrale de volume est étendue aux tenseurs d ordre quelconque (section 6).
297 Principales notations Notation Signi cation 1ère formule <,> produit de dualité (1.2) ⊗ produit tensoriel (2.1) δji symbole de Kronecker (2.6) T≡Tijkei ⊗ e∗j ⊗ ek tenseur (3.3) det déterminant (3.16) tr trace (3.17) t symbole de la transposition (3.18) produit contracté sur le (4.3) dernier indice du tenseur qui précède et le premier indice du tenseur qui le suit : produit doublement contracté (4.14) sur les deux indices adjacents à : , et sur les deux indices adjacents à ceux-ci G tenseur métrique (5.1) . produit scalaire (5.2) . produit contracté pour (5.32) les tenseurs euclidiens : même règle d indices que pour : produit doublement contracté (5.36) pour les tenseurs euclidiens : même règle d indices que pour : T tenseur euclidien 5.8 ˜ T matrice de T dans une base 5.9 orthonormée Dw dérivée selon le vecteur w (6.3) gradient (6.4) div divergence (6.8)
298 Annexe I Éléments de calcul tensoriel 1T enseurss ur un espace vectoriel ..............299 1.1D é nition .......................... 299 1.2 Tenseurs du 1er ordre. . ................. 300 1.3 Tenseurs du 2ème ordre. ................. 300 2P roduittensoriel de tenseurs ................301 2.1D é nition .......................... 301 2.2E xemples. . ........................ 301 2.3T enseursdécomposés .................... 302 3D écomposition d un tenseur .................303 3.1D é nition .......................... 303 3.2C hangementdebase .................... 304 3.3 Tenseursmixtesdu2ème ordre. ............. 305 3.4 Tenseurs du 2ème ordre 2 fois contravariants ou 2 fois covariants .......................... 307 3.5C omposantes d un produittensoriel ........... 307 4C ontraction ...........................308 4.1D é nition de la contractiond untenseur ......... 308 4.2M ultiplicationcontractée ................. 309 4.3 Produit doublement contracté de deux tenseurs . . . . . 311 4.4C ontraction totale d un produittensoriel ........ 312 4.5D é nition d un tenseurpar dualité ............ 312 4.6 Invariants d un tenseur mixte du 2ème ordre. ...... 313 5T enseurss ur un espace vectorieleuclidien ........313 5.1D é nition d un espace euclidien. ............. 313 5.2 Tenseur des dilatations dans une application linéaire . . 314 5.3 Isomorphisme entre E et E∗ ............... 314 5.4 Repérage covariant d un vecteur de E . ......... 316 5.5 Tenseurs euclidiens du 1er ordre ; produit contracté . . . 317 5.6 Tenseurs euclidiens du 2ème ordre décomposés ; produits contractés .......................... 318 5.7 Tenseurs euclidiens du 2ème ordre ............. 320 5.8 Tenseurseuclidiens d ordre n ............... 325 5.9 Choix d une base orthonormée dans E . ......... 325 5.10 Directions principales et valeurs principales d un tenseur euclidien du 2ème ordresymétrique, réel ......... 326 6C hampsdetenseurs......................327 6.1D é nition .......................... 327 6.2 Dérivation d un champ de tenseurs ; gradient d un champ de tenseurs . ........................ 328 6.3D ivergenced unchamp de tenseurs ............ 329 6.4 Calculs en coordonnées curvilignes . . . . . . ...... 330 Récapitulatifdes formules essentielles .............335
1 Tenseurssurun espace vectoriel 299 Éléments de calcul tensoriel L objectif poursuivi dans ce texte est, sans souci de formalisme mathématique dis- ponible dans d autres ouvrages, de donner au lecteur les connaissances élémentaires suffisantes pour l utilisation du calcul tensoriel dans la présentation proposée de la mécanique des milieux continus tridimensionnels. Cette introduction au calcul tenso- riel est articulée en trois parties. La première est consacrée à la dé nition des tenseurs sur un espace vectoriel et à la présentation de leurs propriétés et des opérations es- sentielles du calcul tensoriel ; elle occupe les sections 1 à 4. La deuxième partie traite des tenseurs euclidiens : c est la section 5. La troisième aborde la question des champs de tenseurs et de la dérivation de ces champs. Du point de vue des applications immédiates dans l ouvrage, ce sont les deuxième et troisième parties (en ce qui y concerne leste n s e u r se u clidiens) auxquelles il sera fait essentiellement appel : c est d ailleurs pour cette raison que le récapitulatif des formules essentielles disponible à la n de cette annexe ne concerne que les résultats relatifs aux tenseurse u clidiens. Il a pourtant semblé préférable d adopter une pré- sentation initiale indépendante de la structure euclidienne de l espace dans le but de mieux dégager l intervention de la dualité. 1T e n s e u r s s ur un espace vectoriel 1.1 Dé nition E désignant un espace vectoriel de dimension nie n (sur R ou C)etE∗ le dual de E,onappelle tenseur p fois contravariant et q fois covariant toute forme multilinéaire T dé nie sur (E∗)p × (E)q . En notant u∗(i) p vecteurs quelconques de E∗ i =1,...,p v(j) q vecteurs quelconques de Ej =1,...,q une telle forme associe aux vecteurs arguments u∗(i) et v(j) pris dans cet ordre, le scalaire : T (u∗(1) ,...,u∗(p) ,v(1) ,...,v(q)) . (1.1)La somme (p + q) est appelée ordre du tenseur .Le sn o mbr e spetqsontles variances .L ordre dans lequel les vecteurs arguments apparaissent dans T doit être spéci é dans la dé nition de la forme : ici on a choisi, pour simpli er, d ordonner les arguments en prenant d abord les vecteurs de E∗ puis ceux de E. Il est clair que l ensemble des tenseurs de variances p et q déterminées, et cor- respondant au même ordre des vecteurs arguments, admet une structure d espace vectoriel.
300 Annexe I Éléments de calcul tensoriel On peut examiner, à titre d exemples, les cas des tenseurs du 1er ordre et du 2ème ordre dont l usage est très fréquent en mécanique des milieux continus. Notation : On convient de noter par : <u∗ ,v>=<v,u∗ > (1.2) le produit de dualité entre un vecteur u∗ de E∗ et un vecteur v de E. 1.2 Tenseurs du 1er ordre Tenseur contravariant du 1er ordre C est, par dé nition, une forme linéaire T sur E∗ que l on identi e classiquement par le produit de dualité à un vecteur T de E.Onécrit : ∀u∗ ∈ E∗ , T(u∗)=<T,u∗ >. (1.3) Les tenseurs du 1er ordre contravariants sont les vecteurs de E. Tenseur covariant du 1er ordre C est, par dé nition, une forme linéaire sur E qui est donc identi ée à un vecteur de E∗. Les tenseurs du 1er ordre covariants sont les vecteurs de E∗. 1.3 Tenseurs du 2ème ordre Tenseur covariant du 2ème ordre C est une forme bilinéaire sur E × E. En mécanique des milieux continus, les tenseurs de déformation et de taux de déformation sont des tenseurs 2 fois covariants (cf. chapitres II et III). Tenseur contravariant du 2ème ordre C est une forme bilinéaire sur E∗ × E∗ . En mécanique des milieux continus, les tenseurs de contrainte sont des tenseurs 2 fois contravariants (cf. chapitre V). Tenseur mixte contravariant-covariant du 2ème ordre C est une forme bilinéaire T sur E∗ × E associant à deux vecteurs quelconques u∗ deE∗ et v deE le scalaireT(u∗ ,v). Elle permet de dé nir, par dualité, une application linéaire de E dans E,soit
2 Produittensoriel de tenseurs 301 φ,enécrivant : ∀u∗ ∈ E∗ , ∀v ∈ E,T(u∗ ,v)=<u∗ ,φ(v)>. (1.4) Réciproquement ,lado nnée d une application linéaire φ de E dans E permet de dé nir un tenseur mixte T du deuxième ordre contravariant-covariant par la for- mule (1.4). Ce type de dé nition se rencontre fréquemment en mécanique des milieux continus. En particulier on dé nira le tenseur inverse du tenseur T ,n otéT -1 comme le tenseur associé à l application linéaire réciproque de φ si elle existe, soit φ-1 ;c e st encore un tenseur mixte contravariant-covariant : ∀u∗ ∈ E∗ , ∀v ∈ E,T-1(u∗ ,v)=<u∗ ,φ-1(v)>. (1.5) Une démarche analogue peut être suivie en se plaçant du point de vue des appli- cations linéaires de E∗ dans E∗ . 2P r o duit tensoriel de tenseurs 2.1 Dé nition Soient, à titre d exemple, les deux tenseurs : T ,forme trilinéaire sur E × E∗ × E, T ,forme bilinéaire sur E∗ × E, on dé nit le tenseur T ,produit tensoriel de T par T ,notéT = T ⊗T par : ∀ v(1) ,v(2) ,v(3) ∈ E,∀ u∗(1) ,u∗(2) ∈ E∗ T (v(1) ,u∗(1) ,v(2) ,u∗(2) ,v(3))=T (v(1) ,u∗(1) ,v(2))T (u∗(2) ,v(3)) . (2.1) L opération produit tensoriel est distributive (à gauche et à droite) par rapport à l addition, et associative. Elle n est pas commutative. 2.2 Exemples Produit tensoriel de 2 vecteurs de E Soienta,b∈ E T =a⊗bestdé nipar(2.1);ilvient: ∀ u∗(1) ,u ∗(2)∈ E∗ ,(a⊗b)(u∗(1),u ∗(2))=<a,u ∗(1)><b,u ∗(2) >. (2.2) Ainsi T = a ⊗ b est une forme bilinéaire sur (E∗)2 . Produit tensoriel d un vecteur de E par un vecteur de E∗ Soienta∈Eetb∗∈E∗ ,T=a⊗b∗estdé nipar(2.1);ilvient: ∀u∗∈E∗ , ∀v∈E,(a⊗b∗)(u∗ ,v)=<a,u∗><v,b∗> (2.3)
302 Annexe I Éléments de calcul tensoriel et l on voit que T = a ⊗ b∗ est un tenseur mixte contravariant-covariant. L application linéaire φ de E dans E correspondante, dé nie par (1.4), peut ici être explicitée ; d après (2.3), T (u∗ ,v) s écrit aussi : T (u∗ ,v)=<u∗ ,a<v,b∗ >> d où : ∀v ∈ E, φ(v)=<v,b∗ >a (2.4) 2.3 Tenseurs décomposés Soit T un tenseur d ordre n = p + q, p-contravariant et q-covariant. On dit que T est décomposé s il peut être mis sous la forme du produit tensoriel, dans l ordre voulu ,dep vecteurs de E par q vecteurs de E∗ . Désignant par {ek} une base de E,ondé nit {e∗k} la base duale de celle-ci dans E∗ c est-à-dire telle que <ei ,e∗j >= δji (2.5) où δji ,symboledeKronecker, prend les valeurs : δji =1 si i=j,δji =0 si i =j. (2.6) On peut alors décomposer les vecteurs de E et E∗ sur ces bases suivant les for- mules : v=v e (2.7) u∗ =u e∗ (2.8) dans lesquelles on adopte la convention dite des indices muets (ou répétés) c est-à-dire qu il y a sommation par rapport aux couples d indices répétés placés l un en haut et l autre en bas(1). Considérant alors, à titre d exemple, le tenseur décomposé : T=ei⊗e∗j⊗ek (2.9) ona: ∀ u∗(1) ,u ∗(2) ∈ E∗ , ∀v ∈ E,(ei ⊗ e∗j ⊗ ek)(u∗(1) ,v,u∗(2))=u(1) i vj u(2) k. (2.10) (1)La convention sur la position des indices est d usage général. Elle présente l intérêt, comme on le verra dans la suite, par son caractère systématique de faciliter la lecture et l écriture des formules (cf. par exemple 3.2).
3 Décomposition d un tenseur 303 3D é c o m p o s i tion d un tenseur 3.1 Dé nition Soit, à titre d exemple, T un tenseur d ordre 3, 1-contravariant, 1-covariant et 1-contravariant. Avec les bases {ek} et {e∗k} introduites ci-dessus, on pose T (e∗i ,ej ,e∗k)=T ij k ,i,j,k =1,... ,n . (3.1) On en déduit, T étant linéaire, que : ∀u∗(1),u∗(2) ∈ E∗ ,∀v∈ E T (u∗(1) ,v,u∗(2))=u(1) i vj u(2) k T (e∗i ,ej ,e∗k) ou encore T (u∗(1) ,v,u∗(2))=u(1) i vj u(2) k Tijk (3.2) avec la convention de sommation sur les indices répétés qui sera sous-entendue dans toute la suite sauf mention explicite du contraire. Par comparaison de (3.2) avec (2.10) on obtient les formules essentielles : (3.3) T≡Tijkei⊗e∗j⊗ek (3.4) Tijk =T(e∗i ,ej ,e∗k) La formule (3.3) donne la décomposition du tenseur T 1-contravariant, 1-covariant, 1-contravariant quelconque sur les n3 tenseurs décomposés ei ⊗ e∗j ⊗ ek (i, j, k = 1,...,n). De plus la formule (2.10) assure l indépendance de ces n3 tenseurs décomposés. En effet on remarque que l on peut écrire compte tenu de (2.5) : ∀ i, j, k, p, q, r =1,...,n , (ei ⊗ e∗j ⊗ ek)(e∗p ,eq ,e∗r)=δp iδjqδr k. (3.5) Ainsi les tenseurs décomposés ei ⊗ e∗j ⊗ ek (i, j, k =1,...,n) constituent une base de l espace vectoriel des tenseurs T dont la variance a été indiquée plus haut. Les T ijk sont les composantes de T dans cette base. Désignant alors par u∗(1) ,u∗(2) ,v,de sv ecteurs arguments quelconques de T , décomposés selon (2.7) et (2.8), on obtient immédiatement, par application de (2.10) et (3.3) la valeur de T (u∗(1) ,v,u∗(2)) : T (u∗(1) ,v,u∗(2))=T ij k u(1) i vj u(2) k. (3.6) Les résultats énoncés dans ce cas particulier de tenseurs T sont évidemment de portée générale.
304 Annexe I Éléments de calcul tensoriel Remarque La notion de produit tensoriel de tenseurs a été introduite au paragraphe 2.1. Une présentationmathématiqueplusgénérale dé nit la notion de produit tensoriel d espaces. On peut alors montrer que l espace vectoriel des tenseurs T choisiscomme exemples pour la démonstration qui précède de la décomposition d un tenseur est isomorphe au produit tensoriel d espaces vectoriels E et E∗ noté E ⊗ E∗ ⊗ E.Ilest commode d identi er ces deux espaces, écrivant ainsi pour les tenseurs T ci-dessus : T∈E⊗E∗⊗E, notation cohérente avec la formule de décomposition (3.3). Cette écriture sera adoptée de manière générale dans toute la suite. 3.2 Changement de base On considère encore, à titre d exemples, les mêmes tenseurs T de l espace E ⊗ E∗⊗E. On suppose connus, outre les bases duales {ek} et {e∗k} de E et de E∗ utilisées au paragraphe précédent, un autre couple de bases duales de ces mêmes espaces, soit {e k} et {e∗ k} ,etl on dé nit la nouvelle base {e k} de vecteurs de E dans l ancienne base {ek} par la formule : e i=αk iek (3.7) (αk i :composantesdelanouvelle base de E dans l ancienne base). L inversion de cette formule exprime l ancienne base dans la nouvelle : ek =βjke j (3.8) avec la relation αk iβjk =δji (3.9) (qui rappelle que les matrices de coefficients αk i et βjk sont évidemment inverses). Les relations entre la nouvelle et l ancienne base duale dans E∗ s obtiennent par identi cation à partir des formules précédentes dans l expression même du produit de dualité : <e∗ j ,e >= δj , d où l expression de la nouvelle base duale dans l ancienne : e∗ j = βjk e∗k (3.10) et la formule inverse : e∗k=αk ie∗ i. (3.11)
3 Décomposition d un tenseur 305 To u t e s ces formules de passage étant établies, on s intéresse maintenant à la dé- composition de T dans la base {e i ⊗ e∗ j ⊗ e k} : T =T ijke i⊗e∗ j⊗e k. Les nouvelles composantes s obtiennent sans difficulté en exploitant, dans (3.3), les formules (3.8) et (3.11) compte tenu de la distributivité du produit tensoriel de tenseurs. Il vient : T ijk =βi αm jβk nT mn (3.12) et les formules inverses : Tijk = αi βm jαk nT mn . (3.13) L application de ces formules au cas d un tenseur du 1er ordre T = Ti e∗i élément de E∗ forme linéaire sur E,c est-à-dire 1-covariant ( 1.2), fournit la relation : T i=α iT qui explique la terminologie : le tenseur est dit covariant parce que ses composantes, dont les indices sont inférieurs ,setransforment, dans le changement de base, comme la base primale elle-même, dont les vecteurs ont eux aussi des indices inférieurs. Pour un tenseur du 1er ordre de E,soitT = T j ej ,onobtient: T j =βjkTk qui explique, de la même manière, la terminologie de contravariance . On peut alors retenir la formule générale pour un tenseur T quelconque sous la forme : chaque covariance, indice inférieur, introduit un facteur α etchaqu e contravariance, indice supérieur, introduit un facteur β (2). 3.3 Tenseurs mixtes du 2ème ordre Soit T un élément de E ⊗ E∗ et φ l application linéaire de E dans E qui lui est associée par (1.4). On désigne par φij les coefficients de la matrice (3) de φ dans la base {ek} de E,c est-à-dire que : ∀v=vjej,φ(v)=φijvjei. (3.14) Soient d autre part T ij les composantes de T dans la base {em ⊗ e∗n} de E ⊗ E∗ . On a alors en appliquant (3.4) et (1.4) : T ij = T (e∗i ,ej)=<e∗i ,φ(ej) > (2)Dans la pratique, lorsque l on procède à de tels changements de bases, il est souvent plus com- mode, plutôt que d appliquer la formule générale (3.12), de reproduire sur le cas particulier considéré le raisonnement qui permet de l obtenir par identi cation. (3)1er indice : ligne ; 2ème indice : colonne.
306 Annexe I Éléments de calcul tensoriel d où, avec(3.14) : Tij = φij ∀i,j=1,...,n. (3.15) Ainsi, les composantes de T dans la base {em ⊗ e∗n} sont identiques aux coef- cients de la matrice de l application linéaire de E dans E associée à T dans la base {ek}. Il s ensuit que les composantes T ij de T possèdent vis-à-vis des changements quelconques de bases {ek} dans E,lesbases{e∗k} dans E∗ étant toujours les bases duales, les propriétés connues pour les coefficients de la matrice d une application linéaire. En particulier on sait que dans ces changements de base certaines expressions polynomiales sont invariantes .Onrappelle que det [ φij ] est un invariant , donc : det [ T ij ]=detT est un invariant . (3.16) Il en va de même de tous les coefficientsdupolynôme caractéristique en λ obtenu en écrivant l invariance du déterminant de la matrice de l application linéaire de E dans E dé nie par : ∀v ∈ E → φ(v)-λv ∈ E (λscalaire quelconque). Ces coefficients constituent une base de n invariants polynomiaux indépendants de degrés 1 à n en φij .Parmiceux-ci, outre det[ φij ] de degré n,ontrouvetr[ φij ] dedegré1: T ii = tr T est un invariant (3.17) (on le véri e d ailleurs directement sans difficulté puisque par (3.12) on a : T i i = βij αk i Tjk = δkj Tjk = Tkk). Cette opération trace estu nc a spa rtic ulier de la contraction étudiée dans la suite. De même on utilisera souvent en mécanique une base de n invariants polynomiaux indépendants de degrés 1 à n, autre que celle évoquée ci-dessus, obtenue par contraction (cf. 4.6). On introduit aussi le tenseur tT transposé de T ;c e st l élément de E∗ ⊗ E dé nipar: ∀u∗∈E∗,∀v∈E tT (v ,u∗)=T (u∗ ,v) (3.18) tT se met sous la forme : tT =(tT)ij e∗i ⊗ ej et l on a, par (3.4) et (3.18), la relation : (tT)ij =Tji . (3.19) Si T est un tenseur décomposé T = a∗ ⊗ b,onaévidemment : tT = b ⊗ a∗ .
3 Décomposition d un tenseur 307 3.4 Tenseurs du 2ème ordre 2 fois contravariants ou 2 fois covariants On considère à titre d exemple les tenseurs du 2ème ordre 2 fois covariants. • Tenseurs symétriques. Par dé nition, T∈E∗ ⊗ E∗ est symétrique si l on a : ∀ v ,v ∈ E,T (v ,v )=T (v ,v ); d où, pour toute base {ei} de E et base duale {e∗j} de E∗ ,d après(3.3) et (3.4) : T=Tije∗i⊗e∗j,Tij=Tji. (3.20) • Tenseurs antisymétriques. De même, T∈E∗ ⊗ E∗ est antisymétrique si l on a ∀ v ,v ∈ E, T (v ,v )=-T (v ,v ) d où, comme ci-dessus : T=Tije∗i⊗e∗j,Tij= -Tji. (3.21) • Tout tenseur T∈E∗ ⊗ E∗ peut être mis, de façon unique, sous la forme de la somme d un tenseur symétrique Ts et d un tenseur antisymétrique Ta de E∗ ⊗ E∗ : T=Ta+Ts. (3.22) Ces tenseurs Ts et Ta sont en effet dé nis de manière unique par : ∀ v ,v ∈ E, Ts(v ,v )= 1 2(T (v ,v )+T (v ,v )) ∀ v ,v ∈ E, Ta(v ,v )= 1 2(T (v ,v )-T(v ,v )) , (3.23) qui implique, pour toute base {ej} de E et base duale {e∗k} de E∗ : (Ts)ij = 1 2(Tij + Tji)( Ta)ij = 1 2(Tij - Tji). (3.24) • Les mêmes résultats, aux positions supérieures des indices près, sont valables pour les tenseurs 2 fois contravariants. 3.5 Composantes d un produit tensoriel Soient,àtitred exemple,T ∈E∗⊗E⊗E∗ etT ∈E⊗E∗ : T =T ijke∗i⊗ej⊗e∗k T =T me ⊗e∗m
308 Annexe I Éléments de calcul tensoriel alors on a évidemment, pour T = T ⊗T : T =Tijk me∗i⊗ej⊗e∗k⊗e ⊗e∗m avec : Tijk m = T ijkT m . (3.25) Ainsi, dans le cas particulier d un tenseur T décomposé tel que : T =a⊗b∗⊗c⊗d on aura : Tijk =aibjckd . (3.26) 4C o n t r action 4.1 Dé nition de la contraction d un tenseur Soit, à titre d exemple, un tenseur T élément de E ⊗ E∗ ⊗ E∗ ⊗ E. Soit {ek} une base de E et {e∗j} la base duale de E∗. Alors l élément Tc dé ni par : ∀v ∈ E,∀u∗ ∈ E∗ , Tc(u∗ ,v)=T(u∗ ,ei ,v,e∗i)(4) (4.1) est indépendant du choix de la base {ek} et est un tenseur élément de E ⊗ E∗ . En effet {e k} désignant une autre base de E,onaaveclesnotations du paragraphe 3.2 : T (u∗ ,e i ,v,e∗ i)=αji βik T (u∗ ,ej ,v,e∗k) d où, d après (3.9) : T (u∗ ,e i ,v,e∗ i)=T (u∗ ,ej ,v,e∗j) . L élément Tc ,dé ni par (4.1) estdoncbienintrinsèque :c est une forme bilinéaire sur E∗ × E,c est-à-dire un tenseur 1-contravariant 1-covariant. Ce tenseur Tc est dit contracté de T sur les vecteurs arguments 2 et 4, ou sur les indices 2 et 4. On remarquera que la contraction nepe uts efair equ es u rde s indices correspondant à des vecteurs arguments pris l un dans E l autre dans E∗. Du point de vue des composantes, onvéri era sans peine que l on a : (Tc)ij = Tikjk (4.2) (sommation sur les indices en position 2 et4situésl unenbaset l autre en haut). La dé nition donnée sur cet exemple est générale. La contractiond untenseur d ordre n et de variances p et q conduit à un tenseurd o rdre(n-2)etde variances (p - 1)et(q - 1). (4)Bien remarquer la sommation sur les indices répétés.
4 Contraction 309 4.2 Multiplication contractée La multiplication contractée de deux tenseurs T et T consiste à effectuer le produit tensoriel T = T ⊗T que l on contracte ensuite suivant un indice de T et un indice de T de variance contraire. Le cas le plus courant est celui où le produit tensoriel T = T ⊗T est contracté sur le dernier indice de T et le premier indice de T ,sousréserve bien entendu que cette opération soit possible c est-à-dire que les variances correspondantes soient contraires. Le résultat de cette multiplication contractée sera noté : Tc =T T . (4.3) L opération (4.3) se rencontre fréquemment en mécanique et on en examinera dans la suite quelques cas particuliers. On remarque que la multiplication contractée est distributive à gauche et à droite par rapport à l addition. Produit contracté de a ∈ E et b∗ ∈ E∗ Ona: T=a⊗b∗ =aibjei⊗e∗j d où : Tc=a b∗=aibi qui n est autre que le produit de dualité <a,b∗ > : a b∗ =<a,b∗>. (4.4) Produit contracté de T∈E ⊗ E∗ et v ∈ E Ici : T⊗v=Tijvkei⊗e∗j⊗ek d où : T v=Tijvjei qui n est autre que le vecteur de E image de v par l application linéaire φ associée au tenseur mixte du deuxième ordre donné : T v = φ(v). (4.5) On remarquera aussi que si l on considère le produit tensoriel de v et tT soit v ⊗tT , sa contraction conduit au résultat : v tT =T v=φ(v). (4.6)
310 Annexe I Éléments de calcul tensoriel Produit contracté de deux tenseurs mixtes du 2ème ordre Soient T et T ∈ E ⊗ E∗ ,φ et φ les applications linéaires de E dans E correspondantes. On véri e sans difficulté que le produit contracté Tc =T T est, lui aussi, un tenseur mixte du deuxième ordre, élément de E ⊗ E∗ et que, si l on désigne φc l application linéaire de E dans E associée à Tc ,ona: (φc)ij =(Tc)ij = T ik T kj = φ ik φ kj . qui montre que φc est le produit des applications linéaires φ et φ : φc =φ ◦φ . (4.7)On en déduit aussi le résultat : ∀v∈E, (T T ) v=T (T v) (4.8) qui exprime l associativité de la multiplication contractée dans ce cas et permet d écrire, sans autreprécision, des formules du type : T T T v, etc. En particulier, soit T∈E ⊗ E∗ et T -1 le tenseur inverse dé ni au paragraphe 1.3. On a, par application immédiate de (4.8) : T-1 T=T T-1=I, (4.9) où l on désigne par I le tenseur de E ⊗ E∗ associé à l application identique de E dans E. Pour les composantes,onaévidemment : Tij(T-1)jk =δik . (4.10) En n, il est immédiat de véri er à partir de (4.6) et (4.8) que, si T et T sont deuxélémentsdeE⊗E∗ on a : t(T T )=tT tT . (4.11) Produit doublement contracté de T∈E∗ ⊗ E∗ ,v ∈ E et v ∈ E En se référant à la dé nition du symbole donnée plus haut (formule 4.3), on voit que la notation : Tc =v T v s interprète sans ambiguité et correspond à la double contraction du tenseur T = v ⊗T⊗v sur sesindices1et2etsur sesindices3et4. On véri e que Tc n est autre que le scalaire : Tc =Tijv iv j, (4.12) c est-à-dire que, d après (3.6) : v T v = T(v ,v ). (4.13)
4 Contraction 311 4.3 Produit doublement contracté de deux tenseurs T et T désignant deux tenseurs d ordres supérieurs ou égaux à 2, on considère le produit tensoriel T = T ⊗T .Leproduit doublement contracté, noté : ,correspond àladouble contraction de T sur le dernier indice de T et le premier indice de T , puis sur l avant dernier indice de T et le second indice de T ,si ces deux contractions sont possibles c est-à-dire si les variances correspondantes sont effectivement contraires(5). On écrit ainsi : Tc =T : T . (4.14) Le produit doublement contracté est évidemment distributif, à gauche et à droite, par rapport à l addition. Produit doublement contracté d un tenseur 2 fois covariant et d un tenseur 2foisc ontravariant du 2ème ordre Soient deux tenseurs du deuxième ordre : A=aije∗i⊗e∗j∈E∗⊗E∗ et B=bijei⊗ej∈E⊗E. Pour ces deux tenseurs, le produit doublement contracté dé ni par (4.14) s écrit : Tc =A: B=aijbji, (4.15) scalaire qui s identi e aussi à : A : B= tr (A B). (4.16) On remarquera que, dans ce cas, le produit doublement contracté est commutatif : A : B=B : A. En application des résultats du paragraphe 3.4, on peut mettre chacun des tenseurs A et B sous la forme de la somme de sa partie symétrique et de sa partie antisymétrique obtenues par la formule (3.23) : A = As + Aa B =Bs+Ba. (4.17) On véri e alors, en explicitant par exemple As : Ba par la formule (4.15) compte tenu des propriétés caractéristiques de As et Ba ,que: As : Ba =(as)ij(ba)ji =(as)ij(-ba)ij = -(as)ji(ba)ij = -As : Ba (5)La convention adoptée ici relativement aux indices concernés par la double contraction symbo- lisée par : sera conservée aux paragraphes 5.6 et 5.7 pour les tenseurs euclidiens et leur double contraction symbolisée par : . Elle n est pas générale dans la littérature (on peut rencontrer des cas, notamment pour les tenseurs euclidiens, où la double contraction, symbolisée de la même façon, porte d abord sur l avant-dernier indice de T et le premier indice de T , puis sur le dernier indice de T et le deuxième indice T )etils e r ado n cpr udent de contrôler la signi cation des notations employées.
312 Annexe I Éléments de calcul tensoriel d où As : Ba =0 et de même Aa : Bs =0. (4.18) Il s ensuit que : A : B=As : Bs+Aa : Ba . (4.19) Le produit doublement contracté : apparaît ainsi comme un produit de dualité entre les espaces E∗ ⊗ E∗ et E ⊗ E.Laformule(4.19) en donne l expression lorsque E∗ ⊗ E∗ sont décomposés sur les tenseurs symétriques et antisymétriques selon (4.17). 4.4 Contraction totale d un produit tensoriel D une façon générale, étant donnés deux tenseurs d ordre n,dontlepremierA est p fois contravariant et q fois covariantetlesecond B est q fois contravariant et p fois covariant, on peut effectuer la contractiontotale du produit tensoriel T = A⊗B; tous les couples d indices de variances contraires sur lesquels on effectue la contraction doivent étre énoncés ; on obtient ainsi un scalaire Tc . Le produit doublement contracté d un tenseur 2 fois covariant et d un tenseur 2 fois contravariant examiné au paragraphe précédent est évidemment un cas particulier de cette contraction totale, de même quelepr oduit contracté d un vecteur de E et d un vecteur de E∗ . 4.5 Dé nition d un tenseur par dualité Soit, à titre d exemple, A un tenseur donné de E ⊗ E∗ ⊗ E. Soit X un tenseur quelconque de E∗ ⊗ E ⊗ E∗. On effectue le produit tensoriel : T =A⊗X. (4.20) La contraction totale de ce produit tensoriel, sur les couples d indices 1 et 4, 2 et 5, 3 et 6 donne un scalaire Tc fonction linéaire de X . Ainsi, à partir du tenseur A donné de E ⊗ E∗ ⊗ E,o npe utdé nir une forme linéaire a sur E∗ ⊗ E ⊗ E∗,c est-à-dire un élément de (E∗ ⊗ E ⊗ E∗)∗. E⊗E∗⊗Eet(E∗⊗E⊗E∗)∗ sontisomorphes. En mécanique des milieux continus (cf. par exemple le chapitre V, section 3 pour la représentation des efforts intérieurs) on utilisera la réciproque de cette propriété : la donnée d une forme linéaire a sur un espace vectoriel de tenseurs X , p fois contra- variants et q fois covariants, dé nit un tenseur A de variances contraires (on précisera les couples d indices sur lesquels on effectue la contraction totaleduproduit tensoriel (4.20)).
5 Tenseurssur un espace vectoriel euclidien 313 En particulier, une forme linéaire a donnée sur E ⊗ E dé nit un tenseur A de E∗ ⊗ E∗ àtravers le produit de dualité : par la formule : ∀X∈E⊗E A: X=a(X); (4.21) si la forme linéaire a n est dé nie que sur le sous-espace des tenseurs symétriques de E ⊗ E,soitpour X∈(E ⊗ E)s ,alorsle tenseur A associé à a par la formule : ∀X∈(E⊗E)s A: X=a(X) (4.22) n est connu qu à un tenseur antisymétriquea rbitraire près car, en conséquence de (4.19), la formule (4.22) ne détermine que la partie symétrique de A. 4.6 Invariants d un tenseur mixte du 2ème ordre T désignant un tenseur mixte contravariant-covariant, on a vu au paragraphe 3.3 que les n coefficients du polynôme caractéristique en λ,quis écrit det[T ij - λδij ], sont des invariants dans tout changement de base {ek} de E ,laba s e{e∗k} de E∗ étant la base duale. Il est courant en mécanique de substituer à ces n invariants polynomiaux classiques (tr T ,..., det T ) de degrés 1 à n par rapport aux composantes T ij ,leje uden invariants polynomiaux indépendants de degrés 1 à n,obte n us par les contractions totales suivantes : I1=trT=Tii I2=1 2 tr (T T)= 1 2TijTji I3 = 13tr(T T T)=13TijTjkTki etc. In=1 n tr (T T T ... T)= 1 nTijTjk ...Tpi. (4.23) 5T e n s e u r s s ur un espace vectoriel euclidien 5.1 Dé nition d un espace euclidien L espace vectoriel E est muni d une structure euclidienne par la donnée d une forme bilinéaire symétrique fondamentale dé nie positive sur E × E,s oitG appelée produit scalaire . Avec la notation (4.13) on écrit : ∀v ,v ∈ E,G(v ,v )=v G v , (5.1) et en adoptant la notation usuelle pour le produit scalaire : ∀ v ,v ∈ E,G(v ,v )=v .v , (5.2)
314 Annexe I Éléments de calcul tensoriel expression sur laquelle on reviendra au paragraphe 5.5. Ge stappelétenseur métrique .Ondésigne par gij ses composantes pour une base {ek} de E et la base duale {e∗k} de E∗ ;ona,enconséquence de (3.3) et (3.4) : G=gije∗i⊗e∗j,gij=G(ei,ej)=ei.ej. (5.3) 5.2 Tenseur des dilatations dans une application linéaire Soit φ une application linéaire de E dans E ,etF le tenseur mixte de E ⊗ E∗ associé à celle-ci. On cherche à évaluer, pour deux vecteurs quelconques v ,v ,lepr oduit scalaire de leurs images dans E par φ soit : φ(v ) .φ(v ).C est évidemment une forme bilinéaire symétrique de v et v ,quiestdé nie positive si φ estinversible. En utilisant les expressions de φ(v ) et φ(v ) données par (4.6) il vient : φ(v ) .φ(v )=(v tF) G (F v ). (5.4) En introduisant le tenseur C = tF G F,élém e ntde E∗ ⊗ E∗,o nvéri equ ela formule (5.4) possède une propriété d associativité et que l on peut écrire : φ(v ).φ(v )=v (tF G F) v = v C v . (5.5) Le tenseur C = tF G F est le tenseur 2 fois covariant sur E ⊗ E donnant le produit scalaire des images par φ de deux vecteurs quelconques de E.Lac o mpa r aison de ce tenseur C avec le tenseur métrique G permet de caractériser la déformation du milieu par l application linéaire φ (cf. chapitre II, section 3). 5.3 Isomorphisme entre E et E∗ On sait que la structure euclidienne de E permet de mettre en évidence un iso- morphisme dit canonique entre E et son dual E∗ .Cetis o m orphisme, noté γ,e st dé ni par : ∀v ∈ E,∀v∈ E,v .v=<v ,γ(v) > (5.6) où γ(v) est l image dans E∗ de v par γ(6). En introduisant le produit contracté G v on peut expliciter (5.6) dont on déduit alors de façon évidente que : γ(v)=G v. (5.7) Avec les bases {ei} dans E et {e∗k} duale dans E∗ ,ondésigne par γij les coeffi- cients de la matrice de γ dé nis par : γ(ej)=γij e∗i . (5.8) Par comparaison avec (5.7)ilvient: gij=γij. (5.9) (6)En d autres termes l isomorphisme γ associe à v la forme linéaire γ(v) telle que son produit de dualité avec tout vecteur v ,deE soit égal au produit scalaire de v avec ce même vecteur v .
5 Tenseurssur un espace vectoriel euclidien 315 Ainsi les coefficients de la matrice de l isomorphisme γ dans les bases duales {ei} et {e∗k} de E et E∗ sont identiques aux composantes du tenseur métrique dans la base {e∗i ⊗ e∗j}. L isomorphisme γ induit naturellement dans E∗ une structure euclidienne. La forme bilinéaire fondamentale G∗ sur E∗ × E∗ est dé nie comme l image de la forme bilinéaire G sur E × E :pourdeuxélémentsu∗(1) ,u∗(2) de E∗ ,elle a pour valeur le produit scalaire de leurs originaux dans E : ∀ u∗(1) ,u∗(2) ∈ E∗ , u∗(1) G∗ u∗(2) = γ-1(u∗(1)) G γ-1(u∗(2)). (5.10) On désigne par gij les composantes de G∗ pour les bases {ek} et {e∗k} d où, d après (3.3)et(3.4): G∗ =gijei⊗ej gij = G∗(e∗i ,e∗j) . (5.11) Figure 1 Bases primale et duales dans E∗ et E Il est commode d introduire les vecteurs de E,notések ,images par γ-1,isomor- phisme réciproque de γ ,desvecteurs e∗k de la base duale de {ek} dans E∗ : ek = γ-1(e∗k) . (5.12) On a alors, de façon évidente, en conséquence de (5.11) et (5.10) : gij=ei.ej (5.13) tandis que ei .ej =<ei ,e∗j > d après (5.6) et (5.12), d où : ei.ej=δji . (5.14) Les vecteurs ei constituent une base {ek} de E qui est appelée duale dans E de la base {ek} :chaqu ev ecteur ei de la base {ek} est ainsi orthogonal à (n - 1) vecteurs de la base primale {ek} et tel que son produit scalaire avec le n-ième vecteur de cette base soit égal à 1 (cf. gures 1 et 2).
316 Annexe I Éléments de calcul tensoriel Les composantes γij de l isomorphisme réciproque γ-1 sont données par : γ-1(e∗j)=γij ei = ej et l on déduit de (5.13) et (5.14) que : gij=γkjei.ek=γij (5.15) d où : ej=gijei (5.16) et aussi, en rapprochant (5.9) et (5.15) : gik gkj = δji (5.17) et ei=gijej (5.18) (on rappelle que G et G∗ sont symétriques). On retiendra les formules ei.ej=δji gij=ei.ej,gij=ei.ej (5.19) gik gkj = δji ei=gijej,e i=gijej On remarque que si la base primale {ek} est orthonormée, sa base duale {ek} dans E lui est identique . 5.4 Repérage covariant d un vecteur de E La construction de la base duale dans E àlaqu elle on a procédé ci-dessus per- met maintenant de dé nir, pour tout vecteur de E,cequel on appelle son repérage covariant sous la forme : ∀u∈E,u=u e , (5.20) dans laquelle les u sont désignées comme les composantes covariantes du vecteur u. La justi cation de cette terminologie tient au fait que les composantes u dé nies par (5.20) sont aussi les composantes de la forme linéaire γ(u) dans la base duale {e∗k} de E∗ : γ(u)=u γ(e )=u e∗ ; ces composantes se transforment selon la règle de covariance exposée au paragraphe 3.2. La gure 2 illustre les résultats (5.19) et (5.20) sur le cas concret où E = R2 .
5 Tenseurssur un espace vectoriel euclidien 317 Figure2 E=R2,ba s e{ei} normée ; les composantes contravariantes sont les co- ordonnées obliques suivant e1 et e2 ;le scomposantes covariantes sont les mesures des projections orthogonales de u sur les directions de e1 et e2 ;par exemple:u1 =u.e1 5.5 Tenseurs euclidiens du 1er ordre ; produit contracté L isomorphisme entre E et E∗ signi e que tout élément u de E peut recevoir indifféremment deux interprétations : • interprétation primale, vecteur de E • interprétation duale, forme sur E,àtraversleproduit scalaire. L introduction de la représentation covariante des éléments de E illustre cette dualité d interprétation comme on l a vu précédemment : u = u e traduit l aspect primal (5.21) u = u e traduit l aspect dual . (5.22) Dé nition Pour rendre compte de cela on introduit la notion de tenseur euclidien du 1er ordre . To u t v ecteur u de E (tenseur contravariant du 1er ordre) et son tenseur covariant associé par l isomorphisme canonique, u∗ = γ(u) ,serontdésormais considérés comme un unique tenseur appelé tenseur euclidien du 1er ordre ,ide nti éa uv ecteur u de E,s u rlequ elo nv e rra qu il est possible d effectuer toutes les opérations précé- demment dé nies pour les tenseurs du 1er ordre. Le tenseur euclidien u pourra être décomposé selon (5.21) et (5.22) qui sont respectivement appelées ses représenta- tions contravariante et covariante . Produit contracté Considérant deux tenseurs euclidiens du 1er ordre, soient u et v on dé nit le produit contracté en remarquant que : u v∗ =uivi=uigijvj=ujvj=u∗ v. (5.23)
318 Annexe I Éléments de calcul tensoriel C est cette valeur, obtenue en contractantundesvecteurs avec la forme linéaire associée à l autre, qui est naturellement adoptée pour le produit contracté des tenseurs euclidiens u et v.L e x a m e ndelafo r mule (5.23) rappelle de plus que u v∗ =u∗ v n estautrequeleproduitscalaire u.vde u etv vecteursdeE. Il est ainsi possible d utiliser désormais le symbole . pour noter la contraction de deux tenseurs euclidiens du 1er ordre : u.v=uigijvj=uivi=uivi. (5.24) L utilisation du symbole . manifeste que le produit contracté de deux tenseurs euclidiens du 1er ordre s obtient simplement en calculant le produit scalaire des vecteurs u et v de E compte tenu des relations (5.19) et (5.20) ; ainsi par exemple : u .v =(ui ei).(vj ej)=ui vj(ei .ej)=gij ui vj ou encore u .v =(ui ei).(vj ej)=ui vj(ei .ej)=ui vi = ui vi , (5.25) où l on voit l intérêt de l introduction de la représentation covariante. 5.6 Tenseurs euclidiens du 2ème ordre décomposés ; produits contractés L isomorphisme γ établi entre E et E∗ ,e ntr aîn en aturellement que les espaces produits E × E,E × E∗ ,E∗ × E et E∗ × E∗ sont isomorphes. Il en résulte alors que les espaces de tenseurs du 2ème ordre, E∗ ⊗E∗ ,E∗ ⊗E,E⊗E∗ et E ⊗E sont, eux aussi, isomorphes. On se propose, pour examiner les conséquences de ces isomorphismes, de considérer d abord le cas des tenseurs décomposés. a et b désignant deux vecteurs de E les isomorphismes entrelesespaces de tenseurs ci-dessus mettent en correspondance les tenseurs décomposés a⊗b,a⊗b∗ ,a∗⊗b eta∗⊗b∗ , oùa∗ =γ(a) etb∗ =γ(b) (5.26) en sorteque, considérantpar exempleT =a⊗betT =a∗⊗b∗ on a : ∀u,v∈ E T (u,v)=T(u∗ ,v∗) (5.27) oùu∗ =γ(u) et v∗ =γ(v). En explicitant T (u∗ ,v∗) et T (u ,v) selon (2.2), (4.4) et (4.13) il vient : T (u∗ ,v∗)=u∗ T v∗ =(a u∗)(b v∗) (5.28) et T (u,v)=u T v =(a∗ u)(b∗ v). (5.29)
5 Tenseurssur un espace vectoriel euclidien 319 Dé nition La comparaison de ces formules avec (5.23) et (5.24) qui dé nissent le produit contracté de deux tenseurs euclidiens du 1er ordre, montre que, de façon cohérente, • on dé nira le tenseur euclidien du 2ème ordre décomposé, noté T ,ide nti éa u tenseur a ⊗ b de E ⊗ E ,dont(5.26) fournit les quatre formes associées : T=a⊗b ; • on notera par le symbole . la contraction de ce tenseur avec un tenseur euclidien du 1er ordre (en conservant les conventions antérieures cf. (4.3) et (4.13) au paragraphe 4.2 sur les indices concernés) : T(u,v)=u.T.v=u.(a⊗b).v ; (5.30) • cette expression s explicite en : u .(a ⊗b).v =(a .u)(b.v) (5.31) • qui fait intervenir les produits contractés des tenseurs euclidiens du 1er ordre a et u ,bet v ,calculables comme indiqué plus haut par (5.25). Produit contracté d un tenseur euclidien du 2ème ordre décomposé et d un tenseur euclidien du 1er ordre De même on véri e la cohérence de la notation T.v=(a⊗b).v (5.32) pour le produit contracté d un tenseur euclidien du 2ème ordre décomposé et d un tenseur euclidien du 1er ordre dé ni comme le produit contracté selon (4.5) de la forme mixte associée à T dans E ⊗ E∗ et du vecteur v de E.Cette formule s explicite en: (a⊗b).v= a(b.v) (5.33) qui en permet le calcul selon (5.24) et (5.25) . Produit contracté de deux tenseurs euclidiens du 2ème ordre décomposés On dé nit aussi le produit contracté de deux tenseurs euclidiens du 2ème ordre décomposés, T = a ⊗ b et T = a ⊗ b ,parlacontraction du produit des formes mixtes associées à T et T dans E ⊗ E∗ .Onvéri eàpartir de (5.32) et (5.33), que la notation T =T .T =(a ⊗b ).(a ⊗b ) (5.34) est bien cohérente pour ce produit qui s explicite en :
320 Annexe I Éléments de calcul tensoriel T =(b .a )a ⊗ b (5.35) dont le calcul est aisé en termes de tenseurs euclidiens. Produit doublement contracté de deux tenseurs euclidiens du 2ème ordre décomposés Le produit doublement contracté des tenseurs euclidiens décomposé T et T ci- dessus est dé ni comme le produit doublement contracté selon (4.4) de deux formes associées respectivement à T et à T dont les variances concernées sont contraires. On adopte pour ce produit la notation T :T =(a ⊗b ):(a ⊗b ); (5.36) sa dé nition est bien univoque (c est-à-dire indépendante du choix particulier des formes associées à T et à T )etl ona: (a ⊗ b ):(a ⊗ b )=(a .b )(b .a ) (5.37) qui en permet le calcul aisé. 5.7 Tenseurs euclidiens du 2ème ordre Les résultats précédents pour les tenseurs du 2ème ordre décomposés ont montré : • l introduction de la notion de tenseur euclidien ; celui-ci est identi é à l élément de E ⊗ E et les quatre formes (5.26) lui sont associées par l isomorphisme canonique γ ; • que toutes les opérations de contractiondé nies dans la section 4 sous condi- tions de variances contraires, sont maintenant toujours dé nies sur les ten- seurs euclidiens ; • que ces opérations s expriment toutes au moyen du produit scalaire sur E,cequi conduit à des règles opératoires très simples. Ces résultats essentiels s étendent aux tenseurs d ordre 2 en général en s appuyant sur la décomposition (section 3) et sur la distributivité du produit tensoriel de ten- seurs. Dé nition L isomorphisme entre E ⊗ E, ... ,E∗ ⊗ E∗ induit par l isomorphisme γ est établi par des formules telles que (5.27). Considérant le tenseur T=Tijei⊗ej de E⊗E (5.38)
5 Tenseurssur un espace vectoriel euclidien 321 illuiestassociédansE⊗E∗ ,dansE∗⊗E,etdansE∗⊗E∗ : T =Tikei⊗e∗k avec Tik=Tijgjk, T =Tkje∗k⊗ej avec Tkj=gkiTij, T =Tk e∗k⊗e∗ avec Tk =gkiTijgj . (5.39) Le tenseur euclidien correspondant à ces quatre tenseurs associés est T ,identi é àl élémentdeE⊗E: T=Tijei⊗ej (5.40) La distributivité du produit tensoriel par rapport à l addition ( 2.1) étant évidem- ment conservée au niveau des tenseurs euclidiens à travers cette dé nition, on peut dans (5.40) décomposer les vecteurs ei et ej sur labaseduale {ek} selon (5.19). On obtient alors pour T de nouvelles expressions ; par exemple : T =Tijei ⊗(gjkek)=Tijgjkei⊗ek c est-à-dire, selon (5.39) : T =Tikei⊗ek avec Tik=Tijgjk, T =Tkjek⊗ej avec Tkj=gkiTij, T =Tk ek⊗e avec Tk =gkiTijgj . (5.41) On dit que (5.40) et (5.41) constituent les quatre représentations du tenseur euclidien T :respectivement représentations 2 fois contravariante, 1-contravariante 1-covariante, 1-covariante l-contravariante, 2 fois covariante. Cette terminologie se justi e, comme au paragraphe 5.4, par la comparaison de ces expressions avec celles des différents tenseurs associés à T .Onin siste ra toutefois sur le fait que (5.40) et (5.41) représentent quatre expressions du même tenseur T élément de E ⊗ E. Produits contractés La notion de tenseur euclidien du 2ème ordre étant ainsi introduite dans le cas général, toutes les dé nitions et tousle srés ultatsr elatifsa ux tenseurs décomposés sont généralisables, en remarquant notamment la distributivité du produit contracté de tenseurs euclidiens par rapport à l addition qui permet le calcul aisé des produits contractés. Àtitr ed exemple : T.v=(Tijei⊗ej).(vkek)=Tijvk(ej.ek)ei =Tijgjkvkei =Tijvjei =Tikvkei; et aussi T .T =(T ijei ⊗ej).(T k ek ⊗e ) =T ijT k (ej.ek)ei⊗e =T ij gjkT k (ei⊗e )=T ijT j ei⊗e = etc. ou bien T .T =(T ijei⊗ej).(T k ek⊗e )=T ijT j ei⊗e ; et encore, pour le produit doublement contracté T :T =(Tij ei⊗ej):(T k ek⊗e )=T ijT k (ej.ek)(ei .e )=gi T ijgjkT k T :T =T jT j .
322 Annexe I Éléments de calcul tensoriel On remarquera aussi l identité (utilisée notamment au chapitre V) : (A .B):C =(C .A):B =(B .C):A (valable aussi pour un nombre plus élevé de tenseurs), qui est évidente dans le cas des tenseurs décomposés A = a⊗a ,B= b⊗b ,C= c⊗c car alors (A.B):C =(c .a)(a .b)(b .c), et qui s étend sans difficulté au cas général. Les exemples ci-dessus mettent en évidence que les contractions sont toujours possibles pour les tenseurs euclidiens et qu elles se calculent en adoptant pour les tenseurs en cause des représentations tellesqu elesindices concernés soient toujours l un supérieur et l autre inférieur. On voit aussi qu une méthode sûre et systématique pour calculer les produits contractés, tant que l on n est pas familier avec ce genre d exercice, consiste simplement à expliciter les produits scalaires dans E qui correspondent aux diverses contractions. Transposition Àpartirdeladé nition donnée au paragraphe 3.3 et de la propriété caractéristique (4.6) on dé nit le transposé du tenseur euclidien T ,notétT ,parlaformule: ∀v,T.v=v.tT (5.42) équivalente à dire que le tenseur mixte associé à tT dans E∗ ⊗ E est le transposé du tenseur mixte associé à T dans E ⊗ E∗. Les représentations de T étant T = Tij ei⊗ej = Tij ei⊗ej = Tijei⊗ej = Tij ei⊗ej on trouve pour les tT les représentations : tT=(tT)ijei⊗ej=Tjiei⊗ej, tT=(tT)ijei⊗ej=Tjiei⊗ej, tT=(tT)ijei⊗ej=Tjiei⊗ej, tT=(tT)ijei⊗ej=Tjiei⊗ej, (5.43) qui montrent que pour les représentations 2 fois contravariante et 2 fois covariante les coefficients de T et de tT se correspondent par permutation des deux indices, et que pour les représentations mixtes il y a permutation de l ordre des deux indices qui conservent leur position (supérieure ou inférieure). Àcestadeilestintéressant de reprendre l exemple du calcul du tenseur des dilatations dans une application linéaire de E dans E traité au paragraphe 5.2. Il vient : φ(v ).φ(v )=(F .v ).(F .v )=v .C.v avec C = tF .F . On peut expliciter C ,pa re x emple sous la forme C = ((tF)ik ei ⊗ ek).(F j e ⊗ ej) d où C =(tF )i k gk F j ei ⊗ej où l on retrouve l écriture de la formule (5.5), et qui devient compte tenude(5.43):C=Fkigk F jei⊗ej. Te n s e u r s euclidiens du 2ème ordre symétriques et antisymétriques On dé nit la symétrie d un tenseur euclidien T par la symétrie (cf. 3.4) de ses tenseurs associés dans E ⊗ E ou dans E∗ ⊗ E∗ (l une implique l autre).
5 Tenseurssur un espace vectoriel euclidien 323 Pour un tel tenseur on a donc les relations de symétrie suivantes pour les repré- sentations 2 fois contravariante, 2 fois covariante et mixtes : T=Tijei⊗ej avec Tij=Tji, T=Tijei⊗ej avec Tij=Tji, T=Tjiej⊗ei=Tijei⊗ej avecTji=Tij. (5.44) La symétrie de T s exprime aussi par la propriété caractéristique : ∀u,v,u.T.v= v .T.u. (5.45) De la même manière on dé nit les tenseurs euclidiens antisymétriques pour lesquels les formules ci-dessus (5.44 et 5.45 ) sont modi ées par adjonction d un signe moins : ∀ u ,v,u .T.v= -v .T.u Tij = -Tji ,T ij=-Tji,Tji=-Tij. (5.46) La comparaison de ces formules avec les résultats donnés plus haut pour la trans- position met en évidence les propriétés caractéristiques : T symétrique ⇔ T=tT T antisymétrique ⇔ T = -tT . (5.47) Suivant la démarche du paragraphe 3.4, on peut décomposer un tenseur euclidien du 2ème ordre quelconque en ses parties symétriqueeta ntisymétrique ; les formules deviennent : T =Ts+Ta Ts=1 2(T + tT) Ta=1 2(T -tT). (5.48) Considérant alors deux tenseurs T et T décomposés selon (5.48) leur produit dou- blement contracté s exprime sous laforme: T :T =T s :T s+T a :T a (5.49) car T s :T a=0etT a :T s =0. Convention de notation La forme bilinéaire G sur E × E, élément de E∗ ⊗ E∗ ,c o rrespond au tenseur euclidien identi é à l élément gij ei ⊗ ej de E ⊗ E.Onconviendra d adopter pour ce tenseur euclidien la notation 1l 1l=gijei⊗ej=δijei⊗ej=δjiei⊗ej=gijei⊗ej. (5.50) On remarquera, à titre de justi cation de cette notation, que : ∀T,T.1l=T.
324 Annexe I Éléments de calcul tensoriel Invariants d un tenseur euclidien du 2ème ordre Les invariants dé nis par (4.23) des tenseurs mixtes associés à un tenseur euclidien T dans E ⊗ E∗ et dans E∗ ⊗ E sont égaux et s expriment en termes de tenseurs euclidiens de la façon suivante : I1=T:1l=trT (7) I2=1 2T:T=1 2 tr(T2) I3 =13(T.T):T=13tr(T3) etc. In=1 n(T .T...):T = 1 n tr(Tn). (5.51) On a là un jeu d invariants principaux de T . On peut également dé nir det T de façon analogue : par (3.16) sur les tenseurs mixtes associés à T dans E ⊗ E∗ ou E∗ ⊗ E.Ilestinvariantparchangement de base, et l on a aussi det(T .T )=detT × det T . L importance des invariants principauxenmécanique (cf. chapitres VI et VII par exemple) tient au résultat qui suit. Fo n c t i o n i s otrope d un tenseur euclidien du 2ème ordre symétrique Considérons une fonction du tenseur T àv ale u rs calaire. Une telle fonction est invariante par changement de base : cela signi e que la valeur de cette fonction pour un tenseur T donné, qui résulte évidemment de calculs algébriques effectués sur les composantes de T après choix d une base {ek} dans E ,estindépendante du choix de cette base. Pour insister sur cette caractéristique on diraqu il s agit d une fonction du seul tenseur T ou encore d une fonction isotrope de T (8). On a alors l énoncé suivant appelé théorème de représentation , pour les ten- seurs T symétriques : To ute fo n ctio n (isotrope) du (seul) tenseur T symétrique s exprime en fonction des seuls invariants principaux de T (ou d un jeu équivalent). Il en va évidemment ainsi pour det T . (7)On remarque qu avec la convention adoptée ici pour les indices concernés par la double contrac- tion notée . , explicitée au paragraphe 4.3, on a : A : B = tr (A.B), (A.B):C = tr (A.B.C), etc. (8)Cf. chapitre VI ( 2.7 et 4.2) pour une explication de cette terminologie.
5 Tenseurssur un espace vectoriel euclidien 325 5.8 Tenseurs euclidiens d ordre n La construction faite au paragraphe précédent pour les tenseurs euclidiens d ordre 2peutêtrereprise pour les tenseurs euclidiens d ordre n quelconque. On adoptera pour désigner un tenseur euclidien d ordre n le symbole d une lettre (le plus souvent capitale) soulignée d un nombre de traits égal à l ordre du tenseur. Cette notation deviendrait évidemment rapidement impraticable si n était grand. Pour les applications qui en seront faites à la mécanique elle se révèle commode malgré une apparente lourdeur car elle permet de distinguer à vue la nature scalaire, vectorielle ou tensorielle des êtres mathématiques qui interviennent dans les formules et d en contrôler l homogénéité de ce point de vue. 5.9 Choix d une base orthonormée dans E Comme on l a remarqué au paragraphe 5.3 le choix d une base primale {ek} or- thonormée dans E implique que la base duale correspondante dans E,{ek} ,luiest identique. On a alors, cf. (5.19) : ei≡ei gij=δji =gij dont il résulte que pour tout tenseur euclidien les diverses représentations coïncident : Tijk =Tijk =Tijk = ... Autrement dit, si la base est orthonormée, la position des indices n a plus d importance. On notera aussi que dans le cas de bases orthonormées les formules de changement de base et de transformation des composantes données au paragraphe 3.2 se simpli ent considérablement. On posera désormais (tous indices inférieurs) : e i=αikek où, par suite de l orthonormalité de la base {ek} , αik=e i.ek; la formule inverse s écrit alors, la base {e k} étant elle aussi orthonormée : ek=αike i. La formule de transformation des composantes devient alors, pour un tenseur euclidien quelconque (ici, par exemple, T ): αik=e i.ek T ijk = αi αjm αkn T mn (5.52)
326 Annexe I Éléments de calcul tensoriel Pour les tenseurs euclidiens du 1er ordre et du 2ème ordre les opérations de contraction peuvent être écrites sous forme matricielle : en base orthonormée on introduira le symbole ˜ pourdésigner par ˜ T la matrice du tenseur T (1er indice : ligne ; 2ème indice : colonne) etpar˜ v la matrice colonne du vecteur v ;(ils agit des tableaux correspondants dans la base orthonormée donnée). On obtient alors, le point notant ici le produit matriciel : ( T.v)=˜ T.˜ v, (' T .T .v)= ˜ T . ˜ T . ˜ v, v .T.v = t˜ v . ˜ T.˜ v , (T .v ) . (T .v )=t˜ v .t˜ T. ˜ T.˜ v . 5.10 Directions principales et valeurs principales d un tenseur euclidien du 2ème ordre symétrique, réel Soit T un tenseur euclidien du 2ème ordre, symétrique ,réel. On se propose de rechercher les vecteurs propresetv aleu rspropres de l application linéaire associée à T ,c est-à-dire les vecteurs vi non nuls et les scalaires λi(i =1, 2,...,n) tels que : T.vi=λivi sans sommation . (5.53) La détermination des λi conduit à la résolution de l équation polynomiale en λ ( 4.6) : det(T - λ1l)=0 dont les racines sont réelles ouimaginaires conjuguées. La symétrie de T permet de démontrer les résultats classiques suivants. • Les vecteurs propres correspondant à deux valeurs propres distinctes sont ortho- gonaux. Onaeneffet: v1.T.v2=v1.λ2v2=λ2v1.v2 (5.54) et aussi, par la symétrie de T (cf. (5.45)) : v1.T.v2=v2.T.v1=λ1v1.v2 (5.55) d oùv1.v2=0 si λ1 =λ2. • Toutes les valeurs propres sont réelles. Si λi est une valeur propre et λi la valeur imaginaire conjuguée, les vecteurs propres corres- pondants sont aussi imaginaires conjugués : T .vi = λivi ⇒ T . vi = λi vi car T est réel, et les formules (5.54) et (5.55) donnent alors : λivi.vi=λivi.vi dont les seules solutions sont : λi = λi ⇒ vi =0et vi =0⇒ λi = λi. L analyse du cas des valeurs propres multiples est classique et l on démontre que l on peut toujours ainsi construire une base de vecteurs propres orthogonaux e1 ,e2 ,...,en correspondant aux n valeurs propres λ1 ,λ2 ,...,λn (éventuellement multiples).
6 Champsdetenseurs 327 Dans cette base et sa base duale {ek} ,T s explicite de façon simple à partir de (5.53): T=λ1e1⊗e1+λ2e2⊗e2+···+λnen⊗en T=λ1e1⊗e1+λ2e2⊗e2+···+λnen⊗en . (5.56) On en déduit, pour la forme bilinéaire u .T .v : u.T.v=λ1u1v1+···+λnunvn =λ1u1v1+···+λnunvn . (5.57) Il est commode de choisir labasee1 ,e1 ... ,en orthonormée (cf. 5.9); alors : T=λ1e1⊗e1+···+λnen⊗en u.T.v=λ1u1v1+···+λnunvn et la forme quadratique u .T .u s écrit : u .T .u = λ1(u1)2 + ···+ λn(un)2 . (5.58) Les directions dé nies par les vecteurs propres de l application linéaire associée à T , et les valeurs propres correspondantes, sont appelées directions principales et valeurs principales du tenseur euclidien T . Les invariants de T s expriment de façon simple en fonction des valeurs principales, ainsi : I1 =λ1+λ2+···+λn I2=1 2(λ2 1+λ2 2+···+λ2 n) etc. In=1 n (λn 1+λn 2+···+λn n), (5.59) et aussi : detT=λ1λ2...λn . (5.60) 6C h a m p s d e t enseurs 6.1 Dé nition On suppose, comme c est le cas en mécanique des milieux continus, que l espace vectoriel E àpa rtirduquel on a dé ni les tenseurs au paragraphe 1.1, est l espace vectoriel associé d un espace affine :chaquepointM de l espace affineestcarac- térisé par son vecteur-position M ou x,àpartird une origine xée dans cet espace. On dé nit un champ de tenseurs sur cet espace affine en associant à chaque point M un tenseur d un type déterminé (variances précisées) : la valeur du champ de tenseurs au point courant M ,c e st-à-dire le tenseur correspondant, sera notée
328 Annexe I Éléments de calcul tensoriel T(x);o ndésign e r atypiquement par H l espace vectoriel des tenseurs T (x) et l on dira que l on a affaire à un champ de H -tenseurs. On désigne par {ek} une base de E ,par{e∗k} la base duale dans E∗ .Levecteur position x apourcoordonnées xk dans la base {ek}. 6.2 Dérivation d un champ de tenseurs ; gradient d un champ de tenseurs On considère un champ de tenseurs T (x) et l on fait l hypothèse de la dérivabilité de ses composantes par rapport aux coordonnées xk du vecteur position x. Soit alors w un vecteur quelconque de E.Onsaitdé nir, au pointcourantM ,la dérivée du champ T suivant le vecteur w :c est,leH -tenseur noté DwT (x) dé ni par le passage à la limite : DwT (x)= lim λ→0T(x +λw)-T(x) λ ∈H. (6.1) Les hypothèses de dérivabilité sur les composantes de T (x) assurent l existence de cette limite et permettent de démontrer que DwT (x) dépend linéairement de w . En particulier, en choisissant pour w chacun des vecteurs de la base {ek} on obtient : DekT (x)= ∂T (x) ∂xk (6.2) et par linéarité DwT (x)=∂T (x) ∂xk wk =(DekT(x)⊗e∗k) w . (6.3) Cette formule met en évidence le tenseur Dek T (x) ⊗ e∗k qui est associé à l appli- cation linéaire de E dans H : w →DwT(x); ce tenseur, élément de H ⊗ E∗ est appelé gradient du champ de tenseurs au point M et noté T(x): T(x)=DekT(x)⊗ e∗k = ∂T(x) ∂xk ⊗ e∗k (6.4) et DwT(x)= T(x) w . (6.5) Gradient d un champ de tenseurs euclidiens L espace E étant maintenant supposé muni d une structure euclidienne on consi- dère le champ de tenseurs euclidiens dont H constitue un espace de tenseurs associés, soit par exemple le champ T pour xer les idées.
6 Champsdetenseurs 329 La dé nition du gradient donnée ci-dessus est transposable sans ambiguïté, et les formules essentielles s écrivent (en sous-entendant la dépendance en x pour alléger les expressions) : T=DekT⊗ek=∂T ∂xk⊗ek (6.6) T.w=DwT (6.7) ou encore, sous forme différentielle , T.dM=dT. 6.3 Divergence d un champ de tenseurs On suppose que le champ de H -tenseurs concerne des tenseurs dont le dernier indice estc o ntr avariant . On dé nit alors, en chaque point M la divergence du champ T par la contraction du tenseur T (x) ∈ H ⊗ E∗ sur ses deux derniers indices . D où, à partir de la formule (6.4) : div T (x)=∂T (x) ∂xk e∗k =DekT(x) e∗k , (6.8) ce qui correspond à la double contraction de T (x) avec le tenseur I de E ⊗ E∗ : I=δijei⊗e∗j=ek⊗e∗k; ainsi divT(x)= T(x) : I= T : (ek⊗e∗k). (6.9)On obtient donc un nouveau champ de tenseurs qui ne présente plus l ultime indice contravariant des tenseurs du champ initial. Dansle casparticulier oùT(x)∈H=E⊗E par exemple, on a : divT(x)∈E; c est un vecteur et l on véri e que l on a : div T (x)=∂Tij(x) ∂xj ei. (6.10) Divergence d un champ de tenseurs euclidiens L intérét essentiel de la notion de divergence apparaît dans le cas où E est muni d une structure euclidienne. En se plaçant désormais dans cette hypothèse, on ne s intéressera plus, pour simpli er l exposé, qu aux tenseurs euclidiens.
330 Annexe I Éléments de calcul tensoriel Pour un champ de tenseurs euclidiens T l opération divergence est toujours possible. On la dé nit par la formule : divT= T:1l, (6.11) homologue évidente de (6.9), et qui revient à appliquer la dé nition (6.9) à l un quelconque des champs de tenseurs associés à T pour lesquels cela est possible. Cette dé nition permet la généralisation de la formule de la divergence , bien connue pour les champs de vecteurs (tenseurs euclidiens du 1er ordre) aux champs de tenseurs euclidiens d ordre quelconque. Considérant par exemple : T=Tijkei⊗ej⊗ek ona: divT = ei⊗ej∂Tijk ∂xk = ei⊗ejdiv(Tijkek). On voit alors que, pour un volume Ω ,danslesconditions classiques d application du théorème de la divergence à chacun des vecteurs T ijk ek à i et j xés, c est-à-dire si les T ijk sont de classe C1 ,ilvient: Ω divT dΩ = ei ⊗ej ∂Ω(Tijk ek).nda (6.12) où da désigne l élément d aire de ∂Ω et n sa normale sortante. En regroupant les termes de (6.12) on reconnaît au second membre le tenseur T et l on aboutit à la formule : Ω div T dΩ = ∂Ω T .nda (6.13) valable quel que soit l ordre du champ de tenseurs euclidiens concerné. 6.4 Calculs en coordonnées curvilignes Les formules précédentes relatives au gradient ou à la divergence d un champ de tenseurs, dans lesquelles interviennent les dérivées par rapport aux variables xi , concernent le cas où les points de l espacee u clidien sont repérés par les coordon- nées xi de leur vecteur-position dans un repère d origine xée et de base {ei} xée (coordonnées cartésiennes). Il peut se faire aussi que l on ait à considérer des champs de tenseurs dans lesquels les points M sont repérés par des paramètres ηi dé nissant dans l espace euclidien un système de coordonnées curvilignes . C est le cas par exemple pour les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques couramment employées.
6 Champsdetenseurs 331 Les tenseurs T (x) sont alors en général dé nis par leurs composantes dans une base locale constituée à partir d une base de E tangente aux lignes coordonnées en M et de sa base duale. Ces composantes sont données en fonction des coordonnées curvilignes . Il est clair que dans la détermination des composantes de T (x) dans la base locale au point M on rencontrera deux types de termes provenant de contributions différentes • d une part des termes dus à la dérivation des composantes de T (x) par rapport auxηi, • d autre part des termes provenant de la variation de la base locale elle-même avec lesηi. Il n est pas utile de développer ici les formules classiques (coefficients de Chris- toffel) pour cette opération dite de dérivation covariante ;lesapplications dans le cadre de ce cours ne le justi ent pas. Le lecteur trouvera dans la suite un formulaire re- latif aux principaux types de coordonnées curvilignes utilisés et limité aux expressions des gradients et divergences des champs de tenseurs euclidiens strictement nécessaires à l étude du cours. Ces expressions s établissent par identi cation à partir de la formule (6.7). On examinera deux exemplesbidimensionnels simples de ce type de calculs. Calcul du gradient d une fonction vectorielle en coordonnées polaires La position du point M de R2 est repérée par les paramètres : η1=r,η2=θ. (6.14) Les lignes coordonnées sont les cercles de centre O et les rayons vecteurs issus de O ( gure 3). Figure 3 Coordonnées polaires On considère en chaque point M la base locale orthonormée tangente en ce point aux lignes coordonnées : e1=er,e 2 = eθ ,(e1,e2)=+π/2.
332 Annexe I Éléments de calcul tensoriel Une fonction vectorielle U est couramment dé nie, dans ce système de coordonnées polaires, par la formule : U(r, θ)=Ur(r, θ) er + Uθ(r, θ) eθ (6.15) dans laquelle les vecteurs er et eθ sont eux-aussi fonctions de r et θ. Une méthode commode pour le calcul de U consiste à exploiter la formule (6.7) sous la forme différentielle : U.dM=dU=∂U ∂rdr+∂U ∂θ dθ ∀dM=erdr+eθrdθ. (6.16) Compte tenu de la variation de la base locale caractérisée par : ∂er ∂r =0, ∂eθ ∂r =0 ∂er ∂θ=eθ,∂eθ ∂θ=-er (6.17) il vient : U.er =∂U ∂r =∂Ur ∂r er+∂Uθ ∂r eθ U.eθ=1 r∂U ∂θ=1 r ∂Ur ∂θ -Uθ er+1 r ∂Uθ ∂θ +Ur eθ . On en déduit, par identi cation, l expression de U : U=∂Ur ∂r er⊗er+1 r ∂Ur ∂θ -Uθ er⊗eθ+∂Uθ ∂r eθ⊗er+1 r ∂Uθ ∂θ +Ur eθ⊗eθ . (6.18) Calcul du gradient d une fonction vectorielle en coordonnées curvilignes orthogonales quelconques Généralisant l exemple précédent, la gure 4 représente les lignes coordonnées d un système de coordonnées curvilignes orthogonales : lelongdechaque ligne η1 ,η1 varie tandis que η2 reste constant le long de chaque ligne η2 ,η2 varie tandis que η1 reste constant. En chaque point M repéré par les paramètres η1 et η2 OM=M(η1,η2), (6.19) on dé nit la base locale naturelle tangente aux lignes coordonnées, constituée des vecteurs E1 ,E2 àpartirdelaformule différentielle : dM=E1dη1+E2dη2; (6.20)
6 Champsdetenseurs 333 Figure 4 Coordonnées curvilignes orthogonales quelconques on écrit aussi, en se référant à (6.19) : E1=∂M ∂η1,E2=∂M ∂η2 . (6.21) L indication (1 ou 2) des lignes coordonnées est désormais supposée choisie de sorte que (E1 ,E2)=+π/2. La base locale orthonormée colinéaire à la base naturelle est constituée des vecteurs unitaires e2 ,e2 : e1 =E1/|E1|,e 2 =E2/|E2|. (6.22) Les composantes de dM dans cette base sont ds1 et ds2 où s1 et s2 désignent les abscisses curvilignes sur les lignes coordonnées passant par le point M : dM=e1ds1+e2ds2 . (6.23) Une fonction vectorielle U est couramment dé nie, dans ce système de coordonneés curvilignes, par la formule : U(η1 ,η2)=U1(η1 ,η2) e1 + U2(η1 ,η2) e2 (6.24) dans laquelle les vecteurs e1 et e2 de la base locale orthonormée sont eux aussi fonc- tions de η1 et η2. Pour le calcul de U on écrit que : U.dM=dU=∂U ∂η1dη1+∂U ∂η2 dη2 ∀dM=E1dη1+E2dη2 =e1ds1+e2ds2 . (6.25) On désigne par R1 (resp. R2)lerayondecourbure en M de la ligne coordonnée η1 (resp. η2), compté positivement(9) selon E2 (resp. -E1). (9)Cela signi e que si φ1 est l angle fait par e1 avec une direction xe, on a : R1 =ds1/dφ1 . De même avec φ2 pour e2 : R2 =ds2/dφ2 .
334 Annexe I Éléments de calcul tensoriel La variation de la base locale orthonormée est caractérisée par les formules clas- siques : ∂e1 ∂s1=1 R1 e2 ∂e2 ∂s1=-1 R1 e1 ∂e1 ∂s2=1 R2 e2 ∂e2 ∂s2=-1 R2 e1 (6.26) en notant, de façon plus parlante(10) De1=∂ ∂s1 etDe2=∂ ∂s2 . (6.27) Il vient alors : U .E1 = DE1U= ∂U ∂η1 = e1 ∂U1 ∂η1 -U2 1 R1|E1| +e2 ∂U2 ∂η1 +U1 1 R1|E1| U .E2 = DE2U= ∂U ∂η2 = e1 ∂U1 ∂η2 -U2 1 R2|E2| +e2 ∂U2 ∂η2 +U1 1 R2|E2| . On en déduit l expression de U : U = ∂U1 ∂s1 -U2 R1 e1 ⊗ e1 + ∂U1 ∂s2 -U2 R2 e1 ⊗ e2 + ∂U2 ∂s1+U1 R1 e2 ⊗ e1 + ∂U2 ∂s2+U1 R2 e2 ⊗ e2 (6.28) De cette formule on déduit évidemment l expression de div U : divU = ∂U1 ∂s1 -U2 R1+∂U2 ∂s2+U1 R2. Le calcul du rotationnel du champ U s effectue en écrivant que, dans R3 : ∀v ∈R3 ,(rotU)∧v =( U - t U).v d où ici : rotU = ∂U2 ∂s1+U1 R1-∂U1 ∂s2+U2 R2 e3 . (10) ∂ ∂s1=1 |E1| ∂ ∂η1et∂ ∂s2=1 |E2| ∂ ∂η2 . La fonction U ne peut être dé nie en fonction de s1 et s2 (siles coordonnées curvilignes sont authentiques) car s1 et s2 ne constituent pas un système de coordonnées ; les dérivées partielles par rapport à s1 et s2 ont la signi cation donnée par (6.27).
Récapitulatif des formules essentielles 335 Récapitulatif des formules essentielles Base primale dans E : {ek} Base duale dans E : {ek} ei.ej=δji ,e i.ej=gij,e i.ej=gij Te n s e u r e uclidien (représentations) T =Tijkei⊗ej⊗ek=Tijkei⊗ej⊗ek= ···=Tijkei⊗ej⊗ek 1l =gijei⊗ej=δjiei⊗ej=δijei⊗ej=gijei⊗ej Produit tensoriel (exemple) A⊗B =(Aij k ei⊗ej ⊗ek)⊗(Bmn em⊗en)=Aij k Bmn ei⊗ej ⊗ek⊗em⊗en Contraction (exemples) T =Tijk ei⊗ej⊗ek⊗e Tc =Tijk (ej.ek)ei⊗e =Tikk ei⊗e T c =Tijk (ei.ej)ek⊗e =gijTijk ek⊗e Produit contracté (exemples) A.B =(Aijk ei⊗ej⊗ek).(Bmn em⊗en) =AijkBmn(ek.em)ei⊗ej⊗en =AijkgkmBmnei⊗ej⊗en A.C =(Aijk ei⊗ej ⊗ek).(Cmn em⊗en) =AijkCmn(ek.em)ei⊗ej⊗en =AijkCknei⊗ej⊗en Produit doublement contracté (exemple) A:B =(Aijkei⊗ej⊗ek):(Bmnem⊗en) = Aijk Bmn(ek .em)(ej .en)ei = Aijk gkm Bmj ei
336 Annexe I Éléments de calcul tensoriel Te n s e u rs du 2ème ordre (propriétés et formules remarquables) •T.v =φ(v) φ : application linéaire de E dans E dont la matrice par rapport à la base {ek} apourcoefficientsT ij . •T.T-1= T-1.T=1l T -1 : tenseur inverse, correspond à φ-1 (s il existe) . •T.v=v.tT tT : tenseur transposé (tT)ij =Tji,(tT)ij =Tji,(tT)ij =Tji,... t(A .B)=tB . tA • tenseur symétrique : T = tT tenseur antisymétrique : T = -tT T=Ts+Ta,Ts=1 2(T+tT),Ta =1 2(T - tT) A:B=As:Bs+Aa:Ba • Invariants I1=trT=T:1l I2=1 2 tr (T2)=1 2T:T I3 = 13 tr (T3)=13(T .T):T ... In=1 ntr (Tn) det(T .T )=detT ×detT
Récapitulatif des formules essentielles 337 Gradient d un champ de tenseurs (exemple) T=∂T ∂xk⊗ek T.dM =dT Divergence d un champ de tenseurs (exemple) divT= T:1l Ω div T dΩ = ∂Ω T .nda formulede la divergence
Annexe II Opérateurs différentiels : formules essentielles 1C oordonnées cartésienneso rthonormées ..........341 1.1C oordonnées ........................ 341 1.2C hamp de vecteurs . .................... 341 1.3F onctionscalaire. . .................... 342 1.4 Champ de tenseurs du 2ème ordre ............. 342 2C oordonnées cartésiennesquelconques ...........343 2.1C oordonnées ........................ 343 2.2C hamp de vecteurs . .................... 343 2.3F onctionscalaire. . .................... 343 2.4 Champ de tenseurs du 2ème ordre ............. 344 3C oordonnées cylindriques ..................344 3.1P aramétrage ........................ 344 3.2C hamp de vecteurs . .................... 345 3.3F onctionscalaire. . .................... 345 3.4 Champ de tenseurs du 2ème ordre symétriques ..... 345 4C oordonnées sphériques ...................346 4.1P aramétrage ........................ 346 4.2C hamp de vecteurs . .................... 346 4.3F onctionscalaire. . .................... 347 4.4 Champ de tenseurs du 2ème ordre symétriques ..... 347 339
1 Coordonnéescartésiennes orthonormées 341 Opérateurs différentiels : formules essentielles 1C o o r d o n n ées cartésiennes orthonormées 1.1 Coordonnées Figure 1 Coordonnées cartésiennes orthonormées Les coordonnées d un point M sont xi(i =1, 2, 3) notées aussi x,y,z;c es o nt les composantes de OM dans la base ei(i =1, 2, 3) notée aussi (ex ,ey ,ez) : OM=xiei. 1.2 Champ de vecteurs v(M)=v(x)=vi(x) ei = vi(x) ei . Ici les composantes contravariantes et covariantes sont égales, et les bases {ei} et {ei} sont identiques : v(x)=vx(x) ex + vy(x) ey + vz(x) ez v(x)= ∂vi ∂xj(x)ei ⊗ej
342 Annexe II Opérateurs différentiels : formules essentielles ˜ v= ∂vx ∂x ∂vx ∂y ∂vx ∂z ∂vy ∂x ∂vy ∂y ∂vy ∂z ∂vz ∂x ∂vz ∂y ∂vz ∂z divv=∂vi ∂xi = ∂vx ∂x+∂vy ∂y+∂vz ∂z Δv =div( v)= ∂2vi ∂xj∂xj ei . 1.3 Fonction scalaire f(M)=f(x) f=∂f ∂xi ei Δf =div( f)= ∂2f ∂xi∂xi . 1.4 Champ de tenseurs du 2ème ordre T(M)=Tij (x)ei ⊗ ej T (M)= ∂Tij ∂xk ei⊗ej⊗ek divT=∂Tij ∂xj ei ΔT =div( T )= ∂2Tij ∂xk∂xk ei ⊗ ej
2 Coordonnéescartésiennes quelconques 343 2C o o r d o n n ées cartésiennes quelconques 2.1 Coordonnées Figure 2 Coordonnées cartésiennes quelconques Les coordonnées d un point M sont xi (i =1, 2, 3) composantes de OM dans la base ei(i=1, 2, 3): OM=xiei. 2.2 Champ de vecteurs v (M)=v (x)=vi(x) ei = vi(x) ei v=∂vi ∂xjei⊗ej divv=∂vi ∂xi Δv =div( v)=gkj ∂2vi ∂xk∂xj ei . 2.3 Fonction scalaire f(M)=f (x) f=∂f ∂xi ei Δf =div( f)=gij ∂2f ∂xi∂xj .
344 Annexe II Opérateurs différentiels : formules essentielles 2.4 Champ de tenseurs du 2ème ordre T(M)=Tij(x)ei ⊗ej = Tij(x)ei ⊗ej = ... T (M)=∂Tij ∂xk ei⊗ej⊗ek divT=∂Tij ∂xj ei ΔT =div( T )=gk ∂2T ij ∂xk∂x ei⊗ej. 3C o o r d o nnées cylindriques 3.1 Paramétrage er=∂M ∂r eθ=1 r∂M ∂θ ez =∂M ∂z Figure 3 Coordonnées cylindriques La position d un point M est repérée par les paramètres r, θ, z ( gure 3). La base locale orthonormée est er ,eθ ,ez : dM=erdr+eθrdθ+ezdz; sa variation est donnée par ∂er ∂r=0,∂eθ ∂r=0 ,∂ez ∂r =0 ∂er ∂θ=eθ ,∂eθ ∂θ=-er ,∂ez ∂θ =0 ∂er ∂z=0,∂eθ ∂z=0 ,∂ez ∂z =0.
3 Coordonnées cylindriques 345 3.2 Champ de vecteurs Un vecteur v au point M est décomposé dans la base locale orthonormée er ,eθ ,ez .Sescomposantes sont vr ,vθ ,vz : v(M)=vr(r,θ,z)er +vθ(r,θ,z)eθ +vz(r,θ,z)ez . (3.1) On a, dans cette base : ˜ v= ∂vr ∂r 1 r ∂vr ∂θ-vθ ∂vr ∂z ∂vθ ∂r 1 r ∂vθ ∂θ +vr ∂vθ ∂z ∂vz ∂r 1 r ∂vz ∂θ ∂vz ∂z divv=∂vr ∂r+vr r+1 r ∂vθ ∂θ+∂vz ∂z Δv =div( v)=(Δvr - 2 r2 ∂vθ ∂θ-vr r2)er +(Δvθ + 2 r2 ∂vr ∂θ-vθ r2)eθ+Δvzez . 3.3 Fonction scalaire f (M)=f (r,θ, z) f=∂f ∂rer+1 r∂f ∂θeθ+∂f ∂z ez Δf =div( f)= ∂2f ∂r2+1 r∂f ∂r+1 r2 ∂2f ∂θ2 + ∂2f ∂z2 . 3.4 Champ de tenseurs du 2ème ordre symétriques T(M)=T(r,θ,z)=Tij(r,θ,z)ei ⊗ej on se limitera à l expression de div T (r, θ, z) : div T (r,θ, z)= ∂Trr ∂r +1 r ∂Trθ ∂θ + ∂Trz ∂z +Trr -Tθθ r er + ∂Tθr ∂r +1 r ∂Tθθ ∂θ + ∂Tθz ∂z + 2Trθ r eθ + ∂Tzr ∂r +1 r ∂Tzθ ∂θ + ∂Tzz ∂z +Tzr r ez .
346 Annexe II Opérateurs différentiels : formules essentielles 4C o o r d o nnées sphériques 4.1 Paramétrage er =∂M ∂r eθ=1 r∂M ∂θ eφ= 1 rsinθ∂M ∂φ Figure 4 Coordonnées sphériques La position d un point M est repérée par les paramètres r, θ, φ ( gure 4). La base locale orthonormée est er ,eθ ,eφ : dM=erdr+eθrdθ+eφrsinθdφ; sa variation est donnée par : ∂er ∂r =0 , ∂eθ ∂r =0 , ∂eφ ∂r =0 ∂er ∂θ=eθ , ∂eθ ∂θ=-er , ∂eφ ∂θ =0 ∂er ∂φ = eφ sin θ,∂eθ ∂φ = -eφ cos θ,∂eφ ∂φ= -ersinθ-eθcosθ. 4.2 Champ de vecteurs Un vecteur v au point M est décomposé dans la base locale orthonormée (er ,eθ ,eφ) : v(M)=vr(r,θ,φ)er +vθ(r,θ,φ)eθ +vφ(r,θ,φ)eφ .
4 Coordonnéessphériques 347 On a dans cette base : ˜ v= ∂vr ∂r 1 r ∂vr ∂θ-vθ 1 r 1 sin θ ∂vr ∂φ-vφ ∂vθ ∂r 1 r ∂vθ ∂θ +vr 1 r 1 sin θ ∂vθ ∂φ-vφcotθ ∂vφ ∂r 1 r ∂vφ ∂θ 1 r 1 sin θ ∂vφ ∂φ +vθ cotθ+vr divv=∂vr ∂r+1 r ∂vθ ∂θ+ 1 r sinθ∂vφ ∂φ+vθ r cotθ+2vr r. Δv =div( v)= Δvr - 2 r2(vr+ 1 sinθ∂ ∂θ(vθ sinθ)+ 1 sin θ ∂vφ ∂φ) er + + Δvθ + 2 r2 (∂vr ∂θ- vθ 2sin2θ- cosθ sin2 θ ∂vφ ∂φ) eθ + + Δvφ + 2 r2 sin θ (∂vr ∂φ +cot θ ∂vθ ∂φ- vφ 2sinθ ) eφ . 4.3 Fonction scalaire f (M)=f (r,θ,φ) f=∂f ∂rer+1 r∂f ∂θeθ+ 1 r sinθ∂f ∂φ eφ Δf =div( f)= ∂2f ∂r2+2 r∂f ∂r+1 r2 ∂2f ∂θ2+1 r2 cot θ∂f ∂θ+ 1 r2 sin2 θ ∂2f ∂φ2 . 4.4 Champ de tenseurs du 2ème ordre symétriques T(M)=T(r,θ,φ)=Tij(r,θ,φ)ei ⊗ej div T (r, θ, φ)= ∂Trr ∂r +1r∂Trθ ∂θ+ 1 r sinθ∂Trφ ∂φ +1r(2Trr -Tθθ-Tφφ+Trθ cotθ) er + ∂Tθr ∂r +1r∂Tθθ ∂θ+ 1 r sinθ∂Tθφ ∂φ + 1r ((Tθθ - Tφφ)cotθ +3Trθ) eθ + ∂Tφr ∂r +1r∂Tφθ ∂θ+1 r sinθ∂Tφφ ∂φ + 1r(3Trφ +2Tθφ cot θ) eφ .