Ф. Г. СЕРОВА, А. А. ЯНКИНА
СБОРНИК ЗАДАЧ
по теоретической физике
Квантовая механика,
статистическая физика
Допущено Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия
для студентов педагогических институтов
по физическим специальностям
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1979

ББК 22.31
С 32
Рецензенты:
кафедра теоретической физики
Московского педагогического института им. В. И. Ленина,
профессор Челябинского педагогического института
Свирский М. С.
Серова Ф. Г.г Янкина А. А.
С32 Сборник задач по теоретической физике: Кван-
Квантовая механика, статистическая физика. Учеб. посо-
пособие для студентов пед. ин-тов по физ. спец. — М.:
Просвещение, 1979. —192 с, ил.
В книге содержатся задачи по квантовой механике и статистической
физике, подобранные в соответствии с программой курса теоретической
физики для физических специальностей педагогических институтов.
с*0^™>41_79 4309021100
103 @3J-79
© Издательство «Просвещение», 1979 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по
теоретической физике содержит за-
задачи по квантовой механике и стати-
статистической физике. Он предназначен
для студентов педагогических ин-
институтов.
При составлении и подборе задач
руководящими мотивами были сле-
следующие; 1) органическая связь с те-
теоретическим курсом; 2) последова-
последовательность; 3) доступность математи-
математического аппарата.
В начале каждого параграфа
имеется краткое теоретическое вве-
введение, в котором приводятся основ-
основные формулы. Многие задачи взяты
из опубликованных пособий, часть
задач и большинство решений состав-
составлены авторами. Изложение ведется в
Международной системе единиц (СИ).
Авторы благодарны доктору фи-
физико-математических наук Т. Н. Бо-
Болотниковой и профессору М. С. Свир-
скому за их труд по рецензированию
пособия и ценные замечания, спо-
способствовавшие его улучшению, а так-
также всем читателям, которые пришлют
свои замечания и предложения по
улучшению данного сборника.

Раздел I
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
§ 1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Модель атома Резерфорда. Теория Бора
Классическая физика не могла объяснить устойчивость
атома Резерфорда и линейчатый характер атомных спек-
спектров.
Н. Бор разработал теорию водородоподобных атомов,
приняв следующие постулаты:
1. Электроны в атомах движутся по устойчивым (ста-
(стационарным) орбитам, не излучая энергию.
2. Атом излучает и поглощает энергию при переходе
электрона с одной стационарной орбиты на другую, при
этом частота излучения (или поглощения) определяется
соотношением
v=^i, A.1)
где Е2 и Ех—значения энергии стационарных состояний
атома, h — постоянная Планка.
Дискретный энергетический спектр системы опреде-
определяется правилами квантования:
Щ9 A.2)
где tt/ = 0, 1, 2 ...—квантовые числа, qt — обобщенная
координата, pt—сопряженный с q{ обобщенный импульс,
i=l, 2, ..., k (k—число степеней свободы системы).
Частоты спектральных линий водородоподобных атомов
рассчитываются по формуле Бальмера
A.3)

где R— постоянная Ридберга, п1 и п2—квантовые числа
стационарных состояний, между которыми происходит
переход.
Зависимость постоянной Ридберга от массы ядра вы-
выражается формулой
7^
где Мя—масса ядра, R^— предельное значение постоян-
постоянной Ридберга, соответствующее бесконечно большой массе
ядра.
1. Оценить время, за которое электрон, движущийся
вокруг протона в атоме водорода по орбите с радиусом
0,53-10~10м, упал бы на ядро, если бы он терял энергию
на излучение в соответствии с формулой классической
электродинамики
dE 2 el
dt 3 4яе0с3 r *
где г— вектор ускорения электрона.
2. Пользуясь правилами квантования A.2), найти
уровни энергии одномерного гармонического осциллятора
с частотой со.
3. Частица массы т0 движется по круговой орбите
в центрально-симметричном потенциальном поле. Потен-
Потенциальная энергия частицы L/ = y&r2 (где г —радиус ор-
орбиты). Пользуясь правилом квантования, определить
уровни энергии частицы.
4. Показать, что частота излучения водородоподобного
атома, соответствующая переходу электрона с az+1-й
орбиты на n-ю, равна частоте обращения электрона на
л-й орбите, если п^>1 (принцип соответствия).
5. Определить квантовое число п для возбужденного
состояния атома водорода, если известно, что при пере-
переходе в основное состояние атом излучил два фотона
с длинами волн \ = 65630 нм и Х2== 12160 нм.
6. Вычислить потенциалы ионизации и первые потен-
потенциалы возбуждения для ионов гелия Не+ и лития Li + + .
7. Учитывая движение ядра водородоподобного атома
путем введения приведенной массы, получить выражение

для энергии электрона в м-м состоянии и найти зависи-
зависимость постоянной Ридберга от массы ядра.
8. Найти для легкого водорода и дейтерия разность:
а) энергий связи электронов в основных состояниях;
б) длин волн головных линий серии Бальмера;
в) первых потенциалов возбуждения.
9. Вычислить для связанной системы позитрон + элек-
электрон: а) радиусы стационарных орбит позитрона; б) по-
зитронный потенциал ионизации; в) длину волны резо-
резонансной линии.
10. Определить для мезоатома (водородоподобный
атом, в котором вокруг ядра вместо электрона обращается
(i-мезон) радиус первой боровской орбиты, энергию связи
в основном состоянии и первый потенциал возбуждения.
Волновые свойства микрочастиц. Соотношения
неопределенности
Все микрочастицы обнаруживают двойственную кор-
пускулярно-волновую природу. Связь между корпуску-
корпускулярными и волновыми свойствами частицы выражается
соотношениями
? = Й©, A.5)
р = й, A.6)
где Е—энергия, ю — циклическая частота, k—волновой
->
вектор, р—импульс.
Свободно движущейся частице по гипотезе де Бройля
сопоставляется плоская монохроматическая волна
- -1 (Et-xp)
^Ae * A.7)
с длиной волны
Ь = - = ^ . A.8)
р то v '
Следствием корпускулярно-волновой природы микро-
микрочастиц являются соотношения неопределенности Гейзен-
берга:
Ахг&рх.~%, A.9)

где &Xi — неопределенность координаты, Арх. — неопреде-
неопределенность соответствующей проекции импульса.
11. Какова длина волны де Бройля электрона, про-
прошедшего ускоряющую разность потенциалов (У = 103В?
12. Каковы дебройлевские длины волны протона и
электрона, кинетические энергии которых равны средней
кинетической энергии теплового движения одноатомных
молекул при комнатной температуре?
13. Какова длина волны де Бройля электрона с ки-
кинетической энергией 24,6 эВ (энергия ионизации атома
гелия)? Сравните это значение X с диаметром атома гелия
й = 0,22нм. Нужно ли учитывать волновые свойства ве-
вещества при изучении движения электронов в атоме гелия?
14. Определите длину волны де Бройля для а-частицы
с кинетической энергией 7,7 МэВ. В опытах по резер-
фордовскому рассеянию существенны расстояния порядка
10"* м; но при анализе опытов обычно не учитывают
волновые свойства а-частицы. Правильно ли это?
15. В 1929 г. Эстерман и Штерн провели эксперимент
по дифракции атомов гелия, падающих на кристалл
фтористого лития (LiF). Какова длина волны де Бройля
атома гелия (Не) g энергией -^ kT при температуре
Т = 290 К?
16. Найти значение кинетической энергии электрона,
при которой погрешность в длине волны де Бройля,
определяемой по нерелятивистской формуле, не превы-
превышает 1% от значения, полученного по релятивистской
формуле. Проведите аналогичные вычисления также и
для протона.
17. Используя функцию распределения Максвелла
для молекул газа по модулям скоростей, найти распределе-
распределение молекул в состоянии теплового равновесия по де-
бройлевским длинам волн. Вычислите наиболее вероятную
длину волны де Бройля для молекулы водорода при
температуре 300 К.
18. Нерелятивистская частица с массой tnt и кинети-
кинетической энергией Ек испытывает упругое лобовое соуда-
соударение с покоящейся частицей массы т2. Найти деброй-
дебройлевские длины волн частиц после соударения в системе
отсчета, связанной с центром масс этих частиц.
19. В опытах по дифракции электронов с энергией
200 эВ на поликристаллической фольге оказалось, что

диаметр дифракционного кольца первого порядка равен
Зсм. Расстояние от фольги до экрана 15см. Определить
межплоскостное расстояние d для кристаллического об-
образца.
20. Каково расстояние Ах между соседними максиму-
максимумами густоты электронов, если дифракционная картина
является результатом прохождения пучка электронов
с кинетической энергией Ек — 24эВ через диафрагму
с двумя щелями, расстояние между которыми равно d =
^=30мкм? Экран удален от диафрагмы на /= 100 см.
21. Показать, что измерение координаты частицы
с помощью узкой щели шириной d вносит неопределен-
неопределенность в соответствующую проекцию импульса порядка
А (где Ax = d).
22. Показать, что определение импульса частицы (по
частоте рассеянного света) вносит неопределенность в ее
координату, которая удовлетворяет неравенству
23. Убедиться, что измерение координаты микро-
микрочастицы с помощью микроскопа вносит такую неопреде-
неопределенность в ее импульс, что Ax-Apx^h.
24. Электрон заключен в области с линейными раз-
размерами порядка 0,1 нм. Какова неопределенность импульса
электрона? Какой энергии соответствует такой импульс?
25. Оценить неопределенность скорости электрона
в атоме водорода, полагая его диаметр d'= 10~8 см. Срав-
Сравнить найденное значение неопределенности скорости со
скоростью электрона на первой боровской орбите.
26. Исходя из соотношения неопределенностей, пока-
показать, что электроны не могут находиться внутри атом-
атомных ядер.
27. Полагая для электрона в атоме водорода, что
неопределенность его расстояния от ядра сравнима с этим
расстоянием, оценить минимально возможную энергию
атома водорода и соответствующее расстояние электрона
от ядра.
28. Показать, что длина волны де Бройля уклады-
укладывается на длине любой боровской орбиты целое число раз.
29. Микрочастица с массой покоя т0 находится
в одномерном потенциальном ящике шириной / с беско-
а

нечно высокими стенками. Оцените минимально возмож-
возможную энергию частицы, если Ах-А^^зхА.
30. Исходя из соотношения неопределенностей, пока-
показать, что минимально возможная энергия линейного гар-
гармонического осциллятора по порядку величины равна %ю
(где со—собственная циклическая частота осциллятора).
31. Полагая для обоих электронов в атоме гелия не-
неопределенность в положении равной их расстоянию от
ядра, оценить грубо минимально возможную энергию
атома гелия и соответствующее расстояние электронов
от ядра.
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Оператор А называется линейным, если
А (С^ + С2г|J) = С А +С2Лфя, B Л)
где Clf С2— постоянные, г^ и i)J—функции некоторых
переменных.
/\ А.
Операторы А и В коммутативны, если
[, ] Ш = 0. B-2)
Оператор А, удовлетворяющий условию
й*г|?Г dx, B.3)
называется самосопряженным или эрмитовым. Здесь звез-
звездочкой обозначены соответственно комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженные функция и оператор; интегрирование проводится по
всей области изменения независимых переменных; dx —
элемент объема указанной области.
Собственные функции и собственные значения опера-
оператора определяются из уравнения
где Ап = const.
Совокупность собственных функций, удовлетворяющих
стандартным требованиям (конечности, непрерывности и
однозначности), образует полную систему ортонормиро-
ванных функций:

а) для дискретного спектра собственных значений Ап —
B.5)
б) в случае непрерывного спектра —
. А^\ B.6)
Среднее значение физической величины Л в состоянии
•ф равно
Л"= 5 ^*A\pdx, B.7)
где Л — соответствующий оператор.
Совокупность коэффициентов Сп и С (Л) разложения
функции \|?(г) по собственным функциям tyn(r) и я|)л(г)
некоторого оператора А
l dAi B.8)
At
где
Ся = S я|) G) ^ @ dtf С (Л) == S ф (О -ф^ (Г) dx, B.9)
определяет волновую функцию в Л-представлении,
причем
5 \С(А)\ЫА = 1. B.10)
« л,
Произвольный оператор В в Л-представлении за-
задается совокупностью матричных элементов:
klh«dx. B.11)
Основные квантовомеханические операторы в коорди-
координатном представлении:
д ^ ^ — операторы проек-
Рх ^"~"l"* gj» Р — — ^V ции и вектора им-
импульса;
10

л — оператор полной
' энергии (гамильто-
(гамильтониан);
— операторы проек-
проекций момента им-
импульса;
! — 3\ + 3l + 2\ = — ^2Уе.Ф — оператор квадрата
момента импульса.
Здесь у—оператор градиента; U (х, уу г) —потенциаль-
—потенциальная энергия частицы во внешнем консервативном поле;
у2—оператор Лапласа, имеющий в сферических коорди-
координатах вид:
д2 . 2 д . 1 *
j2 / >/
32. Найти результат действия операторов ^%2 и f j-
на функции: a) sinx, б) е2х.
33. Определите функцию / от оператора А по анало-
аналогии g разложением в ряд Тейлора этой функции; пока-
^ д
жите, что для оператора A=j- справедливо операторное
равенство
п!ал;
/2=0
где а—некоторое число.
34. Показать, что для любого оператора а, квадрат
которого равен единице (о>2= 1), справедливо соотношение
где 0—некоторое вещественное число.
35. Выразить оператор параллельного переноса
через оператор импульса.
kx±
36. Найти результат действия оператора е дх на
функцию я|з(л:).
11

37. Найти оператор бесконечно малого поворота
вокруг направления п0 и выразить его через оператор
момента импульса J?.
38. Показать, что если операторы А и В линейные,
то их сумма А + В и произведение А В тоже представ-
представляют собой линейные операторы.
39. Является ли оператор комплексного сопряжения
УИ'ф^'ф* линейным оператором?
40. Является ли оператор дифференцирования Л = ^
эрмитовым оператором?
41. Является ли оператор комплексного сопряжения
эрмитовым оператором? Чему равен оператор, комплекс-
комплексно-сопряженный оператору комплексного сопряжения?
42. Показать, что сумма произвольного оператора Л и
его сопряженного оператора есть самосопряженный (эр-
(эрмитов) оператор.
43. Доказать, что если операторы А и В эрмитовы,
то и операторы А + В я АВ + ВА также эрмитовы.
44. Какое соотношение должно существовать между
эрмитовыми операторами А я В для того, чтобы их про-
произведение было эрмитовым оператором?
45. Доказать эрмитовость следующих операторов:
а) рх\ б) i5,; в) pi- г) Н.
46. Доказать эрмитовость оператора <5?2, учитывая,
что операторы 3?х, J?yy Sz эрмитовы.
47. Показать, что среднее значение квадрата физи-
физической величины Л является положительным.
48. Доказать, что в любом состоянии г|; среднее зна-
значение энергии не меньше энергии основного состояния Ео
49. Доказать, что если операторы А и В коммути-
коммутируют, то:
/\ /\ /\ /\ /\ /\
а) (А + ВJ = А2 + 2АВ + В2;
б) (А+В)(А — В) = А2—В2;
в) [{А + В), #-?)]_ =0.
12

50. Доказать, что если операторы At коммутируют
А А
с оператором 5, то с ним коммутирует и оператор А =
51. Доказать, что если [А, В]_ = 1, то:
а) [А, Я*]_ = 25;
б) [й, В3]_ = ЗВ2;
/\ А. А А А А
в) [А2, В*]_ = 2(АВ+ВА).
А
52» Найти коммутатор оператора х и оператора Лап-
ласа V2-
53. Проверить следующие правила коммутации для
гамильтониана Н в потенциальном поле U (х):
a)
А А А.
54. Оператор А коммутирует с операторами В и С.
Можно ли отсюда заключить, что операторы йиС ком-
коммутируют между собой?
А А
55. Доказать, что если операторы А и В эрмитовы
н некоммутирующие, то:
А /\ А А
а) [Л, В]_ — неэрмитов оператор; б) i['A9 ?]_—эрми-
?]_—эрмитов оператор.
56. Проверить следующие правила коммутации:
а) [$х, &у]„ ?
9) [J?y9 S2]-
в) [?„ 2^ r
57. Доказать следующие правила коммутации:
а) [^ж, Jj_=O;
б) [&х, ри]. = Лрж\
А А ,/Ч
в) [^*. Р»]-= —»»/'»•
13

58. Используя сферические координаты, найдите связь
/\
оператора квадрата момента импульса J?2 с оператором
/\
Лапласа и с оператором кинетической энергии 7\
/\
59. Доказать, что оператор Зг коммутирует с опера-
/\
тором кинетической энергии 7\
60. Найти собственные функции 1|з и собственные зна-
значения следующих операторов:
а) — i -г*, если г|) (х) = г|) (х + #) (где а — постоянная
величина);
б) —-т-2 , если я|) = 0 при х = 0 и х = 1.
61. Найти нормированные собственные функции one-
ратора р в координатном представлении.
62. Найти собственные значения и нормированные
собственные функции следующих операторов:
а) ?,=—**?;
в) Л = — fifc-g-+asinq>,
где ф—азимутальный угол.
63. Найти собственные значения оператора квадрата
/\
момента импульса J272, соответствующие его собственной
функции
64. Найти нормированные собственные функции и
собственные значения оператора кинетической энергии
вращательного движения Гф плоского ротатора (система
из двух жестко связанных друг с другом материальных
точек, вращающихся в плоскости относительно центра
масс). Оператор Тф выражается формулой Тф=^ (где
/ — момент инерции системы относительно центра масс).
65. Возможные значения проекции момента импульса
частицы, движущейся в центрально-симметричном поле,
на произвольную ось равны tnh (где т = 0, ±1, ±2,...
14

..., ±/). Принимая во внимание равноправность осей,
а значит, и равновероятность этих проекций, показать,
что в состоянии с определенным значением I среднее значе-
значение квадрата момента импульса равно J§P2 = ^2/ (/ + 1).
66. Модель пространственного ротатора — это частица
с массой \1У движущаяся на расстоянии ro = const от
центра 0. Найти собственные значения энергии такого
ротатора, считая известными собственные значения
ратора J?2:
где / = 0, 1,2, ...
67. Доказать, что в стационарном состоянии дискрет-
дискретного спектра среднее значение проекции импульса ча-
частицы равно нулю.
68. Показать, что в состоянии t|), которому соответ-
соответствует определенное_собственное значение оператора j?z,
средние значения 2\ и <2?у равны нулю.
69. Непосредственными вычислениями убедиться в ор-
тогональности собственных функций оператора 2?z, при-
принадлежащих различным собственным значениям.
70. Показать, что оператор радиус-вектора частицы
в р-представлении есть r—in—z;.
dp
71. Определить собственные функции и спектр соб-
/\
ственных значений оператора х в импульсном представ-
представлении.
72. Состояние частицы описывается волновым пакетом
-ах*+±.Хр0
гауссовской формы ty(x) = Ae n . Найти нормиро-
нормировочный коэффициент А и перейти к импульсному пред-
представлению.
73. Перейти к импульсному представлению для вол-
волновой функции
15

74. Найти волновые функции в г- и ^-представлениях
для частицы, локализованной в точке г0, и для частицы,
—>
движущейся с определенным импульсом р0.
75. По заданной волновой функции i|)(x, у, z) вычи-
вычислить вероятность нахождения частицы в состоянии
с координатой х, лежащей в интервале от х1 до х2У и
с компонентом импульса рх, лежащем в интервале от рх
ДО р2.
76. Частица находится в бесконечно глубокой потен-
потенциальной яме @^х^.а) в состоянии -ф (х) = A sin — х.
Получить для нее распределение по импульсам.
77. Гармонический осциллятор в основном состоянии
характеризуется волновой функцией ty(x) = Ае~а2х\ Полу-
Получить волновую функцию в ^-представлении и найти рас-
распределение вероятностей по импульсам.
78. Частица находится в однородном потенциальном
поле U (х) = ах. Найти собственные значения и собствен-
собственные функции оператора энергии в р-представлении.
79. В одномерной прямоугольной потенциальной яме
с абсолютно непроницаемыми стенками (О^х^а) нахо-
находится частица в состоянии ty(x) = Ax(a—х). Найти вол-
волновую функцию в энергетическом представлении и вы-
вычислить среднюю энергию частицы.
80. Плоский ротатор находится в состоянии, описы-
описываемом функцией г|)(ф) = A sin2cp. Найти волновую функ-
функцию в ^^-представлении и вычислить средние значения
величин Sz и J?!.
/\
81. Определить собственные значения операторами
их вероятности для системы, находящейся в состоянии
ф(ф)-=Л A+coscpJ.
82. Определить матричные элементы дипольного мо-
/\
мента ех в ^-представлении для частицы в бесконечно
глубокой одномерной потенциальной яме @^.х^а).
83. Определить матричные элементы оператора им-
импульса в ^-представлении для частицы, находящейся
в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
@<<)
16

84. Вычислить матричные элементы оператора проек-
/\
ции момента импульса ??г и показать, что в своем соб-
собственном представлении он диагоналей.
85. Вычислить угловую часть матричных элементов
оператора проекции дипольного момента Dz — ez для ча-
частицы в центрально-симметричном поле, состояние кото-
которой описывается волновой функцией \\>пШ =
= Rni(r)Plm(cos0)eim(i> (где Plm (cos9) — полиномы Ле-
жандра).
86. Доказать, что из эрмитовости операторов вытекает
следующее свойство матричных элементов: Апт==А^гп (его
называют эрмитовостью матриц).
§ 3. ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ
Временное уравнение Шредингера
?o C.D
в отсутствие переменных полей ( 37- = 0 ] имеет решением
функцию
-> -Lei
У (г, t) = $B(r)-e h , C.2)
где tyE(r) описывает стационарное состояние и является
/\
собственной функцией гамильтониана Я.
Уравнение непрерывности записывается в следующем
виде:
^ C.3)
Здесь вектор / представляет плотность тока вероятности:
1^^^ C.4)
Производной по времени от некоторой физической
величины соответствует оператор
17

Величина А = const является интегралом движения,если
л- л.
dA д А
-7т-=0. При -^г-=0 признаком этого будет условие
[Я, Л]_ = 0. C.6)
87. Показать, что временное уравнение Шредингера
дает стационарные решения, если потенциальная энер-
энергия U не зависит явно от времени.
88. Как изменится полная волновая функция W (х, /),
описывающая стационарные состояния, если изменить
начало отсчета потенциальной энергии на величину At/?
89. Выяснить, является ли волновая функция
Ч? (х, O — ^S^fcW^""*0*' > представляющая собой суперпо-
суперпозицию стационарных состояний, решением временного и
стационарного уравнений Шредингера
90. Используя уравнение Шредингера, получить ра-
равенство
указывающее на сохранение нормировки волновой функ-
функции с течением времени.
91. Показать, что в стационарных состояниях плот-
плотность вероятности и плотность тока вероятности не за-
зависят от времени.
92. Доказать, что вероятность обнаружения опреде-
определенного значения любой физической величины в стацио-
стационарном состоянии не зависит от времени.
93. Найти общее решение временного уравнения
Шредингера для свободной частицы.
94. Показать, что свободно движущаяся частица имеет
непрерывный энергетический спектр.
95. Свободная частица имеет в момент времени / = 0
волновую функцию:
б) Ч (х, 0) = BлЛ) 2 в к
18

Найти волновые функции в следующие моменты времени.
96. Плоским ротатором называют систему из двух
жестко связанных частиц, вращающуюся в плоскости
вокруг своего центра инерции. Оператор энергии такого
ротатора имеет вид # =— ^/^(где/—момент инерции
системы). Как изменяется во времени состояние плоского
ротатора, если в момент / = 0 оно описывается волновой
функцией ^(ф, 0) = Лзт2ф?
97. Волновая функция частицы, находящейся в одно-
одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной а
с абсолютно непроницаемыми стенками, имела в началь-
начальный момент t = О вид W (х, 0) = Ах (а—х). Найти волновую
функцию частицы в произвольный момент времени t.
98. В момент времени / = 0 свободная частица опи-
~-— + ikox
сывается функцией ^(х, 0) = Ае 2а2 . Определить ко-
коэффициент А и область локализации частицы. Найти
плотность тока вероятности /.
99. Найти коэффициенты Фурье для функции, при-
приведенной в задаче 98, и определить ширину волнового
пакета в ^-пространстве. Проверить соотношение неопре-
неопределенности .
100. Рассмотреть временную эволюцию пакета волн,
если в начальный момент времени он представляется
функцией
Определить Ч^х, t), плотность вероятности и плотность
тока вероятности.
101. Доказать, что для частицы, движущейся в по-
потенциальном поле U (х)у выполняются операторные ра-
равенства:
dt v rx/ m0 дх
19

102. Выяснить, будут ли сохраняться энергия ?,
проекции импульса, проекции и квадрат момента импульса
при свободном движении частицы.
103. Какие из механических величин (энергия Е9 про-
проекции импульса, проекции и квадрат момента импульса)
сохраняются при движении частицы: а) в однородном
потенциальном поле U(z) = az (где а—постоянная);
б) в центрально-симметричном потенциальном поле U (г);
в) в однородном переменном поле V (z, ^) = a(?)z?
104. Определить, при каких условиях квадрат момента
импульса J272 и его проекция &г могут быть интегралами
движения.
105. Показать, что для системы частиц при отсут-
отсутствии внешних сил импульс системы будет интегралом
движения.
106. Доказать справедливость следующих операторных
-»
уравнений движения частицы в потенциальном поле U (г):
dx рх t dpx dU
~сп"~"~пц' ~1Г~~~~~!хт
107- Показать, что для пространственных средних
значений физических величин и в квантовой механике
имеет место основное уравнение классической динамики
7" ~~г'
-> ->
где р — импульс, a F — сила, действующая на частицу
в потенциальном поле U (г).
108. Доказать, что произвольная по времени от опе-
/\
ратора 3?z проекции момента импульса равна оператору
проекции момента внешних потенциальных сил:
УхМ
109. Показать, что для средних значений классиче-
классическая связь между моментом количества движения и мо-
ментом потенциальной силы ~л7"==гХ/? имеет место и
в квантовой механике.
20

НО. Показать, что сохранение момента количества
движения замкнутой системы связано с изотропией про-
пространства.
111. Показать, что закон сохранения импульса зам-
замкнутой системы связан с однородностью пространства.
112. Гамильтониан заряженной частицы, движущейся
в магнитном поле, имеет вид
где Л —оператор вектора-потенциала магнитного поля,
/\
являющийся функцией координат. Найти оператор и
скорости частицы в магнитном поле и правила коммута-
коммутации операторов различных компонентов скорости между
собой.
113. Найти уравнения движения заряженной частицы,
если гамильтониан задается выражением
где
А = А (г, t).
§ 4. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ
СОСТОЯНИИ
Одномерное движение
В случае одномерного движения частицы в потенци-
потенциальном поле U (х) стационарное уравнение Шредингера
записывается в виде
*jb = 0. D.1)
Решение этого уравнения для частицы в яме с абсолютно
непроницаемыми стенками приводит к квантованию ее
энергии:
? D2)
где /г=1, 2, 3, .... Волновые функции, соответствую-
21

щие дискретному спектру D.2), имеют вид
где а—ширина потенциальной ямы.
Стационарные состояния линейного гармонического
осциллятора с частотой со описываются волновыми функ-
функциями
<фя (|) =г Спе 2 • Нп (|), D.4)
принадлежащими собственным значениям энергии
D.5)
где п = 0, 1, 2, ..., | = т/^г^я, а #„(?)— полиномы
г Ть
Эрмита. Коэффициент прозрачности D потенциального
барьера произвольной формы U (х) определяется формулой
D ~ Do exp J —j j V2m[U(x)-E] dx i, D.6)
где хг и а:2—координаты точек, для которых U (х) = Е.
114. Вычислить наименьшее значение энергии нейтрона,
заключенного в потенциальный ящик с абсолютно непро-
непроницаемыми стенками, расстояние между которыми равно
Ю-14 м.
115. Для частицы, находящейся на п-м уровне в одно-
одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно
непроницаемыми стенками, вычислить х, рх, (Дл:J,
J
116. В одномерной прямоугольной потенциальной яме
с абсолютно непроницаемыми стенками шириной а нахо-
находится частица, состояние которой описывается волновой
функцией
Определить вероятность пребывания частицы в основ-
основном состоянии и среднее значение кинетической энергии.
22

3
-т-а,
если она
U(x),
i
0
Ц
Рис 1
117. Для частицы в
одномерной потенциальной
яме с абсолютно непрони-
непроницаемыми стенками вычи-
вычислить вероятность ее на-
нахождения в области
-а< " 3
4 ^
обладает наименьшей воз-
возможной энергией. Опре-
Определить также число энер-
энергетических уровней в ин-
интервале между Е и ? +
+dE.
118. Частица массой т0 находится в двухмерной пря-
прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непрони-
непроницаемыми стенками @ < х < а, 0 < у < Ь). Определить
спектр собственных значений энергии и собственные функ-
функции частицы.
119. Частица находится в двухмерной прямоугольной
потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стен-
стенками. Вычислить вероятность ее нахождения в области
-Tz-a^Zx^-z-a, -Q-c?^y^-Q-c? для основного состояния.
О О О О
120. Определить собственные значения энергии и соб-
собственные функции для частицы массой т0, находящейся
в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсо-
абсолютно непроницаемыми стенками @ < х < а, 0 < у < Ь,
0 < г < с). Вычислить значения энергии для первых трех
уровней, если а = Ь = с.
121. Записать распределение вероятностей различных
значений импульса частицы в одномерной потенциальной
яме с абсолютно непроницаемыми стенками, если известно,
что эта частица находится в /г-м энергетическом состоянии.
122. Частица массой т0 находится в потенциальной
яме (рис. 1):
оо, х < 0
)=aJ 0, 0<х<а
UQ, х>а.
Получить уравнение, определяющее спектр собственных
значений энергии частицы в области Е < 1У0, и привести
23

Un Un
a
Рис. 2
его к виду
где
u V2m0E
Обосновать диск ретность
энергетического спектра
для
' 8/п0аа *
123. Используя результаты предыдущей задачи, найти:
а) значение величины а2[У0, при котором появляется
п-и дискретный уровень; б) число уровней в яме, у кото-
•; в) значение a2f70, при котором энергия
т0
рой а2(У0 =
единственного уровня равна E = -^V^ Какова при этом
вероятность нахождения частицы вне ямы?
124. Частица массой т0 движется в потенциальной
яме (рис. 2):
( Uo при х<0,
U (х) = \ ° ПРИ 0 < х < а,
| Uo при х>а.
Получить уравнение, определяющее спектр собственных
значений энергии. В области ? < UQ обосновать дискрет-
дискретность энергетического спектра.
125. Используя результаты задачи 124, найти: а) зна-
значение a2t/0, при котором энергия основного состояния
о
частицы f^jt/,,; б) значение a2l70, при котором по-
появляется третий уровень; в) число энергетических уров-
уровней в яме, если a2UQ= 125— .
/TZq
126. Для частицы в глубокой прямоугольной потен-
потенциальной яме (см. рис. 2) найти приближенное аналити-
24

ческое выражение энер-
энергии нижних уровней
127. Частица массой
т0 находится в потенци-
потенциальной яме вида
U(x) =
Ut при х<0,
О при 0 < х <а,
при jc> a.
и0
О
а
Рис. 3
Получить уравнение,
определяющее спектр соб-
собственных значений энер-
энергии в области энергий Е <Ut (рис. 3).
128. Для линейного гармонического осциллятора,
находящегося на л-м уровне, вычислить х2 и среднюю
потенциальную энергию.
129. Для линейного гармонического осциллятора, энер-
энергия которого равна -к-^00» вычислить среднюю кинетиче-
кинетическую энергию.
130. Найти распределение вероятностей различных
значений импульса для линейного гармонического осцил-
осциллятора.
131. Для линейного гармонического осциллятора мас-
массой т0 и зарядом е> помещенного в постоянное электри-
электрическое поле <?, найти уровни энергии и волновые функ-
функции стационарных состояний.
132. Найти энергетические уровни частицы массой т0,
движущейся в потенциальном поле следующего вида:
U(x) =
при х<0,
при х>0.
133. Найти уровни энергии и собственные функции
трехмерного гармонического осциллятора с потенциальной
энергией
25

0
?>u0
134. Трехмерный изо-
изотропный гармонический
осциллятор имеет собст-
собственные значения энергии
п +у), где я = 0, 1,
Рис. 4
III
Рис. 5
2... Какова степень
вырождения квантового
энергетического уровня
135. Движущиеся вдоль
х" оси х две частицы (тх = т2)
связаны друг с другом
упругой силой. Кроме
того, каждая из них свя-
связана с началом оси так-
также упругой силой, но с
другим коэффициентом
— упругости. Определить
уровни энергии и собст-
^ венные функции системы.
136. Частица массой
т0 движется в потенци-
потенциальном поле вида
Uo при х>0,
О при #<0.
Л
Найти волновую функцию в области энергий Е > UQ
(рис. 4). Определить коэффициент отражения R и коэф-
коэффициент прозрачности D.
137. Для потенциального поля, приведенного в пре-
предыдущей задаче, показать, что коэффициент отражения
барьера /?=1, если энергия частицы Е < Uo.
138. Частица массой т0, имеющая энергию Е > О,
движется слева направо в потенциальном поле вида
-и,
О
при
при
х < 0 и х > а.
Найти коэффициент прозрачности D и коэффициент от-
отражения R (рис. 5).
26

139. Используя резуль-
результат предыдущей задачи,
определить энергию ?,
при которой частица бу-
будет беспрепятственно про-
проходить через яму. Уста-
Установить для этого случая
связь между шириной ямы>
а и длиной волны де
Бройля к внутри ямы.
140. Для случая, изо-
изображенного на рисунке
5, вычислить при задан-
заданных значениях Е и UQ ши-
ширину ямы а, при которой
коэффициент отражения R
максимален.
141. Частица массой
т0 и энергией Е падает
на прямоугольный потен-
потенциальный барьер, изо-
изображенный на рисунке 6:
U(x) =
Uo при 0 < х < а,
0 при х<0 и х> а.
Найти для случая Е > Uo
коэффициент прозрачности
D и коэффициент отраже-
отражения R. Вычислить также
D при Е-—* 1/0.
142. Для электрона в
потенциальном поле, пред-
представленном на рисунке 6,
найти первые два значе-
значения энергии Еу при кото-
которых электрон беспрепят-
беспрепятственно проходит через
барьер, если UQ=l5 эВ
и а==10~10 м.
143. Для частицы мас-
массой т0, падающей на пря-
U(X)
а х
27

моугольный потенциальный барьер высотой UQ и шириной а
(рис. 6), найти коэффициент прозрачности D, если полная
энергия частицы Е < 1/0. Упростить полученное выраже-
выражение для случая, когда Ь<^1.
144. Вычислить коэффициенты прозрачности D барьера
прямоугольной формы при U0 = 2Q эВ и а=100 м для
электрона и протона с энергиями 10 эВ.
145. Вычислить коэффициент прозрачности барьера,
изображенного на рисунке 7, для частицы массой т0 при
энергии Е < Uo.
146. Для частицы массой т0 и энергией Е < Uo найти
коэффициент прозрачности D барьера, заданного потен-
потенциальной кривой (рис. 8):
Движение в центрально-симметричном поле
В центрально-симметричном поле U (г) уравнение Шре-
дингера в сферических координатах
допускает разделение переменных:
ф (г) = Rnl (r) Ylm (9, ф). D.8)
Шаровая функция УшфУ ф) является собственной функ-
функцией операторов i?2 и ?gz\ спектр собственных значений
операторов J272 и Sz определяется выражениями
где орбитальное / и магнитное т квантовые числа при-
принимают значения: 1 = 0> 1, 2, ..., п—1; т = 0, ±1,
±2, ..., ±1 (п— главное квантовое число).
Состояния системы, соответствующие разным значе-
значениям момента импульса, обозначают так: s-состояние
(/ = 0); р-состояние (/=1) и т. д. Шаровые функции для
s-, p-, d-, f-состояний с точностью до нормировочного
множителя приведены в таблице 1.
28

Таблица 1
Состояние
S
Р
d
i
1
0
1
1
2
2
2
со со со со
т
9
9
±1
9
±1
±2
9
±1
±2
±з
У 1т (в. ф)
1
cos 9
± sin 9в± *ф
3 cos2 9 — 1
± sine cos 6в±/ф
5 cos'9—3 cos 6
± sin 9 E cos2 9 — \)e±i1*
sin2 6 cos Be*'2*
Радиальная часть волновой функции Rnt{r)y являющаяся
решением уравнения
@ = 0, D.10)
зависит от орбитального квантового числа / и главного
квантового числа п.
Уравнение D.10) для радиальной части волновой функ-
функции электрона в водородоподобных атомах, т. е. при
^ = 4ШГ7 (где ^° — заРяД яДРа атома или иона), имеет
конечные и однозначные решения лишь для квантован-
квантованных значений энергии, определяемых формулой
Еп = — ^^2^ п=1> 2> 3» ••• • D.П)
Функции Rnl(r) для водородоподобных атомов при-
приведены с точностью до нормировочного множителя в таб-
таблице 2. В таблице Р^у- (где гг — радиус первой боров-
ской орбиты).
147. Показать, что для частицы массой \i, движущейся
в центрально-симметричном поле U (г), уравнение Шре-
29

Таблица 2
Состояние
Is
2s
2/7
3s
3/7
3d
n
1
2
2
3
3
3
<
0
0
1
0
1
2
R (P)
-P
B— p)e 2
pe-P/2
B7— 18p + 2p2)e~p/3
pF— p)e-p/s
p2,-P/3
дингера допускает разделение переменных. Записать
уравнения для радиальной и для угловой частей волновой
функции -ф(г, 0, ср) =/? (г) F (9, ф). Определить зависи-
зависимость волновой функции от азимутального угла.
148. Вычислить средние значения компонентов 3'х,
&yi 3 z момента импульса, если волновая функция ча-
частицы, движущейся в центрально-симметричном поле
U (г), зависит от углов 9 и ф, как шаровая функция
К(9, <р).
149. Вычислить средние значения компонентов 3?х,
Зи, Л?г момента импульса для частицы, движущейся
в центрально-симметричном поле U (г), если угловая
часть волновой функции представляет линейную комби-
комбинацию сферических функций Ylm и Yu -m, соответствую-
соответствующих заданному значению квантового числа /.
150. Вычислить среднее значение квадрата момента
импульса в состоянии г|)(9, ф) = A sin9cos ф.
151. Найти co6cjBeHHoe значение оператора квадрата
момента импульса L2, соответствующее его собственной
функции
К (9, ф) = Л Ccos29— 1+sin29cosф).
152. Частица, движущаяся в центрально-симметричном
поле U (г), находится в состоянии гр (г, 9, ф)= Rnl(r)x
X Ylm (9, ф). Каков физический смысл функции | Ylm (9, ф) |2?
Воспользовавшись таблицей 1, вычислить нормировочные
коэффициенты шаровых функций для /7-, d- и /-состояний.
30

153. Определить волновые функции и уровни энергии
частицы массой т0 и нулевым орбитальным моментом, на-
находящейся в сферически-симметричном потенциальном
ящике радиусом г0 с бесконечными стенками.
154. Воспользовавшись результатами предыдущей за-
задачи, найти средние значения г, г2, (Дг2) для частицы,
находящейся на п-м s-уровне (/==0).
155. Вычислить для основного s-состояния частицы,
находящейся в сферически-симметричном потенциальном
ящике радиусом г0 с бесконечными стенками, наиболее
вероятное значение расстояния гвер и вероятность нахож-
нахождения частицы в области г < гвер. Изобразить примерный
вид графика функции |^@|2- Каков физический смысл
этой функции?
156. Найти волновые функции, описывающие р-состоя-
ние частицы (/=1) с массой [х, находящейся в сфериче-
сферически-симметричной потенциальной яме радиусом г0 с бес-
бесконечными стенками. Показать, что энергетические уровни
в этом состоянии определяются уравнением
где
157. Найти распределение вероятностей различных
значений- импульса в основном состоянии частицы мас-
массой т0, находящейся в сферически-симметричном потен-
потенциальном ящике радиусом rQ с абсолютно непроницае-
непроницаемыми стенками.
158. Частица массой гп0 находится в сферически-сим-
сферически-симметричном потенциальном поле
",, г>г0.
Показать с помощью подстановки R (г) — — % (г), что урав-
уравнение, определяющее собственные значения энергии ча-
частицы в s-состоянии (/ = 0) при ?< t/0, имеет вид
.-*/;
31

где
Каков энергетический спектр частицы в этом случае?
159. Используя результаты задачи 158, вычислить
интервал значений для глубины Uo сферически-симмет-
сферически-симметричной потенциальной ямы радиусом г0, при кото-
которых имеется лишь один энергетический s-уровень. Опре-
Определить также положение этого уровня в момент его
появления и по мере дальнейшего увеличения глуби-
глубины ямы.
160. Полагая в условии предыдущей задачи характе-
характеристический параметр равным
2тог1ио ___ 16л2
Р "" 27 f
вычислить наиболее вероятное расстояние гвер для ча-
частицы в основном s-состоянии, а также определить ве-
вероятность нахождения частицы в области г > г0.
161. Показать, что энергетический спектр частицы
с нулевым орбитальным моментом (/==0), находящейся
в сферически-симметричной потенциальной яме радиу-
радиусом г0 и конечной глубиной t/0, непрерывен, если пол-
полная энергия частицы E>U0.
162. Привести уравнение, определяющее радиальную
часть волновой функции электрона в водородоподобном
атоме, к безразмерному виду
d2R I 2 dR I \z I 2Z
2
dp* + p dp +[е+ Р Р
выбрав в качестве единиц измерений атомную единицу
длины гх (первый боровский радиус) и атомную единицу
энергии Етн = — Е1 (энергия ионизации атома водорода
для основного состояния) и введя обозначения:
— — _ Е
ri ' ~~^i"
163. Используя таблицы 1 и 2, вычислить нормиро-
нормировочные коэффициенты волновых функций в Is-, 2s-, Зр-
состояниях электрона в атоме водорода,
32

164. Электрон в атоме водорода находится в стацио-
стационарном состоянии, описываемом сферически-симметричной
волновой функцией i|)(r) = А A -{-аг)еаг(тле А, а, а — не-
некоторые постоянные). С помощью уравнения Шредингера
найти значения постоянных я, а и энергию электрона.
Определить, в каком состоянии находится электрон.
165. Вычислить для электрона, находящегося в ls-
состоянии в атоме водорода, наиболее вероятное расстоя-
расстояние от ядра гвер и вероятность пребывания электрона
в области г < гвер.
166. Вычислить вероятность нахождения ls-электрона
в атоме водорода вне классических границ поля.
167. Вычислить для ls-электрона в атоме водорода
средние значения расстояния г от ядра, а также вели-
величины г2 и (ДгJ.
168. Вычислить среднее значение кинетической энер-
энергии и среднеквадратичную скорость для ls-электрона
в атоме водорода.
169. Вычислить наиболее вероятное расстояние 2р- и
3^-электронов от ядра в водородоподобном атоме.
170. Пронормировать волновые функции для 2р- и
3d- электронов в атоме водорода и вычислить средние
расстояния г электронов от ядра и среднеквадратичный
разброс (ДгJ.
171. Вычислить средние значения силы взаимодейст-
взаимодействия с ядром и потенциальной энергии для 2/?-электрона
в атоме водорода и для ионов с одним электроном.
172. Найти средний электростатический потенциал,
создаваемый ls-электроном в центре водородоподобного
атома.
173. Определить средний электростатический потен-
потенциал поля, создаваемого ядром и электроном в основном
состоянии атома водорода.
174. Подсчитать кратность вырождения энергетиче-
энергетического уровня Е = т°е , в атоме водорода. Записать
128я2бЛ2
волновые функций tynlm (г, 0, <р) различных состояний
электрона с указанной энергией.
175.* Подсчитать энергию ионизации атома водорода.
Показать, что с возрастанием главного квантового числа п
интервал между соседними энергетическими уровнями
2 № 23 33

уменьшается. Начертить схему уровней энергии атома
водорода.
176. Получить импульсное представление волновой
функции 2я-электрона в атоме водорода и записать рас-
распределение вероятностей по импульсам.
§ 5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Одним из приближенных методов квантовой механики
является метод теории возмущений. При его использо-
использовании гамильтониан Н представляется в виде суммы не-
невозмущенного гамильтониана Яо, для которого предпо-
предполагаются известными собственные функции i|40) и собст-
собственные значения ?„0), и оператора возмущения V:
E.1)
В стационарной теории возмущений оператор возмуще-
возмущения V не зависит от времени.
Поправки первого порядка ?A) и второго порядка Ет
к энергии /г-го уровня равны соответственно:
dx**Vm, E.2)
B) V4 I Vkn |2 /С ОЧ
Волновая функция в первом приближении имеет вид
В случае вырождения правильные функции нулевого
приближения представляют собой суперпозицию вырож-
вырожденных собственных функций ty$ , т. е.
г|)„=2СЖ>>, E.5)
v=l
где /—кратность вырождения.
Коэффициенты Cv удовлетворяют системе / однород^
ных линейных уравнений
(Kw—Б(Х))Су+ 2 Vvtfi^O, E.6)
34

где
v, \i = 1, 2, ...,/, VV[Xl = \ г|э$*У^п1dx- E.7)
Поправка первого приближения к энергии n-го /-кратно
вырожденного уровня Е{1) = Е—Е%} определяется секу-
лярным уравнением
|I/VM_?<i>6VM,| = 0. E.8)
Приведенные формулы легко обобщаются на случай
наличия у оператора Но также непрерывного спектра
собственных значений. Тогда в формулах E.3) и E.4)
к суммам по дискретному спектру добавляются соответ-
соответствующие интегралы по непрерывному спектру.
К приближенным методам квантовой механики отно-
относится и вариационный метод, при использовании кото-
которого собственные функции и собственные значения опе-
оператора энергии Н в основном состоянии находятся из
условия экстремума функционала / (i|))= ] ty*Htydx при
дополнительном условии § г|)*г|з dx = 1 (в случае дискрет-
дискретного спектра).
Третий приближенный метод, известный под названием
квазиклассического приближения, позволяет определить
возможные значения энергии из правил квантования:
E.9)
где /г = 0, 1,2, ..., р—импульс, соответствующий обоб-
обобщенной координате q.
Волновая функция в квазиклассическом приближении
имеет вид
(с ¦ х
E<U^ E.10)
E>U (х),
где U (х)—потенциальная энергия частицы.
3S

177. На частицу массой т0, находящуюся в бесконечно
глубокой потенциальной яме шириной а, наложено ма-
малое возмущение V (х) = Vo cos — х (где а и Vo — постоян-
постоянные). Определить поправки к энергии стационарных
состояний с точностью до второго порядка включи-
включительно.
178. Получить приближенное выражение для энерге-
энергетического сдвига основного состояния атома водорода,
обусловленного конечными размерами протона, предпо-
предполагая, что протон представляет собой равномерно заря-
заряженный по объему шар радиусом R=lO~n м.
179. Найти поправку к энергии основного состояния
линейного гармонического осциллятора за счет ангармо-
ангармонических членов в потенциальной энергии V (х) =ах§ +Р#4
(где а и Р — постоянные).
180. Трехмерный гармонический осциллятор с заря-
зарядом е, у которого со1 = со2 = со3, находится в слабом маг-
магнитном поле. Найти расщепление низшего вырожденного
энергетического уровня с квантовым числом м=1.
181. На одномерный гармонический осциллятор с за-
зарядом е действует электрическое поле с напряженностью
<?, направленной вдоль оси х. Найти изменение энергии
стационарных состояний во втором приближении теории
возмущений. Сравнить точное значение энергии с при-
приближенным.
182. Определить поправку к энергии основного водо-
родоподобного состояния донорного электрона, обуслов-
обусловленную экранированием потенциала взаимодействия сво-
свободными носителями заряда. Потенциальная энергия
донорного электрона определяется формулой U (г) =
2 . л
=—-л—Ve~xr (где дебаевский радиус экраниро-
тгЛ8()в Т \ %
вания, е' — относительная диэлектрическая проница-
проницаемость).
183. Найти поправку к уровням энергии атома водо-
водорода за счет релятивистской зависимости массы от ско-
скорости. Учесть, что член порядка v2/c* в релятивистской
формуле зависимости m(v) приводит к оператору возму-
щения Урел== —'—з~Р4 (гАе Р—оператор импульса).
36

184. В плоскости хОу вращается жесткий ротатор
с моментом инерции / и электрическим дипольным мо-
ментом D. Исследовать влияние однородного электриче-
—>-
ского поля g напряженностью <?, направленной вдоль
оси х, на уровни энергии ротатора.
185. Определить возмущенные электрическим полем
волновые функции плоского ротатора из предыдущей
задачи, учитывая первую поправку теории возмущений.
Найти также вероятности различных ориентации диполя
по отношению к электрическому полю.
186. Пространственный ротатор с моментом инерции7
и электрическим дипольным моментом D помещен в одно-
однородное электрическое поле <§. Рассматривая электриче-
электрическое поле как возмущение, найти первую неисчезаемую
поправку к энергии основного состояния ротатора.
187. Атом водорода находится в однородном электри-
электрическом поле с напряженностью <?, направленной вдоль
оси Oz. Найти расщепление уровня энергии, характери-
характеризующегося главным квантовым числом п = 2 (эффект
Штарка).
188. Для двухкратно вырожденного энергетического
уровня определить поправки первого порядка к энергии
и правильные функции нулевого приближения, если one-
ратор энергии возмущения V не зависит от времени.
189. Плоский заряженный ротатор помещен в одно-
однородное магнитное поле, индукция которого В перпенди-
перпендикулярна плоскости вращения. Применяя теорию возму-
возмущений, найти в первом приближении энергию и волновые
функции стационарных состояний. Заряд ротатора е,
масса т0.
190. Частица без спина, движущаяся в сферически-
симметричном поле, находится в однородном магнитном
поле с индукцией В, параллельной оси г. Найти собст-
собственные значения энергии и волновые функции в первом
приближении теории возмущений. Оператор энергии воз-
возмущения считать равным i — А V (где А — векторный
потенциал, т0—масса частицы).
1918 Получить формулу для собственных значений
37

энергии /-кратно вырожденного уровня во втором прибли-
приближении теории возмущений для случая, когда матричные
элементы по вырожденным состояниям равны нулю.
192. Невозмущенная система имеет два близких энер-
энергетических уровня, интервал между которыми сравним
с матричным элементом оператора возмущения между
этими состояниями. Найти поправку к энергии в первом
приближении.
193. Определить приближенно с помощью вариацион-
вариационного метода энергию основного состояния частицы в по-
потенциальном поле U (х) = 1/ол;4 (где l/0 = const). В качестве
допустимых функций использовать функции вида г|) (х) =
194. Смещение энергетического уровня основного со-
состояния атома водорода в эффекте Штарка в слабом поле ?
определяется выражением А? = —2аео<?2 (гДе а—поля-
а—поляризуемость атома). Используя теорию возмущений, оце-
оцените пределы изменения поляризуемости атома водорода
в основном состоянии.
195. Пользуясь прямым вариационным методом, найти
энергию основного состояния частицы в поле с потен-
2
циальной энергией U (x) = ^p%2 (одномерный гармони-
гармонический осциллятор).
В качестве допустимых функций выбрать следующие:
а) г|)(х) = Л^2Р2;
б) ^(х) = А(\+а\х\)е-сх'\х\.
196. Применяя .прямой вариационный метод, найти
минимальную энергию трехмерного гармонического ос-
осциллятора, имеющего потенциальную энергию U (г) =
= y/nocoV2 (где г — расстояние частицы от положения
равновесия). В качестве пробных выбрать функции вида
ij)(r) = А A +аг)е~аг (где а—параметр).
197. Определить энергию основного состояния дейтона,
если взаимодействие протона с нейтроном в зависимости
от расстояния г между ними характеризуется потенциаль-
38

ной энергией U{r) = —UQe а ((У0^25МэВ,я^2.10-15м).
В качестве пробных волновых функций взять функции
аг
>§(г) = Ае 2а, зависящие от одного параметра а (А — по-
постоянная нормировки).
198. Сравнить энергию основного состояния водрродо-
подобного атома, вычисленную вариационным методом
с использованием пробных функций вида г|) (г) = А A +ar) x
Хе~аг, со значением, определяемым формулой Еп =
Z2
= j • 13,6 ЭВ При П = 1.
199. Вариационным методом определить энергию основ-
основного состояния двухэлектронной системы, находящейся
в поле ядра с зарядом Ze0. В качестве допустимых вол-
волновых функций взять произведение водородоподобных
функций ^эффективным зарядом Z'eQ.
ф(г) = Сехр(-^
200. Используя результат предыдущей задачи, найти
потенциалы ионизации нейтрального атома гелия и иона
лития Li+.
201. Применить квазиклассический метод к нахожде-
нахождению энергетического спектра частицы массой т0, движу-
движущейся в поле с потенциальной энергией U (х) = — Uox
Х[1—Ш-j при ?<0.
202. Определить квазиклассические уровни энергии
в поле с потенциальной энергией U (x) = U0ctg2 —.
203. Рассчитать энергетический спектр водородоподоб-
ного атома, используя квазиклассическое приближение.
204. Для частицы в потенциальном поле U (х) =
= —(/och*~ определить в квазиклассическом прибли-
приближении энергетический спектр и полное число дискретных
уровней.
205. Определить в квазиклассическом приближении
число дискретных энергетических уровней частицы, дви-
движущейся в центрально-симметричном поле с потенциаль-
потенциальной энергией U (г).
206. Используя метод квазиклассического приближе-
приближения, показать, что правила квантования для частицы,
39

находящейся в произвольной одномерной потенциальной
яме, с точностью до членов порядка % представляются
соотношениями фpdq = 2л% (я + "]г) »(гдеп = 0, 1,2,...).
207. Определить в квазиклассическом приближении
среднее значение кинетической энергии частицы, движу-
движущейся в одномерной потенциальной яме (^^Ь)
§ 6. СПИН. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АТОМОВ
Составляющие спина электрбна sx, sy, s2 могут при-
принимать лишь два значения: + у и — у . Собственное
значение s2 оператора s2 равно
А. /\ Л
Операторы sxf s , sz проекций спина удовлетворяют
тем же правилам коммутации, что и операторы J?x, J?yi
3?г проекций орбитального момента.
Если ввести операторы ох, оуу о2 так, что sx = -^
Sy = ~ey1 sz=y°z> то их можно представить в виде
матриц Паули, имеющих в (^-представлении вид
0 1\ ^ /0 — i\ * /1 0\ /с оч
Полный механический и магнитный моменты атома,
содержащего Af электронов, в случае LS-связи выража-
выражаются соответственно так:
+ l), F.3)
l)PB, F.4)
где У, L, S—квантовые числа полного, орбитального и
спинового механических моментов атома; J = L + S, L +
+ S—1,...,|L—S\; фактор Ланде g вычисляется по
формуле
g~l+ 27T7TT)
40

Величина 2S + 1, называемая мультиплетностью, ста-
ставится в виде индекса вверху слева от спектроскопического
обозначения терма, нижний индекс которого равен кван-
квантовому числу J.
В случае нормального эффекта Зеемана, наблюдаю-
наблюдающегося в слабом магнитном поле, расщепление спек-
спектральных линий определяется формулой
Av^/fti—m2) vL, F.6)
где vL = -~ ларморова частота, mt и т2—магнитные
квантовые числа, разность которых в соответствии с пра-
правилом отбора равна т1—m2 = Am = 0, ±1.
Расщепления спектральных линий при аномальном
эффекте Зеемана определяется выражением
Av = (Ш&—m2g2) vL. F.7)
Диамагнитная восприимчивость %д идеального газа
равна
*—
где m0—масса электрона, Z—число электронов в атоме,
N—число атомов в единице объема, |л0—магнитная по-
постоянная, г\—среднее значение квадрата расстояния г-го
электрона от ядра.
В слабых магнитных полях для парамагнитной вос-
восприимчивости справедлив закон Кюри:
лпара== *р » ^ " 7Гп » V^**^/
где Т—абсолютная температура, |х—магнитный момент
атома или молекулы.
208. Найти собственные функции и собственные зна-
значения операторов, определяемых матрицами Паули.
209. Показать, что матрицы Паули можно рассмнтри-
/ч
вать как компоненты векторного оператора а, для ко-
торого справедливы соотношения [сг-а] = 2ш, (а а) =
. Найти также произведение gx oyez.
41

210. Вычислить квадрат проекции спина электрона на
произвольное направление.
211. Найти скалярное произведение спинов двух ча-
частиц в триплетном и синглетном состояниях. Спин частицы
равен -?¦.
/ч
212. Вычислить оператор -%*•, используя гамильтониан
для частицы со спином, находящейся в магнитном поле
с индукцией В.
213. Выписать спектральные обозначения терма, у ко-
которого
а) 5 = 3/2, 1 = 2, g = 0;
б) 5= 1/2; /=3/2, g = 4/3.
214. Вычислить множитель Ланде для атомов с одним
валентным электроном в состояних dP, S> и <F.
215. Вычислить магнитный момент атома водорода
в основном состоянии.
216. Определить возможные значения магнитного мо-
момента атома в состоянии 3i2>.
217. Найти магнитный момент \х и возможные значе-
значения проекции \in атома в состояниях: а) 1@}\ б) 25*3/2-
218. Магнитный момент атома в состояниях 4® и 6JF
равен нулю. Найти механический момент его в этих
состояниях.
219. Атом находится, на оси кругового контура с то-
током / = 20А. Расстояние между атомом и центром кон-
контура с током 2= 10 см, радиус контура г = 10 см. Вычис-
Вычислить максимальное значе-
значение силы взаимодействия
между током и атомом в
состояниях: а) 2«^з/2*>
б) 4<2>1/2.
220. Какова скорость
атомов серебра (в нор-
нормальном состоянии) в опы-
опыте Штерна и Герлаха
(рис. 9), с которой они
вступают в резко неодно-
неоднородное магнитное поле,
если градиент напряжен-
Рис 9 ности-^-^6,0-10' А/м2,
X
42

расщепление пучка на экране 6 = 3 мм, а=15см, &=*
= 25 см?
221» В опыте Штерна и Герлаха по расщеплению
узкого атомарного пучка использовали атомы в состоя-
состоянии 4оГз/2. Найти расстояние между крайними компо-
нентами пучка на экране, если — = 6-107 А/м2, а=^ 15 см,
6 = 25 см и начальная кинетическая энергия атомов
Як = 0,04эВ.
222. Узкий пучок атомов пропускают по методу
Штерна и Герлаха через резко неоднородное магнитное
поле. На сколько компонентов расщепится пучок атомов,
находящихся в состояниях: a) 6S; б) bSr1'?
223. Определить максимальные значения проекций
магнитных моментов атомов в состояниях 4JF и 6i3, если
известно, что при пропускании через неоднородное маг-
магнитное поле (по методу Штерна и Герлаха) атомарный
пучок расщепляется соответственно на 4 и 9 компонентов.
224. Найти величину расщепления терма х@) в маг-
магнитном поле с индукцией 1,5 Тл.
225. Атом находится в магнитном доле 5 = 0,6 Тл.
Определить спектральный символ синглетного терма,
полная ширина расщепления которого составляет
1,68 см-1.
226. Какой эффект Зеемана обнаруживают в слабом
магни.тном поле спектральные линии, обусловленные
переходами:
a) *^->1S; б) »?>! —e5Y, в) 1SJL —25»1/а?
2
227. Показать, что частота перехода между соседними
подуровнями зеемановского расщепления терма совпадает
с ларморовской частотой прецессии механического мо-
момента атома в магнитном поле.
228. Построить схему возможных переходов между
термами 25>^ и 2Sj_ в слабом магнитном поле и вычис-
2 2
лить смещения частоты зеемановских компонентов в еди-
\1БВ
ницах —т—.
229. Определить минимальную разрешающую способ-
способность спектрального прибора, который позволяет разре-
разрешить зеемановскую структуру спектральной линии
43

670,78 нм BР±—+ aSi/2\ лития в слабом магнитном
)
\ 2 )
поле с индукцией В = ЗкГс.
230. Атом водорода в основном состоянии помещен
в однородное магнитное поле В» Вычислить напряжен-
напряженность магнитного поля Яо, обусловленную прецессией
электронного облака в центре атома.
231. Диамагнитная молярная восприимчивость иони-
ионизированного лития (Li+) равна % = —8,5-10~12 м3/моль.
Найти среднее расстояние электронов от ядра, считая
разброс значений расстояния незначительным.
232. Учитывая, что основной вклад в диамагнетизм
вносят внешние электроны атома, оценить радиусы внеш-
внешних оболочек ионов Na+ и С1~, если их молярная
диамагнитная восприимчивость равна соответственно
—7,6-10"u и — 3,04.10-10м3/моль.
233. Определить диамагнитную восприимчивость ато-
атомарного водорода при нормальных условиях @°С и нор-
нормальное атмосферное давление), если распределение
плотности заряда электронного облака в атоме дается
-2Г
выражением р(г)=-^е а° (где а0 — радиус первой бо-
ровской орбиты).
234. Рассчитать молярную диамагнитную восприим-
восприимчивость газообразного гелия, принимая во внимание
волновую функцию атома Не в основном состоянии
где
' = g,ao = 0,529-10-10м).
235. Вычислить энергию, приобретаемую атомом ксе-
ксенона (Хе) при включении магнитного поля В= 1 Тл, если
молярная диамагнитная восприимчивость ксенона равна
_5,4.10-10 —.
' моль
236. С какой силой круговой контур с током / = 5 А
и радиусом /?=10см действует на атом криптона (Кг),
находящийся на оси контура на расстоянии z =10 см
от его центра? Диамагнитная восприимчивость криптона
!
х 3,510 .
л ' моль
237. Определить магнитный момент моля газа, поме-
щенногапри температуре Т=*300 К во внешнее магнитное
44

поле g индукцией В = 5 Тл. Магнитный момент молекулы
равен 2,5 \хъ.
238. Магнитный момент моля некоторого разрежен-
разреженного парамагнитного газа при температуре 300 К в сла-
слабом магнитном поле с магнитной индукцией В = 10~2 Тл
равен 1,5-10~4;р-^—-. Определить постоянную Кюри,
отнесенную к молю газа, и магнитный момент молекулы.
239. Парамагнитный газ из атомов в состоянии 13%
находится при температуре 300 К в магнитном поле
В~1 Тл. Вычислить отношение -^- (разности AN чисел
атомов с положительной и отрицательной проекциями
магнитных моментов на направление поля к полному
числу N атомов). Вычисление провести: 1) с учетом про-
пространственного квантования; 2) классически—без учета
пространственного квантования.
240. Парамагнитный одноатомный газ помещен в маг-
магнитное поле В = 2,5 Тл при температуре 300 К. Рассчитать
намагничение, если в 1 м3 содержится N = 102Q атомов
в 251/2-состоянии.
241. Вычислить постоянную Кюри одного моля пара-
парамагнитного газа, состоящего из атомов натрия (Na) в ос-
основном состоянии. Определить также удельное намагни-
намагничение этого газа при температуре Т = 300 К в магнитном
поле с индукцией В = 0,1 Тл.
242. Вычислить парамагнитную восприимчивость 1 кг
атомарного кислорода в слабом магнитном поле при
температуре 1500 К, если атомы газа находятся в основ-
основном состоянии.
§ 7. СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ.
МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ
Система из N одинаковых частиц с целым спином
(такие частицы называются бозонами) может находиться
только в состояниях, описываемых симметричной по всем
переменным ? волновой функцией:
где Pv—оператор перестановки v пар частиц, ц>к—одно-
частичная волновая функция, AN—нормировочный мно-
множитель.
45

Для системы из N одинаковых фермионов (фермионы —
частицы с полуцелым спином) реализуются состояния,
описываемые антисимметричной волновой функцией:
<Pi (Ei) <Pi (Si) • • • «Pi (Ел)
(El» E2» • • ' > %>n) ~
Фа (li) Ф* (Si) • • • Фа (Ы
G.2)
Фермионы подчиняются принципу Паули: в системе
из одинаковых частиц с полуцелым спином в каждом
одночастичном состоянии может находиться не более одной
частицы.
Электронные конфигурации основных состояний много-
многоэлектронных атомов определяются последовательностью
энергетических уровней, заполнение которых идет в со-
соответствии с принципом Паули в порядке возрастания
энергии, т. е. в такой последовательности:
Is, 2s, 2/7, 3s, 3/7, [4s, 3d], 4/7, [5s, 4d], 5/7, [6s, 4/, 5d],
6/7, [7s, 5/,6dJ, ... G.3)
Основной терм атома с LS-связью находят по пра-
правилу Хунда: наименьшей энергией обладает терм с наи-
наибольшим возможным при данной электронной конфигу-
конфигурации спином S и наибольшим возможным при этом
спине орбитальным моментом ?; квантовое число полного
момента принимает значение J = \L—S\9 если электрон-
электронная подоболочка заполнена менее чем наполовину, или
значение J = L + S9 если электронная подоболочка запол-
заполнена более чем наполовину.
В зависимости от значения результирующего спина
энергетические уровни атомов с двумя валецтными
электронами подразделяют на синглетные, для которых
суммарный спин равен нулю, и триплетные, соответствую-
соответствующие результирующему спину S=l.
В парасостоянии (S = 0) координатная часть волновой
функции симметрична:
? K (( ??)]« G.4)
Ортосостояние (S=l) описывается антисимметричной по
отношению к пространственным координатам волновой
46

функцией:
)]. G.5)
Энергия пара- и ортосостояний в первом приближении
представится формулой
?5,л = ?а + ?р + /С±/0бм, G.6)
где: знак плюс относится к парасостоянию (?5), а знак
минус—к ортосостоянию (ЕА)\ Eat ?р— энергия электро-
электронов в водородоподобном атоме; К—среднее значение
энергии кулоновского взаимодействия электронов. Обмен-
Обменная энергия /обм определяется формулой
" ^ фр ^ ?П фа
где r12—расстояние между электронами.
Электронные термы двухатомных молекул классифи-
классифицируют по значению квантового числа Л, определяющего
величину проекции орбитального момента на ось моле-
молекулы. В зависимости от значения Л электронные термы
молекул обозначают прописными греческими буквами:
Значение Л
Символ терма
0 | i
2
П
2
д
3
Ф
Состояния отдельных электронов в молекулах обозна-
обозначаются строчными греческими буквами: а, я, б и т. д.
Мультиплетность молекулярного терма, равная BS + 1)
(S — полный спин), пишется в виде индекса у символа
терма в левом верхнем углу (например, ХЕ); в правом
нижнем углу пишут результирующий полный момент ЭС9
а в правом верхнем углу — четность.
243. Система состоит из двух частиц, спины которых
характеризуются квантовыми числами 1/2 и 0. Показать,
что при любом законе взаимодействия этих частиц орби-
орбитальный момент количества движения 3? является сохра-
сохраняющейся величиной.
47

244. Показать, что если между одночастичными функ-
функциями фх, ф2, ..., cpN существует линейная зависимость,
то антисимметричная волновая функция, определяемая
формулой G.2), обращается в нуль.
245. Две тождественные частицы находятся во внеш-
внешнем поле U (г) и слабо взаимодействуют друг с другом
с оператором V12. Предполагая решение уравнения
Шредингера для одной частицы во внешнем поле извест-
известным, найти орбитальную волновую функцию для системы
из двух частиц.
246. Определить обменное расщепление уровней энер-
энергии системы двух электронов, рассматривая взаимодей-
ствие V12 как малое возмущение.
247. Вычислить обменную энергию атома гелия при
условии, что электроны находятся в состояниях Is и 2s.
Сравнить полученное значение с энергией магнитного
взаимодействия спиновых моментов, рассматривая их как
магнитные диполи, находящиеся на расстоянии 10~хо м.
248. Зная экспериментальные значения энергии
парасостояния (Es = —58,3712 эВ) и ортосостояния
(Еа=—59,1600 эВ) атома гелия с электронной конфигу-
конфигурацией lsx2s\ найти обменную и кулоновскую энергию
взаимодействия электронов.
249. Записать полные волновые функции орто- и па-
расостояний для атомов (или ионов) с электронной кон-
конфигурацией Is12s1.
250. Какой вид имела бы волновая функция основ-
основного состояния атома гелия, если бы вокруг ядра вместо
электронов обращались частицы со спином, равным %?
251. Найти число электронов в атомах, у которых
в нормальном состоянии заполнены: а) /С-, L-оболочки,
3s- и 3/?-подоболочки; б) /С-, ?-, М-оболочки и подобо-
лочки 4s, 4p, 4d, 5s.
252. Записать электронные конфигурации атомов
аргона (Z= 18), криптона (Z = 36), палладия (Z = 46) и
цезия (Z = 55).
253. Найти максимальное число электронов в атоме,
имеющих следующие одинаковые квантовые числа: а) п,
U Щ\ б) п, 1\ в) п.
254. Определить число электронов в заполненной
п-оболочке (/г = 4), у которых одинаковые значения кван-
квантовых чисел: a) mz = —1; б) ml = +l\ m^ = —1/2.
46

255. Доказать, что все механические моменты (орби-
(орбитальный, спиновый и полный) у целиком заполненных
электронных оболочек равны нулю.
256. Найти возможные термы системы из двух р-элект-
ронов: а) с разными главными квантовыми числами;
б) с одинаковыми главными квантовыми числами (экви-
(эквивалентные электроны).
257. Найти возможные состояния системы из трех
эквивалентных /^-электронов.
258. Показать, что в системе из четырех эквивалент-
эквивалентных р-электронов состояния те же, что и в системе из
двух эквивалентных р-электронов, т. е. две «дырки» имеют
те же состояния, что и два электрона. Привести при-
примеры систем с аналогичными свойствами.
259. Пользуясь правилом Хунда, определить основной
терм*для атомов, имеющих на незаполненной подоболочке
три р-электрона.
260. С помощью правила Хунда определить основной
терм атома с электронной конфигурацией незаполненной
подоболочки:
a) ndB; б) п&ъ\ в) nd7.
261. Найти орбитальную волновую функцию для си-
системы из трех эквивалентных р-электронов: а) в основном
состоянии 45; б) для состояния 2*2>.
262. Записать невозмущенную волновую функцию ос-
основного состояния нейтрального атома лития.
263. Определить максимальное число а-, я- и 8-элект-
ронов в двухатомной молекуле.
264. Какова четность мультиплетностей электронных
термов следующих двухатомных молекул: СО, N0, О2,
ОН?
265. Определить возможные типы электронных термов
двухатомных молекул, электронная оболочка которых
состоит: а) из двух электронов я и а; б) из трех элект-
электронов а, я и б.
§ 8. КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Вынужденные и спонтанные переходы. Правила отбора
Вероятность перехода системы из начального состоя-
состояния I в конечное состояние k(i—»k) под действием воз-
49

мущения V (t) равна:
Vkieia*'tdt
(8.1)
Матричный элемент Vki оператора возмущения опреде-
определяется по формуле
Vki (t) = J W^*VWf d% = Vkteia^ , (8.2)
а частота перехода — по формуле
г.@) Р(О)
^'§L=r1-- <8-3>
Вероятность вынужденного радиационного перехода
системы в электрическом дипольном приближении из
состояния i в состояние k (Е$у > ?^0)) в единицу времени,
т. е. вероятность Bik поглощения кванта излучения с
энергией Йсо^- в единицу времени, определяется формулой
где D—диэлектрический дипольный момент системы,
Bik — коэффициент Эйнштейна для вынужденного погло-
поглощения фотона частоты coft/. Суммирование производится
по всем состояниям вырожденных уровней с энергией
Ef и Е?\
Коэффициент Эйнштейна Аы для обратного спонтан-
спонтанного перехода k—+i> сопровождающегося испусканием
фотона той же частоты, определяется формулой
Коэффициенты Эйнштейна для вынужденного (Bik) и
спонтанного (Aki) переходов связаны соотношением
в»-%в»-йА"' (8-6)
где gk и g(—статистические веса (кратность вырождения)
достояний k yl i соответственно.
50

266. В начальный момент времени (^ = 0) система
находится в состоянии Ч^, относящемся к двухкратно
вырожденному уровню. Найти вероятность перехода
системы в другое состояние ^0) с той же энергией под
действием включенного в начальный момент времени
постоянного возмущения.
267. На заряженный линейный гармонический осцил-
осциллятор, находящийся в основном состоянии, внезапно
накладывается однородное электрическое поле. Опреде-
Определить вероятность перехода осциллятора в возбужденные
состояния под влиянием этого возмущения.
268. Система атомов находится в равновесии с излу-
излучением температуры 7. Учитывая, что при равновесии
числа прямых (i —> k) и обратных (k —> i) переходов оди-
одинаковы, а атомы распределяются по энергетическим
уровням по закону Больцмана, найти выражения для
объемной спектральной плотности энергии равновесного
излучения: а) с учетом вынужденного испускания фотона,
б) пренебрегая вынужденным излучением.
269. Предполагая, что вынужденное излучение обус-
обусловлено действием изотропного электромагнитного поля
такой интенсивности, что в данном объеме вблизи частоты
перехода имеется по одному кванту на каждое состояние
поля, показать равенство-вероятностей вынужденного и
спонтанного переходов.
270. Атом водорода, находящийся в состоянии 2/?,
помещен в полость с равновесным излучением. При какой
температуре вероятности спонтанного и вынужденного
излучения будут одинаковыми?
271. Получить правила отбора для пространственного
ротатора в электрическом дипольном приближении, если
невозмущенные волновые функции суть сферические
гармоники Yem(Q> ф).
272. Найти пределы применимости простейших пра-
правил отбора для линейного гармонического осциллятора
(Дя = ±1), учитывая, что пропорциональность между
вероятностью перехода и квадратом матричного элемента
электрического дипольного момента основывается на
предположении, что фаза электромагнитной волны внутри
системы постоянна.
273. Показать, что правило отбора для частицы в
бесконечно глубокой потенциальной яме @^х^.а)
состоит в том, что квантовое число для разрешенных
51

переходов должно меняться с четного на нечетное (или
наоборот).
274. Непосредственным расчетом вероятности радиа-
радиационного дипольного перехода линейного гармонического
осциллятора показать, что переход из состояний с п = 2
в состояние с м = 0 является запрещенным.
275. Вычислить отнесенную к единице времени веро-
вероятность спонтанного перехода 2р—> Is и время жизни
в состоянии 2/? для атома водорода.
276. Каково физическое обоснование правила отбора,
согласно которому переход с излучением одного фотона
между двумя состояниями с нулевыми моментами коли-
количества движения @—*0-переход) запрещен? Имеется ли
какая-либо другая возможность такого перехода с излу-
излучением света?
277. Найти вероятность перехода за время t системы
Ль
под влиянием не зависящего от времени возмущения V
из состояния с энергией Е в состояние с энергией ?".
Путем анализа полученного результата обосновать со-
соотношение неопределенности Д/-Д?сл)Й между энерги-
энергией Д? и временем АЛ Какой смысл имеет в этом соотно-
соотношении Д??
Оптические спектры. Интенсивность и ширина
спектральных линий
Правила отбора для спинового S, азимутального L и
внутреннего J квантовых чисел в электрическом ди-
польном приближений следующие:
AS = 0; AL = ±1; Д/ = 0, ±1, (8.7)
причем переход Ji==0—^J2 = 0 является запрещенным.
Термы атома (иона) с одним валентным электроном
определяются формулой
0, (8-8)
где R — постоянная Ридберга, 2эфф—зарядовое число
атомного остова, п — главное квантовое число, Дг—кван-
52

товый дефект. Формула тонкой структуры для термов
водородоподобных атомов имеет вид
' 3
где Z—зарядовое число ядра, аж-^ — постоянная тон-
тонкой структуры, п и j—квантовые числа (главного и пол-
полного момента).
Энергия вращательного Et и колебательного Ev
движений двухатомной молекулы соответственно опреде-
определяются формулами:
1ьЧA + \)
(о.Ш)
27
(8.11)
где / — момент инерции молекулы, /==0, 1, 2, ... — вра-
вращательное квантовое число, со= у ——частота колеба-
колебаний, х—коэффициент квазиупругой связи, |л — при-
приведенная масса молекулы, v — колебательное квантовое
число (v = 0, 1,2, ...)» Р—коэффициент ангармоничности.
Правила отбора для v и / записываются так:
±1. при р =
V=={ ±1, ±2, ... при
Ширина энергетического уровня Г и среднее время
жизни т системы в данном состоянии связаны соотноше-
соотношением
тГ~Й. (8.12)
Время жизни т по отношению к радиационному переходу
k—>/ определяется коэффициентом Эйнштейна Аы\
—к- <8ЛЗ>
Интенсивность излучения на частоте ыы равна произ-
произведению полной вероятности радиационного перехода
в единицу времени на энергию фотона tmki*
53

Распределение интенсивности излучения по частоте
в пределах спектральной линии с естественным ушире-
нием описывается формулой
(хУ
1
где 30—спектральная интенсивность при со = со0, у = -~,
т—среднее время жизни возбужденного состояния.
278. Определить потенциал ионизации и первый по-
потенциал возбуждения атома натрия (Na), у которого
квантовые дефекты основного терма 3s и терма Зр равны
соответственно 1,37 и 0,88.
279. Найти энергию связи валентного электрона
в основном состоянии атома лития (Li), если известно(
что длины волн головной линии резкой серии и ее корот-
коротковолновой границы соответственно равны 0,813 и
0,349 мкм.
280. Вычислить для иона бериллия (Ве+) квантовые
дефекты s- и р-термов, а также длину волны границы
и головной линии резкой серии, если известно, что длины
волн головной линии главной серии и ее коротковолно-
коротковолновой границы равны соответственно 321 и 68,3 нм.
281. Термы атомов и ионов с одним валентным элект-
электроном можно представить формулой Т = ' ~0' (где
Z—зарядовое число ядра, а—поправка на экранирова-
экранирование, п—главное квантовое число валентного электрона).
Вычислить а для натрия (Na) в основном состоянии,
если известно, что ионизационный потенциал атома нат-
натрия равен 5,14 В.
282. Найти расщепление уровня Зр атома натрия,
если длины волн компонентов дублета резонансной линии
равны 588,996 и 589,593 нм. Сравнить полученное значе-
значение с энергией перехода Зр—> Зях/а.
283. Используя формулу тонкой структуры (8.9), вы-
вычислить для двухкратно ионизированного лития разнасть
длин волн компонентов дублета линии, обусловленной
переходом 2р—> Is.
284» При какой- разрешающей способности спектраль-
спектрального прибора можно обнаружить тонкую структуру голов-
головной линии серии Бальмера атомарного водорода?
$4

285. Сравните относительную «населенность» враща-
вращательных уровней с / = 1 и 1 = 0 молекулами парообраз-
парообразного хлористого водорода, находящегося в состоянии
термодинамического равновесия при температурах 7\ =
=^288 К и Г, = 2,88 К.
286. Найти отношение энергий, которые нужны для
возбуждения молекулы йодистого водорода (HI) на пер-
первый колебательный и первый вращательный уровни.
Собственная частота колебаний молекулы HI равна
6,93- КРс*, а расстояние между ядрами составляет
1,604-Ю-0 м.
287. Зная частоту собственных колебаний молекулы
хлора (Cl2) vo= 1,695• 10 1дсх и расстояние между ядра-
ядрами d= 1,988-10~10 м, рассчитать, до какош ротационного
уровня должна быть возбуждена молекула, чтобы ее вра-
вращательная энергия оказалась равной колебательной энер-
энергии на первом возбужденном уровне.
288. Найти относительный изотопический сдвиг линий
чисто ротационной полосы спектра смеси молекул НС1зв
и НС137 хлористого водорода, если расстояния между
ядрами в обеих молекулах можно считать одинако-
одинаковыми.
289. Определить коэффициент р ангармоничности моле-
молекулы хлора (С12), если для нее собственная частота коле-
колебаний vo= 1,695-101зс, а энергия ее диссоциации со-
составляет 2,48 эВ.
290. Газообразный натрий, содержащий N=5-1016 ато-
атомов, находится в состоянии термодинамического равно-
равновесия при температуре Т=1600К- При этом мощность
излучения на частоте резонансной линии со = 3,2- Ш^с
составляет 0,52 Вт. Пользуясь приведенными данными,
найти среднее время жизни атома натрия в состоянии 3/7.
291. Используя формулу (8.14), найти естественную
ширину спектральной линии с длиной волны К, считая
известной величину у. Вычислить естественную ширину
спектральной линии ртути с длиной волны X =185 нм,
соответствующей переходу из возбужденного состояния
с временем жизни т= 1,2- 10~9с в основное состояние.
292. Распределение интенсивности излучения в линии
с доплеровским уширением имеет вид
mc2(fi)-@0J

где 90 — интенсивность в центре линии, Т—абсолютная
температура, m—масса атома. Получить эту формулу из
распределения Максвелла по скоростям и найти допле-
ровское уширение линии.
293. Оценить доплеровское уширение линии для арго-
аргоновой газосветной трубки на длине волны Х = 5-102нм
при температуре 300 К. При каком давлении уширение,
обусловленное столкновениями атомов, э рассматривае-
рассматриваемом случае станет одинаковым с доплеровским ушире-
нием? При расчетах атомы аргона считать твердыми
шариками с диаметром d порядка 0,2 нм.
§ 9. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Дифференциальное эффективное сечение рассеяния do
равно отношению числа частиц, рассеянных внутри эле-
элементарного телесного угла dQ, к плотности потока задаю-
задающих частиц.
Полную волновую функцию, описывающую движение
падающей и рассеянной частиц на больших расстояниях
от рассеивающего центра, можно представить выражением
в котором первый член огъисывает движение падающей
частицы, а второй — рассеянной; k — волновой вектор.
Функция fF) угла рассеяния называется амплитудой
рассеяния.
Дифференциальное сечение рассеяния определяется
амплитудой рассеяния:
de = \f{Q)\2dQ. (9.2)
В том случае, когда потенциальную энергию U (г)
рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра
можно рассматривать как возмущение, амплитуда рас-
рассеяния в первом приближении теории возмущений опре-
определяется формулой
f{Q)=-?p§{Ur)eiVdx> (9-3)
56

где т—приведенная масса рассеянной частицы, q =
= 2&sin-j .
Формула (9.3) дает для амплитуды рассеяния так
называемое борновское приближение, условием примени-
применимости которого является выполнение неравенства
^<1, (9.4)
где а — эффективный радиус действия поля, v — скорость
частицы, | U | — порядок величины потенциальной энер-
энергии в основной области действия поля.
При рассеянии частиц с зарядом е± кулоновским цент-
центром с зарядом Ze для дифференциального сечения рас-
рассеяния из (9.3) получается формула Резерфорда:
Если представить функцию (9.1) рядом из полино-
полиномов Лежандра РДсоэб), то асимптотическое выражение
волновой функции при движении частоты в сфери-
сферически-симметричном потенциальном поле можно запи-
записать так:
где Л^ = const. Величина 6^ называется фазой или фазо-
фазовым сдвигом 1-я парциальной волны.
Амплитуда рассеяния выражается через фазовые сдвиги
парциальных волн по формуле
4 )(^-1)Рг(соз6). (9.7)
1 = 0
Слагаемые в этой сумме называются парциальными ампли-
амплитудами рассеяния.
294. Используя ортогональность полиномов Лежандра
РДсоэЭ), показать, что полное сечение рассеяния может
57

быть представлено в виде суммы парциальных сечений
о19 т. е.
где
295. Зная выражение
для парциальной амплитуды рассеяния, выразить пар-
парциальное сечение упругого рассеяния через мнимую
часть амплитуды рассеяния на нулевой угол.
296# Вычислить эффективное сечение рассеяния мед-
медленных частиц массой т непроницаемой сферой радиу-
радиусом а, учитывая, что при ak<^\ преобладающую роль
играет s-рассеяние.
297. Пользуясь методом парциальных волн, найти
полное сечение рассеяния медленных частиц прямоуголь-
прямоугольной потенциальной ямой шириной а и глубиной Uo
(при ak<^ 1).
298. Проанализировать выражение для эффективного
сечения рассеяния медленных частиц сферической потен-
потенциальной ямой
и установить характер зависимости эффективного сече-
сечения от глубины потенциальной ямы UQ.
Примечание. Приведенная формула не является
строгой в случае резонансного рассеяния.
299, Определить амплитуду рассеяния медленных час-
частиц на силовом центре с потенциальной энергией
Ua при г <а,
U(r)=< 0 при г>а.

Рассмотреть предельный случай:
300. Найти фазы и сечение рассеяния частиц на малые
углы рассеивающим центром с потенциалом ?/(г) = ~.
Учесть, что при рассеянии на малые углы основной вклад
дают парциальные волны с большими /.
301. Найти в борновском приближении дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния сферической потенциальной
ямой шириной а и глубиной 1/0.
302. Используя результат предыдущей задачи для
дифференциального сечения рассеяния, определить пол-
полное сечение рассеяния потенциальной ямой. Рассмотреть
два предельных случая:
а) рассеяние медленных частиц
б) рассеяние быстрых частиц (^)
303. Определить в борновском приближении диффе-
дифференциальное и полное сечение рассеяния в поле с гаус-
совским потенциалом U = Uoe a%. Указать пределы при-
применимости полученных выражений.
304. Используя борновское приближение и пользуясь
правилами размерностей физических величин, оценить
эффективное сечение в поле с потенциальной энергией
U (г) =~. Проанализировать полученное выражение для
следующих частных случаев: а) п=1; б) п = 2; в) д = 3.
305. Вычислить амплитуду рассеяния и полное сече-
сечение рассеяния в поле с потенциалом Юкавы V (г) =
г
= уе а в борновском приближении.
306. Определить дифференциальное сечение рассея-
рассеяния частиц кулоновским полем в борновском приближе-
приближении.
307. Найти интегральное сечение рассеяния а-частиц
кулоновским центром с зарядом Ze для углов 6^^-
(рассеяние назад).
308. Вычислить сечение ядра золота (Аи) при рас-
рассеянии протонов с кинетической энергией 2,4 МэВ в ин-
интервале углов от у до я.
59

309. Кулоновским полем ядер атомов серебра (Ag)
рассеиваются а-частицы с кинетической энергией Ек=
= 1,8 МэВ. Определить дифференциальное сечение ^
при рассеянии на угол 6 =*¦?¦.
310. Определить в борновском приближении диффе-
дифференциальное сечение упругого рассеяния атомом частиц
с зарядом ei9 рассматривая атом как неподвижный центр
с зарядом Ze, окруженный отрицательно заряженным
непрерывным облаком с плотностью заряда—ер (г).
311. Вычислить дифференциальное и полное сечение
рассеяния быстрых электронов на атоме водорода в основ-
основном состоянии (Is), не учитывая обмена электронов.
312« Используя результат задачи 310, вычислить пол-
полное сечение рассеяния быстрых электронов атомом гелия
в основном состоянии (Is2).

Раздел II
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
§ 10. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО.
КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
Фазовое пространство, или Г-пространство, есть
абстрактное 2s-MepHoe пространство всех обобщенных
координат <7/ и обобщенных импульсов pf системы с s
степенями свободы. С течением времени фазовая точка,
изображающая микросостояние системы, движется в Г-про-
странстве по фазовой траектории.
Элемент фазового объема определяется произведением
(ЮЛ)
При квазиклассическом описании каждому квантовому
состоянию системы сопоставляется фазовый объем hs.
Число квантовых состояний, приходящихся на интервалы
(qj -+-qf + dqj), (pf -r- pf + dpj) обобщенных координат и
импульсов, выражается так:
dQ.(q/tP/) = §. A0.2)
Согласно теореме Лиувилля для канонического
ансамбля Гиббса плотность числа фазовых точек остается
постоянной при их движении вдоль фазовых траекторий.
Значит, элементарный объем в фазовом пространстве,
перемещаясь с течением времени, может меняться только
по форме, сохраняя свое значение неизменным:
drto=0=drt. A0.3)
Функция распределения по микросостояниям опре-
определяется энергией или гамильтонианом Н системы:
(Ю.4)
61

В замкнутой системе с энергией Н осуществляется
микроканоническое распределение:
Здесь
д ( 1 при E(q/f /?/) = #,
I 0 при E(qf, р^фН.
Величина g(E)—статистический вес состояния системы,
равный числу ячеек объема hs9 прилегающих к гипер-
гиперповерхности энергии E(qJtpj) = const в Г-пространстве,—
определяется формулой
Для системы, находящейся в тепловом контакте с тер-
термостатом, справедливо каноническое распределение
Гиббса:
Pf) = e в . A0J)
Величина 0, называемая модулем канонического распре-
распределения, является статистическим аналогом абсолютной
температуры: Q = k0T, где ko — постоянная Больцмана.
Параметр я|э, определяемый из условия нормировки функ-
функции распределения, выражает свободную энергию си-
системы.
Энтропия системы с очень большим числом степеней
свободы может быть представлена в виде
S = kQ\nT(E) = k0\ng(E), A0.8)
где Е — средняя энергия системы. В формуле A0.8) опу-
опущены аддитивные константы, не зависящие от энергии.
313. Определить фазовую траекторию для частицы
массой т> движущейся по инерции со скоростью v0.
314. Определить фазовые траектории: 1) для свобод-
свободной частицы при наличии силы трения пропорциональ-
пропорциональной скорости; 2) для линейного осциллятора с малым
трением.
Указание. Во втором случае воспользоваться урав-
уравнением движения линейного осциллятора:

где |i—коэффициент сопротивления среды, т—масса,
со0—собственная частота осциллятора.
315. Определить и изобразить фазовую траекторию
для частицы массой т с электрическим зарядом —е%
движущейся под действием кулоновской силы притяже-
притяжения к неподвижному заряду +ev Начальное расстояние
между зарядами г0 и начальная скорость частицы vQ = 0.
316. Начертить фазовые траектории одномерного дви-
движения материальных точек в поле силы тяжести с уско-
ускорением g" = const и проиллюстрировать справедливость
теоремы Лиувилля.
317. Проверить справедливость теоремы Лиувилля для
материальных точек массой т, движущихся по инерции
вдоль некоторого направления.
318. Проверить теорему Лиувилля для следующих
трех линейных гармонических осцилляторов:
3 У /псо2
рх = — |/*2me sin со/, р2 = — У 2т (е + Де) sin co?,
р3 = — |/*2/П8 sin (со/ + б),
где т, е, со—масса, энергия и собственная частота соот-
соответственно, а Де и б — некоторые постоянные величины.
319. Проверить справедливость теоремы Лиувилля
для случая упругого центрального соударения двух ча-
частиц массами тг и т2, движущихся вдоль одной прямой.
320. Проверить теорему Лиувилля для абсолютно не-
неупругого удара двух шаров.
321. Для линейного гармонического осциллятора
с энергией 8 вычислить фазовый объем Г, ограниченный
гиперповерхностью энергии. Оценить объем элементарной
фазовой ячейки, используя формулу энергетического
спектра
где /г==0, 1, 2, ... .
322. Вычислить фазовый объем Г для релятивистской
частицы массой покоя т0, движущейся в объеме V и об-
обладающей энергией е.
63

323. Найти число микросостояний dQ(e) с энергией е
в интервале е — e-fde для частицы газа, энергия кото-
которой связана с импульсом соотношением г = ср (где с—¦
скорость света в вакууме).
324. В объеме V заключены N частиц идеального газа,
которые подчиняются микроканоническому распределению
с энергией Е. Вычислить для этой системы фазовый
объем Г, энтропию S и температуру Т. Найти уравнение
состояния.
325. Для N невзаимодействующих линейных осцил-
осцилляторов с энергией Е справедливо микроканоническое
распределение. Вычислить для этой системы фазовый
объем Г, энтропию S и температуру.
326. Вывести каноническое распределение Гиббса из
общей формулы микроканонического распределения, счи-
считая, что в качестве термостата выступает: 1) совокуп-
совокупность N линейных осцилляторов; 2) совокупность N
частиц идеального газа. При выводе считать, что -д^^
Ff
&—. — const при N—юо (где Ео и Е'—энергия замкну-
замкнутой системы и энергия термостата соответственно). По-
Показать, что окончательный результат не зависит от вы-
выбора термостата.
327. Записать в классическом приближении распреде-
распределение Гиббса по энергиям для линейного гармонического
осциллятора и вычислить среднее значение его энергии.
328. Идеальный газ, состоящий из N частиц, нахо-
находится в термостате с температурой Т. Найти вероятность
того, что газ имеет заданное значение энергии Е из ин-
интервала Е-т-E + dE,
329. Найти положение ?вер, ширину Д?, отношение
-— и высоту wmaK максимума плотности вероятности
^вер
w(E) канонического распределения Гиббса для системы
с большим числом невзаимодействующих частиц N.
Указание. Воспользоваться выражением w(E) =
Е ZN {
«= Be koTE 2 для плотности вероятности. Для полу-
получения окончательного результата применить формулу
Стирлинга: N\ « ( — J .
330. Показать, что каноническое распределение Гиббса
64

для систем с очень большим числом частиц (ЛГ—»»оо) пе-
переходит в микроканоническое.
331. Показать, что для системы с большим числом
невзаимодействующих частиц N наивероятнейшая энер-
энергия ?вер совпадает со средней энергией системы.
332. Показать; что для системы с большим числом
частиц справедливо соотношение Ет — (Е)т при любом
целом т.
333. Пользуясь каноническим распределением Гиббса,
получить максвелловское распределение молекул идеаль-
идеального газа па энергиям. Сравнить графики плотностей
вероятностей (в распределении Гиббса и максвелловском
распределении).
334. Найти вероятность того, что молекула имеет уг-
угловые скорости щ, со2, со3 вращения вокруг главных осей
инерции из интервалов со1 -f- со^ + dcox; со2-f-co2-f-dco2; co3 -f-
4-co3-|-d(D3, если главные моменты инерции равны соот-
соответственно 1Ь /2, /3. Внутримолекулярными колебаниями
атомов пренебречь.
335. Найти средние квадратичные значения угловой
скорости у со2 и кинетического момента вращения мо-
молекулы у J5?2.
336. Показать, что энтропия квазизамкнутой системы,
содержащей весьма большое число частиц, пропорцио-
пропорциональна логарифму числа состояний с энергией, близкой
к среднему значению <? = ?.
337. Используя каноническое распределение Гиббса и
связь между энтропией и свободной энергией, показать,
что энтропия S выражается через фазовую плотность
вероятности распределения по микросостояниям форму-
формулой S = — kolnf.
338. Пусть Wi—вероятность того, что система нахо-
находится в 1-м состоянии с энергией Е(. Показать, что если
энтропия выражается формулой S = — /fe0 2 W7/ In Wh то
те значения Wh при которых энтропия максимальна,
подчиняются каноническому распределению.
339. Получить формулу Больцмана S = kQ\nWTi пред-
предполагая, что энтропия S и термодинамическая вероят-
вероятность WT функционально связаны друг с другом.
3 Яв 23 6S

§ 11. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
Число молекул равновесной системы, скорости кото-
которых лежат в интервале от v до v + dv, определяется рас-
распределением Максвелла:
e-av*v*dv, A1.1)
где N— число всех молекул, Т — абсолютная температу-
температура, m — масса молекулы, a==i^pp •
Среднее значение скорости выражается так:
Средняя квадратичная скорость у v2 и наивероят-
нейшая скорость vB тоже пропорциональны Т2:
2k0T (n 4)
tn
Распределение по компонентам скорости можно запи-
записать в виде произведения:
i
О U Т1 * / lib 1 О О 1-» Т1 t /44^4.
Хе 2k°T dvy [<2Жт) е *' A1.5)
Отсюда следует, что компоненты скорости vx9 vy, vz яв-
являются статистически независимыми.
340. Используя каноническое распределение Гиббса,
доказать, что распределение Максвелла по компонентам
импульса (а следовательно, и по скоростям) справедливо
для любых систем.
341. Подсчитать число частиц N идеального газа,
скорости которых заключены в интервале

342, Какая часть молекул газа имеет кинетическую
энергию поступательного движения выше средней кине-
— 3
тической энергии E=-^kJ">
343. Изучение свойств пленок нерастворимых поверх-
поверхностно-активных веществ, нанесенных на поверхность
воды, показало, что при малых плотностях пленки мо-
молекулы этих веществ могут совершенно свободно дви-
двигаться по поверхности жидкой подложки. Они ведут себя
подобно своеобразному «двумерному» идеальному газу,
частицы которого двигаются только в двух измерениях.
Записать распределение скоростей в идеальном двумер-
двумерном газе и найти характерные скорости молекул: v> vB,
344. Показать, что число ударов молекул газа о еди-
единичную площадку поверхности сосуда за 1 с может быть
записано в виде v = -^nv (где п-— число молекул в еди-
единице объема).
345. Молекулярный пучок выходит из узкой щели
в откаченный сосуд. Найти среднюю и среднеквадратич-
среднеквадратичную скорости частиц в пучке.
346. Найти среднее значение величины, обратной ско-
скорости молекул газа в состоянии равновесия, т. е. ( — ) •
347. Подсчитать число Nx частиц в газе, у которых
х-й компонент скорости лежит в интервале 0^.vx^.v{x\
348. Найти число молекул, имеющих заданное значе-
значение v2 компонента скорости вдоль некоторой оси г, и
число молекул, имеющих заданное значение vL компо-
компонента скорости в направлении, перпендикулярном оси г.
349. Вычислить наиболее вероятную ев энергию моле-
молекул в идеальном газе. Показать, что &ьф-кть1.
350. Какая часть молекул газа имеет скорость, боль-
шудо средней тепловой скорости v= 1/ —— ?
351. Какая часть молекул газа имеет скорость, за-
заключенную между половинным и удвоенным значениями
наивероятнейшей скорости, т. е. между у^в и 2ив?
352. Показать, что отношение числа молекул, имею-
3* 67

щих скорости, превосходящие наивероятнейшую, к числу
всех молекул газа не зависит от температуры.
353. Считая, что молекулы газа, ударяющиеся о стенки
сосуда, передают им некоторую известную часть своей
энергии, выражаемую правильной дробью р, найти энер-
гикг, передаваемую 1 см2 поверхности за 1 с.
354. Найти вероятность того, что кинетическая энер-
энергия частицы идеального одноатомного газа не превышает
заданного значения е0.
355. Высокотемпературная плазма из дейтерия нахо-
находится при температуре 107К- Определить, какая доля
ядер обладает кинетической энергией, достаточной для
преодоления кулоновского потенциального барьера (без
учета туннельного эффекта). Радиус ядра дейтерия при-
принять равным 2-10~*5 м.
356. В большом сосуде объема V находится N частиц
идеального газа при температуре Т. Найти угловое рас-
распределение частиц, вылетающих в единицу времени в ва-
вакуум из небольшого отверстия площадью S в стенке
сосуда.
357. Металл находится в равновесии со своим паром.
Давление пара считается настолько низким, что наличие
пара не влияет на скорость испарения частиц. Найти
массу металла М, испаряющегося с 1 см2 поверхности
в 1 с, как функцию давления и температуры.
358. Газ состоит из атомов, излучающих свет с дли-
длиной волны Хо. Найти закон распределения по длинам
волн К измеряемой в спектроскопе интенсивности излу-
излучения газа, состоящего из N атомов, находящихся в теп-
тепловом движении.
359. Получить выражение молярной теплоемкости
при постоянном объеме cv для идеальных одноатомных
газов.
360. Найти относительную флуктуацию б8 энергии
молекулы идеального газа и относительную флуктуацию
8Е энергии газа, состоящего из N молекул.
361. Пользуясь распределением Максвелла, вычислить
среднюю скорость относительного движения молекул газа.
§ 12. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ВО ВНЕШНЕМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
Вероятность того, что радиус-вектор r(x> yy z) моле-
молекулы идеального газа, находящегося во внешнем силовом
поле в состоянии равновесия при температуре Т, попа-
63

дает в интервал r-r-r-\-dr, определяется распределением
Больцмана:
->
dW(r) = Ae"br dV, A2.1)
где и(г) — потенциальная энергия частицы, dV—элемент
объема, А — постоянная нормировки.
В однородном поле тяготения, для которого и (z) = mgz
(g—ускорение свободного падения, против которого на-
направлена ось г), зависимость числа частиц в единице
объема от координаты г описывается барометрической
формулой:
mgz
n(z) = noe koT, A2.2)
где п0—концентрация частиц при z = 0.
С помощью распределения Больцмана рассчитывается
поляризация полярных диэлектриков и намагничение па-
парамагнетиков.
Проекция вектора поляризации 5* в направлении на-
напряженности действующего поля <Bg определяется равен-
равенством
д*9 =3 ром cos 9 = PqNL (P). A2.3)
Здесь р0—дипольный момент молекулы, N—-число мо-
молекул в единице объема, 9 = /?0<?g, а функция Ланже-
вена ?(Р) определяется формулой L(P) = cthp—-g-, где
При р<^ 1 имеем:
362, Считая справедливой для атмосферы (в первом
приближении) барометрическую формулу, найти, на какой
высоте при температуре 273 К давление воздуха умень-
уменьшается втрое. Относительную молекулярную массу воз-
воздуха считать равной 28,97. Ускорение свободного паде-
падения gf = 9,81 м/с2.
363. Для измерения числа Авогадро Перрен исследо-
исследовал распределение по высоте взвешенных в жидкости
69

зерен гуммигута в однородном поле силы тяжести. Он
нашел, что при температуре 293 К при поднятии вверх
на высоту в 100 мкм число взвешенных частиц умень-
уменьшается в два раза. Частицы гуммигута диаметром
0,3-10~4 см были взвешены в жидкости, плотность кото-
которой на 0,2 г/см3 меньше плотности частиц. Определить
по этим данным значение числа Авогадро.
364. Определить среднее значение потенциальной энер-
энергии одной молекулы в равновесном столбе газа высотой Я,
Газ находится при температуре Т в однородном поле
силы тяжести ^ускорением g.
365. В вертикальном цилиндрическом сосуде высоты Н
находится 1 моль одноатомного идеального газа при тем-
температуре Т. Найти энергию и теплоемкость газа, учиты-
учитывая наличие однородного поля силы тяжести. Рассмот-
Рассмотреть два предельных случая:
1) VgH<^RT, 2) pgH^RT,
где (л—молекулярная масса, R — универсальная газовая
постоянная.
366. Какая доля молекул кислорода (О2) земной ат-
атмосферы может преодолеть гравитационное поле Земли
при температуре 300 К?
367. В центрифуге находится эмульсия из воды и не-
некоего синтетического вещества, плотность которого
р = 0,999 г/см3. Взвешенные частицы этого вещества можно
считать шариками радиусом 10~2 мкм. Радиус центрифуги
#=12 см, частота вращения / = 200 Гц. Вычислить от-
отношение чисел взвешенных частиц в центре и на пери-
периферии, если температура равна 4°С.
368. Молекулярную массу коллоидальных частиц
можно определить на основе исследования распределения
их концентрации во вращающейся центрифуге. Найти
молекулярную массу коллоидальных частиц, если изве-
известно, что отношение их концентраций в точках, находя-
находящихся на расстояниях г2 и гг от оси центрифуги, равно а.
Плотность частичек р, плотность растворителя р0. Угло-
Угловая скорость вращения центрифуги со.
369. Найти среднюю потенциальную энергию молеку-
молекулы идеального газа, находящегося в центрифуге радиу-
радиуса R, вращающейся с постоянной угловой скоростью со.
370. В газовой центрифуге радиуса R> вращающейся
с постоянной угловой скоростью со, производится разде-
разделение смеси газов, молекулы которых имеют массы тх
70

и m2. Найти коэффициент разделения
4
где nt и п2 — концентрация молекул обоих сортов. Объяс-
Объяснить, почему q растет с понижением температуры.
371. Найти среднее квадратичное расстояние молекул
массы т от оси центрифуги радиуса R, вращающейся
с постоянной угловой скоростью со. Показать, что не су-
существует наивероятнейшего расстояния до оси. Темпера-
Температура газа в центрифуге Т.
372. Равновесный одноатомный газ, состоящий из N
молекул массой т, находится в равномерно вращающейся
с угловой скоростью со центрифуге радиусом R при тем-
температуре Т. Найти энергию и теплоемкость газа.
373. Получить распределение молекул газа в верти-
вертикальном цилиндре радиусом R и высотой Я, находя-
находящемся в однородном поле тяжести с ускорением g и
вращающемся вокруг своей оси с угловой скоростью со.
374. Газ находится в поле с потенциальной, энергией
U = — acoscp (где а = const, ф—угол между осью моле-
молекулы и некоторым выделенным направлением, например
напряженностью внешнего однородного электрического
поля). Получить распределение молекул по направлениям
и вычислить среднее значение потенциальной энергии
молекулы, считая, что ф меняется непрерывно в интер-
интервале от 0 до я.
375. Газообразный аммиак (NH3), молекулы которого
обладают дипольными моментами ро = 4,9-1О~30 Кл-м,
помещен в однородное электрическое поле с напряжен-
ностью (? = 500—. У какой части молекул аммиака при
м
температуре 273 К дипольные моменты образуют с на-
направлением $ угол, не превышающий 45°?
376. Для газообразного хлористого водорода (НС1),
находящегося в равновесном состоянии при температуре
300 К, определить, при какой напряженности действую-
действующего поля второй член разложения функции Ланжевена
L(|3) по степеням р= , Т дает поправку порядка 1%
к приближенному выражению L(C)^-rrp. ДипольнЬш мо-
момент молекулы хлористого водорода равен 3,5« 10~?0Кл-м.
71

377. С учетом пространственного квантования полу-
получить выражение для среднего значения проекции на на-
направление магнитной индукции В магнитного момента
атомов парамагнитного газа в состоянии с квантовыми
числами L, S, J, считая внешнее магнитное поле слабым.
378. Определить магнитный момент моля газа, состоя-
состоящего из молекул с магнитным моментом jx = 2,5|ib (где
\хв — магнетон Бора) при температуре 60 К и напряжен-
напряженности магнитного поля 50 кэ.
379. Найти разность показателей преломления п2 и пу
газа из анизотропных молекул для электромагнитных
волн, электрические векторы которых колеблются соот-
соответственно вдоль осей z и г/, в зависимости от распре-
распределения молекул по углам 0 между осями молекул и
осью г. Считать, что (nz—яу)<^я0 и п0 близко к еди-
единице (п0 — показатель преломления при изотропном рас-
распределении осей молекул). Принять также, что распре-
распределение молекул зависит лишь от угла 0 их осей с осью г.
380. Вычислить постоянную Керра /( = --—^ (где
Ко—длина волны падающего света, <В—напряженность
постоянного электрического поля) для газа, состоящего
из полностью анизотропных молекул с постоянным ди-
польным моментом р0, направление которого совпадает
с направлением поляризуемости молекулы. Считать, что
§ 13. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
КЛАССИЧЕСКОГО ГАЗА
Интеграл состояний 2 классического газа из N частиц
с s степенями свободы равен
И fay, Pj)
г
где Q = k0T. Свободная энергия ? и энтропия S системы
определяются выражениями:
jr = — в In*; A3.2)
S~ko±;(Tln%). A3.3)
72

Термическое и калорическое уравнения состояния рас-
рассчитываются по формулам:
где 5*—давление, V—.внутренняя энергия.
Интеграл состояний одноатомного идеального газа из
N частиц в отсутствие внешнего силового поля равен
A3.6)
где m—масса частицы.
В реальных не очень плотных газах, в которых сред-
среднее расстояние между молекулами велико в сравнении
с их размерами, учитывают лишь парные взаимодействия
частиц. Энергия взаимодействия пары молекул выража-
выражается так:
!0 при
-\и(г)\ при p>r>d9 A3.7)
оо при r^d.
где р—радиус взаимодействия молекул, d—диаметр мо-
молекулы. В этом случае интеграл состояний газа из N
молекул, занимающих объем У, принимает вид:
A3.8)
где
~^-l)r2dr. A3.9)
Для систем, подчиняющихся классической статистике,
справедлива теорема о равномерном распределении ки-
кинетической энергии по степеням свободы: средняя кине-
кинетическая энергия, приходящаяся на каждую степень сво
боды, равна
iF = y^. A3.10)
73

381. Пользуясь выражением интеграла состояний для
одноатомного идеального газа, вычислить свободную энер-
энергию и давление гелия, находящегося в цилиндре объема
10 л при температуре Т = 300 К- Масса газа 1 г.
382. Определить внутреннюю энергию, энтропию, эн-
энтальпию и термодинамический потенциал для 1 л гелия
при температуре 400 К и давлении 2,76-105 Н/м2, считая
его идеальным газом.
383. Вывести термическое уравнение состояния идеаль-
идеального одноатомного газа, у частиц которого энергия свя-
связана с импульсом соотношением е = с/?4.
384. Найти свободную энергию ? и уравнение сос-
состояния идеального одноатомного ультрарелятивистского
газа, для частиц которого справедливо соотношение е — ср
между энергией и импульсом.
385. Найти, как зависит от энергии Е и объема V
энтропия S идеального одноатомного газа из N частиц.
386. Найти выражение свободной энергии W и энтро-
энтропии S идеального газа при одномерном движении.
387. Получить уравнение адиабаты классического иде-
идеального газа при: а) одномерном движении; б) двух-
двухмерном движении.
388. Найти свободную энергию W столба идеального
одноатомного газа высотой Я и площадью основания а,
находящегося в одномерном поле силы тяжести с уско-
ускорением g, при температуре 7\ если известны число N
всех частиц газа и масса m частицы.
389. В сосуде, имеющем форму куба с ребром L, на-
находится при температуре Т идеальный газ из N частиц.
Сосуд с газом помещен в однородном поле силы тя-
тяжести с ускорением g. Найти давление на верхнюю
грань куба.
390. Идеальный газ из iV атомов заключен во вра-
вращающийся с угловой скоростью со цилиндр радиусом R
и высотой /. Определить среднее давление газа на боко-
боковую поверхность цилиндра, если температура газа Т.
391. Вывести закон Дальтона для давления смеси двух
идеальных газов. Число частиц одного газа N19 а дру-
другого N2.
392. Смесь двух идеальных газов, состоящих из N±
и N2 частиц с массами пгх и пг2 соответственно, находится
в цилиндрическом сосуде высотой h и площадью осно-
основания а. Сосуд с газом помещен в однородное поле силы
74

тяжести с ускорением g. Найти давление на верхнюю
стенку сосуда, а также положение центра масс.
393. Вычислить интеграл состояний двухатомного
идеального газа, если колебания атомов в молекулах
еще не возбуждены. Определить вращательные части сво-
свободной энергии, энтропии и внутренней энергии.
394. Найти изменение вращательной свободной энер-
энергии и вращательной энтропии -для 1 кмоль кислорода
(О2) при его нагревании от 350 до 400 К* если момент
инерции молекулы кислорода равен 1,9Ы0~46 кг-м2.
395. Хлористый водород нагревают от 300 до 400 К-
Найти приращение внутренней энергии и энтропии 2 кмоль
этого вещества, считая, что колебания атомов в молеку-
молекулах еще не возбуждены и объем при нагревании остается
постоянным.
396. Вычислить вращательную часть интеграла со-
состояний многоатомного идеального газа и получить вы-
выражения для вращательных: свободной энергии <FBp, внут-
внутренней энергии 1/вр и энтропии 5вр.
397. Вычислить вращательные части свободной энер-
энергии, внутренней энергии, энтропии, энтальпии и термо-
термодинамического потенциала для 1 кмоль водяных паров
при температуре 400 К и давлении 1,52-105 Н/м2. Глав-
Главные моменты инерции молекулы воды (Н2О) равны /^ =
= 106 кг-м2, /Т1=1,9*10-47 кг-м2, /с = 1,9-107 кг-м2.
398. Вывести термическое уравнение состояния много-
многоатомного идеального газа.
399. Найти выражение для свободной энергии газа
Ван-дер-Ваальса. Используя полученную формулу, вы-
вычислить свободную энергию 1 г гелия, занимающего
/ т_т М4
объем V = 5 л при температуре 400 К (а = 3,5• 103 —¦—г,
V КМОЛЬ
b = 0,024-^—
кмоль
400. Получить калорическое уравнение состояния газа
Ван-дер-Ваальса. Вычислить внутреннюю энергию 2 кмоль
кислорода, занимающих объем 10~а м3 при темпера-
туре 300 К («=1,36-10
401. Подсчитать энтропию 1 г гелия, находящегося
в сосуде объема 10 л при температуре 300 К- Гелий
75

'
считать газом Ван-дер-Ваальса fa = 3,5«103 KM0^b2
= 0,024 )
кмоль
402. Найти выражение для термодинамического по-
потенциала газа Ван-дер-Ваальса.
403. Вычислить постоянную а в уравнении Ван-дер-
Ваальса для случая, когда потенциальная энергия вза-
взаимодействуя между частицами имеет вид
(оо при 0<!г < 2г0,
«
где г0 — радиус частицы, п—натуральное число, причем
п>3.
404. Вычислить поправку к уравнению состояния для
разреженного газа, частицы которого взаимодействуют
по закону
( оо при 0^> <df
U(r) = \ a ^,
v \—рг при r^d}
где d—диаметр частицы, а>0, д>3.
405. Взаимодействие между молекулами двумерного
газа, образованного молекулами, адсорбированными на
поверхности жидкости площадью а, можно учесть так же,
как это делается для обычного газа. Найти уравнение
состояния двумерного газа из N частиц, учитывая лишь
парные взаимодействия молекул.
406. Показать, что если для всех газов потенциаль-
потенциальная энергия взаимодействия пары молекул имеет вид
(оо при 0<г <г0,
(где г0—радиус частицы, п—натуральное число), то с по-
помощью интеграла состояний можно получить обобщенный
закон соответственных состояний.
407. Получить выражение для молярной теплоемко-
теплоемкости Cv идеального газа, предполагая, что колебания
атомов в молекулах не возбуждены,
76

408. Найти среднюю энергию и теплоемкость класси-
классического газа: а) при одномерном движении; б) при двух-
двухмерном движении.
* л тт
409. Величина ¦j^iTT назьшается вириалом для i-й
T
степени свободы. Показать, что среднее значение вириала
одной степени свободы равно -^kj*, если #--*оо при
q{-+±oo.
410. Пользуясь теоремами о равномерном распреде-
распределении кинетической энергии по степеням свободы и о
вириале в виде
~дН Ш
Qi  == Pi "a 1
ni oqi l opi
вычислить среднюю энергию линейного гармонического
осциллятора.
411. Пользуясь теоремами о равномерном распреде-
распределении кинетической энергии по степеням свободы и
о вириале, найти среднюю энергию частицы, совершаю-
совершающей одномерное движение во внешнем поле с потенци-
потенциальной энергией U (q)~aq2n (где п — натуральное число,
а = const).
412. Вычислить молярную теплоемкость твердого тела,
считая колебания атомов ангармоническими. Функция
Гамильтона линейного ангармонического осциллятора
имеет вид
где ^
413. Вычислить среднюю энергию линейного осцил-
осциллятора, функция Гамильтона которого имеет вид
H(q, p)^-^ + aq\
где а = const.
414. Найти теплоемкость Cv одного моля идеального
одноатомного ультрарелятивистского газа (г = ср).
4t5. Найти дополнительную теплоемкость двухатомной
молекулы, обусловленную ангармоничностью ее колеба-
Л

ний, если потенциальная энергия молекулы имеет
где коэффициенты а, |3, у — постоянные величины.
§ 14. КВАНТОВОЕ КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Для квантовых систем с дискретным энергетическим
спектором гп при наличии ^„-кратного вырождения ка-
каноническое распределение имеет вид
Ш ^-Lp" k0T (]Л ]\
Wn gC A4:.I)
где статистическая сумма % равна
*=Sff«e"*;:r* A4.2)
п
Статистическая сумма и средняя энергия квантового
гармонического осциллятора с частотой v выражаются
формулами:
hv
8 + ^ • A4.4)
—
ek°T — 1
Молярная теплоемкость Cv разреженного газа равна
сумме парциальных теплоемкостей C\f} различных степе-
степеней свободы:
Cv = ^C\}) = C^0C1+C^ + Cf3Jl+Cpl. A4.5)
Парциальная теплоемкость С^ = 0 при Т<^Т(С{\ харак-
характеристическая температура данной степени свободы T(ch
определяется выражением
Г?}= ^ > A4.6)
78

где ej/\ ei°—энергии основного и первого возбужденного
уровней для i-ik степени свободы.
Энергия жесткого ротатора с двумя вращательными
степенями свободы равна
e/(/ + l) A47)
где /—момент инерции ротатора, квантовое число I при-
принимает значения / = 0, 1, 2, причем каждый уровень
B/ + 1) нратно вырожден.
416. Вычислить фазовый объем ячейки av для коле-
колебательного движения, принимая во внимание, что при
Т^>Т%0Л статистическая сумма одномерного гармониче-
гармонического осциллятора с частотой v совпадает с интегралом
состояний
417. Задана система N независимых одномерных ос-
осцилляторов. Найти число осцилляторов в системе, имею-
имеющих энергию, большую или равную заданной гх =
()
()
418. Исследовать температурный ход средней энер-
энергии Е и теплоемкости с системы N независимых линей-
линейных квантовых осцилляторов.
419. Собственная частота со колебаний молекул азота
равна 4,45-1014c"~l. Вычислить колебательную часть мо-
молярной теплоемкости при температуре Т = 500 К.
420. Найти свободную энергию и энтропию для сис-
системы из N независимых линейных осцилляторов.
421. Двумерный гармонический осциллятор обладает
(п-\- 1)-кратно вырожденными энергетическими уровнями
en = hv(n + l). Вычислить среднюю энергию и теплоем-
теплоемкость системы, состоящей из N независимых двумерных
гармонических осцилляторов.
422. Система обладает эквидистантными (равноотстоя-
(равноотстоящими друг от друга) невырожденными уровнями энергии
6^ = ре (где /?=1, 2, 3, ..., п). При этом энергия выс-
высшего уровня мала по сравнению с тепловой энергией
kQT. Найти статистическую сумму и среднюю энергию
системы.
79

423. Найти среднюю энергию и теплоемкость системы N
невзаимодействующих частиц, могущих находиться в двух
квантовых невырожденных состояниях: е0 и е1#
424. Вычислить максимальное значение теплоемкости
Су и положение максимума в температурной шкале для
системы N невзаимодействующих частиц с двумя уров-
уровнями (е0, ех), если статистический вес gt верхнего уровня
значительно меньше статистического веса g0 нижнего
уровня.
425. Вычислить фазовый объем ячейки аг для вра-
вращательных степеней свободы, учитывая, что при Г^>Т?Р
статистическая сумма для жесткого ротатора равна ин-
интегралу состояний
%^—\e~~^dY.
426. Рассчитать для случая высоких и низких тем-
температур среднюю энергию-и парциальную теплоемкость
Сур системы, состоящей из N двухатомных молекул, счи-
считая их жесткими квантовыми ротаторами. Показать, что
кривая Сур (Т) имеет максимум.
427. Найти свободную энергию и энтропию системы N
квантовых ротаторов при Т > Т?р.
428. Вычислить характеристические температуры для
вращательных степеней свободы следующих молекул,
моменты инерции которых приведены в таблице 4.
Табли ца 4.
Молекулы
Момент инерции
ХЮ-40 г-см2
н,
0,46
13,84
О,
19,13
С12
113,5
НС1
2,67
N0
16,43
429. Определить отношение вращательных критиче-
критических температур для молекул водорода (Н2), дейтерия (D2)
и соединения HD, считая радиусы этих молекул одина-
одинаковыми.
430. Вычислить характеристическую температуру для
колебательного движения молекулы окиси углерода СО,
80

если собственная частота колебаний молекулы v«0,65x
X Ш*4 Гц.
43L Определить отношение колебательных характе-
характеристических температур молекул Н2, HD и D2, считая,
что квазиупругая сила осциллятора во всех трех слу-
случаях одинакова.
432. Найти вклад в свободную энергию 1 моль двух-
двухатомного газа кислорода (О2), вносимый первым возбуж-
возбужденным уровнем молекул при 5000 К, если разность
энергий первого двукратно вырожденного и основного
трехкратно вырожденного уровней равна 11256 К.
433. Разность термов основного электронного сос-
состояния lSQ и первого возбужденного состояния 3Si в
атоме гелия составляет 159843 см. Вычислить относи-
относительное число возбужденных атомов в гелии при темпе-
температуре 6000 К.
434. Определить вращательную и колебательную части
молярной теплоемкости кислорода (О2) при температуре
300 К, если известны собственная частота молекулы
оH = 2,98- 1014сиее момент инерции /= 1,91 • 10"6кг«м2.
435. Найти максимум вращательной части молярной
теплоемкости. Какой температуре соответствует этот мак-
максимум у молекул хлористого водорода (НС1)?
§ 15. КВАНТОВЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Среднее число частиц с полуцелым спином в одном
квантовом состоянии с энергией е определяется распре-
распределением Ферми—Дирака:
/о 00 = W
W
1 + е k°T
где г\—энергия Ферхми, или химический потенциал.
При абсолютном нуле температуры химический по-
потенциал ц0 выражается через концентрацию частиц п
и массу т формулой
Г1о="^-Cя2#. A5.2)
В общем случае (при любой температуре) концентрация
81

и энергия Е идеального ферми-газа определяются ин-
интегралами
со
j(e)-?4e)de; A5.3)
? = ^5 e/0(e).Z)(e)de, A5.4)
о
где D(e)de — число квантовых состояний с определенной
проекцией спина s2 в интервале энергий ?~-e + de,
V—объем газа, g = 2s + l — статистический вес, s—спин
частицы. В нерелятивистском случае плотность состоя-
состояний D (е) выражается формулой
Функция распределения электронов в практически важ-
важных случаях или сильно вырождена (металлы) или мало
отличается от классической (больцмановской) функции
распределения (полупроводники). В первом случае про-
производная —^ имеет острый максимум при s = г). Поэтому
справедливо равенство
^(feoT)«(-gJ)e=ti. A5.6)
Температура вырождения То зависит от концентрации
частиц:
Го~ 2mk0 П • <15'7)
При T<^T-q ферми-газ является вырожденным, а при
Т^Т0 — невырожденным.
Среднее число частиц с целым спином (бозоны), на-
находящихся в одном квантовом состоянии с энергией е,
описывается функцией распределения Бозе—Эйнштейна:
/.(8) = ^ • A5.8)
ек'т ~1
82

Для бозе-газа существует такая предельная темпе-
температура То, что химический потенциал ц обращается
в #уль при Г<Го. Переход бозонов при Т < Т'о на
нулевой уровень энергии называется бозе-конденсацией,
а сама температура Т'о—температурой бозе-конденсации.
Рассматривая равновесное излучение как фотонный
газ и применяя к нему распределение Бозе—Эйнштейна,
получим для спектральной плотности энергии равновес-
равновесного излучения формулу Планка:
P(v, T) =
436. Исходя из функции распределения по энергиям,
получить распределение по скоростям для нерелятивист-
нерелятивистских фермионов с половинным спином. Изобразить график
этой функции при абсолютном нуле температуры.
437. Используя результат предыдущей задачи, вычис-
вычислить среднюю и среднюю квадратичную скорости, а также
среднее значение величины, обратной скорости, при
Т-0 К.
438. Определить теплоемкость и энтропию нереля-
нерелятивистского вырожденного ферми-газа при температурах,
отличных от абсолютного нуля.
439. Найти число столкновений электронов со стен-
стенкой в нерелятивистском электронном газе при абсолют-
абсолютном нуле температуры.
440. Определить для фермионов энергию тех уровней,
вероятности заполнения которых соответственно равны
0,1 и 0,9.
441. При какой плотности электронов с температу-
температурой 7=10^ К можно пользоваться статистикой Макс-
Максвелла—Больцмана? Какие выводы отсюда можно сделать
относительно функции распределения электронов в плазме?
442. Какова вероятность заполнения электронами в
металле энергетического уровня, расположенного на
0,01 эВ ниже уровня Ферми, при температуре 200 К?
443. Найти долю свободных электронов в металле
при 0 К, кинетическая энергия которых больше поло-
половины максимальной.
444. Вычислить энергию Ферми при Г = 0 К для се-
серебра, полагая эффективную массу электронов равной
массе свободного электрона. Концентрация свободных
электронов в металлическом серебре равна 5-Ю22 см~3.
83

445. Вычислить наиболее вероятную и среднюю ско-
скорости свободных электронов в металлическом серебре
при Т = 0 К, если известно, что концентрация свобод-
свободных электронов в металлическом серебре равна 5-1022 см.
446. Вычислить химический потенциал сильно вырож-
вырожденного электронного газа при температуре, отличной
от абсолютного нуля. Оценить, на сколько процентов
отличается энергия Ферми металлического натрия при
Т2 = 300 К от энергии Ферми при 7\ = 0 К, если кон-
концентрация свободных электронов в натрии равна 2,5х
X Ю22 см-3.
447. Определить термодинамический потенциал Ф,
свободную энергую <F и энтальпию Н вырожденного газа
Ферми—Дирака при Г^О К-
448. Показать, что для вырожденного газа Ферми
между давлением 5\ энергией Е и объемом V выпол-
2
няется соотношение PV — irE.
о
449. Покажите, что сжимаемость ke — —^- (-ар-) вы-
рожденного электронного газа равна -^(пцо)-1. Срав-
Сравните значение сжимаемости ke> полученное с помощью
этой формулы для натрия, с экспериментальным значе-
значением feJJxn= 15- 10~п м2/Н. Плотность электронов для нат-
натрия считать равной 2,5-1022 см.
450. Оценить удельную электронную теплоемкость
(на единицу массы) для лития и натрия, предполагая,
что валентные электроны в обоих случаях можно рас-
рассматривать как свободные. Плотности лития и натрия
равны соответственно 0,534 и 0,97 г/см3.
451. Определить число состояний D(e)de, граничный
импульс р0 и энергию Ферми ri0 при абсолютном нуле
температуры для ультрарелятивистского электронного
газа из N частиц в объеме V. Энергия частицы связана
с импульсом р соотношением г — ср (где с — скорость
света).
452. Для ультрарелятивйстского электронного газа
найдите: а) полную и среднюю энергию одной частицы
при Т = 0 К; б) связь между давлением и полной энергией.
453. Определить число столкновений в единицу вре-
времени с единичной площадкой стенки в ультрарелятивист-
ультрарелятивистском полностью вырожденном электронном газе.

454. Вычислить теплоемкость вырожденного ультраре-
ультрарелятивистского электронного газа.
455. Получить уравнение состояния релятивистского
полностью вырожденного электронного газа, у которого
энергия электрона г связана с импульсом посредством
равенства: е2 = с2р% + т\^ (где т0—масса покоя элек-
электрона).
456. Химический потенциал ц бозе-газа определяется
равенством
где s—спин частицы и z = -~. Определить температуру
бозе-конденсации.
457. Принимая во внимание тот факт, что при Т < Т'й
число бозонов в состояниях с положительной энергией
(е > 0) определяется функцией распределения
UN (8) Ш
найти число частиц в состоянии с энергией, равной нулю.
Полное число всех частиц N.
458. Определить полную энергию Е и теплоемкость
бозе-газа при температуре, меньшей его температуры
бозе-конденсации Т'о.
459. Определить температурную зависимость энтропии
S, давления 5\ свободной энергии W и термодинамиче-
термодинамического потенциала бозе-газа при Т < Т'о. Какими особен-
особенностями бозе-газ при температуре, меньшей температуры
конденсации Т'О9 аналогичен насыщенному пару?
460. Получить уравнение обратимого адиабатического
процесса с газом Бозе—Эйнштейна при Т < Т'о.
461. Выразить температуру конденсации бозе-газа
через плотность частиц и оценить ее для изотопа гелия-4,
если известно, что спин атомов 4Не равен нулю, а моляр-
молярный объем составляет 27,6 см3.
462. Показать, что в случае двумерного газа бозе-
эйнштейновская конденсация не имеет места, если энергия
выражается формулой
|
85

Здесь kx = ^, К^^ТГ (где п' и п*~°> ±U ±2'
¦ .., a Lt и L2 — размеры области в направлении осей
х и у).
463. Найти полную энергию двумерного бозе-газа,
рассмотренного в предыдущей задаче как функцию хими-
химического потенциала к\ и температуры Т.
464. Найти связь между давлением 5*, объемом V и
полной энергией Е идеального газа, подчиняющегося ста-
статистике Бозе—Эйнштейна.
465. В уравнении состояния идеального газа вычислить
первую поправку, обусловленную квантовой статистикой.
466. Сравнивая формулу Вина для р (v, T) с формулой
Планка, установить, до какой температуры в пределах
видимого спектра G50 нм > X > 400 нм) можно пользо-
пользоваться формулой Вина, не допуская ошибки, превышаю-
превышающей 0,1%.
467. Пользуясь формулой Планка, получить закон
смещения Вина А,тахТ = а (где а =» const). Выразить а через
универсальные постоянные kQ, ct h.
468. Определить температуру поверхности Солнца,
считая его абсолютно черным телом, если известно, что
максимум интенсивности в излучении Солнца приходится
на зеленую область спектра с длиной волны К = 5-10~5 см.
469. Показать, исходя из корпускулярных представ-
представлений, что для давления 9* равновесного излучения суще-
существует следующее простое выражение: 9* = -§• (где и —
объемная плотность энергии излучения).
470. При взрыве атомной бомбы в центре взрыва до-
достигается температура порядка 108 К. Определить свето-
световое давление в центре взрыва (сразу после взрыва),
предполагая, что излучение равновесное.
471. Вывести формулу для спектральной плотности
равновесного излучения в двухмерном случае.
472. Используя результат предыдущей задачи, полу-
получить законы Стефана — Больцмана и Вина для двухмер-
двухмерного случая.
473. Пользуясь формулой Планка, найти число фото-
фотонов в единице объема с длиной волны в интервале между
X и X+dX.
474. Найти зависимость числа фотонов равновесного
излучения от полной энергии и объема.

475. Кривая закона равновесного излучения Планка
имеет максимум при частоте v0. Найти выражение для
отношения частот v6, соответствующих различным темпе-
температурам.
476. Определить полное число фотонов в единице
объема полости, заполненной равновесным тепловым излу-
излучением при температуре 300 К.
§ 16. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФЛУКТУАЦИИ И БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Относительная флуктуация 8^. параметра х опреде-
определяется равенством
1^^-/(х~х)К A6.1)
X
Вероятность малых флуктуации макроскопической си-
системы описывается распределением Гаусса:
2Д' d(Ax), A6.2)
где
kaT —, A6.3)
х0 — равновесное значение параметра х> и(х) — потенци-
потенциальная энергия, через изменение которой выражается
работа при вынужденном переходе системы в неравновес-
неравновесное состояние.
Вероятность малых флуктуации однородной системы
можно выразить через изменение термодинамических па-
параметров:
Г«?Г") 06.4)
Если в качестве независимых параметров взять объем
V и температуру Г, то
Степень зависимости флуктуации двух термодинами-
термодинамических параметров х к у характеризуется коэффициентом
87
["S&* (ДТJ] "ехР [ikr {w) т №] ¦ <16-5)

корреляции
A6.6)
Если х и у статистически независимы, то гху = 0.
Величины V и Т статистически независимы. Второй
парой статистически независимых термодинамических па-
параметров являются давление 3s и энтропия 5.
Среднее значение квадрата смещения броуновской
частицы за время t равно
A6.7)
где D—коэффициент диффузии.
Случайные «блуждания» броуновской частицы в на-
направлении оси х g продолжительностью т шага во времени
описываются уравнением Эйнштейна—Смолуховского:
A6.8)
где п ^ 1.
Здесь Wп (х/у)—вероятность попадания частицы через
время t = n% из точки с координатой ха в точку с коор-
координатой уа (где а—длина шага). Кроме того, имеют место
следующие соотношения:
A6.9)
477. Доказать, что среднее квадратичное отклонение
аддитивной величины от равновесного значения равно
сумме средних значений квадратов Отклонений этой вели-
величины для отдельных частей.
478. Показать, что относительная флуктуация любой
аддитивной функции состояния системы обратно пропор-
пропорциональна корню квадратному из числа независимых ча-
частей системы.
479. Выразить относительную флуктуацию энергии
системы, подчиняющейся каноническому распределению,
через среднее значение энергии и модуль канонического
распределения 0.
88

480. Пользуясь распределением Гиббса для системы
с переменным числом частиц, выразить (ДМJ через
\"di (где ^ — химический потенциал).
481. Рассматривая идеальный газ как целое и считая
справедливой теорему равномерного распределения энер-
энергии по степеням свободы, показать, что относительная
флуктуация энергии газа обратно пропорциональна УЫ
(где N—число молекул газа).
482. Найти относительную флуктуацию энергии иде-
идеального газа в ультрарелятивистском случае, когда энер-
энергия одной частицы е связана с ее импульсом р соотноше-
соотношением е~рс (где с—скорость света).
483. Доказать статистическую независимость флуктуа-
флуктуации энтропии и давления. Найти (ASJ и (Д.5*J.
484. Получить выражение для (ANJ (где N — число
частиц, находящихся в определенном объеме). Рассмот-
Рассмотреть случай нерелятивистского идеального газа.
485. Найти для идеального газа коэффициент корре-
корреляции флуктуации температуры и давления и вычислить
его для гелия (Не) и водорода (Н2) при нормальных
условиях.
486. Определить коэффициент корреляции флуктуации
температуры и энтропии для любой простой системы.
487. Найти коэффициент корреляции флуктуации
объема и энтропии для гелия (Не), водорода (Н2) и угле-
углекислого газа (СО2) при: а) средних температурах; б) высо-
высоких температурах. Газы считать идеальными.
488. Используя переменные V и Т, найти AV Д55 и
коэффициент корреляции флуктуации для объема и дав-
давления Р. _
489. Пользуясь формулой (ДЛАK= 0 Г-^—J , спра-
справедливой для большого канонического ансамбля, найти
(Д/г,J для частиц, подчиняющихся распределению Ферми.
490. Найти относительную флуктуацию числа частиц
для идеального бозе-газа при rj^O.
491. Взвесь одинаковых броуновских частиц в жидко-
жидкости помещена в однородное поле силы тяжести с ускоре-
ускорением g. Пользуясь тем, что в стационарном состоянии
поток частиц отсутствует, а распределение частиц описы-
89

вается формулой Больцмана, найти связь между подвиж-
подвижностью частицы Ъ и коэффициентом диффузии D.
492. Принимая совокупность броуновских частиц за
идеальный газ, подчиняющийся законам гидродинамики
идеальной изотермической жидкости, получить уравнение
Эйнштейна — Фоккера—Планка. Внешнее поле характери-
характеризуется потенциальной энергией U (г); силу сопротивления
считать пропорциональной первой степени скорости; си-
силами инерции пренебречь.
493. Используя одномерное уравнение Эйнштейна —
Фоккера—Планка (см. задачу 492), определить средний
квадрат смещения броуновской частицы, движущейся
в однородном поле силы тяжести с ускорением g.
494. Броуновская частица совершает случайные «блуж-
«блуждания» в направлении оси х с продолжительностью шага т.
Вероятности смещения из точки с координатой k& (где k —
целое число и — N^k^N) на расстояние е вправо или
влево соответственно равны yfl—-дП и yf^ + 'Tr
Путем предельного перехода при N—юо, е—>(), т—>0
вывести уравнение Эйнштейна—Фоккера—Планка и опре-
определить характер внешней силы, действующей на частицу.
495. Пусть частица движется вдоль оси х так, что за
каждый интервал времени т она с равной вероятностью
может сместиться вправо или влево на расстояние а. При
этом вероятность, что частица, начавшая свое движение
из точки ха, через время t = nx достигнет точки уа, опре-
определяется уравнением Смолуховского
w«(x/y)= S
где >1 W(/
Найти Wn (х/у) путем решения уравнения Смолуховского
и рассмотреть предельный случай, когда п^>1.
496, Определить число Авогадро по следующим опыт-
опытным данным: среднее квадратичное перемещение зерен
гуммигута при броуновском движении в глицерине при
температуре 20°С в некотором фиксированном направле-
направлении за 5 мин составило 1,4 мкм. Вязкость глицерина
C=1,49-^—, радиус частицы а = 0,4 мкм.
90

497. Найти средний
квадрат флуктуационного
отклонения вертикально
висящего математического
маятника длины / и мас-
массы т. Ускорение свобод-
свободного падения в поле силы
тяжести равно g.
498. Определить для
изобарического газового
термометра предел чувст-
чувствительности , который
обусловлен флуктуациями. Рис. 10
Газ считать идеальным;
число молекул принять равным N = 1022.
499. На тонкой кварцевой нити с модулем кручения
= Ю~6
эрг2
висит легкое зеркальце. Найти предел чув-
чувствительности прибора по отношению к углу поворота ср,
если температура окружающей среды составляет 300 К.
500. Используя известные значения для (Д5>J и (ASJ,
получить формулу Ландау и Плачека для отношения
интенсивности несмещенного компонента к сумме интен-
сивностей двух смещенных линий при рассеянии света
в жидкостях:
7 _f?L_i
Указание. За исходное взять соотношение
501. Определить предел чувствительности зеркального
гальванометра (рис. 10), полное отклонение которого
в апериодическом режиме достигается за время т = 5 с.
Причем известно, что 80% подводимой электрической
энергии за время успокоения превращается в тепло.
Внутреннее сопротивление гальванометра /?=100кОм.
Считать, что тепловые флуктуации подчиняются нормаль-
П

ному закону распределения. Измеримые значения тока
должны превышать утроенный доверительный интервал
тока за счет тепловых флуктуации; Т = 300 К.
§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ
При малых отклонениях адиабатически изолированной
системы от равновесного состояния скорости изменения
параметров at определяются выражением
dS
где п—число параметров, характеризующих энтропию S
системы. Кинетические коэффициенты Lik удовлетворяют
принципу симметрии Онсагера:
Lik = Lkh A7.2)
dai
если термодинамические потоки Ji~-rr и сопряженные
им силы ^/=='gj7 выбраны так, что скорость изменения
энтропии замкнутой системы можно представить формулой
п
?=%JiXi. A7.3)
Число частиц системы, радиус-векторы которых в дан-
данный момент времени лежат в интервале г-i-r-\-dr н век-
->¦ -> ->
тора скоростей—в интервале v + v + dv, равно
-» -> -> ->•
f(r, и, t)drdv.
Функция распределения /(г, v, t) является решением
кинетического уравнения Больцмана
++ cT, ()
dt dr m dv
где F—внешняя сила, действующая на частицу мас-
массой т. Интеграл столкновений /сг выражается так:
~f(r,vt, t)-f(r, vlt t)]dv2, A7.5)

где V! = v, v2, v'x> v'2—скорости частиц до и после столкно-
столкновения, а (8, ф)—дифференциальное эффективное сечение
рассеяния.
В приближении парных соударений средняя длина
свободного пробега обратно пропорциональна плотности
газа и при максвелловском распределении молекул по
скоростям определяется формулой
где а—эффективное сечение, п—концентрация частиц.
Кинетическое уравнение Больцмана в приближении вре-
времени релаксации имеет вид
++ , ()
dt dr m dv
где /0 — равновесная функция распределения, т—время
релаксации.
502. При рассмотрении термоэлектрических явлений
в металлах и полупроводниках удобно выбрать в качестве
термодинамических потоков плотности электрического
тока / и потока тепла Q = cd-}- —/ (где со—плотность по-
тока энергии, ц—электрохимический потенциал носителей
зарядов). Найти силы, сопряженные потокам, при которых
выполняется принцип симметрии кинетических коэффи-
коэффициентов Онсагера.
503. Используя принцип симметрии Онсагера, выра-
выразить кинетические коэффициенты для изотропного крис-
кристалла через удельную электропроводность а, дифферен-
дифференциальную термо-ЭДС а, коэффициент теплопроводности к.
504. Используя принцип симметрии Онсагера, выра-
выразить коэффициент Пельтье Илв через дифференциальные
термо-ЭДС аА и ав двух проводников, на контакте ко-
которых при изотермических условиях выделяется тепло,
пропорциональное плотности тока /.
505. Показать, что при наличии внешнего поля U (г)
стационарным решением кинетического уравнения Больц-
Больцмана является функция распределения Максвелла —
Больцмана.
93

506. Исходя из кинетического уравнения Больцмана,
получить максвелловское распределение скоростей моле-
молекул равновесного газа в отсутствие внешнего поля.
507. Получить распределение Больцмана для плотно-
плотности идеального газа в однородном поле силы тяжести
из кинетического, уравнения Больцмана.
508. В начальный момент времени N молекул равно-
равновесного идеального газа занимают при температуре Т
сферический объем радиуса R. Затем газ начинает бес-
беспрепятственно расширяться в пустоту. Определить плот-
плотность частиц как функцию времени и координаты г.
509. На примере неравновесного распределения в на-
начальный момент времени (/ = 0)
/ = / о +
(где f0 — распределение Максвелла, Л, k, v09 co0, lQ —
константы) показать, что в идеальном газе при отсутст-
отсутствии столкновений пространственные неоднородности со
временем исчезают.
Указание. Записать уравнение Больцмана, в ко-
котором член столкновений отсутствует; получить из него
неравновесную функцию распределения и вычислить
плотность числа частиц в каждой точке в зависимости
от времени.
510. Оценить среднюю длину свободного пробега мо-
молекулы кислорода при нормальных условиях, принимая
эффективный диаметр молекулы приблизительно равным
3-10~;10м. Вычислить также среднее число Z соударений
в 1 с одной молекулы с остальными.
511. Идеальный газ сжимают адиабатически. Полу-
Получить для этого случая зависимость средней длины сво-
свободного пробега и среднего числа соударений в 1 с от
давления.
512. Найти давление водорода в колбе емкостью 1л,
при котором длина свободного пробега молекулы больше
размеров сосуда. Газокинетический диаметр молекулы
водорода равен 2,2-10~8см и температура газа 300К.
513. Идеальный газ нагревают лри постоянном давле-
давлении. Как изменяется при этом средняя длина свободного
пробега I и число столкновений Z его молекул в 1 с
с изменением температуры?

514. Определить среднее число столкновений Z, ис-
испытываемых отдельной молекулой двумерного идеаль-
идеального газа с другими молекулами в 1 с.
515. Считая, что молекулы движутся по законам
классической механики, найти зависимость среднего эф-
эффективного сечения а рассеяния молекул от температу-
температуры, если потенциальная энергия взаимодействия между
частицами имеет вид
и= ( — ? при r>d,
{ оо при r<d = const.
516. Найти среднюю длину свободного пробега / мо-
молекул примеси в идеальном газе, если масса молекул
основного газа т, их эффективное сечение 0; эти же вели-
величины для молекул примеси равны т! и а'.
517. Оценить значение коэффициента теплопроводно-
теплопроводности газа, основываясь на следующих предположениях:
а) все молекулы движутся с одинаковой скоростью v\
б) каждая молекула изотропно рассеивается через интер-
интервалы времени т, одинаковые для всех молекул; в) после
рассеяния энергия каждой частицы точно равна средней
энергии молекулы в точке, где произошло рассеяние.
518. Используя кинетическое уравнение Больцмана
в т-приближении для электронов проводимости в металле
и считая время релаксации х зависящим только от
Р2
энергии е=?-~, получить уравнение теплопроводности и
выражение для коэффициента теплопроводности х через
интегралы по энергии носителей.
519. Используя т-приближение кинетического уравне-
уравнения Больцмана и считая время релаксации постоянным,
найти коэффициент внутреннего трения у для потока
газа в направлении оси х, имеющего постоянный гради-
градиент проекции скорости vx, направленной вдоль оси у.
520. Определить, на какой угол ф повернется диск,
подвешенный на упругой нити, если под ним на рассто-
расстоянии h = 1 см вращается второй такой же диск с угловой
скоростью @ = 30 с. Радиус дисков # = 0,1м, модуль
кручения нити 100 ^—?, коэффициент внутреннего тре-
трения воздуха l,8-10-4r-cM~s-c""s. Краевыми эффектами
пренебречь. Движение воздуха между дисками считать
ламинарным.
95

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. Предположим ради простоты, что уменьшение энер-
энергии электрона вследствие изучения настолько мало, что
его ускорение приближенно равно ускорению при рав-
равномерном движении по окружности соответствующего
радиуса г:
w — — =
г 4яе0т0г2
Тогда для полной энергии Е в нерелятивистском случае
получим выражение
m0v2 е2
1
2
Уменьшение энергии электрона вследствие изучения
определяется формулой
dt
Отсюда
E*~ El + :
Время т, в течение-которого расстояние электрона от ядра
уменьшается от г0 до rlf соответствующего скорости
у, = 0,1 с = 3-107— , равно

2. Так как х = A cos о/ и /? = — тосоЛ sin со/, то энер-
энергию осциллятора выразим через собственную частоту со
и амплитуду А колебаний:
Р _ р2 , тосо2л;2 __ тоо>М2
С помощью правила квантования определяем разрешен-
разрешенные значения амплитуд:
где д = 0, 1, 2, ...
Подставляя найденное значение А1 в выражение для
энергии, получим:
Еп = д^со.
3. ^Л = пДсо(где /i= 1, 2, 3, ..
4. Указание. Использовать постулат частот и вы-
выражение энергии для водородоподобных атомов.
5. я = 3.
6. 1/Не+==54В; Кы++ = 122 В.
^ м«-масса
«
8. a) ?D— ?'я =
б) Яя —Яо = 0,;
В) 1/^—1/^ = 2,8. Ю-3 В.
9. а) г„ = п2г19 г1=1,06-10-8см;
б) У = 6,8В;
в) Х==243нм.
10. 2,85.10-»м; 2,53.103эВ; 1,9-10»В.
П. К= JL—-4== 0,0387 им.
12. ^ ,; в ,
13. Я = 0,245нм; Хсг>с1не\ да.
14. А,= l,6-10"lS м; волновые свойства а-частицнеоб-
ходимо учитывать.
15. Я,^0,072нм.
16. ?<?><0,02МэВ; ?^<37,5МэВ.
4 № 23 97

17. Используя функцию распределения Максвелла
в виде
и соотношения / (Я) = / (р)-^> ^~JZ~v> находим функцию
распределения по длинам волн:
Определяя наиболее вероятную длину волны из условия
df (I) Л « ft ПЛП
../ * 7 = 0, получим: кь — ^-^====- = 0,09 нм.
lo. Aj = i
19. ^ = 0,Знм.
20. Ах = . ==10мкм.
d у 2т0Ек
23. Указание. Учесть, что разрешение микроскопа
выражается формулой А = . ^ (где X—длина волны
sin v?
испускаемого света, 6—угол, под которым виден объек-
объектив микроскопа из точки нахождения объекта).
24. Д/>>10-24:
25.
26. ??„,!„> 0,05 нм.
27. |?|«13,6эВ; г«О,б- 10-j0m.
29 ? , я2Й2
31 ? . — "е — 83эВ- /• — —-——0 3.10-1° м
32. а) B—х2
б) 2(
98

33. Согласно определению функции от оператора
/2 = 0
Для оператора А= ^ разложение экспонента в ряд
записывается в следующем виде:
л = 0
34. Указание. Учесть формулы разложения в ряд
тригонометрических функций:
-1) г
я=0
35. Разлагая функцию ty(r + a) в ряд Тейлора, по-
получим:
Указывая выражения для оператора импульса р = -т- — ,
можно оператор параллельного переноса записать так:
36. e
4*

37. По определению J?dvty(r) = ty(r+dr) (где dcp =
= nody, dr = dcp-r). Разлагая функцию \f>(r+dr) в ряд
Тейлора и отбрасывая члены 2-го и более высоких по-
порядков малости, получим для оператора бесконечно ма-
малого поворота выражение.
/\
= 1 + Иф • г] Л = 1 + т "^
Л
39. Если Аф = г|)* и ЛОф = С*г|)*, то
Значит, оператор комплексного сопряжения л не яв-
является линейным, так как в общем случае СхфС\ и
СС1
40. Нет.
41. Комплексносопряженным оператором по отноше-
нию к оператору В называется оператор 5*, для кото-
которого выполняется условие
Для оператора комплексного сопряжения (Л'ф^-ф*) это
условие принимает вид: (Л*Ч|г*)* = Л'ф = 'ф*. Поэтому
A. /N /Ч
Л*'ф* = 'ф. Но Л'ф* = 'ф. Значит, оператор А* равен опе-
/\ /ч
ратору Л. Оператор комплексного сопряжения Л не яв-
является эрмитовым, так как
dx = J 1Й1Й dt ф \ ф2Лij>T dt = J ф^, dr.
А.
42. Оператор Л + , сопряженный линейному опера-
оператору Л, определяется условием
А А
АА
А А
Сумма А+А+ является эрмитовым оператором, так как
J фГ (Л + Л+)г|J dt == J ф2 (Л +фх)* dt 4т $ ф2
100

44. [Л, В]_=0.
52. V2* —xv2 = 2^.
54. В общем случае нет. Например, оператор рх ком-
/\
мутирует с операторами у н ру, которые между собой
не коммутируют.
*.* — &-%+&. где r,=-il,x
*
=~Се{кх, причем CeiKx~Cea(x+a\ т.е. ika = i2nn. Значит,
собственные значения оператора принимают значения
К
60. а) —1^(х) = Щх)9 Q=*iXdx. Отсюда
б) — ^- = ^; ty^c^m
Используя граничные условия, получим:
Отсюда Vkl — nn (где п=±1, ±2, ...). Итак, собст-
собственными функциями будут
а собственными значениями оператора —
где п=±1, ±2, ...
61. " --^(ГР)
62. а) Уравнение — ^-~ = ^2^ имеет решение
I—-±ф
= Л^ я .Из требования однозначности ф(ф) = ф(ф + 2я)
следует, что 3?z^m% (где/п==0, ±1, ±2, ...).Из условия
нормировки \ г|?(ф)\|?*(ф)^ф= 1 получаем Л = По
101

этому нормированные собственные функции имеют вид:
б) Ц = тФ, где т = 0, ±1, ±2, ....
в) Уравнение —in-Л + a sm<p-ty==hb) имеет решение:
-~ (Ялр + асозф)
ф (ф) = Ае п .Из требования однозначности функ-
функции я))(ф) находим спектр собственных значений Х = т%
(где /?г=0, ±1, ±2, ...). Из условия нормировки полу-
__JL j I (тф+— соэф J
чаем: Л = Bя) 2. Поэтому яЬ(ф) = -т=е \ » /
У 2я
63. ^2 = 2ft2.
64. Гф = ^т2 (где т = 0, ±1, ±2, ...); Фя(ф) =
65. Равноправность осей х9 у и z позволяет записать
_ _ _ _ _ i]m2
¦(- jg7* = 3J27!. Но ^ = Й2т2
. Следовательно, 5F2 = А2/ (/ + 1).
67. [Я, *]_ = —^^Г^* Поэтому среднее значение про-
с ^
екции импульса частицы равно рх = \ ty*pxtydx =
«= \ г|>* -j2- (Ял;—хЯ)г|;^л:. Пользуясь эрмитовостью га-
мильтониана Я, получим:
px=i^^ (x^Hty*—xty*Hty) dx =
= i|o Г Е (яфф«_^ф) rfx = o.
Здесь учтено, что //i|) = ?^.
102

68. [j?y, J?,]_=i%^x. Поэтому 2х =
y
. Принимая во внимание эрмитовость one-
ратора S?z и то, что г|) есть собственная функция этого
оператора, т. е. 3j§*=*2j§* запишем:
так как &z~??*z. Аналогично получаем J?y = 0.
-> ->¦
70. В координатном представлении г = г. Для пере-
->
хода, к /^-представлению воспользуемся выражением сред-
среднего значения радиус-вектора:
^, A)
где
i ->->
Ф(р) = Bя^)/2 С я|э (г) в ~ЪРГ dx B)
->•
суть коэффициенты в формуле разложения i|)(r) по соб-
собственным функциям г|э-> оператора импульса
яр (г) = BяА) " 2" С ф (р) е h РГ d*p. C)
С другой стороны,
<г>=$я|)*(г)Гф(г)Л. D)
Учитывая выражение C) и интегрируя по частям, пре-
образуем п|>(г) к виду
Тогда
dp
ар '
юз

Здесь принято во внимание выражение для ср*(/?) соглас-
согласно ^2). Сравнивая E) и A), находим, что в импульсном
представлении г = in —.
др
71. Оператор координаты в импульсном представле-
/ч л- д
нии х = йл—. Собственные функции, удовлетворяющие
°Рх
уравнению
и условиям конечности, однозначности и непрерывности,
имеют вид: (
--7-Хрх
Ч>(Рх) = Се * ,
где х—любое вещественное число. Поэтому спектр собст-
/\
венных значений х непрерывен.
72. Из условия нормировки на единицу получим:
А = (—у. Волновая функция в импульсном представ-
представлении есть коэффициенты ц(р) разложения ty(x) по собст-
собственным функциям typ оператора импульса, т. е.
~2 ixp
73.
74. а)-ф(г)?=б(г —г0);
б)
со дс8 р8
75. IF = J ф J dx j | ф (xt y, pz) |a dpa, где ф (х, у, pt)
— oo Xj px
1 со г
f> ~~-~ZPz
-00
104

76. Из условия нормировки имеем: А = у —. Вол-
Волновая функция в р-представлении выразится в следую-
следующем виде
ixp
iap
= —2h(na%I'*- a
а2/?2
Поэтому вероятность обнаружить у частицы импульс р
в интервале от р до p + dp оказывается равной
77. А2 = а ]/~-|, ср (р) = (ah \ГЩ ~х1*' е~
78. Гамильтониан частицы в р-представлении есть
Н = ?— -\-tharr-. Поэтому для собственных функций ср(/?)
Z/TIq Op
оператора энергии уравнение в импульсном представле-
представлении имеет вид
Отсюда находим:
Конечность ср (р) обеспечена при любом вещественном
значении ?\ т. е. энергетический спектр непрерывен.
Постоянная С определяется из условия нормировки на
б-функцию:
со . /e;_?,v °°
105

откуда
30
79. Из условия нормировки получаем: А2 = —.
Уравнение для собственных функций оператора энергии
имеет для значений Еп = 2m q2 конечные, непрерывные
и однозначные решения:
где п = 1, 2, ... .
Поэтому волновую функцию частицы в энергетическом
представлении можно записать так:
а
= Л j/4J*(a-*)sin^?dx =
о
Вероятность', что частица обладает энергией ?л, выра-
выражается формулой
Очевидно, что W (Еп)=^0 лишь при я—1, 3, 5 ... ¦
Средняя энергия частицы оказывается равной
Ф 240-2а _ 5&»
а2 *
? 2т0а п6-л6 тоа2
Л= 1,3,5
2
80. Нормировочная постоянная равна А — -т=. Урав-
Уравнение для собственных функций оператора проекции
момента импульса
где т —~
лишь для т = 0, ±1, ±2 ...). Спектр собственных зна-
значений для JSP, определяется выражением J?z = fim} а п.о~
106

стоянная С из условия нормировки оказывается равной
. Волновая функция ротатора в ^-представлении
запишется в следующем виде
2я
о
2Я
— cos 2ф
2 е
О
Отсюда следует, что при измерении 3?г получаются лишь
три значения: J2% = 0, <??г = 2%, ^г = —2% (^соответст-
2 1
венно с вероятностями W @) = -^ ; W B) = W (—2) = ¦§-
2
81. А == ^—=т; волновая функция в ^-представле-
|/ Зоя
нии имеет вид
Отсюда следует, что L2 = 0; ±A; ±2Й. Их вероятности:
82. Собственные функции оператора энергии для ча-
частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной
яме записываются так:
где /г=1, 2, 3, ... (см. решение задачи 79).
107

Матричный элемент <я \ ex | ту дипольного момента ех
в ^-представлении по определению равен
а
tyn (X) Х^т (X) dx.
О
Учитывая соотношение
sin a sin 6 = у [cos (а—b) —cos (а + Ь)]
и вводя новую переменную у = ^, запишем:
л
<я | ех | ту = -^ \ у sin ny sin tnydy =
о
Г л л -1
= —г- \ ycos(n — m)ydy— \ у cos (n-\-m) у dy .
Lo о J
Принимая во внимание, что
о
получаем:
</г | ел: | т> = -тгт^ш [(—1)"~от— 1].
Это значит, что матричные элементы отличны от нуля
лишь для нечетных значений разности п — т.
а , а
, , Л С * д , 2%пт С пп
83. </г I p j ту = -г- I "фдг -д- г|)л ал; = —r-g— \ sin — хх
о о
X cos-^-xdx = /a(n2_m2)[l—(—1)^-^]. Отсюда следует,
что матричные элементы импульса отличны от нуля для
нечетных значений разности п — т.
84. Матричные элементы оператора «2% = —flfc-з-
в j^^-представлении вычисляются с помощью собствен-
108

ных функций:
я|зт(ф) = Bя)-12 е"»^(где т = 0, ±1, ±2, .. .)•
2Я
О
откуда видно, что J?mm = htn, а все недиагональные эле-
элементы равны нулю.
85. Матричный элемент представим в виде произве-
произведения трех интегралов по г, 8 и ср:
<nlm | D21 /z7'm'> = lr- /e- /ф.
Вид угловой части одинаков в любом центрально-сим-
центрально-симметричном поле. Поэтому, используя сферические коор-
координаты (г =в г cos 0; dT=?r2sin9d9dq)dr), запишем:
/ф = J eWe-t^dxp = 2n6mmS
о
значит,
<nlm\D2\n'l'm'> = 0 при т'Фт.
Вычисление Уе при т' = т дает:
/е = 5 рш (cos 9) cos 9. PVm (cos 9) sin 9d9 =a
о
3X
5
0
Вводя новую переменную # = cos9 и учитывая, что
получим:
Это значит, чю матричные элементы Dz отличны от нуля
лишь при т' = т и Г = /±1.
86. Апт s <п | Л | т> = ^СЛг^ dx
109

87. W(xy t) = tyn(x)-e h (где ?„—энергия стацио-
стационарных состояний).
88. Временный множитель волновой функции примет
.
вид f(t)one * ; квадрат же модуля |? (я, 0|2 ос-
остается неизменным.
89. Удовлетворяет только временному уравнению
Шредингера.
93. Уравнение Шредингера
.-^ а^ (л, t) _ i2 д*ч(х, t)
m~Tt ~ 2щ дГ*
допускает разделение переменных. Поэтому его частное
решение ищем в виде: ^(x, t) = ty(x)f (t). Тогда
it df __ fa l d2ty (x) __ F
f dt~~ 2m0 -ф d^2 '
При |х|—^оо значение i|)(x) будет конечным, если
E > 0. Обозначая *?° =fe2, получим:
где k~любое вещественное число. Общее решение при-
примет вид:
+ 00
час
94. ?>0.
•к ~°°
где со = -7) частота волны де Бройля.
б) Т(х, 0 = BяА)-1/2ел ^ °*
96. Методом разделения переменных находим стацио-
стационарные решения уравнения Шредингера:
= -jEm = -^rm2 (где m = 0, ±1, ±2, ...)¦
110

Затем разложим искомую функцию ^(ф, /) по ^(ф, t):
Коэффициенты Ст определим из начального условия:
В результате получим:
ЧГ(Фэ /)=^A_е"/1ГСо52ф).
97. Ч(х, 0=- ^3°v^ 1 ~-<-ппх ~~ ^
a 1 о
"~2/n0a2
98. Нормировочный коэффициент А определяется из
условия
00
J ?(х, 0)T*(x, O)dx=l;
в результате интегрирования получаем:
|Л|2
о У д
Далее определяем область локализации частицы:
, 0) |2= | Л ,ае~ ла.
Эта функция имеет максимальное значение в точке
% = 0 и быстро убывает при |х|>а. Ширина пакета,
задаваемого такой функцией, порядка а. Плотность тока
вероятности связана с плотностью вероятности w соот-
соотношением:
Конечное выражение для /^ совпадает с классическим;
величина -^-—аналог классической скорости частицы.
111

99. Представим ?(.*;, 0) в виде пакета волн:
00
W(x, 0)= J C(k)eikxdk.
Умножив левую и правую части этого равенства на e~ikx
и проинтегрировав по х, получим:
Аа -~
А ~ о (^о~?J С ~~!Г^г^-х
Значение С (k) отлично от нуля вблизи k = k0. Выражение
пропорционально вероятности найти у частицы квази-
квазиимпульс в интервале k~-k-\-dk\ величина Д&~— опре-
определяет ширину пакета в ^-пространстве.
100. Данный волновой пакет описывает свободную
частицу в момент времени ? = 0. Поэтому
00
где
Подставляя С (k) из решения задачи 99 и приводя дан-
данный интеграл к интегралу Пуассона, получим:
: ехр
, /) =
m0
Плотность вероятности равна
2A+Sa2
L
112

Отсюда видно, что максимум кривой вероятности пере-
перемещается со скоростью —-. Ширина этой кривой растет
со временем как величина аЛ/ 1+—5—. Плотность тока
вероятности выражается так:
102. Все величины сохраняются во времени.
103. а) Энергия ?, проекции импульса рХУ ру и проек-
проекция момента импульса Sz\ б) Е, 3?х, J?yJ 3?z, J^2; в) рх,
104. -jj- = iti(%tqU — uVlt ф). Значит, J?2 является
интегралом движения в поле центральных сил,„т. е. при
и —и (г). Величина 3?z представляет собой интеграл дви-
движения в центральном поле и (г) и в поле с осью симмет-
симметрии Ох, так как
dt ~~ ду у дх '
105. Учитывая вид гамильтониана для системы ча-
^Ё Б*> (где Ёй
потенциальная энергия во внешнем поле,
энергия взаимодействия частиц, входящих в систему ) и
применяя правила коммутации, находим, что
'= 2?/) лишь в отсутствие внешнего поля.
113

109. ^
110. Для замкнутой системы пространство изотропно.
Поэтому гамильтониан Я не должен меняться при произ-
вольном повороте системы как целого, т. е. [Я, 2-+\_ =0,
где оператор бесконечно малого поворота системы п ча-
частиц S -^=1+с1ц) 2r/XV/ (см. задачу 37). Поскольку
dy = const, то условие коммутивности сводится к требо-
требованию
выражающему собой некий закон сохранения.
Величина, сохранение которой для замкнутой системы
следует из свойства изотропии пространства, есть момент
импульса системы S- Следовательно, с точностью до по-
постоянного множителя, равного —i%t
— in 2j Г/ХV/=s Zi rixpi = ??.
111. Указание. Воспользоваться оператором беско-
бесконечно малого переноса системы п частиц как целого в виде
Т + = 1 + 8г 2 V/ и условием [Я, Г +]_ =0 для замкну-
той системы.
о
ietv
P
di P
(где Рх~рх—вЛж, ? — напряженность электрического
поля, В—индукция магнитного поля).
114

114. 2,1 МэВ.
115. х = уа; />* = 0;
117. V (•?<*< А«) =-1 + 1^0,82.
3,...).
119. r = (l
120. *л.л.».(х, У, 2) = -^=-sin^-sin^Lsin
С
[ М а» у» • • •> '«-2 —'
^ \)
= 1, 2, 3, ...; п, = 1Г2, 3, ...).
122. Уравнения Шредингера для двух областей имеют
вид:
, ^ + ^х = 0, где *« =
, ^-х^^О, где ^ = ^>((/0-?).
Их решениями, удовлетворяющими стандартным и гра-
граничным условиям, будут:
г|I (х) = Л sin^x при
ty2(x) = Be-*x при
Из условий непрерывности волновой функции и ее
производной в точке х~а
A sin ka = Be~ Ka, Ak cos ka = —
получим:
ctg*a = —J, или state-± /^
IIS

sin
Рис. 11
Графическое решение этого уравнения (рис. 11) дает
корни, отвечающие дискретному спектру энергии. Корни
уравнения соответствуют тем точкам пересечения, кото-
которые будут находиться в четных четвертях окружностей
(эти участки оси абсцисс выделены на рисунке 11 жир-
жирными отрезками). Как следует из рисунка, корни урав-
нения существуют, если прямая #= — у 2пГЕГ Рас"
полагается не под большим углом к оси абсцисс, чем
прямая О А. Наименьший корень уравнения ка = ~ дает:
123. a) a2U0 = Bn—:
-2arcsin
; б) 5 уровней; в) a2UQ =
\6m0 '
124. ka =
^ -rV2m0U0, так как,
Л
берутся в первой
= 1, 2, ...). Значения arcsin
четверти, причем
—=^1.
у 2mQUQ
Последнее уравнение решается графически. Точки пере-
пересечения прямой у = ka с кривыми j/n = nn — 2arcsin r
у 2m0U0
определяют корни Л1Э k2 ... уравнения (рис. 12)." Эти
корни дают дискретный энергетический спектр Еп =
_ Ы
2mQ '
116

Угн
ЗЯ
Х(/г—IJ, шесть
уровней.
X
126. Еп~
Ж
127. ka = nn —
%k
— arcsin r —
— arcsin -
где
n=l, 2,3, ..., k=-r
Л
Рис. 12
. Значения arcsin —
берутся в первой четверти, так как
129.
5
130. Используя оператор координаты в импульсном
представлении х = ш-^-, запишем уравнение Шредингера
для собственных функций одномерного гармонического ос-
осциллятора вр-представлении: f^ + ^^-^E-^j x
> = 0. Вводя безразмерную переменную г\ =
2E
V
и обозначение К = ~у приходим к уравнению, аналогич-
аналогично
ному уравнению Шредингера для этой же задачи в х-пред-
ставлении. Поэтому его решения могут быть записаны
ввиде:11)/2(г)) = С^^1"Т1 Нп(ц), где Сй=(/")
Нп (л) —- полиномы Эрмита.
117

Тогда искомое распределение вероятностей равно
131.
гдеп^О, 1,2, ...;Z = (f)(
полиномы Эрмита.
132. При #>0 волновая функция удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению обычного осциллятора. По
условию этой задачи она должна обращаться в нуль при
х = 0, т. е. г|)@) = 0. Нетрудно видеть, что волновые функ-
функции осциллятора при четных значениях п, т. е. при п = 21
(где 1=1 у 2, 3, ...), не удовлетворяют этому условию.
И лишь с нечетными пу т. е. при п = 21 + 1, они при х = О
обращаются в нуль. Таким образом,
133.
1W. F.4.0 = С^^в » * '#Л1 (?) ЯЯ1 (т|) Нпа (С), где
^i» ^2» пз пробегают значения 0, 1, 2, 3, ...;
JL J L
JL J_ _L
t __ / то0! \ а / то(й2 \ 2 __/тр(Рд\ а
СЯ1„аИ% определяются из условия нормировки; Нп.—поли-
Нп.—полиномы Эрмита.
134. /» B
135. i|,BiBi = Cnxnf I" (I'+Si) -ЯЯ| (I) Я„а E).
116

где X = ^-
где /г,- = О, 1, 2, 3, ...; Нп.—полиномы Эрмита.
136. Общие решения уравнения Шредингера имеют вид:
1^* при #<0,
-lk*x при х > О,
где к^-^УЩ^- k2=j-V2m0(E-U0).
Будем считать, что падающая волна характеризуется
амплитудой А19 а отраженная — амплитудой Вх. Поскольку
в области х > 0 имеется только проходящая волна, то
Б2 = 0. Коэффициент отражения представляет собой отно-
отношение интенсивности отраженного потока к интенсивности
падающего потока, т. е. отношение квадратов амплитуд
отраженной и падающей волн:
Из условия непрерывности i|) и г|/ в точке х = О имеем
Л Л Г» &2 Л
Отсюда
Коэффициент прозрачности D равен отношению интенсив-
интенсивности проходящего потока к интенсивности падающего
потока:
d»[4s-V-^-=*
139. ?„= 2m^a2 —U01 где а = у/г, я—целые числа,
при которых Е > 0.
119

140. fl =
2, ....
141. D =
где &0 = -т-
1, где
4
Г
~1
142. En =
0, где n=l, 2, 3, ... (заметим,
что n не может принять нулевого значения, так как при
п=0 получается E=U0 и, следовательно, Ь< 1); Ег —
= 52,6 эВ; ?2= 164,4 эВ.
1ло г> ИИ2 ft . UUWxa I
143. D = ^=\\+^(Uu_E)\ , где х =
= h~1V2mQ (UQ — E). Коэффициент прозрачности D <<c 1,
nshxa^y^a. Поэтому D^16?([/o — ?)x
если
X Ui
144. Для электрона D = 0,157; для протона Dc/d 10~60.
145. D = D0
146. D = Dn
148. Шаровая функция, или сферическая гармоника
Ylm(Q, ф), является собственной функцией операторов «5^2
и %г:
Следовательно, компонент момента импульса Зг имеет
вполне определенные значения: Л?г — т%.
Компоненты Sx и 3?у описываются некоммутирую-
щими с S?z операторами. Поэтому можно говорить лишь
120

о средних значениях этих величин:
где dQ = p
Вместо того чтобы вычислять средние значения ком-
компонентов момента, целесообразно иметь дело со следую-
следующей их комбинацией:
Учитывая результат действия операторов J?x и ??у на
сферические гармоники:
получим:
% V J Y)mYum+1 dQ = 0.
Поэтому ^x = 0 и
149. ^х = ^ =
150. Л = (^
151. ^2 = бД2.
152. rii0=
2, ±2=j
; K,.0=l |/-lEcos»e-3cose);
153. Уравнение Шредингера для радиальной функции
R(r) частицы с нулевым орбитальным моментом A = 0)
имеет вид
dr» f/*+ ft» R = 0-
121

о
Используя подстановку
7 (г)
# (г) = ?A_i f получим для
функции %(г) уравнение
2то?
Отсюда
Рис. 13
где Л и а---постоянные ин-
интегрирования. Требование
конечности функции R (г) при г—*0 приводит к равенству
a = 0. Из граничных условий R (г0) = 0 = следует,
что
= nn (где м= 1,2,3, ...). Значит, ?„==
-я\
Волновые функции частицы в s-состояниях запишутся так:
•ф^ Q0 = R (г) уо% 0 (8, ф) = С — sin -^2- г.
Из условия нормировки
/ \
находим постоянную С:
Следовательно,
154. г =-тг; г2 = т- !-
1 1
лп
sin'5
155. График функции |-ф15(г)|а = ^ ~- пред-
представлен на рисунке 13;
122

157. Основное состояние частицы (л=1, 1 — 0, m = 0)
описывается волновой функцией
которая в импульсном представлении имеет вид
Го • J\_ n i
-> 9тт С г С •**""" Pr cos ^
«и /г«\ (Оггп \~" а/2 \ о **2 Аг \ о ti oin fi WA
У 2ял0 J r J
0 0
sin-
p И -¦
Отсюда плотность вероятности данного вектора им-
импульса равна
sin2
Вероятность же того, что импульс частицы заключен
между р и p-\-dp, будет выражаться формулой
W{p)dp-\* (?) I2 W dp - frffiffiy sin' f .
158. Используя уравнение Шредингера для радиаль-
ной части волновой функции и подстановку R(r)=^^-^t
получим:
= 0 при г<
х;-Р*Х. = О при г > г, (где р« = ^ («,-?)).
Решения этих уравнений имеют вид
%х = A sin kr-\~ В cos kr при г < г0,
Р' при г>г0.
123

Из требования конечности функции ty(r) во всем про-
пространстве следует, что В = 0 и С2 = 0. Таким образом,
_ л sinkr _с в"рг
Tl — п } » Т2 — W г •
Из условия непрерывности функции и ее первой произ-
производной в точке г = г0 находим:
A sin?ro = C1e-Pr°,
A cos kr0 = —Сх -- в~Рго.
=±/i
Отсюда
Это уравнение определяет дискретный энергетический
спектр частицы.
9jt2^2 я2 А2
159. г^^о^ г- Положение основного энер-
Qm "- 8т0го
гетического s-yровня в момент его появления опреде-
определяется из условия kro = Y* Поэтому
По мере дальнейшего увеличения глубины Uo потенци-
потенциальной ямы нормальный уровень Ег понижается, т. е.
Ег < UQ. Действительно, при глубине потенциальной ямы
25я2&2
UQ = g- положение нормального энергетического
s-уровня определяется величиной Е1 = -=<^
160. гвер = |.
163. ti,o.o=(^JеТ°\ ф2,0,0=[4Bла30)т] X
гдеа«-
радиус первой боровской орбиты в атоме водорода.
124

164. Указание.
Подстановка функции
i|)(r) в уравнение Шре-
дингера дает выраже-
выражение
Б (а, а, ?) +
+ г-С{а, а,
где 5, С и D—некото-
D—некоторые полиномы. Это ра-
равенство возможно при
любых г только в слу-
случае, если В = С = D = 0.
Отсюда
а~а— 2а0'
Рис. 14
где а0 =¦
тое*
Значит, электрон находится в 25-состоянии.
165. rBev = a0 = -
166. Эффективный потенциал ls-электрона в атоме
водорода равен
'эф*
т 2т0г2 4яе0г'
График этой функции представлен на рисунке 14.
Энергия электрона выражается формулой Е~-
По классическим представлениям движение возможно
при Е > ?/эф, т. е. в области О^г^г*, где г* опреде-
определяется из соотношения
Отсюда
г* = 2ап
125

Поэтому
00
!o = -~- Jr2exp (—~jdr =
— о , ________ о
167. г = -^а0] r2 = 3al\ (ДгJ =-~-а2,, где а0 — радиус
первой боровской орбиты.
.69. 4г,; 9г, (где г,~
170. Для 2р-электрона: Л2 =—5» ^ =
24a
Q — 01
Для Зй-электрона Л2 = -—-j, r = Ta0, (ДгJ=т^, где
а0—радиус первой боровской орбиты в атоме водорода.
171. /^3 = о"*, м = — -г~ , где rt—радиус пер-
48я80гх 1оле0г1 J r
вой боровской орбиты в водородоподобном атоме.
172. Объемная плотность электрического заряда в элек-
электронном облаке
Здесь
(r)=_!_<f7: (г е г ="
Тогда
173. Средний потенциал фДг), создаваемый «элект-
ронным облаком» в произвольной точке г, определяется
как сферически-симметричное решение уравнения Пуас-
Пуассона:
где плотность электрического заряда определяется фор-
формулой
126

Дважды интегрируя это уравнение, находим:
Выберем постоянные так, чтобы (p*(oo) = 0, а ф*@) было
конечным. Тогда
Прибавляя к выражению ц>е(г) потенциал поля ядра
получим:
^^ 4яе0 \ г ао)
174. п2 = 4; ф,.„.в = C2яа5)-1/а B—:
При п^>1 получаем:
где
Схема уровней энергии атома водорода изображена на
рисунке 15.
176.
127

О
-0,85
-1,5
'3,4
177. Собственные фунтс-
п ции и собственные зна-
r*r\ чения энергии невозму-
if. щенного гамильтониана
3 для частицы в бесконеч-
бесконечно глубокой потенциаль-
2 ной яме записываются
так:
-t / 2 • пп
= У 7SinT
9 Для вычисления поправок
Рис. 15 к энергии за счет стацио-
стационарного возмущения най-
дем матричные элементы оператора F = l/Ocos — х:
О
а
2V0 С • тп 2л . пп .
= —- \ sm — x-cos—x-sin — xdjc.
a J a a a
о
Отсюда
Следовательно, поправка к энергии первого порядка равна
нулю:
Во втором порядке
?» = _!!._-!_ при «
2?@) „2_4 ^
У4.10-вэВ.
179, В первом приближении теории возмущений по-
поправка к энергии гармонического осциллятора выра-
выражается формулой
128

так как
: = 0
= $
(из-за нечетности подынтегральной функции).
Пользуясь правилом умножения матриц и учитывая
выражение
для матричных элементов координаты, получим:
Поправка к энергии во втором порядке от первого члена
ах* потенциала возмущения выражается формулой
Поэтому для поправки к энергии основного состояния
(п = 0) гармонического осциллятора имеем:
180# Если ось г выбрать вдоль вектора магнитной
индукции В, то оператор энергии возмущения примет
вид
Энергетический уровень трехмерного осциллятора с п= 1
и E^^-jiico в рассматриваемом случае (сох =* со3 = со3) яв-
является трехкратно вырожденным. Ему соответствуют сле-
следующие волновые функции:
*i (*• У> 2) = Ф! (х) • ф0 (у) • ф0 B);
^2 (^. у» ^)=Фо W • Ф1 (у) • Фо («);
Ь (х. У, г) = ф0 (х). ф0 (у).ф! (г),
где ф„(л:)—волновые функции одномерного осциллятора.
Вычисляя матричные элементы оператора V, получим сле-
5 № 23 129

дующее уравнение для определения поправок первого
порядка к энергии:
— E{1) —i тгШп О
t-TT^CDn 1
О
==0
?1,2= гп ~2~"» ^з —и.
Следовательно,
181. E^JMy.-r^j—^—z.
Точный результат в данном случае полностью совпадает
с тем, что дает теория возмущений во втором прибли-
приближении.
182. Используя в качестве оператора возмущения вы-
выражение
)==Z~ 4тт?'«ог (g-Xr~ !)>
получим:
Еа) = V
е2ш
юо, ioo"
При
имеем: ?а> =
183. Релятивистская поправка к энергетическим уров-
уровням будет равна
где / — совокупность трех квантовых чисел.
Поскольку
то
ZWfhR / п
1
130

е2 1
где R — постоянная Ридберга, а = -г-^то?—постоян-
4пе0Пс 16/
ная тонкой структуры, Z — зарядовое число атомного ядра.
184. В отсутствие электрического поля плоский рота-
ротатор с моментом инерции J описывается собственными
функциями
^ A)
и обладает собственными значениями энергии
/7@) ^2т2 (О\
т — 2/ ' ^ '
где /и = 0, ±1, ±2, ...
-»
При наличии электрического поля $(<§, 0, 0) в потен-
/\
циальной энергии появится слагаемое V — —D^coscp,
которое можно рассматривать как энергию возмущения.
Матричные элементы оператора V имеют значения
2я
Отсюда следует, что в первом порядке сдвиг энергети-
энергетических уровней отсутствует:
Поправка второго порядка, определяемая формулой
— jLt МО) Ы0) »
равна
Отсюда
5* 131

185. Используя матричные элементы, полученные
в решении предыдущей задачи, получим:
В рассматриваемом приближении плотность вероятности
ориентации дипольного момента D под углом ср относи-
тельно <? равна
Если т = 0, то №0(ф) = 1+2Д?созф. В этом состоянии
вероятность ориентации диполя в направлении поля
(ф = 0) максимальна, а в направлении против поля (ф = я)
минимальна, что соответствует выводам классической
теории.
186.
187. Энергетический уровень атома водорода с п = 2
в постоянном электрическом поле расщепляется на
3 подуровня:
где а0—боровский радиус.
188.
Здесь
l1\1/2
ft©») J j '
2
(где m = 0, ±1, ±2,

190. (Д?)„г = -т J-? (где т = 0, ±1, ±2, ...),
19.1. WE IfTg» -?f б^Л^О, где J и k пробе-
гают значения 1,2, ..., / и ?j0),
192. ^^^ylfr + ^
±
При У12 = 0 получается обычная формула для энергии
в первом приближении:
193. Энергия основного состояния является миниму-
минимумом функционала:
Так как нормированной из заданного класса допусти-
допустимых функций является функция
и гамильтониан имеет вид
то для Е имеем:
Из условия минимума Е находим:
1
194. 4 <тгт<1Г (где а°—Боровский радиус).
133

195.
б) ?0 = (?)т1п = ^А©0а-
Г96. Указание. С учетом сферической симметрии
потенциального поля среднее значение энергии выразится
интегралом
При этом нормированная волновая функция имеет вид
197. ?0 = _?mln«_
где Л4—масса нуклона.
Вместо точного значения
?1== —Z2.13,6 эВ.
1в0. ?0 = 2b
0
T
где а0 — первый боровский радиус.
200. e0V*Sn= 1,695Ry;eon?H = 5,445Ry; lRy=13,
201. Применяя условия квантования Бора — Зоммер-
фельда (р pdx = 2n% (n + ^j и учитывая, что р~
получим:
+ а(п +ПТ9 ГДеп=0, 1,2, ..., N, и a=
т0
Максимальное iVf определяемое из условия EN=0, равно
134

/i = 0, 1, 2, ...
л = 0, 1,2, ... .
Полное число уровней равно
205. Искомое число энергетических уровней можно
найти, если учесть, что число уровней с заданным зна-
значением момента импульса S? совпадает с числом энерге-
энергетических уровней для одномерного движения в поле
с потенциальной энергией
Максимально возможное значение импульса рг при дан-
данном г и энергиях Е ^0 равно
Следовательно, число энергетических уровней с задан-
заданным 3? будет выражаться так:
dPr
Отсюда искомое полное число энергетических уровней
получается интегрированием по -г- :

207. Нормированная волновая функция частицы
в квазиклассическом приближении имеет вид
где со(?) — циклическая частота классического движения.
Поэтому для среднего значения кинетической энергии
можно записать:
Учитывая условия квантования Бора — Зоммерфельда,
получим:
208. Собственные функции и собственные значения
/\ /ч /ч
операторов а^, ауЭ аг найдем из решений уравнений
где oxi ауу вг—собственные значения, а %A), хB), ХC) —
/\ /Ч /N
собственные функции операторов с^, ау и oz. Пред-
Представляя искомые функции в виде матрицы зс = B). мы
из первого уравнения ( jqj (?j =^вх (? \ получим:
Это значит, что b — oxa> a = oxb и, следовательно,
/1 \
Если аж=1, то х?1 = а( 1 )» если <**= —Ь то
136

Из условия нормировки
следует, что а = -у= . Поэтому
?а>
Аналогично из второго и третьего уравнений находим:
ттгтг, П |_ 1 • VC) ( 1\ л,C) /0\
для oz — it i • X+i — ( q ) > л-1 — 11/'
Функции X+J и X-i соответствуют случаям, когда спин
направлен по оси z и против оси z соответственно.
/\ /к /к
209. охоуог =
/\ 1 /\
210. S^-j^, где оХУ оу> az—матрицы Паули, удов-
удовлетворяющие условиям:
а2 _ а2 __ а2 __ § _ / 1 О \ ,
/\ /Ч /\/Ч /Ч /\
Квадрат проекции спина на произвольное а направление
равен
f s a \2 ~fb2 ~^ "* л2/Ч ^ ^
X Kax + o^ay + а>г) = -^ [ a*oj + ojaj +
+ ojaj + (a^ay + a^ff x) axay + (ayaz + azoy) ауаг +
Отсюда

211. Рассмотрим квадрат суммы операторов спинов
двух частиц:
2 = 3j
Как в триплетном, так и синглетном состояниях S2, S\
и S2 имеют определенные значения: собственное значение
S2 = ri2S(S +1) (где 5=1 для триплетного состояния и
5 = 0 для синглетного состояния) и 5i = 5f = -j^2. Следо-
Следовательно,
Поэтому (S1-52)=-j- в триплетном состоянии,
3 4-9
=—^-Й2 в синглетном состоянии.
213. а) *^)^; б) а5\ .
2 2
2 4
214. Для ^-состояния: gx^^ »g>2==y»
4 6
для ^-состояния: §-! = —, §¦=---;
о о
для ,F-состояния: gri = y,gf2=4-
215. ц =
216.
217. а) |1 = 1/6>б, ^я = 0. ±Иб, ±
б) н-==^рГ^Б, ^я = ±|-Иб. ±
218. J^A, VTA.
220
138
/

р
'2 ¦
221. 6 = <
X \i0 -^[IbE-1 « 3,2мм.
222. a) 6; б) пучок не
расщепляется.
223. [хГх = 0,6^Б,
„max __ gj,
224. АЕ = 4\1БВ = 3,5 х
XlO-4 эВ.
225. гР3.
226. а) Нормальный;
б) нормальный; в) ано-
аномальный.
228, Схема зееманов-
ского расщепления тер-
термов 25*з/2 и 2Si/2 в сла-
слабом магнитном поле пред-
представлена на рисунке 16.
Смещение частоты со при аномальном эффекте Зеемана
определяется формулой
1
2
3
5
6
2
T
Рис. 16
Отсюда
Aco
5
3 '
?t?tU* ел U|T* I \J •
230. В основном состоянии атома водорода имеет место
сферически-симметричное распределение электрического
заряда. Взяв в качестве элементарного заряда
dq(r9 6) = 2яр (г) г2 sinedQdr,
запишем выражение тока прецессии вокруг вектора
B\\Oz в виде:
В центре атома этот ток создает магнитное поле
dH0 = — -g- p (r) rdr sin8 9d9.
139

Интегрируя это выражение по г и 0, получим:
Так как Фя@) = -т-^— (где а0 —радиус первой боров-
* ч 7r Be2
скои орбиты), то пп =—то 1
_ \2лт0а0
231. г ~ 3,5- 10-ia. м.
232. 0,052 нм; 0,104 нм.
233. х«-1,ЗЫ0-9.
234. Используя формулу для среднего значения
Я+Я = S (г? + г» |*(rlf r2)|«dV.dV, = ^,
получим:
м3
z ^—^—- ^ 2 08 • 10 ~** -
2/Wq(Z'J ' i
в
235. A?=
31 x
~-fi 50 10
237. ^-» 0,028^1. Поэтому
-^
238. Смол«
»)
то ^«0,0015.
140
^« 0,0032^1, ^«^
0,0016.
240. Для атомов в г5 х-состоянии L = 0, J =y

Поэтому I = N\iBth~-. Так как -р^-~ 0,0056< 1, то
^4
241. СМОЛ«4,7.10--!^; /„-6,4.10-^.
242. Основное состояние атомов кислорода есть сос-
состояние '5*2;
Худ ~ О»° W кг •
245. iftGi, rt) = ^fo^i)9»(
, г,) = -р=- [фа (ri) ФЬ (г,)—фа (г,) Ф6 &)].
246. Л? = ?пара—?орто ==
где /обм = J фГ Й ф2 (гх) У12ф? (r2) cPl (r
247. /о6м =
Умагн=1,2.10-4 эВ, т. е. (;маг„</„6м.
248. /обм = 0,394 эВ; К = 8,735 эВ.
249. Ф„.р, = Ф,Й, Г^х.^», 42));
(^оРхо)й = ФЛ^. r2)%ik){^, 42)). Л=1. 2, 3.
При записи 1|5пара и г|)орто использованы обозначения:
Ф (r7) [фи (Ti) фм (г,) ± фи (г, й
i?« = yf [« (sil>) P (sf>) ± а (sf
Xf> == а E^>) а (s«>); xi"
где а и р — спиновые волновые функции двух возможных
состояний частицы со спином 1/2.
250. ¦.й) = Ф11Й)ф1.Й
()Y( ()v( P()v()P()Y()], где а, |Н,
Y—спиновые волновые функции трех возможных состоя-
состояний (mw==0, ± 1} частицы со спином 1.
251. а) Ne= 18 — атом аргона, б) Л^ = 48— атом кадмия.
Mi

252. Ar—Is22s22pe3s23p6; 36Kr—
biCs—ls*2s22p°3s23pe3d14s4p4d1°5s*5p'>6sK
253. a) 2; 6) 2B/ + 1); в) 2п\
254. a) 6; 6) 3.
256. a) 1S, 3S, X3>\ 35\ x^5, 3S>\
?,01, o, ?Z/, c7 .
?o\je C3/2 *
260. a) 4f3/2; б) в5±; в) 4f\_.
2 2
26Ь a)
Фо (^i) Фо (^2) Фо (}*)
где (pml — одночастичные волновые функции, ml—магнит-
ml—магнитное квантовое число, ml^0, ± 1.
б) Ф (г1э г8> г) = у=г % (гх) [ф0 (re) q>! (г,) — ф0 (г) Фх W].
262.
_ ^^ Фи ?)«(О Ф1, Й) а B) Фи (?,) а C)
Фм Й а A) ФМ Й) а B) ф21 G3) а C)
263. 2; 4; 4.
264. Мультиплетность ЭС молекулярных термов опре-
определяется суммарным спином S электронной оболочки:
9f = 2S+l. Поэтому у молекул СО и О2, электронные
оболочки которых имеют четное число электронов и целый
спин, мульткплетность электронных термов будет нечет-
нечетной. Молекулы NO и ОН, для которых спин электрон-
электронной оболочки полуцелый, характеризуются четной муль-
типлетностью электронных термов.
265. а) Л=1; S = 0; 1. Поэтому возможны следую-
следующие электронные термы: 41; 3П.
б) Л=1; 3; 5=1/2 и 3/2. Этим значениям соответ-
соответствуют термы: 2П, 4П, 2Ф, 4Ф.
142

266. Записываем правильные функции нулевого при-
приближения:
Ф^С^ + C.ly, ty'^Cl^ + C'^, A)
где коэффициенты С1Э С2, С'и С2 определяются формулами
A) задачи 188.
Выражаем из A) г|?1 через функции г|э и г|/, описы-
описывающие состояние с возмущенными энергиями ЕЕ?\
Е + Е?К Энергии Е?}2 определяются формулой
Вводя затем временные множители, переходим к волно-
волновой функции Ч?г:
~TEi
B)
В начальный момент времени (/ = 0)
СС
Подставляя в B) вместо г|) и я|з' их выражение через tyt
и i|32, получим разложение Ч^:
где
Подставляя сюда значения коэффициентов и вычисляя
|а2(/)|2, получим для вероятности перехода выражение
где со»> = 12 |^
Отсюда видно, что вероятность W12 периодически меня-
меняется со временем с частотой со^.
143

267. Потенциальная энергия осциллятора в однород-
однородном электрическом поле <?(<?, 0, 0) равна
l/(x)^^~jca—^jc«^(jc—xo)> +const,
где
Поэтому волновая функция возмущенного осциллятора
имеет вид:
где
fe U/ * °"
Вероятность перехода определяется коэффициентами раз-
разложения ак возмущенной функции a|H(x—х0) в ряд по
невозмущенным функциям ipk (x):
+ 00
%= ^%(х)Ь(х—xu)dx--=
— 00
?2 +o
Входящий в эту формулу интеграл приводится путем
/г-кратного интегрирования по частям к интегралу Пуас-
Пуассона:
Поэтому
144

Для вероятности перехода 0—±k получим:
Это—распределение Пуассона со средним значением
равным
268. a) U»= ; б) U^-^e *°т.
c42\ekoT — lj
270. Г^ 1,7-105 К.
271. Д/ = ±1; Дт = 0, ±1.
272. Указание. Амплитуду колебаний осциллятора
надо выразить через энергию ?^0) = Ао) (я + тП » исполь-
используя классическое сротношение ? = ^~- Л2. Правило от-
отбора для гармонического осциллятора Дл = ±1 приме-
применимо лишь при условии
где К—длина волны падающего излучения.
275. В7 «6,2.10е с-1; т-= 1,6-10"9 с.
276. По закону сохранения момента импульса при
переходе 0—*0 излучаемый фотон должен иметь полный
момент импульса /, равный нулю. Но фотон имеет спин
S=l, описываемый вектором поляризации е. Чтобы пол-
полный момент импульса был равен нулю, фотон должен
находиться в состоянии с L=l, описываемым волновым
вектором k. Вероятность перехода пропорциональна
-> —>-
квадрату скалярного произведения е-ky которое обра-
обращается в нуль вследствие поперечности электромагнит-
электромагнитного поля. Следовательно, переход 0—>0 с излучением
одного фотона запрещен.
Такой радиационный переход может однако идти
с испусканием двух фотонов. Примером является распад
145

я@)-мезона:
277. При больших t
2f\Vik\4(E-E').
Величина Д?, входящая в соотношение Д?- А/ ~ %,
есть разность двух точно измеренных значений энергии
в два различных момента времени, разделенных интер-
интервалом А/.
278. УИОН = 5,ИВ; Квозб = 2,09 В.
279. ?св = 5,37эВ.
280. Д^О^; Д2 = 0,05; Хгод= 177,5 нм, ?1гр = 81,9нм.
281. а с-9,2.
282. Д? =
283. АЛ = 0,0005 нм.
284. ?-4.10!.
285. (J5&-2.7; (|J = 1,2-Ю*.
где Мх и Ма—массы атомов водорода и иода соответ-
соответственно.
287, /=^59,
288. \ — \ =*¦ (где \i—приведенная масса).
Для НС1 имеем (—) =—0,0007.
\ v /вр
289. p
290. т«2,5-10-8с.
291.6Х = ~?, FX)Hg=l,5-10-5 нм.
292, FХ)^==2Я |/ ~~fln2 (где т—масса атома).
146

293. Относительное изменение длины волны вследствие
эффекта Доплера выражается формулой
(тг) =2^
\ Л / допл
где т—масса атома аргона, рх=
При Г = 300К имеем: рх = 0,95- Ю" и(бЯ)Д0ПЛ =
==0,95-10-3нм.
Уширение вследствие столкновений может быть най-
найдено из формулы
где 3*—давление, d—диаметр атома аргона, Т—абсолют-
а
ная температура, |32=
При
доплеровское уширение и уширение за счет соударений
становятся неодинаковыми.
294. Используя выражение для амплитуды рассеяния
можно для полного сечения записать:
/=о
Изменяя порядок суммирования и интегрирования и про-
произведя интегрирование по углу ср, получим:
/=0/'=0
147

Учитывая далее ортогональность полиномов Лежандра,
т. е. выполнение условия
л
Pt (cos 9) Pr (cos 9) sin 9 dO =* кА- Ьш
и производя суммирование по Г, находим:
a-So,,
где парциальное сечение рассеяния at равно
295. e^^
где /m/j—мнимая часть функции /¦ Полученный резуль-
результат составляет содержание так называемой оптической
теоремы, используемой в физике ядра и элементарных
частиц.
296. В области г > а имеет место V (г) = 0. Поэтому
волновое уравнение для г(? (г) в этой области примет вид
??('•2)+*¦-». о)
г,е *• = «.
Принимая во внимание непроницаемость сферы, можно
граничное условие записать так:
Ч>@1,- = 0. B)
Решением уравнения A), удовлетворяющим граничному
условию B), является
Из C) определяем б^:
бо = — kaf
бг = 0 если 1фО.
Поэтому
148

При ka<^l (медленные частицы) sin ka~ka. Поэтому
а = 4яа2. Согласно квантовой механике сечение рассеяния
непроницаемой сферой в 4 раза больше того сечения,
которое получается в классической теории.
297. Уравнение Шредингера для радиальной части
волновой функции преобразуем с помощью подстановки:
%(г). A)
Поскольку в случае ka<^\ интерес представляет только
сферически-симметричное решение (s-рассеяние), то %(г)
будет удовлетворять уравнениям:
22Ё при г>а;
B)
X"+ %('') = 0, kf = ^(E + U0) при г<а.
Граничные условия для % (г) следующие:
х(О)=о,
Х(оо) = М (конечное число). * '
Решениями уравнений B), удовлетворяющими граничным
условиям C), будут функции:
при г>а;
при г<а. D)
Из условия непрерывности отношения — при г = а по-
получим уравнение
tg(te+60) = Atg^a.
Отсюда
do = arctg(Atg^a)-to. E)
При малых скоростях рассеиваемых частиц (&—*0) фаза
s-рассеяния пропорциональна k:
149

298. Для неглубокой ямы koa<^l. Из формулы
получим
16я Uotrioa*
а = 4яа2-д -g w
С увеличением глубины Uo сечение рассеяния сильно
возрастает и при kQa—> -?- становится неограниченно боль-
большим. Равенство koa~-j совпадает с условием появления
в яме первого энергетического уровня.
При дальнейшем увеличении Uo сечение сг уменьшается
и обращается в нуль при tg koa = koa, а затем убывание о
сменяется его ростом.
Таким образом, сечение а будет колебаться между О
и оо при монотонном увеличении глубины Uo ямы. При
появлении в яме нового энергетического уровня (резо-
(резонансное рассеяние) а—юо. Это позволяет понять тот
факт, что при рассеянии медленных электронов атомами
аффективное сечение может сильно отличаться от геоме-
геометрического.
где
При ка^>1 амплитуда рассеяния будет постоянной:
f== — аи а =
Этот результат соответствует рассеянию непроницаемой
сферой радиуса а.
300. Решая уравнение
рр^\ A)
с граничными условиями
^@) = 0; ^(оо) = Л1 (где М — конечное число), B)
150

получим для радиальной волновой функции % решение,
выраженное через функцию Бесселя /Ц&г):
C)
где
j_
1 \2 , 2/па"] 2
V +-FJ • <4>
Для определения фазы 8^ учтем асимптотическое выра-
выражение для функции Бесселя
Отсюда
При больших U которые определяют рассеяние на малые
углы, выражение F) примет вид
о
1 {21+ 1) Р '
Отсюда видно, что |б,|^
Из общего выражения для амплитуды рассеяния
1 = 0
при малых 6j, когда e2i ^^ 1
t-T ? /AN TUXttl 1
ПОЭТОМУ / @) = tj- g- •
k% 2 sin у
151

Дифференциальное сечение do в рассматриваемом слу-
случае обратно пропорционально энергии:
Оно характеризуется универсальным угловым распреде-
распределением.
301. da = 4a
где q = 2k sin у .
Полученная формула справедлива при условии
U <Г-
о \ а »
где v — скорость частицы.
sin \ka sin2 2akl
QH9
— 2л fuoa2m\2 Г1 __J
2ak)* J '
Приа*>1.
303. da =
где ^ = 2k sin -j .
Пределы применимости формулы A) вытекают из усло-
условия применимости борновского приближения: 1/0<^—.
394. а~тя(я-2)а2(п-3)ааЙаа-я).
а) При м= 1 (кулоновское поле) в формулу для а не
войдет квантовая постоянная ft;
б) при п = 2 сечение не зависит от массы рассеивае
мой частицы;
в) при п = 3 сечение рассеяния в борновском прибли-
приближении не зависит от скорости.
2am
а
152

В случае рассеяния медленных частиц
а«4яа2BтссJй-4;
при ka^>\ (быстрые частицы)
9
306- <*° = 2л (И!) —|-d (I -формула Резер-
4 и ' sin3 -?•
форда, где ?"—кинетическая энергия рассеиваемых частиц.
307. а „ = я
308. Да = 0,5-10-2вма.
309. ?- ' *" V '
310. Так как
TO
/F)=2?(/2-z/i). о)
Здесь
/ _f
где ^ =
Замечая, что функция /(r')=\ J g^ удовле-
J 4яео|г-г'|
творяет уравнению Пуассона:
153

получим для /2 следующее
выражение:
Подставляя B) и C) в A),
найдем:
Рис. 17
где
F (9) = J p (r'
атомный форм-фактор, зави-
зависящий от угла рассеяния и
скорости рассеиваемых ча-
СТИЦ.
Следовательно,
31
1. dG — 4al) У dQ, где а0—боровский радиус;
D + ао<72Г
313. /? = mv0 — прямая, параллельная оси #•
314. 1) </=: — — +Ио + ~) — прямая с угловым коэф-
коэффициентом .
и*
.2
2) ~
=1—эллиптическая спи-
раль, навивающаяся на начало координат /а—постоян-
/а—постоянная величина, определяемая начальными условиями, 0=
154

/V
&%0
Рис. 18
315. р = ± у 2тее1 (-у—— j. Нижняя ветвь на ри-
рисунке 17 соответствует движению заряда от г0 до elt a
верхняя—от ех до точки г0.
316. Фазовые траектории представляют собой пара-
параболы с вершиной на оси q (рис. 18):
p2—pl=—2m2g(q0—q).
Объем, занимаемый фазовыми точками, имеющими при
/0 = 0 координаты из интервала <7о-Н7о + Д9о и Ро+Ро+Арь>
сохраняется (Aro^Arj. Это равнозначно сохранению
фазовой- плотности (теорема Лиувилля).
317. ДГ0-ДГ*.
318. Art = y|/?1x2—хгр2 + р2х3—х2р3 +р3хх—x^l^
= ~ [е—Ye (е + A8)]sin б I = const.
319. ДГ = ДГ.
320. ^Г'=ШГ = 0, так как якобиан преобразования
равен нулю:
q'2>
Pi»
= 0,
Значит, фазовый объем не сохраняется.
155

321, Г(е) = лаЬ= —; объем элементарной ячейки ра-
равен h.
4 / е2 \—-
322, Г(е) = -^ nVi -J5- — mfc2J , где с—скорость света
в вакууме.
323, dQ(e) = -jpVs/3Es"*lde, где s—число степеней сво-
свободы, h—постоянная Планка, V—объем газа.
324. Энергия Е идеального газа зависит лишь от
обобщенных импульсов. Поэтому фазовый объем Г =
=Г(?, V). Действительно,
Г (Я, V) = J dqxdq%dqa \dqA.. .dq3N J dr, =
где Г^—объем ЗЛ^-мерного шара в пространстве импуль-
импульсов, пропорциональный R3N, причем радиус шара
Значит,
N
где константа AN не зависит от объема и энергии. Энтро-
Энтропия системы S равна
Температура идеального газа определяется соотношением
[[dE
dEJv] Sk0N
Поскольку внешним параметром является объем, то обоб-
обобщенной силой будет давление. Поэтому
Отсюда
325. T(E) = BnEn, где Вм—постоянная величина, не
зависящая от энергии Е.
156

Ё
326. f(E) = Ae fe°r, где А — постоянная, определяемая
условием нормировки.
327. Каноническое распределение Гиббса выражается
формулой
) = ±e
Г* dY
где %— \ e-e/k»7-т—интеграл состояний системы. Для
г
линейного гармонического осциллятора dY = — de. Поэтому
v
vh J hv
Следовательно,
Средняя энергия гармонического осциллятора равна
329. ?BD
3N
2 ' J 1
k0T'
830. lim [е*»г -Q(?)J-*e(?—?„), где Q(?) — число
различных микросостояний с заданной энергией Е, Ео —
энергия замкнутой системы.
157

331. EB = k0T[^-l^f^-k0T; E = lNkQT, где /¦
число степеней свободы одной частицы.
336. Квазизамкнутая система, содержащая большое
число частиц, будет с наибольшей вероятностью нахо-
находиться в состояниях с энергией <?, близкой к среднему
значению <?. Поэтому в интеграл состояний В заметный
вклад вносят только указанные выше состояния. Тогда
где &о(<?)—число состояний с энергией (§ = $=Е.
Учитывая выражение ? = ехр(—WlkJ"), находим
Й0 = ехр[(?—^)/й0Т]. Энтропия S определяется термо-
динамическим соотношением 5 =—^-, поэтому QQ = es/k°.
Логарифмируя последнее равенство, получим S=&olnQo.
338. Wri== zpr» rAe P определяется из условия
i
341, Искомое число частиц газа N0<v<v равно
в
где iV—число всех молекул и ив = --р=г= (-^-J 2. Про-
Проводя интегрирование по частям и переходя к новой пе-
158

ременной t — Youu, получим
где е—основание натуральных логарифмов. Значения
X
интеграла ошибок -^ \ e~* dt = evl(x) приводятся в таб-
лицах.
342. Воспользуемся распределением по энергиям;
8_
-е *оП
Число Nt молекул газа, у которых E^^k0Ty равно
00 g
1 ~ VnklT* J е
8
где W—полное число молекул в газе. Тогда искомая
часть молекул равна
343. Пусть поверхность пленки совпадает с плоскостью
X0Y. Тогда вероятность для молекулы «двухмерного»
идеального газа иметь определенные значения компонен-
компонентов скорости vx и vy из интервалов v#-^-vx-\-dvx и
d Равна
dW(vX9 vy) = Ce~^Tr(vy+vy) dvxdvy.
Постоянная С определяется из условия нормировки:
Cm
2nk0T *
Поэтому
dW (vx, vy) = ^ f^tr W+^) dVx dVy = w {v) dVx dVyt
где w(v)—плотность вероятности*
159

Вероятность для молекулы указанного газа иметь
скорость v из интервала v~v + dv представится выра-
выражением
*yt —
Поэтому
345. Воспользуемся выражением максвелловской функ-
функции распределения в сферических координатах:
dn(v9 6, ф)=1^(у, 9, ф) = я(~.у/2 e-™2
Тогда число молекул, соударяющихся в 1 с с 1 см2 по-
поверхности сосуда и имеющих заданное значение скорости,
равно
JL mp2
Вероятность обнаружить у молекулы в пучке скорость v
в интервале dv выражается так:
где
vnv
Поэтому для средней и среднеквадратичной скоростей
молекулы в пучке можно записать:
346. D-
160

полное число частиц в газе
348. dN(vz,v±) =
349. ев = 1/г07\
350. ^А = 1е"+1—«
351. 4^~*
, xo = v(x)y 2рр
353. E = nfiy _JL_f Где п — число частиц газа в еди-
единице объема.
354.
355. ^=2|/^0e-^-erf(K^) + l, где хв =
«4,5-102.
356. dNx (9) = ^S-^-v sine cos ddQ, где о=»
357
. M=9*y
ние пара металла.
358. 5-50ехр|
, где m—масса атома, 5s—давле-
5s—давлеЭта формула может быть использована для экспери-
экспериментальной проверки распределения Максвелла.
QCO л D л^ ° ККЗЛ
ООУ. Си =: 7Г А ^^ '
2
360. б8 = /|; б?= YZ-
361. uOIH = ^'2ua6c.
6 № 23 1*1

362. H = — In 3 л; 8,6 км, ц—молярная масса.
T 1
363. N0 = gV(p_p,Hll_hi)^,l-l0- ^. Здесьр и
р'—плотности частиц гуммигута и жидкости соответст-
соответственно; V—объем одной частицы.
364. Потенциальная энергия молекулы в однородном
поле силы тяжести равна u = mgz. Поэтому u = mgz.
Используя распределение Больцмана dW (z) =
- m&z
¦== Be k*T dz, запишем:
H mgz
tng \ e k°T z dz
n
%z=z\e k°T dz — интеграл состояний. В данной задаче
Hn mgz
Вводя параметр |5=т-^, выразим и через %\
Тогда
A^ и -1 • —————— \
365. ь=-^т — -
H2

366. Молекула кислорода массы т в гравитационном
поле Земли обладает потенциальной энергией, равной
и = mgrjj(-—-у) ,
где го«6,4«1О8 см—радиус Земли, г — расстояние моле-
молекулы от центра Земли.
Вследствие пропорциональности плотности частиц газа
больцмановской функции распределения можно записать
распределение числа частиц по высоте в единичном те-
телесном угле в виде:
n(r)=noe~ k°T v°~r J .
Отсюда следует, что число частиц в единичном телес-
телесном угле на бесконечности не равно нулю, т. е. при
Учитывая значение показателя степени
получим, что молекулы кислорода, преодолевающие гра-
гравитационное поле Земли, составляют часть, равную
Ю-»44.
369. Идеальный газ во вращающейся центрифуге эк-
эквивалентен идеальному газу во внешнем силовом поле
где г—расстояние молекулы от оси вращения. Вычислим
потенциальную энергию молекулы в таком поле:
Согласно распределению Больцмана вероятность обнару-
обнаружить молекулу в точке с цилиндрическими координатами
6* 163

г, ф, z рцвна
dW(r, ф, z) = Be k*T dV' = Be *k»T rdrdqdz.
Отсюда получим функцию распределения по г:
dW (r) =Ae2k°T rdr.
Следовательно,
u=-ntWL{e~wm-l)\ r*
0 о
/mco2/?2
— 1
370. Согласно распределению Больцмана вероятность
обнаружить молекулу на расстоянии г от оси центрифуги
равна (см. задачу 369):
dW (г
г) =^г\е 2к°т ~Ч е2*»г rdr = w(r)dr.
Число частиц определенного сорта в единице объема на
некотором расстоянии г от оси центрифуги пропорцио-
пропорционально плотности вероятности w(r). Поэтому отношение
плотности частиц с массой тх к плотности частиц с мас-
массой т2 на внешнем цилиндре будет равно
Hi) ^Ull [e 2k0T _1 ) [e2k0T_l)e 2k0T
а на оси цилиндра —
(tl\ \ tYl\ В ° — 1
Следовательно, для коэффициента разделения q получаем
выражение
fn{\
164

371.
Плотность распределения вероятностей
не имеет максимума внутри интервала (О, R).
exP
372. E =
1 +
1—ехр
ехр
\ 2k0T
где Ео и Су* — значение энергии и теплоемкости газа при
mgz
', г)
oto.
g\k0T)
mgH'
rdrdz,
где N — общее число молекул в сосуде. Ось г направлена
вертикально вверх.
a cos ф
374. dW(<{>) = Ae k«T sin(pd(p;
о7с Д^^П 15
Old» ' дт /^-/ VJ, 1 «J
376. ^=0,46-
377. п1?
где ^ =
Ланде.
магнетон Бора, g—фактор
379. пя-пу = \-
165

380. Обозначая постоянный дипольный момент через
->
р0, запишем для потенциальной энергии молекулы в по-
постоянном электрическом поле:
С помощью распределения Больцмана получим:
\cos29e*°r sin 9^9
*»T sinQdO
j
о
Отсюда
Следовательно, и
381.f~i
11 =—8,79 Кдж,
j ——»_—™. U,O^' 1U- ^р ,
, ЛГ = 21ЛГ,-1,50.10».
382. У = -|
Т n iU,ZO -jT- , П — "К J V —¦
^=— 3414Дж, где iV = |y = 0,5-1023, та = -^-, (л—моле-
(л—молекулярный вес.
383. Интеграл состояний %t одной частицы запишется
в виде
8 3 • 8 1
5/=="
166

Обозначив а = т-^ и /г=—7, получим табличный
k0T 4
определенный интеграл:
00
I'
где Г(п + 1) — гамма-функция Эйлера. Тогда, используя
свойство мультипликативности %, запишем:
3N
N1
Уравнение состояния газа
совпадает с уравнением Клапейрона — Менделеева.
386. 1) ?=— Hb
k0T InNl+Nk0T\nh.
2) S = Nko\nL+ ^ 1пГ+
где L—линейные размеры области в направлении дви-
движения.
387. a) L2T = const, б) Та = const, где! и а—размеры
областей, занимаемых одномерным и двумерным газом
соответственно.
388. r=-NkJ\n^№^y~-k0TN\n[^Lx
f mgH\ ~
x[l—e~ k°T
389. 9> = 4
emgL/k
1
T_l\
391.

392
Ni mg
393. g=;
» ^ вр— -"""о* lii x№ '
/вр = Nk0T, где /—момент
инерции, х—число одинаковых атомов в молекуле.
394. Д<Гвр = — Noko i Tiln -p- + ДТ In -
«2,28- 10е Дж, ASBP = iVoftoln^.» 1,1-Ю8
395 Л (У = -—Л^ k AT*/^/4 2* 10е Дж* \S—
«1,2-10* ф.
396. ^вр = (^
|ln 8я'+ i- In 6;6t?2° ), (/вр=| ^.Г; 5BP= %Nkt X
X ( 1 + In 8ла+ -j In ^jfet ) » 7i' 7ti. /с — главные мо-
моменты инерции молекулы, т — число осей симметрии
молекулы.
397. «Гвр = Фвр«-1,7.10' Дж; #вр = t/Bp~5,0- 10е Дж;
399. ^ = Ги„ + -^-(/?Г6-а), п = -^-=^~ число
молей газа.
? --11,5 кДж.
400. (/ = 1/ид—-~^ (где д—число молей газа). V
- 1,2466-107 Дж.
169

Bnmk0T)*/2
iL. f где /г—число молей.
S « 32,44 -Sf .
402. Ф = ФИД+-^(ЯЬГ— а), где п —число молей.
403, а = -г^5-'2-/1Л^;«г0У0, где VQ = ^-nrl.
405, У-^--4^р.
где
г/ -i±i \
k°T — ljrdr.
406. я =
где /(т, со)—некоторая универсальная функция, вид ко-
которой зависит от числа п. За единицу объема выбрана
величина Уо = -уяго (поэтому (о^тт-Кза единицу тем-
пературы—величина -— (поэтому т = -~—), за единицу
давления — величина -тг- поэтому я == ^гт ) .
ко \ U& /
407, cv = f-Y (где /—число степеней свободы мо-
молекулы).
408. a) cv=*^Nk
б) cv~NkQ.
410. ё=/г0Г.
411. i = i
412. Твердое тело можно представить в виде совокуп-
совокупности 3N независимых линейных ангармонических осцил-
осцилляторов. Поэтому интеграл состояний указанной системы
169

равен:
[е 2m9k0T(ipye k»T k»Tdq\ .
-0D -00 J
Первый интеграл легко вычисляется:
\ е 2mk°T dp = Bnmk0TJ.
Значение же второго интеграла определяется в основ-
основном первым экспоненциальным множителем, который су-
k т
щественно отличен от нуля в области а2^.-^— . Но в этой
ос
области -?~г <С /?1ч2 ^ 1. Поэтому вторую экспоненту
можно разложить в ряд. В результате получим:
| 1 ГГУ [ • • •
Следовательно, интеграл состояний системы запишется
в следующем виде:
SN
2 1
Энергия одного моля твердого тела оказывается равной
а молярная теплоемкость cv определяется формулой
413. 6 = ^-feor.
414. cv = 3R.
416. av = A.
170

hv(nt + \)
¦17. (JV1)e>e. = JVe" *.' •
418. E = N(%.+ *v )
); v k
419. с?ол = 0,05
420. tF = Nk0T In \l—e~
hv 1
j
421, Статистическая сумма % системы, состоящей из N
независимых двухмерных гармонических осцилляторов,
равна
Г « ftvot+i)-]
Обозначив -т-^" — Р» получим:
5о о о Т •
д$ eP_i (вР— 1J
Таким образом, окончательное выражение для статисти-
статистической суммы имеет вид:
2 1 е k°T
Следовательно, средняя энергия и теплоемкость системы
определяются формулами:
171

422. Если е„</го7\ то тем более гр<^к^Т. Значит,
в формуле статистической суммы экспоненту можно раз-
разложить в ряд по малому параметру. Ограничиваясь чле-
членами второго порядка малости, получим:
Учитывая выражение
для средней энергии системы, приходим к следующему
результату:
423. E =
С повышением температуры су сначала возрастает и имеет
характерный максимум при Т = ТС9 а затем убывает
до нуля.
424.
425. аг
cv~Nk0 при
172

427. <F = — Nk0T\n—р-2- ; S = iVЛо ( 1 + In
428. Tf (Н2) = 87,5К; Tf (N2)-2,9K; Tf (O2) = 2,1K;
Г*р (С12) = 0,36К; Т? (НС1) = 15,2К; Tf (NO) = 2,49К.
429. Т?р = , где J = m*a2—момент инерции мо
oJX RqJ
лекул, m* = m\m2 приведенная масса, а—расстояние
между атомами.
Tf (Я2): Т?р (D2): Tf (HD) = 2:1:у.
430. 7ТЛ«3
431. T?OJI(H2
432. A<F = — 0,07RT~ — 0,7 ккал/моль.
433. J^Lp6 = 6.10-i7.
434. ^p = /?(l + 10-6), с^ол = 3- Ю-2/?.
435. (cF)max = l>l#; ^«.x = 0,81 ^ = 12.6K.
436. Число состояний в расчете на единичный объем
с импульсом в, интервале между р и p-\-dp с учетом
двух ориентации спина определяется равенством
D(p)dp=~8np2dp.
Учитывая нерелятивистское соотношение между им-
импульсом и скоростью р — то, получим:
Умножая это равенство на функцию распределения
Ферми и учитывая, что для нерелятивистских частиц
mv2
8 =-у-, найдем:
173

Отсюда при абсолютном нуле температуры:
__ 0 при v > vm,
где vm— т/^Цо, ц0—энергия Ферми при Т — ОК.
График функции -4- представлен на рисунке 19.
437. v =
v dn0 (v)
где
438. cv = (i= =
439. v=-
32/ляТ
dn0
Ж
0
-w-W, где yv — число электронов в
объеме V.
440. 8; =
441. ^102» м-8.
442. /(в,) «0,6.
443. «i=
= 1 —
Рис. 19
t 0,65.
444. ц0« 5 эВ.
445. о.» 1,3-10» см/с;
ужО,97-1О8 см/с.
174

„.,.
[.-?
(?)"]'
449. kfa =11,7- 10-ia 2? « 12 • 10-" ^.
ДИН П.
450. cj?1 =? tffe0 *? = 0,258-10-*T~; c^a==
= 0,1166- 10-*Г^.
451. D(e) =3jjre\ po = /
453, v^-j-y- (где с—скорость света).
454, c{?> = *W*0M.
где 2 = 4Arcsh^, pQ—граничный импульс.
456. Искомое значение температуры Го определяется
уравнением
?-2 Bs+
00
Но
о
175

Поэтому
2-
fe Г N 1 з
[VBs+\)\ '
mk0
457. Суммарное число частиц N' с энергией е > О
определяется формулой
N' =-k2nBs-
Полагая е = г?07\ преобразуем выражение для N' к
виду
N' = ^
N' /Т у/2
Но согласно предыдущей задаче N и Т'о связаны соот-
соотношением
N = § Bs
Следовательно,
Искомое число частиц Л/" в состоянии, соответствующем
нулевому значению энергии, равно
или
458. Полная энергия при Т <Т'О представляется ин-
интегралом
о
176

С помощью подстановки e = k0Tz предыдущее выраже-
выражение преобразуется к виду
Е = §Bs
Отсюда
? = 0,128Bs +\)%-*m*V(kjy
з
cv = 0,32Д~3 Bs + 1) mTK?
459. S-|aT2 , 3r = — jaT2,
где a = (
При Т < Tq давление бозе-газа не зависит от объема,
внутренняя энергия, свободная энергия и энтропия про-
порциона-льны объему (если Т = const).
460. FT3/2 = const или PV3 = const.
481 V а 3>31^2 Г ^ 1 3 • Г'Не —
462. Полное число частиц определяется формулой
Это уравнение не имеет решения для ц порядка тт . Это
означает, что в системе нет уровней, число частиц на
которых было бы близко к N.
463. E^LJLJr
«5. W-
где знак плюс-—для фермионов, знак минус—для бозо-
бозонов, g = 2s+l—число спиновых состояний частицы со
спином s, iV — число частиц, V—объем газа.
177

466. До Т < 2700 К.
467. a =
468. Т = 6000°К.
470. ^«г.З-Ю^
471. 9(у,Т)^-^^~-т—х.
472. 1) и = о™Т (где а<*> = 4,81 ^ = const) ;
2) lmax T = const.
473. dn(X, T) = fj.
474.
475.
476. Пф = 19,24л f^-
477. L = Ll-\-L2 (где Lt—значение величины L для
t-й части). Поэтому
(ALJ = (ALXJ + 2Д1, •
Для независимых частей
Следовательно,
(AlTa=
1=1
Полученный результат легко обобщается методом ма-
математической индукции на случай k независимых частей:
478. На основе предыдущей задачи для аддитивной
функции состояния системы имеем:
178

где Lt—значение рассматриваемой величины L для i-u
части. Если флуктуации величины L в различных под-
подсистемах по порядку величины близки друг к другу, то
_
(ALJc/dN (AZiJ. Среднее значение L = 2^/ тоже ПР°-
порционально числу частей N. Следовательно, относи-
относительная флуктуация представится соотношением
Таким образом, 8Lcr>N 2 . Поэтому для макроскопичес-
макроскопических систем флуктуации аддитивных величин будут очень
малыми.
479. Используем выражение для средней энергии Е:
~dr (где Q = kJ).
Рассмотрим интеграл К = \ е~$ЕdY (где p = -g-j . Диф-
Дифференцируя Кф) по р, получим:
Тогда
-Б 1_дК. pi_J_W
п ~~ к ар ' п ~ к ара •
На основе полученных выражений имеем:
480» Распределение Гиббса для системы с переменным
числом частиц имеет вид
где гп—энергия одной частицы на n-м уровне; Q опре-
определяется из условия нормировки:
179

Среднее значение для числа частиц определяется равен-
равенством
N п
Дифференцируя последнее соотношение по ц и учитывая
зависимость Q от г], получим:
Из условия нормировки путем дифференцирования по
аналогично найдем:
ао Л/
Поэтому
откуда
482. ЬЕ=-~-.
483. Д^ =
484,
485, гдг, л^^ V^^-: rHe==0,63; Гн2 = 0,53.
486, /
487, а) гне = 0,63; г„, = 0,53; гсо, = 0,50;
б) гне = 0,63; Гн,^0,47; ^, = 0^38.
488.
489. (Лпх.J==дД1—nt) (где nf-—среднее число частиц
в состоянии с энергией г().
180

(An,)«= I/ 1 + -.
' tli
491. D = k0Tb.
492. При сделанных предположениях внешняя сила
—*¦ ->- -»¦-»•
F1== — уU и сила сопротивления F2 = —yv уравновеши-
уравновешиваются градиентом давления 5*:
A)
где y—коэффициент сопротивления, я—концентрация
броуновских частиц.
Взяв дивергенцию от A), приняв во внимание урав-
нения непрерывности div (nv) + -gr = 0 и уравнение состо-
состояния идеального газа ^^nk^T^ получим для вероятнос-
вероятности W броуновской частицы следующее соотношение:
B,
При получении равенства B) учитывается также, что
плотность вероятности пропорциональна плотности не-
невзаимодействующих частиц, т. е. Won п.
ь т
Отношение — представляет собой коэффициент диф-
диффузии D. Поэтому
493. Направляя ось х вдоль ускорения силы тяжес-
тяжести, запишем одномерное уравнение Э—Ф—П в виде
<¦>
Умножая уравнение A) первый раз на х—х09 а второй
раз на (х—х0J и интегрируя по xt получим следующие
соотношения:
1
B)
Так как ^ =« — mg = const (где m—масса броуновской
181

частицы), то при интегрировании уравнений B) с нуле-
нулевыми начальными условиями
найдем
Отсюда для среднего значения квадрата смещения имеем:
[(х^ха)-&=Щ* = 2Dt.
Это соотношение в отсутствие внешнего силового поля
при лго = О переходит в следующее:
494. Обозначая через W (ke, sr) вероятность того,
что частица находится в точке с координатой Ы в мо-
момент времени sx и используя выражения для вероятнос-
вероятностей перехода, получим следующее разностное уравнение:
s, (s-I)t]}.
Вычитая из обеих частей этого уравнения W
(s—1)т] м разделив на т, преобразуем его к виду
k+l)*W[(k+\)e,(s-l)T]-(k-l)BW[(k-l)st(s-\yj;]\
2e /•
A)
В пределе при т*—>0, е—>0, N—>оо, когда можно сде-
лать замену ~=*D, ^ = /> sr—>/, /ге—>л:, равенство A)
преобразуется в уравнение Э—Ф—П
dW р. ^2Г , , д
182

Сравнение этого уравнения с общим уравнением Э—Ф — II
показывает, что в рассматриваемом случае на броунов-
броуновскую частицу действует квазиупругая сила Fx=*— yfx=
=— r\x.
495. В данной задаче с учетом выражения W1(x\y)
уравнение Смолуховского принимает вид:
Умножая обе его части на \у и суммируя по у, получим:
где
Q»(i)= 2 Wa
у= -<х>
Учитывая, что
У
находим:
m--n 2,
Сравнивая последнее выражение с определением
получим
( я 12-" .
|Т i при \ух\
W{\){ (п+УхI(+)\
О при \у—х\>п.
Это есть биномиальное распределение. В предельном
случае, когда п^>1 и \у—х\<^п, с помощью формулы
Стерлинга получается выражение
496. ЛГд = 6,02.1023 моль ~К
183

498. Наименьшее изменение температуры (АГH, кото-
которое можно зарегистрировать таким термометром, состав-
т
ляет
499,
j/^J«2-10-4 рад.
602. Удельная энтропия носителей тока является
функцией плотности электрического заряда р й удельной
энергии носителей е. Поэтому
ds [ ds \ д& .( д$
Используя законы сохранения электрического заряда и
энергии
де
ds 1
а также учитывая выражения для производных -г-=г — ,
f_ij =^y, преобразуем A) к виду
В результате интегрирования равенства B) по объему V
замкнутой системы получим:
Здесь учтено, что на поверхности, ограничивающей объ-
объем V, выполняется условие /„ = ^w=c0.
Выражение C) аналогично соотношению A7.3). По-
Поэтому силы, сопряженные термодинамическим потокам
j и Q, соответственно равны yV (—-) и V (у) .
503» Выбирая в качестве термодинамических потоков
плотности электрического тока / и потока тепла Q, можно
184

с помощью метода Онсагера записать:
Отсюда при Т = const с учетом выражения п = ^l' — ЗДР
(где г|' — химический потенциал носителей заряда в отсут-
отсутствие внешнего поля) получим:
Это значит, что L11 = aT. При / = 0 находим диффе-
дифференциальную термо-ЭДСос и коэффициент теплопровод-
теплопроводности и в виде:
Следовательно, L12 = — аТ2а, L22 =
504. Плв = Г(ав-ал).
505. При наличии внешнего поля U (г) кинетическое
уравнение Больцмана имеет вид:
Функция распределения Максвелла —Больцмана
/(г, о) = Ле L 2 J ^ B)
(где i4=const) обращает в нуль левую часть кинетического
уравнения. Интеграл столкновений Уст в уравнении A)
для распределения B) тоже равен нулю, так как имеет
место соотношение
в котором и1э и2, ul, ^2—-скорости первой и второй частиц
до и после столкновения соответственно.
mgz
507, n = noe k°T (где g—ускорение свободного паде-
падения).
181

508. р
— ФF—аI, i\aep0 = const — плотность частиц при
Ф(8±а)— интеграл ошибок, 6=^-
2/г0Г *
509. / (х, ? /) = Лхб (x-i^) [l+щ (^~^oJ] "' (где
t = const).
510. Z^4,7.109.
511. ;
512. 5^< 1,1 -10" мм рт. ст.
513. lcr>T; jL
514. г = 2с(-^-у 1^2 (где d — диаметр эффективного се-
N -
чения, -^—число частиц на единице площади, v — сред-
средняя скорость теплового движения).
517. Пусть в газе имеется постоянный градиент тем-
температуры, направленный вдоль оси х. Предположим так-
также, что изменение температуры AT на длине свободного
пробега l = %v много меньше самой температуры Т.
Поток тепла Qx> определяемый количеством энергии,
переносимой за единицу времени через единичную пло-
площадку, перпендикулярную оси х, и градиент температуры
дТ
-=— связаны соотношением
дх
где х — коэффициент теплопроводности.
Предполагая ради простоты, что ллощадка находится
в точке с координатой' х = 0 и что каждая молекула дви-
движется свободно в течение времени т, непосредственно
предшествующего прохождению через эту площадку, по-
получаем для средней энергии, переносимой одной моле-

кулой, следующее выражение:
ё(—/cos6)«e@) —
где Э—угол между направлением скорости молекулы и
осью х. За единицу времени через выделенную площадку
пройдет некоторое число молекул, направление движения
которых характеризуется углом 0 в интервале между 0
и 0 + d0. Это число молекул определяется равенством
где п — общее число молекул в единице объема. Поэтому
полный поток энергии представится интегралом:
О
Учитывая, что
di _ дг dX
дх ~~ дТ дх
приравняв правые части формул A) и B), получим:
yi cfnvl
где с =-Qf—теплоемкость, отнесенная к одной молекуле.
518. Для неравновесной функции распределения элек-
электронов при наличии в проводнике электрического поля
?х и градиента -jj- температуры из кинетического урав-
уравнения Больцмана в приближении времени релаксации
следует:
где—е0 — заряд электрона, fo(e)—функция распределения
Ферми—Дирака.
Плотности тока \х и потока энергии Qx найдем по
формулам:
l ltvxdg, B)
187

где dg—интервал квантовых состояний, выражающийся
так:
чЗ/2
т) dx]** T dx Аз'
Подставляя в B) выражение A)для/, преобразуем соот-
соотношения B) к виду
О
где Кп = — г2Г j т (е)8 2 ITde- Полагая в C) /х = О,
о
находим:
Q*==—т7—х V" 2 "g7" > или Сл:^ — ^ Т" *
Отсюда
^^ I Л1А 8 •~" А 3
Al
519. y = xnk0T (где п—средняя концентрация моле-
молекул газа).
620. ф^48,б°.

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Значения основных физических постоянных
Скорость света в вакууме с = 2,998-108 —#
Число Авогадро N0 = 6,023-1026 кмоль-1.
Универсальная газовая постоянная # = 8,314-103 Джкмоль~т«
Постоянная Больцмана ko= 1,38• 10—23 Дж-К~Л
Постоянная Планка /г = 6,626-10-34 Дж-с.
Элементарный заряд ео = 1,602-10~19 Кл.
Постоянная Ридберга /?«,= 109737,31-102 м-1.
Масса покоя электрона то = 9,1Ь 10~31 кг.
Первый боровский радиус яо = О,529-10~10 м.
Постоянная тонкой структуры а==-г^=.
Магнетон Бора ^б = 9,273-10~24 Дж-Тл.
Магнитная постоянная \х0— 1,257-10
Электрическая постоянная е0 = 8,854• 10~12 -g—.
D 'М
II. Дельта-функция Дирака
Дельта-функция определяется равенством
ex? при х =
ъ
Ь(х — xo)dx= 1, если а < х0 < Ь, B)
Если /(я) —непрерывная функция, то
ь
(S при а < х0 <bt C)
169

етва
III. Гамма-функция Эйлера
Гамма-функция определяется посредством интегрального равен-
e-xxa-ldx. D)
а
Интегрируя по частям, получим:
) = аГ(а). E)
При а=1 и а = -^- гамма-функция принимает значения:
/я. F)
Для целых и полу целых а значение гамма-функции легко опреде-
определяется с помощью приведенных формул.
Для других значений аргумента Г (а) можно найти в специаль-
специальных таблицах.
IV. Вычисление интегралов вида J (а)= \ хте~ах dx
— 00
Рассмотрим, как вычисляется интеграл /(а) при т = 0,1,2,...
и л = 2, 4, 6, .., .
При нечетных т У(а) = 0« В случае четных т интеграл /(а) с
помощью замены z = axn сводится к гамма-функции
00
I
Г f '^-1. G)
Это равенство справедливо при т^О и л^О (не обязательно це-
целых). Отсюда находим:
ОО __ 00
& 2) h-ax*dx=-j:г (т) •
00
3) [
(8)
~_JL 4) \ xze~ax'dx~— (9\
V. Интеграл ошибок
Этот интеграл определяется равенством
<b(x)~erf{x) =-|=- l е"'"Л. A0)
190

Пользуясь приведенным определением, легко доказать справедливость
следующих соотношений:
СП
±Х
±х
ФA) «0,84,
VI. Некоторые интегралы с квантовыми функциями распределения
При расчете физических величин для систем, подчиняющихся
распределению Ферми, встречается интеграл вида
. A2)
где /(е) —непрерывная функция, имеющая производные любого по-
порядка. Этот интеграл обычно вычисляют по формуле
X] ее
Л (П)= f / (е) dz+2 X ,ffJ" /B"-г> (Л) Г Bя) [1-21-*»] С Bя),
A3)
где SBn) = ^ -p^-—дзета-функция Римана. Отметим, что
С (у) =2,612; с(-|) = 1.341; CB)=j; еD) = ^ит. д. A4)
При изучении бозе-систем часто используется интеграл
который можно выразить через гамма- и дзета-функции по формуле
^2 = Г(л)С(л). A6)

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие , » ...•»• 3
Раздел I. Квантовая механика
§ 1. Экспериментальные основы квантовой механики , . . • 4
§ 2. Математический аппарат квантовой механики ..... 9
§ 3. Изменение состояний во времени. Интегралы движения . 17
§ 4. Уравнение Шредингера для стационарных состояний . . 21
§ 5. Приближенные методы квантовой механики ...... 34
§ 6. Спин. Магнитные свойства атомов 40
§ 7. Системы из одинаковых частиц. Многоэлектронные атомы
и молекулы , , i 45
§ 8. Квантовые переходы. Основы теории излучения , , , , 49
§ 9. Теория рассеяния , , . 56
Раздел II. Статистическая физика
§ 10. Фазовое пространство. Каноническое распределение Гиббса 61
§ 11. Распределение Максвелла 66
§ 12. Распределение Больцмана во внешнем силовом поле ... 68
§ 13. Термодинамические функции и уравнения состояния клас-
классического газа 72
§ 14» Квантовое каноническое распределение 78
§ 15. Квантовые функции распределения ......... 81
§ 16. Основы теории флуктуации и броуновское движение . . 87
§ 17. Элементы теории неравновесных процессов 92
Ответы и решения 96
Приложения ,. s ...... 189
Феоктиста Григорьевна Серова
Анастасия Александровна Янкина
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Редактор Г. Р. Лисенкер. Художественный редактор В. М. Прокофьев.
Технический редактор С. А. Птицына. Корректоры Н. В. Бурдина,
Н. И. Новикова.
ИБ № 3343
Сда«о в набор 18 04.79. Подписано к печати 31.07.79. 84ХЮ8!/з2. Газетная
бум» Гарн. Литерат. Печать вые. Уел п л. 10,08 Уч.-изд. л. 7,69. Гираж
32 000 экз. Тип. зак. № 23. Цена 30 коп
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государ-
Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Печать с матриц ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Крас-
Красного Знамени Первой Образцовой типографии имени А А. Жданова Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли Москва, М-54, Валовая, 28.
Типография им. Смирнова Смоленского облуправления издательств, поли-
полиграфии и книжной торговли, г, Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2, Заказ 3308