/
Текст
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
————————————
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный технический университет»
ПРИМЕНЕНИЕ
ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К РЕШЕНИЮ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ
Учебное текстовое электронное издание
локального распространения
Омск
Издательство ОмГТУ
2014
————————————————————————————————
Сведения об издании: 1, 2
© ОмГТУ, 2014
Применение операционного исчисления к решению инженерных задач :
метод. указания к типовому расчету / [сост.: А. С. Котюргина, Р. С. Кичигина,
Т. В. Кичигина] ; Минобрнауки России, ОмГТУ.
–
Омск : Изд-во ОмГТУ,
2014.
Данное издание позволит изучить операционное исчисление – один из ме-
тодов решения обыкновенных уравнений с постоянными коэффициентами.
Предназначено для студентов второго курса всех инженерных направле-
ний дневной, вечерней и заочной форм обучения ОмГТУ.
Рекомендовано редакционно-издательским советом
Омского государственного технического университета
© ОмГТУ, 2014
1 электронный оптический диск
Оригинал-макет издания выполнен в Microsoft Office Word 2007
с использованием возможностей Adobe Acrobat X.
Минимальные системные требования:
• процессор Intel Pentium 1,3 ГГц и выше;
• оперативная память 256 Мб;
• свободное место на жестком диске 260 Мб;
• операционная система Microsoft Windows XP/Vista/7;
• разрешение экрана 1024×576 и выше;
• акустическая система не требуется;
• дополнительные программные средства Adobe Acrobat Reader 5.0 и выше.
Редактор К. В. Муковоз
Компьютерная верстка Е. А. Державиной
Сводный темплан 2014 г.
Подписано к использованию 17.03.14.
Объем 780 Кб.
—————————————————
Издательство ОмГТУ.
644050, г. Омск, пр. Мира, 11; т. 23-02-12
Эл. почта: info@omgtu.ru
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА
Определение. Функцией-оригиналом называется любая комплексная функ-
ция ()
ft действительной переменной t , определенная на всей числовой пря-
мой и удовлетворяющая условиям:
1)()0
ft= при <0.
t
2) существуют постоянные
0
>0, ∈
MS , т. е. такие, что для всех t выпол-
няется неравенство ( )
0
<;
St
ft Me
3) на любом конечном отрезке [
]
0,T функция ( )
ft может иметь лишь ко-
нечное число точек разрыва, причем только первого рода.
Простейшей функцией-оригиналом является функция Хевисайда:
()t
σ
()1, 0,
σ
0,<0.
≥
=
t
t
t
1
0
t
Определение. Изображением функции ( )
ft называют функцию ком-
плексного переменного p s ib
=+
, определяемую равенством
() ()
0
.
pt
Fp
fte dt
+∞
−
=
∫
(1)
Функция ( )
Fp, определенная равенством (1), называется также преобра-
зованием Лапласа функции ( )
ft.
Если функция ( )
Fpявляется изображением ( )
ft, то пишут
() ().
ft Fp
Читается: «Функция ( )
ft является оригиналом функции ( )
Fp», или
«Функция ( )
Fpявляется изображением функции ( )
ft».
4
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Пусть ( )
()()()
;.
ft FpgtGp
1. Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных α и β
()()()().
ftgpFpGp
αβ αβ
++
2. Теорема подобия. Для любой постоянной >0
ω
()()
1
/.
ft
Fp
ωω
ω
3. Дифференцирование оригинала. Если функция ( )
ft непрерывна при
>0
t и её производные ( )
() ()()
,
,... ,
n
ftftft
′
′′
являются оригиналами, то
() ()()0;
′
−
ftpFpf
()()()()
2
00;
′′
′
−−
ft pFppf
f
()()()()()
32
0
0
0;
′′′
′
′′
−
−−
ft pFppf
pf
f
(2)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
;
()()
() ()
() ()()
1
12
0
0 ...
0.
nn
nnn
ftpFppf pf
f−
−−
′
−
−
−−
4. Дифференцирование изображения.
() ().
′
−
Fp
tft
()()()
()
1.
−
n
nn
Fp
tft
5. Интегрирование оригинала.
() ()
0
/.
t
fzdzFp p
∫
6. Интегрирование изображения. Если интеграл
()
p
Fzdz
∞
∫ сходится, то
он служит изображением функции ( ) /,
ft tт. е.
() ()/.
∞
∫p
Fzdzftt
5
7. Теорема запаздывания. Для любого 0 >0
t
()
()
0
0
.
pt
ftteFp
−
−
8. Теорема смещения. Для любого комплексного
()
αα
∈
()().
t
eftFp
α
α
−
9. Теорема свертывания (формула умножения изображений):
()() ()()
0
.
t
fgtdFpGp
τ
ττ
−
∫
10. Формула Дюамеля:
()() ()() ()()
0
0.
t
fgtdfgtpFpGp
τ
ττ
′
−+
∫
В табл. 1 представлены изображения некоторых элементарных функций.
Будем полагать, что
,
αω
∈∈
.
Таблица 1
1
()1
t
p
σ
2
()1
!
nt
n
n
te
p
α
α
+
−
3
1
!
n
n
n
t
p+
4
()()22
sin
t
et
p
α
ω
ω
αω
−+
5
1
t
e
p
α
α
−
6
()()22
cos
t
p
et
p
α
α
ω
αω
−
−+
7
()22
cos
p
t
p
ω
ω
+
8
()
()
22
2
22
cos
p
tt
p
ω
ω
−
+
9
()22
sin t
p
ω
ω
ω
+
10
()
()2
22
2
sin
p
t
p
ω
βω
ω
+
11
22
sht
p
ω
ω
ω
−
12
22
cht
p
ω
ω
ω
−
13
()2
22
2
sht
p
t
p
ω
ω
ω
−
14
()
()
22
2
22
cos
p
tt
p
ω
ω
−
+
6
Таким образом, большинство элементарных функций имеют известные
изображения.
Рассмотрим на примерах, как пользоваться этой таблицей и вышеприве-
денными теоремами.
В дальнейшем будем пользоваться тригонометрическими формулами:
()()
(
)
()()
(
)
()()
(
)
1
sin sin
cos
cos
2
1
cos cos
cos
cos
2
1
sin cos
sin
sin
.
2
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
=
−−
+
=
++−
=
−−
+
По определению shz=
,
chz=
22
zz
zz
ee
ee
−−
−+
.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Найти изображения оригиналов:
а)
4
sin 6
t
et
−
; б) sh2 sin3
tt
; в) sin6 cos3
tt
.
Решение:
а) так как
22
6
sin 6
6
t
p+
, то по теореме смещения
()
4
22
6
sin 6
66
t
et
p
−
++
,
или согласно формуле (4) из табл.1 получим тот же результат;
б)
()
22
1
sh2 sin3
cos 3
2
tt
ttee
t
−
=
−
, то из свойства линейности и теоремы
смещения следует, что
()()
22
122
sh2 sin3
2
29 29
pp
tt
pp
−+
−
−+
++
;
в)
(
)
1
sin6 cos3
sin9 sin3
2
tt tt
=
+
, то из свойства линейности следует, что
22
193
sin6 cos3
2
49
9
tt
pp
+
++
.
Пример 2. Найти изображения оригиналов:
а)(
)
38
0
sh2z+ sin4
t
zz
e
e
zdz
−
∫
;б)(
)
634 2
0
357
t
z
z
z
z
zedz
−+−
∫
.
7
Решение:
а) найдем изображение оригинала ( )
38
ch2
sin4
tt
fte
te
t
−
=
+
. Из свойств ли-
нейности и теорем подобия и смещения получаем, что
()()
38
22
34
ch2
sin4
34
816
tt
p
e
tet
pp
−
+
++
+− −+
.
Тогда, согласно правилу интегрирования оригинала, имеем
(
)()()
38
22
0
134
sh2z+ sin4
34
816
t
zz
p
e
e
zdz
ppp
−
+
+
+− −−
∫
;
б) найдем изображения оригинала
634
74 52
6!33!54!7
357
tttt
pp pp
⋅⋅
−+
−
+−
.
По теореме смещения
(
)()()()()
634 2
7452
720
18
120
7
357
2222
t
tttte
pppp
−+−
−
+
−
−−−−
.
Использовав теорему об интегрировании оригинала, получим
(
)()()()()
634 2
7452
0
1 720
18
120
7
357
2222
t
t
tttte
p pppp
−+−
−
+
−
−−−−
∫
.
Пример 3. Найти изображения оригиналов:
2
2
24
; ; sin3; sin2;
sin3 .
t
tttttttet
Решение. Согласно формуле (1) из табл. 1 ( )
1
t
p
σ
, тогда по правилу
дифференцирования изображения и теоремы смещения изображения находим
2
11
d
t
dppp
−
=
;
()
2
2
2
3
2
2!
1
1
d
t
p
dp
p
−=
;
2
3
sin 3
9
t
p+
;
()2
2
2
36
sin 3
9
9
dp
tt
dpp
p
−=
+
+
4;
()
()()
2
2
2
22
22
6
54 18
sin 3
1
99
dp
p
tt
dp pp
−
−=
++
;
()
()
()
2
24
2
2
5418 4
sin 3
49
t
p
te
t
p
−−
−+
.
Пример 4. Найти оригиналы следующих изображений:
а)
()
2
1
16
pp+
;б)
()
22
1
16
pp+
;в)
()4
1
3
p+
.
8
Решение:
а) так как
1141
sin 4
164163
t
pp
=
++
, то по теореме об интегрировании
оригинала имеем
()
()
2
0
0
1111
sin 4
cos 4
1 cos4
4
16
16
16
t
t
zdz
z
t
pp
=
−=
−
+
∫
;
б) применяя еще раз теорему об интегрировании оригинала к полученному
результату в пункте а, получим
()()
22
0
0
11
11
11
1 cos4
sin 4
sin 4
16
164
164
16
t
t
zdz
z
z
t
t
pp
−=
−
=
−
+
∫
;
в) так как
3
4
3!
t
p
,то
3
4
1
3!
p
p
. На основании теоремы смещения получа-
ем
()
3
3
4
1
3!
3
tp
e
p
−
+
.
Пример 5. Найти изображение функции ( )
6
1cos4 t
t
ft
e
t
−
=
.
Решение. Так как функция
( )ft непрерывна при всех
>0
t
и
()
66
00
0
1 cos4
2sin2
lim
lim
lim 2
sin 2
0
2
tt
xx
x
tt
ft
e
te
tt
→+
→+
→+
−
=
=
= , то она является оригиналом.
Очевидно, что
2
1
1 cos4
16
p
t
pp
−−
+
.
По правилу интегрирования изображения
имеем
22
1 cos4
1
1
lim
16
16
pp
tz
z
dz
dz
t
zz
zz
β
β
+∞
→+∞
−
−=
−=
++
∫∫
()
2
2
22
2
1
lim ln
ln
16
lim ln
lim ln
ln
2
16
16
16
16
ln1 ln
.
p
p
zp
zz
z
pp
p
p
β
β
β
ββ
β
→+∞
→+∞
→+∞
=
−
+=
=
−
=
+ ++
+
=
+
Применив теорему смещения, получим
()2
2
6
64
12 40
1 cos4
ln
ln
66
t
p
pp
t
e
tpp
−+
−+
−
=
−−
.
Пример 6. Найти изображение оригинала
()5
cos35,
3
tt
π
π
−≥
.
9
Решение. Так как
2
cos 3
9
p
t
p+
, то по теореме запаздывания получаем
()
5
3
2
5
cos35 cos3
39
p
p
t
te
p
π
π
π
−
−=
−
+
.
Пример 7. Найти свертку оригиналов cos 5t и sin 3t , а также изображение
свертки.
Решение. По определению свертки имеем
()
()()
(
)
()()
00
0
1
cos5 sin3
cos5 sin3
sin32 sin38
2
11
1
3
3
cos32
cos38
cos 5
cos3 .
22
8
16
16
τ
ττ
τ
ττ
ττ
⋅
=
−
=
++−
=
=−
++
−
=
−
+
∫∫
tt
t
tt
td
t
td
t
t
tt
Следовательно,
33
cos5 sin3
cos 5
cos3 .
16
16
⋅−+
tt
tt
Изображение полученного оригинала находим с учетом свойства линейно-
сти и теоремы подобия:
()()
22
22
333
cos5 sin3
.
16
25 16
9
25
9
⋅−
+=
++
++
ppp
tt
pp
pp
Этот же результат можно получить иначе. Так как
2
cos 5
25
p
t
p+
,
2
3
sin 3
9
t
p+
, то на основании теоремы свертывания имеем
()()
22
3
cos5 sin3
.
25
9
⋅
++
p
tt
pp
Пример 8. Найти оригинал, соответствующий изображению ( )
()2
2
9
p
Fp
p
=
+
.
Решение. ( )
22
1
99
p
Fp
pp
=
++
.
По табл. 1 находим 2
cos 3
9
p
t
p+
,
2
11
sin 3
93
t
p+
. Очевидно, что
()
()
()
(
)
()
22
00
0
111
1
sin3 cos3
sin3 cos 3
sin3 sin6 3
993
3
6
11
1 111
sin 3
cos3 3
sin 3
cos 3
cos 3
sin3 .
66
6 666
τ
ττ
τ
τ
ττ
⋅=
−=
+−=
++
=
−
−=
−
+=
∫∫
tt
t
p
t
t
td
t
td
pp
t
ttttttt
10
Пример 9. Найти оригинал по его изображению ( )
()
2
2
2
3
9
p
Fp
p
=
+
.
Решение. ( )
22
3
99
p
Fpp
pp
=
++
. Таккак 2
cos 3
9
p
t
p+
,
2
3
sin 3
9
t
p+
,то
по формуле Дюамеля получим
()
()
(
)
()
()
22
00
0
33
3 cos3 cos3
cos3 cos6 3
99
2
31
31111
cos 3
sin6 3
cos 3
sin 3
sin 3
cos 3
sin 3
.
26
26663
tt
t
p
p
td
t
td
pp
t
ttttttttf
t
τ
ττ
τ
τ
ττ
−=
+−
=
++
=
+−
=
++=+=
∫∫
Пример 10. Найти оригинал функции ( )
2
25
p
Ft
pp
=
−+
.
Решение. Данная дробь правильная, трехчлен в знаменателе не имеет дей-
ствительных корней. Разложим дробь на сумму таких дробей, оригиналы кото-
рых можно найти по табл. 1 .
()
()
()
()()
222
2
11
1
1
;
25141414
−+
−
=
=
+
−+
−+
−+
−+
pp
p
pp ppp
()
()2
1
cos2 ;
14
−
−+
t
p
et
p
()2
121
sin2 .
22
14
−+
t
et
p
Таким образом,
2
1
cos 2
sin 2
25
2
t
p
ett
pp
+
−+
.
Пример 11. Найти оригиналы по заданным изображениям:
а)
()()
2
1
14
pp
−−
;б)
(
)
2
3
43
p
ppp
+
−+
;в)
()()()
2
2
124
p
ppp
+
+−+
.
Решение:
а) разложим заданную дробь на простейшие:
()()()()()
2
11
122122
14
ABC
pppppp
pp
=
=++
−−+
−−
+
−−
;
()()()()()()
1221212
A
ppB
ppC
pp
=
−
++−++
−
−;
22
2
14
232
ApABpBppCpCpC
=−++
−+
−
+.
11
Методом неопределенных коэффициентов найдем неизвестные А, В и С:
2
0
0,
30,
4221.
++=
−=
−−+ =
p ABC
pBC
p ABC
Решая систему, получим
111
,,.
3
4
12
ABC
=
−==
Таким образом, имеем, согласно табл. 1,
()()
22
2
1
111111111
31421223412
14
ttt
eee
ppp
pp
−
=
−
+
+
−+
+
−−
+
−−
;
б) разложим дробь на простейшие
(
)()()
2
3
13
43
p
ABC
ppp
ppp
+
=
++
−−
−+
;
2
22
3433
p ApAppBpBpCpCp
+=
−
++−+
−
;
2
0
0,
43
1,
33.
++=
−
−
−=
=
p ABC
p ABC
pA
1,
2,
1.
==
−=
ABC
Поэтому
3
121
12.
13
−
+
−+
−−
tt
ee
ppp
Иначе
(
)()
()
()
()
()()
()
()
2
22
22
222
2
000
0
3
333
3
00
25
3
31
125
43
21
21 21
21
15
cht 5 sht
22
11
51
115525
12
23
23
626233
−−
−+
++
−
=
=
=
+
−+
−−
−−
−−
−−
+
=
++ +=
=
++ +=++−
−
+
=
−
+
∫∫∫ ∫
ttt
t
t
t
ttt
ttt
tt
tt
tt
tttt
t
p
pp
p
pp
ppp
ppp
pp
e
dt
e
dt
eee
dt
eee
dt
ee
ee
eeee
ee
;t
в)()
()()()
2
2
124
p
Fp
ppp
+
=
+−+
.
Разложим дробь на простейшие:
2
124
A
BCpD
ppp
+
++
+−+
; р+2=
3
23
428 4
+−−+++
ApApApABpBp
+
2
322
4
22
+++−−−−
BpBCpDpCpDpCpD.
12
Сравним коэффициенты:
3
2
0
0,
2
0,
44
21,
8422.
++=
−
++ −=
+−− =
−+
−
=
p ABC
p ABDC
ABDC
p
ABD
p
Решение системы следующее:
12 11
,,
,.
33 33
=
−=
=
−=
ABCD
()
2
22
2
11
11 21
11211
12
33
3132
431323464
121 1
cos 2
sin2 .
333 6
−
−+
=
−
++=
−
+−+
+−+
+−++
−+−+
tt
p
p
Fp
ppp
ppp p
ee
tt
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 1. Применяя теоремы линейности и смещения, найти изображения
следующих оригиналов.
1
()5
sin 2 cos
t
ftett
=
2
()4
cos 2 sin3
−
=
t
fte
tt
3
()2
cos5 sin3
=
t
fte
tt
4
()sh cos2 cos3
=
ftttt
5
()3
cos3 sin2
=
t
fte
tt
6
()3
sin2 sin3
=
t
fte
tt
7
()4
cos2 sin5
−
=
t
fte
tt
8
( ) ch2 sin2 cos5
=
ftttt
9
()32
sin 3
−
=
t
fte
t
10 ()
3
sin
t
fte t
−
=
11()2
sin4 cos5
−
=
t
fte
tt
12()43
cos
=
t
fte t
13 ()sh2sin2cos3
ftttt
=
14 ()ch2sin4cos
=
ftttt
15 ()
()
22
cos
1
=
−
t
fte
t
16 ()
()
4
chsin21
=
+
t
ftet
t
17()5
sin3 cos4
=
t
ftett
18 ()
sh2 cos7
−
=
t
ftett
19()7
ch sin3
=
t
ftett
20 () sh3cos2
=
t
ftett
21()3
sin cos 3
−
=
t
ftett
22 ()
sin2 sin 4
−
=
t
fte
tt
23()2
ch2 sin
−
=
t
fte
tt
24 ()
2
ch2 cos
ft tt
=
25 ()
()
32
cos
2
−
=
−
t
fte
t
26()32
sin 4
=
t
fte
t
27 ()
sh4 sin5
=
t
ftett
28 ()sh4sin3sin
=
ftttt
29 ()
()
32
sin
2
−
=
+
t
fte
t
30 ()
2
ch2 sin
=
ft tt
13
Задача 2. Пользуясь теоремой о дифференцировании изображений, найти
изображения следующих оригиналов.
1 ()(
)
sin 5
=
+
t
ftt te
2 ()(
)2
cos 6
t
ftt te
=
+
3()2
cos 3
=
ftt t
4()2
sin 4
=
ftt t
5()()
cos
t
ft te
t
=
+
6()chcos2
=
fttt t
7()shsin
=
fttat
at
8()22
cos 3
ftt t
=
9 () ch3sin2
=
ftttt
10()45
t
ft te
=
11()2
ch5
=
fttt
12()2
sin 3
ftt t
=
13 ()
()
sh35
ftt t
=
−
14()34
t
ft te
=
15()2
sin2 cos3
ftttt
=
16 ()
()
ch2 7
=
−
ftt t
17()2
sin 5
ftt t
=
18 ()
()
ch24
ftt t
=
+
19()(
)
2
ch3
=
+
ftt tt
20 () ( )2sin2
ftt
t
=
+
21 ()
()
33
fttsht
=
−
22 ()
cos 3
t
ft te
t
=
23()(
)
2 4sin3
=
+
ftt
t
24()2
sin 4
=
t
ft te
t
25 ()
()
ch2 3
=
+
ftt t
26()2
sh2
=
fttt
27()22
sin 3
=
ftt t
28()()2sin2
=
+
t
fttet
29()3
sh4
=
fttt
30 ()
()
sh2 5
=
+
fttt
14
Задача 3. Пользуясь теоремой об интегрировании оригинала, найти изо-
бражения следующих оригиналов.
1
()2
0
sin
=
∫
t
ft
udu
2
()2
0
cos
=
∫
t
ft
au du
3()
0
sin
=
∫
t
ftuudu
4
()2
0
sin
=
∫
t
ft
udu
5()()
0
1 sin2
=
+
∫
t
ft
u
udu
6()2
0
−
=
∫
t
u
ft uedu
7
()()
0
1 cos3
=
+
∫
t
ft
u
udu
8()
0
sh 2 cos3
=
∫
t
ft
u
udu
9()2
0
cos2 cos3
=
∫
t
u
ft
e
u
udu
10 ()
0
sh2
=
∫
t
ftu
udu
11()3
0
sin2 sin3
=
∫
t
u
ft
e
u
udu
12()3
0
sin 2
=
∫
t
u
ft
e
udu
13 ()
2
0
sin
−
=
∫
t
u
ft
e
udu
14()42
0
cos
=
∫
t
u
ft
e
udu
15 ()
3
0
cos sin 2
−
=
∫
t
u
fte
u
udu
16 ()
0
sh cos2 cos3
=
∫
t
ft
u
u
udu
17 ()
2
0
sin4 cos5
−
=
∫
t
u
ft
e
u
udu
18 ()
32
0
sin 3
−
=
∫
t
u
ft
e
udu
19 ()
4
0
cos 2
=
∫
t
ft
udu
20 ()
0
ch3 sin 2
=
∫
t
ft
u
udu
21()(
)
0
4 2sin2
=
+
∫
t
ft
u
udu
22()(
)
0
24cos5
=
+
∫
t
ft
u
udu
23 ()
0
cos3 cos4
=
∫
t
u
ft
e
u
udu
24 ()
32
0
sin 4
−
=
∫
t
u
ft
e
udu
25 ()
0
cos 4
=
∫
t
ftu
udu
26()22
0
sin 2
=
∫
t
u
ft
e
udu
27 ()
0
sin
−
=
∫
t
u
ft
e
udu
28 ()
0
cos3 cos5
=
∫
t
ft
u
u
udu
29()2
0
sin cos 3
=
∫
t
u
ft
e
u
udu
30 ()
0
cos 5
=
∫
t
ftu
udu
15
Задача 4. Пользуясь теоремой об интегрировании изображения, найти
изображения следующих оригиналов.
1()
sin sin 2
=
tt
ft
t
2
()
2
sin
=
t
ft
t
3()
2
sht
ft
t
=
4
( ) sin7 sin3
=
tt
ft
t
5()
22
sin 3
=
t
et
ft
t
6
( ) cos6 cos2
−
=
tt
ft
t
7()
4
1t
t
e
ft
te
−
−
=
8
()1cos −
−
=
t
t
ft
e
t
9()
3
1 cos
−
=
t
t
ft
e
t
10 ()
cos
cos 2
−
=
tt
ft
t
11 ()
1
t
et
ft
t
−−
=
12 ()
tt
ee
ft
t
−
−
=
13 ()
2
sin 4
=
t
ft
t
14 ()
cos2 cos4
−
=
tt
ft
t
15 ()
2
12
−−
=
t
et
ft
t
16 ()
2
1cos3−
−
=
t
t
ft
e
t
17 ()
2 2cos4
−
=
t
t
ft
e
t
18 ()
2
sin 7
=
t
ft
t
19 ()
2
3 3cos2
−
=
t
t
ft
e
t
20 ()
cos 5 cos
−
=
tt
ft
t
21 ()
22
−
−
=
tt
ee
ft
t
22 ()
2
1−
−
=
t
e
ft
t
23 ()
3
2 2cos4
−
=
t
t
ft
e
t
24 ()
2cos2 2cos5
3
−
=
tt
ft
t
25 ()
2
sin 8
15
=
t
ft
t
26 ()
44
7
tt
ee
ft
t
−
−
=
27 ()
2
cos3 1
−
=
t
t
ft
e
t
28 ()
2
4cos 4
−
=
t
ft
t
29 ()
2
44
sht
ft
t
−
=
30 ()
cos3 cos5
−
=
tt
ft
t
16
Задача 5. Найти изображение по графику оригинала.
1
( )ft
2
1
t
0
1234
–1
–2
2
( )ft
2
1
t
0
12
34
–1
–2
3
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
4
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
5
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
6
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
7
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
8
( )ft
2
1
t
0
12
345
-1
-2
17
9
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
10
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
11
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
12
( )ft
2
1
t
0
123
4
-1
-2
13
( )ft
2
1
t
0
1
234
-1
-2
14
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
15
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
16
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
18
17
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
18
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
19
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
20
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
21
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
22
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
23
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
24
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
19
25
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
26
( )ft
2
1
t
0
12
3
4
-1
-2
27
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
28
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
29
( )ft
2
1
t
0
12
34
-1
-2
30
( )ft
2
1
t
0
1234
-1
-2
20
Задача 6. Пользуясь теоремой свертывания, найти оригиналы следующих
изображений.
1
()()()
1
23
Fp
pp
=
−+
2
()()()
22
49
p
Fp
pp
=
++
3
()()()
2
22
16
25
p
Fp
pp
=
−−
4
()()()
2
22
16
25
p
Fp
pp
=
++
5
()
()2
2
4
p
Fp
p
=
+
6
()()
22
1
16
Fp
pp
=
+
7
()()()
22
25
4
p
Fp
pp
=
++
8
()()
22
1
16
Fp
pp
=
−
9
()()
22
1
25
Fp
pp
=
−
10
()()
2
1
2
Fp
pp
=
+
11 ()
()
2
1
3
Fp
pp
=
−
12
()()()
22
36
25
p
Fp
pp
=
++
13 ()
()
2
1
4
Fp
pp
=
+
14
()()()
22
9
16
p
Fp
pp
=
++
15()()()
22
1
16
p
Fp
pp
=
++
16
()()
22
1
36
Fp
pp
=
−
17()()
22
1
49
Fp
pp
=
−
18
()()
2
1
49
Fp
pp
=
+
19 ()
()
2
1
8
Fp
pp
=
−
20
()()()
22
9
49
p
Fp
pp
=
++
21 ()
()()
2
14
p
Fp
pp
=
++
22
()()()
22
29
p
Fp
pp
=
++
23 ()
()()
2
3
16
p
Fp
pp
=
−+
24
()()()
2
44
p
Fp
pp
=
++
25()()()
22
49
36
p
Fp
pp
=
++
26
()()()
1
45
Fp
pp
=
−+
27 ()
()()
1
78
Fp
pp
=
+−
28
()
()2
2
16
p
Fp
p
=
+
29 ()
()2
2
49
p
Fp
p
=
+
30
()
()2
2
81
p
Fp
p
=
+
21
Задача 7. Применив формулу Дюамеля, найти оригиналы, соответствую-
щие данным изображениям.
1()
()
23
2
2
4
p
pe
Fp
p
−
=
+
2
()
()
2
2
2
1
p
pe
Fp
p
=
+
3()
()
34
2
2
2
p
pe
Fp
p
−
=
+
4
()()()
23
22
4
16
p
pe
Fp
pp
=
++
5()()()
37
22
1
25
p
pe
Fp
pp
=
++
6()()
2
1
p
e
Fp
pp
−
=
+
7()
()
22
2
2
16
p
pe
Fp
p
−
=
+
8()
()
33
2
2
9
p
pe
Fp
p
−
=
+
9()
()
4
2
2
1
p
pe
Fp
p
=
+
10 ()
()
34
2
2
3
p
pe
Fp
p
−
=
+
11()()()
23
22
19
p
pe
Fp
pp
−
=
++
12()()()
37
22
4
36
p
pe
Fp
pp
−
=
++
13 ()
()()
3
2
11
p
pe
Fp
pp
−
=
++
14 ()
()()
4
2
24
p
pe
Fp
pp
−
=
++
15()()()
32
22
19
p
pe
Fp
pp
=
++
16()()()
28
22
4
16
p
pe
Fp
pp
=
++
17()()()
36
22
81
49
p
pe
Fp
pp
=
++
18()()()
28
22
4
100
p
pe
Fp
pp
=
++
19()()()
28
22
9
64
p
pe
Fp
pp
−
=
++
20()()()
36
22
25
64
p
pe
Fp
pp
−
=
++
21()()()
36
22
25
64
p
pe
Fp
pp
−
=
++
22()()()
38
22
16
36
p
pe
Fp
pp
=
++
23 ()
()()
8
2
3
25
p
pe
Fp
pp
−
=
++
24()()()
28
22
1
81
p
pe
Fp
pp
−
=
++
25 ()
()()
5
2
25
9
p
pe
Fp
pp
−
=
++
26()()()
25
22
1
16
p
pe
Fp
pp
−
=
++
27()()()
26
22
9
49
p
pe
Fp
pp
=
++
28 ()
()()
5
2
39
p
pe
Fp
pp
=
++
29 ()
()()
6
2
8
16
p
pe
Fp
pp
=
++
30 ()
()()
5
2
3
64
p
pe
Fp
pp
−
=
++
22
Задача 8. Найти оригиналы изображений, разлагая дробь на элементар-
ные и используя табл. 1 оригиналов и изображений.
1
()()()()
2
36
123
pp
Fp
ppp
−−
=
++−
2
()()()()
2
1
123
p
Fp
pppp
+
=
+++
3
()()()
2
34
12
pp
Fp
ppp
++
=
−−
4
()
2
32
151336
6
pp
Fp
ppp
−−
=
−−
5
()32
3
2
p
Fp
ppp
+
=
+−
6()
()()
1
41
p
Fp
ppp
+
=
+−
7
()3
1
4
Fp
pp
=
−
8
()
2
32
2
312
6
pp
Fp
ppp
−−
=
+−
9
()()()
2
2
54
12
p
Fp
pp
−
=
−+
10 ()(
)()
2
2
26
324
pp
Fp
ppp
++
=
−+
−
11 ()(
)
2
2
5
6
pp
Fp
ppp
++
=
+−
12()32
136
6
p
Fp
ppp
−
=
+−
13 ()
2
42
278
109
pp
Fp
pp
−+
=
−+
14 ()
2
3
18
95
9
pp
Fp
pp
−+
=
−
15 ()
()()()
2
3
513
pp
Fp
ppp
+
=
+−+
16 ()
()()()
2
48
712
pp
Fp
ppp
−
=
−
+−
17 ()(
)()
2
4
215
8
p
Fp
ppp
−
=
−−
−
18 ()
()()()
2
37
123
p
Fp
ppp
+
=
−−
+
19()()()
2
39
12
p
Fp
pp
+
=
−+
20 ()
2
32
7
2
pp
Fp
ppp
−−
=
−−
21()()()
2
2
21220
41
pp
Fp
pp
−−
=
−+
22 ()
()(
)
2
2
38
12
pp
Fp
ppp
++
=
++−
23 ()
()(
)
2
10 22
52
p
Fp
ppp
−+
=
−
+−
24 ()
()(
)
2
37
156
p
Fp
ppp
−
=
−
−+
25 ()
2
32
3171
2
pp
Fp
ppp
++
=
−−
26 ()
()()
2
915
21
p
Fp
pp
+
=
+−
27()()()
2
10 16
41
p
Fp
pp
+
=
−+
28 ()
()(
)
2
2
121
52
pp
Fp
ppp
+−
=
−
+−
29 ()
()(
)
2
2
21220
12
pp
Fp
ppp
−−
=
++−
30 ()(
)()
2
25 13
652
p
Fp
ppp
−
=
−+
+
23
Задача 9. Найти оригиналы изображений, разлагая дробь на элементар-
ные и используя табл. 1 оригиналов и изображений.
1
()()
2
22
1
3
p
Fp
pp
+
=
−
2
()()
22
1
1
Fp
pp
=
+
3
()()()
2
1
12
Fp
pp
=
−−
4
()()()
2
1
13
Fp
pp
=
++
5
()()()
2
1
12
p
Fp
ppp
+
=
−+
6
()( )( )2
1
12
Fp
pp
=
++
7
()()()
2
3
1
13
p
Fp
pp
+
=
−+
8
()()()
2
25
21
p
Fp
pp
−
=
−+
9
()()()
2
22
258
12
pp
Fp
pp
+−
=
−+
10 ()
()()2
11
p
Fp
pp
=
−+
11()32
1
2
Fp
ppp
=
−+
12 ()
()()
2
12
p
Fp
pp
=
−+
13 ()
()()2
1
12
Fp
pp
=
++
14 ()
()()
2
3
1
23
p
Fp
pp
+
=
−+
15 ()
()()
2
24
11
p
Fp
pp
−
=
−+
16 ()
()3
21
3
p
Fp
pp
+
=
−
17 ()
()()
2
31
42
p
Fp
pp
−
=
−+
18 ()
()()
22
4
51
p
Fp
pp
−
=
+−
19 ()
()()
2
2
95
12
pp
Fp
pp
−+−
=
−+
20 ()
()()
2
16
31
Fp
pp
=
+−
21 ()
()()
2
2
21
p
Fp
pp
=
−−
22 ()
()()
2
9
12
Fp
pp
=
−+
23 ()(
)()
2
715
691
p
Fp
ppp
−
=
−+
−
24 ()
()(
)
2
718
256
p
Fp
ppp
−
=
−
−+
25 ()
()(
)
2
36 27
228
p
Fp
ppp
−
=
−
+−
26 ()
()()
2
2
299
51
pp
Fp
pp
−
++
=
−−
27 ()
()()
2
22 10
31
p
Fp
pp
−
=
−−
28 ()
()()
2
2
7
21
pp
Fp
pp
+−
=
−−
29 ()
()()
2
78
24
p
Fp
pp
−
=
−+
30 ()
()(
)
2
419
565
p
Fp
ppp
−
=
−
−+
24
Задача No 10. Найти оригиналы изображений, разлагая дробь на элемен-
тарные и используя табл. 1 оригиналов и изображений.
1
()(
)
2
1
2
Fp
ppp
=
++
2
()( )3
4
38
p
Fp
p
−
=
++
3()
()(
)
2
53
125
p
Fp
ppp
+
=
−
+−
4
()3
2
4
p
Fp
pp
−
=
+
5
()3
2
27
p
Fp
p
=
+
6()
()(
)
2
913
325
p
Fp
ppp
+
=
−
++
7
()( )(
)
2
3
14
p
Fp
ppp
−
=
+
−+
8()
2
3
3
8
p
Fp
p
+
=
−
9()32
8
48
Fp
ppp
=
++
10()32
25
45
p
Fp
ppp
+
=
++
11 ()
()(
)
2
2
615
326
pp
Fp
ppp
−+
=
+−+
12()3
1
1
p
Fp
p
−
=
+
13()32
41
24
p
Fp
ppp
−
=
++
14()32
23
26
p
Fp
ppp
−
=
−+
15()32
25
45
p
Fp
ppp
+
=
++
16()32
8
22
Fp
ppp
=
++
17()32
12
3
p
Fp
ppp
+
=
++
18()3
44
8
p
Fp
p
−
=
−
19 ()
()()
2
2
48
13
p
Fp
pp
+
=
++
20 ()
()()
2
2
210
13
p
Fp
pp
+
=
−+
21 ()
()(
)
2
3
11
p
Fp
ppp
−
=
−
−+
22()32
15
25
p
Fp
ppp
−
=
++
23 ()
()(
)
2
3
11
p
Fp
ppp
−
=
−
−+
24 ()
()(
)
2
81
11
p
Fp
ppp
+
=
−
++
25 ()
()()
2
2
2
13
p
Fp
pp
+
=
++
26()3
18
9
p
Fp
pp
−
=
+
27 ()
()(
)
2
2
11
Fp
ppp
=
−
−+
28()3
12
8
Fp
p
=
−
29 ()
()()
2
16 11
41
p
Fp
pp
−
=
++
30 ()
2
32
332
pp
Fp
ppp
−+
=
−+
25
Задача 11. Найти операционным методом решения дифференциальных
уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
1
3
24
′′
′
−−
=
t
xxxe
() ()
00,0
1
′
=
=−
xx
2
4 sin
′′ −=
xx
t
()
()
0
1,0
2
′
=
−=
−
xx
3
2
′′
′
++=
x xxt
() ()
01,00
′
=
=
xx
4
21
′′
′
++=
xxx
() ()
00,0
1
′
=
=−
xx
5
2
′′
′
−=
yyt
() ()
000
′
=
=
yy
6
1
′′′
′′
−=
yy
()()()
0000
′
′′
=
=
=
yyy
7′′′′
+=
xxt
()()()
0000
′
′′
=
=
=
xxx
82529
′′
′
+=
xx
()
()
0
1,00
′
=
−=
xx
9
9
′′
′
+=
t
xxe
() ()
000
′
=
=
xx
10
25sin
′′
′
++=
xxx t
() ()
01,02
′
=
=
xx
11
3
5
′′
′
+=
t
xxe
() ()
000
′
=
=
xx
12
44sin2
′′
′
++=
xxx t
()
()
0
1,01
′
=
−=
xx
13
sin 2
′′
′
+=
yyt
() ()
000
′
=
=
yy
14
sin
′′ −=
yyt
() ()
00,01
′
=
=
yy
15
2
448
−
′′
′
++=
t
xxx e
() ()
01
,01
′
=
=
xx
16
2
′′
′
−=
t
xxe
() ()
02
,02
′
=
=
xx
17
2
−
′′
′
++=
t
x xxe
() ()
01,0
1
′
=
=−
xx
18
328
′′′
′
−+=
x xxt
()()()
0
00,01
′
′′
=
=
=
xxx
19
32
′′
′
−+=
t
xxxe
() ()
000
′
=
=
xx
20
61161
xx xx
′′′
′′
′
−+
−=
()()()
0000
′
′′
=
=
=
xxx
21
2
−
′′
′
++=
t
x xxe
() ()
01,00
′
=
=
xx
22
32
xxxt
′′
′
−+=
() ()
01,0
2
′
=
=−
xx
23
7
145
′′
′
−
=
−−
xx
t
() ()
01,02
′
=
=
xx
24
()
441
xxxt
′′
′
−+=
−
() ()
00,01
′
=
=
xx
25
2
−
′′
′
+=+
t
yye
() ()
000
′
=
=
yy
26
2
44
′′
′
++=
xxxt
() ()
000
′
=
=
xx
27
3
66
′′
′
−−
=
t
xxxe
() ()4
00,0
5
′
=
=
xx
28
6122
xxt
′′
′
+=+
() ()
000
′
=
=
xx
29
()
221
xxt
′′
′
−=
+
() ()1
00,0
2
′
=
=
xx
30
32−
′′
′
++=
t
xxxe
() ()
02,0
3
′
=
=−
xx
26
Задача 12. Найти операционным методом решения систем дифференци-
альных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
1
2
2
34 9,
233
′
+−=
′
+−=
t
t
xxy e
xyye
() ()
02,00
xy
=
=
2
3
3
,
5
′
=+
′=
+
t
t
xye
yxe
() ()
02,03
xy
=
=
3
43sin,
2
2 cos
′ =−+
′= −−
xxy t
yxy
t
() ()
000
xy
=
=
4
860,
620
′′
′
−+
=
′′′
−
++=
xxy
xyy
()()()()
01,0
0
00
x xyy
′′
=
=
=
=
5
2,
2
′=
+
′=
+
xxy
yxy
() ()
01,03
=
=
xy
6
34,
43
′=
+
′=
−
xxy
yxy
() ()
00,01
=
=
xy
7
2
1,
42
′
=+−
′=
+
xyt
yxt
() ()
02,03
=
=
xy
8
5,
3
′=
+
′=
−−
xxy
yxy
() ()
00,01
=
=
xy
9
,
1
′′
′
++=
′ ′′
+=
t
x yxe
xy
() ()
() ()
01,0
1,00,02
′′
==
−=
=
xy xy
10
3
0,
0
′++=
′−+ =
xxy
yxy
() ()
02,03
xy
=
=
11
4
3 sin,
cos
′′
−+=
′+=
xyx t
xyt
() ()
02,01
xy
=
=−
12
3,
52
′
=−+
′=++
t
t
xxye
yxye
() ()
01,01
xy
=
=−
13
2212,
20
′′
−−
+=
−
′′++=
xyxy t
xyx
()()()
0000
′
=
=
=
xyx
14
32
1,
430
′+ +=
′
++=
xxy
xyy
() ()
000
=
=
xy
15
24cos,
2 sin
′−−=
′++ =
yyz t
zyz t
() ()
000
=
=
yz
27
16
3,
′=
−
′= ++
t
yzy
z yze
() ()
000
=
=
yz
17
24cos,
2 sin
′−−=
′++ =
yyz t
zyzt
() ()
000
=
=
yz
18
7
0,
250
′+ −=
′++=
yyz
zyz
() ()
001
=
=
yz
19
sin ,
cos
′′
−=
−
′′
+=
xy
t
xy
t
() ()
11
0,0
22
=
=−
xy
20
2212,
20
′′
−−
+=−
′′++=
yzyz t
yzy
()()()
0000
′
=
=
=
yzy
21
7
5,
2537
′=
−
++
′=
−−−
x
xy
y xyt
() ()
000
=
=
xy
22
,
′′=
′′=
xy
yx
()()()()
0
01,02,00
′′
=
=
=
=
xyxy
23
,
′
=++
′=+−
t
t
x xye
yxye
() ()
02,00
=
=
xy
24
()
,
2
′=−
′=
+
xy
yxy
() ()
00,01
=
=
xy
25
3
3
,
32
′
=−−
′=
++
t
t
x xye
yxy e
() ()
00,01
=
=
xy
26
,
′′
+=+
′+=+
t
t
xxye
yyxe
() ()
001
=
=
xy
27
20,
40
′+−
=
′+−
=
xxy
yxy
() ()
001
=
=
xy
28
2
4241,
3
2
′++=+
′+− =
xyxt
yxy t
() ()
000
=
=
xy
29
23,
24
′+=
′−=
xyt
yx
() ()
02,03
=
=
xy
30
,
42
′
=+
′=
+
t
t
xye
yxe
() ()
000
=
=
xy
28
Задача 13. Найти решения систем дифференциальных уравнений, удовле-
творяющие заданным начальным условиям.
1
,
,
′=
′=
′=
xy
yz
zx
()()()
00
,01
,00
=
=
=
xyz
2
,
2,
−
′=
−
′= +
′=
−
t
xzy
yze
zzx
()() ()1
0
00,0
2
=
=
=
xzy
3
2
4,
2
2,
527
′=
−
−−
′=
−
+−
′=++
x
xyz
y xyz
z xyz
()()()
01,02,0
1
=
=
=−
xyz
4
,
,
′=
−
++
′= −+
′=++
x yzx
y yzx
z yzx
()()()
0
00,01
=
=
=
xzy
5
,
2,
2
′=
−
′=
−
′=
−
xzx
yxy
zyz
()()()
0
00,01
=
=
=
xzy
6
8,
2,
282
′=
′=−
′=+−
xy
yz
z xyz
()()()
02,00,0
1
=
=
=−
xyz
7
,
,
′=
−
′=
+
′=
+
xyz
yxy
zxz
()()()
01,02,03
=
=
=
xyz
8
0,
40,
40
′+−=
′+− =
′+ −=
xxy
yyz
zzx
()()()
01,0
00
=
=
=
xyz
9
,
,
′=+−
′=+−
′=++
x zyx
yzxy
z xyz
()()()
01,0
00
=
=
=
yzx
10
,
,
′=
+
′=
+
′=
+
xyz
yzx
zxy
()()()
03,0
1,0
2
==
−=
−
xyz
29
11
,
,
′=
+
′=
−
′=
+
xxy
yxz
zyz
()()()
02,01,03
=
=
=
xyz
12
2
0,
0,
20
′′
+ +++=
′′
+ ++=
′′
−
−=
x yxyz
xyxz
zyy
()()()
0
01,0
2
=
=
=−
xyz
13
,
,
′=−++
′=−+
′=+−
x xyz
yxyz
z xyz
()()()
02,01,03
=
=
=
xyz
14
22,
275,
242
′′
++=
′=++
′=
−−−
xyzx
y xyz
z xyz
()()()
00,03,0
2
=
=
=−
xyz
15
4,
,
4
′=
+
′=
′=
xyz
yz
zy
()()()
05,00,04
=
=
=
xyz
16
,
,
3
′= −−
′=
+
′=
+
x xyz
yxy
zxz
()()()
02,00,0
2
=
=
=−
xyz
17
23440,
2
3
0,
23640
′ −−−=
′−−−=
′+++=
x xyz
yxyz
zxyz
()()()
04,00,01
=
−=
=
xyz
18
2173,
2
2525,
2457
′=
−
′=
−
−+
′=
−
xxz
y xyz
zxz
()()()
02,0
1,02
=
−=
−=
xyz
19
633,
854,
2
′= ++
′=
−−
−
′=−−−
x xyz
y xyz
z xyz
()()()
01,01,00
=
=
=
xyz
20
33,
23330,
23330
′++=
′+++=
′+−−=
xyzx
yxyz
z xyz
()()()
00,05,0
3
=
=
=−
xyz
21
,
3,
3
′=
+
′=
+
′=
+
xyz
yxz
zxy
()()()
0
00,02
=
=
=
xyz
30
22
3,
5,
3
′=
−+
′=
−+
−
′=−+
x xyz
yxyz
zxyz
()()()
0
00,03
=
=
=
xzy
23
2,
3,
23
′=
+
′=+−
′= +−
xxy
yxyz
zyzx
()()()
0
00,0
2
=
=
=−
xyz
24
2,
,
′=−−
′=−+
′=
−
xxyz
yyxz
zxz
() ()
()
04,0
3,02
==
−=
xyz
25
,
,
′ =−−
′=
−−
′=
−−
xyz
yxz
zxy
()()()
01,00,01
=
−=
=
xyz
26
,
3,
3
′=
+
′=
+
′=
+
xyz
yxz
zxy
()()()
00,0
01
=
=
=
xyz
27
2,
,
32
′=
−+
′=
+
′=
−
+−
x xyz
yxz
z
xyz
()()()
0
01,00
=
=
=
xyz
28
224,
2
2,
527
′=
−−−
′=
−
+−
′= ++
x xyz
y xyz
z xyz
()()()
0001
=
=
=
xyz
29
56,
,
6
′= −+
′=
−
′= −
x xyz
yxz
zz
()()()
01,01,06
=
−=
=
xyz
30
3124,
3,
126
′ =−−
′=−− +
′=
−+
+
xxyz
y xyz
zxyz
()()()
01,00,01
=
−==
xyz
31
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Найти изображение оригинала ( ) sh 2 cos 3
fttt
=
⋅
.
Решение. ( ) (
)(
)
22
2
2
11
cos 3
cos 3
cos3 .
22
tt
t
t
ft
ee
te
te
t
−−
=
−=
−
Используя свойство линейности изображения и формулу (8) из табл. 1,
получим изображение
()()()
22
122
2
29 29
pp
Fp
pp
−+
=
−
−+
++
.
Пример 2. Найти изображение оригинала ( )
4
sin7 cos2
t
fte
tt
=
⋅⋅.
Решение. Преобразуем произведение
(
)
1
sin7 cos2
sin9 sin5 ,
2
=
+
tt tt
тогда
()(
)
44
1
sin 9
sin5 .
2
tt
ft
e
te
t
=
+
Используя свойство линейности изображения и
формулу (7) из табл. 1, получим изображение
()()()
22
19
5
2
481
425
Fp
pp
=
+
−+
−+
.
Пример 3. Найти изображение оригинала ( )
()
sin 2 при >0,
0при <0.
−
=
tt
ft
t
Решение. График данного оригинала имеет вид:
( )ft
1
t
0123456
-1
32
()
22
1
sin 2
cos2sin sin2cos
cos 2
sin 2
.
11
−=
−
−
++
p
t
tt
pp
Использованы свойство линейности изображения и формулы (4) и (5)
из табл. 1.
Пример 4. Найти изображение оригинала
()()
sin 2 при >2,
0при <2.
−
=
tt
ft
t
Решение. График оригинала имеет вид:
( )ft
1
t
0123456
-1
Этот пример показывает, что функции ( )
ftτ
−
описывают процессы, на-
чинающиеся не в 0
t = , а с запаздыванием >0
τ
. С помощью функции Хевисайда
()0,<
σ
1,
t
t
t
τ
τ
τ
−=
≥
запаздывающую функцию записывают следующим образом:
()()()
0,<
σ
,>.
t
ftt
ftt
τ
ττ
ττ
−
−=
−
По теории запаздывания изображения этих оригиналов выражаются фор-
мулой()()
()
σ
τ
ττ
−
−−
p
ftt
eFp
,где()
()
Fp ft
.
В нашем случае
()()22
1
sin 2
2
.
1
σ
−
−−
+
p
tte
p
Пример 5. Найти изображение оригинала ( )
2
sin7 .
=
fttt
Решение. По формуле (5) из табл. 1 имеем
2
7
sin 7
.
49
+
t
p
Используя дважды теорему дифференцирования изображения, получим
33
()2
2
2
7
14
sin 7
;
49
49
′
−
−=
+
+
p
tt
p
p
()
()
()
()
2
2
23
22
14493
14
sin 7
sin 7
.
49
49
′
−−
−
−−
=
=
++
p
p
ttttt
pp
Пример 6. Найти изображение оригинала ( )
()
0
3 2cos4
.
=
−
∫
t
ft
u
udu
Решение. Найдем изображение подынтегральной функции, а затем приме-
ним теорему интегрирования оригинала:
2
cos 4
;
16
+
p
t
p
()
()
()
()
()
()
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
0
16
2
3 2cos4 3cos4 2cos4 3
2
3
;
16
16
16
16
16
2
3
16
16
316
2
32cos4
.
16
16
′
−
−=−
−
=
−
++
+
+
−
−
+
+−
−=
−
+
+
∫
t
pp
pp
t
ttt t
pp
p
p
pp
p
pp
t
tdt
pp
pp
Пример 7. Найти изображение оригинала ( )
2
5
sin 2
.
3
t
t
ft
e
t
−
=
Решение. Так как функция ( )
ft непрерывна для всех >0
t
и
25
5
00
sin 2
sin2 sin2
lim
lim 2
0,
3
23
t
t
tt
t
t
te
e
tt
−
−
→+
→+
=
=
то она является оригиналом.
2
2
sin21cos411
3
6
6
16
ttp
pp
−
=
−
+
.
Из свойства интегрирования изображения следует, что
2
22
2
2
2
22
1
sin 2
11
11
3
lim
6
16
6
16
111
lim ln
ln 16
lim ln
62 616
16
11
lim ln
ln
ln
.
66
16
16
b
b
pp
bb
pp
bb
b
t
zz
dz
dz
t
zz
zz
z
zz
z
p
bp
p
bp
∞
→∞
→∞
→∞
→∞
−=
−=
++
=
−
+=
=
+
+
=
−=
++
∫∫
34
Применяя далее теорему смещения изображения, получим изображение
данного оригинала:
()2
2
5
516
sin 2
1
ln
.
365
t
p
t
e
tp
−
++
⋅
+
Пример 8. Найти изображение функции, заданной графически.
( )ft
2
1
t
0
2
4
6
-1
Решение. Из рисунка видно, что ( )
0при0
<2,
2при2
<4,
1при 4
<6,
0 при
6.
≤
≤
=
−≤
≥
t
t
ft
t
t
Исходя из определения преобразования Лапласа, оригинал F(t) имеет вид:
()
()
(
)(
)
46
0
24
4 264
246
46
21
2
24
11
22
23
.
pt
pt
pt
pt
pt
p ppp
ppp
Ft
e ftdt
edtedt
e
e
pp
e eee
eee
pp
+∞
−
−−
−−
−
−−−
−
−−
=
=−=
−+=
=
−
++− =
−
+
∫∫∫
Пример 9. Найти изображение кусочно-непрерывной функции, заданной
графически.
( )ft
a
t
0
a
2a
Решение. Зададим функцию аналитически:
()
,0 <,
2,<t2,
0, <0иt>2 .
tta
ft
ata
a
ta
≤
=
−≤
35
Используя единичную функцию ( )
1,0
σ
0, <0
≥
=
t
t
t
, оригинал
()
ft можно
задать формулой ( )
()()()()()()
222
ftttttaatta atta
σσ
σ
σ
=
⋅
−
⋅
−+
−
−−
−
−
,
или ()
()()()()()
2
2
2.
fttttatatata
σσσ
=
⋅
−
−
−
+−
−
Тогда ( )
()2
2
2
222
2
2
1
11
1
12
2.
ap
ap
ap
ap
ap
e
ee
Fp
e
e
ppp
p
p
−
−−
−−
−
−+
=
−
+=
=
Пример 10. Найти изображение ступенчатой функции
()
,
<0,
1,
t<n+1,где
0,1,2,3,... .
=
+≤
=
tt
ft
nn
n
Решение. График оригинала ( )
ft имеет вид
( )ft
5
4
3
2
1
t
0
12345
Ступенчатую функцию ( )
ft можно записать в виде
()()()()()()()
()
()()
12
12
23
23
3 ...
1
... ,
σσ
σ
σ
σ
σ
σσ
=
−
−+
−−
−
+−−−+
+−−−−+
f
ttttttt
ntn
ntn
или
()()()()()
(
)()
23
23
1111
1
2 ...
...
...
11
1
1
...
.
1
ppp
np
p
p
p
np
p
fttt
t
tn
e
e
e
pppp
e
eee
e
pp
pe
σσσ
σ
−−
−
−
−−
−
−
−
=+−
+−
+
+−+++++
+
+=
++
+
++
=
−
Использована формула
1
a
S
q
∞
=
−
суммы членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, так как
<1
ps
qee
−−
=
=
при
>0
=
RepS.
36
Пример 11. Пользуясь теоремой умножения изображений, найти оригинал
изображения ( ) ( )( )
2
.
16
1
p
Fp
pp
=
+−
Решение. Представим ( )
Fpв виде произведения двух изображений, ори-
гиналы которых известны:
()22
11
;
cos4 ;
.
161
16
1
t
pp
Fp
t
e
ppp
p
=
+−
+
−
Используя теорему умножения изображений, получаем, что искомым ори-
гиналом является функция
()
(
)
(
)
(
)(
)
00
cos4 4sin4
cos 4
cos 4
0
17
11
cos4 4sin4 1
cos4 4sin4
.
17
17
tt
tt
t
tt
t
t
e
ft
ede
ede
e
ett
tt
e
τ
ττ
ττ
ττ
ττ
−
−−
−
−+
=
=
=
=
=
−+
+
=
−+
+
∫∫
Замечание. При вычислении свертки использованы табличные интегралы
(
)
(
)
22
22
cos
sin
cos
;
sin
cos
sin
.
ax
ax
ax
ax
ea
bxbbx
e
bxdx
C
ab
ebbxabx
e
bxdx
C
ab
+
=
+
+
−
=
+
+
∫
∫
Пример 12. Найти оригинал по изображению ( )
()
3
2
2
.
4
p
Fp
p
=
+
Решение. Запишем изображение в виде произведения:
() 22
2
;
44
cos2 .
4
=
++
+
pp
Fpp
pp
p
t
p
.
Используя формулу Дюамеля
()()()() ()() ()() ()()
00
0
0,
tt
FpGpfgtfgtdtftg
fgtd
τ
τ
τ
ττ
′′
+
−=
+
−
∫∫
обозначим ( )
()
(
)
cos 2
cos 2
ττ
=
=
ft tf
;()
()()
()
cos 2
;
2sin2
.
τττ
τ
′
−=
−
−=
−
−
gt
t
gt
t
37
Поэтому оригинал вычисляется следующим образом:
()
()
(
)
()
()
(
)
()
00
0
cos2 1 cos2 2sin2
cos2 2 cos2 sin2
11
cos2 2
sin2 sin2 4
cos 2
sin 2
cos2 4
0
24
11
cos 2
sin 2
cos 2
cos2 cos2
sin2 .
44
tt
t
ftt
td
t
td
t
t
ttdt
t
ttt
t
t
ttt
τ
ττ
τ
ττ
ττ
ττ
τ
=+
−
−=−
−=
=−
+−=
−
+−=
=−−+=−
∫∫
∫
Пример 13. Найти оригинал ( )
ft по изображению
()( )(
)
2
2
98
.
135
pp
Fp
ppp
++
=
−⋅
++
Решение. Разложим ( )
Fpна элементарные дроби
()(
)
2
2
2
98
.
135
135
pp
A BpC
ppp
ppp
++
+
=
+
−
++
−
++
Приведем к общему знаменателю и приравняем числители:
()()()
22
22
98
351
35
ppApp
p BpCAp ApABpCpBpC
++=+++− +=++++−−;
2
0
1,
3
9,
5
8.
+=
+−=
−=
pAB
p ACB
pAC
Решая систему, получим A = 2, B = –1, C = 2. Таким образом, получим
()
() ()
()
12
2
1
22
;
135
2
2.
1
−+
=
+=
+
−
++
=
−
t
p
Fp
Fp Fp
ppp
Fp
e
p
Знаменатель второй дроби действительных корней не имеет, поэтому вы-
делим полный квадрат:
2
22
22
399
311
3
11
352
5
.
244
24
2
4
++=++−+=++=++
pp pp
p
p
Числитель представим в виде
()33
37
22
2
.
22
22
ppp
p
−+=
−
−
=
−
+−− =
−
+−
38
Таким образом, дробь имеет вид:
()
2
222
2
222
33
22
2
2
33
3
2
2222
2
353
11
3
11
3
11
222222
11
72
117
11
2
cos
sin
.
2
22
11
11
3
11
22
tt
p
p
pp
Fp
pp
ppp
e
tet
p
−−
+−−
+
−+
−+
=
=
=
=
+
++
++
++
++
+⋅⋅
−
+
++
Окончательно ( )
33
22
117
11
2
cos
sin
.
22
11
tt
t
ft ee
t
e
t
−−
=
−+
Пример 14. Решить задачу Коши.
()()()
25;00;01;02.
′′′
′′
′
′′
+−=
=
=
=
t
xx xex
x
x
Решение. Исходя из правила дифференцирования оригинала, получим:
()()()()()()
() ()
2
3
;
0
;
1;
1
2;
.
1
′
′′′
−
′′′
−−
−
t
xt xp
x
pxp xppxp
xtpxpp
e
p
Подставляя полученные изображения в исходное уравнение, получим
()
() ()
()(
)
32
32
5
2
12
;
1
5
2
3.
1
−
−+
−−
=
−
+−=
++
−
pxp p pxp
xp
p
xppp
p
p
Приведем выражение справа к общему знаменателю
5
3
1
++=
−
p
p
()()2
531 22
,
11
++−
++
=
=
−−
pp pp
pp
а слева разложим многочлен на множители:
32
20.
pp
+ −= Это приведенное уравнение со свободным членом, равным 2. Де-
лим его на ±1, ±2.
После подстановки убеждаемся, что
1
=
p является корнем уравнения:
32
2
pp
+−
32
pp
+
32
pp
+
2
22
pp
++
2
2p
2
22
pp
−
22
p−
22
p−
0
39
Таким образом, уравнение имеет вид
()( )(
)
2
2
22
122
1
pp
xpp
pp
p
++
−
++=
−
,или()
()2
1
.
2
xp
p
=
−
Переходя к оригиналу, получим решение поставленной задачи ( )
.
t
xt te
=
Пример 15. Решить задачу Коши.
() ()
() ()
32
0,
0
00,
540,
01,00.
xxxyy
xx
xxyyy
y
y
′′
′
′
′
−
++−=
=
=
′ ′′′
′
−++
−
+=
=
=
Решение. Перейдем к операторной системе, учитывая, что
()()()()()()()()()
()()()()()()()()()
2
2
,
0,
0
0,
,
0,
0
0.
xtXpxtpXpX
xtpXppX X
ytYpytpYpY ytpYppY Y
′
′′
′
−
−−
′
′′
′
−
−−
()()()()()()
()()()()()()
2
2
,,,
,
1,
.
xtXpxtpXpXtpXp
ytYpytpYp YtpYpp
′
′′
′
′′
−−
(
)()( )()
( )()(
)()
2
2
32
1
1,
1
54
5.
ppX
ppY
p
pXpppYpp
−+
+−
=
−
+−+
=
−
()()()()()
( )()()()()
1
2
1
1,
1
4
1
5.
ppXppYp
pXpppYpp
−
−
+−
=
−
+−−
=
−
Эта система линейная. Неизвестные в ней ( )
Xpи()
Yp. Так как ранг сис-
темы равен 2, то решим ее по правилу Крамера:
()()
()()()
()()()
(
)( )(
)()()
2
2
2
22
2
1
21
12
1
41
14
1
1
2411
6913;
−
−
−−
∆=
=
−
=
−−
−−
−
=−
−
−+=−
−
+=−
−
p
p
pp
p
pp
p
p
ppp
ppppp
()()()
()
1
1
11
1
1;
41
5
54
−
∆=
=−
=−
−−
−
−−
X
p
pp
pp
p
pp
()()()
()(
)
2
1
21
12
1
1
7 11.
5
15
1
−
−−
∆=
=−
=−
−
+
−
−−
−
Y
p
pp
p
ppp
pp
p
40
Отсюда
()()()
()()()
2
2
2
1
;
13
711
.
13
∆
=
=
∆
−−
∆−+
=
=
∆
−−
X
Y
Xp
pp
pp
Yp
pp
Разложим дробь на элементарные дроби:
()()
()
()()()()
()()
2
22
2
1131
1
.
13
13
3
13
Ap
BppCp
ABC
pp
pp
p
pp
−
+−−+
−
=++
=
−−
−−
−
−−
Поскольку дроби равны, то и числители равны:
()()()()
2
22
131316943
.
Ap
Bpp
Cp
Ap Ap ABp BpBCpC
=
−
+−−+
−=
−
++−++
−
Сравним коэффициенты:
2
0
0,
64
0,
93
1.
+=
−
−
+=
+−=
pAB
pABC
pABC
Решая систему, получим
111
,,,
442
ABC
==
−=
т. е.
()
()
()()
()
()()
2
2
22
22
2
111111
.
414323
71
1
69 43
.
13
13
3
13
Xp
ppp
pp
AB
C
Ap ApABp BpBCpC
pp
pp
p
pp
=−+
−−
−
−+
−
++−++
−
=++
=
−−
−−
−
−−
Приравняем числители:
22
2
69 43
71
1
ApApABpBpBCpCpp
−
++−++
−=
−
+.
Сравним коэффициенты:
2
0
1,
64
7,
93
11.
+=
−
−
+=
−
+−=
pAB
pABC
pABC
Решение данной системы:
511
,,
442
ABC
==
−=
−
и
()
()2
511111
,
414323
=−−
−−
−
Yp
ppp
или
()
()
()
()
2
2
1112
,
413 3
1512
.
413 3
Xp
ppp
Yp
ppp
=
−+
−−
−
=
−+
−−
−
41
Переходя к оригиналам, получим искомое решение:
(
)
(
)
33
33
1
2,
4
1
52.
4
ttt
ttt
x
ee
te
y
ee
te
=
−+
=
−−
Пример 16. Решить задачу Коши.
()()()
4
0,
3
0,
0,
00,01,01.
xxy
y xyz
zxz
x
y
z
′− +=
′− −+=
′−−=
=
=
=
−
Решение.
Поскольку
()()()()()()
()()()()()()
()()()()()()
;
0;
;
0
1;
;
0
1,
′
−=
′
−=
−
′
−=
+
xtXpxtpXpX pXp
ytYpytpYpY pYp
ztzpztpZpZ
pZp
то
()()()
()( )()()
()( )()
4
0,
3
1
1,
1
1;
−
+=
−
+−
+=
− +−
=
−
p XpYp
Xp pYpZp
XppZp
()3
2
2
410
311
2;
101
010
111;
101
400
311
4;
111
410
3
11
58.
101
−
∆=−
−
=
−
−−
∆=
−
=
−
−−
−
∆=−
=−
−−
−
−
∆=−
−
=
−
+−
−−
X
Y
Z
p
pp
p
pp
p
p
pp
p
p
p
pp
()
()
()()
()
()
3
2
3
2
3
,
2
4
,
2
58
.
2
x
y
z
p
Xp
p
pp
Yp
p
pp
Zp
p
∆−
=
−=
∆
−
∆
−
==
∆
−
∆−+ −
==
∆
−
42
Разложим ( )
()()
,,
Xp Yp Zpна элементарные дроби:
()
()()
()()
3
23
2
2
;
2
2
22
2
2;
44 2.
−
=
++
−
−
−−
−=
−
+−+
−
=−
++ −+
pAB C
p
p
pp
pAp
BpC
pAp Ap pBpBC
Сравним коэффициенты:
2
0
0,
4
1,
42
0.
=
−
+=
−
−
+=
pA
pAB
pABC
Решение данной системы:
0,
1,
2.
==
−=
−
ABC
()
()()
2
2
23
4
;
2
2
22
−
=
++
−
−
−−
ppABC
p
p
pp
22
4442
ppApApABpBC
−=
−
++ −+;
2
0
1,
4
4,
42
0.
=
−
+=
−
−
+=
pA
pAB
pABC
1,
0,
4.
=
=
=−
ABC
()
()()
2
3
23
22
58
;
2
2
22
58 44
2.
−+−
=
++
−
−
−−
−
+−=
−
++−+
ppABC
p
p
pp
ppApApBBpBC
2
0
1,
4
5,
42
8.
=−
−
+=
−
+=
−
pA
pAB
pABC
1,
1,
2.
=
−=
=
−
ABC
Таким образом,
()()()
()
()
()
()()
23
3
23
12
,
22
14
,
2
2
112
.
2
22
xp
pp
yp
p
p
zp
p
pp
=
−−
−−
=
−
−
−
=
−+
−
−
−−
()
()
()
222
2
22
2
222
,
2,
.
=
−−
=
−
=
−+
−
tt
tt
ttt
xp
te te
ype te
zp
etete
43
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сборник задач по высшей математике / К. Н. Лунгу [и др.]. – М. : Айрис-
пресс, 2007. – 592 с.
2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике : учеб. посо-
бие:в3ч./А.П.Рябушко[идр.]. – Минск:Высшаяшкола,1991. – 288с.
3. Чудесенко, В. Ф . Сборник заданий по специальным курсам высшей ма-
тематики (типовые расчеты) : учеб. пособие для вузов / В. Ф . Чудесенко. – М. :
Высшая школа, 1983. – 112 с.
44