Б.В.ШАБАТ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ЗНАЧЕНИЙ
ГОЛОМОРФНЫХ
ОТОБРАЖЕНИЙ
МОСКВА «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982

22.161.5
Ш 12
УДК 517.5
Шабат Б. В. Распределение значений голоморфных
отображений. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1982. —288 с.
Одним из крупнейших достижений анализа в 20—30-х гг. нашего
столетия явилась теория распределения значений мероморфных
функций, связанная с именем Р. Неванлинны. Ей посвящена обширная
литература, в том числе и отечественная.
Существенно меньше отражен в литературе многомерный аспект
теории, в котором идет речь о распределении прообразов
аналитических множеств при голоморфных отображениях комплексных
многообразий. Этот аспект богат связями с алгебраической и
дифференциальной геометрией и является одним из важнейших разделов
современной геометрической теории функций комплексного
переменного. В книге дается введение в многомерную теорию распределения
значений и излагаются ее главные результаты.
Илл. 11. Библ. 165 назв.
Борис Владимирович Шабат
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ j
Редакторы М. М. Горячая» А. Ф. Лапко
Техн. редактор И, Ш. Аксельрод
Корректор Я. Б. Румянцева
ИБ № 11569
Сдано в набор 07.08.31. Подписано к печати 17.08.82. Т-16721. Формат 84X108'/3!.
Бумага тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ.
л. 15,12. Уч.-изд. л. 15,09. Тираж 4000 экз. Заказ № 1290. Цена 2 р. 50 к.
Издательство «Наука» .Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский пр., 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им.
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград,
Л-52, Измайловский проспект, 29 \
1702050000—120 л © Издательство «Наука»
Ш —пко/поч qo 47~82 Главная редакция
\jQQ\\)6)-o4 физико-математической
литературы, 1982

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Характеристическая и считающая функции .... 9
§ 1. Считающая функция 9
1. Вычисление объемов вст 9
2. Однородная метрическая форма 16
3. Кратность аналитических множеств '22
4. Считающая функция 29
5. Форма Пуанкаре 39
§ 2. Характеристическая функция 42
6. Дивизоры 42
7. Линейные расслоения 44
8. Эрмитовы расслоения 50
9. Характеристическая функция 52
10. Высшие характеристические функции . 59
§ 3. Потоки и некоторые их применения 65
11. Потоки 65
12. Формулы Пуанкаре — Лелона 71
13. Связь характеристических и считающих функций . . 78
Глава П. Основные теоремы теории распределения значений 84
§ 4. Первая основная теорема 84
1. Случай дивизоров 84
2. Первые применения 89
3. Случай множеств коразмерности выше 1 93
4. О неравенстве Неванлинны для коразмерностей выше 1 97
5. Теорема Сохоцкого для коразмерностей выше 1 . . 101
§ 5. Вторая основная теорема 104
6. Сингулярная форма объема 105
7. Предварительная формулировка 111
8. Основная формулировка 117
§ 6. Теорема Пикара. Соотношение дефектов 123
9. Теорема Пикара 123
10. Примеры 124
11. Соотношение дефектов . 126
12. Пример 130
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Голоморфные кривые . i , i 135
§ 7. Присоединенные кривые 135
1. Голоморфные кривые и их представление 135
2. Грассманова алгебра 137
3. Присоединенные кривые 140
§ 8. Характеристические функции 144
4. Метрические формы 144
5. Характеристические функции 148
6. Случай целых кривых 151
§ 9. Вторая оснсгшая теорема 154
7. Функции касания . . • 154
8. Два соотношения 157
9. Вторая основная теорема 162
§ 10. Соотношение дефектов и теоремы Пикара 168
10. Соотношение дефектов и теорема Бореля 168
11. Большая теорема Пикара 172
12. Дальнейшие теоремы пикаровского типа 177
Глава IV. Обобщение основных теорем 183
§ 11. Отображения комплексных многообразий 183
1. Функция исчерпания 183
2. Обобщение основных теорем 187
3. Случай голоморфных кривых 192
4. Гиперболический случай 201
§ 12. Дивизоры с особенностями 204
5. Квадратичное преобразование 204
6. Особенности пересечения 214
7. Произвольные особенности 219
Глава V. Дальнейшие результаты 225
§ 13. Результаты, использующие емкость 225
1. Р-мера 225
2. Р-емкость 232
3. Полярность множества дефектных дивизоров .... 236
4. К проблеме Безу 241
§ 14. Отображения конечного порядка 246
5. Оценки характеристических функций сверху .... 247
6. Отображения ^-регулярного роста 251
7. Комплексные вариации 261
8. Применения, примеры 267
Добавление. Краткий обзор других работ 271
Литература ,.♦,,, 280

Ищу огней —огней попутных
В твой черный, ведовскбй предел.
А. Блок, 1906
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первый результат теории распределения значений
голоморфных функций относится к 1868 г.: в магистерской
диссертации Юлиана Васильевича Сохоцкого доказана
теорема, по которой «в полюсе бесконечного порядка»
функция непременно «должна принимать всевозможные
значения». Под полюсом бесконечного порядка Ю. В. Со-
хоцкий понимал существенно особую точку, а под
значением в этой точке — предельное значение по
сходящейся к ней последовательности точек, так что его ре^
зультат — та самая классическая теорема Сохоцкого о
плотности образа проколотой окрестности существенно
особой точки, которая в нашей литературе долго
приписывалась К. Вейерштрассу*). Следующий результат
принадлежит Э. Пикару, доказавшему в 1879 г., что на
самом деле образ проколотой окрестности существенно
особой точки на сфере может выпускать самое большее
две точки.
В работах А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Э. Бореля и др,
был накоплен ряд фактов, приведших к созданию
теории распределения значений голоморфных функций.
Триумф этой теории приходится на 20-е годы нашего
столетия и связан с работами скончавшегося в мае
1980 г. финского математика Рольфа Неванликны,
который, в частности, выделил главные результаты в виде
двух основных теорем. Первая из них сравнительно
проста и выражает факты типа теоремы Сохоцкого, а
вторая, более глубокая — факты типа теоремы Пикара.
*) у_Вейерштрасса эта теорема появилась в 1876 г. Отметим,
что Ю. В. Сохоцкий, скончавшийся в 1927 г., нигде не отстаивал
своего приоритета по поводу этого и других его результатов,
приписывавшихся не ему. Следует сказать, что одновременно с Сохоц-
ким теорему о плотности образа получил итальянский математик
Ф. Казорати,

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
В 30-х годах благодаря работам Ларса Альфорса
теория распределения значений получила яркую
геометрическую окраску, а в последующие десятилетия она
интенсивно развивалась в различных направлениях.
Важный вклад в ее развитие внесли советские ученые,
особенно представители харьковской и ереванской школ
теории функций.
В 1896 г. появился первый результат многомерной
теории распределения значений: Э. Борель [1] доказал,
что голоморфное отображение комплексной прямой С
в комплексное проективное пространство Р"
вырождается, если образ выпускает п + 2 комплексные
гиперплоскости в общем положении. Этот результат довольно
долгое время оставался изолированным, пока в 1926 г.
А. Блох [1] не получил его обобщение; впрочем, оба эти
результата опережали свое время. Систематическое
исследование многомерного случая началось в 30-х и
начале 40-х годов, когда А. Картан [1], [2], Г. и И. Вейли
[1] и Л. Альфорс [2] построили основы теории меро-
морфных кривых (т. е. голоморфных отображений
С->- Рл), а Г. Кнезер [1] получил аналог первой
основной теоремы для функций нескольких переменных.
После двадцатилетнего перерыва в 60-х годах, в
связи с общим возрастанием интереса к многомерному
комплексному анализу, возродился и интерес к
многомерной теории распределения значений. Появились
статьи Чженя [1], [2] и Г. Левина [1], в которых
первая основная теорема была распространена на
голоморфные отображения из Ст в Рп, а также большой
цикл работ В. Штолля ([1] — [9]), в которых начался
систематический штурм многомерного случая. Особенно
стройный вид многомерная теория приобрела в 70-х
годах благодаря исследованиям Ф. Гриффитса и его
школы.
К началу 80-х годов многомерная теория
распределения значений сложилась в красивую теорию, богатую
связями с алгеброй и геометрией. Настоящая книга
задумана как введение в эту теорию и обзор некоторых
ее результатов. От читателя предполагается лишь
знакомство с элементами многомерного комплексного
анализа; знание классической теории распределения
значений не обязательно. Ссылки на книгу автора (Ш а -

ПРЕДИСЛОВИЙ
7
бат Б. В. Введение г комплексный анализ, чч. 1,2.—
2-е изд. —М.: Наука, 1976) для краткости обозначаются
соответственно Ш I и Ш II, а на первое издание этой
книги (1969 г.)—просто Ш.
Довольно большая первая глава содержит
необходимый подготовительный материал из современной
геометрической теории функций, который нужен и в других
разделах анализа. Во второй главе в простейшей
ситуации доказываются две основные теоремы теории
распределения значений и даются их первые применения.
Третья глава посвящена теории голоморфных кривых,
четвертая — обобщениям основных теорем, в последней,
пятой главе приводятся некоторые результаты, главным
образом полученные советскими математиками.
Всюду, где это возможно, я стремился пояснять
смысл формальных выкладок и иллюстрировать
изложение примерами. Рукопись книги прочитал Е. М. Чирка;
он сделал ряд острых критических замечаний, учет
которых, безусловно, улучшил текст, и я весьма
признателен ему за это. Я благодарю также П. В. Дегтяря,
Е. И. Иочку и А. Садуллаева, которые предоставили в
мое распоряжение еще неопубликованные материалы.
...По словам Германа Вейля создание Р. Неванлия-
ной теории распределения значений мероморфных
функций является одним из величайших математических
достижений века. По поводу мероморфных кривых в
1943 г. он писал осторожнее: «Пять лет назад мой сын
Иоахим и я нашли в первобытном лесу математики и
принесли домой молодой побег, который мы назвали
Мероморфной кривой... Он выглядел жизнеустойчивым
и привлекательным, но мы мало знали о нем. Вскоре
появился садовод с Севера — искусный мастер с
большим опытом, Ларе Альфорс было его имя, ... и его
заботами лишь вчера посаженный побег вырос в
прекрасное дерево... Дерево покрылось листвой, видны завязи,
но лишь будущее покажет, какие оно принесет плоды...»
(Г. и И. Вейль [1]).
В 1970 г. один из тех, кто способствовал оживлению
интереса к многомерной теории —By Хун-си, писал по
тому же поводу, что его будущее «гораздо менее
определенно... Предмет изучения остается слишком узким,
слишком изолированным и потому рискует прийти к

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
преждевременному и бесцветному концу. Поэтому самой
неотложной проблемой является поиск применений этой
теории» (X. By [3]). Но уже в 1977 г. патриарх
современной теории распределения Вильгельм Штолль
высказывается совсем иначе. «В течение последних
пятидесяти лет одномерная теория распределения значений
стала одной из наиболее красивых ветвей комплексного
анализа. Многомерная же теория развивалась медленно.
Ею занималось мало народа и преодолены были лишь
немногие препятствия. Однако в самое последнее время
эта теория получила широкое признание. Перспективы
на ее будущее светлы и обещают размах еще больший,
чем у одномерного собрата» (В. Штолль [9])...
Что-ж, будущее покажет, какое из этих
высказываний ближе к истине. Автор, со своей стороны, убежден,
что такая стройная теория, так сильно связанная с
понятиями, которые возникают в самых разных разделах
современной математики, непременно должна
способствовать выяснению закономерностей многомерного
комплексного мира, в котором мы живем.
Октябрь 1980
Б. В. Шабат

ГЛАВА I
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ
И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
В этой главе мы опишем основные геометрические и
аналитические понятия, на которых строится
многомерная теория распределения значений голоморфных
отображений. Мы введем два главных действующих лица
этой теории —характеристическую функцию, которая
описывает скорость роста отображения, и считающую
функцию, которая измеряет обильность прообразов
множеств.
§ 1. Считающая функция
В классической одномерной теории изучается рас*
пределение значений мероморфных_функций, т. е.
прообразов точек комплексной сферы С, и особый интерес
представляет подсчет числа таких прообразов в кругах
Вг= {\z\ < г}. В многомерной теории изучаются
голоморфные отображения /: Ст-+М комплексного
пространства Ст в n-мерное комплексное многообразие М
и интересуются прообразами не только точек, но и
комплексных подмножеств М положительной размерности.
Место числа точек в круге занимает надлежащим
образом подсчитанный объем пересечения с шаром
аналитического множества — прообраза f~l(N) фиксированного
аналитического подмножества NczM. Мы и начнем с
выяснения вопроса о том, как считать такие объемы.
1. Вычисление объемов в Ст. Примем стандартные
обозначения: г=(ги ...,гт) —точка Cm, | z ?= £ | z^ f —
т т
квадрат ее модуля, <5 = У -КГ**** *■= У* -Цг &Ч -
операторы дифференцирования. В Ст естественно рас-
т
сматривать евклидову метрическую форму ~ £ dz^ A

10 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
д йг1к=-^дЪ\г Р, где множитель //2 поставлен с учетом
о
того, что dz^ Л dz^ = у dx^ Л dy^ если 2^ = х^ + Ч/ц.
Чтобы избежать появления в формулах множителей,
связанных с объемом шара, удобно разделить эту
форму на я (т. е. принять за единицу площадь круга
радиуса 1). Тогда нормированная евклидова метрическая
форма примет вид
m
Фо —s- £ **» А <«,* - Ж*' | 2 р, (1)
где использованы вещественные операторы
дифференцирования *)
m
так что ddc = -r~-dd.
Существенно подчеркнуть, что форма фо измеряет
площади не всех вещественно двумерных многообразий
в Ст; например, на вещественно двумерной плоскости
z2 = Z\ в С2 она, очевидно, равна 0, ибо на этой
плоскости dz2Adz2 =—dz\\/\dz\. В общем случае она
дает значение, не превосходящее площади, а правильное
значение получается лишь для тех вещественно двумер*
ных многообразий, которые являются комплексно одно*
мерными, т. е. комплексными кривыми. Этот факт выра*
жает доказанная В. Виртингером [1] в 1936 г.
*> При т-1 имеем d-^rf*+-^rf|f, ^-J^-JLrf,+
-f —■ dy J или в полярных координатах d = — dr + -rg- dd} dc **
1 / д ,Q 1 д . \
4n \ dr r oQ J

§ I. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
11
Теорема 1. Площадь вещественно двумерного
многообразия Г с: Ст не меньше интеграла от формы <р0 по
этому многообразию:
Vol Г>$(г0; (3)
г
равенство здесь достигается в том и только том случае,
когда Г — комплексное (одномерное) многообразие.
4 Утверждение достаточно доказать для элементов
площади, поэтому без ограничения общности можно
считать Г вещественно двумерной плоскостью. Пусть
еще она проходит через начало координат и задается
параметрическим уравнением г= а£ + &£, где а, 6е'(Хт
и £ = g + ir\ — комплексный параметр.
Элемент площади двумерной поверхности в R2m =
= Cm, заданной параметрическим уравнением z = z(g, rj)
равен \ ^EG-F2dld4% где £ = ($. щ). Z7-
~^е Ш'"ал")' ^^\Ш' "дл") и ско^ки означают эрмитово
скалярное произведение в Ст (напомним, что евклидово
скалярное произведение векторов из R2m разно
вещественной части их эрмитова произведения в С™ и что
эрмитово произведение одинаковых векторов
вещественно).
В нашем случае плоскости Г имеем-гг- = а + 6, •— =
= /(а — Ь) и
Е = (а + Ь9 а + 6) = |ар + |6Р + (а, Ь) + (Ь, а),
F = Im(a + &, а-6) =/[(а, *)-(*, а)],
G = (a-6, а — 6) = | а р +1 6 Р — [(а, &) + (&, а)],
откуда ЕО-Я = (|ар + |&12)2-4(а, Ь)(Ь, а). По
неравенству Буняковского — Шварца (а, Ь) (6, а) = | (а, 6) |2 <
<|аР|&Р и, значит, EG - F2 >(| а |2-| 6 |2)2, причем
равенство достигается в том и только том случае,
когда Ь = Ха, где Я — некоторое комплексное число. Таким
образом, элемент площади Г
dS>^{\a?-\bf)dldr\ (4)
Множитель 1/я в выражении элемента площади вызван
принятым выше нормированием.

12 Гл. 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
с равенством лишь в случае 6 = Ла (мы предполагаем
для определенности, что | а |>| Ь |).
С другой стороны, сужение формы ф0 на плоскость Г
равно
т
-^ £ (а^ + v«D л fodt + B^dO -
-■^(|вР-1*Р)«Л*-^(|вР-1*Р)«ЛЧ.
поэтому неравенство (4) переписывается в виде dS^
^ Фо |г. Равенство здесь достигается лишь в случае
Ь = Ха9 когда уравнение Г имеет вид z = а (£ + ^S)» т* е*
вектор z комплексно пропорционален вектору а. Но в
этом и только этом случае Г является комплексной
прямой ►
Учитывая вид формы <р0> мы получаем из теоремы
Виртингера такое
Следствие. Площадь комплексно одномерного
многообразия Г cz Cm равна сумме площадей проекций
этого многообразия на координатные оси:
VolT= $Фо= Yi-k)dz*Ad2»9 (5>
Г М--1 Г
Приведем теперь обобщение теоремы Виртингера на
вещественные подмногообразия Ст произвольной четной
размерности; оно более абстрактно и требует
привлечения средств линейной алгебры. Пусть h — эрмитова
форма на Ст, т. е. отображение Ст X DP1 -*■ JO, комплексно
линейное по первому вектору и удовлетворяющее
условию h(и, и) = h (и, v) эрмитовой симметричности (из
него следует, что h антилинейно по второму вектору).
Если положить
Ни, v) — g(uf v) + if(u, v), (6)
то g(v, u) = g(uy v) и f(v,u) = — f(u, v), так что g =
= Reft является симметричной, a / = Imft — антисим*
метричной формой. Пусть е\ ..., em —база простран-

§ 1. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
13
ства „С/" и фь ..•» Ф"» — двойственная ей база линейных
форм (это означает, что Ф1А(^) = б^ — символ Кроне-
кера), тогда
т
A(w, v)= £ Svqv(w)<Pvfa)>
где <х^ = Л(ец, ^v) = avlA.
Предположим, что А является положительной
формой, т. е. что положительно определена форма h(u>u) =
= g(tt, w). Тогда А задает в Cw эрмитово скалярное
произведение (м, v) = h(u, v)t а #(и, v) — риманово
скалярное произведение и и vt рассматриваемых как
векторы из R2m. В частности, в стандартной базе dzn —
— dxp + idy^ стандартная эрмитова форма [G]m
m
Л (и, »)== S dZv{u)dz»{v) =
m
m
В этом случае вещественная часть
m
g(u, v)= J](^ + ^)(a, v)
совпадает с евклидовой метрической формой. Мнимой
части / = ImA мы сопоставим внешнюю
дифференциальную форму
"t m
<Р= £ dx» Л *У»аЪ £ rf^ л rfV> (7)
по правилам действия таких форм на векторы
m
Ф («, °) = Е (<**й (и) ^ (о) - йУ|1 («) Ж^ (о)),
так что /(и, o)e_9(W) <л

14 Гл. 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
Пусть теперь L — вещественное линейное
подпространство Ст четной размерности 26(1 <£<т), а А =
= g + if — сужение на L произвольной эрмитовой
формы в Ст.
Лемма (Виртингер). Для любых векторов и\ .. .
\fk(u\ ...f n»)K*!Qf (8)
где /* — внешняя k-я степень формы f, a Q— объем в
метрике g параллелепипеда, натянутого на и1, ..., u2fc.
Равенство здесь достигается в том и только том случае,
когда L — комплексная k-мерная плоскость.
^ Выберем в L базу т1, ..., т2*, ортонормальную
относительно формы g. Так как матрица (f^) из
значений fjjtv = /(т*\ xv) кососимметрична, то ортогональным
относительно g преобразованием (не нарушающим ор-
тонормальность базы) ее можно привести к виду, в
котором вдоль главной диагонали стоят клетки
и;?). -=' *.
а остальные элементы равны нулю*). Образ базы {т^}
при этом преобразовании мы снова обозначим через
Если {фц} — двойственная к {т**} база линейных
форм на L, то в этой базе
k
f(tl, V)= £ Мф2ц-1(")ф2ц(0) — ф2^(«/)ф2^-1(у)) =
= ( S <*цФ2ц-1Лф2ц J(W, »),
где а|г = / (т2,А"\ т2*4). Но тогда ffe = Л! ^ ... а^ Л ...
• • • Л Ф2* и, следовательно,
I/V, ..., T*)\ = k\\ax\...\ak\.
2h
С другой стороны, если и9 = X «nvT,*> TC> по свойствам
внешнего произведения
fk{u\...,U*) = tei(u^)fk{%\ ...,*»),
*) См. А. И. Мальцев [1], стр. 235.

§ 1. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
15
причем бе1(«^) = а~объемУ в метРике 8 параллепи-
педа, натянутого на векторы и\ ..., и2*. Таким
образом,
|f* (и1 u2k)\ = k\Q\ax\...\akl
и для доказательства (8) достаточно доказать, что
laJ-IK**-1, **)1<1 Для ii-1, ...,*.
Задача свелась к плоскому случаю 6 = 1.
В этом случае в силу (6) и ортонормальности т\ %*
относительно g
f(Xlf T*) = -lh(%\ Т2), h{%\ Т1) = Й(Т2, T2)=l,
и по неравенству Буняковского — Шварца для
эрмитовой формы h
\a,\ = \h{x\ т2)|<УМЛ *l)hif, г*)-1.
Равенство здесь достигается в том и только том случае,
когда т2 = Ят1 для некоторого X е £>, т. е. когда
вещественно двумерная плоскость, натянутая в Ст на т1 и
т2, является комплексной прямой.
Ясно, что равенство в (8) достигается в том и только
том случае, когда |ац|= 1 для всех \i = 1, ...,£, т. е.
когда т2^ = ^цт2^"1 с комплексными Х^ и, значит, L —
плоскость, натянутая на k комплексных прямых (комп*
лексная плоскость) >
В случае стандартной эрмитовой метрики в iGm
форма <р = —f имеет вид (7), а с учетом принятой выше
нормировки ее надо заменить формой фо = ф/я =
— ddc\z\2. Для этой формы из доказанной леммы
обычным образом выводится многомерное обобщение
теоремы Виртингера *):
Теорема 2. Если Мс:vCm — дважды гладкое
вещественное многообразие четной размерности 2k, то его
объем (в нормированной евклидовой метрике)
Уо\М>±^1 (9)
М
) Теорема 1 является, очевидно, частным случаем теоремы 2,
и мы выделили ее лишь с целью демонстрации
элементарно-геометрического доказательства.

16 Гл. Т. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
причем равенство здесь достигается в том и только том
случае, когда М — комплексное k-мерное многообразие.
4 В каждой точке 2GJH элемент объема М в
рассматриваемой метрике равен значению формы й на 2k
линейно независимых векторах из вещественного
касательного пространства Тг(М). По лемме это значение
не меньше, чем значение на них 2&-формы <p0*, деленное
на k\. Интегрируя это неравенство по М, мы получим (9).
Равенство в (9) достигается в том и только том
случае, когда Tz(M) для всех геМ является ^-мерной
комплексной плоскостью. По известной теореме (см.
Ш II, с. 354) это эквивалентно тому, что М —
комплексное многообразие ►
В частности, для шара Вг = {геСт: |z|<r},
который является m-мерным комплексным многообразием,
по этой теореме
^ = mlVolSr = r2W (10)
(в стандартной евклидовой метрике объем этого шара
равен 7tmr2m/m\).
Отметим в заключение простое следствие теоремы
Виртингера (хотя оно и не понадобится нам в
дальнейшем), по которому комплексные многообразия
минимизируют объем:
Следствие. Пусть ya'Dl*1 — вещественный
(2k—1) -мерный цикл, на который натянуты
комплексное k-мерное многообразие М и вещественное 2к-мерное
многообразие N (1 < k < tn — 1); тогда Vol M <; Vol N.
4 Имеем, очевидно, <ро *=d(dc\zf Л фо " 0» ибо
d(p%~l=zOf так что по теореме Виртингера и формуле
Стокса
ifelVolAf —J Фо — ^^^РЛФо"1
М у
(граница дМ = у). Применяя ту же формулу и теорему
к многообразию N с той же границей dN = y, найдем
J rfc | ^ I2 Л Фо "'«« J Фо < й! Vol iV ►
Y N
2. Однородная метрическая форма. Как уже
говорилось в начале главы, нам нужно интегрировать формы

§ I. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
17
не только по комплексным многообразиям, но и по
аналитическим множествам. Предполагается что читатель
знаком с основными фактами теории таких множеств
(см. Ш II § 8 или книгу Е. М. Чирки «Комплексно-
аналитические множества»).
Пусть А — аналитическое множество в «Cw
(комплексной) размерности k\ как известно, множество Ас
критических точек А является аналитическим
множеством меньшей размерности, а множество Reg4=4\i4c
регулярных точек представляет собой не более чем
счетное (точнее, локально конечное) объединение ^-мерных
комплексных многообразий — компонент Reg А. Имея
это в виду, мы для любой формы со степени 2k с
непрерывными в D коэффициентами положим по
определению
A[\D KegA(\D / - 1 Af/
где ^-мерные комплексные многообразия М}- —
компоненты множества RegAftD. Естественность этого
определения подчеркивается тем, что сужение формы со на
каждую компоненту множества Regi4c равно 0, ибо
степень этого сужения выше вещественной размерности Ае.
Нашей ближайшей целью является построение
многомерного аналога числа точек дискретного плоского
множества в круге. Объем пересечения ^-мерного
аналитического множества АаСт сшаром Вг= {|г|<г},
вычисленный при помощи формы <ро, служить таким
аналогом не может, ибо он зависит не только от
«густоты»^ в Вг> но и от радиуса шара. Чтобы избавиться
от этой зависимости, заменим <р0 однородной
метрической формой
%-М1п\г?-^-£№£*№. (П)
(равенство проверяется непосредственно).
Укажем некоторые свойства этой формы. При m = 1
имеем ddc\n\z¥ = ±-dd{\nz+\nz) для гФО, так что
<°о = 0, если ze=C\{0}. При m> 1 она, по существу,
зависит не от m переменных^, аот/и-1, именно-т

18 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
от отношения этих переменных к одному из них. В
самом деле,полагая, например,z=zm(zx/zm> .. .,2m-i/2m> 1)
и учитывая, что для комплексного скаляра zm по
предыдущему ddc In | zm f = 0 при гт ф О, мы получим
выражение
(*0 = ddc\n(l+ Zl^N ПрИ гтФ°' °2)
Таким образом, со0 выражается через дифференциалы
(т—1)-го переменного, и, значит, ее т-я внешняя
степень ©о1 = 0 при z Ф 0.
Сопоставим форме ю0 по обычному правилу эрмитову
форму ©о, т. е. заменим все внешние произведения
эрмитовыми скалярными и освободимся от множителя
i/2nL который появляется в (И) при замене d и dc на
д и д (см. (2)). Мы получим
~ (dz, dz) (dz, z (z, dz)
^ -"UP M* ~
= Т7|г((г. z)(dz, dz)-(dz, z)(z,dz)). (13)
Согласно неравенству Буняковского — Шварца
(dz, z)(z, dz) = \(z,dz)\*^\(z, z)\\(dz, dz)l
поэтому форма (13) неотрицательна*). По определению
это означает, что форма соо неотрицательна.
Замечание. Вообще, форма со бистепени (k, k) на
m-мерном комплексном многообразии М называется
неотрицательной, если для любого голоморфного
отображения g: Bk^M произвольного шара Bk cz "С* форма
g*co — прообраз со при этом отображении — является
неотрицательной формой максимальной степени в шаре
Bk. Последнее условие означает, что форма g*co отли-;
чается от стандартной формы объема шара неотрица-j
тельным множителем (напомним, что все формы макси-1
*) Форма соо обращается в нуль в том и только том случае,
когда dz комплексно пропорционален г, т, е. вектор dz лежит на
комплексной прямой, проходящей через точку z и начало
координат,

§ 1. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
19
мальной степени на гладком многообразии
пропорциональны). Это условие, очевидно, эквивалентно тому, что
С сй=Д £*со>0 для любого шара Bk.
8 №) В**
Очевидно, также, что принятое выше определение
неотрицательности (1, 1)-форм согласуется с этим и что
внешняя степень неотрицательной (1,1)-формы также
неотрицательна 1
При т > 1 форма щ связана с преобразованием р,
которое каждой точке 2<e=C.w\{0} сопоставляет комп-
лексную прямую /z, проходящую через 0 и эту точку.
Прямую lz можно интерпретировать как точку
комплексного проективного пространства Рт-1 с
однородными координатами z\y ..., zmi так что р сопоставляет
точке z — (2Ь ..., zm) e C,m\ {0} точку Z = [Z0, ...
..., Zm-i] ^ р™-1 с однородными координатами Zu =
= z^+i (|i = 0f ..., m—1). В P™-*1 определена
эрмитова форма Фубини — Штуди, которая в однородных
координатах имеет вид
* _ (z> Z) idZ9 dZ) - (Z, dZ) (dZ, Z) ,
(Z, Z)2 ' I1*'
где скобки обозначают скалярное произведение. В
локальных координатах областей <7a = {[Z0, ..., Zw_2] <=
GPm" : ZQ,y= О}, a = 0, ..., m—1, стандартного
покрытия Pm~\ скажем в координатах 2i = Z1/Z0, ...
•••,*/»_! = ^m-i/^o. г = (гь ..., zm)*) области £/0 = С" ""*»
форма (14) переписывается так:
ав"(1 + |*|»)« (П+1*1№» Л)-(г, £fe)(dz, г)}. (15)
Согласно неравенству Буняковского — Шварца
выражение в фигурных скобках положительно при dz^O,
значит, форма й положительна в UQ (то же
справедливо и для других областей Ua) — в этом ее отличие от
формы j50 (см. (13)), которая лишь неотрицательна.
Форма S задает на Рт~х метрику, которая называется
метрикой^ Фубини — Штуди, В частном случае Р1 = €
) Новые г/, конечно, не совпадают со старыми.

20 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
форма (14) принимает вид 3 = |dzp/(l +\z Р)*,т. е. со*
впадает с формой сферической метрики: метрика Фу.
бини — Штуди является многомерным обобщением
последней.
Сопоставим эрми овой форме S дифференциальную
(т. е. заменим эрмитовы произведения внешними и
введем множитель //2л;, ср. выше); вместо (14) получим
где | Z p=| Z0 Р + ... +| Zm-1 р. Это—метрическая фор'
ма проективного пространства Рт~1 в однородных коор-;
динатах. Сравнивая (16) с (11), мы заключаем, что фор*
ма со0 является прообразом © при описанном выше пр&
образовании р: Cm\{0}->P'n~1. В аффинных координа*
тах области UQ — Cm~l мы точно так же получим из
(16) формулу
которая напоминает (12).
В дальнейшем мы часто будем пользоваться следую*
щим свойством формы со, в формулировке которого мы
из эстетических соображений заменим Рт~х на Рт.
Теорема 3. Объем пространства Рw, подсчитан*
ный при помощи его формы Фу бини — Штуди, равен 1:
J ш"1—1. (18)
рт
4 Для т = 1 это проверяется непосредственным
подсчетом: переходя от однородных координат Z0, Z\
к локальной координате z=Zi/ZQ в области £/0={[Z0, Z^e
€ Р1: Z0 ф 0} и полагая г — reib> мы получим
Р» U9 0 0
В случае произвольного т мы также заменим
интегрирование по Рт интегрированием по области Uq—{[Z0, .. .
..., ZJ<=Pm: Z0=£0}, учитывая, что Pm\U0 имеет

§ 1. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
21
вещественную коразмерность 2 и не влияет на интеграл.
В и0 введем локальные координаты z» = ZJZ0 (\i = l, ...
.., т) и отождествим эту область с Ст. В этих
координатах по формуле (17)
/ f (dz, dz) (dz, z) Л (г, dz) \
(* = !^{\ + \z\> d + |*|2)2 J
(круглые скобки обозначают эрмитовы скалярные
произведения, (dz, dz) — Yj dz^ Л dzy)-
Замечая, что внешние степени форм (dz, z) и (z, dz)
равны нулю, после простых преобразований находим
Ш —\2п) 1(1 + 1
\*\2)т
(dz, dz)m-1 Л (dz, z) Л (z, dz)
(1 + |г|2Г+1
_ m v , ^ ;» v-~^ir ™ ~/ | =
i
{m
m\ TT dz» A dzn
(1 + |*12Г m
(
ц-1
m \
Л dzx Л ... Л ... Л dzw Л dzm Л J] z^dz^ Adzv} =
V 2я J (1 + | z |2)m+1 11 "2i* Л dzц
(знак Л указывает, что множитель dZn.Adz^ пропу*
скается) Будем интегрировать эту форму сначала по
zm = re'e при фиксированном 'г = (гь ..., zm-i);
получим
/m = J ««.
С"1
Ю-1 2я оо
= (-L-Y~l [ (т-1)1 гг , А .. ,
V 2я ; J (1 + I >г |*)W 11 dZ» Л dZV. = Im-\
Ст-1 ц-1
— такой же интеграл с заменой т на т— 1.

22 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
Этот интеграл, следовательно, не зависит от т и
учитывая результат, найденный выше для т= 1,
получаем (18) ►
При помощи формы соо мы определим для ^-мерного
аналитического множества A cz CJm (0 ^ k ^ т — 1,
т > 1), не содержащего точку г = О, величину
п(А, г)- J < (19)
At\Br
Так как ©о = d(dc In| z f Л ©о"1) при 2 Ф 0 (мы учли,
что dooo""1 = o), то по формуле Стокса *)
п(Ау г)= J rf'lnlzfA^o"1.
лпавг
Но на сфере Sr =дВг имеем d*ln| г p=d*| z?/r2nd\z р=»0,
откуда в силу (11) там <о0 = ф0/г2. Подставляя это в
предыдущую формулу для л (А, г) и снова пользуясь
формулой Стокса, получаем
п(А> Г> = 7^ J dC|*|2Aq>o*-l = -^ J Фо*. (20)
ЛП5Г А(\ВГ
Величина г2*,согласно (10),равна (нормированному)
объему шара радиуса г и размерности 2k, равной
вещественной размерности А, а п(А,г), согласно (20), дает
отношение к этому объему объема порции А в шаре
Вг — она и служит многомерным аналогом числа точек
множества А в круге. При k = 0, т. е. для нульмерных
аналитических множеств, которые представляют собой
дискретные совокупности точек Д!т, величина п (А, г)
при любом т ^ 1 действительно равна числу точек
А(]ВГ (это видно, например, из (20), ибо ф° = 1).
3. Кратность аналитических множеств. Если й-мерное
аналитическое множество A cz Cm содержит точку г = 0,
то интеграл в правой части (19) теряет смысл из-за
особенности формы щ в этой точке, и мы определим
*) О применимости формулы Стокса к аналитическим
множествам см., например, книгу Е. М. Чирки, цитированную на стр. 17,

§ I. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
23
величину п{А9г) непосредственно по формуле (20):
п(А9г) = 4г \ <р*.
А(\ВГ
Тогда, повторяя прием с формулой Стокса, приведший
к формуле (20), мы получим для любых гй^0<
<r<R,
п(А, R) — n(A9 г) =
* АПВр ЛПВГ ЛП{г<|г|<*>
(в интеграле справа особенность формы о>0 не участвует).
В силу неотрицательности формы <*>* получаем, что
n(A9R)^n(A9 r) при /?>/*, поэтому неотрицательная
величина л (Л, г) при г->0 убывает и, значит, существует
limn (Л, r) = lim4r t <р* = л(Л, 0). (22)
'-0 Г^° Г АПВГ
Этот предел называется числом Лелона множества А
в точке 2 = 0.
Переходя в (21) к пределу при г->0 и заменяя в ней
/? на г, мы получаем формулу, обобщающую (19):
\ <о* = /г(Л, г)-я(Л, 0) (23)
АПВГ
(если Л не содержит точку z = 0, то л (Л, 0) = 0). Из
нее, в частности, следует, что интеграл в левой части
существует как несобственный для любого
аналитического множества Л, несмотря на особенность формы щ
при г = 0.
Чтобы выяснить геометрический смысл числа
Лелона, введем понятие касательного конуса к
аналитическому множеству ЛсСт в точке z = 0. Так
называется множество С0(Л), образованное предельными
положениями комплексных прямых, соединяющих г = 0
с точками Л\{0}, когда последние стремятся к 0 по
всевозможным последовательностям. Иными словами,
^о(Л) есть совокупность векторов t;eCm, для которых
существуют сходящиеся к 0 последовательности точек

24 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
z'sA\{0} и комплексных чисел а/-^оо такие, что
<XiZf-+v (очевидно, что если v e С0(А), то и Xvge С0(А)
для любого he С).
В частности, если А — комплексная гиперповерх*
ность, т. е. множество коразмерности 1, определяемое
уравнением f(z) = 0, то касательный конус
С0(А) = {г €= Ст: Рв(г) -0}, (24)
где Ps — однородный многочлен, образованный млад
шими отличными от нуля членами тейлоровского раз
ложения / в точке z = 0. В самом деле, если f(z)=*
оо
= Z Pv(z) — разлож ние в точке 2 = 0 по однородным
многочленам и degPv = v, то по определению С0(А)
0 = f(zf) = ±P (a^l-ir^ifvH •-.
и в пределе при ay -> оо мы получим для v -■ Iim a/z'
уравнение P5(w) = 0.
Обратно, пусть вектор v удовлетворяет уравнению
ps(p) = 0. Без ограничения общности можно предполо
жить, что v = (i/, 0), где v' e Cm~\ и тогда Р,(0'» гш) =
= Е<7ц(*Огт' гДе ^(^)=^0 и />1. Отсюда
|P,(o/.*»)l>l*»,l,{l9H»/)l-(Jl+1l^(o/)ll*»r1}.
и при | zm |< 1 и фиксированном о' мы имеем
|Р.(о', 2m)|>aUm|z>a|2mf
с некоторой постоянной а > 0. С другой стороны, функ-
оо
ция g8(v', zm)~ X Pv (i/, zm) для любых комплексных
h n zmt |Я|<1, |zm|<l, удовлетворяет неравенству
\g,(bv', Xzm)\
с некоторой постоянной b > 0.
__ byPy(v',zm)
;я*г
+i

§ 1. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
25
Пусть гт лежит на окружности {\zm\ = r}> где
г'= — |Л|< 1; из наших оценок следует, что тогда
| Psa(Kv't lzm) | > а\ %zm f - 261 % |s+1 > | gs (W9 %zm) |.
Ич того что Ps№\ 0) = 0, мы заключаем по теореме
руше для функции / (to/, %zm) - Ps(ЛсЛ %zm) + gs(Xv' Xzm)
переменного zw, что эта функция имеет в круге {\zm\<r}
по крайней мере один нуль. Возьмем теперь
последовательность Яу->0 и обозначим через г*т нуль функции
/ (V, Vm)» лежащий в круге {| zm f < — \ Ц |}. Точки
zl = (Л ©', XjZ!m) eA {0}, а если положить ау = Л"1,
то а^ = (</, z*m) -► v. Таким образом, v<sCQ (А) и
равенство (24) доказано.
В случае множеств большей коразмерности,
определяемых несколькими уравнениями fj(z)=0, j= l, ...
..., /, касательный конус содержится во множестве,
определяемом однородными многочленами наименьшей
степени в разложениях // (это доказывается как выше),
но не обязательно совпадает с этим множеством.
Например, для множества Л = {ге С3: 2^ + 21 = 0, z{ +
+ z\ «* 0} касательный конус С0 (А) = {zx = 0, z\ = zf} —
— пара комплексных прямых, а множество,
определяемое однородными многочленами наименьшей степени,
— плоскость {zx = 0}.
Можно доказать, что в случае произвольной
размерности С0(А) является пересечением касательных
конусов в точке 2=0 всех комплексных гиперповерхностей,
содержащих А. Иными словами, С0(А) есть пересечение
множеств, определяемых однородными многочленами
наименьшей степени в разложениях всех голоморфных
функций, обращающихся в 0 на Л. Отметим еще, что
комплексная размерность С0(А) совпадает с
комплексной размерностью Л, а также что С0(А) хорошо
приближает множество Л в окрестности точки 2 = 0.
Последнее свойство означает, что расстояние в метрике
отклонений*) пересечений А и С0(А) со сферой Sr яв-
) Под расстоянием в метрике отклонений между множествами
с 'аЩ Метр^}ескоЧ пространстве понимается inf {p: А с= В(р), В с
МножествW A * 5Р°бозначают р-окрестности соответствующих

26 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
ляется величиной порядка о (г) при г->0. С этими я
другими свойствами касательных конусов к
аналитическим множествам можно ознакомиться, например, по
книге Е. М. Чирки, цитированной выше.
Вернемся к обсуждению числа Лелона и рассмотрим
наиболее важный для нас случай множеств А
коразмерности 1, определяемых уравнением /(г) = 0, где
функция / голоморфна в окрестности начала в Ст.
В этом случае из (22) по формуле Стокса мы получаем,
что число Лелона А в точке z = О
А{\ВГ
■Нт-
Пусть, как и выше, / (z) = Ps (z) + gs (z), где gs(z) =
oo
= 2 Л> (z)> "" разложение / по однородным многочле-
v»s+l
нам в окрестности 2 = 0. Положим ft{z) = Ps{z)-\-tgs{z)
и обозначим через ur = {2£ Sn t e [0, 1]: ft(z) = 0}
пленку на Sn натянутую на множества A()Sr —
= {ze=Sr: /(z) = 0} и AQ()Sr = {z<==Sr: Ps(z) = 0}. По
формуле Стокса *) и теореме Виртингера
\ яНгРЛФо™-2- J ^|г|2Лф0^2= Jqff-^Vola,.
A(\Sr AQ(]Sr Or
Но «основание» пленки аг —- вещественно аналитическое
множество A[\Sr размерности 2т — 3 на сфере Sr —
имеет объем порядка r2m"3, а ее «ширина» — величина
порядка о(г). Следовательно, Vol crr = o(r2(m~1)), и в
формуле для п(А, 0) можно заменить множество А
на А0:
Л0П5Г
J d* In | г f Л ю«-а
4>ns,
*) Особенности, которые могут быть у аГ| имеют коразмерность
>2 и не влияют на интегрирование.

§ 1. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
27
(мы воспользовались тем, что на Sr формы d°\zf =
= r2dc\n\zf и ф^-2 = г2('п'"2)<о^~2, а также тем, что
полученный интеграл не зависит от г).
В силу однородности многочлена Ps множество Л0
состоит из комплексных прямых, проходящих через
начало. Поэтому к последнему интегралу можно
применить теорему Фубини, интегрируя сначала по
окружностям, по которым пересекаются с Si комплексные
прямые/составляющие Ло, а затем по совокупности таких
прямых. Эту совокупность можно рассматривать как
множество A0czPm-'\ которое называется проективиза-
цией Ло. Очевидно, А0 = р(Л0), где р: Cm\{0}->P m^ —
описанное на стр. 19 преобразование; уравнением Я0
служит Ps (zu ...» Zm) — 0, где ги • •., Zm — однородные
координаты в Рт~К Далее, на комплексной прямой
la = {z = at} множитель dcln\ z f = 4~ In 1 £ P== -^,
где 8 = arg£, и, значит, интеграл от dc In| z f по
окружности /af|*Si равен 1, а при переходе от совокупности
прямых к Ло надо заменить со0 формой <о = роэ0. Таким
образом,
п (Л, 0) = J ®m~2 J dc In | z |2 = \ ©™-2. (25)
Ho A0 является алгебраическим подмножеством Pm-!
степени s = degPs, и, следовательно, последний
интеграл, выражающий проективный объем AQt равен s (см.,
например, Мамфорд [1] стр. 131). Так как z = 0 можно
очевидным образом заменить произвольной точкой
множества Л, то доказана
Теорема 4. Число Лелона аналитического
множества Л={/(г)=0} в его точке а равно степени
младшего отличного от нуля многочлена в разложении f
по однородным многочленам от z — a.
Множество Л0, фигурирующее в доказательстве
теоремы 4, определяется тем же уравнением Ps(z) = 0t что
и касательный конус С0(А), и геометрически оно
совпадает с С0(Л). Однако Ps не обязательно является
определяющей функцией конуса С0(Л) —например, для
кривой {zi — z^B tC2 касательным конусом в нуле является

28 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
комплексная прямая {z\ = 0}, а многочлен Ps(z) = z\
имеет степень 2. Более того, касательный конус может
распадаться на несколько компонент, которым нужно
приписывать различные степени (например, для
множества {z\z\ = z7^ в С3 касательный конус в нуле со*
стоит из плоскостей {z\ = 0} и {22 = 0}, которым
следует приписать степени 2 и 3 соответственно, степень же
множества А0 равна 5).
Таким образом, А0 лучше рассматривать не как
аналитическое множество, а как голоморфную цепь. Так
называется аналитическое множество вместе с
целочисленной функцией (кратностью), определенной в его
регулярных точках и постоянной на каждой компоненте
множества регулярных точек. Коротко можно говорить,
что Ло представляет собой касательный конус С0(Л)
с учетом кратности, а число Лелона п(АуО) есть
степень касательного конуса (с учетом кратности).
Далее, согласно подготовительной теореме Вейер-
штрасса (см., например, Ш II, стр. ИЗ), функция f,
голоморфная в окрестности 0 и такая, что /(0)=0, но
/ Ф 0 на оси zmi локально представляется в виде f = Wg,
где голоморфная функция g ф 0, a W (z) = cQ (z') zkm +
4- .. • + cm (z') — многочлен Вейерштрасса с
голоморфными относительно zr я (z\, ..., zm-\) коэффициентами,
С/(0')=0, причем число k равно порядку нуля функции
/(0х, zm) при zm = 0. Из этого представления видно, что
множество Л={/(г) = 0} локально реализует Д-крат-
ное разветвленное накрытие над окрестностью 0 в
гиперплоскости #={гт = 0}. Если направление оси zm
не принадлежит С0(А), т. е. Ps(0', zm) ф 0 при zm ф 0,
то из разложения / = P5-fg5 видно, что порядок нуля
f(0', zm) при zm = 0 равен s\ если же эта ось
принадлежит С0(Л), то либо f(0', zm)s=0, либо порядок нуля
больше 5. Так как за направление оси zm можно
принять любое направление, то из проведенного
рассуждения следует, что число Лелона n(A,0) = s совпадает
с минимальным числом листов разветвленных накрытий,
которые реализует А над окрестностями точки z = 0b
различных гиперплоскостях Н. Таким образом, число
Лелона является естественным многомерным обобще-

§ I. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
29
нием порядка нуля голоморфной функции одного
переменного.
В случае множества лсСт произвольной
размерности k, рассуждая как выше, можно доказать, что
число Лелона в точке а
где Ла — проективизация касательного конуса Са{А) с
учетом кратности. Это число также совпадает с
минимальным числом листов разветвленных накрытий,
которые реализует А в окрестности точки а над различными
^-мерными плоскостями. Последнее число называется
кратностью аналитического множества в его точке а. Это
целое число, не меньшее 1, причем оно равно 1 в том и
только том случае, когда а — регулярная точка Л, где
конус Са(А) совпадает с касательной плоскостью Та(А)
и кратность равна 1; подробности см. в цитированной
выше книге Е. М. Чирки.
4. Считающая функция. Пусть
ЛсгС"—аналитическое множество размерности k, не содержащее точку
z = 0; его считающей функцией называется
логарифмически усредненная величина п(А,г), т. е.
Г г
N(Ayr) = \n{Ay t)d\nt=\£- 5 со*.
0 0 A[\Bt
Если А содержит точку z = 0, то надо сделать поправку
с учетом числа Лелона и принять такое определение:
тг)==("(Л.07п(Л,0)^ + га(ло)|пг =
О
г
= S"T \ *S + n(A,0)lnr. (26)
О A[\Bt
Без ограничения общности предположим, что 0 ф А.
Если Л—дискретное множество (k = 0), то n{A>r)= \ \
А[\ВГ

30 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ 1
равно числу его точек в шаре Вп a N{A, г) — логариф- 1
мическому усреднению этого числа. В общем случае 1
(k > 0) мы обозначим через 1г комплексную прямую, 1
проходящую через 0 и точку геСт\ {0}, и так как 1
множество А П 1г дискретно, то п (А П 1г> г) также равно 1
числу его точек в Вг. При вычислении п(А, г) мы можем 1
применить теорему Фубини и интегрировать сначала 1
по прямым lz, геЛр ВГ} а затем по совокупности таких 1
прямых, т. е. по проективизации Лг = р(Л [)Br)cz рт^\ I
/г(Л, г)=5^ S 1= 5ЛМП/, r)cofe*). I
X лп/пвг х 1
Логарифмически уср дняя это соотношение, мы получим I
полезную формулу Я
г щ
N(A, r)=\£- \n{Af\l, t)<ok= \n(A(\1, г)(*к. (27)1
0 X А Я
В дальнейшем нас будет интересовать асимптотиче-Я
ское поведение считающей функции при г->оо. Так какЯ
форма 0о неотрицательна, то внутренний интеграл в (26),Я
начиная с некоторого t, становится больше положитель^Я
ной постоянной, если только <*>* Ф 0, и, следовательно,»
М(Л,г)-^со при г->со не медленнее, чем lnr. Исклю-Я
чительный случай (*>£ = 0 имеет место лишь для &-мер*Я
ной комплексной плоскости, проходящей через z = 0,Я
но тогда n(At 0)= 1 и N(A, r)= lnr имеет логарифми-Я
ческий рост. Я
Минимально возможный (логарифмический) ростЯ
считающей функции характеризует алгебраические мно-Я
жества в Ст, описываемые конечным числом полино-Я
миальных уравнений. Мы докажем это, следуя Гриф-Я
фитсу и Кингу [1], для множеств коразмерности 1; в об-Я
щем случае теорема доказана другими методами Штол*Я
*) При этом мы воспользовались тем, что и множество А Г) Ы
и форма о>о зависят не от точки на прямой /г, а только от самой!
прямой (и потому написали / и о = р((0о) вместо U и ©о). Кроме!
того, если прямая / не пересекается с А П Вг, то п(А f) /> г) = 0,|
так что интегрирование можно вести по всему множеству А а= р(Л)|
или, если угодно, по всему пространству рт-1. 1

§ !. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
31
лем [2] и Бишопом [1] (см. также А. Садуллаев [1]
и Штольценберг [1]).
Теорема 5. Аналитическое множество А а ,Ь.т
коразмерности 1 является алгебраическим в том и только
том случае, когда п(А9г) = 0(\) или, что эквивалентно,
N(Atr)=0(lnr).
4 Начнем с доказательства эквивалентности
условий теоремы. Если п(А, г) ^ р, то для г > 1
1
*(4г)-$-^Л + $.^Л<? + р1пг
(всюду в доказательстве мы по-прежнему предполагаем,
что ОфА). Обратно, в силу возрастания функции
п (Л, О
г8
N
(A, r2)>\ tLW±JLdt>n(Ay г)1пг,
так что из условия N(A, r)^plnr + q вытекает
неравенство п(А, г) ^ 2р + q/ln r, из которого следует
ограниченность n(At г).
Необходимость. Пусть множество А алгебраич-
но и описывается уравнением Р(г) = 0, где Р —
многочлен степени р по совокупности переменных. Число
точек пересечения А с произвольной комплексной прямой
I = {z = а£, £ г С} не превосходит р, ибо эти точки
определяются полиномиальным уравнением P(at>)=0
степени по £ не выше р. Поэтому по приведенной выше
формуле (с учетом теоремы 3)
п{Ауг)= ^ п{А[\1, r)®m~l^p \ (о'»"1 = р*)
pm-I pm-1
и, значит, п(А, г) = 0(1).
*) Можно убедиться в том, что для каждой прямой /, не
принадлежащей исключительному множеству меньшей размерности (и,
^nltJi r*~ влияющему на интеграл), число точек пересечения
п(А \ В точности Равно р, если г достаточно велико, и потому
Av ~^P при г-^оо. Таким образом, для алгебраических множеств
Функция п(А, г) имеет целочисленный предел не только при г->0,

32 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
Достаточност . Пусть N(A, г) = О (In г), т. е.
N(A, rXplnr + flf (28)
для некоторых р к q. Так как в Ст разрешима вторая
проблема Кузена, существует целая функция g, g(0) =
= 1, которая является определяющей для множества Д
(см. Ш II, стр. 260). Через 1г мы обозначим
комплексную прямую, проходящую через 0 и фиксированную
ТОЧКу 2GCm\{0}.
По формуле Йенсена для голоморфных функций од-
ного переменного*)
ы
N{A[\lz> г\г\) = ±\ ln\g(re"z)\dQ.
о
Правая часть здесь является усреднением по 0
функций, плюрисубгармонических по z, и, значит, тоже плю-
рисубгармонична (см В. С. Владимиров [1]).По основ-'
ному свойству плюрисубгармонических функций
значение такой функции в точке z не превосходит ее среднего
значения по шару BR (z) с центром в этой точке и
радиусом /?:
^Wn^rlzlX-ij- \ N(AMw,r\w\)<W(w)<
BR(z)
<-$ш J N(A{\199 r\w\)W(w)f
BR+\z\
где фо — евклидова метрическая форма и Вд+|г1—шар:
радиуса R+ |г| с центром в начале (мы
воспользовались еще положительностью формы под интегралом).
Будем считать |;г|—1 и воспользуемся
монотонностью функции N\ тогда предыдущее неравенство
приведется к виду
BR+l
*) См. А. А. Гольдберг, И. В. Островский [1], а также ниже
стр. 92.

§ 1. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ 33
Теперь воспользуемся формулой (11), из которой еле*
дует, что
(мы учли, что ©^ и степени формы d\w? Ade\wp
равны 0)/ и применим к интегралу справа теорему
Фубини, полагая ш = а£, гдеаеС", |а|=1, и
интегрируя сначала при фиксированном а по кругу {IS К
</?+!}, а затем по совокупности прямых la = U т.е.
по проективному пространству Р"*"1. Так как на прямой
d\wf Adc\w? = ^\l?dlAdl то
pm-l (ICKft+O
-(■^Г $ "(ЛП/,г(/?+1))ш'»-1~
pm-l
.(*+i)-JVM,rW+1))
(мы воспользовались еще формулой (27)).
Из этого неравенства и из условия (28) мы
получаем оценку
^(ЛПЬг) fR+l\*m / pin (/?+!) + 9 \
из которой, считая г, а затем и /? достаточно большими,
заключаем, что N(A(]tZtr)= 0(\пг) с равномерной
относительно 1г оценкой. Согласно сказанному в начале
доказательства отсюда следует равномерная
ограниченность п(А(]19 г) по всем прямым /сО, проходящим
ерез начало, т. е. равномерная ограниченность числа
точек пересечения Af]L
в ^алее> точки пересечения прямой 1= {z = a^ |a| =
ля»£ 1 множества Л = {#(г)=0} определяются
нулями функции £(а£) переменного £ и по принципу
2 Б- В. Шабат

34 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
аргумента число точек пересечения с учетом
кратности *) в шаре Br равно
ПС1-*>
если g(at,)*fcO при £1 = /?. Пусть р0 — м аксим аль.
н о е число точек пересечения Л f| /, k — прямая, для
которой это число дос игается, и 2Э — точка пересечения
А П /о с наибольшим модулем. Тогда найдется круговой
конус К с осью /о такой, что пересечение А П К
ограничено (рис. 1). В самом деле, если 7?>|z°|, го для
прямых /, достаточно близких к /0, величина п(А(] /,/?) —
целочисленная непрерывная функция от / — равна р^
С другой стороны, если бы такого
ft tn конуса не нашлось и множество А
имело вблизи /о бесконечную ветвь
(изображена на рис. 1 пунктиром),
то для близких к /о прямых / на*1
К шлась бы точка пересечения А{\1
с модулем, большим /?, и,
следовательно, число точек А{\1 было бы
больше ро, вопреки тому, что число
Ро максимально. Из ограниченности
Af\K по^лемме, которую мы
сейчас докажем, следует алгебраич-
ность множества А ►
Лемма. Если пересечение аналитического в С*<
множества А коразмерности 1 с некоторым конусом К\
ограничено, то это множество алгебраическое,
4 Без ограничения общности предположим, что
конус имеет вид K = {zmCm: |zw|>£|z' |}, где г'**
= (ги ..., zw_i) и что 0 ф А. Тогда на А \ А (] К
выполняется неравенство \zm\<k\z' |, а на А ПК величина
\zm\ ограничена, и поэтому \zm\<k\z'\-\-ki для всех
точек (г', zm) e А. Пусть g — целая функция,
определяющая множество А. Так как g{z\ гш)=^0 при \2т\=*
*) Кратностью точки пересечения А ПI называется порядок
нуля функции g(at,) в соответствующей точке £ е С.

i 1 СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
36
— *|*'l + *i. T0 Функция
J_ f JSr^T—ч— dzm = y(z')
{|*m|-*'*'l+*i}
непрерывна для всех г' е Ст~\ а по принципу
аргумента для функций одного переменного она принимает
целые значения, значит, <p(z') = P постоянна. По той же
теореме число нулей функции g(z, zm) при любом
фиксированном z' (с учетом кратности) одинаково и
равно р.
Дальнейшее доказательство проводится так же, как
и в подготовительной теореме Вейерштрасса (см. Ш И,
стр. 114). Если 2m(z'), /=1, .... р, — упомянутые выше
нули, то
jfj («ш - «J, (*0) - *я + «1 (г') *Г' + • • • + сР («0 - я (г)
имеет голоморфные для всех г' е С™""1 коэффициенты
су (г'). Эти коэффициенты полиномиально выражаются
через корни г^(г), а так как точки (г\ г^гг))е Л, то
|2^(г')| < *l^l + ^i и, значит, СуОг') растут не быстрее
полиномов, т. е. сами являются полиномами от z'.
Но тогда Р является полиномом от z, а функция
g/P — целой функцией без нулей. Мы заключаем теперь,
что множество А определяется уравнением P(z) = 0,
т. е. является алгебраическим множеством ►
Замечание. Доказанную лемму можно
сформулировать еще и так: если А сг Ст — аналитическое
множество коразмерности 1 и его замыкание в Рт не всюду
плотно в бесконечной гиперплоскости Н — Рт \Ст, то
оно алгебраично. В такой формулировке лемма
представляет собой аналог теоремы Сохоцкого для
аналитических множеств, имеющих в бесконечности
«существенную особенность», т. е. не являющихся
алгебраическими |
Итак, логарифмический рост считающей функции
ЩА, г) характеризует алгебраические множества. Во-
ооще, скорость роста N(A,r) характеризует, грубо
оворя, степень трансцендентности аналитического

36 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
множества A cz £Xm. Последнюю можно характеризовать
порядком множества, т. е. величиной
ord Л- Ш JSSidt^- Ш lnN.^'r)*). (29)
Порядок алгебраических множеств (и близких к ним)
равен, очевидно, нулю. Следующими по сложности
являются множества конечного порядка р, для которых
N(A,r) = О (/•*>). Детальное изучение свойств таких
множеств только лишь начинается, см. работы И. Пана [1],
А. Шкоды [1] и Ф. Гриффитса [3j. Интересный класс
множеств рассмотрели недавно Сибони и Уонг [1]—
аналитические в dm множества, для которых
Они доказали близость таких множеств к
алгебраическим в том смысле, что на них любая ограниченная
голоморфная функция постоянна.
Перейдем к основной теме книги. Как уже
говорилось, ее целью является изучение распределения
прообразов аналитических множеств из некоторого
семейства при голоморфных отображениях. Такие прообразы
следует рассматривать с учетом кратности отображения,
и мы должны остановиться на этом понятии (см.,
например, Р. Дрейпер [1] или В. Штолль [3], стр. 47).
Пусть дано голоморфное отображение/ пространства
Ст в л-мерное комплексное многообразие М и А —
аналитическое подмножество М. Если m ^ п, то мы
предположим, что
а) Для всех точек р^А прообразы f~l(p) являются
дискретными множествами.
*) В силу возрастания в положительности функции n(t) для
г
функции N (г) «= \ гс dt справедливы оценки
1
г
n(j)< \^dt*ZN(r)<n(r)\nr,
Пе
из которых следует второе равенство в (29).

* I. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ 37
Для произвольной z° e /-1 (р) выберем окрестность U,
в замыкании которой г° — единственный прообраз точки
р0 = /(г°). Пусть w — локальная координата на М с
центром ро и U столь мала, что f(U) принадлежит
окрестности, где действует до. Тогда е = min I w (f(z)) | > О
r z&dU
и для всех точек окрестности V={p&M: |зд(р)|<е}
прообраз f~l{p) в £/ представляет собой аналитическое
множество, не выходящее на границу dU и,
следовательно, конечное (см. Ш II, стр. 124).
Таким образом, для точек z^Uf\f~x(V) число ft/*1©
of(z) прообразов точек р==/(г) в окрестности U
конечно, и имеет смысл величина
vf(z°)=m * Г1 •/(*).
которая называется кратностью отображения f в
точке 2°.
Если же m > я, то мы предположим, что
б) Для всех точек р^А размерность
аналитического множества f"1 (р) равна q = m — п.
В этом случае, фиксировав точку г°е^(А), мы
рассмотрим <7-мерное аналитическое множество /~!(Ро),
где p0 = f(2,°), и построим плоскость П дополнительной
размерности m — q — п, которая в некоторой
окрестности U точки z° пересекается с f~l(po) лишь в А
Плоскость П можно задать q линейными уравнениями
/1(2)= ... = lq(z)= 0; обозначив через / == (/i, ..., lq),
мы рассмотрим отображение (/,/): £/->*MXCX Так
как это отображение имеет в U единственный прообраз
точки (ро, 0) и размерность MX0я равна n-\-q = m,
то, согласно сказанному выше, определена кратность
v(f,i)(z0)- Мы назовем кратностью отображения f в точке
2° величину vf(z°) = inf v(U ^(г0), где нижняя грань
берется по всем отображениям /, определенным выше.
В частности, если п = 1 и М = С, т. е. f —
голоморфная функция, то определенный так порядок Л-точ-
ки /, очевидно, совпадает с порядком аналитического
множества {f(z) = A} коразмерности 1 в смысле п. 3.
Если М = С и / — мероморфная функция, то порядок
ее полюса 2*° определяется как порядок нуля 1// в этой
точке.

38 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
Заметим, что при т^п число прообразов Vf(2°) на
самом деле достигается для всех точек z^U, кроме
множества меньшей размерности (на котором ранг
матрицы Якоби f'(z) строго меньше т), а при т>п
нижняя грань значений v<f, /> достигается на открытом
множестве плоскостей П. Из этого замечания можно
вывести, что кратность отображения / постоянна на
каждой компоненте множества регулярных точек f"x{A).
Таким образом, f~l(A) с учетом кратности
представляет собой голоморфную цепь (см. п. 3). Интеграл по
такой цепи понимается как линейная комбинация
интегралов по компонентам множества Reg/-1 (Л) с
коэффициентами, равными кратности отображения f на этих
компонентах (множество критических точек f~l(A) на
интеграл не влияет, ибо его мера равна 0). Мы можем
теперь ввести первое главное действующее лицо теории
распределения значений:
Определение. Пусть дано голоморфное
отображение /: C.W->A1 в n-мерное комплексное многообразие
и аналитическое подмножество ЛсМ,удовлетворяющее
одному из условий а) или б), причем размерность
множества f~l(A) равна k. Считающей функцией
множества А для отображения / называется
Nf (Л, г) = \ Ц- \ atf + п(Г1 (Л), 0) In г, (30)
° rl(A)(\Bt
где f~l(A)f\Bt рассматривается как голоморфная цепь
(с учетом кратности /), а n(f~l(A),0)—число Лелона.
В частности, если k = 0, т. е. прообраз f-l(A) =
= {zJ'(A)} дискретен (каждая точка выписывается
столько раз, какова ее кратность), то считающая
функция имеет вид
г
Nf(A,r)=\^-dt + n(rl(A),0),
о
где tif(A,t) — число точек {г'(Л)} в шаре Bt.
Стандартным преобразованием (см. У. Хейман [1], стр. 21) ее
можно переписать в виде
Nf(A, г) = 21п+Т7^-г + «(/-'(Л), 0),

$ 1. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
39
где ln+x*= max (In х, 0). При m= 1 и М = С эта
величина совпадает с классической считающей функцией Не-
ванлинны, причем число Лелона равно порядку Л-точки
f при z = 0.
б. Форма Пуанкаре. Так для пространства Ст мы
будем называть форму
o = dcln\z? A(ddc\n\z?)m~l=dcln\z? Л<~[. (31)
При т=1 эта форма равна dcln|z|2 = d9/2jt, где
9 = arg2 (см. выше) и интеграл от нее по любому
замкнутому пути, не проходящему через точку г = 0,
равен индексу этого пути относительно этой точки.
В случае произвольного т она имеет особенность при
z = 0, а в остальных точках Ст замкнута:
da = ddc In | z f A ©J1"1 = «C = ° п° свойству формы со0#
Интеграл от а по сфере Sr = {ге!Ст: |г| = г}
^-7=г^1«11ЛфГ1--зг$«|-1
sr sr вг
(мы воспользовались рассмотренными выше свойствами
форм и формулой Стокса). В силу замкнутости формы
о в Ст\{0} интеграл от нее по любой вещественной
гиперповерхности, гомологичной в Cw\{0} v раз
взятой сфере vSr> равен v (это следует также из формулы
Стокса и того, что интеграл по vSr по определению
равен интегралу по Sr, умноженному на v). Таким
образом, форма Пуанкаре приводит к многомерному
обобщению понятия индекса замкнутого пути.
Прямые вычисления показывают, что форма о
просто выражается через форму Мартинелли — Бохнера*)
т _
*) При четных т форма £Мв отличается знаком от формы
Мартинелли — Бохнера в книге Ш II. Это отличие вызвано тем, что
здесь положительной ориентации Ст соответствует порядок коорди-
н*т xit уи Mli xmt ymi а в Ш И — порядок хи ,.., хт% yi% ..., ут.

40 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
dz = dz\A ... Adzm. Именно, форма Пуанкаре
является вещественной частью последней:
а = (£мв + £мв)/2. (32)
В заключение параграфа приведем две леммы
технического характера, на которые будем неоднократно
ссылаться.
Лемма 1. Если и — функция на т-мерном
комплексном многообразии, а Ф и Ч?— формы на нем
бистепеней соответственно (k — 1, k — 1) и (m — k,m — k)9 то
du A dcO A 4 = dO A dcu A V (33)
(предполагается, что функция и формы класса С1).
4 Доказательство основано на соображениях
размерности. В произведении
duAdc<& = -^г(д + д)и А{д-Ъ)Ф =
= -^(диАдФ-диАдФ)+ ...
мы_не выписываем членов с формами диАдФ и диА
Л<ЭФ бистепеней (£+1, k— 1) и (k— 1, k+l), ибо
при умножении на 4я они дадут формы бистепеней
(m+1, m— 1) и (т—1, т+1), содержащие т+1
дифференциалов одного типа и потому равные 0 в силу
m-мерности многообразия. Аналогично
dO Adeu = -^(db Лди — дФ Лди) + ...;
сравнивая это выражение с предыдущим и учитывая
нечетность форм, получим (33) ►
Лемма 2. Для любой формы Ф в Ст бистепени
(k— 1, k— 1) и класса С2(БГ) для k > 1 имеем
г
о Bt
= {$ФЛ<*с1п|г|2Л<~*-у $ФЛ<~*+1, (34)
sr вг

$ 1. СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
41
а при k = 1, когда Ф = и — функция,
г
\ -f \ ddcu Л <"1 - у \ ™ - Y и (0). (35)
о Bt s,
4 Очевидно, ddc<bA<~k = d(dcOAK~k), а на
сфере St имеем -y- = ydln|2 P; поэтому для
фиксированного р, 0 < р < г, по формуле Стокса, а затем по
теореме Фубини
р Bt о st
j 5 41п|г|2Л^ФЛ<~*.
2
Теперь воспользуемся леммой 1 и снова применим
формулу Стокса, заметив, что dO A dc In | z f Л ®o*~* =
= й(ФЛ^1п!г|2Л<^)-ФЛ<"Л+1; мы получим
■i J </ФЛ^1п|г|2Л<~* =
*г\*р
-у $ФЛ<1п|г|2Л<~*-4 JoArfdnl^fA^*-
5г *р
-у J ФЛ«ЧГ*+1. (36)
Br\*Q
Далее следует различать два случая. При k > 1 на
сфере Sp коэффициенты формы d° In 12 j2 Л ©J1"*» как
видно из (11), имеют порядок l/p2<m-fe>+1, а площадь
сферы — порядок р2т-\ так что интеграл по Sp является
малой порядка р2^"1), и устремляя в (36) р->0, мы
получим (34). При 6=1 форма d°In| г f A «С""1 = or,
объемный интеграл в (36) исчезает, ибо ю^ззО, а
интеграл по So, равный среднему значению Ф = м на этой
сфере, стремится к и (0) при р-> 0 —■ мы получаем (35) ►

42 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
Заметим, что для гармонических функций ddcu Л
д©^-1^0 и формула (35) сводится к известной
теореме о среднем.
§ 2. Характеристическая функция
В теории £аспределения значений многомерным
аналогом точек С являются скорее не точки многообразия
М, а его аналитические подмножества коразмерности 1 —
как и точки JC. они задаются одним уравнением,
связывающим локальные координаты. Подмножества М
высшей коразмерности (вплоть до точек), задающиеся
несколькими уравнениями, являются объектами более
сложными и в известном смысле вторичными, мы будем
рассматривать их как пересечения множеств
коразмерности 1.
Далее, в классической теории значения мероморф-
ных функций (точки С) рассматриваются вместе с их
кратностью. В многомерном случае множества
коразмерности 1, рассматриваемые вместе с кратностью (т.е.
голоморфные цепи коразмерности 1), называются
дивизорами. Рассмотрим их подробнее.
6. Дивизоры. Таким образом, дивизор на комплекс*
ном многообразии М — это любое его аналитическое
подмножество D коразмерности 1 (носитель дивизора)
вместе с целочисленной функцией р, постоянной на
каждой компоненте множества RegD регулярных точек D
(кратностью или порядком дивизора). Обычно мы
будем обозначать дивизор только символом Z), а порядок
его лишь подразумевать. Каждой функции g, мероморф-
ной на многообразии М — их совокупность мы будем
обозначать через Ж(М)—сопоставляется дивизор Dg9
который состоит из объединения множества Ng нулей
этой функции и множества Pg ее полюсов, причем
порядок Dg равен порядку нуля на каждой компоненте Ng
и порядку полюса со знаком минус на каждой
компоненте Р8*). Дивизор DczM называется разрешимым,
если существует функция g^JC(M) такая, что D = Dg.
*) Порядок нуля или полюса мероморфной на многообразии
функции g в некоторой точке определяется, как в предыдущем
пункте, если в окрестности этой точки ввести локальные координаты и
рассматривать g как функцию последних.

§ 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 43
В ряде случаев дивизоров на многообразии
оказывается слишком много, и для построения
содержательной теории распределения значений приходится
выделять их разумные системы. Для описания способа
такого выделения условимся доопределять порядок
дивизора DczM нулем на множестве M\RegD и тогда
сможем складывать и вычитать дивизоры. Например, под
разностью двух дивизоров D и D' на М мы будем пони-
вать дивизор D — /)', носителем которого является
объединение носителей D и D', а порядком — разность
р — р' порядков этих дивизоров. Таким образом,
множество всех дивизоров на М можно рассматривать как
группу. В ней можно ввести следующее отношение
эквивалентности: D ~ D', если D — D' является дивизором
некоторой функции g> глобально мероморфной на всем
многообразии М. Классы эквивалентности по этому
отношению также образуют группу (факторгруппу группы
всех дивизоров по подгруппе дивизоров глобально меро-
морфных на М функций).
Пример 1. Дивизор D на С, состоящий из точки а
порядка р ^ 1, эквивалентен дивизору D', состоящему из
р точек а/ порядка 1. В самом деле, пусть, для
определенности а и все а/ конечны, тогда D — D' есть дивизор
мероморфной на ICi функции g (z) ==-^—^т i_—_.
Если число точек а/ не равно р, то функция (z— а)р,
деленная на произведение (z — а/), имеет в бесконечности
нуль или полюс, не входящий ни в В, ни в D', и,
значит, дивизор этой функции не равен D — D'\ очевидно,
что в этом случае вообще не существует мероморфной
функции с дивизором D — D', так что D и D' не
эквивалентны 1
Пример 2. В проективном пространстве Рп с
однородными координатами Z0, ..., Zn рассмотрим
бесконечную гиперплоскость #^ = ^0 = 0} с кратностью 1.
Этому дивизору на Рп эквивалентен дивизор,
представляющий любую гиперплоскость Н = j £ av%v = 0 f
с кратностью 1, ибо Н^ — Н является дивизором функ-
/ п
Ции Z0/ J] avZv, мероморфной на Рп. Точно так же Яте
/ v=-o

44 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЙ
с кратностью р > 1 эквивалентна любой алгебраической
гиперповерхности D порядка р, определяемой
уравнением P(Z) = 0, где Р — однородный полином степени р
относительно Z0, ..., Zn Щ
Далее, дивизор D на многообразии М называется по-
ложительньш, если его порядок р ^ 0 (в частности,
положительными являются дивизоры голоморфных на М
функций). Совокупность всех положительных дивизоров,
эквивалентных друг другу по введенному выше
отношению, называется линейной системой дивизоров,
В дальнейшем мы будем фиксировать какую-либо
линейную систему дивизоров на М и изучать
распределение прообразов дивизоров этой системы при
голоморфном отображении /: Ст-+М.
Заметим в заключение, что бывают комплексные
многообразия, на которых вовсе нет дивизоров. Однако
в дальнейшем нас будут интересовать лишь
многообразия, которые можно вложить в комплексное
проективное пространство Р^ некоторой размерности. На
любом таком многообразии М дивизоры есть; например,
линейную систему дивизоров на М составляют
пересечения с М гиперплоскостей Р^, снабженные
положительными коэффициентами.
7. Линейные расслоения. Нам понадобится еще один
способ выделения системы дивизоров, для описания
которого нужно напомнить понятие линейного расслоения.
Пусть я-мерное комплексное многообразие М покрыто
системой окрестностей {Uu}t и пусть Ua&= Uaf\Ufi —
пересечения этих окрестностей. Каждой точке зеМмы
сопоставим комплексную прямую (слой) и через L
обозначим (дизъюнктное) объединение таких прямых;
через я: L-+-M мы обозначим проекцию, которая каждой
точке Z^L, принадлежащей некоторой прямой, относит
точку геМ, которой сопоставлена эта прямая (рис. 2).
Будем считать, что в пределах каждой окрестности Ua
множество L устроено как произведение Ua X -Ci и
введем там локальные координаты (za, £a), где ^еС"-^
координата в f/a, а £aetCi — координата на прямой,
сопоставленной точке с координатой za.
Если фиксировать точку z e f/ap, то каждой точке
прямой я-1 (г) будет сопоставлено два комплексных чис-

§2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
45
ла t>a и £р (в соответствии с тем, что ге Ua и ге U$)9
причем их отношение £рДа = ga$ будет одинаковым для
всех точек этой прямой, так что оно будет функцией от
г в (/ар. Такие функции ga$ называются функциями
перехода расслоения L, и мы предположим, что они
являются голоморфными в t/a& функциями без нулей, т. е.
принадлежат классу 0*(Ua$). В Ua$ и в тройных
пересечениях иа$у = Ua$ П Uy эти
функции удовлетворяют так называемым
коциклшеским условиям
ga$g$a — 1> gafigfiygya — 1 • (О
В этой ситуации мы и будем
говорить, что задано голоморфное
линейное расслоение L-+M с
функциями перехода ga$. При данном
покрытии {Ua} задание такого
расслоения сводится к заданию
набора функций gap<=<?*((;aj5),
удовлетворяющих условиям (1) и склеивающих в f/ap
координаты в слоях L по правилу
? = gab?> (2)
Пусть L и U — два голоморфных линейных
расслоения над многообразием М с функциями перехода ga^ и
g'a$ соответственно. Произведения g^g'^ e 0* (Uafi)
и удовлетворяют коциклическим условиям (1),
следовательно, они могут служить функциями перехода
расслоения, которое называется произведением расслоений
L и V и обозначается LU. Функции \/ga$ также
принадлежат <?*(£/ар) и удовлетворяют условиям (1); они
являются функциями перехода расслоения L-1,
называемого обратным к L. Таким образом, во множестве
линейных расслоений над заданным многообразием
можно ввести структуру группы. Нейтральным
элементом этой группы является единичное расслоение с
функциями перехода ga$ = 1.
В группе расслоений над данным многообразием М
можно ввести следующее отношение эквивалентности:
расслоения L и U с функциями перехода ga& и g^p

46 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
соответственно эквивалентны, если существуют функции
ga &0*(Ua) такие, что во всех t/«p
В частности, для расслоений, эквивалентных
единичному, функции перехода ga& = g$/ga\ такие расслоения
называются тривиальными; они, очевидно, образуют
подгруппу группы всех расслоений на М. Факторгруппа
по этой подгруппе состоит из классов эквивалентных
расслоений*).
Голоморфным сечением расслоения L-+M называется
набор функций {sa}, голоморфных в областях Ua
покрытия М и склеенных в пересечениях Ua$ по тому
же правилу, что и координаты в слоях:
*3~&»э*а. (4)
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь
компактные многообразия М. На таких многообразиях
голоморфные функции тривиальны (по принципу
максимума они сводятся к постоянным), а голоморфные
сечения расслоений могут оказаться нетривиальными. Запас
голоморфных сечений может увеличиться, если заменить
расслоение L-+M с функциями перехода gap его р-й
степенью Lp> т. е. расслоением^: функциями перехода g%$.
Пример. Рассмотрим С как комплексную
проективную прямую Р1 с однородными координатами Zo, Z\.
В области Uo = {Zo ф 0} введем локальную координату
z = Z\/Zot а в U\ = {Z\ Ф 0} — координату Z0/Zi = 1/z.
В пересечении Ою функция g10 = z голоморфна и
отлична от 0, и ее можно принять за функцию перехода
расслоения £->Р!. Согласно (3) голоморфные сечения
L должны в f/ю удовлетворять соотношению so = zs\,
причем s0 представляется рядом по положительным сте-
*) Набор функций ga$^0*(Ua$), удовлетворяющих
условиям (1), называется еще коциклом, а коциклы, удовлетворяющие
условию (3), —кограницами. Факторгруппа Я1^, О*) группы
коциклов по группе кограниц называется первой группой когомологий
многообразия М для данного покрытия 41 = {Ua} с
коэффициентами О* (см. Ш II, стр. 254). Это —другая интерпретация группы
классов эквивалентных расслоений.

§ 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
47
пеням г, a si— по положительным степеням l/z. Таким
образом, в 0\о должно выполняться тождество
00 ОО
V«0 V-0
а из него следует, что so(z) = а0 + aiz, si(г) = ai +
+ a0/z — голоморфные сечения L являются линейными
функциями локальных координат.
Точно так же можно убедиться в том, что
голоморфными сечениями расслоения Lp-*Pl, р>1, с
функцией перехода zp являются многочлены степени р от
локальной координаты. Расслоение L"1 с функцией
перехода £ю = l/z вообще не имеет голоморфных
сечений, кроме тождественного нуля I
Наряду с голоморфными сечениями расслоения
L-+M можно рассматривать и мероморфные его
сечения— наборы функций sa^JC(Ua)9 связанных
соотношениями (4). Для любого мероморфного сечения s =
= {sa} можно определить понятие дивизора Ds
следующим образом. В области Ua покрытия М мы полагаем
Ds = Dsa—дивизору функции sa; это определение
корректно, ибо в пересечениях £/ар, согласно (4), имеем
5Р == gapSa, где ga$ Ф О, так что функции sa и 5р имеют
одинаковые дивизоры. Для голоморфных сечений s
дивизор Ds, очевидно, положителен.
Если {sa} и {s'a} — два мероморфных сечения
одного, или двух эквивалентных расслоений L и V\ го,
согласно (3) и (4), в пересечениях Ua$ мы будем иметь
/ / г /
s6 £a sa 56 sa
i=t;^- ЙЛИ *»tJ—*"-ч-
Отсюда видно, что функция g = ga^/sa в Ua является
глобально мероморфной функцией на М. Так как ga^
^0*(Ua)> то дивизор этой функции Dg = D' — D, где D
и D' — дивизоры рассматриваемых сечений. Таким
образом, дивизоры мероморфных сечений эквивалентных
расслоений эквивалентны в смысле п. 6. В частности,
если 5 = {sa} и «'«sls^— сечения одного расслоения
£, то можно принять gassl, и тогда их отношение

48 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ 1
g = s'/s (т. е. функция, равная s'a/sa в Ua) будет меро- I
морфной функцией на М. I
С каждым дивизором D на комплексном многообра- I
зии М можно связать линейное расслоение Ld-+M,
которое называется расслоением дивизора D. Это делается
так: в силу того, что каждый дивизор локально
разрешим (см. Ш II, п. 43), покрытие {Ua} можно считать
столь мелким, что сужение D\v =£)/ для некоторой |
faei(Uа); если Df| Ua = 0, мы полагаем /а = 1. j
В пересечениях возникают функции ga$ = /p//a,
очевидно, голоморфные и отличные от нуля в £/ар, ибо /а
и /р имеют в С/ар одинаковые нули и полюсы (их
дивизоры одинаковы и равны D L ). Функции ga$ удовлет- |
воряют коциклическим условиям (1) и, значит, могут I
быть приняты за функции перехода линейного расслое- I
ния, которое и есть расслоение Ld дивизора D. I
Заметим, что fa восстанавливаются по дивизору D I
С ТОЧНОСТЬЮ ДО фуНКЦИЙ ga^&*(Ua)> так что ga$ ОПре- I
деляются с точностью до множителей вида g$/ga- Это I
означает, что расслоение Ld дивизора D определяется I
дивизором с точностью до эквивалентного расслоения.
С другой стороны, если D и D' — эквивалентные
дивизоры, т. е. D' — D = Dgt где g^JC(M), то функции
fa и ^а> разрешающие эти дивизоры в областях £/а,
связаны соотношением f'a = ggafa> где ga^O*(Ua). Из
этого соотношения видно, что для соответствующих
функций перехода ga^=(S^8a)Sa^ T- е- что расслоения
Ld и Ld' эквивалентны. Таким образом
устанавливается соответствие между классами эквивалентности
дивизоров на многообразии М и классами
эквивалентности расслоений.
Точно так же можно убедиться в том, что если на !
многообразии М заданы два дивизора D' и D" с функ- [
циями перехода g^ и g'^ их расслоений Lof и Ld», а
дивизор D = D' + D", то за функции перехода его
расслоения Ld можно принять gap = £ap£aV так что LD —
— Ld'Ld". Нетрудно видеть также, что последнее
равенство не зависит от выбора представителей из
классов эквивалентности и, следовательно, описанное выше
I

$ 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
49
соответствие является гомоморфизмом групп классов
дивизоров и классов расслоений.
Далее, для любого дивизора D его локальные
определяющие функции /а дают мероморфное сечение
расслоения Ld, ибо в областях £/а& мы имеем /р = ga$fa>
Обратно, если дано расслоение L-+M с функциями
перехода ga$ и s = {sa} — мероморфное сечение L, то
Sfl/sa = ga3 и по определению расслоение/^ дивизора
этого сечения совпадает с L. Таким образом, L
является расслоением некоторого дивизора, если
существует мероморфное сечение этого расслоения, не
равное тождественно нулю, и расслоением
положительного дивизора, если L имеет нетривиальное
голоморфное сечение.
В дальнейшем мы будем пользоваться таким
способом выделения линейной системы дивизоров:
фиксируется дивизор DczM и рассматриваются дивизоры всех
голоморфных сечений расслоения Ld~+M этого
дивизора; совокупность таких сечений обычно обозначается
символом*//0^, Ld).
Основной пример. Рассмотрим бесконечную
гиперплоскость ЯооСГ Рп с кратностью 1. В каждой
области Uа = {[Z0l ..., Zn] e Рл: Za Ф 0} стандартного
покрытия Рп этот дивизор разрешим: он является
дивизором голоморфной функции fa = Z0/Za (имеем #<» П
(1(/о = 0и /ом1). Функциями перехода расслоения
LH<x> этого дивизора будут gafi — fp//a = Za/Zfi, оно
называется гиперплоским расслоением Рп. Как и в
предыдущем примере, легко убедиться, что голоморфными
сечениями Lh^ являются линейные функции локальных
координат
п
а их дивизорами— комплексные гиперплоскости /7 =
= ) Л avZv = 0 \ . Совокупность всех таких гиперпло-
скостей в Рп образует линейную систему.
Дивизорами сечений р-й степени гиперплоского
расслоения, т. е. расслоения L& »являются алгебраические

60 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
гиперповерхности степени р; их совокупность также
образует линейную систему 1
Пусть D — дивизор на многообразии М и 5° —
сечение расслоения Ld, дивизор которого DS» = D.
Обозначим через H(D) совокупность всех мероморфных на М
функций, дивизоры которых в сумме с D положительны:
H{D) = {ge= Ж(М): Dg + D^0}.
Для любой g^H(D) сечение gs* расслоения Lo
голоморфно (ибо его дивизор Dg + D ^ 0) и, значит, gs° e
еЯ°(М, Ld). Обратно, если 5 — произвольное
голоморфное сечение Lo, то отношение 5/50 = g является
мероморфной на М функцией, причем Dg + D = Ds^
^ 0, т. е. ge #(£>). Таким образом, устанавливается
взаимно однозначное соответствие между H°(M,Ld) и
H(D), так что линейную систему, порожденную
дивизором D, можно описывать при помощи H(D).
Совокупность Я(D), пополненная функцией f = 0,
очевидно, образует линейное пространство над С. При
этом две функции с одинаковым дивизором отличаются
множителем из (?*(Л1), а если М — компактное
многообразие, то этот множитель есть отличная от нуля
постоянная. Таким образом, рассматриваемая линейная
система дивизоров находится во взаимно однозначном
соответствии с пространством H(D), в котором прямые,
проходящие через начало, отождествляются, т. е. с про-
ективизацией этого пространства.
В интересующем нас случае, когда М — замкнутое
подмногообразие Р*, пространство H(D) конечномерно,
ибо оно состоит из сужений на М рациональных
функций в Р", порядки нулей и полюсов которых
ограничены условием Dg + D ^ 0 (см., например, Мамфорд
[1], стр. 151). В этом случае линейную систему,
порожденную дивизором D, можно рассматривать как
проективное пространство размерности dimH(D)—1.
8. Эрмитовы расслоения. Чтобы получить
возможность количественных оценок, мы будем рассматривать
эрмитовы расслоения L-+-M. Это означает, что в слоях
Ly т. е. комплексных прямых с координатами £а, заданы
эрмитовы метрики dsl = ha d£a dla, где ha — гладкие в
t)q, положительные функции, которые называются н?т-

»«. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ g,
рическими коэффициентами. В пересечение Т1 . „„
коэффициенты должны быть согласованГус^виш не
зависимости метрики от выбора координаты ВСлое- из"
соотношения (2) мы получаем рав^тв0 \^Ь ^
— "plffopl «6 «ё ,из которого следует, что
^V^ttl2. (5)
Набор h=={ha} гладких положительных Аункпий
равенством расслоения L->Af определим
«*1Р = Аа|5аР В Ua. ' (б)
Так как &э - голоморфные и отличные от нуля
бально спредера диф^и^я фо™ " * '~
чЭТ^ называется *°Р*о* Уже», метрики h=ih\
ФункцФи°иРМЛ: нГмнГоо^пя НаСТЬК° 6ЫСТР° -ня--
пункции л0 на многообразии М, т. е. насколько «закоу-
криТзнТмЙр'икТГ РаССЛОе"ИВ ^°»а характеру,
Пример. Для гиперплоского расслоения /-* Р»
Функции перехода в однородных кооряппатТше^вип
*~ ,>«=т^1^/Т1|Гниигдем^г^^2 ?бор
nepectJeiixl/^l^^11 И положи™ьны в \ а"в
ЙГ К0°РДИНаТЫ В U°> Т° ^ма ^женя aifl мет
совпадает с формой Фубини - Штуди Р" ■
Ьсли над многообразием М чялят.,„„о~
»■« эр„„товых рассло"ен-» ^ТккГямГ^еГода

62 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
8а$ и ё'а& и с метриками А = {Аа) и Л' = {h'a}
соответственно, то из (3) и условий склейки (5) мы получим,
ЧТО В (/ар
Отсюда следует, что h'Jha | ga |2 = А'р/Аэ | ^ |2 в С/а& и,
значит, на М глобально определена гладкая
положительная функция и = h'Jha | ga |2 в (7а. Но тогда ddc In w =
= ddc\nh'a--ddc\nha (мы учли, что dcf In| ga f = О, ибо
ga e (Т (С/а)), следовательно, формы Чженя сЛ, и сЛ
отличаются на точную на М форму ddc In w, т. е.
принадлежат одному классу когомологий форм бистепени
(1,1) на М. Этот класс, таким образом, не зависит от
выбора метрики на расслоении М и не меняется при
замене L эквивалентным ему расслоением. Он
обозначается c(L) и называется (первым) классом Чженя
расслоения L.
Пусть V и Ln — два эрмитовых расслоения над М
с функциями перехода g^ и g'^ и метриками А' = {А^}
и A" = {A£} соответственно. Для их произведения L =
= L'L" функции перехода ga^ = g^aV а метрикой может
служить А = {Аа}, где ha = fi'ah'a (в самом деле, hfah^ =
— Ь'ъЩ | ^аэ^ар |2» так чт0 Условие (5) выполняется). Из
формулы (7) тогда видно, что формы Чженя этих метрик
связаны соотношением ch = ch,-\- ch„, а значит, классы
Чженя
c{L'L") = c{L') + c(L"). (9)
9. Характеристическая функция. Пусть дано
голоморфное отображение / пространства С,т в я-мерное
комплексное многообразие М. Зададим на М линейную
систему дивизоров, выделив какой-либо дивизор D и
рассмотрев совокупность дивизоров всех голоморфных
сечений расслоения L = Ld этого дивизора. На
расслоении L зададим эрмитову метрику А. В этой ситуации
можно ввести второе главное действующее лицо теории
распределения значений.
Определение. Пусть дано голоморфное
отображение f: C,m->Af, где М — комплексное многообразие,
над которым задано эрмитово линейное расслоение L
Ш

§ 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 63
с метрикой h. Характеристической функцией этого
отображения называется
г
Tf(L,r) = \^-\r(ch)A<*?-1, (Ю)
0 Bf
где f*(Ch)—прообраз формы Чженя метрики А, а со0 —
однородная метрическая форма в Gm.
Заметим, что форма со^"1, как видно из (11) § 1,
в точке 2 = 0 обращается в бесконечность порядка
2(т — 1), интегрируемую по 2т-мерному шару Bt, а
форма f*(Ch) гладкая. Поэтому внутренний интеграл в (10)
существует и обращается в нуль не ниже первого
порядка при / = 0, а значит, существует и внешний интеграл.
Мы будем предполагать в дальнейшем, что М —
компактное многообразие. Тогда характеристическая
функция в существенном не зависит от метрики и
определяется самим расслоением — она в существенном
определяется не формой, а классом Чженя c(L).
Именно, справедлива
Теорема 1. Если М — компактное многообразие,
то характеристическая функция Tf(L, r) с точностью до
ограниченного слагаемого не зависит от выбора
эрмитовой метрики h на расслоении L-+M.
^ Выберем на L наряду с метрикой h еще метрику
h\ тогда по доказанному вышесЛ — ch,=ddc\nut где и —
гладкая положительная на М функция, и значит,
разность соответствующих характеристических функций
г
Tf (L, г) - rf (L, г) = \ f- \ Г (ddcu) Л <"*.
о в{
По известному свойству перестановочности взятия
прообраза и дифференцирования форм и по лемме 2
в конце § 1
Tf(Ltr)-T'f(L, г) =
г
= $-f \ddcln(uof) Л «{Г1 «4 \ln(uof)a + 0(l).
о Bt s,

Б4 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
В силу компактности М функция и ограничена и
отграничена от нуля, следовательно, функция Inu<>f
ограничена в .Ст, а по свойству формы о ограничен и
интеграл в правой части последнего равенства ►
Для нашего основного примера, когда М = РЛ —
комплексное проективное пространство, a L-+M —
гиперплоское расслоение, условимся не записывать
зависимости характеристической функции от расслоения.
Так как здесь формой Чженя служит форма Фубини —
Штуди Сн = ю, то характеристическая функция имеет
вид: для отображений .Gm->Pn в однородных
координатах F = [F0, ..., Fn]
г
ТР (г) - \ Ц- \ ddc In | F (z) f Л «СЛ (11)
0 Bt
а для отображений Cm-*C" в аффинных координатах
/ = (/i..... Л.)
г
Tf(r)=[-j-\ddcln(l+\f(z)?) Л<~1. (12)
о nt
В частности, при m = п = 1 получим
т ,л L[*L С \f'(z)\2dzAdz
lt\n— 2я J t J (l + |f(«)p)» '
о Bt
что совпадает с характеристической функцией
классической теории в форме Альфорса — Симицу (см.,
например, Хейман [1]). В этом случае Tf(r) имеет простой
геометрический смысл — это логарифмически
усредненная площадь образа круга Вг при отображении /: С ->- О,
вычисленная в сферической метрике (с учетом
кратности покрытия). Скорость роста Tf(r) характеризует
скорость возрастания функции f(z) при |г| = г-^оо.
Для голоморфных отображений С71 -* Сп также
существует связь между скоростью роста отображения и
характеристической функцией.
Теорема 2. Характеристическая функция Tf(г)
голоморфного отображения /: Cm-*Cn, /(0)«=0, равна

§2, ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 56
среднему значению In У1 + \f (г) |2 на сфере Sr =
«{*«С|":|*1-г>:
Г,(г)- $1пУТ+Щ5)7*. (18)
г<5е а = d* In | z f Л ©о1"1 — форма Пуанкаре *).
^ Формула (13) получается из (12) по лемме 2 § 1 ►
Следствие. Характеристическая функция
голоморфного отображения /: Cw-*Cn, /(0) = 0, допускает
оценку
lnm,(r)<7>(r)<lnAff(r). (14)
где
mt{r)- пипУ1+|/(г)Р,
|ж|-г /15)
Af,(r)-maxVl+l/(*)P.
1*1-г
Замечание. Оценка снизу в формуле (14) часто
оказывается грубой, так что эта формула не позволяет
сравнивать порядки роста функций Mf(r) и Tf (г).
Обобщая соответствующее классическое рассуждение (см.
Хейман [1], стр. 39—40), можно получить
двустороннюю оценку, которая дает такое сравнение.
Гладкая функция и (г) = In V1 +1 / (z) Р достигает
максимума на сфере Sr в некоторой точке 2°, где,
согласно (15), u(z°)= lnMf(r). Эта функция плюрисуб-
гармонична в О, ибо для ее сужения на любую
комплексную прямую / = {г = ©£ + я}
m м
dfdf = ~ * (1+Г/12)2 +TTT7F
(l+}/ft»{lf/P + l/Plf/P-l(/,ni,}>o
"*" 1 + l/T Zj Vn
в силу неравенства Буняковского — Шварца (штрих обо*
значает производную по £). Поэтому ее значение в точ-
*) Заметим, что если f (0) ■* 0, то в правой части (13) поя$-
ДЯ£тея слагаемое — In Vl Hh j / (Q) J2,

56 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
ке z° можно оценить при помощи интеграла Пуассона
для шара BRl где R > г (см. Ш I, стр. 307):
lnMf(r)<
SR SR
Но по формуле (13), если предположить, что /(0)=0,
\u{z)ez= \\n^l+\f(z)?o = Tf(R),
Sr Sr
и полагая в предыдущем неравенстве R = 2г, получаем
вместе с (14) двустороннюю оценку In Mf (r)
Tf (r) < In Mf (r) < 3 ■ 4n-lTf (2r), (16)
из которой видно, что In Mf (г) имеет тот же порядок
роста при г->оо, что и Tf (г) Щ
Вернемся к общему случаю голоморфных
отображений Ст в комплексное многообразие М, над которым
задано эрмитово линейное расслоение L. Для
построения содержательной теории, кроме компактности Af,
придется еще предположить, что L-+M положительно.
Это означает, что в классе Чженя c(L) есть форма,
которой соответствует положительно определенная
эрмитова форма; положительность расслоения L мы
будем записывать в виде c(L)> 0 и в дальнейшем всегда
будем предполагать это условие выполненным.
Заметим, что условие существования над
компактным многообразием М положительного расслоения
влечет за собой серьезное последствие: по известной
теореме Кодаиры (см., например, Гриффите и Харрис [1],
раздел 1.4) сечения достаточно высокой степени этого
расслоения вкладывают М в проективное пространство
некоторой размерности. Обратно, на любом замкнутом
подмногообразии MczPN положительное расслоение
существует (таково, например, сужение на М
гиперплоского расслоения над Р^). Таким образом, класс
компактных комплексных многообразий, допускающих
положительные расслоения, совпадает с классом
замкнутых подмногообразий проективных пространств. Такие

§ 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
57
многообразия называются гладкими проективными
многообразиями.
Пусть / — голоморфное отображение О в
многообразие М, над которым задано положительное
расслоение L. Предположим, что отображение / невырождено
в том смысле, что его ранг (в локальных
координатах М) максимален на открытом подмножестве Ст,
тогда, если Ch^c(L)—положительная форма, то и ее
прообраз f*(Ch) — также положительная форма. Так как
по доказанному в § 1 форма ©о положительна (кроме
случая, который там оговорен), то тогда и форма
f*(ch) Л ©о*""1 положительна на открытом подмножестве
Ст (как форма максимальной степени 2т). Из
формулы (10) следует, что в этом случае
характеристическая функция Tf(L,r) возрастает с ростом г и при
г->оо стремится к бесконечности не медленнее, чем In/*,
причем по теореме 1 последнее справедливо и для
любой формы из класса Чженя c(L).
Ниже мы убедимся в том, что скорость возрастания
Tf(Lfr) при г-+оо характеризует сложность поведения
отображения /: jGm-*Af в бесконечности. С учетом этого
мы назовем порядком отображения f (при данном
расслоении L) величину
i— \nTf(Ltr)
ord/=lim /у ;. (17)
Некоторые утверждения, связанные с этим понятием,
мы рассмотрим в § 4, а здесь приведем пример под*
счета асимптотики характеристической функции,
принадлежащий Альфорсу [2].
Пример. Рассмотрим экспоненциальную кривую,
т. е. голоморфное отображение F: .С.'-* Рп,
определяемое в однородных координатах равенством/7 (г)=[ex°zt...
..., ^"z], AveC. По формуле, которая получается
из (13) заменой аффинных координат однородными,
Г'<Г>--5Г$ I* £1^*6+0(1), *-/•", (18)
О v-0
(мы воспользовались тем, что при m=l форма <т==
^dc\n\zf^ — {d\nz-d\nz) = ^r). Учитывая, что

68 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
|A*| = erRe(Vie), обозначим через Л = Л(9) то из A,v,
для которого Re(A,v£*e) достигает наибольшего значения
при v == 0, ..., п и фиксированном 9 — это та из точек Xv,
которая больше всего удалена от прямой, проходящей
= 0 под углом ^-9к оси Re Л, в на-
через точку X
ImA
/ж
правлении, показанном стрелкой на
ис. 3. Вынося при фиксированном
член с Л = Я(9) за знак суммы
в (18), мы получим асимптотическую
при г-*оо формулу
2я
TF(r)
~*«\
Re(Ke*)dQ+0(l).
Рис. 3.
Обозначим через Л выпуклую
оболочку точек Л0> ..., Хп; пусть Лр,
(р >-* 1, . • •, т) — вершины Л,
проходимые против часовой стрелки, и 6jl = arg(A,|i — \„\).
Очевидно, что при 9^ < у — Э^Э^, т. е. при у — Bp+i^
<9<у —8^, будет Л(8) = ^, и интеграл в
предыдущей формуле перепишется в виде
■2.-е
2 И
V-1 iL-e
ц-1
^ Re ^ J emdQ = Re £ ^ (e"% - в"%+0 —
n-i
(мы преобразовали сумму, учтя, что 8m+1 = Q{ и А,0 = Лт).
Последняя сумма равна сумме | Х^ — Л^ |, т. е.
периметру Р многоугольника Л —выпуклой оболочки точек
^о> •••> ^п> — и мы получаем окончательно, что
г*(')--5ГГ + 0(1).
(19)

§2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 59
Вычислим еще считающую функцию дивизора на Рп,
которым является гиперплоскость
при том же отображении. Прообраз этого дивизора
F~l(H) представляет собой совокупность нулей функции
п
одного переменного g(z) = £ av^v*> имеет размерность О
v=-0
и по формуле (26) § 1
f ns (О, t)
где ng(0,t)—число нулей функции g в круге {|г|</};
мы предполагаем для простоты, что £(0)=^0. По
классической формуле Йенсена
2л 2я
" * \dB.
NF{H,r) = ±-\ lnU(re<e)|de = ^-5 In\]Гаче
О 0 |v«0
~v
Мы находимся в ситуации, аналогичной
рассмотренной выше: при вычислении асимптотики Nf{H,t) для
больших г сумму под знаком логарифма при
фиксированном 6 можно заменить ее членом с наибольшим
|£ v ь или, что то же самое, с наибольшей Re(A,ve/e).
Разница с предыдущим состоит лишь в том, что теперь
следует учитывать только те члены, которые входят с
ненулевым коэффициентом av, и мы получаем
следующий результат: при больших г
^(Я.г)—g-r + 0(l)f (20)
где Р' — периметр выпуклой оболочки тех точек %v> для
которых коэффициент av в однородном уравнении Н
отличен от нуля I
10. Высшие характеристические функции.
Характеристическую функцию Tf(L,r) будем называть главной;
ниже мы увидим, что она связана с распределением про-

60 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
образов дивизоров на многообразии М. Если при п > 1
интересоваться прообразами множеств большей
коразмерности, то определение характеристической функции
придется несколько изменить. Именно, при голоморфном
отображении f: Cm-+M с аналитическими
подмножествами М коразмерности k оказывается связанной k-я
характеристическая функция
г
Tf)(ch,r) = \f\(rchyA<»rk <*=1, .... m) (21)
о в1
— мы сохраняем старые обозначения*). При k = 1
возвращаемся к определению (10) главной
характеристической функции: T{fl)(ch, r) = Tf(L, r). Отметим еще ха«
рактеристическую функцию с максимальным номером
г
птчс*<оЧт-$(Гс*)т' (22)
о Bt
которая имеет простой геометрический смысл —
логарифмически усредненный объем образа шара Вг при
отображении /, вычисленный (с учетом кратности) в
метрике (сн)т, — и является прямым обобщением
характеристики Альфорса — Симицу. Ниже будет показано, что
при m = п она связана с распределением прообразов
точек.
Для основного примера голоморфного отображения
f: Cn->Crt с метрикой Фубини —Штуди в образе для
нее можно написать явное выражение. Здесь в
аффинных координатах сн = ш = dd° In p = p~}ddc \ w |2 —
— p~2d| wf f\dc\wf, где р=1 +1 w P(cp. с формулой (11)
§ 1), и значит
(un=(ddc\w\2 __ d\w\*Adc\w\2\n =
\ 9 Р2 /
__ (ddc I w \2)n „ (ddc | w 1У-1 Д d | ш |2 Л d° \ w I8,
- pn n ^+1 *
*) Существование этого интеграла следует из соображений, о
которых говорилось в определении п. 9.

§ 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
61
(мы учли, что степени нечетных форм d\w\2 и dc\w?
равны нулю). Замечая, что (ddc\ w\2)n = nlOW9 где
Фю = ( 2^-) dwiAdwxA ... Л dwn Л dwn (23)
2У*-1
— евклидова форма объема, a {ddc\w\2)
п
= (п — 1)! Ti dw\ Л rfo)1 Л •.. Л ... Л rf^n Л ^йЛ (мно-
V-1 V
житель dwv Л dwv пропускается), получаем
^■7ЯГ<РН»Г)Ф,-(1 + |;Г)<и.|Ф,. (24)
По формуле (22) с m = /i мы находим теперь
р« {Г) = { *. [ <Г*Г - «I ( - { |/f(*)P<I>* (25)
где Jf — якобиан отображения f, а Фг — евклидова форма
объема в прообразе (она определяется по (23) с
заменой w на z). При п = 1 получаем классическую формулу
Альфорса — Симицу.
В общем случае мы пишем Tf](chir)t а не T{fk)(L,r)~-
это связано с тем, что при k > 1 зависимость Цк) от
метрик несколько сложнее, чем при Л —1. Именно,
вместо теоремы 1 имеет место
Теорема 3. Пусть huh' — две метрики на
расслоении L над компактным многообразием М, тогда
при k > 1
ПЛ) (сн> г) - Tf (**, г) = 0 &_, (с„ г)), (26)
где
'*.. (*„ г) - S (/Ч)*-1 Л -г*1 - ^ ^f'»r)
(27)
Л По доказанному выше f*ch-~f*ch, = ddcvi где
о = In и о / — гладкая ограниченная в Ст функция.
Отсюда следует, что
(f\y - (f\,y - § (*) (/ч)' л (АЛ*-/.
i-o

62 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
где ( • J ~~ биномиальные коэффициенты. Так как
(Гс*)1 Л (ddcv)k4 = ddc (v • (f*ch)j Л (dd'vf4'1)* то
правую часть последнего равенства можно представить
в виде ddcO, где Ф —форма бистепени (k — 1, Лг — 1)
в Ст, которая мажорируется формой a(f*ch)k~l с
некоторой постоянной а> 0. Из (21) по лемме 2 из § 1 мы
получаем тогда
г
7f (cft, г) - 7f (ch„ r) = \ Ц. \ ddc® Л <"* -
о Bt
агг*+1.
*г
Первый интеграл справа имеет порядок интеграла
по Sr от (f*ch)k~* Adc\n\z\2 Л<С~*» который по
формуле Стокса совпадает с интегралом по Вг от (f*ch)k~l Л
/\®m-k+\ т. е. с tk__x(ch, г). Тот же порядок имеет и
второй интеграл ►
Следствие. Если на расслоении L->М над
компактным многообразием существует эрмитова метрика h
такая, что для голоморфного отображения f: Cm->M
lim ^l-0' <28>
Г->оо rf'(Ch> Г)
то с точностью до ограниченного слагаемого Tf)(ch9 r)
не зависит от выбора метрики, а определяется классом
Чженя c(L).
Для выяснения геометрического смысла 7W
перепишем (21) в виде
г
Tf (ch, r) » J -зЙЕТГ S (Г*а)* Л ФГ*. (29)
о в^
где q0 — ddc\ z р — евклидова метрическая форма в С772;
переход к этой формуле аналогичен переходу от (19)
m
к (20) в § 1. Если rch = -^ ]Г h^ dzaAdz^ и Ка — соб-

§ 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 63
ственные значения эрмитовой положительной
матрицы (Лаз)» Т0
(Г**)*лфГ*-
e ЫгТ S Ял № Л dS)A л J] № л <**)* = J %аф2>
(А) (В) (А)
где А = (а,, .. ♦, а*), В = (ft, ..., рот.л) — мультиндексы
из чисел 1, ..., т, величина К а = Ав1 ... Attfe, (dzAdz)A =
==rf2o, Л d2a, Л ... Л^г<хА Л <йал и аналогично (dzЛ^г)д,
а Ф2 —евклидова форма объема в Ст (она получается
из (23) заменой п на т и до на г). Величина 2^ = 0*
(Л)
является &-й элементарной симметрической функцией
от собственных значений Aj, . ..,Am, и формула (29)
принимает вид
г
^Ч<»0-$татг$«А- (80)
0 В/
Величины л<х геометрически означают полуоси
эллипсоида, который дифференциал отображения / переводит
в шар в метрике сн на многообразии М (напомним, что
расслоение L предполагается положительным, так что
форма сн положительно определена). Величины в\ =
= %\ + • • • + Ат, в2 = А1А2 + ... + Am-iAm> ..., ет =
= %\ ... Ат выражаются через эти полуоси, что и дает
некоторое геометрическое представление о &-й
характеристической функции.
Пример. Отображение /: С2-►С2, определяемое
по формуле f(z) = (z\, г2 + £(21)),где g — произвольная
целая функция одного переменного, очевидно, взаимно
однозначно, ибо существует обратное отображение
f-l(w) = (wu w2 — g(w\)). Поэтому объем образа шара
f(Bt) в метрике Фубини —Штуди с учетом кратности
накрытия не превосходит 1—объема всего Р2 (к тому
же выводу можно прийти на основании формулы (25),
если учесть, что якобиан Jf ав 1). Отсюда следует, что
*?(r)-0( In г).
С другой стороны, согласно замечанию после
теоремы 2 главная характеристическая функция Г/ (г)

64 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
имеет порядок In (1 + г2+ тах\ g(zx) I2), так что порядок
\zx\-r
Tf (г) может быть сколь угодно большим I
Таким образом, функции Tfk)(r) для одного
отображения при различных k в общем случае могут иметь
различный рост. Однако все они оцениваются сверху
поведением отображения в бесконечности. В частности,
для отображений f: С"1-*-С* с метрикой Фубини —
П1туди в образе, когда
Tf)(r) = \^-\(.dd2ln(l+\f(z)fyAK-k\ (31)
о Bt
Карлсоном [1] доказана
Теорема 4. Характеристическая функция T\k) (г)
голоморфного отображения f:Cm->Сп допускает оценку
*?,(')<(-п!т1пЛ*,(е»-,г))\ (32)
где 9 — произвольное число, 1 < 8 ^ е и Mf (г) =
= max УТТШ^.
4 По формуле Стокса и теореме Фубини (с учетом
того, что -j d In| z P =-y при | z | = t\ мы получаем из (31)
^m—k
rf ю- \Ц- \ <?ind+i/f) л «>;-■ л <
0 S^
= 1 Jdlnlzf A^lnO + lf вл^Л
.... tfl — Я
где oof = ddc\n(l + | f I2). По лемме 1 в конце § 1 поменяем
знаки d и dc, переставив соответствующие множители,
а затем снова применим формулу Стокса:
7f(r) = j Jln(l+|/f)«>*-1Adcln|Z|2A<-*-
-у J In (1+1 / Р) «J"1 Л «*-*+>. (33)
Br

§ 8. ПОТОКИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 65
Заметим теперь, что так как In (1 +| f Р)>0, а форма
©JT1 Л ю£*~*+1 положительна, то второй ^интеграл здесь
положителен и справедлива оценка
[ r|*}(r)<lnAff(r) 5«>;-1Л^1п|г|2Л<"" =
= lnMf(r) J»*-lA<"*+1
(мы еще раз воспользовались формулой Стокса). Далее,
для любого 0 > 1
Яг
In в J со,*"1 Л <-*+| < J ^ $ в*"1 Л ©0w"ft+1 <^*'и(вг)
в, • г в{
и объединяя это с предыдущим неравенством, получаем
Применяя полученное неравенство последовательно
и пользуясь монотонностью функции Mf(r), мы придем
к такому неравенству:
1?<r)<falnMt(?yy-lTt(?-lr).
Остается воспользоваться оценкой
найденной в теореме 2, и тем, что lnG^l ►
§ 3. Потоки и некоторые их применения
В ряде вопросов многомерного комплексного
анализа, в том числе теории распределения значений, в
последние годы успешно используется теория потоков,
которая представляет собой распространение теории
обобщенных функций на дифференциальные формы.
Развивая идеологию формулы Стокса, устанавливающей
двойственность между формами и многообразиями,
теория потоков стирает грани между этими двумя
понятиями, рассматривая их как один объект.
11. Потоки. Пусть дано я-мерное комплексное
многообразие М, не обязательно компактное. Через £"£* =
^^''Ймы обозначим пространство форм бистепени
3 В. В. Шабат

66 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
(г,5) с коэффициентами класса С°°(М) и компактными
носителями — пространство основных форм. Оно
снабжается структурой (комплексно) линейного
пространства и обычной топологией пространства основных
функций: последовательность <pv e 8ГГс а называется
сходящейся к 0, если все cpv обращаются в 0 вне
фиксированного компактного подмножества М, а на этом
подмножестве все коэффициенты форм <pv вместе со всеми
частными производными (по локальным координатам)
равномерно стремятся к 0. Если нет нужды различать
бистепени форм, мы будем писать &~rc+s>
Потоками размерности (г, s) или бистепени
(п — г, п — s) называются линейные функционалы Т на
пространстве (Fc's, их совокупность обозначается через
{&*Гс V 5 это пространство наделяется топологией слабой
сходимости: последовательность Tv-+T, если 7\,(ф)-*
-^^(ф) для любой ф£^г»5. Если нет необходимости
различать бистепени, говорят просто о степени потока
или о его вещественной размерности. Потоки степени
2п, определенные на пространстве основных функций
@~с> совпадают с обобщенными функциями. Так же
можно трактовать и потоки степени 0, определенные на
формах максимальной степени: последние имеют вид
Ф dz Л dz, где dz=*dzx Л ... Л dzn, dz=*dz{ Л ... Л dzni
l 9® 0"2 и T(<pdz Л dz) можно рассматривать как
функционал над ф.
Понятие потока включает, в частности, как понятие
формы, так и понятие многообразия. Именно, форма ©
бистепени (п — r, n — s) с локально интегрируемыми
коэффициентами определяет поток [©] той же бисте*
пени, действующий на формы ср&@~гс* по правилу
М(Ф)-$®Л«Р. (1)
м
Точно так же подмногообразие NczM вещеетвенной
размерности г определяет поток [N] той же
размерности, действующий на формы ф е &ге по правилу
ДО(ф)-$Ф. (2)
N

§ 3. ПОТОКИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 67
Аналитическое А-мерное множество AczM можно
рассматривать как поток [А] размерности (k, k)t если для
Ф е &с положить
[Л](Ф)= \ Ф. (3)
Reg Л
Потоки Т\ и Т2 одинаковой степени можно
складывать по правилу (Т\ + Т2)((р)= T\((f)+T2((p)y в
частности, можно складывать формы бистепени 2л — г и
многообразия размерности г. Можно определить также
умножение потоков на гладкие формы по правилу Т Л
Л(о(ф)== Г (со Лф). Некоторые потоки, например,
многообразия, можно умножать не только на гладкие, но и
на интегрируемые формы; так, по определению
[ЩЛ «>(ф)=$<»Лф,
N
если интеграл в правой части имеет смысл.
Теорема 1. Произвольный поток Т бистепени (r,s)
в областях из Ср1 можно представить в виде
дифференциальной формы
Г= Е TABdzAAdzBf (4)
где А = (<хь ..., аг), В = (рь ..., р5) — мультииндексы из
чисел 1, ...,п, формы dzA*=dzai Л ... Л dz^ dzB =
== dz$x Л ... Л dz$s, a Tab — обобщенные функции.
4 В самом деле, определим обобщенные функции ТАВ
по формуле ТАВ (ф dz Л dz)=sign (Л, В) Т (г|? dzA, Л dzB,)f
где г|5 е З2"^, Л' — дополнение А до набора 1, ..., я,
В7—-такое же дополнение В, a sign (Л, В) — знак
перестановки (Л, Л', В, В') индексов (1, ...,п, 1, ..., п)\
так как ^dzA /\dzB,^&'rlc~ryn~sy то правая часть
определена. Тогда для любой формы ф= £ чА,в.йгА,/\йгв,,
где на сей раз Л' и В7 пробегают все мультииндексы
Длин я — гия — s, в силу линейности Г и определения
3*

68 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
Tab будем иметь
Т (Ф) - £Т (ФД^ Л dzB) =
= Z sign И» 5) гля (Фл'В'dz Л dz),
где Л и В — дополнения Л' и В'. По свойствам внешних
произведений sign (Л, В) <рл,в. dz A dz = dzA A dzQ А
А (ф^'в' dzA, A dzB?) = dzA A dzB A ф, так что последнее
равенство переписывается в виде
П<Р)=Е TABdzAAdzB((f),
А, В
эквивалентном (4) ►
Нам будут встречаться два подкласса потоков.
Первый из них образуют потоки с компактными носите-
лями*), они распространяются как линейные
функционалы на пространство STr*s(M) произвольных форм
класса С°°(М), не обязательно с компактными
носителями. Второй подкласс образуют потоки конечной
сингулярности /, которые распространяются на формы
класса С1(М) с компактными носителями, в частности,
потоки сингулярности 0 распространяются на формы с
непрерывными коэффициентами. Формулы (1), (2) и (3)
дают примеры таких потоков. Некоторые потоки
(например, многообразия) можно применять даже к
интегрируемым формам.
Запишем в терминах потоков основные величины
теории распределения значений. Чтобы выразить величину
л (Л, г), которая представляет собой однородный объем
пересечения 6-мерного аналитического множества Л cz
с: Ст с шаром Вг (формула (19) § 1; пусть для
простоты О^Л) заметим, что поток [ЛП#г] размерности
(k, k) имеет компактный носитель, а форма ©^
принадлежит классу С01- в окрестности этого носителя (ее
особенность—в точке 2 = 0). Поэтому имеет смысл
[ДП *,](<)- \ <-я(Л,г).
А(\ВГ
*) Носителем supp Т потока Т называется объединение
носителей supp Tab обобщенных функций Tab по всем мультииндексам в
представлении (4).

$ 3. ПОТОКИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 69
Считающую функцию А-мерного аналитического
множества A cz Cm \ {0} можно, следовательно, записать
в. виде
г
ЛГМ,г)-$[ЛПЯ,](«о»)-£. (5)
о
Аналогично записывается характеристическая функция
голоморфного отображения f:Cm-*M, если над М
задано эрмитово линейное расслоение L с формой Чженя ch:
г
Tf (L, г) - J (Г (сА) Л [5,] ) «"') f (б)
о
— здесь поток /*(сЛ)Л [5/]» представляющий собой
произведение гладкой формы на многообразие, применяется
к интегрируемой форме.
Потоки можно дифференцировать по правилу
^(ф) = (-1)г+1Г(йФ), (7)
где г — степень потока Т (и, значит, ф е ^с"1)- Знак в
определении выбран так, чтобы в случае, когда Т
является гладкой формой со, это дифференцирование
было согласовано с обычным: в этом случае dco Л Ф =
= d(co Л ф) — (— l)degfi>G> Л d<p, и, значит, по формуле
Стокса с учетом финитности
[da] (ф) = ^dco Л Ф =
в _ (_ !)<*«« • J со Л dq> - (- l)de« *+l [ш] (^ф).
По той же формуле Стокса в случае, когда Т = N
является многообразием, d[N] = [dN] —
дифференцирование сводится к взятию границы с соответствующей
ориентацией. Очевидно, дифференцирование потока
увеличивает на 1 его степень или, что то же самое,
уменьшает на 1 размерность.
На комплексном многообразии можно рассмат*
ривать также операторы дифференцирования д и д; на-

70 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
пример, для потока Т бистепени (r, s) по определению
ОТ (Ф) = (- l)r+5+1 T (<Э<р), Ф €= ^Гг"и n's. (8)
В случае, когда Т*= со является гладкой формой, это
определение также согласуется с обычным. В самом
деле, так как со— форма бистепени (г, $), форма ф —
бистепени (п — г—1 я — s), а многообразие М
комплексно /г-мерно, то <Эсо Л Ф = со Л <?Ф = 0 как формы
бистепени (п — 1, п. + 1) • Поэтому дсо Л ф = dm Л ф,
ю Л дф = со Л dq> и применимо . рассуждение с
формулой Стокса, проведенное выше для оператора d.
Очевидно, что операторы дифференцирования
потоков обладают обычным свойством идемпотентности:
d2 = д2 = д2 = 0. Нетрудно видеть также, что оператор
ddc — -g£-dd от потоков бистепени (г, s) можно
вычислять по правилу
ddcT (ф) = Т (ddcq>), ф €5 9ТТ~Х% п~а~\ (9)
Определим теперь операцию регуляризации потоков.
Пусть X:Cm-*R+ — зависящая лишь от|г| финитная
функция класса С°° такая, что \ЛФ=1, где Ф
—евклидова форма объема Ст. Фиксируем е > 0 и обозначим
Ле(г) = —2]7"ЛГ — J — это основная функция из @~°С9 при
е->0 она стремится в смысле потоков к 6-функции, т. е.
к функционалу, сопоставляющему каждой основной
функции ее значение в точке 2 = 0. Любой поток Т
бистепени (г, s) в областях Ст мы представим по
теореме 1 как форму с обобщенными коэффициентами
ТАВ и назовем регуляризацией Т поток
1Л = £т*лв<ЬАЛ*2В9 (Ю)
где ТеАВ (г) = J ТАВ (Яе (£ — 2)) Ф^ (под интегралом стоит
значение функционала ТАв на основной функции Ле).
Поток Т* при любом 8 > 0, очевидно, представляет
собой форму с коэффициентами класса С°° (по г) и

§ 3. ПОТОКИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 71
р-^Г при е->0 в слабой топологии пространства
потоков, т. е. (Г8 — Г)(ср)->0 для любой основной
функции ф (основное свойство регуляризации). Очевидно
также, что операция регуляризации перестановочна с
операцией дифференцирования (по z и г), в частности,
dde(T*) = (ddcT):
12. Формулы Пуанкаре — Лелона. Особый интерес
для нас представляет дифференцирование потоков,
определенных формами, которые имеют особенность на
аналитическом множестве A cz M и гладки на М\А.
Начнем с примера формы Пуанкаре о = dcln\z\* Л
A(ddcln\z\2)m~l в ,CW, которая имеет особенность в
точке г = 0 (см. (31) § 1). По определению
дифференциала потока
Л[(у](ф)= ij в Adq>,
~о
где (psfc- функция и интеграл надо понимать как
несобственный, т. е. как предел при е-*0 интеграла по
внешности шара {|г|> е}; перед интегралом стоит знак
+, ибо or нечетной степени. При z Ф О мы имеем
o/\d<p = — d(<po), ибо там do = (ddcln\z\2)m = 0 (см.
§ 1), поэтому
d [а] (ф)—— lim [ </(фсг)=*Нт [ фог = ф(0)
Цг\>е) {Ы«е}
— мы применили формулу Стокса с учетом того, что
границей области {Ы>е} является отрицательно
ориентированная сфера {l^l^e}, а затем воспользовались
свойством формы а из § 1. Таким образом, функционал
d[a]t действуя на функцию ф, дает ее значение в точке
z = 0, т. е. совпадает с б-функцией, или, иначе, с
потоком [0], определяемым особенностью формы:
rfW-[0].
Этот результат, по существу, восходит еще к
А.Пуанкаре; приведем его вариант, принадлежащий П. Ле-
лону [2].
Теорема 2. Пусть функция f голоморфна на п-
мврном комплексном многообразии М и D =■ Df — ее

72 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
дивизор. Тогда справедливо равенство в потоках
ddcln\ff = [D] (И)
(формула Пуанкаре — Лелона).
<4 По определению (11) означает, что для любой
формы фе^Т"1**"1
\ln\ ffdde<p~*\<p9 (12)
М D
причем пользуясь разбиением единицы можно
локализовать задачу и проверять (12) лишь для форм с
носителями в окрестностях на М. Кроме того, в
окрестностях, не содержащих точек D, равенство (11)
тривиально, ибо там дифференцирование в смысле потоков
совпадает с обычным и ddcln|/|2 = 0 в силу голоморф-
нооти /. Поэтому достаточно проверить (12) лишь для
окрестностей точек D.
(а) Если 2° — регулярная точка Д то в ее
окрестности U можно выбрать локальные координаты на М
так, чтобы D П U = (zn = 0} и / имела вид г£, где р —
порядок дивизора D. Тогда (12) сводится к равенству
'jin
\zfddcy = J <p, cpes^T1'*"1^).
D(\U
Интеграл справа берется с учетом порядка дивизора —
он равен р раз взятому интегралу по {zn = 0}0 U\
значит, р сокращается и можно считать р= 1. Интеграл
слева надо понимать как несобственный, т. е. как
предел при е->0 интеграла по Gz={z& С/1: |zrt|>e}—
в силу финитности ф можно считать, что этот интеграл
берется по всему О. Так как в Ог мы имеем
ln\zn?ddcq> = d(\n\zn\2dc<p)-dln\zn? Adcq, то по
формуле Стокса с учетом финитности ф и того, что
{|zn| = e} ориентирована отрицательно относительно 08,
имеем
$ln|*J2dd*<p =
= ~lim [ ln|zjV<p-Hm \d\n\zn\2 Adcy.

§ 8. ПОТОКИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 73
Первый предел здесь равен 0, ибо In|zn p = lne2, a
интеграл от dc<p no {\zn\ = e} имеет порядок 0(e).
Для вычисления второго предела воспользуемся тем,
что d In! z |2 Л dcq> — dtp A d° In | zn p— d(ф Л dc ln| zn P),
ибо drfcln|a:rtp = 0 в Ge, и применим формулу Стокса
(снова с учетом финитности ф и ориентации {[2n| = 8}
относительно Ge):
Jln|zpfiWV
ФЛ<Нп|гпр = Нт J ФЛ-Ц;
{Khe} {|««M
на последнем шаге мы положили zn = seiQ и
воспользовались тем, что форма d* In | zn p = -у. Остается
заметить, что при |zn|==e форма Ф = ф|г в0 + ф', где
коэффициенты <р' стремятся к 0 при е-*О, и, значит,
$1п|гярАЛр-Нт $ Ф \ Ц- = $ Ф.
(б) Если же z° — критическая точка D, то в ее
окрестности U мы выберем координаты z = (zu ..., г„)
так, чтобы к функции / была применима
подготовительная теорема Вейерштрасса по каждой переменной z\
(см. Ш II, стр. 114). Так как формы ф бистепени (п—1,
п—1) представляют собой сумму слагаемых, в каждом
из которых пропущено одно из произведений dzjAdSj*),
достаточно проверить (12) для одного из таких
слагаемых. У нас все переменные равноправны, и, не нарушая
общности, мы предположим, что пропущено dzn Л dSn.
Обозначим zn = w и (z\, ..., zn-\) = z, так что форма ф
будет иметь вид <p = a(z, w)dz/\dz, где а —гладкая
функция с носителем в U.
Далее, согласно подготовительной теореме
Вейерштрасса, f = Pg, где P(z, w) = wk-\-cl(z)wk~1 + ...
... + ck(z), age(j*(U) и, значит, dd°In|gP = 0, т. е.,
*) Мы рассматриваем здесь частный случай (п— 1, п— 1)-
форм; общий случай можно свести к этому (см., например,
Р. Харви [1], стр. 26).

Г4 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
не нарушая общности, можно заменить / на Р. Пусть
и>/(*0, /°= Ь •••,&>— корни многочлена Р при
фиксированном z (некоторые из них, быть может, совпадают),
тогда
k
1П|РР= Z 1П|Ш —Шу(^)Р.
/-1
Учитывая, что для формы q>
dd°4 = Wd^ = Wm$rdw AdwAdzA dzy
повторим при фиксированном z проведенное в пункте (а)
доказательства рассуждение и тогда получим
соотношение
Полагая, наконец, U = Un~l X V, заключим из этого
соотношения, что
ln!Ppddc<p =
= i \ ЛЛЛ$1п|РР^*«ЛЛ-
и*г-1 V
= £ J a^ wf(z))dz Adz,
а так как правая часть, очевидно, равна интегралу по D
от формы ф, то все доказано ►
Из доказанной теоремы просто получается вариант
формулы Пуанкаре — Лелона, приспособленный для
применения в теории распределения значений.
Следствие. Пусть L-+-M — эрмитово линейное
расслоение с метрикой h = {ha} и формой Чженя Сн,
a s={sa}—eeo голоморфное сечение. Пусть ||s||2 =
= fta|sa|2 в Ua —эрмитов квадрат модуля этого
сечения, а D-^-его дивизор. Тогда справедливо следующее

§ 3. ПОТОКИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 75
равенство в потоках:
ddcln\\s\f=-ch + D. (13)
<4 В Ua мы имеем ln||s||2 = lnAa+ ln| sap. Так как
sa&0(Ua) и DSa = D()Ua, то по теореме 2 в смысле
потоков ddc\n\sa р = [£>]. Функция же Ла гладкая и
положительная, и по определению формы Чженя ddcinha—
Следующая теорема обобщает теорему 2:
Теорема 3. Пусть АаМ — голоморфная цепь
коразмерности ky [определяемая уравнением g(z)=*0, где
g^igu •• •> gk) ti gj&0(M). Тогда имеют место
равенства в потоках:
ddc(\n\g?(ddc\n\gf)k-x)=*A, (14)
а для любого целого v < k
dd°(\n\gf{ddc\n\g?r') = {ddc\n\gt)\ (15)
А Вне множества А особенностей функции ln|gP
второе равенство очевидно, а первое следует, из того,
что вне А локально хотя бы одна g^O: если, например,
gi Ф 0, то мы полагаем
ln|grP = ln(l+|gr2/gr1P+...+l^^lP) + ln|^|2,
а так как ddcln\gif~0 в силу голоморфности, то
форма ddc\n\gf содержит дифференциалы лишь k— 1
функций и, следовательно, ее k-я внешняя степень равна
О (ср. п. 2).
Как и при доказательстве предыдущей теоремы
можно локализовать задачу и ограничиться основными
формами с носителями в окрестностях точек Л; кратности
можно считать равными 1. Если z° — некритическая
точка А, мы выберем в ее окрестности U локальные
координаты так, чтобы A(]U = {z\= ... =^==0}, и
переменим обозначения, положив z—{zu ..., Zk) и w =
~{Zk+u ..., zn). Для доказательства (14) нам нужно
проверить, что для любой формы ф (г, w)^&~%~'k' n~k{U)
\\n\zf {ddc In | z I2)*""1 Л ddcq> = \ Ф, (16)

?6 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
где интеграл слева понимается как предел при е-*-0
интеграла по множеству Л8 = {(z, ш)е СЛ: |г|>е}.
Дальнейшее доказательство проводится по той же
схеме, что и предыдущее. По формуле Стокса
А»
АЪ
\\n\zf{ddc\n\zff l Addcq =
- \ \n\zf(ddcln\z?)k~l Adcy-
J d In | z f A (ddc In | z f)*"1 Л dcq> —
= -lne2J (dfln|*f)*~lA<rtp-
dA*
- \dy Adc\n\zf A(ddc\n\zff~X (17)
(во втором слагаемом мы переставили множители,
пользуясь четностью степени формы (ddc\n\z\2)k"ii а затем
применили лемму 1 из конца § 1). В первом слагаемом
интегрирование по дАг можно заменить повторным:
сначала по сфере 5е = (ге С Л \z\ = е}, а затем по .С/1-*,
причем внутренний интеграл от произведения
(dd^lnl^l2)^1 на соответствующую часть формы dc<p
имеет порядок е, ибо, согласно (11) § 1,
подынтегральная форма на 5е имеет порядок 1/е2*-2, а объем 58 —
порядок е2*-1. В силу гладкости и финитности формы qp
порядок е имеет и весь интеграл по дАе, а множитель
перед ним равен 21п(1/е), поэтому первое слагаемое
в (17) стремится к 0 при е->-0; мы обозначим его через
Л (в).
Ко второму слагаемому в (17) снова применим
формулу Стокса, учтя, что на Л8 форма (dd°ln\z\u)k = 0:
\\n\zf(ddc\n\zf)k~l Addcy =
А*
= Л(в)+ \<pAdcln\z\2A(dd°ln\z?)k \ (18)
ОА*

$ 3. ПОТОКИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 77
Представляя форму <р на дА* в виде Ф = Ф |д + ф', где
коэффициенты ф' стремятся к 0 при е-*-0, получим
из (18)
J In | г f{ddc In | г ff~X Л A*e«p «=
= J Ф|л \dc\n\z?A(ddc\n\z?)k ' + Л1(е) =
-5ф + Ч1(в), (19)
A
где ■п1(е)-»-0 при е-*•(); здесь мы воспользовались тем,
что является формой Пуанкаре
в Ск и интеграл ог нее по 58 равен 1 (см. § 1), а также
тем, что интеграл от ф \а по Cn~k совпадает с интегралом
от ф по А. Соотношение (16), а значит и (14), доказано.
Соотношение (15) доказывается аналогично.
Равенство (17) сохраняется с заменой k на v < k для любой
формы <pe#"?l~v,m~v(£/)> а вместо (18) получим
\\n\zf (ddc In | г iT"1 Л dd\ =
= Ч(в)+ \(fAdc\n\zf A{ddcln\z?y~l +
дАг
+ \(fA(ddc\n\z\2)\
Однако особенность (ddc\n\zf) здесь слабее и такой
же подсчет, как выше, покажет, что интеграл по дАг
стремится к 0 при е->0. Поэтому в пределе при е~>0
мы получим
$ 1п| г f(ddcln\z f)v"1 Л ddcq> = \ (ddc ln| г |2)V Л Ф
А А
— соотношение, эквивалентное (15).
Случай окрестностей критических точек А требует
особого рассмотрения, на котором мы не
останавливаемся (см. Гриффите и Кинг [1], стр. 22) ►

78 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
13. Связь характеристических и считающих функций.
В качестве применения теории потоков докажем здесь,
следуя Шиффману [2], что характеристические
функции являются усреднениями считающих функций
дивизоров всех голоморфных сечений рассматриваемого
расслоения или (в случае коразмерности k> 1)
пересечений таких дивизоров. Начнем со случая гиперплоских
расслоений над РЛ. Здесь усреднение будет проводиться
по комплексным гиперплоскостям или их пересечениям,
т. е. комплексным плоскостям более высокой
коразмерности.
Обозначим через G\ совокупность всех
комплексных плоскостей из Р" коразмерности k (k— 1, ..., n).
Это так называемое ерассманово многообразие; при
желании его можно представлять как совокупность
(п — k + 1) -мерных комплексных плоскостей в С/1*1,
проходящих через начало координат, т. е. как обобщение
проективного пространства: G% = Pn. Через Un+\
обозначим группу унитарных преобразований пространства
Qfi+i и через \i — меру в G£, инвариантную относительно
Un+\ и нормированную так, что \х (G£) = 1 (мы
пользуемся здесь второй интерпретацией G£).
Лемма 1. Любая форма а в Рп бистепени (&,&),
&^1, с обобщенными коэффициентами, инвариантная
относительно группы £/n+i*), пропорциональна k-й
степени формы Фубини — Штуди со.
^ Так как Un+\ действует на Рп транзитивно, а
формы а и (&k инвариантны относительно этой группы,
то пропорциональность достаточно установить в какой-
либо точке реРя. Подгруппой Un+\, оставляющей
неподвижной прямую 1^ Сл+1, соответствующую точке р,
является группа Uni и остается лишь проверить, что
пространство (£, Л)-форм, определенных в окрестности р
и инвариантных относительно £/«, комплексно
одномерно.
Запишем а в локальных координатах, действующих
в окрестности точки р:
а — Z Я// dzt A dzh
*) Мы трактуем здесь Рп как совокупность комплексных
прямых в 0+1, проходящих через начало.

§ 3. ПОТОКИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 79
где / и / — мультииндексы длины k, смысл dzt и dzj
обычен, а аи — обобщенные функции. Если / ф J и v —
индекс, входящий в /, но не в /, то рассмотрим элемент
g& Un> который меняет знак v-й координаты без
изменения остальных, и из условия инвариантности g*a = a
(g*& — образ а при действии g) найдем, что аи = 0.
Аналогично, рассматривая преобразования из Un,
переставляющие координаты, найдем, что аи = аи = а для
всех / и /, и, следовательно, a = а £ dzj A ^Zi ►
/
Лемма 2. Для любого невырожденного голоморф-
ного отображения f: £)т->Рл и любого k—lt ..., п
сраведливо равенство в смысле потоков
/V- \ rl(P)dti(P), (20)
где f*<ok — прообраз k-й степени формы Фубини — Шту-
ди для Рп, а [I — введенная выше инвариантная мера*).
<4 Фиксируем точку Р0 е G£, т. е. плоскость
коразмерности ky проходящую в С;я+1 через начало, и
рассмотрим поток
Г- $ g(Po)dX(g),
где g(Po) — образ Р0 при преобразовании g, а Я —мера
Хаара на группе f/n+1, нормированная так, что Я(£/л+1)=*
= 1; она получается из меры ц в G\ при отображении
h: Un+i -> Qk, определенном равенством h(g) = g(P0).
По определению поток Т действует на формы <р е
ез #-*"-*• ""ЧР'О по правилу
Г(ф)« \ dX{g) \ Ф
S^Un+l g(P0)
*) В левой части (20) стоит дифференциальная форма, а в
правой— поток, который можно трактовать как предел голоморфных
цепей 2р.//""1 (Pi), определяемых суммами Римана для
рассматриваемого интеграла. Впрочем, смысл правой части (20) будет
разъяснен в доказательстве леммы.

80 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
(заметим, что g(P0) есть (п — &)-мерная плоскость в РЛ,
и, значит, форму <р можно по ней интегрировать).
По теореме 1 поток Т можно трактовать как форму
бистепени (k, k) с обобщенными коэффициентами, она,
очевидно, инвариантна относительно группы Un+\. По
лемме 1 мы заключаем, что Т = mk9 где с — некоторая
постоянная. Для ее подсчета применим (компактный)
поток Т к форме со"-*: из определения Т и свойств
формы со найдем, что
_ Г (©*-*)= J dX(g) J (*>*-*= J dk(g)=l9
а из соотношения Т~с®к, что
Т (©«-*) = с [®k] (со*-*) = c [ ®k Л ®n~k = с
рп
Таким образом, с=1, и, значит, справедливо
равенство в смысле потоков
«*- J £(WA(£)= J Prf^(P)
(мы воспользовались описанным выше отображением
h: £/я+1->Оь заметив, что когда g пробегает Un+U образ
g(Po) пробегает G"). Остается перейти в полученном
равенстве к прообразам при отображении / и мы
получим (20) ►
Теперь для гиперплоского расслоения над Рп
нетрудно установить связь, о которой говорилось в начале
раздела.
Теорема 4. Характеристическая функция T\k)(г)
невырожденного голоморфного отображения f: Ст->РЛ
является усреднением считающих функций Nf (Р, г)
плоскостей Р е Q\ по инвариантной мере ji:
7fV)= $tff(Pfr)d|i(P), *—1 л. (21)
on

% 3. ПОТОКИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 81
4 По определению &-й характеристической функции
if <r)-$'-f $ (W Л <"*;
О В^
представляя (/*©)* = f* (cofe) по лемме 2 и применяя
теорему Фубини, получим
г
г
-J^^J-T $ <'k=\Nf(P9r)dii(P) ►
eg ° Г1(Р)ПВ< о£
Особо отметим частный случай главной
характеристической функции. Здесь к = 1 и грассманово
многообразие Q\ гиперплоскостей DczPn само представляет
собой я-мерное проективное пространство (Ря)*, двой-
п
ственное к Рп. (В самом деле, гиперплоскость £ avzv=0,
где zv — однородные координаты, с точностью до
комплексного множителя определяется набором
коэффициентов [а0, ...,ап], и, значит, ее можно трактовать,
как точку проективного пространства.) Формула (21)
принимает вид
Г,(г)- J Nf(D,r)dn(D). (22)
(рТ
В общем интересующем нас случае многообразие
М — замкнутое подмножество комплексного
проективного пространства PN, а расслоение L представляет
собой сужение на М гиперплоского расслоения над Pv.
Дивизоры голоморфных сечений L представляют собой
пересечения с М гиперплоскостей DczPN, и эти
дивизоры можно индексировать точками двойственного
пространства (Р^)*. В этом случае для невырожден*
ного голоморфного отображения /: {Хт-+М из (22)

82 Гл. I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
получается формула
7>(L,r) = \ Nf(D,r)dii(D)t (23)
(р"Г
где [I — инвариантная мера в Р*, нормированная
условием ii(PNl= 1. Аналогичные формулы справедливы и
для функций T{fk)(L, r).
Пусть теперь М — произвольное компактное
комплексное многообразие, над которым задано
положительное линейное расслоение L. По цитированной в п. 9
теореме Кодаиры тогда сечения достаточно высокой
степени L вкладывают М в проективное пространство
некоторой размерности, и мы имеем предыдущую
ситуацию. Иногда для расширения запаса рассматриваемых
на многообразии дивизоров удобно вкладывать его и в
проективные пространства большей размерности. Имея
это в виду, полезно выделить особо расслоения, сечения
которых реализуют такие вложения.
Именно, как отмечалось в п. 7, совокупность Н°(M,L)
голоморфных сечений положительного линейного
расслоения L над компактным комплексным
многообразием М является конечномерным векторным
пространством над .С; пусть его размерность равна N -\-1. Если
существуют линейно независимые сечения so, ..., $лге
&H°(MtL) такие, что [$о, •••> sn] реализует вложение
М в пространство PN, то расслоение L называется
обильным. По цитированной теореме Кодаиры
обильными расслоениями являются достаточно высокие
степени любого положительного расслоения над
компактными многообразиями, обильными являются и степени
обильных расслоений (см. И. Р. Шафаревич [1], стр. 63).
Дивизоры голоморфных сечений обильного
расслоения L-+M, очевидно, составляют пересечения с М
гиперплоскостей пространства Р^, а метрикой на L может
служить сужение на М метрики Фубини — Штуди для
этого пространства. Таким образом, в случае обильных
расслоений имеется описанная выше ситуация
подмногообразий проективного пространства и можно
применять формулу (23) и аналогичные ей для высших
характеристических функций. Можно доказать (см.
Б. Шиффман [2]), что эти формулы распространяются

§ 3. ПОТОКИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 83
также на случай так называемых полуобильных
расслоений L->Af, для которых в каждой точке р&М
найдется сечение s^H°(M,L) такое, что s(p) =#=().
В заключение отметим, что в классической
интегральной геометрии есть формула Крофтона, согласно
которой длина вещественной плоской кривой у равна
усреднению числа п(1(]у) точек пересечения у с
прямой / по мере \х на множестве всех прямых на
плоскости:
Дл. y= \n{l(]y)dii(l).
{/}
Формулы усреднения (21) — (23) в известном смысле
аналогичны этой и их также называют формулами
Крофтона.

ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
В этой главе мы приведем доказательства двух
основных теорем для случая голоморфных отображений
.С/" в гладкие проективные многообразия, а также
обсудим некоторые применения этих теорем. Наше
изложение опирается главным образом на работы Гриффит-
са и Карлсона [1] и Гриффитса и Кинга [1].
§ 4. Первая основная теорема
Первую основную теорему теории распределения
значений называют также теоремой о
равнораспределении. В известном смысле она представляет собой далеко
идущее обобщение теоремы, по которой многочлен от
одного комплексного переменного принимает каждое
значение (с учетом кратности) одинаково часто, и эта
частота определяется степенью многочлена,
характеризующей его рост. В общем случае роль числа значений
занимает считающая функция, роль показателя роста —
характеристическая функция, а в соотношении, их
связывающем, появляются дополнительные члены, которые
мы рассмотрим ниже.
1. Случай дивизоров. Начнем с наиболее простого и
хорошо разработанного случая. Рассмотрим
невырожденное голоморфное отображение /: Ст->М в
компактное комплексное многообразие М, над которым задано
эрмитово линейное расслоение L-+M с метрикой ft =
= {Аа}. Невырожденность f мы будем здесь понимать
в том смысле, что при этом отображении прообразы
аналитических множеств коразмерности 1 также имеют
коразмерность 1.
В качестве системы дивизоров, распределение
прообразов ^которых мы будем изучать, выберем
совокупность дивизоров голоморфных сечений этого расслоения.
Если s = {5а}—такое сечение, ||s||2 = ha\sa\3 в
биквадрат его эрмитова модуля, a D = {s = 0} — его

§ 4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
85
дивизор, то по формуле Пуанкаре — Лелона (13) из § 3
ddC\n\\S\? = -Ch + Dy (1)
где сн = —ddc\nha в Ua — форма Чженя метрики А, а
ddc и равенство понимаются в смысле потоков.
Перейдем здесь к прообразам при отображении /:
ddc\n\\softf = -f*(ch) + rl(D)
и предположим, что f~l(D) не содержит точку 2 = 0,
т. е. что so ДО) =т^ 0. Тогда поток ddcln\\s o/||2, как видно
из правой части последнего равенства, применим к
интегрируемой форме хЛ*)®""1» где %t
—характеристическая функция шара Bt, и мы получаем, что
J ddeln\\soffA^"l =
- $Г('Л) ЛИГ1 + $ «0я1"1- (2)
в/ гЧ^пв^
По определению дифференцирование потоков
сводится к применению формулы Стокса, причем в нашем
случае d®™~l = 0, так что
J ddcln\\sof\pAX-[ = \ dcln\\softfAG>\
m-l
'0
а повторение приема, примененного при доказательстве
леммы 2 из § 1, приводит к соотношению
г
\£-\dcln\\softfA(*Z-{=* $ln||WI|cr-ln||W(0)||,
о sf sr
где a = dc ln| z f A G>ot"1 — форма Пуанкаре в С"*. Таким
образом, логарифмическое усреднение равенства (2)
имеет вид
г
JlnHWIa J-f $Г(сЛ)л»«-1 +
sr о Bt
Г
+ \-Т $ «>ои-Ч1п||*о/(0)||. (3)
0 rl(D)(\Bt

86 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
В правой части этого равенства появились знакомые
величины — характеристическая функция Tf(L,r) и
считающая функция Nf(D,r)t а левая часть приводит к
третьему действующему лицу теории распределения
значений.
Определение. Пусть даны голоморфное
отображение /: Ст-+М и дивизор D голоморфного сечения s
эрмитова расслоения L-+M. Приближающей функцией
этого дивизора называется
mf(Dfr)= Jln1~7Fa, (4)
sr
где ||s||—эрмитов модуль сечения s.
Смысл и свойства величины ntf (Д г) рассмотрим
чуть позднее, а сейчас вернемся к прерванному
рассуждению. Вводя в соотношение (3) приближающую
функцию, перепишем его в виде равенства
-т,(Д г)«-77(1, r) + Nt(D, r)+0(l).
Остается освободиться от дополнительного условия
0^/~!(D), которое мы ввели выше. Если оно не
выполняется, то будем интегрировать в (3) не от г == 0, а
от некоторого г0 > 0, тогда в последнем соотношении
появится дополнительное ограниченное слагаемое, но мы
включим его в 0(1), и вид этого соотношения не
изменится. Мы приходим, таким образом, к первой
основной теореме теории распределения значений.
Теорема 1. Пусть f: Cm-+M — невырожденное
голоморфное отображение в комплексное многообразие
над которым задано эрмитово линейное расслоение К
Тогда для дивизора D любого голоморфного сечения L
сумма его считающей и приближающей функций с
точностью до ограниченного слагаемого одинакова и равна
характеристической функции отображения:
Nt(D9 r) + mf(D, r) = Tf(L, г) + 0(1). (5)
Перейдем к обсуждению понятия приближающей
функции. Из формулы (4) видно, что эта функция
показывает, насколько близок образ сферы f(Sr) к
дивизору D: в точках z^Sr, образ f(z) которых близок к

§ 4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 87
дивизору Д величина lis °/(г) II мала, a In .. ,.. велика.
Далее, для этой функции справедлива
Теорема 2. Если М — компактное многообразие,
то приближающая функция с точностью до
ограниченного слагаемого не зависит от выбора сечения s,
определяющего дивизор D, а также от выбора метрики на
расслоении L. "^
<4 Пусть D наряду с s = {sa} определяется сечением
s' = {s'a} и наряду с метрикой h = {ha} рассматривается
h' — {h'a}. В пересечениях £/ар областей покрытия в силу
условий склейки (4) § 2 будем иметь s^/sp — Sa/sa, а это
означает, что A, = s«/sa в 0а является глобально
голоморфной функцией на М и, значит, постоянной, ибо М
компактно; очевидно, X Ф 0. Точно так же p=fia/ha в Ua
является глобальной гладкой положительной функцией
на М и, значит, ограниченной и отграниченной от нуля
(см. § 2). Но в Ua имеем \\s\\2 = ha\ sa f и ||5'|P = /U| sip,
откуда || sf IP == p | X f || s |p на М и разность In || s' о f || —
— In И ^ о Z11| = — in (p о /=) -f- In | % | ограничена в Cm. В силу
свойств формы а заключаем, что
$1п1ГР^а- SlnT7T7Fcr==0(1) ►
sr sr
Далее, в метриках расслоений соответствующих
дивизоров приближающая функция
mf (D{ + D2t r) = mf (£>„ r) + mf (D2> r). (6)
Действительно, если s' = {$£} и s" = {s£} — сечения,
определяющие Dx и Z)2, то дивизор D = Dx + D2
определяется сечением s — {s'asra}> а метрические
коэффициенты расслоений этих дивизоров связаны соотношением
ha — h'ahZ. Из него следует равенство ||s|| = ||s'||||s"ll
для эрмитовых норм, которое по определению
приближающих функций приводит к (6).
Вычислим теперь приближающую функцию в
классическом случае мероморфной функции одного
переменного, т. е. голоморфного отображения /: ,G->P, где
Р=С снабжена сферической_ метрикой; роль
дивизоров здесь играют точки ае.С, В Р мы вводим одно*

88 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
родные координаты [w0t w\], а в области С/о={^о=^0}—
локальную координату w = W\/wo. Как показано на
стр. 51, метрика в С/о задается функцией Ао =
= \®>о\2/ (\wo\2 + \wx\2) = 1/(1 + |ш12)> и если конечное
значение а определить сечением s0 = (w — а)/У 1 + I я Р »
то эрмитов модуль
т. е. сферическому расстоянию точки f(z) от а.
Аналогично для а = оо в области (/j = {wx ф 0} локальной
координатой служит wjwx = 1/w, метрикой hx =
= I ^1 F/( I ^o P +1 Щ I2) = I a> l2/( 1+11» I2), определяющим
сечением sj = 1/до, и эрмитов модуль
II sx о /1| - l/Vl+|f(«)P- Р (f (г), оо).
Если учесть еще, что при^ т = 1 форма а = rf0/2jt,
получим из (4) для всех asC следующую формулу;
которая совпадает с классической. Вспоминая, что в
рассматриваемом случае
Nf(a> r) = \n(a,t)-n(a,0) dt + n{at 0)1пг>
Й2 Л ^2
(г) IT
(см. формулы (26) § 1 и (12) § 2), приходим к
следующему выводу: _
В частном случае m = 1 и М = С со сферической
метрикой теорема 1 совпадает с классической первой
основной теоремой теории распределения значений ме-
роморфных функций в форме Альфорса — Симицу (см.
Хейман [1], стр. 32).
Легко вычислить приближающую функцию и для
отображений f: 1Ст->Рл с гиперплоским расслоением

§ 4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
89
над Рл. Если дивизор D задается уравнением в
однородных координатах
п
£ avwv — (wt a) = 0, [ а \ — 1,
то в области f/a = {wa Ф 0} сечение, определяющее Д
имеет вид
V-0
Так как в Ua метрический воэффициент ha = \ waf/\ wf>
то эрмитов модуль сечения || sa || = | wa || sa |/| w | =
= |<ш, а)|/|до|, и, значит, по формуле (4)
*&-'>-] ытШк°- <7>
2. Первые применения. Здесь мы отметим ряд
следствий первой основной теоремы.
1) Неравенство Неванлинны. Теорема 3. Пусть
М — компактное комплексное многообразие, над
которым задано эрмитово линейное расслоение L, и /: Ст->
->-М — невырожденное голоморфное отображение. Тогда
для дивизора D любого голоморфного сечения L
Nt(D9rXT,(L,r) + 0(l). (8)
4 Если заменить сечение s, определяющее дивизор
Д сечением A^s, где X — произвольное комплексное
число, то по доказанному функция nif (Д г) изменится на
ограниченное слагаемое и соотношение (5) сохранится.
В силу компактности М можно, следовательно, без
ограничения общности считать ||s||^ 1, и тогда из (4)
видно, что ntf (Д г) ^ 0. Остается воспользоваться
соотношением (б) ►
Неравенство Неванлинны (8) утверждает, что если
какой-либо дивизор D сильно пересекается с /(Cw), т. е.
считающая функция Nf(D, r) быстро возрастает, то
характеристическая функция отображения / (которое
предполагается невырожденным) также быстро
возрастает. Оно обобщает известное свойство «непокорности»
Целых и мероморфных функций: если такую функцию

ОД Гл. И. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
(отличную от постоянной) заставить часто принимать
какое-нибудь значение, то она будет сильно возрастать.
2) Теорема Сохоцкого. Эту теорему мы докажем,
следуя Гриффитсу и Кингу [1], для случая обильных
расслоений, которые были определены в § 3. Там же
говорилось о том, что дивизоры голоморфных сечений
таких расслоений можно рассматривать как точки
некоторого проективного пространства Р*. Термин «почти
все» понимается в этой теореме в смысле инвариантной
меры в PN, нормированной так, что \i(PN) = 1.
Теорема 4. пели L-+M — обильное расслоение, а
f: Cm-*-M — невырожденное голоморфное отображение,
то /(С/72) пересекает почти все дивизоры голоморфных
сечений L.
4 Обозначим через Е множество дивизоров Da PN,
которые пересекаются с /(Ст), и предположим от
противного, что \х(Е)^1—е для некоторого е > 0. По
формуле Крофтона (22) § 3
Т, (I, г) - J Nf (D, r) dn (D) - J Nf (Д r) d» (D)9
Pw в
ибо Nf (D, r) = 0 для D ф Е. Отсюда по неравенству He-
ванлинны
Г/(£, г)<(1-в)Г,(1,г)+0(1),
а так как обильное расслоение положительно, то
Tf(Ltr)-+oo при г-+оо. Поэтому, деля последнее
неравенство на Tf(Lyr) и устремляя г к оо, мы приходим
к противоречию ►
В частности, если М — подмногообразие Рл, то
/(Ст) пересекает пересечения с М почти всех
гиперплоскостей Рп, почти всех гиперповерхностей в Рп второго
порядка и т. п. (см. п. 13 гл. I).
3) Условие рациональности отображения. По
цитированной в п. 9 гл. I теореме Кодаиры некоторая
степень положительного расслоения L-+M является
обильным расслоением. Сечения последнего вкладывают
многообразие М в некоторое проективное пространство Ры9
поэтому отображение /: Сп-*-М можно рассматривать
как отображение /: jGim-*- Р^ и задавать его в однород*

§ 4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 91
ных координатах [/о, ..., М- Отображение /
называется рациональным если его можно задать таким
способом с рациональными координатами /0, ..., /#. Нам
понадобится
Лемма. Голоморфное отображение f: CjF" -*■ Р^
рационально, если прообраз любой гиперплоскости Н аР N
является алгебраическим подмножеством Ст.
4 В частном случае т = N = 1 утверждение^
сводится к тому, что мероморфная функция /: ,С;-^С
рациональна, если прообраз каждой точки ае£: —
конечное множество, а это следует из теоремы Пикара. В са*
мом деле, так как полюсов / конечное число, то z =
= 00 — изолированная особенность /, и если даже три
различных значения принимаются в конечном числе
точек, то найдется окрестность г = оо, в которой / не
принимает этих значений, а значит, z = 00 не может быть
существенной особенностью и / рациональна.
В общем случае хотя бы одна из однородных
координат Д пусть /о, не равна тождественно нулю; в
области Uq введем локальные координаты и запишем в
них /. По условию прообразы всех гиперплоскостей из
Р^ и, в частности, уровни локальных координат / —
алгебраические подмножества Ст. Такое подмножество
пересекается с комплексной прямой в конечном числе
точек либо содержит ее целиком. Отсюда следует, что
каждая локальная координата / на любой прямой,
параллельной одной из координатных осей в .С/", либо
принимает каждое свое значение в конечном числе
точек, либо постоянна. По доказанному выше она
рациональна по каждой переменной z; при фиксированных
значениях остальных переменных, а тогда она является
рациональной функцией ►
Следующая теорема утверждает, что минимально
возможный, т. е. логарифмический, рост
характеристической функции (см. § 2) достигается на рациональных
отображениях и только на них. Она является прямым
обобщением классической теоремы Неванлинны.
Теорема 5. Если расслоение L-+M положительно,
то голоморфное отображение f: С?"-+М является
рациональным в том и только том случае, когда Tf (L, г) —
*=0(1пг).

92 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
<4 Замена расслоения L его &-й степенью L* по
определению означает замену функций перехода gap
функциями (ga$)k, а это влечет за собой замену метрики h,x
метрикой (Ла)\ т. е. умножение формы Чженя сн =
= — ddc In На в Uа, а значит, и Tf(L,r) на число k.
Такая замена не меняет ни условия, ни утверждения
теоремы, и, значит, выбирая k достаточно большим, мы
можем сразу считать расслоение L обильным. Дивизоры
голоморфных сечений L являются теперь пересечением
с М гиперплоскостей некоторого проективного
пространства Р^ и, следовательно, его алгебраическими
подмножествами (само М является алгебраическим
подмножеством Р^ по известной теореме Чжоу, см.,
например, Ганнинг и Росси [1], стр. 214).
Пусть /: Cm->Af — рациональное отображение.
Тогда прообразы рассматриваемых дивизоров будут
алгебраическими подмножествами jC.m не выше фиксированной
степени р и по теореме 5 § 1 для любого такого
дивизора Nf(D9 г)< pin г+ 0(1). По формуле Крофтона
тогда и
T,(L9 г)< J N,(D9 r)rf|i(D)<plnr + 0(l).
pN
Обратно, пусть Tf(L, г)^ pin r + 0(1). По
неравенству Неванлинны тогда для любого рассматриваемого
дивизора Nf (D, r)^plnr-{- 0(1) и по той же теореме 5
§ 1 прообраз f~l(D) является алгебраическим
дивизором. Но D есть пересечение с М гиперплоскости в Р^ и,
рассматривая / как отображение в Р\ мы видим, что
прообраз каждой гиперплоскости при этом отображении
есть алгебраическое множество. По лемме отсюда
следует рациональность / ►
4) Формула Йенсена. Рассмотрим случай
голоморфного отображения f: Cm->C/1 с гиперплоским
расслоением над Сл Здесь дивизоры D определяются линей-
п
ными функциями 5 = 2 avwv — ft, метрика ft = (1 +
v-l
+ 1И2)~1> а эрмитов модуль
\\sof\\^\taJv-b /vi+lfPt
I v-l I/

§ 4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
так что приближающая функция дивизора D
щф,Г)^\\пТФ±Ш£.
а.
lv«l |
Но по формуле (13) § 2
\ln^l+\f(z)fe = Tf(r) + \n^l+\f(0)?,
следовательно, Tf в соотношении (5) сокращается и оно
принимает вид *)
N,(D9r) =
= Jin £ ajv(z)-b\a — In J]avfv(0)-6
S- |v-l I Iv—1
(9)
При m = n = 1 мы получаем, в частности,
классическую формулу Иенсена
2л
Mf(b,r) = -±\\n\f(re*)~.b\de--ln\f(0)--b\.
о
3. Случай множеств коразмерности выше 1. В
общем случае мы по-прежнему рассматриваем эрмитово
линейное расслоение L-+M над компактным п-мерным
комплексным многообразием М и интересуемся
распределением прообразов при голоморфном отображении
/: Cm-*-Ai системы голоморфных цепей AczM
коразмерности k, которые представляют собой пересечения k
дивизоров голоморфных сечений S/ расслоения L:
Amm(\D'1
такую систему {А} множеств будем называть
допустимой системой. Задача, которую мы рассматривали выше,
получается из этой при k = 1.
Начнем с обобщения определения трех основных
величин теории. Характеристическая функция для кораз-
*) В (б) мы подставили 0(1)= — In || s °/(0)||, учитывая (3).

94 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИИ
мерности k уже была определена в § 2:
г
Т? (с*, г) = \ -%. $ (f с/ Л «Г \ (Ю)
о в*
где £Л = — ddc In ha в £/а —форма Чженя метрики А =
= {Aa}> a шо=^1п| z р—однородная метрическая форма
в Ст. Считающая функция множества А определяется
как в § 1:
г
лг,(Аг) = $т- J «Г*; 00
0 Г!<Л)ПВ,
чтобы она имела смысл, предположим, что отображение
f невырождено, т. е. что для любого множества А из
допустимой системы (при фиксированном k) прообраз
f~l(A) имеет коразмерность k.
Введем эрмитов квадрат модуля сечения s = (sf,..., sg),
определяющего множество А в Uat по формуле
||5||2 = Ла|5ар в ца9 (12)
где 15й |2== 2 | «у |2> а также формы
Л = 1ПЦ7ГЕ (сА + ^с1п||5|^Лс*^-1 (13)
ал=^1п|грЛ<о0"*-\ (14)
При 6 = 1 имеем Л = In yjnp-» a cr, = cr — форма
Пуанкаре из § 1. Теперь можно определить и третью
величину: приближающей функцией множества А из
допустимой системы при невырожденном голоморфном
отображении /: Cm->Af называется
Щ(А,г)-ъ\г(Л)ЛЪ1 (15)
при k = 1 получаем, очевидно, старое определение (4).

§ 4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 95
Заметим, что для положительных расслоений (сЛ>0)
форма Л^О, если ||s||^l. В самом деле, локально
в Uа из (12) и определения ch следует, что ch + ddc In || s IP =
как прообраз положительной формы
ddc\n\wf при голоморфном отображении Ua->Ck,
задаваемом функцией sa = (sf, ..., s«). Отсюда видно
также, что коэффициенты формы Л обращаются на А
в бесконечность порядка HsIP^^Unllsll.
Пример. Пусть М — Рп и Л —точка до = 0 в
локальных координатах (wu ..., a>rt) карты UQ. Здесь
* 1 ,, „о | W |2
Л°в 1 +1« Is ' l|S" = 1 + |ш|*'
сА = rfrfe In (1 +1 а; Р) = с»
и, следовательно,
Л^Ш-Ш^-^^Чп^РГл^^-1 I (16)
V-0
Лемма. В описанных условиях и обозначениях
справедливо равенство в потоках
ddcA=»cb-A. (17)
4 Локально в Ua, подставляя In j^-^—In Aa—In | $a P
из (12) и ch + dd° In || s IP *=ddc In | sa?> получаем
А шш - £ In Ла (Af* In I 5a p)v Л cj-v-i -
- E In | s« p (rfrfe in I s* p)v Л rf"^1.
v-0
Теперь вспомним, что — ddcInha^=ch в Ua и что по
теореме 3 § 3
ddc(ln|5«p(drfcln|sap)v) =
f (^cln|sap)v+1 при 0<v<6~-2,
I A . при v = A — 1,

96 Гл. TI. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
следовательно,
ddcA = E (ddc In | sa p)v Л с*-* -
/г-2
- Z (Л** In | s* p)v+1 Л rf-*"1 - Л = с* ~ Л ►
v-0
Отсюда, как и в случае дивизоров, получается
первая основная теорема теории распределения значений
в общем случае.
Теорема 6. Пусть L-+M — эрмитово линейное
расслоение над компактным комплексным
многообразием и {А}—допустимая система его подмножеств ко-
размерности k. Тогда для любого невырожденного го*
ломорфного отображения f: Cm-+M и любого
множества А из допустимой системы
Nf(A, r) + mf(A) r) = Tf(ch, r) + Rf(A, r) + 0(l)f (18)
где
Rf(A, г) = 1$ПЛ)Л«Г*+1 (19)
/
— дополнительный член.
<4 Переходя в (17) к прообразам при
отображении /,-получим равенство в потоках
ddT(A) = r(d)-ri(A). (20)
Применяя обе его части к интегрируемой форме %t (z) ®%~к,
где fo — характеристическая функция шара Ви мы по
лучим с учетом обозначений (10) и (11) сначала *)
г
\ Ц- \ ddr (Л) Л «Г* = Tf (ch, r) -Nf(A, r),
о Bt
*) Мы предполагаем, что 0 ф. А, а в противном случае будем
интегрировать не от 0, а от го > 0, и тогда появится
дополнительное слагаемое 0(1).

§ 4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
97
а затем, после применения формулы (34) из § 1, по
которой
Jj£$A/r(A)A<-* =
О &f
sr вг
и использования обозначений (15) и (19), придем к
соотношению (18) ►
В случае k=l дополнительный член Rf(A, r)
пропадает, ибо ю™г=0 (см. формулу (19)), и мы
возвращаемся к первой основной теореме в форме (5). В
общем случае к > 1 наличие этого члена серьезно
осложняет применения, ибо его редко удается оценить. К
сожалению, это замечание относится, в частности, и к
наиболее интересному для анализа случаю k = я, когда
речь идет о распределении прообразов точек
многообразия М.
4. О неравенстве Неванлинны для коразмерностей
выше 1. Если L—>М — положительное расслоение, то
без ограничения общности мы можем предположить,
что эрмитовы длины сечений s, определяющих
множества допустимой системы, не превосходят 1, и тогда по
замечанию в предыдущем пункте Л ^ 0. Из формулы
(15) следует, что в этом случае для всех множеств А
из допустимой системы rrif(A,r)^0 и первая основная
теорема в форме (18) приводит к аналогу неравенства
Неванлинны:
Nf(A, r)^T{fk)(chi r) + Rt(A, г)+0(1) (21)
Для всех А из допустимой системы множеств
коразмерности k.
Однако при k > 1 это неравенство менее интересно,
чем при k= 1, ибо оно содержит трудно оцениваемый
Дополнительный член Rf. Оценить при k > 1 этот член
как величину, малую сравнительно с Tf\ при г->ос
в общем случае невозможно, как показывает
следующий пример, принадлежащий Дж. Карлсону [3] (пер-
4 В. В. Шабат

98 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
вый пример этого типа получен М. Корнальбой и
Б. Шиффманом [1]).
Пример. Нетрудно видеть (см., например,
доказательство теоремы Вейерштрасса в книге Ш I, стр. 257),
что бесконечное произведение
ф^-ПС1—?) (22)
определяет целую функцию нулевого порядка, так что
при любом е > 0 для всех z\ e С справедлива оценка
\(p(zi)\<Cee^Zll& с некоторой постоянной Сг. Такая же
оценка (с той же постоянной Се) справедлива и для
целых функций
оо
Ф*(21)==П0--|г)' *«1. 2, ...
Выберем далее сколь угодно быстро возрастающую
функцию %: R+->R+ такую, что %(k)^ k для всех
натуральных ky построим полиномы
Ч
р*(*2)«=П(*-т)
/-1
степеней %k> равных целой части %{k)-\-\y и с их по»
мощью образуем ряд
оо
f 1 (*) = Yj ~V Ф* (*l) РЬ fe).
Он, очевидно, мажорируется рядом Сге ' X 2~"х*|г2|х*
и по известной формуле (см. Ш I, стр. 266) при
фиксированном z{ определяет целую функцию от z2 нулевого
порядка, так что |gi(z)|<C8e|Zii8+lZjle с некоторой
постоянной С8.
Теперь рассмотрим голоморфное отображение
*-(*,&): С2-С2, (23)

§ 4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ TBOPEMA
99
где функция gi только что определена, a g2(z) = (P(2i)
определена в (22). Это отображение нулевого порядка,
так что по теореме 4 § 2 его характеристические
функции Tg(r) и Tf{r) растут не быстрее г8 при любом е > 0.
С другой стороны, из построения ясно, что #(2', 1/&) =
= (0, 0) для любого натурального / и (при
фиксированном/) для Л = 1,2. ...,х/.
Так как % — быстро рас- г4
тущая функция, то про- | М
образы ОеС2 быстро # т Хх.мт'
накапливаются вблизи то- | • J J
чек (2', 0) оси гх (см. схе- [ II
матический рис. 4). При i 1г 2* zr
фиксированном г эти
прообразы принадлежат ша- Рис. 4.
ру Вп если 27 < г, т. е.
/ < log2r. Поэтому их число ng(0, r) в Вг будет не
меньше, чем %(log2r + 0(1)), и, значит, считающая
функция Ng(0, r) при надлежащем выборе % возрастает
сколь угодно быстро.
Итак, для отображения (23) и точки ОеС2
(множества коразмерности 2) оценка сверху Ng(09 г) через Г^2)(г)
невозможна. Обращаясь к неравенству (21), мы видим,
что для этого примера доминирующей величиной в правой
части является не 7^2)(r), a Rg(Q, г).
Заметим, что небольшим изменением конструкции
того же эффекта можно добиться не только для
прообраза 0, но и для прообразов всех точек счетного всюду
плотного множества Еа С2. В самом деле, пусть точки
ak^E занумерованы так, что \ak\^k; образуем
последовательность Ь1 = а1, Ь2 = а\ Ьъ — а2, Ь4 = а1,
Ьь == а2, Ь6 з=з а8, Ь7 = а1, ..., в которой каждая точка
& повторяется бесконечно много раз, и построим
комплексную кривую h = (Ль Л2): _С.-> С,2 по формуле
Так как ф*(2й) = (1 -2*-')(1 -2Ь~2) ... (1-2)Ф(1),
то |Ф*(2*)|>С2*<*-'»'2>С2*,я с некоторой постоян
4»

100 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИИ
ной С, и, значит, последний ряд мажорируется рядом
^£2-^if4(z1)iift*i<^*'ef;1ir
(мы воспользовались оценкой <р^ и тем, что \bk\^k),
т. е. представляет собой целую кривую нулевого
порядка. Рассмотрим теперь голоморфное отображение
f:C}-*C29 положив f(z) = g(z) + ft(zi), где g
определено в (23). Оно, очевидно, нулевого порядка и по
построению f(2>, 1/A)=&/ для любого натурального / и
А=1, 2, ..».
Точки / (р1)еВп если /<log2r, а если J = l(t+ l)/2,
то среди 6fe, k^.jf есть / различных точек аУ\ так как
/==У27+0(1), то число прообразов f~l(av) в шаре Вг
имеет порядок %(V21og2/*)- Таким образом, при
надлежащем выборе % считающая функция Nf (а, г) для
любой точки ае£ растет сколь угодно быстро, в то
время как характеристические функции Т^ (г) = О (ге)
при сколь угодно малом е > 0 (v= 1, 2) |
Пример этот показывает, что в случае
аналитического множества Л коразмерности k > 1 порядок
ordf-^A) в смысле § 1, вообще говоря, не оценивается
сверху через порядок ord / в смысле § 2. Он дает также
контрпример к так называемой трансцендентной
проблеме Безу. Классическая теорема Безу из
алгебраической геометрии утверждает, что степень пересечения
алгебраических множеств Л/ не превосходит произведем
ния степеней этих множеств:
deg И Л/<П<1ее4/,
/-I /«-1
причем равенство достигается, если Л/ пересекаются в
общем положении, так что коразмерность пересечения
равна сумме коразмерностей Л/. Так как степень
алгебраического множества Л равна его проективному
объему п(Л, оо), то в неалгебраическом (трансцендентном)
случае идеальным аналогом теоремы Безу было бы

§ 4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
101
аналогичное неравенство для функций п(Л, г) или
N(Atr)
N(j\xAj> r)<t[N(Al9 r).
Для голоморфных отображений /: О-* О и
прообразов дивизоров Df такая оценка с учетом неравенства
Неванлинны Nf(Dffr)^. Tf(r) привела бы к оценке
считающей функции прообраза пересечения дивизоров
через характеристическую функцию отображения:
Приведенный выше пример показывает, что такая
оценка, вообще говоря, невозможна. Отметим, однако, что
в описываемой работе Карлсона [3] доказано, что
оценка сверху Nf(atr) через 7f(r) для голоморфных
отображений /: &п-*Сп возможна для всех точек aeCi",
не принадлежащих некоторому исключительному
множеству, в известном смысле незначительному
(например, его лебегова 2/г-мерная мера равна 0); этот
результат мы изложим в гл. V (см. п. 4).
5. Теорема Сохоцкого для коразмерностей выше 1*
В случае коразмерности 1 теорема Сохоцкого о том, что
при невырожденных голоморфных отображениях {:
С/"-*-О пересекаются почти все дивизоры, следует из
неравенства Неванлинны. Но, как мы только что
видели, для коразмерностей k > 1 неравенство
Неванлинны, вообще говоря, не имеет места, так что задача
обобщения теоремы Сохоцкого усложняется. Наиболее
интересным является случай k = я, когда речь идет о
распределении прообразов точек и теорема Сохоцкого
должна утверждать, что f принимает почти все точки
Сл, т. е. что образ f(C.w) плотен в О. Вообще говоря,
такое утверждение не имеет места: известный пример
Фату (см. Ш II, стр. 62) показывает, что образ при
невырожденном голоморфном отображении может не
покрывать достаточно массивного открытого множества.
Итак, теоремы о плотности образа могут быть
справедливыми лишь при дополнительных предположениях.
Мы приведем здесь одну из таких теорем, следуя Гриф-

102 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
фитсу и Кингу [1],для отображений в компактное
комплексное многообразие М, над которым задано
линейное расслоение L. Предположим, что это расслоение
обильно; тогда его сечения вкладывают М в некоторое
проективное пространство Р^, а допустимую систему
множеств можно рассматривать как совокупность
пересечений с М плоскостей из Р^ коразмерности k.
Для доказательства нам понадобится простое
следствие первой основной теоремы в коразмерности k>
которое справедливо в случае обильного расслоения L.
Как мы видели в § 3, для этого случая справедлива
следующая формула усреднения:
7f (**,г)- J Nf(A, r)d»(A), (24)
{А)
где (ш — инвариантная мера на допустимой системе {А}
множеств коразмерности k> нормированная так, что
мера всей системы равна 1. С учетом этой формулы из
(19) сразу следует равенство
\ mf(A, r)d\i(A) = \ Rf(A, r) dp (A) + 0(1). (25)
{А) {А}
Теорема 7. Пусть L-+M — обильное расслоение
и {А}—допустимая система аналитических подмножеств
М коразмерности k. Предположим еще, что
,im%(f^l = 0, (26)
еде
Вг
Тогда для любого невырожденного голоморфного ото-
брожения f: jC,m->M образ /(О) пересекает почти все
(в смысле меры \i) множества системы {А}.
<4 Предположим от противного, что множество В
тех А, которые пересекаются с f(Cm)9 имеет меру 1—е
и е > 0. По формуле усреднения (24)
T\k'(ch>r)=}Nf{A,r)dli(A),

§ 4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
103
ибо Nf(A,r)= 0 для АфЕ. Теперь воспользуемся
аналогом неравенства Неванлинны (21):
Tf(ch, г)<(1-в)Гр>(сА, r) + \Rf(A, r) d» (A) + О (1)
Е
и, предположив без ограничения общности, что ||s||^ 1
для всех Л, так что /*(Л)^0 и (согласно (19)) Rf
будет неотрицательным, заменим интегрирование по Е
интегрированием по всей системе {А}:
Tf (ch> r) < 0 - е) Tf (ch, r)+ \Rf (A, r) d\i (A) +0(1).
W (28)
Но по формуле (25) и определению mf (см. (15))
имеем
\ Rf(A, r)d»{A)=\ \f*( \ Ad\i(A)\/\ok + 0{\)
{A} Sr \{A) J
(мы воспользовались локальной суммируемостью Л и
применили теорему Фубини). Вспомним, что множества
А является пересечениями с М плоскостей
проективного пространства Р^, а допустимая система {А}
получается из одного множества посредством унитарных
преобразований Р^. Так как Сн — сужение на М формы
Фубини — Штуди Р^ и мера \х инвариантна
относительно унитарных преобразований, то \ Ad\i(A) яв-
М>
ляется (k—1, k—1)-формой, инвариантной
относительно этих преобразований, и по лемме 1 § 3 она
пропорциональна с\~\ Подставляя это в последнее равенство,
найдем, что
\Rf(A9r)dii(A)^c \(Гс^1Аак+ 0(1)
{A} Sr
или, после применения формулы Стокса,
\ Rf(A, r)dti(A) = c \(rch)k-lA<"k+l + 0(l) =
= <**-! fa» r) + 0(l)

Ю4 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
(см. формулы (14) и (27)). Теперь неравенство (28)
принимает вид
Ък)(с„г)^(1-г)Г>>(сн, r) + ctk_l(ch, г)+ 0(1);
деля его на T{fk)(ch, г) и переходя к нижнему пределу
при г->оо с учетом условия (26), приходим к
противоречию ►
Пример применения этой теоремы мы приведем
в п. 8 гл. V. Интересно, что условие (26) почти
совпадает с условием (28) § 2 ограниченной зависимости
T{fk)(ch, г) от выбора метрики Л, однако причина такого
совпадения не ясна. При k = п условие (26) является
достаточным условием плотности в М образа f(Cm)
при голоморфном отображении /: Ст-+М. В частности,
для голоморфных отображений f: СЛ->СЛ с метрикой
Фубини —Штуди в образе оно имеет вид
t (г)
&-#п-°- (29)
где по формуле (25) § 2
Tin) М _ „, С dt [ 1М*Я*Ф» /опч
f {r)-nlr}iTTuwFr m
-логарифмически усредненный объем образа шара Вг
(с учетом кратности), а
'-1W = J (ddc In (1 +1 / (г) \*)Г1 A ddc In | z f. (31)
Br
Отметим, что в случае конечнократных отображений
объем в метрике Фубини —Штуди образа шара Вг —
величина ограниченная и, значит, Г(/1)(г)->оо всего лишь
со скоростью In г, и поэтому для таких отображений
условие (29) выполняется весьма редко.
§ 5. Вторая основная теорема
В классической формулировке вторая основная
теорема теории распределения значений мероморфных
функций связывает считающие функции Nf (а/, г) си-

§ б. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
105
стемы точек a/gC с характеристической функцией
Tf(r). Она имеет вид
(д - 2) Tf (r) + Nf (S, г) = t Nt {ah r) + R (r), (1)
где Nf (S, r) — Nf, (0, r)+ft{oo,r) — функция,
считающая стационарность отображения / (через Nf (0, г)
обозначена считающая функция нулей производной, т. е.
точек стационарности отображения, a Nf(oot
7)—функция, считающая v—1 раз полюс / кратности v, т. е.
учитывающая лишь кратные полюсы), a R(r) —
дополнительный член, который допускает оценку /?(/•) =
= О (In Tf (г)) вне множества Е конечной
логарифмической меры или всюду, если / — функция конечного
порядка. Предполагается, что число точек q > 2, иначе
теорема становится бессодержательной.
Здесь будет описано обобщение этой теоремы,
полученное Ф. Гриффитсом и его учениками. По-прежнему
будут рассматриваться голоморфные отображения /:
&п->-М в компактные комплексные многообразия, но
будет дополнительно предполагаться, что dim М = я,
и изучаться лишь распределение прообразов дивизоров;
для множеств большей коразмерности теория еще не
развита.
6. Сингулярная форма объема. Вместо системы q
точек в общем случае мы будем рассматривать систему
q дивизоров Dj на многообразии М и предположим, что
выполняется
Условие А. Множества D/ являются
многообразиями (т. е. не имеют критических точек) и
пересекаются в общем положении.
Последнее означает, что объединение
D-iDf (2)
в окрестности каждой его точки можно задать в
локальных координатах М уравнением W\ ... wm = 0, где
m ^ п. Для случая системы гиперплоскостей Я/ cz Pn
это условие сводится к обычному условию общего
положения (через каждую точку проходит не более п
гиперплоскостей).

106 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИИ
Чтобы сформулировать второе условие, напомним
понятие канонического расслоения. Так называется
линейное расслоение Км-*М, функциями перехода
которого служат якобианы отображения соседства,
связывающих локальные координаты на М в пересечениях
С/ар областей покрытия М:
'«-**1Ы[У (3)
Если {sa} — сечение расслоения Км> то форма,
определяемая локально как sadw^ Л ... Adw* в Ua,
будет, очевидно, глобальной формой на М. Отсюда
следует, что если
п
Фа=П^Г^Л^ В Ua (4)
— локальная евклидова форма объема, то
положительная (я, п)-форма*), определяемая локально как ХаФа
в Ua, будет глобальной формой на М, т. е. формой
объема М, в том и только том случае, когда А,в = |gap|%x
в Иа$. Сравнивая это правило склейки с (5) § 2,
заключаем, что набор функций ha= 1Да в Ua может
служить эрмитовой метрикой на каноническом расслоении
Км. Форма Чженя этой метрики
c(KM) = ddc\nXa в Ua (5)
называется формой Риччи формы объема Q = КаФа в Ua
и обозначается еще через RicQ. Если Ка s 1,то RicQ м
= 0, так что RicQ показывает, насколько искривлена
форма Q по сравнению с евклидовой формой объема Ф.
Пример 1. Для комплексно одномерных эрмитовых
многообразий форма объема Q—-^hdw Л dwf где
h > 0, а евклидова форма Ф= "hr^w Л dw\ значит,
*) Напомним, что не обращающиеся в нуль формы
максимальной степени на ориентируемом многообразии делятся на два класса
в соответствии с ориентацией — положительные и отрицательные
формы. У нас ориентация на М выбрана так, что для
положительных форм все Ка > 0.

§ в. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
10Г
(всё в локальных координатах). Заметим, что гауссова
кривизна комплексно одномерного многообразия
(рассматриваемого как вещественно двумерное) К =
= ТГ dwdw и обРатна по знаку кривизне Риччи.
Пример 2. Для комплексного проективного
пространства Рп форма объема, соответствующая метрике
Фубини — Штуди, по формуле (24) § 2
О + | ш I2)rt+1
ф«
где со =з ddc\n{\ +|ш|2), а Ф«;— евклидова форма
объема (мы пользуемся локальными координатами в
области Uq стандартного покрытия РЛ). Таким образом,
здесьЯ = /г!/(1+|ш|2)Л+1 и
c(Kpfi)~*--(n+l)ddcln(l+\w?)=:~-(n+l)(o В (6)
Теперь можно сформулировать
Условие В. Сумма форм Чженя линейного
расслоения Ld дивизора D и канонического расслоения
Км — положительная форма:
c(LD) + c(KM)>0. (7)
В частности, если М~Рп, а дивизор /)= ]►]#; —
объединение q гиперплоскостей, то LD представляет
собой q-ю степень гиперплоского расслоения, и по
формуле (9) § 2 имеем с (LD) = q&. Но с (КР")= — (я + 1) <*>>
так что с (LD) + с (Км) = (<7 — я — 1) °> и (7) сводится
к неравенству q>n+l. Таким образом, условие В
представляет собой обобщение классического условия
ЦЪ> U о числе точек.
Обозначим через L] = Ld1 линейные расслоения
дивизоров Dj9 из которых состоит D, и через $/ сеченая
$?Щ расслоений такие, что их. дивизоры Ds =■= DJt Т$к
как функции перехода расслоения L = LD представляют
собой произведения функций перехода L/, то на L/ мож-

108 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
но выбрать эрмитовы метрики А/ так, чтобы
произведение h = h\ ... hq было метрикой на L, для которой
форма Чженя Ch = c(LD). Через ||s/||2 = A/|s/|2
(локально) мы обозначим эрмитовы квадраты модулей
сечений s/ (в отличие от |s/|2, они определены глобально,
см. § 2) и с их помощью построим на M\D
сингулярную форму объема с особенностью на D:
V-- ~ . (8)
П (1П || 5/И2)21| 5/||2
где Q — форма объема М. Условия А и В позволяют
установить следующие важные для дальнейшего
свойства этой формы:
Теорема 1. Если дивизор D удовлетворяет
условиям А и В, то при надлежащем выборе формы Q
сингулярная форма объема (8) обладает свойствами*):
a) Ric ¥ > 0, b) (Ric W)n > W, с) J (Ric W)n < oo. (9)
M\D
^ Из (8) имеем на М \ D
Ric ¥ = Ric Q - f, ddc In || s,\p-£ ddc In (In || s, IP)2,
/-i /-1
причем ddc\n\\sjf = ddc\nhf и в силу нашего выбора
я
метрик — X) ddc In || $} f = ch = с (LD) — форма Чженя
метрики A, a Ric Q = с (Км)> так что последнее
соотношение переписывается в виде
Ric V - с (LD) + с (Км) - 2 fj ddc In (In || sf IF). (10)
По условию В сумма первых двух членов в правой
части — положительная форма, которую обозначим
*) Форма Ric Ч? определяется на М \ Д как выше Ric й, путем
сравнения ее с локальной евклидовой формой объема; условие
Ь) означает, что (Ric4f)n — Y, где (Ric \Р)" —внешняя степень,
есть неотрицательная (л, л)-форма.

§ 5. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
109
через So. Далее, по элементарной формуле
Мс 1п(1п,. n_ <**l;t _ «пп|«,Гл*ч«|Г
ДМп(1п|«,Г) ln|(s/(f (|n||s/||2)2 ,
а умножая метрики А/ на постоянные (что не изменит
их форм Чженя), можно считать, что все ||s/|| < б, где
б< 1; тогда первый член здесь будет непрерывной на
M^sD формой и из (10) получим неравенство
асчг>сА+2£ (ln((s/||2)2 , (п)
где сх — некоторая положительная постоянная. Так как
форма dp Л dcp = -^-dp Л др^О для любой
вещественной функции р (соответствующая ей эпмитова форма
равна |фР), то сумма в (11), как и сД, —
положительная форма. Свойство а) доказано.
Для доказательства второго свойства выберем
в окрестности U произвольной точки реМ локальные
координаты w = (wif ..., wn) с началом в р так, чтобы
D/ \и = {ш/ = 0}, / = 1 > ..., /я, — это можно сделать
на основании условия А (если Df\U = 0, то
доказываемая ниже оценка (RicxF)rt>c4f с некоторой постоянной
тривиальна). В этих координатах || Sy ||2 = ру| аду |2, где
р/ > 0 — гладкая функция, так что
dln\\Sj\? Ad4n\\Sitf = ^dln\\sff Ad\n\\sf\? =
i dm, Adw, + Af
—W |ш;р ' 0-1..... «).
где Ay = | wy p I —^-s—L H - L H L 1 — гл ад-
V P/ P/«/ Р/ш/ /
кая форма, обращающаяся в 0 в точке р.
Следовательно, первые т слагаемых в сумме в (11) допускают
оценку
/ dwi A dwj + Лу dwj A dw^ + Лу
^1^ШЫ>с4~¥ЫТЫ

ПО Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
с некоторой постоянной с2 > 0. Остальные члены в
правой части (11) образуют положительную (1, 1)-форму
и, значит, оцениваются снизу евклидовой метрической
формой с некоторым положительным множителем сг.
Таким образом, имеем оценку
Ric Ч? > c2i У -г-1 о4 ? + с3Ут- dwv Л dwv,
't=[(ln\\sfty\\sf\i
v-l
откуда
( 2 dwv Л dwv ) 4- Л
П(,п1И/1Р)2Н5/112
где Л — гладкая (л, я)-форма, обращающаяся в нуль
в точке р, а сА > 0 — постоянная. Немного увеличивая сА
и уменьшая окрестность U, форму Л здесь можно
отбросить. С другой стороны, из (8) видно, что в U
справедлива оценка
( У dwv л dwv )
с некоторой постоянной съ > 0 (напомним, что в U
функции S/ Ф 0 при / > т), и, значит, там (Ric4T > cj¥,
где Cq > 0 — постоянная. Покрывая многообразие М
конечным числом таких окрестностей (оно компактно),
докажем, что (Ric4f)n>c4f на всем М с некоторой
постоянной с > 0. Остается заметить, что замена
формы Q на cQ (не меняющая Ric Ч?) позволяет
.считать с=19 и свойство Ь) доказано.
Для доказательства свойства с) воспользуемся теми
же локальными координатами w и заметим, что в них
(Ric40n=- в
g(4-/f)W

§ 5. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
111
где в — гладкая (я, п) -форма. Поэтому интеграл от
(RicY)" в окрестности дивизора D локально оцени*
вается произведением сходящихся интегралов вида
где Uf — круг с центром wj = О ►
Заметим, что в случае /1 = 1, когда М = £/—
единичный круг и D = {0}, форма 4f совпадает с формой,
определяющей инвариантную метрику проколотого
круга £/,= {0< |z| < 1}
ш * &г Л dz
Т==: 2я | г |* (In | z |2)2
(см. ШН, стр. 315). Сингулярная форма объема (8)
является прямым обобщением последней.
7. Предварительная формулировка. Мы по-прежнему
рассматриваем невырожденное*) голоморфное
отображение /: Сп-+М в компактное комплексное
многообразие той же размерности и считаем, что на М задан
дивизор D = 2 D/, удовлетворяющий условиям А и В.
По теореме 1 на M\D можно построить сингулярную
форму объема "V и с ее помощью определить
сингулярную характеристическую функцию
г
ff(r) = \^-\r(^cW)A(^-\ (12)
о Bt
где coo — однородная метрическая форма в Сп (см. § 1).
Связь этой функции с другими величинами мы
выясним позже, а пока заметим лишь, что она, как и
обычная характеристическая функция, возрастает с ростом
т и при г ->■ оо стремится к бесконечности не медленнее,
чем In r,— это следует из того, что под знаком
внутреннего интеграла в (12) стоит положительная в силу
теоремы 1 форма /* (Ric 4я).
*) Невырожденность / здесь означает, что якобиан /;(z) щ& Q,

П2 Гл. И. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
Для формулировки второй основной теоремы нам
нужно еще ввести понятие дивизора стационарности
отображения /, т. е. множества его критических точек:
Sf = {z®en: /f(*) = 0} (13)
(Jf — якобиан отображения f). В предварительной
форме эта теорема выглядит так:
Теорема 2. Пусть f: С/1-+М — невырожденное
голоморфное отображение в n-мерное компактное
комплексное многообразие и D — дивизор на М,
удовлетворяющий условиям А и В. Тогда
ff (г) + N (S,, г) - Nf (/>, г) + * (г), (14)
где Tf — сингулярная характеристическая функция, N —
считающие функции, а % — остаточный член, который
выражается по приводимой ниже формуле (16).
^ Построим по теореме 1 сингулярную форму
объема, соответствующую дивизору Д и пусть ее
прообраз
гег)-*ф„ (is)
где Фг — евклидова форма объема в С.я.
Неотрицательный множитель |, очевидно, равен 0 на дивизоре
стационарности Sf и равен оо на прообразе f~{(D)
дивизора Z). Вне этих множеств по определению формы
Риччи Ricf*(4r) = /*(Ric4f) = ddc In g в классическом
смысле, следовательно, в смысле потоков имеется
равенство
*dc ini~ r mw+Sf-г1 Ф),
которое представляет собой вариант формулы
Пуанкаре— Лелона (см. § 3). Если, рассуждая как при
доказательстве первой основной теоремы, умножить обе
части на форму ovp1 и логарифмически усреднить по
шару Вг, то получится соотношение
г
J Ц- \ ddc In | Л К"1 - Ь (г) + N (Sf, г) - N, (D, г).
о Bt

§ 5. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
113
Левая его часть преобразуется по лемме 2 из § 1 к
интегралу по сфере 5г, который обозначим через
R(r) = j\lnl'0 + 0(l) (16)
и тогда придем к формуле (14) ►
Чтобы перейти от теоремы в предварительной форме
к теореме, допускающей применения, нужно оценить
остаточный член К (г). Сделаем это в несколько этапов.
а) Введем величину
г
^('•) = $7^г$^1Ч"' (17)
О Bf
где % определяется формулой (15), ф0 —евклидова
метрическая форма, а с — положительная постоянная,
зависящая лишь от я, и покажем, что в условиях
теоремы 2
?(г)<7>(г). (18)
П
В самом деле, пусть f* (Ric ЧР") = -— ^Г Rik dzf A dzk;
/, fe-i
по теореме 1 это — положительная форма, и, значит,
матрица (RJk) = <% положительно определена. Согласно
(15) и той же теореме
§фг = р (чг) < (Г Ric W)n = n! det Я . Фг,
откуда g<tt!det$. Но по известному неравенству
Адамара для положительно определенных матриц
(det Я)**" <— tr Я, так что
/-1
С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ф^1 — (Я — 1)1 J] (-5JJ-) tfej Л
/-1
Л dz{ Л... Л... Л dza Л dz*, откуда /*(Ric f) Л Ф?'1 =^

114 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
= (п — 1)! £ #//Фо и» значит,
Г(Шс^)ЛФГ1>^1/пФ?
с постоянной c = (/zl)l~1/n. Далее, повторяя переход
в § 1 от (19) к (20), определение (12) можно
переписать в виде
Г
?гМ-$-аёт$Г(Юс*)ЛФГ!
о Bt
и остается сравнить это с определением (17).
б) Для следующей оценки нам понадобится
свойство выпуклости логарифма*)t по которому для любой
положительной меры d[i и положительной
интегрируемой функции h
7^.JlnA^<ln{iriBrjA^}. 09)
Е V Е '
Применяя это свойство к определению (16) с учетом
того, что интеграл формы а по сфере Sr равен 1,
получим
*(г) = | $ln(c£*'*)a + 0(l)<-~ln \с1"»о + 0(1). (20)
*) Дискретный аналог (19) получается логарифмированием
неравенства между средним геометрическим и средним арифметриче-
ским. Для доказательства (19) обозначим с = —Гт"\^Ф и S =*
И» \&) J
В
*=> h — c. Имеем, очевидно, \ g d\x — 0 и In Г1 + ~ J <-y , ибо
Е
о
— >— 1. Поэтому
я я я

§ б. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
115
Теперь воспользуемся тем, что евклидова форма объема
фг = г2п~1а Л dr, ибо а — однородная форма площади
сферы, и, значит,
sr вг
Но, согласно (17),
вг вг
так что оценку (20) можно переписать в виде
™<тЧ^^(г2п-1£)}+0{1)- (21)
в) Чтобы избавиться в полученной оценке от
производных, нужно воспользоваться следующей леммой
в стиле классической теории Неванлинны:
Лемма 1. Пусть g и h — непрерывные
положительные функции на R+ = (0, оо). Тогда для любой
возрастающей функции F: R+ -*- R+ класса С1 вне открытого
множества £cR+, для которого
оо
\ S (г) ^г ^ \ Ypr с каким-либо г0 > 0,
В г.
справедливо неравенство
F'(r)^g{r)h{F(r)). (22)
4 Пусть £={ге^:^(г)>г(г)h(F(r))}—
множество, для которого (22) несправедливо. Оно открыто
в силу непрерывности участвующих в неравенстве
функций и
оо
В В F(E) r0
где r0 = inlF(E)—число, которое без ограничения
общности можно считать положительным ►

116 Гл. HI. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
Полагая, в частности, g(r) = г6 и ft (г) = га, где б
и а > 1 — постоянные, мы получим, что
F'(r)^r6(F(r))a (23)
вне множества Е = £(а, б), для которого
\гЫг <оо. (24)
в
Множества, удовлетворяющие последнему условию, мы
будем называть множествами конечной h-меры (при
б = —1 — конечной логарифмической меры).
ИТ
Применяя (23) к возрастающей функции r2n~1-jf- =
= \ с|1/п<р£ (см. (17)), получим оценку
вг
а то же неравенство (23), примененное к возрастающей
функции Т, дает, что
-f-<r6(f(r))a вне Е.
Если подставим полученные оценки в (21), то найдем,
что
^(г)<^1п{г(а+1)б+(2й-1)(а-1)(Г(г))а,} + 0(1) вне В.
Теперь фиксируем е > 0, подберем б > 0 так, чтобы
было б(2+|-) + (2А1- ^4—"Г (тогда * —*(в)-*0
при е->0), и положим а= 1 + 6/2. Тогда предыдущее
неравенство примет вид
#(r)<elnr + -^lnf(r)+0(l) вне Б.
Учитывая еще неравенство (18), мы получим
следующий результат, дополняющий теорему 2:
Теорема 3. В условиях теоремы 2 для любого
е > О найдется число б = б (е) -*• 0 при е ->■ 0 и мно-

§ 5. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
117
жество Е = Е(г) значений г конечной 8-меры такое, что
j?(r)<elnr+0(lnff(r)) вне E. (25)
8. Основная формулировка. Здесь мы приведем
формулировку второй основной теоремы, более близкую
к классической. Для этого прежде всего слегка изме-
я
ним обстановку: вместо дивизора D = £ Dt,
удовлетворяющего условиям А и В, мы рассмотрим над М
положительное линейное расслоение L и q дивизоров
Df его голоморфных сечений S/ таких, что:
a) Du ..., Dq — многообразия, пересекающиеся в
общем положении-,
b) qc(L) + с{Км) > 0, где Км— каноническое
расслоение.
Новая формулировка основана на лемме, которая
выражает связь сингулярной характеристической
функции Tf с характеристическими функциями расслоения L
и канонического расслоения /См.
Лемма 2. В принятых условиях для любого
невырожденного голоморфного отображения f: .С/ ->- М
справедливо неравенство
0<qTt(L9r) + Tf(KM.r)-ft(r)<
<? In 7>(1, г)+ 0(1). (26)
<4 Дивизор D = Jl Df определяется сечением
s*=*si ... $q расслоения LD = Lq, характеристическая
функция которого Tf(LD, r) = qTf(L, r). Этот дивизор,
очевидно, удовлетворяет условиям А и В, поэтому для
него справедливо соотношение (10):
Ric V - с (LD) + с (Км) - £ ddc In (In || s, IP)2.
Переходя в этом соотношении к прообразам при
отображении /, а затем умножая обе части на ooj-1 и ло-

118 Гл. И. ТЕОРВМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
гарифмически усредняя по шару Вп мы находим
Tt(r)-qTt{L,r) + Tt(KM,r)-
q r
/-10 Bt
Как и выше, все ||sy|| считаем достаточно малыми,
так что In (In || S/о/||2)2 = 2 In In (1/|| 5/о/|р) и тогда по
лемме 2 из § 1 последнее равенство можно переписать
в виде
qTf (L, г) + Tf(KM, г) - ft(г) = £ \ InInj™ a. (27)
/=isr " 1 г
По той же причине все подынтегральные функции здесь
положительны, что и доказывает левое неравенство (26).
Для доказательства правого неравенства
воспользуемся свойством выпуклости логарифма (19) и
получим из (27)
qTf(L, r) + Tf(KM, r)-ft(r)<
q г q
<Eln JlnT^TF0=aS,nmf(D/>r) + (7ln2,
/-1 Sr " ' " 1*1
где mf(Djt r)—приближающая функция дивизора Z)/
(см. формулу (4) § 4). Применяя к расслоению L
первую основную теорему и учитывая неотрицательность
считающих функций Nf(Diyr)y получим, что mf(Djyr) <
^ Tf (L, г) + 0(1), и тогда правая часть последнего
неравенства оценится сверху величиной
qln(Tf(L9 r) + 0(l)) + ?ln2 = <7ln7>(L, г)+ 0(1) >
Из доказанной леммы вытекает следующая асимп-
тотическая формула для сингулярной
характеристической функции:
Г, (г) - qTf (L, г) + Tf (Км, r)+0 (In Tt {L, r& (28)
Теперь нетрудно доказать и вторую основную теорему
в формулировке, приближенной к классической.

§ Б. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
119
Теорема 4. Пусть L — положительное линейное
расслоение над n-мерным компактным многообразием
М и Du ..., Dg —дивизоры его голоморфных сечений,
удовлетворяющие условиям а) и Ъ). Тогда для любого
невырожденного голоморфного отображения f: 'СЛп-+М
qTf(L,r) + Tf(KM,r) + N(Shr) =
= iNf(Df,r) + R(r), (29)
где Км — каноническое расслоение над М, Sf —
дивизор стационарности /, а остаточный член R допускает
следующую оценку: для любого г > 0 найдется 6 =
= 8(e)-*-О при е-^0 и множество Е значений г
конечной Ь-меры такое, что
/?(r)<elnr + 0(ln7>(Z,, r)) вне Е. (30)
я
Л Дивизор D = Yj D/ голоморфного сечения
положительного расслоения Lq удовлетворяет условиям А
и В теоремы 2, а по лемме 2, условия которой также,
очевидно, выполняются, можно воспользоваться
формулой (28). Таким образом, мы можем в (14) заменить
Tf(r) на qTf(Ltr) + Tf(KM,r), допуская погрешность
порядка О (In Tf(L, r)). Если включить эту
погрешность в остаточный член К (г), заменив его на
R(r) = R(r)+0(lnTf(Lt r)), (31)
я
и заметить, что Nt(D, r)= У, Nf(Dh r), то (14) перепи-
шется в виде (29).
Чтобы оценить /?(/*), воспользуемся тем, что
многообразие М компактно, а формы c(L) и с (Км) имеют
непрерывные коэффициенты, причем первая из них по
условию положительна. Поэтому существует постоянная
V > 0 такая, что всюду на М справедливо неравенство
—yc(L) ^с(Км) ^ус(Цу из которого обычным путем
получается оценка
-yTf(L, r)^Tf(KM, r)^yTf(L, r).

120 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
Из нее и ив неравенства Tf(r) ^ qTf(L,r) +Tf(KM>r),
фигурирующего в лемме 2, заключаем, что
0<ff{r)<(q + y)T,(Ltr). (32)
Это неравенство позволяет заменить оценку #,
полученную в теореме 3, на следующую:
R (г)< е In г + О (In Tf (L, г)) вне Я,
и теперь формула (31) приводит к (30) ►
В случае М =РЛ с гиперплоским расслоением L по
формуле (6) имеем Tf (Км, г) =» — (п -f l)Tf(r), и для
любых q > п + 1 гиперплоскостей Hj в общем
положении соотношение (29) принимает вид
(g-n-l)Tf (г) + N(S,, г) = J) Nf(Я„ r) + R(r). (33)
При п = 1 это — классическая вторая основная
теорема (см. формулу (1)) с иной трактовкой дивизора
стационарности.
Замечание 1. Как и в классическом случае, для
отображений конечного порядка остаточный член
допускает оценку
* (г)-О (In г), (34)
справедливую всюду, а не только вне исключительного
множества. В самом деле, для отображения / конечного
порядка р имеем по определению 7>(£, г)=0(г?), так
что погрешность при замене Tf на qTf(L) + ^(/См) no
лемме 2 имеет порядок In г и остается оценить £.
Для этого мы сначала выберем б ^ р — 1 в лемме 1
и, действуя, как при доказательстве теоремы 3, получим
вместо (25), что вне некоторого открытого множества Е
конечной б-меры справедлива оценка *)
R (г) < с In г + О (In ff (г)) — О (In г), (35)
ибо по формуле (32) в нашем случае Тf (г) = О (гр) .
Пусть теперь гей и а/ < г < Ь/, где (а/, &/) — один
*) В отличие от доказательства теоремы 3, число б не
подбирается, а задается, так что перед In г вместо е появляется
множитель О 0.

§ 5. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
121
из интервалов, из которых состоит Е. По формуле (14)
с учетом возрастания функций Тf и N
R(r) = b(r)+N(Sf, r)~Nf(D, r)<
<ff(6/) + ^(5f, b^-NfiD, a,)=.
= R (b,) + Nf (D, b,) - Nf (D, a,). (36)
Так как bt&E, то в силу (35) R {bj) = О (In bj), a
*/
Nf (A b}) - Nf (D, a,) = \ -^-^ dt < \ ^£li dt (37)
cij Б
(определение щ см. в § 2). Далее, в силу неравенства
Неванлинны Nt(D, r)^Tf(Lq9 r)+0(1) у нас Nt(D9 г) =
= 0(гр), и, значит, по свойству возрастания nf
2t
nf(D, 0<т^а J ^^-dx^-^-NfiD, 2f)<c/
t
а некоторой постоянной c\ > 0. Подставляя это в (37)
и пользуясь тем, что множество Е имеет конечную
в-меру и у нас р — 1 ^ 6, получаем
Nt(D9 b,)-Nf(D, a,)<C! J/p"1d/<c, \tbdt = 0{\)\
E E
теперь из (36) видно, что R (г) — О (In bj). Остается
заметить, что
ln*,«lnr+J -y"<ln/:+ \t6dt = \nr+0(l),
г Е
и мы получаем нужную оценку R (г) = О (In г) |
Замечание 2. В нашем доказательстве второй
основной теоремы существенно использовалось условие
я
Ь) на дивизор D «= У Z)/t вогласно которому
?с (L) + с (/См) - с (Lj,) + с (/Слг) > 0.

122 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
Именно это условие позволяет построить сингулярную
форму объема *Р, лежащую в основе доказательства.
В случае гиперплоского расслоения над Рп это условие
сводится к неравенству q > п + 1. Но из формулы (33)
видно, что если оно не выполняется, то утверждение
теоремы не нарушается, а лишь становится
тривиальным. Заметим, что и в общем случае положительного
линейного расслоения L-+M утверждение теоремы
остается справедливым при соблюдении одного лишь
условия а).
В самом деле, можно добавить к D дивизор /У,
состоящий из пересечения с М достаточного количества
гиперплоскостей пространства Р^, в котором лежит М,
так, чтобы дивизор А = D + D' удовлетворял уже
обоим условиям а) и Ь). Тогда по теореме 4
Tf(U, г) + Tf (Км, r) + N (Sf, r) = Nf (А, /•) + /? (г) (38)
с оценкой /?(/•)< в In г + О (In Tf (L&, г)) вне множества
конечной 6-меры. Но по первой основной теореме для
расслоения LA
Tf(U, r)-tff(A, r) = mf(A, r) + 0(1),
а так как mf(A, r) = mf(D, r) + mf(D't r)^mf(Dt r)
в силу (7) § 4 и того, что mf(D't r) можно считать
неотрицательной, то
Tf(U, r)-Nf(A, r)>mf(D, r)+ 0(1) =
= Tf(LDy r)-Nf(D, r) + 0(l)
(мы воспользовались первой основной теоремой для Ld)-
Поэтому в (38) можно заменить Tf(LA,r) и Nf(Afr)
соответственно на Tf(LDir) и Nf(D,r), включив
возникающее при этом справа неположительное слагаемое
в остаточный член R(r). Остается лишь доказать, что
в оценке этого члена Tf(LAyr) можно заменить на
Tf(LDtr). Но в силу компактности многообразия М,
гладкости форм Чженя c(Ld) и c(La) и их
положительности существует постоянная А > О такая, что c(LA) ^
^Ac(LD). Отсюда по определению характеристической
функции следует неравенство Tf(LAy r) ^ ATf (LDl r) +
+ 0(1), из которого видно, что величина О (In Tf(LAfr))
является также и О (In Tf(LDf r)) |

§ 6. ТЕОРЕМА ПИКАРА. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ 123
§ 6. Теорема Пикара. Соотношение дефектов
9. Теорема Пикара. Мы уже говорили, что вторая
основная теорема теории распределения значений
приводит к результатам типа теоремы Пикара, в то время
как первая — лишь к результатам типа теоремы Сохоц-
кого. В качестве первого следствия пикаровского типа
укажем такой результат:
Теорема 1. Пусть на компактном п-мерном
комплексном многообразии М задан дивизор D, который
представляет собой объединение q многообразий Df
в общем положении и LD — расслоение этого дивизора.
Если форма Чженя LD удовлетворяет условию
c(LD) + c(KM)>0, (1)
где Км — каноническое расслоение, то любое голоморф-
ное отображение f: &n ->■ M\D вырождено.
<4 Если / невырождено, то в принятых условиях
справедлива вторая основная теорема в первой
формулировке, так что ff (г) + N (Sf, г) = Nf (D, r) + R (г), где
по формуле (25) § 5 для любого в > О
£(r)<elnr+0(lnff(r))
вне множества £cR+ конечной б-меры. Но N(Sft г)>0,
а по условию Nf(D, г) = 0, ибо f не принимает
значений из дивизора D, поэтому вне Е
?f(r)<elnr + o(7>(r)).
Так как е произвольно, такое неравенство невозможно ►
В частности, для гиперплоского расслоения над Рп
условие (1) выполняется, если дивизор D состоит из
я+ 2 гиперплоскостей в общем положении, ибо, как мы
видели в § 5, в этом случае c(LD) = (п + 2) со, а с (Км) =
=—(я+ 1)ю. Поэтому справедливо
Следствие. Голоморфное отображение f: С/1 -> РЛ,
не принимающее значений на п + 2 гиперплоскостях в
общем положении, вырождено.
При п = 1 роль комплексных гиперплоскостей
занимают точки Р1 = С и следствие утверждает, что меро-
морфная функция, не принимающая трех различных
значений, вырождается в постоянную. Это — малая теорема

124 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
Пикара, так что теорема 1 представляет собой много-
мерное обобщение последней.
10. Примеры. Приведем примеры, показывающие
точность полученного результата.
Пример 1. Пусть М=Рп и дивизор D = 2J Н,
/-1 '
представляет собой объединение q гиперплоскостей в
общем положении. Как мы только что указывали, здесь
c(LD)+c(KM) = (q — n— 1)0 и условие (1) сводится к
неравенству q > п + 1. При q = п + 1 утверждение
теоремы 1 может оказаться неверным: невырожденное
голоморфное отображение /: <0->-Рл, определяемое в
однородных координатах [шо, ..., wn] по формуле
/(*) = [1, А ••-, егп\ (2)
где z = {zu ..., zn), не принимает точек дивизора D =
п
— 2 {^/ = 0}, состоящего из п + 1 гиперплоскости в об-
щем положении. Этот пример показывает
существенность условия (1).
Пример 2. (Б. Шиффман [3]). Пусть ЛГ = Р2 и
D — {[до] е Р2: до# — o^ayf -1 = 0}. При любом q > 1
существует невырожденное голоморфное отображение
f(z) = [l, aO-dft + e*. e*i] (3)
С2 в Р2 такое, что /(С2) не пересекает дивизора £>
(в самом деле, ш# — wxw%-l*= I -—(I -f е*24"1*"-"1**1) ^ 0).
Дивизор D эквивалентен дивизору, состоящему из
бесконечной прямой Яео с кратностью q, ибо отношение
(о# — до^""1)/^ представляет мероморфную в Р2
функцию, следовательно, c(LD) — q<d.
При <7^3 здесь нарушается условие (1), а при
<7^3 дивизор £> перестает быть многообразием— у него
появляются критические точки. В самом деле,
например, в локальных координатах x = wQlwh y^^w^Wx
области Ux = {[w] <= Р2: wx ф 0} уравнение D имеет вид
ф(л:, у) = хе* — t/<?-1=0 и градиент Уф^^"1, — (q— 1) z/*~2)
при ^^3 обращается в нуль в точке л; = #==0 (в
частности при q — З дивизор D есть полукубическая
парабола х? = у2). Таким образом, при q>3 этот пример

§ б. ТЕОРЕМА ПИКАРА. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ 125
показывает существенность условия, что дивизор D
состоит из многообразий.
Пример 3 (М. Грин [3]). Пусть по-прежнему
М = Р2, а дивизор D = {wQ = 0} U {w{ = 0} U {(w0 — щ) Щ +
+ (wo + W\f === 0} представляет собой объединение трех
многообразий Dj: кривой второго порядка без
критических точек и двух некасательных к ней комплексных
прямых. Невырожденное отображение
f(z)-[l, е\ «* + 3+4 Д^ j
(4)
С2 в Р2 голоморфно (ибо 1 — e^Zl^Zi = —-(е21 — \)z2-
—of(^2l — l)2j2ri — ••• Делится на eZl — 1) и не
принимает значений на D (ибо w0 ф 0, w{ ф 0 и (ад0 — ^0ш2 +
ЧЧ^о + <0i)2 = 4^-0 * ^ о).
Здесь дивизор D эквивалентен дивизору, состоящему
из бесконечной прямой с кратностью 4, так что c(Ld) +
+ £(Км) = со > 0 и условие (1)
выполняется. Нарушение условий
теоремы 1 состоит в том, что
многообразия D/ пересекаются не в общем
положении. В самом деле, дивизор
D имеет три точки самопересечения:
две из них, [1, 0, —1] и [0, 1, 1]— [0,оЖ
двойные (как и надо для общего
положения в Р2), а третья [0, 0, 1]
— тройная и в ней нарушается
условие общего положения (рис. 5). Таким образом, и
это условие является существенным |
Замечание. Отображение (4) бесконечного
порядка, а невырожденных отображений /: C2->-P2\Z)
конечного порядка не существует. В самом деле, пусть
такое отображение имеет вид / = [1, /ь /2]. Так как
f 1 Ф 0 и конечного порядка, то f\ = ер, где Р — полином
от г = (гь г2), а из условия (ад0— w\)w2 + (w0 + гю\)2Ф
Ф0 следует, что (1 — ep)f2 + (l + ep)2 = е<*, где Q —
также полином, ибо f2 конечного порядка. Отсюда
/2 = ; р »
\-ер

126 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИИ
а так как /2 целая, то при ер = 1 должно быть eQ = 4.
Таким образом, на линиях уровня Р = 2kni {k = 0,
±1, ...) полином Q принимает постоянные значения,
л д(Р9 Q) л
откуда следует, что на этих линиях якобиан Л( у. = 0.
Этот якобиан — полином и обращается в 0 на
бесконечном множестве комплексных кривых,
следовательно, он тождественно равен 0. Но тогда и якобиан
d(h, М д(/ь /,) д (Р, Q)
д (ягь г%) д (Р, Q) д (ги z2)
= 0,
т. е. отображение / вырождено.
Итак, дивизор D из примера 3 обладает интересным
свойством: голоморфное отображение С2 в его
дополнение P2\D либо вырождено, либо имеет бесконечный
порядок. Сколько-нибудь общих результатов такого
рода еще нет 1
11. Соотношение дефектов. Пусть дано голоморфное
отображение / из О в компактное я-мерное
комплексное многообразие М, над которым задано
положительное эрмитово расслоение L. Согласно первой основной
теореме для дивизора D любого голоморфного сечения
этого расслоения сумма считающей функции Nf(D,r)
и приближающей функции rrif{Dir) с точностью до
ограниченного слагаемого одинакова и равна
характеристической функции Tf (L, г). Как мы скоро увидим,
для «большинства» дивизоров второй член этой суммы
мал в сравнении с первым, т. е. величина
md>-b»4$#-i-ie-?££. <8>
гТ& М ' ' г-»00 f{ ' П
которая называется дефектом дивизора D при
отображении f, равна нулю. В соответствии с этим дивизоры
D, для которых 6f {0)Ф 0, называются
исключительными.
Из неравенства Неванлинны Nf (£>, г) ^ Tf (L, г) +
+ 0(1) следует, что для всех дивизоров 6f (D) ^ 0, а из
положительности Nf и Tf — что 6;(D)^1. Если образ
f(O) совсем не пересекается с дивизором D, то
/Vf (£>, г) = 0 и, значит, дефект такого дивизора
максимален, он равен 1. Далее, для обильных расслоений
усредненный дефект оказывается равным нулю:

$ §. ТЕОРЕМА ПИКАРА. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ 127
Теорема 2. Если L-+M — обильное расслоение
и f: Cn-+M — невырожденное голоморфное
отображение, то
J df(D)rfn(D)-0, (6)
pN
где PN — проективное пространство дивизоров
голоморфных сечений L, а \к — инвариантная мера на этом
пространстве, [x(PN)= 1.
<4 По формуле Крофтона (23) § 3
Tf(Ltr)= J Nf(Dtr)dn(D)
pN
или
Отсюда по известной лемме Фату о предельном переходе
под знаком интеграла
J 6f(D)dMD)<jM \ (l -M^)dMD)
pN рЛ '
и в силу неотрицательности дефектов получаем (6) ►
Отсюда следует, что для обильных расслоений
исключительные дивизоры (для которых 6f(D)>0)
образуют множество меры 0. Таких дивизоров,
следовательно, сравнительно мало, и пересечение каждого из
них с образом /(О) меньше обычного. Этот результат
усиливает теорему Сохоцкого (теорема 4 § 4), ибо
дивизоры, которые не пересекаются с /(СЛ), имеют
максимальный дефект и, значит, являются
исключительными.
При доказательстве теоремы 2 использовалась лишь
первая теорема, и это привело к результату типа
теоремы Сохоцкого. При доказательстве следующей
теоремы будет применена вторая основная теорема, и это
Даст более сильный результат пикаровского типа.
Теорема 3 (соотношение дефектов). Пусть
даны невырожденное голоморфное отображение /: Ся->
Ш^М в компактное n-мерное комплексное многообразие

128 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
М и положительное эрмитово расслоение L-+M. Тогда
для любого набора дивизоров Df голоморфных сечений
L, где Df— многообразия, пересекающиеся в общем
положении,
Z *f (Df) + 9f < inf {A, e R: %c (L) + с (KM) > 0}, (7)
где 9f = lim N(Sf, r)/Tf(L, г) — индекс стационарности f.
r->oo
^ Обозначим правую часть (7) через %о, тогда при
Я > Ко будет выполняться неравенство Xc(L) + с (Км) >
> 0 (у нас по условию c(L)>0). Умножая его на
форму cdJ""1 и логарифмически усредняя по шару ВГу
получим, что характеристические функции расслоений L
и Км удовлетворяют неравенству
XTf(Lyr) + Tf(KM,r)>c (8)
с некоторой постоянной с > 0.
Далее, так как некоторая степень положительного
расслоения обильна, то по теореме 2 существует
достаточно много дивизоров голоморфных сечений L с нуле-
я
выми дефектами. Добавляя их к D = 2] Dy, увеличим
7я» 1
число ?, не меняя величины суммы в левой части (7);
по-прежнему можно считать, что все Df— многообразия
в общем положении. Таким образом, без ограничения
общности можно предположить, что qc(L) + с(Км)> 0,
и тогда будут выполняться условия второй основной
теоремы в классической формулировке (теорема 4 § 5).
В силу этой теоремы вне некоторого множества Е
конечной б-меры
qTf(L, r)-Nf(D, r)<
< - Г, (Км, r)-N (Sf9 r) + е In r + О (In Tt (I, г)). (9)
По определению дефектов
f, /n ч р- ЛГу(Дг) Mrn qTf(L,r)-Nf(D, r)
> 6f(Ш = ? — hm /„ и = ит —i—__—I .
Так как множество Е конечной б-меры, то оно не может
содержать никакого луча (г0, <х>), и, значит, найдется

$ б. ТЕОРЕМА ПИКАРА СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ 129
последовательность значений г*->оо, гкфЕ. К этой
последовательности можно применить неравенство (9),
и тогда получим, что
V «,№,)< Urn -?1«М'Г) - Ш ^f+elim J*!-*
(10)
/ „ t О (In 7\ (L, r)) \
(так как Tf(L, г)—>оо, то lim —~-tj—г—^=0).
V r->oo l f \L> П J
Остается заметить, что в силу (8)
Tf(L9 r) ^Л Tf(Lt r) •
и, значит, первое слагаемое справа в (10) не
превосходит Я. Второе слагаемое равно —9f, третье же всегда
конечно (оно отлично от нуля лишь для рациональных
отображений) и в силу произвольности е его можно
отбросить. Мы заключаем отсюда, что
£в(Я/) + е,<я,
и, устремляя Я к Х0, приходим к неравенству (7) ►
В частности, для гиперплоского расслоения над Рп
форма Чженя c(L) — со, а с(/Ср«) = —(я + 1)©,где со—
форма Фубини — Штуди (см. § 5), так что правая часть
(7) равна п+1, и мы получаем (отбрасывая слева
неотрицательное слагаемое 9f)
Следствие 1. Для любого невырожденного
голоморфного отображения f: Ся-> РЛ и любого набора
гиперплоскостей Hj в общем положении сумма дефектов
tbfW,)<n+L (11)
/-1
Это следствие, очевидно, сильнее, чем следствие
теоремы 1. При п= 1 оно совпадает с классическим
соотношением дефектов, по которому для любой
непостоянной мероморфной функции / и любой системы
различных точек а/еС сумма дефектов
g6f(a/)<2.
5 Б. В. Шабат

130 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
Из последнего неравенства, в частности, вытекает малая
теорема Пикара: любая мероморфная функция, не
принимающая трех различных значений из С, постоянна.
Следствие 2. Пусть D — дивизор в Рп, который
представляет собой алгебраическое многообразие (без
особенностей) степени q. Тогда для любого
невырожденного голоморфного отображения f: £^Я-*РЛ дефект
дивизора D
af(D)<-*±l. (12)
<4 Для расслоения L дивизора D имеем, очевидно,
c(L) = qcu9 а для канонического расслоения по-прежнему
с(/С) = —(/1+1)со. Поэтому правая часть (7) равна
(п+1)/я ►
Если степень дивизора q>n-\-\, то из (12) видно,
что его дефект 8f(D)< 1 и невырожденное отображение
/ не может выпускать такой дивизор. Условие
отсутствия особенностей у D существенно: пример 2 из п. 10
показывает, что невырожденное отображение может
выпускать дивизор сколь угодно высокой степени, если он
имеет особенности.
Следствие 3. В условиях теоремы 3 любое
множество исключительных дивизоров в общем положении
не более чем счетно.
<4 Пусть Е — такое множество, Х0 — правая часть
(7) и &= 1,2, Из неравенства (7) следует, что число
дивизоров D^E9 для которых 6/(D)^? 1/&, не
превосходит kXo и, следовательно, конечно. Отсюда следует
счетность Е ►
12. Пример. Нам понадобится формула,
связывающая характеристические функции голоморфного
отображения f: Cn-+M и его сужений на комплексные
плоскости РаСп, проходящие через начало координат:
если d\i — мера на грассмановом многообразии Q%
таких плоскостей коразмерности kt инвариантная
относительно унитарных преобразований О и такая, что
1*(02)-1. то
Tf(L,r)= \Ttp(L9r)d)i(P)9 (13)

§ 6. ТЕОРЕМА ПИКАРА. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ 131
где /р = f\p — сужение / на плоскость PeGt
Аналогичная формула справедлива для считающих функций
дивизоров D голоморфных сечений расслоения L:
Nf{D, r)= \Nfp(D,r)dii(P). (14)
Qi
Вывод этих формул основан на равенстве потоков
©*= \Pdn(P), (15)
Gl
которое доказывается точно так, как лемма 2 § 3, и мы
не будем повторять это доказательство. По определению
характеристической функции для фиксированной
плоскости Р е Gk
г
о Bt(\p
где ch — форма Чженя расслоения L. По теореме Фу-
бини
\ rfp(L, r)dv. (P)- j f \ (\rp(ch)dn(P)) л «г*"';
Gti О В^р\0п /
k k
представляя f*p(сЛ) = /*(ch)|p как произведение потоков
/*(сЛ)ЛЯ и пользуясь (15), перепишем последний
интеграл в виде
г
О Bf
и тем самым докажем (13). Соотношение (14)
доказывается аналогично.
Пример (Б. Шиффман [2]). Рассмотрим
отображение /: С2 -»- Р2, определяемое в однородных
координатах Р2 по формуле
/(*)-[1, **,**]. 06)
5*

132 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
Фиксируем комплексную прямую /: г = А£, где X е С2
и £e_G, и рассмотрим сужение на нее отображения
(16), т. е. голоморфную кривую
МО-И.***.**!. (17)
По формуле Альфорса (19) § 2 ее характеристическая
функция
7frW--sr(l*i 1 + 1 ** 1 + 1 Я, -А*1)+0(1). (18)
Характеристическую функцию отображения / можно
теперь найти по формуле (13):
rf(r)-$rf|(r)d|i(0. (19)
Pi
где Р1 — совокупность всех прямых /, а ф —
нормированная инвариантная мера на этой совокупности. Без
ограничения общности будем считать |А,|= 1 и
отождествим d\i с (нормированным) евклидовым элементом
объема сферы Si cz С2, определяемым, очевидно, формой
Пуанкаре а = dc 1п\Ц2 Л ddc \n\X\* (см. (31) § 1).
Тогда из (19) и (18) найдем
Tf(r) = -t \ (IM + I** i + U,—Я2|)а+ 0(1). (20)
'А*
2л
Для подсчета этого интеграла введем на Sx три
вещественных параметра: 0 е (о, ~ J и ть т2 е (0, 2я) по
формулам %i = sin QeiXl> %2 = cos QeiXi; тогда а =
= -^ sin 9 cos 9 dQ Л d^ Л dt2 и
2я 2я зх/2
4 $|Л1|0Г = 1^$ <М rfT^ sin29co30rf0 = ^-.
Si 0 0 0
Ту же величину имеет интеграл от | А21, а для подсчета
интеграла от |Я1 — Я2|, пользуясь инвариантностью о
относительно унитарных преобразований, сделаем
замену Хх — X2 = V2[Ab ^1 + ^2 = ^/2^2» так что
Si 5i

$ б ТЕОРЕМА ПИКАРА. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ 133
и тогда из (20) найдем
т?(г)=Цг1-г + 0(\). (21)
Дивизорами гиперплоского расслоения над Р2
являются комплексные прямые с однородными
уравнениями aoWo+ a\W\ + awi = 0, причем по формуле (20)
§ 2 дефекты могут иметь лишь те из них, в уравнениях
которых имеются нулевые коэффициенты. Существуют
три континуальных серии дивизоров с одним нулевым
коэффициентом:
D2a^{w2 + aw0 = 0}9 аЕС\{0},
и три дивизора с двумя нулевыми коэффициентами
£^ = {^ = 0}, / = 0, 1, 2. Для сужения // на
комплексную прямую /: z = А£ по формуле (20) § 2 при а Ф 0
считающие функции *)
МЛг)--Цг-г + 0(1),
^(Db,r).JiL=Mr + 0(l),
Nf(D*a,r)-№-r'+0(l).
Тогда по формуле (14), действуя, как выше, найдем
г (22)
^(^0-ца-г+о(1).
По определению (б) дефекты таких дивизоров равны,
таким образом,
«fW —в,(2Й) —V2-1, 6f(Di) = 3-2V2 (аФО).
(23)
*) В рассматриваемом здесь случае многоугольники из
формулы (20) § 2 вырождаются в отрезки и периметр ?' равен их
удвоений длине.

134 Гл. II. ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ
Дивизоры DI (/ = 0, 1, 2) не пересекаются с образом
/(С2) и, следовательно, имеют максимальный дефект:
bf(Di)=\.
Согласно соотношению дефектов (11) сумма
дефектов комплексных прямых в общем положении для
рассматриваемого отображения не превосходит 3. Эта
величина достигается для набора D£ (/ = 0, 1, 2); другие
наборы прямых в общем положении дают меньший
суммарный дефект. Отказываясь от условия общего
положения, можно получить суммарный дефект, больший 3,
что доказывает существенность этого условия. Заметим
еще, что при п = 1 условие общего положения не
требуется и Dj могут быть произвольными различными
точками. Отсюда при п = 1 легко вытекает, что
множество исключительных значений мероморфных
функций не более чем счетно. Из рассмотренного примера
ясно, что при п > 1 такое утверждение не имеет места:
множество исключительных прямых при отображении
(16) несчетно (хотя, конечно, любое множество
исключительных прямых в общем положении счетно согласно
следствию 3) 1

ГЛАВА III
ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
В этой главе мы рассмотрим основы теории
голоморфных кривых в комплексном проективном
пространстве. Как говорилось в предисловии, это первая во
времени тема многомерной теории распределения значений.
Начальный период ее развития отражен в книге Г. и
И. Вейлей [1] и в классической статье Л. Альфорса [2],
а двадцать лет спустя X. By в своей монографии [3]i
привел модернизированное изложение этой теории.
Предлагаемое изложение в основном следует
недавней статье Ф. Гриффитса и М. Кауэна [1], в которой
содержится еще одно прочтение работы Л. Альфорса,
Поскольку первая основная теорема теории
распределения значений в предыдущей главе рассмотрена с
достаточной общностью, охватывающей и случай кривых,
наше внимание будет сосредоточено на второй основной
теореме, которая там доказана лишь для отображений,
сохраняющих размерность.
§ 7. Присоединенные кривые
Переход к присоединенным кривым —одна из
ведущих идей в подходе Альфорса. Определим это понятие,
причем сначала остановимся на самом понятии
голоморфной кривой и введем необходимый алгебраический
аппарат.
1. Голоморфные кривые и их представление. Рас*
смотрим голоморфное отображение круга BR = {z e С]:
\z\<.R} в пространство Cf+l
f = (/o. ..-, fn): BR^Cn+\ (1)
гДе вектор f Ф 0. Вне множества £ = {2sB8: f(z) = 0}
°но определяет голоморфное отображение
F-1/o. .... /Ji BR\E-»Pn,
(2)

136
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
где [/о, • • • > /л] — однородные координаты точки f (z) s Pn.
Если обозначить через р: Ся+1\{0}^Р"
стандартное отображение, которое сопоставляет точке w=
= (ш0, ..., wn) e Cn+1 \ {0} прямую lw а Сп+{,
проходящую через 0 и w и рассматриваемую как точка
[n2)]sP'1, to на BR\E будет справедливо тождество
(>of(z) = f(z).
Отображение J можно голоморфно продолжить и на
множество Е. В самом деле, по теореме единственности
Е — дискретное множество, и для каждой точки ае£
найдется проколотая окрестность V = {0 < | z — а | <
< г} cz BR \ £. Пусть v — наименьший из порядков
нулей функций fo, ..., fn в точке а; без ограничения
общности можно предположить, что этот порядок имеет
функция /о и что f0(z)#0. Тогда fj(z) = (z— a)vg/(z),
у = 0, ..., я, где g/ голоморфны в £/= {\z — a|<r},
а go еще и отлична от нуля, и J(z) = {z—a)v[go(z)> ...
..., gn(z)] в £/'. Отображение g = [go, ..., g„]: (/-> Prt
голоморфно, ибо g(U) принадлежит области £/о =
™ {[до] е Р пу хю0Ф 0} стандартного покрытия Ря и в
локальных координатах этой области отображение
(gi/go, ..., gn/go) голоморфно. Очевидно, g(z) = J(z)
для z e £/', так что g дает голоморфное продолжение J
в точку а.
Продолженное так в каждую точку ае£
отображение J: BR-+ Pn называется голоморфной кривой над BR>
а любое голоморфное отображение /: Вя-^С/14*1 такое,
что pof(z)z=iJ(z) в В*, — представлением этой кривой;
если при этом f(z)=£0, т. е. f(BR)cz Сл+1\ {0}, то
представление / называется редуцированным. Очевидно,
что для каждой голоморфной кривой редуцированное
представление существует и определяется с точностью
до голоморфной функции, не обращающейся в нуль в Br-
В самом деле, множество Е = {z^BR: f(z)= 0} не бо-~
лее чем счетно, и если v* — наименьший из порядков
нулей // (/ = 0, ..., п) в точке a* e E, то по теореме
Вейерштрасса можно построить голоморфную в круге
функцию g с нулями порядков Vk во всех точках а*е£
и не имеющую других нулей. Разделив на нее
вектор f, мы и получим редуцированное представление
кривой f,

§ 7. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ КРИВЫЕ
137
Заметим, что вместо голоморфного отображения (1)
мы могли бы взять набор мероморфных в BR
функций / = (/<ъ ..., /л). Умножая вектор / на подходящую
голоморфную в BR функцию g, мы получим другое
представление соответствующей / кривой f: BR-+Pn,
состоящее уже из голоморфных функций (существование
функции g обеспечивается той же теоремой Вейерштрас-
са о построении голоморфной функции по заданным
нулям). Таким образом, для голоморфных кривых наряду
с голоморфными можно выбирать и мероморфные
представления. Кроме того, в любом случае (голоморфных
или мероморфных представлений) в локальных картах
Uj*=* {\w]m Pn: до/^ 0} стандартного покрытия РЛ
кривая J глобально представляется вектором из
мероморфных функций (/о///, ..., /7-i///> fl+i/fh ..., fn/fi).
Поэтому голоморфные кривые часто называют меро-
морфными. Однако такие кривые осуществляют
голоморфные отображения комплексных многообразий BR
и Рп (в подходящих локальных координатах), и
поэтому мы пользуемся первым термином.
2. Грассманова алгебра. При определении
присоединенных кривых понадобится понятие поливектора над
С/*1, и мы коротко остановимся на нем.
Выбрав в пространстве СЛ+1 какой-либо базис е°, ...
..., еп, образуем формально 2n+1 произведений е^Л...
... Л е!*, где 0 < /0 < ... < /* < п и k = О, 1, ..., nt
причем пустое произведение (при k = 0) обозначается
через е, и рассмотрим векторное пространство Лп+1 над
.Q, базисными векторами которого являются такие
произведения. Элементы пространства Лп+1 имеют,
следовательно, вид
" + I V + /f£, aUheU Л eU + ' •'
... +V../A ... Л еп, (3)
где ai ... / SC. Далее, произведение базисных
векторов el в произвольном наборе мы определим, положив
его равным нулю, если два каких-либо множителя
совпадают, или равным sign ае!° Л ... Л еЧ если
множители идут в порядке а(/0), ..., ог(/*), где 0 </0 < ...
'••^/ft^n, a a — перестановка множества (/о, ..., /*)

|38 Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
и sign а —ее знак. Таким образом, рассматриваемые
произведения кососимметричны по индексам, что и
оправдывает употребление символа внешнего
произведения.
Наконец, определим произведения базисных векторов
пространства Лл+1 по правилу (е'°Л • • • Л *'*)Л(е/оЛ • • •
... Л е*1) = е1° Л ... Л е*к Л е/о Л... Л £У/ и условимся
перемножать элементы (3) из ЛЛ+1 путем перемножения
слагаемых и сложения полученных произведений. В
пространстве An+l таким образом вводится структура
алгебры с единицей е. Эта алгебра называется
грассмановой, а ее элементы — поливекторами. Можно
доказать*), что операции в грассмановой алгебре не зависят
от выбора базиса в Cn+1.
В качестве первого применения грассмановой
алгебры докажем следующее простое утверждение:
Теорема 1. Векторы z°, ..., ^сзЕ/1*1 линейно
зависимы тогда и только тогда, когда
z° Л... Лг*-0. (4)
-4 Если рассматриваемые векторы линейно
зависимы, то один из них линейно выражается через осталь-
k—1
ные; пусть zh =■= £ ujZf • Тогда произведение (4) равно
г° Л... Л**"1 Л £ ар* — £ а}г° Л ... Л г*-1 Л г> = 0,
ибо в каждом слагаемом имеется внешнее произведение
одинаковых векторов. Если же векторы 2°, ..., zk
линейно независимы, то их можно дополнить до базиса
в СЛ+1 векторами zk+\ ..., zn, и тогда г° Л... Л zn Ф 0
(ибо это произведение — базисный вектор Лл+1), а
значит, и подавно 2° Л... Л zk Ф 0 ►
Линейная оболочка произведений точно k базисных
векторов Сп+Х образует линейное подпространство Лп+ ,
которое обозначим через Л£+ , его элементы называются
k-векторами. В соответствии с (3) пространство ЛЛ+
представляет собой прямую сумму Ло+1 + Л?+1 + ..•
*) См., например, Б. Л. »ан дер Варден [1], стр. 34§,

§ 7. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ КРИВЫЕ
139
... +ЛЙь где Лол+1 = С и AS*1 —Ся+1. Те ^-векторы,
которые представляют собой произведения векторов из
СЛ+1, называются разложимыми, и любой fe-вектор
является линейной комбинацией разложимых. В
частности, если е° = (1, 0, ..., 0), ..., гЛ=»(0, ..., 0, 1)-
стандартный базис Crt+I, то любой (k + 1)-вектор
Л- I а, >Л...ЛЛ (б)
так что пространство AJ+} естественным образом отож-
дествляется с С", где ЛЛ == I , I — число сочетаний.
Отметим еще соответствие, существующее между
разложимыми поливекторами над Сл+1 и
подпространствами '£ип+19 т. е. комплексными плоскостями,
проходящими через начало. Каждый разложимый
(^+1)-вектор А = а0 Л... Л а*, отличный от нуля, однозначно
определяет (k + 1) -мерную плоскость П, натянутую на
векторы а0, ..., ак (которые линейно независимы по
теореме 1); уравнением последней (по той же теореме 1)
будет
Л Л £ = 0. (6)
Обратно, если П —некоторое (k+ 1)-мерное
подпространство jQ/*+1 и а0, ..., ак — его базис, то мы положим
А = а0 Л ... Л ак, и тогда (6) по теореме 1 будет
эквивалентным условию, что вектор z является линейной
комбинацией векторов а0, ..., а*, т. е. принадлежит П.
k
Если 6°, ..., Ък — другой базис П, то6; = Х1ап^г (/ —
= 0, ..., k), и тогда, очевидно, Ь° Л... Л Ьк =»
= det (а*/) а0 Л ... Л ак, так что (А + 1) -вектор,
соответствующий П, определяется с точностью до
(ненулевого) комплексного множителя. В пространстве С^,
с которым отождествляется Ajf+ь плоскости П
соответствует, следовательно, проколотая комплексная прямая,
проходящая через начало.
Часто удобно рассматривать совокупность
проективных А-мерных подпространств Рп, т. е. грассмано*
во многообразие G(nt k) (см. § 3, где оно обозначалось

140 Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
через Gn-k)- При помощи стандартного отображения р:
[&п+1\ {0}-> Рп оно отождествляется с совокупностью
(k + 1) -мерных плоскостей в Сп+\ проходящих через
начало. Описанное выше соответствие позволяет,
следовательно, сопоставить точке А е G (n, k) разложимый
(k+ 1)-вектор над JC1*1
a°A...Aak= £ а, >Л...лА (7)
/0<...</л 'о-'*
причем коэффициенты a/0.../fe определяются с
точностью до общего (ненулевого) множителя. Они
называются однородными плюккеровыми координатами
точки А; если а[ = (а£, ..., а£), то, очевидно,
•/...//*-Н •>••••:• W
В частности, для бивектора а0 Л а1 такими
координатами будут л]р}^ — af}a}t, так что внешнее умножение
является обобщением векторного. Описанное выше
отождествление Ak+\ = CN+\ где на сей раз ЛГ+1 =
= ( -it)» позволяет рассматривать G(n, k) как
подмногообразие проективного пространства Р^.
3, Присоединенные кривые. Возвращаясь к меро-
морфной кривой /: 5Л->РЛ, выберем ее представление
f = (fo, ..., fn): BR-+Cn+l и для k = 0, l, ..., п и
фиксированного z^BR рассмотрим разложимый (£+ 1)-
вектор над СЛ+1
/?|(*И(2)ЛПг)Л...Лт (9)
где f{i) = (f\j\ ..., f{l]) — производные вектора f. По
формуле (8) имеем
0«/0< ...</„<« \'/0 ••• Oft/
(Ю)

§ 7. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ КРИВЫЕ
141
Так как внешнее произведение коллинеарных
векторов равно нулю, то при замене представителя / на ф/,
где Ф — голоморфная функция, поливектор Fk
умножится на скалярную функцию ф*+1, т. е. Fk = p(Fk) не
изменится. Следовательно, при фиксированном k
кривой / ставится в соответствие вполне определенная
кривая в грассмановом
многообразии
Рц BR->G(n,k) (11)
fAf'Af
fhf
Рис. 6.
или, если угодно, в
пространстве Р", rjxeN = (nk + \)-l.
Эти кривые называются
присоединенными к кривой /.
При k = 0— это сама
кривая /о = Ь при k = 1 —
кривая р(/Л/'), соответствующая
касательным прямым к /, при
k = 2 — кривая р(/Л/'Л/"),
соответствующая соприкасающимся плоскостям, и т. д.
(см. схематический рис. 6). При k = n присоединенная
кривая тривиальна: по формуле (10)
Fn(z) = W(f0f ..., fn)e°A...Aen, (12)
где W — вронскиан функций /0, ..., /«.
Присоединенные кривые позволяют выяснить степень
вырождения кривой /. Именно, справедлива
Теорема 2. Образ f(BR) лежит в k-мерном
подпространстве РЛ, но не лежит ни в каком его
(k—I)-мерном подпространстве в том и только том случае, когда
для любого представителя f этой кривой Fk (z) Ф 0, но
Fk+l(z)^0.
<4 Утверждение теоремы эквивалентно тому, что
/(fi/?) лежит в (&+ 1)-мерном подпространстве СЛ4*1, но
не лежит ни в каком его ^-мерном подпространстве.
Пусть это так; без ограничения общности можно
считать, что f(BR) принадлежит плоскости {Wk+\ = ...
•.. = wn = 0}, которую мы отождествим с
пространством JC/+1 переменных (ш0, ..., ад*). Тогда все функции
/Wi, ..., fn тождественно равны нулю и из разложения
(Ю), написанного для k+l вместо k, видно, что

142 r* HI- ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
Fk+i (z) = 0, ибо коэффициентами этого разложения
являются вронскианы Wffj, ..., ff ) наборов из k + 2
функций //, в каждом из которых есть функция,
тождественно равная нулю. Но №(/о> ..-, Ы^О, ибо из
тождественного равенства нулю этого вронскиана в силу
голоморфности функций /о, ...» fk следовала бы их
линейная зависимость, т. е. образ f(BR) лежал бы в
некоторой гиперплоскости из !С*+|, т. е. в ^-мерном
подпространстве Сл+1. Таким образом, Fk(z)^0.
Обратно, пусть F*(z)#0, но Fk+\(z) = 0. Тогда
найдется хотя бы один коэффициент в разложении (10),
пусть W(fo,...,fk)&09 но W(f0,...,fk, f/) = 0 для всех
j = k+l п. Отсюда следует, что f0, ..., fk
линейно независимы, а остальные функции линейно вы-
k
ражаются через них, пусть //(г) = 2 &/v/v (г) для /==
= /г+1, •••, п. Но это означает, что f(BR) лежит в
k
(k+ 1)-мерной плоскости Wj = ^l bjvwvtj = k-\-l, •••» п9
проходящей через начало пространства Ся+\ т. е. в
его (£ + 1)-мерном подпространстве, и по доказанному
выше не лежит ни в каком 6-мерном подпространстве
Сп+{ ►
Кривая J: BR~* Pn называется невырожденной, если
f(BR) не лежит ни в каком собственном
подпространстве Рл. По теореме 2 f невырождена в том и только том
случае, когда Fn(z)z£0. По той же теореме
вырожденная кривая f: BR-*~ Рп является невырожденной в
некотором подпространстве р*с:Рл в том и только том
случае, когда Fk(z)^ 0, но Fk+\(z)z& 0. Самым сильным
является вырождение J в константу, условием этого
является F\ (z) = 0.
В заключение этого раздела рассмотрим точки
стационарности голоморфных кривых и присоединенных
к ним. Пусть f: BR -► Р п — невырожденная
голоморфная кривая; точка г0 е BR называется точкой
стационарности этой кривой, если в ней обращается в 0
дифференциал /, понимаемого как отображение
комплексных многообразий. Без ограничения общности можно
считать, что го = 0, f(zo) = [\, 0, ,,,, 0[и что представ-

§ 7. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ КРИВЫЕ
143
ление f в окрестности 0 имеет вид
/(*)-(1+ ...,zv'+ ..., ...,zv*+ ...), (13)
где 1 ^ Vj ^ ... ^ vrt. Выражая J в локальных
координатах (wi/wo, ..., Wn/wo), видим, что z0 = 0 будет
точкой стационарности в том и только том случае, когда
vi > 1. Число no = vi—1 называется индексом
стационарности J в этой точке, и, очевидно, что оно не зависит
от выбора представления, а определяется самой кривой.
Далее, выполняя, если нужно, дополнительное
унитарное преобразование Сл+1 (соответствующее
проективному движению), можно считать, что в (13) имеют
место строгие неравенства vi < ... < vrt. В самом деле,
пусть, например, vi = V2 < V3; выбирая вместо (w\, w*)
координаты w\ = (w{ + w^jл/2, w'2 = (w{ — до2)/д/2,
получим, что в них vj = vlf a v2> v2; аналогично надо
поступать и в общем случае. Это* замечание понадобится
нам при вычислении индекса стационарности
присоединенных кривых.
Выберем для &-й присоединенной кривой /**: BR->~
->G(n, k), k = 1, ..., n— 1, представление Fk = f Л...
... Л Р\ где / локально имеет вид (13) с Vi < ... < vn,
и выпишем члены с младшими степенями г:
Fk(z) = zv>+'~+Vk-{{+-+k)e°A ... Aek +
+ zvx+ ... +v^1+v,+1-d+ ... +*)во д _ д ^-1 д ek+l + _
(мы опускаем коэффициенты при этих членах, заметим
лишь, что они ненулевые). Вводя обозначение
m*-V!+ ... +v*-(l+2+ .-. +*) (14)
и представляя Fk как кривую в О**1, где #+1 =
==(£"£ . J, переписываем ее локальное разложение в
виде
Ffe(2) = zm*(l + ...,2v*+<-v*+ )• (15)
Сравнивая это с (13), видим, что индекс стационарности
кривой Fk в точке г0 = О
H* = vft+i — v*-l (k = l п—\). (16)

144 Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
Этот индекс можно выразить также через младшие
степени т*, в которых z входит в разложение (15).
Учитывая (14), мы заключаем, что индекс стационарности
Fk равен второй разности таких степеней:
|** = тл+,—2тл+ /!!*_! (k=U ..., п— 1). (17)
Заметим, что эта формула останется справедливой
и для k = О, если формально положить т0 = m-i = О
(она примет тогда вид \х0 = т\ = v\—1). Выше мы
отмечали, что Fn = We0 А... Л еп, где W — вронскиан
функций /о, ..., fn\ для невырожденной кривой W Ф О,
так что естественно считать \in = 0. Чтобы сохранить
(17) и для k = п, положим тп+\ = 2тп — тп-\ (или, что
равносильно, v^+i = vn + 1).
§ 8. Характеристические функции
Здесь мы введем характеристические функции
голоморфной кривой и присоединенных к ней кривых и
получим соотношение между ними. Эти функции
определяются при помощи форм, которые служат прообразами
при отображениях F^ BR->G{n, k) метрических форм
многообразий Грассмана для различных А.
4. Метрические формы. Определим скалярное
произведение поливекторов, положив для разложимых
(k + 1)-векторов A=a°A...Aak и В = &°Л...!Л&*
А =
= det
= а°Л
/(а°,
V (а*
...Л а*
6°) ...
6») ...
и
(а°,
(а*
в =
bk)
, **)
/(а0, 6°) ... (а0, Ь*) \
(Л, Я)-det I . . . . . , (1)
V (а\ Ь°) ... (а\ bk) /
где (a,i,bk) — обычное (эрмитово) скалярное
произведение, и продолжив его по линейности на всё AJ+J. Модуль
поливектора определяется как обычно: \ А\=<\/(А, А);
в частности, для разложимого поливектора А = а0Л...
... Л а*, как видно из формулы (1) с В = Д величина
|Л| есть объем параллелепипеда, натянутого на
векторы а0, ..., ak.
Нетрудно видеть, что определенное так скалярное
произведение в Л2+1 совпадает с обычным скалярным
произведением векторов в пространстве &N+l, в которое,
как указывалось в предыдущем параграфе, вклады-

§ 8. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 145
вается Aj?Ji (достаточно проверить это по формуле (1)
для произведений векторов ортонормального базиса
Л"+1 и воспользоваться линейностью). Отсюда следует,
что для скалярного произведения ^-векторов
справедливо неравенство Буняковского — Шварца:
|(Л, В)|<|Л||В|. (2)
Такое же неравенство справедливо и для внешнего
произведения поливекторов A s A.t%\ иВе Л?+/:
|ЛЛВ|<|Л||В|. (3)
Для доказательства мы выберем в Сл+1 ортонормаль-
ный базис е°, ..., еп, образуем формальные
произведения eI = ei°<8> ... <8>е1ь с произвольным набором
индексов / = (/<), •••,4) и обозначим через К%%\ векторное
пространство над С, натянутое на такие произведения.
Пусть я: Л2+! -> А£+! — проекция, сопоставляющая
элементу A — YiCije1 поливектор А = Еа1е1> где £7 =
~е(° Л ... Л е%к. В пространстве Л£+| можно ввести
скалярное произведение, объявив элементы ё1 ортонор-
мальными и пользуясь линейностью; тогда |я(Л)|^| Л |
с равенством для элементов А = £ Я/27, где / = (/0, • •., **)
и /о < ••• <4- Далее, формально вводится
произведение Л ® В элементов Л е А2+1 йВе A{+i\ и для него,
очевидно, п(А(8>В) = п(А) Лл(В)у \ А ®В| = | А ||В|.
Пусть теперь даны поливекторы ЛеАй!, BeAf+i1;
выберем Лея"1^), Be я""1 (В) так, чтобы |Л|==|Л|,
|В| = |В|, тогда
|ЛЛВ| = |я(Л)Ля(В)| =
= |я(Л®В)|<|Л®В| = |Л||В|=|Л||В|.
Неравенство (3) доказано.
При помощи скалярного произведения мы можем
определить для (k + 1)-векторов Z = z° А ... Л zk и
dZ == dz° Д ... Л Лг* эрмитову форму Фубини — Штуди
~ ___ (Z, Z) (rfZ, rfZ) - (Z, rfZ) (dZ, Z)
Щ~ (Z, Z)^

146
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
которой соответствует дифференциальная форма
— естественная метрическая форма на грассмановом
многообразии G(nt k). При k = О мы получаем обычную
форму Фубини — Штуди на Рл, которая в гл. I
обозначалась через со.
Как и в общей теории, нас будет интересовать
прообраз формы (Ok при отображении Fk'. BR-+G(n,k)y
осуществляемом k-й присоединенной кривой к
невырожденной голоморфной кривой f:
Qk = K*k = dd°ln\Fk(*)\2> * = 0,...,л, (5)
где Fk = / Л ?Л... Л /<*>, a f — редуцированное
представление J. При замене представления / на ср/\ где ф —
голоморфная функция без нулей, \Fk\2 умножается на
|ф|2*, а так как ddc 1п|ф|2* = 0, то Q* не изменяется.
Таким образом, Q* не зависит от выбора
редуцированного представления f и определяется самой кривой.
При k = n мы имеем Fn — We0Л... Леп, где W —
вронскиан функций fo, ..., fn — голоморфная функция,
не равная нулю тождественно в силу невырожденности
f, так что Qn = ddcln\W\2 = 0. При k = О, ..., п — \
форма (ok положительна в силу неравенства Буняков-
ского — Шварца для поливекторов (ср. § 1), и поэтому
ее прообраз Qk является положительной (1, 1)-формой
всюду в BRl кроме точек стационарности присоединенной
кривой Fk. Таким образом, формы Qk определяют в Br
полуметрики, индуцированные естественными
метриками грассманианов G(n, k); эти формы называются
метрическими формами.
Если положить
Qk = -^hk(z)dz Adz, k = 0, ..., /i — 1, (6)
то в силу сказанного коэффициент hk(z)>0 и
обращается в 0 в точках стационарности Fk и только в них.
Мы будем называть hk метрическими коэффициентами.
Лемма. Для £ — 1, ..., п — 1 метрический
коэффициент
A*-UWI/W/l/'*ll. W

§ 8. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 147
4 В точках стационарности кривой Fk мы
воспользуемся локальными координатами, описанными в конце
предыдущего пункта. Так как по формуле (17) § 7
в этих точках mk-\ + mk+\ — 2mk > 0, то \z\ входит
в правую часть (7) в положительных степенях, т. е. эта
часть обращается там в 0, как и левая.
Остается проверить (7) в нестационарных точках.
Рассмотрим любую такую точку и опять будем считать,
что это — точка z = 0. Покажем, что вместо / можно
выбрать такое редуцированное представление
g(z) = (l+alz+ ... +аъ+хжЫ)Пг)
кривой f, что скалярные произведения
(g(/)(0), £(*+D(0)) = 0 для / — 0, .... Л. (8)
В самом деле, из формулы Лейбница
дифференцирования произведения
/
gU)(0) = ^(,v)vlaja^(0) (oo—1)
V-0
видно, что условия (8) будут выполняться, если
(/Ш(0), e<*+i)(0))-0 для / = 0, ..., к,
а это — по той же формуле Лейбница — линейная
неоднородная система относительно неизвестных ( J vlav
(v= 1, ..., k+ 1) с определителем
/(/,/) ... (f,f{k))
detf
Wk\f) ... (/<*> /<*>)
по формуле (1) и отличным от нуля, ибо 2 = 0 —не
точка стационарности. Таким образом, выбор оц, ...
• .., a*+i, для которых выполняются условия (8),
возможен.
Без ограничения общности будем считать, что
условия (8) выполняются для самого представления /. С их
Учетом по формуле (1) получаем, что в точке z== 0
(/ Л ... Л Р, / Л ... Л р-*> Л Р+1)) - 0, (9)
)=1М0)Р

148 Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
ибо это скалярное произведение выражается
определителем с нулевым последним столбцом. Точно так же
1/л... лр-"ЛР+1»Г=
(U) ... (/, fk-l)) О
= det| (/(*-1)л) _ {fk-»t fk-i)) 0
О ... О |^+i)p-
и аналогично | Ffe+t p = |/,ft+I> р| Fk р, так что
I / Л ... Л /»-» Л f»+» Р = 1П_, р| Ffe+1 P^ Ffe P. (10)
С другой стороны, из формул (5) и (6) следует, что
(у , а21пил...лРМ =
a (fA...A/(feUA...A/(bl)Af(H1)),
а« \Fkf
здесь мы воспользовались обычным правилом
дифференцирования произведения, тем, что df(f)/dz = 0 в силу
голоморфности (и значит, по z нужно дифференцировать
лишь второй множитель эрмитова произведения), а
также тем, что внешнее произведение одинаковых векторов
равно 0. По тем же соображениям и с учетом (9) мы
получаем далее, что
АЛ0) = |^Л...ЛР-1>ЛР+1)р/|^Р,
и, подставляя (10), получаем нужный результат ►
Заметим, что формула (7) останется справедливой
и для k = 0, если формально положить l^-il = 1. В
самом деле, условие (8) для / при k = 0 имеет вид
(/(0), f'(0))== 0, и с его учетом
и (o\-El}HlLL\ - 1П°>12 __ 1/Ч2
ЯоМ— dxds \ZmaQ |f (0)|i — |/?0|4 •
5. Характеристические функции. При помощи
метрических форм Qk вводится основное для рассматриваемой
теории

§ 8. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
149
Определение. Величина
г
о Bt
где Bt — круг {|г|</}, называется k-й
характеристической функцией голоморфной кривой J: BR-*- Pn.
При k = О эта величина совпадает с
характеристической функцией Ту (г), изученной в гл. I, ибо Qo — f*((u)
и у нас m = 1. Однако при k > 0 это не функция Tfh)(r),
введенная в § 2, а характеристическая функция k-й
присоединенной кривой Fk: BR-*G(nt k). Отметим еще, что
Тп(г) = О в соответствии с тем, что у нас Qn = 0.
Мы хотим получить формулу, связывающую
характеристическую функцию k-й присоединенной кривой с ее
дивизором стационарности и с другими
характеристическими функциями, вывод которой основан на формуле
Пуанкаре — Лелона для функции In А*(г). Выше
отмечалось, что в нестационарных точках Fk функция
hk(z)> 0 и форма Qk определяет метрику, форма Риччи
которой, согласно (6), равна
K\z&k = ddc\nhk (12)
(см. § 5). В окрестности же точки стационарности 2о,
согласно доказанной лемме, hk (z) = | z — zQ | k <р(г), где
На = Щ-\ + ™*+i — 2mk (13)
и ф — гладкая положительная функция (множество
таких точек, очевидно, дискретно в BR).
Поэтому форма ddc In hk, где дифференцирование
понимается в смысле потоков, представляется в виде
суммы двух слагаемых: формы (12) с дифференцированием
в классическом смысле и потока, определяемого
особенностями функции \nhky т. е. точками стационарности
кривой Fk. В окрестности точки стационарности г0, как
мы только что указывали, ddc\nhk = \ikddcln\z — z0|2 +
+ с№1пср, и в соответствии с подсчетами, проведенными
в § 3, привзнос в сингулярную часть от этой точки равен
потоку fi*[2o]t состоящему из точки го с кратностью ja*.
При этом, согласно формуле (17) § 7, \Xk есть индекс
стационарности Fk в точке z0. Таким образом, сингуляр-

150
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
ная часть потока ddc\nhk представляет собой дивизор
[Sk], который состоит из всех точек стационарности
кривой Fk с учетом их кратности, и называется дивизором
стационарности этой кривой.
Итак, формула Пуанкаре — Лелона для нашего
случая имеет вид
ddclnft* = RicQ* + [S*L k = 0, ..., n — l. (14)
Но по лемме RicQk = ddcln\ Fk_x ? + ddc\n\ Fk+X p —
— 2ddcln\Fkf или с учетом (5)
RicQft = Q^,+Qfe+1-2Qfe, k = 0, ..., n - 1, (15)
причем Q-i sOb соответствии с принятым выше
соглашением |Z7—!| == 1. Если мы подставим это в (14),
проинтегрируем по кругу Bt, затем логарифмически
усредним и введем, согласно (И), характеристические
функции, то придем к соотношению
г
J-f \ddc\nhk =
о Bt
г
-7*_, (г) + Тм(г) - 2Тк(г) + \ l£fdL dt, (16)
о
где ri(Sk, t) — число точек [Sk] в круге Bt с учетом
кратности.
Последний интеграл представляет собой считающую
функцию дивизора стационарности кривой Fk и
обозначается символом N(Sk, г) (см. § 2). Чтобы он сходился,
придется предположить, что 0^[5^], в общем случае
полагается
г
N {Skt f) _ J n(Sk,t)-n(Sk,0) л + n (Sft> Q) ,n f> (I7)
0
Наконец, левую часть (16), в которой
дифференцирование понимается в смысле потоков, можно преобразовать
по лемме 2 § 1:
г 2я
J Ц- \ dd°\n hk = ±\\xihk (re'*) dQ -1 In hk (0)
0 fi^ 0

§ 8. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 151
(мы учли, что при т = 1 форма о — dc\n\z\2 = dQ/2n).
Теперь (16) приводит к теореме, выражающей связь,
которую мы хотели получить:
Т е о р е м а 1. Характеристические функции
невырожденной голоморфной кривой f: BR -*■ Рп связаны
соотношением
Tk.x (г) - 2Tk(г) + Tk+l (г) + N(Sk, r) =
—s-JinMre'ejde + c, (is)
О
где k — О, ..., п— 1, N(Sk, r) —считающая функция
дивизора стационарности k-й присоединенной кривой,
Ни —метрический коэффициент и С — постоянное
слагаемое.
Мы не оговариваем условия 0^[S*], ибо от него,
как в гл. II, можно освободиться за счет изменения
постоянного слагаемого. В соответствии с принятым выше
соглашением Q_i s== 0 считаем, что Т-\ (г) = 0;
напомним, что у нас и Тп(г) = 0.
6. Случай целых кривых. Для целых кривых, т. е,
голоморфных отображений J: XX-> РЛ, полезным
дополнением к теореме 1 является
Теорема 2. Для целых кривых вне некоторого
множества £cR+ конечной логарифмической меры
J In Mr*'V9< С In 7* (г), (19)
о
где k = 0, ..., п — 1 и С — постоянная.
4 Из определения характеристической функции,
которое, согласно (6), можно переписать в виде
г
о st
следует, что
г 2я
вг 9 о (20)

152
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
(мы перешли к полярным координатам z = teiQ и
заменили элемент площади \dz Adz = tdt Л dQj .
Дифференцируя еще раз, получаем
о
откуда, пользуясь выпуклостью логарифма (см. (19)
§ 5), находим
2я
2я * 2п v
Lj 1па4л<1пШ а»л)-1п(^-^). -<2i)
О ч 0 '
Теперь воспользуемся леммой 1 из § 5, положив в
ней g(r)= \/r и A(r) = r1+e. Применяя ее сначала к
возрастающей функции Tky найдем, что вне множества Е
конечной логарифмической меры
d\nr r dr ^VkV)! •
По той же лемме, примененной к функции dTk/d In r,
которая возрастает в силу (20) и неотрицательности hki
получаем тогда, что
d2Tk
(d In г)2
tf ( dTk \ ( dTk V+c nuo p
Подставляя сюда предыдущее неравенство, а
результат— в неравенство (21), получаем нужную оценку:
2я
In АА(г*")<Ю <2я In {-Ij- [ГА(г)]1+*} <
< с'In Г* (О вне£ ►
Полученным результатам можно придать несколько
иную форму. Для этого обозначим через Т(г)==
= тахГ*(г) для & = 0, ..., п—1 и через ц — любую
функцию, допускающую оценку
i\(T{r)Xc'lnT(r) + c вне Е9

§ 8. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 153
где с и с — некоторые постоянные, а Е — какое-либо
множество конечной логарифмической меры*). Если мы
подставим (19) в (18) и отбросим там положительное
слагаемое N(Sk9 r), то получим такое
Следствие. Для невырожденной целой кривой и
£ = 0, ..., л—1
7V, (г) - 2Tk (г) + Tk+l (г) - ч (Г (г)). (22)
Это следствие позволяет сравнивать
характеристические функции с различными номерами. Сначала
отметим, что для k = 1, ..., п — 1
*Мг)-(*+1)Ъ_,(г) + ч(Д т
(я-*)Г*.,(г)-(/|+1-.А)ГЛ(г) + ч(Г). ( 6)
В самом деле, при k = 1 первое соотношение (23)
принимает вид Тх = 2То + г\(Т) и справедливо, ибо
совпадает с (22) при k = 0. Предположим, по индукции, что
оно справедливо для некоторого k. Из (22) и этого
предположения следует, что
(k+l)Tk+l = 2(k+l)Th-(k + l)Tk„l + r](T) =
-(* + 2)ГА + Ч(Г),
т. е., что соотношение верно и для Л+1. Аналогично
доказывается и второе соотношение (23): при k = п — 1
оно совпадает с (22), а дальше надо провести индукцию
по убывающим k.
Далее, последовательно применяя (22), мы
заключаем, что для всех k, / = 0, ..., п—1 справедливы
соотношения
(k+l)Tt(r) = (l+l)Tk(r) + y\(T), если />£,
(n — l)Tk(r) = (n — k)Ti(r) + r\(T)9 если /<£. ( }
Таким образом, рост характеристической функции целой
кривой и всех ее присоединенных кривых в
существенном (если пренебречь множеством конечной
логарифмической меры и величинами порядка \пТ(г)) одинаков.
*) Заметим, что неравенство, определяющее символ г\,
одностороннее (в отличие от таких же неравенств с модулями). Поэтому два
соотношения, содержащих этот символ, можно складывать, но не
вычитать.

164
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
Так как логарифмический рост Т0(г) по доказанному в
§ 4 характеризует рациональность кривой, то мы
получаем, в частности, что для рациональных кривых и
• только для них Га(г) = 0(1пг).
§ 9. Вторая основная теорема
В основе альфорсовского подхода к доказательству
второй основной теоремы для голоморфных кривых
лежит использование сингулярной метрической формы.
Этот подход использовался и в § 5, но там для
построения таких форм пришлось ограничиться отображениями,
сохраняющими размерность. В случае кривых
сингулярные формы строятся иначе, при помощи так называемых
функций касания.
7. Функция касания. Нам понадобится определение
внутреннего умножения поливекторов над Сл+1 —
действия, в известном смысле противоположного внешнему
их умножению. Предположим для определенности, что
l^.k; внутренним произведением (£+1) -вектора А на
(/+ 1)-вектор В называется такой (k — /)-вектор А V S,
что для всех (k — /) -векторов С скалярное произведение
(AV В,С) = (А,ВАС). (1)
Смысл этого определения в силу его линейности
станет понятным после выяснения того, как перемножаются
произведения векторов е°, ... еЛортонормальногобазиса
Сп+\ Пусть е! = е1"А ... Л*'* и eJ = е'° Л ... Ае!К
где / = (/0, ..., tk) и / == (/ь ..., //) — упорядоченные
наборы индексов 0, ..., п; по определению
(e*Ve',C) = (e,,e> АС).
Скалярное произведение справа состоит из одного
слагаемого— комплексно сопряженного к коэффициенту
разложения (£+ 1)-вектора eJ АС при орте е1. Отсюда
ясно, что е1 V eJ = 0, если среди индексов /v есть хоть
оди^, не входящий в /. Если же 7 с= /, то (е1, е1 Л С) =
= gCi\j, где /\7 — набор, получающийся из /
вычеркиванием всех индексов, входящих в 7, С/\у—
коэффициент разложения С при орте е1^1, а а— знак

§ 9. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 155
подстановки (/, /\/) относительно /. Таким образом,
• v-fV, если '*'; (2)
( ае7\у, если /с/.
Этот вывод доказывает также единственность
внутреннего произведения. При k = / внутреннее умножение,
очевидно, сводится к скалярному умножению
поливекторов.
Отметим простое следствие соотношения (2). Пусть
А = а0 А ... Аак — разложимый (k + 1) -вектор и b e
е dn+l — произвольный вектор; из (2) и соображений
линейности ясно, что
AVb = 0 (3)
в том и только том случае, когда Ь принадлежит
ортогональному дополнению к плоскости, натянутой на
векторы а0, ..., ak.
Покажем, что для внутреннего умножения
сохраняется неравенство Буняковского — Шварца
MVBKMHBI. (4)
В самом деле, пусть Е— единичный (k — /)-вектор.
В силу (1) имеем (А VB, Е) = (А, В АЕ), но по этому
же неравенству для скалярного и внешнего умножения
поливекторов (см. п. 2) | (Л, В АЕ) | <|Л | \В ЛЕ\ <
<|4||Я|; выбирая Е = (AVB)/\AV5|, получаем (4).
Вернемся к нашей основной теме. В соответствии с
идеологией многомерной теории распределения значений
мы будем изучать распределение прообразов
гиперплоскостей Dcz Pn, т. е. точек z^BR, в которых
голоморфная кривая J: 5/?-> Рп пересекается с D. Гиперплоскости
условимся задавать уравнениями в однородных коорди-
п
натах J) avw„ = 0, или (w, а) = 0, причем вектор а =
= (а0, ..., ап) всегда будем считать единичным, так что
он определяется гиперплоскостью с точностью до
множителя eiQt 8eR.
Назовем k-й функцией касания (k = О, ..., п)
невырожденной голоморфной кривой f: 5*-> Pn с
гиперплоскостью Д определяемой вектором а, величину
^D>Z)- \Fk{z)f !/л...л/<*>Р • (5)

166
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
Эта функция определена вне точек стационарности
кривой Рн, множество которых в силу невырожденности J
дискретно в BR. Однако анализ поведения F* в
окрестности точек стационарности, проведенный в п. 1,
показывает, что q>k гладко продолжается и в эти точки. Из (4)
следует, что <р*(А z)^\.
Придадим этому определению несколько иную
форму. Для этого при фиксированном г, отличном от точки
стационарности, представим разложимый (А + 1) -вектор
Fk(z) как (&+ 1)-мерную плоскость, натянутую на
векторы /(г), ..., f{k)(z)t и выберем в ней ортонормирован-
ный базис E°t ..., Ек. Если дополнить его векторами
Ek+\ ..., Еп до ортонормированного базиса в Юл+,
который называется подвижным репером, то вектор а,
определяющий плоскость D, запишется в виде
п
а = X 0V£V, где av = (a, Ev).
v-o
Так как Рк=*е**\Рк\В>-к9 где / eR и £°- * = £° Л ...
... Л Ek> то по формуле (2)
*$fW £av£° - *VSW £ (-l)vav£° - (v-1)(v+,) -»
v-0 v-0
и, значит,
фЛДг)=Е1^Р=Е1(а,^)|2. (6)
v-»0 v«0
Функции av(z) и подвижный репер, очевидно, гладко
продолжаются и в точки стационарности Рь.
Из (6) видно, что функция q>k обращается в 0 в тех
и только тех точках, в которых вектор а ортогонален
всем векторам £°, ..., Ekt т. е. плоскость Fk(z)
принадлежит плоскости р-1 (D) с= £ХЛ+1. Но, как мы видели в
п. 1, плоскость Fk(z) имеет с кривой / в точке z касание i
порядка fe, поэтому равенство ф*(Д 2) = 0 означает, что I
кривая { имеет в точке z касание порядка ^ k с гипер- !
плоскостью D. Название функции фЛ тем самым оправ- I
дано.
Отметим, особо крайние случаи k = 0, п. Так как
Fo(£)=5 f(z) — вектор, а внутреннее умножение векторов

§ 9 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
167
сводится к скалярному умножению, то по формуле (5)
Фо(Д2) = |(/,а)р/|/(г)р. (7)
При k = n мы имеем Fn(z) = W(z)e° A ... Л еп, где
W — вронскиан функций /0, ..., /л, a ev — векторы
стандартной базы Сп+ . Так как а представляется в виде
линейной комбинации £ avev на этот раз с постоянными
коэффициентами av, то аналогично (6) получим, что
п
qn(D, z) = Y* !av P — постоянная, равная 1.
8. Два соотношения. При доказательстве второй
основной теоремы нам понадобятся два соотношения,
связывающих функции касания с формами Qk:
dq>k Л dcq>k = (<рЛ+1 - <pft) (щ — ф*_,) Q*, (8)
dd 1пф* = 2 "*! О)
здесь /г =0, ..., п — 1 и считается, что ф-i вв 0. Их
доказательства, следуя Гриффитсу и Кауэну [1], мы
проведем методом подвижного репера.
Напомним, что подвижным репером, связанным с
голоморфной кривой /: 5я->.СЛн, называется ортонор-
мальная система векторов Е°, ..., Еп из Сл+1 такая, что
в каждой точке z^BR для любого k = 0, ..., п — 1
векторы £°, ..., Е* определяют ту же комплексную
плоскость, что и Fk(z) — f(z)A ... /\f{k)(z), т. е. что
е"к-$^==Е<>Л ... ЛЕ\ i«0 я. (10)
Проведенный в § 7 анализ поведения Fu в точках
стационарности показывает, что для невырожденной кривой
/ можно построить семейство таких реперов, гладко
зависящее от г в круге BR.
Разлагая dE^ по ортам подвижного репера, мы
получим
d&^t %vE\ И = 0, ..., л, (11)
где 0^v = (d£*\ Ev) — некоторые формы степени 1 с
гладкими коэффициентами. Дифференцируя условие орто-

158
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
нормальности (i?*1, £v) = 6p,v, получим, что (dE[i,Ev) +
+ (£*\ dEv) = О, откуда в силу эрмитовости скалярного
произведения
9^ + 9^ = 0. (12)
Далее, дифференцируя (11) внешним образом, получаем
тождество
О = S d%vEv - t %v Л Z 9v/£>,
из которого после перегруппировки членов второй суммы
находим
п
d%v = 5Ж, Л 6/v- (13)
/-о
Заметим, что в нашем случае вектор £** является
линейной комбинацией векторов f, ..., /(м,), и, значит,
dE11 выражается лишь через fy ..., /(м,+1), т. е. через
£°, ..., Е»+1. Отсюда следует, что в (11) на самом
деле 9^ = 0 при v>n+l» a из (12) тогда вытекает,
что 9^v = 0 и при [i>v+l. Таким образом, у нас
9nv=:0 при Im-"-vI>1 и, в частности, (11) можно
переписать в виде
^ = 8(1„.1Г1 + е^£Ч9^+1^1, ц = 0, ...,/г (14)
(в крайних случаях ц, = 0, п надо положить 90, _i==
= 9mn+i = 0), a (13) при v = [i в виде
$W = 9|A,ii„1 Л в|л_ЬМр + 9цц Л 9^ + 9^.^+1 A 9^+ltM,=
— 9ц-ьц Л бр,-.!,^ —9^,^4-1 Л9^р,+1 (15)
(мы воспользовались (12) и тем, что 9^ Л 9^ =■= 0, ибо
Оци — форма степени 1).
Нам понадобится выражение через 9^ формы Q*.
Чтобы его получить, заметим, что на основании (14) и
свойств внешнего произведения
d(E° Л ... Л Ек)= Z £° Л ... Л dE» Л ... Л Ек =
ц-0
= 1е^£°Л ,.. AEk + QktME°A ... ЛЕк-1ЛЕк+\
ц-0

§ 9. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
169
и, следовательно, дифференцирование (10) приводит
к соотношению
£ 8,/л ... ЛБк + вк,ш1?Л ... ЛЕк~1ЛЕш =
Умножим его скалярно на единичный (k + 1)-вектор
L^~ \Fk\2 \Fk\ + '*'* —
li-0
" WW Krf/7b Fk) - (Fk, dFkA + / dtk *),
а так как в силу голоморфности Fk и эрмитовости
скалярного произведения
(dPk' %$'dFk) -^mi ^ f-wi„i ^ р,
то последнее равенство переписывается в виде
2я
1irJ]ewt=^in|FAp+^
li-O
Дифференцируя еще раз, имеем
Ъ = **1*1 ?*?--&£*»*'
ц-0
и с учетом (15) и очевидных сокращений получаем
нужное выражение
а*в-5Гв*.*+1ЛеЛ.А+ь А»0, .... л-1 (16)
(мы воспользовались тем, что 9_i, о = 0).
*) Мы воспользовались равенством 2| Fk\ d\Fk\ = (dFk, Fk)-h
3"(FktdFn), которое следует из того, что |F*|2 = (Fk,Fk)f

160 Гл. ТН. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
Теперь можно приступить к выводу соотношений (8)
и (9). Для вывода первого из них на основании (10)
представим функцию касания в виде
™ /n »\ I Fk v a I2
Ф* №> г) = —| Fk |2' =
= (£° Л ... Л £* V а, £° Л ... Л £* V а) (17)
и вычислим d<pk Л дф* в произвольной точке z0 e BRi
предположив для простоты, что в этой точке все 9№W=0.
Последнего можно добиться, пользуясь тем, что векторы
£> определены с точностью до множителя e'V. заменяя
в (14) £ц на е*тм-£*\ получим
dE» = 9^, ^xe-'W1 + (9^ - idx») е + 9ц, |l+1e-%£,l+l,
следовательно, достаточно положить Qm = idrll (как
видно из (12), форма Qm чисто мнимая).
Представим 9^ в виде суммы 9^v + 9^v форм бисте-
пени (1, 0) и (0, 1), тогда в точке z0 будем иметь 9^=*
=^9^ = 0 и, значит, 5^ = 9^-^^ + e^+itf*1.
Далее, из (10) в силу голоморфности Fk имеем
д(£°Л ... Л Ёк) = д(еи*/\Рк\)Рк9 откуда видно, что
^-дифференцирование не выводит из плоскости Fk)
т- е- чт0 %,ц+1^° и ^.li+i^^ii+r B четности,
в точке 20
d£M' = &M„M,.-i£
и аналогично d£M, = 9^M,-i£M'~"1. С учетом этих замеча-
ний и свойств внешнего умножения получаем из (17), что
= e*,fe+1(£°A ... ЛЯ*"!ЛЯ*+1Уа,£°Л ... Л Я* V «)•
Если разложить вектор а по ортам нашего репера,
представив его в виде суммы av£v, v = 0, ..., п, и
воспользоваться свойствами внутреннего произведения я
ортогональностью ортов, то последнее соотношение
можно переписать так:
d9k = 9k.M(flk^ A ••• ЛЕк-\акЕ°Л ... АЕк'1)^

$ 9. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 161
В силу вещественности щ отсюда следует, что dyk =
= akak+l %tk+\ и, значит,
дщ Л <5<р* =| ak Р| аЛ+, рвЛ. Л+! Л в*. *+,."
Теперь формула (16) дает
Лщ Л dcq>k = ~ дщ Л дф* =| я* PI Дд+i РQ*,
и для получения (8) остается заметить, что по
формуле (6)
I ак |2 — щ - Ф*_ь | а*+1 Р = <pft+1 — <р*.
Переходя к выводу соотношения (9), заметим, что по
определению ф* и Qk мы имеем ddc In <$k=ddc\n\ F^Vcl p—■
— Q^, и, значит, (9) сводится к равенству
ddcln\FkVa? = ^^Qk. (18)
Для доказательства последнего введем вспомогательную
голоморфную кривую fa: B/?->Cn+l по формуле
/а(г)-Л(г) V а = /(г) Л Па) V а (19)
и докажем, что для любого &=1, ..., п ее
присоединенные кривые (Fa)k_{ удовлетворяют соотношению
(Fa)k-i(z)~(f(z),a)k-lFk(z)Va~
«(/,a)*-lf Л ■•■ Afk)Va. (20)
Доказательство будем вести индукцией по &. При
£ = 1 соотношение верно, ибо оно сводится к (19), и
мы предположим, что оно верно при некотором k. Без
ограничения общности можно считать, что в
рассматриваемой точке 20 е BR
if (26), e)*0, (f »(2b), a) - 0f / - 1, ..., п
(заменив, если надо, представление fa как при
доказательстве леммы из § 8). Тогда по свойствам
внутреннего произведения формула (20) в точке z0
переписывается в виде
6 В. В Шабат

Тб2
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
а так как в этой точке k-я производная f^] = f A f{k+l) V
Va = (f,a)P+l), то в ней
= (f, a)*+* Г А ... Л Р+,) - (f, a)* f Л ... Л Р+1> V a
— мы получили (20) с заменой k на k + 1-
Итак, (20) доказано, а из него (18) выводится
применением к вспомогательной кривой fa леммы из § 8.
В самом деле, из (20) в силу голоморфности / и этой
леммы получаем
ddc\n I Fk V a Р« dd* In| {Fa)k_x p =
2я |(Fe)jk-i|4 '
или, снова применяя (20), а затем (17),
*ri.if.v.r-j;"^^:yv<f*Aa-
2* Ф| |Ffe|4
Остается еще раз воспользоваться леммой из § 8, по
которой
"ЕГ \т dzAd2-Qk9
и мы приходим к нужному соотношению (18), а значит,
доказана и формула (9).
9. Вторая основная теорема. Пусть дана
невырожденная голоморфная кривая J: BR-+Pn и q^n + 2
гиперплоскостей в общем положении. При помощи
функций касания ф*ф/)*) определим сингулярные
метрические формы
SL*.(D/)tal^J (21)
с особенностями на (дискретном) множестве точек гб
s 5я, в которых кривая f имеет хотя бы с одной из Z)/
*) Зависимость Ф*(0/) от 2 для простоты письма мы не
указываем.

§ 9. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
163
касание порядка ^ k. Здесь ck ъ \i — постоянные,
которые будут выбраны позже.
Использование этих форм является решающим в под-*
ходе Альфорса к доказательству второй основной
теоремы теории распределения значений для случая
голоморфных кривых, которая формулируется следующим
образом.
Теорема 1. Пусть дана невырожденная целая
кривая J: С-> Рп и q ^ п + 2 гиперплоскостей DjczP n в
общем положении. Тогда для любого г > О найдется
множество Е cz R+ конечной логарифмической меры
такое, что для гфЕ
(q-n-l-e)Tf(r) +
+ nt(n-k)N(Sk,r)+C<;£N?(Dhr). (22)
fc-О /-1
Здесь Nf(Df, r) — считающая функция
гиперплоскости Df (она была определена в § 2), N(Sk, г)
—считающая функция дивизора стационарности &-й
присоединенной кривой Fk: C->G(n, k), Tf (r) == T0 (г) —
характеристическая функция кривой и С — постоянная.
Доказательство этой теоремы мы проведем в несколько этапов.
Обозначим &ь = igj- hk dz A dz; тогда
fc-*Ur wa,)» Г""**
где hk — метрический коэффициент формы Q*, а
постоянные Ck к \х выберем позже. Отсюда по формуле
Пуанкаре— Лелона получаем равенство в потоках
ddc\nftk =
я
~ RicQ, + -^Г £ {[фА+1 {Djj\ - [щ (/),)]} + [Sk)9 (23)
/-i
где RicQft — регулярная часть потока ddc In Ам. Мы
воспользовались тем, что сингулярная часть этого потока
складывается из двух частей: потока, вызванного нулями

164
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
функций касания (член с In2 —rW-r привзноса в него не
дает ввиду слабой сингулярности), и сингулярной части
потока ddc In hk — дивизора стационарности кривой Fk
(см. (14) §8). Из (23) стандартным образом
получается равенство
2л
1
4я
\ in^(^e)rfe = 54S Ric^ +
с о Bt
+ -^ £ {NM (Dh r) - Nk (Z)„ г)} + N (Sk, r), (24)
/-i
где Nk{Djt r) — считающая функция нулей q>*(D/, г).
Мы не станем вычислять эти функции, а вместо этого
умножим соотношения (24) на п — k и сложим их для
k = 0, ..., п—1. Займемся прежде всего средним
членом в правой части. После очевидных перестановок и
сокращений получим
n£i{Nk+1(D,)-Nk(D,)} =
/5-0 /-1
- t {Nn (Df) - N0 (D,)} - - t Nf (Z>„ r),
ибо у нас Nn(Dhr) = 09 a N0(Dh r) = Nf(Dh r). Далее,
по теореме 2 предыдущего параграфа, в которой Qk
заменена сингулярной формой Qb получим, что вне
множества конечной логарифмической меры
2л
\\пЬк(ге«)<1в^с'к1пТк(г),
о
где fk определяется по Qk как Tk no Qk (см. (11) § 8).
Поэтому вне такого же множества Е
E^l in/i^Ve = £ o(inf*(r)).
&-0 0 fe-0

* 9. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ TEOPBMA 165
С учетом этих замечаний получим из (24), что вне Е
j?Nf(DJt r)« $ Цг $£ <n-*)Ric6ft +
/-1 0 Bfk=0
+ J] (a - k) N (S„, г) + %0 (In fk (г)). (25)
£-0 fc-0
На втором этапе доказательства нужно оценить
снизу полученный интеграл. Для этого нам понадобится
Лемма. Для любого е > 0 существует jmo(e) ^ 1
такое, что для всех fi^fAo(e) и любой гиперплоскости
DczPn
1 2<pL, .
ln2(t*/<P*) <p4 in* (ц/<рл)
<4 Вычислениями левая часть (26) приводится к виду
«Wln-J 2^Шфй+2 ^л^фй
1п (^/Ф*) |п (И/Фй) Фб In (и/ф*)
Подставляя сюда соотношения (8) и (9), полученные
в предыдущем пункте, мы переписываем ее в виде
dde In
JC I - 1
1п*(ц/фА) ™*
с 2!»+1 qb i «Г ф*-1ф*+1 f ' ! )+
ФА1п2(ц/фА) [ ф* 1>(Ц/ФЛ) 1п2(ц/фй),/
+ <pfe ta*(J/<P*) ~ ( In (ц/Фа) + In' (ц/ФЛ) J J Qk>
а затем, пользуясь тем, что <р*<1, выбираем число ц
столь большим, чтобы было In (ц/ф*) > 1 и [п, , . +
+ 1^(ц/ф \ < Т Для заданного е > 0. Тогда
что и требуется ►
Нужную нам оценку сформулируем в виде
отдельного предложения;

166
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
Теорема 2. Пусть дана невырожденная
голоморфная кривая J: BR-+Pn и q^n + 2 гиперплоскостей
Djcz Рп в общем положении. Тогда при заданном г > О
сингулярные формы Qk при подходящем выборе
постоянных Ck и [х удовлетворяют неравенству
£ (n-k)RicQk>(q--n--l)Qo + nt Й*-е£ Q*. (27)
k-0 fe-0 fe-0
А По определению форм Риччи мы получаем из (21), что
%(п-к)Ц1сйк =
- Е Z <^с 1п »*+« w - и"1п **(£>/»+
+ ZZ^lnTHra-+2>-*)RicQ*- (28)
fe-0 /-1 V *' Jfe-0
Здесь первая сумма справа после перестановки порядка
суммирования и очевидных сокращений принимает вид
£ {ddc In Фя (D,) - ddc In ф0 (D,)} = qQ0,
ибо фп (Dy) = const, a no формуле (7) с учетом того, что
dd° In | (/, a) f = 0 в силу голоморфности /, мы имеем
£ИЧпфо(Я/) = —Ж/'lnlf P = — Qo (ср. (5) § 8). Третья
сумма легко вычисляется на основании формулы (15)
§ 8 и равенства Qn = 0:
I (п - *) Ric Q* - I (я - *) (QAel - 2Q* + 04+1) =
Jfe-0 fe-0
— — (/i+l)Qo-
Подставляя эти вычисления в (28) и оценивая там
вторую сумму справа по лемме, получаем неравенство
я-1
£ (n — k)RlcUh>
fc-0
*»—1)а°+21 Inw^Xw ~ '?>(29>
,-,.-. -W>"»«>,» ...

§ 9. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
167
(мы считаем, что \i^ jio(e) из леммы). Остается оценить
двойную сумму.
По замечанию в начале параграфа Fk V а = 0 лишь
в том случае, когда вектор а принадлежит
ортогональному дополнению {k+ 1) -мерной плоскости,
определяемой Fk. Так как размерность этого дополнения равна
п — k, а гиперплоскости D/ в общем положении и таким
плоскостям (проходящим через данную точку)
соответствуют линейно независимые векторы а!, то Fk(z)\/af, a
значит и <f>k(Dj, z), может обращаться в нуль не более,
чем для п — k гиперплоскостей. Для остальных
гиперплоскостей ф*ф/> г)>0, а в силу непрерывности этих
функций и компактности многообразия Грассмана
найдется постоянная га >0 такая, что <[>*(/)/, z)^m для
всех z и всех Dj, кроме самое большее п — k.
Обозначим для краткости
тогда, согласно только что сказанному, найдется
постоянная М > О такая, что Ф/* ^ Af, кроме самое
большее п — k значений /. Перенумеруем гиперплоскости Dj
так, чтобы было Ф/а- > М для / = 1, ..., / ^ п — k и
Ф/Л ^ М для / = / + 1, ..., q. Имеем
/-1 /«1 /-1 /-1
(мы воспользовались неравенством между средним
арифметическим и геометрическим и тем, что 1//^
S^ 1/(п — k))y а так как при / =/+1» •••> <7 у нас
Фиг/М ^ 1, то и подавно
2 1ф1к>скЦФУГк\
где ^ — некоторая постоянная. Таким образом,
если постоянные в определении (21) форм ЙГ* выбрать
равными ck. Подставляя это в (29), получаем нужную
оценку (27) ►

168
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
Теперь доказательство второй основной теоремы
заканчивается совсем просто. Из (27) следует оценка
с с п"1
Bf А-0
я-1 л-1
> {q _ п _ 1) Tf (г) + £ Тк (г) - е J Гй (г),
fc-О *-0
и, подставляя ее в (26), мы найдем, что вне множества
Е конечной логарифмической меры
^Nf(Dhr)>(q-n-l)Tf(r)-enijAr) +
+ n£(n-k)N(Sk,r)+Z {fk(r)+0(lnfk(r))}. (30)
k~0 Jfe-0
Остается заметить, что во-первых, согласно
замечанию в конце § 8, вне такого же множества рост всех
Tk(r) с точностью до логарифмических членов совпадает
с ростом Г0 (г) = Tf(r), и поэтому можно считать, что
вне Е
I Г*(г)<^(г)
с положительной постоянной С и, во-вторых, что
последняя сумма в (30) оценивается снизу постоянной С. Мы
получаем нужную оценку (22), в которой 8 заменено на
Се, что несущественно. Вторая основная теорема теории
голоморфных кривых доказана полностью.
§ 10. Соотношение дефектов и теоремы Пикара
Здесь будут рассмотрены некоторые применения
второй основной теоремы для голоморфных кривых.
10. Соотношение дефектов и теорема Бореля.
Дефектом гиперплоскости D а Рп для целой кривой f:
С-^ Рп мы, как и в § 6, назовем величину
в;(л)-1-1Е-Щ£Д, (о
г-»ео
~Ш

§ 10. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ И ТЕОРЕМЫ ПИКАРА 169
где Nf(D9 г) — считающая функция Д а ^(^ —
характеристическая функция кривой. Как и в § б,
доказывается, что всегда 0 <; 6f (D) ^ 1 и что положительный
дефект имеют в точности те гиперплоскости, которые
пересекаются с кривой меньше, чем обычные.
Максимальный дефект, равный 1, имеют, в частности, те
гиперплоскости, которые вовсе не пересекаются с кривой.
Главным следствием второй основной теоремы
является следующее соотношение дефектов:
Теорема 1. Для любой невырожденной целой
кривой J: С:-* РЛ и любой системы q гиперплоскостей D, с:
а Рп в общем положении
ibf(D,)<n+l. (2)
4 По второй основной теореме (теорема 1 § 9) вне
множества Е значений г конечной логарифмической
меры
|jiVf(D/fr)X^-n-I-e)rf(r) + C (3)
(мы отбросили в левой части (22) § 9 неотрицательную
сумму (n — k)N(Sk, /*))• Так как Е не может содержать
никакого луча (г0, оо), то найдется последовательность
значений rv-+-oo, для которой гуфЕ и, следовательно,
в силу (3)
Л Nf(DJtr)
Поэтому
"+«JZi fl
f— A Nf(Dh r)
Ы /-1
r*°°;-i
(мы воспользовались тем, что верхний предел суммы не
превосходит суммы верхних пределов), а так как е > О
произвольно и левая часть от него не зависит, получаем
(2) ►

170 Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
При п = 1 эта теорема, как и в равноразмерном
случае (§ б), дает классическое соотношение дефектов:
для любой непостоянной мероморфной функции / и
любых q различных значений а; е С
£Ма/)<2. (4)
Так как гиперплоскости, не пересекающиеся с кривой,
имеют дефект, равный 1, то теорема 1 сразу приводит
к обобщению малой теоремы Пикара:
Теорема 2. Любая целая кривая J: С-^РЛ, не
пересекающая п-\-2 гиперплоскостей в общем
положении, вырождена.
Напомним, что при п > 1 вырождение кривой не
обязательно сводится к вырождению в постоянную, а
означает лишь, что J (С.) принадлежит некоторому
подпространству Рп.
В качестве примера применения теоремы 2 выведем
из нее известную теорему Бореля о целых функциях
одного переменного:
Теорема 3. Целая функция без нулей не может
быть линейной комбинацией линейно независимых целых
функций без нулей.
<4 Пусть от противного целая функция / без нулей
представляется в виде
f(z) = aQf0(z)+ ... +anfn(z), (5)
где // — линейно независимые целые функции без нулей
и а/ — постоянные, не равные нулю. Так как /у
линейно независимы, то [/о, ..., fn] является
невырожденной целой кривой в Рп. Так как f/ Ф О, то эта кривая
не пересекает п -f 1 гиперплоскость {wf = 0}, /=0,... л,
а так как и f¥=0, то в силу (5) эта кривая не
пересекает и гиперплоскость aoWo -f ... + anwn = 0. Мы
пришли к противоречию с теоремой 2 ►
Теореме Бореля можно придать несколько иную
форму:
Если целые функции gj удовлетворяют соотношению
<АЮ+ ... +^w.i, (6)
то по крайней мере одна из них постоянна.

§ Ю. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ И ТЕОРЕМЫ ПИКАРА 1?1
4 Пусть от противного в (6) все gf не постоянны.
Выберем среди функций egl максимальное число линейно
независимых; пусть это функции е8°, ..., е8т (т<я).
т
Тогда ^«Е»//' Для fc==m + 1, ..., п и (6)
примет вид
а0е*°(г) + ... + ате*™ы«. i, fl/ - 1 + £ ам.
Ясно, что все а/ не могут равняться 0, а так как gf не
постоянны, то отличны от 0 по крайней мере два af\
пусть а0, ..., аг (1 </^m) отличны от 0, а остальные
а/ = 0, тогда (6) сводится к тождеству а0её*(г) + ...
...+в/**/(г)ия1» а так как //=■**/, / = 0, ...,
/,—линейно независимые целые функции без нулей, то это
тождество противоречит теореме 3 ►
Замечание. В силу тождеств вида е* + e^ni ва0
нельзя утверждать, что в соотношении (6) все gj
постоянны. Приведем еще одну форму теоремы Бореля:
Из соотношения
её*{г)+ ... +е8п{г)*в0 (7)
следует, что по крайней мере одна из разностей gj — gkf
j фк, постоянна.
Эта форма сводится к предыдущей, если переписать
(7) в видег*°~**+я/ + ... + е*»-'"*»*1"« 1 I
В заключение отметим без доказательства, что
соотношение дефектов обобщается на пересечения
присоединенных кривых Fk: LG->G(n, k) с плоскостями А а Рп
коразмерности k-\-\. Чтобы сформулировать это
обобщение, сопоставим каждой такой плоскости (k+
1)-вектор Л1=аа1Л...Ла*+1, где (w, af)=0t /=1, ...
... ,k + 1, — уравнения гиперплоскостей из ЗСЛ*"1,
пересечение которых при стандартном отображении р:
1О+1\{0} ->■ РЛ проектируется в А (такой (k + 1)-вектор
определяется с точностью до скалярного множителя).
Через nk{Ay t) обозначим число нулей в круге Bt (с
учетом кратности) скалярного произведения (Fk, AL), где
Fk = f Л ,,. Л /<*>— редуцированное представление Р*9

172
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫВ
и величину
NMr)^4^±dt
назовем считающей функцией плоскости А Дефектом А
для кривой Fk назовем величину
№(а\—\ тгг: Nk(Л, г)
6f (^-l-^m-y^,
где Тн — характеристическая функция, определенная в
(11) §8. При k = 0 это определение совпадает с (1).
Соотношение дефектов для присоединенных кривых
формулируется следующим образом:
- Теорема. Для любой невырожденной целой
кривой f: С-ИРЯ и любой системы Af, /= 1, ..., q,
плоскостей коразмерности k+X из Рп в общем положении
2>Ч4)<(1+!)' *-o,....n-i.
/-1
Эта теорема при k = 0 сводится к теореме 1. Ее
доказательство проводится по той же схеме, но требует
довольно громоздких рассмотрений. Детали, связанные
с приведенными здесь определениями, и доказательство
теоремы можно найти в книге By [3].
П. Большая теорема Пикара. Классическая
формулировка этой теоремы такова: если мероморфная в
проколотом круге £д = {0 < | z |< R} функция выпускает
три различных значения, то она мероморфно
продолжается в круг BR (г = 0 не может быть существенно
особой точкой функции). Прямым ее обобщением на случай
голоморфных кривых является
Теорема 4. Если невырожденная голоморфная
кривая f: В\ -> Рп не пересекает я + 2 гиперплоскости в
общем положении, то она голоморфно продолжается в
круг BR.
<4 Без ограничения общности считаем, что R = X и
что J голоморфно продолжается в некоторую окрестность
окружности {|г|=1}. Доказательство проведем в два

§ 10. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ И ТЕОРЕМЫ ПИКАРА 173
этапа: сначала докажем, что характеристическая
функция кривой, под которой здесь понимается
rfM-fe$*-f£S*. (8)
Mr At 1 Ахц
где At = {t <|г |< 1} — кольцо, a Q0 = f*(шо), как и
прежде, прообраз формы Фубини—Штуди, в условиях
теоремы имеет логарифмический рост при r-voo, а
затем выведем из этого голоморфную продолжимость / в
круг В\.
Первый этап воспроизводит с некоторыми
изменениями доказательство второй основной теоремы из
§ 9. Выбрав в качестве Dj гиперплоскости, которые не
пересекает кривая, построим по формуле (21) § 9 с
заменой q = п + 2 формы &k — -^fikdz Л dz. Последние
уже не будут сингулярными, ибо у нас фл(^/)=И=0, и
поэтому вместо равенства в потоках (23) § 9 мы получим
ddclnfik = HicQk + [Sk], (9)
где [Sk] — дивизор стационарности присоединенной
кривой Pk.
Далее логарифмически усредним (9), но не по кругу,
как в § 9, а по кольцу Ai/r, и в соответствии с этим левая
часть будет иной, чем в (24) § 9. Именно, по формуле
Стокса
1 1
\&-\ddc\nhk=\\ \ dc\nhk- J dc\nhk
1/- At 1/г1 |*|-1 |2|-*
1
— Inr J dc\nhk~ J—• J dc\nhk
1*1-1 Mr \z\~t
или, если воспользоваться выражением оператора d°
1 А 1 Л
в полярных координатах dc — -^t mjfdQ-~-^-^'dt,
которое на окружности |г| = / имеет вид dc = j-r t-^rdQf
п

174
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
и, значит,
1
1/г \z\-t \fr ^\z\-t >
|2|»1 |*|-1/г
то мы получим
1/г ^
= inr 5 ^тА*-^ 5 in^de + i 5 ln^rfe.
|г|-1 |2|«1 \z\-\tr (Ю)
Таким образом, вместо (24) § 9 будем иметь
-££- \ lnkkdQ + Klnr+L =
\z\-llr
1 1
" J"? jRic^ + ^(Sbr)> \~ J Ric Q^
1/г At Mr A{
(мы обозначили через К и I выражения в (10), не
зависящие от г, и отбросили в правой части неотрицательное
слагаемое).
Далее будем действовать точно так же, как в § 9, и
тогда вместо (30) § 9 получим, что вне множества Е
значений г конечной логарифмической меры
/CMnr+L^r^O-eEnW+Z {Т* (г) + О (In fh (г))},
где К' и U — некоторые постоянные, а Г* и f*
определяются, как в § 9, с заменой круга Bt на кольцо At (мы
учли, что у нас Nf(Dj, r) = 0, а <7 = л + 2, и отбросили
члены с N{Sk, r)). По соображениям, приведенным в
конце § 8, отсюда следует, что вне множества Е
функция Tf (г) имеет логарифмический рост: вне Е
Tf(r)^Klnr + L (11)
с некоторыми постоянными К и L.

§ 10. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ И ТЕОРЕМЫ ПИКАРА 176
Остается заметить, что в силу неотрицательности
формы Q0 отсюда можно вывести неравенство
\ Qo<K (12)
AUr
для всех значений г. В самом деле, если бы для
некоторого г0 выполнялось противоположное неравенство, то
для всех г > го по формуле (8) мы имели бы
г
rf(r)—$Т" \ Go + const>/(Inr + const,
r0 A\(t
что противоречит (11), ибо Е не может содержать
никакого луча (г0, оо). Из (12) и (8) заключаем, что
неравенство (11) справедливо для всех значений г> 1.
Второй этап. Начнем с варианта первой
основной теоремы для кривой, голоморфной в В\. Если s —
сечение гиперплоского расслоения над Рп,
определяющее гиперплоскость D и h(z)= l/||s<>/ |р (см. § 4), то
соответствующая формула Пуанкаре —Лелона
запишется в виде
ddc In A = Q0 -[Г1 (D)l
Логарифмически усредняя это соотношение по кольцу
AUr и преобразуя левую часть по формуле (10), получим
следующий аналог первой основной теоремы для кривой,
голоморфной в проколотом круге В*: для любой
гиперплоскости D cz Рп
Nf(D,r) + mf(D9r)*=
= 7>(r)-lnr J d'lnA + i [ InhdQ, (13)
где Nf (D, r) — считающая функция D в кольце Ayr,
т'(Дг) = 1Г \ lnlTTiFrfe (14>
iniztivr l|5°™
— приближающая функция (ср. с формулой (4) § 4) и
7> —характеристическая функция кривой, определяемая
по формуле (8).

176
Гл. III. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
Так как образ окружности {|z|= 1} при
отображении J представляет собой в Ря множество вещественной
размерности 1, то в пространстве (Рл)*
гиперплоскостей найдется открытое множество Uy не
пересекающееся с этим образом, так что для всех D^U функция
А= l/||sof||2 ограничена на {|2|= 1}, а значит,
ограничены и оба интеграла в формуле (13). Функцию rrif(D,r)
можно считать неотрицательной (см. § 4), и тогда (13)
приводит к следующему варианту неравенства Неван-
линны для всех гиперплоскостей D e U:
Nf(D,r)^Tf(r) + Klnr + L, (16)
где К и L — постоянные, зависящие от выбора U.
Вместе с доказанным на первом этапе можно теперь
утверждать, что в условиях теоремы Nf(D, г) = О (In r)
для всех D e U, а из этого, как мы видели в теореме 5,
§ 1, следует ограниченность функций tif(D, r)9 т. е.
ограниченность числа точек пересечения кривой J с
гиперплоскостями Dg[/b проколотом круге В\.
Отсюда уже нетрудно вывести и утверждение
теоремы. Заметим сначала, что голоморфная в проколотом
круге В* функция \|э мероморфно продолжается в круг
Ви если она обладает следующим свойством^: для точек
а некоторого открытого множества VcziQ уравнение
i|)(2) = a имеет в В\ конечное число решений. В самом
деле, пусть для a°st/ это уравнение имеет
максимальное число решений г\9 ..., zm и р = min (| Z\ |, ..., | zm |).
Тогда в Вр, = {0 <| z |< pj, где р1 <р, функция i|)
выпускает значения из некоторой окрестности a0, a
значит, функция l/(ty(z) — а0) ограничена в B*9l и,
следовательно, голоморфно продолжается в точку z = 0.
Переходя к случаю голоморфной кривой f: В*-+Рп9
рассмотрим ее представление / = (f0, ..., fn) и меро-
морфные в В1 функции i|)v = /v/fo, v=l, ..., п (без
ограничения общности можно считать, что /0^0).
Наличие открытого множества Ucz( Pn)*, гиперплоскости
которого пересекаются с кривой в конечном числе точек,
позволяет применить предыдущее замечание к каждой
из функций i|)v. Таким образом, каждая -фу мероморфно
продолжается в круг Ви а это эквивалентно
голоморфной продолжимости в В\ кривой J ^

5 10. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ И ТЕОРЕМЫ ПИКАРА 177
Замечание. Условие невырожденности кривой в
доказанной теореме существенно. Например,
голоморфная в В\ кривая /(г) = [1, el/z, —el/g] не продолжается
мероморфно в В\, хотя и не пересекается с четырьмя
гиперплоскостями из Р2 в общем положении: wo = 0,
W\ = 0, W2 = 0 И Wo + W\ + Wi = 0 |
В качестве примера применения этой теоремы
приведем доказательство локального варианта теоремы Бо-
реля во второй формулировке.
Теорема 5. Если функции /0, ..., fn голоморфны
в проколотом круге В\у не обращаются там в 0 и
удовлетворяют соотношению
f0(z)+ ... +fn(z)^U (16)
то по крайней мере одна из них мероморфно
продолжается в круг В\.
«4 Как и при доказательстве теоремы Бореля во
второй формулировке (см. п. 10) мы можем перейти от
(16) к более короткому соотношению go(z)-\- ...
• •• + gdz)*3 1» где функции g/ по-прежнему голоморфны
и не обращаются в 0 в Si, но линейно независимы. Тогда
g = [g0i ..., gfl является невырожденной голоморфной
кривой В\—►Р', не пересекающей / + 2
гиперплоскостей в общем положении: доо = 0, ..., Wi = 0 и до0 + ...
... -f- wi == 0. По теореме 4 эта кривая голоморфно
продолжается в Ви а это эквивалентно мероморфной
продолжимости всех функций gfi отсюда, как и в п. 10,
выводится мероморфная продолжимость хотя бы одной
/* ►
12. Дальнейшие теоремы пикаровского типа.
Приведем обобщение большой теоремы Пикара (теоремы 4),
полученное М. Грином [2] в 1975 г. Здесь вместо круга
с выброшенной точкой рассматривается произвольное
комплексное многообразие М с выброшенным
аналитическим подмножеством А и рассматривается вопрос о
продолжении на А голоморфного отображения /: М\А-+
"■*• Рп; ниже мы увидим, что он сводится к вопросу о
продолжении функций. Заметим, что так как
голоморфные функции по известной теореме всегда продолжаются
па аналитические множества коразмерности выше 1, то
& рассматриваемой задаче интересен лишь случай, когда

178
Гл. Ш. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
codim Л= 1. По той же причине можно считать, что
А не имеет критических точек, т. е. является
комплексным многообразием — если продолжимость функции в
мнжество AReg некритических точек А уже доказана, то
продолжимость во множество A\i4Reg критических точек
обеспечивается автоматически, ибо коразмерность
последнего не ниже 2.
Запишем отображение в однородных координатах:
f = [f0> ... f fn]. Следуя Грину, будем считать индексы
j и к эквивалентными, если ff/fk мероморфно
продолжаются на множество А (очевидно, что это отношение
j ~ k удовлетворяет аксиомам эквивалентности). Число
s классов эквивалентности, на которые это отношение
разбивает множество {0,..., я}, назовем степенью
трансцендентности отображения f (при заданных
однородных координатах в Рл). При s=l отображение f
мероморфно продолжается на множество А
Так как задача мероморфного продолжения —
локальная задача, а М и А — комплексные многообразия,
то, выбирая соответствующие локальные координаты,
можно предположить, что М = Um — единичный
поликруг, а А = Um-{ X {0} (случай m = 1 рассмотрен в
предыдущем пункте). Нам понадобится обобщение
теоремы Бореля из предыдущего пункта (теоремы 5),
которое формулируется точно так же, но с заменой В\ на
М\А и Si на М. Как и там, достаточно рассмотреть
случай, когда функции, удовлетворяющие в М\Л =
_ ijm-i х (/* соотношению fo + ... + fn = 1, линейно
независимые, и доказать, что каждая из них мероморфно
продолжается в Um.
Допустим, что это не так, и, скажем, функция f0 не
продолжается, т. е. имеет в Um существенно особые
точки. По известной теореме Э. Леви их множество Е —
аналитическое подмножество Um коразмерности 1 (см.
III, стр. 526), которое в наших условиях, очевидно,
совпадает с плоскостью {zm = 0}. Но по теореме 5,
примененной к функциям переменной zm при фиксированном
z' =(z\, ..., Zm-i), непродолжимость f0 может быть
лишь в случае, когда при данном z' функция /0 линейно
выражается через остальные. Используя тождество
fo + • • • + fn == 1 и ту же теорему 5, можно показать
(индукцией по n)t что такие выражения должны иметь

§ 10. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ И ТЕОРЕМЫ ПИКАРА 179
вид /о + J}] ff = 0, где S — некоторый набор индексов из
множества {1, ..., п}, и, следовательно, различных
выражений может быть лишь конечное число. Поэтому
хотя бы одно из них справедливо на открытом
подмножестве Um~lt а по теореме единственности и на всем
U"1*1. Таким образом, функции // оказываются линейно
зависимыми вопреки предположению.
Обобщенная теорема Пикара, которую доказал
М Грин, формулируется так:
Теорема б. Пусть М — комплексное т-мерное
многообразие и А— его аналитическое подмножество.
Если голоморфное отображение f: M\A-> Рп
выпускает п + k гиперплоскостей в общем положении (k^l),
то его степень трансцендентности s (относительно одно-
родных координат в РЛ, определяемых первыми п + 1
выпускаемыми гиперплоскостями) удовлетворяет
неравенству
•<[т]+ь <17>
где квадратные скобки обозначают целую часть.
А Пусть #/=] У* a/v t^v = 0 >—выпускаемые гипер-
^ v-0 '
плоскости (/ = 0,..., n + k— 1); первые п+ 1 из них
координатные, т.е. Hf = {wf = 0} при / = 0, ..., я. Пусть
fsas[/о> •••> fn] — представление отображения в рассмат-
п
риваемых координатах и gf = V a/v/v — голоморфные
на М \ А функции, не обращающиеся в 0; первые
п + 1 из них совпадают с };. На множестве индексов
{0, ..., п + k — 1} введем отношение эквивалентности:
h ~ h, если giJgj2 мероморфно продолжаются на Л,
и через Л, ...,/* обозначим классы эквивалентности
по этому отношению.
Ключевым является следующее утверждение: каждый
класс /^ содержит не менее k индексов*). Пусть это не
*) Мы предполагаем, что k > 1; при 6«д 1 теорема тривиальна.

180
Гл. Ш. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
так и дополнение к некоторому /ц содержит не менее
п + 1 индексов, так что в этом дополнении найдутся
различные индексы /ь ..., /л+1. Выберем еще индекс /0 е /ц;
так как п + 2 вектора a/v = (a°v, ..., a/v) из Cn+I,
образованные коэффициентами tf/v(v=0, .. .,ft + 1), линейно
зависимы, то найдутся постоянные A,v такие, что
V°+...+b*Vn+I=0> (18)
причем в силу того, что Hi в общем положении, любые
п + 1 из векторов ah линейно независимы, и,
следовательно, все ^v ф 0. Соотношение (18) порождает
зависимость X0gh + ... + K+igfn+i — °»которую можно
переписать в виде
Я0 gj0 в # - Я0 gfQ
1 (19)
(у нас gj0 Ф 0 в М\ А). По обобщенной теореме Бореля
хотя бы одно из отношений gjJgfQ (v = 1, ..., п + 1)
мероморфно продолжается на А, а это противоречит
тойу, что /о и /v принадлежат разным классам
эквивалентности. Утверждение доказано.
Из него следует, что число классов эквивалентности
Далее, так как дополнение к каждому /ц содержит не
более п элементов, то среди индексов координатных
плоскостей Но, ..., Нп есть представитель каждого класса
/ц. Отсюда вытекает, что число 5 классов /ц,
определяющих степень трансцендентности отображения f в
выбранных координатах, равно t и оценка (20) доказывает
теорему >
Следствие. Если в условиях теоремы
отображение f: М\А-+Рп выпускает 2п+\ гиперплоскость в
общем положении, то оно мероморфно продолжается на
множество А

§ 10. СООТНОШЕНИЕ ДЕФЕКТОВ И ТЕОРЕМЫ ПИКАРА 181
4 Из (17) при k = п+ 1 следует, что s == 1, а это
означает мероморфную продолжимость / ►
При л = 1 мы получаем классическую большую
теорему Пикара (заметив, что голоморфное отображение в
р 1 — это мероморфная функция, а гиперплоскости — это
точки).
Заметим теперь, что в глобальном варианте теоремы
Бореля (для отображений всего пространства JG/*), в
отличие от локального, утверждение о мероморфной
продолжимости отношений ff/fk заменяется утверждением
об их постоянстве (ср. третью формулировку теоремы 5
предыдущего пункта). Повторяя для голоморфных
отображений /: jQm-* Рп доказательство теоремы б,
получим, следовательно, что функции // из одного класса
эквивалентности пропорциональны одной из них, т. е.
что их совокупность отображает jQw в комплексную
прямую пространства Сл+1, проходящую через начало.
Поэтому образ /(JQW) лежит в s-мерном подпространстве
Сл+1 или, что то же самое, — в (s—1)-мерном
подпространстве Ря, где s — число классов эквивалентности
/ц. Оценка, полученная в теореме 6, приводит,
следовательно, к такому результату:
Теорема 7. Если голоморфное отображение f:Cm->-
-> Рп выпускает n-\-k гиперплоскостей в общем
положении (k^ 1), то образ f(Cjm) лежит в
подпространстве Рп размерности не выше целой части n/k.
Эта теорема была доказана М. Грином и другим
способом (см. Грин [1], а также ШН, стр. 328), который
дает также возможность убедиться в точности
полученной оценки. Она, в частности, утверждает, что
голоморфное отображение f:\Cjm-+- Ря, выпускающее л+ 2
гиперплоскости в общем положении, непременно вырождено,
а отображение, выпускающее 2п + 1 такую
гиперплоскость, вырождено в константу. При m = п = 1 оба
этих результата сводятся к малой теореме Пи-
кара.
Замечание. В первом результате утверждается,
что для голоморфного отображения /: С!71-*- РЛ,
выпускающего п + 2 гиперплоскости /// с: Р п в общем
положении, образ /(.Gm) принадлежит некоторому
собственному подпространству РЛ, так что / можно рассматри-
в*ть как отображение Ст -+ Р п~К Оно, конечно, выпу-

182 Гл. Ш. ГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ
екает п + 2 гиперплоскости Я/СтР"""1, которые полу*
чаются в пересечении с Рл""! выпускаемых
гиперплоскостей Я/. Казалось бы, к / можно применить тот же
результат с заменой п на п— 1, т. е. утверждать, что
/(Ст) лежит в собственном подпространстве Рп~\ и,
рассуждая так далее, прийти к выводу, что f
вырождается в константу. Однако гиперплоскости Я/не
обязаны быть в общем положении, и поэтому такое
рассуждение неправомочно 1

ГЛАВА1У
ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
§ 11. Отображения комплексных многообразий
До сих пор рассматривались в основном
голоморфные отображения из пространства Ст в компактные
комплексные многообразия М. Здесь мы опишем
обобщение основных теорем теории распределения значений
на случай отображений Л-^М, где А — аффинное
алгебраическое многообразие размерности т. Такое
обобщение дано в работе Ф. Гриффитса и Дж. Кинга
[1]; кроме этой работы, мы будем использовать также
идеи, развитые в статье Б. Шиффмана [3]. Мы
рассмотрим также распространение теории, развитой в
предыдущей главе, на голоморфные кривые, заданные на
римановых поверхностях.
1. Функция исчерпания. Будем рассматривать
голоморфные отображения m-мерных комплексных
многообразий A cz С*, которые описываются конечным числом
полиномиальных уравнений (в алгебраической
геометрии они называются гладкими аффинными
алгебраическими многообразиями). Как известно (см., например,
И. Р. Шафаревич [1], стр. 79), для таких многообразий
можно найти подпространство Ст (той же размерности,
что А) так, что проекция
п:А^Ст (1)
будет реализовать А как конечнократное разветвленное
накрытие с кратностью, равной степени А Без
ограничения общности можно предполагать, что я есть
проектирование 'С* на первые т координат (для этого
достаточно сделать в С* линейную замену координат).
Нам понадобятся еще некоторые свойства проекции
(1). Прежде всего докажем лемму, которая обобщает
лемму из п. 4 § 1 — аналог теоремы Сохоцкого для
аналитических множеств.

184
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
Лемма 1. Аналитическое k-мерное множество V с:
:Ст является алгебраическим^ если его замыкание
екает в Р2Г1
Vcz Pm выпускает в бесконечной гиперплоскости Р%> ]==
= hm \Cm проективное подпространство П ■ р«-*-1
коразмерности, равной размерности V.
(При k = m— 1 получается лемма из § 1: F выпу-
точку, а в силу замкнутости — и некоторую
ее окрестность.)
<4 Доказательство будем вести индукцией по
коразмерности г = га — £ множества К. При г = 1 лемма
была доказана в § 1; пусть она верна для некоторой
коразмерности г— 1 ^ 1, а
codim V = m — k.
В PS""1 найдется открытое множество U, свободное от
точек V. Выберем произвольно точку pet/ и
подпространство Р"*-1 cz Pw,
отличное от Р2"1, и рассмотрим
проекцию ар: Pm\{p}^Pm~l из
точки р. Так как сужение ор
на V — собственное
отображение, то по известной теореме
Реммерта (см., например, Ган-
нинг и Росси [1], стр. 204)
его образ op(V) —
аналитическое множество в пространстве
Qm-i = ap(Cm)cz: Рот-1,_замы-
кание которого ор {V) с:
с: ар (Р2"1) \ ор (П). Проекция
ар преобразует комплексные
прямые, проходящие через р, в точки, а остальные
комплексные прямые сохраняет, следовательно ap(PS"~1)=3
з=Р™~2,ор(П)-— проективное подпространство Р"*-1
размерности m — k—l и dimop(V) = k. Таким образом,
Gp(V) удовлетворяет условиям леммы с коразмерностью
г—1 и по индуктивному
предположению—алгебраическое множество.
Но тогда и (ypl(ap(V)) — конус из комплексных
прямых, натянутый на ap(V)~также алгебраическое
множество, содержащее V (см. схематический рис. 7).
Рис. 7.

$ If. ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИИ 185
Остается доказать алгебраичность самого V. Для этого
рассмотрим множество V= f] <*р1 (<*р (V)); оно алге-
браично как пересечение алгебраических множеств (см.
И. Р. Шафаревич [1], стр. 29) и, очевидно, содержит V.
Заметим, однако, что для zmCjm\V множество {р е U:
op(z)& op(V)} — пересечение с PS"1 конуса с вершиной
г, натянутого на V, — имеет размерность dim V = k, a
k = т — г <. т— 1 == dim £/, ибо у нас г ^ 2. Поэтому
для любого z&CmW найдется ре(/ такое, что гф
ф(Ур~1(<Ур(У)), и, значит, гф9. Таким образом, V*=9 —
алгебраическое множество ►
Следствие. Пусть А с: Cjn — алгебраическое
множество и я— его проекция такая, как в (1).
Аналитическое подмножество V с: А является алгебраическим
тогда и только тогда, когда n(V) — алгебраическое
подмножество Ст.
4 Алгебраическое отображение я: ©/->Ст
продолжается до отображения Р^->Рт. Если
V—алгебраическое множество, то я собственно на F и по
цитированной выше теореме Реммерта я (V) — также
алгебраическое множество. Пусть теперь n(V)
—алгебраическое подмножество jCjw размерности L По лемме
найдется П = РМ-*-1 с: PJT* такое, что я(К)ПП = 0.
Замыкание прообраза я-^П) в Р^ есть проективное
пространство Р^-*-1 а Р^ХС^ и Fc ним не пересекается.
По той же лемме V—алгебраическое множество ►
Наша следующая цель — построить исчерпание
многообразия А компактными множествами подобно тому,
как пространство Ст исчерпывалось шарами Вг, и при
помощи функции, описывающей это исчерпание,
определить форму, заменяющую ©о = ddc In | z|2. Назовем
Функцией параболического исчерпания А любую
функцию т: А-+- R класса С00, которая обладает следующими
свойствами:
1) множества {pes A: x(p)^t) компактны для всех
t& R;
2) начиная с некоторого уровня t = t0, т. е. на
множестве {ре А: х(р)>и), функция т плюрисубгармо-
нична:
Л*ст>0; (2)

186
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
3) начиная с этого же уровня, внешняя степень
(ddcx)m = 0. (з)
Для изученного в предыдущих главах случая А = О
в качестве функции исчерпания можно принять те*
= ln|z|2 при 121 >/•<), т. е. при т> In го =/о, и
сглаженную произвольным образом в шаре ВГо- Такое сглажива-
ние изменит характеристические и считающие функция
на ограниченное слагаемое и не отразится на основных
теоремах теории распределения значений, которые
имеют асимптотический характер. В общем случае
аффинного алгебраического множества Л,
рассматриваемого здесь, функцию исчерпания можно определить при
помощи проекции (1), положив
тл(р) — тоя(р). (4)
Так как отображение (1) собственное, то выполняется
свойство 1), а форма
<oA = ddcxA, (б)
равная я*со0 = ddcln\n(p) |2 при ха > *о, очевидно,
обладает свойствами 2) и 3).
Обозначим через Вг = {ре А: ха(р) < In г2} для
г > го «шар» радиуса г (для случая А = Ст он
совпадает с обычным шаром). Если г > г0 и In г2 не является
критическим значением функции ха, то dBr = Sr — глад*
кая вещественная гиперповерхность.
Рассмотрим теперь голоморфное отображение
f:A~>M (в)
многообразия А в л-мерное компактное комплексное
многообразие М, над которым задано положительное
линейное расслоение L->M с формой Чженя cl. Мы
можем определить характеристическую функцию этого
отображения по формуле
Tf(L9r)=\£- J/'fot) Л «Г1! (И
в случае А = Ст она, очевидно, отличается от такой #е
функции, введенной в § 2, лишь постоянным слагаемым-

§11. ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 187
Для дивизора D голоморфного сечения расслоения L
можно определить считающую функцию
г
Nf(D,r)=\*L \ иГ1; (8)
при этом предполагается, что отображение / сохраняет
множества коразмерности 1, т. е. что dim f~l(D)~=m — I.
Так как у нас <оА и / (cL) А со™""1 — положительные
формы, то обе функции Nf и Tf возрастают не медленнее,
чем In г.
Делая во внутреннем интеграле (8) замену
переменных г — n(Z), мы сведем его к интегралу, который лишь
постоянным слагаемым отличается от считающей
функции множества n(f~l(D))c:Cm. Так как по доказанному
выше это множество алгебраично тогда и только тогда,
когда алгебраично f-x(D)> то, вспоминая теорему 5 из
§ 1, заключаем, что логарифмический рост Л//(A r)
характеризует алгебраичность множества f~l{D). Отсюда,
как и в § 2, выводится, что логарифмический рост
Tf(L, r) характеризует рациональность отображения /.
Если г>г0 и In г2 не является критическим
значением функции тл, то на «сфере» Sr можно
рассматривать форму
о а - d°xA A (ddcxA)M-l - dcxA А ®Г\ (9)
которая обобщает форму Пуанкаре из п. 5 § 1 и
замкнута в силу условия 3) на функцию исчерпания (deA =
= <ою = 0 при r>rQy По формуле Стокса отсюда
вытекает, что интеграл от од по Sr при г > го не зависит от г.
Повторяя рассуждения § 2, теперь можно заключить, что
при замене формы cl другим представителем класса
Чженя характеристическая функция меняется на
ограниченное слагаемое. Таким образом, характеристическая
Функция Tf(Lt r) в существенном не зависит от выбора
метрики на расслоении L и определяется самим расслое-
ни*м (см. § 2).
2. Обобщение основных теорем. Первая основная
°рема переносится на рассматриваемый случай без
Умственных изменений. Выбрав на расслоении L ме-

188
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
трику h = ha в области Ua покрытия М, мы для
произвольного дивизора D голоморфного сечения s = {sa}
рассматриваем квадрат его эрмитова модуля ||s||2 =
= ^a|sa|2 в Ua. Тогда по формуле Пуанкаре — Лелона
на М справедливо равенство в потоках
ddc\n\\s\\2*=-cL + D9
где d = —ddc\nha в Ua — форма Чженя метрики ft.
Переходя к прообразам при голоморфном отображении
f: Л->Л1, сохраняющем аналитические множества
коразмерности 1, умножим полученное соотношение на форму
©л-1- После применения леммы 2 из § 1 получим для
любого г > го, для которого In г2 не является
критическим значением функции тл, что
г
\ И jo/ || аА \ * \ f{cL) Л «Г1 +
г0 rliD)1\Bt
(ер. с формулой (2) § 4).
Введем теперь приближающую функцию дивизора D
по формуле
mf (Д г) — \ In yi^ <тл, (11)
обобщающую такую же функцию из § 4. Она
определена для In г2, не являющихся критическими
значениями функции та, но, как видно из формулы (10),
непрерывно продолжается в эти значения (ибо непрерывна
правая часть формулы), и мы будем считать ее
определенной для всех г > го. Остается воспользоваться опре*
делениями (7) и (8) характеристической функции
отображения Tf(Ly r) и считающей функции дивизоре
Nf{D, r), и (10) приведет к первой основной теореме
теории распределения значений в следующей
формулировке.

§ 11. ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИИ 189
Теорема 1. Пусть AcCN— аффинное
алгебраическое m-мерное многообразие, а М — компактное п-мер-
ное комплексное многообразие, над которым задано
положительное линейное расслоение L. Тогда для любого
голоморфного отображения f: A-+A1, сохраняющего
множества коразмерности 1, и любого дивизора D
голоморфного сечения L
Nf (Z), г) + mf (Д г) = Tf (I, г) + С при г > г0. (12)
Без изменений переносятся на рассматриваемый
случай и следствия первой основной теоремы, отмеченные
в п. 2 гл. И. Обобщение теоремы на случай
аналитических множеств коразмерности выше 1 мы рассматривать
не будем.
Вторая основная теорема в рассматриваемом здесь
случае доказывается по схеме § 5 с небольшими
добавлениями. Пусть A zdPn— алгебраическое многообразие
той же размерности п, что и компактное
многообразие М, и пусть на М задан дивизор D, который
представляет собой объединение q многообразий Df,
пересекающихся в общем положении. Предположим, что
расслоение Ld этого дивизора положительно и
положительна сумма классов Чженя Ld и канонического
расслоения Км:
c(LD) + c{KM)>0. (13)
Тогда по теореме 1 § 5 на M\D можно построить
сингулярную форму объема V, обладающую указанными в
этой теореме свойствами.
Рассмотрим теперь невырожденное голоморфное
отображение /: А-+М (невырожденность здесь означает,
что в локальных координатах на А и М якобиан Jf ФО
на А) и сравним прообраз /*(ЧГ) с формой я*(Ф) =
^{ddc\n(Z)\2)nt которая является прообразом
евклидовой формы объема Ф= (ddc\z\2)n при проектировании
я: Л-*(С. Пусть
Г(Ч0 = £я*(Ф), (14)
гДе неотрицательный множитель g обращается в оо на
прообразе дивизора f~\(D) и на дивизоре стационарно-

leo
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
сти Sn проекции я и в 0 на дивизоре стационарности Sf
отображения *).
Формула Пуанкаре — Лелона в этой ситуации
выражается равенством в потоках
ddc In I = Г (Ric 40 + Sf - Sn - Гl (D). (15)
В самом деле, в точках A\(5f USnUf-"1^)) форма
я*(Ф) является формой объема на Л, /*(\Р*)—гладкая
положительная (я, п)-форма, так что ddc\n%=f*(Ric4?)
в классическом смысле; это — регулярная часть потока
ddc ln£, а остальные слагаемые справа в (15)
составляют его сингулярную часть. Повторяя прием,
примененный при доказательстве теоремы 1, получим отсюда
для г>го и In г2, не являющихся критическими
значениями функции тл, соотношение
г
-5- 5 Ш&аГ1 + С = J ^ S Г(Шс W) Л соГ1 +
sr го Bt
+ N(Sf9r)-N(Sn9r)-Nf(Dir)>
где N(Sftr) и N(Sn,r)—считающие функции дивизоров
Sf и 5Я на Л, а С — постоянная.
Если мы обозначим левую часть последнего
равенства через К (г) (остаточный член), а первое слагаемое
справа через Tf{r) (сингулярная характеристическая
функция), то получим вторую основную теорему в
предварительной формулировке: для г > го
ft (г) + N (St, r)-N (Sn, r) - Nf (D, г) + R (г) (16)
(мы считаем, что R(r) продолжена в критические
значения %а по непрерывности).
Оценка остаточного члена R производится так же,
как в § 5 с заменой щ — ddc\z\2 на форму ddc\n(Z)\2
и а на ал и остается справедливым неравенство (25)
§ 5. Без изменений проходит доказательство леммы 2
*) На f~l(D) обращается в оо левая часть (14), а правая
конечна; на 5Я обращается в нуль я*(Ф), а /*(ЧГ), вообще говоря, нет;
на Sf равна нулю левая часть (14), а я*(Ф), вообще говоря, нет.
В точках пересечения Sn[]Sft если такие есть, функция £ не
определена.

$ II. ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЙ №
§ 5, и мы приходим ко второй основной теореме в
следующей формулировке:
Теорема 2. Пусть L-+-M — положительное
линейное расслоение над компактным комплексным
многообразием М и D\, ..., Dq — дивизоры его голоморфных
сечений, которые являются многообразиями,
пересекающимися в общем положении, причем
qc(L) + c(KM)>0. (17)
Тогда для любого невырожденного голоморфного
отображения /: А-*М, где А — аффинное алгебраическое
многообразие, dim Л = АххпМ,
qTf(L,r) + Tf(KM>r) + N(Sf,r)-N(Sn, r) =
я
=£^ov)+w (is)
и для любого е > О найдется 6>0 « множество Е
конечной Ь-меры такое, что остаточный член допускает
оценку
/?(r)<elnr + 0(ln7>(Z,,r)) вне Е. (19)
Замечание. Как в п. 8 § 5, можно доказать, что
утверждение теоремы остается справедливым и при
отказе от условия (17). Оно может лишь оказаться
тривиальным, ибо в этом случае qTf(L,r)+Tf(KM,r) не
обязано стремиться к +оо при r->oo I
Так как 5Я — алгебраический дивизор на А, так же
как и его проекция 5/ = л(5), то после замены
переменной n(Z) = z и применения теоремы 5 § 1 мы по»
лучим
r0 Btf]Sn r0 M<t}[\S'
где ci > 0 —некоторая постоянная. С другой стороны,
в силу положительности формы c(L) найдется
постоянная с2 > 0 такая, что Tf(L, r)^ с21пл Отсюда следует,
что
ita^^.K
Г->оо
l7Tftr-K<T« (20>

192
Гл TV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
причем, если Л = СЛ или f — трансцендентное
отображение (см. теорему 5 § 4), то и = 0. С учетом этого
замечания мы, как и в § 5, выводим из теоремы 2 для
рассматриваемого случая соотношение дефектов:
Теорема 3. Пусть дано невырожденное голоморф-
ное отображение f: A-+M многообразий таких, как
в теореме 2. Тогда для любого набора дивизоров Dj
голоморфных сечений положительного линейного
расслоения L-+M, причем Df — многообразия, пересекающиеся
в общем положении, сумма дефектов дивизоров и
индекса стационарности*)
2>a>/>+ef<
< inf {X €= R : %с (L) + с (Км)>0} + к, (21)
где к — величина, определенная в (20) и равная 0, если
А = С* или f — трансцендентное отображение.
3. Случай голоморфных кривых. Вместо
голоморфных кривых f: CI-* Рл, изученных в предыдущей главе,
мы рассмотрим здесь кривые, заданные на открытых
римановых поверхностях, т. е. одномерных комплексных
многообразиях. Будем предполагать, что
рассматриваемые поверхности G обладают функцией параболического
исчерпания, т. е. функцией т: G->R класса С00 с
компактными для всех f e R множествами {ре О: x{p)<t}
и гармонической, начиная с некоторого уровня /0*
ddc х (р) = 0 при т (р) > t0 (22)
(условия 1)—3) из п. 1 при пг= 1). Заметим, что
критические точки функции т при т(р)>/о изолированы,
ибо если z — x + iy — локальный параметр,
действующий в окрестности критической точки peG, то в этой
точке rfT=-gj dx + -g— dy = 0, а значит, обращается в
нуль ФУНКЦИЯ^ = у(^~*'"£>т)» голоморфная в силу
гармоничности т — по теореме единственности такие
точки образуют на G дискретное множество.
*) Определение 6f(Dj) и 8/ см. в § б.

§ И. ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИИ 193
При обобщении теории на рассматриваемый случай
можно было бы действовать, как в предыдущем пункте,
но мы предпочитаем иной метод, развитый в книге By
[3] и основанный на применении формулы Гаусса —
Бонне. Последняя применяется к областям Br ~{p& G:
т(/?)<1пг2}, исчерпывающим поверхность G, и
содержит член с эйлеровой характеристикой Вг, отражающий
геометрическую структуру О (асимптотически при г->
-*оо). Ниже мы убедимся, что именно этот член и
приводит к добавкам во второй основной теореме,
отличающим рассматриваемый здесь случай от рассмотренного
в предыдущей главе.
Пусть дана невырожденная голоморфная кривая
J: G-*Pn и ее k-я присоединенная кривая Fk: G-*
->G(n, k). Как и в предыдущей главе, на грассмановом
многообразии G(n,k) рассмотрим метрику Фубини —
Штуди ®k и ее прообраз F*(<uk) обозначим через Q*.
Форма Qk положительна на G всюду, кроме критических
точек отображения Fky которые, как мы знаем, образуют
дискретное и, следовательно, не более чем счетное
множество. Точки этого множества вместе с их кратностями
составляют дивизор стационарности S* присоединенной
кривой Fk. На G\Sk форма Q* определяет эрмитову
метрику, в которой и будем записывать формулу
Гаусса — Бонне.
Обозначим через г0 такое число, что In ro=* /о, где
to — уровень, начиная с которого функция т гармонична.
Если г > го и In r2 не является критическим значением т,
то граница дВг состоит из конечного числа гладких
кривых, и мы предположим еще, что на ней нет точек S*.
Внутри Вг есть конечное число точек р/ е 5*; обозначим
V) = {реВг: |2/(р)|<е}, где 2/ — локальная
координата такая, что £/(/>/)=» О, а е достаточно мало, и
исключим из В г объединение Us = [)lfi по всем pt^Br-
К области Вг\иг можно применить формулу
Гаусса—-Бонне (в метрике Qk), которая имеет вид
x(Br\Ue)-±\"k+-t\ %=^r \ KkQk,
где 5с — эйлерова характеристика, щ — форма геодези-
7 Б. В. Шабат

194
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
ческой кривизны и Kk— гауссова кривизна*). Очевидно,
что %(Вг\ие)= %(ВГ) — т{г), где т(г) — число точек
Pi&Sk в области Вг (без учета кратности), и что
существует lim \ Кk&k = \ KkQk- Таким образом, в пределе
при е->0 получаем соотношение
m(r) / \
kb*k-
(23)
Мы хотим преобразовать эту формулу к виду, в
котором ясна ее связь со второй основной теоремой. Начнем
с правой части; в точках G\Sk гауссова кривизна
метрики Qk выражается в локальных координатах, в ко-
торых Q^-^dzAdz, по формуле Kk = — ^ dzAdir
Отсюда
KkQk = _ /ilil^s Л rf2 = — 2яЛ*с In Л* = - 2я RicQft,
причем форма Риччи Ric Q^, как и Kk&k, определена
глобально на G\S* (см. п. 6 гл. II). По формуле (15)
§ 8 правую часть (23) можно, следовательно,
переписать в виде
-5Г \ KkQk = - \ (Q4+l - 2Q* + Q^). (24)
Займемся теперь членами с геодезической кривизной.
Пусть у— гладкая кривая на вещественно двумерном
многообразии G со скалярным произведением <w, v}, a t
и v — единичные касательный и нормальный векторы
к у; геодезической кривизной этой кривой называется
величина
xg-(Vit,v), (26)
*) См., например, Х.Ву [з], стр. 46; знак + перед третьим
слагаемым слева объясняется тем, что dUг состоит из кривых,
проходимых против часовой стрелки, т. е. отрицательно по отношению
кВЛ иъ.

§ 11. ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 195
где Vt — ковариантная производная, а формой
геодезической кривизны — форма Kgds, где ds — дифференциал
длины дуги у.
Напомним, что под ковариантной производной
векторного поля v на G по полю и понимается векторное
поле Vuv со свойствами
Vu (vi + Щ) = VuVi + V«t>2, V« (ф») = и (ф) v + q>Vuv, (26)
где u\y U2, V\9 V2 — векторные ноля, а ф — скалярная
функция. (Эти свойства выражают, что Vuv линейно по
и, а по v ведет себя как производная.) Кроме того,
предполагается, что это дифференцирование согласовано
с метрикой, т. е. что для любых трех векторных полей
uf vy w на G и для базисных векторов <?/д£, д/дг\
выполняются тождества
w «и, о» = <у«и, v) + (и, ywv), Vd/дБ l^ = Va/an -gf • (27)
Такое дифференцирование существует и однозначно
определено на любом римановом многообразии*).
Нам понадобится формула для вычисления
геодезической кривизны. Введем на G локальные координаты
g == g -{. /т|9 в которых у представляется уравнением g =
= const, а метрическая форма ds2 = g(d%2 + drf). Тогда
векторы т=-==.— ,v = р=— и по (25) геодези-
л/g д£ wg дг\
ческая кривизна у
(мы воспользовались (26) и ортогональностью векторов
d/dg и d/drj). Применяя первое соотношение (27), в ко-
д д
тором положено ы = ад=^--и t>=-gr-, затем второе
соотношение и снова первое с ад = -^Г и u — v— -g—,
*) См., например, Д. Громол, В. Клингенберг, В. Мейер [1],
СТР- 102.
7*

196
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
получим, что
% =_Ur/jL v _1дв 1 *_/JL Ал
8 §л/в \di\ ' Уд/д* дг\/ 2gVf д\ \дг\ ' дг\ Г
Учитывая, наконец, что в силу выбора вектора v ска-
/ д д \
лярное произведение г-^—, -g—\ = g и что на у У нас
ds = '\/gdr\f получаем выражение для формы
геодезической кривизны в наших локальных координатах
*-н,*-£4£*Ч-^!*А|. (28)
Продолжим преобразование формулы (23).
Лемма 2. Третье слагаемое в левой части (23)
равно числу точек дивизора стационарности Sk кривой
Fk в области Вг (с учетом кратности):
m(r) / \
Uj£ "5Г \ *-Ч-я<$Ы). (29)
/-• V wj /
•4 Для доказательства достаточно проверить, что
для каждой точки p&Sk
at/8
где \ik — индекс стационарности кривой Fk в этой точке
(см. п. 3 гл. III; для простоты письма мы опускаем
индекс / в обозначениях р/ и £//). Пусть г=*ре*е —
локальная координата на G в окрестности точки р такая,
что z(p) = 0 и д£/с = {р = е}. Тогда, согласно формуле
(7) § 8, форма Qk = -^hkdz/\dz с коэффициентом
hk (2) = р2м*Ф (z), где ф—гладкая положительная функция.
Чтобы прийти к ситуации, в которой действует
формула (28) для геодезической кривизны, положим г=»А
где £ = | + 1ц, так что £ = 1пр и ц = 8. Форма dtf**
= ■£- А* I ^г|2, соответствующая Q*, в новых координатах
имеет вид
d& = \hk?W + dr?).

§ 11. ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИИ 197
Следовательно, коэффициент g из формулы (28) равен
-i-p2ai*+1)<p(^) и по этой формуле на границе dUe, на
которой 5 = In в,
Отсюда и вытекает (30), ибо интеграл по dUe от второго
слагаемого стремится к 0 при е~>0 в силу ограничен-
д In ф .
ности-^ ►
Пусть число г выбрано, как раньше; выберем гх и
г2 достаточно близкими к г и такими, что г0 < г{ < г < г2
и замыкание множества Вп \ Вг, не содержит
критических точек функции т. Это множество состоит из
конечного числа кольцевых компонент, каждая из
которых окружает одну компоненту границы дВг. Пусть
V — одна из таких компонент и у = дВг Л V; обозначим
через Г = \ dcx. В силу гармоничности функции т в
области G0 — {p&G:x(р) > /0} форма dcx замкнута в
р
V и, следовательно, интеграл сг(р) = 4я\ dcx, где р0 —-
"о
фиксированная точка у> определен в V с точностью
до слагаемого, целочисленно кратного Г.
Таким образом, о (/?) — многозначная функция в V
с однозначным дифференциалом, удовлетворяющим
соотношению do = 4ndcx, из которого следует, что ветви
°(р) — гармонические функции, сопряженные *) к х(р).
Функция £ (р) = х (р) + ia (р) является, следовательно,
многозначной аналитической функцией в V с
однозначным дифференциалом d£, невырожденным в силу того,
что dx Ф 0. Ветви £ (р) могут служить локальными
координатами в V, а соотношение Q^ = -o~-^d£ Л rf? одно-
*) Напомним, что в локальных координатах z = х + /у форма
Ш°х — — dx + — dy и, следовательно, _«--_,_«

198 Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
значно определяет в ^метрический коэффициент hk —
гладкую положительную вне дивизора Sk функцию.
Лемма 3. Если число г > г0, число In r2 не является
критическим значением функции т и dBrf\Sk = 0, то
двг двг
еде hk — определенный выше метрический коэффициент.
4 Равенство (31) достаточно доказать для каждой
компоненты связности дВг. Пусть у — одна из таких
компонент и V — ее окрестность, описанная выше. В
локальных координатах, образованных ветвями функции £(р),
линия у является координатной линией т = In г2,
следовательно, ее геодезическую кривизну можно вычислять
по формуле (28) и
г
у о
Так как ^ = Y~dF и /* = const на Y» a da = 4ndcxf то
последнее равенство можно переписать в виде
Y У
Складывая такие равенства для всех компонент дВп
получим (31) ►
Преобразование формулы (23) закончено. Учитывая
соотношения (24), (29) и (31), мы можем переписать
(23) в виде
%(ВГ) + \ (Q*+i ~ 2Q* + QA_4) + n(Sk,r) =
Br
-T7F S«nMet. (32)
евг
Это соотношение получено для таких г > г0, что In г2
не является критическим значением функции т и дВг не
содержит точек S*. Множество значений г > г0, не
удовлетворяющих этим условиям, дискретно, между такими
значениями члены соотношения (32) непрерывны, а при

§ П. ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 199
переходе через них они испытывают ограниченные
скачки. Кроме того, метрический коэффициент hkj
определенный выше в окрестностях компонент дВп можно
определить глобально во всей области G0 = {^lp)>to}
формулой Qk = 4hkdx Л dic *). Поэтому (32) можно
логарифмически усреднить на интервале (г0, г), и мы
получим, что
г
\j^dt + Tk+l(r)^2TAr) + Th_l(r) + N(Sk9r) =
-1 J In hkdcx+С, (33)
OB,
где С — постоянная.
Формула (33) обобщает формулу (18) § 8,
составляющую содержание теоремы 1. В самом деле, если
G = .С:, то Вг\ВГо представляет собой круговое кольцо
и его эйлерова характеристика равна нулю, а так как
т=1п|г|2, то dcx = dQ/2n. Таким образом, при
переходе от голоморфной кривой над JQ' к кривой над
произвольной римановой поверхностью в теореме 1 § 8
появляется лишь дополнительный член с эйлеровой
характеристикой:
г
E(r)=\l!M-dt9 (34)
который отражает геометрическую структуру G.
Дальнейший путь ко второй основной теореме такой
же, как и в гл. III, и мы ограничимся кратким описанием
изменений, которые вносит случай римановых
поверхностей; некоторые подробности можно найти в книге By
[3]. Прежде всего доказывается, что для всех г>го
постоянен интеграл \ dcx = L. Отсюда, повторяя до-
овг
казательство теоремы 2 § 8, мы заключаем, что вне неко-
*) В окрестностях граничных^ компонент это определение
совпадает со старым, ибо там dt,Ad£^= -~2i d% /\ da = Snidx A dcv,
b \ Go форма dci не замкнута и функция а не определена.

200
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ TEOPBM
торого множества Еа(г0, оо) конечной логарифмической
меры
J inhkdc%<,CInTk (r)
и тогда вместо (22) § 8 получаем асимптотическое
соотношение
Е (г) + Tk+l (г) - 2Tk (г) + Tk_, (г) = 1) (Т)
(смысл обозначения ц(Т) объяснен в §, 8).
Далее мы строим сингулярные метрические формы
Qk по формуле (21) § 9, но вместо формулы Пуанкаре —
Лелона пишем формулу Гаусса — Бонне для этих
метрик:
%(Br) + n(Sk9r) +
Здесь сумма в левой части возникла из-за особенностей
метрик, вызванных обращением в 0 функций касания.
Из этой формулы, точно так как в § 9, выводится
обобщенная вторая основная теорема теории распределения
значений:
Теорема 4. Пусть G — риманова поверхность,
обладающая функцией параболического исчерпания т, и
J: G-+- Рп — невырожденная голоморфная кривая. Тогда
для любой системы q ^ п + 2 гиперплоскостей D/ с: Prt
в общем положении и любого г > 0 найдется множество
Яс(г0, оо) конечной логарифмической меры такое, что
для ге(г0, оо)\Е
(*(*2+1) +s)g(r) + (g-n-l-e)rf(r) +
+ X(»-*)tf(S4,r) + C<£tff(Dy,r). (35)
А-0 i-1

§ 11. ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 201
От случая, рассмотренного в предыдущей главе, эта
теорема отличается лишь членом с эйлеровой
характеристикой, отражающим геометрическую структуру римано-
вой поверхности, на которой задана голоморфная
кривая. Такой же дополнительный член появляется и в
обобщенном соотношении дефектов, которое обычным
путем получается из теоремы 3:
Теорема 5. Для любой невырожденной
голоморфной кривой J: G-> Pn и любой системы q
гиперплоскостей Dj с: Р п в общем положении
£ «, 0>/)<*+ 1 +^5±il Ш^Ш. (36)
/«.1 * Г->оо iTV)
Заметим, что эйлерова характеристика %(Bt)
неотрицательна лишь в случае, когда Bt — топологический круг
(тогда она равна 1) или кольцо (тогда она равна 0).
Если число компонент границы dBt при больших /
стабилизируется, то %(Bt) при больших / — постоянная,
равная %(G) и отрицательная, если только G не
совпадает с "О или С без точки. В этом случае —Е(г) имеет,
самое большее, логарифмический рост, и
дополнительный член в правой части (36) может появиться лишь в
том случае, когда характеристическая функция Tf (r)
растет со скоростью логарифма, т. е. кривая J алгебраична.
Если же число компонент dBt возрастает
неограниченно, то %{Bt)-+—оо и функция —Е(г) может расти
сколь угодно быстро (условие существования на О
функции параболического исчерпания этому не противоречит,
ибо из О можно выкалывать произвольно большое число
точек). В этом случае дополнительный член в (36)
может появляться и для трансцендентных кривых*).
4. Гиперболический случай. Существенным
свойством рассмотренной выше функции исчерпания т, из-за
которого исчерпание получило название
параболического, является свойство 1) п. 1: множества {реА
x(p)<.t} компактны для всех /sR. Это свойство
означает, что функция т равномерно стремится к -f-oo
*) С цитируемыми здесь свойствами эйлеровой характеристики
Романовых поверхностей можно ознакомиться, например, по книге
№ Шиффера и Д. Спенсера [1].

202 Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
при подходе ко всем граничным точкам многообразия Л.
Назовем функцию теС°°(Л) функцией
гиперболического исчерпания, если вместо I) п. 1 она обладает
свойством:
V) существует число U < со такое, что для всех
t ^ U множества {р е А: х(р) < t) компактны и т(р) ^
^ U всюду на Д а свойства 2) и 3) п. 1 остаются без
изменений (для комплексно одномерных многообразий А
они сводятся к гармоничности функции т, начиная с
некоторого уровня).
Простейшим примером многообразия, обладающего
функцией гиперболического исчерпания, является шар
В cz Cw, а при т = 1 — круг или конформно
эквивалентная ему риманова поверхность гиперболического типа *).
Поэтому теория распределения значений голоморфных
отображений f: А-+М> где А — многообразие с
функцией гиперболического исчерпания, обобщает неванлин-
новскую теорию распределения значений функций, меро-
морфных в круге.
Первая основная теорема распространяется на
гиперболический случай без всяких изменений, а изменения
во второй основной теореме касаются лишь оценки
остаточного члена /?(/*). В параболическом случае для
отображений, сохраняющих размерность, справедлива
оценка (30) § 5, по которой для любого е > 0 существует
число б = 6(е)->*0 при 8-^0 и множество Еа(го, оо)
такое, что \ г6 dr < оо и что при ге(/*о, оо)\£
Б
R(r)<e\nr+0(\nTf(L, r)).
В гиперболическом случае мы обозначим г{ = еи12,
где /i —число из условия Г), и предыдущая оценка
заменится следующей: найдется множество Еа(го, г\)
такое, что
f dr
*) Из теории римановых поверхностей возникло и название
параболического исчерпания: параболический тип имеют поверхности,
конформно эквивалентные С

§11. ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 203
и что при re(r0, г\)\Е
R(r)<* In -~T + О (In Tf (L, г)). (37)
Смысл условий, накладываемых на множество £, в
параболическом и гиперболическом случаях одинаков: £ не
может содержать интервалов вида- (г7, оо) в первом
случае и (г\ г\) во втором так, что вне Е найдется
последовательность, сходящаяся соответственно к оо или
к г\. Доказывается оценка (37) по той же схеме, что и в
параболическом случае. Аналогичная оценка
справедлива и для голоморфных кривых на римановых
поверхностях, обладающих функциями параболического
исчерпания.
Из второй основной теоремы, как и в параболическом
случае, выводится соотношение дефектов. Однако в
гиперболическом случае оно имеет смысл лишь для
отображений с характеристическими функциями,
достаточно быстро возрастающими при г-*-гь Именно, должна
быть конечной величина
В классическом случае функций, мероморфных в
круге конечного радиуса, выделяется класс функций с
ограниченной характеристикой Tf(r), так называемых
функций ограниченного вида. Они хорошо изучены, в
частности Р. Неванлинна доказал, что каждая функция
ограниченного вида представима как отношение двух
голоморфных и ограниченных в том же круге функций*).
Многомерный случай изучен значительно слабее.
Укажем исследования П. Малявена [1] и Г. М. Хенкина
П]— [3] нулевых множеств функций ограниченного вида
в шаре Вс Сл, а также работу С. Ю. Фаворова [2], в
которой устанавливается некоторый аналог теоремы Не-
ванлинны для голоморфных кривых ограниченного вида.
*) См., например, книгу И. И. Привалова [1], где эти функции
называются функциями класса А.

204
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
§ 12. Дивизоры с особенностями
Во второй основной теореме и ее следствии —
соотношении дефектов — выше рассматривались лишь
дивизоры, которые представляют собой объединение
комплексных многообразий, пересекающихся в общем
положении. Здесь, следуя Б. Шиффману [3] и Ф. Гриффитсу
[5], мы освободимся от этих ограничений. В основе
такого обобщения лежит широко применяемый в
алгебраической геометрии метод разрешения особенностей. С его
описания мы и начнем.
5. Квадратичное преобразование. Рассмотрим
сначала шар В в пространстве О с координатами z =
= (z\9 ..., Zn). Пусть w — точка Р"-1 с однородными
координатами [w\, -.., wn] и В — подмногообразие
В X Р""1, определяемое уравнениями
zfWk — zkWf = 09 1</, &</z. (1)
Отображение о: В-+В, которое является сужением на В
естественной проекции В X Рп~1 -*• В> называется
квадратичным преобразованием с центром 0 е В;
употребляются также названия моноидалъное преобразование
или О'Процесс.
Если точка 2=5^=0, то из (1) следует, что набор
[wi, ..., wn] пропорционален г, и, значит, прообраз
or1 (г)= zX [z] представляет собой вполне
определенную точку В. Если же z = 0, то уравнениям (1)
удовлетворяют все значения w, т. е. (Н (0) == 0 X [ Р*""1]
является множеством. Таким образом, квадратичное
преобразование, точнее, его обратное сН, биголоморфно
отображает В\0 на S\(0XPrt""1)» а в точку 0
вклеивает целое проективное пространство ГЗп"1.
Рассмотрим подробнее поведение <Н в точке 0.
Нетрудно видеть, что сужение cr-1 |z на любую комплексную
прямую laBt проходящую через точку 0, голоморфно
продолжается в эту точку. В самом деле, на такой
прямой точка z = %t, где А,еСп, а / — комплексный
параметр, и при (ф0 набор [wu ..., wn], соответствующий
z в силу (1), можно принять равным X. Поэтому для
ге/\0 имеем <r-l\t(z) = zy<[X], откуда видно, что
crl\t можно голоморфно продолжить в точку 0, если
положить о-11 /(0) = 0 X [Я]. Это значение, конечно, зави-

f 12. ДИВИЗОРЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ
205
сит от выбора прямой, и, меняя эту прямую, мы можем
получить любую точку из множества оН(0)= ОХ Рп~1-
Описанное свойство преобразования сН можно
использовать для устранения точек самопересечения
комплексных кривых. Действительно, пусть кривая у а В
имеет в точке 0 самопересечение с различными
касательными V и /". Обозначим через у =
^=(Г~1оу поднятие ?\0 на
многообразие В. При приближении к
точке 0 по различным ветвям у кривая
у стремится, очевидно, к двум
различным пределам сг"11,, (0) = 0 X [^']
и a-i|r(0) = 0X[A/'L так что
у голоморфно продолжается над
точкой 0 и не имеет над ней
самопересечения (рис. 8).
Квадратичное преобразование
распространяется на произвольные
я-мерные комплексные
многообразия. Пусть М — такое многообразие,
р — любая его точка и z\ U-+B—
координатное отображение окрестности Uс:ЛГ
точки р такое, чтог(р)=0. Если отождествить точки
q&M и соответствующие им точки г(?)еВ, то
описанное выше многообразие В можно отождествить
с Мр с: Uy^Pn~x и рассмотреть квадратичное
преобразование
Рис. 8.
а: Мп-+М
(2)
т-1
с центром в точке р. Его обращение а-1 осуществляет
биголоморфное отображение U\p на Мр \ о~1 (р), а в
точку р вклеивает проективное пространство. Сужения
о"1!у на комплексные кривые уаМ, проходящие через
точку р, голоморфно продолжаются в эту точку, причем
кривым с различными касательными в р соответствуют
различные значения сг1\у(р).
Заметим, что при замене координат z'=g(z)\ g(0) =
^= 0, очевидную бигомоломорфную эквивалентность
8- Мр \ a"1 (p) -+Mp \ {о')~1 (р) можно продолжить и на
<Н (р)—рх Рп~\ если положить §(рXМ) = РX[V],
где l' = g'(0)% (здесь g' = (dgf/dzk),— матрица Якоби

206
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
замены, а А,, Л/, как и выше, — векторы из О,
представляющие точки РЛ_1). Таким образом, с точностью до
биголоморфной эквивалентности квадратичное
преобразование а: Мр-+М не зависит от выбора координат в
окрестности точки р.
Покроем Мр открытыми множествами f/v = {zX [w]^
еМр: wv ф О}, v=1,..., n, и на каждом Uv введем
локальные координаты £v = (£?,..., £«), где
В пересечениях Ullf\Uv соотношения соседства S^-^tv»
очевидно, биголоморфны, так что Мр является я-мерным
комплексным многообразием. Множество Е = сг1 (р) в
каждой окрестности £7V определяется одним уравнением
£v = 0, так что оно представляет собой дивизор на
многообразии Мр, который называется особым дивизором
квадратичного преобразования. Само преобразование в
пределах Ov можно записать в локальных координатах
(3) в виде
*(ev)=(M й &а) (4)
где £v стоит на месте v-й координаты.
Пусть N — любое аналитическое подмножество М,
содержащее точку р; через ft мы будем обозначать
замыкание в Мр прообраза <j-l(N\p). Пусть, в частности,
N = D в окрестности U является дивизором
голоморфной функции, представленной рядом по однородным
полиномам
f(*)= E /у*). 0
где Рц(г)= Z Ck*k и Р^0(г)Ф0 (как всегда, z — ло-
кальная координата в U с началом в р, a k**
= (ku ..., kn) — мультииндекс и | k | = k\ + ... + **)■
Тогда <y-l(D\p) в окрестности tfv является дивизором
функции

s
§ 12. ДИВИЗОРЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ
207
где, согласно (4),
-ЮГ Е с*(с?)*'... (б?_.)*-!(«+О**-1..- (Й)*ж-
(7)
Так как в £/v*—особый дивизор £=={^==0}, то из (5)
и (7) ясно, что пересечение D(]E описывается
уравнением
I ck (сг)*«... (а - .)*•- (я+о *v+-... (Ф - о,
которое в силу (3) можно переписать в виде
■.?-„'•(*)*■-tef-'-teM (8)
Но уравнение />м,0(г) = 0 описывает касательный
конус Срф) к дивизору D в точке р (см. п. 3 гл. I), a
Zj/zv можно рассматривать как аффинные локальные
координаты в окрестности Uv={z&U: 2V=5£0}, если
[z\, ..., zn] считать однородными координатами в Р я-1.
Поэтому множество D (] Е, которое задается уравнением
(8), представляет собой проективизацию касательного
конуса CP(D).
Далее, из (7) видно, что все члены разложения (6)
содержат множитель ($У- и, следовательно, дивизор
<Н (D \ р) П Ov описывается уравнением , ч / (£v) = 0.
То же уравнение, в силу голоморфности его левой части
пРи£? = 0, описывает и замыкание последнего дивизора,
т. е. дивизор 6()Ov, a в прообраз o*(D) дивизора Д
пересеченный с 0Vi входит еще дивизор функции (£v)^» т. е.
^-кратный особый дивизор Ef\Uv. Так как сказанное
верно для любого v = 1, ..., п, то справедливо
соотношение с дивизорами
а*ф) = Ь + ц0Я, (9)
J?e М-о— степень касательного конуса CP(D), т. е. число
*елона множества D в точке р (см. п. 3 гл. I). Отмети^

208
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
еще, что множество D *=* о"1 (/)), состоящее из объедийе-
ния (yl(D\p) и о~1(р)*=Ё> очевидно, равно D + £, и
поэтому (9) можно переписать в виде
o4D)-b + (Ho-l)&
Пример. Пусть Л1 = Р2 и дивизор D представляет
собой объединение четырех различных комплексных
прямых Dj9 три из которых пересекаются в точке р, а
четвертая Z)4 пересекает их в общем положении (рис. 9).
Рис. 9.
Выполняя квадратичное преобразование с с центром в
точке р, мы переходим к многообразию М, на котором •
точке р соответствует особый дивизор £= Р1. Прямым
Df (/ = 1, 2, 3) соответствуют прямые D/, которые
пересекаются с Е в различных точках. Множество D состоит
из этих прямых и прообраза D4, a e~l(D) — b — D + E
имеет лишь самопересечения общего положения. Таким '
образом, квадратичное преобразование избавило
дивизор D от самопересечения не общего положения в точ- ,
ке р. Заметим, что степень \ю касательного конуса TP(D)
равна 3, следовательно, по формуле (8) дивизор cr* (D) **
— Ъ + ЗЙ —Ь + 2£ I
До сих пор мы рассматривали многообразие Мр лишь
над окрестностью и точки р е М, но его можно
продолжить, отождествив с М вце U и положив там а равным

§ 12. ДИВИЗОРЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ
209
тождественному преобразованию. Тогда можно указать
еще одну связь между М и Мр.
Лемма 1. Пусть М — комплексное n-мерное
алгебраическое многообразие и М — его квадратичное преоб*
разование с центром в точке р&М. Тогда канонические
расслоения Км и К fa этих многообразий связаны
соотношением *)
где а* {Км) — прообраз Км при преобразовании а: Л1->ЛГ,
I a Ls — расслоение дивизора стационарности S0
этого преобразования.
4 Так как М — алгебраическое многообразие, то на
нем есть глобальная мероморфная форма со бистепени
(я, 0), например, — сужение на М такой же формы в
PN=>M. Пусть в окрестности U точки р эта форма
представляется в локальных координатах г, г(р) = 0,
в виде
<o(z) = f(z)dzlA--'Adzn>
где f&0(U), ибо без ограничения общности можно
считать, что полярные особенности со лежат вне U.
Пользуясь выражением (4) для преобразования а, мы
запишем прообраз со в окрестности Uv cz M:
=/°* (ГМ&О л ... л d(«) л ... л <*(#£)=
==<т7(Г)(£)"-ЧГл...л^.
Написав эту формулу для всех v = 1, ..., я, мы видим,
что в пределах окрестности О дивизоры
[а*ш] = (т*[а>] + (Аг--1)£ (11)
(мы воспользовались тем, что £Л£Л> =■*[££]; квадратными
скобками мы обозначаем здесь дивизоры стоящих в
скобках функций или форм). Так как вне Ё в силу би-
голоморфности а дивизор [а*со] ■= о*[со], то соотношение
(И) верно на всем М.
*) В отличие от гл. I, мы будем здесь и далее пользоваться
аддитивной формой «аписи, т. е, писать L\ +1? вместо LXL^.

210 Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
Заметим еще, что, как видно из (4), якобиан
преобразования а в Ov равен
I « 0 ... 0
Р с; ♦.. о
£Г « ... 1 ... Ц
|о о ... «
(строка без нулей стоит на v-м месте). Поэтому дивизор
(п — l)£ = Sa—■ дивизору стационарности а, и (11)
можно переписать в виде [a*a>] = а* [со] + Sa. Остается
вспомнить, что каноническое расслоение на п-мерном
многообразии — это расслоение дивизора мероморфной
на этом многообразии (п, 0)-формы (см. п. 6 глЛ1).
Поэтому расслоение дивизора [а*©] совпадает с Км> а
дивизора [со] — с Км; сумме же дивизоров соответствует
(в аддитивной записи) сумма их расслоений ►
Описанное квадратичное преобразование с центром
в точке р^М допускает обобщение. Пусть сначала В —
шар в ,С.П и £={2gB: zm+i = ... = zn = 0} — его
m-мерное плоское сечение, а w — точка Р"-™-1 с
однородными координатами [ain+i, ..., wn]. Рассмотрим
многообразие
m+\^U k^n) (12)
и обозначим через о: В-+В сужение на В проекции
ВХ Prt~w~1-^5. Преобразование сг, а также
многообразие fi, называется квадратичным преобразованием с
центром Е, а множество Е = а~1(Е)— особым дивизором»
Многообразие В можно покрыть окрестностями Uv^
*= (г X w <= В: wv ф 0}> v =* m + 1, ..., п9 в которых дей-
-(60е-1

§ 12. ДИВИЗОРЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ 211
ствуют локальные координаты £v = (£b ..., £„), где
iz} для /= 1, ..., т,
v
2V ДЛЯ/ = Г.
В этих координатах множество Е(] Uv описывается
уравнением Sv = 0. Как и в случае точечного центра,
преобразование a:fi->Bc точностью до биголоморфного
изоморфизма не зависит от выбора голоморфных координат
z' = g(z) в В таких, что Е описывается уравнениями
z'm +1 = ... = zn=0. Действительно, еслиВ={г X^s
eBXP"""1"1: z'iwk = zkw/}, то биголоморфную
эквивалентность g: B\E-+B'\Ef, определяемую
отображением g, можно продолжить на Е, положив
g(z9w) = g(z)Xw', где zg=£ и
Последнее замечание позволяет применить
описанную конструкцию к произвольному n-мерному
комплексному многообразию М и заданному на нем га-мерному
подмногообразию Е. Пусть {Ва}, аЕД — набор
координатных шаров на М, покрывающих в совокупности Е
и таких, что в каждом шаре множество Е(]Ва задается
в локальных координатах уравнениями zm+1 = ...
... = zn = 0. Если аа: Ва-+Ва — квадратичное
преобразование с центром Е()Ва, то в пересечениях £/ар =
= 5аГ|5|з возникают биголоморфные изоморфизмы
°V ОГа ! (С/а|3) -+ СГ^ 1 (С/ар), ПрИ ПОМОЩИ КОТОрЫХ МОЖНО
склеить многообразия Ва, аеД в одно многообразие
В и построить единое отображение а: /?-> []Ва.
Полагая отображение сг1 тождественным на М \ (J^a* мы
Дополняем В до многообразия М и называем последнее,
равно как и отображение a: M ->М, квадратичным
преобразованием М с центром Е9 а множество Я = а"1 (£)—
особым дивизором.

212 Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
Как и в случае точечного центра, можно убедиться в
том, что преобразование сг: М^>М биголоморфно на
множестве М \ Е9 а сужение в: Ё->Е есть проективи-
зация нормального расслоения над Е. Последнее можно
пояснить так: когда Е = р — точка, то нормалью к ней
является касательная плоскость Тр(М)~Сп, а ее проек-
тивизацией является пространство Р"-1; в общем
случае для точки р^Е касательное пространство ТР(Е) =
= {(zu ..., zm, 0, ...., 0)} с- Cw, нормальное
пространство Np(E)^Cn~m и его проективизация р*-™-1 =
= сН(р) является слоем расслоения о: Е-+Е.
Далее, для любого аналитического подмножества
N с:М, содержащего Е, определяется множество ft как
замыкание в М прообраза <j-l(N\E). Пересечение N(]E
представляет собой расслоение над £, слоями которого
являются проективизации касательных конусов CP(N)
в точках ре£ (сравните с аналогичным свойством в
случае точечного центра). В частности, если N = D —
дивизор на М и во всех точках ре£ степень ц0
касательного конуса CP(D) одинакова, то, как и в случае
точечного центра, справедлива формула
<r* (D) = D + ii,E = D + 0х0 - 1)£ (14)
где D = crl'(D).
Справедливо также обобщение леммы 1: для п-мер-
ного алгебраического многообразия М канонические
расслоения этого многообразия и его квадратичного
преобразования М с m-мерным центром Е связаны
соотношением
KM = o'(KM) + (n-m-l)Ls = a*(KM) + LSa) (15)
где Lg и Ls — расслоения дивизора Е и дивизора
стационарности Sa. Для доказательства выберем на М ме-
роморфную (я, 0)-форму, которая в окрестности U
точки реЯ записывается в локальных координатах г,
г(р) = 0, в виде
<o(z) = f(z)dzl Л ... Adzn, f&0{U).
Если Uv — определенная выше окрестность на a"l(U)
и ^ — действующие в ней локальные координаты (13),

$ 12. ДИВИЗОРЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ
213
то a0(dzf) = dq для /= 1,..., m, v и e*(dz}) = d(Qq) =
^Qdq+qdQ для / = (т+1), ..., (m + v-1),
(т + v + 1), ..., л. Поэтому
откуда следует соотношение между дивизорами [а*со] =
=в сг* [©] + (я — m — 1) Я. Дальнейшее доказательство
идет так же, как в случае точечного центра.
Пример. Квадратичное преобразование с центром-
многообразием можно применить для устранения
особенностей в следующей ситуации. Пусть дивизор D на
/г-мерном многообразии М есть объединение q дивизоров
Dj голоморфных сечений положительного линейного
расслоения L-+M, которые являются многообразиями.
Предположим еще, что выполняются следующие
условия:
a) D\, ..., Dq пересекаются в общем положении на
М\Е, где EczM— подмногообразие коразмерности k;
b) D{(] ... ПД* = £>1П ... nAw==£;
c) Df, ..., Dj , Ан-/+ь ..., Dq для любой выборки
1 ^ /i < ... < jk ^ k + / пересекаются в общем
положении на всем М.
Особенность дивизора D состоит, следовательно, в том,
что на многообразии Е есть / лишних дивизоров Dh
которые нарушают условие пересечения в общем положении.
Квадратичное преобразование а: М-+М с центром
Е в каждую точку ревЕ вклеивает проективное
пространство Р*-1 (у нас т = dim Е = п — k, поэтому
п — щ—1 = &—1), и, значит, особый дивизор £*==
^fXP^"1- В нашей ситуации преобразование М
можно описать глобально как многообразие
M^{(Pf w)<&MXPk~l: sh(p)wh = sh(p)wfi,
K/l, J2<k], (16)
где Sf — голоморфные сечения расслоения L-+NI,
дивизорами которых являются многообразия Z)/, а
!и>, ..., wk]— однородные координаты в Р*-1. Из

214 Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
условия с) следует, что все D/, / = 1, ..., k + /, имеют
в точках р^Е различные касательные плоскости Tp(Df)t
поэтому пересечения с Е различных Dj = e~l(Dj \Е)
не пересекаются между собой. Отсюда и из условия а)
следует, что дивизор b = o~l(D) уже имеет
самопересечения общего положения — квадратичное
преобразование устранило особенность Z), вызванную
пересечениями не общего положения.
Отметим еще, что в нашем примере, согласно
обобщению формулы (12), дивизор стационарности
преобразования а
Sa = (k-l)E, (17)
а так как степень касательного конуса TP(D) в точках
ре£ равна \io = k + / (на Е пересекаются k + /
многообразий), то по формуле (14)
o\D) = b + (k + l)E = D + {k + l-\)E | (18)
6. Особенности пересечения. Выясним, как изменяв
ется вторая основная теорема для отображений f: A-+M,
dim A = dim M9 когда дивизор D по-прежнему состоит
из многообразий, но условие их пересечения в общем
положении больше не выполняется. В § 6 были
приведены примеры, показывающие, что такой отказ приводит
к нарушению и самой теоремы и вытекающего из него
соотношения дефектов в прежних формулировках.
Ограничимся сначала ситуацией, описанной в последнем
примере: условие пересечения в общем положении
нарушается лишь на некотором подмногообразии Е cz M
коразмерности k, на котором,"кроме дивизоров D\> ..., &*>
пересекаются еще / лишних дивизоров Dk+u ---> &*+*
(точное описание ситуации приведено в конце
предыдущего пункта).
Теорема 1. Пусть А — аффинное, а М —
проективное многообразия размерности п и f: А-*М —
невырожденное голоморфное отображение. Тогда для любого
дивизора D, который представляет собой объединение 4
многообразий Dj—дивизоров голоморфных сечений №
ложительного линейного расслоения L-^М, удовлетвоя
ряющих условиям а), Ь) и с) предыдущего пункта,-**

§ 12. ДИВИЗОРЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ
215
справедливо соотношение
<jTf(L, r) + Tf(KM', r) + N(Sf-Sn9 r) =
= t{ Nt (D„ r) + lmf (E, r) + R (r), (19)
где
^f№. 0—J-fln-T—i ^«fln-I^or, (20)
— приближающая функция *) многообразия E = {p &M:
si(p)— ••• = 5*(Р) = 0}, «я котором нарушается уело-
вие пересечения в общем положении, а остаточный член
допускает оценку R(r) ^ е In r -f О (In Г/ (L, г)) вне
множества конечной 8-меры.
<4 Выполним квадратичное преобразование а: М-*М
с центром Е и рассмотрим поднятие f: A-+M
отображения Д т. е. такое отображение, что o°f(p) = f(p) для
всех psA Так как дивизор D = сН(Z)) состоит из
многообразий, пересекающихся в общем положении, то
применима теорема 2 § 11 (см. замечание вслед за ней), по
которой
Tf(LB + Кя, г) + N(Sf - 5я, г) = Nfjb, r) + R(r), (21)
где R(г)< е In г + О(In Г,(Х^, Л) вне множества
конечной б-меры**).
Теперь мы должны перейти к многообразию М и
отображению Д Пользуясь формулой К„ = о*(К ) +
М \ MJ
+ {k— \)L~ (см. (15), в которой положено п — га = k),
а также очевидным следствием
a*(LD) = Lb + {k + l-\)Le (22)
формулы (18), мы получаем, чтоLй+К>~o*(L +К )—
D M \ D MJ
*"- IL^. Отсюда следует аналогичное соотношение
*) Символ II... II обозначает эрмитову метрику на расслое-
**) Мы заменили в цитируемой теореме L расслоением дивизора
2 ^/ и воспользовались некоторыми очевидными соотношу
&ИЯД4И.

216
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
с формами Чженя расслоений (см. § 2, где
использовалась мультипликативная запись действий с
расслоениями), а значит, и с их характеристическими
функциями:
-V. + ^O-Wr') (23>
(мы воспользовались еще равенством TJo*(L), r) =
= Т (L, г), которое вытекает из очевидного соотношения
/* (cL) вв J* (са41 ) между формами Чженя расслоения £
и его прообраза).
Далее, из определения считающих функций следуют
равенства
Nf(D9r) = Nf(D,r)t Nf(E, r) = Nf(E, г)-0, (24)
причем в последнем равенстве учтено, что здесь
рассматриваются считающие функции множеств размерности
п— 1, а размерность f~l(E) меньше. По той же причине
N(Sfi r) = N(Sf r), (25)
ибо якобиан Jf (р) отличается от Л (р) множителем
Jo(f(p))> который обращается в нуль на том же
множестве f~l(E). Применяя теперь первую основную
теорему к отображению J и расслоению Ьъ и учитывая
в
(24), получим соотношение
Tf(Lr r) = Nf(E, r) + mf(E, г)+ 0(1)*=
-mf(£f г) +0(1). (26)
Если же мы выберем на L^ метрику, являющуюся
поднятием метрики на расслоении L-^Al, то найдем, что
^{Е, г)- J tapper,- J In ^-ly ад-Pin, (Д. г),

§ 12. ДИВИЗОРЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ 217
где s = (su ..., Sk) и Sf — голоморфные сечения
расслоения L, дивизорами которых являются D/.
Подставляя (23) —(27) в формулу (21), перепишем
ее в виде
Tt(LD + KM. r) + N(St-SU9 r)-
-ЛГ,(А r) + lmf(B9 r) + R(r),
совпадающем с (19). Остается лишь доказать, что в
оценке R (г)< в In г + О fin Т. (Т^, г\\ величину Г, (L^, Л
можно заменить на Tf(L, r)\ Но из (22) на основании
уже использованного соотношения между формами
Чженя расслоения и его прообраза получаем, что
/(%)-Г(^)+(*+/-1)Г(Ч>
откуда с учетом (26) вытекает соотношение
Tf(LD, r)-Tf(LB, r) + (* + /-l)mf(£, г)+ 0(1).
Так как функцию т* (Ё, г) можно считать
неотрицательной (см. § 4), то справедливо неравенство Tf (LD, r) ^
^ATJL^ Л + 0(1) с некоторой постоянной А, откуда
и вытекает, что величина О fin T.(L~, г\\ является и
О (In Tt (L,r)) ►
Таким образом, в рассматриваемой ситуации вторая
основная теорема отличается от доказанной в § 11 лишь
дополнительным членом /т/(£,г), определенным
множеством £, на котором нарушается условие пересечения
в общем положении, и числом / дивизоров, нарушающих
это условие. Этот же дополнительный член входит и в
соотношение дефектов, которое обычным образом
получается из теоремы 1:
Теорема 2. В условиях теоремы 1 сумма дефектов
дивизоров Dj и индекса стационарности
*/0>/) + e,<lnf{*«Rr to(L) + c(KM)>0} +
/»i
+ *+Ш?Г/7£7Г7Г' <28>
t

218
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
причем и = lim T\"' ( = 0, если А = Сп или f — транс*
цендентное отображение.
В частности, для голоморфных отображений /: .С/1-*
-> Р Л и гиперплоских дивизоров нижняя грань в преды*
дущей формуле равна л + 1 (см. § 6), и, значит,
]Г 6f(D;) + ef<tt+ I + Hm / mffir)r) ■ (29)
/ -1
Пример (Б. Шиффман [3]). Пусть f: С*-*РЯ —
отображение из п. 11 § 6, определяемое в однородных
координатах по формуле /(г) = [1, ег\ ег*\ и D —
дивизор, состоящий из четырех прямых: D\ = [w\ = 0], D2 =
== [ш2 = 0], Dz = {ш1 + я^2 = 0, а ф 0} и D4= [ш0=0].
Условие пересечения в общем положении нарушается в
точке £' = [1, 0, 0], через которую проходит три
дивизора Du D2 и D3, причем Е = Dx П D2 = Dx П D2 f] £>з, —
мы имеем рассматриваемую ситуацию с ft = 2 и / = 1,
Так как у нас $i = w\, s2 = w2i то по формулам (20)
и (17) § 8
Для сужения /\ отображения f на прямую z = A£ (Я®
gC2, | Я | = 1 и £ € С) имеем, очевидно,
0
2я
-£$1п(|е"Р + |-*Г)*
0
причем, согласно результату Альфорса, доказанному в
гл. I (см. (19) § 2), эти интегралы с точностью до
ограниченного слагаемого равны соответственно Рг/2я я
/V/2n, где Р= |Xi| + IM +1^2 — 4 — периметр
выпуклой оболочки точек 0, %\ и %2 и Р\ = 21Я2 — ^i| —
периметр выпуклой оболочки точек Х\ и Х2. Поэтому
mfAE> r)~i(M +1^1-1^-^1) + 0(1).

§ 12. ДИВИЗОРЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ 219
и, пользуясь вычислениями из п. 12 § 6 (см. там вывод
формулы (21)), мы найдем, что
щ(Е9 г) = ±^-г + 0(1).
Так как по формуле (21) § 6 характеристическая
О JL л/2*
функция Tf (г) = —g~— г f 0(1), то дополнительный
член в соотношении дефектов (29)
-— тЛЕ, г) 2 — л/2 Л Л лг-
г-»оо Г/(г) 2+V2
и это соотношение принимает вид
4
£ б^Ш<6-~2л/2" (30)
/-1
(у нас дивизор стационарности Sf = 0).
Заметим, что 6f(Z)j) = 6f (D2) = 6f (Z)4)= 1, ибо эти
дивизоры не принимаются отображением, а по формуле
(23) §6 дефект 6f (D3) = 3 — 2 У2 • Таким образом,
сумма в левой части (30) также равна 6 — 2 д/2~, и этот
пример показывает точность оценки в теореме 2 |
7. Произвольные особенности. Некоторые
особенности разрешаются при последовательном выполнении
нескольких а-процессовс
Пример 1. Рассмотрим в С2 кривую D = {x2=yz}
с особенностью в начале (рис. 10, а, здесь х и у—
комплексные координаты). Квадратичное преобразование а
с центром в 0 при уфО, согласно (4), сводится к
подстановке х = uv, у = v в уравнение Z). Поэтому б имеет
Уравнение v = и2, а так как при этом появляется еще
особый дивизор Ё = {v = 0}, то о-1 (D) = {v = и2} [}
U{y = 0} (рис. 10,6).
Следующее преобразование в\, которое при иФО
сводится к подстановке и = U\, v = U\V\, переводит
yl(D) в дивизор {и\ = vi} U {v\ = 0} U {щ = 0}, где
\«i=0}=J?1 — особый дивизор (рис. 10,в). На этом
Этапе мы избавились от касания компонент дивизора, но
°сталось еще пересечение не общего положения. Послед-
Него можно избежать еще одним преобразованием, для

220 Гл- IV- ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
выполнения которого удобно сначала повернуть оси
и\, v\9 скажем, на 45° (чтобы, как и выше, можно было
обойтись одной картой). В новых осях дивизор
orl°<y~l(D) описывается уравнением (ы! — vi)и2 = 0, и
последнее преобразование <т2: «2 = и31>з, ^г^^з &2Ф0)
приводит к дивизору {ul = l} U {щ = 0} U {^з =■ 0}» где
{у3 = 0} = Е2 — особый дивизор (рис. 10, г).
Н^ Ч А Ч
ж. у!*\й
**
%*"1
4
0
ю
б)
8)
£ Ц|
Рис. 10.
Пример 2. Особенность поверхности D= {х2=уз?)
в С8 (рис. 11, а, х, у, z — комплексные координаты)
можно разрешить четырьмя а-процессами. Первый из
Рис. И.
них а: х = uw, у = vw, z = w (гфО) преобразует D в
дивизор {и2 = vw}\J{w == 0}, второй о\: и = u\V\9 v = vu
w = v\wx (v\ ф 0) — в {wx = u\} U {vxWi = 0}, третий <V
ux = u2, v\ = w2t;2, w\ = и2ш2 ("i ^ 0) — в {w2 = uw
U{w2^2^2=0}. Далее делается преобразование u2— «fe^
= «3, U2 + W2 = wZi v2 = vz и последний а-процесс <#
иг = UaWa, Vb = V4W4, w$ = wA (ад3 Ф 0) приводит к Д*'

§ 12. ДИВИЗОРЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ 221
визору {щ = 0} U {{и\ — 0 v4w4 = 0} — см. рис. 11,6, где
особый дивизор отмечен штриховкой I
В общем случае особенности разрешаются на
основании теоремы Хиронаки, по которой для любой
гиперповерхности D на проективном многообразии М,
имеющей на множестве Е особенности, отличные от
самопересечений общего положения, существуют проективное
многообразие М и голоморфное отображение а: М-+М
со свойствами:
1) D = crl(D) имеет только самопересечения общего
положения.
2) Отображение а биголоморфно преобразует М\Е
на многообразие М \ Ё, где Ё = a"l (E) — особый
дивизор.
Отображение а может быть а-процессом, или
суперпозицией сг-процессов, или преобразованием более
общего типа. В частности, в алгебраической геометрии
доказывается, что особенности алгебраических кривых
всегда можно разрешить конечным числом сг-процессов.
Уже из приведенных выше простейших примеров
видно, что особый дивизор Е=*(т~1(Е) может состоять из
нескольких неприводимых компонент; мы предположим,
что Е состоит из / таких компонент £/. Если
по-прежнему обозначим через б замыкание на М прообраза
o~l(M\D)9 то вместо (14) получим соотношение
**(£) = £ + 1^ = ^+1(^-1)4 (31)
где р/ — некоторые целые положительные числа (мы
учли, что в D = o~l(D) по одному разу входит каждая
компонента Я/). Дивизор стационарности
преобразования о также состоит из Ef с некоторыми целыми
положительными коэффициентами:
/
Sa^Zg/Ef. (32)
Вторая основная теорема в общем случае
доказывается так же, как в п. 6. Вместо (15) имеем соот-
ношение Кц = о* (/См) + Е <7/£/, из которого и из

222 Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
равенства
вытекающего из (31), следует, что
Ls + KM = o\LD + KM)+£(g,-p}+l)E,.
Это приводит к соотношению между
характеристическими функциями
- Tt iLo + **. О + £ (<7, - Р, + 1) Г, (Ц, г),
обобщающему (23).
Дальнейшие рассуждения проводятся точно, как в
п. 6, и приводят к появлению в npaiBofl части второй
основной теоремы дополнительного члена
Е О/ - qt - 1) Щ (hr г), (33)
который в ситуации, рассмотренной в п. 6, совпадает с
Irtif (Е, г). Этот же член появляется и в соотношении
дефектов. Он отражает особенности рассматриваемого
дивизора D.
Для упрощения оценки удобно заменить множество
Е особенностей дивизора D произвольной
гиперповерхностью Н на М, содержащей £. Пусть
o*(H) = H+ZnEh
где Я — замыкание на М множества о~1(Н\Е) к rj —
целые положительные числа. Если обозначить
гj = max fa — <fy — 1, 0) а у = max (V+/гу), (34)

§ 12. ДИВИЗОРЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ
223
то дополнительный член (33) можно оценить так:
2 (Pi ~ */ ~ 0 m? (*/■ 0 < 2 ГМ (*/• г) <
< Y Е г^ (£,, г) <ymf (а* (Я), г) - ymf (Я, г). (35)
Эта оценка приводит к соотношению дефектов в
следующей формулировке (для простоты мы опускаем
члены, содержащие дивизоры стационарности) :
Теорема 3. Пусть L-+NI — положительное
линейное расслоение и Du ..., Dq —дивизоры .его
голоморфных сечений, не имеющие попарно общих компонент.
я
Если Е — множество особенностей дивизораО = £ Dh
/-1
отличных от самопересечений в общем положении, и
Я — гиперповерхность на М, содержащая Е, то для
любого невырожденного голоморфного отображения f: Л~>
^в,(Я,)<Ы{Ае=1?: Kc(L) + c(KM)>0} +
-fYinfftxeR: iic(L) — c(LH)^0}. (36)
4 Первое слагаемое справа обычно для
соотношений дефектов, рассмотренных выше, и нам предстоит
обсудить лишь второе слагаемое, отвечающее за
особенности не общего положения. Если обозначить
участвующую в нем нижнюю грань через fio, то для любого \i > fio
будем иметь с (Ьи) ^ \хс (L) 9 а значит, и Т;(Ьн, г)^.
^\iTf(L, r). Отсюда по первой основной теореме для
расслоения LH заключаем, что
mf(H9r)^nTf(L9r)+0(l).
Подставляя это в (35), мы получаем оценку для
дополнительного члена во второй основной теореме
/5 О/ ~ Я, - 1) Щ (Ёг г) < ymf (Я, г) < y\iTf (Z,, г) + О (1),
вторая приводит в соотношении дефектов к
дополнительному слагаемому у\х. Остается бзять нижнюю грань
всех таких ц и мы получим второе слагаемое в (36) ^

224
Гл. IV. ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
Отсюда вытекает утверждение пикаровского типа:
Следствие. Пусть D — дивизор на М с
положительным расслоением Ld и Н — гиперповерхность на М,
содержащая особенности D, отличные от
самопересечений в общем положении. Если
Inf{Л: bc(LD) + c(KM)>0) +
+ у Inf fa: \ic (Lv) - с (LH) > 0} < 1, (37)
то любое голоморфное отображение f: A-+M\D вы-
рождено.
В заключение приведем пример, также
принадлежащий Б. Шиффману, который показывает точность полу-
ченной оценки.
Пример. Рассмотрим кривую D с Р2,
определяемую в однородных координатах уравнением
при k > 2 она имеет особенность в точке [1, 0, 0]. В
локальных координатах x=w\/wq, у = w2/wo ее уравнение
имеет вид хк = хк~1 + yk-\ так что касательный конус
To(D): xk"x + yk~x = 0 состоит из k — 1 различных комп-
ft-i
лексных прямых у =* <у/— 1 х. При А>3мы имеем
особенность не общего положения, которая разрешается
одним а-процессом: х = м, y = uv (иФ$). Мы имеем
pi = k— 1, а так как якобиан **' ^ =и, то ^ = 1 и,
значит, г;*" =■ k — 3.
Выбирая в качестве Н любую комплексную прямую
в Р2, проходящую через точку [1, 0, 0], мы получим, что
о* (Н) = Н + Е> поэтому г\ = 1 и, следовательно, у =»
= £ — 3. У нас c(LD) = kto, с(Км) =—Зсо и с(Ьн)*=*®>
где со— форма Фубини — Штуди Р2. Поэтому первое
слагаемое в левой части (37) равно З/k, второе (k—3)/k
и их сумма в точности равна 1. Неравенство (37) не
выполняется, и можно предъявить невырожденное
голоморфное отображение
jG./sQ-^")) 1
преобразующее JG,2 в P2\D |

ГЛАВА V
ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этой главе мы изложим ряд результатов,
дополняющих основные теоремы многомерной теории
распределения значений, а также рассмотрим некоторые
специальные классы голоморфных отображений.
§ 13. Результаты, использующие емкость
Различные понятия емкости широко используются в
комплексном анализе и, в частности, в теории
распределения значений. Начнем с изложения понятия плю-
рисупергармонической емкости и ее применения к
изучению множества дефектных значений, найденного
недавно А. Садуллаевым.
1. Р-мера. Плюрисупергармоническая мера
(сокращенно Р-мера) множеств на комплексных
многообразиях является естественным обобщением гармонической
меры множеств на комплексной прямой. Она вводилась
в несколько различных формах разными авторами; мы
будем придерживаться изложения А. Садуллаева [2])
и ограничимся подмножествами комплексного
проективного пространства Р^.
Пусть О — область в Р^ и Е — ее произвольное
подмножество. Назовем допустимой функцией пары Et G
произвольную плюрисупергармоническую *) в G
функцию, которая всюду в G неотрицательна, а на £
принимает значения, не меньшие 1; класс таких функций
обозначим 9>(Е, G). Рассмотрим функцию
со (г, Е, <?) = inf и(г) (1)
и&&(Е, Q)
*) Напомним, что плюрисупергармонической в области <?c:P"
называется полунепрерывная снизу функция и: (?-*-(—оо, оо],
сужение которой на любую комплексную прямую / супергармонично на
открытом множестве G (] I. Со свойствами этих функций можно
ознакомиться по книгам В. С. Владимирова [1] или Ш II.
8 Б. В. Шабат

226 Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
и назовем Р-мерой множества Е относительно G
регуляризацию этой функции, т. е.
©,.(*. E,G)= Ijm <o(z', £, G). (2)
Заметим, что функция со в общем случае не является
плюрисупергармонической, ибо она, вообще говоря,
даже не полунепрерывна снизу, а функция со» всегда
плюрисупергармонична в G. В самом деле, по
определению со* полунепрерывна снизу в G и остается лишь
доказать, что ее сужение на любую комплексную прямую I
удовлетворяет неравенству, характеризующему
супергармонические функции (см. Ш I, стр. 310). Но в силу
этого неравенства для функций и&!Р(Е, G) в точках
rsGfl/ и для достаточно малых г
о
(мы сохраняем обозначения функций для их сужений на
/). Так как функции и ограничены снизу (они
неотрицательны), то по известной лемме Фату можно перейти к
нижней грани по функциям u^fP(E, G), и мы получим
такое же неравенство для 0(2', E, G). По той же
причине в нем можно перейти к нижнему пределу при г'-^г,
что дает нужное неравенство
».(*, £, G)>-^$ ©.(* + re", E, Q)dt.
о
Замечание. Пусть область G cz 'fc]N усиленно
псевдовыпукла, т. е. определяется неравенством <р(г)<0,
где ф — непрерывная плюрисубгармоническая в области
D ш G функция (отсюда следует псевдовыпуклость G,
см. Ш II, стр. 190) и множество Е т G. Тогда при
определении функции со можно ограничиться подклассом
ff>scz&i(Ei G), состоящим из гладких функций.
В самом деле, пусть ®s(z)= inf u{z) и z°— произ-
вольная точка G; для любого е > 0 найдется функция
и&!?(Е, G) такая, что
и(z°)-©(z0, £, G)<s. (3)

§ 13. РЕЗУЛЬТАТЫ. ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЕМКОСТЬ 227
Обозначим через G\ область, содержащую Е \) {г0} и
компактно принадлежащую G, и через М= sup <р(г).
ге§,
Так как М < 0, то функция q>/M плюрисупергармонична
в D, равно как и функция
Г min(w(г), ф(£)/Af) при геб,
° I ф(г)/ЛТ при ze=D\G
(следует учесть, что на 3G оба способа задания с;
совпадают, ибо там тт(и,у/М)—(р/М). Очевидно, G —
= {ге/); v(z)>0}t а так как v непрерывна в D\G,
то найдется область G2^> G, в которой v(z)>—е.
Введем еще множество G0= {ге02: t>(z)> 1-е},
открытое в силу полунепрерывности о снизу и содержащее Е.
Наконец, обозначим через б наименьшее из расстояний
р(£, dG0) и p(dG, dG2) и рассмотрим усреднение
v{z)^\v(z + bti)K^)dVt
с гладким ядром /(, сосредоточенным в единичном шаре.
Функция w = v + e неотрицательна,
плюрисупергармонична и гладка в G, а на Я она принимает значения, не
меньшие 1, т. е. принадлежит Л.
Но Ms0) < c(z°) + e < со (г°, £, G)+ 2e (мы
воспользовались (3)) ив силу произвольности е имеем ©в(г°)^
< ©(г°, £", G). С учетом очевидного противоположного
яеравенства и того, что z° — произвольная точка G,
получаем НуЖНОе ТОЖДеСТВО (Os(z) ша (0 (2, Я, G) 1
Значение регуляризации функции <о в произвольной
точке может, очевидно, отличаться от значения самой <о
лишь в меньшую сторону. Как доказал А. Картан,
множество N — {геО: со*(г, £, G) < ©(г, £, G)}, где
регуляризация не совпадает с функцией 0, имеет емкость,
а следовательно, и лебегову меру 0*). Отсюда
выводится и другое свойство множества N: для любой супер-
•) Результат Картана относится к нижним граням
произвольных супергармонических (а не только плюриоупергармонических)
Функций и. Его доказательство можно найти, например, в книге
Л. И. Ронкина [1], стр. 107.
8*

228
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
гармонической в G функции v в любой точке 2GG
Urn v{z') = v{z). (4)
* ф ЛГи {2}
Так как, очевидно, Я-мера ю*г(г, Е, G) ^ 0, то по
принципу минимума для плюрисупергармонических
функций она либо всюду в G положительна, либо
тождественно равна 0. В последнем случае, как доказал
П. Лелон [2], множество Е является Р-полярным в G,
т. е. на нем обращается в +оо некоторая плюрисупер-
гармоническая в G функция, не равная тождественно оо
(или, что то же самое, обращается в —оо плюрисубгар-
моническая функция ф—оо). Обратно, если Е является
Я-полярным в некоторой окрестности G, то ©*(г, Е> G) и
взО.
Используя эти достаточно тонкие результаты,
докажем, следуя А. Садуллаеву, нужные нам свойства
Р-меры.
1° Ограниченность: 0 ^ <о«Г(г9Е, G)^. 1.
2° Монотонность:
G, с= G2, ExczE2=$a>.(z9 Eu G{)^^(z,E2l G2).
(Оба свойства очевидны.)
3° Счетная субаддитивность: для любой
счетной последовательности подмножеств £/ области G
в любой точке z этой области
S ОО Ч ОО
®.К U Eh О)<Е ».(*.*/> О).
\ /-1 / /-1
4 Для любого набора функций м/е #>(£/, G) = ^/
сумма J) Uf плюрисупергармонична (в частности, она мо*
жет быть =оо). Так как она неотрицательна в С, а на
оо
Е == [)Ef не меньше 1, то со (г, Е, G)<inf J] tt/(z), где
нижняя грань берется по всем наборам щ и, очевидно,
достигается в том случае, когда все слагаемые достигают
своих нижних граней. Таким образом,
оо оо
<о (z, E, G) < £ inf и, (z) = Е © (г, £;, G),
/-1 u,e«>, /-1

§ 18. РЕЗУЛЬТАТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЕМКОСТЬ 229
или, переходя к регуляризациям,
оо
©.(*, Е, (?) < lim £ ю(г', Е,, Q). (5)
Воспользуемся теперь цитированным выше
результатом, по которому множества N\ = {геб: со*(z,£/, G)<
<co(z, £>, G)}, а также их объединение iV обладают
свойством (4). Так как выбрасывание множества N
может лишь увеличить нижний предел в правой части (5),
а вне N функции co(z, Я/, G) совпадают со своими регу-
ляризациями, то, применяя свойство (4) к очевидно
супергармонической функции£ Ч (z> £/> G)y мы получим из
(б), что
оо оо
а>, (z, £, G) < lim Z «>* (z'> Ef, G) = £ со, (z, Eh G) ►
z'->z /el /-1
4° Если область G усиленно псевдовыпукла и Е € G,
го существует убывающая последовательность
непрерывных функций Uk&&*(E, G) такая, что
(\lmuh{z)\=>®m(*,E9 G). (6)
fc-»oo
^ Согласно сделанному выше замечанию в этом
случае функцию <o(z,E,G) можно определить как
нижнюю грань в классе tPs гладких функций v^^(E9G).
По лемме Шоке (см., например, Л. И. Ронкин [1J,
с. 102) существует счетное семейство Vj&&s такое, что
(inf v/ (г)), г* со# (z, E, G). Тогда функции uk (z) = inf i>/ (z)
/ /<£
обладают нужными свойствами ►
5° Если G усиленно псевдовыпукла и Е m G, то для
любого е > 0 можно найти области G, и G2 такие, что
G\^ G & G2 и что для любой области G, заключенной
между G, и G2 (Gt с: G с: G2), имеем
IЧ(г> £> G) — о>„(zt Ey G) \<е для всех г е= G Л G.
4 Без ограничения общности можно предполагать,
**То е < 1 и что функция ф, определяющая область
°» не превосходит —1 на Е. Открытое множество

230 Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
{ге G: ф'(г)< —г/2}т G, значит, существует область
G'gQ, содержащая это множество. Если а = — sup ф(г),
г е 01'
то 0 < а < е/2; обозначим через G\ связную
компоненту открытого множества (гей: ф(г)<—а},
содержащую G', она, очевидно, содержит £. Через G2 мы
обозначим связную компоненту открытого множества
{z e D: ф(г) < е/2}, где D & G — область, в которой
плюрисубгармонична функция <р. Очевидно, G e G2,
|<р(г)|<е/2 на G2\G\ и функция и(г)= — <р(г) + е/2
принадлежит #*(£, G2).
Для любой и^!Р(Е, Gi) функция
_ i rain ^ ^' м ^ + 8^ при z e °ь
ш(г)""1 и (г) при 2GG2\Oi
принадлежит ^(£, G2)*). Следовательно, при ?eOi
имеем со (г, £, G2)< wUX w(z)+e, а так как ие
е^>(£, Gi) произвольна, то и со(г,£, G2)^o)(2, £, Gi) +
rf e, откуда
©„(2, £, G2) — ю.(г, £, G,) < e при ге G1# (7)
Точно так же из наших определений и отмеченного выше
свойства функции ф следует, что
<о„ (г, £, G2) < v (z) < е при г е= G2 \ 01в (8)
Пусть теперь G! cz G с: G2 и г е G П G. По свойству 2°
обе Р-меры <о*(г, £, G) и со#(г, E,G) заключены между
сэ#(г, £, Gi) и со»(2, £, G2), поэтому, если zeGb то,
согласно (7),
I ©Дг, £> Q) - ©Дг, £, G) |<®,(«. fi. Q*) - »•(«. £> Gt)<8,
если же z^GflGNGi, то справедливо (8), и поэтому
|©Дг, £, G)-<M*. £> О) К
<тах(©Д;г, £, G), ©Дг, £, 6))<©Д2, £> G2)<e ►
*) Надо учесть, что на dG\ функция v = а + — < е,
следовательно, там оба способа задания w совпадают.

§ 13. РЙЗУЛЬТАТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЕМКОСТЬ 231
6° Если область G усиленно псевдовыпукла, то уело-
вие со* (г, Е, £)=== 0 необходимо и достаточно для Р-по-
лярности в G множества Е.
4 Согласно цитированному выше результату П. Ле-
лона, из условия со* (г, Е, G) &s 0 следует Р-полярность Е.
Обратно, Р-полярное множество Е можно представить
в виде счетного объединения множеств Ef @ G. Так как
Ej полярны в G, то, согласно сказанному выше, для
любой области Gтакой, что Ef & G <ш G имеем ©„(г, Ej,G)s
sO, а тогда по свойству 5° и (a#(2,£/,G)sO.
Применяя свойство 3°, получаем (o*(z, Ef G) ва 0 ►
7° Если область G псевдовыпукла и множество EczG
таково, что для любой области G ш G множество E(\G
является Р-полярным в G, то Е является Р-полярным
и в G.
4 По определению псевдовыпуклости существует
плюрисубгармоническая в G функция <р, стремящаяся
к +оо при подходе к dG. С ее помощью легко построить
компактное исчерпание G областями Он = {z e G:
Ф*(г)<;0}, где (fk непрерывны и плюрисубгармоничны
в G; без ограничения общности можно предполагать,
что срк\о ^~~ 1-Так как по условию множество Е f) Gk
является Р-полярным в Gk, то существует плюрисупер-
гармоническая в Gk функция к* Ф оо, равная оо на
E(]Gk; ее можно считать положительной в вь-и ибо
в силу полунепрерывности снизу она ограничена там
снизу и к ней можно добавить положительную
постоянную. Далее, так как G\ открыта и не пуста, то в ней
найдется точка г° такая, что ин(^)фоо для всех
*=1, 2, ...
Построим теперь последовательность плюрисупергар-
монических в G функций
( min(uk+i(z)/2kuk+l(z°), —<р*(г)) при z<=~Gb
**(*)=»{ -<fo(«) при z&G\Gk,
k =* 1, 2, ... (на dG* функция — q>* = 0, а w*+i > 0, так
что минимум в первой строке равен — ф*, и там оба
способа задания Vk совпадают). Положим
v(z)-£vk(z); (9)

232 гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
эта функция, очевидно, плюрисупергармонична в G и не
равна тождественно оо, ибо в точке z° имеем Vk(z°)^
^ 1/2* для всех k, так что ряд (9) сходится. Но в
любой точке ze£, начиная с некоторого номера k,
значение —<рк(г)^\, a tik+\{z) = оо, так что Vk(z)^l
и функция v(z) = оо. Это и означает Р-полярность
множества Е в области G ►
2. Р-емкость. Существует несколько вариантов
построения понятия емкости множеств в комплексном
пространстве, отражающего комплексную структуру. Мы
изложим здесь вариант, недавно предложенный А. Са-
дуллаевым [2] и основанный на Р-мере.
Обозначим через \л стандартную меру в комплексном
проективном пространстве Р^, инвариантную
относительно унитарных преобразований и нормированную так,
что \i(PN)=*\ (см. п. 13 гл. I). Назовем плюрисупер-
гармонической емкостью или, короче, Р-емкостью
подмножества Е области G cz PN относительно этой
области усреднение Р-меры со* (г, Е, G) по мере \i:
с (£, G) = -^ \ со, (г, Е, G) dn (z). (10)
о
Величина с(Е, G) = c(E) обладает многими
свойствами, обычно предъявляемыми к емкостям. Первые
четыре из них немедленно вытекают из соответствующих
свойств Р-меры:
1° 0 ^ с(£)^ 1, причем с(Е)=0 тогда и только
тогда, когда ©*(г, Е, G) = 0.
2° Если G — усиленно псевдовыпуклая область, то
с (Е) азв 0 тогда и только тогда, когда Е является Р-по-
лярным в G множеством.
3° Р-емкость — возрастающая функция множества,
т. е. если EiCzE2cz G, то с(Е{)^. с(Е2).
4° Р-емкость счетно субаддитивна, т. в. для любой
последовательности множеств EkczG
Следующее свойство доказывается со ссылками на
цитированные выше результаты.

§ 13. РЕЗУЛЬТАТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЕМКОСТЬ 233
5° Р-емкость является непрерывной сверху функцией
множеств, т. е. для любого множества Е a G и любого
е > 0 существует открытое множество U zdE такое, что
для любого Ё: EczEaU
с(Ё)-с(Е)<г. (11)
4 По определению © (г, Et G) является нижней
гранью значений в точке z функций класса SP(E, G) —
неотрицательных в G плюрисупергармонических
функций, которые на Е не меньше 1. Согласно лемме Шоке
найдется счетное семейство функций v\^9>{E,G)
такое-то (infvf(z))„ = ю*(г, £, G). Полагая uk(z) =
= inf Vt(z), мы получим убывающую последовательность
функций класса ^(£, G) такую, что lim uk(z) — u(z)
и и#(г) = ©*(г, £, G). По теореме о монотонной
сходимости
\ и (z) dp = lim \ uk (z) d\i, (12)
Q *^ G
а так как множество JV={2G(!: u*(z)< u(z)} по
цитированному результату А. Картана имеет нулевую
лебегову, а значит, и jn-меру, то
$tt(z)dji= J u»(z)d\i=\j(*>t(z, E, G)d\i = ii(G)c(E).
Q Q\N О
Отсюда и из (12) видно, что найдется номер ko такой,
что
-L.\uko(z)d^<c(E) + zl2.
G
Обозначим £/ = {£€=<?: uko(z)> 1 — е/2}; это
множество открыто (в силу полунепрерывности uko снизу)
и содержит Е (ибо uk > 1 на £ в силу того, что
uko е= & (£, О)), а так как ико (z) + b/2<ee0> ((/, О), то

234 Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
«*,(«)+ e/2>o#(z, U, G). Отсюда следует, что
<с(Е) + ъ
Так как Еа U, то теперь (11) следует из свойства 3° &>
6° Для любой убывающей последовательности
подмножеств Ek^G
с( f\Ek)*=limc(Ek). (13)
^ Это свойство следует из предыдущего.
Действительно, возьмем последовательность e,k\0 и для
каждого &k подберем окрестность Uk множества Е = f\Ek
такую, что c(Uk)—с(Е)<г& Так как Ej стягиваются
к £, то для любого k найдется номер /* такой, что Ej с:
с: Uk при />/*, а значит, при / ^/* и 0 <.c(Ej)~
— c(E)<Ek. Отсюда и следует (13)
Из свойства 3° следует, что для произвольного
множества EczG его Р-емкость с(Е) является нижней
гранью Р-емкостей открытых множеств U a G,
содержащих Е, или, иными словами, является внешней
емкостью се(Е). Можно, как обычно, ввести внутреннюю
емкость d (£), полагая ее равной верхней грани с (К)
по всем компактам КаЕ. Ясно, что для любого
компакта KczG внутренняя емкость ct(K) = c(K).
Следующее свойство показывает, что d{U)— c(U) и для
открытых множеств U aG.
7° Для любой возрастающей последовательности
открытых подмножеств /У* с: G
с([] Uk)=\imc(Uk). (14)
< Очевидно, lim <o#(*, Ukt G)<=&(U, G), где U —
— \)Uk, и, значит, этот предел не больше со*(г, I/, С).
С другой стороны, так как со*(;г, £/*, G)^ ©♦(г, £/, G) по
свойству монотонности Р-меры, то этот предел не
превосходит со* (г, Uy G). Таким образом, lim ®*(z, Uk> G)=«
fe->oo
= со^(г, Uу G), и, интегрируя это соотношение, мы по*
лучаем (14) !►

ft И. РЕЗУЛЬТАТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЕМКОСТЬ 235
В заключение отметим, что в работе А. Садуллаева
[3] введено другое понятие емкости, в известном смысле
эквивалентное описанному выше. Пусть Е —
подмножество области G на я-мерном комплексном многообразии,
которую для простоты формулировок мы предположим
усиленно псевдовыпуклой. Обозначим через щ (z, Еу G) =
= suptt(£) в классе всех неположительных плюрисуб-
гармонических в G функций из C2(G) таких, что u\e^
<—1, и через со* (г, £, G) = lim ®.(г', Е, G); очевидно
(о\ (г, Е, G) = — <*>„ (г, Е, G), где ю, — введенная выше
Р-мера. Если ю* е С2(G), то в силу плюрисубгармонич-
ности этой функции ddc(o* > 0 и мы положим
сх(В9 G)=*\(ddc<**y.
о
Э. Бедфорд и Б. Тейлор [1] доказали следующий
принцип максимума для плюрисубгармонических
функций класса C2(G)f\C{0): если две такие функции и и v
совпадают на dG, то
и < v в G =► J (d^uf > J (ЛЛ>у\
Имея в виду этот принцип, для произвольного
множества Е ев G можно положить по определению
с, (Я, G) —inf $(А/виЛ (15)
о
где нижняя грань берется в классе всех
плюрисубгармонических функций из C^OflCfG), для которых и|*<
^ — 1 и и\до^0. Экстремальная функция этой задачи,
если она принадлежит классу C2(G), удовлетворяет
в G\E так называемому уравнению Монжа — Ампера
Ш°и)п = 0, (1в)
которое в последнее время встречается во многих
задачах комплексного анализа.
А. Садуллаев, развивая методы, предложенные
Бедфордом и Тейлором, установил для С\(Е)= С\(Е, G)
свойства Г—6° емкости с(Е). В частности, С\(Е), как

236
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
и с (Б), равна нулю в том и только том случае, когда Е
является Я-полярным подмножеством G. В этом смысле
эти емкости равносильны.
3. Полярность множества дефектных дивизоров. Мы
уже отмечали в гл. II, что, в отличие от одномерного
случая, в котором множество дефектных значений не
более чем счетно, в многомерном случае множество
дивизоров с положительными дефектами может быть
несчетным. В п. 12 гл. II мы привели пример Шиффмана
невырожденного голоморфного отображения /: С2-> Р2,
для которого каждая комплексная прямая, проходящая
через точку [1,0,0], является дефектной — это простое
отображение f(z) = [l, ег\ eZi\
Тем не менее для невырожденных голоморфных
отображений /: Л->М, где А — аффинное /n-мерное, а М —
проективное я-мерное многообразие, над которым
задано положительное линейное расслоение L->Af,
множество дефектных дивизоров не может быть очень
массивным. Именно, как доказал А. Садуллаев [2],
множество таких дивизоров является Р-полярным в
проективном пространстве Р^ всех дивизоров голоморфных
сечений расслоения L (см. п. 6 гл. I). Отсюда, в частности,
следует, что хаусдорфова (2N — 2 + е)-мера этого
множества (см. ниже, п. 4) для любого 8 > 0 равна нулю,
и тем самым дается ответ на один из вопросов,
поставленных в работе Ф. Гриффитса и Дж. Кинга [1].
На самом деле, результат Садуллаева более
сильный— он относится к множеству дивизоров не с
положительным дефектом
ftf (D) = 1 - Ш (Nf (D, r)/Tf (I, г)), (17)
Г-»оо
который рассматривался в гл. II и который естественно
называть дефектом в смысле Неванлинны, а с
положительным дефектом
Af (D) - 1 - lim (Nf (Д r)/Tf (L, r)). (18)
r->oo
Эта величина называется дефектом в смысле Валиронй,
и множество
7f = {De P": Af(D)> 0}, (19)

§ 13. РЕЗУЛЬТАТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЕМКОСТЬ 237
очевидно, содержит все дивизоры, дефектные в смысле
Неванлинны.
Начнем со случая невырожденного голоморфного
отображения /: Ст->- Рп с гиперплоским расслоением
над Рп. Гиперплоскости |[ау]еРл: J^avwv = 0?
будем рассматривать как точки проективного пространства
(Рл)* с однородными координатами [а0, ..., ал]. Для
простоты письма будем опускать звездочку в
обозначении (Ря)*, а гиперплоскость с уравнением £ avwv = О
обозначать через а. Через Ua, как всегда, будем
обозначать область {абР": аа Ф 0} стандартного покрытия
Prt, через Sr — сферу {геСт: |z|=r} и а —форму
Пуанкаре.
Лемма 1. Для гиперплоскостей a&Ua считающая
функция представляется в виде
Nf(a9r)*=ua(a9 r) + ha(a), (20)
где
иа(а,г)=Ш%%иа (21)
Sr lv-o I
— плюрисубгармоническая функция локальных
координат
(Яо/Яа> •••> Яа-1/Яа» ^a+l/aa» •••> ^я/аа)>
а
|2£мо>|
Ла(в)в —In
v»o
(22)
— функция, суммируемая по стандартной мере Рп
<4 По формуле Иенсена (9) § 4 мы имеем
I
Nf(a, г)= Jin Jav/V
V-0
or— In
|>vM0)
v-o
откуда сразу следует (20) с выражениями (21) и (22)
для иа и fta. Плюрисубгармоничность функции иа от
локальных координат £i = ao/aa, ..., %п = aw/aa
следует из плюрисубгармоничности в JCj"(£)
ln|f« + foCl+ ••• +/a-&i-! + /a+l£a+l + ... +fnln\

238
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
при любых фиксированных параметрах ft» ...t fn и того,
что интегрирование по г не нарушает плюрисубгармо-
ничности. Суммируемость Аа видна из того, что эта
функция в Рл имеет лишь логарифмические особенности
на гиперплоскостях аа = 0 и ]£av/v(0)==0 ►
Следующая теорема доказывается, как аналогичная
теорема, изложенная в книге Р. Неванлинны [1],
стр. 280.
Теорема 1. Для любого невырожденного
голоморфного отображения /: Ст-> Рп и для всех
гиперплоскостей ае Р", кроме Р-полярного их множества Е,
считающая функция Nf(a,r) при г > г0(а) удовлетворяет
неравенству
Nf (а, г) > Tf (г) - л/ЩГ) In Tf (г), (23)
где Tf (г)-— характеристическая функция.
4 Обозначим X (г) = 7г <y/Tf (r) In Tf (r)\ эта функция,
очевидно, возрастает, равно как и функция Tf(r)—X(r).
Пользуясь этим, мы можем шаг за шагом построить
возрастающую последовательность чисел г*-*оо такую, что
Tf (r0) > 1, Tf (г4+1) - Я (г»+1) - Tf (г,), * = 0, 1, ... (24)
Обозначим £г = {аеР": Nf(a% r)<rf(r) — X(r)} и
докажем, что для афЕг и rs[rfe, rfe+1]
Nf(a, r)>7>(r)-2Mr). (25)
В самом деле, в силу возрастания Aff имеем для г > г*
и афЕгк
Nf (а, г) > JVf (а, г,) > Г, (г*) - k (rk) =
- Tf (r) - 2Я (г) + [Tf (гА) - (Г, (г) - Л (г))] + [Я (г) - Я (г,)],
а в силу возрастания Tf — К и К имеем 7^(г) — Я(г)<
< 7>(гЛ) при г < r*+i и Х(г) > Я(г*) при г > г*, так что
в наших условиях обе выделенные в последнем
соотношении скобки положительны. Отбрасывая их, мы
получаем (25).
Пусть
в-ДД/ч да

§ !3. РЕЗУЛЬТАТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЕМКОСТЬ 239
и гиперплоскость афЕ. Тогда найдется ko такое, что
00
а Ф (J Erk* т. е. а ^ Етк для всех k ^ k0. Согласно до-
казанному выше отсюда следует, что (25), а значит
и эквивалентное ему неравенство (23), справедливо для
всех г> г..
«о
Остается доказать, что множество Еу определенное
формулой (26), является Я-полярным в Рл. Из (20),
(21) и неравенства Неванлинны (п. 2 § 4) следует, что
для точек а = [а0, ..., ап] е Ua
«.(а, r) = Nf(a, r)-ha(a)<Tr(r) + In |fl[^[0)l -
Поэтому, если фиксировать произвольную ограниченную
область G с: Ua и обозначить через С\ наибольшее из
чисел 0 и max In (| а 11 / (0) |/| аа (), то для фиксирован-
а«= Q
ного г плюрисупергармоническая функция va(a, г)«=
~(Tf (г) — ыа(а, г) + C\)/k(r) будет неотрицательной
в G. На множестве £V, на котором по определению
Nf(Д| fX Tf(г) — А,(г)» имеем
w„ и *>(г) + *«(г)" ^(fl' г) + ^ ^ 1 » h«{а) + 'i
Мя. г;— ц^ ^1 + л (г) •
а так как Aa(tf)+£i^O для amG, то для a^Erf]G
выполняется неравенство va(a, r)^ 1.
Таким образом, функция va является допустимой для
Р-меры и, следовательно, ©* (а, Ег Л G, G) ^ fa(a> r),
а Я-емкость
с(£гПО)-
Пользуясь тем, что второй интеграл неотрицателен,
а подынтегральное выражение в первом неотрицательно

240
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
на всем Ua, получим отсюда неравенство
c(£,nG)<
1
<
ц (G) % (1
_ J {МгЖп1")^1 ~"«(Д. ')}**. (27)
Заметим теперь, что по формуле Крофтона (см. (21)
§ 3) с учетом (20) мы имеем
7>(r)= \Nf{a, r)d\i= jj ua(a, r)d\i + c2,
где с2 =■ \ Аа (a) dfx — некоторая постоянная. Учитывая
еще, что ц([/а) = 1, можно переписать (27) в виде
£(ЯгПО)<
<7^{* + itaJ£H£faL*}-TW- (28>
где С — постоянная, зависящая лишь от области G и
отображения /.
Пользуясь свойствами 6° и 4° Р-емкости (см. п. 2),
получаем
с(Е(]0)^с([\ и^Пб)-
/ оо Ч оо
= lim el U ЕгкПО)кИт %с(ЕГкЩ.
Далее, на основании (28) и соотношения (24), в
котором k заменено на k— 1,
rk
оо оо k
1 (* ИТ ft
>(£ПО)<СНт УТ7-Т = СНт У \ -г£-
и остается воспользоваться возрастанием функции Я(г)=
«VtVWJlnrf(r):
оо к °°
Ef dTAr) лл# Г rfff
= 0,

$ 13. РЕЗУЛЬТАТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЕМКОСТЬ 241
ибо интеграл сходится. Так как G — произвольная
область из Ua, то на основании свойства 7° п. 1 отсюда
можно заключить, что множество Е является Я-поляр-
ным в любой области Ua ►
Как видно из (23) и определения дефектов Валирона,
для всех афЕ дефект Д/(а) = 0. Поэтому множество
VfCzE и, значит, является Р-полярным. Кроме того,
доказательство теоремы 1 очевидным образом
распространяется на более общие комплексные многообразия,
и тогда мы придем к результату А. Садуллаева, о
котором говорилось выше.
Теорема 2. Пусть А — аффинное m-мерное, а М —
проективное n-мерное многообразие, причем над М за-
дано обильное линейное расслоение L. Тогда для любого
невырожденного голоморфного отображения /: А-*М
множество Е дефектных в смысле Валирона дивизоров
голоморфных сечений L является Р-полярным
множеством в проективном пространстве всех таких дивизоров.
Заметим, что независимо от А. Садуллаева
аналогичный результат получил Л. И. Ронкин [2]. Результат
последнего слабее, ибо Ронкин получил его в терминах
введенной им Г-емкости, но относится к несколько более
широкому классу отображений.
4. К проблеме Безу. Как отмечалось в гл. II, для
множеств коразмерности выше 1 так называемая
трансцендентная теорема Безу в общем случае неверна, т. е.
не существует общей оценки сверху считающей функции
через характеристическую (см. пример Корнальбы
и Шиффмана в п. 4 гл. II). Однако такая оценка
становится возможной, если пренебречь некоторым
множеством, в известном смысле тонким. Мы изложим
здесь результат Дж. Карлсона [3], в котором дается
оценка через характеристическую функцию считающей
функции прообразов точек при голоморфных
отображениях /: C)n-+lCjn. Тонкость исключительного множества
формулируется в терминах так называемой а-емкости.
С ней можно ознакомиться, например, по книге
Н. С. Ландкофа [1], мы же ограничимся лишь
определениями и формулировками нужных нам свойств.
Рассмотрим в £ап ядро вида Ka{z)— 1/12|а, гДе
О < а < 2я, и некоторую меру \i, сосредоточенную на
Множестве Е\ потенциалом и энергией этой меры

242
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
называются соответственно
Vv(*)-\Ka(t-z)dMQ. *(!*)- $М*)*!*(*). (29)
Для данного компакта Е с:Сп существует так
называемое равновесное распределение меры — это
распределение d\i с носителем £, для которого \i(Cn) = ц(£) = Q
и энергия минимальна; оно единственно при
фиксированном Q (см. Н. С. Ландкоф [1], стр. 175). Обозначим
V = maxVlx(z) потенциал этой меры и назовем а-ем-
костью множества Е величину
ca(E) = Q/V. (30)
Эта емкость обладает рядом свойств, общих для
емкости, в частности, она монотонна, счетно
полуаддитивна и для нее справедливо свойство 6° предыдущего
пункта. Она связана с хаусдорфовой мерой множеств,
которая определяется следующим образом. Покроем
множество Е czCn конечным или счетным множеством
шаров с центрами Z\ и радиусами /*/ и положим На> fi(£,)=
= inf ]£/•?, где нижняя грань берется по всем покры-
тиям с радиусами г/ ^ б. Мерой Хаусдорфа порядка а
(короче, а-мерой) множества Е называется #а(£)=*
= lim#a,o(£).
Если Е — вещественное А-мерное многообразие, то
£-мера пропорциональна его объему. Кроме того,
На(Е)= оо при a < k и #a(£) = 0 при a > k. Связь
между a-емкостью и хаусдорфовой мерой выражается,
в частности, следующим фактом: борелевские множества
нулевой a-емкости имеют и нулевую (а + е) -меру при
любом 8 > 0 (доказательство см. Н. С. Ландкоф [1]»
с. 249).
Перейдем к изложению результата Карлсона.
Неравенство Неванлинны для голоморфных отображений
/: Cn->Dn и прообразов точек ае€я имеет вид
Nf (а, г) < Tf> (r) + Rf (а, г)+ 0(1) (31)

$ 13. РЕЗУЛЬТАТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЕМКОСТЬ 243
(см. (21) § 4). Здесь характеристическая функция
о Bt
представляет собой логарифмически усредненный объем
образа шара Вг (см. (25) §2), а в случае дискретного
прообраза f~l(a) = {^v)(a)} точки а считающая
функция
Nf (a, r) = £ ln+ j-^y + п (Г1 (а), 0) in r
(см. (30) § 1). Из (30) видно, что желаемая оценка
сводится к оценке остаточного члена, который
выражается формулой (19) § 4
Rf(at r) = j \f*(A(w-a))AG>o K = d^ln|zF), (32)
Br
где, согласно (16) § 4,
n-l
A(w) = In ^Jp'2 £ (tftf*In/ w p)v Л <o»-*-1
(G> = ddcln(l+\wf))
— форма бистепени (n — 1, n — 1), Очевидно,
A(w — a) = K(w — a)$(wt a), (33)
где /С(до) = ^г-9"1п—'■■■ ., локально интегрируе-
\w Гп~г \w г
мая функция, а р— форма с ограниченными
коэффициентами.
В силу элементарного неравенства, по которому
1п(1 + 1/х) ^ с\/хе при любом е > 0 и надлежащем
выборе постоянной Си функция К мажорируется ядром Ка
описанного выше вида, где a = 2п — 2 + е, K(w) ^
^ C\/\w\2n~2+z — C\K« (до), а в силу ограниченности
коэффициентов форма Р(ш, a)^ C2(un~l(w) при
надлежащем выборе С2.
Решающей в доказательстве Карлсона является
Лемма 2. Для любого голоморфного отображения
f: '&п-*&п и любого множества Е из О положитель-

244
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ной (2/2 — 2 + е) -емкости существует мера р,,
сосредоточенная на Е и такая, что
\ Nf (а, г) dn (а) < са (Е) Тр> (г) + ctn_x (г), (34)
с"
еде а = 2/г —2-f e, ^el(r)= ^fV^A^o и с = с(в) —
яоетояяшя.
4 Имея в виду применение неравенства Неван-
линны, оценим сначала интеграл от остаточного члена
по произвольной мере |i в Рп, сосредоточенной на Е.
По формуле (32) и теореме Фубини имеем
[ Rf(a, r)dii(a)= [ f ( \ A(w-a)dii(aj) А
и далее, пользуясь формулой (33) и следующими за ней
оценками,
\ Я, (a, r)dn (a)<c \r(\ Ka(w-a)dii(a)^^(w)\ А 0О,
где с — некоторая постоянная. Вспоминая определение
(29) потенциала меры jx, получаем оценку
J Rf (а, г)d\x (а) < с $ Г (V»(w)о*-1) Л <*<,.
с* *т
Предположим теперь, что \х — равновесная мера,
нормированная так, что V= max l/^(te;)= 1. Тогда с
учетом положительности форм © и со0 предыдущее
неравенство переписывается в виде
\ Rf (а, г) dvL (а) < с J f (ей»-») Л % - * я-1 (г).
*г
Далее, интегрируя по этой мере неравенство Неван-
линны (31) и учитывая, что по формуле (30) у нас
Q = цСС,11) = £«(£)> получаем
J Nf(a, r)dVL(*)<1Y)(r)ca(E)+ J *f(a, r)rf|*(a);
с* с1*

§ 13. РЕЗУЛЬТАТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЕМКОСТЬ 246
подставляя сюда предыдущую оценку, находим нужный
результат (34) ►
Основной результат, как и теорема 1, доказывается
по схеме Неванлинны.
Теорема 3. Для любого голоморфного отображения
/: 1СЯ->СЛ и любых е, б > О
Nf(a9 г~1)<[1+Мы(^1)]^(г) (36)
для всех а е Сп, кроме исключительного множества Б
нулевой (2п — 2 + г)-меры и всех г"^г0(а).
4 Фиксируем возрастающую функцию g: R+-vR+>
выбор которой потом уточним, и для k = 1, 2, ...
обозначим
Ek = {a€=Cn: Nf(a, k - 1)>(1 + g(k))T{fn)(k)}. (36)
оо оо
Пусть £=* f] И Ek; если афЕ, то найдется k0 = ko(a)
такое, что аф.Ен для всех k ^ ko (см. доказательство
теоремы 1). Поэтому, если [г] — целая часть г, то при
[г] > ko
Nf(ayr~l)^Nf(a,[r])<
<(l+g([r]))T^([r])^(l+g(r))Tf(r) (37)
(мы воспользовались еще возрастанием функций g
и 7™).
Множество Ek имеет положительную а-емкость, где
а = 2п — 2 +в. Интегрируя неравенство (36) по
равновесной мере \х такой, как в лемме 2, получим
(l+g(k))Tf(k)ca(Ek)^\Nf(a9 k-l)dn(a)9
сп
и по той же лемме (1 + g (k)) T<f> (k) ca (Ek) <
^ ca (Ek)7™ (* - 1) + ctn_x (k - 1). Отсюда g (k) Tf (k) X
X ca (Ek) ^ ctn_i (k — 1) (мы отбросили справа
неположительный член ca(Ek)(T\nHk--l)~-Tf{k)) и в силу
счетной полуаддитивности а-емкости
*(0*)<|*сщ<.|^а.

246
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Далее, согласно свойству этой емкости,
аналогичному 6° п. 2, и определению множества Е на основании
последнего неравенства
са(Е)^с 11т У'""'^Т0'
Отсюда видно, что множество Е будет иметь нулевую
а-емкость, если мы выберем функцию g так, чтобы
последний ряд сходился. Для этого, очевидно, достаточно
положить g(r) = r1+*f„-i(r — 1) ,и тогда, согласно (37),
при а ф Е и [г] > &о будет выполняться неравенство
(35) >
Таким образом, множество тех значений а е О, для
которых нет оценки типа Безу, не может быть слишком
массивным, например его хаусдорфова мера порядка
2/г — 2 + е равна нулю при любом е > 0. Если функция
Nf(a,r) непрерывна по г (например, если f~x(a)
дискретно), то множества £*, определенные в (36), открыты
и, значит, Е является счетным пересечением открытых
множеств (множеством типа Gfi). Такие множества
являются локально полярными, т. е. для каждой точки Е
существует окрестность (У и в ней субгармоническая
функция, не равная оо тождественно, но равная <х> на
E[)U (см. Н. С. Ландкоф [1J, стр. 223).
В той же работе Дж. Карлсона [3] теорема
обобщается на прообразы точек при голоморфных
отображениях m-мерных пространств Штейна в С", а также
на прообразы плоскостей А а Рп коразмерности k при
отображениях в Рл, причем в последнем случае Nf(A,r)
оценивается через 7у> (г).
§ 14. Отображения конечного порядка
Для простоты ограничимся голоморфными
отображениями f: Сит-*С.п. Если, как в гл. II, обозначить через
Mf (г) = max VTTT7MF, tf)
\

§ 14. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 247
то порядок pf и тип Of отображения / можно определить
по стандартным формулам
_ in in Mf (г) ,— in Mf (г)
Этот параграф посвящен отображениям конечного
порядка и некоторым специальным классам таких
отображений.
5. Оценки характеристических функций сверху. Как
мы знаем, за распределение прообразов плоскостей
A cz С/1 комплексной коразмерности k при голоморфных
отображениях /: DJn-^Cn отвечает k-я
характеристическая функция
г
т\»(г) = \-%-\(Гс»)клк-к, (3)
О Bt
где /*(со)=Л/Мп(1+|/|2) и G>o = tfdMn|2|2 (см. п. 3
§ 4). Наша ближайшая задача — изложить оценку Tf]
для отображений конечного порядка, полученную
недавно П. В. Дегтярем [4]. Его доказательство основано
на лемме, для формулировки которой мы обозначим
Вг(а)= {z<&Cm: \г— a\<r}, Sr(a) = dBr(a) и
введем форму (Оа = ddc In | z — a [2.
Лемма 1. Пусть и— положительная плюрисубгар-
моническая в Ст функция класса С2 и Ф — замкнутая
(ш — k, m — k) -форма такая, что для любого целого
/, 0 ^ / ^ k, форма (ddcu)k~l A <*>£ Л Ф положительна
и интегрируема. Тогда для любого целого /, 1 ^ Z ^ k,
и любого 9 > 1
<{-2Ш-М»^У S (МеиУ~1 Л ooi Л Ф, (4)
BQr{a)
где Ми (г) = max и (z).

248
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
4 Так как (ddcu)k ЛФ = d(dcu A(ddcu)k~l Лф)9
то по формуле Стокса и лемме 1 из § 1
г г
5 -у- 5 (ddcu)k Л Ф = J -у- J d*w Л (Л***/)*-1 Л Ф —
О В^(а) 0 St(a)
Br(a)
Применяя еще раз формулу Стокса, находим
г
St- S (ddcuf лф =
О B,(a)
=4 J ш*Чп|*-арЛ(*Л)*-!ЛФ-
Sr(a)
~i S «мвЛ(Л)Ь1лФ<
Br(a)
<-J-Ale(r) J «Hnls-apACAftO'-'AO
Sr(a)
(мы воспользовались положительностью форм под
интегралами и принципом максимума для субгармонических
функций). Из этой оценки, пользуясь еще возрастанием
функции Ми(г) и интеграла по Вг от (ddcu)kЛФ,
получаем для любых 9 > 1 и / ^ 1
lne1" J (ddcu)kA<&< \ Ц- \ (ddcu)k АФ<
Va) r Bf(a)
<^Ми (9/) J d* In | z - a p Л (ddcu)k~l Л <*•
*в1/'г(в)
Еще одно применение формулы Стокса дает неравенство
J (ddc^A®<-2iire"M«(9/) \ <*аЛШси)^ЛФ<
вг(а) VV(a)

$ 14. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 249
Заметим теперь, что это же неравенство можно
применить к интегралу справа с заменой k на k—1, Ф на
(Оа ЛФ и г на Ql/tr. Повторяя этот прием еще / — 2 раза,
получим (4) £>
Замечание. В условиях доказанной леммы
справедливо также неравенство
Вг(а)
<(ш&М«^)к S ^1п|2-аГл«&"1ЛФ. (5)
Sdr(a)
Оно получается из (4) при k = / применением формулы
Стокса |
В качестве простого следствия этой леммы получим
оценку характеристических функций через максимум
модуля Mf, аналогичную оценке Карлсона (теорема 4
из §2).
Теорема 1. Для любого голоморфного
отображения f: Кт -»- СЛ и любого 9 > 1
Tt]^ < (-WO*"1 (lnMf <*»*• Кк<т. (6)
где величина Mf определена в (I).
4 Так как функция w = ln(l+|f|2) положительна
и плюрисубгармонична в Cw (см. п. 9 гл. I) и Ми(г) =
= 21nAff(r), то по лемме 1, в которой Ф = ю™-*, / =
=«6—1 и а = 0,
$ (f ©)* л к~к < (iff- ln Mf w)k~l $ Г© л К"1
Bi Bet
(у нас ddcu = /*co). Из формулы (3) получим тогда, что
г
r(/*)(r)<(-T^LlnA,fW)*",ST- S ^Л<йот'1==
о вы

260 Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
\
Отсюда по формуле (13) § 2 получаем неравенство
TV(rX (^TlnMt <'>)*"' J ,n УГ+ТШ7а, (7)
где а = dc In | z f A <*>™~l ~ форма Пуанкаре. Замечая,
что интеграл не превосходит 1пМ/(8г), получаем (6) ^
Замечание. Так как lim (~р§~) = 1, то в
пределе (6) сводится к неравенству Tf (r) ^ In Mf(dr)t
которое, очевидно, справедливо и при 0 = 1 |
Переходим к отображениям конечного порядка. Для
отображения /: С/п->-Сл порядка pf = р < оо
радиальным индикатором в точке z e Cm называется
hf(z)= lim —v тм v ;i ш ^
Г-»оо Г
Очевидно, hf(tz)= tPhf(z) для любого
положительного tt так что индикатор является однородной функцией
порядка р (в частности, всегда ftf(0) = 0). В силу этой
однородности индикатор достаточно задавать на
единичной сфере S\CzCm. Так как функция u(z) =
= In(1 -\-\f(z) |2)плюрисубгармонична в C.m, то
индикатор hf является плюрисубгармонической функцией, если
только он полунепрерывен сверху. В общем случае плю-
рисубгармонична лишь регуляризация
hUz)= IhUhJz'), (9)
причем множество {z<=Cm: h*(z)> hf(z)} не слишком
массивно и, в частности, его 2т-мера Хаусдорфа равна О
(см. предыдущий параграф).
Среднее значение индикатора по сфере Si
Hf=\hfo (10)
s,
участвует в оценке характеристических функций сверху,
полученной П. В. Дегтярем [1]:
Теорема 2. - Для голоморфного отображения
/: C,w->]CLn конечного порядка р и конечного типа Of

§ 14. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 251
при любом 6 > 1
в Л*>(Г) • *_.! ч*-1
lim —L-
Г-+СО
гко
4 Деля неравенство (7) на гк» и переходя к
верхнему пределу, получаем
1"п-Ьг-<
'fc-1 -— 1пМЛ9г)\А"! Г In лЛ + I / (вгг) |2
1ш —ст.
V 1п6 г-»оо (9г)Р / r-*oo J
(вг)
Р
Верхний предел в скобках по формуле (2)
равен типу Of, а так как положительные функции
— In лЛ ""H/(rz) I2 ПРИ достаточно больших г
ограничены сверху числом а/ + 1, то в интеграле по Si можно
перейти к верхнему пределу, что, согласно (8), дает
А/(г). Мы получаем (11) ►
Замечание. Для главной характеристической
функции T{fli = Tf справедлива оценка
Tf(r) (
Г-»оо Г
которая получается из (11) предельным переходом при
fe-И и 0->1 (см. предыдущее замечание) или
доказывается непосредственно. Заметим, что в нее не входит
тип Of Щ
6. Отображения «/-регулярного роста. Если оценка
характеристических функций сверху в теореме 2
получена для всех отображений f: &т-+Сп конечного
порядка и типа, то аналогичную оценку снизу удается
получить лишь для отображений специальных классов.
Здесь мы приведем такую оценку, полученную П. В. Дег-
тярем [3] для одного из введенных им классов.
Из определения индикатора видно, что если для
какой-либо точки г е Si существует не верхний, а обычный
предел (9) и А/(2)>0, то \f(rz)\ при возрастании г
растет как / hf{z\ Если бы этот предел достигался рав*

252
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
номерно на всей сфере Si и был всюду положительным,
то мы имели бы простую оценку снизу для |/(гг)|, а
значит, и для Tf(r). Однако такое предположение
слишком обременительно, ибо, например, если есть
последовательность точек из f~l(0), сходящаяся к
бесконечности, то по ней предел (9) равен 0.
Поэтому естественно ослабить требование
существования равномерного предела, освободив от него какое-
либо не слишком массивное множество. Следуя Дегтя-
рю, будем говорить, что множество ЕаСт имеет
относительную q-меру О, если его можно покрыть системой
шаров $(/) = {ВгЛа*)} с центрами af и радиусами
г/ < 1, которая удовлетворяет следующему условию:
если JRciJ — множество индексов такое, что система
9&(Jr) покрывает пересечение Е со сферой Sr9 to
Д» £Е '?-"• (,3>
С ростом q величина под знаком предела, очевидно,
убывает, так что множество нулевой <7-меры имеет и
нулевую #'-меру, если q' > q.
Будем говорить далее, что голоморфное отображение
/: Ст->ЗКЯ конечного порядка р и конечного типа с ре-
гуляризованным индикатором Щ является отображением
q-регулярного роста, если найдется множество ЕаСт
нулевой относительной q-ыеры такое, что существует
равномерный по сфере S\
Urn "Vi + I/WF..^ (14)
Г-»оо Г*
ггфЕ
Отметим, что вместе с / отображением ^-регулярного
роста будет и f — b для любого 6еСя. В самом деле,
■±.InVl+lf(«)-ftP-

§ 14. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 258
а предел второго слагаемого при л->оо равен 0, что
видно из следующих элементарных неравенств:
l/2(l+|&P)<(l+|f~6P)/(l+|fp)<2(l+|6p)*).
Замечание. Обычно индикатор определяется как
ШЩ^-^hfiz). (16)
Если для zeS\ в (15) существует обычный, а не
верхний предел, то, как видно из сказанного в начале
пункта, введенный нами индикатор
h (г) = / ^ W» если ftf (z) > 0,
1 0 , если ftf (z) < 0.
Б. Я. Левин и Пфлюгер (см. Б. Я. Левин [1]) ввели
и изучили класс целых функций /: С-КС] вполне
регулярного роста, для которых в (15) существует обычный
предел, кроме некоторого исключительного множества.
В. С. Азарин [1] ввел в Rm исключительные множества
(определение (13) является обобщением его
определения) и на его основе определил субгармонические
функции вполне регулярного роста. Пользуясь этим
определением, П. 3. Агранович и Л. И. Ронкин [1] обобщили
понятие функций вполне регулярного роста на функции
нескольких комплексных переменных и, в частности,
доказали, что к их классу принадлежит введенный Л. Гру-
меном [1] класс функций /: iCm->-C:, для которых f(Xz)
для почти всех г&'£>]т является функцией вполне
регулярного роста от переменной J,eC. П. В. Дегтярь [3]
доказал, что все функции, рассматриваемые этими
авторами, являются функциями (2т—1)-регулярного
роста |
Для получения оценок снизу характеристических
Функций отображений ^-регулярного роста нам
понадобится две леммы. Первая из них — небольшая
модификация известной теоремы Хартогса (см. Ш I, стр. 313).
*) Правое неравенство следует из того, что 1 + 1/ — Ь\2 ^
5,1,+ 1Л2 + Ш*1 + \Ь\*+ (1/1 - \b\)* + 2\fb\* <2(1 + |*|2)(1 +
п/| ), а левое получается из правого заменой / на f + о.

2Б4
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Лемма 2. Пусть {щ} — равномерно ограниченное
семейство неотрицательных субгармонических в области
GcCm функций и u(z)= lim щ (z). Тогда для любой
t->oo
непрерывной в G функции v> для которой и (z) ^ v(z)
для всех z^G, и для любых е > 0 и К ^ G найдется *0
такое, что
Щ (z) ^ v (z) + е для всех t>tQ и z e К.
4 Пусть, от противного, найдутся е > О, точки
г/ е/С и функции иj = utf такие, что
и} (г7) > v (г7) + е.
Без ограничения общности можно считать, что 2/~^г°е
е/С. Пусть шар В2г(^) с центром г° радиуса 2г
компактно принадлежит G, тогда в силу субгармоничности
щ среднее значение
ТЯГ J «/(2)фг1>0(^) + в.
вгУ)
Если 12?' — 2° | < г, то в силу неотрицательности щ и
монотонности среднего значения будут справедливы и
неравенства
v(zf) + e<-pn \ И/(г)Ф0т<
Здесь можно перейти к верхнему пределу под знаком
интеграла (по лемме Фату), а затем заменить этот
верхний предел и функцией v:
о(з0) + е<72^г J v(z)<p™.
B2r(z°)
Но в силу непрерывности v среднее значение в правой
части при достаточно малых г не превосходит,
например, v(z°)+ г/2. Мы пришли к противоречию ►
Следующая лемма доказана П. В. Дегтярем 13],

i 14. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 255
Лемма 3. Пусть и — положительная плюрисубгар-
моническая в Ст функция класса С2, для которой су'
ществуют постоянные р и А такие, что для любой точки
«(гг)/гР<Л. (16)
Если Е а Ст — множество нулевой относительной q-ме-
ры, то при k^m — q/2
lim -Х- ( №сн)*Л<т,_, = 0, (17)
*+™ R ensR
где, как и в § 4, ak = dc\n\zf A (ddc\n\z p)m~*.
Л Если в принятых выше обозначениях Br. (af) <=
е$(/*) и S? (а1) = Sr, (а1) Л BR, то по формуле Стокса
J (ddeu)kAak_i+ J {ddeuf A <rft_,=
= J {ddcu)k А<»Гк>
где B?f (a1) — Brt (a1) {] Br. Поэтому с учетом
положительности форм (ddcu)k A crfc-.i и (ddcu)k A ®™~k имеем
$ (rtftO* Л а*-, < £ J (<*Л0*Л<С"*. (18)
Теперь воспользуемся леммой 1, в которой положим
Ф = ©»-*, / = & и 9 = 2:
(2^Р J (^")*Л<-*<
ВГ/(а')
Но из определения ^-меры 0 следует, что для i<=Jp и
Достаточно больших R имеем | а71 + 2г/^ 2/?. Поэтому

256
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Mu(2rI)^tMu(2R)t и из условия(16) следует, что Ма(2гу)^
<Л(2/?)Р; кроме того, при геВгг^а7)» /е^д> и
Достаточно больших R имеем \z\^R/2. Мы получаем,
следовательно, что
1
\ (ddcu)kA<~k<
mk0 в у}
B2rfW)
^ const f fe A .m-k
< R2(m-h) ) «УЛф ,
гдеф = ddc1212 — (d|z|2Adc|z|2)/|z|2 — форма с
ограниченными коэффициентами (см. (11) § 1). Положив в
последнем интеграле z = a' + r/£, мы приведем его к
виду
r)(m-k) $ (*Г| С f)fe Л (♦ (С + £))m-"<con&trVm-k)
в2
и получим из (18) неравенство
Так как у нас 2(m — k)^q, to по определению
нулевой относительной q-меры получаем (17) ►
Оценки характеристических функций снизу
выражаются через коэффициенты, которые в случае, когда ftj
принадлежит классу С2, имеют вид
в,
= 2?\%-\(ddch?)kA<-k (19)
О Bt
(h*f является однородной функцией порядка р, а ©о-
порядка 0, так что интеграл по В\ равен интегралу по

* 14. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 267
В и умноженному на tk*>). Если же А^С2, то эти
коэффициенты определяются как повторные пределы
//£*> = Нт ... lim #(А/р ..., hib) (20)
где
l
H (hh> ..., A, J = 2feJ x J **% Л ... Л ddchh Л <ь™-\
о в^
а Л/ —убывающая последовательность гладких плю-
рисубгармонических функций, равномерно ограниченная
в В\ и сходящаяся поточечно к А* (такая
последовательность существует в силу плюрисубгармоничности и
ограниченности AJ).
Для доказательства корректности этого определения
можно воспользоваться теорией потоков (см. § 3). Если
представить поток Т бистепени (k, k) в Cm как форму
с обобщенными коэффициентами, то произведение Т А со,
где со е $Гт-к> m-k, является формой максимальной
степени, т. е. равна a(ddc\z\2)m с обобщенным
коэффициентом а. Поток Т называется положительным, если а
положителен для любой положительной формы сое#"т~*' т~к
(см. § 1). Ясно, что слабый предел последовательности
положительных потоков — положительный поток. В
частности, положительным потоком является ddch, если h —
плюрисубгармоническая функция.
Далее, поток Т называется замкнутым, если dT = 0.
Ясно, что слабый предел последовательности замкнутых
потоков также замкнут. Если Т — замкнутый поток
биостепени {k, k), а А —гладкая функция, то для любой
ddch Л7,(ф)=^АГЛ^£7ф.
Пусть, как в (20), последовательность hf\h} и Т —
замкнутый положительный поток. Тогда по предыдущей
формуле и теореме Фату
lim ddchj Л Т (<р) = J А*Г Л ЖЛр.
т. е. ddchj Л Т слабо сходится к потоку, который,
следовательно, также является положительным и замкнутым.
9 Б. В. Шабат

268 Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Теперь на каждом шаге последовательного предела
в (20) имеется описанная ситуация и, значит,
последовательность потоков ddchf А ... AddcAy Л о J1"* слабо
сходится. Так как в определении функции Н участвует еще
усреднение по шару fii, то предел в (20) существует (см.
Садуллаев [3]).
Геометрический смысл коэффициентов Н^ мы
обсудим позже, а сейчас докажем основной результат этого
раздела (П. В. Дегтярь [3]).
Теорема 3. Пусть /: Ст-кСл — голоморфное
отображение q-регулярного роста. Тогда для k ^ тп + 1 —
-q/2
Т{?(г)>нТгк» + о(гк% (21)
где р — порядок отображения.
4( По лемме 2 § 1
к
-1$ \n(l+\f?)tf-lA<-k + l, (22)
где (Of = ddc In (1 +1 f |2). Пусть Е — исключительное
множество из определения ^-регулярности; так как /
имеет конечной тип, т<^ InAff (r) ^ At* с некоторой
постоянной Л и по лемме 3 (в которой w(z)=ln(l + |f (2)J2)
и k заменено на k — 1) получим, что
Sr(\B Sr(\B
стремится к 0 при г-*оо. Поэтому
JLJlnO+l/fK-'A^-i^
sr
= 7*Г \ lnti+\ff)*i~l Аъ-1 + оЦ). (23)
Sr\E

§ 14. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 259
Но по определению ^-регулярности величина
л(г)=мьШЖ»_2й;Ш (24)
стремится равномерно к 0 при | г |-> оо и г ф. Е. Так как
= max|r,|C в,'-'лшГ4 + '
Sr\B J
а по замечанию вслед за леммой 1 (см. (5), где о==0
и ф = ©8*-* + 1)
Яг
<(lirlnAff(er))*"1 J dcln|2|2A<-'<cr(ft-,)p, (25)
sr
где с — постоянная (мы воспользовались оценкой для
InAff и свойством формы Пуанкаре o=dcln\z\2A<u™~1), то
sr{B SA*
Так как Щ(г/г) — (l/r?)h'f (z), то из (24) можно
заключить, что
2/-Р
Sr\B
Х- J lnO+l/fWAa*-,-
а если учесть (23) и аналогичное соотношение с заменой
In (1 +1 /12) функцией Щ, то
■jjjln(l+|/f)»f"1Aa*.i-jA^*",Aa*-i+o(r*p)=s
sr sr
= г^А;©Г1(^)Ла;_1+о(г*р)

260 Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
(в интеграле по Sr мы заменили г на rz и
воспользовались свойством А* и однородностью a*-i). Отсюда для
любой последовательности гладких плюрисубгармониче-
ских функций А/, аппроксимирующих А* сверху, по
лемме Фату получаем оценку интеграла по сфере в
формуле (22):
2
2
jln(l+|/f)«/-lA<fc-i-
«rplim Са^"1(«)Лога-1 + о(г*0. (26)
Остается оценить в (22) интеграл по шару. Так как
по определению
то, положив иг(г)«=-^1п V 1 + lf (га)Р и взяв в каче-
стве t; любую из функций А/, мы для любого е > 0 по
лемме 2 найдем г0 такое, что при г ^ го и всех г е Si
jln(l+lf(^)p)<r^A/(2:) + erp.
Следовательно,
Ц ln(l+|/(2)f)fi)fft-1(2)A(Oom-ft + 1<
Br
откуда, применяя еще неравенство (25), получим
•фпОнч/ГК-'люГ^Ч
<г"lim [ hj4"'HA%ffl"k+4свг*й.
ft

§ 14. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 261
Так как е сколь угодно мало, то, подставляя эту оценку
и (26) в формулу (22), получаем неравенство
T\k)(r)>rQ Urn ( 5 А/а>Г V) Л **-i -
/-»оо
-\hrf-l(rz)Aaff-k+l) + o(r»)
в,
или по лемме 1 из § 1
Tf)(r)>2r(> lim J41 J ****/ Л «*-'(«) Л «ощ-* + о(г*).
°° о ^
Но к интегралу под знаком предела можно
применить точно такую же процедуру, заменив еще один
множитель в ©f~! на dd°h\\ получим неравенство
Т\к)(г)>
1
> 4г2р Urn 11m \ ~М ddch,Addch, Л®?"2 (r2z) Л ©g1 ~ * +
0 Bf
Повторив этот прием еще й — 2 раза, придем к оценке
7f(r)>2VPX
1
X Hm ... lim [ Щ- [ dd%x Л ... Л ddchiu Л юо1""* +
О of
+ о(г*0
которая с учетом (20) совпадает с (21) ►
Отметим особо случай отображений /: 1СП->СЛ,
имеющих 1- или 2-регулярный рост. В этом случае
оценка (21) справедлива для всех характеристических
функций, включая т\п\ которая отвечает за прообразы
точек.
7. Комплексные вариации. Здесь мы хотим обсудить
коэффициенты Hf и Н{к\ которые входят в
асимптотические оценки характеристических функций. Начнем с

262
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Hf\ предполагая для простоты, что индикатор hf e С2
и, следовательно, hf = hf» При помощи леммы 1 из § 1
формулу (19) при 4=1 и /(0)=0 можно переписать
в виде
Hp{r) = 2^\dchfA<-l =
О S,
=5 dhf A dcln\zf A ©S1-1- J hfo,
Вх Sx
из которого ясно, что этот коэффициент совпадает с
коэффициентом #f, определенным формулой (10).
Теперь сопоставление теорем 2 и 3 показывает, что
при k = 1 верхняя и нижняя оценки Tf совпадают, и,
значит, справедлива
Теорема 4. Для голоморфного отображения f:
ICjw-^ Сл q-регулярного роста (q^2m) главная
характеристическая функция допускает точную
асимптотическую оценку
Tf(r) = Hfr° + o(rQ), (27)
где р — порядок отображения.
Заметим, что П. В. Дегтярь [4] выделил подклассы
отображений ^-регулярного роста, для которых
справедлива точная асимптотическая оценка и старших
характеристических функций Т{® с коэффициентами Hf]
вместо Hf.
Опишем теперь геометрический смысл коэффициента
Hf, предполагая, что /(0) = 0 и что индикатор hf —
выпуклая функция класса С2. Рассмотрим выпуклое тело
Gf= П {геСм: Re (г, 6)<Л,(С)}, (28)
для которого hf является опорной функцией (здесь
(г, £) —эрмитово, a Re(2,£)— евклидово скалярное
произведение векторов 2й?). Пусть /; = {z = £Х, Ке£} —
комплексная прямая, проходящая через 0 и точку £ е Si.
Вещественная кривая у^ = GfD^ является огибающей
семейства прямых в плоскости комплексного
переменного Nh, определяемых уравнением Re(A£, %еш) =» hf (&m),

§ 14. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 268
которое сводится к уравнению Re %е"т = hf (t,eie), где
9 — параметр семейства. Дифференцируя последнее
уравнение по параметру, получаем Irn Xe~i0 = dhf/dQ и,
объединяя это с предыдущим, находим уравнение
огибающей y$:
Отсюда -^g- = ieiQ (hf + -jgr-J и, следовательно, длина
кривой y;
о о
(мы учли, что в силу выпуклости hf вторая производная
-jsr^0 и что интеграл от нее вдоль замкнутого
контура равен 0). С другой стороны, усреднение индикатора
hf по сфере Si можно провести, усредняя его по
окружностям пересечения S\ с комплексными прямыми /&, а
затем по совокупности Р т~1 таких прямых, т. е.
=1* \ s^(0. (29)
pm-1
где \х — стандартная мера на Рт~1.
Таким образом, коэффициент Hf геометрически
можно интерпретировать как деленное на 2я среднее
значение периметров сечений выпуклого тела Gf
комплексными прямыми, проходящими через точку z = 0.
Пример. Рассмотрим отображение /: С->СЛ
осуществляемое экспоненциальной кривой f(z) — (eXl*9 ...
...,^л2).Это отображениепорядка р = 1 и, как мы скоро
увидим, 1-регулярного роста. Рассуждая как в примере
Альфорса из п. 9 гл. I, можно убедиться в том, что
область Gf представляет собой многоугольник — выпуклую
оболочку точек 0, Хь ...» Хл в плоскости £.«, так что

264
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
коэффициент Hf = Р/2п, где Р — периметр этого
многоугольника. Теорема 4 дает, следовательно, ту же
асимптотику 77, что и пример Альфорса (она легко
обобщается на кусочно гладкие индикаторы) 1
Переходя к интерпретации других коэффициентов
H\k\ напомним определение А. Г. Витушкина [1]
вариаций множеств в евклидовом пространстве (см. также
Л. Д. Иванов [1]). Пусть множество Gcz Rm, IP —
вещественная /г-мерная плоскость, проходящая через
начало, и П™~* — плоскость дополнительной
размерности, проходящая через точку х& Rm ортогонально IP.
Обозначим через Ко(<?, П%~к) число компонент
связности пересечения ОППдГ""*, через
lMG,n*)=$ V0(G, n?~k)dx,
где dx — элемент объема IP, и назовем k-й вариацией
множества G величину
Ук(0) = с(т, k) \ Vk(G, П*)#ъ (30)
где G™— грассманово многообразие А-мерных
плоскостей в Rw, проходящих через начало, а ^ —
стандартная мера на нем; коэффициент с(т, k) подобран так,
чтобы k-я вариация ^-мерного единичного куба в Rm
равнялась 1.
Для выпуклых тел V0(G9 П?~"*) —
характеристическая функция проекции G на IP, Vk(G, IP) — объем этой
проекции, a Vk(G) — усреднение таких объемов по всем
IP. В частности, V\(G)—усреднение длин проекций G
на вещественные прямые. Заметим, что в случае
выпуклого тела G;c:Cw, определенного в (28), длина
проекции на вещественную прямую, проходящую через 0 и
точку £ е Si, равна А/(£) + hf (—£), а коэффициент Hf =
= Я^ равен усреднению Af(£) по всем таким прямым.
Таким образом, Hf] (с точностью до множителя 1/2)
является комплексным аналогом вариации V\ и его
естественно назвать первой комплексной вариацией
множества G/.

§ !4. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
265
Точно так же, коэффициенты H{fk) называются k-ми
комплексными вариациями множества Gf. Чтобы
выяснить их связь с вещественными вариациями, рассмотрим,
в частности, отображения /: Ст->1СЯ порядка р= 1 с
выпуклым индикатором, зависящим лишь 0T(Rezi, ...
..., Re zm); в этот класс входят, например,
экспоненциальные отображения (Jc/,^^), ...,Х^/«^2'^) с
вещественными A,ve Rw. Как доказал П. В. Дегтярь [4],
для таких отображений коэффициенты H{fk) с точностью
до постоянных множителей совпадают с вариациями Vk
множества G = {х = Rez: ге Gf} cz Rm.
В заключение докажем, что т-я комплексная
вариация Н\т) Для отображений порядка р = 1 с выпуклым
индикатором hf e С2 совпадает с так называемым
псевдообъемом, введенным недавно Б. Я. Казарновским [1].
Пусть G а Ст — выпуклое тело с гладкой границей dG
и n(z)—единичный вектор нормали к dG в точке г.
Рассмотрим на dG форму
т
а = -gj- Im (dz, п (г)) =»—- Im £ nf(z)dzf
и назовем псевдообъемом G величину
*(G)—£J aA(da)m'1. (31)
дО
С другой стороны, пусть h = hf — индикатор
отображения /, удовлетворяющего перечисленным выше
условиям. По формуле (19)
Hf —£J (AT*)"—£$«ГА A(d<fh)m-\ (32)
В, S,
т
причем здесь dch = -£f Im ^Г -gr- <tf£, можно заменить
формой
m
»-±-Ib<$>

266
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
которая, как видно из тождества У]-^г"dt,j=d У]$/-*г—
""" 2 ^ VdtT) отличается от dch на точную форму.
Теперь воспользуемся тем, что вещественный
градиент функции ft, т. е. вектор
«-*•<*-»(£ £)
в наших условиях взаимно однозначно отображает
сферу Si на границу области G = Gft для которой А служит
опорной функцией*), причем в точке z = g(t>) нормаль
п(г) = £. Так как у нас 2/ = 2—=-, то
дЧ
т
/-1
и, делая в интеграле (32), в котором вместо dch стоит
форма р, замену переменной £ = g~l{z), мы получим
Я^)== 1 \ а Л (^<*Г~1 = Р(0),
что и требуется.
*) Для доказательства введем в Ст вещественные координаты
Z «а= (хи . . . , *2m), £ = (Ь, • • • , |2т); ТОГДЙ
2/n 2/n
А=- IJi/*/- 21 в? -»• (•)
Дифференцирование (*) дает ^ Л/<^|/ = 2, */<%» гДе fyява-fir"
(мы учли, что J] |/^х/ = 0, ибо касательная плоскость к dG в точке,
соответствующей £, ортогональна вектору £), и ^ Ijdlf =* 0. Отсюда,
считая, что равны нулю все дифференциалы, кроме dg/ и й\ь,
находим Xklf = |/Л* — Л/g* + */Е*. Умножая эти соотношения на |/ и
складывая, получаем с учетом (*), что x^^hk — lk £) Ifhj +
+ h\k» Но ^ g/A/ = ph, если /i — однородная функция степени р,
так что xk = hk+ (\ —p)hlk, или в векторных обозначениях
2r = grad /г + (1 — р) А£.
При р =5 1 с учетом выпуклости G получаем нужный результат.

§ 14. ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 267
8. Применения, примеры. Оценки
характеристических функций, полученные выше, находят ряд
применений (см. П. В. Дегтярь [3]). В качестве примера такого
i применения приведем результат типа теоремы
Сохоцкого.
Теорема 5. Пусть /: ;Cm -> С/1 — отображение
q-регулярного роста такое, что H\k) ф О, где k^m +
+ \—q/2. Тогда образ f(Cm) пересекает почти все
1 (в смысле стандартной меры) плоскости из 'Сп
комплексной коразмерности k.
, <4 Как в гл. II, обозначим
,._,<,)- J (fa)*- Л «,rft+1=r^^,
i где /*cd = ddc In (I + |f|2). Тогда для любого 9> 1
получим соотношение
ine^-1(r)<?4$(^)ft~1A«>om-ft+,=
= Tf-i)(Qr)-ftk-1)(r).
1 Пользуясь теоремами 2 и 3, мы найдем отсюда, что
tfc-ijr) ^Cr'fe-1>" + o(r<ft-')p)
с некоторой постоянной с, зависящей от /, k и 9. Таким
образом,
7^ Tf(r)
а по теореме 7 § 4 это условие достаточно для того,
чтобы образ f (Cm) пересекал почти все плоскости
коразмерности k >
Особо отметим
Следствие. Голоморфное отображение /: <С]Л->■ СЛ
1- или ^-регулярного роста, для которого Н\п) ФО,
принимает почти все значения беСЛ
Этот результат — прямое многомерное обобщение
теоремы Сохоцкого. Он показывает в частности, что

268 Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
среди отображений рассматриваемого класса нет
отображений типа примера Фату (см. Ш И, стр. 62).
Заметим, что недавно Сибони и Уонг [1] доказали
существование примеров Фату любого конечного порядка: для
любого в > 0 существует невырожденное голоморфное
отображение /у. iQ*-*C2, для которого С2 \ / (С2) —
непустое открытое множество и Mfe (г) ^ Сег*.
В заключение приведем примеры отображений
регулярного роста.
Пример 1. Рассмотрим отображение /: ££т->-СЛ
осуществляемое экспоненциальными суммами
М*)« S с%е{гЛ\ v=l, ..., /г, (33)
где Av — конечное множество точек £LW и (г, К), как
всегда, — эрмитово скалярное произведение; пусть Л =
= U Av. Так как порядок отображения / равен 1, то по
определению индикатор этого отображения
Af(£)=Ita^lnf 1 + Х!| Z С^Г{1Л)\2\ «eSi-
Г>°° V V-l|;ie=Av | /
(34)
Обозначим m(£)=max Re(£, Я) и Av(£)={A,sAv: Re (£, Я)=
Хе Л
= m(£)}. Так как |£|=1, a JRe(£,A,) —евклидово
скалярное произведение, то т(£) — самая правая из
проекций точек множества Л на вещественную прямую {г =
= /£: t e R}; заметим еще, что некоторые из множеств
Лу(£) могут быть пустыми.
Если т (£) ^ 0, то модули всех членов суммы в (34)
ограничены или стремятся к нулю при г->оо и,
следовательно, Af(S) = 0. Если же m (£)>(), то из тождества
i+ifp°
1 + в«"я«>
\v.-i|a,€sav;) J /
где б > 0, видно, что в (34) существует (обычный)
предел, равный /n(t)_, если только не выполняются одновре-

§ 14. бТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА <№
менно условия
Е <V(*M-0, v=l, ..., /», (35)
где z = г£. Но все эти условия не могут выполняться
тождественно по г, следовательно, описываемое ими
исключительное множество Е является аналитическим,
коразмерности не меньше 1. В частности, для каждого
£ е S\ пересечение Е с вещественной прямой {z = tt}
состоит из не более чем счетного множества точек.
Таким образом, верхний предел в (34) существует всегда
и индикатор ftf(£;) = m+(£;) = max(m(£), 0). Как видно
из определения т+(£), она является опорной функцией
выпуклой оболочки множества Л (J {0}, так что эта
выпуклая оболочка совпадает с введенным выше телом Gf.
Так как условия (35) имеют специальный характер,
то в ситуации общего положения исключительное
множество Е пусто. В этой ситуации в (34) существует
обычный предел, и он достигается равномерно на сфере
Si, так что отображение (33) имеет 1-регулярный рост.
Однако и в случае, когда множество Е непусто,
отображение (33) может иметь 1-регулярный рост.
Рассмотрим, например, отображение f: 5CL2 —^ С2, задаваемое
функциями
fx (z) =*e*> + el*\ U {г) — е1* - е**\
оно невырождено, ибо Jf (г) = — е* (е*1 + ieiZx) Ф 0 и
его индикатор
Af(£)«=max(Re£b Re£2, — Im£b 0).
Исключительное множество Е состоит из точек (zi, z2),
где гг — (я/2 + km) (1 — i), z2 = (я/2 + km) (1+0 +
+ 2£гя/, a k\ и kz — целые. Лишь на одной вещественной
прямой, проходящей через z = 0, именно, на прямой
/о = {z = /£0}, где С0—((1 - 0 А (1 + /)/2), лежит бес-
конечно много точек Е, причем в них f = 0. Так как
hf (£°) = 1/2, то при ^ = 5°в (34) существует лишь
верхний предел. Но нетрудно убедиться, что точки Е (] /0
можно покрыть шарами, объединение которых имеет
нулевую относительную 1-меру, так, что вне этих шаров
в (34) достигается предел, равномерный по сфере Si.

270
Гл. V. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Таким образом, (33) является отображением
1-регулярного роста.
Пример 2. Отображение /: СЯ->СЛ
осуществляемое суммами экспонент с полиномиальными
показателями
М*)= I ер^{г\ v=l, '..., я, (36)
Ле/v
где /v — конечные наборы натуральных чисел, a Pkv —
полиномы, рассмотрено в работе П. В. Дегтяря [3]. Он
доказал, что в ситуации общего положения такие
отображения также имеют 1-регулярный рост 1

ДОБАВЛЕНИЕ
КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАБОТ
Здесь мы хотим кратко описать некоторые из
результатов многомерной теории распределения значений, не
вошедших в основной текст книги. Начнем с
голоморфных кривых — раздела, более всего связанного с
одномерной теорией и более всего разработанного.
Теории целых кривых /: С-^.С/1 посвящены работы
В. П. Петренко ([1] — [7]) и его учеников (В. И. Кру-
тинь [1], А. В. Крытов [1], В. А. Бабец [1] и др.).
В этих работах, в частности, вместо приближающей
функции rrif(Dt r), которая оценивает отклонение / от
гиперплоскости D в интегральной метрике, вводится
функция
LHAr)=ma_Xrln-l^lJ^l., (1)
оценивающая это отклонение в более сильной,
равномерной метрике (ае.С" — вектор, определяющий D как
гиперплоскость из Рп~1 в однородных координатах).
Вместо дефектов в смысле Неванлинны или Валирона тогда
появляется величина
fr(D)=\Jm±!&p-, (2)
которую В. П. Петренко назвал отклонением f от D.
Ясно, что неванлинновский дефект 8f(D)^P/(D), a
для кривых / конечного нижнего порядка доказывается,
что если валироновский дефект Af(D)=0, то и (Jf(D)=0.
Таким образом, проведенные В. П. Петренко и его
учениками исследования отклонений дают информацию и
о дефектах голоморфных кривых.
Голоморфные кривые связаны с алгеброидными
функциями, т. е. многозначными аналитическими
функциями одного переменного г, определяемыми
полиномиальными относительно w уравнениями
M*)™njr ••• +Л»(*)«0 (3)

272 ДОБАВЛЕНИЕ. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАБОТ
с целыми коэффициентами Л/ — с каждой такой
функцией ассоциируется голоморфная кривая [Л0, ..., Ап]:
ICX-*- Рп. На основе этой связи В. П. Петренко
установил ряд свойств алгеброидных функций. Свои
результаты он применил также для изучения асимптотики
решений линейных дифференциальных уравнений п-то
порядка с целыми коэффициентами и алгеброидных
решений алгебраических дифференциальных уравнений.
С этими исследованиями можно ознакомиться по
работам В. П. Петренко [6] —[7].
В работе Е. И. Ночки приводится соотношение
дефектов для голоморфных кривых f: D;-+Pn с учетом
кратности и вырождения. Говорят, что / пересекает
гиперплоскость D = {[w]е Рл; a0wo + ... + anwn = 0}
с кратностью v, если все нули функции fr> = (/, а) имеют
порядки >vh есть хотя бы один нуль порядка v (если
f(Ci)czD или f(C)f\D = 0, то считается v = oo).
Кривая / называется k-невырожденной, если /(С)
содержится в некотором А-мерном подпространстве Рп и не
содержится в подпространствах меньшей размерности.
Тогда справедлива
Теорема. Пусть задана k-невырожденная кривая
f:'£*-+ Рп и q гиперплоскостей DjczPn в общем поло*
жении. Если f пересекает каждую D/ с кратностью v/, то
£(l-A)<2/i-*+l. (4)
/«1
Из этой теоремы Е. И. Ночка вывел оценки степени
вырождения голоморфных кривых, в частности полного
вырождения: если в Ря задано q > 2л гиперплоскостей
в общем положении и q чисел V/ таких, что 2 0—-fl/v/)>
>я+ 1, то не существует отличной от постоянной ме-
роморфной кривой /: Gj->Pn, пересекающей каждую
Dj с кратностью ^v/. Это же условие обеспечивает
нормальность семейства голоморфных кривых в круге
{|г|< 1} —обобщение классической теоремы Шоттки —
Монтеля.
Еще в тридцатых годах Э. Картан высказал гипотезу
о том, что сумма неванлинновских дефектов б/ф/)
гиперплоскостей в общем положении для А-невырожден-

ДОБАВЛЕНИЕ. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАБОТ 273
ных голоморфных кривых /: Ю]-> Рл оценивается той же
величиной 2п — k+l, что стоит в (4) справа*).
Недавно Чен-хан Сунь [1] объявил, что он доказал эту
гипотезу. В работах Ногуси [2] и Охиаи [2J приводятся
оценки дефектов для голоморфных кривых не в РЛ, а в
некоторых алгебраических многообразиях.
Для голоморфных отображений, сохраняющих
размерность, соотношение дефектов с учетом кратности
ранее получил Ф. Сакаи [1J. Именно, если
невырожденное голоморфное отображение /: <С/*-> Рл пересекает
гиперплоскости в общем положении D\ с кратностями
^v/ (/=1, ..., q) (определение см. в гл. I), то
£(1--57)<Л+1- (5>
/-1
При п = 1 это неравенство хорошо известно (см.,
например, Хейман [1], стр. 77); в частности, при п = 1 из
него следует, что может быть не более четырех
разветвленных значений, для которых v/ ^ 2, а если их четыре,
то для каждого из них v/ = 2 (этот случай доставляет
эллиптическая функция Щ).
Свою теорему Сакаи применяет к функциональному
уравнению
/Mz)=*;i+ ... +*uv-i, (б)
где v = (vi, ..., vrt+i) — набор натуральных чисел: он
доказывает, что не существует невырожденного
голоморфного отображения JC/* в гиперповерхность Ау =
— {геС**1: Л,(2)=1}, если 1/vi + ... + l/v^i < 1.
В самом деле, если бы такое отображение /
существовало, то g = (fVil, ...» /n+V) было бы невырожденным
отображением О в гиперплоскость H={w\+ ...
... + ^л+1 = U01 iCP4"1, биголоморфно эквивалентную
*) Конечно, ^-невырожденную кривую в Рп можно
рассматривать как невырожденную кривую в М. Однако воспользоваться
соотношением дефектов для невырожденных кривых и заменить
2п — k + 1 на k + 1 нельзя, ибо пересечения D/ Г) Р* могут не быть
в общем положении.

274 ДОБАВЛЕНИЕ. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАБОТ
С.я. Оно, очевидно, пересекает гиперплоскости Я/ =
= {w&H: Wj = 0} с кратностями ^v/ (/=1, ...
..., п+ 1) и, кроме того, выпускает бесконечную
гиперплоскость #оо= РЛ\'СЛ. Поэтому сумма в левой части
(5) равна п + 2 — (1/vi + ... + l/v*i+i)', что в силу
принятого условия на V/ больше п+ 1. Полученное
противоречие с (5) и доказывает утверждение.
Заметим, что при я = 1 результат точный: функции
fl (z) = cos z, f2{z) = sin г осуществляют невырожденное
голоморфное отображение Q в поверхность {г е С2: г? +
+ 22=l}— здесь сумма 1/v/ равна 1. Аналогичный
результат для голоморфных кривых был ранее получен
Фудзимото [2]: если l/vi+ ... + l/vw+i < 1/п, то при
отображении /: Ю-^А, образ f(C) лежит в некотором
подмногообразии Av.
Ряд работ, главным образом японских математиков,
посвящен многомерному обобщению известной теоремы
Эдрея и Фукса о мероморфных функциях с
максимальной суммой дефектов. Особенно просто формулируется
результат Мори [1] для случая кривых: пусть даны
невырожденная голоморфная кривая /: С-*-Рл конечного
порядка р и q > п гиперплоскостей Djcz Pn в общем
положении, ord Nf(Dj, r)<p; тогда, если сумма
дефектов
£6f(D7) = n + l (7)
/-1
(максимальна), то порядок р — целое число. В работе
Мори [2] дано обобщение этого результата на
голоморфные отображения О в компактные комплексные
многообразия, над которыми заданы положительные
линейные расслоения. В более ранней работе Ногуси
[1] аналогичный результат получен для голоморфных
отображений в комплексное проективное
пространство.
Остановимся теперь на проблеме единственности
голоморфных отображений. Согласно классическому
результату Р. Неванлинны (см., например, Хейман [1].
стр. 81) две непостоянные мероморфные функции / и g
совпадают, если они имеют одинаковые (без учета крат-

ДОБАВЛЕНИЕ. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАБОТ 275
ности) прообразы пяти различных точек а/ е С. (В
общем случае число 5 нельзя заменить на 4, как показывает
пример функций f(z)=ez, g(z)=e~* и точек 0, оо, ±1.)
Многомерный вариант этой теоремы для отображений
Ст->РЛ получил Фудзимото ([2], [3]): если для двух
таких отображений fug совпадают (с учетом
кратности) прообразы q = Зп + 2 гиперплоскостей D/ в общем
положении, причем хотя бы одно из этих отображений
невырождено, а образы С™ при обоих не принадлежат
D/, то / is g. Если дополнительно предположить, что /
и g алгебраически независимы, то можно считать q =
= 2п + 3.
Для отображений, сохраняющих размерность, лучший
результат получил Друайе [1]: если / и g — два
невырожденных голоморфных отображения О1 в Рп и для
некоторой гиперповерхности D cz Pп с
самопересечениями общего положения и степени q = n + 4 (в
частности, п + 4 гиперплоскостей общего положения)
прообразы f~l(D) и g~l(D) совпадают как множества (без
учета кратности), причем f\riiD) — 8\g-i(D)f то /===#.
Для мероморфных функций в Cw, как и для функций
одного переменного, достаточно совпадение прообразов
пяти точек й/gC (см. А. Садуллаев и П. В. Дегтярь
[1]). Известно, что "для рациональных функций в 'С:
достаточно совпадения прообразов четырех точек
(точность оценки подтверждается примером функций
(z2 — z+l)/z и (z2 — z+ \)/z2 с одинаковыми
прообразами 0, 1 и оо), а для полиномов — двух точек. Этот
результат Е. И. Ночка [1] распространил на функции,
рациональные на алгебраических многообразиях.
В цитированной работе Садуллаева и Дегтяря
доказано также, что для голоморфных отображений f: !Gm->-
--> Рп множество дивизоров приближения {D cz Pn:
lim ntf(D, г) =оо} имеет внутреннюю Р-емкость 0 и
Г->00
получено обобщение второй основной теоремы на меро-
морфные в С/* функции, в котором вместо распределения
прообразов постоянных а/ е О рассматривается
распределение множеств {2G.Cm: f(z)= af(z)}> где aj — меро-
морфные функции, растущие медленно в сравнении с
f- Tai<r)-o(Tf{r)).

276 ДОБАВЛЕНИЕ. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАБОТ
Изложенная в основном тексте теория распределения
значений голоморфных отображений без особых
затруднений переносится на мероморфные отображения. Так
называется отображение f комплексных многообразий
А и М, если существует аналитическое подмножество
SczA коразмерности не ниже 2 (множество
неопределенности f) такое, что /: A\S-+M — голоморфное
отображение и замыкание в АУ^М графика {(г, f(z)):
z^A\S}— аналитическое подмножество АУ^М.
Распространение на мероморфные отображения результатов
Гриффитса и Кинга (в тех же предположениях о
многообразиях и дивизорах) можно найти в работе Б. Шиф-
фман [3].
Далее, в основном тексте мы изложили вторую
основную теорему и соотношение дефектов для отображений,
сохраняющих размерность. Описанный метод без труда
распространяется на отображения f: A-+M,
понижающие размерность; здесь А — аффинное m-мерное, а М —
компактное n-мерное алгебраические многообразия и
т^п. Для такого распространения достаточно
рассмотреть вместо М многообразие МХСт"л и продолжить
/ тождественным отображением по новым координатам,
т. е. заменить f отображением J = (/, z\ о я, ..., zm-n ° п)\
где л: А-+Ст — собственная проекция. Подробности
см. в работах Ф. Гриффите и Дж. Кинг [1] или Б. Шиф-
фман [3].
На отображения, повышающие размерность,
рассматриваемый метод не распространяется. Заметим, что еще
в 50-х гг. В. Штолль [1] доказал вторую основную
теорему и соотношение дефектов для голоморфных
отображений f: 'Ст->-Рл и прообразов гиперплоскостей в
любых размерностях тип. Однако его доказательство
очень сложно (работа занимает 160 стр. в Acta
mathematical и недавно А. Виттер [1] нашел существенно
более простой подход к этим результатам. Его метод
основан на обобщении на мероморфные функции
нескольких переменных леммы о логарифмической
производной, с помощью которой Р. Неванлинна доказывал
свою классическую вторую основную теорему: пусть f ==*
==[fo, fi]: 5Cm->- P1 — мероморфная функция, тогда для
любого /=1, ..., т и любого г>0, кроме не более
чем счетного объединения интервалов конечной общей

ДОБАВЛЕНИЕ. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАБОТ 277
ДЛИНЫ,
[ 1п+
JL\ If dh f df" \
In+
j m jm шпu^
<a, + a2 In r + a3 In 7> (r), (8)
где fli, аг и аз — постоянные.
В случае отображений, повышающих размерность,
дальнейшее доказательство Виттер ведет по схеме,
обобщающей раннее доказательство А. Картана [1], который
примерно за десять лет до Альфорса рассмотрел случай
мероморфных кривых. На этом пути Виттер получает
вторую основную теорему для невырожденных
мероморфных отображений /: Ст-> Рп при произвольных т
и п: для любых д ^ п + 1 гиперплоскостей Dj с Рп в
общем положении и любых г ^ О, кроме не более чем
счетного объединения интервалов конечной общей
длины,
£Nt(Dh r)>(q-n-l)T,(r) + N(S9 r)~bx\nr-b2,
(9)
где S — дивизор стационарности, аМ Ъъ — постоянные
(ср. с формулой (33) § 5). Отсюда в случае любых
размерностей стандартным образом получается обычное
соотношение дефектов: сумма дефектов Ь\ (Df)
гиперплоскостей в общем положении не превосходит л+ 1.
Заметим, еще, что в работе Гриффитса и Кинга [1]
имеется обобщение понятия логарифмической
производной на голоморфные отображения. Пусть М —
комплексное n-мерное многообразие и Q — мероморфная (п, 0)-
форма на нем, полярный дивизор D которой имеет
самопересечения общего положения. (В случае М = Рп с
однородными координатами [Wo, ..., Wn] и аффинными
координатами (w\f ..., wn) можно принять
0-»,.|. *я t (- WW л ...

278 ДОБАВЛЕНИЕ. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАБОТ
Для голоморфного отображения /: 1С]п-+М прообраз
f*(Q) = Xf(z)dz\ A ... Adzn и величина
vf(r)-J ln+|Af|cr (10)
заменяет интеграл, участвующий в лемме о
логарифмической производной (для отображений /: 'С->- 1 имеем,
очевидно, %f(z) = f'(z)/f(z)). Для этой величины в
работе Гриффитса и Кинга [1], стр. 81, получена оценка,
правда, более слабая, чем (9).
В случае криволинейных дивизоров соотношение
дефектов для отображений, повышающих размерность,
разработано еще недостаточно, один из первых
результатов в этом направлении принадлежит Б. Шиффману
'[4]. Пусть в Р" заданы q различных неприводимых
гиперповерхностей D/, определяемых однородными
полиномами степени р; предполагается еще, что Df
пересекаются в общем положении, в частности, что через каждую
точку их проходит не более п. Отображение Веронезе
(см. И. Р. Шафаревич [1], стр. 63), осуществляемое
мономами степени р, вкладывает Рл в пространство Р^,
где N=( PJ —1, так, что образы D/ попадают на
гиперплоскости. Поэтому, рассматривая невырожденное
голоморфное отображение f:'Cim-*- Pn как отображение
в Р^ и используя соотношение дефектов для
гиперплоских дивизоров, мы получаем тривиальную оценку
/«1
Эта оценка, очевидно, не оптимальна. Оптимальной
оценкой суммы дефектов для непостоянных
голоморфных отображений /: Ст~^ Рл, по-видимому, является 2п
(см. правую часть (4) при &=1). Однако в работе
Б. Шиффмана [4] она доказана лишь для весьма
специального класса отображений.
В заключение укажем коротко на работы, в которых
голоморфность заменяется некоторыми метрико-тополо-
гическими условиями. Первое исследование в этом
направлении принадлежит Л. Альфорсу [1], построившему

ДОБАВЛЕНИЕ. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАБОТ 279
теорию поверхностей наложения — геометрического
аналога теории Неванлинны, — которая справедлива не
только для конформных, но и для более общих
квазиконформных отображений римановых поверхностей.
Некоторые результаты этой теории М.-Э. Шварц [1], [2];
распространила на многомерные вещественные
многообразия.
И. М. Дектярев [1] — [4] рассматривал отображения
открытых ориентируемых многообразий в компактные
римановы многообразия той же размерности, причем на
отображения накладывались условия, близкие к
квазиконформности. В частности, он получил достаточные
условия квазисюръективности таких отображений;
некоторые его результаты относятся к комплексным
многообразиям и голоморфным отображениям. Л. И. Рон-
кин [2] рассматривал многообразия смешанной
структуры— вещественно аналитические расслоения, слоями
которых являются комплексные прямые, над
вещественно аналитическими многообразиями. Такие
расслоения вещественно аналитически отображаются в
компактные комплексные многообразия, причем отображения
предполагаются голоморфными в каждом слое.
Получено обобщение на эту ситуацию первой основной
теоремы в форме Гриффитса и доказана теорема о
множестве дефектных дивизоров в смысле Валирона (см. п. 3
гл. V).

ЛИТЕРАТУРА
Агранович П. 3., РонкинЛ. И.
[1] О функциях вполне регулярного роста многих переменных.—
Препринт ФТИНТ АН УССР. Харьков. 1970/
Азарин В. С.
[1] О субгармонических функциях вполне регулярного роста в
многомерном пространстве. — Докл. АН СССР, 1962, 146, 4,
743—746.
Айзенберг Л. А., Южаков А. П.
[1] Интегральные представления и вычеты в многомерном
комплексном анализе. — Новосибирск: Наука, 1979.
Альфорс Л. (Ahlfors L.)
[ПК теории поверхностей наложения. — УМН, 1939, 6, 222—250.
[2] The theory of meromorphic curves.— Acta soc. sci. Fenn.,
Ser. A, 1941, 3, 3—31.
БабецВ. А.
[1] К вопросу о структуре исключительных множеств целых
кривых. — Матем. заметки, 1979, 26, 5, 769—779.
Бедфорд Э., Тейлор Б. (Bedford E., Taylor В. А.)
[1] The Dirichlet problem for a complex Monge— Ampere
equation. — Invent. Math., 1976, 37, 1—44.
Бишоп Э. (Bishop E.)
[1] Conditions for analiticity of certain sets. — Mich. maht. j., 1964,
11, 289—304.
Б л о x A. (Bloch A.)
[1] Sur les systemes de fonctions holomorphes a varietes lineaires.
— Ann. Ecole normale, 1926, 43, 309—362.
БорельЭ. (Borel E.)
[1] Sur les zeros des fonctions entieres. — Acta math., 1896, 20,
357—396.
БоттР., Чжень Шень-шень (Bott R., Chern S. S.)
[1] Hermitian vector bundles and the equidistribution of the zeroes
of their holomorphic sections. — Acta math., 1965, 114, 71—112.
Браун Л., ГотьеП. (Brown L., Gauthier P. M.)
[1] Equidistribution des valeurs d'une fonction analytique generique
sur un espace de Stein. — Enseign. math. 1974, 20, 205—214.
Буземан Г.
[1] Выпуклые поверхности. — М.: Наука, 1966.
Ван дер ВарденБ. Л.
[1] Алгебра. —М.: Наука, 1976.
ВейльГ., ВейльИ. (Weyl H., Weyl J.)
[1] Meromorphic functions and analytic curves. Princeton, 1943.

ЛИТЕРАТУРА
281
Виртингер В. (Wirtinger W.)
[1] Eine Determinantenidentitat und ihre Anwendung auf analy-
tische Gebilde in Euklidischer und Hermitescher Massbestim-
mung. — Monatsh. fur Math, und Physik, 1936, 44, 343—365.
ВиттерА. (Vitter A. L.)
[1] The lemma of the logarithmic derivative in several complex
variables. — Duke math, j., 1977, 44, 1, 89—104.
Витушкин А. Г.
[1] О многомерных вариациях. — M.: Гостехиздат, 1955.
Владимиров В. С.
[1] Методы теории функций многих комплексных переменных.—
М.: Наука, 1964.
В у X. (Hung-Hsi Wu)
[1] Remarks on the first main theorem of equidistribution theory.—
J. diff. geom., 1962, 1, 2, 197—202; 1968, 2, 2, 369—384; 1969,3,
3, 83-94; 1969, 4, 3, 433—446.
[2] A n-dimensional extension of Picards theorem. — Bull. Amer.
math, soc, 1969, 75, 1357—1361.
[3] Теория равнораспределения для голоморфных кривых. — М.;
Мир, 1973.
Ганнинг Р., Росси X.
[1] Аналитические функции многих комплексных переменных.—
М.: Мир, 1969.
Гольдберг А. А.
[1] Некоторые вопросы теории распределения значений. — В кн.:
В и т т и х Г. Новейшие исследования по однозначным
аналитическим функциям. — М.: Физматгиз, 1960, с. 263—300.
Гольдберг А. А., Островский И. В.
[1] Распределение значений мероморфных функций. — М.: Наука,
1970.
Готье П., Нго-Ван Куэ (Gauthier P. M., Ngo-Van Quo)
[1] Probleme de surjectivite des applications holomorphes. — Ann.
scuola norm, sup., Pisa, 1973, 27, 555—559.
Готье П., ХенгартнерН. (Gautheir P., Hengartner W.)
[1] The value distribution of most functions of one or several
complex variables. — Ann. of math., 1972, 96, 1, 31—52.
ГринМ. (Green M. L.)
[1] Holomorphic maps into complex projective space omitting hy-
perplanes. — Trans. Amer. math, soc, 1972, 169, 89—103.
[2] Some Picard theorems for holomorphic maps to algebraic varia-
ties. — Amer. j. math., 1975, 97, 43—75.
[3] Some examples and counter examples in value distribution
theory for several variables. — Compos, math., 1975, 30, 3, 317—
322.
[4] The hyperbolicity of the complement of 2n + 1 hyperplanes in
general position in Cn and related results. — Proc. Amer. math,
soc, 1977, 66, 1, 109—113.
Грин М., Карлсон Дж. (Green M., Carlson J.)
[1] A Picard theorem for holomorphic curves in the plane.— Duke
math. j. 1976, 43, 1, 1—9.

282
ЛИТЕРАТУРА
Гриффите Ф. (Griffiths Ph. A.)
[1] Hermitian differential geometry, Chern classes, and positive
vector bundles. — In: Global analysis, Univ. of Tokyo Press,
1969.
[2] Two extension theorems on holomorphie mappings. — Invent.
math., 1971, 14, 27—62.
[3] Function theory of finite order on algebraic varieties. — J. diff.
geom., 1972, 6, 285—306; 1972, 7, 45—66.
[4] Holomorphie mappings: survey of some results and discussion
of open problems.— Bull. Amer. Math. Soc., 1972, 78, 3, 374—
383.
[5] A Schottky — Landau theorem for holomorphie mappings in
several complex variables. Inst. naz. di alta math. Symp.
math, 1972, 10, 229—243.
[6] Голоморфные отображения в канонические алгебраические
многообразия. — Сб. перев. «Математика», 1974, 18, 1, 120—
137.
[7] Some remarks on Nevanlinna theory. — In; Value distribution
theory. —N. Y.: M. Dekker, 1974, pt. A, 1—11:
[8] Two results in the global theory of holomorphie mappings.
In: Contributions to analysis.—N. Y.: Acad. Press, 1974,169—183.
[9] On the Bezout problem for entire analytic sets.— Ann. of
math., 1974, 100, 3, 533—552.
[10] Entire holomorphie mappings in one and several complex
variables. — Ann. of math, studies, № 85. — Princeton, 1976.
Гриффите Ф., Карлсон Дж. (Carlson J. A., Griffiths Ph. A.
[1] A defect relation for holomorphie mappings between algebraic
varieties. — Ann. of Math. 1972, 95, 551—584.
[2] The order functions for entire holomorphie mappings. In: Value
distribution theory. —N. Y.: M. Dekker, 1974, pt. A, 225—248.
Гриффите Ф., КауэнМ. (Cowen M., Griffiths Ph. A.)
[1] Holomorphie curves and metrics of negative curvature. — J.
d'analyse Math., 1976, 29, 93—152.
Гриффите Ф., Кинг Дж.
[1] Теория Неванлинны и голоморфные отображения
алгебраических многообразий. — М.: Мир, 1976.
Гриффите Ф., Корнальба М. (Cornalba M., Griffiths Ph. A.)
[1] Analytic cycles and vector bundles on non-compact algebraic
varieties. — Invent, math., 1975, 28, 1—106.
Гриффите Ф., Харрис Дж. (Ph. Grifffiths, J. Harris)
[1] Principles of algebraic geometry —New York: J. Wiley, 1978.
Громол Д.ДлингенбергВ., МейерВ.
[1] Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971.
Г р у м е н Л. (Gruman L.)
[1] Entire functions of several variables and their asymptotic
growth. Ark. for math., 1971, 9, 1, 141—163.
[2] Generalized and Nevanlinna classes. — Ark. for math., 1976, 14,
1, 65—78.
[3] The area of analytic varieties in Cn. — Math, scand., 1977, 41,
2, 365—397.
[4] Value distribution for holomorphie mappings in Crt, — Math.
Ann, 1979, 245, 3, 199—218.

ЛИТЕРАТУРА
283
ДегтярьП. В.
[1] Асимптотика функций порядка голоморфных отображений.—
Докл. АН УзССР, 1979, 10, 3—5.
[2] Асимптотическое поведение характеристической функции
голоморфного отображения. — Матем. заметки, 1980, 28, 5,
717—727.
[3] Теорема типа Сохоцкого и неравенство Безу для некоторых
классов голоморфных отображений. — Докл. АН УзССР, 1981,
3, 3—5.
[4] Некоторые вопросы теории распределения значений
голоморфных отображений и комплексные вариации. — Матем. сб.,
1981, 115(157), 2(6), 307—318.
Дектярев И. М.
[1] Распределение значений при отображении многообразий.—
Матем. сб., 1969, 78(120), 1, 124—128.
[2] Общая первая основная теорема распределения значений. —
Докл. АН СССР, 1970, 193, 4, 518—520.
[3] Вопросы распределения значений в размерностях больших
единицы. — УМН, 1970, 25, 6, 53—84.
[4] Структура дефектных множеств в многомерной теории
распределения значений. — Функц. анализ, 1972, 6, 3, 32—40.
[5] Параболические отображения дифференцируемых
многообразий.—Функц. анализ., 1979, 13, 4, 67—68.
Дрейпер Р. Н. (Draper R. N.)
[1] Intersection theory in analytic geometry. — Math. Ann. 1969,
180, 3. 175—204.
Д р у а й e C. (Drouilhet S. J.)
[lj A unicity theorem for equidimensional holomorphic maps.—
Proc. of Symp. in pure math., 1977, 30, pt. 2, 237—238.
Иванов Л. Д.
[1] Вариации множеств и функций. — М.: Наука, 1975.
Казарновский Б. Я.
[1] О нулях экспоненциальных сумм.— Докл. АН СССР, 1981,
257, 4, 804—808.
Карлсон Дж. (Carlson J. A.)
[1] Some degeneracy theorems for entire functions with values in
algebraic variety. — Trans. Amer. math, soc, 1972, 168, 273—
301.
[2] A remark on transcendental Bezout problem. — In: Value
distribution theory. —N. Y.: M. Dekker, 1974, pt. A, 133—146.
[3] A moving lemma for the transcendental Bezout problem. — Ann.
of math., 1976, 103, 305—330.
[4] A result on the value distribution of holomorphic maps.—
Proc. of Symp. in pure math., 1977, 30, pt. 2, 225—227.
К а р т а н А. (С а г t a n H.)
[1] Sur les systemes de fonctions holomorphes a varietes lacunaires
et leurs applications. — Ann. Ecole normale, 1928, 45, 255—346.
[2] Sur les zeros de combinaisons lineaires de p fonctions don-
nees.- Mathematica (Cluj), 1939, 7, 5—33.
К а у е н М. (Cowen M.)
[1] Hermitian vector bundles and value distribution for Schubert
cycles. — Trans. Amer. math, soc, 1973, 180, 189—228,

284 ЛИТЕРАТУРА
Кинг Дж. (King J.)
[1] The currents defined by analytic varieties. — Acta math., 1981,
127, 185—220.
Киоси H. (Niino Kiyoshi)
[1] Deficiencies of the associated curves of a holomorphic curve in
the projective space. — Proc. Amer. math., soc, 1976, 59, 1,
81—88.
К и р н а н П. (Kiernan P.)
[1] Hyperbolically imbedded space» and the big Picard theorem.—
Math. Ann., 1973, 204, 3, 203—209.
Кирнан П., Кобаяси С. (Kiernan P., Kobayashi S.)
[1] Holomorphic mappings into projective space with laeunary
hyperplanes. — Nagoya math, j., 1973, 50, 199—216.
К н е з e p X. (Kneser H.)
[1] Zur Theory der gebrochenen Funktionen mehrerer Verandli-
chen. —Jahresber. Dt. math. Verein, 1938, 48, 1—28.
Кобаяси С. (Kobayashi S.)
[1] Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings. —N. Y.:
M. Dekker, 1970.
[2] Intrinsic distance, measures and geometric function theory.—
Bull. Amer. math, soc, 1976, 82, 3, 357—416.
Кобаяси С, ОхиаиТ. (Kobayashi S., Ochiai T.)
[1] Mappings into compact complex manifolds with negative first
Chern class. —J. Math. soc. Jap., 1971, 23, 137—148.
[2] Meromorphic mappings onto compact complex spaces of
general type. — Invent, math., 1975, 31, 1, 7—16.
Кодаира К. (Kodaira К.)
[1] Holomorphic mappings of polydiscs into compact complex
manifolds.—J. diff. geom., 1971, 6, 33—46.
Корнальба М., Шиффман Б. (Cornalba M„ Shiffтад В.)
[1] A counterexample to the «Transcendental Bezout problem»,—
Ann. of math., 1972, 96, 402—406.
Крутинь В. И.
[1] О величинах положительных отклонений и величинах
дефектов целых кривых конечного нижнего порядка. — Изв. АН
СССР, сер. матем., 1978, 42, 5, 1021—1049.
К р ы т о в А. В.
[1] О дефектах целых кривых конечного нижнего порядка. — Укр.
матем. журн., 1979, 31, 3, 273—278.
ЛандкофН. С.
[1] Основы современной теории потенциала. — М.: Наука, 1966,
Левин Б. Я.
[1] Распределение корней целых функций. — М.: ОНТИ, 1936.
Левин Г. (Levine H.)
[1] A theorem on holomorphic mappings into complex projective
space. —Ann. of math. 1960, 71, 2, 529—535.
Л е л о, н П. (belong P.)
[1] Integration sur un ensemble analytique complexe. — Bull. Soc.
math, de France, 1957, 85, 239—362.
[2] Fonctions entieres (n variables) et fonctions plurisousharmoni-
que* d'ordre fini dans Cn.—J. analyse math., 1964, 12,365—407.

ЛИТЕРАТУРА 285
[3] Fonctions plurisousharmoniques et formes differentielles
positive. — Gordon and Breach, 1968.
Малявен П. (Malliavin P.)
[1] Fonctions de Green d'un ouvert strictement pseudoconvexe et
classe de Nevanlinna. — C. — R. Acad., sci. Paris, Ser. A-B,
1974, 278, 141—144.
[2] Travaux de H. Scoda sur la classe de Nevanlinna. — Lect. notes
in math., Springer, 1978, 677, 201—217.
Мальцев А. И.
[1] Основы линейной алгебры. — Мл Наука, 1970.
Мамфорд Д.
[1] Алгебраическая геометрия. I. Комплексные проективные
многообразия. — М.: Мир, 1979.
Мори С. (Mori Seiki)
[1] Holomorphic curves with maximal deficiency sum. — Kodai
math, j., 1979, 2, 1, 116—122.
[2] The deficiencies and the order of holomorphic mappings of Cn
into a compact complex manifold. — Tohoku math, j., 1979, 31,
3, 285—291.
Неванлинна Р.
[1] Однозначные аналитические функции. — M. — Л.: Гостехиздат,
1941.
Н о г у с и (Noguchi J.)
[1] A relation between order and defects of meromorphic mappings
of Cn into PN(C). — Nagoya math, j., 1975, 59, 97—106.
[2] Holomorphic curves in algebraic varieties. — Hiroshima math.
j., 1977, 7, 833—853.
H о ч к а Е. И.
[1] Теоремы единственности для рациональных функций на
алгебраических многообразиях. — Изв. АН Молд. ССР, сер. физ.-
техн. и матем. наук, 1979, 3, 27—31.
О х и а и Т. (Ochiai Т.)
[1] Some remarks on the relation of holomorphic curves. — Osaka
j. math., 1974, 11, 483—501.
[2] On holomorphic curves in algebraic varieties with ample
irregularity. — Invent, math., 1977, 43, 1, 83—96.
ПаиИ. (Pan I.)
[1] Analytic sets of finite order. —Math. Z., 1970, 116, 271—299.
Петренко В. П.
[1] О величинах отклонений целых кривых нижнего порядка
Я < 1. —Докл. АН СССР, 1972, 207, 3, 538—540.
[2] О распределении значений некоторых классов целых функций
многих комплексных переменных. — Докл. АН СССР, 1975,
223, 1, 46—48.
[3] Рост целых кривых конечного нижнего порядка. — Матем. сб.
1975, 97 (139), 4, 469—492.
[4] О связи между величинами отклонений и дефектов в смысле
Ж- Валирона для целых кривых и переменных
поливекторов.—Изв. АН СССР, сер. матем., 1976, 40, 2, 326—337.
[5] О структуре исключительных множеств целых кривых.— Изв.
АН СССР, сер. матем. 1977, 41, 2, 352—368.
[6] Рост мероморфных функций, — Харьков; Вища школа, 1978.

286
ЛИТЕРАТУРА
[7] О росте и распределении значений алгеброидных функций.—
Матем. заметки, 1979, 26, 4, 513—522.
Привалов И. И.
[1] Граничные свойства аналитических функций. — М. — Л.: Гос-
техиздат, 1950.
РаботинВ. В.
[1] Конечность числа голоморфных отображений в некоторые
алгебраические многообразия. — В сб.: Некоторые вопросы
многомерного комплексного анализа. — Красноярск, 1980.
Ронкин Л. И.
[1] Введение в теорию целых функций многих переменных. — М.:
Наука, 1971.
[2] О дефектных дивизорах голоморфных отображений. Препринт
ФТИНТ АН УССР. Харьков, 1979.
Садуллаев А.
[1] Критерии алгебраичности аналитических множеств. — Функц.
анализ и его прилож., 1972, 6, 1, 85—86.
[2] Дефектные девизоры в смысле Валирона. — Матем. сб., 1979,
108 (150), 4, 567—580.
[3] Оператор (ddeu)n и емкости конденсаторов. — Докл. АН СССР,
1980, 251, 1, 44—47.
Садуллаев А., ДегтярьП. В.
[I] Дивизоры приближения и некоторые другие вопросы
многомерной террии Неванлинны. — Докл. АН УзССР, 1980, 7.
С а к а и Ф. (Fumio Sakai)
[1] Degeneracy of holoraorphic maps with ramifications. Invent.
math. 1974, 26, 213—229.
[2] Kodaira dimension of compliments of divisors. — In: Complex
analysis and algebraic geometry, (Ded. to K. Kodaira).
—Cambridge, 1977, 239—258.
Сибони Н., Уонг П.-М. (Nessim Sibony, Pit-Mann Wong)
[1] Remarks on the Casorati — Weierstrass theorem. — Proc. of
Symp. in pure math., 1979, 35, pt. 2, 91—95.
T и (Thie P. R.)
[1] The area of analytic set in complex projective space. — Proc.
Amer. math, soc, 1969, 21, 553—554.
[2] The belong number of a complete intersection. Proc. Amer.
Math, soc, 1970, 24, 2, 319—323.
T о д а Н. (Toda N.)
[1] On the functional equation 2 a//^= 1. —Tohoku math, j.,
1971, 23, 289—299.
Фаворов С. Ю.
[1] О функциях класса В и их применениях в теории мероморф-
ных функций многих переменных. — Сб.: Теория функций,
функциональный анализ и их применения, вып. 20.— Харьков,
1974, 150—160.
[2] Об одном свойстве целых кривых. — Функц. анализ и его
прилож.— 1975, 9, 1, 87—88.
Фудзимото X. (Hurotaku Fudjimoto)
[1] Families of holomorphic maps into the projective space omitting
some hyperplanes. — J. Math. socs Japan, 1973, 25, 235—249.

ЛИТЕРАТУРА
287
[2] On meromorphic maps into complex projective space.— J. Math,
soc. Japan, 1974, 26, 272—280.
[3] The uniqueness problem of meromorphic maps into the complex
projective space. — Nagoya math, j., 1975, 52, 1—23.
[4] Remarks to the uniqueness problem of meromorphic maps into
P»(C). I—III.— Nagoya Math. J., 1978, 71, 18—24, 25—41;
1979, 75, 71—85.
Харви Р.
[1] Голоморфные цепи и их границы. — М.: Мир, 1979.
X е й м а н У.
[1] Мероморфные функции. — М.: Мир, 1966.
X е н к и н Г. М.
[1] Решения с оценками уравнений Г. Леви и Пуанкаре — Лелона.
Построение функций класса Неванлинны с заданными нулями
в строго псевдовыпуклой области. — Докл. АН СССР, 1975,
224, 4, 771—774.
[2] Уравнение Г. Леви и анализ на псевдовыпуклых
многообразиях I. — Успехи матем. наук, 1977, 32, 3, 55—118.
[3] Уравнение Г. Леви и анализ на псевдовыпуклых
многообразиях, П.~ Матем. сб., 1976, 102, 1, 71—108.
Хиронака X.
[1J Разрешение особенностей алгебраических многообразий над
полями характеристики нуль. — Сб. перев. «Математика»,
1965, 9, 6, 2—70; 1966, 10, 1, 3—28; 1966, 10, 2, 3—58.
Хиршфельдер И. (Hirschfelder J.)
[1] On Wu's form on the first main theorem of value
distributions. — Proc. Amer. math, soc, 1969, 23, 3, 548—554.
[2] The first main theorem of value distribution in several
variables.—Invent, math., 1969, 8, 1—33.
[3] Holomorphic curves in the plane.— In: Diff. geometry. In
honor of K. Yano —Tokyo, 1972, 72—94.
Чен-Хан Сунь (Shen-Han Sung)
[1] Defect relations of holomorphic curves and their associated
curves in CP\ — Lecture notes in math., Springer, 1979, 747,
398—404.
Чжень Шен-Шень (Shiing-Shen Chern)
[1] On holomorphic mappings of Hermitian manifolds of the same
dimension. — Proc. Symp. in pure math., 1958, 11, 157—170.
[2] The integrated form of the first main theorem for complex
mappings in several variables. — Ann. of math., 1960, 71, 536—
651.
Чирка Е. M.
[1] Потоки и некоторые их применения. — В кн.: Харви Р. [1].
Шафаревич И. Р.
[1] Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.
Шварц М.-Э. (Schwartz М. Н.)
[1] Formules apparentees a la formule de Gauss —Bonnet pour
certaines applications d'une variete a n dimensions dans une
autre. —Acta math., 1954, 91, 189—244.
[2] Formules apparentees a celles de Nevanlinna — Ahlfors pour
certaines applications d'une variete n dimensions dans une
autre. —Bull. Soc, math. France, 1954, 82, 317—360.

288
ЛИТЕРАТУРА
Шиффер М., Спенсер Д.
[1] Функционалы на конечных римановых поверхностях. — М.;
ИЛ, 1957.
Шиффман Б. (Shiffman В.)
[1] Extension of positive line bundles and meromorphic maps.
Invent, math. 1972, 15, 332—347.
[2] Applications of geometric measure theory to value distribution
theory for meromorphic maps. — In: Value distribution theory.—
N. Y.: M. Dekker, 1974, pt A, 63—95.
[3] Nevanlinna defect relations for singular divisors. — Invent.
math., 1975, 31, 155—182.
[4] On holomorphic curves and meromorphic maps in projective
space. — Indiana univ. math, j., 1979, 28, 4, 627—641.
Шкода A. (Skoda H.)
[1] Sous-ensembles analytiques d'ordre fini ou infini dans Cn.—
Bull. Soc. math. France, 1972, 100, p. 353—408.
[2] Valeurs au bord pour les solutions de Toperateur d" et caracte-
risation des zeros des fonctions de la classe de Nevanlinna. —
Bull. Soc. math. France, 1976, 104, 225—299.
Штолль B. (Stoll W.)
[1] Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Funktio-
nen mehrerer komplexen Verandrlichen. I—II. — Acta math.,
1953, 90, 1—115; 1954, 92, 55—169.
[2] The growth of the area of a transcendental analytic set.
I—II. — Math. Ann., 1964, 156, 47—98, 144—170.
[3] The multiplicity of a holomorphic map.— Invent, math., 1966,
2, 15—58.
[4] A general first main theorem .of value distribution. — Acta
math., 1967, 118, 111—191.
[5] About value distribution of holomorphic maps into projective
space. —Acta math., 1969, 123, 83—114.
[6] A Bezout estimate for complete intersections. — Ann. of math.,
1972, 96, 2 361—401.
[7] Holomorphic functions of finite order in several variables,—
Regional conf. series in math, CBMS, 1974, 21.
[8] Value distribution on parabolic spaces. — Lecture notes in math.,
Spriger, 1977, 600.
[9] Aspects of value distribution theory in several complex
variables.—Bull. Amer. math, soc, 1977, 83, 2, 166—183.
Штольценберг Г. (Stoltzenberg G.) '
[1] Volume, limits and analytic sets. — Springer, 1966.
Яо Шиндун (Shing-Tung Yau)
[1] Intrinsic measures of compact complex manifolds. — Math. Ann., i
1975, 212, 4, 317—329. J