/
Автор: Баренблатт Г.И.
Теги: разреженные газы физика вакуума физика механика механика сплошных сред теория волн
Год: 1970
Текст
НЕЛИНЕЙНАЯ
ТЕОРИЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ВОЛН
ПЕРЕВОД
С АНГЛИЙСКОГО
Под редакцией
Г. И. БАРЕНБЛАТТА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1970
УДК 533.5
Книга представляет собой перевод материалов дискуссии по
нелинейной теории распространения волн, проведенной Лондон-
Лондонским королевским обществом по инициативе известного ученого
М, Лайтхилла. В ней содержатся глубокие обзорные статьи, на-
написанные крупнейшими учеными-механиками (Лайтхиллом, Уизе-
мом, Сафменом, Филлипсом, Бенджаменом и др.) и посвященные
новым методам, проблемам и результатам нелинейной теории
распространеяия волн. Эти работы имеют выдающееся значение
для общей теории нелинейных явлений в сплошных средах.
Книга предназначена для научных работников в области
механики сплошных сред и инженеров-исследователей. Она ока-
окажется полезной также аспирантам и студентам соответствую-
соответствующих специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-4-2
31-/0
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Проблема нелинейных гравитационных волн — традицион-
традиционная проблема в исследованиях советских ученых-механиков;
труды А. И. Некрасов'а '), Н. Е. Кочина 2), М. А. Лаврентьева3),
Л. Н. Сретенского 4)^и их многочисленных последователей внес-
внесли фундаментальный вклад в классическую линию развития не-
нелинейной теории волн. Дискуссия в Лондонском королевском
обществе, материалы которой предлагаются вниманию читателя
в русском переводе, была посвящена новым методам в нелиней-
нелинейной теории распространения волн, развитым в течение послед-
последних нескольких лет в основном трудами английских ученых.
Вряд ли есть необходимость что-либо добавить к той яркой ха-
характеристике перспектив применения этих новых методов, кото-
которая дана во вступительной и заключительной статьях органи-
организатора дискуссии профессора М. Дж. Лайтхилла. Эти методы
уже оказались полезными в ряде задач физики сплошных сред,
даже весьма далеких от породившей их теории волн. По-види-
По-видимому, они могут существенно облегчить исследование вопросов
автоколебаний в сплошных средах и, в частности, актуальных
задач автоколебаний вязкой и вязко-упругой жидкостей.
В настоящем сборнике вместе с материалами упомянутой
дискуссии по предложению профессора М. Дж. Лайтхилла по-
') Некрасов А. И., Точная теория волн установившегося вида на по-
поверхности тяжелой жидкости, Изд. АН СССР, М., 1951.
2) К о ч и н Н. Е., Точное определение установившихся волн конечной ам-
амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины, Собр.
соч., Изд. АН СССР, М. — Л., 1949.
3) Л а в р е н т ь е в М. А., До теории довгих хвиль, 36. Праць 1нст, Матем,
АН УССР, № 8 A946).
4) Сретенский Л. Н., Пространственная задача об определении уста-
установившихся волн конечной амплитуды, ДАН СССР, 89 A953), 25—29; Рас-
Распространение волн конечной амплитуды в круговом канале, Труды Морского
гидрофизического института АН СССР, т. 6, 1955, стр. 3—9 и др. работы.
6 От редактора перевода
мещены две статьи М. С. Хоува; они интересны с точки зрения
дальнейшего развития изложенных в ходе дискуссии идей.
Исчерпывающее изложение основных работ (до 1936 г.) по
нелинейным волнам классического направления как советских,
так и зарубежных авторов можно найти в книге Л. Н. Сретен-
Сретенского1). В лекциях В. И. Карпмана2) можно найти многочис-
многочисленные другие приложения идей, затронутых в настоящем сбор-
сборнике.
Г. И. Баренблатт
') С р е т е н с к и й Л. Н., Волновые движения идеальной жидкости,
ГИТТЛ, М., 1936.
2) Карпман В. И., Лекции по нелинейному распространению волн
в диспергирующих системах. Новосибирский государственный университет,
Новосибирск, 1967.
Вводные замечания
М. ДЖ. ЛАИТХИЛЛ
Настоящая дискуссия имеет своею целью суммировать, кон-
консолидировать и привести в единообразную систему совокупность
знаний в относительно новой области изучения механики волн,
области, в которой основные результаты получены на протяже-
протяжении последних шести лет. Эта деятельность, посвященная систе-
системам с дисперсией, представляет собой вторую фазу развития
нелинейной механики волн. Первая фаза, насчитывающая те-
теперь уже более ста лет своего существования, была связана с
рассмотрением изотропных волн без дисперсии, т. е. волн (по-
(подобных, например, звуковым волнам), для которых скорость
распространения малых возмущений не зависит ни от длины
волны, ни от направления распространения, хотя на большие
возмущения нелинейные эффекты и оказывают влияние. Эта
теория состоит из двух частей: общего исследования непрерыв-
непрерывного изменения формы волны, получающегося вследствие не-
нелинейных эффектов, и специального исследования разрывов (по-
(появляющихся в форме ударных волн) вместе с изучением вопроса
о том, как эти разрывы вписываются в непрерывные решения.
В этом предмете, оказывается, легко впасть в ошибку, ожи-
ожидая проявления нелинейных эффектов только в том случае, ко-
когда амплитуда колебаний давления составляет существенную
часть самого давления. Казалось бы на большом удалении от
мест, где возмущения велики, можно утверждать, что «волны
постепенно затухают и становятся уже достаточно малыми для
того, чтобы линейная теория распространения могла описывать
их дальнейшее развитие с несомненно достаточно полной точ-
точностью». Однако такое предположение было бы ошибочным:
малые нелинейные члены уравнений создают при распростране-
распространении на большие расстояния накапливающееся воздействие, влия-
влияние которого достаточно велико, и это утверждение остается
справедливым, даже если амплитуды волн затухают.
Этот результат оказался очень благоприятным примени-
применительно к сверхзвуковой авиации, поскольку импульс давления,
который прохождение сверхзвукового самолета вызывает на
8 М. Дж. Лайтхилл
поверхности земли, имел бы гораздо большую амплитуду, если
бы была применима чисто линейная теория, — а ведь «хлопки»
доставляют нам немало неприятностей и при нынешнем поло-
положении дел. К счастью, нелинейная теория, предсказывающая
меньшую амплитуду* дает результаты, находящиеся в превос-
превосходном согласии с опытом; в частности, интенсивность сверх-
сверхзвукового хлопка, вычисленная с ее помощью, была одним из
критических конструктивных ограничений в проектах самолетов
типа «Конкорд». Я испытываю определенную гордость за то, что
девятнадцать лет назад выбрал в качестве задачи для первого
по настоящему хорошего моего аспиранта определение импуль-
импульсов давления, передаваемых на большие расстояния телами, дви-
движущимися со сверхзвуковыми скоростями. В то время уже было
очевидно, что по той или иной причине окажется важным знать
ответ на этот вопрос, и события вполне подтвердили такую
точку зрения.
Аспирант, о котором идет речь, как вы знаете, успешно рас-
распутал эту задачу (Уизем, 1956), и для всех нас составляет боль-
большое удовольствие видеть его сегодня нашим первым докладчи-
докладчиком по вопросу о волнах в средах с дисперсией, представляю-
представляющему до сих пор большую трудность. Я полагаю, что пока еще
не вполне ясно, какова будет вся область практического прило-
приложения этих новых теорий (подобно тому как в 1947 г. это было
неясно в акустическом случае); частично это связано с тем, что
результаты новых теорий еще не отработаны на достаточно ши-
широком классе примеров. Несомненно, что некоторые из приме-
примеров, представленных на обсуждение, позволят прояснить потен-
потенциальные возможности новых теорий, но можно поручиться, что
эти теории будут иметь гораздо более широкое поле приложе-
приложений и большую пробивную силу, нежели сейчас можно обосно-
обоснованно предполагать. Может оказаться, в частности, что в очень
многих задачах, в которых мы теперь спокойно применяем ли-
линейную теорию (за неимением ничего лучшего), истинное пове-
поведение решений существенно иное.
Исторически и в развитии самой линейной теории имело ме-
место аналогичное отставание во времени между развитием мето-
методов для изотропных задач без дисперсии и построением соответ-
соответствующих обобщений на случай анизотропных волн с диспер-
дисперсией. Разумеется, даже в изотропном случае точные аналитиче-
аналитические методы позволяют провести, вычисления до конца только
тогда, когда формы границ и другие характеристики задач до-
достаточно просты. В более сложных условиях для определения
нормальных мод и сечений рассеяния целесообразнее применять
численные и вариационные методы, но эти методы эффективны
только для относительно низких частот.
Вводные замечания 9
Метод решения задач для случая высоких частот совсем
иной, его идея восходит к принципу Гюйгенса для среды без
дисперсии; в самом деле, в течение столетий приближение гео-
геометрической оптики (наряду с его различными ответвлениями,
такими, как метод ВКБ и «ползущие» моды в теневых зонах)
продолжало нести свою превосходную службу. Соответствую-
Соответствующее использование геометрической оптики и лучевого метода
в анизотропных средах с дисперсией было первоначально раз-
развито Гамильтоном в 1837 г. (хотя и не было подхвачено его со-
современниками); оно неявно содержится в принципе соответствия
квантовой механики. И лишь совсем недавно этот метод полу-
получил широкое распространение и приложение в задачах геофи-
геофизического и инженерного направлений, в частности в метеороло-
метеорологии, океанографии и магнитной гидродинамике [3].
Данная дискуссия частично посвящена проблемам обобщения
приближения геометрической оптики на нелинейный случай. Су-
Существенное предположение, лежащее в основе этого приближе-
приближения, заключается в том, что параметры, характеризующие вол-
волны, медленно меняются на расстояниях порядка длины волны.
Теория Уизема основана на том принципе, что если это измене-
изменение достаточно медленное, то локально волны должны хорошо
представляться плоскими периодическими волнами. На этой ди-
дискуссии у нас будет возможность обсудить очень интересные
следствия этого основного принципа теории Уизема, так же как
и проблему определения условий, в которых теория Уизема дает
вполне надежные результаты.
Я уверен, что этот принцип и определение диапазона его
применимости суть ключевые моменты исследования. Суще-
Существуют различные методы расчета, использующие этот принцип
(первоначальный метод Уизема, его более поздний и более об-
общий вариационный метод и, быть может, также и другие ме-
методы), однако значение всех этих методов должно зависеть от
того, насколько точно волновые системы в типичных ситуациях,
представляющих практический интерес, можно считать локаль-
локально плоскими и периодическими.
В остальных методах, которые будут обсуждаться, не ис-
используется приближение геометрической оптики, но делаются
другие предположения; в частности, обычно предполагают, что
амплитуды остаются ограниченными, а в некоторых случаях счи-
считают, что отклонения от начального состояния остаются малыми.
Именно на этой последней гипотезе основана теория, позволив-
позволившая Бенджамену получить совершенно сенсационный результат,
всесторонне подтвержденный опытами Фейра и состоящий в том,
что периодические волны Стокса на глубокой воде, доказатель-
доказательству существования которых так много математиков посвятили
10 М. Дж. Лайтхилл
свои многолетние усилия, представляют собой неустойчивую
конфигурацию.
Эта теория, которую доложит Бенджамен, является частным
случаем теории «резонансных взаимодействий», изучению кото-
которой профессор Филлипс посвятил свою основополагающую ра-
работу [5] еще шесть лет назад. Резонирующая пара волн, обра-
образующая при совместном действии силы тяжести и поверхно-
поверхностного натяжения, была обнаружена много ранее Уилтоном [7],
однако теория резонанса для теории собственно гравитационных
волн, существенно опирающаяся на резонансные триплеты, была
разработана только на протяжении последних шести лет. Фил-
Филлипс в своем сообщении даст описание как теории, так и экспе-
экспериментов в этой области, а Лонге-Хиггинс, также внесший очень
важный вклад в эту теорию [4], опишет другую, в некотором
смысле аналогичную работу, выполненную им совместно с Гил-
лом для теории волн Россби и планетарных волн в океане.
Теория резонанса уже нашла плодотворные применения для
исследования случайных ансамблей волн, находящихся в нели-
нелинейном взаимодействии между собой. Исследования этого типа
были начаты пионерской работой Фишмана, Кантровица и Пет-
чека [2] при обсуждении вопроса о том, может ли случайный
шум, производимый взаимодействующими между собой магни-
тогидродинамическими пакетами, внести существенный вклад в
энтропию бесстолкновительной плазмы в магнитном поле. Об-
Общее представление об ансамблях взаимодействующих случайных
волн дает Хассельман з своем сообщении; здесь особый инте-
интерес представляют его собственные недавние результаты и ре-
результаты Бинни и Сафмена [1]. Для выяснения этих вопросов
и других проблем нелинейной генерации и рассеяния волн Хас-
Хассельман использует идеи из физики твердого тела. Филлипс
дает описание недавних применений всей совокупности своих
методов к очень важным для геофизики проблемам внутренних
волн и их взаимодействий.
Насколько мне известно, несколько докладчиков предпола-
предполагают продемонстрировать согласованность между теорией Уизе-
ма для медленно меняющихся волновых цугов и различными
теориями, включающими резонансные взаимодействия, т. е. по-
показать согласованность условий, в которых приближения, лежа-
лежащие в основе теорий обоих типов, являются одновременно при-
применимыми. Более того, предметом этой дискуссии является наи-
наиболее ясное определение совокупности знаний в этой трудной
области исследований, а также ее взаимосвязей со всеми дру-
другими областями знаний — как прелюдия к быстрому расшире-
расширению работы в рассматриваемой области, которого можно, как
я полагаю, ожидать о ближайшем будущем. Важно будет также
Вводные замечания 11
определить пробелы в наших познаниях и, в особенности, те за-
задачи, для которых новая теория представляется наиболее пло-
плодотворной.
Имея это в виду в качестве конечной цели, я хотел бы сти-
«улировать самое широкое обсуждение представленного мате-
материала. Для такого обсуждения в программе Дискуссии отведено
много времени. Надеюсь, что различные вопросы и выступления
по ходу дискуссии будут способствовать успеху этого собрания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Веппеу О. Л., 5 а II т а п Р. О., Ргос. Цоу. Зое, А 289 A906), 301.
2. Р 1 8 Ь т а п Р. Л., К а п I г о чм I г А. К., Р е I 8 с Ь е к Н. Е., Яеч. МоЛ. РНуз.,
32 A960), 959. (См. русский перевод: сб. Механика, № з A961)
63—75.)
3. Ы 8 Ь I Ь П 1 М. 3., 3. 1пз(. МаНи Арр1., I A965), 1.
4. Ь о п е и е I - Н I е е 1 п в М. 5., У. РШй МесН., 12 A962), 321.
5. Р Ь 11 И р в О. М., 3. РШй МесН., 9 A960), 193.
6. \УЫ1Ьат О. В., 3. РЫМ МесН., 1 A956), 290.
7. \УП1оп 3. К., РНП. Ма§. F), 29 A915), 688.
Вариационные методы и их приложение
к волнам на воде
Д. Б. УИЗЕМ
В статье дается обзор различных применений вариационных методов п
теории нелинейных волн в средах с дисперсией, причем особое внимание уде-
уделяется применению этих методов для волн на воде. Сначала обсуждается ва-
вариационный принцип, соответствующий теории волн на воде; затем этот прин-
принцип используется для вывода длинноволновых приближений Буссинеска и
Кортевега — де Фриза. Кратко излагается теория резонансного почти линей-
линейного взаимодействия с использованием функции Лагранжа. После этого дает-
дается обзор предложенной автором теории медленно меняющихся цугов волн
и ее приложений к теории волн Стокса. Приводится также теория возмуще-
возмущений Льюка для медленно меняющихся цугов волн. Наконец показано, как
можно при помощи интегро-дифференциальных уравнений сформулировать
более общие дисперсионные соотношения; важное приложение этого подхода,
развитое с некоторым успехом, может помочь разрешить давно стоящие труд-
трудности в понимании опрокидывания волн на воде.
1. Вариационный принцип для волн на воде
Некоторым исследованиям по нелинейной теории волн можно
придать общую форму, если основные уравнения управляются
вариационным принципом
$ ах<Н = 0. A)
В то же время математические преобразования, которые при
других способах могут оказаться трудоемкими, становятся про-
простыми, если использовать «функцию Лагранжа» Ь. По-види-
По-видимому, для отыскания вариационных принципов, отвечающих
данной системе уравнений, не существует общего метода, отлич-
отличного от эмпирического подхода. Однако для многих важных
случаев такие вариационные принципы известны. Как это ни
странно, по-видимому, соответствующей вариационной форму-
формулировки для волн на воде в литературе до сих пор дано не было;
заведомо, она не является общеизвестной. Волны на воде пред-
представляют собой основной пример, рассмотренный в этой статье
в качестве типичного примера волн в средах с дисперсией. Пер-
Первые два раздела статьи содержат изложение соответствующего
вариационного принципа и приближений для длинных волн.
Вариационные методы и их приложение к волнам, на воде 13
Известно, что принцип Гамильтона, в котором функция Лаг-
ранжа I берется равной разности между кинетической энергией
и потенциальной, должен быть применим в гидродинамике, по-
поскольку вполне понятно, что жидкость можно рассматривать
как некоторую систему частиц. Однако прямая формулировка
принципа Гамильтона создает трудности в эйлеровом представ-
представлении, так что различные дополнительные условия должны вво-
вводиться при помощи множителей Лагранжа (см., например, Сер-
рин [9]).
По крайней мере для безвихревых волн на воде более удоб-
удобный вариационный принцип, свободный от дополнительных усло-
условий, представляется в виде A), где
Н (х, I)
{ (УФJ + 2}^ B)
Здесь у— вертикальная координата; х=(хьХг)—горизонталь-
х=(хьХг)—горизонтальная координата; ср(х, у,1)—потенциал скорости; у = Н(\,1)—
уравнение свободной поверхности; § — ускорение силы тяжести.
Вариации потенциала скорости ср внутри области течения приво-
приводят к уравнению
У2Ф = 0, C)
вариация Н дает условие для давления
Ф< + уО?ФJ + 2У = 0 при у = Н(х,г). D)
После нескольких интегрирований по частям вариация ср на сво-
свободной поверхности приводит к «естественному» граничному ус-
условию
Л< + Флг^лг, ~ Фя = 0 при у = Н(х,г). E)
Эта формулировка в явном виде была дана Льюком [7]. Бейт-
мен [1] указал некоторую форму, для которой функция B) яв-
является частным случаем, однако он не обратил внимания на то,
что условие на свободной поверхности (главное затруднение в
теории волн на воде) также следует из B).
Следует отметить, что, согласно принципу Гамильтона, функ-
функция Лагранжа равна
Н (х, I)
{} F)
Вариации этой функции дают уравнение Лапласа для течения,
однако они приводят к неверным граничным условиям на
14 Д. Б. Уизем
поверхности. Легко показать, что
(л + Ф А ~ Чу)]у-н "
л л л
- / ^ау+ъ / ф^ + жг / фф,^</-
О 0 0
За исключением дивергентного члена, все остальные члены
в последнем соотношении выражают закон сохранения массы.
Если ф представляет собой некоторое решение уравнений теории
волн на воде, то все эти остальные члены обращаются в нуль и
функция Ь\ будет отличаться от функции —И только дивергент-
дивергентным членом. Для теории, описанной в § 4, используется осред-
ненное значение Ь; поскольку среднее значение дивергентного
члена равно нулю, средние значения Ь и —Ь\ равны между собой.
2. Длинные волны
2.1. Уравнения Буссинеска. Приближения для длинных волн
можно получить путем разложения ф в степенной ряд по у. Ре-
Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее условию ду/ду=О
на дне у=0, имеет вид
Ф = / (х, 0 - у У2*2! (*. 0 + О (к%% G)
где к — типичная длина волны. При этом лагранжиан в B)
принимает вид
+ О (Н5/к5). (8)
Член, содержащий Л3, представляет собой дисперсионную по-
поправку к обычной теории мелкой воды. Вариационные уравне-
уравнения, соответствующие лагранжиану (8), дают два дифферен-
дифференциальных уравнения для функций /(х, I) и Л(х, I). В этой форме
уравнения довольно сложны, и, как оказывается, проще опери-
оперировать с величиной потенциала на поверхности, т.е. с величиной
вместо величины / — значения потенциала на дне.
С точностью до члена
Вариационные методы и их приложение к волнам на воде 15
который не отражается на формулировке вариационного прин-
принципа, поскольку он обращается в нуль после интегрирования,
имеем
< ■
= Н (р( + 1 Р2^ + ±ёН2-±к3 (У2РJ + О (Л5Д5). (9)
Вариационные уравнения, соответствующие этому лагран-
лагранжиану, суть
6Р: Л, + (й^ + V2 A №2Р) = О, A0)
6Л: Р( +1 РХ1 + §Н-~ ёН2 (У2РJ = 0. A1)
Производные высшего порядка дают дисперсионную поправ-
поправку к теории мелкой воды. Обычно считается достаточный иметь
линеаризованную форму для этих поправочных членов, т. е. ■
A2)
В этом случае считается малым не только параметр Ло/аЛ
но и амплитудный параметр а/И.о. Полностью линеаризованные
уравнения теории мелкой воды соответствуют условиям а/Н0-*0
и Ло/А, ->0 и могут быть записаны в следующем виде:
Н( + НоРх^ = 0, Р( + §Н = 0.
Уравнения A2) включают поправки следующего порядка ма-
малости по а/Но и Ло/аЛ
Другое представление можно получить, вводя вместо Р сред-
среднее значение ср по глубине. Среднее значение ЗГ дается соотно-
соотношением
ёГ = I - -]г Л2У2/ + О (Л4Д4) = Р + | Н2Ч2Р + О (Л4Д4),
поэтому вместо A2) получаем следующие уравнения:
А« + (А«Г*Де =0,
ЗГ + &\ + ёН 1Л2
' A3)
, = 0.
Из первого уравнения A3) получаем, что /г( = —Л0У2#" с точ-
точностью.до членов более высокого порядка малости, так что A3)
16 Д. Б. Уизем
можно переписать в эквивалентной форме:
, '*'_ A4)
Наконец, если ввести среднюю горизонтальную скорость
/[ = &~Х1, то можно записать
дН д {Н\]/)
+ —^г—= 0.
A5)
Эта система уравнений представляет собой систему, обычно на-
называемую уравнениями Буссинеска. Лагранжиан, соответствую-
соответствующий системе A4), имеет вид
2.2. Уравнение Кортевега — де Фриза. Кортевег и де Фриз [3]
получили выражение для волн, распространяющихся только в
одном направлении Его можно получить как решение типа
«простых волн» для уравнений мелкой воды, подправленных за
счет дисперсионного члена третьего порядка в уравнениях A5).
Можно проверить, что соотношения
т) = к - Но
представляют собой решение уравнений A5) с ошибкой второго
порядка по а/Но и Но/к .
Остается неясным, как можно получить соотношения A6) из
вариационного принципа (9). Однако один вариационный прин-
принцип можно получить непосредственно, если записать A6) в
форме
*+с{1+*)* + С№* Ь
где Зт)/2Л0 = $х- Уравнения A7) получаются из следующего ва-
вариационного принципа:
Вариационные методы и их приложение к волнам На воде 17
3. Резонансные взаимодействия
Одним из подходов к нелинейным волнам является исполь-
использование метода возмущений для малой амплитуды, основанного
на линеаризованной теории, как приближении более низкого по-
порядка. Непосредственное разложение в ряды при этом приводит
к появлению вековых членов, линейно растущих по г, которые
обязаны своим происхождением резонансу между произведе-
произведениями линейных членов, имеющими более высокий порядок, с
первоначальными членами линейной теории. Данный вопрос
интенсивно разрабатывался другими участниками настоящей
дискуссии, и большинство следующих статей посвящено этому
подходу.
Представляется заслуживающим внимания показать ко-
коротко, каким образом вариационные методы используются для
резонансных взаимодействий с той целью, чтобы подчеркнуть
различие между этим подходом и методом медленно меняю-
меняющихся волн, описанным в следующем разделе. Для этого доста-
достаточно простого примера; однако следует с самого начала под-
подчеркнуть, что в других примерах алгебраические выкладки су-
существенно возрастают. Рассматриваемый пример является не-
необычно простым.
В качестве этого простого примера рассмотрим уравнение1)
щ + Зи2их + иххх = 0.
Для получения вариационного принципа положим и = срх, %=срхх
и запишем эквивалентную пару уравнений в виде
лв : A9)
Лагранжиан имеет вид
= тг Ф*Ф< + ЧхХх + 1Г X2 + Т Ф4,- B°)
Рассмотрим теперь некоторую совокупность волн, представлен-
представленную в виде.
*=1иЬ Аа{')е1ка'г а=±1 ±л/>
где к-а=—ка и А-а=Аа, чтобы ср было действительным (звез-
(звездочка означает комплексно сопряженную величину). За вычетом
') Это уравнение предложено Биннн как модель для обсуждения резо-
резонансных взаимодействий.
18 Д. Б. Уизем
дивергентного члена лагранжиан представляется в виде
^ + *р + ^+ *«)*}• B1)
В вариационном принципе функция Ь интегрируется по про-
произвольному прямоугольнику в плоскости (х, I). Возьмем пря-
прямоугольник, для которого —/-^л:^/, и рассмотрим функцию
I
1 = Шп -5Г [ Ьйх. B2)
/-*.«> м _^
При переходе к пределу сохраняются лишь *оезонансные чле-
члены», для которых
= О, ка + к^ + ку + к6 = 0.
Резонансные пары членов (независимо от их порядка) суть
(ка> &$)= (кп,—&п), где п=1,2 N. В четверках имеются
различные возможности. Всегда будут резонансными взятые в
некотором порядке следующие четверки членов:
(^л> ^п> я„, кп)
и
Частные случаи резонансов могут быть, однако, заложены
в заданных начальных модах; например, предполагается, что
среди начального множества волновых чисел в резонансной за-
задаче, рассмотренной Бенджаменом, находятся волновые числа
ко, к+ = ко + ц, к- = к0 — ц. Тогда будут резонансными следую-
следующие четверки:
(Ъп Ъп Ъ Ъ \ и ( Ъ Ъ Ъ Ъ \
Лангранжиан Ь принимает вид
+ 6^2 АтА'тАпАп + 3 {Л2оЛ*+Л*_ + АоА+А-}. B3)
тфп
Вариационный принцип приводится к виду
Вариационные методы и их приложение к волнам Ла воде 19
В линейной теории в лагранжиане Ь удерживаются только квад-
квадратичные члены и вариация по Л* дает соотношение
Решение имеет вид Ап = апе~Шп'', где а>„ удовлетворяет линей-
линейному дисперсионному соотношению
*п=-К- B5)
Для полного выражения B3) вариация, например Л+, дает
'. Л-М±.= -^2+-ЗА+А'+-бУ^АпА^А+ + ЗА1А'-, B6)
где 2' — суммирование по всем модам, кроме той, для кото-
которой к = к+. Второй член в коэффициенте при А+ представляет
Собой изменение частоты, обусловленное нелинейными эффек-
эффектами одной моды, третий член определяет изменение частоты,
обусловленное нелинейным взаимодействием с другими модами.
Член ЗЛоЛ- определяет изменение в А+, обусловленное специаль-
специальным резонансом между к0, к+ и к— Если А+ и Л_ малы по срав-
сравнению с Ло, то можно предполагать, что величины Л+ и Л_ не
влияют на Ло с точностью до первого порядка, так что
отсюда без потери общности можно считать, что а0 — действи-
действительная величина.
При этом уравнение B6) и соответствующее ему уравнение,
в котором к+, Л+ заменены на к-, Л_, имеют приближенные ре-
решения:
А+ = а+е-»+*. Л = ае-^Ч
21^)
Этот тип «неустойчивости» был обнаружен Бенджаменом
для волн на глубокой воде. «Резонанс» частот со++ ©*_ = 2сй0(
который можно усмотреть непосредственно из показателей эк-
экспоненциальных выражений в B7), следует отметить специально.
В более общих примерах возникают отмеченные ранее услож-
усложнения, поскольку резонанс может не появиться даже при исполь-
использовании нелинейной теории второго и третьего порядков. Этот
вопрос и соответствующее использование диаграммной техники
для преодоления упомянутых усложнений обсуждаются в статье
Хассельмана.
20 Д. Б. Уизем
4. Осреднение для медленно меняющихся
нелинейных волновых пакетов
Метод взаимодействий ограничен почти линейными зада-
задачами. Подозревая, что истинно нелинейные представления мо-
могут в этом подходе отсутствовать, была сделана попытка найти
какие-либо вполне нелинейные решения в дополнение к периоди-
периодическим равномерным цугам волн, существование которых было
известно в типичных задачах. Отыскивалось некоторое упрощаю-
упрощающее свойство, отличное от линеаризации, причем казалась оче-
очевидной возможность рассмотрения медленно меняющихся цугов
волн, для которых решения были бы близки к точным решениям
для равномерных цугов волн. Была развита общая теория та-
такого подхода (см. работы [10, 11]); ее основные моменты рас-
рассмотрены в этом разделе. «Метод взаимодействий» и «метод сла-
слабых изменений» легко сравнить на примере элементарного слу-
случая биений. Для линейной задачи с дисперсией решение с двумя
соседними модами можно записать либо в виде
а{ соз (к{х — ©[0 + а2 соз (к2х —
либо в виде
а соз (кх — Ы — е),
где
К
В нелинейном аналоге можно рассматривать либо изменения
пеличин аи кь а2, к2, соответствующие взаимодействию мод, либо
изменения медленно меняющихся функций а, к, со.
При развитии теории медленно меняющихся нелинейных цу-
цугов волн математические операции оказались невыполнимыми
во всех случаях, за исключением простейших, пока не было осо-
осознано, что все относящиеся к делу выражения можно опреде-
определить через некоторую функцию Лагранжа. Но тогда весь вы-
вывод можно дать, исходя из вариационного принципа.
Рассмотрим случай волн на воде с функцией Лагранжа:
Л (х, I)
Вариационные методы и их приложение к волнам гСа воде 21
Существуют равномерные цуги волн, для которых
Ф = РЛ - V + Ф F, У), 6 = *Л — со/, Л = Я F), B9)
где х,-, со, Рг, V — постоянные параметры. Члены, пропорциональ-
пропорциональные Х{ и I, включены в ф для достижения полной общности фор-
формулировки. Решение нормировано таким образом, что измене-
изменение фазы 8 за один период составляет 2л и что Ф — периодиче-
периодическая часть ф; эти условия можно записать в виде
[8] = 2я, [Ф] = 0, C0)
где [ ] обозначает изменение соответствующей величины за один
период. Тогда х, представляет собой волновое число, со — ча-
частоту, Рг — среднюю горизонтальную скорость. Существуют два
других параметра, за которые можно принять среднюю высоту
Ь и амплитуду волн а. Таким образом, решение зависит от двух
триплетов (х, со, а) и (р, \, Ь). Два соотношения между этими
параметрами получаются из условий нормировки C0), однако
решающим является то, что на этом этапе они остаются незави-
независимыми.
В точной теории волн на воде это однородное решение в яв-
явном виде не получено. Для длинноволнового приближения, рас-
рассматриваемого в § 2, решение, соответствующее равномерно
распространяющемуся цугу волн, известно и выражается в эл-
эллиптических функциях. Оно известно также в более общей форме
в стоксовом приближении для волн малой амплитуды; это при-
приближение было бы возвратом к почти линейному случаю, но
здесь ценно получение общей точки зрения.
Медленно меняющийся цуг волн близок к этому однород-
однородному решению; его можно приближенно представить теми жз
самыми выражениями с двумя триплетами (к, ш, а), (Р, \, 6)—
медленно меняющимися функциями в пространстве и времени
в том смысле, что относительное изменение каждой из них на
одной длине волны или за один период мало. Тогда осреднен-
ный лагранжиан 3? получается в виде
-2>, ю, а; р, у, Ь) = ^
о
2я Я
= Ы I {-(\ + соФе) + !(рг + 6(-ФеJ+^Ф2, + 2у}^е. C1)
о о
Утверждается, что «осредненные уравнения» для медленно ме-
меняющихся функций (к, со, а), (р, у, Ь) можно получить из «осред-
ненного вариационного принципа»
0, C2)
22 Д. Б. Уизем
где соотношения
дв дв
' «Эх, <Э/ '
л=д$_ __д± C3)
Р' дх1 ' V д( \
представляют собой соответствующие обобщения формул 6 =»
= %гХ{ — в)(, \|з = ргхг- — у( для однородного решения. Этот ва-
вариационный принцип является интуитивно правильным, однако
он не получается при помощи формальной процедуры теории
возмущений. Оставалось неясным, как применять формальную
процедуру для высших порядков при вариационном подходе.
Однако Лыок [6] установил, каким образом подробная формаль-
формальная процедура примененная к дифференциальному уравнению,
приводит к тем же результатам в некотором частном случае;
основные положения его работы рассмотрены в разд. 5.
Вариационный принцип C2) с ограничениями C3) приводит
к соотношениям
93 — п 93 П (ъд\
Поскольку сюда входят только производные от 8 и \|з, удобнее
добавить условия совместности:
«Эх. да>
нежели подставлять соотношения C3). Функциональные соот-
соотношения C4) дают в точности условия нормировки C0). Дис-
Дисперсионное соотношение [8] = 2л принимает вид 9?а = 0.
4.1. Адиабатические инварианты. Проблема медленно меняю-
меняющихся цугов волн аналогична проблеме медленно меняющихся
колебаний в классической механике. Известная элементарная
задача состоит в определении изменений амплитуды простого
маятника, когда пружина медленно перемещается по подставке.
Вообще же говоря, эта задача относится к поведению гамиль-
тоновой системы, когда внешний параметр медленно меняется
со временем. Теория основывается обычно на уравнениях Га-
Гамильтона, причем существенно используются канонические пре-
преобразования. Соответствующие преобразования не существуют
в случае большего числа независимых переменных [8], так что
в задачах теории волн подобные методы построить нельзя. С дру-
Вариационные методы и их приложение к волнам на* воде 23
гой стороны, метод осредненного лагранжиана к задаче меха-
механики применить можно по крайней мере в простых случаях.
Рассмотрим некоторую механическую систему с лагранжиа-
лагранжианом М<7> <гД)> гДе МО— некоторый внешний параметр. Пред-
Предположим, что при К = сопз! существуют периодические реше-
решения <7 = <7(8), 6 = © с интегралом энергии
Эти решения отвечают равномерным цугам волн; здесь (Е, со)
суть параметры, соответствующие (а, х, со) и т. д. Вычислим те-
теперь осредненный лагранжиан
2Я 2Я
■2>, Е, Я) = ^| Ьс1Ъ = -^\ ^-с,йЪ-Е = -^§раЯ-Е, C7)
о о
где р = дЬ/д(} вычисляется как некоторая функция р(<7, К, Е) из
уравнения энергии.
Вариационные уравнения имеют вид
Если интеграл действия
обозначить через Цк,Е), то эти уравнения приведутся к виду
I д! ,
Эти уравнения выражают собой классические результаты;здесь
интеграл
представляет собой «адиабатический инвариант».
В волновой задаче первое уравнение C5) можно интерпре-
интерпретировать как уравнение баланса между изменениями времяпо-
добной адиабатической переменной 3?ш и изменениями про-
странственноподобных адиабатических переменных 2?*., коль
скоро энергия медленно переносится к различным частям цуга
волн. В простых случаях осредненный лагранжиан близко сле-
следует форме, указанной соотношениями C7) (см. ниже уравне-
уравнение E7)). Кроме того, функция №, в ранней версии этого ме-
метода (Уизем, [Ю]), представляет собой некоторый аналог инва-
инварианта /.
4.2. Линейная теория. Будучи развитой специально для не-
нелинейных волн, эта теория указывает некоторый новый оОщин
24 Д. Б. Уизем
подход к теории линейных волн с дисперсией. Прежде всего мы
рассмотрим здесь волны на воде, а потом обсудим общий слу-
случай.
В линеаризованной теории одномерных волн на воде соотно-
соотношение B9) принимает вид
х зЬ хЛ0 '
где Ло — невозмущенная глубина потока. Можно ожидать, что
величины (р, \, Ь) не потребуются в линейной теории, но мы со-
сохраним их при вычислении 9?, чтобы облегчить сравнение с не-
нелинейным случаем. Осредненный лагранжиан 5" вычисляется
путем подстановки Н и Ф в C1), в результате мы получаем
Как и ожидалось, изменения средней скорости р и средней
высоты Ь не связаны с волновым движением, и для получения
обычной линейной теории можно принять Ь = р = \ = 0. Тогда
Без потери общности можно считать, что для линейной системы
лагранжиан Ь квадратичен по возмущениям, поэтому всегда
будет получаться, что
=5* =(?(©, а) а2. C8)
Поскольку 3?а = 0, имеем
О (со, х) = 0, C9)
откуда вытекает, что функция О всегда определяет собой левую
часть дисперсионного соотношения.
Другое вариационное уравнение имеет вид
д( дх- ^ '
Оно принимает форму
Хотя это уравнение подобно уравнению энергии, оно соответ-
соответствует скорее уравнению для адиабатических инвариантов, рас-
Вариационные методы и их приложение к волнам на воде 25
смотренному выше. Дополнительные уравнения, которые необ-
необходимо решать совместно с D1), имеют вид
{. <Эх, да
~дГ + ^Г = Ъ, го1к = 0, (?(©, х) = 0, D2)
где © можно рассматривать как,некоторую функцию х; в ре-
результате мы имеем
<Эх, <Эх,
где
; О/(к)=-Ох//О« D4)
представляет собой линейную групповую скорость. Из D3) и
D4) вытекает, что D1) можно преобразовать в соотношение
-^г(Р(к)а2)+^(С1Р(х)а2) = 0 D5)
при произвольной функции /7(х). В частности, при Р(х) = \ урав-
уравнение D1) преобразуется к виду
^1 + ^1 = 0. ,46,
Это уравнение можно рассматривать как «энергетическое урав-
уравнение», однако для физической энергии, вообще говоря, тре-
требуется другой выбор Р(х), см. разд. 4.5.
Уравнения D3) и D6) можно решить путем интегрирования
вдоль характеристик:
Лх/сН = С. D7)
Величина х остается постоянной вдоль характеристик, и, коль
скоро х найдено, изменения а определяются из соотношения
Уравнение D8) определяет уменьшение амплитуды вслед-
вследствие расхождения группы волн. Таким образом, групповая ско-
скорость представляет собой двойную характеристическую скорость
системы и определяет распространение изменений хна. Сле-
Следует также заметить, что можно определить некоторую «энер-
«энергетическую скорость» как поток энергии, деленной на плотность
энергии. В соответствии с соотношением D5) эта скорость для
линейной системы совпадает с величиной С. Фактически харак-
характеристическая скорость отличается от энергетической, поэтому
26 Д. Б. Уизем
оказывается, что для нелинейной системы эти скорости не сов-
совпадают.
4.3. Тип уравнений для нелинейной системы. В нелинейной
теории условие 3?а = 0 не дает соотношения, не зависящего от
а, поэтому
© = ©(к, а)
даже в простом случае, когда от других переменных р, \, Ь ре-
решение не зависит. Таким образом, уравнения для х и а пере-
перестают быть несвязанными и образуют систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений, которую необходимо исследовать. Первый важ-
важный вопрос состоит в том, эллиптична или гиперболична эта
система, Его можно решить стандартными методами. Как про-
простейший первый шаг, выводящий за рамки линейной теории,
можно предположить в одномерном случае, что
сй = сйо(х) + ©[ {к) а2.
Это соотношение вносит в систему эффект нелинейности; пред-
предполагается, однако, что «уравнение энергии»
остается в силе при
С0(к) = ю$(
Из этого уравнения и из уравнения
дх . д ,
можно легко найти, что характеристические скорости равны
С = Со (к) ± а У{^Д) + О (а2). D9)
Рассматриваемые уравнения гиперболичны при ©1^ > 0 и эл-
эллиптичны при (й,Сд<0.
В гиперболическом случае двойная характеристическая ско-
скорость линейной теории расщепляется на две раздельные скоро-
скорости и дает обобщение групповой скорости на нелинейные за-
задачи.
Если имеет место эллиптический случай, то это означает, что
исходный равномерный цуг волн является в некотором смысле
неустойчивым. В этом случае малые синусоидальные возмуще-
возмущения х и а определяются решениями вида
ог E0)
Вариационные методы и их приложение к волнам т воде 27
0Г ' ■
где величина С определяется соотношением D9) для невозму-
невозмущенных значений х и а. Если величина С комплексная, что со-
соответствует эллиптическому случаю, то модуляции, определяе-
определяемые соотношением E0), растут по экспоненциальному закону,
& этом смысле цуг волн и является неустойчивым. Если приме-
применить эти простые соображения к стоксовым волнам на глубо-
глубокой воде, то легко видеть, что уравнения эллиптические, по-
поскольку
A) E1)
♦Таким образом, имеем ©[Сд<0, т. е. характеристические ско-
скорости в D9) будут мнимыми, а стоксовы волны на глубокой
воде — неустойчивыми. Этот результат сначала казался удиви-
удивительным и, возможно, неправильным. Поэтому он был временно
забыт, пока не оказалось возможным провести полное обсужде-
обсуждение теории волн на воде. Однако, когда Лайтхилл [5] исследо-
исследовал данную полную теорию, он обнаружил этот результат для
стоксовых волн и сразу понял, что результат должен быть вер-
верным. После этого Лайтхилл подробно исследовал эллиптические
случаи, поскольку ранее они почти не изучались.
К настоящему времени выполнено также полное исследова-
исследование стоксозых волн на воде произвольной глубины (Уизем, [12]).
В дополнение к нелинейности, вносимой дисперсионным соотно-
соотношением, здесь имеет место взаимное влияние волнового движе-
движения и изменений средней высоты Ь и скорости Р; для глубокой
воды этим взаимным влиянием можно пренебречь, поэтому пре-
предыдущий результат остается справедливым. Для конечной глу-
глубины это взаимное влияние приводит к уменьшению скорости
роста модуляций, а для мелкой воды уравнения меняют тип и
цуги волн становятся устойчивыми.
Для произвольной глубины осредненный лагранжиан ока-
оказывается равным
где
р _ _!_ „„2 п _ 91Ь4хАо-1О1Ь2хАо + 9
28 Д. Б. Уизем
Осредненные уравнения имеют вид
д ( Е \ д ( С0Е \ _ п
дЬ
С0 = в>'0(х), с0 = со0/х0, Во = Со - ± с0.
Оказывается, что уравнения имеют эллиптический тип, если
хЛ0 > 1,36, и гиперболический, если хЛ0 < 1.36. Дальнейшие по-
подробности можно найти в цитированной выше работе.
Развитая теория была применена к уравнениям Кортевега —
де Фриза и Буссинеска (без каких-либо упрощений, связанных
с малостью амплитуды) и к аналогичной задаче теории волн в
плазме. Обсуждение этих и дальнейших результатов можно
найти в более ранних статьях [10, 11].
4.4. Связь с теорией неустойчивости Бенджамена. Для мед-
медленно меняющегося цуга волн, который является почти линей-
линейным, можно записать
где а, 8Ж, 8* — медленно меняющиеся функции. Предполагается,
что амплитуда будет достаточно мала для того, чтобы цуг волн
сохранил синусоидальную форму, однако фазовая функция 8
будет нелинейно зависеть от амплитуды, причем эта зависи-
зависимость определяется нелинейным дисперсионным соотношением.
Если рассмотреть частный случай, для которого эти медленно
меняющиеся функции близки к постоянным, то можно записать
а = ао + аи 8 = 80 + 8,, 80 = щх - © (х0, а0) I,
где а0, х0 — константы; аи 81 — малые возмущения амплитуды
и фазы. Предполагая, что 81 ограничено (в отличие от 80), мож-
можно разложить решение с точностью до членов первого порядка
по п1 и 81 и представить его в виде
Ф = у аое1% + -х а,ейо + у гВ^ое'00 + Сопряженные величины.
Малые возмущения а.\ и 81 удовлетворяют линейному приближе-
приближению осредненных уравнений. Эти уравнения имеют постоянные
Вариационные методы и их приложение к волнам на воде 29
коэффициенты, зависящие от (щ, До), и допускают решения вида
где функции В+ и т. д. экспоненциально возрастают или осцил-
осциллируют в зависимости от того, являются ли уравнения эллипти-
эллиптическими или гиперболическими. Наконец, потенциал ср можно
выразить в виде
<р= Лоб'*0* + А+ец*°+>1)х + А-е'(и°~'Лх + Сопряженные величины.
Этот подход можно теперь отождествить с методом резонанс-
резонансных взаимодействий Бенджамена (см. § 3). Заметим, что две
боковые модуляции, вводимые в исследовании Бенджамена, эк-
эквивалентны взаимодействующим модуляциям амплитуды и,фазы
в методе осреднения. Возмущения а4 и 84 будут медленно ме-
меняющимися функциями при условии, что (г <С хо. Метод Бенд-
Бенджамена свободен от этого ограничения, но, с другой стороны,
он применим только к нелинейным задачам.
4.5. Уравнения сохранения и скачки. Если осредненные урав-
уравнения являются гиперболическими, то некоторые решения будут
«рваться» в том смысле, что непрерывное вначале решение бу-
будет становиться многозначным. Это явление аналогично возник-
возникновению ударных волн в газовой динамике. Однако в данном
рассмотрении волн на воде это явление соответствует просто
наложению двух частей цуга волн и не требует разрывов. Пред-
Предсказание возникновения такого явления, в случае когда началь-
начальная форма близка к одиночному периодическому цугу волн,
представляет самостоятельный интерес. Разумеется, после того
как такое наложение произойдет, развитые здесь осредненные
уравнения уже становятся неприменимыми. Здесь уже требуется
обобщенная теория с возможностью появления более чем одной
главной моды. По-видимому, такую теорию можно построить,
причем в связи с этим может оказаться полезным рассмотрение
взаимодействий для почти линейных мод.
Другая интригующая возможность состоит в том, что разрыв
в осредненных уравнениях («скачок») иногда отвечает требуе-
требуемому решению. Доводом в пользу этого может быть то, что
осредненные уравнения становятся непригодными, поскольку не-
непригодным становится представление о медленно меняющемся
цуге волн. Однако, как и в газовой динамике, решение можно
получить без обращения к исходным неупрощенным уравне-
уравнениям, вводя разрывы, удовлетворяющие соответствующим урав-
уравнениям сохранения. Математически это означает обращение
к «обобщенным решениям».
30 Д. Б. Уизем
Условия на скачках получаются из уравнений сохранения.
Однако существенным свойством всех этих нелинейных задач
является то, что законов сохранения всегда больше, нежели тре-
требуемых условий на скачках. Например, из дифференциальных
уравнений невязкой газодинамики можно получить уравнение
сохранения энтропии
в дополнение к уравнениям сохранения массы, количества дви-
движения и энергии. Однако нельзя применять соответствующее
условие на скачке, поскольку из физических соображений сле-
следует, что энтропия в скачке не сохраняется. Аналогичное поло-
положение возникает и здесь.
Уравнения C5) и C6) уже имеют форму законов сохране-
сохранения. Другие важные уравнения можно получить из вариацион-
вариационного принципа C2) путем использования теоремы Нётер. По-
Поскольку лагранжиан 3? инвариантен по отношению к произ-
произвольному сдвигу по времени, отсюда следует, что
-±
= 0. E2)
Это и есть уравнение энергии. Аналогично этому, поскольку
лагранжиан 3? инвариантен относительно сдвигов в простран-
пространстве, отсюда следует, что
±
= 0. E3)
Это — уравнение количества движения. Инвариантность лаг-
лагранжиана 3 относительно произвольных постоянных изменений
величин 6 и г^ приводит к вариационным уравнениям C5). Для
волн на воде оказывается, что второе уравнение C5) соответ-
соответствует уравнению сохранения массы.
Для любого уравнения сохранения вида
31 + Зх{
соответствующее условие на движущейся поверхности разрыва
с единичным вектором нормали п{ и скоростью по нормали V
имеет вид
где символ [ ] обозначает величину разрыва соответствующей
переменной. Однако следует некоторым образом выбрать урав-
уравнения сохранения, причем нужно иметь в виду, что можно ис-
Вариационные методы и их приложение К волнам на воде 31
рользовать только соответствующие условия на скачке. Этот
цыбор должен быть сделан на основе дополнительной информа-
информации, которая не содержится в осредненных уравнениях. По-
Поскольку исходные дифференциальные уравнения остаются еще
применимыми, мы выбираем те уравнения сохранения, которые
представляют собой осредненную форму соответствующих урав-
уравнений сохранения в исходных уравнениях. Для волн на воде
выбираются следующие уравнения: A) сохранения энергии E2),
(И) сохранения количества движения E3), A11) сохранения мас-
массы— второе уравнение C5)—и (IV) вторая система в C6), ко-
которая получается исключением -ф и, по-видимому, не имеет об-
общего физического смысла. (Подробности этого выбора можно
найти в статье [11].)
Уравнения сохранения, которые должны быть опущены, по-
поскольку их можно найти только в осредненной форме дл'я мед-
медленно меняющихся цугов волн, суть
«Эх. да
+0 и 0
д1 дХ, "•
Система E4) связана с существованием фазовой функции 8,
однако ее можно интерпретировать более выразительно, как за-
закон сохранения волн во времени и пространстве. Если го!х = О,
то равен нулю следующий линейный интеграл по замкнутому
контуру, т. е.
• й?8 = О,
так что в системе волн в произвольный момент число волн (на-
(например, вершин волн), входящих внутрь контура и выходящих
из него, одинаково. Аналогично этому, из первого уравнения
E4) получаем
гB)
х\
так что число волн, содержащихся внутри некоторого отрезка,
изменяется со скоростью, равной чистому притоку количества
волн внутрь отрезка. Но эти проинтегрированные формы — в
точности те же самые, которые нельзя использовать на поверх-
32 Д. Б. Уизем
ности разрыва; их нельзя вывести непосредственно, а можно
получить только из соотношений E4), которые справедливы
лишь для непрерывных частей решения.
Величины 3?а, 2?)<1 в E5) аналогичны адиабатическим ин-
инвариантам классической механики (см. разд. 4.1). Уравнение
E5) выражает баланс изменений пространственноподобных
адиабатических инвариантов 3?щ и времяподобного адиабати-
адиабатического инварианта .?ш. Однако это уравнение справедливо для
медленных изменений и непригодно на скачке в системе.
Уравнения E4) и E5) с этой точки зрения имеют ту же са-
самую основу, что и энтропия в газодинамических скачках. Воз-
Возникает естественный вопрос о знаке скачка на поверхности раз-
разрыва. В простом случае (рассмотренном в статье [10]) можно
показать, что при пересечении волною поверхности разрыва ее
частота относительно движущейся поверхности всегда возра-
возрастает. Это условие, по-видимому, позволяет обойти «необрати-
«необратимость», и можно ожидать, что оно справедливо и в общем слу-
случае, однако для общего случая оно еще не доказано. Этот ре-
результат представляет дополнительный интерес, если вспомнить,
что исходные уравнения обратимы! В связи с этим уместно упо-
упомянуть теорию гладкой боры с волнами за ней и возможность
бесстолкновительных скачков в плазме.
Эта идея была намечена в более ранних работах. Позже [13]
был выполнен численный расчет уравнения Кортевега — де
Фриза для случая, когда две группы волн следовали одна за
другой. Оказалось, что волны проходят одна через другую, ко-
когда вторая группа настигает первую. С самого начала, разу-
разумеется, ясно, что этот тип скачка требует специальных условий,
если он вообще существует. В линейной теории два цуга волн
.можно всегда наложить один на другой и получить новое реше-
решение; таким образом, для осуществления этого скачка необхо-
необходимы сильно нелинейные волны. Ясно также, что две группы
волн с очень разными скоростями будут просто проходить одна
через другую со сложными взаимодействиями; поэтому для су-
существования упомянутого скачка необходима малая относитель-
относительная скорость.
Некоторое указание по этому последнему пункту дает ра-
работа Бинни и Льюка [2]. Они исследовали соударение двух
кноидальных волн (кноидальные волны — однородные волно-
волновые решения уравнения Кортевега —де Фриза). Их теория оп-
определяет нелинейное взаимодействие двух волн, а члены, вы-
выражающие это взаимодействие, стремятся к бесконечности,
когда интенсивности и направления двух волн стремятся к
совпадению.
Вариационные методы и их приложение к волнам 'на воде 33
5. Применение теории возмущений
* Льюк [2] рассматривает нелинейное уравнение Клейна —
Гордона
и«-ихх + У(и) = 0, E6)
где У {и) — произвольная нелинейная потенциальная энергия,
которая дает колебательные решения. Лагранжиан имеет вид
и, как легко видеть, осредненный лагранжиан представляется
в виде
(со, к, Е) = {2 (со2 - к2)}4' ± | У {Е-У {и)} йи-Е., E7)
Это выражение интересно сопоставить с C7).
Льюк вводит разложение в ряды, согласно теории возму-
возмущений,
и(х, 0=*/(8, X, Т) + еи1(в,Х, Т) + ...,
Х = гх, Г = е/, 6 = е-'0A-, Т).
Это разложение представляет собой обобщение разложения
геометрической оптики для линейных задач, для которых всегда
имеет место с7п(8, X, Т) осе1'6. Оно представляет собой также
обобщение различных методов Крылова — Боголюбова и, в
частности, подхода Г. Е. Кузмака [4], разработанных для обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, на уравнения в част-
частных производных. Заметим, что в случае е = 0, и(х,1) = (/(8)
получается равномерный цуг волн.
Указанное выше разложение можно подставить в E6) и при-
приравнять нулю коэффициенты при различных степенях е. Пер-
Первые два порядка дадут
(шг-к2)ивв + у/(и) = о, E8)
(со2 - к2) От + У"{Щ С/, = 2(о^/ег + 2кОвх + а>тОв + кх0в, E9)
где © = —8; = —0т, х = 8Ж = @х- Уравнение E8) представляет
собой уравнение для равномерного цуга волн; его можно рас-
рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для
переменной 6, несмотря на то что величины V, ©, х также зави-
зависят от (X, Г); вид этой зависимости определяет медленное из-
изменение величин I/, ©, х. Первый интеграл уравнения E8) имеет
вид
|(со2 - к2) Ц\ + У{Ц) = Е {X, Т). F0)
34 Д. Б. Уизем
На этом этапе величины и>(Х, Т), х(Х, Т), Е(Х, Т) остаются не-
неопределенными.
Обратимся теперь к уравнению E9). Правая часть этого
уравнения известна, а левая часть линейна по 1/й это уравне-
уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение относительно 8. Далее, одно из решений однородного
уравнения имеет вид 1/1 — 1/в, поскольку в этом случае левая
часть будет равна производной от левой части E8). В принципе
уравнение E9) решается подстановкой 1/1 = [1/в. Здесь доста-
достаточно отметить, что уравнение E9) можно переписать в виде
(со2 - х2) -~ (С/,е^/е - *Л ^ее) = (со^е)г + (к*/е)х.
Правая часть этого уравнения — периодическая функция 8. По-
Поэтому \]{ будет ограниченной функцией 8, если только интеграл
от правой части за период обращается в нуль. Условие этого
имеет вид
2я 2я
| со<У2й?8 + ^ | ^48 = 0.
о о
Можно проверить, что вследствие соотношений E7) и F0) это
условие можно переписать в виде
Таким образом, «условие ортогональности», позволяющее избе-
избежать появления вековых членов при решении уравнения E9),
получается как следствие из осредненного вариационного прин-
принципа.
Обсуждение членов более высокого порядка довольно слож-
сложное дело и связано с введением дальнейших условий ортого-
ортогональности. Подробности можно найти в статье [6].
6. Интегральные уравнения для более общей дисперсии
Решение линейных дифференциальных уравнений в частных
производных с независимыми переменными (х, I) и постоянными
коэффициентами может дать только полиномиальные диспер-
дисперсионные функции; соответствие имеет вид
В случае волн на воде имеем
F2)
Вариационные методы и их приложение к волнам на воде 35
Это соотношение объясняется наличием дополнительной коор-
координаты у, которая в этом смысле не составляет части простран-
пространства (х,{), где происходит распространение волн. Одним из
Методов получения более общей дисперсии в задаче с перемен-
переменными (х, I) является рассмотрение, например, уравнения
оо
■Ц-+ { К(х-1)г]1A, 0*1 = 0, F3)
— оо
где К(х) — некоторое подходящим образом выбранное ядро.
Решения вида
удовлетворяют уравнению F3), если
Ы1. F4)
Это означает, что можно получить любую фазовую скорость
с (к), если взять за К(х) преобразование Фурье для функции
с(х),т. е.
оо
F5)
Для полиномиальных случаев ядро К(х) представляет собой
сумму б-функций. В частном случае
уравнение F3) принимает форму линеаризованного уравнения
Кортевега — де Фриза:
Одно из уравнений, сочетающее общую дисперсию интеграла
с типичной нелинейностью, имеет вид
оо
Ч + смщ, + | К (х - I) т)Б (|, 0 А1 = 0. F7)
— оо
Если для с(х) и К{х) принять выражение F6), то отсюда полу-
получается уравнение Кортевега — де Фриза.
Интересное обобщение получается, если рассмотреть другие
ядра; например, для волн на воде следует положить
с (к) = ]/ |- Ш кЛ0, К, = ^. { с (к) е1™ й*. F8)
36 Д. Б. Уизем
Уравнение Кортевега — де Фриза соответствует удержанию двух
членов в длинноволновом разложении хН0 <С 1.
Хотя уравнение Кортевега — де Фриза и дает уединенные
волны и кноидальные цуги волн, оно не является адекватным
для получения волн наибольшей высоты со стоксовым углом 120°
при вершине. Более того, здесь теряется явление опрокидыва-
опрокидывания волн с образованием боры, описываемое уравнениями мел-
мелкой воды, поскольку представляется очевидным, что член г\ххх
всегда будет препятствовать опрокидыванию (хотя, по-види-
по-видимому, это еще не доказано). Оба эти явления представляют со-
собой высокочастотные эффекты, утрачиваемые в длинноволно-
длинноволновом разложении хН0 <С 1. Уравнение F7) с этой точки зрения
не имеет ограничений.
Равномерные цуги волн получаются, если положить
т)=т)(Х), X = х—Ш, так что уравнение F7) принимает вид
(*-ат1'(О^. F9)
Из этого уравнения после интегрирования находим
оо
Л + С/т) - 1 атJ = I К{Х-1)М0^, G0)
где А — постоянная интегрирования. Для ядра /С#, определяе-
определяемого соотношением F8), решения уравнения G0) в явном виде
получить не удается, однако можно показать, что при I/ = ат)
возникает предельная форма и вершина волны становится за-
заостренной с вертикальной касательной. Появление заострения
вместо стоксового угла в 120° связано со все еще имеющейся не-
неадекватностью нелинейных членов. Однако волну максимальной
высоты удается предсказать, так что это уравнение позволяет
получить желаемый качественный эффект.
Ядро в уравнении F8), нормализованное так, что д = 1,
Ло = 1, обладает следующими свойствами:
Ке(х)~Bпх)-''2 при х-+0,
К8 (х) ~ (^ я2*) ае-'/2(я*) при
Ке{х)йх= 1.
Вариационные методы и их приложение к волнам ка воде 37
Если взять, например, ядро
с(х) '
,+Bх/яJ,
G1)
то интегралы в F7) и G0) можно исключить, применяя опера-
оператор
дг 1
поскольку G1) представляет собой функцию Грина для этого
оператора. Этот анализ можно продолжить.
В случае, когда а = Зсо/2Ло, что соответствует уравнению
Кортевега — де Фриза (см. A6)), для уединенной волны ма-
максимальной высоты справедливо соотношение
Л„ 9 •
Забавно (поскольку это случайно), что эта волна имеет конеч-
конечный угол 110° при вершине! Конечный угол вместо заострения
получается в связи с тем, что ядро Ко(х) регулярно при х = 0,
тогда как Ке(х) имеет там особенность. Поэтому результат вы-
вычисления угла в вершине не следует принимать всерьез. Однако
результат, касающийся максимальной высоты, заслуживает
большего доверия, поскольку он зависит от всего профиля вол-
волны в целом. Полученный результат достаточно хорошо согла-
согласуется со значением 0,78, вычисленным Маккоуэном при по-
помощи варианта метода Польгаузена.
Что касается вопроса об опрокидывании и превращении
в бору, то уравнение F7) также внушает некоторые надежды.
Здесь уже не существует производных высшего порядка, спо-
способных предотвратить опрокидывание. Интеграл этого уравне-
уравнения более похож на интеграл уравнения
т), + (с + ат)) г)х + рт) = 0,
который дает опрокидывание, если начальный наклон т)ж даже
отрицателен и
Первые результаты в этом направлении были получены Зелиге-
ром и будут опубликованы позже.
Поскольку этот тип интегро-дифференциальных уравнений
оказался заслуживающим серьезных дальнейших исследований,
можно отметить, что эти уравнения могут быть получены из не-
некоторого вариационного принципа, откуда будет следовать вся
38 Д. Б. Уизем
теория медленно меняющихся цугов волн и т. д. Уравнение F7)
можно сперва записать в виде
00
Ф* + ФЛ>« + / К (х - I) № (|, I) й\ = О,
— оо
если положить ат) = $х. Это уравнение получается из вариа-
вариационного принципа
б 111 их 61 = О,
где
00
Приложение. Вариационный принцип для волн Россби
Вопрос о подходящем вариационном принципе для волн Рос-
Россби возник в ходе дискуссии. Этот вопрос был исследован после
встречи автора с Зелигером; были получены следующие резуль-
результаты. Простая формулировка для волн Россби в приближении
«р-плоскости» имеет вид
^и|^^-^{у)V=- Рх,
их + ъ„ = 0.
Вариационные принципы удобнее всего формулировать с ис-
использованием потенциалов. В этом случае мы вводим обобщен-
обобщенные потенциалы ср, а, р следующим образом:
и = ух + <фх- а, (А2)
у = Ф, + ар,-/рг (АЗ)
- р = ср, + ар, + \ {(ф, + ар, - аJ + (% + сфу - /рJ}. (А4)
Это представление является обобщением преобразования Клеб-
ша (см. Л а м б Г., Гидродинамика, стр. 312) на случай учета
кориолисовых сил. Из (А1) легко получить, что уравнения для
ф, а, р представляются в виде
- и = О, (А5)
Вариационные методы и их приложение к волнам на воде ЗЭ
где и, V определяются соотношениями (А2), (АЗ). Вариацион-
Вариационный принцип снова выражается с использованием выражения
для давления. Система (А5) получается из вариационного прин-
принципа
6 Ш {ф*+ ар<+ т("*+ °2)}ах ауа1 = 0> (А6)
где и и V определяются выражениями (А2) и (АЗ). Теперь
можно применить общую теорию к волнам Россби, используя
лагранжиан из соотношения (А6). Приложения и более подроб-
подробное обсуждение использования «потенциалов Клебша» для вра-
вращательных течений будут опубликованы позже (см. [14*]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ва1етап Н., РагИа1 (Ш[егегШа1 ециаНопв, СатЪпс^е 1_1туег5Иу Ргезя,
1944.
2. Веппеу ИЛ., Ьике Л. С, /. Ма1п. Рпич., 43 A964), 309.
3. Ког1е\уед Ъ. ^.) C е Уг1в5 О., Рпй. Ма§. E), 39 A895), 422.
4. К у з м а к Г. Е., Прикл. матем. и мех., 23 A959), 515.
5. 1Л о Ы Ь П 1 М. .!., /. /их/. Ма(Н. Арр1., 1 A965), 269.
6. Ьике ^. С, Ргос. Ноу. 5ос, А 292 A966), 403.
7. Ьике ^ С, /. РШ Месп., 27 A967), 395.
8 К й 5 5 т а п Н., Агсп. Ца1. Месп. АпаЦ 8 A961), 353.
9. Серрин Дж., Математические основы классической механики жидкости,
ИЛ, М., 1963.
10. ШЬИЬат О. В., Ргос. Ноу. 5ос, А 283 A965а), 238.
11. \УЫ1Ьат О. В., /. РЫЛ Месп., 22 A965Ь), 273.
12. \УЬЯЬат О. В., /. Р1ШЛ Месп., 27 A967), 399.
13. 2аЬи5ку N.. Кги5ка1 М., Ве11 Те1ерЬопе ЬаЬз. ТесЬ. Кер., 1965.
14*.5еПвег К. Ь., ШЬЛКат О. В., Ргос Ноу. 5ос, А305 A968), 1—25.
См. русский перевод: сб. Механика, № 5 A17) A969), 99—123.
Обсуждение
Адиабатический инвариант для распространения
волн в неоднородной движущейся среде
Ч. Дж. Р. ГАРРЕТТ
Уизем [5] развил общий подход к исследованию дисперги-
диспергирующих волн в неподвижной среде с использованием лагран-
лагранжиана. Применяя эту теорию к линейному случаю, он получил
уравнение (см. уравнение D1) предыдущей статьи)
Ц- + У.(Гс,) = 0, A)
где <% = дЗ'/ды; 3? — осредненный лагранжиан; со — частота;
с5 — групповая скорость. Плотность энергии Е определяется
уравнением Е = и>(дЗ?1д(ь) —З7, но поскольку 5" = 0, получается
&■ = Е/а.
Таким образом, для волнового пакета с объемом 6У, движу-
движущегося вдоль луча, определяемого соотношением
Лх/сН = се,
величина ЕЬУ/а сохраняется. (Этот инвариант соответствует
адиабатическому инварианту для простого гармонического
осциллятора, также равного энергии, деленной на частоту.) Ве-
Величина со может, таким образом, изменяться вдоль лучей только
тогда, когда свойства среды, определяющие дисперсионные со-
соотношения, зависят от времени, так что на практике уравне-
уравнение A) приводится к обычному уравнению распространения
энергии (дЕ/д() + А (Есе) = 0.
Однако другой способ изменения частоты пакета, коль ско-
скоро рассматривается волновой пакет сам по себе, состоит в том,
чтобы заставить его распространяться в движущейся среде, ско-
скорость которой И слегка изменяется на протяжении одной длины
волны. Если обозначить частоту относительно среды через й, то
уравнение для частоты принимает вид
{д/д( + (V + се) • У}(Й + V ■ к) = 0,
где к — волновое число. Мы можем предположить, таким обра-
образом, что при распространении волн малой амплитуды в движу-
движущейся среде волновая энергия, поделенная на частоту относи-
относительно среды, будет адиабатическим инвариантом. Под волновой
Адиабатический инвариант для распространения волн 41
энергией подразумевается энергия, которую можно определить
при помощи теории волн бесконечно малой амплитуды в системе
отсчета, движущейся вместе со средой. Возможно, удастся пока-
показать, что полная энергия, связанная с волнами, инвариантна
для волнового пакета, но доказать это утверждение, вообще го-
говоря, сложно и оно менее пригодно для использования, нежели
предложенный принцип.
Было обнаружено несколько типов распространения волн,
для которых уравнение распространения энергии приводится
к форме
где Е — плотность волновой энергии. Эти случаи описаны ниже.
Цель настоящей заметки сводится к следующему утверждению:
уравнение B) может быть общим принципом, управляющим
распространением волн малой амплитуды в неравномерно дви-
движущейся среде при соответствующих условиях, связанных со
скоростью среды и медленным изменением амплитуды и волно-
волнового числа.
Бретертон в частном сообщении отметил, что уравнение B)
можно вывести из осредненного вариационного принципа
, к, Е, х,
путем варьирования 8, где
Однако строгого доказательства уравнения B) еще не имеется
(примечание при корректуре: общее обоснование уравнения B)
в настоящее время получено Бретертоном и автором и будет
опубликовано позже). Основные случаи, для которых уравне-
уравнение B) оказалось справедливым, приводятся ниже.
а) Поверхностные гравитационные волны. Лонге-Хиггинс и
Стюарт [4] вывели уравнение
определяющее распространение гравитационных волн в нерав-
неравномерном потоке со скоростью V. Величина 5 представляет со-
собой тензор напряжений излучения, а \ — тензор скоростей де-
деформации течения IX
Оказалось, что уравнение B) можно получить из этого урав-
уравнения путем использования кинематических соотношений (вы-
(вытекающих из условия сохранения волн), а также уравнения
42 Ч. Дж. Р. Гарретт
неразрывности V • (Л1)) = 0 для основного течения, где Л — глу-
глубина воды.
б) Внутренние гравитационные волны. Бретертон [2] вы-
вывел уравнение B), используя приближение ВКБ для внутрен-
внутренних гравитационных волн в потоке с поперечным сдвигом при
высоких числах Ричардсона; Хайнс и Редди независимо полу-
получили тот же результат другим методом. По-видимому, это был
первый случай, когда уравнение B) было получено как таковое,
хотя и без понимания всего значения и всей общности резуль-
результата.
в) Звуковые волны. Д. И. Блохинцев [1], рассматривая аку-
акустику неоднородной движущейся среды, получил (также с по-
помощью приближения ВКБ) уравнение энергии
где Е' — плотность полной энергии, связанной с волновым дви-
движением. Оказалось, что Е' = Еа/п, так что уравнение B) спра-
справедливо для звуковых волн, поскольку
ЛИТЕРАТУРА
1. Блохинцев Д. И., Акустика неоднородной движущейся среды, ГТИ,
М. — Л., 1946.
2. Вге*ЬеПоп Р. Р., С}. /. К- Ме1. 5ос, 92 A966), 466.
3. Н 1 п е 5 С О., К е & й у С. А., То Ье риЬНвЬей.
4. Ьопеие1-Н1де1П5 М. 5., 54е^аг{ К. \У., Оеер 8еа Цен., 11 A964),
529
5. № Ь И Ь а т С. В., /. РШ МесН, 22 A965), 273.
Некоторые частные случаи применения теории Уизема
М. ДЖ. ЛАЙТХИЛЛ
Теория, развитая в предыдущей статье (Д. Уизема), может оказаться
ценной в задачах о нелинейных волновых системах с дисперсией, когда урав-
уравнения, описывающие эти системы, слишком сложны для аналитического и
численного исследования. В этой теории предлагается, по существу, описывать
развитие групп волн, параметры которых изменяются достаточно медленно,
значительно менее сложными приближенными уравнеиилми, выведенными в
предположении, что на каждом отдельном малом участке волны близки к
плоским периодическим. Тем не менее даже для решения этих приближенных
уравнений приходится обычно затрачивать значительные усилия, поэтому
важно (см. § 1) иметь первоначальное представление о том, хорошо ли бу-
будут эти решения согласовываться с действительностью или нет. Такое пред-
представление можно получить, проведя вычисления на основе этой теории для
одной или нескольких сравнительно простых систем и сравнив результаты
этих вычислений с экспериментом.
Одной из подходящих систем для этой цели являются, по-видимому,
волны постоянного направления на глубокой воде (см. § 2). Согласно теории
Уизема, их распространение определяется зависимостью плотности лагран-
лагранжиана ^ от частоты со и волнового числа к. На самом деле выражение
аЗ^к^/Рё (гДе Р — плотность жидкости) оказывается функцией одной только
комбинации г = ш2/§6. Путем интерполяции между известными значениями
для низких волн (г->1) и волн наибольшей высоты (г— 1,20) было найдено
(§ 4) приближенное полиномиальное выражение
-г^/Р*--^ К*- 1J-(г- 1 )»-(*- 1L.
пригодное, как можно ожидать, во всем интервале 1 ^ г ^ 1,20.
Отсюда получается (§ 5), что, когда волнопродуктор создает на глубо-
глубокой воде слабо модулированный цуг волн постоянной частоты, логарифмиче-
логарифмическая скорость нарастания модуляции с расстоянием от волнопродуктора (про-
(пропорциональная амплитуде для волн умеренной амплитуды, см. ниже статью
Бенджамена) достигает максимума для волн примерно вполовину максималь-
максимальной высоты, а затем падает до нуля; причем теория ие предсказывает на-
нарастания модуляции в случае волн, превосходящих три четверти максималь-
максимальной высоты. Указанные волны обнаруживают вместо этого «расщепление
групповой скорости» по Уизему (см. рис. 2). Такое видоизменение теории
улучшает согласие с экспериментом для случая Бенджамена и Фейра (см.
рис. 3), причем остающиеся расхождения вполне можно объяснить влия-
влиянием диссипации. Однако для больших значений амплитуд нужны дополни-
дополнительные эксперименты.
Наряду с этим разработана и сопоставлена с экспериментом теория для
групп волн, в которых амплитуда изменяется на величину, сопоставимую
с самой амплитудой, хотя эти изменения ограничены сверху и растлнуты иа
много длин волн (§ 7). Расчет изменения амплитуды во времени, первона-
первоначально выполненный [5] для одной специальной формы группы (для которой
44 М. Дж. Лайтхилл
обратная величина амплитуды есть линейнал функции квадрата расстояния
от середины, см. § 8), выполнен в § 9 для общего случая группы воли с оди-
одинаковыми волновыми числами, амплитуда которых меняется гладко и сим-
симметрично относительно максимума; приведены подробные результаты для
синусоидальной модуляции с произвольной глубиной модуляции.
Из теории следует, что группа остается симметричной и что максималь-
максимальная амплитуда возрастает, сперва согласно закону гиперболического коси-
косинуса, а затем еще быстрее, пока ие достигается критическое условие, при ко-
котором распределение амплитуды волн имеет заострение в середине группы,
где одновременно претерпевает разрыв волновое число. После этого крити-
критического времени предположения теории нарушаются и можно ожидать изме-
изменения характера распространении.
Эксперименты Фейра (описанные ниже, стр. 77), в которых простран-
пространственный период модуляции составлял около 12 длин волн, показали именно
такое резкое изменение, момент возникновения которого близок к предска-
предсказанному (§ 10), а изменение волнового числа приблизительно соответствует
теоретическому. Диссипация энергии волн (например, из-за трения о боковые
стенки) снова была слишком велика, чтобы допустить проверку предсказаний
теории в отношении амплитуды. Однако значение критического времени (пос-
(после которого наблюдаемая группа волн становится заметно асимметричной)
служит обнадеживающим свидетельством того, что теория применима до тех
пор, пока предсказываемые ею изменения остаются достаточно медленными
и гладкими, чтобы удовлетворялись ее основные предположения.
Несколько ранее, в § 3 и 6, обрисован путь (немногим более сложный)
использования теории для изучения двумерной картины стационарных волн на
однородном потоке глубокой воды.
1. Общее обсуждение теории Уизема
В вводных замечаниях я уже отмечал, что основной принцип
теории Уизема и определение области ее применимости являют-
являются ключевыми вопросами, подлежащими изучению. Я думаю, что
лучший способ изучения состоит в детальной разработке след-
следствий теории для частных случаев, допускающих сопоставление
с экспериментом.
Принципом, справедливость которого подлежит изучению,
является фундаментальное предположение Уизема о том, что
если параметры, характеризующие волны, меняются достаточно
медленно на длине волны, то локально волны должны быть
близки к плоским периодическим. Если это верно, то соотноше-
соотношения между характеризующими волны параметрами должны
быть весьма близки по форме соответствующим соотношениям
для плоских периодических волн, так что их определение свя-
связано лишь с решением обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений.
Полученные таким образом соотношения между парамет-
параметрами можно затем использовать вместе с другими уравнениями
для определения того, как изменяются волны при прохождении
больших расстояний. При проведении этого анализа могут быть
использованы различные методы, либо исходящие (весьма эле-
Некоторые частные случаи применения теорий Уизема 45
гантным образом, который только что обрисовал профессор
Уизем) из вариационного принципа типа принципа Гамильтона,
либо использующие более непосредственный подход, данный
в первой работе Уизема [9], или, например, приближенный ме-
метод, упоминаемый в статье Уизема (см. разд. 4.3, первые шесть
уравнений, кончающиеся уравнением D9)) и обсуждаемый под-
подробнее ниже (§ 6). Однако, какой бы математический метод не
был использован, результаты его не могут быть более точны,
чем основной принцип, на который опирается работа.
В пользу указанного принципа следует заметить, что он сов-
совпадает с принципом, используемым, когда волны удовлетворяют
линейным уравнениям, т. е. если параметры, характеризующие
эти волны, достаточно мало меняются на длине волны, то можно
использовать приближение геометрической оптики. В этом слу-
случае форма волн должна быть локально весьма близка к пло-
плоским периодическим волнам, иными словами — к синусоидаль-
синусоидальным волнам, поскольку уравнения линейны. Отсюда следует не-
немедленно, что соотношения между параметрами (в частности,
частотой и волновым числом) могут быть взяты такими же, как
и для синусоидальных волн, что сразу приводит ([4], § 5) к урав-
уравнениям, определяющим движение отдельных волновых пакетов.
Представляется естественным предположить, как это делает
Уизем, что тот же метод будет применим и тогда, когда уравне-
уравнения, определяющие волновое движение, нелинейны. Плоские пе-
периодические решения существуют и в этом случае, хотя их
форма уже не является более синусоидальной; можно предполо-
предположить, что любая картина волн, испытывающая на длине волны
малые изменения, локально близка к некоторой плоской перио-
периодической волне.
Однако любому расчету, основанному на этом предположе-
предположении, присуща в одном отношении ограниченность, которой нет
в случае линейной геометрической оптики. Там хорошо известно,
что решения, однозначные в некоторых пространственно-времен-
пространственно-временных областях, могут стать многозначными в других. Действи-
Действительно, как только появляется каустика, решение по одну сто-
сторону от нее является по крайней мере двузначным, например
с двумя различными значениями волнового вектора в каждой
точке. Однако хотя приближение геометрической оптики не яв-
является точным в непосредственной близости каустики, сама
многозначность не мешает решению давать хорошие результаты
в удаленных от каустики областях. Происходит это потому, что
в линейных задачах возможна суперпозиция решений и, следо-
следовательно, две отдельные волны с различными амплитудами и
волновыми числами могут локально сосуществовать в линейной
комбинации.
46 М. Дж. Лайтхилл
К сожалению, в нелинейном случае такого простого пути нет.
Как мы увидим, уравнения Уизема указывают на столь же (если
не более) сильную тенденцию решений, которые являются одно-
однозначными в определенных пространственно-временных обла-
областях, становиться многозначными в других. Однако коль скоро
линейная суперпозиция невозможна, не существует простой ин-
интерпретации решения с волновым вектором, принимающим бо-
более одного значения в каждой точке. Уизем [9] предположил, что,
как и в газовой динамике, в каждой точке осуществляется толь-
только одно решение, а скачкообразный переход от одного решения
к другому происходит на некоторой поверхности, подлежащей
определению, хотя правила ее определения никоим образом
нельзя назвать выясненными. Возможно, что в некоторых слу-
случаях картина волн близка к распределению такого типа,
а в других, близких к линейному, она близка к суперпозиции
различных цугов волн; однако еще не было попыток определить
области применимости этих двух подходов и природу перехода
от одного к другому.
Таким образом, при оценке теории Уизема существуют две
отдельных проблемы. Во-первых, когда даваемые ею решения
остаются однозначными, мы должны выяснить, насколько они
точны или, вернее, насколько мало должны параметры изме-
изменяться на длине волны, чтобы эти решения имели приемлемую
точность. Во-вторых, мы должны выяснить, что происходит фи-
физически, когда получаемые решения становятся многозначными.
Что это означает и может ли быть найдено видоизменение тео-
теории, которое будет в грубых чертах соответствовать происходя-
происходящему?
Я должен подчеркнуть, что теория Уизема будет заслуживать
рассмотрения, даже если она окажется применимой только в тех
пространственно-временных областях, где даваемые ею реше-
решения остаются однозначными, поскольку такие области доста-
достаточно обширны. Более того, если существует некоторое замеча-
замечательное физическое явление, которому отвечает предсказание
многозначности, то сам факт, что теория Уизема может быть ис-
использована для определения наступления этого явления, будет
ценным сам по себе.
На самом деле, я покажу позже, что дело обстоит именно
таким образом. В примерах, которые рассматриваются ниже,
не найдено никакого видоизменения теории, удовлетворительно
соответствующего эксперименту в области многозначности, но
с многозначным решением оказывается связанным особое ха-
характерное поведение, а его наступление предсказывается тео-
теорией достаточно хорошо.
Некоторые частные случаи применения теории' Уизема 47
Таким образом, основная цель данной работы заключается
в получении подробных следствий теории Уизема для частных
примеров и сравнении их с результатами экспериментов. Пока
это не сделано в обоих случаях (однозначных и двузначных ре-
решений), теория может не иметь значения, т. е. формулы беспо-
бесполезны, если никто не знает, когда их можно применять.
2. Вводные замечания о задачах с двумя независимыми
переменными без псевдочастот и о задачах
для волн на глубокой воде
По причинам, изложенным в § 1, представляется существен-
существенным изучить более простые случаи, когда разнообразные реше-
решения уравнений Уизема могут быть получены относительно гиб-
гибким путем. В соответствии с этим я не буду извиняться за то,
что ограничиваюсь задачами с двумя независимыми перемен-
переменными, а также такими, в которых отсутствуют псевдочастоты
Уизема (например, \ в уравнении B9) на стр. 21), поскольку
уравнения с частными производными второго порядка с двумя
независимыми переменными значительно проще исследовать,
чем уравнения высшего порядка или с большим числом незави-
независимых переменных.
Хорошим примером такой системы без псевдочастот служат
волны на глубокой воде. Стоит отметить попутно, что если по-
поверхностные волны рассматриваются только в случае глубокой
воды, то упомянутые Уиземом трудности в отношении формули-
формулировки подходящего вариационного принципа исчезают.
Согласно Уизему, классический лагранжиан (разность между
кинетической энергией Т и потенциальной энергией V) приме-
применим в любой задаче, в которой для характеристики движения
используются лагранжевы (а не эйлеровы) переменные. Задача
о волнах на глубокой воде принадлежит к задачам именно та-
такого рода, так как существует вполне подходящая зависимая
переменная лагранжева типа для описания движения, а именно
возвышение свободной поверхности. В случае волн неизменного
направления, когда движение происходит только в плоскости
(х,у) (где ось у вертикальна), это возвышение обозначим, на-
например, через ц(х, I); тогда знание функции ц(х, I) вполне опре-
определяет в бесконечной области I/ ^ т) (х, I) движение, подчиняю-
подчиняющееся дополнительному условию обращения скорости в нуль
при у —► — оо. В самом деле, в каждый момент I потенциал ско-
скорости ф, определяемый однозначно с точностью до произвольной
постоянной, удовлетворяет уравнению У2ср = 0 в этой области,
условию |Уф|—► О при у —►— оо и граничному условию для
48 М. Дж. Лайтхилл
нормальной производной при у = ц(х, (), а именно условию
«Эф _ дт\ дф дг\
~ду дх дх д1 '
В соответствии с этим можно использовать классический
лагранжиан (Т—V), если Г и У выражены через функцию
ц(х, (), которая описывает искривление свободной поверхности.
(Это утверждение не справедливо для волн на мелкой воде, так
как единственность теряется, если условие |У<р| —► 0 заменяется
граничным условием на дне; действительно, тогда к потенциалу
Ф можно добавить с произвольным множителем решение, опи-
описывающее установившееся течение в канале, ограниченном дном
и мгновенной формой свободной поверхности.)
Помимо этого упрощающего обстоятельства, волны на глубо-
глубокой воде особенно подходят для сравнения теории с экспери-
экспериментом, так как вязкость в этой теории не учитывается, а дви-
движение вблизи дна определенно связано с весьма сильным
проявлением вязких эффектов, влияние которых может распро-
распространяться, охватывая всю область движения [6]. Поэтому
сравнение с экспериментом будет, вероятно, более благоприят-
благоприятным, если по мере возможности исключаются движения вблизи
твердых поверхностей, как это имеет место в волнах на поверх-
поверхности воды, достаточно глубокой, чтобы можно было пренебречь
придонным движением.
Таким образом, поскольку эксперименты на глубокой воде
удобны и подходят для сопоставления, многое из последующего
будет относиться к ним, хотя теория в целом будет сформули-
сформулирована так, чтобы допускать весьма широкие приложения, —
практически к любой задаче с двумя независимыми переменны-
переменными без псевдочастот. Лайтхилл [5] дал удобный математический
метод исследования таких задач, если независимыми перемен-
переменными являются х и I (как выше).
Для периодических волн плотность лагранжиана 3? (т. е.
лагранжиан в расчете на единицу площади горизонтальной
проекции в случае волн на глубокой воде) является функцией
волнового числа к и некоторым образом определенной ампли-
амплитуды а. Однако частота со будет также известна, если мы знаем
волновое число к и амплитуду а. Поэтому можно исключить а
из этих двух соотношений и рассматривать 3? как функцию со
и к, т. е.
^ = „§=>, 6). A)
Для описания развития более общего цуга волн используем,
следуя Уизему (см. [10] и предыдущий доклад), фазовую функ-
функцию 0(х,(), где 0 меняется гладко и принимает последователь-
Некоторые частные случаи применения теории Уизема 49
ные целые значения на последовательно проходимых гребнях
волн. Тогда местные частота и волновое число определяются как
а уравнение Эйлера для вариационного принципа
определяющего функцию 8(л:, г), может быть записано в виде
д(\ да ) дх\ дк )' ^>
Из A) и B) видно, что это уравнение можно записать как ква-
квазилинейное уравнение в частных производных второго порядка
для 8, а именно
да2 д12 г ды дк д1 дх ^ дк2 дх2 и" ^
Такое уравнение может быть преобразовано в линейное уравне-
уравнение при помощи преобразования Лежандра, в котором первые
производные B) используются в качестве новых независимых
переменных. Новая зависимая переменная и ее первые произ-
производные суть
у(<0,к) = кх-Ы-В, -^=-<, Ц- = *. F)
причем потенциал ф удовлетворяет линейному уравнению:
^3 д2у 'д23 д\ д23 д2д, _
да2 дк2 г дыдк дыдк дк2 да2 У)' V >
Все решения уравнения E) являются также решениями уравне-
уравнения G) [1], кроме тех весьма простых решений, легко получае-
получаемых другими способами, для которых со является некоторой
фиксированной функцией к.
Характеристиками линейного уравнения служат фиксиро-
фиксированные кривые. Для уравнения G) это, фактически, «асимпто-
«асимптотические линии», покрывающие поверхность 5" = 3?{и>,к). Они
даются соотношением
Ш ^ °. (8)
а их направления в каждой точке — это те направления, по
которым плоскость, касательная к поверхности, пересекает эту
поверхность. Таким образом, они вещественны, так что уравне-
уравнение будет гиперболическим только в том случае, когда поверх-
поверхность имеет главные кривизны различных знаков,
50 М. Дж. Лайтхилл
Лайтхилл [5] показал, что если дисперсионное соотношение
для бесконечно малой амплитуды имеет вид <» = /(&), то при
умеренных амплитудах условие гиперболичности этого уравне-
уравнения выполняется, если выражение
[©-/(*)]/"(*) (9)
положительно, т. е. если при умеренных амплитудах точка (со, к)
лежит в той области, куда кривая со = [(к) обращена своей во-
вогнутостью. Обратно, если выражение (9) отрицательно, так что
точка (со, к) для умеренных амплитуд лежит в той области, куда
кривая для бесконечно малых амплитуд обращена своей выпук-
выпуклостью, то уравнение G) эллиптично. Это условие справедливо,
поскольку осредненный лагранжиан обращается в нуль (с точ-
точностью до членов порядка квадрата амплитуды) для бесконечно
малых амплитуд, и поэтому поверхность 2? = 5" (со, к) касается
плоскости 3? = 0 вдоль всей кривой со = /(&). Тогда, очевидно,
она может иметь двоякую кривизну только на той стороне, к ко-
которой эта кривая вогнута.
Для волн на глубокой воде кривая бесконечно малых ампли-
амплитуд обращена выпуклостью вверх (фактически /(&) равно У§к),
тогда как для конечных амплитуд величина со возрастает быст-
быстрее, чем У^ёк. В соответствии с этим кривая со = [(к) обра-
обращена выпуклостью к точке (со, к) (и выражение (9) отрицатель-
отрицательно); это согласуется с заключением Уизема в предыдущем
докладе о том, что уравнения в этом случае эллиптичны.
Для сравнения теории волн на глубокой воде с эксперимен-
экспериментами представляются особенно подходящими два вида экспери-
экспериментальных установок. Лайтхилл [5] исследовал случай, когда
на одном конце продолговатого лотка при помощи волнопродук-
тора создается группа волн с длинными гребнями, продвижение
которых вдоль лотка наблюдается достаточно детально, чтобы
выявить любое нелинейное взаимодействие. По-видимому, одно-
одновременно и независимо Бенджамен и Лайтхилл пришли к за-
заключению, что такой подход является ключевым моментом в ис-
исследовании. Это был не первый случай, когда мы одновременно
приступали к аналогичным работам; надеюсь, что, как и раньше,
совокупность обоих исследований позволила обнаружить боль-
больше, чем каждое из них в отдельности!
Эти эксперименты с возбуждением волн будут рассмотрены
ниже более подробно, но прежде я хочу описать другой вид экс-
экспериментальной установки, который ранее не упоминался
в качестве подходящего поля приложения теории Уизема, но
который может оказаться одним из наиболее важных. Это —
некоторый вид стационарных волн, которые можно создать на
однородном стационарном потоке,
Некоторые частные случаи применения теории Уизема 51
3. Приложение теории Уизема к стационарным волнам
на установившемся потоке
Этот вопрос рассматривается главным образом в связи с той
волновой картиной, которая может быть вызвана препятствием
на поверхности потока глубокой воды; такая же картина может
быть вызвана на покоящейся глубокой воде равномерно движу-
движущимся препятствием по поверхности воды (или вблизи нее).
Однако дальнейшие рассуждения приложимы к любой двумер-
двумерной однородной жидкой системе, в которой возможны плоские
периодические волны с произвольным волновым числом (ки кг)
в некотором диапазоне амплитуд и в которой существует взаи-
взаимодействие между препятствием (действующим как стационар-
стационарный источник возмущения) и жидкостью. Случай глубокой
воды, очевидно, допускает сопоставление с экспериментам; пред-
представляется вероятным также, что могут быть найдены и другие
приложения, например некоторые виды волн в плазме.
Изучение стационарных волн на установившемся потоке мо-
может на деле оказаться более полезным, чем рассмотрение задач
с волнопродуктором. В известном акустическом случае, когда
дисперсия отсутствует, нелинейная теория распространения волн
находит значительно менее широкое применение для одномер-
одномерного неустановившегося движения, чем для двумерного стацио-
стационарного случая, который включает теорию крыла в сверхзву-
сверхзвуковом потоке. Более того, для этого или другого вида движения
жидкости исследование стационарного движения может быть
в экспериментальном отношении более удобным. Можно пола-
полагать далее, что в случае волн на воде легче вести исследования
с экспериментальной установкой, в которой направления фрон-
фронтов волн лежат в определенном диапазоне, чем с установкой,
в которой нужно создавать и поддерживать волны строго по-
постоянного направления. Наконец, существует возможность, под-
подробнее обсуждаемая ниже, практического приложения теории
к задаче о волнах, создаваемых судном при равномерном дви-
движении по глубокой воде.
Математическая сторона исследования, полезность которого
определяется приведенными рассуждениями, оказывается весь-
весьма простой, если непосредственно применяется основная идея
вариационного подхода Уизема. Для этого обозначим через
-2%(*1.*2) (Ю)
плотность лагранжиана (на единицу площади горизонтальной
проекции) для периодической стационарной волны с волно-
волновым числом к = (к\, к2) на потоке, движущемся с постоянной
скоростью ((/,0). Входящая в лагранжиан кинетическая энер-
52 М. Дж. Лайтхилл
гия есть энергия движения относительно однородного по-
потока.
Рассмотрим теперь общую стационарную волновую картину,
для которой фазовая функция 8, не зависящая от времени, удо-
удовлетворяет соотношениям
8 = 8(*1, х2), дВ/дх{ = к{. A1)
Тогда принцип Гамильтона дает
Уравнение Эйлера в этом случае представляет собой просто со-
соотношение
Этот вывод основного уравнения для волн с гребнями любых
направлений настолько поразительно прост, что может пока-
показаться желательным проверить его каким-либо другим методом.
Чтобы сделать это, предположим, что в покоящейся жидкости
волна частоты со с волновым числом к имеет плотность лагран-
лагранжиана 5"(со, к\, к2), и рассмотрим систему волн, устанавливаю-
устанавливающуюся под действием стационарного вынуждающего воздей-
воздействия, движущегося по жидкости со скоростью (— О,0). Такая
система должна иметь фазовую функцию вида
8 = 8(*1 + Ш, х2). A4)
Ясно, что функция в правой части должна быть той же самой,
что и фазовая функция для рассмотренной выше задачи о ста-
стационарных волнах на потоке жидкости.
Но, согласно теории Уизема, любая система волн в жидко-
жидкости удовлетворяет уравнению
д( \ да ) дхх \ дкг ) дх2 \ дк2 )'
Далее, для функций вида A4) имеем соотношение д/д( =
Отсюда получаем, что, во-первых,
и, во-вторых, уравнение A5) записывается в следующем виде:
.) +(
да> )+ дх2\дк2
Некоторые частные случаи применения теории Уизема 53
В то же время, согласно A6), плотность лагранжиана 5% для
волн, удовлетворяющих условию A4), равна
&,(кък2) = &{~иККЬ2), A8)
а из A7) следует, что она удовлетворяет простому уравнению
A3), выведенному ранее непосредственно.
При практическом применении уравнения A3) удобно ис-
использовать в качестве координат х и у вместо Х\ и Яг и (/, —т)
в качестве компонент волнового вектора вместо (ки к?). При
этом для периодических волн, определяемых величинами / и т,
независимой переменной является комбинация Aх — ту), а тан-
тангенс угла между направлением их распространения и осью х
равен 1/т. Уравнение A3) тогда переходит в следующее*.
ду \ дт ) дх \ д1 )'
где
Полезным свойством уравнений A9) и B0) является то, что
они абсолютно идентичны с уравнениями D) и B) после под-
подстановки величин
у, х, т, I, -2>3 B1)
вместо
I, х, со, к, .?.
В соответствии с этим любая часть общей теории, развитой
в переменных (х, {) применительно к задаче с «волнопродукто-
ром», может быть непосредственно взята и применена к «задаче
о стационарных волнах» на поверхности потока в переменных
(х,у) с использованием простой подстановки B1). Это обстоя-
обстоятельство существенно повышает полезность исследований, кото-
которые направлены на решение задачи с волнопродуктором.
Как показывает уравнение A8), чтобы получить функцию
3? ${1, т), мы просто должны взять плотность лагранжиана 3?
для плоских волн с частотой со и волновым числом (/, — т) и
подставить со = —Ш. Для волн на глубокой воде Лайтхилл [5]
получил лагранжиан 3? в следующей форме (см, также §4 ниже):
54 М. Дж. Лайттлл
где вместо к — модуля волнового вектора — нужно подставить
]//2+ т2. Заменяя © на —Ш, мы получаем для этого случая
-1L ...]• B3)
Аналогичным образом, кривая в плоскости (/, т), соответствую-
соответствующая волнам бесконечно малой амплитуды, получается подста-
подстановкой со = —Ш в соотношение между со, / и т для бесконечно
малой амплитуды. Естественно, что эта кривая та самая, на ко-
которой выражение B3) обращается в нуль, а именно
С/*/* = ё ур + т1. B4)
Она показана на рис. 1 сплошной линией. Далее, для конечных
амплитуд величина со2 возрастает быстрее, чем §к = § |//2 + т2<
так что для любого заданного значения ]/72 + т2 на рис. 1 ве-
величина 1/212 для случая конечных амплитуд больше, чем вели-
величина, соответствующая кривой. Поэтому реальным волнам от-
отвечает область справа от этой кривой; точнее, область между
нею и штриховой линией (отвечающей волнам максимальной
высоты для со2 = 1,20 §к, см. ниже соотношение B5)).
На кривой бесконечно малых амплитуд на рис. 1 точки, ле-
лежащие ниже точки Р, соответствуют длинным «поперечным»
волнам за препятствием. В этой области волнам конечной ам-
амплитуды отвечают точки, к которы.м кривая обращена своей во-
вогнутостью. Следовательно, такие длинные поперечные волны,
возникающие преимущественно при достаточно большой длине
препятствия Ь (точнее при малых числах Фруда 112/§Ь), описы-
описываются гиперболическим уравнением.
Напротив, точки, расположенные выше точки Р, отвечают ко-
коротким «боковым» волнам позади препятствия. Здесь кривая
обращена выпуклостью к области конечных амплитуд. Следо-
Следовательно, короткие боковые волны, преимущественно возни-
возникающие, когда препятствие мало в сравнении с его скоростью
(так что 112\цЬ велико), описываются эллиптическим уравне-
уравнением.
Можно возразить, что к задаче о «корабельных волнах», по
существу, невозможно применить теорию Уизема из-за упомя-
упомянутых в § 1 затруднений с многозначностью. Действительно, вся
хорошо известная кельвиновская волновая картина дважды по-
покрыта волнами «диагональной» и «боковой» систем, которые
Некоторые частные случаи применения теории Уизема 55
встречаются, образуя точки возврата, на линиях типа каустик,
идущих за препятствием под углом агсзш (Уз)= 19,5°.
Это возражение было бы решающим применительно к ко-
кораблю или препятствию, создающим достаточно широкий спектр
волн, заполняющих большую часть кельвиновской картины, для
которых, в частности, значительная часть энергии отвечает точ-
точкам, лежащим как ниже, так и выше точки Р на рис. 1. Однако
мы уже отмечали, что судно, дви-
движущееся при больших числах
Фруда, создает главным образом
боковые волны, соответствующие
точкам, лежащим значительно
выше точки Р; гребни этих волн
образуют малый угол с направле-
направлением движения судна. Если же
судно движется при малых чис-
числах Фруда, то оно создает глав-
главным образом диагональные вол-
волны (соответствующие точки ле-
лежат значительно ниже Р), при-
причем гребни образуют почти пря-
прямой угол с направлением движе-
движения. Любой из этих случаев (со-
(соответственно эллиптический и ги-
гиперболический) представляется
вполне подходящим для экспери-
ментальной проверки однознач- нГгТуВбгоГГоД"ТижРуНщё<йсВяОЛсНо(/ск^
НЫХ решений уравнений СУИЗема. ростью (I/, 0), представляется точкой.
Менее правдоподобным выгля-
выглядит рассуждение в пользу того,
что препятствия определенного
вида, движущиеся при промежу-
промежуточных числах Фруда и создающие волны главным образом
в окрестностях каустики с гребнями под углом около 55° к на-
направлению движения судна, могут давать волновую картину,
к которой можно применить теорию Уизема. Конечно, геометри-
геометрическая оптика дает неверную картину вблизи каустик, где точ-
точная линейная теория предсказывает появление весьма ха-рактер-
ных волн с длинными гребнями [8]; однако нелинейные эффекты
могут воспрепятствовать этой тенденции, и не исключено, что
при этом в некоторой форме окажутся приложимыми уравнения
Уизема.
Можно отметить, наконец, что диапазон волновых картин на
однородном потоке значительно шире совокупности форм, обыч-
обычно возникающих при обтекании судов. Для экспериментального
Рис. I.
р (, ), рд ,
лежащей между сплошной линией (от-
(отвечающей волнам бесконечно-малой
амплитуды) и штриховой линией (отве-
(отвечающей волнам максиыачьной ампли-
амплитуды).
56 М. Дж. Лайтхилл
сопоставления наряду с формами, создающими широкий спектр
волн, могут оказаться удобными препятствия, скажем, с волни-
волнистой боковой поверхностью, которые будут создавать волны пре-
преимущественно с определенным продольным волновым числом.
4. Вид лагранжиана для гравитационных волн
на глубокой воде
Как отмечалось выше, гравитационные волны на глубокой
воде могут оказаться особенно полезными для сопоставления
теории Уизема с экспериментом. Поэтому желательно опреде-
определить для них возможно точнее вид плотности лагранжиана
2? (со, к) во всем диапазоне амплитуд, в котором существуют пе-
периодические волны. Эта работа была начата Лайтхиллом [5],
в результате которой были найдены первые члены ряда B2),
приведенные выше.
Представляется крайне невероятным, чтобы получение удо-
удовлетворительной точности во всем диапазоне было связано с вы-
вычислением высших членов тейлоровского разложения по степе-
степеням [((и21§к) — П- Как известно, вычисление высших членов
тейлоровских разложений для волн на воде — дело весьма
сложное, причем трудности и вероятность ошибки необычайно
возрастают с каждым новым членом, тогда как интервал, в ко-
котором приближение приемлемо, возрастает лишь очень мед-
медленно.
Однако если требуется приближение для функции в некото-
некотором интервале, то ряд Тейлора с начальной точкой на конце ин-
интервала в принципе мало пригоден. Вместо того чтобы увели-
увеличивать длину ряда, .можно получить значительно большее
уточнение, используя сведения о функции на другом конце ин-
интервала. Именно такой подход получения приближения для ла-
лагранжиана «с двух концов» используется в этом разделе.
Максимальной амплитудой для периодической волны яв-
является та, при которой поверхность на гребне образует стоксов-
ский угол, равный 120°, причем скорость жидкости на гребне
равна фазовой скорости волны. Замечательное определение
формы этой волны, данное Мичелом [7], блестяще выдержало
критический анализ последующих лет и может быть использо-
использовано с полной уверенностью. Таким образом, можно использо-
использовать его результат для связи между частотой и волновым
числом
B5)
Фактически он получил этот результат как соотношение между
фазовой скоростью с и длиной волны Ь, а именно с2 = 0,191 §Ь.
Некоторые частные случаи применения теории Уизема 57
Он ошибочно считал, будто этот результат показывает, что ско-
скорость в 1,2 раза больше ее значения для бесконечно малых волн
(и Ламб [3] повторяет это утверждение), в действительности же
величина с2 в 1,2 раза больше, чем соответствующее значение
(а именно §Ь/2п) для бесконечно малых волн, отсюда и полу-
получается B5).
Плотность лагранжиана 9? в зависимости от со и к будет
получена из выражения для потенциальной энергии У на еди-
единицу площади горизонтальной проекции с использованием сле-
следующего соотношения (см. уравнение (85) работы [5], где нужно
исправить опечатку: заменить со2 на со3):
д (.27м2) _ 2у_
Это соотношение следует из выражения Уизема (адЗ'/да — 9?)
для полной плотности энергии C? + 2У) в задачах без псевдо-
псевдочастот. Если известна зависимость величины Ук2/р§ от пара-
параметра
г = а>2/§к B7)
при 1-<2<1,20 (см. B5)), то можно, интегрируя уравнение
B6), определить 3?к21р§, т. е.
= г | (Ук2/9ё) г~2 йг$ B8)
1
Первые два члена в разложении потенциальной энергии
вблизи г = 1
Ук2/рё = | (г - 1) - ^ (г - IJ + О (г - IK B9)
могут быть получены различными методами; эти члены неявно
присутствуют в уравнениях (90) и (91) работы [5]. Значение по-
потенциальной энергии для г = 1,2 также легко получается из
найденных Мичелом координат поверхности, если начертить
кривую у = у(х) и воспользоваться соотношением
■к \
т1т \\йх. C0)
о о
Это дает
(^2/Р2)г-1>2о = 0,0334, C1)
где ненадежна, в худшем случае, лишь последняя цифра.
Первый член в B9) дает при г = 1,2 значение 0,05, а пара-
параболическая аппроксимация (первые два члена) дает 0,04. Оче-
58 М. Док. Лайтхилл
видно, что уклонение от параболы не столь велико, поэтому вы-
выбор возможных форм кривых (которые должны соприкасаться
с параболой при 2=1) ограничен. Далее, если используется па-
параболическая аппроксимация для V, то из B8) для 3?к2/р@ п$и
2 = 1,2 получается значение 0,0041; это значение снижается До
0,0038, если для V подставляется некоторая гладкая кривая, на-
например кубическая, соприкасающаяся с параболой при г = 1 и
удовлетворяющая условию C1). Видно, что поправка мала »и
почти наверняка дает две верные цифры. Принимая 3?к21р§ 4
= 0,0038 при 2= 1,2, мы получаем из B6), что ;,
й{^к21рёIйг = 0,031.
Простое полиномиальное приближение, удовлетворяющее
этим двум условиям на конце интервала г = 1,2, а также двум
условиям при 2=1 (т. е. здесь известны значения второй и
третьей производных), имеет вид
^к219ё = \[{г- 1J-B- 1K-B- IL]. C2)
Такое полиномиальное приближение, удовлетворяющее равному
числу условий на обоих концах интервала, обычно особенно эф-
эффективно; оно далее используется во всех приложениях теории
Уизема к волнам на глубокой воде.
Когда необходимо связать г с высотой Н, измеряемой рас-
расстоянием между гребнем и впадиной, предлагается использо-
использовать в качестве подходящего приближения соотношение
2=1 + (яН/кJ, C3)
поскольку оно содержит первые два правильных члена разло-
разложения по степеням И/к и дает практически точные значения
в случае Мичела B = 1,2, Я = 0,142 к).
5. Слабая медленная модуляция цуга волн на глубокой воде
В своем докладе (см. стр. 83) Бенджамен описывает про-
проведенные им совместно с Фейром эксперименты, в которых со-
создавался цуг волн постоянной частоты с постоянной средней
амплитудой, на которую накладывалась слабая модуляция ам-
амплитуды. Он описывает также развитие модуляции при помощи
теории, которая, как можно ожидать, справедлива: 1) пока мо*
дуляция остается малой и 2) пока начальная амплитуда не
слишком велика. Наконец, он показывает, что, когда эти усло-
условия выполняются, эксперименты вполне удовлетворительно со-
согласуются с теорией.
Некоторые частные случаи применения теории Уизема 59
В упомянутом докладе для расчета развития модуляции
в двух различных случаях (а именно, когда ослаблены условия
A) либо B), упомянутые выше) используется теория Уизема.
Однако основное предположение теории Уизема приводит к тре-
требованию, чтобы C) модуляция была медленной.
Таким образом, теория Бенджамена требует выполнения ус-
условий A) и B), но не C). Теория, требующая выполнения.усло-
выполнения.условий B) и C), но не A), будет дана в § 9. Там же приводится
теория, требующая выполнения условий A) и C), но не B);
кроме того, дается сопоставление теории с экспериментами
Бенджамена и Фейра, включая и те эксперименты, которые про-
проводились при больших начальных амплитудах. Точнее говоря,
при помощи выражения лагранжиана из § 4 для произвольных
амплитуд мы рассчитаем развитие медленных слабых модуля-
модуляций цуга гравитационных волн, на глубокой воде на продолже-
продолжении периода, пока модуляции остаются слабыми.
Пусть <»о и к0 суть невозмущенные значения со и к; малые от-
отклонения фазы 8 от невозмущенного значения (кох —- сооО удо-
удовлетворяют уравнению E), в котором коэффициенты заменены
константами, т. е. их невозмущенными значениями 3?кко, 3?а<м
и 3?а!,о- Вблизи источника волн (л; =0) они удовлетворяют ус-
условиям
6 = - щг, дв/дх = ко + геш, C4)
так что частота со =—д8/д/ сохраняет фиксированное значение
«о, а волновое число (и поэтому также и амплитуда) модули-
модулируется. Решение уравнения E) при этих же условиях приводит
к выражению
6 = кох - щг + ее1а«-*'*> ^ C5)
где Со — «эффективная групповая скорость» (скорость распро-.
странения модуляции по лотку) —дается выражением
с0 = — =2гУъо/=2г'<й*о> C6)
а р — логарифмическая скорость нарастания модуляции с рас-
расстоянием — определяется формулой
Р = а {^а-М^ккО ~ -З^шэ) I ■З'ккО- C7)
Величина р вещественна, если уравнение эллиптично (так оно
и есть, согласно § 2, по крайней мере для не слишком больших
амплитуд).
Если бы величина р была мнимой, то решение по-прежнему
имело бы вид C5), но интерпретация его стала бы иной. В этом
случае не происходило бы никакого экспоненциального нараста-
60 М. Дж. Лайтхилл
ния, но модуляция распространялась бы с двумя скоростями с^
и с2, которые даются выражениями
Это и есть то «расщепление групповой скорости» в гиперболи
ческом случае, которое впервые отметил Уизем [9].
Используя выражение C2) для лагранжиана 5", легко вы-
вычислить с0 и р. Такое вычисление показывает, что величина р,
будучи вещественной для умерен-
умеренных амплитуд, становится мнимой
при 20 > 1,115, где г1 = а>11§к°.
Это означает, что для амплитуд,
превосходящих примерно три чет-
четверти максимальной амплитуды,
это уравнение гиперболично.
Результаты вычислений приве-
приведены на рис. 2, причем все ско-
скорости отнесены к невозмущенной
фазовой скорости соо/^о- Величина
Р представлена отношением
2яс0р/а, которое равно логариф-
логарифму увеличения глубины моду-
модуляции на расстоянии 2ясо/а ме-
между последовательными макси-
максимумами амплитуды волн. Для от-
отношений высоты к длине от 0,06
до 0,09 величина 2яс0р/а близка
к 0,7, так что глубина модуляции
для отдельного распространяю-
распространяющегося максимума примерно уд-
удваивается к тому времени, когда
у волнопродуктора возникает сле-
следующий максимум амплитуды. Для малых отношений высоты
к длине величина 2яс0р/а равна
(я2/2)ЯД= 14 Я /к.
Этот результат дают все теории, включая теорию Бенджамена,
когда выполнены условия A), B) и C).
Однако для отношений высоты к длине, превосходящих 0,108,
увеличения глубины модуляции не происходит. Напротив, ста-
становится четко выраженным расщепление групповых скоростей,
причем одна из них возрастает до величины, значительно пре-
превосходящей фазовую скорость,
ЙЙ5
Рис. 2.
Для периодических волн постоянного
направления на глубокой воде с часто-
частотой <о0 и волновым числом ко. слегка
модулированных частотой а < <з«, лога-
логарифмическая скорость E нарастания
глубины модуляции с расстоянием и
скорость со распространения максиму-
максимумов амплитуды представлены в функ-
функции от #Д (расстояние по вертикали
между гребнем и впадиной волны, де-
деленное' иа длину волны). При ЯД > 0,108
имеем Р = 0, но скорость распростране-
распространения расщепляется на две (^ и Сг).
Некоторые частные случаи применения теории Уиземп 61
В других докладах на настоящей дискуссии демонстрирует-
демонстрируется, что основная неустойчивость гравитационных волн с длин-
длинными гребнями на глубокой воде пропадает, когда глубина
модуляции уменьшается ниже определенного значения (Уизвм)
или когда частота модуляции превосходит определенное значе-
значение (Бенджамен). В настоящем параграфе в дополнение к этим
результатам показывает-
показывается, что появляется третья
граница неустойчивости,
когда амплитуда превос-
превосходит определенное зна-
значение ').
Экспериментальные дан-
данные относительно лога-
логарифмической скорости на-
нарастания глубины моду-
модуляции периодической вол-
волны представлены в док-
докладе Бенджамена (см.
рис. 4 на стр. 101) для
случая а = 0,1 ©о. Это оз-
означает, что временной пе-
период модуляции амплиту-
амплитуды составляет 10 циклов,
тогда как ее пространст-
пространственный период составляет
около 5 длин волн (он
весьма мал с точки зре-
зрения основного предполо-
предположения Уизема C)).
На рис. 3 настоящего
доклада эти эксперимен-
экспериментальные точки сопостав-
сопоставляются с тремя теоретиче-
теоретическими кривыми: штрих-
пунктирной линией, осно-
основанной на всех трех при-
приведенных выше предположениях A), B) и C); штриховой ли-
линией, соответствующей теории Бенджамена — Фейра, в которой
предполагаются выполненными только условия A) и B) и ко-
которая должна давать хорошие результаты для не слишком боль-
больших значений Н/Х; и сплошной линией, вычисленнной по теории
Рис. 3.
Логарифмическая скорость увеличения глубины
модуляции на длине волны (рА,) в зависимости от
ЯД. Сплошная кривая соответствует теории
§ 5 (см. также и рис. 2); штриховая— теории Бенд-
Бенджамена и Фейра; штрих-пунктирной линией пока-
показаны предельные значения сплошной линии дЖя
малых ЯД и штриховой линии для больших ЯД;
точками (пунктирная линия) показана предлагаемая
интерполяция между сплошной и штриховой лини-
линиями: кружками обозначены экспериментальные
результаты Бенджамена и Фейра.
') Четвертое обобщение основной теории дается в докладе Филлипса при
рассмотрении трехмерных форм неустойчивости.
62 М. Дж. Лайтхилл
настоящего параграфа, где принимаются только предположения
A) и C).
Как можно оценить, сравнивая штриховую и штрих-пунктир-
штрих-пунктирную линии, ошибка от использования предположения Уизема(З)
при а = 0,1 ©о существенна только при малых значениях Н/к
(скажем, менее 0,05) '). Из сравнения сплошной и штрих-пунк-
штрих-пунктирной линий видно, что ошибка в использовании предположе-
предположения B) о не слишком больших амплитудах существенна только
при больших значениях Н/к (скажем, больше 0,04). Эти оценки
показывают, что развитие модуляции, пока она остается малой
(предположение A)), должно хорошо описываться (незави-
(независимо от справедливости предположений B) и C)) пунктирной
линией, сопрягающей штриховую и сплошную линии вблизи
Н/к = 0,045. Поскольку во всех теориях не учитывалась вязкая
диссипация, можно было, очевидно, ожидать, что эксперимен-
экспериментальные точки будут лежать ниже даже этой пунктирной кри-
кривой; весьма отрадно, что они лежат ближе к ней, чем к любой
из кривых, основанных на предположениях B) и C). Для боль-
больших значений параметра Н/к нужны, конечно, дополнительные
данные.
6. Развитие группы волн умеренной амплитуды
за длительное время
Обратимся теперь к случаю, когда выполнены условия B) и
C) из § 5, но не выполнено условие A). Задача состоит в изу-
изучении модуляции после того, как она выросла по глубине и
стала сопоставимой с начальной амплитудой, или, более обще,
в изучении любой группы волн (не обязательно модулирован-
модулированной периодической волны), если амплитуда всюду остается не
слишком большой, а изменение параметров волн по группе про-
исхо'дит медленно.
Можно было бы думать, что ограничение исследования уме-
умеренными амплитудами помешает получить какой-либо резуль-
результат, отличный от тех, которые легко получить методами взаимо-
взаимодействия гармоник. Такое предположение неверно, поскольку
развиваемая теория описывает эволюцию группы волн за время,
сравнимое с деленной на безразмерную амплитуду временной
') Это связано с тем, что, согласно предположению Уизема, время релак-
релаксации, в течение которого обмен энергией между основной волной и ее гар-
гармониками приводит их в соответствие, характерное для периодической волны
данной амплитуды, должно быть мало в сравнении с периодом. Для дан-
данного периода это соответствует требованию, чтобы амплитуда не была слиш-
слишком мала (так как время релаксации возрастает с уменьшением амплитуды).
Некоторые частные случаи применения теории Уиземп 63
протяженностью группы. Это время достаточно велико для того,
чтобы каждый «элемент энергии» волн прошел через весьма
большое число взаимодействий гармоник. Их расчет порознь
оказался бы очень трудным, а их сглаженный результат должна
правильно дать приводимая здесь теория.
Аналогичным образом, в отсутствие дисперсии, как указы-
указывалось в вводных замечаниях, действие малых нелинейных воз-
возмущений при распространении на большие расстояния накапли-
накапливается и создает весьма большой эффект. Этот кумулятивный
эффект также невозможно рассчитать по методу умеренных ам-
амплитуд.
Лайтхилл [5] развил методы, применимые к группам двух
различных видов. Первый метод, кратко рассматриваемый здесь,
может быть применен, если разброс частот волн группы значи-
значительно больше разброса частот (для волн данной длины), свя-
связанного с разбросом по амплитуде. Тогда, если и частота, и
амплитуда меняются достаточно гладко, можно обосновать при-
приближения, которые делают построение теории относительно про-
простым ([5], § 5); здесь будут рассматриваться только такие
результаты.
Изменение со временем амплитуды волн определенной дли-
длины оказывается таким же, как и в линейной теории, но положе-
положение волн совершенно иное. Это утверждение в целом почти точно
воспроизводит соответствующий результат для случая отсут-
отсутствия дисперсии. Точнее говоря, положение определяется по пра-
правилу, что волна с волновым числом к перемещается со скоростью
(Ш-
значение которой известно, поскольку для определения © в за-
зависимости от к и I может быть использовано изменение ампли-
амплитуды во времени, полученное по линейной теории.
Уизем (см. § 4.3, первые шесть уравнений) упомянул воз-
возможный приближенный метод расчета, в котором, по существу,
принимаются эти результаты; его третье уравнение показывает,
что энергия распространяется так же, как и в линейной теории,
тогда как пятое уравнение, которое следует из соотношений B)
данного доклада, может быть записано в виде
,. дк . да дк , (ды\ дк
Отсюда следует, что величина к остается постоянной для изме*
нений их и сН, отношение которых равно величине, определяе-
определяемой формулой C9). Уизем упомянул этот метод в качестве
64 М. Дж. Лайтхилл
приближенной альтернативы вариационного метода, однако дан-
данный Лайтхиллом вывод этого метода из вариационных уравне-
уравнений при умеренных амплитудах и сравнительно большом диапа-
диапазоне частот показывает, что при этих условиях приближение
должно быть хорошим.
Соответствующий результат в теории корабельных волн
(§ 3) состоит в там, что для волны с данным продольным вол-
волновым числом / амплитуда также зависит от расстояния у от
курса судна, как и в линейной теории, но положение волн удо-
удовлетворяет условию
(*),-№).■ D1)
Далее будет рассматриваться только эта задача, поскольку за-
задачи в плоскости {х,г) были полностью рассмотрены Лайтхил-
Лайтхиллом [5].
Согласно линейной теории, точка (/, т) лежит на сплошной
кривой (см. рис. 1), уравнение которой B4) может быть запи-
записано в виде
„.(^-,)*_, д. D2)
Для конечных амплитуд зависимость т от / другая, и это из-
изменяет наклон D1). В частности, для умеренных амплитуд раз-
разность
D3)
изменяется как квадрат амплитуды; характер изменения можно
определить, если подставить ш = —1Л в соотношение между со,
/, т и амплитудой.
Если волна с продольным волновым числом / при у = 0 на-
находится в точке х = хоA), то, согласно линейной теории, для
больших значений у она находится в точке
уГA), D4)
тогда как волна с волновым числом / + б/ имеет координату
х = х0 (/) + х'о (/) Ы + у [/' (/) + /" (I) ВД- D5)
Следовательно, продольное расстояние между волнами с волно-
волновыми числами /и (/ + б/) возрастает пропорционально
A + аA)у), где
а (/) = /"(/)/*;(/). D6)
Далее, значение ш, пропорциональное квадрату амплитуды (и,
следовательно, составляющей потока энергии по оси у), должно
Некоторые чйстные случаи применения теории 'Уизема 65
меняться обратно пропорционально расстоянию, приходящемуся
на эти волны, а именно как
где №оA) — значение т при у = 0.
Для умеренных амплитуд зависимость хю от у при данном /
приближенно такая же, как и в линейном случае D7), но поло-
положение волн определяется соотношением D1), откуда находим
дх '
Соответственно уравнение D4) заменяется уравнением
^ ^^, D9)
Очевидно, что с возрастанием у могут появиться весьма значи-
значительные отклонения от линейной теории. Для малых значений у
начальное изменение наклона D1) из-за конечности амплитуды
удобнее всего найти, построив график зависимости между / и
т при у = 0 с помощью рис. 1. Ясно, что если амплитуда зна-
значительно меняется с длиной волны, то возможны изменения на
несколько порядков. Если амплитуда есть возрастающая функ-
функция /, то клин волн для данного значения / расширяется (гак
кзк производная дх/ду убывает).
7. Случай малого диапазона частот
Возвращаясь снова к задаче с волнопродуктором, рассмот-
рассмотрим ее во втором упомянутом ранее случае (см. § 6), а именно
в случае малого диапазона частот. При этом задача для волн
умеренной амплитуды не упрощается, а скорее усложняется, по-
поскольку это означает, что изменения положения волн из-за из-
изменений амплитуды могут полностью перестроить картину, ко-
которая возникла бы из-за одних изменений частоты. Эффекты
этих двух воздействий имеют примерно равную величину, и пер-
первый из них не может рассматриваться как малое возмущение
по сравнению со вторым, как это было сделано в § 6.
В случае эллиптичности, который здесь будет рассмотрен
(как мы видели, он охватывает задачу о волнах умеренной ам-
амплитуды на глубокой воде), сопоставление этих двух воздей-
воздействий существенно облегчается введением новой переменной
определяемой в общем случае как
г т
66 М. Дж. Лайтхилл
так что она изменяется прямо пропорционально амплитуде для
умеренных амплитуд. Например, для волн амплитуды а на глу-
глубокой воде при не слишком больших значениях максимального
наклона волны ка имеем
$с~2к2аУ2. E1)
Лайтхилл [5] показал, что если только амплитуды остаются
малыми, то главные члены уравнения G), преобразованного
путем введения 5 и к в качестве независимых переменных,
имеют вид
Цф+.^Ф+±.*Е. = О. E2)
дк2 дз2 ' « д« у '
Это преобразование ценно тем, что результирующее приближен-
приближенное уравнение довольно простое (это осесимметричное уравне-
уравнение Лапласа) и имеет один и тот же вид для всех одномерных
систем волн умеренной амплитуды без псевдочастот. Любой ре-
результат по решению краевых задач для уравнения E2) в рав-
равной степени приложим ко всем таким системам, а также (после
подстановки B1)) к аналогичной системе стационарных волн
на поверхности потока.
Граничные условия для уравнения E2) легко получаются из
соотношений
, _ 2 дф , _ дф . 2 (к - к0) ду ,-„,
г~"]17"й7' х~и°1-~дк"] 5 17' ***>
связывающих первоначальные независимые переменные (х, г)
и переменные, получающиеся в результате преобразования Ле-
жандра E0). В соотношениях E3) через ко обозначено харак-
характерное волновое число, по сравнению с которым волновое чис-
число к изменяется незначительно. Кроме того, использованы
следующие обозначения:
Пкй) = щ, }"(ко) = -ц. E4)
Очевидно, что граничные условия, отвечающие любой задаче об
эволюции группы волн, носят характер начальных данных
Коши: два условия задаются на некоторой начальной кривой
в плоскости («,&). Фактически это могут быть условия, описы-
описывающие состояние группы волн при I = 0, т. е. на некоторой
кривой в плоскости E, &) время I обращается в нуль, а коорди-
координата х представляет собой известную функцию. Напротив, для
волн, создаваемых неподвижным источником, х обращается
в нуль, а I представляет собой известную функцию точки кри-
кривой.
Комбинация эллиптического дифференциального уравне-
уравнения E2) с граничными условиями типа начальных данных (или
«гиперболического» типа) означает, что задача «некорректно
Некоторые частные случаи применения теории,Уизема 67
поставлена». Хотя такие комбинации все чаще используются
в последние годы и уже признано, что их постановка и решение
могут оказаться полезными при' рассмотрении важных физиче-
физических проблем, остаются еще некоторые вопросы общего харак-
характера, которые встают каждый раз, когда возникает такая за-
задача. Особые трудности заключаются в том, что, если началь-
начальные данные не удовлетворяют некоторым условиям гладкости,
решение может не существовать вовсе, и что, если даже началь-
начальные данные гладкие, то мало вероятно, чтобы решение было сво-
свободно от особенностей во всей плоскости.
В случае теории Уизема такие вопросы общего характера не
имеют значения. Эта теория устанавливает лишь, какой вид
имеют уравнения, если изменения происходят достаточно глад-
гладко. Решения этих уравнений определяют последующую эволю-
эволюцию волн до тех пор, пока изменения остаются гладкими. Если
возникают особенности, то это означает просто, что за конечное
время, которое можно определить, параметры волны (длина
волны и амплитуда) перестают меняться гладко. Физических
причин, препятствующих этому, не существует, так что теория,
предсказывающая, когда это произойдет, представляет очевид-
очевидный физический интерес.
Превосходным методом решения эллиптических уравнений
при гиперболических граничных условиях является .метод харак-
характеристик. Вообще говоря, скорее не тип уравнения, а «тип»
граничного условия определяет лучший способ решения задачи.
Риманов метод характеристик великолепно подходит для реше-
решения задач с начальными данными. Некоторые авторы (см., на-
например, [2]) показали, что мнимость характеристик эллиптиче-
эллиптического уравнения не создает непреодолимых трудностей для при-
применения этого метода. Значение ср в любой точке может быть
представлено интегралом по начальной кривой, взятым между
точками, в которых ее пересекают две характеристики, прове-
проведенные через точку (к, в). Точки эти мнимые, но интеграл мож-
можно вычислить, если только начальные условия можно продол-
продолжить аналитически в комплексную плоскость до этих точек.
Форма интеграла для уравнения E2) особенно проста, по-
поскольку это уравнение имеет весьма простую функцию Римана.
8. Случай первоначально постоянной длины волны
Частный случай, который хорошо иллюстрирует общую си-
ситуацию, описанную в § 7, состоит в расчете эволюции во вре-
времени группы волн постоянной длины, но переменной амплитуды,
так что
к = к0, 5 = 50(*) при / = 0. E5)
68 М. Дж, Лайтхилл
Соотношения E3) дают тогда
Ф = 0, дср/дк = х0 (з) при к = к0, E6)
где произвольная постоянная при интегрировании соотношения
дср/дз = 0 положена равной нулю и где
х = хо(з) — функция, обратная 5 = 50(*)- E7)
Лайтхилл [5] показал, что две другие задачи, представляю-
представляющие интерес, приводят к граничным условиям E6) с той же
степенью точности, с которой получено уравнение E2). Во-пер-
Во-первых, если начальные условия заданы не при I = 0, а на непо-
неподвижном волнопродукторе х = 0, 5 = 3\.A) (обратная функция
I = /1E)), то в том же приближении мы по-прежнему получаем
условия E6) с Хо(з) = —^1E). Во-вторых, если волнопродук-
тор поддерживает постоянную частоту, равную {(к0) (вместо
постоянного к, равного ко), то различие в граничных усло-
условиях E6) приводит к малым изменениям в решении, которыми
в том же приближении можно пренебречь.
Решение уравнения E2), определяемое при помощи извест-
известной для него функции Римана и граничных условий E6), имеет
вид
1С
где Р — гипергеометрическая функция, а пределы интегрирова-
интегрирования равны значениям 5, при которых характеристики, проведен-
проведенные из точки (&, 5), пересекают начальную кривую к = ко. Ин-
Интеграл E8) можно вычислить только в том случае, если Хо(з)
можно аналитически продолжить в комплексную плоскость.
Далее, всюду, где начальное изменение амплитуды 5 = 80(х)
аналитично в некоторой области, содержащей вещественную ось,
тем же свойством локально обладает и обратная функция х =
= Хо(з), если исключить точки стационарности 8о(х). Рассмот-
Рассмотрим, например, группу, амплитуда которой зо(х) имеет макси-
максимум, скажем 8о(хт) = зт. В этом случае обратная функция
Хо(з) аналитична в комплексной плоскости 5 только в том слу-
случае, если в этой плоскости проведен разрез от точки 5т до оо.
Интеграл E8) должен тогда вычисляться вдоль контура, кото-
который не пересекает разрез. Лайтхилл [5] показал, что если это
условие выполнено, то наличие разреза не приводит к появле-
появлению особенностей в решении E8) даже для значений 5 > 5т.
Он рассматривает частный вид изменений амплитуды в груп-
группе волн
5 = 50 (X) = , + (™д)Я - E9)
Некоторые частные случаи применения теории Уйзема 69
(Здесь хт=0 есть то значение х, при котором Зо(х) имеет мак-
максимум; X—расстояние, на котором амплитуда уменьшается до
5т/2; оно должно быть велико по сравнению с длиной волны.)
Как показывает Лайтхилл, в этом случае решение в плоскости
E,6) не имеет особенностей; тем не менее по истечении опреде-
определенного критического времени
F0)
обратно пропорционального максимальной амплитуде 5т, в пре-
преобразовании от переменных (х, () к переменным (к, з) появ-
появляется особенность и условие гладкости в физической плоскости
нарушается. Расстояние ыо^крит, проходимое волнами за крити-
критическое время, определяется для гравитационных волн выраже-
выражением ио/крит = О,49 Х/ка.
Вплоть до момента времени / = ^крит изменения амплитуды
в группе остаются гладкими и симметричными относительно не-
некоторой точки, движущейся со скоростью и0. Свойство четности
5 как функции (л; — ио() выводится из того, что потенциал ф,
определенный выражением E8), представляет собой четную
функцию (к — ко) (эта функция выглядит нечетной, но в дей-
действительности для получения решений, соответствующих I > 0,
следует хо(з) брать в виде ±.ХУ/(зт\з)—\ в зависимости от
знака неравенства к^.ко).
Максимальная амплитуда в группе волн все время нахо-
находится в средней точке х — ио1 и, как оказывается, возрастает
сверх начального значения 5т; однако полная энергия группы
остается постоянной, что в принятом приближении выражается
соотношением
оо
-$? / 5^ = 0. F1)
— оо
Увеличение максимальной амплитуды вызывается, таким обра-
образом, тенденцией к концентрации энергии в центре группы.
Этот процесс иллюстрируется на рис. 4, где показано также
еще одно интересное и неожиданное обстоятельство. Оказы-
Оказывается, рассматриваемый процесс обладает «инкубационным пе-
периодом» в том смысле, что до момента времени I = 0,7/Крит про-
происходят лишь незначительные изменения распределения ампли-
амплитуды.
С другой стороны, распределение волнового числа начинает
меняться раньше, что, по-видимому, служит причиной других
изменений. Физически это можно понять так, что там, где ам-
амплитуда максимальна, гребни волн продвигаются вперед наибо-
наиболее быстро. Это приводит к уменьшению длин волн впереди
70 М. Дж. Лайтхилл
максимума амплитуды и увеличению длин волн за ним. После-
Последующие изменения в скорости распространения энергии вызы-
вызывают переход энергии к центральной части группы как спереди,
так сзади.
Наконец, при ( = {кркт в середине группы возникает настоя-
настоящий разрыв длины волны, а распределение амплитуд приобре-
приобретает здесь точку возврата. После того как нарушено предполо-
предположение о гладкости, теория не может быть адекватным образом
'.5 т
Рис. 4.
Изменение со временем волнового числа к и безразмерной амплитуды $ (см. уравне-
уравнение E1)) в группе волн с постоянным начальным волновым числом йо н «, удовлетво-
удовлетворяющим соотношению E9). Здесь Но""Г(*о) и критическое время *крНТ определено
выражением F0), где и = —{" (к0) и для воли иа глубокой воде Цк) = Уцк'
использована для выяснения того, что происходит при I > ^Крит,"
попытки выяснить это, в том числе и в § 16 работы Лайтхилла
[5], дают, как мы увидим, неверные результаты.
9. Определение критического времени в некоторых
частных случаях и в случае синусоидальной модуляции
Результаты, приведенные в § 8 для частного начального рас-
распределения E9), получены также для весьма широкого класса
распределений амплитуды, симметричных относительно точки
максимальной амплитуды х=0. Совершенно такие же рассу-
рассуждения показывают, что группа волн остается симметричной
относительно ее максимума, движущегося со скоростью и0; при
этом волновое число сохраняет постоянное значение к0.
Чтобы выяснить, как максимальное значение амплитуды воз-
возрастает со временем, и определить критическое время, при ко-
котором скорость роста становится бесконечной, можно восполь-
воспользоваться выражением E8) при 5 > зт в предельном случае,
Некоторые частные случаи применения теории Уизема 71
когда к стремится к ко сверху. В этом предельном случае интег-
интеграл не обращается в нуль из-за разреза, проведенного от 5 = 5т
до 5 = оо. Путь интегрирования проходит от точки на нижнем
берегу разреза до 5 = 5т, а затем — обратно по верхнему берегу.
Если амплитуда 5=5с(*) имеет при х = 0 простой максимум
с 5"@) < 0, то обратная функция *оE) на берегах разреза при-
принимает чисто мнимые значения. Эти значения обратной функции
очень просто выразить через |0($)—обратную функцию для
з = 50A1). При этом л;0E) =г|оE) на нижнем берегу разреза и
хоC)=—г"|оE) на верхнем, так что из E8) находим соотноше-
соотношение
МDГA1<§>, .,62,
откуда вместе с выражением E3) для времени, а именно
1 ~ »з дз'
следует, что амплитуда 5 в середине группы зависит от I.
К числу интересных относятся случаи, для которых
80(х) = за(\ + Асозхх), F4)
так что на среднюю амплитуду 5а наложена модуляция с мак-
максимальным значением
5т = 5аA + Л) F5)
и минимальным 5аA—А), где 0<Л< I. В предположении (I)
из § 5 потребовалось бы, чтобы величина А была малой, но рас-
рассматриваемый здесь метод может быть использован при любых
значениях А. Метод применим, если только выполнены условия
B) и C), т. е. если 5т умеренно мало ии«А.
Функция |о(«), обратная к 5о(«|), очевидно, имеет вид
Вместе с F2) и F3) это соотношение определяет нарастание
амплитуды в середине группы для данного случая. Отношение
амплитуд представлено на рис. 5 для А= 1; 0,3; 0,1; 0,03; 0,01.
В каждом случае нарастание амплитуды вначале происходит
экспоненциально, как ожидалось согласно § 5. Действительно,
когда величина E — 5т) мала, из F2) и F3) следует, что
4 ^ F7)
72 М. Дж Лайтшлл
откуда с учетом выражения F6) находим
F8)
Это согласуется с результатами, получаемыми методом Бенджа-
Бенджамена или другими методами, когда выполнены все предполо-
предположения (I), B) и C) из § 5. Аргумент гиперболического ко-
косинуса -ъ\лзт1 возрастает на величину л \^ка, когда расстоя-
расстояние ио(, пройденное максимумом амплитуды, становится равным
Рис. 5.
Изменение во времени максимальной амплитуды для группы волн, имеющих
вначале постоянную длину волны и медленную синусоидальную модуляцию F4),
где А принимает значения 1,0; 0,3; 0,1; 0,03 и 0,01. указанные вблизи кривых.
Сплошной линией показаны результаты теории §9; штриховой —результаты
расстоянию 2л/х между последовательными максимумами ам-
амплитуды (заметим, что величина л; У/2 ка, будучи выражена че-
через высоту волны Я, измеряемую расстоянием между гребнем
и впадиной, составляет л2У~2 Н/к, как и в § 5).
На рис. 5 ордината 8/8т показывает увеличение максималь-
максимальной амплитуды относительно ее начального значения, тогда как
абсцисса \18т%1 измеряет время; другое выражение для этой аб-
абсциссы Ц8ту.1 = ка У~2хи^, где ка — максимальное значение на-
наклона начальной волны. Рядом с каждой кривой (сплошные
линии), воспроизводящей результаты рассмотренной теории,
приведена штриховая кривая, отвечающая приближенному вы-
выражению F8), которое справедливо для малых изменений мак-
максимальной амплитуды.
Точно так же, как и § 8, когда максимальная амплитуда
увеличивается на определенную долю от начального значения
(в интервале от 24% до 57% при изменении А от 0,01 до 1, что
Некоторые частные случаи применения теории Уизема 73
можно сравнить с величиной 39% в § 8), обнаруживается крити-
критическое поведение (бесконечная скорость роста максимальной
амплитуды во времени и разрыв длины волны). Во всех случаях
производит столь же сильное впечатление существование «инку-
«инкубационного периода», как и в § 8; его физическое объяснение
остается прежним.
10. Сравнение с экспериментом
Приведенная в § 5 теория была сопоставлена с эксперимен-
экспериментальными результатами Бенджамена и Фейра. Теперь мы срав-
сравним результаты § 9 с экспериментальными данными, получен-
полученными в той же лаборатории.
Рассмотренная теория была впервые частично опубликована
в апреле 1965 г.; это был главным образом материал § 8, отно-
относящийся к группе волн специальной формы E9) с единствен-
единственным максимумом амплитуды в середине группы. Вскоре после
этого Фейр решил поставить эксперимент, который служил бы
проверкой выводов теории для случая, настолько близкого к тео-
теоретическому, насколько это возможно реализовать на установке,
допускающей лишь синусоидальную модуляцию. С этой целью
он настроил волнопродуктор так, чтобы создавать группу волн,
близко следующую выражению F4) при Л=1 для |*|<я/х и
удовлетворяющую соотношению 50(*) = 0 при \х\>л/х. Таким
образом, изменение амплитуды состояло из одной «дольки» си-
синусоиды; вторая его производная (но не первая) была разрывна
при х=±п/х.
Сравнение наблюдаемых им значений для критического вре-
времени с теоретическими из § 8 дало удовлетворительное совпа-
совпадение при условии, что значением было выбрано так, чтобы обе
группы волн были возможно ближе друг к другу (скажем, в
смысле наименьших квадратов). Однако более удовлетворитель-
удовлетворительным было бы сравнение экспериментальных результатов с тео-
теоретическими именно для синусоидального изменения амплитуды,
что стало возможным после разработки теории § 9.
Очевидно, что детальное сравнение с теорией при А=\ в вы-
выражении F4) было бы лучше проводить для экспериментов
(до сих пор еще не выполненных), в которых изменение ампли-
амплитуды представляется выражением F4) не только при |#|<я/х,
но и в значительно более широком диапазоне значений х. Недо-
Недостаточная гладкость, выражающаяся в виде разрыва второй
производной закона изменения амплитуды при х=±я/х, вызо-
вызовет отклонение от теории. Это отклонение сохранится даже для
бесконечно малых амплитуд, когда, согласно линейной теории.
74 М. Дж. Лайтхилл
появляется максимум местной частоты, высота которого будет
возрастать с расстоянием от волнопродуктора.
Фактически результаты Фейра (см. ниже, стр. 77) указы-
указывают именно такой узкий максимум частоты на концах группы.
Этот результат недостаточной начальной гладкости изменения
амплитуды представляется, однако, вполне локализованным
(как показывает и линейная теория, вероятно, вполне точная
там, где амплитуда мала); изменения же в середине группы
вплоть до критического времени происходят, по-видимому, не-
независимо от него.
Эти изменения измерялись на расстоянии 8,5 м от волнопро-
волнопродуктора для различных значений амплитуды и периода модуля-
модуляции. Когда временной период модуляции амплитуды в 25 раз
больше периода волн, можно ожидать (как и подтвердилось),
что результаты вполне хорошо согласуются с теорией Уизема.
Для некоторых (малых) амплитуд расстояние 8,5 м меньше, чем
предсказываемое теорией критическое расстояние, но наблюдае-
наблюдаемая группа волн все еще остается точно симметричной и ее се-
середина распространяется с групповой скоростью ио = 31 см/сек,
отвечающей частоте волн 2,5 гц. Для других (больших) ампли-
амплитуд расстояние 8,5 м превосходит критическое расстояние и на-
наблюдаемая группа становится заметно асимметричной.
Точное сравнение изменений максимума амплитуды с тео-
теорией невозможно из-за различных источников диссипации (в том
числе потерь на боковых стенках лотка), снижающих началь-
начальную энергию группы примерно до половины на расстоянии
8,5 м. Можно, однако, сравнивать критические расстояния. Тео-
Теоретическое значение критического растояния, выраженное через
максимум начального наклона волны ка, равно
Экспериментальное значение оказывается равным 8,5 м при
ка = 0,07, так как группа волн при 8,5 м остается еще симмет-
симметричной, но приобретает заостренную форму, сильно напоминаю-
напоминающую теоретический результат для / = /1фит. (В статье Фейра на
рис. 2 изменения амплитуды приведены для ка = 0,078; там
видна как раз начинающаяся проявляться асимметрия.)
Теоретическое же выражение F9) равно 8,5 м при йа = О,ОбЗ.
Причина того, что это значение меньше экспериментально на-
наблюдаемого, по-видимому, связана с упомянутым влиянием дис-
диссипации энергии, приводящим к уменьшению максимального
наклона примерно от 0,07 до 0,06 на рассматриваемом расстоя-
расстоянии.
Некоторые частные случаи применения теории Уизема 75
Вместе с тем вычисления, описанные в § 8, показывают (см.
рис. 4), что волновое число возрастает примерно на
0,25т~@,56йа)й G0)
в передней части группы волн с соответствующим уменьшением
позади группы. На рис. 2 Фейра показано, что фактически осу-
осуществляется изменение примерно на 0,033 к, которое согласует-
согласуется с выражением G0) при йа = 0,06. В этом отношении, как и
раньше, можно считать, что экспериментальный результат пред-
предварительно подтверждает теорию Уизема вплоть до критиче-
критического момента.
Как оказалось (см., например, рис. 3 Фейра), закритическое
состояние группы заметно асимметрично. Хотя предположения,
на которых основана теория Уизема.в этой области нарушаются,
Лайтхилл [5] без особого обоснования видоизменил теорию,
чтобы использовать ее для закритических состояний. От этого
видоизменения придется отказаться, так как из него следует,
что группа остается симметричной. К настоящему времени нет
еще теоретического объяснения для появления асимметрии1).
Тем не менее напрашивается определенная аналогия. Сим-
Симметричный двумерный профиль, обладающий к тому же сим-
симметрией относительно поперечной оси, вызывает при обтекании
невязким дозвуковым потоком течение с полной симметрией от-
относительно поперечной оси при всех числах Маха вплоть до не-
некоторого критического значения, когда впервые появляется раз-
разрыв (т. е. ударная волна). После достижения этого значения
числа Маха течение становится сильно асимметричным. В рас-
рассматриваемой задаче появление разрыва (разрыва длины вол-
волны) в середине группы аналогичным образом вызывает сильную
асимметрию распределения амплитуды.
Предварительный вывод этого доклада, который можно сде-
сделать на основе ограниченного сопоставления с экспериментом
для простых систем, состоит в том, что теория Уизема дает
надежные результаты в тех пространственно-временных обла-
областях, где выполнены ее предпосылки и, в частности, где решение
остается однозначным. Таким образом, работа над аналитиче-
аналитическими задачами, возникающими при применении теории к
более сложным проблемам, представляется потенциально доста-
достаточно полезной, чтобы полностью оправдать затрачиваемые уси-
усилия.
') В предыдущем докладе в § 4.5 (добавленном после дискуссии) Уизем
показывает, как можно получить такое объяснение.
76 М. Дж. Лайтхилл
ЛИТЕРАТУРА
1. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, т. 2, ИЛ,
М., 1964.
2. СагаЪесПап Р. К., /. Ма1Н. РНув., 36 A957), 192. (См. русский пере-
перевод: сб. Механика, № 6 A958).)
3. Л а м б Г., Гидродинамика, ГТИ, М.—Л., 1947.
4. Ь ! е Ы Ь Ш М. У, 1. 1пз1. Ма1Н. АРР1., 1 A965), 1.
5. 11 2 Ы Ы 11 М. У, ]. 1п8(. Маш. Арр1„ 1 A965), 269.
6. Ь о п е и е 1 - Н 1 е |г 1 п з М. 5., РНИ. Тгапз., А245 A953), 535.
7. М 1сЬ е1 и. Н., РНИ. Мае- E), 36 A893), 430.
8. 11гвеП Р.. /. Р1ша МесН., 8 A960), 418.
9. ШЬПЬат О. В., Ргос. Ноу. Зое, А283 A965), 238.
10. Ш Ь ! 1 Ь а т О. В., /. РШа МесН., 22 A965), 273.
Обсуждение
Некоторые результаты опытов с волновыми
импульсами
ДЖ. ФЕИР
На рис. 1—3 представлены в компактной форме данные о не-
некоторых экспериментах с волновыми импульсами, проведенных
в длинном лотке, снабженном волнопродуктором. Цель этих эк-
экспериментов состояла в исследовании влияния конечной .ампли-
.амплитуды на форму волновых импульсов, распространяющихся по
глубокой воде, и распределение частоты в них. Каждый импульс
создавался путем медленного изменения хода волнопродуктора
от нулевой амплитуды до некоторого максимального значения
с последующим изменением до нулевой амплитуды. После этого
электрическими датчиками записывались результирующие пере-
перемещения поверхности в различных точках вдоль осевой линии
волнового лотка.
Частота волнопродуктора во всех опытах составляла 2,5 гц
(что соответствует длине регулярных волн около 25 см). Пери-
Периоды импульсов, выбранных для представления быстрой и мед-
медленной модуляции, составляли 12,5 и 25 периодов волнопродук-
волнопродуктора.
Максимальный за импульс ход волнопродуктора менялся
в опытах от 0,19 см для волн малой амплитуды до 1,5 см для
волн большой амплитуды. Оказалось, что значения хода, пре-
превосходящие примерно 0,64 см, дают импульсы с нерегулярной
формой и нерегулярными частотными характеристиками, как это
будет здесь продемонстрировано. Однако при ходе, меньшем
0,64 см, были получены иные, весьма интересные эффекты, ил-
иллюстрируемые на рис. 1 и 2, В обоих случаях запись произво-
производилась в точке на расстоянии 34 длин волн от волнопродуктора,
а длительность импульса составляла 10 сек B5 периодов вол-
волнопродуктора).
На рис. 1 представлен импульс очень малой амплитуды, рав-
равной около 0,1 см. На верхней диаграмме точками помечены
гребни и впадины отдельных волн, входящих в данную группу.
Импульс имеет гладкий профиль, симметричный относительно
максимума.
Частота волн определялась путем измерения времени, отде-
отделяющего гребни и впадины. Затем подсчитывалась величина
78 Дж. Фейр
изменения частоты в долях от основной частоты; эта величина
представлена на нижней диаграмме рис. 1. Вблизи концов груп-
группы волн обнаруживается разброс частоты, но в основной части
группы частота волн остается удивительно постоянной.
-0,2*-
Ю
15
20 25
Рис. 1. Характеристики импульса.
Расстояние от волиопродуктора 8,4 м, частота волнопродуктора {„ = 2,50 гц,
ход 5 = 0,19 см, длительность импульсл 10,00 сек. По горизонтали отложено
время (в периодах источника); Я/25 — высота волны; {} — {оI{>— изменение
частоты.
В случае, представленном на рис. 2, ход волнопродуктора
был увеличен более чем в два раза; максимальная высота волн
в группе оказалась приблизительно в три раза больше, чем в
предыдущем случае, составляя примерно 0,25 дюйм. Профиль им-
импульса здесь значительно острее вблизи максимума и заметно
асимметричен. Другое важное изменение, вызванное увеличе-
Некоторые результаты опытов с волновыми импульсами 79
нием амплитуды, проявляется на частотной диаграмме импульса.
Здесь в противоположность равномерному распределению, на-
наблюдаемому в случае малых амплитуд, распределение частоты
0,*
0,2
0
-0,2
0
1
-
-
5
1
лш
10
1
•
|
1
/5
1
•
20 25
•
•
0,2 г
оо
О
с
-
о
о„
°о
а
1
о
о
р
ооаЯ
о
1
\^
1 1
о
°о
о °ооо
°о ° о00
00
-
1 1
10
15
20 25
Рис. 2. Характеристики импульса.
Расстояние от волнопродуктора 8,4 м. Частота волнопродуктора ^^г.бО га;
ход 5 = 0,45 ск; длительность импульса 9,92 сек. Обозначения те же, что и иа'
рис. 1.
имеет отчетливый изгиб; кроме того, волны повышенной ча-
частоты, представленные положительными значениями параметра
(/ — /о)Но, оказываются движущимися быстрее максимума груп-
группы, тогда как волны меньшей частоты отстают от него. Этот
результат согласуется с предсказанием Лайтхилла [1] о том, что
на глубокой воде перед максимумом группы волн движутся
0.'1
О —
-0,1
0-
-0,2 1-
0,2 Т
о-
-02*-
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
-* Время —»4---|» /сел
11111
0,2 т
0-
-0,2
0,1, т
I 1 I I I I I I I I I > > I I > •
11111111I
О- ■
-0,4 х
О -•
-0,4 ■*•
Рис. За. Записи волновых импульсов.
По оси ординат указан масштаб смещений поверхности воды, дюймы. Рас-
Расстояние от волиопродуктора 8,4 ц.
-0,1 х
ОЛ т
О ■■
-0,2
0,2 л
О
-0.2
> I I >.| >
||||
дюйм сен
0,15 5,04
0,25 5,02
0,30 5,01»
||||||
I
0,2
0
0,2
0,4
0Л
0,4
5,0*
0,50 5,12
^._ 0,60 5,02
-0.1
Рис. 36. Записи волновых импульсов (продолжение).
По оси ординат указан масштаб смещений поперхности воды,
дюймы. Расстояние от волиопродуктора равно 1,2 м. Числа пока-
показывают максимальный ход (дюймы) волиопродуктора при частоте
2,5 гц и продолжительность импульса (сек).
§ 33к. Щ
82 Дж. Фейр
компоненты с большим волновым числом, а за ним следуют
компоненты с меньшим волновым числом.
На рис. За и 36 показан вид волновых импульсов, когда ам-
амплитуда волн взята очень большой. Приведены записи, сделан-
сделанные на расстоянии 1,2 и 8,4 м от волнопродуктора и соответ-
соответствующие 6 значениям хода волнопродуктора и продолжитель-
продолжительности импульса в 5 сек. Справа от формы волны на рис. 36
показана запись перемещения волнопродуктора.
При повышенной амплитуде волн обнаруживается, что вблизи
волнопродуктора профиль импульса теряет симметрию относи-
относительно максимума и постепенно, по мере движения импульса по
лотку, разделяется на две различные группы. Частота в этих
группах изменяется нерегулярно, но, по-видимому, частота в опе-
опережающей группе ниже, чем частота в отстающей.
ЛИТЕРАТУРА
1. 11 % Ы Ь П 1 М. Л.,/- 1пя1. Ма(Н. Арр1., 1 A965), 269.
Неустойчивость периодических цугов
волн в нелинейных системах с дисперсией
Т. Б. БЕНДЖАМЕН
Определяющим свойством рассматриваемого здесь класса физических
систем является то, что вследствие установления равновесия между нелиней-
нелинейными и частотно-дисперсионными эффектами в таких системах могут распро-
распространяться периодические волны постоянной формы с конечной амплитудой.
Поэтому для любой такой системы динамические уравнения, описывающие
распространение относительно невозмущенного состояния в направлении
оси х, имеют точные периодические решения, скажем, вида ц (х, I) =Н(х — с1),
где с — постоянная фазовая скорость, зависящая как от амплитуды волн, так
и от их частоты илн длины. В этой статье рассматривается тот факт, что
во многих случаях этн однородные цугн волн неустойчивы по отношению
к малым возмущеаням определенного рода, так что на практике при попытке
вызвать их распространение на большие расстояния они будут распадаться.
Замечательным недавно обнаруженным примером является неустойчивость
гравитационных волн конечной амплитуды на глубокой воде: в настоящее
время имеются несомненные экспериментальные доказательства этого свой-
свойства, которое было обнаружено также и аналитически.
Факторы, приводящие к неустойчивости, описаны в общих чертах в § 2.
Возмущение, способное извлекать энергию из основного волнового движения,
состоит из пары синусоидальных волн, частоты и волновые числа которых
отличаются от основной частоты и волнового числа на некоторую малую их
долю. Нелинейные эффекты препятствуют ослаблению этих волн вследствие
дисперсии, н онн приходят в резонанс со второй гармоникой основного дви-
движения, вследствие чего их амплитуды совместно увеличиваются, причем уве-
увеличение происходит экспоненциально по времени и пройденному расстоянию.
В § 3 приведено подробное исследование устойчивости цугов волн на воде
произвольной глубины й и показано, что они неустойчивы, если основное вол-
волновое число к удовлетворяет условию кН > 1,363, и устойчивы в противном
случае. Наконец, в § 4 обсуждаются некоторые экспериментальные результаты
относительно неустойчивости волн на глубокой воде н дается обзор некото-
некоторых возможных приложений этих идей к другим частным системам.
1. Введение
Основной вопрос настоящего сообщения состоит в том, устой-
устойчив или нет однородный цуг волн в нелинейной системе с дис-
дисперсией. Из рассматриваемых задач наиболее типична задача
о параллельных волнах с прямолинейными гребнями на поверх-
поверхности бесконечного слоя воды с горизонтальным дном, но в даль-
дальнейшем будут упомянуты и некоторые другие физические про-
проблемы, к которым имеют отношение излагаемые идеи. Здесь
предполагается дать обзор экспериментальных и теоретических
исследований по неустойчивости и последующему разрушению
волн на глубокой воде, проведенных совместно с Фейром за
последние два года. Предварительное сообщение об этой работе
84 Т. Б. Бенджамен
было представлено год- назад на Седьмом британском коллок-
коллоквиуме по теоретической механике в Лидсе, а подробнее она из-
излагается в статьях [1, 2]. Однако некоторые более поздние ре-
результаты будут сообщены здесь впервые, в частности будет по-
показано, что обнаружилось при исследовании на устойчивость
волн на воде произвольной глубины.
Чтобы уточнить обсуждаемые положения, нужно сначала на-
напомнить следующие известные факты. Отличительное свойство
многих нелинейных систем, обладающих в то же время диспер-
дисперсией, состоит в том, что их динамические уравнения допускают
периодические, хотя и не синусоидальные, решения, представ-
представляющие прогрессивные волны конечной амплитуды, но с неиз-
неизменной формой волны. Эти решения получены в предположении
равновесия между эффектами нелинейности и частотной диспер-
дисперсии, так как в отсутствие любого из этих факторов такие уста-
установившиеся волны вообще невозможны. В случае волн на воде
предположение о существовании таких решений высказывали
многие авторы уже на ранней стадии изучения вопроса, причем
считалось, что их можно выразить в виде разложения в ряды
по амплитуде волн. Это разложение обычно называют стоксо-
вым, поскольку Стоке впервые определил его главные члены.
Тем не менее доказательство существования установившихся
волн на воде представляет собой труднейшую математическую
задачу; по этому поводу в начале столетия шла оживленная
дискуссия, в частности высказывались существенные сомнения
в сходимости стоксова разложения.
Вопрос был окончательно разрешен в знаменитой работе
Леви-Чивита [9]. Он доказал, что стоксово разложение для воля
на воде бесконечной глубины сходится при достаточно малых
значениях отношения амплитуды волны к ее длине; тем самым
было показано, что нелинейные граничные условия в задаче
о волнах на воде могут точно удовлетворяться для волн неиз-
неизменной формы. Это доказательство было обобщено Стройкой
[13] на волны малой амплитуды на воде произвольной глубины,
а в недавних работах Красовского [6, 7] было установлено, на-
наконец, существование установившихся периодических волн для
всех амплитуд, меньших предельной, при которой гребень волны
становится острым. Однако несмотря на большое число работ
по доказательству существования волн на воде, имеющих неиз-
неизменяющуюся форму, вопрос об их устойчивости до сих пор, по-
видимому, не рассматривался, если не считать некоторых по-
попыток Кортевега и де Фриза в 1895 г., относящихся к длинным
волнам на мелкой воде. Удивительный факт, обнаруженный
к настоящему времени, состоит в том, что волны Стокса на до-
достаточно глубокой воде определенно неустойчивы.
Неустойчивость периодических цугов волн 85
Практически этот факт был продемонстрирован в опытах,
описываемых Бенджаменом и Фейром [2]. На одном конце длин-
длинного лотка создавались цуги волн на глубокой воде достаточно
большой амплитуды (однако значительно меньшей, чем та, при
которой появляются барашки), а затем наблюдалось их рас-
распространение на расстояния, составляющие много длин волн.
Было замечено, что если такой цуг волн распространяется до-
достаточно далеко, то в нем обнаруживаются значительные нере-
нерегулярности, даже если вблизи волнопродуктора отклонения от
периодичности были едва заметны. И, наконец, на больших рас-
расстояниях от места возникновения цуг волн может полностью раз-
разрушиться, а его энергия соответственно перераспределяется по
широкому спектру. Начальная фаза этих явлений, на протяже-
протяжении которой нерегулярности увеличиваются, но все еще остаются
достаточно Малыми, поддается анализу и более или менее полно
изучена. Далее будут приведены примеры того, как согласуются
теоретические и экспериментальные результаты.
Эффекты, возникающие вследствие неустойчивости волн,
красноречиво демонстрируются на рис. 1. На этих двух фото-
фотографиях показан цуг волн, полученный в большом опытовом
бассейне (гидроканал № 3) корабельного отделения Националь-
Национальной физической лаборатории (НФЛ) в Фельтхэме. Основная
длина волны равна 2,2 м, а глубина воды 7,5 м. На рис. 1, а по-
показан цуг волн вблизи от волнопродуктора, расположенного у
одного из концов бассейна; здесь цуг волн явно регулярен, если
не считать мелких неровностей, которые неизбежны при созда-
создании волн таких размеров и несущественны для рассматривае-
рассматриваемых процессов. Для сравнения на рис. 1,6 тот же цуг волн по-
показан на расстоянии 60 л B8 длин волн) от волнопродуктора;
можно видеть, насколько велики произошедшие искажения.
Правда этот случай был искусственным в том отношении,
что малые возмущения в виде отдельных неустойчивых синусоид
создавались путем модуляции возвратно поступательного дви-
движения волнопродуктора (подробнее об этом будет сказано
позже), поэтому показанные на рис. 1 результаты не должны,
конечно, бросить тень на превосходное оборудование НФЛ. Од-
Однако и в любом достаточно длинном гидроканале случайные
фоновые возмущения будут самопроизвольно порождать боль-
большие искажения, если только амплитуда волн превышает неко-
некоторый уровень, на котором механизм неустойчивости (опреде-
(определяемый нелинейными эффектами и поэтому сильнее проявляю-
проявляющийся при больших амплитудах) уже не подавляется действием
вязкости. Это явление, вероятно, уже наблюдали многие экспе-
экспериментаторы (оно определенно известно сотрудникам корабель-
корабельного отделения НФЛ), хотя уровень амплитуды волн, при кото-
' Неустойчивость периодических цугов волн 87
типа со временем в качестве независимой переменной, поскольку
интуитивно очевидным свойством рассматриваемой физической
задачи является допустимость в начальный момент произволь-
произвольных данных Коши (т. е. гиперболические граничные условия).
С физической точки зрения правильная интерпретация со-
состоит, по-видимому, в том, что если началось некоторое весьма
постепенное изменение цуга волн, то оно сперва должно все
время усиливаться, так что (в силу эллиптичности описываю-
описывающих эти возмущения уравнений) параметры волн изменяются
монотонно, не проходя через максимум или минимум; поэтому
с течением времени искажения цуга воли станут столь силь-
сильными, что теория окажется неприменимой. Таким образом, во-
вопрос о применимости теории на всем бесконечно большом про-
промежутке времени отпадает, но для ограниченного диапазона
времени данная теория дает адекватное описание. В этом смысле
результаты Лайтхилла и Уизема полностью соответствуют ре-
результатам излагаемого ниже исследования неустойчивости, со-
согласно которому бесконечно малые возмущения определенного
рода могут увеличиваться неограниченно. В противовес теориям
Лайтхилла и Уизема, имеющим преимущества при описании
больших возмущений, излагаемая теория даст большую точность
при описании поведения малых неустойчивых возмущений.
В частности, здесь найдены условия максимума скорости роста
возмущении и условия среза, определяющие переход к устойчи-
устойчивому поведению возмущений.
Элементы этой теории имеют сходство с некоторыми из ре-
результатов теории резонансного взаимодействия волн на воде,
развитой за последние годы Филлипсом и его сотрудниками.
Однако отбор этих элементов должен быть весьма тщательным,
так что, хотя связь с ранее проделанной работой в области
резонансных взаимодействий усматривается без труда, данное
аналитическое исследование исходит непосредственно из основ-
основных соотношений гидродинамики. Сначала, в § 2, проводится
общее обсуждение механизма неустойчивости, а затем, в § 3,
подробно излагается анализ устойчивости волн на воде.
2. Объяснение неустойчивости
Пусть в произвольной системе рассматриваемого здесь типа
распространяется в направлении оси х стационарный периоди-
периодический цуг волн, основная гармоническая компонента которого
имеет аргумент ^ = 1гх— со/ и амплитуду (по смещению) а. По-
Поскольку система нелинейна, должны присутствовать также гар-
гармоники с аргументами 21, 3^, . . ., причем все они распростра-
распространяются с тон же фазовой скоростью с = ш/к, что и основная
'* УХ
у
«*,
Т. Б. Бенджамен
гармоника; их амплитуды можно, вообще говоря, считать убы-
убывающими по порядку величины, как последовательные целые
степени произведения ка, которые, по предположению, -С1-
Допустим теперь, что введено возмущение, состоящее из
двух прогрессивных грамонических волн, частоты и волновые
числа которых близки кшйи являются по отношению к ним
«боковыми», так что их аргументы имеют вид, показанный
в первой и последней строчках приводимой ниже диаграммы.
Здесь х и б считаются много меньшими единицы, а амплитуды
в| и в2 этих волн считаются много меньшими а. На диаграмме
показаны два вида частных произведений, получающихся вслед-
вследствие нелинейного взаимодействия между возмущением и основ-
основным цугом волн; точнее, это разностные компоненты, порождае-
порождаемые боковыми частотами и второй гармоникой.
Диаграмма взаимодействия, показывающая аргументы { }
и амплитуды [ ] гармонических составляющих
Верхняя боковая полоса
К, = *(И-1е)*-<в(Ц-й)*-у,}Ле|]
Вторая гармоника основного цуга волн }'Е,2 + (у, + у2)), [/гга2е,]
{2? = 2 (кх - а()}, [ка3]
Нижняя боковая полоса ) ^, +(у] + у2)',
Важнейший факт, раскрываемый этой диаграммой, заклю-
заключается в том, что если по мере развития нелинейных процессов
Э = \! + \2-*сопз*, A)
то пара гармоник, получившихся в результате взаимодействия,
приходит во взаимный резонанс. Поэтому каждая из гармоник
боковых полос подвергается синхронному вынуждающему воз-
воздействию, пропорциональному амплитуде другой гармоники, так
что эти две амплитуды могут экспоненциально возрастать. Та-
Таким образом, основное волновое движение неустойчиво по отно-
отношению к этой форме возмущения.
Выполнение условия A), необходимого для неустойчивости,
должно получаться как следствие последующего воздействия
основного движения на гармоники боковых частот. Действи-
Действительно, если бы амплитуда а была слишком мала для значи-
значительного проявления нелинейного взаимодействия, то локаль-
Неустойчивость периодических цугов волн 89
ные волновые числа #1,2=^1,2/^.*: и частоты 61,2 = —,
этих гармоник удовлетворяли бы дисперсионному соотношению,
следующему из линейной теории, скажем
& = !(к). B)
При малых х и б соотношение B) будет, очевидно, выполнено
п первом приближении при постоянных VI и у2, если
где св — У (к)— групповая скорость при волновом числе к. Од-
Однако во втором приближении из B) следует, что
^ + = Ык) у (к) = б D)
причем в общем случае 1"(к)Ф0 из-за наличия дисперсии.
Таким образом, для выполнения условия A) необходимо
иметь такое нелинейное воздействие на соотношение между ча-
частотой и волновым числом для боковых полос, которое уравно-
уравновесило бы влияние дисперсии, выражаемое соотношением D).
В случае, подробно рассматриваемом ниже, оказывается, что
к правой части уравнения D) добавляется член О(ык2а2); можно
ожидать, что таким же будет результат в общем случае. При
рассмотрении устойчивости решающее значение имеет знак по-
получающейся суммы, так как, если этот знак тот же, что и знак
!"{к), то условие A) не выполняется и обеспечена устойчивость.
Таков результат анализа для волн на мелкой воде, подтвер-
подтверждающего выводы, ранее полученные Уиземом [14, 15].
Однако как уже показано Бенджаменом и Фейром [1], свой-
свойство A) может быть реализовано для возмущений на боковых
полосах, наложенных на волны на глубокой воде, которые по-
поэтому явным образом неустойчивы. Интересно отметить, что,
в то время как сонаправленное взаимодействие нелинейности
и дисперсии необходимо для существования волн неизменной
формы как состояний полного динамического равновесия, про-
противонаправленное взаимодействие этих же двух факторов может
также приводить к разрушению таких цугов волн при наличии
малых возмущений.
Последующий анализ проведен для произвольных началь-
начальных значений амплитуд боковых гармоник в{, однако будет уста-
установлено, что в условиях неустойчивости амплитуды по мере
увеличения имеют тенденцию к выравниванию. Случай равных
амплитуд, скажем е,-=ё, допускает простую интерпретацию, ко-
которую здесь стоит упомянуть. Рассматривая наложение двух бо-
боковых гармоник на основную гармонику исходного цуга волн,
90 Т. Б. Бенджамен
находим по определению I, и ^ соотношение (см. [1], § 3):
асо$1,+ ё(соз ^, + соз^2) = { а+ 2ё соз-^-Эсоз^&я — со Ы) | X
X соз (кх — Ш) + 2ё 31п -^ Э соз (х кх — ЫЬ) зш (кх — а>(). E)
Это соотношение описывает плавную модуляцию основной
волны с волновым числом %к -С к. Огибающая модуляции
Рис. 2. Экспериментальные записи высоты поверхности воды в зави-
зависимости от времени для двух положений, показывающие самопроизволь-
самопроизвольное развитие неустойчивости из фоновых помех.
Основная частота 0,85 гц. Верхняя запись снята на расстоянии 60 м от волнопродук-
тора, нижняя — на расстоянии 120 м. Интервал между отметками времени равен 0,1 сек.
распространяется с групповой скоростью с8, определяемой выра-
выражением C); соотношение E) описывает два различных фактора:
первый член его выражает амплитудную модуляцию, а второй,
в котором быстро меняющийся множитель сдвинут по фазе от-
относительно основного движения на четверть волны, примерно
эквивалентен некоторой фазовой модуляции.
Амплитудную модуляцию довольно просто обнаружить экспе-
экспериментально; она измерялась как основной показатель разви-
развития неустойчивости в экспериментах Бенджамена и Фейра [2] и
весьма отчетливо видна на рис. 2 (обсуждение см. в § 4)
3. Исследование устойчивости волн на воде
произвольной глубины
Метод исследования в этом случае совпадает с методом, ис-
использованным Бенджаменом и Фейром [1] для волн на глубокой
воде, но сложность вычислений значительно возрастает, по-
поскольку теперь учитывается влияние жесткого горизонтального
дна. Поскольку основные этапы исследования повторяются, в
Неустойчивость периодических цугов' волн 91
настоящем изложении мы оставим самое существенное, а раз-
различные вспомогательные рассуждения можно найти в статье [1].
Как показано на рис. 3, ось х направлена горизонтально, а
ось у— вертикально вверх. Начало координат выбрано на
уровне невозмущенной поверхности воды, так что, скажем, при
глубине воды Н координата у = —Н соответствует дну. Коорди-
Координата свободной поверхности обозначается через
У = Ч(х, 0- F)
Вода моделируется идеальной жидкостью, находящейся в со-
состоянии безвихревого движения. Поэтому существует потенциал
-У--И
Рис. 3. Система координат.
скорости <р(*, у, I), удовлетворяющий уравнению
Ф** + %у = 0 G)
и граничному условию
Фу = 0 при у= -Н. (8)
На свободной поверхности имеем кинематическое условие
Ч + Пх [фЛ„_„ ~ [Ф„]„_ч = 0 (9)
и условие постоянства давления (см. [11], § 1.4)
Стоксовы волны неизменной формы. Известно, что приведен-
приведенные выше уравнения имеют точные решения вида т] = Н(х — с1),
Ф = Ф(х — с1, у), где с—постоянная фазовая скорость. Для на-
наших целей достаточно иметь эти решения с точностью до вто-
второго приближения, как они были первоначально получены Сток-
92 Т. Б. Бенджамен
сом [12], и еще нам потребуется второе приближение для с (см.,
например, [3]). Таким образом, мы рассмотрим выражения
&2$, A1)
Ф = ф = — ™к '8ш; + соа2(? &^2К зш %, A2)
где
Ъ = кх-Ы, К = кк,
±К, A3)
о, д = -|
A4)
Это приближение справедливо при &а<1 или, если К мало,
при ка^.К3- Последнее требование налагает дополнительное
ограничение на основную амплитуду а, когда длина волны на-
намного превосходит глубину воды; в этом случае более полезным
оказывается приближение кноидальной волны, данное Кортеве-
гом и де Фризом (см. [5, 8, § 253]). Однако устойчивость кнои-
дальных волн уже, по существу, доказана Кортевегом и де Фри-
Фризом и Уиземом [14]; поэтому она не представляет здесь интереса,
так что случай очень длинных волн здесь не рассматривается.
Уравнения для возмущений. Чтобы исследовать устойчивость
стационарного волнового движения, описываемого соотноше-
соотношениями A1) и A2), можно записать
Л = Я + 1т), ф = Ф + 1ф A5)
и, считая I малым числом, квадратом которого будем пренебре-
пренебрегать, можно вывести линеаризованные уравнения дляй и ф. Ко-
Коэффициенты этих уравнений нужно вычислять вплоть до членов
порядка а2. Согласно сказанному в § 2, будем считать, что возму-
возмущение состоит из пары гармоник в боковых полосах и результа-
результатов их взаимодействия с основным цугом волн. Таким образом,
определив аргументы & О'=1, 2), как указано выше, положим
т) = тЬ + Л2> A6)
где
г\! = е, соз 5, + ка {А, соз (Е + С») + Я,- соз (? - &)} + О (к2а\). A7)
Входящие сюда члены порядка О(к2а2ег) имеют аргументы
B^+?,), и их не нужно учитывать в дальнейшем, так как они
описывают нерезонансные, а потому пассивные эффекты взаимо-
взаимодействия. Члены того же порядка с аргументами B^— ^) имеют.
' Неустойчивость периодических цугов волн 93
определяющее значение, но, как будет видно в дальнейшем, их
можно объединить с членами, имеющими аргументы &.
Будем считать, что малые параметры х и {, определяющие
отклонения боковых полос, удовлетворяют соотношению C), в
котором величина сЙ теперь равна групповой скорости бесконеч-
бесконечно малых волн на воде с волновым числом к. Необходимое вы-
выражение для се можно получить из соотношения A4), если не
учитывать поправку на конечность амплитуды (т. е. опустить
члены, содержащие к2а2). Таким образом, получим
Ых = ^(\+2К1зЪ2К) = Ь. A8)
Имея в виду окончательные результаты, допустим в дальнейшем,
что
х, Ь=О(ка), 'A9)
и будем упрощать выражения для различных коэффициентов,
зависящих от % и б, с учетом принятого порядка аппроксимации
по степеням (ка). Учитывая эти предположения, будем считать
г^ и Уг медленно меняющимися функциями одного лишь времени
(это тоже должно быть подтверждено окончательными резуль-
результатами); производные этих функций удовлетворяют условиям
в! = О (ак2а\), ъ = О((*к2а2). B0)
Таким образом, в данной модели предполагается, что характери-
характеристики модуляции, наложенной на исходный цуг волн, простран-
пространственно однородны и поэтому изменяются всюду одновременно.
Выделение в явном виде зависимости от времени удобно для
упрощения анализа, а обобщение с целью параллельного учета
зависимости от х можно легко выполнить после (как это уже
рассматривалось в § 2).
Подходящая форма потенциала ф, соответствующая выра-
выражениям A6) и A7) и такая, что полный потенциал скоростей
удовлетворяет соотношениям G) и (8), имеет вид
Ф = Ф, + ф2, B1).
где
С05
B3)
94 Т. Б. Бенджамен
Заметим, что из граничных условий (9) и A0) следует
Ц = 1 + О (к2а2),
так как в первом приближении величины ср,- должны удовлетво-
удовлетворять этим (линеаризованным) соотношениям при а-*-0. Коэффи-
Коэффициенты Л/,-, ЛГ,-, С,-, Д,- и А{, В{ в соотношении A7) также должны
рассматриваться как величины порядка единицы.
Дальнейшая процедура состоит в подстановке возмущенного
решения A5) в граничные условия (9) и A0) и линеаризации
их по I с последующим сведением всех членов к простым гармо-
гармоническим составляющим. Предполагается, что эти условия вы-
выполняются при любых значениях х, так что они должны удовле-
удовлетворяться каждым набором составляющих гармоник при раз-
различных волновых числах. В соответствии с этим разделение
составляющих приводит к независимым уравнениям для опреде-
определения коэффициентов т); и фг. Соответствующие вычисления до-
довольно объемисты, но не сложны, поэтому мы их здесь не при-
приводим.
Сначала определим коэффициенты, входящие в выражения
A7) и B2) и пропорциональные ае,-. Выделяя в граничных усло-
условиях все компоненты с аргументами (?+?,•). т. е. с волновыми
числами (к±к{), мы получаем системы двух уравнений для Л,-,
С,- и Ви О,-, приближенное решение которых, если пренебречь
величинами О (х,б), имеет вид
/Ч,2 = 2Р, С[12=2ф,
Д _ 1 /С + 2Я сЬ /С вЬ /С
'■2 2
'■2 2 /С сЬ/С вН/С - Я2 бН2/С
п _,_ I Л/С + 2/С сЬ2 АГ
В соответствии с условием A9) такое приближение оправ-
оправдано, поскольку эти коэффициенты входят в наши окончатель-
окончательные выражения лишь в виде произведения с выражением к2а2.
Отметим, что здесь Р и ($ определяются соотношениями A3), а
К — выражением A8).
Выделим теперь в граничных условиях (9) и A0) компо-
компоненты с волновыми числами ^ и возьмем для них приближения
до порядка О((ок2а2ег) и О(ш2йа2е,) соответственно. В получае-
получаемый результат вносят вклад члены, вычисленные в B4), так как,
например, произведение зт ^соз(^ + ^;) дает компоненту
— (\/2M\п'С,г. На этой стадии большое значение имеет обстоя-
обстоятельство, иллюстрируемое диаграммой из § 2, а именно то, что
г. 2 = ё2. г
Неустойчивость периодических цугов Ьолн 95
где 9 = у1+'У2- Таким образом, компоненты с аргументами
21,—С,- дают вклад в окончательные выражения. После ряда
преобразований из граничного условия (9) получается пара
уравнений:
= \ а>к2а2{еи2Я зш С. 2 + е2, ,5 з!п (Е,.2 + 9)}, B5)
где функции
3
зависят только от К, а величины А, В, С и |/)| определяются
выражениями B4). В результате же преобразования условия
A0) получаются уравнения
у 12 + е)}, B7)
где
V = - -|+ BА + А + В) ШК ~ 2С(зН2Л:)~' - I В I /С,
Граничным условиям должны независимо удовлетворять две
простые гармонические компоненты, сдвинутые друг относитель-
относительно друга на четверть волны. Следовательно, из каждого уравне-
уравнения B5) и B7) после отделения членов, содержащих 31П^,- и
соз^, получается два уравнения (так что всего их восемь). Пу-
Путем простого сложения и вычитания можно исключить постоян-
постоянные Ьи Ми Л/,-, так что в результате получатся четыре уравне-
уравнения с известными параметрами для функций В{(() и у»@-
Складывая коэффициенты при соз ^ в B5) с коэффициен-
коэффициентами при 31П 1,1 в B7) и, наконец, преобразуя величину E — V)
после подстановки выражений для Р, (?, А, А, В, С и \Б\, по-
получим
~ = [^ык2а'Х{КMшд]е2<1, B9)
% Т. Б. Бенджамен
где
(Л) = т (Ь - V) = йТмТ г
+ 3/С с!Ь К
Интеграл, системы уравнений B9) имеет вид
+ е2,, @) зН \ тк2а2Х [ зга 9 Л [, C1)
что вполне подтверждает принятый в § 2 характер поведения
системы, а именно то, что амплитуды боковых гармоник неогра-
неограниченно увеличиваются при 9->сопз1 (=^=0,я).
Из остающихся компонент в уравнениях B5) и B7) мы по-
получим два уравнения:
~ЧГ = ~2 Ып 2 №\. 2
, C2)
которые можно сложить, чтобы получить одно уравнение для
9. В сумму войдут два множителя вида
Р = /2 (к,) - со2 = /2 (к,) - со2 A ± бJ, C3)
где
У C4)
представляет собой выражение, даваемое линеаризованной тео-
теорией, для частоты в функции волнового числа (ср. уравнение
B) § 2). Учитывая, что Ьол = хк1'(к), мы получаем из C3) с точ-
точностью до второго приближения, что
Р = !2 (к) ± кк!2' (к) + \ (ккJ Г (к) - со2 A ± бJ =
222), C5)
где
V (К\ I ' Г(/г) кЧ"(к)_. 8/СA — АГ1Ь ЛГ) ,
МА; ' 2 \1'{к)]2 Х2!(к) 1 &Ь2К + 2К ' ( '
а разность (!2(к)—ш2) может быть определена с точностью до
членов О(а2к2а2) из уравнения A4). Следовательно, после ис-
Неустойчивость периодических цугов волн 97
ключения коэффициента (К—II) из уравнений C2) получим
соотношение
■^ = (о&а'Х (К) I 1 + Лгг1 соз Э | - а>Ъ2У (К). C7)
Последний член этого выражения эквивалентен правой части
уравнения D); таким образом, мы теперь получили те добавоч-
добавочные члены, упомянутые в § 2, которые представляют нелинейные
эффекты, способные препятствовать расстраивающему влиянию
дисперсии на боковые полосы.
Условия устойчивости и неустойчивости. Система уравнений
B9) и C7) была полностью исследована Бенджаменом и Фей-
ром [1] для случая волн на глубокой воде (/(-»-°о), причем ре-
решения системы были получены в явном виде. Здесь достаточно
дать только сводку основных выводов.
Заметим сначала, что функция У(К), которая пропорцио-
пропорциональна взятой с обратным знаком кривизне кривой, представ-
представляющей соотношение между частотой и волновым числом в со-
соответствии с линеаризованной теорией, положительна для всех
ненулевых значений К. Для волн на глубокой воде имеем
У(оо) = 1, причем У уменьшается монотонно до нуля с уменьше-
уменьшением К, т. е. с уменьшением отношения глубины воды к к длине
волны 2п/к. Следовательно, рассуждение, изложенное Бенджа-
Бенджаменом и Фейром [1], доказывает, что если
2к2а2Х(К)<Ь2У(К), C8)
то решения и{1) периодичны и ограничены конечной величиной.
Тот факт, что неограниченное увеличение е< в этом случае не-
невозможно, очевиден из C1) и C7): первое уравнение показы-
показывает, что Е!->е2, если е2->оо, а уравнение C7) показывает, что
тогда при соблюдении условия C8) невозможно, чтобы ёв/Ш-^-О.
Это условие является, таким образом, условием устойчивости.
С другой стороны, если
2к2а2Х(К)>Ь2У(К), C9)
то при любом выборе начальных значений (с одним лишь ис-
исключением) решения уравнений B9) и C7) обладают при ^->оо
асимптотическими свойствами:
в-+атссо${(Ь2У1к2а2Х)- 1} в интервале @, я), D0)
е, ~ е2 ~ ехр \-^кга X зш 8<оп =
= ехр { \ ЬУЧ> Bк2а2Х - 62К)'Л соф D1)
98 Т. В. Бенджамен
Исключительный случай, который, очевидно, не интересен с фи-
физической точки зрения, имеет место тогда, когда начальные зна-
значения г\ и е2 берутся равными, а для 9@) принимается значение
е@)=агссоз{(б2У/^а2Х) - 1},л<9@)<2я; в этом случае воз-
возмущения экспоненциально затухают.
Если неравенство C9) заменить соответствующим равен-
равенством, то оказывается, что величины е{ снова неограниченно
асимптотически возрастают, причем это возрастание линейное
по времени, а не экспоненциальное. Таким образом, с учетом
этого крайнего случая условие неустойчивости имеет вид
2к2а2Х(К)>Ь2У(К). D2)
Теперь мы видим, что устойчивость начального цуга волн
определяется в конечном счете знаком величины Х(К). Если
Х(К)<0, то условие устойчивости C8) выполняется для всех
значений других параметров, но если Х(К)>0, то существует
диапазон значений б, удовлетворяющих условию неустойчивости
D2). Вычисляя Х(К), согласно выражению C0), мы находим,
что
Х(К)>0 при К > 1,363,
Х(К)<0 при Ж 1,363. D3)
Таким образом, стоксов цуг волн на достаточно глубокой воде,
а именно когда длина волны меньше Bя/1,363) И. = 4,61 /г, не-
неустойчив, тогда как цуг, для которого длина волны больше
4,61/г, устойчив. То же критическое значение и его роль в от-
отношении устойчивости были совершенно другим способом уста-
установлены Уиземом [15]; приятно отметить прекрасное согласие
между двумя теоретическими подходами.
Заметим, что когда К> 1,363, все еще остается «значение
среза» б, а именно
ч D4)
при превышении которого не происходит неограниченного воз-
возрастания амплитуд боковых гармоник. Иными словами, для не-
неограниченного возрастания боковых гармоник они должны иметь
частоты, достаточно близкие к основной частоте, так что изме-
изменение амплитуды основного цуга волн должно быть достаточно
плавным. Диапазон значений б, отвечающих неустойчивости
@, бс), сужается до нулевого значения при уменьшении К до
1,363. Заметим также, что скорость асимптотического роста,
определяемая выражением D1), максимальна при Ь = ЬС1\Г2~. Это
максимальное значение показателя равно
=ТЬ2°>Х(КУ, D5)
Неустойчивость периодических цугов волн 99
оно достигает наибольшей величины для волн на очень глубо-
глубокой воде (Х=\) и монотонно убывает до нуля по мере уменьше-
уменьшения К до 1,363:
Наконец, укажем обобщение на случай, когда модуляция
исходного цуга волн неоднородна по пространству. При помощи
известного рассуждения можно заключить, например, что асимп-
асимптотическое поведение, определяемое соотношением D1), экви-
эквивалентно в более общем случае соотношению
Ч+
В экспериментах Бенджамена и Фейра [2] боковые гармоники
вводились путем модуляции движения волнопродуктора, создаю-
создающего на одной стороне лотка основной цуг волн; параметры
этих гармоник оказываются поэтому примерно стационарными
(дв{1д( = 0) и изменяются по мере продвижения по лотку. В со-
соответствии с этим приведенная выше формула была использо-
использована для оценки величины йъ^йх и сравнения с измеряемыми
скоростями нарастания возмущений по пространству.
4. Обсуждение
Приведенные выше результаты дают, конечно, только первое
приближение для параметров неустойчивых возмущений при ма-
малых значениях ка и соответственно при малых б. Однако их тео-
теоретическое значение заключается в точном представлении этих
параметров в предельном случае ка-^0. Например, соотношение
D2) представляет собой точное условие неустойчивости стоксо-
вых волн ограниченно малой амплитуды на поверхности идеаль-
идеальной жидкости, если допускается, что время намного больше
(ак2а2)~1 (или расстояние намного больше се/ак2а2 = К1к3а2),
чтобы неустойчивость успела развиться. На практике, однако,
если величина ка достаточно мала, то неустойчивость будет
подавлена действием вязкости, поскольку уровень вязкого демп-
демпфирования можно считать приближенно независящим от ампли-
амплитуды. Если механизмы демпфирования и передачи энергии боко-
боковым полосам достаточно слабы, то их можно считать, по суще-
существу, независимыми. Следовательно, практическое условие не-
неустойчивости имеет, вероятно, вид
\к2а2ыХ(К)>$, D7)
где левая часть неравенства — это'максимально возможная ско-
скорость нарастания, согласно невязкой модели, определяемая вы-
выражением D5), а р — скорость вязкого затухания во времени
100 Т. Б. Бенджамен
(равная произведению сй на пространственную скорость зату-
затухания) для волн весьма малой амплитуды с волновым числом к.
Для волн на глубокой воде экспериментальные результаты
Бенджамена и Фейра достаточно хорошо согласуются с пред-
предсказаниями теории, не оставляя сомнения в правильности, по
существу, описания процесса нарушения устойчивости. Как уже
отмечалось, в большинстве опытов дискретные боковые гармо-
гармоники, имеющие заданное отклонение по частоте б, создавались
одновременно с основным цугом волн путем простого наложе-
наложения слабой модуляции на возвратно-поступательное движение
волнопродуктора. Их начальные амплитуды были примерно
одинаковы и очень малы, хотя и достаточно велики для ясного
различения возмущений над уровнем помех в системе.
В одном из экспериментов, однако, вначале создавалась
лишь одна гармоника; это делалось с целью подтвердить теоре-
теоретический вывод о том, что другая гармоника возникает затем в
результате нелинейного взаимодействия. В другом эксперименте,
результаты которого показаны на рис. 2, движение волнопродук-
волнопродуктора было сделано по возможности более регулярным без нало-
наложения какой-либо модуляции, так что неустойчивость выходя-
выходящего цуга волн могла развиваться самопроизвольно из фоновых
помех. На различных расстояних по бассейну были расположены
емкостные датчики, измеряющие мгновенные значения высоты
поверхности воды, и по различным записям высоты в зависимо-
зависимости от времени было измерено развитие параметров возмущения
во времени. Обычно наблюдался с увеличением расстояния экс-
экспоненциальный рост амплитуды на величину 30 дб и более. Об-
Обширные результаты были получены на небольшом лотке в Кемб-
Кембридже, и еще некоторые данные, согласующиеся в основном с
данными первой серии, были получены в значительно больших
масштабах на гидроканале № 3 корабельного отделения На-
Национальной физической лаборатории.
На рис. 2 показана пара записей, полученных в НФЛ в экс-
эксперименте с основной частотой со/2л;=О,85 гц, длиной волны
2я/& = 2,16 м и ка = 0,\7. При этом не создавалось никакого ис-
искусственного возмущения. Запись, представленная в верхней
части рисунка, снималась на расстоянии 60 м от волнопродук-
волнопродуктора, а нижняя запись — на расстоянии 120 м. Эти результаты
замечательны тем, что на первой записи можно увидеть лишь
очень слабые нерегулярности; на второй же видна четко выра-
выраженная модуляция амплитуды. Оценка по изменениям среднего
периода модуляции дала значение 6=0,15, которое было под-
подтверждено гармоническим анализом второй записи, давшим вы-
высокие пики на боковых частотах в 0,72 и 0,98 гц. Таким образом,
оказалось, что пара боковых гармоник возникает явно вслед-
Неустойчивость периодических цугов волн 101
0,15 г-
ствие процесса избирательного усиления фоновых помех. Из
соотношений D1) или D6) следует, что для волн на глубокой
воде (Х=У=\) скорость нарастания возмущений максимальна
при Ь = ка, так что экспериментальное значение 6 = 0,15 доста-
достаточно хорошо согласуется с основным параметром цуга волн
ка = 0,\7. Согласие представляется вполне удовлетворительным,
если учесть, что теория претендует лишь на первое приближение
и что, как известно из дру-
других гидродинамических при-
примеров, процесс избиратель-
избирательного усиления может лишь
грубо выделить оптималь-
оптимальную гармонику.
В качестве второго при-
примера рассмотрим рис. 4, на
котором показаны результа-
результаты серии экспериментов в
Кембридже; в эксперимен-
экспериментах измерялся пространст-
пространственный рост амплитуд боко-
боковых гармоник в зависимости
0.И
Рис. 4. Теоретические и эксперимен-
экспериментальные значения пространственной ско-
скорости роста амплитуд боковых гармо-
гармоник при 6 = 0,1, выраженные в зави-
зависимости от безразмерной амплитуды
основного движения (ка).
По ординате отложена величина Л Aп еIйх. где
х = Bл)~'б* — горизонтальное расстояние в дли-
длинах волны. Сплошной линией показан теорети-
теоретический результат:
й Aп гIйх - 0,2л B63а3 - 0.0!)'/».
от основной амплитуды при
фиксированных значениях
основной и боковых частот,
а именно при со/2л; = 2,5 гц
и б = 0,1. Для получения ка-
каждой экспериментальной
точки приходилось снимать
записи модулированного цу-
цуга волн в большом числе то-
точек лотка, а затем по ним
оценивать логарифмическую скорость нарастания й"{\пгIс1х.
Теория указывает, что для волн на глубо*а§ воде не будет про-
происходить усиления боковых гармоник при заданном значении б,
если величина ка не превосходит б/|^2; <!то в рассматриваемом
случае составляет 0,71. Как видно из графика, это значение
среза подтверждается с большой точностью, но Для больших
значений ка теория дает сильно завышенные по сравнению
с наблюдаемыми скорости нарастания. Скорость вязкого демп-
демпфирования, согласно измерениям, оказалась разной около 0,01
(в единицах оси ординат на рис. 4); учет этой скорости объясняет
лишь примерно треть наблюдаемого расхождения. Остающееся
расхождение можно приписать главным образом неточное** да-
даваемого теорией первого приближения. Когда в коэффициент
К в соотношениях D1) и D6) вводится поправка 0F)Г(оцшбка
102 Т. Б: Бенджамен
в У составляет только 0{б2к2а2)), согласие с экспериментальными
результатами сильно улучшается. Однако и без таких поправок
сравнение, представленное на рис. 4; заведомо достаточно убедит
тельно, чтобы внушить общую уверенность в правильности те^
ретического объяснения. .
В заключение перейдем от задачи о прямолинейных волнах
на воде в каналах постоянного сечения к рассмотрению некото-
некоторых других приложений изложенного теоретического подхода.
Общее обсуждение в § 2 позволило нам достаточно близко по-
подойти к пониманию рассматриваемого механизма неустойчиво-
неустойчивости без уточнения характера! физической системы; в частности
было показано, каким образом «дисперсионную компоненту»
определяющего уравнения C7) для фазовой функции 9 можно
весьма просто получить из соотношения, неявно записываемого
в виде <х> = 1(к), которое существует между частотой и волно-
волновым числом в предельном случае а-»-0.
Поэтому хотелось бы иметь возможность при помощи столь
же простого и общего рассуждения получить «нелинейную ком-
ттоненту» уравнения для 9; тогда можно было бы вывести уни-
универсальный критерий неустойчивости для систем рассматривае-
рассматриваемого типа. Автор пытался получить такой критерий, обобщая
основные шаги исследования для волн на воде, но ничего про-
простого не получилось. В этой связи нужно отметить,. что Лайт-
хилл [.10]; дал элегантный и замечательно простой результат,
определяющий, будут ли при определенных ограничениях очень
плавные изменения параметров цуга волн описываться эллип-
эллиптическим или' же1; гиперболическим уравнениями; и, конечно,
в-..любомс.частном случай неустойчивость можно считать дока-
доказанной, если удастся показать, что эти уравнения эллипти-
эллиптические." ' ~"' . . - . .
Однако уже упомянутые ограничения,- которые требуют со-
сохранения "постоянных средних значений зависимых переменных,
представляются неестественными для некоторых задач (напри-
мёр, для волн на воде произвольной глубины, но не для случая
бесконечной глубины), так хчто результат Лайтхилла все же не
дает общего критерия неустойчивости. Поэтому в настоящее
время многое можно узнать путем изучения все возрастающего
множества систем, к которым применимы-эти теории; особенно
важным представляется отыскание таких простых систем, кото-
рьге .поддаются также экспериментальному исследованию.
,~ Вот один из возможных примеров. Бинни [4] сообщил о не-
крторых удивительных экспериментальных результатах исследо-
исследования-течения воды в открытом канале с волнистыми боковыми
стенками.- Как можно было ожидать, вследствие волнистости
наблюдалось появление стоячих волн & стационарном потоке,
Неустойчивость периодических цугов воли 103
Однако при некоторых условиях эта стационарная картина ока:
зывалась неустойчивой, и в результате возникала и распростра-
распространялась по потоку регулярная носледов-ательность бегущих волн.
Строгий анализ еще не выполнен, но я определенно склоняюсь
к тому, чтобы считать это примером неустойчивости рассматри-
рассматриваемого типа. Основное состояние, Конечно, сходно со стоксо-
выми волнами, будучи стационарной периодической конфигура-
конфигурацией, относительно которой движется жидкость.
Чтобы познакомить вас с другой перспективной областью
приложения, я упомяну, что недавно начал опыты по волнам
растяжения конечной амплитуды в длинных резиновых шнурах.
У резины то преимущество, что она выдерживает огромные де-
деформации упруго, без заметного пластического течения, так что
использование ее обеспечивает проведение легко воспроизводи-
воспроизводимых экспериментов по волнам большой амплитуды, распростра-
распространение которых сильно зависит от нелинейных эффектов и ча-
частотной дисперсии.
Далее, волны растяжения первой моды Похгаммера — Крй
(для которых при не слишком больших волновых числах к про-
продольные смещения приблизительно постоянны по сечению) обла-
обладают тем свойством, что фазовая и групповая скорости макси-
максимальны при нулевом волновом числе (т.е. /' (к) -+Щ(к), ["(к)<0
при &-»-0). Поэтому для очень длинной волны, возникающей
при снятии растяжения (так что сечение расширяется), почти
вся энергия заключена в ее первой гармонике, и крутизна пе-
передней части волны увеличивается благодаря влиянию ампли-
амплитуды на местную скорость распространения.
Оба эти свойства аналогичны свойствам волн на мелкой
воде; в соответствии с этим было обнаружено, что дисперсия,"
так же как и для скачка в открытом канале, препятствует об-
образованию ударных волн. Далее, динамические уравнения этой
упругой системы можно преобразовать в уравнение Кортевега —
де Фриза (см. [14], § 7), которое описывает распространение
длинных волн на воде. Поэтому вопрос об устойчивости перио-
периодических волн в этой новой системе решается немедленно ссыл-
ссылкой на исследование возмущений, которое Уизем применил к
периодическим решениям (т. е. кноидальным волнам) уравнения
Кортевега — де Фриза; его результаты показывают, что в обеих
физических системах однородные цуги волн устойчивы. Однако
для волн растяжения с большими волновыми числами неустой-
неустойчивость заведомо остается возможной, в частности, ввиду того,
что функция {"(к) дважды меняет знак при увеличении к от
нуля. (Но при к^-оо стационарные цуги волн постоянной амп-
амплитуды становятся невозможными, поскольку I'(к) -»-сопз1 и
дисперсия волн исчезает.) Заслуживает исследования также
104 Т. Б. Бенджамен
интересная возможность неустойчивости волн изгиба и кручения
конечной амплитуды в резиновых шнурах.
Я многим обязан Дж. Фейру, который выполнил экспери-
эксперименты по неустойчивости волн на глубокой воде. Я благодарен
также руководителю корабельного отделения Национальной фи-
физической лаборатории Э. Силверлифу за предоставление обору-
оборудования опытового бассейна в Фельтхэме, где были выполнены
эксперименты, результаты которых показаны на рис. 1 и 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. В е п ]' а т 1 п Т. В., Р е 1 г .1. Е., ТЬе сН5т1е§га1юп оГ \уауе 1гат5 оп ёеер
\уа!ег. Раг! 1. ТЬеогу, I. РЫй. МесН., 27 A967), 417.
2. В е п ] а т 1 п Т. В., Р е 1 г .1. Е., ТЬе сН5т1е§га1юп оГ \уауе 1гат5 оп ёеер
\уа!ег, Раг! 2. Ехрептеп15, /. Р1иЫ МесН. A967).
3. В о \у й е п К. Р., 5оте оЬзегуаНопз оГ \уауе5 апё о!Ьег Иис1иа1юп5 т а
Ыа\ сиггеп!. Аррепё1х: ЗигГасе \уауез оГ Пт1е атрН1иёе т \уа!ег оГ
ПшЧе ёерШ, Ргос. Ноу. Зое, А 192 A948), 403.
4. В 1 п п 1 е А. М., 5е1Г-1пёисеё \уауез т а сопёи11 ■кШ согги§а1её \уа115. I.
Ехрег1теп15 VI№ \уа1ег т ап ореп Ьог12оп1а1 сЬаппе1 \уНЬ уегИсаПу
согги§а!её 51ёе5, Ргос. Ноу. Зое, А259 A960), 18.
5. К о г 1 е V е § О. Х, й е V г 1 е з О., Оп 1Ье сЬап^е оГ Гогт оГ 1оп^ \уауез
аёуапс1П§ 1П а гес1ап§и1аг сЬаппе1 апё а пе\у 1уре о[ 1оп§ з1а1юпагу
\уауе5, РНИ. Мае. E), 39 A895), 422.
6. Красовский Ю. П., О существовании апериодических течений со сво-
свободной границей, ДАН СССР, 133, № 4 A960), 768—770.
7. Красовский Ю. П., К теории установившихся воли конечной ампли-
амплитуды, Журнал вычислительной математики и математической фи-
физики, I, № 5 A961), 836—855.
8. Л а м б Г., Гидродинамика, Гостехиздат, М., 1947.
9. Ь е V 1 - С 1 V 11 а Т., Оё1еггшпа1юп п^оигеизе ёез опёез регтапеп1ез сГат-
р1еиг Пте, Ма(Н. Апп., 93 A925), 264.
10. Ь!§ЫЬП1 М. X, Соп1г1ЬиИоп5 1о 1Ье 1Ьеогу оГ \уауез 1П поп-Ипеаг
ё1зрегз1уе 5у«1ет5, /. 1п&1. МагН. АррИс, 1 A965), 269.
11. Стокер Дж. Дж„ Волны на воде, ИЛ, М., 1959.
12. 5 1 о к е 5 О. В., Оп 1пе 1Ьеогу оГ о5С111а!огу \уауез, Тгапз. СатЬ. РНН. Зое,
8 A847), 441. (Рарегз I, 197.)
13. 5 1 г и 1 к О. .1., Оё1еггшпа1юп п^оигеизе йез опёез 1ГГо1аИоппе11е5 рёГ10Й1-
Яиез ёап5 ип сапа1 а ргоГопёеиг Пте, Ма1, Апп., 95 A926), 595.
14. ШЬНЬат О. В., Ыоп-1теаг Й15рег51'уе \уауез, Ргос. Ноу. Зое, А283
A965), 238.
15. Ш Ь 14 Ь а т О. В., Моп-Нпеаг Шзрегзюп оГ \уа1ег \уауез, /. ПиШ МесН.,
27 A966), 399.
Обсуждение статьи Т. Б. Бенджамена
К. ХАССЕЛЬМАН
Демонстрация Уиземом и Бенджаменом неустойчивости
стоксовой волны по отношению к малым возмущениям частоты
и амплитуды чрезвычайно интересна, и я хочу поздравить авто-
авторов с прекрасными работами. Ввиду продолжительных попыток
доказать математически существование стоксовой волнь! этот
результат представляется выдающимся. Однако этот результат,
возможно, менее удивителен в другом аспекте. В любом волно-
волновом спектре резонансное нелинейное взаимодействие порождает
тенденцию к необратимому равномерному перераспределению
энергии волн по всем волновым числам. Поэтому можно ожи-
ожидать, что узкий спектральный пик будет расширяться. То, что
это происходит для гравитационных волн, подтверждено числен-
численными расчетами [1]. Это, однако, эквивалентно утверждению, что
почти периодическая стоксова волна неустойчива по отношению
к передаче энергии в ее боковые полосы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Наз5е1тапп К., /. Р1иШ МесН., 15 A963), 273 (см. примечание иа
стр. 281).
Описание нелинейных взаимодействий методами
теоретической физики (с приложением к образованию
волн ветром)
К. ХАССЕЛЬМАН
.Метод фейнмановскил диаграмм, пригодный для анализа взаимодействий
между волнами случайных волновых полей, обобщается с целью учета некоп-
сервативных взаимодействий между волновыми полями и внешними полями.
Интерпретация с помощью частиц здесь не приложима, тем не менее выра-
выражения переноса можно компактно представить диаграммами «переноса», ко-
которые соответствуют диаграммам столкновения в картине частиц. Метод при-
применяется к случаю взаимодействия гравитационных волн с турбулентным
атмосферным пограничным слоем. Полный набор диаграмм переноса низ-
низшего порядка включает в себя механизмы Филлипса и Майлса образования
волн и одну добавочную группу взаимодействий турбулентности с волнами,
которая ранее не рассматривалась.
Гипотеза замыкания, привлеченная для вывода выражений переноса,
кратко обсуждается в приложении А, Обращается внимание на то, что не-
недавний вывод Биини и СафМена выражений переноса без использования
обычной гипотезы замыкания противоречит необратимости выражений пере-
переноса и потому справедлив лишь на начальной стадии. Соответствующие ста-
статистические характеристики зависят от различия между крупнозернистыми и
мелкозернистыми распределениями. Это иллюстрируется в приложении Б при
обсуждении вопроса о том, являются ли гауссовыми линейные случайные
волновые поля.
1. Внутренние и внешние взаимодействия одной
волновой системы
Будем рассматривать случайные волновые поля со статисти-
статистическими характеристиками, слабо меняющимися во времени и
в пространстве. Процессы, которые вызывают эти изменения,
можно тогда толковать как малые возмущения установившегося
состояния свободного поля.
Примером такой системы является совокупность поверхност-
поверхностных гравитационных волн §, внутренних гравитационных волн /
и сейсмических волн 5 в невращающемся стратифицированном
океане конечной глубины (рис. 1). Полное движение океана со-
состоит из волновых движений и остаточного горизонтального
сдвигового течения Н.
Будем также рассматривать взаимодействие между океаном
и атмосферой, в которой, как мы предполагаем, имеется среднее
течение т и пульсационное турбулентное течение /. Среднее
течение не зависит от времени I и горизонтального координат-
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 107
Атмосфера
Океан
ного вектора х= (Х\,х2). Аналогично турбулентное течение счи*
тается стационарным и однородным по отношению к х.
"В качестве дополнительных полей можно рассматривать фи-
физические неоднородности типа придонной неоднородности Ь. Эти
поля также предполагаются случайными и однородными по.Х- :
Совокупность волновых полек §, г, 5 составляет по определе-
определению волновую систему. Взаимодействия с волновой системой
можно разбить на два класса: внутрен- > (
ние взаимодействия (между волнами), *^ч/~
которые затрагивают только волновые ~
компоненты, и внешние взаимодействия,
затрагивающие по крайней мере одно из
неволновых полей Н, гп, / или Ь1). Будем
предполагать, что энергия и импульс вол-
волновой системы сохраняются только внут-
внутренними взаимодействиями, но не внеш-
внешними. Неконсервативные взаимодействия
между волновыми компонентами будут
формально рассматриваться как внешние
взаимодействия.
Взаимодействия между волнами впер-
впервые детально"рассматривались в осново-
основополагающей статье Пайерлса [18] по теп-
теплопроводности твердых тел. С тех пор
они интенсивно исследовались в теории
ТВерДОГО Тела И ДРУГИХ Областях фиЗИКИ,
в частности в квантовой полевой теории
раССеЯНИЯ. ЛИТВЭК [15] Применил Эту ТеО-
рию к плазменным волновым взаимодей-
ствиям. Рассеяние в геофизических полях
вызвало недавно интерес благодаря ра-
ботам Филлипса [20], Хассельмана |6, 7],
Бинни [2], Лрнге-Хиггинса [16] и др. Применение общих пред-
представлений, развитых в теор-ии твердого тела и квантовой теории
поля, к геофизическим задачам рассеяния описано в работе
Хассельмана [9].
В предлагаемой статье мы рассмотрим главным образом
обобщение этих представлений для того, чтобы учесть внешние
взаимодействия. В качестве приложения обобщенной теории
рассмотрим взаимодействия между поверхностными гравитаци-
гравитационными волнами и атмосферным пограничным слоем. Теория с
полным набором взаимодействий низшего порядка, как будет
Рис, 1. Волновые и
«внешние» поля для
стратифицированного
океана постоянной глу-
глубины.
Волновая система: поверх-
поверхностные гравитационные
волны в, внутренние грави-
гравитационные волны (', сейсми-
сейсмические волны ж. Внешние
рГуру
:!!!н™епу«»гп2?й'&!;сриз0*'
ТаЛЬНОс СДВИ1 свое ТсЧсННСТТ»
нерегулярность дна ь. ;
') Поля Н и Ь можно также рассматривать как вырожденные волновые
поля с нулевой частотой [9].
108 К. Хассельман
показано, содержит в себе теории образования волн Майлса и
Филлипса [17, 19} и дополнительный набор взаимодействий тур-
турбулентных волн, которые прежде не рассматривались, но кото-
которые, по-видимому, могут быть главным источником волновой
энергии.
2. Уравнения движения
а) Внутренние взаимодействия. Предположим, что состояние
волновой системы можно описать совокупностью координат ^,
которые в линейном приближении представляют собой ампли-
амплитуды нормальных мод собственных функций ф^B)е'к-х, где г —
вертикальная координата, к—горизонтальный волновой вектор.
Пусть эволюция волновой системы без внешних взаимодей-
взаимодействий описывается лагранжианом
№-к«УяУ-.к), ' BЛ)
к, V
где ^-2 — лагранжиан линейной системы, а ^-з, ^-4. ••• — однород-
однородные лагранжианы взаимодействия третьего, четвертого и т. д.
порядков однородности по координатам. Лагранжиан Ь2 описы-
описывает систему свободных осцилляторов. Он определяется един-
единственным образом (с точностью до множителей нормировки)
инвариантностью системы относительно горизонтальных пере-
переносов и отражений. Для удобства обозначения вектор к трак-
трактуется в B.1) как дискретная переменная, хотя позднее будет
рассмотрен также предельный случай непрерывного спектра.
Лагранжианы взаимодействия описывают нелинейную связь.
Ряд примеров процессов рассеяния в океаническом волноводе
имеется в работе [9].
Уравнения движения можно переписать в более удобной
форме, вводя функцию Гамильтона
и переходя затем от канонических переменных к нормальным
переменным
B-2)
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 109
Тогда уравнения движения принимают вид
Йк=-'ЧТ?7 (^0). B.3)
—к
Уравнение B.3) справедливо для положительного и отрицатель-
отрицательного индекса V, если для отрицательных индексов мы определим
Тогда выражение гамильтониана принимает вид
а для п^> 3 имеем
Нп=^о1\:::1ппа1\...акпп, 'B.5)
где 0^1 '"Уп— постоянные симметричные коэффициенты взаи-
I ■■• к«
модействия.
Вещественность гамильтониана И приводит к условиям
а-_1 = (а1)\ B.6)
— V —V
а однородность поля — к дополнительному условию
О1\'.'.'.1пп = 0 при к,+ ... +к„^0. B.8)
Уравнения движения B.3) записываются явно в виде
V V
... - (р +1) шк 2 о^кк,1::: 1р/к\... ак»р. B.9)
^1::: 1р/к\... ак»р.
Решение линеаризованного уравнения B.9) без членов взаимо-
взаимодействия имеет форму
B.10)
б) Внешние взаимодействия. Взаимодействия с внешними
полями можно легко включить в вышеприведенный формализм.
Предположим, что внешние поля описываются совокупностью
переменных 6к@> где по аналогии с линейным волновым ре-
решением B.10)
{} B.11)
ПО К. Хассельман
Здесь обобщенный индекс ц может быть дискретным, непрерыв-
непрерывным или комбинацией того и другого.
Например, если внешним полем,лвляется однородная случай-
случайная нерегулярность ЬН глубины океана Я, то мы можем напи-
написать
ЬН (х) = 2 Ву ехр {/к • х}, В = сопз*.
так что ц = сопз!, а>к =0.
Если внешнее поле — стационарное горизонтальное одно-
однородное турбулентное поле скорости щ(\,г,1), то мы можем
написать
щ ■= 2 111 {к, со, г) ехр {I (к - х + со*)}, B.12)
к, а
так что |и^(/, г, со), со^^ — со.
Условие вещественности, соответствующее уравнению B.6),
имеет вид . ,
^ = Ю*. B.13)
где Д — сопряженный ц индекс, для которого
Например, в случае турбулентного поля
ц = (/, 2, со), Д = (/, 2, - а).
Предположим теперь, что внешние взаимодействия могут
быть разложены таким же способом, как и внутренние взаимо-
взаимодействия, в степенной ряд. В этом случае уравнения движения,
включающие внутренние и внешние взаимодействия, имеют об-
общую форму:
ГГ ) к 4А ~кЬ1 ■■■ кр к1 • ' • кр " ■ "
. - B.14)
где Е','.\ — коэффициенты внешнего взаимодействия. Эти коэф-
коэффициенты удовлетворяют условиям вещественности и однород-
однородности
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 111
аналогичным условиям {2.Т) и B.8). Но в противоположность
коэффициентам внутреннего взаимодействия Б.'.', они не свя-
связаны с гамильтонианом и поэтому не обладают симметрией по
всем индексам. В этом главное различие между внутренними
и внешними взаимодействиями.
3. Диаграммы взаимодействия
Предположим, что решения первого порядка ,а]^ и внешние
поля Ьь имеют порядок О (а), где а-С 1. Коэффициенты вну-
внутренней связи Д^1 '" ^л будут иметь по предположению порядок
0A), а коэффициенты внешней связи Е ' ,ЛР+1 ,,* —по&я-
~КК1 "■ Кр р+1 " ? •
док 0(р) или менее при Р -С 1.
Тогда решение уравнений B.14) можно построить с помощью
разложения волновых полей в ряд теории возмущений
■■■> C-1)
где па^ = О (а"). Каждый член возмущения па^ можно дальше
разложить по р, но мы не будем делать этого в явном виде.
Упорядочение по параметрам аир применимо к океану, но
не в наиболее общем случае. Более последовательная процедура
должна использовать многопараметрическое разложение, при ко-
котором каждое поле и коэффициент связи характеризуются от-
отдельным параметром. Однако это громоздко и не является в
действительности необходимым, так как неявную зависимость
от индивидуальных параметров можно легко установить в ходе
анализа. . .
Подставляя разложение C.1) в уравнение движения B.14),
собирая вместе члены п-го порядка и интегрируя, получаем со-
соотношение
О /»,+ ... +п,-\
\ -п+р-ц )
... па1чч (П Ь^++\ (П . .. ь1»р(П ... }ехр (- Ш1(( - С)} <И'. C.2)
Мы предположили, что линейное решение B.10) выбирается
таким образом, чтобы строго удовлетворить начальным усло-
условиям ак@) = Лк, так что пйк(О) = О при п > 2. Уравнение C.2)
Можно разрешить последовательно для различных п, поскольку
112 К. Хассельман
в правую часть входят члены возмущения только порядков,
меньших п.
Удобно выразить структуру решения, определяемого выраже-
выражением C.2), в более компактной форме с помощью диаграмм взаи-
взаимодействия. Будем обозначать волновые компоненты а^ при у> О
и компоненты внешнего поля Ьк при «>к>0 стрелками,
равными к (рис. 2). Комплексно сопряженные («анти»)компо-
ненты а!ь (у>0) и Ь^к (<Пк > 0) обозначаются перечеркну-
перечеркнутыми стрелками, равными к. Тем самым члены с положитель-
положительной частотой связаны с «компонентами», члены с отрицательной
а
Рис. 2. Примеры диаграмм взаимодействия для возмущений 3-го
и 4-го порядка.
Внешние поля обозначаются крестиками, антикомпоне1.То1 — поперечными
черточками, а виртуальные компоненты — штриховыми линиями.
частотой — с «антикомпонентами». Это соглашение о знаке та-
таково, что в обоих случаях стрелки указывают направление рас-
распространения волн. Внешние поля отличаются от волновых по-
полей крестиком у основания стрелок (см. рис. 2).
Вклад общего члена соотношения C.2) в амплитуду возму-
возмущения пОк, т. е.
(п ... ь^Юехр (- ш*а-г)) ас,
представляется р стрелками д'1.,. Ь^р, входящими в вершину,
и одной стрелкой Ьпа^, выходящей из этой вершины (см. рис. 2).
Вследствие условий однородности B.8) и B.15) векторная сум-
сумма компонент за вычетом антикомпонент, входящих в вершину,
равна компоненте (или с минусом антикомпоненте), выходящей
из вершины.
При последовательном представлении компонент, входящих
р вершину, через компоненты более низкого порядка компо-
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 113
нента Ьпа1 может быть изображена каскадной диаграммой с п
входами первого порядка и одним выходом. При этом компо-
компонента пвк задается суммой всевозможных каскадных диаграмм
с п входами первого порядка.
Решение C.2) представляет собой отклик линейного осцил-
осциллятора на суперпозицию синусоидальных вынуждающих членов.
Поэтому оно также является суперпозицией синусоидальных ко-
колебаний. Обычно эти колебания малы. Однако отклик велик,
когда частота воздействия близка к резонансной частоте, и не-
неограниченно растет со временем, когда имеет место резонанс.
В диаграммной системе обозначений резонанс имеет место тогда,
когда частота некоторой компоненты на диаграмме равна
сумме частот какого-нибудь набора компонент более низкого
порядка, которые порождают эту компоненту (частоты антиком-
антикомпонент считаются отрицательными). Мы будем обозначать ре-
резонансные, свободные, компоненты на диаграмме сплошными
линиями. Нерезонансные, виртуальные, компоненты будут обо-
обозначаться штриховыми линиями. Свободные компоненты удов-
удовлетворяют двум условиям:
5к = 25/к/, C.3)
5@ = 2 «/СО, E, 5,= ± 1), C.4)
где суммы в правых частях берутся по совокупностям входящих
компонент более низкого порядка. Виртуальные компоненты
удовлетворяют только первому условию.
4. Перенос энергии внутренними взаимодействиями
Резонансные возмущения описывают перенос энергии между
волновыми компонентами по аналогии с явлением биения ли-
линейных связанных настроенных осцилляторов. Если поля со-
состоят из конечного числа дискретных компонент, то эволюцию
полей можно определить, переписывая вековые члены в разло-
разложении возмущения как скорость медленного изменения волно-
волновых амплитуд во времени [1, 2, 4]. Для случайных полей мы бу-
будем интересоваться эволюцией спектра. Мы примем здесь, по
существу, тот же самый подход: сначала определим из уравне-
уравнений возмущений вековые члены разложения возмущений для
спектра, затем перепишем их как скорость изменения медленно
меняющегося спектра. (Между этими двумя случаями нахо-
находится задача о рассеянии отдельной волны случайными полями
[5, 26]. Наша теория дает соотношения интенсивностей для этой
задачи, но не флуктуации фазы.)
114 К. Хассельман
Линейная волновая система статистически вполне опреде-
определяется заданием спектра энергии
Р1 = \{а\а-_^ (=сопз*), D.1)
где ломаные скобки обозначают величины, осредненные по ан-
ансамблю. Это справедливо в смысле крупнозернистого распре-
распределения (см. приложение Б). Волновые поля являются гауссо-
гауссовыми и поэтому определяются корреляционной матрицей (а%а^\.
К тому же они стационарны, так что отличны от нуля лишь
диагональные члены (а^а^Л. Энергия линейного поля V есть
е;-Н1 = ЖП+Р;*)-22р1 D.2)
к к
Чтобы определить эволюцию спектра в нелинейном случае, мы
разложим Рь в ряд теории возмущений
где
' ! D.3)
Возмущения спектра можно выразить через известные линей-
линейные амплитуды [О*, подставляя решения C.2) в выражения
D.3)-D.5).
Удерживая лишь члены, зависящие от коэффициентов внут-
внутренней связи О?1 '" 1Р, получаем
зРк = Я■[— Згш 2 О-кк№АА-кАк,Акг) А: (ш — аи — (о2)}, D.6)
X А! ((о - (оз - @4) + 31 B - 18@@40=^0-^;^ X
X (/Ик^кИкМкз) А2 (@ — @3 — @4, 0>4 — @! — М2)} +
+ Я \2 — 4гсоО~кк11к*кз{Л_кЛк|Лк2!Лк*) А1 (<о — а>! — а>2 — (О))}, D.7)
где
А,((о)=^-(е^-1), D.8)
D.9)
Здесь мы ввели сокращенное обозначение о = (о^, (о/ ^
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физика 115
Каждый член в соотношениях D.6) и D.7) представляет со-
собой квадратичное произведение двух компонент возмущений.
Структура различных членов показана в диаграммном обозна-
обозначении на рис. 3.
Спектральные возмущения включают в себя средние произ-
произведения трех или более начальных амплитуд А^. Мы будем
предполагать, что вначале поля стационарны и гауссовы. Тогда
Рис. 3. Диаграммы взаимодействия для спектральных возмуще-
возмущений 3^к (уравнение D.6)) и 4Г^ (уравнение D.7)).
Диаграмма (а) изображает правую часть уравнения D.6), диаграммы (б), (в) и
(г) изображают 1-й, 2-й и 3-й члены соответственно в правой части уравне-
уравнения D.7).
осредненные произведения можно выразить через начальный
спектр 2рк- Предположение кажется разумным, так как линей-
линейные поля стремятся к гауссовому стационарному состоянию,
а нелинейные взаимодействия являются слабыми. Основания
для этой гипотезы мы обсудим позже более детально.
Для гауссового начального поля кубический член зРк обра-
обращается в нуль. Вклад в возмущения четвертого порядка ^
лишь члены, в которых четыре амплитуды А^ можно разбить
на две комплексно сопряженные пары. Это приводит к выра-
выражению
= 36@ 2| 2рк\ 2рк\ | О-кк,к, | | Д! (<0 - @1 - <02) | -
к[, 1с2
2 2Пу Я {О-ГЛХ+к^АкА* (со + @1 - со',
V,, У*'^ 0
где
2 ^к:{К;к>,()}, D.Ю)
к1, V, ^ 0
Диаграммы, соответствующие трем членам правой части выра-
выражения D.10), показаны на рис. 4. Мы предполагаем, что
116 К. Хассельман
коэффициенты взаимодействия обращаются в нуль, когда одно
из волновых чисел обращается в нуль, что иключает одну из трех
возможных пар комбинаций для второго и третьего членов.
Для больших значений I главные вклады дают вековые
члены, появляющиеся из-за резонансных взаимодействий. Оки
б1 в1 г
Рис. 4. Диаграммы взаимодействия спектрального возмуще-
возмущения Ар[ при начальном гауссовом поле, уравнение D.10).
Диаграммы (б'), (в') и (г') соответствуют !-му, 2-му и 3-му членам уравне-
уравнения D.10); частота V' на диаграмме (в') выбиралась как резонансная компо-
компонента.
определяются асимптотическим поведением функций отклика
А[ и А2, а именно
|Д,(ю)|2->2яй(<о), D.11)
А2(со, -сй)->г(я6(сй) + /РA/сй)). D.12)
Соотношение D.12) является сокращенной записью следующего
соотношения:
которое справедливо для любой непрерывной функции /(со).
При вычислении асимптотического выражения 4/4 с помощью
D.11) и D.12) заметим следующее:
а) Из-за симметрии коэффициентов связи О!" и условия ве-
вещественности B.7) вещественная часть выражения {...} во вто-
втором члене в соотношении D.10) включает только б-функцию
от А2.
б) Вещественность гамильтониана взаимодействия Н4 влечет
за собой вещественность коэффициента О-кк^к.'к!- Таким обра-
образом, третий член в D.10) обращается в нуль. Оба эти свойства
присущи только внутренним взаимодействиям.
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 117
Асимптотические соотношения D.11) и D.12) приводят к сле-
следующему выражению:
где /—квадратичный интегральный оператор, действующий на
совокупность начальных спектров яРк- Если спектры считаются
меняющимися функциями, то последнее уравнение можно пере-
переписать в виде
или в явном виде
-^>- = 5] ||{Г+(п1П2-ПП1-ПП2)б(к1+к2-к)б((й1 + (й2-@) +
V,, V, > О
+ 2Т- Кпг + пщ - пп2) б (к, - к2 - к) б (с^ - со2 - со)} йк, йк2, D.13)
где
'О-ккйР, D.14)
г-.—VV,V, 12 ,, ,-,
О-кк!к;| D.15)
и п„(к)=Рч(кIа>к- Мы ввели непрерывный спектр, согласно
обозначению
" " ,(к)Л.
Уравнение D.13), в силу квадратичной связи, представляет
собой уравнение переноса энергии наинизшего порядка. Оно
было впервые получено Пайерлсом [18] для взаимодействующих
колебаний решетки в твердом теле. В некоторых случаях, на-
например для поверхностных гравитационных волн наинизшего
порядка, резонансные условия имеют лишь тривиальные реше-
решения, и необходимо выполнить расчет до членов более высокого
порядка [7]. Получающиеся выражения переноса аналогичны
по структуре уравнению D.13), но содержат вместо квадратич-
квадратичных кубические спектральные произведения [9].
Эти выражения переноса пригодны для всех моментов вре-
времени при условии, что основная гипотеза, согласно которой поля
могут считаться приближенно гауссовыми, остается справедли-
справедливой. Как показано Пригожиным [28], это имеет место в том слу-
случае, когда поля были первоначально строго гауссовыми, и гипо-
гипотеза о том, что поля являются гауссовыми, применяется лишь
для дальнейшего изменения полей во времени.
Бинни и Сафмен [3] показали, что указанная гипотеза не яв-
является необходимой, если кумулянты предполагаются гладкими
функциями волновых чисел. Однако в приложении А показы-
116 К. Хассельман
вается, что это предположение противоречит необратимости вы-
выражений переноса. Кумулянты старого поля суть функции с бы-
быстрыми мелкомасштабными флуктуациями (см. приложение Б).
5. Перенос энергии внешними взаимодействиями
В этом параграфе мы будем предполагать, что поля стати-
статистически стационарны однородны и ортогональны, т. е.
<йк(* + т)*к'@> = 0 пРи к + к'^О или ц'^Д,
<Х V + т) 6* к @> = 2СЦ ехр (- иоЕт},
где •
а$ = ±(в№к) = сопз\. E.1)
Мы вводим условие ортогональности для простоты выкладок.
Произвольное представление, вообще говоря, не будет приво-
приводить к ортогональным компонентам внешнего поля. Например,
турбулентные компоненты [/{(к, со, г) представления B.12) не
удовлетворяют условию
([//(к, со, г)Ы!(— к, — со, г')) = 0 при 1Ф\ или гфг'.
Ортогональности можно добиться переходом к новому пред-
представлению. Мы не будем этого делать, а просто отметим, что,
когда используется неортогональное представление, выражения
вида 2 6*к заменяются выражениями 2 Кь* О^1, где С^ =
и ни'
— -!_(бк6-'к) и Кк11'— матрица коэффициентов.
В дальнейшем будем предполагать, что линейные волновые
поля и внешние поля статистически независимы. Это можно
установить в смысле крупнозернистого распределения с по-
помощью некоторого обобщения анализа, выполненного в прило-
приложении Б.
а) Линейные взаимодействия. Уравнение линейного взаимо-
взаимодействия
К + « = - 2К 2 Е-*№ E.2)
можно решить точно, без разложения в ряд теории возмущений,
В общей теории правая часть уравнения E.2) должна тем не
менее считаться малым возмущением (т. е. ^1кк = О (Р) при
Р < 1), поскольку анализ взаимодействий более высоких поряд-
порядков основывается на решении типа свободной волны однород-
однородного уравнения.
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 119
Решение уравнения E.2)
а1 = - И< 2 Е-^В^ « - <) ехр (- и«#}
приводит к спектру, который линейно растет во времени (урав-
(уравнение D.11)). В соответствии с предыдущим мы можем запи-
записать это в дифференциальной форме:
М:Г^К) E.3)
и
где мы использовали обозначения для непрерывного спектра
к
Неконсервативные линейные волновые взаимодействия
а\ + коХ = - 2ш\ | Е~::Х E-4)
дают незначительно отличающееся выражение. Умножая урав-
уравнение E.4) на а-1, складывая результат с комплексно сопря-
сопряженным уравнением и осредняя, получаем
(к). E.5)
Теории Фйллипса и Майлса [19, 17] образования волн ветром
(см. ниже § 7) представляют собой примеры процессов переноса
вида E.3) и E.5).
6) Нелинейные взаимодействия между волнами и внешними
полями. Анализ нелинейных внешних взаимодействий аналоги-
аналогичен анализу взаимодействий между волнами, за исключением
некоторых дополнительных видоизменений. Видоизменения свя-
связаны с тем, что свойства (а) и (б), которые позволяют полу-
получить из уравнения D.10) простое выражение переноса D.13),
здесь не приложимы.
Осложнение возникает также и в том случае, если выраже-
выражения, соответствующие уравнениям D.6) и D.7), содержат более
двух компонент внешнего поля. Хотя волновые поля можно счи-
считать гауссовыми, а волновые и внешние поля статистически не-
независимыми, внешние поля, вообще говоря, не будут гауссо-
гауссовыми. Следовательно, осредненные произведения, содержащие
больше двух компонент внешнего поля, нельзя свести к спектру
внешнего поля. Это соображение не является основной труд-
трудностью, так как статистическую структуру внешних полей можно
предполагать известной, но оно ведет к более сложным
выражениям переноса. Однако во многих случаях гипотеза о том,
120 К. Хассельман
что поля гауссовы, может все же использоваться для оценки
порядка величины переноса энергии (например, при порожде-
порождении звука турбулентностью, см. [14]). Так как в дальнейшем
нам не понадобятся точные выражения, предположим здесь для
простоты, что внешние поля так же гауссовы. Это означает, что
последующие выражения не являются строго правильными, как
только появляются произведения двух спектров внешнего поля
(уравнение E.8)). Другие выражения не зависят от этого пред-
предположения.
Удобно разделить общий перенос на три выражения в соот-
соответствии со спектральными произведениями, встречающимися
в интегралах. Первое выражение содержит билинейные произве-
произведения волнового спектра и спектра внешнего поля
V, >0
ц (й# > о)
- к2- к)б (со, - (о2- со) +
+ (Т%Р]О2 + ТЬ3РО2)б (к2 - к, - к) б (иг - о, - (о) - Т<РС2} йк йк2,
E.6)
где
ккк1
= Зожо I -с-кк,к2
Т\ =
Т\ =
.^-к,к-к,
4-т. _т '
! 2 — (О ' 0I—0J —
V, >0
| ] - 32@
0I+0J + 0) 0J—0I—0)
Второе выражение описывает перенос энергии неконсерва-
неконсервативными взаимодействиями между волнами. Оно аналогично
выражению E.6), за исключением того, что индекс ц заменяется
на индекс V* а внешний спектр 62 — на Р2= /ч2 (к2). Число
парных комбинаций больше для двух волновых спектров, чем
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 121
для одного волнового спектра и одного спектра внешнего поля;
это приводит к дополнительным множителям 2 и 4 соответ-
соответственно в функциях переноса Т° и Т\ (/=1,2,3). Аналогично
первый и второй члены в Г4 умножаются соответственно на 4
и 3. Упорядочивая члены, выражения переноса можно написать
в форме, аналогичной уравнению переноса D.13) для консерва-
консервативных взаимодействий между волнами,
V,V2 > О
X б (к! + к2 - к) + 2 (Т2Р1Р2 + Т\РР] - Т2РР2) б (сй1 - со2 - со) X
Хб(к,-к2-к)-7уТ,ЫМк2, E.7)
где
^■^-VV,V2 12 '
= 144@ У \щР&\ Е~кк^Е-к'к~к< + г-к-к,к2'г-к2гкк,' +
АЛ |_ ' ^) I 0I+0J —О) 0J—0)!—О)
V, >0
Для симметричных коэффициентов уравнение E.7) становится
тождественным уравнению D.13).
Третье выражение описывает перенос, осуществляемый толь-
только взаимодействиями внешнего поля,
п.. ш
(ш„ щ > 0)
+ 2Г2С,С2б (к, - к2 - к) б (со, - со2 - со)} йк, йк2, E.8)
где
21
т 7о«^21 р-^Л I2
У2= /2Я@ | -С—кк,—к21 •
Уравнения E.3), E.5) — E.8) представляют собой полный
набор выражений переноса низшего порядка, содержащих про-
произведения не более двух спектров.
122 К. Хассельман
6. Диаграммы переноса
Удобно изображать выражения переноса, выведенные в § 4
и 5 диаграммами переноса энергии. В .частном случае консерва-
консервативных взаимодействий между волнами выражения переноса
можно интерпретировать как диаграммы столкновений в кар-
картине частиц [Э]. В общем случае неконсервативных взаимодей-
взаимодействий такая интерпретация более не применима, но эти диаг-
диаграммы сохраняют некоторые полезные свойства.
Каждый член в интегралах переноса можно связать с ком-
компонентой— стрелкой на диаграмме переноса. Члены, содержа-
содержащие множителями б-функцию, и линейные выражения переноса
E.3) и E,5) представляются диаграммой с п компонентами,
входящими в вершину, и единственной компонентой, выходящей
из вершины (мы рассматривали детально лишь линейный слу-
случай п=\ и квадратичный случай п=2). Различные комбинации
знаков в б-функциях характеризуются компонентами и анти-
антикомпонентами так же, как и на диаграммах взаимодействия
(§3).
Таким образом, множитель б(К1 + к2 — к) 6 (ом + а>2 — со)
представляется двумя стрелками, равными к1 и к2, входящими
в вершину, и стрелкой, равной к, выходящей из вершины. Мно-
Множитель б (к!—к2— к)б(а>1 — иг — со) представляется той же
диаграммой, но компонента к2 заменяется антикомпонентой.
Правило суммирования для волновых чисел и частот то же са-
самое, что для диаграмм взаимодействия. Оба множителя из б-
функций можно представить двумя другими диаграммами, в ко-
которых в качестве результирующей компоненты выбираются к[
или к2.
Мы будем говорить о трех диаграммах с данным множите-
множителем из б-функций, как о наборе диаграмм. (Три диаграммы с
выходящими антикомпонентами можно не принимать в расчет,
поскольку они идентичны другим диаграммам, за исключением
того, что знаки у всех компонент изменяются.) Каждая диаг-
диаграмма некоторого набора представляет перенос энергии от вхо-
входящих компонент к выходящей компоненте. Однако если выхо-
выходящая компонента представляет фиксированное внешнее поле,
то перенос отсутствует,- эти диаграммы можно исключить. Как
и в случае диаграмм взаимодействия, стрелки указывают всегда
направление распространения волн. (С этой целью выражения
переноса были написаны так, что содержат лишь положитель-
положительные частоты.)
Последние члены в уравнениях E.6) и E.7), которые не
содержат множителей в виде б-функций, изображаются просто
двумя стрелками, входящими в вершину, без результирующей
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 123
компоненты. В этом случае не делается различия между компо-
компонентами и антикомпонентами.
Структуру выражений переноса можно определить из диаг-
диаграмм по единственному правилу: скорость изменения спектра
любой волновой компоненты или антикомпоненты на диаграмме
переноса пропорциональна произведению спектральных плотно-
плотностей входящих компонент.
Таким образом, линейные выражения переноса E.3) и E.5)
представляются на рис. 5 линейными диаграммами а и б соот-
соответственно. Первые два члена, связанные с множителем
V,
а
Рис. 5. Представление выражений переноса энергии диаграммами
переноса.
Диаграммы (а) и (б) изображают линейные выражения переноса E.3) и E.5) со-
соответственно. Диаграммы (в) изображают первые два члена с множителем
6(к! + к2 — к) 6(й>1 + ш2 — ш) уравнения E.6). Третья диаграмма этого набора
показывает, как генерируется внешняя компонента, которая приводит к нуле-
нулевому переносу. Остальные члены с 6-функциями из уравнений E.6)—E.8) полу-
получаются заменой компонент и антикомпоненг или волновых компонент и ком-
компонент внешнего поля. Диаграмма (е) изображает последний член в уравне-
уравнении E.6)'.
( + к2 — кN(сйг+о>2 — со) в уравнении E.6), представляются
двумя диаграммами в на рис. 5. Третья диаграмма из, набора
изображает образование внешней компоненты цг, и ее можно
не учитывать. Если цг заменить на \2, то получаются первые
три члена в уравнении E.7). В этом случае все три диаграммы
набора дают вклад в перенос энергии. Если VI заменить на ц^>
то получается первый член уравнения E.8). Здесь лишь одна
диаграмма дает вклад в перенос энергии. Остальные члены вы-
выражений переноса E.6) — E.8) получаются заменой одной из
входящих компонент на антикомпоненту. Диграмма г на рис. 5
представляет собой последний член уравнения E.6). Диаграм-
Диаграммы а, в, г и т. д. сопоставляются взаимодействиями ц -»■ V,
\1[12 ->\, V^\^2 И Т. Д. -
В случае консервативных взаимодействий между волнами
скорость переноса для всех компонент можно характеризовать
единственным коэффициентом переноса, который приложим ко
всем диаграммам данного набора. Кроме того, имеется тесная
связь между диаграммами переноса и взаимодействия; различные
124 К- Хассельман
вклады в выражения переноса можно классифицировать не-
непосредственно через диаграммы взаимодействия (диаграммы
Фейнмана) и нет необходимости четко различать эти два типа
диаграмм [9].
Эта простота теряется в общем случае. Скорость переноса
различна для каждой компоненты диаграммы. Связь между ди-
диаграммами переноса и диаграммами взаимодействия, которые
описывают структуру возмущений для членов переноса, более
запутана. (Например, член переноса, соответствующий диаг-
диаграмме г на рис. 5, содержит коэффициент связи четвертого по-
порядка.) Но диаграммы переноса тем не менее остаются полез-
полезным инструментом при анализе структуры сложных взаимодей-
взаимодействующих систем.
Применение диаграмм переноса (Фейнмана) для консерва-
консервативных процессов рассеяния волны волной иллюстрируется на
некоторых примерах в работе [9]. Далее мы рассмотрим и слу-
случай, включающий неконсервативные внешние взаимодействия.
7. Образование волн турбулентным ветром
Применим предыдущие результаты к взаимодействиям ме-
между гравитационными волнами § и атмосферным турбулент-
турбулентным пограничным слоем. Мы предполагаем, что пограничный
слой состоит из среднего течения т, которое зависит только от
вертикальной координаты, и статистически стационарного гори-
горизонтально однородного флуктуирующего поля /.
Подробный анализ мы здесь выполнять не будем. Было уста-
установлено, что взаимодействия между волнами § и полем / можно
разложить в ряд теории возмущений вида B.14). Среднее те-
течение т определяет форму коэффициентов §-} связи, но его не
следует рассматривать как возмущение. Следовательно, мы фор-
формально рассматриваем лишь взаимодействия между компонен-
компонентами § и /.
Полный набор диаграмм переноса низшего порядка, содер-
содержащих не более двух входящих компонент, показан на рис. 6.
(Диаграммы #1#2—>■ §з и §г§2, которые должны включаться
в полный набор, не показаны. Первая диаграмма не удовлет-
удовлетворяет условиям резонанса [4]. Можно показать, что вторая
диаграмма относится к более высокому порядку, чем диаграмма
а на рис. 6, и поэтому ею можно пренебречь.)
Линейная диаграмма а на рис. 6 §—*§ соответствует теории
Майлса [17] образования волн из-за линейной связи между вол-
волнами и средним течением пограничного слоя. Каждая волновая
компонента создает возмущение среднего течения. Возникаю-
Возникающее возмущение давления питает в свою очередь волновую ком-
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 125
поненту, что приводит ее к возрастанию. Физический механизм
этой обратной связи обсуждался Лайтхиллом [13]. В соответ-
соответствии с правилом переноса скорость роста спектральной плот-
плотности /•'(к) компоненты § пропорциональна /'(к), так что
дР(к)№ = $Р(к), G.1)
где р зависит от среднего профиля пограничного слоя. Рост
волны происходит экспоненциально.
в
Рис. 6. Диаграммы переноса для взаимодействий между грави-
гравитационными волнами и атмосферным пограничным слоем.
Диаграмма а —Майлс [17]; б —Фнллнпс [19]; в — взаимодействия воли с турбу-
турбулентностью.
Второй набор диаграмм (рис. 6, б) соответствует теории
Филлипса [19] образования вынужденных волн турбулентными
флуктуациями давления р. Процесс можно представить более
просто при помощи линейной диаграммы р-+§. Однако давле-
давление является производным полем. Его можно выразить через
взаимодействующие компоненты скорости, которые приводят к
трем диаграммам (см. рис. 6,6). Скорость переноса пропорцио-
пропорциональна трехмерному спектру Ор турбулентного давления на
морской поверхности [6]
%„.*.-о, G.2,
где со — частота волновой компоненты к, р — плотность воды.
Спектры нормируются таким образом, что
126 К. Хассельман
где % — смещение поверхности, Е — волновая энергия, а
Уравнение G.2) приводит к линейному росту волны.
Остальные взаимодействия диаграммы в на рис.6 не рассма-
рассматривались ранее. В самом простом случае они представляют
собой возмущение среднего пограничного слоя компонентой &',
взаимодействие между этим возмущением и турбулентной ком-
компонентой } и обратную связь флуктуации давления за счет этого
взаимодействия с компонентой §. Согласно правилу переноса,
результирующая энергия переноса имеет вид
дР (к)/Л = - уР (к) + | б (к, к') Р (к') Л'. G.3)
Первый член представляет собой потерю энергии (или ее при-
приток) для компоненты §'. Он пропорционален спектральной плот-
плотности самой компоненты ё'. Второй член представляет собой
энергию, получаемую компонентой §, которая пропорциональна
спектру энергии компоненты §' при других волновых числах.
Функции V и б являются линейными функционалами спектра
турбулентности при волновых числах, соответствующих компо-
компонентам турбулентности на диаграммах. Второй член всегда по-
положителен, в то время как первый член может иметь любой
знак'.
Трудно решить на основании имеющихся данных, какой из
трех механизмов наиболее важен, поскольку существует очень
мало количественных измерений роста волн. Снайдер и Кокс
[25] измерили рост волн периода 3,3 сек под действием ветра
в различных условиях. Они нашли, что волны растут вначале
линейно и что скорость начального роста не противоречит меха-
механизму Филлипса, если результаты измерений флуктуации дав-
давления над сушей [22] можно использовать и для океана. На-
Начальная линейная стадия сменяется периодом более.быстрого
экспоненциального роста, на который приходится основная
часть волновой энергии. Скорость роста в этот период почти на
порядок больше, чем предсказанная Майлсом или более ранней
теорией Джеффриса [12].
Тем самым естественно предположить, что взаимодействия
турбулентных волн, составляющие набор взаимодействий низ-
низшего порядка, являются основным источником энергии волн.
Хотя скорость переноса G.3) трудно оценить на основании су-
существующих измерений турбулентности, это выражение имеет
некоторые качественные черты, согласующиеся с наблюдениями.
Спектр турбулентности имеет максимум при. более низких ча-
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 127
стотах, чем спектр волн, так что различие частот компонент §
и &' при взаимодействиях §'}-*-§ и т. п. будет, вообще говоря,
мало. Следовательно, перенос энергии сосредотачивается в поло-
полосах близких частот волнового спектра. Если волны образуются
сначала при высоких частотах, то второй член уравнения G.3)
ведет к образованию волн немного более низкой частоты. Когда
последние достаточно велики, по соседству образуется полоса
еще меньшей частоты и т. д. Наблюдения, по-видимому, под-
подтверждают такое последовательное развитие волнового спектра,
но высказывались также и другие объяснения (см. [7, 21]).
После того как волны образуются за счет второго члена
уравнения G.3), первый член будет либо вызывать их увели-
увеличение, либо противодействовать их дальнейшему росту в зави-
зависимости от знака б. Последний случай представляет некоторый
интерес, так как тогда можно объяснить наблюдаемое равнове-
равновесие спектра, не привлекая к рассмотрению сильный перенос
количества движения океаническими течениями. Обычно пред-
предполагается, что в состоянии равновесия перенос импульса от
атмосферного пограничного слоя к волнам имеет тот же порядок
величины, как и во время роста волны, но при этом он сбалан-
сбалансирован столь же сильным переносом импульса от волн к
осредненному океаническому течению. Исходя из этого пред-
предположения, Снайдер и Кокс нашли, что скорости наблюдавше-
наблюдавшегося ими роста волн приводят к эффективному напряжению
сдвига, отличающемуся в несколько раз от касательного на-
напряжения на стенке для пограничного слоя у твердой стенки.
С другой стороны, различные измерения пограничного слоя
над океаном не указывают существенных отклонений (в усло-
условиях нейтральной плавучести) от теоретического напряжения и
логарифмического профиля скорости («закон стенки»). Эта
трудность не возникает, если равновесие можно объяснить взаи-
взаимодействиями волн с атмосферой и нелинейными взаимодей-
взаимодействиями между волнами [7, 20]') без привлечения сильного дис-
сипативного процесса.
Решению этих вопросов должны помочь дальнейшие иссле-
исследования атмосферного пограничного слоя, связанные более тесно
с измерениями спектра волн и скоростей спектрального роста.
Приложение А
Бинни и Сафмен [3] показали, что выражения переноса мож-
можно вывести, не привлекая гипотезы о том, что поля гауссовы,
' ') Значение взаимодействий между волнами в балансе энергии гравита-
гравитационных воли подтвердили недавние наблюдения распространения зыби [24].
128 К. Хассельман
если кумулянты предполагаются гладкими в пространстве вол-
волновых чисел (или содержат только некоторые сингулярности
типа б-функций). Однако их вывод (если он применим для всех
моментов времени) противоречит необратимости выражений пе-
переноса. Невозможно вывести выражение переноса из чисто ло-
локальных рассмотрений, не вводя статистическую гипотезу, кото-
которая в действительности определяет направление времени. Это
можно заключить из хорошо известной дискуссии о парадоксе
необратимости для уравнения Больцмана.
Предположим, что выражения переноса заданы для всех
моментов времен ^>0 для некоторого ансамбля Е волновых по-
полей. Найдем спектр Р(к,гг—т) в момент времени и — т > 0, бо-
более ранний, чем ^>0, решая уравнения движения при обратном
направлении времени и используя ансамбль состояний в момент
1{ в качестве начальных данных. Так как уравнения движения
обратимы, тот же спектр получается, если обратить знак скоро-
скоростей <7к в момент времени ^ и затем определить Р(к, 1г + х),
решая задачу с начальными условиями для этого нового ан-
ансамбля Е в прямом направлении времени. Если выражения пе-
переноса предполагаются справедливыми для обоих ансамблей
Е и Ё, то один и тот же спектр получается при (^ + т) для обоих
ансамблей Е и Ё. Выражения переноса зависят лишь от спектра
и не зависят от знака поля скорости. Для ансамбля Е следует,
что Р(к, г\ —х) = Р(к, ^ + т). Таким образом, эволюция во вре-
времени симметрична относительно ^. В частности, имеется разрыв
наклона при гх:
Это, очевидно, противоречит предположению, что выражения
переноса справедливы при всех ^>0. Следовательно, если выра-
выражения переноса справедливы_для ансамбля Е, то они не могут
выполняться для ансамбля Е. Предположение о том, что дан-
данный ансамбль полей скорости соответствует ансамблю Е, а не
Е, является тогда необходимой гипотезой, которую нельзя вы-
вывести без анализа истории поля.
Ясно, что любая попытка вывести выражения переноса ло-
локально в момент времени и должна основываться на различии
между ансамблями Е и Е. Если в класс начальных условий,
допустимых в момент и, входят Е и Е, то анализ должен при-
привести к появлению заострения. Как гауссовы поля, так и поля
с гладкими кумулянтами представляют собой симметричные
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 129
классы в этом смысле1). Так как Пригожий [23] доказал спра-
справедливость выражений переноса для всех ^>0, отсюда следует,
что кумулянты, вообще говоря, не равны нулю и не остаются
гладкими.
Поведение кумулянтов становится более понятным из ана-
анализа линейного поля (приложение Б). Непрерывное перемеши-
перемешивание групп волн, распространяющихся в различных направле-
направлениях, приводит к вырождению начального поля с гладкими ку-
кумулянтами в пространстве волновых чисел. В нелинейном случае
перемешивание в сочетании со слабой связью приводит к услож-
усложненной мелкомасштабной структуре, содержащей сингулярно-
сингулярности2). Гипотеза о том, что поля гауссовы, эквивалентна предпо-
предположению, что мелкую структуру можно игнорировать, если она
развивается в прямом направлении времени. Но ее нельзя
игнорировать при попытке восстановить прошлое. Связь между
необратимостью крупнозернистых распределений и симметрией
во времени мелкозернистых распределений известна из других
задач статистической механики.
С физической точки зрения роль мелкой структуры можно
лучше понять из рассмотрения взаимодействий, имеющих место
между большими, но конечными группами волн, а не бесконеч-
бесконечными цугами волн. Ситуация тогда близка к случаю взаимодей-
взаимодействующих частиц (приложение Б).
Приложение Б. Закон Гаусса для случайных
линейных волновых полей
Обычно предполагается, что случайные линейные волновые
поля можно считать гауссовыми. Гипотеза широко подтвер-
подтверждается наблюдениями и может быть оправдана интуитивно
нестрогим применением центральной предельной теоремы. Од-
Однако доказательство этой гипотезы и общее понимание условий,
на которых она базируется, отсутствуют.
') Соотношение (А1) можно непосредственно проверить в случае, рас-
рассмотренном Бинии и Сафмеиом. В этом случае правая часть уравнения B.51)
и аналогично первый член в правой части уравнения B.56) имеют отрица-
отрицательный знак, если совершается предельный переход I-*■—оо вместо ^->-оо.
Это влияет на правую часть уравнения B.44) для скорости переноса энергии.
Таким образом, спектральная производная принимает противоположные знаки
в зависимости от того, определяется ли оиа прошлыми или будущими со-
состояниями. То же самое следует для строго гауссова поля.
2) Автор получил такой же результат, как Бииии и Сафмеи, при об-
обсуждении с Брезертоиом три года назад вопроса о том, являются ли поля
гауссовыми. Брезертои отметил, что сингулярности, образовавшиеся за счет
резонансных взаимодействий, нарушают предположение о гладкости кумулян-
кумулянтов. Противоречие этому предположению выявляется еще более просто из
развития тонкой структуры.
130 К. Хоссельман
Вопрос приобретает особое значение в связи с недавней ра-
работой по нелинейным взаимодействиям в случайных волновых
полях. Метод спектрального анализа обобщен на более высокие
порядки для определения нелинейных функций переноса [10,11].
В противоположность линейному случаю методы более высокого
порядка сильно зависят от предположения, что поля первого по-
порядка (линейные поля) суть гауссовы. В настоящем изложении
мы будем, однако, в основном касаться прежде всего новых об-
обсуждений рассматриваемой гипотезы в связи с выводом выра-
выражений переноса в § 4 и 5. Недоразумения, имевшие при этом
место, проистекают непосредственно из неправильного пред-
представления природы гипотезы гауссовости для линейных волно-
волновых полей.
Оказалось [3], что эта гипотеза не более приемлема для по-
полей взаимодействующих волн, чем для турбулентного поля; в
обоих случаях взаимодействие приводит к нарушению этой ги-
гипотезы для заданного начального состояния в течение времени,
сравнимого с временным масштабом переноса энергии. Такая
аналогия игнорирует важное свойство линейных волновых по-
полей: ниже показывается, что совокупность однородных линей-
линейных волновых полей, которые не являются гауссовыми вначале
и которые имеют гладкие кумулянты в пространстве волновых
чисел, асимптотически приближается к гауссову состоянию (и,
более того, поля становятся стационарными и взаимно незави-
независимыми). Таким образом, свойство полей быть гауссовыми не
просто согласуется, но и является следствием линейности вол-
волновых полей. В случае слабых нелинейных взаимодействий ли-
линейное стремление к гауссовому состоянию, как можно предпо-
предполагать, сохраняет поля приближенно гауссовыми, несмотря на
противодействующее влияние нелинейностей.
Приближение линейных полей к гауссовому состоянию имеет
место в «крупнозернистом» смысле: это касается спектральных
моментов, которые сглаживаются при свертке с произвольно уз-
узким, но конечным фильтром. Тонкая структура остается негаус-
негауссовой, но разрешающая способность по частоте, требуемая для
ее обнаружения, неограниченно увеличивается со временем и
в конечном счете превышает любые достижимые разрешения.
Хотя мелкая структура и не наблюдаема, она тем не менее
важна из-за того,' что объясняет необратимое поведение крупно-
крупнозернистых распределений в линейном и нелинейном случаях.
Представление полей
Рассмотрим совокупность случайных вещественных полей
фу(х, г), где х — координатный вектор в пространстве размерно-
размерности б. Поля можно охарактеризовать совокупностью осреднен-
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической 'физика 131
ных произведений
где ломаные скобки обозначают средние по ансамблю вели-
величины. Мы предполагаем, что поля статистически однородны, так
что
где |т = хт — х„, т = 1, . . '., , п— 1, являются разностями коор-
координат. Для простоты положим {ф) = 0. Иначе говоря, можно
ввести представление Фурье — Стильтьеса
ф,(х, 0= |^(к, 0е|к"« (Б2)
и описывать поля набором средних произведений
^^ + ... +кп)л1...л„, (бз)
где
^,...уп(к,.:. к„_„ г1 ..: чп) =
X ехр{— «(к, .§, + "... +к„_, ■ 5„-1)}й6, ... «/§„_, (Б4)
есть трансформанта Фурье для /Ц ... \п-
В уравнении (БЗ) б-функция характерна для однородных
полей. Формально она возникает в силу того,- что средние произ-
произведения (фу1 (х,, {г) ... фчп(хп, 1п)) остаются . конечными. . .при
х„—юо для фиксированных |т. По аналогичным причинам сред-
средние произведения (йф^ (ки гг) ... ёц>^п(кп,'(п)\ вообще говоря,
содержат дополнительнь.е б-функции, которые можно связать
с асимптотическим поведением (фУ{ (х,, ^,) ... ф^п (х„, ?„)) при
больших х^-. Сингулярности можно разбить на множители путем
разложения моментов по групповым функциям или кумулянтам.
Мы будем предполагать, что средние произведения удовлет-
удовлетворяют асимптотическому условию
<#A)... ф(п))-+(<Н1) ... ф(р))(Ф(р+\) ... ф(я)) ...
... (ф{з+\) ... ф(п)), (Б5)
где Ф(а)^фУа(\а, 1и)> если разделяющие расстояния между ин-
индивидуальными группами для произвольной совокупности групп
(\1...\р), (хр+1 ... х9).. .(х5+| ... х„) стремятся к бесконечности.
132 К. Хассельман
Групповые функции 5 тогда определяются рекуррентными
соотношениями:
= ДVIV! — ^.О^,
5у,5улУ3 — Оу^у,^ — Оу^у^ — «Ху^у^У,! (Б6)
которые конструируются таким образом, что при выполнении
условия (Б5) все 5У, ... Vп стремятся к нулю, если какая-нибудь
разность координат 1,т стремится к бесконечности. В формуле
(Б6) (а также ниже, в (Б8)) суммирование (знак 2) произво-
производится по всевозможным совокупностям групп. Далее мы будем
предполагать, что 5у1...у„ приближается к нулю настолько
плавно, что гарантируется существование непрерывного преоб-
преобразования Фурье:
Хехр{-/(к1-§,+ ... +к„_, •§„_,)}й§, ... ^„_,. (Б.7)
Сравнивая уравнения (Б6), (Б7) с уравнениями (БЗ), (Б4),
мы можем написать
...ЯУ1.„у,(кх1...кх,_1,^1...^)}, (Б8)
где щ = \у,1 ... Уз = V^/.
Асимптотические свойства волновых полей. Предположим
теперь, что поля фч являются волновыми полями, компоненты
Фурье которых удовлетворяют уравнению гармонического ос-
осциллятора:
Др„(к) + ю»(к)Лр„(к) = О (Б9)
с решением
йФу(к, О = ^(к)е~'"^ + йФ;(к)е'"»'. (Б 10)
Для вещественных ф„ имеем
(-к))'. (Б 11)
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 133
Средние произведения (БЗ) тогда принимают вид
<^1(к1,д...^п(к„,д> =
= 2 (^'(к,) ... 4Ф;»(кп)>ехр{-!(*,(»>*,+ ... +5Л у},
Зиакн 3/ I п ' п "
(Б12)
где
-о';;;;;»(к,... к„_1)в(к1+ ... +к„)^к1.... л„ (Б13)
задается начальным статистическим распределением.
Из (БЗ) и (Б8) получаем аналогичные соотношения для ку-
кумулянтов:
н^„,,п(К ... к„_„ *, ... у^Д^;;;,^,... к„_,)х
X ехр (— /($1<оу,*1+ ... +5п(йу„Ц}, (Б14)
где Я*1 '"*"— набор начальных кумулянтов, связанный с на-
борам начальных моментов С;'"*".
Мы будем предполагать, что начальные распределения про-
произвольны, за исключением того, что кумулянты Я*1 " *л не-
I П
прерывны.
Для гауссовых полей все кумулянты порядка выше второго
обращаются в нуль. Из уравнения (Б 14) немедленно следует,
что при произвольных начальных условиях набор волновых по-
полей не может приближаться строго к гауссовому состоянию,
так как правая часть уравнения (Б 14) состоит из конечного
числа членов с постоянными коэффициентами, которые, вообще
говоря, не обращаются в нуль. Рассмотрим, однако, наблюдае-
наблюдаемые спектральные моменты, которые получаются сверткой тео-
теоретических моментов с фильтрами конечной ширины:
... акп-и (Б 15)
где -у(к1 ... к„_1)—конечная непрерывная функция фильтра,
нормированная следующим образом:
„_,)Л, ...Л„_, = 1,
134 К; Хассельман
Обычно функция у действительно отлична от нуля лишь в ма-
малой области вокруг начала координат к! = 0, ..., к„^1 = 0.
Исследуем предел Яу, ... V,,, когда /„—►<» при фиксирован-
фиксированных выдержках времени " ... .
*/-*/-*„ (/=1, .... я-1).
Согласно уравнению (Б14), имеем
п = у. Г Гя'>----''*Гк' к' \у(к'-к к' -к
^••'•«п ... .
X ехр {-■/(«,<_ + ... + «„<„) *„} ехр (- /(«,< т, + ...
Так как Я51'" х^ и у- йепрёрывные функции, то интеграл от
быстро осциллирующего множителя ехр ( — /E,@^ + ... +5„со^ )^Л
стремится к нулю при ^п—^■оо■, если только подпространство
«.со' +...+5„(о' = 0 не дает конечного вклада в интеграл.
I П
Предполагая, что компоненты невырожденные, т. е. что
сйу(к) ф а>ц(к) при V Ф A и дщ\дкгФ^,
получаем, что это имеет место лишь в случае а) 6 = 1, со^Д =
= С = СОП31 ДЛЯ НеКОТОрОГО V, V] = \2 = • • • =^п = VI И 5| = . . .
.-.. = 5„ = 5У или в случае б) п = 2, 54 = —52, VI = \2- Случай а)
соответствует одномерному волновому полю без дисперсии.
Тогда волновое поле представляет собой суперпозицию двух
цугов волн, которые распространяются в противоположных на-
направлениях без изменения формы. Асимптотическое приближе-
приближение к гауссовому состоянию, очевидно, невозможно.
Исключая этот случай, получаем, что лишь вторые куму-
кумулянты при комбинации индексов б) остаются конечными при
1п—»оо. Таким образом, наблюдаемые поля стремятся к гаус-
гауссовому состоянию. Условия «1 = —52 и VI = \2 означают, что
поля стационарны и что различные моды, колебаний статисти-
статистически независимы.
Если.бы мы исследовали кумулянты в физическом простран-
пространстве вместо пространства волновых чисел, то проблема сглажи-
сглаживания не возникла бы. Интегральное преобразование от про-
пространства векторов к к пространству векторов' х- артом^тическн
Описание нелинейных взаимодействий методами теоретической физики 135
приводит к сглаженным кумулянтам 5 в х-пространстве. Труд-
Трудность теперь состоит в аномальном поведении кумулянтов 5
при больших разделяющих расстояниях |т, так что в пределе
/„—»об преобразования Фурье более не существуют.
Асимптотическое поведение кумулянтов 5 и Я лучше всего
выясняется при рассмотрении случайных волновых полей как
суперпозиции большого ансамбля конечных волновых групп,
чем бесконечных цугов волн.
Гауссовы поля эквивалентны статистически независимым
группам волн. Предположение, что кумулянты Н начального не-
гауссового состояния непрерывны, означает, что начальная за-
зависимость .между волнйвыми группами, приближается плавно
к нулю, когда расстояния между группами стремятся к беско-
бесконечности. Позже волновые группы занимают различные поло-
положения в пространстве, но их статистическая, зависимость
остается. Следовательно, поля не могут строго приближаться
к гауссовому состоянию. Но расстояния между зависимыми вол-
волновыми группами увеличиваются со временем, так что статисти-
статистическая информация распространяется до бесконечности и может
быть восстановлена лишь непрерывным расширением простран-
пространственной области анализа. Это эквивалентно увеличению спек-
спектрального разрешения.
По существу, та же самая ситуация имеет место, если группы
волн взаимодействуют друг с другом. Связь между волновыми
группами, которые удовлетворяют условиям резонанса, приво-
приводит к малому переносу энергии и слабой статистической зави-
зависимости между волновыми группами. После взаимодействия
группы волн расходятся и статистические связи рассыпаются
в .мелкую структуру. Гипотеза гауссовости означает, что мелкую
структуру можно игнорировать при развитии поля в одном на-
направлении времени. Другими словами, в последующих взаимо-
взаимодействиях (включающих новые наборы волновых групп, уже
взаимодействовавших раньше) взаимодействующие компоненты
можно считать статистически независимыми. Ясно, что эта ги-
гипотеза представляет собой аналог гипотезы Больцмана о стати-
статистической независимости взаимодействующих частиц.
Если поле взаимодействует некоторое время и затем все
скорости вдруг поворачиваются в обратном направлении, то
поле будет возвращаться к своему первоначальному состоянию.
После обращения волновые компоненты не будут больше ста-
статистически независимыми перед взаимодействием, и выражения
переноса не будут справедливы. Аналогично в линейном случае
мелкая структура не может игнорироваться после обращения
скоростей, и для поля, кажущегося гауссовым, возможно раз-
развитие назад в негауссово поле.
136 К. Хассельман
ЛИТЕРАТУРА
1. В а 11 Р. К-, /. РШ. МесН., 19 A964), 465.
2. Веппеу О. Л., /. РЫй МесН., 14 A962), 577.
3. Веппу О. Л., ЗаНтап Р. О., Ргос. Ноу. 8ос, А289 A966), 301.
4. В г е 4 Ь е г 1 о п Р. В., /. РШа МесН., 20 A964), 457.
5. С Ь е г п о V Ъ. А., \Уауе ргора§а4юп т а гапйот тейшт, №\у Уогк, 1960.
6. На55е1тапп К., ЗсНф(есНтк, 7 A960), 191.
7. Н а 5 5 е 1 т а п п К., /■ Р1Ш МесН., 12 A962), 481.
8. Н а 5 5 е 1 т а п п К-, /■ РШ МесН., 15 A963), 385.
9. Н е 5 5 е 1 т а п п К-, Лес. ОеорНув., 4 A966а), 1.
10. Н а 5 5 е 1 т а п п К-, /• 8Н1р. Кен., 10 A9665), 64.
11 Н а 5 5 е 1 т а п п К-, М и п к \У. Н., М а с О о п а 1 й О. Л. р., Т1те зепез
апа1у515 (ей. М. КозепЫаН), сНар 8, Ые\*г Уогк, 1963.
12. ЛеПгеуз Н., Ргос. Коу. 8ос, А107 A925), 189.
13. 11 в Ы Ь П 1 М. Л., /. Р1иШ МесН., 14 A962), 385.
14. иеЬ4ЬП1 М. Л., А1АА /., I A963), 1507.
15. 1Л1V а к М. М., А 1гапзрог4 е^иа{^оп Гог та§пе4оЬуйгоAупат1с \уа\ге«,
АУСО-ЕуегеН Кез. ЬаЬ., Кез. Кер. № 92, 1960.
16. Ь о п § и п е 4 - Н 1 в д 1 п 5 М. 5., /. Р1иШ МесН., 12 A962), 321.
17. МИе 8 Л. Ш., /. РЫш МесН., 3 A957), 185.
18. Ре1ег1з К., Апп. РНув., 3 A929), 1055.
19. Р Ь 11 П р 8 О. М., /. Р1иШ МесН., 2 A957), 417.
20. Р Ь П П р 8 О. М, /. РШа МесН., 9 A960), 193.
21. РЫШря О. М., Ка4г Е. Л., /. Маг. Цен., 19 A961), 57.
22. Р г 1 е б 11 е у Л. Т., Согге1а1юп 54и(Ие5 оГ ргеззиге Пис4иа41опз оп 4Ье §го-
ипс! Ьепеа4Ь а 4игЬи1еп4 Ьоипйагу 1ауег, Ыа4. Виг. 54апA. Кер. № 8942,
1965.
23. Р г 1 § о § 1 п е I., Ыоп^иШЪгшт 54а4154ка1 тесЬапюз, Ые\^ Уогк, 1962.
24. 5 п о Й § г а 8 8 Р. Е., О г о V е 8 О. \У., Н а 8 8 е 1 т а п п К-, М111 е г О. К.,
Мипк Ш. Н., Роцгегз \У. Н., РНй. Тгапв., А259 A966), 431.
25. 5 п у А е г К. I., С о х С. 5., /. Маг. 7?е?., 24 A966), 141.
26. Т а 4 а г 5 к 1 V. I., №ауе ргорае.а4юп ш а 4игЬи1еп4 тесНит, Ые\у Уогк,
1961.
Обсуждение статьи К. Хассельмана
П. САФМЕН
Я хочу указать на то, что полученный д-ром Хассельманом
из парадокса необратимости A_1ткеЬге1гпуапс1) вывод о необхо-
необходимости статистической гипотезы для определения направления
времени вызывает серьезные сомнения. Но сначала следует отме-
отметить, что анализ Бинни — Сафмена был представлен в несколь-
несколько искаженном виде. Единственное предположение или скорее
ограничение, налагаемое на кумулянты, заключается в том, что
имеется начальный момент времени, когда они гладкие. Затем
было доказано, что нужные кумулянты остаются гладкими до
требуемого порядка. Утверждение Хассельмана в приложении А
о том, что Бинни и Сафмен показали на самом деле негладкость
кумулянтов случайных волновых полей, находится в полном
противоречии с их анализом.
Более того, результаты приложения Б не имеют отношения
к этому вопросу. Кумулянты, соответствующие анализу Бинни—
Сафмена, в обозначениях приложения Б суть Я*1*2"*"-. Эти
кумулянты постоянны для линейного волнового поля и, следо-
следовательно, тривиальным образом остаются гладкими, если они
гладки вначале. Тот факт, что зависящие от времени куму-
кумулянты Ну{ ... уп приводят к быстро осциллирующей мелкой
структуре, не имеет отношения к делу. Истинный вопрос состоит
в том, развивают ли Я*1" ^п кумулянты сингулярности типа
1 " " " /I
б-функций за счет нелинейных взаимодействий. Они действи-
действительно развивают эти сингулярности, но Бинни и Сафмен по-
показали, что эти сингулярности дают эффект более высокого
порядка, который может быть отброшен; они не игнорирова-
игнорировались, как это подразумевается во второй сноске приложения А,
а была показана их несуществен?': меть. Следует отметить, что
«гладкость» представляет собой (остаточное, но не необходи-
необходимое условие для кумулянтов. Действительные требования со-
состоят в том, чтобы выполнялись условия леммы Римана — Ле-
Лебега, так что для анализа Бинни — Сафмена в самом деле
лучше использовать начальные условия, согласно которым ку-
кумулянты не являются «гладкими», а быстро меняются.
138 П. Сафмен
Поскольку анализ Бинни — Сафмена оказывается пока сво-
свободным от математических ошибок и логически выдержанным
(и прямо нужно заметить, что Хассельман не привлек внимания
к каким-либо аналитическим ошибкам или противоречиям), не
должно быть, по-видимому, оснований для возражений Хассель-
мана. Я делаю заключение, что выводы Хассельмана из пара-
парадокса необратимости ошибочны и что его категорические
утверждения необоснованны.
Рассмотрим теперь третье утверждение прилежения А. Не
ясно, что означает «чисто локальное рассмотрение», поскольку
анализ Бинни — Сафмена описывает скорость слабого измене-
изменения спектральной функции за много колебаний волнового поля
и определяет среднюю по большому числу периодов скорость
изменения, а не выражение для мгновенной скорости изменения
точной спектральной функции. Так, Бинни и Сафмен представ-
представляют спектральные функции как
Р(к, 0 = Р0(к, Т) + гРх (к, 0 + е2Рг(к, 0 + ....
где Т = гЧ—«медленное время», и определяют дР0/дТ по пра-
правилу (которое выбрано из физических соображений), что /?1
и Р2 свободны от вековых членов при 1-++оо. Далее, парадокс
обратимости несомненно указывает, что «локальное» уравнение
для дР1д1, как функционала Р, не может быть выведено, но он
не запрещает уравнения для дР0/дТ как функционала Р(,. На-
Направление времени выбрано согласно указанному правилу; если
бы мы заменили его требованием (которое, думается, будет не-
нефизическим), что Р{ и Рг срободны от вековых членов при
/->—оо, то уравнение для дР01дТ имело бы противоположный
знак. Таким образом, нет ничего неясного в том, что уравнение,
несимметричное во времени, выводится из уравнения симмет-
симметричного, и, конечно, нет никакой необходимости в статистиче-
статистической гипотезе для определения направления времени.
Верно, что при первоначальном выводе уравнения Больц-
мана использовалась статистическая гипотеза, гипотеза Клау-
зиуса «51оз52аЫап2а12» о том, что сталкивающиеся частицы
статистически независимы. Хассельман в приложении Б при-
приходит к заключению, что гипотеза Клаузиуса «51озз7аЫап2а12»
и гипотеза гауссовости случайных полей эквивалентны. На сле-
следующем примере будет проиллюстрировано, что это не так. Во
всяком случае, исследованиями в Принстоне несколько лет на-
назад показано, что уравнение Больцмана можно вывести без
привлечения статистической гипотезы из иерархии Б.Б.Г.К.И.
путем разложения по параметру отношения быстрого времени
(продолжительность столкновения) к медленному времени
(время между столкновения<ми) и использования правила от-
Обсуждение статьи К. Хассельмана 139
сутствия вековых членов, когда быстрое время стремится к
«плюс-бесконечности».
Рассмотрим теперь модельную систему, описываемую моди-
модифицированным уравнением Кортевега — де Фриза:
ди , ер п ди
где 2?х — линейный оператор, нечетный по х. Преобразование
Фурье удовлетворяет уравнению
| А(кх) А{к2)йкь
где (о — нечетная функция к. Для случайного пространственно
однородного распределения спектральная функция, "тройная
корреляция и кумулянт четвертого порядка имеют следующий
вид:
(А{к)А{к')) = Р(к)Ь{к + к%
(А (к) А {к') А {к")) = Г (к, к', к") Ь{к + к' + к"),
(А (к) А (к') А (к") А (к'")) - (А (к) А (к')) (А (к") А (к'")) -
- (А (к) А (к")) (А (к1) А (к")) - (А (к) А (к'")) (А (к') А (к")) =
= 0(к, к', к", к'")Ь(к + к' + к" + к'").
Здесь функции Р, Т н (} не являются функциями случайных пе-
переменных. Непосредственным преобразованием получаются точ-
точные уравнения:
1$ = Ык | Г (к, ки к2) ёки
-|- Г (к, к\ к") = ык | <2(кик2,к', к") йкх + 2ыкР (к') Р (к") +
+ Члены, получающиеся перестановкой к, к', к".
Уравнение для дСЦд1 включает кумулянты четвертого порядка
и т. д.
Здесь исходные уравнения движения обратимы по времени
в том смысле, что если функции и(х,1) и А(к, I) являются ре-
решениями, то и функции и{—х,—I) и А(—к,—I), т. е. обращен-
обращенные решения, развиваются назад во времени, а отражение отно-
относительно х = 0 аналогично повороту скоростей в кинетической
теории. Иерархия уравнений для спектральных функций и т. д.
также обратима во времени в этом смысле, так как изменение
знаков у величин к я I оставляет уравнения неизменными. Та-
Таким образом, свойства обратимости не теряются при
140 П. Сафмен
образовании уравнений для статистических величин. Мы теперь
оборвем иерархию, предполагая, что кумулянты четвертого по-
порядка (Э суть нули. Когда Хассельман ссылается на гипотезу
гауссовости, ои в действительности подразумевает равными
нулю кумулянты четвертого порядка. Теперь мы имеем полную
запись уравнений:
Т(к,кх,к2)с1кх;
*,+*з + *-0
-^ Г (к, к', к") - I (со + со' + со") Г (к, к', к") =
= 2е/ (кР (к') Р {к") + к'Р (к) Р (к") + к"Р (к) Р (к')).
Замечание. Усеченные уравнения обладают точно теми
же свойствами обратимости, что и исходная система. Заключе-
Заключения Хассельмана о необходимости введения статистической ги-
гипотезы и ее роли для взаимодействий случайных волн поэтому
ошибочны.
Теперь мы переходим к интригующему вопросу о том, как
возникают необратимые уравнения и каково их значение. Это
глубокий вопрос, обсуждать который здесь неуместно и кото-
который нуждается в дальнейшем изучении. Достаточно сказать, что
необратимость появляется в том случае, когда выражения пе-
переноса получены обработкой асимптотической формы этих урав-
уравнений для малых е и больших (; вероятно, она связана с тем,
что интегрирование по времени, будучи устойчивым в одном
направлении, неустойчиво в противоположном направлении. То
есть предположим, что мы задаем начальные условия Р((о)
и Г(^о) и путем интегрирования находим Р({\) и Г(^).
В момент и мы обращаем решение и интегрируем вперед
до момента времени B^ — ^0). чтобы получить функции
РB{г—^0) и ГB^ — *<>)• Так как уравнения обратимы, эти
функции должны быть отражениями функций Р((о) и Г(^о), но
они не будут их отражениями, если интегрирование неустойчиво
(мы ведь не можем интегрировать с абсолютной точностью).
Уравнение для Р$ получено асимптотическим анализом, который
должен, вероятно, выражать эту неустойчивость и не давать
действительного решения, а давать лишь «наиболее вероятное»
решение. Теоретический анализ необходим для того, чтобы про-
пролить свет на эту интересную проблему и чтобы подтвердить, что
уравнение переноса для /^ дает решения, которые являются
хорошими приближениями действительных величин Р.
Теоретические и экспериментальные исследования
взаимодействий гравитационных волн
О. М. ФИЛЛИПС
В данной статье рассматриваются различные вопросы резонансных взаи-
взаимодействий воли. В 1962 г. Лоиге-Хиггинс [5] предложил провести экспери-
эксперимент для обнаружения такого типа взаимодействий между поверхностными
волнами. Такой эксперимент был выполнен впоследствии двумя группами
исследователей [7, 10]. В настоящей статье сравниваются результаты этих ис-
исследований. Эти результаты, взятые вместе, дают отчетливое представление
об основных особенностях взаимодействия: максимальный отклик при резо-
резонансе и линейный рост амплитуды в зависимости от протяженности взаимо-
взаимодействия, уменьшение ширины группы взаимодействующих воли с протяжен-
протяженностью взаимодействия и смещение точки резонанса из-за дисперсии ампли-
амплитуды.
Такими взаимодействиями, как показывается далее, можно описать не-
неустойчивость волны Стокса, обнаруженную и проанализированную Бенджа-
Бенджаменом и Фейром; причем это справедливо не только для двумерных движений.
Волиа Стокса неустойчива по отношению к возмущению, которое содержит
пару волновых чисел, определяемую любой точкой некоторой области вблизи
границы петли в форме восьмерки (см. рис. 12).
В качестве другого примера резонансных взаимодействий воли служат
короткие внутренние гравитационные волны в стратифицированной жидкости
с постоянной частотой Браита—Вяйсяля. Рассматриваются взаимодействия
между отдельными гармониками и показывается, что возникают как свобод-
свободные, так и вынужденные колебания. Для последних дисперсионное уравнение
внутренних воли ие выполняется, т. е. в этом случае отсутствует определен-
определенное соотношение между волновым числом и частотой. Амплитуды этих коле-
колебаний малы по сравнению с амплитудами внутренних воли, если среднее гар-
гармоническое завихренности в двух взаимодействующих волнах мало по срав-
сравнению с частотой Браита—Вяйсяля. Движение в этом случае представляет
собой некоторый набор взаимодействующих внутренних гравитационных воли.
С другой стороны, если вынужденные колебания становятся сравнимыми по
амплитуде с собственными, то эти взаимодействия оказываются довольно
сильными и неразличимыми — развивается «каскад», характерный для турбу-
турбулентности.
1. Введение
В последние несколько лет резонансные взаимодействия
между волнами в жидких системах с дисперсией исследовались
неоднократно. Впервые они были обнаружены в случае взаи-
взаимодействия поверхностных гравитационных волн [11], затем тео-
теория этого явления была значительно развита в работах [2—6].
Недавно тот же механизм обмена энергией рассматривался в
задачах о взаимодействии между капиллярными волнами [9] и
между внутренними и поверхностными волновыми модами [1, 13].
142 О. М. Филлипс
Шесть лет назад такого рода взаимодействие казалось несколь-
несколько удивительным, поэтому теоретические выводы требовали, как
было очевидно по крайней мере д-ру Лонге-Хиггинсу, экспери-
экспериментальной проверки. В своей статье 1962 г. [5] он предложил
эксперимент, который в принципе весьма прост и позволяет
обнаружить этот тип взаимодействия. В конце 1962 г. Лонге-
Хиггинс вместе со Смитом выполнили этот эксперимент; им уда-
удалось наблюдать взаимодействие и измерить некоторые харак-
характеристики этого явления. В Университете Джона Гопкинса мы
также приняли предложение Лонге-Хиггинса и начали такой
же эксперимент, построив специальный лоток для изучения
взаимодействия и применив усовершенствованные зонды, более
чувствительные, чем имевшиеся до сих пор. Наши эксперименты
шли гораздо медленнее и длились вплоть до 1965 г. Результаты
обеих групп экспериментов кратко описаны в работах [7, 10].
Тем временем Бенджамен и Фейр сделали ряд замечательных
открытий, касающихся неустойчивости классической волны
Стокса. Этому посвящена другая статья сборника, здесь же бу-
будет показано, как их результаты вписываются в общую картину.
Эти три группы экспериментов дают наиболее убедительное
и прямое доказательство существования такого общего типа ди-
динамических взаимодействий в жидкости. Настоящая статья
имеет своей целью следующее: прежде всего будут кратко опи-
описаны и сравнены результаты первых двух экспериментальных
исследований, т. е. результаты эксперимента, предложенного
Лонге-Хиггинсом. Во-вторых, будет показано, что неустойчи-
неустойчивость волны Стокса имеет место не только для двумерного дви-
движения; первичная волна неустойчива по отношению к возмуще-
возмущениям, которые содержат пары волновых векторов, попадающие
внутрь петли в форме восьмерки, описанной автором [11]. На-
Наконец, в несколько другой связи будет показано, что рассмотре-
рассмотрение таких взаимодействий удобно при выводе различия между
турбулентностью в стратифицированной жидкости, с одной сто-
стороны, и полем взаимодействующих внутренних гравитационных
волн — с другой.
2. Взаимодействия между поверхностными
гравитационными волнами
Для поверхностных гравитационных волн резонансные взаи-
взаимодействия проявляются в третьем порядке и лишь между ком-
компонентами, волновые векторы которых образуют такой замкну-
замкнутый четырехугольник, что одновременно выполняются условия
^ + к3 = к2 + к4>
Исследования взаимодействий гравитационных волн 143
где а2г =§кг (г = 1, ..., 4). Для экспериментального изучения
удобна одна особая конфигурация, которая имеет место, когда
волновые векторы к| и к3 совпадают. Условия резонанса при
этом приводятся к виду
2к, - к2 = к4,
2а, — а2 = ст4.
B.2)
Тройки волновых векторов, которые удовлетворяют этим усло-
условиям, изображены на рис, 1. Любая компонента с волновым век-
Рис. 1. Резонансная петля для триад взаимодействующих
гравитационных волн в глубокой воде.
тором, оканчивающимся на петле в виде восьмерки, взаимодей-
взаимодействует резонансным образом с компонентами с волновыми век-
векторами 2к| и к4, которые вместе образуют треугольник.
Рассмотрим совокупность волновых компонент, волновые
векторы и частоты которых удовлетворяют этим условиям. По-
Потенциал скорости можно представить в виде
±г
B.3)
где Хг = кг • х — ат1 и о2г = дкг. Остаток ф представляет собой
ограниченные произведения взаимодействий второго и третьего
порядков, гармоники первичных волн и произведения для нере-
нерезонансных перекрестных взаимодействий. Величины Ьг могут
слабо зависеть от времени, когда энергия перераспределяется
между модами. Амплитуды первичных волн даются соотноше-
соотношениями
аг = 1кгЬг1аг (г=1,2, 4). B.4)
Уравнения взаимодействия можно вывести способом, предло-
предложенным в основных чертах Бинни [2]. Для частного рассматри-
рассматриваемого здесь типа взаимодействия с тремя волновыми модами,
144 О. М. Филлипс
как показано в работе [10], они принимают вид
*2*2 + 2.4*4*4*}
«А = '*2 {ё*ЬХЬ\ + §22*2*2 + ^24*4*;} + Т 1Н^ B.5)
*464 = '*4 (#4.* А + ^42*2*2 + #44*4*4'} + \ 1НЬ\ЬГ
Коэффициенты §ц и к — вещественные функции, зависящие от
конфигураций векторов и имеющие порядок к\к2к4- Непосред-
Непосредственно из B.5) можно получить два частных интеграла:
охЬхЬ\ + 2о2Ь2Ь*2 = сопз!,
ахЬхЬ\ + 2о4Ь4Ь*4 = соп$1 B<6)
Заметим, что любой рост компоненты с волновым вектором к4
сопровождается ростом компоненты с волновым вектором кг,
причем обе эти компоненты растут за счет компоненты к1.
Имеются два других свойства общих уравнений, которые сле-
следует отметить. Во-первых, матрица из членов с §ц вещественна,
так что первая группа членов в правой части уравнений B.5)
дает вклад в скорость изменения величины Ь, отстающий по
фазе на у я от Ь. Это приводит к слабому росту аргумента
комплексной функции Ь, которая полностью эквивалентна неко-
некоторой модификации волновой частоты (§к)'/г. В этом, конечно,
находит выражение дисперсия амплитуды из-за самодействия и
взаимодействия волновых компонент, но главное здесь в том,
что истинные частоты волн далее уже не удовлетворяют про-
простым соотношениям B.2) точно. Тем не менее и в этом состоит
вторая особенность, если частоты волн меняются слабо, т. е.
если
2к, - к2 = к4,
2а, - а2 = а4 + е,
где по-прежнему о2г = §кг, то последний член в каждом из урав-
уравнений B.5) приобретает дополнительный множитель е±ш. При
подходящем выборе величины е этот слабо меняющийся вре-
временной множитель может сократиться с членом, возникающим
из-за дисперсии амплитуды. Другими словами, резонанс можно
сохранить, введя слабую «расстройку», компенсирующую дис-
дисперсию амплитуды таким образом, что уравнения B.2) остаются
справедливыми, но частота ат должна теперь считаться истин-
истинной волновой частотой /г, включающей эффекты дисперсии а м-
Исследования взаимодействий гравитационных волн 145
плитуды. При этом происходит слабый сдвиг резонансной петли,
но резонансный эффект не уничтожается.
В эксперименте, который иллюстрируется схемой на рис. 2,
компоненты с волновыми векторами к| и к2 создавались внеш-
внешним воздействием. Наиболее удобное механическое приспособле-
приспособление предложено Лонге-Хиггинсом; оно имеет плунжеры, парал-
параллельные соседним сторонам прямоугольного лотка, так что вол-
волновые векторы к1 и к2 взаимно перпендикулярны. Амплитуда Ъ^
потенциала скорости, связан-
связанная с третьей компонентой, вна-
вначале равна нулю, но по мере
продвижения взаимодействия
растет с расстоянием поперек
лотка. Если \Ь4\<.\Ь\\, \Ь2\,
то последнее уравнение из B.5)
сводится к следующему:
а так как Ьх и Ь2,
постоянны, то
B.7)
по существу,
2а4
I.
B.8)
Рис. 2.
Схема лотка
ствия.
взаимодей-
При этих условиях амплитуда
третьей компоненты является
линейной функцией времени,
в течение которого имеет место взаимодействие. В эксперименте
эта амплитуда пропорциональна расстоянию й, на которое третья
волновая компонента распространится за время взаимодей-
взаимодействия.
Это решение наиболее удобно выразить через амплитуды
волн а; как показано в работе [7], полученное решение эквива-
эквивалентно соотношению
где коэффициент взаимодействия С зависит от отношения ма-
малых частот г=а\/а2 и угла 0 между двумя первичными волнами.
В эксперименте 0 = 90°, г= 1,736; как показали расчеты Лонге-
Хиггинса [5], при этих условиях С = 0,442.
Эти выражения определяют рост третьей волновой компо-
компоненты, когда условия резонанса удовлетворяются точно. Однако,
как и во всех резонансных явлениях, имеется существенный
рост группы волновых чисел, лежащих вблизи кривой в виде
восьмерки (см. рис. 1), ширина которой уменьшается с
145 О. М. Филлипс
увеличением протяженности взаимодействия. Со временем ре-
резонанс становится более острым. Лонге-Хиггинс и Смит [7] де-
детально проанализировали отклик вблизи резонанса и нашли, что
B.10)
где 6к—мера «расстройки» на плоскости волновых чисел, рав-
равная половине разности величин к4 = DЩ + Щу* и {2о\ — огJ/§-
Для конфигурации, изученной экспериментально,
6к = 0,249к46г.
3. Эксперименты
Обе серии экспериментов были предназначены для проверки
этих результатов с различных сторон. Они включали а) обнару-
обнаружение результата взаимодействия при определенном отношении
частот г = О\1а2 = 1,736, б) нахождение скорости его линейного
роста с протяженностью взаимодействия й и сравнение с вели-
величиной, предсказанной теорией, в) определение «ширины полосы»
для функции отклика и проверка закона ее уменьшения, как
еМ. Кроме того, мы пытались точно проверить квадратичную
зависимость а4 по (й\к\), хотя она должна иметь место при
выполнении пункта б).
Некоторые различия между двумя экспериментальными уста-
установками привели, естественно, к некоторым различиям в резуль-
результатах. В обоих случаях волнографы были емкостно-проволоч-
ного типа; Лонге-Хиггинс и Смит использовали два параллель-
параллельных вертикальных элемента, отстоящих друг от друга примерно
на четверть дюйма. Наша группа разработала новый и более
чувствительный тип волнографа, в котором чувствительным эле-
элементом была капиллярная трубка, наполненная ртутью и запе-
запечатанная с нижнего конца. Благодаря большей чувствительно-
чувствительности вторая серия экспериментов могла проводиться с началь-
начальными волнами гораздо меньшего наклона. Максимальные
наклоны исследованных начальных волн были меньше чем 0,1,
так что поправки, учитывающие влияние конечной амплитуды на
отношение резонансных частот г, были очень малыми. Большие
наклоны начальных волн вплоть до 0,3, использованные Лонге-
Хиггинсом и Смитом, привели к сдвигу отношения наблюдав-
наблюдавшихся частот при резонансе, как описано ранее. Лонге-Хиггинс
и Смит оценили, что при резонансе в условиях их эксперимента
отношение /1//2 должно быть равно приблизительно 2,09, а не
1,736, что соответствует бесконечно малым волнам.
Хотя оба лотка имели близкие размеры в горизонтальных
направлениях, использованный Лонге-Хиггинсом и Смитом ло-
Исследования взаимодействий гравитационных волн 147
ток имел глубину лишь 23 см, тогда как в наших экспериментах
лоток имел глубину 107 см. Это обстоятельство вместе с тем
фактом, что Лонге-Хиггинс и Смит были вынуждены использо-
использовать более крутые начальные волны, могло привести к возбу-
возбуждению более сильных течений, которые могли до некоторой
Рис. 3. Спектры воли в лотке по измерениям
Лоиге-Хиггииса и Смита [7]. ;
Квадраты коэффициентов Фурье представлены в зависимости
от номера гармоники п. Отношение частот Л//5 соответствует
резонансу.
степени повлиять на конечные результаты экспериментов. Од-
Однако несмотря на эти различия, как будет видно, результаты
двух серий экспериментов удивительно хорошо согласуются.
На рис. 3 и 4 изображены «амплитудные спектры», наблю-
наблюдавшиеся в двух сериях экспериментов. Лонге-Хиггинс и Смит
получили длинную запись смещения поверхности в одной точке
лотка, и лодсчитали для нее коэффициенты Фурье. Получаю-
148 О. М. Филлипс
щийся ряд линий изображен на рис. 3. Когда отношение частот
близко к резонансному, две первичные волны наблюдаются вме-
вместе с третьей волной частоты B/1 — /2); она была заметно
,гГг Г2 Г, % '/>% Ж
10
-2
4 5 6 7 8 9Ю
Г, г И
Рис. 4. Спектры воли в лотке по измерениям
Макголдрика и др. [10] для резонанса (вверху)
и при уходе от резонанса (внизу).
Экспериментальные точки отражают форму фнльтра н со-
соответствуют линейному спектру, указанному вертикаль-
вертикальными линиями.
больше, чем вторичные компоненты, образующиеся из-за эффек-
эффектов самодействия и парных взаимодействий.
На рис. 4 демонстрируется результат аналогичного измере-
измерения, выполненного нашей группой с помощью электронной ап-
аппаратуры. Формы кривых около максимумов очень хорошо со-
соответствуют характеристикам использованного фильтра. Изме-
Измеренные формы спектра совпадают с линейчатым спектром по
дискретным частотам, амплитуды которых показаны в виде вер-
Исследования взаимодействий гравитационных' волн 149
тикальных линий. На рис.4 показаны состояния непосредственно
при резонансе и при уходе от резонанса. В первом случае ком-
компонента с частотой B/1 —/г) больше, чем любая другая из наве-
наведенных компонент второго порядка. Однако когда отношение
частот изменяется, так что резонанс расстраивается, резонанс-
резонансная компонента почти исчезает; она не больше, чем другие на-
наведенные (связанные) компоненты.
Рис. 5. Коэффициент взаимодействия при частоте B/,— }2)
в зависимости от /,//у, протяженность взаимодействия равна
81,4 см [10].
На рис. 5—9 показана в зависимости от отношения частот
/1//2 амплитуда компонент с частотой B/, — /г) при различных
протяженностях взаимодействия. Светлыми кружками обозна-
обозначены результаты измерений нашей группы, а темными круж-
кружками— измерения Лонге-Хиггинса и Смита. Результаты измере-
измерений были пронормированы путем деления на протяженность
взаимодействия и на коэффициенты наклона, которые входят
в уравнение B.9). Поэтому они представляют собой, в сущно-
сущности, функцию С, умноженную на форму полосы, последняя по-
показана на рисунках штриховыми линиями. Эти результаты наи-
наиболее примечательны в трех отношениях. Во-первых, как это
видно, максимальное значение на каждом рисунке приблизи-
«г
д
1,0
0,3
0,1
1
-
о
о
-
_ о
1
1
/
1»
/
/
1
1
1
1
•о-
1
1
1
о
у
/
/
/
1
о
8
•"о."
' О
1
о.
1 1 1
&
X °
\о о о
\ о
\
\
\
\
\
1
\
\
1
1
1
1 1
1
_
-
О
о
о
о
°о
—
-
—
1
1,6
2,0
2,2
Л/4
Рис. 6. Коэффициеит взаимодействия при й= 107 см.
1.0
I I I (" I ■ 1 Г
°о/
9°
'Г \°оо
о ч
о \ о
о « о
\8
о6, 9
\ 8
\
> о
р
I
/
\
\
1
г
I
1
1
I
°я°°
Но о
о о
I I
1,6
1.8
2,0 2,2
.Р и«. 7. Коэффициент аэанмодействия при и = 137 см.
Рис. 8. Коэффициент взаимодействия при й=\68 см.
1,0 г-
-5,0,3
■м
*>
0,1
1111
ода
' о
о '
о /
/
• .1.
о до
\
V
л
./'
1А
1,6
1,8
2,0
2,2
Рис. 9. Коэффициент взаимодействия при й= 198 см.
Светлыми кружками ■ представлены результаты Макголдрнка и др. [10),
а темными кружками-результаты Лонге-Хнггннса и Смита [7]. Штрихо-
Штриховые линии изображают теоретические формы полос. Заметен сдвн(- резо-
резонансного отношения частот вследствие влияния дисперсии амплитуды, на-
. блюдавшийся Лсшге-Хиггнксом и Смитом,
152 О. М. Филлипс
тельно почти одно и то же, а так как начальные наклоны волн
почти не зависят от й, то отсюда следует, что амплитуда а4
пропорциональна протяженности взаимодействия й, как и пред-
предсказывается уравнением B.9).
Во-вторых, очевидно, что ширина полосы уменьшается с про-
протяженностью взаимодействия и наблюдаемая форма совпадает
Л,см
Рис. Ю. Рост амплитуды произведения взаимодей-
взаимодействия в зависимости от протяженности взаимодей-
взаимодействия й.
Непрерывная линия изображает предсказанную скорость
Л = 0,4*2й, темными кружками обозначены результаты Лонге
Хнггннса н Смита. Светлыми кружками н треугольниками
обозначены две разные серии измерений Макголдрнка н
др. A0), в которых менялись также наклоны первичных волн.
с множителем в уравнении B.10). В-третьих, как это видно,
максимальное значение по результатам Лонге-Хиггинса и Смита
имеет место при отношении частот около 1,95. Это значение
больше соответствующей величины для бесконечно малых волн,
но меньше предсказанной Лонге-Хиггинсом и Смитом при рас-
рассмотрении эффектов дисперсии амплитуды. Это различие ме-
между результатами их наблюдений и предсказанным значением
2,09 несколько озадачивает; оно может быть результатом наве-
наведенных течений в их лотке. Несмотря на это, эффект дисперсии
амплитуды совершенно ясен.
Отметим также, что полученный ими максимальный отклик
несколько меньше, чем наблюдавшийся нашей группой; это по-
показано более отчетливо на рис. 10, где амплитуды а4, измерен-
Исследования взаимодействий гравитационных волн 153
иые при резонансе, нанесены в зависимости от протяженности
взаимодействия вместе с теоретической кривой. Как видно, ско-
скорость роста, измеренная Лонге-Хиггннсом и Смитом, несколько
меньше теоретического значения, а скорость, измеренная нашей
с?
1
0,3
0,1
1111
1 1 1 1
0
о0
_
0
0
~| 1 1 1
1
1
1
ъ
Е>
0
о
0
1
1
0
0
1
1
0
0
-
-
-
_
0
1
0,80
1,20
г/г0
Рис. II. Сравнение кривых отклика вблизи резонанса [10].
Кружками н квадратиками показаны результаты двух серий измерений,
в которых основные частоты слабо отличались (это делалось для того,
чтобы уничтожить возможность какого-либо влияния резонанса, связан-
связанного с размерами лотка). В этих измерениях й = 198 см.
группой, несколько больше. Эти различия не могут быть суще-
существенными; они лежат вблизи верхнего предела ожидаемых та-
рировочных ошибок.
Нами были сделаны измерения при двух различных началь-
начальных наклонах волн; полученные результаты оказались почти не
различимыми. Это может служить более непосредственным под-
подтверждением указанного уравнением B.9) изменения ампли-
амплитуды й4 с наклонами волн. Видно также, что прямая линия, оп-
определяемая этими измерениями, не проходит точно через начало
координат. Это может быть результатом слабой реверберации
в лотке, связанной с неполным поглощением на берегах.
Для того чтобы быть совершенно уверенным, что эти наблю-
наблюдения ие явились результатом некоторого необычного резо-
резонанса, связанного с самим лотком, мы повторили некоторые
154 0. М. ФиллиПс
измерения при несколько других частотах первичных волн, но
при тех же самых значениях отношения частот. На рис. 11 по-
показаны характерные результаты; они кажутся совершенно не-
неотличимыми от результатов болеераннего, более обширного на-
набора. . . .. .
Таким образом, рассмотренные две серии измерений превос-
превосходно подтверждают предсказания простой теории взаимодей-
взаимодействия. Наиболее значительными расхождениями являются, во-
первых, различие примерно на 20% между предсказанными и
измеренными скоростями роста и, во-вторых, различие между
отношением частот при резонансе, найденным Лонге-Хиггинсом
и Смитом, и величиной, рассчитанной с учетом эффекта диспер-
дисперсии амплитуды. Однако в любом случае можно быть уверен-
уверенным, что расхождения не значительны.
4. Замечание о неустойчивости Бенджамена — Фейра
Когда Ъ<1 и 64 сравнимы по величине и первоначально малы
в сравнении с Ьи которое в действительности постоянно, послед-
последнее ид уравнений B.5) сводится к уравнению первого порядка
по амплитудам Ъ%, 64
и аналогичному уравнению для 62- Если
то
1{(^ ^)^} D.2)
D.3)
Если к тому же имеется слабое отклонение от резонансных
условий, соответствующих бесконечно малым волнам, то, как
мы1 уже видели, в правую часть добавляется множитель ем и
при условии
это полностью уничтожает связанное с дисперсией амплитуды
изменение фазы в D.2) и D.3). Если- эти уравнения выразить
Исследования взаимодействий гравитационных вОлН 155
через волновые амплитуды, как делает Лонге^Хштинс [5], то они
сводятся к уравнениям ■
D.4)
Эта комбинация расстройки и дисперсии амплитуды является
существенным составляющим неустойчивости Бенджамена—;
Р и с. 12. Схема зоны волновых векторов, в которой волна
Стокса с волновым вектором к! неустойчива.
Любой треугольник с вершиной, лежащей внутри показании х узких
полос, определяет пару неустойчивых волновых векторов. Эксперименты
Бенджамена и Фейра относятся к двумерному случаю, в котором вер-
вершина лежит на продолжении вектора к>.
Фейра волны Стокса; здесь, как и в их анализе, система линей-
линейных уравнений для амплитуд возмущений аг и а.\ имеет экспо-
экспоненциально растущие решения
а2 = о}С ехр { 4- 0 (а,*,J (а2а^' Л,
,,-■■= D.5)
а4 = <#С ехр {\ О .(а,*,J Ц/* \ ■
Оба возмущения отбирают энергию из первичной группы волн,
на что указывают частные интегралы B.6). В этом смысле, как
это видно, неустойчивость не ограничивается двумерными дви-
движениями, так что волна Стокса неустойчива по отношению к па-
парам волновых векторов, определяемых любой вершиной, лежа-
лежащей внутри некоторой области петли в форме «восьмерки»
вблизи ее границы, как показано на рис. 12. Отметим, что ско-
скорость роста пропорциональна квадрату начального наклона вол-
волны, так что ширина группы также пропорциональна квадрату
наклона. Как можно показать, чем круче начальная волна Стбйса,
тем быстрее, развивается неустойчивость и шире группа волн; :
Имеются две исключительные точки на петле, обе связан-
связанные ? частной конфигурацией крллинеарных волновых векторов
156 О. М. Филлипс
или чисто двумерного движения. Если вершина треугольника
волновых вектор'ов лежит в какой-нибудь крайней точке петли,
то, как показано в работе [5], коэффициент взаимодействия О
обращается в нуль, скорость роста и ширина полосы также об-
обращаются в нуль. С другой стороны, если вершина треуголь-
треугольника находится в центре петли (переходная точка), то три вол-
волновых вектора к|, к2 и к4 совпадают. Тогда нет различия между
начальной волной и возмущением, и взаимодействие выро-
вырождается.
Однако если вершина лежит по какую-либо сторону от пе-
переходной точки, но в пределах ширины полосы, то волновые
векторы, хотя и коллинеарны, различны и лежат внутри зоны
неустойчивости. Эта частная конфигурация, для которой вершина
лежит между точками Ь и N (исключая О), а движение дву-
двумерно, была теоретически изучена Бенджаменом и Фейром;
именно к ней относятся их очень важные эксперименты. Этому
посвящена статья Бенджамена в данном сборнике. Однако, как
можно теперь видеть, неустойчивость, которую нашли Бенджа-
Бенджамен и Фейр, не ограничена парами волновых векторов из ука-
указанного интервала, а имеет место в гораздо более общем слу-
случае. Эти соображения также указывают на очень тесную связь
между экспериментами по неустойчивости и взаимодействию,
связь, которая не казалась непосредственно очевидной.
5. Взаимодействия внутренних гравитационных волн
Теперь обратимся к другому примеру этих взаимодействий,
который демонстрирует некоторые новые интересные свойства
явления. Рассмотрим неограниченную область однородно стра-
стратифицированной жидкости, в которой средняя плотность р зави-
зависит от вертикальной координаты г таким образом, что частота
Бранта—Вяйсяля
является вещественной постоянной. Малые возмущения в жид-
жидкости около состояния покоя удовлетворяют уравнению
д2{^тIд12 + #М» = О, E.2)
где хи — вертикальная компонента скорости, Ч2Н = д2/дх2 +
+ д2/ду2 — оператор Лапласа, составленный из производных по
горизонтальным координатам. Компонента Фурье возмущения
скорости
да = а ехр / (к • х - Ы) E.3)
Исследования взаимодействий гравитационных волн 157
имеет частоту
а = N соз 6, E.4)
которая зависит лишь от N и угла 8 между волновым вектором
к и горизонтальной плоскостью. Из-за того что гравитационная
восстанавливающая сила направлена вертикально, внутренние
е3=о
Рис. 13. Диаграммы взаимодействия для внутренних гравитацион-
гравитационных волн.
Любой треугольник с вершиной, лежащей на какой-либо ветви кривой, определяет
тройку волновых векторов, способных к резонансному взаимодействию.
гравитационные волны этого вида анизотропны в вертикальной
плоскости.
Такие волновые компоненты способны к резонансным взаи-
взаимодействиям между триадами, причем условия резонанса имеют
вид
"';"=="»■ E.5,
а{±а2 = а3.
Второе условие является ограничением на наклоны векторов,
образующих замкнутый треугольник,
соз 8, ± соз 62 = соз 83.
Существуют нетривиальные решения этих уравнений; некоторые
из них иллюстрируются на рис. 13.
Имеется очень важное различие между этими волнами и по-
поверхностными волнами, рассматривавшимися ранее. В случае
поверхностных волн волновые амплитуды ограничены требова-
требованиями гравитационной устойчивости свободной поверхности; их
максимальные наклоны должны быть малыми, так что резуль-
результаты вынужденных (нерезонансных) взаимодействий должны
быть также малыми и должны иметь более высокий порядок.
158 0. М. Филлипс
Спектры на рис. 3 и 4 хорошо иллюстрируют это обстоятель?
ство. Напротив, каждая компонента Фурье волны E.3) пред-
представляет собой точное решение уравнений Навье—Стокса (по
существу, тривиальное, так как нелинейные инерционные члены
тождественно равны нулю); ограничений на амплитуду нет. Сле-
Следовательно, при взаимодействии этих волн заранее нет причин,
по которым не возникают вынужденные компоненты с волно-
волновыми векторами и частотами, не подчиняющимися дисперсион-
дисперсионным соотношениям E.4), и амплитудами, сравнимыми с ампли-
амплитудами первичных волн.
Рассмотрим теперь взаимодействия между тремя такими вол-
волнами. Из-за нелинейных членов полного уравнения движения
любые два волновых вектора к! и к2 будут давать вклады с вол-
волновыми* векторами к) + к2, к| — к2 и частотами СГ| + сг2, О\ — а2.
Если а, представляет собой максимальную скорость компоненты
с волновым вектором ки то динамическое уравнение приводится
к виду
+ А21 к, • V - к2 • V | (Л,а,) (к2а2) N ехр / (х, + %2), E.6)
где А\ и Л2 — константы, V — горизонтальный единичный век-
вектор. Теперь волновой вектор к3 может быть в резонансе самое
большее с одним из этих векторов. Если
соз 8, + соз 62 = соз 83,
то, вообще говоря, имеем
соз 8, — соз 82 ф соз 83,
т. е. к| + к2 — резонансный волновой вектор, а к| — к2 — нет.
Взаимодействие приводит к появлению резонансной растущей
волны с волновым вектором к! + к2, максимальная амплитуда
которой порядка О {ахая)'1*; кроме того, появляется ограничен-
ограниченная вынужденная компонента с волновым вектором к| — к2, ча-
частота которой не соответствует свободной внутренней волне с
этим волновым вектором, а амплитуда составляет
у
Если
(а,*,^I* < Ы, E.7)
т. е. если гармоническое среднее скоростей сдвига начальных
волн мало по сравнению с частотой Бранта—Вяйсяля, то вы-
вынужденные моды всегда малы в сравнении с волновыми мо-
модами (это всегда имеет место в случае поверхностных волн).
Исследования взаимодействий гравитационных волн 159
Обмен энергией осуществляется тогда почти исключительно ме-
между волновыми модами, т. е. взаимодействия носят избиратель-
избирательный характер, время взаимодействия, велико по сравнению с вол-
волновыми периодами, а совокупность взаимодействий замкнута —
энергия непрерывно перетекает от одного волнового вектора тре-
треугольника к другому. Движение представляет собой в точности
одну из взаимодействующих внутренних гравитационных волн.
С другой стороны, если
(а,*1а2*2)%~^, E.8)
то вынужденные моды сравнимы по величине с начальными вол-
волновыми модами. Для них нет определенной связи между вол-
волновым вектором и частотой; они развиваются в течение волно-
волнового периода начальных первичных волн и имеют энергию; срав-
сравнимую с энергией этих волн. Их взаимодействия быстры и
неупорядочены, — вообще говоря, любая такая мода взаимодей-
взаимодействует с любой другой модой, порождая дополнительные моды.
Совокупности взаимодействий открыты, и развивается «каскад».
Движение типично для турбулентности с сильными беспорядоч-
нымивзаимодействичми, сменяющими слабые селективные взаи-
взаимодействия поля внутренних гравитационных волн.
Если спектр мод непрерывен и задан скалярной плотностью
энергии Е{к),то соответствующие условия для внутренних волн
суть
'и<^Ы, E.9)
а для турбулентности с ее мощным энергетическим каскадом
имеют вид
{к3Е(к)}'/2~Ы. E.10)
Отличие между этими двумя случаями важно во многих отно-
отношениях: в обоих случаях различны перенос энергии в физиче-
физическом пространстве и характеристики диффузии. Интересно от-
отметить, что из совсем других соображений Ламли [8] и Шур [12]
предположили, что в «подобласти плавучести» турбулентность
находится в состоянии статистического равновесия, т. е.
Этот результат основывается на явном использовании идеи
локального каскада в турбулентности; теперь видно, что обрат-
обратное утверждение также правильно. Полученное выражение яв-
является также условием того, что такой каскад должен существо-
существовать всюду в этой части турбулентного спектра.
160 О. М. Филлипс
ЛИТЕРАТУРА
1. В а И Р. К., Епегду 1гапз1ег Ъе^ееп ех1егпа1 апА 1п1егпа1 дгауНу «гауез,
/. РШШ МесН., 19 A964), 465-478.
2. В е п п е у Б. X, Ыоп-Ипеаг §та\Иу \уауе ЫегасМапз, /. Р1иШ, МесН., 14
A962), 577—584.
3. Наззе1тапп К-, Оп Ше поп-Нпеаг епегду 1гапз1ег т а ггауНу
8рес1гит, Раг1 1, /. РШШ МесН., 12 A962), 481—500.
4. Н а 8 8 е 1 т а п п К-, Оп Ше поп-Нпеаг епегду 1гапз1ег т а дгауНу
8рес1гит, Раг1 2, /. РШШ МесН., 15 A963), 273—281, РаП 3, 15A963),
385—398.
5. Ьоп §и е1-Н 1 § §1 пз М. 3., Кезопап1 1п1егас11'оп8 Ье1*ееп 1*о 1га1пв
о! цтачНу ^ауез, /. РШШ МесН., 12 A962), 321—332.
6. Ь о п § и е I - Н 1 § § 1 п 8 М. 3., Р Ы 1 П р 8 О. М., РЬазе уе1осИу е!1ес18
т 1ег11агу *ауе 1п1егасиоп8, /. РШШ МесН., 12 A962), 333—336.
7. Ь о п ц и е I - Н 1 ц ц I п 8 М. 3., 3 т 11 Ь N. Б., Ап ехрег1теп1 оп 1Ыгй ог-
Йег ге8опап1 *ауе 1п1егас11оп8, /. РШШ МесН., 25 A966), 417—436.
8 Ь и т 1 е у X Ь., ТЬе 8рес1гит о{ пеаг1у 1ПегНа1 1игЬи1епсе 1П а в1аЫу 81га-
1Шей Пи1Й, /. АШоз. 8сй, 21 A964), 99—102.
9. М с О о 1 А г 1 с к Ь. Р., Кезопап! 1п1егасИоп атопд сарЛкгу-дгауЛу мауез,
/. РШШ МесН., 21 A965), 305—332.
10. М с С о 1 А г 1 с к I. Р., Р Ы 1 П р 8 О. М., Н и а п % N.. Н о А в 8 о п Т.,
Меа8игетеп18 оп гезопап! мауез 1п1егас11ОП8, /. РШШ МесН., 25
A966), 437—456.
И. РЬППрз О. М., Оп 1Не Йупат!с8 о! ипз1еайу дгауНу ^ауез о{ тПтЧе
атрШийе, /. РШШ МесН., 9 A960), 193—217.
12. 3 Ь и г О. N.. ЕхрептепЫ туезйдаНоп о{ Ше епег^у 8рес1гит о! а1то-
зрЬепс 1игЬи1епсе, Тгийу гвепг. аёго1. ОЬв., 43 A962), 79—90.
13. ТЬогре 3. А., Оп *ауе ЫегасИопз оп а з1га1Шей Ии1Мз, /. РШШ МесН.,
24 A966), 737—752.
Резонансное взаимодействие планетарных волн
М. С. ЛОНГЕ-ХИГГИНС, А. Э. ГИЛЛ
В противоположность гравитационным поверхностным волнам, для пла-
планетарных волн может иметь место резонансное взаимодействие во втором по-
порядке. Следовательно, могут возникать триплеты планетарных волн, которые
находятся друг с другом в резонансе.
Для простоты сначала изучается ситуация на C-плоскости. Определяются
геометрические условия, при которых две волны образуют триплет с> данной
третьей волной, а также находится скорость передачи энергии. Установлены
некоторые законы сохранения. Анализ допускает возможность ненулевой го-
горизонтальной дивергенции движения.
Для волн, покрывающих сферу полностью, показано, что если вообще
между тремя различными гармоническими составляющими имеется резонанс-
резонансное взаимодействие, то оно возникает в окрестностях двух широтных кругов,
расположенных симметрично по обе стороны от экватора.
1. Введение
«Планетарными волнами» (или волнами Россби) называют
некоторые движения, происходящие в слое жидкости, покрываю-
покрывающем вращающийся шар. Эти волны обязаны своим происхожде-
происхождением изменению вертикальной компоненты относительной за-
завихренности при смещении элемента жидкости из среднего по-
положения в сторону низких широт [14]. Нелинейное взаимодей-
взаимодействие между такими волнами представляет интерес по крайней
мере по двум причинам: во-первых, для планетарных волн в ат-
атмосфере, а, возможно, также и в океане, отношение скорости
частицы к фазовой скорости волны (являющееся показателем
нелинейности) может составлять заметную величину; во-вторых,
резонансное взаимодействие между планетарными волнами про-
происходит уже во втором порядке малости, а не в третьем, как для
поверхностных гравитационных волн. (В этом отношении оно
сходно с взаимодействием между внутренними гравитацион-
гравитационными волнами. См. работы [1, 17] и статью Филлипса из настоя-
настоящего сборника.) Следовательно, с динамической точки зрения
это взаимодействие имеет более важное значение. Кроме того,
уравнения, описывающие такое взаимодействие, сравнительно
просты, и с ними легче работать.
В частном случае, когда горизонтальная дивергенция воли
мала, известно, что функции тока, отвечающие различным мо-
П Зак. 426
162 М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. Гилл
дам свободных колебаний, представляют собой сферические гар-
гармоники [4]. В более общем дивергентном случае они имеют при-
приближенно вид сфероидальных гармоник [8]. В бездивергентном
случае некоторые условия нелинейного взаимодействия между
гармониками были установлены Зильберманом [15], см. также
[12, 13]. Одна из целей данной статьи состоит в более полном
исследовании значения условий Зильбермана и распространении
анализа на более общий случай, когда учитывается горизонталь-
горизонтальная дивергенция движения.
Для упрощения анализа рассматривается движение в огра-
ограниченной области поверхности сферы (в некоторой р-плоско-
сти), в которой сфера локально заменяется плоскостью, но при
этом учитывается изменение кориолисового параметра в север-
северном направлении. Можно показать, что как сферические гармо-
гармоники, соответствующие бездивергентному движению, так и бо-
более общие сфероидальные гармоники, относящиеся к движению
с дивергенцией, на самом деле сводятся локально к волновым
движениям, удовлетворяющим уравнениям движения на р-пло-
скости [7, 8]. Поэтому первый шаг заключается в том, чтобы
изучить взаимодействие таких волн на р-плоскости.
Два частных случая резонансного взаимодействия между
волнами на р-плоскости были выделены Кенионом [6] и Стерном
[16]. Однако общие условия того, что три волны будут взаимо-
взаимодействовать, по-видимому, еще не изучались. В § 3 н 4 настоя-
настоящей статьи определено сначала геометрическое место всех тех
волновых чисел, отвечающих волнам, для которых имеет место
резонансное взаимодействие с волной, обладающей некоторым
заданным волновым числом. Результаты представлены графи-
графически на рис. 1—4. Точки Р, С}, К и 3 на кривых указывают, где
происходит изменение знака коэффициента взаимодействия. Все
эти точки лежат на окружности с центром в начале координат.
В § 5 выводятся некоторые законы сохранения, относящиеся
к резонансным взаимодействиям, показывающие в частности,
что сохраняются как полная энергия, так и квадрат относитель-
относительного потенциального вихря. Уравнение, описывающее обмен
энергией в резонансном триплете дискретных волн, выведено
в § 6. Перенос энергии в сплошном спектре, который был изу-
изучен в работе [6] для частного случая бездивергентных волн,
рассмотрен в § 7 в общем случае волн с дивергенцией.
Наконец, правила взаимодействия, найденные Зильберма-
Зильберманом [15] для волн, покрывающих сферу, интерпретированы в тер-
терминах локальных взаимодействий планетарных волн на р-пло-
р-плоскости. Показано, что если происходит передача энергии, то
она имеет место в окрестности двух широтных кругов, располо-
расположенных симметрично к северу и югу от экватора.
Резонансное взаимодействие планетарных волн 163
2. Динамические уравнения
Пусть (х, у) — координаты в касательной плоскости сферы,
причем х отсчитывается на восток, у — на север. Скорость (и, V)
почти геострофична. Ее компоненты определяются выражениями
"*!*. ч—&• (*•■>
где
Ф=-Й# B-2)
и 2;, ,? и ! обозначают соответственно поднятие поверхности,
ускорение силы тяжести и удельную силу Кориолиса. Таким обра-
образом, вертикальная компонента вихря выражается в виде
Из условия сохранения потенциального вихря имеем
где через В1В1 обозначено дифференцирование в системе, дви-
движущейся вместе с жидкостью, а через Н — средняя глубина.
В результате приходим к следующему (приближенному) диф-
дифференциальному уравнению для г|з:
-|-[(V2 - а2) 4;] +0-^7=0, B.5)
где
B.6)
В уравнении B.5) оставлены только наиболее важные нелиней-
нелинейные члены, а именно те, которые определяют горизонтальную
адвекцию вихря. Уравнение B.5) представляет собой обобщение
уравнения для бездивергентных планетарных волн:
При рассмотрении решений уравнения B.5) удобно перейти
к приближению р-плоскости, в котором аир принимаются по-
постоянными. Тогда, выбирая единицы измерения длины и вре-
времени таким образом, чтобы обе величины аир были равны
единице, приходим к следующей форме уравнения B.5):
^2 ПФ] + 4*=0. B.8>
164 М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. Гилл
Бездивергентное уравнение B.7) при этом принимает простой
вид:
независимо от выбора единицы длины. При достаточно малом
коэффициенте взаимодействия (отношения скорости частицы
к фазовой скорости волны) уравнение B.8) можно линеаризо-
линеаризовать, после чего оно принимает вид
| ^ = 0. B.10)
Это уравнение имеет гармоническое решение
у = аехр{1(кх + 1у-о()} B.11)
при условии, что удовлетворяется дисперсионное соотношение
а(к2 + 12 + 1) + * = 0. B.12)
Для бездивергентных волн соответствующее уравнение имеет
вид
а (к2 + И + к = 0. B.13)
Компонента фазовой скорости в направлении с востока на за-
запад согласно B.12), определяется соотношением
Т= ~~ к1 + /2 + 1 * BЛ4)
Выражение, стоящее справа, всегда отрицательно; это означает,
что волны всегда распространяются на запад.
В равенстве B.11) нужно брать вещественную часть, так что
волновому вектору — к при частоте — а соответствует та же
волна, что и волновому вектору к при частоте а. В ряде случаев
удобно принять а > 0. При этом &^С0, так что волновой вектор
к должен лежать в левой полуплоскости. Однако ниже мы бу-
будем считать, что данную волну можно представить любым из
двух противонаправленных волновых векторов к или —к.
При рассмотрении взаимодействия волн удобно разделит»,
волны на два класса. К волнам первого класса относятся волны,
для которых
х = \к\ = (к2 + 12)у'>1, B.15)
т. е. для этих волн конец волнового вектора к лежит вне круга
#2 _|_ /2 _ [. их можно назвать короткими планетарными волнами.
К волнам второго класса относятся волны, для которых волно-
волновой вектор лежит внутри указанного круга; их можно назвать
длинными планетарными волнами. Динамическое различие
Резонансное взаимодействие планетарных волн 165
между указанными двумя классами волн можно установить при
помощи потенциального вихря элемента жидкости, который в
безразмерных переменных определяется соотношением
B.16)
Для коротких волн изменение потенциального вихря в некото-
некоторой фиксированной точке происходит главным образом в ре-
результате смещения жидкости с севера на юг. С другой стороны,
для длинных волн эти изменения происходят главным образом
вследствие растяжения вихревых нитей, происходящего при вер-
вертикальном смещении свободной поверхности.
3. Условия резонансного взаимодействия трех вол"н
Рассмотрим три свободные планетарные волны, определяе-
определяемые в первом приближении выражениями
уп = апехр{1(кпх + 1пу-оМ («=1,2,3). C.1)
Каковы условия того, что эти волны будут взаимодействовать?
Для каждой волны должно удовлетворяться дисперсионное
уравнение B.9); следовательно,
а, (к\ + 1\ + 1) + к{ = О,
о2(к22 + Р2+1) + к2 = 0, C.2)
Кроме того, должно быть
(*„ /„ а,) ± {к2, к, а2) ± (к3, 13, а3) = @, 0, 0). C.3)
Будем считать, что ап может принимать отрицательные значе-
значения. Тогда без потери общности можно принять, что все знаки
в C.3) положительны. Таким образом, мы имеем необходимые
условия:
к{ + к2 + к3 = 0,
1\ + к + к = 0, C.4)
а, + а2 + а3 = 0.
Очевидно, что одно из решений этих уравнений дают векторы
к|, к2, к3) образующие равносторонний треугольник с центром
в начале координат. В самом деле, в этом случае первые два из
уравнений C.4) удовлетворяются автоматически, причем начало
координат является центроидом; поскольку сумма (к\ + Рп + 1)
имеет одно и то же значение для каждого из волновых векторов,
Гбб М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. Гилл
равенства C.2) показывают, что третье из уравнений C.4) так-
также удовлетворяется. (Частный случай с ^ =*= 0 упоминается в
работе [6].)
Еще одно решение уравнений C.4) дается соотношениями
(*|. 1х) = (- *2. /2). (*з. к) = @, - 2/2) C.5)
при произвольных значениях (&2, к)- Другими словами, любой
волновой вектор к2 вместе с его отражением относительно оси /
и третьим волновым вектором, лежащим на оси / таким обра-
образом, что начало координат становится центроидом, образует вме-
вместе резонансный триплет. Третий волновой вектор соответствует
установившемуся зональному течению.
Однако, вообще говоря, мы имеем шесть соотношений между
девятью величинами кп, 1п и ап- Если две из них, скажем кч и
/г, заданы, то оставшиеся образуют систему с одной степенью
свободы. Допустим, что задан вектор к2, и будем искать геомет-
геометрическое место концов пар волновых векторов к|, к3, для кото-
которых имеет место резонансное взаимодействие с вектором к2.
Из второго уравнения C.2) можно при помощи C.4) исклю-
исключить &2, /2 и аг- В результате находим
(а, + а3) [(*, + к3J + (/, + /3J + 1] + (*, + *з) = 0. C.6)
Исключая теперь О[ и аз с помощью первого и третьего из урав-
уравнений C.2), получаем
/з)] (к\ + & + 1) +
з + к\) + B/,/з + $] [к] + й + 1) = 0. C.7)
Теперь первые два из уравнений C.4), которые могут быть за-
записаны в виде
к, + к3=-к2 + О, C.8)
показывают, что концы векторов к|, — к2, к3 и точка О образуют
параллелограмм с диагоналями, пересекающимися в точке
— ук2. Ясно, что геометрическое место концов векторов к! и к3
должно располагаться симметрично относительно этой точки.
Запишем
к|--|к2+7ко." к3--|к2-|к0. C.9)
Резонансное взаимодействие планетарных волн 167
Подстановка этих выражений в C.7) дает нам следующее соот-
соотношение для (к0, 1о)'
+ 12 {к\ + II) + 4 (к20 + II) + 4 (к2к0 +
- ко[4{& + 1% + 1) • 2 (Ы„ + /2/оI = 0, C.10)
в которое к0 и /о входят совместно в четной степени. Вводя по-
полярные координаты хп, Ф™ при помощи соотношений
(кп, /„) = х„(созср„, 5шср„) (я=1 4), C.11)
имеем
[C^ + 2х2Х-^) + A2^-4^) + 4^0со5^(ф0-ф2)] X
X со5ф2-8(х2+ 1)и;-со5(ф0-ф2)со5ф0 = 0 C.12)
или если положить
Фо-ф2 = ф' C.13)
(т. е. отсчитывать направление к0 от направления к2), то это
уравнение примет вид
(Зх* - %1 + 12*2 - 8и2) соз ф2 - [2x1x1 + 4х%) соз 2ф' соз ф2 +
п 2ф' 81п ф2 = 0. C.14)
Если ф2 =7^= ± -т я, то это уравнение можно поделить на созф2,
после чего найдем
и« + 2^2 [4 + B + и2) зес 2а соз 2 (ф' - а)] - 3 (х\ + 4х|) = 0, C.15)
где
2 + 2x2 1
^2а=-^-^1ёф2, |2а|<-я. C.16)
Соотношение C.15) и есть как раз уравнение искомого геомет-
геометрического места точек. Оно представляет собой квадратное
уравнение относительно х\, единственным положительным кор-
корнем которого является
и20 = - В + [В + 3(х\ + 4х2)]'\- C.17)
где
5 = 4 + B + х22)зес2асоз2(ф'-а). C.18)
12*
168 М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. Гилл
Таким образом, величину и0 можно в общем случае выразить
как однозначную функцию от ср' = ф0 — ф2. Найдя щ и ф0, можно
при помощи соотношения C.11) найти вектор ко= (&о, 'о) и, вос-
воспользовавшись C.9), найти векторы к| и кз.
4. Обсуждение
Найденное геометрическое место точек изображено для не-
некоторых типичных значений волнового вектора к2 на рис. 1—4.
Это — кривая четвертой степени с двумя осями симметрии, про-
проходящая через точку — ук2 и образующая с вектором к2 углы
аи (а + уя). Концы волновых векторов к] и кз лежат в диа-
диаметрально противоположных точках кривой. Если положить
ср' = О или я, то C.15) сводится к уравнению
К - *Ж + Ч + !2) = 0, я0 = к2, D.1)
показывающему, что обе точки — к2 и О лежат на кривой (эти
точки обозначены через Я и О соответственно). Если же поло-
положить ф'=±-2"Я, то C.15) принимает вид
(х2-Зх22)(х2 + х22 + 4) = 0, х„ =УлЗх2. D.2)
Отсюда.видно, что точки, получающиеся поворотом вектора к2
на угол ± -д-я, также лежат на кривой (эти точки обозначены
через /? и ф соответственно).
Точки Р, С} и /? являются тремя точками пересечения кривой
с окружностью радиуса и2 с центром в точке О. Четвертая точ-
точка пересечения этой окружности с кривой 5 получается отраже-
отражением вектора к2 относительно оси /. Так как степени кривой и
окружности равны соответственно 4 и 2, то, вообще говоря, то-
точек пересечения имеется 8; однако рассмотрение показывает,
что остальные 4 точки пересечения мнимые.
Указанные четыре точки Р, <Э, /? и 5 являются удобными
ориентирами на кривой, поскольку, как будет видно, они отде-
отделяют те части кривой, в пределах которых коэффициенты пере-
переноса энергий положительны, от тех, где они отрицательны.
Из рис. 1—4 можно видеть, что для фиксированного значе-
значения к2 на положительной действительной оси (ф2 = 0) рассматри-
рассматриваемое геометрическое место точек представляет собой овал
(вообще говоря, не эллипс) с вертикальной главной осью. По
мере того как ф2 становится отрицательным, эта ось накло-
наклоняется; одновременно с этим происходит удлинение кривой. При
75"
\ ; Рис. I,
Геометрическое место пар концов волновых векторов кч и к3, которые взаимодействуют с заданным волновым
вектором к9 при х9 > 1 (короткие планетарные волны). Точки й, /( н 5 определены в § 4.
/
•/ / о
5
/ *
к,
Рис. 2.
Геометрическое место пар концов волновых векторов 1A и кэ, которые взаимодействуют с заданным волновым
вектором кг при иг = 1.
[60°
Рис. 3.
Геометрическое место пар концов волновых векторов к1 и к5. которые взаимодействуют с заданным волновым
вектором к2 при х2 = '/«■
О.Р.И
ЕА.
Рис. 4.
Геометрическое место пар концов волновых векторов к1 и Ь5, которые взаимодействуют с заданным волновым
вектором к] при X, < 1 (длинные планетарные волны).
Резонансное взаимодействие планетарных волн 173
некотором значении фг в средней части кривой возникает «та-
«талия», после чего она становится похожей по форме на песоч-,
ные часы. Когда фг приближается к —-г-я, две закругленный
части кривой удаляются в бесконечность и у кривой возникают
две асимптоты (одной из которых является ось /, а другой —
прямая / = — /21. Для значений | ф21, превышающих -^ я, но меньт
ших я, рассматриваемые кривые представляют собой отражение
относительно оси / кривых, соответствующих (—я — фг). Кри-
Кривые, соответствующие положительным значениям фг, являются
отражениями относительно оси к кривых, соответствующих
(—фг)- (Вследствие этой симметрии достаточно рассмотреть зна-
значения фг, лежащие, скажем, в интервале — -^я^фг <[0.)
На рис. 1 представлен случай, когда иг велико, т. е. волны
бездивергентны (очень короткие планетарные волны). В этом",
случае уравнение C.15) сводится к
К/игL + 2 (хо/*гJ зес 2а соз 2 (<р' - а) - 3 = 0, D.3)
где
*В2а--2*ВФ- D-4)
Можно проверить, что в этом случае касательная к кривой в на-
начале координат (ф' = 0 или я) всегда вертикальна.
На рис. 2 изображен случай, когда иг = 1, а на рис. 3 —
случай, когда иг = 1/2. >
■В пределе, когда и2-»-0 (очень длинные волны), те реше*
ния хо уравнения C.15), которые стремятся с изменением %1
к О, определяются уравнением
х20[2 + зесф2соз2(ф'-а)]-3х2 = 0, D.5)
где . ,
2а фг. D.6)
В общем случае это уравнение конических сечений. При
я<Ф^0 оно представляет собой эллипс с главной осью,
наклоненной к оси к под углом -^(Фг+я). При ф2->-д-я глав-
главная ось становится большой по сравнению с хг и часть кривой,
определяемая уравнением D.5), вырождается в две прямые,
проходящие через точки —к2 и О и наклоненные по отношению К
оси к под углом —-д-я. Оставшаяся часть кривой соответствует
значениям и0 порядка х2/а. Для значений фг, лежащих между
—-д-я и -^-я, часть кривой, определяемая D.5), представляет
174 М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. Гилл
собой гиперболу. Оставшаяся часть лежит в конечной части
плоскости (см. рис. 4) и с учетом C.15) определяется урав-
уравнением
х20 + 4 [2 + зес ф2 соз 2 (<р' - а)] = 0. D.7)
Таким образом, в этом интервале изменения фг кривая имеет
форму песочных часов, но с бесконечно малой «талией» по-
посредине.
Когда конец вектора к1 лежит в точке 5, вектор кз, конец
которого попадает в точку, диаметрально противоположную
концу вектора кь должен оказаться на оси / (чтобы было
к1 + кг + к3 = О). В этом случае к3 соответствует установивше-
установившемуся зональному течению, но с ненулевым меридиональным вол-
волновым числом 13. Таким образом, имеем две волны к1 и к2, кото-
которые обладают одной и той же длиной, как в направлении х,
так и в направлении у; комбинация этих векторов взаимодей-
взаимодействует с волной кз, соответствующей зональному течению.
Обратно, когда вектор к2 лежит на оси / и, следовательно,
соответствует зональному течению, векторы к1 и к3 должны ле-
лежать на двух прямых, в которые вырождается рассматриваемое
геометрическое место точек, причем на равных расстояниях от
точки — -к кг-
Частный случай, отмеченный Кенионом [6], имеет место при
ф2 = 0 (и иг-.>?> 1), когда к] и к3 попадают в точки С} и Я соот-
соответственно. Кенион заметил, что этот случай принадлежит клас-
классу случаев, в которых а1=о3= — ^-сг2. Частный случай, отме-
отмеченный Стерном [16], имеет место при 1\ = к = —-5-/3, но к\ ф
Ф —кг. (Рассмотрение показывает, что прямая / = /2 в общем
случае пересекает геометрическое место точек, о котором идет
речь, в двух действительных точках, однако только для одной
из них справедливо равенство к\ = —к2.)
5. Некоторые законы сохранения
До сих пор мы рассматривали необходимые условия резо-
резонансного взаимодействия волнового триплета, т. е. задачу, свя-
связанную только с линейными дисперсионными соотношениями.
Чтобы определить скорость обмена энергией в резонансном три-
триплете, следует использовать полное уравнение B.5), содержащее
нелинейные члены. Его можно записать в виде
+ гЬ = 0. E,1)
Резонансное взаимодействие планетарных волн 175
Отметим сначала некоторые законы сохранения. Умножая
E.1) на г|1 и перегруппировывая члены, находим
При интегрировании по большой области правая часть E.2)
превращается в интеграл по границе; этот интеграл возрастает,
как линейный размер I*. В то же время левая часть возрастает,
как Ь2. Если амплитуда г|з ограничена, отсюда следует, что
+ т Ф2* + т ф2) йх йУ ~СОП8±- <5-3)
Я (-
Первые два члена подинтегрального выражения представляют
собой плотность кинетической, а третий — плотность потенциаль-
потенциальной энергии (в безразмерной форме).
Можно видеть, что для решения в виде плоской волны B.11)
плотности кинетической и потенциальной энергий равны соот-
соответственно -^-(и2а2) и -4-(а2). Таким образом, для коротких пла-
планетарных волн (и > 1) кинетическая энергия превосходит потен-
потенциальную, а для длинных планетарных волн потенциальная
энергия превосходит кинетическую.
Далее можно заметить, что если три последних члена урав-
уравнения E.1) перенести в правую часть, то получим
4 - Ф) = —|г (* Щ
откуда следует, что
| E.5)
Обращаясь к уравнению B.16), мы видим, что этим выра-
выражается закон сохранения потенциального вихря.
Аналогичным образом, умножая обе стороны E.1) на
(У2г|з — ф), находим
^ФЬ + гфлд, E.6)
откуда на основании тех же соображений следует
- уJ ах ау = соп51. E.7)
Г76 М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э; Гилл
Этим выражается закон сохранения квадрата возмущения по-
потенциального вихря. Аналогично может быть проведен вывод
для более высоких моментов.
Уравнение E.4) можно также записать в виде
4? (♦+♦^+*) |(* ^Л) E>8)
Таким образом,
{ ( ^ их йу = сопз1, E.9)
что эквивалентно сохранению полной массы. Дифференцируя
,E.8) по х и у соответственно, аналогичным образом приходим
к выводу о сохранении составляющих полного импульса в на-
направлениях с севера на юг и с востока на запад.
6. Обмен энергией в резонансном триплете
. Представим решение для слабо взаимодействующего три-
триплета волн в виде
-ф = а, соз 8, + а2 соз 82 + а3 соз 83, F.1)
где 8П обозначают фазы
е„ = *>„л: + 'п</-<М + е„ («=1,2,3), F.2)
а амплитуды ап(/) представляют собой медленно меняющиеся
функции одного только времени I. Прямая подстановка F.1)
в динамическое уравнение E.1) дает
(*2+ 1)а1соз81 + (х2+ 1H2 соз е2 + (Л§+ 1)а3созв3 =
= С{а2а3 [соз F2 + 63) - соз F2 - 93)] +
+ С2ага{ [соз F3 + О1) - соз F3 - 6,)] +
+ С3а,а2 [соз F,+ 62)-соз F,-62)], F.3)
где через С\, С2, С3 обозначены коэффициенты взаимодействия
С, = ^ (х| - «1) B • к2 X к,) и т. д., F.4)
г — единичный вектор, направленный по вертикали вверх. Если
условия резонанса C.4) удовлетворены, то, скажем,
2-к2Х к3 = 2-к3Х к, = 2 • к, X к2 = 2Ь, F.5)
так что в данном случае
С, =Ь(х22-х$) и т. д. F.6)
Резонансное взаимодействие планетарных волн 177
Если, далее, фазы еп связаны соотношением
е, +е2 + е3 = 0, F.7)
то три члена в левой части F.3) уравниваются тремя членами
в правой при условии, что
A+х2)а1 = Ь(х2-х2)а2а3,
=Ъ{х1-х§а3а{, F.8)
Остальные члены в правой части в общем случае не соответ-
соответствуют свободным волнам и поэтому не будут непосредственно
участвовать в резонансном переносе энергии. Соответствующие
им возмущения будут «вынужденными» волнами, амплитудой
которых при некоторых общих условиях можно пренебречь
(см. ниже).
Можно видеть, что полная энергия волнового триплета со-
сохраняется. Умножим уравнения F.8) последовательно на щ,
а,2, а3 и сложим результаты, при этом правая часть обращается
в нуль. После интегрирования находим соотношение
A + х2) а2 + A + х2) а\ + A + к23) а2 = сопз*. F.9)
аналогичное E.3).
Подобным образом, умножив уравнения F.8) на A+х2)а,,
A + х^а2 и A + и?,)а3 соответственно и проинтегрировав, найдем
соотношение
A + х2J а2 + A + х22) а2 + A + х2) а2 = сопз*, F.10)
аналогичное E.5).
Последние два закона сохранения F.9) и F.10) сходны с
отмеченным в работе [2] для бездивергентного движения невра-
щающейся жидкости. Обозначим через Дп изменение а2п в те-
течение времени от момента /0 ДО более позднего момента I.
Из F.9) и F.10) тогда получаем следующую пару уравнений:
A + к?) Д, + A + х!) Д2 + A + х§) Д з = 0,
= 0 FЛ1)
из которых следует
A+х2)А, _A+х2)А2 A+х3JА3
Х2-К2 *2-*2 = V2 V2 ' ^О.1/)
К2 К3 Х3 Х1 Х|—Х2
Если, например, и2<х2<х2, то знак Дг всегда противополо-
противоположен знакам Д1 и Д3. Другими словами, поток энергии в сторону
178 М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. Гилл
двух крайних волновых чисел щ и из всегда имеет один и тот
же знак, противоположный знаку потока энергии к промежуточ-
промежуточному волновому числу иг. То же справедливо и в отношении
потока квадрата возмущения потенциального вихря.
Умножив уравнения F.8) на а.\, а2 и аз соответственно,
имеем , .
\{\+у\)йа\\<Н=Ь{у\-у§а,а2аъ F.13)
и два аналогичных уравнения. Из этих уравнений следует, что
знак потока энергии, например к первой волне, зависит не
только от знака величины а^аз (которая может быть отрица-
отрицательной), но также от знака величины Ь {к\ — к\). Положительна
или отрицательна эта последняя величина, можно легко опре-
определить из рис. 1—4. Когда конец вектора кз описывает соответ-
соответствующую кривую, множитель (х| — к%), вообще говоря, меняет
знак при прохождении конца вектора к3 через точки Р, ф, /?
или 5.
Следует отметить, что когда два из волновых чисел И|, иг, хз
равны между собой, соответствующий коэффициент С,- обра-
обращается в нуль. В частности, когда концы векторов к1 и к3 лежат
в точках ^ и /?, так что ($, Н и конец вектора к2 образуют равно-
равнобедренный треугольник, перенос энергии между волновыми ком-
компонентами равен нулю.
В случае зонального течения, когда, скажем, вектор к2 ле-
лежит на оси I, из указанных диаграмм следует, что либо к| и к3
также лежат на оси / (а это приводит к обращению Ь в нуль,
Ь = О, и тогда переноса энергии нет), либо концы векторов к|
й к3 лежат на равных расстояниях от О, так что Х| = хз. В по-
последнем случае С2 равно нулю, но С{ и С3, вообще говоря, нулю
не равны. Из F.8) мы видим тогда, что а2 •= 0; можно сказать,
что зональное течение не приобретает и не теряет энергии во
взаимодействии с двумя другими компонентами. Однако при
#2 ^ 0 уравнения F.8) показывают, что как а\, так и аз будут
совершать гармонические колебания около нулевых средних
значений. В этом случае зональное течение действует как своего
рода катализатор, который позволяет двум другим волнам обме-
обмениваться энергией.
В общем случае уравнения F.8) могут быть разрешены явно
б эллиптических функциях. Таким образом, если
F.14)
Резонансное взаимодействие планетарных волн 179
(индекс 0 обозначает некоторое начальное значение), то реше-
решение имеет вид
а, = а, сп (*/*„ - Я,),
^), F-15)
где
2
«20-
2_ 2 Х2-И1 1+*2 2
«8-450+ К2_К2 1+к2 «20-
Величина Я, может быть найдена с использованием начальных
условий. Модуль к эллиптических функций определяется из
F.14). Если неравенство F.14) не удовлетворяется, то решение
получается переменой местами индексов 1 и 3 в вышеприведен-
вышеприведенных формулах. Величина ^0 представляет собой время взаимо-
взаимодействия и в общем случае имеет порядок A +и2)/и4а, где че-
через а обозначен порядок величин а\, а2 и а3. Однако при к = 1
имеем сп = йп = зсп и зп = 1п, так что время /о становится бес-
бесконечным. При этом волна с амплитудой а^ все время отбирает
энергию у волн с амплитудами а{ и а3.
Легко можно выписать условие «слабого» взаимодействия
волн в указанном выше смысле. Пусть, например, а{5т(8, — 83)
обозначает функцию тока для нерезонансной волны, возбуждае-
возбуждаемой слагаемым в правой части F.3), которое пропорционально
СО5@1 — 63). Простое вычисление показывает, что
у(^3)B3)
а' = ; 57 а2а3, F.18)
1 (*»-*1)-A-)с'2)(о,-о,) 2 3 1 ;
где у! = |кг — к3|. Чтобы этой величиной можно было прене-
пренебречь, она должна быть мала по сравнению с амплитудами аи
а-2 или а3, которые мы считаем величинами одного порядка а.
Для коротких планетарных волн (и » 1) из F.18) имеем
а[/а^а>с3<1, F.19)
180 М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. Гилл
а для длинных планетарных волн (и <С 1 и а ~ и) имеем
а[/а ~ ах < 1. F.20)
В обоих случаях это эквивалентно условию
ак<а/к, F.21)
означающему, что отношение скорости частицы к фазовой ско-
скорости должно быть мало по сравнению с единицей. Это отно-
отношение равно показателю взаимодействия /?, так что мы должны
иметь
/?<1, F.22)
т. е. то же условие, которое нужно для представления решения
в виде ряда теории возмущений по степеням /?.
Когда же, напротив, /?^1, вынужденные взаимодействия
становятся относительно сильными и течение переходит в тур-
турбулентное. Это как раз тот случай, к которому применим анализ,
выполненный в работе [11].
7. Обмен энергией в непрерывном спектре
Скорость переноса энергии в непрерывном спектре грави-
гравитационных волн была вычислена Хассельманом [3]. Тот же спо-
способ применен Кенионом [6] к непрерывному спектру волн Рос-
сби на р-плоскости. Кенион считал движение бездивергентным.
Мы обобщим здесь результат Кениона, приняв во внимание ди-
дивергенцию.
Предположим, что функция тока г|з может быть разложена
в степенной ряд по малому параметру /?, т. е.
... G.1)
(/?" в дальнейшем будет включено в „г|з). Примем, далее, что
низшее приближение может быть выражено в виде
, G.2)
где амплитуды а^ распределены случайно и независимо по за-
закону Гаусса (за исключением только того, что а_к = а*). Высшие
приближения 2$, эф и т- Д- могут быть затем найдены из урав-
уравнения движения E.1).
Средняя плотность энергии, которая во втором порядке опре-
определяется выражением
± G.3)
Резонансное взаимодействие планетарных волн 181
(где черточкой обозначено среднее по распределению),, может
быть представлена в виде
Е= | I Р(кLк. G.4)
— оо —оо
Здесь ^(к) — спектральная плотность. Плотность ^(к) можно
разложить в ряд, подобный G.1), а именно
Р(к) = 2Р(к) + 3Р(к) + 4Р(к). G.5)
Член низшего порядка 2Р определяется соотношением1)
(х2+1)\акГ, G.6)
которое формально не зависит от I. Следующий член 3Р тожде-
тождественно равен нулю. Далее, член ^Р содержит выражение, про-
пропорциональное I. Это указывает на постепенное изменение спек-
спектра Р:
%+*$■■ <">
Можно показать (см. статью Хассельмана на стр. 106 этого
сборника), что в подобных случаях гауссов характер решения
существенно не нуждается в модификации вследствие слабого
переноса энергии, т. е. гипотеза гауссовости внутренне непро-
непротиворечива.
Вычисление д*Р/дг в случае, когда учитывается дивергенция,
приводится в точности тем же путем,, что и в бездивергентном
случае [6]. Действительно, соответствующее выражение для ди-
дивергентного случая может быть получено просто заменой всюду
и2 и х2 на (х2+1) и (х2 + 1) соответственно. Поскольку это
так, мы можем сразу записать окончательное выражение
для дР/д! и сравнить его с результатом Кениона [6, уравнение
F0)]. Полагая для краткости 2р{кп) = Рп, имеем
*П) } } ^ A+н?)A Х
д( (
X б (к, + к2 + к3) б (а, + а2 + а3) йк2 йк3, G.8)
где
С, = \(х2 - х2)B • к2 X к,) и т. д., G.9)
а через б(к) и 6(сг) обозначены дельта-функции Дирака.
') Энергия данной волновой компоненты поделена поровну между вол-
волновыми векторами к н —к.
182 М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. Гилл
Так как
С, + С2 + С3 = 0, G.10)
непосредственно видно, что полная энергия сохраняется, т. е.
ГГ4&-Л| = 0- G.11)
Поскольку
(х* + 1) С, + (х22 + 1) С2 + (х| + 1) С, = 0, G.12)
видно также, что сохраняется квадрат потенциального вихря,
т. е.
//(*?+!)■
д(
-О.
G.13)
Это также эквивалентно сохранению составляющей «количества
движения» по направлению с востока на запад, т. е.
Из G.11) и G.14) после приравнивания нулю определителя
1
к1/а1
1
/2/а2
1
а, сг2 сг3
/2 /3
следует, что
0.
G.15)
G.16)
Другими словами, составляющая «количества движения» в на-
направлении с севера на юг также сохраняется.
Из уравнения G.8) видно, что поток энергии к волне, опре-
определяемой, скажем, волновым вектором к|, состоит из трех ча-
частей: 1 часть, определяемая совместно векторами к2 и кз, кото-
которая пропорциональна С\Р3Р\ и поэтому всегда положительна;
2 часть, определяемая совместно векторами к, и кз, которая
пропорциональна С\С2рзР\ и которая может быть как положи-
положительной, так и отрицательной; и, наконец, 3 часть, определяемая
совместно векторами к| и к2, которая также может быть как
положительной, так и отрицательной. Исходя только из знаков
величин С[, Сг и С3, невозможно сказать, будет ли положитель-
положительным или отрицательным полный поток энергии к волне, опреде-
определяемой данным волновым вектором. Тем не менее, возможно,
заслуживает внимания то обстоятельство, что, как это следует
из уравнения (8.10), знак одного из коэффициентов С,, С2, С3
Резонансное взаимодействие планетарных волн 183
противоположен знаку двух других и что знак соответствующего
одного из коэффициентов Сг, С3, С3С[, С|С2 также противополо-
противоположен знаку двух других.
8. Планетарные волны на сфере
До сих пор мы рассматривали волны на некоторой части
сферической поверхности, которая была достаточно ограничен-
ограниченной, чтобы можно было применить приближенное рассмотрение
на р-плоскости. Рассмотрим теперь, что произойдет, если волны
распространяются за пределы указанной ограниченной области,
пробегая по всей сфере.
Достаточно хорошо известно, что планетарные волны на
р-плоскости, кроме того, что они имеют локальный смысл, яв-
являются еще волнами второго класса [5, 10], покрывающими всю
сферу. Свободные движения на сфере могут быть проанализи-
проанализированы при помощи гармоник. В случае бездивергентных дви-
движений это — поверхностные сферические гармоники 5™ [4]; для
дивергентного движения они приближенно описываются сферо-
сфероидальными волновыми функциями [8]. Однако в общем случае
можно показать, что в ограниченной области сферы любое
движение приближенно описывается волнами на р-плоскости
с соответствующими фазовыми и групповыми скоростями [7, 8].
Рассмотрим для простоты бездивергентные волны. Сфериче-
Сферическая гармоника 5™ степени п и порядка т соответствует ло-
локально некоторой р-плоской волне с волновым вектором {к, /),
где
т, (к2 + I2)'1' = п. (8.1)
Здесь через 8 обозначен угол, дополнительный к широте, радиус
сферы принят за единицу.
Зильберман [15] показал, что в случае бездивергентного
движения необходимые условия того, чтобы три поверхностные
гармоники 5™', 5™,', 5^ взаимодействовали, заключаются в
следующем:
\п{ — п3\<п.2<(п1+ п2), (8.2)
(«! + п2 + п3) нечетно.
Ясно, что первое из уравнений (8.2) эквивалентно правилу сум-
суммирования C.4) для волновых чисел, определяющих распро-
распространение волн в восточном направлении при любой заданной
дополнительной широте 8. Второе уравнение (8.2) представляет
собой «правило треугольника»: оно показывает, что можно по*
1"84 М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. Гилл
строить треугольник со сторонами, образованными тремя вол-
волновыми векторами. Смысл третьего условия (8.2) будет истол-
истолкован позже.
При анализе на р-плоскости волновое число / в северном
направлении играет столь же важную роль, как и волновое
число в восточном направлении. Однако из (8.1) ясно, что /
должно быть функцией широты, по крайней мере для безди-
бездивергентных волн. Представляется разумным предположить, что
перенос энергии между гармониками происходит только на тех
широтах, на которых волновые числа Ц удовлетворяют правилу
суммирования, и что энергия распространяется из этих широг
с групповыми скоростями указанных трех волн.
Если имеется перенос энергии на какой-то широте в север-
северном полушарии, то вследствие симметрии относительно экватора
должен происходить также аналогичный перенос энергии на
соответствующей широте в южном полушарии. Исследуем те-
теперь, может ли происходить такой перенос энергии более чем
на одной паре широт.
Из уравнений (8.1) для каждой из трех волн имеем
/2 = /г2 (8.3)
и поэтому
[2 = п2-т2д, (8.4)
/2 = /г2-т2<7,
где я = созес2 8. Далее, из тождества
(/? + Й + /1)- 2 (/!/? + $? + /?/?)•
= (/1 + \ + /8) (А - к - к) (к -к- /,) (к -и- к) (8.5)
следует, что сомножитель (/| + /2 + Н) в правой части (8.5)
может обращаться в нуль только тогда, когда обращается в
нуль левая часть (8.5). Подставляя (8.4) в (8.5), находим
2 [К - т^у ~ 2 (л2 - т2?) (л2 - тЩ = 0. (8.6)
Это выражение квадратично по ц. Однако коэффициент при ц2,
т. е.
(т\ + т\ + т*) - 2 {т\т\ + т2т\ + т2т2), (8.7)
обращается в нуль тождественно, поскольку имеет множителем
(т.1 + т2 + т3). Таким образом, уравнение (8.14) относитель-
относительно <7 самое большее первого порядка. Другими словами, имеется
Резонансное взаимодействие планетарных волн 185
самое большее одно значение созес28, для которого (
обращается в нуль и имеет место резонанс.
Теперь можно интерпретировать третье условие (8.2). Интер-
Интерпретация состоит в том, что если бы (Л| + я2 + Лз) было чет-
четным, то резонансная компонента, возбужденная на северном
широтном круге, находилась бы точно в противофазе с соответ-
соответствующей компонентой, возбуждаемой на южном широтном
круге, и обе они уничтожили бы друг друга.
Так как поверхность сферы ограничена, значения пит
всегда целые, а спектр волн — дискретный. Если же взять очень
большую сферу или допустить большие значения п и т, то бо-
более подходящим будет представление о непрерывном спектре,
особенно если диссипация энергии достаточно велика для того,
чтобы размазать соседние гармоники. В этом случае движения
в окрестностях указанных кругов не будут связаны и перенос
энергии на этих широтах не будет уничтожаться.
В более общем случае дивергентного движения, когда па-
параметр
(8.8)
не мал, сферические гармоники заменяются (приближенно) сфе-
сфероидальными гармониками 5™. При этом первое соотношение
(8.1) сохраняется, однако второе должно быть заменено на
следующее [8]:
к2 +I2 + !2/§Н = сопз* = - 2пт/а. (8.9)
Это соотношение можно записать в виде
т2созес26-К2 + есо52е = тг (г=-2О/<х). (8.10)
Отсюда, полагая созес2 8 = ц, находим
т*ц + Р + ъ{\-\\ц) = тг. (8.11)
Теперь вместо (8.4) имеем
и т. д. (8.12)
После подстановки в тождество (8.5) приходим к уравнению
четвертой степени относительно ц, старший член которого обра-
обращается в нуль, в результате чего уравнение становится кубиче-
кубическим. Таким образом, существует, вообще говоря, три корня ц.
Однако можно показать, что два из них находятся вне допу-
допустимого интервала 1 -^ ц < сю, по крайней мере для достаточно
малых е. Поэтому в данном случае существует всего одна пара
широт, вблизи которых происходит резонансное взаимодействие.
186 М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. ГилЛ
9. Заключение
Показано, что при определенных условиях триплет плане-
планетарных волн может взаимодействовать таким образом, что энер-
энергия одной волны передается двум другим и, более того, по край-
крайней мере для больших значении волновых чисел место, где про-
происходит передача энергии, расположено в окрестности некоторой
пары широтных кругов. Одна из трех волн может представлять
собой зональное течение. Однако мы показали, что для зональ-
зонального течения коэффициент взаимодействия должен обращаться
в нуль. Следовательно, как для системы дискретных волн, так
и для непрерывного спектра волн на р-плоскости, подобного
изученному Кенионом [6], зональное течение не может получать
или терять энергию посредством этого механизма (хотя наличие
этого течения может облегчать обмен энергией между некото-
некоторыми другими парами волновых чисел). Таким образом, на-
настоящая теория не учитывает преобразования «вихревой» энер-
энергии в энергию среднего движения, как было, например, найдено
е работе [18].
Для приложений к проблеме океана вообще желательно рас-
рассмотреть планетарные волны в замкнутом бассейне. Мы знаем,
однако, что в прямоугольном бассейне на р-плоскости можно
построить решения, являющиеся суммой четырех бегущих пла-
планетарных волн [7, 8]. Существует возможность, что для бас-
бассейнов определенного размера и ориентации может наступать
резонанс между тремя модами низшего порядка. В настоящее
время эта возможность исследуется.
Авторы благодарны м-ру Сойеру и проф. Филлипсу за за-
замечания по первому варианту этой статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. В а 11 Р. К-, Епег^У 1гапзГег Ье1*ееп ех1егпа1 апй т1егпа1 дгауЛу даауез,
]. РЫЫ Меск, 19 A964), 465—478.
2. Р]'ог1оИ К., Оп 1Не сНапдез т 1Не зрес1га1 сПзЫЪиИоп о! ктеИс епег§у
Гог 1\уосПтепзюпа1, поп-сПуегдеп! поч/, Те11из, 5 A953), 225—230.
3. Н а з з е 1 т а п п К., Оп 1Не поп-Нпеаг епег§у 1гапзГег т а дгауЛу даауе
зрес1гит., Л Р1шс1 Меск., 12 A961), 481—500.
4. Наиг^Нг В., ТНе тоИоп о! а1тозрНепс сИз1игЬапсез оп а зрНепса1
еаг1Н, /. Маг. Яез., 3 A940), 254-267.
5. НоидН 5. 5., Оп 1Не аррНса{юп о! Нагтошс апа1у813 1о 1Не ёупагщса1
1Неогу о! 1Не Ийез. Раг1 II. Оп 1Не депега1 т1е§га1юп о! Ьар1асе'з
МсЫ еяиа1юп8. РНИ. Тгапз., А191 A898), 139—185.
6. Кепуоп К-, Ыоп-Нпеаг КоззЬу даауез. Шоойз Но1е Осеаподг. 1пз1., 5ит-
тег 51ис1у Ргодгат т ОеорНуз. Р1и1A Оупат1сз. 51ис1еп1 1ес1игез,
V. II, 1964, рр. 69—83.
1Н М
, , рр
7. Ьопвие1-Н1дд1пз М. 5., Р1апе1агу даауез оп а го1а11пд зрНеге.
Ргос. Цоу. Зое, А 279 A964), 446—473.
Резонансное взаимодействие планетарных волн 187
8. Ьо п д и е I • Н I д г1 п з М. 5., Р1апе1агу даауез оп а го1а1шд зрНеге, II,
Ргос. Яоу. Зое, А284 A965), 40—54.
9. Ьогепг Е. N.. Мах1тит 81тр1Шса1юп оГ Ше ёупагшса1 е^иа^^оп8, Те1-
1из, 12 A960), 243—254.
10. Маг§и1ез М., ЬиПЬедаедипдеп т етег гоИегепёеп ЗрНагоМзсНак
(II ТеП), ЗЬег. Акай. УЫз. Ч/1еп. Ма1Н. N01. К1., 102 A893), 11—56.
И. РесПозку Л., 5рес1га1 сопз^егаНопз 1П 1*о-сИтеп51опа1 1псотрге551Ые
По*, ТеНиз, 14 A962), 125-132.
12. Р 1а1гтап О. Ш., ТНе зрес1га1 Гогт о! 1Не уог^сИу е^иа^^оп, /. Ме1еог.,
17 A960), 635—644.
13. Р 1а 1г та п О. \У., ТНе апа1уИса1 Aупат1С5 о! 1Не зрес1га1 уогИсЛу е^иа-
Поп, /. АШоз. За., 19 A962), 313—328.
14. КоззЪу С. С, Ке1а11оп Ье1*ееп уаг1а1юпз 1П 1Не т1епзИу о! 1Ье гопа1
С1гси1а1юп о! 1Не а1тозрНеге апй 1Не (Нзр1асетеп1 о! 1Не зетКрегта-
пеп! сеп1егз о! ас11оп, /. Маг. Кез., 2 A939), 38—55.
15. ЗПЬегтап I., Р1апе1агу даауез т 1Не а1тозрНеге., /. Ме(еог., 11 A954),
27—34.
16. 51егп М. Е., Ыоп-Гтеаг т1егасИоп о! р1апе1агу даауез, Шоойз Но1е Осе-
апо§г. 1пз1. Соп1г1Ь., № 1063, 1961.
17. ТНогре 5. А., Оп даауе 1п1егас1юпз т а з1га1ШеA ПиШ, /. Р1иШ МесН.,
24 A966), 737—751.
18. Ш 11 п - N 1 е 1 з е п А., Э г а к е М., Ап оЬзегуаИопа1 з1иAу о! ктеИс епегцу
сопуегзюпз 1П 1Не а1тозрЬеге, Моп. УГеаШег %еъ., 94 A966), 221—230.
Обсуждение статьи М. С. Лонге-Хиггинса и А. Э. Гилла
К. КЕНИОН
В связи с обсуждением Лонге-Хиггинсом и Гиллом моих
более ранних вычислений [5] может оказаться интересным крат-
кратко рассмотреть пример нелинейного переноса энергии в непре-
непрерывном спектре бездивергентных волн Россби и провести неко-
некоторое сравнение с измерениями в атмосфере. Мною была
выдвинута гипотеза, что слабый нелинейный механизм резо-
резонансного переноса энергии, рассматриваемый, например, Хас-
сельманом [4] для случайного поля гравитационных волн, играет
существенную роль в энергетическом балансе длинных волн
(длина волны 5000 км), которые наилучшим образом прояв-
проявляются в средних широтах в верхних слоях атмосферы (поверх-
(поверхность 500 миллибар).
Упрощенная картина этих длинных атмосферных волн об-
обсуждалась Россби [7], который описал, как происходит нараста-
нарастание волны с изменением ее наклона между 0 и 1, а затем ослаб-
ослабление (иногда заканчивающееся переходом в циклон) в интер-
интервале времени от 3 до 6 недель. Эти волны, вероятно, зарождают-
зарождаются под влиянием бароклинной неустойчивости [1, 6] и затем рас-
растут до тех пор, пока не станет существенной нелинейность.
Модель, на которой основаны вычисления, рассматривалась
Кенионом [5]. Эта модель описывает только взаимодействие
между волнами и непригодна для рассмотрения взаимодействия
волн с потоками, поскольку основные уравнения относятся к
возмущениям относительно состояния покоя, а также поскольку
коэффициент переноса энергии обращается в нуль для зональ-
зонального течения.
На рис. 1 и 2 показаны вычисленные линии равной величины
скорости переноса энергии, соответствующие двум различным
начальным энергетическим спектрам. Первый рисунок относится
к случаю изотропного начального энергетического спектра, со-
сосредоточенного в узкой области вблизи волнового числа 5 на
широте 47,5° (Я = Яо соз 47,5°, Яо— радиус Земли). Начальный
спектр, соответствующий рис. 2, содержит размазывающий мно-
Север
Запад
а
О кК
Р и с. I.
а-начальный изотропный спектр Р; линии равной величины \ОПР (кмМсутки^); б —пере-
—перенос энергии, 0Р101, линии равной величины 10г-1дР1д1 (км
Запад
Рис. 2.
о - начальный спектр Р; размазывающий множитель соз'Л; линии равиой величины
ИГ1? (км31сутки2): б - перенос энергии ФР/Ф1; линии равной величины МГ7дГ1д1 {км31сутки$)\
Обсуждение статьи М. С. Лонге-Хиггинса и А. Э. Гилла 191
житель созМ, где А отсчитывается по часовой стрелке от за-
западной оси. Полная начальная энергия в каждом случае
соответствует вычисленному значению [2] для волнового числа 5
при 47,5° северной широты, исходя из 500 миллибарных карт,
взятых из опубликованных Бюро погоды США за период с
21 октября по 30 ноября 1950 г. (см. рис. 3).
20
10
10
Р[и с. 3. Спектр зональной кинетической энергии на 47,5° северной широты [2].
Нижняя часть каждой колонки представляет собой вклад от восточно-западных ком-
компонент скорости ветра, верхняя — от северо-южных компонент.
Из рис. 1 видно, что энергия переносится от волн с вол-
волновыми векторами западного направления к волнам с волно-
волновыми векторами, имеющими более северное или южное на-
направления. Абсолютная величина волновых векторов при этом
та же самая, что и для начального спектра. Диаграмма Фейн-
мана для доминирующих взаимодействий, связанная с этим
эффектом, показана на рис. 4 (см. [4]). Временной масштаб
(Р1дР1д1) для этого взаимодействия составляет около 10 суток,
что сравнимо с периодом волны G,4 суток для волн, распро-
распространяющихся на запад). Таким образом, уже для использован-
использованного начального спектра плотности энергии очень важна не-
нелинейность.
На рис. 3 показано измеренное распределение кинетической.
Энергии для зональных волновых чисел, от I до Ш> взятых из
192 К. Кенион
работы [2]. Верхние части каждой колонки представляют собой
вклады от компонент скорости север — юг, а нижние части —
от компонент восток — запад. Видны два существенных пика;
один для зонального волнового числа 5, а другой для зонального
волнового числа 3. Очевидно, что для меньших зональных вол-
волновых чисел A, 2, 3) движение происходит в основном с запада
на восток. Это может вызываться волнами с волновыми векто-
векторами, направленными на север или на юг и имеющими большую
абсолютную величину D, 5, 6).
N
Рис. 4.
Диаграмма Фейнмана для доминирующего взаимодействия,
приводящего к распределению переноса энергии, показанному на
рнс. 1 и 2.
Как видно из рис. 1, нелинейный перенос энергии является
одним из возможных механизмов, объясняющих возникновение
бегущих волн в северном (южном) направлении за счет волн,
бегущих на запад; таким образом, этим механизмом можно
объяснить вторичный пик на рис. 3. Из рис. 2 видно, что ре-
результат остается приблизительно тем же самым, если началь-
начальный спектр содержит размазывающий множитель.
Нелинейный перенос энергии между волнами Россби может
также иметь важное значение в океане, когда наклон волн
сравним с наблюдаемым в атмосфере.
ЛИТЕРАТУРА
1. С Н а г п е у Л., Оп {Не депега1 агси1аЫоп оГ {Не а(то$рНеге, 1 Не а1то$рНеге
апй веа т ШоНоп (ТНе Ко$$Ъу Метоп'а1 Уо1ите), №!У Уогк, Коске-
ГеПег 1п$Ши{е Рге$$, 1959.
2. Е 11 а 8 е п Е., А ${иAу о! 1оп§ а{то$рЬепс *ауе$ оп {Не Ъа$1$ о! гопа1 Ьаг-
тот'с апа1у$1$, Тепиз, 10 A958), 206—215.
3. На$$е1тапп К., Оп {Не поп-1теаг епегду {гап$Гег щ а егауМ
8рес{гит, /. РШШ МесН., 12 A961), 481— 500.
Обсуждение статьи М. С. Лонге-Хиггинса и А. Э. Гилла 193
4. Н а 8 8 е 1 т а п п К-, Реуптап (Надгатв апй т{егас1юп ги1ез о{
всаПеппд ргосе$$е$, №. Сеоркуз., 4 A966), 1—32.
5. Кепуоп К., Коп-Нпеаг КозэЬу даауез, Шоойэ Но1е Осеапод. 1п$1., 5ит-
тег 51иAу Ргодгат т ОеорЬуз, Р1иМ Оупаттз, 51ис1еп1 1ес1иге$,
V. 2, 1964, рр. 69—83.
6. М11 е 8 Л., ВагосЬшс |*П5(аЬШ(у о{ 6Ье гопа1 датй, ЛеV. ОеорНув., 2 A964),
155—177.
7. Ко$$Ъу С, Сиггеп1 ргоЫет$ т те1еого1оду, ТЬе а1то$рЬеге апй $еа т
тоггоп (ТЬе Ко$$Ъу Метог1а1 Уо1ите), N6* Уогк, КоскеГеИег 1п$и-
1и1е Рге88, 1959.
Заключительные замечания
М. ДЖ. ЛАЙТХИЛЛ
Это была самая интересная дискуссия, которую можно себе
представить. Будучи изданной, она явится, как я надеюсь, сочи-
сочинением значительной, непреходящей ценности, в особенности
благодаря тому, что ее участники не только дали проницатель-
проницательный и всесторонний обзор своей области, но и тщательно про-
проанализировали связи между отдельными областями. Были изло-
изложены методы анализа нелинейного развития волн с дисперсией,
кажущиеся очень различными. Хотя рассмотренные методы
имеют разные области применения, существуют интервалы пере-
перекрытия между этими областями; участники дискуссии прило-
приложили усилия, чтобы показать, что в таких интервалах эти ме-
методы дают одинаковые результаты.
В частности, связь между вариационным методом Уизема,
анализом устойчивости Бенджамена, методом взаимодействия
мод волновых колебаний Филлипса и Лонге-Хиггинса и работой
Хассельмана по случайным волновым полям стала гораздо
яснее, так что достижения последних шести лет начинают обра-
образовывать связную картину. Остаются некоторые неясные во-
вопросы и много нерешенных задач, но сопоставления существую-
существующих теорий с экспериментом дают настолько обнадеживающие
результаты, что, вероятно, многие исследователи решатся на
дальнейшие разработки в ближайшем будущем.
Настоящий обзор состояния знаний в рассматриваемой об-
области представляет уникальную ценность не только для тех,
кто уже в ней работает, но также и для тех, кого эта перспек-
перспективная область механики увлечет своими интересными возмож-
возможностями. Я чрезвычайно признателен всем, кто способствовал
тому, чтобы эта дискуссия состоялась.
Нелинейная теория установившегося течения
в открытом канале вдоль твердой поверхности,
имеющей форму конечной группы волн0
М. С. ХОУВ
В этой статье подробно рассматривается приложение теории Уизема рас-
распространения волн конечной амплитуды для случая установившегося течения
воды в открытом канале бесконечной глубины с медленно волнообразно из-
изменяющейся стенкой. Для построения волновой картины на свободной поверх-
поверхности воды применен численный метод, впервые использованный Гарабедяном
и Либерштейном [2] при решении «устойчиво поставленной» задачи Койш для
эллиптического уравнения. Наблюдающееся в решении появление «скачка»
обсуждается с точки зрения ранее полученных аналитических и эксперимен-
экспериментальных результатов.
1. Введение
Общая теория дисперсии цугов медленно меняющихся не-
нелинейных волн была предложена Уиземом [7, 8]. Она основана
прежде всего на допущении, что цуги волн локально представ-
представляют собой однородные решения уравнений движения, поль-
пользуясь которыми можно вычислить средний лагранжиан через
волновые параметры. Уравнения, описывающие медленные из-
изменения этих параметров, выводятся затем из принципа Гамиль-
Гамильтона, т. е. из требования стационарности интеграла по времени
от лагранжиана всей системы,
Лайтхилл [5, 6] детально исследовал приложение этой тео-
теории к волнам умеренной амплитуды на глубокой воде (когда
определенные «псевдочастоты» отсутствуют); в частности, он
рассмотрел следующие эффекты дисперсии в группе волн ко-
конечной амплитуды: A) большое размазывание по частотам и
B) существенное изменение амплитуды при почти постоянных
волновых числах. В его второй работе получена полиномиаль-
полиномиальная аппроксимация среднего лагранжиана для глубокой воды,
справедливая при всех амплитудах. Уизем [9] рассмотрел одно-
одномерное распространение волн конечной амплитуды для случая
конечной глубины. Оба автора сообщают о хорошем согласова-
согласовании их аналитических результатов с аналитическими и экспери-
экспериментальными результатами Бенджамена и Фейра [1], получен-
') Н о V е М. 5,, ЫопПпеаг {пеогу о{ ореп-сНаппе1 ${еаAу Пом ра${ а
8оНA $игГасе оГ ПпИе-\Уауе-§гоир $паре, /. РЫМ МесН., 30 A967), 497—512.
196 М. С. Хоув
ными при изучении явления неустойчивости волн на глубокой
воде.
Общий обзор состояния всей области был дан в материалах
недавнего заседания Королевского общества (см. предыдущие
статьи настоящего сборника) [6]. На стр. 51 сборника пред-
предварительно обсуждаются приложения теории Уизема к волнам,
стационарным в однородном потоке. Более подробно это на*
правление обсуждается в настоящей работе, возникшей из по-
попытки применить теорию Уизема к задаче о корабельных вол-
волнах. По отношению к равномерно движущемуся кораблю вол-
волновая картина неподвижна и соответственно экспериментальная
проверка теоретических предсказаний нелинейных эффектов
должна быть легче, чем в ранее рассмотренных случаях неуста-
неустановившихся движений.
Теорию корабельных волн впервые рассматривал Кельвин,
установивший, что в общем случае волновая картина содержит
два семейства волн: 1) поперечные волны, которые следуют за
кораблем в кильватере и имеют тенденцию преобладать при
малых числах Фруда, и 2) система боковых или расходящихся
волн, существенных при больших числах Фруда. В целом боль-
больше внимания уделялось поперечным волнам, поэтому теперь,
по-видимому, больший интерес представляет изучение той части
кельвиновского решения, которая отвечает боковым волнам,
создаваемым, скажем, быстроходным катером. Хотя нелинейный
анализ волн, создаваемых кораблем, движущимся при больших
числах Фруда, был бы очень ценным, он представляется еще
достаточно трудным для практического осуществления. В связи
с этим здесь рассматривается несколько более простая задача,
выбранная в качестве возможного введения к задаче о волнах,
возбуждаемых кораблем.
Трудность, возникающая в последнем случае, заключается
в том, что энергия волн, возбуждаемых кораблем, стремится
размазаться по большой области пространства волновых чисел,
так что вблизи корабля, вообще говоря, плавно изменяющаяся
волновая картина невозможна. Поэтому нельзя задать соответ-
соответствующие гладкие граничные условия, такие, которые необхо-
необходимы для теоретического предсказания развития волн в бу-
будущем. Более легкая задача заключается в рассмотрении
установившегося течения в открытом канале вдоль медленно
волнообразно изменяющейся стенки с постоянной длиной волны.
В этом случае энергия волнового движения приходится на отно-
относительно узкую полосу волновых чисел.
Эта задача и рассматривается ниже. Слой воды предпола*
гается бесконечно глубоким, так что может быть использована
соответствующим образом видоизмененная формула Лайтхилла
Нелинейная теория' установившегося течения в открытом канале 197
для среднего лагранжиана. Хотя зависимости от времени в
этом случае нет, дисперсионное уравнение оказывается все же
столь сложным, что на данном этапе может быть предложено
только численное его решение.
2. Вывод дисперсионного уравнения
В декартовых координатах (х, у, г) с единичными векторами
по осям (\, '}, к) уравнение поверхности стенки записывается
в виде у = {(х). Вода в невозмущенном состоянии занимает
область —оо < х < оо, {(х)<у<оо, —оо < г < 0. Средняя
скорость воды принимается равной 1Л.
Лайтхилл [6] предложил некоторую аппроксимацию плотно-
плотности лагранжиана 3? для волн на глубокой воде в зависимости
от частоты с» и волнового числа я. Согласно Лайтхиллу,
З'х^/рд представляет собой функцию только от О = ыг/§х,
где р — плотность воды, причем формула
^ = -^{(п-^-(а-1у-(п-1у} A)
справедлива в хорошем приближении в интервале от 0=1
(волны бесконечно малой амплитуды) до О = 1,20 (волны мак-
максимальной еысоты).
Выражение A) записано в системе координат, фиксирован-
фиксированной относительно невозмущенного движения воды. Чтобы при-
привести его к виду, соответствующему установившемуся течению со
скоростью II вдоль волнообразной стенки, заметим, что если V—■
фазовая скорость в точке с волноеым вектором и = (/, т), то
частота со равна
со = V • и.
В системе координат, связанной со стенкой, частота дается вы-
выражением (СИ + \)- и, обращение которого в нуль, приводит
к равенству
со = - Ш. B)
Требуемый вид лагранжиана получается из A) заменой со на
— (Л и модуля волнового числа х на (Р + пг2)'/'.
Для получения дисперсионного уравнения волнового поля
вводится фазовая функция в(х, у) следующим образом:
/ = 9,, ,п = в„, C)
где индексами обозначены частные производные. Линии уровня
(}(х, у) = сопз1 описывают положение гребней и впадин волно-
волнового поля на плоскости (х,у). Таким образом, средний лагран-
198 М. С. Хоув
жиан 9? выражается через частные производные от 0, а при-
применяемый в упрощенном виде принцип Гамильтона дает
б
Вариационное исчисление приводит к уравнению Эйлера
д (д&\ ■ д (д^
дх \ двх Г ду \д%
или
которое представляет собой квазилинейное уравнение в частных
производных относительно 8 с коэффициентами, зависящими
только от первых производных 0Х и 8„.
Удобно перейти к безразмерным переменным X, У, Ь, М,
определенным посредством соотношений
—
— Ц2 > г — ц2 > ^ — § > т —
после чего уравнение D) принимает вид
а (I, М) Вхх + 2Ь (Ь, М) ВХУ + с (Ь, М) 8КК = 0. F)
Коэффициенты этого уравнения находятся с использованием A)
и равны соответственно
а(Ь, М) = {(-2110- 1018М2 + 2416Л12-5616М4 + 616 +
2 - 2Л16) + G)
Ь(Ь, М) = {(- 16Ь7М + 4817М3 -Ь 8Ь5М + 16/АИ3 + 1613М3 +
+ 3213М5 -Ь 8ЬМ5) +
+ [(Ь2 + М2) A5Ь7М - 9Ь5М - 90Ь5М3 - ЗЬ3М3 + 61М5)]'^}, (8)
с (Ь, М) = {F110+818-4218М2-216-3216М2 + 214М2 - 4014М4 +
6М6) + [(I2 + М2) (- 1518 + 316 + 9016М2 -
'Ь}. (9)
Граничные условия, определяющие решение дисперсионного
уравнения, сводятся к заданию значений Ь, М, 0 на некоторой
кривой Г в плоскости (X, У), поэтому важно знать тип уравне-
уравнения F) в окрестности этой начальной кривой. Он определяется
знаком дискриминанта
Д=Ь2-ас. A0)
Нелинейная теория установившегося течения в открытом канале 199
Уравнение будет эллиптическим при Д < 0, параболическим при
Д = 0 и гиперболическим при Д > 0. На рис. 1 сплошными кри-
кривыми изображены геометрические места точек, в которых /\
4,00
м
1,00 -
0,50 -
Рис. 1
Характер дисперсии группы воли определяется размазываиием эиергии
е^ составляющих в (Ь, М)-простраистве между кривыми, соответству-
соответствующими линейной теории и теории воли максимальной амплитуды.
В областях, помеченных знаками —, +, дисперсия описывается соот-
соответственно эллиптическим и гиперболическим уравнениями. Отрезок
ЕР отвечает волновым числам, соответствующим начальным даи-
иым, которые используются в приводимых вычислениях.
обращается в нуль. Величина М построена в зависимости от
величины Ь, на линии ЛВС они связаны уравнением
12 =
У + М\ A1)
которое получается в приближении линейной теории. Участок
кривой ВО отделяет две области, обозначенные знаками -ь
200 М С. Хоув
и —, где дискриминант Д соответственно положителен и отри-
отрицателен.
В положительной области характеристики дисперсионного
уравнения действительны и различны, что же касается реше-
решения 0, то можно ожидать характерное расщепление групповой
скорости, отмеченное Уиземом [7]. В отрицательной области дей-
действительных характеристик нет. Волнам максимальной ампли-
амплитуды соответствует штриховая кривая, для которой, как было
показано Лайтхиллом [6],
12= 1,20 У^ + М2. A2)
Реальным волнам соответствует область между кривыми, отве-
отвечающими линейной теории и волнам максимальной амплитуды.
Точке В на рис. 1 соответствует Ь = ]Л/2, М = -^ У. Эта
точка важна в связи с тем, что, например, в линейной теории
корабельных волн она является точкой в пространстве волно-
волновых чисел, соответствующей известному заострению на кель-
виновской волновой картине; участку АВ отвечают поперечные
волны, а участку ВС — боковые. Таким образом, для корабель-
корабельных волн умеренной амплитуды боковые волны описываются
эллиптическим уравнением, а поперечные — гиперболическим.
В данной работе вычисления относятся к системе боковых волн.
При этом корабль заменяется волнообразной стенкой. Эта стен-
стенка создает волновую картину, обладающую тем свойством, что
для нее вблизи стенки точка (Ь, М) находится существенно вну-
внутри области эллиптичности.
3. Граничные условия
Основная идея теории Уизема заключается в том, что сред-
средний лагранжиан сначала вычисляется для идеально периодиче-
периодической формы волны, затем в пределах длины волны допускаются
плавные изменения. Для рассматриваемой задачи граничные
условия могут быть реализованы совершенно аналогичным об-
образом, если сначала предположить амплитуду волнообразной
формы стенки постоянной. Случай, когда форма стенки изо-
изображается группой волн, получается из упомянутого, если до-
допустить медленные изменения амплитуды в пределах длины
волны стенки.
Помимо требования медленного изменения волновых пара-
параметров, теория Уизема требует также, чтобы они были одно-
однозначными, или по крайней мере, если два или больше семейств
волн наложились друг на друга, — чтобы энергия, связанная с
Нелинейная теория установившегося течения в открытом канале 201
одним из них, значительно превосходила энергии остальных.
В скязи с этим невозможно получить соответствующие гранич-
граничные условия непосредственно на стенке. Следует удовлетво-
удовлетвориться их записью вблизи стенки, ио все же на достаточном
удалении от нее, чтобы пространственные изменения были не-
несущественными. В случае синусоидальной стенки умеренной
амплитуды можно убедиться, что это условие удовлетворительно
выполняется, если за начальную линию Г принять прямую У=1,
параллельную стенке.
Известно [6], что по крайней мере для умеренных ампли-
амплитуд, амплитуда волны с данным продольным волновым чис-
числом /- изменяется с изменением расстояния У от стенки так же,
как и в линейной теории, хотя при этом удовлетворяется урав-
уравнение
(дХ\ _(дМ_\
\дГк-[д1)
Если величина У не больше одной-двух длин волн, то суще-
существенных отклонений от приближения геометрической оптики
не возникает и энергия поступает от стенки вдоль даваемых
линейной теорией линий групповой скорости, определяемых урав-
уравнением
X — %(Ь) У = сопз!, A4)
где %(Ь) = дМ/дЬ, а Ь и М связаны соотношением A1). Пусть,
в частном случае, уравнение стенки имеет вид
!{Х) = А0со*Ш, A5)
где Ао и № — соответственно безразмерные амплитуда и вол-
волновое число стенки. В этом случае будет показано, что в при-
приближении линейной теории поднятие С вблизи стенки может
быть записано в форме
IV/
A6)
Множитель 2Л0И7/угЦ72— 1 представляет собой амплитуду вол-
волны и принимается за первый коэффициент в разложении в ряд
Фурье формы волны.
Если теперь допустить медленное изменение Ао в зависимо-
зависимости от X, положив Ао = А0(Х), то можно ожидать, что вблизи
стенки влияние этого изменения будет передаваться вдоль линиГт
A7)
Таким образом, на начальной линии Г, расположенной доста-
достаточно близко от стенки, чтобы можно было пренебречь нелн
202 М. С. Хоув
нейным эффектом накопления, соответствующая амплитуда вол-
волны дается выражением
Здесь А = Ь§1И2, 6 — истинная амплитуда.
Чтобы полностью определить волновой вектор (Ь, М) и
фазу 0 на линии Г для реальной волны конечной амплитуды,
должно быть использовано уравнение совместности, связываю-
связывающее /, т и б [3]:
со2 = е-х A + х2б2 +1- х4б4 + ...). A9)
Здесь, как и выше, а>2 = *У2/2, и = )//2 + т2. Продольное вол-
волновое число Ь принимается равным ИР, т. е. продольному вол-
волновому числу вынуждающего механизма, а амплитуда б дается
формулой A8). Число М при этом вычисляется из A9) путем
обращения ряда и разложения М по аргументам А и Ь. Легко
показать, что
М = М(Ь, А) =
{1 (^)(АьГ ^(! ^) х
B0)
где знак минус указывает на распространение волны в обрат-
обратную сторону.
Следовательно, поскольку, согласно B0), величина М яв-
является медленно изменяющейся функцией от X, граничные усло-
условия для дисперсионного уравнения на линии У — 1 могут быть
сформулированы в виде
1=«7, М = М(\Р, А), в^ЬХ + МУ. B1)
В следующем параграфе рассматривается решение в прибли-
приближении линейной теории.
4. Решение в приближении линейной теории
Волновую картину, создаваемую стенкой
У = НХ), B2)
где }(Х)—мало, можно проанализировать путем введения по-
потенциала ($(Х,У,%), такого, что безразмерная скорость тече-
течения V выражается в виде
V = 1 + Уф. B3)
Нелинейная теория установившегося течения в открытом-канале 203
Согласно теории волн бесконечно малой амплитуды, потенциал
Ф удовлетворяет уравнению
дХ2 ' дУ2 ' д22 '
-оо<Х<оо, 0<У<оо, -о
где 2 = г@/112. Помимо обычного условия на бесконечности, по-
потенциал ф еще удовлетворяет условию
и условиям
д ас • B6>
~дг~~дХ=0
или
~д2 ~^~ "М2* = ® ПРИ ^ = 0- B7)
Здесь ^(Х, У) представляет собой безразмерное поднятие по-
поверхности.
Поставленная задача легко решается при помощи двойного
преобразования Фурье
сю сю
, М; 2)= ' { ах (у(Х, У, 2) соз {МУ) е~11Х йУ,
— сю О
B8)
причем ||з, как нетрудно показать, удовлетворяет уравнению
где
сю ■
C0)
C1)
дг
при 2-> —0. Решение, ограниченное при 2->оо, легко нахо-
находится. При 2 = 0 оно принимает вид
204 М. С. Хоув
Потенциал ф находится по теореме обращения преобразования
Фурье; при 7. = 0 он равен
с0&щу)
C3)
При вычислении двойного интеграла C3) следует принять во
внимание условие излучения, заключающееся в том, что при
1К
* Полюс
Рис. 2.
Контур, используемый для вычисления интеграла /,.
Полюс находится внутри контура, если Ь < 0, и вне
контура, если Ь > 0.
X = —оо нет никаких приходящих и уходящих волн. Для этого
рассмотрим интеграл
о
в (му) ам
2 ^ к2-
ешгам
=/,+/,.
//.2 + М2
Условие излучения будет автоматически удовлетворено, если Ь
заменить на (/- — 1'е), где е — малая положительная постоян-
постоянная, вычислить интегралы /1 и /2, а затем устремить е к нулю.
Прежде всего заметим, что оба подинтегральных выражения
имеют полюсы при
М =
и точки ветвления при М = ±»Х. Чтобы вычислить /,, рассмот-
рассмотрим интеграл по контуру, показанному на рис. 2 и состоящему
Нелинейная теория установившегося течения в открытом канале 205
из отрезка действительной оси от М = 0 до К, дуги окружно-
окружности С от М = К до г/? и отрезка мнимой оси от М = Щ до 0
с обходом точки ветвления А по малой полуокружности. При
замене Ь на (Ь — 1е) в подинтегральном выражении полюс пе-
перемещается с положительной действительной полуоси внутрь
указанного контура, если Ь < 0, и в нижнюю полуплоскость,
если Ь> 0. Следовательно, после устремления е к нулю вклад
полюса в интеграл может быть записан в виде
где я — единичная функция Хевисайда. Таким образом, при
/?—»оо имеем
А (°О 4
11 = Н(-Ь)Р(Ь)+ /+ / =
6 А
,1_ 7 е~хгаХ . .
2 .' и.2 - (/а.2-/.2! /я.2 - и'
Аналогично показывается, что
/, = НЩ Р(Ь) - I I
2 .1
, _1_ 7 е~хг (IX ,„,-4
Объединяя интегралы /, и /2, находим окончательно
7 ехр {ИХ -
0 7
ф_ 1 ^ ^
[ г »Пи-"+«** C6)
I Ь I
при 2 = 0.
В первом приближении ДХ) представляет однородную
стенку
206 М. С. Хоув
для которой
C8)
где 6 (*) —дельта-функция Дирака. Подстановка C8) в C6)
с использованием B6) приводит к выражению для поднятия
свободной поверхности
, 2А0У" 7 со5^Х)еа1 , .
Здесь второй член представляет собой возмущение, существен-
существенное лишь в непосредственной близости от стенки. Легко пока-
показать, что ошибка, связанная с пренебрежением этим членом,
меньше, чем
В качестве линии Г принимается прямая У — 1. Относительная
ошибка на линии Г составляет поэтому менее 4% ив дальней-
дальнейшем с развитием решения быстро убывает (см. рис. 4). Без-
Безразмерная амплитуда А, таким образом, принимает на линии
Г вид, предусмотренный уравнением A8), а поскольку линии
групповой скорости определяются уравнением
D0)
приближение геометрической оптики для амплитуды в точке
(X, У) окончательно принимает вид
Именно эта величина использовалась в условиях B1).
5. Решение дисперсионного уравнения
Теперь следует рассмотреть задачу для дисперсионного
уравнения
а (Ь, М)вХх+2Ь (Ь, М) вХу + с(Ь, М) вуу = 0. D2)
Требуется найти решение этого уравнения в полуплоскости
У>1, причем граничные условия (при У=Л), как было пока-
показано, имеют вид
Нелинейная теорий установившегося течения 6 открытом канале 207
где Л определяется выражением D1). Поскольку уравнение
D2) вблизи стенки должно быть эллиптическим, величину №
следует выбрать внутри области эллиптичности в пространстве
волновых чисел. В приводимых ниже вычислениях положено
Г = 1,8.
Следует ожидать, что значения Ь в искомом решении будут
того же порядка величины, что же касается М, то, согласно A1),
М ~ 2,7. В этих условиях трудно построить эффективное при-
приближение для коэффициентов а, Ь, с, которое позволило бы по-
получить какие-либо аналитические решения. Правильнее сохра-
сохранить все члены в выражениях для этих коэффициентов и при-
применить излагаемый ниже численный метод решения.
Задача при этом заключается в том, чтобы решить эллипти-
эллиптическое уравнение D2) при граничных условиях D3) типа Коши.
В классическом смысле это представляет собой «некорректную
постановку» задачи. Однако адамаровская концепция коррект-
корректно поставленной начальной задачи, а именно требование устой-
устойчивости решения по отношению к любым возмущениям гра-
граничного условия, не приложима к данному случаю. Здесь
все граничные условия функционально связаны, и произвольное
независимое возмущение поэтому не допустимо. Либерштейн [4]
обсуждал такие задачи в связи с линейными эллиптическими
уравнениями второго порядка. Он определил начальную задачу
как «устойчиво поставленную», если возмущения могут быть
заданы лишь из ограниченного класса 5 функций, для которого
решение остается устойчивым. Из дальнейшего будет видно, что
это определение можно распространить и на данный случай
квазилинейного уравнения, если потребовать, чтобы класс 5 и
тем самым также граничные условия состояли из таких дей-
действительных функций, для которых существует достаточно боль-
большая область комплексной Х-плоскости, куда они могут быть
аналитически продолжены. Отсюда следует, что начальные зна-
значения волновых параметров, а также их аналитические продол-
продолжения должны быть гладко меняющимися функциями.
Обычно граничные условия типа Коши связаны с гиперболи-
гиперболическими уравнениями, поэтому естественным путем решения яв-
является метод характеристик. В последнее время был развит
метод решения эллиптических уравнений подобным образом.
Такой метод подробно описан Гарабедяном и Либерштейном [2];
в качестве примера они рассмотрели дозвуковое течение за
отошедшей ударной волной. Краткое изложение метода приво-
приводится ниже.
Пусть через (а, Р) обозначены характеристические коорди-
координаты уравнения D2). Для эллиптического уравнения они, во-
вообще говоря, комплексны. Можно, однако, определить новую
208 М. С. Хоув
пару переменных (|, т]) посредством соотношений
которые обладают тем свойством, что действительные решения
уравнения D2) в плоскости (|, т]) соответствуют действитель-
действительным же решениям в плоскости (X, У). Разумеется, связь между
(X, У) и (|, т]) не известна заранее и должна находиться шаг
за шагом одновременно с определением величин Ь, М и 0.
В этих новых координатах решение дисперсионного уравне-
уравнения с граничными условиями D3) эквивалентно решению кано-
канонической эллиптической системы
Ц = (Ы^ + сМ^Уас -Ь2,
Мг = - {аЬп + ЬМ^Уас - Ь2,
0$ = [(Ы + сМ) Х„ - (аЬ + ЬМ)
при тех же самых граничных условиях. Эту систему уравнении
удобно записать в виде
/?{ = ЯЯ„, D5)
где /? — вектор-столбец неизвестных, а В — матрица коэффи-
коэффициентов. Поскольку любая функция характеристических коор-
координат представляет собой опять-таки характеристическую коор-
координату, существует известная свобода выбора начальной кри-
кривой V в плоскости (|, т]), вдоль которой задаются граничные
условия. В качестве нее можно взять ось т]. Далее можно счи-
считать, что вдоль у имеем Х — Р(ц), где Р — произвольная дей-
действительная аналитическая функция от ц; в данном случае
Важно теперь заметить, что если все величины X, У, Ь,
М, 0 могут рассматриваться как аналитические функции комп-
комплексного переменного, скажем т] = X + 1а, то на основании
условий Коши — Римана производную /?т1( = /?ь) в правой ча-
части D5) можно заменить на /?ОД\ Если зафиксировать к, приняв
его значение равным Яо, то каноническая система D5), которая
эллиптична в действительной плоскости (|, т)), становится ги-
гиперболической системой
Я« = (ВЦ) /?а D6)
с действительными характеристиками
| ± а = сопз!
Нелинейная теория "установившегося течения в открытом канале 209
Линия исходных данных
/7 = 2
Выходные
данные
?
е
II
1?
6
в плоскости (Е, сг). Следовательно, при условии, что для каж-
каждого л0 функции, заданные на действительной оси, могут быть
аналитически продолжены в плоскость комплексного перемен-
переменного т], чтобы получить их значения на оси о, указанную гипер-
гиперболическую систему можно решить при помощи устойчивого
процесса шаг за шагом в плоскости (|, сг). Полученное, таким
образом, решение при а = 0 сводится к решению в действитель-
действительной плоскости (Е, т]) на линии
Г1 = Хо. Чтобы полностью по-
покрыть любую часть действи-
действительной плоскости (Е, л), нуж-
нужно повторить описанную проце-
процедуру во всем диапазоне изме-
изменения ко.
Трудности, связанные с обо-
обоснованием требования, заклю-
заключающегося в том, чтобы задан-
заданные функции могли быть про-
продолжены в комплексную пло-
плоскость т], были рассмотрены
ранее [6].
В теории Уизема с самого
начала предполагается, что
волновые параметры являют-
являются гладкими функциями коор-
координат в некотором смысле. Те-
Теперь ясно, что их изменение
должно быть настолько глад-
гладким, чтобы эти функции можно было достаточно далеко продол-
продолжить в комплексную плоскость X, не встретив каких-либо осо-
особых точек. Именно это и имеет место в данной задаче.
Система D6) решается численно приближенным методом
конечных разностей. Используемая здесь схема этого метода
была предложена в упомянутой статье Гарабедяна и Либер-
штейна. Пусть Д| и \а обозначают положительные прираще-
приращения | и а; для данного Хо совокупности
D7)
представляют соответственно вектор /?(Е, сг) и матрицу ВЦ, а)
в системе D6). Тогда последнюю приближенно можно записать
в виде
'. — Кт-1, п + 5 \(Вт, п + 1 + В,
Р н с. 3.
Сетка точек, используемая для численного
решения по методу конечных разностей.
По комплексным данным, задаваемым на
оси о, находится действительное решение,
считываемое с оси 5-
т, „_,
D8)
210 М. С. Хоув
где 5 = Л|/Дсг. Легко устанавливается, что характеристические
корни матрицы В/1 равны 1, —1 и 0, поэтому можно ожидать,
что решение задачи с начальными данными для D8) будет
устойчивым при 5-^1. Ошибка, связанная с отбрасыванием
старших членов разложения при использовании D8), имеет
порядок (ДаJ. Удобно положить Д| = Да и воспользоваться сет-
сеткой точек, показанной на рис. 3, из которой потребуются только
те значения тип, сумма которых четна. Единственные исполь-
используемые в вычислениях точки, для которых а отрицательно,
встречаются при п = —\. Поскольку как /?(|,0), так и 5(|,0)
действительны, их значения в этих точках находятся по прин-
принципу отражения и даются формулами
*«.-. = *;,„ *«.-. = *;..• D9)
где Ят, ь Вт, 1 — ^исла, комплексно-сопряженные по отношению
К /?т, 1, Вт> ,.
Итак, способ вычисления сводится к следующему.
I. Вычисляются на основании начальных условий значения
/?о, п, скажем, для п = 0, 2, 4, ..., 2И.
II. При помощи D8) с заменой /?_!,„ на у(/?0, „+1 +/?0|„_,)
и 5 на (уM вычисляются /?|>п для п = 1, 3, 5, ..., 2И — 1.
III. При помощи повторных применений D8) вычисляются
остальные значения /?т, „, такие, что (т + п) четно и не пре-
превосходит 2N.
«Вещественные выходные данные» вычислений получаются
на оси | (рис. 3) в ./V точках т = 2, 4, 6, ..., 2/У. Эти выходные
данные представляют собой численные значения вектора
/? = (X, У, Ь, М, 0). При этом каждая линия х\ = ко соответствует
на плоскости (X, У), скажем, кривой С, вдоль которой вели-
величины /-, М, 0 принимают значения, даваемые соответствующими
выходными данными для /?.
6. Численное решение для волнообразной стенки
Приводимые вычисления выполнены для плавно модулиро-
модулированной стенки, описываемой уравнением
!(Х) = C/Щехр{-BХ/1аJ}со5(^Х), E0)
где 5/1У—максимальная амплитуда, а /,с — эффективный раз-
размер группы волн в масштабе длин, отнесенных к 112/§. Таким
образом, стенка характеризуется тремя безразмерными пара-
параметрами 5, Ьа и ИР, представляющими собой максимальный на-
наклон стенки, длину возмущенной части и «естественную»
Нелинейная теория установившегося течения в открытом канале 211
частоту соответственно. Расчет проведен при следующих значе-
значениях этих параметров:
5 = 0,07, 10 = 6л, «7= 1,8.
Длина волны стенки равна 2л/1,8 ^ 3,5,, так что группа волн
фактически включает семь гребней — по три с каждой стороны
от центрального максимума. Максимальный наклон мал, од-
однако, обращаясь к рис. 1, видим, что область в пространстве
волновых чисел, занятая начальными данными для этого зна-
значения 5, изображается линией ЕР, а конец Р этой линии, соот-
соответствующий максимальной амплитуде стенки, близок к границе
области эллиптичности. Это обстоятельство, по-видимому, сви-
свидетельствует о том, что стенка умеренной амплитуды может ге-
генерировать очень большие волны; оно является следствием пред-
предположения о больших значениях чисел Фруда.
Целью численных расчетов было получение картины линий
постоянной фазы 0 вблизи стенки. Для реализации этой цели
решалось (свыше сорока одного раза) дисперсионное уравне-
уравнение по описанной выше схеме в равноотстоящих точках на на-
начальной линии V — 1 от X = —10 до X = +10. Во всех случаях
число выходных точек ./V принималось равным 30, а шаг сетки
Л| = Да никогда не превышал 0,17. При помощи интерполяции
между выходными точками на кривой С определялись коорди-
координаты (X, У) точек пересечения кривой С со 100 линиями уров-
уровня 0 (от 0 = —21,0 до 0 = 18,6), а затем строились кривые по-
постоянной фазы. (
Вычисления проводились на машине 1ВМ-7090; на получе-
получение выхода для одной кривой С, включая и интерполяцию, тре-
требовалось 3,7 мин. Полный объем вычисления требует минимум
2,5 час машинного времени. За исключением области скачко-
скачкообразного изменения, о которой будет сказано ниже, схема
вычислений оказалась очень устойчивой; при утроении шага
сетки различия обнаруживались лишь в шестой значащей
цифре.
7. Обсуждение результатов
Картина линий равной фазы показана на рис. 4. Из нее
видно, что численное решение дает регулярное расположение
линий гребней волн, которые слева почти прямые, но при дви-
движении в сторону положительных значений X делаются все более
выпуклыми влево. В конце концов эта выпуклость становится
столь значительной, что переходит в самый настоящий разрыв,
соответствующий образованию некоторого типа «скачка». Дис-
Дисперсионное уравнение остается всюду эллиптическим, за ис-
исключением самого скачка, в области которого вычислительная
12
10
8
Начальная
- линия Г
8 10 12 14 16 18 20 22 2ь 26 28
-12 -Ю -8 -6
Рис. 4
Картина воли, возникающая при обтекании волиообразной стенки. ,,Скачок" развивается примерно вдоль линии групповой скорости,
начиная от точки Р, определяемой линейной теорией. Стенка изображена в увеличенном масштабе.
Нелинейная теория установившегося течения в открытом .канале 213
схема становится крайне неустойчивой. Интерпретация этих ре-
результатов основана на том, что амплитуда волны тем больше,
чем больше выпуклость. Последнее, таким образом, является
следствием дисперсии, приводящей к тому, что волны большей
амплитуды распространяются с большей фазовой скоростью.
В самом деле, легко видеть, что скачок начинается и разви-
развивается приблизительно вдоль той линии групповой скорости, да-
даваемой линейной теорией, которая проходит через точку, обозна-
обозначенную на рис. 4 буквой Р, где впервые амплитуда колебаний
стенки становится существенной. Более того, исследование чис-
численных результатов обнаруживает, что ниже этой линии волно-
волновые числа более глубоко уходят в область эллиптичности, чем
выше нее, так что амплитуда волн здесь соответственно больше.
В результате у внешних частей линий волновых гребней появ-
появляется тенденция к отставанию из-за меньшей фазовой скорости.
Это ясно видно из рисунка, причем особенно заметно уже после
развития скачка.
При пересечении скачка происходит резкое изменение на-
направления линий гребней и величины волновых чисел; в области,
удаленной от стенки, волны расположены более плотно. Экспери-
Эксперименты Фейра с одномерными неустановившимися цугами волн
показывают, что в области скачка нет ярко выраженного эффек-
эффекта турбулентного рассеяния или собирания воды: есть только
переходная область, в которой линии гребней проделывают лю-
любопытный «извив» и выходят на другую ее сторону с изменением
направления и плотности расположения. Возможно, однако, что
полученное в данной работе решение неприменимо в области
за скачком. В случае газовой динамики простой волновой под-
подход к решению посредством каустики дает неправильный резуль-
результат для ударной волны; решение в этом случае должно нахо-
находиться из условий на скачке.
Уизем [7] высказал предположение, что такое положение
могло бы иметь место для развития скачков в случае уравнения
гиперболического типа и что их изучение, вероятно, могло бы
быть проведено в рамках его теории путем введения соответ-
соответствующих условий на скачке. Лайтхилл [5, 6] предвидел появле-
появление скачков в случае уравнения эллиптического типа. Исходя из
своей трактовки указанной теории, он изучал эволюцию слабо
модулированной группы волн с примерно постоянными волновы-
волновыми числами и предсказал появление особенности в волновых
числах и амплитуде по истечении некоторого времени, скажем
(с. Он показал далее, что существует кажущийся «инкубацион-
«инкубационный период», в течение которого почти не происходит изменения
формы волны до момента ( = 0,7(с. Это можно сопоставить с
данным случаем, в котором скачок начинает крайне быстро раз-
214 М. С. Хоув
виваться из очень гладкой волновой картины. Так же как и
в лайтхилловском случае, величина волновых чисел возрастает
перед скачком и уменьшается позади него.
До сих пор экспериментальные свидетельства в пользу тео-
теории Уизема ограничивались случаями эволюции во времени и
пространстве одномерных групп волн на глубокой воде [1], в ко-
которых, однако, наблюдалась неустойчивость типа скачка. По-
Поскольку это интересное явление снова обнаружилось и именно
в данном случае, когда волновая картина стационарна и позво-
позволяет относительно просто провести измерения, представляется
желательным поставить эксперимент с волнообразной стенкой,
чтобы посмотреть, что произойдет в окрестности разрыва. Дан-
Данные такого эксперимента имели бы также большое значение для
дальнейшего изучения корабельных волн, возникающих при
больших числах Фруда.
Автору доставляет большое удовольствие выразить призна-
признательность проф. Лайтхиллу за его постоянную помощь и руко-
руководство в ходе выполнения настоящего исследования. Он хотел
бы также поблагодарить д-ра Деванатхана (Бангалор, Индия)
за полезные обсуждения, касающиеся материала данной статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. В е п ]' а т 1 п Т. В., Р е 1 г Л. Е., /. ?ЫШ Меск., 27 A967), 417.
2. СагаЪесПап Р. К., 1Л е Ъ е г 8 I е 1 п Н. М„ /. Аего 8сС, 25 A958), 109.
3. Л а м б Г., Гидродинамика, М„ 1947.
4. иеЬегз1е'т Н. М., МКС ТесЬшса1 Зигшпагу Кер1. № 81, МасП$оп, Мз-
сопзт, 1959.
5. иеНЬШ М. X, /. /. М. А., I A965), 269.
6. Ь 1 § Ь IЬ 111 М. Л., см. стр. 43 настоящего сборника.
7. \УЬНЬат О. В., Рте. Коу. 5ос, А 283 A965), 238.
8. V Ь 11 Ь а т О. В., /. ПиЫ Меск., 22 A965), 273.
9. ШНИНатСВ,/. РШй Меск., 27 A967), 399.
Скачки фазы
М. С. Х0УВ1)
В предыдущей статье [3] рассматривалась нелинейная теория установив-
установившегося течения жидкости в открытом канале большой глубины вдоль слегка
модулированной волнообразной стенки. Волновая картина на свободной по-
поверхности воды была получена в результате решения устойчиво поставлен-
поставленной задачи Коши для эллиптического уравнения. Основной характерной чер-
чертой решения было появление в нем скачка, при переходе через который про-
происходит мгновенное изменение фазы. Подобные скачки фазы могут иметь
место для широкого круга близких задач, однако преимущество указанной
постановки заключается в том, что она открывает удобные возможности экс-
экспериментального исследования. Настоящая статья является введением к более
общей задаче о скачках фазы. Для определения возможного расположения
скачка на свободной поверхности воды в этой статье вместе с полученным ра-
ранее решением используется закон сохранения энергии. Рассматривается так-
также возможный вид свободной поверхности вблизи скачка фазы (см. рис. 4).
В этой области ширина волновых впадин резко уменьшается по мере при-
приближения к скачку. Предложен приближенный метод определения линии, при
переходе через которую фаза изменяется скачком; предложенный метод не
связан с нахождением решения задачи Коши.
1, Введение
В предыдущей статье [3] была рассмотрена нелинейная тео-
теория установившегося течения жидкости большой глубины вдоль
слабо модулированной волнообразной стенки. При этом исполь-
использовалась теория Уизема [6, 7], описывающая дисперсию плавно
изменяющихся цугов волн большой амплитуды. Метод основан
на предположении, что локально цуг волн хорошо аппроксими-
аппроксимируется идеально периодическим решением полных нелинейных
уравнений движения и последующим вычислением среднего ла-
лагранжиана через волновые параметры. Дисперсионное уравне-
уравнение, описывающее медленные изменения этих параметров, полу-
получается затем применением принципа Гамильтона.
Предыдущие вычисления дисперсии групп волн большой амп-
амплитуды [4, 5, 8] показали, что, в частном случае, когда диспер-
дисперсионное уравнение определяется эллиптической системой,
возникает определенная неустойчивость в решении задач с на-
начальными данными. Экспериментальное подтверждение такой
') Нрдае М. 5., РЬазе |итрз, /. Р1иЦ МесН,, 3? A968), 779—789-
216 М. С. Хоув
неустойчивости для случая одномерной группы волн конечной
амплитуды на глубокой воде, эволюционирующей во времени и
пространстве, было получено Бенджаменом и Фейром [1]. Од-
Однако из-за экспериментальных трудностей, возникающих в связи
с необходимостью точного наблюдения движущихся групп волн,
представляется желательным выполнить нелинейный расчет для
случая, когда волновая картина стационарна. Такую установив-
установившуюся волновую картину можно в принципе наблюдать с ко-
корабля, движущегося с постоянной скоростью относительно не-
неподвижной ^ воды; однако из-за трудностей, обсуждавшихся в
предыдущей статье [3], неясно пока, как применить теорию Уизе-
ма к оощеи задаче о волнах, возбуждаемых кораблем. Как уже
было несколько подробнее разъяснено в предыдущей статье,
волновое поле на свободной поверхности воды для стенки уме-
умеренной амплитуды описывается дисперсионным уравнением эл-
эллиптического типа при условии, что длина волны стенки не
слишком велика.
Результат вычисления в предыдущей статье показан на
рис. 1, представляющем собой карту линий постоянной фазы
волн на свободной поверхности воды (соответствующих гребням
и впадинам). Ось х проведена слева направо вдоль средней
линии стенки; за начало отсчета принята точка, в которой
амплитуда колебаний стенки максимальна; за положительное
направление оси у принято направление в глубь жидкости от
стенки. Все расстояния и длины волн измеряются в долях вели-
величины V /д, принятой за единицу длины; здесь [/ — скорость не-
невозмущенного течения, направленного в сторону положительной
ЯСК *• "ЛитУда колебаний стенки на рисунке увеличена в
о раз. Изображенная волновая картина была получена в резуль-
результате решения соответствующей задачи с начальными данными,
в которых вдоль линии у = 1 были заданы волновое число х и
фаза 8.
Из рисунка видно, что на плоскости (х, у) имеется область,
в которой решение не определено. В дальнейшем будем гово-
говорить о ней, как об области неопределенности. В предыдущей
статье было отмечено, что появление области неопределенности
указывает на явление типа ударной волны, при переходе через
которую волновое число и фаза претерпевают разрыв непре-
непрерывности, а направление гребней волн и взаимное расстояние
между ними внезапно изменяются. Ударная волна, или «скачок
фазы», образуется в основном как результат амплитудной дис-
дисперсии, выражающейся в том, что волны большей амплитуды
обладают повышенными фазовыми скоростями.
Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы завершить ре-
решение задачи, указав способ нахождения линии разрыва
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Рис. 1.
Волновая картина на свободной .поверхности, возникающая при стационарном течении си скоростью V вдоль волнообразное стенки.
218 М. С. Хоуе
с использованием по обе ее стороны полученного решения, изо-
изображенного на рис. 1. Этот способ излагается в § 3 и основан
на применении принципа сохранения энергии. Оказывается, что
из всех возможных линий разрыва только одна обеспечивает
выполнение этого условия.
Сопоставление с аналогичным случаем в газовой динамике
указывает на возможность ошибки при использовании найден-
найденного решения за разрывом, т. е. в данном случае справа от него.
Такого рода ошибки представляют собой в газовой динамике
эффекты третьего порядка малости, и ими часто можно прене-
пренебречь при рассмотрении слабых ударных волн; однако для силь-
сильных ударных волн они могут приводить к неправильным выво-
выводам. Поэтому не должна упускаться из виду возможность того,
что потребуется модифицировать решение за скачком, а вместе
с ним и расположение самого скачка.
Таким образом, чтобы приводимое вычисление было справед-
справедливым, следует считать скачок достаточно слабым. В пользу
этой точки зрения говорят и наблюдения Бенджамена и Фейра
[1], согласно которым неустойчивость волн конечной амплитуды
приводила не к турбулентной диссипации энергии, а к перерас-
перераспределению ее по спектру группы волн.
Соответствующие уравнения сохранения выводятся в следую-
следующем параграфе. В § 3 находятся определяемые ими расположе-
расположение ударной волны и величина скачка фазы при переходе через
ударную волну, используемая для нахождения разности между
числами гребней волн, входящих и выходящих из области скач-
скачка. Находится возможный вид свободной поверхности вблизи
скачка фазы в сечениях, перпендикулярных линии скачка. Его
наблюдение было бы довольно точным способом проверки тео-
теории. Наконец, в § 4 приводятся оценочные физические сообра-
соображения, которые достаточно интересны в том отношении, что по-
позволяют довольно хорошо предсказать линию скачка фазы, хотя
и не дают возможности определить его положение на этой
линии. г
2. Уравнения сохранения и дисперсионное уравнение
Пусть ^(х, со) обозначает средний лагранжиан на единицу
площади горизонтальной поверхности для волн конечной ампли-
амплитуды на глубокой воде, причем х = (/, т) — волновой вектор,
ш—частота изменения во времени. Система предполагается не-
дкссипативной, поскольку в почти однородном цуге волн гра-
градиенты скорости представляют собой плавно изменяющиеся
функции точки, так что эффектом вязкости можно пренебречь.
Для этого случая Лайтхилл [5] нашел явное выражение
Скачки фа$ы 219
лагранжиана 9?, приближенно справедливое для всех возможных
амплитуд. Это выражение использовано при вычислениях в ра-
работе [3].
Волновое поле описывается фазовой функцией в(Х{,(), кото-
которая плавно изменяется и принимает последовательные значения,
кратные 2л, на последовательно расположенных гребнях волн
(здесь I—время). Волновой вектор и частота выражаются че-
через 0 следующим образом:
B.1)
Принцип Гамильтона
б | \ *?{щ, ©)АкИ = 0 B.2)
приводит к следующему уравнению Эйлера:
которое, как установил Уизем [9], представляет собой уравнение
сохранения, выражающее баланс между изменением простран-
пространственно-подобного адиабатического инварианта 2!у.г и время-
подобного инварианта 3? <*>. Другие уравнения сохранения можно
вывести из B.2), воспользовавшись теоремой Нётер (см. [2]).
В частности, инвариантность лагранжиана 2? по отношению к
сдвигу во времени и в пространстве приводит соответственно
к уравнению энергии
и уравнению количества движения
Используя B.1), приходим еще к двум уравнениям сохранения:
^ + ^=0, го1х = 0. B.6)
Первое из них выражает сохранение числа гребней волн, а вто-
второе показывает, что линии гребней начинаются и оканчиваются
только на границах волнового поля. Однако уравнения B.3) и
B.6) справедливы лишь в тех областях, где волновое поле изме-
изменяется медленно в масштабе длины волны, тогда как уравнения
энергии и количества движения справедливы при любых обстоя-
обстоятельствах, если среднюю плотность лагранжиана 3? заменить на
точную.
220 М. С. Хоув
3-адача о волнообразной стенке связана с рассмотрением
установившейся картины волн на свободной поверхности. В пре-
предыдущей статье было показано, как записать лайтхилловский
лагранжиан в системе координат, фиксированной относительно
стенки, по отношению к которой волновая картина стационарна;
в этом случае в B.1) и B.6) надо положить со — 0 и д/д( = 0.
Дисперсионное уравнение, получаемое при этом из B.1) и B.3),
принимает вид
а (/, т) вхх + 2Ь (/, т) вху + с (/, т) вуу = 0, B.7)
где аA, т) = ^и; Ь{1, т) = ^*[„; сA, т) = ^тт.
Для рассматриваемой частной формы стенки уравнение B.7)
представляет собой квазилинейное эллиптическое уравнение. Со-
Соответствующая начальная задача для него была решена мето-
методом мнимых характеристик; начальные значения для /, т, 6 за-
задавались на линии у = 1.
3. Скачок фазы в задаче о волнообразной стенке
В этом параграфе на основе результатов предыдущей статьи,
полученных по обе стороны области неопределенности, находится
линия скачка фазы в задаче о волнообразной стенке. Уизем [9]
установил, что в нелинейных задачах рассматриваемого типа
требуемое число условий на скачке всегда меньше числа урав-
уравнений сохранения. Существенно, однако, помнить различие
между теми уравнениями сохранения, которые остаются спра-
справедливыми в неосредненном виде, т. е. и при переходе через ска-
скачок, и теми, которые справедливы лишь для плавно изменяю-
изменяющихся цугов волн. Так, например, выбор уравнений сохранения
числа волн B.6) для решения задачи был бы неверным. В то же
время уравнения сохранения энергии и количества движения
B.4) и B.5) могут быть использованы.
Рассмотрим, в частности, уравнение сохранения энергии
Здесь 3? = 3?(ни о))—лайтхилловский средний лагранжиан, вы-
выраженный в системе координат, связанной со средним движе-
движением воды. Чтобы записать C.1) в системе координат, связанной
со стенкой, по отношению к которой волновая картина стацио-
стационарна, нужно сначала вычислить производные 9?а и 2"К{ в C.1)
и затем заменить со на — VI, а д/д( — на 1/{(д/дх{), где И{ =
Скачки фазы 221
= (II, 0) — невозмущенная скорость потока. В результате нахо-
находим
{-±- [шял + ^1 --^ [ш**,] = о. C.7)
Таким образом, для любого контура 5 в плоскости (х, у) имеем
]М$ = 0, C.3)
где П\ — внешняя нормаль по отношению к 5, а из — криволи-
криволинейный элемент длины. Уравнение C.3) выражает баланс энер-
энергии поступающей в область, ограниченную контуром 5, и выхо-
выходящей из нее.
Линия скачка фазы определяется при помощи выбора соот-
соответствующей последовательности контуров 5П, которая проходит
через область неопределенности решения задачи о волнообразной
стенке. Поскольку решение известно по обе стороны от этой
области, можно проэкстраполировать подинтегральное выраже-
выражение вдоль контура по каждую из сторон области неопределенно-
неопределенности, скажем, до точки Рп. В точке Р„ подинтегральное выра-
выражение испытывает скачок, поэтому точное положение точки Рп
на контуре подбирается так, чтобы обратить интеграл по всему
контуру в нуль. Следует заметить, что интегральное соотноше-
соотношение в форме C.3) можно также вывести из уравнения коли-
количества движения B.4). И в этом случае, действуя аналогичным
образом, можно было бы получить тот же вывод относительно
расположения точки Рп.
На рис. 2 воспроизведено решение задачи о волнообразной
стенке и показано расположение скачка фазы, определенное
указанным выше методом. Показан также типичный контур ин-
интегрирования, состоящий из отрезка АВ, начальной линии у — 1
от х = —10 до х = +10, участка ВС «выходной кривой», начи-
начинающегося в точке A0,1) (см. § 4), поперечного отрезка СИ,
пересекающего линию скачка примерно под прямым углом, и
отрезка ИА выходной кривой, заканчивающегося в точке
(—10,1). Прежде чем пытаться найти скачок, мы исследовали
достоверность численного решения, полученного в работе [3]; для
проверки того, удовлетворяет ли это решение уравнению C.3),
было проведено интегрирование по ряду замкнутых контуров,
не проходящих через область неопределенности, как, например,
по контуру АЕРА. Данные, доставляемые решением, дают зна-
значения волнового вектора к с четырьмя дисятичными знаками.
При использовании их для вычисления пробных интегралов бы-
было найдено, что последние отличаются от нуля лишь в пятом
знаке (вклады от участков АЕ и ЕР, взятые по отдельности, ока-
Скачки фазы 223
вались порядка единицы). Ни в одном случае ошибка не превы-
превышала ±0,00005.
Указанная выше последовательность контуров 5Т1 получалась
движением отрезка СО контура, показанного на рис. 2, вдоль
АО и ВС. Оказалось, что точка Рп, найденная таким способом,
лежит вблизи прямой. Скачок фазы на рис. 2 расположен на
отрезке прямой
у = 0,3372л: + 1,4875, C.4)
проведенной через точку Рп по методу наименьших квадратов.
Стандартное уклонение точки от прямой составляет 0,012. Конец
скачка определяется довольно плохо. Приблизительно он распо-
расположен в точке О, где х = 9,17, тогда как данные, использован-
использованные для построения прямой C.4), простираются до точки
х= 18,61.
Разность между числом гребней волн, входящих в отрезок
0B скачка слева A) и выходящих из него справа B), выра-
выражается соотношением
<2
« = -^.1 М-**- C-5)
о
Интегрирование здесь производится вдоль разрыва, а квадрат-
квадратными скобками обозначен скачок волнового вектора. Поскольку
х = ёгас10 и 01 = 8г з точке О, имеем
<э
б = ^/И] = ^@2-01)B. C.6)
о
Для удобства сопоставления результатов расчета с эксперимен-
экспериментальными на рис. 3 представлено изменение величины 2л5 с
расстоянием 5 точки <2 вдоль линии скачка, отсчитываемым от
точки О.
Возможный вид свободной поверхности воды вблизи скачка
фазы можно найтн путем построения поднятия поверхности
вдоль линии, подобной СО на рис. 2, пересекающей линию скач-
скачка под прямым углем. Поднятие свободной поверхности нахо-
находится из полученного ранее решения [3] подстановкой ампли-
амплитуды и фазы с стоксовское разложение для поверхностных волн
конечной амплитуды. Возможные формы поверхности и области
неопределенности могут быть после этого найдены при помощи
графической интерполяции между кривыми поднятия, извест-
известными по'обе стороны области неопределенности. Взяв достаточ-
достаточное число таких поперечных сечений и построив соответствую-
соответствующие им профили на одной диаграмме, можно получить картину
свободной поверхности, весьма похожую на пространственную.
224 М. С. Хоув
Такая картина представлена на рис. 4. Каждая волнообраз-
волнообразная кривая на ней представляет собой поперечное сечение сво-
свободной поверхности (увеличенное в 5 раз) вдоль линии, подоб-
подобной линии Си на рис. 2. Такая линия принимается за абсциссу,
а за положительное направление ординат принимается направ-
направление ОС} на рис. 2. Таким образом, рис. 4 следовало бы рас-
рассматривать, глядя слева вдоль линии скачка фазы, которая так-
также изображена на рисунке. В такой системе координат левый
Рис. 3.
Величина 2яб, измеренная в радианах, представляет собой увеличение фазы
при пересечении скачка в направлении положительной оси х на расстоянии «
от начала О скачка фазы.
конец каждой кривой лежит в области, где волновая энергия
очень мала, т. е. приблизительно там, где свободная поверх-
поверхность невозмущена. Участки кривых, показанные штриховкой,
изображают возможную форму поверхности в области неопре-
неопределенности.
Эффект скачка фазы выразительно подчеркивается сокраще-
сокращением ширины волновых впадин, которые входят в скачок снизу.
Заслуживает внимания также изменение формы гребней, кото-
которые проходят в непосредственной близости начала скачка фазы
слева от него. Эти волны обладают характерной трохоидальной
формой сечения, которая становится более заостренной по мере
приближения к началу скачка. Однако этой тенденции к увели-
увеличению крутизны препятствует образование скачка, который вы-
выступает как эффективное средство передачи волновой энергии ог
гребней, продвигающихся выше скачка, волнам в области ниже
него, так как амплитуда гребней, проходящих через скачок,
сильно снижается.
-Щ '12 -10
/6
18 20 22
Рис. 4. Каждая волнообразная кривая представляет собой профиль свободной поверхности в нормальном
сечении, перпендикулярном линии скачка фазы.
Рисунок следует рассматривать, глядя слева вдоль линии разрыва. Участки кривых, показанные штриховыми линиями, изобра-
изображают возможную форму свободной поверхности вблизи места скачка фазы.
226 М. С. Хоув
4. Приближенный метод определения линии скачка
Проведенное исследование задачи о волнообразной стенке
целесообразно завершить рассмотрением приближенного метода
определения линии, вдоль которой образуется скачок фазы. При-
Приближенный метод позволяет взглянуть на явление с более физи-
физической точки зрения, чем при чисто численном подходе.
Рассмотрим дисперсионное уравнение B.7) :
авхх + 2Ьвху + свуу = 0.
Характеристики этого уравнения определяются уравнением
айу')- — 2Ьйхйу + сйх')- = 0
или, полагая Л = У ас — Ь2 и учитывая, что дисперсионное урав-
уравнение эллиптическое, — уравнением
-^ = -±*А. D.1)
йу с с у '
Вспоминая, что дисперсионное уравнение первоначально реша-
решалось при помощи аналитического продолжения в комплексную
плоскость х, из D.1) видим, что если у — действительно, то ре-
решение в любой точке Р на действительной плоскости (а-, у)
определяется двумя сопряженными комплексными характеристи-
характеристиками, проходящими через Р и начинающимися в двух сопря-
сопряженных точках на той комплексной плоскости х, которая пересе-
пересекается с действительной плоскостью (х, у) по прямой у — 1. Для
получения начальных значений в этих точках нужно взять дей-
действительную часть фиксированного значения х и аналитически
продолжить данные с начальной линии Г (т. е. у = 1) в ком-
комплексную плоскость х. В точке Р указанные две характеристики
определяют плоский элемент, пересекающий действительную
плоскость (х,у) вдоль кривой, наклон которой выражается урав-
уравнением
йх1йу = Цс D.2)
В первом приближении линии, определяемые уравнением D.2),
можно рассматривать как лучи, вдоль которых передается энер-
энергия. В самом.деле, в случае бесконечно малой амплитуды они
действительно; вырождаются в стационарный аналог линий груп-
групповой скорости, поскольку
, т) д (от, I) 1дт\
)д(^1) \ д1 )'
ау ~ с ^тт дA,т)д(^т,1) \ д1 т
Для конечных амплитуд пренебрежение мнимой частью D.1)
означает, что распространение возмущений вдоль приближенных
«лучей» будет до некоторой степени размазанным.
Скачки фазы 227
Допустим теперь, что амплитуда колебаний стенки постоянна.
Решение дисперсионного уравнения при этом тривиально. Оно
представляет собой плоскую волну, а энергетические лучи D.2)
превращаются в семейство параллельных прямых
х = — у + сопз!. D.3)
Здесь Ь/с представляет собой функцию волнового вектора и,
который постоянен. Однако, когда амплитуда колебаний стенки
изменяется, вектор х также меняется вдоль линии Г. При усло-
условии, что это изменение происходит достаточно медленно в смы-
смысле'приближения Уизема, можно ожидать, что энергетические
лучи будут на некотором расстоянии от линии Г оставаться пря-
прямыми, но их наклон Ь/с будет меняться в соответствии с измене-
изменением вектора х вдоль начальной линии. Понятно, что при этих
условиях семейство линий D.3) будет иметь огибающую каусти-
каустику, вдоль которой решение дисперсионного уравнения неопреде-
неопределенно. Физически здесь можно ожидать появления скачка в ре-
решении.
Эти соображения можно проиллюстрировать, используя ре-
результаты вычислений для задачи о волнообразной стенке. Дис-
Дисперсионное уравнение было решено путем сведения его к си-
системе пяти уравнений в частных производных первого порядка,
в которых неизвестные (х, у, I, т, 6) определялись как функции
координат (|, т])> задаваемых соотношениями
ь- 2 ' Л~ 2< '
где а, Р — комплексные характеристические координаты диспер-
дисперсионного уравнения. Метод решения основан на использовании
аналитического продолжения начальных данных в комплексную
плоскость т], где, если обозначить т] = X + /а, величина X счи-
считается постоянной, равной, скажем, Ко. В плоскости (|, а) си-
система уравнений будет гиперболической и допускает решение
методом характеристик. Полученное таким образом решение
дает при а — 0 решение в действительной плоскости вдоль пря-
прямой т] = Хо. Чтобы полностью покрыть некоторую область на
действительной плоскости (|, т]), нужно повторить процесс во
всем интервале изменения Хо-
Так как решение указанной системы уравнений соответствует
постоянному действительному значению т], то отсюда следует,
что мнимая кривая в плоскости (х, у), соответствующая прямой
■п = ло, удовлетворяет условию
4а - <ф = 0, D.4)
8 -
12
-в
Рис. 5. „Выходные" кривые, полученные в работе [3].
Значения Л т. В вдоль этих лучей найдены методом мнимых характеристик, использованным для решення дисперсноииого уравнения.
Скачки фазы 229
где, как было описано в предыдущей статье,
х = Х0, у=1 на линии а + р = О. D.5)
Эта система «выходных кривых», полученная при решении за-
задачи о волнообразной стенке, показана на рис. 5. Все они суть
прямые, за исключением области вблизи разрыва. По этой при-
причине допустимо приближенно каждой из них сопоставить то зна-
значение вектора х, которое соответствует точке пересечения с гра~
12
16
20
24 28
Р и С. 6.
Семейство «энергетических лучей», определяемое уравнением D.3). Влияние
конечной амплитуды проявляется в размазывании лучей, по которым
распространяются возмущения.
ницей у = 1, после чего решать D.4) в предположении, что век-
вектор х постоянен. В этом приближении легко находится реше-
решение, которое имеет вид
х = (Ь/с) у + сопз1, D.6)
где константа определяется по начальной точке на границе
у = 1. Таким образом, при указанных обстоятельствах выходные
кривые соответствуют энергетическим лучам D.3).
На рис. 5 показано, что выходные кривые при численном
решении задачи о волнообразной стенке действительно стре-
стремятся образовать огибающую, идущую вдоль фронта области
неопределенности. Для сравнения на рис. 6 проведены «энерге-
«энергетические лучи» D.3), начинающиеся в тех же точках на прямой
у = 1, что и «выходные кривые». Энергетические лучи образуют
заострение в точке B3,37; 9,21); оно находится намного дальше
от начальной линии, чем начало огибающей на рис. 5. Однако
линия C.4), вдоль которой расположен скачок фазы, довольно
близко соответствует той, на которой образуется заострение
энергетических лучей. Принимая за последнюю по определению
тот луч, который касается вершины острия, получаем уравнение
этой линии
«/ = 0,3235*+1,6609. D.7)
230 М. С. Хоув
Как легко установить, эта линия пренебрежимо мало отличается
от линии C.4) в интервале справедливости проведенных вычис-
вычислений скачка фазы A0<л:<20). Таким образом, размазыва-
размазывание энергетических лучей может повлиять на положение начала
образования скачка, но, очевидно, не изменяет направления,
вдоль которого этот скачок образуется.
Автору снова доставляет большое удовольствие выразить
признательность проф. Лайтхиллу за большую помощь и руко-
руководство при выполнении этого исследования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Веп]агп1П Т. В., Ре1г Л. Е.,/. Р1ии1 МесН., 27 A967), 417.
2. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. Б., Введение в теорию квантованных
полей, М., 1957.
3. Нодае М. 5., см. стр. 195 настоящего сборника.
4. и§ЫЬП1 М. Л., /. /. М. А., 1 A965), 269.
5. и§ЫЬП1 М. Л., Ргос. Ноу. Зое, А 299 A967), 28.
6. \УЫ1пат О. В., Ргос. Ноу. 5ос, А 283 A965), 238.
7. ШНИНатО. В,/. Р1шй МесН., 22 A965), 273.
8. ШЬИЬатО. В,/. Р1иШ МесН., 27 A967), 399.
9. Ш Ы IЬ а т О. В., Ргос. Ноу. Зое, А 299 A967), 6.
СОДЕРЖАНИЕ
От редактора перевода 5
М. Дж. Лайтхилл. Вводные замечания. Перевод Г. И. Баренблатта . . 7
Д. Б. Уизем. Вариационные методы и их приложение к волнам на воде.
Перевод Г. И. Баренблатта 12
Ч. Дж. Р. Гарретт. Обсуждение. Адиабатический инвариант для распро-
распространения волн в неоднородной движущейся среде. Перевод
Г. И. Баренблатта 40
М. Дж. Лайтхилл. Некоторые частные случаи применения теории Уизема.
Перевод В. М. Ентова 43
Дж. Фейр. Обсуждение. Некоторые результаты опытов с волновыми им-
импульсами. Перевод В. М. Ентова 77
Т. Б. Бенджамен. Неустойчивость периодических цугов волн в нелиней-
нелинейных системах с дисперсией. Перевод В. М. Ентова 83
К. Хассельман. Обсуждение статьи Т. Б. Бенджамена. Перевод В. М. Ен-
Ентова 105
К. Хассельман. Описание нелинейных взаимодействий методами теорети-
теоретической физики (с приложением к образованию волн ветром). Пе-
Перевод В. А. Городцова 106
П. Сафмен. Обсуждение статьи К. Хассельмана Перевод В. А. Городцова 137
О. М. Филлипс. Теоретические и экспериментальные исследования взаимо-
взаимодействий гравитационных волн. Перевод В. А. Городцова . . .141
М. С. Лонге-Хиггинс, А. Э. Гилл. Резонансное взаимодействие планетар-
планетарных волн. Перевод Р. Л. Салганика 161
К. Кенион. Обсуждение статьи М. С. Лонге-Хиггинса и А. Э. Гилла.
Перевод Р. Л. Салганика 188
М. Дж. Лайтхилл. Заключительные замечания. Перевод Р, Л. Салганика 194
М. С. Хоув. Нелинейная теория установившегося течения в открытом ка-
канале вдоль твердой поверхности, имеющей форму конечной груп-
группы волн. Перевод Р. Л. Салганика 195
М. С. Хоув. Скачки фазы. Перевод Р, Л, Салганика 215