ИНСТИТЫТ МЕХАНИКИ MChJ
Г.Г ЧЕРНЫЙ
ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ
ДИНАМИКИ И ЭЛЕМЕНТЫ
ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Учебное пособие
Издательство Московского университета, 1984 г.

мгы
им.
I. в. ЛОМОНОСОВА
ИНСТИТЫТ
МЕХАНИКИ
Г.Г.ЧЕРНЫЙ
ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ
ДИНАМИКИ И ЭЛЕМЕНТЫ
ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Учебное пособие
Издательство Московского университета, 1984 г.

УДК 533.6.011 + 536.6.011
Г .Г .Черный. Газовая динамика. 1. Основные понятия газовой
динамики и элементы прикладной газовой динамики. Учебное пособие. —
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 112 с.
Первая часть курса основ газовой динамики, читаемого автором в
Московском государственном университете. Весь курс состоит из трех
частей: ч. 1 - "Основные понятия газовой динамики и элементы
прикладной газовой динамики", ч. П - 'Одномерные неустановившиеся
движения газа" и ч. Ш - "Установившиеся движения газа".
Книга предназначена для студентов механико-математических
факультетов, знакомых с основами механики жидкостей и газов в объеме курса
механики сплошной среды.
РЕЦЕНЗЕНТЫ: доктор физ.-матем. наук, профессор
Г.Ю.СТЕПАНОВ,
доктор физ.-матем. наук, профессор
А.Л .ГОНОР
077@2)-84 - заказная \Cj Издательство Московского
университета, 1984 г.

СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение 4
2. Законы сохранения для конечных объемов среды
(интегральные законы сохранения) 10
3. Установившиеся движения газа в трубке ...... 21
4. Течения с разрывами 45
5. Установившиеся движения газа в трубке. Течения с
разрывами (продолжение) 60
6. Взаимодействие газа с движущимся в нем телом . . 85
7. Дифференциальные уравнения и соотношения на
сильных разрывах для идеального газа 98
8. Некоторые свойства системы дифференциальных
уравнений газовой динамики 107
3

1. Введение
В газовой динамике рассматриваются движения сред в условиях, при
которых среду можно считать сплошной. Это значит, что в любом
существенном для изучаемых явлений объеме содержится столь большое
число частиц вещества (атомов, молекул или надмолекулярных структур),
что определенные для такого объема средние по всем частицам
значения их аддитивных физических характеристик имеют конечный предел
при уменьшении объема до некоторой предельной величины, которая
может быть отождествлена с материальной точкой. (Напомним, что в 1мм
воздуха при нормальных условиях содержится 2,7'10 молекул).
Пусть в некотором объеме «с заключено JV точечных частиц,
имеющих каждая массу 7П^ , скорость Vi и внутреннюю энергию £^.
Основными физическими характеристиками этой совокупности частиц
являются их суммарная масса Л*-
количество движения (импульс)
JV
и полная энергия (или просто энергия)
Определим плотность о как отношение ТП/'С в достаточно
малом объеме ("в точке") и введем средние для этого объема значения
скорости V и внутренней энергии единицы массы е с помощью
выражений ■& —
7П
^£[т/.ЩШ1^]
Введенные величины плотности О , вектора скорости V и
внутренней энергии в определены в точках области пространства, занятой
газом, и тем самым дают возможность описывать газ как сплошную
среду (континуум).
Если среда состоит из частиц нескольких видов и при движении
соотношение между числом частиц разного вида в каждом малом объеме
может изменяться (причем знание этого изменения важно для
рассматриваемого круга явлений), то средние величины следует определять
отдельно для каждого вида частиц, вводя тем самым несколько
континуумов, заполняющих одну и ту же область пространства и имеющих
каждый свои значения плотности, скорости, внутренней энергии и других
характеристик (теория взаимно проникающих континуумов).
В газовой динамике, как и в ряде других разделов механики
сплошных сред,движущиеся малые объемы среды (которые обычно тоже
называют частицами) рассматриваются как термодинамические системы,
состояние которых характеризуется конечным числом определяющих
параметров. Помимо геометрических координат частицы и уже
введенных ее скорости, внутренней энергии и плотности, для
характеристики механического напряженного состояния частицы вводится тензорная
величина - напряжение. В необходимых случаях для описания состояния
частицы в газовой динамике вводятся и дополнительные параметры
физической и химической природы: температура, концентрации различных
4

химических компонент, составляющих газ, коэффициенты диффузии,
теплопроводности, вязкости, величины, характеризующие свойства
лучистого переноса в газе, концентрации атомов с электронами, находящимися
на различных энергетических уровнях, концентрации ионизованных
атомов и свободных электронов и т.п.
Не все эти дополнительные параметры независимы, а в состоянии
термодинамического равновесия они все являются функциями
плотности и внутренней энергии.
Газовая динамика выделяется среди других разделов механики
сплошной среды тем, что изучает движения, в которых существенную роль
играет сжимаемость вещества, т.е. способность вещества изменять
плотность при изменении напряженного состояния.
Наряду с газообразными средами (такими как воздух, природный газ,
продукты горения или взрыва твердых веществ и др.) объектом газовой
динамики являются капельные жидкости (например, вода, керосин,
расплавы и т.п.) и твердые в обычных условиях вещества (например,
металлы, грунты и т.п.),если их движение происходит в условиях, при
которых касательные напряжения пренебрежимы сравнительно с
нормальными, а свойство сжимаемости существенно. В круг объектов,
изучаемых методами газовой динамики, входят и неоднородные сжимаемые
среды с достаточно малыми масштабами неоднородноетей, когда среду
можно считать сплошной (например, вода с распределенными в ней
пузырьками пара или газа, грунт, состоящий из твердых деформируемых
частиц с заполненными воздухом пустотами между ними, облака
межзвездной пыли и т.п.).
Классической моделью, используемой в газовой динамике, является
модель сжимаемой идеальной жидкости, т.е. модель сжимаемой среды,
в которой и в состоянии покоя и при движении отсутствуют внутренние
касательные напряжения. Напряженное состояние среды характеризуется
при этом лишь одной скалярной величиной - давлением р.
Помимо внутренней энергии единицы массы газа е, плотности (О,
(или удельного объема V'~~k)% давления р и температуры / мы
будем использовать еще две термодинамические величины -
теплосодержание (или энтальпию) п и энтропию d- единицы массы газа.
Теплосодержание TV определяется формулой
^ = С + ~f~ >
а энтропия -5- - дифференциальным соотношением
dS
d<fC*>
Т
Здесь а о есть элементарный приток тепла извне к частице
(отнесенный к единице массы) при обратимом изменении ее состояния.
Для идеальной среды работа внутренних сил, отнесенная к единице
массы среды, равна р сС ч?- поэтому уравнение притока тепла имеет
вид
rf,«- de +р*± . AJ)
Таким образом для обратимых процессов справедливо соотношение
V
Td*- с1е+рсС-&, A.2)
s

или
Т d& = dA - -+ . A.3)
В общем случае необратимых процессов
Т d* = ЫуГе) + dy', A.4)
где do — так называемое некомпенсированное тепло, причем в
силу второго начала термодинамики da' ^ 0 (знак равенства
соответствует обратимым изменениям состояния частицы), так что энтропия
может и возрастать и убывать.
Если система (частица среды) теплоизолирована, хотя и может
подвергаться различным силовым воздействиям, то процесс изменения ее
состояния называется адиабатическим. При адиабатическом процессе
do. ' ~ 0, так что, если процесс обратим, di- = 0 и,
следовательно, энтропия частицы при адиабатическом обратимом процессе
сохраняется постоянной : & = COtvyt- При адиабатическом необратимом
процессе изменения состояния ct-& > 0, т.е. энтропия возрастает.
В дальнейшем будут рассматриваться двухпараметрические среды,
т.е. среды, у которых лишь две из термодинамических величин
являются независимыми, а все остальные выражаются через них с помощью
так называемых уравнений состояния.
Соотношения A.2) и A.3) показывают, что уравнения состояния
двухпараметрической среды определяются заданием лишь одного такого
уравнения в виде С- = е. (&, 4) или в виде Л — А (р, $)•
Действительно, в первом случае из уравнения A.2) следует:
а во втором случае из уравнения A.3) получаем
Ti_ ЭАС-рл) ,,„ _ /_ ЭА(р,4г)
1 Sir ' ^ j> Эр A.5)
Если же задать, например, в — в (р,о),то определить однозначно
температуру и энтропию через р и О нельзя. Действительно,
условие того, что ct ■£* в соотношении A.2) есть полный дифференциал,
т.е. равенство
д ({ Эе р \ Э / £ Эе\
дрКТ dp p3Tj dj> KT '
или
fde р\дТ Эе ЭТf
>с?
«0
К Эр J>*J dp dp dp p'
можно рассматривать как линейное дифференциальное уравнение первого
порядка для определения Т (p7f>). Такое уравнение, как известно,
допускает различные решения и для того, чтобы устранить эту
неоднозначность, нужно выбрать какое-либо одно из решений T~T(p,J>).
После этого энтропия & как функция р ц Q находится из A.2)
с точностью до аддитивной постоянной.
При адиабатических обратимых изменениях состояния
двухпараметрической среды уравнение состояния -& = &(p,fj) или £-•=* 4(р,1^)
в силу условия •£ — cowit. обращается в соотношение £(p,p)=con&t
или -&~(р, V")"COrvbt, которое называется адиабатой Пуассона.

Величина с. определенная формулой
cdT=d9re)
называется удельной теплоемкостью. Очевидно, что удельная
теплоемкость зависит от вида процесса изменения состояния. Из выражения
A.1) следует, что при постоянном объеме
d9Ce' = ^fl JT .
Соответствующая теплоемкость С,.—^гг/ называется удельной теп-
лоемкостью при постоянном объеме. Так как при постоянном давлении
яг-М"-
_.i /
то величина с^^^: / есть теплоемкость при постоянном давлении.
'/> эт 1р
Совершенный гаэ. Газ называется совершенным, если в нем
давление, плотность и температура связаны уравнением Клапейрона
р^ЛрТ, A.6)
где Jt - постоянная величина (газовая постоянная), разная для разных
jp
газов. Если и -масса одного моля газа, тол- -д- у где It0 -
универсальная газовая постоянная: ft с = 8.3144*10 эрг/моль«град.
Внутренняя энергия совершенного газа есть функция только
температуры. Действительно, из A.2), рассматривая ■& и е как функции V-
и Т, получим
. ЭТ ЭТ > dtf dv- Г дх> П V '
де
Исключив перекрестным дифференцированием &7 найдем, что js~. =
= 0. При известной е/// Для энтропии получаем выражение
Для совершенного газа п — eGj-i-KT, т.е. теплосодержание есть
функция только температуры и
ср ~ С-> =Я ■
Если Су. = ctrrv&ty то и Ср^сопЬЪ ■ Модель совершенного газа
с постоянными теплоемкостями С^. и Сл широко используется в
теоретической газовой динамике и удовлетворительно описывает поведение
реальных газов при обычных условиях.
Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями
£ = с^Т , А = Cf>T ,
а энтропия 5- выражается формулой
Отсюда и из A.6) получаем
* = С„.€а^р + COTttf A.7)
и
/°-<*We*V, A.8)
7

где у- — z,— - отношение теплоемкостеи,
Уравнение A.8) при ■*--=• c&rvvfc есть уравнение адиабаты
Пуассона для совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В связи
с этим величина %- называется также показателем адиабаты; она
является важной безразмерной характеристикой совершенного газа с
постоянными теплоемкостями. Так как Л >■ Ои c^>0, то всегда tf->d.
Для одноатомных газов у-=^-,для двухатомных f -§- . Для
воздуха при нормальных условиях ** близка к величине 7/5.
Пользуясь величиной $-} выражениям для е и А можно придать
вид
J° r~d J° ' A.9)
Нормальный газ. Многие основные закономерности движений
совершенного газа с постоянными теплоемкостями сохраняются и для двухла-
раметрических сред с более общими термодинамическими свойствами,
если только задающие эти среды функции в (if, ■£■) или А С~Р> &У
удовлетворяют некоторым ограничениям. Большая часть этих
ограничений вполне естественна с физической точки зрения.
Такие среды принято называть нормальными газами. Определения
нормального газа несколько отличаются у различных авторов, в связи
с чем несколько отличается и совокупность свойств совершенного газа
с постоянными теплоемкостями, которая сохраняется и для нормально—
гс газа.
Будем называть нормальным газом двухпараметрическую среду,для
которой характеризующая ее функция п (р -ir) обладает следующими
свойствами:
1. Функция п. Ло, Ь) определена и трижды непрерывно
дифференцируема в области 0 <■ Ъ-Соо, •£_■< ■&< &+ (может быть ^_=-оо, -&^.=-нх>у
2. Всюду в указанной области функция й- и ее производные
удовлетворяют неравенствам:
3,
а ее
, Функция
Сот п
р-О
а)
б)
в)
г)
А
(f>*
производная
А >о
Ар>о , -fit >o
&рр<о, Api>o
Аррр >о.
удовлетворяет предельным соотношениям
Ар - соотношениям
£ип А
(г-
4)=°° ,
ЪШ1 Ар (-Р, *) = оо , &*П, А# (р, -ir) * О.
Отметим, что свойства а,б,в п.2 физически очевидны или
совершенно естественны, В самом деле, свойство а) следует из определения
Я«в + г-и положительности внутренней энергии е и величины давле-
ния (для сжимаемых капельных жидкостей, в которых давление может
быть отрицательным, условие а) может не выполняться; однако, в
обычных условиях и капельные жидкости не допускают заметных отри-
8

цательных давлений). Так как величины п, р и -*- связаны
дифференциальным соотношением A.3), из которого следуют выражения A.5)
А
+ ~J>
= v
К-т
то, очевидно, что условия б) всегда выполнены. Условия в)
утверждают, что адиабатическое обратимое увеличение давления должно
приводить к росту плотности нормального газа и его температуры -
поведение, вполне естественное с физической точки зрения.
И лишь условие г) не является физически очевидным или вытекающим
из каких-либо общих термодинамических соображений; в принципе могут
существовать реальные газообразные среды, в которых это условие не
выполняется. Однако, все распространенные газы, их смеси, пары раз-
г. — дгу- l n
личных веществ удовлетворяют условию Нллр= -^—-j-/ >■ (J .
В некоторых случаях вместо условия г) мы будем пользоваться
более сильным условием 0
г') Ал
■рр
ЧГГ'
эквивалентным условию
>о.
Неравенства п. 2 определяют простые свойства адиабат, т.е. кривых
■*— ССтгУЁ , нормального газа в плоскости £?> р (точнее - в
квадранте V У 0, р ->■ 0).
Покажем, что через любую точку этого квадранта проходит одна и
только одна адиабата ХУ^п^, (-рг-&Л- Действительно, из второго уело-
Я «_ /
вия в) следует — / >■ 0; поэтому при каждом данном р значение
д* 1-р '
V~ монотонно возрастает с ростом &, меняясь в силу предельных
соотношений 3 от 0 до оо- этим и доказывается утверждение.
Соотношения 3 показывают также, что
оси V- и р являются
асимптотами для всех адиабат.
Согласно условию г) все адиабаты
строго выпуклы в сторону осей
V и -р. И, наконец, согласно
второму условию в) большим
значениям энтропии соответствуют
адиабаты, лежащие дальше от
начала координат.
В газовой динамике большую
Эр/*'
роль играет производная
Эта производная, очевидно ра'в—
'-£— , для нормального
ная -
Af
v-
Рис. 1.1
газа в силу первого неравенства
в) не. может быть
отрицательной. Величина
формулой
О-. определенная
9

V:
djo I*
имеет размерность скорости и по причине, которая будет ясна из
дальнейшего, называется скоростью звука в газе.
Для нормального газа
■Сип и (-р, *) = О .
4<*cont£
Действительно, переписав формулу
S _ &-Р
в виде
п^р dp dfi
и произведя интегрирование при постоянной ■&■, получим
Так как при р~~- О одновременно выполнены условия п -*■ 0, п.р~"о°>
то интеграл в этой формуле при р -*■ 0 расходится и, следовательно
Если выполнено условие г'), то -^—/ ~Ц 'а'] лГ > 0 и, следо-
др \ь ^p^U^PU
вательно, скорость звука монотонно возрастает с ростом давления.
Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями согласно
формуле A.8) для скорости звука получаем выражение
*-tff ,
которое с помощью уравнения состояния можно преобразовать к
следующему виду
а
v^r=irW-
Скорость звука в этом случае есть функция только температуры
газа, а внутреннюю энергию и теплосодержание (см. формулы A.9))
можно выразить через скорость звука:
в = — 7ч > 71 =
>ГГ/) ' п f-i ' AЛ0>
§ 2. Законы сохранения для конечных объемов среды
(интегральные законы сохранения)
Целью построения модели, используемой в газовой динамике,
является установление математических соотношений, позволяющих найти
распределение параметров газа в занятой им области пространства при
различных конкретных условиях движения.
Для достижения этой цели обратимся прежде всего к общим законам
сохранения массы, количества движения, момента количества движения
и энергии, применив их к конечным объемам газа.
10

Введем понятия материального
объема и контрольного объема.
Выделенный в газе объем
состоящий из одних и тех же частиц,
называется материальным объемом
(или индивидуальным объемом). Рис^
2.1 иллюстрирует последовательные
положения в пространстве в
моменты времени tf ? t и Ь„
материального объема (заштрихован) при
его движении.
Рис. 2.1 Контрольным называется
выделенный в пространстве объем Is с
границей S - контрольной поверхностью. Граница объема может быть
неподвижной, но в общем случае может перемещаться в пространстве
и деформироваться; объем не связан с газом и может частично
выходить за пределы занятой газом части пространства.
Как и материальный объем , контрольный объем может быть
неодносвязным.
На рис.2.1 пунктиром обозначена поверхность S контрольного объема
V в момент времени i ,
Часть контрольной поверхности О совпадает в этот момент с частью
поверхности движущегося материального объема £Г *(£).
Основные физико-механические характеристики
материального объема
Материальный объем обладает
массой
й ЛС,
количеством движе-
и энтро-
/oVd<c
ния (или импульсом) JCj моментом количества движения (моментом
импульса) М , полной энергией (или просто энергией) "
пией "О. Эти величины определяются интегралами
JU = J pdv
M~$(**f>V) d<c
5 - Г pzdt.
В выражении для Jrl через 4£ обозначено расстояние частиц от
точки, относительно которой определяется момент количества движения
объема 1У *,.
При написании выражений для С и О сделано предположение об
аддитивности внутренней энергии и энтропии по массе частиц,
составляющих материальный объем.
Распределения в пространстве величин, входящих под знаки
интегралов, могут не быть непрерывными и, тем более, гладкими; допустимы
И

интегрируемые особенности этих величин в точках или вдоль линий и
поверхностей в пространстве.
Закон сохранения массы
п
В ньютоновской механике фундаментальным законом является
свойство любого материального объема сохранять свою массу во времени.
Таким образом производная по времени t от массы Л1 (t) материалы-
ного объема равна нулю:
Интегрируя это соотношение по времени от момента с0 до момента
V получим
(l^X-Qr^X-0
Отметим, что для любой аддитивной величины А (скаляра или
вектора), определенной для частиц среды, вследствие сохранения массы
каждой частицы и массы всего материального объема справедливо
соотношение
Mj>a^ '&fAd™ -S#r<*™ =J>^(,2)
где ~р£ есть индивидуальная производная по времени от А , т.е.
производная по времени от значения А в частице.
Закон сохранения количества движения (второй закон Ньютона)
и закон сохранения момента количества движения
Основным динамическим соотношением механики сплошной среды
является закон сохранения количества движения. Согласно этому закону
скорость изменения количества движения K.(tj любого материального
объема равна главному вектору # всех действующих на него
внешних сил - массовых и поверхностных:
■&bVd« -г
B.3)
V*
В проинтегрированной по времени форме это соотношение имеет вид:
и называется уравнением импульсов, так как его правая часть
представляет собой импульс внешних сил, действующих на материальный объем
в течение времени от £0 до £ . Стоящее под знаком интеграла
выражение для внешних сил не обязательно непрерывно по времени и может
иметь при некоторых значениях £ особенности, приводящие к
мгновенным конечным изменениям импульса внешних сил, а следовательно, и
количества движения материального объема.
В общем случае независимо от закона сохранения количества
движения формулируется закон сохранения момента количества движения.
Согласно этому закону скорость изменения момента количества движения
Н произвольного материального объема равна сумме моментов 771
12

действующих на этот объем внешних массовых и поверхностных сил:
V*
Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики)
Согласно закону сохранения энергии скорость изменения во времени
полной энергии £■ материального объема равна сумме отнесенной к
единице времени работы (мощности) W/ действующих на объем внешних
массовых и поверхностных сил и притока извне к объему тепла и
других видов энергии немеханической природы Q. ;
Для конечного промежутка времени из этого уравнения получаем
Как и в уравнении импульсов, выражение под знаком интеграла в
правой части может иметь особенности, приводящие в некоторые моменты
времени к мгновенному изменению энергии материального объема на
конечную величину.
Отметим следующее обстоятельство, которое полезно иметь в виду
в некоторых случаях использования уравнения энергии.
Внутренняя энергия среды может быть представлена в виде суммы
двух или более составляющих tv
е = ет + Z et ,
где В~, — тепловая энергия, т.е. суммарная кинетическая энергия
хаотического движения молекул газа, g • - другие составляющие
внутренней энергии, например, энергия, связанная с движениями составляю»-
щих молекулу частиц - атомов, окружающих их электронов , энергия
химических связей атомов в молекуле и т.п. Если в рассматриваемом
процессе могут происходить взаимные превращения составляющей вг ?
и остальных составляющих, то уравнение энергии можно записать в
виде
А. -
dt
V* *- V* л
При этой записи использовано преобразование B.2) для величины2^б£.
Последнее слагаемое в полученном уравнении можно подобно
предыдущему слагаемому считать внешним притоком тепла (с массовой скс—
ростью теплоподвода - £_, ■ ); при этом частицы материального
1 cCt
объема можно считать обладающими лишь одной составляющей
внутренней энергии 6 . При такой трактовке влияние на газ внутренних
физико-химических энергетических процессов заменяется влиянием
притока энергии извне.
13

Выражение для скорости изменения энтропии
fj>jc(T=fj>gf-ctT
Для нахождения скорости изменения энтропии & материального
объема используем соотношение B.2) для величины 6
JL
dt
и термодинамическое соотношение A.4), которое мы преобразуем к
виду
Tdi-fcdt + Cfldt ,
где Q^ - тепло, подводимое к частице извне, и о^ -
выделяющееся в частице нескомпенсированное тепло, отнесенные к единице массы
и единице времени.
В результате получим выражение
Если приток тепла к частице происходит сквозь ее поверхность, то,
введя вектор потока тепла о *), получим для каждой бесконечно
- малой частицы с объемом Д «Г* и поверхностью 6"
j>A<cQt ж "fan d><r e ~JcU& 'odx - - oUa^o- л<r
<Г АЧГ _
( On - составляющая вектора о по внешней нормали к поверхности
С )•
Поэтому можно написать
v* v-* v-*
I » V* 79-* , S
( о - поверхность объема 1Г ), так что
_ V-* р-* й S
Ьсли тепловые потоки обусловлены теплопроводностью среды, то
для вектора теплового потока справедлива формула (закон Фурье)
о «• — эв- аълсСТ
(ас > 0 - коэффициент теплопроводности).
Из найденного выражения для скорости изменения энтропии,
получаем, в частности, что при отсутствии диссипативных механизмов,
приводящих к выделению некомпенсированного тепла, т.е. при <з£ =0,
и при теплоизолированной границе материального объема, т.е. при
?* =0.
Вектор ~5 определяет направление передачи тепла, а
величина его равна количеству тепла, протекающему в единицу
времени через перпендикулярную этому направлению единичную
площадку.
14

dt J T2 oLT
dt J TS
Таким образом энтропия теплоизолированного объема теплопроводной
среды не сохраняется неизменной, а возрастает, если при движении в
объеме возникает неоднородность температуры.
Этот вывод дает пример процесса, необратимого в целом (для
конечного объема среды), при котором изменение состояния каждой частицы
можно считать равновесным.
Законы сохранения для газа в контрольном объеме
Используя сформулированные законы сохранения основных физико-
механических характеристик материального объема, можно получить
выражения для изменения этих величин в произвольном контрольном
объеме. Эти выражения в ряде случаев более удобны для приложений.
Выведем предварительно формулу дифференцирования по времени
функции, заданной в виде интеграла по подвижному объему. Пусть функция
у4 (скаляр, вектор) зависит от координат Ее и времени £ , так что
интеграл
fA (х, t) сСт
V
по подвижному объему 1/" есть некоторая функция С . По определению
jA(x,i+At)oir -JA facf t)olr
4fAC2,t)Ur -йт?&*& ^
Л1у. At—О А Г
£[Afat+At)-Afc.t)]dr +fA(s?,£**i)dr
Отсюда ** V
& V S
Поясним более подробно, как получен второй интеграл в правой
части этого выражения. На рис.2,2 изображена поверхность S объема
ХУ в моменты времени t и t+&\t. На площадке ct<f поверхности
S(t) взята внешняя к объему 1f"(tj нормаль п - Пусть длина
отрезка этой нормали между поверхностями Set J и Sfc+AtJ равна Л Л,
Величина к)*£ип,'-т- называется скоростью перемещения в простран-
At-*0 Atr
стве поверхности S в рассматриваемой точке.
Беря в интеграле JAfXyt+AtjclT при л~6 -*- 0 в качестве эле-
мента интегрирования ОСТ = оС&.йп, найдем
Если Zf(t) есть индивидуальный объем tr" (t) то для него
величина %) равна нормальной к 3 составляющей скорости fc^j,
частиц газа, составляющих поверхность S f так что
15

V* V-* с;
Комбинируя выражения B.6) и B,7) можно получить формулу
£fAfc,t)€tr-£fAfat)ctr+JA(itr&)etS'.
B.7)
S(l+At)
которая связывает производную
интеграла от функции А по
индивидуальному объему V~*n
производную интеграла от той же
функции по подвижному объему V(t),
совпадающему в момент времени
t с индивидуальными объемом
V*(t) .
Для стационарных движений,
когда -ZTT = 0, формула B.7)
принимает вид
v* s А
и выражает скорость изменения суммарного значения величины /\
индивидуального объема через поток этой величины сквозь поверхность
объема.
Для неподвижного объема 1/ законы сохранения массы,
количества движения, момента количества движения, энергии и выражение для
скорости изменения энтропии имеют вид
Рис. 2.2
at
-fptftdr-O;
gf+fp^Vder-r-Spfidv + T';
_ s __
ff + fptbfrxVjdr-m —ff>Gxn)d4r + m';
dt у $ B.10:
S S 12.11
%j+jp#n*d6--$^fo9;)d<c.
B.8)
B.9)
I'.
0)
)
B.12)
Здесь в правых частях уравнений B.9)-*B.11) выделены в явной форме
слагаемые, связанные с действием на среду в объеме "V" сил
давления на поверхности S.
Эти уравнения часто называются уравнениями в балансовой форме
или просто уравнениями баланса массы, импульса и т.д.
Отметим важную для дальнейшего форму записи уравнения баланса
энергии B.11). Перенеся слагаемое в работе внешних сил, соответст-
16

вующее работе сил давления на поверхность «S, из правой части
уравнения в левую, придадим уравнению баланса энергии в объеме Х?
следующую форму:
dt
или
+JfiVn (£+ е +?)<*& =W+ a
§§ '+fpvk4>J' -W+a. {2ЛЗ)
8
Введенная здесь величина по > определяемая формулой
*.~Т-е+*—2~4'*' B.14)
и равная сумме кинетической энергии и теплосодержания единицы
массы газа, называется полным теплосодержанием. Таким образом,
(полная) энергия С- объема V изменяется вследствие потока полного
теплосодержания газа сквозь границу объема, обмена теплом с внешней
средой и вследствие работы внешних сил за вычетом работы сил
давления на поверхности S . В частности, если G, = 0 и W^ = 0, то
полная энергия объема V меняется лишь благодаря притоку в объем
полного теплосодержания; для установившихся движений ~^.- = 0 и,
следовательно, суммарный поток полного теплосодержания сквозь
поверхность £> равен нулю.
Полученные выше уравнения в интегральной форме служат не только
основой для вывода дифференциальных уравнений движения газа и для
получения соотношений между параметрами газа на поверхностях
разрыва газодинамических величин (это будет сделано ниже - в § 7), но
используются непосредственно при решении многих задач.
Пример использования законов сохранения при нестационарном
течении: заполнение вакуумированного сосуда газом
Замкнутый сосуд объемом 1/ окружен газом (рис.2.3) и откачан,
так что давление газа внутри сосуда пренебрежимо мало по сравнению
с давлением Роо газа в окружающем пространстве. При открывании
крана,соединяющего внутренность сосуда с окружающей средой , газ
извне втекает внутрь сосуда. Кран держат открытым лишь небольшое
время t0 у достаточное для заполнения сосуда газом и выравнивания
давления в нем с внешним давлением, но недостаточное для того,
чтобы успел произойти заметный теплообмен на границе S и между га«-
зом и стенками трубы. После этого кран закрывают. Требуется
определить массу газа в сосуде, его температуру Т непосредственно
после закрытия крана, а также давление -Ое в сосуде после того,
как температура газа в нем выравняется с температурой внешней
среды 7^о.
Окружим мысленно сосуд неподвижной замкнутой поверхностью «?,
достаточно удаленной от него, и применим к газу в контрольном объеме
внутри поверхности S уравнения баланса массы и энергии.
Интегрируя уравнение баланса массы B.8) по времени от ~t Ю
до t = t о > получим ,
'л
М% ~МС = ((fodder) dt-О
WuluomeKaKa*^
Л^^аники МГУ
17

г
Так как вне сосуда состояния
газа в момент ~Ь = О и "t ~ Ь0 сс+-
впадают, то разность М+ ~ЛЬ0
равна массе
М
газа, заполнившего
Л»,71|
Л| сосуд, т.е.
| OS •' B.15)
Если в уравнении баланса
энергии B.13) пренебречь в течение
времени от Ъ = 0 до Г — 10 притоком
тепла к газу сквозь поверхность S
и учитывать лишь работу сил
давления на этой поверхности, то после
его интегрирования по времени,
полупим ,
v .—у etre0+f($P»J.j<r)dt-o.
B.16)
Рис. 2.3
Вновь из того, что состояния газа вне сосуда при ~Ь0 = О
~Ь=*£0 совпадают, заключаем (считая газ в сосуде при t~t0
однородным и неподвижным и пренебрегая теплообменом газа со
стенками сосуда), что разность £^ — &а равна ЛС& , где & -
внутренняя энергия единицы массы газа в сосуде при £~tff . Так как
граница S взята далеко от сосуда, где скорость движения газа сколь
угодно мала, то величину п0 на границе S можно считать совпадающей с
ее значением в покоящемся газе П0"= П "*" Jr *^L<, ,т»е» одинаковой во
всех точках границы S в течение всего времени от 0 до t-0. Поэтому,
с учетом выражения B.15), последнее слагаемое в уравнении энергии
B.16) равно - Attire . Таким образом получаем равенство
е (р*~, Т) - А (р^, 7L)
из которого и определяется температура 1 . Из уравнения состояния,
связывающего плотность с давлением и температурой,найдем плотность
О газа в сосуде и массу газа
Если газ совершенный и имеет постоянные теплоемкости Ср. и
Суэ > то e=cuTt fijrcpC,так чт°
или
Т С.
7Z,
^if.
-?■
т.е. температура газа в сосуде после закрытия крана превышает
температуру окружающего газа в ft раз. D
Плотность J> выразится формулой О = л^_ ,а масса газа в
сосуде формулой О 7>
18

При последующем выравнивании температуры газа Т в сосуде и
температуры окружающей среды 72* плотность газа в сосуде j> остается
неизменной (сосуд замкнут), давление же в нем изменяется от значения
-р ~ Роо при t"t0 до величины -ре , которая определится ,из
уравнения состояния. Для совершенного газа получаем
/>~> Т '
где Те - температура газа в сосуде после ее выравнивания с
температурой окружающей среды, так что Те — 7^, ,
Эта формула может служить для экспериментального определения
отношения теплоемкостей ft по измеряемым в опыте давлениям f> <х> и
ре -
Из уравнения баланса энергии B.13) путем его интегрирования по
времени от t"ta до достаточно больших £ (£-""«х> ) с учетом
притока тепла сквозь поверхность «5 при выравнивании температур получим
во
£(.^\~ JQd.t-а .
Отсюда переданное сквозь поверхность «5 наружу тепло, равное - Q,
есть
м
-a-M(e-eJ)-M(A„-eJ) = *£?.
Это тепло выделяется вследствие диссипации механической энергии
газа при заполнении им сосуда и оно равно работе сил давления на
поверхности S (объем 1/оа протекшего сквозь эту поверхность газа за
м
время заполнения сосуда равен -р.— . а давление на ней сохраняется
Woo
равным -р^).
Пример использования законов сохранения при установившемся
течении: вертолет в режиме "висения*
i
Пусть вертолет с расположенным горизонтально несущим винтом
неподвижен относительно удаленного от него воздуха. Представим
схематически вертолет (рис.2.4) в виде диска в плоскости вращения винта и
подвешенного к нему груза с общим весом G. От винта вниз отходит струя
воздуха, в результате чего на винте возникает направленная вверх
подъемная сила Р, уравновешивающая силу веса GL .
Окружим вертолет замкнутой контрольной поверхностью S , удаленной
от него настолько, чтобы, пренебрегая весомостью воздуха, давление
всюду на поверхности можно было считать постоянным и равным давлению
в бесконечности, и применим к газу внутри поверхности S законы
сохранения в интегральной форме. Отходящую от винта вниз струю будем
считать цилиндрической.
Пусть «5" *= Sa + Sc , где Sc - часть поверхности S , пересекаемая
струей; примем, что участок S с горизонтален и скорость газа на нем
распределена равномерно и направлена вниз.
Из уравнения баланса массы B.8) получим
19

Г'
л.
Sprrnd&-f-jicUcSc=0.
B.17)
Рис. 2.4
Уравнение баланса импульсов B.9)
в проекции на идущее вниз направление
дает
jj)v-ntt,ct& ~f-f>cZ/c Sc =
= P ~ \рс&ёг(п,сс)с1&.
ir B.18)
Так как в точках поверхности Оа
при ее удалении от вертолета скорость
■се, может быть сделана сколь угодно
малой, а давление р стремится к
постоянной величине ■&„ , то с учетом
B.17) оба интеграла в равенстве B.18)
стремятся к нулю при удалении S в
бесконечность, так что
B.19)
PcUcSc -Р,
т.е. подъемная сила винта равна по величине импульсу отбрасываемого
винтом в единицу времени газа в струе.
Обозначив через Vv мощность, сообщаемую винтом воздуху, из
уравнения баланса энергии B.13) находим
$j>»nAJ* +pcUcSc Df- + fie) =W •
Так как при удалении контрольной поверхности в бесконечность
величина Л о П°Д знаком интеграла стремится к постоянной п^^то
учитывая B.17), получим
W=J>C(/CSC
Uc
fi>c~ &~>J
так как
ЭЛ /_•
Э-i Ip
B.20)
Отличие от нуля разности пс~ &<х> ** Alp**, -Ьс)~Я/£>«,, ^^связано
с ростом энтропии при необратимом процессе подвода механической
энергии к воздуху в винте. Эта разность положительна при А > ^оа у
-I -J>0 и, следовательно, при постоянном давлении теп-
'Р
лосодержание есть монотонно возрастающая функция энтропии.
Как следует из выражения B.19), для создания тяги винта
используется лишь та часть мощности иЛ, подводимой к газу, которая
превращается в его кинетическую энергию. Мощность W согласно формуле
B.20) минимальна при 4С~4М и равна ; оюк-
Отношение мощности fyfug идеального винта к ее действительной
величине есть коэффициент полезного действия винта 77 ( 77 < 1):
fi.v.s.f-«w
B.21)
20

Используя выражения B.19) и B.21), находим
р - faw)*Pf s*.
Отсюда следует, что при данной мощности двигателя, вращающего
винт, целесообразно лопасти винта иметь по возможности длинными для
того, чтобы площадь сечения отбрасываемой винтом струи была
наибольшей и, соответственно, скорость воздуха в струе - наименьшей.
На практике значения Sc ограничиваются прочностью винта и его
весом.
Отметим, что и в других случаях, когда требуется получить большой
поток импульса при заданной величине потока энергии (если эта энергия
в значительной мере является кинетической энергией) выгодно иметь
малую скорость и, соответственно, большой массовый расход газа, а не
наоборот.
§ 3. Установившиеся движения газа в трубке
Рассмотрим установившееся движение газа в объеме внутри
контрольной поверхности, имеющей вид трубки (рис.3.1), замкнутой с концов
плоскими поперечными сечениями S^ и S (этими же буквами будем
обозначать и площадь соответствующих сечений). Боковая поверхность
трубки S0 может быть поверхностью тока, мысленно выделенной
внутри потока газа, но может частично или целиком совпадать с
ограничивающими газ твердыми поверхностями. Внутри трубки могут
находиться обтекаемые газом тела; в этом случае их поверхность принимается
за часть поверхности Sc .
Допустим, что в плоских сечениях Sy и S параметры газа
распределены равномерно, а скорость направлена нормально поверхности
сечений; скорость в сечении S / будем считать направленной внутрь
объема.
Допустим также, что вязкими нормальными напряжениями и
тепловыми потоками в сечениях S/ и S можно пренебречь.
Применим при сделанных допущениях к газу внутри контрольной
поверхности законы сохранения B.8)-B.11).
Рис. 3.1
21

Уравнение сохранения массы
Уравнение B.8) дает следующее соотношение
pVS ~J)£ VtS;- ffiltndr. (зл)
Произведения QjVj «S/ и oVS называются массовым расходом
(или просто расходом) газа в соответствующих сечениях трубки.
Величина
МСе)--Sf^der
4
есть суммарная масса газа, втекающего за единицу времени в трубку
между сечениями Sj и S через поверхность S0. С отношение C.1)
определяет JU, по известным значениям расхода газа в сечениях Sf
И S. se\
Если величина -ЛС задана заранее или известным образом
зависит только от значений параметров газа в сечениях S/ и £, то
уравнение C.1) связывает параметры газа в сечениях Sj и &
соотношением, не зависящим от распределения параметров в объеме трубки
между этими сечениями. В частности, при -ЛС •'= 0 это соотношение
имеет вид
pVS ^pMSi
^ (з.2)
и выражает равенство значений расхода газа в сечениях О/ и S.
Уравнения сохранения количества движения (импульса)
и момента количества движения (момента импульса)
Из уравненияхB.9) получаем
Jte> * V ' '
Здесь Jp - внешняя сила, действующая на единицу массы газа внут-
и. а
ри трубки, а
C.4)
So
есть главный вектор сил, действующих на поверхность So с0
стороны протекающего в трубке газа.
Если поверхность S0 твердая (рассматривается участок трубы и
скрепленные с трубой тела внутри нее; последних может не быть), то
Я, есть действующая на 30 сила реакции протекающего сквозь трубу
газа.
Величина называется полным импульсом газа в
сечении трубки. __Се> - —
Величина X ~ о рщуа,& есть суммарный импульс газа,
втекающего за единицу времени в трубку между сечениями S/ n S через
поверхность S0 .
При отсутствии массовых сил формула C.3) связывает силу Л
со значениями полного импульса газа в сечениях Sj и S и импуль-
22

сом втекающего сквозь поверхность S0 газа и определяет силу Л?
если эти величины известны.
Силу Л нельзя задать заранее,так как согласно C.4) она зависит
от распределения напряжений на поверхности За между сечениями Sj
и S . Единственным важным частным случаем, когда это можно сделатЬ,
является течение идеального газа в непроницаемой цилиндрической
трубке без помещенных в нее тел и при отсутствии массовых сил. В этом
случае векторы Vj ,V, а следовательно и Л f должны быть
направлены вдоль образующей трубки; с другой стороны, напряжения p„. , a
вместе с ними и Л , ортогональны образующей. Таким образом, R. =0,
Проектируя уравнение C.3) на направление образующей, получаем
соотношение между параметрами газа в сечениях S± и S в виде
p+jiVZ-pi+piVf , C.5)
не зависящем от распределения параметров в объеме трубки между эти4-
ми сечениями.
Из уравнения сохранения момента количества движения B.10) при
отсутствии производящих момент массовых сил находим
-§p-0-n0Z*V)d6r -R •
So
ff=-f(vxPn)d6-
**. " " " (з.б)
So
Здесь
есть суммарный момент относительно некоторой точки поверхностных
сил, действующих на поверхность S0 со стороны протекающего газа,
а Ъ{ и 'С* - радиусы-векторы относительно той же точки центров
тяжести площадей сечений «S/ и S .
Если на поверхность трубки извне действует постоянное давление
■ра , то после замены в выражениях C.3) и C.6) _f>j и /О
соответственно разностями -р^~Рл и -р--рА величины Jt или И в этих
выражениях будут представлять силу или момент, действующие на
трубку изнутри со стороны движущегося газа и извце вследствие
приложенного к ней внешнего давления ^Ол-Это следует из того, что при -рЛ"
= e&rivt для произвольной замкнутой поверхности 2Z интегралы
SPa. nd& и JfrxpcjOder
г я
равны нулю и их можно добавить в правые части равенств C.3) и C.6),
соответственно, не изменив эти равенства.
Уравнение энергии
Обратимся к уравнению баланса энергии в виде B.13). Из него
получаем
C.7)
23

В этом выражении представляет собой
работу, совершаемую в единицу времени над газом в контрольном объеме
внешними массовыми силами и силами на поверхности S0, a G. есть
приток сквозь эту поверхность тепла и других немеханических видов
энергии.
Произведение pVSk0 называется потоком полного теплосодержания
в сечении трубки. .
Величина P2f'e—-J^o^r«ei*6'ecTb суммарное полное
теплосодержание газа, втекающего за единицу времени в трубку через
поверхность S0.
Соотношение C.7) определяет величину W—W+CL через значения
потока полного теплосодержания газа в сечениях S/ и S и приток
полного теплосодержания с втекающим сквозь поверхность S0 газом. В
общем случае W зависит от распределения параметров в объеме
трубки между сечениями S± и о . Однако, во многих важных случаях
величина W может быть указана заранее и, в частности, она может
равняться нулю. При отсутствии внешних массовых сил \\Г есть работа одних
только поверхностных сил на S0. Если S„ непроницаема для газа и
если газ идеален, то W^ равняется нулю из-за того, что поверхностные
напряжения нормальны к направлению скорости газа и потому не
производят работы над газом; если газ вязкий, но S0 неподвижна, то,
вследствие прилипания вязкого газа к поверхности, скорость его равна на
ней нулю и, следовательно, касательные составляющие напряжения
тоже не производят работы.
Приток тепла и других немеханических видов энергии C. может
отсутствовать или быть заранее заданным.
Во всех случаях, когда три последних слагаемых в правой части
соотношения C.7) известны или зависят только от значений параметров
газа в сечениях S{ и S , это соотношение устанавливает связь между
параметрами газа в этих сечениях, не зависящую от распределения
параметров в объеме трубки между сечениями. В частности, если приток
массы сквозь поверхность S„ отсутствует и работа \Л^ внешних сил
равна нулю, то из выражения C.7) получим
откуда, учитывая C.2), находим
K^Ki4-? > C.8)
где Q - приток тепла, отнесенный к единице массы протекающего
газа. Для адиабатических течений Q = 0 и
б.^&сн > C.9)
т.е. значения полного теплосодержания газа в сечениях S и Sj
одинаковы.
Соотношения C.1), C.3), C.6), C.7) применимы как для
непрерывных движений, так и для случая, когда внутри рассматриваемого
объема могут быть поверхности разрыва параметров газа; они являются
точными при принятых предположениях о поведении газа в сечениях
^.
24

Адиабатические обратимые течения
Если течение газа между выбранными сечениями трубки происходит
адиабатически и обратимо, то энтропия газа в обоих сечениях трубки
одинакова, т.е.
*'** • C.10)
Это равенство и соотношения C.2) и C.9), следующие из законов
сохранения массы и энергии, образуют систему уравнений для определения
параметров газа в выходном сечении трубки по их значениям во
входном сечении.
Изотермические течения
В некоторых случаях течений газа (например, при движении газа с
высокой теплопроводностью в длинных трубопроводах, имеющих хороший
тепловой контакт с окружающей средой) температуру всех его частиц мож
но считать одинаковой и неизменной во времени. Такие движения с
Tsacnvif называются изотермическими. При установившихся
изотермических движениях газа в трубах справедливо равенство
Г=Т± . (з.п)
Движения с 1-~сС71&ъ не могут в общем случае быть
адиабатическими; для поддержания постоянной температуры частиц к ним должен
осуществляться подвод или отвод тепла, определяемый уравнением
энергии.
Дифференциальные соотношения
Обозначим через зс расстояние вдоль средней линии трубки,
отсчитывая его, например, от начального сечения S* в сторону течения
газа. Предположим, что условия о равномерном распределении параметров
газа в сечении S и о возможности пренебрегать в этом сечении
продольным тепловым потоком и вязкими напряжениями выполнены при всех
значениях ос , при которых рассматривается движение. Если при этом
распределения параметров газа по дляне трубки являются непрерывно
дифференцируемыми функциями от ос (для этого площадь сечения трубг-
ки S(х) и внешние воздействия Jll'e)f 0£*'е^ и т.д. тоже должны)
обладать этим свойством), то соотношения C.1), C.3) и C.7) можно
дифференцировать по ос .
Ограничимся случаем, когда стенки трубки непроницаемы для газа,
так что JU е — УС(е^ = Зс - 0. Будем считать, что газ либо
идеален, либо, если он вязкий, то стенки трубки неподвижны, так что
второе слагаемое в выражении для W^ равно нулю.
Дифференцируя вдоль ж соотношение C,1), получим
d(pVS)-0 C.12)
do . dV^ dS n
~f- + ~y--I- -$- = О . C#13)
или
Из уравнения импульсов C.3) найдем
25

dfayV*)Sfi] =j>fe)Sdx +Spnde. (зл4)
Здесь через dS0 обозначена площадь кольцевого элемента
поверхности трубки между двумя ее бесконечно близкими сечениями.
Продифференцировав по эс тождество
получим S0
Sn0d& + d (Sn) - О.
dS*
Добавим эту равную нулю сумму, умножив ее предварительно на р,
к правой части равенства C.14). После некоторых преобразований с
использованием соотношения C.12) получим
nSdp+jo VSdCVfl) -/> f^Sdae + frn d<T ,
0lS0
где £ГП - вязкая составляющая поверхностного напряжения.
Проектируя это уравнение на направление оси трубки и поделив
результат n&pS, найдем
VdV * ^-C<^*^-5%^■ C..5,
Если газ идеален ( ^п = 0), то это уравнение имеет вид
При течении вязкого газа в цилиндрической трубке кругового
сечения последнее слагаемое в соотношении C.15) равно - zSLr/ac . где
л. - радиус сечения трубки и *с - напряжение поверхностного трения.
Будем считать это выражение справедливым и для трубок некругового
сечения и нецилиндрических (пренебрегая при этом вязкими
нормальными напряжениями на стенке сравнительно с давлением и не учитывая
расходимость трубки), понимая под Л так называемый гидравлический
радиус сечения, равный удвоенной величине отношения площади
сечения к его периметру.
Введя вместо С безразмерный коэффициент трения £ по формуле
, запишем уравнение импульсов C.15) в виде
vdV+*f-lf!?eix-]L-v'ct*. «u..
Продифференцировав вдоль X соотношение C.7), получим
dfaVSAJ-jo^Vsdac +dGL
или, с учетом равенства C.10)
<*&* ^f^dx+ydoc . C.17)
Здесь Ох - подводимое к газу в единицу времени тепло, отнесенное
к единице длины трубы й к единице массы протекающего газа.
Для адиабатических течений газа при отсутствии работы внешних
массовых сил dn0 - 0, т.е.
26

тг„ ** c&nyt.
C.18)
Уравнения C.13), C.16) и C.17) представляют собой
математическую модель установившихся непрерывных адиабатических (при (fx =0)
и неадиабатических (при срх ¥ 0) движений идеального (при £ = 0)
и вязкого (при §"> 0) газа в слабо искривленных трубках с плавно
меняющейся формой и площадью поперечного сечения.
Напомним, что, согласно изложенному ранее (§2), под величиной
<2Х можно понимать не только подвод тепла извне, но и
тепловыделение внутри газа, обусловленное превращением в тепловую энергию
других видов внутренней энергии газа.
Получим еще уравнение для изменения энтропии. Заменив в уравнении
C.17) dh0 по формуле
dfi^dh-hVdV^Tdb+^ + VctV
.г
и пользуясь уравнением импульсов C.14), получим
Td* =yxdx-f-£-V dx . C.19)
Таким образом величина ~W~V в уравнении C.13) есть нескомпенси**
рованное тепло, выделяющееся на единице длины трубки в единице
массы протекающего газа вследствие необратимого характера движения
газа в трубке с трением.
Из трех уравнений C.16), C.17), C.19) лишь два независимы;
поэтому вместе с соотношением C.13), следующим из закона сохранения
массы, можно пользоваться любыми двумя из них.
Отметим, что уравнение импульсов и уравнение энергии приводят к-
одному и тому же соотношению
<jf + VdV=f:>doc, C.20)
если движение не сопровождается необратимыми процессами, т.е. если
oxdx=Td^ и С = 0.
Если внешняя сила имеет потенциал U то соотношение C.20) Можно
проинтегрировать, получив в результате интеграл Бернулли
При движениях идеального газа в трубке тюка дифференциальные
соотношения C.12) и C.20), полученные из законов сохранения массы и
импульса, являются точными при любых энергетических процессах,
сопровождающих движение.
Параметры торможения, максимальная скорость
Назовем термодинамическое состояние покоящейся частицы газа
состоянием торможения. Для движущейся частицы состояние торможения
определим как такое, которое достигается в частице при ее
действительном или мысленном замедлении до нулевой скорости. Очевидно, что это
состояние зависит от процесса, сопровождающего замедление частицы,
и для того, чтобы сделать его определенным, нужно этот процесс
конкретизировать.
27

Примем, что замедление частицы до нулевой скорости происходит
в соответствии с закономерностями установившегося адиабатического
течения идеального газа (без подвода внешней работы). При этом условии
согласно соотношению C.18) теплосодержание частицы в состоянии
торможения равно ее полному теплосодержанию, так что эти два определения
эквивалентны. Дополнительно к адиабатичности' предположим обратимость
процесса замедления, тогда состояние торможения определится полностью,
так как из сделанных предположений следует сохранение энтропии при
замедлении частицы. По известным теплосодержанию и энтропии • в
состоянии торможения найдем остальные термодинамические величины в этом
состоянии: давление, плотность, температуру и др. (давление торможения
принято называть также полным давлением).
Таким образом, параметры торможения - это значения
термодинамических величин, которые имела бы частица после адиабатического
обратимого замедления ее при установившемся течении до нулевой скорости.
Пользуясь обратимостью предполагаемого процесса, можно определить
параметры торможения по-иному - как значения термодинамических
величин в резервуаре с покоящимся газом, при установившемся
адиабатическом обратимом истечении . из которого частица может иметь
данные значения скорости и термодинамических параметров.
Параметры торможения будем снабжать индексом О внизу, например,
р0 — давление торможения; энтропию торможения будем называть
просто энтропией вследствие их совпадения.
Покажем,,, что полное давление всегда больше действительного
давления, и что в случае нормального газа то же справедливо для
температуры и плотности.
Действительно, из определения полного теплосодержания как суммы
Л0" п+о' и определения параметров торможения следует &0~ А{-ро ■&)>
> А(-Р,*) ■ Так как Пр"& > 0, то всегда po~>f> . Отсюда и из того,
что Т=А4_(р>*),Ъ-&г(~р,4) и Ъ- A.tfo.,4),1t~Af>(fi,ii),
получаем, что при Пр-ь > 0, /грр < 0 (два лз условий, принимаемых для
нормального газа) всегда Т„ > 7*, /)(J-.-f>/'= — .
Из определения параметров торможенья следует, что при
установившемся адиабатическом обратимом движении эти параметры в частицах
газа сохраняются неизменными несмотря на изменение скорости и
термодинамического состояния частиц.
При нарушении предположений об адиабатичности и обратимости
процесса при установившемся течении газа параметры торможения
изменяются.
Полное теплосодержание (оно же - теплосодержание торможения)
изменяется согласно уравнению C.17).
Энтропия меняется согласно соотношению C.18).
Эти соотношения связывают параметры состояния в действительном
движении. Наряду с ними рассмотрим связь между параметрами
торможения
Отсюда при адиабатических движениях
т.е. полное давление газа в течениях с необратимыми процессами
уменьшается: происходят, как говорят, потери полного давления или просто
"потери*.
28

Происхождение этого термина можно уяснить из следующего.
Рассмотрим (рис.3.2) установившееся адиабатическое перетекание
газа через трубку из одного большого резервуара (пусть это будет левый
резервуар) в другой.
Вдали от соединяющей резервуары трубки газ в них можно считать
покоящимся. Согласно предыдущему, если состояние текущего газа
изменяется обратимо, два термодинамических параметра газа -
теплосодержание и энтропия - будут в правом резервуаре теми же, что и в левом.
Таким образом термодинамическое состояние газа в обоих резервуарах
одно и то же и, в частности, температура и давление в них одинаковы.
Если процесс течения необратим и энтропия газа при течении
возрастает, то давление в правом сосуде будет ниже давления в левом сосуде.
1,
fof
Рис. 3.2
Таким образом, после необратимого перетекания газа из левого
сосуда в правый произошла с технической точки зрения потеря ценности
запасенного газа - давление в нем упало.
Рассмотренный пример показывает также, что в согласии с нашим
интуитивным представлением, газ не может стационарным образом
перетекать из резервуара с меньшим давлением в резервуар с большим
давлением. Отметим, однако, что это интуитивное представление
несправедливо в общем случае неадиабатического течения: при наличии теплообмена
с внешней средой газ может течь в резервуар с более высоким
давлением.
Для неадиабатических течений
Ik
Т
ранее температура торможения выше действительной температуры газа.
Поэтому подвод тепла к газу в установившемся течении всегда связан
с падением полного давления, отводом же тепла можно полное давление
увеличить.
Формула а, + -q — пв показывает, что если вместо величины Н„
ввести равную ей величину ~~Jr~ > то VM можно трактовать как
наибольшее значение скорости, которое можно получить, если газ с данным
состоянием ускорять в трубке при установившемся адиабатическом
течении в ней. При этом теплосодержание обращается в нуль; вместе
с ним обращается в нуль давление. Скорость VM — -\/S A J называется
максимальной скоростью установившегося адиабатического течения га-
Величина /-
т d9>
всегда отрицательна, т.к. согласно доказанному
29

за или скоростью установившегося расширения газа в вакуум.
Для совершенного газа теплосодержание есть функция только
температуры, поэтому максимальная скорость есть в этом случае функция
только температуры торможения. Если теплоемкости совершенного газа
постоянны, то
В общем случае нормального газа максимальная скорость зависит не
только от температуры торможения, но и от давления газа в этом
состоянии.
Скорость звука, число Маха; критические параметры
Как говорилось в конце § 1, в газовой динамике важную роль играет
термодинамический параметр Л, который определяется формулой
*--ш
и называется скоростью звука.
Если скорость частицы газа V меньше скорости звука а. в частице,
то скорость называется дозвуковой; при V~> CI скорость называется
сверхзвуковой.
Отношение ~~т~ является фундаментальным безразмерным
Параметром в газовой динамике и называется числом Маха.
В ряде случаев величину о, удобно считать одним из
термодинамических параметров, характеризующих состояние среды.
Если теплосодержание те принять за функцию энтропии 4- и скорости
звука Q,,т.е. &= п fa, а,),то из соотношений E.9) и E,10) следует,
Что при установившемся адиабатическом обратимом движении газа скорость
У и скорость звука а связаны условием
-j--*-Afa/a)=At,\, (ада)
гДе П0 и *" ~ константы.
Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями эта связь
имеет простой вид (см. формулу A.10) для {i )
2 Т г C,23)
и не содержит энтропии &.
В заторможенном состоянии V - 0 и CL принимает наибольшее
значение CL0 ; при V^V^, величина Л ■ 0. В этом и в более общем случае'
нормального газа при данных Ав и £• можно представить состояние, в
котором V*О,"V*p • Это состояние называется критическим, а
соответствующие ему значения скорости V^> и термодинамических параметров Рир,
Ркр г Ткр - критическими значениями. Очевидно, что при критической
состоянии М" МКр =1.
Покажем, что для нормального газа критическое состояние
существует и единственно. Для этого, полагая в условии C.22) У^— а?*^ £ j
получим уравнение для нахождения критического давления ™ГР
30

Так как *(jPj— п рг—™f>pp и дпя нормального газа "fcfpp > О,
то функция y(-fi) монотонно возрастает при всех ft. При т0 — ?0* она
имеет положительное значение, так как -п •= п,0 9 а ^/»/> "^ 0 для
нормального газа ( ■&у,=щ &о ¥ 0). В § 1 было показано, что при />=0
а = 0, так что <р@) ~~А0 и, следовательно, отрицательна. Из
непрерывности и монотонности уСр) следует существование и единственность
значения *> = f>*x> ,npw. котором V~=&} причем 0< -рк/><-р0 •
Связь между скоростью и площадью сечения трубки
Рассмотрим выражение для расхода газа через трубку.
Отнесенная к единице площади сечения величина расхода '^~=pV
называется удельным расходом или плотностью потока массы. Пользуясь
определением полного теплосодержания газа, можно написать
fovyYefa-A):
C.25)
Если считать /О и л, функциями давления 4У и энтропии б , то
эта формула дает зависимость удельного расхода от давления р и
параметров торможения 710 и Ъ (или ~п0 и f*o )• Запишем C.25)
в дифференциальной форме:
dG US djoV_dp d&.-clfL
T ~ T'W'T ШЛО'
-±-г(МЧ)с(р-(рЯ^^)с1б*^. C.26,
Здесь использованы соотношения Лр-g-, ZLf.l и jfr /**"—2Г *
При постоянном расходе газа через трубку и адиабатическом
обратимом движении (cLG~ct&,roLb = о) из C.26) следует
dp dS
{/-/*)&-&■
или
(так как в этом случае а Х^сС V~*~с£р = 0)
Отсюда следует, что при малых значениях числа Маха скорость
меняется при движении газа в трубке, как и в несжимаемой среде,
обратно пропорционально площади сечения трубки.
При дозвуковой скорости, т.е. при М <£ 1, скорость растет при
сужении трубки, соответственно скорость звука падает, так что число Маха
растет. При этом влияние уменьшения площади сечения на увеличение
скорости проявляется с ростом числа Маха все сильнее. При
сверхзвуковой скорости, т.е. при М > 1, напротив, скорость растет при
расширении трубки. Это связано с тем, что относительное увеличение
скорости газа в трубке уже не компенсирует относительного уменьшения его
плотности. Влияние расширения трубки на увеличение скорости при//>1
31

с ростом числа Маха падает; при
очень больших числах Маха скорость
газа при изменении площади сечения
трубки почти не изменяется - она
достигает своего максимального
значения Т/^. .
Для того, чтобы при движении
вдоль трубки при переходе сечения,
где М = 1, величина dV '
сохраняла знак, необходимо,
чтобы величина oCS в
этом сечении обращалась в нуль и
меняла знак. При М = 1 площадь сечения минимальна, трубка имеет
в этом сечении пережатие - так называемое "горло*'.
Таким образом, непрерывное ускорение квазиодномерного потока газа
от дозвуковой скорости до сверхзвуковой или непрерывное торможение
сверхзвукового потока до дозвуковой скорости возможно лишь в трубке с
"горлом". Такая трубка, изображенная на рис.3.3, называется соплом Ла-
валя .
н горло
сопла
Рис. 3.3
Формулы для совершенного газа
Для совершенного газа справедливы соотношения
Отсюда
Обозначим
•-Л и
v
- i
V*
v£
=Л- . Тогда
v-u
Укр
И^У-Л*
Т
т0 *
t-л*
Г + 1
При обратимых адиабатических течениях
и, следовательно,
%~(кНЪТ
,-£-
C.27)
C.28)
C.29)
C.30)
*)
Шведский инженер Лаваль A845-1913) впервые применил такие
трубки для создания сверхзвуковых струй водяного пара, вращающих рабочее
колесо паровой турбины.
32

Так как Л = 1 при М = 1, то критические значения параметров
газа -Ркр , р,а>, Ткр связаны с параметрами торможения формулами
&е.
В табл. приведены значения этих отношений для нескольких значений
t
1
1.2
1.4'
5/3
Оо
То
1
0.9091
0.8333
0.7500
0
0.6065
0.5645
0.5283
0.4871
0
J>o
0.6065
0.6209
0.6339
0.6495
1
аа _
VI
Записав соотношение C.27) в виде
V? + ...
и поделив в нем все слагаемые на ~п~, получим связь между
величиной Л. или Л- и числом Маха М:
{ +
d
'л3
СГОМг Л2 v-i Л3 ' C.31)
Пользуясь этой связью и формулами C.29), C.30), можно выразить
зависимость температуры, давления и плотности от числа Маха:
т
Т9~*+*г-М*
2
FT
>
i.O
0.8
0.6
0A
(id
Г
£
Я
/^
T
/ >o
0\.
*-№«•)
C.32)
J
ти
На рис.3.4 приведены зависимое—
T jo_ fi .
тГ > л и J5* OT при
ft = 1.4, а на рис.3.5 - связь
между Я и М для этого же значения
Запишем уравнение сохранения
расхода газа Q через трубку в виде
pVS = 6 -jd^VkpSmp
C.33)
04 0.8 /.2 f.S 2.0 £& д При заданных параметрах
торможения введенная здесь величина Sup
определяется значением расхода Q
и может использоваться вместо Q.
Рис. 3.4
33

Из уравнения C.33) найдем связь между площадью сечения трубки
S и безразмерной скоростью Л или числом Маха М в виде:
-(.*гГ (<-&*)**-№'
>*/>
=(¥)
ТУ
C.34)
«it
(i + &M*W*
Л,
i
0
1
*
r-/*
» 4
» J
'
Г//
Функция <2 { Д/ , представляющая
собой зависимость от Л безразмерной плот-
ности потока массы ^—лг » иллюстри-
JJKpVpep
рована графиком на рис.3,6а. Функция
Q (Л) обращается в нуль при Л =0
(из—за того, что обращается в нуль
скорость V; плотность при этом равна
плотности торможения j0o ) и при Л. =
= \~JZi (из-за того, что обращается
Рис. 3.5
в нуль плотность; скорость при этом
равна VM )', при Я = 1 функция а(Х)
имеет максимум, равный единице. ,,
Полезно величину о<= £ ,г выразить как функцию отношения ~^—
1ьзуясь соотношением -=£-=/т£г—) = ($Т г" /-— ) и связ
Пользуясь
C.30) между -Л
связью
получим
График этой функции приведен на рис.3.66.
Так как плотность потока массы с V при заданных параметрах
торможения и, следовательно, при заданном рКр Vk/> имеет максимум,
М О.Я /£ /.6 £0 24 д q
a
Рис. 3.6
г
0.8
06
0£ ОЛ 0.6 0.8 _Д
34

то ясно, что при заданных параметрах торможения существует
предельное значение расхода газа, который может протекать сквозь заданное
сечение трубки. Это наибольшее значение расхода газа называется
критическим. Наоборот, при заданном расходе газа G сечение трубки не
может быть меньше предельного, определяемого формулой
«-**/>
Кр />*рУкр
Эта минимальная величина площади сечения трубки называется
критической.
Подчеркнем, что при критическом значении расхода скорость газа
равна скорости звука.
Формулы C.27)-C.30) при заданной совокупности значений параметр-
ров газа Vy -Р > ft и Т могут служить просто определениями
величин Т0, Y& , Л. , -р0 ,fi0 . Эти величины можно ввести для любого
потока. Как уже подчеркивалось ранее, удобство их введения для
установившихся адиабатических обратимых течений состоит в том, что в
таких •: течениях значения Т» , V^, -р0 , fi0 остаются неизменными вдоль
трубки. Формулы C.29) и C.30) дают при этом зависимость
температуры, давления и плотности от скорости газа. Формула же C,34) при
постоянном значении SKpt определяемом расходом и параметрами
торможения, устанавливает связь между скоростью и площадью сечения
трубки.
Течение в сопле Лаваля (I)
Рассмотрим возможные режимы истечения газа из сосуда больших
размеров через сопло Лаваля (рис.3.7) с заданными площадью
минимального поперечного сечения Sr и площадью выходного сечения Sg.
Изучим сначала изменение режимов течения газа в сопле при
изменении расхода газа через сопло G . При G - 0 скорость газа всюду
в сопле равна нулю, а давление постоянно и равно давлению -р0 в
резервуаре (прямая 1 на рис. 3.7.).
При малых G величина S up в
выражении C.33) будет меньше Sr.
Согласно зависимости C,34) величина
О .(см. рис. 3.6), равная нулю при
неограниченно больших значениях S,
возрастает при движении вдоль трубки с
уменьшением S , достигает
наибольшему
Р.
*
/
?ч
у^За
V^w
*Ъ
^Рс
то значения, равного
горле
сопла, а при дальнейшем движении вдоль
сопла вновь убывает до значения
St
в выходном сечении. Согласно
Рис. 3.7
с таким поведением величины а
давление газа в сопле уменьшается при
приближении к минимальному сечению, а
затем вновь возрастает к выходу из
сопла (кривая 2 на рис.3.7). Скорость
газа всюду дозвуковая и имеет
максимум в горле. При увеличении G до
некоторого значения G
*Р
Я»
35

станет равной Sr . При этом наибольшее значение функции <f в горле
сопла станет равным единице, т.е. функция о достигнет своего
максимума. Скорость газа в горле достигнет критического значения, т.е.
станет равной скорости звука, а давление упадет до значения ркр
(кривая 3 на рис,3.7).
Очевидно, что дальнейшее увеличение G при данных условиях в ре-
резёрвуаре и данной площади горла невозможно.так как при этом
отношение -jj , а» следовательно, и величина а достигли бы
наибольшего возможного значения, равного единице, еще до горла.
Так как при G **GKa функция а достигает максимума в горле
сопла, то дальнейшее движение вдоль сопла, сопровождающееся ростом S
и соответствующим уменьшением <2 , может происходить с
уменьшением скорости и увеличением давления (кривая За на рис.3.7) или с
увеличением скорости и падением давления (кривая 36 на рис.3.7).
Иными словами, при достижении скорости звука в горле продолжение
течения в расширяющуюся часть сопла может происходить двумя
различными способами: это может быть^либо замедляющийся
дозвуковой поток, либо ускоряющийся сверхзвуковой поток.
Таким образом, изменению расхода G от нуля до G**G#p
соответствует совокупность возможных установившихся адиабатических
обратимых течений в сопле Л аваля, в которых давление в выходном
сечении сопла меняется в интервале от р при G - 0 до некоторого
минимального значения -рд > "Ркр ПРИ G = GMfi . Значению G ~ G *р
соответствует также второй - сверхзвуковой-режим течения в
расширяющейся части сопла, при котором давление газа в выходном сечении
сопла равно некоторой величине рс < ft*p .
Рассмотрим теперь истечение газа из резервуара с давлением тО,
через сопло Л аваля в пространство с давлением -ра ^ -£>«, . При f*^
= ра газ покоится, так что G - О, Как будет показано в
последующем, при дозвуковом истечении газа из сопла давление газа в
выходном сечении следует принимать равным давлению в окружающем
пространстве. Поэтому при понижении давления рл в интервале от <>„
до р<г давление в выходном сечении изменяется как ра и расход
газа через сопло возрастает от нуля до максимальной возможной
величины Окр. Что произойдет, если ра. будет падать дальше - ниже
значения р» ? Изложенная выше теория не позволяет ответить на
этот вопрос; из этой теории следует, что при ра-<fig не
существуют установившиеся адиабатические обратимые течения с давлением
в выходном сечении сопла, равным ра_. Исключение составляет лишь
случай так называемого расчетного сверхзвукового истечения из
сопла, когда рл- рс ■
Ответ на поставленный вопрос требует дальнейшего существенного
развития теории. Забегая вперед, укажем, что для этого мы должны
будем, во-первых, отказаться от предположения об обратимом и
непрерывном характере течения, обнаружив механизм возникновения
необратимого уменьшения полного давления в потоке, и, во-вторых, - в
случае сверхзвукового истечения, - показав, что давление в выходном
сечении сопла может не совпадать с давлением в окружающем
пространстве, должны будем отказаться от предположения о постоянстве
параметров газа по сечению истекающей из сопла сверхзвуковой струи.
36

Истечение из сужающегося насадка
Из изложенного выше ясно, что если трубка, через которую
истекает газ , не имеет расширяющейся части (такие трубки называются
сужающимися насадками или соплами, также - дозвуковыми соплами), то>
при понижении давления -О^ в окружающем пространстве от -f>D до
р,ф расход через насадок будет возрастать от нуля при ■рсс — -р0 до
(хкр ПРИ />а.=^Цо»когда в выходном сечении сопла будет
достигнута критическая скорость. Дальнейшее понижение давления в окружающем
пространстве не изменяет течение внутри сопла и не может увеличить
расход газа через сопло (происходит так называемое "запирание*
сопла), приводя лишь к изменению течения в струе вне сопла, „
Зависимость расхода газа через сопло от отношения давлений т^
и от параметров торможения дается формулой Сен-Венана-Ванцеля:
GkP при f>a < f>Kf> C.35)
Из-за невыполнения в действительности предположения о постоянстве
параметров в выходном сечении сопла, особенно при резком изменении
площади и формы поперечного сечения сопла на его выходном участке,
действительый расход газа через сопло отличается от вычисленного
по приведенной выше формуле.
Вычисленное по формуле C.35) значение расхода уточняют
умножением его на так называемый коэффициент сужения струи JU . Величина
JU> зависит от формы выходного участка сопла и от отношения
давления в окружающем пространстве к полному давлению истекающего
газа (или от соответствующего этому отношению давлений числа Маха);на
коэффициент jit может влиять и вязкость. Определение коэффициента
сужения струи теоретическим путем представляет собой сложную
газодинамическую задачу; поэтому во многих случаях его находят
экспериментально.
Известна, однако, частная форма насадка, для которой при
дозвуковом истечении газа коэффициент сужения струи можно найти
теоретически достаточно просто. Решение этой- газодинамической задачи, как и
ряд следующих за ней, основан на использовании интегральных законов
сохранения и установленных в настоящем параграфе соотношений между
параметрами газа при адиабатическом обратимом течении.
Насадок Борда. Рассмотрим сосуд большого объема (рис.3.8), из
которого газ , находящийся в нем под давлением -рв } истекает в виде
струи через сужающийся насадок в пространство с давлением ^Ол .
На большом расстоянии от отверстия струя приобретает цилиндрическую
форму. Пусть S - площадь выходного сечения насадка, a S^/U S—
площадь сечения цилиндрической струи.
Возьмем замкнутую контрольную поверхность Z , состоящую из
достаточно удаленной от входа в трубку поверхности «У.» внутри объема
с газом, части поверхности стенок резервуара и поверхности трубки
Scr > поверхности струи и поперечного сечения струи Sa там, где
струю можно считать цилиндрической и параметры ее по сечению -
однородными.
Считая течение стационарным, применим к газу внутри поверхности
Z? закон сохранения массы
37

fj>»nde-0
и закон сохранения количества движения
fpVnVU(> - - jCf-pa) К ^6-. C.З6)
Очевидно, что подынтегральные выражения в левых частях обоих
равенств отличны от нуля только на поверхности Sao и в сечении
струи SA , так что из уравнения сохранения массы следует
Sf>Vnde +paVa Sa=0,
C.37)
а из уравнения количества движения в проекции на ось трубки Х-
При удалении поверхности 5» от входа в трубку внутрь
резервуара величина скорости в точках этой поверхности стремится к нулю, а
величина давления р стремится к давлению ро ■
Учтем, что согласно C.37) интеграл Л P"*>nd& имеет конечную
величину. Кроме того, воспользуемся тем, что на замкнутой поверхности
S^ + Ser + S
S(f>o~P*)<**{n,x)d(>+Sfa-f>ay0.
s^ser
Поэтому уравнение количества движения C.36) дает
Pa. VJ 5а ~(f»-fa) S + ffa -р)св* {п,х)с1бГ ,
'СТ
38
Рис. 3.8

откуда
Я
+
/
fi*V/S
J (-Po~f>) <*% fa, *0 oL& .
C.38)
^r
Рис. 3.9
Так как давление на стенке
сосуда не может превосходить
полного давления ( f>0 >• -р ) и для
сужающихся насадков о&& {тг, х)
> 0, то наименьшее значение
коэффициент уи будет иметь в
случае, когда интеграл в правой
части C.38) обращается в нуль. Этот
случай реализуется для насадков
Борда (рис.3.9), вдвинутых внутрь
сосуда и имеющих цилиндрическую
форму вблизи отверстия, так что
на всей внутренней поверхности
Scr либо -f> -=• -ря f либо вблизи
отверстия, где -р изменяется от
fo до рл , со4{гг,ас)= о
При адиабатическом и обратимом истечении совершенного газа из
формул C.30) и C.32) найдем
J1
$~1
или
^ <$F-i
/'-pp[(<+*rMef-<]
нию
При рл~*~-ро или при /у~"" 0 у^"*~ > что соответствует истече-
■* несжимаемой жидкости. При ра ■= ~Ркр или Л ~ 1
В таблице приведены значения /U при V = 1,4 и нескольких
значениях И
и
JU
0
2
0.1
0.501
0.2
0.505
0.4
0.520
0.6
0.547
0.8
0.585
1.0
0.638
Сила, действующая на трубу или сопло, по которым течет газ
С помощью уравнения C.3) можно определить силу Л}
действующую на неподвижную или ' движущуюся поступательно с постоянной
скоростью трубу или другое газопроводное устройство при протекании
по ним газа (рис.3.10). Согласно этому уравнению (с учетом
сделанного выше замечания об учете внешнего постоянного давления ^Ол )
получаем - — -
39

V,
а - Гл-л +аУ?)Ъъ -(f-f«-rv2>sv
__ Ci39)
Если линии в направлении векторов V и Vt , проходящие через
центры тяжести сечений S и S/, пересекаются в точке О , то из
выражения C.6) следует равенство нулю суммарного момента
относительно точки О сил, действующих
на трубу при протекании по ней
газа. Поэтому в таком случае
действие на трубу протекающего газа
сводится к приложению силы Д.
к точке О , скрепленной с
трубой. В общем случае это действие
сводится не только к силе, но и
к паре сил.
Если скорости в выходном и
входном сечениях, трубы
направлены, одинаково ( оС - 0), то сила
Л действует вдоль того же
направления и по величине равна
Рис. 3.10
R-o(v,-v) + fa-f>)St-rp-pa)s;.
C.40)
Эта формула дает, в частности, силу, действующую со стороны
протекающего газа на сопло с прямой осью (рис.3.11). Если эта сила
противоположна по направлению скорости истекающего газа, т.е. если
Л <Г 0, то величина 1*=~11 >■ 0 называется тягой сопла. Как
отмечалось ранее, при дозвуковом истечении газа из сопла, а в случае
расчетной величины площади выходного сечения сопла S - к при
сверхзвуковом истечении, давление газа р в выходном сечении
сопла равно наружному давлению ра . Формула C.40) принимает при этом
вид
A-G(V,-V) + fa-/DA)S£ .
/>•
При дозвуковом истечении через сужающееся сопло с заданной
величиной S расход газа Q и скорость истечения V в этом выражении
определяются через -О^ по приведенным ранее формулам. -
При сверхзвуковом истечении
через сопло Л аваля расход газа равен
критическому. Давление газа в вы-^
ходном сечении может отличаться
°т т°а в ту или иную сторону.
Покажем, что при отклонении
площади выходного сечения сопла от
расчетной тяга сопла -падает-..
Действительно, если уменьшить площадь
выхода (рис.3.11), то для создания
тяги не будет использоваться учас-
40
Рис. 3.11

ток сопла, где р->рл ■ если же увеличить площадь выхода, то на
участке сопла, где площадь больше S, газ будет продолжать ускоряться,так
что давление в нем станет ниже р^ и тяга тоже уменьшится.
Это объяснение, конечно, следует и из формулы C*40). Если принять,
что изменение площади S не нарушает непрерывного характера
течения в сопле, и не учитывать трение газа о стенки сопла, то варьируя
в формуле C.40) величины, относящиеся к выходному сечению сопла,
получим
dJt"~GUV- Sdp~(p-p*)dS~
= ~S(f)VdVi-dp)-(io-pa)dS.
Так как при непрерывном течении f>VdV+ dp = 0, то
dT=-dR=(p-pa)dS .
Данное выше объяснение как раз и соответствует этому
соотношению, из которого следует, что при ctS < 0 и, соответственно, р>р<^
будет ЫТ< 0; если же cCS > 0 и, соответственно, р •<Ра.,то опять
сСТ"< 0; таким образом при р=рл тяга У имеет максимум.
Тяга ракетного двигателя
Если скорость истекающего газа нормальна направлению вектора
импульса во входном сечении (рис.3.12), то согласно выражению
C.39) составляющая силы, действующей на сопло,в направлении,
противоположном направлению истекающей струи, т.е. тяга сопла^будет равна
T = -R=GV-t-Cp-pa)S .
Очевидно, что эта же формула
*для тяги справедлива и в случае
ракетного двигателя, когда
истекающий газ первоначально находится в
состоянии покоя относительно
сопла. Так будет, если на вход в
сопло подается заранее запасенный
У __ газ из баллона с высоким
давлением, или если этот газ образуется в
результате сгорания запасенного
твердого (рис. 3.13) или жидкого
р о, л о топлива; при этом для пользования
формулой C.39) нужно
предполагать стационарность процесса подвода газа в сопло, т.е. в уравнении
импульса B.9) нужно пренебречь слагаемым, связанным с уменьшением
массы запасенного рабочего тела.
Как уже говорилось, при сверхзвуковом истечении из сопла Лаваля
тяга максимальна при р~рл. Для ракетного двигателя максимальная
тяга
T-GV
пропорциональна скорости истечения газа из сопла. Эта скорость имеет
41

наибольшее значение Viu. при
истечении газа в вакуум, когда все
теплосодержание газа в камере перед
соплом (где скорость можно считать
равной нулю) превращается в
кинетики те ческую энергию истекающего газа:
Рис. 3.13 Ki.-^
Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями
(К- — универсальная газовая постоянная, JU, - молекулярный вес
газа). Отсюда видно, что для увеличения скорости нужно повышать
температуру газа перед соплом (и применять газы с малым молекулярным
весом). В современных ракетных двигателях достигаются скорости
истечения до 3500-4000 м/с при использовании жидких топлив (жидкостные
ракетные двигатели - ЖРД) и до 2200-2600 м/с в случае твердых
топлив (ракетные двигатели с твердым топливом - РДТТ). Используются
для вспомогательных целей и двигатели с предварительно сжатым
газообразным рабочим телом, которое нагревается до высокой температуры
перед входом в сопло посредством электрического разряда (плазменные
ракетные двигатели). В перспективе возможно создание плазменных
ракетных двигателей с использованием ядерного горючего для нагревания
больших масс рабочего тела до очень высокой температуры.а также
использование атомарного водорода и кислорода в качестве топлива.
Работа ступени лопаточной машины
Важным и широко используемым типом газовых машин являются
лопаточные машины. Основное назначение лопаточной машины состоит в
преобразовании части энергии протекающего в ней газа в работу
(турбина) или, наоборот, в сообщении газу работы для увеличения его
механической энергии с преобразованием ее в потенциальную энергию
давления (компрессор). В обоих случаях работа совершается вращающимся
рабочим колесом.в котором газ проходит через периодически
повторяющиеся по окружности каналы, образованные профилированными лопатками.
Рабочее колесо (или ротор) является основной частью каждой лопаточной
машины. Оно может иметь один ряд или несколько рядов лопаток -
лопаточных венцов.Между вращающимися лопаточными венцами могут
располагаться неподвижные направляющие аппараты,каналы которых образованы
аналогично каналам рабочих колесНаправляющие аппараты не являются в
общем случае необходимыми и-елужат для обеспечения благоприятных в
том или ином отношении условий течения газа и для перераспределения
его кинетической и потенциальной энергии.
Лопаточными газовыми машинами являются паровые и газовые
турбины электростанций, транспортных силовых установок, турбодетандеры
холодильных установок, компрессоры и нагнетатели авиационных и ракетных
двигателей и газопроводных станций, и многие другие технические
устройства.
На рис.3.14 приведена схема лопаточной машины. Внутри осесиммет-
ричного канала между кожухом и центральным телом расположен ряд
профилированных лопаток, скрепленных с вращающимся диском -
это и есть рабочее колесо; неподвижные направляющие аппараты не
показаны.
42

Рис. 3.14
Для определения работы,
совершаемой рабочим колесом при
движении газа в проточной части
лопаточной машины, можно
использовать либо теорему моментов
количества движения, либо теоре-.
му энергии.
Введем вращающийся вместе
с рабочим колесом контрольный
объем с границей S ,
состоящей (рис.3.14) из поверхности
поперечных сечений канала 1 и 2,
заключенных между ними участков
стенок канала и омываемой газом
поверхности рабочего колеса.
Применим к газу внутри
контрольной поверхности закон
сохранения момента количества
движения в виде
^-fCrxjoV)^ +$CtxjoV)(<i>?r%))der=Mi
мГе)
C.41)
_ if S
Здесь МСе) - суммарный момент всех действующих на газ в объеме
if внешних сил, ^С - вектор расстояния частицы газа от
некоторой точки оси канала.
Если принять, что распределения параметров газа в сечениях 1 и
П осесимметричны, то движение во вращающемся контрольном объеме
будет установимшимся, и, следовательно, интеграл по объему в
выражении C.41) не будет зависеть от времени, так что
M™~Sfr*J>V)Dcs>)ctff •
C.42;)
SN«>-
Представим момент fl ' в виде суммы
R^-RM+RM
момента ./z /действующего на газ_со стороны движущейся
поверхности рабочего колеса, и момента М(п' - со стороны остальной
части границы S (внешние массовые силы не учитываются). В проекции
на направление оси канала из выражения C.42) получим
И
Ге)
-/<
где Ъ- - расстояние до оси вращения, С^с ~ окружная (трансверсаль-
ная) составляющая абсолютной скорости газа. Интегрирование
распространяется лишь на поверхность сечений 1 и П, так как на остальной
части поверхности S l^nT <^ = 0« Умножая обе части этого
равенства на угловую скорость вращения рабочего колеса и> , найдем
W= со fr c^p vn de -R Гп)а> , C.4з)
т г Ь+%
где W - работа, подводимая к газу рабочим колесом в единицу
времени.
43

Если не учитывать действия на газ касательных к поверхности сил
трения на стенках канала к в сечениях 1 и 2, то /f™-' = 0.
Действительно, эти части контрольной поверхности являются поверхностями
вращения около оси канала; поэтому силы давления на них пересекают
ось или параллельны ей и, следовательно, их момент относительно оси
равен нулю.
Так как распределения параметров газа в сечениях 1 и П осесим-
метричны, выражению C.43) при //&*) = 0 можно записать следующим
образом: q
W = cD §[(ъс^)г-(ъс^\]с17П , C>44)
Здесь G - полный массовый расход газа через канал, оСтгг, - масса
газа, протекающего в единицу времени через кольцевой элемент
площади оСб~ поверхности сечений 1 и 2; в силу уравнения
неразрывности
dm-jDjfynd^ =ргг*гпЛег .
Формуле C.44) можно придать вид
где знак ^ обозначает среднее по массе протекающего газа значение
разности в квадратных скобках, В таком виде формула для величины
работы колеса лопаточной машины была получена Эйлером и носит его
имя.
Применим теперь к газу в контрольном объеме закон
сохранения энергии. Если пренебречь теплообменом между газом и
окружающими его поверхностями и работой сил трения в сечениях 1 и 2, то,
рассуждая аналогично предыдущему, получим
St+S£
W = )(AoZ-Aoi)dm .
о
1сь средним значением,
или * «,
9
C.45)
О
Опять, пользуясь средним значением, можно написать
или, в расчете на единицу массы протекающего газа
Приравнивая правые части выражений C.44) и C.45) для работы
колеса лопаточной машины W, получим соотношение
в
или °
(А0 +Ci>icj)* = (Ьо + СдЪС^ . C.47)
44

Это выражение позволяет определить 7^ по параметрам газа
перед колесом и окружной скорости газа за ним.
Без учета трения и теплообмена газа между отдельными его
струйками в установившемся относительном движении соотношение C.47)
справедливо не только в среднем (по массе газа), но и для каждой трубки
тока. Оно выражает собой закон изменения полного теплосодержания с
учетом работы массовой силы инерции в подвижной (вращающейся)
системе координат.
§ 4. Течения с разрывами
В предыдущем параграфе изучались установившиеся течения газа в
трубке в предположении, что параметры газа меняются по длине трубки
. непрерывно.
Как следует из дальнейшего, такое предположение ограничивает
возможные виды движений и не позволяет получить в рамках изучаемых
моделей газа решение многих важных задач.
В связи с этим рассмотрим вопрос о возможности существования
разрывов в распределениях параметров движущегося в трубке газа и изучим
основные свойства таких разрывов .
Для удобства выпишем вновь при тех же предположениях, что и в
§ 3, соотношения между параметрами газа в двух сечениях трубки,
следующие из законов сохранения массы, импульса и энергии.
Уравнение сохранения массы возьмем в виде C.1)
j>VS =jo{Vi S£ -fjoi^oler.
D.1)
При использовании уравнения импульсов C.3) ось трубки будем
считать прямолинейной и уравнение импульсов запишем в проекции на эту
ось:
(р уУг) S -fa уоУ/) Sy - SfiVnud6'+Sp{S)d& +X.
' ' S0 V V D.2)
Здесь JC - проекция на ось трубки сил, действующих на газ со
стороны боковой поверхности трубки.
Уравнение энергии возьмем в виде C.7);
fiVS^+A^pMsiffihiyfavJiJe+w'+a.
D.3)
Упростим написанные соотношения, рассматривая сначала случай,
когда притока массы и тепла сквозь боковую поверхность трубки
между выбранными сечениями нет, массовые силы отсутствуют и газ
идеален; будем считать также, что трубка цилиндрическая и внутри нее нет
каких-либо тел.
При таких условиях в правых частях соотношений D.1)-D.3) отличны
от нуля лишь первые слагаемые, так что после сокращения правых и
левых частей этих соотношений на S - S/ они примут вид
р+рУ* =рл+р£Цг,
*)
В более общем виде этот вопрос будет изложен в § 7.
43

Vf-^J&f^y. D.4)
При получении последнего равенства принято, что расход газа через
трубку не равен нулю.
Очевидно, что при заданных параметрах газа в одном из сечений
(например, в левом) параметры газа во втором сечении согласно этой
системе соотношений могут иметь те же значения: V-V/ , P=J0^ ,
•p--Pi. , TI^tLj - Но оказывается, что в сжимаемой среде они могут
иметь и другие значения I Покажем это сначала для совершенного
газа с постоянными тепоемкостями.
Для такого газа n=-*rzj;jr. Подставим это выражение для п в
третье соотношение D.4; и исключим из него с помощью первых двух
равенств плотность J3 и давление р . В результате получим квадра-ц-
ное уравнение для определения V:
Разрешив его, найдем
Верхний знак перед круглой скобкой дает упоминавшееся очевидное
решение V= \^ . Нижнему знаку соответствует второе решение.
Используя его и первые два уравнения системы D.4), представим систему
D.4) в разрешенном относительно V>/0, р виде:
(£.&
Ц jo х г+П1 Mf) f + i *b+{)HJ
D.5)
Здесь M* = £^ .
Итак, для совершенного газа с постоянными теплоемкостями,
действительно, существует решение системы D.4), отличное от очевидного
решения K~V£ , p=Pi , p = f>i-
Обратим теперь внимание на то, что в соотношения D.4) не входят
слагаемые, зависящие от расстояния между сечениями трубки.
Будем это расстояние уменьшать, приближая правое сечение к
левому, в котором параметры газа известны, такэчто в пределе оба
сечения сольются в одно. Тогда в этом сечении возможен разрыв
параметров газа: газ слева втекает в сечение со значениями параметров
V/ , 0j , pi , а вытекает из него вправо с другими значениями
параметров V} C, р' для совершенного газа с постоянными
теплоемкостями эти значения определены формулами D.5).
Отметим теперь, что при неограниченном сближении сечений
условия D.4) будут выполняться и тогда, когда исходные соотношения
D.1)-D.3) не упрощаются, т.е. когда есть приток массы и тепла сквозь
боковую поверхность трубки, имеются массовые силы, газ в области
между сечениями не идеален, трубка не цилиндрическая и ее ось не
прямолинейна. Нужно лишь предположить, что при уменьшении расстоя-
46

ния между сечениями до нуля, т.е. при стремлении к нулю объема
между сечениями и площади S0 боковой поверхности между ними,стре-
мятся к нулю и соответствующие объемные и поверхностные интегралы
в правых частях уравнений D.1)-D.3). Иными словами, условия D.4)
на разрыве справедливы, если в сечении разрыва отсутствуют
сосредоточенные внешние воздействия (сосредоточенный в сечении приток
массы, имеющей некоторые импульс, и теплосодержание, сосредоточенные
массовые и поверхностные силы, сообщающие газу конечный импульс
и совершающие над ним конечную работу, сосредоточенный приток
тепла); в противном случае эти сосредоточенные воздействия должны быть
учтены и условия D.4) соответствующим образом изменены.
Разумеется, что соотношения D.4) справедливы лишь при
выполнении условий, которые были приняты при записи законов сохранения в
виде D.1)-D.3), т.е., как об этом говорилось в начале § 3, при
пренебрежении в сечениях «5у и S вязкими нормальными напряженияг-
ми и тепловыми потоками.
Таким образом, соотношения D.4) представляют собой условия,
которым должны в общем случае удовлетворять параметры движущейся
идеальной среды с двух сторон поверхности разрыва юти - -шгаче - сличил.
Пусть среда движется слева направо. Сторона поверхности или
фронта разрыва, в которую газ втекает, называется передней стороной (в
нашем случае это левая сторона), а сторожа фронта разрыва, из которой
газ вытекает, называется задней стороной.
Введем обозначение рУуУ^Ц = rib ( 1П - расход газа сквозь
единицу площади поверхности разрыва).
Из уравнения импульсов тогда получаем
т*- £~_Р[_ . D.6)
fit P
Отсюда следует, что возможны скачки #вух видов. Для первых
p>f>i , P>pi , V<V,. D.7)
Эти скачки называются скачками уплотнен^.
Во втором случае
p<f>{ , p< fi , V>Vi • D.8)
Такие скачки называются скачками разрежения. Поскольку заключение
о двух возможных видах скачков в идеальней среде является
следствием лишь законов сохранения массы и импульса (без сосредоточенных
на поверхности скачка притоков этих величин), оно имеет весьма
общую природу и не зависит от возможных физико-химических
превращений среды при прохождении ею скачка и о? сосредоточенных
энергетических воздействий на скачке.
Из D.6) получаем выражения для скоростей
v'-jof ТГТХ"> fi-j>i ' D'9)
fii p
os -L.-J- fi p-Pi
Pi P
47

с помощью которых последнее соотношение D.4) можно преобразовать
к виду
или, пользуясь выражением П = е ■*■ ^, к иному виду
*-*<'£(& ^Ур+/><)- D.11)
Выражения D.10) или D.11) связывают лишь значения
термодинамических величин с обеих сторон скачка. Из них, в частности, следует,что
для скачков уплотнения
А ■> -fij , е > е£ ,
а для скачков разрежения
A <r &j , е ^ е^ .
Мы рассматриваем движения сред, в которых все термодинамические
функции, в том числе и внутренняя энергия, зависят лишь от двух
параметров. В более общем случае внутренняя энергия среды зависит от
дополнительных параметров физико-химической природы. При изучении
непрерывных движений таких сред иногда удается заменить их двухпара-
метрическими средами. Так, в некоторых случаях эти дополнительные
параметры можно считать неизменными ("замороженными"); в другом
предельном случае их можно считать функциями основных
термодинамических параметров, соответствующими термодинамически равновесному
состоянию.
Однако, при прохождении поверхности разрыва дополнительные
параметры, от которых зависит внутренняя энергия, могут изменяться
скачком, например, от значений, соответствующих "замороженному"
состоянию перед скачком до значений, соответствующих термодинамически
равновесному состоянию за скачком. При этом вид функциональной
зависимости внутренней энергии от основных термодинамических параметров
перед скачком и за скачком может быть разным. К примеру, для
модели совершенного газа с постоянными теплоемкостями
р — —£.— ^.-у_л = с 1~"' + е
Y - i _р ° & ° "
Здесь е„ есть, например, химическая составляющая внутренней
энергии, т.е. энергия связей атомов в молекулах. При прохождении газа
через поверхность разрыва его химический состав вследствие быстрого
протекания химических реакций может скачком измениться, в
результате чего изменится е0 и, в общем случае, изменятся и теплоемкости
газа.
Равенство D.10) или D.11), являющееся следствием всех трех
условий на поверхности разрыва, называется соотношением Гюгонио. Если
входящие в равенство D.10) или D.11) величины а или е
представить как функции от о и р, то при фиксированных Оу и р^ в
этих равенствах им соответствует в плоскости р- , f> кривая,
называемая адиабатой Гюгонио или ударной адиабатой (с центром в точке ту ,
Если функция e(p,J>J совпадает с функцией &х( р }JJ у,т.е.
если термодинамические свойства среды при прохождении ею скачка
не изменяются, то
48

4
и, следовательно, адиабата Гюгонио проходит через точку jjj; , р^ -
свой центр.
Если же, как говорилось выше, определяющие внутреннюю энергию
дополнительные параметры изменяются при прохождении разрыва, то
е СР* 'Pi)* eI и точка _jer , p* не принадлежит адиабате Гюгонио.
Заметим, что при данном начальном состоянии выражение D.6), где
7nS"J^£ v/ , определяет в плоскости jp} p прямую с
отрицательным наклоном, проходящую через точку, соответствующую начальным
значениям ft/ , р^ t т.е. через центр адиабаты Гюгонио. Пересечение
этой прямой при данной скорости V} с адиабатой Гюгонио позволяет
найти давление и плотность за скачком, а следовательно, и скорость
за ним.
Получим выражение для изменения энтропии вдоль адиабаты
Гюгонио.
Дифференцируя соотношения D.6) и D.11) вдоль адиабаты Гюгонио,
находим и?~р) х / ч
de -j(Vr V)dp - ±(f>+f,t)dV.
Исключив из обоих соотношений dp f после некоторых
преобразований получим
de+pdV-£(p-p*Yd£i
Выражение в левой части согласно термодинамическому равенству
A.2) есть ТЫ* ,так что вдоль адиабаты Гюгонио
T**-fa-*Yd&-itcfi-ftfd!b&^ DЛ2)
Будем считать, что среда с обеих сторон скачка имеет одни и те
же термодинамические свойства, так что адиабата Гюгонио проходит .
через свой центр. Изучим поведение адиабаты Гюгонио вблизи центра.
При малой величине скачка давления можно принять, что вдоль
адиабаты Гюгонио
Из формулы D.12) находим
™* -i(irp\ct>-*Y*p+■■■ ,
или после интегрирования
,3
ъо-*<)-£@\б>-»У
-h
D.13)
49

Здесь многоточием обозначены члены более высокого порядка, чем
(Р~Р*У •
Таким образом, при малом изменении давления газа ру-р^ при
переходе через скачок изменение энтропии есть малая величина порядка
(р~Р*У •
Отсюда следует, что в начальной точке адиабата Гюгонио имеет
касание второго порядка с проходящей через ту же точку адиабатой
Пуассона.
Действительно, представим уравнение адиабаты Пуассона, проходящей
через начальную точку, в виде
Тогда уравнением адиабаты Гюгонио будет
где J& зависит только от ^ и pt .
Отс*9да и получаем, что в начальной точке
К dp /r \ dp Уп '
У dp2Sr~K~^pFJr7 '
Производные от ZJ" по р вдоль адиабаты Пуассона, очевидно,суть
частные производные по р от удельного объема £/" ,
рассматриваемого как функция от давления р и энтропии 4 . Таким образом,
выражение для изменения энтропии D.13) можно переписать в виде
* - '< -7ГГГ( Эр~*)й (*-К* + '" • D.14)
Здесь производная / . ) = Tlppp определяется термодинамическими
свойствами среды. ^
Так как при адиабатическом переходе через скачок энтропия в силу
второго начала термодинамики может лишь возрастать, т.е. должно
быть 6-6i >• 0, то выражение D.14) налагает условие на знак
разности р- рл для физически допустимых слабых скачков. Для сред, для
которых / -=—-g ) > U и, в частности, для нормальных газов при
условии е (PiiJ>£)sei(pt,j>i) должно быть p-pf > 0, т.е. допустимы
лишь скачки уплотнения. В средах, для которых Д- К) > 0, наоборот,
\о>рУ4
допустимы лишь скачки разрежения.
Покажем, что для нормальных газов вдоль всей адиабаты Гюгонио
^4 ^ л
-j— > О, т.е. с увеличением интенсивности скачка энтропия за
скачком монотонно возрастает. Это свойство вытекает из следующего
очевидного свойства адиабат Пуассона для нормального газа (см. рис.
1.1): любая прямая А.-В в плоскости If, pt проходящая через точку
1?1,р£ A^~>0, pj>Oj с отрицательным угловым коэффициентом,
имеет единственную точку С касания с адиабатой Пуассона; в точке
С вдоль прямой d6 = 0 и энтропия имеет максимум (вдоль А С
и вдоль & С при приближении к точке С энтропия растет).
50

Действительно, пусть при следовании вдоль адиабаты Гюгонио от
центра в сторону роста давления в некоторой ее точке С
достигается равенство с£& =0. Тогда в этой точке касательные к адиабате
Гюгонио и к адиабате Пуассона совпадают; их общая касательная
проходит в силу соотношения D.12) через центр О^ . Как было
показано выше, при движении вдоль такой касательной от центра к точке
С d4 > 0.
Рассмотрим функцию Н( V~, р ; t^} , p^J
которая равна нулю во всех точках адиабаты Гюгонио и, в частности,
в точках Of и С . Вдоль прямой, проходящей через центр
так что
Up
p-ft
ин= dk -^Сц+г^ир-^Ср-рдссгг-М-Шр-ти*.
монотонно возрастает при движении
Таким образом, функция ]~[
от точки О^ к точке С вдоль прямой и, следовательно, не может
вновь обратиться в нуль в точке С . Полученное противоречие
показывает, что энтропия не может иметь стационарного значения на
адиабате Гюгонио и, так как вдоль адиабаты Гюгонио di >■ 0 при росте
давления вблизи точки Oj , то и всюду вдоль нее при росте
давления d& з- о.
Из доказанного следует утверждение: в нормальном газе скачки
любой интенсивности могут быть только скачками уплотнения,
вызывающими увеличение плотности и
давления и уменьшение скорости газа.
Это утверждение называется
теоремой Цемплена.
Качественная картина
взаимного расположения адиабаты Гюгонио
и адиабат Пуассона для состояния
перед скачком и для состояния за
скачком в случае нормального газа
привелана на рис. 4.1.
Из этого расположения
следуют неравенства
Рис. 4.1
откуда
(-»М)Жг*
7П аУ/
>tfW*-K*.
Таким образом
V^at
V-
и
51

т.е. скорость газа перед скачком уплотнения больше скорости звука, а
скорость газа за скачком - меньше скорости звука. Иначе;скорость
скачка по отношению к газу перед ним сверхзвуковая, а по отношению
к газу за ним - дозвуковая.
При уменьшении интенсивности скачка значения скорости газа перед
скачком и за ним приближаются к скорости звука, как это следует и из
формул D.9):
€Ctru Vj£ = -fan
JL f>~f^_
Г4А -fMA -<4
-?, J>' J>-A [dftjrl KdJ>Mt
и аналогично для V3.
Таким образом, скорость бесконечно слабого скачка и по отношению
к газу перед ним и по отношению к газу за ним равна скорости звука.
Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями согласно D.5)
™< ~* <&:&&) ■
Заменив здесь /// через .Ду по формуле C.31), получим
*/>
D.16)
Это соотношение, из которого, очевидно, следует, что при 1£ ?• л у
будет V < <Х , называется соотношением Прандтля.
Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями уравнение Гю-
гонио D.10) принимает вид
f-i (jo J>J 2
В разрешенном относительно р виде
Hi + тУ?-*у
D.17)
На рис.4.2 представлена
соответствующая этим формулам адиабата
Гюгонио ^>-^ ;0/ при (У-»1.4.Там же
приведена адиабата Пуассона, проходящая
через начальную точку (пунктир).
Адиабата Гюгонио для совершенного
fit £-1
газа имеет асимптоту 4>— = 7ГТТ> К
которой она приближается при р*-&о.
пересекает ось V".
адиабата Гюгонио
52
Можно показать,
что и для нормального газа вдоль
адиабаты Гюгонио tf—V^o ^- 0 при ;©-*-«**
и t>-*-2J<oo при р-^0.
Таким образом, плотность
совершенного газа за скачком не возрастает

беспредельно при ^->-»з, а стремится к конечной величине (при
^ = 1.4 эта величина равна шести, при $■ = 1.2 - одиннадцати).
Как показывает рис.4.2, для скачков в газе с ft- = 1.4 при величиг
не -£— до двух изэнтропа /?-~ w является очень хорошим прй-
ближением адиабаты Гюгонио.
При увеличении интенсивности скачка энтропия газа за скачком
резко возрастает. Так как согласно уравнению энергии D.4) полное
теплосодержание газа при переходе через (покоящийся) скачок
сохраняется, то полное давление газа за скачком с увеличением
интенсивности скачка падает. Получим, используя формулы C.30) и D.5), выражен
ние для отношения полных давлений газа за скачком и перед ним: •'
Ч-
2
Сг+0**
■)
= 1.4,
D.18)
При
Рис. 4.3
На рис.4.3 приведен график этой зависимости при л*
числах-Маха М^, близких к единице, уменьшение полного давления
невелико и выражается формулой
ко при росте УУ^ полное давление
за скачком -р0 начинает быстро
падать; при ytyy » 1
/w \2t) \t-iJ /7/ •
Интенсивные скачки уплотнения
являются мощным механизмом
диссипации механической энергии - в них
механическая энергия газа
необратимым образом переходит в
тепловую.
Следовательно, в тех случаях, когда необходимо при торможении
сверхзвукового потока с достаточно большими значениями числа Маха получить
возможно высокое давление газа, следует избегать возникновения
интенсивных скачков уплотнения. Наоборот, если необходимо снизить высокое
давление, развивающееся при торможении сверхзвукового потока, то
можно использовать для этого скачки уплотнения.
Применим теперь законы сохранения D.1)-D.3) к более общему
случаю, чем рассмотренное ранее течение в цилиндрической трубе без
притока массы и импульса извне.
Рассмотрим (рис.4.4) течение в трубе из двух соединенных между
собой цилиндрических участков с общим направлением оси и с разными
площадями сечения. Пусть газ течет в трубе слева направо из части с
меньшим сечением в часть с большим сечением. Цилиндрические участки
трубы непроницаемы для газа, а на соединяющем их участке может
подводиться газ.обладающий некоторыми импульсом и теплосодержанием.
Примем, что в сечении левой трубы перед соединительным участком па-
53

Рис. 4.4
раметры газа распределены равномерно.
Допустим также, что достаточно далеко
вниз по потоку и во второй
цилиндрической части трубы параметры газа
распределены по сечению равномерно. На
соединительном участке трубы и в
примыкающей к нему части правой
цилиндрической трубы могут происходить
сложные движения, вызванные
перемешиванием втекающего снаружи газа с газом,
текущим из левой трубы, и резким
изменением площади сечения трубы.
Для нахождения зависимости параметров газа в сечении 2 достаточно
далеко вниз по потоку.где завершилось их выравнивание по сечению
трубы, от параметров газа в сечении 1 перед соединительным участком
и от параметров газа, втекающего на участке 11 (рис.4.4), применим
вновь законы сохранения D.1)-D,3),
Заметим, что если найдена какая-либо система значений параметров
газа в сечении 2, то обязательно существует (для нормального газа)
еще одна система значений, связанная с первой соотношениями на
скачке. Заранее отбросить систему с меньшим значением энтропии на
основании результатов, полученных при изучении скачков, нельзя, так как
в общем случае адиабатических течений может оказаться, что оба
решения соответствуют значениям энтропии, большим,чем суммарная
энтропия газа в сечении 1 и газа, втекающего в трубу между сечениями 1
и 1 , т.е. оба решения не противоречат второму началу термодинами- '
ки. Физически допустимое решение для адиабатических течений должно
удовлетворять условию
pVSd ^р£Vi «5/5/ -fpvnd de .
Рассмотрим последовательно несколько важных примеров.
Течение в трубе с внезапным расширением -
Пусть длина участка 11 равна нулю (рис.4.5) и в сечении, где
соединяются трубы разной площади, нет подвода массы и энергии.Пре-
небрежем также внешними массовыми силами. Обозначим через S,
площадь сечения левой трубы и через «^ - площадь сечения правой
трубы.
Уравнения D.1)-D.3) примут тогда вид
pvs =рУА ,
D.19)
От соотношений D.4), использованных при установлении условий на
разрывах, эти выражения отличаются тем, что S э* о^ и тем, что в
уравнении импульсов присутствует слагаемое X, равное проекции на
ось трубы внешней поверхностной силы, действующей на газ { кроме
64

сип давления в сечениях трубы 1 и 2).
В рассматриваемом случае, пренебрегая
трением газа о стенки между
сечениями 1 и 1 , эту силу можно записать
в виде
x-p'Cs-s,),
D.20)
Рис. 4.5
где р есть среднее давление на
стенке трубы, образующей ступеньку
площадью S ~ S/ .
Отметим, что уравнение энергии в системе D.19) с учетом
уравнения сохранения расхода приобретает вид
-р- +1 = ^+&£ ,
так что полное теплосодержание газа в сечении 2 равно полному тегатсх-
содержанию газа, текущего в левом участке трубы.
Система трех уравнений D.19) после замены JC по формуле
D.20) позволяет выразить f>, p и V через заданные значения
Pi}Pi №i> площади сечений труб Sj и S и величину р)'. Поэтому
для нахождению,^ и V необходимо еще одно условие, позволяющее
определить и величину р'.
Если скорость втекающего газа в сечении 1 дозвуковая, то, как и
при дозвуковом истечении газа в неограниченное пространство, можно
принять, что давления -р^ и р' одинаковы.
При сверхзвуковой скорости втекающего газа давление р' может
сильно отличаться от давления р± и его можно найти лишь в резуль-
тате специального расчета, учитывающего перемешивание газов на
границе вытекающей струи и области медленного циркуляционного
движения газа за уступом стенки трубы.
Если скорость в сечении 2 дозвуковая и в этом сечении труба
выходит в пространство с заданным давлением ра > то следует принять
р=-рл , после чего система D.19) с учетом D.20) позволит
определить jo, V и р =Р{ (а, следовательно, и расход газа через трубу).
Нужно подчеркнуть, что выравнивание параметров газа по сечению
трубы при сверхзвуковой скорости происходит медленно и требует
значительного расстояния; при- этом становится заметной роль трения
газа о стенки, что необходимо учитывать в расчетах.
Из уравнений неразрывности и импульса при р'** р получаем
j>,vf* s ( vj '
В предельном случае несжимаемой среды скорость V определяется
уравнением расхода
ление
Р:
V?
;а из уравнения импульсов находится дав-
&
Так как
О-*)
■Ро-Рсг -p-f>Sj>
то
D.21)
55

Таким образом, при течении с малыми скоростями в трубе с внезап-.
ным расширением происходят потери полного давления, тем большие, чем
больше увеличивается сечение трубы. Так как для несжимаемой среды
fl0=тг+С 1-*~ л > где с - теплоемкость и с/ - внутренняя энергия,
то из уравнения сохранения полного теплосодержания найдем
Гг-т,)-[<-(£у]Г.
Это соотношение позволяет вычислить температуру среды после
прохождения ею внезапного расширения трубы и показывает, какая доля
кинетической энергии среды необратимо переходит в тепловую.
Эта потеря кинетической энергии аналогична ее потере при
неупругом ударе сталкивающихся тел; поэтому и в газодинамике потери
полного давления газа при внезапном расширении трубы называют
потерями на удар.
При. течении сжимаемого газа формула D.21) верна с точностью до
членрв порядка М% включительно .
Для получения точного выражения для потерь полного давления
разрешим сначала систему D.19) с учетом D.20) относительно V для
случая совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В
результате получим
D.22)
*"°*' п -Р' S
Два параметра —- и -рт входят в это соотношение в комбинации
£LfS~A Pi Si
При S/S^ - 1 верхний знак перед корнем дает равенство V" V£ ?
а нижний знак - значение скорости за скачком уплотнения при Mf > 1
и разрежения - при М{ «^ 1.
Выведем теперь формулу для изменения энтропии, необходимую для
исключения физически не реализуемых течений.
Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями
По определению состояния торможения (§3) можно также написать
о = С^Сп *-{ .
ГО
Учитывая, что в рассматриваемом течении /С~Т^^ и Уеп^^Сд/
получим
56

т
Используя последнее выражение для — и то, что согласно урвЕ
J0 У* Si *
нению сохранения расхода, =—-— = * приведем формулу для измене-
ния энтропии к виду:
6
С
■^-Ь-4Ь%-*№<'-%)?<Н)Ь%§;-
D.22)
V
где ~ выражается согласно D,22).
К?
Газовый эжектор
Газовый эжектор представляет собой устройство, в котором две или
несколько газовых струй смешиваются при их спутном течении в
ограниченном пространстве и это их свойство используется для повышения
полного давления (напора) газа в одной из струй за счет уменьшения
полного давления в другой струе. Эжекторы используются также для
создания разрежения в замкнутых емкостях, для увеличения импульса
реактивных струй воздушно-реактивных двигателей (в так называемых
эжекторных соплах) и для многих других технических целей.
Приведенную на рис.4.4 схему можно рассматривать и как схему
эжектора с цилиндрической камерой смешения газов между сечениями
1 ' и 2. В наиболее распространенных случаях газы подводятся в
камеру смешения двумя параллельными струями с однородным
распределением параметров по сечению каждой из них.
Такой простейший одноступенчатый эжектор стационарного действия
изображен на рис.4.6.
Газы с параметрами р0^ , 7^/ и рог f 7^a истекают в
сечении 1 параллельными струями в камеру смешения (площадь входа этой
камеры в сечении 1 не обязательно равна сумме площадей сечений
обеих истекающих струй, а может быть и больше ее; камера может быть
цилиндрической,но может иметь и переменное по длине сечение).Между
сечениями 1 и 2 происходит перемешивание газа в обеих струях и
выравнивание параметров по сечению. Как уже сказано, в простейшей
схеме эжектора параметры газа в сечении 2, как и в начальных
сечениях каждой из истекающих струй, принимаются однородными.
Применим вновь законы
сохранения к газу внутри замкнутой
поверхности, состоящей из
сечений 1 и 2 и боковой стен- у1
ки камеры смешения между ними.
Уравнение сохранения массы
pMS£+p№s'£-j>vs. D>23)
Здесь S/ и S/ - площади
начального сечения струй; пусть
v>P>f>
Рис. 4.6
57

штрих вверху обозначает величины, относящиеся к струе с более
низким полным давлением 4>04 > «S'-площадь выхода из камеры смешения.
Уравнение сохранения импульсов напишем для цилиндрической
камеры смешения при условии «% + Sj =■ S и без учета сил трения газа о
стенки камеры смешения
cpt +/>&*) Sj - fa -j°; kvsj - c-p+j>v*) s. D>24)
Уравнение сохранения энергии имеет вид
В этом уравнении не учтен теплообмен газа со стенками канала.
При заданных Sу и Sj три соотношения D,23), D.24) и D.25)
связывают 9 величин: значения V, -О и О в сечении выхода из каме-
ры смешения и значения Vy , -p^ f jO{ и V/ , f>/, J>£ - в струях.
Примем, что значения параметров торможения в каждой из
втекающих струй известны (к примеру, газы истекают из резервуаров с
заданными условиями ,и их течение до начального сечения камеры смешения
происходит адиабатически и обратимо).Значения трех параметров газа
в начальном сечении каждой из струй связаны двумя соотношениями
между собой и с параметрами торможения:
V/ , _,
D.26)
"у ~ "-о* * &/ *" & о*
Одна из основных задач расчета течения в эжекторе состоит в
определении зависимости значений параметров газа в выходном сечении от
их начальных значений в сеченшт 1 и от условий, характеризующих
истечение газов.
В общем случае системы задаваемых величин и определяемых
параметров при расчете эжектора могут быть различными и зависят от
постановки задачи; соответственно меняется вид дополнительных
определяющих соотношений.
Если для совершенного газа перейти вместо Vy *р, р к безраз-
л v £- -, fi
мерным переменным У1-=.гг"- , Si~-hr-. й'л". то девять величин
Л± у Э££ , C*V будут функциями следующих безразмерных
параметров
Наиболее интересными характеристиками эжектора являются зависи-
/>. .
мости от этих параметров величин -гг (т.е. увеличения полного дав-
G P°< G^_ .
ления низконапорного газа) и —х— или ~рг— (т.е. относительного
расхода низконапорного газа, называемого коэффициентом эжекции)
.Фактическое определение характеристик эжектора несложно, но сопряжено
с громоздкими выкладками.
При дозвуковой скорости обеих струй в начальном сечении можно
считать, что давления в этом сечении в обеих струях одинаковы, т.е.
58

7°/ = Pi ■
Недостающее в этом случае для определения V^p^jo девятое
соотношение можно брать в различных формах; часто при расчете задают
расход высоконапорного газа
Рассмотрим некоторые предельные случаи.
Так как Л>/ ~>p'Pft то ясно, что эжектор будет действовать толь-
KOj начиная с такого значения расхода <3/t при котором Р/^Р?^Ро/
(в противном случае газ с полным давлением р0/ будет перетекать
навстречу газу с полным давлением pjj )• При р^ ~Р-/ """Pot
скорость V/ равна нулю. Определив при этих условиях ро , найдем,
какое разрежение можно создать с помощью дозвукового эжектора в
емкости, откуда течет газ с полным давлением p0j .
При V/ ' - О задача об эжекторе полностью совпадает с задачей
о течении газа в трубе с внезапным расширением, рассмотренной
ранее. /
Задаваемыми параметрами (кроме S/ и S/ ) являются в этом
случае параметры торможения высоконапорного газа ро1,Ь9/ето
расход G^ и давление торможения при выходе из камеры смешения ^>0 .
При V/ = 0 величины A'OY и -50'у выпадают из системы
соотношений - они могут быть любыми. Для определения трех параметров
газа в сечении l V^ 7jQj , pi = р^ и двух параметров в сечении 2
имеем пять уравнений: три уравнения D.23)-D.25) с К/ = О и pf-*pf
и первые два соотношения D.26).
Как и при течении газа в канале с внезапным расширением, при
адиабатическом смешении газов в эжекторе из-за необратимого характера
этого процесса энтропия газа возрастает. Можно рассмотреть
идеальный процесс смешения, в котором суммарный поток энтропии газов
после смешения равен сумме потоков энтропии газов при входе в
камеру смешения, т.е. в котором
Это соотношение вместе с уравнением энергии
Gtfin +G'< A'„ -fa +Gi) 4
определяет 3" и П0 по параметрам газа на входе в камеру
(сохранение расхода учтено уже при записи этих соотношений) и,
следовательно, определяют из уравнения состояния полное давление газа на
выходе из камеры смешения
Отношение р0 к <>^ в действительном процессе я? ** ££э можно
использовать в качестве характеристики потерь полного давления при
смешении газов в эжекторе.
При одинаковом полном теплосодержании кинетическая энергия газа
при его ускорении до некоторого давления -р<рс различна в
зависимости от энтропии газа. Величина
59

представляет собой потери кинетической энергии вследствие отличия
процесса от идеального и тоже может быть принята в качестве
характеристики процесса. В общем случае эта величина зависит от величины
давления р, при котором производится сравнение и поэтому не очень
удобна для использования. В случае несжимаемой жидкости, когда
потери кинетической энергии определены однозначно:
¥?-!£-с (T-TuS)
и дают величину полных потерь механической энергии, необратимым
образом переходящей в тепловую.
Для несжимаемых газов механические параметры - значения V и
ft — находятся независимо от уравнения энергии. Последнее служит дл£
определения температуры на выходе из эжектора (по заданной
температуре газов до смешения).
§ 5. Установившиеся движения газа в трубке. Течения
с разрывами (продолжение)
Продолжим начатое в § 3 изучение течения в сопле Л аваля. Для
того, чтобы выяснить, что происходит при понижении давления в
пространстве, куда истекает газ из сопла, до значений, меньших ftg (см.рис.
3.7), допустим, что площадь сечения сопла за критическим сечением
плавно возрастает до неограниченных значений. Пусть после достижения
критической скорости в горле сопла поток за горлом продолжает
ускоряться, приобретая сверхзвуковую скорость. Поместим в этом
сверхзвуковом потоке в некотором сечении сопла скачок уплотнения. За
скачком скорость газа становится дозвуковой и в дальнейшем при движении
газа вдоль сопла уменьшается и падает до нуля, а давление возрастаем
и становится равным полному давлению газа за скачком. Отношение
этого давления к полному давлению перед скачком зависит от числа
Маха перед скачком, т.е. от места, где расположен скачок. Чем дольше
от горла сопла находится скачок, тем ниже давление в резервуаре,
куда втекает газ. Соответственно, если рассмотреть некоторое сечение
расширяющейся части сопла, то давление газа в этом сечении будет
падать по мере продвижения скачка от горла сопла до этого сечения
от величины fto Д° давления р# за прямым скачком, расположенным
в этом сечении. На рис.5.1 (см. также рис.3.7) приведены
распределения давления в сопле при максимальном расходе через него и наличии
скачка уплотнения в его расширяющейся части.
Считая, что в рассматриваемом сечении газ из сопла истекает с
дозвуковой скоростью в окружающее пространство,получим решение
задачи о течении газа в сопле при наружном давлении ра , меньшем р9
и меняющемся в диапазоне р# ^ рл£-рд. По-прежнему, решение
получено не во всем диапазоне давлений в окружающем пространстве
О £ рл ^Ро,& лишь в некоторой его части. При давлении ра f меньшем
p'g , происходит перестройка течения в струе вне сопла, причем это
течение нельзя уже рассматривать в рамках квазиодномерного
приближения. Течение внутри сопла остается при этом неизменным, так что
давление в выходном сечении сопла перестает быть равным давлению
ео

Рис. 5.1
в окружающем пространстве
(исключение составляет лишь расчетный
режим сверхзвукового истечения из
сопла, при котором ра, — Ро).
Отметим, что при движении газа
в сопле против нарастающего
давления, особенно при наличии в
сопле скачка уплотнения, большое
влияние на течение оказывает вязкость
пристенного слоя газа. Результаты
изложенной простой теории при этом
значительно отличаются от
экспериментальных данных.
При течении газа в сопле с
торможением потока в скачке уплотнения можно представить себе другое
решение задачи об истечении газа в пространство с давлением, меньшим
р& . В этом решении поток в сопле с однородным распределением
параметров по сечению продолжается непрерывно до места, в котором
расположен скачок уплотнения; в этом месте поток отрывается от стенок
сопла и движется дальше в виде цилиндрической струи с постоянными
параметрами и с давлением, равным ра (рис.5.2). Такое решение в
некоторых случаях лучше соответствует опытным данным, чем решение
с однородным по всему сечению сопла потоком за скачком, но и его
нельзя считать удовлетворительным. Для приближенного описания
течения в сопле с торможением потока в скачках уплотнения и с отрывом
потока от стенок сопла развиты более сложные теории, излагаемые в
специальной литературе.
Рассмотрим еще течение в канале с двумя сужениями 1 и 2 (рис.
5.3), Такой канал можно рассматривать как два последовательно распо—'* '
ложенных сопла Лаваля с площадью критических сечений, равной «S/
и Sa , соответственно. Изучим режимы течения в этом канале при
сохранении постоянным полного давления р0 втекающего в канал газа и
при постепенном понижении давления рл в его выходном сечении.Пусть
площадь Su меньше площади Sf • тогда при постепенном понижении
давления ра от величины р0 скорость газа впервые достигнет
критического значения в сечении 2. При дальнейшем понижении давления р>л
дозвуковое течение слева от сечения 2 не будет изменяться, а
перестройка течения в расширяющейся части канала справа от сечения 2 будет
происходить так, как это описано выше для одиночного сопла Лаваля.
Более сложен и интересен случай S± < Sg. В этом случае при
понижении давления рл критическая скорость впервые будет достигнута
в сечении 1. При дальнейшем понижении давления ра в левом сопле
осуществляется такой же режим движения с областью сверхзвукового
течения, замыкаемой скачком уплотнения, что и в одиночном сопле.
Рис. 5.2
Рис. 5.3
61

Этот режим будет единственным до тех пор, пока скачок не переместится
в сечение расширяющейся части первого сопла, площадь которого равна
S* • Если после этого еще несколько понизить давление f>a.,TO наряду с
решением, в котором скачок сдвинется вправо в сечение с несколько
большей площадью S f£ > Sg) ,Tvpn том же ра существуют еще два других
решения, в которых скачок расположен в сечениях с такой же площадью
S справа или слева от сечения 2. Считая, что положение скачка при
постепенном уменьшении давления ри меняется непрерывно, т.е.
скачок Не может мгновенно переместиться в новое положение, продолжим
рассмотрение решения, в котором скачок расположен в расширяющейся
части первого сопла . Из уравнения неразрывности, записанного для
сечения перед скачком и сечения 2, получим
Так как vKp при переходе через скачок сохраняется, а иэменение^о^
пропорционально изменению тлного давления & , то отсюда следует
f (&г) рог S£ = p0i &/ • E.1)
Отношение f—— есть убывающая функция числа Маха перед скач-
Ро*
ком или отношения площади сечения S } где расположен скачок, к
площади S/ критического сечения I. Поэтому при росте S величина <р&^)
увеличивается. Так как о (%g) ^ I, то уравнение расхода E.1) может
удовлетворяться только при росте S ДО такого значения,' при котором
■Рог 3/
*0 *■■ с • При перемещении скачка до сечения с таким значением о
скорость газа в сечении 2 становится равной скорости звука. После этого
течение слева от сечения 2 перестает изменяться при дальнейшем
уменьшении рл , а справа от этого сечения изменяется так, как в одиночном
сопле Лаваля. Если площадь S^, наибольшего сечения канала между
двумя сужениями таково, что при нахождении скачка в этом сечении в
горле 2 все еще не достигается скорость звука, то при том же -рл ,
можно перейти к другому режиму течения со скачком правее второго
горла в сечении, где S — S^ f и сверхзвуковым течением всюду между
сечением I и этим сечением. Если же выходное сечение сопла меньше
Sut j TO сверхзвуковое течение будет всюду от сечения I до выхода
из сопла.
Этот переход от одного режима течения к другому с прохождением
скачка через горло 2 и установлением сверхзвукового потока во всей
области между сечениями I и 2, называют "запуском канала* (сам
переход скачка из сечения с максимальной площадью через второе гор-
' Для исключения решения с скачком в сужающейся части канала
приведем качественное соображение о неустойчивости такого скачка.
Пусть скачок вследствие какой-либо причины сместился вверх по
потоку. При этом число Маха перед ним возрастет, энтропия газа за
скачком увеличится, полное же теплосодержание останется неизменным. В
согласии с C.26) при этом уменьшится расход газа в выходном сече*-
нии сопла (otS~ctp * dK = 0, оСб> О, так что dG < 0), что
приведет к накоплению газа и повышению давления в объеме между этим
сечением и скачком и, как следствие, к дальнейшему перемещению
скачка навстречу потоку. Аналогичное рассуждение справедливо и при
начальном смещении скачка вниз по потоку.
62

ло в расширяющуюся часть второго сопла называют проглатыванием
скачка). Наступление при достаточно больших S^, критического
режима во втором горле с установлением скачка в расширяющейся части
первого сопла и дозвукового течения за ним называют, как и в случае
одиночного сопла, "запиранием* канала.
Для того, чтобы мог произойти запуск канала, должно быть
выполнено неравенство
S*
>.
9 {*.)&&-).
т.е. отношение площади сечения второго горла к наибольшему сечению
канала перед ним должно быть больше определенной величины,
зависящей от Мм. Значения этой величины (минимальной относительной
величины площади горла, необходимой для запуска)при некоторых М„
приведены в нижеследующей таблице
Мм.
(?)
Мг
1
1
1
1,5
0,915
1,32
2,0
0,82
1,75
2,5
0,76
2,20
3
0,72
2,65
4
0,67
3,56
5
0,65
4,5
10
0,60
9,0
сх>
0,60
оо
Как видно из этой таблицы, при небольших и умеренных
сверхзвуковых скоростях допустимы лишь довольно умеренные сужения канала,
если необходимо осуществить его запуск.
После запуска канала сверхзвуковое число Маха во втором горле
определится равенством
?("*> &-('**'>•
Р
т.е. при больших значениях ftfM число М% будет также большим
(см. таблицу).
Проведенное исследование течения в канале с двумя сужениями
имеет важное значение во многих прикладных задачах и, в частности, в
теории сверхзвуковых аэродинамических труб продолжительного
действия (в которых поток можно считать стационарным или
квазистационарным) .
Пусть сверхзвуковой поток воздуха в аэродинамической трубе
создается при его истечении в атмосферу из резервуара с высоким
давлением poi через сопло Лаваля с присоединенной к нему
цилиндрической рабочей частью трубы (рис.5.4а).Для создания таким путем, к
примеру, потока с числом Маха М = 5 при расчетном истечении
требуется давление р0^ & 530 атм. Это давление можно существенно
уменьшить, если присоединить к концу цилиндрической рабочей части
расширяющийся (диффузорный) канал и перед его началом поместить
скачок уплотнения (рис.5.4б). В скачке поток перейдет в дозвуковой
и начнет тормозиться в диффузоре; при достаточно большом увеличении
площади сечения диффузора скорость газа приблизится к нулю, а
давление к р0г • При М = 5 отношение ftoa/PoJ = 0.0618, так что
при -рог^ Ра, = 1 ат потребное давление в резервуаре ftoi ш 160ат.
Если же перед диффузором произвести допустимое для запуска трубы
сужение канала (рис.5.4в), равное согласно таблице (см. выше) 0,65,
63

f>a-4am
ЛОат
Рис. 5.4
то в горле при этом число
Маха станет равным 4,5; для
такого числа Маха -р0г /-р<>4 =
= 0.0917, так что необходимое
давление в резервуаре -р0^ ~
ш 110 ат, что почти на одну
треть меньше предыдущего.
Для дальнейшего снижения
потребного давления f>0j в
аэродинамических трубах
применяют регулируемые диффузоры:
в них после запуска площадь
горла еще уменьшается, так
что число Маха/в горле
падает; это дает возможность
снизить потери полного давления
при торможении сверхзвукового потока в скачках уплотнения. В
идеальном случае при отсутствии потерь полного давления в рабочей части
трубы площадь горла диффузора можно уменьшить до площади горла сопла
трубы и сделать скорость в горле диффузора равной скорости звука с
последующим непрерывным торможением дозвукового потока в диффузоре
до давления Ра,— "Ро* • Такая идеальная труба работала бы при любой
сверхзвуковой скорости в ее рабочей части без превышения давления
в резервуаре над атмосферным давлением, т.е. без потребления энергии
извне.
В действительности, вследствие необратимых потерь в тракте
аэродинамической трубы, возрастающих при росте числа Маха в ее рабочей
части, создание потоков газа большой скорости связано со
значительными затратами энергии.
При работе аэродинамических труб по замкнутому циклу воздух,
выходящий из диффузора, после увеличения его полного давления в
компрессоре (вентиляторе) для восполнения потерь вновь возвращается к
входу в сопло. При этом необратимый переход сообщаемой газу
механической энергии в тепловую требует установки в трубах достаточно
большой мощности специальных устройств для отвода тепла от газового
потока.
Рассмотрим теперь простейшую модель движения сжимаемого газа
в трубе с учетом трения газа о стенки трубы, теплоподвода к газу и
действия внешних массовых сил.
В § 3 была получена математическая модель таких установившихся
непрерывных движений газа в слабо искривленных трубках с плавно
меняющимися формой и площадью поперечного сечения в виде
соотношений C.13), C.16) и C.17):
сСА0 = *х Ых + о,,. Ux
E.2)
E.3)
E.4)
Если в потоке имеются разрывы (скачки), то на них должны быть
выполнены установленные в § 4 условия D.1),D.2),D.3), вытекающие
64

из законов сохранения массы, импульса и энергии и принимающие при
Sj— S и наличии сосредоточенных на разрывах внешних воздействий
следующий вид:
JtV^jOjVj+m™ ; E.5)
р -joV^f^jO,V/^mre)V^^X ■ E.6)
Л0 = &о* +тСеУА^ср +W'i-(f . E.7)
Здесь ТП - сосредоточенный приток массы на единицу
площади сечения трубки с импульсом в направлении ее оси тп(е>\гг^ и
(еУ р Се) xr P
полным теплосодержанием m тг0ср 7 -%■ ~ сосредоточенная сила
в направлении оси трубки на единицу площади ее сечения, г&' и «
- сосредоточенные притоки внешней механической и тепловой энергии,
соответственно, на единицу массы протекающего в трубке газа.
Из уравнения неразрывности E.2), пользуясь определением -&0 =
~п + -р- и соотношением ТЫ А = d&~ q, получим
=s[fidVyv§£\(dh-Vciv-Tdbyv§%y^vJs=
так что
Это соотношение является обобщением зависимости, полученной ранее
в § 3 для обратимых адиабатических течений без подвода внешней
механической энергии, для которых drv0 = d& =0.Остановим внимание на
том.что множитель при ал, в правой части отрицателен, а множитель
при db - положителен. Действительно,-4 — .-> / =рп——/-= л/> .
. J> дб lf> J di> Pip Г'^Р*»
величина же Пр$ по определению нормального газа положительна.
Для рассматриваемой модели течения уравнение энергии E.4) и
уравнение изменения энтропии C.19)
Tdi = (fxdx + -v~V2dx E.9)
дают возможность конкретизировать выражения для dnB и 0С6 в
соотношении E.8), в результате чего это соотношение примет вид
«-M>)f~bd*-7r$tl^
65

Из сказанного следует, что коэффициенты при внешнем теплоподво-
де Ожо1ас и при величине -—V clx, представляющей собой нескомпен-
сированный теплоподвод вследствие необратимого характера движения
газа в трубке с трением (см. § 3, стр. 27 ), положительны. Поэтому
знак первых двух слагаемых в правой части соотношения E.10)
зависит от знаков уле и оя , соответственно, знак же третьего
слагаемого всегда положителен. Как показывает соотношение E.10), при
фиксированном знаке каждого из слагаемых в правой его части,
влияние этого слагаемого на изменение скорости газа противоположно при
//< 1 и при// > 1. При М = 1 происходит обращение воздействия на
изменение скорости газа каждого из факторов, влияющих на течение в
трубке: подвода механической и тепловой энергии, трения газа о
стенки, изменения площади сечения трубки* В связи с этим соотношение
E.10) называют иногда уравнением обращения воздействий.
Рассмотрим последовательно несколько важных классов течений в
трубах, описываемых моделью E.2)-E.7).
Вначале изучим течения с учетом трения, но без подвода
механической и тепловой энергии ( с£п,0 - 0, T'clb** -o-Vdx). При этом, в
основном, будем рассматривать течение в цилиндрической трубе ( dS =0).
При dS ¥ 0 ограничимся лишь указанием на то, что вследствие интег-
рала Л — c&ntt существует максимальная скорость
истечения газа в пустоту, и одним частным вопросом: в каком месте
может происходить переход через скорость звука при течении газа с трэ-
нием в сопле Л аваля ? Так как из соотношения E.8) следует, что при
Н = 1 и cl-b > 0 должно быть c/S>0, то переход через скорость
звука происходит не в горле сопла, а на некотором удалении от него в
расширяющейся части сопла.
Пусть теперь S~ cortA/v, т.е. US e 0. Тогда из E.8) следует, что
при N = 1 ct-5 = 0, т.е. энтропия имеет стационарную точку.
Дальнейшее рассмотрение проведем для модели совершенного газа
с постоянными теплоемкостями. В этом случае энтальпия ?L ,
рассматриваемая как функция скорости звука о, и энтропии 4 ; не
зависит от ■& (меняющейся при движении газа); поэтому) наряду с
\^ , существует и постоянная критическая скорость VKp, как
решение уравнения
-J- + 4ь (а, й) = Л0
при V^ct^VJep-
Так как энтропия газа при движении растет, то его полное
давление и плотность торможения уменьшаются; из соотношения E.8)
следует, что дозвуковой поток при этом ускоряется, а сверхзвуковой
замедляется. Скорость в обоих случаях приближается к критической, а
число Маха - к единице. Очевидно, что при достижении критических
условий энтропия достигает максимума, а дальнейшее продолжение
течения становится невозможным. Таким образом, при заданных
параметрах газа при входе в трубу существует предельная длина трубы, в ко-т-
торой возможно непрерывное течение. При дозвуковой скорости это
течение единственно. Если скорость газа при входе в трубу
сверхзвуковая, то кроме непрерывного течения существует семейство решений

со скачком уплотнения в разных сечениях исходного непрерывного
течения и с дозвуковым течением за скачком.
Изучим эти течения. Для совершенного газа - -=- -^-1 *=■ &~ •
аСе) -Р' дй If a '
этому уравнение E.10) при dx = Qx = 0 и dS = 0 примет вид
по—
О-н*)
dV
V
dV dX
= ?M2lCdx
Произведя замену -ту = —— и пользуясь формулой C.31),
связывающей Ли//, получим
V Л
Коэффициент трения £~ зависит от местных значений чисел Рейноль-
дса и Маха, а также от параметров, характеризующих термодинамические
свойства газа (для совершенного газа с постоянными теплоемкостями -
величины . Jf ), и от шероховатости поверхности. Эти зависимости
определяются, главным образом, из экспериментов по течению газа в
длинных цилиндрических трубах.
Сделаем для простоты допущение, что ^Г не меняется по длине
трубы. Тогда после интегрирования найдем
2[4~^)~^Л = -г£7 ^K+ccmtt.
E.11)
Таким образом имеется единая (с точностью до сдвига по д; )
зависимость Я от безразмерной координаты -£jj £" ~о~ . Эта зависимость
при условии Л = 1 при Х=0 изображена графически на рис.5.5.
Нижняя ее ветвь соответствует дозвуковым течениям,верхняя -
сверхзвуковым непрерывным течениям.Если положить х~~ L и считать L длиной
трубы.то график на рис .5.5 даст зависимость наибольшей приведенной дли-
ны трубы ++i R I-* 'ПРИ которой достигается скорость звука в
выходном сечении) от числа Дна входе в трубу при непрерывном течении в ней.
Зависимость E,11) можно использовать для расчета течений со
скачком уплотнения. Для этого -при каждом ос найдем значение А ,
которое соответствует течению за .скачком, расположенным в
сверхзвуковом потоке в этом сечении.
Согласно формуле Прандтля D.16)
ЛЯ' - 1 ,
РЧ
Рис. 5.5
так что уравнение соответствующей
кривой
E.12)
На рис.5.6 изображена
сверхзвуковая ветвь зависимости E.11) и -
пунктиром - зависимость E.12).
Пусть течение перед скачком
соответствует точке 1; тогда течению
за скачком соответствует точка 2.
67

Для продолжения течения за
скачком нужно сдвинуть изображенную на
рис. 5.6 дозвуковую ветвь
зависимости E.11) так, чтобы она прошла
через точку 2; ее часть правее точки
2 и будет соответствовать течению
за скачком.
Изложенная простая теория
достаточно хорошо подтверждается
экспериментальными данными при
дозвуковых скоростях и менее
удовлетворительно - при околозвуковых и
сверхзвуковых скоростях. В частности, при
сверхзвуковых скоростях переход к дозвуковым скоростям происхо-
протяженной
. ^^^ г ,-^- ——
&*i
Рис. 5.6
зоне со сложным, не-
дит не скачком, а в довольно
однородным по сечению потоком.
Рассмотрим, основываясь на уже полученных данных, истечение
газа через трубу заданной длины из резервуара с давлением ро в
окружающее пространство при постепенном уменьшении давления -ра в
нем.
Для этого запишем условие равенства расходов газа во входном и
выходном сечениях трубы.
fiViSt-fiVS.
E.13)
Так как в начале трубы скорость газа дозвуковая, то истечение
газа из трубы может происходить либо с дозвуковой скоростью (Л
<С\), - и тогда давление газа в выходном сечении должно равняться
давлению ра f либо газ может истекать со скоростью звука ( A = 1),
и тогда его давление при выходе может превышать давление -О^ .
Преобразуем уравнение E.13) так, чтобы в его левой части
величины pi и Vj были выражены через параметры торможения poi
и Toi в этом сечении (известные) и величину Л у (неизвестную),
а в правой части величины jO и У выразим через давление р , тем-
нературу торможения Т0 и величину Я (если Л < 1, то она
неизвестна.
но известны
и Т0 , а
Р^-Ра. и 7l—Toj , если же Л = 1, то известны
^о неизвестно). В результате получим уравнение
Pot <? fal) = Р
1 tf 1-1 л
(*?f
E.14)
Согласно соотношению E.11) при заданной длине трубы L
значения Я и Л/ связаны уравнением
При -Я*- f близких к единице, течение дозвуковое; полагая в E.14)
^-Д,имеем два уравнения E.14) и E.15) для определения Я, и
Л через — K—fj-^-L . Используя эти уравнения, несложными,
но довольно громоздкими выкладками можно показать.что при
уменьшении +~ величина Я растет. Когда достигается равенство Я =1,
68 ™

то величина Я^ находится из E.15), а условие E.14) служит для
определения давления р в выходном сечении трубы.
Значение отношения давлений -+— . при котором наступает критичео-
кое истечение, определяется зависимостями
<f fri) ;
а ^i J X + i R E.16)
С ростом приведенной длины трубы величина Лу и вместе с ней
Q(<Aj) уменьшаются, так что отношение давлений ~^— . потребное
' po-t
для достижения критического истечения газа, возрастает. _
При этом расход газа через трубу при наличии трения при данном
отношении ~г— всегда меньше, чем без учета трения, и тем меньше,
'ro-f
чем больше приведенная длина трубы.
Действительно, расход газа через сечение S можно представить в
виде
G -joVS-jDvVp *9 (&) >
где
(¥Р№№(<-£
5.
.*)
J r nPuf»f>«p
При течении газа с трением р0 уменьшается, вместе с ним
уменьшается и Pita у Укр остается неизменной. Таким образом, при заданном
р в сечении выхода из трубы о (т~Л меньше для меньших ре
(см. рис.3.66). Следовательно, при данном р и меньшем рс и
расход газа G будет меньшим.
Пусть теперь сверхзвуковой поток газа, создаваемый, например,
в сопле Л аваля, истекает через цилиндрическую трубу в пространство
с давлением ра . Как будут меняться режимы течения в трубе в
зависимости от длины трубы и от внешнего давления J)^ ?
В этом случае, в отличие от предыдущего, во входном сечении
трубы известны не только значения параметров торможения, но и
величина Л-у . Если длина трубы меньше или равна предельной для данного
значения Лу , то из уравнения E.15) определится Л ~2- 1, а из
уравнения E.14) - давление р газа в выходном сечении трубы. Если при
этом давление ри. меньше или равно р , или больше его, но
меньше, чем давление за прямым скачком в выходном сечении, то течение
в трубе непрерывно и газ истекает из трубы со сверхзвуковой
скоростью.
Если давление pa. выше давления за прямым скачком,
расположенным в выходном сечении трубы, то течение в трубе перестанет быть
непрерывным. В нем возникнет скачок уплотнения, истечение из трубы
станет дозвуковым с давлением р при выходе газа, равным р л •
Из уравнения E.14), справедливого и при наличии скачка уплотнения,
69

определится Л . Для нахождения положения скачка нужно
воспользоваться исходным соотношением E.11), учитывая, что значения Л- перед
скачком ( Л ) и за ним {Л" ) связаны формулой Прандтля Л'Л"=
= 1.
Пусть ос = 0 - координата начального сечения трубы, L - длина
трубы, xs - координата скачка. Применим соотношение E.11) к
сечению перед скачком, определив константу в правой части из условия
при ОС =0. Это даст
Применим далее соотношение E.11) к сечению за скачком,
определив константу из условий в выходном сечении - при ac=L . При этом
заменим Л" по формуле Прандтля. В результате получим
^~+ **'-$ §-*.-£ -ьл-ffj i-i
E.18)
Соотношения E.17) и E.18) определяют ocs и Я по известным
it и Л/ и по найденному из уравнения E.14) значению Л .
Из E.14) следует, что при росте р величина и- падает. Вычитая
E.18) из E.17), получим выражение, из которого нетрудно установить-,
что при уменьшении А- величина Л' растет, так что скачок
смещается в сторону сопла. При некотором р скачок достигнет сопла
(Хд = 0, Л "Д^), После этого дальнейшее повышение ^Оа приведет
к перестройке течения внутри сопла, которая была уже описана ранее
в § 4.
Рассмотрим теперь течения газа в трубе без учета трения и
действия массовых сил, но при наличии теплоподвода.
Ранее уже говорилось, что в уравнении энергии под теплоподводом
можно понимать не только приток тепла извне (например, вследствие
теплопередачи через стенки трубы) ,но и - при соответствующем
определении внутренней энергии - тепловыделение внутри газа вследствие
превращения некоторых видов внутренней энергии (химической, ядерной) в
тепловую. На практике нагрев воздуха при движении его в технических
устройствах, которые схематически можно представить в виде труб,
часто производится путем предварительного образования горючей смеси
при добавлении к воздуху различных топлив, главным образом,
углеводородных (бензин, керосин, природный газ и т.п.) и последующего
сгорания этой смеси. При этом к воздушному потоку подводится масса,
обладающая некоторым полным теплосодержанием и - в общем случае -
импульсом в направлении оси трубы. При необходимости такой подвод
массы можно учесть в расчетах течения. Однако, во многих реальных
случаях масса топлива, его импульс и теплосодержание (с учетом
только тепловой составляющей внутренней энергии) малы по сравнению с
соответствующими величинами для воздушного потока (так, в камерах
сгорания воздушно-реактивных двигателей масса топлива обычно не
превышает немногих процентов массы протекающего воздуха) и эффект
добавления массы топлива к потоку сводится лишь к подводу тепла
воздуху в результате химических реакций при горении.
Согласно соотношению E.10) подвод тепла к газу, текущему в трубе,
увеличивает скорость газа, если она дозвуковая, и уменьшает скорость,
если она сверхзвуковая. Таким образом, подвод тепла влияет на тече-
Ъ

ние качественно так же, как трение газа о стенки; при теплоотвояе
влияние будет обратным.
В § 3 было получено выражение
для изменения полного давления газа при теплоподводе. Полное
давление газа при теплоподводе всегда уменьшается даже при отсутствии
необратимых потерь ( сСо' = 0). Для того, чтобы в необходимых
случаях уменьшить падение полного давления, нужно стремиться подводить
тепло к движущемуся газу при наиболее высокой температуре - в
предельном случае при Т^Т0 , т.е. при температуре торможения, когда
скорость газа равна нулю; полное давление не будет при этом
изменяться. По этой причине при больших скоростях воздушного потока
относительно камеры сгорания (например, у летящего самолета с воздушно-
реактивным двигателем) воздух перед входом в камеру тормозят в
специальных устройствах - диффузорах.
При расчете течений газа в трубе переменного сечения можно
задавать не изменение площади сечения трубы по ее длине, а изменение
какого-либо другого параметра, например, давления газа или числа
Маха; площадь сечения трубы будет тогда определяемой величиной. Среди
различных возможных течений газа в трубах с подводом тепла выделим*
течения с постоянным давлением.В этом случае из E.3) следует
постоянство скорости по длине трубы.так что в соответствии с уравнением
энергии E,4), справедливым и при 3 т* ccmfrt (см. D.3)),
A" &j -I- Q .
Так как при постоянном давлении теплосодержание есть функция только
температуры, то это уравнение устанавливает связь температуры с теп—
лоподводом. Уравнение состояния дает при этом зависимость плотности
от температуры, после чего уравнение расхода определит зависимость
от температуры площади сечения трубы.
Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями эти
зависимости имеют особенно простой вид :
jo 7} 5У ср Tj
Изменение числа Маха определяется формулой
М ^fW_ £
так что число Маха при изобарическом подводе тепла уменьшается
независимо от того, является ли скорость в начальном состоянии
дозвуковой или сверхзвуковой, причем при Mj ~> 1 возможен непрерывный
переход к дозвуковому течению (заметим, что площадь сечения канала
при этом растет).
Падение полного давления при изобарическом подвода тепла
происходит в соответствии с формулами '
р, _ А я/ -/Г» Ъ \ ~&_
71

-/ л,*
*T-Ml \t=r
Cp 7>
При малых значениях числа Маха
так что имеет порядок /V/ , а при больших числах Маха
(/Г/^1)Л
Изучим теперь более подробно течение газа с подводом тепла в
цилиндрической трубе. В этом случае при сделанных предположениях
законы сохранения массы, импульса и энергии D.1)-D.3)
приобретают вид
Pv(lT+ &) ^J°'v' &+ *') + а • E-21>
E.19)
E.20)
Здесь индекс 1 обозначает начальные значения параметров газа
в сечении трубы до подвода ему тепла, величины без индекса
относятся к любому расположенному ниже по потоку сечению, Q. —
подведенная газу межзу обоими сечениями тепловая энергия (отнесенная к
единице времени и единице площади сечения трубы). Если тепловая
энергия черпается из самого газа за счет изменения других составляющих
его внутренней энергии и эти составляющие не включены в
теплосодержание газа п. у то выделяющееся тепло, пропорциональное
протекающей массе газа, следует отнести к & . При этом, полагая О. ~
- fijiVj Q и учитывая уравнение сохранения массы газа уравнение
энергии можно написать в виде
или
2 * Г E.22)
E,22а)
Здесь О - тепло, подведенное единице массы газа до
рассматриваемого сечения.
Если теплоподвод Я задан как функция расстояния ос вдоль
трубы, то три соотношения E.19), E.20) и E.22 ) определяют изменение
параметров газа V i О и р в зависимости от ОС . Качественное
поведение этих величин удобно изучать в плоскости Uyf> (рис.5.7)
72

f
(П-
- удельный объем), при-
•'«Г
«5
Рис. 5.7
&
нимая во внимание, что при
данной плотности jO скорость V
находится из уравнения расхода
E.19) рV=f>i V{ = т (та~c&rvyty
Уравнение импульсов E.20),
преобразованное к виау i°"/°/ —
= - тп3(if-VjУ , определяет в
плоскости 'и, f> прямые, проходящие
через начальную точку £^ _, f>±
£> ^"^StOv (точка О на рис.5.7) с отрица-
Л vv>-c^ » тельным угловым коэффициентом
— тп^ .Эти прямые называются
прямыми Рэлея-Михельсона (для
краткости мы будем говорить о
прямых rrcc&ri&t );
состояниям газа в любом сечении трубы
при подводе ему тепла должны
соответствовать точки одной
прямой тп. *° ccmyt независимо от
того, подводится ли тепло обратимо или его подвод сопровождают
необратимые процессы.
Проведем через точку О адиабату Пуассона-линию р= />(?%«5)
при ■& =■ ■i>j=*c07v$t'. Очевидно,что касательная к этой адиабате в точке О
с угловым коэффициентом 5~v£7..=~lP/QY принадлежит к семейству пря-
. dtr'6 г г г
мых 7n~COTibt при значении тп,, определяемом равенством тп -jOf&j,
т.е. при скорости V/ равной скорости звука а-у - Если в начальном
состоянии до подвода газу тепла его скорость дозвуковая, то
соответствующая прямая -7rv" ccn#t наклонена к оси If более полого,
чем касательная к адиабате Пуассона в точке О (прямая ОС£ на
рис.5.7). С подводом тепла газу его энтропия начинает расти, так что
изображающая состояние газа точка движется по прямой тп,-сстььъ
от точки О вправо. При этом плотность и давление газа падают.ско— ■
рость же газа V растет, приближаясь к скорости звука (различие
между угловым коэффициентом прямой Tn-corvyt , равным -J) \у и
угловым коэффициентом пересекаемой ею адиабаты Пуассона, равным
—£,.==—рСЬ уменьшается). Если теплоподвод достаточно велик, то
энтропия при движении вдоль прямой тп^сопАЪ достигнет максимума
— это произойдет в точке касания этой прямой с адиабатой Пуассона
(точка С/ на рис.5.7); скорость газа при этом станет равной
скорости звука, т.е. газ достигнет критического состояния. Так как еще
больших значений энтропия на прямой m-^e&rvit достигнуть не
может, то и дальнейший подвод тепла к газу при данном 7n,=J>iVi
невозможен - наступает так называемый "тепловой кризис".
Если в начальном состоянии скорость газа превосходит звуковую,
так что прямая пъ~ сотьуЬ наклонена к оси Ф круче касательной к
адиабате Пуассона в точке О (прямая ОС на рис.5.7), то при
подводе тепла, сопровождаемом ростом энтропии, изображающая состояние
газа точка движется от точки О по прямой m~ccm#t вверх.
Давление и плотность газа при этом возрастают, а скорость его падает,
73

вновь, как и в случав дозвуковой начальной скорости, приближаясь к
скорости звука. Тепло к газу можно подводить до тех пор, пока не
будет достигнут максимум энтропии в точке касания прямой m^c^mvt
с адиабатой Пуассона (точка С на рис.5.7). При этом вновь
наступает тепловой кризис и дальнейший подвод тепла к газу становится
невозможным.
При следовании вдоль прямой ОС^ за точку С/ (где скорость
газа становится сверхзвуковой) или вдоль прямой ОС за точку С
(где скорость становится дозвуковой) энтропия газа вновь
уменьшается. Это возможно лишь при условии, что от газа отбирается тепло.
Таким образом, непрерывное изменение скорости потока газа в
цилиндрической трубе от дозвуковой до сверхзвуковой и обратно возможно,
если сначала тепло подводить газу до достижения им критической
скорости, а затем отводить тепло от газа.
Из рассмотрения рис.5.7 следует, что при ^/ <С< CL^ (когда прямая
пг =coTi#t близка к горизонтальной), т.е. при малых начальных
значениях числа Маха 7*// = ^ , относительное падение давления газа при
теплоподводе мало сравнительно с относительным изменением
плотности (а, следовательно, и скорости), так что подвод тепла можно при
этом приближенно считать изобарическим. Если Vj V> Cl-f (когда
прямая т = c&nvt' близка к вертикальной), т.е. при больших
сверхзвуковых значениях числа Маха М{ , при подводе тепла относительное
изменение давления велико сравнительно с относительным изменением
плотности (и скорости), так что подвод тепла можно приближенно
считать происходящим без изменения объема, т.е. изохорическим.
Проиллюстрируем предыдущие качественные выводы формулами для
совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Используя
соотношение E.10) и записав уравнения расхода E.19) и импульса E.20), а
также уравнение состояния совершенного газа f)—ftP/ в виде
связей между дифференциалами, получим
л
У
у
E.23)
Наконец, из определения числа Маха /7 = уд } найдем
оСТ
2 с* Г
E.24)
Л I
Выражение E.23) для -=- указывает на необычное поведение
температуры при подводе тепла к движущемуся газу при числах Маха в
74

диапазоне — <М •£ 1: подвод тепла приводит к охлаждению газа, а от-
вод тепла, наоборот, к его нагреванию. Такое поведение температуры,
соответствующее отрицательной теплоемкости газа, связано с тем.что
в указанном диапазоне дозвуковых значений чисел Маха относительное
падение плотности газа происходит при подводе тепла быстрее
относительного падения давления.
Соотношение E,24), связывающее изменение числа Маха с теплопод-
водом, подтверждает уже сделанный для общего случая сжимаемого
газа вывод о невозможности перехода через скорость звука при
движении газа в цилиндрической трубе при сохранении знака do- ,
Исключив в каждом из соотношений E.23) величину ——fer с
помощью E,24) можно проинтегрировать эти дифференциальные
соотношения и получить конечные связи параметров потока с числом Маха;
после этого из E.24) получим зависимость числа Маха и других
параметров от теплоподвода а. Однако, проще найти эти зависимости
непосредственно из конечных соотношений E.19), E.20) и E.22). Заменив в
уравнении энергии E.22) р и р из уравнений сохранения массы
E.19) и импульса E.20), получим квадратное уравнение относительно
V . Преобразуем его, введя вместо скорости V величину Л- тт-
и имея в виду, что X>„ } определяемая формулами V^n = у о _ V^ и
~ЗГ~СрТо > ПРИ подводе тепла изменяется в соответствии с уравнением
энергии в форме E.22а) - для совершенного газа
CpTD ^CpT0j -t <? .
В результате преобразований уравнение для определения И- примет
вид: у
л8—7У / л+*-о.
li + T&r E'25)
' W> lot
-70 1 of
Отсюда находим
"ФЯ^Т/^
Нижний знак перед радикалом нужно брать при Л^ ■< 1, верхний - при
Ду >• 1 (т.е. так,чтобы Л~.Х/ при Q =0; при другом выборе знака
получим Ar=~ при О =0, что соответствует в силу соотношения
Прандтля D.16) скачку уплотнения при Лу"> 1 или скачку разрежения
при Лу < 1).
После нахождения Д- зависимость плотности от о находится
из уравнения E.19)
Р _ &± V*pi _ Я*/ 4
Л А v« л У^ '
зависимость температуры от а - из уравнения
7 -/
Т _Т Т0< Т0_ 4-frjXz s о n
7} То Т* Тн ;Х-±лг. Cr^J '
75

а зависимость давления от # - из уравнения состояния
f _ JL.
-Pi JO/
Наибольшее значение величины
т
7}
, при котором наступает теп-
ловой кризис, получим, полагая в уравнении E.25) Л^ = 1:
Используя предыдущие формулы, несложными выкладками найдем
отношение полного давления при тепловом кризисе к начальному
При Я-у -*" 0 теплоподвод _ ff~ до достижения теплового кризиса
может быть сколь угодно велик; при «^у ^Л^~у+~^Г максимальный
теплоподвод/—%—) —>- я . A.04 при #■ = 1.4).
[Cp7ifJiep fs-i °
Отношение полных давлений при тепловом кризисе при Л-± ~"*- 0
равно \*-~—)t~* -тг- @.789 при у- = 1.4) и стремится к нулю при /1у-*-Д-„.
Зависимости (■=—) и (-^-) от Д./ (последняя - при 4* =1,4)
приведены на рис.5.8.
Рассмотрим теперь некоторые механизмы тепловыделения в газах
и механизмы распространения по газу зон, в которых происходит
тепловыделение.
Наиболее распространенным в практике и хорошо изученным
механизмом тепловыделения в газах является горение - химические
реакции в смесях газов, сопровождаемые переходом в тепловую энергию
внутренней энергии химических связей атомов в молекулах при их
перестройке. Обычно скорости химических реакций сильно зависят от
температуры, увеличиваясь вместе с ней. Поэтому при достаточно
низкой температуре смеси газов, способных к химической реакции
с выделением тепла (такие реакции называются экзотермическими),
например, смесь кислорода^ и водорода,
смесь паров бензина и воздуха и т.п.,
могут находиться в инертном, "замороженном"
состоянии, не вступая в реакции. Если в
каком-либо месте такую смесь подогреть
путем подвода тепла извне, то в этом
месте начнется быстрая химическая
реакция с выделением тепла и повышением
температуры газа. При этом газ в общем
случае придет в движение. Если бы в газе
отсутствовали механизмы распространения
зон тепловыделения, то реакция в
предварительно подогретой зоне быстро завершилась
fM/кр
Рио,.5.8
76
v-бы установлением в ней химически
равновесного состояния^ соответствующего
новым, изменившимся в результате тепло-

выделения и движения газа значениям температуры и давления. Однако,
в газах есть механизмы, вызывающие распространение зоны
химического тепловыделения на новые, предварительно не подогретые порции
газа. Основными из этих механизмов являются теплопроводность и
диффузия, т.е. молекулярный перенос тепловой энергии и вещества; при этом
относительная роль этих двух факторов может быть различной в
зависимости от конкретных веществ, участвующих в реакции. Теплопроводность
приводит к повышению температуры в прилегающей к зоне
тепловыделения еще не прореагировавшей смеси и тем самым увеличивает скорость
реакций в ней; вследствие диффузии в холодную смесь из зоны реакции
проникают активные промежуточные продукты реакции - радикалы,
способные инициировать реакции и при более низких температурах. Средняя
тепловая скорость движения молекул (т.е. средняя скорость их
хаотического движения) и скорость распространения звука в газе имеют
одинаковый порядок величины. Однако, количество соударений между
молекулами, необходимое в среднем для одного акта химической реакции
между ними, весьма велико, В связи с этим скорость распространения в
горючей газовой смеси зоны тепловыделения, обусловленная молекулярным
переносом (ее называют скоростью медленного горения) весьма мала
сравнительно с о скоростью звука и при обычных условиях (т.е. при
нормальных давлении и температуре) лежит в диапазоне от немногих
сантиметров до десятков и сотен сантиметров в секунду. Толщина зоны
горения или "пламени*, т.е. зоны интенсивного тепловыделения,
отделяющей еще непрореагировавшую смесь от продуктов сгорания, составляет
при этом обычно доли миллиметра.
При некоторых интенсивно протекающих реакциях горения определен-
ную роль в процессе распространения зоны тепловыделения играет
тепловое излучение из этой зоны; однако, это не влияет на порядок
величины скорости распространения пламени и толщины зоны горения.
На практике при достаточно больших размерах занятой газом
области (например, при движении в трубе большого диаметра) развиваются
значительные пульсации скорости, приводящие к интенсивному
перемешиванию нагретого газа в зоне реакции и за ней с холодным газом перед
зоной тепловыделения и, вследствие этого, к его воспламенению. При
таком механизме скорость распространения зоны тепловыделения (ее
называют скоростью турбулентного горения) может достигать нескольких
метров и даже десятков метров в секунду; тем не менее, она все
равно мала сравнительно со скоростью звука. Толщина такой зоны
тепловыделения - турбулентного пламени - может быть порядка нескольких
сантиметров.
Помимо механизма тепловыделения химической природы, о котором
речь шла выше, существуют и другие механизмы теплоподвода к газу.
При очень высокой температуре - порядка сотен миллионов и
миллиардов градусов в некоторых газах (находящихся при этих условиях в
плазменном состоянии, т.е. представляющих собой смесь тяжелых частиц -
ионов и легких частиц - свободных электронов) могут происходить
ядерные реакции с превращением огромной энергии ядерных связей в
конечном счете в тепловую энергию плазмы.При этом механизмы
распространения зоны тепловыделения,связанные с переносом тяжелых частиц
(ионная теплопроводность и диффузия),перестают быть главными.основными
же становятся электронная теплопроводность, излучение и диффузия
высокоэнергетических нейтронов.Эти механизмы могут в некоторых случаях
обеспечивать распространение зон тепловыделения так называемого
"ядерного горения") с громадной скоростью (в дейтерий-тритиевой сме-
77

си с плотностью порядка 0.22 г/см скорость составляет 10 -10 км/с),
превосходящей скорость звука, определяемую тепловым движением
тяжелых частиц - ионов, не только в холодной смеси, но в некоторых
случаях, - и в продуктах реакции.
Упомянем, наконец, о еще одном механизме теплоподвода в
газе,привлекшем внимание в сравнительно недавнее время.
Пусть пучок мощного электромагнитного излучения (например, пучок
света от лазера непрерывного действия или пучок сверхвысокочастотного
радиоизлучения) пронизывает покоящийся газ. В обычных условиях
многие газы почти прозрачны для электромагнитного излучения и не
взаимодействуют с ним. Однако, если на пути пучка поместить поглощающий
излучение слой, то в этом слое за счет поглощения энергии
электромагнитного поля начнется выделение тепловой энергии. Таким слоем может
служить область самого газа, если газ в этой области нагреть до
высокой температуры, при которой он становится ионизованным
(превращается в плазму) и сильно поглощяет электромагнитное излучение. В
зависимости от температуры, до которой нагревается в области
поглощения излучения и выделения тепла плазма (при разной плотности потока
энергии в пучке, достаточной для ионизации газа, это могут быть
десятки,сотни тысяч и даже миллионы градусов) действуют те или иные
упомянутые выше механизмы передачи тепла близлежащим слоям газа.На-
греваясв,эти слои сами становятся способными поглощать
электромагнитную энергию; в результате зона тепловыделения в газе
перемещается навстречу пучку излучения. Па аналогии с горением химически
реагирующих смесей описанное явление получило название - в случае,
если источником излучения служит лазер—"светового (лазерного) горения".
Волна лазерного горения при более низких температурах
распространяется по холодному газу вследствие молекулярных механизмов
переноса с дозвуковой скоростью, а при высоких температурах вследствие
механизма электронной теплопроводности и излучения - с
сверхзвуковой скоростью; в некоторых случаях скорость распространения зоны
тепловыделения может, по-видимому, быть сверхзвуковой и по
отношению к нагретой плазме.
Толщина зоны тепловыделения при ядерном или световом горении,
как и при обычном горении, определяется соответствующими
механизмами тепловыделения и распространения тепла.
Перечисленные выше механизмы распространения зон
тепловыделения связаны в основном с переносом частицами (молекулами, ионами,
электронами, фотонами) энергии из нагретой зоны; при этом перенос
импульса не является существенным. Скорость распространения зон
тепловыделения, обусловленная этими механизмами.как и толщина зон,
зависят от деталей физических и химических взаимодействий,
протекающих в веществе при тепловыделении и теплопередаче, и являются,
таким образом, характеристиками вещества.
Имеется, однако, механизм распространения зон тепловыделения,
который обусловлен в основном переносом частицами (молекулами,
ионами) импульса; этот механизм можно назвать газодинамическим.
Суть его состоит в следующем. При быстром значительном повышен
нии температуры газа в некоторой области вследствие подвода тепла
извне или внутреннего тепловыделения^ этой области резко повысится
давление (так как из-за инерционности газа при быстром росте
температуры его плотность не успевает измениться;. Повышенное давление
в нагретой области сообщает импульс прилегающим слоям газа,
вызывая распространение по газу волны давления и приводя газ в движение.
78

Если волна давления опережает тепловую волну, идущую от зоны
тепловыделения, то в волне давления газ адиабатически сжимается и
температура его возрастает. Как следствие, увеличивается скорость
экзотермических реакций в газе и в нем происходит интенсивное
тепловыделение. Скорость распространения волны тепловыделения такого вида
определяется скоростью распространения волны повышения давления в
газе. В дальнейшем (в ч.П) будет установлено, что волны непрерывного
повышения давления в газе распространяются со скоростью звука и
имеют тенденцию превращаться в разрывы - скачки уплотнения, скорость
распространения которых по газу сверхзвуковая. Таким образом, меха-,
низм, о котором идет речь, приводит к сверхзвуковой скорости
распространения зон тепловыделения по газу. Этот механизм может быть
не связан с физико-химическими процессами переноса энергии и
вещества на молекулярном и суб молекулярном уровнях; он может
приводить к распространению зоны экзотермических химических реакций
и при полном отсутствии теплопроводности и диффузии.
В приложениях большое значение имеют движения газа с теплоподво-
дом, в которых толщина зоны (тепловыделения весьма мала в сравнении
с характерными размерами рассматриваемой области движения газа
(например, с длиной и диаметром трубы, по которой движется горючая
смесь). В таких случаях зону тепловыделения можно рассматривать как
разрыв. Из законов сохранения D.1)-D,3) следует, что с двух сторон
поверхности разрыва параметры газа связаны вновь соотношениями
E.19)-E,21), В описанном выше случае эти соотношения использовались
как связи между параметрами газа в двух сечениях трубы, находящихся
на конечном расстоянии одно от другого; для их получения требовался
ряд допущений: труба цилиндрическая и непроницаемая, газ не
испытывает действия массовых сил и сил трения на стенках трубы. При
использовании этих же соотношений E,19)-E.21) как условий с двух сторон
разрыва эти допущения сводятся только к отсутствию на поверхности
разрыва сосредоточенного притока массы, импульса и механической
энергии.
Если тепло выделяется в самом газе, то, по-прежнему, в уравнении
E.21) Q, ^jO/VJ ^ f где о -сосредоточенный на разрыве подвод теп-i
ла к единице массы газа и это уравнение можно использовать в виде
E.21 а); если же тепло сообщается газу подходящим к фронту разрыва
пучком излучения, то GL есть та часть удельного потока энергии в гьм
этом пучке, которая поглощается на скачке.
Ограничимся случаем, когда d-J^iViu , и будем для простоты
считать величину о не зависящей от состояния газа перед скачком, а
А и "hi - одинаковыми функциями от давления и плотности ).
В действительности энтальпия (теплосодержание) смеси газов
перед скачком и за ним с учетом нетепловых видов внутренней энергии
£• есть сумма энтальпий компонент смеси
Аг^ <*<<[&</ (pr,J>s) +e<tl, & "{rt^fo* (p>J°)+€г] >
где o£-i/ - начальные массовые концентрации исходных компонент
смеси (в общем случае неравновесные), 6><! - их нетепловая
внутренняя энергия, ос £ - концентрации продуктов реакции (которые
часто можно считать равновесными), ё*. - их нетепловая внутренняя
энергия.
Входящая в уравнение энергии разность

Исключив из равенства E.21а) скорости V и V/ с помощью
равенств E.19) и E.20)-получим уравнение
А-Л,~ -ffa - V)(p-p<) +<? ■ E.26)
Это уравнение обобщает соотношение Гюгонио D.10) на случай, когда
при переходе газа через скачок ему сообщается тепловая энергия а.
Если эта энергия подводится в результате преобразования других видов
внутренней энергии самого движущегося газа, то процесс перехода газа
через скачок в целом является адиабатическим. В связи с этим
соотношение E.26) и при о ¥ 0 часто называют так же, как и при Q = 0,
адиабатой Гюгонио.
Соотношение E.26) при данных о, и 1/j и при каждом
фиксированном о соответствует в плоскости V", р кривая Гюгонио с центром
2^ , Л/ точки которой дают возможные состояния газа за скачком.
Очевидно, что и после подвода данного количества тепла Q к
газу с начальным состоянием £^/ , /?/, текущему в цилиндрической
трубе без трения и действия массовых сил^его конечному состоянию
должны соответствовать точки той же кривой Гюгонио. При разных
значениях О. кривые Гюгонио образуют семейство, которому принадлежит
(при о = 0) и обычная адиабата Гюгонио. При о ¥ 0 кривая
Гюгонио в общем случае не проходит через свой центр.
Так как точка, соответствующая состоянию газа после подвода ему
тепла О , должна одновременно принадлежать и прямой Рэлея—Михель—
сона р-р^^—Щ (l}~ V'i) , то физический смысл могут иметь лишь
участки кривой, определяемой соотношением E.26) в квадрантах p>pf,
1f'*£ Uh{ и р -£ pt, t/ > Z?j • Эти условия выделяют на кривой
Гюгонио две отдельные ветви.
На рис.5.9 приведены кривые Гюгонио для совершенного газа (с #■-
= 1.4) при о - 0 и при <f >■ 0 (конкретно - при g Ту. = 2); там
же в более удобных масштабах приведены отдельно две части этих
кривых. Кривая при о ->■ 0 целиком лежит над кривой, для которой о -
= 0, и тем выше над ней, чем больше о. Действительно,
продифференцируем соотношение E.26) при £/ — ccn&t. В результате получим
Для совершенного газа n^jprjipl/ и выражение в скобках, рав-
П-г „ П,
определяет тепловой эффект реакций о при прохождении газом скачка
(выражение в правой части в круглых скобках). При заданном составе
смеси перед скачком этот эффект в общем случае зависит от
термодинамического состояния газа за скачком (посколькупот него зависят
концентрации <arV ). Вид зависимости функций п. = 2£ о£€ &i и /£,, =
= ^ °^ц "Ян от -О и р тоже в общем случае различен.

^/i
""Tlfrf-V)'
положительно (кривая Гюгонио определена
при £А> ^~> tfy для всех а •> 0), так что на кривых Гюгонио
diQ
~>U , чем и доказывается высказанное утверждение (оно
справедливо при некоторых дополнительных ограничениях и в общем
случае нормального газа).
Режимы тепловыделения, при которых состоянию газа после подвода
тепла соответствуют точки нижней ветви кривой Гюгонио, называются
дефлаграцией, а режимы, которым соответствуют точки верхней ветви.-
детонацией. Если подвод тепла происходит в скачке, скачок называется
соответственно волной дефлаграции или волной детонации. При
детонации происходит уплотнение газа и повышение его давления, энтропия во
всех точках соответствующей ветви кривой Гюгонио большее ее значения
перед подводом тепла. При дефлаграции, напротив, газ разрежается и
давление в нем падает. На части дефлаграционной ветви кривой Гюгонио
энтропия меньше начальной и соответствующие ей режимы теплоподвода не
могут реализоваться (эта часть кривой лежит ниже адиабаты Пуассона,
проходящей через начальную точку; см. рис.5.9, где эта адиабата
показана пунктиром).
Напомним, что в уравнении прямой Рэлея-Михельсона т ~jO/ V/
и каждая такая прямая соответствует определенной скорости V/ газа
в начальном состоянии.
Отметим на каждой ветви кривой Гюгонио точку, в которой ее
касается прямая тп «=■ corWC (рис.5.9); обозначим соответствующие этим
точкам Cf и О/ значения скорости р/ через Vy и VO, . Из рис.
Рис. 5.9
81

5.9 видно, что Vy больше скорости звука af в начальном состоянии,
a Vy< - меньше ее (это следует из сравнения наклона касательных
CfO и 0!fj с наклоном касательной к адиабате Пуассона в точке
О ). Значения Т^ и ^у зависят от величины теплоподвода о;
при больших о скорость \fy значительно превышает скорость звука
Qj , скорость же J/«y , напротив, мала сравнительно с О./ . При
а> 0 и детонационных режимах теплоподвода скорость V/ может
изменяться в диапазоне <Z/ <^ VyM?/-^ V/<^«=o,a при дефлаграционных
- в диапазоне 0<cV^^\/Lffo) <^Q./- При данном а режимы со
скоростью газа V/ перед зоной тепловыделения в диапазоне ^у/"-^"^ *£
не осуществляются.
Точки J и Cf/ называются точками Чепмена-Жуге, а
соответствующий им режим тепловыделения называется нормальным или режимом
Чепмена-Жуге. На детонационной ветви кривой Гюгонио различают
режимы сильной (пересжатой) детонации - вверх от точки С/ ? и режимы
слабой детонации (быстрого или сверхзвукового горения) - вниз от нее.
На дефлаграционной ветви точка Cf/ отделяет режимы слабой дефлаг-
рации (или медленного горения) - вверх от нее, от режимов сильной
дефлаграции.
Ранее, в § 4, было получено дифференциальное соотношение D.12)
вдоль адиабаты Гюгонио (при О =0)
™* -&-*?<*£. - -{■(»- я)'*™' E27)
справедливое, очевидно, и при о ¥ 0 (при дифференцировании вдоль
кривой Гюгонио в соотношении E,26) а — cvn&t) . Таким образом,
в точках Cf и J у кривая Гюгонио и адиабата Пуассона имеют общую
касательнуюэ откуда следует, что в режиме Чепмена-Жуге скорость
газа V после подвода ему тепла равна скорости звука в этом
состоянии. Кроме того, в этих точках вдоль кривой Гюгонио
A YL » _£. YL Lm'JL &*/.. т*дгУ
dp а* др а*/6 тдр а'/; т Эр* ^
Для нормального газа ——~гГ , ^/Ьрор^О, так что на кривой
Гюгонио вблизи точек Чепмена-Жуге с ростом давления отношение —-
уменьшается. Это свойство сохраняется вдоль всей кривой Гюгонио.
Таким образом, после теплоподвода в режимах медленного горения и
сильной детонации V< й;в режимах сильной дефлаграции и
сверхзвукового горения V> a, .
При фиксированном а одному и тому же значению скорости V/
в диапазоне Vy^X^^oo может соответствовать и сильная детонация
и быстрое горение (точки 5£) и %0' на рис.5.9). В диапазоне
C?<V/^V/ по мере роста скорости V/ возможны следующие режимы
тепловыделения. При значениях V/ , меньших некоторой величины,
возможно лишь медленное горение, так как прямая т."- c&nyt
пересекает кривую Гюгонио в одной точке над точкой «7у (точка С на
рис.5.9). При увеличении V£ появляется вторая точка пересечения -
на участке сильной дефлаграции. Вначале эта точка лежит ниже кри-
82

вой -5 = 6/ и не должна приниматься во внимание; при дальнейшем
приближении скорости V^ к Vy одному и тому же значению V/
может соответствовать и медленное горение и сильная дефлаграция
(точки F и F" на рис.5.9).
Если к газу, движущемуся в цилиндрической трубе^тепло о
подводится постепенно ГсСа/Ыэс > О), то соответствующая состоянию газа!
точка в плоскости 1s, р перемещается в одном направлении вдоль пря*-
мой Рэ1ея -Михельсона. При этом достижимы только точки кривой Гю-
гонио на участках режимов медленного и быстрого горения, включая и
нормальные режимы. Для того, чтобы достичь, перемещаясь вдоль
прямой тп «- сопл/Ё^ точку на участке режима сильной дефлаграции
(точка F" ) или на участке сильной детонации (точка SD ), требовалось бы
после прохождения точки F или 5D , когда газу уже подведено тепло
о сообщать ему дополнительное тепло до достижения критического
режима, а затем, перейдя через скорость звука^ все это дополнительное
тепло отводить.
Точки на участке режимов сильной детонации могут быть
достигнуты и иным образом. Поместим в сечение трубы после подвода газу
некоторого количества тепла (точка Р на рис.5.10)при все еще
сверхзвуковой скорости скачок уплотнения. Построим адиабату Гюгонио с
центром в точке Р. Точка пересечения S этой адиабаты с прямой
тп - corvt/t соответствует состоянию газа за скачком; скорость газа
в этом состоянии дозвуковая. Продолжим после скачка подвод тепла
газу; при этом изображающая точка на прямой -пь ~ c&rvyt будет
перемещаться в сторону роста энтропии, т.е. к точке «&, которую она
достигнет, когда суммарный подвод тепла станет равным Q. Так как
точка /э на отрезке О %) ' выбрана произвольно, то отсюда следует,
что состояние газа в точке ZD, соответствующей режиму сильной
детонации с теплоподводом Q при сверхзвуковой начальной скорости
может быть достигнуто, если в каком-либо месте в зоне 'подвода тепла
имеется скачок уплотнения. В частности, скачок может находиться в
начальном сечении - до подвода газу тепла или в сечении, где подвод
тепла уже завершился. В первом случае газ из начального состояния
(точка О на рис.5.10) адиабатически переходит в состояние за скачком
(точка So )i после чего состояние газа меняется при подводе тепла
непрерывно вдоль отрезка Sо *& прямой ■m.'=c<rrvf/fc. Во втором случае
состояние газа при подводе тепла
меняется непрерывно вдоль той же
прямой -т.'с&тгл£ от начального в
точке О до состояния 0 ;а затем
адиабатически скачком - до состояния
SD . Очевидно, что состояние в точке
'%) связано законами сохранения (без
теплоподвода) с состоянием в точке
2D ' и поэтому точка ^0
принадлежит адиабате Гюгонио с центром в
точке "SO' (эта адиабата не показана
на рис.5.10, но она не совпадает с
проведенной там и тоже проходящей через
точки %)' и *D кривой Гюгонио с
У центром в точке О и с теплоподводом
р>0).
Состояний, соответствующих режиму
Рис. 5.10 сильной дефлаграции, нельзя достигнуть
83

аналогичным образом, т.е. помещая адиабатический скачок в
каком-либо месте внутри зоны теплоподвода, так как скачок в этом случае был
бы скачком разрежения, что невозможно в нормальном газе.
Если вся распространяющаяся по газу зона тепловыделения
моделируется разрывом, то изменение давления и удельного объема газа при
прохождении им этой зоны, т.е. при переходе от начального состояния
(точка О ) к конечному (точка пересечения кривой Гюгонио и прямой
Рэлея-Михельсона) ни в какой части зоны тепловыделения не обязано
следовать прямой Рэлея-Михельсона.
Внутреннее строение (структура) зон тепловыделения, которые
заменяются поверхностями разрыва, может быть очень сложной и для ее
описания должны в необходимых случаях использоваться соответствующие
усложненные модели среды и процессов в ней.
Хорошо изучена теоретически и экспериментально структура
экзотермических волн, в которых тепло выделяется при химических реакциях
и которые распространяются либо благодаря теплопроводности и
диффузии (волны медленного горения), либо благодаря ударной волне,
нагревающей газ и инициирующей химические реакции (волны сильной и
нормальной детонации). Показано теоретически, что описанные механизмы
тепловыделения и распространения волны, хотя и могут приводить к
образованию волн сверхз вукового горения, но для этого требовались
бы значения скоростей химических реакций и коэффициентов
теплопроводности (и диффузии), которые у реальных смесей газов не бывают.
Экспериментально такие волны также не наблюдались.
В случае лазерного горения имеются экспериментальные наблюдения
и в небольшом числе случаев теоретически изучена структура
самораспространяющихся волн сильной и слабой детонации и волн медленного
горения. При теоретическом рассмотрении внутренней структуры волн с
тепловыделением при ядерных реакциях показана возможность
распространения таких волн в зависимости от условий в режимах сильной и
слабой детонации и в режиме медленного горения.
Что касается волн сильной дефлаграции (допускаемых законами
сохранения и вторым началом термодинамики), то до настоящего времени
распространение таких волн не наблюдалось экспериментально.Проведен-
ные теоретические исследования химического, лазерного и ядерного
горения не указывают на возможность существования таких волн;
не предложены и какие-либо другие модели реальных физических
процессов тепловыделения и теплопередачи, которые приводили бы к
самораспространяющимся волнам сильной дефлаграции.
При решении задач газовой динамики с моделированием зон
тепловыделения поверхностями разрыва заранее должно быть указано, в
каком из четырех возможных режимов распространяется волна
тепловыделения.
В случае волн медленного и быстрого горения дополнительно к
соотношениям, которыми вследствие законов сохранения связаны
параметры газа с обеих сторон поверхности разрыва, необходимо задавать
При распространении экзотермической волны ее режим может
измениться, например, волна медленного горения может перейти в волну
сильной детонации. Постановка газодинамических задач должна включать
в таких случаях и критерии, определяющие смену режима
распространения волны.
84

скорость распространения волны по газу в зависимости от параметров
газа (как уже говорилось, эта скорость не может быть произвольной,
а является характеристикой среды, в которой происходит
тепловыделение). При решении задач с волнами сильной дефлаграции (если такие
задачи возникнут) требуется задавать два дополнительных условия.
Лишь для волн сильной и нормальной детонации дополнительные условия
к законам сохранения не требуются: эти волны в одной и той же среде
могут распространяться с любой сверхзвуковой скоростью, большей или
равной скорости волны в режиме Чепмена-Жуге (определяемой
начальным состоянием газа 2}^ , ■*>£ и величиной теплоподвода О ).
Причины различия в числе требуемых условий на экзотермических
скачках при разных режимах их распространения связаны с различием
в соотношениях между скоростью газа и скоростью звука за
скачком и перед ним и будут пояснены позднее (см. ч. П).
§ 6. Взаимодействие газа с движущимся в нем
телом
Изучим силовое и энергетическое взаимодействие газа с
движущимся в нем поступательно с постоянной скоростью телом (или системой
тел). Будем предполагать, что газ занимает безграничное
пространство и что вдали перед телом он однороден и покоится. Сообщив системе
газ - тело поступательную скорость, равную по величине и
противоположную по направлению скорости тела, обратим движение, т.е.
рассмотрим установившееся обтекание покоящегося тела неограниченным
однородным в бесконечности перед телом потоком газа.
В хорошем соответствии с опытом можно считать, что по мере
удаления вниз по течению от тела давление газа р в поперечных к
набегающему потоку плоскостях выравнивается и приближается к р^ *).
Для определения силы, действующей со стороны газа на тело,
поместим мысленно тело в длинную цилиндрическую трубу, образующие
которой параллельны скорости набегающего потока (рис.6.1). Поперечное
сечение трубы выберем столь большим, чтобы течение около тела не
отличалось заметно от течения при отсутствии трубы. Обтекание тела без-
*)
В теоретических моделях обтекания предположение о выравнивании
давления позади тела не всегда выполняется. Так, в результате
взаимодействия с телом, движущийся газ в целом или в отдельных областях
может приобретать момент количества движения в направлении
набегающего потока, не исчезающий при удалении от тела вниз по течению.Свя-
занные с этим моментом незатухающие вращательные движения газа
служат причиной сохранения неоднородности давления в поперечных к
набегающему потоку плоскостях.
85

граничным потоком будем рассматривать как предел его обтекания в
трубе при удалении контура сечения трубы в бесконечность.
Применив к объему газа в трубе между ее сечениями далеко перед
телом и далеко позади него (площади этих сечений S/ и S
одинаковы) уравнение сохранения массы и уравнение импульсов (в
последнем пренебрежем внешними массовыми силами), получим:
X
Jpu.de =j>MSt , FЛ).
о
puVd& -jOjV/ S/Z « р, S/ z -f> St -Л . F.2)
s
Здесь к, - проекция скорости газа на направление набегающего
потока, о - единичный вектор в этом направлении, j£ есть сумма силы R>i}
действующей со стороны газа на обтекаемое им тело, и силы &g f
действующей изнутри на участок поверхности трубы между сечениями
S/ и S.
Как и ранее.вязкие напряжения в сечениях «5"у и S не
учитываются. Если пренебречь вязкими напряжениями и на поверхности трубы,
то сила Лг может быть лишь нормальной направлению набегающего
потока, так что, проектируя уравнение F.2) на это направление,
получим р
Л /х = (р£ -р) S+J(f>< V/-JX*3) d&
з
или
Л/х~ (f>i~p)S ~*~}(Vj-u)dm. F.3)
и
Здесь Rjx - сила, действующая на обтекаемое тело в
направлении набегающего потока. Если сила Лу^. положительна, то величина
ЗС-Д/Х есть сопротивление тела, если Я*ж отрицательна, то
величину 7Т*=_"^/'ЯГ называют тягой тела (системы тел).
Пусть течение газа между сечениями S/ и S происходит
без энергетического взаимодействия с расположенными в трубе
телами или с внешними источниками энергии и обратимо. В
соответствии с результатами §3, полное теплосодержание и энтропия газа в
сечении S будут при этом постоянны и равны их значениям в
набегающем потоке: По =П0/ , д-$£ . Но тогда из постоянства
давления р в этом сечении следует, что теплосодержание 7t {р, аДплот-
ность j0^p,-i>) и скорость V в этом сечении тоже постоянны.
Примем дополнительно, что скорость в сечении 3 направлена вдоль
образующей трубы, так что в выражениях F.1) и F,3) <c-**Vj •
Уравнение расхода после сокращения
у;, у,,,,,,,,,/,/,////. На S'= Sj ПрИМеТ При ЭТОМ ВИД
5/
pV-jojV,.
V При постоянных тг0 и d произве-
~~*" дение joV есть функция одного только
давления. Для совершенного газа эта
функция изображена на рис.3.66 (анало-
■^Т77Т7ТГТгттт7Т7-г7Т77У-. гичный вид она имеет и в случае
нормального газа , удовлетворяющего ус—
^ „ , ловию г', см. § 1). Видно, что дав-
Рис. 6.1 *
ление р есть двузначная функция от
86

joV", т.е. при равенстве joV^PjVj давление р либо равно pt ,
либо отличается от него на конечную величину. Так как по
предположению сечение трубы выбрано столь большим, чтобы р отличалось от
р£ сколь угодно мало, то следует считать р = Р/ ■
При р~=ру очевидно и V^V/^так что согласно формуле F.3) Л/ж=*
= 0 и, следовательно, сила Л^ может действовать на тело лишь в
поперечном к набегающему потоку направлении.
Этот вывод об отсутствии действующей на тело силы сопротивления
при обтекании его газом в цилиндрической трубе достаточно большого
произвольного сечения и в пределе - в неограниченном пространстве
называется, как известно, парадоксом Даламбера.
В случае системы тел сила, действующая параллельно скорости на-*
бегающего потока на каждое отдельное тело, не обязана быть равной
нулю; нулю равна лишь сумма таких сил, приложенных ко всем телам.
При нарушении предположения о сохранении при движении газа его
полного теплосодержания и энтропии, приводящего к парадоксу
Даламбера, сила Л /д. в общем случае не равна нулю, т.е. возникает
сопротивление или тяга.
Вернемся вновь к формуле F.3). Во многих случаях, в том числе
и при энергетическом взаимодействии газа с помещенными в трубу
телами и с внешними источниками энергии в ограниченной области
потока, можно считать, что при S-*-oo разность давлений P~-Pi в
сечениях трубы далеко за телом и в набегающем потоке стремится к
нулю так, что
€im Ср* ~ Р) & " О ■
Следовательно, в таких случаях сопротивление или тяга тела в
неограниченном потоке определяются формулой
Л *х = J (Vi - и) dm . F.4)
м
Если в обтекающем тело адиабатическом потоке происходят
необратимые процессы (например, имеются скачки уплотнения, что возможно
либо при сверхзвуковой скорости набегающего потока, либо тогда,
когда при набегающем дозвуковом потоке вблизи тела образуются зоны
со сверхзвуковой скоросткю), то полное теплосодержание п0 газа
за телом сохраняется тем же, что и в набегающем потоке, т.е.
равным noi , а энтропия газа возрастает (соответственно, его полное
давление падает). Из интеграла адиабэтичности
А(р, б) + ~*г = £о*
и того, что Я^ "/>■ 0, получаем, что «г ^V<Vy и, следовательно,
J£jx> 0, т.е. тело при движении испытывает сопротивление.(Сопротив-
ление, связанное с образованием скачков уплотнения и необратимым
ростом энтропии газа в них, называют волновым сопротивлением).
При небольшом росте энтропии (например, в случае слабых ударных
волн) можно явно выразить сопротивление тела через изменение
энтропии в потоке. Действительно, применим интеграл адиабэтичности к
сечениям далеко перед телом и за ним:
&(р<> *) + -jr = ^(р*> 6^) + ~г •
87

Считая разность d~4y ; и, следовательно, разность Vy - V малыми
величинами, получим
Отсюда и из формулы F.4) следует
X = €ип \р£ Т£ (ь - 6£)d& .
5*°° s
Если при взаимодействии тела с потоком полное теплосодержание и
давление торможения (или энтропия) вдоль линий тока изменяются, то
значение силы й/ж , определенной по формуле F,4), зависит от
характера этого изменения. Из предыдущего следует, что при сохранении
полного теплосодержания rie и росте энтропии & тело испытывает
сопротивление при движении в газе. Возникновение тяги при движении тела
связано, таким образом, в общем случае с ростом ft0 при
относительном движении газа, т.е. с подводом к газу энергии - механической или
тепловой.
В уравнении энергии,примененном к одной и той же частице газа в
сечениях далеко перед телом и за ним
6 4
величину n(pj, б) ~ nCp^,b/) = j п^оСб — J У сС5 " Qpt можно
трактовать как тепло, которое нужно отвести от газа в сечении за
телом обратимым образом при постоянном давлении f)£ для того, чтобы
вернуть газ в начальное термодинамическое состояние. Эта величина
при Q = 0 характеризует необратимые потери подводимой газу
механической энергии, т.е. ту ее часть, которая не переходит в
кинетическую энергию газа в сечении за телом, а сохраняется в газе в виде
тепла; вследствие потерь газ в этом сечении обладает более высокой
температурой, чем в первоначальном состоянии перед телом. При
отсутствии потерь вся подводимая газу механическая энергия переходит в его
кинетическую энергию. В отличие от этого, подводимая тепловая
энергия не может полностью перейти в кинетическую энергию газа; в
кинетическую энергию превращается лишь разность а — Opf причем
£/0/9 очевидно, тем больше, чем больше потери при подводе тепловой
энергии.
Для полетов в атмосфере Земли (или в газовой среде других
планет) используются различные типы устройств, создающих тягу. При
взаимодействии элементов таких устройств с воздухом к воздуху
подводится энергия: тепловая при его нагреве, механическая - при
работе винта, вентилятора или компрессора.
Во всех существующих типах двигателей - устройств, создающих
тягу при подводе энергии воздуху, - источником подводимой энергии
является химическое топливо. В будущем возможно использование
для нагревания воздуха и ядерных источников энергии, а также
энергии подводимого дистанционно извне излучения.
В поршневых двигателях энергия, выделяющаяся в его цилиндрах
при горении топливо - воздушной смеси, преобразуется в
механическую энергию винта (пропеллера), который и сообщает ее воздуху, соз-
88

давая тягу. Тяга, возникающая при истечении самих продуктов сгорания
топливо-воздушной смеси, при этом незначительна или вообще
отсутствует.
При вращении винта (вентилятора) газовой турбиной (турбокомпрес-
сорным агрегатом) тяга создается частично винтом, а частично образу*-
ется при истечении через сопло продуктов сгорания и нагретого ими
воздуха, причем эта часть тягл сравнима с тягой от винта или
превосходит ее.
Такие двигательные установки называются турбовинтовыми и
турбовентиляторными (ТВД).
Если тяга создается только при истечении из сопла продуктов
сгорания и нагретого ими воздуха, прошедших через турбокомпрессорный
агрегат, то такой двигатель называется турбореактивным (ТРД).
При достаточно большой скорости полета, когда необходимое
повышение давления воздуха в двигателе перед подводом ему тепла может
происходить только вследствие торможения воздуха, надобность в
компрессоре, повышающем давление воздуха, (и турбине, необходимой для
вращения компрессора) отпадает и турбореактивный двигатель превращается
в прямоточный воздушно-реактивный двигатель (ПВРД).
Существуют и другие типы воздушно-реактивных двигателей,
приспособленные для разных условий полета.
Изложим элементы теории воздушно-реактивных двигателей, включая
в их число и двигатель с подводом воздуху только механической
энергии в винте (вентиляторе).
Разделим поток воздуха, в который помещен двигатель, на две
части (рис.6.2). Ту часть потока, которая энергетически взаимодействует
с элементами двигателя, т.е. к которой подводится энергия -
механическая или тепловая, - назовем внутренним потоком (ограничен линиями
АСВ и А, С, В, на рис.6.2), остальную часть назовем внешним потоком
(вне линий АСВ и А, С, В» на рис.6.2).
Силовое воздействие на летательный аппарат в целом оказывают и
внутренний поток и внешний поток. При этом, особенно при больших
скоростях полета, силы, действующие на аппарат со стороны внешнего
и внутреннего потоков, неразделимы.
Гранты внутреннего и внешнего потоков могут частично совпадать
с обтекаемыми газом твердыми поверхностями (как на рис.6.2 на
участках А В и А В' ), а в остальной части (или целиком) представляют
собой свободные поверхности раздела обоих потоков.
Назовем силу, с которой внешний поток газа действует на
находящиеся в нем тела_и на всю поверхность границы этого потока, внешним
сопротивлением X . Силу, с которой внутренний поток действует на
помещенные в него тела и на всю поверхность^ го границы, назовем
внутренней тягой_Т. Обе эти силы определим
формулами ( ft обозначает JC или Т )
///////////»»//»//////////,,,
*'—£1
С
4ZZZ2>
&^S(pn +frn)d<>,
s
где S — соответствующая каждому из
двух потоков поверхность его границы и
поверхность обтекаемых им тел, п, —
)>}/>>?/?>//////;/v/V/y////>// внешняя по отношению к рассматриваемому
потоку нормаль в точках поверхности S.
При сложении обеих сил - внешнего сопро—
Рис. 6.2 тивления и внутренней тяги - их сумма

представит полную силу, действующую со стороны газа на все
обтекаемые им тела, так как на свободных участках поверхности раздела двух
потоков, силы взаимно уничтожатся. Если проекция &/&. этой полной
силы на направление набегающего потока отрицательна, то величина
7^= -Л/ж называется полной или эффективной тягой (или просто
тягой).
Имея в виду ограничиться в дальнейшем лишь простейшими
схемами двигателей, в которых во внутреннем потоке энергия подводится
одинаковым образом ко всем частицам (двигатель с воздушным винтом,
прямоточный и турбореактивный воздушно-реактивные
двигатели),применим для внутреннего потока квазиодномерное описание.
Из теоремы импульсов для внутреннего потока между его
сечениями далеко перед телом и за ним получим
G (V-V,)- $(pn-hp,n)der.
S'
Здесь £ - замкнутая поверхность, состоящая из границы S
внутреннего потока и поверхности помещенных в него тел. и из поверхности
сечений этого потока перед телом и за ним. Однако, в таких сечениях
рп"~р^П , так что их вклад в интеграл в правой части предыдущего
выражения равен нулю. Таким образом, согласно данному выше
определению, этот интеграл представляет собой внутреннюю тягу. В
проекции на направление набегающего потока получаем
T-GCV-Vt). F.5)
Покажем теперь, что при обратимом течении во внешнем потоке
внешнее сопротивление равно нулю, так что внутренняя тяга
двигателя совпадает в этом случае с эффективной тягой.
Как и раньше, изучим вначале движение в цилиндрической трубе с
образующими, параллельными набегающему потоку (рис.6.2) и с
площадью сечения S 0» считая, что давления р^ яр в бесконечности
впереди и сзади выравниваются по сечению трубы. Проводя те же
рассуждения, что и в случае обтекания в трубе тела конечных pa3MepoBf
из уравнений сохранения массы и уравнения импульсов для внешнего
потока получаем
J>*Vi(So-S<)=j>V(S-S) ,
pVfSo-SW-jzMCSo-S^V;* Jfa+p^cte.
i s'
Здесь S — замкнутая поверхность, состоящая из границы S
внешнего потока и поверхности помещенных в него тел, из поверхности
сечений этого потока и из внутренней поверхности цилиндрической трубы.
Так как на поверхности сечений давление постоянно и равно,
соответственно, р/ и р , то интеграл в правой части можно представить
в виде суммы
S(pn+Pf*0ct<r - $(pn+pfn)de Yp,-pXS0-Sjl f-A£ ,
_ S' S_
где Itg есть интеграл от p^PfTl по поверхности трубы. Первое
слагаемое в правой части, взятое с обратным знаком, есть по
определению внешнее сопротивление X.
GO

Таким образом
-X+Ai-fovfr-Vj+fp -p<)z](S0~S).
Пренебрегая вязкими напряжениями на поверхности цилиндрической
трубы и проектируя это выражение на направление набегающего потока,
получим
Если площади сечений внутреннего потока *5у и S сохраняются
конечными при 30 — о&гто при этом р—р^ и V—~Vt. В пределе
значения Ар = Р~Pi nAV~V~Yf связань^как это следует из уравнений
движения, соотношением
так что
рУлУ+ лр = 0,
~X=(pVAV+Ap)(S0-S) +0.
Таким образом, при обратимом течении во внешнем потоке внешнее
сопротивление равно нулю и, следовательно, внутренняя тяга и
эффективная тяга совпадают. Если течение во внешнем потоке необратимо, то
внешнее сопротивление отлично от нуля и положительно, так что
эффективная тяга меньше внутренней тяги, определенной формулой F.5).
Важной характеристикой двигателя летательного аппарата является
полетный коэффициент полезного действия (к.п.д.), определяемый
формулой
Т- Vi
где У - тяга (эффективная), V - скорость полета, W - мощность,
подводимая к газу в двигателе. Полетный к.п.д. выражает долю
затрачиваемой мощности, идущую на перемещение летательного аппарата.
Согласно предыдущему, г? можно представить в виде
G(V-Vi)V<- . Cv-V,)Vt
или в виде
2Vt
V + Vt 'i9 *
где 77/** ,\-/—75 представляет собой долю подводимой энергии, ко-w
торая идет на приращение кинетической энергии внутреннего потока.
Величина 7£э характеризует совершенство двигателя как такового и
называется его энергетическим к.п.д. или просто к.п.д. Выше было
показано, что при идеальном подводе механической энергии газу вся
энергия может идти на увеличение кинетической энергии газа, т.е.
может быть ">7э = 1} при идеальном подводе тепловой энергии
всегда ns *£ 1. Значение поэ можно повысить путем повышения дав-
91

q
гуления, при котором газу подводится тепло. Величина 7?„= -=-?—~—
связана с использованием тяги двигателя для перемещения летательного
аппарата (при этом должно быть ]/ > V/ ) и называется пропульсив-
ным к.п.д. Очевидно, что Tin ■<" 1 и тем ближе к единице, чем ближе
V к V/ ; однако при малых V~V/ для получения заданной тяги
необходимы большие расходы проходящего через двигатель воздуха.
Поэтому в реальных двигателях разность t^^V/ не может быть
слишком малой.
Рассмотрим простейшие по схеме их работы ВРД - прямоточный
. (ПВРД) и турбореактивный (ТРД).
Идеальный прямоточный ВРД. В идеальном прямоточном ВРД (рис.
6.3) воздух перед подводом тепла тормозится адиабатически и
обратимо до нулевой скорости, так что давление его розс становится равным
давлению торможения р0/ набегающего потока:
po*rf>°<
Я±-
0-л<У&
Затем, при сохранении давления и при нулевой скорости воздуха, к
нему подводится тепло, так что
Рог Рож >
ср *ог ~ cf> 'ох
+
После этого газ адиабатически обратимо расширяется от давления
роГ =Рсн ДО давления р =р^ . При этом
Pi
СУ
Т ~ Т
; ' о 'or
Таким образом, в идеальном прямоточном ВРД
Л-Л, ,
т.е.
Отсюда
V
V/
V Ср 10г V Ср l0j
-ft loi
и, следовательно, тяга идеального прямоточного ВРД выражается
формулой
92
Рис. 6.3

T=GVt
<(V-
{+
CpTox
0-
Это выражение показывает, что прямоточный ВРД может развивать
тягу лишь в полете, т.е. при V/ ¥ 0, и не может создавать тягу на
старте.
Для энергетического и пропульсивного к.п.д. идеального ПВРД
легко получить формулы
у* =л< , 4„=
2
i^ki" iW^'
Идеальный турбокомпрессорный двигатель.В идеальном турбокомпрес-
сорном двигателе (рис,6.4) газ, предварительно заторможенный и
сжатый при этом до давления рох =f>0*~" 7 з \JL
нительно сжимается в компрессоре адиабатически обратимо до полного
давления р0эс' с подводом к единице массы газа работы г&~к , так
что
7 7^x-7gj,j\onon.-
ср Тох- = срТох +кУк 7
POX'
Величина jgl
_ pox'
Р°х ^ Тозс
называется степенью сжатия газа в компрессоре.
Затем при постоянном давлении к воздуху подводится тепло:
Рог =/W , Op 7lr^cpT0X' +у .
Далее воздух адиабатически обратимо расширяется сначала в турбине,
совершая над ее рабочим колесом работу №т , так что
^ _ рог' _ /\72^\У^
роп \ I or у
называется степенью расширения газа в
турбине. Затем воздух адиабатически обратимо расширяется до давления
f>- pi :
Рог1
_ Pop
Величина ЗГ^ - -у,—.
г рог'
р*
Из приведенных формул получаем
Рис. 6.4
83

jt'-Лг _ * c+7l< -г-а + гО-к-иГт
i-Af = i+--&- ' <"»
lCpT<x ' ~Scfi T0r'
В идеальном одноконтурном турбокомпрессорном двигателе иУг^и^^
- ЬУ, т.е. в турбине от газа отбирается ровно столько механической
энергии, сколько сообщается ему в компрессоре. В этом случае
формула F.6) имеет вид:
'"Г> .
{+
/-Л* _ CjJZi+g
■™«">»v"- ^TTZi ~ . иг Т ■ <в-7>
При г^ = 0 отсюда получаем
Л -Л, ,
т.е. соотношение для идеального прямоточного двигателя. Естественно,
что при 0=0
У V-Vt ,
т.е. тяга равна нулю при любом значении if.
В отличие от прямоточного ВРД, турбокомпрессорный двигатель
способен развивать тягу на старте, т.е. при Vy = 0. Действительно,
из формулы F.7) следует.что при Л/ = 0 и Q > О величина Л ~> О
и, следовательно, Т > 0.
Эта же формула показывает, что при данном теплоподводе <р
величина Л. , а вместе с ней и тяга двигателя, растет при росте гО- .
Однако при этом должны возрастать степень сжатия газа в компрессоре
и температура газа перед подводом к нему тепла. Это на практике
ограничивает возможность увеличения тяги двигателя при возрастании иУ.
Энергетический и пропульсивный к.п.д. такого двигателя равны
л, + —^—
CpTot
Со /о/
Як
7"—77л ш..+
< + !&/*-<&.
Энергетический к.п.д. не зависит от подводимого тепла Q и рас-
иУ
тет с увеличением ——— или степени сжатия газа в компрессоре
Если отбирать от газа при прохождении им турбины большую
мощность, чем сообщается ему в компрессоре, т.е. если КУГ > г*Ук , то
V уменьшится по сравнению со случаем ttf^. = гО-к и,
соответственно, уменьшится реактивная тяга истекающей струи. Однако, при этом
избыточную по сравнению с г&к мощность турбины можно использо-
94

вать для создания дополнительной тяги от воздушного винта или
вентилятора. Так устроены турбовинтовые и турбовентиляторные ВРД.
В некоторых схемах турбокомпрессорных ВРД для увеличения тяги
двигателя (как правило, кратковременного ) к газу может подводиться
дополнительное тепло уже после турбины - это двигатели с форсажной
(дополнительной) камерой сгорания.
В заключение рассмотрим теорию двигателя с идеальным подводом
газу механической энергии.
Идеальный винт (пропеллер).
Будем различать два разных типа идеального винта. В первом случае
идеальный механический двигатель можно представить как предельный
случай турбокомпрессорного двигателя при отсутствии подвода тепла к
газу и отвода от газа механической энергии в турбине. Вращение
компрессора должно производиться при этом независимым источником
энергии с мощностью w*. = W~.
Из формулы F.6) при гЛг = 0 следует
/
/-/-
ь>-
cfi7^,
oi
Подставив сюда Л / =V£%?9>^/ и Л.г=Уг/2(с/>^-'-г&) , получим
V* Vt3 .
Из этого соотношения, как и следовало ожидать, находим, что
энергетический к.п.д. двигателя пэ равен единице, а его полетный к.п.д.
(он же пропульсивный к.п.д.) равен
Чп
2
Выразив
мулу к виду
^ут^щ
через степень сжатия газа, преобразуем эту фор-
2
Ч»
/'
1+М+
8Г,
7?~Г
л?
Зависимость У?п от й^ при некоторых значениях Л// приведена
на рис.6.5.
Рассмотренный случай соответствует винту или вентилятору,
помещенному в кожух (насадок); сила
тяги формируется при этом на подвижной
поверхности винта и на поверхности об'-
текателя.
Вторым типом простой модели
идеального движителя с подводом
механической энергии является так называемый
несущий (тянущий) диск. В этом слу-
" чае действие диска.моделирующего
вращающийся винт, на протекающий воздух
сосредоточено в плоскости диска,
в середину слоя толщиной £ (рис.
действие диска на газ действием рав-
по слою объемной силы
г
at
at
п
"Г-
г
ол
ал
9
Рис. 6.5
Поместим диск
6.6) и заменим
номерно распределенной
95

Рис. 6.6
Пусть при
так, что
А— О
сила
/.-
где X есть сила, действующая со
стороны диска на газ в направлении течения
газа. Работа, совершаемая силой ъж
над газом, в пределе равна
W= йт SJ fx-ucta> = &т,SA^-irj-udx =Ху}
A^o
Л-о
где V - предельное значение средней по толщине слоя скорости газа
(для несжимаемой жидкости в силу уравнения расхода И постоянна по
толщине слоя).
С другой стороны, из уравнений сохранения имеем
так что
и, следовательно,
wo-?-?
т.е. средняя скорость газа в плоскости диска равна полусумме скоростей
далеко перед диском и за ним.
Для моделей идеальных механических двигателей (винтов) важными
характеристиками являются коэффициенты расхода и нагрузки.
Из уравнения расхода для сечения далеко перед винтом и в
плоскости винта следует ^
ptVtSt =J5VS.
Здесь О - плотность в адиабатическом обратимом течении,
соответствующая скорости v . Отсюда
Величина а> называется коэффициентом расхода.
*)
При рассмотрении первой модели идеального винта предполагалось
что перед сообщением газу механической энергии газ тормозится до
нулевой скорости и приобретает давление, равное полному давлению
набегающего потока. При этом площадь сечения потока О должна
неограниченно возрастать,
В действительности она остается конечной; однако, даже при Л- =
=0,1 давление газа отличается от полного давления менее, чем на 1%.

Коэффициент нагрузки определяется формулой
в- т
ifiX'S ■
Полетный к.п.д. идеального винта выражается через коэффициенты
расхода и нагрузки в виде
ч
1
/-
4 (f
При заданном коэффициенте нагрузки к,п.д, винта увеличивается с
ростом у?.
Для дозвуковой скорости полета наибольшее значение С^
достигается при звуковой скорости в сечении S, когда а (Лу = 1 и
ер = —у—\,для сверхзвуковой скорости (f^ccmvt =» 1. Таким
образом, наибольшие значения полетного к.п.д. идеального механического
двигателя в зависимости от В даются формулами
У
4
при Л-у < / ;
У^
при
Л у >У
Графики этих зависимостей при некоторых Л~£(М{) приведены на
рис.6.7.
Для модели несущего диска cJ> к £> связаны соотношениями
так что
?
ая
а$
i
■ i
Mi-0
1
аг
1 -
л?>?-
.
Л/
4= %(в7л*)
as
В предельном случае несжимаемой
V Я
жидкости а>=г-р = — и эта зависимость
принимает вид
97

2
На рис.6.8 представлены графики ?? в функции от В для некоторых
Я/ (или И^ ). Значения ?? на этих графиках ниже приведенных
на рис. 6.8 при тех же коэффициентах нагрузки. Кроме того, в случае
модели несущего диска существуют предельные значения коэффициента
нагрузки, зависящие от скорости набегающего потока.
Модель несущего диска в приведенной простой форме пригодна лишь
при дозвуковой скорости набегающего потока и должна быть изменена
при сверхзвуковых скоростях.
§ 7. Дифференциальные уравнения и соотношения
на сильных разрывах для идеального газа
Соотношения между параметрами газа для конечных объемов,
полученные в § 2 из законов сохранения массы, импульса и энергии,
справедливы для произвольного объема, занятого газом, и допускают
существование разрывов в распределениях параметров газа,
В области движения, где параметры газа непрерывны вместе со
своими производными по координатам и по времени, из интегральных
законов сохранения можно получить эквивалентные им дифференциальные
уравнения для нахождения зависимости искомых параметров газа V} -р и
jO от координат и от времени. Из этих же интегральных законов
сохранения следуют и соотношения, которым должны удовлетворять параметры
газа с двух сторон поверхностей разрыва, если они присутствуют в
потоке.
Интегральные соотношения B.8)-B.12) между параметрами газа в
неподвижном объеме V можно записать в следующей общей скалярной
форме
§т {Ad* + f(AV+B)nder-fCcl4:,
V S V G.1)
где А и С - соответствующие скаляры, а 3 - вектор (векторные
уравнения B.9), B.10) представляются при этом в проекциях на оси
координат).
Вывод дифференциального уравнения, эквивалентного интегральному
соотношению G.1), основан на преобразовании в этом соотношении
интеграла по поверхности S в интеграл по объему V по формуле Ос-
троградского-Гаусса:
J (f'n^de e J \_fx<^(ri,x)+<fyc&(n,<f)+<f>zc£uGi,'£)] d&=
5 -fa*'-$(§£■ + %£ + §&)**-£*+?*.
Здесь р^ , <fa , у>ж - компоненты вектора у>— функции, непрерывные
вместе со своими производными в объеме V.
Используя приведенную формулу и то, что объем V" неподвижен, так
что производную §£ в соотношении G.1) можно внести под знак
интеграла, преобразуем это соотношение к виду
9Й а*° •онН

f[^r+cOi>-(AV->-B)-c]ct4;=0.
v
В силу произвольности объема \f подынтегральное выражение в
соотношении G.2) должно равняться нулю, т.е.
При сделанных предположениях о непрерывности течения газа это
дифференциальное уравнение эквивалентно интегральному соотношению
G.1).
Преобразуем уравнение G.3) к несколько иной форме. Для этого
воспользуемся тождественным преобразованием
г/ /9 Л Л Я Pi
где дифференциальный оператор ^f^t +'адх4' ^d</* ^di'dt rfV-v) есть
оператор дифференцирования по времени вдоль траектории частицы.
Примененный к какой-либо величине^ он дает полную или индивидуальную
производную этой величины, т.е. скорость ее изменения в движущейся
частице газа.
С использованием преобразования G.4) уравнение G.3) можно
записать в виде
г/А — —
~jj+AdiAtV+dUr& -С=0. G.5)
Применим теперь это уравнение к конкретным законам сохранения,
сопоставляя общий вид интегрального соотношения G.1) с
выражениями B.8)-B.12).
В законе сохранения массы B.8) A ~f>, 3=0, С = О, так что;
из G.5) следует
Jrf- +JQ clMf-V" = О. G.6)
Это уравнение сохранения массы в дифференциальной форме
называется уравнением неразрывности.
Векторное уравнение импульсов B.9) рассмотрим в проекциях на
оси координат. Обозначим через ■СС,!?', гс? компоненты вектора V
вдоль осей х.,-и,Ъ . Для проекции на ось ас будет A=_p<<t,
Ъ~р~£, C=fifx } где fa; - проекция на ось х внешней массовой
силы, действующей на среду. Таким образом, проекция на ось а>
интегрального соотношения импульсов B.9) эквивалентна
дифференциальному уравнению
^rr+jx* cUo-V+cU*(f>z) -J>{x = 0.
tit
После преобразования с учетом уже полученного уравнения G.6),
найдем
*ы% + Ъ%=М«
99

или
five+*(*■*>« +Ms
Преобразуя аналогичным образом проекции соотношения B.9) на
оси -U и % и объединив затем три скалярных уравнения в одно
векторное, получим
/>jZ+9*<*>df>-pf G.7)
или
SV . ,ТГ^\Тг^ J
S—I^AJA UktllUUU 4/ \/Л{-и-* 1IV Ml Лк V11V|J* *Ш \<^*& ± / | AAJ--** V A Nrf » 1 \s Л. ЫХЛ.ГДХ1 11JJU 1 VJ.№< J, till
сквозь поверхность <? , но с учетом тепловыделения о в единице
ссы газа,следует положить A. =pQC--i-ej, B=pV, С~Р(у'Ю~р^,
G.8)
Дифференциальное уравнение G.7) или G.8) называется уравнением
импульсов или уравнением количества движения.
Можно проверить, что получаемое из интегрального соотношения
момента количества движения B.10) векторное дифференциальное
уравнение удовлетворяется тождественно в силу уравнения импульсов, т.е.
закон сохранения момента количества движения для конечного объема,
в общем случае независимый от интегрального закона сохранения
количества движения, не дает в рассматриваемом случае идеальной среды
локального соотношения между параметрами, отличающегося от
уравнения импульсов.
Для закона сохранения энергии B.11), при отсутствиии притока
тепла
МаССЫ 1 сюа. ujicmj' с 1 ииаилишэ J ъ ~~ р-г I л
так что согласно G.5) получаем уравнение
^(^tp^e^cUoV^d^V. G9)
С использованием уравнений неразрывности и импульсов это уравнение
можно привести к виду
G.10)
Уравнение G.9) есть уравнение энергии в дифференциальной форме?
уравнение G.10), являющееся его следствием, называется уравнением
притока тепла. . ,..
Пользуясь термодинамическим соотношением Т'с1ь=о1е-*-<Хл(^ ~к-) ,
справедливым для движущейся частицы, из G.10) получаем
В интегральном выражении B.12) для скорости роста энтропии
A"J>i>, C=j?Q (при отсутствии нескомпенсированного теплоподвода
Q ) так что с учетом уравнения неразрывности уравнение B.12)
приводит к тому же дифференциальному выражению G.11), что и закон
сохранения энергии B.11).
Итак, для непрерывных движений получаем следующую систему
дифференциальных уравнений газовой динамики :

\
>
n
G.12)
M- 7 J
Для замыкания этой системы необходимо привлечь термодинамические
уравнения состояния, выражающие -р,/>, 6 и Т через какие-либо две
термодинамические величины, и задать внешнюю массовую силу £
и приток тепла а.
В дальнейшем будут в основном рассматриваться адиабатические
движения ( G e 0) без учета внешних массовых сил (^ = 0), В этом
случае для замыкания системы G.12) достаточно одного уравнения
состояния
' Г G.13)
Система уравнений газовой динамики G.12) в некоторых случаях
упрощается путем замены последнего уравнения в этой системе
конечным соотношением, связывающим JO и р. В таких случаях из
дифференциальных уравнений находится лишь скорость V и одна из
двух других искомых величин - р или ,о , вторая же определяется
конечной связью
P'fiCp) ■ G.14)
Движения с заданной связью G.14) называются баротропными.
Так, в случае адиабатических движений ( о =0), последнее
уравнение системы G.12) показывает, что при непрерывных движениях
энтропия каждой частицы сохраняется во времени. Отсюда следует, что
если в некоторый момент времени энтропия всех частиц в
каком-либо объеме газа одинакова, то она останется одинаковой и при
дальнейшем движении этого объема (при условии сохранения непрерывности
движения). В таких случаях в уравнении состояния G.13) b = CCntt/t.
Движения с -b=<untvb называются изэнтропическими и
представляют собой частный пример баротропных движений.
Баротропными являются и изотермические движения, в которых
температура всех частиц газа в рассматриваемой области одинакова и не
изменяется во времени.
При задании определенной связи G.14) между давлением и
плотностью баротпропное движение в общем случае не будет адиабатическим
(исключение составляют изэнтропические движения): для обеспечения
наложенной связи между р и р должен происходить подвод или
отвод тепла к частицам, который может быть найден из уравнения
притока тепла G,10) или G.11) после определения движения газа.
Система дифференциальных уравнений G.12) может быть
преобразована к различным эквивалентным формам, В частности, при изучении
некоторых общих свойств системы G.12) удобно использовать в
качестве основных термодинамических переменных р и 6 и преобразовать
эту систему к виду . __ .
101

jOCT
-t-otio-V-O
4 dp
' dt
d6
dt
±9
G.15)
Коэффициенты в этой системе суть функции f> и ■& ■
Одна иэ употребительных форм уравнения импульсов получается при
использовании тождества
где cO'^jT't&zV - вектор _вихря скорости. Заменив в уравнении импуль-
cLV
сов G.15) производную ^та" согласно этому соотношению^ получаем
уравнение в форме Лэмба-Громеки
j^ + g^^^&tVy+jtytadp-f . GЛ6)
Учитывая, что
i
ТаъсъсСь = cpubdh - — аъсьсС р
этому уравнению можно придать вид
часто употребляемый при изучении установившихся движений (подробнее
об этом сказано в ч. Ш.
Перейдем теперь к установлению соотношений на поверхностях
сильного разрыва.
Выделим на поверхности разрыва некоторую гладкую часть & с
гладкой границей (рис.7.1)
Проведем из всех точек области & в обе стороны от поверхности
отрезки нормалей достаточно малой
п
длины " . Эти отрезки заполняют
объем V} поверхность «5 . которого
состоит из эквидистантных
поверхности разрыва участков St^i. S$ и
"боковой" поверхности S , образован-;
ной отрезками нормалей длиной А в
точках границы области в.
Наряду с объемом "V (подвижным,
если поверхность разрыва
перемещается в пространстве) введем подвижный
объем V *, связанный с частицами
среды и совпадающий в момент
времени £ с объемом V,
гии. 1.x
102
Рис. 7.1

Законы сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии и
интегральное выражение для скорости изменения энтропии в индивидуальг
ном объеме V""*> приведенные в § 2, можно записать в следующей общей
форме (А , В и С - величины, о которых говорилось ранее):
v*(t) s v
В том же § 2 была получена формула, связывающая производные
интеграла ■„ от функции А по индивидуальному объему V* и по
подвижному объему V":
* V*(t) , V(t) S(t)
Используя эту связь между производными, для объема V можно
написать соотношение
S[a6>»-&)-(S. n)]de=-£fAdv+fcdv. G.18)
S azv v
Перейдем теперь в этом соотношении к пределу при А ~~~ 0. Так
как выражение под знаком интеграла в левой части ограничено,а площадь
боковой поверхности S стремится к нулю, то в пределе этот интеграл
перейдет в интеграл по разным сторонам области & с
противоположными направлениями нормалей тгг = ~щ.
Обозначим параметры газа с одной из сторон участка поверхности
о~ индексами 1 и условимся направлять нормаль к поверхности
разрыва в сторону, которой соответствует индекс 1.
Первый интеграл в правой части G.18) можно записать в виде
lkSAd*-*&SA'de-
V е Р
где А - среднее значение А на отрезке длиной 1г } нормальном
к поверхности разрыва. При п -*- 0 это выражение стремится к нулю,
поскольку предполагается, что функция А ограничена вместе со
своими производными по координатам и времени с каждой стороны
поверхности разрыва.
Второй интеграл в правой части при ограниченных внешних объемных
воздействиях С, очевидно, стремится к нулю» Однако, в некоторых
важных теоретических вопросах и в приложениях допустимы сосредоточенные
воздействия на поверхности разрыва: сосредоточенные поверхностные
силы, сосредоточенный подвод энергии. В этом случае величина
Л/г
С* = fan, CcdA ,_ 1Ql
остается конечной при я.^—0.
В силу произвольности области & после предельного перехода
Л -*■ 0 получаем общий вид соотношений между параметрами газа на
поверхности разрыва (для векторных уравнений такое соотношение спра-
103

ведливо для каждой компоненты уравнения):
[A(vn-Z))-Bj =С*.
Здесь знак С<Ра означает разность значений JP с двух сторон
поверхности разрыва.
При отсутствии сосредоточенных на поверхности разрыва
воздействий законы сохранения массы, импульса и энергии (без учета
тепловых потоков сквозь поверхность S ) дают
[pVfa-Ю) +рп]= О, G.20)
Условие! получаемое из уравнения моментов количества движения,
тождественно удовлетворяется в силу соотношения, следующего из .
уравнения импульсов.
Равенства G.20) указывают на два возможных типа поверхностей
разрыва.
Для поверхностей первого типа
»я<-Ю-о, <#пг-%)=о, G.21)
т.е. нормальные составляющие скорости газа с обеих сторон
поверхности разрыва одинаковы и равны ее скорости (предполагется, что jO ¥=
^ О). Частицы среды не пересекают разрыв или - иначе - разрыв не
распространяется по среде. Такие поверхности разрыва называются
контактными. Плотность с обеих сторон контактного разрыва может
быть произвольной; однако, согласно второму уравнению G.20),
давление с обеих его сторон должно быть одинаковым. При этом уравнен.>
ние энергии (третье уравнение G.20)) тождественно удовлетворяется.
Обозначим через V^ составляющую вектора скорости V в
плоскости, касательной к поверхности разрыва. Из уравнения импульсов
и уравнения сохранения массы тогда следует
j> (#п-*>) [V-J - о. G>22)
Таким образом, на разрыве рассматриваемого типа составляющая
скорости в касательной к разрыву плоскости может меняться скачком:
массы газа, находящиеся в контакте и отделенные одна от другой
непроницаемой для них поверхностью разрыва, могут с разными
скоростями с обеих сторон "скользить" вдоль этой поверхности. В связи с
этим контактные поверхности разрыва называются также
тангенциальными (иногда - касательными) разрывами. На них всегда CV"nJ =
*) ,,
Уравнение импульсов допускает наличие нормальной
сосредоточенной поверхностной силы <* п на контактном разрыве (типа
силы поверхностного натяжения на границе раздела двух сред). Эта
сила будет уравновешиваться соответствующей разностью давлений:
[pj-j- Уравнение энергии при этом по-прежнему тождественно
удовлетворится, так как работа сосредоточенной поверхностной силы
4f> Равна [p#nl~[f>TZ>.

= 0 и [-р] = 0, но, в общем случае, [pj ¥ О, [е] ¥ 0 а [Х^.]*
¥ 0.
Для разрывов второго типа "О^^Ю , т.е. газ течет сквозь разрыв,
или - иначе - разрыв распространяется по газу. Согласно G.22) на
таких разрывах
[Vcl - О .
Разрывы второго типа называются ударными волнами (ранее, в § 4 и
далее, говорилось об этих разрывах как скачках уплотнения). На
ударных волнах EV<cl ~ 0» H°i в общем случае, Cl^J ¥ 0, fpj ¥ 0,
C-PJ ¥ 0, [ej ¥ 0. ^
Для ударных волн индексом 1 будем обозначать параметры газа, по
которому распространяется волна.
Установленные соотношения на разрывах должны выполняться в
каждой точке разрыва и справедливы в любой инерциальной или неинерциаль-
ной системе координат (в неинерциальной системе координат в
интегральных законах сохранения появятся распределенные по объему
конечные массовые силы - силы инерции; которые, как было показано,не
влияют на вид получаемых из этих законов соотношений на разрыве).
Предельный переход в уравнении для изменения энтропии требует
некоторых пояснений. Уравнение G.18) для этого случая (вновь
без учета тепловых потоков сквозь поверхность S ) имеет вид '
S V V
Даже при отсутствии сосредоточенного теплоподвода на ударной
волне (т.е. при ограниченной величине Q ) нельзя полагать, что второй
интеграл в правой части при Л -*" 0 стремится к нулю. Ранее, в § 5,
было установлено, что переход газа через скачок (ударную волну)
представляет собой существенно необратимый процесс, в котором при
адиабатическом течении энтропия возрастает. Таким образом
(f>6(t\-Z»J-A* , G.23)
где согласно G.19) £
г
Система G.20) в случае ударных волн содержит пять скалярных
связей между одиннадцатью величинами: пятью параметрами газа (три
составляющих скорости и две термодинамические величины) с каждой 83
сторон волны и скоростью Ж) • Поэтому, если задать состояние газа с
одной стороны волны и ее скорость £), то соотношение G.20)
определят состояние газа с другой стороны.
В частности, при этом определится и величина, стоящая слева в
выражении G.23), т.е. поверхностная плотность притока энтропии из-за
необратимости процесса перехода газа через разрыв (и сосредоточенного
внешнего теплоподвода, если он не равен нулю). Подчеркнем, как
следствие этого, что хотя прирост энтропии при адиабатическом переходе
газа через разрыв обусловлен необратимыми диссипативными
процессами, сопровождающими этот переход , величина прироста энтропии не
зависит от конкретного вида диссипативных процессов.
103

Выпишем условия на разрыве G.20) в системе координат, в которой
скорость распространения поверхности разрыва вО в данной точке
равна нулю:
J>t Ъч =Рг &ъ* ; G24)
jOy V-ni Ц +f>i П =рг ЧЛггЦ ^f^z П i G.25)
р1&п<(%+е*)+р1&п<=&&пг(^+е^+ргг?-пг . G.26)
Для поверхности контактного (тангенциального) разрыва в этом
случае г^/=г^г= 0, т.е. газ вблизи рассматриваемого элемента
поверхности разрыва может иметь лишь касательную к элементу
составляющую скорости.
Для ударных волн, для которых г^/ ¥ 0, tfytg ¥ 0, преобразуем
систему G.24)-G.26) следующим образом. Вместо уравнения G.25)
запишем его проекцию на нормаль к разрыву и его векторную составляющую
G.23) в касательной к разрыву плоскости. С учетом того, что г^, ¥ 0,
это даст
Pi v-ni +Pi=J>z г?£ + <рг , G>27)
^Г/ ~ *4г/3 • G.28)
В уравнении энергии G.26) разделим все слагаемые на fiV^ ¥
¥ 0. Так как согласно G.28) V& — \^г ? то в результате получим:
Система соотношений G.24), G.27) и G.29) имеет точно тот же
вид, что и полученная в § 4 система условий на скачках, нормальных
направлению потока, если в последней величину скорости V заменить
ее составляющей1, нормальной к скачку. В общем случае к этой
системе добавляется условие G.28) сохранения касательной составляющей
скорости газа при переходе через ударную волну. Подчеркнем, однако,
что выражения в левой и правой частях соотношения G.29) не равны
в общем случае полному теплосодержанию газа до разрыва ц
после него, так как они не содержат слагаемых ¥£L. и ^£->
соответственно. Однако, в силу равенства этих слагаемых, очевидно,
что полное теплосодержание газа при переходе через ударную волну
сохраняется и в общем случае (в системе координат, в которой
ударная волна в данной точке неподвижна).
Все выводы, полученные в § 4 для скачков, остаются в силе и в
общем случае, если под скоростью там понимать ее нормальную
составляющую. В частности, сохраняется соотношение Гюгонио и все
следствия, вытекающие из его анализа.
Приведем еще условия на ударной волне в системе координат, в
которой газ перед волной покоится. После несложных преобразований
получим
106

Выведем одно важное следствие соотношений G.20) для ударных
волн. Уравнение импульсов в проекции на нормаль к волне умножим
почленно на Ю, после чего вычтем из уравнения энергии. Это даст
[pfa-ty^+e- г>п%))+р(г>п-2>)]=0.
Умножив и разделив последнее слагаемое наjO , вынесем за скобки
p(z?n~fD) • Используя уравнение сохранения массы, найдем
Отсюда следует, что при fO ¥ 0 полное теплосодержание газа
изменяется при прохождении по нему ударной волны, причем
Так как для волн сжатия JD/ <J> , а Ю и «2*~z£/ имеют
одинаковые знаки, то при Ю ¥ 0 всегда ~п02>'по^ , т.е. полное
теплосодержание газа после прохождения по нему ударной волны увеличивается.
§ 8. Некоторые свойства системы дифференциальных
уравнений газовой динамики
В предыдущих разделах было установлено, что параметры
движущегося газа (скорость, давление, плотность и другие) являются в общем
случае кусочно-непрерывными функциями координат и времени. Эти функции
должны удовлетворять законам сохранения массы, импульса и энергии
для произвольного индивидуального объема. Как следствие^ в области их
непрерывности и гладкости они должны быть решениями
дифференциальных уравнений G.12), а на разрывах должны удовлетворять
соотношениям G.20).
Уравнения G.12) вместе с замыкающим соотношением G.13)
представляют собой систему пяти дифференциальных уравнений в частных
производных для определения зависимости трех компонент скорости,
давления и плотности от четырех переменных: трех пространственных
координат и времени. Эта система квазилинейна, т.е. линейна относительно
производных искомых функций и нелинейна относительно совокупности
этих производных и самих искомых функций.
Важнейшим свойством системы уравнений газовой динамики в общем
случае неустановившихся движений является ее гиперболичность. Для
установившихся течений, когда распределения параметров движущегося
газа в пространстве не зависят от времени, система уравнений
приобретает особые свойства и при некоторых условиях утрачивает
гиперболичность: становится эллиптической или смешанной' - гиперболический в
одной части области пространства, занятой газом, и эллиптической - в
другой.
107

Изучение общих свойств решений таких систем и получение частных
решений, соответствующих конкретным условиям движения газа, - весьма
трудная математическая проблема.
Теория гиперболических систем квазилинейных уравнений быстро
развивается. Тем не менее, построение ее теоретического фундамента все
еще нельзя считать законченным. Наибольшее продвижение достигнуто
при изучении уравнений с двумя независимыми переменными. Но и для
таких систем теория приобрела определенную завершенность лишь в
случае одного уравнения или системы двух уравнений; для систем с
большим числом уравнений нет достаточно общих теорем существования
в единственности решения задачи с начальными данными.
В газовой динамике система уравнений G.12) имеет две независимые
переменные только при одномерных неустановившихся и двумерных
установившихся движениях (см. ч. П и ч. Ш ). При этом в общем случае
одномерных движений система гиперболична и состоит из трех уравнений.
К такому же числу уравнений можно свести систему для двумерных
установившихся движений (эта система может быть гиперболической,
эллиптической и смешанной). В специальных случаях баротропных
движений обе эти системы можно привести к двум уравнениям.
Трудности, возникающие при изучении решений систем со многими
независимыми переменными, в полной мере проявляются уже при
исследовании решений систем из трех или большего числа уравнений с более
чем двумя независимыми переменными. С другой стороны, большая часть
важных характерных свойств решений многомерных систем
обнаруживается и у решений систем из трех уравнений с двумя независимыми
переменными.
Поэтому мы не будем излагать теоретические данные о свойствах
решений системы уравнений газовой динамики G.12), вытекающих из ее
гиперболичности, в общем многомерном случае. Важные сведения о
свойствах решений гиперболических систем будут получены ниже при
рассмотрении одномерных неустановившихся движений (ч.П) и двумерных
установившихся движений (ч. Ш ).
Напомним некоторые кинематические свойства поля скоростей и
динамические свойства движений газа, определяемых системой G.1£).
Важными кинематическими характеристиками поля скорости V
являются вихрь скорости
и циркуляция скорости вдоль линии
с
(на линии С выбрано направление и об есть векторный элемент
этой линии).
Остановимся кратко на основных теоремах о циркуляции скорости и
о вихрях, подробно излагаемых в общих курсах механики жидкости и
газа и механики сплошных сред Q 1—4 J .
i
Подробное изложение этого вопроса для общих квазилинейных
систем дано в книге £6j и с приложением к уравнениям газовой
динамики - в [5 j .

Рассмотрим циркуляцию скорости Г по отрезку А 3 , состоящему
из одних и тех же частиц газа. Если поле скоростей непрерывно, то
и деформация отрезка A3 при движении газа будет происходить
непрерывно.
Вычислим производную по времени от Г '.
dt Adt Л dt dV
Заменим под знаком первого интеграла величину ^77" согласно
уравнению импульсов G.12), а под знаком второго интеграла произведем
преобразование Vy^8'&~V$'-jx~Vc£V~o-p . В результате получим
A3 j-
Применим это выражение к случаю, когда сила л, имеет
однозначный потенциал ^= qxctctlf и движение баротропно, т.е. P^Cf3)-
При этих условиях
Если контур A3 замкнут, то отсюда следует равенство
ы7-°> (м>
которое известно под названием теоремы Томсона: если непрерывное
баротропное движение идеальной жидкости происходит в поле
потенциальных сил, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру,
состоящему из одних и тех же частиц жидкости, остается при
движении постоянной. _
Согласно теореме Стокса (см., напр., £ 1 J) циркуляция вектора А.
по замкнутому контуру равна потоку вектора *С(У£А через
поверхность, натянутую на этот контур.
Применив эту теорему к вектору скорости газа, получим
г - §vs-e - zj<jdnd&.
s
Из равенства (8.2) следует тогда, что в условиях, при которых
справедлива теорема Томсона, поток вектора вихря скорости через
любую поверхность, натянутую на контур, движущийся вместе с
частицами, сохраняется неизменным по времени:
d $a)nd&=0
dt
s
Отсюда вытекают теоремы Гельмгольца (см. £l-3~|)o том, что
вихревые поверхности, в частности, вихревые трубки, и вихревые линии
перемещаются в пространстве вместе с частицами газа, причем
напряженность вихревых трубок остается во время движения постоянной.
При нарушении предположений о баротропии и о непрерывности
течения теорема Томсона и ее следствия теряют силу.
Если движение не баротропно, то, считая вновь силу f потенциаль*-
ной, для замкнутого контура из формулы (8.1) и теоремы Стокса
получим
109

40- -^^л«- -J[«t(fr*dfi)]ji*.
8
С помощью тождества
■vet (А акъс£у>) = (дъснЖА X avacty)
преобразуем это выражение к виду
Ш - S(rC4b€/f> хгК4и£лХ d&- (8.з)
о
Если воспользоваться равенством
-р-(риъс(р = <putsd А - ТуаьсС Ь ,
то, аналогично (8.3), получим
■at * J (?4/ad Tx <?""£*)* <*е-
s
Соотношение (8.3) для скорости изменения циркуляции по
замкнутому жидкому кинтуру или равной ей удвоенной скорости изменения
потока вектора вихря сквозь такой контур выражает собой теорему Бьерк-
неса; эта теорема используется в динамической метеорологии.
При соблюдении условий теоремы Томсона вихри в движущемся газе
сохраняются, т.е. если их нет в некотором индивидуальном объеме в
данный момент, то их не будет в дальнейшем и не было прежде. В этом
утверждении состоит теорема Лагранжа.
Отсутствие вихрей равносильно существованию потенциала скорости ^,
Поэтому согласно теореме Лагранжа при условиях теоремы Томсона
потенциальные движения обладают свойством сохраняемости; этим
объясняется большая роль, которую играет в теории изучение потенциальных
движений.
Подчеркнем еще раз, что все предыдущие утверждения теряют силу,
если либо движение не баротропно, либо внешние массовые силы не
обладают однозначным потенциалом, либо поле скоростей не непрерывно.
Для потенциальных баротропных движений в потенциальном поле
внешних массовых сил уравнение импульсов в форме Лэмба-Громеки может
быть проинтегрировано. Действительно, при СО — 0 это уравнение
имеет вид:
Подставляя в него Н7"tfl&cLy> = tfUbd~$и ~у€*м1р=срШ<{§2£:=
= QtUbcLP(pJ7 получим
г^Ш + :т*р-и)-°'
Отметим, что при заданном поле скорости V потенциал
определяется с точностью до слагаемого, которое может быть функцией
времени.
110

откуда
Щ+jf lybtutylt+Pfcyvr-O.
(8.4)
Возникшая при интегрировании произвольная функция от времени
положена без ограничения общности, равной нулю, поскольку потенциал Ф
определен с точностью до слагаемого, зависящего от времени. Интеграл
(8,4) называется интегралом Коши-Лагранжа и заменяет в случае
потенциальных баротропных движений векторное уравнение импульсов.
Уравнение неразрывности G.6) для потенциальных движений с
учетом того, что cU4yV=clW-(ybCbcL(j>~A0( А - оператор Лапласа),
можно записать в виде
Уравнения (8.4) и (8.5) образуют систему для определения двух
функций: потенциала скорости у> и плотности jOf которыми описываются
потенциальные баротропные (в частности, иээнтропические) движения
сжимаемого газа.
Из этих двух уравнений можно получить одно уравнение второго
порядка для потенциала Ф 7 если записать уравнение неразрывности в
виде
lL£ + a*Cp)Af-0
, s dPdPdpdp a3dfi,
(здесь использовано преобразование -тт - -г— -т— ^~~5~^Р)^
at dp dj> at jo at')*™*-
ставить в него P из интеграла Коши-Лагранжа. При этом оператор
d
~тт также выражается с использованием потенциала ф ;
dt=dt~h(yta*cyyca*)'
Приведем полученное таким путем квазилинейное
дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка для <я в
декартовых координатах: .
+ £<i,i>-feer+2u,u>'y>xx+2i>-u>-fyg-0. (8>6)
Здесь <c=fix , '& = <f'¥> t^^^se > скорость звука а. выражается
через производные от <р с помощью интеграла (8.4) и условия баро-
тропии О = /0 (р) .
111

Литература
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1. - М.: Наука, 1983;
т. П. - М.: Наука, 1984.
2. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. - М.: Мир, 1973.
3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая
гидромеханика, ч. 1 и ч. П. - М.: Фиэматгиз, 1963.
4. Лойцянский Л-.Г. Механика жидкости и газа. - М..: Наука,1978.
5. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. - М.:
Наука, 1973.
6. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир,
1964.

Г.Г.ЧЕРНЫЙ
ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
И ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Учебное пособие
Технический редактор И.В.Топоршпа
Подписано к печати 11.П.1985 г. Л - 63026
Формат 70 х 108 1/16 Объем '7,04 уч.изд.л. Тираж 300 экз.
Заказ 3236 9'8 Усл'п-Л- це„а 20 коп.
Ротапринт Института механики МГУ

Цена 20 коп.